probabilidad y estadistica - m isaías, e farias

ÍNDICE TEMÁTICO

CAP. 1.- ¿ QUE ES ESTADÍSTICA ? 3Introducción ; Estadística ; Usos y Abusos de laEstadística; Introducción a los Términos Básicos;Relación entre Probabilidad y Estadística; Examende Autoevaluación.

CAP. 2.- ELABORACIÓN DE CUADROS ESTADÍSTICOS 11Introducción ; Toma de Datos ; Técnicas Estadísticas;Frecuencias ; Concepto de Variable ; Intervalos ; Cua-dro estadístico ; Ejercicios Propuestos.

CAP. 3.- GRÁFICAS ESTADÍSTICAS 30Introducción ; Representaciones gráficas ; Histogramaó diagrama de barras ; Polígono de frecuencias ; Diagra-ma de Pastel ; Ojiva o curva de frecuencias ; Curva deLorenz ; Curvas de frecuencias ; Curva de la DistribuciónNormal ; Examen de Autoevaluación

CAP. 4.- MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 42La Media Aritmética; La Mediana; La Moda;Comparación de la Media, la Mediana y la Moda;Media Geométrica; Media Armónica; Media Ar-mónica para datos agrupados; Ejercicios Propuestos.

CAP. 5.- MEDIDAS DE DISPERSIÓN 60Medidas de Dispersión; Desviación estándar;Varianza; Cálculo de la Media y Desviación Estándar para Datos Agrupados; Interpretaciónpractica de la desviación estándar; EjerciciosPropuestos.

CAP. 6.- PROBABILIDAD 76Conjuntos y sus operaciones; ¿ Qué es EspacioMuestral ?; Sucesos Simples y Compuestos;Probabilidad; Axiomas de la Probabilidad;Análisis Combinatorio; Probabilidad Condicional;Independencia Probabilistica; Leyes de Probabili-dad; Ejercicios Propuestos.

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

1

CAP. 7.- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 98Distribución Binomial; Distribución de Poisson;Distribución Normal; Distribución t de Student;Ejercicos Propuestos.

APÉNDICE : TABLAS DE PROBABILIDADESTabla 1 Distribución Normal 115Tabla 2 Distribución t de Student 116Tabla 3 Distribución Binomial 117Tabla 4 Valores de e- x 119

BIBLIOGRAFÍA 120


2

PRESENTACIÓN

Tomando en consideración que los estudiantes deben contar con

los elementos necesarios para un curso, ya que esto les facilitaría el proceso

del aprendizaje, nos dimos a la tarea de elaborar los apuntes del curso de

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA en el Nivel Medio Superior, mismos

que se elaboraron tomando en consideración la bibliografía actualizada

existente en está área. El contenido de este libro se determino en base a los

programas que rigen en el Nivel Medio Superior en la Universidad de Colima.

En este cuaderno de apuntes se ha tratado de evitar al máximo las

demostraciones áridas, que en muchas ocasiones en lugar de aclarar,

obscurecen más el panorama del lector.

El objetivo del cuaderno de apuntes (La superación académica),

es ambicioso y sería presuntuoso afirmar que materiales como el presente lo

satisfacen. Con este material se pretende que al final el alumno tenga las

herramientas necesarias para concentrar y representar información, y al

mismo tiempo tenga las bases necesarias para posteriores cursos en el Nivel

Superior.

Esperamos que este cuaderno sea de utilidad tanto para los

alumnos como para los maestros, esperando de estos últimos sus comentarios

al utilizarlo.

LOS AUTORES


3

INTRODUCCIÓN

Para tratar de predecir el resultado de una elección nacional, los

encuestadores entrevistan a un número predeterminado de personas en todo el

país y registran sus preferencias. Sobre la base de esta información se

construye una predicción. Problemas similares se encuentran en

investigaciones de mercado, en sociología, en la industria, etc.

La producción de una planta química depende de muchos

factores. Observando estos factores y la producción durante cierto periodo de

tiempo, podemos construir una ecuación de predicción que relacione a la

producción con los factores observados. Si usamos esas ecuaciones para

predecir la producción, la predicción raramente será igual a la verdadera

producción, esto es, la predicción casi siempre tendrá algún error.

Encontramos problemas similares en los campos de la educación, la

sociología, la psicología, las ciencias físicas y muchas otras ciencias. A estos

predictores se les llama estadísticos de prueba, que son la base de toda

investigación y desarrollo científico. Además de la predicción, el estadístico

también sirve para tomar decisiones acerca de poblaciones a partir de

resultados obtenidos de investigaciones desarrolladas a muestras o pequeñas

partes de la población.

La Estadística es una ciencia que es de gran utilidad y en la

actualidad nos es mucho más difícil mencionar algún lugar en el que la

Estadística no se aplique que uno en el que tenga una gran importancia. Por

ejemplo, las Universidades podrían desear predecir el rendimiento promedio

de los estudiantes universitarios, para lo cual sería necesario utilizar la


4

Estadística. Podría desearse comparar dos técnicas de enseñanza físicamente

distintas; podríamos considerar la inspección de artículos comprados en una

fabrica en donde la inspección podría consistir en seleccionar diez artículos

de cada lote y registrar el número de defectuosos, en donde, la decisión de

aceptar o rechazar el lote, podría basarse en el número de defectuosos

encontrados.

Los ejemplos anteriores son una muestra de lo importante que

resulta ser el estudio de la Estadística, por lo que en el presente curso se

presenta una definición de Estadística y se da una relación que existe con la

Probabilidad para poder hacer toma de decisiones respecto de investigaciones

desarrolladas.

ESTADÍSTICA

Es un lenguaje universal de la ciencia tanto en sus ramas físicas

como sociales, la comunicación y el uso de la Estadística nos permiten

comunicar más exactamente los descubrimientos en las investigaciones. La

Estadística es también un instrumento que utilizado con cuidado y precisión

nos permite describir nuestros resultados y adoptar decisiones respecto a lo

que nos dicen.

Aprender Estadística es algo simple y se llega a su comprensión total

por medio de ejercicios; en la Estadística intervienen números y letras como

parte de su lenguaje, además, la Estadística posee significados diversos para

personas de formaciones e intereses diversos. El campo de la Estadística se

divide ampliamente en dos ramas, que son: La Estadística descriptiva y la

Estadística Inferencial.


5

La Estadística Descriptiva está dedicada a la recolección,

descripción y presentación de datos numéricos. La Estadística Inferencial se

refiere a las técnicas de interpretar los valores que se obtienen a partir de las

técnicas descriptivas, además de las técnicas de tomar decisiones sobre la

base de los datos obtenidos.

Estadística es la ciencia de recolectar, clasificar, describir e

interpretar datos numéricos.

USOS Y ABUSOS DE LA ESTADÍSTICA

Las aplicaciones de la Estadística son ilimitadas, pues sería más

difícil nombrar un campo en donde no se utiliza la Estadística, que señalar

uno en donde la Estadística desempeñe un papel importante. Ejemplos sobre

la utilización de la Estadística:

1.- En la Educación se usa mucho para describir resultados de pruebas.

2.- En la ciencia los datos obtenidos en experimentos deben recogerse y

analizarse estadísticamente para tomar una decisión.

3.- Los gobiernos utilizan la Estadística para la recolección de información en

sus diversos campos.

Los abusos de la Estadística suelen ser muy pintorescos y a veces

ocasionan muchas dificultades, a numerosas personas les preocupa la lejanía

de las descripciones estadísticas y a otras les preocupa toda la información

(dependiendo de sus necesidades) debido a que creen que es falsa, y sin

embargo, la mayoría de las mentiras estadísticas se deben a:

1.- La utilización de valores estadísticos inadecuados.

2.- Utilización de enunciados abiertos y no explícitos.


6

3.- Utilización de datos derivados de un diseño experimental defectuoso.

4.- Una mala presentación de resultados.

Todos estos factores comunes acarrean una sola consecuencia, que

es la mala concepción de la información por parte del investigador.

INTRODUCCIÓN A LOS TÉRMINOS BÁSICOS

Para estudiar Estadística debemos ser capaces de hablar su lenguaje,

por lo que definiremos primeramente sus términos básicos:

1.- POBLACIÓN : Colección completa de individuos, objetos o medidas que

tienen una característica en común, el concepto de Población es la idea

fundamental más importante de la Estadística. La Población debe definirse

cuidadosamente en cada caso a fin de poder determinar la preferencia de ella.

2.- MUESTRA : Es un subconjunto de la población, es decir, una Muestra se

compone de algunos de los individuos, objetos o medidas que componen la

población.

3.- VARIABLE DE RESPUESTA : Es una característica individual de cada

elemento de la población o de una muestra; por ejemplo: la edad de un

alumno al ingresar a la Universidad, el color del pelo, su estatura, su peso,

etc., son Variables de Respuesta y el valor de la variable será la medida de la

característica que interese.

4.- PIEZA DE DATOS : El valor de la variable de respuesta asociado con

cada elemento, será la Pieza de Datos, por ejemplo: el coche es verde, Jorge

ingresó a la Universidad a la edad de 23 años. Si nos damos cuenta estamos

asignando a cada elemento su variable o característica.


7

5.- DATOS : Comprende el conjunto de valores asignados a la variable de

respuesta para cada elemento perteneciente a la muestra.

6.- EXPERIMENTO : Es una actividad planificada cuyos resultados nos

producen un conjunto de datos.

7.- PARÁMETRO : Es una característica medida de una población completa,

por ejemplo: la proporción de alumnos de más de 21 años que ingresan a la

Universidad. En Estadística se asignan símbolos del alfabeto griego para

designar un Parámetro.

8.- ESTADÍSTICO : Es la medida de una característica relativa a la muestra,

al valor promedio de los datos y la imagen de éstos; la mayoría de los

Estadísticos muestrales se encuentran por medio de fórmulas y suelen

asignárseles símbolos del alfabeto latino.

Fundamentalmente existen dos clases de datos, los que presentan

información cualitativa y los datos consistentes en información cuantitativa.

Los que están dentro de los cualitativos se llaman Datos de Atributo, mientras

que los cuantitativos se dividen en Discretos y Continuos.

DATOS

CUALITATIVOS CUANTITATIVOS

ATRIBUTO DISCRETOS CONTINUOS


8

Los Datos de Atributo o Cualitativos son los que agrupan a una

muestra en características semejantes, pero no tienen medidas numéricas.

Los Datos Cuantitativos se dividen en:

Discretos : Son los datos que resultan de un conteo o una simple observación.

Continuos : Son los datos que se obtienen cuando la medida es un proceso

infinito.

RELACIÓN ENTRE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

La Probabilidad y Estadística son dos campos distintos aunque

relacionados entre sí, en las matemáticas, se dice a veces que la Probabilidad

es el vehículo de la Estadística es decir, de no ser por las leyes de

Probabilidad, no existirían las teorías estadísticas, así que investigaremos la

diferencia entre estas dos ramas del árbol matemático. Observaremos un

ejemplo o modelo de dos cajas:

10 FICHAS

5 ROJAS

PROBABILIDAD 3 VERDES ESTADÍSTICA ? ? ? ?

2 AMARILLAS

En la caja de Probabilidad hay 10 fichas ( 5 Rojas, 3 Verdes y 2

Amarillas ), en el terreno de la Probabilidad se intenta responder preguntas;

por ejemplo, ¿ Cuál es la probabilidad de que si se saca una ficha de la caja,

sea Roja ?, ¿ Cuál es la probabilidad de la ocurrencia de un evento ?, por otra


9

parte, dentro de la Estadística necesitaremos extraer una muestra de ella para

hacernos conjeturas sobre lo que en ella existe. Por lo que se podría decir

como diferencia bien marcada entre una y otra, lo siguiente: " La Probabilidad

estudia la oportunidad de que algo ocurra, cuando se conocen las

posibilidades; mientras que la Estadística pregunta, cuales son esas

posibilidades a partir de los resultados de una muestra ".

EXAMEN DE AUTOEVALUACIÓN

1.- ¿Qué es la Estadística?

2.- Dé tres ejemplos en donde se utilice la Estadística.

3.- Explique los factores que ocasionan un mal uso de la Estadística.

4.- Mencione los ocho términos básicos de la Estadística.

5.- Defina los siguientes términos en base a lo que usted comprenda:

Población, Muestra, Pieza de Datos, Parámetro.

6.- Mencione como se clasifican los datos y defínalos.

7.- ¿ Qué relación existe entre la Probabilidad y la Estadística?.

8.- Suponga que desea obtener una estimación del consumo de gasolina

(Km por litro) del FORD COUGAR. Describa la población que sería de

interés para usted, de la cual tendría que seleccionar la muestra.


10

9.- Un investigador médico desea estimar el tiempo de supervivencia de un

paciente después de la aparición de un tipo particular de cáncer y después de

un régimen particular de radioterapia. Identifique la población de interés para

el investigador médico. ¿ Puede percibir algún problema en el muestreo de

esta población ?

10.- Suponga que usted es un candidato para la legislatura y que desea

evaluar la opinión de los votantes respecto a sus posibilidades de ganar.

Identifique la población de interés para usted y de la cual desearía seleccionar

su muestra.


11

INTRODUCCIÓN

Como veremos más adelante, el análisis estadístico de datos

requiere numerosas operaciones aritméticas, y sería muy tedioso describir

todas estas operaciones con palabras. La solución de esta dificultad es

expresar las operaciones en términos de una o más fórmulas. Entonces, para

analizar un conjunto dado de datos muéstrales se sustituirían las mediciones

muéstrales en el conjunto apropiado de fórmulas.

Una de las operaciones mas comunes en el análisis estadístico de

datos es el proceso de sumas (adición). Por lo tanto necesitaremos un símbolo

para indicarle que sume las mediciones muéstrales, o que sume un conjunto

de números calculados a partir de las mediciones muéstrales. Este símbolo,

llamado sumatoria, puede ser muy familiar para algunos y completamente

nuevo para otros ( ).

A continuación presentaremos algunos conceptos necesarios para

la elaboración de cuadros estadísticos, conceptos como frecuencia, frecuencia

relativa, frecuencia acumulada, etc.

TOMA DE DATOS

Si tuviéramos la población frente a nosotros, ¿ cómo podríamos

describir este subconjunto grande de mediciones ?. Muchos textos se han

dedicado a los métodos de la estadística descriptiva, es decir, a los métodos

para describir conjuntos de datos numéricos.


12

Esencialmente estos métodos se pueden clasificar como métodos

gráficos y métodos numéricos. En este texto hablaremos de los dos métodos

para describir información, y comenzaremos con el método numérico, el cual

se basa esencialmente en la recolección de datos para presentarlos en un

cuadro estadístico, cuadro en el que nosotros podremos leer la información

que se encontraba dispersa en la muestra o población. En la actualidad es muy

común encontrarnos con cuadros estadísticos, y lo más general es la

presentación de información en los distintos medios de comunicación de las

posiciones que ocupan los distintos equipos en los diferentes deportes.

TÉCNICAS ESTADÍSTICAS

Las técnicas estadísticas, los gráficos, las distribuciones de

frecuencias, promedios, etc., son términos de indudable valor práctico para la

descripción de los datos. Sin embargo la mayor utilidad estadística se

encuentra en el análisis de los datos numéricos.

El análisis de los datos numéricos por técnicas estadísticas es

una expresión abstracta. La característica esencial común a todas las técnicas

es el elemento de inferencia estadística, que se define como un proceso de

inducción lógica, que partiendo de los datos establece un juicio sobre todo el

conjunto, obteniéndose una medida de la incertidumbre para la consecuencia

que se infiere. Por ejemplo; consideremos el problema de estimar la

proporción de votos a favor de una determinada propuesta o candidato, se

toma una muestra de los votantes y se calcula la proporción de los que lo

hacen a favor de un sólo candidato, suponiendo que el 60% de la muestra


13

vota a favor de un candidato, entonces, se infiere que el 60% de todos los

votantes están a favor de ese candidato.

En otras palabras, hay un grado de incertidumbre vinculado a la

conclusión cuya medición se obtiene aplicando las técnicas estadísticas. La

Estadística reúne un conjunto de procedimientos para describir y analizar los

datos de diversas disciplinas, ésta debe ser neutral y por ello puede emplearse

la misma técnica de muestreo en economía, finanzas, educación, ingeniería,

y otras. Sin embargo, la Estadística ha elaborado técnicas peculiares para

cada campo de aplicación.

Por lo que podemos concluir que las TÉCNICAS-

ESTADÍSTICAS se basan en: la recolección de datos, los gráficos, las

frecuencias, los promedios, etc. En los negocios la Estadística ha

desarrollado técnicas como las de: Índices de Precios, Sucesiones, Series de

Tiempo, y otras. En las ciencias biológicas alcanzan el más alto nivel e

interés las técnicas para el diseño de experimentos. Mientras que en la

Industria se desarrollan técnicas para el control de calidad.

Así como se enunciaron anteriormente algunas ramas en las que

tiene aplicación la Estadística y en las cuales se han desarrollado técnicas

peculiares para cada una, podríamos mencionar algunas otras, pero con la

práctica nos daremos cuenta de cómo es el desarrollo en ellas.

FRECUENCIAS

Antes de comenzar con la distribución de frecuencias, será

conveniente definir el vocablo Frecuencia, ya que se ha mencionado con


14

anterioridad, sin embargo, no ha sido definido. Así mismo se hará una

clasificación de los tipos de frecuencias utilizados en la Estadística.

FRECUENCIA: Es el número total de repeticiones de un

elemento determinado, en una muestra o población. Existen varios tipos de

frecuencias a saber: Frecuencia de clase, Frecuencia relativa, Frecuencia

acumulada, Frecuencia relativa acumulada, etc. Para los objetivos que se

persiguen en este curso, definiremos las frecuencias de datos agrupados.

FRECUENCIA RELATIVA: Es el tanto por ciento o porcentaje

correspondiente a cada intervalo de clase. La manera de obtenerla es

dividiendo el número de elementos de esa clase entre el número total de

elementos de la muestra o población. La frecuencia relativa tiene gran

utilidad, ya que puede especificarnos el porcentaje de ocurrencia de un evento

dentro de una muestra, la elaboración de gráficas estadísticas, etc.. Por

ejemplo: la distribución de presupuestos por áreas, el porcentaje de

producción de ciertos productos, la distribución por edades de ciertas

poblaciones, etc.

FRECUENCIA ACUMULADA: Esta frecuencia se obtiene al sumar a

la frecuencia de cada clase, las frecuencias de las clases anteriores a ella. Las

frecuencias de las demás clases serán la suma sucesiva de las frecuencias de

las clases anteriores, de tal forma que en la última clase se tendrá una

frecuencia igual al tamaño de la muestra o población.

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA: Se sigue el mismo

procedimiento que en la frecuencia acumulada, sólo que en este caso se toma

como base la frecuencia relativa, expresándose como porcentaje.


15

CONCEPTO DE VARIABLE

Consideremos la desigualdad X + 2 > 5, los valores de X que

satisfacen dicha desigualdad son todos los valores mayores que 3, dado que:

X + 2 > 5

X > 5 - 2

X > 3

como X > 3, entonces X puede ser: 4, 5, 6, ...

X se llama variable porque toma distintos valores posibles

dentro de la desigualdad ( por lo que se dice que una variable es aquella que

puede tomar distintos posibles valores dentro de un suceso ).

