พชีคณิตของพหุนาม-การแยกตวัประกอบ ทฤษฎเีศษเหลอื การแยกเศษส่วนย่อย การหาผลเฉลยของสมการพหุนามก าลงัมากกว่าสอง

ฟังก์ชันและกราฟ- กราฟของสมการเชิงเส้น เส้นโค้ง-ภาคตดักรวย วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา-การย้ายแกน กราฟและพชีคณติของรูปทรงพืน้ฐาน

ผศ.ดร.เจษฎา ตณัฑนุช

พชีคณติของพหุนาม

พนุนามเป็นการขยายความคิดจากฟังก์ชนัเชิงเส้น โดย พนุนามและสมการพนุนาม มีความยุ่งยาก และซับซ้อนในการหาผลเฉลยมากกว่าปัญหาเชิงเส้น แต่สามารถน าไปประยกุต ์แกปั้ญหาในชีวิตประจ าวนัไดห้ลากหลายมากข้ึนเช่นกนั

พหุนามเราเรียกพจน์ซ่ึงอยูใ่นรูป

1 2

1 2 1 0( ) n n

n nP x a x a x a x a x a

วา่พหุนาม (polynomail) ระดบัขั้น (degree) n

โดยท่ี 0na

1 2 1 0, , , , ,n na a a a a

ซ่ึงเป็นค่าคงตวัวา่ สัมประสิทธ์ิ (coefficients) ของพหุนาม

และเรียก

naเรียก

1 2

1 2 1 0( ) n n

n nP x a x a x a x a x a

วา่สมัประสิทธ์ิหนา้พจน์ nx

1na เรียก วา่สมัประสิทธ์ิหนา้พจน์ 1nx

1aเรียก วา่สมัประสิทธ์ิหนา้พจน์ x

0aเรียก วา่สมัประสิทธ์ิหนา้พจน์ 1

ตัวอย่าง2 2 1x x เป็นพหุนามระดบัขั้น

(quardratic polynomail)

2 2x x เป็นพหุนามระดบัขั้น

2 1x เป็นพหุนามระดบัขั้น

22 x x เป็นพหุนามระดบัขั้น

ตัวอย่าง3 23 3 1x x x เป็นพหุนามระดบัขั้น

(cubic polynomail)

310x x เป็นพหุนามระดบัขั้น

3 2x x เป็นพหุนามระดบัขั้น

ตัวอย่าง4 3 24 6 4 1x x x x เป็นพหุนามระดบัขั้น

(quartic polynomail)

4 2x x เป็นพหุนามระดบัขั้น

4 1x เป็นพหุนามระดบัขั้น

ก าหนดให้ 2( ) 4 2 5P x x x

จงหาค่า (1)P (0.5)P ( 2)P ( )P y

การเท่ากนัของพหุนามสองพหุนามใดๆ จะมีค่าเท่ากนักต่็อเม่ือ มีสมัประสิทธ์ิหนา้ เท่ากนัทุก k=1,…,nkx

