precálculo - 8va edición - ron larson

1. En esta nueva edicin de Preclculo, el lector encontrar ejemplos seleccionados con soluciones lado a lado que incluyen mltiples enfoques (como algebraico, grco y numrico) para resolver problemas y as atraer a una variedad de estilos de enseanza y aprendizaje. Puntos de control despus de cada ejemplo o solucin reeren a los estudiantes a ejercicios similares en la Seccin de Ejercicios, permitindoles practicar y reforzar los conceptos que acaban de aprender. Las respuestas a los puntos de control se incluyen en la parte nal del libro. Hay revisiones de vocabulario al inicio de todas las secciones de ejercicios. Esta revisin de los trminos matemticos, frmulas y teoremas, proporciona una evaluacin peridica y el refuerzo de la comprensin de los estudiantes del lenguaje y conceptos algebraicos. Los conjuntos de ejercicios han sido cuidadosamente analizados y revisados para mejorar la clasicacin de los problemas bsicos de desarrollo de habilidades a evaluar, mediante la vinculacin entre ejercicios similares pares e impares y actualizando todos los datos reales, aadiendo aplicaciones a la vida real. Preclculo Larson Octava edicin http://latinoamerica.cengage.com PreclculoLarsonOctavaedicin Cengage Larson Portada.indd 1Cengage Larson Portada.indd 1 21/07/11 11:2021/07/11 11:20 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net

2. GRFICAS DE FUNCIONES GENERATRICES Funcin lineal Funcin de valor absoluto Funcin raz cuadrada Dominio: Dominio: Dominio: Rango: Rango: Rango: Intercepcin x: Intercepcin: Intercepcin: Intercepcin y: Decreciente en Creciente en Creciente cuando Creciente en Decreciente cuando Funcin par Simetra con eje y Funcin de mximo Funcin cuadrtica entero (elevar al cuadrado) Funcin cbica Dominio: Dominio: Dominio: Rango: el conjunto de los enteros Rango : Rango: Intercepciones x: en el intervalo Rango : Intercepcin: Intercepcin y: Intercepcin: Creciente en Constante entre cada par de enteros Decreciente en para Funcin impar consecutivos Creciente en para Simetra en el origen Salta verticalmente una unidad Creciente en para en cada valor entero Decreciente en para Funcin par Simetra con eje y Mnimo relativo mximo relativo o vrtice: 0, 0 fx mx b fx x x, x, x 0 x < 0 fx x x y (0, b) b m( ( , 0 b m( ( , 0 f(x) = mx + b, m > 0 f(x) = mx + b, m < 0 x y 12 2 1 2 1 2 (0, 0) f(x) = x x y 1 2 3 4 1 1 2 3 4 (0, 0) f(x) = x , , 0, , 0, 0, bm, 0 0, 0 0, 0 0, b , 0 0, m > 0 0, m < 0 fx x fx ax2 fx x3 x y 1123 2 3 3 1 2 3 f(x) = x[[ ]] x y 12 1 2 3 4 1 1 2 3 2 3 f(x) = ax , a > 02 f(x) = ax , a < 02 x y (0, 0) f(x) = x3 23 1 2 3 2 1 3 2 3 , , , a > 0 0, , 0, 1 a < 0 , 0 0, 0 0, 0 0, 0 , , 0 a > 0 0, a > 0 , 0 a < 0 0, a < 0 a > 0, a < 0, www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 3. Funcin racional (recproca) Funcin exponencial Funcin logartmica Dominio: Dominio: Dominio: Rango: Rango: Rango: No hay intercepciones Intercepcin: Intercepcin: Decreciente en y Creciente en Creciente en Funcin impar para Asntota vertical: eje y Simetra en el origen Decreciente en Continua Asntota vertical: eje y para Reflexin de grfica de Asntota horizontal: eje x Asntota horizontal: eje x en la recta Continua Funcin seno Funcin coseno Funcin tangente Dominio: toda Rango: Periodo: Intercepciones x: Intercepciones y: Asntotas verticales: Funcin impar Simetra en el origen x 2 n 0, 0 n, 0 x 2 n fx tan xfx cos xfx sen x , 2 1 3 2 2 f(x) = tan x x y 3 2 2 3 2 3 2 2 f(x) = cos x x 2 y 1 2 3 2 3 2 f(x) = sen x x 2 y fx ax , fx ax , y x fx ax 0, 0, , 0 , 0 0, ) , 0 0, ) 1, 00, 1 , 0, 0, , x y f(x) = loga x 1 2 1 1 (1, 0) x y (0, 1) f(x) = axf(x) = ax x y f(x) = 1 x 1 1 2 3 1 2 3 fx loga x, a > 0, a 1fx ax, a > 0, a 1fx 1 x Dominio: Rango: Periodo: Intercepciones x: Intercepciones y: Funcin impar Simetra en el origen 0, 0 n, 0 2 1, 1 , Dominio: Rango: Periodo: Intercepciones x: Intercepciones y: Funcin par Simetra con eje y 0, 1 2 n, 0 2 1, 1 , www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 4. Funcin cosecante Funcin secante Funcin cotangente Dominio: toda Rango: Periodo: No hay intercepciones Asntotas verticales: Funcin impar Simetra en el origen Funcin seno inversa Funcin coseno inversa Funcin tangente inversa Dominio: Rango: Intercepcin: Funcin impar Simetra en el origen fx arccos xfx arcsen x 0, 0 2 , 2 1, 1 x n 2 x n fx cot xfx sec x x y 12 1 2 f(x) = arctan x 2 2 x y 1 1 f(x) = arccos x x y 1 1 2 2 f(x) = arcsen x fx arctan x , 1 1, 2 1 3 2 2 f(x) = cot x = x y 2 1 tan x 2 2 3 3 2 2 x y 3 2 2 f(x) = sec x = 1 cos x 2 1 3 2 f(x) = csc x = x y 2 1 sen x fx csc x Dominio: toda Rango: Periodo: Intercepcin y: Asntotas verticales: Funcin par Simetra con eje y x 2 n 0, 1 , 1 1, x 2 n 2 Dominio: toda Rango: Periodo: Intercepciones x: Asntotas verticales: Funcin impar Simetra en el origen x n 2 n, 0 x n , Dominio: Rango: Intercepcin y: 1, 1 0, 2 0, Dominio: Rango: Intercepcin: Asntotas horizontales: Funcin impar Simetra en el origen y 2 0, 0 2 , 2 , www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 5. www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 6. Preclculo Octava edicin Ron Larson The Pennsylvania State University The Behrend College Con la asistencia de David C. Falvo The Pennsylvania State University The Behrend College Traduccin Jorge Humberto Romo Muoz Traductor profesional Revisin tcnica Dr. Ernesto Filio Lpez Unidad Profesional en Ingeniera y Tecnologas Avanzadas Instituto Politcnico Nacional M. en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Fsica y Matemticas Instituto Politcnico Nacional Australia Brasil Corea Espaa Estados Unidos Japn Mxico Reino Unido Singapur www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 7. D.R. 2012 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaa de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe nm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, Mxico, D.F. Cengage Learning es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podr ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea grfico, electrnico o mecnico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproduccin, escaneo, digitalizacin, grabacin en audio, distribucin en Internet, distribucin en redes de informacin o almacenamiento y recopilacin en sistemas de informacin, a excepcin de lo permitido en el Captulo III, Artculo 27, de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro: Precalculus, Eighth edition Ron Larson/David C. Falvo Publicado en ingls por Brooks/Cole/Cengage Learning 2011 ISBN 13: 978-1-4390-4577-0 Datos para catalogacin bibliogrfica: Larson, Ron/David C. Falvo Preclculo, Octava edicin ISBN 13: 978-607-481-761-4 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Preclculo, Octava edicin Ron Larson/David C. Falvo Presidente de Cengage Learning Latinoamrica Fernando Valenzuela Migoya Director de producto y desarrollo Latinoamrica Daniel Oti Yvonnet Director editorial y de produccin Latinoamrica Ral D. Zendejas Espejel Editor Sergio R. Cervantes Gonzlez Coordinadora de produccin editorial Abril Vega Orozco Editora de produccin Gloria Luz Olgun Sarmiento Coordinador de manufactura Rafael Prez Gonzlez Diseo de portada Harold Burch Imagen de portada Richard Edelman/Woodstock Graphics Studio Composicin tipogrfica Imagen Editorial Impreso en Mxico 1 2 3 4 5 6 7 14 13 12 11 ISBN 1 : 607-481-761-0 8 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 8. Unas palabras del autor (Prefacio) vii Funciones y sus grficas 1 1.1 Coordenadas rectangulares 2 1.2 Grficas de ecuaciones 13 1.3 Ecuaciones lineales con dos variables 24 1.4 Funciones 39 1.5 Anlisis de grficas de funciones 54 1.6 Biblioteca de funciones principales 66 1.7 Transformaciones de funciones 73 1.8 Combinaciones de funciones: funciones compuestas 83 1.9 Funciones inversas 92 1.10 Modelado y variacin matemticos 102 Resumen del captulo 114 Ejercicios de repaso 116 Examen del captulo 121 Demostraciones en matemticas 122 Resolucin de problemas 123 Funciones racionales y polinomiales 125 2.1 Funciones y modelos cuadrticos 126 2.2 Funciones polinomiales de grado superior 136 2.3 Divisin de polinomios y sinttica 150 2.4 Nmeros complejos 159 2.5 Ceros de funciones polinomiales 166 2.6 Funciones racionales 181 2.7 Desigualdades no lineales 194 Resumen del captulo 204 Ejercicios de repaso 206 Examen del captulo 210 Demostraciones en matemticas 211 Resolucin de problemas 213 Funciones exponenciales y logartmicas 215 3.1 Funciones exponenciales y sus grficas 216 3.2 Funciones logartmicas y sus grficas 227 3.3 Propiedades de los logaritmos 237 3.4 Ecuaciones exponenciales y logartmicas 244 Contenido Captulo 1 Captulo 2 Captulo 3 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 9. iv Preclculo 3.5 Modelos exponenciales y logartmicos 255 Resumen del captulo 268 Ejercicios de repaso 270 Examen del captulo 273 Examen acumulativo para los captulos 1 a 3 274 Demostraciones en matemticas 276 Resolucin de problemas 277 Trigonometra 279 4.1 Medidas en radianes y grados 280 4.2 Funciones trigonomtricas: la circunferencia unitaria 292 4.3 Trigonometra del tringulo rectngulo 299 4.4 Funciones trigonomtricas de cualquier ngulo 310 4.5 Grficas de las funciones seno y coseno 319 4.6 Grficas de otras funciones trigonomtricas 330 4.7 Funciones trigonomtricas inversas 341 4.8 Aplicaciones y modelos 351 Resumen del captulo 362 Ejercicios de repaso 364 Examen del captulo 367 Demostraciones en matemticas 368 Resolucin de problemas 369 Trigonometra analtica 371 5.1 Uso de identidades fundamentales 372 5.2 Comprobacin de identidades trigonomtricas 380 5.3 Solucin de ecuaciones trigonomtricas 387 5.4 Frmulas de suma y diferencia 398 5.5 Frmulas de ngulos mltiples y de producto a suma 405 Resumen del captulo 416 Ejercicios de repaso 418 Examen del captulo 421 Demostraciones en matemticas 422 Resolucin de problemas 425 Temas adicionales de trigonometra 427 6.1 Ley de los senos 428 6.2 Ley de los cosenos 437 6.3 Vectores en el plano 445 6.4 Vectores y producto punto 458 6.5 Forma trigonomtrica de un nmero complejo 468 Resumen del captulo 478 Ejercicios de repaso 480 Examen del captulo 484 Examen acumulativo para los captulos 4 a 6 485 Demostraciones en matemticas 487 Resolucin de problemas 491 Captulo 4 Captulo 5 Captulo 6 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 10. Contenido v Sistemas de ecuaciones y desigualdades 493 7.1 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 494 7.2 Sistemas lineales de dos variables 505 7.3 Sistemas lineales de varias variables 517 7.4 Fracciones parciales 530 7.5 Sistemas de desigualdades 538 7.6 Programacin lineal 549 Resumen del captulo 558 Ejercicios de repaso 560 Examen del captulo 565 Demostraciones en matemticas 566 Resolucin de problemas 567 Matrices y determinantes 569 8.1 Matrices y sistemas de ecuaciones 570 8.2 Operaciones con matrices 584 8.3 Inversa de una matriz cuadrada 599 8.4 Determinante de una matriz cuadrada 608 8.5 Aplicaciones de matrices y determinantes 616 Resumen del captulo 628 Ejercicios de repaso 630 Examen del captulo 635 Demostraciones en matemticas 636 Resolucin de problemas 637 Sucesiones, series y probabilidad 639 9.1 Sucesiones y series 640 9.2 Sucesiones aritmticas y sumas