pripremni zadaci za prijemni ispit ... · zbirka zadataka iz algebre i, ii i iii ... malo...

61
PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Sarajevu. Izbor je napravljen prema: 1. Zbirka zadataka iz algebre I, II i III (prema programu za srednje škole), Stjepan Mintaković, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo; 2. Metodička zbirka zadataka iz algebre i geometrije (za sve srednje škole),Dr Marcel Šnajder, Dr Stjepan Tomić, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo, te na osnovu zadataka koji su postvljeni na klasifikacionom ispitu iz matematike za upis na Elektrotehnički fakultet, Fizički fakultet i Fakultet za fizičku hemiju na Univerzitetu u Beogradu, te na osnovu primjera zadataka za test iz matematike na Sveučilištu u Zagrebu.

Upload: others

Post on 20-Jan-2020

94 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

PRIPREMNI ZADACI ZA

PRIJEMNI ISPIT GRAĐEVINSKI  FAKULTET  UNIVERZITETA  U  SARAJEVU

Ovo  je  Izbor  zadataka  koji  su  namjenjeni  budućim  studentima  za  lakše  pripremanje  prijemnog  ispita  na  Građevinskom  fakultetu  Univerziteta  u  Sarajevu. Izbor je napravljen prema: 1. Zbirka zadataka iz algebre I, II i III (prema  programu  za  srednje  škole),  Stjepan  Mintaković,  Zavod  za  izdavanje  udžbenika  Sarajevo; 2.  Metodička  zbirka  zadataka  iz  algebre  i  geometrije  (za  sve  srednje  škole),Dr  Marcel  Šnajder,  Dr  Stjepan  Tomić,  Zavod  za  izdavanje  udžbenika  Sarajevo, te  na  osnovu  zadataka  koji  su  postvljeni  na  klasifikacionom  ispitu  iz  matematike  za  upis  na  Elektrotehnički  fakultet,  Fizički  fakultet  i  Fakultet  za  fizičku  hemiju  na  Univerzitetu  u  Beogradu,  te na osnovu primjera zadataka  za  test  iz  matematike  na  Sveučilištu  u  Zagrebu.

2 �SADRŽAJ��RAZLOMCI...�3�ALGEBARSKI�IZRAZI...�9�KVADRATNE�JEDNA�INE...�14�JEDNA�INE�SA�APSOLUTNIM�VRIJEDNOSTIMA...�16�GRAFICI�KVADRATNE�FUNKCIJE�SA�APSOLUTNIM�VRIJEDNOSTIMA...�18�LOGARITAMSKE�JEDNA�INE�I�NEJEDNA�INE...�19�PRIMJENA�SLI�NOSTI...�21�POVRŠINA�RAVNIH�FIGURA...�22�TRIGONOMETRIJA...�24�

I��SvoĜenje�na�prvi�kvadrant...�24�II�Trigonometrijske�funkcije�složenih�uglova...25�III�Trigonometrijske�jednaēine...�27�

ANALITI�KA�GEOMETRIJA�U�RAVNI...�30��PRIMJERI�PRIJEMNOG�ISPITA�NA�RAZNIM�FAKULTETIMA...�40��Elektrotehniēki�fakultet�Uiverziteta�u�Beogradu�...��40�Fakultet�za�saobrađaj�i�komunikacije�u�Sarajevu�...42�Elektrotehniēki�fakultet�Uiverziteta�u�Sarajevu�...43�GraĜevinski���fakultet�u�Sarajevo....�46�Malo�statistike�sa�prijemnog�ispita�na�GF�u�Sarajevu��02.07.2007...�48�TESTIRAJTE�SE�ZA�PRIJEMNI�ISPIT�IZ�MATEMATIKE...�52�PROGRAMI�ZA�PRIJEMNI�ISPIT�IZ�MATEMATIKE....58���������

������������������

3 Razlomci:��

Izraēunati�vrijednosti�numeriēkih�izraza:��

1.����������

2.����3.���4.����5.�����6.�����7.����8.�

PRIMJEDBA:Ovdje�je�mješoviti�broj��2 15 2 17 23 35 5 5 5 5= + = v ¸ �

4 ���9.�����

10.�����

11.���

12.���

13.���

14.���

15.�����

16.���

17.���

18.����

19.���

20.�

5 �

21.����

22.���

23.����

24.����

25.������

26.�����

27.������

28.����

29.����

30.����

31.��

� �

6 ��

�32.������

34.������

36.�

���������������

7 Rješenja��

1.���5.��9.���

12.���

13.���

14.���

17.�

20.���

23.����

26.����

29.���

31.������

32.�

8 �

33.��������

34.�

9 �

Algebarski�izrazi��

���1.����2.���3.�����4.���������5.����6.����7.����8.�

10 ���9.�����

10.������

11.������

12.����

13.����

14.����

15.����

16.���

17.�����

18.��

��

��

11 ���

19.���������

20.�

��

Riješenja�

�1.���2.��3.�������������

�4.���5.���

12 6.���7.���9.�

11.���������������

12.�

13 13.����

14.�������

15.�����

16.����

17.�������

����

�� � �

�18.�

��

14 Kvadratne�jednaēine�

���1.��

�2.�������3.����4.�����5.���6.�����

�7.����

�����

15 Rješenja�kvadratnih�jednaēina�

1.�����2.������3.�

��

�4.�����5.�����6.���7.�

� �

16 �

Jednaēine�sa�apsolutnim�vrijednostima��

1.����2.�

�3.���4.� �

Rješenja�jednaēina��1.����������������2.��������3.�

��������4.�

17

18 �

Grafici�kvadratne�funkcije�sa�apsolutnim�vrijednostima��

1.���

3.��

Rješenja����1.����������������������������2.�����3.��

���

��

19 Logaritamske�jednaēine�i�nejednaēine�

1.��2.�����3.�����4.����6.�

�������

20 Rješenja�logaritamske�jednaēine�i�nejednaēine�

��1.������������

�2.��3.��������4.����

�5.���

���6.�

21 Primjena�sliēnosti�

�1.�

���������

���2.����3.��4.���5.����6.��

Rješenja���

1.����������

��3.����4.���

��6.��

22 Površina�ravnih�figura�

1.����2.�

�3.���4.���5.����6.�����7.���8.��9.�����

10.��

11.����

12.���

13.����

14.�

� �

23 Riješenja�

1.��4.��5.�7.�8.�9.�

10.��

11.��

12.��

14.��

24 Trigonometrija�

�Rješenja�

25

��

26 Rješenja�

27 �

III�Trigonometrijske�jednaēine�

28 Rješenja�

29

��

���

ͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲ���

30

ANALITI�KA�GAEOMETRIJA�U�RAVNI��

Taēka�

Rastojanje�d�taēaka�M1(x1,y1)�i�M2(x2.y2):��2 2

2 1 2 1d = (x - x ) + (y - y ) �

Koordinate�sredine�S�duži�M1M2�: ( ) ( )s 1 2 s 1 21 1x x x , y y y2 2

= + = + .�

�Površina�trougla�Površina�P�trougla�sa�vrhovima�M1(x1,y1)�i�M2(x2.y2)�i�M3(x3,y3):�

[ ]1 2 3 2 3 1 3 1 21P = x (y y ) x (y y ) x (y y )2

± � + � + � �

Taēke�M1(x1,y1)�i�M2(x2.y2)�i�M3(x3,y3)�su�kolinearne�(tj.�leže�na�istoj�pravoj)�akko�je�P=0.���Jednaēina�prave�•�Opšti�oblik:��Ax�+�By�+�C�=�0,���A�ili�B�je�razliēito�od�nule�(tj.� 2 2A B+ z�0�).��C=0�implicira�prava�prolazi�kroz�koordinatni�poēetak.�

•� Segmentni�oblik:�����yx 1,

a b+ = �

taēka�P(a,�0)�presjek�sa�osom�Ox,�taēka�Q(0,�b)�presjek�sa�osom�Oy;�x �= �a � �prava �paralelna �osi �Oy, � �y= �b � �prava �paralelna �osi �Ox; �jednaē ina �ose �Ox � � � �y= �0, � � � jednaē ina �ose �Oy: � � � �x= �0. �•���Eksplicitni�oblik� � � � �

y�=�kx�+�n

����������������������������������

(0,�n)�presjek�sa�osom�Oy,�n , 0 , k 0,k

� ¬­�� v­� ­­�� ®�presjek�sa�osom�Ox,�D�ugao�sa�pozitivnim�smerom�ose�Ox,����k=�

tga�koeficijent�pravca.�• Pramena�pravih�sa�centrum�M0�(x0,�y0):����y�Ͳ��y0�=�k(x�Ͳ�x0).�• Prave�kroz�dvije�taēke�M1(x1,y1)�i�M2(x2.y2):�

( ) ( )( ) ( )( )2 11 1 1 2 1 2 1 1

2 1

y yy y x x ili y y x x y y x x

x x�

� = � � � = � ��

• Normalni�oblik��(p�!�0�je�rastojanje�prave�od�koordinatnog�poēetka,�a�E�ugao�koji�normala�na�tu�pravu�zatvara�sa�(pozitivnom)�smjerom�ose�Ox)�

x cos ysin p 0C+ C� = .�

Veza�izmeĜu�raznih�oblika�jednaēine�prave�

2 2

C C A Ca , b , k tg , , p ,A B B 2 A B

Q=� =� = B =� B+C= =± +

Predznak�pred�korjenom�bira�se�tako�da�je��p�!�0.�Uslov�paralelnosti�pravih�

• Prave�����y�=�k1x�+�n1,����y�=�k2x�+�n2��su�paralelne�ako�i�samo�ako�je����k1�=�k2.��• Prave��A1x�+�B1y�+�C1�=�0,��A2x�+�B2y�+�C2�=�0,�su�paralelene�akko:��������������������������������������������������������������� 1 1 2 2A : B A : B= ���������������������������������������������������������.�

����������������Uslov�normalnosti�pravih�• Prave��y�=�k1x�+�n1,�k1�z�0��i��y=�k2x�+�n2,�k2z�0,�su�normalne�akko�je��k1k2�=�—1.�• Prave�A1x�+�B1y�+�C1�=�0��i�A2x�+�B2y�+�C2�=�0�su�normalne�akko�je��A1A2�+�B1B2�=�0.�

•� Prava�kroz�Mo�(xo,yo)�normalna�na�pravu�y�=�kx�+�n,��k�z�0��je� ( )0 01y y x x .k

