Universidad de Costa Rica

Instituto Tecnológico de Costa Rica

PRIMER EXAMEN PARCIAL

CÁLCULO I Valor: 56 puntos. Tiempo máximo: 3 horas.

Sábado 18 de abril de 2015 INSTRUCCIONES GENERALES

Antes de contestar lea cuidadosamente las instrucciones y los enunciados de las preguntas.

Este examen consta de dos partes. La primera de ellas es de selección única (5 puntos) y la segunda es de desarrollo (51 puntos).Utilice únicamente bolígrafo de tinta indeleble azul o negra para resolver este examen. No se aceptan apelaciones sobre aquellos ejercicios que deje resueltos con lápiz o presenten algún tipo de alteración.

Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna respuesta o procedimiento está desordenado, éste no se calificará.

ESTE EXAMEN DEBERÁ SER RESUELTO EN EL CUADERNO DE EXAMEN. ESCRIBA LAS RESPUESTAS DE LA PARTE DE SELECCIÓN. EN LA PARTE DE DESARROLLO DEBE APARECER TODO EL PROCEDIMIENTO QUE JUSTIFIQUE CORRECTAMENTE LA SOLUCIÓN Y LA RESPUESTA DE CADA ÍTEM.

Recuerde que sólo puede utilizar calculadora que únicamente efectúe las operaciones básicas. No se permite el uso de calculadora científica de ningún tipo.

La prueba debe resolverse individualmente.

I PARTE. SELECCIÓN ÚNICA. Valor: 5 puntos (un punto cada respuesta correcta). Instrucciones: A continuación se le presentan 5 enunciados con cuatro opciones de respuesta de las cuales solamente una es correcta. Marque una equis sobre la letra que antecede a la opción que completa correctamente cada enunciado. Recuerde trasladar su respuesta al cuaderno de examen escribiendo el número de enunciado y la opción seleccionada.

1. Sabiendo que 1001

1lim100

1

xx

x, entonces considere las siguientes afirmaciones:

De ellas, con certeza, ¿cuál o cuáles son verdaderas? (A) Solamente I y III (B) Solamente I y II (C) Solamente II (D) Solamente I

2. Analice las siguientes afirmaciones, referidas a dos funciones 푓 y ℎ tales que

xf

x 0lim y 0lim

0

xh

x:

De ellas, con certeza, ¿cuál o cuáles son verdaderas? (A) Solamente II y III (B) Solamente I y II (C) Solamente III (D) Solamente I

3. El valor de c para el cual el 65

lim 22

xxcxc

xexiste, corresponde a

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 2

I. 5011lim 2

100

1

xx

x.

II. 3

10011lim 3

100

1

xx

x.

III. 251

1lim 4

100

1

xx

x.

I. 0x es la ecuación de una asíntota asíntota vertical de la gráfica de f.

II. )(lim0

xhxfx

no existe.

III. )0(f no existe.

4. Sea 푓 una función definida en su máximo dominio, tal que 16

672)( 4

2

x

xxxf .

Considere las siguientes afirmaciones:

De ellas, con certeza, ¿cuál o cuáles son verdaderas? (A) Solamente II y III (B) Solamente I y III (C) Solamente III (D) Solamente I 5. Sea 푓 una función tal que 221)( xxf , 5,5x , entonces )(lim

2xf

x

corresponde a (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 5

I. 푓 posee una discontinuidad evitable en 2x .

II. 푓 posee una discontinuidad inevitable en 4x .

III. 0y es la ecuación de la asíntota horizontal de la gráfica de 푓.

II PARTE: DESARROLLO. Valor: 51 puntos. 1) Construya la gráfica de una función 푓 que satisfaga, simultáneamente, cada una de las

siguientes condiciones: (8 puntos)

4,3 RID f 4)(lim3

xfx

f es continua en todo su dominio )1(' f no existe 6)(lim

xf

x 02' f

)(lim4

xfx

3,,2' xxf

2) Calcule, si existen, los siguientes límites:

a) x

xxx

1

2422lim2

(5 puntos)

