poslovna matematika

Prof. dr Dušan Joksim

ović • PO

SLOV

NA

MA

TEMA

TIKA

Cyan Magenta Yellow Black

Prof. dr Dušan Joksimović rođen je 1966. godine u Beogradu.

Diplomirao je na Elektrotehničkomfakultetu u Beogradu 1991. godine. Na istom fakultetu je magistrirao 1995.godine i doktorirao 2001. godine.

Učesnik je više domaćih i inostranih kongresa ikonferencija i ima preko trideset objavljenih radova udomaćim i međunarodnim stručnim publikacijama.

Naučni je saradnik Instituta za fiziku i vanredniprofesor na Fakultetu za poslovne studije Megatrenduniverziteta primenjenih nauka za predmete Poslovnamatematika i Poslovna statistika.

ISBN 86-7747-141-3Megatrend univerzitet primenjenih nauka,

Beograd, 2004.

Prof. dr Dušan Joksimović

POSLOVNA MATEMATIKA

drugo izdanje

Megatrend univerzitet primenjenih naukaBeograd, 2004.

Prof. dr Dušan JoksimovićPOSLOVNA MATEMATIKAdrugo izdanje

Recenzenti:Prof. dr Šćepan Ušćumlić, redovni profesor Tehnološko-metalurškog fakulteta u BeograduProf. dr Goran Kilibarda,vanredni profesor Tehnološko-metalurškog fakulteta u Beogradu

Izdaje i štampa:Megatrend univerzitet primenjenih nauka, Beograd, Makedonska 21

Za izdavača:Nevenka Trifunović, izvršni direktor

Lektor:Tatjana Imširagić

Tehnički urednik i dizajn korica:Zoran Imširagić

Tiraž:700 primeraka

Copyright:© 2004 „Megatrend“ univerzitetprimenjenih nauka - BeogradIzdavač zadržava sva prava.Reprodukcija pojedinih delovaili celine ove publikacijenije dozvoljena!

ISBN 86-7747-141-3

Odlukom Komisije za izdavačku delatnost Megatrend univerzitetaprimenjenih nauka broj 94/35 (27.08.2004.) rukopis je odobren za štampu i

upotrebu u nastavi kao udžbenik.

CIP - Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd

512.6(075.8)517.3/.(075.8)51-77:33(075.8)

JOKSIMOVIĆ, DušanPoslovna matematika / Dušan

Joksimović. - 2. izd. - Beograd : Megatrenduniverzitet primenjenih nauka, 2004 (Beograd: Megatrend univerzitet primenjenih nauka). -196 str. : graf. prikazi ; 24 cm

Tiraž 700. - Bibliografija: str. 179

ISBN 86-7747-141-3

a) Linearna algebra b) Teorija funkcija c) Privredna matematika

COBISS.SR-ID 116824076

SADRŽAJ

1. ELEMENTI ALGEBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1. Osnovni pojmovi matematičke logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2. Skupovi i operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2. REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE NEZAVISNO PROMENLJIVE . . . . . .112.1. Pojam realne funkcije jedne realno nezavisne promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . .112.2. Nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.2.1. Operacije sa konvergentnim nizovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182.2.2. Broj e (Neperov broj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182.2.3. Numerički redovi kao specijalna vrsta nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

2.3. Neke osobine funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232.4. Granične vrednosti funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.5. Operacije sa graničnim vrednostima funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .332.6. Neprekidnost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352.7. Prvi izvod i diferencijal funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

2.7.1. Geometrijska interpretacija prvog izvoda i diferencijala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.7.2. Tablica izvoda nekih elementarnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402.7.3. Osnovna pravila diferenciranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412.7.4. Izvodi višeg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432.7.5. Lopitalovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432.7.6. Limesi neodređenih izraza oblika 0·µ, µ - µ, 1µ, 00, µ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452.7.7 Primena izvoda na ispitivanje funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .472.7.8. Asimptote funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .532.7.9. Opšta šema za ispitivanje funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

3. FUNKCIJE DVE NEZAVISNO PROMENLJIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .613.1. Pojam funkcije dve nezavisno promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .613.2. Granična vrednost i neprekidnost funkcije dve promenljive . . . . . . . . . . . . . . . .623.3. Parcijalni izvod i totalni diferencijal funkcije dve promenljive . . . . . . . . . . . . . .623.4 Parcijalni izvodi i diferencijali višeg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653.5. Ekstremne vrednosti funkcije dve nezavisne promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

4. INTEGRALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .714.1. Neodređeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

4.1.1. Osnovna svojstva neodređenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

4.1.2. Tablica osnovnih integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

iPoslovna matematika

4.1.3. Metodi izračunavanja neodređenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .734.1.3.1. Metoda dekompozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .734.1.3.2. Metoda zamene nezavisno promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .734.1.3.3. Metoda parcijalne integracije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .744.1.3.4. Integracija racionalnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

4.2. Određeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

4.2.1 Pojam integralne sume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .764.3. Nesvojstveni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

4.3.1. Izračunavanje nesvojstvenih integrala kod kojih interval integracije nije konačan . . . . . . . . . .79

4.3.2. Izračunavanje nesvojstvenih integrala kod kojih je podintegralna funkcija neograničena u nekoj tački intervala integracije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

5. EKONOMSKE FUNKCIJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .815.1. Funkcija tražnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .815.2. Funkcija ponude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .825.3. Funkcija ukupnih troškova, prosečnih troškova i graničnih troškova . . . . . . . . .835.4. Funkcija ukupnog prihoda i graničnog prihoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .855.5. Funkcija dobiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .865.6 Elastičnost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

5.6.1 Elastičnost funkcije tražnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

5.6.2. Elastičnost funkcije ukupnih troškova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

6. LINEARNA ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .956.1. Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .956.2. Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

6.2.1. Sarusovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1036.3. Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1046.4. Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1066.5. Sistemi linearnih algebarskih jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1086.6. Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti i matrica . . . . . .111

6.6.1 Rešavanje kvadratnog sistema linearnih jednačina pomoću determinanti (Kramerovo pravilo)1116.6.1.1. Nehomogeni kvadratni sistem linearnih jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1116.6.1.2. Homogeni kvadratni sistem linearnih jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

6.6.2. Nalaženje rešenja kvadratnog sistema linearnih jednačina koji ima jedinstveno rešenje pomoću matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

6.6.3. Nalaženje rešenja sistema m linearnih jednačina sa n nepoznatih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

7. ELEMENTI FINANSIJSKE MATEMATIKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1257.1. PROCENTNI RAČUN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1257.2 KAMATNI RAČUN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

7.2.1. Prosti kamatni račun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1317.2.1.1. Neke primene prostog kamatnog računa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

7.2.2. Složeni kamatni račun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1437.2.2.1. Dekurzivni složeni kamatni račun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

7.3. AMORTIZACIJA KREDITA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1577.3.1. Amortizacija kredita jednakim dekurzivnim anuitetima pri godišnjem dekurzivnom kapitalisanju .158

Dodatak – Kamatne (interesne) tablice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

ii Sadržaj

PREDGOVOR

Ovaj udžbenik je namenjen studentima Megatrend univerziteta za izučavanjePoslovne matematike. Sadržaj udžbenika je u skladu sa nastavnim planom i progra-mom predviđenim za predmet Poslovna matematika, koji se pohađa na prvoj godinistudija.

Način na koji su određene matematičke oblasti obrađene u ovom udžbenikuprilagođen je potrebama studenata kojima matematika nije osnovna oblast istraživanja,već primenjuju određene matematičke metode u raznim ekonometrijskim disciplinama.

Izvori pojedinih sadržaja ove knjige nalaze se u naznačenoj literaturi, pa se čita-lac u cilju dubljeg proučavanja pojedinih oblasti, upućuje na te radove.

Zahvaljujem se recenzentima Prof. dr Šćepanu Ušćumliću i Prof. dr. Goranu Ki-libardi koji su svojim sugestijama doprineli podizanju kvaliteta ovog udžbenika.

Zahvalan sam i onim čitaocima koji će svojim sugestijama doprineti da eventual-no sledeće izdanje bude još bolje.

Beograd, decembar 2002. Autor

Poslovna matematika

1. ELEMENTI ALGEBRE

1.1. Osnovni pojmovi matematičke logike

Definicija 1. (sud ili iskaz)Sud (ili iskaz) je afirmativna rečenica koja ima smisla i za koji važe slede-

ća dva principa:

1. Sud ne može biti istovremeno istinit i neistinit2. Sud ne može biti ni istinit ni neistinit

Polazne sudove ćemo zvati elementarni sudovi i označavati ih ma-lim slovima p, q, r, s....

Osobine sudova istinitost ili neistinitost nazivaju se kratko vrednostiistinitosti i obeležavaju respektivno sa 1 (ili sa Τ , što se čita „TE”) i sa 0 (ilisa ⊥ , što se čita „NE TE”).Inače vrednost istinitosti suda p obeležava se saτ(p) i čita „tau od p”.

Sledeće rečenice su sudovi:

Broj 18 je deljiv sa 6.Broj 5 je veći od broja 3.Broj 7 je veći od broja 10.

Vrednost istinitosti sudova 1. i 2. je 1, a suda 3. je 0.

Primetimo da postoje rečenice koje imaju smisla, ali za koje ne mo-žemo reći ni da su istinite ni da su neistinite. Na primer rečenica „x2=4”je istinita ako je x=2 ili x= -2 a neistinita ako je, ne primer, x=3.

1Poslovna matematika

Od elementarnih sudova formiraju se takozvani složeni sudovi po-moću logičkih sveza kao što su „i”, “ili”, „ako je...onda je” itd., koje nazi-vamo logičkim operacijama.

Osnovne logičke operacije su: konjunkcija (∧), disjunkcija (∨), eks-kluzivna (isključna) disjunkcija ( ), negacija (¬), implikacija (⇒) i ekvi-valencija (⇔).

Konjunkcija (∧) sudova

Sud „p i q” je konjunkcija (ili proizvod) sudova p i q i označava se sap∧q.

Tablica vrednosti istinitosti za konjunkciju je:p q p∧q

1 1 11 0 00 1 00 0 0

Dakle, konjunkcija sudova p i q je istinita samo ako su oba suda pi q istiniti.

Disjunkcija (∨) sudova

Sud „p ili q” je disjunkcija (ili zbir) sudova p i q i označava se sa p∨q.

Tablica vrednosti istinitosti za disjunkciju je:p q p∨q

1 1 11 0 10 1 10 0 0

Dakle, disjunkcija sudova p i q je istinita samo ako je istinit bar je-dan od sudova p i q .

−∨.

2 1. Neki elementi opšte algebre

Ekskluzivna (isključna) disjunkcija ( ) sudova

Sud „ili p ili q” je ekskluzivna (isključna) disjunkcija sudova p i q ioznačava se sa p q.

Tablica vrednosti istinitosti za isključnu disjunkciju je:p q p q

1 1 01 0 10 1 10 0 0

Dakle, isključna disjunkcija sudova p i q je istinita samo ako je isti-nit samo jedan od sudova p i q .

Negacija (¬) suda

Sud „nije p” nazivamo negacijom suda p i označava se sa ¬ p.

Tablica vrednosti istinitosti za negaciju je:p ¬p

1 00 1

Implikacija (⇒) sudova

Implikacija redom sudova p i q je sud: „Ako je p onda je q”.Označa-va se sa p⇒ q, a netačan je sud jedino ako je p tačan a q netačan sud. Usvim ostalim slučajevima implikacija je tačan sud.

Sud „ako je p onda je q” ima isto značenje kao sudovi:

Iz p sledi q;p je dovoljan uslov za q;q je potreban uslov za p;p implicira q;p povlači q.

−∨.

−∨.

−∨.


Tablica vrednosti istinitosti implikacije je:p q p⇒q

1 1 11 0 00 1 10 0 1

Primer 1.1.1:

Osobe A i B su vlasnici zajedničkog računa. A i B žele da osoba A uradi određeni posao odzajedničkog interesa i da po uspešno obavljenom poslu uzme 30 000 dinara sa zajednič-kog računa , kao naknadu za uspešno obavljen posao. Ovaj dogovor su definisali ugovoromkoji sadrži sledeču stavku:

„Ako osoba A završi posao, ona će uzeti 30 000 dinara sa zajedničkog računa” .

Ova stavka ugovora je sud koji je implikacija dva suda i to

sud p : „osoba A je završila posao”

sud q : „osoba A je uzela 30 000 dinara sa zajedničkog računa”

Dakle, stavka ugovora je sud p⇒q , što znači da tako definisan sud dozvoljava da osobaA ne završi posao i da uzme 30 000 dinara sa zajedničkog računa, što verovatno ne odgo-vara osobi B, jer za p=0 (A nije završio posao) i q=1 (A je uzeo novac sa računa), gore de-finisani sud „Ako osoba A završi posao, ona će uzeti 30 000 dinara sa zajedničkog raču-na” je tačan sud, jer je tada p⇒q=1.

Ekvivalencija (⇔) sudova

Ekvivalencija redom sudova p i q je sud „p je ako i samo ako je q”.Označava se sa p⇔ q , a tačan je sud samo u slučaju da su p i q istih vred-nosti istinitosti.

Sud „p je ako i samo ako je q” ima isto značenje kao sudovi:

p je ekvivalentno sa q;p je potreban i dovoljan uslov za q;p je logički ravnovaljano sa q.


Tablica vrednosti istinitosti ekvivalencije je:p q p⇔q

1 1 11 0 00 1 00 0 1

Primer 1.1.2:

Neka je stavka ugovora iz prethodnog primera definisana na sledeći način:

„Ako i samo ako osoba A završi posao, ona će uzeti 30 000 dinara sa zajedničkog računa”.

Sada je ova stavka ugovora ekvivalencija dva suda i to:

sud p : „A je završio posao”

sud q : „A je uzeo 30 000 dinara sa zajedničkog računa”.

Ovako definisan sud je , za razliku od prethodnog primera, tačan, odnosno istinit, samo akoA završi posao i uzme novac sa računa ili ako ne završi posao i ne uzme novac sa računa,što je u stvari na prvi pogled u redu i za osobu A , kao strane koja želi da uradi posao i daza to dobije određenu sumu novca i za osobu B, koja žele da A uradi odgovarajući posaoi da za taj posao dobije 30 000 dinara, i naravno da ako A ne uradi posao ne dobije no-vac sa računa.

Međutim ovako, na prvi pogled, pravilno definisan sud, omogućava da A završi posao i da,pošto je mogućnosti, jer je i sam jedan od vlasnika zajedničkog računa , uzme na primer 100000 dinara sa računa, jer je tada sud p istinit ( A je završio posao) i sud q je takodje istinit(jer uzevši 100 000 dinara osoba A je ispunila i sud q tj uzeo je 30 000 dinara sa računa),pa je i sud p⇔q istinit. Ovo naravno ne bi odgovaralo osobi B.

Pravilno i nedvosmisleno definisana stavka ugovora, koja podjednako štiti i osobu A i osobuB je:

„Ako i samo ako osoba A završi posao, ona će uzeti samo 30 000 dinara sa zajedničkogračuna” .

Definicija 2. (formula)

Svaki konačan sud formiran pomoću konstanata 1 i 0 i elementarnih sudo-va primenom logičkih operacija ∧, ∨,¬, ⇒, ⇔, naziva se formula ili iskazna for-mula.

Iskazne formule se obično obeležavaju velikim slovima A, B, C, ... .

Formula je, na primer , (p∧(q∨r)⇒s)⇔r.


Definicija 3. (tautologija)

Formula koja za sve vrednosti istinitosti sudova koji ulaze u tu formulu do-bija vrednost 1 (odnosno T) naziva se tautologija.

Definicija 4. (kontradikcija)

Formula koja za sve vrednosti istinitosti sudova koji ulaze u tu formulu do-bija vrednost 0 (odnosno ⊥ ) naziva se kontradikcija.

Kvantifikatori (kvantori)

Simbol ∀ (svaki) naziva se univerzalni kvantifikator, a simbol ∃(postoji) je tzv. egzistencijalni kvantifikator.

Primer 1.1.3.

Sud „za svako x važi x2≥0” simbolički se zapisuje

(∀x), x2≥0;

Sud „postoji x tako da je x<6” simbolički se zapisuje

(∃x), x<6;

Sud „za svako x postoji bar jedno y tako da je x>y” simbolički se zapisuje

(∀x)(∃y), x>y.

Primer 1.1.4. Neke važnije tautologije:

1. (p∧q)⇔(q ∧ p); (p∨q)⇔(q∨p); (p⇔q)⇔(q⇔p). (Konjunkcija, disjunkcija i ekvivalencija su komutativne).

2. ((p∧q)∧r)⇔(p∧(q∧r)); ((p∨q)∨r)⇔(p∨(q∨r)); ((p⇔q)⇔r)⇔(p⇔(q⇔r)).(Konjunkcija, disjunkcija i ekvivalencija su asocijativne. ).

3. (p∧p)⇔p; (p∨p)⇔p. (Konjunkcija i disjunkcija su idempotentne)

4. (p∧(q∧r)⇔((p∧q)∧(p∧r)); (p∨(q∨r)⇔((p∨q)∨(p∨r)). (Konjunkcija i disjunkcija su distributivne).

5. (p∧(q∨r)⇔((p∧q)∨ (p∧r)); (p∨(q∧r)⇔((p∨q)∧ (p∨r)). (Konjunkcija je distributivna prema disjunkciji i obratno)

6. (p∧(p∨r)⇔p; (p∨(p∧r)⇔p.(Konjunkcija je apsorptivna prema disjunkciji i obratno)


7. ¬(¬p)⇔p. (Negacija je involutivna)

8. ¬(p∨q)⇔(¬p∧¬q); ¬(p∧q)⇔(¬p∨¬q). (De Morganova pravila. )

9. (p⇒q)⇔(¬q⇒¬p). (Zakon kontrapozicije)

Sve navedene tautologije mogu se dokazati, na primer, pomoću ta-blica istinitosti. Primera radi, dokažimo tautologiju 8.

Dokaz tautologije ¬(p∨q)⇔(¬p∧¬q):p q p∨q ¬(p∨q) ¬p ¬q ¬p∧¬q

1 1 1 0 0 0 01 0 1 0 0 1 00 1 1 0 1 0 00 0 0 1 1 1 1

Kako za sve vrednosti istinitosti sudova p i q , kolona 4 (¬(p∨q)) ima istevrednosti istinitosti kao i kolona 7 (¬p∧¬q), zaključujemo da je razmatrana for-mula tautologija.

1.2. Skupovi i operacije sa skupovima

Pojam skupa je jedan od osnovnih pojmova matematike koji se nedefiniše, već se smatra poznatim. Pod skupom se podrazumeva potpunoodređena lista objekata. Skup se obično obeležava velikim slovima A; B;S; X; Y...Objekti koji čine skup nazivaju se elementi skupa (ili članoviskupa) i obeležavaju se malim slovima a, b, c, x, y, ...

Ako skup A sačinjavaju elementi a, b, c,..., onda se to označava saA={a,b,c,...}.

Sa A={x⏐F(x)} označava se skup svih elemenata x koji imaju osobi-nu F(x).

Ako je A skup, tada se sa x∈A označava tvrđenje „x je element sku-pa A”, odnosno „x pripada skupu A” . Negacija ovog iskaza se označava sax∉A .

Skup ne zavisi od poretka kojim su dati njegovi elementi. Tako, naprimer, skupovi {a,b,c} i {b,a,c} su jednaki, kao i skupovi {a,a,a,b,c} i{b,c,c,a}.


Skup je konačan ako je broj njegovih elemenata konačan.

Skup koji ne sadrži nijedan element zove se prazan skup i označa-va se simbolom ∅.

Definicija 1.2.1. (Inkluzija, odnosno podskup)

Za skup B kaže se da je sadržan u skupu A, tj. da je B podskup ili deo sku-pa A, ako i samo ako je svaki element skupa B takođe element skupa A.

Činjenica da je B podskup skupa A se označava sa B⊂A ili A⊃B.

Dakle,

B⊂A⇔(∀x)(x∈B⇒x∈A).

Definicija 1.2.2.(Jednakost skupova)

Skupovi A i B su jednaki ako i samo ako je B⊂A i A⊂B.

Odnosno,

A=B ⇔ B⊂A∧A⊂B

Definicija 1.2.3. (Unija skupova)

Ako su A i B dva skupa, pod unijom (zbirom) skupova A i B (u oznaciA∪B) podrazumeva se skup svih elemenata koji se nalaze bar u jednom od sku-pova A i B.

To znači,

A∪B={x⏐x∈A∨x∈B}

Definicija 1.2.4. (Presek skupova)

Presek (proizvod) skupova A i B ( u oznaci A∩B) je skup svih elemenatakoji pripadaju i skupu A i skupu B.

Dakle,

A∩B={x⏐x∈A∧x∈B}

Definicija 1.2.5. (Razlika skupova)

Pod razlikom dva skupa A i B (u oznaci A\B) podrazumeva se skup svihelemenata skupa A koji ne pripadaju skupu B.

To znači,

A\B={x⏐x∈A∧x∉B}


Definicija 1.2.6. (Komplement skupa)

Ako je A⊂B, pod komplementom skupa A u odnosu na skup B (u oznaciA’) podrazumeva se skup svih elemenata skupa B koji ne pripadaju skupu A.

To znači da je A’={x⏐x∉A∧x∈B}

Definicija 1.2.7. (Partitivni skup)

Partitivni skup skupa A (u oznaci P(A)) je skup svih podskupova skupa A.

Za neke skupove, koji su često u upotrebi, usvojene su sledeće ozna-ke:

N skup svih prirodnih brojeva;Z skup svih celih brojeva;Q skup svih racionalnih brojeva;R skup svih realnih brojeva;R+ skup svih pozitivnih realnih brojeva;I skup svih iracionalnih brojeva;C skup svih kompleksnih brojeva.

Važi sledeće: N⊂Z⊂Q⊂R; I⊂R; Q∪I=R

Skup realnih brojeva je neograničen, odnosno ne postoje najmanjii najveći realan broj. Zato se uvode dva simbola -∝ (minus beskonačno), i+∝ (plus beskonačno), tako da za svaki realan broj a važi -∝<a< +∝ .

Skup R*=R∪{-∝,+∝} zove se proširen skup realnih brojeva.

Sa simbolima -∝,+∝ i realnim brojevima izvode se operacije po sle-dećim pravilima:

(+∝)+(+∝)=+∝ ;(-∝)+(-∝)=-∝ ;(+∝)•(+∝)=+∝ ;(-∝)•(-∝)=+∝ ;(+∝)•(-∝)=(-∝)•(+∝)=-∝ .


Za svako a iz R je:

a+(+∝)=(+∝)+a=+∝ ;a+(-∝)=(-∝)+a=-∝ ;

.

Ako je a>0, tada je

a•(+∝)=(+∝)•a=+∝ ;a•(-∝)=(-∝)•a=-∝ .

Ako je a<0, tada je

a•(+∝)=(+∝)•a=-∝ ;a•(-∝)=(-∝)•a=+∝ .

Izrazi 0•∝, , su neodređeni.

Definicija 1.2.8. (Interval realnih brojeva) Skup realnih brojeva x takvih da je a<x<b zove se interval i označava

(a,b).

Definicija 1.2.9. (Segment realnih brojeva)

Skup realnih brojeva x takvih da je a≤x≤b zove se segment i označava[a,b].

Definicija 1.2.10. (Poluotvoreni interval realnih brojeva)

Skup realnih brojeva x za koje je a≤x<b ili a<x≤b zove se poluotvoreni in-terval i označava [a,b) odnosno (a,b]. Za interval [a,b) kažemo da je zatvoren sleva, a za interval (a,b] da je zatvoren s desna.

∝∝

0=∝−

=∝+

aa


2. REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE NEZAVISNO PROMENLJIVE

2.1. Pojam realne funkcije jedne realno nezavisne promenljive

Neka su dati neprazni skupovi X i Y i neka je x elemenat skupa X, ay elemenat skupa Y. Neka je sa f označen način, zakon, ili pravilo kojim sesvakom elementu x iz X pridružuje jedan i samo jedan element y iz Y. Tadakažemo da je f preslikavanje skupa X u skup Y.

Definicija 2.1.1 (Funkcija jedne nezavisno promenljive) Preslikavanje f skupa X u skup Y po tačno određenom zakonu pridruživa-

nja nazivamo funkcijom iz skupa X u skup Y.

Funkciju f simbolički možemo zapisati i na jedan od načina:

x→f(x) ili f : X→Y ili y=f(x).

Pri tome se x naziva nezavisno promenljiva ili argument ili original, ay zavisno promenljiva ili slika.

Skup D(f)=X zove se domen ili oblast definisanosti ili skup originalafunkcije, a skup R(f)=Y je skup vrednosti ili kodomen ili skup slika funkcije f.

Napomenimo da ubuduće nećemo praviti razliku između funkcijei preslikavanja.

Za preslikavanje f:X→Y kod koga je R(f)=Y kažemo da je preslikava-nje skupa X na skup Y.


Za preslikavanje f:X→Y kod koga se različitim elementima skupa Xpridružuju različiti elementi skupa Y kažemo da je injektivno ili jedan-je-dan preslikavanje.

Za preslikavanje f:X→Y koje je i jedan-jedan i na kažemo da je obo-strano jednoznačno preslikavanje.

Ako je oblast definisanosti funkcije skup realnih brojeva R ili nekinjegov podskup i ako skup vrednosti funkcije pripada skupu realnih bro-jeva R ili nekom njegovom podskupu, onda se za takvu funkciju kaže daje realna funkcija realne promenljive.

Neka je preslikavanje f:X→Y obostrano jednoznačno. Tada se presli-kavanje f -1:Y→X koje svakoj vrednosti argumenta y iz Y dodeljuje vrednost(odnosno sliku) x iz X i to tačno onu za koju je y=f(x), naziva inverzno pre-slikavanje preslikavanja f.

Ovo znači da je

Ako se iz jednakosti y=f(x) odredi x, i zatim se zameni sa y, a y se za-meni sa x dobija se izraz za inverznu funkciju y=f -1(x).

Grafik funkcije f(x) je simetričan sa grafikom funkcije f -1(x) u odno-su na pravu y=x.

Primer 2.1.1.

Naći inverznu funkciju funkcije y=3x-9

Rešenje:

Rešimo po x datu funkciju

Zamenom mesta za x i y dobijamo .

Složena funkcija h:X→Y ili kompozicija preslikavanja g i f određe-nih sa g:X→U a f:U→Y je preslikavanje skupa X u skup Y definisano nasledeći način y=h(x)=f(g(x))

33

)(1 +== − xxfy

33

+= yx

( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( ).1

1

yyffYfRy

xxffXfDx

==∈∀==∈∀

−

−

12 2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

Primer 2.1.2.

Neka je

g(x)=3x-2

f(x)=x2+4

Tada je složena funkcija

f(g(x))=(3x-2)2+4.

Grafik funkcije f (u pravouglom koordinatnom sistemu x0y) je skuptačaka ravni, čije apscise (osa x) su vrednosti nezavisno promenljive, a ordi-nate (osa y) su odgovarajuće vrednosti funkcije (slika 1).

Sa M(a,b) označavamo tačku u pravouglom koordinatnom sistemux0y čija je apscisa x=a, a ordinata y=b. (slika 1.)

Dakle, grafik funkcije f(x) je skup tačaka (x,f(x)).

Slika 1. Grafik funkcije y=f(x) i tačke M(a,b)

Za funkciju y=f(x) kaže se da je data analitički ako je zakon pridru-živanja f zadat analitičkim izrazom tj. obrascem (formulom) koji je formi-ran pomoću operacija koje je u određenom poretku neophodno izvršitinad argumentom x i realnim brojevima da bi se dobila odgovarajućavrednost funkcije f(x).

Na primer: je analitički zadata funkcija.

Ako je funkcija f data analitički onda je njena oblast definisanosti od-ređena skupom vrednosti nezavisno promenljive x za koje se iz odgovara-jućeg analitičkog izraza može odrediti vrednost funkcije y=f(x).

Tako, na primer, oblast definisanosti (skup D(f)=X) za funkciju

62

432

−+−=

x

xxy

x

y

y=f(x)

0 a

bM (a,b)


a) gde je n paran broj, je skup X={x⏐p(x)≥0}

b) , je skup X={x⏐p(x)>0}

c) Ako su X1 i X2 oblasti definisanosti funkcija f1 i f2 onda je oblastdefinisanosti funkcije

y=f1(x)±f2(x) i y= f1(x)• f2(x)skup X=X1∩X2

d) Ako je funkcija y data kao količnik dve funkcije, odnosno

onda je njena oblast definisanosti skup X=(X1∩X2)\X3

gde su X1 i X2 oblasti definisanosti funkcija f1 i f2, a X3 skup vredno-sti promenljive x za koje je f2(x)=0.

2.2. Nizovi

Neka je N skup prirodnih brojeva i R skup realnih brojeva.

Definicija 2.2.1. (realni niz)Svako preslikavanje f:N→R zove se realni niz.

Dakle, realni niz je funkcija čiji su argumenti prirodni brojevi (od-nosno celi pozitivni brojevi 1,2,3, …). Prirodnom broju 1 se pridružuje re-alan broj x1=f(1), prirodnom broju 2 se pridružuje realan broj x2=f(2),…,prirodnom broju n se pridružuje realan broj xn=f(n), itd.

Član xn je opšti član niza.

Niz sa opštim članom xn se označava sa {xn}.

Na primer sa opštim članom xn=2n-1 je definisan niz {xn}=(1, 3, 5,7,…).

Definicija 2.2.2.(ε- okolina)Interval realnih brojeva (a-ε, a+ε) (ε>0) zove se ε okolina tačke (broja) a.

Broj ε je poluprečnik ε-okoline broja a.

ε-okolinom tačke +∝ naziva se interval (ε,+∝).ε-okolinom tačke -∝ naziva se interval (-∝,-ε).

Dakle, ε okolina tačke a je skup realnih brojeva x za koje je ⏐x-a⏐<ε.

)(

)(

2

1

xf

xfy =

( )( )xpy alog=

n xpy )(=


ε-okolina tačke +∝ je skup realnih brojeva x, za koje je ε<x, dok je ε-okolina tačke -∝ skup realnih brojeva x za koje je x<-ε.

Definicija 2.2.3. (ograničeni nizovi) Niz {xn} je ograničen sa gornje strane ako postoji broj M takav da je xn≤M

za svako n∈N. Broj M zove se gornja granica niza {xn}. Niz {xn} je ograničen sa donje strane ako postoji broj m takav da je m≤ xn

za svako n∈N. Broj m zove se donja granica niza {xn}.Niz {xn} je ograničen ako je ograničen i sa gornje i sa donje strane.Najmanja gornja granica niza {xn} zove se supremum, i obeležava sup xn.Najveća donja granica niza {xn} zove se infimum i obeležava inf xn.

Definicija 2.2.4. (monotoni nizovi) Ako je xn<xn+1 za svako n∈N, kaže se da je niz {xn} monotono rastući. Ako je xn >xn+1 za svako n∈N, kaže se da je niz {xn} monotono opadajući. Ako je xn ≤xn+1 za svako n∈N, kaže se da je niz {xn} monotono neopadajući. Ako je xn≥xn+1 za svako n∈N, kaže se da je niz {xn} monotono nerastući.

Definicija 2.2.5. (konvergentan niz)Niz {xn} je konvergentan i a mu je granična vrednost, ako za svako ε>0 po-

stoji prirodan broj n0 (određen u zavisnosti od ε), takav da je

⏐xn-a⏐<ε za svako n>n0

Ovo se zapisuje i govori da niz {xn} konvergira ka a, ili da

xn teži ka a.

Definicija 2.2.6. (divergentan niz)Za niz koji nije konvergentan kažemo da je divergentan.

Definicija 2.2.7. (divergentnost niza u užem smislu) Kaže se da je niz {xn} divergentan u užem smislu, ako za svaki pozitivan

broj M (ma kako veliki) postoji prirodan broj n1, takav da je xn>M za svako n>n1,ili ako za svaki negativan broj N (ma kako veliki po apsolutnoj vrednosti) posto-ji prirodan broj n2 takav da je xn<N za svako n>n2.

Kada niz divergira u užem smislu kaže se još da {xn} teži ka +∝ u pr-vom, odnosno ka -∝ u drugom slučaju.

axnn

=→∝lim


Definicija 2.2.8 (divergentnost niza u širem smislu)Za divergentan niz, koji nije divergentan u užem smislu kaže se da je diver-

gentan u širem smislu.

Definicija 2.2.9 (nula niz) Konvergentan niz čija je granična vrednost jednaka 0 (nula) zove se nula

niz.

Teorema 2.2.1. Monoton i ograničen niz je konvergentan.