ตัวอย่าง3 2 3 22 4 7 10x x x Ax Bx Cx D

A

B

C

D

ตัวอย่าง3 2 2 4Ax Bx Cx D x

A

B

C

D

คุณสมบตัิความเป็นเชิงเส้นของพหุนาม

1 2

1 2 1 0

1 2

1 2 1 0

n n

n n

n n

n n

a x a x a x a x a

a x a x a x a x a

ตัวอย่าง

3 24 2 4 7 10x x x

1. การคูณดว้ยค่าคงตวัใดๆ

ตัวอย่าง

3 2( 2) 2 4 7 10x x x

3 2(0) 2 4 7 10x x x

2. การบวกกนัของพหุนามใหท้ าการบวกและลบกนัเฉพาะสมัประสิทธ์ิท่ีอยูห่นา้ kx

ตรงกนัเท่านั้น

1 0 1 0

1 1 0 0

n n

n n

n

n n

a x a x a b x b x b

a b x a b x a b

1 0 1 0

1 1 0 0

n n

n n

n

n n

a x a x a b x b x b

a b x a b x a b

ตัวอย่าง

3 2 4 22 4 7 10 2 4 1x x x x x x

3 2 3 22 4 7 10 2 4 1x x x x x x

แบบฝึกหัด

3 2 22 4 7 10 4 2 5x x x x x

3 2 22 4 7 10 4 5x x x x

3 2 22 2 4 7 10 3 4 5x x x x

จงหาค่า

การคูณกนัของพหุนาม

การคูณกนัของพหุนามใหท้ าการคูณกระจายเหมือนการคูณตวัเลขทัว่ไป

( 1)(1 )x x

(2 1)(2 )x x

(2 )(2 1)x x

สังเกตไดว้า่การคูณกนัของพหุนาม มีคุณสมบติัสลบัที่( ) ( ) ( ) ( )P x R x R x P x

ก าหนดให้ ( )P x และ ( )R x เป็นพหุนาม

2( 1)(1 )x x x

2( 1)( 1)x x x

จงหาค่า ( ) ( )P x R x เม่ือ( ) 4 5P x x 3 2( ) 3 4 6R x x x x

แบบฝึกหัด

( ) ( ) ( ) ( )n

n times

P x P x P x P x

การยกก าลงัของพหุนาม

2( 1) ( 1)( 1)x x x

3( 1)x

8( 1)x

สามเหลีย่มปาสคาล (Pascal Triangle)1

0( )x y

1( )x y

2( )x y

3( )x y

4( 2)x

4( 2)x

2 5 6 ( )( )x x x A x B ถา้จงหาค่า A และ B

การหารพหุนาม

การหารพหุนาม ท าไดโ้ดยการหารยาว ซ่ึงในการหารน้ีเราจะได ้ผลหาร (quotient) และ เศษเหลอื(remainder)

จงหาผลหารและเศษเหลือของพหุนาม เม่ือตอ้งการหารพหุนาม ดว้ย4 3 2( ) 2 3 5 6P x x x x x

2 2x x

จงหาผลหารและเศษเหลือของพหุนาม เม่ือตอ้งการหารพหุนาม ดว้ย3( ) 1P x x 1x

พหุนาม = ตวัหาร x ผลหาร + เศษเหลือ

ถ้าเศษเหลอืมค่ีาเป็น 0พหุนาม = ตวัหาร x ผลหาร

ตวัประกอบ (factor)

3 2 21 ( 1)( 1) 2x x x x x

เศษเหลือ (remainder) คือ 23 2 22 ( 1)( 1) 1x x x x x

เศษเหลือ (remainder) คือ -13 2 21 ( 1)( 1)x x x x x

ตวัประกอบ (factor)

3 21 ( 1)( 1)x x x x

ตวัประกอบของ 3 1x

3 21 ( 1)( 1)x x x x

ตวัประกอบของ 3 1x

2 5 6 ( 3)( 2)x x x x

ตวัประกอบของ 2 5 6x x

2 22 1 ( 1) ( 1)( 1)x x x x x

ตวัประกอบของ 2 2 1x x

ทฤษฎบีท1 2

1 2 1 0( ) n n

n nP x a x a x a x a x a

เศษเหลือจากการหารพหุนาม

ดว้ย x a คือ ( )P a

จงหาเศษเหลือของพหุนาม เม่ือตอ้งการหารพหุนาม ดว้ย3( ) 1P x x 1x

ตัวอย่าง

จงหาเศษเหลือของพหุนาม เม่ือตอ้งการหารพหุนาม ดว้ย3( ) 1P x x 1x

ตัวอย่าง

จงหาเศษเหลือของพหุนาม เม่ือตอ้งการหารพหุนาม ดว้ย3 2( ) 3 2 4 9P x x x x 2x

ตัวอย่าง

จงหาค่า a เม่ือเศษเหลือจากการหารพหุนาม ดว้ย3 22x x a 2x

แบบฝึกหัด

คือ -9

สมการพหุนาม

สมการพหุนามคือสมการท่ีอยูใ่นรูป( ) 0P x

1

1 1 0 0n n

n na x a x a x a

หรือ

1

1 1 0 0n n

n na x a x a x a

รากของสมการ(root of the equation.)

1

1 1 0 0n n

n na x a x a x a

รากของสมการ(roots of the equation.)

