practica de probabilidades unc

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CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD 1. A continuación se dan algunos experimentos aleatorios y se pide determinar sus correspondientes espacios muéstrales: a) lanzar un dado b) Lanzar una moneda y un dado a la vez c) Lanzar una moneda tantas veces como sea necesario hasta que aparezca la primera cara. d) Medir la vida útil (en horas) de una marca de artefacto eléctrico 2. Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5 y la de ganar el segundo premio es 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los 2 premios es 3/4, calcular la probabilidad de ganar: a) Sólo uno de los dos premios b) Ninguno de los dos premios. 3. Se lanza un dado y se observa el número obtenido. Calcular la probabilidad de obtener. a) 3 puntos b) al menos 5 puntos 4. Se lanza un dado 2 veces consecutivas. Calcular la probabilidad de obtener: a) 7 puntos. b) 6 puntos sólo en la segunda tirada. c) 7 puntos ó 6 puntos sólo en la segunda tirada. d) 7 puntos y 6 puntos sólo en la segunda tirada. 5. Dos alumnos se distribuyen al azar en 4 computadoras numeradas con 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si ambos pueden estar en una misma computadora, pero ninguno en dos computadoras a la vez. a) Determine los elementos del espacio muestral. b) Calcular la probabilidad de que la computadora 2 no se ocupe. 6. Suponga que una rifa consiste de 1000 boletos En esta rifa un boleto se premia con $500, dos con $250, cinc o con $100, cie n con $5, y los demás no se

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Page 1: Practica de Probabilidades UNC

CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD

1. A continuación se dan algunos experimentos aleatorios y se pide determinar sus correspondientes espacios muéstrales:

a) lanzar un dado b) Lanzar una moneda y un dado a la vezc) Lanzar una moneda tantas veces como sea necesario hasta que

aparezca la primera cara.d) Medir la vida útil (en horas) de una marca de artefacto eléctrico

2. Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5 y la de ganar el segundo premio es 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los 2 premios es 3/4, calcular la probabilidad de ganar:

a) Sólo uno de los dos premiosb) Ninguno de los dos premios.

3. Se lanza un dado y se observa el número obtenido. Calcular la probabilidad de obtener.

a) 3 puntosb) al menos 5 puntos

4. Se lanza un dado 2 veces consecutivas. Calcular la probabilidad de obtener:a) 7 puntos.b) 6 puntos sólo en la segunda tirada.c) 7 puntos ó 6 puntos sólo en la segunda tirada.d) 7 puntos y 6 puntos sólo en la segunda tirada.

5. Dos alumnos se distribuyen al azar en 4 computadoras numeradas con 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si ambos pueden estar en una misma computadora, pero ninguno en dos computadoras a la vez.

a) Determine los elementos del espacio muestral.b) Calcular la probabilidad de que la computadora 2 no se ocupe.

6. Suponga que una rifa consiste de 1000 boletos En esta rifa un boleto se premia con $500, dos con $250, cinc o con $100, cie n con $5, y los demás no se premian. Si se adquiere un boleto de la rifa, calcular la probabilidad de:

a) ganar alguno de los premios,b) ganar a lo más $ 100,c) no ganar premio alguno.

7. Un sistema está formado por dos componentes A y B cuyas probabilidades de falla son 1/6 y 2/15 respectivamente. Si la probabilidad de que al menos una de las dos componente s falle es 7/30, calcular la probabilidad de que:

a) ninguno de las dos componentes fallen.b) sólo una de las componentes falle.

8. Un club consiste de ciento cincuenta miembros. Del total, 3/5 son hombres y 2/3 son profesionales. Además, 1/3 de las mujeres son no profesionales.

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a) Se elige al azar un socio del club:a1) Calcular la probabilidad de que sea hombre y profesional.a2) Calcular la probabilidad de que sea hombre, dado que es profesional

b) Se eligen tres socios al azar:b1) Si las tres son mujeres, ¿cuál e s la probabilidad de que al menos una de ellas sea profesional?b2) Si resultan se r del mismo sexo, ¿cuál es la probabilidad de que sean mujeres?

