polygones réguliers corrigé -...

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Polygones réguliers Corrigé Laurence CALVEZ ch 7 Angles inscrits et polygones réguliers-Mars 2012 1 ère partie 1. Dans le dossier « ch 7 » ouvre le fichier « polygones reg1 » de type GEOGEBRA (vous le trouverez dans poste de travail, sous « 3b/commun » ou « 3d/commun ») 2. D’après les codages, quelle est la nature du triangle ABC ? un triangle qui a trois côtés égaux est équilatéral.Quelle est alors la mesure des angles de ce triangle ? Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux à 60°. 3. Quel angle au centre est associé à l’angle inscrit ? l’angle au centre associé à cet angle inscrit est l’angle Quelle propriété permet de déduire la mesure de l’angle au centre associé ? L’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre associé ;Quelle est la mesure de ? vaut le double de l’angle donc deux fois 60°, c'est- à-dire 120°. 4. Quelles sont les mesures des angles et ? Justifier. De la même façon, l’angle au centre valant le double de l’angle inscrit associé et les angles inscrits valant tous 60°, les angles et valent aussi 120°. 5. Expliquer comment, à partir d’un point A et d’un point O, on peut inscrire un triangle ABC équilatéral dans le cercle de centre O. on va construire le point B du cercle tel que l’angle puis le point C tel que

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Polygones réguliers

Corrigé

Laurence CALVEZ – ch 7 Angles inscrits et polygones réguliers-Mars 2012

1ère partie

1. Dans le dossier « ch 7 » ouvre le fichier « polygones reg1 » de type GEOGEBRA (vous

le trouverez dans poste de travail, sous « 3b/commun » ou « 3d/commun »)

2. D’après les codages, quelle est la nature du triangle ABC ? un triangle qui a trois côtés

égaux est équilatéral.Quelle est alors la mesure des angles de ce triangle ? Dans un

triangle équilatéral, les trois angles sont égaux à 60°.

3. Quel angle au centre est associé à l’angle inscrit ? l’angle au centre associé à cet

angle inscrit est l’angle Quelle propriété permet de déduire la mesure de l’angle

au centre associé ? L’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre associé ;Quelle

est la mesure de ? vaut le double de l’angle donc deux fois 60°, c'est-

à-dire 120°.

4. Quelles sont les mesures des angles et ? Justifier. De la même façon,

l’angle au centre valant le double de l’angle inscrit associé et les angles inscrits valant

tous 60°, les angles et valent aussi 120°.

5. Expliquer comment, à partir d’un point A et d’un point O, on peut inscrire un triangle

ABC équilatéral dans le cercle de centre O. on va construire le point B du cercle tel

que l’angle puis le point C tel que

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Polygones réguliers

Corrigé

Laurence CALVEZ – ch 7 Angles inscrits et polygones réguliers-Mars 2012

6. Construire un cercle de centre O et de rayon OA = 6 cm, puis construire le triangle

équilatéral ABC.

7. Puis construire les bissectrices [Ox) [Oy) et [Oz) des angles , et : elles

coupent le cercle aux points E, F et G.

8. Tracer le polygone AEBFCG : comment appelle-t-on un polygone à six côtés ? Un

polygone à 6 côtés est un hexagone.

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Polygones réguliers

Corrigé

Laurence CALVEZ – ch 7 Angles inscrits et polygones réguliers-Mars 2012

9. Démontrer que le triangle OEA est équilatéral. OE et OA sont deux rayons du cercle

donc OEA est isocèle en O. Donc les angles à la base Sont égaux, et leur

somme valant 180°-60° soit 120 °, chaque angle du triangle OEA vaut 60° donc OEA

est bien équilatéral.

10. On rappelle qu’un polygone est dit « régulier » lorsque tous ses angles sont égaux et

que tous ses cotés ont la même longueur. Prouver alors que cet hexagone AEBFCG

est lui aussi régulier. Les côtés de l’hexagone, formés par des côtés de triangles

équilatéraux sont bien tous égaux. Pour ce qui est des angles, chaque angle de

l’hexagone est la somme de deux angles adjacents de 60°, donc chaque angle de

l’hexagone mesure 120°, l’hexagone est donc bien « régulier »

11. Comment peut-on construire, à partir de la figure précédente, un polygone régulier à

douze côtés ? Il suffit de diviser chaque angle au centre à l’aide de leur bissectrice, on

obtiendra 6 points supplémentaires sur le cercle, donc une figure à 12 côtés.

Comment appelle-t-on un tel polygone ? Un polygone à 12 côtés s’appelle un

dodécagone. Construire ce polygone sur la même figure.

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Polygones réguliers

Corrigé

Laurence CALVEZ – ch 7 Angles inscrits et polygones réguliers-Mars 2012

2ème partie

1. Construire un cercle de centre O et de rayon OA = 6 cm. Puis construire deux

diamètres perpendiculaires [AC] et [BD]. Construire le quadrilatère ABCD. Quelle est

sa nature ? Justifier par une propriété sur les quadrilatères particuliers. Les

diagonales de ABCD sont deux diamètres du cercle donc elles sont la même longueur

et se coupent en leur milieu O, de plus elles sont perpendiculaires donc ABCD est un

carré.

2. Qu’appelle-t-on un octogone régulier ? C’est un polygone à huit côtés, ayant tous ses

angles de même mesure et tous ses côtés de la même longueur.

3. Expliquer comment à partir du carré ABCD, on peut construire un octogone régulier.

Il suffit de construire les bissectrices des 4 angles droits au centre : on obtient sur le

cercle 4 sommets supplémentaires

4. Construire un octogone régulier sur la figure précédente.

5. Ouvrir « polygones reg2 ». A l’aide des outils « lignes particulières » « points

d’intersection entre deux objets » et « polygone » construire un octogone régulier à

partir du carré ABCD.

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Polygones réguliers

Corrigé

Laurence CALVEZ – ch 7 Angles inscrits et polygones réguliers-Mars 2012

3ème partie

1. Qu’appelle-t-on un pentagone ? c’est un polygone à cinq côtés. Calculer l’angle au centre

formé par deux sommets consécutifs, sachant que le pentagone est régulier

360°

2. Ouvrir le fichier « polygones reg3 ». Un cercle de centre O est construit, un point A est

placé sur ce cercle.

Avec l’outil « angle » ou « rotation », placer le point B sur le cercle de sorte que l’angle

soit égal à 72°.

3. Placer de la même façon les trois autres points sur le cercle et à l’aide de l’outil

« polygone » construire le pentagone régulier.

4. En utilisant les angles au centre, calculer la mesure des angles du pentagone (remarque :

ces angles sont des angles inscrits)

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Polygones réguliers

Corrigé

Laurence CALVEZ – ch 7 Angles inscrits et polygones réguliers-Mars 2012

5. Pour terminer par un joli dessin, on peut former l’étoile à cinq branches….