parciales 651 9.3 Sucesiones geomtricas y series 661 9.4 Induccin matemtica 671 9.5 El teorema del binomio 681 9.6 Principios de conteo 689 9.7 Probabilidad 699 Resumen del captulo 712 Ejercicios de repaso 714 Examen del captulo 717 Examen acumulativo para los captulos 7 a 9 718 Demostraciones en matemticas 720 Resolucin de problemas 723 Captulo 7 Captulo 8 Captulo 9 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 11. vi Preclculo Temas de geometra analtica 725 10.1 Rectas 726 10.2 Introduccin a las cnicas: parbolas 733 10.3 Elipses 742 10.4 Hiprbolas 751 10.5 Rotacin de cnicas 761 10.6 Ecuaciones paramtricas 769 10.7 Coordenadas polares 777 10.8 Grficas de ecuaciones polares 783 10.9 Ecuaciones polares de cnicas 791 Resumen del captulo 798 Ejercicios de repaso 800 Examen del captulo 803 Demostraciones en matemticas 804 Resolucin de problemas 807 Apndice A Repaso de conceptos fundamentales de lgebra A1 A.1 Nmeros reales y sus propiedades A1 A.2 Exponentes y radicales A14 A.3 Polinomios y factorizacin A27 A.4 Expresiones racionales A39 A.5 Resolucin de ecuaciones A49 A.6 Desigualdades lineales con una variable A63 A.7 Errores y el lgebra del clculo A73 Respuestas a ejercicios impares y exmenes A81 ndice A199 ndice de aplicaciones (web) Apndice B Conceptos de estadstica (web) B.1 Representacin de datos B.2 Medidas de tendencia central y dispersin centrales B.3 Regresin de mnimos cuadrados Captulo 10 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 12. Bienvenidos a la octava edicin de Preclculo. Estamos orgullosos de ofrecerles una versin nueva y corregida de nuestro libro. En cada edicin, les hemos escuchado a ustedes, nuestros usuarios, y hemos incorporado muchas de las sugerencias que recibi- mos para mejorar la edicin. En esta octava edicin continuamos ofreciendo a maestros y estudiantes un texto slido desde el punto de vista pedaggico, matemticamente preciso y fcil de leer. Hay numerosos cambios en las matemticas, figuras y diseo; veamos a continuacin los ms significativos. Nuevos inicios de captulo Cada Principio de captulo tiene tres partes. En Mate- mticas describe un tema matemtico importante que se imparte en el captulo. En la vida real indica a los estudiantes dnde hallar este tema en situaciones reales. En carreras relaciona ejercicios de aplicacin con varias profesiones. Nuevas sugerencias de estudio y advertencia/atencin En dos secciones nuevas damos informacin til a los estudiantes. Los Tips de estudio les dan informacin til o sugerencias para aprender el tema. Las Advertencia/Atencin sealan errores matemticos comunes en que incurren los estudiantes. Nuevas Ayudas de lgebra dirigen a los estudiantes a secciones del texto donde pueden repasar conceptos de lgebra necesarios para dominar el tema expuesto. Nuevos ejemplos uno al lado del otro En todo el texto presentamos soluciones a numerosos ejemplos desde mltiples perspectivas, ya sea algebraica, grfica o numricamente. El formato lado a lado de esta caracterstica pedaggica ayuda a los estudiantes a ver que un problema puede ser resuelto en ms de una forma y que diferentes mtodos dan el mismo resultado. El formato lado a lado tambin permite el estudio mediante diferentes estilos de aprender. Nuevas secciones de Toque final Son problemas conceptuales que sintetizan temas clave y dan a los estudiantes una mejor comprensin de los conceptos expuestos en cada seccin. Estos ejercicios son excelentes para estudiar en clase o como preparacin para exmenes; los profesores pueden considerarlos valiosos para integrarlos en sus repasos de la seccin. Nuevos Resmenes del captulo El Resumen del captulo ahora incluye una expli- cacin o un ejemplo de cada tema impartido en el captulo. Conjuntos de ejercicios revisados Los conjuntos de ejercicios han sido examina- dos cuidadosa y extensamente para asegurar que sean rigurosos y comprendan todos los temas sugeridos por nuestros usuarios. Se han agregado innumerables ejercicios, algunos de alto grado de dificultad, para aumentar el conocimiento. Durante los ltimos aos hemos mantenido un sitio web independiente, CalcChat.com, que contiene resoluciones gratuitas a los ejercicios impares en el texto. Miles de estudiantes que utilizan nuestros libros han visitado el sitio para practicar y ayudarse en sus tareas. Para la octava edicin, nos fue posible usar informacin del Unas palabras del autor www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 13. CalcChat.com, incluyendo a cules soluciones los estudiantes acceden con ms frecuencia, para ayudar a guiar la revisin de los ejercicios. Espero que usted, lector, disfrute de la octava edicin de Preclculo. Como siempre, dar la bienvenida a sus comentarios y sugerencias para hacer mejoras continuas. Ron Larson viii Preclculo www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 14. Me gustara agradecer a muchas personas que me han ayudado a preparar el texto y el paquete de suplementos. Sus estmulos, crticas y sugerencias me han sido de gran valor. Agradezco a todos los profesores que se tomaron tiempo para revisar los cambios en esta edicin y para dar sugerencias para mejorarla. Sin su ayuda, este libro no hubiera sido posible. Revisores Chad Pierson, University of Minnesota-Duluth; Sally Shao, Cleveland State University; Ed Stumpf, Central Carolina Community College; Fuzhen Zhang, Nova Southeastern University; Dennis Shepherd, University of Colorado, Denver; Rhonda Kilgo, Jacksonville State University; C. Altay zgener, Manatee Community College Bradenton; William Forrest, Baton Rouge Community College; Tracy Cook, University of Tennessee Knoxville; Charles Hale, California State Poly University Pomona; Samuel Evers, University of Alabama; Seongchun Kwon, University of Toledo; Dr. Arun K. Agarwal, Grambling State University; Hyounkyun Oh, Savannah State University; Michael J. McConnell, Clarion University; Martha Chalhoub, Collin County Community College; Angela Lee Everett, Chattanooga State Tech Community College; Heather Van Dyke, Walla Walla Community College; Gregory Buthusiem, Burlington County Community College; Ward Shaffer, College of Coastal Georgia; Carmen Thomas, Chatham University; Emily J. Keaton. Doy muchas gracias a David Falvo, The Beherend College, The Pennsylvania State University, por sus aportaciones a este proyecto. Muchas gracias tambin a Robert Hostetler, The Behrend College, The Pennsylvania State University, y a Bruce Edwards, University of Florida, por sus importantes contribuciones a ediciones previas de este texto. Tambin me gustara dar las gracias a Larson Texts, Inc. que contribuy con la lec- tura de pruebas del manuscrito, la elaboracin y revisin del paquete de figuras, as como la revisin y tipografa de los suplementos. En el nivel personal, estoy muy agradecido a mi esposa, Deanna Gilbert Larson, por su amor, paciencia y apoyo. Tambin, gracias especiales a R. Scott ONeil. Si usted tiene alguna sugerencia para mejorar este texto, por favor sintase en libertad de escri- birme. En las dos dcadas pasadas he recibido innumerables comentarios tiles tanto de maestros como de estudiantes, a los que tengo en gran estima. Ron Larson Reconocimientos www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 15. Suplementos para el profesor (en ingls) Annotated Instructors Edition (AIE) (edicin del profesor) Esta AIE es el texto completo para el estudiante ms anotaciones puntuales para el profesor, incluidos pro- yectos adicionales, actividades en clase, estrategias de enseanza y ejemplos adicionales. Tambin incluye respuestas a ejercicios de nmero impar del texto, revisiones de vocabulario y exploraciones. Complete Solutions Manual (manual con soluciones completas) Este manual contiene soluciones a todos los ejercicios del texto, incluidos los ejercicios de repaso del captulo y exmenes de captulo. Instructors Companion Website (sitio web adjunto del profesor) Este sitio web adjunto, gratuito, contiene abundantes recursos para el profesor. PowerLecture with ExamView El CD-ROM provee al profesor con herramientas dinmicas de medios para ensear lgebra universitaria. Estn disponibles transparencias de presentaciones en PowerPoint, as como transparencias de las figuras del texto, junto con archivos electrnicos para el banco de exmenes y un enlace al Solution Builder. El ExamView algortmico permite crear, entregar y personalizar exmenes (tanto impresos como en lnea) en minutos. Mejore la interaccin de sus estudiantes con usted, su clase y entre ellos. Solutions Builder (formador de soluciones) sta es una versin electrnica del manual de resoluciones completas va el sitio web PowerLecture y el Instructors Companion. Da a los profesores un mtodo eficiente para crear conjuntos de soluciones a tareas o exmenes que pueden imprimirse o pegarse. Online AIE para la gua para tomar notas Esta AIE incluye las respuestas a todos los problemas de la innovadora Note Taking Guide (gua para tomar notas). Suplementos www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 16. Suplementos xi Suplementos para el estudiante (en ingls) Student Companion Website Este sitio web gratuito contiene abundancia de recursos para el estudiante. Instructional DVDs Relacionados al texto por seccin, estos DVD hacen una cober- tura completa del curso, junto con explicaciones adicionales de conceptos, problemas de muestra y aplicaciones, para ayudar a que el estudiante repase temas esenciales. Student Study and Solutions Manual Esta gua ofrece soluciones paso a paso para todos los ejercicios impares del texto, exmenes del captulo y acumulativos, as como exmenes de prctica con resoluciones. Premium eBook El Premium eBook ofrece una versin interactiva del libro con caractersticas de bsqueda, destacando herramientas para tomar notas y ligas directas a vdeos o material didctico que ampla las exposiciones del texto. Enhanced WebAssign El Enhanced WebAssign est diseado para que el estudiante haga sus tareas en lnea. Este demostrado y confiable sistema utiliza pedagoga y con- tenidos que se encuentran en el texto de Larson, y los mejora para ayudar al lector a aprender preclculo de manera ms eficiente. Las tareas calificadas automticamente ayudan al lector a centrarse en su aprendizaje y obtener ayuda interactiva de estudio fuera de clase. Note Taking Guide sta es una innovadora ayuda de estudio, hecha en forma de orga- nizador de apuntes, que ayuda a estudiantes a desarrollar un resumen de conceptos clave seccin por seccin. www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 17. www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 18. 