Desde los tiempos más remotos dos tendencias opuestas, a veces

colaborando la una con la otra, han gobernado todo el desarrollo de la

matemática. Estas dos son el dominio de lo continuo y lo discreto. Una de las

grandes tareas de la matemática actual consiste en armonizar lo continuo y lo

discreto para incluirlos en una matemática única y para iluminar la oscuridad

de ambas.

Siguiendo con el concepto de variable, veremos que una variable

discreta es una regla bien definida para asignar valores numéricos a todos los

resultados posibles de un experimento. Lo anterior significa que una variable

aleatoria discreta es aquella que se asocia a todo experimento siempre y

cuando el conteo sea finito o infinito numerable y con datos numéricos

enteros.

Una variable continua es aquella cuyos valores posibles no tienen

interrupción, es decir, son aquellos valores que podemos obtener no mediante

un conteo o simple observación, si no mediante observaciones más concretas


16

y sus valores son no numerables (Los Reales). Veamos algunos ejemplos

sobre lo anterior:

a) Los posibles resultados de lanzar un dado normal.

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Es discreto por poderse obtener por un conteo.

b) Lanzar una moneda normal hasta que caiga sol.

S = { 1, 2, 3, 4, ... , n }

Es discreto por ser un proceso infinito numerable.

c) La cantidad de descargue de un Río hacia el Océano.

Es continua, ya que es imposible determinarlo por un conteo o por

una simple observación, y se requiere de un método más concreto para

estimarlo.

INTERVALOS

Es importante que repasemos un concepto ya manejado en

matemáticas, como es el de INTERVALO, ya que con el será necesario

trabajar en la formación de cuadros estadísticos, en donde hablaremos de

intervalos de clases, por lo que definimos lo siguiente:

“ Un intervalo de clase es aquel que contiene a una cierta

cantidad de elementos de la muestra o población ”, por ejemplo, el número de

alumnos que obtienen una calificación entre 5 y 8, en este ejemplo, el

intervalo es [5, 8], y como frecuencia contendrá a todos los alumnos que


17

hayan obtenido esas calificaciones, el 5 recibe el nombre de límite inferior

del intervalo y el 8 el de límite superior del intervalo. En la construcción de

cuadros estadísticos será necesario este concepto en la formación de clases.

CUADRO ESTADÍSTICO

El cuadro estadístico más usual es aquél en el que se representa

el número total de clases o de variables, con el número de elementos

correspondientes a cada uno, llamándose a esto frecuencia, así mismo,

veremos cuadros estadísticos en los que tendremos frecuencias acumuladas

(Suma de los elementos anteriores a la clase), frecuencia relativa (porcentaje

de cada clase con respecto a la muestra), frecuencia relativa acumulada,

marcas de clases, desviaciones medias, mediana, etc.

A continuación se presenta una forma de distribución en un

cuadro estadístico:

CLASE o VARIABLE

FRECUENCIA FRECUENCIA ACUMULADA

FRECUENCIA RELATIVA

FREC. REL. ACUMULADA

30 - 36 6 6 6/14 6/1437 - 43 5 11 5/14 11/1444 - 50 3 14 3/14 14/14TOTAL 14 14/14

A continuación se muestra un conjunto de datos, con los que

vamos a elaborar un cuadro estadístico:

30 42 50 73 60 6338 27 67 83 70 6352 83 97 49 83 7330 35 63 59 84 7584 90 80 95 85 68


18

Para formar un cuadro estadístico es necesario primeramente

ordenar todos los elementos de la muestra en forma ascendente, para después

agruparlos en clases.

27 42 60 67 75 8430 49 60 68 80 8530 50 63 70 83 9035 52 63 73 83 9538 59 63 73 83 97

Para elegir el número de clases se deben observar ciertos

criterios; se debe evitar que queden demasiados elementos en una clase, así

como también clases sin elementos. Una clase con demasiados elementos

oculta información que en ocasiones es indispensable para el estadístico y una

clase vacía ocasiona problemas a la hora de calcular las medidas estadísticas.

Se recomienda un mínimo de 5 clases y un máximo de 20 clases,

dependiendo del número de elementos de la muestra y de lo disperso que se

encuentren. Es recomendable tomar entre 5 y 9 clases cuando la muestra

cuenta con menos de 50 elementos y entre 10 y 20 cuando tenga más de 50

elementos.

Para obtener el número de clases existen dos formas, una

conocida como forma empírica y otra de fórmula general. A continuación

enunciaremos la forma empírica:

Número de Clases = ClasedeIntervalo

1mínimoElemento-máximoElemento


19

En este caso, dependiendo del número de elementos con que

cuente la muestra, se elige un Intervalo de clase y se realiza la operación

anterior para obtener el número de clases que se deben de colocar en el cuadro

estadístico, pero pudiese en lugar de elegir el Intervalo de clase, escogerse el

número de clases que se desean, entonces se aplicaría la siguiente fórmula:

Intervalo de Clase = ClasesdeNúmero

1mínimoElemento-máximoElemento

Ahora bien, si no se desea de esta manera se utiliza la fórmula

general, la cual se aplicará de la siguiente manera:

Si se tienen menos de 50 elementos en la muestra, el número de

clases se obtiene con la siguiente fórmula:

No. de Clases = 1 + 3.3 log N

pero si se tienen más de 50 elementos, entonces se utiliza:

No. de Clases = 3 + 3.3 log N

Continuando con el ejemplo anterior, procedemos a calcular el

número de clases en forma empírica para elaborar el cuadro estadístico.

Como el número de elementos es 30, escogemos un número en

forma aleatoria para el Intervalo de Clase o Amplitud de Clase de 9. Ahora

bien, aplicando la fórmula presentada para el número de clases, tenemos:

No. de clases = Elem. Má x. - Elem. Mín. + 1

Int. de Clase=

97 - 27 + 1

9=

71

9= 7.88

como podemos ver tenemos 7.88 clases, pero debido a tener una porción de

una clase más, debemos incrementar o redondear a el inmediato superior,


20

teniendo entonces que el número de clases a utilizar será de 8 clases ya que

si utilizáramos 7 clases, tendríamos al final un valor que no entraría en el

número de clases escogidas para la colección de datos.

Para hacer una comparación entre el método empírico y la forma

general, aplicaremos la fórmula.

No. de clases = 1 + 3.3 log N

teniéndose al sustituir N = 30 lo siguiente:

No. de clases = 1 + 3.3 log(30)

= 1 + 3.3 (1.4771)

= 1 + 4.87 = 5.87

en este caso aproximaríamos a 6 clases y procederíamos a calcular el

Intervalo de Clase o Amplitud de Clase. El hecho de que en un procedimiento

se tengan 8 clases y en el otro 6 clases no afecta a los cálculos que el

estadístico hará, con lo que podemos decir que el estadista utilizará el método

que considere más práctico para sus fines.

Para elaborar el cuadro estadístico es necesario formar los

intervalos de clases, por lo que debemos escoger los límites inferior y superior

de los intervalos de clase de la siguiente manera: En la primera clase

tomamos el menor elemento de la colección de datos como el límite inferior

de esta clase, que es 27, para obtener el límite superior de la primera clase

debemos sumar 9 a el 27 debido a que el Intervalo de Clase es 9 (por que

estamos utilizando el método empírico ), teniéndose entonces que el límite

superior de la primera clase es 35. De esta manera tenemos que el Intervalo de

Clase de la primera clase es de 27 a 35, en este intervalo aparentemente


21

tenemos un intervalo de clase de 8, sin embargo debemos tomar en cuenta que

los extremos del intervalo están incluidos en él, teniéndose que del número 27

a el número 35 existen 9 unidades, que para mayor entendimiento lo

desarrollamos a continuación.

27 28 29 30 31 32 33 34 35

en donde claramente se ve que son 9. Ahora bien, para obtener el conteo de

cada intervalo o frecuencia de clase, debemos observar en la colección

original de datos cuantos elementos se encuentran en ese intervalo,

teniéndose que en este intervalo se encuentran los siguientes elementos de la

colección de datos, 27, 30, 30 y 35.

Para formar el Intervalo de Clase de la clase 2, tomamos el

inmediato superior a el límite superior de clase de la primera clase para

obtener el límite inferior de clase de la segunda clase ( Si la colección de

datos son números enteros, se suma uno a el límite superior de clase para

obtener el límite inferior de la clase siguiente, si la colección de datos es en

decimales se suma una unidad correspondiente a los decimales), por lo tanto

el intervalo de clase de la clase 2 inicia en 36 que al sumarle 9 y restarle 1

debido a que están incluidos los extremos tenemos que el límite superior de la

clase dos es 44 y en este intervalo los elementos de la colección original que

se encuentran son 38 y 42.

De la misma forma que se obtuvieron los intervalos de clase de

las clases 1 y 2 lo hacemos para las clases restantes de esta colección de datos.


22

Anteriormente en este capítulo definimos los conceptos de

frecuencia, frecuencia acumulada, frecuencia relativa y frecuencia relativa

acumulada, por lo tanto procederemos a explicar como se obtiene cada una

para poder terminar con nuestro cuadro estadístico. Para obtener la frecuencia

acumulada se deben tomar como referencia los límites superiores de clase; de

lo anterior tenemos que hasta el límite superior de la clase 1 (35) existen 4

datos; hasta el límite superior de la clase 2 (44) los datos que van son 6; para

el límite superior de la clase 3 (53) los datos acumulados de las clases es 9 y

asi sucesivamente hasta la última clase que deberá contener a la totalidad de

elementos. Con la explicación anterior concluimos que la frecuencia

acumulada se obtiene sumando a la frecuencia de clase la frecuencia de las

clases anteriores.

En lo que se refiere a la frecuencia relativa, tenemos que en cada

clase debemos especificar en razón a cuantos elementos tiene el intervalo de

clase con respecto a la colección total de datos, para el intervalo de clase 1

tenemos que la razón de elementos es 4/30 ( 4 de 30 ), para el intervalo de

clase 2 la razón es 2/30 ( 2 de 30 ) y así sucesivamente hasta la última clase.

Para las frecuencias relativas acumuladas se tienen que obtener las razones

acumuladas en cada intervalo de clase especificando que la última clase

deberá contener al total de elementos, por lo cual deberá aparecer la unidad.

Un punto más que debe aparecer en el cuadro estadístico es la

marca de clase, la cual nos servirá para elaborar las gráficas estadísticas en el

capítulo 3. La marca de clase se obtiene sumando el límite inferior de clase

con el límite superior de la misma clase y dividiendo entre dos, así para el


23

intervalo de clase 1, su marca de clase es 27 35

231

, para el intervalo de

clase 2 su marca de clase es 40 y así sucesivamente.

En base a todos los datos obtenidos anteriormente, procedemos a

desarrollar nuestro cuadro estadístico, el cual queda de la siguiente manera:

Número de

Clase

Intervalo de Clase

Frecuencia Frecuencia Acumulada

Frecuencia Relativa

Frecuencia Rel. Acum.

Marca de Clase

1 27 - 35 4 4 4 / 30 4 / 30 312 36 - 44 2 6 2 / 30 6 / 30 403 45 - 53 3 9 3 / 30 9 / 30 494 54 - 62 3 12 3 / 30 12 / 30 585 63 - 71 6 18 6 / 30 18 / 30 676 72 - 80 4 22 4 / 30 22 / 30 767 81 - 89 5 27 5 / 30 27 / 30 858 90 - 98 3 30 3 / 30 30 / 30 94

Totales 30 30 / 30

Cuando se obtienen más de 20 clases por el método empírico al

escoger aleatoriamente el Intervalo de Clase o Amplitud de Clase, entonces

se recomienda usar el método general, debido a que se pueden obtener malos

resultados a causa de la dispersión de datos que existirá entre ellos.

Ejemplo: Con la siguiente distribución:

6 42 49 6 52 36 8 32 33 9

53 33 12 31 41 8 50 50 23 41

32 11 49 10 15 28 31 13 48 9

17 9 27 15 41 32 7 28 17 13

47 6 35 47 15 53 5 42 53 27

que nos muestra las edades de una comunidad, elaborar: Un cuadro

estadístico, especificando las Clases, Frecuencia, Frecuencia Relativa y la

Frecuencia Acumulada.


24

Primero ordenamos los datos:

5 8 10 15 23 31 33 41 47 506 8 11 15 27 31 33 41 48 526 9 12 15 27 32 35 42 49 536 9 13 17 28 32 36 42 49 537 9 13 17 28 32 41 47 50 53

ahora calculamos el Intervalo de Clases eligiendo un número de

clase igual a 9

Intervalo de Clase = (53 - 5 + 1) / 9 = 5.44

con estos datos elaboramos el cuadro estadístico, con 9 clases y un Intervalo

de Clase de 6.

# Clase Int. Clase Frecuencia Frec. Acum. Frec. Rel. Frec. R. A. Marca de Clase

1 5 - 10 11 11 0.22 0.22 7.5

2 11 - 16 7 18 0.14 0.36 13.5

3 17 - 22 2 20 0.04 0.40 19.5

4 23 - 28 5 25 0.10 0.50 25.5

5 29 - 34 7 32 0.14 0.64 31.5

6 35 - 40 2 34 0.04 0.68 37.5

7 41 - 46 5 39 0.10 0.78 43.5

8 47 - 52 8 47 0.16 0.94 49.5

9 53 - 58 3 50 0.06 1.00 55.5

Totales 50 1.00

Para elaborar las gráficas estadísticas es necesario conocer

además de la marca de clase, los límites reales de clases.

L.R.C. =2

1)(n ClaseladeInf.Lim.(n)ClaseladeSup.Lim.

( L.R.C. = Límite Real de Clase )


25

CUADRO ESTADÍSTICO CON LIMITES REALES DE CLASE

Número de Clase

Intervalo de Clase

Intervalo de Clase con Limites Reales

Frecuencia Marca de Clase

1 5 - 10 4.5 - 10.5 11 7.52 11 - 16 10.5 - 16.5 7 13.53 17 - 22 16.5 - 22.5 2 19.54 23 - 28 22.5 - 28.5 5 25.55 29 - 34 28.5 - 34.5 7 31.56 35 - 40 34.5 - 40.5 2 37.57 41 - 46 40.5 - 46.5 5 43.58 47 - 52 46.5 - 52.5 8 49.59 53 - 58 52.5 - 58.5 3 55.5

En el capítulo tres veremos de la necesidad de utilizar cuadros

estadísticos como el anterior para la elaboración de gráficas estadísticas. A

continuación presentamos una serie de ejercicios resueltos referentes a este

capítulo.

* Evalué las siguientes sumas:

a) (y - 4) =y = 0

5

b) (yy = 2

6

2 - 5) =

c)i = 1

4

(yi - 2) = d) (y + 2i) =i = 1

3

a) (y - 4) =y = 0

5

(0 - 4) + (1 - 4) + (2 - 4) + (3 - 4) + (4 - 4) + (5 - 4)

= - 4 - 3 - 2 - 1 + 0 + 1 = - 9

como podemos observar, se fue sustituyendo en el lugar de y el valor

consecutivo desde el cero hasta el máximo valor que era el 5. Lo hecho

anteriormente es similar para los incisos b), c) y d).


26

b) (yy = 2

6

2 - 5) = (4 - 5) + (9 - 5) + (16 - 5) + (25 - 5) + (36 - 5)

= - 1 + 4 + 11 + 20 + 31 = 65

c) i = 1

4

(yi - 2) = (y1 - 2) + (y2 - 2) + (y3 - 2) + (y4 - 2)

= y1 + y2 + y3 + y4 - 8

d) (y + 2i) =i = 1

3

[y + 2(1)] + [y + 2(2)] + [y + 2(3)] = 3y + 12

* Si y es la variable de posición de una sucesión y la

fórmula para el elemento típico es y2 - 1:

a) Escriba los primeros cuatro elementos de la sucesión.

Los primeros cuatro elementos son:

si y = 1 entonces : (1)2 - 1 = 0 primer elemento

si y = 2 entonces : (2)2 - 1 = 3 segundo elemento

si y = 3 entonces : (3)2 - 1 = 8 tercer elemento

si y = 4 entonces : (4)2 - 1 = 15 cuarto elemento

b) Use el signo de sumatoria para escribir una expresión para la suma de

los primeros cuatro elementos. La fórmula de sumatoria es :y = 1

4

(y2 - 1)

c) Encuentre la suma de los primeros cuatro números.

y = 1

4

(y2 - 1) = [(1)2 - 1] + [(2)2 - 1] + [(3)2 - 1] + [(4)2 - 1]

= 0 + 3 + 8 + 15 = 26


27

* Para estimar la pérdida semanal debida a robos, una tienda

de ropas registró el total en nuevos pesos de las pérdidas durante un período

de 10 semanas. Estas pérdidas, redondeadas a la decena más cercana fueron:

y1 = 360.00 y2 = 430.00 y3 = 210.00 y4 = 320.00 y5 = 550.00

y6 = 170.00 y7 = 240.00 y8 = 370.00 y9 = 280.00 y10 = 290.00

a) Encuentre i = 1

10

yi = 360 + 430 + 210 + 320 + 550 + 170 + 240 + 370

+ 280 + 290 = 3,220.00

b) Encuentre: i) i = 2

4

yi ii) i = 2

4

yi2

i)i = 2

4

yi = 430.00 + 210.00 + 320.00 = 960.00

ii)i = 2

4

yi2 = (430.00)2 + (210.00)2 + (320.00)2 = 331,400.00

* Dados el siguiente conjunto de elementos:

16 19 17 8 11 9 14 811 13 19 17 7 6 5 916 8 9 13 12 17 16 149 16 15 18 6 8 5 716 17 13 9 7 5 7 11

elaborar un cuadro estadístico en el podamos observar la frecuencia,

frecuencia acumulada, frecuencia relativa, frecuencia relativa acumulada,

marca de clase, amplitud de clase y límites reales de clase.

Primero procederemos a ordenar los datos presentados

anteriormente:

5 7 8 9 11 14 16 175 7 8 9 12 14 16 175 7 8 9 13 15 16 186 7 9 11 13 16 17 19


28

6 8 9 11 13 16 17 19

como tenemos 40 elementos en la muestra, aplicaremos la fórmula de menos

de 50 elementos:

Num. de Clases = 1 + 3.3 log N

Num. de Clases = 1 + 3.3 log (40)

Num. de Clases = 1 + 3.3(1.602)

Num. de Clases = 1 + 5.28 = 6.28

como tenemos 6.28 clases, redondeamos al inmediato inferior, por lo que

utilizaremos 6 clases para la distribución anterior. Con 6 clases, el intervalo

de clase será:

Int. de Clase = ( 19 - 5 + 1 ) / 6 = 2.5

como el intervalo de clase es un número no entero, utilizaremos 3 como

intervalo de clase, y entonces el número de clases será 5, quedando nuestro

cuadro estadístico de la siguiente manera:

# de C Intervalo de Clase

Int. Clase Lim. Real

Frecuencia Frecuencia relativa

Frecuencia Acumulada

Frec. Rel. Acumulada

Marca de Clase

1 5 - 7 4.5 - 7.5 9 0.225 9 0.225 6

2 8 - 10 7.5 - 10.5 9 0.225 18 0.450 9

3 11 - 13 10.5 - 13.5 7 0.175 25 0.625 12

4 14 - 16 13.5 - 16.5 8 0.200 33 0.825 15

5 17 - 19 16.5 - 19.5 7 0.175 40 1.000 18

Totales 40 1.000

los límites reales se obtuvieron aplicando la relación de la página 23 vista en

este capítulo.


