physique et outils mathématiques : méthodes et …… · fonctions de green de neumann spéciales...

PHYSIQUE ET OUTILSMATHÉMATIQUES

ANGEL ALASTUEYMARC MAGROPIERRE PUJOL

CNRS ÉDITIONS

A C T U E L SS AV O I R S

MÉTHODES ET EXEMPLES

P H Y S I Q U E

Extrait de la publication

Angel Alastuey, Marc Magro et Pierre Pujol

Physique et outils mathématiques :

méthodes et exemples

S A V O I R S A C T U E L S

EDP Sciences / CNRS Éditions


Imprimé en France.

c© 2008, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtaboeuf,91944 Les Ulis Cedex AetCNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.

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ISBN EDP Sciences 978-2-7598-0043-8


Table des matières

Liste des exercices vii

Préface ix

Avant-propos xi

Introduction xiii

1 Réponse linéaire et analyticité 11.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Définition de la susceptibilité . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Analyticité de la susceptibilité . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4 Propriétés de parité et dissipation . . . . . . . . . . . . 101.1.5 Comportement aux basses et aux grandes fréquences . 111.1.6 Relations de Kramers-Kronig . . . . . . . . . . . . . . 131.1.7 Règles de somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.8 Perturbations inhomogènes . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.1 Admittance d’un circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.2 Absorption et dispersion dans un diélectrique . . . . . . 251.2.3 Écoulement oscillant dans un capillaire . . . . . . . . . 311.2.4 Réponse d’un plasma dans l’approximation de Vlasov . 381.2.5 Conductivité et formule de Kubo . . . . . . . . . . . . 45

1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 Fonctions de Green indépendantes du temps 612.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.1 Définition et propriétés des fonctions de Green . . . . 632.1.2 Point de vue opératoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.1.3 Opérateur Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.1.4 Opérateur de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.1.5 Opérateurs Laplacien et de Helmholtz en basse

dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


iv Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples

2.1.6 Opérateurs inhomogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.2 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.2.1 Origine de la méthode des images . . . . . . . . . . . . 1042.2.2 Boule en mouvement uniforme dans un fluide . . . . . 1072.2.3 Densité d’états d’une particule quantique . . . . . . . 1132.2.4 Diffusion par un potentiel répulsif . . . . . . . . . . . . 1192.2.5 Modélisation simple du vent soufflant sur un mur . . . 122

2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3 Fonctions de Green dépendantes du temps 1433.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.1.1 Fonctions de Green et causalité . . . . . . . . . . . . . 1453.1.2 Opérateurs à variables séparables . . . . . . . . . . . . 1483.1.3 Équation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.1.4 Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653.1.5 Équation de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773.1.6 Équation de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

3.2 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.2.1 Diffusion dans un segment . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.2.2 Diffraction de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . 2033.2.3 Émission d’ondes sonores . . . . . . . . . . . . . . . . 2093.2.4 Front d’onde en régime supersonique . . . . . . . . . . 2153.2.5 Sur l’instantanéité de la propagation de la chaleur . . . 2213.2.6 Polarisabilité de l’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . 227

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

4 Méthode du Col 2454.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

4.1.1 Intégrale simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2474.1.2 Intégrale sur un chemin du plan complexe . . . . . . . 2544.1.3 Cas d’une intégrale multiple . . . . . . . . . . . . . . . 262

4.2 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2674.2.1 Formule de Stirling et facteur d’indiscernabilité . . . . 2674.2.2 Équivalence des ensembles canonique

et micro-canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2704.2.3 Cristal harmonique à basse température . . . . . . . . 2754.2.4 Modèle d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2804.2.5 Approximation semi-classique . . . . . . . . . . . . . . 287

