pensamiento numerico

MóduloPensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

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Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticasen la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia

Módulo 1

Pensamiento Numéricoy Sistemas Numéricos

Aníbal Gaviria CorreaGobernador de Antioquia

Claudia Patricia Restrepo MontoyaSecretaria de Educación para la Cultura de Antioquia

Libardo Enrique Álvarez Castrillón Director de Fomento a la Educación con Calidad

AutoresGilberto Obando Zapata

María Denis Vanegas VascoNorma Lorena Vásquez Lasprilla

Comité AcadémicoOscar Gallo

Jesús María Gutiérrez MesaCarlos Mario Jaramillo

Orlando MonsalveJohn Jairo Múnera

Gilberto Obando ZapataFabián Posada Balvin

María Denis Vanegas Vasco

Universidad de AntioquiaFacultad de Educación

Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia

UNIVERSIDAD

DE ANTIOQUIA

SERIE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS


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Módulo 1Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

© Gilberto Obando Zapata y otros autores.© De esta edición: Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia

ISBN: XXX-XX-XXXX-XTiraje: 3.500 ejemplares

Primera edición, 2006.

Gobernación de Antioquia.Secretaría de Educación para la Cultura de AntioquiaDirección de Fomento a la Educación con Calidad.www.seduca.gov.coEmail: [email protected]

Diseño, diagramación e impresión:Editorial Artes y Letras Ltda.

Medellín, Colombia 2006

PENDIENTE ISBN

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Contenido

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 9

Unidad No.1 NÚMEROS NATURALES ................................................................................ 17

EL CONTEO Y EL APRENDIZAJE DEL NÚMERO NATURAL .................................................................. 17

LA INTERACCIÓN SOCIAL Y LOS PRIMEROS APRENDIZAJES NUMÉRICOS ...................................... 18

EL CONTEO Y LAS ESTRATEGIAS PARA OPERAR A TRAVÉS DE EL CONTEO ................................... 20

ESTÁNDARES RELACIONADOS CON LA UNIDAD N°1 .......................................................................... 22

SITUACIÓN N° 1: JUGANDO Y CONTANDO ............................................................................................ 23Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... 23Gestión de las actividades ................................................................................................................... 25

Unidad No.2 NÚMEROS ENTEROS .................................................................................... 31

REFERENTES CONCEPTUALES ................................................................................................................ 31

ALGUNAS DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS ENTEROS ................................. 31

ALGUNOS APUNTES DESDE LA HISTORIA ............................................................................................. 32

ESTÁNDARES RELACIONADOS ............................................................................................................... 36

SITUACIÓN Nº1 PREPARANDO EL CAMINO .......................................................................................... 36Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... 36Gestión de las actividades ................................................................................................................... 37

SITUACIÓN Nº2 MEDIDAS Y VARIACIONES............................................................................................ 41Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... 41Gestión de la situación ......................................................................................................................... 42

SITUACIÓN 3: EN EL CAMINO DE LAS OPERACIONES. ........................................................................ 44Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... 44Gestión de la situación ......................................................................................................................... 45

SITUACIÓN 4: SUMANDO POSITIVOS Y NEGATIVOS............................................................................. 48Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... 48Gestión de la situación ......................................................................................................................... 49

Unidad No.3 NÚMEROS RACIONALES ............................................................................. 55

INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................... 55

LA ENSEÑANZA DEL NÚMERO RACIONAL: ALGUNOS PROBLEMAS EN

LA ENSEÑANZA ACTUAL ........................................................................................................................ 56

TRABAJO CENTRADO EN LA PARTICIÓN Y EL CONTEO ..................................................................... 56

EL TRATAMIENTO DEL TIPO DE MAGNITUD Y DE UNIDAD ................................................................. 58

ÉNFASIS EN LA MECANIZACIÓN DE REGLAS Y ALGORITMOS .......................................................... 59

LA ENSEÑANZA DEL NÚMERO RACIONAL: NUEVOS ÉNFASIS .......................................................... 60

LOS NÚMEROS RACIONALES COMO MEDIDA ...................................................................................... 63

LOS NÚMEROS RACIONALES COMO FRACCIÓN DECIMAL ................................................................ 65


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LOS NÚMEROS RACIONALES COMO COCIENTES INDICADOS ........................................................... 69

LOS NÚMEROS RACIONALES COMO PUNTOS EN LA RECTA NUMÉRICA ......................................... 70

ESTÁNDARES RELACIONADOS ............................................................................................................... 72

SITUACIÓN 1 .............................................................................................................................................. 74Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... 74Procedimientos esperados e indicadores de valoración .................................................................... 75Gestión de la situación ......................................................................................................................... 77

SITUACIÓN 2: ESTABLECIENDO RELACIONES PARTE - TODO ............................................................. 82Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... 82Procedimientos esperados e indicadores de valoración .................................................................... 84Gestión de la situación ......................................................................................................................... 85

SITUACIÓN 3: SOBRE EL CAMINO DE OTRAS INTERPRETACIONES DE LOS RACIONALES ............. 93Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... 93Procedimientos esperados e indicadores de valoración .................................................................... 93Gestión de la situación ......................................................................................................................... 94

Unidad No.4 SITUACIONES ADITIVAS ............................................................................. 97

REFERENTES CONCEPTUALES ................................................................................................................ 97

LAS ESTRUCTURAS ADITIVAS................................................................................................................ 102

ESTÁNDARES RELACIONADOS ............................................................................................................. 109

SITUACIÓN 1: SOBRE LOS PROBLEMAS DE ADICIÓN ......................................................................... 109Conceptos y procedimientos ............................................................................................................. 109

SITUACIÓN 2: JUGANDO ....................................................................................................................... 117Conceptos y procedimientos ............................................................................................................. 117

Unidad No.5 DE LA MULTIPLICACIÓN A LA PROPORCIONALIDAD ........................ 121

MULTIPLICACIÓN Y PROPORCIONALIDAD EN LA EDUCACIÓN BÁSICA ........................................ 121

SOBRE LA MULTIPLICACIÓN ................................................................................................................. 121

SOBRE LA PROPORCIONALIDAD........................................................................................................... 122

LA MULTIPLICACIÓN Y LA PROPORCIONALIDAD SIMPLE DIRECTA ............................................... 122

ESTÁNDARES RELACIONADOS ............................................................................................................. 128

SITUACIÓN 1: SITUACIONES PARTICULARES ...................................................................................... 128

BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................... 135

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Agradecimientos

La Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia y la Facultad de Educaciónde la Universidad de Antioquia, agradecen la labor de coordinación del Diploma:Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas en la Educación Básica y Mediadel Departamento de Antioquia a su equipo técnico, a todos los docentes que parti-ciparon de él, y en particular, a las siguientes personas e instituciones educativasque hicieron posible llevarlo a feliz término:

� Integrantes de la Mesa Departamental de Matemáticas.

� Rectores de las Instituciones Educativas donde laboran los docentes integrantesde la Mesa Departamental de Matemáticas.

� A los docentes del Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Matemá-ticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia por la lectu-ra y sugerencias.

� Al comité académico del Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Ma-temáticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia por eltrabajo realizado en pro de esta obra.


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Introducción

Los números en la vida cotidiana pueden ser usados de muchas maneras: comosecuencia verbal, para cuantificar, para medir, para expresar un orden, para etique-tar, para marcar una locación, o simplemente como una tecla para pulsar (en el casode las calculadoras), (MEN, 1998; Decorte, Verschafel, 1996).

Los números como secuencia verbal

Esta es quizás una de las primeras identificaciones que el niño hace con respecto alnúmero. Desde una edad muy temprana, cuando se inicia el desarrollo del lenguaje,los niños comprenden que existen palabras para referirse a las cosas o las acciones,y otras palabras especiales con las cuales referirse a la acción de contar1. No quieredecir esto que los niños en esos momentos iniciales sepan contar, sino que identifi-can la existencia de palabras para referirse a dicha acción en especial.

Esta iniciación al uso de las palabras números cumple una funcionalidad muy impor-tante en el aprendizaje del conteo: de un lado, permite que los niños aprendan laspalabras número, y de otro, con la orientación del adulto, interiorizan el orden enque ellas deben ser aprendidas. Si bien pronunciar las palabras número no es con-tar en el sentido estricto de la palabra, conocer las palabras y su orden convencio-nal es uno de los aspectos claves en su aprendizaje.

Además, cuando este aprendizaje se hace unido a las acciones mismas de contar, yno solo a partir de acción de repetir las palabras número como si se tratara de unacanción o un retahíla de palabras, éstas palabras número se aprenden en contextoy con significado, lo que hace más fácil los aprendizajes posteriores con respecto ala cardinalidad, la ordinalidad y demás aspectos estructuran el concepto de número.

Los números para etiquetar

Los números como etiquetas tienen varios sentidos: de un lado puede identificarcierto uso que da el niño a las palabras número cuando está en proceso de apren-

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1 Así, hacia los dos años, los niños usan algunas palabras, como por ejemplo: uno tres cinco, etc., para referirse a acciones queindiquen contar, y cuando se les pide contar, no usan otras palabras como, gato, perro, etc., que son comunes en su vocabulario.


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2 Esto se evidencia en acciones como las siguientes: después de contar cuatro objetos se le pregunta al niño que muestre donde haytres, y generalmente señala el tercer objeto contado. Esto demuestra que la palabra tres aun no significa cantidad, sino una formade uno de los objetos contados.

3 Este reconocimiento de las cantidades iniciales pues dos objetos siempre están en línea, mientras que tres siempre están en triángulo.De ahí que la visualización juega un papel importante. Además, culturalmente, se induce al niño en la representación de estascantidades en sus dedos, sobre todo a partir de solicitarle que represente su edad en los dedos de las manos, en los juegos, al contaruno, dos, tres,� (y salte), etc.

4 Representar los números por barras es un asunto de tecnología, pues de es forma se facilita su lectura electrónica.

der a contar, pero de otro, puede referirse al uso del número como código de identi-ficación de personas, objetos, funciones etc.

Cuando el niño inicia el aprendizaje del conteo, una etapa inicial del proceso estáreferida al uso de las palabras número como etiquetas. Esto es, para el niño, cadapalabra número enunciada, no representa la cantidad de objetos contados hasta elmomento, sino el último objeto señalado2. Es decir, la palabra número no expresacantidad sino formas de nombrar los objetos. Esto se va superando en la medidaque los niños interiorizan la noción de cantidad, y sobre todo, en la medida quereconocen y memorizan de manera perceptual las cantidades o colecciones de mues-tra. Por ejemplo, reconocen donde hay dos o tres objetos sin necesidad de contar3.

El otro sentido, ya no depende de la comprensión del niño, sino de los usos cultura-les del número. Los números de las cédulas, de los teléfonos, de las camisetas delos jugadores de fútbol, etc., no comportan el significado de número en el sentidoestricto de la palabra. Son tan solo etiquetas para identificar algo: una persona (lacédula), una cuenta (el teléfono) y una función (el juego del fútbol). Como puedeverse en los ejemplos señalados, con dichos números no tiene sentido las operacio-nes clásicas de sumar o restar, aunque si indican una clasificación. Esto es, los nú-meros como etiquetas cumplen la función de clasificar objetos, y dependiendo delcontexto en que sean usados, esta clasificación es más detallada o no. Por ejemplo,en el caso de los códigos de barra que identifican los productos que se venden enuna tienda, almacén o supermercado, las barras representan una secuencia de nú-meros4 los cuales se utilizan para representar características del producto: fabri-cante, tipo de producto, nacionalidad, etc.

Los números para contar

Como se verá más adelante, contar es una acción fundamental en el desarrollo delpensamiento numérico, sobre todo, al inicio de las conceptualizaciones más ele-mentales con respecto al número. Pero no siempre que se repite una secuencia depalabras número se está usando el número en su sentido de contar. Los números seusan para contar, cuando el resultado final de la acción expresa la cantidad(cardinalidad) de una colección de objetos.

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En tal sentido, establecer correctamente la correspondencia uno a uno de las pala-bras número con los objetos de la colección que se quiere contar no es suficientepara que el número exprese cantidad, aunque si es condición necesaria. Esta signi-ficación se logra, cuando en la acción de establecer la correspondencia biunívoca,cada nueva palabra número usada expresa la totalidad de objetos contados hastael momento, y no tan solo como una etiqueta que representa el último objeto contado.

Los números para medir

En el mismo sentido del ítem anterior, no siempre se tiene la necesidad de cuantifi-car cantidades discretas. Muy a menudo, se debe cuantificar magnitudes continuas.En tales casos, el número expresa una cantidad, pero ahora como resultado de unamedición. En estos casos, por lo general ya no se trata de número enteros, sino denúmeros racionales, o incluso de números irracionales.

Los números como resultado de una medida constituyen una de las fuentes de sen-tido y significado más importantes para el desarrollo del pensamiento numérico. Esprecisamente la necesidad de expresar la medida de magnitudes de diferente na-turaleza la que se constituye como fuente fenomenológica para la construcción con-ceptual de los diferentes sistemas numéricos.

Los números para ordenar

Unido a lo anterior está el sentido de los números como criterio organizador de unasecuencia. Se trata un sentido del número en que no es solo cantidad, sino que através de la noción de cantidad se establece la organización de una secuencia deeventos, acciones, etc. En este sentido el significado del número en juego no es elde cantidad, sino el de orden. En este caso, la noción de cantidad es el referentebásico para definir el orden de aquello que se quiere organizar.

Así pues, y atendiendo a la complejidad subyacente al aprendizaje de los sistemasnuméricos, el Ministerio de Educación Nacional en su documento sobre losLineamientos Curriculares en el área de Matemáticas5, propone desarrollar el pen-samiento matemático a través de cinco pensamientos específicos, entre ellos seencuentra el Pensamiento Numérico. Dicho pensamiento integra el estudio de losSistemas Numéricos para desarrollar habilidades referidas a la comprensión delnúmero en sus diversos significados, al uso de los mismos en métodos cualitativos ocuantitativos, a la realización de estimaciones y aproximaciones, y en general, en la

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5 Ministerio de Educación Nacional. Lineamientos Curriculares para el área de matemáticas. 1998. Bogotá. P 131.

Introducción


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utilización los números como herramientas de comunicación, procesamiento e in-terpretación de la información en contexto. De esta manera, una persona estaría encapacidad de asumir posturas críticas frente a la información que circula en su en-torno, y así participar activamente en la toma de decisiones relevantes para su vidapersonal o en comunidad.

�el pensamiento numérico se refiere a la comprensión en general que tieneuna persona sobre los números y las operaciones junto con la habilidad y lainclinación a usar esta comprensión en formas flexibles para hacer juicios ma-temáticos y para desarrollar estrategias útiles al manejar números y operacio-nes. (Mcintosh, 1992) (Citado por MEN, 1998, p 43)

Desde una perspectiva más amplia, Resnick, 1989 (citada por Judith Sowder, 1992),propone que el pensamiento numérico debe ser considerado como una forma depensamiento superior y que por tanto debe presentar características como:

� No algorítmico, esto es, el camino de la acción no está totalmente especificadode antemano.

� Tiende a ser complejo: el camino total no es visible (mentalmente hablando) des-de ningún lugar en particular.

� Abre un campo de soluciones múltiples, cada una con costos y beneficios, antesque una única solución.

� Involucra juzgar e interpretar.� Involucra la aplicación de múltiples criterios, los cuales algunas veces entran en

conflicto con otros.� Involucra la incertidumbre: no siempre que iniciamos una tarea, conocemos el

camino para su solución.� Involucra autorregulación de los procesos de pensamiento.� Involucra imposición del significado, encontrando estructura en el aparente desorden.� El pensamiento es esfuerzo total. Existe un considerable trabajo mental en el tipo

de elaboraciones y juicios que se requieren.

La cita anterior muestra como el desarrollo del pensamiento numérico implica lainversión de largos periodos de tiempo ya que involucra no solo aspectos concep-tuales de las matemáticas, sino también el desarrollo mismo de la cognición humana.

En los Lineamientos Curriculares se plantean ideas similares a propósito de los én-fasis sobre los cuales se debe estructurar el currículo de matemáticas en el sistemaeducativo colombiano:

El pensamiento numérico se adquiere gradualmente y va evolucionando en lamedida en que los alumnos tienen la oportunidad de pensar en los números yde usarlos en contextos significativos, y se manifiesta de diversas maneras de

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acuerdo con el desarrollo del pensamiento matemático. En particular, es fun-damental la manera como los estudiantes escogen, desarrollan y usan méto-dos de cálculo, incluyendo cálculo escrito, cálculo mental, calculadoras y esti-mación, pues el pensamiento numérico juega un papel muy importante en eluso de cada uno de estos métodos. La invención de un algoritmo y su aplica-ción hace énfasis en aspectos del pensamiento numérico tales como la des-composición y la recomposición, y la comprensión de las propiedades numéri-cas. Cuando se usa un algoritmo ya sea utilizando papel y lápiz o calculadora,el pensamiento numérico es importante cuando se reflexiona sobre las res-puestas.

Otras situaciones que involucran el desarrollo del pensamiento numérico ha-cen referencia a la comprensión del significado de los números, a sus diferen-tes interpretaciones y representaciones, a la utilización de su poder descripti-vo, al reconocimiento del valor (tamaño) absoluto y relativo de los números, ala apreciación del efecto de las distintas operaciones, al desarrollo de puntosde referencia para considerar números. En general, estos puntos de referenciason valores que se derivan del contexto y evolucionan a través de la experien-cia escolar y extraescolar de los estudiantes. Otro indicador valioso del pensa-miento numérico es la utilización de las operaciones y de los números en laformulación y resolución de problemas y la comprensión de la relación entre elcontexto del problema y el cálculo necesario, lo que da pistas para determinarsi la solución debe ser exacta o aproximada y también si los resultados a la luzde los datos del problema son o no razonables.

El contexto mediante el cual se acercan los estudiantes a las matemáticas esun aspecto determinante para el desarrollo del pensamiento. Por tanto, para laadquisición del sentido numérico es necesario proporcionar situaciones ricasy significativas para los alumnos. Claramente, el pensamiento numérico es aveces determinado por el contexto en el cual las matemáticas evolucionan. Porejemplo, mientras un estudiante en la escuela no se incomoda porque 514 seala suma de 28 + 36, el mismo estudiante en una tienda puede exigir que se lerevise la cuenta si tiene que pagar $ 5140 por dos artículos cuyos precios son$ 260 y $ 380. Para otro estudiante resulta más fácil decir que en ½ libra de queso haymás queso que en ¼ de libra, que determinar cuál es mayor entre ¼ y ½.

La manera como se trabajen los números en la escuela contribuye o no a laadquisición del pensamiento numérico. Los estudiantes que son muy hábilespara efectuar cálculos con algoritmos de lápiz y papel (este es el indicadormediante el cual se mide con frecuencia el éxito en matemáticas) pueden o noestar desarrollando este pensamiento.

Cuando un estudiante de sexto grado dice que �

��

�

�

�

�

� =+ o un estudiante desegundo grado afirma que 40 - 36 = 16, están intentando aplicar un algoritmoque han aprendido pero no están manifestando pensamiento numérico.

MEN, 1998, p 43 y 44

Introducción


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Surge entonces una gran pregunta para la escuela: ¿Cómo organizar la estructuracurricular del área de matemáticas con el fin de lograr el desarrollo de un pensa-miento matemático en los estudiantes, coherente con los planteamientos de losLineamientos Curriculares, Estándares Básicos de Matemáticas, y en general, conlas propuestas actuales de la didáctica de las matemáticas en el ámbito nacional einternacional? Por supuesto, un intento de respuesta no es simple ni inmediato.

El desarrollo del pensamiento numérico de los niños empieza antes de su ingreso ala escuela, cuando hacia los dos o tres años, a través de la interacción con otrosadultos (fundamentalmente sus padres) desarrollan no solo las habilidades y com-petencias relativas al lenguaje materno, sino que, gracias a esas interacciones, tam-bién desarrollan una serie de intuiciones sobre lo numérico. Dichas intuiciones semanifiestan en competencias relativas al conteo6, a la percepción global del cardi-nal de pequeñas colecciones7, e incluso, la posibilidad de composiciones y descom-posiciones de las mismas. Si bien no puede decirse que estas actuaciones constitu-yan un conocimiento amplio del número, ni en el sentido matemático pues aun nopueden reconocerse las propiedades matemáticas básicas del sistema de los nú-meros naturales, ni en el psicológico puesto que la complejidad lógica de estosconocimientos es aun incipiente, si puede afirmarse que estas primeras intuicionesnuméricas son la base para el posterior desarrollo de los aspectos psicológicos ymatemáticos del mismo.

Desde el punto de vista psicológico y teniendo como referente a Piaget, la construc-ción del número como una clase lógica, involucra en principio, la estructuración lasoperaciones lógicas de clases, de seriación y de inclusión. Luego, se construye lanoción de cardinalidad, y orden estable y su correspondiente síntesis permite evi-denciar la conservación, principio que sirve de indicador de la comprensión de talconcepto.

Esta construcción de los aspectos cognitivos del número es un elemento inherenteal desarrollo de la persona, y aquí la escuela juega un papel importante, no desde elénfasis en la réplica de las actividades piagetianas de seriación, clasificación, orde-nación, conservación, etc., sino desde la perspectiva de promover situaciones enlas cuales el papel de la interacción social del niño sea un factor fundamental quepotencie la construcción de dicho concepto, pues por medio de esta interacción seposibilita el proceso de adquisición de las competencias lingüísticas, pragmáticas,

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6 Por contar se entiende no el recitar la secuencia de palabras número, sino al establecimiento de la correspondencia entre éstas ylos objetos de la colección que se desea contar. Aunque es de anotar que en esas edades se cometen muchos errores al estableceresta correspondencia, y que el conteo, más que dar cuenta de la cantidad de objetos de una colección (cardinal), lo que hace esasignar etiquetas a los objetos contados (el tres no significa tres objetos, sino más bien el tercer objeto contado).

7 Desde edades muy tempranas los niños reconocen perceptualmente colecciones de hasta tres objetos sin necesidad de recurrir asu conteo; este proceso se conoce como (subitising).

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� Cardinal Código Ordinal Medida

Dominio y uso de su campo semántico

Concepto de Número

Tratamiento de Magnitudes

Medir Contar

Continuas

Naturales Racionales Irracionales

Vectoriales

Números Reales

Simples

Múltiples

Combinatorios

Orientadas/ No Orientadas

Positivo/Negativo Conmensurable

Enteros

Discretas

Positivo/Negativo Inconmensurable

No Densos Densos

Incompletos

Representaciones Simbólicas

Verbal Escrita

Posicional No Posicional

Base 10

Algoritmos

Estructuras Aditivas

Estructuras Multiplicativas

Proporcionalidad Escalares

Operaciones Básicas

y conceptuales necesarias para su desarrollo. En otras palabras, el aprendizaje delnúmero no es solo un problema de desarrollo cognitivo, sino que el contextosociocultural en el que el niño despliega su actividad es determinante en los logrosque puede alcanzar.

Así pues, aceptando que la escuela juega un papel fundamental en el desarrollo delpensamiento numérico, y que éste es un proceso de larga duración, se proponen lossiguientes aspectos para el trabajo en el contexto escolar:

� El conocimiento de los múltiples usos de los números.� El conteo y las estrategias para operar a través del conteo.� La comprensión de las relaciones y las operaciones.� La comprensión del sistema de numeración decimal.� El sentido de número y la estimación.� Trascender los números naturales.

El siguiente diagrama muestra una alternativa organizacional de los aspectos an-tes señalados:

Introducción

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8 GOBERNACIÓN DE ANTIOQUIA. SECRETARIA DE EDUCACIÓN PARA LA CULTURA. Interpretación e Implementación de losestándares básicos de matemáticas. Medellín, 2005. P 135

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Todo lo anterior muestra la necesidad del desarrollo de una propuesta curricularrica en situaciones a través de las cuales los alumnos puedan tomar conciencia deesta multiplicidad de sentidos y significados de los números.

En este sentido este documento es el resultado de un proceso de reflexión, de dis-cusión y construcción sobre el desarrollo del pensamiento numérico, que se ha veni-do adelantando con docentes del área y a través de la experiencia con estudiantesde la educación básica. El propósito fundamental, es presentar elementos de análi-sis para los conceptos que posibilitan el desarrollo del pensamiento numérico y eldiseño de situaciones problema pertinentes con estos.

El módulo se compone de cuatro unidades, así:

Unidad No 1: Números naturales.Unidad No 2: Números Enteros.Unidad No 3: Números Racionales.Unidad No 4: Estructuras aditivas.

Cada unidad contiene una situación problema, con un marco teórico que la sustentadesde la educación matemática, un conjunto de actividades para los estudiantes,un análisis conceptual que guíe al profesor frente a los conceptos desarrollados encada.

Se espera que este material sea un aporte a la labor que desempeñan los docentesdel área y por lo tanto a la educación matemática en el departamento de Antioquia.Igualmente se trata de un documento en permanente construcción, por lo cual seespera siga creciendo con los aportes de todos los docentes que lo estudien y utili-cen como base para su trabajo de aula.

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Unidad No.1

Números Naturales

Conteo y el Aprendizaje del Número Natural

Generalmente, cuando se habla del aprendizaje del número natural, se piensa bá-sicamente en los primeros aprendizajes que el niño realiza en el Preescolar y/o pri-mero de primaria. Nada más lejos de la realidad que tal planteamiento. Dicho apren-dizaje está presente, por lo menos, a lo largo de toda la educación básica.

Durante mucho tiempo las actividades de enseñanza del número centraron la aten-ción en las tareas piagetianas sobre conservación, seriación y clasificación. Hoy endía se ha demostrado que estas actividades no mejoran la comprensión numéricade los niños (Decorte y Verschafel, 1996), y que por el contrario, centrar el trabajosobre el conteo y las estrategias del conteo a través de la solución de problemassencillos, trae grandes desarrollos en los procesos de conceptualización de los alumnos.

En nuestro sistema educativo es muy común la estrategia de enseñar el conceptode número natural a partir de la noción de cardinal, el cual se supone es el resultadode la abstracción del trabajo con colecciones9 . Una vez �aprendidos los números�,se pasa al estudio de las operaciones, el cual se restringe básicamente al aprendi-zaje de los algoritmos para calcular los resultados, y no en la comprensión del sen-tido de las operaciones mismas. Finalmente, se trabaja la solución de problemas,donde se aplican los conceptos estudiados anteriormente. Esta perspectiva de tra-bajo desarticulado, dificulta el desarrollo del pensamiento numérico tal como sepropone en los lineamientos curriculares.

Por el contrario, una orientación pedagógica que involucre como punto fundamentallas situaciones problema en las que intervienen los números naturales, y a través deestas, conceptualizar las relaciones, las operaciones y las propiedades que los ca-racterizan como sistema numérico, se hace bastante promisoria. Nótese que se estáplanteando un aprendizaje del número a través de su uso, y no aprender el númeropara luego utilizarlo. Para lograr tal meta, la acción de contar es un factor determinante.

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9 Así, son comunes las actividades en las que se muestran las colecciones de uno, dos, tres, cuatro,�, elementos, generalmente enforma gráfica y sin contexto alguno que les den sentido y significado, separadas en el tiempo (cada una de ellas en una clasediferente), seguidas posteriormente de actividades centradas en el reconocimiento de la representación simbólica de cada uno delos números representados en dichas colecciones.


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Así, por ejemplo, saber que el número �cinco� es mucho más que reconocer unacolección de cinco unidades, o reconocer el numeral �5�. Es reconocer que 5 es 3+2,4+1, 10÷2, etc., es reconocer que �3<4<5<6<7�, es poderlo utilizar con sentidopara comunicar situaciones en las que él aparece, o poder resolver situaciones pro-blema en las que el cinco esté involucrado.

�La noción de número es la más importante de la matemática enseñada en laescuela primaria. Lejos de ser una noción elemental, se apoya en otras nocio-nes como las de función, correspondencia biunívoca, relación de equivalenciay relación de orden. En el niño la noción de número es indisociable de la no-ción de medida. Finalmente, es la posibilidad de hacer sumas la que da a lanoción de número su carácter específico, en relación con las nociones sobrelas cuales se apoya.� (Vergnaud, 2003, p 101).

La Interacción Social y los Primeros Aprendizajes Numéricos

Los padres inducen a los niños al aprendizaje de la secuencia de las palabras núme-ro, quizás por presumir ante familiares y amigos, ó motivados por la idea de que lasmatemáticas hacen a las personas inteligentes, o simplemente motivados por unanecesidad social. Estas acciones hacen que paulatinamente, el niño hacia los tres ocuatro años, pueda recitar las palabras número, y en el orden apropiado, por lomenos hasta el diez. Erróneamente, la mayoría de los adultos asumen que esta reci-tación es una evidencia de que el niño sabe contar. En realidad el conteo implica,otro tipo de capacidades que superan ampliamente este nivel de la recitación delas palabras número.

Pero cuando esta intencionalidad del adulto se contextualiza desde las actividadescotidianas del niño, fundamentalmente desde sus juegos, de tal manera que el apren-dizaje de la secuencia de las palabras número se realice sobre la base de activida-des reales de conteo, entonces se logra ya no solo recitar las palabras número, sinorealmente contar en un rango alrededor de la decena, reconocer perceptualmentela cardinalidad de colecciones de hasta tres o cuatro elementos, o incluso, realizarcomposiciones y descomposiciones en los rangos numéricos dentro de los cualesse reconoce la cardinalidad perceptual.

Realizar el anterior trabajo tiene dos condiciones básicas: De un lado, aprovecharlas actividades de juego espontáneas de los niños para inducirlos en actividades deconteo, y de otro, que estas actividades de conteo generen la necesidad de comuni-car cantidades y de comunicarse a través de las mismas. Es decir, no se trata deforzar actividades de conteo, sino de aprovechar aquellas en las que el contar se

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pueda desarrollar de forma casi natural, pero que a la vez, este conteo esté media-do por la necesidad de comunicarle a otros la cantidad contada.

Por ejemplo, en un juego con cubos, carros, o muñecas, el adulto puede inducir a losniños a la necesidad de contar a través de un cuestionamiento sencillo: ¿cuántoscubos, carros, muñecas tenemos? En este momento el adulto puede acompañar elacto de contar del niño, ayudándolo en los momentos críticos, ya sea en el orden dela serie numérica o en llevar un control de los objetos que cuenta, para dar feliztérmino a su acto. Otro contexto que propicia los aprendizajes numéricos es el rela-tivo a la comunicación de la edad: Al niño(a) continuamente se le cuestiona por suedad, y él rápidamente aprende a mostrar en sus dedos cuantos años tiene, recono-ciendo la cardinalidad de colecciones pequeñas haciendo uso de las colecciones demuestra.

Como se afirmó antes, estos aprendizajes numéricos de los niños hacia tres o cua-tro años de edad aun distan mucho de constituir formalmente el concepto de núme-ro, pues, siguiendo las posturas piagetianas, no hay en estos actos de conteo evi-dencia de cardinalidad, orden estable, conservación y por consiguiente, el númerono existe como clase.

La ausencia de cardinalidad se puede evidenciar en situaciones tan simples comoen el acto de mostrar tres dedos de una mano para representar una cantidad (comopor ejemplo su edad): Siempre son los mismos tres dedos, y no aceptan que otrostres dedos, o incluso que dos dedos de una mano y uno de la otra sean el mismotres, En otras palabras, el tres no es la cantidad, sino los tres dedos que se usanpara su representación y de ahí la negativa para aceptar que otra configuración dededos también represente el mismo tres. Igual evidencia se puede observar con laspalabras número que se utilizan para contar: Cuando el niño cuenta uno, dos y tres,estas no representan cantidades de objetos, sino más bien etiquetas para referirsea dichos objetos, y por tanto, el «uno», o el «dos», o el «tres» se refieren a denomina-ciones que se otorgan a los objetos de la colección para tener un control de losmismos, y no a las cantidades uno, dos o tres.

