petraerceg_besselovefunkcije,primjena u fizici (zavrsni rad)
TRANSCRIPT
I
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
PETRA ERCEG
BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI
Završni rad
Osijek, 2015.
II
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
PETRA ERCEG
BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI
Završni rad
Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku
radi stjecanja zvanja prvostupnika/ce fizike
Osijek, 2015.
III
Ovaj završni rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom doc.dr.sc. Zvonka Glumca u״
sklopu Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku Sveučilišta
Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku. ״
IV
1. Sadržaj
1. Uvod ..................................................................................................................................................... 0
1.1. Besselove funkcije prve vrste ............................................................................................ 1
1.2. Besselove funkcije druge vrste ; Neumannove funkcije ....................................................... 2
1.3. Rekurzijske relacije ....................................................................................................................... 3
1.4. Hankelove funkcije ....................................................................................................................... 4
1.5. Sferne Besselove funkcije ............................................................................................................. 5
2. Primjene Besselovih funkcija u fizici ..................................................................................................... 7
2.1. Titranje kružne membrane ............................................................................................................... 7
2.2. Potencijalna jama ........................................................................................................................... 15
2.3. Ogib na okrugloj pukotini ............................................................................................................... 19
3. Literatura ............................................................................................................................................ 24
V
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad
Odjel za fiziku
BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI
PETRA ERCEG
Sažetak
U ovom završnom radu ukratko je izložena teorija Besselovih funkcija te je kroz dva primjera iz
klasične fizike i jedan iz kvatne fizike približena njihova važnost u rješavanjima problema
realnog svijeta. U sklopu teorijske razrade funkcija, fokus je bio na onim dijelovima koji su
korišteni u primjeni na probleme, te nisu navedena sva svojstva Besselovih funkcija.
(24 stranice, 9 slika, 2 tablice)
Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku
Ključne riječi: Besselove funkcije/ membrana/ ogib / potencijalna jama/ titranje
Mentor: doc.dr.sc. Zvonko Glumac
Ocjenjivači:
Rad prihvaćen:
VI
University Josip Juraj Strossmayer Osijek Bachelor of Physics Thesis
Department of Physics
BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI
PETRA ERCEG
Abstract
This papper has been designed with two objects in view. The first object is the theory of the
Bessel functions, which consists of the main properties that are used in the second part. The
second object is an aplication of all learned in three realistic problems of classical and quantum
physics. Papper does not give insight into all properties of Bessel functions, just the ones used in
problems.
(24 pages, 9 figures, 2 tables)
Thesis deposited in Department of Physics library
Keywords: Bessel function/ diffraction/ membrane/ oscillation/ potential gap
Supervisor: doc.dr.sc. Zvonko Glumac
Reviewers:
Thesis accepted: :
0
1. Uvod
Besselove funkcije pojavile su se kao rješenje Besselove diferencijalne jednadžbe, vrlo česte u
problemima fizike, astronomije i raznih drugih prirodnih znanosti. Iako ih je prvi definirao
Daniel Bernoulli, ime su dobile po Friedrichu Wilhelmu Besselu (1784.-1846.), njemačkom
matematičaru i astronomu, koji je do te diferencijalne jednadžbe došao u jednom astronomskom
problemu. No, Bessel nije jedini koji je proučavao te funkcije. Budući da su se pojavljivale u
najrazličitijim problemima, postale su vrlo važne pa su znanstvenici sustavno krenuli proučavati
sva njihova svojstva. Na kraju je nastala čitava jedna teorija o Besselovim funkcijama koju je
1922. godine profesor G.N. Watson sustavno izložio u svojoj knjizi „A Treatise on the theory of
Bessel functions“. Ova knjiga mi je poslužila kao glavni izvor za pisanje ovog završnog rada.
Besselova diferencijalna jednadžba je oblika:
za proizvoljan realan ili kompleksan broj koji predstavlja red Besselove jednadžbe.