Dokaz:

Pretpostavimo da je niz {xn} monotono rastući. Pošto je niz {xn} i ograni-čen on ima supremum, recimo a. Dokazaćemo da je niz {xn} konvergentan i damu je a granična vrednost.

Kako je a supremum, za svako n∈N važi xn≤a. Takođe, za svako ε>0 po-stoji prirodan broj n0 takav da je xn0>a-ε, jer da to nije slučaj a ne bi bio supre-mum (najmanja gornja granica) već bi to bio broj a-ε<a. Pošto je niz {xn} mono-tono rastući važi da za svako n>n0 je xn>xn0>a-ε. Dakle, imamo

0<a-xn<ε odnosno ⏐xn-a⏐<ε za (n>n0)

što prema definiciji konvergentnosti znači da je niz {xn} konvergentan i damu je granična vrednost a.

Pretpostavimo da je niz {xn} monotono opadajući.. Pošto je niz {xn} i ogra-ničen on ima infimum, recimo a. Dokazaćemo da je niz {xn} konvergentan i damu je a granična vrednost.

Kako je a infimum, za svako n∈N važi xn≥a. Takođe, za svako ε>0 posto-ji prirodan broj n0 takav da je xn0<a+ε, jer da to nije slučaj a ne bi bio infimum(najveća donja granica) već bi to bio broj a+ε>a. Pošto je niz {xn} monotono opa-dajući važi da za svako n>n0 je xn<xn0<a+ε. Dakle, imamo

0<xn-a<ε odnosno ⏐xn-a⏐<ε za (n>n0)

što prema definiciji konvergentnosti znači da je niz {xn} konvergentan i damu je granična vrednost a.

Teorema 2.2.2 Ako niz {xn} ima graničnu vrednost ona je jedinstvena,tj ako {xn}→a i {xn}→b, tada je a=b.

Dokaz:


Pretpostavimo da je a≠b. Neka je ⏐a-b⏐=2ε>0. Uočimo ε okolinu tačaka ai b.Ove dve okoline su disjunktne, odnosno njihov presek je prazan skup. Kako jea granična vrednost niza {xn} u okolini ε okoline tačke a ima beskonačno mno-go članova niza, a to znači da izvan ε okoline tačke b ima beskonačno mnogo čla-nova niza. To znači da b nije granična vrednost niza, što je suprotno pretpostav-ci. Dakle, mora biti a=b.

Teorema 2.2.3. Ako niz {an}→a i niz {cn}→a i ako je an≤bn≤cn tada iniz {bn}→a.

Dokaz:

Neka je ε>0. Pošto an→a postoji prirodan broj n1 takav da je ⏐an-a⏐<ε zasvako n>n1. Takodje, pošto cn→a postoji prirodan broj n2 takav da je ⏐cn-a⏐<ε zasvako n>n2.

Neka je n0=max(n1,n2).

Tada je

a-ε<an<a+ε i a-ε<cn<a+ε za svako n>n0.

Kako je an≤bn≤cn, važi

a-ε<an≤bn≤cn<a+ε za n>n0 odnosno ⏐bn-a⏐<ε za n>n0.

Dakle, bn→a.

Teorema 2.2.4 Niz {xn} je konvergentan ako i samo ako se može napi-sati u obliku konstante i nula niza. Ta konstanta je granična vrednost niza.

Dokaz: 1. Neka je xn=a+bn, gde je {bn} nula niz i a konstanta. Tada je

⏐xn-a⏐=⏐bn⏐

Kako je {bn} nula niz, to za svako ε>0 postoji prirodan broj n0 takav da je⏐bn⏐<ε za svako n>n0.

Prema tome važi ⏐xn-a⏐<ε za svako n>n0, odnosno xn→a.

2. Iz xn→a, sledi da za svako ε>0 postoji prirodan broj n0 takav da za sva-ko n>n0 važi ⏐xn-a⏐<ε, odnosno ⏐(xn-a)-0⏐<ε, što znači da je {xn-a} nu-la niz. Stavimo li da je

xn-a=bn, imamo da je xn=a+bn, gde je bn nula niz


2.2.1. Operacije sa konvergentnim nizovima

Neke od osnovnih operacija sa konvergentnim nizovim date su u vi-du teorema 2.2.1.1. i 2.2.1.2. koje ćemo prihvatiti bez dokazivanja.

Teorema 2.2.1.1. Neka su {an} i {bn} konvergentni nizovi čije su gra-nice redom a i b i neka je c proizvoljan realan broj. Tada važi:

a) {can}→ca;b) {an±bn}→a±b;c) {an}•{bn}→a•b;

d) , bn≠0, b≠0.

Teorema 2.2.1.2. Neka je {an} konvergentan niz čija je granica broj a,{bn} divergentan niz u užem smislu čija je granica +∝, i c proizvoljna kon-stanta Tada važi:

a) {cbn}→+∝ za c>0 i {cbn}→ -∝ za c<0;b) {an+bn}→+∝;c) {an -bn}→ -∝;d) {an}•{bn}→+∝ za a>0 i {an}•{bn}→ -∝ za a<0;

e) , bn≠0;

f) , bn≠0.

Naravno, analogni rezultati važe za bn→ -∝ .

2.2.2. Broj e (Neperov broj)

Teorema 2.2.2.1 Niz {xn} čiji je opšti član je konvergen-tan.

(Granična vrednost ovog niza označava se sa e i ima vrlo važnu ulo-gu u matematici)

n

nn

x ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ += 11

0→⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

nb

c

0→⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n

n

b

a

b

a

b

a

n

n =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧


Dokaz:Dokaz ove teoreme ćemo izvesti tako što ćemo pokazati da je niz {xn} mo-

notono rastući, a zatim i da je ograničen sa gornje strane, čime ćemo po teoremi2.2.1. dokazati i da je konvergentan.

Razvijajući po binomnoj formuli izraz dobijamo:

(Binomna formula glasi gde je

Odavde sledi da je niz {xn} monotono rastući niz, jer sa povećanjem brojan broj sabiraka (koji su pozitivni) raste, a i sami sabirci rastu jer se povećanjem

broja n povećavaju i izrazi itd.

Pokažimo da je niz {xn} ograničen sa gornje strane (naravno pošto je mo-notono rastući on je ograničen sa donje strane svojim prvim članom x1=2).

Kako je:

očigledno je

pa je

nn

n

••••++

••+

•++<+

...321

1...

321

1

21

111)

11(

...1)2

1()1

1(

,1)2

1(,1)1

1(

<−•−

<−<−

nn

nn

),...2

1(),1

1(nn

−−

[ ]

)1

1(...)2

1()1

1(...21

1

...)2

1()1

1(321

1)1

1(21

111

)1(

...21

)1(...)2()1(...)

1(

21

)1(1

11

11 2

n

n

nnn

nnn

nn

nnnnn

n

nn

n

n

n

n

n

−−••−•−••••

+

+−•−•••

+−••

++

=••••

−−••−•−•++••

−•+•+=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

12...)2()1(! •••−•−•= nnnn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛•−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛!)!(

!

iin

n

i

n

( ) iinn

i

nba

i

nba ••⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ −

=∑0

n

n⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + 11


Kako je to je

Dakle, za svako n važi:

odnosno niz {xn} je ograničen i sa donje i sa gornje strane.

Kako je {xn} i monotono rastući, to je prema teoremi 2.2.1. konvergen-tan.Njegova granična vrednost označava se sa e.

Broj e je iracionalan broj. Njegova približna vrednost iznosie≈2,7182818284

2.2.3. Numerički redovi kao specijalna vrsta nizova

Definicija 2.2.3.1 (numerički red)Neka je {an} realan niz. Izraz oblika

naziva se numerički red (ili kraće red) sa opštim članom ak .

Definicija 2.2.3.2. (parcijalna suma reda)

Zbir gde n∈N naziva se n-ta parcijalna suma reda .

(Napomena: Očigledno je da je i {Sn} takođe realan niz, odnosno n-ta parcijalna suma numeričkog reda je realan niz).

Definicija 2.2.3.3. (konvergentnost, divergentnost reda)

Za red kažemo da je konvergentan, odnosno divergentan (u užem

ili širem smislu), ako je niz {Sn}, čiji je opšti član definisan kao n-ta parcijalna su-

∑∝

=1k

ka

∑∝

=1k

ka∑=

=n

k

kn aS1

∑∝

=

++++=1

21 ......k

nk aaaa

32 <≤ nx

3)2

1(21

2

11

)2

1(1

12

1...

2

1

2

111)

11( 1

12<⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+=

−

−+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +++++<+ −

−n

n

n

n

n

12

1

...321

1−<

•••• ii


ma reda, konvergentan, odnosno divergentan (u užem ili širem smislu). Specijal-

no ako je niz {Sn} konvergentan i ako je , kažemo da zbir (suma) re-

da iznosi S i pišemo .

Sledeću teoremu ćemo prihvatiti bez dokaza.

Teorema 2.2.3.1. Neka je numerički red i neka je .Tada važi:

a) ako je L<1 onda red konvergirab) ako je L>1 onda red divergirac) ako je L=1 onda red može biti ili konvergentan ili divergen-

tan, odnosno neodređen je u smislu konvergencije.

Jedan od važnijih redova u matematici i ekonomiji je geometrijskired. On se primenjuje u ekonomiji prilikom analize sadašnje vrednostinovca (present value), analize zajmova, složenog kamatnog računa i ana-lize mnogih drugih ekonometrijskih problema. Neke od njih su obrađe-ne u ovom udžbeniku u kasnijim poglavljima. Zbog toga ćemo u slede-ćem primeru posvetiti pažnju ovom redu.

Primer 2.2.3.1.

Dat je geometrijski red u obliku gde je a≠0

a) ispitati konvergenciju ovog reda

b) naći n-tu parcijalnu sumu ovog reda

c) za slučajeve kada je ovaj red konvergentan naći njegovu sumu.

Rešenje:

a)

Opšti član geometrijskog reda je an=aqn-1 . Dakle važi:

Dakle po teoremi 2.2.3.1. za ⏐q⏐<1 geometrijski red je konvergentan, dok je za ⏐q⏐>1 ondivergentan.

qqaq

aq

a

a

nn

n

nn

n

n===

→∝−→∝

+

→∝limlimlim

1

1

.....2

1

1 +++=∑∝

=

− aqaqaaqk

k

La

a

n

n

n=+

→∝

1lim∑∝

=1k

ka

∑∝

=

=1k

kaS∑∝

=1k

ka

SSnn

=→∝lim


Za q =1 geometrijski red se svodi na odakle

sledi da je za q =1 geometrijski red divergentan.

Za q= -1 imamo , pa red opet divergira jer je

S2n=0 i S2n+1=a, tj.

b)

Za n-tu parcijalnu sumu geometrijskog reda Sn važi sledeće:

c)

Za ⏐q⏐<1 važi (videti zadatak 2.1.8. zbirka zadataka) pa onda važi sledeće:

Dakle suma beskonačnog geometrijskog reda iznosi S= .q

a

−1

qa

qq

aSn

nnn −=

−−

=→∝→∝ 11

1limlim

0lim =→∝

n

nq

( ) ( )

.1

1

,11

,

....

,

....

32

12

1

1

q

qaS

jepaqaqSaqaqSS

jeDalje

aqaqaqaqSq

imamoqsajednakostiposlednjestranedesneilevemnozenjemOtuda

aqaqaqaaqS

n

n

n

n

n

nn

n

n

nn

k

n

n

−−•=

−•=−•⇒−=−

++++=•

++++== −

=

−∑

.limlim 122 +→∝→∝≠ n

nn

nSS

+−+−=−⋅∑∝

=

− aaaaak

k

1

1)1(

∝

∝

=

∝

=

− ++==⋅ ∑∑ ............111

1 aaaaakk

k


2.3. Neke osobine funkcija

Definicija 2.3.1. (nule funkcije) Skup svih vrednosti x iz oblasti definisanosti funkcije y=f(x) za koje je

f(x)=0 su nule funkcije.

Na grafiku funkcije nule su tačke na x osi u kojima kriva frunkcijeseče ili dodiruje x osu.

Slika 2. Grafik funkcije y=x3-3x2+2x

Tako, na primer, funkcija y=x3-3x2+2x ima tri nule i to: x1=0, x2=1 ix3=2 (slika 2.).

Definicija 2.3.2. (parnost, neparnost)

Za funkciju f(x) kažemo da je parna ako za svako x iz oblasti definisano-sti važi

f(-x)=f(x),

a da je neparna ako za svako x iz oblasti definisanosti važi

f(-x)= -f(x)

Grafik parne funkcije je simetrična u odnosu na y osu, dok je gra-fik neparne funkcije simetričan u odnosu na koordinatni početak (Slike3 i 4).

x3

3 x2. 2 x.

x

1 0 1 2 3


Slika 3. Grafik parne funkcije y=-3x2+3x

Slika 4. Grafik neparne funkcije y=-3x3

Definicija 2.3.3. (monotonost funkcije) Funkcija f(x) je monotono rastuća u intervalu (a,b) ukoliko za svako x1,

x2∈(a,b) važi

x1<x2 ⇒ f(x1)<f(x2).

Funkcija f(x) je monotono opadajuća u intervalu (a,b) ukoliko za svakox1, x2∈(a,b) važi

x1<x2 ⇒ f(x1)>f(x2).

Funkcija f(x) je neopadajuća u intervalu (a,b) ukoliko za svako x1,x2∈(a,b) važi

x1<x2 ⇒ f(x1)≤f(x2).

Funkcija f(x) je nerastuća u intervalu (a,b) ukoliko za svako x1, x2∈(a,b)važi

3 x3.

x

1 0 1

3 x2. 3

x

3 1 1 3


x1<x2 ⇒ f(x1)≥f(x2).

Definicija 2.3.4. (ograničenost)Funkcija f(x) je u intervalu (a,b):

a) ograničena s gornje strane, ako postoji broj M takav da je za sve vredno-sti x∈(a,b) ispunjena nejednakost f(x)≤M

b) ograničena s donje strane, ako postoji broj m takav da je za sve vredno-sti x∈(a,b) ispunjena nejednakost m≤ f(x)

c) ograničena, ako je ograničena i s gornje i s donje strane, tj. postoje bro-jevi m i M (mogu biti i jednaki), takvi da je za sve vrednosti x∈(a,b) ispu-njena nejednakost m≤ f(x)≤M.

2.4. Granične vrednosti funkcija

Definicija 2.4.1. (leva granična vrednost funkcije u tački) Broj L je leva granična vrednost funkcije y=f(x), koja je definisana u tačka-

ma x za koje je r<x<a, u tački x=a, ako za svako ε>0 postoji broj δ>0 (koji zavi-si od ε) takav da za svako x≠a važi:

a-δ<x<a ⇒ ⏐f(x)-L⏐<ε .

U tom slučaju se piše .

Definicija 2.4.2. (desna granična vrednost funkcije u tački) Broj D je desna granična vrednost funkcije y=f(x), koja je definisana u tač-

kama x za koje je a<x<r, u tački x=a, ako za svako ε>0 postoji broj δ>0 (koji za-visi od ε) takav da za svako x≠a važi:

a<x<a+δ ⇒ ⏐f(x)-D⏐<ε .

U tom slučaju se piše .

Definicija 2.4.3. (granična vrednost funkcije u tački) Broj G je granična vrednost funkcije y=f(x), definisane u nekoj okolini tač-

ke a (osim možda u samoj tački a), u tački x=a, ako za svako ε>0 postoji broj δ>0takav da za svako x≠a važi:

a-δ<x<a+δ ⇒ ⏐f(x)-G⏐<ε .

U tom slučaju se piše .Gxfax

=→

)(lim

Dxfax

=+→

)(lim

( ) Lxfax

=−→

lim


Geometrijska interpretacija leve i desne granične vrednosti data jena slici 5.

Slika 5. Geometrijska interpretacija definicije leve i desne granična vrednosti funkcijey=f(x) u tački x=a

Leva granična vrednost funkcije f(x), kada x teži a, na slici 5., jebroj L . Geometrijska interpretacija definicije leve granične vrednosti zna-či, da ma kako bio uzan pojas ograničen pravama y=L-ε i y=L+ε, tačke gra-fika funkcije, (osim možda tačke (a,f(a)), leže u unutrašnjosti toga poja-sa ako se vrednosti argumenta sadrže u intervalu (a-δ, a).

Naravno, analogna je interpretacija za definiciju desne graničnevrednosti.

Geometrijska interpretacija granične vrednosti data je na slici 6.

x

y=f(x)

a

a+δa-δ

D

D-ε

D+ε

L-ε

L

L+ε

f(x2)

f(x1)

x1 x2


Slika 6. Geometrijska interpretacija definicije granične vrednosti funkcije y=f(x) u tačkix=a

Granična vrednost funkcije f(x), kada x teži a, na slici 6., je broj G.Geometrijska interpretacija definicije granične vrednosti znači, da makako bio uzan pojas ograničen pravama y=G-ε i y=G+ε, tačke grafikafunkcije, (osim možda tačke (a,f(a)), leže u unutrašnjosti toga pojasa akose vrednosti argumenta sadrže u intervalu (a-δ, a+δ).

Definicija 2.4.4. (beskonačne granične vrednosti kada argumentteži konačnom broju)

Funkcija f(x) ima u tački a s leva beskonačnu graničnu vrednost +∝, ili -∝ako je:

a) tačka a granična tačka oblasti definisanosti funkcije f(x)b) za proizvoljan unapred dati broj M>0 postoji broj δ>0 takav da važi

i) a-δ<x<a ⇒ f(x)>M, tada kažemo da je

ii) a-δ<x<a ⇒ f(x)<-M, tada kažemo da je

Funkcija f(x) ima u tački a s desna beskonačnu graničnu vrednost +∝, ili -∝ ako je:

a) tačka a granična tačka oblasti definisanosti funkcije f(x)b) za proizvoljan unapred dati broj M>0 (koliko se hoće veliki) postoji broj

δ>0 takav da važi

∝−=−→

)(lim xfax

∝+=−→

)(lim xfax

x

y

aa-δ x a+δ

G-ε

G

f(x)

G+ε

y=f(x)


i) a<x<a+δ ⇒ f(x)>M, tada kažemo da je

ii) a<x<a+δ⇒ f(x)<-M, tada kažemo da je

Funkcija f(x) ima u tački a beskonačnu graničnu vrednost +∝, ili -∝ ako je:a) tačka a granična tačka oblasti definisanosti funkcije f(x)b) za proizvoljan unapred dati broj M>0 (koliko se hoće veliki) postoji broj

δ>0 takav da važii) a-δ<x<a+δ ⇒ f(x)>M, tada kažemo da je

ii) a-δ<x<a+δ ⇒ f(x)<-M, tada kažemo da je

Na slici 7. su grafički predstavljenje neke beskonačne granične vred-nosti funkcije f(x) kada x teži a.

Slika 7. Grafički prikaz nekih beskonačnih graničnih vrednosti funkcije f(x) kada x težibroju a

Na slici 7.a) je grafički predstavljena činjenica da je

, a da je , dok je na slici 7.b)

.∝+===→+→−→

)(lim)(lim)(lim xfxfxfaxaxax

∝−=+→

)(lim xfax

∝+=−→

)(lim xfax

y

x

y

x=a

y=f(x)

x

x=a

y=f(x)

a)b)

∝−=→

)(lim xfax

∝+=→

)(lim xfax

∝−=+→

)(lim xfax

∝+=+→

)(lim xfax


Definicija 2.4.5. (granične vrednosti funkcije kada argument teži ka +∝, ili -∝)

Funkcija f(x) teži graničnoj vrednosti G kada:

a) x teži +∝ ako za svako ε>0 postoji pozitivan broj N takav da važi za sva-ko x

x>N ⇒ ⏐f(x)-G⏐<ε, što zapisujemo kao

b) x teži -∝ ako za svako ε>0 postoji pozitivan broj N takav da važi za sva-ko x

x<-N ⇒ ⏐f(x)-G⏐<ε, što zapisujemo kao

Funkcija f(x) teži graničnoj vrednosti +∝ kada:

a) x teži +∝ ako za svaki pozitivan broj M postoji pozitivan broj N takav davaži za svako x

x>N ⇒ f(x)>M, što zapisujemo kao

b) x teži -∝ ako za svaki pozitivan broj M postoji pozitivan broj N takav davaži za svako x

x<-N ⇒ f(x)>M, što zapisujemo kao

Funkcija f(x) teži graničnoj vrednosti -∝ kada:

a) x teži +∝ ako za svaki pozitivan broj M postoji pozitivan broj N takav davaži za svako x

x>N ⇒ f(x)<-M, što zapisujemo kao

b) x teži -∝ ako za svaki pozitivan broj M postoji pozitivan broj N takav davaži za svako x

x<-N ⇒ f(x)<-M, što zapisujemo kao

Na slici 8. dat je grafički prikaz nekih graničnih vrednosti funkcijef(x) kada argument teži +∝ ili -∝.

∝−=∝−→

)(lim xfx

∝−=∝+→

)(lim xfx

∝+=∝−→

)(lim xfx

∝+=∝+→

)(lim xfx

.)(lim Gxfx

=∝−→

.)(lim Gxfx

=∝+→


Slika 8. Grafički prikaz nekih graničnih vrednosti funkcije f(x) kada x teži ±∝

Na slici 8.a) je grafički predstavljena činjenica da je , a da

je , dok je na slici 7.b), a .

Primer 2.4.1.

Na osnovu definicije granične vrednosti funkcija pokazati da je:

a) b)

c) d)

Rešenje:

a) Neka je dato ε>0. Važi sledeće:

Dakle za imaćemo da za sve vrednosti argumenta x za koje je ⏐x-1⏐<δ ispunjena

nejednakost , što, po definiciji, znači da je zaista .1)45(lim1

=−→

xx

( ) ε<−− 145x

5

εδ =

51151)45(

εεε <−⇒<−•⇒<−− xxx

∝+=→ 20

1lim

xx1

1

1lim =

+−

∝+→ x

x

x

105

25lim

2

5=

−−

→ x

x

x

1)45(lim1

=−→

xx

∝+=∝−→

)(lim xfx

∝−=∝+→

)(lim xfx

Mxfx

=∝−→

)(lim

Nxfx

=∝+→

)(lim

x

y

y=f(x)

x

y

y=f(x)

M

N

a) b)


b) Neka je dat ε>0. Važi sledeće:

Dakle za imaćemo da za sve vrednosti argumenta x za koje je ⏐x-5⏐<δ ispunjena

nejednakost , što, po definiciji, znači da je zaista

c) Neka je dat ε>0. Važi sledeće:

Dakle za imaćemo da za sve vrednosti argumenta x za koje je x>N ispunjena

nejednakost , što, po definiciji, znači da je zaista

d) Neka je dat M>0. Važi sledeće:

Dakle za imaćemo da za sve vrednosti argumenta x za koje je ⏐x-0⏐<δ ispu-

njena nejednakost , što, po definiciji, znači da je zaista 1lim 20

=∝→ xx

Mx

>2

1

M

1=δ

Mx

MxM

x

111 2

2<⇒<⇒>

.11

1lim =

+−

∝+→ x

x

x

ε<−+−

11

1

x

x

12 −=ε

N

12

1

2

1

21

1

1 −>⇒<+

⇒<+

−⇒<−+−

εεεε x

xxx

x

.105

25lim

2

5=

−−

→ x

x

xε<−

−−

105

252

x

x

εδ =

εεεε <−⇒<−

−⇒<−

+−⇒<−−−

55

)5(

5

251010

5

25 222

xx

x

x

xx

x

x


Definicija 2.4.6. (beskonačno velika veličina)

Funkcija f(x) naziva se beskonačno velikom veličinom kada x teži broju a,

ili kada x teži +∝, ili -∝, ako je , odnosno, ako je

,ili .

Definicija 2.4.7. (beskonačno mala veličina)

Funkcija f(x) naziva se beskonačno malom veličinom (infinitezimalom) ka-

da x teži broju a, ili kada x teži +∝, ili -∝, ako je , odnosno, ako je

,ili .

Tako, na primer, funkcija f(x)=ax, za a>1 predstavlja beskonačno velikuveličinu kada x→+∝, a beskonačno malu veličinu kada x→ -∝, dok za 0<a<1 tafunkcija predstavlja beskonačno malu veličinu kada x→+∝.

Teorema 2.4.1. Recipročna vrednost beskonačno velike veličine je bes-konačno mala veličina, a recipročna vrednost beskonačno male veličine je bes-konačno velika veličina.

Dokaz:

Neka je f(x) beskonačno velika veličina kada x→a (ili x→∝). Tada za ne-ki unapred dati pozitivan broj M (proizvoljno veliki) postoji broj δ>0 takav da va-ži (po definiciji):

Uzimajući da je imamo da važi:

što znači da je beskonačno mala veličina u

okolini tačke x=a.Analogno se dokazuje i drugi deo teoreme.

)(

1

xfεδ <⇒<−

)(

1

xfax

M

1=ε

MxfMxfax

1

)(

1)( <⇒>⇒<− δ

0)(lim =∝−→

xfx

0)(lim =∝+→

xfx

0)(lim =→

xfax

∝+=∝−→

)(lim xfx

∝+=∝+→

)(lim xfx

∝+=→

)(lim xfax


2.5. Operacije sa graničnim vrednostima funkcija

Neke od osnovnih operacija sa graničnim vrednostima funkcija da-te su u vidu teorema 2.5.1. i 2.5.2. 2.5.3. koje ćemo prihvatiti bez dokazi-vanja.

Teorema 2.5.1. Neka je i i gde su a i b ko-

načni brojevi i neka je c proizvoljna konstanta. Tada važi:

a) ;

b) ;

c) ;

d) , f2(x)≠0, b≠0.

Teorema 2.5.2. Neka je i gde je a kona-čan broj. Tada važi:

a) gde je c bilo koja konstanta >0,

gde je c bilo koja konstanta <0,

b)

c) za a>0

za a<0

d) za a≠0

Analogni rezultati važe za .∝−=→

)(lim 2 xfpx

0)(

)(lim

2

1 =→ xf

xf

px

∝−=•→

))()((lim 21 xfxfpx

∝+=•→

))()((lim 21 xfxfpx

∝±=±→

))()((lim 21 xfxfpx

∝−=•→

)(lim 2 xfcpx

∝+=•→

)(lim 2 xfcpx

∝+=→

)(lim 2 xfpx

axfpx

=→

)(lim 1

b

a

xf

xf

px=

→ )(

)(lim

2

1

baxfxfpx

•=•→

))()((lim 21

baxfxfpx

±=±→

))()((lim 21

acxfcpx

•=•→

)(lim 1

bxfpx

=→

)(lim 2axfpx

=→

)(lim 1


Teorema 2.5.3. Ako funkcije f1(x) i f2(x) imaju u tački a jednake granič-ne vrednosti, tj.

i ako za sve vrednosti argumenta x u nekoj okolini tačke a važi

f1(x)≤f(x)≤f2(x),

tada funkcija f(x) ima u tački a graničnu vrednost jednaku A, tj.

Primer 2.5.1.

Naći graničnu vrednost

Rešenje:

Neka x→+∝ . Za bilo koju vrednost broja x možemo naći prirodan broj n∈N takav da važi

n<x<n+1, a dalje važi sledeće

i naravno važi da kad x→+∝, tada n→+∝ . Pošto je

(videti teoremu 2.2.2.1.) i pošto je

tada je po teoremi 2.5.3. .

Neka x→ -∝ . Uvedimo smenu t=-(x+1) odakle je x=-(t+1). Kada x→ -∝, tada t→+∝. Sa-da imamo da je

ex

x

x=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

∝+→

11lim

ee

n

n

n

n

n

n

n==

++

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

++

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

++

+

→∝→∝ 1

1

11

1

11

lim1

11lim

1

eennn

n

n

n

n=•=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +•⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

→∝

+

→∝1

11

11lim

11lim

1

nxn

nxnnxnnxn⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

++≥⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +≥⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⇒

++≥+≥+⇒

+≥≥

+

1

11

11

11

1

11

11

11

1

1111

.1

1lim

x

x x⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

∝±→

.)(lim Axfax

=→

Axfxfaxax

==→→

)(lim)(lim 21


Dakle

Napomena: smenom ovaj limes se transformiše u

2.6. Neprekidnost funkcije

Definicija 2.6.1. (neprekidnost funkcije u tački)

Funkcija f(x) je neprekidna u tački x=a, ako je granična vrednost funkcijekada x teži a jednaka vrednosti funkcije u tački x=a, tj ako je .

Neprekidnost funkcije se može izraziti preko priraštaja funkcije i ar-gumenta. Naime, (videti sliku 9.), razlika x-a je priraštaj argumenta ioznačava se sa ∆x, a razlika f(x)-f(a) je priraštaj funkcije koji odgovara pri-raštaju argumenta ∆x i obeležava se sa ∆y. Funkcija je neprekidna u tač-ki a, ako priraštaj funkcije teži nuli kada priraštaj argumenta teži nuli.

Odnosno ako važi

Slika 9. Grafička predstava priraštaja argumenta i priraštaja funkcije

a ∆x x

f(a)

∆y

f(x)

x

y

.0lim0

=∆→∆

yx

)()(lim afxfax

=→

( ) .1lim1

0et t

t=+

→tx1=

ex

x

x=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

∝±→

11lim

( ) ( ) ( )

eett

tt

t

t

t

txt

t

t

t

t

t

t

t

t

t

x

x

=•=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +•⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

+−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

→∝

+

→∝

+

→∝

+−

→∝

+−

→∝∝−→

11

11

1lim

11lim

1lim

1lim

1

11lim

11lim

1111


2.7. Prvi izvod i diferencijal funkcije

Neka je funkcija f(x) definisana u okolini tačke x=a.

Definicija 2.7.1. (prvi izvod funkcije u tački) Neka je f: X→Y, i neka je a∈D(f), x∈D(f). Ako se stavi x-a=∆x, a f(x)-

f(a)=∆y, pri čemu se ∆x naziva priraštaj ili promena argumenta, a ∆y priraštajili promena funkcije u tački a, tada se konačna granična vrednost

naziva izvodom funkcije f(x) u tački a i obeležava sa f’(a).

To znači

.Dakle, prvi izvod f′(a) u tački x=a je broj.

Nije teško uočiti da se prvi izvod funkcije u tački x=a se može izra-ziti i na sledeći način:

.

Za funkciju kod koje postoji prvi izvod u tački x=a, kažemo da je di-ferencijabilna u toj tački.

Napomena: Sve tačke x u kojima postoji izvod funkcije f(x) obrazujuizvestan skup S, tako da svakom x∈S odgovara vrednost izvoda f’(x). To zna-či da f’(x) predstavlja funkciju definisanu na skupu S. Ova se funkcija nazi-va izvodom funkcije f(x).

Definicija 2.7.2. (levi i desni izvod funkcije)

Konačna leva granična vrednost naziva se levimizvodom funkcije u tački x=a.

Konačna desna granična vrednost naziva se de-snim izvodom funkcije u tački x=a.

Ako je funkcija f(x) diferencijabilna u tački x=a, tada je).(')()( '' afafaf == +−

ax

afxff

ax −−=

+→+)()(

lim'

ax

afxff

ax −−=

−→−)()(

lim'

x

y

x

afxafaf

xx ∆∆=

∆−∆+=

→∆→∆ 00lim

)()(lim)('

ax

afxfaf

ax −−=

→

)()(lim)('

ax

afxf

ax −−

→

)()(lim


Ako je , tada ne postoji prvi izvod funkcije f(x) u tač-ki x=a.

Definicija 2.7.3. (diferencijal funkcije) Ako je funkcija f(x) diferencijabilna u tački x=a, tada se linearna funkcija

od x

f’(a)•(x-a)

naziva diferencijalom funkcije f(x) u tački x=a i obeležava se

df(x,a)=f’(a)•(x-a).

Kako je za funkciju f(x)=x, f’(x)=1 za svako x, pa i za x=a, važi:

df(x,a)=dx=1•(x-a)⇒dx=x-a,

možemo diferencijal funkcije f(x) obeležavati sa

df(x,a)=f’(a)•dx.

Definicija 2.7.4. (beskonačni izvodi)Funkcija f(x) ima beskonačan izvod u tački x=a jednak +∝, ili (-∝) ako je

(ili -∝).

Analogno se definišu beskonačni jednostrani izvodi.

Napomena: Ako funkcija f(x) ima beskonačan izvod u tački x=a, on-da ona nije diferencijabilna u toj tački.

Teorema 2.7.1. Ako funkcija f(x) ima izvod u tački x=a, tada se prira-štaj ove funkcije može predstaviti u obliku

f(x)-f(a)=f’(a)(x-a)+w(x)(x-a),

gde je w(x) funkcija koja je neprekidna u tački a, i jednaka nuli u toj tač-ki, tj.

