1VISOKA TEHNIKA KOLA PULAPOLITEHNIKI STUDIJ

PREDAVANJA IZ FIZIKE 1

PRVI DIO

MEHANIKA KRUTOG TIJELA I MEHANIKA FLUIDA

MMVIII

UvodFizikalne veliine, mjerne jedinice, SI sustav mjernih jedinicaKinematika materijalne toke, pravocrtno gibanje, kruno gibanje, sloena gibanjaDinamika, Newtonovi zakoni, masa, sila, impuls sile, koliina gibanja, Energija, radCentralne sile, gravitacijska sila, gravitacijsko poljeMehanika fluida, Pascalov zakon, hidrostatski tlak, barometarska formula, uzgonDinamika fluida, stacionarno strujanje, jednadba kontinuiteta, Bernoullijevajednadba, viskoznost, laminarno i turbolentno strujanje, Reynoldsov brojToplina, toplinske promjene krutih tvari i tekuina, plinski zakoni, jednadba stanja idealnog plina, prijenos topline, voenje, strujanje, zraenje, Fourieovzakon, Osnove termodinamike, funkcija stanja i funkcija procesa, termodinamiki zakoni, toplinski kapaciteti za jednoatomne i dvoatomne plinove, kruni procesi, stupanj iskoristivosti, entropija, Kinetiko molekulska teorija, tlak, temperatura, promjena agregatnih stanja

SADRAJ KOLEGIJAProgram je usklaen prema principima Bolonjske deklaracije.

Sudjelovanje na nastaviPrisutnost na nastavi i vjebama student potvruje potpisom. Izuzev dugotrajnih opravdanih odsustavanja ostala odsustva od nastave i vjebi mogu se opravdati do 30% od ukupnog broja planiranih sati nastave i vjebi.Redovito sudjelovanje u nastavi = 5 bodova (5%).

OBVEZE STUDENATA Osnovna obaveza studenata je redovito sudjelovanje na nastavi, rjeavanje kolskih i domaih zadaa i polaganje meuispita.

PROVJERA ZNANJA TIJEKOM SEMESTRAProvjera znanja provodi se kontinuirano tijekom itavog semestra na satovima numerikih vjebi, kolskih i domaih zadaa i meuispita.

kolske zadaekolske zadae organiziraju se u obliku rjeavanja numerikih, problemskih ili logikih zadaa koja nisu unaprijed najavljena. Zadanih pet zadataka rjeava se za vrijeme od 15 minuta. Tijekom semestra planira se pet kolskih zadaa.Sadraj kolskih zadaa:1. zadaa pretvorba mjernih jedinica2. zadaa kinematika materijalne toke, gibanja po pravcu: jednoliko, ubrzano, slobodan

pad, kruna gibanja;3. zadaa dinamika materijalne toke, sile, gibanja u gravitacijskom polju, rad, energija,

snaga;4. zadaa mehanika fluida, Stevinov, Pascalov, Arhimedov zakon, uzgon,5. zadaa plinski zakoni, toplina, zakoni termodinamike, Carnotov kruni proces,

entropijaOd druge do pete kolske zadae rjeavaju se nakon to je ispredavano gradivo, a prva se zadaa rjeava na poetku akademske godine odnosno do kraja mjeseca listopadaTijekom rjeavanja kolske zadae nije dozvoljena upotreba Promemorije fizikalnih formula, drugog pisanog materijala i mobilnog telefona. Dozvoljena je upotreba kalkulatora.Tono i potpuno rjeenje pojedine zadae donosi 2 boda, a nepotpuno rjeenje vrednuje se proporcionalno tomu. Student koji nije rjeavao ili je netono rijeio pojedinu zadau istu ne mora ponavljati.Tono rjeenje svih kolskih zadaa = 10 bodova (10%).

2Domae zadaeDomaa zadaa moe biti u obliku numerikih zadataka ili zadanih odnosno samostalno odabranih seminarskih tema. Rjeenje numerikih problema ili seminarskih tema student priprema i prezentira ostalim kolegama u Power Point formi s projekcijama. Tema seminara moe biti i iz gradiva koje jo nije ispredavano. Pojedina prezentacija ne moe trajati due od 10 minuta. Tijekom semestra planira se po jedna domaa zadaa za svakog studenta. Domae zadae = 15 bodova (15%).

MeuispitiSvaki od tri planirana meuispita ima 10 zadataka s po etiri ponuena odgovora. Toan odgovor donosi 1 bod, netoan odgovor donosi -0,5 bodova, neodgovoren zadatak donosi 0 bodova. Uspjeno rijeeni svi meuispiti sudjeluju u ECTS bodovima sa 40 bodova (40%). Nepotpuna rjeenja vrednuje se proporcionalno tomuPrvi meuispit donosi 20 bodova (20%), drugi meuispit donosi 5 bodova (5%), a trei meuispit donosi 15 bodova (15%).Tijekom rjeavanja zadataka na meuispitu studenti ne mogu imati na raspolaganju Promemoriju fizikalnih formula, drugi pisani materijal i mobilni telefon. Dozvoljava se upotreba kalkulatora.

Raspored i sadraj meuispita:

1. meuispit odrat e se u tjednu od 31.10. do 6.11.Sadraj :pretvorba mjernih jedinica, kinematika materijalne toke: gibanje estice, srednja i trenutna brzina, ubrzanje, pravocrtno gibanje, jednoliko kruno gibanje: frekvencija i ophodno vrijeme, kutna i obodna brzina, kutno, radijalno i tangencijalno ubrzanje, jednoliko ubrzano i usporeno kruno gibanje, sloena gibanja, vertikalni, horizontalni i kosi hitac, dinamika materijalne toke: Newtonovi zakoni, masa, sila, impuls sile, koliina gibanja,relativnost gibanja: Galilejeve i Loretzove transformacije, princip ekvivalencije, sila, koliina gibanja, energija, potencijalna energija, kinetika energija, zakon ouvanja energije, centralne sile, gravitacija, gravitacijsko polje, gravitacijski potencijal, troma i teka masaTona i potpuna rjeenja prvog meuispita donosi 20 bodova, a nepotpuna rjeenja vrednuje se proporcionalno tomu.Prvi meuispit = 20 bodova (20%)

2. meuispit odrat e se u tjednu od 5.12. do 11.12.Sadraj :mehanika fluida, statika fluida, tlak, atmosferski tlak, barometarska formula, Stevinov i Pascalov zakon, uzgon, Arhimedov zakon, dinamika fluida, stacionarno strujanje, jednadba kontinuiteta, Bernoullijeva jednadba, viskoznost, laminarno i turbolentnostrujanje, Reynoldsov broj.Tona i potpuna rjeenja drugog meuispita donosi 5 bodova, a nepotpuna rjeenja vrednuje se proporcionalno tomu.Drugi meuispit = 5 bodova (5%).

3. meuispit odrat e se u tjednu od 23.01. do 29.01.Sadraj :toplina, temperatura, toplinske dilatacije, toplinske promjene krutih tvari i tekuina, plinski zakoni, Boyle-Mariotteov, Gay-Lussacov, Charlesov zakon,jednadba stanja plina, Avogadrov zakon, plinska jednadba, toplinski kapaciteti krutih tvari i tekuina, promjene agregatnih stanja, prijenos topline, voenje, strujanje, zraenje, Fourieov zakon, zraenje crnog tijela, Stefan-Boltzmanov zakon, Wienovzakon, Kirchhoffov zakon, kinetiko molekulska teorija, tlak idealnog plina, unutarnja energija, stupnjevi slobode, osnove termodinamike, funkcija stanja i funkcija procesa, prvi zakon termodinamike, osnovni termodinamiki procesi, izohorni, izobarni, izotermni iadijabatski proces, drugi zakon termodinamike, Carnotov kruni proces,povratnost procesa i entropija, entropija u nepovratnim procesima, trei zakon termodinamike (Nernstov princip)Tona i potpuna rjeenja treeg meuispita donosi 15 bodova, a nepotpuna rjeenja vrednuje se proporcionalno tomu.Trei meuispit = 15 bodova (15%).

3ZAVRNI ISPITZavrni ispit e se odrati od 16. do 19. tjedna (1.02. 28.02. 2009.)

Pismeni dio zavrnog ispita:Pismeni dio zavrnog ispita sastoji se od pet numerikih zadataka. Tijekom rjeavanja zadataka studenti mogu imati na raspolaganju Promemoriju fizikalnih formula i kalkulator. Nije dozvoljena upotreba drugog pisanog materijala i mobilnog telefona.Broj bodova za pojedini potpuno rijeen zadatak iznosi 5. Prilikom vrednovanja zadataka vrednuje se i postupak.Nepotpuna rjeenja vrednuje se proporcionalno tomu. Pismeni dio zavrnog ispita = 25 bodova (25%).

Usmeni dio zavrnog ispita:Usmeni dio zavrnog ispita sastoji se od intervjua sa studentom iz podruja programa kao i o irim opim temama iz podruja Fizike 1. Osnovni izvor studentu za pripremu tog dijela ispita su Pitanja za usmeni ispit iz Fizike 1 objavljena na web stranici www.politehnika-pula.hr.Usmeni dio zavrnog ispita = 5 bodova (5%).

ECTS BODOVI

Za kolegij Fizika 1 predviena su 4 ECTS boda koji su raspodijeljeni ovako:

- sudjelovanje u nastavi 5 bodova (5%)- redovito rjeavanje kolskih zadataka 10 bodova (10%)-redovito rjeavanje domaih zadataka 15 bodova (15%)

-- za sve planirane uspjeno poloene meuispite 40 bodova (40%) 1. meuispit 20 bodova (20%), 2. meuispit 5 bodova (5%), 3. meuispit 15 bodova (15%)

- za uspjeno poloeni pismeni dio zavrnog ispita 25%- za uspjeno poloeni pismeni dio zavrnog ispita 5%

Bodovni prag za pozitivnu ocjenu je 40 bodova (40%).

PRVI DIO

MEHANIKA KRUTOG TIJELA I MEHANIKA FLUIDA

PREDAVANJA IZ FIZIKE 1

Nazivani su 'filozofi prirode' svi mislioci koji su, u prolosti, istraivali prirodne fenomene.

Danas, 'filozofija prirode' odnosno fizika ima mnogo suenije polje istraivanja. Vremenom su se osamostalile druge znanosti i ue specijalistike discipline kao to je astronomija, geofizika, geologija, mehanika, astrofizika, meteorologija, elektronika, kibernetika, fizikalna kemija itd.

Fizika je fundamentalna prirodna znanost. Naziv je grkog podrijetlai znai priroda. Povijesni je naziv bio filozofija prirode

Znaaj fizike za razvoj tehnikih znanosti temelji se na injenicida su sva tehnika dostignua proizala iz rezultata istraivanja prirodnih znanosti, posebno fizike

4 PHYSIS = PRIRODA, NATURA, NATURE

fenomeni u mikroskopskomsvijetu (struktura tvari)

fenomeni umakroskopskomsvijetu (Svemir)

fenomeni u perceptivnom (osjetilnom) svijetu (ovjeka)

to to rado i esto zovemo prirodom? ..Fiziar istraiva je poput putnika kome neki sitni detalj to stri u krajobrazu moebiti orijentir koji mu pomae da predvidi i nasluti vidik iza slijedeeg breuljka.Sunce, sa svojim planetarnim sustavom, je prvi takav orijentir kada se upuujemo prema svemirskim prostranstvima u makrosvijet.Kreemo li u svijet siunog, orijentiri su skriveni ljudskom oku i udaljeni od svakodnevne percepcije i iskustva. Nae predvianje krajobraza iza breuljka bit etoliko pouzdano koliko je pouzdano nae poznavanje zakona fizike i kemije jedinog orijentira na koji se u mikrosvijetu doista moemo osloniti.U spoznavanju zakonitosti iz svijeta maloga nije zanemarivo iskustvo iz svijeta velikoga. Polazna postaja puta u mikrosvijet bila je upravo analogija s planetarnim sustavom(I Picek, Elementarne estice, 1997.)

Rutherfordov model atoma, 1909. god. (nazvan i planetarni model zbog asocijacije sa gibanjem planeta oko Sunca)

Planetarni sustav u nastajanju

Putovanje u mikrosvijet nalik je silaenju ljestvama (kvantnim ljestvama) sve nie i nie prema zadnjoj stanici mikrosvijeta odnosno poetnoj praestici od koje je prije 15 milijardi godina sve i zapoelo.

Ta hipotetika praestica od koje je nastala masa poznatih elementarnih estica elektrona, protona i neutrona prvi hipotezirakotski fiziar Peter Higgs 1964. godine. Budui da se estica ponaa kao boson ( estice koje prenose fiundamentalne sile, prozvane po indijskom fiziaru Satyendri Nathu Bose-u)fiziari je danas zovu Higgsov boson odnosno kolokvijalno bojaestica.

