princip rekurzije i matemati cka indukcija · 2011-10-16 · 3 indukcija i rekurzija u sirem...

Princip rekurzije i matematicka indukcija

N. Ikodinovic

13.10.2011.

(Teorija izracunljivosti) 13.10.2011. 1 / 41

Pregled predavanja

1 Euklidov algoritam

2 Peanova aritmetika

3 Indukcija i rekurzija u sirem kontekstu

Euklidov algoritam

Pregled predavanja

Euklidov algoritam

O pojmu algoritma

Pojam algoritma ili efektivne procedure vekovima postoji umatematici bez precizne definicije. Neformalno, pod algoritmom sepodrazumeva mehanicki proces koji se korak po korak izvodi nadkonacnim skupom podataka, pri cemu je svaki korak nedvosmislenodefinisan, izvodi se u konacnom vremenu i u ogranicenom deluprostora.

Iako navedena recenica dosta dobro odgovara svakodnevnoj upotrebiovog pojma, ona se ne moze uzeti za (strogu) matematicku definiciju!

Navedena “definicija” nemocna je pred problemima tipa: pokazati dane postoji algoritam za resavanje nekog problema.

Euklidov algoritam

O pojmu algoritma

Euklidov algoritam

O pojmu algoritma

Euklidov algoritam

O pojmu algoritma

Primeri algoritama su poznati prakticno u svim oblastima matematikepri cemu neki poticu jos iz antickog doba.

Smatra se da je cuveni Euklidov algoritam najstariji netrivijalnialgoritam koji je ostao nepromenjen do danasnjih dana.

Euklidov algoritam

O pojmu algoritma

Primeri algoritama su poznati prakticno u svim oblastima matematikepri cemu neki poticu jos iz antickog doba.

Smatra se da je cuveni Euklidov algoritam najstariji netrivijalnialgoritam koji je ostao nepromenjen do danasnjih dana.

Euklidov algoritam

Euklidov algoritam je postupak za nalazenje najveceg zajednickogdelioca dva broja.

Primer 1.

NZD(942,444) =?942 = 2 ·444 + 54

NZD(942,444) = NZD(444,54)444 = 8 ·54 + 12

NZD(444,54) = NZD(54,12)54 = 4 ·12 + 6

NZD(54,12) = NZD(12,6)12 = 2 ·6 + 0

NZD(12,6) = NZD(6,0) = 6

NZD(942,444) = 6

Euklidov algoritam

Primer 1.

NZD(942,444) =?

942 = 2 ·444 + 54NZD(942,444) = NZD(444,54)

444 = 8 ·54 + 12NZD(444,54) = NZD(54,12)

54 = 4 ·12 + 6NZD(54,12) = NZD(12,6)

12 = 2 ·6 + 0NZD(12,6) = NZD(6,0) = 6

NZD(942,444) = 6

Euklidov algoritam

Primer 1.

NZD(942,444) =?942 = 2 ·444 + 54

NZD(942,444) = NZD(444,54)444 = 8 ·54 + 12

NZD(444,54) = NZD(54,12)54 = 4 ·12 + 6

NZD(54,12) = NZD(12,6)12 = 2 ·6 + 0

NZD(12,6) = NZD(6,0) = 6

NZD(942,444) = 6

Euklidov algoritam

Primer 1.

NZD(942,444) =?942 = 2 ·444 + 54

NZD(942,444) = NZD(444,54)

444 = 8 ·54 + 12NZD(444,54) = NZD(54,12)

54 = 4 ·12 + 6NZD(54,12) = NZD(12,6)

12 = 2 ·6 + 0NZD(12,6) = NZD(6,0) = 6

NZD(942,444) = 6

Euklidov algoritam

Primer 1.

NZD(942,444) =?942 = 2 ·444 + 54

NZD(942,444) = NZD(444,54)444 = 8 ·54 + 12

NZD(444,54) = NZD(54,12)54 = 4 ·12 + 6

NZD(54,12) = NZD(12,6)12 = 2 ·6 + 0

NZD(12,6) = NZD(6,0) = 6

NZD(942,444) = 6

Euklidov algoritam

Primer 1.

NZD(942,444) =?942 = 2 ·444 + 54

NZD(942,444) = NZD(444,54)444 = 8 ·54 + 12

NZD(444,54) = NZD(54,12)

54 = 4 ·12 + 6NZD(54,12) = NZD(12,6)

12 = 2 ·6 + 0NZD(12,6) = NZD(6,0) = 6

NZD(942,444) = 6

Euklidov algoritam

Primer 1.

NZD(942,444) =?942 = 2 ·444 + 54

NZD(942,444) = NZD(444,54)444 = 8 ·54 + 12

NZD(444,54) = NZD(54,12)54 = 4 ·12 + 6

NZD(54,12) = NZD(12,6)12 = 2 ·6 + 0

NZD(12,6) = NZD(6,0) = 6

NZD(942,444) = 6

Euklidov algoritam

Primer 1.

NZD(942,444) =?942 = 2 ·444 + 54

NZD(942,444) = NZD(444,54)444 = 8 ·54 + 12

NZD(444,54) = NZD(54,12)54 = 4 ·12 + 6

NZD(54,12) = NZD(12,6)

12 = 2 ·6 + 0NZD(12,6) = NZD(6,0) = 6

NZD(942,444) = 6

Euklidov algoritam

Primer 1.

NZD(942,444) =?942 = 2 ·444 + 54

NZD(942,444) = NZD(444,54)444 = 8 ·54 + 12

NZD(444,54) = NZD(54,12)54 = 4 ·12 + 6

NZD(54,12) = NZD(12,6)12 = 2 ·6 + 0

NZD(12,6) = NZD(6,0) = 6

NZD(942,444) = 6

Euklidov algoritam

Primer 1.

NZD(942,444) =?942 = 2 ·444 + 54

NZD(942,444) = NZD(444,54)444 = 8 ·54 + 12

NZD(444,54) = NZD(54,12)54 = 4 ·12 + 6

NZD(54,12) = NZD(12,6)12 = 2 ·6 + 0

NZD(12,6) = NZD(6,0) = 6

NZD(942,444) = 6

Euklidov algoritam

Primer 1.

NZD(942,444) =?942 = 2 ·444 + 54

NZD(942,444) = NZD(444,54)444 = 8 ·54 + 12

NZD(444,54) = NZD(54,12)54 = 4 ·12 + 6

NZD(54,12) = NZD(12,6)12 = 2 ·6 + 0

NZD(12,6) = NZD(6,0) = 6

NZD(942,444) = 6

Euklidov algoritam

1 NZD(m,0) = m, m > 02 NZD(m,n) = NZD(n,m mod n), m > 0,n > 0

[m modn =“ostatak pri deljenju m sa n”]

Primer 1.

NZD(444,942) =?NZD(444,942) = NZD(942,444mod942) Pravilo 2.

