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Présentation des activités du Groupe Contrôle du LJLL

09h30 – 10h20 : Jean-Michel Coron, Emmanuel TrélatPrésentation générale des activités du groupe Contrôle du Laboratoire J-L. Lions.

10h20 – 10h30 : Elisa SchenoneProblèmes inverses en électrophysiologie cardiaque.

10h30 – 10h40 : Mamadou GueyeContrôlabilité exacte pour une classe d’équations dégénérées en une dimension d’espace.

10h40 – 10h50 : Pierre LissyContrôlabilité d’EDP linéaires ou non linéaires : réduction du nombre de contrôles, coût du contrôle

en temps petit et uniforme contrôlabilité en viscosité évanescente.

10h50 – 11h00 : Frédéric MarbachContrôle en présence de couches limites : un premier exemple avec Burgers.

11h00 – 11h10 : Nicolás Carreño GodoyQuelques résultats de contrôlabilité avec un nombre réduit de contrôles.

11h10 – 11h25 : Anne-Claire EgloffeProblèmes inverses provenant de la modélisation de l’écoulement de l’air dans les poumons.

11h30 – 12h15 : Georges Bastin (Univ. Louvain-la-Neuve)Stabilité et stabilisation de réseaux de lois de conservation.

12h15 : BUFFET

Laboratoire Jacques-Louis Lions Groupe Contrôle du LJLL

Membres permanents

Membres permanents du LJLL associés au "Groupe Contrôle"

Olivier Bokanowski (MCF)Muriel Boulakia (MCF)Jean-Michel Coron (PR) arrivée, mutation 2008Marie Doumic (CR) arrivée, 2008Céline Grandmont (DR)Andreea Grigoriu (MCF) arrivée 2012Olivier Glass (MCF) départ, PR Paris Dauphine en 2009Sergio Guerrero (MCF)Sidi-Mahmoud Kaber (MCF)Camille Laurent (CR) arrivée, 2011Yannick Privat (CR) arrivée, mutation 2013Franck Sueur (MCF)Emmanuel Trélat (PR) arrivée, mutation 2011


Membres non permanents

Thèses récemment soutenues au LJLL

Max Cerf (2012) ingénieur EADS AstriumEduardo Cerpa (2008) MCF Valparaiso (Chili)Marianne Chapouly (2009) prof. prépaAnne-Claire Egloffe (2012) postdocPierre Gabriel (2011) MCF VersaillesMatthieu Léautaud (2011) MCF Paris 7Vincent Perrollaz (2011) MCF ToursPeipei Shang (2012) Assist. Prof. Tongji (Chine)

Postdocs

Stephen Becker (2011–2013)Cédric M. Campos (2012–2013)Jixun Chu (2012–2013) Associate Prof. ChengduQi Lü (2013–2014)Zhiqiang Wang (2008–2010) Associate Prof. Fudan

11 thèses en cours

Sylvain ArguillèreNicolas Carreño GodoyMaxime ChupinAbdelmalek DriciMamadou GueyeJean-Philippe GuilleronPierre JounieauxPierre LissyFrédéric MarbachVincent RenaultJiamin Zhu

Visiteurs longue durée

Georges Bastin (2012–2013) PR Univ. Louvain-la-NeuveTommaso Mingazini (2012–2013) ITN FIRST, thèse MadridOana Tamasoiu (2012–2013) ITN FIRST, thèse Erlangen


Champs thématiques

Contrôle et stabilisation d’EDP (dimension infinie)

Burgers (S. Guerrero)Chaleur (J.-M. Coron, S. Guerrero, S.-M. Kaber, P. Lissy)Interaction fluide-structure (M. Boulakia, S. Guerrero)KdV (J.-P. Guilleron, C. Laurent)Landau-Lifshitz (Y. Privat, E. Trélat)Schrödinger (C. Laurent, Y. Privat)Stokes et Navier-Stokes (N. Carreño, J.-M. Coron, S. Guerrero, M. Gueye,

P. Lissy, F. Marbach, F. Sueur, E. Trélat)Transport / ondes (J.-M. Coron, A. Drici, C. Laurent)Milieux poreux (J.-M. Coron, T. Mingazini)Stabilisation équations hyperboliques (J.-M. Coron, O. Tamasoiu)

