KELOMPOK 21. Hendy Fergus Atheri Hura (1506693084)2. Ika Dwi Novitasari (1506693102)3. Triyana Muliawati (146505342)

Magister Matematika Universitas Indonesia 2015

2.6.• Rank baris dan rank kolom

dari sebuah matriks

2.7. • Rank dari sebuah matriks

2.8.• Penerapan matriks pada

sistem persamaan linear

2.9.• Sistem persamaan linear

yang solusinya bebas linear

RANK BARIS DAN RANK KOLOM DARI SEBUAH MATRIKS

2.6. RANK BARIS DAN RANK KOLOM MATRIKSPenerapan teori kebergantungan linear dan kebebasan linear pada sekumpulan vektor di himpunan baris dan kolom matriks.

2.6.1.DefinisiJumlah maksimum dari himpunan baris yang saling bebas linear pada sebuah matriks disebut rank baris dan jumlah maksimum dari himpunan kolom yang saling bebas linearnya disebut rank kolom.

RANK BARIS 2.6.2. TeoremaMatriks ekuivalen baris memiliki jumlah rank yang sama dengan rank baris..

Contoh:Diberikan suatu matriks berikut:

Setelah dilakukan operasi baris dasar akan didapatkan:

2.6.3. TeoremaJika S adalah matriks non singular, maka rank baris SA=rank baris A

2.6.4. TeoremaRank baris dari adalah r.

Contoh:S=,

SA=

2.6.5. TeoremaJika S adalah matriks non singular dan berorder n, maka rank baris S=n.

Contoh: S=

setelah dilakukan operasi baris dasar akan diperoleh:

2.6.6. TeoremaMatriks ekuivalen kolom memiliki jumlah rank yang sama dengan rank kolom.

2.6.7. TeoremaJika T adalah matriks non singular, maka rank kolom AT=rank kolom A

Contoh:, T=,

AT=

RANK DARI SEBUAH MATRIKS

2.7. RANK MATRIKSUntuk berapapun dimensi suatu matriks, jumlah maksimum dari baris yang saling bebas linear dan jumlah maksimum dari kolom yang saling bebas linear selalu sama.

2.7.1. TeoremaRank baris dan rank kolom dari matriks memiliki jumlah yang sama.

Contoh:

Setelah dilakukan operasi baris akan didapatkan:

2.7.2. Definisi dan NotasiNilai dari rank baris dan rank kolom suatu matriks A disebut rank dari A, dinotasikan dengan ρ(A) atau ρ[A].

Contoh:

Maka ρ(A) = 2.

2.7.3. TeoremaJika diberikan matriks A, maka matriks tersebut akan ekuivalen ke sebuah unik canonical matriks C.

Contoh: A= dengan operasi baris dan

kolom elementer dapat dibentuk matriks C sebagai berikut:

C=

Matriks C ini disebut matriks canonical.

2.7.4. TeoremaDua matriks mxn ekuivalen jika dan hanya jika memiliki rank yang sama.

Contoh:A= , ρ(A)=2

B= , ρ(B)=2A dan B ekuivalen, ρ(A)=ρ(B)=2

2.7.5. TeoremaRank dari matriks yang sudah diubah bentuknya menjadi matriks segitiga atas sama dengan jumlah baris tak nol pada matriks.

2.7.6. TeoremaRank dari perkalian matriks-matriks tidak akan melebihi rank dari masing-masing matriksnya.

Contoh:A== , ρ(B)=2

AB=,

2.7.7. TeoremaRank dari penjumlahan matriks-matriks tidak akan melebihi jumlah dari rank masing-masing faktor matriks.

Contoh:A=, , B=,

A+B=, , 5

2.7.8. TeoremaJika A dan B adalah dua matriks nxn, maka ρ(AB)≥ ρ(A)+ ρ(B) – n

Contoh:A=, , B=, 3

AB=,

ρ(AB)≥ ρ(A)+ ρ(B) – n 2≥ 2+3 –3

2.7.9. Definisi dan NotasiJika A adalah matriks bujur sangkar yang berorder n dan rank-nya r, maka n-r adalah nullitas dari A/ruang kosong dari atau dinotasikan dengan v(A).

2.7.10. Sylvester Law dari NullitasNullitas perkalian dua matriks bujur lebih besar atau sama dengan nullitas dari masing-masing faktor matriksnya dan penjumlahan dari kedua faktor matriksnya lebih besar atau sama dengan nullitas perkalian dua matriks.

Contoh:

Bentuk matriks eselon baris tereduksinya:

Nullitas dari A v(A)=2

2.7.11. CorollaryJika A dan B adalah matriks bujur sangkar berorder n sedemikian sehingga AB=O, maka ρ(A) + ρ(B) ≤ n

A=, , B,

AB=

ρ(A) + ρ(B) ≤ n 1+1 ≤2

PENERAPAN MATRIKS PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

2.8. PENERAPAN MATRIKS PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR 2.8.1. Definisi dan NotasiSistem persamaan linear berikut ini:

dapat dinyatakan sebagai bentuk matriks AX= Cdimana

Matriks [A|C] dinotasikan dengan disebut matriks yang diperbesar.

