Postulado de Broglie.En los comienzos de la fsica cuntica, cuando los fsicos an estudiaban la naturaleza corpuscular de la energa (lase fotones o paquetes de energa), el fsico Louis de Broglie (Francia 1892-1987), postul que no solo la energa tenia doble naturaleza sino tambin toda la materia conocida. De Broglie sostuvo que el movimiento de una partcula era gobernado por unas ondas guas, debido a las cuales las partculas podan presentar naturaleza ondulatoria o corpuscular, la cual poda ser apreciado dependiendo del experimento que se usaba. Si a las partculas materiales se les asocia una onda, surge la pregunta: ya que una onda est distribuida espacialmente, En dnde est ubicada la partcula? En el experimento de rendijas y electrones al iluminar los electrones el comportamiento ondulatorio se perda: el patrn de interferencia se destruye y la partcula es como en mecnica clsica. Pero s se disminua la frecuencia de la luz que ilumina los electrones, el patrn de interferencia se recuperaba, es decir, los electrones se comportaban como ondas de longitud de onda l=h/P (segn De Broglie), sin embargo, la trayectoria de los electrones se desconoca: no se sabe en donde estn los electrones. Entonces: 1. Si se conoce la posicin de la partcula material x, no se conoce su momento P: l=h/P P=h/l (l=?). 2. Si se conoce el momento P del electrn, se le asocia una longitud de onda l=h/p, pero no se sabe en donde est (x=?). 3. A medida que se va determinando con mayor exactitud la posicin x de la partcula material, se va perdiendo exactitud en el conocimiento de P y viceversa.

Muchos fsicos clsicos no estaban preparados para asumir esta doble personalidad de la materia. Muchos de ellos argumentaron en contra ya que dicha naturaleza ambivalente no era notoria en la fsica macroscpica. Sin embargo, experimentos posteriores, como la difraccin de electrones, de neutrones, y otros terminaron dndole la razn a De Broglie, el cual recibi el premio Nobel en 1929 por su contribucin al entendimiento de los fenmenos de la fsica microscpica.

Heisenberg haba presentado su propio modelo de tomo renunciando a todo intento de describir el tomo como un compuesto de partculas y ondas. Pens que estaba condenado al fracaso cualquier intento de establecer analogas entre la estructura atmica y la estructura del mundo. Prefiri describir los niveles de energa u rbitas de electrones en trminos numricos puros, sin la menor traza de esquemas. Como quiera que us un artificio matemtico denominado "matriz" para manipular sus nmeros, el sistema se denomin "mecnica de matriz". Heisenberg recibi el premio Nobel de Fsica en 1932 por sus aportaciones a la mecnica ondulatoria de Schrdinger, pues esta ltima pareci tan til como las abstracciones de Heisenberg, y siempre es difcil, incluso para un fsico, desistir de representar grficamente las propias ideas. Una vez presentada la mecnica matriz (para dar otro salto atrs en el tiempo) Heisenberg pas a considerar un segundo problema: cmo describir la posicin de la partcula. Cul es el procedimiento indicado para determinar dnde est una partcula? La respuesta obvia es sta: observarla. Pues bien, imaginemos un microscopio que pueda hacer visible un electrn. Si lo queremos ver debemos proyectar una luz o alguna especie de radiacin apropiada sobre l.