= NZD(942,444)[jer je 444 = 0 ·942 + 444, pa je 444mod942 = 444]

= NZD(942,444) = NZD(444,942mod444) Pravilo 2.= NZD(444,54)

[jer je 942 = 2 ·444 + 54, pa je 942mod444 = 54]= NZD(444,54) = NZD(54,444mod54) = NZD(54,12) Pravilo 2.= NZD(54,12) = NZD(12,54mod12) = NZD(12,6) Pravilo 2.= NZD(12,6) = NZD(6,12mod6) = NZD(6,0) Pravilo 2.= NZD(6,0) = 6 Pravilo 1.

Euklidov algoritam

Primer 1.

NZD(444,942) =?

NZD(444,942) = NZD(942,444mod942) Pravilo 2.= NZD(942,444)

[jer je 444 = 0 ·942 + 444, pa je 444mod942 = 444]= NZD(942,444) = NZD(444,942mod444) Pravilo 2.

= NZD(444,54) = NZD(54,444mod54) = NZD(54,12) Pravilo 2.= NZD(54,12) = NZD(12,54mod12) = NZD(12,6) Pravilo 2.= NZD(12,6) = NZD(6,12mod6) = NZD(6,0) Pravilo 2.= NZD(6,0) = 6 Pravilo 1.

Euklidov algoritam

Primer 1.

Euklidov algoritam

Primer 1.

[jer je 942 = 2 ·444 + 54, pa je 942mod444 = 54]

= NZD(444,54) = NZD(54,444mod54) = NZD(54,12) Pravilo 2.= NZD(54,12) = NZD(12,54mod12) = NZD(12,6) Pravilo 2.= NZD(12,6) = NZD(6,12mod6) = NZD(6,0) Pravilo 2.= NZD(6,0) = 6 Pravilo 1.

Euklidov algoritam

Primer 1.

[jer je 942 = 2 ·444 + 54, pa je 942mod444 = 54]= NZD(444,54) = NZD(54,444mod54) = NZD(54,12) Pravilo 2.

= NZD(54,12) = NZD(12,54mod12) = NZD(12,6) Pravilo 2.= NZD(12,6) = NZD(6,12mod6) = NZD(6,0) Pravilo 2.= NZD(6,0) = 6 Pravilo 1.

Euklidov algoritam

Primer 1.

[jer je 942 = 2 ·444 + 54, pa je 942mod444 = 54]= NZD(444,54) = NZD(54,444mod54) = NZD(54,12) Pravilo 2.= NZD(54,12) = NZD(12,54mod12) = NZD(12,6) Pravilo 2.

= NZD(12,6) = NZD(6,12mod6) = NZD(6,0) Pravilo 2.= NZD(6,0) = 6 Pravilo 1.

Euklidov algoritam

Primer 1.

[jer je 942 = 2 ·444 + 54, pa je 942mod444 = 54]= NZD(444,54) = NZD(54,444mod54) = NZD(54,12) Pravilo 2.= NZD(54,12) = NZD(12,54mod12) = NZD(12,6) Pravilo 2.= NZD(12,6) = NZD(6,12mod6) = NZD(6,0) Pravilo 2.

= NZD(6,0) = 6 Pravilo 1.

Euklidov algoritam

Primer 1.

Euklidov algoritam

Jednakostima (1) i (2) potpuno je opisan postupak izracunavanjanajveceg zajednickog delioca dva broja.

Jednakostima (1) i (2) korektno je definisana funkcijaNZD :N×N→N

[N= {0,1,2, . . .} – skup prirodnih brojeva]

E1 Podeli A sa B i zapamtiostatak C .

E2 Ako je C = 0, zavrsipostupak i stampaj B;ako je C > 0, stavi da jeA := B i B := C i idi na E1.

Euklidov algoritam

Definicije funkcija ovakvog tipa nazivaju se rekurzivnim (rekurentnim,induktivnim) definicijama.

Rec rekurzija potice od latinske reci recurrere koja znaci vratiti se od[recurrence = koji se vraca]

Dedekind je u svom radu iz 1888. godine. koristio termin definisanindukcijom, dok je Hilbert [1904] upotrebio rec rekurrent(e), a kasnije[1923] i rec Rekursion.

Euklidov algoritam

Peanova aritmetika

Pregled predavanja

Peanova aritmetika

Aritmetika

Zadatak sa kraja XIX veka. “Srediti aritmetiku kao sto jeEuklid sredio geometriju.”

Dedekind je 1888. godine objavio spisak aksioma aritmetike medjukojima su posebno istaknuti:• matematicka indukcija i• induktivne (rekurzivne) definicije aritmetickih funkcija.

Peano je usvojio Dedekindove aksiome i formirao prvi formalniaksiomatski sistem za aritmetiku. Peanove aksiome su objavljene1889. godine.

Peanova aritmetika

Aritmetika

Peanova aritmetika

Aritmetika

Peanova aritmetika

Peanova (a ne Dedekindova?!) aritmetika

(N,0,s) – struktura prirodnih brojeva0 ∈N, s :N→N,

0,1 = s(0),2 = s(s(0)),3 = s(s(s(0))),4 = s(s(s(s(0)))),5 = s(s(s(s(s(0))))) . . .

Intuitivno, polazeci od elementa 0, funkcija s generise prirodne brojeve

P1 s(n) 6= 0, za svako n iz N[0 nije sledbenik nijednog prirodnog broja; s nije na-funkcija]

P2 Ako je s(m) = s(n), onda je m = n, za sve m,n iz N[s je 1-1-funkcija]

P3 Matematicka indukcija Ako je S ⊆N takav da je

BI 0 ∈ S ,IK iz n ∈ S , sledi da s(n) ∈ S , za svako n iz N,

onda je S =N[N je najmanji (u smislu inkluzije) induktivni skup]

Peanova aritmetika

Peanova (a ne Dedekindova?!) aritmetika

(N,0,s) – struktura prirodnih brojeva0 ∈N, s :N→N,

0,1 = s(0),2 = s(s(0)),3 = s(s(s(0))),4 = s(s(s(s(0)))),5 = s(s(s(s(s(0))))) . . .

Intuitivno, polazeci od elementa 0, funkcija s generise prirodne brojeve

P1 s(n) 6= 0, za svako n iz N[0 nije sledbenik nijednog prirodnog broja; s nije na-funkcija]

P2 Ako je s(m) = s(n), onda je m = n, za sve m,n iz N[s je 1-1-funkcija]

P3 Matematicka indukcija Ako je S ⊆N takav da je

BI 0 ∈ S ,IK iz n ∈ S , sledi da s(n) ∈ S , za svako n iz N,

onda je S =N[N je najmanji (u smislu inkluzije) induktivni skup]

Peanova aritmetika

Teoreme rekurzije

Najjednostavnija forma teoreme rekurzije

Za svaki skup X , svaki element x iz X i svaku funkciju g : X → X ,postoji jedinstvena funkcija h :N→ X takva da je

{h(0) = x ,h(s(n)) = g(h(n)).