29

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Defina los siguientes conceptos:

a) Frecuencia

b) Frecuencia Relativa

c) Cuadro Estadístico.

d) Amplitud de Clase.

2.- Las calificaciones de 50 alumnos de la materia de Matemáticas son:

2 8 5 2 7 2 5 5 5 6

1 6 2 3 6 7 7 6 3 3

4 3 4 8 1 4 5 2 7 5

5 4 4 6 6 3 8 3 7 1

8 8 3 2 3 8 6 2 7 2

Formar un cuadro estadístico con toda la información manejada

en este capítulo.

3.- Evalúe las siguientes sumas:

a)y = 1

3

y3

b)x = 1

3

( 1 + 2x + x2 )

c)x = 0

3

( x3 + 2x )


30

INTRODUCCIÓN

Es natural introducir los métodos gráficos para describir

conjuntos de datos a través de la consideración de un conjunto real de datos.

Anteriormente vimos el análisis de datos por métodos numéricos, métodos

con los que nosotros podemos leer información respecto a promedios,

poblaciones, etc. En los cuadros estadísticos se habló de clases y variables,

ahora podremos representar gráficamente esas clases o variables y a ello es lo

que llamaremos métodos estadísticos gráficos. Note que en los extremos de

los subintervalos o clases se han escogido de manera que ningún elemento

coincida con dos subintervalos o clases a la vez, eliminando así cualquier

ambigüedad relacionada con la ubicación de una observación particular. Justo

con los cuadros estadísticos vistos en el capítulo anterior es con los que

deberemos elaborar nuestras gráficas estadísticas para el desarrollo de los

métodos gráficos.

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

En muchos casos una representación gráfica de una tabla de

frecuencias da una información concisa y clara de una distribución de

frecuencias. Son cuatro los tipos de representaciones gráficas más usuales,

también existen dos tipos de representación gráfica no muy común y que sin

embargo se deben de conocer; las representaciones gráficas son :

1.- Histograma ó Diagrama de Barras.

2.- Polígono de frecuencias.

3.- Diagrama de Pastel.

4.- Ojiva o Curva de frecuencias.


31

Los dos tipos de gráficas no muy usuales son:

1.- Curva de Lorenz.

2.- Curva de la distribución Normal.

HISTOGRAMA ó DIAGRAMA DE BARRAS

Es aquel en el que se representan los datos mediante un plano

coordenado, en el eje horizontal o de abcisas anotaremos la amplitud de clase

o valor de la variable, mientras que en el eje vertical o de ordenadas se

anota el número de elementos o frecuencias de clase; existen dos formas de

presentar un histograma, por ejemplo, utilizando los datos del siguiente

cuadro tendríamos:

Int. de Clase 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 Total

Frecuencia 4 6 8 12 8 8 4 50

PRIMERA FORMA


32

SEGUNDA FORMA

POLÍGONO DE FRECUENCIAS

Se obtiene relacionando la marca de clase (punto medio de cada

intervalo) con su frecuencia respectiva. Ahora bien, para poder formar el

polígono de frecuencias es necesario tomar una clase antes de la primera clase

y una clase después de la última clase ambas con frecuencia cero, de esta

manera al unir todos los puntos de relación marca de clase con frecuencia

quedara formado el polígono respectivo. Veamos un polígono de frecuencias

en base al siguiente cuadro estadístico. Las marcas de clase se obtienen como

se menciono en el capítulo 2.

Int. de Clase 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 Total

Frecuencia 4 6 8 12 8 8 4 50

Marca de Clase 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5


33

DIAGRAMA DE PASTEL

Este diagrama se forma con la distribución de frecuencias

relativas y se llama así debido a su configuración, la forma de obtener las

rebanadas que le dan la forma de un pastel es multiplicando la frecuencia

relativa por 360 grados que es el número de grados que tiene una

circunferencia, su configuración es la siguiente:

Extracción de el estudiante Z. Urbana Z. Suburbana Z. Rural TotalesFrecuencia 240 1400 360 2000Porcentaje ( % ) 12 70 18 100


34

OJIVA O CURVA DE FRECUENCIA ACUMULADA

Esta gráfica y distribución nos sirve para saber o poder

responder preguntas como las siguientes:

a) ¿Cuántos alumnos reciben calificaciones superiores a 60?

b) ¿Cuántos alumnos tienen calificaciones inferiores a 60?

Estas interrogantes en las que se desea conocer la frecuencia por

encima o por debajo de cierto valor de la variable, son preguntas muy visuales

en los distintos campos de la ciencia.

Variable Frecuencia Frec. Acum.40 0 050 3 360 1 470 2 680 3 990 1 10

Totales 10

Si hiciéramos un histograma de frecuencias obtendríamos la

siguiente gráfica:


35

En base al mismo cuadro estadístico elaboraremos a continuación

un histograma de frecuencias acumuladas.

Sobre el mismo histograma de frecuencia acumulada podríamos

formar la curva u Ojiva, que es otra gráfica característica de la Estadística

Descriptiva, la cual se forma de la siguiente manera:

a).- Se eligirán los ejes coordenados en los cuales se especifica-

rán la clase (o variable) y la frecuencia acumulada.

b).- Si se trabaja con clases, para la formación de la Ojiva

utilizaremos los limites superiores de clase, mientras que si trabajamos con

variables, utilizaremos el punto donde se localiza la variable.

Tanto el histograma de frecuencia acumulada como la Ojiva son

utilizados en los cuadros estadísticos por clases o variables, veamos la gráfica

de una Ojiva.


36

Existe una curva más sobre frecuencia acumulada que toma el

nombre de Curva de Lorenz. La elaboración de esta curva se realiza de la

misma manera que la Ojiva, sólo que la unión entre puntos son líneas rectas,

además, de que se cierran los cuadros quedando la gráfica de la manera

siguiente:


37

Está curva no es muy utilizada en el campo de las Ciencias

Sociales, sin embargo, es muy importante dentro de las investigaciones en

Física, Matemáticas, Fisiología, Ingeniería, etc.

Las curvas de frecuencias son representaciones graficas de

distribuciones de frecuencias teóricas. Ciertas formas de curvas de

frecuencias reciben nombres específicos que guardan correspondencia con

tipos específicos de distribuciones de frecuencias. Existen cuatro tipos de

distribución correspondientes a estos tipos específicos, que son: La

distribución Rectangular, La distribución Normal, La distribución Asimétrica

y La distribución Bimodal. En este cuaderno hablaremos de la distribución

Normal o curva acampanada ya que será utilizada más adelante.

DISTRIBUCION NORMAL

Es una distribución simétrica alrededor de la media, con una

curva de frecuencias en forma acampanada; es la principal distribución

dentro de la Estadística Inferencial, más adelante en el capítulo siete esta

distribución será tratada con más detalle, su representación gráfica es:

A continuación se muestra un conjunto de datos, con los que

vamos a elaborar las graficas estadísticas que se mencionaron: un histograma,

un polígono de frecuencias, un diagrama de pastel y una ojiva.


38

30 42 50 73 60 6338 27 67 83 70 6352 83 97 49 83 7330 35 63 59 84 7584 90 80 95 85 68

Basándonos en que se trata del ejercicio presentado en el capítulo

anterior para la formación de un cuadro estadístico, procederemos a colocar

nuevamente dicho cuadro, el cual queda de la siguiente manera:

Número de

Clase

Intervalo de Clase

Frecuencia Frecuencia Acumulada

Frecuencia Relativa

Frecuencia Rel. Acum.

Marca de Clase

1 27 - 35 4 4 4 / 30 4 / 30 31

2 36 - 44 2 6 2 / 30 6 / 30 40

3 45 - 53 3 9 3 / 30 9 / 30 49

4 54 - 62 3 12 3 / 30 12 / 30 58

5 63 - 71 6 18 6 / 30 18 / 30 67

6 72 - 80 4 22 4 / 30 22 / 30 76

7 81 - 89 5 27 5 / 30 27 / 30 85

8 90 - 98 3 30 3 / 30 30 / 30 94

Totales 30 30 / 30

Basándose en el cuadro anterior, se procede a formar las gráficas estadísticas.

a) HISTOGRAMA


39

b) POLÍGONO DE FRECUENCIAS

c).- CÁLCULOS PARA OBTENER EL DIAGRAMA DE PASTEL

Num. de Clase Frecuencia Relativa Frecuencia Relativa x 360 Grados por Clase

1 0.133 0.133 x 360 48

2 0.067 0.067 x 360 24

3 0.100 0.100 x 360 36

4 0.100 0.100 x 360 36

5 0.200 0.200 x 360 72

6 0.133 0.133 x 360 48

7 0.167 0.167 x 360 60

8 0.100 0.100 x 360 36


40

d) O J I V A

frec. 30

26.5 35.5 44.5 53.5 62.5 71.5 80.5 89.5 98.5

Límites superiores de las clases

EXAMEN DE AUTOEVALUACIÓN

1.- Explique la elaboración de las siguientes gráficas estadísticas :

a) Histograma.

b) Diagrama de Pastel.

c) Pictograma

d) Polígono de Frecuencias

2.- Las calificaciones de 50 alumnos de la materia de Matemáticas son:

2 8 5 2 7 2 5 5 5 61 6 2 3 6 7 7 6 3 34 3 4 8 1 4 5 2 7 55 4 4 6 6 3 8 3 7 18 8 3 2 3 8 6 2 7 2

a) Formar un cuadro estadístico.


41

b) Construir un Histograma.

c) Construir un Polígono de Frecuencia.

d) Graficar una Ojiva.

e) Construir un Diagrama de Pastel.

3.- Con las siguientes estaturas de los estudiantes de un grupo de la Fac. de

Derecho:

1.87 1.79 1.75 1.90 1.84 1.82 1.77 1.851.73 1.98 1.87 1.81 1.79 1.85 1.89 1.901.77 1.83 1.91 1.94 1.79 1.80 1.92 1.841.76 1.85 1.82 1.91 1.90 1.87 1.86 1.911.91 1.89 1.86 1.86 1.97 1.78 1.74 1.76

a) Construir un Cuadro Estadístico.

b) Elaborar las cuatro gráficas estadísticas más usuales.


42

LA MEDIA ARITMÉTICA

También se le conoce como promedio; es la suma de todos los

elementos dividida entre el número total de ellos. Matemáticamente se

representa de la siguiente manera:

" Sea X una variable; X1, X2, . . . , Xn , la población generada

por X, el promedio de la población será :

Xi

ni=1

n

(1)

Existen dos tipos de medias, la Media Poblacional que se

representa con la letra griega " ", y la Media Muestral que se representa con

una X testada " X ", ambas se obtienen de la misma forma. La Media

Aritmética es una medida que se utiliza para describir poblaciones, por

ejemplo:

1.- La vida media de una pila es cierto número de horas.

2.- La calificación promedio de los estudiantes de un grupo.

3.- El gasto promedio de gasolina por kilómetro recorrido en un auto.

4.- El salario medio de los empleados de una empresa.

5.- La altura media de los jugadores de un equipo de básquetbol.

Una característica de la Media Aritmética que debe tenerse en

cuenta cuando se describe una población es que esta medida es afectada por

los valores extremos de la muestra o población. Así por ejemplo: Si se le

pide a un empresario que informe sobre el salario promedio de los


43

trabajadores de su empresa, esta información se verá totalmente afectada si

en el cálculo se incluye su propio salario y el de sus trabajadores de más alta

jerarquía, ya que elevaría el salario promedio, en caso contrario, al calcular el

salario promedio de los ejecutivos, no se incluiría el sueldo de los intendentes,

porque esto bajaría el salario promedio de estas personas. La Media

Aritmética es una buena medida descriptiva de una población, si los datos de

ésta no se encuentran muy dispersos. Veamos a continuación algunos

ejemplos.

* Obtenga la media aritmética o promedio de las calificaciones de

un grupo de 18 alumnos en la materia de Filosofía, las calificaciones de los

alumnos son:

7 9 6 9 4 8 5 8 7

6 9 8 5 7 5 8 4 7

para obtener la media aritmética de los datos anteriores, debemos aplicar la

fórmula (1), teniéndose entonces que :

X = 2 4 3 5 2 6 4 7 4 8 3 9

18

122

186 77

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

teniéndose entonces que el promedio de los alumnos es: X = 6.77

* Si la estatura de 12 jugadores de Básquet Bol de la

Universidad de Colima son:

1.97 1.92 1.84 1.86 1.88 1.921.82 1.85 1.94 1.87 1.80 1.93

¿cuál es la estatura promedio de los 12 jugadores?


44

Aplicando la misma fórmula (1), tenemos que la media aritmética o

estatura promedio es:

X =1.80 + 1.82 + 1.84 + 1.85 + 1.86 + 1.87 + 1.88 + 1.92 + 1.92 + 1.93 + 1.94 +1.97

12

X = 22 6

12

.= 1.88 mts

* Si la producción mensual de maíz en toneladas, durante un año

en Tlaxcala fue :

12,000 14,280 15,720 13,318 14,420 13,300

12,800 13,618 14,710 15,127 14,360 13,750

¿cuál es la producción promedio mensual y cuál es la producción anual ?.

Aplicando la fórmula (1) tenemos:

X =12,000 + 14,280 + 15,720 + + 15,127 +14,360 + 13750

12=

167,403

12

X = 13,950.25 toneladas

para obtener la producción anual, sólo debemos sumar todos datos de

producción mensual, para lo cual, aplicaremos el concepto de sumatoria visto

en la unidad 2.

Producción anual = i = 1

12

xi = 12,000 + 14,280 + * * * + 14,360 + 13,750

Producción anual = 167,403 toneladas


45

LA MEDIANA

Es otra medida que se utiliza para describir el valor central de

una población. Para calcular la Mediana se ordenan los datos en forma

ascendente o descendente, si el tamaño de la población es impar, la Mediana

es el dato que queda al centro del los datos ordenados; si es par, la Mediana es

el promedio de los dos datos que ocupan el centro de la ordenación. Se

observa que la Mediana divide en dos partes iguales a los datos de una

muestra o población. La Mediana es una medida que no es afectada por los

valores extremos de la muestra o población. Veamos algunos ejemplos.

* Calcular la mediana de los siguientes datos:

46, 54, 58, 56, 48, 58, 112

Para calcular la Mediana, primero se ordenan los datos en forma ascendente o

descendente, teniéndose:

46, 48, 54, 56, 58, 58, 112

Una vez ordenados, se toma el dato al centro de la ordenación ya

que en este caso tenemos un número impar de datos, por lo tanto, la Mediana

es: 56

* En un grupo de 15 alumnos de la Fac. de Medicina, los

alumnos obtuvieron las siguientes calificaciones en Anatomía:

85 92 78 87 9687 79 90 77 9287 94 83 78 89

Determine la Mediana.


46

Para obtener la Mediana es necesario ordenar los datos,

teniéndose entonces que:

77 78 78 79 83 85 87 87 87 89 90 92 92 94 96

La Mediana de los datos o el dato que divide en dos partes iguales a la

muestra es 87 debido a ser el dato que ocupa el centro de la muestra por ser

un número impar. A partir de este momento, representaremos a la Mediana de

la siguiente manera: X

* Determine la Mediana del siguiente conjunto de datos:

12 18 23 16 24 17 18 20

15 9 16 22 18 11 14 19

para obtener la Mediana debemos ordenar los datos en forma ascendente y

escoger el dato que se encuentre en el centro de la colección, por lo tanto:

9 11 12 14 15 16 16 17

18 18 18 19 20 22 23 24

como podemos observar en este caso el número de datos es par y por lo tanto

la Mediana de esta colección de datos será el media aritmética de los datos

que ocupan el centro de la colección, siendo estos datos los números 17 y 18

teniéndose entonces que la Mediana en este ejercicio es : X= 17 18

217 5

. .


47

LA MODA

Es otra medida de tendencia central y que se utiliza para describir

el valor típico de una población. La Moda en una población o muestra es el

valor que se presenta con mayor frecuencia. Sí en una muestra de 10 casas, se

considera la siguiente distribución en número de hijos, 3, 0, 1, 5, 6, 2, 1, 2, 7,

2, entonces la Moda es el número 2, ya que es el elemento que aparece con

mayor frecuencia. La Moda la representaremos de la siguiente manera : Mo .

Debemos aclarar que pudiera existir una colección de datos en la que existan

dos o más modas, lo cual sucedería cuando existieran dos o más elementos

que aparecen la misma cantidad de veces y que además son el que mayor

frecuencia tienen. Veamos algunos ejemplos.

* En un grupo de 15 alumnos de la Fac. de Medicina, los

alumnos obtuvieron las siguientes calificaciones en Anatomía:

85 92 78 87 96

87 79 90 77 92

87 94 83 78 89

¿ Cuál es la Moda ?. La Moda es la calificación que se presentó con mayor

frecuencia en el grupo, teniéndose entonces que: Mo = 87

* Si la estatura de 12 jugadores de Básquet Bol de la Universidad

de Colima son:

1.97 1.92 1.84 1.86 1.88 1.92

1.82 1.85 1.94 1.87 1.80 1.93


48

¿cual es la estatura que existe en mayor cantidad en los 12 jugadores? A la

estatura que mayor frecuencia tenga es la que llamaremos la Moda,

teniéndose entonces que: Mo = 1.92

* Obtenga la Moda de la siguiente colección de datos:

9 11 12 14 16 16 16 1718 18 18 19 20 22 23 24

en este ejemplo tenemos que los números que mayor veces aparecen son el 16

y el 18, por lo tanto, en esta colección de datos tenemos un ejemplo de

distribución bimodal ( existen 2 modas en la colección ), por lo que las modas

son: Mo = 16 y 18

COMPARACIÓN DE LA MEDIAARITMETICA, LA MEDIANA Y LA MODA

Hemos visto 3 medidas de tendencia central que describen a una

población, pero, ¿cuál debe usarse en una situación determinada?. La elección

de la medida de tendencia central a usarse depende del tipo de variable que

genera la población y de las finalidades del estudio que se está realizando. Un

criterio fuerte para la elección de alguna de estas medidas es el de escoger la

que presente ventajas significativas sobre las otras dos, por ejemplo: En el

caso de una fábrica de automóviles la empresa deber decidir que marca de

acumuladores usar en sus vehículos, para lo que le puede ser útil además del

costo, comparar la durabilidad de los acumuladores de diversas marcas. En

poblaciones de este tipo, la media, la mediana, y la moda son en la mayor

parte de los casos valores muy parecidos.


49

La media sólo puede calcularse cuando la variable de interés es

numérica. A pesar de que la media puede ser afectada por valores muy

grandes o muy pequeños respecto al resto de la población, es una medida que

se emplea con mucha frecuencia para orientar la toma de decisiones, porque

su naturaleza numérica facilita el tratamiento estadístico.

La mediana es una medida que sólo se puede obtener si la

variable al menos es cardinal, en general, se acude a esta medida cuando no se

puede calcular la media o ésta no sea representativa de la población.