Najzanimljivije su one za koje je cijeli broj . Iako će i vrijednosti dati istu
diferencijalnu jednadžbu, u praksi definiramo različite Besselove funkcije za ova dva reda. Osim
kao Besselove, ove funkcije poznate su još pod imenima „cilindrične funkcije“ ili „cilindrični
harmonici“ jer se pojavljuju u rješenjima Laplaceove jednadžbe u cilindričnim koordinatama.
Budući da se radi o diferencijalnoj jednadžbi drugog reda, moraju postojati dva linearno
nezavisna rješenja. U tablici 1.1. prikazane su sve oznake i imena mogućih rješenja
diferencijalne jednadžbe u ovisnosti o okolnostima.
Tablica 1.1. Oznake i imena rješenja Besselove diferencijalne jednadžbe
Tip funkcije Prva vrsta Druga vrsta
Besselove
Modificirane Besselove
Hankelove
Sferne Besselove
Sferne Hankelove
1
1.1. Besselove funkcije prve vrste
Besselove funkcije prve vrste obično se označavaju sa . To su rješenja Besselove
diferencijalne jednadžbe oblika:
Izraz „prve vrste“ odnosi se na to da obuhvaća funkcije koje su, za pozitivnu vrijednost
regularne u Sva rješenja obične Besselove diferencijalne jednadžbe koja su linearno
nezavisna u odnosu na su neregularna u za svaki . Ona se označavaju sa i
zovu Besselove funkcije druge vrste.
Besselovu funkciju prve vrste izvest ćemo preko funkcije izvodnice koju ćemo razviti u
Laurentov red:
Koeficjenti uz definiraju Besselovu funkciju prve vrste cjelobrojnog reda Razvojem
eksponencijalne funkcije, dobiva se umnožak dva MacLaurinova reda u varijablama i
– :
Kada je , potencija , pa slijedi Besselova funkcija prve vrste nultog reda:
Nadalje uvrštavamo da je , pa čime dobivamo redom Besselove funkcije
prve vrste prvog reda i drugog reda. Tada vidimo da općenito vrijedi:
Prvih nekoliko članova dobra su aproksimacija za male vrijednosti x.
2
Slično se mogu dobiti i Besselove funkcije negativnog cjelobrojnog reda, pa slijedi:
Slika 1.1. Prikaz Besselove funkcije prve vrste i pozitivnog cjelobrojnog reda za n = 0,1,2.
1.2. Besselove funkcije druge vrste ; Neumannove funkcije
Već smo pronašli dva rješenja Besselove jednadžbe i označili ih sa i , ali smo vidjeli
i da ne formiraju opće rješenje jer su međusobno linearno zavisna. U daljnjem rješavanju javlja
se i rješenje koje ima singularitet u ishodištu, za i koje je linearno nezavisno od .Ta
rješenja nazivaju se Besselove funkcije druge vrste ili Neumannove funkcije te se označavaju sa
ili .
Uobičajena definicija Neumannovih funkcija je preko linearne kombinacije rješenja i
oblika:
U slučaju kada je cijeli broj, funkcija je definirana sa limesom:
Neumannove funkcije su neregularne u , ali kako se povećava postaju oscilirajuće, kao
što se vidi na slici 1.2.
3
Slika 1.2. Prikaz Besselove funkcije druge vrste i pozitivnog cjelobrojnog reda za n = 0,1,2.
Također, postoji veza:
Neumannove funkcije u fizici su bitne za rješavanje problema za koje nije bitan singularitet u
ishodištu kao što su problemi kvantne mehanike ili elektromagnetski valovi u koaksijalnim
kablovima.