Pero un electrn es tan pequeo, que bastara un solo fotn de luz para hacerle cambiar de posicin apenas lo tocara. Y en el preciso instante de medir su posicin, alteraramos sta. Aqu nuestro artificio medidor es por lo menos tan grande como el objeto que medimos; y no existe ningn agente medidor ms pequeo que el electrn. En consecuencia, nuestra medicin debe surtir, sin duda, un efecto nada desdeable, un efecto ms bien decisivo en el objeto medido. Podramos detener el electrn y determinar as su posicin en un momento dado. Pero si lo hiciramos, no sabramos cul es su movimiento ni su velocidad. Por otra parte, podramos gobernar su velocidad, pero entonces no podramos fijar su posicin en un momento dado. Heisenberg demostr que no nos ser posible idear un mtodo para localizar la posicin de la partcula subatmica mientras no estemos dispuestos a aceptar la incertidumbre absoluta respecto a su posicin exacta. Es un imposible calcular ambos datos con exactitud al mismo tiempo. Siendo as, no podr haber una ausencia completa de energa ni en el cero absoluto siquiera. Si la energa alcanzara el punto cero y las partculas quedaran totalmente inmviles, slo sera necesario determinar su posicin, puesto que la velocidad equivaldra a cero. Por tanto, sera de esperar que subsistiera alguna "energa residual del punto cero", incluso en el cero absoluto, para mantener las partculas en movimiento y tambin, por as decirlo, nuestra incertidumbre. Esa energa "punto cero" es lo que no se puede eliminar, lo que basta para mantener liquido el helio incluso en el cero absoluto. En 1930, Einstein demostr que el principio de incertidumbre (donde se afirma la imposibilidad de reducir el error en la posicin sin incrementar el error en el momento) implicaba tambin la imposibilidad de reducir el error en la medicin de energa sin acrecentar la incertidumbre del tiempo durante el cual se toma la medida. l crey poder utilizar esta tesis como trampoln para refutar el principio de incertidumbre, pero Bohr procedi a demostrar que la refutacin tentativa de Einstein era errnea.

A decir verdad, la versin de la incertidumbre, segn Einstein, result ser muy til, pues signific que en un proceso subatmico se poda violar durante breves lapsos la ley sobre conservacin de energa siempre y cuando se hiciese volver todo alestado de conservacin cuando concluyesen esos perodos: cuanto mayor sea la desviacin de la conservacin, tanto ms breves sern los intervalos de tiempo tolerables. Yukawa aprovech esta nocin para elaborar su teora de los piones. Incluso posibilit la elucidacin de ciertos fenmenos subatmicos presuponiendo que las partculas nacan de la nada como un reto a la energa de conservacin, pero se extinguan antes del tiempo asignado a su deteccin, por lo cual eran slo "partculas virtuales". Hacia fines de la dcada 1940-1950, tres hombres elaboraron la teora sobre esas partculas virtuales: fueron los fsicos norteamericanos Julian Schwinger y Richard Phillips Feynman y el fsico japons Sin-itiro Tomonaga. Para recompensar ese trabajo, se les concedi a los tres el premio Nobel de Fsica en 1965. A partir de 1976 se han producido especulaciones acerca de que el Universo comenz con una pequea pero muy masiva partcula virtual que se expandi con extrema rapidez y que an sigue existiendo. Segn este punto de vista, el Universo se form de la Nada y podemos preguntarnos acerca de la posibilidad de que haya un nmero infinito de Universos que se formen (y llegado el momento acaben) en un volumen infinito de Nada. El "principio de incertidumbre" afect profundamente al pensamiento de los fsicos y los filsofos. Ejerci una influencia directa sobre la cuestin filosfica de "casualidad" (es decir, la relacin de causa y efecto). Pero sus implicaciones para la cienciano son las que se suponen por lo comn. Se lee a menudo que el principio de incertidumbre anula toda certeza acerca de la naturaleza y muestra que, al fin y al cabo, la ciencia no sabe ni sabr nunca hacia dnde se dirige, que el conocimiento cientfico est a merced de los caprichos imprevisibles de un Universo donde el efecto no sigue necesariamente a la causa. Tanto si esta interpretacin es vlida desde el ngulo visual filosfico como si no, el principio de incertidumbre no ha conmovido la actitud del cientfico ante la investigacin. Si, por ejemplo, no se puede predecir con certeza el comportamiento de las molculas individuales en un gas, tambin es cierto que las molculas suelen