� =� � �

31 Ugao�izmedu�pravih�

• y=�k1x�+�m1,���y=�k2x�+�n2:��2 1

1 21 2

k ktg , 1 k k

1 k k�

K= ++

,��tj.��1 1 2k k+ �=�0���M�=�r900.�

Rastojanje�taēke�od�prave�

• rastojanje��«d«�taēke�M0�(x0,�y0)�od�prave�Ax�+�By�+�C�=�0,�2 2A B+ z�0,�je�

������������������������������������������������������ 0 0

2 2

Ax By Cd

A +B

+ += �

¾ dͼC�>�0�ako�su�taēke�O�i�M0�sa�iste�strane�prave�,��¾ dͼC�<�0�ako�su�taēke�O�i�M0�sa�raznih�strane�prave,��¾ d�=�0�ako�je�M0�na�pravoj,�¾ C�=�0�koordinatni�poēetak�O�je�na�pravoj.�

���

Kružnica��

je�geometrijsko�mjesto�taēaka�u�ravni�jednako�udaljenih�od�jednc�utvrĜene�taēke�(centra�kružnice).�• Polupreēnik�je�duž�ēije�su�krajnje�tacke�centar�i�bilo�koja�taēka�na�kružnici.�• Jednaēina�kružnice�sa�centrom�u�tacki�C(p,�q)�i�polupreēnikom�r�je��

(xͲp)2�+�(yͲq)2�=r2.�

x Ax2 �+�Bx�+�Ay2�+�Cy�+�D�=�0��je�jednaēina�kružnice�ako�je��B2�+�C2�Ͳ�4AD�>�0.�Tada�je:�2 2

22

B C B C - 4ADp , q , r .2A 2A 4A

+=� =� = �

Tangenta �kružnice �•� Ako�taēka�Mo(xo,yo)�pripada�kružnici���(x�Ͳ�p)

2�+�(y�Ͳ�q)2�=�r2 � �onda�je�(xo�Ͳ�p)ͼ�(x�Ͳ�p)�+�(yo�–�q)�ͼ�(y�Ͳq)�=�r

2�

�jednaēina�tangente�kružnice�u�toj�taēki.�•� Prava��y�=�kx�+�n��je�tangenta�kružnice�����(x�—�p)2�+�(y�—�q)2�=�r2����������akko��je�(1�+�k2)r2�=�(qͲkpͲn)2.�

��

Elipsa��

je�geometrijsko�mjesto�taēaka�u�ravni�sa�osobinom�da� je�zbir�rastojanja�od�dvije�utvrĜene�taēke�(fokusa�F1� i�F2)�stalan.�Zbir�rastojanja�ma�koje�taēke�elipse�do�fokusa�obilježava�se�sa�2a.�

32

•����Kanonska�jednaēina:���22

2 2

yx 1a b+ = ��

•����Ekscentritet:�2

2

c be 1 1a a

= = � < ;���Fokusi�(žiže):�����(c ,0) , ��(Ͳ�c,0)���

•����Jednaēine�direktrisa:����a ax , xe e

= =� ;��fokalni�parametar:����2bp

a= �

•����Fokalni�radijusi:���r1�=�a�+�ex,���r2�=�a��Ͳ��ex�;�

•����Tangenta�u�taēki�M�(x0,�yo):����0 02 2

x x y y1

a b+ = �

•����Uslovi�da�prava�y�=�kx�+�n��bude�tangenta�hipcrbole:���a2k2�+�b2�=�n2���

Hiperbola��

je�geometrijsko�mjesto�taēaka�u�ravni�za�koje�vrijedi��da�je�razlika�rastojanja�od�dvije�utvrĜene�taēke�(fokusa�F1�i�F2)�stalna.�Stalna�razlika�udaljenosti�od�fokusa�obelezava�se�sa�2a.�

�•����Kanonska�jednaēina:������������22

2 2

yx 1a b

� = �

•�����Ekscentricitet:����2

2

c be 1 1a a

= = + > ;���Fokusi�(žiže):�����(c ,0) , ��(Ͳ�c,0)�

•����Jednaēine�direktrisa:����a ax , xe e

= =� ;��fokalni�parametar:����2bp

a= �

•����Fokalni�radijusi:���r1�=�a�+�ex,���r2�=�Ͳ��a�+�ex�;�

•����Tangenta�u�taēki�M�(x0,�yo):����0 02 2

x x y y1

a b� = �

•����Uslovi�da�prava�y�=�kx�+�n��bude�tangenta�hipcrbole:���a2k2�–�b2�=�n2�

��

���

Parabola��

je�geometrijsko�mjesto� taēaka�u�ravni�sa�osobinom�da� je�rastojanje�od� jedne� fiksne� taēke� (fokusa�F)� jednako�rastojanju�od�jedne�fiksne�prave�(direktrise�d).�•����Kanonska�jednaēina:���y2�=�2px�•����Ekscentricitet:����e�=�

• Fokus:����p , 02

� ¬­� ­� ­­�� ®�

• Jednaēina�direktrise:��px2

=� �,��Fokalni�parametar:����p�

33

• Fokalni�radijus:���p r = x + 2�

• Tangenta�u�taēki�M(xo�,yo):������ ( )0 0y y p x x= + �

•� Uslovi�da�prava���y�=�kx�+�n���bude�tangenta�parabole:��2kn�=�p

34

� 34

ZADACI��

Taēka�i�trougao��

�1.��Odrediti��taēku�M(x,y)��koja�je�jednako��udaljena��od��tacaka:�M1(l,0),�M2(2,2)�i�M3(0,�2).���� � � � � ��������Rjesenje.�Iz�uslova�zadatka�je�MM1�=�MM2���i��MM1�=�MM3,��dobije�se�slijedeđi�sistem�jednaēina:�

������������������������������ �odnosno��������������������������������2x�+4y�=�7,��2x�Ͳ�4y�=�Ͳ3,�ēije�je�rješenje��x�=�1�i�y�=�5�/�4,�pa�je�tražena�taēka��M(�1,�5�/�4).�2. Pokazati�da�je�trougao�ABC�jednakokrako�pravougli�ako�su�njegova�temena:�A(2,l),�5(5,3)�i�C(0,4).��3. Data�su�tri�uzastopna�tjemena�A(l,0),�B(3,1)�i�C(5,4)�paralelograma�ABCD.�Nađ'i�koordinate�temena�D.�����Rezultat.��D(3,3).������4..� Data�su�dva�susjedna�tjemena�A(Ͳ4,4),��B(2,8)�i�presjek�dijagonala�S(2,2)�paralelograma�ABCD.�Odrediti��tjemena�C�i�D.�Rezultat.��C(8,0),��D(2,Ͳ4).��5.� Dva�tjemena�trougla�ABC�su�A(Ͳ3,1)�i�B(2,2),�a�tređe�tjeme�C�pripada�pozitivnom�dijelu�yͲose.�Nađi�koordinate��taēke�C�tako�da�površina�tog�trougla�bude�10.��Uputstvo.�Iz�uslova�zadatka�dobija�se�slijedeđa�jednaēina:���

5y 8 20 (y 0).� = > �����Rezultat.�� ( )C 0, 28 5 . �� '�6.� Tri�tjemena�cetvorougla�ABCD�su:�A(4,0),�B(3,5)�i�C(Ͳ7,5),�a�ēetvrto�tjeme�D�pripada�negativnom�dijelu�xͲose.��Odrediti�koordinate�tacke�D�tako�da�površina�cetvorougla�ABCD�bude�50.�Rezultat.�D(Ͳ6,0).�

Prava��

7.�Data�je�taēka�A(l,2)�i�prava�jednacinom��2x�+�y�Ͳ�3�=�0.�a) Naci�jednacinu�prave�koja�prolazi�kroz�tacku�A�i�normalna�je�na�datoj�pravoj.�b) Naci�jednaēinu�prave�koja�prolazi�kroz�tacku�A�i�paralelna�je�sa�datom�pravom.�

Rjesenje.�a)�Koeficijent�pravca�date�prave�je�k�=�Ͳ2,�a�koeficijent�trazene�prave�je� 11 1k ,k 2

=� = �pa�je�jednaēina�

tražene�prave� ( )1y 2 x 12

� = � ,�odnosno�x��Ͳ��2y�+�3�=�0.���Rezultat.�b)�2x�+ �y �Ͳ�4 �=�0. ��������������������������������������������������������������������

8.�Tacke�A1(Ͳl,�0),�B1(2,1)�i�C1(0,�3)�su�sredine�stranica�trougla�ABC.�Naci�koordinate�tjemena�tog�trougla.�Uputstvo.�

Prava�BC�je�paralelna�sa�pravom�B1C1��i�lahko�je�viditi�da�je��BC:�yx 1 ;

2 2+ =

�prava�AB�je�paralelna�sa�pravom�A1B1��pa�je����

AB:�y 3x ;

3 1�=

� �prava�AC�je�paralelna�sa�pravom�A1C1��pa�je:�AC:�

y 1x 2 .1 3

�� = ���Rezultat.� �A(3,4),�B(Ͳ3,2),�C(l�Ͳ2).�

9.� U�jednaēini�prave��mxͲ2y�+�5�=0�odrediti�parametar�m�tako�da:�a) prava�bude�paralelna�pravoj��x�+�y�Ͳ1�=�0,�b) prava�bude�normalna�na�pravu�x�Ͳ�y�+1�=�0;�c) prava�zaklapa�sa�pozitivnim�smijerom�xͲose�ugao�od�60°.�

Rezultat.�a)�m�=�Ͳ2;�b)�m�=�Ͳ2;�c)� m 2 3.= �10.�Tjemena�trougla�su�ta£ke:�M1(3,0),�M2(5,2)�i�M3(4,�5).�Nađi�jednaēinu�visine�trougla�MiM2M3�koja�odgovara�temenu�M1.��Rezultat.��x�Ͳ�3y�Ͳ�3�=�0.�11.� Nađi�jednaēinu�prave�koja�prolazi�kroz�taēku�A(2,3)�i�sa�koordinatnim�osama�gradi�trougao�povrsine�12.�Uputstvo.�

Jednaēina�tražene�prave�je�yx 1

p q+ = ,�a�površna�trougla�je�

1P p q 12.2

= = �Iz�uslova�da�taēka�A�leži�na�toj�

pravoj�dobija�se�jednaēina�2 3 1p q+ = .�Za�nalaženje�veliēina�p�i�q��koristi�se�sistem�jednaēina:�«pq«=�24,��3p�+�2q�=�24.��

Rezultat.�3x�+�2y�Ͳ12�=�0.�

35

� 35

12.� Odrediti�parametar�p�tako�da�prava�2x�+�py�Ͳ�5�=�0�zaklapa�sa�koordinatnim�osama�trougao�ēija�je�površina�5.��

Rezultat.�5p .4

= �

13.� Odrediti�koordinate�tacke�A'�koja�je�simetriēna�taēki�A(1,Ͳ1)�u�odnosun�na�pravu �x+2y �Ͳ�1�=�0.�Rješenje. �Prava�kroz�tacku�A�normalna�na�datu �pravu � ima� jednaē inu �2x�Ͳ�y�Ͳ�3 �=�0.�Presjek�tih�pravih�je�

tacka�7 1B , ,5 5

� ¬­� � ­� ­­�� ®�a�tražena�taēka�A'(x',y')�odreĜuje�se�iz�uslova�������������������������AB�=�B�A',��tj.�

y 17 x 1 1i5 2 5 2

aa �+= � = .�Prema�tome,�trazena�tacka�je�9 3A , .5 5� ¬­�a ­� ­­�� ®

14.� Na�pravoj�3x�Ͳ�y�+�3�=�0�naci�tacku�M2�najbližu�taēki�M1(2,�Ͳ1).��Rezultat.�M2(Ͳl,0).� �

15.��Nađi�jednaēinu�prave�koja�prolazi�kroz�taēku�M3(3,�3),��a�sa�pravom�4x�Ͳ�y�Ͳ2�=�0�zaklapa�ugao�4Q.��Uputstvo.�Iz�

uslova�zadatka�dobija�se�jednaēina��k 4 1,

1 4k� =+

�gde�je�k�koeficijent�pravca�tražene�prave.��Rezultat.�Dva�rješenja:�5x�

+�3y�Ͳ�24,�3x�Ͳ�5y�=�Ͳ6.�16.�� Odrediti�jednaēinu�geometrijskog�mjesta�taēaka�u�ravni�Oxy�koje�su�podjednako�udaljene�od�taēaka�A(Ͳ1,3)�i�B(3,l).��Rezultat.�2x�Ͳ�y�=�0.�

17. Nađi�rastojanje�izmeĜu�paralelnih�pravih��x�Ͳy�+�2�=�0�i�2xͲ2y�+�9�=�0.��Rezu l t a t .5 2

4. �

18. Odrediti�jednaēine�simetrala�uglova�koje�obrazuju�prave�8x�+�16y�Ͳ21�=�0�i�16x�Ͳ�8y�+��23�=�0.�Rezultat.�2x�–�6y�+�11�=�0,��12X�+�4y�+1�=�0.�19.�Na�pravoj�2x�Ͳ�y�Ͳ�10�=�0�nađi�taēku�M(x,y)�tako�da�je�zbir�kvadrata�rastojanja�od�taēaka�M1(Ͳ5,0)�i�M2(Ͳ3,�4)�najmanji.��Uputstvo.�Iz�uslova�zadatka�je:��MM1

2�+MM22���=2x2�+�2y2�+�16x�Ͳ�8y�+�50��i��y�=�2x�Ͳ�10,�odakle�je��MM1

2�+MM2

2�=10x2��Ͳ�80x�+�300.��Rezultat.�M(4,Ͳ2).���

Kružnica��

20.� Nađ i � jednaē inu �kružnice �koja �prolazi �kroz �taēke �A(l ,6) � i �5(3, Ͳ2), �a �centar �C �te �kružnice � leži �na �pravoj �x � Ͳ �y �+ �3 �= �0. � � �Rješenje.�Centar �C(p,q) �tražene �kružnice � lež i �na �pravoj � �x �– �4y �+ �6 �= �0 �koja � je �simetrala �duži �AB � i � lež i �na �datoj �pravoj . �Znaē i , �za �nalaženje �vel iē ina �p � i �q �postoji �sljedeđi �sistem �jednaē ina: �p � Ͳ �4q �+ �6 �= �0, �p �– �q �+ �3 �= �0, �pa � je �centar �kružnice �

C( Ͳ2, l) , �a �polupreēnik � je �r �= �AC �= 34. �Prema �tome, �tražena � jednaē ina �kružnice � je � � ( ) ( )2 2x 2 y 1 34.+ + � = �

21.� � �Na đ i � j e d na ē i n u � k r u ž n i c e � k o j a �p ro l a z i � k r o z � t a ē k e �M1 ( l , Ͳ 3 ) , �M2 ( l , �1 ) i �M3(Ͳ1,�3).�Rezultat.� � ( x �+ �3) 2+ (y �+1) 2 �= �20 . �22.� Nađ i � jednaē inu �kružnice �koja �prolaz i �kroz �koordinatni �poēetak � i � ē i j i �centar � l e ž i �na �pravo j �y �= �x �na � ra s to jan ju �

p 2 �od �koord ina tnog �poēetka . � �Re z u l t a t . x 2 � + y 2 � Ͳ 2 p x � Ͳ 2 p y � = � 0 , x 2 � + y 2 � + 2 p x � + � 2 p y � = � 0 . �

23. � Nap i sa t i � j ednaē i nu �k ružn i ce �po lupreēn i ka � r=2 , �ko ja �dod i ru je �x Ͳosu , �a �centa r � j o j � j e �na �pravo j �y=2x . � �Rezu l tat . � � ( x � Ͳ �1) 2 �+ (y �– �2 ) 2 �= �4 , � � ( x �+ �1) 2 �+(y �+ �2) 2 �= �4 . �24.�� Iz �taēke �A(15, Ͳ5) �povuđ i � �seē icu �na �kružnicu � �x2 �+y2 �= �50 �tako �da �odseca �tetivu �dužine �10. �Nađ i �jednaē inu �te �seē ice. � �Rezultat. �3x �+ �4y � Ͳ �25 �= �0, � �y �+ �5 �= �0. �25.� Nađi�jednaēinu�tetive�kružnice�x2�+y2�Ͳ�4x�+�2y�+�1�=�0�koja�je�taēkom�A(3,0)�prepolovljena.�Rezultat.�x�+�y�Ͳ�3�=�0.�26.� Odsjeēak�prave��3x�+�2y�Ͳ�6�=�0�koji�odsjecaju�koordinatne�ose�je�hipotenuza�jednakokrakog�pravouglog�trougla.�Nađi�tređe�tjeme�tog�trougla.��Uputstvo.�Taēke�presjeka�koordinatnih�osa�i�date�prave�su�A(2,0)�i�B(0,3).�Prava�4x�–�6y�+�5�=�

0�je�simetrala�duži�AB;�kružnica�ēiji�je�preēnik�AB�=� 13 �ima�jednaēlnu�(x�Ͳ1)2�+�(y�Ͳ�32)�2�=�

134.��Znaēi,�tražena�taēka�

C(x,y)�je�rješenje�sljedeđeg�sistema�jednaēina:� 2 23 134x - 6y 5 0, (x 1) (y ) .2 4

+ = � + � = � �Rezultat. �

1 25 5 1 1C , , C , .2 2 2 2

� ¬ � ¬­ ­� ��­ ­� �­ ­­ ­� �� ® � ®� �

27.��Nađi�jednaēinu�kružnice�koja�dodiruje�pravu�x�+�y�Ͳ�2�=�0�u�taēki�A(1,1)�i�prolazi�kroz�taēku�B(4,0).�Rezultat.�2 27 7 25x y .

2 2 2� ¬ � ¬­ ­� �� + � =­ ­� �­ ­­ ­� �� ® � ®

36

� 36

28.��Odrediti�jednaēinu��kružnice�ēiji�je�centar�u��taēki�presjeka�pravih�3x�Ͳ�4y�+�11�=�0��i���5x�+�7�y�Ͳ�50�=�0����i����

koja����dodiruje���pravu��5x�+�12�y�Ͳ�10�=�0.��Rezultat.�� 2 2(x 3) (y 5) 25.� + � = �

29.�� Odrediti�n�tako�da�prava�y�=�x�+�n�bude�tangenta�kružnice�x2�+y2�Ͳ�2x�Ͳ�2y�+�1�=�0.�

Rezultat.�n1�=� 2 ,�n2�=��Ͳ� 2 .�30.� Odrediti�jednaēinu�kružnice�ēiji�je�centar�tadka�C(2,5),�a�dodiruje�kružnicu�(x�+�2)2 � �+�(y�Ͳ�l)2 �=�2.�a)�spolja;�b)�iznutra.���Rezultat .a) � (x Ͳ2) 2+(y Ͳ5) 2 �= �18; �b) � ( x � Ͳ �2) 2 �+ � (y � Ͳ �5) 2 �=50. �31.�Naci�geometrijsko�mjesto�sredina�tetiva�kruznice�x2�+�y2�=�r2�koje�prolaze�kroz�tacku�M0(Ͳr,�0).�

Rezultat.�2 2

2r rx + y =2 4

� ¬­� + ­� ­­�� ®,�osim�taēke�M0(Ͳr,�0).�

32.�Nađi�geometrijsko�mjesto�svih�taēaka�u�ravni�Oxy�iz�kojih�se�kruznica�x2�+y2�=�r2��vidi�pod�pravim�uglom.��Rješenje.�Neka�taēka�M(x,y)�pripada�trazenom�skupu�i�neka�je���Y�=�kX�+�y�Ͳ�kx�tangenta�date�kruznice�u�taēiki�M(X,Y)�

(X�i�Y)��su�tekuđe�koordinate�prave).�Uslov�dodira�tangente�i�kruznice�je�( ) ( )22 21 k r y kx ,+ = � �odnosno��(r2Ͳ

x2)k2+2xyk�+�r2�Ͳy2 �= �0. �Dobijena�kvadratna�jednaēina�po�k�ima�dva�rjesenja�k1�i�k2,�koja�zadovoljavaju�relaciju�k1k2��

=�Ͳ�1,�pa�je:�2 2

2 2

r y 1.r x

� =��

�Prema�tome,�tražena�jednaēiina�je��x2�+�y2�=�2r2.�

�Elipsa�

�33.�Nađi�kanonski�oblik�jednadine�elipse�ako�je�a�+�b�=�10�i�c�=� 20 ��(aͲvelika�poluosa;�b�Ͳ�mala�poluosa;�2c�ͲrastojanjeizmeĜu�žiža).��Rješenje.�Iz�uslova�zadatka�dobija�se�sljedeđi�sistem�jednaēina:�a2�Ͳ�b2�=20,�a�+�b�=�10,�ēije�je�rješenje��a�=�6�i�b�=�4,�pa�je�tražena�jednaēina�elipse�16x2�+�36y2�=�36�ͼ16.������������������������������

34.�Pod�kojim�se�uglom�vidi�žižno�rastojanje�elipse��9x2�+�36y2�=�9ͼ36��i�iz�taēke�3 3A 3, ?