4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

A Fonctions d’une variable complexe 301

B Transformée de Laplace 305

C Opérateurs différentiels à une variable 309


Table des matières v

D Espaces de Hilbert et notation de Dirac 313

E Calcul d’intégrales gaussiennes 317

F Généralités sur les transformations de coordonnées 323

G Harmoniques sphériques 327

H Dérivée fonctionnelle 331

I Fonctions de Green usuelles 333

J Solutions des exercices 337

K Références bibliographiques 377

Bibliographie 381

Index 387


Liste des exercices

Chapitre premier : pages 54-58

1. Fonctions de réponse associées à des opérateurs linéaires

2. Fonction de réponse d’un circuit RLC

3. Particule brownienne chargée

4. Raie d’absorption

5. Application des relations de Kramers-Kronig en astrophysique

6. Règles de somme

7. Réponse à un bruit

8. Relations de Kramers-Kronig pour un métal

9. Propagation des signaux dans les milieux diélectriques

Chapitre 2 : pages 128-141

1. Fonction de Green G∞ du Laplacien en 3d

2. Fonction de Green G∞ du Laplacien en dimension d ≥ 3

3. Fonctions de Green du Laplacien en 1d et 2d

4. Symétrie des fonctions de Green du Laplacien avec C.L. de Dirichlethomogènes

5. Fonctions de Green de Neumann spéciales du Laplacien

6. Règles de somme et résolvante

7. Plan conducteur

8. Fonctions de Green du Laplacien en coordonnées sphériques

9. Charge ponctuelle dans une sphère conductrice

10. Charge ponctuelle et sphère diélectrique

11. Fonction de Green G∞ du Laplacien en coordonnées cylindriques

12. Tenseur d’Oseen

13. Fonction de Green en théorie de l’élasticité

14. Laplacien discret et réseau de résistances

15. Méthode des images pour un problème bidimensionnel


viii Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples

16. Hangar semi-cylindrique soumis au vent

17. Opérateur de Dirac

18. Avance du périhélie de Mercure

19. Oscillateur harmonique en présence d’une impureté


1. Unicité des solutions des équations de diffusion et de d’Alembert

2. Relations de réciprocité

3. Équation pour les câbles longs

4. Conditions de Neumann en théorie de la diffraction

5. Fonction de Green du d’Alembertien en dimension 2 + 1

6. Fonction de Green du d’Alembertien en dimension 1 + 1

7. Fonction de Green G∞ du Laplacien en dimension d ≥ 3

8. Diffusion de la chaleur dans une boule

9. Des conditions de Dirichlet aux conditions de Robin

10. Conditions de Robin pour l’équation de la chaleur

11. Équation de Cattaneo en 3d

12. Équation de Klein-Gordon


1. Comportement asymptotique de la fonction de Bessel J0

2. Coefficients du binôme

3. Forme aymptotique de la fonction de Green de Helmholtz

4. Ensemble isotherme-isobare

5. Évolution d’un paquet d’ondes et vitesse de groupe

6. De la fonction de Green de Cattaneo à celle de l’équation de diffusion

7. Modèle d’Ising avec des interactions à longue portée

8. Marche aléatoire de Bernoulli

9. Oscillateur harmonique et théorie des nombres

Préface

L’enseignement des outils mathématiques nécessaires en physique est unetâche difficile. Bien qu’il existe de nombreux cours de mathématiques pourphysiciens, dont certains sous la plume d’auteurs célèbres, ceux-ci ne sus-citent en général pas l’enthousiasme des étudiants. Certains rechignent eneffet à s’imposer le minimum de rigueur mathématique nécessaire, alors queles autres, n’ayant peut-être pas su choisir une voie la plus conforme à leursgoûts, souhaitent un enseignement toujours plus formel. Comme dans beau-coup d’autres sujets « à l’interface », il n’est donc pas rare que l’on aboutisseà un résultat qui n’intéresse aucune des deux parties en présence. Ce livre ale grand mérite d’éviter cet écueil en présentant divers outils mathématiquesdans le contexte des problèmes de physique, qui bien souvent, en ont motivél’invention. Ainsi, par exemple, les fonctions analytiques ne sont pas abor-dées comme une construction mathématique abstraite, isolée de tout autrecontexte et dont on découvrirait dans un second temps les nombreuses ap-plications potentielles. Au contraire, elles apparaissent naturellement commemotivées par le problème de la réponse linéaire, permettant de trouver desrelations sur les susceptibilités d’un système physique et d’appréhender lesconséquences des relations de causalité. Les fonctions de Green ou la mé-thode du col sont présentées en insistant sur la diversité de leurs applications,en soulignant ainsi les relations entre divers domaines de la physique, souventprésentés de façon isolée. Cette approche permet de dégager les concepts com-muns à ces différents domaines ainsi que les mécanismes généraux essentiels.J’ai eu l’occasion d’assister au développement initial de ce cours dans le cadredu DEA « Physique statistique et phénomènes non linéaires de l’ENS Lyon ».J’ai pu alors constater son succès, qui a largement dépassé le cadre du DEAen attirant de nombreux étudiants des maîtrises de mathématiques et de phy-sique ainsi qu’une bonne partie des chercheurs du laboratoire de physique. Jesouhaite à ce livre un succès comparable.