La moda es una medida que puede obtenerse para cualquier tipo

de variable. Hay muchas ocasiones en que esta medida presenta ventajas

sobre las otras dos para describir a una población. Por ejemplo: Consideremos

el caso de planear la producción de un nuevo tipo de chamarras, para el largo

de la manga y la talla, el fabricante considerará las de mayor frecuencia, es

decir, la moda. En este caso, la media o la mediana no le aportan la

información requerida. Veamos un ejemplo:

El siguiente conjunto de datos contiene las calificaciones de 50

alumnos de la materia de Economía:

5 2 3 8 4 5 4 7 5 86 8 7 7 2 9 1 10 9 69 7 10 8 9 9 10 5 9 59 10 10 2 8 2 10 2 7 33 10 5 10 9 6 1 9 7 6

a) Obtener La Media Aritmética, La Mediana y La Moda.X = ( 1 + 1 + 2 + . . . + 10 + 10 + 10 ) / 50X = 326 / 50 = 6.52Mediana = X = 7 ( por ocupar los lugares 25 y 26 en el arreglo )La Moda = Mo = 9 ( por ser el que más se repite ó aparece )


50

b) Mencione cuál de las tres medidas de tendencia central es la más

adecuada y ¿por que?

La más representativa es la Media Aritmética, ya que los datos no se

encuentran muy dispersos, además de que la Mediana y la Moda tienden a

cargarse más hacia un extremo.

Debemos señalar que las tres medidas de tendencia central

mencionadas anteriormente son las más comunes, más no son las únicas.

Existen otras medidas de tendencia central como son la Media Geométrica, La

Media Armónica, La Media Ponderada, La Media Supuesta, y algunas otras.

Veamos un ejemplo de lo anterior.

* La duración en horas de una muestra de focos tomados de la

producción diaria de una fabrica son:

129 145 168 164 165 172 168 179 168 170159 168 175 164 179 168 180 173 149 159168 178 177 178 168 172 168 158 154 168

a) Calcular la Media Aritmética, la Mediana y la Moda.

X =129 + 145 + + 154 + 168

30=

4991

30= 166.36 horas

X = 168 por ocupar el lugar 15 y 16 de la ordenación

Mo = 168 por ser el número en horas que más se repite.

b) Mencione cuál de las tres medidas de tendencia central es la más

apropiada para este evento.

Para este evento, consideramos que la medida de tendencia

central más apropiada es la Media Aritmética, ya que es el dato que se


51

encuentra más hacia el centro de la distribución aun cuando es afectado por la

medida de 129 horas.

MEDIA GEOMÉTRICA

La Media Geométrica es muy usual para el cálculo de promedios

de tasas de variación, en la elaboración de Números Índice, etc. Se define de

la siguiente manera: “Sí tenemos n elementos, la Media Geométrica es la raíz

n-ésima del producto de todos los elementos ”. La fórmula para obtenerla es:

MEDIA GEOMÉTRICA ( g ) = X X Xn1 * 2 * . . . * n

donde: n = Tamaño de la Muestra

Xi = Elemento de la Muestra

* Obtener la Media Geométrica de los siguientes números: 3, 5,

7, 9, 8.

g = 3 5 7 8 95* * * * = 7 5605 , = 5.966

Veamos algunos ejercicios de lo visto hasta este momento.

* Obtener la Media Aritmética de los datos:

6 3 8 5 2

X = 6 3 8 5 2

5

=

24

5= 4.8

* Los ingresos anuales de 12 profesores en nuevos pesos son:

72,000 72,000 75,000 81,000 163,000 78,00081,000 89,000 72,000 90,000 84,000 81,000


52

Calcular las medidas de tendencia central. Indique cual es la más significativa

y ¿por que?

X =72,000 + 72,000 + + 90,000 + 163,000

12=

1' 038,000

12

X = 86,500 nuevos pesos

Mo = 72,000 y 81,000

X = 81,000

La más significativa es la Mediana, por que es el valor que se

encuentra al centro de la distribución, mientras que la Moda toma un valor

extremo lo que la hace no muy significativa y a la Media la afecta el valor de

163,000 por estar muy disperso.

* Obtener la Media Geométrica de los siguientes datos:

12 15 17 13 18 14 18 13 17 15

g = 12 x 15 x 17 x 13 x18 x 14 x 18 x 13 x 17 x 15 10

g = 5 981 655 000 00010 , , , , = 15.05

MEDIA ARMÓNICA

La idea de promedio es tan manejable que no es sorprendente que

se hayan inventado diversos tipos de promedio de modo que pueda

representarse con un mínimo de deformación un campo tan amplio como sea

posible. Podemos escoger nuestro promedio, y tomamos el apropiado para

nuestro propósito. El promedio aritmético de un conjunto de números es el

más simple de los promedios ó medidas de centralización.


53

Un segundo tipo de promedio importante es la Media Armónica,

que es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los valores que

queremos promediar. La Media Armónica es el promedio adecuado cuando

tratamos con tarifas y precios. Consideremos un ejemplo para explicar este

tipo de promedio.

* Un aeroplano vuela alrededor de un cuadrado cuyo lado tiene

100 Km de largo, tomando el primer lado a 100 Km/h , el segundo lado a 200

Km/h , el tercer lado a 300 Km/h y el cuarto lado a 400 Km/h. ¿Cuál es la

velocidad media del aeroplano en su vuelo alrededor del cuadrado?

Si promediamos las velocidades usando la media aritmética de la

manera usual, tenemos:

4

400300200100=X

= 250 Km/h

pero éste no es el resultado correcto, ya que lo podemos comprobar de la

siguiente manera :

Tiempo para viajar el primer lado 1 horaTiempo para viajar el segundo lado 30 minutosTiempo para viajar el tercer lado 20 minutosTiempo para viajar el cuarto lado 15 minutos

De el desglose anterior tenemos que el tiempo total empleado en

recorrer los 400 kilómetros fue de 2 horas 5 minutos, con este total se

deduce que la velocidad media del aeroplano en recorrer los 400 Km del

cuadrado fue de 192 Km/h.

El promedio aritmético nos da por lo tanto un resultado

equivocado. Podemos deducir la razón de esto a partir del hecho de que no


54

todas las velocidades se mantienen durante el mismo tiempo, sólo lo hacen

para la misma distancia.

El promedio correcto para usar en este caso es la Media

Armónica. Para dar la fórmula introduciremos la notación de sumatoria ya

analizada anteriormente, teniéndose entonces que:

Media Armónica (H) =n

1

Xii=1

n

a partir de este momento, cuando hablemos de la Media Armónica, la

representaremos con la letra H. Para ilustrar esta fórmula, apliquémosla a

nuestro ejemplo del aeroplano.

Las cuatro velocidades que se mantenían cada una sobre la

misma distancia, eran 100 Km/h, 200 Km/h, 300 Km/h y 400 Km/h. Estos

son los valores de Xi . Puesto que hay cuatro valores, el valor de n en

nuestro ejemplo es 4, y tenemos entonces:

H =4

1

100

=425

1200

=4,800

25= 192 Km/ h

1

200

1

300

1

400

en donde 192 Km/h es la respuesta correcta.

Como podemos ver, la media armónica es adecuada aquí porque

los tiempos eran variables con las distancias constantes. De haber sido las

tiempos constantes y las distancias variables, la media aritmética hubiese sido

la correcta. Cabe señalar que el tipo de promedio adecuado depende siempre

de los términos del problema en curso. Las fórmulas no se han de aplicar

indiscriminadamente. Veamos algunos ejemplos.


55

* Un agricultor puede arar un terreno empleando un tractor en

cuatro días; un ayudante suyo puede hacer el mismo trabajo con un tractor

más pequeño en 6 días. ¿Cuál es el rendimiento representativo de los dos

tractores?, ¿En cuántos días pueden arar el mismo campo si trabajan

conjuntamente?

Para calcular el rendimiento representativo, tenemos:

H n

xii

n

1

21

4

1

6

23 2

12

25

12

24

54

4

5

1

por lo tanto el rendimiento representativo de los dos tractores es de 4 4

5días.

Para determinar en cuántos días los tractores pueden arar el

campo si trabajan conjuntamente tenemos que su rendimiento representativo

es de 4 4

5días, por lo que al trabajar conjuntamente resulta:

44

52

24

52

24

102

2

5

por lo tanto para arar el campo si los dos tractores trabajan conjuntamente, se

requiere 2 2

5días.

Comprobación: Los dos tractores pueden arar en un día 1

4

1

6

5

12 del campo; en arar todo el campo tardarán : por dos días de arado

conjuntamente habrán arado 10

12del campo, pero como araron juntos

2

5de un

día más, eso es en proporción del campo lo siguiente : 2

5de un día por

5

12de


56

campo arado conjuntamente en un día da 2

12de campo, que es el complemento

de 10

12del campo, entonces, en arar todo el campo tardarán 2

2

5días.

* En una ruta ferroviaria la velocidad a la que se desplaza un tren

es: los primeros 90 Km. a 70 Km/h, en el segundo tramo de 70 Km. a 100

Km/h; determinar la velocidad promedio para todo el recorrido.

Dado que las distancias de los tramos no son iguales, se debe

utilizar una ecuación representativa que denominamos “media armónica

ponderada” para las velocidades donde los “pesos” son las distancias

respectivas, es decir: 1 1

H N

f

X en donde N = f , o también puede ser

N

H

f

X sustituyendo los datos de velocidad y distancia, resulta:

d + d + d + . . . + d

v

d

v

d

v

d

v . . . +

d

v

1 2 3 N 1

1

2

2

3

3

N

N

sustituyendo los datos en la ecuación de la media armónica ponderada para la

velocidad media, resulta:

9 0 7 0

1 6 0

1 9 8 5 7

v=

9 0

7 0

7 0

1 0 0

v= 1 . 2 8 5 7 + 0 . 7

1 6 0

vv = 8 0 . 5 7

.

por lo tanto la velocidad promedio para todo el recorrido es 80.57 Km/h.

Comprobación: Determinamos primeramente el tiempo

requerido para recorrer el primer tramo:


57

TIEMPO ( t ) =DISTANCIA ( d )

VELOCIDAD ( v )=

90 Km

70 Km / h horas

El tiempo requerido para recorrer el segundo tramo es:

( t ) =d

v

Km

100 Km / h horas.

La velocidad media para todo el recorrido es:

VELOCIDAD MEDIA =DISTANCIA TOTAL

TIEMPO TOTAL

90 Km + 70 Km

1.2857 h + 0.7 h

Km

1.9857 h

VELOCIDAD MEDIA = 80.57 Km / h

12857

700 7

160

.

.

MEDIA ARMONICA PARA DATOS AGRUPADOS

Si consideramos los elementos ( X1 , X2 , X3 , . . . , XN ) que se

presentan con frecuencias ( f1 , f2 , f3 , . . . , fN ) en donde ( f1 + f2 + f3 + . . . +

fN = N ) representa la frecuencia total; la ecuación de la Media Armónica para

datos agrupados se expresa por:

H =ff

X

Nf

X

donde: H = Media Armónica

N = f = Número total de frecuencias

XN = Marcas de clases de datos agrupados.

fN = Frecuencias de clase.

* La siguiente tabla de distribuciones de frecuencias registra las

longitudes en centímetros que en una semana tienen 100 plantas de frijol; con

esta información obtener la Media Armónica.


58

INTERVALOS( LONGITUDES )

FRECUENCIAS ( f )( No. DE PLANTAS )

5.4 - 5.7 75.8 - 6.1 166.2 - 6.5 216.6 - 6.9 297.0 - 7.3 187.4 - 7.7 9

100

SOLUCION: Para determinar la Media Armónica es necesario construir la

siguiente tabla de distribuciones:

INTERVALOS( LONGITUDES )

MARCA DECLASE ( X)

FRECUENCIAS ( f )(No. DE PLANTAS)

f

X5.4 - 5.7 5.55 7 1.2612615.8 - 6.1 5.95 16 2.6890756.2 - 6.5 6.35 21 3.3070866.6 - 6.9 6.75 29 4.2962967.0 - 7.3 7.15 18 2.5174827.4 - 7.7 7.55 9 1.192052

N = 100 = f f

X 15.2632252

Sustituyendo los datos anteriores en la correspondiente ecuación tenemos:

H =N

f

X

=100

15.2632252= 6.55

La media armónica calculada a partir de los datos agrupados es de 6.55 cm.


1.- ¿Qué es una medida de tendencia central?


59

2.- Describa el proceso para la obtención de la Media Aritmética, la

Mediana y la Moda.

3.- ¿Qué criterio se sigue para determinar la medida de tendencia central

más significativa?

4.- Determine la Media, la Mediana, la Moda y la Media Geométrica de los

siguientes datos:

1 1 2 2 3 3 3 4

4 4 4 5 5 6 7 8

5.- Los siguientes datos representan el tiempo de vida en años de una

muestra aleatoria de 30 motores eléctricos similares.

2.0 3.0 0.3 3.3 1.3 0.40.2 6.0 5.5 6.5 0.2 2.31.5 4.0 5.9 1.8 4.7 0.74.6 0.3 1.5 0.5 2.5 5.01.0 6.0 5.6 6.0 1.2 0.2

a) Construya un cuadro estadístico.

b) Construya un Histograma, un Polígono de Frecuencias y un

Diagrama de Pastel.

c) Con los datos calcular la Media Aritmética, la Mediana y la

Moda.


60

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Cuando una población es generada por una variable numérica,

además de poderla describir mediante una medida de tendencia central,

también se puede obtener una medida que nos indique el grado de

homogeneidad de sus datos. A este tipo de medidas se les conoce como

medidas de variabilidad o de dispersión. Existen varias medidas de

dispersión, como son el Rango, la Desviación Media, la Varianza, y algunas

otras, las cuales estudiaremos en este capítulo.

RANGO: Es una medida de dispersión que se obtiene restando al

mayor elemento de la colección de datos, el elemento menor. Aunque el rango

es una medida que tiene la ventaja de calcularse fácilmente, tiene la

desventaja de sólo considerar los valores extremos de la población (También

se le conoce como Amplitud Total ).

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Esta medida nos indica que tan dispersos se encuentran en

promedio, los datos con respecto a la media aritmética. Existen dos tipos de

desviación estándar, la Desviación Estándar Muestral y la Desviación

Estándar Poblacional.

La Desviación Estándar Poblacional se calcula en base a la media

aritmética poblacional, utilizando la siguiente fórmula:

( X - ) ²

N

i

i = 1

n

donde: N = Tamaño de la Población.


61

= Media Aritmética Poblacional.

Xi = Elemento de la Población.

= Desviación Estándar Poblacional.

La desviación estándar nos puede indicar como se comportan los

datos alrededor de una medida de tendencia central y como en ocasiones a

pesar de tener el mismo valor dos muestras diferentes, en su medida de

tendencia central, el grado de dispersión es distinto. Pudiéramos tener una

muestra en que su media aritmética fuera 4 y que los datos oscilaran entre 3

y 5, y otra muestra que su media aritmética fuera 4 y que sus datos oscilaran

entre 0 y 8. Aunque ambas tienen el mismo valor en su medida de tendencia

central, tienen distinta distribución de los datos, de aquí la importancia de

tener una medida que nos indique el grado de dispersión de los datos con

respecto al dato central.

La Desviación Estándar Muestral tiene dos modificaciones con

respecto a la Poblacional, ya que se utiliza la media aritmética muestral y el

tamaño de la muestra menos 1, quedando la fórmula de la siguiente manera:

s =( X - X )²

n - 1

i

i=1

n

donde: n = Tamaño de la Muestra.

Xi = Elemento de la Población

X = Media Aritmética Muestral.

s = Desviación Estándar Muestral.


62

Existe otra medida de dispersión llamada Desviación Media, que

requiere del cálculo de la Amplitud, aún cuando no es muy utilizada, es

necesario tener conocimiento de ella. Se obtiene con la siguiente fórmula:

m =X - X

n

i

i=1

n

ahora bien, este tipo de medida de dispersión no nos proporciona un grado

adecuado de homogeneidad, por lo que es necesario utilizar el de la

desviación estándar para representar el grado de dispersión de la muestra con

respecto a su media, además, de que no sirve para calcular la varianza.

VARIANZA

Es el cuadrado de la desviación estándar. Dependiendo de la

desviación estándar de que se trate, recibirá el nombre de Varianza Muestral o

Varianza Poblacional ( s2 si es la muestral y 2 si es la poblacional ).

Veamos algunos ejemplos.

* Se tomó la presión sanguínea de diez personas antes y después

de fumar. Los cambios fueron:

+10, -5, +7, +4, +2, +3 -4, -5, -3, +9

Calcular la Varianza y Desviación Estándar con esos datos.

X = 10 5 7 4 2 3 4 5 3 9

10=

18

10= 1.8

s2 = (10 - 1.8)² + (-5 - 1.8)² + + (-3 - 1.8)² + (9 - 1.8)²

10 - 1

s2 = 33.511


63

Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza,

entonces tenemos que la desviación estándar de las diez presiones sanguíneas

registradas es: s = 5.788

* Dados los siguientes datos:

3, 5, 16, 23, 31, 12, 23, 13, 15.

a).- Calcular las medidas de tendencia central.

X = 3 5 16 23 31 12 23 13 15

9

=

141

9

X = 15.66

Ordenando los elementos tenemos que:

3 5 12 13 15 16 23 23 31

teniéndose que la mediana será el dato que se encuentre al centro del arreglo,

por lo tanto : Mediana = 15 La Moda = 23

b).- Calcular las medidas de Dispersión

s2 = (3 -15.66)² + (5 -15.66)² + + (23 -15.66)² + (31-15.66)²

9 - 1

s2 =160.27 +113.63 +13.39 + 7.07 + 0.43 + 0.12 + 3.87 + 53.87 + 235.31

8

637 96

879 745

..

por lo tanto, la desviación estándar es entonces: s = 79 745. = 8.93

* En el departamento de Inglés de la UAS se informó que el

sueldo anual de los profesores es en promedio de 72,000 dólares, con una

desviación estándar de 0.0 ¿Cuál será la mediana y la moda de estos sueldos?

R.- Tanto la Mediana y la Moda es 72,000; ya que cuando la

desviación estándar es 0, se tiene que no existe dispersión entre los valores de

la muestra (dicho de otra manera, no existe variación entre los datos).


64

* Si en una colonia se registró el número de personas que viven

por casa tomando una muestra de 18 viviendas, obteniéndose los siguientes

resultados:

6 5 6 4 9 28 4 5 3 3 56 5 7 2 5 7

determine la media aritmética, la varianza y desviación estándar de la

muestra.

X = 2 2 2 3 2 4 5 5 3 6 2 7 8 9

18

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

92

18= 5.11

s2 = ( X - X )²

n - 1

i

i=1

n

s2 = 2(2-5.11)² +2(3-5.11)² +2(4-5.11)²+5(5-5.11)²+3(6-5.11)² +2(7-5.11)²+(8-5.11)² +(9-5.11)²

18 - 1

s2 = 19.3442 +8.9042 +2.4642 +0.0605+2.3763+7.1442 +8.3521+ 15.1321

17=

63 7778

17

.

s2 = 3.7516353

por lo tanto la desviación estándar es s = 1.9369135

* Calcule la media aritmética, la varianza y desviación estándar

de los siguientes datos: 5 7 1 2 4

X = 5 7 1 2 4

5

19

53 8

.

s2 = (5 - 3.8)² + (7 - 3.8)² + (1- 3.8)² + (2 - 3.8)² + (4 - 3.8)²

5 - 1

22 8

4

.

s2 = 5.7 ;

por lo tanto la desviación estándar es : s = 2.3874673


65

CALCULO DE LA MEDIA Y DESVIACIÓNESTÁNDAR PARA DATOS AGRUPADOS

Generalmente cuando se agrupan en clases los datos generados

por una variable numérica, es posible calcular la media y la desviación

estándar con los datos tabulados. En estos casos, tanto la media como la

desviación estándar son aproximaciones de los valores reales, debido a que

uno conoce la cantidad de elementos que pertenecen a la clase, pero

desconocemos sus valores.