Note que como x , entonces 1)1(1 xxx , luego

1

2422lim

22

xxx

x

x

1

2422lim

2

xxx

x

x

1

2422lim

2

xxx

x

x

xx

xxxx

x 11

2422

lim2

211

2422

lim2

x

xxxx

b) 3

6

0 1212112lim

xx

xx

(Sugerencia: Realice un cambio de variable) (5 puntos)

00

1212112lim

3

6

0

xxx

x forma indeterminada

Si intentáramos racionalizar, el procedimiento sería bastante largo, por lo tanto un cambio de variable nos permitiría trabajar con expresiones polinomiales, como se muestra a continuación: Sea 126 xy , entonces 6 12 xy y 32 12 xy (proponer el cambio de variable de tal manera que las otras expresiones queden en términos de “ y ”). Además note que cuando 10 yx .

Ahora se reescribe el límite en términos de la nueva variable: 001lim 261

yyy

y

forma indeterminada. Al factorizar el denominador se tiene: 111 2226 yyyyyy

Luego 41

111111

111lim

111)1(lim 221221

yyyyyyy

yyy

c)

20

)cos()2cos()2cos()3cos(limx

xxxxx

(5 puntos)

Al evaluar se tiene 00)cos()2cos()2cos()3cos(lim 20

xxxxx

x forma indeterminada, por

lo tanto se sigue que

20

)cos()3cos()2cos(limx

xxxx

20

)cos()2cos()2cos(limx

xxxxx

20

)cos()2(sen)(sen)2cos()cos()2cos(limx

xxxxxxx

20

)2(sen)(sen1)2cos()cos()2cos(limx

xxxxxx

220

)2(sen)(sen)2cos()2cos(1)cos()2cos(limx

xxxx

xxxx

220

)2(sen)(sen)2cos()2cos(1)cos()2cos(limx

xxxx

xxxx

xx

xxx

xx

xxxx

x 2)2(sen2)(sen)2cos(

)2cos(1)2cos(1)2cos(1)cos()2cos(lim 20

x

xx

xxxx

xsenx

xsenxxx 2

)2(sen2)(sen)2cos()2cos(1

12

)2(22

)2(2)cos()2cos(lim0

4211211212111

3) Determine los valores de m y b de tal forma que la función RIh ,0: , tal que

8si

80si25)(xbmx

xxxh , sea derivable en 8x . Utilice la definición de derivada

en un punto. (8 puntos)

Para que h sea derivable en 8x debemos verificar que: a) h es continua en 8x : bmbmx

x

8lim

8 y 925lim

8

x

x, para que )(lim

8xh

xexista entonces

mbbm 8998 (**). Luego 9)8( h .

b) )8(')8(' hh :

4

1428

162lim8

42lim8

925lim8

)8()(lim)8('8888

xxx

xx

xx

xhxhh

xxxx

mxxm

xmmx

xbmx

xhxhh

xxxx

8)8(lim

8989lim

89lim

8)8()(lim)8('

88

(**)

88

Por lo tanto 41

m , luego .74189 b

4) En cada uno de los siguientes casos determine dxdy

. No es necesario simplificar:

a) 1

sen2

24 3

xey

x

(6 puntos)

22

24222223

1

2)(sen16)()cos()(sen4´'3333

xxexxeeey

xxxx

b) 35 32 2sec xxxxy (7 puntos)

)22(2tan2sec2sec13

5

12sec3' 225 322

5 43

225 3 xxxxxxxxxx

xxxxxxy

5) Sea RIRIf : tal que 24)( xxf . Determine las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de coordenadas 4,1 y que son tangentes a la gráfica de f . (7 puntos) Note que fG4,1 . Consideremos fGba , , tal que las rectas que pasan por ba, y por 4,1 son tangentes a la gráfica de f . Como fGba , , entonces baaaf 22 44)( . (1) Además aaf 2)(' es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en ba, . (2) Por otro lado, como la recta (rectas) pasan por ba, y 4,1 , entonces su pendiente

también está dado por ab

14 .(3)

De (2) y (3) se tiene que aab 2

14

, luego de (1) sustituimos y se tiene que

202144 2

aaaa

a .

Si 0a , entonces 4b y 0)0(' f , por lo tanto la ecuación de la recta tangente es

4y .

Si 2a , entonces 0b y 40)2(' f , por lo tanto la ecuación de la recta tangente es 84 xy .