Sputanje kvantnim ljestvama od kristala do kvarka i dalje do Higsovog bosona

Higgsov boson

5Upuivanje u rad 10. rujna 2008.Opseg akceleratora iznosi 27 km i prostire se na granici vicarske iFrancuske.

Simulacija modela Higgsovog bosona ( boje estice)

6LHC Large Hadron Collider - akcelerator ili hadronski sudara estica nalazi se u tunelu 100 metara ispod povrina zemlje na granici vicarske i Francuske. Tunel s vakuumom je duine 27 km.

Hadroni ( gr. adros = jak) je subatomska estica koja generira jaku nuklearnu silu. Hadron nije elementarna estica nego je sastavljena od fermiona kao to sukvarkovi i antikvarkovi i bosona kao to su gluoni.Gluoni generiraju kromodinamiku silu koja vezuje kvarkove jedne s drugima.

Brzina estica koju se postie u akceleratoru je 99,99 % od brzine svjetlosti odnosno estica obie cijeli krug za 1/11 245 sekunde.U akceleratoru je instalirano 9600 velikih supravodljivih magnetana temperaturi 271 0C ( svega dva stupnja ispod apsolutne nule) tako da je to najhladnije mjesto u svemiru.

Cilj tog najskupljeg eksperimenta uope (cijena 5 milijardi eura ili 9,7 milijardi dolara) je dokaz postojanja tzv. Higgsovog bosona ili praestice stvaranja Svemira u Velikom prasku prije 13,7 milijardi godina. Higgsov boson je jo popularno nazvan boja estica

Teorijski su ga jo 1964. godine predvidjeli britanski fiziar PeterHiggs, te Belgijanci Francois Englert i Robert Brout. Zbog neuhvatljivosti Higgsov bozon popularno je nazvan bojom esticom. Otkriju li fiziari iduih godina Higgsov bozon, bit e to veliki trijumf ljudskog uma, te fantastina potvrda Standardnog modela, fizikalne teorije za koju se smatra da najpotpuniji nain opisuje materijalni svijet.

LHC hadronski akcelerator bit e puten u pogon 10. rujna 2008.godine u 9,00 sati po srednjeevropskom vremenu.

Projekt su zapoeli 1989. godine nobelovci Carlo Rubbia, ChrisChris Llewllin Smith i Luciano Maini.

Ta estica nazvana Higgsov boson dala bi odgovor o podrijetlumase odnosno stvaranje materijalnog svijeta i potvrdu teorije oVelikom prasku.

Rubbia: Bing Bang non pi solo teoria filosofica.

Fino a ieri il Big Bang era una categoria filosofica. Da oggi, invece, un esperimento e al Cern possibile simulare in maniera accuratissima le condizionidell'universo nei suoi primi milionesimi di secondo. A spiegarlo il premio Nobelper la fisica, Carlo Rubbia. Le condizioni dell'universo cos simulate verranno poicomprese, aggiunge Rubbia, grazie alla filosofia naturale di Galileo Galilei. Ilfisico avverte poi che Lhc una maratona, non una gara di cento metri. Oggiabbiamo dato il via, ma solo negli anni vedremo che cosa l'esperimento avr da dirci. Ora siamo pronti a iniziare la parte scientifica - conclude Rubbia - ma risposte gi scritte non ne abbiamo: dobbiamo ora osservare la natura e leggere i suoi messaggi, sar lei a guidarci verso le tappe successive della nostra ricerca.

10-43 sekunde

1013 sekunde

102 sekunde

10-10 sekunde

10-34 sekunde

109 godina

5109 godina 15109 godina

Pria je zapoela prije 15 milijardi godina :

epoha kvantne gravitacije

epoha velikog ujedinjenja

epoha elektroslabe sile

Svemir postaje transparentam

sadanjost

POVIJEST SVEMIRA

VELIKI

VELIKI VELIKI

VELIKI

PRASAK

PRASAKPRASAK

PRASAK

fotonska epoha

OVDJE SMO MI

Era u kojoj

prevladava zraenje

Era u kojoj prevladava

tvar

7ovjek pas maka delfin abaimi

100101102103

104105106

Hz

infra

zvuk

ujno

stultr

azvuk

Budui da je ljudska percepcija (s pet osjetila) vrlo ograniena, u ranom razvoju svijesti i znanja ovjeka prirodne su pojave najee pripisivane bogovima i drugim mitolokim biima.

opseg ujnih frekvencijaopseg frekvencija glasnosti

Usporedne frekvencije ujnosti i glasnosti ovjeka i nekih ivotinja

Smatra se da je, prema modernim etimolokim parametrima, prvi pravi fiziar bio Isaac Newton (1642-1727) unato tome to se njegovo kapitalno djelo zove Philosophiae naturalis principia mathematica, prvi pravi kemiar John Dalton (1776-1844) a prvi pravi biolog Mihail Lomonosov (1711-1765).

Najvei mislilac svih vremena Aristotel (384-322 pK) smatrao je nauk prirode kao skup uenja koja su obuhvaala medicinu, zoologiju, botaniku, matematiku i astronomiju. U svom djelu Fizika objasnio je neke prirodne pojave. Meutim interpretacija tih pojava bila je spekulativna i nije se oslanjala na matematiku.

Danas je suvremena metodika znanstvenog istraivanja u prirodnim znanostima multimedijalno interpolirana tako da se i za moderne istraivae moe, na neki nain, rei da su filozofi prirode.

Prve grane istraivanja geometrija, statika, optika, kalorika, mehanika astronomija i tehnologija - najue su vezane sa svakidanjim ljudskim radom kakav je odreen biolokom strukturom i proizvodnom djelatnou. No fizika nije ostala pri tom prvom stupnju. Otkrivi univerzalne zakone istraivai su preli preko makroskopske stvarnosti i otpoeli pravu istraivaku pustolovinu.

Invarijabilni principi su pak izgradili most od makroskopske fizike do kvantnih procesa. Sve te grane uzajamno su povezane tako da iz jednih nastaju druge pri emu se cijelo to stablo pomalo mijenja.

Nove grane fizike elektrodinamike i atomistika ne izlaze deduktivno-logiki iz prvobitnih grana, ali su s njima organski srasle. Sila u Newtonovoj mehanici bio je onaj transcendentni element koji je vodio do otkria elektromagnetskog polja.

Iako je Newtonova mehanika temelj za razumijevanje Einsteinove i Heisenbergove mehanike ipak se pritom i sama klasina mehanika shvaa neto drukije nego to je njezin osniva zamislio.

8Zacijelo mnogo je toga u povijesti istraivanja bilo sluajno nepotrebno i pogreno.Meutim cijeli taj rast od geometrije i mehanike preko elektrodinamike do moderne atomske fizike duboko je usmjeren ponajprije ljudskim radom u okolini a zatim matematikim poopenjima i eksperimentalnim traenjem nevidljive podloge i poetka svega .

. Kako bismo inae shvatili nevjerojatan prijelaz od makroskopske zbilje do dubine elementarnih estica? (od kvarka do Svemira).

Jedan je od ciljeva tog povijesnog razmatranja je da pokae da i fizika ima svoje rodoslovlje i priroda ima svoje drvo ivota

Hipoteza postojanja kvarkova

Ta univerzalnost znanstvenih istraivanja ne iskljuuje ljudsku slobodu i matovitost. Mnogo je to moglo biti drukije i jo e drukije i biti. .

Generologija fizike utvruje samo stanovite procese i interakcije koji proizlaze iz uloge ovjeka u Svemiru

Po svoj prilici suvremeni ovjek ne moe razviti bitno drugaiju fiziku nego to su je istraivai dosad razvili.

Dok se Galilei lomio izmeu vjerske dogme i Kopernikovaheliocentrikog sustava. Oevi atomske bombe Fermi, Oppenheimer, Urey i drugi pod neposrednim rukovoenjem jednog laika vojnika, generala vojske USA L.P. Growesa , oplakuju rtve katastrofe u Hiroimi i Nagasakiju, ali tek poslije 6. i 9. kolovoza 1943.

Ako je inkvizicija gonila uenjake iz vlasniko-vjerskih motiva poslije pola milenija zapaljuju se ponovno procesi na ispitu graanske lojalnosti.

Velike imperije podinjavaju sebi univerzalni duh znanosti, a time pucaju dvojbe u savjesti njihovih uenjaka.

9Opravdavala se ili igosala znanost ali takva slubena globalna smrt ve je roena s obje strane eljezne zavjese. I nakon svih kolebanja i ustupaka znanost mora produiti univerzalnim magistralama. Ako e znanosti uope i biti.

Kada je sagledao sve strahote A-bombe poslije Hiroime i Nagasakija Albert Einstein je izjavio: da sam znao to sada znampostao bih postolar.

Da li bi ova planeta bila drugaiji kad bi na njoj bio jedanatomski fiziar manje, a jedan postolar vie?

Vjerojatno ne bi.

Reakcija nuklearne fisije

Avanturu atomista pod vojnim tutorima prati samoubilaka prijetnja no unato tome uje se i sve snaniji poziv da se svijet sloi kako bi istraivanja povealo humane mogunosti, a ne stvaralo nuklearno-elektronika stratite.

Kad pristupimo povijesti najprije nam se namee pitanje da li sve mora biti tako kako je bilo i kako je sada.

JER SE DOGODILO, A TO NISU UINILIVANZEMALJCI NEGO LJUDI ZNANSTVENICI !

VOENI RUKOM POLITIARA!

Enrico Fermi (1901-1954) Robert Openheimer (1904-1967)

Harold Urey (1893 -1981) Leo Szilard (1898 -1964)

Atomska gljiva

10

Hiroshima 6. kolovoza 1943. 08:15 sati, B-29 Enola Gay visina preleta 32 000 ft (9855 m)najmanje 90 000 rtava u trenutku udara, vie od 120 000 posredno od radijacije

Little Boy

Nagasaki 9. kolovoza 1945. 11:01 sati, B-29 Superfortress Bockscarvisina preleta 29 000 ft (8930 m), 70 000 rtava, 100 000 posredno od radijacije

Fat Man

Nagasaki before and after bombing

Monument at ground zero in NagasakiMemorial Center in Hiroshima

Napredak znanosti nije samo gomilanje injenica i stalno dotjerivanje teorija ve znai duboke preobrazbe uvrijeenih nazora i naina rada. I neprestano e nas muiti dvoumica je li se znanost morala ba tako razviti.

Zacijelo moderna fizika ini nam se sve vie matematiko-eksperimentalnom pustolovinom kojoj nitko ne moe predvidjeti kraj ili cilj - ako ga uope ima.

11

Upuivanje u rad 10. rujna 2008.

Ploa u jednom eko- parku u Gorskom Kotaru

Podjela fizikeSvaka, od nekoliko, podjela fizike ima svoje razloge:

pragmatike: (geofizika, fizika elementarnih estica i fizika velikih energija, fizika kriogenih stanja, fizika plazme i sl.).

etimoloke mehanika mechnica (lat), mchanich (gr.) =stroj

kalorika calrem (lat.) = biti topaoelektromagnetizam lektrikes (gr.) = jantaroptika ptica (lat.), optike (gr.) = obrt za izradu pomagala

za vid

Suvremena se podjela temelji na numerikim vrijednostima fizikih veliina duljine i vremena:

Gdje je: c brzina svjetlosti u vakuumu ( c = 3108 m/s),

10-14 m = promjer atomske jezgre ( 10-4 ), 10-10 m = promjer atoma (1), 1026 m = pretpostavljeni promjer Svemira.

12

Poslije 1900. godine fiziari poinju promiljati atom kao sloenu strukturu. Uvode se novi pojmovi kao to su kvant, spin, valna priroda, elementarne estice i dr. (Planck, Thomson, Rutherford, Bohr i dr.)

Klasina fizika je fizika standardnih dimenzija ( prema kriterijima ljudske percepcije koji se gibaju malim brzinama (u odnosu na brzinu svjetlosti). Klasina fizika razmatra atom kao nedjeljivu esticu, a = ne; temno = rezati (Demokrit, Bokovi i dr.).

Kvantna fizika i njezine zakonitosti vrijede unutar dimenzija atoma uz pretpostavku da su brzine gibanja estica manje od jedne desetine brzine svjetlosti u vakuumu.

Ulazei u strukturu atoma i atomske jezgre dolazimo do pojmova i zakonitosti fizike elementarnih estica ( protona, neutrona, elektrona, fotona, miona, piona, kaona).

to se tie gibanja estica prema dosadanjim saznanjima postulirana je najvea mogua brzina, brzina svjetlosti u vakuumu.Tom se brzinom materijalne estice ne mogu gibati, ali se mogu znatno pribliiti ( pod materijalnim esticama smatraju se estice koje imaju tzv. masu mirovanja).