9. Suponga que en un proceso de producción se utilizan las máquinas, 1 y 2, que trabajan en forma independiente para producir cierto bien. Si la probabilidad de que ambas máquinas fallen es 1/5 y de que falle sólo la 2 es 2/15. Calcular la probabilidad de que

a) falle sólo la máquina 1.b) la producción continúe.

10. Un lote contiene 15 objetos de los cuales 7 son calificados como E (éxito) y el resto como F (fracasos). Del lote se escogen 5 objetos al azar una tras otra, calcular la probabilidad de que los cinco sean éxitos, si las extracciones se hacen:

a) con reposición,b) sin reposición.

11. Un ensamblador de computadoras usa partes que provienen de tres proveedores P1, P2, y P3. De 2000 partes recibidas 1000 provienen de P1, 600 de P2 y el resto de P3. De experiencias pasadas, el ensamblador sabe que las partes defectuosas que provienen de P1, P2 y P3 son respectivamente 3%, 4%, y 5%. Si se elige una computadora al azar,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga una parte defectuosa?b) y si contiene una parte defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido proveído por P2?

12. En un día cualesquiera cuatro máquinas M1, M2, M3 y M4 producen un bien de consumo en las siguientes proporciones: M1 produce el doble de M4, M3 produce el triple de M4, mientras que M1, produce la mitad de M2. Las producciones no defectuosas son respectivamente 95%, 95%, 90% para M1, M2 y M3. Si se elige al azar un artículo de la producción de un día y se encuentra que la probabilidad de que resulte no defectuoso es 0.93

a) ¿Cuál es el porcentaje de producción no defectuosa de M4?b) ¿De qué máquina es más probable que provenga un artículo defectuoso?.

13. Se estima que la probabilidad de que una compañía B tenga éxito al comercializar un producto es de 0.95 si su competidor a la compañía A no interviene en el mercado, y es de 0.15 si la Cía. A interviene en el mercado. Si se estima que A intervendría en el mercado con probabilidad de 0.7.a) ¿Cuál es la probabilidad de que la Cía. B tenga éxito?

Page 3: Practica de Probabilidades UNC

b) Si la compañía B no tuviera éxito, ¿en cuánto se estima la probabilidad de que la Cía. A intervenga en el mercado?

14. En una muestra de 120 loretanos se encontró que el 60% sufre alguna enfermedad, el 30% tienen al menos 30 años, y el 20% son menores de 30 años y sanos Si uno de tales loretanos es escogido al azar, ¿cuál es la probabilidada) de que sufra alguna enfermedad y tenga al menos 30 años?b) de que sufra alguna enfermedad si tiene al menos 30 años?.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

BINOMIAL

1. Si X ~ B (n, p) tal. que E(X) = 3 y V(X) = 2.4 c a l c u l a r : P(X≥3)

2. Un estudiante contesta al azar (ósea sin saber nada) a 9 preguntas, siendo cada una de 4 respuestas de las cuales sólo una es la correcta.

a. Determinar la distribución de probabilidades del número de preguntas contestadas correctamente.

b. Si para aprobar tal examen debe contestar correctamente al menos 6 preguntas, ¿cuál e s la probabilidad de aprobar el examen?

3. En una producción, la probabilidad de que un objeto sea defectuoso es 0.2. Si en una muestra de n de tales objetos es cogidos al azar uno por uno, se espera que haya un defectuoso,

a. Calcular la probabilidad de que haya un objeto defectuoso.b. ¿Cuántos objetos defectuosos es más probable que ocurra?

4. La probabilidad de que cierto tipo de objeto pase con éxito una determinada prueba es 5/6. Se prueban 10 de tales objetos. Si X es la variable aleatoria que se define como el número de objetos que no pasan la prueba:

a. Determine la función de probabilidades de X.b. Calcule la media y la desviación estándar de X.c. Determine la función de distribución acumulada F(x) de X.d. Usando F(x), calcular P[1 < X < 9].