Stephan Fauve


Avant-propos

Pendant l’hiver 1994-1995, Stephan Fauve, alors responsable du DEA dePhysique Statistique et Phénomènes Non-Linéaires de l’École Normale Su-périeure de Lyon, proposa à l’un d’entre nous (A.A.) de faire un cours surdes outils mathématiques particulièrement utiles aux physiciens, comme lesrelations de Kramers-Kronig ou les fonctions de Green. Cette suggestion par-tait du constat, encore d’actualité à l’heure où nous écrivons ces lignes, queces notions sont souvent voilées de mystère. Introduites de manière ponc-tuelle, chaque fois qu’elles interviennent dans un domaine particulier, ellesapparaissent comme trop abstraites ou absconses, et donc hors de portéeparce qu’elles feraient appel à des connaissances mathématiques trop poin-tues. Un des objectifs essentiels du cours qui débuta à la rentrée 1995 futdonc en quelque sorte de démythifier les méthodes correspondantes, en mon-trant qu’elles reposent sur des outils simples comme l’analyse dans le plancomplexe. De plus, il s’agissait de privilégier les arguments et autres inter-prétations physiques, sans pour autant perdre la rigueur mathématique indis-pensable. Ce cours a été successivement repris par les deux autres auteurs decet ouvrage (P.P. puis M.M.), d’abord en tant que cours de DEA, puis commecours de première année de Master de physique. Ainsi, tout en conservantl’esprit original, le contenu du cours a été enrichi de nouvelles méthodes derésolution ainsi que d’autres applications, tandis que sa présentation a étéadaptée à des étudiants de première année de Master.

L’ouvrage réalisé reprend la démarche des cours successivement donnéspar chacun d’entre nous, en incorporant des aspects pédagogiques motivéspar les réactions et les difficultés des étudiants. Il consiste en un exposé gé-néral des méthodes suivi d’exemples choisis parmi différents domaines de laphysique. Le niveau requis correspond à la Licence de physique. Plus pré-cisément, le lecteur est supposé être familier avec les piliers de la physiqueclassique que sont la mécanique, l’électromagnétisme et la thermodynamique.Pour certains exemples, une connaissance limitée de concepts élémentaires demécanique quantique ou de physique statistique est nécessaire. Lorsque lesapplications pourraient faire appel à des notions d’un niveau supérieur, nousavons opté pour des présentations très simples, accessibles directement sansavoir recours à des ouvrages spécialisés. Les digressions ou prolongements vers


xii Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples

des problèmes plus complexes sont détachés du texte principal sous la formede brefs commentaires. Une collection d’exercices, suivis de quelques élémentsde solution, et un ensemble d’annexes complètent le corps principal du livre.Les annexes décrivent essentiellement certains compléments mathématiques,que le lecteur peut ainsi appréhender sans se perdre dans la littérature.

Le public concerné par ce livre comprend naturellement les étudiants enphysique ou ingénierie, qu’ils soient en Master ou en Doctorat. Le caractèretransversal de la présentation devrait les conduire à se détacher des parti-cularités propres à chaque domaine pour identifier des propriétés essentiellescommunes. Passer d’un domaine à un autre, comme de la mécanique quan-tique à l’électromagnétisme par exemple, devrait les aider dans la synthèsede connaissances souvent éparpillées. L’ouvrage est également conçu commeun manuel, dont une lecture plus ponctuelle, en relation avec un problèmeconcret, est possible. Dans ce but, les diverses situations physiques traitéessont répertoriées dans l’index. Ainsi, il devrait aussi être utile aux chercheurs,enseignants et ingénieurs.

Soulignons que l’approche et le style de ce livre le démarquent des ouvrageshabituels de mathématiques pour la physique. Ici, il n’est point nécessaire dese mettre dans la peau d’un mathématicien, d’adopter sa tournure d’esprit etde maîtriser son langage... Pour l’ensemble des lecteurs concernés, l’appren-tissage des méthodes devrait ainsi être plus efficace, notamment à travers lesnombreuses applications traitées en détail. Nous espérons que ce livre contri-buera à diffuser ces méthodes très utiles et simples d’emploi lorsqu’elles sontbien comprises.