acatar ciertas leyes, y su conducta es previsible sobre una base estadstica, tal como las compaas aseguradoras calculan con ndices de mortalidad fiables, aunque sea imposible predecir cundo morir un individuo determinado. Ciertamente, en muchas observaciones cientficas, la incertidumbre es tan insignificante comparada con la escala correspondiente de medidas, que se la puede descartar para todos los propsitos prcticos. Uno puede determinar simultneamente la posicin y el movimiento de una estrella, o un planeta, o una bola de billar, e incluso un grano de arena con exactitud absolutamente satisfactoria. Respecto a la incertidumbre entre las propias partculas subatmicas, cabe decir que no representa un obstculo, sino una verdadera ayuda para los fsicos. Se la ha empleado para esclarecer hechos sobre la radiactividad, sobre la absorcin de partculas subatmicas por los ncleos, as como otros muchos acontecimientos subatmicos, con mucha ms racionabilidad de lo que hubiera sido posible sin el principio de incertidumbre. El principio de incertidumbre significa que el Universo es ms complejo de lo que se supona, pero no irracional. En la bsqueda de una estructura que fuera compatible con la mecnica cuntica Werner Heisenberg descubri, cuando intentaba hallarla, el principio de incertidumbre, principio que revelaba una caracterstica distintiva de la mecnica cuntica que no exista en la mecnica newtoniana. Segn el principio de incertidumbre, ciertos pares de variables fsicas, como la posicin y el momento (masa por velocidad) de una partcula, no pueden calcularse simultneamente con la precisin que se quiera. As, si repetimos el clculo de la posicin y el momento de una partcula cuntica determinada (por ejemplo, un electrn), nos encontramos con que dichos clculos fluctan en torno a valores medos. Estas fluctuaciones reflejan, pues, nuestra incertidumbre en la determinacin de la posicin y el momento. Segn el principio de incertidumbre, el producto de esas incertidumbres en los clculos no puede reducirse a cero. Si el electrn obedeciese las leyes de la mecnica newtoniana, las incertidumbres podran reducirse a cero y la posicin y el momento del electrn

podran determinarse con toda precisin. Pero la mecnica cuntica, a diferencia de la newtoniana, slo nos permite conocer una distribucin de la probabilidad de esos clculos, es decir, es intrnsecamente estadstica.

Si se preparan varias copias idnticas de un sistema en un estado determinado, las medidas de posicin y momento (masa x velocidad) de las partculas constituyentes variarn de acuerdo a una cierta distribucin de probabilidad caracterstica del estado cuntico del sistema. Las medidas de la desviacin estndar x de la posicin y el momento p verifican entonces el principio de incertidumbre que se expresa matemticamente como:

donde

es la constante reducida de Planck, denominada h partida (para

simplificar,

suele escribirse como

[1]

)

En la fsica de sistemas clsicos esta incertidumbre de la posicin-momento no se manifiesta puesto que se aplica a estados cunticos y es extremadamente pequeo. Una de las formas alternativas del principio de incertidumbre ms conocida es la incertidumbre tiempo-energa que puede escribirse como:

Esta forma es la que se utiliza en mecnica cuntica para explorar las consecuencias de la formacin de partculas virtuales, utilizadas para estudiar los estados intermedios de una interaccin. Esta forma del principio de incertidumbre es tambin la utilizada para estudiar el concepto de energa del vaco.

DIFRACCION DE ELECTRONES.