Dokaz:

Neka je ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−−−

=ax

axafax

afxf

xw

.............................,.........0

).........(')()(

)(

.0)()(lim ==→

awxwax

∝+=−−

→ ax

afxf

ax

)()(lim

)()( '' afaf +− ≠


Onda je:

Dakle, ovako definisana funkcija w(x) jeste neprekidna, jer jei iz nje neposredno proizlazi relacija

f(x)-f(a)=f’(a)(x-a)+w(x)(x-a).

Teorema 2.7.2. Ako funkcija f(x) ima izvod u tački x=a tada je ona ne-prekidna u toj tački.

Dokaz:

Iz prethodne teoreme dobijamo sledeće:

čime je dokazana neprekidnost funkcije f(x).

Napomena: Obrnuto ne važi, odnosno neprekidna funkcija ne morabiti diferencijabilna. (Na primer funkcija y=⏐x⏐ je neprekidna u tački x=0,ali u toj tački nije diferencijabilna jer su joj levi i desni izvod različiti, levi iz-vod je jednak -1, a desni je jednak 1).

( ) ( ) ( ) )()(lim0lim)(limlim)(')()(lim afxfaxxwaxafafxfaxaxaxaxax

=⇒=−•+−•=−→→→→→

)()(lim awxwax

=→

)(0)(')(')(')()(

lim

)(')()(

lim)(lim

awafafafax

afxf

afax

afxfxw

ax

axax

==−=−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−−

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−−=

→

→→


2.7.1. Geometrijska interpretacija prvog izvoda i diferencijala

Geometrijsku interpretaciju prvog izvoda i diferencijala ćemo datianalizirajući sliku 10.

Slika 10. Geometrijska interpretacija prvog izvoda i diferencijala

Količnik priraštaja funkcije i prirašta ja argumenta je (slika

10.) količnik duži , odnosno tg∠PMN.

Kada priraštaj argumenta teži nuli, odnosno ∆x→0, sečica MN teži

tangenti MQ, pa je prvi izvod funkcije f(x) u tački x=a, dat sa ,

količnik duži , odnosno tg∠PMQ, što predstavlja u stvari

tangens ugla koga čine tangenta funkcije f(x) u tački x=a i pozitivan

smer x-ose. Ovo pak sa svoje strane predstavlja koeficijent pravca tangen-

te u tački x=a.

====

====

PM

PQ

x

y

x ∆∆

→∆ 0lim

====

====

PM

PNx

y

∆∆

a ∆x x x

f(a)

∆y

f(x+a)

y

M

N

dy

P

Q

y=f(x)


Diferencijal funkcije y=f(x) u okolini tačke x=a, dat sa dy=f’(x)(x-a) je određen (slika 10.) dužinom duži .

Zaključujemo da diferencijal dy predstavlja priraštaj ordinate tan-gente funkcije f(x) u tački x=a.

Za priraštaj argumenta funkcije i diferencijal dy (koji

predstavlja priraštaj ordinate tangente funkcije f(x) u tački x=a, odnosno

dužinu duži ) važi:

.

2.7.2. Tablica izvoda nekih elementarnih funkcija

Neka je x nezavisna promenljiva. Važe sledeće formule:

1. (C)’=0 gde je C bilo koja konstanta2. (xa)’ =axa-1 gde a∈R

tako je, na primer

(x)’=1, ,

3. (ax)’=axlna a>0, (ex)’=ex

4. a>0, a≠1,

5. (sinx)’=cosx

6. (cosx)’= -sinx

7.

8.x

ctgx2

'

sin

1)( −=

xtgx

2cos

1)'( =

( )x

x1

ln' =( )

axxa

ln

1log

' =

( )x

x2

1'

=2

'11

xx−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

1lim0

=∆→∆ dy

y

x

====PQ

=====∆ PNy

====PQ


9.

10.

11.

12.

2.7.3. Osnovna pravila diferenciranja

Sledećim teoremama data su osnovna pravila diferenciranja.

Teorema 2.7.3.1. (izvod zbira (ili razlike) funkcija) Ako je F(x)=c1f1(x)+c2f2(x)+…+cnfn(x), gde su fi(x) diferencijabilne funkci-

je i ci proizvoljne konstante, onda je

F’(x)=c1f1’(x)+c2f2’(x)+…+cnfn’(x), ili .

Primer 2.7.3.1.

Naći prvi izvod funkcije y=x3-6x2+3x+2:

a) u proizvoljnoj tački

b) u tački x=2

Rešenje:

a) (x3-6x2+3x+2)’=3x2-12x+3

b) prvi izvod funkcije y=x3-6x2+3x+2 u tački x=2 je

3•22-12•2+3=-9

Teorema 2.7.3.2. (izvod proizvoda dve funkcije) Ako su f1(x) i f2(x) diferencijabilne funkcije, tada je i funkcija

F(x)=f1(x)•f2(x) diferencijabilna i važi

∑∑==

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ n

i

ii

n

i

ii xfcxfc1

'

1

)(')(

2

'

1

1)(

xarcctgx

+−=

21

1)'(

xarctgx

+=

( )2

'

1

1arccos

xx

−−=

2

'

1

1)(arcsin

xx

−=


F’(x)=f1’(x)•f2(x)+f1(x)•f2’(x).

Primer 2.7.3.2.

Naći prvi izvod funkcije y=x2ex

a) u proizvoljnoj tački

b) u tački x=1

Rešenje:

a) (x2ex)’=(x2)’ex+x2(ex)=2xex+x2ex=ex(2x+x2)

b) prvi izvod funkcije y=x2ex u tački x=1 je e1(2+1)=3e

Teorema 2.7.3.3. (izvod količnika dve funkcije)

Ako funkcije f(x) i g(x) imaju izvode i ako je g(x)≠0, tada funkcija

ima izvod koji je jednak

.

Primer2.7.3.3.

Naći prvi izvod funkcije

Rešenje:

.

Teorema 2.7.3.4. (izvod složene funkcije) Neka je F(x) složena funkcija data sa F(x)=g(f(x)). Ako za funkciju f(x)

postoji izvod u tački x, a funkcija g(u) ima izvod u tački u=f(x), tada i funkcijaF(x) ima izvod u tački x i on je jednak

F’(x)=g’(f(x))•f’(x).

( ) ( )( )

( )4

2

22

'22''

2

2

x

xxe

x

xexe

x

e xxxx −=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2x

ey

x

=

( )2)()(')()()('

)('xg

xgxfxgxfxF

−=

)(

)()(

xg

xfxF =


Primer 2.7.3.4.

Naći izvod funkcije y=ln(x2-3x+4)

Rešenje:

Teorema 2.7.3.5. (izvod inverzne funkcije)Ako funkcija f(x) u intervalu (a,b) zadovoljava uslove:

1. ima izvod u tački x∈(a,b),2. strogo je monotona u intervalu (a,b),3. njen izvod f’(x)≠0,

tada njena inverzna funkcija f-1(x) ima izvod u tački y, koja odgovara tač-ki x, jednak

2.7.4. Izvodi višeg reda

Definicija 2.7.4.1. (izvod n-tog reda) Izvodom n-tog reda, ili n-tim izvodom funkcije f(x) naziva se izvod (n-1)-

og izvoda funkcije f(x)

Za označavanje izvoda višeg reda upotrebljavaju se sledeće oznake:

y’, y’’, y’’’, …,y(n) (prvi, drugi, treći, …, n-ti izvod), ili

f’(x), f’’(x), f’’’(x),…,, f(n)(x).

Na primer : (x3)’’=(3x2)’=6x.

2.7.5. Lopitalovo pravilo

Lopitalovo pravilo ćemo prikazati u vidu dve teoreme koje nećemodokazivati.

( ))('

1')(1

xfxf =−

( )( ) ( )3243

143ln

2

'2 −•+−

=+− xxx

xx


Teorema 2.7.5.1. (Određivanje limesa neodređenog izraza oblika ) Ako funkcije f(x) i g(x) ispunjavaju sledeće uslove

1. (a∈R ili a=+∝ ili a= -∝);

2. Predstavljaju neprekidne funkcije na izvesnom segmentu koji sadrži tačku a;3. Za sve tačke segmenta x≠a postoje f’(x) i g’(x);4. g’(x)≠0 , za x≠a

tada je:

.

Primer 2.7.5.1.

Naći .

Rešenje:

Kako je, traženi limes je oblika , pa primenivši

Teoremu 2.7.5.1 (Lopitalovo pravilo) dobijamo:

Teorema 2.7.5.2. (Određivanje limesa neodređenog izraza oblika

)

Ako funkcije f(x) i g(x) ispunjavaju sledeće uslove

1. (a∈R ili a=+∝ ili a= -∝);

2. Predstavljaju neprekidne funkcije na izvesnom segmentu koji sadrži tačku a;3. Za sve tačke segmenta x≠a postoje f’(x) i g’(x);4. g’(x)≠0 , za x≠a

∝+==→→

)(lim)(lim xgxfaxax

∝−∝−

∝∝−

∝−∝

∝∝

,,,

( )( )

61

2lim

3

9lim

3

9lim

3'

'2

3

2

3==

−−=

−−

→→→

x

x

x

x

x

xxx

0

00)3(lim)9(lim

3

2

3=−=−

→→xx

xx

3

9lim

2

3 −−

→ x

x

x

)('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

axax →→=

0)(lim)(lim ==→→

xgxfaxax

0

0


tada je:

.

Primer 2.7.5.2.

Naći

Rešenje:

Kako je, traženi limes je oblika , pa primenivši

Teoremu 2.7.5.2 (Lopitalovo pravilo) dobijamo:

.

2.7.6. Limesi neodređenih izraza oblika 0•∝, ∝ - ∝, 1∝, 00, ∝0

Svi limesi ovakvog oblika se posle određenih transformacija svode

na limese oblika ili koje smo analizirali u prethodnom poglavlju.

Te transformacije su sledeće:

a) limes neodređenog izraza oblika (0•∝)

Neka je a .

Tada je

Primer 2.7.6.1.

Naći .

Rešenje:

Ovo je limes oblika ∝•0 pa važi:

x

xxe−

→∝lim

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

∝∝=•

→→→ 0

0

)(

1

)(lim

)(

1

)(lim)()(lim oblik

xg

xfoblik

xf

xgxgxf

axaxax

=∝→

)(lim xgax

0)(lim =→

xfax

∝∝

0

0

( )( )

=∝==→∝→∝→∝ 1limlimlim

'

' x

x

x

x

x

x

e

x

e

x

e

∝∝=∝=

→∝→∝xe

x

x

xlimlim

x

ex

x→∝lim

)('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

axax →→=


b) limes neodređenog izraza oblika (∝ - ∝)

Neka je a .

Tada je gde je obli-

ka .

Ako je onda je oblika ∝•0,

što smo analizirali pod a).

c) limes neodređenog izraza oblika (1∝)

Neka je i f(x)>0 a .

Pošto je f(x)g(x)=eg(x)•lnf(x), jer je u=elnu i lnf(x)g(x)=g(x)•lnf(x),

tada je .

S obzirom da kada je , tada je

limes oblika e∝•0, a oblik (∝•0) smo analizirali pod a).

d) limes neodređenog izraza oblika (00)

Neka je

Pošto je f(x)g(x)=eg(x)•lnf(x), jer je u=elnu i lnf(x)g(x)=g(x)•lnf(x),

tada je . )(ln)()( lim)(limxfxg

ax

xg

axexf •

→→=

0)(lim)(lim ==→→

xgxfaxax

)(ln)(lim xfxg

axe •

→

0)(lnlim1)(lim =⇒=→→

xfxfaxax

)(ln)()( lim)(limxfxg

ax

xg

axexf •

→→=

=∝→

)(lim xgax

1)(lim =→

xfax

))(

)(1()(lim

xf

xgxf

ax−•

→1

)(

)(lim =

→ xf

xg

ax

∝∝ )(

)(lim

xf

xg

ax→))(

)(1()(lim))()((lim

xf

xgxfxgxf

axax−•=−

→→

=∝→

)(lim xgax

=∝→

)(lim xfax

011

limlim1

limlim =∝

====→∝→

−

→∝

−

→∝ xxxx

x

x

x

x ee

x

e

xxe



imes oblika e0•(-∝), a oblik (0•(-∝)) smo analizirali pod a).

e) limes neodređenog izraza oblika (∝0)

Neka je a .

Pošto je f(x)g(x)=eg(x)•lnf(x), jer je u=elnu i lnf(x)g(x)=g(x)•lnf(x), ta-

da je .


limes oblika e0•∝, a oblik (0•∝) smo analizirali pod a).

2.7.7 Primena izvoda na ispitivanje funkcija

Načini primene izvoda na ispitivanje funkcija proizilaze iz sledećihteorema koje ćemo prihvatiti bez dokaza.

Teorema 2.7.7.1. (primena izvoda na ispitivanje monotonosti funkcija) Ako funkcija f(x) ima konačan ili beskonačan izvod u intervalu (a,b), ta-

da da bi ona bila

a) neopadajuća u tom intervalu potrebno je i dovoljno da u svakoj tački ovogintervala važi f’(x)≥0

b) nerastuća u tom intervalu potrebno je i dovoljno da u svakoj tački ovog in-tervala važi f’(x)≤ 0

c) monotono rastuća u tom intervalu potrebno je i dovoljno da u svakoj tač-ki ovog intervala važi f’(x)≥0, pri čemu jednakost f’(x)=0ne može biti ispunjena ni u jednom intervalu unutar intervala (a,b), većmože biti ispunjena samo u pojedinim tačkama intervala (a,b)

d) monotono opadajuća u tom intervalu potrebno je i dovoljno da u svakojtački ovog intervala važi f’(x)≤ 0 pri čemu jednakostf’(x)=0 ne može biti ispunjena ni u jednom intervalu unutar intervala(a,b), već može biti ispunjena samo u pojedinim tačkama intervala (a,b)

)(ln)(lim xfxg

axe •

→

=∝=∝⇒→→

)(lnlim)(lim xfxfaxax

)(ln)()( lim)(limxfxg

ax

xg

axexf •

→→=

0)(lim =→

xgax

=∝→

)(lim xfax

)(ln)(lim xfxg

axe •

→

∝−=⇒=→→

)(lnlim0)(lim xfxfaxax


Iz teoreme 2.7.7.1. sledi dovoljan uslov monotonostiAko je u intervalu (a,b) prvi izvod pozitivan tj. f’(x)>0, tada funkcija

f(x) raste u tom intervalu, a ako je prvi izvod negativan, tj. f’(x)<0, tadafunkcija f(x) opada u tom intervalu.

Na slici 11. je prikazana funkcija koja je u intervalu (a,b) neopadaju-ća i gde je f’(x)≥0 za x∈(a,b) i f’(x)=0 za x∈(c,d) gde je interval (c,d) unutar in-tervala (a,b), i koja je monotono opadajuća u intervalu (b,f) gde je f’(x)=0 samou tački x=e gde e∈(b,f).

Slika 11. Intervali monotonosti funkcije f(x)

Definicija 2.7.7.1. (tačke lokalnog ekstremuma funkcije, odnosnotačke lokalnog minimuma ili maksimuma funkcije)

Funkcija f(x) ima u tački x=a lokalni maksimum jednak f(a), ako postojiinterval (c,d) u kome se sadrži tačka x=a, (a∈(c,d)), takav da za svako x∈(c,d)važi f(x)<f(a).

Funkcija f(x) ima u tački x=a lokalni minimum jednak f(a), ako postoji in-terval (c,d) u kome se sadrži tačka x=a, (a∈(c,d)), takav da za svako x∈(c,d) va-ži f(x)>f(a).

Tačke lokalnog minimuma ili lokalnog maksimuma za zovu tačke ekstre-muma funkcije.

Definicija 2.7.7.2.(stacionarne tačke funkcije) Tačka x=a se naziva stacionarnom tačkom funkcije f(x) ako je f’(a)=0, od-

nosno ako je prvi izvod funkcija f(x) u njoj jednak nuli.

x

y y=f(x)

a c d b e f


Geometrijski, ova definicija znači da je tangenta na grafik funkcijef u tački (a,f(a)) paralelna x-osi.

Teorema 2.7.7.2. (potreban uslov za postojanje ekstremuma diferenci-jabilnih funkcija (veza između tačaka ekstremuma i stacionarnmih tačaka ))

Ako tačka x=a predstavlja lokalni ekstremum funkcije f(x) i ako je funkci-ja f(x) diferencijabilna u tački x=a, tada je ta tačka x=a stacionarna tačka funk-cije, odnosno tada je f’(a)=0.

Obrnuto ne važi, odnosno stacionarna tačka ne mora biti tačka ekstremu-ma funkcije f(x).

Dakle, potreban uslov da diferencijabilna funkcija f(x) ima u tački x=a lo-kalni ekstremum je da je f’(a)=0.

Teorema 2.7.7.3. (dovoljan uslov za postojanje ekstremuma neprekid-nih funkcija)

Ako je funkcija f(x) neprekidna u tački x=a i ako je

a) levo od tačke a monotono rastuća a desno od tačke a monotono opadaju-ća onda je tačka x=a, tačka lokalnog maksimuma funkcije

b) levo od tačke a monotono opadajuća a desno od tačke a monotono rastu-ća onda je tačka x=a, tačka lokalnog minimuma funkcije.

Jedna od posledica prethodnih teorema je da ako je funkcija diferen-cijabilna u tački x=a onda

a) kada je levo od tačke a prvi izvod veći od nule (f’(x)>0), a desno od tačkea prvi izvod manji od nule (f’(x)<0), tada je tačka x=a tačka lokalnogmaksimuma funkcije

b) kada je levo od tačke a prvi izvod manji od nule (f’(x)<0), a desno od tač-ke a prvi izvod veći od nule (f’(x)>0), tada je tačka x=a tačka lokalnog mi-nimuma funkcije.

Takođe, posledica prethodnih teorema je i sledeća činjenica:

Ako je x=a stacionarna tačka funkcije f(x) tada važi

a) ako je f’’(a)<0, tada u tački x=a funkcija f(x) ima maksimum

b) ako je f’’(a)>0, tada u tački x=a funkcija f(x) ima minimum.

Na slici 11. funkcija f(x) u tački x=b ima ekstremum i to lokalnimaksimum i tu je f’(b)=0 (tangenta u tački (b,f(b)) je paralelna sa x-


osom) a prvi izvod u okolini tačke x=b menja znak od + na -, dok je tač-ka x=e samo stacionarna tačka funkcije f(x) ( u njoj funkcija nema ni mi-nimuma ni maksimuma) jer važi f’(e)=0 (tangenta u tački (e,f(e)) je para-lelna sa x-osom), ali prvi izvod ne menja znak u okolini tačke x=e već jeuvek negativan.

Na osnovu izloženog mogu se izvesti dva pravila za nalaženje tača-ka lokalnog ekstremuma diferencijabilnih funkcija:

Prvo pravilo:

Prvo je potrebno odrediti stacionarne tačke rešenjem jednačine f’(x)=0.

Od nula dobijenih njenim rešenjem treba izdvojiti one koje su realne iu kojima izvod menja znak.

Funkcija će imati maksimum u tačkama u kojima izvod menja znak od+ na -, a minimum u tačkama u kojima izvod menja znak od - na +.

U tačkama u kojima izvod ne menja znak funkcija nema ni maksimu-ma ni minimuma.

Drugo pravilo:Prvo je potrebno odrediti stacionarne tačke rešenjem jednačine f’(x)=0.

U svakoj stacionarnoj tački treba izračunati drugi izvod.

U stacionarnim tačkama u kojima je drugi izvod negativan funkcija ćeimati maksimum, a u onim u kojima je drugi izvod pozitivan funkcija ćeimati minimum.

Ako je drugi izvod u stacionarnoj tački jednak nuli, treba nastaviti satraženjem izvoda višeg reda u toj tački (trećeg, četvrtog, itd) sve do nalaženjaprvog od nule različitog izvoda.

Ako je taj prvi od nule različit izvod, izvod parnog reda (četvrti, šesti,osmi, itd) tada u toj tački funkcija ima ekstremum i to:

f(x) ima maksimum ako je taj parni izvod manji od nule

f(x) ima minimum ako je taj parni izvod veći od nule.

Ako je taj prvi od nule različit izvod, izvod neparnog reda (treći, peti,sedmi, itd) tada u toj tački funkcija nema ekstremum već:

f(x) opada ako je taj neparni izvod manji od nule

f(x) raste ako je taj neparni izvod veći od nule.


NAPOMENA: U tačkama u kojima prvi izvod ne postoji, odnosno ukojima funkcija nije diferencijabilna, moguće je da funkcija ima ekstremum.Da li su tačke u kojima funkcija nije diferencijabilna tačke ekstremuma funk-cije proveravamo na dva načina i to:

1. ako je funkcija u tim tačkama neprekidna primenom dovoljnog uslo-va za ekstremum neprekidnih funkcija (Teorema 2.7.7.3)

2. ako je u tim tačkama funkcija prekidna direktnom primenom defini-cije tačaka lokalnog ekstremuma ( Definicija 2.7.7.1)

Na slici 12. prikazan je grafik funkcije koja

a) u tački a nije diferencijabilna, ali je neprekidna i ima lokalni mini-mum

b) u tački a nije diferencijabilna i prekidna je, ali u njoj ima lokalnimaksimum.

Slika 12. Grafiki funkcije f(x)

Definicija 2.7.7.3. (konveksnost, konkavnost, prevojne tačke)Za funkciju f(x) koja je diferencijabilna u intervalu (a,b) kaže se da je kon-

kavna (ispupčena) u intervalu (a,b) ako se grafik te funkcije u tom intervalu na-lazi ispod tangente u bilo kojoj tački tog intervala.

Za funkciju f(x) koja je diferencijabilna u intervalu (a,b) kaže se da je kon-veksna (udubljena) u intervalu (a,b) ako se grafik te funkcije u tom intervalu na-lazi iznad tangente u bilo kojoj tački tog intervala.

Tačke u kojima funkcija menja konveksitet (prelazi iz konveksne u konkav-nu ili obrnuto) su prevojne tačke funkcije.

x

y

a

f(x)•

a

f(a)

x

y

y=f(x)

a) b)


Slika 13. Konveksnost, konkavnost, tačka prevoja

Teorema 2.7.7.4. (primena izvoda na određivanje konveksnosti, kon-kavnosti i prevojnih tačaka funkcije)

Ako je f(x) dvaput diferencijabilna funkcija u intervalu (a,b) važi:

a) ako je f’’(x)<0 za svako x∈(a,b) onda je f(x) konkavna na (a,b)

b) ako je f’’(x)>0 za svako x∈(a,b) onda je f(x) konveksna na (a,b)

c) ako je u tački x=a

f’’(a)=0 ili f’’(a) ne postoji i ako

f’’(x) menja znak pri prolasku kroz tačku x=aonda je tačka (a,f(a)) prevojna tačka funkcije.

x

y f(x)

a) konkavna

funkcija

x

y

f(x)

b) konveksna

funkcija

x

y

f(x)

a

c) x=a je tačka

prevoja funkcije f(x)


2.7.8. Asimptote funkcija

Definicija 2.7.8.1. (asimptota funkcije)Ako se tačka (x, f(x)) neprekidno pomera po grafiku funkcije y=f(x) tako,

da bar jedna koordinata (x ili y) teži u beskonačnost (+∝, ili -∝) i ako pri tomeudaljenost te tačke od neke prave teži nuli, onda se ta prava naziva asimptotomfunkcije f(x).

Definicija 2.7.8.2. (vertikalna asimptota) Prava x=a je

a) vertikalna asimptota sleva funkcije f(x) ako je

b) vertikalna asimptota sdesna funkcije f(x) ako je

NAPOMENA: Vertikalna asimptota može postojati samo u konačnimgraničnim tačkama oblasti definisanosti funkcije.

Definicija 2.7.8.3. (kosa asimptota) Prava y=ax+b je

a) desna kosa asimptota funkcije f(x) ako je

b) leva kosa asimptota funkcije f(x) ako je

Definicija 2.7.8.4. (horizontalna asimptota) Prava y=b je

a) horizontalna asimptota udesno funkcije f(x) ako je

b) horizontalna asimptota ulevo funkcije f(x) ako je

bxfx

=∝−→

)(lim

bxfx

=∝+→

)(lim

( ) baxxfax

xf

xx=−∧=

∝−→∝−→)(lim

)(lim

( ) baxxfax

xf

xx=−∧=

∝+→∝+→)(lim

)(lim

∝−=∨∝+=+→+→

)(lim)(lim xfxfaxax

∝−=∨∝+=−→−→

)(lim)(lim xfxfaxax


Na slici 14. je prikazana funkcija koja ima desnu kosu asimptotu (toje prava y=x), vertikalnu asimptotu sdesna (prava x=a) i horizontalnuasimptotu ulevo (prava y=b).

Slika 14. Funkcija f(x) koja ima desnu kosu asimptotu, vertikalnu asimptotu sdesna i ho-rizontalnu asimptotu ulevo

2.7.9. Opšta šema za ispitivanje funkcija

Delovi matematičke analize koje smo do sada upoznali omogućava-ju da se pomoću grafika prikaže tok funkcije y=f(x). Poželjno je da se pri-likom ispitivanja funkcije, odnosno prilikom crtanja njenog grafika, pri-državamo sledeće šeme, koja obuhvata ispitivanje sledećih elemenata:

1. Utvrditi oblast definisanosti funkcije2. Odrediti njene nule i tačke prekida3. Utvrditi eventualnu parnost ili neparnost4. Odrediti stacionarne tačke i tačke u kojima prvi izvod nije definisan,

intervale monotonosti i karakter monotonosti u svakom od ovih in-tervala,

5. Utvrditi eventualno postojanje tačaka ekstremuma, kao i vrstu ekstre-muma (minimum ili maksimum)

6. Odrediti nule drugog izvoda, tačke u kojima drugi izvod nije definisan,intervale konkavnosti i konkveksnosti, prevojne tačke

x

y

a

b

c

prava y=x

prava y=b

y=(x)


7. Utvrditi eventualno postojanje asimptota, kao i vrstu asimptota8. Na osnovu ovih podataka nacrtati skicu grafika funkcija f(x)

Primer 2.7.9.1.

Nacrtati grafik funkcije

Rešenje:

1. (oblast definisanosti)

Funkcija nije definisana u onim tačkama u kojima važe implikacije

odnosno u tačkama x1=1 i x2=-1, pa

je oblast definisanosti funkcije x∈(-∝, -1)∪(-1, 1)∪(1, ∝).

2. (nule funkcije i tačke prekida funkcije)

Nule funkcije su određene sledećim implikacijama:

Dakle funkcija ima nulu u tački x0=0, a prekidna je u tačkama x1=1 i x2=-1.

3. (parnost, neparnost)

Kako je zaključujemo da je funkcija

neparna, odnosno da je njen grafik simetričan u odnosu na koordinatni početak (0,0).

4. (stacionarne tačke, tačke u kojima prvi izvod nije definisan, intervali i karakter monotonosti)

Stacionarne tačke dobijamo rešenjem jednačine f’(x)=0. Važi:

)(11)(

)()(

3 23 2xf

x

x

x

xxf −=

−−=

−−

−=−

001

03 2

=⇒=−

⇒= xx

xy

⇒=−⇒=−⇒=− 010101 223 2 xxx

3 2 1−=

x

xy

.13 2 −

=x

xy


Dakle, stacionarne tačke su i .

Prvi izvod nije definisan u tačkama u kojima je tj. u tačkama x1=1 i x2=-1

odnosno u tačkama u kojima i funkcija nije definisana.

Intervale i vrstu monotonosti ćemo odrediti pomoću znaka prvog izvoda, kao što pokazujesledeća Tabela 1. Da bismo odredili znak prvog izvoda u svakom od bitnih intervala, dovolj-no je odrediti znak prvog izvoda u bilo kojoj, po volji odabranoj, tački svakog intervala.

Tabela 1.

5. (tačke ekstremuma i vrste ekstremuma)

Analizom Tabele 1. zaključujemo da u oblasti gde je funkcija diferencijabilna postoje dve tač-ke ekstremuma i to za:

a) tačka lokalnog maksimuma funkcije jer prvi izvod menja znak od + na -,

prilikom prolasku kroz nju. U toj tački funkcija ima vrednost f(- ) što iznosi .

Dakle, tačka M(- ,-1,37) je tačka lokalnog maksimuma3

( )37,1

2

3

13

33

32

−≈−=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛ −−

−3

33 −=x

x (-∝, - 3 ) ( 1,3 −− ) )1,1(− )3,1( ),3( ∝y’ >0 (+) <0 (-) <0 (-) <0 (-) >0 (+)

Zaklju a

k

funkcija

monotono

raste

funkcija

monotono

opada

funkcija

monotono

opada

funkcija

monotono

opada

funkcija

monotono

raste

( ) 013 42 =−x

34 −=x33 =x

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

=⇒=

−

−=−

−−=

−

−−

−

−−

=−

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛ •−−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

−

3

30

13

3

1

3

21

1

1

3

2

1

11

1

213

11

1

)('

4

3

3 42

2

3

42

22

3

22

3

22

2

3

22

3

22

3

12

3

22

3

22

3

12'

3

12

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

xx

x

xxxx

x

xxf


b) tačka lokalnog minimuma funkcije jer prvi izvod menja znak od - na +, pri-

likom prolasku kroz nju. U toj tački funkcija ima vrednost f( ) što iznosi

.

Dakle, tačka N( ,1.37) je tačka lokalnog minimuma.

U tačkama u kojima prvi izvod nije definisan funkcija nema ekstremuma, jer se te tačke po-klapaju sa tačkama u kojima funkcija nije definisana.

6). (nule drugog izvoda, tačke u kojima drugi izvod nije definisan, intervale konkavnosti i konkveksnosti, prevojne tačke)

Drugi izvod je:

Dakle, drugi izvod ima nule u tačkama x0=0, x5=3, i x6=-3.

Drugi izvod nije definisan u tačkama u kojima je , odnosno u

x1=1 i x2=-1 tj. u tačkama u kojima i funkcija nije definisana.

Intervale konkavnosti o konveksnosti ćemo odrediti pomoću znaka drugog izvoda, kao štopokazuje sledeća Tabela 2. Da bismo odredili znak drugog izvoda u svakom od bitnih in-tervala, dovoljno je odrediti znak drugog izvoda u bilo kojoj, po volji odabranoj, tačkisvakog intervala.

( ) 013 72 =−x

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−===

⇒=−

−=

=−

−−−=−

−••−•−−•=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

3

3

0

0

19

)9(2

19

3816

19

3213

43132

13

3'

3 72

2

3

72

22

3

82

23

12

3

42

'

3

42

2'

x

x

x

x

xx

x

xxxx

x

xxxxx

x

xy

3

( )37,1

2

3

13

33

32

≈=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛ −

3

34 =x


Tabela 2.

Dakle prevojne tačke su tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli x0=0, x5=3, i x6=-3, kao itačke u kojima drugi izvod nije definisan x1=1 i x2=-1 (pažnja: u ovim tačkama i funkcija ni-je definisana). U ovim tačkama u kojima funkcija ima prevoje i u kojima je definisana vred-nost funkcije je

f(x0=0)=0 (tačka L(0, 0)),

f(x5=3)= (tačka P(3, 1,5))

f(x6=-3)= (tačka Q(-3, -1,5))

7. ( asimptote)

a) vertikalna asimptota

Vertikalna asimptota može (ali ne mora) postojati samo u konačnim tačkama prekida funk-cije, odnosno u našem slučaju u tačkama x1=1 i x2=-1.

5,123

83

3−=−=−

5,123

83

3==

x

(-∝, -3)

(-3, -1)

(-1, 0)

(0, 1)

(1, 3)

(3, ∝)

y’’

>0 (+)

< 0 (-)

>0 (+)

< 0 (-)

>0 (+)

< 0 (-)

Zaključak

funkcija

je

konvek-

sna

funkcija

je

konkav-

na

funkcija

je

konvek-

sna

funkcija

je

konkav-

na

funkcija

je

konvek-

sna

funkcija

je

konkav-

na


Kako je:

to su prave x=-1, i x=1 vertikalne asimptote funkcije f(x).

b) horizontalna asimptota

Kako je

zaključujemo da funkcija nema horizontalnu asimptotu. Ovom tačkom smo istovremeno ispi-tali i ponašanje funkcije na njenim beskonačnim krajevima oblasti definisanosti.

c) kosa asimptota

Kako je

zaključujemo da funkcija nema ni desnu ni levu kosu asimptotu.

8. (grafik funkcije)

Grafik funkcije je dat na slici 15.