1.3. Rekurzijske relacije
Rekurzije za Besselove funkcije i njihove derivacije mogu se dobiti iz funkcije izvodnice. Ako
deriviramo parcijalno funkciju izvodnicu po varijabli :
I izjednačimo ta dva izraza:
4
Uvedimo nove varijable zbrajanja tako da sve potencije budu iste
Budući da je izraz jednak nuli samo kada je svaka zagrada zasebno jednaka nuli, rekurzija
poprima oblik:
Uvedemo li da je , dobit ćemo uobičajeni zapis:
Sličnim postupkom lako je doći i do formule za rekurziju derivacije:
1.4. Hankelove funkcije
S obzirom da smo ustanovili kako Besselove funkcije prve i druge vrste čine potpuno rješenje
Besselove diferencijalne jednadžbe, za pretpostavit je da Hankelove funkcije mogu biti samo
linearne kombinacije funkcija koje smo već pronašli. Takve funkcije imaju asimptotska obilježja
i poprilično su beskorisne u primjeni, ali su bitna u teorijskim razmatranjima zato što ih linearna
kombinacija nekad čini jednostavnijima za rješavanje.
Hankelove funkcije, ili Besselove funkcije treće vrste, su sljedeće linearne kombinacije:
5
Budući da su ove funkcije konstruirane od Besselovih funkcija prve i druge vrste, za njih vrijede
iste rekurzivne relacije.
U zaključku, Hankelove funkcije su pogodne za opisivanje gibanja valova te su korisne jer
donose nova, asimptotska obilježja Besselovih funkcija.
1.5. Sferne Besselove funkcije
Sferne Besselove funkcije pojavile su se pri rješavanju Helmholtzove jednadžbe u sfernim
koordinatama:
separacijom varijabli. Radijalna jednadžba ima oblik:
Dva linearno nezavisna rješenja ove jednadžbe zovu se sferne Besselove funkcije i koje su
povezane sa Beselovim funkcijama prvog reda i preko:
Također, javlja se i oznaka za kao sferne Neumannove funkcije
Sferne Besselove funkcije mogu biti pisane i kao:
Prvih par sfernih Besselovih funkcija prikazano je u tablici 1.2. i slikama 1.6.1. i 1.6.2.
6
Tablica 1.2. Prve 3 sferne Besselove fukcije prvog i drugog reda
Slika 1.6.1. Prikaz sferme Besselove funkcije prve vrste , za n=0,1,2
7
Slika 1.6.2. Prikaz sferme Besselove funkcije druge vrste; sferna Neumannova funkcija , za n=0,1,2
2. Primjene Besselovih funkcija u fizici
2.1. Titranje kružne membrane
Sada ćemo primjeniti prije stečeno znanje o Besselovim funkcijama na razne konkretne primjere.
Kao prvo, proučavat ćemo dvodimenzijsko titranje kružne membrane. Za mene je ovaj primjer
posebno zanimljiv jer opisuje i titranje membrane (kože) na bubnjevima, a sviranje udaraljki moj
je dugogodišnji hobi.
Polazimo od konkretno zadanog problema: imamo zadanu kružnu membranu, koja je pričvršćena
na rubu, tako da niti jedna točka njenog ruba ne može titrati, baš kao koža na dobošu1. Da bi
mogli matematički opisivati to titranje, moramo imati neki koordinatni sustav, a po logici stvari
vidimo da je polarni sustav najprikladniji.
Da bi membrana titrala, na nju moraju djelovati neke sile ili napetosti, i to na svaki njen element.
Na slici (2.1.1.) su prikazane sile na jedan takav element.
1 Doboš (eng. snare drum) – jedna od osnovnih komponenti bubnja, 2 membrane na drvenoj ili metalnoj ljusci,
naglašava udarce u nekom ritmu
8
Slika 2.1.1.Sile na element membrane
Pretpostavljamo da su napetosti na svaku stranu našeg elementa jednake. Titranje se odvija u
vremenu, pa će i funkcija ovisiti o vremenu. Pošto će membrana na nekim mjestima titrati jače, a
na nekim slabije, također će ovisiti i o koordinatama i . Uz to, uzet ćemo da je debljina
membrane Funkciju titranja označavat ćemo sa .