2

� ¬­� ­� ­� ­­��� ®�Rezultat.��M�=�

arctg12 .5

35.�U�elipsu�x2�+4y2�=�4�upisan�je�jednakostraniēni�trougao�ēije�se�jedno�tjeme�poklapa�sa�desnim�krajem�velike�poluose�te�elipse.�Nađi�koordinate�ostala�dva�tjemena�tog�trougla.�

Uputstvo.�Tjemena�B�i�C�tog�trougla�nalaze�se�na�pravama��3y = (x 2)

3� �i�

3y = (x 2)3

� � .�

Rezultat.�2 4 3 2 4 3B , , C , .7 7 7 7

� ¬ � ¬­ ­� �­ ­� � �­ ­� �­ ­­ ­� �� �� ® � ®�

36.�� Tjemena�ēetvorougla�nalaze�se�u�žižama�elipsi:��b2x2+a2y2�=�a2b2�i��a2x2�+�b2y2�=�a2b2.�Nađi�površnu�tog�ēetvorougla.��Rezultat.��P�=�2«a2��Ͳ�b2�«.�37.� Nađi�jednaēine�tangenata�elipse�x2�+4y2�=1�koje�su�paralelne�pravoj��x�+y�=�2.� �

Rezultat . �5y x .

2= � ± �

38.�Napisati�jednaēinu�elipse�u�kanonskom�obliku�ako�ona�dodiruje�prave:� x y 8 0, x 3y 16 0.+ � = + + = �

Rezultat.��a2�=�40,�b2�=�24.�39.� Prava�koja�odsjeca�jednake�odsjeēke�na�koordinatnim�osama�je�tangenta�elipse��iz�zad.�38.�Nađi�jednaēinu�te�tangente.��Rezultat.�x�+y�Ͳ8�=�0.�40.� Nađi�jednaēnu�tangente�elipse�9x2�+25y2�=�225�ēiji�je�odsjeēak�izmeĜu�koordinatnih�osa�taēkom�dodira�

prepolovljen�(prvi�kvadrant).��Rezultat.�3x�+�5y�Ͳ�15 2 �=�0.�41.� Nađi�jednaēinu�tangente�elipse�sa�osama��a2�=�72,�b2�=�32�koja�sa�koordinatnim�osama�zaklapa�trougao�površine�48.��Rezultat.�2x�±�3�v�±�24�=�0.�

42.��Nađi�ugao�pod�kojim�se�sjeku�kružnica��x2�+�y�2�=�4��i�elipsa�3x2�+�4y2�=�13.��Rezultat.3 = arctg .

13K �

43. Odrediti��jednaēine���zajedniēkih���tangenata���elipsi���x2+4y2=4���i��9x2�+y2�=�9.�2 35 2 35Rezultat. y 2 x , y 2 x .3 3 3 3

= ± =� ± �

�44. Nađi�geometrijsko�mjesto�centara�krugova�koji�dodiruju�kružnice�x2�+�y2�=�16�i�(x�Ͳ2)2�+y2�=�4.�

37

� 37

Uputstvo.�Neka� je�M(x,�y)� jedna� taēka� traženog�geometrijskog�mjesta� taēaka,�a� r�polupreēnik�kružnice�koja�dodiruje�date�kružnice.�Tada�je�oēito�(obavezno�nacrtajte�sliku):�

( )2 2 2 2r 2 x 2 y , 4 r x y .+ = � + � = + �

Rezultat.�Elipsa� ( )2 28 x 2 9y 72� + = ��i�prava�y�=�0��bez�taēke�(4,0).�

II�naēin.�Neka�su:�O1�centar�veēe�kružnice��ēiji�je�polupreēnik�r1�=�4,�O2�centar�kružnice��ēiji�je�polupreēnik��r1�=�2,�tada�je�(vidi�sliku)�(O1M�=�r1�–�r,��O2M�=�r2�+�r)���O1M�+�O2M�=�r1�+�r2�=�6,�tj.�traženo�geometrijsko�mjesto�je�elipsa�ēiji�su�fokusi�

O1�i��O2,��tako�da�je�2a�=�6,�2c�=�O1O2=�r1�=�2.�Zato�je�(a,�c)�=�(3,�1)�i�2 2b = a c 8� = .�

45.�Nađi�geometrijsko�mjesto�taēaka�koje�dijele�ordinate�taēaka�kružnice�x2�+�y2�=25�u�razmjeri�3:2.�Rezultat.��9x2+25y2�=�225.�

45. Odrediti�geometrijsko�mjesto�taēaka�iz�kojih�se�elipsa�22

2 2

yx 1a b+ = �vidi�pod�pravim�uglom.��Uputstvo.�Vidi�zadatak�

32,�odjeljak�Kružnica.��Rezultat.�x2�+�y2�=�a2�+�b2..���

Hiperbola��

47.�Odrediti�jednaēinu�hiperbole�u�kanonskom�obliku�ako�ta�hiperbola�prolazi�kroz�taēke�M1(2,0)�i�M2(6,4).��Rješenje.�Iz�uslova�da�taēke�M1�i�M2�pripadaju�hiperboli�ēija�je�jednaēina:�

2 2 2 2b x a y 1� = �dobija�se�sljedeđi�sistem�jednaēina:�4b2�=�

a2�b2�,��36b2�Ͳ�16a2�=�a2�b2.�I z l az i �a2 �= �4 � i �b2 �= �2 , �pa � je � j ednaē i na � te �h iperbo le �22 yx 1

4 2� = . �

48. �Nađi�jednaēinu�hiperbole�u�kanonskom�obliku�ako�ta�hiperbola�prolazi�kroz�taēku� A( 4 2, 3) � i �ako �ona � ima �

i s te �ž i že �kao � i �e l ipsa �2 �x2 �+ �7y2 �=70. � �Rezu l tat . �22 yx 1

16 9� = . �

49. �Data � j e � j ednaē i na �e l ipse �9x2 �+ �25y2 �= �225 . �Napisat i � j ednaē i nu �h iperbo le � ē i j a �su � temena �u �ž i žama � te �e l ipse , �a �ž i že � te �h iperbo le �u � temenima �date �e l ipse . �

Rezu l tat . �22 yx 1

16 9� = . �

50. � I z raēunat i � ras to jan je �ž i ža �h iperbo le �22 yx 1

64 36� = �od �njen ih �as imptota . �Rezu l tat . �6 . �

51. �Nađ i �duž inu � tet ive �h iperbo le �5 �x2 � Ͳ �4y2 �= �20 �ko ja �pro laz i �kroz �desnu �ž i žu � te �hiperbo le � i �para le lna � j e �sa �pravom �x �+ �y �= �1 . � �Rezu l tat . �40 . �52. �Napisat i � j ednaē i nu � tet ive �h iperob le � �4x2 � Ͳ �9y2 �= �36 �ko ju �polov i � taēka �A(5 ,1 ) . �Rezu l tat . �20x � Ͳ �9y �= �91. �53. � Jednakost ran iēn i � t rougao , �ko j i � j e �s imetr iēan �u �odnosu �na �x Ͳosu , � ima � j edno � t jeme �u �koord inatnom �poēetku , �a �druga �dva � t jemena �su �na �h iperbo l i �4x2 � Ͳ �9y2 �= �36 � ( x �> �3) . �Nađ i �koord inate � t jemena � tog � t roug la . � �

Rezu l tat . �O(0 , �0) , �A(6 , �2 3 ) , �B(6 , � Ͳ2 3 ) . �54. � I z � taēke �A(1 ,0 ) �povuēene �su � tangente �na �hiperbo lu �x2 � Ͳ �y2 �=4 . �Nađ i � j ednaē i ne � t ih �

tangenata . � �Rezu l tat . ( )2 3y x 1 .3

=± � �

55. �Odred i t i � j ednaē i ne � tangenata �h iperbo le �9x2 � Ͳ �4y2 �=36 �ko je �su �para le lne �pravo j � �

2x � Ͳ �y � Ͳ �4 �= �0 . � �Rezu l tat . �y �= �2x �± � 7 . �56. �Odred i t i � j ednaē i ne � tangenata �h iperbo le �x 2 � Ͳ �2y2 �= �4 �ko je �su �normalne �na �pravo j �x �+2y �= �1 . �

Rezu l tat . �y �= �2x± 14 . �57. �Odred i t i � j ednaē i nu �h iperbo le �u �kanonskom �ob l iku �ako � ta �h iperbo la �dod i ru je �pravu �x �– �y � Ͳ �

2 �= �0 �u � taēk i �A(4 ,2) . � �Rezu l tat . �22 yx 1

8 4� = . �

58. �Ako � � �su � � �prave � � �5x Ͳ7y Ͳ l �= �0 � i �x Ͳy Ͳ l �= �0 � tangente �h iperbo le �b2x2 � Ͳ �a2y 2 �= �a � 2b 2 , �odred i t i �j ednaē i nu � te �h iperbo le . �Rezu l tat . �x2 � Ͳ �2y2 �= �2 . �59.�Pod�kojim�se�ugtom�seku�krive�x2�+�y2�=�25�i�2x2�Ͳ�y2�=�2?��Rezultat.�M�=�arctgl8.�60.�Nađi�jednaēine�zajedniēkih�tangenata�hiperbole�3x2�Ͳ�4y2�=�12�i�kružnice�2x2+2y2�=1.�Rezultat.�y�=�x �+ 1 , � y �= �x�Ͳ�1,�y �= �Ͳ�x �+�1,�y �= �Ͳ�x �Ͳ 1 . �

38

� 38

61.� Nađ i � jednaē inu �kružnice �ē i j i � je �centar �na �y Ͳosi � i �dodiruje �hiperbolu �3x2 � Ͳ �y2 �= �3 �u � taēki �M(2,3) . � �Rezultat.�x2�+�(y�Ͳ�4)2�=�5.�62.� Nađi�jednaēinu�one�krive�ēije�su�taēke�dva�puta�dalje�od�taēke�F(8,0)�nego�od�prave�x�=�2.�Rješenje.�Neka�je�M(x,y)�proizvoljna�taēka�tražene�krive.�Iz�datog�uslova�dobija�se�jednaēina��

( )2 2x 8 y 2 x 2� + = � , �

a�posle�kvadriranja�i�sreĜivanja�dobija�se�tražena�kriva���22 yx 1

16 48� = .�

63.�Nađi�geometrjsko�mjesto�taēaka�iz�kojih�se�hiperbola�b2x2�Ͳ�a2y2�=�a2b2��vidi�pod�pravim�uglom.�Uputstvo.�Vidi�zadatak��32,�odjeljak�Kružnica.��Rezultat.�x2�+�y2�=�a2�Ͳ�b2�����(a�>�b).�64.�Nađi�geometrijsko�mjesto�centara�kružnica�koje�dodiruju�spolja�kružnice�x2�+�y2�=�4��i���x2�+�y2�Ͳ�6x�=�0.��

Rezultat.��2

238 x y 2.2

� ¬­� � � =­� ­­�� ®�

��

Parabola��

65.�U�jednaēini�parabole�y2�=�2px�odrediti�parametar�p�tako�da�taēka�M(2,4)�leži�na�toj�paraboli,�a�zatim�nađ'i�direktrisu�i�žižu�te�parabole.��Rezultat.��p�=�4,�x�=�Ͳ�2,�F(2,0).�

66.�Na�paraboli�y2�=��4x��nađi�taēku�A�ēije�rastojanje�od�koordinatnog�poēetka�iznosi� 21. �Rješenje.�Neka�je�taēka�A�=�(a,b).�Tada�je�b2�=�4a,�a�iz�uslova�OA�=� 21 �dobija�se�jednaēina�a2�+b2�=�21.�Dakle,�a�i�b�se�dobiju�iz�sistem�jednaēina:�b2�

=4a�,�a2�+�b2��=�21.�Tražene�taēke�su:� ( )1,2A 3, 2 3 .= ± �

67.�U�parabolu�y2�=�2x�upisan�je�istostraniēni�trougao�ēije�se�jedno�tjeme�nalazi�u�tjemenu�te�parabole,�a�druga�dva�na�datoj�paraboli.�Nađi�koordinate�druga�dva�tjemena�tog�trougla.��

Rezultat.�� ( ) ( )A 6, 2 3 , B 6, 2 3 .= = � �

68.�Nađi�jednaēinu�tetive�parabole�y2�=�4x�koja�je�taēkom�A(3,1)�prepolovljena.�Rješenje.�2x�Ͳ�y�=�5.�69.�Kroz�žižu�parabole�y2�=�4x,�okomito�na�pravu�y�=�2x,�povuēena�je�tetiva�parabole.�Odrediti�koordinate�sredine�S�ove�tetive.�Rezultat.�S(9,Ͳ4).�70.�Nađi��tangentu��parabole���y2�=�3x���koja�je���paralelna�pravoj�3x�–�y�Ͳ�l�=�0.��Rezultat.�12x�Ͳ�4y�+��l�=�0.�71.�Pod�kojim�se�uglom�vidi�parabola�y2�=�8x�iz�taēke�A(Ͳ2,3)?��Rezultat.�M�=�S�e�2.�72.�Nađi�ugao�izmeĜu�tangenata�parabole�y2�=�2x�koje�su�povuēene�u�taēkama�preseka�te�parabole�i�prave�x�Ͳ�y�=�2.��

Rezultat.��M��=��2 5arctg

3.�

73.� Na�paraboli�y2�=�4x�nađi�taēku�najbližu�pravoj�4x�+�3y�+�46�=�0�i�izraēunati�njeno�rastojanje�d�od�te�prave.���

Rezultat.�9 3 35A , , d .

16 2 4� ¬­� � =­� ­­�� ®

74.� Nađi�jednaēinu�kružnice�ēiji�je�centar�na�xͲosi�i�koja�sa�parabolom�y2�=�12x�u�taēki��A(3,6)�ima�zajedniēku�tangentu.��Uputstvo.�Jednaēina�tangente�parabole�y2�=�12x�u�taēki�A(3,6)�je�y�=�x�+�3.�To�je�i�jednaēina�tangente�tražene�kružnice.�Jednaēina�normale�te�prave�u�taēki�A�je�y �=�Ͳ�x�+�9.�Taēka�C(9,0) �je�centar�kružnice,�a�

polupreēnik�je�r�=�AC�=� 6 2. ��Rezultat.��(x�Ͳ�9)2�+y2�=�72.�75.�Koja� �od�parabolu�y2�=�2px�koja�sijeēe�kružnicu�(x�+3)2�+y2�=�72�pod�pravim�uglom.��Rezultat.�y2�=�12x.�76.� Pod�kojim�se�uglom�sjeku�krive�y2�=�3x�i�x2�+�y2�Ͳ�4x�Ͳ�6�=�0?��Rezultat.�M�=�S�e�4.�77.� Nađi�zajedniēke�tangenate�kružnice�x2�+�y2�=�2��i�parabole�y2�=�8x.��Rezultat.�y�=�x�+�2,�y�=�Ͳ�x�Ͳ�2.�78.�Na�pravoj�x�+�y�+�3�=�0�nađi�taēku�iz�koje�se�parabola�y2�=�4x�vidi�pod�pravim�uglom.��Rezultat.�A(Ͳl,Ͳ2).�79.�Nađi�geometrijsko�mjesto�sredina�tetiva�krive�y2�=�12x��koje�su�paralelne�pravoj�3x�–�4y�+�24�=�0.��Re zu l t a t . � � y � Ͳ �

8 �= �0 �� � x�t �16 .9

80.�Koju�krivu�opisuje�centar�kružnice�koja�dodiruje�yͲosu�i�kružnicu�x2�+�y2�Ͳ�2x�=�0?�Rezultat.�y2=4x.��Grafiēki�predstavi�i�riješiti�sistem�jednaēina:���81. x2�+�y2�Ͳ�6x�Ͳ�4y�Ͳ�12�=�0�,���x�Ͳ�y�Ͳ�6�=�0.��Rezultat.�Presjeēne�taēke�kružnice�(polupreēnika�5�sa�centrom�u�

39

� 39

taēki�(3,2))�i�prave����K���P�= ( ) ( ){ }3, 3 , 8, 2 .� �

82. x2�+ �y2�=�16,���y2�= �6x. ��Rezultat.�Presjek �kružnice�i �parabole ���� � ( ){ }2, 2 3 .± �

83. x2�+�4y2�=�4�,���4y2�=�3x.��Rezultat.�Presjek�kružnice�i �parabole ���� 31, .2

£ ²� ¬¦ ¦­¦ ¦�¦ ¦­� ±¤ »­� ­¦ ¦­��� ®¦ ¦¦ ¦¥ ¼�

84. y=x2�+�3x�Ͳ1,��xy�=�3.���Rezultat.�Presjek�parabole�i�hiperbole��� ( ) ( ){ }1, 3 , 3, 1 .± ± � � �

85. x2�+�y2�+�2x�Ͳ�6y�+�5�=�0�,���x2�+�y2�–�2y�Ͳ�9�=�0.�Rezultat.�Presjek�dvije�kružnice � ( ) ( ){ }1, 4 , 3, 2 .� �

86. 9x2�+�y2�=�45,�xy�=�6.��Rezultat.�Presjek�elipse �i �hiperbole� ( ) ( ){ }2, 3 , 1, 6 .± ± ± ± �

87. x2�+�y2�=�25,�x2�+�y�=�13.�Rezultat.�Presjek �kružnice�i �parabole� ( ) ( ){ }4, 3 , 3, 4 .± � ± ��

88. x2�+�y2�=�34,�xy�=�Ͳ�15.�Rezultat.�Presjek �kružnice�i �hiperabole� ( ) ( ){ }3, 5 , 5, 3 .± ±B B �

�LITERATURA��1. M.�Merkle�(i�dr.�devet�autora):�ZBIRKA�ZADATAKA�I�TESTOVA�za�polaganje�prijemnog�ispita��IZ�MATEMATIKE�za�upis�na�tehniēke�i�.,�2.�dopunjeno�izdanje,�Beograd�2000,�Zavod�za�udžbenike�i�nastavna�sredstva,��

40

� 40

PRIMJER�PRIJEMNOG�ISPITA��

�Elektrotehniēki�fakultet�Uiverziteta�u�Beogradu,�2003����

41

� 41

42

� 42

Fakultet za saobraüaj i komunikacije, Univerziteta�u�Sarajevu�

Zadaci za Prijemni ispit (09. 07. 2007) Grupa A

Broj zad. Tekst zadatka

1.�

�Odredite�skup�svih��vrijednosti�realnog�parametra�k�za�koje�kvadratna�jednaēina���

2( 1) 2 ( 1) 1 0k x k x k� � � � � �

�ima�dva�rješenja�oba�negativna.�

2.�

Riješite�u�skupu�realnih�brojeva�nejednaēine:

a)��2 3 5

2x

x�

�� �;������b)�� 3 5 1.x x� ! � �

3.�

Ako�je� ( ) 2 (1 )f x f x x� � ,��riješite��trigonometrijsku�jednaēinu�������

������������������������������2 4

(sin cos ) .6

f x x�

� �

4.�

U trouglu ABC þije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 24 cm, 12 cm, 18 cm upisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povuþena je prava koja je paralelna sa stranicom BC zadanog trougla i sijeþe stranicu AB u taþki 1B , a stranicu CA u taþki 1C . Izraþunajte: a) poluobim s zadanog trougla ABC i dužinu polupreþnika U kružnice K upisane tom trouglu; b)��površinu�� 1P ��novonastalog�trougla�� 1 1.AB C �

Napomena:�Ͳ�Svaki�od�zadataka��1.�Ͳ��4.��se�vrednuje�na�isti�naēin�Ͳ�po�maksimalno�10�bodova.� � ���� ��

Šifra��kandidata�Broj�bodova�po�zadacima Ukupan�broj�

bodova�1� 2 3 4

� � �

43

� 43

Fakultet za saobraüaj i komunikacije Univerziteta�u�Sarajevu�

Zadaci za Prijemni ispit (09. 07. 2007)

Grupa B Broj zad. Tekst zadatka

1.�

Odredite�skup�svih��vrijednosti�realnog�parametra�k�za�koje�kvadratna�jednaēina���

2( 1) 2 ( 1) 1 0k x k x k� � � � � �

�ima�dva�rješenja�razliēitog�znaka.�

2.�

Riješite�u�skupu�realnih�brojeva�nejednaēine:

a)��2 3 5

2x

x�

!� �;������b)�� 3 5 1.x x� � � �

3.�

Ako�je� (1 ) 2 ( ) 1 ,f x f x x� � � �riješite��trigonometrijsku�jednaēinu�������

������������������������������2 4

(sin cos ) .6

f x x�

� �

4.�

U trouglu ABC þije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 24 cm, 12 cm, 18 cm upisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povuþena je prava koja je paralelna sa stranicom BC zadanog trougla i sijeþe stranicu AB u taþki 1B , a stranicu CA u taþki 1C . Izraþunajte : a) površinu P zadanog trougla ABC i dužinu njegove visine h na stranicu BC ; b) obim 1O novonastalog trougla 1 1.AB C

Napomena:��

Ͳ�Svaki�od�zadataka�1.�Ͳ��4.�se�vrednuje�na�isti�naēin�Ͳ�po�maksimalno�10�bodova.�

Komisija za pripremu, pregled i ocjenu radova Prijemnog ispita na Fakultetu za saobraüaj

i komunikacije Univerziteta u Sarajevu, akademske 2007/2008. godine

Šifra��kandidata�Broj�bodova�po�zadacima Ukupan�broj�

bodova�1� 2 3 4�

� � �

44

� 44

Elektrotehniþki fakultet Univerziteta�u�Sarajevu�

PRIJEMNI ISPIT (02. 07. 2007) Grupa A Broj�zad.�

Tekst�zadatka

1.�

a)��Nacrtati�grafik�funkcije��f��zadane�formulom���f�(x)2 5 4.x x � � �Nakon�toga�riješiti�svaku�od��

nejednadžbi:�

�����2 5 4 0x x� � � ,���

2 5 4 0x x� � d ,���2 5 4 0x x� � ! ,���

2 5 4 0x x� � t .��

b)��Odrediti��sve�vrijednosti�realnog�parametra�k�tako�da�

jednadžba2 2 ( 2) 2 1 0kx k x k� � � � �ima�dva�realna�i�razliēita�rješenja�koja�pripadaju��

intervalu��(0,5).�

2.� Riješiti�sistem�jednadžbi:�

2 22 2

10 10 10

log ( ) 1 log 130log ( ) log ( ) log 2.

