problema de ietc(neyer).pdf

Universidad de Sevilla Escuela Politcnica Superior

2 de Grado en Ingeniera Qumica Industrial

Neyer Joaquin Fernndez Ortiz Ingeniera Energtica y Transmisin de Calor

EJERCICIOS DE CONDUCCIN

Boletn de Problemas, Ingeniera Energtica Y Transmisin de Calor.

Alumno: Neyer Joaqun Fernndez Ortiz.

Curso: 2.

Titulacin: Ingeniera Qumica Industrial.

20/03/2014




1. El muro de una cmara frigorfica de conservacin de productos congelados consta de: - Revoco de cemento de 2 cm de espesor (k = 0,9 W/m K). - Ladrillo macizo de 30 cm (k = 0,7 W/m K). - Pantalla anti-vapor de 1,2 cm de espesor (k = 0,5 W/m K). - Corcho expandido (k = 0,06 W/m K). - Ladrillo hueco de 7 cm de espesor (k = 1,3 W/m K). - Revoco de cemento de 2 cm de espesor (k = 0,9 W/m K).

La temperatura del aire interior de la cmara es -25 oC y la del aire exterior 30 oC. Si las prdidas de calor del muro de la cmara han de ser inferiores a 10 W/m2.

Antes de nada, identificamos los mecanismos de transferencia de calor que se ponen de manifiesto en el correspondiente apartado, de este modo proseguimos a realizar los balances de superficies de control asociado a la totalidad del muro considerndolo como placa infinita; y aplicando el principio de continuidad decimos que para el flujo de calor se cumplir:

= 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 =

Consecuentemente, para la densidad de flujo de calor, suponiendo A = cte. = 1 m2 e imponiendo la condicin del

apartado: = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = = < 10

2

Con lo cual, si sustituimos cada expresin por su definicin, nos queda que:

1

= 1

11

=1 2

22

=2 3

33

=3 4

44

=4 5

55

=5

66

=

1

= < 10

2()

Una vez efectuadas las observaciones pertinentes, proseguimos a la resolucin de cada inciso:

a) Coeficiente global de transferencia de calor (U).

Sirvindonos del anlisis global del problema efectuado con anterioridad, y dado que no existe generacin de calor , podemos aplicar el Teorema de Tales a la ecuacin (1), de tal manera que nos queda que:

1

+

11

+22

+33

+44

+55

+66

+1

= ( ) = < 10

2




Entonces, si despejamos el coeficiente global de transferencia de calor (U):

( ) < (1

0, 18

1

25

0,02

0,9

0,07

1,3

0,012

0,5

0,3

0,7

0,02

0,09

1

14) 0,06 > , .

Entonces decimos que el espesor del aislante (e3) deber ser mayor a 28 cm. para que las prdidas de calor a travs del muro de la cmara sean inferiores a 10 W/m2.

c) Distribucin de temperaturas en el muro.

Pues bien, para hallar la distribucin de temperaturas en el muro iremos usando una a una las igualdades obtenidas mediante el principio de continuidad

1

= 10 = 10

= 303,15

10

25= , .

111

= 10 = 1 10

1= 302,75

0,02 10

0,9= , .

1 222

= 10 = 1 2 10

2= 302,53

0,07 10

1,3= , .

2 333

= 10 = 2 3 10

3= 301,99

0,28 10

0,06= , .

3 444

= 10 = 3 4 10

4= 255,32

0,012 10

0,5= , .




4 555

= 10 = 4 5 10

5= 255,08

0,3 10

0,7= , .

5 66

= 10 = 5 6 10

6= 250,79

0,02 10

0,09= , .

Observar de que la temperatura de la superficie interior es menor que la temperatura interior, esto nos da certeza de que el planteamiento inicial es hbil, debido a que los resultados van a favor al esquema; razonamiento el cual, ha permitido el desarrollo de este ltimo apartado.

2. Por el interior de una tubera de acero de 17 cm de dimetro exterior y 15 cm de dimetro interior (k = 17 W/m K), circula vapor saturado a 60 kg/cm2 de presin (T = 274 oC) atravesando un local que se encuentra a 21o C. Los coeficientes de pelcula interior y exterior son 23.000 y 11 W/m2 K, respectivamente. Calcular:

Primeramente, identificaremos los mecanismos de transferencia de calor que se ponen de manifiesto en el problema, de este modo proseguimos a realizar los balances de superficies de control asociados a la tubera de acero; y aplicando el principio de continuidad, decimos que el flujo de calor ser:

= =

Y como estamos trabajando con una superficie cilndrica de espesor e, usaremos la definicin de cada mecanismo trasladada a nuestra pieza de estudio; de esta manera, al sustituir nos quedar:

1

=

ln

2

=

1

= =

1

+

ln

2+

1


a) El flujo de calor (Q) por unidad de longitud.

Sirvindonos del anlisis global del problema, efectuado con anterioridad, e introduciendo los datos:

=

1

+

ln

2+

1

=547,15 294,15

1

230000,151+

ln0,17

0,15

2171+

1

110,171

= ,

Cabe a destacar que para efectuar los clculos hemos supuesto L = 1 m; con lo cual, el calor que pierde por cada metro es de 1475 W, aproximadamente.

b) El espesor del aislante (k A = 0,05 W/m K) necesario para reducir el flujo de calor a la tercera parte.

Entonces, para este apartado veremos cul ser el nuevo calor perdido:

=

3=

1475,36

3= 491,78 .

Ahora, al introducir un nuevo aislante, debemos realizar un nuevo balance de superficies de control asociados a la tubera de acero con un aislante; Aplicando el principio de continuidad, el flujo de calor ser:

= 1 = 2 =

Usando la definicin de cada mecanismo y aplicando el Teorema de Tales trasladado a la simetra de la nueva pieza:

=

1

+

ln

2+

ln

2+

1

=547,15 294,15

1

230000,151+

ln0,17

0,15

2171+

ln0,17

20,051+

1

111

= 491,78




*Nota: Debido a que = (, + ), es el parmetro mediante el cual podremos hallar el espesor del aislante aunque es imposible despejarla, por tanto debemos de usar un Proceso Iterativo de Resolucin:

Dimetro (DE) Espesor (e) Q Comparacin Q:Q 0,17 m. 0 m. 1475,36 W Q < Q 0,20 m. 0,03 m. 381,45 W Q > Q 0,19 m. 0,01 m. 498,42 W Q(Aproximado).