( ) ( )0

1lim

1lim

3 23 2

=−

=−

∝−→→∝ x

x

x

x

x

x

xx

( )

( ) ∝−=−

∝+=−

∝−→

∝+→

3 2

3 2

1lim

1lim

x

x

x

x

x

x

( )

( )

( )

( ) ∝−=−

∝+=−

∝−=−

∝+=−

−−→

+−→

−→

+→

3 21

3 21

3 21

3 21

1lim

1lim

1lim

1lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x


Slika 15. Grafik funkcije

x

3

x2

1

x

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

3

1.5

1.5

3

M(-1,73; -1,37)

N(1,73; 1,37) P(3; 1,5)

Q(-3; -1,5) L(0, 0)


3. FUNKCIJE DVE NEZAVISNO PROMENLJIVE

3.1. Pojam funkcije dve nezavisno promenljive

Definicija 3.1.1. (funkcija dve nezavisno promenljive) Neka su X i Z neprazni skupovi, X⊂R2, Z⊂R , R2=R×R={(x,y)| x∈R

∧y∈R}. Funkcija f:X→Z za svako (x,y)∈X zove se funkcija od dve nezavisno pro-menljive ili preslikavanje iz skupa X u skup Z.

Promenljive x i y nazivaju se nezavisno promenljivim ili argumentima,dok se zavisna promenljiva z naziva vrednost funkcije.

Skup X=D(f) ⊂R2 za koje funkcija ima smisla, tj. za koje se može iz-računati f(x,y)=z zove se oblast definisanosti, ili domen funkcije f(x,y), a skupZ⊂R kodomen ili skup vrednosti te funkcije.

Grafik funkcije z=f(x,y) predstavlja skup tačaka M(x, y, f(x,y)) kojiobrazuje jednu površ, pa se analitički izraz z=f(x,y) može interpretiratikao jednačina površi (slika 16).

Slika 16. Grafički prikaz površi z=f(x,y)

x

y

z

P(x,y)

Mz=f(x,y)


Primer 3.1.1.

Odrediti oblast definisanosti funkcije .

Rešenje:

Oblast definisanosti ove funkcije određujemo iz uslova

. Otuda zaključujemo da

oblast definisanosti zadate funkcije čine sve tačke koje leže u unutrašnjosti ili na periferiji kru-

ga x2+y2=1.

3.2. Granična vrednost i neprekidnost funkcije dve promenljive

Definicija 3.2.1. (granična vrednost u tački) Funkcija z=f(x,y) teži konačnoj graničnoj vrednosti B kad x teži a i y teži

b ako za proizvoljno unapred zadato ε>0 postoji broj δ(ε)>0 takav da je ispunje-no sledeće

⏐x-a⏐<δ ∧⏐y-b⏐<δ ⇒⏐f(x,y)-B⏐<ε .

Ovo zapisujemo

Definicija 3.2.2. (neprekidnost u tački) Funkcija z=f(x,y) naziva se neprekidnom u tački A(a,b) ako je

3.3. Parcijalni izvod i totalni diferencijal funkcije dve promenljive

Definicija 3.3.1. (parcijalni izvod u tački)Parcijalnim izvodom prvog reda funkcije f(x,y) po argumentu x u tački

A(a,b) naziva se izvod u tački x=a od funkcije f(x,b) i označava se sa

, odnosnox

AfAf x ∂

∂= )()('

).,(),(lim bafyxf

byax

=→→

Byxf

byax

=→→

),(lim

1.01 2222 ≤+≥−− yxuslovaiztjyx

221 yxz −−=

62 3. Funkcija dve nezavisne promenljive

.

Parcijalnim izvodom prvog reda funkcije f(x,y) po argumentu y u tačkiA(a,b) naziva se izvod u tački y=b od funkcije f(a,y) i označava se sa

, odnosno

.

Parcijalni izvod u tački je broj.

NAPOMENA: Sve tačke (x,y) u kojima postoje parcijalni izvodi po xi po y funkcije f(x,y) obrazuju izvestan skup S, tako da svakom (x,y)∈S odgo-vara vrednost parcijalnih izvoda fx’(x,y) i fy’(x,y). To znači da fx’(x,y) i fy’(x,y)predstavljaju funkcije definisane na skupu S. Ove se funkcije nazivaju parci-jalnim izvodom po x, ili po y.

VAŽNO: U praktičnom određivanju parcijalnih izvoda elementarnihfunkcija od dva ergumenta postupa se prema opštim pravilima diferenciranjafunkcija jednog argumenta, pri čemu se vrednost argumenta, po kome se netraži parcijalni izvod, smatra konstantnim.

Primer 3.3.1.

Naći parcijalne izvode po x i po y funkcije

a) u tački A(1,2);

b) u proizvoljnoj tački (x,y)∈R2.

Rešenje:

a)

( )

13122)32()(

14221323)(

3

21

3

22

21

22

=−••=−=∂

∂

=+••=+=∂

∂

==

==

yx

yx

yxy

Az

yxx

Az

63223 +−+= yxyxz

by

bafyaf

y

AfAf

byy −

−=∂

∂=→

),(),(lim

)()('

y

AfAf y ∂

∂= )()('

ax

bafbxf

x

AfAf

axx −

−=∂

∂=→

),(),(lim

)()('


b)

Dakle, parcijalni izvodi zadate funkcije u zadatoj tački su brojevi, a parcijalni izvodi funkci-je u proizvoljnoj tački su takođe funkcije.

Definicija 3.3.2. (totalni diferencijal) Neka funkcija z=f(x,y) u tački M(x,y) ima parcijalne izvode i neka su oni

neprekidni. Tada se izraz

naziva totalni diferencijal funkcije z=f(x,y).

Primer 3.3.2.

Naći totalni diferencijal funkcije

a) u tački A(1,2)

b) u proizvoljnoj tački M(x,y)∈R2.

Rešenje:

a)

Koristeći formulu

za određivanje totalnog diferencijala funkcije z=f(x,y) u zadatoj tački A dobijamo,

( )

13122)32()(

14221323)(

3

21

3

22

21

22

=−••=−=∂

∂

=+••=+=∂

∂

==

==

yx

yx

yxy

Az

yxx

Az

dyy

Azdx

x

AzAdz

∂∂+

∂∂= )()(

)(

63223 +−+= yxyxz

dyy

zdx

x

zyxdfdz

∂∂+

∂∂== ),(

.32),(

,23),(

3

22

−=∂

∂

+=∂

∂

yxy

yxz

yxx

yxz


pa je:

dz(A)=14dx+dy

b)

Očigledno je

3.4 Parcijalni izvodi i diferencijali višeg reda

Definicija 3.4.1. (parcijalni izvod drugog reda) Parcijalnim izvodima drugog reda funkcije z=f(x,y) nazivamo parcijalne iz-

vode njenih parcijalnih izvoda prvog reda.

Od parcijalnih izvoda prvog reda mogu se formirati sledeći parcijal-ni izvodi drugog reda:

Parcijalni izvodi i nazivaju se me-

šovitim parcijalnim izvodima drugog reda funkcije z=f(x,y).

Od parcijalnih izvoda drugog reda mogu se formirati parcijalni iz-vodi trećeg reda, itd.

NAPOMENA: Ako je funkcija z= f(x,y) dva puta diferencijabilna utački M(x0,y0) tada je u toj tački fxy

’’(x0,y0)=fyx’’(x0,y0).

Primer 3.4.1.

Naći druge parcijalne izvode funkcije

a) u tački A(1,2)


63223 +−+= yxyxz

( )yxfyx

zxy ,''

2

=∂∂

∂( )yxfxy

zyx ,''

2

=∂∂

∂

( ) ( )

( ) ( )yxfyx

z

x

z

yyxf

xy

z

y

z

x

yxfy

z

y

z

yyxf

x

z

x

z

x

xyyx

yyxx

,,

,,

''2

''2

''

2

2''

2

2

=∂∂

∂=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

∂∂=

∂∂∂=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂∂=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂=

∂∂=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

∂∂

( ) ( )dyyxdxyxdyy

yxzdx

x

yxzyxdz 3223

),(),(),( 322 −++=

∂∂+

∂∂=


Rešenje:

a) Kako je,

b) Kako je

Primetimo da je i pod a) i pod b) fxy’’=fyx

’’

Definicija 3.4.2. (diferencijal drugog reda)Diferencijalom drugog reda funkcije z=f(x,y) nazivamo diferencijal diferen-

cijala prvog reda te funkcije, odnosno d2z=d(dz).

Analogno se određuju diferencijali funkcije z višeg reda, odnosnodiferencijal n-tog reda je diferencijal (n-1)-og reda funkcije z(x,y), odnosnodnz=d(dn-1z).

( )

( ) .

6),(

,2),(

32),(

log

.

6),(

,6),(

23),(

2

3

2

2

3

2

2

2

2

22

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

=∂

∂

−=∂

∂

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂

∂

+=∂

∂

yxy

yxz

x

xy

yxz

jepayxy

yxz

jenoAna

yxx

yxz

y

xyx

yxz

jetoyxx

yxz

( )( )

( )

( )( )

( ).

121266)(

,2122)(

32),(

log

.

122166)(

,242166)(

23),(

2

21

2

3

21

3

2

2

3

2

21

2

2

21

2

2

2

22

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=••==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

=•==∂

∂

−=∂

∂

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=••==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

∂∂

=••==∂

∂

+=∂

∂

==

==

==

==

yx

yx

yx

yx

yxy

Az

x

xy

Az

jepayxy

yxz

jenoAna

yxx

Az

y

xyx

Az

jetoyxx

yxz


Važno: Ako funkcija z=f(x,y) ima neprekidne parcijalne izvode drugogreda tada je njen diferencijal drugog reda definisan formulom:

Primer 3.4.2.

Naći diferencijal drugog reda funkcije

a) u tački A(1,2)


Rešenje:

Kako smo u primeru 3.4.1. odredili sve parcijalne izvode drugog reda imamo da je:

a)

b)

3.5. Ekstremne vrednosti funkcije dve nezavisne promenljive

Definicija 3.5.1. (minimum, maksimum) Funkcija f(x,y) ima lokalni maksimum u tački A(a,b) ako je za sve tačke

(x,y) dovoljno bliske tački A(a,b) važi f(a,b)>f(x,y).

Funkcija f(x,y) ima lokalni minimum u tački A(a,b) ako je za sve tačke(x,y) dovoljno bliske tački A(a,b) važi f(a,b)<f(x,y).

Lokalni maksimum ili lokalni minimum funkcije nazivaju se ekstremumi-ma funkcije.

( ) ( ) ( )232222

2

222

2

22 2626)(2 dyxydxdyxdxxydy

y

zdxdy

yx

zdx

x

zzd +•+=

∂∂+

∂∂∂+

∂∂=

( ) ( ) ( )222

2

222

2

22 212224)(

)()(2

)()( dydxdydxdy

y

zAdxdy

yx

Azdx

x

AzAzd +•+=

∂∂+

∂∂∂+

∂∂=

( ) 2

2

222

2

22 )(2 dy

y

zdxdy

yx

zdx

x

zzd

∂∂+

∂∂∂+

∂∂=


Teoreme 3.5.1. (potrebni uslovi za ekstremum)Ako funkcija z=f(x,y) dostiže ekstremum u tački A(a,b), tada su prvi par-

cijalni izvodi u tački A(a,b) jednaki nuli ili ne postoje.

Tačke u kojima su prvi parcijalni izvodi jednaki nuli ili nepostoje sustacionarne tačke te funkcije.

Teorema 3.5.2. (dovoljni uslovi za ekstremum)

Neka je tačka M(a,b) stacionarna tačka funkcije z=f(x,y). Tada:

a) ako je d2f(a,b)<0 onda je f(a,b) maksimum funkcije f(x,y)

b) ako je d2f(a,b)>0 onda je f(a,b) minimum funkcije f(x,y)

c) ako je d2f(a,b) menja znak pri prolasku kroz (a,b), onda f(a,b) nije eks-trem funkcije f(x,y)

Ovi uslovi ekvivalentni su sledećem:

Neka je fxx(a,b)=A, fyy(a,b)=C i fxy(a,b)=B. Formirajmo izraz ∆=AC-B2.Tada :

a) ako je ∆>0 onda funkcija ima ekstremum u tački M(a,b) i to:maksimum ako je A<0 (ili C<0)minimum ako je A>0 (ili C>0)

b) ako je ∆<0 onda funkcija nema ekstremum u tački M(a,b)

c) ako je ∆=0 onda pitanje postojanja ekstremuma u tački M(a,b) ostajeotvoreno (potrebna su dalja ispitivanja)

Dakle, da bi odredili ekstremum funkcije z=f(x,y) potrebno je prvoodrediti njene stacionarne tačke nalaženjem rešenja sistema jednačina

, a zatim za svaku od tih stacionarnih tačaka, primenju-

jući teoremu 3.5.2., analizirati izraz ∆=AC-B2.

00 =∂∂∧=

∂∂

y

z

x

z


Primer 3.5.1.

Naći ekstremume funkcije

Rešenje:

Nađimo stacionarne tačke date funkcije iz uslova . Dobijamo sistem jed-načina

Ako drugu jednačinu pomnožimo sa 2 i oduzmemo je od prve jednačine dobijamo da je

(x-y)2=1⇒ x-y=1∨ x-y = -1⇒x=y+1 ∨ x=y-1.

Sada za x=y+1 imamo iz druge jednačine xy=2⇒(y+1)y=2⇒ y=-2∨ y=1 pa vraćajući ux=y+1 dobijamo da su stacionarne tačke M1(-1, -2) i M2 (2, 1).

Analogno za x=y-1 dobijamo još dve stacionarne tačke M3 (-2, -1) i M4 (1, 2).

Nađimo sada druge parcijalne izvode:

Za svaku od stacionarnih tačaka izračunajmo izraz ∆=AC-B2=36x2-36y2=36(x2-y2).

a) za M1(-1, -2) ∆=36(1-4)<0 pa u njoj funkcija nema ekstremuma

b) za M2 (2, 1) ∆=36(4-1)>0 i A=12>0 pa u njoj funkcija ima lokalni minimum. Taj minimumjednak je vrednosti funkcije za x=2, i y=1 i iznosi zmin=8+6-30-12= -28

c) za M3 (-2, -1) ∆=36(4-1)>0 A=-12<0 pa u njoj funkcija ima lokalni maksimum. Taj mak-simum jednak je vrednosti funkcije za x= -2 i y= -1 i iznosi zmax= -8-6+30+12=28

d) za M4 (1, 2) ) ∆=36(1-4)<0 pa u njoj funkcija nema ekstremuma.

Byyx

z

Cxy

z

Axx

z

==∂∂

∂

==∂∂

==∂∂

6

6

6

2

2

2

2

2

020126

0501533 2222

=−⇒=−=∂∂

=−+⇒=−+=∂∂

xyxyy

z

yxyxx

z

00 =∂∂∧=

∂∂

y

z

x

z

.12153 23 yxxyxz −−+=


Definicija 3.5.2. (uslovni ekstremum)Uslovnim ekstremumom funkcije z=f(x,y) naziva se ekstremum te funkci-

je uz uslov postojanja zavisnosti između promenljivih x i y, koji je dat jednačinomϕ(x,y)=0.

Da bi našli uslovni ekstremum potrebno je da formiramo takozva-nu funkcije Lagranža:

gde je λ neodređena Lagranžova konstanta.

Potrebni uslovi za postojanje uslovnog ekstremuma se svode na sistemod tri jednačine gde su nepoznate x,y,λ, dat sa:

Iz ovog sistema jednačina određuju se vrednosti x, y, λ, gde odgovara-juće tačke (x,y) predstavljaju potencijalne kandidate za tačke uslovnog ekstremu-ma.

Pitanje o postojanju i karakteru uslovnog ekstremuma u tim tačkama reša-va se izračunavanjem znaka drugug diferencijala Lagranžeove funkcije u timtačkama, gde je drugi diferencijal dat sa:

pri čemu su diferencijali dx i dy vezani relacijama:

i dx2+dy2>0.

Ukoliko je: a) d2F<0 onda f(x,y) ima uslovni maksimum u tim tačkamab) d2F>0 onda f(x,y) ima uslovni minimum u tim tačkamac) d2F menja znak pri prolasku kroz te tačke onda one nisu tačke uslovnog

ekstremuma

00),( =∂∂+

∂∂⇒= dy

ydx

xyxd

ϕϕϕ

2

2

222

2

22 2),( dy

y

Fdxdy

yx

Fdx

x

FyxFd

∂∂+

∂∂∂+

∂∂=

0),(

0

0

=

=∂∂+

∂∂=

∂∂

=∂∂+

∂∂=

∂∂

yx

yy

f

y

F

xx

f

x

F

ϕ

ϕλ

ϕλ

),(),(),( yxzxfyxF λϕ+=


4. INTEGRALI

4.1. Neodređeni integral

Definicija 4.1.1. (primitivna funkcija zadate funkcije)

Primitivnom funkcijom funkcije f(x):X→R naziva se funkcija F(x):X→R,X⊆R, ako ona ima konačan izvod F’(x) za svako x∈X i ako je

(∀x∈X) F’(x)=f(x).

Naprimer, za funkciju y=2x, primitivna funkcija je F(x)=x2 jer je (x2)’ =2x.

Naravno, ako je F(x) primitivna funkcija funkcije f(x) onda je i(F(x)+C), za bilo koju konstantu C, takođe primitivna funkcija funkcijef(x), jer važi implikacija

F(x)’=f(x) ⇒ (F(x)+C)’=f(x) jer je C’=0, gde je C bilo koja konstanta.

Štaviše, važi sledeća teorema, koju nećemo dokazivati:

Teorema 4.1.1. Ako je F(x) primitivna funkcija funkcije f(x) u nekom in-tervalu (a,b), tada su sve primitivne funkcije funkcije f(x) na tom intervalu obli-ka F(x)+C, gde je C bilo koja konstanta.

Definicija 4.1.2. (neodređeni integral zadate funkcije)

Neodređeni integral funkcije f na intervalu X zove se skup svih primitivnihfunkcija funkcije f(x) i obeležava se sa

,

a čita se „neodređeni integral ef od iks de iks”.

Izraz f(x)dx zove se podintegralni izraz, a f(x) podintegralna funkcija.

∫ dxxf )(


Postupak nalaženja neodređenog integrala funkcije f(x) naziva se in-tegracija funkcije f(x).

4.1.1. Osnovna svojstva neodređenog integrala

Osnovna svojstva neodređenog integrala su:

4.1.2. Tablica osnovnih integrala

Cxx

dx

Carctgxx

dx

Cctgxx

dx

Ctgxx

dx

Cxxdx

Cxxdx

Cedxe

aCa

adxa

Cxx

dx

nzaCn

xdxx

Cxdx

xx

xx

nn

+=−

+=+

+−=

+=

+−=

+=

+=

>+=

+=

−≠++

=

+=

∫

∫

∫

∫∫∫∫∫

∫

∫

∫+

arcsin1

.11

1.10

sin.9

cos.8

cossin.7

sincos.6

.5

)0(ln

.4

ln3

11

.2

.1

2

2

2

2

1

( )( )( )

( )∫ ∫∫∫ ∫∫

∫∫

±=±

=

+=

=

=

dxxfdxxfdxxfxf

dxxfAdxxAf

Cxfxdf

dxxfdxxfd

xfdxxf

)()()()(.5

)()(.4

)()(.3

)(.2

)()(.1

2121

'

72 4. Integrali

4.1.3. Metodi izračunavanja neodređenog integrala

4.1.3.1. Metoda dekompozicijeOva metoda se zasniva na osobinama 4° i 5° iz tačke 4.1.1.

Primer 4.1.3.1.

Naći .

Rešenje:

Direktnom primenom svojstva 5. iz 4.1.1. i tabličnih integrala 2, 3 i 6 iz tablice inte-grala 4.1.2, dobijamo:

4.1.3.2. Metoda zamene nezavisno promenljiveAko se promenljiva x u podintegralnom izrazu f(x)dx zameni no-

vom promenljivom t, stavljajući da je x=g(t), gde je g(t) diferencijabilnafunkcija koja ima inverznu funkciju t=g-1(x), dobijamo da je:

Naravno, suština ove metode je da se posle uvođenja smene x=g(t)integral pojednostavi.

Primer 4.1.3.2.

Naći .

Rešenje:

Uvedimo smenu , pa je

.ln22

12

1ln

2

12

1

2

1

2CxaCtC

tdtt

t

dt

xax

dx ++=+=++−

===+∫ ∫∫

+−

−

dtx

dxtxa =⇒=+ ln2

∫ + xax

dx

ln2

∫∫ == .)()())(()( '' dttgdxjejerdttgtgfdxxf

Cxxx

xdxx

dxdxxdxx

xx +++=++=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++ ∫∫∫∫ sinln

4coscos

1 433

∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++ dxx

xx cos

13


4.1.3.3. Metoda parcijalne integracijeAko su u(x) i v(x) diferencijabilne funkcije na skupu X i ako posto-

ji tada postoji i pri tome je

.Naravno, parcijalna integracija ima smisla ukoliko se njenom pri-

menom pojednostavljuje rešavanje polaznog integrala.

Primer 4.1.3.3.

Naći

Rešenje:

Primenjujući parcijalnu integraciju, stavimo

u=x, dv=exdx, odakle sledi da je du=dx, a , pa je:

.

4.1.3.4. Integracija racionalnih funkcijaRacionalna funkcija argumenta x može se predstaviti kao količnik

dva polinoma:

.Ako je m>n, kažemo da se radi o pravoj racionalnoj funkciji, dok ako

je m≤n kažemo da je racionalna funkcija neprava.

Ako se radi o nepravoj racionalnoj funkciji, tada, deleći brojilacimeniocem po pravilu deljenja polinoma polinomom, tu nepravu racio-nalnu funkciju možemo predstaviti u obliku zbira polinoma i neke pra-ve racionalne funkcije:

, gde je M(x) polinom, a prava racional-

na funkcija.Tako se integracija neprave racionalne funkcije svodi na integraciju

polinoma (što je trivijalno) i integraciju prave racionalne funkcije.

)(

)(

xQ

xR

)(

)()(

)(

)(

xQ

xRxM

xQ

xP +=

m

mm

n

nn

bxbxb

axaxa

xQ

xPxf

++++++

== −

−

...

...

)(

)()(

1

10

1

10

Cexedxexedxxe xxxxx +−=−= ∫∫

xx edxedvv === ∫∫

.∫ dxxe x

∫∫ −= vduuvudv

∫udv∫udv

74 4. Integrali

Neka je prava racionalna funkcija gde je

Q(x)=(x2+p1x+q1)⋅… ⋅(x2+prx+qr)⋅(x-a1)k1⋅ … ⋅(x-al)

kl:

pri čemu su:

x2+pix+qi (i=1,2,…,r) – činioci polinoma Q(x) koji se ne ponavljaju a ima-ju konjugovano kompleksne korene,

ai (i=1,2,…l) – realni koreni polinoma Q(x) čija je višestrukost ki , tada je

Ai, Bi, Ci… – konstante.

Neodređene koeficijente A1, A2,…, Ar, B1, B2,…, Br, C1, C2…, Ck1,…, D1,D2…, Dkl izračunavamo svodeći desnu stranu prethodne jednakosti na za-jednički imenilac i izjednačavajući koeficijente uz jednake stepene x-a le-ve i desne strane dobijene jednakosti.

Ovim postupkom se integracija racionalnih funkcija svodi na odre-đivanje integrala jednog polinoma i prostih razlomaka.

Primer 4.1.3.4.

Naći .

Rešenje:

( )( )

( ) ( )

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=

=

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−=+

=+⇒

⇒+−

−−++++=

=+−

−++−++=

++

++

−=

+−

2

1

4

1

4

1

0

12

0

)1)(1(

2

)1)(1(

)1()1)(1()1(

)1(1111

2

1

21

2

1

2

212

2

1

2

21

2

2

21

2

B

B

A

BBA

BA

BA

xx

BBAxBAxBA

xx

xBxxBxA

x

B

x

B

x

A

xx

x

( )( )∫ +− 211 xx

xdx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kll

kl

llk

k

rr

rr

ax

D

ax

D

ax

D

ax

C

ax

C

ax

C

qxpx

BxA

qxpx

BxA

qxpx

BxA

xQ

xR

−++

−+

−++

−++

−+

−+

+++

+++++

++++

+=

.........

...)(

)(

221

11

1

21

2

1

1

222

222

112

11

)()()(

xQxP

xf =


pa je

4.2. Određeni integral

4.2.1 Pojam integralne sume

Neka je funkcija f(x) definisana i organičena na segmentu [a,b].Neka je a=x0<x1<…<xn-1<xn=b po volji izabrana podela P tog intervala na ndelova (slika 17.) i neka je u svakom pododsečku ove podele izabrana pojedna tačka, tj. neka je u i-tom pododsečku [xi, xi+1]. izabrana tačka ξi zai=0, 1, 2,… , n-1.

Slika 17. Analiza pojma integralne sume

Suma

,

∆xi=xi+1-xi; i=0, 1, 2, …, (n-1),

∑−

=∆⋅=

1

0

)(n

i

iin xfS ξ

a=x0ξ

0 x

1ξ

1 x

2 x

i ξ

i x

i+1 x

n-1 ξ

n-1 b=x

n x

y y=f(x)

( )( ) ( )

( ) .12

11ln

4

11ln

4

1

12

1

14

1

14

1

1122

Cx

xx

x

dx

x

dx

x

dx

xx

xdx

++

−+−−=

=+

++

−−

=+− ∫∫∫ ∫

76 4. Integrali

naziva se integralna suma funkcije f(x) koja odgovara podeli P iodređenom izboru tačaka ξi.

Geometrijski gledano, integralna suma predstavlja sumu površinapravougaonika (slika 17.), čije su dužine stranica ∆xi=xi-xi-1 i f(ξi).

Definicija 4.2.1. (određeni integral)Neka je λ dužina najvećeg pododsečka podele P, tj. najveći od brojeva

∆xi=xi+1-xi, i=0, 1, 2, …n-1. Ako postoji granična vrednost integralne sume Snkada λ teži nuli, i ako je ta granična vrednost jednaka broju I, tj.

nezavisno od načina izbora tačaka ξi, tada broj I nazivamo određenim inte-gralom funkcije f na odsečku [a,b] i označavamo sa:

I=

(čitamo: „integral od a do b ef od iks de iks”.)

Za funkciju f(x) kažemo tada da je integrabilna na odsečku [a,b].

Dakle,

Geometrijski, određeni integral predstavlja površinu ogra-

ničenu x-osom, pravama x=a i x=b, i krivom y=f(x) (isprekidano išrafira-

na oblast na slici 18.).

∫b

a

dxxf )(

∫∑ =∆⋅−

=→∆=→∝

b

a

n

iii

xn

dxxfxfi

)()(lim1

00max

ξλ

∫b

a

dxxf )(

ISn =→0

limλ


Slika 18. Geometrijska interpretacija određenog integrala

Za izračunavanje određenog integrala koristi se Njutn-Lajbnicova(Newton-Leibniz) formula, koja glasi:

Ako je f(x) definisana i neprekidna funkcija na odsečku [a,b] i ako je F(x)bilo koja njena primitivna funkcija, onda je

Iz Njutn-Lajbnicove formule sledi da se izračunavanje određenogintegrala funkcije f na odsečku [a,b] sastoji u izračunavanjuprimitivne funkcije F(x) funkcije f i izračunavanje razlike F(b)-F(a).

Primer 4.2.1.

Naći

Rešenje:

.

( ) ( )3

17

3

89

3

2

3

3|

3

333

2

33

2

2 =−−=−−==−−

∫x

dxx

.

3

2

2∫−

dxx

).()(|)()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

−==∫

∫b

a

dxxf )(

x=a x=b x

y y=f(x)

78 4. Integrali

4.3. Nesvojstveni integrali

Nesvojstveni integral funkcije f se definiše u slučaju kada interval in-tegracije nije konačan, ili kod koga je podintegralna funkcija neograničenau nekoj tački intervala integracije.

4.3.1. Izračunavanje nesvojstvenih integrala kod kojih interval integracije nije konačan

U slučaju nesvojstvenih integrala kod kojih interval integracije nije konačan,važi sledeće:

a) ako je funkcija f(x) neprekidna za a≤x<∝, onda važi:

b) ako je funkcija f(x) neprekidna za -∝<x≤b, onda važi:

c) ako je funkcija f(x) neprekidna za -∝<x<∝, onda važi:

.Ako su limesi na desnoj strani navedenih jednakosti konačni, kažemo da

razmatrani nesvojstveni integral konvergira, dok u suprotnom kažemo da diver-gira.

Primer 4.3.1.1.

Naći

Rešenje:

( ) ( ) 11011

limlim|limlim 0

000

=+=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−=+−=−==

→∝

−

→∝

−

→∝

−

→∝

∝− ∫∫ bb

b

b

bx

b

b

x

b

x

eeeedxedxe

.0

∫∝

− dxe x

∫∫∝−→

→∝

∝

∝−

=b

aab

dxxfdxxf )(lim)(

∫∫ ∝−→∝−

=b

aa

b

dxxfdxxf )(lim)(

∫∫ →∝

∝

=b

ab

a

dxxfdxxf )(lim)(


4.3.2. Izračunavanje nesvojstvenih integrala kod kojih je podintegralna funkcija neograničena u nekoj tački intervala integracije.

U slučaju nesvojstvenih integrala kod kojih je podintegralna funkcijaneograničena u nekoj tački intervala integracije, važe sledeće jednakosti:

a) ako je funkcija f(x) neograničena u tački x=a, onda važi:

, (ε>0)

b) ako je funkcija f(x) neograničena u tački x=b, onda važi:

, (ε>0)

c) ako je funkcija f(x) neograničena u tački c∈(a,b), onda važi:

, (ε>0).

Ako su limesi na desnoj strani navedenih jednakosti konačni, kažemo darazmatrani nesvojstveni integral konvergira, dok u suprotnom kažemo da diver-gira.

Primer 4.3.2.

Naći .

Rešenje: Kako je funkcija neograničena u okolini tačke x=0 koja pripada in-

tervalu integracije (-1, 1), onda važi:

.

Dakle, traženi nesvojstveni integral divergira ka +∝.

=∝⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=+=

→→→

−

−→→

−

−→

−∫∫∫ 1

1lim1

1lim|

1lim|

1limlimlim

00

1

010

1

201

20

1

1

2 εε εεεε

ε

εε

ε

ε

ε xxx

dx

x

dx

x

dx

2

1)(

xxf =

∫−

1

1

2x

dx

∫∫∫+

→

−

→+=

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxfε

ε

ε

ε)(lim)(lim)(

00

∫∫−

→=

ε

ε

b

a

b

a

dxxfdxxf )(lim)(0

∫∫+

→=

b

a

b

a

dxxfdxxfε

ε)(lim)(

0

80 4. Integrali

5. EKONOMSKE FUNKCIJE

5.1. Funkcija tražnje

Tražnja nekog proizvoda na tržištu zavisi od niza faktora: od cenetog proizvoda, cene ostalih proizvoda na tržištu, od standarda potrošača,od navike potrošača za kupovinu tog proizvoda, od ukusa potošača itd.Naravno, nemoguće je obuvatiti sve faktore koji utiču na potražnju nekogproizvoda na tržištu. Istovremeno analiza funkcije tražnje je kvalitetnijaukoliko se ona sprovodi na većem broju parametara koji utiču na nju.Očigledno je da se takva analiza mora vršiti po pravilima analize funkci-ja više promenljivih.

Mi ćemo naše matematičko ispitivanje tražnje svesti na nivo funk-cije jedne promenljive, i to na analizu funkcije tražnje nekog proizvoda odnjegove cene.

U tom smislu obeležimo tražnju nekog proizvoda sa x, a cenu togproizvoda sa p. Veza između tražnje proizvoda na tržištu i njegove cene jedata u vidu neke funkcionalne zavisnostu:

x=f1(p).

Oblast definisanosti ove funkcije se određuje iz uslova:

1. p>0 (cena je naravno uvek pozitivna)2. x>0 (potražnja za nekim proizvodom mora biti pozi-

tivna)3. x’=f1’(p)<0 (porast cene nekog proizvoda smanjuje njegovu po-

tražnju)


5.2. Funkcija ponude

Ponuda jednog proizvoda predstavlja količinu tog proizvoda izne-tog na tržište po određenoj ceni. Ponuda jednog proizvoda, takođe zavi-si od mnoštva faktora poput troškova proizvodnje, tehnoloških i vre-menskih uslova, cene proizvoda itd..

Mi ćemo ponudu posmatrati u zavisnosti od jednog parametra, ce-ne proizvoda.

Obeležimo količinu proizvoda koji se nudi sa y,cenu sa p, a zavi-snost ponude od potražnje sa

y=f2(p).

Oblast definisanosti ove funkcije se određuje iz uslova:

1. p>0 (cena je naravno uvek pozitivna)2. y>0 (ponuda nekog proizvoda mora biti pozitivna)3. y’=f2’(p)>0 (porast cene nekog proizvoda stimuliše proizvođa-

ča da ga što više nudi tržištu).

