Por que “menos com menos da mais”?

Rodrigo Thiago Passos Silva

rodrigotpsilva@gmail.com

Quando efetuamos o calculo (−1) × (−1) obtemos a resposta 1 porque “menos com menos da mais”. Mas, por

que isso acontece? O que justifica essa propriedade?

Primeiramente, cumpre esclarecer que estamos tratando de numeros reais. O conjunto dos numeros reais (R)

e um corpo, ou seja, e um conjunto dotado de duas operacoes binarias + e · (soma e multiplicacao, respectiva-

mente), que obedecem certos axiomas. Estes sao proposicoes que nao necessitam de demonstracao, sao hipoteses

iniciais criadas. Os mais importantes para esta demonstracao serao enumerados a seguir. Observe que muitos

deles parecem bastante obvios.

Sejam x, y, z numeros reais quaisquer, e valido:

1. (x + y) + z = x + (y + z) (propriedade associativa da soma);

2. x + y = y + x (propriedade comutativa da soma);

3. existe 0 real tal que x + 0 = x (existencia de elemento neutro da soma);

4. existe −x real tal que x + (−x) = 0 (existencia de elemento oposto);

5. x · y = y · x (propriedade comutativa da multiplicacao);

6. existe 1 real tal que x · 1 = x (existencia de elemento neutro da multiplicacao);

7. x(y + z) = xy + xz (propriedade distribuitiva da multiplicacao em relacao a soma).

Vamos a demonstracao...

Propriedade 1 Inicialmente, mostremos que para qualquer a real e verdade que a · 0 = 0. Ou seja, que

qualquer numero real multiplicado por zero resulta em zero.

Partamos da expressao

a + a · 0

que pelo axioma 6 e o mesmo que

a · 1 + a · 0.

Utilizando, agora, o axioma 7 obtemos

a(1 + 0)

que, pelo axioma 3 e o mesmo que

a · 1

equivalente, pelo axioma 6, a

a.

Finalmente, pelo axioma 3 e o mesmo que

a + 0.

Em resumo,

a + a · 0 = a · 1 + a · 0 = a(1 + 0) = a · 1 = a = a + 0

donde conclui-se que se a + a · 0 = a + 0, entao a · 0 = 0, como querıamos demonstrar.

�

1

Propriedade 2 Agora, mostremos que (−1)a = −a, para qualquer numero real. Ou seja, que a multiplicacao

de um numero qualquer por (−1) resulta em seu simetrico.

Da expressao

a + (−1)a

obtemos, usando o axioma 6, que

1 · a + (−1)a.

Utilizando o axioma 7, a propriedade distribuitiva, temos

a [1 + (−1)] .

Pelo axioma 4 sabemos que 1 + (−1) = 0, entao,

a [1 + (−1)] = a · 0

que pela propriedade demonstrada anteriormente em 1 sabemos que e igual a 0.

Em resumo,

a + (−1)a = 1 · a + (−1)a = a [1 + (−1)] = a · 0 = 0.

Como a + (−1)a = 0, entao a e (−1)a sao elementos simetricos, conforme axioma 4, portanto, (−1)a = −a.

�

Propriedade 3 Finalmente, vamos demonstrar que (−1) · (−1) = 1.

Do axioma 4 sabemos que

1 + (−1) = 0.

Multiplicando-se (−1) em ambos os lados da equacao obtemos

(−1) [1 + (−1)] = 0(−1).

Utilizando, do lado esquerdo, o axioma 7 e do lado direito a Propriedade 1, obtemos

(−1) · 1 + (−1)(−1) = 0.

Da Propriedade 2 sabemos que (−1) · 1 = −1, entao

−1 + (−1)(−1) = 0.

Somando-se 1 em ambos os lados da equacao temos

[−1 + (−1)(−1)] + 1 = 0 + 1.

Obtemos, com os axiomas 1 e 2 do lado esquerdo e com o axioma 3 do lado direito,

(−1 + 1) + (−1)(−1) = 1.

Com o axioma 4 temos que

0 + (−1)(−1) = 1.

Finalmente, com o axioma 3, concluımos que

(−1)(−1) = 1.

�

Propriedade 4 A fim de generalizar o resultado obtido na Propriedade 3, vamos demonstrar que, para

quaisquer a e b reais positivos e verdade que (−a)(−b) = ab. Ou seja, que a multiplicacao de dois numeros

negativos quaisquer resulta em um numero positivo.

Pela Propriedade 2 sabemos que −a = (−1)a e −b = (−1)b, entao

(−a)(−b) = (−1)a · (−1)b

2

que pode ser reescrito, utilizando o axioma 5, como

(−1)(−1)a · b.

Pela Propriedade 3 sabemos que (−1)(−1) = 1 entao

(−1)(−1)a · b = 1a · b

que, pelo axioma 6, equivale a

a · b.

Em resumo

(−a)(−b) = (−1)a · (−1)b = (−1)(−1)a · b = 1a · b = a · b = ab.

�

3