En 1927 Davisson y Germer observaron que un cristal de nquel produce una dispersin de electrones similar a la que se obtendra con rayos X dispersados por el mismo cristal. Para que se vean las propiedades ondulatorias de los electrones, se requiere que su 2 sea del orden de la red cristalina, es decir A= 10-8 cm que es una 2 similar a la de los rayos X suaves. Como: = mt) -\12rneV Donde V es el potencial de aceleracin. Si lanzamos los electrones perpendicularmente a la superficie del cristal (de modo que Ileguen a ella frentes de onda planos); los tomos superficiales del cristal dispersarn a los electrones en todas direcciones y la onda resultante, Que Describe la dispersin, ser diferente de cero solo en las direcciones en que se Produce interferencia constructiva. La condicin para que esto ocurra se obtiene cuando la diferencia de caminos reflejados sea un mltiplo entero de 2. La longitud de onda 2 medida de esta frmula por Davisson y Germer result coincidir con la predicha por De Broglie. La Difraccin de electrones es una tcnica utilizada para estudiar la materia haciendo que un haz de electrones incida sobre una muestra y observando el patrn de interferencia resultante. Este fenmeno ocurre gracias a la dualidad onda-partcula, que establece que una partcula de materia (en este caso el electrn que incide) puede ser descrita como una onda. Por esta razn, un electrn puede ser considerado como una onda muy similar al sonido o a ondas en el agua. Esta tcnica es similar a la difraccin de los rayos-X o la difraccin de neutrones. La Difraccin de electrones es frecuentemente utilizada en fsica y qumica de slidos para estudiar la estructura cristalina de los slidos. Estos experimentos se realizan normalmente utilizando un microscopio electrnico por transmisin (MET o TEM por sus siglas en ingls), o un microscopio electrnico

por escaneo (MES o SEM por sus siglas en ingls), como el utilizado en la difraccin de electrones por retro-dispersin. En estos instrumentos, los electrones son acelerados mediante electrosttica potencial para as obtener la energa deseada e incrementar su longitud de onda antes de que este interacte con la muestra en estudio. La estructura peridica de un slido cristalino acta como una rejilla de difraccin, dispersando los electrones de una manera predecible. A partir del patrn de difraccin observado es posible deducir la estructura del cristal que produce dicho patrn de difraccin. Sin embargo, esta tcnica est limitada por el problema de fase. Aparte del estudio de los cristales, la difraccin de electrones es tambin una tcnica til para el estudio de slidos amorfos, y la geometra de las molculas gaseosas. Interaccin de los electrones con la materia A diferencia de otros tipos de radiacin utilizados en estudios de difraccin de materiales, tales como los rayos-X y los neutrones, los electrones son partculas que poseen carga e interactan con la materia a travs de la fuerza elctrica. Esto significa que los electrones que inciden son influenciados tanto por la carga positiva del ncleo atmico como por los electrones que rodean el ncleo. En comparacin, los rayos-X interactan con la distribucin espacial de los electrones en las capas exteriores (electrones de valor), mientras que los neutrones son dispersados por la fuerza de la interaccin nuclear fuerte del ncleo. Adems, el momento magntico de los neutrones es diferente de cero, por lo que tambin son dispersados por campos magnticos. La diferencia en la manera en la que las tres formas de radiacin interactan con la materia permite que se puedan utilizar en diferentes tipos de anlisis.

Antecedentes histricos a la propuesta de Bohr El modelo atmico planetario propuesto en 1911 por el fsico neozelands Ernest Rutherford (1871-1937) en base a los experimentos de bombardeo de

finas lminas de tomos de oro con partculas

(ncleos de tomos de helio) que

los cientficos alemanes Hans W. Geiger (1882-1945) y sir Ernest Marsden (18891970) haban realizaron en bajo su direccin (entonces eran sus alumnos), supona la existencia en el tomo de un ncleo de pequeo tamao (~ volumen en relacin con el resto del tomo completo ( )y

) donde se concentra

la mayora de la masa atmica, estando cargado positivamente y con los electrones de carga negativa orbitando (girando) alrededor del mismo unidos por la atraccin electrosttica del ncleo, al igual que los planetas que orbitan alrededor del Sol. La mecnica clsica permita un modelo de rbitas circulares y elpticas para el electrn en este modelo planetario. Por ejemplo, el tomo ms sencillo de todos, el tomo de hidrgeno, constara de un electrn y un ncleo positivo (con un protn) la carga del ncleo es la misma que la del electrn ( ) pero de

signo contrario, por lo que el tomo es elctricamente neutro. Este modelo planetario es estable mecnicamente, debido a que el potencial de Coulomb:

proporciona la fuerza centrpeta:

necesaria para que el electrn se mueva en un circulo de radio

a una velocidad

, siendo la constante de Coulomb. Pero es elctricamente inestable debido a que el electrn est siempre acelerando hacia el centro del crculo. Las leyes de la electrodinmica clsica (ley de Larmor) predicen que una carga acelerando radia luz con una frecuencia igual al periodo del movimiento, en este caso la frecuencia de revolucin . As clsicamente tenemos que:

=

=

~

La energa total del electrn es la suma de las energas cintica y potencial:

A partir de la ecuacin

se tiene que

= (un resultado que se mantiene para el movimiento circular [[1]] en un campo de fuerzas inversamente proporcional al cuadrado de la distancia), as que la energa total puede ser descrita como:

=

~

As, la fsica clsica predice que debido a que la energa es perdida por radiacin el tamao de la rbita del electrn alrededor del ncleo (dado por ) se ir reduciendo cada vez ms hacindose cada vez ms pequea, incrementndose de igual manera la tasa en la cual la energa del electrn es perdida, el proceso que terminara cuando el electrn alcanzara el ncleo, colapsando con el mismo. Este tiempo puede ser calculado por la mecnica y electrodinmica clsica y resultara ser menos de un microsegundo. As, el modelo planetario clsico para el tomo predice que este debera radiar un espectro continuo (ya que la frecuencia de revolucin cambia continuamente cuando el electrn cae en espiral hacia el ncleo) y que se producira un colapso cuando el electrn se precipitara contra el ncleo, un resultado que afortunadamente no ocurre. Es decir segn este modelo el tomo es una entidad inestable, llamada a desaparecer con el tiempo. Experimentalmente se comprueba todo lo contrario que a no ser que el tomo sea excitado, el tomo no radia, no emite radiacin

electromagntica y que cuando es excitado el tomo radia una lnea espectral discreta y no un espectro de radiacin continua. Para solucionar estas dificultades inabordables desde un punto de vista clsico, Bohr introdujo ad hoc en su modelo de 1913 una serie de postulados no clsicos de naturaleza cuntica, introduciendo con ello la cuantificacin (cuantizacin) iniciada por Planck y Einstein en el corazn de la estructura del tomo. Primer postulado: Los electrones se mueven en ciertas rbitas permitidas alrededor del ncleo sin emitir radiacin. As Bohr asumi que el tomo de hidrgeno puede existir solo en ciertos estados discretos, En el los tomo cuales no son hay denominados estados emisin de radiacin estacionarios del tomo.

electromagntica mientras el electrn no cambia de rbita. Con este postulado Bohr evitaba el problema de la inestabiliad orbital elctrica del electrn que predice la electrodinmica clsica y por tanto del tomo, al postular que la radiacin de energa por parte de las partculas cargadas es vlida a escala macroscpica pero no es aplicable al mundo microscpico del tomo, pero si esto es as surge el problema de de explicar la transicin entre los estados estacionarios y la emisin de radiacin por el tomo para ello Borh introdujo otro postulado : Segundo postulado: El tomo radia cuando el electrn hace una transicin (salto) desde un estado estacionario a otro, es decir toda emisin o absorcin de radiacin entre un sistema atmico esta generada por la transicin entre dos estados estacionarios. La radiacin emitida (o absorbida) durante la transicin corresponde a un cuanto de energa (fotn) cuya frecuencia esta relacionada con las energas de las [[2]]

rbitas estacionarias por la ecuacin de Planck: y est determinada por la relacin :

donde y Bohr.