L’idée d’écrire ce livre nous vint dans le courant de l’année 2002. Conçuau départ comme une simple transcription de nos notes de cours, le projet futprogressivement enrichi de nouveaux exemples et exercices. Il fut aussi l’occa-sion de discussions animées, chacun de nous trois ayant à cœur la réalisationd’un ouvrage le plus pédagogique possible. Il peut paraître difficile, voire frus-trant, pour un chercheur ou un enseignant-chercheur de consacrer son tempsà l’écriture d’un ouvrage didactique dont les résultats ne sont pas vraimentoriginaux. Cette contribution à la diffusion d’un savoir d’intérêt tout à faitactuel nous apporte finalement autant de plaisir qu’une découverte, bien queles méthodes exposées soient au demeurant fort anciennes !

Nous remercions Stephan Fauve qui, après avoir été en quelque sorte àl’origine de cet ouvrage, nous a fait le plaisir et l’honneur d’en écrire la préface.Nous sommes reconnaissants à François Delduc pour sa disponibilité, sasagacité et ses suggestions, qui nous ont été utiles à maintes reprises. Merciaussi à Emmanuel Lévêque, qui a eu la gentillesse de réaliser l’illustration dela page de couverture. Merci enfin au rapporteur anonyme pour ses suggestionset ses critiques, ainsi qu’à Michèle Leduc et Michel Le Bellac pour leurconfiance.

Lyon, Potsdam, ToulouseAvril 2008

Introduction

Le but de ce livre est de présenter quelques méthodes générales pour ré-soudre des problèmes physiques variés. Les méthodes choisies relèvent de l’ex-ploitation des propriétés analytiques des susceptibilités en réponse linéaire, del’application des fonctions de Green à la résolution d’équations aux dérivéespartielles, et de la méthode du col pour l’estimation d’intégrales de tout type.

Comme illustré par la diversité des exemples traités, ces méthodes s’ap-pliquent avec succès à de nombreux problèmes d’électromagnétisme, de mé-canique classique ou quantique, de physique statistique ou de théorie deschamps, etc. En fait, dresser un inventaire des applications reviendrait à énu-mérer presque tous les domaines. Ce large éventail d’applications possibles ainspiré une présentation transversale de ces méthodes, dans un cadre généralqui ne soit pas spécifique à une branche ou un domaine particulier. Ce pointde vue unificateur détermine la structure de chaque chapitre : la premièrepartie est consacrée à l’exposé de propriétés générales qui mettent en lumièrele caractère universel de certains mécanismes ; des exemples variés sont pré-sentés dans la deuxième partie ; ces exemples enrichissent la compréhensiondes mécanismes généraux en suggérant des connexions entre problèmes diffé-rents ; bien entendu, ils présentent également un intérêt et une motivation quileur sont propres. Les exercices proposés en troisième partie, et pour lesquelsnous donnons des indications de solutions, complètent chaque chapitre. Laprésentation adoptée ici donne la préférence aux arguments et aux exemplesphysiques, sans masquer pour autant les difficultés et les subtilités mathéma-tiques.

Au-delà de leur intérêt pour la résolution de problèmes concrets, ces mé-thodes présentent des caractéristiques remarquables qui sont discutées en dé-tail dans chaque chapitre. Nous présentons ici quelques-unes d’entre elles, quinous semblent particulièrement importantes. Les propriétés analytiques dessusceptibilités sont peu dépendantes de la complexité plus ou moins grandede la dynamique intrinsèque du système considéré. Par exemple, un pôledans l’admittance d’un circuit RLC est en quelque sorte identique à un pôledans la constante diélectrique d’un milieu matériel. Cette structure analytiquecommune ouvre la voie à des modélisations simples.


xiv Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples

Les singularités de la susceptibilité d’un système soumis à un faible forçagemonochromatique s’identifient aux modes propres du système. Leur amortisse-ment est contrôlé par des mécanismes dissipatifs. Cette présence de dissipationimplique que le forçage doit fournir de l’énergie pour entretenir des oscilla-tions. Dans certains systèmes, la dissipation est explicitement introduite dansles équations du mouvement, comme la viscosité en hydrodynamique. Dans lessystèmes conservatifs à l’équilibre thermodynamique, elle est induite par desmécanismes subtils. Néanmoins, dans tous les cas, sa signature analytique estidentique ! Soulignons qu’en l’absence de dissipation, une absorption d’énergieest également possible via des effets résonants.