Peanova aritmetika

Teoreme rekurzije

Najjednostavnija forma teoreme rekurzije

{h(0) = x ,h(s(n)) = g(h(n)).

Peanova aritmetika

Nekoliko napomena

Napomena 1. Svaka funkcija h :N→ X naziva se i niz u skupu X . Tadaje uobicajeno da se umesto h(n) pise hn. Pri ovakvoj notaciji jednakosti(Rec) postaju:

{h0 = x ,hn+1 = g(hn).

Napomena 2. Pod nizovima skupa X cesto se podrazumevaju i funkcije sadomenom N+ = {1,2, . . .} i kodomenom X . U tom slucaju rekurzivnodefinisani nizovi se zadaju jednakostima:

{h1 = x ,hn+1 = g(hn).

Peanova aritmetika

Nekoliko napomena

Napomena 1. Svaka funkcija h :N→ X naziva se i niz u skupu X . Tadaje uobicajeno da se umesto h(n) pise hn. Pri ovakvoj notaciji jednakosti(Rec) postaju:

{h0 = x ,hn+1 = g(hn).

Napomena 2. Pod nizovima skupa X cesto se podrazumevaju i funkcije sadomenom N+ = {1,2, . . .} i kodomenom X . U tom slucaju rekurzivnodefinisani nizovi se zadaju jednakostima:

{h1 = x ,hn+1 = g(hn).

Peanova aritmetika

Nekoliko napomena

Napomena 3. U matematici se cesto rekurzivno definisani nizovi brojevazadaju “neformalno” – upotrebom tackica. Na primer,• Sn – zbir prvih n prirodnih brojeva: Sn = 1 + 2 + · · ·+ n. Korektnadefinicija niza je naravno rekurzivna:

{S1 = 1,Sn+1 = Sn + (n + 1).

• n! – proizvod prvih n prirodnih brojeva: n! = 1 ·2 · · ·n.

{1! = 1,(n + 1)! = n! · (n + 1).

• cn =

√2 +

√2 + · · ·+

√2︸︷︷︸

n korena

; (Rec)

cn+1 =√

2 + cn.

Peanova aritmetika

Nekoliko napomena

{S1 = 1,Sn+1 = Sn + (n + 1).

{1! = 1,(n + 1)! = n! · (n + 1).

• cn =

√2 +

√2 + · · ·+

√2︸︷︷︸

n korena

; (Rec)

cn+1 =√

2 + cn.

Peanova aritmetika

Nekoliko napomena

{S1 = 1,Sn+1 = Sn + (n + 1).

{1! = 1,(n + 1)! = n! · (n + 1).

• cn =

√2 +

√2 + · · ·+

√2︸︷︷︸

n korena

; (Rec)

cn+1 =√

2 + cn.

Peanova aritmetika

Nekoliko napomena

Napomena 4. Dokazati da je zbir prvih n prirodnih brojeva jednak n(n+1)2 .

Zbir prvih n brojeva:Sn = 1 + 2 + · · ·+ n

BI 1 = 1(1+1)2

IH 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2

1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

Zbir prvih n brojeva:

{S1 = 1,Sn+1 = Sn + (n + 1).

BI S1 = 1 = 1(1+1)2

IH Sn = n(n+1)2

Sn+1 = Sn + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

Peanova aritmetika

Nekoliko napomena

BI 1 = 1(1+1)2

IH 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2

1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

{S1 = 1,Sn+1 = Sn + (n + 1).

BI S1 = 1 = 1(1+1)2

IH Sn = n(n+1)2

Sn+1 = Sn + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

Peanova aritmetika

Nekoliko napomena

BI 1 = 1(1+1)2

IH 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2

1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

{S1 = 1,Sn+1 = Sn + (n + 1).

BI S1 = 1 = 1(1+1)2

IH Sn = n(n+1)2

Sn+1 = Sn + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

Peanova aritmetika

Nekoliko napomena

BI 1 = 1(1+1)2

IH 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2

1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

{S1 = 1,Sn+1 = Sn + (n + 1).

BI S1 = 1 = 1(1+1)2

IH Sn = n(n+1)2

Sn+1 = Sn + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

Peanova aritmetika

Nekoliko napomena

BI 1 = 1(1+1)2

IH 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2

1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

{S1 = 1,Sn+1 = Sn + (n + 1).

BI S1 = 1 = 1(1+1)2

IH Sn = n(n+1)2

Sn+1 = Sn + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

Peanova aritmetika

Nekoliko napomena

BI 1 = 1(1+1)2

IH 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2

1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

{S1 = 1,Sn+1 = Sn + (n + 1).

BI S1 = 1 = 1(1+1)2

IH Sn = n(n+1)2

Sn+1 = Sn + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

Peanova aritmetika

Nekoliko napomena

BI 1 = 1(1+1)2

IH 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2

1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

{S1 = 1,Sn+1 = Sn + (n + 1).

BI S1 = 1 = 1(1+1)2

IH Sn = n(n+1)2

Sn+1 = Sn + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

Peanova aritmetika

Nekoliko napomena

BI 1 = 1(1+1)2

IH 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2

1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

{S1 = 1,Sn+1 = Sn + (n + 1).

BI S1 = 1 = 1(1+1)2

IH Sn = n(n+1)2

Sn+1 = Sn + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1)

= (n+1)(n+2)2

Peanova aritmetika

Primeri rekurzivno definisanih funkcija

{h(0) = x ,h(s(n)) = g(h(n)).

Primer 2. Neka je X =N, x = 2 i g = s =N→N i h :N→N funkcijadefinisana jednakostima:

{h(0) = 2,h(s(n)) = s(h(n)).

1 Koliko je h(3)?h(3) = h(s(2)) = s(h(2)) = s(h(s(1))) = s(s(h(1))) = s(s(h(s(0)))) =s(s(s(h(0)))) = s(s(s(2))) = s(s(s(s(s(0))))) = 5

2 Koliko je h(14)?

Peanova aritmetika

{h(0) = x ,h(s(n)) = g(h(n)).

{h(0) = 2,h(s(n)) = s(h(n)).

2 Koliko je h(14)?

Peanova aritmetika

{h(0) = x ,h(s(n)) = g(h(n)).

{h(0) = 2,h(s(n)) = s(h(n)).

1 Koliko je h(3)?

h(3) = h(s(2)) = s(h(2)) = s(h(s(1))) = s(s(h(1))) = s(s(h(s(0)))) =s(s(s(h(0)))) = s(s(s(2))) = s(s(s(s(s(0))))) = 5

2 Koliko je h(14)?

Peanova aritmetika

{h(0) = x ,h(s(n)) = g(h(n)).

{h(0) = 2,h(s(n)) = s(h(n)).

2 Koliko je h(14)?

Peanova aritmetika

{h(0) = x ,h(s(n)) = g(h(n)).

{h(0) = 2,h(s(n)) = s(h(n)).