Pri velikim brzinama pojavljuju se efekti kao to su dilatacija vremena, porast trome mase, kontrakcija duljina, prestaje vrijediti klasino pravilo o zbrajanju brzina i dr. To je podruje relativistike kvantne fizike.

Pojave koje se javljaju pri brzinama veim od jedne desetine brzine svjetlosti u vakuumu razmatra tzv. relativistika fizika, a fiziki zakoni poprimaju sasvim druge oblike.

Eksperiment je namjerno izazvana pojava u ogranienom prostoru (laboratoriju) s ciljem da se proui, objasni i s krajnjim ciljemprimjeni za izradu korisnog proizvoda.

Da bi eksperiment imao svoju svrhu mora biti popraen mjerenjima.Mjeriti znai usporediti poznatu mjernu jedinicu s nepoznatomveliinom i odrediti brojevnu vrijednost. Za mjerenja primjenjuju se razloiti mjerni instrumenti i pomagala.Eksperimentom se odreuju parametri neke pojave.Ti se parametri nazivaju fizikalne veliine.

U fiziku je eksperimentalnu metodu prvi uveo Galileo Galilei.

Eksperiment je dragocjen jer se moe ponavljati onoliko puta koliko se smatra potrebnim.

Osnovna metoda znanstvenog istraivanja u fizici je eksperiment.

13

Primjeri pisanja rezultata mjerenja:

V100UA20Ibar2p

W100PN20Fm120s

=

=

=

=

=

=

F = 20 N

oznaka fizikalne veliine mjerni broj

oznaka mjerne jedinice

Od davnine su standardi za mjerenje vremena bili gibanja svemirskih tijela. Na primjer prividni sunev dan bio je interval vremena izmeu dva uzastopna prolaska Sunca iznad nekog odreenog Zemljinog meridijana..

Za nastajanje, trajanje i djelovanje bilo koje pojave u prirodi potrebna su tri osnovne univerzalne pretpostavke:

Vrijeme je skalarna fizikalna veliina podlona relativistikojdilataciji.Vrijeme se moe definirati kao univerzalnu dimenziju koja nam omoguava sreivanje sekvenci dogaaja u nekom odreenom prostoru. Vrijeme se mjeri tako da se koriste odreene pojave koje se odlikuju njihovom periodinou.

vrijeme

Srednji sunev dan je aritmetiki prosjek svih prividnih sunevih dana u tijeku jedne suneve godine od 365 dana 6 sati 9 minuta i 13 sekundi (356,2564 dana ili 31.558.153 sekunde). Srednja suneva sekunda definirala se kao 1/86400 srednjeg sunevog dana.

S izumom satnih mehanizama postalo je jasno da taj period vremena u tijeku jedne godine nije konstantan zbog kuta inklinacije osi Zemlje u orbiti oko Sunca (revolucija Zemlje) za 23,5 stupnjeva. Ovo otkrie dovelo do definicije tzv. srednjeg sunevog dana.

Sve definicije vremena koje se temelje na astronomskim mjerenjima su tonije od lokalnih definicija koje su se temeljile npr. na gibanju njihala (perioda gibanja njihala zavisi o vrijednostima gravitacijskog ubrzanja, koja nisu jednaka u svim tokama Zemlje), ili sili na opruzi kod mehanikih satova na oprugu (koeficijent elastinosti opruge zavisi o temperaturnoj izloenosti opruge).

14

Zbog svih navedenih uzroka netonosti mjerenja vremena, na Meunarodnoj konferenciji za mjere i utege odranoj 1967. godine odlueno je da se etalon vremena od jedne sekunde definira kao 9.192.631.770 oscilacija frekvencije cezija-133. Ureaj se nalazi u National Bureau of Standard u Washingtonu.

Meutim ni astronomske definicije vremena nisu sasvim tone, jer se brzina gibanja Zemlje u rotaciji tijekom vremena mijenja. Smatra se da se, zbog efekta koenja izazvanog trenjem uslijed plime i oseke, trajanje dana produava za 1 sekundu svakih 120.000 godina.

Iz toga ureda svakodnevno se alju radio signali u dravne urede itavog svijeta kao signal tonog vremena (u Hrvatskoj taj signal prima i emitira svim radio postajama Geofiziki zavod u Zagrebu).

Vrijeme je jo mogue, relativno tono, mjeriti na temelju kontroliranih frekvencija izmjenine struje, pravilnih oscilacija kristala kvarca, karakteristinog vremena radioaktivnog raspada itd.

Primljenom signalu se onda zbrajaju ili oduzimaju konstantne vrijednosti vremenskih zona i na taj se nain dobivaju ekstremno precizne vrijednosti mjerenja vremena u itavom svijetu, to je izuzetno vano u npr. meunarodnom zranom prometu ( Pula je GMT +1 u odnosu npr. London,GMT = Greenwich Mean Time)

Ne postoji nain mjerenja vremena koji bi imao apsolutnu karakteristiku, tu apsolutnu vrijednost ima samo ' sat koji miruje'.

Grafit na Golom otoku

i prostor je skalarna fizikalna veliina podlona relativistikojdilataciji. Prostor se moe definirati kao univerzalna dimenzija koja nam omoguava lociranje dogaaja u neko odreeno mjesto. Svako tijelo, od elementarnih subatomskih estica do velikih makrokozmikih svemirskih tijela, zahtjeva postojanje nekog odreenog prostora. U mehanici krutih tijela i mehanici fluida poznat je tzv. zakon prostornosti koji glasi 'istovremeno dva tijela ne mogu zauzimati isti prostor '.

2. prostor -

15

Otkrie naina stvaranja i kontrole vatre omoguilo je brzi tehnoloki postupak dobivanja i oblikovanja raznih metala kao i nemetala (npr. dobivanje stakla taljenjem silicija).

3. energija Na samim poecima ivota na Zemlji tzv. homo faber(ovjek radnik) mogao se koristiti samo jednim oblikom energije, vlastitom mehanikom energijom. Nakon vrlo velikog evolutivnog vremenskog perioda u kojem dolazi do socijalnih, a naroito mentalnih promjena kod ovjeka, tzv. homo sapiens (ovjek mislilac) otkriva drugi oblik energije, vatru, odnosno toplinsku energiju.

Ljudska znatielja se sada okree prema mikrosvijetu u kojem upoznaje jo dva oblika energije, kemijsku i bioloku energiju. Upoznaje fenomene kao to su fotosinteza, neke kemijske elemente (starodrevni kemijski elementi su ugljik, sumpor, eljezo, bakar, arsen, srebro, kositar, zlato, iva i olovo), kemijske i bioloke reakcije, razne bioloke poremeaje tj. bolesti, naine lijeenja tih poremeaja tj. lijekove itd. U mikrosvijetu pronaene su i elementarne elektriki nabijene estice odnosno elektriki oblik kao i magnetski oblik energije (poznatim eksperimentom danskog fiziara ChristianaOersteda iz 1820. godine dokazana je dvojnost veze izmeu tih dvaju oblika energije, te danas govorimo o elektromagnetskoj energiji.

Od davnina je ovjek percipirao svjetlost, no tek u XVII stoljeu s otkriima fiziara Newtona i Hygensa(korpuskularna i ondulatorna teorija svjetlosti), u XIX stoljeu s otkriima Maxwella i XX stoljeu s radovima Einsteina, fenomen svjetlosti je potpuni istraen. Svjetlost je elektromagnetski val. estica svjetlosti (foton) je kvantelektromagnetske energije. Svjetlost je oblik energije. Energija kvanta elektromagnetskog zraenja (Planckov zakon):

)Hz(afrekvencij)Js(1063,6h

hE34

kvanta

=

=

=

2cmE =Ekvivalencija mase i energije (Einstein):

2foton

c

hm

=Masa fotona:

Planckova konstanta

Spektar elektromagnetskih valova

vidljiva svjetlost

4,1-7,5 1014 Hz

16

Jo je davne 1745. ruski kemiar i biolog Mihail VasiljeviLomonosov formulirao zakon poznat kao zakon o odranju ili konzervaciji energije: energija se ne moe iz niega stvoriti niti se moe unititi, dozvoljeno je samo pretvaranje iz jednog oblika u drugi. Lomonosov je time potpuno negirao mogunost stvaranja tzv.

perpetuum mobile, stroja koji bi proizvodio rad bez utroka energije.

Krajem XIX i poetkom XX stoljea itav niz fiziara, Thomson, Rutherford, Bohr, Rontgen, Wilson, Curie, Fermi, Einstein, Chadwick i drugi, istrauju fenomene u mikrosvijetu i nalaze novi oblik energije, nuklearnu energiju.

Uz fiziku mikrosvijeta

Otkrie naina dobivanja antimaterije moda je bolje da nikada ne izae iz znanstvenih laboratorija, jer nas povijest ui da neka senzacionalna otkria, koja su u osnovi predviena za boljitak ovjeka, zavre za njegovo unitavanje: dinamit (Nobel), nuklearna fisija (Fermi i drugi), koherentne zrake svjetlosti laser (Towns), te se naveliko koriste i kao sofisticirana oruja.

Pretvarai energija iz jednog oblika u drugi, koji u tom pretvaranju proizvode koristan rad, zovu se strojevi. Openito uzevi, materija ili tvar nije nita drugo ve oblik energije, prema poznatoj Einsteinovoj relaciji E = mc2.

Danas u modernim metodologijama znanstvenih istraivanja nema stroge podjele po 'djelatnostima' ve na istraivanjima rade timovi znanstvenika razliitih specijalnosti. Fiziku moemo jo jednostavnije podijeliti na klasinu i modernu. Klasina prouava fenomene u perceptivnom svijetu, dakle pojave koje moemo percipirati i mjeriti direktnim osjetilima (fizikalna veliina je samo onaj prirodni fenomen koji se moe mjeriti).

Od sedam tradicionalnih oblika energije s vremenom su se kemija i biologija razvile u samostalne znanstvene discipline sa mnotvom poddisciplina. Ostalih pet pripada istraivanjima fiziara. Na temelju tih pet oblika energije i danas se moe izuavanje fizike podijeliti na na temelju tradicionalne podjele na: mehaniku, nauku o toplini, elektricitet i magnetizam, nauku o svjetlosti ili optiku te atomsku i nuklearnu fiziku.

17

Klasina fizika temelji se na Galilejevim eksperimentima (Galileo Galilei, 1564-1642) i na tri Newtonova aksioma (Isaac Newton, 1642-1727, Philosophiae naturalis principiamathematica iz 1687. godine). U ono se doba mislilo da se svaki prirodni fenomen moe objasniti zakonima klasine fizike (natura non facit saltus !).

Klasina fizika opisuje pojave i interakcije tijela ije su dimenzije mnogo vee u usporedbi sa veliinom atoma promjera oko 1 (10-10 m) i koja se gibaju brzinama mnogo manjim od brzine svjetlosti (c=3108 m/s).

Klasina fizika razmatra atom kao nedjeljivu esticu ( a + temnos = ne + rezati).

Meutim, krajem prolog i poetkom ovog stoljea, ( od 1900. godine) otkriven su nove injenice koje se nisu mogle uklopiti u zakone klasine fizike. Sa radovima Einsteina(Albert Einstein, 1879-1955) iz 1905. godine i Plancka(Max Planck, 1858-1948) iz 1900.pojavila se moderna fizika: relativistika i kvantna fizika koja opisuje mikrosvijet molekula, atoma i subatomskih estica.

Osnovni put spoznavanja vrijednosti fizikalnih fenomena je eksperimentalna metoda. Eksperiment je umjetno izazvana prirodna pojava koja, popraena mjerenjima, ima za cilj spoznavanje prirodnih pojava i interakcija. Eksperimentom se odreuju parametri neke fizikalne pojave. Ti se parametri nazivaju fizikalne veliine.

Pripadnost osnovnih fizikalnih veliina zavisi o podrujima fizike: mehanika (duljina, masa, vrijeme);elektricitet (elektrini naboj); toplina (termodinamika temperatura); fotometrija (jakost svjetlosti); atomistika (mnoina estica).

Fizikalne veliine dijele se na osnovne i izvedene.Osnovne su veliine odreene unaprijed (a priori) i ne mogu se reducirati . Sve ostale su izvedene veliine.

Simboli pojedinih fizikalnih veliina nisu proizvoljni ve dogovoreni na meunarodnoj razini na temelju ISO standarda ( International Standard Organization) i na temelju IUPAP standarda (International Union for Pure and Applied Physics Meunarodna udruga za izuavanje bazine i primijenjene fizike).

