SVEUČILIŠTE/UNIVERZITET “VITEZ” U TRAVNIKUFAKULTET POSLOVNE INFORMATIKE

VIŠA MATEMATIKAPrezentacija seminarskog rada

Predmet: Matematika za informatičareStudent:

Travnik, 2012. god.

UVOD

Postoje različiti postupci eliminacije i ispitivanja funkcija i elementarnih funkcija

Izvodi i diferencijali funkcija sa dva i više argumenataPojmovi i osobine neodređenog integrala Izračunavanje površine figura u ravni

Glavna hipoteza rada:

“Za različite zadatke u višoj matematici postoje posebni postupci, načini ispitivanja, izvodi i izračunavanja funkcija i problema koji na jednostavan način dovode do rješenja.”

1. GAUSOV POSTUPAK ELIMINACIJE

Za rješavanje sistema linearnih jednačina možemo koristiti više metoda zavisno od vrste (tipa ) sistema

Jedan od efikasnih je tzv. Gausov metod eliminacije, zasnovan na principima koji važe za elementarne transformacije matrica

Pretpostavimo da je u prikazanom sistemu S, a11 ≠ 0 . Ako je an=0 onda se zamjenom mjesta za dvije jednačine može namjesto da bude a11 ≠ 0. Dati sistem S transformišemo u Si tako što prvu jednačinu pomnožimo sa a21/a11, a dobijene rezultate oduzmemo od odgovarajućih elemenata druge jednačine; zatim prvu jednačinu pomnožimo s a31/a11, a dobijene rezultate oduzmemo od odgovarajućih elemenata treće: pa tako redom sve do kraja kada od poslednje oduzmemo proizvod prve sa am1/an1. Na taj način smo izvršili eliminaciju nepoznate xi u svakoj, osim u prvoj jednačini, pa novi sistem S1 izgleda ovako:

pri čemu je;

GLAVNI DIO

Dalje se na sličan način pomoću druge jednačine iz treće i ostalih jednačina eliminiše nepoznata x2, pa se dobije sistem S2 slijedećeg oblika:

Tako se sukcesivno vrši eliminacija jedne po jedne nepoznate sve dok se na kraju ne jave slijedeći slučajevi:

1) U jednom redu u kome su svi koeficijenti nepoznatih nule javlja se slobodni član koji nije jednak nuli, pa zaključujemo da sistem nema rješenja, tj. da je nesaglasan.

Rješenje:

Pomnožimo prvu jednačinu redom sa 2, -1, -3 i -5, pa dobijene rezultate redom dodajemo drugoj, trećoj, četvrtoj i petoj jednačini. Tako ćemo dobiti sistem S1:

Pomnožimo drugu jednačinu sistema Si sa 1, 6 i 8.

pa dobijene rezultate redom dodajmo trećoj,

četvrtoj i petoj jednačini,da bi dobili sistem S2:

Pomnožimo treću jednačinu sa -11/3 i -17/3

pa dobijene rezultate dodajmo četvrtoj i

petoj jednačini da bi dobili sistem S3:

Pomnožimo četvrtu jednačinu sa -1 i

dobijeni rezultat dodajmo petoj, pa

dobijemo sistem S4:

Iz S4 neposredno zaključujemo da je r(A)=4<(A,b) = 5,

te da je zbog toga, a prema tome i zbog nemogućnosti

izračunavanja vrijednosti nepoznate x5 (trebalo bi dijeliti 1 sa

0 a to je neizvodljivo), sistem kontradiktoran (nesaglasan, protivrječan).

Ovaj postupak se u racionalnoj verziji može prikazali ovako:

a može i kraće, ako se ne vrši prepisivanje utvrđenih redova, već se na kraju formira potrebna ekvivalenti matrica.

Rješenje:

r(A) = 2<r(A,b) = 3 pa zaključujemo da je dali sistem nesaglasan (nema rješenja).

2. ELEMENTARNI NAČIN ISPITIVANJA FUNKCIJA I ISPITIVANJE ELEMENTARNIH FUNKCIJA

Za formiranje kompletne predstave o nekoj funkciji potrebno je ispitati mnoge njene karakteristike (utvrditi posebno značajne tačke i osobine funkcije) i po mogućnosti nacrtati grafik (dijagram) funkcije

Neke karakteristike funkcija,bez obzira na vrstu i složenost funkcije, mogu da se ispitaju i bez poznavanja diferencijalnog računa, to su npr.:

1. oblast definisanosti funkcije,

2. parnost i neparnost funkcije,

3. periodičnost funkcije,

4. nule funkcije i presjek funkcije sa y—osom,

5. znak funkcije i

6. asimpiote mnogih, pre svega razlomljenih racionalnih funkcija.

4) se svodi na rješavanje jednačine f(x)=0 (što je predmet izučavanja elementarne matematike i na iznalaženje vrijednosti f(x=0);

3) se svodi na rješavanje nejednačine f(x)<0, što je takođe predmet izučavanja elementarne matematike.

6) se izučava nakon upoznavanja sa elementima diferencijalnog računa. Za elementarne funkcije je moguće ispitivanje čak i onih karakteristika koje

se za složenije funkcije ne mogu ispitati bez upotrebe izvoda Pod elementarnim funkcijama podrazumijevamo funkcije najprostijeg

analitičkog oblika, a među njima su:

1. Stepena funkcija oblika y=xn, n R;

2. Linearna funkcija oblika y=kx+n, (k,n R);

3. Kvadratna funkcija oblika y=ax2+bx+c, (a,b,c R)

4. Eksponencijalna funkcija oblika y=ax a>0, a≠1:

5. Logaritamske funkcije oblika y=loga , a>0. a≠1:

6. Trigonometrijske funkcije: y=sin x, y=cos x, y=tg x i y=ctg x;

7. Ciklometrijske funkcije, y=arc sin x; y=arc cos x; y=arc tg x; y=arc cig x.

3. IZVODI I DIFERENCIJALI FUNKCIJA SA DVA I VIŠE ARGUMENATA Neka je z=f(x,y) neprekidna funkcija od dva argumenta u nekoj oblasti D.