Ako su funkcije ponude i tražnje jednog proizvoda određene, ondase može odrediti ravnoteža na tržištu iz uslova y=x, odnosno f1(p)=f2(p).

Primer 5.2.1.

Odrediti cenu pri kojoj se postiže ravnoteža tražnje i ponude ako je funkcija tražnje

x=(p-3)2

a funkcija ponude

y=2p-3.

Rešenje:

Oblast definisanosti funkcije tražnje određujemo iz uslova za koje važi

a oblast definisanosti funkcije ponude iz uslova za koje važe implikacije

Cena pri kojoj nastupa ravnoteža na tržištu mora biti iz skupa vrednosti za koje je definisa-na i tražnja i ponuda na tržištu, odnosno iz skupa

( ) .3,2

3,2

33,0 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∝∩

( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∝∈⇒⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∈∧>∧>⇒>∧>−∧>⇒>∧>∧> ,

2

3

2

30020320000 ' pRpppppyyp

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3,0300320300002' ∈⇒<∧∈∧>⇒<−∧>−∧>⇒<∧>∧> ppRpppppxxp

82 5. Ekonomske funkcije

Izjednačavajući funkcije tražnje i ponude dobijamo:

Kako rešenje p2=6 ne pripada intervalu , to ga odbacujemo, dok ,

pa se, dakle ravnoteža na tržištu postiže za vrednost cene p=2.

5.3. Funkcija ukupnih troškova, prosečnih troškova i graničnih troškova

Funkcija ukupnih troškova predstavlja funkcionalnu zavisnost troškova(obeležimo ih sa C) od obima proizvodnje (obeležimo ga sa x), tj

C=f3(x)

Oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova se određuje iz uslova:

1. x>0 (obim proizvodnje je naravno uvek pozitivan)2. C>0 (ukupni troškovi proizvodnje su naravno pozitivni)3. C’=f3’(x)>0 (porast proizvodnje povećava ukupne troškove pro-

izvodnje)

Funkcija prosečnih troškova predstavlja količnik ukupnih troškova i ukup-ne proizvodnje. Prosečni troškovi se označavaju sa , tj.

Oblast definisanosti funkcije prosečnih troškova je određena obla-šću definisanosti funkcije ukupnih troškova C.

Funkcija graničnih troškova je prvi izvod funkcije ukupnih troškova, od-nosno C’. Prema tome

Za vezu između prosečnih i graničnih troškova važi sledeća teorema.

Teorema 5.3.1. Ako prosečni troškovi rastu sa porastom proizvodnje,tada su granični troškovi veći od prosečnih troškova, a ako prosečni troškovi

x

xCxxC

dx

dCC

x ∆−∆+==

→∆

)()(lim

0

'

x

CC =__

__

C

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛∈= 3,2

321p⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛3,

2

3

( ) .620128323 21

22 =∨=⇒=+−⇒−=−⇒= ppppppyx


opadaju s porastom proizvodnje, tada su granični troškovi manji od prosečnihtroškova.

Dokaz:

a) Neka prosečni troškovi rastu sa porastom proizvodnje. Tada važi

odnosno granični troškovi su veći od prosečnih troškova.

b) Pretpostavimo da prosečni troškovi opadaju sa porastom proizvodnje. Ta-da važi

odnosno granični troškovi su manji od prosečnih troškova.

Primer 5.3.1.

Data je funkcija ukupnih troškova C=5x2+320 ( C ukupni troškovi, x obim proizvodnje). Po-kazati da su minimalni prosečni troškovi jednaki graničnim troškovima.

Rešenje:

Oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova određujemo iz uslova za koje imamo

Odredimo obim proizvodnje x za koji su prosečni troškovi minimalni, odnosno odredimo vred-

nost x za koju funkcija ima minimum. Pri tome ćemo koristiti metode ispitivanja funk-

cije jedne promenljive.

Stacionarne tačke funkcije dobijamo iz uslova .

Saglasno uslovima za oblasi definisanosti funkcije ukupnih troškova odbacujemo stacionar-nu tačku x2=-8

Odredimo da li je stacionarna tačka x=8 tačka ekstremuma, i ispitajmo prirodu tog ekstre-muma pomoću znaka drugog izvoda u toj tački.

, pa prosečni troškovi u tački x=8 ( ) 08

32038''

3203

3205

3

__

3

'

2

''__

>•==⇒•=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

xCxx

C

.885

3200

3205

3205

320521

2

'__

2

'__2__

−=∨=⇒=⇒=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⇒−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⇒+=+== xxxC

xC

xx

x

x

x

CC

0

'__

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛C)(

__

xC

x

CC =__

( ) ( ) ( ) ( )∝∈⇒>∧∈∧>⇒>∧>+∧>⇒>∧>∧> ,000010032050000 2' xxRxxxxxCCx

__'

2

'''__

'0000 CCx

CCCxC

x

CxC

x

CC <⇒<⇒<−•⇒<−•⇒<⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⇒<⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

__'

2

'''__

''0000 CCx

CCCxC

x

CxC

x

CC >⇒>⇒>−•⇒>−•⇒>⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⇒>⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛


imaju minimalnu vrednost koja iznosi .

Granični troškovi u tački x=8 iznose .

Dakle, granični troškovi u tački u kojoj funkcija prosečnih troškova ima minimalnu vrednost sujednaki tim minimalnim prosečnim troškovima.

5.4. Funkcija ukupnog prihoda i graničnog prihoda

Funkcija ukupnog prihoda (obeležimo je sa P) predstavlja proizvod koli-čine proizvoda prodatog na tržištu , i cene po kojoj je jedinica proizvoda prodatana tržištu. Količina proizvoda prodatog na tržištu je u stvari funkcija tražnje togproizvoda x, pa za funkciju ukupnog prihoda važi formula

P=p•x.

Prema tome ukupan prihod je funkcija dve nezavisne promenljive p i x. Akoje funkcija tražnje za određeni proizvod x=f1(p), onda

a) se ukupan prihod može predstaviti kao funkcija jedne promenljive, tj kaofunkcija cene, pa je:

P=p•f1(p)

b) ako funkcija x=f1(p) ima inverznu funkciju p=f1-1(x) tada se ukupan pri-

hod može predstaviti kao funkcija jedne promenljive, tj. kao funkcija ko-ličine proizvoda realizovanog na tržištu, pa je:

P=x•f1-1(x)

Oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova je određena oblašću definisa-nosti funkcije tražnje x=f1(p).

Za funkciju graničnih prihoda važi:

a) ako je ukupan prihod predstavljen kao funkcija cene, P=p•f1(p), onda jefunkcija graničnog prihoda prvi izvod te funkcije , tj.

b) ako je ukupan prihod predstavljen kao funkcija količine realizovane ro-be na tržištu, P=x•f1

-1(x), onda je funkcija graničnog prihoda prvi iz-vod te funkcije, tj.

dp

dPPp ='

80)8(10 '' ==⇒= xCxC

808

32085

min

__

=+•=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛C


Primer 5.4.1.

Funkcija tražnje je x= -5p+40. Odrediti količinu realizovane robe na tržištu i cenu pri kojimase postiže maksimalan ukupan prihod i odrediti koliko on iznosi?

Rešenje:

Oblast definisanosti funkcije tražnje određujemo iz uslova za koje imamo:

Ukupan prihod iznosi

P=p•x=p•(-5p+40)=-5p2+40p

Nađimo maklsimum ukupnog prihoda:

Pošto tačka p=4 pripada oblasti definisanosti funkcije tražnje, i kako je u njoj prvi izvod ukup-nih troškova jednak nuli, a drugi izvod manji od nule, onda je to tačka u kojoj ukupan prihodima maksimum.

Količina robe realizovane na tržištu u toj tački p=4 iznosi x=-5•4+40=20, a vrednost mak-simalnog ukupnog prihoda Pmax=4•20=80.

5.5. Funkcija dobiti

Funkcija dobiti (obeležimo je sa D) je razlika funkcije ukupnog prihodai ukupnih troškova

D=P-C.

Oblast definisanosti funkcije dobiti je određena oblašću definisanosti funk-cija ukupnog prihoda i ukupnih troškova.

Interval rentabilnosti proizvodnje (x1,x2) određujemo iz uslova D=0 od-nosno P=C.

.410

)40(4010

''

''

maksimumimapufunkcijaP

pPpP

=−==⇒=⇒+−=

( ) ( ) ( ) ( )8,0800504050000 ' ∈⇒∈∧<∧>⇒<−∧>+−∧>⇒<∧>∧> pRpppppxxp

dx

dPPx ='


Primer 5.5.1.

Funkcija ukupnih troškova je C=3x2+25, a funkcija tražnje je . Odrediti:

a) proizvodnju i cenu pri kojima se postiže maksimalna dobit i koliko ona iznosi

b) proizvodnju pri kojoj je ukupan prihod jednak ukupnim troškovima (gornju i donju grani-cu rentabilnosti)

Rešenje:

Oblast definisanosti funkcije tražnje određujemo iz uslova za koje imamo

odakle zaključujemo da x∈(0,15).

Izrazimo funkciju ukupnog prihoda kao funkciju jedne promenljive i to promenljive x (realiza-cija robe na tržištu). Imamo:

pa je dobit

D=P-C=-2x2+30x-(3x2+25)=-5x2+30x-25.

Odredimo maksimalnu vrednost funkcije dobiti. Važi.

Pošto je D’’<0 u tački x=3, i tačka x=3 pripada oblasti definisanosti funkcije tražnje, ondazaključujemo da funkcija dobiti ima maksimum za x=3.

Dakle, maksimalna dobit iznosi D(3)=-5•32+30•3-25=20.

Cena u uslovima maksimalne dobiti je cena koja odgovara proizvodnji od x=3, a to je

p=-2•3+30=24

b) Da bi odredili interval rentabilnosti proizvodnje izjednačimo funkciju ukupnog prihoda safunkcijom ukupnih troškova (ili izjednačimo dobit sa nulom D=0). Otuda imamo

D=0 ⇒ -5x2+30x-25=0⇒ x1=1∧ x2=5,

pa pošto i x1 i x2 pripadaju oblasti definisanosti (0,15), zaključujemo da je interval rentabil-nosti proizvodnje (1, 5), odnosno proizvodnja je rentabilna za x∈(1, 5).

010''

)30'(3010'

<−==⇒=⇒+−=

D

xDxD

( ) xxxxxpPxpp

x 302302302152

2 +−=•+−=•=⇒+−=⇒+−=

( ) ( ) ( ).30,030002

1015

20000 ' ∈⇒∈∧<∧>⇒⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ <−∧>+−∧>⇒<∧>∧> pRppp

ppxxp

152

+−= px


5.6 Elastičnost funkcije

Definicija 5.6.1. (elastičnost funkcije) Elastičnost diferencijabilne funkcije y=f(x) u tački x u oznaci Ey,x je:

Kažemo :

a) ako je ⏐Ey,x⏐<1 onda je funkcija f(x) neelastična u tački xb) ako je ⏐Ey,x⏐>1 onda je funkcija f(x) elastična u tački xc) ako je ⏐Ey,x⏐=1 onda funkcija f(x) ima jediničnu elastičnost u tački x

5.6.1 Elastičnost funkcije tražnje

S obzirom na definiciju 5.6.1. i na činjenicu da je funkcija tražnje x=f1(p)(odnosno da je tražnja funkcija cene), imamo da je elastičnost funkcije tražnje:

Imajući u vidu oblast definisanosti funkcije tražnje (p>0, x>0, x’<0) zaklju-čujemo da je Ex,p<0 pa je za:

a) Ex,p∈ (-1,0), tražnja neelastična u tački pb) Ex,p∈ (-∝, -1) tražnja elastična u tački pc) Ex,p=-1 tražnja ima jediničnu elastičnost u tački p

Teorema 5.6.1. (veza između elastičnosti funkcije tražnje, i zavisnostipromene ukupnog prihoda od promene cene proizvoda i prodaje proizvoda natržištu)

U oblasti definisanosti funkcije tražnje u kojoj je tražnja neelastična, odno-sno Ex,p∈ (-1,0), ukupan prihod opada sa daljom prodajom proizvoda na tržištu,a raste sa porastom cene proizvoda.

U oblasti definisanosti funkcije tražnje u kojoj je tražnja elastična, odnosno Ex,p∈ (-∝, -1), ukupan prihod raste sa daljom prodajom proizvoda na trži-

štu, a opada sa porastom cene proizvoda.U oblasti definisanosti funkcije tražnje u kojoj tražnja ima jediničnu elastič-

nost, ukupan prihod je konstantan.

'

, xx

pE px =

', yy

xE xy =


Dokaz:Funkcija ukupnog prihoda je P=x•p. Važi sledeće:

Imajući u vidu da je p>0, i x>0 imamo:

za Ex,p∈ (-1,0), funkcija tražnje je neelastična i važi:

tj. ukupan prihod opada sa povećanjem prodaje pro-

izvoda na tržištu,

tj. ukupan prihod raste sa porastom cene proizvoda

za Ex,p∈ (-∝, -1), funkcija tražnje je elastična i važi:

tj. ukupan prihod raste povećanjem prodaje proiz-

voda na tržištu,

tj. ukupan prihod opada sa porastom cene proizvoda.

Za Ex,p=-1, funkcija tržanje ima jediničnu elastičnost važi:

tj. ukupan prihod je kon-

stantan.

Primer 5.6.1.

Data je funkcija tražnje

x=p2e-2p-2.

Odrediti cenu za koju tražnja ima jediničnu elastičnost.

( ) 0101

1 ,

,

=+=∧=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= px

px

Exdp

dP

Ep

dx

dP

( ) 01 , <+= pxExdp

dP

01

1,

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

pxEp

dx

dP

( ) 01 , >+= pxExdp

dP

01

1,

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

pxEp

dx

dP

( ) ⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+•=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=•+=

⇒+=∂∂+

∂∂=

px

px

Exdp

dx

x

pxx

dp

dxp

dp

dP

Ep

dx

dp

p

xp

dx

dpxp

dx

dP

xdppdxdpp

Pdx

x

PdP

,

,

11

111


Rešenje:

Važi da je:

Oblast definisanosti funkcije tražnje nalazimo iz uslova za koje imamo:

Elastičnost funkcije tražnje je:

Funkcija tražnje ima jedniničnu elastičnost kada je Ex,p= -1, odnosno za

2•(1-p)= -1 tj. za p=

Kako dobijeno p pripada oblasti definisanosti razmatrane funkcije tražnje, zaključujemo da

za cenu p= funkcija tražnje ima jediničnu elastičnost.

5.6.2. Elastičnost funkcije ukupnih troškova

S obzirom na definiciju 5.6.1. i na činjenicu da je funkcija ukupnih troško-va data sa C=f3(x) (odnosno da su ukupni troškovi funkcija obima proizvodnje),

da je funkcija prosečnih troškova data sa ,

imamo da je elastičnost funkcije ukupnih troškova:

Imajući u vidu oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova (x>0, C>0,C’>0) zaključujemo da je

EC,x>0 pa je:a) EC,x∈ (0, 1), tj. ukupni troškovi su neelastični u tački x,b) EC,x∈ (1, ∝), tj. ukupni troškovi su elastični u tački x,c) EC,x=1, tj. ukupni troškovi imaju jediničnu elastičnost u tački x.

__

''

,

C

CC

C

xE xC ==

x

CC =__

2

3

2

3

( )( ) ( )pppeep

px

x

pE p

ppx −=−•== −−−− 1212 22

222

'

,

( ) ( )( ) ( )( ) ( ).,110

0100120000 22'

∝∈⇒>∧∈∧>⇒<−∧∈∧>⇒<−∧∈∧>⇒<∧>∧> −−

ppRpp

pRppppeRppxxp p

( ) ( )ppeeppex ppp −=−•+= −−−−−− 1222 2222222'


Teorema 5.6.2. ( veza između elastičnosti funkcije ukupnih troškova,i uticaja promene proizvodnje na promenu prosečnih troškova)

U oblasti definisanosti funkcije ukupnih troškova u kojoj su ukupni troško-vi neelastični, povećanje proizvodnje utiče na smanjenje prosečnih troškova .

U oblasti definisanosti funkcije ukupnih troškova u kojoj su ukupni troško-vi elastični, povećanje proizvodnje utiče na povećanje prosečnih troškova .

U oblasti definisanosti funkcije ukupnih troškova u kojoj ukupni troškoviimaju jediničnu elastičnost, promena proizvodnje ne utiče na promenu prosečnihtroškova .

Dokaz:

Imajući u vidu da je x>0, C>0 i C’>0 to su:

za EC,x<1 ukupni troškovi neelastični,

pa iz

sledi da, kada se proizvodnja poveća za dx, a zbog tog povećanja ukupni tro-

škovi se povećaju za dC, novi prosečni troškovi koji iznose su manji od

prosečnih troškova pre povećanja proizvodnje za dx, (jednakih ), odnosno, po-

većanje proizvodnje utiče na smanjenje prosečnih troškova ;

za EC,x>1 ukupni troškovi elastični,

pa iz

( ) ( )x

C

dxx

dCCdxxCdCCx

CxCdxCxxdCCdxxdCx

C

dx

dCC

C

xE xC

>++⇒+>+

⇒+>+⇒>⇒>⇒>= 1'

,

__

C

x

C

dxx

dCC

++

( ) ( )x

C

dxx

dCCdxxCdCCx

CxCdxCxxdCCdxxdCx

C

dx

dCC

C

xE xC

<++⇒+<+

⇒+<+⇒<⇒<⇒<= 1'

,

__

C

__

C

__

C



škovi se povećaju za dC, novi prosečni troškovi koji iznose su veći od

prosečnih troškova pre povećanja proizvodnje za dx, (jednakih ), odnosno,

povećanje proizvodnje utiče na povećanje prosečnih troškova ;

za EC,x=1 ukupni troškovi imaju jediničnu elastičnost,

pa iz


škovi se povećaju za dC, novi prosečni troškovi koji iznose su jednaki

prosečnim troškovima pre povećanja proizvodnje za dx, (jednakih ), odnosno,

promena proizvodnje ne utiče na promenu prosečnih troškova .

Primer 5.6.2.

Ispitati kako povećanje proizvodnje sa nivoa x=3 utiče na prosečne troškove, ako je funkci-ja ukupnih troškova

Rešenje:

Važi da je:

Oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova dobijamo iz uslova za koje imamo

( ) ( ) ( ).,00030120000 44' ∝∈⇒∈∧∈∧>⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ >∧>∧>⇒>∧>∧> xRxRxxeexCCx

xx

44

'

4' 34

11212

xxx

eeeC •=•=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

.12 4

x

eC =

__

C

x

C

dxx

dCC

++

( ) ( )xC

dxxdCC

dxxCdCCx

CxCdxCxxdCCdxxdCxC

dxdC

CCx

E xC

=++⇒+=+

⇒+=+⇒=⇒=⇒== 1',

__

Cx

C

dxx

dCC

++


Nivo proizvodnje x=3 pripada oblasti definisanosti funkcije ukupnih troškova, x>0.

Elastičnost funkcije ukupnih troškova je:

U tački x=3, elastičnost funkcije ukupnih troškova iznosi EC,x= <1, pa po teoremi 5.6.2. za-

ključujemo da povećanje proizvodnje sa nivoa x=3 utiče na smanjenje prosečnih troškova. 4

3

43

12

4

4

'

,

xe

e

xC

C

xE

x

xxC =•==


6. LINEARNA ALGEBRA

6.1. Matrice

Definicija 6.1.1. (matrica)

Matrice su šeme realnih brojeva oblika

Brojevi aij ((i=1,…,m), (j=1,…,n)) zovu se elementi matrice.

Elementi ai1, ai2, …,ain (i=1,…,m) čine i-tu vrstu matrice.

Elementi a1j, a2j,…,amj (j=1,…,n) čine j-tu kolonu matrice.

Za matricu koja ima m vrsta i n kolona, kaže se da je tipa m×n.

Za matricu kod koje je m≠n kažemo da je pravougaona matrica.

Za matricu kod koje je broj vrsta jednak broju kolona jednak broju n, ka-žemo da je kvadratna matrica reda n.

Elementi kvadratne matrice n×n (reda n), a11, a22,…,ann čine glavnu dija-gonalu matrice.

Matrica m×n se ukratko označava sa [ ] .,nmija

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

...

...

21

22221

11211


Primer 6.1.1.

Matrica A= je pravougaona matrica tipa 2×3.

Njen element a23=4.

Definicija 6.1.2. (jednakost matrica)

Dve matrice su jednake ako su istog tipa i ako su im odgovarajući elementijednaki. Naime, ako je

onda važi:

.

Definicija 6.1.3. (sabiranje matrica)

Zbir dve matrice, istog tipa m×n, ( ),

u oznaci A+B, jeste matrica C=A+B, tipa m×n

Napomena: Sabiranje matrica je koutativna operacija A+B=B+A

Primer 6.1.3.

Neka je A= a B= . Tada je

A+B= =B+A

Definicija 6.1.4. (množenje matrice brojem)

Proizvod matrice A= i broja α∈R definiše se sa jednakošću

.[ ] [ ]nmijnmij aa,,

⋅=⋅ αα

[ ]nmija,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− 621

153

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 431

021⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 212

132

[ ]nmijij baC,

+=

[ ] [ ]nmijnmij bBaA,,

, ==

njmibaBA ijij ,...,1;,...,1 ===⇔=

[ ] [ ]nmijnmij bBiaA,,

==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 401

132

96 6. Linearna algebra

Primer 6.1.4.

Ako je A = , tada je 3⋅A = .

Definicija 6.1.5. (množenje dve matrice)

Proizvod matrica A= i B= , u oznaci A⋅B, ili AB,

je matrica

Prema tome, element cij obrazuje se na taj način što se elementi i-te vrstematrice A pomnože sa odgovarajućim elementima j-te kolone matrice B i dobije-ni proizvodi saberu.

Napomena: Množenje matrice nije komutativna operacija tj. ne važi A⋅B=B⋅A

Primer 6.1.5.

Ako je A= , B= , tada je

C=A⋅B= , gde je, na primer,

c23=a21⋅b13+a22⋅b23+a23⋅b33=0⋅0+1⋅3+2⋅2=7.

Proizvod B⋅A za ove matrice nije definisan.

Definicija 6.1.6. (nula matrica)

Matrica čiji su svi elementi nula zove se nula matrica.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−1741

2102

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

1220

1301

1021

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −210

211

[ ]pm

n

k

kjikpmij bacC

,1,

)(⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅== ∑

=

[ ]pnijb,

[ ]nmija,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

120

96

63

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

40

32

21


Definicija 6.1.7. (trougaona matrica)

Kvadratne matrice oblika

,

zovu se trougaone matrice.

Definicija 6.1.8. (dijagonalna matrica)

Kvadratna matrica čiji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nulizove se dijagonalna matrica.

Definicija 6.1.9. (skalarna matrica)

Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali međusobnojednaki naziva se skalarna matrica.

Definicija 6.1.10. (jedinična matrica)

Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki jedi-nici, naziva se jedinična matrica (ili identična matrica) i obeležava se sa I.

Primer 6.1.10.

Matrica A= =I je jedinična matrica tipa 3×3.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100

010

001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn

n

n

a

aa

aaa

00

0 222

11211

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnnn aaa

aa

a

21

2221

11

0...

0...00


Definicija 6.1.11. (transponovana matrica)

Transponovana matrica matrice

A= je matrica AT, data sa

(i-ta vrsta u A je i-ta kolona u AT).

Primer 6.1.11.

Ako je

A= ,

onda je

AT=

Definicija 6.1.12. (podmatrica (ili submatrica) zadate matrice)

Matrica B je podmatrica (submatrica) matrice A ako izostavljanjem ne-kih vrsta i kolona matrice A možemo dobiti matricu B.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

32

13

21

01

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −3120

2311

mnmnnn

m

m

T

aaa

aaa

aaa

A

×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

21

22212

12111

nmmnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

21

22221

11211


Definicija 6.1.13. (komatrica polja (i, j) matrice A)

Neka je A matrica tipa m×n, i neka je 1≤ i≤ m, a 1≤ j≤ n. Pod komatricompolja (i, j) matrice A podrazumevamo njenu podmatricu koja nastaje uklanja-njem i-te vrste i j-te kolone matrice A i obeležavamo je sa Ai,j.

Primer 6.1.13.

Za matricu

A= ,

komatrica polja (2,4) je:

A2,4=

6.2. Determinante

Svakoj kvadratnoj matrici A dodeljuje se tačno jedan realan broj, koji seoznačava sa det(A) i koji zovemo determinanta matrice A.

Umesto det(A) često pišemo detA, i ako je A= (i,j=1,2,…,n), tada je uobiča-jena oznaka:

Pojam determinante ćemo definisati induktivno po n, gde n označava redmatrice, odnosno red determinante. Drugim rečima, prvo ćemo definisati deter-minantu kvadratne matrice prvog reda, zatim determinantu kvadratne matricedrugog reda, potom determinantu kvadratne matrice trećeg reda. Determinantureda n ćemo definisati pomoću determinante reda n-1.

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

21

22221

11211

det =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0326

1062

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−06326

59284

145062


Definicija 6.2.1. (determinante)

Za matricu prvog reda

A= važi detA=a11.

Za matricu drugog reda

A= važi detA=a11a22-a21a12.

Za matricu trećeg reda

važidetA=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a32a23-a12a21a33

Za matricu reda n i svako i, j (1, 2, … , n)

A= važi:

detA=

(tada kažemo da je detA razvijena po i-toj vrsti), ili

detA=

(tada kažemo da je detA razvijena po j-toj koloni),

gde detAi,j predstavlja determinantu komatrice polja (i, j) matrice A, uoznaci Ai,j, koja je reda n-1, a koja se, da se podsetimo, dobija izostavljanjem i-tevrste i j-te kolone iz matrice A.

Izraz (-1)i+j ⋅ detAi,j zovemo kofaktorom (ili minorom) elementa aij (ili po-lja(i,j)), i označavamo ga sa .ijA

( )∑=

+ ⋅−•n

i

jiji

ij Aa1

,det1

( )∑=

+ ⋅−•n

j

jiji

ij Aa1

,det1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnnn

n

nn

aaa

aaa

aaa

21

22221

1111

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

aa

aa

[ ]11a


Dakle, .

Primer 6.2.1.

Date su matrice:

A= , B= , C=

a) Odrediti po definiciji determinante matrice A, B, C;

b) Razvijanjem po prvoj vrsti naći detC.

Rešenje:

a) Po definiciji važi:

detA=3

detB=1⋅4-2⋅3=4-6=-2

detC=2⋅1⋅(-1)+0⋅2⋅3+4⋅1⋅2-2⋅1⋅3-2⋅2⋅1-0⋅4⋅(-1)=-2+8-6-4=-4

b) Po definiciji razvijanja po prvoj vrsti, imamo:

detC=2×(-1)(1+1)× +0×(-1)(1+2)× +2×(-1)(1+3)× =

=2×(-1-2)+0+2×(4-3)=-6+2=-4.

Neke osobine determinanti:

a) Determinanta ne menja vrednost ako vrste zamene mesta sa odgova-rajućim kolonama.

b) Ako dve vrste ili kolone zamene mesta, determinanta menja znak.

c) Determinanta se množi brojem tako što se tim brojem pomnože svielementi jedne vrste (ili jedne kolone);

13

14

13

24

−11

21

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−113

214

202

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡43

21[ ]3

( ) jiji

ij AA ,det1ˆ ⋅−= +


d) Vrednost determinante se ne menja ako se elementi jedne vrste (ili jed-ne kolone) pomnože nekim brojem i dodaju odgovarajućim elementi-ma neke druge vrste (ili neke druge kolone);

e) Ako su elementi jedne vrste (ili kolone) dati u obliku zbira, onda se de-terminanta može rastaviti na zbir onoliko determinanti koliko ima sa-biraka u toj vrsti (ili koloni), dok su ostale vrste (ili kolone) neprome-njene.

f) Determinanta je jednaka nuli ako ima dve proporcionalne vrste (ilikolone).

g) Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi jedne vrste (ili kolo-ne) jednaki nuli.

6.2.1. Sarusovo pravilo

Sarusovo pravilo je praktičan način za određivanje determinantetrećeg reda.

Ono je dato sledećom šemom:

=αbr+aqγ+pβc-γbp-cqα-rβa

(Sa desne strane date determinante formalno se dopišu prve dve ko-lone, a zatim se postupi kao što je naznačeno.)

Napomena: Sarusovo pravilo važi samo za determinante trećegreda.

Primer 6.2.1.1.

Primenom Sarusovog pravila naći determinantu matrice C iz primera 6.2.1.

Rešenje:

detC= =

=2⋅1⋅(-1)+0⋅2⋅3+2⋅4⋅1-3⋅1⋅2-1⋅2⋅2-(-1)⋅4⋅0= -2+8 -6 -4= -4.

13

14

02

113

214

202

−


6.3. Inverzna matrica

Definicija 6.3.1. (komatrica kvadratne matrice A)

Pod komatricom kvadratne matrice A podrazumevamo matricu, odnosno matricu čiji element na mestu (i, j) predstavlja kofaktor polja

(i, j) matrice A.

Primer 6.3.1.

Napisati komatricu matrice C= .

Rešenje:

Imajući u vidu definiciju komatrice date matrice, elementi matrice su:

Dakle, komatrica matrice C je

( )

( )

( )

( )

( ) 20214

02)1(ˆ

48424

22)1(ˆ

22021

20)1(ˆ

20213

02)1(ˆ

8)62(13

22)1(ˆ

22011

20)1(ˆ

1)34(13

14)1(ˆ

10)64(13

24)1(ˆ

3)21(11

21)1(ˆ

3333

2332

1331

3223

2222

1221

3113

2112

1111

=−=⋅−=

=−−=⋅−=

−=−=⋅−=

−=−−=⋅−=

−=−−=−

⋅−=

=−−=−

⋅−=

=−=⋅−=

=−−−=−

⋅−=

−=−−=−

⋅−=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

C

C

C

C

C

C

C

C

C

[ ]ijCC ˆˆ =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−113

214

202

[ ]ijAA ˆˆ =


Definicija 6.3.2. (adjungovana matrica)

Adjungovana matrica kvadratne matrice A je transponovana komatricamatrice A. Označava se sa adjA.

Primer 6.3.2.

Naći adjungovanu matricu matrice C= .

Rešenje:

Imajući u vidu definiciju 6.2.3. i rešenje primera 6.2.2, zaključujemo da je adjungovana ma-trica matrice C:

Definicija 6.3.3. (inverzna matrica)

Ako je A kvadratna matrica reda n i ako postoji matrica X takva da jeX⋅A=A⋅X=I, kažemo da je X inverzna matrica matrice A. Inverzna matrica ma-trice A obeležava se sa A-1.

Definicija 6.3.4. (regularna matrica, singularna matrica)

Kvadratna matrica A čija je detA≠0 zove se regularna matrica.Kvadratna matrica A čija je detA=0 zove se singularna matrica.

Način nalaženja inverzne matrice date matrice određuje sledeća teorema,koju nećemo dokazivati:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−==

221

4810

223

242

282

1103

ˆ

T

TCadjC

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−113

214

202

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

242

282

1103

C


Teorema 6.3.3. (egzistencija inverzne matrice)

Kvadratna matrica A ima inverznu matricu A-1, ako i samo ako je regu-larna tj. ako je detA≠0, i tada:

.

Primer 6.3.3.

Naći inverznu matricu matrice C= .

Rešenje: Imajući u vidu teoremu 6.3.3. i primere 6.2.1.1 i 6.3.2, dobijamo da je inverznamatrica matrice C

6.4. Rang matrice

Pod rangom matrice A podrazumevamo najveći prirodan broj r za koji po-stoji kvadratna podmatrica M reda r te matrice takva da je detM≠0. Drugim re-čima, rang matrice A je najveći red kvadratne regularne podmatrice te matrice.

Primer 6.4.

Odrediti rang matrice

Rešenje:

Kvadratne podmatrice najvišeg reda koje se mogu obrazovati iz ove matrice jesu podmatri-ce trećeg reda i ima ih četiri. Zato izračunajmo njihove determinante.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=4321

6224

3112

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−⋅

−=⋅=−

221

4810

223

4

1

det

11 adjCC

C

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−113

214

202

adjAA

A ⋅=−

det

11


Kako su determinante svih podmatrica trećeg reda jednake nuli, onda je rang matrice A, uoznaci r(A)<3.

Pogledajmo sada da li među nekim podmatricama drugog reda postoji podmatrica čija jedeterminanta različita od nule.

Očigledno je da za podmatricu koju dobijamo uklanjanjem druge vrste i treće i četvrte ko-lone važi

, pa je rang matrice A, r(A)=2.

Ovakav postupak za određivanje ranga matrice vrlo je glomazan, tako daje u teoriji matrica razvijeno dosta metoda za lakše pronalaženje ranga matrice,koje mi ovde nećemo analizirati.