Con lo cual, el espesor del aislante necesario para reducir el flujo de calor a la tercera parte es de aproximadamente 2 cm.

c) El espesor del aislante (e) necesario para reducir la TSE 50 oC 323,15 k.

Al igual que en el apartado anterior, el calor perdido ser distinto, con lo cual, relacionaremos este nuevo calor (Q) con la condicin expuesta en el apartado (TSE). Para ello, recurriremos a alguna igualdad en donde tengamos los datos necesarios para de este modo relacionar ambas magnitudes; Entonces, hacemos un nuevo balance de superficies de control, de manera que Ley de enfriamiento de Newton aplicada al de flujo de calor nos queda:

= = 1 = 2 = =

1

+

ln

2+

ln

2

=

1

Entonces relacionando ambas expresiones veremos para que valores se cumple la igualdad:

547,15 323,15

1

230000,151+

ln0,17

0,15

2171+

ln0,17

20,051

=323,15 294,15

1

111

Y despejando aquellos factores en donde se encuentre nuestra incgnita:

3,4 + 345 ln(0,17

0,15) + 117300 ln(

0,17

)

2627520 =

1

319

2627520 37418700 ln (0,17

)

838178880 =

3,4 + 345 ln (0,17

0,15)

2627520= 4,27107

2627520 37418700 ln(0,17

)

= 1124,53 = ()

*Nota: Debido a que = (, + ), es el parmetro mediante el cual podremos hallar el espesor del aislante aunque es imposible despejarla, por tanto debemos de usar un Proceso Iterativo de Resolucin:

Dimetro (DE) Espesor (e) Y Comparacin Y:Y 0,17 m. 0 m. 1,54x107 Y >> Y

0,2305 m. 0,03025 m. ---- Y(Aproximado).**

**Este ltimo resultado fue obtenido mediante el programa EES (Engineering Equation Solver) introduciendo la expresin (**). Dicho esto, el espesor del aislante necesario para que la temperatura de la superficie externa sea como mximo 50 oC es de aproximadamente 3 cm. 3. La figura adjunta representa dos placas planas, inicialmente sin generacin interna y de conductividad 1 W/m K.




La superficie C se encuentra en contacto con aire a 20 oC, al que transfiere calor con un coeficiente de pelcula de 10 W/m2 K. En la superficie A se impone un flujo de calor entrante al slido.

Primeramente, identificaremos los mecanismos de transferencia de calor que se ponen de manifiesto en el problema, de este modo proseguimos a realizar un balance de volumen de control asociado al sistema estudiado:

() + () = ()

En este caso, al trabajar con un sistema donde existe generacin no podemos aplicar la analoga elctrica, por esta razn no nos queda de otra que seguir a partir de la definicin tanto de: la distribucin de temperatura y el flujo de calor, ambos asociados a la simetra del sistema:

() =2

2+ 1 + 2

() =

= 1

Sin embargo, cuando no existe generacin por el principio de continuidad:

() = 1 = 2 = ()

Y como no tenemos el rea de cada superficie, supondremos que A = 1 m2.

a) Calcular el flujo de calor impuesto para que la temperatura de la superficie C sea de 40 oC.

Dado que para este apartado no existe generacin, podemos aplicar el principio de continuidad, por tanto diremos que el flujo de calor impuesto, por tanto, ser:

() = 1 = 2 = ()

De donde, usamos la definicin de flujo de calor por conveccin:

=

1

=313,15 293,15

1

101

= =

b) Calcular la generacin interna, supuesta uniforme que habra que aplicar en la placa 1 para que la temperatura de la superficie C cubriera los 60 oC.

Para este apartado nos serviremos del balance de volumen de control elaborado nada ms iniciar el problema, tomando como condicin, aquella que hallamos en el apartado a) ya que suponemos que el flujo de calor entrante seguir siendo el mismo, con lo cual:

= 0 . (0) = () = = 200

Y para hallar nuestra segunda condicin de contorno, hallaremos el nuevo flujo de calor por conveccin que sale:

= 0,2 . () = 2 =

1

=333,15 293,15

1

101

= 400 = ()

Sustituyendo los datos hallados en el balance de volumen de control asociado al sistema, decimos que: () + () = ()

200 + () = 400 = 400 200 = 200 .

Y como el flujo de calor generado por definicin, considerando que la primera placa es la generadora de calor ,es decir V1 = e1 A =0,1 1 = 0,1m3:




= 200 = 1 =200

0,1=

c) Calcular la temperatura mxima del sistema para la situacin b). Tomando los datos hallados ya en el apartado b), y sustituyndolos en la expresin que nos da la distribucin de temperatura asociado a la simetra de nuestro sistema, tenemos que:

= 0 . (0) = 200 = 1 1 = 200. Con lo cual es un la distribucin de calor entrante, con lo cual:

() =20002

2 1 200 + 2

Para hallar C2, primeramente debemos de hallar una condicin que podamos relacionar con datos ya obtenidos, por esta razn proseguiremos hallando la temperatura de la superficie b, entonces:

= 0,1 . (0,1 ) = 2 = 400 =

22

=400 2

2 + =

400 0,1

1 1+ 333,15 = ,

Aplicando esta nueva condicin de contorno, tenemos que:

= 0,1 . (0,1 ) = =2000(0,1)2

2 1 200 0,1 + 2 = 373,15 = 373,15 + 30 = ,

Con lo cual, la distribucin de temperatura y el flujo de calor asociados a la simetra del sistema:

() =20002

2 200 + 403,15 [. . ()]

Luego, para que se el flujo de calor salga del sistema, la temperatura mxima estar en la superficie ms a la izquierda de la pared, es decir:

= 0 (0 ) = =2000 (0)2

2 200 (0) + 403,15 = 403,15 = = , .