2 Koliko je h(14)?

Peanova aritmetika

Primer 2. - nastavak

Funkciju h cemo oznaciti sa 2+: h(n) = 2 + n.

{2 + 0 = 2,2 + s(n) = s(2 + n).

Analogno za svaki fiksirani prirodan broj m definisemo funkciju:m+ :N→N jednakostima:

{m + 0 = m,m + s(n) = s(m + n).

Peanova aritmetika

Primer 2. - nastavak

Funkciju h cemo oznaciti sa 2+: h(n) = 2 + n.

{2 + 0 = 2,2 + s(n) = s(2 + n).

Analogno za svaki fiksirani prirodan broj m definisemo funkciju:m+ :N→N jednakostima:

{m + 0 = m,m + s(n) = s(m + n).

Peanova aritmetika

Teoreme rekurzije

Teorema primitivne rekurzije

Za proizvoljne skupove X1, . . . ,Xk ,Y , i proizvoljne funkcijef : X1×·· ·×Xk → Y , g : X1×·· ·×Xk ×N×Y → Y , postoji jedinstvenafunkcija h : X1×·· ·×Xk ×N→ Y takva da je

{h(x1, . . . ,xk ,0) = f (x1, . . . ,xk),h(x1, . . . ,xk ,s(n)) = g(x1, . . . ,xk ,n,h(n,x1, . . . ,xk)).

Definicija

Za funkciju h definisanu jednakostima (Rec) kazemo da je dobijenaprimitivnom rekurzijom funkcija f i g , i pisemo h = Rec(f ,g).

Peanova aritmetika

Teoreme rekurzije

Teorema primitivne rekurzije

Za proizvoljne skupove X1, . . . ,Xk ,Y , i proizvoljne funkcijef : X1×·· ·×Xk → Y , g : X1×·· ·×Xk ×N×Y → Y , postoji jedinstvenafunkcija h : X1×·· ·×Xk ×N→ Y takva da je

{h(x1, . . . ,xk ,0) = f (x1, . . . ,xk),h(x1, . . . ,xk ,s(n)) = g(x1, . . . ,xk ,n,h(n,x1, . . . ,xk)).

Definicija

Za funkciju h definisanu jednakostima (Rec) kazemo da je dobijenaprimitivnom rekurzijom funkcija f i g , i pisemo h = Rec(f ,g).

Peanova aritmetika

Sabiranje prirodnih brojeva

Primer 3.

U primeru 2 su definisane funkcije 0+,1+,2+,3+, . . . ,m+, . . . :N→N

Da li dati niz funkcija odredjuje funkciju + :N×N→N

+(m,n) = m + n.

Prema definicijama iz primera 2 imamo da je

{+(m,0) = m,+(m,s(n)) = s(+(m,n)).

Dakle, funkcija + :N×N→N se dobija primitivnom rekurzijom funkcija:

i :N→N, i(x) = x , i

g :N×N×N→N, g(x ,k ,y) = s(y).

Peanova aritmetika

Primer 3.

U primeru 2 su definisane funkcije 0+,1+,2+,3+, . . . ,m+, . . . :N→NDa li dati niz funkcija odredjuje funkciju + :N×N→N

+(m,n) = m + n.

{+(m,0) = m,+(m,s(n)) = s(+(m,n)).

i :N→N, i(x) = x , i

g :N×N×N→N, g(x ,k ,y) = s(y).

Peanova aritmetika

Primer 3.

+(m,n) = m + n.

{+(m,0) = m,+(m,s(n)) = s(+(m,n)).

i :N→N, i(x) = x , i

g :N×N×N→N, g(x ,k ,y) = s(y).

Peanova aritmetika

Primer 3.

+(m,n) = m + n.

{+(m,0) = m,+(m,s(n)) = s(+(m,n)).

i :N→N, i(x) = x , i

g :N×N×N→N, g(x ,k ,y) = s(y).

Peanova aritmetika

Primer 3.

+(m,n) = m + n.

{+(m,0) = m,+(m,s(n)) = s(+(m,n)).

i :N→N, i(x) = x , i

g :N×N×N→N, g(x ,k ,y) = s(y).

Peanova aritmetika

Definicija i osobine sabiranja

{(Rec1) m + 0 = m,(Rec2) m + s(n) = s(m + n).

Lema 1 (∀n) 0 + n = n

Dokaz.

BI 0 + 0 = 0 prema (Rec1).

IH 0 + n = n.0 + s(n) = s(0 + n) [prema (Rec2)]

= s(n) [prema [IH]] ♣

Peanova aritmetika

{(Rec1) m + 0 = m,(Rec2) m + s(n) = s(m + n).

Lema 1 (∀n) 0 + n = n

Dokaz.

BI 0 + 0 = 0 prema (Rec1).

Peanova aritmetika

{(Rec1) m + 0 = m,(Rec2) m + s(n) = s(m + n).

Lema 1 (∀n) 0 + n = n

Dokaz.

BI 0 + 0 = 0 prema (Rec1).

Peanova aritmetika

{(Rec1) m + 0 = m,(Rec2) m + s(n) = s(m + n).

Lema 1 (∀n) 0 + n = n

Dokaz.

BI 0 + 0 = 0 prema (Rec1).

IH 0 + n = n.

0 + s(n) = s(0 + n) [prema (Rec2)]= s(n) [prema [IH]] ♣

Peanova aritmetika

{(Rec1) m + 0 = m,(Rec2) m + s(n) = s(m + n).

Lema 1 (∀n) 0 + n = n

Dokaz.

BI 0 + 0 = 0 prema (Rec1).

Peanova aritmetika

Lema 2 (∀m,n) m + s(n) = s(m) + n

Dokaz.

Neka je m proizvoljan prirodan broj. Dokaz teoreme sprovodimoindukcijom po n.

BI m + s(0) = s(m + 0) [prema (Rec2)]= s(m) [prema (Rec1)]= s(m) + 0 [prema (Rec1)]

IH m + s(n) = s(m) + n.m + s(s(n)) = s(m + s(n)) [prema (Rec2)]

= s(s(m) + n) [prema [IH]]= s(m) + s(n) [prema (Rec2)]. ♣

Peanova aritmetika

Lema 2 (∀m,n) m + s(n) = s(m) + n

Dokaz.

Peanova aritmetika

Lema 2 (∀m,n) m + s(n) = s(m) + n

Dokaz.

BI m + s(0) = s(m + 0) [prema (Rec2)]

= s(m) [prema (Rec1)]= s(m) + 0 [prema (Rec1)]

Peanova aritmetika

Lema 2 (∀m,n) m + s(n) = s(m) + n

Dokaz.

BI m + s(0) = s(m + 0) [prema (Rec2)]= s(m) [prema (Rec1)]

= s(m) + 0 [prema (Rec1)]

Peanova aritmetika

Lema 2 (∀m,n) m + s(n) = s(m) + n

Dokaz.