18

Intenzivne fizikalne veliine su takve koje ne ovise o dimenzijama tijela koje se mjeri (npr. ako se mjeri elektrina provodljivost nekog elektrolita i izuzme se jedna manja koliina tada e taj dio imati jednaku vrijednost provodljivosti kao ukupna koliina, ili temperatura kapljice vode biti e jednaka kao i cjelokupna masa vode u razmatranju).

Intenzivne i ekstenzivne fizikalne veliine

Ekstenzivne fizikalne veliine su one kod kojih e dio cjeline imati npr. manju masu, volumen, koliinu topline i drugo, od cjeline.

Molarne ili mnoinske veliineMolarna ili mnoinska veliina dobije se tako da se neka ekstenzivna veliina podijeli sa jedininom mnoinom tvari (npr. Avogadrov broj 6,021023 molekula/mol)

Specifine veliineSpecifina veliina dobije se tako da se neka ekstenzivna veliina podijeli s jedininom masom tvari ( npr. toplinska mobenzina-98 je 33106 J/kg).

ParametriKada vie fizikalnih veliina karakteriziraju ponaanje neke pojave tada one zajedno ine parametar (npr. akceleracija je promjena brzine u funkciji vremena tj. a = v / t).

OmjeriAko je parametar bezdimenzionalni tada se zove omjer (npr. stupanj korisnog djelovanja nekog stroja - = 0,75 ili 75 %).

KonstanteAko se iznos neke veliine koja karakterizira pojave ne mijenja, ni u prostoru ni u vremenu, tada se naziva konstantom(npr. konstanta gravitacijskog privlaenja G = 6,6710-11 Nm2 kg-2).

S razvojem komuniciranja i trgovine te s premjetanjem stanovnitvanastala je u 17. i 18. stoljeu prava zbrka mjernih jedinica.Svaka struka, svaka dravica , ponekad i svaki grad imali su svojemjerne jedinice, koje su se mijenjale s promjenama vladara.Veina od tih jedinica bile su antropoloke, druge su se uzimale iz prirode, a poneke potpuno sluajno.Na primjer jedinica angloamerikog mjernog sustava YARDsvojedobno je bila odreena udaljenou izmeu nosa i palcaispruene lijeve ruke engleskog kralja Henryja II, a INCH ukupnomduljinom triju zrna jema koje je iz sredine jemenog klasa izvadio kralja Edward II. Antika mjera LITRA ili LIBRA bila je mjera za volumen i uteg( lat. pondus), odatle su nastale jedinice eng. pound, njem. pfund.Budui da su sluile i za mjerenje teine plemenitih metalapostale su i nazivi novca: lira, pound sterling (funta sterlinga)

19

I u naim krajevima su se upotrebljavale antropoloke jedinice:VLAS, PALAC, PEDALJ, LAKAT, KORAK, SEANJ,HVAT, AKA, PREGRT, NARAMAK, BREME.Neke od njih su se i danas zadrale u primjeni npr. za povrine zemljita: RAL, JUTRO, DUNUM, LANAC.Jedna od tekovina francuske revolucije bila je i zamisao o stvaranjujedinstvenog mjernog sustava A TOUS LES TEMPS, A TOUS LES PEUPLES za sva vremena, za sve narode. Taj je zadatak bio povjeren Francuskoj Akademiji 1791. godine. Za jedinicu duljine inenjer Pierre Mechain predloio je duljinusvojstvenu zemlji: neka to bude 40- milijuntni dio duljine meridijana.Nazvali su je metar ( gr. metron mjera). Tisuu puta veunazvali su kilometar ( gr. kilioi tisua)Godine 1799. nainjene su materijalne pramjere (etaloni, prototipovi)i pohranjeni u Arhivu Francuske Republike u Sevresu kraj Pariza.

Godine 1875. sedamnaest je drava, potpisnica ugovora o upotrebi metarskog sustava, osnovalo Meunarodni ured za mjere i utege sa sjeditem u Sevresu kraj Pariza. Danas se u tom Uredu nalaze standardni prototipovi (etaloni) razliitih primarnih i sekundarnih mjera. Ured ima zadatak da koordinira, na meunarodnom planu, definicije mjernih jedinica i tehnike mjerenja u svim granama nauke i tehnike.

Ovaj meunarodni dokument (System International) u Hrvatskoj je definiran Zakonom o mjernim jedinicama i mjerilima od 18. lipnja 1993. godine.

Internacionalni sustav mjernih jedinica ( SI)

Dananji je zakon usvojen na temelju zakljuaka XI zasjedanja CGPM (Conference Generale des Poids et Mesures) iz listopada 1960. godine, a stupio na snagu 1. sijenja 1980. godine, (u Hrvatskoj je objavljen u NN br. 58 od 18.lipnja 1993.godine).SI (Sistem International) ili MKS-sustav sastoji se iz tri grupe mjernih jedinica:

osnovne mjerne jedinice : metar za duinu (m), kilogram za masu (kg), sekunda za vrijeme (sec), kelvin za temperaturu (K), amper za jakost struje (A), candela za jakost svjetlosti (cad) i mol za koliinu tvari (mol)

uvjetno dozvoljene mjerne jedinice -milja (morska) = 1852 mmilja (zemaljska) = 1609 m vor ili kt, milja na sat, Mph= 0,5144 m/s godina svjetlosti = 9,51015 m, astronomska jedinica = 151010 m, parsec = 3,21 godina svjetlosti, bar = 100 000 Pa, litra = 0,001 m3,konjska snaga (KS) = 0,7353 kWi dr.

izvedene mjerne jedinice - izvedene iz osnovnih na temelju tzv. definicijskih formula . Na primjer jedinica za silu njutn (N) je izveden iz definicijske formule F = m a, dimenzioniramo li taj izraz dobivamo [N] = [kg][ms-2]. Izvedenih mjernih jedinica ima mnogo: m/s, m/s2, N, Pa, V, J,, W dr.

20

Definicije osnovnih mjernih jedinica:Metar (duljina) - metar prvi spominje francuski ininjer PierreMechain tijekom Francuske revolucije, tonije 1791. godine kao etrdesetmilijunski dio duine Zemljinog meridijana. Kasnije je definicija nekoliko puta mijenjana. Danas se metar definira kao duinu koju prijee svjetlosna zraka u 1 / 299 794 458 sekundi.

Kilogram (masa) - etalon kilograma pohranjen je u Meunarodnom Uredu za Mjere i Utege u Sevresu, kraj Pariza. Radi se o jednom cilindru od platine i iridija promjera 3,96 cm i visine 3,96 cm tj. volumena oko 50 cm3. Prvobitno je kilogram bio definiran kao masa 1000 cm3(1 litra) destilirane vode na temperaturi 4 0C.

Sekunda (vrijeme)- nekada se sekunda definirala kao 86400-ti dio srednjeg sunevog dana (jedan dan = 86 400 sekundi). Suvremena definicija temelji se na broju perioda vala elektromagnetskog zraenja atoma cezija. Jedna sekunda je 9 192 631 770 perioda zraenja izmeu dva energetska nivoa cezija-133.

Amper (jakost elektrine struje) kada se dva ravna, paralelna i beskonano duga vodia razmaknuta 1 m u vakuumu, u kojima protjee struja, privlae ili odbijaju silom od 210-7 N po metru duljine, struja u njima ima jakost od 1 A.

Kelvin (termodinamika temperatura) termodinamika temperatura koja je jednaka 273,16-tom dijelu termodinamike temperature trojne toke vode ( 1K = 0C +273,16).

Trojna toka je temperatura i tlak pri kojima se sva tri agregatna stanja, (kruto, tekue i plinovito) neke tvari, nalaze u termodinamikoj ravnotei. Za vodu (led, voda i vodena para) ta toka se nalazi na tlaku od 4,58 mmHg (602,63157 Pa) i temperaturi od 0,01 0C.

Candela (jakost svjetlosnog izvora) jakost svjetlosti monokromatskog zraenja frekvencije 5,41014 Hz energetske jakosti od 1/683 wati po steradijanu (W/strad).

Mol (koliina tvari) koliina tvari jednaka broju atoma u masi od 0,012 kilograma ( 12 grama) izotopa ugljika 12 (12 C6 )..

21

Neke numerike dimenzije prirode:vrijeme:- postanak Sunca 4,55109 godina

- nestanak dinosaurusa - - 6,7107 godina

- poetak ljudske povijesti 4103 godina

- postanak kontinenata 3,8109 godina

- postanak ovjeka (neandertalac) 1,2105 godina

- postanak flore na Zemlji 4,2108 godina

- postanak Zemlje 4,45109 godina

- perioda zemljine rotacije (oko osi) 23 sata 56 minuta 4sekunde

- perioda zemljine revolucije (oko Sunca) 365 dana 6 sati 9minuta 13 sekundi

duljina:- polumjer svemira (virtualni) 1026 m- udaljenost Sunce-Zemlja 151010 m (1 AJ)- udaljenost Mjesec-Zemlja 384106 m- polumjer Zemlje (srednji) 6,4106 m

masa:

- masa Sunca 1,991030 kg- masa Zemlje 5,981024 kg- masa elektrona (u mirovanju) 9,1110-31 kg- masa protona (u mirovanju) 1,672510-27 kg- masa neutrona (u mirovanju) 1,674810-27 kg

brzina:- svjetlost u vakuumu 3108 m/s- Zemlja oko Sunca (revolucija) 3104 m/s- Zemlja oko osi (rotacija) na Ekvatoru) 465 m/s

- Sunevog sustav oko Mlijene staze 230 km/s

- Mlijene staze oko centra lokalne galaksije (Andromede) -40 km/s

- lokalna galaksija Andromeda oko super galaksije Hydra-Centaurus 600 km/s

- protoka krvi u organizmu (mirovanje) 0,1 m/s (0,36 km/h)

- najbri sisavac - gepard 20 m/s (72 km/h)

brojevne veliine:

- broj nukleona u svemiru 1080 - broj estica u jednom molu 6,021023 (Avogadrov

broj), 1mol = 22,415 litara = 22,41510-3 m3- broj vrsta ivih bia 106- broj izotopa 103

22

Duina1 inch (in) = 2,54 cm = 0,0254 m1 foot (ft) = 30,48 cm = 0,3048 mmile (M) = 1,609 km = 1609 m

Povrina1 square foot (ft2) = 929 cm2 = 0,0929 1 square mile (M2) = 2 588 881 m2

KONVERZIJA NEKIH ANGLOSAKSONSKIH MJERNIH JEDINICA U METRIKI SUSTAV

Volumen

1 cubic foot (ft3) = 28,32 l = 28320 cm3 = 0,02832 m31 U.S. gallon (gal) = 3,785 l = 3785 cm3 = 0,003785 m3

Teina

1 pound (lb) = 0,4536 kg teine ili 4,448 N

Masa

1 slug (sl) = 14,59 kg

Energija1 footpound (ftlb) = 1,356 J

Brzina1 MpH = 1,609 km/h = 0,447 m/s

Sila1 pound (lb) = 4,448 N1 U.S. short ton = 2000 lb = 8896 N

Snaga

1 horsepower (hp) = 745,7 W (0,7457 kW)

Tlak

1 lb/in2 = 6895 Pa

23

fizikalna veliina simbol mjerna jedinica u SI sustavu

brzina v m/selektrini kapacitet C Felektrini naboj Q Celektrini otpor R elektrini polje E N/C, V/menergija, rad E,W Jfrekvencija ,f Hzgustoa tvari kg/m3impuls sile i Nsjakost struje I Ajakost svjetlosti I cdkoliina gibanja p kgm/skoliina protoka Q m3 /s koliina topline Q Jkutna brzina rad/s

Pregled nekih fizikalnih veliina sa odgovarajuim simbolima i mjernim jedinicama u SI sustavu mjernih jedinica ubrzanje a m/s

2

magnetska indukcija B Tpovrina A,S m2elektrini napon V,U Vsila, teina tijela F,G Nsnaga P Wspec. elektrini otpor mspecifina toplina c J/kg 0Ktemperatura t 0Ctermodin. temperatura T 0Ktlak p Pavolumen V m3vrijeme t s

3. Prefiksi ili predmetci mjernih jedinica omoguuju multipliciranje jedinica radi dobivanja decimalnih viekratnika ili decimalnih dijelova:

Yotta Y 1024 1 000 000 000 000 000 000 000 000Zetta Z 1021 1 000 000 000 000 000 000 000Exa E 1018 1 000 000 000 000 000 000Peta P 1015 1 000 000 000 000 000Tera T 1012 1 000 000 000 000 Giga G 109 1 000 000 000Mega M 106 1 000 000kilo K 103 1 000hekto h 102 100deka da 101 10

Zakonom dozvoljeni prefiksi za mnoenje:

Zakonom dozvoljeni prefiksi za dijeljenje:

deci d 10 -1 0,1centi c 10 -2 0, 01mili m 10 -3 0, 001 mikro 10 6 0, 000 001nano n 10 -9 0, 000 000 001piko p 10 -12 0, 000 000 000 001femto f 10 -15 0, 000 000 000 000 001atto a 10 -18 0, 000 000 000 000 000 001 zepto z 10 -21 0, 000 000 000 000 000 000 001yocto y 10-24 0, 000 000 000 000 000 000 000 001

24

1. KINEMATIKA MATERIJALNE TOKE

kinematiku (kinesis = gibanje) prouava gibanja bez obzira na uzroke tih gibanja,

statiku - bavi se uvjetima ravnotea tijela (statikim i dinamikim).

dinamiku - prouava gibanja i uzroke gibanja: dinamika krutog tijela, hidromehanika, aeromehanika, mehanika plazme,

Mehanika se tradicionalno dijeli na:

Osnovne fizikalne veliine kinematike su:

Tijelo se obino razmatra kao redukcija dimenzija na toku te se naziva materijalna toka.

ubrzanje ili akceleracija (deceleracija), (a, -a). brzina gibanja (v), vrijeme gibanja (t),pomak, duljina ili put gibanja (x, s),

1.1. JEDNOLIKO GIBANJE PO PRAVCUU kinematici je vano razlikovati srednju od trenutne brzine. Na primjer kad brzinomjer registrira brzinu nekog bolida, na krunoj pisti, od 250 km/h, jasno je da se radi o srednjoj brzini ( )koja je rezultat omjera izmeu parametra duine piste i uloenog vremena.