Esto ltimo, razonamiento puede ser verificado matemticamente a travs de las derivadas:

() =20002

2 200 + 403,15

()

= 2000 200 2()

2= 2000

Analizamos entonces los resultados de la primera y la segunda derivada, teniendo en cuenta que los puntos nulos de la primera derivada deben de corresponder a mximo mnimos (segn el signo de la segunda derivada) de la correspondiente funcin:

()

= 0 2000 200 = 0 = , 2(0)

2< 0 (, por tanto se trata de un )

Cabe a destacar que este punto pertenece a la parte izquierda del esquema, es decir, fuera de la pared, por tanto, la temperatura mxima estar en ese entorno, consecuentemente la temperatura mxima en la pared se encontrar en la parte ms a cercana al entorno antes mencionado (x = 0 m.), razonamiento que respalda el resultado obtenido. 4. Una corriente de 20 A circula a travs de un cable de acero de 2 mm de dimetro y 1 m de longitud. Las propiedades del cable son: Emisividad: 0,8. , Resistencia elctrica: 0,125 ., Conductividad trmica: 17 W/m K. Determinar:

Antes de nada debemos de transformar las magnitudes expuestos en el problema en magnitudes que podamos aplicar para la resolucin de un problema de ingeniera energtica y transmisin de calor, entonces:

Consideramos que la corriente es continua, entonces la potencia elctrica desarrollada en un cierto instante por una resistencia es el producto de la resistencia y el cuadrado de la intensidad de corriente que pasa a travs de ella:




= 2 = 0,125 (20 )2 = . =

Ntese que es posible relacionar la potencia elctrica disipada con el flujo de calor generado debido a que por definicin ambas son lo mismo (cantidad de energa generada o disipada por unidad de tiempo). Entonces, a partir de aqu hallamos la generacin de flujo de calor del cable de acero:

= 50 = =50

(0,001)2 1= ,

Ahora identificamos los mecanismos de transferencia de calor que se ponen de manifiesto en el problema, de este modo proseguimos a realizar un balance de volumen de control asociados a la tubera de acero:

() + () = ()

Y como estamos trabajando con una superficie cilndrica maciza, podemos considerar que el calor que sale es igual al que se genera dentro del mismo, con lo cual nos quedar:

() = ()

Adems, al trabajar con un sistema donde existe generacin no podemos aplicar la analoga elctrica, por esta razn no nos queda de otra que seguir a partir de la definicin tanto de: la distribucin de temperatura y el flujo de calor, ambos asociados a la simetra del sistema:

() =2

4+ 1 ln + 2 () =

=

2

1


a) Si la temperatura superficial del cable (medida experimentalmente) es de 150 oC, calcule la temperatura del centro del conducto.

Para realizar este apartado, debemos de hallar primero la distribucin de temperatura asociada a un cilindro macizo: Pues bien, imponiendo la condicin de frontera:

= 0 (0)

= 0 () =

(0)

1 = 0 ; : () =2

4+ 2

E imponiendo la segunda condicin de la frontera hallada (TSE) nos queda la siguiente expresin:

() =2

4+ 2 2 = () +

2

4

= 0,001 . (0,001) = = 423,15 2 = 423,15 +15,6106 0,0012

4 17= 423,38.

Con lo cual, nuestra temperatura mxima y mnima vendr determinada segn la siguiente ecuacin:

() =15,6106 2

68+ 423,38 [. . ()]

Luego, para hallar la temperatura en el centro del conducto:

: = 0 (0 ) =15,6106 02

68+ 423,38 = , =

Cabe a destacar que el resultado obtenido es lgico, ya que al inicio supusimos una direccin radial saliente (desde el centro del cilindro hacia afuera), para ello la temperatura mxima debe de estar en el centro del cuerpo.

b) Si el cable se encuentra en un ambiente a 30 oC, con los alrededores a 10 oC, calcule el coef. convectivo.

Para hallar el coef. convectivo partiremos de la definicin de flujo de calor por conveccin, y como no se ha variado el volumen del cilindro macizo, proseguimos segn el mismo razonamiento seguido en el apartado anterior, de donde finalmente obtenemos:




= =

1

=

( )=

50

2(0,001)1 (303,15 283,15)= ,

c) Para aislar el cable, se agrega sobre la superficie del mismo un material de conductividad trmica ka = 0,15 W/m K y espesor 2 mm. Si el cable aislado se encuentra en un ambiente a 30 oC con un coeficiente de pelcula h = 20 W/m2 K, determine la temperatura:

Para hallar la distribucin de temperaturas en el cable de acero iremos usando una a una las igualdades obtenidas mediante el principio de continuidad (Usado debido a que el flujo de calor entrante es nulo):

() = = ()

() = 50 =

ln

2

=

1

- En la superficie exterior del aislante.

50 =

1

=50

+ =

50

20 2(0,001)1+ 303,15 = , .

- En la inter-fase cable-aislante.

50 =

ln

2

=50 ln

2+ =

50 ln0,006

0,002

2 0,15 1+ 701,04 = , .

- En el centro del cable. Para hallar la temperatura en el centro del cable partimos de la definicin de la distribucin de la temperatura y el calor para un cilindro macizo, que vendrn determinados segn las expresiones:

() =2

4+ 1 ln() + 2

Y para el calor: () =

=

2

1

Imponiendo la condicin de frontera:

= 0 (0)

= 0 (0) =

(0)

1 = 0 ; : () =2

4+ 2


() =2

4+ 2 2 = () +

2

4

= 0,001 (0,001) = = 759,32 2 = 759,32 +15,6106 0,0012

4 17= 759,55 .

Con lo cual, la distribucin de temperaturas para el cable de acero vendr determinada segn la siguiente ecuacin:

() =15,6106 2

68+ 759,55 [. . ()]

Ahora, sustituimos para hallar la temperatura en el centro del cable de acero:




= 0 (0) =15,6106 02

68+ 759,55 = , . =

5. Los cilindros de los motores de combustin interna enfriados por aire estn provistos de aletas para disipar calor. El motor de cierta motocicleta tiene un cilindro de aleacin de aluminio (k = 174 W/m K) de 12 cm de altura y 12 cm de dimetro interno, con 10 aletas anulares de 6 mm de espesor y 2 cm de longitud. En una prueba de funcionamiento, la temperatura de los gases de combustin es 500 K y la del aire exterior 300 K. Determine el calor disipado por el cilindro si los coeficientes de pelcula interior y exterior son 1000 W/m2 K y 60 W/m2 K, respectivamente. Nota: Desprecie el intercambio radiante.