En vertu de la linéarité des équations aux dérivées partielles considérées,les fonctions de Green statiques et dynamiques constituent les briques élémen-taires qui permettent de construire la solution générale par superposition. Lesfonctions de Green causales présentent aussi un double caractère. D’une part,elles peuvent être interprétées comme des fonctions de réponse. D’autre part,elles décrivent la diffusion et/ou la propagation de certaines quantités phy-siques.

Pour définir univoquement la solution d’une équation aux dérivées par-tielles, il est essentiel d’imposer des conditions aux limites sur la quantitérecherchée. Il faut garder à l’esprit que des conditions aux limites voisinespeuvent conduire à des solutions extrêmement différentes. De plus, ces condi-tions aux limites doivent être ajustées de sorte à incorporer les caractéristiquesphysiques du problème considéré. Par exemple, dans un problème de diffusiondans une boîte, l’évolution de la densité de particules dépend de manière cru-ciale de la nature réfléchissante ou absorbante des parois, qui se traduit pardes conditions de bord distinctes.

Les propriétés de symétrie jouent un rôle important dans la résolution deséquations aux dérivées partielles. Soulignons que ces propriétés doivent êtreanalysées en examinant à la fois l’opérateur en jeu, la forme des frontières etla nature des conditions aux limites.

Les fonctions de Green associées aux résolvantes sont extrêmement utiles.Elles permettent d’analyser les propriétés spectrales des opérateurs concer-nés, et elles apparaissent comme les ingrédients naturels des développementsperturbatifs. De plus, elles sont reliées simplement à des fonctions de Greendynamiques, ce qui facilite la détermination de ces dernières.

Enfin, la méthode du col est d’une très grande importance pratique depar ses innombrables applications. Elle embrasse une large panoplie de si-gnifications physiques suivant les domaines considérés. Par exemple, elleconduit à la théorie champ moyen de Landau de la transition paramagnétique-ferromagnétique, tout comme à l’approximation semi-classique en mécaniquequantique, en passant par l’extensivité de l’énergie libre d’un gaz idéal via laformule de Stirling !


Chapitre 1

Réponse linéaire et analyticité

Quel que soit le domaine, mécanique classique ou mécanique quan-tique, électromagnétisme, hydrodynamique, thermodynamique, physique sta-tistique, etc., un physicien est souvent conduit à déterminer la réponse d’unsystème à une faible perturbation extérieure. Il peut s’agir, par exemple, ducourant induit dans un circuit par application d’une tension alternative, oude la polarisation d’un atome soumis à un champ électrique variable, ou bienencore du débit de fluide dans un capillaire forcé par un gradient de pression.Bien que ces systèmes relèvent de différents domaines de la physique, la ré-ponse recherchée doit obéir à des principes simples et fondamentaux, et donccommuns à tous ces problèmes. Ainsi, dans tous les cas étudiés, la réponsedoit satisfaire au principe de causalité, qui impose que la perturbation ap-pliquée à un temps donné n’agisse sur l’état du système que pour des tempspostérieurs. Par ailleurs, si la perturbation est suffisamment faible, la réponsedu système peut, en général, être supposée linéaire en la perturbation.

Dans ce chapitre, il est montré comment quelques principes simples per-mettent d’établir des résultats généraux sur la forme et les propriétés de laréponse linéaire. Cette approche présente deux atouts majeurs. Le premier,déjà évoqué, tient justement au caractère générique des propriétés obtenues,indépendamment de la nature précise et de la complexité du système consi-déré. Cet aspect universel est illustré par l’étude détaillée de plusieurs sys-tèmes soumis à des excitations oscillant dans le temps à une fréquence donnée.Le second atout majeur de cette approche peut paraître a priori surprenant :en effet, bien que les principes permettant d’établir les propriétés généralesde la réponse linéaire soient simples, leurs conséquences ne sont pas pour au-tant mineures et sont même parfois retentissantes ! Il est judicieux à cet égardde dévoiler dès à présent l’origine du titre de ce chapitre en justifiant cespropos par un exemple. Une des propriétés essentielles de la réponse linéairetient à l’analyticité d’une quantité physique centrale, la susceptibilité, qui estconçue comme une fonction de la fréquence de l’excitation. Sans entrer dansles détails, indiquons simplement que la susceptibilité vérifie des relations

2 Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples

importantes, caractéristiques de certaines fonctions analytiques et dites deKramers-Kronig. Ces relations ont une portée inattendue. Par exemple, ellesimpliquent un résultat standard d’électromagnétisme, à savoir que dans n’im-porte quel milieu dispersif, la vitesse de propagation d’ondes électromagné-tiques est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide.