1Funciones y sus grficas 1.1 Coordenadas rectangulares 1.2 Grficas de ecuaciones 1.3 Ecuaciones lineales con dos variables 1.4 Funciones 1.5 Anlisis de grficas de funciones 1.6 Biblioteca de funciones principales (o generatrices) 1.7 Transformaciones de funciones 1.9 Funciones inversas 1.8 Combinaciones de funciones: 1.10 Modelado y variacin matemticos funciones compuestas En matemticas Las funciones muestran la forma en que una variable est relacionada con otra variable. En la vida real Las funciones se usan para calcular valores, simular procesos y descubrir relaciones. Por ejemplo, se puede modelar la variacin de inscripciones de nios en preescolar y calcular el ao en que alcanzar cierto nmero. Ese clculo se puede usar para planear medidas a fin de satisfacer necesidades futuras, como contratar ms profesores y comprar ms libros. (Vea Ejercicio 113, pgina 64.) EN CARRERAS Las funciones se usan en muchas carreras, entre ellas, en las siguientes: Analista financiero Ejercicio 95, pgina 51 Bilogo Ejercicio 73, pgina 91 Preparador de impuestos Ejercicio 3, pgina 104 Oceangrafo Ejercicio 83, pgina 112 1 JoseLuisPelaez/GettyImages www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 19. Plano cartesiano En la misma forma en que se pueden representar nmeros por medio de puntos en una recta numrica, se pueden representar pares ordenados de nmeros reales por medio de puntos en un plano llamado sistema de coordenadas rectangulares, o plano cartesiano, designado as en honor al matemtico francs Ren Descartes (1596-1650). El plano cartesiano se forma mediante dos rectas numricas que se intersecan en ngulos rectos, como se ve en la Figura 1.1. La recta horizontal suele recibir el nombre de eje x, y la vertical suele denominarse eje y. El punto de interseccin de estos dos ejes es el origen y los dos ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. FIGURA 1.1 FIGURA 1.2 Cada punto del plano corresponde a un par ordenado de nmeros reales x y y, llamados coordenadas del punto. La coordenada x representa la distancia dirigida desde el eje y al punto, y la coordenada y representa la distancia dirigida desde el eje x al punto, como se ilustra en la Figura 1.2. La notacin denota un punto en el plano y un intervalo abierto en la recta numrica real. El contexto nos dir cul es el significado que se busca. Localizar puntos en el plano cartesiano Localice los puntos y Solucin Para localizar el punto imagine una recta vertical que pase por sobre el eje x y una recta horizontal que pase por 2 en el eje . La interseccin de estas dos rectas es el punto Los otros cuatro puntos se pueden localizar en la misma forma, como se ve en la Figura 1.3. Ahora trate de hacer el Ejercicio 7. x, y (x, y) Ejemplo 1 1, 2. y 11, 2, 2, 3.1, 2, 3, 4, 0, 0, 3, 0 Distancia dirigida desde el eje x x, yDistancia dirigida desde el eje y eje x (x, y) x y Distancia dirigida Distancia dirigida eje y 3 2 1 11 2 3 1 2 3 1 2 3 (Recta numrica vertical) (Recta numrica horizontal) Cuadrante II eje y eje x Cuadrante III Cuadrante IV Origen Cuadrante I 2 Captulo 1 Funciones y sus grficas 1.1 COORDENADAS RECTANGULARES Lo que debe aprender Localizar puntos en el plano cartesiano Usar la frmula de la distancia para hallar la distancia entre dos puntos. Usar la frmula del punto medio para hallar el punto medio de un segmento de recta. Usar un plano de coordenadas para modelar y resolver problemas reales. Por qu debe aprenderlo El plano cartesiano se puede usar para representar relaciones entre dos variables. Por ejemplo, en el Ejercicio 70 de la pgina 11, una grfica representa el salario mnimo en Estados Unidos de 1950 a 2009. 1 3 4 1 2 4 (3, 4) x 4 3 1 1 32 4 (3, 0)(0, 0) ( 1, 2) ( 2, 3) y FIGURA 1.3 ArielSkelly/Corbis www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 20. Seccin 1.1 Coordenadas rectangulares 3 La belleza de un sistema de coordenadas rectangulares es que permite ver relaciones entre dos variables. Sera difcil exagerar la importancia de que Descartes haya introducido coordenadas en el plano. Hoy en da, sus ideas estn en uso comn en prc- ticamente todos los campos cientficos y los relacionados con negocios. Trazar una grfica de dispersin De 1994 a 2007, el nmero (en millones) de suscriptores a un servicio de telefona celular en Estados Unidos se ve en la tabla, donde t representa el ao. Trace una grfica de dispersin de los datos. (Fuente: CTIA-The Wireless Association) Solucin Para trazar una grfica de dispersin de los datos mostrados en la tabla, simplemente representamos cada par de valores por medio de un par ordenado y localizamos los puntos resultantes, como se ve en la Figura 1.4. Por ejemplo, el primer par de valores est representado por el par ordenado (1994, 24.1). Observe que el pico en el eje t indica que los nmeros entre 0 y 1994 han sido omitidos. FIGURA 1.4 Ahora trate de hacer el Ejercicio 25. En el Ejemplo 2, se podra hacer que represente el ao 1994. En ese caso, el eje horizontal no hubiera mostrado el pico y las marcas de divisin hubieran estado rotuladas del 1 al 14 (en lugar de 1994 a 2007). t 1 t, N N Ejemplo 2 1994 1996 50 100 150 200 250 300 1998 2000 2002 2004 2006 Ao Nmerodesuscriptores (enmillones) Suscriptores a un servicio de telefona celular t N TECNOLOGA La grfica de dispersin del Ejemplo 2 es slo una forma de representar los datos. Tambin se pueden representar datos si se usa una grfica de barras o una de rectas. Si usted tiene acceso a una calculadora de grficas, trate de usarla para representar los datos dados en el Ejemplo 2. Ao, t Suscriptores, N 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 24.1 33.8 44.0 55.3 69.2 86.0 109.5 128.4 140.8 158.7 182.1 207.9 233.0 255.4 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 21. Teorema de Pitgoras y la frmula de la distancia El famoso teorema que sigue se emplea extensamente en todo este curso. Supongamos que se desea determinar la distancia entre dos puntos y del plano. Con estos dos puntos puede formarse un tringulo rectngulo, como se ve en la Figura 1.6. La longitud del lado vertical del tringulo es y la longitud del lado horizontal es Por el teorema de Pitgoras, podemos escribir Este resultado es la frmula de la distancia. d x2 x12 y2 y12.d x2 x12 y2 y12 d2 x2 x12 y2 y12 x2 x1. y2 y1, x2, y2 x1, y1 4 Captulo 1 Funciones y sus grficas Teorema de Pitgoras Para un tringulo rectngulo con hipotenusa de longitud y lados de longitudes y tenemos que como se muestra en la Figura 1.5. (Lo contrario tambin es cierto, es decir, si entonces el tringulo es rectngulo.)a2 b2 c2, a2 b2 c2,b, ac Frmula de la distancia La distancia entre los puntos y en el plano esd d x2 x12 y2 y12 . x2, y2 x1, y1 Solucin grfica Utilice papel cuadriculado en centmetros para graficar los puntos y Con todo cuidado trace el segmento de recta de A a B y, a continuacin, use una regla en centmetros para medir la longitud del segmento. FIGURA 1.7 El segmento de recta mide 5.8 centmetros, aproximadamente, como se ve en la Figura 1.7. Por tanto, la distancia entre los puntos es alrededor de 5.8 unidades. 1 2 3 4 5 6 7 cm B3, 4.A2, 1 Hallar una distancia Encuentre la distancia entre los puntos y 3, 4.2, 1 Ejemplo 3 Solucin algebraica Sea y Aplicando la frmula de la distancia, Frmula de la distancia Simplificar. Simplificar. Usar calculadora. Entonces, la distancia entre los puntos es alrededor de 5.83 unidades. Se puede usar el teorema de Pitgoras para verificar que la distancia es correcta. Teorema de Pitgoras Sustituir por d. Prueba de distancias.Ahora trate de hacer el Ejercicio 31. 34 34 34 2 ? 32 52 d2 ? 32 52 5.83 34 52 32 3 22 4 12 d x2 x12 y2 y12 x2, y2 3, 4.x1, y1 2, 1 Sustituir por x1, y1, x2 y y2. a b c a2 + b2 = c2 FIGURA 1.5 x x1 x2 x x2 1 y y2 1 y 1 y 2 d (x , y )1 2 (x , y )1 1 (x , y )2 2 y FIGURA 1.6 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 22. Seccin 1.1 Coordenadas rectangulares 5 Verificar un tringulo rectngulo Demuestre que los puntos y son vrtices de un tringulo rectngulo. Solucin Los tres puntos estn localizados en la Figura 1.8. Con la frmula de la distancia se puede hallar la longitud de los tres lados, como sigue: Como se puede concluir, por el teorema de Pitgoras, que el tringulo debe ser rectngulo. Ahora trate de hacer el Ejercicio 43. Frmula del punto medio Para hallar el punto medio del segmento de recta que une dos puntos en un plano de coordenadas, simplemente se encuentran los valores promedio de las respectivas coordenadas de los dos puntos de extremo usando la frmula del punto medio. Para una demostracin de la frmula del punto medio, vea Demostraciones en matemticas en la pgina 122. Hallar el punto medio de un segmento de recta Encuentre el punto medio del segmento de recta que une los puntos y Solucin Sea y Frmula del punto medio Sustituir por Simplificar. El punto medio del segmento de recta es como se ve en la Figura 1.9. Ahora trate de hacer el Ejercicio 47(c). Ejemplo 5 Ejemplo 4 2, 0, 2, 0 x1, y1, x2 y y2. 5 9 2 , 3 3 2 Punto medio x1 x2 2 , y1 y2 2 x2, y2 9, 3.x1, y1 5, 3 9, 3.5, 3 d12 d22 45 5 50 d32 d3 5 42 7 02 1 49 50 d2 4 22 0 12 4 1 5 d1 5 22 7 12 9 36 45 5, 72, 1, 4, 0, Frmula del punto medio El punto medio del segmento de recta que une los puntos y est dado por la frmula del punto medio Punto medio x1 x2 2 , y1 y2 2 . x2, y2 x1, y1 x 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 (5, 7) (4, 0) d1 d3 d2 = 50 = 45 = 5 (2, 1) y FIGURA 1.8 x 6 3 3 6 9 3 6 3 6 (9, 3) (2, 0) ( 5, 3) Punto medio y FIGURA 1.9 Ayuda de lgebra En el Apndice A.2 hay un repaso de las tcnicas para evaluar un radical. www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 23. Aplicaciones Hallar la longitud de un pase El mariscal de campo de un equipo de ftbol americano lanza un pase desde la lnea de la yarda 28, a 40 yardas de la lnea de banda. El pase es atrapado por un receptor en la lnea de la yarda 5, a 20 yardas de la misma lnea de banda, como se ve en la Figura 1.10. Cul es la longitud del pase? Solucin Se puede determinar la longitud del pase al hallar la distancia entre los puntos (40, 28) y (20, 5). Frmula de la distancia Sustituir por y Simplificar. Simplificar. Usar calculadora. Por tanto, el pase es de alrededor de 30 yardas. Ahora trate de hacer el Ejercicio 57. En el Ejemplo 6, la escala a lo largo de la lnea de gol normalmente no aparece en un campo de ftbol. No obstante, cuando se usa geometra de coordenadas para resolver problemas reales, tenemos libertad de poner el sistema de coordenadas en cualquier forma que sea cmoda para la solucin del problema. Calcular ingresos anuales BarnesNoble tuvo ventas anuales de alrededor de $5100 millones de dlares en 2005, y $5400 millones de dlares en 2007. Sin saber ms informacin adicional, cules calculara usted que han sido las ventas de 2006? (Fuente: BarnesNoble, Inc.) Solucin Una solucin al problema es suponer que las ventas siguieron una tendencia lineal. Con esta suposicin, se pueden calcular las ventas de 2006 si se encuentra el punto medio del segmento de recta que enlaza los puntos y Frmula del punto medio Sustituir por y Simplificar. Entonces, se pueden calcular que las ventas de 2006 han sido de alrededor de $5250 millones de dlares, como se muestra en la Figura 1.11. (Las ventas reales de 2006 fueron alrededor de $5260 millones de dlares.) Ahora trate de hacer el Ejercicio 59. Ejemplo 7 Ejemplo 6 2006, 5.25 y2.x1, x2, y1 2005 2007 2 , 5.1 5.4 2 Punto medio x1 x2 2 , y1 y2 2 2007, 5.4.2005, 5.1 30 929 400 529 y2.x1, y1, x2 40 202 28 52 d x2 x12 y2 y12 6 Captulo 1 Funciones y sus grficas 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 2005 2006 2007 Aos Ventas(enmilesdemillonesdedlares) Ventas de BarnesNoble Punto medio (2007, 5.4) (2005, 5.1) x y (2006, 5.25) FIGURA 1.11 Distancia (en yardas) Distancia(enyardas) Pase de ftbol 5 10 15 20 25 30 35 40 5 10 15 20 25 30 35 (40, 28) (20, 5) FIGURA 1.10 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 24. Seccin 1.1 Coordenadas rectangulares 7 Trasladar puntos en el plano El tringulo de la Figura 1.12 tiene vrtices en los puntos y Desplace el tringulo tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba y encuentre los vrtices del tringulo desplazado, como se muestra en la Figura 1.13. FIGURA 1.12 FIGURA 1.13 Solucin Para desplazar los vrtices tres unidades a la derecha, sume 3 a cada una de las coordenadas ; para desplazar los vrtices dos unidades hacia arriba, sume 2 a cada una de las coordenadas . Punto original Punto trasladado Ahora trate de hacer el Ejercicio 61. Las figuras proporcionadas en el Ejemplo 8 en realidad no eran esenciales para la solucin, pero encarecidamente recomendamos al lector desarrolle el hbito de incluir bosquejos con sus soluciones, incluso si no se requieren. x y Ejemplo 8 2 3, 3 2 5, 52, 3 1 3, 4 2 4, 21, 4 1 3, 2 2 2, 41, 2 x 2 2 3 5 711 6 4 3 2 1 5 2 3 4 y x 2 2 3 5 711 4 6 4 5 2 3 4 (2, 3) (1, 4) ( 1, 2) y 2, 3.1, 2, 1, 4, Ampliacin del ejemplo El Ejemplo 8 muestra cmo trasladar puntos en un plano de coordenadas. Escriba un breve prrafo que describa la forma en que cada uno de los siguientes puntos transformados est relacionado con el punto original. Punto original Punto transformado x, yx, y x, yx, y x, yx, y DISCUSIN EN CLASE www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 25. 