Na ovom nivou, na kome mi izlažemo linearnu algebru, ukazaćemo na je-dan, ako ne lakši, onda sistematičniji način određivanja ranga matrice:

a) prvo odredimo podmatricu najnižeg reda (naravno reda 1) čija je deter-minanta različita od nule

b) ako je nađena kvadratna podmatrica reda k čija je determinanta razli-čita od nule, tada je potrebno izračunati determinante samo onih podma-trica reda k+1 koje sadrže prethodnu podmatricu reda k. Ako su sve de-terminante ovako određenih podmatrica reda k+1 jednake nuli, onda jerang matrice A jednak k, tj. r(A)=k. Ako je bar jedna determinanta pod-matrica reda k+1 različita od nule, tada ovaj postupak, (postupak podb)) primenjujemo baš na tu podmatricu reda k+1 čija je determinantarazličita od nule.

U slučaju razmatranog primera:

a) Neka je podmatrica reda 1 čija je determinanta različita od nule podma-trica

0321

12≠=

0

432

622

311

0

431

624

312

0

421

624

312

0

321

224

112

=−−

=−−

==−−


, dakle r(A)≥1

b) Uočimo sada podmatricu drugog reda čija je determinanta različita odnule, a koja sadrži prethodnu podmatricu. Tada imamo:

, pa je r(A)≥2

Izračunajmo sada determinante svih podmatrica trećeg reda koje sadržeprethodnu podmatricu:

Pošto su determinante svih podmatrica trećeg reda koje sadrže prethodnupodmatricu drugog reda jednake nuli, zaključujemo da je rang matrice jednakdva, odnosno r(A)=2.

6.5. Sistemi linearnih algebarskih jednačina

Definicija 6.5.1. (sistem linearnih algebarskih jednačina)

Pod sistemom od m linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatihpodrazumevamo konjunkciju sledećih jednačina

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1


.

.

.am1x1+am2x2+…+amnxn= bm.

Jednačinu ai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi nazivamo i-tom jednačinom,i∈(1, 2, … , m).

Nepoznatu xj nazivamo j-tom nepoznatom, j∈(1, 2, … , n).

Koeficijent aij uz j-tu nepoznatu u i-toj jednačini zovemo (i, j) -timkoeficijentom.

Koeficijent bi i-te jednačine zovemo i-tim slobodnim članom.

0

421

624

312

0

321

224

112

==−−

321

12

21

12=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

[ ] [ ] 022211 ≠=⇒=a


Primer 6.5.1

Sistem linearnih algebarskih jednačina:

x+2y-z+4r=-3

3x-y+6z-5r=2

je sistem od dve jednačine sa četiri nepoznate.

Definicija 6.5.2. (homogeni sistem)

Sistem linearnih algebarskih jednačina je homogen ako su mu svi slobodničlanovi jednaki nuli.

Primer 6.5.2.

Sistem linearnih jednačina:

x+2y-z+4r=0

3x-y+6z-5r=0

je homogen

Definicija 6.5.3. (kvadratni sistem)

Sistem linearnih algebarskih jednačina je kvadratni ako mu je broj jedna-čina jednak broju nepoznatih, odnosno ako je m=n.

*Napomena: Ubuduće ćemo umesto sistem linearnih algebarskih jednačinagovoriti samo sistem linearnih jednačina.

Primer 6.5.2.

Sistem linearnih jednačina:

x+2y-z+4r=-3

3x-y+6z-5r=2

2x-y+3z =0

3x-z =10

je kvadratni.


Definicija 6.5.4. (skup svih rešenja sistema linearnih jednačina)

Pod skupom svih rešenja sistema jednačina određenog definicijom 6.5.1,podrazumevamo skup svih n-torki (x1, x2, …, xn) koje zadovoljavaju svaku od mjednačina koje definišu sistem.

Definicija 6.5.5. (protivurečni sistem)

Sistem linearnih jednačina je protivurečan ako je skup svih njegovih reše-nja prazan skup, odnosno ako ne postoji n-torka (x1, x2, …, xn) koja zadovoljavasvaku od m jednačina tog sistema.

Definicija 6.5.6. (jedinstveno rešenje sistema jednačina)

Sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rešenje ako postoji samo jednan-torka (x1, x2, …, xn) koja zadovoljava svaku od m jednačina tog sistema.

Napomena: Broj n-torki (x1, x2, … ,xn) koje zadovoljavaju svaku od mjednačina sistema, predstavlja broj rešenja sistema. Sistem može imati beskon-ačno mnogo rešenja. Tada kažemo da je sistem neodređen.

Definicija 6.5.7. (matrica sistema)

Pod matricom sistema linearnih jednačina određenih definicijom 6.4.1.podrazumevamo matricu koeficijenata sistema.

Ako matricu sistema obeležimo sa A, očigledno je da je A matrica reda m×n, tj,:

Definicija 6.5.8. (proširena matrica sistema)

Pod proširenom matricom sistema podrazumevamo matricu A’ koja se do-bija tako što se matrica sistema proširi slobodnim članovima bi (i=1,2,…,m) na me-stu (n+1)-ve kolone.

Proširena matrica sistema A’, je očigledno matrica tipa m×(n+1). Dakle:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211


Postojanje bar jednog rešenja sistema linearnih jednačina određuje sledećateorema, koju nećemo dokazivati, a koja je opšte poznata kao Kroneker-Kapelije-va (Kronecker-Capelli) teorema.

Teorema 6.5.1. (Kroneker-Kapelijeva teorema)

Sistem linearnih jednačina ima bar jedno rešenje (odnosno nije protivure-čan) ako i samo ako je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice siste-ma, odnosno ako je r(A)=r(A’).

6.6. Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti i matrica

6.6.1 Rešavanje kvadratnog sistema linearnih jednačina pomoću determinanti (Kramerovo pravilo)

6.6.1.1. Nehomogeni kvadratni sistem linearnih jednačina

Nehomogeni kvadratni sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih glasi:



.

.

.an1x1+an2x2+…+annxn = bn

gde postoji bi≠0 za i=1,2,…,n.

Kao što je već kazano, matricu sistema obrazuju koeficijenti sistema ioznačavamo je sa A. Očigledno, A je kvadratna matrica reda n, tj:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

A

21

222221

111211

'


Nazovimo proširenom matricom sistema matricu A’ u kojoj su u prvih n vr-sta i n kolona nalaze koeficijenti sistema, a n+1-va kolona je kolona određena slo-bodnim članovima sistema. Očigledno, proširena matrica sistema A’ je pravouga-ona matrica reda n×(n+1). To znači:

Nazovimo determinantom sistema determinantu matrice sistema A, odno-sno determinantu koju obrazuju koeficijenti sistema i obeležimo je sa ∆. Dakle:

detA=

Determinantu koja se dobija iz determinante sistema ∆ tako što se kolonakoju obrazuju koeficijenti uz xj (odnosno kolona j-ta) zameni kolonom kojuobrazuju slobodni članovi sistema (koeficijenti bj, j=1, 2, … , n), obeležimo sa ∆j .To znači:

Način rešavanja kvadratnog sistema linearnih jednačina pomoću determi-nanti (Kramerovo pravilo) određuje sledeća teorema, koju nećemo dokazivati.

nnnjnnjn

njj

njj

j

aabaa

aabaa

aabaa

111

21221221

11111111

+−

+−

+−

=∆

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

=∆

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnnn

n

n

baaa

baaa

baaa

A

21

222221

111211

'

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211


Teorema 6.6.1.1. (Kramerova teorema)

Neka je određena determinanta ∆ kvadratnog sistema n linearnih jednači-na sa n nepoznatih i neka su određene determinante ∆j koje odgovaraju nepozna-tima xj za j=1,2,…,n. Tada važi:

a) ako je ∆≠0, sistem ima jedinstveno rešenje i ono se nalazi prema formu-lama

za j=1,2,…,n

b) ako je ∆=0 i bar jedna od determinanti ∆j≠0 (j=1,2, … ,n) sistem je proti-vurečan, odnosno nema rešenja

c) ako je ∆=∆1=∆2=…=∆n=0 onda

1. ako je rang matrice sistema manji od ranga proširene matrice sistema, od-nosno r(A)<r(A’), sistem je protivurečan, tj. nema rešenja

2. ako je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice sistema, od-nosno r(A)=r(A’)=r<n, sistem je neodređen, ima beskonačno mnogo rešenja, i ta-da se njegovo opšte rešenje nalazi na sledeći način:

iz početnog sistema od n linearnih jednačina izdvajamo podsistem od r line-arnih jednačina sa r nepoznatih (ove nepoznate zovemo vezane), čija je determi-nanta reda r i koja je različita od nule i pomoću koje smo odredili da jer(A)=r(A’)=r<n, a ostalih n-r nepoznatih iz tih r jednačina prebacujemo u kolo-nu slobodnih članova i nazivamo ih slobodne nepoznate.

Sada, pošto je determinanta ovog podsistema različita od nule (to je deter-minanta koja je odredila rang matrice sistema), ovaj podsistem od r vezanih ne-poznatih rešavamo kao pod a). Primetimo da izrazi za vezane nepoznate zaviseod ostalih n-r slobodnih nepoznatih.

Primer 6.6.1.1.

Naći rešenja sledećih kvadratnih sistema linearnih jednačina

a) 2x + 2z = -24x + y + 2z = 03x + y - z = 5

b) x + y - z = 12x + 2y - 2z = 1x - y + z = 1

c) x + y - z = 1

∆∆

= jjx


2x + 2y - 2z = 2

x - y + z = 1

Rešenje:

a) Vrednost determinante sistema je:

∆= ,

pa sistem po Kramerovoj teoremi ima jedinstveno rešenje.

Nađimo determinante ∆x, ∆y, ∆z.

Jedinstveno rešenje sistema, odnosno vrednosti za nepoznate x, y, z, prema Kramerovoj te-oremi je:

24

8

04

0

14

4

−=−

=∆∆=

=−

=∆∆

=

=−−=

∆∆=

z

y

x

z

y

x

8

513

014

202

0

153

204

222

4

115

210

202

=−

=∆

=−

−=∆

−=−

−=∆

z

y

x

4

113

214

202

−=−


b) Determinanta sistema je

Pošto je determinanta sistema jednaka nuli, sistem nema jedinstveno rešenje, ali može biti pro-tivurečan (odnosno da nema rešenja) ili neodređen (odnosno da ima više od jednog rešenja).

Odredimo determinante ∆x, ∆y, ∆z . Kako je

odnosno ∆y≠0, to prema Kramerovoj teoremi zaključujemo da je ovaj sistem protivurečan,odnosno da nema rešenja.

c) Determinanta sistema je

Pošto je determinanta sistema jednaka nuli sistem nema jedinstveno rešenje, ali može biti pro-tivurečan (odnosno da nema rešenja) ili neodređen (odnosno da ima više od jednog rešenja).

Odredimo determinante ∆x, ∆y, ∆z. Kako je

0

111

222

111

=−

−−

=∆

,2

111

212

111

0

111

221

111

−=−−

=∆

=−

−−

=∆

y

x

0

111

222

111

=−

−−

=∆


odnosno ∆=∆x=∆y=∆z=0, ispitivanje postojanja rešenja nastavljamo korišćenjem pojma ran-ga matrice sistema (r(A)) i ranga proširene matrice sistema r(A’).

Kako je

,

sledi da je r(A)<3, jer detA=∆=0.

Očigledno je da za determinantu podmatrice matrice A određenu koeficijentima a11, a12, a31,a32 važi

,

pa je r(A)=2.

S druge strane, proširena matrica A’ je

Sve njene determinante trećeg reda su jednake nuli (to su u stvari determinante∆=∆x=∆y=∆z=0), pa je i njen rang r(A’)=2 (ova matrica takodje sadrži determinantu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=1111

2222

1111'A

0211

11

3231

1211 ≠−=−

=aa

aa

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=111

222

111

A

,0

111

222

111

0

111

222

111

0

111

222

111

=−

=∆

=−−

=∆

=−

−−

=∆

z

y

x


).

Kako je r(A)=r(A’)=2, to prema Kramerovoj teoremi sistem je neodređen i svodi se na sistemod dve jednačine sa dve vezane nepoznate, koje određuje determinanta sistema po kojojsmo odredili rang, a treća nepoznata postaje slobodna nepoznata i prebacuje se u kolonuslobodnih članova. Otuda zadati sistem se svodi na sistem:

x + y = 1 + z

x - y = 1 – z.

Poslednji sistem možemo rešiti na bilo koji način, pa i korišćenjem Kramerovog pravila.

Determinante ovog sistema su:

Dakle, ovaj sistem jednačina je neodređen i ima beskonačno mnogo rešenja, određenih sa:

.,

22

122

Rz

zy

x

y

x

∈=

=−

−=∆

∆=

=−−=

∆∆=

αα

α

( )

( ).2

)1(1

11

211

1)1(

211

11

zz

z

z

z

y

x

−=−+

=∆

−=−−

+=∆

−=−

=∆

0211

11

3231

1211 ≠−=−

=aa

aa


6.6.1.2. Homogeni kvadratni sistem linearnih jednačina

Homogeni kvadratni sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih glasi:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0...an1x1+an2x2+…+annxn =0

Homogeni sistem ne može biti protivurečan, jer uvek postoji njegovo trivijal-no rešenje:

x1=x2=…=xn=0 Otuda iz Kramerove teoreme sledi:

a) ako je ∆≠0, sistem ima jedinstveno rešenje x1=x2=…=xn=0 (trivijalno re-šenje);

b) ako je ∆=0, sistem je neodređen i rešava se kao nehomogeni sistem u slu-čaju kada je neodređen.

Primer 6.6.1.2.

Diskutovati i rešiti homogeni sistem jednačina:

x + y + z =0

mx + 4y +z =0

6x + (m+2)y + 2z=0

u zavisnosti od parametra m

Rešenje:

Da li osim trivijalnog rešenja sistem ima i neko drugo rešenje, zavisi od determinante sistema.Determinanta sistema je

.

Ova determinanta je jednaka nuli za m2-m-12=0⇒ m1=-3 ∧ m2=4.

Dakle, za m≠ -3 i m ≠4 sistem ima samo trivijalno rešenje.

Za m= -3 sistem glasi

12

226

14

1112 −−=

+=∆ mm

m

m


x + y + z =0

-3x +4y + z =0

6x -y + 2z =0.

Očigledno je da je rang matrice ovog sistema jednak r(A)=2. Recimo neka ga određuju ko-eficijenti

, pa zadati sistem svodimo na sistem

x +y = -z

-3x + 4y = -z

Kako je:

rešenja sistema glase

Za m=4, sistem glasi

x + y + z =0

4x +4y + z =0

6x + 6y + 2z =0

Očigledno je da je rang matrice ovog sistema jednak r(A)=2, jer je

, pa se zadati sistem svodi na sistem

y + z = -x

4y + z = -4x

314

11

2322

1312 −==aa

aa

.,,74,

73

Rzyx ∈=−=−= αααα

,43

1

34

1

zz

z

zz

z

y

x

−=−−−

=∆

−=−−

=∆

743

11

2221

1211 =−

=aa

aa


Kako je:

to su rešenja zadatog sistema: x=α, y=-α, z=0, α∈R.

6.6.2.Nalaženje rešenja kvadratnog sistema linearnih jednačina koji ima jedinstveno rešenje pomoću matrica

Neka je X matrica tipa n×1, čiji su elementi nepoznate xi (i=1,2,…,n), tj.

,

a B matrica tipa n×1, čiji su elementi slobodni članovi bi (i=1,2,…,n), tj.

Kvadratni sistem linearnih jednačina može se napisati u matričnom obliku:

A⋅X=B,

gde je A već definisana matrica kvadratnog sistema.

Ako matrica A ima inverznu matricu, a to će biti ako i samo ako je detA≠0,ova matrična jednačina se može rešiti po X množenjem s leve strane matricom A-1, odnosno inverznom matricom matrice A. Tada je

A-1⋅A⋅X=A-1⋅B pa je X= A-1⋅B jer je A-1⋅A⋅X=I⋅X=X.

Dakle, rešavanje sistema, odnosno nalaženje matrice X, svodi se na:

a) nalaženje inverzne matrice A-1 matrice A;

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nb

b

b

B2

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

x

x

X2

1

,044

1

314

1

=−−

=∆

=−−

=∆

x

x

xx

x

z

y


b) matrično množenje A-1⋅B.

Primer 6.5.2.

Naći matričnim metodom rešenja sledećeg kvadratnog sistema linearnih jednačina

2x + 2z = -2

4x + y + 2z = 0

3x + y - z = 5

Rešenje: Ovaj sistem jednačina možemo pomoću matrica napisati u obliku

A⋅X=B,

gde je

Rešenje ovog sistema jednačina svodi se na pronalaženje matrice X pomoću inverzne matri-ce A-1, naime važi:

A⋅X=B⇒X=A-1⋅B.

Matrica A-1 se nalazi na način na koji smo to pokazali u Primeru 6.3.3. i iznosi:

, pa je

A-1⋅B=

i rešenje zadatog sistema jednačina je:

x=1, y=0, z=-2.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

2

0

1

5

0

2

221

4810

223

4

1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−=−

221

4810

223

4

11A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

5

0

2

113

214

202

B

z

y

x

XA


6.6.3. Nalaženje rešenja sistema m linearnih jednačina sa n nepoznatih

Podsetimo se da sistem m linearnih jednačina sa n nepoznatih glasi:



.

.

.am1x1+am2x2+…+amnxn= bm

i da je matrica A ovog sistema

,

a proširena matrica

.

Prema Kroneker-Kapelijevoj teoremi, važi sledeće:

1. Ako je rang matrice sistema manji od ranga proširene matrice sistema,r(A)<r(A’), tada je sistem protivurečan, odnosno nema rešenja.

2. Ako je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice, odnosnor(A)=r(A’), tada:a) ako je r(A)=r(A’)=n (odnosno jednak broju nepoznatih xi, što je mogu-

će samo u slučaju ako je broj jednačina veći ili jednak broju nepozna-tih, tj. m≥n), tada sistem ima jedinstveno rešenje, koje se određuje, re-cimo Kramerovim pravilom, ili na neki drugi način, iz onih n jednači-na sistema koje su odredile rang matrice A kao r(A)=n

b) ako je r(A)=r(A’)=r<n, tada je sistem ima beskonačno mnogo rešenja,i tada se njegovo opšte rešenje nalazi kao kod neodređenog kvadratnogsistema linearnih jednačina, odnosno na sledeći način:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

A

21

222221

111211

'

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211


iz početnog sistema m linearnih jednačina izdvajamo podsistem od r linear-nih jednačina sa r nepoznatih (ove nepoznate zovemo vezane), određen determi-nantom reda r koja je različita od nule i pomoću koje smo odredili da jer(A)=r(A’)=r, a ostalih n-r nepoznatih iz tih r jednačina prebacujemo u kolonu slo-bodnih članova i nazivamo ih slobodne nepoznate.

Sada, pošto je determinanta ovog podsistema različita od nule (to je deter-minanta koja je odredila rang matrice sistema), ovaj podsistem od r vezanih ne-poznatih rešavamo, recimo Kramerovim pravilom, ili na neki drugiu način, i do-bijemo rešenja u vidu zavisnosti r vezanih nepoznatih od n-r slobodnih nepozna-tih.


7. ELEMENTI FINANSIJSKE MATEMATIKE

7.1. PROCENTNI RAČUN

Korišćenje procentnog računa je u današnje vreme svakodnevna čo-vekova potreba. Nažalost, nivo poznavanja ovog računa je katastrofalnonizak, pa čak i kod osoba koje se po prirodi svojih delatnosti svakodnev-no susreću sa njim. Zbog toga se nadam da će ovo poglavlje pomoći čita-ocima ovog udžbenika da jednostavno i uspešno savladaju pravila pro-centnog računa.

Procentni račun, u osnovi, predstavlja načine određivanja zavisnostisledećih veličina: glavnice, procentne stope i procentnog prinosa.

Glavnica je veličina koja služi kao osnovica za koju se izračunavaju pove-ćanja ili smanjenja za zadatu procentnu stopu, odnosno za zadati procenat. Naj-češće se obeležava sa G.

Procentna stopa predstavlja broj koji pokazuje za koliko se jedinica sma-njuje ili povećava glavnica za svakih 100 jedinica te glavnice. Najčešće se obeleža-va sa p. Procentna stopa se može izražavati i u procentualnom i u decimalnomzapisu. Veza između decimalnog i procentualnog zapisa procentne stope p je:

Naprimer, procentualnom zapisu 64% odgovara decimalni zapis0,64, procentualnom zapisu 168% odgovara decimalni zapis 1,68, procen-tualnom zapisu 0,38% odgovara decimalni zapis 0,0038, odnosno decimal-nom zapisu 0,28 odgovara procentualni zapis 28%, decimalnom zapisu


2,45 odgovara procentualni 245%, decimalnom zapisu 0,0042 odgovaraprocentualni zapis 0,42% i slično. Očigledno je da se prelazak sa jednog nadrugi zapis ostvaruje običnim deljenjem, ili množenjem sa brojem 100.

VAŽNO: U daljem izlaganju, pod procentnom stopom p podrazumeva-ćemo njen decimalni zapis, a pod procentnom stopom p% podrazumevaćemonjen procentualni zapis.

Procentni prinos predstavlja broj koji pokazuje koliko iznosi p% od nekeglavnice G, odnosno, predstavlja iznos koji pokazuje za koliko se ukupno poveća-la ili smanjila glavnica G prilikom njenog povećanja ili smanjenja za procentnustopu p. Najčešće se obeležava sa P.

Odnos između ove tri veličine određuje sledeća teorema, koju neće-mo dokazivati.

Teorema 7.1.1. (veza između glavnice G, procentne stope p, i procent-nog prinosa P)

Ako su date veličine G (glavnica), p(procentna stopa) i P (procentualniprinos), onda za njih važi:

P=G ⋅ p.

Naravno, iz ove relacije vrlo jednostavno zaključujemo da je:

Primer 7.1.1.1.

Ako je neka veličina porasla od vrednosti 320 na vrednost 384, odrediti:

a) koliki su procentni prinos i glavnica

b) koliki je procenat povećanja (odnosno za koju procentnu stopu je izvršeno povećanje).

Rešenje:

a) Prinos za koji se veličina povećala je, naravno, P=384-320=64, a glavnica je počet-na vrednost veličine, odnosno G=320.

b) Imajući u vidu da je po Teoremi 7.1.1 P=G⋅p, zaključujemo da je:

,

pa je povećanje izvršeno za 0,2⋅100%=20%.

2,0320

64 ===G

Pp

.,G

Ppjestto

p

PG ==

126 7. Elementi finansijske matematike

Primer 7.1.1.2.

Koliko je

a) 38,5% od 264

b) 268% od 355

c) 0,62% od 2685

Rešenje:

a) G=264, p=

P=G⋅p=264⋅0,385=101,64

b) G=355, p=

P=G⋅p=355⋅2,68=951,4

c) G=2685, p=

P=G⋅p=2685⋅0,0062=16,647.

U praksi se procentni račun najčešće koristi u smislu određivanjapovećanja ili umanjenja nekih veličina za određeni procenat, pri čemu sedobijaju nove vrednosti tih veličina. Relacije koje važe između početnihvrednosti (glavnice), procentne stope, procentnog prinosa i novih (povećanihili umanjenih) vrednosti veličina koje se povećavaju ili umanjuju za odre-đeni procenat određuju sledeće teoreme, koje takođe nećemo dokazivati.

Teorema 7.1.2. (veza između početne vrednosti neke veličine, nove(povećane ili umanjene) vrednosti te veličine, procentnog prinosa i procent-ne stope za koju je izvršeno povećanje ili umanjenje početne veličine)

Ako se početna vrednost neke veličine (glavnica G) poveća za procenat p,onda procentni prinos usled ovog povećanja iznosi:

P=G⋅p,

a nova (povećana) vrednost te veličine (obeležimo je sa Gpov) iznosi:

0062,0100

62,0 =

68,2100

268 =

385,0100

5,38 =


Gpov=G+P=G+G⋅p=G⋅(1+p).

Ako se početna vrednost neke veličine (glavnica G) umanji za procenat p,onda procentni prinos usled ovog umanjenja iznosi

P=G⋅p,

a nova (umanjena) vrednost te veličine (obeležimo je sa Guma) iznosi

Guma=G – P=G – G⋅p=G⋅(1 – p)

Primer 7.1.2.

Kolika je nova cena nekog proizvoda od 180 din, ako je:

a) ona povećana za 26%

b) ona umanjena za 26%

Rešenje:

a)

Na osnovu Teoreme 7.1.2, zaključujemo da je nova cena robe:

Gpov=G⋅(1+p)=180⋅(1+0,26)=180⋅1,26=226,8 din.

b)

Na osnovu Teoreme 7.1.2, zaključujemo da je nova cena robe:

Guma=G⋅(1 – p)=180⋅(1 – 0,26)=180⋅0,74=133,2 din.

Teorema 7.1.3. (višeetapna povećanja ili umanjenja neke veličine)

Ako se neka veličina (glavnica) G u toku nekog perioda više puta poveća-va redom za procentne stope p1, p2, …, pn, onda je nova povećana vrednost te ve-ličine Gpov data sa:

Gpov=G⋅(1+p1)⋅(1+p2)⋅…⋅(1+pn)

Ako se neka veličina (glavnica) G u toku nekog perioda više puta umanju-je redom za procentne stope p1, p2, …,pn, onda je nova umanjena vrednost te veli-čine Guma data sa

Guma=G⋅(1 - p1)⋅(1 - p2)⋅…⋅(1 - pn).

26,0100

26 ==p

26,0100

26 ==p


Primer 7.1.3.1.

Cena nekog proizvoda od 45 din. je u toku nekog perioda povećavana 5 puta, i to za 12%,18%, 7%, 4% i 8%.

a) Kolika je nova cena proizvoda?

b) Za koliko je ukupno procenata izvršeno povećanje osnovne cene?

Rešenje:

a) Na osnovu teoreme 7.1.3, nova cena proizvoda iznosi:

Gpov=45⋅1,12⋅1,18⋅1,07⋅1,04⋅1,08=71,47din

b) Kako je

Gpov=45⋅1,12⋅1,18⋅1,07⋅1,04⋅1,08=45⋅1,588, odnosno kako je 1,12⋅1,18⋅1,07⋅1,04⋅1,08=1,588, zaključujemo da je u toku ovog perioda početna cenaukupno povećana za 58,8%.

VAŽNO: OBRATITI PAŽNJU DA UKUPNO POVEĆANJE PROCENATA NIJE OBI-ČAN ZBIR PROCENATA ZA KOJE JE IZVRŠAVANO POVEĆAVANJE OSNOVNECENE U ODREĐENIM PERIODIMA.

U našem primeru cena je povećavana pet puta: za 12%, 18%, 7%, 4% i 8%,a ukupno povećanje cene NIJE 12% + 18% + 7% + 4% + 8%=49% već je58,8%.

Primer 7.1.3.2.

Cena nekog proizvoda od 45 din. je u toku nekog perioda smanjivana 5 puta, i to za 12%,18%, 7%, 4% i 8%.


b) Za koliko je ukupno procenata izvršeno smanjenje osnovne cene?

Rešenje:


Guma=45⋅(1 – 0,12)⋅(1 – 0,18)⋅(1 – 0,07)⋅(1 – 0,04)⋅(1 – 0,08)=

= 45⋅0,88⋅0,82⋅0,93⋅0,96⋅0,92=26,67din.

b) Kako je

Guma=45⋅0,88⋅0,82⋅0,93⋅0,96⋅0,92=45⋅0,593, odnosno kako je0,88⋅0,82⋅0,93⋅0,96⋅0,92=0,593=(1 – 0,407),zaključujemo da je u toku ovog perioda početna cena ukupno umanjena za 40,7%.


VAŽNO: OBRATITI PAŽNJU DA UKUPNO UMANJENJE PROCENATA NIJE OBI-ČAN ZBIR PROCENATA ZA KOJE JE IZVRŠAVANO UMANJENJE OSNOVNECENE U ODREĐENIM PERIODIMA.

U našem primeru cena je umanjena pet puta za 12%, 18%, 7%, 4% i 8%, aukupno umanjenje cene NIJE 12% + 18% + 7% + 4% + 8%=49% već je 40,7%.

Primer 7.1.3.3.

Cena nekog proizvoda od 45 din. je u toku nekog perioda menjana 5 puta, i to povećava-na dva puta: za 12% i 18%, a zatim smanjivana tri puta: za 7%, 4% i 8%.


b) Da li se ovakvim postupkom početna cena povećala ili smanjila, i za koliko je ukupno pro-cenata izvršeno to povećanje (ili smanjenje) osnovne cene?

Rešenje:


Gnovo=45⋅(1,12)⋅(1,18)⋅(1 – 0,07)⋅(1 – 0,04)⋅(1 – 0,08)=

=45⋅1,12⋅1,18⋅0,93⋅0,96⋅0,92=48,85 din.

b) Kako je

Gnovo=45⋅(1,12)⋅(1,18)⋅(1 – 0,07)⋅(1 – 0,04)⋅(1 – 0,08), odnosno kako je45⋅1,12⋅1,18⋅0,93⋅0,96⋅0,92=45⋅1,085, zaključujemo da je ovakvim promenama ceneona povećana za 8,5%.

7.2 KAMATNI RAČUN

Kamatni račun je račun koji određuje odnose koji se uspostavljajuizmeđu dužnika i poverioca. Naime, dužnik pozajmljuje određeni novacod poverioca na određeno vreme i plaća određenu novčanu nadoknadupoveriocu, kao naknadu za korišćenje pozajmljenog novca.

Suma koju dužnik pozajmljuje od poverioca naziva se kapital iliglavnica, i najčešće se označava sa K.

Iznos koji dužnik godišnje plaća za svakih 100 novčanih jedinica po-zajmljenog novca naziva se kamatna stopa ili interesna stopa. Kamatna (in-teresna) stopa se (isto kao i procentna stopa) može izražavati i u procentualnomi u decimalnom zapisu. Veza između decimalnog i procentualnog zapisa kamat-ne stope p je ista kao i kod procentne stope, tj:


Očigledno je da se prelazak sa jednog na drugi zapis ostvaruje obič-nim deljenjem ili množenjem sa brojem 100.

VAŽNO: U daljem izlaganju pod kamatnom (interesnom) stopom ppodrazumevaćemo njen decimalni zapis, a pod kamatnom (interesnom) sto-pom p% podrazumevaćemo njen procentualni zapis.

Ukupna suma koju dužnik isplaćuje poveriocu kao nadoknadu zapozajmljeni novac na određeno vreme, uz kamatnu stopu p, naziva se ka-mata ili interes, i najčešće se obeležava sa I.

Vreme t za koje dužnik koristi novac poverioca, i za koje se i računakamata, može se dati u godinama (tg), u mesecima (tm) i u danima (td).Ako je vreme za koje se računa kamata dato u danima, onda se ono mo-že računati ili po kalendaru, uz pretpostavku da godina ima 360 ili 365dana, što se obeležava sa (k,360) ili (k,365), ili uz pretpostavku da svakimesec ima 30 dana, a godina 360 ili 365 dana, što se obeležava sa (30,360)ili (30,365).

Kamatna stopa p se može vremenski menjati i može biti različita zarazličite iznose glavnice, što je predmet dogovora između dužnika i pove-rioca.

Kamata se izračunava u nekim vremenskim intervalima, koji se od-ređuju dogovorom između dužnika i poverioca. Taj vremenski interval ukome se izračunava kamata zove se obračunski period.

Kamata se može računati na istu osnovicu u svim obračunskim pe-riodima i tada se takav račun naziva prosti kamatni račun, a može se raču-nati i tako što se osnovica, na koju se kamata računa u datom obračun-skom periodu, uvećava za kamatu iz prethodnog obračunskog perioda itada se takav račun naziva složeni kamatni račun.

7.2.1. Prosti kamatni račun

Prosti kamatni račun je račun koji određuje zavisnosti između kapi-tala (glavnice) K, interesa (kamate) I, interesne (kamatne) stope p (koja je, dapodsetim, data na godišnjem nivou) i vremena za koje se računa kamata t, gdese kamata obračunava uvek na istu osnovicu.

Ove zavisnosti određuje sledeća teorema, koju nećemo dokazivati.


Teorema 7.2.1. (osnovna teorema prostog kamatnog računa)

Ako je dužnik pozajmio glavnicu K od poverioca pod kamatnom (intere-snom) stopom p (decimalni zapis), onda kamata (interes) I koju on mora da pla-ti poveriocu posle vremena t datog u godinama (t=tg) iznosi:

I=K⋅p⋅tg

a njegov ukupni dug prema poveriocu posle vremena t datog u godinama(t=tg) iznosi K+I, tj

K+I=K+ K⋅p⋅tg=K⋅(1+p⋅tg)

Ako je vreme t dato u mesecima tm ili u danima td ( pod uslovima (k,360)ili (k,365)) onda važi

pa je kamata I

a ukupni dug je naravno K+I

Primer 7.2.1.1.