Dans la première partie de ce chapitre, les propriétés générales de la ré-ponse à une faible excitation sont établies à partir du triptyque causalité-linéarité-stationnarité. Ces propriétés générales sont ensuite explicitées à tra-vers différents exemples. L’intérêt spécifique de chaque exemple tient à l’utili-sation concrète d’une ou plusieurs propriétés, tant pour la compréhension desmécanismes en jeu que pour leur description phénoménologique. De plus, cesexemples sont choisis dans différents domaines de la physique (électronique,mécanique quantique, électromagnétisme, mécanique des fluides, physique sta-tistique et enfin physique des plasmas) afin de mettre en lumière la puissancedes méthodes, ainsi que leur caractère unificateur, source d’analogies nom-breuses et fécondes. Naturellement, chaque exemple présente également unintérêt propre.

Les exemples sont présentés suivant un ordre croissant de difficulté résul-tant d’une dynamique interne des sytèmes de plus en plus complexe. Ainsi, lepremier exemple concerne un système classique à petit nombre de degrés deliberté : c’est un circuit RLC qui possède en plus une dynamique intrinsèquelinéaire, de type oscillateur harmonique. Ensuite, nous passons à l’étude desystèmes continus, qui ont donc un nombre infini de degrés de liberté. Nouscommençons avec l’exemple d’un diélectrique qui illustre l’application des pro-priétés d’analyticité à des modélisations phénoménologiques. L’exemple sui-vant est un écoulement oscillant dans un capillaire forcé par une variationde pression. Nous abordons enfin l’étude de la réponse linéaire de systèmesavec un grand nombre de degrés de liberté et à l’équilibre thermodynamique,cette problématique de mécanique statistique constituant un domaine en soi !Un premier exemple est l’étude d’un plasma soumis à une onde de densitéde charge dans une approche de type champ moyen à la Vlasov. À titre dedernière application, nous présentons différentes démonstrations des formulesde Kubo classique et quantique, relatives à la conductivité électrique. No-tons enfin qu’un dernier exemple dévolu à l’atome d’hydrogène soumis à unchamp électrique variable est présenté dans le chapitre 3, cet exemple consti-tuant également une application des développements perturbatifs en termesde fonctions de Green.


1. Réponse linéaire et analyticité 3

1.1 Propriétés générales

1.1.1 Position du problème

Considérons un système général ayant un nombre quelconque de degrésde liberté, et dont la description relève de n’importe quel domaine de la phy-sique. Ce système est initialement dans un état stationnaire E0 et les quantitésphysiques relatives à cet état sont donc indépendantes du temps. Imaginonsmaintenant que ce système soit soumis à une faible perturbation homogènemais dépendant du temps, F (t), avec les conditions initiales suivantes :{

État(t = −∞) = E0

F (t = −∞) = 0

}.

Examinons alors une certaine quantité physique ou observable A. Ici, il s’agitde déterminer la forme de la réponse du système à la perturbation, c’est-à-dire la relation entre A(t) et F (t′). Pour fixer les idées, E0 peut correspondrepar exemple à un oscillateur mécanique au repos, F à une force et A audéplacement de cet oscillateur par rapport à sa position d’équilibre.

Forme générale de la réponse

Comme il est toujours possible d’effectuer sur la quantité physique Aétudiée un décalage de sa valeur d’équilibre A(E0), nous poserons désor-mais A(E0) = 0 sans perte de généralité. La réponse du système à la per-turbation doit obéir à des principes physiques simples et c’est pour cetteraison qu’elle possède des propriétés communes à de nombreuses situations.Étudions ces propriétés successivement :

Linéarité. Même pour des systèmes dont les équations du mouvement sontnon-linéaires, comme la perturbation est faible, il est naturel de supposer quela réponse A(t) est linéaire en F (t′), c’est-à-dire que

A(t) =

∫ +∞

−∞dt′ K0(t, t

′) F (t′). (1.1)

Ceci revient à ne conserver que le premier terme d’un développement de Tayloren puissances de F pour la fonctionnelle A[F ](t),

A[F ](t) = A0 +

∫ +∞

−∞dt′

δA[F ](t)

δF (t′)

∣∣∣F=0

F (t′) + · · ·

avec A0 = A[F=0] = A(E0) = 0 par hypothèse et donc K0(t, t′) =

δA[F ](t)

δF (t′)

∣∣∣F=0

.