8 Captulo 1 Funciones y sus grficas EJERCICIOS En www.CalcChat.com vea las soluciones a los ejercicios impares.1.1 En los Ejercicios 5 y 6, aproxime las coordenadas de los puntos. 5. 6. En los Ejercicios 7-10, ubique los puntos en el plano cartesiano. 7. 8. 9. 10. En los Ejercicios 11-14, encuentre las coordenadas del punto. 11. El punto est situado tres unidades a la izquierda del eje y y cuatro unidades arriba del eje x. 12. El punto est situado ocho unidades abajo del eje x y cuatro unidades a la derecha del eje y. 13. El punto est situado cinco unidades abajo del eje x y las coordenadas del punto son iguales. 14. El punto est sobre el eje x y 12 unidades a la izquierda del eje y. En los Ejercicios 15-24, determine el cuadrante(s) en el que est situado de modo que la condicin(es) se satisface. 15. y 16. y 17. y 18. y 19. 20. 21. y 22. y 23. 24. En los Ejercicios 25 y 26, trace una grfica de dispersin de los datos mostrados en la tabla. 25. NMERO DE TIENDAS La tabla muestra el nmero y de tiendas Wal-Mart para cada ao x de 2000 a 2007. (Fuente: Wal-Mart Stores, Inc.) x, y xy0xy0 y0x0y0x0 x4y5 y 3x2y0x 4 y0x0y0x0 4 3, 3 23, 4,3 4, 3,1, 1 3, 2, 2.55, 6,0.5, 1,3, 8, 1, 12, 4,3, 1,0, 0, 1, 40, 5,3, 6,4, 2, x A B C D 2246 2 4 2 4 y x A B C D 2 4246 2 4 6 2 4 y Ao, x Nmero de tiendas, y 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 4189 4414 4688 4906 5289 6141 6779 7262 VOCABULARIO 1. Relacione cada uno de los trminos siguientes con su definicin. (a) eje (i) punto de interseccin del eje vertical y el eje horizontal (b) eje (ii) distancia dirigida desde el eje x (c) origen (iii) distancia dirigida desde el eje y (d) cuadrantes (iv) cuatro regiones del plano de coordenadas (e) coordenada (v) recta numrica horizontal (f) coordenada (vi) recta numrica vertical En los Ejercicios 2-4, llene los espacios en blanco. 2. Un par ordenado de nmeros reales puede estar representado en un plano llamado sistema de coordenadas rectangulares o plano ________. 3. La ________ ________ ________ es resultado derivado del teorema de Pitgoras. 4. Hallar los valores promedio de las coordenadas representativas de un segmento de recta en un plano de coordenadas tambin se conoce como usar la ________ ________ ________. HABILIDADES Y APLICACIONES y x y x www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 26. Seccin 1.1 Coordenadas rectangulares 9 26. METEOROLOGA La tabla siguiente muestra la temperatura y ms baja registrada (en grados Fahrenheit) en Duluth, Minnesota, para cada mes x, donde representa enero. (Fuente: NOAA) En los Ejercicios 27-38, encuentre la distancia entre los puntos. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. En los Ejercicios 39-42, (a) encuentre la longitud de cada lado del tringulo recto y (b) demuestre que estas longitudes sa- tisfacen el teorema de Pitgoras. 39. 40. 41. 42. En los Ejercicios 43-46, demuestre que los puntos forman los vrtices del polgono indicado. 43. Tringulo rectngulo: 44. Tringulo rectngulo: 45. Tringulo issceles: 46. Tringulo issceles: En los Ejercicios 47-56, (a) site los puntos, (b) encuentre la distancia entre ellos, y (c) encuentre el punto medio del segmento de recta que une los puntos. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. DISTANCIA DE VUELO Un avin vuela de Npoles, Italia, en lnea recta a Roma, Italia, que est a 120 kilmetros al norte y 150 kilmetros al oeste de Npoles. Qu distancia vuela el avin? 58. DEPORTES Un jugador de ftbol pasa el baln de un punto que est a 18 yardas de la lnea de meta y 12 yardas de la lnea de banda. El pase es recibido por un compaero de equipo que est a 42 yardas de la misma lnea de meta y 50 yardas de la misma lnea de banda, como se indica en la figura. Qu tan largo es el pase? VENTAS En los Ejercicios 59 y 60, use la frmula del punto medio para calcular las ventas de Big Lots, Inc. y Dollar Tree Stores, Inc. en 2005, dadas las ventas en 2003 y 2007. Suponga que las ventas siguieron un patrn lineal. (Fuente: Big Lots, Inc.; Dollar Tree Stores, Inc.) 59. Big Lots Distancia (en yardas) Distancia(enyardas) 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 60 (12, 18) (50, 42) 16.8, 12.3, 5.6, 4.96.2, 5.4, 3.7, 1.8 1 3, 1 3, 1 6, 1 21 2, 1, 5 2, 4 3 2, 10, 10, 21, 2, 5, 4 7, 4, 2, 84, 10, 4, 5 1, 12, 6, 01, 1, 9, 7 2, 3, 4, 9, 2, 7 1, 3, 3, 2, 2, 4 1, 3), 3, 5, 5, 1 4, 0, 2, 1, 1, 5 x (1, 5) (1, 2) (5, 2) 6 2 2 4 y x (9, 4) (9, 1) (1, 1) 6 8 2 4 6 y x 4 8 8 4 (13, 5) (1, 0) (13, 0) y x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 (4, 5) (4, 2)(0, 2) y 9.5, 2.6, 3.9, 8.2 4.2, 3.1, 12.5, 4.8 2 3, 3, 1, 5 41 2, 4 3, 2, 1 1, 3, 3, 21, 4, 5, 1 8, 5, 0, 202, 6, 3, 6 3, 4, 3, 63, 1, 2, 1 1, 4, 8, 46, 3, 6, 5 x 1 Mes, x Temperatura, y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 27 35 32 22 8 34 23 5 29 39 39 Ao Ventas (en millones) 2003 2007 $4174 $4656 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 27. 60. Dollar Tree En los Ejercicios 61-64, el polgono est desplazado a una nueva posicin del plano. Encuentre las coordenadas de los vrtices del polgono en su nueva posicin. 61. 62. 63. Coordenadas originales de los vrtices: Desplazamiento: ocho unidades hacia arriba, cuatro unidades a la derecha. 64. Coordenadas originales de los vrtices: Desplazamiento: 6 unidades hacia abajo, 10 unidades a la izquierda. PRECIO AL POR MENOR En los Ejercicios 65 y 66, use la grfica, que muestra el promedio de precios al por menor de 1 galn de leche entera de 1996 a 2007. (Fuente: U.S. Bureau of Labor Statistics) 65. Aproxime el precio ms alto de un galn de leche entera que se muestra en la grfica. Cundo ocurri? 66. Aproxime el porcentaje de cambio en el precio de leche a partir del precio en 1996 al precio ms alto mostrado en la grfica. 67. PUBLICIDAD La grfica muestra el costo promedio de un anuncio de 30 segundos en televisin (en miles de dlares) durante el Sper Tazn de 2000 a 2008. (Fuente: Nielson Media and TNS Media Intelligence) FIGURA PARA 67 (a) Calcule el porcentaje de aumento en el costo promedio de un anuncio de 30 segundos del Sper Tazn XXXIV en 2000 al Sper Tazn XXXVIII en 2004. (b) Calcule el porcentaje de aumento en el costo promedio de un anuncio de 30 segundos del Sper Tazn XXXIV en 2000 al Sper Tazn XLII en 2008. 68. PUBLICIDAD La grfica muestra los costos promedio de un anuncio de 30 segundos en televisin (en miles de dlares) durante los Premios de la Academia, de 1995 a 2007. (Fuente: Nielson Monitor-Plus) (a) Calcule el porcentaje de aumento en el costo promedio de un anuncio en 1996 al costo en 2002. (b) Calcule el porcentaje de aumento en el costo promedio de un anuncio en 1996 al costo en 2007. 69. MSICA La grfica muestra los nmeros de artistas que fueron elegidos para el Saln de la Fama del Rock and Roll de 1991 a 2008. Describa cualesquiera tendencias de los datos. A partir de estas tendencias, predi- ga el nmero de artistas elegidos en 2010. (Fuente: rockhall.com) Ao Nmeroelegido 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2 4 6 8 10 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 Ao Costodeanuncio de30segundosenTV (enmilesdedlares) 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2002 2003 2004 2005 2006 2007 20082001 Ao Costodeanuncio de30segundosenTV (enmilesdedlares) 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 1996 1998 2000 2002 2004 2006 Ao Preciopromedio (endlaresporgaln) 2.60 2.80 3.00 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00 5, 27, 6, 3, 6,5, 8, 7, 42, 4,2, 2, 7, 2, x ( 3, 0) ( 5, 3) ( 3, 6) ( 1, 3) 3unidades 6 unidades 31 5 7 y x ( 1, 1) ( 2, 4) (2, 3) 2 unidades 5unidades 4 224 y 10 Captulo 1 Funciones y sus grficas Ao Ventas (en millones) 2003 2007 $2800 $4243 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 28. Seccin 1.1 Coordenadas rectangulares 11 70. FUERZA LABORAL Use la grfica siguiente, que muestra el salario mnimo en Estados Unidos (en dlares) de 1950 a 2009. (Fuente: U.S. Department of Labor) (a) Cul dcada muestra el mximo aumento en salario mnimo? (b) Calcule el porcentaje de aumentos en el salario mnimo de 1990 a 1995 y de 1995 a 2009. (c) Use el porcentaje de aumento de 1995 a 2009 para predecir el salario mnimo en 2013. (d) Piensa usted que su prediccin en el inciso (c) es razonable? Explique. 71. VENTAS La Coca-Cola Company tuvo ventas de $19805 millones en 1999 y $28857 millones en 2007. Utilice la frmula del punto medio para calcular las ventas en 2003. Suponga que las ventas siguieron un patrn lineal. (Fuente: The Coca-Cola Company) 72. ANLISIS DE DATOS: CALIFICACIONES DE EX- MENES La tabla siguiente muestra las calificaciones x para examen de entrada, y las calificaciones y de examen final en un curso de lgebra, para una muestra de 10 estudiantes. (a) Trace una grfica de dispersin de los datos. (b) Encuentre la calificacin del examen de entrada de cualquier estudiante con calificacin de examen final en los 80. (c) Una calificacin ms alta en el examen de entrada implica una calificacin ms alta en el examen final? Explique. 73. ANLISIS DE DATOS: CORREO La tabla siguiente muestra el nmero y de piezas de correo manejadas (en miles de millones) por el U.S. Postal Service por cada ao x de 1996 a 2008. (Fuente: U.S. Postal Service) TABLA PARA 73 (a) Trace una grfica de dispersin de los datos. (b) Calcule el ao en el que hubo el mximo aumento en el nmero de piezas de correo manejadas. (c) Por qu piensa usted que el nmero de piezas de correo manejadas disminuy? 