Koliki je interes na 5600 din. sa 20% prostog interesa za vreme od:

a) 3 godine

b) 2 meseca

c) 15 dana (k,360) i (k,365)

d) 2 godine i 3 meseca

e) 2 godine, 3 meseca i 20 dana (30,360)

Rešenje:

Imajući u vidu Teoremu 7.2.1, važi sledeće:

K=5600 p=

a) t=tg=3, pa je: I=Kptg=5600⋅0,2⋅3=3360 din.

2,0100

20

100

% ==p

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅+⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅+⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅+⋅=+

365

)365,(1

360

)360,(1

121

ktpK

ktpK

tpKIK ddm

365

)365,(

360

)360,(

12

ktpKktpKtpKI ddm ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=

365

)365,(

360

)360,(

12

ktkttt ddm

g ===


b) t=tm=2, pa je: I= din.

c) t=td=15, pa je:

za (k,360) din.

za (k,365) din.

d) Vreme od 2 godine i 3 meseca moramo pretvoriti u mesece, odnosno:

t=tm=27, pa je:

I= din.

e) Vreme od 2 godine 3 meseca i 20 dana moramo pretvoriti u dane, pod uslovom(30,360), tj.:

t=td (30,360)=2⋅12⋅30+3⋅30+20=830, pa je:

din.

Primer 7.2.1.2.

Dužnik je poveriocu vratio dug, zajedno sa glavnicom 10400 dinara, uz kamatnu stopu od15% za period od dve godine. Kolika je bila glavnica a kolika kamata?

Rešenje:

Imamo da je p=0,15, t=tg=2, K+I=10400. Dakle,

I=Kptg=8000⋅0,15⋅2=2400 din.

Znači, glavnica je bila 8000 din., a kamata 2400 din.

.80003,1

10400

215,01

10400

1)1( din

pt

IKKptKKptKIKKptI

gggg ==

⋅+=

++=⇒+=+=+⇒=

22,2582360

8302,05600

360

)360,30( =⋅⋅== dKptI

252012

272,05600

12=⋅⋅=mKpt

03,46365

152,05600

365=⋅⋅== dKpt

I

67,46360

152,05600

360=⋅⋅== dKpt

I

67,18612

22,05600

12=⋅⋅=mKpt


Primer 7.2.1.3.

Po odbijanju 8% kamate za 6 meseci, dužnik je primio 10560 dinara. Koliki je dug, a koli-ka kamata?

Rešenje:

Imamo da je p=0,08, t=tm=6 i glavnica umanjena za interes je K-I=10560 din.

Dakle,

Osnovni dug je 11000 dinara, a umanjen je za kamatu od 440 dinara.

7.2.1.1. Neke primene prostog kamatnog računa

7.2.1.1.1 Terminski račun

Često se dešava da je dužnik od poverioca pozajmio više različitihsuma (glavnica) pod različitim kamatnim stopama u različitim vremeni-ma i da želi da se u nekom vremenskom trenutku odjednom razduži, i toili pod istim kamatnim uslovima (kamatnim stopama) pod kojima se za-dužio, ili pod nekim novim, sa poveriocem dogovorenim kamatnim uslo-vima, izraženim preko neke nove srednje kamatne stope ps.

Pitanje je kako naći vremenski period (odnosno vremenski trenu-tak) kada dužnik treba da se razduži, a da ni on ni poverilac ne budu ošte-ćeni. Taj vremenski period se zove srednji rok plaćanja, i način na koji seon nalazi određuje sledeća teorema.

Teorema 7.2.1.1.1. (srednji rok plaćanja)Ako je dužnik uzeo od poverioca na zajam sume K1, K2, …, Kn na vremen-

ske periode t1, t2, …, tn, uz kamatne stope p1, p2, …, pn, gde je glavnica Ki pozajm-ljena na vreme ti pod kamatom pi, tada se ove obaveze mogu odjednom vratiti uvreme ts koje je:

.44012

608,011000

12

.,11000

12

608,01

10560

121

121

1212

dinKpt

I

dinpt

IKK

ptK

KptKIK

KptI

m

m

mmm

=⋅⋅==

=⋅−=

−

−=⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=−=−⇒=


a) za nepromenjene uslove razduživanja,

b) za nove, dogovorene uslove razduživanja,

izražene kroz prosečnu kamatnu stopu ps.

NAPOMENA: U ovim formulama vreme tk (k=1,2,…,n) može biti u bi-lo kojim jedinicama. Banke ga uglavnom koriste u danima.

Dokaz:Ukupna kamata dužnika (ukupne obaveze) za pozajmljene iznose Ki, uze-

te za vremena ti pod kamatnim stopama pi, gde je (i=1,2,…,n), iznose (pod pret-postavkom da je ti dato u godinama, što ne utiče na opštost rezultata):

K1p1t1+K2p2t2+…+Knpntn= .

Ako se ove obaveze vraćaju u vreme ts, važi:a) za nepromenjene uslove zaduživanja njihov iznos je:

K1p1ts+K2p2ts+…+Knpnts=

Ove obaveze koje se vraćaju u trenutku ts moraju biti jednake ukupnim oba-vezama dužnika, jer samo tada ni poverilac ni dužnik neće biti oštećeni. Dakle:

= .

b) za nove, dogovorene uslove razduživanja, izražene kroz prosečnu kamat-nu stopu ps, njihov iznos je:

K1psts+K2psts+…+Knpsts= ∑∑==

⋅⋅=n

k

kss

n

k

ssk KpttpK11

∑

∑∑

=

=

==⇒⋅

n

k

kk

n

k

kkk

s

n

k

kks

pK

tpK

tpKt

1

1

1

∑=

n

k

kkk tpK1

∑∑==

⋅=n

k

kks

n

k

skk pKttpK11

∑=

n

k

kkk tpK1

∑

∑

=

=

⋅=

n

k

ks

n

k

kkk

s

Kp

tpK

t

1

1

∑

∑

=

==n

k

kk

n

k

kkk

s

pK

tpK

t

1

1


Ove obaveze koje se vraćaju u trenutku ts moraju biti jednake ukupnim oba-vezama dužnika, jer samo tada ni poverilac ni dužnik neće biti oštećeni. Dakle:

=

NAPOMENA: Rok (datum) plaćanja određuje se dodavanjem izraču-natog vremena ts onom vremenu od dospeća obračuna u odnosu na koje smoodređivali vremena ti (i=1,2,…,n). Taj datum u odnosu na koji smo određiva-li vremena ti (i=1,2,…,n) naziva se epoha. Najčešće se za epohu uzima prvo do-speće.

Primer 7.2.1.1.1.

Dužnik treba da plati fakture na sledeće iznose: 10000 din. 1.III.2003. uz kamatnu stopu6%, 20000 din. 1.V 2003. uz kamatnu stopu 8%, 30000 din. 1.VII 2003. uz kamatnu sto-pu 12% i 40000 din. 1.IX 2003 uz kamatnu stopu 10%. Dužnik bi hteo da plati ceo dug od-jednom, sumom iznosa na fakturama, i to

a) pod nepromenjenim uslovima

b) uz prosečnu kamatnu stopu od 9%.

Izračunati pod a) i b) kada je to moguće učiniti?

Rešenje:

Uzmimo za epohu datum 1.III 2003. Sada, imajući u vidu Teoremu 7.2.1.1.1, dobijamo

a)

Ovo znači da se obaveze odjednom mogu izmiriti sumom iznosa na fakturama 138. danaposle datuma epohe, odnosno 138. dana posle 1.III 2003. godine, a to je 16.VII 2003god.

45,137

10,04000012,03000008,02000006,010000

18410,04000012212,0300006108,020000006,010000

1

1

=

=⋅+⋅+⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==

∑

∑

=

=n

k

kk

n

k

kkk

s

pK

tpK

t

∑

∑∑

=

=

= ⋅=⇒⋅⋅

n

k

ks

n

k

kkk

s

n

k

kss

Kp

tpK

tKpt

1

1

1

∑=

n

k

kkk tpK1


b)

Ovo znači da se obaveze odjednom mogu izmiriti sumom iznosa na fakturama 142. danaposle datuma epohe, odnosno 142. dana posle 1.III 2003. godine, a to je 20.VII 2003god.

Takođe se u praksi često dešava da su dužničko-poverilački odnosiizmeđu dva subjekta uzajamni, odnosno da postoje i dugovanja dužnikaprema poveriocu, ali i potraživanja od strane dužnika ka poveriocu. Po-stavlja se pitanje kako odrediti vreme kada se može isplatiti razlika izme-đu dugovanja i potraživanja, a da ni dužnik ni poverilac ne budu ošteće-ni. Ovo vreme se naziva rok salda dugovanja i nalazi se na način koji odre-đuje sledeća teorema.

Teorema 7.2.1.1.2. (rok salda dugovanja)

Ako su K1, K2, …, Kn novčane obaveze nekog dužnika u terminima t1, t2,…,tn sa kamatnim stopama p1, p2, …,pn respektivno, i ako su njegova potraživanjaP1, P2, …, Pm u teminima t1

0, t20,…, tm

0, uz kamatne stope p10, p2

0,…,pm0 respektiv-

no, tada je saldo dugovanja ts dat sa:

a) za nepromenjene dužničko

poverilačke uslove

b) za nove, dogovorene uslove raz-duživanja, izražene kroz proseč-nu kamatnu stopu ps.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=

∑∑

∑∑

==

==m

k

k

n

k

ks

m

k

kkk

n

k

kkk

s

PKp

tpPtpK

t

11

1

00

1

∑∑

∑∑

==

==

−

−=

m

k

kk

n

k

kk

m

k

kkk

n

k

kkk

s

pPpK

tpPtpK

t

1

0

1

1

00

1

42,141

)40000300002000010000(09,0

18410,04000012212,0300006108,020000006,010000

1

1

=

=+++⋅

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅

=

∑

∑

=

=n

k

ks

n

k

kkk

s

Kp

tpK

t


Izraz je ukupni saldo dugovanja, i obično se obeležava sa S.

Dokaz:Ukupne kamatne obaveze dužnika prema poveriocu su jednake kamati ko-

ju on duguje poveriocu za pozajmljeni novac, umanjenoj za vrednost kamate ko-ju njemu duguje poverilac na osnovu dužnikovih potraživanja od poverioca. Od-nosno, ukupne kamatne obaveze dužnika su:

a) u trenutku ts, kada se dužnik i poverilac razdužuju uz nepromenjene du-žničko-poverilačke odnose, kamatne obaveze dužnika moraju biti iste ukupnim(početnim) kamatnim obavezama, jer samo tako ni dužnik ni poverilac neće bi-ti oštećeni. U trenutku ts, kamatne obaveze dužnika su:

Dakle, imajući u vidu da ni dužnik ni poverilac ne smeju biti oštećeni, važi:

b) u trenutku ts, kada se dužnik i poverilac razdužuju uz promenjene du-žničko-poverilačke odnose, izražene novom srednjom kamatnom stopom ps, ka-matne obaveze dužnika moraju biti iste ukupnim (početnim) kamatnim obave-zama, jer samo tako ni dužnik ni poverilac neće biti oštećeni. U trenutku ts kamat-ne obaveze dužnika su:

Dakle, imajući u vidu da ni dužnik ni poverilac ne smeju biti oštećeni, važi:

.1111

SptPKpttpPtpK ss

m

k

k

n

k

ksss

m

k

sk

n

k

ssk ⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅=− ∑∑∑∑

====

.

1

0

1

1

00

1

1

0

11

00

1

∑∑

∑∑

∑∑∑∑

==

==

====

−

−=⇒

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=−

m

k

kk

n

k

kk

m

k

kkk

n

k

kkk

s

m

k

kk

n

k

kks

m

k

kkk

n

k

kkk

pPpK

tpPtpK

t

pPpKttpPtpK

.1

0

11

0

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=− ∑∑∑∑

====

m

k

kk

n

k

kkss

m

k

kk

n

k

skk pPpKttpPtpK

∑∑==

−m

k

kkk

n

k

kkk tpPtpK1

00

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ∑∑

==

m

k

k

n

k

k PK11


7.2.1.1.2. EskontovanjeU platnom prometu dugovanja i potraživanja (menice, hartije od

vrednosti, krediti i sl.), često se planirane obaveze ne izvršavaju u ugovo-renim rokovima, već kasnije ili ranije od planiranog. Naravno, mogu na-stupiti sledeći slučajevi:

a) obaveza se realizuje tačno u roku, pa se onda plaća samo obaveza;b) obaveza se realizuje posle dospeća (kasni), pa se onda ona poveća-

va za interes za period zakašnjenja;c) obaveza se realizuje pre dospeća (ranije), pa se onda ona smanjuje

za interes perioda ranije realizacije.

Ako je u pitanju realizacija pre dospeća, onda se ova operacija nazi-va eskontovanje.

Interes za koji se obaveza smanjuje, a koji se obračunava od danapreuzimanja obaveze do dana njenog dospeća, naziva se eskont.

Umanjena vrednost obaveze za iznos eskonta naziva se eskontovanavrednost.

Stopa kojom se računa interes naziva se eskontna stopa.

U praksi se koriste dve vrste eskonta, komercijalni i racionalni eskont.

7.2.1.1.2.1. Komercijalni eskontInteres (eskont) izračunat na nominalnu vrednost obaveze (neuma-

njenu), prostim kamatnim računom od dana eskontovanja do dana do-speća obaveze, naziva se komercijalni eskont i označava sa Ek.

Način izračunavanja komercijalno eskontovane vrednosti određujesledeća teorema.

s

m

k

kkk

n

k

kkk

m

k

k

n

k

ks

m

k

kkk

n

k

kkk

s

m

k

k

n

k

kss

m

k

kkk

n

k

kkk

pS

tpPtpK

PKp

tpPtpK

t

PKpttpPtpK

⋅

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−=⇒

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅=−

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑∑∑

==

==

==

====

1

00

1

11

1

00

1

111

00

1


Teorema 7.2.1.1.2.1. (komercijalno eskontovana vrednost)Ako je Kn nominalna vrednost obaveze, K0,k komercijalno eskontovana

vrednost obaveze u trenutku t=0, d broj dana od dana eskontovanja do dana do-speća obaveze i p eskontna stopa data u decimalnom zapisu, tada je komercijalnoeskontovana vrednost K0,k data sa:

Dokaz:Dokaz teoreme sledi direktno iz definicije komercijalnog eskonta kao inte-

resa (eskont) izračunatog na nominalnu vrednost obaveze (neumanjenu), pro-stim kamatnim računom od dana eskontovanja do dana dospeća obaveze.

Imajući u vidu pravila prostog kamatnog računa, komercijalni eskont, obe-ležimo ga sa Ek, iznosi:

Ek= ,

a komercijalno eskontovana vrednost je nominalna vrednost obaveze uma-njena za iznos komercijalnog eskonta, tj.

7.2.1.1.2.2. Racionalni eskontInteres (eskont) izračunat na aktuelnu vrednost obaveze (realnu vred-

nost obaveze u trenutku eskontovanja), tj. na eskontovanu vrednost obaveze,prostim kamatnim računom od dana eskontovanja do dana dospećaobaveze, naziva se racionalni eskont i označava sa Er.

Način izračunavanja racionalno eskontovane vrednosti određujesledeća teorema.

Teorema 7.2.1.1.2.2. (racionalno eskontovana vrednost) Ako je Kn nominalna vrednost obaveze, K0,r racionalno eskontovana vred-

nost obaveze u trenutku t=0, d broj dana od dana eskontovanja do dana dospećaobaveze i p eskontna stopa data u decimalnom zapisu, tada je racionalno eskon-tovana vrednost K0,r data sa:

.360

1,0 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅=−= dp

KEKK nknk

360

dpKn

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅=

3601,0

dpKK nk


.Dokaz:Dokaz teoreme sledi direktno iz definicije racionalnog eskonta kao interesa

(eskont) izračunatog na eskontovanu vrednost obaveze prostim kamatnim ra-čunom od dana eskontovanja do dana dospeća obaveze.

Imajući u vidu pravila prostog kamatnog računa, racionalni eskont, obele-žimo ga sa Er , iznosi:

Er= ,

a racionalno eskontovana vrednost je nominalna vrednost obaveze umanje-na za iznos racionalnog eskonta, tj.:

dok je vrednost racionalnog eskonta:

7.2.1.1.2.3. Veza između komercijalnog i racionalnog eskontaKomercijalni i racionalni eskont su nejednaki usled toga što se u ko-

mercijalnom eskontu interes računa na nominalnu vrednost, što je sa ma-tematičke strane potpuno neopravdano, jer je nominalna vrednost real-no veća od stvarne. Vezu između komercijalnog i racionalnog eskonta od-ređuje sledeća teorema.

Teorema 7.2.1.1.2.3. (veza između komercijalnog i racionalnog eskonta)Ako su Ek i Er komercijalni i racionalni eskonti respektivno, izračunati za

d – broj dana od dana eskontovanja do dana dospeća, i za eskontovanu stopu p da-tu u decimalnom zapisu, onda je:

.rk E

pdE ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

3601

.360

1360

3601

360

,0

dp

Kdp

dp

KpdKE nnr

r

+=⋅

+=

⋅⋅=

,

3601

3601

360,0,0

,0,0 dp

KKK

dpK

pdKKEKK n

rnrr

nrnr

+=⇒=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅⇒

⋅⋅−=−=

360

,0 pdK r ⋅⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=

3601

,0dp

KK n

r


Dokaz:Kako je

Ek= , a Er= sledi da je:

Sada je očigledno da važi:

Analizirajući rezultat ove teoreme, zaključujemo da je komercijalnieskont uvek veći od racionalnog, odnosno Ek>Er , što sa svoje strane uslo-vljava da je komercijalna vrednost neke obaveze uvek manja od njene ra-cionalne vrednosti, tako da prilikom otkupljivanja obaveza pre roka ku-pac obaveza ima interesa da insistira na komercijalnoj vrednosti obaveza,dok to prodavcu ne odgovara. Matematički realna vrednost obaveze je ra-cionalno eskontovana vrednost.

Primer 7.2.1.1.2.1.

Nominalna vrednost menice je 300000 dinara, sa rokom dospeća 20.III.2003. godine. Iz-računati eskontovanu vrednost menice na dan 10.III 2003. godine ako je eskontna stopa9%. Obračun izvršiti:

a) komercijalnim metodom

b) racionalnim metodom.

Rešenje:

Kako je Kn=300000, d=10, p=0,09, po prethodnim teoremama sledi da je:

a) =

b) = .dinara87,299251

360

09,0101

300000 =⋅+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=

3601

,0dp

KK n

r

dinara299250360

09,0101300000 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅−⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅=

3601,0

dpKK nk

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=⋅+=

3601

360

dpEE

dpEE rrrk

( ) .,360360

,0,0 rrnrrnrk EKKjejerEdp

KKdp

EE =−⋅=−⋅=−

,360

,0 pdK r ⋅⋅360

dpKn


7.2.2. Složeni kamatni račun

Kao što je već rečeno, osnovna razlika između prostog i složenog ka-matnog računa je u tome što se kod prostog kamatnog računa kamata usvim obračunskim periodima obračunava na istu sumu (početnu glavni-cu), a kod složenog kamatnog računa se u svakom obračunskom periodukamata računa na sve veću glavnicu, odnosno na glavnicu iz prethodnogperioda uvećanu za iznos kamate iz prethodnog perioda. Zbog ovakvogpovećanja glavnice iz perioda u period, veći su iznosi kamate kod slože-nog kamatnog računa od kamata koje daje prost kamatni račun.

U praksi se kamata najčešće obračunava i dodaje kapitalu (kapita-liše) godišnje, polugodišnje, kvartalno (tromesečno) i neprekidno uz ka-matnu stopu p (decimalni zapis), koja se određuje na godišnjem nivou.

Ako se izračunavanje kamate i njeno dodeljivanje kapitalu vrši nakraju svakog obračunskog perioda, tada se takvo računanje kamate nazi-va dekurzivnim i obeležava se slovom d uz kamatnu stopu, naprimer5%(d).

Ako se izračunavanje kamate i njeno dodeljivanje kapitalu vrši napočetku svakog obračunskog perioda (unapred), tada se takvo računanjekamate naziva anticipativnim i obeležava se slovom a uz kamatnu stopu,naprimer 5%(a).

Mi ćemo se na ovom kursu baviti samo dekurzivnim složenim ka-matnim računom.

7.2.2.1. Dekurzivni složeni kamatni račun

Veličine koje figurišu prilikom izračunavanja dekurzivnog slože-nog kamatnog računa su:

K0 – početna vrednost kapitala, odnosno glavnica koju je dužnik pozajmiood poverioca pod određenim kamatnim uslovima;

t – vreme na koje je dužnik pozajmio novac, odnosno vreme posle koga seizračunava krajnja vrednost kapitala;

Kt – krajnja vrednost kapitala, odnosno zbir glavnice i kamate na tuglavnicu koje dužnik duguje poveriocu posle vremena t;

p(d) – dekurzivna interesna (kamatna) stopa na godišnjem nivou (de-cimalni zapis);

m – broj obračunskih perioda u toku jedne godine (ovaj broj je obično ceobroj);


tm – vreme obračunskog perioda, odnosno vremenski interval obračunava-nja kamate i njenog dodavanja kapitalu;

l – ukupan broj obračunskih perioda u toku ukupnog vremena t na ko-je je dužnik pozajmio novac (ovaj broj ne mora biti ceo broj).

Naravno, proizvod ukupnog broja obračunskih perioda i vremena obračun-skog perioda predstavlja ukupno vreme na koje je dužnik pozajmio novac, odno-sno:

t = l ⋅ tm, odnosno .

Takođe, ako je vreme obračunskog perioda (tm) dato u godinama, izmeđubroja obračunskih perioda u toku jedne godine (m) i vremena obračunskog peri-oda datog u godinama (tm) važi sledeća relacija:

m ⋅ tm = 1.

7.2.2.1.1. Odnos između krajnje i početne vrednosti kapitala kodsloženog kamatnog računa, za date uslove kamaćenja,kada je vreme na koje je dužnik pozajmio novac jednakocelom broju obračunskih perioda (l je ceo broj)

Odnos između krajnje i početne vrednosti kapitala, pod uslovimanavedenim u naslovu, određuje sledeća teorema, koju nećemo dokazivati

Teorema 7.2.2.1. (složeni kamatni račun, vreme ukamaćivanja je jed-nako celom broju obračunskih perioda)

Ako je dužnik uzeo od poverioca na zajam kapital K0 pod godišnjom dekur-zivnom kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz godišnje kapitalisanje u m ob-računskih perioda, onda posle vremena t koje je jednako l obračunskih perioda, gdeje l ceo broj, krajnja vrednost kapitala Kt iznosi:

Primena ove teoreme u slučaju kada je kapitalisanje godišnje (m=1),a vreme za koje se računa krajnja vrednost kapitala dato u godinama (t=n godina), daje sledeće:

Kn= K0⋅(1+p)n.

.10

l

tm

pKK ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=

mt

tl =


U slučaju kada se m puta u toku godine vrši kapitalisanje, a vremeza koje se računa krajnja vrednost kapitala je takodje dato u godinama(t=n godina), tada je l=m⋅n pa je:

NAPOMENA: Izraz se vrlo često koristi u

složenom kamatnom računu za različite vrednosti p% i n, pa su, zbognjegove lakše i brže primene, izračunate vrednosti tog izraza za razne vrednosti p% i n, i date u vidu tablice (videti na kraju knjige).

Recipročna vrednost tabličnih vrednosti tablice data je u

vidu tablice . Dakle, važi .

Teorema 7.2.2.1. definiše odnos između pet veličina K0 , Kt , p, m, l.Ako su poznate bilo koje četiri od ovih veličina, onda je uvek moguće iz-računati preostalu nepoznatu veličinu jednostavnim rešavanjem jednači-ne date u Teoremi 7.2.2.1 po toj nepoznatoj veličini.

Primer 7.2.2.1.1.

Na koju će sumu da naraste suma od 5600 dinara za 4 godine uz 12% godišnje kamate,ako je kapitalisanje

a) godišnje

b) polugodišnje

c) tromesečno

d) mesečno.

Rešenje:

Pošto je K0=5600 din., p=0,12, n= 3 godine, tada po Teoremi 7.2.2.1 važi:

a)

b) ( ) dinIKKKKm 6,79434185,1560006,012

12,012 6

%606

0

6

03,2 =⋅=⋅=+⋅=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=⇒=

( ) dinIKKKm 44,78674049,1560012,011 3%120

303 =⋅=⋅=+⋅=⇒=

np

np II

I%

%1=n

pII %

n

pI %

n

pI %

( )n

n pp ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=+

100

%11

.10

nm

mnm

pKK

⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=


c)

d)

Primer 7.2.2.1.2.

Koji je iznos ukamaćen pre 3 godine uz 8% godišnje kamate i polugodišnje kapitalisanje akoje narastao na 20000 dinara?

Rešenje:

Sada je krajnja vrednost kapitala Kt=20000 dinara, p=0,08, n=3 godine, pa je:

Primer 7.2.2.1.3.

Za koliko će godina iznos od 3800 dinara sa 6% kamate da naraste na 4543,35 dinara,uz tromesečno kapitalisanje?

Rešenje:

Sada je Kt=4543,35 dinara, K0=3800 dinara, p=0,06, m=4, pa na osnovu Teoreme7.2.2.1. važi sledeće:

.12

4

06,01ln

3800

35,4543ln

1ln

ln

1lnln11 0

000

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=⇒⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=⇒⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=

m

p

K

K

lm

pl

K

K

m

p

K

K

m

pKK

t

tl

tl

t

( )

.53,158062653,1

20000

04,012

08,012

6%4

0

6%40

60

6

0

dinI

KK

IKKKKm

t

t

===⇒

⇒⋅=+⋅=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=⇒=

( ) .48,80124308,1560001,0112

12,0112 36

%1036

0

36

03,12 dinIKKKKm =⋅=⋅=+⋅=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=⇒=

( ) dinIKKKKm 48,79844258,1560003,014

12,014 12

%3012

0

12

03,4 =⋅=⋅=+⋅=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=⇒=


Pošto broj l=12 predstavlja broj obračunskih perioda, vreme t dobijamo kada broj obračun-skih perioda pomnožimo sa vremenom obračunskog perioda, tj.:

t = l ⋅ tm

U ovom slučaju, kapitalisanje je tromesečno (odnosno tm= 3 meseca), pa je:

t (u mesecima)=12⋅3 meseci=36 meseci, odnosno u godinama

t (u godinama)=3 godine.

7.2.2.1.2. Odnos između krajnje i početne vrednosti kapitala kodsloženog kamatnog računa, za date uslove kamaćenja,kada vreme na koje je dužnik pozajmio novac nije jed-nako celom broju obračunskih perioda (l nije ceo broj)

U praksi, vreme na koje je dužnik pozajmio novac često nije jedna-ko celom broju obračunskih perioda (l nije ceo broj). Veza između krajnjei početne vrednosti kapitala se u tom slučaju može odrediti kombinova-njem metode prostog i složenog kamatnog računa (ovo su takozvanemetode prekidnog kapitalisanja), kao i metodom neprekidnog (kontinual-nog) kapitalisanja.

Pre nego što objasnimo ove metode, primetimo da je, u ovom sluča-ju,

a) količnik realan broj

b) i da, ako se sa obeleži ceo deo tog realnog broja, važi:

gde tost može biti dato:– u danima, obeležavamo ga sa tost (d)– u mesecima, obeležavamo ga sa tost (m)– u godinama, obeležavamo ga sa tost (g).

Tako, naprimer, ako je:

t=7 godina i 8 meseci (odnosno 92 meseca), a tm=6 meseci, onda je:

,ostmm

ttt

tt +⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

mt

t

mt

tl =


,

,tost= (92 – 15⋅6) meseci = 2 meseca

Metode prekidnog kapitalisanja su:– racionalni metod– komercijalni metod.

Način izračunavanja krajnje vrednosti kapitala racionalnom meto-dom prekidnog kapitalisanja određuje sledeća teorema, koju nećemo do-kazivati.

Teorema 7.2.2.1.2.1. (racionalni metod)Ako je dužnik uzeo od poverioca na zajam kapital K0 pod godišnjom dekur-

zivnom kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz godišnje kapitalisanje u m ob-računskih perioda, onda posle vremena t krajnja vrednost kapitala Kt, po racio-nalnom metodu prekidnog kapitalisanja, iznosi:

, gde je tm vreme obračunskog perioda.

Bez obzira što ovu teoremu nećemo dokazivati, napomenimo da je

ona direktna posledica teoreme 7.2.2.1, jer je , samo što u ovomslučaju taj broj l nije ceo broj.

Način izračunavanja krajnje vrednosti kapitala komercijalnim meto-dom prekidnog kapitalisanja određuje sledeća teorema, koju takođe ne-ćemo dokazivati.

Teorema 7.2.2.1.2.2. (komercijalni metod)Ako je dužnik uzeo od poverioca na zajam kapital K0 pod godišnjom dekur-

zivnom kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz godišnje kapitalisanje u m ob-računskih perioda, onda posle vremena t krajnja vrednost kapitala Kt, po komer-cijalnom metodu prekidnog kapitalisanja, iznosi:

mt

tl =

mt

t

tm

pKK ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅= 10

156

92 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

mt

t

333,156

92

6

8127 ==+⋅=mt

t


a) , ako je tost u godinama

b) , ako je tost u mesecima

c) , ako je tost u danima,

gde je tm vreme obračunskog perioda.

Očigledno je da komercijalna metoda predstavlja kombinovanje slo-ženog i prostog kamatnog računa, na način gde se za deo vremena t koji

predstavlja ceo broj obračunskih perioda kamata obračunava pra-

vilima složenog kamatnog računa, dok se za ostatak vremena tost kamata

obračunava pravilima prostog kamatnog računa.

Metod neprekidnog kapitalisanja određuje krajnju vrednost kapita-la kao graničnu vrednost krajnje vrednosti kapitala dobijene pomoću me-toda racionalnog prekidnog kapitalisanja, kada broj obračunskih periodau toku jedne godine teži beskonačnosti (m→∞).

Način izračunavanja krajnje vrednosti kapitala neprekidnim kapita-lisanjem određuje sledeća teorema.

Teorema 7.2.2.1.2.3. (neprekidno kapitalisanje)Ako je dužnik uzeo od poverioca na zajam kapital K0 pod godišnjom dekur-

zivnom kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz uslove neprekidnog kapitali-sanja, onda posle vremena t datog u godinama, krajnja vrednost kapitala Kt iz-nosi:

tpt eKK ⋅⋅= 0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

mt

t

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅+⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

360

)(110

dtp

m

pKK ostt

t

tm

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅+⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

12

)(110

mtp

m

pKK ostt

t

tm

( ))(110 gtpm

pKK ost

t

t

tm ⋅+⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡


Dokaz:Pošto je vreme t dato u godinama, onda je u formuli za metodu racionalnog

prekidnog kapitalisanja i vrednost za tm takođe data u godinama.Za tm dato u godinama, kao što je ranije rečeno, važi:

m⋅tm = 1⇒ , pa imajući u vidu da metod neprekidnog kapitali-

sanja određuje krajnju vrednost kapitala kao graničnu vrednost krajnje vrednosti

kapitala dobijene pomoću metoda racionalnog prekidnog kapitalisanja, kada broj

obračunskih perioda u toku jedne godine teži beskonačnosti (m→∞), važi sledeće:

Primer 7.2.2.1.2.1.

Izračunati na koju će sumu da naraste kapital od 5200 din., za 4 godine i 2 meseca, uz go-dišnju kamatnu stopu od 6%, uz

a) polugodišnje kapitalisanje, koristeći i racionalni i komercijalni metod

b) neprekidno kapitalisanje.