es la constante de Planck (

), con

son las energas de los estados estacionarios iniciales y finales de la

transicin electrnica. La ecuacin es referida como la condicin de frecuencia de Este postulado est basado en el concepto de fotn introducido por Einstein [[3]], junto con la conservacin de la energa; si la luz est compuesta de fotones de energa , la emisin por parte del tomo de un fotn debe suponer una prdida de energa igual a la energa del fotn emitido (o si es la absorcin de un fotn a la ganancia de energa), por lo tanto es un postulado equivalente aquel de la conservacin de la energa en la emisin del fotn, es crucial, debido a que con el Bohr se desva de la senda de la teora clsica, que requiere que la frecuencia de radiacin sea igual a la frecuencia del movimiento de la partcula cargada. As, mientras el equilibrio dinmico mecnico del sistema en los estados estacionarios est regido por las leyes ordinarias de la mecnica, sin embargo, dichas leyes no son aplicables cuando se trata de transiciones entre estados estacionarios. Tercer postulado: Las rbitas estacionarias admisibles son aquellas en las que el momento angular orbital del electrn est cuantiado, pudiendo este asumir solamente

valores mltiplos enteros de nmero integral (

, donde

es la constante de Planck y

es un

), llamado numero cuntico principal. As,

Este postulado Bohr introduce de nuevo la idea de cuantizacin en una nueva rea de la fsica clsica al presuponer la idea de cuantizacin del momento angular orbital de un electrn que se mueve bajo la accin de una fuerza culombiana.

Modelo Atmico de Bohr El modelo atmico de Bohr o de Bohr-Rutherford es un modelo cuantizado del tomo que Bohr propuso en 1913 para explicar cmo los electrones pueden tener rbitas estables alrededor del ncleo. Este modelo planetario es un modelo funcional que no representa el tomo (objeto fsico) en s sino que explica su funcionamiento por medio de ecuaciones.

Niels Bohr se bas en el tomo de hidrgeno para realizar el modelo que lleva su nombre. Bohr intentaba realizar un modelo atmico capaz de explicar la estabilidad de la materia y los espectros de emisin y absorcin discretos que se observan en los gases. Describi el tomo de hidrgeno con un protn en el ncleo, y girando a su alrededor un electrn. El modelo atmico de Bohr parta conceptualmente del modelo atmico de Rutherford y de las incipientes ideas sobre cuantizacin que haban surgido unos aos antes con las investigaciones de Max Planck y Albert Einstein. Debido a su simplicidad el modelo de Bohr es todava utilizado frecuentemente como una simplificacin de la estructura de la materia. En este modelo los electrones giran en rbitas circulares alrededor del ncleo, ocupando la rbita de menor energa posible, o la rbita ms cercana posible al ncleo. El electromagnetismo clsico predeca que una partcula cargada movindose de forma circular emitira energa por lo que los electrones deberan colapsar sobre el ncleo en breves instantes de tiempo. Para superar este problema Bohr supuso que los electrones solamente se podan mover en rbitas especficas, cada una de las cuales caracterizada por su nivel energtico. Cada rbita puede entonces identificarse mediante un nmero entero n que toma valores desde 1 en adelante. Este nmero "n" recibe el nombre de Nmero

Cuntico Principal. Bohr supuso adems que el momento angular de cada electrn estaba cuantizado y slo poda variar en fracciones enteras de la constante de Planck. De acuerdo al nmero cuntico principal calcul las distancias a las cuales se hallaba del ncleo cada una de las rbitas permitidas en el tomo de hidrgeno. Estos niveles en un principio estaban clasificados por letras que empezaban en la "K" y terminaban en la "Q". Posteriormente los niveles electrnicos se ordenaron por nmeros. Cada rbita tiene electrones con distintos niveles de energa obtenida que despus se tiene que liberar y por esa razn el electrn va saltando de una rbita a otra hasta llegar a una que tenga el espacio y nivel adecuado, dependiendo de la energa que posea, para liberarse sin problema y de nuevo volver a su rbita de origen. Sin embargo no explicaba el espectro de estructura fina que podra ser explicado algunos aos ms tarde gracias al modelo atmico de Sommerfeld. Histricamente el desarrollo del modelo atmico de Bohr junto con la dualidad onda-corpsculo permitira a Erwin Schrdinger descubrir la ecuacin fundamental de la mecnica cuntica.