74. ANLISIS DE DATOS: DEPORTES La tabla siguiente muestra los nmeros de equipos de baloncesto cole- gial, para hombres M y para mujeres W, por cada ao x de 1994 a 2007. (Fuente: National Collegiate Athletic Association) (a) Trace grficas de dispersin de estos dos conjuntos de datos en el mismo conjunto de ejes de coordenadas. Ao Salariomnimo(endlares) 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 1 2 3 4 5 6 7 8 Ao, x Piezas de correo, y 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 183 191 197 202 208 207 203 202 206 212 213 212 203 x 22 29 35 40 44 48 53 58 65 76 y 53 74 57 66 79 90 76 93 83 99 Ao, x Equipos de hombres, M Equipos de mujeres, W 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 858 868 866 865 895 926 932 937 936 967 981 983 984 982 859 864 874 879 911 940 956 958 975 1009 1008 1036 1018 1003 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 29. (b) Encuentre el ao en que el nmero de equipos de hombres y mujeres fueron casi iguales. (c) Encuentre el ao en que la diferencia entre el n- mero de equipos de hombres y mujeres fue mximo. Cul fue la diferencia? EXPLORACIN 75. Un segmento de recta tiene como un punto extremo y como su punto medio. Encuentre el otro punto extremo del segmento de recta en trminos de y 76. Use el resultado del Ejercicio 75 para hallar las coordenadas del punto extremo de un segmento de recta si las coordenadas del otro punto extremo y del punto medio son, respectivamente, (a) y (b) 77. Use la frmula del punto medio tres veces para hallar los tres puntos que dividen, en cuatro partes, el segmento de recta que enlaza y . 78. Use el resultado del Ejercicio 77 para hallar los puntos que dividen, en cuatro partes iguales, el segmento que une los puntos dados. (a) (b) 79. HACER UNA CONJETURA Localice los puntos y en un sistema de coordenadas rectangulares. A continuacin cambie el signo de la coordenada x de cada punto y localice los tres nuevos puntos en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Haga una conjetura acerca de la ubicacin de un punto cuando ocurra lo siguiente. (a) El signo de la coordenada x se cambia. (b) El signo de la coordenada y se cambia. (c) Los signos de las coordenadas x y y se cambian. 80. PUNTOS COLINEALES Tres o ms puntos son colineales si estn todos en la misma recta. Use los pasos siguientes para determinar si los conjuntos de puntos y son colineales. (a) Por cada conjunto de puntos, use la frmula de la distancia para hallar las distancias de A a B, de B a C y de A a C. Qu relacin existe entre estas distancias para cada conjunto de puntos? (b) Site cada conjunto de puntos en el plano cartesiano. Todos los puntos de cualquier conjunto parecen estar sobre la misma recta? (c) Compare sus conclusiones del inciso (a) con las conclusiones a las que lleg por las grficas del inciso (b). Haga un enunciado general acerca de cmo usar la frmula de la distancia para determinar colinealidad. VERDADERO O FALSO En los Ejercicios 81 y 82, determine si el enunciado es verdadero o falso. Justifique su respuesta. 81. Para dividir un segmento en 16 partes iguales sera necesario usar 16 veces la frmula del punto medio 82. Los puntos y representan los vrtices de un tringulo issceles. 83. PINSELO Cuando se localizan puntos en el sistema de coordenadas rectangulares, es cierto que las escalas en los ejes x y y deben ser iguales? Explique. 85. DEMOSTRACIN Demuestre que las diagonales del paralelogramo de la figura se intersecan en sus puntos medios. ym.x1, y1, xm x2, y2 xm, ym x1, y1 3, 5, x (0, 0) ( , )b c ( + , )a b c ( , 0)a y 5, 12, 118, 4, C2, 1B5, 2,A8, 3,C6, 3B2, 6,A2, 3, 7, 3 2, 1, 2, 3, 0, 01, 2, 4, 1 x2, y2x1, y1 5, 11, 2, 4.1, 2, 4, 1 12 Captulo 1 Funciones y sus grficas 84. TOQUE FINAL Utilice la grfica del punto de la figura. Relacione la transformacin del punto con la grfica correcta. Explique su razonamiento. [Las grficas estn marcadas (i), (ii), (iii) y (iv).] (i) (ii) (iii) (iv) (a) (b) (c) (d) x0, y0 x0, y0x0, 1 2 y0 2x0, y0x0, y0 x y x y x y x y (x , y )0 0 x y www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 30. Grfica de una ecuacin En la Seccin 1.1 utilizamos un sistema de coordenadas para representar grficamente la relacin entre dos cantidades. Ah, la imagen grfica estaba formada por un conjun- to de puntos en un plano de coordenadas. Con frecuencia, una relacin entre dos cantidades se expresa como una ecuacin con dos variables. Por ejemplo, es una ecuacin en x y y. Un par ordenado es una solucin o punto de solucin de una ecuacin con x y y si la ecuacin es verdadera cuando a se sustituye por x y b se sustituye por y. Por ejemplo, es una solucin de porque es una proposicin verdadera. En esta seccin repasaremos algunos procedimientos bsicos para trazar la grfica de una ecuacin con dos variables. La grfica de una ecuacin es el conjunto de todos los puntos que son soluciones de la ecuacin. Determinar puntos de solucin Determine si (a) y (b) estn en la grfica de Solucin a. Escribir la ecuacin original. Sustituir 2 por x y 13 por y. es una solucin.El punto est en la grfica de porque es un punto de solucin de la ecuacin. b. Escribir la ecuacin original. Sustituir por x y por y. no es una solucin. El punto no est en la grfica de porque no es un punto de solucin de la ecuacin. Ahora trate de hacer el Ejercicio 7. La tcnica bsica empleada para trazar la grfica de una ecuacin es el mtodo de determinacin de puntos. y 10x 71, 3 y 10x 72, 13 y 10x 7.1, 32, 13 a, b 4 7 31y 7 3x 1, 4 y 7 3x Ejemplo 1 1, 33 17 313 ? 101 7 y 10x 7 2, 1313 13 13 ? 102 7 y 10x 7 1.2 GRFICAS DE ECUACIONES Lo que debe aprender Trazar grficas de ecuaciones. Hallar intersecciones x y y de grficas de ecuaciones. Usar simetra para trazar grficas de ecuaciones. Hallar ecuaciones y trazar grficas de circunferencias. Usar grficas de ecuaciones para resolver problemas reales. Por qu debe aprenderlo La grfica de una ecuacin puede ayudar a ver relaciones entre cantidades reales. Por ejemplo, en el Ejercicio 87 de la pgina 23 se puede usar una grfica para calcular las expectativas de vida de nios que nazcan en 2015. Trazar la grfica de una ecuacin al determinar puntos 1. Si posible, vuelva a escribir la ecuacin para que una de las variables quede aislada en uno de sus lados (miembros). 2. Haga una tabla de valores que muestre varios puntos de solucin. 3. Site esos puntos en un sistema de coordenadas rectangulares. 4. Enlace los puntos con una curva o recta lisas. Seccin 1.2 Grficas de ecuaciones 13 Ayuda de lgebra Al evaluar una expresin o ecuacin, recuerde seguir las reglas bsicas del lgebra. Para repasar estas reglas, vea el Apndice A.1. www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 31. Trazar la grfica de una ecuacin Trace la grfica de Solucin Como la ecuacin ya est despejada (resuelta para y), construya una tabla de valores formada por varios puntos de solucin de la ecuacin. Por ejemplo, cuando lo que implica que es un punto de solucin de la grfica. De la tabla, se deduce que y son puntos de solucin de la ecuacin. Despus de graficar estos puntos, se puede ver que aparecen en una recta, como se muestra en la Figura 1.14. La grfica de la ecuacin es la recta que pasa por los seis puntos determinados. FIGURA 1.14 Ahora trate de hacer el Ejercicio 15. 1, 10 Ejemplo 2 x (1, 10) (1, 4) (0, 7) (2, 1) (3, 2) (4, 5) y 24 2 4 6 8 10 2 4 6 2 4 6 8 4, 53, 22, 1,1, 4,0, 7,1, 10, 10 y 7 31 x 1, y 7 3x. x y 7 3x x, y 1 10 1, 10 0 7 0, 7 1 4 1, 4 2 1 2, 1 3 2 3, 2 4 5 4, 5 14 Captulo 1 Funciones y sus grficas www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 32. Trazar la grfica de una ecuacin Trace la grfica de Solucin Como la ecuacin ya est despejada, empecemos por construir una tabla de valores. A continuacin, grafique los puntos dados en la tabla, como se ve en la Figura 1.15. Por ltimo, enlace los puntos con una curva lisa, como se muestra en la Figura 1.16. FIGURA 1.15 FIGURA 1.16 Ahora trate de hacer el Ejercicio 17. El mtodo de determinacin de puntos demostrado en los Ejemplos 2 y 3 es fcil de usar, pero tiene algunos defectos. Con muy pocos puntos de solucin se puede mal- interpretar la grfica de una ecuacin. Por ejemplo, si slo cuatro puntos y se determinan en la Figura 1.15, cualquiera de las tres grficas de la Figura 1.17 sera razonable. FIGURA 1.17 Ejemplo 3 x 2 2 2 4 y x 2 2 2 4 y x 2 2 2 4 y 2, 21, 11, 1,2, 2, x 2 424 2 4 6 (1, 1) (0, 2) (1, 1) (2, 2)(2, 2) (3, 7) y = x2 2 y x 2 424 2 4 6 (1, 1) (0, 2) (1, 1) (2, 2)(2, 2) (3, 7) y y x2 2. x 2 1 0 1 2 3 y x2 2 2 1 2 1 2 7 x, y 2, 2 1, 1 0, 2 1, 1 2, 2 3, 7 Uno de los objetivos de este curso es aprender a clasificar la forma bsica de una grfica a partir de su ecuacin. Por ejemplo, usted aprender que la ecuacin lineal del Ejemplo 2 tiene la forma y su grfica es una recta. Del mismo modo, la ecuacin cuadrtica del Ejemplo 3 tiene la forma y su grfica es una parbola. y ax2 bx c y mx b Seccin 1.2 Grficas de ecuaciones 15 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 33. Intersecciones de una grfica con los ejes x y y Con frecuencia es fcil determinar los puntos de solucin que tengan 0 (cero) ya sea como coordenada x o como y. Estos puntos se denominan intersecciones con los ejes porque son los puntos en los que la grfica corta o toca el eje x o el y. Es posible que una grfica no tenga intersecciones, o que tenga una o varias, como se ve en la Figura 1.18. Ntese que una interseccin con x puede escribirse como el par ordenado y una con el eje y como el par ordenado (0, y). Algunos textos denotan la interseccin con x como la coordenada x del punto [y la interseccin con y como la coordenada y del punto ] ms que el punto mismo. A menos que sea necesario hacer una distin- cin, usaremos el trmino interseccin para dar a entender que es el punto o la coordenada. Hallar intersecciones con los ejes x y y Encuentre las intersecciones con los ejes x y y de la grfica de Solucin Sea Entonces tiene soluciones y intersecciones con el eje x: Sea Entonces tiene una solucin, intersecciones con el eje y: Vea Figura 1.19. Ahora trate de hacer el Ejercicio 23. 0, b a, 0 x, 0 Ejemplo 4 0, 0 y 0. y 03 40 x 0. 0, 0, 2, 0, 2, 0 x 2.x 0 0 x3 4x xx2 4 y 0. y x3 4x. y = x 4x3 x 44 4 2 4 (2, 0) (0, 0) (2, 0) y FIGURA 1.19 x y Sin interseccin con el eje x; una con y x y Tres intersecciones con el eje x; una con el y x y Una interseccin con el eje x; dos con el y x y Sin intersecciones con los ejes FIGURA 1.18 TECNOLOGA Para graficar una ecuacin con x y y en una calculadora de grficas, use el siguiente procedimiento. 1. Vuelva a escribir la ecuacin para aislar y en el lado izquierdo. 2. Ingrese la ecuacin en la calculadora de grficas. 3. Determine la pantalla que muestre todas las caractersticas importantes de la grfica. 4. Grafique la ecuacin. Hallar intersecciones con los ejes x y y 1. Para hallar intersecciones con el eje x, sea y despejemos x de la ecuacin. 