Contrôle en dimension finie, contrôle optimal

Généricité, stabilisation, méthodes numériques (M. Chupin, A. Grigoriu, O. Bokanowski, Y. Privat, E. Trélat)Hamilton-Jacobi (O. Bokanowski)Géométrie sous-Riemannienne, image (S. Arguillère, C. Laurent, E. Trélat)Modélisation du vivant (J.-M. Coron, M. Doumic, P. Gabriel, Y. Privat, P. Shang, & projet REO)Optogénétique (V. Renault, E. Trélat)Optimisation de forme (P. Jounieaux, Y. Privat, E. Trélat)Aérospatiale (M. Chupin, E. Trélat, J. Zhu)

Autres interactions : optimisation, problèmes inverses

Identif. de paramètres, Carleman (M. Boulakia, A.C. Egloffe, C. Grandmont, S. Guerrero)Biopolymères, populations structurées (M. Doumic)Tomographie (E. Trélat)


Collaborations internes au LJLL

Interactions avec les autres thématiques du laboratoire :

analyse numérique, simulation numérique

analyse, EDP

maths bio

traitement mathématique de l’image

concernant la recherche et l’enseignement.

Master de Mathématiques, Spécialité Mathématiques de la Modélisation :

création de la majeure COCV (Contrôle, Optimisation et Calcul des Variations), avecpasserelles et en cohérence avec

ANEDP (Analyse Numérique et Equations aux Dérivées Partielles)

MASBM (Mathématiques Appliquées aux Sciences Biologiques et Médicales)

MI (Mathématiques et Informatique)

OJME (Optimisation, Jeux, Modélisation en Economie)

Energie pour les futurs


Projets, contrats, interactions industrielles

Projets ANR

C-QUID (Contrôle et identif. de systèmes quantiques) : porteur J.-M. Coron.

CISIFS (Contrôle des interactions fluide-structure) : M. Boulakia, O. Glass, S. Guerrero, F. Sueur.

EMAQS (Estim. Manip. Echelle Quantique) : A. Grigoriu, C. Laurent, Y. Maday.

ERC

CPDENL (Control of Partial Differential Equations and NonLinearity) : porteur J.-M. Coron.

projet ERC de Marie Doumic.

INRIA

M. Doumic : membre du projet BANG (B. Perthame, INRIA Rocquencourt).

M. Boulakia, C. Grandmont : membres du projet REO (J.F. Gerbeau, INRIA Rocq.).

O. Bokanowski : membre du projet COMMANDS (INRIA Saclay).

E. Trélat : membre du projet GECO (INRIA Saclay).


Projets, contrats, interactions industrielles

Contrats industriels

J.-M. Coron : participation à un contrat avec Siemens et Service Public deWallonie (régulation du débit de la Meuse, avec G. Bastin).

O. Bokanowski : participation à un contrat avec le CNES et avec HPC Project(méthodes HJB), à un contrat avec la DGA (drônes).

E. Trélat : resp. de plusieurs contrats de collaboration-recherche avec EADSAstrium, avec le CNES Evry (optimisation de trajectoire),participation à un contrat avec le CEA (tomographie).


Séminaires au LJLL

Groupe de Travail Contrôle

Fréquence : ' une fois par mois, le vendredi après-midi, avec deux intervenants.

Organisateurs : J.-M. Coron, O. Glass, S. Guerrero, E. Trélat.

Audience : 20 à 30 auditeurs (essentiellement parisiens) en moyenne.14 étudiants en thèse, 2 postdocs, nombreux visiteurs (projet ERC JM Coron).

Objectif : fédérer un certain nombre d’activités autour du contrôle.


Présentation des activités du Groupe Contrôle du LJLL









12h15 : BUFFET


Exemples de résultats et perspectives en dimension finie

1. Contrôle optimal appliqué à l’industrie aérospatiale

Optimisation de trajectoires

Problème des débris spatiaux

Missions interplanétaires




minimiser une consommation

maximiser un rendement

...

Modèle mathématique (théorie du contrôle)

Dynamique d’évolutiondxdt

(t) = f (x(t), u(t))

Critère d’optimisation

minx(0)=x0

x(tf )=x1

C(u) =

Z tf

0f 0(x(t), u(t))dt




minimiser une consommation

maximiser un rendement

...

Exemples

Rentrée atmosphérique d’une navette spatiale en minimisant le flux thermiquetotal.

Transfert orbital d’un satellite, en minimisant le temps ou la consommation.