K0 est appelée dérivée fonctionnelle1 de A[F ] prise en F = 0.

1. Le lecteur intéressé peut consulter l’annexe H où sont rappelées la définition et lespropriétés de la dérivée fonctionnelle. Toutefois, cette notion n’est pas utilisée dans cechapitre.


En fait, soulignons que deux hypothèses fondamentales doivent être né-cessairement vérifées afin que le développement précédent soit légitime. Toutd’abord, il faut que l’état E0 soit un état stable : faiblement écarté de cetétat, le système doit en rester proche dans son évolution ultérieure. Ceci ex-clut bien sûr des états stationnaires instables, comme par exemple, celui d’unpendule pesant avec centre de gravité au-dessus du point d’attache. Ensuite,la différentiabilité de A[F ] implique une dépendance suffisamment régulièreen F de la fonctionnelle A. A contrario, la non-différentiabilité est la signa-ture de comportements singuliers, comme ceux à l’œuvre au point critiqued’une transition de phase en thermodynamique�.

Un autre point important à souli-gner est le caractère non instan-tané de la réponse du système.Autrement dit, la valeur de l’ob-servable A à l’instant t dépend enprincipe de la valeur de la pertur-bation F à d’autres instants t′.

� Commentaire 1.1.1. Par

exemple, pour un système magnétique

présentant une transition entre des

phases ferromagnétique et paramagné-

tique, à la température critique la

susceptibilité diverge, et l’aimantation

n’est plus proportionnelle au champ

magnétique extérieur appliqué.

L’hypothèse de linéarité impose donc que K0 soit une quantité intrinsèqueau système et à l’état E0. Elle dépend bien sûr de l’observable A considérée.Elle ne dépend pas de l’évolution temporelle précise de F , mais seulement dela manière dont le forçage agit sur le système. Les propriétés de cette grandeurvont être étudiées tout au long de cette section.

Causalité. Il s’agit d’un principe fondamental en physique et qui va au-delàde l’hypothèse de linéarité. En reprenant l’exemple d’un oscillateur mécanique,il indique simplement que la force appliquée à un instant donné t0 n’agit sur ledéplacement de l’oscillateur que pour des instants postérieurs à t0. En d’autrestermes, et dans le cas général, la réponse du système à un instant donné nedépend que de la perturbation appliquée à des temps antérieurs, soit :

K0(t, t′) = 0 pour t < t′. (1.2)

Nous montrerons dans la suite que cette propriété simple a des conséquencesfondamentales. Pour l’instant, en injectant la condition (1.2) dans l’expres-sion (1.1), nous obtenons

A(t) =

∫ t

−∞dt′ K0(t, t

′) F (t′). (1.3)


1. Réponse linéaire et analyticité 5

Stationnarité. E0 étant stationnaire, K0 est invariant par translation dansle temps, i.e. :

K0(t, t′) = K0(t − t′).

En effet, la dépendance de K0 en la seule différence t−t′, garantit l’invariancede K0 si t et t′ sont simultanément décalés d’un même temps Δt. Cela impliqueque ce décalage Δt pour la perturbation F (t) donne le même décalage pourla réponse A(t). Plus précisément, la réponse du système à la perturbationF2(t) = F1(t − Δt) est donnée par

A2(t) =

∫ t

−∞dt′K0(t, t

′)F2(t′) =

∫ t

−∞dt′K0(t, t

′)F1(t′ − Δt).

Si K0(t, t′) = K0(t − t′), un simple changement de variable dans l’intégrale

précédente montre que A2(t) = A1(t − Δt).