Slika 2.1.2. Djelovanje napetosti na liniji
9
Slika 2.1.3. Djelovanje napetosti na liniji
Slike (2.1.2.) i (2.1.3.) predstavljaju djelovanje napetosti na infinitezimalno mali element
membrane, na linijama i Kutovi su jako mali, pa možemo
aproksimirati , , što vrijedi i za ostala tri kuta. Isto tako će biti i za
, također i za ostale kutove. U to se uvjerit možemo razvijajući u red potencija,
u kojem zanemarujemo kvadratne i više potencije od . Projicirajući napetosti u međusobno
okomite osi, iz Slike (2.1.2.) dobijemo samo projekcije na os, jer se druge ukidaju, pa imamo:
Zadnji izraz dobijemo kada prvi član uglate zagrade razvijemo u red potencija i zanemarimo
članove i više, pošto su jako mali. To su napetosti koje djeluju u smjeru jediničnog vektora
.
Sličnim postupkom dobijemo za napetosti koje djeluju duž jediničnog vektora :
10
Membrana ima gustoću , pa prema Newtonovom aksiomu imamo:
gdje je
, što je kvadrat brzine.
Ova jednadžba predstavlja diferencijalnu jednadžbu gibanja naše membrane koju trebamo
riješiti. je rješenje te jednadžbe, pretpostavit ćemo da je oblika:
Uvrstimo tu pretpostavku u jednadžbu gibanja:
Da bi gornja jednadžba vrijedila, obje strane jednadžbe moraju biti konstantne. Konstantu
uzimamo negativnu, da bi dobili periodično titranje u vremenu. Separacijom varijabli dobivamo:
To je linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficjentima, čiji je karakteristični
polinom , sa rješenjima , pa će rješenje gornje jednadžbe biti:
Druga jednadžba će biti, kada supstituiramo
, oblika:
11
I u ovom slučaju pretpostavljamo rješenje oblika
I u ovom slučaju gornja jednadžba vrijedi samo onda ako su obje strane konstantne ili jednake 0.
Konstantu uzimamo negativnu kako bi dobili periodičnost u varijabli I sada dobijemo dvije
jednadžbe, od kojih je prva:
čije rješenje nađemo kao i prethodno, te glasi:
Funkcija mora biti periodična funkcija varijable perioda pa će biti cijeli broj, a
rješenje:
Nakon supstitucije druga jednadžba imat će oblik:
Ovo je Besselova diferencijalna jednadžba, čije opće rješenje glasi:
Rješenje mora biti regularno u a pošto je u toj točki beskonačno velika (jer
počinje sa , mora vrijediti . Ovisno o tome kakve vrijednosti poprima
imamo i rješenja;
Membrana je na svom rubu pričvršćena i to nam je rubni uvjet koji matematički izražavamo kao
, što je zapravo uvjet na rješenje radijalne jednadžbe R . Iz uvjeta ćemo
odrediti konstantu k, jer mora vrijediti:
R
12
Besselove funkcije mogu imati beskonačno mnogo nultočaka: pa će zbog toga
konstanta imati beskonačno mnogo vrijednosti, tj. bit će kvantizirana i poprimat će vrijednosti
gdje je
. Konstante ćemo odrediti po formuli:
Za tako određene vrijednosti konstante k, vrijedit će relacija pa će, ako uzmemo
gdje je , biti i . Dobit ćemo čvorne linije na mjestima gdje vrijedi
ta relacija, a bit će ih (m-1).
Rješenja jednadžbe gibanja neovisne o vremenu bit će ove dvije karakteristične vrste funkcija:
Iz ovoga vidimo da će biti (m-1)-na čvorna linija kružnica, i radijalnih čvornih linija, jer
rješenje može biti jedna od ovih funkcija ili u općem slučaju njihov zbroj pomnožen sa nekim
konstantama. U općem slučaju ne moramo imati radijalne čvorne linije, osim u slučaju da su
konstante kojima množimo ove funkcije tako odabrane. Opće rješenje možemo pisati na sljedeći
način:
Inače, opće rješenje bit će superpozicija svih rješenja, za sve i , tj.