Primeramente, comprobamos que quepan las 10 aletas en la superficie del cilindro (100,006m = 0.06m <

HCILINDRO), ahora identificaremos los mecanismos de transferencia de calor que se ponen de manifiesto en el

problema, de este modo proseguimos a realizar un balance de volumen de control asociado al sistema

estudiado:

() + = ()

Y como dentro no existe generacin y el flujo de calor toma una direccin radial desde el interior del cilindro,

pues entonces podemos aplicar el principio de continuidad para la simetra de nuestro sistema, nos

quedar: () = = () =

Con lo cual, al sustituir cada expresin por su definicin:

1

= 1

ln1

2

=1 2

1

(+)

=

Entonces aplicando el Teorema de Tales:

2

1

+

ln1

2+

1

(+)

=

Calculando ahora los datos pertinentes:

Parmetros necesarios para hallar :

= 2 = 0,045 2.

= 2 1( ) = 0,0264 2.

2 = 2 +

2= 0,093 .

= 2(22 1

2) = 0,023 2.

21

=0,093

0,07= ,

= 0,02 +0,006

2= 0,023

3

2

()=

0,0034 49,9 = ,

Con lo cual, segn la Grfica 5.6: Eficiencia de aletas rectas (pgina 21, Coleccin de Tablas, Grficas y ecuaciones de Transmisin de Calor):

= [0,95 1,00] = , .

Entonces, sustituyendo los parmetros obtenidos en la ecuacin:




= 2

1

+

ln1

2+

1

(+)

=500 300

1

10000,045+

ln0,07

0,06

21740,12+

1

60(0,045+100,960,023)

= , .

El flujo de calor disipado por el cilindro hueco aleado ser de 2322,85 W. 6. Una empresa de microelectrnica est diseando el disipador de calor de un microprocesador cuya superficie de intercambio es plana y de dimensiones 5x5 cm. La potencia trmica a disipar es 10 W y la temperatura de la superficie del disipador se debe mantener a 60 oC. El aire alrededor del disipador se encuentra a 25 oC. Para la disipacin se plantean una serie de aletas planas de dimensiones: 5 cm de ancho, 1 cm de largo y 1 mm de espesor (ver figura).

Datos: hcv = 10 W/m2K k = 200 W/mK.

Antes de nada, procederemos a comprobar cuntas aletas caben en la superficie de plana (X0,001m < L

PLANCHA X < 50 aletas). Ahora, identificaremos los mecanismos de transferencia de calor que se ponen de manifiesto en el problema, de este modo proseguimos a realizar un balance de superficie de control asociado al sistema estudiado:

() + = ()

Y como dentro no existe generacin y el flujo de calor toma una direccin saliente desde el interior de la placa y ayudados del enunciado del problema pues entonces podemos aplicar el principio de continuidad para la simetra de nuestro sistema, nos quedar:

() = = = 10 . Una vez efectuada las observaciones pertinentes proseguimos a resolver cada apartado:

a) Calcular el no de aletas necesarias para que el disipador ceda al aire la potencia trmica requerida.

Para efectuar este apartado, partiremos de la relacin existente entre el calor disipado por una placa infinita aleada y la Temperatura mediante segn la Ley de enfriamiento de Newton:

= ( ) ( + ) = ( ) ( . + )

Despejando nuestra incgnita obtenemos:

=

()

.


= . = 0,052 5105

= 0,01 +0,001

2= 0,0105 . = 2 = 2 0,0105 0,05 = 0,00105

2.

= 2

=

2 10

200 0,001= 10 =

tanh( )

=

tanh(10 0,0105)

10 0,0105= 0,996

Y sustituyendo en la expresin donde despejamos el nmero de aletas ():




=

()

.=

10

10(333,15298,15) (0,05)2

0,996 0,00105 5105= , .

Ahora comprobamos que quepan las 27 aletas en la superficie de la placa (27*0,001m = 0,027m < L PLANCHA), si caben. Entonces seran necesarias, al menos, 27 de aletas para que el disipador pueda ceder al aire 10 W manteniendo una temperatura superficial de 333,15 K.

b) En las condiciones anteriores, nmero de aletas necesario para disipar 20 W.

Debido a que el nico dato que ha cambiado, con respecto al anterior inciso, es el calor disipado (QCV). Siguiendo el razonamiento anterior, y dado que todos los datos antes obtenidos son perfectamente vlidos (ya que las dimensiones de cada aleta sigue siendo la misma):

=

()

.=

20

10(333,15298,15) (0,05)2

0,996 0,00105 5105= , .

Ahora comprobamos que quepan las 55 aletas en la superficie del microprocesador (55*0,001m = 0,055m > L

PLANCHA), no caben. Con lo cual, podemos afirmar que con esta superficie no es posible disipar 20 W manteniendo una temperatura superficial de 333,15 K ya que seran necesarias al menos 55 de aletas, las cuales no caben en la superficie del microprocesador.

7. Dado el sistema de la figura. Calcule:

Antes de nada, identificaremos los mecanismos de transferencia de calor que se ponen de manifiesto en el problema, de este modo proseguimos a realizar un balance de volumen de control asociado al sistema estudiado:

() + = ()


En este caso, al trabajar con un sistema donde existe generacin no podemos aplicar la analoga elctrica, por esta razn no nos queda de otra que seguir a partir de la definicin tanto de la distribucin de temperatura y el flujo de calor, ambos asociados a la simetra del sistema:

() =2

2+ 1 + 2

() =

= 1

Una vez efectuadas las observaciones pertinentes, proseguimos con la resolucin del problema:

a) El valor de la temperatura mxima que se alcanza en el interior del sistema.