Ako bismo, npr. mjerili vrijeme u kraim i jednakim vremenskim intervalima brzine ne bi nuno bile jednake na svim intervalima.

U razliitim intervalima vremena t bolid moe imati razliite trenutne brzine (v). Iako nije mogue direktno mjeriti trenutne brzine, takva brzine se ipak moe definirati s velikom tonou.

v

Pretpostavimo da se neka materijalna toka koja se giba po nekoj krivulji u vremenu t0 nalazi u nekoj toki s0pozicioniranoj na krivulji, a u vremenu t1 u toki udaljenoj s1.

t

s

s0

t0

s1

t1

s

= s 1

-s 0

t = t1- t0

ds

s 0

t 0

v

tangenta na krivulju u to

s(t)

25

U intervalu vremena izmeu t0 i t1 materijalna toka prijee put s koji je jednak razlici putova s1 i s0 . Njezina srednja skalarna brzina u tom intervalu moe se definirati:

odnosno 01

01

t- ts-s

v = ts

v

=

gdje je s je preeni put materijalne toke u vremenskom intervalu t.Openito sa delta () oznaavamo bilo koju vrijednost prirataja fizikalnih veliina.

Uz definiciju srednje brzine01

01

t- ts-s

v =

Kada se brzina materijalne toke znaajno mijenja tijekom gibanja mogue ju je preciznije definirati tako da se intervali puta s podijele na manje vrijednosti raunajui srednju brzinu na svakom tom intervalu. Vrlo mali intervali omoguavaju pribliavanju vrijednosti srednje brzine stvarnoj trenutnoj brzini v.

Moemo, ne samo smatrati da su te vrijednosti priblino jednake, ve moemo rei da su na infinitezimalnom intervalu one identine. Operacija graninih vrijednosti ima temelj u analitikoj matematici, a njezina primjena je izuzetno vana u fizici. Ako raunamo srednju brzinu na vrlo malim intervalima vremena tj. kada t1 tei k t0 (odnosno kada t tei k nuli), dobivamo vrijednost trenutne brzine v u vremenu t0 .

26

( )tvttdt

dsts

limtttt

sslim

tt 0010101

01

=

=

=

=

gdje dt je infinitezimalni interval vremena koji poinje od t0 , a ds je varijacija promjene puta.

Omjer s/t predstavlja samo aproksimaciju na v, koja e biti to tonija to se t pribliava nuli.

Ova se operacija s graninim vrijednostima izvodi ovako:

Kod jednolikog gibanja s konstantnom brzinom moe se dokazati da je trenutna brzina jednaka srednjoj brzini u bilo kojem intervalu s/t .

Na isti nain kako nam oznaka delta () omoguava prikazivanje nekih prirasta, bez obzira na druge varijable, takose i oznake ds, dt, dx itd. upotrebljavaju za prikazivanje infinitezimalno malih prirasta, a vrijednosti tog tipa nazivaju se diferencijali. Granine vrijednosti prikazane u gornjoj formuli zovu se derivacija od s po t ili derivacija s(t).Dakle, trenutna brzina je prva derivacija puta po vremenu:

dtdsv =

Za svaku pojedinanu vrijednost vremena t trenutna brzina jednaka je:

.konstttss

v)t(v01

01=

==

Prijeeni put s je jednostavni umnoak brzine v i vremena t, tj.:

)tt(vs)t(s 010 +=

zato jer je putu s0 pripadajue vrijeme je t0. To je jednoliko gibanje.

Ako se uzme da i polazna toka pripada polazitu koordinatnog sustava tj. da je s0 = 0 onda formula za jednoliko gibanjepoprima jednostavniji oblik:

tv)v(s =

U takvoj vrsti problema esto je bolje uzeti poetno vrijeme nula, t0 = 0 tako da razlika vremena t1 t0 postane, ustvari t .

27

ys

put

ty=0

v=konst.

v

tt1 t2

prijeeni

put

a

ubrzanje

ta=0

Dijagrami s-t, v-t i a-t za jednoliko gibanje

s=f (t)v=f (t)

a=f (t)

Galilejevo (Galileo Galilei, 1564-1642) fizikalno objanjenje akceleracije ili ubrzanja omoguilo je naglom razvoju dinamike, jer je slijedei korak bio znanstveni opis mase i sile.

1.1.2. JEDNOLIKO UBRZANO GIBANJE PO PRAVCU

Razmatramo li ubrzanje materijalne toke u jednoj dimenziji moemo rei da je to prva derivacija vektorske brzine u funkciji vremena.

Modernim znanstvenim pristupom tom fenomenu ubrzanje ima iri smisao, kao npr. ubrzanje je promjena vektorske brzine. Za fiziara, npr. neki automobil ubrzava i kad usporava ili se giba u zavoju ( djeluje centripetalna akceleracija).

Tradicionalna definicija ubrzanja bila bi: prirast ili poveanje brzine u nekom vremenu, ili jo jednostavnije: brzina poveanja brzine ili hitrost poveanja brzine.

Srednje ubrzanje neke materijalne toke je, dakle, promjena vektora brzine u danom intervalu vremena t i moe se prikazati ovako:

vr

dtdv

ttvv

a01

01

==

a

t1

t2

t3

Srednja vrijednost akceleracije odnosi se uvijek na interval vremena.S promjenama intervala vremena mijenjaju se i srednje vrijednosti akceleracije.

vrijeme(t)

brzi

na

(v)

U v-t dijagramu vidljivo je da je srednja vrijednost akceleracije jednaka grafu u segmentu intervala brzine v u funkciji intervala vremena t,

vrijeme (t)

brzi

na

(v)

28

Smanjimo li intervale vremena t srednja vrijednost akceleracije pribliit e se trenutnoj vrijednosti.Srednja vrijednost grafa sada se pribliava toci u trenutnom vremenu t.

vrijeme (t)

brzi

na

(v)

vrijeme (t)

brzi

na

(v)

dtdv

0tlima

=Trenutna akceleracija je dakle na limesu (granici):

Promjena brzine u funkciji vremena je stalna tj. akceleracija jekonstantna ( a= konst.).

dv = a dtodnosno

Integriramo li u granicama od v0 do v i od 0 do t:

=t

0dta

v

vdv

0

dobivamo=t

0dtavv 0

iliv = v0 + at

dtdv

a =Prema definiciji akceleracije :

Umjesto brzine v u formulu uvrstimo v = v0 + at

Rastavimo li na dva integrala:

( ) += t0

00 dttavxx

++=t

0

t

000 tdtadtvxx

++=t

0

t

0

200 at21

tvxx

=x

x

t

0dtvdx

0

Integriramo li po x u granicama x0 do x i vremenu t u granicama od nule do t dobivamo:

Umjesto brzine v u formulu uvrstimo v = v0 + at

Rastavimo li na dva integrala:

( ) += t0

00 dttavxx

++=t

0

t

000 tdtadtvxx

++=t

0

t

0

200 at21

tvxx

=x

x

t

0dtvdx

0

Integriramo li po x u granicama x0 do x i vremenu t u granicama od nule do t dobivamo:

29

Kod x0 = 0 i v0 = 0 te zamjenom x s (poloaj po osi x = preeni put) imamo:

2ta21

s =

Kada je a < 0 (negativno) radi se o usporenom gibanju.

200 ta

21

tvxx ++=

Nakon rjeenja integrala:

( ) 2ta-21

s =

v

t0

v0

v = v0 +a t

Dijagram v-t za jednoliko ubrzano gibanje (sa i bez poetne brzine):

v = a t

UBRZANO GIBANJE USPORENO GIBANJE

Dijagram x-t (s-t)

xs xs

x0 =0 t t

Dijagram v-t

UBRZANO GIBANJE USPORENO GIBANJE

v

t

v

t

prijeeni

put

prijeeni

putv0

t1 t1 t2t2

30

Dijagram a-t

UBRZANO GIBANJE USPORENO GIBANJE

a

a

tt

0

-a

0

2. Kruno gibanjeKruno gibanje je gibanje ija je putanja kruni luk polumjera r.

x

v2

v1

s

r

y

Duljina krunog luka s i pripadni kut zadovoljavajujednakost omjera:

pi

=

pi

2r2

s

odnosno

pi

pi=

2r2

s

iz ega slijedi

= rs

1. obodna ili tangencijalna brzina omjer prijeenog pomaka po obodu krunice u funkciji vremena, zove se i tangencijalna brzina jer se tijelo giba po obodu krunice:

ts

limv0t

=

Materijalna toka obie puni krugza vrijeme koje zovemo perioda krunog gibanja T.

pi= r2s

Izraz za obodnu ili tangencijalna brzina ima ovaj oblik:

Tr2

vpi

=

2.1. Kutna i obodna brzina

U krunom gibanju razlikujemo dvije bitno razliite brzine:

31

tBA

v

=

))

Uz definiciju tangencijalne ili obodne brzine

Uvrtavanjem s = r u izraz za trenutnu brzinu

nastaje novi izraz:

tr

limv0t

=

2. kutna brzina omjer opisanog kuta u funkciji vremena zove se kutna brzina.

tv

=

ts

limv0t

=

dtd

rv

=

element sa desne strane jednadbe je diferencijalna promjena kutne koordinate u funkciji vremena, oznaava se sa i zove se kutna brzina.

dtd

=

odnosnot

limrv0t

=

polumjer gibanja je stalna veliina koja se moe izluiti ispred znaka limesa: Budui da je iz dt

drv

=

v

drdt =

slijedi v

drd

=

odnosnor

v=

Kutna brzina je vektorska veliina.r

vr

rr

=

Mjerna jedinica u SI sustavu jesekrad

a iz toga

1 radijan = 570 172 rad = 3600

32

Analogne formule pravocrtnog i krunog gibanja

PRAVOCRTNO GIBANJE KRUNO GIBANJENAZIV FORMULA NAZIV FORMULA

vtss += 0poloaj poloajni kut t += 0

2

00 21

attvss ++=

prijeeni opisaniput 0

sss =kut

0 =

brzina dtds

v =kutna brzina

dtd

=

2

02 vasv +=

2

02 += a

ubrzanje 2

2

dtsd

dtdv

a == kutno ubrzanje 22

dtd

dtd

a

==

Tijela u slobodnom padu

Prve studije o padanju tijela i letu tijela koja nemaju vlastitipropulzor odnosno pogon (projektili) lansiranih u prostor objavio je 1638. godine Galileo Galilei ( Pisa, 1564-1642) u djelu Lacaduta dei gravi (O padanju tijela).Galileo je krenuo od hipoteze da tijelo baeno u prostor vri sloeno gibanje od kojega je najmanje jedno ubrzano (zakon gravitacije formulirao je Isaac Newton mnogo godina kasnije).

Slobodni pad je specijalni oblik jednolikog ubrzanog gibanja saakceleracijom sile tee ili gravitacijskom akceleracijom.