รากของสมการพหุนาม

รากของสมการพหุนาม (roots of the equation)คือ ค่า x0 ท่ีท าใหส้มการพหุนามมีค่าเท่ากบั 0

0( ) 0P x

1

0 1 0 1 0 0 0n n

n na x a x a x a

หรือ

3 1 0x

ตัวอย่างมีรากของสมการคือ x=

2 5 6 0x x มีรากของสมการคือ

2 1 0x มีรากของสมการคือ

10( 1) 0x มีรากของสมการคือ

1

0 1 0 1 0 0

n n

n na x a x a x a

ถา้พหุนาม

สามารถแยกตวัประกอบ (factor)ไดเ้ป็น

0 1 0 0 ( ) ( )n

na x a x a x a R x

a จะเป็นรากของสมการพหุนาม1

0 1 0 1 0 0 0n n

n na x a x a x a

ตัวอย่าง3 1 ( )( )x

รากของสมการพหุนาม 3 1 0x คือ

2 5 6 ( 3)( 2)x x x x

รากของสมการพหุนาม 2 5 6 0x x คือ

วธีิการหารากของสมการพหุนามระดบัขั้นสองMethod for finding roots of quadratic equations

2 0ax bx c

2 4

2

b b acx

a

2

1

4

2

b b acx

a

2 4 0b ac 1.

2 0ax bx c

มีสองรากท่ีแตกต่างกนัคือ

2

2

4

2

b b acx

a

2

bx

a

2 4 0b ac 2.

2 0ax bx c

มีเพียงรากเดียว คือ

2 4 0b ac 3.

2 0ax bx c

หาผลเฉลยท่ีเป็นจ านวนจริงไม่ได้

2 5 6 0x x จงหารากของสมการ

2 5 7 0x x จงหารากของสมการ

24 4 1 0x x จงหารากของสมการ

ถา้พหุนามสามารถแยกตวัประกอบ (factor)ได้เรากจ็ะไดร้ากของสมการ และในทางกลบักนั ถา้ไดร้ากของสมการพหุนาม เรากจ็ะสามารถแยกตวัประกอบได้

2 5 6 0x x มีรากคือ

ดงันั้นพหุนามสามารถแยกตวัประกอบไดเ้ป็น

2 5 6x x

2 5 6 0x x มีรากคือ

ดงันั้นพหุนามสามารถแยกตวัประกอบไดเ้ป็น

2 5 6x x

มีรากคือ

ดงันั้นพหุนามสามารถแยกตวัประกอบไดเ้ป็น

3 2 1 0x x x 1

3 2 1 0x x x

มีรากคือ

ดงันั้นพหุนามสามารถแยกตวัประกอบไดเ้ป็น

3 2 1 0x x x 1

3 2 1 0x x x

หารสังเคราะห์ (synthetic division)

หารสังเคราะห์เป็นวิ ธีหน่ึงท่ีจะช่วยในการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชเ้พียงแค่สมัประสิทธ์ิหนา้ เท่านั้นมาท าการค านวณ

nx

2 -3 -4 51

เศษเหลือ

3 22 3 4 5 0x x x

ตวัอยา่งการหารสงัเคราะห์ท่ีเทียบเท่ากบัการหารพหุนามดว้ย 1x

3 2 1 0x x x

ตวัอยา่งการหารสงัเคราะห์ท่ีเทียบเท่ากบัการหารพหุนามดว้ย 1x

3 2 1 0x x x

ตวัอยา่งการหารสงัเคราะห์ท่ีเทียบเท่ากบัการหารพหุนามดว้ย 1x

3 1 0x

ตวัอยา่งการหารสงัเคราะห์ท่ีเทียบเท่ากบัการหารพหุนามดว้ย 1x

การประยกุตใ์ชห้ารสงัเคราะห์ในการแยกตวัประกอบพหุนาม 1 2

1 2 1 0

n n

n na x a x a x a x a

1 2 1 0 n na a a a a

0

b

B เป็นค่าท่ีไดจ้าก ตัวประกอบของ หารด้วยตัวประกอบของ

0ana

เศษเหลือตอ้งเป็น 0

จงประยกุตใ์ชห้ารสังเคราะห์ในการแยกตวัประกอบพหุนาม 3 22 2x x x

จงประยกุตใ์ชห้ารสังเคราะห์ในการแยกตวัประกอบพหุนาม 3 22 5 6x x x

แบบฝึกหัด1. จงหาผลหาร และ เศษเหลือท่ี ไดจ้ากการหารพหุนามต่อไปน้ี

1.1 หารดว้ย1.2 หารดว้ย1.3 หารดว้ย1.4 หารดว้ย

1.5 หารดว้ย

3 22 1x x- -

5 4x x+ -

1x -

1x+

1x+

1x -

3x+

5 4x x+ -

3 22 1x x- -

5 32x -

2. จงแยกตวัประกอบของพหุนามต่อไปน้ี

2.12.22.32.4

2.5

3 22 2x x x- - +

3 2 1x x x+ - -

4 225 144x x- +

3 218 9 5 2x x x- - +

5 32x -