Za određivanje konstanti služe nam početni uvjeti:
i
pa će biti:
13
Razvijmo ove dvije funkcije u Fourierov red kao periodične funkcije od :
gdje su
;
, i=1,2
Usporedimo li prve i druge formule funkcija i dobijemo:
Kao što vidimo, koeficijenti Fourierovog reda su funkcije varijable , razvijene u red po
Besselovim funkcijama, tj. imamo red oblika:
Da bi našli koeficijente dokažimo da funkcije
zadovoljavaju relaciju:
14
Pođimo od . Ako prvu pomnožimo sa , a drugu sa
, pa ih oduzmemo, rezultat pomnožimo sa
i integriramo od 0 do l, dobit ćemo:
Isti rezultat dobijemo i za drugi izraz, pa vidimo da je naša tvrdnja dokazana. Zato ako
pomnožimo f(r) sa i integriramo od do dobijemo sljedeće:
Primijenimo li sada taj postupak na naš problem, dobivamo konstante:
Analognim postupkom dolazimo i do formula za konstante . Tako smo odredili
sve nepoznate konstante iz rubnih i početnih uvjeta, te je naš problem potpuno određen - znamo
kako membrana titra u svakom trenutku.
15
2.2. Potencijalna jama
Sljedeći problem koji ćemo obraditi je iz kvantne mehanike. Pitamo se kako možemo opisati
gibanje čestice koja je zarobljena u nekom prostoru s potencijalom odnosno nalazi se u tzv.
potencijalnoj jami. Budući da su pokusi pokazali da čestica može probiti potencijalni bedem,
odnosno „tunelirati“, morat ćemo potražiti rješenje i izvan potencijala. Tako uvjete na česticu
definiramo u obliku:
,
gdje je širina potencijalne jame (Slika 2.2.1.).
Slika 2.2.1. Potencijalna jama
Za rješavanje ovog problema koristit ćemo valnu jednadžbu gibanja, tj .Schrӧdingerovu
jednadžbu za česticu neovisnu o vremenu:
,
gdje je masa čestice, Hamiltonijan, svojstvena funkcija operatora Hamiltonijana
(ovisi o radij-vektoru , reducirana Planckova konstanta, a položaj čestice, radij-
vektor. Jednadžbu ćemo raspisati u polarnom koordinatnom sustavu, jer je tako lakše doći do
rješenja.
16
Rješenje pretpostavljamo u obliku produkta radijalnog i kutnog dijela:
Uvrstimo taj izraz u gornju jednadžbu i dobijemo:
,
gdje je konstanta separacije, pa dobijamo dvije diferencijalne jednadžbe drugog reda; radijalnu
i kutnu:
Kutna jednadžba po varijablama ima rješenja jedino u slučaju kada je , ta
rješenja se zovu kugline funkcije i ovdje ih nećemo razmatrati.
Rješenja našeg problema tražit ćemo za negativne vrijednosti energije (E<0) te ćemo uzeti samo
ona koja su regularna u ishodištu sustava i u beskonačnosti. Uz te uvjete, radijalna jednadžba na
području unutar potencijalne jame poprima oblik:
,
Za područje izvan jame oblika je:
Sada uvedemo supstituciju i oznake za konstante:
,
te
17
Također ćemo izvršiti supstitucije te , te dobiti jednostavniji oblik diferencijalne
jednadžbe:
Rješenja ove jednadžbe su sferne Besselove, Neumanove i Hankelove funkcije;
. Odmah ćemo odbaciti Neumanovu funkciju kao rješenje jer za r=0
ima singularitet. Tako će naša rješenja za područje izvan potencijalne jame biti sferne Hankelove
funkcije, koje možemo za aproksimirati sa prvim članom asimptotskog razvoja:
Prvi izraz možemo shvatiti kao val koji putuje u smjeru povećanja polumjera, a drugi kao val
koji putuje u smjeru smanjenja polumjera.