Para calcular la Media Aritmética de un conjunto de datos

agrupados, se emplea la siguiente fórmula:

( mi * fi ) ( mi * fi )X= =

fi n

Donde: mi = Marca de Clase.fi = Frecuencia de Clase.n = Tamaño de la Muestra.X = Media Aritmética.

Para el cálculo de la Varianza se utiliza:

s2 ( m - X )² f

n - 1

i i

Existe otra forma de calcular la varianza, llamada forma

simplificada, la cual se obtiene sustituyendo en la fórmula de la varianza la de

la media, y al simplificar quedaría así:


66

s² =

n (X)² f - (X f) ²

n(n-1)

i i i i

donde : n = Tamaño de la Muestra

Xi = Elemento de la Muestra

fi = Frecuencia de la Clase

La fórmula anterior es para calcular la Varianza de un grupo de

variables colocadas en un cuadro estadístico, para determinar la varianza de

un cuadro estadístico cuando esté agrupado por clases, entonces sustituimos

en el lugar de la variable ( Xi ) la marca de clase ( mi ) teniéndose entonces

que la fórmula a aplicar será:

n[ {(mi)2

* fi }] - [ ( mi * fi )]2

s2 = n ( n - 1 )

donde : n = Tamaño de la Muestra

mi = Marca de Clase

fi = Frecuencia de Clase

En los dos casos anteriores, la Desviación Estándar se obtiene

sacando la raíz cuadrada de la Varianza.

INTERPRETACIÓN PRACTICA DE LADESVIACIÓN ESTÁNDAR

Introduciremos ahora un teorema interesante y útil, desarrollado

por el matemático ruso Tchebysheff. La demostración del teorema no es

difícil, pero la omitiremos para manejar directamente su significado.


67

El teorema de Tchebysheff dice : “ Dado un número k mayor o

igual a 1 y un conjunto de n observaciones x1, x2, x3, * * * , xn , por lo

menos ( 1 - 1/k2 ) de las observaciones se encuentran dentro de k

desviaciones estándar de la media ”.

El teorema de Tchebysheff se aplica a cualquier conjunto de

observaciones y, para propósitos de ilustración, nos podríamos referir tanto a

la muestra como a la población. Usaremos la notación correspondiente a

poblaciones, pero deben darse cuenta que bien podríamos usar la media

aritmética y la desviación estándar muestral. La idea contenida en el teorema

de Tchebysheff se ilustra en la siguiente figura:

k 1 - 1/k2

1

2 3/4

3 8/9

4 15/16

-3 -2 -1 0 1 2 3

Se construye un intervalo midiendo una distancia de k veces la

en unidades a ambos lados de la media aritmética . Note que el teorema

es cierto para cualquier valor que le demos a k , siempre y cuando k sea

mayor o igual a 1. Entonces, calculando la fracción 1 - 1/k2 , vemos que el

teorema de Tchebysheff establece que al menos esa fracción del número de

observaciones caerán en el intervalo construido.

Ponemos énfasis en la expresión “ al menos ” del teorema de

Tchebysheff porque el teorema es muy conservador, siendo aplicable a


68

cualquier distribución. En la mayoría de las situaciones, la fracción de las

observaciones que caen en el intervalo especificado excede a 1 - 1/k2.

Enunciaremos ahora una regla que describe con precisión la variabilidad de

una distribución particular en forma de campana y que describe

razonablemente bien la variabilidad de otras distribuciones de datos de forma

monticular. La frecuente ocurrencia de distribuciones acampanadas y

monticulares en la naturaleza, y por tanto la aplicabilidad de nuestra regla,

nos conduce a llamarla la “ regla empírica ”.

Regla empírica: Dada una distribución de observaciones que es

aproximadamente acampanada, el intervalo :

1) contiene aproximadamente el 68 % de las observaciones.

2) 2 contiene aproximadamente el 95 % de las observaciones.

3) 3 contiene todas o casi todas las observaciones.

Las relaciones anteriores las podemos mostrar por medio de una

gráfica en la cual se muestra la distribución en porcentajes de los datos

alrededor de la media aritmética.

-3 -2 - 2 3 68.27 % 95.45 % 99.95 %


69

La distribución acampanada se conoce comúnmente como la

Distribución Normal y será discutida con detalle en el capítulo 7. Lo que

quisiéramos recalcar aquí, es que la regla empírica es sumamente útil y

proporciona una descripción excelente de la variación para muchos tipos de

datos. Note que el Teorema de Tchebysheff es un hecho que puede ser

demostrado matemáticamente y sin embargo dejamos el razonamiento

matemático para un curso de Cálculo.

Aunque los porcentajes mencionados en la regla corresponden a

áreas bajo la curva normal, los mismos porcentajes son validos

aproximadamente para distribuciones con formas diversas, siempre que

tiendan a ser más o menos monticulares. Veamos algunos ejemplos.

* La media y varianza de un conjunto de n = 25 observaciones

son 75 y 100 respectivamente. Usando la regla empírica para describir esta

distribución tendríamos : Sabemos que = 75 y que 2 =100 . La

desviación estándar es = 10. La distribución de las observaciones esta

centrado alrededor de = 75, y la regla empírica establece que:

a) = 75 10 ; que el 68 % de las observaciones esta entre 65 y 85.

b) 2 = 7520; que el 95 % de las observaciones esta entre 55 y 95.

c) 3 = 7530; que todas o casi todas las observaciones se

encuentran entre 45 y 105.

* En la siguiente tabla se especifica la vida útil de una marca de

pilas que se utilizan en una misma marca de reloj.

Vida Útil (Horas )

fi mi mi x fi ( mi )2 x fi

420 - 439 15 429.5 06,442.5 2’767,053.75440 - 459 20 449.5 08,990.0 4’041,005.00460 - 479 25 469.5 11,737.5 5’510,756.25480 - 499 25 489.5 12,237.5 5’990,256.25500 - 519 32 509.5 16,304.0 8’306,888.00


70

520 - 539 30 529.5 15,885.0 8’411,107.50540 - 559 24 549.5 13,188.0 7’246,806.00560 - 579 14 569.5 07,913.0 4’540,623.50580 - 599 7 589.5 04,126.5 2’432,571.75

TOTALES 190 95,945.0 48’806,208.00

Obtener la Media Aritmética, la Varianza y Desviación Estándar

(por el método general y el simplificado).

( mi * fi ) 95,945X= = = 504.97

n 190La Varianza en su forma simplificada es :

n[ {(mi)2

* fi }] - [ ( mi * fi )]2

s2 = n ( n - 1 )

s2 = ( )( ' , ) , ' , , ' ,

,

190 48806 208 9 273179 500 9 205443 000

35 910

- (95,945)²

190(190 -1)

s2 = 67 736 500

35 910

' ,

,= 1,886.2852

por lo tanto : s = 43.43

si a continuación obtenemos la varianza en su forma general para datos

agrupados tendremos :

[( mi - X )2* fi]

s2 = n - 1

s2 = (429.5-504.97)² (15) + (449.5-504.97)² (20) + +(569.5-504.97)² (14) + (589.5-504.97)² (7)

190-1


71

s2 =85 435814 61 538 418 360 950 31

189

, . , . , .

+ 58,297.693 + 50,017.246

189

s2 = 1,909.79

s = 1 909 79, . = 43.701

Como podemos observar, no existe gran diferencia entre la

desviación estándar obtenida por la forma simplificada y la obtenida por la

forma general.

* Obtener la Varianza y Desviación Estándar para los siguientes

datos: 6, 3, 8, 5, 2

X = 6 3 8 5 2

5

24

54 8

.

s2 = (6 - 4.8)² + (3 - 4.8)² + (8 - 4.8)² + (5 - 4.8)² + (2 - 4.8)²

5 -1

s2 = 1.44 + 3.24 + 10.24 + 0.04 + 7.84

4

22 8

4

.

s2 = 5.7 por lo tanto s = 57. = 2.387

* Los ingresos anuales de 12 profesores en nuevos pesos son:

72,000 72,000 75,000 81,000 163,000 78,00081,000 89,000 72,000 90,000 84,000 81,000

Calcular la Varianza y Desviación Estándar.

La media aritmética se determino en el capitulo anterior, por lo que tenemos

que X = 86,500, por lo tanto la varianza es:

s2 = ( , , )72 000 86 500

12 1

² + + (163,000 - 86,500)²


72

s2 = 210 250 000 6 803000 000

11

' , , ' ,+ + 5,852' 250,000

11

s2 = 6.1845455 x 108

como la desviación estándar se obtiene sacando la raíz cuadrada a la

varianza, tenemos entonces que esta es: s = 24,868.746

* Se sabe que la frecuencia de respiración en los humanos puede

variar desde 4 respiraciones por minuto hasta 70 ó 75 para una persona que

realiza ejercicios extenuantes. Supongamos que las frecuencias de respiración

en estado de reposo, para estudiantes universitarios, poseen una distribución

de forma monticular con media 12 y desviación estándar 2.3 respiraciones por

minuto. ¿Qué fracción de los estudiantes poseen frecuencias en los siguientes

intervalos:

a).- 9.7 a 14.3 respiraciones por minuto?

Aplicando la regla empírica, tenemos que la relación de 9.7 a 14.3 es lo

mismo que señalar una desviación estándar alrededor de la media aritmética,

ya que 12 + 2.3 nos da el límite superior y 12 - 2.3 nos da el límite inferior, y

por tratarse de una relación con distribución monticular, tenemos que en ese

intervalo se encuentra el 68 % de los estudiantes o bien la fracción es 0.68

b).- 7.4 a 16.6 respiraciones por minuto?

Basándonos en el inciso anterior tenemos que la fracción que se

encuentra alrededor de la media a 2 desviaciones estándar es 0.95 o el 95 %

de los estudiantes.

c).- más de 18.9 o menos de 5.1 respiraciones por minuto?

En este inciso vemos que tenemos una relación alrededor de la media

de tres desviaciones estándar, por lo que se encuentran todos o casi todos los

estudiantes universitarios.


73

* La siguiente tabla muestra el concentrado de los resultados de

25 estudiantes universitarios:

Num C. Int. de Clase Frecuencia mi mi x fi mi2 x fi

1 1.8 - 2.1 4 1.95 07.80 15.2102 2.2 - 2.5 6 2.35 14.10 33.1353 2.6 - 2.9 8 2.75 22.00 60.5004 3.0 - 3.3 4 3.15 12.60 39.6905 3.4 - 3.7 3 3.55 10.65 37.808

Totales 25 67.15 186.343

En base al cuadro estadístico, calcule la media aritmética, la

desviación estándar y la varianza

X= ( .

.m f )

n

i i

6 7 1 5

2 52 6 8 6

s2 = n (m )² f - m f ²

n(n - 1)

- (67.15)²

25(25 -1)

i i i i

25 186 343( . )

s2 = 4 658575, . - 4,509.125

600=

149.45

600

s2 = 0.25 ;

por lo tanto, la desviación estándar es : s = 0.5


74


1.- ¿Qué es una medida de dispersión?

2.- Describa el proceso para la obtención de la Varianza.

3.- ¿Qué es el Rango?

4.- ¿Qué diferencia hay entre la forma simplificada para la obtención de la

Varianza y la forma general?

5.- Defina la desviación media.

6.- Los siguientes datos representan el tiempo de vida en años de una

muestra aleatoria de 30 motores eléctricos similares.

2.0 3.0 0.3 3.3 1.3 0.40.2 6.0 5.5 6.5 0.2 2.31.5 4.0 5.9 1.8 4.7 0.74.6 0.3 1.5 0.5 2.5 5.01.0 6.0 5.6 6.0 1.2 0.2

Calcular la Desviación Media , la Varianza y la Desviación Estándar.

7.- El cociente de inteligencia (CI) expresa la inteligencia como la razón

de la edad mental a la edad cronológica multiplicada por 100.

Así, el promedio cuando la edad mental es igual a la edad

cronológica es 100. Para los siguientes CI.

100 103 99 101 100 120 109 82

101 112 95 118 118 114 113 89

92 137 94 130 87 93 111 96

93 101 98 96 84 86 89 90


75

a) Construya un histograma de frecuencias relativas.

b) Calcule X , s2 y s.

c) Encuentre el número de puntuaciones en los intervalos X s;

X 2s y X 3s. Compare las proporciones de observaciones en

estos intervalos con las especificadas por el teorema de Tchebysheff

y la regla empírica.


76

En este capítulo veremos lo que es la Probabilidad, o sea, la

relación que existe entre la muestra y el conjunto original de datos, por eso

para poder tomar decisiones se necesita tener conocimientos de la

Probabilidad.

En general, la Estadística entra al método científico a través de la

experimentación o de la observación. Cualquier investigación es únicamente

un medio para lograr un fin determinado. Es un dispositivo para someter a

prueba una hipótesis establecida a partir de la cual desea hacerse una

conclusión. La mayor parte de los enunciados que resultan de investigaciones

son únicamente inferencias. Son de carácter incierto. La cuantificación de esa

incertidumbre por el uso de la Teoría de Probabilidades es una de las

contribuciones más importantes de la Estadística.

Probabilidad es una medida de la frecuencia de ocurrencia de un

evento casual. Una definición clara y simple de Probabilidad (definición

clásica), es:

“Si un evento puede ocurrir de N maneras mutuamente

exclusivas e igualmente posibles, y si n de ellas tienen una característica E ,

entonces la Probabilidad de ocurrencia de E es la fracción n

N. Esto se

acostumbra indicarlo o representarlo con P(E) = n

N.”

Para el estudio de la Probabilidad surge como necesidad el

estudio de la Teoría de conjuntos, por lo cual veremos a continuación su

definición y sus operaciones básicas.


77

CONJUNTOS Y SUS OPERACIONES

El estudio de la Probabilidad se simplifica utilizando la Teoría de

Conjuntos, por lo tanto, analizaremos algunas ideas básicas de esta teoría. La

Teoría de Conjuntos fue desarrollada por Georg Cantor entre 1874 y 1895, es

un instrumento básico que se utiliza en las distintas ramas de la Matemática,

como en la Teoría de Probabilidad, el Cálculo Infinitesimal, Geometría, etc.

Un Conjunto es un grupo de objetos dentro de un todo definido y

bien diferenciado; por ejemplo:

* Un grupo de estudiantes de la materia de Biología.

* Un juego de cartas.

* Las cuentas de un collar.

A continuación definiremos algunas de las operaciones y

símbolos que se utilizan en la Teoría de Conjuntos. A los conjuntos los

representamos con mayúsculas y a sus elementos con minúsculas.

* Conjunto Universo o Universal ( U ): Es el conjunto que contiene a

todos los elementos.

* Conjunto Vacío ( ): Es un conjunto que no contiene a ningún

elemento.

* Pertenencia ( ): Indica que un elemento pertenece a un conjunto.

* No Pertenencia ( ): Indica que un elemento no pertenece a un

conjunto determinado.

* Subconjunto ( ): Se dice que un conjunto A es subconjunto de

B, cuando todos los elementos de A pertenecen a B.


78

* Unión ( ): La unión de dos conjunto A y B, es el conjunto de

elementos que están en A, en B ó en ambos.

A B = { x / x A ó x B }

* Intersección (): La intersección de dos conjuntos A y B, es el

conjunto de elemento que están en A y B simultáneamente.

A B = { x / x A y x B }

* Complemento ( A', ~A, Ac ) : El conjunto A' , recibe el nombre

de complemento de A debido a que contiene a todos los elementos del

universo que no están en A.

A' = { x / x A }

Para la comprensión de los conjuntos se recomienda utilizar los

diagramas de Venn, que son la representación gráfica de los conjuntos y sus

operaciones.

U U U

A U B A B Ac

* Sea A = { a, b, c, d, e, f, g, h, y, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t };

B = { a, e, i, o, u } ;

C = { b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t } y

el conjunto Universo el abecedario. Realizar las siguientes operaciones entre

conjuntos:

a) A U B ; b) A ( B U C ) c) ( A B ) U ( B C )

a) A U B = { a, b, c, d, e, f, g, h, y, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u }


79

b) A ( B U C ) = { a, b, c, d, e, f, g, h, y, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t } = A

c) ( A B ) U ( B C ) = { a, e, i, o }

* Sea U el conjunto de todos los valores posibles que pueden

caer al lanzar dos dados normales, defina los siguientes conjuntos : el

conjunto A contiene a todos los elementos en que la primera cara es mayor

que 3 pero menor que 6, A = { ( x, y ) / 3 < x < 6 ; 0 < y < 7 } ; el conjunto B

contiene a todos los elementos en que la suma de las caras es mayor que 5

pero menor que 8, B = { ( x, y ) / 5 < x + y < 8 }

Sea U =

(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6)

(2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (2,6)

(3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (3,5) ; (3,6)

(4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (4,5) ; (4,6)

(5,1) ; (5,2) ; (5,3) ; (5,4) ; (5,5) ; (5,6)

(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (6,6)

entonces, A = (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (4,5) ; (4,6)

(5,1) ; (5,2) ; (5,3) ; (5,4) ; (5,5) ; (5,6)

y B =

(1,5) ; (1,6) ; (2,4)

(2,5) ; (3,3) ; (3,4)

(4,2) ; (4,3) ; (5,1)

; (6,1)( , )5 2

¿QUE ES ESPACIO MUESTRAL?

El Espacio Muestral se define como el conjunto de todos los

resultados posibles de un experimento E, usualmente se designa a este

conjunto con la letra S. Un Espacio Muestral se puede representar por medio

de un diagrama de Venn, una línea recta, un producto cartesiano, etc.

Producto Cartesiano : Es el conjunto de todos los pares

ordenados de dos conjuntos A y B.

A X B = { (x , y) / x A , y B }


80

Debemos tener cuidado de respetar el orden de las parejas

ordenadas, ya que ( a, b ) es diferente de ( b, a ). Lo anterior puede describirse

con la siguiente gráfica:

A

M (a,b) c

N (b,a) b M

M N a N

B a b c

El número de elementos del espacio muestral1 del Producto

Cartesiano es igual al producto del número de elementos de A por el de B.

Ejemplo: En la gráfica anterior se tiene un espacio muestral de 9 elementos, el

cual se obtuvo de n(A) x n(B).

* Dados los siguientes conjuntos:

U = { 1,5,7,13,15,18,23,29,37,48,63,71,96 }

A = { 1,5,7,13,15,18,23 } B = { 7,15,23,29,37,48,63 }

C = { 7,8 }

Obtener: a) A U B ; b) A' U A ; c) A B ; d) B' U A ; e) A X C

a).- A U B = { 1,5,7,13,15,18,23,29,37,48,63 }

b).- A' = { 29,37,48,63,71,96 }

A' U A = { 1,5,7,13,15,18,23,29,37,48,63,71,96 } = U

c).- A B = { 7,15,23 }

1 Dentro de los espacios muestrales cuando tenemos un conjunto de varios elementos, el orden de estos

no se toma en cuenta, esto es, {a,b} y {b,a} son conjuntos equivalentes.


81

d).- B' = { 1,5,13,18,71,96 }

B' U A = { 1,5,13,15,23,71,96 }

e).- A X C = { (1,7);(1,8);(5,7);(5,8);(7,7);(7,8);(13,7);(13,8);

(15,7);(15,8);(18,7);(18,8);(23,7);(23,8) }

SUCESOS SIMPLES Y COMPUESTOS

En un conjunto de resultados posibles de un experimento E. Los

sucesos pueden ser Simples o Compuestos.