En vertu de l’ensemble des propriétés précédentes, la réponse du systèmese réécrit donc comme

A(t) =

∫ t

−∞dt′ K0(t − t′) F (t′)

ou encore

A(t) =

∫ +∞

0

dτ K0(τ ) F (t − τ ). (1.4)

Propriétés de la fonction de réponse et interprétation

K0(τ ) joue donc le rôle de fonction de réponse avec mémoire puisqu’ellecontrôle la contribution de la perturbation à l’instant t−τ à la quantité A pourl’instant ultérieur t. Afin de préciser la signification de K0, prenons le cas oùl’excitation est un pulse, i.e. F (t) = F0δ(t− t0) où δ(t− t0) est la distributionde Dirac centrée en t0. L’action du pulse est d’écarter faiblement le systèmede l’état stationnaire E0 à l’instant t0, l’évolution ultérieure du système étantrégie par sa seule dynamique interne. Or, d’après l’équation (1.4), la réponseà ce type d’excitation est

Apulse(t) = F0K0(t − t0) pour t > t0. (1.5)

L’évolution correspondante de l’observable A est donc simplement propor-tionnelle à la fonction K0(τ ). Ceci confirme que la fonction de réponse K0 estévidemment spécifique à l’observable A considérée. De plus, nous pouvons endéduire immédiatement la nature qualitative des comportements de K0(τ ),quand τ → ∞ et quand τ → 0, à partir d’arguments simples concernantl’évolution intrinsèque du système sans forçage extérieur.


Opérateur de Laplaceanalyse des C. L., 73définition, 70discret, 136fonctions de Green, 74, 128

1d, 97, 1282d, 97, 1283d, 78, 128, 132, 134relations de réciprocité, 129

Oscillateur harmonique, 277, 278,298, 332

Oseen, tenseur de, 134

P

Paquet d’ondes, 296Particule libre, 77, 102, 115, 170–172,

334Partie principale, 15, 42, 115, 303

Phonons, 277Plan conducteur, 104, 131Plasma, 38–45, 86Plasmons, 45Poiseuille, formule de, 37Poisson, voir Équation de PoissonPolarisabilité, 227Polarisation, 29, 57, 228, 279Polynômes de Legendre, 110, 328Potentiel

de Debye, 86de Yukawa, 122électrique, 71retardé, 198

Principe de Huygens-Fresnel, 207Propagateur thermique, 177–180, 266,

287Propagation, 146, 181, 192–198,

221–225Puissance, 11, 24, 38, 44, 52, 233

R

Réflexions multiples, 195–197Règles de somme, 18, 28, 56, 130,

160, 161, 188Relation de complétude, 315Relations de Kramers-Kronig, 16, 18,

20, 27, 55, 57démonstration, 13–16généralisées, 18, 341

Relations de réciprocité, 66, 69, 185,236

Relativité générale, 139Représentation spectrale, 68, 80, 101,

149, 155, 159, 160, 168, 184Résolvante, 100, 114, 120, 130, 154,

154, 166, 169, 174–178, 229Robin, conditions de, 239, 240

S

Schrödinger, voir Équation deSchrödinger

Second son, 227Selle de cheval (point), 255, 260Série de Laurent, 12, 302

Singularité, 9, 17, 27, 101, 114,117–118, 171, 231, 301–302

Source, 61, 70, 75, 97, 100, 143, 146Stefan-Boltzmann, loi de, 241Stirling, voir Formule de StirlingSupraconducteur, 108Susceptibilité, 7–20, 188

définition, 7développement asymptotique, 12Kramers-Kronig, 16, 18, 20propriétés analytiques, 8règles de somme, 18

T

Théorèmede Gauss, 77, 81, 343des résidus, 14, 85, 191, 223, 255,

302, 338, 342, 347fluctuation-dissipation, 52

Théorie des nombres, 298Transformations conformes, 89–91,

125, 138Transformée de Fourier, 80, 151, 155,

190Transformée de Laplace

d’une EDP, 152, 166, 182définition, 305des fonctions de Green, 148, 154,

155, 157, 161, 167, 183en réponse linéaire, 8, 24fonctions usuelles, 305transformée inverse, 54, 337


Index 391

U

Unicité des solutions, 147

équation de d’Alembert, 182, 236

équation de diffusion, 156, 236

équation de Helmholtz, 84

équation de Poisson, 75

équation de Schrödinger, 166

Universalité, voir Classe d’universalité

V

Van Vleck, formule de, 291Vent, 122, 138Vlasov, équation de, 40

W

WKB, 293

Y

Yukawa, voir Potentiel de Yukawa


physique et outils mathématiques : méthodes et …… · fonctions de green de neumann spéciales...

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