Rešenje:

Imamo de je K0=5200 din, a p=0,06, pa važi:

a) Po teoremama 7.2.2.1.2.1. i 7.2.2.1.2.2,

Racionalni metod:

m=2, t=(4⋅12+2) meseca=50 meseci, tm=6 meseci,

Komercijalni metod:

m=2, t=(4⋅12+2) meseca=50 meseci, tm=6 meseci,

(50 – 6⋅8) meseci = 2 meseca, pa je=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−=

mmost

t

tttt8

6

50 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

mt

t

.36,66522

06,0152001

6

50

0 dinm

pKK mt

t

t =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=

.1lim1lim1lim 0000tp

tp

p

m

m

tm

m

t

t

mt eK

m

pK

m

pK

m

pKK m ⋅

⋅

→∝

⋅

→∝→∝=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

mtm

1=


Po teoremi 7.2.2.1.2.3, za neprekidno kapitalisanje imamo da je

gde je t u godinama, što u ovom slučaju daje

, pa je

7.2.2.1.3. Konformna kamatna stopa

Moguće je pokazati da se povećanjem broja kapitalisanja u toku jed-ne godine (povećanjem m), uz uslov nepromenjenosti kamatne stope p, po-većavaju iznosi kamate i iznosi krajnje vrednosti kapitala Kt. Ovu činjeni-cu zajmodavac (recimo štediša) može iskoristiti tako što bi podizao svo-je uloge zajedno sa pripadajućom kamatom ranije od obračunskog peri-oda, i taj ulog zajedno sa pripadajućom kamatom ponovo pod istimuslovima oročavao. Ponavljanjem ovakvog procesa, štediša bi postigao damu se glavnica kapitališe više od unapred dogovorenog broja kapitalisa-nja, i samim tim mnogo više uveća od očekivanog.

Ovakve operacije postaju beskorisne ako banka uvede novu kamat-nu stopu koja bi, i pored većeg broja kapitalisanja u toku jedne godine,davala za godinu dana iste iznose kamate kao i godišnja kamatna stopasa jednim kapitalisanjem. Takva kamatna stopa naziva se konformna ka-matna stopa, i obeležavamo je sa pk,m (decimalni zapis).

Teorema 7.2.2.1.3.1. (konformna kamatna stopa)Konformna kamatna stopa pk,m (decimalni zapis), tj. stopa koja sa m kapi-

talisanja početnog kapitala K0 u toku godine daje isti iznos krajnje vrednosti ka-pitala Kt kao i kamatna stopa p sa jednim kapitalisanjem u toku godine, izraču-nava se po formuli:

.8,6676284,1520052005200 25,0167,406,00 dineeeKK tp

t =⋅=⋅=⋅=⋅= ⋅⋅

167,412

24 =+=t

tpt eKK ⋅⋅= 0

.23,665301,12668,15200

12206,01

206,015200

12)(

118

0

din

mtpmp

KK osttt

tm

=⋅⋅=

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅+⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅

+⋅⎟⎠⎞⎜⎝

⎛ +⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡


Dokaz:Krajnja vrednost početnog kapitala K0 posle jedne godine, sa godišnjim ka-

pitalisanjem kamatnom stopom p je:

,

dok krajnja vrednost početnog kapitala K0 posle jedne godine, uz m kapita-lisanja u toku jedne godine sa kamatnom stopom pk,m, iznosi

Iz uslova jednakosti ova dva kapitala, sledi:

Primer 7.2.2.1.3.1.

Kolika je tromesečna konformna kamatna stopa pk,m, ako je godišnja kamatna stopap%=12%?

Rešenje:

Pod ovim uslovima, važi p=0,12, m=4, pa je po teoremi 7.2.2.1.3.1:

pa je konformna kamatna stopa 2,87%.

7.2.2.1.4. Račun uloga kod dekurzivnog složenog kamatnog računa

Dosadašnja analiza dekurzivnog složenog kamatnog računa podra-zumevala je jednokratni početni ulog (početni kapital K0), bez dodatnihulaganja. Naravno, ovakva situacija je veoma retka, jer se često ukazujepotreba za dodatnim ulaganjima.

Dodatna ulaganja mogu biti u istim ili različitim iznosima, u istimili različitim vremenskim intervalima, koji se mogu poklapati sa vremen-skim intervalima kapitalisanja, a mogu biti češći ili ređi od perioda vre-mena kapitalisanja.

7.2.2.1.4.1. Dodatni ulozi su u istim iznosima i istim vremen-skim intervalima, koji se poklapaju sa vremenskimintervalima godišnjeg dekurzivnog kapitalisanja

0287,0112,014, =−+=mkp

( ) .1111 ,, −+=⇒+=+ mmk

m

mk pppp

( )mmkt pKK ,0 1+⋅=

( )pKKt +⋅= 10

.11, −+= mmk pp


Ako se dodatni ulozi ulažu u istim iznosima na početku svakogobračunskog perioda (na početku svake godine), onda za takva ulaganjakažemo da su anticipativna.

Teorema 7.2.2.1.4.1.1. (anticipativni ulozi koji se poklapaju sa vre-menskim intervalima godišnjeg dekurzivnog kapitalisanja)

Ako se početkom svake godine ulaže suma od K dinara, uz godišnju dekur-zivnu kamatnu stopu p (decimalni zapis) i godišnje dekurzivno kapitalisanje, on-da će stanje ukupnog kapitala Sn

a za n godina biti:

, gde je r=1+p.

Dokaz:Pošto se suma od K dinara ulaže na početku svake godine, to će na kraju n-

te godine prvi ulog od K dinara da naraste na K⋅(1+p)n=K⋅ rn dinara (odnosno pr-vi ulog će imati n obračuna), drugi ulog će narasti na K⋅(1+p)n-1=K⋅ rn-1 dinara(imaće n-1 obračuna) i tako redom, sve do poslednjeg uloga, koji će imati samo je-dan obračun i koji će da naraste na K⋅(1+p)=K⋅ r dinara.

Ukupan kapital nakon ovih n godina je, naravno, suma svih ovih iznosa ion iznosi:

jer je

1+r+r2+…+rn-1 suma konačnog geometrijskog reda (videti primer 2.2.3.1.).

NAPOMENA: Izraz se naziva faktor dodajnih

uloga i njegova vrednost za dato p% i n se daje u vidu trećih kamatnih tablica

, odnosno , pa je .

Ako se dodatni ulozi ulažu u istim iznosima na kraju svakog obra-čunskog perioda (na kraju svake godine), onda za takva ulaganja kažemoda su dekurzivna.

np

an IIIKS %⋅=

1

1% −

−=r

rrIII

nn

p

n

pIII %

1

1

−−

r

rr

n

( )1

1...1... 121

−−=++++=+++= −−

r

rKrrrrKrKrKrKrS

nnnna

n

1

1

−−=

r

rKrS

na

n


Teorema 7.2.2.1.4.1.2. (dekurzivni ulozi koji se poklapaju sa vremen-skim intervalima godišnjeg dekurzivnog kapitalisanja)

Ako se krajem svake godine ulaže suma od K dinara, uz godišnju dekurziv-nu kamatnu stopu p (decimalni zapis) i godišnje dekurzivno kapitalisanje, ondaće stanje ukupnog kapitala Sn

d za n godina biti:

, gde je r=1+p.

Dokaz:Pošto se suma od K dinara ulaže na kraju svake godine, to će na kraju n-te

godine prvi ulog od K dinara da naraste na K⋅(1+p)n-1=K⋅ rn-1 dinara (odnosno, pr-vi ulog će imati n-1 obračuna), drugi ulog će narasti na K⋅(1+p)n-2=K⋅ rn-2 dinara(imaće n-2 obračuna) i tako redom, sve do poslednjeg uloga, koji se neće kapitali-sati, odnosno iznosiće K dinara.

Ukupan kapital nakon ovih n godina je, naravno, suma svih ovih iznosa ion iznosi:

jer je

1+r+r2+…+rn-1 suma konačnog geometrijskog reda (videti primer 2.2.3.1.)

NAPOMENA: Pošto je

,

važi da je

.

Primer 7.2.2.1.4.1.

Ako se u banku ulaže:

a) na početku svake godine

b) na kraju svake godine

po 20000 dinara, koja će suma biti u banci na kraju treće godine ako je godišnja kamatnastopa 6% i kapitalisanje godišnje?

Rešenje:

Pošto je K=20000, p=0,06, r=1,06, n=3, važi sledeće:

a) pošto se radi o anticipativnom ulogu, po teoremi 7.2.2.1.4.1.1. je

( )11% +⋅= −n

pdn IIIKS

( )11

1

1

1

11

1

1

1

1 1

%

11

+=+−

−=−

−+−=−

−+−=−− −

−−n

p

nnnn

IIIr

rr

r

rrr

r

rrr

r

r

( )1

1...1... 1221

−−=++++=+++= −−−

r

rKrrrKKKrKrS

nnnnd

n

1

1

−−=

r

rKS

nd

n


b) pošto se radi o dekurzivnom ulogu, po teoremi 7.2.2.1.4.1.2. je

7.2.2.1.4.2. Dodatni ulozi su u istim iznosima i ulažu se u istim vremenskim intervalima, m puta u toku godine, uz primenu godišnjeg dekurzivnog kapitalisanja

Očigledno je da je u ovom slučaju ulaganje češće od kapitalisanja,(odnosno ulažemo m puta u toku jedne godine, a kapitališemo samo jed-nom). Međutim, primenom konformne kamatne stope možemo izjedna-čiti broj kapitalisanja sa brojem ulaganja, i samim tim primeniti formu-le za izračunavanje ukupnog kapitala iz prethodnog poglavlja.

Naime, po Teoremi 7.2.2.1.3.1, konformna kamatna stopa pk ima sam kapitalisanja u toku godine iste efekte kao i godišnja kamatna stopa psa jednim kapitalisanjem, naravno uz uslov da je

Primenom konformne kamatne stope, broj kapitalisanja za periodod n godina postaje jednak broju ulaganja za taj isti period i, naravno, oniznosi m⋅n, tako da važi sledeća teorema, koju nećemo dokazivati jer je di-rektna posledica Teorema 7.2.2.1.4.1.1. i 7.2.2.1.4.1.2.

Teorema 7.2.2.1.4.2. (ulaganja češća od kapitalisanja)Ako se u istim vremenskim intervalima ulaže ista suma od K dinara m pu-

ta u toku godine, po godišnjoj kamatnoj stopi p i godišnjem kapitalisanju, onda sta-nje ukupnog kapitala posle n godina iznosi:

a) za slučaj anticipativnog ulaganja

b) za slučaj dekurzivnog ulaganja

gde je a rk=1+pk,m.11, −+= mmk pp

1

1

−−

=k

mn

ka

nr

rKS

1

1

−−

=k

mn

kk

a

nr

rKrS

.11, −+= mmk pp

( ) ( ) .636721836,32000011836,22000011

1 2%6

3

3 dinaraIIIKr

rKS d =⋅=+⋅=+⋅=

−−=

.674923746,3200001

1 3%6

3

3 dinaraIIIKr

rKrS a =⋅=⋅=

−−=


Primer 7.2.2.1.4.2.

Koliko je stanje uloga posle 3 godine, ako se 10000 dinara ulaže u banku

a) početkom svakog meseca

b) krajem svakog meseca,

sa godišnjom kamatnom stopom od 6% i godišnjim kapitalisanjem.

Rešenje:

U ovom slučaju je m=12, n=3, K=10000, p=0,06, ,pa je

a) pošto se radi o anticipativnom ulaganju,

b) pošto se radi o dekurzivnom ulaganju,

7.2.2.1.5. Račun uloga kod neprekidnog kapitalisanja

Prilikom korišćenja neprekidnog kapitalisanja, mnogi problemi priizračunavanju se uprošćavaju, a neki od njih gube i smisao, poput, reci-mo, anticipativnog i dekurzivnog ulaganja.

Neprekidno kapitalisanje dosta jednostavno izračunava stanje ulo-ga za slučaj nejednakih uloga u nejednakim vremenskim intervalimaulaganja, što određuje sledeća teorema, koju nećemo dokazivati.

Teorema 7.2.2.1.5. (račun uloga pri neprekidnom kapitalisanju)Ako su uložene sume K1, K2, …, Kn u vremenima t1, t2, …, tn, pri neprekid-

nom kapitalisanju uz godišnju kamatnu stopu p, onda stanje svih uloga u trenut-ku ts (gde je ti≤ts za i=1,2,…,n) iznosi:

, gde je vreme t dato u godinama.

Vremenski interval ts-tk, k=1,2,…,n predstavlja vremenske razmakeod trenutka ulaganja tk do trenutka izračunavanja stanja na računu ts, iz-ražene u godinama.

( )∑=

−=n

k

ttp

ktks

seKS

1

.6,392444100487,1

100487,110000

1

1 36

3 dinarar

rKS

k

mnkd =

−−⋅=

−−=

dinarar

rKrS

k

mnk

ka 8,394355

100487,1

100487,100487,110000

1

1 36

3 =−−⋅=

−−=

00487,0106,0112 =−+=kp


Primer 7.2.2.1.5.

Na koji će iznos da naraste ukupni kapital 20. III 2003. godine ako je ulagano: 10000 di-nara 15.III 2002. godine, 20000 dinara 25.VI 2002. godine i 15000 dinara 15.II 2003godine, uz godišnju neprekidnu kamatnu stopu 5%?

Rešenje:

Odgovarajući vremenski intervali za svaki od ovih uloga su: prvom 371 dan, odnosno

godina, drugom 268 dana, odnosno godina, i trećem 34

dana, odnosno godina, pa prema prethodnoj teoremi ukupni kapital na dan

20.III 2003. godine iznosi:

7.3. AMORTIZACIJA KREDITA

Pod pojmom amortizacija kredita podrazumevamo vraćanje kredita(zajma) koji je dužnik uzeo od poverioca pod određenim uslovima. Ukup-nu sumu koju dužnik duguje poveriocu (glavnica sa pripadajućom kama-tom) dužnik vraća u ugovorenom roku kroz određeni broj rata.

Iznosi tih rata se nazivaju anuiteti. Obično je vremenski interval ot-platnog perioda godina, ili mesec, ali može biti i bilo koji vremenski in-terval.

Anuiteti mogu, ali i ne moraju, biti isti u svim otplatnim periodima.Uobičajeno je da se kamata najčešće otplaćuje zajedno sa glavnicom, alimoguće je ugovarati i drugačije vraćanje kredita.

Ako se kamata vraća zajedno sa glavnicom, onda se svaki anuitet sa-stoji od dela otplate i dela kamate.

Mi ćemo u ovom delu obraditi amortizaciju kredita metodom jed-nakih anuiteta, koji se isplaćuju na kraju obračunskog perioda (dekurziv-ni anuitet), pri godišnjem dekurzivnom kapitalisanju.

.46335150752074010520005,115000037,120000052,110000

150002000010000 09,005,073,005,0016,105,0

dinara

eeeS

=++==⋅+⋅+⋅=

=++= ⋅⋅⋅

09,0365

34 =

73,0365

268 =016,1365

371 =


7.3.1. Amortizacija kredita jednakim dekurzivnim anuitetimapri godišnjem dekurzivnom kapitalisanju

Neka je dužnik u početnom trenutku od poverioca uzeo na zajamsumu K0, na n godina, pod godišnjom dekurzivnom kamatnom stopomp (decimalni zapis), i neka su se dužnik i poverilac dogovorili da će dužnikvratiti ukupni dug (glavnica K0 sa pripadajućom kamatom) u n jednakihgodišnjih anuiteta a, koje će dužnik isplaćivati na kraju svake godine, od-nosno u onim trenucima kada se zaračunava kamata na pozajmljeni iz-nos. Odgovor na pitanje koliko treba da iznosi anuitet a, daje sledeća te-orema.

Teorema 7.3.1.1. (veza između anuiteta a, pozajmljenog kapitala K0i godišnje dekurzivne kamatne stope p)

Ako se amortizuje kredit od K0 dinara, sa godišnjom dekurzivnom kamat-nom stopom p i sa n godišnjih jednakih dekurzivnih anuiteta a, onda se anuitet iz-računava po formuli:

, gde je r=1+p.

Dokaz:Radi lakšeg razumevanja problema, analizirajmo sledeći dijagram:

Na dijagramu je:

sa t=k obeležen kraj k-te godine, kada se isplaćuje k-ti anuitet čija je vred-nost a,sa Sk obeleženo stanje duga posle isplate k-tog anuiteta.

Naravno, u početnom trenutku t=0 nema isplate anuiteta i stanje duga jejednako upravo pozajmljenom novcu, odnosno S0=K0.

Za stanje duga Sk važi sledeće:

t=0: S0=K0

t=0 t=1 t=2 t=k-1 t=k t=n-1 t=n a a a a a a S0= K0 S1 S2 Sk-1 Sk Sn-1 Sn

( )1

10 −

−=n

n

r

rrKa


t=1: S1=S0⋅ r - a=K0⋅ r - at=2: S2=S1⋅ r - a=( K0⋅ r - a) ⋅ r - a=K0r

2 - a(1+r)t=3: S3= S2⋅ r - a=( K0r

2 - a(1+r)) ⋅ r - a=K0r3- a(1+r+r2)

t=k: Sk= Sk-1⋅ r - a=………= K0rk- a(1+r+r2+…+rk-1)

t=n: Sn= Sn-1⋅ r - a=………= K0rn- a(1+r+r2+…+rn-1)

Naravno, pošto se očekuje da se sa n-tim anuitetom vrati sav dug, stanje du-ga Sn mora biti jednako nuli, pa dobijamo:

Sn= K0rn- a(1+r+r2+…+rn-1)=0⇒

.

NAPOMENA:

Vrednosti izraza obično se daju u vidu tablice

, pa je . Takođe, uobičajeno je da se recipročna vrednost tablice

Vnp% daje u vidu tablice IVn

p%, odnosno važi , pa je K0=a⋅IVnp%.

Ako je dekurzivno kapitalisanje m puta godišnje, i plaćanje dekurziv-

nog anuiteta takođe m puta godišnje, onda je , odnosno

.

Ako su dekurzivni anuiteti češći od dekurzivnog kapitalisanja, gde je m

broj anuiteta u obračunskom periodu, onda je , odnosno( )

1

1

,

,,0

−

−= ⋅

⋅

nmmk

mknm

mk

r

rrKa

nm

mpIVaK ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅= %0

nm

mpVKa ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= %0

n

p

n

pV

IV%

%

1=

n

pVKa %0=

( )1

1% −

−=n

nn

pr

rrV

( )1

1

−−

n

n

r

rr

( )1

1

1

100 −

−=⇒−−=⇒

n

nnn

r

rrKa

r

rarK


, gde je rk,m=1+pk,m, a pk,m je konformna kamatna stopa

za period plaćanja anuiteta u odnosu na period kapitalisanja.

Primer 7.3.1.1.

a) Kredit treba da se otplati za pet godina, jednakim godišnjim anuitetima od 3.000 dina-ra, uz godišnju kamatnu stopu od 8% i godišnje dekurzivno kapitalisanje. Dužnik i poverilacsu se dogovorili da promene uslove otplate i da ovaj kredit dužnik otplati za 3 godine jed-nakim godišnjim anuitetima, uz godišnje dekurzivno kapitalisanje, sa godišnjom kamatnomstopom od 10%. Koliko iznosi novi anuitet?

b) Kredit treba da se otplati za pet godina, jednakim polugodišnjim anuitetima od 3.000 di-nara, uz godišnju kamatnu stopu od 8% i polugodišnje dekurzivno kapitalisanje. Dužnik i po-verilac su se dogovorili da promene uslove otplate i da ovaj kredit dužnik otplati za 3 godi-ne jednakim polugodišnjim anuitetima, uz polugodišnje dekurzivno kapitalisanje, sa godi-šnjom kamatnom stopom od 10%. Koliko iznosi novi anuitet?

c) Kredit treba da se otplati za pet godina, jednakim polugodišnjim anuitetima od 3.000 di-nara, uz godišnju kamatnu stopu od 8% i godišnje dekurzivno kapitalisanje. Dužnik i pove-rilac su se dogovorili da promene uslove otplate i da ovaj kredit dužnik otplati za 3 godinejednakim polugodišnjim anuitetima, uz godišnje dekurzivno kapitalisanje, sa godišnjom ka-matnom stopom od 10%. Koliko iznosi novi anuitet?

Rešenje:

a) Prvo ćemo odrediti iznos kredita:

K0 = a⋅IVnp%= 3000⋅IV5

8%=3000⋅3,9927=11 978,1 din.

Sada na ovaj iznos kredita primenjujemo nove uslove amortizacije i izračunavamo novianuitet:

a = K0⋅Vnp%=11 978,1⋅V3

10%=11 978,1⋅0,4021=4 816,40 din.

b) Prvo ćemo odrediti iznos kredita:

3000⋅IV104%=3000⋅8,1109=24 332,7 din.

Sada na ovaj iznos kredita primenjujemo nove uslove amortizacije i izračunavamo novianuitet:

=24 332,7⋅V65%=24 332,7⋅0,1970=4 793,54 din.nm

m

pVKa ⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= %0

=⋅= ⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

nm

m

pIVaK %0

( )11

,,

,0

−

−⋅= ⋅

⋅

mknm

mk

nmmk

rr

raK


c) Prvo ćemo odrediti konformnu kamatnu stopu pk,m za, u ovom slučaju, m=2 i p=0,08:

Iznos kredita je:

Sada na ovaj iznos kredita primenjujemo nove uslove amortizacije i izračunavamo prvo no-vu konformnu kamatnu stopu za m=2 i p=0,10, a zatim i novi anuitet:

Ovakvim načinom se u k-tom anuitetu, koji iznosi a, istovremenoisplaćuje i deo kamate (obeležimo ga sa ik) i deo otplate glavnice (obele-žimo ga sa bk). Dakle, važi:

a=bk+ ik za k=1, 2,..., n.Vezu između veličina K0, n, p i bk, ik određuje sledeća teorema.

Teorema 7.3.1.2. (veza između pozajmljenog kapitala K0, godišnjedekurzivne kamatne stope p, k-tog anuiteta a i dela kamate ik i glavnice bk is-plaćenih u k-tom anuitetu)

Ako se kredit od K0 dinara amortizuje sa godišnjom dekurzivnom kamat-nom stopom p i sa n godišnjih jednakih dekurzivnih anuiteta a, onda je otplata de-la glavnice bk u k-tom anuitetu data sa:

bk = a⋅r k-n-1= odnosno, imajući u vidu prethodnu teoremu,

k =1, 2,..., n,

a otplata dela kamate u k-tom anuitetu je data sa:

ik= a⋅ (1 – rk-n-1)=, odnosno⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛−⋅ +− 1

%

11

knpI

a

( )1

1 1

0−⋅−=

−

n

k

kr

rrKb

1

%

+−kn

pI

a

( ).58,4802

1049,1

049,0049,146,24450

1

1

6

6

,

,0 din

r

rrKa

nmmk

nmmk =

−⋅=

−

−= ⋅

⋅

049,1049,01049,0110,0111 ,, =+=⇒=−+=−+= mkm

mk rpp

( ) .46,24450150,83000039,0039.1

1039,13000

1

1

10

10

,,

,0 din

rr

raK

mknm

mk

nmmk =⋅=

⋅−=

−

−= ⋅

⋅

039,1039,01039,0108,0111 ,, =+=⇒=−+=−+= mkm

mk rpp


k =1, 2,..., n,

gde je r=1+p.

Dokaz:

Koristeći dijagram i oznake iz dokaza prethodne teoreme, zaključujemosledeće:

– na početku k-te godine stanje realnog duga je Sk-1, i taj realni dug na kra-ju k-te godine, a pre isplate k-tog anuiteta, zbog ukamaćivanja duga naraste na Sk-1⋅ r. Dakle, iznos kamate u toku k-te godine je:

ik=Sk-1⋅ r – Sk-1.

Prilikom isplate k-tog anuiteta, na kraju k-te godine, koji iznosi a, mi ispla-ćujemo ovu kamatu ostvarenu u toku k-te godine i jedan deo glavnice bk. Dakle:

bk = a – ik = a – (Sk-1⋅ r – Sk-1) = Sk-1 – (Sk-1 ⋅ r – a) = Sk-1 – Sk,

jer je Sk = Sk-1 ⋅ r – a (videti dokaz prethodne teoreme).

Pošto je:

Sk = Sk-1 ⋅ r – a i

Sk-1 = Sk-2 ⋅ r – a, sledi da je

bk = Sk-1 - Sk = Sk-2 ⋅ r – a –( Sk-1 ⋅ r – a) = (Sk-2 – Sk-1) ⋅ r =bk-1 ⋅ r

za k = 2,3,..,n.

Dakle:

bk = bk-1⋅ r za k=2,3,...,n, dok je

b1 = S0 – S1 = K0 – (K0 ⋅ r – a) = a – K0 (r-1)=

a - .( )( )

nn

n

n

n

r

a

r

rar

rr

ra =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=−−− 1

111

1

( )1

11

0 −−−=

−

n

kn

kr

rrrKi


Sada važi sledeće:

Pošto je (videti prethodnu teoremu) , sledi da je:

k=1,2,...,n.Naravno, sada je:

ik = a – bk = a - a⋅ rk-n-1= a⋅ (1- rk-n-1) =

NAPOMENA: Iz prethodne teoreme proizilazi da je odnos između ot-plata dela glavnice (recimo između k-te i i-te otplate) dat sa bk=bi⋅rk-i=bi⋅Ik-i

p%za k>i.

Ako je dekurzivno kapitalisanje m puta godišnje i plaćanje dekurzivnoganuiteta takođe m puta godišnje, onda se u formulama dobijenim u prethod-noj teoremi broj n zamenjuje sa brojem m⋅n, a godišnja kamatna stopa p se

zamenjuje sa .

Ako su dekurzivni anuiteti češći od dekurzivnog kapitalisanja, gde je mbroj anuiteta u obračunskom periodu, onda se u formulama dobijenim uprethodnoj teoremi broj n zamenjuje brojem m⋅n, a godišnja kamatna stopap se zamenjuje konformnom kamatnom stopom pk,m.

m

p

( ) ( ).

1

)(11

1

)1( 1

0

1

0 −−−=−

−− −

−−n

knnk

n

n

r

rrrKr

r

rrK

1

)1(

1

)1( 1

01

01

−−=⋅

−−=⋅=

−−−−−

n

knk

n

nnk

kr

rrKr

r

rrKrab

1

)1(0 −

−=n

n

r

rrKa

.11111

2123

12

1

−−−−− ⋅====

==

=

=

nkk

n

kkk

n

rarr

arbrbb

rbrbb

rbb

r

ab


Primer 7.3.1.2.

Zajam se otplaćuje 6 godina jednakim polugodišnjim dekurzivnim anuitetima, uz 10% godi-šnje dekurzivne kamate i polugodišnje dekurzivno kapitalisanje. Peta otplata dela glavniceje 3 000 dinara. Koliko iznosi anuitet a, iznos zajma K0 i ukupno plaćena kamata u tokuamortizacije zajma ∑ ik?

Rešenje:

Iz uslova zadatka važi n=6, m=2, m⋅n=12, p%=10%, p=0,10,

, b5=3000 din.

Sada je, imajući u vidu teoremu 7.3.1.2,

Ukupna kamata ∑ ik je razlika onog što smo ukupno dali poveriocu (m⋅n⋅a) i onog što smouzeli od njega (K0).

Teorema 7.3.1.3. (iznos stanja duga Sk i otplaćenog dela duga Ok, po-sle isplate k-tog anuiteta)

Ako se kredit od K0 dinara amortizuje sa godišnjom dekurzivnom kamat-nom stopom p i sa n godišnjih jednakih dekurzivnih anuiteta a, onda stanje dugaposle isplate k-tog anuiteta iznosi:

k=1,2,...,n,dok je iznos dela duga koji je otplaćen k-tim anuitetom:

k=1,2,...,n,gde je, naravno, r=1+ p.

Dokaz:

( )np

kpk

pnn

k

n

k

kI

IIIaIII

r

a

rr

ra

r

rKO

%

1%1

%0

11

)1(

1

1

1 +⋅=+=

−−=

−−=

−−

( )kn

pkn

kn

n

kn

k IVarr

ra

r

rrKS −

−

−⋅=

−−=

−−= %0

1

1

1

.42,1390358,392865,44321212

1

dinik

k =−⋅=∑=

.58,392868633,85,4432

.5,44324775,130003000

12%50

8%5

1512%55

dinIVaK

dinIIba

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=⋅= +−

,05,0%,5% ==

m

p

m

p


Kako je (videti dokaz teoreme 7.3.1.1.) za k=1,2,...,n

Sk= K0rk- a(1+r+r2+…+rk-1)⇒

Iznos dela duga koji je otplaćen k-tim anuitetom Ok je, naravno, razlikaukupnog duga K0 i stanja duga posle isplate k-tog anuiteta Sk, odnosno:

NAPOMENA: S obzirom da je (videti teoremu 7.3.1.2.), on-

da važi da je .

Takođe, imajući u vidu rezultate teorema 7.3.1.2. i 7.3.1.3, važi da je

Ako je dekurzivno kapitalisanje m puta godišnje i plaćanje dekurzivnoganuiteta takođe m puta godišnje, onda se u formulama dobijenim u prethod-noj teoremi broj n zamenjuje brojem m⋅n, a godišnja kamatna stopa p se za

menjuje sa .

Ako su dekurzivni anuiteti češći od dekurzivnog kapitalisanja, gde je mbroj anuiteta u obračunskom periodu, onda se u formulama dobijenim uprethodnoj teoremi broj n zamenjuje brojem m⋅n, a godišnja kamatna stopap se zamenjuje konformnom kamatnom stopom pk,m.

Primer 7.3.1.3.

Zajam se otplaćuje 10 godina jednakim polugodišnjim dekurzivnim anuitetima od 5000 di-nara, uz 8% godišnje kamate i polugodišnje dekurzivno kapitalisanje. Odrediti koliko je ot-plaćeno zajma, počev od osmog zaključno sa dvanaestim anuitetom.

Rešenje:

m

p

( ) .1 11 pSrSi kkk ⋅=−⋅= −−

( )11

%1 += −k

pk IIIbO

nr

ab =1

( )

( )np

kpk

pnn

k

n

k

n

n

n

k

n

kn

kk

I

IIIaIII

r

a

rr

ra

r

r

rr

ra

r

rK

r

rrKKSKO

%

1%1

%

0000

11

)1(

1

1

1

1

1

1

1

1

+⋅=+=

−−

=−−

−−=

−−=

−−−=−=

−−

.1)1(

,1

)1(

,)1(

1

)1(1

1

)1(

1

1

1

00

%0

−−=⇒

−−=

−−=

⋅=−−=

−−=

−−−

−−=

−−−=⇒ −

−

−

n

kn

kn

kn

kn

n

knpkn

kn

n

knkk

n

nkk

k

r

rrKS

rr

rraSizonda

r

rrKa

jekakoi

IVarr

ra

rr

rra

r

rar

rr

ra

r

rarKS


Iz uslova zadatka je n=10, m=2, a=5000 din., p%=8%, p=0,08,

.

Na osnovu teoreme 7.3.1.3. važi sledeće:

pa je, počev od osmog, zaključno sa dvanaestim anuitetom otplaćeno:

O12 – O8 =34288,26 din – 21026,42 din =13261,84 din.

,42,210261911,2

12142,85000

1

26,342881911,2

10258,145000

1

20%4

7%4

8

20%4

11%4

12

dinI

IIIaO

dinI

IIIaO

=+⋅=+⋅=

=+⋅=+⋅=

04,0%4% ==

m

p

m

p


DODATAK

KAMATNE (INTERESNE)TABLICE


168 Dodatak – Kamatne (interesne) tablice

LITERATURA

1. Michael W. Klein, Mathematical Methods for Economics;ADDISON-WESLEY, 2002.

2. Peter Hess, Using Mathematics in Economic Analysis, PRENTICE-HALL, 2002.

3. Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of MathematicalEconomics; McGREW-HILL International Edition, 1984.

4. M. Hoy et all., Mathematics for Economics; ADDISON-WESLEYPublishers Limited, 1996.

5. Dr Miodrag Ivović, Finansijska Matematika; Ekonomski fakultet,Beograd, 1999.

6. Dr Rajko Ralević, Matematika za ekonomiste; Naučna knjiga,1990.

7. Alfred Tarski, Uvod u matematičku logiku i metodologijumatematike, 1973.

8. D. Mihailović, R. R. Janić, Elementi matematičke analize I; Naučnaknjiga, 1982.

9. D. Mihailović, D. Tošić, Elementi matematičke analize II; Naučnaknjiga, 1983.

10. D. S. Mitrinović, Linearna algebra, polinomi, analitička geometrija;Građevinska knjiga, 1983


Prof. dr Dušan Joksim

ović • PO

SLOV

NA

MA

TEMA

TIKA

Cyan Magenta Yellow Black

Prof. dr Dušan Joksimović rođen je 1966. godine u Beogradu.

Diplomirao je na Elektrotehničkomfakultetu u Beogradu 1991. godine. Na istom fakultetu je magistrirao 1995.godine i doktorirao 2001. godine.

Učesnik je više domaćih i inostranih kongresa ikonferencija i ima preko trideset objavljenih radova udomaćim i međunarodnim stručnim publikacijama.

Naučni je saradnik Instituta za fiziku i vanredniprofesor na Fakultetu za poslovne studije Megatrenduniverziteta primenjenih nauka za predmete Poslovnamatematika i Poslovna statistika.

ISBN 86-7747-141-3Megatrend univerzitet primenjenih nauka,

Beograd, 2004.

poslovna matematika

Documents