Peanova aritmetika

Lema 2 (∀m,n) m + s(n) = s(m) + n

Dokaz.

IH m + s(n) = s(m) + n.

m + s(s(n)) = s(m + s(n)) [prema (Rec2)]= s(s(m) + n) [prema [IH]]= s(m) + s(n) [prema (Rec2)]. ♣

Peanova aritmetika

Lema 2 (∀m,n) m + s(n) = s(m) + n

Dokaz.

Peanova aritmetika

Lema 2 (∀m,n) m + s(n) = s(m) + n

Dokaz.

= s(s(m) + n) [prema [IH]]

= s(m) + s(n) [prema (Rec2)]. ♣

Peanova aritmetika

Lema 2 (∀m,n) m + s(n) = s(m) + n

Dokaz.

Peanova aritmetika

Teorema (∀m,n) m + n = n + m

Dokaz.

BI m + 0 = m [prema (Rec1)]0 + m = m [prema Lemi 1: (∀n) 0 + n = n]

IH m + n = n + m.m + s(n) = s(m + n) [prema (Rec2)]

= s(n + m) [prema [IH]]= n + s(m) [prema (Rec2)]= s(n) + m [prema Lemi 2: (∀m,n) m + s(n) = s(m) + n] ♣

Zadatak Dokazati (∀k ,m,n) (k + m) + n = k + (m + n).

Peanova aritmetika

Dokaz.

Peanova aritmetika

Dokaz.

BI m + 0 = m [prema (Rec1)]

0 + m = m [prema Lemi 1: (∀n) 0 + n = n]

Peanova aritmetika

Dokaz.

Peanova aritmetika

Dokaz.

IH m + n = n + m.

m + s(n) = s(m + n) [prema (Rec2)]= s(n + m) [prema [IH]]= n + s(m) [prema (Rec2)]= s(n) + m [prema Lemi 2: (∀m,n) m + s(n) = s(m) + n] ♣

Peanova aritmetika

Dokaz.

Peanova aritmetika

Dokaz.

= s(n + m) [prema [IH]]

= n + s(m) [prema (Rec2)]= s(n) + m [prema Lemi 2: (∀m,n) m + s(n) = s(m) + n] ♣

Peanova aritmetika

Dokaz.

= s(n + m) [prema [IH]]= n + s(m) [prema (Rec2)]

= s(n) + m [prema Lemi 2: (∀m,n) m + s(n) = s(m) + n] ♣

Peanova aritmetika

Dokaz.

Peanova aritmetika

Dokaz.

Zadatak Dokazati (∀k ,m,n) (k + m) + n = k + (m + n).(Teorija izracunljivosti) 13.10.2011. 23 / 41

Peanova aritmetika

Mnozenje prirodnih brojeva

· :N×N→N

{m ·0 = 0,m · s(n) = (m ·n) + m.

Mnozenje · :N×N→N se dobija primitivnom rekurzijom funkcija:

0 :N→N, 0(x) = 0, i

g :N×N×N→N, g(x ,k ,y) = y + x .

Zadatak

(∀k ,m,n) (k ·m) ·n = k · (m ·n)

(∀k ,m,n) m ·n = n ·m(∀k ,m,n) k · (m + n) = k ·m + k ·n

Peanova aritmetika

· :N×N→N(Rec)

{m ·0 = 0,m · s(n) = (m ·n) + m.

0 :N→N, 0(x) = 0, i

g :N×N×N→N, g(x ,k ,y) = y + x .

Zadatak

(∀k ,m,n) (k ·m) ·n = k · (m ·n)

Peanova aritmetika

· :N×N→N(Rec)

{m ·0 = 0,m · s(n) = (m ·n) + m.

0 :N→N, 0(x) = 0, i

g :N×N×N→N, g(x ,k ,y) = y + x .

Zadatak

(∀k ,m,n) (k ·m) ·n = k · (m ·n)

Peanova aritmetika

· :N×N→N(Rec)

{m ·0 = 0,m · s(n) = (m ·n) + m.

0 :N→N, 0(x) = 0, i

g :N×N×N→N, g(x ,k ,y) = y + x .

Zadatak

(∀k ,m,n) (k ·m) ·n = k · (m ·n)

Peanova aritmetika

Uredjenje prirodnih brojeva

6⊆N×N

m 6 n ⇔ (∃k) m + k = n

Osobine

(∀n) n 6 n

(∀m,n) m 6 n∧n 6m⇒m = n

(∀k ,m,n) k 6m∧m 6 n⇒ k 6 n

(∀m,n) m 6 n∨n 6m

(∀k ,m,n) m 6 n⇔m + k 6 n + k

(∀k ,m,n) m 6 n⇒m ·k 6 n ·k(∀k ,m,n) 0 < k ∧m ·k 6 n ·k ⇒m 6 n

Princip najmanjeg elementa. Svaki neprazan podskup S od N imanajmanji element, tj. postoji n iz S takav da je n6 x , za svako x iz S .

Peanova aritmetika

6⊆N×Nm 6 n ⇔ (∃k) m + k = n

Osobine

(∀n) n 6 n

(∀m,n) m 6 n∧n 6m⇒m = n

(∀k ,m,n) k 6m∧m 6 n⇒ k 6 n

(∀m,n) m 6 n∨n 6m

(∀k ,m,n) m 6 n⇔m + k 6 n + k

Peanova aritmetika

6⊆N×Nm 6 n ⇔ (∃k) m + k = n

Osobine

(∀n) n 6 n

(∀m,n) m 6 n∧n 6m⇒m = n

(∀k ,m,n) k 6m∧m 6 n⇒ k 6 n

(∀m,n) m 6 n∨n 6m

(∀k ,m,n) m 6 n⇔m + k 6 n + k

Peanova aritmetika

Potpuna matematicka indukcija

Princip potpune matematicke indukcije

Ako je S(n) bilo koje svojstvo prirodnih brojeva. Tada je

(∀n)((∀k < n)S(k)⇒ S(n))⇒ (∀n)S(n)

posledica Peanovih aksioma.

Princip potpune matematicke indukcije ekvivalentan je principu najmanjegelementa.

(∀n)((∀k < n)¬S(k)⇒¬S(n))⇒ (∀n)¬S(n)⇔¬(∀n)¬S(n)⇒¬(∀n)((∀k < n)¬S(k)⇒¬S(n))⇔ (∃n)S(n)⇒ (∃n)((∀k < n)¬S(k)∧S(n))

Peanova aritmetika

(∀n)((∀k < n)S(k)⇒ S(n))⇒ (∀n)S(n)

Peanova aritmetika

(∀n)((∀k < n)S(k)⇒ S(n))⇒ (∀n)S(n)

(∀n)((∀k < n)¬S(k)⇒¬S(n))⇒ (∀n)¬S(n)

⇔¬(∀n)¬S(n)⇒¬(∀n)((∀k < n)¬S(k)⇒¬S(n))⇔ (∃n)S(n)⇒ (∃n)((∀k < n)¬S(k)∧S(n))

Peanova aritmetika

(∀n)((∀k < n)S(k)⇒ S(n))⇒ (∀n)S(n)

(∀n)((∀k < n)¬S(k)⇒¬S(n))⇒ (∀n)¬S(n)⇔¬(∀n)¬S(n)⇒¬(∀n)((∀k < n)¬S(k)⇒¬S(n))

⇔ (∃n)S(n)⇒ (∃n)((∀k < n)¬S(k)∧S(n))

Peanova aritmetika

(∀n)((∀k < n)S(k)⇒ S(n))⇒ (∀n)S(n)

Peanova aritmetika

Teorema koja povezuje +, ·, 6, . . .