Consideremos el experimento de lanzar un dado y observar que

cara cae hacia arriba, la variable X tiene los resultados posibles X1, X2 ,* * *,

X6, cada uno de estos resultados se denomina Suceso Elemental Simple. En

otras palabras, un suceso simple es aquel que no se puede descomponer en

otros sucesos simples y se representa con Ei .

Un suceso que se puede descomponer en dos o más sucesos

simples se llama Suceso Compuesto, por ejemplo, en el lanzamiento de un

dado, la ocurrencia de X 3, es un Suceso Compuesto, ya que tendríamos que

el suceso E estaría constituido por todas las caras de el dado de valor mayor o

igual a 3, quedando de la siguiente manera : E = { 3,4,5,6 }.

Una vez definidos los sucesos, se expresarán ahora en términos

de la Teoría de Conjuntos. El conjunto Universo representará al espacio

muestral, mientras que los conjuntos que lo constituyan serán los sucesos

compuestos y sus elementos los sucesos simples.


82

PROBABILIDAD

La Probabilidad tiene dos enfoques, llamados enfoques de la

teoría de Probabilidades, los cuales son: El enfoque objetivo de la

probabilidad y el enfoque subjetivo de la probabilidad. En este cuaderno

definiremos únicamente el concepto de probabilidad y dejaremos el estudio

de estos enfoques a los cursos de Estadística del Nivel Superior.

El famoso matemático Jacobo Bernoulli señala que cuando no

hay fundamentos para preferir uno de los posibles resultados o sucesos a

cualquier otro, todos deben de considerarse que tienen la misma probabilidad

de ocurrir. El famoso matemático francés P. S. Laplace estableció este

concepto en su libro “A Philosophical Essay on Probabilities” de esta manera:

“La teoría de la probabilidad consiste en reducir todos los elementos de la

misma clase a cierto número de casos iguales o igualmente posibles, es decir,

que nosotros debemos estar igualmente indecisos ante su existencia para

determinar la cantidad de casos favorables para el suceso cuya probabilidad se

busca”. La relación de este número con el de todos los casos posibles es la

medida de la probabilidad, que, es por tanto sencillamente una fracción cuyo

numerador es el número de casos favorables y el denominador es el número

de todos los casos posibles (definición de probabilidad clásica).

Por otra parte, puesto que los cálculos de la probabilidad no

dependen de la experiencia, esto permite calcular las probabilidades sin


83

realizar una gran cantidad de ensayos. Este tipo de cálculos se denomina

algunas veces a priori.

En base a lo anterior podemos especificar algunos puntos

referentes a la teoría de probabilidades, los cuales son:

1.- Se asigna un número P(E) al suceso y lo da cuando la cantidad

de ensayos es grande, M/n y P(E) son iguales.

2.- En esta relación se define la probabilidad del suceso E como

el límite de M/n cuando n tiende a infinito. Matemáticamente este enfoque

se expresa así:

P(E) = l í mM

nn

Veamos algunos ejemplos de cálculo de probabilidades.

* ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados legales, a)

la suma de las caras sea par? ; b) las caras sean diferentes? ; c) las caras sean

iguales?

S =

(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6)

(2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (2,6)

(3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (3,5) ; (3,6)

(4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (4,5) ; (4,6)

(5,1) ; (5,2) ; (5,3) ; (5,4) ; (5,5) ; (5,6)

(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (6,6)

a).- P(A) = M

n=

18

36=

1

2


84

b).- P(B) = 3 0

3 6=

5

6

c).- P(C) = 6

3 6=

1

6

* ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja de una urna si se

sabe que en ella hay 5 bolas blancas, 4 negras, 3 azules y 8 rojas?

A = Sacar una bola roja.

S = {5 blancas, 4 negras, 3 azules, 8 rojas}

P(A) = 8

20=

2

5= 0.40 x 100 = 40 %

* Dado que se lanzan 3 monedas legales, ¿cuál es la

probabilidad de que caigan exactamente una cara? ; dos caras?

Sea s = cruz y c = cara, entonces al lanzar la moneda tres veces

tenemos: S = {sss, ssc, scs, css, ccs, csc, scc, ccc}

A = {ssc, scs, css} B = {ccs, csc, scc}

P(A) = 3

8= 0.375 x 100 = 37.5 % P(B) =

3

8= 0.375 x 100 = 37.5 %

Un punto de vista personalista es que la probabilidad mide la

confianza que tiene un individuo determinado en la verdad de una

proposición particular, por ejemplo, la proposición de que mañana llueva.

Estos puntos de vista postulan que el individuo en cuestión de algún modo es

razonable, pero no niega la posibilidad de que los individuos razonables con

la misma prueba, puedan tener diferentes grados de confianza en la verdad de

la misma proposición.


85

AXIOMAS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDAD

A continuación se establecen los axiomas de la Teoría de la

Probabilidad. Aunque se emplea la palabra axioma, éstas no son apriori, son

suposiciones básicas elaboradas por el hombre. Los axiomas son:

a) Dado un experimento E con resultados posibles mutuamente

excluyentes ( sucesos simples ) E1 , E2 , . . ., En , se les asigna un número

positivo tal que 0 P( Ei ) 1 y se le llama la probabilidad del suceso Ei .

b) La suma de probabilidades de todos los sucesos posibles

mutuamente excluyentes es 1. P( E1 ) + P( E2 ) + * * * + P( En ) = 1

c) La probabilidad de que ocurra uno de dos sucesos mutuamente

excluyentes Ei ó Ej , es igual a la suma de sus probabilidades.

P( Ei U Ej ) = P( Ei ) + P( Ej ).

Para aclarar el significado de estos tres axiomas se puede utilizar

la teoría de la frecuencia probabilística. De acuerdo con la Teoría de

Probabilidad subjetiva se puede utilizar las ponderaciones para expresar la

importancia relativa de un suceso. Estos axiomas se utilizarán para deducir

otras reglas de cálculo de probabilidades.


86

ANÁLISIS COMBINATORIO

El enfoque del concepto de probabilidad planteado en el punto

anterior, genera todo un trabajo alrededor del cálculo de probabilidades y

como una herramienta ineludible para esto, se tiene al análisis combinatorio,

cabe aquí recordar a manera de repaso los elementos que éste nos

proporciona, considerando que un análisis más a fondo corresponde a un

curso de Álgebra; únicamente enunciaremos las dos reglas generales que se

utilizan en el cálculo de probabilidades.

Permutaciones: Es el número de maneras de ordenar n objetos

distintos (diferentes), tomando r cada vez. Se denota con el símbolo nPr .

nPr = n !

( n - r ) !

Combinaciones: Una combinación r de n objetos, es una

selección de r en r de dichos objetos sin considerar el orden de la misma.

Se representa con el símbolo nCr.

n rn r

C =P

r ! =

n !

( n - r ) ! r !

* Se seleccionan tres boletos de una lotería, de un total de 50.

Supongamos que el orden de selección es importante. ¿Cuántos puntos

muéstrales están asociados con este experimento?

El número total de puntos muéstrales es :

50P3 = 50 !

(50 - 3) ! =

50 !

47 != 50(49)(48) = 117,600


87

* Un aparato está compuesto de cinco partes que pueden ser

ensambladas en cualquier orden. Se desea realizar una prueba para determinar

el tiempo necesario para cada una de las formas posibles de montaje. Si cada

una de las formas se va aprobar una vez, ¿cuántas pruebas deben realizarse?

5P5 = 5 !

( 5 - 5 ) !=

5 !

0 != (5)(4)(3)(2)(1) = 120

* Un tubo de radio se puede adquirir en cinco fábricas. ¿De

cuántas formas se pueden escoger tres de las cinco fabricas?

5C3 = 5 !

(5 - 3)! (3 !) =

5 !

(2 !) (3 !)=

(5)(4)(3 !)

!) (3 !)=

5 4

2 1= 10

(2

* Una compañía desea ascender a 3 de sus 24 gerentes para

colocarlos en las posiciones de vice presidente de ventas, de manufacturas y

de finanzas. ¿Cuántas opciones distintas se tienen para efectuar estos

ascensos?

R.- Como si nos importa el orden, entonces tenemos una

permutación, debido a que los puestos son A, B y C, y los trabajadores

pueden ocupar el que sea, por lo tanto:

24P3 = 24 !

( 24 - 3 ) !=

(24)(23)(22)(21 !)

21 != 24 23 22 = 12,144 opciones

* Un experimento consiste en asignar 10 trabajadores a 10

empleos. ¿De cuántas formas distintas se pueden asignar estos 10 trabajadores

a estos 10 empleos?

10P10 = 10 !

(10 - 10) !=

10 !

0 != 10 ! = 3' 628,800 formas distintas


88

* ¿De cuántas maneras podemos permutar 7 libros que se

encuentran en un estante?.

7P7 = 7 !

( 7 - 7 ) !=

7 !

0 != 7 ! = 5,040

* ¿De cuántas maneras posibles se pueden permutar esos libros si

dos de ellos deben de estar siempre juntos?

6P6 = 6 !

( 6 - 6 ) !=

6 !

0 != 6 ! = 720

Se multiplica el resultado por dos ya que esos dos libros pueden cambiar de

lugar entre ellos, estando juntos, por lo tanto el número de permutaciones que

puede haber es: # de arreglos = (720)(2) = 1440

* ¿ De cuántas maneras posibles puedo tomar de dos en dos las

vocales sin interesarnos el orden ?.

5C5 = 5 !

(5 - 2) ! (2 !)=

(5)(4)(3 !)

(3 !) (2 !)=

5 4

2 1= 10

PROBABILIDAD CONDICIONAL

En la práctica es común enfrentarnos al problema de obtener la

probabilidad de un evento, condicionado a la ocurrencia o no ocurrencia de

otro, esto es, el caso en que la ocurrencia de un evento altera las condiciones

de las que depende la probabilidad del otro, estas probabilidades se llaman

probabilidades condicionadas. Si A y B son los eventos en cuestión,

tenemos que P(A/B) es la probabilidad de A dado que ya ocurrió el evento

B. P(B/A) es la probabilidad de B dado que A ya ocurrió.

Sea S el espacio muestral de E y sean A y B eventos

definidos en S. Si preguntamos por la probabilidad de A dado que ocurrió


89

B, el espacio se reduce sólo a lo comprendido en el conjunto B y viceversa,

como se observa en el diagrama:

S

A B

Definiremos las probabilidades condicionales de B dado A y

de A dado B, como sigue:

P( A B ) = P(A B)

P(B) Y P( BA ) =

P(A B)

P(A)

INDEPENDENCIA PROBABILISTICA

Se dice que dos sucesos son independientes si la ocurrencia o no

ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro, a

esto se le llama independencia probabilística. Sí A y B son eventos

independientes, tenemos que : P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B).

LEYES DE PROBABILIDAD

Las leyes pueden ser simplemente enunciadas y tomadas como

ciertas mientras sean consistentes con nuestro modelo y con la realidad.

Ley Aditiva de Probabilidad: Esta ley se aplica a las uniones y

es igual a:


90

P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) - P (A B )

sí A B = , se dice que A y B son mutuamente excluyentes, entonces:

P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B )

Ley Multiplicativa de Probabilidad: Esta ley se aplica a las

intersecciones y es igual a:

P ( A B ) = P ( A ) * P ( B / A ) = P ( B ) * P ( A / B )

Sí A y B son independientes, entonces P ( A B ) = P ( A ) * P ( B )

Un experimento a menudo produce observaciones numéricas que

varían de muestra a muestra. Por esta razón se define una variable aleatoria

como una función con valores numéricos definida sobre un espacio muestral.

En otras palabras, una variable X es una variable aleatoria si el valor que

asume es un suceso numérico aleatorio. Un ejemplo de suceso numérico es el

valor de cierre diario de ciertas acciones industriales.

Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas.

Una Variable Aleatoria Discreta es una variable que sólo puede asumir un

conjunto numerable de valores. Veamos algunos ejemplos:

* El número de tornillos defectuosos en una muestra de 100,

extraída de una producción industrial.

* El número de casas rurales que tienen agua potable en una

región.

* El número de personas que esperan en el consultorio de un

dentista.


91

Una Variable Aleatoria Continua es una variable que puede

asumir un número infinitamente grande de valores correspondientes a los

puntos sobre un intervalo en una línea recta. Ejemplos:

* El tiempo de vida de una célula humana.

* La cantidad de lluvia que cae en Ixtlahuacán durante una hora.

* La cantidad de azúcar en una manzana.

Veamos algunos ejercicios referentes a este capítulo.

* Dado que se lanzan dos dados normales, ¿Cuál es la

probabilidad de que la suma de las caras sea 4, si se sabe:

a) que cayeron dos caras impares?

S =

(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6)

(2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (2,6)

(3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (3,5) ; (3,6)

(4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (4,5) ; (4,6)

(5,1) ; (5,2) ; (5,3) ; (5,4) ; (5,5) ; (5,6)

(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (6,6)

A = { (1,3) (3,1) (2,2) }

B = { (1,1) (1,3) (1,5) (3,1) (3,3) (3,5) (5,1) (5,3) (5,5) }

A B = { (1,3) (3,1) }

P( A B ) = 2 / 36 = 1/18 P( B ) = 9 / 36 = 1 / 4

P( A / B ) = P( A B) / P( B ) = ( 2 / 36 ) / ( 9 / 36 ) = 2 / 9

b) que la primera cara es par?

C = (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (2,6)

(4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (4,5) ; (4,6)

(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (6,6)

A C = { (2,2) }


92

P( A C ) = 1 / 36 P( C ) = 18 / 36 = 1 / 2

P( A / C ) = P( A C ) / P( C ) = ( 1 / 36 ) / ( 18 / 36 ) = 1 / 18

c) que al menos una cara es par?

D = (1,2) ; (1,4) ; (1,6) ; (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (2,6)

(3,2) ; (3,4) ; (3,6) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (4,5) ; (4,6)

(5,2) ; (5,4) ; (5,6) ; (6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (6,6)

A D = { (2,2) }

P( A D ) = 1 / 36 P( D ) = 27 / 36 = 3 / 4

P( A / D ) = P( A D ) / P( D ) = ( 1 / 36 ) / ( 27 / 36 ) = 1 / 27

d) que la primera cara es 1?

E = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) }

A E = { (1,3) }

P( A E ) = 1 / 36 P( E ) = 6 / 36 = 1 / 6

P( A / E ) = P( A E ) / P( E ) = ( 1 / 36 ) / ( 6 / 36 ) = 1 / 6

* Se tienen dos urnas, en la urna A hay 8 bolas blancas, 6 rojas y

6 azules y en la B 4 blancas, 5 rojas y 6 azules.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca de la urna A?

P(A) = M/n = 8/20 = 2/5 = 0.40 x 100 = 40 %

b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una azul de la urna B?

P(B) = 6/15 = 2/5 = 0.40 x 100 = 40 %

c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja de la urna A ó B?

P(AB) = P(A) + P(B) = 6/20 + 5/15 = 19/30 = 0.633 x 100 = 63.3 %

d) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una azul de la urna A y B?

P(AB) = P(A) * P(B) = (6/20)(6/15) = 36/300 = 0.12 x 100 = 12 %


93

* Los pacientes que llegan a una clínica pueden seleccionar una

de tres secciones para ser atendidos. Supongamos que los médicos se asignan

al azar a las secciones y que los pacientes no tienen preferencia especial por

ninguna de las secciones. Tres pacientes llegan a la clínica y se registra la

sección que escogen.

a) Haga una lista de los puntos muéstrales para este experimento.

Los puntos muéstrales serán los escogidos por los pacientes entre las

secciones 1, 2 y 3, teniéndose entonces que:

S = (111) ; (112) ; (113) ; (121) ; (122) ; ( ; (131) ; (132) ; (133)

(211) ; (212) ; (213) ; (221) ; (222) ; (223) ; (231) ; (232) ; (233)

(311) ; (312) ; (313) ; (321) ; (322) ; (323) ; (331) ; (332) ; (333)

123)

b) Sea A el suceso de que cada sección recibe un paciente. Haga una lista

de los puntos muéstrales de A.

A = { (123) ; (132) ; (213) ; (231) ; (312) ; (321) }

c) Haga una asignación razonable de probabilidad a los puntos muéstrales

y encuentre P(A).

Sea Ei cada evento, entonces la P( Ei ) = 1/27 ; por lo tanto la

P(A) se obtiene de la suma de 6 eventos posibles, teniéndose entonces que :

P(A) = 6 / 27 = 2 / 9

* Se le pide a un catador de té que pruebe y clasifique tres

variedades de té, A, B y C, de acuerdo a su preferencia.

a) Defina el experimento.

Ordenar A, B y C para poder llevar a cabo el proceso.


94

b) Haga una lista de los puntos muéstrales.

S = { (ABC) ; (ACB) ; (BAC) ; (BCA) ; (CBA) ; (CAB) }

c) Si el catador no tuviera habilidad para distinguir la diferencia de sabor

entre los tres tipos de té, ¿cuál es la probabilidad de que concluya que el té de

tipo A es el mejor?

Como en dos de las seis ocasiones de los puntos muéstrales

coloca a el té de tipo A como mejor que los otros dos, tenemos entonces de

que la probabilidad de que escoja al té de tipo A como el mejor es:

P( A) = 2 / 6 = 1 / 3 = 0.333 x 100 = 33.3 %

* Los avisos comerciales de televisión se diseñan para atraer a la

audiencia más probable del programa que se está auspiciando. Sin embargo,

S. Ward en su trabajo “Reacciones de los niños a los Avisos Comerciales”,

observa que los niños frecuentemente poseen una comprensión baja de los

avisos comerciales, aún de aquellos diseñados para atraer especialmente a los

niños. Las investigaciones de Ward demuestran que los porcentajes de niños

que comprenden los avisos comerciales para diferentes edades son los

especificados en la siguiente tabla.

Edad

5 - 7 8 - 10 11 - 12

No comprenden 55 % 40 % 15 %

Comprenden 45 % 60 % 85 %


95

En un experimento de laboratorio para evaluar la comprensión de los avisos

comerciales, se muestra a un niño de 6 años y a un niño de 9 años.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el mensaje sea entendido por el niño de

6 años?

R.- La probabilidad de que el aviso sea entendido por el niño de 6

años es 45 %, ya que para el niño de 6 años existen dos valores posibles, los

cuales son el que entienda y el que no entienda, por lo tanto según la tabla

mostrada por Ward tenemos que el niño de 6 años comprende el mensaje con

una probabilidad de 45 %.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos niños comprendan el aviso?

R.- Como la probabilidad de que el niño de 6 años comprenda es

independiente de la del niño de 9 años, tenemos un evento independiente,

por lo tanto el producto de las probabilidades de que los dos niños

comprendan el aviso será la probabilidad de que ambos niños lo comprendan,

teniéndose entonces que: P(Comprendan ambos niños) = (0.45)(0.60) =

0.27x100 = 27%


1.- Un inversionista tiene la oportunidad de invertir en tres de cinco tipos

recomendados de acciones. El inversionista no sabe que sólo dos de los

cinco tipos producirán un beneficio sustancial en los próximos 5 años.

Si el inversionista selecciona los tres tipos de acciones al azar (dándole

a cada combinación de tres tipos la misma probabilidad de selección),


96

¿cuál es la probabilidad de que seleccione los dos tipos de acciones más

beneficiosos?

2.- Se lanzan dos dados normales, ¿cuál es la probabilidad de que la suma

de los dos números que aparecen sea igual a 7?, ¿ igual a 11?