LA ECUACION DE ONDA DE SCHRDINGEREl desarrollo de la fsica cuntica a introducido nuevas formas de comprender los fenmenos que rodean el comportamiento de las partculas elementales. Se ha visto que las ondas electromagnticas poseen cualidades de partculas energticas, as como los electrones poseen propiedades de ondas, es decir, es posible asignarles una frecuencia angular y una contante de movimiento determinada, pero adems es imposible establecer un punto exacto del espacio donde se encuentra la partcula. La fusin definitiva que cuantifica estas ideas, a sido conseguida gracias a estudios cientficos desarrollados por Erwin Schrodinger, llamndola ecuacin de onda, la cual incluye en comportamiento ondulatorio de las partculas y la fusin de la probabilidad de su ubicacin. Es cierto que la bsqueda de la solucin de esta ecuacin es en el extremo complicada, pero para situaciones reales es de gran utilidad para establecer un estudio matemtico riguroso de modelos fsicos.

POSTULADOS DE LA ECUACION DE ONDA DE SCHRODINGER 1. - Cada partcula del sistema fsico se describe por medio de una onda plana descrita por una funcin denotada por Y(x, y, z, t); esta funcin y sus derivadas parciales son continuas, finitas y de valores simples. 2. - Las cantidades clsicas de la energa (E) y del momento (P), se relacionan con operadores de la mecnica cuntica definida de la siguiente manera.

3. - La probabilidad de encontrar una partcula con la funcin de onda en el espacio viene dada por:

Donde *(x, y, z, t) es la conjugada compleja de (x, y, z, t) y se cumple que (x, y, z, t) *(x, y, z, t) = | (x, y, z, t)|. DETERMINACIN DE LA ECUACION DE SCHRODINGER La energa total de la partcula se expresa como: E = Ep + Ec donde Ep es la energa potencial y Ec es la energa cintica:

Utilizando los operadores cunticos para Ep constante:

Multiplicando por la funcin de onda (r, t) obtenemos la funcin de Schrdinger en el espacio r:

Para ampliar este resultado se emplea el operador de Laplace:

Obteniendo la Ecuacin General de Schrdinger:

DETERMINACIN DE LA SOLUCIN: Aplicando el artificio del producto A = B. C, se puede decir lo siguiente: (x,t) = (x) f(t) (x) : Depende del espacio. f(t): Depende del tiempo. Por lo tanto:

agrupando los elementos que dependen del tiempo en el miembro de la izquierda de la igualdad y los que dependen del espacio en el otro miembro se obtiene:

C0 = C0 Co es una constante independiente. Ecuacin de Schrdinger El fsico austraco, Erwin Schrdinger, desarroll en 1925 la conocida ecuacin que lleva su nombre. Esta ecuacin es de gran importancia en la mecnica cuntica, donde juega un papel central, de la misma manera que la segunda ley de Newton en la mecnica. Fue entre 1925 y 1930, cuando apareci la teora de la mecnica cuntica, de la mano de un grupo de investigadores, donde destacaba Erwin Schrdinger. Esta teora fue importante, no slo por su relevancia e importante papel en la ciencia, sino tambin por la gran cantidad de conceptos cientficos implicados en ella. Son muchos los conceptos previos implicados en la ecuacin de Schrdinger, empezando por los modelos atmicos. Dalton, Thomson, Rutherford, Bohr, todos ellos contribuyeron al modelo atmico actual, ideado por Erwin Schrdinger, modelo conocido comoEcuacin de onda. Esta es una ecuacin matemtica que tiene en consideracin varios aspectos: La existencia de un ncleo atmico, donde se concentra la gran cantidad del volumen del tomo. Los niveles energticos donde se distribuyen los electrones segn su energa. La dualidad onda-partcula La probabilidad de encontrar al electrn A inicios del siglo XX se saba que la luz poda comportarse como una partcula, o como una onda electromagntica, segn las circunstancias, siendo el 1923, cuando De Brogliegeneraliz la dualidad a todas las partculas conocidas hasta el momento, proponiendo la hiptesis de que las partculas pueden ir asociadas a una onda, hecho que se comprob experimentalmente cuatro aos despus, al