2. Para hallar intersecciones con el eje y, sea y despejemos y de la ecuacin.x 0 y 0 16 Captulo 1 Funciones y sus grficas www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 34. Simetra Las grficas de ecuaciones pueden tener simetra respecto a uno de los ejes de coordenadas o respecto al origen. La simetra respecto al eje x significa que si el plano cartesiano se doblara a lo largo del eje x, la parte de la grfica arriba de ese eje coincidira con la parte de abajo. La simetra respecto al eje y o al origen se puede describir de un modo semejante, como se ilustra en la Figura 1.20. Simetra respecto al eje x Simetra respecto al eje y Simetra respecto al origen FIGURA 1.20 Es til conocer la simetra de una grfica antes de tratar de trazarla, porque entonces se necesita slo la mitad de los puntos de solucin para hacerlo. Hay tres tipos bsicos de simetra, que se describen a continuacin. Se puede concluir que la grfica de es simtrica respecto al eje y porque el punto tambin est en la grfica. (Vea la tabla siguiente y la Figura 1.21.)x, y y x2 2 (x, y) (x, y) x y (x, y)(x, y) x y (x, y) (x, y) x y Pruebas grficas de simetra 1. Una grfica es simtrica respecto al eje x si, siempre que est en la grfica, tambin lo est. 2. Una grfica es simtrica respecto al eje y si, siempre que est en la grfica, tambin lo est. 3. Una grfica es simtrica respecto al origen si, siempre que est en la grfica, tambin lo est. x, y x, y x, y x, y x, y x, y Pruebas algebraicas de simetra 1. La grfica de una ecuacin es simtrica respecto al eje x si sustituyendo y con resulta una ecuacin equivalente. 2. La grfica de una ecuacin es simtrica respecto al eje y si sustituyendo x con resulta una ecuacin equivalente. 3. La grfica de una ecuacin es simtrica respecto al origen si sustituyendo x con y y con resulta una ecuacin equivalente.yx x y x 3 2 1 1 2 3 y 7 2 1 1 2 7 x, y 3, 7 2, 2 1, 1 1, 1 2, 2 3, 7 x y = x 22 y (3, 7) (3, 7) (2, 2) (2, 2) (1, 1) (1, 1) 4 3 2 2 3 1 3 4 5 3 4 5 6 7 2 FIGURA 1.21 Simetra respecto al eje y Seccin 1.2 Grficas de ecuaciones 17 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 35. Prueba de simetra Pruebe si tiene simetra respecto a ambos ejes y al origen. Solucin eje : Escribir la ecuacin original. Sustituir con El resultado no es una ecuacin equivalente. eje : Escribir la ecuacin original. Sustituir con Simplificar. El resultado no es una ecuacin equivalente. Origen: Escribir la ecuacin original. Sustituir con y con Simplificar. Ecuacin equivalente De las tres pruebas de simetra, la nica que se satisface es la de simetra respecto al origen (vea Figura 1.22). Ahora trate de hacer el Ejercicio 33. La simetra como apoyo de la graficacin Use simetra para trazar la grfica de Solucin De las tres pruebas de simetra, la nica que se satisface es la de simetra respecto al eje x porque es equivalente a . Por tanto, la grfica es simtrica respecto al eje x. Usando simetra, slo se necesita hallar los puntos de solucin arriba del eje x y a continuacin reflejarlos para obtener la grfica, como se muestra en la Figura 1.23. Ahora trate de hacer el Ejercicio 49. Trazar la grfica de una ecuacin Trace la grfica de Solucin Esta ecuacin no satisface las tres pruebas de simetra y, en consecuencia, su grfica no es simtrica respecto a cualquiera de los ejes o al origen. El signo de valor absoluto indica que y es siempre no negativa. Genere una tabla de valores y grafique los puntos, como se muestra en la Figura 1.24. De la tabla, se puede ver que cuando Por tanto, la interseccin con el eje y es Del mismo modo, cuando En consecuencia, la interseccin con el eje x es Ahora trate de hacer el Ejercicio 53. yy x.x x.x y.y Ejemplo 7 Ejemplo 6 Ejemplo 5 1, 0. x 1.y 00, 1. y 1.x 0 y x 1. x y2 1x y2 1 x y2 1. y 2x3 y 2x3 y 2x3 y 2x3 y 2x3 y 2x3 y 2x3 y y 2x3 y 2x3 x y 2x3 x (1, 0) (2, 1) (5, 2) x y = 12 2 3 4 5 2 1 2 1 y FIGURA 1.23 x y 2 2 1 112 1 2 y = 2x3 (1, 2) (1, 2) FIGURA 1.22 x y = x 1 2 3 5423 1 2 2 3 5 4 6 y (2, 3) (1, 2) (3, 2) (4, 3) (0, 1) (2, 1) (1, 0) FIGURA 1.24 x 2 1 0 1 2 3 4 y x 1 3 2 1 0 1 2 3 x, y 2, 3 1, 2 0, 1 1, 0 2, 1 3, 2 4, 3 Ayuda de lgebra En el Ejemplo 7, es una expresin de valor absoluto. En el Apndice 1 se pueden repasar las tcnicas para evaluar una expresin de valor absoluto. x 1 18 Captulo 1 Funciones y sus grficas www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 36. En todo este curso usted aprender a reconocer varios tipos de grficas a partir de sus ecuaciones. Por ejemplo, aprender a reconocer que la grfica de una ecuacin de segundo grado de la forma es una parbola (vea el Ejemplo 3). La grfica de una circunferencia tambin es fcil de reconocer. Circunferencias Considere la circunferencia que se ilustra en la Figura 1.25. Un punto est en la circunferencia si y slo si su distancia desde el centro ) es r. Por la frmula de la distancia, Al elevar al cuadrado cada lado de esta ecuacin se obtiene la forma estndar de la ecuacin de una circunferencia. De este resultado, se puede ver que la forma estndar de la ecuacin de una circunferencia con centro en el origen, es simplemente Circunferencia con centro en el origen Hallar la ecuacin de una circunferencia El punto est en una circunferencia cuyo centro est en como se ilustra en la Figura 1.26. Escriba la forma estndar de la ecuacin de esta circunferencia. Solucin El radio de la circunferencia es la distancia entre y Frmula de la distancia Sustituir x, y, h y k. Simplificar. Simplificar. Radio Usando y la ecuacin de la circunferencia es Ecuacin de la circunferencia Sustituir h, k y r. Forma estndar Ahora trate de hacer el Ejercicio 73. Ejemplo 8 x 12 y 22 20. x 12 y 22 202 x h2 y k2 r2 r 20,h, k 1, 2 20 16 4 42 22 3 12 4 22 r x h2 y k2 3, 4.1, 2 1, 2,3, 4 x2 y2 r2 . h, k 0, 0, x h2 y k2 r. h, k x, y y ax2 bx c Forma estndar de la ecuacin de una circunferencia El punto est en la circunferencia de radio r y centro si y slo si x h2 y k2 r2 . (h, k)x, y x Centro: (h, k) Punto en la circunferencia: (x, y) y Radio: r FIGURA 1.25 x 2 426 2 4 4 6 (3, 4) (1, 2) y FIGURA 1.26 A T E N C I N Sea cuidadoso cuando busque h y k de la ecuacin estndar de una circunferencia. Por ejemplo, para hallar las h y k correctas de la ecuacin de la circunferencia del Ejemplo 8, vuelva a escribir las cantidades y usando sustraccin. Por tanto, y k 2.h 1 y 22 y 22 x 12 x 12 , y 22 x 12 Seccin 1.2 Grficas de ecuaciones 19 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 37. Aplicacin En este curso, aprender que hay numerosas formas de abordar un problema. En el Ejemplo 9 se ilustran tres mtodos comunes. Un mtodo numrico: construya y use una tabla. Un mtodo grfico: trace y use una grfica. Un mtodo algebraico: use las reglas de lgebra. Peso recomendado El peso mediano recomendado y (en libras) para hombres de constitucin mediana, de entre 25 y 59 aos de edad, se puede calcular con el modelo matemtico donde x es la estatura del hombre (en pulgadas). (Fuente: Metropolitan Life Insurance Company) a. Construya una tabla de valores que muestre los pesos medianos recomendados para hombres con estaturas de 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74 y 76 pulgadas. b. Use la tabla de valores para trazar una grfica del modelo. A continuacin use la grfica para calcular grficamente el peso mediano recomendado para un hombre cuya estatura es 71 pulgadas. c. Use el modelo para confirmar algebraicamente el clculo que usted encontr en el inciso (b). Solucin a. Puede usar una calculadora para completar la tabla como se muestra a la izquierda. b. La tabla de valores puede usarse para trazar la grfica de la ecuacin, como se muestra en la Figura 1.27. Con base en la grfica puede estimarse que una estatura de 71 pulgadas corresponde a un peso de 161 libras, aproximadamente. FIGURA 1.27 c. Para confirmar algebraicamente el clculo hallado en el inciso (b), se puede sustituir 71 por x en el modelo. Entonces, el clculo grfico de 161 libras es muy bueno. Ahora trate de hacer el Ejercicio 87. Ejemplo 9 160.70y 0.073(71)2 6.99(71) 289.0 Peso(enlibras) Estatura (en pulgadas) x y 62 64 66 68 70 72 74 76 130 140 150 160 170 180 Peso recomendado 62 x 76y 0.073x2 6.99x 289.0, Estatura, x Peso, y 62 64 66 68 70 72 74 76 136.2 140.6 145.6 151.2 157.4 164.2 171.5 179.4 20 Captulo 1 Funciones y sus grficas Usted debe desarrollar el hbito de usar al menos dos mtodos para resolver cualquier problema. Esto ayuda a su intuicin y a comprobar que sus respuestas son razonables. www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 38. EJERCICIOS En www.CalcChat.com vea las soluciones a los ejercicios impares.1.2 VOCABULARIO: Llene los espacios en blanco. 1. Un par ordenado es un ________ ________ ________ de una ecuacin con x y y si la ecuacin es verdadera cuando a se sustituya por x y b se sustituya por y. 2. El conjunto de todos los puntos de solucin de una ecuacin es la ________ de la ecuacin. 3. Los puntos en los que una grfica interseca o corta un eje se denominan las ________ ________ ________ ________ de la grfica. 4. Una grfica es simtrica respecto al ________ si, siempre que est en la grfica, tambin lo est. 5. La ecuacin es la forma estndar de la ecuacin de una ________ con centro ________ y radio ________. 6. Cuando se construya y use una tabla para resolver un problema se usa un mtodo ________. HABILIDADES Y APLICACIONES a, b x h2 y k2 r2 x, yx, y En los Ejercicios 7-14, determine si cada punto se encuentra en la grfica de la ecuacin. Ecuacin Puntos 7. (a) (b) 8. (a) (b) 9. (a) (b) 10. (a) (b) 11. (a) (b) 12. (a) (b) 13. (a) (b) 14. (a) (b) En los Ejercicios 15-18, complete la tabla. Use los puntos de solucin resultantes para trazar la grfica de la ecuacin. 15. 16. 17. 18. En los Ejercicios 19-22, grficamente calcule las intersecciones con los ejes x y y de la grfica. Verifique algebraicamente sus resultados. 19. 20. 21. 22. En los Ejercicios 23-32, encuentre las intersecciones con los ejes x y y de la grfica de la ecuacin. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. y2 x 1y2 6 x y x4 25y 2x3 4x2 y x 10y 3x 7 y 2x 1y x 4 y 8 3xy 5x 6 x y 5421 1 3 1 3 x y 1 2 3 4 5 4 3 2 1 y2 4 xy x 2 y x 4 1 1 3 8 20 x y 2 4 6 8 10 8 6 4 2 24 y 16 4x2 y x 32 y 5 x2 y x2 3x y 3 4x 1 y 2x 5 3, 92, 16 3 y 1 3x3 2x2 4, 23, 2x2 y2 20 1, 11, 22x y 3 0 1, 02, 3y x 1 2 6, 01, 5y 4 x 2 2, 82, 0y x2 3x 2 5, 01, 2y 5 x 5, 30, 2y x 4 x 1 0 1 2 5 2 y x, y x 2 0 1 4 3 2 y x, y x 1 0 1 2 3 y x, y x 2 1 0 1 2 y x, y Seccin 1.2 Grficas de ecuaciones 21 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 39. En los Ejercicios 33-40, use las pruebas algebraicas para verificar simetra respecto a ambos ejes y el origen. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. En los Ejercicios 41-44, suponga que la grfica tiene el tipo de simetra indicado. Trace completa la grfica de la ecuacin. Para imprimir una copia amplificada de la grfica, visite el sitio web www.mathgraphs.com. 41. 42. simetra con el eje y simetra con el eje x 43. 44. simetra con el origen simetra con el eje y En los Ejercicios 45-56, identifique cualesquiera intersecciones con los ejes y pruebe simetra. A continuacin, trace la grfica de la ecuacin. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. En los Ejercicios 57-68, use una calculadora de grficas para graficar la ecuacin. Use un ajuste estndar. Aproxime cualesquiera intersecciones con los ejes. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. En los Ejercicios 69-76, escriba la forma estndar de la ecuacin de la crcunferencia con las caractersticas dadas. 69. Centro: radio: 4 70. Centro: radio: 5 71. Centro: radio: 4 72. Centro: radio: 7 73. Centro: punto solucin: 74. Centro: punto solucin: 75. Puntos extremos de un dimetro: 76. Puntos extremos de un dimetro: En los Ejercicios 77-82, encuentre el centro y radio de la circunferencia y trace su grfica. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. DEPRECIACIN Un hospital compra una nueva m- quina para imgenes de resonancia magntica en $500 000 dlares. El valor depreciado y (valor reducido) despus de t aos est dado por Trace la grfica de la ecuacin. 84. CONSUMISMO Una persona compra un vehculo para todo terreno (ATV) en $8000. El valor depreciado y despus de t aos est dado por Trace la grfica de la ecuacin. 85. GEOMETRA Un campo de juego reglamentario de la NFL (incluidas las zonas de extremo) de longitudx y ancho y tiene un permetro de , o sea, yardas. (a) Trace un rectngulo que d una representacin vi- sual del problema. Use las variables especificadas para marcar los lados del rectngulo. (b) Demuestre que el ancho del rectngulo es y su rea es (c) Use una calculadora de grficas para graficar la ecuacin del rea. Asegrese de ajustar la imagen en la pantalla de la calculadora. (d) De la grfica del inciso (c), calcule las dimensiones del rectngulo que produzca un rea mxima. (e) Use la biblioteca de su escuela, el internet o alguna otra fuente de consulta para hallar las dimensiones y rea reales de un campo de juego de la NFL, y compare sus hallazgos con los resultados del inciso (d). 1040 3346 2 3 0 t 6. A x520 3 x.y 520 3 x y 8000 900t, 0 t 8. y 500 000 40 000t, x 22 y 32 16 9 x 1 22 y 1 22 9 4 x2 y 12 1x 12 y 32 9 x2 y2 16x2 y2 25 4, 1, 4, 1 0, 0, 6, 8 1, 13, 2; 0, 01, 2; 7, 4; 2, 1; 0, 0; 0, 0; y 2 xy x 3 y 6 xxy xx 6 y 3x 1y 3x 2 y 4 x2 1 y 2x x 1 y x2 x 2y x2 4x 3 y 2 3x 1y 3 1 2x x y2 5x y2 1 y 1 xy x 6 y 1 xy x 3 y x3 1y x3 3 y x2 2xy x2 2x y 2x 3y 3x 1 x 4 2 2 4 2 2 4 4 y x 4 2 2 4 2 2 4 4 y x 2 4 6 8 2 4 2 4 y x 4 2 4 2 4 y xy 4xy2 10 0 y 1 x2 1 y x x2 1 y x4 x2 3y x3 x y2 0x2 y 0 El smbolo indica un ejercicio o parte de uno en el que se le pide que use una calculadora de grficas. 22 Captulo 1 Funciones y sus grficas www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 40. 86. GEOMETRA Un campo de ftbol soccer de longitud x y ancho y tiene un permetro de 360 metros. (a) Trace un rectngulo que d una representacin vi- sual del problema. Use las variables especificadas para marcar los lados del rectngulo. (b) Demuestre que el ancho del rectngulo es y su rea es (c) Use una calculadora de grficas para graficar la ecuacin del rea. Asegrese de ajustar la imagen en la pantalla de la calculadora. (d) De la grfica del inciso (c), calcule las dimensiones del rectngulo que dar un rea mxima. (e) Use la biblioteca de su escuela, el internet o alguna otra fuente de consulta para hallar las dimensiones y rea reales de un campo de juego de la Major League Soccer, y compare sus hallazgos con los resultados del inciso (d). 87. ESTADSTICAS DE POBLACIN La tabla siguiente muestra las expectativas de vida de un nio (al nacer) en Estados Unidos, para los aos seleccionados de 1920 a 2000. (Fuente: U.S. National Center for Health Statistics) Un modelo para la expectativa de vida durante este periodo es donde y representa la expectativa de vida y t es el tiempo en aos, con correspondiente a 1920. (a) Use una calculadora de grficas para graficar los datos de la tabla y el modelo en la misma pantalla. Qu tan bien se ajusta el modelo a los datos? Explique. (b) Determine la expectativa de vida en 1990 tanto grfica como algebraicamente. (c) Use la grfica para determinar el ao cuando la expectativa de vida era alrededor de 76.0. Verifique algebraicamente su respuesta. (d) Una proyeccin para la expectativa de vida de un nio nacido en 2015 es 78.9. Cmo se compara esto con la proyeccin dada en el modelo? (e) Piensa usted que este modelo se puede usar para predecir la expectativa de vida de un nio dentro de 50 aos? Explique. 88. ELECTRNICA La resistencia y (en ohms) de 1000 pies de alambre slido de cobre a 68 grados Fahrenheit puede calcularse con el siguiente modelo donde x es el dimetro del alambre en mils (0.001 de pulgada). (Fuente: American Wire Gage) (a) Complete la tabla. (b) Use la tabla de valores del inciso (a) para trazar una grfica del modelo. A continuacin use su grfica para calcular la resistencia cuando (c) Use el modelo para confirmar algebraicamente el clculo que encontr en el inciso (b). (d) Qu se puede concluir en general acerca de la relacin entre el dimetro del alambre de cobre y la resistencia? EXPLORACIN 89. PINSELO Encuentre a y b si la grfica de es simtrica respecto a (a) el eje y y (b) al origen. (Hay muchas respuestas correctas.) t 20 A x180 x.y 180 x y ax2 bx3 20 t 100y 0.0025t2 0.574t 44.25, x 85.5. 5 x 100y 10770 x2 0.37, Ao Expectativa de vida, y 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 54.1 59.7 62.9 68.2 69.7 70.8 73.7 75.4 77.0 x 5 10 20 30 40 50 y x 60 70 80 90 100 y 90. TOQUE FINAL Relacione la ecuacin o ecuaciones con las caractersticas dadas. (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (a) Simtrica respecto al eje y (b) Tres intersecciones con el eje x (c) Simtrica respecto al eje x (d) es un punto sobre la grfica (e) Simtrica respecto al origen (f) La grfica pasa por el origen 2, 1 y x 3y 3x2 3 y 3xy 3x 3 y x 32 y 3x3 3x Seccin 1.2 Grficas de ecuaciones 23 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 41. Uso de la pendiente El modelo matemtico ms sencillo para relacionar dos variables es la ecuacin lineal con dos variables La ecuacin se llama lineal porque su grfica es una recta. (En matemticas, el trmino lnea quiere decir una lnea recta.) Si hacemos obtenemos Sustituir 0 por x. Entonces, la recta corta el eje y en como se muestra en la Figura 1.28. En otras palabras, la interseccin con el eje y es La pendiente de la recta es m. Pendiente Interseccin con el eje y La pendiente de una recta no vertical es el nmero de unidades que la recta sube (o baja) verticalmente por cada unidad de cambio horizontal de izquierda a derecha, como se ve en las Figuras 1.28 y 1.29. Pendiente positiva, la recta sube Pendiente negativa, la recta baja FIGURA 1.28 FIGURA 1.29 Se dice que una ecuacin lineal en la forma est escrita en forma pendiente-interseccin con el eje y. 0, b. y b, b. y m0 b y mx b interseccin con el eje y x (0, b) m unidades m0 1 unidad y = mx + b y interseccin con el eje y x (0, b) m unidades m0 1 unidad y = mx + b y y mx b x 0, y mx b. 1.3 ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES Lo que debe aprender Usar la pendiente para graficar ecuaciones lineales con dos variables. Encontrar la pendiente de una recta dados dos puntos sobre sta. Escribir ecuaciones lineales con dos variables. Usar la pendiente para identificar rectas paralelas y perpendiculares. Usar la pendiente y ecuaciones lineales con dos variables para modelar y resolver problemas reales. Por qu debe aprenderlo Las ecuaciones lineales con dos variables se pueden usar para modelar y resolver problemas reales. Por ejemplo, en el Ejercicio 129 de la pgina 36 se ve una ecuacin lineal para modelar inscripciones de estudiantes en la Pennsylvania State University. Forma pendiente-interseccin de la ecuacin de una recta La grfica de la ecuacin es una recta cuya pendiente es m y cuya interseccin con el eje y es 0, b. y mx b 24 Captulo 1 Funciones y sus grficas www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 42. Una vez determinada la pendiente y la interseccin con el eje y de una recta, es re- lativamente ms sencillo trazar su grfica. En el siguiente ejemplo, ntese que ninguna de las rectas es vertical. Una recta vertical tiene una ecuacin de la forma Recta vertical La ecuacin de una recta vertical no se puede escribir en la forma porque la pendiente de una recta vertical no est definida, como se indica en la Figura 1.30. Graficar una ecuacin lineal Trace la grfica de cada una de las siguientes ecuaciones lineales. a. b. c. Solucin a. Como la interseccin con el eje y es Adems, como la pendiente es la recta sube dos unidades por cada unidad que la recta se mueva a la derecha, como se ve en la Figura 1.31. b. Al escribir esta ecuacin en la forma se puede ver que la interseccin con el eje y es y la pendiente es cero. Una pendiente cero implica que la recta es horizontal, es decir, no sube ni baja, como se ve en la Figura 1.32. c. Al escribir esta ecuacin en forma pendiente-interseccin Escribir la ecuacin original. Restar x de cada lado. Escribir en forma pendiente-interseccin. se puede ver que la interseccin con el eje y es Adems, como la pendiente es la recta baja una unidad por cada unidad que la recta se mueva a la derecha, como se muestra en la Figura 1.33. Cuando m es 0, la recta es horizontal Cuando m es negativa, la recta baja FIGURA 1.32 FIGURA 1.33 Ahora trate de hacer el Ejercicio 17. m 1, 0, 2. x 1 2 3 4 5 2 1 3 4 5 (0, 2) m = 1 y y = x + 2 x 1 2 3 4 5 1 3 4 5 (0, 2) m = 0 y = 2 y Ejemplo 1 y 1x 2 y x 2 x y 2 0, 2 y 0x 2, m 2, 0, 1.b 1, x y 2 y 2 y 2x 1 y mx b x a. x 1 2 4 5 1 2 3 4 5 (3, 5) (3, 1) x = 3 y FIGURA 1.30 La pendiente no est definida x 1 2 3 4 5 2 3 4 5 (0, 1) m = 2 y = 2x + 1 y Cuando m es positiva, la recta sube FIGURA 1.31 Seccin 1.3 Ecuaciones lineales con dos variables 25 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 43. Hallar la pendiente de una recta Dada una ecuacin de una recta, se puede hallar su pendiente si se escribe en forma pendiente-interseccin. Si no nos dan una ecuacin, an es posible hallar la pendiente de una recta. Supongamos que se desea hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos y como se ve en la Figura 1.34. Al moverse de izquierda a derecha a lo largo de esta recta, un cambio de unidades en direccin vertical corresponde a un cambio de unidades en direccin horizontal. y La razn a representa la pendiente de la recta que pasa por los puntos y Cuando esta frmula se usa para la pendiente, el orden de sustraccin es importante. Dados dos puntos sobre una recta, tenemos libertad de marcar cualquiera de ellos como y el otro como pero, una vez hecho esto, se debe formar el numerador y el denominador usando el mismo orden de sustraccin. Correcto Correcto Incorrecto Por ejemplo, la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3, 4) y (5, 7) se puede calcular como o bien, invirtiendo el orden de sustraccin en numerador y denominador, como x1, y1 x2, y2 .x1, y1 x2 x1y2 y1 m 4 7 3 5 3 2 3 2 . m 7 4 5 3 3 2 m y2 y1 x1 x2 m y1 y2 x1 x2 m y2 y1 x2 x1 x2, y2, y2 y1 x2 x1 elevacin corrimiento Pendiente cambio en y cambio en x x2 x1 el cambio en x corrimiento y2 y1 el cambio en y elevacin x2 x1 y2 y1 x2, y2,x1, y1 Pendiente de una recta que pasa por dos puntos La pendiente m de la recta no vertical que pasa por y es donde x1 x2. m y2 y1 x2 x1 x2, y2x1, y1 x y (x2, y2) x2 x1 y2 y1 y2 (x1, y1) x1 x2 y1 FIGURA 1.34 26 Captulo 1 Funciones y sus grficas www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 44. Hallar la pendiente de una recta que pasa por dos puntos Encuentre la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos. a. y b. y c. y d. y Solucin a. Haciendo y , resulta una pendiente de Vea Figura 1.35. b. La pendiente de la recta que pasa por y es Vea Figura 1.36. c. La pendiente de la recta que pasa por y es Vea Figura 1.37. d. La pendiente de la recta que pasa por y es Vea Figura 1.38. Como la divisin entre 0 no est definida, la pendiente tampoco lo est y la recta es vertical. FIGURA 1.35 FIGURA 1.36 FIGURA 1.37 FIGURA 1.38 Ahora trate de hacer el Ejercicio 31. Ejemplo 2 x 211 4 3 2 4 (3, 4) (3, 1)1 1 Pendiente no definida y x (0, 4) (1, 1) m = 5 y 1 2 3 4 1 1 2 3 4 x (2, 2)(1, 2) m = 0 y 12 1 2 3 1 1 3 4 x (3, 1) (2, 0) m = 1 5 y 12 1 2 3 1 1 2 3 4 m 1 4 3 3 3 0 . 