.konstg)dtvd

a ===

rr

( )( ) =

t

0tt

tv

0vgdtvdr

tgv = srednja brzina slobodnog pada (otpor zraka = nula)

( ) ( ) ( ) 002tt

0t0

t

0t

tz

0zz ztvtg

21

zdtvgtdttd ++=+=

00 hzhz=

=

2tg21h =

visina slobodnog pada

( )g

vvt 0tpada

= gv

t 0pada =

vrijeme pada

( ) 0tvtg21

z 02

t =+=

33

g2vhz

20

maxmax ==

max0kon hg2vv ==

hg2v =

brzina pada s visine h

g E= 9,78 ms-2

gP = 9,83 ms-2

g45 = 9,805 ms-2

G=mgG=

mg

G=

mg

Uz definiciju akceleracije sile tee

Srednji polumjer Zemlje RZ= 6371 km ~ 6400 km

Teina je sila kojom sila tee djeluje na svaku masu srednjom akceleracijom sile tee ( g = 9,805 ms-2)Teina je vektor usmjeren prema sreditu Zemlje tj.okomito na povrinu Zemlje .

= gmG rr

SUNCE

Merkur 0,38g = 3,58

Venera 0,72g = 8,87

Zemlja 1g = 9,81

Mars 1,52g = 3,74

Jupiter 5,2g = 26,01

Saturn 9,54g = 11,17

Uran 19,22g = 10,49

Neptun 30,06g = 13,25

Pluton (ex) 39,5g = 0,73

Udaljenosti pojedinih planeta od Sunca u Astronomskim Jedinicama ( 1 AJ = 15107 km)i pojedine vrijednosti gravitacijskih akceleracija (ubrzanja sile tee) u m/s2

12. 12. 2012. godine svi planetarni sustavi u galaksiji Mlijene staze bit e poravnati u ravnini ekliptike. To se dogaa svakih 25 800 godina.

34

Modul ili vrijednost akceleracije sile tee ovisi o kvadratu udaljenosti od povrine do sredita neke planete (polumjeru):

gdje je:- gravitacijska akceleracija - masa planete

- prosjeni polumjer planeteG - univerzalna konstanta gravitacije Cavendish-ova

konstanta ( Henry Cavendish, Francuska, 1731 1810)( )2211 kgNm1067,6G =

PM

PR

2P

PP

RMGg =r

Pgr

Akceleracija sile tee:

gdje je:h

gr

ZM

ZR

- Zemljina gravitacijska akceleracija (sila tee)( )kg106M 24

Z=- masa Zemlje

- prosjeni polumjer ZemljeG - konstanta gravitacije Cavendisova konstanta

( )2211 kgNm1067,6G =

Akceleracija Zemljine sile tee:

( )m104,6km6400km733,6388R 6Z ==

( ) 22324

112P

PP

s

m805,910733,6388

1061067,6RMGg

==

r

2Z

ZZ

RMGg =r

Modul ili vrijednost akceleracije sile tee ovisi u udaljenosti od sredita planete (Zemlje):

( )2Z

Z

h hRMGg+

=r

h - visina od povrine Zemlje na kojoj se tijelo nalazi

Uz Newtonovu tvrdnju da tijela razliitih teina u vakuumu padaju jednakim brzinama

ep

kamenlist

pumpa

staklenacijev

35

gr29,81ms9,805g =r

gmG rr

=

Tijelo mase m u blizini Zemljine povrine slobodno pada s ubrzanjem sile tee ija je vrijednost zavisi o poloaju tijela na Zemlji, a srednja vrijednost iznosi

Teina tijela

To ubrzanje stvara sila koju zovemo teina tijela:

konst.

otpor zraka

sila tee (teina tijela G = 0)

GGF F

Uz teinu tijela

Sloena gibanja

1. Vertikalni hitac sloeno gibanje koje se sastoji od komponenti usporenog gibanja i gravitacijskog ubrzanog gibanja (slobodnog pada).

v0

vh= 0

v0

h

tvhpenjanje 01 =

22 t

2ghpadanje =

20 t

2g

tvh =

21 hhh =gv2t

tttvrijemeukupnogv

tpadanjavrijemegv

tpenjanjavrijeme

0

21

02

01

=

+=

=

=

Na visini h brzina se smanji do nule i prijee od: tgv.tjvv hh0 =

Uvrstimo u izraz za visinu: 20 t2g

tvh =

2

202

0

gv

t

gv

t

=

=

2

200

0

gv

2g

gv

vh =

g2v

gvh

20

20

=

g2vv2h

20

20

=

g2vh

20

=

hg2v0 = konana brzina pada jednaka je poetnoj brzini

36

2. Horizontalni hitac sloeno gibanje koje se sastoji od komponenti jednolikog gibanja u smjeru paralelnom s podlogom i gravitacijskog ubrzanog gibanja (slobodnog pada).

x

-y

referentna ravnina

h

domet hica = s

v0

x = v0 t

2t2gy =

x = v0 t

2t2gy =

Komponenta jednolikog gibanja

Komponenta slobodnog pada

20

22

0

v

xt

v

xt

=

=

20

2

v

x

2gy = jednadba parabole

20

2

v

s

2gh =

-y = h x = s

gh2

vs 0

= domet horizontalnog hica

x

Uz horizontalni hitacUz horizontalni hitac

magnetv0

U trenutku kada se kuglica A poinje gibati poetnom brzinom v0 u horizontalnomsmjeru magnet oslobodi kuglicu B i ona poinje padati u slobodnom padu. Kako se meusobno odnose vremena padanja dviju kuglica?

37

Primjer koji dokazuje da prijeeni put tijela u slobodnom padu (otpor zraka zanemaren) ne utjee na iznos konane brzine pada. Vrijednost konane brzine zavisi samo o visini na kojoj se tijelo nalazi.

v4 v3 v2 v1

hg2v =

v1= v2= v3= v4

h

3. Kosi hitac sloeno gibanje koje se sastoji od komponenti jednolikog gibanja u smjeru pod kutom s podlogom i gravitacijskog ubrzanog gibanja (slobodnog pada).

y = h

x = s

h

s

v0

y

x

Vx

Vyv0ymax

Putanja balistike krivulje materijalne toke:

Iz slike je vidljivo da je smjer brzine tangenta na krivulju putanje:

x

y

v

vtg =

v0

Kut ili kut elevacije i poetna brzina tijela v0 determiniraju koordinatne komponente brzina na ovaj nain:

= cosvv 0x = sinvv 0y

Domet kosog hica

Visina hica

g2sinv

s20

=

g2sinvh

220

=

Vrijeme do tjemene toke

Ukupno vrijeme

gsinv

t0

t

=

gsinv2t 0 =

38

Zadatak: Odrediti kut pri kojem e visina hica biti jednaka njegovom dometu.

sh =

g2sinv

g2sinv 20

220

=

= 2sin

2sin2

52

sin = '''0 8,42563=

h

s

g2sinvh

220

= g2sinv

s20

=

3.1. Sila imasa

Definirati silu je praktiki nemogue. Normalno je da se svakom fenomenu trai uzrok, recimo da se u mehanikim fenomenima ti uzroci zovu sile.

Iako je ovjek od prapoetaka smatrao da je osnovni uzrok gibanja sila njegovih miia, taj atropomorfizam ne definira silu ni u operativnom ni u konstitutivnom smislu.

3. Dinamika materijalne toke

Osnovna postavka Newtonove dinamike je pojam sile. to je to sila i kako se moe definirati silu?

Definicija sile, koju moemo znanstveno prihvatiti, je ona koju je ponudio svojim eksperimentom izvrenim 1784. godine engleski fiziar George Atwood svojim tzv. padostrojem: Jo u doba Galilea gibanje tijela u slobodnom padu se pripisivalo

tzv. 'sili gravitacije' , a sam je Galileo dokazao da tijela padaju konstantnom akceleracijom uslijed djelovanja konstantne sile. Na temelju tih studija silu se smatralo uzrokom promjene gibanja, a ne samog gibanja.

39

Prvi fundamentalni zakon dinamike ili prvi Newtonov aksiom dinamike zakon tromosti ili inercije, proizlazi upravo iz te tvrdnje.

Nekadanja ideja, da odsutnost sile proizvodi i odsutnost gibanja, zamijenjena je drugom: sila proizvodi promjenu gibanja (akceleraciju), tj. odsutnost sile proizvodi konstantnost gibanja.

Sila je vektorska veliina, dakle osim iznosa (modula) treba joj poznavati pravac i smjer.

Fr Budui da se svako realno tijelo suprostavlja promjeni stanja svojom

masom, takva masa ima karakter trome ili inercijske mase.

Prouavanje prirode ukljuuje prouavanje svih oblika sila. Temeljna podjela sila je na gravitacijsku, elektromagnetsku,jaku i slabu silu.Gravitacijska sila je privlana sila meu masama, elektromagnetna je privlana ili odbojna meu elektrinim odnosno magnetnim nabojima, jaka djeluje u jezgri meu nukleonima, slaba je, na primjer, uzrokom tzv. beta raspada.

Klasina fizika prouava gravitacijsku i elektromagnetnu. Svi procesi i dogaaji klasine fizike mogu se objasniti ovim dvjema silama.

U ranom, vruem Svemiru, mogue su interakcije koje ne moemo proizvesti u zemaljskim laboratorijima. Takve su na primjer interakcije velikog ujedinjenja (GUT od engl. Grand Unification Theory), prenoene esticama teim od 1014GeV (1GeV=10-27 kg = masa protona). Naime, u epohi velikog ujedinjenja, na temperaturi od 1029kelvina, kad je svemir bio star svega 10-38 sekundi temeljna su meudjelovanja (jako, slabo i elektromagnetsko) mogla bi biti ujedinjena u jedinstvenu silu

Mogua GUT teorija velikog ujedinjenja

40

Ako sila determinira akceleraciju, a ne gibanje, zato za odravanje jednolikog gibanja potrebno je raspolagati s nekim motorom ili propulzorom? Galilei je smatrao da je to zbog utjecaja trenja ili drugih sila koje osporavaju gibanje.

3.2.1. Prvi Newtonov zakon - zakon tromosti ili inercije

Mnogo je tee, na primjer, gurati sanduk po hrapavoj povrini nego po glatkoj povrini ili ledu. Ima, dakle, smisla upitati se to bi se desilo (ili ne bi desilo) ako bi povrina bila idealno glatka, beskonano duga i ne bi postojao otpor zraka.?

3.2. Newtonovi aksiomi dinamike

Zakon inercije pretpostavlja da je tijelo izolirano tj. da na njega okolina nema nikakvog utjecaja.

Sustavi u kojima vrijedi taj uvjet zovu se inercijalni sustavi.

Odgovor na to pitanje dao je najprije Rene' Descartes (1596-1650), a kasnije formulirao Isaac Newton (1642-1727) kao prvi zakon dinamike ili zakon inercije.

Taj zakon glasi: neko tijelo, ako nije prisiljeno mijenjati stanje djelovanjem neke sile, uvijek nastoji ostati u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu.

Na temelju prvog Newtonovog zakona tijelo u gibanju moe mijenjati brzinu samo interakcijom s okolinom. Newton dokazuje da i u sluaju interakcije dvaju izoliranih tijela postoji relacija izmeu promjena njihovih brzina. U sluaju sraza dvaju izoliranih tijela brzine mogu biti varijabilne ( ), ali omjer promjena tih brzina ostaje uvijek konstantan tj. 21

v,vr

.konstv

v

2

1=

Inercijalna masaTaj Newtonov postulat interakcije glasi: prilikom svake interakcije izmeu dvaju izoliranih tijela omjer promjena brzina tih tijela je uvijek konstantan bez obzira na trajanje same interakcije.

U skalarnim veliinama to moemo izraziti ovako: 2,1

2

1 kv

v=

Budui da su v1 i v2 uvijek suprotnih smjerova, konstanta ima negativni predznak.

gdje je k1 ,k2 konstanta koja zavisi samo o tijelima 1 i 2.

41

Pridodamo li sada tim materijalnim tokama odgovarajue mase m1 i m2 i znajui da promjene brzina imaju suprotne smjerove, moemo napisati:

1

2

2,1m

mk =

i uvrtavanjem u gornji izraz dobivamo izraz postulata o interakciji dvaju materijalnih toaka:

1

2

2

1

m

m

v

v=

Gravitacijska masa je ona masa ija vrijednost determinira svojstvo dvaju tijela da se uzajamno privlae.

Taj postulat moemo definirati ovako: interakcijom dvaju izoliranih tijela, promjena brzine jednog od njih ima uvijek suprotan smjer u odnosu na drugi i obrnuto je razmjerna njegovoj masi.

Ovdje se, dakle, radi o tzv. inercijalnoj masi.