Sirvindonos del anlisis global del problema efectuado con anterioridad, y suponiendo que el flujo de calor que entra es igual a cero, ya que si no fuera as, la temperatura mxima no podra estar en el interior del sistema. De esta manera, nuestro balance de volumen de control asociado al sistema quedar:




() = 0 () + = () = () = =

Con lo cual, el flujo de calor transferido al aire ser slo el generado por la primera placa. Entonces aplicando la definicin de flujo de calor generado:

= = = (1 ) = 40000 0,05 1 = 2000 .

Ahora, debemos analizar la direccin del flujo de calor si bien sabemos que la direccin del mismo vendr dado desde donde se hallen las temperaturas ms elevadas hasta las temperaturas ms bajas. De este modo, para que se el flujo de calor salga del sistema, y dado que por la izquierda nuestra placa est aislada trmicamente, la temperatura mxima estar en la superficie ms interna de la pared.

Dicho todo esto, proseguimos a calcular la temperatura de la superficie C (ms externa):

() = = =

1

=

+ =

2000

10 1+ 293,15 = 493,15 K =

Mediante este mismo razonamiento hallamos la temperatura de la superficie B:

() = = =

22

= 22

+ =2000 0,02

1 1+ 493,15 = 497,15 K =

Ahora, para hallar la temperatura mxima partimos de la expresin de la distribucin de la temperatura y el calor en el plano, que vendrn determinados segn las expresiones expuestas en el inicio del problema, y aplicando las condiciones de contorno halladas de flujo impuesto para la superficie A (ms interna):

= 0

= 0 (0) = 0 =

= (0) 1 1 = 0.

, : () =2

2+ 2

= 0,05 (0,05) = = (0,05)2

2 1+ 2 =

40103(0,01)2

2 50+ 2 = 497,15 2 = 497,19


() =400002

100+ 497,19 [. . ()] () = 40000 [. . ()]

Luego, para que el flujo de calor salga del sistema, y dado que por la izquierda nuestra placa est aislada trmicamente, la temperatura mxima estar en la superficie ms interna de la pared, es decir:

= 0 (0 ) = =40000 (0)2

100+ 497,19 = 497,19 = = , .


() =400002

100+ 497,19

()

= 800 2()

2= 800


()

= 0 800 = 0 = 2(0)


b) El coeficiente de pelcula exterior para que la temperatura mxima calculada en el punto anterior se vea reducida a 100 oC.




Para hacer este apartado suponemos que el calor generado no se ve afectado debido que tanto la generacin de flujo como el volumen de la zona que genera sigue siendo la misma; Sin embargo, la temperatura interna ha variado, consecuentemente, las dems tambin lo harn (por simple continuidad). De esta manera, nuestro balance de volumen de control asociado al sistema quedar:

= () = = = 2000 .

De esta manera tambin variar la distribucin de temperaturas a travs del muro:

() =400002

100+

E imponiendo las nuevas condiciones dadas por el problema:

= 0 (0 ) = =40000 (0)2

100+ = 373,15 = , .

Entonces la expresin la zona donde existe generacin de flujo de calor quedar:

() =400002

100+ 373,15 [. . ()]

Para hallar la nueva temperatura de la superficie B:

= 0,05 (0,05) = =40000 (0,05)2

100+ 373,15 = 372,15 = 372,15 .

Para hallar la nueva temperatura de la superficie C:

2

2

= = 2

2 = 372,15

0,02 2000

1 1= 332,15 = 332,15 .

Ya obtenidos los nuevos datos del problema, utilizaremos una de las igualdades obtenidas al inicio del problema mediante el balance de volumen de control y sustituyendo por su definicin:

= = = 2000 .

Despejando nuestra incgnita y sustituyendo nuestros datos obtenidos:

=

1

= =

( ) =

2000

(332,15 293,15) 1= ,

c) El nmero de aletas necesarias para conseguir el mismo efecto anterior sin modificar el valor del coeficiente de pelcula exterior inicial.

- Espesor aletas: = 2 mm. - Longitud aletas: L = 2 mm. - Eficiencia aleta: a = 0,7.

Debido a que el nico dato que ha cambiado, con respecto al anterior inciso, es que el coeficiente convectivo (hE). Siguiendo el razonamiento anterior, y dado que se quiere obtener el mismo efecto anterior, todos los datos antes obtenidos son perfectamente vlidos (ya que las temperaturas por continuidad deben de ser esas): Entonces partiremos de la relacin entre el calor disipado por una placa plana infinita aleada y la Temperatura segn la Ley de enfriamiento de Newton:

= ( ) ( + ) = ( ) ( . + )

Calculando ahora los datos pertinentes: = . = 1 (0,002) (1)

= 0,002 +0,002

2= 0,003 . = 2 = 2 1 0,003 = 0,006

2.




Y sustituyendo en la expresin donde despejamos el nmero de aletas ():

=

()

.=

2000

10(332,15293,15) 1

0,7 0,006 0,002 1= , .

Con lo cual, son necesarias al menos 1877 aletas para mantener una temperatura mxima dentro del muro de 373,15 K, sin modificar el valor del coeficiente de pelcula exterior inicial.

Ntese que para que quepan 1877 aletas debemos contar con una superficie de al menos (18770,002m = 3,76m) 3,76 metros de altura, dicho esto, concluiremos que harn falta al mximo 499 aletas por metro cuadrado para mantener una temperatura mxima dentro del muro de 373,15 K, sin modificar el valor del coeficiente de pelcula exterior inicial.

8. Un cilindro hueco de radio interior 10 cm y 3 cm de espesor (ka=0,5 W/mK) se encuentra en su superficie exterior en contacto perfecto con otro cilindro hueco de radio interior 13 cm y 5 cm de espesor (kb=1 W/mK). Por el interior, el conjunto est en contacto con un fluido a 40C, mientras que en el contorno exterior existe otro fluido que se encuentra a 10C. En ambos casos, el coeficiente de pelcula que se origina es de 10 W/mK.

Debido a que en cada apartado se nos presenta una situacin distinta, haremos el anlisis del sistema a medida que avancemos en la elaboracin del problema: apartado a) Sin Generacin de flujo de calor; apartado b) Con Generacin de flujo de calor.

a) Calcule la temperatura resultante en la inter-fase de los dos cilindros.

