ESCUELA SECUNDARIA TECNICA # 118

ECUACIONES SIMULTANEAS DE 2GRADO.

ALUMNA:

DIANA ILSE PEREZ SANDOVAL.

GRAUPO:”C” GRADO: 3°

PROFESOR:

LUIS MIGUEL VILLARREAL MATIAS.

=MATEMÁTICAS=

FECHA DE ENTREGA:

14- DICIEMBRE-11

ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE 2°GRADO.

Las ecuaciones simultáneas pueden ser resueltas de varias maneras; la forma en la que se resolvieron los últimos ejemplos se le llama algebraica.

También se pueden resolver por un método gráfico, esto se puede hacer porque cada ecuación representa a una línea en los ejes de coordenadas, esta línea puede ser una recta o una curva, y el lugar en donde se cruzan las dos líneas es el punto que representa la solución de las ecuaciones, porque los valores de ese punto (en donde se cruzan las líneas) son los valores que resuelven las dos ecuaciones.

Conjunto de dos o más ecuaciones que contienen dos o más cantidades

desconocidas. En conjunto, estas ecuaciones especifican condiciones que estas

cantidades desconocidas deben satisfacer al mismo tiempo.

Sistema de ecuaciones no lineales.

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus

ecuaciones no es de primer grado .

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de

sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones,

preferentemente en la de primer grado.

y = 7 − x

2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra

ecuación.

x2 + (7 − x)2 = 25

3º Se resuelve la ecuación resultante.

x2 + 49 − 14x + x2 = 25

2x2 − 14x + 24 = 0

x2 − 7x + 12 = 0

4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra

ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

x = 3 y = 7 − 3 y = 4

x = 4 y = 7 − 4 y = 3

EJEMPLOS:

1°x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0...(1)

x² + y² - 2x = 0...(2)

Ambas son ecuaciones de dos circunferencias.

Primero multiplicamos la ecuación (2) por -1 se la sumamos a la ecuación (1) y tenemos que:

x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0

- x² - y² + 2x = 0

-----------------------------------

- 4x - 4y + 2x + 4 = 0 => - 2x - 4y + 4 = 0

Despejamos 'y' y tenemos que:

4y = -2x + 4 => y = (- x / 2) + 1...(3)

Sustituimos (3) en (2) y tenemos que:

x² + y² - 2x = 0

x² + [(- x / 2) + 1]² - 2x = 0

x² + (- x / 2)² + 2(- x / 2)(1) + (1)² - 2x = 0

x² + (x² / 4) - x + 1 - 2x = 0

x² + (x² / 4) - 3x + 1 = 0

Multiplicamos en ambos lados de la igualdad por (4) y tenemos que:

4x² + x² - 12x + 4 = 0

5x² - 12x + 4 = 0

Por fórmula general llegamos a que:

x1 = 2...(4)

x2 = 2 / 5...(5)

Para obtener la correspondiente coordenada en el eje 'y' sustituimos las ecuaciones (4) y (5) en (3).

Sustituimos (4) en (3)

y = (- x / 2) + 1

y1 = (- x1 / 2) + 1

y1 = (- 2 / 2) + 1

y1 = - 1 + 1

y1 = 0

Por lo que un punto de intersección es:

P1 = (x1, y1) = (2, 0)

Sustituimos (5) en (3)

y = (- x / 2) + 1

y2 = (- x2 / 2) + 1

y2 = [- (2 / 5) / 2] +1

y2 = [- 2 / 10] + 1

y2 = [- 1 / 5] + 1

y2 = (- 1 + 5) / 5

y2 = 4 / 5

2°

La tía María repartió entre sus tres sobrinos 9 monedas que sumadas daban 60 pesos. Ella recuerda que estas monedas eran de 5 pesos y de 10 pesos, pero no sabe cuántas tenía de 5 pesos y cuántas de 10 pesos. ¿Podría usted ayudar a la tía María a saber cuántas tenía de cada una?

Para resolver este problema, la tía María plantea una ecuación como sigue:

9 monedas, de las que "x" son de 10 pesos y "y" de 5 pesos, esto se puede plantear así:

x + y = 9 monedas

Es una ecuación con dos incógnitas, por lo que se requiere otra ecuación diferente que también relacione a las dos incógnitas. Por ello plantea lo siguiente:

"x" monedas de 10 pesos y "y" monedas de 5 pesos si se suman dan 60 pesos, por lo que se puede plantear la siguiente ecuación:

Ahora la tía María ya tiene dos ecuaciones con dos incógnitas, por lo que podrá resolverlas de la siguiente manera:

x + y = 9 ---------------- (1)

10x + 5y = 60 ---------- (2)

Paso 1

Despeja de una de las dos ecuaciones a una de las incógnitas (se recomienda que sea la más sencilla).

x + y = 9

Para dejar sola la "x", se resta "y" a los dos términos:

x + y - y = 9 - y

x = 9 - y

Paso 2

Sustituye el valor de la "x" por (9 - y) en la ecuación (2).

10x + 5y = 60 --------- (2)

10 (9 - y) + 5y = 60

Se resuelven todas las operaciones para simplificar la ecuación.

90 - 10y + 5y = 60

90 - 5y = 60

Paso 3

Se despeja a la "y" y se obtiene su valor.

Se resta 90 en los dos términos:

90 - 90 - 5y = 60 - 90 - 5y = - 30

Se dividen los dos términos entre -5 para despejar la "y".

y= y = 6

Por lo que la tía María ahora sabe que tenía 6 monedas"y", o sea, de 5 pesos.

Paso 4

Sustituye el valor de "y" (el que obtuvo) en cualquiera de las dos ecuaciones originales. Por ejemplo:

x + y = 9

x + 6 = 9

Despeja la incógnita que falta conocer. Para ello resta 6en los dos términos:

x + 6 - 6 = 9 - 6

x = 3

Con lo anterior, la tía María ya sabe que contaba con 3 monedas "x", o sea, de 10 pesos.

Para comprobar que sus ecuaciones y cuentas fueron correctas, sustituye los valores obtenidos (x = 3, y = 6) en las ecuaciones originales.

x + y = 9 ----------- (1)

3

°

En la papelería de Chucho un señor le compró 3 gomas y 2 lápices, por ellos pagó 9.50 pesos. Si la suma de lo que cuesta una goma y un lápiz es 4 pesos. ¿Cuánto vale cada goma y cada lápiz?

Chucho, para resolver este problema, piensa así:

Necesito encontrar dos números que sumados me den 4 pesos, que es lo que cuestan una goma y un lápiz.

a+b =4 ----- (1)

a = precio de cada goma

b = precio de cada lápiz

Como en esta ecuación se tienen dos incógnitas, "a" y "b", no puede ser resuelta con una sola ecuación, por lo que se necesita otra diferente que también incluya las dos incógnitas.

Chucho dice que si sabe que vendió 3 gomas (a) y 2 lápices (b) y que por ellas le pagaron 9.50 pesos, puede plantear otra ecuación que incluya las gomas y los lápices diferente a la anterior, esta sería:

3a+2b =9.50 ----- (2)

Estas dos ecuaciones son diferentes, pero ambas se refieren a las mismas incógnitas, por lo que se llamanecuaciones simultáneas.

a+b =4 ----- (1) Es la suma del costo de una goma y un lápiz.

10x + 5y = 60 ------ (2)

Sustituyendo en la ecuación (1):

x + y = 9 3 + 6 = 9 9 = 9

Sustituyendo en la ecuación (2):

10x + 5y = 60 10 (3) + 5 (6)= 60 30 + 30 = 60 60 = 60

Como se cumple la igualdad en ambas ecuaciones, los valores son correctos.

3a+2b =9.5 -- (2) Es lo que cobró Chucho por la venta de tres

gomas y dos lápices.

Chucho dice que para conocer el valor de las dos incógnitas es necesario seguir los siguientes pasos.

Paso 1

Se selecciona la ecuación de menor tamaño o con menos complicación para despejar a una de las dos incógnitas. De ella se despeja la incógnita que sea más fácil de dejar sola.

En este caso, la ecuación más sencilla y sin complicaciones para despejar es la (1).

a+b =4 ----- (1)

Paso 2

De la ecuación seleccionada, se despeja una de las dos incógnitas.

a+b =4

Para dejar sola a la "a", se resta "b" en los dos términos:

a + b - b = 4 - b

Como +b - b = 0, la ecuación queda así:

a = 4 - b

Paso 3

Ahora, esta ecuación se sustituye en la otra ecuación simultánea.

Se debe sustituir a = 4 - b en:

3a + 2b = 9.50 ------------ (2)

Esto implica que en donde se encuentre "a" en la segunda ecuación se debe poner "3 - b".

3 (4 - b) + 2b = 9.50

Paso 4

Se realizan las operaciones necesarias para simplificar al máximo las ecuaciones.

3 (4 - b) + 2b = 9.50

12 - 3b + 2b = 9.50

12 - b = 9.50

Paso 5

La ecuación que resultó es una ecuación con una sola incógnita (b), por lo que se puede obtener el valor de esa incógnita a despejarla.

12 - b = 9.50

Para despejar "b", se resta en ambos términos doce:

12 - 12 - b = 9.50 - 12

Al realizar las operaciones se tiene:

0 - b = - 2.50

Para obtener el valor positivo de "b", se pueden multiplicar ambos términos por - 1 y la ecuación no se altera.

- b = - 2.50

Multiplicado por - 1 se tiene:

(- b) (- 1) = (- 2.50) (- 1)

b = 2.50

Con lo anterior se ha logrado conocer el valor de "b", o sea, lo que cuesta un lápiz.

Paso 6

Al conocer el valor de una de las dos incógnitas se podrá sustituir su valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales y con ello obtener una ecuación con una sola incógnita, observe:

Si b = 2.5, sustituya el valor de "b" en la ecuación (a + b = 4) y se tiene lo siguiente:

a + (b) = 4

a + (2.5) = 4-------------- (nueva ecuación)

Para despejar a la incógnita "a", se resta 2.5 en los dos términos:

a + 2.5 - 2.5 = 4 - 2.5

Se realizan las operaciones y queda que a = 1.50

Con lo que se sabe que las gomas valen un peso con cincuenta centavos.

Con lo anterior Chucho sabe que cada lápiz vale dos cincuenta y cada goma uno cincuenta.

Para comprobar que esto es verdad, sustituye los valores obtenidos (a = 1.50, b = 2.50) en las dos ecuaciones planteadas.

Ecuaciones originales:

a + b = 4 ---------- (1)

3a + 2b = 9.50 ------- (2)

Sustituyendo a = 1 y b = 2en la ecuación (1) se tiene que:

a + b = 4 (1.50) + (2.50)=4

4 = 4

Sustituyendo a = 1.5 y b = 2.5 en la ecuación (2) se tiene que:

3a + 2b = 9.50 3(1.50)+2(2.50)=9.50

4.50 + 5 = 9.50 9.50 = 9.50