3, 13, 4 m 1 4 1 0 5 1 5. 1, 10, 4 m 2 2 2 1 0 3 0. 2, 21, 2 m y2 y1 x2 x1 1 0 3 2 1 5 . x2, y2 3, 1x1, y1 2, 0 3, 13, 41, 10, 4 2, 21, 23, 12, 0 Seccin 1.3 Ecuaciones lineales con dos variables 27 Ayuda de lgebra Para hallar las pendientes del Ejemplo 2, es necesario que el estudiante pueda evaluar expresiones racionales. En el Apndice A.4 se pueden repasar las tcnicas para ello. En las Figuras 1.35 a 1.38, ntense las relaciones entre la pendiente y la orientacin de la recta. a. Pendiente positiva: la recta sube de izquierda a derecha b. Pendiente cero: la recta es horizontal c. Pendiente negativa: la recta baja de izquierda a derecha d. Pendiente no definida: la recta es vertical www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 45. Escribir ecuaciones lineales con dos variables Si es un punto sobre la recta de pendiente m y es cualquier otro punto sobre la recta, entonces Esta ecuacin, en la que aparecen las variables x y y, se puede reescribir en la forma que es la forma punto-pendiente de la ecuacin de una recta. La forma punto-pendiente es ms til para hallar la ecuacin de una recta. El estudiante debe recordarla. Usar la forma punto-pendiente Encuentre la forma punto-pendiente de la ecuacin de la recta que tiene una pendiente de 3 y pasa por el punto Solucin Use la forma punto-pendiente con y Forma punto-pendiente Sustituir por Simplificar. Escribir en forma pendiente-interseccin. La forma pendiente-interseccin de la ecuacin de la recta es La grfica de esta recta se ilustra en la Figura 1.39. Ahora trate de hacer el Ejercicio 51. La forma punto-pendiente se puede usar para hallar una ecuacin de la recta que pase por dos puntos y Para hacer esto, primero encuentre la pendiente de la recta y a continuacin use la forma punto-pendiente para obtener la ecuacin Forma de dos puntos Esto a veces se conoce como forma de dos puntos de la ecuacin de una recta. Ejemplo 3 y y1 y2 y1 x2 x1 x x1. x1 x2m y2 y1 x2 x1 , x2, y2.x1, y1 y 3x 5. y 3x 5 y 2 3x 3 m, x1 y y1.y 2 3x 1 y y1 mx x1 x1, y1 1, 2.m 3 1, 2. y y1 mx x1 y y1 x x1 m. x, yx1, y1 Forma punto-pendiente de la ecuacin de una recta La ecuacin de la recta con pendiente m que pasa por el punto es y y1 mx x1. x1, y1 x 1 1 3 12 3 4 (1, 2) 5 4 3 2 1 1 y = 3x 5 y FIGURA 1.39 28 Captulo 1 Funciones y sus grficas Cuando encuentre una ecuacin de la recta que pase por dos puntos determinados, slo necesita sustituir las coordenadas de uno de los puntos en la forma punto- pendiente. No importa cul punto se escoja porque ambos darn el mismo resultado. www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 46. Rectas paralelas y perpendiculares La pendiente se puede usar para determinar si dos rectas no verticales en un plano son paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas. Hallar rectas paralelas y perpendiculares Encuentre las formas pendiente-interseccin de las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto y son (a) paralelas y (b) perpendiculares a la recta . Solucin Escribiendo la ecuacin de la recta dada en forma pendiente-interseccin Escribir la ecuacin original. Restar 2x de cada lado. Escribir en forma pendiente-interseccin. se puede ver que tiene una pendiente de como se muestra en la Figura 1.40. a. Cualquier recta paralela a la recta dada tambin debe tener una pendiente de Por tanto, la recta que pasa por que es paralela a la recta dada tiene la siguiente ecuacin. Escribir en forma punto-pendiente. Multiplicar cada lado por 3. Propiedad distributiva Escribir en forma pendiente-interseccin. b. Cualquier recta perpendicular a la recta dada debe tener una pendiente de porque es el recproco negativo de Entonces, la recta que pasa por que es perpendicular a la recta dada tiene la siguiente ecuacin. Escribir en forma punto-pendiente. Multiplicar cada lado por 2. Propiedad distributiva Escribir en forma pendiente-interseccin. Ahora trate de hacer el Ejercicio 87. Ntese en el Ejemplo 4 cmo se usa la forma pendiente-interseccin para obtener informacin acerca de la grfica de una recta, mientras que la forma punto-pendiente se usa para escribir la ecuacin de una recta. 2x 3y 5 3 2 2, 1 2, 1 Ejemple 4 y 3 2x 2 2y 2 3x 6 2y 1 3x 2 y 1 3 2x 2 2 3. 3 2 y 2 3x 7 3 3y 3 2x 4 3y 1 2x 2 y 1 2 3x 2 2 3. m 2 3, y 2 3x 5 3 3y 2x 5 2x 3y 5 2, 1 Rectas paralelas y perpendiculares 1. Dos rectas no verticales son paralelas si y slo si sus pendientes son iguales. Esto es, 2. Dos rectas no verticales son perpendiculares si y slo si sus pendientes son recprocas no negativas entre s. Esto es, m1 1m2. m1 m2. TECNOLOGA En una calculadora de grficas, las rectas no parecern tener la pendiente correcta a menos que use una pantalla que tenga ajuste cuadrado. Por ejemplo, trate de graficar las rectas del Ejemplo 4 usando el ajuste estndar y A continuacin reajuste la pantalla con el ajuste cuadrado de y En cul ajuste parecen perpendiculares las rectas y ?y 3 2 x 2 y 2 3 x 5 3 6 y 6. 9 x 9 10 y 10. 10 x 10 x 1 4 5 3 2 (2, 1) 1 1 2x 3y = 5 y = x y = x + 2 2 3 7 3 2 3 y FIGURA 1.40 Seccin 1.3 Ecuaciones lineales con dos variables 29 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 47. Aplicaciones En problemas reales, la pendiente de una recta se puede interpretar como una razn o tasa. Si el eje x y el eje y tienen la misma unidad de medida, entonces la pendiente no tiene unidades y es una razn. Si el eje x y el eje y tienen diferentes unidades de medida, entonces la pendiente es una tasa o razn de cambio. Usar una pendiente como razn La mxima pendiente recomendada en una rampa para sillas de ruedas es Un nego- cio est instalando una rampa para sillas de ruedas que sube 22 pulgadas sobre una longitud horizontal de 24 pies. La rampa est ms inclinada que lo recomendado? (Fuente: Americans with Disabilities Act Handbook) Solucin La longitud horizontal de la rampa es 24 pies, o sea 288 pulgadas, como se ve en la Figura 1.41. Entonces, la pendiente de la rampa es Como la pendiente de la rampa no est ms inclinada que lo recomendado. FIGURA 1.41 Ahora trate de hacer el Ejercicio 115. Usar la pendiente como razn de cambio Una compaa fabricante de aparatos de cocina determina que el costo total en dlares de producir x unidades de una licuadora es Ecuacin de costo Describa el significado prctico de la interseccin con el eje y y la pendiente de esta recta. Solucin La interseccin con el eje y nos dice que el costo de producir cero unidades es $3500. ste es el costo fijo de produccin que incluye costos que deben ser pagados cualquiera que sea el nmero de unidades producidas. La pendiente de nos dice que el costo de producir cada unidad es $25, como se ve en la Figura 1.42. Los econo- mistas llaman costo marginal al costo por unidad. Si la produccin aumenta en una unidad, entonces el margen, o cantidad extra de costo, es $25. Entonces, el costo aumenta a razn de $25 por unidad. Ahora trate de hacer el Ejercicio 119. m 25 0, 3500 1224 Ejemplo 6 Ejemplo 5 C 25x 3500. 1 12 0.083, 0.076. 22 in. 288 in. Pendiente cambio vertical cambio horizontal 1 12. y 24 ft x 22 in. = $25m Costo marginal: x C 1,000 3,000 2,000 4,000 6,000 5,000 8,000 7,000 10,000 9,000 Costo(endlares) 50 100 150 Nmero de unidades Costo fijo: $3500 C x= 25 + 3500 Manufactura FIGURA 1.42 Costo de produccin 30 Captulo 1 Funciones y sus grficas www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 48. Casi todos los gastos empresariales se pueden deducir en el mismo ao en que ocurren. Una excepcin es el costo de propiedad, que tiene una vida til de ms de 1 ao. Estos costos deben depreciarse (disminuir de valor) en la vida til de la propiedad. Si la misma cantidad se deprecia cada ao, el procedimiento recibe el nombre de depreciacin lineal o en lnea recta. El valor en libros es la diferencia entre el valor original y la cantidad total de depreciacin acumulada a la fecha. Depreciacin en lnea recta Un colegio compr equipo para hacer ejercicios valuado en $12 000 para el nuevo centro de acondicionamiento fsico del plantel. El equipo tiene una vida til de 8 aos. El valor recuperado al trmino de los 8 aos es de $2000. Escriba una ecuacin lineal que describa el valor en libros del equipo en cada ao. Solucin Representemos con V el valor del equipo al trmino del ao t. Se puede representar el valor inicial del equipo con el punto de datos y el valor recuperado del equipo por el punto de datos La pendiente de la recta es que representa la depreciacin anual en dlares por ao. Usando la forma punto-pendiente se puede escribir la ecuacin de la recta como sigue. Escribir en forma punto-pendiente. Escribir en forma pendiente-interseccin. La tabla muestra el valor en libros al trmino de cada ao, y la grfica de la ecuacin se muestra en la Figura 1.43. Ahora trate de hacer el Ejercicio 121. En numerosas aplicaciones prcticas, los dos puntos de datos que determinan la recta a veces se dan en forma disfrazada. Observe la forma en que los puntos de datos se describen en el Ejemplo 7. m 2000 12 000 8 0 $1250 Ejemplo 7 V 1250t 12 000 V 12 000 1250t 0 8, 2000. 0, 12 000 Ao, t Valor, V 0 12 000 1 10 750 2 9500 3 8250 4 7000 5 5750 6 4500 7 3250 8 2000 t V 2000 4000 6000 8000 10 000 12 000 Valor(endlares) Nmero de aos 2 4 6 8 10 (8, 2000) V t= 1250 +12000 (0, 12000) Vida til del equipo FIGURA 1.43 Depreciacin en lnea recta Seccin 1.3 Ecuaciones lineales con dos variables 31 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 49. x Puntos dados Punto calculado y Extrapolacin lineal FIGURA 1.45 x Puntos dados Punto calculado y Interpolacin lineal FIGURA 1.46 10 20 30 40 50 60 6 121110987 Ao (6 2006) Ventas (enmilesdemillonesdedlares) Best Buy t y (6, 35.9) (7, 40.0) y = 4.1t + 11.3 (10, 52.3) FIGURA 1.44 32 Captulo 1 Funciones y sus grficas Pronosticar ventas Las ventas de Best Buy fueron alrededor de $35 900 millones de dlares en 2006 y $40 000 millones en 2007. Usando slo esta informacin, escriba una ecuacin lineal que d las ventas (en miles de millones de dlares) en trminos del ao. A continuacin pronostique las ventas para 2010. (Fuente: Best Buy Company, Inc.) Solucin Con represente 2006. Entonces los dos valores dados estn representados por los puntos de datos y La pendiente de la recta que pasa por estos puntos es Usando la forma punto-pendiente, se puede hallar que la ecuacin que relaciona las ventas y y el ao t es Escribir en forma punto-pendiente. Escribir en forma pendiente-interseccin. De acuerdo con esta ecuacin, las ventas para 2010 sern de (Vea Figura 1.44.) Ahora trate de hacer el Ejercicio 129. El mtodo de prediccin ilustrado en el Ejemplo 8 se denomina extrapolacin lineal. Ntese en la Figura 1.45 que un punto extrapolado no est entre los puntos dados. Cuando el punto estimado se encuentra entre dos puntos dados, como se muestra en la Figura 1.46, el procedimiento recibe el nombre de interpolacin lineal. Como la pendiente de una recta vertical no est definida, su ecuacin no se puede escribir en forma pendiente-interseccin. No obst

precálculo - 8va edición - ron larson

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