x yx y x y

� �

� � �

­®¯

3.�

Odrediti�sve�kompleksne�brojeve��z����koji�zadovoljavaju�uslove:��

12 5

8 3

z

i z

� ,��4

18

z

z

� ,���gdje�je��i���imaginarna�jedinica.�

4.� Izraēunati�sve�vrijednosti�izraza�sin cos

tgD E

D�

��ako�je��3i sin5

D E S D� .�

5.�U�trokut�ēije�stranice�imaju��dužine��24�cm,�12�cm�i��18�cm�upisana�je�kružnica.�Kroz��centar�te�kružnice�povuēena�je�prava�paralelna�s�najdužom�stranicom.�Izraēunati�obim�novonastalog�trokuta.�

Napomene:��

- Svi�zadaci�se�vrednuju�na�isti�naēin�Ͳ��po�maksimalno�8�bodova.�- Rezultati�prijemnog�ispita��bit�đe�objavljeni��03.�07.�2007.��u��1400,���u�zgradi�

Elektrotehniēkog�fakulteta,�ul.�Zmaja�od�Bosne,�bb.,�KAMPUS.��

Ime�i�prezime�kandidata�

Broj�bodova�po�zadacima Ukupan�broj�bodova�

1� 2� 3 4 5�� � � �

���

45

� 45

Elektrotehniþki fakultet Univerziteta�u�Sarajevu�

����������������������������������������PRIJEMNI�ISPIT��(02.�07.�2007)���� ��������Grupa�B�

roj�zad.� Tekst�zadatka

1.�

a)��Nacrtati��grafik�funkcije��f��zadane�formulom���f�(x)2 4 3.x x � � �Nakon�toga�riješiti�

svaku�od��nejednadžbi:�

�����2 4 3 0x x� � � �,���

2 4 3 0x x� � d ,�2 4 3 0x x� � ! ,���

2 4 3 0x x� � t .��

b)��Odrediti�sve�vrijednosti�realnog�parametra��k��tako�da�jednadžba�������������2 ( 1) 1 0kx k x k� � � � �ima�dva�realna�i�razliēita�rješenja��od�kojih�taēno�jedno��pripada�

intervalu�(0,�1).�

2.�

Riješiti�sistem�jednadžbi:��

2 210 10

2 2 2

log ( ) 1 log 130log ( ) log ( ) 4log 2.

x yx y x y

� �

� � �

­®¯ �

3.�

Odrediti�sve�kompleksne�brojeve��z����koji�zadovoljavaju�uslove:

8 3

12 5

z i

z

� ,��8

14

z

z

� ,���gdje�je��i���imaginarna�jedinica.�

4.� Izraēunati�sve�vrijednosti�izraza� tgsin +cos

DD E

��ako�je��3i cos5

D E S D� .�

5.�U trokut þije stranice imaju dužine 24 cm, 12 cm i 18 cm upisana je kružnica. Kroz centar te kružnice povuþena je prava paralelna s najdužom stranicom. Izraþunati površinu novonastalog trokuta

Napomene:��

- Svi�zadaci�se�vrednuju�na�isti�naēin�Ͳ��po�maksimalno�8�bodova.�- Rezultati�prijemnog�ispita��bit�đe�objavljeni��03.�07.�2007.��u��1400,���u�zgradi�

Elektrotehniēkog�fakulteta,�ul.�Zmaja�od�Bosne,�bb.,�KAMPUS.� ������������ � ��������������������Sarajevu,��školske�2007/2008.�godine�

Ime�i�prezime�kandidata�

Broj�bodova�po�zadacima Ukupan�broj�bodova�

1� 2� 3 4 5�� � � �

46

� 46

GRA�EVINSKI���FAKULTET,��Sarajevo�02Ͳ07Ͳ2007.�

�ZADACI�ZA�KVALIFIKACIONI�ISPIT�IZ�MATEMATIKE.�

Svaki�zadatak�ima�ēeteri�ponuĜena�odgovora:�a,�b,�c,�d.�OBAVEZNO�:�

1. riješite�postavljeni�zadatak,�a�zatim��2. zaokružiti�SAMO�taēan�rezultat.��SMATRA�SE�DA�NISTE�RIJEŠILI�TAJ�ZADATAK,�ako:��

(i) zaokružite��netaēan�rezultat�ili�više�od�jednog�ponuĜenog�rezultata�(a,�b,�c,�d),��(ii) ne�zaokružite�nijedan�od�odgovora�(a,�b,�c,�d),�(iii) samo�zaokružite�taēan�rezultat�a�da�niste�zapisali�rješenje.��(iv) �

1.�ZADATAK������

Nejednaēina:�( ) 2m 1 x 2mx m 0� + + b �važi�za�sve�realne�x,�ako�je:��

a)�0 m 1b b � b)�m 0b � c)�m 1b � d)�m 1p �

2.�ZADATAK���

Neka�se�na�horizontalnom�terenu�iz�taēke�A�toranj�visok�30m�vidi�pod�uglom�od� 6Q�.�Da�bi�se�iz�iste�taēke�toranj�vidio�

pod�uglom�od� 3Q�trebao�bi�biti�visok:�

a)�60m� b)�75m� � c)�90m� � d)�60 2 �

3.ZADATAK��Ako�je�je�hipotenuza�c�=�4,�a�za�mjerne�brojeve�oštrih�uglova�vrijedi�D�:�E�=�1�:�3,�tada�je��površina�pravouglog�trougla:�

������a)� ( )2 2 2 1� ;��� ����b)�2 3 ;��� c)� 5 1+ ;��� d)�2 2 .�����

4.ZADATAK��Osnovica�ravnokrakog�trougla�je�a�=�5,�a�krak�b�=�10.�Tada�je�polupreēnik�opisanog�kruga�oko�trougla:�

a)�3 5 ;��� ���b)�4 15

3 ;��� ���c)�� ( )2 3 1+ ;���d)�3 14

2 �

5.�ZADATAK��Izraz:�

� � � �13 3

2 2 22 2

x y 2y xy: x y 2 4 8 16 1 2x y x y x y

�§ ·�� � � � � � � �¨ ¸� � � © ¹

ima�vrijednost:��

a)�4;��� � b)�xy�+�3;��� � c)�2;��� � d)�xy+4.��

5.�ZADATAK�

Ako�je:���63 7cos 2 , 0, i cos , 0, ,65 2 2130

S S§ · § ·D � D� E E�¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹

tada�je��D � E ��jednako:�

1� 2� 3� 4 5 6 ¦�

� � �

� � �

47

� 47

a)��450;������� b)��900�;����� c)�600�;�������� d)�1350.�

Korisne�formule:�

( )

1 cos2 1 cos2cos , sin ,2 2

cos x y cos x cos y sin x sin y

+ R � RR = ± R = ±

+ = �.�

U�pravouglom�trouglu�ēije�su�katete�a�i�b,�a�hipotenuza�c:����sinD�=�ac ,���cosD�=�

bc � � �

RJEŠENJA�

1.Zadatak�

�Kvadratni�trinom�f(x)�=�ax2�+2bx�+�c��ne�mijenja�znak�ako�je�diskriminanta�D�=�b2�–�ac�d�0,�tj.�

�������������������� � � � � �

� � � �x R ( f x 0 D 0 a > 0 )

(f x 0 D 0 a < 0 )

� � t � d �

d � d � �

Dakle,��

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2( x R m 1 x 2mx m 0) D m m 1 m m 0 m 1 0

m 0.

� � � + + b � = � � = b � � <

� b�

Drugi�naēin�(S.�Dolareviđ):�( )( )( )

22

2xx R m 1 x 2mx m 0 m m 0.

x 1� � � + + b � b � b

+ �

2.Zadatak�

Neka�je��x�=�CA��i�tražena�visina�tornja�H�=�CB,�tada�je:�x�=�hctg300�=30 3 ,�H�=�xtg600=�30 3 3 =�30.3=�90�m.�

��

� � � � � � �

� ����

3.Zadatak�

�Iz��D�:�E�=�1�:�3,�izlazi�E�=�3D�,�tako�da�iz��osobine�zbira�oštrih�uglova�u�pravouglom�trouglu��D�+�E�=�900,�izlazi�4D=900,����������tj.�����2D=450.�

������Katete�pravougli��trougao�ABC�su�(nacrtati�sliku)�:�a�=�csinD,�b�=�c�cosD�,�te�je�površina�tog�trougla��

�����������������������������������������������1P2

ab�=12 �csinD�c�cosD�=�

21 c sin 24

D �=21 24 2 2

4 2 .�

C��CAB1=30

0,����CAB=600�

C�

�CAB1=300,����CAB=600�

A�C�

�CAB1=300,����CAB=600�

A�

h�

48

� 48

4.Zadatak�

Iz�pravouglog�trougla�BDS�(�ēiji�su�vrhovi�(nacrtati�sliku):�B�vrh�na�osnovici�a�=BC�ravnokrakog�trougla�ABC,�D�je�podnožje�visine�h�=�AD,�povuēene�iz�vrha�A�na�osnovicu�BC,�dok�je�S�centar�opisanog�kruga�oko�ravnokrakog�trougla�

ABC),�ēije�su�katete�12 a��i��h�–�r�,�a�hipotenuza�r,��izlazi�

��h�=�AD�=

22 a 5 15b

2 2§ ·� ¨ ¸© ¹

���(�r�je�polupreēnik�kruga�opisanog�oko�trougla�ABC�)��

�r2�=�(h�Ͳ�r)2�+�

2a2

§ ·¨ ¸© ¹

,�tj.��2hr�=�h2�+� � �2

2a b2

§ · ¨ ¸© ¹

.�Dakle��r�=�2b 4 15

2h 3 .�

5.Zadatak�

Kako�je:�

� � � � � �� �� �

� �� �� �

� �� � � �� � � �� �

2 23 32 2

2 2

2 2 2 2 2

x y x xy z 2y x y xyx y 2y xy 1A : x y .x y x y x yx y x y x y x y x y

x xy z xy 2y x y 1,x y x y x y x y x y x y

� � � � �� � � � �

� � �� � � � �

� � � � �

� � � � � �

� � � � � �12 2 1 2 1B 2 4 8 16 1 2 2 2 2 2 4 3 2 2 1 3,

2 2tako da je I = A+B=4.