3.- Cuatro trabajadores, de los cuales dos pertenecen a un grupo

minoritario, se asignan a cuatro empleos netamente distintos.

a) Defina el experimento.

b) Haga una lista de los puntos muéstrales en S.

c) Si la asignación de empleos es imparcial, es decir, si una

asignación es tan probable como cualquier otra, ¿cuál es la

probabilidad de que los dos trabajadores del grupo minoritario

sean asignados a los dos empleos menos deseables?

4.- Una encuesta entre consumidores en una comunidad particular mostró

que el 10 % no quedó satisfecho con los trabajos de plomería hechos en

sus casas. 50 % de las quejas fueron respecto al plomero A, si el

plomero A hace el 40 % de los trabajos de plomería en la ciudad, ¿cuál

es la probabilidad de obtener:

a) Un trabajo de plomería no satisfactorio, si fue el plomero A?

b) Un trabajo satisfactorio, dado que el plomero es A?

5.- En cada uno de los siguientes casos, indique si la variable es discreta o

continua:

a) El número de homicidios en Ixtlahuacán durante un mes.

b) El tiempo que transcurre entre la llegada de pacientes a una

clínica.

c) El número de errores de mecanografía por página.

d) El tiempo requerido para terminar un examen.


97

e) El número de bombillos defectuosos en un paquete que contiene

4 bombillos.

6.- Si se lanzan tres monedas legales, ¿cuál es la probabilidad de que caiga:

a) Una cara o más?

b) Al menos un sol?

c) Exactamente dos caras?

7.- De cuántas formas se pueden sentar diez personas en una banca con

espacio para cuatro.

8.- De cuantas formas puede elegirse una comisión de cinco personas de

entre nueve.

9.- Si hay seis bulbos defectuosos en lote de cien y se hace una selección

aleatoria de dos bulbos sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que:

a) se seleccione un bulbo bueno y uno defectuoso?

b) se escojan dos bulbos en buen estado?

c) se seleccionen dos bulbos defectuosos?

d) se elijan uno o más bulbos defectuosos?

e) se tomen uno o más bulbos en buen estado?


98

En esté capítulo se explicarán algunas distribuciones de muestreo

que son necesarias en un curso de Probabilidad y Estadística, como son: La

Distribución de Poisson, La Distribución Binomial, La Distribución Normal y

La Distribución t de Student. Este tipo de distribución corresponde a el tipo

de variable aleatoria continua, ya que la distribución de variable aleatoria

discreta la podemos observar en las frecuencias relativas de los cuadros

estadísticos presentados en el capítulo dos.

Para obtener una distribución de probabilidad con variable

aleatoria continua, notamos que la probabilidad de que X se encuentre entre

dos valores diferentes tiene significado. Esta idea y las siguientes

propiedades:

1.- f(X) 0

2.- f x dx( )

1

nos conducen a postular la existencia de una función f(x), donde

x ( , ) . Entonces definimos la probabilidad de que x [a,b], como:

P a x b f x dxa

b( ) ( )

de donde se puede demostrar que esta definición satisface los axiomas de

probabilidad dados en el capítulo 6. Una función f(x) que satisface los

requisitos anteriores se llama función de probabilidad o distribución de

probabilidad para variable aleatoria continua, pero con mayor frecuencia se le

denomina función de densidad de probabilidad o simplemente función de

densidad.


99

DISTRIBUCION BINOMIAL

Es una de las distribuciones de probabilidad que se encuentra con

mayor frecuencia en Estadística aplicada. La distribución se obtiene de un

proceso conocido como Ensayo de Bernoulli2.

Cuando un ensayo de algún experimento puede conducir sólo a

uno o dos resultados mutuamente excluyentes, tales como: muerto ó vivo, día

ó noche, masculino ó femenino, cara ó cruz, etc. , el ensayo se conoce con el

nombre de Ensayo de Bernoulli. Una sucesión de Ensayos de Bernoulli

forman un Proceso de Bernoulli, bajo las siguientes condiciones:

1.- Cada ensayo conduce a uno de dos resultados posibles mutuamente

excluyentes denominados por éxito (p) o fracaso (q).

2.- La probabilidad de éxito denotada por (p), permanece constante de

ensayo a ensayo. La probabilidad de fracaso (q) es 1-p.

3.- Los ensayos son independientes, es decir, el resultado de uno no es

afectado por el resultado del otro.

A continuación veremos la fórmula para obtener la probabilidad

aplicando la Distribución Binomial, enunciando que esta distribución sirve

para obtener la probabilidad de un evento cuando se tienen muestras grandes

y probabilidades grandes.

P( x ) = nCx * px*q

n - x

2 James Bernoulli (1654-1705), matemático suizo que realizó importantes contribuciones en el campo de la

probabilidad.


100

Como: nCx = n !

( n - r ) ! r !

entonces: P( x ) = n !

(n - r)! r! p qx n-x

donde: n = Tamaño de la muestra.

x = No. de elementos tomados de la muestra.

p = Probabilidad de éxito.

q = 1 - p = Probabilidad de fracaso.

A la expresión anterior se le conoce como Distribución de

Probabilidad Binomial, y debe de cumplir con:

a).- P(X) 0 para todos los valores de x.

b).- P(X) = 1

c).- n 1, ya que debe de existir una muestra.

Hablando estrictamente el uso de la Distribución Binomial es

aplicable en aquellos casos en donde el muestreo es a partir de una población

finita con reemplazo. Como en la práctica real frecuentemente se extraen las

muestras sin reemplazo de poblaciones finitas, surge naturalmente la pregunta

de lo apropiado de la Distribución Binomial bajo estas circunstancias. El que

la Distribución Binomial sea apropiada o no, depende de que tan drástico sea

el efecto de estas condiciones sobre las circunstancias de éxito de ensayo a

ensayo. En general se conviene que cuando n es pequeño relativo a N, el

modelo de la Distribución Binomial resulta el más apropiado. Algunos

autores mencionan que n es pequeña respecto a N , si N por lo menos es 10

veces mayor que n.


101

* Supóngase que la tasa de mortalidad para cierta enfermedad de

una población es 0.1 , supóngase que la contraen 10 personas, ¿cuál es la

probabilidad de que:

a).- ninguna sobreviva?

p = 0.1q = 0.9

x = 10 P(10) = 10 !

(10 - 10)! 10! (0.10) (0.90)10 10-10

n = 10 = ( 1 )( 1 x 10- 10 )( 1 ) = 1 x 10- 10 x 100

= 1 x 10- 8 %

b).- el 50 % se muera?

p = 0.1q = 0.9

x = 5 P(5) = 10 !

(10 - 5)! 5! (0.10) (0.90)5 10-5

n = 10 = ( 252 )( 1 x 10- 5 )( 0.59049 )

= 0.1488 %

c).- al menos 3 mueran?

p = 0.1 P(X 3) = P( 3 ) + P( 4 ) + · · · + P( 10 )q = 0.9x = 0,1,2 = 1 - [ P( 0 ) + P( 1 ) + P( 2 ) ]n = 10

P(X 3) = 1 - [ 10 !

(10-0)! 0!(.10) (.90)

10 !

(10-1)! 1!(.10) (.90)

10 !

(10-2)! 2!(.10)0 10-0 1 10-1 2

(. )90 10 2]

P(X 3) = 1 - [0.3486 + 0.3874 + 0.1937] = 1 - 0.9297 = 0.0703 x 100

P(X 3) = 7.03 % es el valor de la probabilidad de que 3 o más mueran.

d).- exactamente 3 se mueran?


102

p = 0.1q = 0.9

x = 3 P(3) = 10 !

(10 - 3)! 3!(0.10) (0.90)3 10-3

n = 10 = 120 * ( 1 x 10- 3 )( 0.4782 )

= 0.0573 x 100 = 5.73 %

DISTRIBUCION DE POISSON

La Distribución de Poisson3 es usada con amplitud en Biología,

Medicina y en todas las ramas de las Ciencias Sociales, sin embargo existen

muchos problemas en los que es bastante útil. Si x es el número de

ocurrencias de un evento aleatorio en un intervalo de tiempo o espacio, la

probabilidad de que ocurra x está dada por:

P( x ) = e

X !

- x

donde x = 0, 1, 2, 3, . . . ; = parámetro de la distribución y es el número

promedio de ocurrencias del evento aleatorio en el intervalo; e = 2.7183 ,

que es una constante del número exponencial. Puede demostrarse también

que:

1.- f(x) 0

2.- f(x) = 1

de modo que la distribución satisface los requerimientos para la distribución

de una probabilidad. Se ha observado que la Distribución Binomial surge a

partir de un conjunto de suposiciones acerca de un proceso fundamental que

3 Simond Denis Poisson (1781 - 1840) matemático francés a quien se le acreditó la publicación de su deducción en 1837.


103

proporciona un conjunto de observaciones numéricas. Este también es el caso

de la Distribución de Poisson que además cumple con las siguientes

proposiciones:

1.- La ocurrencia de los eventos son independientes.

2.- Teóricamente debe ser posible un número infinito de ocurrencias del

evento en el intervalo.

3.- La probabilidad de la ocurrencia única del evento en un intervalo

dado, es proporcional a la longitud del intervalo.

4.- En cualquier porción infinitesimal del intervalo debe despreciarse la

probabilidad de más de una ocurrencia en el evento.

5.- Una particularidad de la distribución de Poisson es que la varianza y

la media son iguales.

La Distribución de Poisson tiene muchas aplicaciones, así mismo

mencionaremos que este tipo de distribución se utiliza cuando se tienen

probabilidades grandes y sucesos o eventos pequeños.

* El administrador de un Hospital a observado que las

admisiones de emergencia durante un periodo de varios años se distribuyen de

acuerdo a la ley de Poisson. Los registros del Hospital revelan que durante

este periodo han sido de un promedio de 3 por día. Si el administrador del

Hospital está en lo cierto, hallar la probabilidad de que:

a).- en un día dado ocurran exactamente dos admisiones.

e = 2.7183

= 3 P( 2 ) = e

X !

(2.7183)

!0.2240 x 100 = 22.4 %

- x -3

( )3

2

2

x = 2


104

b).- en un día particular no ocurra admisión alguna.

e = 2.7183

= 3 P( x ) = e

X !

- x

x = 0

P( 0 ) = ( . ) ( )

.2 7183 3

00 04978

3 0

! x 100 = 4.978 %

c) en un día en particular se admitan 3 ó 4 casos.

e = 2.7183

= 3 P( x ) = e

X !

- x

x = 3 ó 4

P( 3 ó 4 ) = P( 3 ) + P( 4 )

P( 3 ó 4 ) = ( . ) ( ) ( . ) ( )2 7183 3

3

2 7183 3

4

3 3 3 4

! !

P( 3 ó 4 ) = 0.2240 + 0.1680 = 0.3920 x 100 = 39.2 %

* El 10 % de los tornillos producidos en una fábrica resultan

defectuosos. Hallar la probabilidad de que en una muestra de 10 tornillos

seleccionados aleatoriamente, exactamente dos estén defectuosos.

a).- Empleando la Distribución Binomial.

P( x ) = n !

(n - r)! r! p qx n-x

p = 0.1 q = 0.9 x = 2 n = 10

P(2)= 10 !

(10-2)! 2! ( . ) ( . ) ( )( . )( . ) . . %010 090 45 001 04304 01937 100 19372 10 2 x


105

b).- Empleando la Distribución de Poisson.

e = 2.7183

= n * p = 1 P( x ) = e

X !

- x

x = 2

P(2) = ( . ) ( )

.2 7183 1

20 1839 100

1 2

! x = 18.39 %

* Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por

una inyección de un determinado suero es 0.001; determinar la probabilidad

de que de un total de 200 individuos:

a).- exactamente 3 tengan reacción.

e = 2.7183

= n * p = 0.2 P( x ) = e

X !

- x

x = 3

P( 3 ) = ( . ) ( . )

..2 7183 0 2

30 0010916 x 100

0 2 3

!= 0.10916 %

b).- más de dos individuos tengan la reacción.

e = 2.7183

= n * p = 0.2 P( x ) = e

X !

- x

x = 3, 4, * * * , 200

P(X 2) = P(3) + P(4) + * * * + P(200) = 1 - [ P(0) + P(1) + P(2) ]

= 1 -( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ). . .2 7183 0 2

0

2 7183 0 2

1

2 7183 0 2

2

0 2 0 0 2 1 0 2 2

!

+ ! !

= 1 - (0.813781 + 0.162756 + 0.016275 ) = 1 - 0.992812

= 0.007188 x 100 = 0.7188 %


106

DISTRIBUCION NORMAL

Uno de los más importantes ejemplos de la distribución continua

es la Distribución Normal, algunas veces denominada Distribución

Gaussiana. La función de densidad para la Distribución Normal está dada por:

f x e( ) ( /

1

2 x - )2

2 2

donde: x

µ = media aritmética.

= desviación estándar.

La función de distribución correspondiente esta dada por:

F(x) = P(X x) =1

2x (x - )

-

x2 2

e d/2

En este caso decimos que la variable aleatoria X está

normalmente distribuida con media µ y varianza . Una de las

características de la Distribución Normal es que se va a desplazar sobre el eje

horizontal dependiendo del valor de la media de la siguiente manera:

0 µ1 µ2


107

Para la distribución, como ya vimos anteriormente en su función

de densidad, el valor de la probabilidad se va a obtener mediante una función

de integración, la cuál no será necesario desarrollar debido a que existen

tablas que podemos utilizar para el cálculo de las probabilidades, además,

sería muy difícil ya que una integral se resuelve mediante una sucesión. Para

el cálculo de la Distribución Normal utilizaremos la Distribución Normal

Unitaria, a la cual se llega desarrollando la integral y encontrando un

parámetro Z con el cual obtendremos el área bajo la curva, que será la

probabilidad buscada.

Y si hacemos que Z sea la variable normalizada de x, tenemos:

Z = X -

Ahora bien, si µ = 0 y = 1 al sustituirlos en F(x) tenemos:

f( z ) = 1

2z / 2

e

Este resultado se conoce frecuentemente como la función o la

distribución de densidad normal tipificada. La función de distribución

correspondiente esta dada por:

F(z) = P(Z z) =1

2du =

1

2

1

2du- u

-

x- u

-

x2 2

e e/ /2 2

0

Esta integral no puede evaluarse por métodos ordinarios. (La

dificultad proviene del hecho que no podemos aplicar el Teorema

Fundamental del Cálculo puesto que no podemos encontrar una función cuya

derivada sea igual a e -u²/2 ). Sin embargo esta función ha sido tabulada

ampliamente, y en el Apéndice se da un extracto de tal tabla. En la siguiente


108

figura se muestra una representación gráfica de la función de densidad, que

también se conoce como Curva Normal Tipificada.

-3 -2 -1 0 1 2 3

P( -1 Z 1 ) = 0.6827 (68.27 %)P( -2 Z 2 ) = 0.9545 (95.45 %)P( -3 Z 3 ) = 0.9973 (99.73 %)

* Hallar el área bajo la curva normal tipificada:

a).- Entre z = 0 y z = 1.2

Utilizando la tabla del Apéndice II (tabla 1), baje por la columna

marcada con z hasta alcanzar el valor 1.2. Luego proceda a la derecha hasta la

columna marcada con 0. El resultado 0.3849 es el área pedida y representa

la probabilidad de que Z esté entre 0 y 1.2, por lo tanto:

P( 0 Z 1.2 ) = 0.3849 x 100 = 38.49 %

b).- Entre z = -0.68 y z = 0

Área pedida = área entre z = 0 y z = +0.68 (por simetría). Por tanto, baje por

la columna z hasta alcanzar el valor 0.6. Entonces, proceda a la derecha hasta

la columna 8; el resultado, 0.2517, es el área pedida y representa la

probabilidad de que Z esté entre -0.68 y 0.

c).- Entre z = -0.46 y z = 2.21

Área pedida = (área entre z = -0.46 y z = 0) + (área entre z = 0 y z = 2.21 ).


109

En base al mismo proceso tenemos:

Área entre z = -0.46 y z = 0 es: 0.1772

Área entre z = 0 y z = 2.21 es: 0.4864

Área entre z = -0.46 y z = 2.21 es: 0.6636

d).- Entre z = 0.81 y z = 1.94

Área pedida = (área entre z = 0 y z = 1.94) - (área entre z = 0 y z = 0.81)

En base al mismo proceso tenemos:

Área entre z = 0 y z = 1.94 es: 0.4738

Área entre z = 0 y z = 0.81 es: 0.2910

Área entre z = 0.81 y z = 1.94 es: 0.1828

e).- Para z -1.28

Área pedida = (área entre z = -1.28 y z = 0) + (área a la derecha de z = 0)

Área entre z = -1.28 y z = 0 es: 0.3997

Área a la derecha de z = 0 es: 0.5000

Área para z -1.28 es: 0.8997

* Si las estaturas de 300 estudiantes están distribuidas

normalmente con media igual a 1.7 metros y desviación típica de 0.1 metros.

Hallar la probabilidad de que:

a).- Los estudiantes sean mayores de 1.85 metros.

z = x -

µ = 1.7 = 0.1 x = 1.85

z = 1 .85 - 1.70 0 .15

0 .10= 1 .5

0 10.

El área entre 0 y 1.5 es 0.4332; el área pedida es:


110

( área a la derecha de z = 0 ) - ( 0.4332 ) = 0.0668

entonces P( x 1.85 ) = 0.0668 x 100 = 6.68 %

b).- Cuántos estudiantes tendrán una estatura mayor que 1.85 m.

x = n·p = (300)(0.0668) = 20 estudiantes

c).- Tengan una estatura 1.55 metros

z = 1 .55 - 1 .70 - 0 .15

0 .10= - 1 .5

0 10.

El área pedida es para z -1.5, por lo tanto la probabilidad es:

P( x 1.55 ) = 0.5000 - 0.4332 = 0.0668 x 100 = 6.68 %

* Las ventas diarias de un pequeño restaurante tienen una

distribución normal aproximada con media = 530 y desviación típica de 120.

a).- ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas excedan los 700 un día dado?

z = 700 - 530 170

120= 1.416

120

P( x700 ) = 0.5000 - 0.4207 = 0.0793 x 100 = 7.93 %

b).- ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean menores de 300?

z = 300 - 530 - 230

120= - 1.916

120

P( x300 ) = 0.5000 - 0.4719 = 0.0281 x 100 = 2.81 %

c).- ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas estén entre 350 y 610?

z1 = 350 - 530 - 180

120= - 1.5

120

z2 = 610 - 530 80

120= - 0.67

120

P(350 x 610) = 0.4332 + 0.2486 = 0.6818 x 100 = 68.18 %


111

DISTRIBUCION t de Student

La distribución del estadístico de prueba para muestras extraídas

de una distribución normal, es conocida como la t de Student.

t =x -

s

n

Omitiremos la complicada expresión matemática de la densidad

de t, pero describiremos algunas de sus características. La distribución de t4,

al repetirse el muestreo tiene igual que z un a forma monticular y

perfectamente simétrica respecto a t = 0. A diferencia de z, es mucho más

variable, extendiéndose rápidamente a la derecha y a la izquierda. La

variabilidad de z, al repetirse el muestreo, se debe solamente a x. Las otras

cantidades que aparecen en z ( n y ) no son aleatorias. En cambio, la

variabilidad de t se debe a dos cantidades aleatorias, x y s, y puede

demostrarse que éstas son independientes entre sí. Así, cuando x es muy

grande, s puede ser muy pequeña y viceversa. Como resultado de esto, t es

más variable que z. Finalmente, como podríamos imaginar, la variabilidad de

t disminuye a medida que n aumenta porque la estimación s de estará

basada en más y más información. Cuando n es infinitamente grande, las

distribuciones t y z son idénticas. Así, Gosset descubrió que la distribución

de t depende del tamaño de la muestra n.