Collaboration avec EADS Astrium :

Transfert à consommation minimale pour leslanceurs Ariane V et futurs Ariane VI(troisième phase atmosphérique, poussée forte)

(contrats de collaboration-recherche)

→ logiciel de calcul automatique et instantané.M. Cerf, T. Haberkorn, E. Trélat

Mathématiques utilisées

Modélisation, théorie du contrôle, analyse desystèmes, géométrie différentielle, équationsdifférentielles et EDP, optimisation, calculscientifique.

Principe :

résoudre les équations qui donnent les conditionsnécessaires d’optimalité (Principe du Maximum dePontryagin→ pré-tri des trajectoires possibles).

Méthode de tir : difficile à initialiser. Requiert uneanalyse géométrique fine du flot extrémal.


Thèse de Jiamin Zhu, financement chinois : problème du basculement optimal,contrôle d’attitude.

Directeurs : M. Cerf (EADS Astrium), E. Trélat.


Le problème des débris spatiaux

Un challenge (urgent ! !)

Collecte des débris spatiaux :

22000 débris de plus de 10 cm(catalogués)

500000 débris entre 1 et 10 cm(non catalogués)

des millions de débris plus petits

En orbite basse

→ problèmes mathématiques difficiles combinant contrôle optimal,optimisation continue / discrète / combinatoire

Etudes en cours, CNES, EADS, NASA

Thèse de Max Cerf, LJLL, septembre 2012.








Autour de l’orbite géostationnaire











Les éboueurs de l’espace






Dynamique au voisinage des points de Lagrange etplanification de missions spatiales (CNES, EADS, NASA)

Cinq points d’équilibre(système Terre-Soleil) :

L1, L2, L3 : instables.

L4, L5 : stables.

(th. de Moser)




Point L1 : SOHO




Point L2 : JWST


Orbites périodiques

Par un théorème de Lyapunov-Poincaré, il existe :

une famille à 2 paramètres d’orbites périodiquesautour de L1, L2, L3,

une famille à 3 paramètres d’orbites périodiquesautour de L4, L5.

Parmi elles :

des orbites planes appelées orbites de Lyapunov ;

des orbites 3D difféomorphes à des cerclesappelées orbites de halo ;

d’autres orbites 3D avec des formes pluscompliquées appelées orbites de Lissajous.

(Richardson 1980, Gomez Masdemont Simo 1997 1998)


Variétés invariantesVariétés invariantes (stables et instables) des orbites périodiques :tubes de dimension 4 (S3 × R) dans la variété d’énergie de dimension 5.(jouent le rôle de séparatrices)

–> "tubes" invariants, sortes de "courants de gravité"⇒ trajectoires gratuites


Variétés invariantesVariétés invariantes (stables et instables) des orbites périodiques :tubes de dimension 4 (S3 × R) dans la variété d’énergie de dimension 5.(jouent le rôle de séparatrices)

–> "tubes" invariants, sortes de "courants de gravité"⇒ trajectoires gratuites

Cartographie⇒ missions interplanétaires à bas coût


Thèse de Maxime Chupin, contrat de thèse CIFRE avec EADS Astrium :

élaboration de missions spatiales à bas coût (Terre-Lune, interplanétaires).

Directeurs : P. Augros (EADS Astrium), T. Haberkorn (Orléans), E. Trélat.


Perspectives

Maths et industrie aérospatiale :

Initiative de Recherche "Contrôle non linéaire et optimisation"

→ Elaboration (en cours) d’un partenariat entre la Fondation Sciences Mathématiquesde Paris et EADS Astrium. Débouchés étudiants : thèses, postdocs, emplois.

But : structurer et renforcer des équipes universitaires et industrielles dont lesrecherches en contrôle non linéaire et optimisation débouchent sur des applicationsconcrètes liées au domaine aérospatial.

Parmi les thématiques :

Problèmes d’optimal design : placement optimal de capteurs, d’actionneurs. Par exemple : comment placeroptimalement les injecteurs dans un moteur de fusée, de façon à optimiser la réaction ?

Mission design, missions interplanétaires

Problèmes inverses : reconstruction d’environnement thermique, acoustique, électromagnétique

Problèmes de robustesse

Modélisation aléatoire, incertitudes


2. Contrôle en optogénétique

Thèse de Vincent Renault, codirigée par M. Thieullen et E. Trélat.