5. Suponga que una producción de pollos bebé ha dado 10% de pollitos hembras.a. Si la producción es llenada al azar en cajas de n pollos bebé cada una,

hallar el valor de n de manera que la probabilidad de que no haya pollos bebé hembras en la caja sea igual a 0.08

b. Si cada caja contiene 24 pollos bebé, hallar la ley de probabilidad del número de pollos bebé hembras por caja, ¿cuál es el número esperado de pollitos hembras por caja?

c. Si un criador de pollos recibe para su venta 20 cajas de 24 pollos bebé cada una, hallar el modelo de probabilidad del número de cajas que no

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contengan pollitos hembras, ¿cuál es el número esperado de cajas que no contengan pollos bebé hembras?

6. En una empresa donde los empleados son 80% hombres y 20% mujeres están aptos para jubilarse el 10% de las mujeres y el 10% de los hombres. De cinco solicitudes para jubilarse, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos estén aptos para jubilarse?

7. La producción de cuatro máquinas es recogida en cajas de 5 unidades. La experiencia permitió establecer la siguiente distribución de las cajas, según el número de unidades defectuosas que contienen;

# de unidades defectuosas

0 1 2 3 4 5

Porcentaje de cajas 0.70 0.15 0.08 0.05 0.02 0.0

La inspección diaria consiste en examinar las 5 unidades de cada caja.Se acepta una caja, cuando contiene menos de dos unidades defectuosas. En caso contrario se rechaza.

a. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar una caja que no contenga unidades defectuosas?

b. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar una caja que contenga tres unidades defectuosas?

8. El 70% de la mercadería que recibe un comerciante del proveedor A es de calidad excepcional, mientras que el 80% de la mercadería que recibe del proveedor B es de calidad excepcional. El 40% del total de la mercadería lo adquiere de A y el resto de B. Si se seleccionan 5 unidades de la mercadería, ¿qué probabilidad hay de que se encuentren 2 unidades que sean de calidad excepcional?

9. Un vendedor a domicilio compra diariamente 10 unidades de un producto a $2 cada una. Por cada producto gana 13 $ si lo vende o pierde 1 $ además del costo si no lo vende en el día. Si la probabilidad de venta de cada unidad es 0.2 y sí las ventas son independientes.a) hallar la distribución de probabilidad de las unidades vendidas.b) calcular la utilidad esperada del vendedor.

10. Una secretaria que debe llegar a la oficina a las 8 de la mañana, se retrasa 15 minutos en el 20 % de las veces. El gerente de la compañía que no llega si no hasta las 10 de la mañana llama ocasionalmente a la oficina entre las 8 y 8.15 de la mañana para dictar una carta. Calcular la probabilidad de que en 5 mañanas por lo menos en una no encuentre a la secretaria.

11. Al realizar un experimento, la probabilidad de lograr el objetivo es 0.4. Si se realiza el experimento 20 veces bajo las mismas condiciones y asumiendo resultados independientesa) Calcular la probabilidad de lograr el objetivo por lo menos en tres de las 20 veces

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b) El costo de realizar el experimento es de S/.1500, si se logra el objetivo; y de S /.3000 si no se logra. Calcular el costo esperado para realizar el experimento.

POISSON

1. Suponga que llegan en forma aleatoria una serie de llamadas a una central telefónica con un promedio de tres llamadas por minuto.

a) Calcular la probabilidad de que en el periodo de un minutoa1) no ocurra llamada alguna, a2) ocurran al menos 4 llamadas

b) Si cada llamada cuesta S/.0.50, ¿cuánto es el costo esperado por llamada?

2. Una empresa textil produce un tipo de tela en rollos de 100 metros. El número de defectos que se encuentra al desenrollar la tela es una variable aleatoria de Poisson que tiene en promedio 4 defectos por cada 20 metros de tela.

a) ¿Qué probabilidad hay de que al desenrollar la tela se encuentre menos de tres defectos en los primeros 50 metros?

b) Hallar la probabilidad de que al desenrollar la tela no se encuentre defectos en el primer segmento de 5 metro2 de tela.

c) Si se desenrollan 5 rollos de la tela es cogidos al azar, ¿cuál la probabilidad de que no se encuentre defectos en el primer segmento de 5 metros de tela en al menos dos de ellos?