Teorema o ostatku

Neka je n bilo koji prirodan broj veci od 0. Za svaki prirodan broj mpostoje jedinstveni brojevi q i r iz N, takvi da je

(∗) m = n ·q + r , 06 r < n.

Jedinstveno odredjeni brojevi q i r , za koje vazi (∗) nazivaju se redomkolicnik i ostatak pri deljenju broja m prirodnim brojem n.Funkcije κ :N+×N→N i ρ :N+×N→N definisemo sa

κ(n,m) = kolicnik pri deljenju broja m brojem n

iρ(n,m) = ostatak pri deljenju broja m brojem n.

Umesto κ(n,m) cesto se pise[m

]; a umesto ρ(n,m) se pise m mod n.

Peanova aritmetika

Teorema o ostatku

(∗) m = n ·q + r , 06 r < n.

Jedinstveno odredjeni brojevi q i r , za koje vazi (∗) nazivaju se redomkolicnik i ostatak pri deljenju broja m prirodnim brojem n.

Funkcije κ :N+×N→N i ρ :N+×N→N definisemo sa

Peanova aritmetika

Teorema o ostatku

(∗) m = n ·q + r , 06 r < n.

Jedinstveno odredjeni brojevi q i r , za koje vazi (∗) nazivaju se redomkolicnik i ostatak pri deljenju broja m prirodnim brojem n.Funkcije κ :N+×N→N i ρ :N+×N→N definisemo sa

Peanova aritmetika

Prosirenje funkcija κ i ρ ; Deljivost prirodnih brojeva

Funkcije κ i ρ prosirujemo na N×N jednakostima

κ(0,m) = 0, odnosno ρ(0,m) = m.

|⊂N×Nm | n ⇔ ρ(m,n) = 0.

Osobine

(∀n) 1 | n(∀n) n | n(∀m,n) m | n∧n |m⇒m = n

(∀k ,m,n) k |m∧m | n⇒ k | n...

Peanova aritmetika

κ(0,m) = 0, odnosno ρ(0,m) = m.

|⊂N×Nm | n ⇔ ρ(m,n) = 0.

Osobine

(∀n) 1 | n(∀n) n | n(∀m,n) m | n∧n |m⇒m = n

(∀k ,m,n) k |m∧m | n⇒ k | n...

Peanova aritmetika

κ(0,m) = 0, odnosno ρ(0,m) = m.

|⊂N×Nm | n ⇔ ρ(m,n) = 0.

Osobine

(∀n) 1 | n(∀n) n | n(∀m,n) m | n∧n |m⇒m = n

(∀k ,m,n) k |m∧m | n⇒ k | n...

Peanova aritmetika

Prosti brojevi

Definicija

Prirodan broj p je prost ukoliko je veci od 1 i jedini brojevi kojima je deljivsu 1 i p. Prirodan broj veci od 1 je slozen ako nije prost.

P= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41, . . .}

Teorema

Svaki prirodan broj veci od 1 deljiv je bar jednim prostim brojem.

Teorema

Prostih brojeva ima beskonacno mnogo.

Dokaz. P. S. Neka je P= {p1, . . . ,pk}.Broj p1 · · ·pn + 1 veci je od 1, ali nije deljiv ni jednim prostim brojem.Kontradikcija! ♣

Peanova aritmetika

Prosti brojevi

Definicija

P= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41, . . .}

Teorema

Peanova aritmetika

Prosti brojevi

Definicija

P= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41, . . .}

Teorema

Peanova aritmetika

Prosti brojevi

Definicija

P= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41, . . .}

Teorema

Peanova aritmetika

Prosti brojevi

Definicija

P= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41, . . .}

Teorema

Dokaz. P. S. Neka je P= {p1, . . . ,pk}.

Broj p1 · · ·pn + 1 veci je od 1, ali nije deljiv ni jednim prostim brojem.Kontradikcija! ♣

Peanova aritmetika

Prosti brojevi

Definicija

P= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41, . . .}

Teorema

Peanova aritmetika

Osnovna teorema aritmetike

Teorema o rastavljanju na proste cinioce

Ako je n prirodan broj veci od 1, onda postoje jedinstveni prosti brojevip1, p2, . . . , pk takvi da je p1 < p2 < · · ·< pk i jedinstveni prirodni brojevi`1, `2, . . . , `k veci od 0 takvi da je

n = p`11 p`2

2 · · ·p`kk .

Indukcija i rekurzija u sirem kontekstu

Pregled predavanja

Primer 1 – niz reci (stringova)

Princip rekurzije

Niz reci (stringova) nadalfabetom {a,b} definisan je sa:

{w0 = a,wn+1 = abwnba.

Odrediti w3.

w3 = abw2ba= ababw1baba= abababw0bababa= ababababababa.

Princip indukcije

Dokazati da za svako n rec wn

ima neparan broj slova.

BI |w0|= |a|= 1

IH |wn|= 2k + 1|wn+1|= |abwnba|

= |wn|+ 4= 2k + 5

Zadatak. Dokazati da je za svakon rec wn palindrom.

Princip rekurzije

Odrediti w3.

Princip indukcije

BI |w0|= |a|= 1

= |wn|+ 4= 2k + 5

Princip rekurzije

Odrediti w3.

Princip indukcije

BI |w0|= |a|= 1

= |wn|+ 4= 2k + 5

Princip rekurzije

Odrediti w3.

Princip indukcije

BI |w0|= |a|= 1

= |wn|+ 4= 2k + 5

Princip rekurzije

Odrediti w3.

Princip indukcije

BI |w0|= |a|= 1

= |wn|+ 4= 2k + 5

Princip rekurzije

Odrediti w3.

Princip indukcije

BI |w0|= |a|= 1

IH |wn|= 2k + 1

|wn+1|= |abwnba|= |wn|+ 4= 2k + 5

Princip rekurzije

Odrediti w3.

Princip indukcije

BI |w0|= |a|= 1

= |wn|+ 4= 2k + 5

Princip rekurzije

Odrediti w3.