- 20

0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

temps (en ms)

Pote

nti

el d

e m

emb

ran

e (e

n m

v)


3. Optimisation de domaine

Thèse de Pierre JounieauxDirecteurs : Y. Privat, E. Trélat.


Ondes dans une cavité :ytt −∆y = 0,

y(t , ·)|∂Ω = 0,Observabley(t , ·)|∂ω

Inégalité d’observabilité

Le système est dit observable (en temps T > 0) s’il existe CT (ω) > 0 t.q.

∀(y0, y1) ∈ L2(Ω)× H−1(Ω) CT (ω)‖(y0, y1)‖2L2×H−1 ≤

Z T

0

Zω

y(t , x)2dxdt .

Bardos-Lebeau-Rauch (1992) : L’inégalité d’observabilité a lieu si le couple (ω,T )vérifie la condition de contrôle géométrique (GCC) dans Ω :

Tout rayon se propageant dans Ω selon les lois de l’optique géométriqueintersecte ω en temps ≤ T .


Il est a priori naturel de modéliser le problème de positionnement optimal de capteurspar

supω⊂Ω|ω|=C

CT (ω)

MAIS 2 difficultés :

1 Difficulté théorique due aux termes croisés (cf inégalités de Ingham)

2 Modèle non pertinent pour la pratique : la constante déterministe est pessimiste.


Un modèle plus réaliste est par moyennisation sur des données initiales aléatoires

Inégalité d’observabilité randomisée

CT ,rand(ω) ‖(y0, y1)‖2L2×H−1 ≤ E

Z T

0

Zω

yν(t , x)2 dxdt

!

où yν (t, x) =+∞Xj=1

“βν1,j aj e

iλj t + βν2,j bj e

−iλj t”φj (x), avec βν1,j , β

ν2,j i.i.d. Bernoulli.

On montre que

CT ,rand(χω) =T2

infj∈N∗

Zωφj (x)2 dx .

avec (φj )j∈N∗ base hilbertienne de L2, composée de fonctions propres du LaplacienDirichlet,4φj = −λ2

j φj .


On modélise donc le problème par :

supω⊂Ω|ω|=C

infj∈N∗

Zωφj (x)2 dx

C’est un critère de (dé)concentration d’énergie, lié au comportement asymptotique descarrés des fonctions propres φ2

j .

La physique quantique s’intéresse aux limites possibles des mesures de probabilité

µj = φj (x)2 dx ,

et notamment à la question :- l’énergie a-t-elle tendance à s’équidistribuer (i.e., µj

dx|Ω| ),

- ou au contraire l’énergie peut-elle se concentrer ? (par exemple, µj Dirac)


On modélise donc le problème par :

supω⊂Ω|ω|=C

infj∈N∗

Zωφj (x)2 dx

C’est un critère de (dé)concentration d’énergie, lié au comportement asymptotique descarrés des fonctions propres φ2

j .

La physique quantique s’intéresse aux limites possibles des mesures de probabilité

µj = φj (x)2 dx ,

et notamment à la question :- l’énergie a-t-elle tendance à s’équidistribuer (i.e., µj

dx|Ω| ),

- ou au contraire l’énergie peut-elle se concentrer ? (par exemple, µj Dirac)

On montre que, sous des conditions d’ergodicité quantique,

supω⊂Ω|ω|=C

infj∈N∗

Zωφj (x)2 dx =

C|Ω|

.


Le cas du disque

Il existe une sous-suite de φ2j qui converge vaguement vers la Dirac au bord

(phénomène des whisperring galleries).


Onde dans un bassin d’eau :Onde laser dans une fibre optique :

Le phénomène de "scar" dans une cavité chaotique :

→ théorie du chaos quantique : N. Anantharaman, S. Nonnenmacher, ...


Problème tronqué

supω⊂Ω|ω|=L|Ω|

min1≤j≤N

Zωφ2

j (x) dx

Il existe une unique solution ωN .ωN est semi-analytique, a un nombre fini de composantes connexes.

MAIS : phénomène de spillover...


Problem 2 (Dirichlet case): Optimal domain for N=2 and L=0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

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Problem 2: Optimal domain for N=10 and L=0.4

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Cas parabolique : yt = Ay → très différent : stationnarité de la suite minimisante.

Optimal domain for the Heat equation (Dirichlet case) with N=1, T=0.05 and L=0.2

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L = 0.2, T = 0.05, Ω = [0, π]2, Dirichlet.N ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6.










12h15 : BUFFET


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