3.2.2. Drugi Newtonov zakon osnovni zakon gibanja

U gravitacijskom polju Zemlje iskustvo pokazuje proporcionalnostsile i akceleracije, to se iskazuje drugim Newtonovim zakonom:

amF rr

=

iz ega slijedi mjerna jedinica za silu:

[ ] [ ] [ ] NkgmsamF 2 ===

Sila od 1 N daje tijelu od 1 kg ubrzanje od 1 .ms 2

Uz drugi Newtonov zakon

42

Koliina gibanja

Koliina gibanja ili nalet se definira kao umnoak mase i brzine: vmp rr =

Mjerna jedinica koliine gibanja je:

[ ] [ ] [ ] Nskgmsvmp 1 === Ako u izrazu za drugi Newtonov zakon akceleraciju prikaemo kao diferencijalnu promjenu brzine u vremenu:

dtvd

mamFr

rs==

Smjer vektora koliine gibanja jednak je smjeru vektora brzine.

Nakon izluivanja diferencijala imamo:

( )vmdtdF r

s=

i konano slijedi da sila uzrokuje vremensku promjenu koliine gibanja:

dtpdFr

s=

Zakon ouvanja koliine gibanja ili jednadba balansa: ukupni impuls zatvorenog sustava je konstantan, ukupna koliina gibanja je konstantna. (Rene Descartes u dijelu Prirodna filozofija, 1644. godine)

vmp2 rr = vmp3 rr =

vmp1 rr =

Uz definiciju koliine gibanja

Prilikom svake interakciji (meudjelovanja) izmeu dvije materijalne toke promjene koliina gibanja vladaju se prema slijedeoj relaciji:

21 pprr =

a u jedinici vremenskog intervala:

tp

tp 21

=

rr

Newton je pretpostavio da ta relacija mora biti tona u svim trenucimainterakcije tj. u bilo kojem vremenu promjene koliine gibanja dvaju materijalnih toaka:

odnosnodtpd

dtpd 21

rr

=

( ) ( )dt

vmddt

vmd 21rr

=

3.2.3. Trei Newton-ov zakon

43

slijedi 21 amamrr

=

odnosno 21 FFrr

=

Zapravo, u prirodi sile uvijek djeluju u parovima. Valja naglasiti da se dva tijela mogu meusobno privlaiti ili odbijati i kada nisu u neposrednom dodiru jedno s drugim, ve se nalaze na nekoj odreenoj udaljenosti (gravitacijska sila, Coulomb-ova sila izmeu naboja).

=

tv

mtv

m21rr

ili

Ovaj izraz matematika je formulacija treeg Newton-vog zakona, treeg aksioma mehanike ili zakona akcije i reakcije, koji glasi: svaka sili koja djeluje na neko tijelo proizvodi drugu silu jednaku i suprotnog smjera koja djeluje na isto tijelo.

sila propulzije vode sila gibanja amca

Uz trei Newtonov zakon

Koliina gibanja i impuls sile

Impuls sile je veliina umnoka sile i vremenskog intervala u kojem ta sila djeluje:

tFI =rr

Sila ne mora biti stalna u promatranom vremenskom periodu, ve moebiti proizvoljna funkcija vremena. U tom sluaju je impuls sile jednakpovrini ispod krivulje sile u F-t dijagramu, u granicama vremenskogintervala:

F2

t

Fi

F1

t2

F(t)

ti

Dijagram F-t u sluaju nejednolikog djelovanja sile:

44

Podjelom vremenskog intervala na dijelove t i njihovim mnoenjems iznosima srednje sile Fi u granicu (limes) kada t0, slijedi:

( ) == i

t

tii

0t

2

1i

dttFtFlimIrrr

Impuls je prikazan kao integral funkcije sile po vremenu u kojem tasila djeluje.Pri interakciji (meudjelovanju,srazu) dvaju ili vie tijela dolazi do Razmjene impulsa, posljedica ega je promjena koliine gibanja tijela koja sudjeluju u interakciji.

dtpdFr

r=

tada jedtFpd =

rr

Kako je veza sile i koliine gibanja izraz:

Integriranjem dobivamo:( ) ====2

1

2

1

t

t

p

p121212 vvmvmvmpppddtF

rrrrrr

a budui da je:ItFrr

=

slijedi konano:( )12 vvmI rrr =

tj. impuls sile jednak je promjeni koliine gibanja tijela.Ako je u poetku tijelo mirovalo tj.v1=0, a na kraju intervala djelovanja sile imalo brzinu v2=v, vrijedi:

vmI rr

=

Impuls sile je u tom sluaju jednak koliini gibanja tijela.

Uz definiciju impulsa sileUz definiciju impulsa sile koliine gibanja

Svakim izbaajem poveava semeusobna udaljenost izmeu igraica. U jednom trenutku vie nee biti mogue dobaciti loptu.

45

Zakon ouvanja koliine gibanja interakcija ili sudarZamisli se izolirani sustav (hipotetiki sustav koji bi bio zatien od vanjskih utjecaja) dvaju tijela (materijalnih toaka) m1 i m2 koji se gibaju s poetnim brzinama v1 i v2 tako da se dogodi meudjelovanje ili interakcija tih tijela na primjer sraz. Sraz ili sudar moe biti elastian pri kojem kinetika energija ostaje sauvana, tj. ukupna kinetika energija poslije sudara jednaka je kinetikoj energiji prije sudara. Meutim kada se prilikom sudara dio kinetike energije pretvori u toplinu ili deformaciju tijela sudar zovemo neelastian.

v1 v2

m1m2

21Fr

12Fr

,

1vr ,

2vr

Pretpostavimo li da su tijela savreno kruta (hipotetiki tijelo koje se ne moe deformirati), a sudar elastian tada je interakcija trenutnatj. vrijeme interakcije t0. U tom trenutku tijela mase m1 i m2, prema treem NewtonovomZakonu, djeluju jedno na drugo silama odnosno .F12r21Fr

Promjena koliine gibanja prvog tijela jednaka je primljenom impulsu:

Isto vrijedi za drugo tijelo:

tFvmvmI21

'

11111==

rrrr

tFvmvmI12

'

22222==

rrrr

Prema treem Newtonovu zakonu je:2112

FFrr

=

a tada je:21

IIrr

=

iz ega slijedi:( )'

2222

'

1111vmvmvmvmrrrr

=

a nakon separiranja:'

2222

'

1111vmvmvmvmrrrr

+=

i konano:'

11112211vmvmvmvmrrrr

+=+

Zakljuak se moe poopiti na sustav od n broja estica:

== =

n

1i

n

1i

'

iiiivmvmrr

Uz zakon ouvanja koliine gibanja

46

Ponaanje tzv. neelastinih ili slabo elastinih materijala (zovu se jo plastini ili djelomino elastini) je u srazovima potpuno razliito od elastinih. Takva se tijela prilikom srazova deformiraju odnosno mijenjaju oblik na raun dijela svoje kinetike energije. Potpuno neelastini sraz bio bi takav pri kojem bi se tijela sastavila i zajedno gibala nekom brzinom v, tj. bilo bi: v1 = v2 = v.

Neelastini srazAko tom izrazu supstituiramo izraz za elastini sraz m1 v1 +m2 v2 = m1 v1 +m2 v2

dobivamo izraz za neelastini sraz:

m1 v1 +m2 v2 = (m1 +m2) v

iz kojega npr. moemo izraunati zajedniku brzinu tijela nakon sraza:

21

2211

mm

vmvmv

+

+=

Balistiko njihaloUreaj kojim se mjeri brzina taneta ili projektila. Izumio ga je engleski inovator B. Robins jo 1742. godine i praktiki se njegova konstrukcija nije promijenila do dananjih dana.

m2

ym1 vt

l

x

ll-y

y

Tane, mase m1 i nepoznate brzine vT, ispali se u horizontalnom smjeru u neku drveno tijelo mase m2 , mnogo vee od mase taneta. Drveno tijelo je objeeno na njihalo duljine l. Budui da sraz taneta i daske traje vrlo kratko vrijeme moemo smatrati na nema nikakvih utjecaja vanjskih sila pa se prema tome itava koliina gibanja ouvala ak i ako postoje mala trenja u toki vezivanja njihala i neto otpora zraka. Znai da se itava kinetika energija pretvorila u potencijalnu i daska se uzdigla na neku visinu y:

( ) ( ) ygmm2

vmm21

221

+=+

a odatle je:yg2v =

47

Sada primijenimo Pitagorin pouak jer, kada uzmemo u razmatranje pomak tijela na njihalu x, duljinu njihala l i visinski pomak tijela y moemo uoiti pravokutni trokut:l2 = x2 + (l y)2 = x2 + l2 2yl +y2 , budui da je vrijednost y mnogo manja o odnosu na vrijednosti x i l , lan y2 moe se zanemariti i jednadbu moemo napisati u obliku 2ly = x2odnosno:

l2xy

2

=

sada ovaj izraz uvrstimo u izraz yg2v =

i dobivamo

gl

xv =

Koliina gibanja se ouvala, imamo dakle: ( ) vmmvm 21T1 +=

odnosno( )

vm

mmv

1

21T

+=

i nakon uvrtavanja

gl

xm

mmvT

+=

Iz izraza je vidljivo da su svi parametri vrlo lako mjerljivi.

Temeljni uzrok sile trenja izmeu dviju povrina su meumolekularne sile koje nastoje privlaiti povrinske molekule dvaju tijela koja se nalaze u kontaktu. Te privlane sile se zajednikim imenom zovu sile adhezije. Samo oko 5% svih sila trenja zavisi o tzv. hrapavosti povrina u kontaktu, dok ostale pripadaju utjecaju sila adhezije.

3.2.4. Sile trenjaPostoje razliite vrst sila trenja, ali sve imaju jednaku karakteristiku da se odupiru silama gibanja. Spomenuti emo etiri vrste trenja: trenje klizanja, trenje kotrljanja, statiko trenje i viskoznost. Prva tri odnose se na kruta tijela dok se viskoznost odnosi na fluide tj. tekuine i plinove. F

FP = G = mg

FTR

hrapavost povrina u kontaktu(koeficijent trenja )

Sila trenja zavisi o sili pritiska tijela na podlogu ili na drugo tijelo (Fp) i o koeficijentu trenja () tvari koje se dodiruju.

48

Sila trenja na horizontalnoj podlozi

Ftr = mg

Ftr = FP

FP = G

sila trenja = sila okomita na podlogu x koef. trenja

sila okomita na podlogu = teina tijela

Djelovanjem sile F tijelo se giba po horizontalnoj povrini, toj sili se suprotstavlja sila trenja Ftr suprotnog vektorskog smjera.

Akceleracija tog tijela e biti:

TRF-FF =

TRFFam =

= gmFam

m

gmFa

=

koa drvo 0,3 0,5koa metal 0,2 0,3metal metal 0,1 0,15drvo drvo 0,3 0,4 guma asfalt 0,7 0,89 (kotrljanje)elik led 0,015

Koeficijenti trenja kotrljanja e su oko 1/10 od .