Princip indukcije

BI |w0|= |a|= 1

= |wn|+ 4= 2k + 5

Primer 2 – iskazne formule

Iskazne formule su neke od reci nad alfabetom

A = {¬,∧,∨,⇒,),(}∪{>,⊥}∪{pn | n ∈N}

Definicija 1.1 Simboli >, ⊥ i pn, n ∈N su iskazne formule.2 Ako je α iskazna formula, onda je i (¬α) iskazna formula.3 Ako su α i β iskazne formule, onda su i (α ∧β ), (α ∨β ), (α ⇒ β )

iskazne formule.4 Iskazne formule su reci nad A koje se mogu dobiti samo primenom

prethodna tri pravila.

Definicija 1′. Skup iskaznih formula For je najmanji skup reci nadalfabetom A takav da

1 >,⊥ ∈ For i {pn | n ∈N} ⊆ For.2 Ako α ∈ For, onda (¬α) ∈ For.3 Ako α,β ∈ For, onda (α ∧β ),(α ∨β ),(α ⇒ β ) ∈ For.

A = {¬,∧,∨,⇒,),(}∪{>,⊥}∪{pn | n ∈N}

Definicija 1′′.

1 For(0) = {>,⊥}∪{pn | n ∈N}2 For(n + 1)

= {(¬α) | α ∈ For(n)}∪{(α ∗β ) | α,β ∈ For(n),∗ ∈ {∧,∨,⇒}}3 For =

⋃n∈NFor(n)

Definicija 1′′′.

For ::= {>,⊥}∪{pn | n ∈N} | (¬For) | (For∧For) | (For∨For) | (For⇒ For)

Znak “::=” citamo moze biti oblika, a znak “|” kao ili.

Definicija 1′′.

1 For(0) = {>,⊥}∪{pn | n ∈N}2 For(n + 1)

= {(¬α) | α ∈ For(n)}∪{(α ∗β ) | α,β ∈ For(n),∗ ∈ {∧,∨,⇒}}3 For =

⋃n∈NFor(n)

Definicija 1′′′.

For ::= {>,⊥}∪{pn | n ∈N} | (¬For) | (For∧For) | (For∨For) | (For⇒ For)

Znak “::=” citamo moze biti oblika, a znak “|” kao ili.

var(α) =“skup iskaznih slova koja se pojavljuju u α”

var : For→P({pn | n ∈N})P(X ) – skup svih podskupova od X ; partitivni skup od X

var(>) = var(⊥) = /0, var(pn) = {pn}var((¬α)) = var(α)var((α ∗β )) = var(α)∪var(β )

var(((p1∧⊥)⇒ p2)) = var((p1∧⊥))∪var(p2)= var(p1)∪var(⊥)∪var(p2) = {p1}∪ /0∪{p2}= {p1,p2}.

Pot(α) =“skup potformula formule α”

Pot : For→P(For)

Pot(>) = {>}, Pot(⊥) = {⊥}, Pot(pn) = {pn}Pot((¬α)) = Pot(α)∪{(¬α)}Pot((α ∗β )) = Pot(α)∪Pot(β )∪{(α ∗β )}

Pot : For→P(For)

var(>) = var(⊥) = /0, var(pn) = {pn}

var((¬α)) = var(α)var((α ∗β )) = var(α)∪var(β )

Pot : For→P(For)

var(>) = var(⊥) = /0, var(pn) = {pn}var((¬α)) = var(α)

var((α ∗β )) = var(α)∪var(β )

Pot : For→P(For)

Pot(>) = {>}, Pot(⊥) = {⊥}, Pot(pn) = {pn}

Pot((¬α)) = Pot(α)∪{(¬α)}Pot((α ∗β )) = Pot(α)∪Pot(β )∪{(α ∗β )}

Pot : For→P(For)

Data je valuacija iskaznih slova v : {pn | n ∈N}→ {true, false}.

v : For→{true, false}

v(>) = true, v(⊥) = false, v(pn) = v(pn)

v((¬α)) =∼ v(α) v((α ∧β )) = v(α)� v(β )

x ∼ x

true falsefalse true

� true falsetrue true falsefalse false false

v((α ∨β )) = v(α)⊕ v(β ) v((α ⇒ β )) = v(α) v(β )

⊕ true falsetrue true truefalse true false

true falsetrue true falsefalse true true

Data je valuacija iskaznih slova v : {pn | n ∈N}→ {true, false}.v : For→{true, false}

v((¬α)) =∼ v(α) v((α ∧β )) = v(α)� v(β )

x ∼ x

v((α ∨β )) = v(α)⊕ v(β ) v((α ⇒ β )) = v(α) v(β )

v((¬α)) =∼ v(α) v((α ∧β )) = v(α)� v(β )

x ∼ x

v((α ∨β )) = v(α)⊕ v(β ) v((α ⇒ β )) = v(α) v(β )

v((¬α)) =∼ v(α) v((α ∧β )) = v(α)� v(β )

x ∼ x

v((α ∨β )) = v(α)⊕ v(β ) v((α ⇒ β )) = v(α) v(β )

Primer 3 – aritmetika

Var = {x ,y ,z ,x1, . . .} – prebrojiv skup promenljivih

Aexp – aritmeticki izrazi

Aexp ::=Z | Var | Aexp + Aexp | Aexp−Aexp | Aexp ·Aexp

Bexp – bulovski izrazi (formule)

Bexp ::= {>,⊥} | Aexp = Aexp | Aexp6 Aexp | ¬Bexp | Bexp∧Bexp

Com – programi

Com ::= stop | Var := Aexp | Com;Com | if Bexp then Com else Com|while Bexp do Com

Com – programi

σ : Var→Z – valuacija promenljivih

Izracunavanje vrednosti aritmetickih izraza za datu valuaciju

n ∈Z: 〈n,σ〉 → n

v ∈ Var: 〈v ,σ〉 → σ(v)

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′+ a′′,σ〉 → n, n = n′+ n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′−a′′,σ〉 → n, n = n′−n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ ·a′′,σ〉 → n, n = n′ ·n′′

n ∈Z: 〈n,σ〉 → n

v ∈ Var: 〈v ,σ〉 → σ(v)

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′+ a′′,σ〉 → n, n = n′+ n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′−a′′,σ〉 → n, n = n′−n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ ·a′′,σ〉 → n, n = n′ ·n′′

n ∈Z: 〈n,σ〉 → n

v ∈ Var: 〈v ,σ〉 → σ(v)

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′+ a′′,σ〉 → n, n = n′+ n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′−a′′,σ〉 → n, n = n′−n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ ·a′′,σ〉 → n, n = n′ ·n′′

n ∈Z: 〈n,σ〉 → n

v ∈ Var: 〈v ,σ〉 → σ(v)

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′+ a′′,σ〉 → n, n = n′+ n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′−a′′,σ〉 → n, n = n′−n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ ·a′′,σ〉 → n, n = n′ ·n′′

n ∈Z: 〈n,σ〉 → n

v ∈ Var: 〈v ,σ〉 → σ(v)