Contoh:Diberikan sistem persamaan berikut,

Maka dapat dituliskan,

2.8.2. TeoremaJika A adalah matriks non singular, sistem persamaan linear AX=C akan mempunyai solusi unik dimana

Contoh:Selesaikan sistem persamaan linear berikut:

Penyelesaian:Dari Teorema 2.2.13, telah diperoleh:

Sehingga, solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah:

2.8.3. DefinisiDua sistem persamaan linear dikatakan ekuivalen jika setiap solusi pada masing-masing sistem merupakan solusi pada sistem yang lain.

2.8.4. TeoremaJika S adalah matriks non singular mxm, maka sistem persamaan linear AX=C dan SAX=SC akan ekuivalen.

2.8.5. DefinisiSistem persamaan linear dikatakan konsisten jika paling tidak punya satu solusi, jika sistem tidak memiliki solusi maka sistem dikatakan inkonsisten.

2.8.6. TeoremaSistem persamaan linear AX=C konsisten jika dan hanya jika ,pada kasus ini biasanya r yang tidak diketahui dinyatakan sebagai fungsi linear dari c dan n-r variabel lain ditiadakan(dinyatakan sebagai parameternya), sembarang nilai dapat dimasukkan ke dalam parameternya.

Solusi Sistem Persamaan Linear

Contoh:Selesaikan sistem persamaan linear berikut:

Penyelesaian:Sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai persamaan matriks berikut:

dimana, =

Dengan operasi elementer baris, akan didapatkan bentuk matriks segitiga:

Dari bentuk tersebut, makaSistem persamaan linear konsisten.Sistem ini akan ekuivalen dengan:

akan didapatkan:

Catatan:Dua variabel dan dinyatakan sebagai fungsi linear dari dua variabel yang ditiadakan dan (disebut parameter). Sembarang nilai dapat dimasukkan ke dalam dua variabel tersebut

2.8.7. DefinisiSistem persamaan linear AX=C dikatakan sistem yang homogen jika C=0 dan non homogen jika C≠0

2.8.8. TeoremaSistem persamaan linear homogen AX=O yang memiliki solusi X=0 dikenal sebagai solusi trivial

2.8.9. TeoremaSistem persamaan linear homogen AX=O, dimana A berorder mxn, memiliki solusi non trivial jika dan hanya jika rank A<n

2.8.10. CorollarySistem homogen , dimana adalah matriks bujur sangkar, akan memiliki solusi non trivial jika dan hanya jika matriks singular.

SISTEM PERSAMAAN LINEAR YANG SOLUSINYA BEBAS LINEAR

2.9. SISTEM PERSAMAAN LINEAR YANG SOLUSINYA BEBAS LINEAR 2.9.1. TeoremaSebuah sistem persamaan linear yang konsisten, dengan order matriks mxn dan rank r akan tepat memiliki n-r solusi yang saling bebas linear jika sistemnya homogen dan tepat memiliki n-r+1 solusi yang bebas linear jika sistemnya non homogen.

Contoh:Tentukan himpunan maksimum ‘solusi yang bebas linear’ dari sistem berikut:

Penyelesaian:(dari sebelumnya telah didapatkan)

Dari penyelesaian dapat diketahui bahwa n=4 dan r=2, dimana jumlah maksimum solusi yang saling bebas linearnya adalah n-r+1=3.Dari penyelesaian sebelumnya dapat dituliskan

Sehingga,

Himpunan dari solusi yang bebas linear dapat dinyatakan sebagai berikut:

2.9.2. TeoremaRank dari perkalian dua matriks tidak melebihi rank dari elemennya.

2.9.3. TeoremaJika A dan B adalah matriks mxn dan nxp sedemikian sehingga AB=O, maka ρ(A) + ρ(B) ≤ n

2.9.4. DefinisiMisalkan P dan Q adalah matriks mxn dan nxp, ρ(Q)=r, ρ(PQ)=s. Maka (berdasarkan Teorema 2.9.2.), s≤r, dengan p-s ≥ p-r.Sistem QX=O memiliki tepat p-r solusi yang saling bebas linear, sebut saja . Solusi ini juga merupakan solusi pada sistem (PQ)X=O. Sistem (PQ)X=O memiliki tepat p-s solusi yang saling bebas linear. Untuk himpunan maka perluasannya akan menjadi (p-s)-(p-r)=r-s=t, sebut saja sebagai vektor

Maka dapat disimpulkan bahwa adalah solusi yang saling bebas linear pada sistem (PQ)X=O tetapi tidak pada sistem QX=O. Biasanya dikatakan bahwa himpunan adalah solusi extension(solusi perluasan) dari sistem QX=O ke sistem (PQ)X=O

2.9.5. LemmaMisalkan P dan Q adalah matriks mxn dan nxp, dan adalah solusi extension dari QX=O ke (PQ)X=O. Maka akan saling bebas linear.

2.9.6. The Frobenius InequalityJika A, B, C adalah matriks mxn, nxp, pxq, maka ρ(AB) + ρ(BC) ≤ ρ(B) + ρ(ABC).

ReferensiEves, Howard. (1968). Elementary Matrix Theory. Boston: Allyn & Bacon, Inc

Terima kasih

Semoga bermanfaat