El divisor (n - 1) de la suma de los cuadrados de las desviaciones,

que aparece en la fórmula de s², se llama el número de grados de libertad

asociados con s². El origen del término "grados de libertad" está asociado

con

4 W. S. GOSSET: Descubrió y publico en 1908 esta distribución bajo el nombre de Distribución t de Student.


112

la teoría estadística subyacente en la distribución de probabilidad de s². Se

puede decir que el estadístico de prueba t está basado en una muestra de n

observaciones o que tiene (n - 1) grados de libertad.

Los valores críticos de t que separan las regiones de aceptación y

rechazo para la prueba estadística, se presentan en la tabla 2 del Apéndice II.

Los valores de tp indican el valor de t tal que a su derecha se encuentra un

área p, según se muestra en la siguiente figura:

tp

Sí deseamos encontrar el valor de t tal que 5 % del área se

encuentre a su derecha, usamos la columna marcada t.95 . El valor crítico de t

para nuestro ejemplo, se encuentra en la columna marcada con t.95 y en la

fila correspondiente a g.l. = (n - 1) = 5, es t = 2.02.

* Hallar los valores de t para los cuales el área de la cola a la

derecha de la distribución t es 0.05 si el número de grados de libertad (g.l.) es:

a).- 16 ; b).- 27 ; c) 200

a).- 1.75 correspondiente a v = 16 y t.95

b).- 1.70 correspondiente a v = 27 y t.95

c).- 1.645 correspondiente a v = 200 y t.95 (cuando v 121 se toman los

valores para v = )


113


1.- Se sabe que el número promedio de accidentes en una sección dada de una autopista es de 3 por semana. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a).- no ocurran accidentes durante una semana?

b).- ocurran exactamente 2 accidentes en una semana dada?

c).- ocurran 3 o más accidentes en una semana en particular?

2.- Consideremos un defecto metabólico que ocurre aproximadamente uno en cada cien nacimientos. Sí cuatro niños nacen en un hospital un día dado, ¿cuál es la probabilidad de que:

a).- ninguno tenga el defecto?

b).- no más de uno tenga el defecto?

c).- exactamente 3 tengan el defecto?

3.- Durante un período largo de tiempo se observa que un tirador da en el blanco con probabilidad igual a 0.8 cada vez que hace un disparo. Si dispara 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de que de en el blanco:

a).- exactamente 2 veces?

b).- al menos dos veces?

c).- exactamente 4 veces?

4.- El número de personas que ingresan a la unidad de cuidado intensivo de cierto hospital durante un día dado, tiene una distribución de probabilidad con media igual a 5 personas por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día dado:

a).- ingresen entre 4 y 7 personas?

b).- ingresen dos personas exactamente?

c).- ingresen entre 3 y 5 personas?

5.- Supóngase que el número de un tipo particular de bacterias en un mililitro de agua potable tiene una distribución aproximadamente


114

normal con media 85 y desviación estándar 9. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra dada de un mililitro de agua existan:

a).- más de 100 bacterias?

b).- entre 75 y 90 bacterias?

c).- menos de 80 bacterias?

d).- exactamente 93 bacterias?

6.- Los promedios de aprovechamiento de una población grande de estudiantes universitarios tiene una distribución normal con media igual a 2.4 y desviación estándar 0.8.

a).- ¿Qué porcentaje de los estudiantes tiene un promedio mayor que

3?

b).- Sí los estudiantes que tienen aprovechamiento menor o igual a 1.9 deben abandonar la Universidad, ¿qué porcentaje de los estudiantes deben irse?

7.- Para una distribución t de Student con 15 g.l., hallar el valor de t tal:

a).- que el área a la derecha de t sea 0.01

b).- que el área a la izquierda de t sea 0.80

c).- que el área a la derecha de t sea 0.10


115

AREAS BAJO LA CURVANORMAL TIPIFICADADE 0 a Z

0 Z

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .03590.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .07530.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .11410.3 .1179 .1271 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .15170.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .18790.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .22240.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .25490.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .28520.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .31330.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .33891.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .36211.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .38301.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .40151.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .41771.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .43191.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .44411.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .45451.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .46331.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .47061.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .47672.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .48172.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .48572.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .48902.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .49162.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .49362.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .49522.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .49642.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .49742.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .49812.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .49863.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .49903.1 .4990 .4990 .4991 .4991 .4991 .4991 .4992 .4992 .4992 .49923.2 .4993 .4993 .4993 .4993 .4993 .4994 .4994 .4994 .4994 .49953.3 .4995 .4995 .4995 .4995 .4995 .4996 .4996 .4996 .4996 .49963.4 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4998 .4998 .4998 .4998 .49983.5 .4998 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .5000 .5000


116

PERCENTILES DE LADISTRIBUCION t de StudentCON v GRADOS DE LIBERTAD

tp

v t.500 t.600 t.700 t.750 t.800 t.900 t.950 t.975 t.990 t.995

1 0.158 0.325 0.727 1.000 1.376 3.080 6.314 12.706 31.821 63.6572 0.142 0.289 0.617 0.816 1.061 1.886 2.920 4.303 6.965 9.4253 0.137 0.277 0.586 0.765 0.978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.8414 0.134 0.271 0.569 0.741 0.941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.6045 0.132 0.267 0.559 0.727 0.920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.0326 0.131 0.265 0.553 0.718 0.906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.7077 0.130 0.263 0.549 0.711 0.896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.4998 0.130 0.262 0.546 0.706 0.889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.3559 0.129 0.261 0.543 0.703 0.883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.25010 0.129 0.260 0.542 0.700 0.879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.16911 0.129 0.260 0.540 0.697 0.876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.05512 0.128 0.259 0.539 0.695 0.873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.01213 0.128 0.259 0.538 0.694 0.870 1.350 1.771 2.160 2.650 2.99714 0.128 0.258 0.537 0.692 0.868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.94715 0.128 0.258 0.536 0.691 0.866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.92116 0.128 0.258 0.535 0.690 0.865 1.337 1.746 2.120 2.583 2.89817 0.128 0.257 0.534 0.689 0.863 1.333 1.740 2.110 2.567 2.87818 0.127 0.257 0.534 0.688 0.862 1.330 1.734 2.101 2.552 2.86119 0.127 0.257 0.533 0.688 0.861 1.328 1.729 2.093 2.539 2.84520 0.127 0.257 0.533 0.687 0.860 1.325 1.725 2.086 2.528 2.83121 0.127 0.257 0.532 0.686 0.859 1.323 1.721 2.080 2.518 2.81922 0.127 0.256 0.532 0.686 0.858 1.321 1.717 2.074 2.508 2.80723 0.127 0.256 0.532 0.685 0.858 1.319 1.714 2.069 2.500 2.79724 0.127 0.256 0.531 0.685 0.857 1.318 1.711 2.064 2.492 2.78725 0.127 0.256 0.531 0.684 0.856 1.316 1.708 2.060 2.485 2.77926 0.127 0.256 0.531 0.684 0.856 1.315 1.706 2.056 2.479 2.77127 0.127 0.256 0.531 0.684 0.855 1.314 1.703 2.048 2.473 2.76328 0.127 0.256 0.530 0.683 0.855 1.313 1.701 2.045 2.467 2.76329 0.127 0.256 0.530 0.683 0.854 1.311 1.699 2.030 2.462 2.75630 0.127 0.256 0.530 0.683 0.854 1.300 1.685 2.020 2.440 2.750

40 0.126 0.255 0.529 0.681 0.851 1.300 1.680 2.020 2.420 2.70050 0.126 0.255 0.529 0.681 0.851 1.300 1.680 2.000 2.390 2.70060 0.126 0.254 0.527 0.679 0.848 1.290 1.670 1.980 2.390 2.66070 0.126 0.254 0.527 0.679 0.848 1.290 1.670 1.980 2.360 2.620 0.126 0.253 0.524 0.674 0.842 1.280 1.640 1.960 2.330 2.580


117

TABLAS DE PROBABILIDADES BINOMIALES

Los valores que se dan en la tabla son p( y )y = 0

a

.

( Los cálculos están redondeados a la tercera cifra decimal )

a) n = 5 pa 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99

0 0.951 0.774 0.590 0.328 0.168 0.078 0.031 0.010 0.002 0.000 0.000 0.000 0.0001 0.999 0.997 0.919 0.737 0.528 0.337 0.188 0.087 0.031 0.007 0.000 0.000 0.0002 1.000 0.999 0.991 0.942 0.837 0.683 0.500 0.317 0.163 0.058 0.009 0.001 0.0003 1.000 1.000 1.000 0.993 0.969 0.913 0.812 0.663 0.472 0.263 0.081 0.023 0.0014 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.990 0.969 0.922 0.832 0.672 0.410 0.226 0.049

b) n = 10 pa 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99

0 0.904 0.599 0.349 0.107 0.028 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0001 0.996 0.914 0.736 0.376 0.149 0.046 0.011 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0002 1.000 0.988 0.930 0.678 0.383 0.167 0.055 0.012 0.002 0.000 0.000 0.000 0.0003 1.000 0.999 0.987 0.879 0.650 0.382 0.172 0.055 0.011 0.001 0.000 0.000 0.0004 1.000 1.000 0.998 0.967 0.850 0.633 0.377 0.166 0.047 0.006 0.000 0.000 0.0005 1.000 1.000 1.000 0.994 0.953 0.834 0.623 0.367 0.150 0.033 0.002 0.000 0.0006 1.000 1.000 1.000 0.999 0.989 0.945 0.828 0.618 0.350 0.121 0.013 0.001 0.0007 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.988 0.945 0.833 0.617 0.322 0.070 0.012 0.0008 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.989 0.954 0.851 0.624 0.264 0.086 0.0049 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.994 0.972 0.893 0.651 0.401 0.096

c) n = 15 pa 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99

0 0.860 0.463 0.206 0.035 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0001 0.990 0.829 0.549 0.167 0.035 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0002 1.000 0.964 0.816 0.398 0.127 0.027 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0003 1.000 0.995 0.944 0.648 0.297 0.091 0.018 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0004 1.000 0.999 0.987 0.836 0.515 0.217 0.059 0.009 0.001 0.000 0.000 0.000 0.0005 1.000 1.000 0.998 0.939 0.722 0.403 0.151 0.034 0.004 0.000 0.000 0.000 0.0006 1.000 1.000 1.000 0.982 0.869 0.610 0.304 0.095 0.015 0.001 0.000 0.000 0.0007 1.000 1.000 1.000 0.996 0.950 0.787 0.500 0.213 0.050 0.004 0.000 0.000 0.0008 1.000 1.000 1.000 0.999 0.985 0.905 0.696 0.390 0.131 0.018 0.000 0.000 0.0009 1.000 1.000 1.000 1.000 0.996 0.966 0.849 0.597 0.278 0.061 0.002 0.000 0.000

10 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.991 0.941 0.783 0.485 0.164 0.013 0.001 0.00011 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.982 0.909 0.703 0.352 0.056 0.005 0.00012 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.996 0.973 0.873 0.602 0.184 0.036 0.00013 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.995 0.965 0.833 0.451 0.171 0.01014 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.995 0.965 0.794 0.537 0.140


118

d) n = 20 pa 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99

0 0.818 0.358 0.122 0.012 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0001 0.983 0.736 0.392 0.069 0.008 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0002 0.999 0.925 0.677 0.206 0.035 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0003 1.000 0.984 0.867 0.411 0.107 0.016 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0004 1.000 0.997 0.957 0.630 0.238 0.051 0.006 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0005 1.000 1.000 0.989 0.804 0.416 0.126 0.021 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0006 1.000 1.000 0.998 0.913 0.608 0.250 0.058 0.006 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0007 1.000 1.000 1.000 0.968 0.772 0.416 0.132 0.021 0.001 0.000 0.000 0.000 0.0008 1.000 1.000 1.000 0.990 0.887 0.596 0.252 0.057 0.005 0.000 0.000 0.000 0.0009 1.000 1.000 1.000 0.997 0.952 0.755 0.412 0.128 0.017 0.001 0.000 0.000 0.000

10 1.000 1.000 1.000 0.999 0.983 0.872 0.588 0.245 0.048 0.003 0.000 0.000 0.00011 1.000 1.000 1.000 1.000 0.995 0.943 0.748 0.404 0.113 0.010 0.000 0.000 0.00012 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.979 0.868 0.584 0.228 0.032 0.000 0.000 0.00013 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.994 0.942 0.750 0.392 0.087 0.002 0.000 0.00014 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.979 0.874 0.584 0.196 0.011 0.000 0.00015 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.994 0.949 0.762 0.370 0.043 0.003 0.00016 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.984 0.893 0.589 0.133 0.016 0.00017 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.996 0.965 0.794 0.323 0.075 0.00118 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.992 0.931 0.608 0.264 0.01719 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.988 0.878 0.642 0.182

e) n = 25 pa 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99

0 0.778 0.277 0.072 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0001 0.974 0.642 0.271 0.027 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0002 0.998 0.873 0.537 0.098 0.009 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0003 1.000 0.966 0.764 0.234 0.033 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0004 1.000 0.993 0.902 0.421 0.090 0.009 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0005 1.000 0.999 0.967 0.617 0.193 0.029 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0006 1.000 1.000 0.991 0.780 0.341 0.074 0.007 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0007 1.000 1.000 0.998 0.891 0.512 0.154 0.022 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0008 1.000 1.000 1.000 0.953 0.677 0.274 0.054 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0009 1.000 1.000 1.000 0.983 0.811 0.425 0.115 0.013 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

10 1.000 1.000 1.000 0.994 0.902 0.586 0.212 0.034 0.002 0.000 0.000 0.000 0.00011 1.000 1.000 1.000 0.998 0.956 0.732 0.345 0.078 0.006 0.000 0.000 0.000 0.00012 1.000 1.000 1.000 1.000 0.983 0.846 0.500 0.154 0.017 0.000 0.000 0.000 0.00013 1.000 1.000 1.000 1.000 0.994 0.922 0.655 0.268 0.044 0.002 0.000 0.000 0.00014 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.966 0.788 0.414 0.098 0.006 0.000 0.000 0.00015 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.987 0.885 0.575 0.189 0.017 0.000 0.000 0.00016 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.996 0.946 0.726 0.323 0.047 0.000 0.000 0.00017 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.978 0.846 0.488 0.109 0.002 0.000 0.00018 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.993 0.926 0.659 0.220 0.009 0.000 0.00019 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.971 0.807 0.383 0.033 0.001 0.00020 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.991 0.910 0.579 0.098 0.007 0.00021 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.967 0.766 0.236 0.034 0.00022 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.991 0.902 0.463 0.127 0.00223 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.973 0.729 0.358 0.02624 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.996 0.928 0.723 0.222


119

TABLA DE VALORES DE e- X

X e-X X e-X X e-X X e-X

0.00 1.000000 2.60 0.074274 5.10 0.006097 7.60 0.0005010.10 0.904837 2.70 0.067206 5.20 0.005517 7.70 0.0004530.20 0.818731 2.80 0.060810 5.30 0.004992 7.80 0.0004100.30 0.740818 2.90 0.055023 5.40 0.004517 7.90 0.0003710.40 0.670320 3.00 0.049787 5.50 0.004087 8.00 0.0003360.50 0.606531 3.10 0.045049 5.60 0.003698 8.10 0.0003040.60 0.548812 3.20 0.040762 5.70 0.003346 8.20 0.0002750.70 0.496585 3.30 0.036883 5.80 0.003028 8.30 0.0002490.80 0.449329 3.40 0.033373 5.90 0.002739 8.40 0.0002250.90 0.406570 3.50 0.030197 6.00 0.002479 8.50 0.0002041.00 0.367879 3.60 0.027324 6.10 0.002243 8.60 0.0001841.10 0.332871 3.70 0.024724 6.20 0.002029 8.70 0.0001671.20 0.301194 3.80 0.022371 6.30 0.001836 8.80 0.0001511.30 0.272532 3.90 0.020242 6.40 0.001661 8.90 0.0001361.40 0.246597 4.00 0.018316 6.50 0.001503 9.00 0.0001231.50 0.223130 4.10 0.016573 6.60 0.001360 9.10 0.0001121.60 0.201897 4.20 0.014996 6.70 0.001231 9.20 0.0001011.70 0.182684 4.30 0.013569 6.80 0.001114 9.30 0.0000911.80 0.165299 4.40 0.012277 6.90 0.001008 9.40 0.0000831.90 0.149569 4.50 0.011109 7.00 0.000912 9.50 0.0000752.00 0.135335 4.60 0.010052 7.10 0.000825 9.60 0.0000682.10 0.122456 4.70 0.009095 7.20 0.000747 9.70 0.0000612.20 0.110803 4.80 0.008230 7.30 0.000679 9.80 0.0000562.30 0.100259 4.90 0.007447 7.40 0.000611 9.90 0.0000502.40 0.090718 5.00 0.006738 7.50 0.000553 10.00 0.0000452.50 0.082085


120

BIBLIOGRAFIA

1 MENDENHALL, WILLIAM ; INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA : WADSWORTH INTERNATIONAL / IBEROAMERICA ; U.S.A 1982

2 SPIEGEL, MURRAY R.; PROBABILIDAD Y ESTADISTICA ; McGRAW HILL ; MEXICO. 1990

3 HERNANDEZ L. HONESIMO ; ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA ; FONDO DE CULTURA ECONOMICA ; MEXICO ; 1979

4 OSTLE, BERNARD ; ESTADISTICA APLICADA ; LIMUSA ;

MEXICO ; 1989

5 McALLISTER, HARRY E. ; ELEMENTOS DE ESTADISTICA EN ECONOMIA Y LOS NEGOCIOS ; ECASA ; MEXICO ; 1987

6 FELLER, WILLIAM ; INTRODUCCION A LA TEORIA DE PROBABILIDAD Y SUS APLICACIONES ; VOLUMEN 1 ; LIMUSA ; MEXICO ; 1983

7 MEYER, PAUL L. ; PROBABILIDAD Y APLICACIONES

ESTADISTICAS ; FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO ;

MEXICO ; 1982

8 LEVIN, JACK ; FUNDAMENTOS DE ESTADISTICA EN LA INVESTIGACION SOCIAL ; HARLA ; MEXICO ; 1987

9 CEDILLO, TENOCH E. ; ESTADISTICA ; SECCION DE MATEMATICA EDUCATIVA DEL CINVESTAV - IPN ; MEXICO ; 1986


121

10 MORENO N., MIGUEL A. ; PROBABILIDAD ; SECCION DE MATEMATICA EDUCATIVA DEL CINVESTAV - IPN ; MEXICO ; 1985

11 HARNETT - MURPHY ; INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

Y ESTADIS TICA; ADDISON - WESLEY IBEROAMERICANA ;

U.S.A.; 1987

12 GARZA OLVERA, BENJAMIN ; ESTADISTICA Y PROBABILIDAD ; INTER- AMERICANA DE ACESORIA Y SERVICIOS ; D.G.T.I. ; MEXICO; 1994

probabilidad y estadistica - m isaías, e farias

Documents