La ausencia de orden se evidencia de un lado en la imposibilidad del niño para verla inclusión de un número en otro, por ejemplo, para ver que el tres contiene al dos;y de otro lado, que a pesar de realizar el conteo en orden correcto, el orden en quese realiza dicho conteo se refiere no a la relación de ser mayor o menor, sino a lamanera como fueron aprendidas la palabras número.

Todo esto evidencia la ausencia de un concepto de número como clase, ya que, porejemplo, el dos es diferente según el contexto donde es utilizado: La cantidad dedos carros no es la misma cantidad que dos muñecas, pues el dos se refiere a cosasy no a la cantidad. Es decir, existe un número para cada colección, y el número deuna es diferente del número de la otra.

Números Naturales


1

20

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Gráfico No.1

Así pues, existe una gran distancia entre las ideas iniciales que los niños tienenacerca del número y los conceptos formales aceptados en la escuela, por ello no sepuede pretender dejar este desarrollo conceptual a la mera voluntad del destino, sino mas bien buscar un aprendizaje del concepto de número natural sobre la basedel desarrollo de unas estructuras cognitivas mediadas por la interacción social delniño. Dicha interacción posibilita un proceso de adquisición de las competenciaslingüísticas, pragmáticas y conceptuales necesarias para la significación yestructuración de éste concepto.

En otras palabras, el aprendizaje del número no es solo un problema de desarrollocognitivo, sino que el contexto sociocultural en el que el niño despliega su actividades determinante en los logros que puede alcanzar.

El Conteo y las Estrategias para operar a través de el Conteo

Contar es una acción básica para el desarrollo del concepto de número natural, perosobre todo, si esta acción está mediada por la necesidad de comunicar o interactuarcon otros: Por ejemplo, mediante un juego para determinar los marcadores de cada juga-dor, para comunicar a otros cuanto se tiene de algo, para comparar cantidades, etc.

El conteo es un esquema mental cuyaconstrucción inicia en la etapasensoriomotriz y que se va desarro-llando paulatinamente hasta alcanzarniveles abstractos. Cada una de lasetapas por las que atraviesa este pro-ceso determina momentos específi-cos en el desarrollo conceptual del nú-mero. La construcción de este esque-ma requiere en el niño la presencia decolecciones como totalidades com-puestas, susceptibles de ser compa-radas. Pero no por el hecho de que elniño perciba la colección como plura-lidad está en capacidad de contarla.Debe ante todo percibir cada elemen-to de la colección como un ítem quepuede ser contado, delimitar claramente los elementos de la colección, y estableceruna correspondencia uno a uno entre la secuencia de las palabras número y losobjetos de la colección que debe ser contada (esto es, no contar dos veces un ele-mento o dejar alguno sin contar). Como se ilustra en el gráfico N° 1(Kamii, 1994, p 21)

21

Así pues, contar es un proceso mediante el cual se ponen en correspondenciabiunívoca los números naturales con los elementos de una colección y se procede asu cuantificación, y como ya se dijo, recitar las palabras número, sin ninguna refe-rencia a correspondencia con ítemes de una colección no es contar. Cuando el niñoinicia los primeros aprendizajes de este proceso se ve enfrentado a múltiples pro-blemas, que van desde no conocer los nombres de los números o no conocer elorden correcto de ellos, hasta los relativos con el establecimiento del cardinal de lacolección contada. Solo a través de enfrentar múltiples situaciones de conteo, elniño puede desarrollar los esquemas suficientes y necesarios para solucionar estosproblemas.

De otra parte, así como a través de las diferentes situaciones de conteo a las que elniño se enfrente le permiten adquirir una comprensión del número, estas mismassituaciones, en la medida que exigen la comunicación con otros (sobre todo si estase realiza con lápiz y papel), también generan la necesidad de aprender a escribirlos numerales10. Al igual que con el conteo, este no es un aprendizaje de fácil tránsi-to, que parte de las representaciones espontáneas de los niños (icónicas muchasveces) hasta finalmente llegar a la escritura socialmente establecida. Se trata pues,no de imponer a la fuerza una escritura simbólica, sino de permitir que en la medidaque aumente la comprensión conceptual del número, también mejore la forma comoeste se representa por escrito, y viceversa, que en la medida que se disponga deformas más potentes de representación simbólica para el número, entonces se ten-gan mejores herramientas para su comprensión.

Finalmente, el conteo es una herramienta importante para iniciar el aprendizaje delas operaciones básicas, sobre todo las correspondientes a la estructura aditiva. Lacomposición de dos o más a cantidades (partes) para formar una única cantidad(todo), o su correspondiente operación inversa, descomponer una cantidad dada(todo), en una o más cantidades no necesariamente iguales (partes), son una fuenteimportante de sentido y significado para la suma y la resta respectivamente. Elconteo proporciona estrategias para el tratamiento de situaciones que involucrentanto la composición como la descomposición aditiva. Estas se constituyen en unode los procesos fundamentales a través de los cuales el alumno logra laestructuración conceptual del número.

La descomposición, como su nombre lo indica, consiste en la repartición de unacantidad determinada en dos o más cantidades menores que ella (éstas no necesa-riamente tienen que ser iguales). Así por ejemplo, la cantidad 5 puede ser descom-puesta en 1 y 4; 2 y 3; 3 y 2 y 4 y 1. La composición es el proceso inverso, esto es, a

_____________________________________________________

10 Símbolos con los que representamos los números de forma escrita, que para nuestro caso, es a través de Sistema de NumeraciónDecimal.

Números Naturales


1

22

partir de dos o más cantidades dadas, encontrar la cantidad total. Ambos procesosestán unidos al esquema básico aditivo: la relación parte-parte-todo. Así, en un pri-mer momento de la actividad intelectual del alumno, la composición y la descompo-sición aditiva está ligada al conteo, y a través de este, se generan una serie deestrategias que evolucionan en la medida que evolucione el concepto de número yde las operaciones adición y sustracción.

Estándares Relacionados con la Unidad No.1

A continuación se presenta una propuesta organizacional de los estándares asocia-dos al conjunto de actividades de esta unidad:

_____________________________________________________

11 Tomado del libro interpretación e implementación de los estándares básicos de matemáticas, Gobernación de Antioquia. Secreta-ría de Educación, Medellín 2005.

Aleatorio

Métrico

Variacional

Reconocer el significado del número en diferentes contextos (medición, conteo,comparación, codificación, localización entre otros).

Describir, comparar y cuantificar situaciones con números, en diferentes contex-tos y con diferentes representaciones.

Analizar y explicar las representaciones de un mismo número (naturales, fraccio-nes, decimales, porcentajes).

Generalizar propiedades y relaciones de los números naturales (ser par, impar, sermúltiplo de, ser divisible por, conmutativa, etc.)

Reconocer y describir regularidades y patrones en distintos contextos (numérico,geométrico, musical, entre otros).

Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación, utilizando el len-guaje natural, dibujos y gráficas.

Representar y relacionar patrones numéricos con tablas y reglas verbales.

Reconocer atributos mensurables de los objetos y eventos (longitud, superficie,capacidad, masa y tiempo) en diversas situaciones.

Diferenciar atributos mensurables de los objetos y eventos (longitud, superficie,volumen, capacidad, masa, tiempo y amplitud angular) en diversas situaciones.

Clasificar y organizar datos (relativos a objetos reales o eventos escolares) deacuerdo con cualidades o atributos

Numérico

Primero aTercero

Cuarto aquinto

Sexto aséptimo

Primero aTercero

Cuarto aquinto

Primero aTercero

Cuarto aquinto

Primero aTercero

11

23

Números Naturales

SITUACIÓN N° 1: JUGANDO Y CONTANDO

� CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS

Con el siguiente grupo de actividades, se pretende un acercamiento a los diferen-tes significados y usos del número en diferentes contextos, teniendo en cuenta elconteo, la composición y la descomposición como estrategias en la solución de pro-blemas, y por esta vía, lograr una construcción significativa del concepto de número.

Los juegos �Los bolos� y �La canasta� permiten hacer diferentes conteos, recono-cimiento de cardinalidad y ordinalidad de los números, diferentes composiciones ypor lo tanto operaciones entre ellos. Por ejemplo, si un equipo tumba 5 bolos decolor rojo (valor 10 puntos cada uno), 3 bolos azules (valor 5 puntos) y 2 bolos ama-rillos (valor 1 punto), debe hacer la cuenta del total de puntos, para lo cual puedeutilizar conteos múltiples y/ o simples:

� 10, 20, 30, 40, 50 Puntos en los rojos: 40,� 5, 10, 15, Puntos en los azules: 15,� 1, 2 Puntos en los amarillos: 2,

Y luego sumar para obtener el total de puntos. 50 + 15 + 2 = 67

Pero también puede plantear directamente las operaciones de multiplicación yadición:

� 5 x 10 = 50 Puntos en los rojos: 50� 3 x 5 = 15 Puntos en los azules: 15� 2 x 1 = 2 Puntos en los amarillos: 2

Luego sumar como en el caso anterior para obtener el total de puntos: 50 + 15 + 2 = 67

La actividad de llenar la tabla en los dos juegos posibilita al estudiante reconocerrelaciones entre los números obtenidos (mayorancia y minorancia), además de plan-tear diferentes operaciones y relaciones entre ellos. Así por ejemplo, si un jugadorobtuvo la siguiente tabla en el juego de la canasta:

Turno No

123

No de tapas enel color azul

416

No de tapas enel color rojo

354

No de tapas en elcolor amarillo

340

Puntajeobtenido


1

24

Se pueden proponer reflexiones como las siguientes:

� ¿Cuántas tapas cayeron en azul? ¿cuántas en rojo?�� ¿Cuál es el puntaje obtenido con las tapas que cayeron en azul? ¿con las que

cayeron en rojo?...� ¿Cuántas tapas cayeron en la canasta?� ¿Cuál es el puntaje total?

Otra posibilidad es la de realizar una tabla general donde se registren los resulta-dos de todos los participantes para establecer las posibles combinaciones del nú-mero 10 que es el número de tapas que lanza cada jugador en cada turno. Ademásde las combinaciones de otros números, si son los cinco jugadores, en este casopara el 50.

La actividad 4: �El mentiroso�, permite reconocer los números en composiciones ydescomposiciones:

� 4 como 2 + 2� 6 como 2 +2 + 2� 8 como 6 + 2; 2 +2 +2 +2; 4 + 2 + 2; 4 +4, etc.

Además, reconocer que un mismo número se compone de diferentes maneras: ejem-plo 24 aparece en la lista de 4, 8, 12, 16 ,20, 24, 28,�, pero también aparece en la listade 6, 12, 18, 24, 30�, y además en la de 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27..

Se sugiere además, establecer discusiones acerca de las operaciones implicadas ysus propiedades, haciendo énfasis en la comprensión de los fenómenos y las rela-ciones que se involucran, para lograr explicar y argumentar los procedimientos yresultados obtenidos frente a una situación o problema planteado. Así, aunque seobtenga el mismo resultado (24) con las operaciones 6 x 4; 4 x 6 y 8 x3, el fenómenorepresentado es diferente:

� 6 x 4 = 24: (4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4, seis tarjetas de 4 puntos cada una)� 4 x 6 = 24: (6 + 6 + 6 + 6, cuatro tarjetas de 6 puntos cada una)� 8 x 3 = 24: (3 + 3 +3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, ocho tarjetas de 3 puntos cada una)

Igualmente el juego permite reconocer en los números naturales propiedades y re-laciones de divisibilidad, ser múltiplo de�, etc. Para lograr tales conceptualizacionesse sugiere crear variantes para el juego de modo que se identifiquen múltiplos de 2,3, 4, 6, y además, reforzar distintas estrategias de conteo, buscar el mínimo comúnmúltiplo y el máximo común divisor, etc..

Otra línea de análisis interesante en esta actividad tienen que ver con las estrate-gias para descubrir al mentiroso, en tanto que dichas estrategias se basan en las

25

operaciones entre números y sus propiedades. Preguntas como las siguientes pue-den orientar el análisis propuesto:

� ¿Cómo descubriste que � decía mentira?� ¿Qué estrategias utilizaste para determinar el número de veces que aparece cada

número en el juego?� ¿Es posible saber siempre con certeza si un compañero dice mentira?

De igual manera, en el juego �Tiro al blanco�, se puede interpretar y manipular ladescomposición de los números, así: El 65 se puede obtener como 5 + 15 +15 + 30 ócomo 5 + 5 + 5 +15 +15 + 20.

Además, se puede plantear una variación del juego de tal forma que permita ver ladescomposición de los números en decenas (y un excedente que no completa ladecena). Por ejemplo, con tiros de 5, 10, 20, 30, se obtendrían resultados como 65 =10 + 10 +10 + (10 + 10) + 10 + 5

Es preciso recordar que los errores de los estudiantes en la lectura de los números,muchas veces obedece a la utilización poco adecuada de esta descomposición. Así,cuando se le pregunta a un estudiante cuántas unidades hay en el número 65 y ésteda como respuesta 5, él no percibe o no recuerda que realmente hay 65 unidades, yconfunde la cifra que está ubicada en las unidades (5) con la cantidad de grupos de1 que se pueden obtener del número dado.

� GESTIÓN DE LAS ACTIVIDADES

Se recomienda desarrollar los juegos con el número de participantes indicado yluego, en parejas, hacer la discusión de las preguntas y las reflexiones. Es pertinen-te hacer socializaciones en las cuales se planteen diferentes puntos de vista res-pecto a los interrogantes formulados y se diseñen nuevos planes de acción relativosa cada actividad. El docente debe analizar los resultados según las reflexiones ini-ciales y orientar a los estudiantes en los procesos de generalización, corrección deerrores y procesos de ejercitación de procedimientos, siempre tomando como insumolos resultados obtenidos por los alumnos.

Las tablas que se sugieren llenar en cada actividad juegan un papel muy importan-te, pues a partir de estos registros se puede recuperar el trabajo realizado por losalumnos y a partir de ahí poder realizar los procesos de conceptualización pertinen-tes a cada una de las actividades. Dependiendo del juego, o de la intencionalidadde conceptualuzación, la tabla puede ser una para cada jugador, o una para todo elequipo.

Números Naturales


1

26

�ACTIVIDAD 1: Tiro al blanco

Número de jugadores: 2 o másMateriales: Tiza, bolsitas de arena o tapas de gaseosa rellenasde plastilina, pita, papel y lápiz.

Cómo jugar

w El juego consiste en lanzar un objeto (bolsitas de arenas o tapas) a un blanco quese encuentra a una distancia prudencial del lanzador.

w El blanco se realiza dibujando en el piso 4 círculos concéntricos. Cada círculotiene los siguientes valores, iniciando desde adentro hacia fuera: 30, 20, 15, 5.

w Cada jugador realiza 6 lanzamientos por turno. A medida que realiza el juegollena una tabla de registro similar a la de abajo. (Agrega las filas que sean nece-sarias para registrar todos los puntajes).

Turno No.

Turno 1Turno 2Turno 3

No. deaciertos en 5

No. deaciertos en 15



TotalPuntaje

Situaciones para reflexionar

w ¿Cuántos puntos de ventaja obtuvo el ganador con respecto a los demás jugadores?w ¿Cuál creen que sea el máximo puntaje que puede obtener un jugador?w La siguiente es la tabla de registro de un jugador, pero olvidó anotar lo sucedido

en algunos turnos. ¿Cuáles crees que sean los valores que faltan?

Turno No.


No. deaciertos en 5




TotalPuntaje

12

265120

��ACTIVIDAD 2: Los bolos

Número de jugadores: 4Materiales por equipo: Bolos (10) de colores con valores determi-nados (de acuerdo con las necesidades del grupo), pelota, hojas deregistro, lápices, un espacio amplio para jugar.

27

Cómo jugar:

w Cada equipo de subdivide en parejas para competir entre ellos.w Cada equipo elige un líder y éste lanza la pelota para tumbar los bolos y empieza

el equipo que tumbe más bolos.w El juego consiste en derribar el mayor número posible de bolos por equipo.w Cada integrante del equipo tira la pelota una vez y se totalizan los puntos obteni-

dos por la pareja en ese turno. Ese puntaje se registra en la tabla.w Después de cada lanzamiento se paran los bolos tumbados.w Cada equipo, en turnos alternados realiza tres rondas.w Gana el equipo que más puntos acumule después de terminar las tres rondas.

Turno No.


No. de bolosazules caídos

No. de bolosamarillos caídos

No. de bolosverdes caídos

TotalPuntaje

Total equipo

��ACTIVIDAD 3: La canasta

Número de jugadores: 5Materiales por equipo: 10 tapas de gaseosa (rellenas deplastilina para que sean más pesadas), una canasta de huevosvacía pintada de 4 colores diferentes, a cada uno se le asigna unvalor a saber: 7 azul, 5 rojo, 3 amarillo, 2 verde; tabla de registro, lápices. (Los valo-res asignados a los colores pueden variar según las necesidades del grupo).

Cómo jugar:

w Los participantes se enumeran de uno a cinco para determina el orden de lanza-miento.

w El juego consta de tres turnos para cada participante.w Cada jugador en su turno lanzará de forma sucesiva 10 tapas hacía la canasta.

Una vez efectuado el turno, el jugador debe observar la ubicación de las tapaspara determinar el puntaje obtenido teniendo en cuenta el valor de cada zona dela canasta. Luego anota dicho puntaje en la tabla de registro.

w El ganador es el participante que obtiene el mayor puntaje.w A medida que el juego se realiza se llena una tabla de registro individual como la

siguiente:

Números Naturales


1

28

Turno No.

123

No. tapas encolor azul

No. tapas encolor rojo

No. tapas encolor amarillo

No. tapas encolor verde

PuntosGanados


w Camilo y Pablo estaban jugando a la canasta, pero necesitan nuestra ayuda parasaber quién ganó. Camilo encanastó diez tapas: 3 en color verde, 2 en color rojo,4 en color amarillo y 1 en color azul ¿Cuántos puntos ganó? Pablo encanastó dieztapas: 2 en color verde, 4 en color rojo, 1 en color amarillo y 3 en color azul. ¿Cuán-tos puntos ganó? ¿Quién fue el ganador? Elabore las tablas de Camilo y Pablo.

w Las siguientes son las tablas de registro de dos jugadores, pero por descuido deuno de ellos las ha mojado de jugo, y algunos números se han borrado. Ayuda acompletar los datos para establecer el ganador de este juego.

Turno No.

123

No. tapas enazul

No. tapas enrojo

No. tapas enamarillo

No. tapas enverde

PuntosGanados

53

2 403947

Turno No.

123

No. tapas enazul

No. tapas enrojo

No. tapas enamarillo

No. tapas enverde

PuntosGanados

44 6 32

4860

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12 Tomado y adaptado de: KAMII, Constante. Reinventando la aritmética II. pp 157-158.

�ACTIVIDAD 4: El mentiroso12

Número de jugadores: 4Materiales por equipo: Una baraja de cartas caseras (60), en combinaciones de 10como las que se muestran a continuación.

29

�

��

��

��

5, 10 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 403, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 601, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

w El objetivo del juego es formar series de 10 cartas, iniciando con la serie del 2,luego con la del 3, 4, 5, 6 y 1. Terminada una serie se inicia otra ronda.

w Se reparte toda la baraja en igual número de cartas para cada jugador. El primerjugador pone un 2 en el centro de la mesa, boca abajo y dice: �dos�. El siguientecontinúa con un 4 y dice �cuatro�. El siguiente continúa con un 6 y dice �seis�. Eljugador que no tiene la siguiente carta que le corresponde poner, coloca otracualquiera esperando que no lo descubran. Si alguien cree que la carta no secorresponde con el número cantado por el jugador, dice �mentira�. Si es mentira,la persona que la ha echado se queda con todas las cartas del montón de lamesa. Si no es mentira, quien acusa se lleva todo el montón.

w El juego continúa hasta que alguien se quede sin cartas o cuando no hayan máscartas para completar la serie.

Gana el jugador que quede sin cartas o el que obtenga el menor puntaje

Números Naturales


1

30

31

Unidad No.2

Números Enteros

Referentes Conceptuales

La enseñanza de los números enteros ha estado situada hacia los grados 6 o 7 de laeducación básica. Además, dada la organización curricular lineal y rígida de la ma-temática escolar, antes de estos grados los niños difícilmente son puestos en situa-ciones de aula en las que se vean en la necesidad de utilizar, de manera intuitiva,nociones básicas relacionadas con los números enteros, o mejor aún, con las nocio-nes básicas de lo positivo y lo negativo. Esta situación se presenta a pesar de queellos, en su vida cotidiana, se ven enfrentados a situaciones que implican una prime-ra aproximación a este sistema numérico; por ejemplo cuando juegan (pierden, ga-nan) quedan debiendo); en sus casas (sus padres tienen deudas, hacen préstamos,pagan acreencias); en las noticias (información estadística sobre la economía delpaís, las tasas de interés; etc.).

La presencia de situaciones como las anteriores en la vida cotidiana de los alumnos,muestran que, en principio, si tendría sentido generar propuestas de aula que ini-cien el trabajo de los números enteros desde los primeros grados de la educaciónbásica (claro esta, sin pretender que a esta edad se aprenda el tratamiento formalque implica la complejidad de los enteros como sistema matemático).

Algunas Dificultades en el Aprendizaje de los Números Enteros

Es común encontrar que los alumnos al enfrentarse a situaciones que requieran deluso de los números enteros, los asuman como si se tratará de números naturales.Esto se evidencia en situaciones como:

Se interpreta como negativo todo aquello que esté antecedido de un signo menos,por ejemplo: El número -x siempre se grafica a la izquierda del cero, independientede que x sea o no mayor que cero.

No se comprende que cuando x < 0 entonces -x es positivo.


1

32

La marcada dependencia de la ley de los signos es otro asunto que impide un ma-nejo adecuado de las diferentes interpretaciones del signo menos. Por ejemplo: Paraencontrar el resultado de -2 -3 algunos estudiantes no dudan en afirmar que es +6luego de multiplicar los números dados y sus correspondientes signos; o en otroscasos +5 después de sumar los números y multiplicar los signos. Esto como resulta-do de omitir la interpretación de la expresión como la suma del opuesto de 2 con elopuesto de 3 o alternativamente, la resta de tres al opuesto de 2.

Al despejar una ecuación, en la cual se aplique la propiedad invertiva del producto, tam-

bién se hace inversión del signo: en la ecuación, 3x = 15 se despeja como:

��

�

�� −=−

=�

La no comprensión de la sustracción como la operación inversa de la suma. Esto es,que en los enteros solo tiene sentido hablar de la operación suma, pues cualquierresta se puede interpretar como una suma de inverso aditivos.

Solo se admite el signo menos como un operador binario, esto es, la expresión 5 - 3solo puede denotar la resta, y no se ve el -3 como el inverso aditivo de 3.

La no comprensión de los diferentes significados del signo menos. Por ejemplo,-(-3), el primer signo menos indica el operador opuesto de�, mientras que el signomenos al interior del paréntesis puede denotar, o bien el opuesto aditivo, o bien unnúmero negativo.

Algunos Apuntes desde la Historia

La comprensión del concepto de número entero comporta una serie de elementosepistemológicos que lo hacen complejo: la aceptación de la existencia de las cantidadesnegativas, su comprensión y significación, y su tratamiento matemático. Estos aspectosfueron objeto de muchos debates por los matemáticos durante más de 1000 años, desdelos griegos hasta finales del siglo XVIII, donde finalmente se logra una interpretaciónintuitiva de los números negativos, y por supuesto, una construcción formal para estesistema numérico13 . En contraste, la cultura China, siglos antes que los griegos, lograronla construcción de un concepto de negatividad que les permitía la aceptación de los nú-meros enteros a la par de otros números, como por ejemplo los naturales. La principalrazón para esta aceptación China de la negatividad, en oposición a la imposibilidad grie-ga, se debe buscar en la relación de ambas culturas con el cero, la nada, y con su manerade comprender los opuestos. Desde la cultura China, el cero se constituía en el centro, en

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13 Una reseña breve sobre la historia de los Números Racionales se puede leer en la siguiente dirección Web: http://nti.educa.rcanaria.es/fundoro/es_confboye.htm. Igualmente se pueden consultar en: LIZCANO, EMMANUEL. Imaginario Colectivo y Creación Matemá-tica: La construcción social del número, el espacio y lo imposible en China y en Grecia. Editorial Gedisa. 1993.

33

Números Enteros

el lugar del equilibrio de fuerzas opuestas que constantemente se equilibran. Por el con-trario, en los griegos, el cero representa la nada, la ausencia de materia, de propiedad, ypor tanto, los opuestos al ser menos que nada, no tenían existencia propia ni eranaceptados.

Las reglas de operación con los números negativos en Occidente fueron desarrolla-das por los matemáticos griegos en los inicios de la era cristiana14 , pero no los acep-taban como números, en tanto que no expresaban una medida concreta. Solo hastaque se logró una interpretación de los números enteros como cantidades relativas,las dudas sobre la existencia de los números negativos se fueron eliminando. Por ejem-plo, cuando se dice que la temperatura es de -5 grados centígrados, este valor estáexpresando que la temperatura actual es 5 grados por debajo de la temperatura dereferencia, la cual es la temperatura del agua en estado de congelación y a nivel delmar. Igualmente, cuando se dice que la economía colombiana tuvo un crecimientonegativo �3 puntos, este valor lo que expresa es que el crecimiento de la economía delpaís, comparado con el crecimiento en el mismo periodo del año anterior, quedó trespunto por debajo, esto se esta cuantificando la variación de la economía del país.

Dicho de otra manera, los números enteros expresan cantidades de magnitud paralas cuales la medida se realiza con respecto a una cantidad de magnitud tomadacomo referencia. Esto es, +5 o � 5 expresan que el valor de la magnitud está cincounidades por encima o por debajo del valor tomado como referencia, es decir elcero. Pero igualmente, los números enteros también expresan cambios en las mag-nitudes. Cuando una magnitud sufre un cambio (bien sea un aumento o una dismi-nución), este cambio puede se cuantificado a través de un número entero. Por ejem-plo, si el peso de una persona aumenta o disminuye en 5kg, la variación del peso sepuede representar por los números enteros +5 o -5 respectivamente. Situación si-milar se da con los desplazamientos en la recta numérica.

El hecho de que los números enteros expresen cantidades relativas, hace que sedeba poner especial cuidado con el punto de referencia sobre el cual se toma lamedida. Se pueden identificar dos tipos de puntos de referencia: los absolutos y losrelativos. Un punto de referencia es absoluto cuando este indica la ausencia de lamagnitud que se cuantifica (es el caso de las magnitudes en las cuales el cero re-presenta ausencia de lo que se mide). Por ejemplo, cuando se mide una altura porencima del nivel del mar o por debajo de este, el nivel del mar representa el puntocero, y así, un valor de �300 metros, expresa 300 metros por debajo de la superficiedel mar. Pero en otras ocasiones las variaciones no se toman con respecto al puntode referencia absoluto (el cero), sino, como en el ejemplo mencionado de la econo-mía de un país, se toma como referencia un valor cualquiera, en este caso, el valor

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14 El tratamiento con cantidades negativas y las reglas de operación con ellas fueron descubiertas en China muchos siglos antes queen el Occidente. Se atribuye a Diofanto el desarrollo de éstas reglas operatorias para occidente. Diofanto vivió entre 250 y 350 dela era cristiana.


1

34

obtenido por la economía en el mismo periodo del año anterior, y por tanto, si en elactual periodo se obtiene un valor superior, entonces se dice que la economía tuvoun crecimiento positivo, y en el caso que sea menor, se afirma que la economía hatenido un crecimiento negativo. En este caso el hecho de obtener valores positivoso negativos, está determinado por una comparación con respecto a un valor quehace las veces de punto de referencia, el cual ya expresa una medida de la magni-tud y es tomado como relativo. Su carácter relativo se refiere a la posibilidad devariar dependiendo de la situación particular que se tenga y del hecho de que él ensi mismo ya representa una medida de la magnitud con la cual se está trabajando.

Los puntos de referencia absolutos o relativos son importantes, sobre todo, cuandose trata de hacer interpretaciones de los números enteros y de sus operaciones enla recta numérica15 , o de utilizarlos para representar situaciones de la vida real. Porejemplo, � 5 puede ser representado como el punto de la recta que está 5 unidadesa la izquierda del cero, pero también puede ser representado por un desplazamien-to de 5 unidades hacia la izquierda, desde un punto cualquiera de la recta, por ejem-plo un desplazamiento desde 20 hasta 15. En ambos casos, el �5 expresa una canti-dad de 5 unidades contadas hacia la izquierda del punto de referencia, lo cual indi-ca que el punto final representa un valor 5 unidades menor que el punto inicial, peroen el caso que el punto de referencia es absoluto, es decir el cero, entonces el resul-tado coincide con el punto geométrico de la recta que representa el número -5.

En síntesis, se puede plantear que hasta el momento los números enteros tienendos significados: expresan una medida relativa de una magnitud (relatividad conrespecto a un valor de referencia), o expresan el cambio, la variación de una deter-minada magnitud. Así, llevando las situaciones anteriores a un plano más formal, yutilizando la representación geométrica de los números enteros en la recta numéri-ca, implicarían una de las dos situaciones siguientes: los números enteros son pun-tos geométricos localizados a la derecha o a la izquierda del cero (que expresa lacantidad de unidades que hay desde ese punto hasta el cero, y por tanto, indicanuna medida), o un desplazamiento hacia la derecha o a la izquierda desde un puntocualquiera de la recta (lo cual indicaría la variación en la medida de una magnitud)16.Desde la anterior perspectiva se puede ver que el signo menos (-), también puedetener varios significados: el signo que indica si un número es negativo, el signo queindica una disminución en el valor de una cantidad17, y el ya tradicional operadorbinario que indica la operación resta.

_____________________________________________________

15 En este documento se asumen por defecto, y por facilidad en la escritura, las convenciones izquierda y derecha como los sentidosnegativo y positivo respectivamente, pero se debe destacar que esta elección es un asunto de convención, es decir, que se puedehacer una elección distinta si eso facilita el tratamiento de la situación (de hecho en física este es un recurso muy utilizado, porejemplo en situaciones de caída libre de los cuerpos).

16 Obviamente a partir de esta interpretación, el punto geométrico que representa un número entero, también puede ser interpretadocomo un desplazamiento de desde el cero.

17 Un caso particular de esta situación se puede ver en los desplazamientos hacia la izquierda en la recta numérica.

35

Sin embargo éstos no son todos los significados que puede tener el signo menos.Otro significado importante es el de un operador unario: �el opuesto de�� Este sig-nificado puede verse como una combinación de los anteriores, pero tiene un espe-cial significado, ya que desde el punto de vista de las relaciones y operaciones deambos sistemas, el operador �opuesto de�, que no existe en los naturales, hace queen los enteros, surja una nueva propiedad para la suma, la propiedad invertiva. Coneste hecho, la operación suma en los enteros logra una estructura de grupo abeliano.El surgimiento de esta nueva propiedad, la invertiva, es lo que permite la redefiniciónde la resta como un caso particular de la operación suma.

El operador �opuesto de...� admite dos interpretaciones, por supuesto, muy relacio-nadas entre sí: el simétrico de un número con respecto al cero absoluto (por ejem-plo, 4 y �4), y el cambio de sentido de una variación (por ejemplo (-8) puede repre-sentar un desplazamiento de 8 unidades hacia la izquierda, y por tanto,- (-8) , repre-senta un desplazamiento de 8 unidades hacia la derecha. El primero es un significa-do estático, mientras que el segundo es un significado dinámico.

En síntesis los números enteros pueden tener varios significados, como se muestraen la siguiente tabla:

Interpretaciones

Contextos

Positivo OperadorUnario

OperadorBinario

Cero

Medida

Variación

Cantidad porencima del valorde referencia.

Puntos en larecta numérica

El opuesto de�Esto es, lacantidad que alsumarla conotra cantidaddada, la anula.

Simétrico conrespecto al cerode un punto enla rectanumérica.

Suma de doscantidades

Absoluto

Negativo

Cantidad pordebajo del valorde referencia.

Puntos en larecta numérica

Aumento en lamedida de unamagnitud.

Desplazamientoa la derecha deun valor dereferencia dado.

Cambio en elsentido de lavariación enuna cantidadde magnitud.

Suma de dosvariacionesde cantidaddemagnitud.

RelativoDisminución enla medida deuna magnitud.

Desplazamientoa la izquierdade un valor dereferencia dado

Números Enteros


1

36

� ESTÁNDARES RELACIONADOS

A continuación se presentan los estándares asociados con las ideas relacionadasen las páginas anteriores, los cuales pueden ser movilizados a través de las activi-dades aquí propuestas:

Variacional

Reconozco significados del número en diferentes contextos (medición, conteo,comparación, codificación, localización entre otros).

Describo situaciones que requieren el uso de medidas relativas.

Reconozco propiedades de los números (ser par, ser impar...) y relaciones entreellos (ser mayor que, ser menor que, ser múltiplo de, ser divisible por....) en diferen-tes contextos.

Justifico regularidades y propiedades de los números, sus relaciones y operaciones

Identifico y uso medidas relativas en distintos contextos.

Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variacionesen las medidas.

Reconozco y describo regularidades y patrones en distintos contextos (numérico,geométrico, musical, entre otros).

Predigo patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica.

Numérico

Primero aTercero

Cuarto aquinto

Sexto aséptimo

Primero aTercero

Cuarto aquinto

SITUACIÓN Nº1 PREPARANDO EL CAMINO


El conjunto de actividades que se presentan en la situación 1 apuntan a adquirirfamiliaridad con la noción de negatividad, siguiendo un camino por el juego entreopuestos. Se trata de enfrentar a los estudiantes con situaciones en las que, de unlado, vean la existencia de dos tipos de cantidades (las positivas y las negativas), yde otro, que se pueda conceptualizar una propiedad básica de este tipo de cantida-des: cantidades opuestas iguales en valor numérico se anulan.

En este sentido, la primera actividad se inicia con conteos de uno en uno, de canti-dades opuestas que se anulan sucesivamente. Se trata de aprovechar la posibili-dad que tienen los niños de establecer correspondencias uno a uno, y en este caso,al hacer dichas correspondencias, se logra anular parejas de cantidades opuestas.Es un primer contacto formal con la negatividad, pues de hecho en la vida cotidiana,encontramos contextos muy particulares en los que los números negativos no son

37

pensados como tal, sino que se piensan las cantidades como ambas positivas, peroque entre ellas se debe realizar una operación de sustracción (esto se refuerza conel hecho de que en este tipo de contextos, casi siempre los resultados son positivos).

La segunda actividad profundiza la reflexión sobre las cantidades opuestas que seanulan, pero ahora, a partir de conteos más complejos, al favorecer el conteo contotalidades (las cantidades marcadas por los dados). Si bien es cierto, que los alum-nos pueden seguir operando a partir de conteos uno a uno, el hecho de que lesaparezca, por ejemplo, tres positivos y tres negativos, hace que comprendan la po-sibilidad de anular totalidades, y no solamente contando uno a uno.

Esta segunda actividad permite controlar el tipo de resultados que los alumnospueden obtener: manipular los dados de tal manera que solo se obtengan resulta-dos positivos (por ejemplo, el dado positivo tiene números 4, 5 y 6; mientras que elotro dado, 1, 2 y 3), o la inversa, que los resultados sean siempre negativos, o inclu-so, dejar libre la posibilidad del resultado. La primera opción, es conceptualmentemenos compleja, pues deja al niño en el campo de los números naturales, y el proce-dimiento es similar al ya conocido por él en la resta entre números naturales. Laopción de resultados negativos obliga a pensar en las cantidades negativas, ya nosolo como cantidades opuestas que se anulan, sino como números en si mismos; dehecho es un avance en el concepto del número entero como tal.

Finalmente las actividades 3 y 4, refuerzan los planteamientos de las dos activida-des anteriores, pero ahora enfatizan más en la totalización de cantidades opuestas.Esto se debe a que ahora se trabaja con totalidades (no hay puntos que contar,como en los dados). Adicionalmente, se favorecen los conteos con unidades múlti-ples, tanto positivas como negativas, lo cual mejora las técnicas de conteo, y por lotanto, el cálculo numérico.

Como puede verse, este primer conjunto de actividades si bien se centra en unaaproximación formal al concepto de negatividad, ésta se aborda desde la perspec-tiva de cantidades opuestas, pero además, constituyen una primera aproximacióna la operación aditiva de cantidades positivas y negativas, e incluso de negativasentre si.

� GESTIÓN DE LAS ACTIVIDADES

Es importante resaltar que en el caso de las actividades en las cuales se puedenpresentar resultados negativos, se debe prestar atención a como enfrentan los ni-ños la situación. En general se pueden presentar dos casos: pueden ignorar el resul-tado negativo, o pueden dejarlo en espera para compensarlo en el siguiente turno.Si se da el caso inicial, entonces se debe hacer una intervención que motive a consi-derar la cantidad. En todo caso, y sobre todo para la actividad dos, se deben mani-

Números Enteros


1

38

pular los dados para lograr que los niños no se enfrenten de entrada a la situaciónmás compleja, a menos que se tenga la seguridad que para un grupo determinadode alumnos enfrentarse a la situación más compleja será un reto que pueden superar.

�ACTIVIDAD 1: Opuestos que se anulan

Número de jugadores: 2Materiales: Computador, carpeta de archivos

Qué hacer:

w Abra la carpeta actividades y dentro de ellala carpeta enteros, allí elija la opción ent-sum.Se podrá visualizar una pantalla como la queaparece a la derecha.

w Se trata de colocar tantos cuadros positivos o negativos según lo indique la pri-mera cantidad de la operación. Se oprime continúe.

w Luego, se colocan en el círculo tantos pares de signos (+,-) según lo indique lasegunda cantidad. Se oprime continúe.

w Después se retiran tanto cuadrados positivos como lo indique la segunda canti-dad de la operación. Se oprime continúe.

w Se escribe la posible respuesta en el recuadro y se verifica la misma oprimiendoCheck.


w Cuando en la aplicación se añaden parejas de signos, ¿qué proceso matemáticose está realizando? ¿Por qué es válido tal proceso?

w ¿Por qué se retiran signos positivos si la segunda cantidad que se opera estáprecedida por un menos (-)?

w ¿Qué significado tendrá el menos (-) que relaciona las dos cantidades?

�ACTIVIDAD 2: Juego del Parqués

Número de jugadores: 4Materiales: Tablero de parqués común, 4 fichas por cada jugador, dados, tabla deregistro individual y lápiz.

Cómo jugar:

w Inicia el juego el participante que al tirar el dado obtenga el mayor puntaje.

39

�

w Se juega normalmente al parqués pero se modifican los valores de los dados, detal forma que se identifique un dado que da puntos (dado positivo) y otro queresta (dado negativo). Los dados pueden identificarse con colores según sea po-sitivo o negativo. Así, de la cantidad de puntos obtenidos en el dado positivo, sedebe sustraer la cantidad de puntos obtenidos en el dado negativo, y el exceden-te es lo que se debe correr con las respectivas fichas. Esto es, si el jugador saca 5en el dado positivo y 2 en el dado negativo, entonces solo debe correr 3 puntos.

w El puntaje obtenido en cada jugada lo puede mover con varias fichas como en elparqués normal.

w Gana el juego el primer jugador en llevar todas sus fichas al final del recorridow A medida que el juego se realiza se llena una tabla de registro individual como la

siguiente:

Valor en el dado positivo

Valor en el dado negativo

Casillas Recorridas

�ACTIVIDAD 3: Juego del ParquésJuego La canasta

Número de jugadores: 5Materiales por equipo: 10 tapas de gaseosa, una canasta de huevos vacía, pintadade 4 colores diferentes, a cada uno se le asigna un valor a saber: -5 azul, 5 rojo, -2amarillo, 2 verde (Los valores asignados a los colores pueden variar según las nece-sidades del grupo), tabla de registro, lápices.

Cómo jugar:

w Los participantes se enumeran de uno a cinco para determinar el orden de lanza-miento.

w El juego consta de tres turnos para cada participante.w Cada jugador en su turno lanzará de forma sucesiva 10 tapas hacía la canasta.

Una vez efectuado el turno, el jugador debe observar la ubicación de las mone-das para determinar el puntaje obtenido teniendo en cuenta el valor de cadazona de la canasta. Luego anota dicho puntaje en la tabla de registro.

w El ganador es el participante que obtiene el mayor puntaje.w A medida que el juego se realiza se llena una tabla de registro individual como la

siguiente:

Números Enteros


1

40


w Camilo y Pablo estaban jugando a la canasta, pero necesitan nuestra ayuda parasaber quién ganó. Camilo encanastó diez monedas: 3 en color verde, 2 en colorrojo, 4 en color amarillo y 1 en color azul ¿Cuántos puntos ganó? Pablo encanastódiez monedas: 2 en color verde, 4 en color rojo, 1 en color amarillo y 3 en colorazul. ¿Cuántos puntos ganó? ¿Quién fué el ganador? Elabore las tablas de Cami-lo y Pablo.

w Las siguientes son las tablas de registro de dos jugadores, pero por descuido deuno de ellos las ha mojado de jugo, y algunos números se han borrado. Ayuda acompletar los datos para establecer el ganador de este juego.

Turno No.

123

No. demonedas encolor azul

No. demonedas en

color rojo

No. demonedas en

color amarillo

No. demonedas encolor verde

Puntos

Turno No.

123


No. demonedas en

color rojo

No. demonedas en

color amarillo


Puntos

51

4

2

3

Turno No.

123


No. demonedas en

color rojo

No. demonedas en

color amarillo


Puntos

32

14

1 5

�ACTIVIDAD 3: Juego del Tiro al Blanco

Número de jugadores: 2Materiales: Tiza, bolsitas de arena, pita, papel y lápiz

Cómo jugar

w El juego consiste en lanzar un objeto a un blanco que se encuentra a una distan-cia prudencial del lanzador.

41

w El blanco se realiza dibujando en el piso 4 círculos concéntricos. Cada círculotiene los siguientes valores, iniciando desde adentro hacia fuera: -10, 10, 5, -5.

w Cada jugador realiza 6 lanzamientos por turno. A medida que se realiza el juegose llena una tabla de registro similar a la de abajo. (Agrega las filas que seannecesarias para registrar todos los puntajes).

Turno No.

123

No. deaciertos en 5

No. deaciertos en

(-5)

No. de aciertosen 10

No. deaciertos en

(-10)

TotalPuntaje

SITUACIÓN Nº2 MEDIDAS Y VARIACIONES


En este conjunto de actividades se pretende una aproximación más formal a losnúmeros enteros, pero ahora poniendo el acento en la medida de magnitudes, y enla cuantificación de sus variaciones.

Así, en la actividad 1, se quiere hacer énfasis en el concepto de CAMBIO Y SU RE-PRESENTACIÓN NUMÉRICA. Diferenciando el número como cantidad absoluta, eneste caso es un número natural (N), y el número como cantidad relativa (un númeroentero Z): +10, -10; 10, en este caso representado con el símbolo que indica la canti-dad precedido del signo +, - que indica el cambio (aumento o disminución). Ade-más del concepto de cero relativo y cero absoluto, entendiendo al cero absolutocomo ausencia de la propiedad que se mide (unidad de medida), y al cero relativo,como el punto inicial (no necesariamente nulo) a partir del cual iniciar un conteo.

Es importante resaltar, que desde una perspectiva formal, el conteo a partir de uncero relativo es equivalente a una traslación de los ejes coordenados: X = X� + 40.

Números Enteros

�� )��

*��

�

��

�+�� ++�


1

42

La situación dos, por su parte, pone el acento en las cantidades positivas y negati-vas, como medidas de magnitudes con respecto a un punto de referencia. Así pues,se desea hacer énfasis tanto en el concepto de posición positiva y negativa como enel concepto de cambio en la medida. O mejor aún, de magnitudes, cuyas medidaspueden ser negativas, o positivas. Además, se puede también analizar como el cam-bio puede darse, bien sea sobre una cantidad positiva o sobre una cantidad negati-va. En particular se puede hacer énfasis en la existencia de cantidades cuyas medi-das son siempre positivas, pero que pueden cambiar, bien sea positivamente, onegativamente:

Positivas exclusivamente (escalares): Área, longitud, tiempo, rapidez, etc.

Que pueden ser positivas o negativas (vectoriales): velocidad, posición, aceleración,fuerzas, �

�

-a a

-x x -x x

Con la segunda situación se pretende hacer énfasis en el manejo de la relación exis-tente entre la magnitud inicial, la magnitud final y el cambio, con las cuales se estable-ce la siguiente ecuación:Mi + C = M

F, donde M

i= magnitud inicial, M

F= magnitud final

y C = cambio. Haciendo que la operación llamada sustracción se vea como la opera-ción suma del opuesto de un número determinado. En general en el conjunto de nú-meros naturales la operación sustracción no existe, salvo para aquéllas en las que elminuendo es estrictamente mayor que el sustraendo, pues, en caso contrario dichaoperación no sería cerrada, es decir que el elemento (-x) para algún x perteneciente aN no existe. Esto sugiere la necesidad de la ampliación del conjunto de números natu-rales al conjunto de números enteros Z, sólo que por la vía propuesta del análisis demagnitudes y sus cambios, esta necesidad no es solo una necesidad aritmética.

� GESTIÓN DE LA SITUACIÓN

Es importante que posterior a cada actividad se realice una plenaria sobre los con-ceptos y procedimientos empleados por los estudiantes. Además, la plenaria pue-de implicar el análisis de situaciones similares, pero en otros contextos, con el fin deprofundizar en los aspectos conceptuales.

Igualmente es necesario promover diferentes formas de representación para cadauna de las situaciones planteadas en cada actividad: gráficas, diagramas, esque-mas, numéricas, etc. La diversidad de representaciones permitirá una mejor com-prensión de los conceptos que se quiere formalizar a través de estas actividades.

43

Si se quiere, al finalizar este conjunto de actividades, se puede proponer una activi-dad de indagación sobre los números enteros, en la cual se consulte a través deInternet, libros, etc., aspectos relativos a los números enteros.

�ACTIVIDAD 1: Situaciones particulares

a- Una persona, bajo una estricta dieta, pasa en dos meses de 40 Kg. a 50 Kg. ¿Conqué número representarías este cambio?.

b- La misma persona cuando tenía 50 Kg. enfermó y volvió a rebajar a los mismos 40Kg. ¿Con qué número representarías este cambio?.

�ACTIVIDAD 2: Desplazamientos

a- Un cohete espacial se prepara para despegar desde su base. El conteo regresivoinicia 20 segundos antes del despegue, 30 segundos después del lanzamiento hasalido de la atmósfera terrestre, y 1 minuto más tarde sale de la órbita terrestre.

i. En una línea de tiempo como se registraría ésta situación, asumiendo que:1. El tiempo cero se asigna al momento de iniciar el conteo regresivo.2. El tiempo cero se asigna al momento del despegue.3. El tiempo cero se asigna al momento de salir de la atmósfera.

ii. ¿Cuánto tiempo transcurrió desde el conteo hasta salir de la atmósfera?.

b- Un avión que vuela a 900 m sobre el nivel del mar detecta un submarino que seencuentra a 500 m bajo el nivel del mar. ¿Cuántos m separan al avión del submarino?Si el submarino asciende 100 mts. Y el avión desciende 100 mts.i. ¿Cuál es la nueva posición de cada uno?ii. ¿Cuál es la nueva distancia de separación?

�ACTIVIDAD 3:Cambios

a- En un cuarto la temperatura ambiente es de 47° C, se prende el aire acondiciona-do y la temperatura cambia en -25° C. ¿Cuál es la nueva temperatura del cuarto?.

b- En un frigorífico la temperatura cambia en +15° C. si la temperatura final fue de 5°C. ¿Cuál era la temperatura inicial del frigorífico?

c- CNN informó que en horas de la mañana la temperatura de Medellín sería de 28°C. y que en horas de la tarde sería de 17° C. ¿Cuál fue el cambio, en aquel día, enla temperatura de Medellín?

Números Enteros


1

44

SITUACIÓN 3: EN EL CAMINO DE LAS OPERACIONES


La primera de estas dos actividades se centra en la noción de número negativoasociada a la idea de desplazamiento: por convención, positivos hacia la derecha,negativos a la izquierda. Igualmente, a partir de los desplazamientos, se esperaconceptualizar el número entero como un punto sobre la recta numérica (en estecaso, una visión estática del número), que expresa la cantidad de unidades que seha desplazado desde el cero, a cualquiera de los dos sentidos permitidos. se pre-tende entonces poder reconocer una propiedad fundamental de los números ente-ros: números con orientación y sentido. Esto es, hacer que el signo menos, o el signomás, sean comprendidos como los que definen el sentido de una cantidad, en fun-ción de una orientación determinada.

La anterior perspectiva se complementa con los aspectos trabajados anteriormen-te, en los cuales las cantidades negativas y positivas se expresaban como opuestasentre si. Ahora se debe profundizar en este tipo de reflexiones, pero unido a contex-tos más formales.

Esta actividad se presta para profundizar en el concepto de múltiplo y de divisor deun número, sobre todo, ampliandolos a los negativos. Igualmente, esta actividadpermite una aproximación al concepto de número primo. Igualmente las relacionesentre filas o columnas, pone un acento en el análisis de regularidades numéricas,específicamente, relaciones de proporcionalidad directa.

Un error muy común de los estudiantes al trabajar con esta actividad es que en elconteo para asignar los valores numéricos a los puntos de la cinta, tomen el puntodonde se inicia el conteo como uno, y no como cero. Esto es, no ven en el puntoinicial del conteo el cero relativo, y por ejemplo, para contar tres unidades a partirdel 3, cuentan el tres como uno, el siguiente punto como dos, y el siguiente comotres, por tanto, ponen 6 al punto que debería ser marcado como cinco. Cuando estosucede es importante dejar que el juego continúe, pues más adelante se dará cuen-ta de que los conteos le dan valores diferentes para el mismo punto. En este mo-mento se debe hacer una intervención encaminada a que visualicen que el puntoinicial no es uno, sino cero, y que no se cuentan puntos, sino desplazamientos (aveces, hacer la actividad física de caminar por el salón ayuda a comprender la situa-ción propuesta).

45

Por su parte, en la actividad 2, se trata de profundizar en el concepto de los núme-ros positivos o negativos como puntos de una recta, y en este caso, comoidentificadores de posiciones en el plano.


Como se anotó anteriormente, se debe prestar atención a la manera como los estu-diantes llenan la pista numérica, pero se debe dejar que cometan los errores, puesellos indicarán su nivel de conceptualización sobre el cero absoluto y relativo, y so-bre los positivo y lo negativo. Posterior a los errores, y dependiendo de la lecturaque se haga, se deben realizar las intervenciones orientadas a que se tome con-ciencia del error, y se apropie de los elementos conceptuales que le permiten reali-zar correctamente la actividad.

Cuando la actividad se juega con dos dados de números y uno de signo, no se pre-senta ganador. Este hecho facilita la reflexión sobre lo que es un número primo, yaque números como el 13 y (-13), 17 y (-17), 19 y (-19), etc., no son marcados en ningúncaso. Se puede por tanto reflexionar sobre por que éstos números no son marcados,y los otros si. En este caso aparece la necesidad de comprender el concepto demúltiplos (y por ende de divisores), tanto positivos como negativos de un númerodado.

Es muy importante profundizar en las relaciones numéricas de la tabla, sobre todo,porque permite ampliar el horizonte de la comprensión de los números, sus relacio-nes y sus propiedades.

�ACTIVIDAD 1: La Pista Numérica

Número de jugadores: 2Materiales: Dados, cinta de papel, lápiz, fichas de parques.

Qué hacer:

w Cada jugador recibe una cinta de papel de aproximadamente dos metros de lar-go; un par de dados tradicionales y un dado con signos.

w Cada jugador debe llenar completamente su cinta con puntos distribuidos a igualdistancia uno de otros (aproximadamente a 1 cm de distancia) por el centro de lamisma.

w Cada jugador elige y marca el punto central de su cinta con el CERO.w El juego consiste en colocar los números que corresponden a cada uno de los

puntos dibujados sobre la cinta.w Cada jugador lanza un dado y quien obtenga el mayor puntaje inicia el juego.

Números Enteros


1

46

w Entre los dos jugadores se conviene hacia donde el conteo es positivo y haciadonde negativo teniendo como referente el CERO. (Tomada la decisión de haciacuál lado es positivo o negativo no se puede cambiar).

w Por turnos, cada jugador, lanza los tres dados y asigna el total obtenido al puntocorrespondiente en su cinta. De igual forma lo hace con los múltiplos de dichopuntajes hasta llegar al extremo respectivo según el tercer dado marque positi-vo o negativo. Por ejemplo si el jugador lanza y obtiene 3 puntos en el sentidopositivo, la cinta se llena de la siguiente manera:

w Gana el jugador que primero logre asignar todos los números correspondientesa los puntos de su cinta.

w A medida que se realiza el juego se llena la siguiente tabla, completando con losnúmeros que son múltiplos del puntaje obtenido: por ejemplo se obtuvo (-11),entonces se llena la fila 2 que corresponde a los múltiplos negativos de dichopuntaje. Se completa la fila así no se hayan marcado todos esos puntos sobre lacinta.

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47

Situaciones para reflexionar:

w ¿Cuáles números no aparecen en la tabla? Explique por qué.Observe la tabla y responda:

w ¿Se podrían obtener los números de la columna 2 a partir de los números de lacolumna 1? ¿Los números de la columna 5 y los de la columna10 a partir de lacolumna 1?

w ¿Se podrían obtener los números de la fila 2 a partir de los números de la fila 1?¿Los números de la fila 5 y los de la fila 16 a partir de la fila 1?

w ¿Qué otras relaciones se pueden establecer entre los datos de la tabla?

�ACTIVIDAD 2: La batalla naval

Número de jugadores: 2Materiales: Un tablero por cada jugador, regla, lápiz, borrador, colores.

Qué hacer

w El juego de la batalla naval consiste en derribar los barcos de tu compañero an-tes de que él derribe los tuyos. Los seis barcos con los que jugaremos en estaocasión, tienen las siguientes características:

w Cada barco será emulado por un segmento de recta que se trazará en la hoja quesirve de tablero. Se requieren dos barcos de cuatro unidades de longitud, dosbarcos de tres unidades de longitud y dos barcos de dos unidades de longitud.

w El tablero se dibuja sobre una hoja de papel dividida en 4 cuadrantes similares aun plano cartesiano. Cada eje se divide y a cada división se le asigna un númerosegún la escala (se puede trabajar con una escala similar al plano cartesiano connúmeros positivos y negativos).

w Cada jugador ubica los barcos al azar sobre el tablero sin dejar que el contrincan-te vea la ubicación de los mismos. Uno de los extremos de cada barco debe coin-cidir con un punto del plano sobre el que se está jugando.

Números Enteros


1

48

w Por turnos, cada jugador debe tratar de predecir la ubicación de los barcos de sucontrincante: Debe decir las coordenadas del punto donde él considera se en-cuentra ubicado un posible barco, (por ejemplo (3, -5)), donde la primera coorde-nada representa las abscisas y la segunda coordenada representa las ordena-das. Si acierta en dicho punto, el contrincante dice �impacto� en 4, 3, 2 o 1 segúnsea la dimensión del barco. Un barco se considera derribado cuando se haimpactado en todos los puntos que lo conforman.

w Gana la persona que derribe primero todos los barcos de su contrincante.w Se pueden usar lápices de colores para marcar los puntos que no se han acerta-

do de tal manera que se pueda llevar un control de los disparos y poder predecirdónde están ubicados los barcos.

Se puede hacer una ronda de juego donde se ubiquen los barcos al azar. Luego seprocede a ubicarlos de la siguiente manera

w Poner los barcos de tal manera que forme un rectángulo.w Colocar los barcos de tal manera que el punto donde se ubique el inicio o final del

mismo, tengan las segundas coordenadas negativas. Esto es de la forma (x, -y).w Colocar los barcos de tal manera que el punto donde se ubique el inicio o final del

mismo, tenga las dos coordenadas negativas. Esto es de la forma (-x, -y)w Colocar los barcos de tal manera que el punto donde se ubique el inicio o final del

mismo, tenga las dos coordenadas iguales. Esto es de la forma (x, x), (-x, -x), (y,y)ó (-y,-y).

w Colocar los barcos de tal manera que el punto donde se ubique el inicio o final delmismo, tenga coordenadas con dos puntos de diferencia entre ellas. Esto es dela forma (x, x+2) ó (y + 2, y)

w Colocar los barcos de tal manera que el punto donde se ubique el inicio o final delmismo, tenga coordenadas donde una sea el doble de la otra. Esto es de la forma(x, 2x) ó (2y, y)

SITUACIÓN 4: SUMANDO POSITIVOS Y NEGATIVOS


El conjunto de actividades presentadas en esta situación apuntan a formalizar con-ceptos propios de la suma entre enteros. Se dice formalizar, pues desde activida-des anteriores se han venido trabajando aspectos relacionados con la suma entrecantidades positivas y negativas. Todas ellas comparten una característica común:centran el análisis de la suma como desplazamientos sobre la recta numérica. Eneste sentido, se trata de comprender la relación, Posición Inicial (Pi) más Desplaza-miento (D) igual a Posición Final (Pf): Pi + D = Pf. Se espera comprender las situacio-

49

nes aditivas de base, y sobre todo, construir unos métodos u algoritmos para reali-zar la suma entre enteros. Es importante recordar que en este punto del desarrollode los sistemas numéricos la sustracción debe ser entendida como una suma entreopuesto aditivos.

En ese sentido, la primera actividad esta orientada a brindar un panorama generalde las operaciones entre enteros. Es una actividad exploratoria que permitirá laconstrucción de una serie de intuiciones sobre como operar con los enteros. El re-curso del computador permite controlar que las operaciones se realicen correcta-mente, y la representación gráfica permite visualizar posibles procedimientos. Loideal es que la pantalla del computador presentara, no la cantidad negativa comouna sustracción, sino como una suma de cantidades negativas, pero se debe hacereste tipo de reflexión con los estudiantes, enfatizando en el hecho que se agregancantidades positivas y negativas.

Las siguientes actividades, basadas en la pista numérica, presentan ahora de ma-nera ordenada las diferentes posibilidades en la operación de números enteros:Ambos números son positivos (actividad 2 y 4), ambos números son negativos (acti-vidades 3 y 4), y una cantidad positiva y otra negativa (actividad 5). Esta organiza-ción de las actividades trata de mostrar de manera gradual en complejidad los dife-rentes procedimientos para realizar sumas entre enteros.

En todos los casos, es necesario visualizar las relaciones entre opuestos, y sobretodo, que una cantidad positiva se anula con una negativa, pero que dependiendodel valor numérico de ambas, el resultado puede ser cero, positivo o negativo. Dealguna forma es un inicio al concepto de valor absoluto, y su relación con la opera-ción aditiva.


En general la situación no presenta énfasis especiales en las actividades, aunquepara la situación 5, se debe tener cuidado para que los estudiantes comprendan larelación positivo negativo, o negativo positivo, como una suma entre cantidadesopuestas, pues se pude caer fácilmente en la tentación de ver estos casos como sifueran restas, sobre todo en el caso de la relación positivo negativo.

El análisis de las tablas que se llenan en cada una de las actividades es fundamen-tal para poder comprender los procesos aditivos que se han realizado. El análisisposición inicial-desplazamiento-posición final, es clave en la comprensión del sentidoy significado de las operaciones aditivas entre números enteros, sobre todo, paracomprender los resultados negativos.

Números Enteros


1

50

�ACTIVIDAD 1: Ubicando barras

Número de jugadores: 2Materiales: Computador, una carpetacon archivos

Qué hacer

w Abra la carpeta actividades y dentrode ella la carpeta enteros, allí elija laopción ent-rec. Se podrá visualizar una pantalla como la que aparece a la derecha.

w La opción step size permite graduar la escala de la recta.w La opción zoom amplia la pantalla.w La opción New bar permite seleccionar el valor de la nueva barra que se va a

ubicar sobre la recta.w La opción Delete y clear, borra la última barra que se ha insertado y borra toda la

pantalla respectivamente.w Los cuadros de colores permiten varias los colores de las barras que se están

utilizando.

Explore la aplicación con varias sumas de enteros y responda:

w Cuando se suman sólo positivos, ¿qué tipo de resultado se obtiene? Justifique surespuesta.

w Cuando se suman sólo negativos, ¿qué tipo de resultado se obtiene? Justifiquesu respuesta.

w Cuando se suman positivos y negativos, ¿qué tipo de resultado se obtiene? Jus-tifique su respuesta.

�ACTIVIDAD 2: La pista numérica modificada

Número de jugadores: 2Materiales: Dados, cinta de papel, lápiz, fichas de parques.

Parte 1Qué hacer

w Cada pareja recibe una cinta de papel de aproximadamente dos metros de lar-go; un dado tradicional y un dado con signos positivos. La cinta se debe llenarcompletamente con puntos distribuidos a igual distancia uno de otros (aproxi-madamente a 1 cm de distancia) por el centro de la misma. Se marca el puntocentral de la cinta con el CERO.

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w Cada jugador lanza un dado y quien obtenga el mayor puntaje inicia el juego.w Cada jugador coloca una ficha en el cero. El juego consiste en avanzar la ficha

desde el cero hacia el lado derecho de la pista, gana quien llegue primero a esteextremo. Los movimientos de la ficha se hacen de acuerdo con la cantidad mar-cada por los dados.

w Por turnos, cada jugador, lanza los dos dados y asigna el total obtenido al puntocorrespondiente en la cinta.

w A medida que se realiza el juego se llena la siguiente tabla, teniendo en cuenta laposición de la cual se parte en cada jugada, la cantidad que se recorrió y la posi-ción a la cual se llegó.

Números Enteros

��

� � �

� � �

� � �

�

Parte 2Que hacer

w Cada jugador coloca una ficha en el cero. El juego consiste en avanzar la fichadesde el cero hacia el lado izquierdo de la pista, gana quien llegue primero a esteextremo. Los movimientos de la ficha se hacen de acuerdo con la cantidad mar-cada por los dados.

w Por turnos, cada jugador, lanza los dos dados y asigna el total obtenido al puntocorrespondiente en la cinta.


��

� � �

� � �

� � �

�

Parte 3Qué hacer

w Cada jugador coloca una ficha en el cero y elige un extremo de la cinta como sumeta. El juego consiste en avanzar la ficha desde el cero hacia el lado que haelegido como meta, gana quien llegue primero a este extremo. Los movimientosde la ficha se hacen de acuerdo con la cantidad marcada por los dados.


1

52

w Cada jugador tiene un dado común y un dado con signos según el extremo quehaya determinado como meta: si es el extremo derecho entonces trabajará con eldado con signos positivos, y si es el extremo izquierdo entonces trabajará con eldado con signos negativos. Por turnos, cada jugador, lanza los dos dados y asig-na el total obtenido al punto correspondiente en la cinta.


��

� � �

� � �

� � �

�

��

� � �

� � �

� � �

�

Parte 4Qué hacer

Cada jugador coloca una ficha en el extremo de la pista. El juego consiste en avan-zar su ficha hacia el extremo opuesto, de acuerdo con la cantidad marcada por losdados, gana quien llegue primero a este extremo. Los movimientos de la ficha sehacen de acuerdo con la cantidad marcada por los dados.

Cada jugador tiene un dado común y un dado con signos según el extremo que hayadeterminado como meta: si es el extremo derecho entonces trabajará con el dadocon signos negativos, y si es el extremo izquierdo entonces trabajará con el dadocon signos positivos. Por turnos, cada jugador, lanza los dos dados y asigna el totalobtenido al punto correspondiente en la cinta.

A medida que se realiza el juego se llena la siguiente tabla, teniendo en cuenta laposición de la cual se parte en cada jugada, la cantidad que se recorrió y la posicióna la cual se llegó.

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Números Enteros

�ACTIVIDAD 3: Desplazamientos

Materiales: Computa-dor, carpeta con archi-vos

Qué hacer:

w Abra la carpeta acti-vidades y dentro deella la carpeta ente-ros, allí elija la opciónent-rec1. Se podrávisualizar una pantalla como la que aparece a la izquierda.

w Se trata de obtener el resultado que aparece encerrado en el círculo, por mediodel movimiento de las flechas.

w La flechas se pueden orientar con el botón.

w Con la opción New Problem se elige otro cálculo.

Manipule la aplicación y analice:

w ¿La flecha con la que se inicia el movimiento siempre debe partir de cero paraque se pueda resolver el ejercicio planteado? Explique su respuesta.

w ¿Qué función cumple el cero en este ejercicio?w ¿Por qué a pesar de que el resultado de los ejercicios siempre es positivo se

deben cambiar las orientaciones de algunas flechas para obtener el resultado?


1

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55

Unidad No.3

Números Racionales18

_____________________________________________________

18 Este capítulo retoma planteamiento de: OBANDO Z, Gilberto. La Enseñanza de los Números Racionales a Partir de la RelaciónParte-Todo, en revista EMA 2003, VOL. 8, Nº 2, 1-27.

19 Prueba de ello es que los estudiantes al final de la educación básica no tienen una comprensión de los sentidos y significados de losnúmeros racionales o reales, o incluso de los números negativos.

Introducción

El aprendizaje del concepto de número no se agota con los aspectos relativos alconcepto del número natural, y por ende se extiende, al menos, a lo largo de toda laeducación básica. En el currículo actual se pueden identificar segmentos dedicadosal estudio de los diferentes sistemas numéricos, los cuales se encuentran separa-dos en el tiempo de acuerdo a niveles formales de complejidad lógica creciente.Pero a pesar de este trabajo diferenciado, la conceptualización que se alcanza esmuy pobre, lo cual pone en evidencia que realmente los alumnos no logran trascen-der de un pensamiento matemático más allá de los números naturales19 .

Lo anterior se evidencia en situaciones como las siguientes:

� Las operaciones entre fracciones se realizan como si se tratara de números natu-rales: ��

��

�� =+ �

� Los números racionales en su notación decimal son tratados como si se tratarade conjuntos discretos: �el siguiente de 1.25 es 1.26, o 1.251�.

� Los números irracionales son tratados como si fueran decimales periódicos y fini-tos: �El valor de π es 3.14�.

Trascender los números naturales debe entenderse en el sentido de proveer a losestudiantes de un conjunto amplio y complejo de comprensiones conceptuales rela-tivas a los otros sistemas numéricos, fundamentalmente los enteros, los racionalesy los reales. Si bien es cierto que el estudio formal de algunos de estos sistemassólo se puede dar hacia los últimos años de la educación básica, o incluso, en laeducación media, también lo es que existen múltiples contextos y situaciones a tra-vés de las cuales los estudiantes pueden desarrollar intuiciones primarias sobredichos sistemas, incluso desde el Preescolar. De esta manera el aprendizaje delnúmero natural estará acompañado de procesos que muestran la existencia de otros


1

56

números, preparándose así el camino para su estudio formal en momentos poste-riores.

Pero además, el trabajo formal en otros sistemas numéricos diferentes a los núme-ros naturales debe ser desarrollado a partir de situaciones que permitan la cons-trucción de los múltiples sentidos y significados de cada uno de ellos. Así por ejem-plo, el estudio de los números racionales debe permitir la construcción de los senti-dos y significados relativos a la medida, fracciones, razones, proporciones, porcen-tajes, y campo de cocientes. De igual forma, el estudio de los números enteros debedarse a partir de situaciones que involucren las medidas relativas, y el cambio demedidas, contextos dentro de los cuales se dan las bases fenomenológicas de éstos.

De esta manera se logra que el estudio de los aspectos formales de cada uno de lossistemas numéricos, incluidos los naturales, esté sustentado sobre una basefenomenológica fuente de sentido y significado para cada uno de ellos.

La Enseñanza del Número Racional: Algunos Problemasen la Enseñanza Actual

El trabajo escolar en el número racional inicia con el estudio de las fracciones, através de estrategias metodológicas y conceptuales centradas en la partición y elconteo, y en la mecanización de reglas y algoritmos; en consecuencia, en el procesode conceptualización de las fracciones, la medición no es el eje central, ni hay untratamiento cuidadoso del tipo de magnitud y del tipo de unidad. Estos elementos,como se verá a continuación, son fuente de dificultades en los procesos de concep-tualización de los alumnos.

Trabajo Centrado en la Partición y el Conteo

La enseñanza actual enfatiza en actividades de partir y contar20 , y por tanto, losalumnos centran el proceso de conceptualización en el número natural y no en lafracción como tal. En efecto, al centrar la atención en el número de partes que re-presenta el numerador y el número de partes que representa el denominador - y noen la relación cuantitativa entre las cantidades de magnitud de la parte y el todo-,

_____________________________________________________

20 Se trata de las actividades típicas en las cuales un objeto (el todo) es partido en partes iguales (en forma), obteniendo N partes eneste. Luego se toman (sombrean, colorean, etc.) M partes de las N obtenidas. Por tanto las partes que se han tomado se representa

por la fracción

�

�

�

. En estos casos, la fracción es el nombre utilizado para designar la parte o partes sombreadas, y la fracción, por

tanto, es la parte en si misma y no, una relación entre dos cantidades: la medida de la parte con respecto a la medida del todo.

57

�

se piensa la fracción como dos números naturales separados por una rayita (víncu-lo) y no como una relación cuantitativa entre la parte y el todo.

Por ejemplo, en la Figura 1, ¾ se piensa como «las tres partessombreadas de las cuatro posibles», y no como «la relación cuan-titativa entre la cantidad de magnitud de estas tres partes y lacantidad de magnitud total de las partes»; es más, para mu-chos alumnos la parte o partes que no se sombrean no consti-tuyen una fracción de la unidad.

Este trabajo centrado en el número natural permite explicar el error común de losalumnos al sumar varias fracciones: suman numeradores entre sí y denominadoresentre sí, pues «si las fracciones son números naturales separados por unas rayitas,entonces, ¿por qué no sumarlos como la suma que ya se sabe hacer?».

Pero además, como el proceso de partición no se basa enla medida de la magnitud que se desea repartir, enton-ces ésta se debe realizar a partir de procesos visualesque privilegian la igualdad en la forma (congruenciageométrica) entre las partes. Esto hace que en situacio-nes como la mostrada en la Figura 2, los alumnos no acep-ten que cada una de las cuatro regiones triangulares tie-

ne la cuarta parte de la cantidad de superficie del rectángulo.

Otra consecuencia de poner el énfasis en el conteo y no en la medición, es precisa-mente que la noción de equivalencia entre fracciones queda significada en la con-gruencia de las partes en que se ha dividido cada unidad, lo cual constituye unsignificado muy débil, por demás basado en la percepción y no en las relacionesnuméricas. Por ejemplo, en situaciones como las mostradas en la Figura 3, los alum-nos difícilmente aceptan que las fracciones representadas en cada uno de los rec-tángulos21 son equivalentes, y mucho menos, si lasformas de cada partición fueran irregulares; esto entanto que las partes sombreadas no son congruen-tes entre sí.

Si, para los rectángulos de la Figura 3, se comparanlas cantidades de superficie sombreadas entre sí, seobtienen que unas son mayores que las otras; perocomo fracciones, cada una expresa �½ de �� Es de-

Figura 2

_____________________________________________________

21 Las cuales expresan correspondientemente la relación entre la cantidad de superficie sombreada con respecto a la cantidad desuperficie del rectángulo.

Números Racionales


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��

��

��

��

Figura 5

� Figura 4

cir, la equivalencia no se da entre las cantidades de superficie sombreadas, sinoentre las fracciones que representan, ya que la relación cuantitativa entre éstas ylas correspondientes cantidades de superficie de los rectángulos, esla misma en los tres casos.

Finalmente, el trabajo centrado en la partición y el conteo hace que elproceso de conceptualizar las fracciones impropias sea de difícil com-prensión para los alumnos. �Si el denominador indica el número departes en las que se divide la unidad, y el numerador la cantidad de partes que setoman, entonces ¿cómo poder tomar una cantidad de partes que sea mayor de lasque se obtuvieron al dividir la unidad?�. Por ejemplo en la Figura 4 se muestra unarespuesta típica de los alumnos cuando deben representar una fracción impropiacomo �� . En este caso, dado que de la unidad sólo se pueden obtener cuatro par-tes, entonces se parte una de ellas para poder obtener las cinco que indica el nume-rador. Este error es comprensible en tanto que la fracción es vista como un par denúmeros naturales y no como una relación cuantitativa entre dos cantidades demagnitud.

El Tratamiento del Tipo de Magnitud y de Unidad

En los procesos de enseñan-za desarrollados en la escue-la, muchas veces no se da untratamiento cuidadoso deltipo de unidad ni del tipo demagnitud, lo que lleva a quese propongan de maneraindiscriminada actividadesen contextos de coleccioneso de magnitudes continuas,desconociendo que los procesos de conceptualización de los alumnos son distintosen uno u otro contexto. Por ejemplo, en la Figura 5, se presentan dos actividades quese le proponen a los alumnos de manera simultánea.

En este caso no se asume que hallar las tres cuartas partes de una magnitud conti-nua o de una discreta implica procesos diferentes, ni se advierte que el procesopara el caso de las magnitudes discretas es más complejo. Hallar las tres cuartaspartes de doce bombillos conlleva: (i) comprender que el �doce� es una unidad; (ii)hacer la repartición de dicha unidad, en cuatro partes iguales; (iii) conceptualizarcada parte obtenida, como la cuarta parte de la unidad (i.e., de doce); y, (iv) juntar

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-�� %�"��

-��

%�"��

Figura 6

Números Racionales

tres de esas cuatro partes obtenidas para obtener las tres cuartas partes de launidad. En el caso del rectángulo, éste es asumido como una unidad simple y portanto las tres cuartas partes del mismo se obtienen de manera directa partiendo launidad en cuatro partes (congruentes o de igual cantidad de superficie) y juntandotres de éstas.

En la complejidad del proceso implicado para el contexto de la colección debombillos subyace el hecho de que conceptualizar una unidad compuesta es, des-de el punto de vista psicológico, más complejo. Primero se conceptualizan las uni-dades simples, esto es, la unidad como uno a partir de objetos individuales, y pos-teriormente, a las unidades compuestas: comprender que una multitud también

puede ser una unidad.

Igualmente, es común encon-trar propuestas de actividadesescolares en las cuales no hayun tratamiento cuidadoso de launidad. Por ejemplo, en la Figu-ra 6 se muestra una represen-tación de las fracciones

� ��

�� -por demás muy típica en los

salones de clase y hasta en li-bros de texto- la cual puede llevar a un error conceptual debido a la falta de rigor enel tratamiento de la unidad: Si el trabajo se ha centrado en la congruencia de laspartes y no en las relaciones cuantitativas entre las partes y el todo, entonces esnatural que los alumnos concluyan que � �� es igual a � �� , lo cual, por supuesto, es un error.

Énfasis en la Mecanización de Reglas y Algoritmos

Es común encontrar en los procesos de enseñanza estrategias como la presentadaen la Figura 7 en las cuales primero se exhiben algunas situaciones concretas, actoseguido se muestran algunos ejemplos, luego se expone la fórmula o regla que ge-neraliza el proceso conceptual que se espera que los alumnos aprendan y, finalmen-te, se proponen algunos ejercicios para practicar la regla o fórmula aprendida.

En estrategias como esta se asume que para generalizar basta con dar unos cuan-tos casos particulares, para luego �de manera natural- inferir la ley general. Se olvi-da que el paso a la formulación de una ley general implica algo más profundo: reco-nocer una estructura invariante en un conjunto de situaciones particulares, la cual, unavez conceptualizada, debe permitir el tratamiento de cada situación particular como si


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�

.��

/� �� 01��(��

��

��(�2��

��

�

� == �

.��

/� �� "�� !��

�

� = ��1��3��4�3�

��

�� = ��1��3��4��3��

��

� ≠ ��1��3��5��3��

2��

-��%��6�� 1�� %��6��

�� '��

�� ×=× �

se tratara de la situación general.Se ha mostrado que un procesode generalización no se puededar a partir de unos cuantosejemplos, sino que requiere demúltiples situaciones, en diferen-tes contextos, a través de diver-sos sistemas de representacióny a lo largo de un periodo de tiem-po considerable.

Sobre la base de los análisis an-teriormente expuestos se puedeproponer que el trabajo sobre losnúmeros racionales debe orien-tarse al diseño de situaciones

didácticas que consideren los siguientes elementos: El tipo de unidad y magnitud,la fracción como relación parte todo, la fracción como composición multiplicativa, yla medición como fuente fenomenológica para conceptualizar los números racionales.

La Enseñanza del Número Racional: Nuevos énfasis

� EL TIPO DE UNIDAD Y DE MAGNITUD

Dos elementos fundamentales que se deben considerar en las distintas situacionesproblema que se pueden proponer desde la relación Parte�Todo, corresponden a lanaturaleza de la unidad y al tipo de magnitud sobre el cual se establece la compara-ción. En este sentido, la unidad puede ser simple o compuesta, y las magnitudescontinuas o discretas.

Con respecto al tipo de unidad, inicialmente se trabaja con unidades simples, locual implica tareas en el contexto de las magnitudes continuas. Esta elección sesustenta, como se dijo antes, en que una tarea que implique la conformación deunidades simples es de menor complejidad psicológica que cuando ésta implica laconformación de unidades compuestas. El paso a las unidades compuestas, impli-ca por su parte, el trabajo con las magnitudes discretas, en tanto que las situacio-nes implican conteos de colecciones, su división, y respectiva comparación cuanti-tativa entre las partes y el todo.

61

Este reconocimiento del tipo de unidad, como del tipo de magnitud, hace indispen-sable la referencia a la unidad en el sentido geométrico y en el sentido aritmético.En el primer caso, se trata a las unidades como aquellas magnitudes que se tomancomo referencia con respecto a las cuales se realiza la medida de las demás (esdecir, aquella magnitud que es considerada unidad de medida). En el segundo caso,se trata de la magnitud considerada en el sentido del uno aritmético, y que portanto, es la referencia para establecer la fracción como relación (es decir, la identifi-cación del uno, del todo). Dependiendo de las situaciones, las diferentes magnitu-des involucradas en el establecimiento de la fracción, intercambian constantemen-te entre unidades geométricas y aritméticas.

� LA FRACCIÓN COMO RELACIÓN PARTE�TODO

La fracción, como relación Parte�Todo, puede ser definida como una �nueva canti-dad� que expresa la relación cuantitativa entre una cierta cantidad de magnitudtomada como unidad (todo) y otra cantidad de magnitud tomada como parte. Lasmagnitudes involucradas pueden ser continuas o discretas, y por consiguiente, lasunidades (el todo) simples o compuestas respectivamente.

Pensar la fracción en el sentido antes denotado implica, fundamentalmente, la rea-lización de procesos de medición para establecer la cuantificación de la parte y eltodo, y por consiguiente establecer la relación cuantitativa entre ambos. Igualmen-te, obliga a explicitar la magnitud sobre la cual se debe realizar la cuantificación.Hay en este sentido una diferencia importante con los procesos de enseñanza usual,ya que en ellos la medición no es un aspecto fundamental para conceptualizar lafracción.

� LA FRACCIÓN COMO UNA RELACIÓN MULTIPLICATIVA

La fracción unitaria: Si se parte del principio que la interpretación que actualmentese da a las fracciones (numerador y denominador como partes que se toman y par-tes en que se divide la unidad, la fracción como el nombre de una parte de la uni-dad) genera problemas serios en la conceptualización del número racional, enton-ces es necesario proponer una nueva: la fracción es una relación multiplicativa, re-sultado del proceso de medición. Desde el punto de vista matemático la relación demultiplicidad (ser múltiplo de �) genera la relación de divisibilidad (ser parte de �). Esto

es, la relación X = n�Y es equivalente a la relación � ��

⋅= � . Por tanto, la relación

multiplicativa �n veces��, define la relación inversa �n-ésima parte de�� y vicever-sa. En términos de las magnitudes, dicha equivalencia se puede interpretar así: Si Xe Y son dos magnitudes tales que una de ellas (la magnitud Y) está contenida unnúmero entero de veces n en la otra magnitud (la magnitud X), entonces se puedeconcluir que la magnitud Y es la n-ésima parte de la magnitud X. Así por ejemplo,

Números Racionales


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algo es la cuarta parte de � si ese algo esta contenido cuatro veces en �, como sepuede visualizar en la figura 8.

_____________________________________________________

22 Por ejemplo, se puede ver que una determinada magnitud puede ser la mitad de una segunda, pero la cuarta parte de una tercera,o incluso, el doble de una cuarta. Así, las fracciones dejan de ser nombres para las partes sombreadas, y se toman como relacionesentre magnitudes.

� .�

7�

�� "��

�"��7��"��.��

��"��7�

Figura 8

Favorecer una interpretación de las fracciones unitarias desde esta perspectiva escoherente con los procesos de conceptualización a partir de la medición, y permitesuperar las limitaciones de la partición y el conteo. De esta manera, la fracción esefectivamente una relación cuantitativa entre dos magnitudes (la parte y el todo), yademás, como relación que es, se puede mostrar su carácter relativo, es decir, quela fracción no es una propiedad, un nombre para la parte sombreada, sino que lafracción es el resultado de una comparación22.

Así, es necesario que en las actividades se centre la reflexión en los procesos demedición, y que por tanto, se enfatice en las relaciones �n veces�� y �n-ésima par-te de�� como dos relaciones inversas que se pueden utilizar la una para definir laotra. Es decir, que en vez de conceptualizar la fracción � �� como �una partesombreada de las n en que se dividió la unidad�, se comprenda que �la magnitud Yes � �� veces la magnitud X puesto que la magnitud X es n veces la magnitud Y�. Deesta manera se hace ver la fracción como una relación cuantitativa entre cantida-des, a la vez que se enfatiza el carácter relativo de la fracción.

La fracción no unitaria: Pero desde la anterior perspectiva aun queda un problemapor resolver: ¿cómo proponer a los alumnos un proceso para conceptualizar las frac-ciones de la forma � �� ?. Desde el punto de vista formal, la fracción � �� es equivalente

a � �� ⋅ . Esto es, la repetición aditiva de una fracción unitaria (lo cual es en última

instancia una multiplicación) genera una fracción no unitaria. O dicho de otra forma,

la fracción

� ��

puede se interpretada como � 44 344 21 Κ ��

��

−

+++ �� . De esta manera, se generan

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procesos en los cuales fracciones como � �� son interpretadas como 3 veces � �� de launidad, y no como 3 de las 5 partes en las que se partió la unidad.

Con las dos aproximaciones anteriores para llegar al concepto de fracción se logradesarrollar un proceso basado en las operaciones que le dan sentido numérico23.Así, es fácil ver que a partir de este proceso de conceptualización, no hay dificultadpara interpretar las fracciones impropias, y que además, la suma de fracciones sur-ge de manera natural.

Los Números Racionales como Medida

La medición, �el acto de medir� es importante en el proceso de conceptualizar losnúmeros racionales, pues de ella se derivan las fracciones, cuando lo que se mideno es un múltiplo entero de veces la unidad patrón de medida usada. También comoresultado de la comparación de dos mediciones puede surgir una razón (claro estáque no es la única manera de obtener una razón). Se podrían citar otros ejemplos enlos cuales la medición es utilizada en problemas sobre números racionales.

La medición con respecto a los números racionales merece ser estudiada en deta-lle, no sólo porque sea utilizada en la solución de numerosos problemas relaciona-dos con éstos, sino también porque los sistemas de medidas tienen característicasque le dan identidad.

Cualquier sistema de medidas tiene una unidad patrón, una unidad de base, la cualse materializa en un patrón de medida. La unidad de medida es arbitraria, conven-cional y abstracta. Por su parte el patrón de medida es concreto y debe ser estándar.La unidad de medida es acompañada de otra serie de unidades, unas más grandesy otras más pequeñas, que corresponden a los múltiplos y los submúltiplos respec-tivamente. Ahora bien, tanto los múltiplos como los submúltiplos son definidos apartir de la unidad patrón de medida, de tal manera que exista una determinadaregularidad entre ellos. Esa regularidad es precisamente lo que permite hablar deun sistema. En la actualidad la mayoría de los sistemas de medida son decimales24.Esto significa que una unidad es diez veces la unidad de orden inferior inmediata, o

_____________________________________________________

23 Esto es, se trata de procesos de aprendizaje del número basados en relaciones y operaciones matemáticas que constituyen la basepara su comprensión conceptual. En este sentido no se trata de dejar de lado los procesos centrados en las manipulaciones demateriales concretos, sino de reconceptualizarlos de tal forma que su manipulación tenga una base conceptual sólida basada enrelaciones y operaciones matemáticas. La forma actual de comprender las fracciones se centra en la acción concreta de partir ycontar, pero sin mayor fundamento matemático.

24 Esto hace que se asemejen a nuestro sistema de escritura de los números, y que las operaciones con las medidas sea similar a laforma como operamos con los números.

Números Racionales


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lo que es lo mismo, una determinada unidad es la décima parte de la unidad deorden superior inmediata (el mejor ejemplo es el sistema métrico decimal). Es denotar que en nuestra vida cotidiana es común el uso de sistemas de medidas nodecimales, o mixtos, es decir, que combinan principios decimales con algún otrotipo de regularidad (es el caso de los sistemas de pesos y medidas tradicionalesutilizados en el comercio, o el sistema de medición del tiempo).

Ahora bien, como ya se dijo, dado que las distintas unidades de un sistema de me-dición deben guardar una determinada regularidad, entonces, existen entre ellasrelaciones, bien sea de ser múltiplo de o ser fracción de (por ejemplo en el caso del

sistema métrico decimal las relaciones son 10, 100, 1000, etc. veces, o � Λ��

��

��

etc.). Puesto que estas relaciones son la vida del sistema, entonces, al trabajar lamedición con los alumnos, se debe privilegiar la construcción de éstas, antes que sumecanización y memorización. Una manera de establecer estas relaciones es a par-tir de la relación Parte�Todo, ya que ellas expresan la cuantificación de una unidadcon respecto a otra.

Pero hasta ahora sólo se ha hablado del sistema de medidas en general, y no se hadicho nada sobre la medida fraccional. Esta aparece cuando se desea medir unadeterminada magnitud en la cual la unidad no está contenida un número entero deveces en la magnitud que se quiere medir. Para obtener la medida exacta se debenutilizar los submúltiplos, y el resultado obtenido es la relación cuantitativa entre lamagnitud medida y la unidad de medida utilizada. Ahora bien, si se hace necesariala utilización de varios submúltiplos para la misma unidad de medida, entonces apartir de la regularidad que deben guardar el resultado se puede cuantificar entérminos de cualquiera de las distintas unidades utilizadas: unidad o submúltiplosde la unidad de medida25.

� IMPLICACIONES PEDAGÓGICAS

Tradicionalmente se ha considerado un sistema de medidas como algo formadopor una unidad patrón y dos conjuntos de unidades: los múltiplos y los submúltiplos.Aunque se muestren y se realicen las equivalencias entre las distintas unidades delsistema, cada unidad tanto de los múltiplos y como de los submúltiplos, no es con-siderada como una unidad con existencia propia, como un conjunto de elementosconstitutivos de un todo (un sistema) con unas relaciones y una lógica en su consti-tución, sino que son consideradas como partes de la unidad patrón. Por ejemplo, elcentímetro es visto solamente como una de las 100 partes en las que se puede divi-dir un metro, y no como una nueva unidad, con existencia propia, y que puede ser

_____________________________________________________

25 Por ejemplo en un sistema de medidas convencionales, 3 cm. no sólo expresan 3 veces un centímetro, sino también 3/100 de metro,o 3/10 de decímetro, etc., por lo tanto es necesaria esta comprensión para poder interpretar el resultado de una medida en unadeterminada unidad en otras unidades del mismo sistema.

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interpretado en relación con las demás unidades del sistema (el centímetro como:centésima parte del metro, la décima parte de un decímetro, diez veces un milímetro, etc.).

Además, dado que la comprensión de la lógica de un sistema de medidas implica lacuantificación de cada una de las unidades con respecto a las demás, entonces suestudio a partir de un trabajo previo en las relaciones Parte�Todo permitiría unamejor interpretación de los sistemas de medidas, pues desde la relación Parte�Todo se pueden comprender no sólo las relaciones entre las distintas unidades,sino también la interpretación del resultado de efectuar la medición.

Para terminar, es importante resaltar que comprender la lógica inherente a cual-quier sistema de medida es comprender la lógica de las relaciones entre cada unade las unidades del sistema; por lo tanto no puede ser asunto de memoria, sino deuna construcción activa del sujeto que aprende a partir de la actividad que realice.

Los Números Racionales como Fracción Decimal

Primero que todo se hace necesario realizar una aclaración. Se entiende por frac-ción decimal a aquellas fracciones en las cuales el denominador es una potencia de10. Éstas pueden ser notadas de dos formas: en la notación de fracciones (fraccio-

nes de la forma ��

� con n=1,2,3,...) o en la notación decimal (es decir, en la notación

de los puntos o las comas: � ,(((��(((�(��

=�� ).

Fácilmente podría pensarse que la fracción decimal es un caso particular de la rela-ción Parte�Todo, cuando la unidad es dividida en 10, 100, 1000, etc. partes. Si bien escierto que desde ésta se puede dotar de significado a la fracción decimal, tambiénes cierto que dicho sentido es sólo parcial.

También podría pensarse que, dado que las fracciones son cocientes indicados,entonces la fracción decimal aparece como consecuencia de efectuar dicha divi-sión. Esto también sería un significado parcial.

Incluso se puede entender la fracción decimal como otra forma de representaciónsimbólica de las fracciones en las cuales el denominador es un múltiplo de 10. Denuevo, el significado dado desde esta perspectiva es parcial.

Las fracciones decimales hacen su aparición en el escenario de las matemáticasescolares cuando se empieza el uso de la notación decimal (sistema de numeracióndecimal) para representar las fracciones. Por lo tanto el estudio de las fraccionesdecimales no sólo implica la transformación de un sistema simbólico a otro (del de

Números Racionales


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la fracción como � � a la escritura decimal y viceversa), sino también la extensión y lageneralización de las reglas del sistema de numeración decimal a un nuevo contex-to numérico: los números racionales.

Por lo tanto, las fracciones decimales no son solamente otra forma de representa-ción simbólica de las fracciones, ni cocientes indicados, ni fracciones en las que launidad es partida en 10, 100, 1000, etc. partes. Son todo eso, y ante todo, un sistemanotacional con reglas y lógica propia, y su comprensión implica, por supuesto, lacomprensión de dichas reglas y lógica.

Es muy común pensar que como el alumno ya conoce las reglas y la lógica del siste-ma de numeración decimal para los enteros (o por lo menos eso se cree), entonceslo único que tendrá que hacer para entender la notación decimal para las fraccionesserá extender dichas reglas y lógica al lado derecho del punto decimal. Con estetipo de visiones pedagógicas generalmente se logra que los alumnos llegan a reali-zar perfectamente la operatoria con fracciones decimales, pero que no que com-prendan lo que realizan26 (es el caso de alumnos que suman perfectamente 0.5 y 0.2,pero no pueden representar gráficamente el resultado, o ni siquiera darle una inter-pretación física a las dos cantidades sumadas).

Las reglas y la lógica del sistema de numeración decimal para las fracciones, aun-que son las mismas que para los números enteros, deben ser construidas por quienaprende como producto de su actividad intelectual. Esta construcción no sólo per-mitirá un conocimiento más duradero, sino que daría significado a los símbolos queescribe y a su manipulación operativa.

Además el uso de la notación decimal para las fracciones trae una serie de proble-mas relacionados con las notaciones decimales infinitas periódicas. En este caso elproblema se genera cuando el alumno tiene que entrar a conceptualizar el sentidode las infinitas cifras de una determinada notación simbólica. Alrededor de estainterpretación se revive el gran debate epistemológico entre el infinito actual y elinfinito potencial. Esto se evidencia en los conflictos que se les generan a los alum-nos cuando se enfrentan a la igualdad � �,(�(((,,,(� == , o a la suma

�� ,( (+

. De algunaforma este tipo de reflexiones ponen a los alumnos en el camino de la reflexión so-bre la densidad e incompletes de los números racionales.


Como se habrá podido notar, las fracciones decimales conforman un sistema sim-bólico, y su comprensión implica no solamente comprender sus reglas y su lógica,

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26 �...la ausencia de vínculos entre los conceptos y los procedimientos [cuando los estudiantes resuelven problemas] es tan generaliza-da, que parece que los dos tipos de conocimiento pertenecieran a dos mundos diferentes� Wearne y Hiebert, 1988, pág 222.

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sino también dotar de significado este sistema simbólico. Esto último ayudaría asalvar un problema muy generalizado, que es la manipulación irreflexiva de símbo-los cuando el alumno soluciona un problema. Verbigracia la aplicación mecánica delos algoritmos de las operaciones27 .

Cuando el estudiante se ve obligado a trabajar con símbolos carentes de significa-do para él, no le queda otra alternativa que buscar reglas (las cuales también care-cen de significado) que le permitan la manipulación de dichos símbolos. Estas re-glas descubiertas por él son eficaces en muchos casos particulares (lo que lo lleva acometer errores al aplicarlas fuera del campo de validez en que las descubrió), o sitienen algún grado de generalidad son confundidas o distorsionadas cuando sonaplicadas a problemas de mayor nivel de dificultad. Más grave aún es el hecho deque en muchos casos la enseñanza que se imparte a los alumnos está centrada enla memorización y mecanización de las reglas (es decir que ni siquiera se deja queellos descubran las reglas), y no en la significación de los procesos que ellos realizan.

Wearne y Hiebert, (1988), describen una sucesión de cinco procesos a través de loscuales un individuo asigna significado a los símbolos y las reglas de manipulación.Éstos son:

1. La conexión de procesos, a través de los cuales los símbolos individuales son co-nectados con sus referentes.

2. El desarrollo de procesos, en el cual las reglas de manipulación de los símbolosson desarrolladas a partir de la manipulación de los referentes.

3. La elaboración de procesos, en la cual las reglas son extendidas a problemas máscomplejos pero similares.

4. Los procesos de rutinización, en los cuales las reglas son memorizadas y mecani-zadas.

5. La construcción de procesos, en los cuales los símbolos y las reglas son usadaspara la construcción de sistemas simbólicos más abstractos.

Existe una gran cantidad de referentes concretos que servirán para dotar de signi-ficado a los símbolos y a las reglas del sistema simbólico de las fracciones decima-les. Entre otros se pueden destacar: los bloques de Dienes, tomando uno cualquierade ellos como la unidad; el ábaco, tomando una fila cualquiera como la fila de lasunidades; los sistemas de medidas decimales, como el sistema métrico decimalpara las longitudes; las fracciones, con denominador 10, 100, 1000, ...; juegos conbilletes de 1, 10, 100,... etc.

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27 Una manifestación de esta situación se evidencia cuando el alumno no es capaz de evaluar si su respuesta tiene o no sentido a laluz del problema que acaba de resolver.

Números Racionales


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A partir de la manipulación de estos referentes concretos el alumno dotará de sig-nificado a los símbolos y los procesos que él realice. De esta manera, los materialesconcretos no sólo le ayudarán a encontrar una respuesta, sino que darán significadoa los procesos sintácticos y algorítmicos que él posteriormente deberá realizar. Esimportante destacar que esta significación no está en los materiales concretos, nitampoco en su manipulación. La significación está en la reflexión que el alumnohaga sobre cada una de las acciones por él realizada.

El siguiente paso se da cuando el alumno ha comprendido las reglas y el sentido delas manipulaciones concretas. Se trata de una traslación de lo realizado sobre losreferentes a los símbolos, de tal manera que toda acción realizada sobre los refe-rentes sea relacionada con una acción sobre los símbolos. Por ejemplo, una canti-dad representada en el ábaco, escribirla en la notación decimal. De esta manera, alhacer esta traslación de significados, los símbolos y las reglas de constitución ymanipulación también adquieren significado propio.

Estas dos primeras etapas son fundamentales, pues su papel es, ante todo, dotarde significado tanto a los símbolos como a las operaciones con ellos, a través de losreferentes y los procesos realizados con éstos. Es muy frecuente encontrar alumnosque se quedan ligados a los referentes y a las acciones sobre ellos. Esto sucedeporque la traslación de los referentes a los símbolos no es sencilla y requiere proce-sos mentales complejos cuya construcción tarda periodos de tiempo considerables.Para que la traslación se dé es necesario exigir del alumno una constante reflexiónsobre lo que hace con los materiales concretos. De lo contrario los materiales con-cretos se constituirán en una trampa de la cual es difícil escapar.

Siguiendo el camino hacia la abstracción, el alumno deberá aplicar lo aprendido aotros problemas de dificultad mayor. Es posible que para hacerlo necesite nueva-mente los materiales concretos, pero habrá que buscar que en lo posible no lo haga,o que los use muy poco. Se trata de que el alumno se plantee y resuelva problemasen otros contextos, diferentes a aquellos en los que ha trabajado habitualmente, yademás con un nivel de dificultad matemático superior. De esta manera irá amplian-do la comprensión conceptual de la temática estudiada.

A medida que se trabaja en los tres aspectos antes señalados, se avanza en la fasede la mecanización y la memorización. Nótese que desde la educación tradicionaleste es el punto de partida, y el trabajo con los referentes es la última parte deltrabajo, cuando se entran a estudiar las aplicaciones de lo que se acaba de estu-diar. La propuesta es hacer el camino al contrario, de tal manera que cuando elalumno llegue a la etapa de la memorización y la mecanización, esas cosas quedebe memorizar y mecanizar ya están plenas de significado.

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Es importante destacar que los límites entre una etapa y otra no son determinablesde una manera precisa, es decir, que no puede indicarse cuándo se acaba una yempieza la otra. Es más, no puede pretenderse que haya que esperar a que unalumno pase por una para iniciar la siguiente. El trabajo de conceptualización porparte del alumno sigue esas etapas, pero lo realiza de una manera más o menosparalela, de tal manera que mientras avanza en la construcción conceptual de unadeterminada entidad matemática, puede iniciar el trabajo de la conceptualizaciónen otra. Esto es, mientras avanza en la conceptualización de las décimas, puedeiniciar la conceptualización de las centésimas.

Los Números Racionales como Cocientes Indicados

El cociente indicado permite interpretar la fracción � � como el cociente entre doscantidades A y B. Esta es quizás la interpretación más común para las fracciones. Elnombre de cociente indicado expresa que la división no se realiza a través del algo-ritmo convencional, sino que la fracción es el cociente.

Ahora bien, en el caso de que la fracción sea el resultado de una división repartición(la cantidad A es repartida en B grupos iguales), o partición (extraer la cantidad B,de la cantidad A hasta agotarla), entonces la fracción es una cantidad (la medida decada uno de los B grupos iguales), o es un parámetro (cuántas veces se puede ex-traer la cantidad B de la cantidad A). El primer caso es de más fácil interpretaciónque el segundo.

Como puede verse el trabajo en este campo está estrechamente ligado a las demásinterpretaciones de la división. De esta manera, cuando la fracción OJO sea inter-pretada como el resultado de una división, esta fracción tendrá un significado y noserá un símbolo muerto, sin sentido para quien lo utiliza.Esta interpretación es importante, ya que desde aquí se prepara el camino paraentender los números racionales como un campo de cocientes, teniendo de estamanera una construcción formal de éstos. Además, desde esta interpretación de lafracción se prepara el camino para entender el significado de las construccionesmatemáticas de los números racionales en las que este campo numérico se presen-ta como un campo de cocientes sobre los enteros.


La principal implicación pedagógica está en el hecho de aportar una nueva inter-pretación de la división, lo cual propone que el trabajo en este campo esté estricta-mente ligado a la división. Por ejemplo, no es lo mismo pensar que 3/2 es la división

Números Racionales


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indicada entre 3 y 2, a pensar que es el resultado de repartir, digamos tres bananosentre dos personas.

Además de lo anterior, esta interpretación aporta una herramienta poderosa parael trabajo en otras interpretaciones de las fracciones como la recta numérica o lasrazones.

Los Números Racionales como Puntos en la Recta Numérica

Esta interpretación de los números racionales es otra representación simbólica, omejor aún, otro sistema de representación simbólica para ellos. Es de destacar quecada número racional es visto como un punto en una recta, pero no la recta físicadibujada en un papel, sino la recta como ente geométrico abstracto.

Acceder a esta interpretación implica una comprensión profunda de las relacionesParte-Todo, la medida fraccional, la fracción decimal y el cociente indicado. Lo ante-rior no implica que se tiene que esperar a que los alumnos hayan trabajado todaslas interpretaciones anteriores, sino que a medida que se trabajen, se pueden irdando pasos que apunten a la reflexión sobre la recta numérica.

Pensar los números racionales sobre la recta numérica implica interpretarlos de dosformas diferentes: como puntos o como segmentos. Pero el número racional comotal no es ni el punto ni el segmento. Como puntos, el número racional expresa larelación cuantitativa entre la distancia desde ese punto al cero, con respecto a ladistancia desde el punto unidad hasta el cero. Como segmento, el número racionalexpresa la relación cuantitativa entre la longitud de dicho segmento y la longituddel segmento unidad. No debe tomarse partido por ninguna de las dos, sino desa-rrollar trabajos en ambas, sobre la base de cada una de las distintas interpretacio-nes de las fracciones.


De la misma manera como el grado de conceptualización logrado por los alumnossobre el concepto de unidad es vital para la comprensión de los números raciona-les, en la recta numérica también juega un papel fundamental. Cuando el alumnopierde de vista el segmento unidad (o la distancia unidad), no puede relacionar demanera correcta los puntos con sus respectivos números racionales. Por ejemplo,en un problema donde la recta numérica tiene cinco unidades, al pedirle al alumnoque localice el punto 3/5, puede hacerlo en el lugar que le corresponde al númerotres. Claramente el estudiante perdió de vista el segmento unidad. Llinaris y Sánchez(1988), de quienes se adaptó el ejemplo anterior, plantean que este problema se

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puede salvar dando una recta numérica que tenga una sola unidad y dividirla encinco partes. Esto no es una solución al problema, sino una manera de disfrazarlopara que no se presente. También se deben tener rectas numéricas con varias uni-dades, y sin ningún tipo de división.

Hacer la construcción de la recta numérica desde la relación Parte�Todo planteafundamentalmente una asociación entre segmentos de la recta y números raciona-les. Esto es importante, ya que facilita la comparación de dos o más números, lasequivalencias y las operaciones de suma y resta. Pero esta interpretación no favore-ce la comprensión de las propiedades de densidad e incompletitud de los númerosracionales.

La densidad e incompletitud de los números racionales encuentran en la recta nu-mérica un camino de interpretación intuitiva, pero requieren que el alumno accedaal pensamiento de la recta numérica como un ente geométrico abstracto, y no comouna forma de representación física. Esta es una condición necesaria, ya que ambaspropiedades trascienden la barrera de lo físico, como se puede ver a continuación.

Intuitivamente la densidad puede ser entendida como que dados cualesquiera dosnúmeros racionales, siempre será posible encontrar otro número racional entre ellosdos. Por su parte, la incompletitud expresa que a pesar de que los números raciona-les son un conjunto denso, ellos no llenan completamente la recta numérica; es de-cir que existen puntos en la recta numérica a los cuales no se les puede asignar unnúmero racional. En otras palabras, los números racionales dejan huecos en la rectanumérica, pero son huecos muy especiales: no tienen extensión. Por eso no violan lapropiedad de la densidad. Si tratamos de comprobar físicamente ambas propieda-des, rápidamente los límites físicos de los instrumentos utilizados para graficar, mediry observar, nos harán concluir que se ha llenado la recta numérica, y por tanto am-bas propiedades serían falsas. Luego su comprensión sólo puede darse en el domi-nio de la representación mental, donde no existen los límites físicos. Claro está quelas representaciones físicas son un buen medio para iniciar el camino hacia las re-presentaciones mentales.

De lo anterior se desprende que el trabajo con la recta numérica es muy delicado,dado el grado de abstracción de las propiedades de los números racionales quedesde ella se pueden estudiar. Por lo tanto las actividades que se propongan parasu estudio deben ser pensadas desde estas propiedades para que la actividad rea-lizada por el alumno le permita acercarse a ellas, y no como sucede muy a menudo,que dicha actividad permite conceptualizar unos aspectos a costa de otros. Por ejem-plo, el trabajo realizado normalmente sobre la recta numérica se reduce práctica-mente a localizar puntos en un segmento de recta dibujado sobre una hoja de pa-pel, y no se le permite al alumno la reflexión sobre la densidad y mucho menos sobrela incompletitud. Es más, este trabajo de localizar puntos, sin una reflexión apropia-

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da, bloquea la conceptualización de ambas propiedades, fundamentalmente de lasegunda.

� CONSIDERACIONES FINALES

Como habrá podido notarse del análisis anterior, no hay límites claros entre cadauna de las distintas interpretaciones de la fracción, lo cual no quita que desde cadauna de ellas se aporten elementos específicos en la conceptualización de los núme-ros racionales. Esta situación lo que pone de manifiesto es la necesidad de trabajarcon todas ellas de una manera sistemática, de tal suerte que se aprovechen lospuntos de contacto para crear en el alumno un cuerpo de conocimientos integradosentre sí, y potentes en cuanto a las posibilidades de su utilización en otros campos.

Estudiar los números racionales será, en últimas, estudiar cada una de las distintasinterpretaciones, ya que sólo así se podrá tener un cuerpo de significados amplioscon los cuales entender las situaciones problema que se plantean al interior de és-tos (de los números racionales).

Ahora bien, se puede pensar en dos ejes fundamentales sobre los cuales organizarla enseñanza de los números racionales: desde la relación Parte - Todo y desde eloperador fraccionario. El primero favorece las situaciones aditivas, mientras que elsegundo las situaciones multiplicativas. Sobre ambos ejes se pueden sustentar tra-bajos en las demás interpretaciones, incluida la familia de las razones, para así res-catar las posibilidades que cada una de ellas ofrece en cuanto a la conceptualiza-ción de las fracciones y, en última instancia, de los números racionales.


A continuación se presentan los estándares asociados con las ideas relacionadasen las páginas anteriores, los cuales pueden ser movilizados a través de las activi-dades aquí propuestas:

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Métrico

Espacial

Describir situaciones de medición utilizando fracciones comunes.

Resolver y formular problemas en situaciones de variación proporcional.

Interpretar las fracciones en diferentes contextos -medidas, razones y cocientes-

Resolver y formular problemas en situaciones de proporcionalidad directa, inversa y productode medidas.

Modelar situaciones de proporcionalidad directa e inversa

Utilizar números racionales, en su notación fraccionaria o decimal, para resolver problemasen contextos de medidas, cocientes, razones, proporciones y porcentajes.

Justificar el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidaddirecta e inversa.

Justificar la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema ylo razonable o no de las respuestas obtenidas.

Reconocer y aplicar traslaciones y giros sobre una figura.

Reconocer congruencia y semejanza entre figuras. (ampliar y reducir)

Identificar y justificar relaciones de congruencia y semejanza entre figuras.

Hacer conjeturas y verificar resultados de aplicar transformaciones a figuras en el planopara construir diseños.

Predecir y comparar los resultados de aplicar transformaciones (traslaciones, rotaciones,reflexiones) y homotecias sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en elarte.

Resolver y formular problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza ycongruencia usando representaciones visuales.

Conjeturar y verificar propiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionalesy entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.

Usar representaciones geométricas para resolver y formular problemas en la matemática yen otras disciplinas.

Reconocer atributos medibles de los objetos y eventos (longitud, superficie, capacidad, masay tiempo) en diversas situaciones.

Realizar y describir procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos estandarizadosde acuerdo al contexto.

Seleccionar unidades, tanto convencionales como estandarizadas, apropiadas para diferen-tes mediciones.

Utilizar diferentes procedimientos de cálculo para hallar la medida de superficies y volúme-nes.

Resolver y formular problemas que involucren factores escalares (diseño de maquetas, mapas).

Calcular áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos

Identificar relaciones entre unidades para medir diferentes magnitudes.

Resolver y formular problemas que requieren técnicas de estimación.

Seleccionar y usar técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies,volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

Numérico

Primero aTercero

Cuarto aquinto

Sexto aséptimo

Primero aTercero

Cuarto aquinto

Sexto aséptimo

Octavo anoveno

Primero aTercero

Cuarto aquinto

Sexto aséptimo

Octavo anoveno

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SITUACIÓN 1


El conjunto de actividades propuestas en esta situación presenta dos procesos con-ceptuales fundamentales: de un lado, las fracciones como relación parte todo (en elsentido descrito antes), y de otro, el área de superficies planas y sus procesos demedición, lo cual permite comprender el área como cantidad de magnitud de unamagnitud dada. Las tres actividades propuestas permiten un trabajo conceptualcon la noción de unidad de medida, de la equivalencia entre áreas independientede la forma de las superficies medidas y de la aditividad de las áreas cuando lassuperficies son disjuntas entre si.

Desde el punto de vista de los números racionales, se centra en la notación fraccionariade los mismos, y permite un trabajo sistemático en el carácter relativo de las frac-ciones, esto es, que las fracciones no son propiedades de las partes medidas, sinorelaciones cuantitativas entre magnitudes (ningún objeto es en si mismo la mitadde nada, sino que en relación con otra magnitud, puede ser la mitad, la terceraparte, el doble, etc.).

En particular, la primera actividad permite trabajar conceptos relativos a las frac-ciones ½ y ¼ a través de la medición directa con unidades determinadas y de lacomparación de las unidades de medida para realizar medidas indirectas a travésde la conversión de una medida a otra cambiando la unidad de medida. En cuanto alconcepto de medida permite conceptualizar la conservación del área de una super-ficie a pesar que la forma de la misma sea transformada. Igualmente permite ver elcarácter aditivo de las superficies (cuando ellas no se superponen).

La actividad Nro 2 busca de un lado profundizar en la noción de mitad ya tratada enla actividad Nro 1, pero de otro, afianzar el concepto de área al mostrar diferentesformas de configurar la mitad de� Se amplía el concepto de mitad al mostrar que laformas de las mitades no tienen que parecerse ya que lo importante es la relaciónentre las cantidades comparadas.

La actividad Nro 3 continúa con el trabajo sobre las unidades de medida, pero aho-ra introduce relaciones fraccionarias más complejas (medios, cuartos, octavos ydieciseisavos), y además, profundiza en el carácter relacional de las fracciones. Espor esta razón que exige medir cada figura del rompecabezas utilizando cada unade las otras como unidad de medida.

La actividad 4 pretende profundizar en el sentido de la relación parte todo, y paraello toma excusa la reflexión sobre la configuración de las banderas de algunos paí-

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ses del mundo. En este sentido es una actividad más formal que busca ampliar elconcepto de fracción a otros contextos y a otras fracciones más complejas.

La última es una actividad de carácter evaluativo que busca analizar el grado deapropiación de los conceptos de medida y de fracción. Dado que es un problemaabierto puede tener múltiples soluciones, y la discusión en plenaria sobre los resul-tados y los métodos utilizados por los grupos de trabajo se constituye en un factorimportante para el desarrollo del pensamiento matemático de los alumnos.

� PROCEDIMIENTOS ESPERADOS E INDICADORES DE VALORACIÓN

En la primera actividad, al superponer la unidad de medida en la superficie que sedesea medir, se verifica que en algunos sectores de la figura, la unidad de medidano queda contenida totalmente. Esto hace que, en esencia se presenten dos proce-dimientos básicos: Aquellos en los que se desechan los sectores de la superficie enla cual la unidad de medida no está contenida totalmente, y otros en los que laspartes son cuantificadas con respecto a la unidad.

En el caso del primer tipo de procedimientos, se pone en evidencia que el conceptode medir está unido al concepto de número natural (solo se cuantifican y componenaditivamente las unidades totalmente contenidas en la superficie que se deseamedir). Al despreciar sectores de la superficie, cuya medida es menor que la uni-dad, se asume que su medida es cero. Esto es, la medida es cuántica: o es unaunidad, o es cero. Solo se componen aditivamente los valores enteros, y las cantida-des menores que la unidad no se cuantifican como fracciones de la unidad, y portanto no se pueden componer para formar unidades completas.

Ahora bien, es posible que los estudiantes se den cuenta de que los sectores meno-res que la unidad también deben ser compuestos aditivamente con aquellos secto-res donde la unidad fue contenida totalmente, pero no son capaces de establecer larelación parte todo entre la parte y la unidad. En este caso se evidencia un proble-ma de conceptualización no alrededor del concepto de medida, sino de la fraccióncomo relación parte todo. Si es este el caso, entonces una intervención que eviden-cie que la parte de la superficie está contenida dos veces en la unidad, permitirá lacomprensión necesaria.

En cuanto al segundo procedimiento, no es necesario hacer mayores comentarios,pues se evidencia un concepto de medida que permite cuantificar y componeraditivamente fracciones de unidad. Solo hay que agregar que, dado que la figura 2tiene partes en las que la unidad U2 no está contenida totalmente, y que la compa-ración entre esas partes y la unidad no es fácil por métodos visuales, entonces losestudiantes pueden explorar dos vías: descomponer y transformar la unidad de

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medida, por ejemplo para formar un rectángulo, o transformar o componer las par-tes de la superficie de tal forma que puedan comparar el resultado con la unidad demedida. Este hecho permite avanzar en la conceptualización del área como unapropiedad de la superficie, y no la figura o de la forma: la composición y descompo-sición de superficies genera superficies de áreas equivalentes a pesar de que hacambiado la forma.

Ahora bien, la actividad finaliza con acciones que implican el cambio en las unida-des de medida: se mide el área de la figura 1, con la unidad de medida U2, y vicever-sa, el área de la figura 2 es medida con la unidad de medida U1. Al comparar losvalores obtenidos, y sabiendo de la unidad U2 cabe dos veces en la unidad U1, sepuede concluir sobre los procedimientos de medición se han realizado correcta-mente. Precisamente este aspecto el que genera un proceso de validación del tra-bajo realizado, pues generalmente la medición de la figura el pájaro suele generardificultades y equivocaciones, y por tanto, al realizar la conversión de medidas (enambas superficies) al cambiar de una unidad a la otra, si las medidas no han sidobien realizadas, se generan contradicciones en la información. Podría decirse queesta comparación corresponde a una actividad de evaluación intrínseca en la situa-ción, que permite al estudiante por sus propios medios determinar la validez de lorealizado.

La actividad 2 hace intervenir al computador de manera importante, pues graciasal dinamismo brindado por la posibilidad de mover los puntos sobre los lados de losrectángulos se pueden formular hipótesis sobre las comparaciones solicitadas. Laposibilidad de que en cada nuevo ejercicio se pueda llegar al ejercicio anterior enlos casos extremos del movimiento de los puntos, permite afianzar hipótesis sobreel camino a seguir. Igualmente la configuración visual de los triángulos interiorescon respecto a los lados del rectángulo facilita la construcción de líneas guías auxi-liares que permiten visualizar la estructura a partir de rectángulos, los cuales facili-tan la conclusión final esperada: que en todos los casos, la parte sombreada es lamitad del rectángulo. Es importante que los alumnos exploren la situación, y que através de las herramientas brindadas por el applet, puedan obtener sus propiasconclusiones. Por supuesto, dependiendo de la manera como oriente el trabajo, eldocente puede y debe hacer sus propias intervenciones.

La actividad 3, continua con los procesos de medición, pero ahora, se espera quelos procedimientos de los alumnos estén orientados al establecimiento de las rela-ciones parte todo. En este sentido, las composiciones o descomposiciones de lasfiguras en otras de área equivalente serán claves para determinar dichas relacio-nes. Se espera que los estudiantes concluyan las relaciones fraccionarias a partir deestablecer cuántas veces está contenida la parte en el todo, y para ello, puede rea-

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lizar procedimientos manuales (recortar, dibujar, calcar, etc.) o puede realizar com-paraciones directas a partir de las relaciones entre las formas de las superficies acomparar. Nótese que en este caso, se pretende profundizar en un aspecto quepudo ser problemático en la primera actividad: medir una superficie menor que launidad de medida. Al igual que el caso de la actividad 1, la última pregunta de estaactividad tiene un carácter evaluativo, pues al pedir la medida de cada una de lasfiguras y su suma total, si esta no da un metro cuadrado, entonces el alumno podrádarse cuenta, por si mismo, que ha cometido un error en el procedimiento.

La actividad 4, esconden un poco el problema de la medición, en tanto que el énfa-sis ya no es en los procesos de medición, sino en las comparaciones entre las partesy el todo, pero la medida sigue cruzando los posibles procedimientos de los alum-nos. En este sentido profundizan la propuesto en las actividades anteriores, y per-miten ampliar el campo de reflexiones a otro tipo de fracciones.

La actividad 5, como ya se dijo, deja abierta la posibilidad a múltiples caminos deexploración y por lo tanto es difícil anticipar el tipo de soluciones que se puedanpresentar.

Comentario final: El intento de describir los posibles procedimientos de los estu-diantes en un conjunto de actividades se justifica en la medida que a partir de éstosse pueden definir los indicadores de valoración en el desarrollo del proceso concep-tual de los alumnos. Por ejemplo, para el caso de ésta situación se pueden definirindicadores como los siguientes:

� Medir el área de superficies solo con referencia a los números naturales.� Medir el área de superficies cuantificando superficies menores que la unidad.� Descomponer y componer aditivamente áreas de superficies equivalentes.


Las actividades propuestas en esta primera situación presentan unos niveles decomplejidad apropiados para alumnos de grado 3 de Educación Básica Primaria. Eltrabajo se puede realizar en parejas lo cual favorece la discusión, formulación y puestaen ejecución de planes de acción. Este es un aspecto importante para favorecer eltrabajo colaborativo, y por ende, el desarrollo de competencias ciudadanas, porejemplo, relativas a la participación y responsabilidad democrática: Colaboro acti-vamente para el logro de metas comunes en mi salón y reconozco la importancia quetienen las normas para lograr esas metas, o las relativas a la convivencia y paz: Com-prendo que las normas ayudan a promover el buen trato y evitar el maltrato en el juegoen la vida escolar.

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�ACTIVIDAD 1: Midiendo y comparando medidas

Número de jugadores: 2Materiales: Un dibujo por pareja, lápiz, borrador ,regla. Opcional papel calcante.

Qué hacer

w Mida la superficie S1 (la llave), utilizando el cuadrado U1 como unidad de medida.w Mida la superficie S2 (el pájaro), utilizando el cuadrado U2 como unidad de medida.w Compare las unidades U1 y U2. Si se midiera S1, utilizando U2, como unidad de

medida, ¿cuál sería el resultado?w Si se midiera S2, utilizando U1, como unidad de medida, ¿cuál sería el resultado?

U1

S1

U2

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�ACTIVIDAD 2: Trabajando con rectángulos

Número de jugadores: 2Materiales: Computador, archivo index.

Qué hacer

w Abra el vínculo Actividad rectángulo 1 (Medi-ción)

w Mueva los puntos A y B. Observe cómo cambian las medidas del rectángulo.w De igual forma, mueva el punto P y observe qué cambia en las medidas del trián-

gulo sombreado.w ¿Cuánto es el área del triángulo con respecto al área del rectángulo?w Al realizar los anteriores movimientos, ¿cambiaría la relación del área del trián-

gulo con respecto al área del rectángulo?

Qué hacer

w Abre el vínculo Actividad rectángulo 2 (Medi-ción)

w Mueve los puntos A y B y observa cómo cam-bian las medidas del rectángulo.

w De igual forma, mueve los puntos D y C y obser-va cómo cambian las medidas de los triángulossombreados.

w ¿Cuánto es la suma de las áreas de los triángulos sombreados con respecto alárea del rectángulo?

w Al realizar los anteriores movimientos, ¿cambiaría la relación de la suma de lasáreas de los triángulos sombreados con respecto al área del rectángulo?

Qué hacer

w Abre el vínculo Actividad rectángulo 3 (Medi-ción)

w Mueve los puntos A y B y observa el cambio enlas medidas del rectángulo.

w Mueve los puntos C, D y E y observa qué cam-bia en las medidas del cuadrilátero interior.

w ¿Cuánto es el área del cuadrilátero sombreado con respecto al área del rectán-gulo?

w Al realizar los anteriores movimientos, ¿cambiaría la relación del área del cuadri-látero interior con respecto al área del rectángulo?

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Qué hacer

w Abre el vínculo Actividad rectángulo 4 (Me-dición)

w Mueve los puntos A y B y observa cómocambian las medidas del rectángulo.

w Mueve los puntos C, D, E y F y notarás cómocambian las medidas del cuadrilátero in-terior.

w ¿Cuánto es el área sombreada con respecto al área del rectángulo?w Al realizar los anteriores movimientos, ¿cambiaría la relación del área del cuadri-

látero interior con respecto al área del rectángulo?

�ACTIVIDAD 3: Rompecabezas geométrico28

Número de jugadores: 2Materiales: Dibujo, lápiz y borrador. Opcional papelcalcante y regla

Qué hacer

w El cuadrado de la figura ha sido diseñado a partirde siete fichas, las cuales han sido nombradas conalgunas letras.

w Entre ellas se pueden identificar algunas propiedades y regularidades. Haga unalista de las propiedades y regularidades que encuentres. Explica estas decisiones.

w Si las fichas A, B, C, D, E, F y G son medidas con la ficha E como unidad de medida,¿cuál sería el valor de cada una de ellas?

w Igual situación, pero ahora la unidad de medida es la ficha F.w Igual situación, pero ahora la unidad de medida es la ficha G.w Si la superficie total del cuadrado mide 1m2, ¿cuánto mide la superficie de cada

una de las fichas A, B, C, D, E, F y G? Sume las áreas de todas las figuras.

�ACTIVIDAD 4: El día de la ONU29


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28 Tomado y adaptado de: Petit X numéro spécial activités - novembre 92. pp 23-24.29 Tomado y adaptado de: http://www.sep.gob.mx/work/appsite/librosprimaria/libros/index.htm

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Qué hacer

Para festejar el día de la ONU se realizó un festival en la escuela. Al grupo de Jaimele tocó hacer las banderas de algunos países: Puerto Rico, Tailandia, México, Uganda,Indonesia, España, Costa Rica, Chile, Kuwait, Paquistán, Nicaragua, Jordania, Co-lombia, Panamá, Suecia, Congo.

w Averigua los colores, dimensiones y diseño exacto de cada una de estas banderas.w Los niños compraron varios pliegos de papel blanco, trazaron una bandera en

cada pliego y después las colorearon.w ¿Cuáles banderas están divididas en partes del mismo tamaño?w ¿Cuáles están divididas en tres partes iguales?w ¿Cuáles están divididas en 4 partes iguales?w ¿Es cierto que la bandera de Chile está dividida en tercios? ¿Por qué?w ¿Es cierto que la bandera de Colombia está dividida en cuartos? ¿Por qué?

Completa la siguiente tabla.

w ¿Es cierto que la parte blanca en la bandera de Paquistán es ¼ del área de labandera? ¿Por qué?

w ¿Qué fracción de la bandera de Chile está coloreada de rojo?¿Qué fracción de lamisma bandera tiene color blanco?¿Y qué fracción tiene color azul?

Todas sus partes son

PaísPuerto RicoTailandiaMéxicoUgandaIndonesiaEspañaCosta RicaChileKuwaitPaquistánNicaraguaJordaniaColombiaPanamáSueciaCongo

Mitadesno

Terciosno

Cuartosno

Quintosno

Sextosno

Números Racionales


1

82

�ACTIVIDAD 5: La Mancha30

Número de jugadores: 2Materiales: Dibujo, lápiz y borrador. Opcional regla, pita, hojas cuadriculadas, pa-pel calcante.

Qué hacer

En una cortina aparecen unas manchas como las queves más abajo. Su dueño quiere medirlas de la for-ma más exacta posible, porque el lavado de la corti-na se cobra de acuerdo con el tamaño de las man-chas. ¿Puedes ayudarle a medir las manchas?

El tamaño real y la forma de cada mancha son:

SITUACIÓN 2: ESTABLECIENDO RELACIONES PARTE � TODO


Las actividades de esta situación están orientadas a conceptualizar la equivalenciaentre fracciones, y por esta vía, en la segunda situación iniciar un trabajo en lo rela-tivo a la suma de fracciones. Se apoya en los conceptos aprendidos en la anteriorsituación sobre la medición y las fracciones.

____________________________________________________

30 Tomado y adaptado de: Grupo Azarquiel. Proyecto Azarquiel matemáticas 1 de E.S.O. libro del profesor. UAM ediciones. Madrid1996

83

Vale la pena destacar que la noción de equivalencia que se quiere favorecer es laque deriva del proceso de medición, y por esto se espera conceptualizar la equiva-lencia entre dos fracciones a partir de analizar cuantas veces está contenida la unaen la otra. Por ejemplo,

��

� =

por el hecho de que está contenido 3 veces en ½(esto es diferente de la forma usual que centra la comprensión en la fórmula de laigualdad entre producto de medios igual a producto de extremos).

Cuando se trata de realizar la suma entre fracciones heterogéneas la búsqueda delas fracciones equivalentes implica buscar una fracción que mide un número exactode veces las dos fracciones que deben ser sumadas (y no como se hace usualmente,buscando el mínimo común múltiplo de los denominadores, lo cual por demás cen-tra el procedimiento en los números naturales y no en las fracciones como expresio-nes de los números racionales). Por ejemplo, para sumar:

�

�� +

se procede buscan-do una fracción que esté contenida un número exacto de veces en los cuartos y lostercios. Esta es

��

. Como está contenido 3 veces en �� y cuatro veces en

�� , en-

tonces �,

�� = y

128

32

= . Ahora si la suma es muy fácil de realizar. Este proceso con-ceptual se ve complejo, pero es más coherente con los procesos de medición y surgede manera muy natural a través de las actividades propuestas en esta situación.

La actividad 1 centra el análisis en la relaciones de equivalencia entre fracciones, apartir de la medición de áreas de superficies rectangulares. Adicionalmente se tra-baja en aspectos relativos a la estructura de la Bandera de Colombia, así como, elsentido y significado de los colores. Si esta actividad se amplía al análisis de bande-ras de otros países se puede profundizar el estudio de la equivalencia entre otrasfracciones.

Las actividades 2 y 3 buscan profundizar lo relativo a las fracciones como relaciónparte todo, pero ahora ampliando el campo de reflexión a cualquier tipo de fracción.En particular la actividad 2 que utiliza una serie de applets para el computadortiene especial importancia ya que permite diferentes tipos de manipulaciones faci-litando la comprensión de los procesos de comparación implicados al establecer larelación parte todo entre dos cantidades.

La actividad 4 inicia un proceso muy importante, pues sobre la base de las relacio-nes parte todo, establece la reflexión sobre las fracciones equivalentes. Tal como seindicó al comienzo, se trata de ver como una fracción es contenida un número exac-ta de veces en otra, y tomar este elemento como base para la comprensión delsentido y significado de la equivalencia entre fracciones. Esto es, se trata de que losalumnos vean que encontrar una fracción equivalente es el resultado de buscar frac-ciones unitarias que dividan exactamente la fracción unitaria original, y no comotradicionalmente lo hacemos (aunque parece ser mucho más fácil) multiplicando

61

Números Racionales

��


1

84

numerador y denominador por un mismo número. Este procedimiento está centra-do en la medición, y permite una mejor comprensión de lo que significa una fracciónequivalente. Igualmente esta cuarta actividad empieza a relacionar la equivalenciade fracciones con el procedimiento para realizar la operación suma.

La actividad 5 continúa con el proceso, pero ahora se introduce la noción de sumade fracciones. Esto se logra por dos vías: al acumular los desplazamientos de lasfichas en cada una de las pistas, o al cambiar sistemáticamente las reglas del juego.En el primer caso se favorece la suma de fracciones homogéneas, mientras que elsegundo caso se favorece la suma de fracciones heterogéneas. En esta actividad sefavorece establecer las equivalencias a partir de comparar las fracciones pues laestructura de las pistas facilita la visualización de la contenencia de una fracción enla otra.

Las actividades 6 y 7 permiten una reflexión más sistemática sobre las operacionesaditivas y multiplicativas. Sobre la base de las construcciones realizadas alrededorde las fracciones equivalentes permiten la formalización de procedimientos parasumar fracciones de cualquier tipo. Igualmente proponen una interpretacióngeométrica para la multiplicación de fracciones. En este caso es importante que lasreflexiones muestren como la multiplicación de fracciones es en esencia una divi-sión sucesiva de la unidad, mejor aun, es el cálculo de un área en la cual las medidasde los lados no son valores enteros. Esta es tan solo una primera aproximación a lamultiplicación de fracciones, y por tanto se hace necesario profundizar más en susentido y significado.


En la actividad No. 1 se espera que los alumnos sigan procedimientos de tipomultiplicativo, tomando como referencia la relación entre los tamaños de las franjasde nuestra bandera: la franja de color amarillo es el doble de ancho de la de colorrojo o azul, y es la mitad del ancho total de la bandera (por consiguiente el ancho dela franja azul o roja es la cuarta parte del ancho total de bandera). Ahora bien, esposible que se presenten procedimientos tipo aditivos, siguiendo, por ejemplo, pa-trones de repetición: 1 amarillo � 2 azules � 2 rojos; 2 amarillo � 4 azules � 4 rojos, etc.

En las actividades 2 a 4 se espera, como ya se dijo, procedimientos ligados a lacomparación, en primer lugar de las fracciones unitarias implicadas, y en segundolugar, a la composición multiplicativa de la fracción unitaria analizada en la primeraparte del proceso. Así se espera que se logre trascender la clásica interpretaciónde numerador y denominador, para pasar a una en la que la fracción sea vista comoun número, como una cantidad. La comparación de la fracción unitaria con respectoa la unidad permitirá ver que cada fracción n-ésima de la unidad lo es en tanto queesta parte está contenida n-veces en la unidad, lo cual fácilmente verificable a par-

85

tir de un proceso de conteo simple. Posteriormente, es fácil ver como el áreasombreada es la repetición de un número m de fracciones unitarias.

En el caso de la actividad 5, se esperan procedimientos ligados al conteo de fraccio-nes unitarias, pues el desplazamiento de las fichas a lo largo de cada una de laspistas numéricas favorece este tipo de visualización. Sin embargo, se puede pre-sentar una dificultad al realizar los desplazamientos en las pistas numéricas: noasumir el punto inicial del conteo como un cero relativo. Por ejemplo, en algunoscasos, si una ficha cuya posición inicial sea ¼, se debe mover ¾, la posición final, quedebería ser

�� , es ¾. En esta caso, la posición inicial no es asumida como cero, sino

uno, dos es el avance hasta los � , y tres es el avance hasta los ¾. Nótese que este

caso el problema no es con el concepto de fracción en si mismo, sino con el concep-to de cero, en este caso, con la diferencia entre el cero absoluto y el cero relativo.


La actividad 1, por tratarse de la bandera de nuestro país, tiene ingrediente que sedebe cuidar y que no son propiamente matemáticos: cuáles son las característicasde la bandera nacional. Aunque parezca extraño, muchos niños piensan que las tresfranjas de la bandera nacional son de igual ancho. Cuando esto sucede pues, seabre un escenario interesante para reflexionar sobre los símbolos patrios.

No sobra resaltar que en las actividades 2 al 4, que presentan gran similitud con lasactividades clásicas de partir y contar, se debe tener especial cuidado de centrarseen el análisis en la comparación (medición) de una parte con el todo (fracción unita-ria), y la cantidad de partes (fracción no unitaria).

Con respecto a la situación 5, hay que tener cuidado especial, con los objetivos delas modificaciones en las reglas del juego, pues éstos obedecen a la necesidad degenerar cambios en las estrategias de trabajo de los estudiantes, y por tanto buscahacerlos avanzar en sus procesos conceptuales. Así, por ejemplo, en el caso delprimer juego, las reglas utilizadas favorecen la suma de fracciones homogéneas,pues el desplazamiento de las fichas, y la cantidad sacada en los dados genera uncontexto para la visualización del resultado de acumulaciones sucesivas de despla-zamientos. Por su parte, el juego Nro. 2, al exigir que la cantidad sacada en losdados debe ser corrida en una pista diferente, se favorece la conceptualización defracciones equivalentes, y se continúa profundizando en la suma de fracciones ho-mogéneas. Finalmente el juego Nro. 3, al exigir que una determinada cantidad debeser corrida en dos pistas, favorece la conceptualización de la suma de fraccionesheterogéneas, y profundiza en la equivalencia de fracciones.

Números Racionales


1

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�ACTIVIDAD 1: La bandera de Colombia

Número de jugadores: 2Materiales: Pliegos de papel amarillo, rojo y azul, todos del mismo largo, pero deanchos diferentes, pegante, palos de pinchos, tijeras.

Qué hacer

w La actividad consiste en seleccionar los tipos de papel necesarios para hacer unabandera de Colombia, y realizarla.


w Si la franja de color azul se reemplaza por otra idéntica, pero de color amarillo,¿Qué cantidad de la franja de color amarillo se necesitaría?

w Se dispone de 4 hojas de color amarillo, con las cuáles se desea hacer 8 banderas deColombia, ¿Cuántas hojas de color azul, y cuántas hojas de color rojo se necesitan?

w De una hoja de color rojo se utiliza la tercera parte para realizar una bandera deColombia, ¿Qué cantidad de la hoja de color amarillo, y qué cantidad de la hoja decolor azul se necesita?

w De una hoja de papel de color amarillo se cortan tres franjas para hacer tres ban-deras de Colombia. ¿Qué cantidad de papel de color azul y qué cantidad de pa-pel de color rojo se necesita?

�ACTIVIDAD 2: Partes y todo31

Número de jugadores: 2Materiales: Archivo index, computador

Qué hacer

w Abre el vínculo: Reconocimiento de fracciones enrelación parte todo (Fracciones).

w Mueve con el mouse las flechas que indican elnúmero de partes en que se va a dividir el todo.

w Haz clic sobre la figura para colorear las partesque desees.

w Observa la fracción que aparece escrita al lado.w ¿Cuántas veces cabe cada una de las partes co-

loreadas en la figura dada?w ¿Qué significado tiene la fracción que aparece escrita?

�

_____________________________________________________

31 Tomado y adaptado http://www.matti.usu.edu/nlvm/nav/index.html

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�

Que hacer

w Abre el vínculo: Visualización de las fracciones enrelaciones parte todo (Fracciones).

w Escribe la fracción que corresponde a la partecoloreada. Chequea si la respuesta dada es co-rrecta, haciendo clic en �check�.

Qué hacer

w Abre el vínculo: Representación gráfica de la re-lación parte todo (Fracciones).

w Mueve con el mouse las flechas que indican elnúmero de partes en que se va a dividir el todo.

w Cuando consideres que tienes la división apro-piada para la fracción pedida, presiona el botón�check� para verificar tu respuesta.

w ¿Cuántas veces cabe cada parte coloreada enel todo? ¿Cómo simbolizarías esta relación pormedio de una fracción?

w De acuerdo con lo anterior, ¿cómo dibujarías 12/11; 5/4; 8/3?

�ACTIVIDAD 3: Midiendo áreas32

Número de jugadores: 2Materiales: Dibujo dado.

Qué hacer:

w El cuadrado de la figura ha sido dividido en 7piezas, las cuales han sido nombradas con al-gunas letras.

w Si las piezas B, E y F son medidas con la piezaA como unidad de medida, ¿cuál sería la medi-da de cada una de ellas?

w Igual situación, pero ahora la unidad de medi-da es la pieza F.

w Igual situación, pero ahora la unidad de medida es la pieza B.w Teniendo en cuenta las dimensiones de los lados del cuadrado, calcula su área.

¿Cuánto mide la superficie de cada una de las piezas A, B, E y F ?

_____________________________________________________

32 Tomado y adaptado de: Petit X numéro spécial activités - novembre 92. pp 23-24

Números Racionales


1

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�ACTIVIDAD 4: Encontrando fracciones equivalentes33


Qué hacer:

w Abra el vínculo: Visualización de la equivalen-cia entre fracciones (Fracciones).

w Mueva con el mouse las flechas para aumen-tar el número de divisiones del todo.

w Cuando considere que tiene la división apropiada para la fracción dada, escribaen los espacios de la derecha la fracción equivalente resultante.

w Presiona el botón �check� para verificar su respuesta. Repita el proceso con otrasfracciones.

w ¿Qué relación puede establecer entre las fracciones equivalentes?

Qué hacer

w Abra el vínculo: Compara fracción en relaciónparte todo, e intercala fracciones entre frac-ciones dadas.

w Mueva con el mouse las flechas para aumen-tar el número de divisiones de cada uno de lostodos dados, hasta encontrar una división co-mún que cubra las superficies coloreadas.

w Cuando considere que tiene las divisionesapropiadas para las fracciones dadas, escri-ba en los espacios de la derecha la fracción equivalente resultante.

w Haga clic en �check� para verificar si su respuesta es adecuada. Visualizará lapantalla del lado. Si la respuesta no es correc-ta, debe continuar con el proceso anterior has-ta encontrar las divisiones adecuadas.

w Ahora, con el mouse, ubique sobre la recta nu-mérica las fracciones equivalentes encontra-das.

w ¿Qué sucede al ubicar en la recta numérica dosfracciones equivalentes entre sí?

_____________________________________________________


89

w Ahora, mueva las flechas ubicadas a la derecha de la recta numérica para cam-biar el número de divisiones de la recta, de tal forma que pueda ubicar una frac-ción que se encuentre entre las dos fracciones halladas en el punto anterior. Laexpresión simbólica de la fracción la debe escribir en los espacios en blanco yluego chequear si su respuesta es adecuada haciendo clic con el botón �check�.

w ¿Cuántas fracciones puede ubicar entre las fracciones dadas anteriormente?.

�ACTIVIDAD 5: Juego de las equivalencias34

Número de jugadores: 4Materiales: Pista, dados modificados, fichas de parqués.

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34 Este juego es una adaptación de uno presentado por el Dr. Carlos E, Vasco en su artículo "El archipiélago fraccionario" (Vasco,1994).

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Qué hacer

Como preparar el material:

wwwww Un octavo de cartulina en el cual se dibujan 8 segmentos (pistas), cada uno dedos unidades de longitud (la unidad se elige arbitrariamente). Los segmentosson divididos en fracciones de unidad respectivamente.

wwwww Con cinta de enmascarar, se modifican dos dados: en uno se escriben las pala-bras medio, tercio, cuarto, sexto, décimo y veinteavo, y en el otro dado se escri-ben las palabras uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis. De esta manera uno de losdados marcará una fracción unitaria, mientras que el otro marcará la cantidad deveces que debe ser considerada dicha fracción unitaria.

wwwww 14 fichas de parqués.

Primer juego

w Cada jugador toma 7 fichas de parqués y las ubica una a una en el punto departida de cada segmento dibujado excepto en la pista de los veinteavos.

w Tiran los dados por turnos sucesivos, y avanzan sus respectivas fichas según lacantidad marcada por cada dado.

w Solo se puede mover la ficha que esté en la pista que está dividida en la fracciónque marcan los dados. Por ejemplo, si los dados marcan tres cuartos, entoncesse debe recorrer esa distancia con la ficha que se encuentra en la pista que estádividida en cuartos. Si el valor obtenido en los dados excede a dos unidades,entonces esa ficha ya se ubica en el extremo y el valor sobrante se recorre en conotra ficha en el mismo segmento.

w Gana el primero jugador que lleve todas sus fichas hasta el extremo opuesto.

w A medida que realizan el juego, cada jugador registra sus jugadas en la siguientetabla:

��

��

� � � � �

� � � � �

� � � � �

�

Segundo juego

w En este caso se cambia lo siguiente:

91

w La cantidad sacada debe ser corrida por una pista diferente a la que está dividi-da en la fracción que indican los dados. Esto es, si los dados marcan, digamos ¾,entonces se deben correr por otra pista diferente a la que está dividida en cuar-tos, por ejemplo la de los veinteavos.

w Además se pide colocar una ficha en la pista de los veinteavos.

Tercer juego

w En este caso se cambia lo siguiente:w La cantidad marcada por los dados debe ser repartida en dos o más partes (no

necesariamente iguales), y cada una de esas partes debe ser corrida por unapista distinta. Se puede usar la pista dividida en la fracción marcada por los da-dos como una de las pistas.

w Además, en este juego se cambia la tabla de registro por la siguiente:

��

��

� � � � �

� � � � �

� � � � �

� � � � �

�

�ACTIVIDAD 6: Sumando fracciones35

Números de jugadores: 2Materiales: Archivo index, computador

Qué hacer:

w Abra el vínculo: Visualización de la sumade fracciones.

w Mueva con el mouse las flechas para au-mentar el número de divisiones de cadauno de los todos dados, hasta encontraruna división común que cubra las superfi-cies coloreadas.

w Cuando considere que tiene las divisiones apropiadas para las fracciones dadas,escriba en los espacios de la derecha las fracciones equivalentes resultante.

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Números Racionales


1

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w Haga clic en �check� para verificar si su respuesta es adecuada. Visualizará lapantalla del lado. Si la respuesta no es correcta, debe continuar con el procesoanterior hasta encontrar las divisiones adecuadas.

w Ahora, escriba en los espacios en blanco el resultado de la suma que apareceescrita. Chequee la respuesta con el botón �check�. Repita el proceso para variasfracciones.

w Describa el proceso que está realizando el computador para obtener la suma de2 fracciones dadas.

w De manera análoga, resuelva 7/3 + ½.

�ACTIVIDAD 7: Multiplicando fracciones36


Qué hacer:

w Abra el vínculo: Visualización para laMultiplicación de fracciones propias eimpropias

w Mueva con el mouse las flechas de laderecha, para aumentar el número de di-visiones del todo, hasta encontrar unaque se adecúe para representar una delas fracciones dadas. De igual forma,desplace el cuadrado de la barra infe-rior hasta que se coloree en la gráfica lafracción elegida.

w De forma similar, proceda con las flechas de arriba y el cuadrado de la barra iz-quierda para obtener la segunda fracción dada.

w Cuando considere que tiene las representaciones apropiadas para las fraccionesdadas, haga clic sobre el botón �check� y visualizará la siguiente pantalla. Repitael proceso para varias fracciones.

w Describa el proceso que está realizando el computador para obtener el productoindicado.

w En la gráfica, ¿cómo se representa el producto obtenido?

93

SITUACIÓN 3: SOBRE EL CAMINO DE OTRAS INTERPRETACIONESDE LOS RACIONALES


Los números racionales se representan de diferentes formas, una de ellas es a par-tir de las fracciones (como se ha trabajado en las situaciones anteriores) y la otra esa partir del sistema de numeración decimal. Se trata de extender la notación deci-mal a números menores que la unidad. En estos casos la relación con las fraccionesse da a partir de comprender que las fracciones que se utilizan son decimales, estoes, fracciones cuyo denominador es una potencia de 10 (décimos, centésimos, milé-simos, etc.). Por tanto el proceso de transformar una fracción cualquiera en su res-pectivo número decimal pasa por encontrar la fracción equivalente en fraccionesdecimales. Una vez obtenida la respectiva fracción decimal es muy fácil encontrar laexpansión decimal del número racional en cuestión. Dado que las potencias de 10tienen muy pocos divisores, entonces no siempre es fácil hallar dicha fracción equi-valente, y por demás, existen fracciones cuya expansión decimal es infinita (núme-ros decimales periódicos infinitos).

Otro tipo de interpretación importante de los racionales es el relacionado con losporcentajes. En este caso se trata de relaciones parte todo, en las cuales el todo esexpresado como 100, y la medida de la parte se debe expresar como cuánto de ese100 es su cantidad de magnitud. Los porcentajes tiene entonces estrechas relacio-nes con la notación decimal (fracciones decimales) y con las relaciones parte todo.

Esta situación trabaja conceptos relativos a las diferentes formas de representa-ción de números racionales, y además, plantea el problema de la aproximación delas expansiones decimales cuando se hace la transformación de la notaciónfraccionaria a la decimal. Igualmente permite trabajar conceptos relativos al ordenentre números decimales.


El juego de las equivalencias (actividad 1) no permite muchas posibilidades en cuantoa los procedimientos de los alumnos. Lo que si es interesante de analizar es lo rela-tivo a las estrategias desarrolladas en el juego para que permitan seleccionar lasparejas de números apropiados de tal forma que, o bien bloquee la jugada del ad-versario, o bien logre el objetivo de poner las tres marcas consecutivas. Esto implicael uso de estrategias de estimación y aproximación a través de las cuales se logratener un control de los valores esperados posibles, y por tanto, de la selección delos que sirven para un determinado propósito.

Números Racionales


1

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La situación dos es de observación y permite a través de ella analizar las relacionesentre las fracciones y los porcentajes.


Dado que la actividad 1 se desarrolla a través de un juego, no requiere mayor acla-ración en cuanto a la gestión necesaria. El juego se puede complejizar cambiando latabla de números (pero seleccionando los nuevos con cuidado), al igual que la gra-duación de la escala de la recta con la cual se trabaja (por ejemplo, centésimos enves de décimos).

Igualmente la actividad 2 es de observación, y se trata de comprender las relacio-nes y regularidades que propone la comparación entre las fracciones y los porcen-tajes.

�ACTIVIDAD 1: Juego con decimales

Número de jugadores: 2Material: Papel, regla, lápiz, tabla de números.

Qué hacer

w Dibuja una línea recta en la hoja de papel y divídela en diez partes de igual tama-ño. Numera los extremos con 0 y 1, como se muestra en la figura.

� � � � � � � � � �

��

�

1

6

15

2

8

20

3

9

25

4

10

75

5

12

100

w El juego se realiza en parejas. Por turnos, cada participante escoge dos númerosde la tabla numérica, con ellos forma una fracción. Después, la transforma ennúmero decimal y marca su ubicación en la recta.

w El objetivo del juego para cada uno de los ju-gadores es conseguir tres marcas propias enla línea recta sin que haya entre ellas ningunamarca del otro jugador.

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�ACTIVIDAD 2:porcentajes y fracciones


Qué hacer

w Abra el vínculo: Representación fraccionesporcentajes (Fracciones).

w Puede llenar dos de los tres espacios enblanco que aparecen en la pantalla:�whole�, �Part� o �%�. Escriba en �Whole�el número total, en �Part� la parte que de-sea representar o en �%� el porcentaje re-querido.

w Una vez haya llenado dos de los espacios anteriores, haz clic en �compute� paravisualizar: la representación gráfica en la barra y el círculo, al igual que el cálculorealizado por el computador para dar la respuesta.

w Realice varios cálculos usando el proceso anterior.

w ¿Qué fracción representa el 100% de una cantidad dada?


w ¿Cuánto porcentaje es ¼ de una cantidad dada?


Números Racionales


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Unidad No.4

Situaciones Aditivas

Referentes Conceptuales

LA COMPRENSIÓN DE LAS OPERACIONES37

Tradicionalmente al aprendizaje de las cuatro operaciones básicas se le destinauna buena parte de los cinco primeros años de la educación básica. Además, esteaprendizaje prácticamente está reducido al aprendizaje de los algoritmos conven-cionales y a la aplicación de estos algoritmos a la solución de problemas típicos,clasificados según la operación que se esté estudiando en el momento. El trabajoasí realizado no permite a los alumnos desarrollar habilidades y destrezas en elcálculo mental, en la comprensión y la solución de problemas, en la comprensiónmisma del sentido y significado de las operaciones.

Por ejemplo, los alumnos ante la solución de un problema generalmente le pregun-tan al maestro(a) �¿la operación que hay que hacer es una suma o una resta?�. Unavez que el alumno obtiene la respuesta resuelve correctamente el problema. Estetipo de situaciones pone en evidencia que los alumnos no comprenden el sentido ysignificado de las operaciones sumar y restar, quizás tan sólo saben los algoritmosconvencionales para calcular los resultados. Es más, situándose en una posiciónextrema, se podría decir que estos alumnos, no saben las operaciones sumar o res-tar, tan solo saben un método para calcular los resultados de hacer estas operacio-nes: los algoritmos convencionales.Operar y calcular

Como se esbozó antes, el trabajo escolar se centra en la enseñanza de los algoritmosde las cuatro operaciones básicas. Constance Kamii, en su libro, Reinventando laAritmética III, postula que este énfasis en la enseñanza de los algoritmos, perjudi-ca, antes que beneficiar, el desarrollo del pensamiento matemático de los niños.Esto en tanto que la utilización de los algoritmos convencionales desde los prime-ros años de la educación básica inhibe a los niños para que inventen sus propias

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37 Esta sección sirvió como base para el documento Generalización y Conceptualización: El Caso de las Estructuras Aditivas.Publicado en Cuadernos Pedagógicos. N 16. P 75-90. Universidad de Antioquia. Facultad de Educación. 2001.


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formas de realizar los cálculos relativos a las operaciones que deba realizar, y portanto, genera una excesiva confianza en los resultados que obtiene a través de ellos,y así al obtener resultados erróneos no tiene ninguna herramienta adicional que laaprobación de su profesor para estimar la viabilidad de su resultado,. Esto clara-mente atenta contra la autonomía intelectual de los alumnos.

De otra parte, como se describió antes, la comprensión de las reglas con las quefuncionan los algoritmos básicos, se fundamenta sobre la comprensión de las re-glas del sistema de numeración decimal, las cuales, para los niños antes de cuartoo quinto grado, están lejos de sus posibilidades de comprensión. Quizás sea ésta larazón por la cual los maestros se ven en la necesidad de emplear tanto tiempo yesfuerzo para enseñar unos procesos algorítmicos, que el estudiante, en el mejorde los casos, termina mecanizando sin ninguna comprensión, y finalmente confundey olvida con gran facilidad.

Se hace pues, necesaria la distinción entre la operación y el cálculo. La operaciónimplica ante todo el aspecto conceptual ligado a la comprensión del sentido y signi-ficado matemático y práctico de las operaciones; mientras que por su parte el cál-culo está ligado a las distintas maneras que pueden existir para encontrar un resul-tado, entre las cuales se pueden destacar: los algoritmos convencionales y los noconvencionales, el cálculo mental, la utilización de una calculadora, de un ábaco, etc.

Así, el trabajo en la escuela debe iniciar por el estudio de las operaciones (no de losalgoritmos), apoyado sobre formas de cálculo no convencionales (tales como lasinventadas por los propios alumnos, o a través de ábacos, calculadoras, etc.), y des-de estas estrategias particulares, fundamentar el aprendizaje de los algoritmosconvencionales, sobre la base de una buena comprensión de los números, las ope-raciones y el sistema de numeración decimal. Así, los algoritmos estarán en la es-cuela no como la única manera de calcular, sino como una forma entre otras, eficien-te en unos casos (por ejemplo, para hacer cálculos con números muy grandes) inne-cesarios en otros (por ejemplo, cuando se trabaja con números pequeños, o connúmeros seguidos de ceros, tales como 3500+2000)38 .

En el documento del MEN sobre los Lineamientos Curriculares en matemáticas (1988,p 49), se expresa lo siguiente a propósito de la comprensión de las operaciones:

�Los aspectos básicos que según varios investigadores (por ejemplo, NTCM,1989; Dickson, 1991; Rico, 1987; Mcintosh, 1992) se pueden tener en cuenta

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38 La NCTM, (National Council of Teachers of Mathematics) en sus estándares 2000, plantean que no tiene sentido utilizar losalgoritmos convencionales, por ejemplo el de la suma, para sumar cantidades tales como 8+5, o 50+20. En estos casos se debepromover estrategias de cálculo, como el cálculo mental. Pero esto no es posible de lograr, si lo primero que se le enseña al niño sobrela suma, es el algoritmo convencional.

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para construir el significado de las operaciones y que pueden dar pautas paraorientar el aprendizaje de cada operación tiene que ver con:

Reconocer el significado de la operación en situaciones concretas, de las cua-les emergen.

Reconocer los modelos más usuales y prácticos de las operaciones.

Comprender las propiedades matemáticas de las operaciones.

Reconocer el efecto de cada operación y las relaciones entre operaciones.

En el proceso de aprendizaje de cada operación hay que partir de las accionesy transformaciones que se realizan en los diferentes contextos numéricos, ydiferenciar aquellos que tienen rasgos comunes, que luego permitan ser consi-derados bajo un mismo concepto operatorio. Por ejemplo, las acciones máscomunes que dan lugar a conceptos de adición y sustracción son agregar ydesagregar, reunir y separar, acciones que se trabajan simultáneamente con laidea de número.

Al destacar los aspectos cuantitativos de las acciones en donde el niño descri-be las causas, etapas y efectos de una determinada acción, en una segundaetapa está abstrayendo las diferentes relaciones y transformaciones que ocu-rren en los contextos numéricos haciendo uso de diversos esquemas o ilustra-ciones con los cuales se está dando un paso hacia la expresión de las operacio-nes a través de modelos�.

En consonancia con lo anterior, la teoría de los campos conceptuales del profesorGerard Vergnaud, permite ver de manera coherente y organizada la compleja es-tructura conceptual que se teje detrás de las estructuras aditivas (situaciones rela-cionadas con la adición o la resta) y de las estructuras multiplicativas (situacionesrelacionadas con la multiplicación o la división).

Esta teoría muestra como el aprendizaje tanto de lo aditivo como de lo multiplicativoempieza en el preescolar, y se extiende a lo largo de la escolaridad, llegando inclusohasta la universidad.

La propuesta del profesor Vergnaud, se constituye en una herramienta potente parael diseño de situaciones problema que permitan una firme conceptualización, nosolo de las cuatro operaciones básicas, sino de conceptos matemáticos ligados a loaditivo y lo multiplicativo como son, entre otros, la proporción, la proporcionalidad,la función lineal y las fracciones.

Desde la perspectiva de los campos conceptuales se hace un acercamiento concep-tual a las operaciones aditivas y multiplicativas a través de situaciones problema yde distintos modelos para cada una de las operaciones.

Para Vergnaud, un concepto es una �tripla de conjuntos C = (S, I, R) Donde S es elconjunto de situaciones que dan significado al concepto, I es el conjunto de invariantes



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100

(objetos, propiedades, y relaciones) y que pueden ser reconocidas y utilizadas porlos sujetos para analizar y adueñarse de esas situaciones, y R es el conjunto derepresentaciones simbólicas que pueden ser usadas para enfrentar y representar-se esas invariantes, y por tanto, representar las situaciones y procedimientos paramanipularlas� (Vergnaud, 1988, p 141).

Lo anterior conduce a Vergnaud a formular una categoría didáctica fundamental. Setrata de la categoría de campo conceptual39 , la cual define:

Un Campo Conceptual está constituido, desde un punto de vista práctico, porel conjunto de situaciones en cuyo dominio progresivo juega un papel impor-tante una gran variedad de conceptos y de procedimientos en estrecha co-nexión. Desde un punto de vista teórico, un campo conceptual está constituidopor el conjunto de conceptos y teoremas que contribuyen al dominio progresi-vo de esas situaciones. (Vergnaud, 1997, p 9).

Para Vergnaud (sin fecha), la enseñanza de los conceptos no puede hacerse de unamanera aislada, ni a partir de una sola situación problema, sino enmarcados dentrode un campo conceptual, pues:

� Una situación dada, no podría poner en juego, en general, todas las propie-dades de un concepto..., se hace necesario la referencia a una diversidad desituaciones.

� Una situación dada no pone en juego habitualmente un solo concepto40 ...� La formación de un concepto, en particular si uno lo considera a través de la

actividad de resolución de problemas, tarda en general un gran período detiempo.

Para Vergnaud en el proceso de formación de un concepto juega un papel funda-mental la noción de esquema, el cual es entendido �como una organización invariantede la conducta para un tipo de situaciones dadas� (Vergnaud, 1993). Esto implicaque en un esquema existe un conocimiento implícito, pero que está ligado al tipo desituaciones en donde se aplica. Este tipo de conocimientos Vergnaud los denominaconceptos�en�acto y teoremas�en�acto41 . Estas son las invariantes operatorias, es

_____________________________________________________

39 Esta categoría didáctica tiene su origen en la enseñanza a través de la resolución de problemas. Esta es quizás una de las manerasmás efectivas de enseñar las matemáticas, pues los alumnos están en una constante actividad que les permite reflexionar sobre lanaturaleza y propiedades de los entes matemáticos. Además está de acuerdo con la idea de que la enseñanza no es la simpletransmisión de un conocimiento.

40 No se trata solamente de los prerrequisitos para afrontar una determinada tarea sino también de que en una situación problemadada entran en juego varios conceptos de los cuales alguno o algunos no son objeto de estudio en el momento, pero no debedescuidarse la incidencia de la tarea en el proceso de conceptualización de dichos conceptos, o viceversa, la incidencia del nivel deconceptualización de dichos conceptos en la manera como es afrontada y solucionada la tarea.

41 Un teorema�en�acto es definido como las relaciones matemáticas que los estudiantes deben tomar en cuenta para seleccionar laoperación o secuencia de operaciones que debe realizar para solucionar un problema. Un teorema�en�acto no es un teorema enel sentido convencional, puesto que la mayoría de las veces no es explícito. Ellos subrayan el comportamiento del alumno, y su campode validez, usualmente es más reducido que el campo de los teoremas. Pueden incluso ser falsos. (Vergnaud, 1988, p 144).

101

decir, el tipo de conocimientos que permiten que la acción del sujeto sea operatoria.Así mismo Vergnaud 1993, plantea que el paso de la utilización de un esquema deuna clase particular de situaciones a una clase más general de situaciones, estámediada por el reconocimiento de analogías, inferencias, semejanzas, relacionescausa efecto, etc., que el sujeto hace desde esas situaciones en las que su esquemaera operatorio hacia aquellas en las que debe ser utilizado el nuevo conocimiento.

El esquema, totalidad dinámica organizadora de la acción del sujeto por unaclase especificada de acciones, es pues un concepto fundamental de la Psico-logía cognitiva y de la didáctica. A menudo no es reconocido como tal. Ade-más, demanda ser analizado. Si se reconoce fácilmente que un esquema estácompuesto de reglas de acciones para alcanzar cierto fin, no siempre se reco-noce que igualmente está compuesto, de manera esencial, de invariantesoperatorias (conceptos�en�acto y teoremas�en�acto) y de inferencias. Lasinferencias son fundamentales para hacer actuar al esquema en cada situa-ción particular: en efecto un esquema no es un estereotipo sino una funcióntemporalizada de argumentos, que permite generar secuencias diferentes deacciones y de tomas de información, en función de los valores de las variablesde la situación. (Vergnaud, 1993, p 93).

En resumen, desde esta perspectiva para el aprendizaje de un determinado con-cepto, no es suficiente con tratar una sola situación, sino que por el contrario, esnecesario el tratamiento de una gran variedad de situaciones, pero además, se tie-ne que cada situación puede poner en juego una variedad de conceptos, y para eltratamiento de estas situaciones se pueden tener distintos sistemas de represen-tación. Esto hace que el aprendizaje de un determinado concepto sea un procesocomplejo que dura un largo período de tiempo, y para el cual se requiere una varie-dad de situaciones que pongan en juego las características de dicho concepto.



1

102


Concepto de número

Amplían camposemántico del

Fundamentalmente en lorelativo al

Cardinal Ordinal Medida

A ± B = C

Relaciones ternarias dela forma

Que modela situacionesde

Composición Transformación Relación

Medidas

Cambio

Pueden ser

Igualar Comparar

Conmutatividad

Relación deequivalencia

Relación de orden

Lleva a Lleva a

Suma y resta comooperaciones inversas

Lleva a No lleva a

Composición Transformación Relación

Relaciones, operaciones y propiedades de los números negativos

Según Vergnaud, las estructuras aditivas están conformadas por:

El conjunto de las situaciones cuyo tratamiento implica una o varias adicioneso sustracciones, y el conjunto de los conceptos y teoremas que permiten anali-zar esas situaciones como tareas matemáticas. Son de esta forma constitutivosde las estructuras aditivas los conceptos de cardinal y de medida, de transfor-mación temporal por aumentos o disminución (perder o ganar dinero), de rela-ción de comparación cuantificada (tener 3 dulces o 3 años más que), de com-posición binaria de medidas, (¿cuánto en total?), de composición de transfor-maciones y de relaciones, de operación unitaria, de inversión, de número natu-ral y de número relativo, de abscisa, de desplazamiento orientado y cuantifica-do, �(Vergnaud, 1990, p 96 y 97).

LAS ESTRUCTURAS ADITIVAS

103

�

ParteParte

Todo

Cualquiera que sea la situación aditiva a la que uno se vea enfrentado, ésta expresauna relación ternaria que puede ser representada por uno de los seis esquemaselementales que se describen a continuación, o por una combinación de estos (parauna discusión detallada de estos seis esquemas elementales puede consultarse eltexto �Las matemáticas, el niño y la realidad� de Gerard Vergnaud).

1º Dos medidas se componen para dar lugar a una tercera.

En esta categoría se pueden clasificar todas aquellassituaciones en las cuales dos medidas a y b (las partes)se unen para dar lugar a una tercera medida c (el todo).Esto es, se trata de situaciones típicas de la relaciónParte-Parte-Todo. La combinación de las dos partespuede ser física, cuando las dos medidas son homogé-neas, o conceptual, cuando las dos medidas no siendohomogéneas, pueden ser homogeneizadas a través deun cambio en el espacio de medida42 .

En virtud de las relaciones lógicas posibles entre las cantidades del problema43 sepueden tener dos tipos diferentes de problema según que en el problema se pre-gunta por a, b o c. Esto es, la estructura matemática de este tipo de problemas esde la forma, a+b=x o de la forma a+x=c,ya que preguntar por a o por b es equiva-lente (pues tienen el mismo estatus lógi-co en la situación: cada una representauna de las partes que se unirán para for-mar el todo), y por tanto, las situacionesaditivas que se representan por medio deéste esquema son conmutativas. Dado que las tres cantidades involucradas en lasituación son siempre positivas, entonces, este tipo de situaciones siempre repre-sentan problemas de suma.

En esta categoría de problemas, los de la forma a+b=x se solucionan por medio dela suma propuesta en la ecuación, mientras que los otros, los de la forma a+x=c se

_____________________________________________________

42 Por ejemplo, dadas las situaciones:En un plato hay 4 galletas y en otro hay 5 galletas. ¿si se juntan los dos platos en uno solo cuántas galletas se completan?.En un corral hay 4 gallinas y 5 cerdos. ¿cuántos animales domésticos hay?La primera representa una situación de combinación física, mientras que la segunda se trata de una combinación conceptual, puessu solución pasa por generar una nueva categoría (animales domésticos), en la cual las dos medidas iniciales son homogéneas.

43 Siguiendo a Vergnaud, 1997, se hace una doble distinción, de un lado, el «análisis relacional» determinado por el conjunto derazonamientos necesarios para determinar la ecuación del problema (que pasa por comprender las relaciones lógicas entre lascantidades involucradas); y de otro, el «cálculo numérico», el cual corresponde al conjunto de operaciones que deben ser realizadaspara solucionarlo. Es importante resaltar que la ecuación del problema y la solución del mismo, no siempre coinciden, y este hechohace que al interior de una misma categoría se tengan niveles de dificultad diferenciados en los tipos de problema.

a

b

x

a

x

c 1. 2.



1

104

a c b

I T F

solucionan con una resta x=c - a, lo que implica una transformación del problema enotro equivalente, y por demás, inverso con respecto al original. Por ejemplo, en elproblema �Pedro tiene 5 galletas en una mano. Si las junta con las que tiene en elbolsillo, completa en total 8 galletas. ¿Cuántas galletas tenía en el bolsillo?�. Nótesecomo la ecuación del problema, es decir la representación simbólica de su estructu-ra es: 5+x=8, aunque su solución se realice a través de la resta x=8-5. Este es unproblema de suma, pues la relación lógica entre los datos del problema tiene esaforma: una cantidad conocida se junta con otra cantidad desconocida para formarun todo cuyo valor se conoce. Su solución se hace a través de una resta, puesto quela cantidad desconocida es una de las partes, y por tanto, para hallar su valor sedebe tomar el camino inverso: si del todo se extrae una de las partes, se puedeobtener el valor de la otra parte.

2º Una transformación opera sobre una medida para dar lugar a una medida.

En este caso se tiene una medida inicial (estado inicial),medida a, la cual sufre una transformación a través deltiempo debido a la acción de un operador, cantidad b,para producir una medida final (estado final), medida c.La medida a siempre es positiva y la medida c siempremayor o igual a cero. Pero la cantidad b, dependiendo del efecto que realice sobrela cantidad a, puede ser negativa (si la hace disminuir) o positiva (si la hace aumen-tar). Esto es, b es un número relativo, y en ese sentido no representa una medida,sino una variación en una medida.

En este tipo de situaciones los papeles que juegan las cantidades a y b en la estruc-tura relacional del problema no son intercambiables (en tanto que a representa lacantidad inicial, mientras que la cantidad b representa el operador que actúa sobrela cantidad inicial). Por lo tanto, estas situaciones no presentan conmutatividad. Estoes, un problema de la forma a+x=b es distinto de otro de la forma x+b=c, así am-bos se solucione con el mismo tipo de resta: x=b-a.

Dado que la cantidad puede ser positiva o negativa, entonces se pueden presentarseis tipos de problemas diferentes según que la pregunta sea por la cantidad a, b,o c (tres cuando la cantidad b es positiva y tres cuando es negativa). La siguientetabla sistematiza tales relaciones.

Los problemas tipo 1 o 4, son los más fáciles de solucionar en tanto que la ecuacióndel problema así como la ecuación de la solución coinciden. Tanto la suma como laresta tiene sentido por si mismas, ya que el sentido de una operación u otra es dadopor el papel del operador (hacer aumentar o disminuir la cantidad inicial).

105

En los casos en que la ecuación del problema es diferente de la ecuación que losoluciona, se pueden presentar dos situaciones: Una cuando se pregunta por la can-tidad inicial, en cuyo caso la solución pone en evidencia la relación de operacionesinversas entre la suma y la resta (en tanto que la solución implica plantearse el pro-blema inverso, la transformación inversa que implica ir de la cantidad final hacia lacantidad inicial).

El otro caso se presenta en las situaciones en donde se pregunta por el operador,en cuyo caso no necesariamente se ven a la suma y a la resta como operacionesinversas en tanto que se favorece un tipo de solución en la cual se completa la can-tidad final a partir de la cantidad inicial, y por tanto, la solución es la cantidad deunidades agregadas o quitadas según sea el caso (suma o resta).

3º Una relación une dos medidas.

Este tipo se situaciones se presentan cuando se deben compa-rar dos cantidades, bien sea para establecer su diferencia (cuan-to más tiene la mayor, o cuanto menos tiene la menor), o paraigualarlas (agregar a la menor para igualar a la mayor, o quitar ala mayor para igualar a la menor). Las situaciones de esta cate-goría tienen cierto nivel de similitud con los de la categoría ante-rior, pero en este caso la relación no es dinámica sino estática: laigualación o diferencia no se establecen a través del tiempo.

En el caso de los problemas de igualación, se favorece una interpretación de la igual-dad como relación de equivalencia en tanto que una cantidad es adicionada (o res-tada) a otra cantidad, con el fin de igualar una tercera cantidad. Por su parte en losproblemas de establecer diferencia se favorece una interpretación de la relación deorden mayor que (o su correspondiente menor que) pero a partir de establecer ladiferencia entre ambas cantidades (este es un procedimiento muy cercano a la de-finición matemática44 de la relación de orden mayor que).

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� �� $� ��

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�

b

a

c

_____________________________________________________

44 Una forma de definir la relación mayor que es la siguiente: cbaquetalcsisoloysibaba +=>$>ÂÎ" 0,, . Nótese como estamanera de aproximarse a la relación de orden mayor que es similar al tipo de situaciones propuesta en esta categoría de situacionesaditivas, y como se anotó antes, puede ser una manera de dotar de sentido a esta definición matemática, tomando como base losprocesos conceptuales propios de las matemáticas, y no en estrategias nemotécnicas que eluden el problema de la comprensión.



1

106

� � ��

��

��

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��

��

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��

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��

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��

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��

��

=−=+�

En la comparación para establecer diferencia se pueden presentar 3 tipos de pro-blemas de suma (cuantos más tiene la mayor) o tres tipos de problemas de resta(cuántos menos tiene la menor). De igual forma en los problemas de igualar se pue-den presentar 6 casos. Así en esta categoría se pueden identificar 12 tipos posiblesde problemas, como se muestra en la siguiente tabla:

4º Dos transformaciones se componen para dar lugar a una transformación.

En este tipo de problemas, el enunciado se re-fiere a operadores y no medidas. Se trata de laaplicación de dos operadores (composiciónaditiva), de manera sucesiva, a una determina-da cantidad. Por ejemplo, es el caso de un estu-diante que juega dos partidas de bolas, y en laprimera pierde 5, mientras que en la segundagana 3. En total es como si hubiera perdido 2.

En este tipo de problemas, las tres cantidades involucradas pueden ser positivas onegativas, lo cual genera un rango más amplio de posibilidades, 18 en total, depen-diendo tanto de los signos de cada una de las transformaciones, y del lugar de laincógnita (es decir, de la transformación por la cual se pregunte). En la siguientetabla se muestran las seis combinaciones posibles según las combinatorias de lossignos de los operadores:

T1 T2

T3

107

T1 T3

T2

Y por cada uno de estos casos, se tienen tres posibilidades, según el lugar de lapregunta. Así se logran los 18 casos posibles.

Dado que la situación se refiere a los operadores entonces se pueden obtener valo-res negativos en las respuestas. Por lo tanto, se trata de situaciones en las cuales setrabaja con números enteros en toda su extensión.

5º Una transformación opera sobre un estado relativo(una relación) para dar lugar a un estado relativo.

Al igual que el caso anterior, el enunciado se refiere a ope-radores, pero ahora se trata de un operador que se aplica sobre otro operador. Porejemplo, Juan juega una partida de bolas y gana 5 canicas. Luego juega una segun-da partida, y gana tres más que las que ganó en la primera partida. ¿Cuántas ganóen esta segunda partida?. Nótese como el operador +3 es un operador que actúano sobre la cantidad de bolas que posee Juan, sino sobre el operador +5.

Este tipo de problemas es equivalente a los de la segunda categoría, pero a dife-rencia de esta, las tres cantidades pueden ser positivas o negativas, lo cual generaun rango más amplio de posibilidades, 18 en total, dependiendo tanto de los signosde cada una de las cantidades (seis como en la tabla anterior), y del lugar de laincógnita (tres posibilidades por cada uno de los casos anteriores).

6º Dos estados relativos se combinan para dar lugar a un estado relativo

Este caso es similar al anterior, solo que ahora, uno de los operadoresno actúa sobre el otro para transformarlo, sino que ellos se combinanpara producir un nuevo operador. Por ejemplo, Juan le debe $500 aPedro, pero Pedro el debe $300 a Juan, entonces Juan solo le quedadebiendo $200 a Juan. Se trata de una situación equivalente a la cate-goría uno, pero con cantidades que pueden ser positivas o negativas.Aquí el número total de posibilidades es 12, ya que las situacionesson conmutativas, y por tanto, el lugar de la incógnita solo produce 2 casos posi-bles, por cada uno de los seis casos obtenidos de combinar los posibles signos decada una de las transformaciones.

� � +%�� +*��

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�� *�,��-�-*-$-�

�� %�,��-�-*-$-�.*��

� �*�,��-�-%-$-�� *��

T1

T3

T2



1

108

Otros estados de complejidad de las situaciones

En un marco como el que se acaba de describir, queda claro que el dominio de lasestructuras aditivas, implica, entre otros elementos, ser capaz de reconocer cual-quier situación que implique sumas o restas a través de los esquemas generalesque permiten su tratamiento (ver en lo particular la expresión de lo general); reco-nocer en las diferentes situaciones que impliquen sumas o restas los invariantesconceptuales que hacen que estas se organicen en grupos o categorías perfecta-mente diferenciados (ver lo general a partir de lo particular); dominar diversas for-mas de representación de las situaciones problema; y por supuesto, dominar unagran variedad de procedimientos para encontrar las soluciones a las situacionesque se presenten. No sobra recalcar que estos elementos no se presentan aisladosunos de otros, sino que, según el tipo de situaciones, se pueden tener diferentesformas de representación, y por ende de solución de la misma.

Pero además de estos esquemas básicos desde los cuales se puede analizar cual-quier situación aditiva se deben considerar los contextos dentro de los cuales estáninmersos los problemas, pues estos afectan la representación que uno pueda darsede ellos. Así son determinantes en el tipo de representación que un alumno constru-ya de una situación, entre otros, los siguientes elementos: el tipo de magnitud (con-tinua o discreta), el conjunto numérico (naturales, racionales, irracionales, etc.), eltamaño de los números (grandes o pequeños, cercanos o distantes), los referentesmateriales de la situación (un juego, una actividad comunitaria, etc.), la formulacióndel enunciado (una sola proposición, una secuencia de proposiciones, etc.), los me-dios y mediadores de la situación (se utiliza material concreto, gráfico, etc.), porquien se pregunta (por alguno de los sumandos, o por el resultado).

Por ejemplo, en los siguientes tres problemas se puede evidenciar como al hacervariar algunos de los elementos antes mencionado, se afecta radicalmente el tipode representación del problema:

En una caja hay 12 bolas, de las cuales 9 son rojas y el resto azules. ¿Cuántas bolasazules hay?

¿Si de una varilla de hierro que mide 14.795 cm se pinta 9.327 cm de roja, qué longi-tud queda por pintar de azul?

De una varilla de hierro 19/37 están pintados de rojo y el resto está pintado de azul.¿Cuánto está pintado de azul?

Nótese como en cada uno de ellos la imagen mental que uno se puede formar esdistinta, a pesar que los tres problemas tienen la misma estructura. Mientras queen el primero al ver las nueve rojas ya se ven las tres azules, en los otros dos esta

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imagen cambia: ya no se sabe, de inmediato cuanto mide la parte azul. Es más en elsegundo se ve de inmediato que más de la mitad de la varilla está pintada de rojo,mientras que en el último no es tan obvio.


Variacional

Resolver y formular problemas en situaciones aditivas de composición y de trans-formación.

Usar estrategias de cálculo (especialmente cálculo mental) y de estimación pararesolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.

Identificar regularidades y propiedades de los números utilizando diferentes ins-trumentos de cálculo (calculadoras, ábacos, bloques multibase, etc)

Resolver y formular problemas en situaciones aditivas de composición, transfor-mación, comparación e igualación.

Usar diferentes estrategias de cálculo y de estimación para resolver problemas ensituaciones aditivas y multiplicativas

Justificar procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades delas operaciones.

Resolver y formular problemas en situaciones aditivas y multiplicativas en dife-rentes contextos con dominios numéricos.

Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el len-guaje natural, dibujos y gráfica.

Reconocer y generar equivalencias entre expresiones numéricas

Reconocer el sentido y el significado de las magnitudes en situaciones aditivas ymultiplicativas.

Numérico

Primero aTercero

Cuarto aquinto

Métrico

Sexto aséptimo

Primero aTercero

Primero aTercero

SITUACIÓN 1: SOBRE LOS PROBLEMAS DE ADICIÓN


El trabajo que se pretende abordar se enfoca hacia la reflexión conceptual de lasestructuras aditivas. Esto es, identificar las características generales de los proble-mas que pertenecen a esta categoría, sus dificultades y propiedades matemáticasque se involucran. Para desarrollar este trabajo, se harán análisis de problemas co-tidianos que se proponen en los libros de texto.



1

110

�ACTIVIDAD 1: Analizando problemas

Número de participantes: 2Materiales: Papel, lápiz y borrador

Qué hacer?

Para cada uno de los problemas dados:w Resuelva los problemas propuestos.w Indique los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en

la solución.w Identifique diferencias y semejanzas entre los distintos problemas.w Para cada problema, enuncie otros dos del mismo tipo, cambiando las variables

de la tarea, de manera que uno le parezca más fácil de resolver y otro más difícil.w ¿Los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los alumnos

de primaria? Proponga un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que nole parezcan suficientemente claros para los estudiantes.

w A los problemas enunciados, escríbale la ecuación que soluciona el problema y laque propone el enunciado del mismo. ¿Son iguales estas expresiones?

Problemas

1. Juan tiene 11 caramelos. Cinco de ellos son de limón, los otros de fresa. ¿Cuántostiene de fresa?

2. Juan tenía algunos caramelos y le regaló tres a su hermana. Si le quedan diez,cuántos caramelos tenía al principio?

3. En una carrera, Laura llegó de octava, 3 puestos antes que Beatriz. ¿En qué pues-to llegó Beatriz?.

4. Pedro gana 5 canicas por la mañana. Pierde 9 por la tarde. ¿cuántas ha ganado operdido en total?.

5. Pedro tiene 6 caramelos más que Juan. A Juan le dan algunos más y ahora tieneun caramelo más que Pedro. ¿Cuántos caramelos le han dado a Juan?

6. Patricia mide 15 cm más que su hermano Pedro y 5 cm. menos que su hermanoJuan. ¿qué diferencia entre la altura de Pedro y Juan?

7. Para hacer un collar Miriam emplea 25 perlas rojas, 30 perlas azules y 45 perlasverdes. Calcula el número de perlas que tiene el collar.

8. Escribe con números y símbolo matemáticos: tres mil doscientos más cuatro milochocientos es igual a cuatro mil ochocientos más tres mil doscientos.

9. Un tren sale de Acevedo con 480 pasajeros. En Alpujarra bajan 35 y suben 46.¿Cuántos viajeros quedan ahora en el tren?

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�ACTIVIDAD 2: Desplazamientos en una tabla de sumas45

Número de participantes: 2Materiales: Tabla numérica, lápiz y borrador.

Qué hacer

w Elabore una tabla o cuadrícula (base 10) como la siguiente

� ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

w El docente indica las características de la tabla a los estudiantes para que elloselijan la forma de llenarla: por filas, por columnas, sumando una por una, etc.

w Luego se determinan los desplazamientos en la tabla, así:

La operación +1 corresponde a un desplazamiento de una casilla hacia la dere-cha, cuando ese desplazamiento es posible sin salirse de la casilla, y la operación-1 a un desplazamiento de una casilla hacia la izquierda. Cuando tales desplaza-mientos no son posibles, hay que recurrir a un cambio de línea.

Las operaciones +10 y -10 corresponden a desplazamientos de una casilla haciaabajo y de una casilla hacia arriba respectivamente.

Los anteriores desplazamientos se simbolizan mediante flechas, así:

+1; -1; +10, -10

�

�

Observa el ejemplo:

Indica un desplazamiento de +11

Organizar con los estudiantes juegos con desplazamientos sobre la cuadrícula:

�

_____________________________________________________

45 Tomado y adaptado de Vergnaud, El niño, las Matemáticas y la Realidad



1

112

w Dada la casilla de salida, así como una serie de desplazamientos, encontrar elcasillero de llegada.

w Dadas las casillas de salida y de llegada encontrar la serie de desplazamientos einterpretarlos en términos numéricos.

w Dados el casillero de llegada y la serie de desplazamientos, encontrar el casillerode salida.

w Dada una serie de desplazamientos, encontrar una serie equivalente. Encontrarla más corta.

w Mostrar que la composición de los desplazamientos es conmutativa, asociativa,que hay un elemento neutro (quedarse en su lugar), y que todo desplazamientotiene una inversa, si hace una interpretación adecuada.

�ACTIVIDAD 3: Sobre el significado de las operaciones

Número de participantes: 2Materiales: Papel, lápiz y borrador.

Qué hacer

PARA LA ADICIÓN

w Escriba un problema que se resuelva mediante la adición: 23 + 15.w Compare su problema con los enunciados a continuación:

a. Camilo tiene 23 estampillas nacionales y 15 extranjeras. ¿Cuántas estampillastiene en total?

b. Camilo tiene 23 estampillas en su colección, compra 15 más, ¿cuántas estam-pillas tiene ahora?

c. Camilo tiene 23 estampillas, su hermano tiene 15 estampillas más. ¿Cuántasestampillas tiene el hermano de Camilo?

d. Camilo le regala 15 estampillas a su hermano y aún le quedan 23. ¿cuántasestampillas tenía Camilo?

e. Camilo regaló 15 estampillas que tenía. Compró un paquete y ahora tiene 23estampillas más que antes de regalar las 15.¿Cuántas estampillas tiene el pa-quete que compró?

w El problema que plantearon, ¿a cuál de estos se parece?. Discuta las diferenciasque presentan los enunciados de los cinco problemas anteriores y acuerden res-puestas para las siguientes preguntas:

w ¿Encuentra diferentes significados para la adición en cada uno de los problemasplanteados?

w ¿Cómo explicaría cada uno de esos significados?

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w Las acciones de: Reunir, Agregar, Comparar y Completar (sustracción comple-mentaria) ¿podrían calificar los diferentes significados de la adición en los pro-blemas expuestos?

w ¿Cuáles son los significados más usuales en el abordaje de la adición con losalumnos?

w ¿Considera que algunos de los significados de la adición en estos problemas pre-sentan mayor dificultad al ser abordados por los niños?

w ¿Encuentra situaciones de la cotidianidad de donde surja este tipo de problemas?w ¿Es posible clasificarlos en alguna de las relaciones aditivas propuestas por

Vergnaud? Cuál?.

�ACTIVIDAD 4: Sobre las estructuras aditivas

Número de participantes: 2Materiales: Papel, lápiz y borrador

Qué hacer

w Analice en los siguientes problemas, el esquema aditivo correspondiente, lasecuaciones del problema y las ecuaciones de la solución.

w Además resuélvalos, utilizando para ello diversas estrategias de cálculo.

1. Había 5 personas en el salón, luego llegaron 13. Cuántas hay ahora?2. Un vendedor sale de su casa con $ 4000, al regreso tiene $13500. Cuánto dine-

ro recogió durante el día?3. Maicol acaba de comprar 17 caramelos, ahora tiene 32 caramelos. Cuántos

tenía antes de hacer la compra?4. Leidy tenía $700 pesos y le regaló $250 a su hermano. Cuánto dinero tiene

ahora?5. Pablo acaba de jugar a las canicas. Tenía 41 canicas antes de jugar. Ahora

tiene 29 canicas cuántas perdió?6. El Martes, Ana tenía $6750 . Durante los dos últimos días se había gastado

$2350. Cuánto dinero tenía el domingo7. Juan es tres años mayor que Pedro. Si Pedro tiene 17; cuántos tiene Juan?8. En la escuela se hizo una competencia por grupos, para recolectar dinero, así

3ºA recolectó $34000 y 3ºB recolectó $41250. Cuánto de más recolectó 3ºB.9. Juan mide 1,55m y María mide 5cm menos que éste. Cuánto mide María.10. Alicia tiene 15 caramelos y su hermano tiene 13. Cuántos le faltan al hermano

para tener los que tiene Alicia.11. Carlos tiene 29 fichas para un juego y su amigo Marco tiene 14. Cuántas debe

perder Carlos para tener las mismas que su amigo?



1

114

12. Teresa es menor 8 años que su novio, quien tiene 28 años, cuántos tiene tieneTeresa?

13. En el empaque A hay 18 colombinas, y en el B hay 12. Cuántas se le debensacar al empaque A para que haya las mismas que en el empaque B?

14. En mi mano derecha tengo 8 caramelos y en la izquierda tengo 12. Cuántoscaramelos menos tengo en la derecha?

15. Ana tiene $17000 y para tener los mismos que su hermana le faltan $3500.Cuánto dinero tiene su hermana?

16. Elena mide 1,64m y esto es 0,4m menos de lo que mide Lida. Cuánto mideLida?

17. Del grupo 11ºB 14 estudiantes se retiraron, quedando los mismos que en 11ºCque son 28. Cuántos eran en 11ºB?

18. Del grupo 11ºB que tiene 28 estudiantes, los que ven el canal caracol son 6más que los que ven RCN. Cuántos ven RCN?

�ACTIVIDAD 5: Solucionando problemas

1. El parque recreativo:

En el parque recreativo había un puesto de venta de mango. Complete la red paraencontrar cuántos mangos en total compró el dueño. (Nota: La caja contiene 10 bol-sas de mangos y cada bolsa contiene 10 mangos)

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Diseñe una red de números y dibújela en su cuaderno. Intercámbiela con su compa-ñero y resuelva la que él te entrega. Devuelve el cuaderno al compañero y revisa si lallenó bien.

2. La alcancía de Nana C

Nana C acaba de destapar su alcancía y descubreque entre monedas de $50, $100, $200 y $500 tiene$5800. Nana C, quiere organizar sus monedas parahacer algunas inversiones.

w Ayúdele a Nana C a organizar sus monedas.w Escriba posibles combinaciones en que Nana tiene los $5800.w Elabora una tabla como la siguiente para hacer las cuentas

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w Si Nana quiere cambiar sus monedas por billetes, y en la tienda le dicen quetienen de $1000, de $2000, de $5000, de $10000 y de $20000, cómo crees que se lascambiaron?.

w Cuál es el máximo de billetes de $20.000, y el de $5000, y el mínimo de billetes de$10.000.

w Nana decide comprar un libro de cuentos y un bolso para sus lápices, que le cues-tan juntos $15.500. Cuánto dinero le sobró a Nana?.

w Si el hermano de Nana también destapa su alcancía y obtiene $!7000 más queella, cuánto dinero tenía en la alcancía. Cuánto dinero se debe gastar para tenerel mismo que tiene ahora Nana?

w Si después de unos gastos, Nana y su hermano, tienen entre los dos $26.000. Cuántose gastó cada uno? Si Nana gastó $8000 más de lo que gastó su hermano?. ¿Cuántotiene cada uno?

3. La tienda de dulces

En una tienda de dulces, empacan chocolates así: 5 chocolates enuna bolsa; 5 bolsas en un estuche; y 5 estuches en una caja. Realizalos siguientes cálculos:



1

116

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Al envío del grupo de artistas se requiere agregar un chocolate de oferta. ¿Cuálserá el número total de chocolates a empacar?. ¿Cuál será el empaque más cómodopara mandar este pedido?

4. Excursión al acueducto46

Un día de paseo para explorar y conocer de dónde viene el agua que usamos en lacasa y en la escuela. Para surtir a las ciudades, el agua de algunos ríos y quebradases almacenada en represas cercanas. De allí va por tubos tan grandes que uno po-dría caminar en su interior sin agacharse. Por esos tubos el agua es conducida alacueducto y allí, en grandes piscinas, se hace un tratamiento para que se puedabeber sin producir enfermedades. Por ejemplo se le echa cloro, que es una sustan-cia para matar las bacterias.

En el campo, los acueductos son más sencillos, o muchas veces no hay. Se trae elagua hasta las casas sin ningún tratamiento. A veces no se utiliza la tubería sinocanales de guadua en donde el agua, al correr al aire libre, puede recibir basurasque la contaminan.

Qué interesante que los niños y los profesores hagan una excursión y conozcan elacueducto de su pueblo o de su ciudad.

¡Éxitos en la excursión!

w ¿Cuántos chocolates hay en 3 bolsas?w ¿Cuántos chocolates hay en un estuche?w ¿Para llenar 4 estuches cuántas bolsas se necesitan?w ¿Cuántas bolsas hay en una caja?w ¿Cuántos chocolates se requieren para llenar una caja?.w Colabora en el despacho de pedidos: Los pedidos diarios se anotan en una planilla.

Debido al intenso trabajo, la planilla del día está incompleta. Ayuda a completarla:

_____________________________________________________

46 SABER, Octubre de 2005

117

Observando el siguiente gráfico puedes saber la cantidad de habitantes de tresdiferentes ciudades

��67.7�.�

��

��67.7�+�

�

��67.7��

�

�

Cada representa 500.000 habitantesEl consumo mensual de agua por habitante es de 4 metros cúbicos.

1. ¿Cuántos metros cúbicos de agua se requieren mensualmente en la ciudad B?2. Si en la ciudad C se mueren 250.000 habitantes y nacen 128.0000 habitantes, ¿cuál

será la cantidad de agua que se requiere ahora, para el consumo de un mes?3. ¿Cuántos habitantes más hay en la ciudad A con relación a la ciudad C?. ¿Cuán-

tos menos hay en la ciudad A con relación a la ciudad B?.4. Organiza en una tabla el número de habitantes y el consumo de agua según lasinstrucciones dadas.5. ¿Cuántos habitantes hay entre las 3 ciudades?

SITUACIÓN 2: JUGANDO


Los juegos son una parte esencial en la enseñanza de las operaciones, desde unpunto de vista del desarrollo de la autonomía del niño, desde la posibilidad de prac-ticar las operaciones en contextos de competencias con una motivación natural.Desde el punto de vista de la comprensión de significados de las operaciones y dela interpretación y valoración de los resultados. En los juegos, los niños se supervi-san unos a otros y crean estrategias de cálculo muy diversas y válidas.

Un ejercicio interesante para los docentes es identifica los elementos conceptualesque están puestos en cada uno de los juegos planteados y analízalos según losreferentes teóricos propuestos anteriormente.



1

118

�ACTIVIDAD 1: El Juego del 10147

Número de participantes: 3 o 4.Materiales: 12 o más fichas (de parqués o botones); unabaraja con 62cartas, con las siguientes Instrucciones

27 cartas con números de 1 a 9 (3 de cada una); 6 cartascon el número10; 5 cartas con el número 101; 12 cartas con el número -10; 2 cartascon el número 50; 4 cartas con la palabra INVERTIR; 4 cartas con la palabra PASARy 2 cartas con la frase JUGAR DOS VECES.

Qué hacer

w El objetivo del juego es evitar totalizar 101 puntos o más, el jugador que obtieneeste número o lo supera pierde el turno.

w A cada jugador se le entregan 3 o 4 fichas.w Se reparten tres cartas a cada jugador. El resto de las cartas forma el montón

para arrastrar, que permanece en medio de la mesa.w El primer jugador echa una carta anunciando su valor ( 9 por ejemplo). Luego

toma una carta del montón para reemplazar la que ha tirado. Cada uno de lossiguientes jugadores echa una carta (por ejemplo un 5) anunciando el valor acu-mulado (14 en este caso) y reemplaza su carta con otra que arrastra del montón.De esta manera cada jugador siempre tiene 3 cartas.

w La partida continúa y la persona que llega a 101 o más pierde el turno. Por cadaturno que pierda una persona entrega una ficha de las tres que se le entregaronal principio del juego. Al jugador que primero se le acabe las fichas pierde eljuego.

w Una vez se haya alcanzado el total de 101 o más se inicia nuevamente el juego ypor ende el conteo.

w Las cartas con fines específicos:INVERTIR: Invierte la dirección de la partida, es decir debe jugar nuevamente eljugador anterior.PASAR: cuando un jugador la tira, el siguiente pasa, por lo tanto pierde un turno.No invierte la dirección de la partida.JUGAR DOS VECES: Las cartas con esta instrucción hacen que el siguiente juga-dor juegue dos veces. Al jugador que le toca jugar dos veces no puede empezarcon una carta que tenga esta misma instrucción (jugar dos veces) o con unacarta que tenga la instrucción (invertir).La carta con 101 sólo puede jugarse cuando el acumulado es negativo.

��

��

��

��

��

_____________________________________________________

47 Tomado de Constante Kamii. Reinventando la aritmética III. P128

119

�ACTIVIDAD 2: Juego Adelante y atrás48

Número de participantes: 3 o 4.Materiales: Tablero con una pista y una meta dibujadas libremente por los estu-diantes. Tres dados, dos de un mismo color y otro de un color diferente. Tres o cua-tro fichas del mismo color para cada jugador.

Qué hacer

w Por turnos, los jugadores tiran los tres dados. Los dos números de los dados delmismo color se suman y el número del tercer dado se resta. Si el número obtenidoes mayor que cero, el jugador avanza tantas casillas como indique el número. Siel número es menor que cero, el jugador se mueve hacia atrás tantas casillascomo lo indique el número. La primera persona que llegue a la meta es el ganador.

w Los jugadores pueden escoger la ficha que quieren mover, pero no pueden mo-ver más de una ficha durante un turno.

�ACTIVIDAD 3: El dominó

Número de participantes: 2Materiales: Fichas de dominó

Qué hacer

LAS DIEZ MÁS PEQUEÑAS. Coloca las diez fichas más pequeñas del dominó (3-3, 3-2, 3-1, 3-0, 2-2, 2-1, 2-0, 1-1, 1-0, 0-0) como en la figura adjunta, de modo que todas lascolumnas verticales sumen lo mismo. También deben sumar lo mismo las dos filashorizontales.

_____________________________________________________

48 Tomado de Constante Kamii. Reinventando la aritmética III.



1

120

�ACTIVIDAD 4: Las pirámides

Número de participantes: 2Materiales: Pirámides dibujadas

Qué hacer

En las siguientes pirámides numéricas, los números de cada uno de los nueve nive-les de la pirámide se deducen del nivel precedente, mediante la relación de adiciónque se observa. Halle los números que faltan en cada caso:

��

.� � +�

C = A

� � � � �

� � � � �

� � � � ��

� � � �

� ��

��

� � � �

� ��

� � ��

� � ��

� � � � �

��

121

Unidad No.5

Multiplicación y Proporcionalidad en la Educación Básica

� SOBRE LA MULTIPLICACIÓN

La enseñanza de la multiplicación se realiza en los primeros años de la educaciónbásica, bajo un esquema que relaciona la operación multiplicación con la suma: su-mas de sumandos iguales se abrevian por medio de la multiplicación. En este senti-do, 4x5 es interpretado como 4 veces 5, o lo que es lo mismo, 5 + 5 + 5 + 5. De estamanera la multiplicación es vista como una relación ternaria (4x5=20), resultado deejecutar una operación binaria. A partir de allí, se estudia el algoritmo clásico de lamultiplicación, y la solución de problemas que involucran multiplicaciones. En losgrados más avanzados se estudian sus propiedades aritméticas en los diferentessistemas numéricos.

Como se mostrará mas adelante, y contrario a como se presenta en el sistema edu-cativo, la relación multiplicativa fundamental no es una relación ternaria, sinocuaternaria. Esto es, en un problema como el siguiente: ¿Si una libra de sal cuesta$ 250, cuánto cuestan 4 libras de sal?, no se relacionan tres términos, sino cuatro. La

relación sería x4

2501

¾®¾

¾®¾

y no como generalmente se hace: 250 × 4 = 1000 o, 4 × 250= 1000. Esto se presenta en tanto que en el planteamiento clásico escolar no seexplicita la relación entre la unidad y el precio de la unidad, la cual es clave para lasolución de este tipo de problemas. Es mas, cuando el problema se representa comola suma repetida 250 + 250 + 250 + 250, se esconde la relación de proporcionalidadque éste implica. El modelo de la suma repetida de un sumando es importante paraproducir un modelo inicial de significación a la multiplicación, pero es insuficientepara dar cuenta de la complejidad subyacente a las estructuras multiplicativas.

De la multiplicación a laProporcionalidad


1

122

� SOBRE LA PROPORCIONALIDAD

La situación con la proporcionalidad es similar. En primera instancia, se toma comopunto de partida el concepto de razón, entendida ésta como el cociente entre dosnúmeros naturales. Este cociente expresa una comparación entre la medida de doscantidades o magnitudes, por ejemplo, la razón de hombres a mujeres en un grupode personas; la razón de goles anotados con respecto a la cantidad de lanzamien-tos al arco, la razón de respuestas correctas con respecto a las incorrectas en unexamen, etc. En segunda instancia, a partir del concepto de razón se define el con-cepto de proporción, enunciándolo como la igualdad de dos o más razones. Esta

igualdad se expresa en términos de una relación de equivalencia: las razones � � y

� ��

forman una proporción si y solo si axd = bxd, (o en términos un poco menosformales, si el producto de medios es igual al producto de extremos). Finalmente sepresenta la proporcionalidad, la cual se orientada como aplicación del concepto deproporción a la solución de problemas. En este caso se estudian básicamente trestipos de proporcionalidad: la proporcionalidad directa, la proporcionalidad inversay la proporcionalidad compuesta. Éstos tres casos de proporcionalidad se presen-tan a través de las reglas de tres simple directa, simple inversa y compuesta, res-pectivamente, las cuales constituyen una estrategia algorítmica aritmética para lasolución de los problemas. De esta manera no se abordan los problemas de propor-cionalidad como problemas de variación (es más, podría pensarse que no se tieneconciencia de la importancia que la noción de variación tiene para el proceso deconceptualización de los conceptos relativos a los diferentes tipos de proporciona-lidad).

En síntesis, la organización escolar de la multiplicación y la proporcionalidad, secaracterizan por: no mostrar de manera explícita la relación entre la multiplicación yla proporcionalidad; presentar la proporcionalidad al margen del estudio de lasmagnitudes; estudiar multiplicación y proporcionalidad al margen del análisis delos procesos de covariación entre magnitudes; y finalmente, se deslinda una sepa-ración entre la proporcionalidad y las funciones. Como se mostrará a continuaciónestos cuatro hechos son desde el punto de vista matemático y pedagógico cuatroelementos centrales en el proceso de conceptualización de la proporcionalidad engeneral, y de la multiplicación en particular.

La multiplicación y la proporcionalidad simple directa

Desde el punto de vista cognitivo, la multiplicación implica la posibilidad de operarde manera simultánea con dos o más clases. Esto es, en el análisis de un fenómenoo situación, se deben considerar los efectos de la ocurrencia simultánea de dos o

123

_____________________________________________________

49 En sentido estricto, la covariación implica que dos o más variables están relacionadas de tal forma que el cambio en una o algunas,determina cambio(s) en la(s) restante(s). Ahora bien, en el caso que esta covariación se pueda expresar a través de un modelofuncional, entonces se dice que las variables están correlacionadas. En los análisis estadísticos que parten de tablas de datos queexpresan la relación cuantitativa entre dos o más variables, primeramente se determina si existe covariación, generalmente a travésde analizar la gráfica cartesiana de la nube de puntos que representan las relaciones entre los datos, y después, se realizan losrespectivos análisis de regresión, que no son otra cosa que determinar si existe un modelo funcional que se ajuste a los datosexperimentales. El factor de correlación determina el grado de ajuste del modelo funcional a los datos.

50 Esto es, la igualdad como equivalencia entre números o razones entre números, la equivalencia entre expresiones que involucrannúmeros y unidades de medida, equivalencia entre expresiones que involucran relaciones y/o operaciones entre números yunidades de medida y equivalencia entre ecuaciones.

51 Las letras que se utilicen al modelar una determinada situación pueden significar incógnita, número generalizado o variable.

De la multiplicación a la Proporcionalidad

más características, a diferencia de los procesos aditivos, en los que se consideranlos efectos de una clase a la vez. Las situaciones multiplicativas se presentan, porejemplo, en la clasificación de individuos de acuerdo a sucesiones de clases diferen-tes �como en las tablas de doble entrada (en general, el producto cartesiano o lascombinatorias), o en la correspondencias de uno a varios �como en la relación entrela cantidad de unidades compradas de un producto y el valor de los mismos (engeneral, las relaciones y los árboles genealógicos).

Las acciones mentales descritas en el párrafo anterior constituyen los fundamentoscognitivos de las operaciones multiplicativas cuando se pasa de las consideracio-nes cualitativas a las numéricas. Así, por ejemplo, en el caso de la representaciónmás simple de la multiplicación, la suma de sumandos iguales, ésta esconde unacorrespondencia de uno a varios:

L

xxxx

xxx

x

33

22

1

=++®

=+®

®

Igualmente, los párrafos precedentes muestran una línea de continuidad desde lamultiplicación hasta la proporcionalidad, la cual pasa por el desarrollo del pensa-miento proporcional, que puede caracterizarse como una forma de razonamientomatemático que involucra el sentido de covariación y comparaciones múltiples, y lahabilidad para almacenar y procesar mentalmente distintos tipos de información(Lesh y otros 1988). El razonamiento proporcional esta estrictamente relacionadocon la inferencia y la predicción e involucra tanto métodos de razonamiento cualita-tivo como cuantitativo.

Este tipo de razonamiento implica el establecer relaciones entre relaciones (relacio-nes de segundo orden), y al involucrar la covariación49 , está estrechamente relacio-nado con las nociones de variable y variación. Esto hace que el razonamiento pro-porcional se constituya en la cúspide del desarrollo del pensamiento aritmético, yen la puerta de entrada al pensamiento algebraico. Esto se pone en evidencia entanto que a través del razonamiento proporcional se pueden modelar situacionesque involucran distintos niveles de la igualdad50, distintos niveles de las variables51


1

124

y transformaciones e invariantes52 (Lesh y otros 1988). Las situaciones que en gene-ral implican razonamiento proporcional son aquellas en las que se encuentran pro-ductos, razones, y proporciones, tales como: equivalencia entre fracciones, porcen-tajes, conversión de medidas, velocidades, razones de cambio, funciones, etc.

Para ver la relación entre la multiplicación y la proporcionalidad, se debe centrar lamirada en un caso particular de correlación: aquel en que el modelo funcional rela-ciona las variables linealmente. Si el modelo es de dos variables se trata de unacorrelación lineal (el modelo funcional es una línea recta Y=mX+b) si es de tresvariables entonces se trata de una correlación bilineal53 (función de la forma: Z=XY),si es de cuatro variables entonces puede presentarse una correlación trilineal54 (fun-ción de la forma: W=XYZ), o incluso un modelo más complejo 2-2 lineal (función de laforma WX=YZ)55 , y así sucesivamente.

De las correlaciones de lineales, aquella en la que la correlación es positiva y perfec-ta (es decir, una línea recta Y=mX que pasa por el origen del sistema de coordena-das) es la que determina la proporcionalidad simple directa. Las correlaciones li-neales de más de dos variables determinan las proporcionalidades compuestas.

El caso más simple de situación multiplicativa, como se indicó antes, se puede re-presentar por una relación cuaternaria como la siguiente:

�

&$

&�$

�

�

��

�

�

�

�

→→

Así, si se pregunta por el valor de f(n), entonces el problema remite a la multiplica-ción, a lo cual se puede llegar por la vía del análisis de la correlación entre los espa-cios de medidas:

�

&�$

&�$��

&�$

&�$�

�

��

�

�

�

��

→

→→→

Μ

_____________________________________________________

52 Al involucrar relaciones de segundo orden, se puede ver como ciertas características permanecen invariantes en una determinadasituación, cuando las variables recorren su campo de valores.

53 Relación de una variable a dos variables, como por ejemplo, el caso de la función área, o el movimiento rectilíneo uniforme sinvelocidad inicial.

54 Relación de una variable a tres, como por ejemplo, el caso de la función volumen.55 Relación de dos variables a dos, como por ejemplo en la ley de los gases ideales: PV=rNT, donde P es presión, V es volumen, N es

el número de moléculas, T la temperatura, y r la constante universal de los gases.

125

Así, la multiplicación por n es el resultado de analizar como la variación en uno delos espacios, determina los valores posibles en el otro espacio (en cierta forma, lasllamadas tablas de multiplicar tienen su origen en una mirada de la multiplicacióncomo un problema de variación conjunta de dos espacios de medida). Este tipo deanálisis es el llamado análisis escalar, en tanto que se ponen en relación las variacio-nes en uno de los espacios de medida con respecto a las variaciones en el otro. Odicho de otra forma, cambios en un espacio de medida, generan cambios simétri-cos en el otro espacio de medida.

La otra posibilidad de solución es a través del planteamiento de una relación entrelos dos espacios de medida, es decir, reconocer que la multiplicación de n por f(1),produce el valor de f(n). En este caso, se debe tener cuidado con el análisis dimen-sional de las cantidades, pues este planteamiento es posible gracias al reconoci-

miento de igualdad �

�

�� &$

�

&�$ = , lo cual es equivalente a que nf(1)= f(n) (se reconoce

a f(1) como el valor de la constante de proporcionalidad).

Regresando al esquema inicial, si la pregunta es por el valor de f(1) o de n, ya no segeneran multiplicaciones, sino dos tipos de división.

La primera, cuando se pide hallar el valor de f(1), es decir, el valor que correspondecon la unidad. Cuando los números involucrados son números enteros, entonces segenera la división partitiva (o en palabras del Dr. Vasco, «la división entre»), es decir,una división en la cual una cantidad debe ser repartida en una determinada canti-dad de partes iguales. En general, la solución de este tipo de situaciones requieredel reconocimiento de la relación escalar, y de la división como una operación inver-sa, es decir, saber que f(n) es el resultado de tener n veces f(1), y por tanto, la repar-tición de f(n) en n partes iguales produce el valor de f(1)56 . Esto permite comprenderla división que se debe realizar como la inversa de un operador escalar multiplicativo.En efecto, tomando la situación de las libras de sal antes descrita, ahora se trataríade averiguar cuánto cuesta una libra de sal, si se sabe que 4 libras cuestan $ 1000.Para solucionar esta situación primero se debe reconocer que el operador escalar x4 transforma una libra en cuatro libras, y que por tanto, al dividir $ 1000 entre cuatrose obtiene el valor de una libra.

�

( ) ( ) ( )↑÷

→

→↑÷↓× �

��

�

�

�

�

�

_____________________________________________________

56 En estas situaciones es posible encontrar procesos de solución que no requieran explícitamente de realizar la división, como puedeser por ejemplo, una repartición en n grupos, pero colocando una a una las unidades en cada grupo.



1

126

Obviamente este análisis se complejiza en la medida que se utilicen otros tipos denúmeros, o de magnitudes.

El segundo tipo de división se presenta cuando se debe averiguar cuantas unida-des se corresponden al valor f(n) (el valor de n unidades, por supuesto n es descono-cido). Esto es, conocido el valor de la unidad, cuantas unidades se pueden obtenercon una cantidad determinada f(n). Si los números involucrados son enteros, enton-ces se genera la división quotitiva (o como el Dr. Vasco las llama, «la división diá»), enla cual se trata de saber cuantos grupos se pueden formar con una determinadacantidad una vez conocido el valor de cada grupo.

Al igual que el caso anterior, para este tipo de situaciones también es posible en-contrar procedimientos que no requieran de la división, como es el caso de unaextracción repetida del valor de cada grupo, de la cantidad total57 , donde el resulta-do es la cantidad de veces que se puede realizar la extracción.

En general, sin importar el tipo de números involucrados este tipo de divisiones

implica la utilización de la relación funcional, pues la división ��

&�$� relaciona los dos

espacios de medida. Al igual que en el caso anterior, el planteamiento de esta divi-sión, implica relacionarla como la inversa de la multiplicación.

Como puede verse en los casos anteriores, la multiplicación no es más que un casoparticular de proporcionalidad simple directa, solo que en ella se conoce el valor deuna unidad. El caso general se da cuando ninguno de los cuatro términos corres-ponde con la unidad.

En este caso, la proporcionalidad simple directa se puede representar o modelarpor una función tal que:

�

��

��

⋅=→

→

&$

donde k es la llamada constante de proporcionalidad. Esto es, una función lineal.Esta función cumple con las siguientes propiedades:

El estudio de los problemas de proporcionalidad simple directa a partir de la fun-ción lineal que la modela, y de sus propiedades, es generalmente pasado por altoen la escuela, y se simplifica su tratamiento a partir del uso de la regla de tres sim-ple directa. En este tipo de problemas se trata de averiguar un valor desconocido

_____________________________________________________

57 Es de anotar que desde este tipo de procedimientos se puede llegar a un antiguo algoritmo para realizar la división que consistía enrestar sucesivamente el divisor del dividendo. El resultado era la cantidad de veces que se podía hacer dicha sustracción.

127

dados tres valores. El siguiente diagrama representa un modelo de una situacióntípica en las cual está subyacente la proporcionalidad simple directa:

�&$&$

&$&$&$

��

��

⋅=⋅+=+

λλ

Su solución pasa bien por un análisis escalar (analizando las relaciones entre lascantidades del mismo espacio de medida) o por uno funcional (analizando las rela-ciones entre las cantidades correspondientes de un espacio de medida al otro)58 .

Un análisis escalar implica reconocer que si � &$&$�� ⋅=⋅= λλ . Eneste caso λ es un número racional y no tiene unidades59 . Por su parte, un análisisfuncional implica el reconocer que si )(entonces)( bfbafa ×=×= dd , o lo que es lo mis-mo, si )(entonces)( bfbafa =×=× dd

60 . En este caso δ es un número racional con unida-des61 , y es el inverso multiplicativo de la constante de proporcionalidad, o la cons-tante misma.

Aunque cada uno exige un tipo de análisis distinto de la situación, pues implicanponer en relación magnitudes de dos espacios de medida distintos �en el segundocaso, o del mismo espacio de medida �en el primero, la elección de una relación uotra para la solución de la situación está determinada por factores tales como lanaturaleza de las magnitudes implicadas (continuas o discretas), los números impli-cados (naturales, enteros, decimales, etc.) y por la naturaleza de los operadores(qué tipo de número son tanto el operador funcional como el escalar).

Los procedimientos para resolver uno u otro tipo de problemas puede ser muy va-riado dependiendo del grado de dificultad del problema (una discusión detalladade estos puede leerse en Vergnaud, 1988, 1991, 1993a, 1993b). Uno en particular muyimportante se presenta cuando los alumnos emprenden una solución tipo aditiva(utilizando la primera propiedad descrita antes) en problemas en los que están da-dos a, f(a), b y f(b) y se debe averiguar f(c), donde c= a+b pues en este casof(c) = f(a) + f(b).

Es pertinente anotar que este tipo de problemas puede ser modelado a través deuna tabla de correspondencia entre los dos espacios de medida, la cual, además deconstituir una buena herramienta para comprender las relaciones de proporcionali-dad que están involucradas, en tanto que permite ver la dependencia de las varia-


_____________________________________________________

58 Lo cual desde ningún punto de vista implica que primero haya que enseñar la función lineal a los alumnos para que puedan resolverproblemas de proporcionalidad directa, sino por el contrario, desde aquí se puede construir una aproximación bastante interesantepara su estudio.

59 Se hace uso de la segunda propiedad antes descrita.60 Se hace uso de la definición de función dada antes.61 Un caso particular de este tipo de números se da en física o en química al trabajar con factores de conversión para la transforma-

ción de unidades.


1

128

ciones de los valores de un espacio de medida con respecto al otro espacio de me-dida, también permite realizar representaciones gráficas en el plano cartesiano.Esto aspectos permiten varias formas de aproximarse a la correlación entre los dosespacios de medida, y por ende a las propiedades del modelo matemático en juego.


Numérico

Reconocer significado del número en diferentes contextos (medición, conteo, com-paración, codificación, localización entre otros)

Reconocer y describir situaciones de cambio y variación utilizando lenguaje natu-ral, dibujos y gráficas.

Analizar y explicar relaciones de dependencia en situaciones económicas, socia-les y de las ciencias naturales.

Analizar las propiedades de variación lineal e inversa en contextos aritméticos ygeométricos.

Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas.

Describir, comparar y cuantificar situaciones con números, en diferentes contex-tos y con diversas representaciones

Resolver y formular problemas en situaciones de variación propocional.

Modelar situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa, inversa.

Usar diversas estrategias de calculo y de estimación para resolver problemas ensituaciones aditivas y multiplicativas

Resolver y formular problemas en contextos relativas y de variaciones de medidas.

Justificar el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de propor-cionalidad directa e inversa

Numérico

Primero aTercero

Cuarto aquinto

Sexto aséptimo

Octavo anoveno

Primero aTercero

Cuarto aquinto

Sexto aséptimo

SITUACIÓN 1: SITUACIONES PARTICULARES

�ACTIVIDAD 1: La fábrica de osos62


_____________________________________________________

62 Tomado y adaptado de: http://www.sep.gob.mx/work/appsite/librosprimaria/libros/index.htm

129

Qué hacer

w La mamá de Carlos y Alejandra hace osos de peluche. Los niños ayudan a sumamá cortando las patas de los osos. ¿Cuántas patas necesita cortar Carlos parahacer cinco osos? Alejandra corta 23 patas ¿Para cuántos osos le alcanzan?

w Con otro compañero y por turnos, cada quien dice una cantidad de osos que estéentre el 1 y el 20. El otro calcula la cantidad de patas que se necesitan para hacer-los. Registren los resultados en sus cuadernos.

w Ahora, por turnos, cada uno dice una cantidad de patas entre 1 y 100. El otrocalcula la máxima cantidad de osos que se podrían hacer con dichas patas, y si esdel caso, la cantidad de patas sobrantes. Registren los resultados en sus cuadernos.

�ACTIVIDAD 2: Agua con sabor a�63


Qué hacer

w En la escuela de Juan están preparando agua de distintos sabores para una fies-ta. Para hacer naranjada, en la olla se puso 20 vasos de jugo de naranjas, 10 vasosde agua y 2 vasos de azúcar. Con esta fórmula se obtienen 30 vasos de naranjada.

¿Cuántos vasos de jugo de naranja, y cuántas tazas de agua y azúcar deberánponerse en otra olla para obtener naranjada con el mismo sabor que en la primeraolla, de tal forma que alcance para:

8��9"!��9��

8��:��9�� 8��0;�� 8��!"��

��

�

_____________________________________________________


w Paula y sus compañeros preparan jugo de tamarindo para los raspados de lafiesta. En una botella pusieron 3 tazas de agua y 5 cucharadas de pulpa de tama-rindo. En otra botella pusieron 8 tazas de agua y 10 cucharadas de la misma pul-pa. En otra botella pusieron 6 tazas de agua y 8 cucharadas del concentrado de



1

130

_____________________________________________________


tamarindo. Lupe dice que el jarabe que tiene más sabor es el de la segunda bote-lla. Pepe dice que el que tiene más sabor es el de la tercera botella. ¿Quién tienerazón? ¿Por qué?

w Se tienen 56 limones para hacer dos ollas de agua fresca. A una le caben 4 litrosde agua, a la otra le caben 3. ¿Cuántos limones deberán ponerse en cada ollapara que toda el agua tenga el mismo sabor?

�ACTIVIDAD 3: Mezclando pinturas64

Número de participantes: 2Materiales: Vasos y cucharas desechables pequeñas, vinilos de color rojo, amarilloy azul (colores primarios), agua, palitos de paletas, pinceles.

Qué hacer

El equipo desea pintar un afiche para desarrollar una campaña ecológica. Para ello,deben mezclar en un vaso, las siguientes cantidades de pintura: dos cucharadas depintura amarilla, 1cucharada de pintura azul y 1 cucharada de agua.

w ¿De qué color crees que es la mezcla?w ¿Cuántas cucharadas de pintura hay en el vaso?w ¿Qué fracción de la mezcla es pintura amarilla?w ¿Qué fracción de la mezcla es pintura azul?w ¿Qué resultado obtienes al sumar la fracción de pintura amarilla con la fracción

de pintura azul? ¿Por qué crees que se obtiene ese resultado? Raúl dice que elresultado que se obtiene es 1, René dice que es 3/4 y Cristina dice que es 3/3.¿Quién tiene razón?

w Para complementar la campaña, se requiere elaborar mensajes y plegables acor-des con el afiche. Para ello, se hará una mezcla del mismo color, pero ahora seutilizarán 8cucharadas de pintura amarilla. ¿Cuántas cucharadas de pintura azulse deben utilizar? ¿Cuántas cucharadas de pintura habrá en el vaso?

w ¿Qué fracción de la mezcla es pintura azul?w ¿Qué fracción de la mezcla es pintura amarilla?w Debido a la gran acogida de la campaña, se requiere elaborar más plegables.

Para ello, ahora se ponen 5 cucharadas de pintura azul y quieren que la mezclasalga del mismo color con que han venido trabajando.

w ¿Cuánto deben utilizar de pintura amarilla?w Si para hacer una mezcla de igual color, el equipo utilizara 3 cucharadas de pintu-

ra amarilla, ¿cuánto tendría que agregar de pintura azul?

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65 Adaptación tomada de: Petit X numéro spécial activités - novembre 92. pp 82.66 Tomado y adaptado de: http://www.sep.gob.mx/work/appsite/librosprimaria/libros/index.htm

�ACTIVIDAD 4: Agua azucarada65

Número de participantes: 2

Qué hacerSe desea preparar agua azucarada utilizando dos botellas diferentes, como se mues-tra en la siguiente figura:

Primer ensayo:En la botella A se echan 4 vasos de agua, y 2 cubos de azúcar.En la botella B se echan 6 vasos de agua, y 3 cubos de azúcar.

w ¿En cuál botella queda el agua más dulce?w Para preparar 2 botellas de cada una, ¿cuánta agua y

azúcar se necesita?w Para preparar 4 botellas de cada una, ¿cuánta agua y

azúcar se necesita?w Para preparar 10 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita?w Escribe una regla general que le permita calcular la cantidad de agua y azúcar

que se necesitan, para preparar cualquier cantidad de botellas.

Segundo ensayo:En la botella A se echan 4 vasos de agua, y 6 cubos de azúcar.En la botella B se echan 8 vasos de agua, y 10 cubos de azúcar.

w ¿En cuál botella queda el agua más dulce?w Para preparar 3 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita?w Para preparar 6 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita?w Para preparar 9 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita?w Escribe una regla general que le permita calcular la cantidad de agua y azúcar

que se necesitan, para preparar cualquier cantidad de botellas.

�ACTIVIDAD 5: En el restaurante66

Materiales: Cuaderno y lápizNúmero de participantes: 2

Qué hacerLos estudiantes de tercer grado están organizando unasalida a un parque recreativo. La lista de precios ofrecidosen la cafetería se muestra a la derecha.

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w �Gerardo y sus amigos comieron en el restaurante. Compraron 3 tacos, 4 pinchos, 2

botellas de agua y 5 gaseosas�. En su cuaderno escriba qué preguntas le puedeponer al anterior texto. Haga las cuentas para contestar las preguntas que hizo.

w Armando compró 4 arepas y dos gaseosas para compartir con sus amigos. Elija

la cuenta que le sirve para saber cuánto pagó.

� 500 + 800 y 1300 × 4� 500 × 4 y 800 × 2� 500 × 4 ; 800 + 800 y 2000 + 1600

¿Existen otras formas para saber cuánto pagó Armando?

�ACTIVIDAD 6: Bombones y caramelos67

Materiales: Cuaderno y lápizNúmero de participantes: 2

Qué hacerUna compañía empaqueta cajas de bom-bones intercalando un caramelo, porcada cuatro bombones, según se mues-

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67 Tomado de: GODINO, Juan. Proporcionalidad y su Didáctica. p 54.

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tra en la figura. Los círculos representan los bombones y los cuadrados los carame-los. Las dimensiones de la caja se indican mediante el número de columnas y defilas de bombones que hay en cada caja.

w ¿Cuántos caramelos tiene la caja cuyas dimensiones son 4 x 5 y 5 x 6?w Si una caja contiene 60 bombones ¿De cuántas y cuáles formas se pueden organi-

zar? ¿Cuántos caramelos contienen dichas cajas?w Si una caja contiene 72 bombones y tiene 4 columnas, ¿Cuántas filas tiene? ¿Cuán-

tos caramelos tiene?w Desarrolle un método para encontrar el número de caramelos en cualquier caja si

se conocen sus dimensiones. Explique y justifique el método usando palabras,diagramas o expresiones con letras

w Si una caja contiene 48 bombones ¿Cuál sería la máxima cantidad de caramelosque se podrían empacar?

�ACTIVIDAD 7: Haciendo presupuesto

Materiales: Cuaderno, lápiz y tabla de precios.Número de participantes: 2Qué hacer

Elabore un presupuesto de alimentación mensual para su familia. Para ello, consul-te qué cosas y cuánta cantidad se consume a diario en su hogar. Tenga en cuenta lalista de precios dada en el salón de clase. ¿Cuánto dinero se requiere para cumplircon el presupuesto?

�ACTIVIDAD 8: Una receta

Materiales: Cuaderno, lápiz.Número de participantes: 2

Qué hacer

Receta de sopa de cebolla para 8 personas8 cebollas3 tazas de agua2 cubos de caldo de gallina2 cucharadas de margarina de mesa½ taza de crema de lecheSal y pimienta al gusto

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w Si se requiere preparar sopa para 4 personas. ¿Cuántos cubos de caldo de galli-na serían necesarios? ¿Alcanza 1 taza de crema de leche? Sobra? Falta? Cuánto?

w ¿Cómo sería la receta si se quisiera preparar sopa para 1 persona?w ¿Qué cantidad de ingredientes serían necesarios para preparar sopa para 12

personas?

�ACTIVIDAD 9: Una ciudad congestionada68

Materiales: Cuaderno, lápiz, Internet o propaganda de automóviles.Número de participantes: 2

Qué hacer

Por determinadas calles del centro de una ciudad pasa cadadía una gran cantidad de vehículos. Por ejemplo, por la ave-nida Oriental pasan unos 100.000 carros en un día normal(no tienen por qué ser distintos, puesto que un mismo carropuede pasar varias veces por esta avenida en un día, comoocurre con los taxis). Si se colocaran todos estos carros en fila, ¿qué longitud alcan-zarían? ¿Qué superficie ocuparían? ¿Cuánto pesaría el conjunto? Para poder hacerlos cálculos (que necesariamente serán aproximados, y en los que interesa sobretodo es el orden de magnitud del resultado) a continuación le proporcionamos unatabla con las dimensiones y el peso de algunos modelos.

Tabla de dimensiones y pesos

Si se utilizan los transportes públicos envez de carros particulares se ocupa mu-cho menos espacio, con lo que hay me-nos tacos y se tarda menos tiempo en des-plazarse. Supongamos que 60 personasque suelen desplazarse en carros parti-culares deciden ahora pasarse al bús.¿Qué ganancia de superficie se consigue?

Observe que necesitará las dimensiones de un autobús (que puedes obtener deforma aproximada observando alguno por la calle; si lo prefiere, podemos partir deuna estimación: 10 metros de largo y 3 de ancho). Los resultados también variaránsegún el número de carros que utilicen las personas (puedes calcular los valoresextremos entre los que se encontrará: una persona como mínimo y cuatro comomáximo).

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68 Tomado y adaptado de: CORBALAN, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. pp 132-135

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pensamiento numerico

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