Česticu u kvantnoj mehanici možemo shvatiti kao val tvari, odnosno njezina čestična i valna
svojstva su nedjeljiva. Ako ju gledamo kao samo val ili samo česticu, bit će ograničena
Heisenbergovim relacijama neodređenosti. Budući da je naša čestica – val sposobna pobjeći iz
jame (tunelirati), smatrat ćemo ju valom koji putuje u smjeru povećanja polumjera, pa će nam
time rješenje za slučaj kada je čestica u potencijalnoj jami biti Besselova funkcija a izvan
potencijane jame Hankelova sferna funkcija
Ta dva rješenja moraju biti jednaka u odnosno u rubu jame, kako bi bilo kontinuirano u
cijelom prostoru.
=
=
Ovakav rubni uvjet pokazuje da nisu moguće sve energije, već samo njihov diskretan niz, koji
predstavlja svojstvene vrijednosti operatora energije Hamiltonijana. Vrijednosti i su
18
konstante normiranja koje se određuju posebno za svaku funkciju čestice preko uvjeta
normiranja.
Specificirajmo ovaj problem za potencijal oblika:
Takav potencijal sa beskonačno visokim zidovima nazivamo beskonačno duboka potencijalna
jama. U tom slučaju čestica će uvijek biti „u jami“, jer neće moći probiti potencijal. Samim time
rješenje za neće postojati, odnosno bit će jednako nuli, dok je rješenje u jami:
Rješenje je smisleno samo ako je . Iz konstante proizlaze stacionarna stanja
energije, tj. svojstvene vrijednosti Hamiltonijana za česticu. S ovim ćemo završiti razmatranja o
potencijalnoj jami.
19
2.3. Ogib na okrugloj pukotini
Ako imamo izvor monokromatske svjetlosti koji šalje zrake u svim smjerovima, to ćemo širenje
svjetlosnih zraka moći prikazati kao kuglasti val koji se širi prostorom u smjeru povećanja
polumjera. Na velikoj udaljenosti od izvora svjetlosti stavimo pregradu s pukotinom, koja će
zaustavljati sve zrake osim onih koje prolaze kroz pukotinu. Pukotina će se ponašati kao novi
izvor svjetlosnih valova (Huygensov princip), u što ćemo se uvjeriti ako iza pregrade postavimo
zastor. Na zastoru će se vidjeti svjetlost od propuštenog snopa iz izvora, a okolo će se još
zamjećivati svijetle pruge konstruktivne interferencije svjetlosnih valova. Ova pojava naziva se
ogib ili difrakcija svjetlosti.
Kako bi odredili valnu funkciju na zastoru, potrebno nam je poznavati teorem koji kaže da se
valna funkcija u nekoj točki može odrediti iz njenih vrijednosti na nekoj plohi (rubu područja) na
kojoj je valna funkcija definirana. Stacionarni oblik valne funkcije vala koji se širi stalno jednako
je:
Takav oblik mora zadovoljavati valnu jednadžbu svjetlosti:
Uvrštavanjem stacionarnog rješenja u valnu jednadžbu dobijemo valnu jednadžbu amplitude,
gdje smo zamijenili
sa :
Zanima nas samo centralnosimetrično rješenje, koje ovisi samo o udaljenosti od neke čvrste
točke, pa je . Zato gornju jednadžbu prevodimo u polarni koordinatni sustav:
Tako smo dobili jednadžbu oblika čije je rješenje oblika , pa je
amplituda:
20
Opća valna centralnosimetrična funkcija glasi:
Pretpostavimo da su i rješenja amplitudne valne jednadžbe pa mora vrijediti:
i
Ako prvu jednadžbu pomnožimo sa , a drugu sa i integriramo po prostoru gdje su obje
funkcije regularne slijedi:
Ovaj integrand možemo preobraziti u:
Po Greenovom teoremu integral prelazi u plošni:
2
Ako se u volumenu integracije nalazi singularna točka gornjeg integranda, ovaj integral ne
iščezava. Zato oko tog singulariteta napravimo malu kuglu tako da područje između kugle i
vanjske plohe bude regularno za integral kako bi on mogao po njemu isčezavati. Normala
vanjske plohe ima smjer van područja, a kod kugle je situacija obratna. Ukoliko okrenemo smjer
kugline normale, iz početnog integrala dobivamo:
Za plošni integral po kugli rješenja
dobijemo:
2 sa sada je označen diferencijal plohe
21
Ako zamislimo da radijus kugle teži nuli, valna funkcija i njene derivacije ostaju regularne.
Površina kugle se smanjuje sa pa će integralu doprinos davati samo članovi koji rastu kao
. Takav se član može dobiti derivacijom:
Pa ako uvrstimo gornji izraz slijedi:
U graničnom prijelazu dobivamo:
Vidimo da vrijednost valne funkcije u nekoj točki unutar neke zatvorene plohe možemo
izračunati pomoću zadanih vrijednosti na rubnoj plohi.
Vratimo se sada na svjetlost koja dolazi od točkastog izvora, gdje je udaljenost izvora od otvora
na pregradi Kuglasti val koji se širi od izvora oblika je:
Bitna je pretpostavka da će isti kuglasti val nastati i na plohi otvora. U ovom konkretnom
slučaju, zamišljamo da je pregrada rasprostranjena u beskonačnost, pa iz naše perspektive valna
funkcija i njena derivacija iščezavaju: Vrijednost dana je integracijom
valne funkcije svjetlosti s izvora po malom otvoru koji propušta svjetlost:
Gradijent obje funkcije su derivacije po , odnosno
22
Smjer normale na plohi uzimamo od točke prema izvoru pa ćemo promijeniti predznak
normalnoj komponenti drugog gradijenta.
Sada imamo:
Kad je otvor mali, a izvor svjetlosti i točka P daleko od njega, ovu formulu možemo
pojednostaviti jer su tada izrazi
skoro konstante kao i kosinusi kutova, pa je:
Ako svjetlost na zastor pada okomito, onda je:
Potpuna valna funkcija tada je:
U slučaju kada je otvor kružnog oblika (Slika 2.3.1.) udaljenost točke od točke na zastoru
gdje tražimo intenzitet svjetlosti je dana izrazom:
Slika 2.3.1. Kružni otvor na pregradi
23
Kada je uz aproksimaciju dobijemo da je jednako:
Uvrštavanjem ovakve formule u potpunu valnu funkciju, dobit ćemo:
Ako umjesto pišemo
Ta formula poznata nam je od ranije (str.3.) ; iz rekurzivnih formula dobijemo:
pa je:
To je formula za određivanje amplitude u nekoj točki. Znamo da je intenzitet svjetlosti u nekoj
točki srazmjeran kvadratu amplitude, iz čega zaključujemo da će maksimumi i minimumi
funkcije , koja je funkcija varijable određivati najsvjetlija mjesta, dok će tamne mrlje
davati nultočke iste Besselove funkcije.
24
3. Literatura
Knjige:
Janković, Knežević-Miljanović, Diferencijalne jednačine I: zadaci sa elementima teorije (4.
print. ed.). Beograd: Beograd : Matematički fakultet
Watson, G.N., A Treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press 1966.,
II. izdanje
Arfken G.B., Weber H.J., Harris F.E., Mathematical Methods for Physicists, A Comprehensive
Guide, San Diego: Academic Press, 1995 , VII.izdanje