Primeramente, identificaremos los mecanismos de transferencia de calor que se ponen de manifiesto en el problema, de este modo proseguimos a realizar los balances de superficies de control asociados a la tubera de acero; y aplicando el principio de continuidad, dado que no existe Generacin, decimos que el flujo de calor ser:

= () = () =

Y como estamos trabajando con una superficie cilndrica de espesor e, usaremos la definicin de cada mecanismo trasladada a nuestra pieza de estudio; de esta manera, al sustituir nos quedar:

1

=

ln1

2

=

ln1

2

=

1

= =

1

+

ln1

2+

ln1

2+

1

Ahora, continuamos con el problema obteniendo del flujo de calor ostensible, sustituyendo:

=

1

+

ln

2+

ln

2+

1

=313,15 283,15

1

1020,11+

ln0,26

0,20

20,51+

ln0,36

0,26

211+

1

1020,181

= 78,35 W.

Luego, como por el principio de continuidad se cumple que:

1

=

ln

2

= =

1

+

ln1

2

De donde, al despejar nuestra incgnita y sustituyendo los parmetros en la misma obtenemos que:

= (1

+

ln

2) = 313,15 78,35 (

1

10 2 0,1 1+

ln0,26

0,2

2 0,5 1) = , .




b) Calcule la nueva temperatura resultante si en el cilindro interior existiera una generacin interna uniforme de 2000 W/m.

Para esta parte del problema, las condiciones cambian, ya que ahora existe Generacin de flujo de calor consecuentemente el flujo de calor disipado variar. Entonces, para determinar este nuevo flujo de calor, iniciaremos identificando los mecanismos de transferencia de calor que se ponen de manifiesto en esta parte del problema, de este modo, proseguimos a realizar un balance de volumen de control asociado al sistema estudiado, y como la generacin se produce en un volumen cilndrico al cual no pertenece el centro del mismo, pues entonces el calor generado se repartir por ambas capaz a la que se encuentre unida, entonces veremos con qu Generacin(G) es posible mantener la temperatura interior (en tal caso, la expresin de la temperatura estara ms simplificada): Dicho todo esto vemos que se cumplir que:

= = (1)

: () = = =

ln

2

=

1

=

ln

2+

1

(0,132 0,12) 1 = 283,15

ln0,36

0,26

211+

1

1020,181

(2)

Y como por definicin se cumple que:

() =2

4+ 1 ln() + 2 () =

2

4 0,5+ 1 ln() + 2 (3)

() =

=

2

1

() =(2 0,13 1)

2

0,5 (2 0,13 1) 1

(4)

Entonces, imponiendo las condiciones de frontera para esta comprobacin:

= , (,) = ; (), .

0 =(2 0,13 1) 0,1

2

0,5 (2 0,13 1) 10,1

= , (,) = = , . ; () (), :

313,15 =(0,1)2

4 0,5+ 1 ln(0,1) + 2

= , (,) = ; (), :

(0,132 0,12) 1 =(2 0,13 1) 0,13

2

0,5 (2 0,13 1) 10,13




= , (,) = ; (), :

=(0,13)2

4 0,5+ 1 ln(0,13) + 2

Con lo cual, al resolver el sistema tenemos que:

= 283,2 . ; 1 = 0,01188 ; 2 = 313,15 ; = 1,188

De esta manera, vemos que para que si la Generacin es mayor que 1,188 W/m3 entonces el flujo de calor se repartir en ambos sentidos (es decir, si la Generacin es igual a 1,188 W/m3, la temperatura en la superficie interior y la temperatura interior de la tubera mantendran. por tanto, el flujo de calor en esta parte del sistema sera nulo). Dicho lo anterior proseguimos con la ejecucin del problema:

La Generacin impuesta (G=2000 W/m3) es mucho mayor que la Generacin (G=1,188 W/m3) necesaria para aislar trmicamente el fluido interno, obtenida anteriormente; entonces diremos que una parte de este nuevo flujo de calor Generado se ir en calentar el fluido y la otra se disipar a travs de las paredes hasta el exterior.

Apoyados en el razonamiento anterior:

: = + = +

Y como el flujo de calor generado por definicin:

= = 2000 (0,132 0,12) 1 = 43,35 .

( = ):

= + = +

: = +

43,35 =

1

+

1

= 313,15

1

1020,11

+ 283,15

1

1020,181

Por definicin se cumple que:

() =2

4+ 1 ln() + 2 () =

2 103 2

4 0,5+ 1 ln() + 2

() =

2

1

=(2 0,13 1) 2 103

2

0,5 (2 0,13 1) 1

Entonces, imponiendo las condiciones de frontera para esta comprobacin:

Imponiendo las condiciones de frontera:

= , (,)

313,15

1

1020,11

=(2 0,13 1) 2 103 0,1

2

0,5 (2 0,13 1) 10,1




= , (,)

283,151

1020,181

=(2 0,13 1) 2 103 0,13

2

0,5 (2 0,13 1) 10,13

= , (,) =

=2 103 (0,1)2

4 0,5+ 1 ln(0,1) + 2

2 103 0,132

4 0,5+ 1 ln(0,13) + 2 = 283,15 + 2000 (0,13

2 0,12) 1 (ln

0,36

0,26

2 1 1+

1

10 2 0,18 1)

Con lo cual, al resolver el sistema tenemos que:

= 333,1 . ; 1 = 20,0 ; 2 = 389,2

De donde nuestras expresiones anteriores quedaran de la siguiente manera: () = 10

3 2 + 20,0 ln() + 389,6

() = 260 0,13 20,0

Ya obtenida la distribucin de temperaturas, hallamos la temperatura en la inter-fase:

= 0,13 . (0,13) = 103 2 + 20,0 ln(0,13) + 389,2 = 339,94 = , .

De este modo, vemos que realmente sucede lo que nosotros predijimos al inicio del problema. Dado que supusimos que la temperatura mxima se hallara en la superficie ms externa. Ahora demostraremos donde se halla la temperatura mxima matemticamente, a travs de las derivadas:

() = 103 2 + 20,0 ln() + 389,2

()

= 2 103 +20

2()2

= 2 103 20

2


()

= 0 2 103 +20

= 0 = , .