�§ · � � � � � � � � � � ¨ ¸

© ¹ �

6.Zadatak�

Za�oštre�uglove�D�i�E�izlazi(ispred�korjena�uzet�znak�plus�zato�što�je�D�oštar�ugao):�

1 cos2 1 63 1cos 1 ,2 2 65 65

1 cos2 1 63 8sin , 12 2 65 65

� ¬+ B ­�B = = � =­� ­­�� ®

� ¬� B ­�B = = + =­� ­­�� ®

,�

�������������������������������������������������������2

2 7 9sin 1 cos 1 .130 130

E � E � � � � � �����

Zato�je:���� ( ) 1 7 8 9 7 72 2cos cos cos sin sin265 130 65 130 65 2

�B + C = B C� B C = � = =� �

tj.� � �0135 iz 0, i 0, slijedi 0, .2 2

§ S S ·§ · § ·D �E D� E� D �E� S¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹© ¹

Gradevinski fakultet, Sarajevo 10.9.2007.

Prijemni ispit

Svaki zadatak ima cetiri ponudena odgovora: a), b), c), d)

Rijesite zadatak, a zatim obavezno zaokruzite tacan rezultat.

Smatrace se da niste rijesili zadatak ako:

i) zaokruzite netacan rezultat ili vise od jednog ponudenog rezultata;

ii) ne zaokruzite nista;

iii) samo zaokruzite tacan rezultat a niste prilozili rjesenje.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

P

1. Ako su

x = 1

7

20

: 2, 7 + (0, 4 : 2

1

2

) · (4, 2� 1

3

40

)

i

y = (

1

b�p

a

+

1

b +

pa

) :

a

�2b

�1(

19)� 1

2

a

�2 � a

�1b

�2,

onda je xy jednako:

a)

23 ; b) 3; c) 2; d) 2ab.

2. Rjesenja kvadratne jednacine

a

bx + x

+

a + 1

b

2x

2+ 2bx

2+ x

2= 1

su:

a) x1 = 1, x2 = 2; b) x1 =

a+1b+1 , x2 = � 1

b+1 ;

c) x1 =

a

b+1 , x2 =

1b+1 ; d) x1 =

1b+1 , x2 = � 1

b+1 .

3. Rjesenje nejednacine

1x

+ 1 <

1x+1 je:

a) (1, 2]; b) (�1,�1) [ (0,1); c) (�1, 0); d) [�1, 0).

4. Dijagonale jednakokrakog trapeza sijeku se pod pravim uglom, a njihovi

dijelovi su 4 i 3. Povrsina trapeza je:

a) 1; b)

p2; c)

492 ; d)

49p

22 .

5. Rjesenja trigonometrijske jednacine tg

2x� (

p3� 1)tg x�

p3 = 0 su:

a)

6 + m⇡, �⇡

4 + n⇡, m, n 2 Z; b) 2m⇡,

4 + n⇡, m, n 2 Z;

c) �⇡

3 + m⇡, �⇡

4 + n⇡, m, n 2 Z; d)

3 + m⇡, �⇡

4 + n⇡, m, n 2 Z.

6. Ako je sin ↵ =

513 , sin � =

1213 , a ↵ i � su ostri uglovi, onda je sin(↵� �) jednako:

a) �119169 ; b) 1; c) �1; d)

119169 .

Gradevinski fakultet

Univerzitet u Sarajevu

07.07.2010.

Prijemni ispit

Svaki zadatak ima pet ponudenih odgovora: a), b), c), d), e)

Rijesite zadatak, a zatim obavezno zaokruzite tacan rezultat.

Smatrace se da niste rijesili zadatak ako:

i) zaokruzite netacan rezultat ili vise od jednog ponudenog rezultata;

ii) ne zaokruzite nista;

iii) samo zaokruzite tacan rezultat a niste prilozili rjesenje.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

P

1. Izraz A = (

3(x+2)2(x3+x

2+x+1) +

2x

2�x�102(x3�x

2+x�1)) : (

5x

2+1 +

32(x+1) �

32(x�1))�

x+22 jednak je:

a) 0 b) x c) 2 d) �x e) N

2. Rjesenje nejednacine | x+22x�3 | < 3 je skup:

a) (�1,

32 )[( 11

5 ,1) b) (�1,1)[( 115 ,1) c) (1,

115 ) d) (�1,1][[ 115 ,1) e) N

3. Rjesenja jednacine cos

22x� 2 sin x cos x = �1 koja se nalaze u intervalu (0, 2⇡) su:

a) {⇡

4 ,

5⇡

4 } b) {⇡

4 ,

3⇡

4 } c) {3⇡

4 ,

7⇡

4 } d) {�⇡

4 ,�5⇡

4 } e) N

4. Rjesenje jednacine x + log2(10� 2

x

) = 4 koje se nalazi u intervalu (1, 3] je:

a) 1 b) log2 6 c) 3 d) 2 e) N

5. Ako je u trouglu ABC dato b = 12, a� c = 10 i � =

3 , onda je a + c jednako:

a) 2

p69 b)

p69 c) 2

p69� 10 d)

p69� 5 e) N

6. Ako je prava (1� a)x + (1 + a)y � 7 = 0 (a 6= �1) normalna na pravu 2x + y = 3,

onda a ima vrijednost:

a) �1 b)

13 c) 1 d) 3 e) N

N-Nijedan od ponudenih odgovora nije tacan.

Gradevinski fakultet

Univerzitet u Sarajevu

07.09.2010.

Prijemni ispit

Svaki zadatak ima pet ponudenih odgovora: a), b), c), d), e)

Rijesite zadatak, a zatim obavezno zaokruzite tacan rezultat.

Smatrace se da niste rijesili zadatak ako:

i) zaokruzite netacan rezultat ili vise od jednog ponudenog rezultata;

ii) ne zaokruzite nista;

iii) samo zaokruzite tacan rezultat a niste prilozili rjesenje.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

P

1. Izraz A = (

ab +

ba

ab�

ba

+

1

1+

ba

� 1

1� ba

) :

1�a�3ba+b

3a+ba�b �3

jednak je:

a)

1

a�b

b) 1 c)

3a

2+b

2

(a�b)

2 d) ab e) N

2. Rjesenje nejednacine

|x�1|x+2

< �2 je skup:

a) (�5,�2)[(�2,�1) b) (�5,�2) c) {�2} d) (�5,�1) e) N

3. Rjesenja jednacine 2

4�2 cos

2x�4 sin x � 2 · 2sin

2x�2 sin x+1

+ 1 = 0 iz intervala (0, 4⇡) su:

a) {⇡

2

,

5⇡

2

} b) {3⇡

2

,

5⇡

2

} c) {5⇡

2

,

7⇡

2

} d) {3⇡

2

,

7⇡

2

} e) N

4. Rjesenje jednacine log

2

x + log

2

(x + 2) = 3 je:

a) �4 b) log

2

3 c) 2 d) 4 e) N

5. Ako je u trouglu ABC dato a =

p3, b =

p2 i ↵ =

3

, onda je ugao � jednak:

a)

3⇡

4

b)

7⇡

12

c)

4

d)

5⇡

12

e) N

6. Jednacina normale na pravu 2x + 3y = 2 koja prolazi tackom A(

2

3

, 1) je:

a) 2x� 3y = 0 b) 2x + 3y = 0 c) 3x� 2y = 0 d) 3x + 2y = 0 e) N

N-Nijedan od ponudenih odgovora nije tacan.

49

� 49

MALO�STATISTIKE�

- Uspješnost�rješavanja�pojedinih�zadataka�(tj.�broj�kandidata�koji�su�riješili�pojedine�zadatke):�Zadatak�br.� 1.� 2.� 3. 4. 5. 6.� Nijedan�zad.

Rijšilo�kand.� 18� 25� 6 13 35 6� 80

ͲͲ%(0d�141)�� 12.75� 17.73� 4.25 9.21 24.82 4.25� 56.74

- Uspješnost�kandidata�po�ukupnom�broju�rješenih�zadataka:�Rješili�ukupno�

zadataka�0� 1� 2 3 4 5� 6

kandiddata� 80� 33� 16 10 2 0� 0

%��(od�141�kand.)� 56.74� 23.40� 11.35 7.09 1.42 .00� .00

Gornje�tabele�sve�kažu�o�nevjerovatno�lošem�predznanju�kandidata:��

x najlakši�zadatak�br.�5�(operacije�sa�razlomcima�:�elementarna�algebra�i�aritmetika)�riješilo�je�35�(slovima�„tridesetpet“,�tj.�samo�25%�od�141�kandidata�),�

x nepoznavanje�trigonometrije�je�još�gore�(zadaci�2,�3,�6�).��

Navodim�nekoliko�“�rariteta”�iz�radova�kandidata�koji�se�ne�vide�iz��priloženih�tabela:�

1. formule�za�površinu�trougla�koje�se�koriste�u�3.�zadatku.��:�

����������������������� �c c b b a bP , P a 2b, P , P

2 2 3� D � E � � �

� ,�

2. „Pitagorina�formula�za�pravougli�trougao�c2�=�b2�–�a2,�gdje�je�c�hipotenuza�i�a,�b�su�katete��pravouglog�trougla;� � � �

3. u��2.�zadatku�jedan�kandidat�koristi�proporciju�H:�h�=�D�:�E,�te�je�tražena�visina�tornja�0

060H h 30 60;30

D

E �

4. „biseri“�iz�aritmetike�vezani�za�5.�zadatak:� 2 4 8 16 2 4 8 16 30� � � � � � ,�tj.�treba�da�je�

taēno� x y x y� � ,��ili�„analogan�rezultat“:��1 2 3 4 102 2 2 2 22 2 2 2 2� � � ...��

���

50

� 50

GraĜevinski�fakultet,�Sarajevo�03.07.2008.� � � � � �Prijemni�ispit�

Svaki�zadatak�ima�ēetiri�ponuĜena�odgovora:�a),�b),�c),�d).�Riješite�zadatak,�a�zatim�obavezno�zaokružite�taēan�rezultat.�Smatrađe�se�da�niste�riješili�zadatak�ako:�i)��zaokružite�netaēan�rezultat�ili�više�od�jednog�ponuĜenog�rezultata;�ii)�ne�zaokružite�ništa;�iii)�samo�zaokružite�taēan�rezultat�a�niste�priložili�rješenje.�

1.� 2.� 3.� 4.� ��¦�� � � � �

� � � � �

1.��Riješiti�jednaēinu:���������������� � �� � � �2

2 2log sinx log 1 cos2xsinx 1.� � �

���Skup�rješenja�je:��

��������

5 5a) 2k , 2k , 2k k ; b) 2k , 2k , 2k k ;2 6 6 2 6 6

5 5c) 2k , 2k , 2k k ; d) 2k , 2k , 2k k .2 6 6 2 3 6

S S S S S S­ ½ ­ ½� S � � S � S �= � S � S � S �=® ¾ ® ¾¯ ¿ ¯ ¿

S S S S S S­ ½ ­ ½� � S � S � S �= � S � S � S �=® ¾ ® ¾¯ ¿ ¯ ¿

2.��Ako�je�u��'ABC�:��b�+�c�=�10,��6S

D ��i�površina�P�=�6,�izraēunati�polupreēnik�R�opisane�kružnice.��

� a) R= 100 24 3; b) R= 52 44 3; c) R= 52 24 3; d) R= 52 26 3. � � � � �

3 . � �Dat�je�jednakokraki�trapez�ēija�se�veđa�osnovica�iz�presjeka�dijagonala�vidi�pod�uglom�23S

M ,�a�odsjeēci�na�

dijagonalama�su�2�i�1.�Izraēunati�obim�O�i�površinu�P��trapeza.�(Nacrtati�skicu).�

���������������������������;

11 3 11 3a) O 7 3, P , b) O 5 3, P4 4

9 3 9 3c) O 7 3, P ; d) O 5 3, P .4 4

= = = =

= = = =�

4.���Odrediti�skup�rješenja�nejednaēine�������2 3 x

1.x 1�

p�

���

3 3 1 1 1 1 1 1a) 1, ,1 b) 1, ,1 c) 1, ,1 d) 1, ,1 .4 4 2 2 4 4 2 4

� ¯   ¬ � ¯   ¬ � ¯   ¬ � ¯   ¬­ ­ ­ ­� � � �° ¡ ° ¡ ° ¡ ° ¡� � � � � � � �­ ­ ­ ­� � � �­ ­ ­ ­­ ­ ­ ­� � � �° ¡ ° ¡ ° ¡ ° ¡� ® � ® � ® � ®± ¢ ± ¢ ± ¢ ± ¢* * * * �

P o t r e b n e � f o rmu l e . � �

1 ) � S i n u s n i � s t a v : � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �a b c 2R.

sin sin sin

D E J�

2 ) � K o s i n u s n i � s t a v � ( k a d � s u �u�'ABC� d a t e � d v i j e � s t r a n e � i � z a h v a đ e n i � u g a o , � n p r . � s t r a n e � a , � b � i � u g a o � J ) : �

2 2 1c a b 2ab cos ; ab sin .2

� � J 5 J �

3 ) �O s o b i n a � k v a d r a t n e � j e d n a ē i n e : � �

� � � � b r o j e v i � u � i � v � s u � k o r i j e n i � k v a d r a t n e � j e d n a ē i n e � x 2 � Ͳ � p x � + � q � = � 0 � � a k k o � j e � � � � � � u + v = p � � i � � u v = q .

51

� 51

Gradevinski�fakultet,�Sarajevo�03.07.2008.� � � � � � ͲBͲ�Prijemni�ispit�

Svaki�zadatak�ima�ēetiri�ponuĜena�odgovora:�a),�b),�c),�d).�Riješite�zadatak,�a�zatim�obavezno�zaokružite�taēan�rezultat.�Smatrađe�se�da�niste�riješili�zadatak�ako:�i)��zaokružite�netaēan�rezultat�ili�više�od�jednog�ponuĜenog�rezultata;�ii)�ne�zaokružite�ništa;�iii)�samo�zaokružite�taēan�rezultat�a�niste�priložili�rješenje.�

1. U�istokraēnom�trapezu�dijagonale�se�sijeku�pod�uglom�23S

M ,�a�odsjeđci�na�dijagonalama�su�2�i�1.�Izraēunati�

obim�O�i�površinu�P��trapeza.�(Nacrtati�skicu).�

���������������������������;

9 3 11 3a˳) O 7 3, P , b) O 5 3, P ˳4 4

9 3 11 3c˳) O 5 3, P ; d˳) O 7 3, P .4 4

= = = =

= = = =�

2. Odrediti�skup�rješenja�nejednaēine�������3 x 2

1.x 1

�b�

����

����������������1 1 1 1 1 3 3 3a) 1, ,1 b) 1, ,1 c) 1, ,1 d) 1, ,1 .4 4 2 2 4 4 4 4

� ¯   ¬ � ¯   ¬ � ¯   ¬ � ¯   ¬­ ­ ­ ­� � � �° ¡ ° ¡ ° ¡ ° ¡� � � � � � � �­ ­ ­ ­� � � �­ ­ ­ ­­ ­ ­ ­� � � �° ¡ ° ¡ ° ¡ ° ¡� ® � ® � ® � ®± ¢ ± ¢ ± ¢ ± ¢* * * * ��

3. Riješiti�jednaēinu:���������������� � �� � � �2

2 2log sin x log 1 cos 2xsin x 1.� � �

���Skup�rješenje�je:��

��������

5 5a) 2k , 2k , 2k k ; b) 2k , 2k , 2k k ;2 6 6 2 6 6

5 5c) 2k , 2k , 2k k ; d) 2k , 2k , 2k k .2 6 6 2 3 6

S S S S S S­ ½ ­ ½� S � S � S �= � S � � S � S �=® ¾ ® ¾¯ ¿ ¯ ¿

S S S S S S­ ½ ­ ½� � S � S � S �= � S � S � S �=® ¾ ® ¾¯ ¿ ¯ ¿

4.��U��'ABC�je��a�+�c�=�10,��6S

E ��i�površina�P�=�6.�Izraēunati�polupreēnik�R�opisane�kružnice.��

� a) R= 64 24 3; b) R= 52 24 3; c) R= 62 24 3; d) R= 102 24 3 .� � � � �

P o t r e b n e � f o rmu l e . � �

1 ) � S i n u s n i � s t a v : � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �a b c 2R.

sin sin sin

D E J�

2 ) � K o s i n u s n i � s t a v � ( k a d � s u �u�'ABC� d a t e � d v i j e � s t r a n e � i � z a h v a ē e n i � u g a o , � n a p r . � s t r a n e � a , b � i � u g a o � J ) : �

2 2 1c a b 2ab cos ; ab sin .2

� � J 5 J �

3 ) �O s o b i n a � k v a d r a t n e � j e d n a ē i n e : � �

� � � � � b r o j e v i � u � i � v � s u � k o r j e n i � k v a d r a t n e � j e d n a ē i n e � x 2 � Ͳ � p x � + � q � = � 0 � � a k k o � j e � � u + v = p � � i � � u v = q . �

1. 2. 3.� 4.� ��¦�� � �

� � �

52

� 52

Testirajte se za prijemni ispit iz matematike!

Za rešavanje testa koristite papir i olovku, a zatim unesite rešenja zadataka!�

Ime: ���Prezime:

1. Vrednost izraza �

2. Za a=30 i b=6 vrednost izraza je: �

3. U jednakokrakom trouglu ABC (AC=BC) duĐina osnovice AB=10, a duĐina krakova AC i BC iznosi 13. Zbir duĐina sve tri visine trougla ABC je: �

53

� 53

4. Ako je , onda vrednost izraza pripada intervalu: �

5. Za svako realno x razlomak je jednak: �

6. Sfera S1 polupreþnika upisana je u kocku ivice 1, a sfera S2 polupreþnika je opisana oko

te kocke. Zbir je: �

7. Vrednost izraza je: �

54

� 54

-1�

nijedan od ponuÿenih�

1�

i�

-i�

8. Ako je i , onda je : �

9�

19�

7�

8�

4�

9. Zbir svih rešenja jednaþine je: �

10. Proizvod svih rešenja jednaþine je: �

12�

24�

2�

6�

0�

11. Srednja linija trapeza deli trapez na dva dela þije se površine odnose kao 7:5. Odnos manje i veüe osnovice trapeza je: �

1:3�

1:5�

55

� 55

1:4�

1:6�

1:2�

12. Skup svih vrednosti realnog parametra za koje su rešenja kvadratne jednaþine

negativna je podskup skupa: �

13. Jednaþina na segmentu : �

ima taþno 1 rešenje�

ima više od 4 rešenja�

ima taþno 2 rešenja�

nema rešenja�

ima 4 rešenja�

14. Broj rešenja jednaþine je: �

3�

1�

0�

2�

bar 4�

15. Zapremina paralelepipeda þije su sve strane rombovi stranice i oštrog ugla jednaka je: �

56

� 56

16. Rastojanje izmeÿu tangenti na hiperbolu koje su normalne na pravu

je: �

17. Zbir svih vrednosti realnog parametra za koje sistem , ima jedinstveno rešenje je: �

2�

-3�

-2�

1�

3�

18. Ako je i , tada je jednak: �

57

� 57

19. Osoba A trþi stalnom brzinom po kruĐnoj putanji i obiÿe je za 40 sekundi. Osoba B trþi u suprotnom smeru stalnom brzinom i mimoiÿe se sa A svakih 15 sekundi. Za koliko sekundi B obiÿe putanju? �

55�

25�

12�

24�

27.5�

20. Broj preseþnih taþaka svih dijagonala unutar konveksnog sedmougla ABCDEF kod kojeg se nikoje tri i više dijagonala ne seku u jednoj unutrašnjoj taþki tog sedmougla je: �

21�

28�

42�

45�

35

58

� 58

Programi�za�prijemni�ispit�iz�Matematike��

1. Osnovne�logiēke�operacije.�Pojam�funkcije.��2. Racionalni�algebarski�izrazi.�Polinomi.��3. Linearna�funkcija.�Linearne�jednaēine�i�nejednaēine.�Sistemi�linearnih�jednaēina�i�

nejednaēina.��4. Kvadratna�funkcija.�Kvadratne�jednaēine�i�nejednaēine.�Sistemi�kvadratnih�jednaēina.��5. Algebarske�i�iracionalne�jednaēine�i�nejednaēine.��6. Pojam�logaritma.�Logaritamska�i�eksponencijalna�funkcija.�Logaritamske�i�eksponencijalne�

jednaēine�i�nejednaēine.��7. Trigonometrijske�funkcije.�Identiteti,�jednaēine�i�nejednaēine.�Primena�trigonometrije�na�

trougao�i�mnogougao.�8. Kompleksni�brojevi.��9. Analitiēka�geometrija�u�ravni�(prava,�krug,�elipsa,�hiperbola�i�parabola).��10. Planimetrija�(prvenstveno�geometrija�trougla,�ēetvorougla�i�kruga).��11. Stereometrija�(prizma,�piramida,�zarubljena�piramida,�valjak,�kupa,�zarubljena�kupa,�sfera�i�

delovi�sfere).��12. Binomna�formula.�Aritmetiēka�i�geometrijska�progresija.��13. Pojam�graniēne�vrednosti.�Izvod�i�primjena�izvoda.��

� � ���� �

� � ���� �

� �