3. El número medio de automóviles que llegar, a una garita de peaje es de 60 por hora.

a) Calcular la probabilidad de que en un minuto cualquiera no llegue automóvil alguno.

b) Calcular la probabilidad de que en el período de 3 minutos lleguen más de 5 automóviles.

4. Si tal garita puede atender a un máximo de 3 automóviles en 30 segundos, calcular la probabilidad de que en un medio minuto dado lleguen más automóviles de lo que puede atender.

5. Un líquido contiene cierta bacteria con un promedio de 4 bacterias por cm3, calcular la probabilidad de que una muestra.

a) de 1/2 de cm3 no contenga bacteria algunab) de 2 cm3 contenga por lo menos una bacteria.

6. Suponga que el número de accidentes de trabajo que se producen por semana en una fábrica sigue la ley de Poisson de manera que la probabilidad de que ocurran 2 accidentes es igual a 3/2 de la probabilidad de que ocurra un accidente. Calcular la probabilidad de que no ocurran accidentes en 2 semanas consecutivas.

7. Un banco atiende todos los días de 8 am. a 4 pm. y se sabe que el número de clientes por día que van a solicitar un préstamo por más de $10,000 tiene una distribución de Poisson con una media de 3 clientes por día.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que hasta el mediodía no se haya producido una solicitud de préstamo por más de $ 10,000?

Page 6: Practica de Probabilidades UNC

b) En cuatro días, ¿cuál es la probabilidad de que en dos de los días hasta el mediodía no se haya producido una solicitud de préstamo por más de $10,000?

8. La demanda semanal de cierto producto tiene una distribución de Poisson. Actualmente su media es 3 por semana. Se estima que después de una campaña publicitaria, el valor esperado de la demanda se duplicará con probabilidad 0.8 y se triplicará con probabilidad 0.2, ¿cuál es la probabilidad de que después de la campaña la demanda sea igual a 4?

9. Suponga que la probabilidad de que se haga una soldadura defectuosa en un conexión dada es 0.001. Calcular la probabilidad de que se presenten a lo más 2 defectos en un sistema que tiene 5,000 conexiones soldadas independientemente.

NORMAL

10. Suponga que la demanda mensual de un bien de consumo se distribuye normalmente con una media de 650 kilogramos y una desviación estándar de 100 kg.

a. ¿Qué probabilidad hay de que la demanda no supere los 500 kg.?b. ¿Qué cantidad del bien debe haber mensualmente a fin de satisfacer la

demanda en el 89.8% de los meses?11. El porcentaje del ingreso ahorrado por las familias tiene distribución normal con

una media del 10%.c. Determine la desviación estándar, si el 2.28% de los ahorros son

mayores que 12.4%.d. ¿Qué porcentaje de familias ahorró más del 11.974% de sus ingresos?.e. ¿Cuál e s la probabilidad de que 3 familias de 5 tengas a horros por más

del 11.974% de sus ingresos?

Page 7: Practica de Probabilidades UNC

12. Una pequeña ciudad es abastecida de agua cada dos días. El consumo en volumen de agua (cada dos días) tiene distribución normal.

a. Determine la media y varianza de la distribución si se sabe que el 0.62% del consumo es al menos de 22,500 litros y que el 1.79% del consumo es a lo más 17,900 litros.

b. Hallar la capacidad del tanque de agua de la pequeña ciudad para que sea sólo el 0.01 la probabilidad de que en el periodo de dos días el agua no sea suficiente para satisfacer toda la demanda.