Ako se y smatra kao konstanta, a x pusti da varira, tada će z biti funkcija samo od jednog argumenta, od argumenta x. Ako ona ima izvod, onda se taj izvod zove parcijalni izvod

funkcije z po x i obilježava se

Ako se x smatra kao konstanta, a y pusti da varira, tada će z bili funkcija samo od argumenta y. Ako ona ima izvod,

onda se taj izvod zove parcijalni izvod

funkcije z po y i obilježava se

U opštem slučaju parcijalni izvod funkcije od dva ili više argumenata po jednom argumentu je izvod te funkcije po tom argumentu uz pretpostavku da su ostali argumenti konstante.

Treba napomenuti da simboli i ne predstavljaju količnike.

Iz definicije parcijalnih izvoda slijedi da se oni izračunavaju pomoću pravila za izračunavanje izvoda funkcija sa jednim argumentom.

0

, ,lim ,x xx

f x x y f x y zf x y z

x x x

0

, ,lim ,y yy

f x y y f x y zf x y z

y y y

z

x

z

y

Primjer 1) Naći parcijalne izvode funkcije z = x2 + xy + 3x + 2y

Parcijalni diferencijal funkcije sa dva i više argumenata po jednom argumentu je proizvod parcijalnog izvoda funkcije po tom argumentu i priraštaja tog argumenta, odnosno diferencijala tog argumenta.

2) Za funkciju pokazati da je .

Pošto je i zato je

U slučaju funkcije z=f(x,y) parcijalni diferencijali su slijedeći:

Zbir svih parcijalnih diferencijala se naziva totalni diferencijal. U slučaju funkcije z=((x,y) totalni diferencijal je slijedeći

2 3z

x yx

2z

xy

xyz

x y

z z

x y zx y

2

2

z y

x x y

2

2

z x

y x y

2 2

2 2

y x xyx y

x yx y x y

x y

z z z zd z x dx d z y dy

x x y y

z z z zdz x y dx dy

x z x y

4. POJAM I OSOBINE NEODREĐENOG INTEGRALA Neka je data funkcija F (x). Osnovni zadatak diferencijalnog računa je da se nađe

izvod ili diferencijal! Te funkcije, tj. f(x)=F,(x) ili f(x) dx =dF(x). Funkcija F(x) primitivna funkcija funkcije f(x) simbolički se piše ∫f(x)dx-F(x), a čita se

neodređeni integral funkcije f(x). Primjer ∫3x2 dx=x3+C, jer je (x3+C),=3x2

∫ex dx=ex+C jer je (ex+C),=ex

Izvod neodređenog integrala jednak je podintegralnoj

funkciji, a diferencijal neodređenog integrala jednak [∫f(x) dx ,]=f(x)

je podintegralnom izrazu. d∫f(x) dx=f(x) dx

Neodređeni integral diferencijala funkcije jednak je sumi te funkcije i proizvoljne

konstante: ∫dF(x)=F(x)+C Iz 1 i 2 osobine izlazi da se znaci d i ∫ poništavaju. Konstantni faktor podintegralne funkcije se može izvući ispred znaka integrala.  Fkf(x)dx=kjf(x)dx Integral zbira je jednak zbiru integrala. ∫(f,(x)+f2(x))dx=∫f,(x)dx+∫[f2(x)dx

5. IZRAČUNAVANJE POVRŠINE FIGURA U RAVNI

Problem određivanja površina figura u ravni je

rješen geometrijskom interpretacijom određenog integrala.

P= ∫ydx = ∫ f (x)dx

Određeni integral se može primjeniti na

izračunavanje površina između dvije krive.P=∫[f2(x)-f1(x)]dx

Na isti način se određuje površina oblasti ograničenja krivima y1=f1(x) i y2=f2(x) gdje su granice određenog integrala a i

b apcise presječnih tačaka krivih, koje se dobija u rješavanjem jednačine F1(x)=f2(x) Prilikom primjene određenog integrala na iračunavanje površina figura u ravni treba strogo voditi računa o osobinama određenog integrala.

ZAKLJUČAK

Za rješavanje sistema lineranih jednačina možemo se koristiti sa više metoda zavisno od vrste (tipa) sistema

To se vrši na sukcesivan način eliminisanjem jedne po jedne nepoznate sve dokle je to moguće

Za kompletno ispitivanje karakteristika većine funkcija, pored elementarnog znanja iz oblasti funkcija potrebno je i poznavanje izvoda, tj. diferencijalnog računa

Objašnjeno je šta su to elementarne funkcije i kako i na koji način se one mogu ispitati Kroz primjere objašnjeni su izvodi i diferencijali funkcija sa dva i više argumenata u

nekoj oblasti, a posebno se razjasnio totalni diferencijal. Objašnjen je pojam i osobine neodređenog integrala i konstatovano da je u cilju

određivanja jedinstvene primitivne funkcije potrebno poznavati tzv. početni uslov Problem određivanja površina figura u ravni je rješen geometrijskom interpretacijom

određenog integrala, a što je kroz različite primjere i pokazano

Glavna hipoteza: “Za različite zadatke u višoj matematici postoje posebni postupci, načini ispitivanja, izvodi i izračunavanja funkcija i problema koji na jednostavan način dovode do rješenja” je dokazana

HVALA NA PAŽNJI !!!