KOEFICIJENT TRENJA (klizanja) ( ) Sila trenja na kosini

G=mg

FP

F

Sila okomita na kosinu sila pritiska na podlogu

Sila trenja

= cosgmFP

= cosgmFTR

FP

G

49

Gibanja na kosini uz utjecaj trenjaSila potrebna za gibanje uz kosinu

Sila na kosini bez utjecaja trenja

Sila potrebna za gibanje na kosinu sa utjecajem trenja

TRENJAKOSINE FFF +=

= cosgmFTRENJA sila trenja na kosini

= sinGFKOSINE= singmFKOSINE

+= cosgmsingmF

G

F

Akceleracija uz kosinu

+= cosgsinga

)cos(singa +=

+= cosgmsingmam

TRENJAKOSINE FFF +=

Akceleracija niz kosinu

TRENJAKOSINEFFF =

= cosgmsingmam

( )= cossinga

Tijelo miruje na kosini

sila niz kosinusila trenja

sila niz kosinu sila trenja = nula

= singmF KOSINUNIZ sila niz kosinu = sila trenja = cosgmF

TRENJA

= cosgmsingm

= cossin

=

= tgcos

sin

v = 0

50

3.2.5. Sile otpora sredstva

Kretanju krutog tijela kroz fluid (zrak ili voda) suprotstavlja se sila otpora sredine u kojoj se tijelo giba. Na primjer otpor zraka (FZ) kod vozila nastaje iz dva razloga: zbog razlike tlakova na prednjem i stranjem dijelu vozila i zove se otpor oblika i zbog trenja estica zraka i povrine vozila i zove se otpor trenja.

otpor oblika otpor trenja

2vAcF

2

x

zxZ =

Izraz za otpor oblika: Izraz za otpor trenja:

FTR = mg(e)

Parametri u izrazu za otpor oblika jesu:

cx = koeficijent otpora oblika (ovisi o aerodinaminoj ilihidrodinaminoj liniji)

A = eona povrina tijela npr. letjelice, vozila ili plovilaz = gustoa fluida (zraka ili vode)vx = relativna brzina gibanja aviona, vozila ili plovila u odnosu na

okolinu tj. gibanje zraka ili vodeKoeficijent otpora oblika (cx) je vrijednost dobivena ispitivanjem profila u aerodinaminim tunelima ili hidrodinaminim bazenima:

ravna okrugla ploa cx~ 2,1

uplja polukugla cx= 1,4 -1,6

kugla cx= 0,2 -0,45

oblik kine kapi cx= 0,05

Na primjer sila koju mora savladati vozilo koje se giba uzbrdo ina njega istovremeno djeluju otpori kosine, otpor oblika i otportrenja je:

uspon 12%

F

Uspon 12 % =00 7892,612,0arcsin

12,0sin10012

sin

=

=

51

sila gibanja = sila uspona + sila otpora oblika + sila otpora trenja

sila uspona = singmFu

2

2xv

zAxcFz =sila otpora oblika

)e(cosgmFTR =sila otpora trenja

Ukupna potrebna sila:

)e(cosgm2vAcsingmF

2

xzx ++=

4. RAD, ENERGIJA, SNAGA4.1. Rad

Sila koja djeluje na neko tijelo uzrokuje gibanje toga tijela ili njegovu deformaciju. Ako je pritom sila konstantna tijelo e se gibati ubrzano sakonstantnom akceleracijom.Ako se tijelo giba pod utjecajem neke sile kaemo da ta silaobavlja rad. Rad se definira kao umnoak sile i pomaka na kojem ta sila djeluje. Kada je sila kolinearna s putanjom tijela tada je rad:

A B

Fr

sFW rr

=

Ako sila nije kolinearna s putanjom, ve s njom zatvara kut, tada rad obavlja samo komponenta sile koja djeluje u smjeru putanje:

F

Fs

A B

scosFW rr

=

Predstavljeni rad obavila je sila koja ima konstantnu vrijednosttj. to je rad stalne sile.

Kada je sila koja obavlja rad promjenljiva obavljeni rad predstavljapovrina ispod grafa koji prikazuje tu promjenljivu silu:

A B

FsA

FsB

Fs

S

Fsi

Si

W

Rad se definira kao umnoak sile i pomaka:

iSii sFW

52

Ukupni rad W je suma elemenata rada Wi .Kad diobeni element puta tei k nuli (s 0) tada broj diobenih elemenata n tei ka beskonanosti (n )

=

=

n

1isiFsilim

n

os

W

to znai da je element rada priblino jednak umnoku projekcije elementa sile i pripadne projekcije pomaka (puta) i priblino odgovara povrini ispod krivulje Fs(s).

Izvedena mjerna jedinica u SI sustavu je:

[ ] [ ] [ ] JsmkgmNsFW 2-2 ====

James Prescot Joule engleski fiziar, 1818 -1889.

U zadanim granicama od A do B:

=B

As(s)dsFW

To je izraz za rad sile F koja je uzrok gibanju materijalne toke od toke A do toke B.

Rad nekolinearnih sila

scosFW =r

Energija je svojstvo tijela da djeluje ili obavlja rad. Kada tijelo ili sustav tijela obavlja rad tada mu se smanjuje energija (E0). Na temelju ekvivalencije energijai rad imaju istu mjerne jedinice (J).

Pojavnih oblika energije ima sedam, ali osnovna je podjela napotencijalnu (energiju poloaja) i kinetiku (energiju gibanja).

4.2. Energija

53

Kinetika energija je energija tijela u gibanju. Energija se, po definiciji, moe povezati s radom.

= == dsdtdv

mdsamdsFW

Budui da je u granicama klasine fizike masa konstantna izvede se izvan integrala:

= dvdtds

mW

Budui da jev

dtds

=

moemo napisati = dvvmW

4.2.1. Kinetika energija Budui da se radom postigne porast brzine od 0 do v, slijedi:

===v

0

2v

0

2

mv21

2v

mvdvmW

Kinetika se energija najee oznaava sa Ek:2

K mv21E =

Obavljen rad je uvijek jednak razlici tj. promjeni kinetike energije:

====2

1

2

1

s

s

1k

v

v

2k21

22 EEmv2

1mv

21

vdvmFdsW

EW =

4.2.2. Potencijalna energija i konzervativni sistemi

Tijelo moe imati energiju i zbog svog poloaja u odnosu na druga tijela.To su potencijalne energije a mogu biti gravitacijska potencijalnaenergija, elastina energija, elektrostatska energija i magnetska energija.Sistem u kojem ne postoji sile trenja i ostale sile koje bi uzrokovaledisipaciju kinetike energije tijela nazivaju se konzervativni sistemi.

Tipian primjer konzervativnog sistema je djelovanje gravitacijske sile na neko tijelo u prostoru zanemarivog otpora zraka: G

FR

FV

G

G = - FR

G = - FV

FV

G

G

FV = 0

y

x

y1

y1 y0 =y

y0

v =0

54

G = - FR odnosno mg = - FR

Ako sada na tijelo djelujemo nekom vanjskom silom FV u smjeru okomitom na podlogu i kada ta sila postane lagano vea od gravitacijskog privlaenja G, tijelo poinje vertikalno gibanje.

Zamisli se tijelo mase m koje miruje na referentnoj podlozi. Gravitacijskoj sili koja na njega djeluje suprotstavlja se reakcijska sila podloge.

budui da je y0 = 0 tijelo miruje.

Da bismo ga zadrali na nekoj visini y1 moramo najprije smanjivati vanjsku silu FV sve dok ne postane lagano manja od sile gravitacijskog privlaenja, a tek onda te sile potpuno izjednaimo:

G = - FV

Sada tijelo miruje na visini y1, kinetika energija uzrokovana silom FV svede se na nulu, isto tako i njegova brzina. Budui da smo otpor zraka zanemarili sila koja djeluje sada na tijelo je samo sila gravitacije.

W = G y odnosno W = m g y

Ako u tom trenutku eliminiramo silu FV, tijelo slobodno pada i u trenutku udara u referentnu podlogu postigne brzinu:

yg2v =

i kinetiku energiju 2K vm21E =

Rad koji smo izvrili nad tijelom da bismo ga podigli na visinu y je: Supstitucijom tih dvaju izraza dobivamo:

( )2K yg2m21E =

odakle slijedi: ygmEK =

To je tono onoliku koliko smo uloili za njegovo podizanje.Princip odranja ili ouvanja energije je time dokazan.

Potencijalna sposobnost nekoga tijela, koje se nalazi u stanju mirovanja,da moe vriti rad na raun svoga poloaja zapravo nam kazuje da se energija moe uskladititi u samom tijelu.

Takav oblik energije zove se potencijalna energija (EP)

55

Zakon o odranju energije i koliine gibanja opisao je Newtonu svom najveem dijelu Philosophiae Naturalis principia Mathematica(objavljenom 1687. godine) i demonstrirao pomou njihala:

referentna ravnina

hAB =

hgmEp =2

2vm

Ek

=

Uz zakon o ouvanju energije

4.2.3. Snaga

Fizikalni pojam snage (za razliku od atropomorfikog pojma) predstavlja izvreni rad u funkciji vremena u kojem se taj rad obavlja:

tWP =

Taj izraz je logian kada snaga ima stalni intenzitet u suprotnom definiramo tzv. srednju snagu:

tWP

=

PlimP0t

= dtdW

tW

limP0t

=

=

odnosno

Budui da je rad sdFdW rr =

Trenutna ili prava snaga odreena je na limesu kada vremenski interval tei k nuli:

slijedi da je snagadt

sdFdt

dWPrr

==

a budui da jets

v

=

rr

slijedi izraz za snagu vFP rr =

56

Kad izmeu vektora sile i vektora puta postoji neki kut izraz za snagu je:

= cosvFP

[ ] [ ][ ] WJssJ

tWP 1 ====

Snaga je skalarna veliina, a njezina mjerna jedinica je vat(James Watt, 1736 1819).

5. KLASINA GRAVITACIJA

Dva materijalna tijela masa m i M, odvojena na nekoj meusobnoj udaljenosti r, uzajamno se privlae silom usmjerenom po pravcu koji spaja ta tijela. Ta je sila proporcionalna umnoku tih dvaju masa, a obrnuto proporcionalna kvadratu njihove meusobne udaljenosti.

Isaaca Newtona je, pri objanjenju empirikih zakona JohannesaKeplera o gibanju planeta, dovelo do generalizacije tog zakona po kojem meusobna privlaenja dvaju svemirskih tijela nije nita drugo nego specifini primjer jedne univerzalne sile koja djeluje izmeu svih tijela.

F21 F12

r

2r

mmG F 21G =

m1 m2

Konstanta gravitacije G (koja je u vrijeme Newtona imala smisao konstante proporcionalnosti) jedna je od univerzalnih konstanti fizike. Njezina vrijednost zavisi iskljuivo o mjernim jedinicama koje se koriste i potpuno je nezavisna o mjestu, vremenu, temperaturi ili bilo kojoj drugoj fizikalnoj veliini.

Sila gravitacije koja djeluje izmeu dvaju tijela ne zavisi o tome da li tijela miruju ili se gibaju ili o prisutnosti nekog treeg tijela. Na primjer na gravitacijsku silu izmeu Sunca i Zemlje ne utjee prolazak Mjeseca izmeu njih. Gravitacijska sila se, dakle, razlikuje od svih drugih interakcija.

57

Prvi koji je kvantitativno izmjerio vrijednost gravitacijske konstante bio je francuski fiziar Henry Cavendish, 1798. godine, pomou torzione vage. Preciznija mjerenja (Jolly, 1878.; Krigar-Menzel, 1896.) dala su definitivni rezultat vrijednosti te konstante:

G = (6,672 0,004)10-11 Nm2kg-2U podruju istraivanja Sunevog sustava zahvaljujui fenomenu gravitacije moglo se, na primjer, 1846. godine otkriti planet Neptun, prije nego se taj planet mogao vidjeti, ili 1930. godine otkriven je takoer za stolom tj. matematikim modelom sada ve bivi planet Pluton ( ove je godine na simpoziju u Pragu preimenovan u planetoid, te tako izgubio kategoriju planeta), samo na temeljugravitacijskih perturbacija koje su, zbog njegove prisutnosti, uoene na Uranu. Tada izraunata pozicija Plutona razlikovala se za manje od jednog stupnja od vrijednosti poznate danas. Budui da mu je orbitalno vrijeme 247 godina od trenutka otkria do danas Pluton je preao tek 30% trajanja svoje godine.

Ova vrijednost odgovara sili (izraenoj u newtonima), koja djeluje izmeu dvije homogene kugle mase 1 kg, koje se nalaze na meusobnoj udaljenosti od 1 m.

5.1. Gravitacijska potencijalna energijaUz pretpostavku da je referentni sustav povrina Zemlje tj. h = 0 i Ep = 0, tada je potencijalna energija na nekoj visini h jednaka:

Ep = mgh

Toka koja se nalazi na visini h od povrine Zemlje, udaljena je od sredita Zemlje za RZ + h (srednji polumjer Zemlje RZ = 6371 km)

Izraz je toan za male visine, jer kod veih visina potrebno je uzeti u obzir korekciju zbog promjene vrijednosti gravitacijske akceleracije (g).

( )2ZZ

Z

hRMG+

=

G FG = 0

G = FG

( )2ZZ

h

hRMmGgm

+

=

( )2ZZ

h

hRMGg+

=

U toj toki gravitacijsko polje (Z) Zemlje iznosi :

Zamisli se tijelo mase m koje miruje na visini h. Sile koje djeluju na tijelo su jednake, ali suprotnih vektorskihusmjerenja:

58

Izluimo li iz tog izraza konstantu gravitacije:

( )Z

2

Zh

MhRgG +=

i uvrstimo u izraz za gravitacijsko polje

( )2ZZ

Z

hRMG+

=

dobivamo ( )( )2Z

Z

Z

2

Zh

Z

hRM

MhRg

+

+=

i konano dokazujemo da je vrijednost gravitacijskog polja jednaka vrijednosti gravitacijske akceleracije na istim visinama:

gZ =

Gravitacijsku akceleraciju (gh) na nekoj visini h od povrine Zemljeodreujemo ovako:

zamisli se da tijelo mase m miruje na povrini Zemlje:

2

Z

Z

0

RMmGgm =

2

Z

Z

0

RMGg =

nakon kraenja mase tijela

Sada zamisl