observarse la difraccin de electrones. En el caso de los fotones, De Broglie relacion cada partcula libre con una energa E, con una cantidad de movimiento p, una frecuencia , y una longitud de onda , relacionandolas de la siguiente manera : E=h p=h/ Clinton Davisson y Lester Germer, realizaron la comprobacin experimental, mostrando la longitud de onda relacionada a los electrones segn la difraccin siguiendo la frmula de Bragg, que como haba predicho De Broglie, se corresponda con la longitud de onda de su frmula. Schrdinger trat de escribir una ecuacin siguiendo la anterior prediccin de De Broglie pero reduciendo las escalas macroscpicas e la ecuacin de la mecnica clsica, expresandose la energia mecnica total como: E= p^2 / 2m + V ( r ) Max Born dio una correcta interpretacin fsica para la funcin de la funcin de Schrdinger en 1926, sin embargo el carcter probabilstico introducido por Schrdinger provoc mucha desconfianza en los fsicos, incluso aquellos con renombre, como por ejemplo, Albert Einstein. La solucin de esta ecuacin, fue la funcin de onda, siendo sta, una medida de probabilidad de encontrar al electrn en un espacio, conocido como orbital. Las funciones de onda se transforman con el tiempo, siendo su evolucin temporal estudiada en la famosa ecuacin del fsico austraco. Otros conceptos utilizados por Schrdinger se basan en la ptica y la mecnica, y el paralelismo de ambas. A inicios de los aos 30, Born le dio una interpretacin probabilstica distinta a la funcin de onda a la que De Broglie y Schrdinger haban dado, lo que le supuso el premio Nobel. En este trabajo, Born vio mediante formulas matriciales de mecnica cuntica, que los conjuntos cunticos de estados, de manera natural construan espacios de Hilbert, para poder representar los estados fsicos en cuntica.

Actualmente la ecuacin se formula segn la mecnica cuntica, donde el estado en un instante t, de un sistema definido por un elemento ( t ) > en el espacio de Hilbert, y usando la notacin de Dirac , se pueden representar todos los resultados posibles de todas las medidas de un sistema. Con la ecuacin de Schrdinger describe la evolucin temporal de ( t ) > :

La ecuacin tambin tiene limitaciones: -No es una ecuacin relativista, solamente puede describir partculas que tengan un momento lineal pequeo en comparacin con la energa que tenga en reposo dividida por la velocidad de la luz. -Esta ecuacin no aade el espn en las partculas adecuadamente. Fue Dirac, ms tarde, quien incorpor los espines a la ahora conocida como ecuacin de Dirac, introduciendo adems efectos relativistas.

El tomo de HidrgenoAhora pasamos al estudio del tomo de hidrgeno. El mas simple de los tomos. La fuerza que mantiene al electrn unido al proton en el tomo es la fuerza de Coulomb. El potencial en este caso es

En este caso el problema tiene simetra esfrica. Esto significa que la direccin del momento angular puede tomar cualquier orientacin y estar bien definido al mismo tiempo que la energa. Esto nos permite separar la variable radial r de las

variables angulares

en la ecuacin de Schrdinger y reducir el problema a

un problema unidimiensional. El hecho de que el sistema tenga momento angular significa que existe una fuerza centrfuga proveniente del giro del electrn. Es decir, de su momento

angular. En la siguiente figura mostramos el potencial efectivo en el problema del tomo de hidrgeno.

Figura 11: Potencial efectivo en la direccin radial para el tomo de hidrgeno La ecuacin de Schrdinger en este caso (tridimensional) es

Podemos separar las variables y escribir

entonces, al escribir el operador ecuacin radial

en coordenadas esfricas encontramos la

de donde vemos explcitamente el potencial centrfugo

Las soluciones para E