2(0,1)2

< 0 (, se trata de un )

De este modo, vemos que realmente la temperatura mxima ser: = 0,1 . (0,1) = 10

3 (0,1)2 + 20,0 ln(0,1) + 389,2 = 33,1 (0,1) = = = 333,1 .

9. La estructura de un reactor qumico se puede asimilar a dos tuberas concntricas. La tubera A se encuentra en contacto con un fluido a 150 C (h=300 W/m2K) y la B est perfectamente aislada por su cara exterior. Si la cara B presenta una generacin volumtrica 10 kW/m3. Datos: kA=50 W/mK; kB=1 W/mK; r1=0.1 m r2=0.12 m r3=0.16 m. Calcular:




a) Calor transferido al fluido.

Iniciaremos identificando los mecanismos de transferencia de calor que se ponen de manifiesto en esta parte del problema, de este modo proseguimos a realizar un balance de volumen de control asociado al sistema estudiado:

() + = ()

Y como el flujo de calor toma una direccin radial desde el exterior del cilindro, es decir, el flujo de calor Entrante(desde el exterior)/Saliente(hacia el exterior) es nulo ya que se encuentra aislado del exterior; con lo cual, aplicando el principio de continuidad a lo largo de la tubera nos quedar:

= () = () =

Y como el flujo de calor generado por definicin:

= = 10000 (0,162 0,122) 1 = , .

Con lo cual, este ser el calor que ser transferido de una a otra capa hasta el interior.

b) Temperatura mxima del conjunto.

Como ya hemos visto en el anterior apartado, el flujo de calor toma una direccin radial desde el exterior del cilindro, es decir, el flujo de calor Entrante (desde el exterior)/Saliente (hacia el exterior) es nulo ya que se encuentra aislado del exterior; con lo cual, partimos con el razonamiento de que la temperatura mxima se encontrar en sobre la superficie ms externa de la tubera. Entonces, antes de nada hallaremos los datos necesarios para determinar la temperatura mxima del sistema; partiendo del principio de continuidad a lo largo de la tubera nos queda:

= () = () = = 351,86 .

Sustituyendo por su definicin:

=

ln

2

=

1

= = 351,86 .

Proseguiremos a hallar una a una las temperaturas para obtener finalmente una condicin de contorno determinada por la temperatura (T), dicho esto, seguimos:

1

= =

+ =

351,86

300 2 0,1 1+ 423,15 = 425,02 = 425,02 .




ln

2

= = ln

2+ =

351,86 ln0,24

0,2

2 50 1+ 425,02 = 425,23 = 425,23 .

Luego, para hallar la temperatura en el exterior de la tubera partimos de la definicin de la distribucin de la temperatura para un cilindro:

() =2

4+ 1 ln() + 2 () =

104 2

4+ 1 ln() + 2

() =

2

1

=(2 0,16 1) 104

2

1 (2 0,16 1) 1


= 0,16

= 0 (0,16) = 0 =

=

2 0,16 1 104 0,16

2

1 2 0,16 1 10,16

= 0

= 0,12 (=0,12) =104 (0,12)2

4+ 1 ln(0,12) + 2 = 425,23

, : 1 = 128 ; 2 = 732,6 Con lo cual, la distribucin de temperaturas para la tubera vendr determinada segn la siguiente ecuacin:

: () =104 2

4+ 128 ln() + 732,6 [. . ()]

Ahora, sustituimos para hallar la temperatura en la superficie ms externa de la tubera:

= 0,16 (0,16) =104 0,162

4+ 128 ln(0,16) + 732,6 = . =

De este modo, vemos que realmente sucede lo que nosotros predijimos al inicio del problema. Dado que supusimos que la temperatura mxima se hallara en la superficie ms externa. Ahora demostraremos donde se halla la temperatura mxima matemticamente, a travs de las derivadas:

() =104 2

4+ 128 ln() + 732,6

()

=104

2+

128

2()2

=104

2

128

2


()

= 0 104

2+

128

= 0 = , .

2(0)2

< 0 (, se trata de un )

10. Un sistema formado por dos placas planas de 10 cm de espesor cada una (k = 1 W/mK) en contacto perfecto presenta las siguientes condiciones de contorno:

Izquierda: Aislado Derecha: aire a 20 C (hcv=15 W/m2K)

La placa de la izquierda presenta una generacin volumtrica de 104 W/m3.

Primeramente, identificaremos los mecanismos de transferencia de calor que se ponen de manifiesto en el problema, de este modo proseguimos a realizar un balance de volumen de control asociado al sistema estudiado:

() + = ()





En este caso, al trabajar con un sistema donde existe generacin no podemos aplicar la analoga elctrica, por esta razn no nos queda de otra que seguir a partir de la definicin tanto de la distribucin de temperatura y el flujo de calor, ambos asociados a la simetra del sistema:

() =2

2+ 1 + 2 () =

= 1

Una vez efectuadas las observaciones pertinentes, proseguimos con la resolucin del problema:

a) Calcule el calor transferido al aire y la temperatura mxima y mnima del sistema.

Sirvindonos del anlisis global del problema efectuado con anterioridad, e imponiendo las condiciones del problema, es decir, el flujo de calor que entra es igual a cero, debido a que el sistema se encuentra aislado por la izquierda. De esta manera, nuestro balance de volumen de control asociado al sistema quedar:

() = 0 () + = () = () = =

Con lo cual, el flujo de calor transferido al aire ser slo el generado por la primera placa. Entonces aplicando la definicin de flujo de calor generado:

= = = (1 ) = 10000 0,1 1 = .

Antes de seguir, debemos analizar la direccin del flujo de calor si bien sabemos que la direccin del mismo vendr dado segn desde donde se hallen las temperaturas ms elevadas hasta las temperaturas ms bajas. De este modo, para que el flujo de calor salga del sistema, y dado que por la izquierda nuestra placa est aislada trmicamente, la temperatura mxima estar en la superficie ms interna de la pared.