13. Las calificaciones 400 alumnos en una prueba final de Estadística se distribuyen según el modelo de probabilidad normal con una media de 12.

a. Determine la desviación estándar si la nota mínima es 6 y la máxima es 18.

b. Si la nota aprobatoria es 11, ¿cuántos alumnos aprobaron el curso?c. ¿Qué nota como mínimo debería tener un alumno para estar ubicado

en el quinto superior?d. ¿Qué rango percentil tiene un alumno cuya nota es 14? ¿indique su

orden de mérito?

14. Los puntajes de una prueba de aptitud académica están distribuidos normalmente con una media de 60 y una desviación estándar de 10 puntos.

a) Si el 12.3% de los alumnos con mayor puntaje reciben el calificativo A y el 20% de los alumnos con menor nota reciben el calificativo C, calcular el mínimo puntaje que debe tener un alumno para recibir una A, y el máximo puntaje que debe tener un alumno para recibir una C.

b) Si el resto de los alumnos recibe el calificativo B y si el total de alumnos es igual a 90, ¿cuántos alumnos recibieron el calificativo de A, B y C?

15. Las calificaciones de una prueba final de Matemática Básica tienen distribución normal con una media igual a 8. Si el 6.68% de los examinados tienen nota aprobatoria (mayor o igual a 11), ¿cómo debe modificarse cada nota para conseguir un 45% de aprobados?

16. Suponga que el ingreso familiar mensual (X) en una comunidad tiene distribución normal con media $400 y desviación estándar $50.

a) Si el décimo superior de los ingresos debe pagar un impuesto, ¿a partir de que ingreso familiar pagan el impuesto?

b) Si el ahorro familiar está dada por la relación Y = (1/4) X - 50, ¿cuál es la probabilidad de que el ahorro sea superior a $75?

c) Si escogen dos familias al azar, ¿qué probabilidad hay de que una de ellas tenga ingresos mayores a $498 y la otra menores que $302?

17. Una pieza es considerada defectuosa y por lo tanto rechazada si su diámetro es mayor que 2.02 cm. O es menor que 1 98 cm. Suponga que los diámetros tienen distribución normal con media de 2 cm. y desviación estándar de 0.01 cm.

a) Calcular la probabilidad de que una pieza sea rechazadab) ¿Cuál es el número esperado de piezas rechazadas de un lote de 10,000

piezas?

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c) Si se escogen 4 piezas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 de ellos sean defectuosos?

18. Un gerente viaja diariamente en automóvil de su casa a su oficina y ha encontrado que el tiempo empleado en el viaje sigue una distribución normal con media de 35.5 minutos y desviación estándar de 3 minutos. Si sale de su casa todos los días a las 8.20 a.m. y debe estar en la oficina a las 9 a.m.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue tarde en un día determinado?b) ¿Qué probabilidad hay de que llegue a tiempo a la oficina 3 días consecutivos?

Suponga independencia

19. Cierto líquido industrial contiene un porcentaje X por galón de un compuesto particular cuya distribución es normal con una media de 15% y una desviación estándar de 3%. El fabricante tiene una utilidad neta de $0.15. si 9 < X <21, de $0.10, si 21 < X < 27, y una pérdida de $.05, si 3 < X < 9. calcular la utilidad esperada por galón.

20. Un exportador recibe sacos de café de un quintal al mismo tiempo de dos proveedores A (Chanchamayo) y B (Quillabamaba). El 40% recibe de A y el resto de B. El porcentaje de granos con impurezas por saco es una variable aleatoria cuyo modelo de probabilidad es normal con media y desviación estándar respectivas de 6% y 2% para A, y de 8% y de 3% para B. Si el exportador selecciona un saco al azar

a) ¿Qué probabilidad hay de que el porcentaje de granos con impurezas supere el 10%?

b) y encuentra que el porcentaje de granos con impurezas supere el 10%. ¿qué probabilidad hay de que provenga de Chanchamayo?

Suponga que el costo de consumo por persona en un restaurante se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a $5. Si se sabe que el 15.87% de los clientes han pagado más de $15 y que 112 personas pagaron menos de $7.1, ¿cuántas personas comieron