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′+ a′′,σ〉 → n, n = n′+ n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′−a′′,σ〉 → n, n = n′−n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ ·a′′,σ〉 → n, n = n′ ·n′′

n ∈Z: 〈n,σ〉 → n

v ∈ Var: 〈v ,σ〉 → σ(v)

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′+ a′′,σ〉 → n, n = n′+ n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′−a′′,σ〉 → n, n = n′−n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ ·a′′,σ〉 → n, n = n′ ·n′′

n ∈Z: 〈n,σ〉 → n

v ∈ Var: 〈v ,σ〉 → σ(v)

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′+ a′′,σ〉 → n, n = n′+ n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′−a′′,σ〉 → n, n = n′−n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ ·a′′,σ〉 → n, n = n′ ·n′′

Izracunavanje vrednosti bulovskih izraza za datu valuaciju

〈>,σ〉 → true, 〈⊥,σ〉 → false〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ = a′′,σ〉 → true, ako je n′ = n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ = a′′,σ〉 → false, ako je n′ 6= n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ 6 a′′,σ〉 → true, ako je n′ 6 n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ 6 a′′,σ〉 → false, ako je n′ > n′′

〈b,σ〉 → true〈¬b,σ〉 → false

,〈b,σ〉 → false〈¬b,σ〉 → true

〈b′,σ〉 → true 〈b′′,σ〉 → true〈b′∧b′′,σ〉 → true

,〈b′,σ〉 → true 〈b′′,σ〉 → false

〈b′∧b′′,σ〉 → false, · · ·

〈a′ = a′′,σ〉 → true, ako je n′ = n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ 6 a′′,σ〉 → true, ako je n′ 6 n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈b′∧b′′,σ〉 → false, · · ·

〈>,σ〉 → true, 〈⊥,σ〉 → false

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ = a′′,σ〉 → true, ako je n′ = n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ 6 a′′,σ〉 → true, ako je n′ 6 n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈b′∧b′′,σ〉 → false, · · ·

〈a′ = a′′,σ〉 → true, ako je n′ = n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ 6 a′′,σ〉 → true, ako je n′ 6 n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈b′∧b′′,σ〉 → false, · · ·

〈a′ = a′′,σ〉 → true, ako je n′ = n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ 6 a′′,σ〉 → true, ako je n′ 6 n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈b′∧b′′,σ〉 → false, · · ·

〈a′ = a′′,σ〉 → true, ako je n′ = n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ 6 a′′,σ〉 → true, ako je n′ 6 n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈b′∧b′′,σ〉 → false, · · ·

〈a′ = a′′,σ〉 → true, ako je n′ = n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ 6 a′′,σ〉 → true, ako je n′ 6 n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈b′∧b′′,σ〉 → false, · · ·

〈a′ = a′′,σ〉 → true, ako je n′ = n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ 6 a′′,σ〉 → true, ako je n′ 6 n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈b′∧b′′,σ〉 → false, · · ·

〈a′ = a′′,σ〉 → true, ako je n′ = n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈a′ 6 a′′,σ〉 → true, ako je n′ 6 n′′

〈a′,σ〉 → n′ 〈a′′,σ〉 → n′′

〈b′∧b′′,σ〉 → false, · · ·

Ako je n ∈Z i v ∈ Var, onda je σ [n/v ] : Var→Z valuacija data sa:

σ [n/v ](u) =

{n ako je u promenljiva v ,

σ(u) inace .

Izvrsavanje komandi za datu valuaciju promenljivih

〈stop,σ〉 → σ ,〈a,σ〉 → n

〈v := a,σ〉 → σ [n/v ], v ∈ Var

〈c ′,σ〉 → σ ′ 〈c ′′,σ ′〉 → σ ′′

〈c ′;c ′′,σ〉 → σ ′′

〈b,σ〉 → true 〈c ′,σ〉 → σ ′

〈if b then c ′ else c ′′,σ〉 → σ ′,〈b,σ〉 → false 〈c ′′,σ〉 → σ ′

〈if b then c ′ else c ′′,σ〉 → σ ′

〈b,σ〉 → false〈while b do c ,σ〉 → σ

〈b,σ〉 → true 〈c ,σ〉 → σ ′′ 〈while b do c,σ ′′〉 → σ ′

〈while b do c ,σ〉 → σ ′

σ [n/v ](u) =

σ(u) inace .

〈stop,σ〉 → σ ,〈a,σ〉 → n

〈v := a,σ〉 → σ [n/v ], v ∈ Var

〈c ′,σ〉 → σ ′ 〈c ′′,σ ′〉 → σ ′′

〈c ′;c ′′,σ〉 → σ ′′

〈b,σ〉 → true 〈c ′,σ〉 → σ ′

σ [n/v ](u) =

σ(u) inace .

〈stop,σ〉 → σ ,〈a,σ〉 → n

〈v := a,σ〉 → σ [n/v ], v ∈ Var

〈c ′,σ〉 → σ ′ 〈c ′′,σ ′〉 → σ ′′

〈c ′;c ′′,σ〉 → σ ′′

〈b,σ〉 → true 〈c ′,σ〉 → σ ′

σ [n/v ](u) =

σ(u) inace .

〈stop,σ〉 → σ ,〈a,σ〉 → n

〈v := a,σ〉 → σ [n/v ], v ∈ Var

〈c ′,σ〉 → σ ′ 〈c ′′,σ ′〉 → σ ′′

〈c ′;c ′′,σ〉 → σ ′′

〈b,σ〉 → true 〈c ′,σ〉 → σ ′

σ [n/v ](u) =

σ(u) inace .

〈stop,σ〉 → σ ,〈a,σ〉 → n

〈v := a,σ〉 → σ [n/v ], v ∈ Var

〈c ′,σ〉 → σ ′ 〈c ′′,σ ′〉 → σ ′′

〈c ′;c ′′,σ〉 → σ ′′

〈b,σ〉 → true 〈c ′,σ〉 → σ ′

σ [n/v ](u) =

σ(u) inace .

〈stop,σ〉 → σ ,〈a,σ〉 → n

〈v := a,σ〉 → σ [n/v ], v ∈ Var

〈c ′,σ〉 → σ ′ 〈c ′′,σ ′〉 → σ ′′

〈c ′;c ′′,σ〉 → σ ′′

〈b,σ〉 → true 〈c ′,σ〉 → σ ′

σ [n/v ](u) =

σ(u) inace .

〈stop,σ〉 → σ ,〈a,σ〉 → n

〈v := a,σ〉 → σ [n/v ], v ∈ Var

〈c ′,σ〉 → σ ′ 〈c ′′,σ ′〉 → σ ′′

〈c ′;c ′′,σ〉 → σ ′′

〈b,σ〉 → true 〈c ′,σ〉 → σ ′

EUKLID = if ¬(0> X ∧0> Y )then stopelse while ¬X = Y do

if X 6 Ythen X := X −Yelse Y := Y −X

princip rekurzije i matemati cka indukcija · 2011-10-16 · 3 indukcija i rekurzija u sirem...

Documents