Dicho todo esto, proseguimos a calcular la temperatura de la superficie C (ms externa):

() = = =

1

=

+ =

1000

15 1+ 293,15 = , =

Mediante este mismo razonamiento hallamos la temperatura de la superficie B:

() = = =

22

= 22

+ =1000 0,1

1 1+ 359,82 = , =

Ahora, para hallar la temperatura mxima partimos de la expresin de la distribucin de la temperatura y el calor en el plano, que vendrn determinados segn las expresiones expuestas nada ms iniciar el problema, y aplicando las condiciones de contorno halladas de flujo impuesto para la superficie A (ms interna):

= 0

= 0 (0) =

= (0) 1 1 = 0.

, : () =2

2+ 2

= 0,1 (0,1) = = (0,01)2

2+ 2 =

104(0,01)2

2 1+ 2 = 459,82 2 = 509,82


() =100002

2+ 509,82 [. . ()] () = 10000 [. . ()]




Luego, para que el flujo de calor salga del sistema, y dado que por la izquierda nuestra placa est aislada trmicamente, la temperatura mxima estar en la superficie ms interna de la pared, es decir:

= 0 (0 ) = =10000 (0)2

2+ 509,82 = 509,82 = = , .


() =100002

2+ 509,82

()

= 10000 2()

2= 10000


()

= 0 10000 = 0 = 2(0)


11. Un cilindro metlico (k=20 W/mK) de 2 cm de radio y 20 cm de altura, presenta una generacin interna de calor de 106 W/m3 y est en contacto con aire a 7oC con el que intercambia calor con un coeficiente de pelcula de 15 W/m2K. Calcule el calor disipado por el cilindro y la temperatura de su superficie.

Para disminuir el perfil de temperaturas se aaden 40 aletas anulares de 2 cm de longitud y 2 mm de espesor, del mismo material que el cilindro. Calcule las temperaturas mxima y mnima del cilindro.

DIBUJO 1: CILINDRO MACIZO.

TEXTERIOR = 7C = 280,15 K. h EXTERIOR = 15 W/m2K. G = 106 W/m3.

A) Q DISIPADA, TSUP.EXTERIOR?

Partimos de la expresin de temperatura y el calor para un cilindro macizo, que vendrn determinados segn las expresiones:

() =2

4+ 1 ln() + 2

() =

=

2

1


= 0

= 0 (0) =

(0)

1 = 0

Con lo cual, el calor vendr definido segn la siguiente expresin:

() =

2= 12566,4 [. . ()]

Y sustituyendo r = 0,02 m. para hallar el calor disipado, obtenemos:

(, ) = 12566,4 0,02 = ,

Para hallar la TSUP.EXTERIOR , hacemos primeramente un balance de volumen de control de manera que nos queda que:

= = 251,33

Sustituyendo el valor de QCV y despejando nuestra incgnita:




251,33 = =

1

=251,33

+

Ahora, sustituyendo los datos obtenidos tenemos que:

=251,33

15 2 0,02 0,2+ 280,15 = , .

B) Si aadimos 40 aletas anulares, calcular TMIN ,TMAX?

Primeramente comprobamos que quepan las 40 aletas en la superficie del cilindro (40*0.002m = 0.08m < HCILINDRO), una vez visto que si caben, entonces iniciamos las observaciones pertinentes:

- Tenemos en cuenta de que el calor disipado ser el mismo que el del apartado anterior: ya que el rea aumentada no genera flujo de calor, entonces al hacer un balance de volumen de control tendremos que:

+ = () = 251,33 .

Y como el calor entrante es nulo:

= () = = 251,33 .

- La temperatura de la superficie exterior (TSE), consecuentemente, no seguir siendo la misma, dado que hemos cambiado las condiciones del problema. Dicho esto, procedemos al clculo de la misma:

DIBUJO 2: CILINDRO MACIZO ALEADO.

Entonces, primeramente, relacionamos el calor disipado de un volumen cilindro macizo aleado con la Temperatura mediante la Ley

de enfriamiento de Newton, siendo: R = 0,04 m, longitud(aleta) L = 0,02 m , el espesor(aleta) = 0,002m, r = 0,02 m:

= ( ) ( + )

Despejando nuestra incgnita obtenemos:

=

( + )+


= 2 ( ) = 0,0151 2.

= +

2= 0,04 + 0,001 = 0,041 .

= 2(2 2) = 0,01 2.

Parmetros necesarios para hallar :

=0,041

0,02= ,

= 0,02 +0,002

2= 0,021

3

2

()=

0,003 133,63 = ,

Con lo cual, segn la Grfica 5.6: Eficiencia de aletas rectas

(pgina 21, Coleccin de Tablas, Grficas y ecuaciones de Transmisin de Calor):

= [0,80 0,85] = , .

Entonces, sustituyendo los parmetros obtenidos en la ecuacin:

=

( + )+ =

251,33

15 (0,0151 + 40 0,83 0,01)+ 280,15 = ,




Ahora, para hallar la temperatura mxima partimos de la expresin de la distribucin de la temperatura y el calor para un cilindro macizo, que vendrn determinados segn las expresiones:

() =2

4+ 1 ln() + 2

Y para el calor: () =

=

2

1

Imponiendo la condicin de frontera:

= 0

= 0 () =

1 = 0 ; : () =

2

4+ 2


() =2

4+ 2 2 = () +

2

4

= 0,02 (0,02) = = 328,42 2 = (0,02) +106 0,022

4 20= 328,42 +

106 0,022

4 20= 333,42 .

Con lo cual, nuestra temperatura mxima y mnima vendr determinada segn la siguiente ecuacin:

() =106 2

80+ 333,42 [. . ()]

: = 0 (0 ) =106 02

80+ 333,42 = , =

: = 0,02 (0,02) =106 0,022

80+ 333,42 = , =

Viendo el resultado final, vemos que el planteamiento inicial es hbil, debido a que los resultados van a favor al esquema; razonamiento el cual, ha permitido el desarrollo de este ltimo apartado. ( ver DIBUJO 2: CILINDRO MACIZO ALEADO).

problema de ietc(neyer).pdf

Documents