TEMA: PROBABILIDAD CONDICIONAL:

DEPENDIENTE, INDEPENDIENTE.

INGENIERIA EN SISTEMA COMPUTACIONALES

03 DE MARZO DEL 2015

Introduccin

Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser predichos con

exactitud desde antes por diversas razones, pues la mayora de los hechos estn influidos

por factores externos. Adems, existen aquellos sucesos que estn directamente

influidos por el azar, es decir, por procesos que no se est seguro de lo que va a ocurrir.

Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos,

ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando mtodos para tales

ponderaciones.

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los

eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una

herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la poca.

El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemticos de la corte.

Con el tiempo estas tcnicas matemticas se perfeccionaron y encontraron otros usos

muy diferentes para la que fueron creadas .Actualmente se continu con el estudio de

nuevas metodologas que permitan maximizar el uso de la computacin en el estudio de

las probabilidades disminuyendo, de este modo, los mrgenes de error en los clculos.

Indica que la probabilidad de que dos sucesos A y B ocurran simultneamente.

Se utiliza tambin con el fin de determinar una probabilidad condicional a partir de los

valores de y.

Supongamos, por ejemplo, que queremos estudiar la incidencia del hecho de ser fumador

como factor de riesgo en el desarrollo de una enfermedad en una determinada

poblacin.

Probabilidad Condicional

La probabilidad de que un evento ocurra cuando se sabe que ya ocurri un evento se

llama probabilidad condicional y se denota por que por lo general se lee como

probabilidad de que "ocurra B dado que ocurri A". Esta probabilidad se define como:

La probabilidad condicional es una funcin de probabilidad, definida como

Es una funcin de probabilidad?

es una funcin de probabilidad porque satisface los tres axiomas

Axioma I

para todo evento .

Como

Entonces dividiendo por se tiene los trminos de la desigualdad se tiene

Axioma II

Como

Axioma III

Si es una sucesin de eventos mutuamente excluyentes, entonces

Como

como los eventos son mutuamente excluyentes, entonces los

eventos son tambin mutuamente excluyentes y as

Ejemplo:

1. La antena de una instalacin de radar recibe, con probabilidad , una seal til con una

interferencia superpuesta, y con probabilidad solo la interferencia pura. Al

suceder una seal til interferida, la instalacin indica la existencia de cualquier seal con

probabilidad , cuando aparece una interferencia pura con la probabilidad . S la

instalacin ha indicado la existencia de cualquier seal, determinar la probabilidad de que

esta indicacin haya sido ocasionada por una seal til con interferencia superpuesta.

Solucin:

Sean U: el evento la seal es til con interferencia superpuesta

I: el evento la seal es til con interferencia pura

S: el evento que indica ocurre una seal

Con base en el diagrama, la probabilidad se puede calcular as:

Entre los 200 empleados de una empresa hay 150 graduados, 60 del total consagran

parte de su tiempo por lo menos a trabajos tcnicos, 40 de los cuales son graduados. S

se toma al azar uno de estos empleados, cul es la probabilidad de que:

a. Sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo tcnico?

b. No sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo tcnico?

Solucin:

Sean los eventos:

: el empleado es graduado

: el empleado dedica parte de su tiempo a trabajos tcnicos

De la informacin dada se puede elaborar parcialmente una tabla de contingencia

Trabajos

tcnicos

Otros

trabajos

Total

Graduados 40 150

No graduados

Total 60 200

La cual se puede completar como se muestra a continuacin

Trabajos

tcnicos

Otros

trabajos

Total

Graduados 40

150

No graduados

Total 60

200

a. La probabilidad de que sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo

tcnico, , se puede calcular en este caso de manera fcil utilizando la tabla de

contingencia, en la cual esta probabilidad es calcula determinando proporcin de los de

otros trabajos son graduados es decir, dada como el cociente entre es

Tambin es posible calcularla mediante la definicin de probabilidad condicional

b. La probabilidad de que no sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al

trabajo tcnico es tambin determinada por medio de la tabla de contingencia

Tambin por la definicin de probabilidad condicional se tiene

y por la ley de Morgan

y como . Luego

EVENTOS DEPENDIENTES, INDEPENDIENTES Y

CONDICIONALES

Eventos Independientes

Dos o ms eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un

evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos).

Un caso tpico de eventos independiente es el muestreo con reposicin, es decir, una

vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la poblacin donde se obtuvo.

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la

ocurrencia de otro.

Por definicin, A es independiente de B si y slo si: A y B, son independientes si la

ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definicin, A es independiente de B si y slo si: A es independiente de B si y slo si:

(PnA)=P(A)P(B)

Eventos dependientes

Dos o ms eventos sern dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de

ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso,

empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la

probabilidad del evento relacionado. La expresin P (A|B) indica la probabilidad de

ocurrencia del evento A s el evento B ya ocurri.

Se debe tener claro que A|B no es una fraccin.

P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional

Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurri el

evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota: A y B son dos eventos

en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurri el evento B es la probabilidad

condicional de A dado B, y se denota:

P(AlB)

Eventos independientes/dependientes

Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.

P(A y B) = P(A) P(B)

Ejemplo 1:

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cul es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica es reemplazada, el tamao del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda as los eventos son independientes.

P(azul luego verde) = P(azul) P(verde)

Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento as que la probabilidad es cambiada. En el ejemplo anterior, si la primera canica no es reemplazada, el espacio muestral para el segundo evento cambia y as los eventos son dependientes. La probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales:

P(A y B) = P(A) P(B)

Ejemplo 2:

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cul es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamao del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) as los eventos son dependientes.

P(azul luego verde) = P(azul) P(verde)

SIMBOLOGIA

Cuatro tipos de Probabilidad

Los eventos aleatorios son subconjuntos del conjunto , espacio muestral, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son

la unin, la interseccin y la diferencia de eventos.

Ejercicios Propuestos: