pensamiento lógico matemático

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID FACULTAD DE EDUCACIÓN

Departamento de Pedagogía

HACIA UN PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN

DEL PENSAMIENTO LÓGICO-FORMAL EN EL

APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

- 2010 -

TESIS DOCTORAL Presentada por:

Jesús Cerda Quintero

Dirigida por:

Jesús A. Meneses Villagrá María Fernández Hawrylak

Universidad de Burgos

UNIVERSIDAD DE BURGOS FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN

Facultad de Humanidades y Educación c/ Villadiego, s/n 09001 Burgos Teléfono: 947 258 750 Fax: 947 258 723 Correo electrónico: [email protected]

Jesús A. Meneses Villagrá, Profesor del Área de Conocimiento de Didáctica de las Ciencias Experimentales

adscrita al Departamento de Didácticas Específicas, y

María Fernández Hawrylak, Profesora del Área de Conocimiento de Didáctica y Organización Escolar

adscrita al Departamento de Ciencias de la Educación

de la Facultad de Humanidades y Educación, de la Universidad de Burgos

HACEN CONSTAR:

Que el presente trabajo de investigación:

Hacia un Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal

en el aprendizaje de las matemáticas

Que presenta D. Jesús Cerda Quintero para aspirar al grado de Doctor, ha sido realizado bajo

nuestra dirección.

A efectos de su presentación ante el Tribunal correspondiente en la Universidad de

Valladolid, lo firmamos en Burgos a dos de febrero de dos mil diez.

DEDICATORIA

A Dios todopoderoso dueño de la creación y sabiduría,

quien es el guía hacia la comprensión de todo conocimiento.

A mi querida esposa María Esmeralda,

a mis hijas Isabella del Carmen y Angélica Sofía,

su amor me impulsa cada día

a ser mejor ser humano, mejor esposo y mejor padre.

AGRADECIMIENTOS

A nuestro Dios, que por su amor cada día somos mejores seres humanos para

vivir en armonía y paz universal.

Al Programa Ciencias de la Educación de la Universidad Experimental de los

Llanos Occidentales “Ezequiel Zamora” al que estoy adscrito como profesor, por

apoyarme en todo momento en mi formación profesional y académica.

De de la misma forma agradezco el apoyo y paciencia del Departamento de

Pedagogía de la Universidad de Valladolid por orientarme y guiarme en la

construcción y finalización de este objetivo de gran significado en mi vida personal y

profesional, muy especialmente al Dr. Don Martín Rodríguez Rojo por su invaluable

dedicación.

A los Doctores Dña. María Fernández Hawrylak y D. Jesús Meneses Villagrá

por su valiosa orientación, tutoría, esfuerzo y paciencia que entregaron para dirigirme

hacia la culminación de este difícil trabajo de Tesis Doctoral. Para ustedes mi gran

admiración, respeto y reconocimiento.

A mis colegas profesores y compañeros de doctorado por su colaboración,

motivación y preocupación en la construcción del conocimiento de esta tesis

doctoral.

A los alumnos de la Carrera de Educación Integral por su participación y

colaboración para el desarrollo y logro de los objetivos de este trabajo de

investigación.

I

ÍNDICE

RESUMEN-ABSTRAC .............................................................................. 1

INTRODUCCIÓN GENERAL ............................................................... 3

CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y BASES

TEÓRICAS ...................................................................................................... 11

I.1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA .......................................................... 13

I.2. FORMULACIÓN DE LOS OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN ........ 32

I.3. JUSTIFICACIÓN .......................................................................................... 33

I.4. LA UNELLEZ-BARINAS COMO CONTEXTO DE ESTUDIO ................ 35

I.4.1. Breve reseña histórica ........................................................................ 35

I.4.2. Programa de educación ...................................................................... 38

I.5. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA ..................................................................... 39

I.5.1. Antecedentes ...................................................................................... 39

I.5.2. Conclusiones ...................................................................................... 50

I.6. BASES TEÓRICAS ...................................................................................... 54

I.6.1. La psicología del aprendizaje y sus aportes a la Didáctica de la

Matemática: desde el conductismo hasta el constructivismo ............ 54

I.6.1.1. El conductismo o asociacionismo ......................................... 54

I.6.1.2. El neoconductismo ................................................................ 57

I.6.1.3. La escuela de la Gestalt ......................................................... 60

I.6.1.4. Epistemología genética de Jean Piaget .................................. 61

I.6.1.5. Aprendizaje por descubrimiento de Bruner ........................... 70

I.6.1.6. Aprendizaje significativo de David Ausubel ......................... 72

I.6.1.7. Teoría específica del aprendizaje matemático de Dienes ...... 77

I.6.1.8. Teoría de la zona del desarrollo próximo de lev Vygotsky ... 78

I.6.1.9. La transposición didáctica como teoría básica en la

epistemología de la Didáctica de la Matemática ................... 82

I.6.2. Conclusiones ...................................................................................... 84

II

CAPÍTULO II: MARCO METODOLÓGICO ..................................... 87 II.1. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN ........................................... 89

II.1.1. Complementariedad de métodos cuantitativos y cualitativos .......... 92

II.1.2. Estudio de casos ............................................................................... 93

II.1.3. Técnicas e instrumentos de investigación seleccionados ................. 96

II.1.3.1. La técnica de la observación ................................................ 98

II.1.3.2. La técnica de la entrevista .................................................... 102

II.1.3.3. Las pruebas de valoración de aprendizajes .......................... 105

II.1.4. Fiabilidad y validez .......................................................................... 106

II.1.4.1. La triangulación. ................................................................... 106

II.1.5. Población y muestra ......................................................................... 107

CAPÍTULO III: PROCEDIMIENTO DE LA INVESTIGACIÓN 111 III.1. PRIMERA FASE DE INVESTIGACIÓN ................................................. 113

III.1.1. Descripción de la muestra: procedimiento ..................................... 114

III.1.2. Instrumentos de recolección de información .................................. 115

III.1.2.1. Cuestionario de opinión para determinar las estrategias

de aprendizaje que utilizan los alumnos en los contenidos

de la asignatura Matemática General de la carrera de

Educación Integral .............................................................. 115

III.1.2.2. Pruebas de valoración de aprendizajes ............................... 118

III.1.2.3. Observación descriptiva en audio ....................................... 121

III.1.2.4. Cuestionario de opinión para determinar el grado de

actitud del alumno con relación al proceso de enseñanza y

aprendizaje del sub-proyecto Matemática General de la carrera

de Educación Integral ........................................................................ 122

III.1.2.5. Entrevista semi-estructurada de los alumnos ...................... 125


III.1.3. Triangulación de los datos .............................................................. 128

III.2. SEGUNDA FASE DE INVESTIGACIÓN ................................................ 130

III.3. TERCERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN: PUESTA EN PRÁCTICA

Y EVALUACIÓN DEL PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN ...... 131

III.3.1. Descripción de la muestra: procedimiento ..................................... 132

III.3.2. Instrumentos de recolección de información................................... 133


III.3.2.2. Cuadernos de los alumnos .................................................. 133

III.3.2.3. Entrevista semi-estructurada de los alumnos ...................... 134

III

III.3.2.4. Cuestionario de opinión para determinar las estrategias

de aprendizaje que utilizan los alumnos en los contenidos

de la asignatura Matemática General de la carrera de

Educación Integral .............................................................. 135

III.3.2.5. Cuestionario de opinión para determinar el grado de

actitud del alumno con relación al proceso de

enseñanza-aprendizaje del sub-proyecto Matemática

General de la carrera de Educación Integral ....................... 136

III.3.2.6. Pruebas de valoración de aprendizajes ............................... 136

III.3.2.7. Diarios de los alumnos ........................................................ 137

III.3.3. Triangulación de los datos .............................................................. 138

ANEXO III-1. Cuestionarios de opinión para determinar las estrategias de

aprendizaje que utilizan los alumnos en los contenidos de la

asignatura Matemática General ................................................... 140

ANEXO III-2. Prueba de valoración de aprendizajes .......................................... 143

ANEXO III-3. Cuestionario de opinión para determinar el grado de actitud

del alumno y el clima social del aula en el proceso didáctico

de la asignatura Matemática General............................................ 145

ANEXO III-4. Entrevista semi-estructurada de los alumnos .............................. 148

ANEXO III-5. Guiones de trabajo para el desarrollo de la propuesta didáctica . 149

CAPÍTULO IV: RESULTADOS OBTENIDOS EN LA FASE DE

DIAGNÓSTICO INICIAL .......................................................................... 153 IV.1. ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA

PRIMERA PARTE DEL DIAGNÓSTICO ................................................ 157

IV.1.1. Análisis y reflexión de los resultados del cuestionario de opinión

para determinar las estrategias de aprendizaje que utilizan los

alumnos en los contenidos de la asignatura Matemática General

de la carrera de Educación Integral ................................................. 157

IV.1.2. Análisis y reflexión de los resultados de las observaciones

efectuadas de las sesiones de clase ................................................. 165

IV.1.3. Descripción, análisis e interpretación de los resultados de las

pruebas de valoración de aprendizajes ............................................ 175

IV.1.3.1. Análisis y reflexión sobre los resultados de la prueba

de valoración en cuanto al uso de estrategias de

aprendizaje ....................................................................... 175

IV

IV.1.3.2. Análisis y reflexión sobre la valoración de los

conocimientos matemáticos de los alumnos .................... 178

IV.2. ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA

SEGUNDA PARTE DEL DIAGNÓSTICO .............................................. 186

IV.2.1. Resultados del cuestionario de opinión para determinar el grado

de actitud del alumno sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje

de la asignatura Matemática General de la carrera de Educación

Integral ............................................................................................ 186


efectuadas de las sesiones de clase. ................................................. 192

IV.2.3. Análisis y reflexión de los resultados de las entrevistas aplicadas

a los alumnos .................................................................................. 200

IV.3. RESULTADOS DE LA TRIANGULACIÓN DE DATOS ...................... 207

CAPÍTULO V: PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN DEL

PENSAMIENTO FORMAL EN EL APRENDIZAJE DE LAS

MATEMÁTICAS ........................................................................................... 213

V.1. EL ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA EN LA DIDÁCTICA DE LA

MATEMÁTICA. .......................................................................................... 215

V.2. OBJETIVOS DEL PROGRAMA ............................................................... 217

V.3. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DEL PROGRAMA ............................. 219

V.3.1. Fundamentos epistemológicos y psicológicos ................................. 219

V.3.2. Pilares que configuran el Programa ................................................. 229

V.3.2.1. Comprensión y aplicación progresivas del lenguaje

utilizado en el proceso didáctico de las matemáticas ........... 230

V.3.2.2. Aplicación del razonamiento inductivo para activar las

nociones matemáticas y conducir sucesivamente al

alumno hacia la conceptualización científica y formal

del conocimiento matemático .............................................. 233

V.3.2.3. Desarrollo y aplicación de diversas estrategias en la

resolución de problemas que promuevan el razonamiento

deductivo y la comprensión de la estructura formal de los

contenidos matemáticos ....................................................... 234

V.3.2.4. El clima social del aula flexible y dinámico, analizado

desde la perspectiva de la interacción social entre profesor

y alumnos, mediante la comunicación y la participación .... 243

V

V.3.2.5. El proceso de evaluación dirigido hacia la valoración

integral y equilibrada como fundamento para el crecimiento

académico, personal y socio-afectivo de los actores

del proceso didáctico de la matemática ................................ 247

V.4. FASES QUE ESTRUCTURAN LA SECUENCIA DIDÁCTICA DEL

PROGRAMA ............................................................................................... 252

V.4.1. Fase de Exploración ......................................................................... 252

V.4.2. Fase de Presentación ........................................................................ 253

V.4.3. Fase de Valoración Cognitiva .......................................................... 254

V.4.4. Fase de Proyección .......................................................................... 255

V.5. CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL DIDÁCTICO ............................ 256

CAPÍTULO VI: DISEÑO DE UNA UNIDAD DIDÁCTICA SOBRE

SISTEMAS NUMÉRICOS ......................................................................... 259 VI.1. JUSTIFICACIÓN........................................................................................ 261

VI.2. OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD DIDÁCTICA .................. 263

VI.3. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE ............................................................. 264

VI.4. SECUENCIA DIDÁCTICA SUGERIDA PARA EL DOCENTE ............ 265

VI.4.1. Fase de Exploración......................................................................... 267

VI.4.2. Fase de Presentación ....................................................................... 267

VI.4.3. Fase de Valoración Cognitiva ......................................................... 268

VI.4.4. Fase de Proyección ......................................................................... 268

VI.5. ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN ........................................................ 270

VI.6. INSTRUCCIONES PARA EL ALUMNO EN EL MANEJO DE LA

UNIDAD DIDÁCTICA .............................................................................. 271

VI.7. GUÍA DE CONTENIDO ............................................................................ 272

VI.8. DESARROLLO DE CONTENIDOS ......................................................... 274

VI.8.1. Sistema de los Números Naturales ................................................. 274

VI.8.1.1. Fase de exploración ............................................................ 275

VI.8.1.2. Fase de valoración cognitiva ............................................... 276

VI.8.1.3. Fase de presentación ........................................................... 277

VI.8.1.3.1. Conceptos fundamentales. ................................. 277

VI.8.1.3.2. Operaciones con números naturales ................. 278

VI.8.1.4. Fase de proyección ............................................................. 295

VI.8.1.4.1. Sistema numérico ............................................. 299

VI.8.1.4.2. Números primos y compuestos ......................... 300

VI.8.1.4.3. Múltiplo de un número natural ......................... 300

VI

VI.8.1.4.4. Divisores, factores o sub-múltiplos de

un número natural ............................................. 300

VI.8.1.4.5. Números pares .................................................. 301

VI.8.1.4.6. Números impares .............................................. 301

VI.8.1.4.7. Máximo común divisor .................................... 301

VI.8.1.4.8. Mínimo común múltiplo ................................... 302

VI.8.2. Sistema de los Números Enteros .................................................... 303



VI.8.2.2.1. Conceptos fundamentales ................................. 305

VI.8.2.2.2. Operaciones con números enteros .................... 306

VI.8.3. Sistema de los Números Racionales ............................................... 315




VI.8.3.2.2. Operaciones con números racionales ............... 321

VI.8.4. Sistema de los Números Irracionales ............................................. 338




VI.8.4.2.2. Operaciones con radicales ................................ 341

VI.8.5. Sistema de los Números Reales ..................................................... 343




VI.8.5.2.2. Operaciones con números reales ...................... 344

VI.8.6. Bibliografía ..................................................................................... 346

CAPÍTULO VII: ANÁLISIS Y REFLEXIONES DE LOS

RESULTADOS DE LA TERCERA FASE: PUESTA EN

PRÁCTICA Y EVALUACIÓN DEL PROGRAMA DE

AUTORREGULACIÓN ............................................................................... 349 VII.1. ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA

DIMENSIÓN APRENDIZAJE MATEMÁTICO SIGNIFICATIVO ...... 353

VII.1.1. Análisis y reflexión de los resultados de las observaciones

efectuadas de las sesiones de clase ................................................ 353

VII.1.1.1. Unidad didáctica I: Sistema de los Números Naturales .... 354

VII

VII.1.1.2. Unidad didáctica II: Sistema de los Números Enteros ...... 366

VII 1.1.3. Unidad didáctica III: Sistema de los Números Racionales 370

VII.1.1.4. Reflexiones sobre las sesiones de clase ............................. 378

VII.1.2. Análisis y reflexión de los resultados de los diarios de los

alumnos sobre las sesiones de clase .............................................. 381

VII.1.3. Análisis y reflexión de los resultados de las actividades

realizadas en los cuadernos de los alumnos ................................... 384

VII.1.4. Análisis y reflexión de los resultados del cuestionario de

estrategias de aprendizaje .............................................................. 388

VII.1.5. Análisis y reflexión de los resultados de la prueba de valoración

de conocimientos ........................................................................... 398

VII.1.5.1. Análisis y reflexión sobre los conocimientos matemáticos 399

VII.1.5.2. Análisis y reflexión sobre las estrategias de aprendizaje

aplicadas por los alumnos ................................................. 401

VII.2. ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA

DIMENSIÓN CLIMA SOCIAL Y ACTITUD DEL ALUMNO ............. 404


efectuadas de las sesiones de clase ................................................ 404

VII.2.1.1 Reflexiones sobre las sesiones de clase .............................. 413


alumnos sobre las sesiones de clase .............................................. 414

VII.2.3. Análisis y reflexión de los resultados de las entrevistas ............... 417

VII.2.4. Análisis y reflexión de los resultados de los cuestionarios de

actitud-opinión del alumno ............................................................ 422

VII.3. RESULTADOS DE LA TRIANGULACIÓN DE DATOS ..................... 432

ANEXO VII-1. Transcripciones de las sesiones de clases .................................. 439

CAPÍTULO VIII: CONCLUSIONES, APORTES Y

RECOMENDACIONES .............................................................................. 471 VIII.1. RESEÑA DE LA INVESTIGACIÓN ..................................................... 474

VIII.2. APORTES Y ASPECTOS ORIGINALES DE LA TESIS ...................... 477

VIII.3. PRINCIPALES RESULTADOS Y CONCLUSIONES .......................... 479

VIII.3.1. Primera fase: Diagnóstico ............................................................ 479

VIII.3.2. Segunda fase: Diseño y elaboración del Programa ...................... 486

VIII.3.3. Tercera fase: Puesta en práctica y evaluación del Programa. ....... 488

VIII.4. RECOMENDACIONES PARA TRABAJO FUTURO .......................... 496

VIII

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................. 499

1

RESUMEN

HACIA UN PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN DEL PENSAMIENTO LÓGICO-FORMAL EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

Partiendo desde la integración de las perspectivas psicológica y sociológica en las

dimensiones del aprendizaje matemático, clima social del aula y actitud del alumno,

abordamos el problema de la enseñanza, aprendizaje y evaluación de las matemáticas

en el contexto universitario. Aplicando la investigación cualitativa y el estudio de

caso evaluativo como guía en el diseño de la investigación, en su primera fase de

estudio los resultados del diagnóstico revelaron que el problema del aprendizaje de la

Matemática, además de tener su origen en las formas o procedimientos de enseñanza,

aprendizaje y evaluación tradicionales, se explica también por las deficiencias de los

alumnos en los conocimientos matemáticos previos, en la organización, elaboración

y comunicación de la información y en las dificultades de estrategias para la

resolución de ejercicios y problemas. Además, la relación entre la actitud y el

rendimiento no fue muy estrecha, es decir, aunque se observó en el grupo una buena

actitud, no hubo un dominio claro de los aprendizajes matemáticos de los contenidos

relacionados con los sistemas numéricos. Así mismo, las condiciones críticas en las

que se encuentra el aprendizaje matemático de una mayoría importante de los

estudiantes no están a la par o no guardan una relación directa con del clima social

óptimo que encontramos.

En una segunda fase de la investigación, de acuerdo con las conclusiones del

diagnóstico, se elaboró el Programa de Autorregulación del Pensamiento Lógico-Formal para el Aprendizaje de las Matemáticas como una alternativa para dar

respuestas a los problemas formulados y su posterior aplicación y evaluación en una

tercera fase de la investigación. De acuerdo al análisis y reflexión de los resultados

obtenidos llegamos a las siguientes conclusiones:los estudiantes no obtuvieron una

valoración cuantitativa y cognoscitiva contundente en la construcción científica de

los contenidos matemáticos de los sistemas numéricos, debido principalmente al bajo

nivel de conocimientos básicos que estos poseen; sin embargo, nuestra propuesta

didáctica representó otra guía orientadora para el docente en su toma de decisiones

para cumplir sus diferentes funciones en el proceso didáctico y lograr conjugar y

equilibrar las dimensiones del aprendizaje matemático, el clima social del aula y la

actitud del alumno, sin las cuales sería muy complicado analizar y reorientar la

práctica pedagógica de esta disciplina científica desde una forma integradora, con

una perspectiva más humana y realista. Los alumnos pudieron evolucionar

paulatinamente, de manera cualitativa, hacia el logro de aprendizajes matemáticos

significativos en un lapso de tiempo que consideramos relativamente corto con

relación a los resultados del diagnóstico. Así mismo, organizaron, estructuraron y

discriminaron de forma correcta los datos de la mayoría de los problemas propuestos

durante el desarrollo de la unidad de sistemas numéricos, lo cual originó un cambio

progresivo en su actitud hacia los contenidos de la unidad didáctica de los sistemas

numéricos, gracias al proceso didáctico desarrollado por el docente-investigador y,

de las matemáticas en forma general, además de producirse resultados satisfactorios

en la dimensión del clima social del aula.

2

ABSTRAC

TOWARDS A SELF-REGULATION PROGRAM FOR THE LOGICAL-FORMAL THINKING IN MATHEMATICAL LEARNING

Starting from the integration of psychological and sociological perspectives on the

dimensions of mathematical learning, classroom social climate and student’s attitude,

we discuss the problem of teaching, learning and assessment of mathematics in the

university context. Using qualitative research and evaluative case study to guide the

research design; in its First Phase, diagnostic study results revealed that the problem

of learning of mathematics as well as having their origin in teaching methods or

procedures, learning and traditional assessment, is also explained by the students'

deficiency in previous mathematical knowledge, in the organization, processing and

communication of information and the strategy difficulties for solving exercises and

problems. Moreover, the relationship between attitude and performance was not very

close, that is, although it was noted in the group a good attitude, there was no clear

dominance of the mathematical learning of content related to number systems.

Likewise, the critical conditions in which mathematical learning is a significant

majority of students are not at par or not directly relevant to the social climate

optimum that was found in the study.

In a Second Phase of the research, according to the findings of the diagnosis, the

Self-Regulation Program for Logical-Formal thinking in Mathematical Learning was

developed as an alternative to provide answers to the problems raised and its

subsequent implementation and evaluation third phase of the investigation.

According to analysis and reflection of the results, the following conclusions were

drawn : students did not obtain a cognitive and quantitative assessment decisively in

the scientific construction of the mathematical content of number systems, mainly

due to the student’s low level of basic knowledge; however, our didactic proposal

represented another guide for the teacher in making decisions to meet their different

roles in the learning process and achieve, reconcile and balance the dimensions of

mathematics learning, classroom social climate and student’s attitude, without which

it would be very difficult to analyze and redirect the pedagogical practice of the

discipline from an inclusive way, with a more human and realistic perspective.

Students were able to evolve gradually, in a qualitative manner, towards achieving

significant mathematical learning in a considerable short time period compared with

the diagnostic results. Students also, organized, structured and correctly

discriminated data from most of the problems set during the development of

numerical systems unit, which resulted in a gradual change in their attitude toward

the contents of the teaching unit of number systems thanks to the learning process

developed by the teacher-researcher; and mathematics in general, and produced

satisfactory results in the social dimension of classroom climate.

INTRODUCCIÓN GENERAL

5

INTRODUCCIÓN GENERAL

En las últimas décadas del siglo XX y en el nuevo milenio, la Didáctica de la

Matemática como disciplina científica ha generado un gran interés y preocupación

por innumerables investigadores para desarrollar conocimientos en la reorientación

de la práctica educativa y la consolidación de los procesos de enseñanza, aprendizaje

y evaluación en el área de la Matemática. No obstante, las implicaciones que se han

derivado de las reflexiones de la investigación sobre el docente, el alumno, el

contexto social, los centros educativos y el currículo son cada vez más complejas,

obligándonos a clasificarlas en diferentes problemas para realizar un análisis más

óptimo de los mismos.

Producto de esta complejidad, la Didáctica de la Matemática tiene un carácter

más dinámico, versátil, polifuncional y multivariable desde el punto de vista social,

psicológico y epistemológico, para determinar los aspectos más fundamentales que

nos sitúen en el camino de una mejor formación académica de los alumnos,

reestructuración de los paradigmas de enseñanza de los profesores de Matemática y

lograr un acercamiento más próximo de la humanidad con la Matemática, ciencia que

ha representado una gran importancia histórica en la evolución y progreso científico,

tecnológico, cultural y humanístico de la sociedad mundial.

Nuestra investigación se ha desarrollado partiendo desde el problema de la

enseñanza, aprendizaje y evaluación de la Matemática en el contexto universitario.

Se abordan las dimensiones del aprendizaje matemático y la actitud del alumno

desde una directriz psicológica y, la dimensión del clima social del aula, desde una

óptica sociológica, para establecer un estudio completo y más aproximado de la

realidad del contexto social de nuestra universidad, en donde los alumnos presentan

una serie de obstáculos y debilidades para lograr los aprendizaje matemáticos

necesarios para su formación académica y profesional.

La situación crítica del aprendizaje de la Matemática se manifiesta en los

diferentes niveles y modalidades de nuestro sistema educativo. Nosotros nos hemos

concentrado solamente en el nivel universitario y seleccionamos para este estudio,

como contexto social, a la Universidad Nacional Experimental Ezequiel Zamora de

la ciudad de Barinas (Venezuela), cuyos actores principales son los alumnos de la

asignatura Matemática general de la Carrera Educación Integral.

6

Hemos observado en estos alumnos graves deficiencias cognitivas para

abordar los aprendizajes matemáticos contemplados en el currículo de su carrera.

Disponen de limitadas habilidades para el razonamiento, tal vez por no tener

estrategias de aprendizaje precisas en la comprensión y comunicación de la

información. La tarea de resolver ejercicios y problemas es casi imposible para ellos,

implicando una actitud cada vez más negativa hacia el aprendizaje. Así mismo, el

clima social del aula no es apropiado, generalmente no contribuye a una

comunicación fluida entre los alumnos y profesores. Todas esta variables que

intervienen en el aprendizaje del alumno, debe ser tenidas en cuenta a la hora de

planificar un adecuado proceso didáctico para el aprendizaje de la Matemática.

Estas reflexiones del problema del aprendizaje, enseñanza y evaluación de la

Matemática en nuestro contexto, nos motivó a la realización de un análisis integrador

de l tres dimensiones de estudio en el desarrollo de nuestra investigación. El

principal reto de esta tesis doctoral es el abordaje de forma simultánea del

aprendizaje matemático, actitud del alumno y clima social del aula, y su consecuente

contribución al cambio de los paradigmas que propulsarán una verdadera

estructuración de nuestra práctica pedagógica en la asignatura de Matemática

General.

Como consecuencia directa de nuestro análisis y reflexión de los resultados

obtenidos en nuestra investigación y para dar una respuesta concreta al problema,

construimos un modelo teórico que presentamos como una propuesta didáctica a la

cual hemos denominado “Programa de autorregulación del pensamiento lógico-

formal en el aprendizaje de las Matemáticas”, fundamentado psicológicamente

en: el constructivismo psicogénetico de Jean Piaget, David Ausubel, Jerome Brunner,

en el constructivismo sociocultural de Lev Vygosky, el paradigma falibilista de

Pierce, y epistemológicamente en: la falsabilidad (Popper), la tesis de los paradigmas

de Kuhn (Paradigma socio-psicológico) y de los programas de investigación de

Lakatos. La finalidad del Programa consiste en fomentar en los alumnos el proceso

de aprender a aprender y, en el docente, enseñar a pensar bajo un clima social del

aula dinámico, flexible, comunicativo y participativo que contribuya a generar en los

alumnos confianza y actitud positiva hacia el proceso didáctico, el profesor y los

contenidos matemáticos.

Asimismo, la propuesta didáctica fue aplicada y evaluada tomando la unidad

de los sistemas numéricos, con el propósito de obtener resultados favorables en la

construcción de las reflexiones y conclusiones finales de la investigación y en la

7

orientación de la toma de decisiones en la reconstrucción de la práctica pedagógica

de la asignatura Matemática general.

Por lo tanto, para orientarnos en la búsqueda de las respuestas del problema

de investigación de nuestra tesis doctoral nos formulamos las siguientes

interrogantes:

- ¿Qué estrategias de aprendizaje utilizan generalmente los alumnos para

abordar los conocimientos matemáticos?

- ¿Cuáles son los conocimientos matemáticos previos que los alumnos

poseen para iniciar la asignatura Matemática General?

- ¿Cuál es la actitud general que presentan los alumnos ante las

matemáticas?

- ¿Cómo se desarrolla la comunicación y participación de los alumnos

dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje?

- ¿En que medida afecta el clima social del aula en el aprendizaje

matemático de los alumnos?

- ¿Podemos diseñar un programa de enseñanza de estrategias de

aprendizaje centradas en la autorregulación del pensamiento formal que

logre en los alumnos de la asignatura Matemática General un aprendizaje

significativo de los contenidos relacionados a los sistemas numéricos?

- ¿Cuáles serían los principales lineamientos que estructurarían este

programa para lograr un aprendizaje matemático significativo en los

alumnos de la asignatura Matemática General?

- ¿Qué aspectos fundamentales debe tener este programa para crear en el

aula de clase un ambiente social caracterizado por la participación y

comunicación de los alumnos en el proceso de enseñanza, aprendizaje y

evaluación de las matemáticas?

- ¿En qué grado afectan la aplicación de este programa al aprendizaje

significativo, clima social del aula y actitud general del alumnado?

8

- ¿Cuáles serían los resultados que produciría la puesta en práctica de este

programa en el proceso didáctico de la asignatura Matemática General y

en el aprendizaje significativo de los alumnos?

Este planteamiento derivó una serie de aspectos teóricos y prácticos con los

cuales construimos y estructuramos la investigación en ocho capítulos.

En el primer capítulo explicamos el problema objeto de estudio, destacando

la trascendencia que tiene la Matemática en el desarrollo integral de la humanidad y

la gran necesidad que representa su estudio en todos los niveles y modalidades del

sistema educativo. Abordamos el problema de la enseñanza y aprendizaje de la

Matemática desde el marco general hasta su delimitación en nuestro contexto social

universitario, para finalmente precisar algunas alternativas de cambio, dentro de las

cuales propusimos diseñar, tomando como eje vertebrador las aportaciones de las

teorías de la psicología del aprendizaje desde la perspectiva del constructivismo

psicogénético y sociocultural, un programa de estrategias de enseñanza y aprendizaje

cuyo propósito es servir de material didáctico para que el alumno que ingresa a la

Universidad logre superar las deficiencias que posee en el pensamiento formal y

lograr un aprendizaje matemático significativo.

En el segundo capítulo realizamos un acercamiento teórico de los aspectos

relativos al marco metodológico de la investigación, para seleccionar los métodos y

técnicas de investigación que más se ajustan al problema de estudio y a nuestro

diseño de investigación. Abordamos la investigación cualitativa como enfoque más

apropiado para dar respuesta a los interrogantes formulados en el capítulo anterior.

En el tercer capítulo presentamos el procedimiento seguido en la

investigación, que estructuramos en tres fases, denominadas: a) fase diagnóstica, b)

fase de elaboración del programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal

en el aprendizaje de las matemáticas y c) fase de puesta en práctica y evaluación del

programa, describiendo también las dimensiones de estudio y los instrumentos

aplicados para la recolección de información durante el trabajo de campo.

El cuarto capítulo lo dedicamos a la presentación, análisis y reflexión de los

resultados obtenidos en la primera fase diagnóstica de la investigación, con la

finalidad de tener una primera aproximación de la realidad del problema del contexto

de estudio que nos guiara hacia las respuestas de los primeros interrogantes.

9

En el quinto capítulo iniciamos la explicación epistemológica y psicológica

bajo las cuales se fundamentó la construcción teórica del Programa de

Autorregulación del Pensamiento Lógico-formal en el Aprendizaje de las

matemáticas, el cual lo definimos como una propuesta didáctica que garantizara la

superación de las dificultades de los alumnos en el aprendizaje de los contenidos

relativos a los sistemas numéricos. Destacamos en el programa los siguientes pilares

que constituyen su guía orientadora para la construcción y consolidación del

aprendizaje significativo de las matemáticas:

- Comprensión y aplicación progresiva del lenguaje utilizado en el proceso

didáctico de las matemáticas.

- Aplicación del razonamiento inductivo para activar las nociones

matemáticas y conducir sucesivamente al alumno hacia la

conceptualización científica y formal del conocimiento matemático.

- Desarrollo y aplicación de diversas estrategias en la resolución de

problemas que promuevan el razonamiento deductivo y la comprensión de

la estructura formal de los contenidos matemáticos.

- El clima social del aula flexible y dinámico, analizado desde la

perspectiva de la interacción social entre profesor y alumnos, mediante la

comunicación y la participación.

- El proceso de evaluación dirigido hacia la valoración integral y

equilibrada como fundamento para el crecimiento académico, personal y

socio-afectivo de los actores del proceso didáctico de la Matemática.

El sexto capítulo presenta el diseño de la unidad didáctica sobre sistemas

numéricos, el cual constituye la concreción del programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas, el cual se

constituyó como el material didáctico central para el alumno durante el desarrollo de

las sesiones de clases.

En el capítulo séptimo nos detenemos a presentar, analizar y realizar el

proceso de reflexión de los resultados obtenidos en la tercera fase de la investigación,

durante la cual se aplicó y evaluó el programa de autorregulación del pensamiento

lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas, en función del aprendizaje

significativo logrado por los alumnos, el clima social del aula y la actitud del

10

alumno, estructurando el análisis y reflexión a través de las dimensiones de estudio y

aplicando la técnica de la triangulación para atribuir validez a los datos obtenidos con

los diferentes instrumentos de recolección de información.

El octavo y último capítulo contiene las conclusiones finales de la tesis

doctoral, producto del análisis y reflexiones efectuadas sobre los resultados que

obtuvimos en las tres fases del estudio, a luz de las dimensiones de estudio, las

aportaciones teóricas y los objetivos de la investigación. Asimismo, decidimos

incluir los aportes y recomendaciones más significativos que se derivaron de todo el

proceso de investigación realizado, para contribuir en el desarrollo de la Didáctica de

la Matemática.

Dedicamos un apartado específico para la presentación de las referencias

bibliográficas indispensables para atribuirle el fundamento epistemológico,

psicológico, sociológico, y matemático a la investigación, además de lograr

profundizar sobre la variedad de aspectos que integran el tema de estudio

seleccionado en nuestra tesis, actividad compleja que nos permitió desarrollar con

fluidez y conciencia las habilidades necesarias para desarrollar la actividad

investigadora. Por último, consideramos de mucha importancia incluir una sección

para los anexos dentro de los cuales se destacan los instrumentos de recolección de

información.

CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y BASES

TEÓRICAS

13

CAPÍTULO I:

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y BASES TEÓRICAS

Nuestro propósito en este capítulo es exponer el problema objeto de estudio,

los objetivos que orientan el desarrollo de esta investigación y describir el contexto

actual donde se enmarca el presente trabajo: la Universidad Nacional Experimental

de los Llanos Occidentales “Ezequiel Zamora” (UNELLEZ-Barinas), dentro de la

especialidad de Matemática, en la carrera o titulación de Educación Integral.

I.1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

El análisis que se ha realizado del proceso histórico de la humanidad, ha

revelado la existencia de una relación indisociable entre su desarrollo económico,

social, político, científico, tecnológico y cultural, y el proceso evolutivo del intelecto

humano que ha sido destinado principalmente, a superar los desafíos que se

presentan en el momento de obtener los recursos esenciales para el disfrute de una

mejor calidad de vida que beneficie a la mayor parte de la población posible de un

grupo cultural específico, es decir, el fin último ha consistido siempre en lograr vivir

en un ambiente, en donde las sociedades puedan desenvolverse con equilibrio y

armonía.

Tal como lo señala Delors (1996:75), “esos avances se deben ante todo a la

capacidad del ser humano de dominar y organizar su entorno en función de sus

necesidades, es decir, a la ciencia y a la educación, motores fundamentales del

progreso económico”, por su parte el Director General de la UNESCO, resalta la

gran importancia de la formación educativa en ese proceso de desarrollo humano

integral al que todas las sociedades aspiran, al expresar que “el desarrollo social y

económico en nuestro universo moderno, industrializado y mundializado es

imposible sin una mano de obra competente y formada. El primer paso para crear

esas capacidades humanas es la educación” (Matsuura, 2006).

Sin embargo, en el logro de este propósito unas sociedades han tenido un

nivel de éxito más elevado que otras, puesto que sus diferencias en la capacidad

tecnológica, científica y humanística están muy marcadas, por ello, a estas

sociedades se les ha etiquetado de culturas desarrolladas o industrializadas en

contraposición con las subdesarrolladas, las cuales, por su escasa formación

14

científica han quedado en un estado de dependencia para con las otras, por lo que se

acentúa aún más su atraso en su evolución como sociedades humanas productivas y

consolidadas.

Es evidente que los países pertenecientes a estas llamadas sociedades

industrializadas o del primer mundo, dentro de los que destacan, Estados Unidos,

Inglaterra, Alemania, Japón, Francia, España, Italia, Rusia, entre otros, han logrado

alcanzar estos elevados niveles científicos, tecnológicos y humanísticos

principalmente a través de la educación, cuya finalidad esencial es dirigir y transmitir

los elementos que determinan una cultura socializada en función de las necesidades

del individuo para reorientarlas a través de unas actitudes y aptitudes que le permitan

incorporarse como un ser humano útil a esa sociedad que lo requiere para perpetuarse

y desarrollarse. Según Delors (1996:13) “frente a los numerosos desafíos del

porvenir, la educación constituye un instrumento indispensable para que la

humanidad pueda progresar hacia los ideales de paz, libertad y justicia social”.

Además, los sistemas educativos de estos países industrializados, como los

mencionados anteriormente, deben su operatividad, fundamentalmente, a sus

estructuras eficaces y eficientes en la obtención de la excelencia del recurso humano

egresado de estas instituciones educativas, situación que es contraria, en algunos

casos, en países subdesarrollados o en vías de desarrollo como algunos países

africanos y latinoamericanos donde los problemas y deficiencias educativas son

innumerables, con lo cual, se ha originado una dependencia económica con niveles

cada vez más acentuados, según Chung (1996:247), “En numerosos países de África

sólo entre el 4 y el 5% de los niños en edad de seguir estudios secundarios tienen

posibilidad de hacerlo. En la mayor parte de esos países, menos del 1% del grupo de

edad correspondiente tiene acceso a alguna forma de enseñanza superior, frente a

un porcentaje que oscila entre el 25% y el 75% en los países industrializados”.

Esta descripción del panorama educativo que ha venido caracterizando a estos

países, sin olvidar que en todo esto tiene mucho que ver el fenómeno de la

mundialización o globalización donde el capitalismo salvaje ha obstaculizado el

ascenso socio-económico de un 90% de la población acentuando la brecha entre ricos

y pobres, está creando una insensibilidad humana donde “más de 20 por ciento de la

humanidad vive una marginación rayana en la más elemental supervivencia; el 70

por ciento que le sigue no ve el futuro con esperanza, y sólo un 10 por ciento goza de

oportunidades vitales cada vez mayores” (Dahrendorf, 1997:10). Esta situación ha

llevado a la Comisión Internacional sobre la educación para el siglo XXI a

reflexionar sobre lo ocurrido desde finales del siglo pasado, “caracterizado por el

ruido y la furia tanto como por los progresos económicos y científicos –por lo demás

15

repartidos desigualmente–, es imperativo que todos lo que estén investidos de alguna

responsabilidad presten atención a los objetivos y a los medios de la educación”

(Delors, 1996:14).

Podría decirse que la educación como mecanismo para superar el estatus

social del hombre está siendo a su vez obstaculizada por las mismas circunstancias

socio- económicas en las que vive; cómo se espera que un padre de familia, si es que

éste existe, que apenas logra ganar el dinero suficiente para la alimentación de sus

hijos, pueda ofrecerles una educación aceptable en términos de calidad y cantidad

para su completa formación en una sociedad con estas características, es por esto que

“los medios económicos de que dispone una familia, junto con su capital cultural y

social, influyen poderosamente en las posibilidades educativas de sus hijos”

(Marchesi & Martín, 1998:220).

Esta situación es producida parcial o totalmente por las políticas educativas

que aplican estas naciones sumergidas en los estados de pobreza más críticas del

mundo, las cuales son establecidas por sus gobiernos, no de acuerdo a las realidades

particulares de cada sociedad, sino para satisfacer las directrices económicas de

organismos financieros internacionales, dentro de los que se destacan el Banco

Mundial y Banco Interamericano de Desarrollo; como consecuencia el modelo

educativo depende de las condiciones económicas que impone el estado (Moya,

1998:3).

En Venezuela, la educación tiene dentro de sus finalidades contribuir “a la

formación y capacitación de los equipos humanos necesarios para el desarrollo del

país y la promoción de esfuerzos creadores del pueblo venezolano hacia el logro de

su desarrollo integral, autónomo e independiente” (Ley Orgánica de Educación Art.

3), sin embargo, esta meta dista mucho de la realidad educativa existente, puesto que

se observa una serie de contradicciones en el ámbito de lo que se espera lograr y

producir, además, Venezuela no escapa de la situación que se vive en Latinoamérica

y el Caribe, donde la educación atraviesa una crisis de magnitudes considerables. De

acuerdo con Puryear (1998:4) “la mayoría de las escuelas no proveen una educación

de buena calidad”, y según Amaro (2000:7) “En Venezuela, pasan de dos millones

los analfabetas, unos tres millones de jóvenes no están incorporados al sistema

educativo, y el 54% se retira antes de concluir la educación básica. Para una nación

rica en recursos naturales y una población de 23 millones esto no es sino el producto

de una perversa inconsciencia política”.

16

Aunque la investigación educativa ha realizado grandes esfuerzos en la

búsqueda de alternativas concretas de solución para los problemas variados en la

enseñanza, aprendizaje y evaluación, las deficiencias aún se mantienen,

principalmente debido a que las nuevas teorías que se originan como producto de la

investigación educativa se aplican en contextos diferentes, pensando erróneamente

que el resultado efectivo que se produjo en un contexto particular servirá

óptimamente en otro contexto donde la realidad está caracterizada por elementos

muy distintos.

Dentro de los contenidos programáticos que se imparten en los niveles y

modalidades de los sistemas educativos, tienen una fundamental importancia las

ciencias exactas, especialmente la Matemática, la cual representa para el hombre una

ayuda para fomentar sus conocimientos, habilidades y destrezas que le permitan

desenvolverse con éxito en situaciones problemáticas de su entorno bio-psico-social.

Esto significa que existe una íntima relación entre esta ciencia y el desarrollo de las

sociedades, pues “se puede observar que los países que comienzan a gozar de

importantes resurgimientos culturales, se hacen cada vez más fuertes en

Matemática” (Jiménez, 1999:127), y también se sostiene que “las matemáticas son

una parte esencial de la tecnología material e inmaterial y de la infra-estructura

social en un sentido general. Contribuyen a dar forma a la sociedad, y lo hacen en

un grado creciente” (Niss, 1996:28).

En Venezuela se da mucha importancia al aprendizaje de las matemáticas, de

este modo, desde la Educación Básica se considera a esta área de conocimiento “Un

medio para el mejor entendimiento del individuo, su realidad y sus relaciones con

sus semejantes. En tal sentido, es una herramienta más en el proceso de construirnos

a nosotros mismos, de prepararnos para la vida en sociedad y poder generar riqueza

(entendida en un sentido amplio: económico, social, humano)” (Ministerio de

Educación, 1997:119).

La Matemática es una disciplina antigua y por lo tanto adquiere un carácter

sumamente interdisciplinario, “es una ciencia intensamente dinámica y cambiante.

Todo esto sugiere que, efectivamente, la actividad matemática no puede ser una

realidad de abordaje sencillo” (Briceño, 2005:3). Esta ciencia pura, se ha constituido

como la base de carreras como ingeniería, física, química, biología o arquitectura

entre otras, y sirve de apoyo a otras áreas fundamentales de las ciencias sociales.

Como afirma Jiménez (1999:27): “Bastaría con revisar los programas de estudio de

universidades alrededor del mundo para observar que la enseñanza de la

Matemática ha incrementado sus contenidos e, incluso, novedosas ramas de la

17

Matemática que tiempos atrás ni siquiera se soñaba en algunas disciplinas

aplicadas, son ahora parte integrante primordial de sus planes de estudio”.

Por otro lado López & Moreno (1997:1), sostienen también que “en todos los

países del mundo, las Matemáticas y las ciencias son una parte importante del

currículo escolar y se consideran materias esenciales para la formación de los

jóvenes. Esto es así porque ambas materias son un pilar para la integración del

individuo en un mundo cada vez más tecnificado. De igual manera, el estudio de las

Matemáticas y las Ciencias es considerado como un medio para desarrollar en el

individuo hábitos de razonamiento riguroso y crítico”.

Se ha venido observando que tanto alumnos como profesores presentan

diversos problemas con relación a su enseñanza, aprendizaje y evaluación en todos

los niveles y modalidades del sistema educativo, además, la mayoría de las personas

generalmente la consideran como una disciplina muy rigurosa, caracterizada por el

rechazo y la fobia. Así, autores como Ernest (2000:10) señalan que “muchas

personas asocian las matemáticas con la ansiedad y el fracaso. En una encuesta

realizada por Brigid Sewel para la agencia Crockcroft Inquiry acerca de las

actitudes de los adultos con la aritmética, se preguntó a una muestra de adultos

tomada en la calle si podían contestar algunas preguntas. La mitad de ellos se

negaron a contestar muchas de las preguntas cuando supieron que la encuesta

estaba relacionada con las matemáticas e incluso mostraron actitudes negativas,

tales como la fobia a las matemáticas”.

Cabe señalar que este fenómeno ya goza de mucha relevancia dentro de los

estudios pedagógicos de vanguardia “si pensamos en la escuela pitagórica, la

enseñanza de las matemáticas organizadas empezó, al menos, hace 2.600 años.

Desde entonces se considera como uno de los estudios más importantes de cualquier

sistema educativo. En general, el idioma materno y las matemáticas siempre son los

estudios básicos” (Szigueti, 2005:1); su necesidad, se intensifica en países

subdesarrollados, y particularmente en algunos latinoamericanos.

En el caso venezolano, la vigésima primera Olimpiada de Matemática

realizada en 1996, ofrece un panorama inicial de esta situación. En el concurso, de

los 37.940 alumnos participantes, se clasificaron solamente 3.394, es decir, apenas el

9% aproximadamente aprobó, mientras que el 91% no logró alcanzar la calificación

mínima aprobatoria. En el nivel 1 que comprende el noveno grado, el promedio fue

de 6,83 puntos, y en el nivel 2, que comprende el segundo año de Educación Media y

Diversificada y Profesional, fue de 7,74 puntos; esto en una escala de 1 a 20 puntos.

18

Los resultados obtenidos en las Pruebas de Aptitud Académica que se aplican

para el ingreso de los estudiantes a la Educación Superior, bajo la coordinación de la

Oficina de Planificación del Sector Universitario (O.P.S.U.) no son tampoco

óptimos. De acuerdo a la OPSU-Barinas el promedio de los puntajes obtenidos a

nivel nacional en el área de habilidad numérica para el año escolar 1999-2000 fue de

apenas 4,944 en una escala de 1 a 40 puntos, es decir, que en promedio, los alumnos

apenas respondieron al 12,4% del total de la prueba de razonamiento matemático.

Por región, el máximo puntaje lo obtuvo el Estado Falcón con 16,650 puntos. El

Estado Barinas, contexto de estudio de esta investigación, obtuvo el sexto lugar con

apenas 6,970 puntos; en el año escolar siguiente 2000-2001, los alumnos barineses

obtuvieron calificaciones que oscilaron entre 1,30 y 8,22, esto significa que los

aspirantes responden entre 3,25% y 20,55% de lo solicitado, lo cual demuestra que

nuestra región bajó al décimo lugar a nivel nacional.

Siguiendo en nuestro contexto, en el estado Barinas, las Olimpiadas que

realiza anualmente el Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de las

Ciencias (C.E.N.A.M.E.C.), nos revelaron a nivel regional los datos interesantes que

aparecen en la Tabla 1.1. y los Gráficos 1.1. y 1.2.:

ALUMNOS INSCRITOS

ALUMNOS CLASIFICADOS

PORCENTAJE DE APROBADOS AÑOS

NIVEL I NIVEL II NIVEL I NIVEL II NIVEL I NIVEL II

1996 331 266 37 34 11,18% 12,78%

1997 1381 702 105 21 7,6% 2,99%

1998 608 184 29 7 9,77% 3,8%

1999 1456 922 96 6 6,6% 0,006%

2000 593 398 36 55 6,1% 13,82%

TOTAL 4369 2472 303 123 6,94 4,98

Tabla 1.1. Resultados de las Olimpiadas de Matemática del CENAMEC en el Edo. Barinas (1996-00). Nivel I: Comprende los tres primeros años de escuela secundaria. Nivel II: Comprende los dos últimos años de escuela secundaria.

En las estadísticas de la Tabla 1.1 y Gráficos 1.1. y 1.2. se observa un

porcentaje de aprobados o clasificados para 1996 de apenas el 11,18% y el 12,78%

respectivamente en los niveles I y II; al año siguiente el rendimiento disminuyó

considerablemente en ambos niveles, ya que solamente se clasificaron el 7,6% en el

primer nivel y el 2,99% en el segundo y aunque hubo un ligero repunte en 1998

19

donde aproximadamente el 10% del nivel I clasificó, no hubo muchas diferencias en

los clasificados en el nivel II donde difícilmente se llegó a un 3,8%. Las Olimpiadas

celebradas en 1999 se produjeron los resultados más deprimentes, en el nivel I un

escaso 6,6% de alumnos se clasificaron, mientras que en el nivel II casi fue

inexistente el número de alumnos clasificados; sin embargo en el año 2000 se llegó a

un 13,82% en este nivel y en el nivel I se ubicó un 6,1% de estudiantes.

Gráfico 1.1. Resultados de las Olimpiadas de Matemática del CENAMEC en el Edo. Barinas del 7o al 9o grado de Educación Básica (1996-2000).

Gráfico 1.2. Resultados de las Olimpiadas de Matemática del CENAMEC en el Edo. Barinas. Nivel II del 4to y 5to año Ciclo Diversificado (1996-2000).

010

2030

405060

7080

90100

%

1996 1998 2000

AÑOS

RESULTADOS OLIMPIADAS DE MATEMATICA CENAMEC 1996-2000 EDO BARINAS NIVEL I

CLASIFICADOS

REPROBADOS

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

%

1996 1997 1998 1999 2000 TOTAL

AÑOS

RESULTADOS OLIMPIADAS DE MATEMATICAS CENAMEC 1996-2000 EDO BARINAS NIVEL II

CLASIFICADOS

REPROBADOS

20

Estos resultados cuantitativos son muy desalentadores si tomamos en cuenta

los promedios de los porcentajes obtenidos en esos cinco años. Para el nivel I el

porcentaje promedio es de 8,25 y el del nivel II es 6,67, además se puede apreciar

también que el rendimiento ha decaído considerablemente en los últimos años con

relación al año 1996; y si observamos el total de alumnos inscritos en estos cinco

años podemos apreciar que solamente un 6,94% y 4,98% han logrado aprobar en los

niveles I y II respectivamente. Con esta información estadística evidenciamos la

escasa formación matemática que tienen los alumnos, al menos en la región del

Estado Barinas; luego es de hacer notar que esta situación tan aguda sea preocupante

para la Universidad, puesto que con esta preparación tan deficiente, el ingreso de

alumnos en condiciones académicas óptimas en las carreras que ofrece esta

institución de educación superior se hace considerablemente difícil.

En la Universidad Nacional Experimental de los Llanos Occidentales

“Ezequiel Zamora” (UNELLEZ-Barinas), dentro de la especialidad de Matemática,

se ha observado que los trabajos de investigación realizados en el campo de la

Didáctica de las Matemáticas, a pesar de que las muestras son tomadas de la

población estudiantil de dicha Universidad, todavía no han tenido en cuenta

elementos y aspectos propios que caracterizan al estudiantado; de estos estudios cabe

destacar el de Brashi (1993), Guerra (1994) y Orsini (1994), entre otros.

Este último autor es el que más ha destacado en el estudio las necesidades

académicas del estudiante, ya que su investigación tuvo como objetivo principal

determinar la correlación existente entre la actitud del estudiante hacia las

Matemáticas y su rendimiento académico; sin embargo, en investigaciones

posteriores, Brashi (1999) y Guerra (1999), sí han tenido en cuenta este aspecto para

la elaboración de libros-textos para la enseñanza de la Matemática, los cuales han

sido diseñados en función de las conclusiones aportadas por estos estudios de

factibilidad donde se demuestra una elevada aceptación por parte del alumnado hacia

la construcción y elaboración por parte de los profesores de recursos didácticos de

tipo impreso adaptados a las características específicas del grupo de estudiantes para

garantizar desde el punto de vista metodológico un aprendizaje más eficaz de la

Matemática.

Por lo tanto, el estudio de las necesidades y características tanto psicológicas

como sociales que conforman el componente académico del alumno, debe ser uno de

los principales aspectos que han de matizar investigaciones futuras dentro de la

Didáctica de la Matemática en la Universidad Nacional Experimental de los Llanos

Occidentales “Ezequiel Zamora”, específicamente en el Vicerrectorado de

21

Planificación y Desarrollo Social-Barinas donde lamentablemente una mayoría

considerable de los estudiantes no posee el nivel de aprendizaje “adecuado” para

iniciar los estudios universitarios.

En el caso de las matemáticas sólo un 10% aproximadamente reúne el

aprendizaje matemático exigido para desarrollar los contenidos de la Matemática

universitaria. Como consecuencia de esta situación, un porcentaje considerable de

alumnos no logran superar las exigencias que se contemplan en los programas de

estudio del área Matemática, lo que se demuestra a través de las estadísticas

suministradas por A.R.S.E. (Admisión, Registro y Seguimiento Estudiantil de la

UNELLEZ) donde en el Programa de Educación para el año 1996, el 80% fracasó en

Matemática I y en el Programa de Contaduría 3 de cada 4 estudiantes inscritos

terminaron reprobados. De años posteriores no se tienen cifras oficiales de

rendimiento, pues lamentablemente las estadísticas de los años siguientes aún no han

sido procesadas por este Departamento.

Este nivel académico precario en la enseñanza, aprendizaje y evaluación de

las matemáticas en la UNELLEZ-Barinas, para la mayoría de los docentes que

imparte esta asignatura obedece principalmente a la deficiencia que presenta el

alumno después de egresar de la Educación Básica, donde estadísticamente se

expresa que el 70% de los estudiantes de la educación Básica (1ro a 9o grado) no

demuestran comprensión lectora.

Por otra parte, en estudios realizados se ha podido constatar que la situación

académica en lecto-escritura de los docentes que imparten enseñanza en las

instituciones públicas de educación media y diversificada en Venezuela, no difiere

mucho a la de los alumnos: “según una investigación educativa realizada entre

enero y julio de 2004, los docentes venezolanos tienen enormes carencias en el área

de la comprensión e interpretación de la lectura, lo que acarrea frustración y

deserción escolar de los alumnos” (Magual, 2004). Es de hacer notar que el dominio

efectivo de la expresión oral y escrita de la lengua materna es determinante para

lograr los objetivos de aprendizaje en la demás áreas académicas que conforman el

currículo, por consiguiente este panorama representa en gran medida el primer factor

que obstaculiza el desenvolvimiento pleno de las habilidades matemáticas por parte

de los alumnos.

Según Mora (2005:1), en un estudio promovido por la UNESCO entre 1997 y

2000, comparando a Venezuela con 14 países latinoamericanos se recoge que:

“Todos los países están por debajo del 54%, incluyendo Chile y Argentina.

22

Venezuela casi está en la cola, aunque la diferencia no es muy significativa

incluyendo los demás países”. De acuerdo con The Global Competitiveness Report

2009-2010 del Foro Económico Mundial en Suiza, Venezuela ocupa el lugar número

102 de 133 países en lo que respecta a la calidad de su sistema de educación

primaria. Según Planchart et al (2005), los resultados de la prueba de Admisión de la

Universidad Simón Bolívar de marzo de 2004 aplicada a 9.356 alumnos de liceos

oficiales y privados, las medias obtenidas fueron de 7,95 en habilidad cuantitativa y

4,04 en Matemática, estas dos pruebas contenían 30 y 25 preguntas respectivamente,

es decir que el rendimiento general de los alumnos quedó muy por debajo de la

mínima aprobatoria. De cada 100 alumnos, 33 terminan la Educación Básica. Según

el CENAMEC, más del 25% de los docentes de este nivel educativo no saben sumar

quebrados, 70% no dominan los programas de Matemática y en el 4o y 5o grado no

desarrollan los contenidos de geometría.

Este descuido por parte del Estado hacia la educación repercute en la

motivación de los docentes respecto al trabajo escolar, fenómeno que se presenta con

menor intensidad en países desarrollados como Japón, donde el trabajo escolar es

más intensivo (230 días/año, incluyendo tres sábados por mes y además un

profesional gana 12% más que cualquier funcionario público), y esto se verifica en

estudios realizados a nivel internacional donde los resultados aportados por el

Proyecto Nacional Programme For International Student Assessment (PISA) con

alumnos de 15 años, colocan a Japón y Corea como los países punteros en cultura

Matemática con puntuaciones de 557 y 547 respectivamente en un rango de 334 a

557 puntos; en la media, de 493 a 503, se ubican en orden descendente Irlanda con

503 puntos, Noruega con 499 puntos, República Checa con 498 puntos y EE.UU. con

493 puntos. Es preocupante observar que en el grupo de países que están por debajo

de la media, es decir, con un puntaje menor a 493, solamente se presentaron los

resultados de dos países latinos, México con 387 puntos y Brasil con 334 puntos.

Además “se habla en este siglo XXI de que hemos iniciado un nuevo tipo de modelo

social, el de la sociedad de la información, cuyo pilar básico es

‘conocimiento=poder’; los resultados de PISA hacen dudar de que alumnos que no

son capaces de comprender y valorar lo que leen puedan construir ese

conocimiento” (Vacas & Zunker, 2001:1).

Dentro de los hallazgos que proporcionó este estudio, en cuanto al desempeño

estudiantil a nivel internacional se puede destacar (PISA, 2001:1):

23

“1. Japón y Corea son los países con más altos niveles de desempeño en la

alfabetización matemática y científica, definida como la capacidad de los

estudiantes de utilizar el conocimiento matemático y científico adquirido en

la escuela en un mundo que cada vez descansa más en los adelantos

tecnológicos y científicos.

2. Los estudiantes muestran grandes diferencias en su involucración en

general con la escuela, incluyendo grandes variaciones en sus actitudes

respecto de la lectura e incluso mayores respecto de las matemáticas.

Aproximadamente la mitad de los jóvenes de 15 años consideran a las

matemáticas como importantes en general, pero sólo unos cuantos las ve

como algo importante para su futuro”.

Otro estudio importante es el IEA Third International Mathematics and

Science Study (TIMSS), efectuado entre 1994 y 1995 con alumnos del 7° y 8°

grados, donde también tres países asiáticos ocupan los tres primeros lugares en

ambos cursos, Singapur con 643 y 601, Corea con 607 y 577 y Japón con 605 y 571;

en la lista de 40 países, queda ocupando el penúltimo lugar un país latinoamericano,

Colombia con 385 y 369, y en último lugar uno africano, Sudáfrica con 354 y 348.

El medio cultural o contexto social es un factor determinante para continuar

en la búsqueda de soluciones. Existen ejemplos de trabajos de investigación donde se

ha determinado la influencia de la cultura sobre los aspectos didácticos. En uno de

estos estudios se llegó a la conclusión de que hay muchas formas en que la cultura

escolar determina la manera en que los estudiantes resuelven problemas de

Matemática (Sutherland et al. 1996). En esta investigación se tomaron dos grupos de

alumnos, uno en México y otro en el Reino Unido, observándose diferencias

significativas como producto de las culturas distintas de ambos ambientes escolares.

Investigaciones como éstas nos llevan a pensar que se debe empezar por la

realidad particular existente que caracteriza nuestro entorno bio-psico-social o

contexto en donde nos desempeñamos como docentes; en consecuencia, las

investigaciones deben revestir una relación bidireccional con la práctica docente;

según Puig & Calderón.(1996:7): “Por un lado la investigación educativa necesita

de la participación del profesor en ejercicio, de la práctica docente, para enfocar

adecuadamente el objeto y sujeto de la investigación; por otro, utilizar

adecuadamente aquellos resultados de la investigación que puedan mejorar la

enseñanza-aprendizaje de las matemáticas requiere que el profesor que se dispone a

aplicarlos tenga en cuenta los objetivos y fines que contextualizar tal investigación y

que los interprete y adapte a su entorno pedagógico concreto”. Por consiguiente al

24

partir de esta significativa premisa los caminos hacia la solución de los problemas

estarían mejor enfocados y dirigidos a obtener mejores resultados.

Es importante resaltar que en los eventos internacionales Venezuela ha

venido ocupando un lugar destacado, y esto se ha obtenido con la participación de

delegaciones que han sido entrenadas con un alto nivel de exigencia por profesores

de la Universidad Central de Venezuela (UCV), de Universidad Simón Bolívar

(USB), del Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas (IVIC) y de la

Universidad del Zulia (LUZ).

Siguiendo el análisis efectuado por Nieto (2001), en la Tabla 1.2. se recogen

los resultados obtenidos por el equipo venezolano en las Olimpiadas Matemáticas de

Centroamérica y del Caribe (O.M.C.C.). Observamos un progreso notable, puesto

que, después de ocupar los últimos lugares en los años 1999 y 2000,

sorprendentemente se posiciona en el primer lugar en el año 2001. Podemos señalar

que este desempeño del equipo venezolano se logró gracias a las metodologías y

procedimientos de enseñanza que se aplicaron para formar y preparar a las

delegaciones integradas por alumnos cuyas edades no sobrepasaban los 18 años.

Nº de la Olimpiada

País anfitrión Año Orden de los países Puntajes

1º.Colombia 70 2º.México 64 3º.Cuba 58

I Costa Rica 1999

4º.Venezuela 47 1º.Cuba 95 2º.México 79 3º.Colombia 62 4º.Costa Rica 59 5º.El Salvador 54

II El Salvador 2000

6º.Venezuela 52 1º.Venezuela 94 2º.México 90 3º.Colombia 85 4º.Cuba 83 5º.Costa Rica 74 6º.El Salvador 70

III Colombia 2001

7º.Puerto Rico 61 Tabla 1.2. Resultados de las Olimpiadas Matemáticas de Centroamérica y del Caribe (OMCC).

En la 42ª Olimpiada Internacional de Matemáticas, celebradas en

Washington, D.C. en el 2001, también “nuestros jóvenes tuvieron una actuación muy

destacada, logrando medallas de plata, bronce y mención honorífica” (Sánchez,

2001:51); estos excelentes resultados demuestran también que el esfuerzo realizado a

través de la investigación para superar las deficiencias de la enseñanza-aprendizaje

25

de las Matemáticas merece una consideración importantísima para trasladar este tipo

de resultado al estudiante común de los diferentes niveles y modalidades de nuestro

sistema educativo.

Por lo tanto, debemos empezar por contextualizar los estudios e

investigaciones educativas que hasta el momento ha estado desvinculada con las

verdaderas realidades del país, de un estado o de una institución educativa en

particular, y realizar una pedagogía más próxima a los verdaderos problemas de la

enseñanza, aprendizaje y evaluación, en donde el que aprende sea el eje central y no

el que enseña, como es bien sabido en la pedagogía tradicional. Según Artigue

(2003:1): “Los procesos de enseñanza y aprendizaje dependen parcialmente de los

entornos culturales y sociales en los que se desarrollan. Hasta cierto punto, los

resultados que se obtienen dependen, de esta forma, del espacio y del tiempo; su

campo de validez es muy limitado. Sin embargo esos límites no son fáciles de

identificar”.

En función de este escenario entonces nos preguntamos ¿cómo y qué se debe

hacer para encontrar un escape o salida de las pedagogías descontextualizadas? La

respuesta a esta gran interrogante es muy compleja, pero se puede dar una aportación

a través de la experiencia didáctica en la especialidad de las Matemáticas con la

finalidad de encontrar la ruptura del continuismo de los ya desgastados paradigmas

pedagógicos basados en los enfoques psicológicos del conductismo representado por

John Watson (1978-1958), Ivan Pavlov (1849-1936), B. F. Skinner (1904-1990), E.

Thordike (1874-1949) con su teoría estímulo-respuesta, el Neoconductismo de

Robert Gagné (1916-) con las jerarquías del aprendizaje, y los que aún tienen mayor

vigencia como las escuelas cognitivas cuyos máximos exponentes son Jean Piaget

(1896-1980), David Ausubel (1918-), Lev Vygotsky (1896-1934), Jerom Bruner

(1915-) quienes originaron la corriente constructivista que define al aprendizaje

como la “adquisición de la información procedente del medio que el sujeto pone en

relación con la información que ya tiene, le otorga significado y la reorganiza; es

decir, como organización significativa del conocimiento a través de un proceso

interno, activo y personal” (Aznar, 1992:17); es decir, que las personas tienen la

capacidad de construir su propio aprendizaje.

Descifrando todo este componente didáctico, cuyos lineamientos tienen sus

orígenes en la Psicología Educativa, nuestra meta como docentes es dirigir esfuerzos

por definir de manera teórica y práctica, pedagogías que incorporen efectivamente

las características y necesidades del alumno, atendiendo cualitativamente el proceso

del aprendizaje que desarrollamos los seres humanos, es decir, diseñar programas

26

que propicien la metacognición del alumno, proceso que consiste en la valoración

que se tiene de los alcances y limitaciones de las habilidades cognitivas personales

para resolver problemas.

Autores como Good & Brophy (1995:277) señalan el énfasis en la enseñanza

de estas habilidades de pensamiento a los alumnos con “conciencia metacognitiva,

selección consciente de estrategias apropiadas, supervisión de sus efectividad y

corrección de errores o cambio de estrategias nuevas si es necesario”, actividad que

debe dirigir y orientar el docente para que el estudiante tome la iniciativa de

realizarla también para lograr su autonomía intelectual.

Este proceso mental se efectúa a través de la autorregulación del pensamiento

y describe la manera como el pensamiento humano de manera consciente organiza y

estructura la nueva información relacionándola con el aprendizaje que ya posee,

utilizando estrategias cognitivas particulares que ha desarrollado a lo largo de su

experiencia intelectual. Según Hernández & Sancho (1993:99): “la metacognición

vendría a ser entonces la conciencia del estudiante, adquirida a partir del desarrollo

de estrategias de aprendizaje de los propios procesos mentales. Estos procesos

mentales incluyen no sólo los logros, sino también las dificultades para el

aprendizaje”.

Cabe destacar que las aportaciones didácticas deben involucrar al profesor, al

alumno, a los contenidos, a los medios instruccionales, a la evaluación o a cualquier

otro elemento del aspecto curricular de una manera integral; es decir, que de nada

sirve una novedosa propuesta pedagógica para enseñar operaciones básicas

matemáticas, si el profesor aplica los mismos sistemas de evaluación anacrónicos, o

si a través de una investigación se logran diseñar mejores estrategias para optimizar

el desempeño docente y no se innovan los recursos y medios instruccionales. “Para

continuar investigando en este campo se hace una mayor integración entre las

disciplinas académicas. Esto es necesario porque los problemas reales del

aprendizaje de las matemáticas no saben de divisiones administrativas entre áreas

de conocimiento” (Rico, 1996:51).

En función de esto, si queremos estudiar los cambios sustanciales, se debe

involucrar todo el componente curricular, específicamente en la enseñanza,

aprendizaje y evaluación. Un ejemplo para explicar mejor este enfoque, es la

estrategia que involucra el uso de mapas conceptuales, que no sólo incluye la

enseñanza y aprendizaje sino también el proceso de evaluación tanto formativa como

sumativa (Novack & Gowin, 1988); inclusive, investigaciones como las de Morales

27

(1995), Cerda (2001), Monagas (1998), Guido (2003), han dado señales de la

efectividad que ha brindado esta estrategia en la Didáctica de las Matemáticas.

Retomando nuestra universidad como contexto de estudio, donde el problema

de las deficiencias académicas de los alumnos que ingresan cada año han

obstaculizado el desenvolvimiento óptimo de su formación profesional universitaria,

no sólo en matemáticas sino también en las demás asignaturas, es necesario

reflexionar sobre las estrategias de enseñanza y aprendizaje que se han venido

aplicando, puesto que, nosotros como profesores hemos olvidado tomar en cuenta los

saberes de nuestros alumnos, tal como lo señala Briceño (2005:3): “Corresponde a

los docentes de Matemática hacer ver que tal ciencia es sencilla, que la encontramos

en todas las áreas del conocimiento y en nuestro entorno, que constantemente sin

quererlo estamos haciendo uso de ella, pero que es obligante el poder descubrir la

magia en la enseñanza de la misma para atraer a sus potenciales usuarios”.

Ausubel (1973) defendía la tesis de que el elemento más importante que

influye en el aprendizaje del alumno es lo que él ya sabe, por lo tanto se debe hacer

un diagnóstico de los aprendizajes previos para planificar el nuevo aprendizaje. Es

importante resaltar los aprendizajes previos del alumno, y más aún, las habilidades

cognitivas que debe tener para iniciar nuevos aprendizajes.

Piaget (1983) señala que un estudiante de Educación Superior debería estar en

el período de las operaciones lógico-formales, donde es capaz de aplicar el

razonamiento hipotético-deductivo, hacer inferencias y desarrollar abstracciones, sin

embargo, estudios han comprobado que una gran mayoría de alumnos de la

UNELLEZ no poseen dichas características. De acuerdo a los resultados obtenidos

por el estudio efectuado por Vivas (1998), escasamente el 7,4% de los estudiantes

están en operación formal según el test de Lawson y en 1,7% según el test Galt,

verificando con ello un deficiente desempeño académico en el área de Matemática.

Al observar estos resultados, tendría sentido proponer un programa

constituido por estrategias de enseñanza y aprendizaje que faciliten el desarrollo de

habilidades cognitivas básicas del pensamiento formal que caracteriza a las

matemáticas, y en lo que respecta principalmente a la resolución de problemas,

habilidades tales como la aplicación del razonamiento inductivo-deductivo,

comprensión verbal, escrita y simbólica-formal, es decir, el manejo efectivo del

lenguaje matemático y la creatividad que pueda tener el alumno para manejar

situaciones matemáticas. Genovard (1990:15) señala que “ciertamente, algunos

aspectos del pensar son mejorables en diferentes grados mediante la instrucción”. Y

28

Nieto (1997:13) expone que se debe hacer énfasis en: “la necesidad de aplicar

programas de desarrollo de las capacidades intelectuales para solucionar el

problema del fracaso escolar, además explica que no está demostrado que se puedan

enseñar/entrenar las habilidades del pensamiento, pero si no se intenta, la pérdida

que puede ocasionarse, es muy grande”.

Por otro lado, también Alonso (1994:63) considera que: “Son cada vez más

numerosos los trabajos que ponen de manifiesto que es posible, bajo ciertas

condiciones, no sólo mejorar las destrezas básicas necesarias para pensar

eficientemente sobre lo que vemos u oímos o sobre lo que tenemos que hacer, sino

conseguir la generalización del aprendizaje de tales destrezas a tareas distintas de

aquellas en relación con las cuales se ha realizado el entrenamiento”.

Como puede apreciarse, este nuevo componente didáctico debería ser lo más

ecléctico posible, ya que no se trata de valorar lo que sirve y criticar lo que no sirve,

el objetivo es centrar este paradigma emergente en el proceso de enseñanza-

aprendizaje, para ello es necesario llevar a cabo un proceso de reflexión donde se

tomen en cuenta todos los elementos que intervienen; la idea principal es reflexionar

sobre el esfuerzo que debemos hacer para erradicar el continuismo pedagógico

tradicional que tanto mal ha causado a la formación crítica del alumno. Esto es

precisamente lo que ha tipificado la cultura escolar en las matemáticas. Según

Gutiérrez (1994:2) “En la transmisión del saber matemático universitario se ha

descubierto un docente que prescribe y reproduce, que reprende, que aconseja, que

inquiere, que juzga y castiga. En la cultura de sobrevivencia escolar ante un saber

matemático transmitido como dogma, el estudiante asume como potestad actuar

como vicario, verdugo, seminarista, escéptico, roles aprendidos socialmente a lo

largo de su vida escolar y que dan sentido a su actuación dentro del aula”.

Dentro del aula de clase se debe mantener un ambiente de integración social y

afectiva que elimine paulatinamente este rechazo a las matemáticas por un temor sin

fundamento que esta refleja, en consecuencia, la nueva propuesta podría centrarse en

una especie de integración del desarrollo intelectual y la actividad socio-interactiva,

entendiendo la enseñanza como una situación social de negociación de significados

(González, 1994). De acuerdo con Díaz & Hernández (2002:25): “Algunos autores se

centran en el estudio del funcionamiento y el contenido de la mente de los individuos

(por ejemplo, el constructivismo psicogenético de Piaget), pero para otros el foco de

interés se ubica en el desarrollo de los dominios de origen social (como el

constructivismo social de Vygotsky). Mientras que para otros más, ambos aspectos

son indisociables y perfectamente conciliables”. Por consiguiente, estaríamos

29

hablando de una didáctica que no sólo fortalecería el componente cognitivo en donde

ya tenemos muchas aportaciones en trabajos de investigación interesantes sobre el

proceso de construcción del conocimiento, sino que también agregaríamos métodos y

técnicas específicas para el análisis del clima social, como la observación, la

entrevista, los diarios o los informes, de tal manera que se aplique un paradigma que

destaque el aspecto cualitativo del alumno (intrasujeto).

De acuerdo al Consejo Nacional de Supervisores de Matemática (C.N.S.M.),

deben existir doce áreas íntimamente relacionadas con la configuración de las

matemáticas esenciales para el siglo XXI, estas son: la resolución de problemas,

comunicar ideas matemáticas, razonamiento matemático, aplicación de las

matemáticas a situaciones de la vida diaria, atención a lo razonable de los resultados,

estimación, habilidades computacionales apropiadas, pensamiento algebraico,

medida, Geometría, Estadística y Probabilidad.

También se menciona que el clima para aprender debe estar enfocado en un

ambiente no hostil en el cual los estudiantes “son estimulados a realizar preguntas y

tomar riesgos” (C.N.S.M., 1989), y, para lograr esto se requiere de un proceso de

evaluación que además de las pruebas escritas “debe involucrar otros medios tales

como: las observaciones del profesor, entrevistas, proyectos de los estudiantes y

presentaciones” (Op. cit., 1989).

Por otro lado, se mantiene la posición de mejorar el currículo de Matemáticas

desde la escuela misma, donde el alumno comienza a enfrentarla, es por esto que, en

el caso de España, según el Real Decreto1006 (1991:68): “La formalización y

estructuración del conocimiento matemático como sistema deductivo no es el punto

de partida, sino más bien un punto de llegada de un largo proceso de aproximación

a la realidad, de construcción de instrumentos intelectuales eficaces para

interpretar, analizar, explicar, y predecir determinados aspectos de la realidad”.

Asimismo, en las orientaciones generales para la aplicación del Programa de

Matemática para alumnos venezolanos de sexto grado de la segunda etapa de la

Educación Básica, se destaca la importancia de la resolución de problemas, “es

importante resolver problemas que demanden no sólo habilidades aritméticas y

espaciales, sino la capacidad para buscar información, verificarla, ordenarla, crear

ideas iniciales y llegar a una solución luego de un razonamiento lógico” (Ministerio

de Educación, 1997:168). En consecuencia, la formación de los alumnos en la

universidad no escapa a la necesidad de reorientar los contenidos matemáticos

dirigidos hacia una nueva concepción epistemológica en donde según Londoño &

30

Ruiz (2001:2): “el currículo en matemáticas para un programa de pregrado y /o

postgrado debe contextualizarse en torno a la resolución de situaciones

problemáticas incluyendo el modo en que se presentan los problemas, los

significados del lenguaje matemático, y el modo en que se hacen conjeturas y

razonamientos, de forma que los estudiantes puedan explorar, crear, acomodarse a

condiciones alteradas y crear conocimientos nuevos de forma activa a lo largo de

toda su vida”.

Además esto nos llevaría a la propuesta del paradigma falibilista que presenta

a las matemáticas como algo humano, corregible, enmarcado históricamente y

variable, desprendiéndonos de la antigua posición filosófica formalista, tal como lo

plantea Velázquez.(2000:5): “Siendo probablemente la Matemática el más bello, el

más exacto y riguroso constructo humano, está sujeta como el resto de los

conocimientos científicos a las teorías filosóficas del falibilismo (Pierce), de la

falsabilidad (Popper) y la tesis de los paradigmas de Kuhn (Paradigma socio-

psicológico) y de Lakatos (paradigma normativo o generador de programas de

investigación racionales)”.

Por lo tanto, en esta investigación se tomarán las aportaciones que las teorías

de la Psicología del Aprendizaje desde la perspectiva del constructivismo

psicogénético y sociocultural para diseñar un programa de estrategias de

enseñanza/aprendizaje que le permita al alumno que ingresa a la Universidad

Nacional “Ezequiel Zamora”, superar las deficiencias que posee en el pensamiento

formal y lograr el aprendizaje matemático exigido de acuerdo a los programas de

estudio universitario y específicamente al perfil de la carrera Educación Integral y al

nuevo diseño curricular de la Educación Básica, y de esta manera poder integrarlo

efectivamente en el contexto social donde se desenvuelve como profesional y como

persona.

Seleccionaremos específicamente los contenidos relacionados al área del

pensamiento numérico por ser un tema que integra una gran variedad de aprendizajes

de distintos niveles de complejidad, y además, por la importancia que se le atribuye

como línea de investigación en la Didáctica de la Matemática. Rico (1996:27-28) la

define de la siguiente manera: “Línea de estudio e investigación en Didáctica de la

Matemática que se ocupa de los fenómenos de enseñanza, aprendizaje y

comunicación de conceptos numéricos en el Sistema Educativo y en el medio social.

El pensamiento Numérico estudia los diferentes procesos cognitivos y culturales con

que los seres humanos asignan y comparten significados utilizando diferentes

estructuras numéricas”.

31

Siguiendo estas posturas epistemológicas y aplicando un diseño metodológico

de investigación apropiado, iniciamos el desarrollo de una investigación que nos

oriente en la búsqueda de las respuestas para las interrogantes que se formulan a

continuación:

- ¿Qué estrategias de aprendizaje utilizan generalmente los alumnos para

abordar los conocimientos matemáticos?

- ¿Cuáles son los conocimientos matemáticos previos que los alumnos

poseen para iniciar la asignatura Matemática General?

- ¿Cuál es la actitud general que presentan los alumnos ante las

matemáticas?

- ¿Cómo se desarrolla la comunicación y participación de los alumnos

dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje? y ¿en que medida afecta el

clima social del aula en el aprendizaje matemático de los mismos?

- ¿Podemos diseñar un Programa para la enseñanza de estrategias de

aprendizaje centradas en la autorregulación del pensamiento formal que

potencie en los alumnos de la asignatura Matemática General un

aprendizaje significativo de los contenidos relacionados con los sistemas

numéricos? ¿Cuáles serían los principales lineamientos que estructurarían

este Programa?

- ¿Qué aspectos fundamentales debe tener el Programa de autorregulación

diseñado para crear en el aula de clase un ambiente social caracterizado

por la participación y comunicación de los alumnos en el proceso de

enseñanza, aprendizaje y evaluación de las matemáticas?

- ¿En qué grado afecta la aplicación del Programa anterior a los

conocimientos matemáticos y estrategias de aprendizaje que utilizan los

alumnos, al clima social del aula y a la actitud general del alumnado?

¿Cuáles serían los resultados que produciría la puesta en práctica de este

Programa en el proceso didáctico de la asignatura Matemática General y

en el aprendizaje significativo de los alumnos?

32

I.2. FORMULACIÓN DE LOS OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN

En función de los problemas que nos hemos planteado para precisar los

aspectos, elementos y variables de estudio que nos orienten de la mejor manera hacia

la búsqueda de las respuestas de nuestra tesis, entonces formulamos los siguientes

objetivos de investigación:

1. Diagnosticar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los alumnos en

el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la

asignatura Matemática General.

2. Diagnosticar los conocimientos matemáticos previos que poseen los

alumnos al iniciar el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas

Numéricos, de la asignatura Matemática General.

3. Describir el grado de actitud del alumno a través de su opinión y

valoración hacia el proceso didáctico efectuado por el profesor y hacia los


4. Determinar los niveles de participación y de comunicación que los

alumnos tienen en la asignatura Matemática General, como aspectos

básicos que constituyen el clima social de aula.

5. Diseñar el Programa de enseñanza de estrategias de aprendizaje centrado

en la autorregulación del pensamiento lógico-formal, de acuerdo al

análisis epistemológico del paradigma constructivista y a las necesidades

detectadas en el diagnóstico de las estrategias de aprendizaje,

conocimientos previos, actitud del alumno y al clima social del aula.

6. Evaluar el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en

función del aprendizaje significativo logrado por los alumnos de los

contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura

Matemática General, el clima social del aula y la actitud del alumno.

33

I.3. JUSTIFICACIÓN

Los problemas que surgen en los diferentes niveles de educación con relación

a la enseñanza, aprendizaje y evaluación de la Matemática no es de la total

responsabilidad de un sub-sector educativo, sino también de la Universidad, la cual a

través de su aporte científico, tecnológico y humanístico debe ser la pionera en la

búsqueda de soluciones a través de la investigación, aspecto indispensable para el

mejor desarrollo de la academia y, por lo tanto, de la región y del país. Es por esto

que el presente trabajo de investigación quiere ofrecer una nueva orientación o

enfoque didáctico para minimizar las deficiencias matemáticas en los alumnos y en

especial a los pertenecientes a la carrera de Educación Integral, quienes deben

egresar con un buen dominio matemático básico para atender las necesidades

académicas de esta disciplina científica en la Educación Básica, nivel educativo

donde les corresponderá desempeñarse de acuerdo a su perfil profesional.

Se considera importante constituir una nueva versión que pretenda a través

del uso combinado de teorías de la psicología educativa y su correspondiente

aplicación al campo de la enseñanza de la Matemática, configurar, elaborar y aplicar

un Programa de estrategias de enseñanza-aprendizaje, en función de las necesidades

que tienen los alumnos y docentes; y de una guía metodológica que brinde mejores

desenvolvimientos en cuanto al aprendizaje efectivo. No obstante en los años en que

se ha dictado este sub-proyecto o asignatura de Matemática General en la carrera de

Educación Integral de la UNELLEZ-Barinas, la elaboración de material didáctico

con estas directrices ha sido muy poca.

Otro aspecto que se tiene en cuenta, es elevar la importancia que tiene la

investigación en la Didáctica de la Matemática dentro de la UNELLEZ-Barinas, ya

que por ser una ciencia relativamente nueva, necesita de grandes aportes para

aumentar el interés de otros investigadores de la Universidad que se dedican a esta

área de conocimiento, por lo tanto nuestra investigación toma en cuenta la Didáctica

y la Orientación consideradas como las líneas de investigación del Departamento de

Pedagogía de la Universidad de Valladolid, bajo el cual se realiza el estudio del

contenido de enseñanza, así como los diversos enfoques metodológicos o modos más

eficaces de presentar el contenido al alumnado para el logro de un buen aprendizaje.

Además, con esta investigación se exponen nuevas alternativas didácticas

para dirigir los aprendizajes matemáticos en los alumnos universitarios, con la

finalidad de elevar el rendimiento académico de los mismos para que estos logren

obtener su título de profesional en el tiempo oficialmente establecido, evitando con

34

ello la repitencia y deserción dentro de la carrera universitaria. Cabe destacar que

este tema de investigación está íntimamente relacionado con tópicos que fueron

clasificados como trabajos de actualidad en la XV conferencia PMG (Psychology of

Mathematics Education) celebrada en 1991, algunos de estos estudios se basaron en

(Godino, 1991:22):

- “Fracciones, decimales, números racionales, razonamiento proporcional.

- Resolución de problemas.

- Concepciones de los alumnos, creencias...

- Factores sociales y afectivos, metacognición.

- Materiales curriculares”.

Es importante resaltar que la continuidad de las investigaciones en cualquier

área o especialidad científica determinada fortalece el aporte de las soluciones a los

problemas existentes, por lo tanto, hay que destacar el presente trabajo como una

pequeña, pero esencial ayuda al mantenimiento y fortalecimiento del interés por el

estudio de la Matemática, no sólo como ciencia formal, sino también como ciencia

aplicada a las demás áreas del conocimiento, y especialmente al de la Pedagogía,

campo que no ha sido explotado en su máxima capacidad.

35

I.4. LA UNELLEZ-BARINAS COMO CONTEXTO DE ESTUDIO

La contextualización del problema de investigación tiene un gran significado

para definir el camino adecuado en la obtención de los resultados y conclusiones del

caso seleccionado para el estudio; todas las dimensiones y aspectos que pudieran

extraerse de éste para complementar los hallazgos nos conducen a la consolidación y

construcción de las nuevas teorías con las cuales se definiría nuevamente el caso de

estudio.

Para plasmar esto iniciaremos este apartado con la descripción de nuestro

contexto físico que es la Universidad Nacional “Ezequiel Zamora”, Vicerrectorado

de Planificación y Desarrollo Social-Barinas, a través de su reseña histórica en donde

se podrán localizar aspectos que pueden ser considerados causales directos o

indirectos del problema objeto de estudio.

I.4.1. Breve reseña histórica

La Universidad Nacional Experimental de los Llanos Occidentales “Ezequiel

Zamora” (UNELLEZ), es una de las universidades más jóvenes del país. Su creación

estuvo motivada desde el comienzo de la década de los 70 cuando en Venezuela se

experimenta un crecimiento notable en el subsistema de Educación Superior. La

explosión demográfica del estudiantado de secundaria, aumentó la necesidad de

diseñar nuevas instituciones de estudios superiores a nivel regional, naciendo de esta

manera en distintas zonas del país nuevos colegios universitarios, institutos

politécnicos, pedagógicos, tecnológicos e incluso nuevas universidades capaces de

atender y formar adecuadamente al alumnado proveniente del bachillerato. En este

sentido en la región de los Llanos Occidentales hasta esa fecha existía poca

preocupación por la creación y consolidación de una Institución de Estudios

Superiores, como consecuencia los jóvenes tenían que dirigirse a otras ciudades del

país a proseguir su formación al nivel profesional y lamentablemente al egresar de

sus carreras no regresaban a la región a incorporarse al mercado de trabajo, el cual

también era casi inexistente. Esta situación originó un bajo nivel cultural de la región

de los Llanos, limitaciones en el desarrollo de las actividades económicas,

conllevando posteriormente y originando un lamentable elevado porcentaje de

analfabetismo.

Las características particulares de los Llanos Occidentales y su importancia

nacional como productora agrícola ofrecieron el primer motivo de peso para la

36

creación de un centro universitario dedicado esencialmente al ámbito rural “Este se

concentraría en el estudio y análisis de la problemática rural a la par de capacitar a

sus hombres con miras a solucionar buena parte de estos problemas y de esta

manera poder impulsar la actividad agrícola” (Gómez, 1978:27). La primera idea de

Universidad Rural o Agrícola más tarde se mantuvo, hasta que el 23 de diciembre de

1974, el Ejecutivo Nacional nombra la primera comisión organizadora de la

Universidad de los Llanos Occidentales.

El 10 de abril de 1975 la Comisión entregó al Ejecutivo, a través del Consejo

Nacional de Universidades (C.N.U.), un informe con las recomendaciones

pertinentes, analizada la propuesta por el C.N.U., en la sesión del 26 de septiembre

de 1975, se decide aprobar el estudio de factibilidad y recomendó al Ejecutivo la

creación de la Universidad.

Finalmente mediante el Decreto Nº 1.178, de fecha 7 de octubre de 1975, el

Presidente de la República crea la Universidad Experimental de los Llanos

Occidentales “Ezequiel Zamora” (UNELLEZ).

La UNELLEZ se estructura en cuatro Vicerrectorados ubicados en las

ciudades siguientes:

- Barinas. Estado Barinas: Vicerrectorado de Planificación y Desarrollo

Social.

- Guanare. Estado Portuguesa: Vicerrectorado de producción Agrícola.

- San Carlos. Estado Cojedes: Vicerrectorado de Infraestructura y Procesos

Industriales.

- San Fernando. Estado Apure: Vicerrectorado de Planificación Regional.

El Rectorado esta localizado en la UNELLEZ-Barinas contexto de estudio en

esta investigación. El complejo universitario de Barinas, cuenta actualmente con las

siguientes estructuras físicas:

- Aulas: 49 con capacidad para 50 alumnos.

- Laboratorios: 2 de Biología, 2 de Bioquímica, 2 de Química Analítica, 2

de Química General, 4 de Idiomas.

- Salas de Dibujo: 2.

- Teatro Experimental.

- Auditorio.

- Sala de Conferencias.

37

- Biblioteca.

- Hemeroteca.

- Local para servicios asistenciales.

- Comedor.

- Cafetines: 4.

- Aulas de Post-grado: 6.

- Edificio del Rectorado: Donde funcionan las Oficinas del Rectorado,

Vicerrectorado de Servicios, Sala de reuniones del Consejo Superior y

Directivo y Oficinas de Apoyo Rectoral.

- Cubículos de Profesores.

- Dependencias Administrativas.

- Sala de Mantenimiento.

- Consejo Editorial.

- Oficina de Relaciones Públicas.

- Programa de Admisión, Registro y Seguimiento Estudiantil (ARSE).

- Programa de Economía Agrícola.

- Programa de Complementación.

- Programa de Educación.

- Programa de Sociología del Desarrollo.

De acuerdo a los datos suministrados por la Asociación de Profesores de la

UNELLEZ (APUNELLEZ) el 11-12-2001, la Universidad contaba con 312

profesores y según el Programa de admisión, registro y seguimiento estudiantil

(ARSE), el total de alumnos regulares inscritos hasta mayo del 2003 era de 16.749,

distribuidos así:

- Barinas. Estado Barinas: Vicerrectorado de Planificación y Desarrollo

Social: 8.396 alumnos; y núcleo Santa Bárbara: 1.267 alumnos.

- Guanare. Estado Portuguesa: Vicerrectorado de producción Agrícola:

1.581 alumnos.

- San Carlos. Estado Cojedes: Vicerrectorado de Infraestructura y Procesos

Industriales: 1.737 alumnos; y Núcleo Tinaquillo: 691 alumnos.

- San Fernando. Estado Apure: Vicerrectorado de Planificación Regional:

2.216 alumnos.

La población estudiantil ha crecido notablemente, para el mes de mayo de

2006, en el caso del Vicerrectorado de Planificación y Desarrollo social la población

estudiantil se incrementó a 13.617 y en la carrera de Educación Integral el total de

estudiantes es de 2.249.

38

I.4.2. Programa de educación

El Programa de Educación se fundó en el año de 1983, con un plan de estudio

que ha sufrido algunas modificaciones producto de las necesidades académicas

actuales y de las Resoluciones nº 12 del 19-01-83 y nº 1 del 15-01-96, que en materia

legal ha propuesto el Ministerio de Educación. Estos documentos contemplan la

formación y perfil que deben ser exigidos a los docentes de la Mención Educación

Integral para dirigir el proceso de enseñanza-aprendizaje en la primera y segunda

etapa de la Educación Básica, que comprende las edades entre los 6 a 12 años

aproximadamente.

Esta Mención que ofrece el Programa de Educación de la UNELLEZ, tiene

27 años de funcionamiento; actualmente cuenta con 18 aulas con capacidad para 50

alumnos, 3 talleres para actividades artísticas y manuales que forman parte de la

preparación de los alumnos cuyo número asciende a los 2.249. La planta profesoral

llega al número de 72, según datos aportados por la Jefatura del Programa para

febrero de 2002.

39

I.5. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA

I.5.1. Antecedentes

Resultan de vital importancia las investigaciones relacionadas con este

trabajo, porque de esta manera nos podemos ubicar en las fronteras de sus

aportaciones y continuar así con la gran misión de terminar lo que estas comenzaron;

nosotros, como investigadores, debemos seguir avanzando para dar respuesta a las

grandes incógnitas que faltan por despejar.

En la revisión del material bibliográfico se constató una notable preocupación

con relación a la presente línea de investigación, como lo es la Didáctica de la

Matemática, y dentro de ella, muy específicamente a su dimensión psicológica que

aborda la pregunta ¿cómo se desarrolla la construcción del conocimiento matemático

por los profesores y alumnos?, a su dimensión epistemológica que da respuesta a

¿qué tipos de contenidos matemáticos deberían conformar el currículo escolar y

universitario?, y a la dimensión sociológica que nos aporta los elementos esenciales

para entender mejor las interacciones que se suscitan entre docentes, alumnos y

demás actores dentro del proceso didáctico de la Matemática.

Comenzaremos resaltando los trabajos realizados sobre estos aspectos en tesis

doctorales en España, donde estas investigaciones han tenido una notable evolución

desde el punto de vista conceptual y metodológico, destacándose como lo señala

Torralbo (2000:1) “dos focos de investigación creciente dentro del ámbito de la

Educación Matemática: «Educación e Instrucción en Matemáticas» y «Psicología de

la Educación Matemática. Investigación en Educación Matemática. Aspectos

Sociales»”.

Fernández (1990), con su trabajo titulado “Impacto de la calculadora

electrónica en la Educación Matemática Primaria. Un estudio Cuasiexperimental en

tercer nivel”, nos revela resultados valiosos en el área del pensamiento numérico,

específicamente con la aritmética elemental, bloque de contenidos que también se

han seleccionado en nuestro estudio. Los elementos o variables que se destacaron en

dicha investigación fueron el desarrollo cognitivo numérico, numeración básica,

cálculo mental, destrezas de cálculo, resolución de problemas aritméticos verbales,

rendimiento general, actitud hacia las matemáticas y actitud hacia la calculadora. El

autor concluye que el uso de las calculadoras no influye negativamente en la

enseñanza de la aritmética escolar, en consecuencia tampoco deteriora ninguna de las

variables anteriormente mencionadas a excepción del aprendizaje del cálculo mental,

40

el cual se deteriora levemente; destaca también que el uso de las calculadoras mejora

las actitudes de los alumnos hacia las matemáticas y las destrezas de cálculo y

resolución de problemas complejos.

Oliveras (1994), enfocó su investigación hacia un modelo de formación de

profesores en el que se integró la Etnomatemática, rama de la Didáctica de la

Matemática que estudia las relaciones entre la cultura del hombre y la ciencia

matemática para abordar la enseñanza-aprendizaje de ésta de una manera más

eficiente. Con la tesis “Etnomatemáticas en trabajos de artesanía andaluza. Su

integración en un modelo para la formación de profesores y en la innovación del

currículo escolar” el autor logró implementar una propuesta centrada en

“microproyectos” de enseñanza cuyo objetivo central era el análisis de los

“escenarios artesanales andaluces” en las aulas de clase de alumnos de la asignatura

Didáctica de las Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Educación de la

Universidad de Granada, obteniendo la construcción de nuevas teorías para mejorar

principalmente el currículo de las matemáticas escolares.

Romero (1995), en su trabajo titulado “La Introducción del Número Real en

Educación Secundaria”, estudiando elementos tales como la organización del

contenido, la interacción social entre alumnos y profesor y la comprensión de los

contenidos por los alumnos, y utilizando una propuesta didáctica basada en el

“estudio de la evolución histórica y epistemológica del concepto de Número Real y

de los sistemas de representación que permiten aprehenderlo en los ámbitos de las

representaciones numéricas y geométricas” (Op. cit., 1995:1), obtuvo resultados

satisfactorios en la triple dimensión, contenido-interacción social-comprensión.

Como se puede apreciar, los elementos epistemológicos, sociales y psicológicos se

integran para darle una mejor explicación al problema de la enseñanza-aprendizaje

de la Matemática, tal como se pretende hacer desde la perspectiva de nuestra

investigación.

Miñán (1996), planteó en su investigación “Resolución de Problemas en

alumnos con necesidades Educativas Especiales” la problemática de la deficiencia

de los procesos cognitivos de los alumnos, a quienes consideró con necesidades

educativas especiales; el autor abordó la situación a través de un modelo didáctico

que consistió en el uso de un método formalizado de resolución de problemas

matemáticos para mejorar estas deficiencias. Destacó que los resultados obtenidos

son aplicables a la enseñanza en el aula de clase, a la formación de futuros profesores

y al desarrollo profesional de los profesores en activo; sin embargo, esta experiencia

de investigación tuvo mejores resultados con los alumnos de escolarización ordinaria

41

que con los alumnos de integración o con necesidades educativas especiales, donde

las estrategias que tuvieron mayor impacto fueron el uso de la autopregunta, la

visualización y la estimación; y en una fase más decisiva, la autocomprobación.

Otros de los aspectos que analizaremos en nuestra investigación es el

razonamiento inductivo en la construcción de los aprendizajes matemáticos. Al

respecto Ortiz (1997) en su investigación “Razonamiento inductivo Numérico, un

estudio en Educación Primaria”, expone en primer lugar que en este tipo de

razonamiento “intervienen procesos mentales, lógicos o aritméticos, implícitos en la

realización de inferencias o generalizaciones inductivas en series numéricas así

como los conceptos y propiedades del número que se utilizan en dichos procesos”

(Ortiz, 1997:1), por lo tanto se le asigna un lugar de mucha importancia dentro del

estudio del área de pensamiento numérico. Las unidades de análisis en el

mencionado estudio fueron desde los libros-textos editados en España, hasta los

propios alumnos que aportaron información sobre su desarrollo cognitivo a través de

entrevistas clínicas. El resultado final fue la construcción de un “modelo teórico

evolutivo” que difiere de la realidad o contexto de estudio.

Siguiendo con el tema de razonamiento matemático, tenemos las aportaciones

de Roa (1999:1), quien a través de su estudio, “Razonamiento Combinatorio en

estudiantes con preparación matemática avanzada”, resalta que: “a pesar del

carácter elemental de los problemas combinatorios seleccionados, los estudiantes

tienen dificultades importantes para resolverlos debido a la estructura compleja de

los procesos de resolución requeridos, puesta de manifiesto mediante un análisis de

tipo semiótico, y a deficiencias en la enseñanza de la combinatoria que enfatiza el

estudio de las fórmulas de las operaciones combinatorias en detrimento de

componentes más primarios del razonamiento combinatorio”.

Hay que considerar un breve análisis de estos resultados, porque en él se

manifiesta uno de los grandes problemas en la enseñanza de la Matemática, que es el

dominio deficiente del lenguaje de esta ciencia en un porcentaje considerable de

alumnos; el sistema de signos o símbolos que los profesores utilizan, muchas veces

no es significativo para la mayoría de los estudiantes, esto implica el diseño de

programas que profundicen en este aspecto que está estrechamente relacionado a la

organización de la información como fase inicial y fundamental en la construcción

de todo aprendizaje.

Por otra parte también se deben tomar estrategias de enseñanza que eviten el

uso excesivo del mecanicismo en la aplicación de fórmulas que carecen muchas

42

veces de un verdadero significado para el alumno que las aplica. Existen elementos

más importantes con los que se debe iniciar el desarrollo de los contenidos

matemáticos, dentro de los cuales destacan la resolución de problemas de uso

cotidiano en donde el alumno se sienta protagonista de su propia realidad, y la

ejecución de proyectos cuyos temas hayan sido elegidos entre alumnos y profesores

que impliquen una finalidad práctica y curricular a la vez.

Profundizando aún más en el aspecto de los procesos cognitivos, citamos a

Ibáñez (2000), en su trabajo, “Aspectos Cognitivos del Aprendizaje de la

Demostración Matemática en alumnos del primer curso de Bachillerato”.

Empleando una metodología cualitativa en el estudio de tres focos de atención:

esquemas de pruebas de los alumnos, el reconocimiento de procesos matemáticos, y

el estudio de la influencia de la utilización de algunas expresiones en teoremas, llegó

a la conclusión de que en este nivel los estudiantes todavía no han desarrollado las

habilidades necesarias para asumir el proceso de razonamiento deductivo para la

comprensión y demostración de teoremas. Utilizan con mayor énfasis esquemas

cognitivos de “pruebas inductivas” y sistemas “intuitivos axiomáticos”. Finaliza

recomendando este aporte teórico para una reestructuración fundamental

principalmente en el currículo implementado en este nivel de Educación.

Aguiar (2001), nos presenta un estudio titulado “El Diálogo en el aula ¿Una

alternativa al tradicional método de selección natural en la Enseñanza de la

Matemática?”, en donde explica a través de un enfoque etnográfico educativo la

problemática planteada de la investigación desde tres directrices o niveles de análisis:

la integración del alumno a la Universidad, el proceso de enseñanza-aprendizaje, y la

evaluación de profesores y alumnos, para finalmente proponer acciones concretas

para atender a cada uno de estos niveles, dentro de las cuales se destacan:“el trabajo

en grupo, la formación de un club de Matemáticas, el análisis de las

preconcepciones matemáticas de los estudiantes y la elaboración de trípticos

informativos para acerar al alumno a la realidad que dio origen al conocimiento

matemático” (Op. cit., 2001:1).

La tesis doctoral: “Formación inicial de profesores de Matemáticas:

enseñanza de funciones, sistemas de representación y calculadoras graficadoras”,

realizada por Bedoya (2001), se concretó en el diseño, planificación, implementación

y evaluación de un Programa de formación inicial de profesores de Matemática de

Educación Secundaria, en donde se necesitó principalmente por parte del docente de

un análisis didáctico integrador (de contenido, cognitivo y de instrucción) para

obtener los resultados deseados, que consistieron, según este autor en “el diseño,

43

realización, implementación y evaluación de necesidades, viabilidad y resultados del

programa, el cual tiene tres tipos de funciones o fines: servir como metodología

(macro-instrumento y técnicas) de investigación educativa, aplicarse como unidad

formativa de profesores de Matemáticas en relación con el sistema conceptual o

modelo parcial de los organizadores y constituir una propuesta de innovación

curricular universitaria y secundaria” (1). Además, el análisis descriptivo,

cualitativo e inferencial de los resultados objetivos y subjetivos del Programa,

aportaron información importante para la caracterización particular del conocimiento

didáctico de los futuros profesores de Matemática.

También Arreche (2001), en su tesis doctoral, “Formación Matemática de los

maestros” plasmó una vez más el tema de la formación del docente de matemáticas,

pero desde la vertiente del dominio del conocimiento matemático, y específicamente

con estudio de las relaciones de los conjuntos con los números naturales. Las

conclusiones a las que llegó sugieren que “la formación matemática de los maestros

debería contemplar el estudio de las nociones básicas de la teoría de conjuntos, por

el papel de las nociones conjuntistas en las diversas construcciones de los números

naturales. El estudio cognitivo muestra que las nociones conjuntistas presentan

índices de dificultad elevados para los maestros en formación por lo que se requiere

asignar un tiempo adecuado y mejorar las propuestas didácticas correspondientes.

El enfoque metodológico implementado en esta investigación se puede aplicar en

problemas didácticos similares, en particular la técnica de análisis semiótico

aplicada en el análisis de textos y transcripciones de las clases” (2).

Dentro de los trabajos de investigación que se han desarrollado en

Universidad Nacional “Ezequiel Zamora”, destacan los trabajos de Brashi (1993)

quien centró su investigación en la elaboración y evaluación de Módulos de

enseñanza-aprendizaje para el sub-proyecto Matemática II. Brashi observó que los

mismos tuvieron una aceptación general del 73%, siendo la “calidad” del material el

criterio de mayor aceptación con el 80,9% y el contenido con el 79,9%. El criterio de

menor aceptación resultó ser la utilización grupal con 64%, seguido por la utilización

individual con 62,7%. Por otro lado, Guerra (1994) realizó un estudio de los factores

que incluyen en el rendimiento académico estudiantil en el sub-proyecto Matemática

I, del Programa Complementación en la UNELLEZ-Barinas, dejando claro que: “Los

factores docentes que estuvieron correlacionados e influyeron en el rendimiento

académico fueron la responsabilidad del docente, la organización de la clase, la

motivación de la enseñanza-aprendizaje, la preparación de la clase, la presentación

de los contenidos y la dinámica de la enseñanza” (166).

44

También Orsini (1994) en su estudio de correlación entre actitud hacia las

matemáticas y el rendimiento académico en el sub-proyecto Matemática I en las

carreras de Contaduría Pública y Administración en la UNELLEZ-Barinas determinó

que “el 72% de los estudiantes del grupo ‘alto’ aprobaron el curso, mientras que

solamente el 40% del grupo ‘bajo’ pudo lograrlo”; esta investigación sólo se centró

en un estudio correlacional entre las variables actitud y rendimiento, llagando a la

conclusión de que una mejor actitud hacia las matemáticas por parte del alumno

influye significativamente en el rendimiento académico.

Investigaciones como la de Castro & Rico (1994), ponen también de

manifiesto un elemento del desarrollo del pensamiento, al exponer que “la

comprensión de los escolares, la noción de representación y los procesos mediante

los que dicha comprensión se alcanza, son factores determinantes para valorar el

conocimiento matemático de los escolares”.

En el trabajo de investigación de Castro (1994), que lleva por título

“Exploración de patrones numéricos mediante configuraciones puntuales”, se

obtuvieron resultados interesantes centrados en el uso de tres sistemas simbólicos:

configuraciones puntuales, simbólico estructurado (sistema decimal de numeración)

y operatorio (desarrollos aritméticos) para las sucesiones lineales y cuadráticas de

números naturales de diferentes representaciones. Uno de los hallazgos significativos

se verificó en la efectividad de la habilidad mostrada por los alumnos en las tareas de

continuar o extrapolar términos de una secuencia mediante el uso alternativo de los

diferentes sistemas simbólicos de representación y las interpretaciones y traducciones

entre ellos.

Por su parte Morales (1995) en su trabajo titulado “Efectos de una didáctica

centrada en la resolución de problemas empleando la técnica Heurística V de Gowin

(1988) y mapas conceptuales en razonamiento matemático de los alumnos de noveno

grado de educación básica”, llegó a la conclusión de que los alumnos del grupo

experimental a los cuales se le aplicó una propuesta didáctica basada en la resolución

de problemas utilizando como técnicas el mapa conceptual y la V de Gowin (1988),

las cuales facilitan la organización de la información de los contenidos a ser

desarrollados durante la clase, desarrollaron con ello la comprensión global de los

conceptos, definiciones y teoremas para la resolución de un problema. Estos

estudiantes no sólo aumentaron significativamente el rendimiento académico, sino

que también sus calificaciones resultaron ser significativamente superiores a las

obtenidas por el grupo control, donde se siguió el esquema convencional de

enseñanza centrada en la clase magistral del profesor.

45

Otra investigación que se destaca es la realizada por Sequera (1996), quien

llegó a conclusiones interesantes después de haber aplicado un diseño instruccional

en un curso propedéutico para el ingreso de estudiantes a la Universidad de

Carabobo-Venezuela, cuyo objetivo principal era determinar el efecto de este diseño

en el desempeño de los alumnos en la asignatura Introducción a la Matemática. En la

investigación, los alumnos del grupo experimental utilizaron el material instruccional

novedoso caracterizado por una enseñanza estructurada de lo sencillo a lo complejo,

denominada aprendizaje jerárquico cuyo representante máximo es Robert Gagné; los

estudiantes obtuvieron un rendimiento mayor al del grupo control, indicando con

esto que el diseño instruccional para el curso propedéutico influyó positivamente y

mejoró los conocimientos básicos de operaciones matemáticas, pues de un promedio

de 7,44 puntos alcanzaron un promedio de 14,83 puntos, no obstante, no hubo

diferencias significativas en cuanto al rendimiento obtenido por ambos grupos en la

asignatura Introducción a la Matemática.

Además Sutherland et al. (1996) en una investigación titulada “Cultura y

Cognición Caso de las Matemáticas y la Ciencia” nos exponen los resultados de un

proyecto mexicano-británico cuyo objetivo principal era el de investigar el uso de las

hojas de cálculo como medio para expresar y resolver problemas matemáticos de

modelación en biología, química y física. El estudio se efectuó con dos grupos de

estudiantes de ciencias cuyas edades oscilaban entre los 16 y 18 años. Uno en una

escuela estatal londinense y otro en una escuela privada en la Ciudad de México. Los

investigadores llegaron a la conclusión de que: “Hay también muchas maneras en las

que la cultura matemática escolar determina las formas en las que los estudiantes

atacan problemas de álgebra y modelación en Matemática. Los resultados también

muestran que las experiencias matemáticas escolares previas estructuran las

prácticas matemáticas en la ciencia escolar” (14).

Por otro lado Gallardo (1996:220) con su trabajo “El paradigma cualitativo

en matemática educativa. Elementos teórico-metodológicos de un estudio sobre

números negativos” llegó a la conclusión de que “los análisis histórico-crítico y

clínico aportaron los elementos necesarios para la descripción de los procesos

cognitivos del sujeto en la construcción del número negativo”. El componente

clínico se basaba en entrevistas personales con el alumno a través de cuestionarios

con el fin de registrar la observación del mayor número posible de hechos en un solo

individuo.

Otro trabajo interesante es el de Arrieta (1996), donde se estableció como

objetivo “identificar variables que influyeran en el Rendimiento en Matemáticas de

46

los alumnos de 6° de E.G.B. (11-12), sobre las cuales basar un diagnóstico

individual de los alumnos y poder adoptar decisiones instruccionales que ayudasen a

mejorar dicho rendimiento”, para luego construir un modelo final donde se

incluyeran variables como: “Inteligencia general, memoria, hábitos de estudio,

autoconcepto académico, comprensión lectora y resolución de problemas que sirva

de guía para una eficaz intervención en el aula”.

En investigaciones realizadas sobre los factores sociales y académicos que

influyen en el rendimiento académico de alumnos del sub-proyecto Matemática I de

la UNELLEZ-Apure, de acuerdo con Lobo (1996:1), se determinó “la no existencia

de una relación estadísticamente significativa entre los hábitos de estudio y el

rendimiento académico de los estudiantes en Matemática I, por lo tanto, el

instrumento empleado carece de validez predictiva, explicable en parte por el bajo

conocimiento del vocabulario matemático [...]; el mayor porcentaje de los

reprobados han cursado el sub-proyecto una vez en la modalidad regular y ninguna

en autoestudio e intersemestral; esto indica un considerable nivel de deserción en el

sub-proyecto Matemática I”.

Otra investigación relacionada con la puesta en práctica de propuestas

didácticas es la de Acuña (1996), titulada “Un modelo de tratamiento didáctico para

la enseñanza del razonamiento deductivo y de la demostración en el nivel medio

superior”, desarrollada en función de cuatro momentos: tratamiento inductivo,

elaboración de conjeturas, tratamiento deductivo y ampliación de conceptos. Como

conclusión del estudio se determinó un “cambio de actitud positiva en los profesores

respecto a la utilización de estrategias que involucren pruebas empíricas e

intelectuales así como de un trabajo de elaboración de conjeturas, que permite

reformular el concepto de rigor matemático, para el desarrollo de la enseñanza del

razonamiento deductivo y de la demostración en el nivel medio superior” (107).

En estudios realizados sobre los métodos que utilizan los alumnos para

resolver problemas se ha encontrado dentro de los resultados principales que “los

estudiantes implicados en el estudio, muestran mayores dificultades para resolver

problemas que involucren situaciones de variación proporcional de magnitudes

continuas que aquellos problemas que involucren situaciones de variación

proporcional de magnitudes discretas” (Pernía, 1997:222); por otro lado, también se

comprobó una relación de dependencia entre el dominio de las operaciones básicas

con números naturales y la resolución de problemas que implican el uso del concepto

de proporción.

47

Otro estudio efectuado en la UNELLEZ-Guanare por Henriquez (1998),

sobre el rendimiento académico que obtienen los alumnos del sub-proyecto

Matemática III en función de los regímenes regular y curso intersemestral bajo los

cuales cursaron Matemática II, presentó como conclusión significativa, una

diferencia contundente a favor del grupo que cursó Matemática II en el régimen

regular en comparación con los estudiantes que aprobaron el mismo sub-proyecto en

cursos intersemestrales, por lo que el aprendizaje que obtuvieron en esta modalidad

de recuperación académica es poco significativo, y como señala el autor se pierde en

poco tiempo.

También cabe mencionar el estudio realizado por Ramírez (1998) para

desarrollar su trabajo de tesis “Propuesta metodológica para la enseñanza de tópicos

de Álgebra Lineal en el bachillerato del colegio de Ciencias y Humanidades”; esta

propuesta fue aplicada a la tercera Unidad del Programa de Matemática II del plan de

estudios actualizado (PEA) en el plantel Neucalpan. Las estrategias de aprendizajes

en las que se basó dicha propuesta están centradas en el constructivismo, y fueron

aplicadas a dos grupos experimentales con resultados satisfactorios. “Sobre la

aplicación de su metodología en dos grupos de experimentación, en contraste con

tres grupos de control, se obtuvieron los siguientes resultados en aprovechamiento:

los grupos de experimentación tuvieron mayores porcentajes (del 57.8 y del 72.9 por

ciento); mientras que los de control, en los cuales no se aplicó la metodología ni se

dispuso de materiales didácticos; el porcentaje de aprovechamiento fue menor (de

47.6, 29.16 y 47.36 por ciento)” (1).

En este sentido, en el trabajo de Vivas, (1998:61) “se analizaron de 68 (27%)

a 289 (72%) estudiantes, cursantes de matemática I y II. Los estudiantes mostraron

niveles bajos en los diferentes razonamientos evaluados. De acuerdo con los

resultados del test de Lawson 7,4% de los sujetos están en operación formal y 1,7%

según los resultados del test Galt”, estos resultados coincidieron con una correlación

alta positiva entre el rendimiento en matemática y los niveles cognoscitivos medidos

por los test, lo que hace concluir también en la evidente necesidad de desarrollar

estrategias para superar la deficiencia en las habilidades básicas del pensamiento

formal que poseen los alumnos para que puedan internalizar los aprendizajes

matemáticos que se imparten en las distintas carreras que ofrece la UNELLEZ.

Como podemos ver estas son variables esenciales que determinan también el

desarrollo del pensamiento y su autorregulación, sin embargo, se necesita ir a una

aplicación directa en el aula y evaluar la eficacia de estos modelos, razón por la cual,

48

con esta investigación queremos actuar en la práctica educativa implementando este

modelo de autorregulación del pensamiento formal.

El proyecto de investigación realizado por Arias (1999), también ofrece

importantes aportaciones en esta línea de investigación, utilizando un diseño cuasi-

experimental para determinar la relación causa-efecto entre un Módulo Instruccional

y el nivel de conocimientos matemáticos, encontró que “el nivel de comprensión

alcanzado por el grupo experimental fue superior al alcanzado por el grupo control,

por lo que el Módulo Instruccional de Nivelación Matemática, mejora la

comprensión, dominio de contenidos, la habilidad de cálculo, es decir, un mayor

nivel de conocimiento” (Arias, 1999:61).

Otro trabajo interesante es el de Orsini (1999), quien realizó estudios

importantes sobre los procesos cognitivos que activa el docente de Matemática y la

relación que tienen estos con su eficacia en el proceso de enseñanza-aprendizaje,

determinando que “un docente con un nivel de eficacia alto, utiliza sus procesos con

una relación de uso-proceso significativamente directa y procesa la información

utilizando preferiblemente el método de resolución de problemas” (Orsini 1999:165),

es decir que al aplicar procesos cognitivos más elevados mayor será la tendencia

hacia una enseñanza más eficaz por parte del profesor, sin embargo, en la

investigación también se constató que dentro de la muestra de docentes un porcentaje

mínimo usaba los procesos complejos de síntesis y verificación para el desarrollo de

sus clases, en consecuencia se puede desprender la necesidad de diseñar un modelo

didáctico centrado en procesos cognitivos complejos que son los que caracterizan la

autorregulación del pensamiento matemático para lograr no solamente mayor

eficacia docente, sino también la del estudiante.

La investigación realizada por Cubillo & Ortega (2000), nos proporciona

información sobre la influencia que tienen los procedimientos de enseñanza de un

modelo didáctico en la actitud-opinión de los alumnos. El objetivo del estudio era la

implementación en el aula de un Modelo de gestión mental de A. de La Garandeire

(1983) para determinar su influencia en la opinión y actitud de los alumnos, con lo

cual obtuvieron las conclusiones siguientes:

- “La importancia que los alumnos le conceden a las matemáticas para su

formación general es alta, y esta valoración se ve ligeramente modificada, de

forma positiva, a partir de la experiencia.

49

- A partir de la valoración altamente positiva, que hacen los alumnos de los

materiales, se puede interpretar que la experiencia ha sido positiva para su

método de trabajo.

- Se observa que la participación, autoevaluación y el trabajo con los

materiales son los hechos más significativos” (Cubillo & Ortega .2000:13).

Gutiérrez (2002), enfocó su investigación en la repercusión que tienen sobre

los métodos de enseñanza las diferencias entre los lenguajes de alumnos latinos de

educación primaria, media y preparatoria en escuelas estadounidenses, determinando

que un análisis del trabajo de maestro con estudiantes latinos se demuestra que

algunas de las estrategias usadas en la escuela elemental y media por los maestros

escolares y maestros de aprendices del idioma ingles también tienen éxito con latinos

de la escuela secundaria en los que el inglés el idioma dominante.

Estas estrategias incluyen actividades tales como: la organización de

estudiantes para trabajar en grupos, permitiéndoles a los estudiantes trabajar en su

idioma primario, complementado con materiales escritos como libros-textos, y

construyendo el conocimiento previo del estudiante, sin embargo, las implicaciones

para la investigación, las políticas educativas futuras, y para la educación del maestro

son todavía discutibles. Cabe destacar que este fue un estudio cualitativo que obtuvo

resultados óptimos, puesto que, el análisis de las observaciones de los maestros, las

declaraciones de los estudiantes, las entrevistas realizadas en salón de clases, las

interacciones sociales, y las necesidades matemáticas pusieron el desarrollo de

prácticas instruccionales eficaces para los estudiantes latinos en su contexto local.

Carbonero & Navarro (2006) en su investigación titulada “Entrenamiento de

los alumnos de Educación Superior en Estrategias de Aprendizaje en matemáticas”

se obtuvieron resultados satisfactorios con el Programa al ser aplicado al grupo de

alumnos que formaron parte del grupo experimental, el cual demostró cambios

significativos en el dominio de estrategias de selección, organización, elaboración y

verificación y de las estrategias de aprendizaje en general, demostrando con ello la

eficacia del Programa de estrategias de aprendizaje.

50

I.5.2. Conclusiones

En la Tabla 1.3 podemos apreciar un resumen sobre las dimensiones

estudiadas en las diferentes investigaciones consultadas:

Destacamos en primer lugar la relevancia atribuida por los investigadores a

los fundamentos psicológicos, los cuales son comunes en la gran mayoría de los

trabajos de investigación consultados relacionados con nuestra línea de

investigación, por lo que el enfoque psicológico y sus fundamentos para la Didáctica

de la Matemática son de gran importancia para conocer los procesos internos que se

desencadenan en la construcción del aprendizaje matemático, y de esta forma

responder a dos grandes preguntas: ¿cuándo y en qué condiciones logramos el

aprendizaje ? y ¿cómo construimos nuestro aprendizaje?

Temas de investigación Autores Práctica pedagógica y

proceso didáctico Aspectos psicológicos Aspectos sociales

Fernández (1990) Desarrollo cognitivo numérico, resolución de problemas y actitud

Oliveras (1994) Currículo escolar Etnomatemática Romero (1993) Organización del

contenido Comprensión Interacción social

Miñan (1996) Resolución de problemas, procesos cognitivos

Brashi (1993) Material instruccional Henríquez(1998) Material instruccional Arias (1999) Material instruccional Orsini (1994) Actitud y rendimiento Castro & Rico (1994)

Lenguaje formal y razonamiento deductivo

Morales (1995) Resolución de problemas y mapas conceptuales

Sequera (1996) Material instruccional Enseñanza estructurada Sutherland et al (1996)

Cognición Cultura escolar

Gallardo (1996) Procesos cognitivos Arrieta (1996) Inteligencia, memoria y auto

concepto

Miñan (1996) Resolución de problemas y procesos cognitivos

Acuña (1996) Razonamiento deductivo Ortiz (1997) Razonamiento inductivo Pernía (1997) Resolución de problemas Lobo (1996) Hábitos de estudio y

rendimiento

Ramírez (1998) Estrategias de aprendizaje constructivistas

Vivas (1998) Desarrollo cognitivo Orsini (1999) Procesos cognitivos

51

Temas de investigación Autores Práctica pedagógica y

proceso didáctico Aspectos psicológicos Aspectos sociales

Roa (1999) Razonamiento deductivo y lenguaje matemático

Cubillo & Ortega (2000)

Modelo Didáctico Actitud Opinión, relaciones interpersonales

Ibáñez (2000) Razonamiento deductivo Bedoya (2001) Diseño, planificación,

implementación y evaluación de programa de formación

Procesos cognitivos

Aguiar (2001) Integración social del alumno

Carbonero & Navarro (2006)

Estrategias de aprendizaje

Tabla 1.3. Investigaciones consultadas en el área de Didáctica de las Matemáticas y las dimensiones estudiadas.

Las dimensiones de mayor interés para los investigadores van desde los

procesos cognitivos que se originan en la resolución de problemas hasta la

comprensión y memorización, hábitos de estudio y autoconcepto del alumno; éstas se

relacionan en gran medida con nuestro estudio, el cual está centrado en la enseñanza

de estrategias de aprendizaje desde el punto de vista constructivista. Esto se

manifiesta en los resultados obtenidos por el estudio cienciométrico elaborado por

Fernández et al. (2003), en el que se presenta una clasificación de las tesis doctorales

españolas en el período comprendido entre 1976 y 1998, resultando con mayores

porcentajes los estudios sobre Educación e Instrucción en Matemática con 83%, y,

sobre Psicología de la Educación Matemática con 80,7%.

Por otro lado observamos un considerable desinterés por el estudio de la

dimensión social, la cual reviste una trascendencia actual en el estudio del proceso

didáctico de cualquier disciplina; sólo cuatro líneas de investigación centraron sus

análisis en aspectos sociales, tales como la Etnomatemática, el proceso de interacción

social, la cultura escolar y la integración del alumno, líneas que son fundamentales y

que representan una novedad en la construcción de la Didáctica de la Matemática

como disciplina científica. A través de la presente investigación pretendemos

contribuir al desarrollo de las líneas anteriores, complementando y ampliando el

desarrollo de las dimensiones del clima social del aula y la actitud del alumno, y de

esta manera, ampliar sus horizontes científicos.

Los aspectos relacionados con la práctica pedagógica y el proceso didáctico

en general también han sido tenidos en cuenta. La mayor parte de los estudios

prestaron atención a la elaboración, diseño y evaluación de materiales instruccionales

52

con características particulares desde el punto de vista psicológico, ofreciendo una

alternativa diferente a los textos tradicionales para la enseñanza de la Matemática;

sin embargo resaltamos que en nuestra investigación ofrecemos más aportes para la

reorientación de la práctica pedagógica en las matemáticas, principalmente desde una

propuesta didáctica cuyos lineamientos teórico-prácticos integren de manera

equilibrada los enfoques no sólo psicológicos, sino también, epistemológicos,

sociales y científicos de la Didáctica de la Matemática. Este enfoque integrador está

fundamentado en el modelo tetraédrico de Higginson (1980), citado por Godino

(2000), utilizado para representar las principales ciencias que integran a la Didáctica

de la Matemática, el cual presentamos a continuación:

Finalizamos este apartado resaltando, mediante el siguiente cuadro

comparativo (Tabla 1.4.), los diferentes enfoques que las investigaciones consultadas

en los antecedentes de nuestro trabajo de investigación utilizaron para obtener sus

respectivos logros científicos.

Nº Cuantitativo Nº Cualitativo

1 Fernández (1990) 1 Oliveras (1994) 2 Brashi (1993) 2 Romero (1995) 3 Orsini (1994) 3 Gallardo (1996) 4 Morales (1995) 4 Miñan (1996) 5 Sequera (1996) 5 Ortiz (1997) 6 Morales (1995) 6 Ibáñez (2000) 7 Lobo (1996) 7 Cubillo & Ortega (2000) 8 Henríquez (1998) 8 Aguiar (2001) 9 Ramírez (1998) 9 Arreche (2001) 10 Vivas (1998) 10 Gutiérrez (2002) 11 Arias (1999) 12 Orsini (1999) 13 Carbonero & Navarro (2006)

Tabla 1.4. Enfoque de investigación utilizado en las investigaciones consultadas.

EDUCACIÓN MATEMÁTICA

FILOSOFÍA SOCIOLOGÍA

MATEMÁTICAS PSICOLOGÍA

53

Se constata que 13 de las 23 tesis consultadas siguieron un enfoque

cuantitativo, es decir la mayoría de las investigaciones se inclinaron por este

enfoque, lo que representó un 56,52% de las investigaciones citadas, incluso la más

actual de Carbonero & Navarro (2006) utilizaron un diseño cuasi-experimental, lo

cual nos indica un predominio en nuestro país del enfoque cuantitativo para la

investigación. También en la Tabla observamos estudios de Tesis Doctorales

consultadas electrónicamente en la base de datos Teseo de las universidades

españolas, el predominio de diseños de investigación bajo un enfoque cualitativo,

representando el 43,48% del total y 100% de los estudios españoles, los que nos

indica su factibilidad y adecuación para lograr un mejor estudio de las áreas de las

Ciencias Sociales, como la Educación. Por ello, en nuestro estudio apostamos por un

enfoque cualitativo.

54

I.6. BASES TEÓRICAS

En el presente trabajo de investigación se hace necesario la exposición de los

aspectos fundamentales de las diferentes teorías psicológicas de aprendizaje que han

explicado los procesos de enseñanza, aprendizaje y evaluación, en consecuencia

podemos construir una conceptualización clara y precisa del tema de investigación de

nuestro trabajo, sin embargo, la intención es lograr una descripción sucinta de los

enfoques tanto conductistas como constructivistas y analizar sus principales

aportaciones a la Didáctica de la Matemática.

I.6.1. La Psicología del Aprendizaje y sus aportes a la Didáctica de la

Matemática: desde el conductismo hasta el constructivismo

Es indiscutible la valiosa contribución que nos ha dejado la Psicología en

estos últimos cien años para redireccionar no solamente el proceso didáctico de la

Matemática, sino también el de otras áreas importantes del saber que conforman los

programas de estudio en los diferentes niveles educativos. “El enfoque psicológico

intenta comprender qué hacen los alumnos cuando se encuentran frente a las

Matemáticas. Se asume que el aprendizaje de las Matemáticas tiene su propia

psicología, que los estudiantes y profesores tienen ideas propias acerca de las

matemáticas en las situaciones de aprendizaje y que los profesores estarán mejor

equipados para su tarea si pueden comprender cómo se ven las Matemáticas desde

la perspectiva del que aprende” (Gómez, 2000:62). Por lo tanto, es de vital

importancia la exposición de una síntesis de la evolución de la Psicología el

Aprendizaje, que puede ir desde el conductismo hasta las corrientes cognitivas y de

su aplicación la enseñanza llamado, constructivismo.

I.6.1.1. El conductismo o asociacionismo

Se puede decir que el primer intento contemporáneo de explicar cómo

aprendemos, lo hizo la Psicología conductista, que a pesar de tener una visión

reduccionista del proceso de enseñanza-aprendizaje legó las primeras contribuciones

en esta materia. Este enfoque explica la asociación estímulo-respuesta como el

mecanismo que se desarrolla en el momento en que un sujeto aprende; por esta razón

también se conoce como enfoque asociacionista. Como máximos representantes

dentro de esta corriente se encuentran Pavlov (1927) con su famosa teoría del

condicionamiento clásico, Skinner (1977) con su teoría del refuerzo explicada a

55

través del condicionamiento operante, y Thorndike (1913) con sus leyes del efecto y

del ejercicio; seguiría una corriente neoconductista representada por Gagné (1977).

Quizás lo más relevante del conductismo es el gran impacto que ocasionó en

la primera mitad del siglo XX sobre la estructuración del currículo de la aritmética

elemental que se enseña a los alumnos en sus primeros años de escolaridad. Según

Gómez (2000:77) “Sus implicaciones en el currículo pueden observarse en

cualquiera de los libros de textos de Aritmética bajo el principio general de que la

instrucción debe basarse en la enseñanza directa y en la fragmentación del currículo

en un número de partes aisladas para ser aprendidos con el esfuerzo apropiado”;

hay que señalar también que este esquema se mantiene aún arraigado en la mayoría

de los programas de estudio de las matemáticas que forman parte de los diseños

curriculares del siglo XXI.

Con el condicionamiento clásico y operante, Pavlov y Skinner querían

explicar el aprendizaje humano a través de experimentos animales que consistían en

condicionar las respuestas o conductas de ciertos especimenes a estímulos

alimenticios, es por esto que el conductismo define al aprendizaje como un cambio

de conducta observable en el individuo por un período largo de tiempo, que depende

principalmente del ambiente, “el aprendizaje operante es el aprendizaje de

respuestas instrumentales que surtieron efecto en el ambiente del individuo y que,

por lo tanto, fueron aprendidas mediante el refuerzo […]. En este sentido, el hombre

es simplemente un animal que ha ido más lejos que los otros en la escala

psicogenética” (Araujo & Chadwick.1988:81).

Unos de los principales aportes de Skinner fue el aprendizaje programado,

“La repercusión más importante para la educación de los planteamientos de

Thorndike vino de las reformulaciones hechas por Skinner y de sus aplicaciones en

el diseño de máquinas de enseñanza y en la teoría de la instrucción conocida como

enseñanza programada” (Hernández & Sancho, 1993:61), dando origen a una serie

de textos instruccionales, no solamente en las matemáticas, sino también en otras

áreas del saber, centrados en el autoaprendizaje a través del refuerzo positivo o a lo

que muchos pedagogos llamaron como retroalimentación o “feed back”. Hay que

destacar que esta estrategia inició la preocupación por dejarle más autonomía al

estudiante con su aprendizaje sin desprenderse de la orientación docente, sin

embargo la interacción social es un poco difícil de lograr a través de este método que

aún en la actualidad es utilizado principalmente en la educación a distancia.

56

Otras de las ventajas de este enfoque didáctico es la secuencia y la dirección

que tienen los materiales, y que los alumnos pueden recibir retroalimentación en el

momento oportuno, sin embargo, puede presentar desventajas, tales como la

repetición de concepciones erróneas por el alumno producto de la selección que este

realice de rutas inapropiadas de aprendizaje o quizá el material carezca de interés y

motivación, por lo cual se debe tener mucho cuidado con estos criterios en el

momento de diseñar estos tipos de materiales, es por esto que la principal desventaja

de este enfoque sea el de “considerar al estudiante como un mero ejecutor de lo

programado por el profesorado, a no tener en cuenta las conductas y los

aprendizajes divergentes o relacionales, a centrarse en el almacenamiento de la

información y no en su procesamiento , a fomentar respuestas homogeneizadoras...”

(Hernández & Sancho, 1993:61).

Thorndike, unos de los primeros precursores del conductismo en la aplicación

de la enseñanza de la Matemática, se destacó por sus famosas leyes del ejercicio o

frecuencia y del efecto. La primera Ley consiste en la asociación directa de una

respuesta a una situación dada, la cual se irá asociando más fuertemente a esta

respuesta dependiendo del número de veces que se presente esta última. Es por esta

razón que profesores conductistas justifican la asignación de grandes cantidades de

ejercicios y problemas con características particulares para el aprendizaje de un

determinado tema de Matemática, que por lo general conlleva a repeticiones viciosas,

no sólo por el alumno, sino también por el profesor.

La segunda Ley explica como las respuestas acompañadas de una satisfacción

implican una repetición más consistente de las mismas, mientras que las respuestas

son acompañadas por alguna incomodidad, entonces hay una tendencia a cohibirse

de repetirlas. “Son muchas las maneras en que un alumno puede obtener satisfacción

de una respuesta. En términos ideales, si una respuesta es correcta y el alumno lo

sabe, se logra satisfacción y el chico se ve reforzado” (Orton, 1990:57).

De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el enfoque conductista tiene los

siguientes componentes esenciales en el proceso de enseñanza-aprendizaje, los

cuales señalamos según Crespo y Carbonero (1993):

- La instrucción es directa.

- La instrucción siempre está basada en datos.

- Las etapas del aprendizaje.

- Los principios del aprendizaje son los que influyen en la conducta

(refuerzo positivo).

57

En función de estos elementos se puede decir que para los conductistas

prácticamente el proceso de enseñanza-aprendizaje se puede controlar a través de sus

variables como si se tratara de un fenómeno natural, dando origen a estudios de tipo

experimental en contextos sociales y complejos, que a pesar de realizar interesantes

aportaciones al campo de la enseñanza de la Matemática era evidente que el enfoque

dejaba muchos elementos del proceso sin un análisis más preciso de los mismos ,

puesto que, según los conductistas “casi toda la conducta humana es aprendida,

fruto del medio humano que refuerza unas conductas e inhibe otras. Para ellos el

papel del ambiente social, cultural, y no los determinantes genéticos, es el decisivo

«escultor» de la conducta” (Nieto, 1997:20).

I.6.1.2. El neoconductismo

Representado por Robert Gané y su teoría del aprendizaje jerárquico es otro

enfoque de la instrucción que analiza un poco más el proceso de la construcción del

aprendizaje de una manera más actualizada, pero sigue conservando rasgos

conductistas. Su idea central se apoya en el concepto de habilidades y

subhabilidades, o jerarquía del aprendizaje que consiste principalmente en un análisis

de tareas para diseñar la instrucción; para Gagné, citado por Llinares (1994:189),el

aprendizaje de la habilidad de aprender las subhabilidades que forman parte de un

orden jerárquico, naciendo de esta manera el concepto de aprendizaje acumulativo, o

como lo describe Gómez (2000:79) “las capacidades inferiores recogen el

conocimiento que se pretende fragmentado en pequeñas unidades, que se enseñarán

y evaluarán de modo separado y que generarán la transferencia de aprendizajes

previamente adquiridos a otros de orden superior”, por ejemplo, si un alumno quiere

aprender a resolver ejercicios relacionados con la potenciación de números enteros,

necesitará en este caso dominar las operaciones aritméticas fundamentales de la

adición y multiplicación de números naturales y enteros sin las cuales le resultará un

poco difícil comprender las estructuras fundamentales de las nuevas operaciones

matemáticas de la potenciación en el conjunto Z de los números enteros.

Gagné aplica al aprendizaje lo que se conoce como “Enfoques de Sistemas”,

que gira en torno a tres fases bien definidas: las condiciones de entrada o

antecedentes, los procesos internos que se dan en el proceso enseñanza aprendizaje y

finalmente los productos resultantes de la situación de aprendizaje.

En el aprendizaje, según Gagné, existe otra serie de factores tantos externos

como internos que influyen en éste. Los internos se refieren a la información fáctica

58

o práctica del alumno que puede ser presentada o recordada a partir de aprendizajes

anteriores, en segundo lugar las habilidades intelectuales y en tercer lugar las

estrategias, que vendrían a ser los estímulos externos o internos recordados a partir

de prácticas anteriores. Los factores externos son: el manejo del aprendizaje en el

tiempo, la repetición y el refuerzo.

Las variedades de los resultados de aprendizaje comprende: habilidades

intelectuales, estrategias cognitivas, información verbal, habilidades motoras y

actitudes. Los eventos de la enseñanza están íntimamente ligados a las fases y

procesos del aprendizaje, esto se puede observar en el cuadro siguiente.

Procesos Internos Eventos de Enseñanza Ejemplo de acción

Recepción Expectativa Recuperación de información hacia la memoria Percepción selectiva Codificación Semántica Emisión de una Respuesta Reforzamiento Recuperación y Reforzamiento Recuperación.

1. Generar atención. 2. Informar a los sujetos cuál es

el objetivo de aprendizaje. 3. Estimular el recuerdo de lo

aprendido. 4. Presentar el estimulo. 5. Dar “orientación” en el

aprendizaje. 6. Evocar el desempeño. 7. Ofrecer retroalimentación. 8. Evaluar el desempeño. 9. Incrementar la retención y

generalización.

- Uso de un cambio brusco de los estímulos.

- Decir a los sujetos que serán capaces de hacer después de su aprendizaje.

- Solicitar que se recuerden los conocimientos y habilidades previamente aprendidos.

- Presentar el material destacando las

características prominentes. - Sugerir una organización que tenga

significado. - Pedir al sujeto que ejecute la

actividad. - Dar al sujeto retroalimentación

efectiva. - Solicitar al sujeto que siga

actuando y continuar dándole retroalimentación.

- Proporcionar al sujeto una práctica variada y aplicarle exámenes especializados.

Tabla 1.5. Procesos Internos con Eventos de Enseñanza y los correspondientes ejemplos de acción (Gagné, 1979).

La teoría de la enseñanza de Gagné se elaboró en función de estos dos

factores esenciales, el objetivo de la misma es aplicar “un enfoque sistémico al

aprendizaje y trabajar específicamente dentro de un cuadro de referencias donde lo

más importante son las condiciones antecedentes, los procesos internos y los

productos resultantes de la situación de aprendizaje” (Araujo & Chadwick.1988:49).

59

Se destaca también el aprendizaje acumulativo jerárquico o para el diseño de

una instrucción, donde los conceptos más complicados se subdividen en tareas más

sencillas y de esta manera poder comenzar a enseñar lo fácil para luego llegar a lo

más difícil, aspecto que se toma muy en cuenta cuando se trata de aprendizajes a

nivel cognoscitivo.

Gagné propone la necesidad de la adquisición previa de habilidades o

capacidades subordinadas o jerarquías de aprendizajes, definidas como “una

hipótesis de partida sobre la manera en que se relacionan entre sí ciertas

habilidades intelectuales” (Resnick & Ford, 1990:63).

El mismo Gagné (1977) define a la jerarquía del aprendizaje como la que

“[…] describe un camino eficaz como promedio hacia el logro de una serie

organizada de destrezas intelectuales que representan la ‘comprensión de un tema’

[…]”.

Esta enseñanza gradual y el aprendizaje jerárquico o acumulativo han sido

muy criticados por los constructivistas, sin embargo, un representante importante de

este paradigma, Harris (1994) citado por Chadwick (1998), explica cómo hay

alumnos que necesitan aprender en un cierto orden. “Esto le llevó a sugerir que

muchos educadores creen que algunos alumnos requieren enseñanza más

estructurada y explícita” (Chadwick, 1998:5), además, cita también a Coll quien

expone que la enseñanza debe poner bastante énfasis en aquellos contenidos

específicos que los alumnos deben dominar, ya que éstos no se adquieren sin una

acción pedagógica directa, razón por la cual muchos de los textos de Matemática han

sido elaborados bajo estas directrices instruccionales, y además, tradicionalmente, la

mayoría de los currícula han seguido el proceso de lo sencillo a lo complejo, no

solamente en las matemáticas sino también en las demás áreas del saber, esta es otra

de las razones que apoyan el uso del aprendizaje jerárquico, puesto que la enseñanza

estructurada podría ser más efectiva para los menos “dotados” en las habilidades

matemáticas, “en le caso de la Aritmética los diseñadores de programas de

ejercicios habían intentado dar forma a la enseñanza basándose en la progresión de

los problemas más fáciles a los más difíciles” (Resnick & Ford, 1990:57).

60

I.6.1.3. La Escuela de la Gestalt

La Gestalt no sólo propuso un enfoque distinto al del Conductismo para

explicar cómo aprendemos, sino que sus estudios se concentraron específicamente en

el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas; su máximo representante

fue el Psicólogo Max Wertheimer, sostenía que se podía demostrar las diferencias

significativas entre la aplicación de un aprendizaje puramente memorístico y el

aprendizaje con significado. Katona fue uno de los primeros teóricos de esta escuela

que se preocupó por el estudio en situaciones prácticas del aprendizaje significativo

demostrando que el aprendizaje no era únicamente la memorización o retención de

una serie de elementos o asociaciones de una estructura o procedimiento, lo

fundamental del aprendizaje era la reorganización de la información para estructurar

los problemas y obtener una solución que pudiera ser aplicada en situaciones

parecidas. Según Resnick & Ford (1990:58) “Los psicólogos de la Gestalt se

distinguían por su insistencia en que la mente humana interpreta todas las

sensaciones y experiencias de entrada según ciertos principios organizativos, de

forma que, en lugar de recibir simplemente la información, se consigue algún tipo de

comprensión”.

El eje central de esta corriente psicológica es el “insight” o comprensión

súbita, con lo cual se quería explicar que, a diferencia de los teóricos del

conductismo que justificaban la resolución de problemas como un proceso de ensayo

y error, este se llevaba a cabo a través de procesos más organizados y globales para

la comprensión de la estructura total de la situación problema, o lo que Wertheimer

denominaba “Pensamiento productivo”; en consecuencia pueden utilizarse técnicas

de enseñanza para que “los aprendices se percaten de la estructura del contenido que

será aprendido y de las relaciones entre sus elementos, de modo que puedan

retenerla como un cuerpo de conocimiento organizado” (Good & Brophy,

1995:158).

Es interesante acotar que, mientras una metodología de enseñanza basada en

conductismo nos limita solamente a una repetición memorística de conceptos,

definiciones, algoritmos, procedimientos para aplicarlos en la resolución de

problemas, a través de la Gestalt se nos brinda la oportunidad de explicar las razones

de la aplicación de estos elementos o la justificación de los mismos en la solución de

un problema, “cuando se comprenden claramente las razones que hay detrás de

cualquier algoritmo, el pensador o el que resuelva problemas está en una posición

mejor para elegir el algoritmo determinado que sea más adecuado al problema que

se plantea” (Resnick & Ford, 1990:168), y esto es fundamental en el pensamiento

61

matemático; la economía en razonamiento, es el primer indicador de la inteligencia

humana, entonces no es simplemente tener los mecanismos y resolver las

situaciones-problema, sino cómo lograrlo con el menor esfuerzo posible; en

consecuencia, la recomendación para el proceso didáctico de la Matemática, es

fomentar en la presentación de los problemas el énfasis sobre sus diversos

componentes interrelacionados, de tal manera que se haga hincapié en el Insight

sobre las estructuras básicas. “La aportación principal de las teorías de la Gestalt

reside en ofrecer una alternativa al asociocionismo, poniendo de manifiesto la

imposibilidad de que el conocimiento sea de carácter acumulativo y señalando la

importancia de la comprensión global por encima de la repetición asociativa de

elementos parecidos” (Cubillo.2000:49).

I.6.1.4. Epistemología genética de Jean Piaget

En la década de los sesenta la Psicología se reorienta hacia un cambio de

paradigma en las teorías que hasta los momentos explicaban el proceso de

aprendizaje en el ser humano, unos de los principales representantes de esta corriente

fue el psicólogo, epistemólogo y biólogo suizo Jean Piaget (1.896-1.980) quien

propuso su teoría de la Epistemología genética basada en los estudios del desarrollo

de la inteligencia.

Estos aportes se han destacado por su gran significación en el entorno

pedagógico de las distintas áreas del conocimiento que conforman los programas de

estudio de la educación; cabe señalar que Piaget ha enfocado de una manera especial

sus estudios del desarrollo de la inteligencia hacia los conceptos matemáticos que

están en capacidad de adquirir los niños desde el momento en que inician sus

primeros años de escolaridad.

Su contribución hacia el perfeccionamiento de una metodología de la

enseñanza de la matemática es un hecho fundamental cuando se trata de buscar

soluciones para superar las deficiencias académicas en esta área, además, los

contenidos programáticos de la misma en el nivel de Educación Básica venezolana

han tomado como piedra angular a la Teoría piagetana para efectuar los cambios

necesarios e imprescindibles, “aunque Piaget no formuló una teoría del aprendizaje

de manera explícita, sus estudios sobre la inteligencia y la epistemología genética,

esto es, el estudio de la génesis de la adquisición del conocimiento, han aportado

algunos principios de gran importancia para la planificación y puesta en práctica de

la enseñanza” (Hernández & Sancho,1993:71). En consecuencia el conocimiento de

62

dicha Teoría es de suma importancia en cualquier investigación referente a la

enseñanza de la Matemática.

Aunque el objetivo central de esta investigación no es el de hacer un estudio

minucioso de la Psicología del Desarrollo de la Inteligencia de Piaget, se considera

vital hacer una explicación de sus aspectos generales.

Esta Teoría se basa en una relación indisociable entre el crecimiento físico y

desarrollo mental, lo cual quiere decir que el niño construye su cognición a medida

que se desarrolla biológicamente; sin embargo la edad cronológica que presenta el

infante no está estrechamente relacionada con la edad psicológica del mismo. Piaget

afirma que no puede desarrollarse ningún crecimiento intelectual sin un ambiente que

le preste apoyo al individuo. Las experiencias que el niño va adquiriendo sirven de

base para el comienzo de su desarrollo cognoscitivo, en consecuencia se, debe tener

en cuenta la maduración física del alumno y a su vez las vivencias del ambiente

donde se desenvuelve.

Piaget consideró dentro de sus estudios al conocimiento como un problema

de las relaciones entre el sujeto y el objeto. La preparación que tuvo como biólogo lo

llevó al estudio de la adaptación del ser humano al medio intelectual. “El estudio del

desarrollo cognitivo del niño es la forma metodológicamente idónea para contestar

las preguntas clásicas sobre el conocimiento humano” (Mayor.1989:117).

Jean Piaget destacó también como pedagogo por sus grandes contribuciones

hacia el campo educacional, en lo referente a la comprensión de los procesos de

enseñanza-aprendizaje y la incorporación de estrategias metodológicas y recursos

instruccionales adaptados a las características cognoscitivas del educando.

Es importante señalar que “Piaget al plantear su teoría, fue uno de los

primeros psicólogos que reconocieron que nacemos como procesadores de

información activos y exploratorios, y que construimos nuestro conocimiento en

lugar de tomarlo ya hecho en respuesta a la experiencia o a la instrucción” (Good &

Brophy, 1995:29).

Según la teoría de Piaget, dentro de los procesos cognitivos, siempre están

presentes unas propiedades, denominadas por él “Invariantes Funcionales”: la

adaptación, la asimilación, la acomodación y la organización, y una base

indispensable para su evolución, la Maduración.

63

La Adaptación es un proceso psicológico de equilibrio entre el sujeto que

conoce y un objeto nuevo, es decir, un equilibrio sujeto-ambiente. Esto requiere de

una variación de las estructuras cognoscitivas a lo largo del proceso evolutivo, por

ejemplo: el ser humano al llegar a un ambiente inhóspito que le imposibilita

satisfacer sus necesidades básicas de alimentación, vestido y/o vivienda, desarrolla

estrategias y mecanismos que van destinados a acondicionar dicho medio para la

subsistencia de sí mismo, utilizando para ello su invención e inteligencia.

La Asimilación y la Acomodación constituyen a su vez dos funciones

invariables de la Adaptación. La primera consiste en una tendencia a relacionar un

nuevo acontecimiento con las ideas que ya se poseen, por ejemplo: en varias

ocasiones se puede observar a los alumnos cuando resuelven un determinado

problema de álgebra por una estrategia inicial, al presentársele una nueva situación

de problemas diferentes, inmediatamente aplican las antiguas estrategias de

resolución para obtener las respuestas. Los alumnos han realizado esta actividad

porque el nuevo problema se parece a otro que en el pasado han resuelto con esas

estrategias. La segunda se refiere al cambio que deben sufrir las ideas o experiencias

que se poseen para superar el problema o nuevos acontecimientos que se le presentan

al individuo, por ejemplo: la primera vez que el alumno resuelve el problema con las

estrategias iniciales, al resolver otro diferente tendrá que buscar nuevas alternativas

de solución para poder superar con éxito dicha tarea, es decir, tendrá que acomodarse

a este nuevo elemento.

La Organización es una propiedad de la inteligencia, dotada de una estructura

definida, “hace referencia al modo insoslayable con que el individuo tiene que

enfrentarse con el medio” (Wilson, 1972:453). Esta organización lleva implícita un

constante equilibrio entre la asimilación y acomodación, lo que permite el desarrollo

cognoscitivo, cuando nuestras estrategias de pensamiento, información y esquemas

no superan los eventos nuevos o situaciones problemáticas inéditas de la realidad que

enfrentamos, la acomodación se encarga de reestructurar y reconstruir la evolución

de dichas estrategias de pensamiento y llegar a un satisfactorio equilibrio.

La equilibración “es la suposición motivacional básica de Piaget que sostiene

que las personas luchan por mantener un balance entre la asimilación y

acomodación conforme imponen orden y significado a sus experiencias” (Good &

Brophy, 1995:29), por lo tanto, implica procesos de autodirección y regulación

internas de los esquemas mentales. Por ejemplo, hay equilibrio cuando el adulto

realiza una actividad intelectual, todos sus razonamientos, todas sus conclusiones

obedecen a un orden y secuencialidad, basados en una estructura original que poco a

64

poco se va ajustando a las necesidades cognitivas que varían gradualmente hacia un

estado de mayor complejidad.

Estos elementos anteriormente descritos constituyen la base teórica que

Piaget y sus seguidores han denominado constructivismo, esta epistemología

“sustituye la concepción del conocimiento como copia de la realidad por una

construcción subjetiva que procede de la coordinación de las acciones ejercidas por

el sujeto sobre el objeto” (Hernández & Sancho, 1993:71).

Otros aspectos esenciales dentro de la Teoría de Piaget, los constituyen las

estructuras y esquemas mentales. La estructura mental es concebida como una serie

de acciones u operaciones relacionadas entre sí que conllevan al equilibrio o

adaptación.

En los niños de edad escolar, el sumar y multiplicar son ejemplos de

estructuras que Piaget llama operaciones. El esquema es una representación mental

de una acción. Piaget habla de esquema de succión, de prensión, etc.; por lo tanto a

medida que el niño adquiera esquemas más complejos y diferenciados, éste podrá

adquirir un desarrollo intelectual progresivo.

Se incluyen, además en esta teoría factores que son de vital importancia en la

comprensión de los procesos cognitivos de los niños, estos son: la maduración que se

refiere al desarrollo de los rasgos biológicos heredados por un individuo; la

experiencia con el mundo circundante, el medio social-afectivo y el equilibrio que

consiste en un proceso mediante el cual todo organismo busca ajustarse a las

necesidades del medio.

Cabe destacar que las actividades realizadas por el niño con objetos le van

dando al infante las posibilidades de descubrir ciertas propiedades abstractas que no

son percibidas a través de los objetos por sí solos, como por ejemplo la conservación

del número de elementos u objetos a pesar de variar la posición o conformación de

éstos.

Jean Piaget supone la existencia de Períodos o Etapas graduales en el proceso

del desarrollo de la inteligencia. Expone, además, que cada uno de ellos es un

requisito fundamental para llegar al siguiente. “Aunque no se pueden fijar los

Estadios con demasiada claridad, en cuanto a los límites de las edades, tampoco

puede cambiarse su orden de progresión, pues privaría a la secuencia de toda

65

lógica” (UNA, 1986:79). Estos estadios del desarrollo intelectual de la inteligencia

son:

- Estadio Sensorio Motor (0-2 años aproximadamente): El niño efectúa una

serie de reflejos automáticos hasta llegar a inventar nuevas formas de

resolver problemas simples, que le permite diferenciar al mundo de sí

mismo. “Puede llamársele período senso-motor porque, a falta de función

simbólica, el lactante no presenta todavía pensamiento ni afectividad

ligada a representaciones que permitan evocar a personas o a objetos

ausentes” (Piaget & Inhelder, 1982:15). El niño no distingue entre él

mismo y el mundo que le rodea, luego al final del Estadio, éste adquiere

en una forma más perfecta el concepto de permanencia del objeto. El niño

buscará ahora objetos ocultos y que no ha visto esconder, a partir de la

existencia de imágenes mentales de dichos objetos. Piaget considera que

este Estadio no está sujeto a una edad cronológica bien establecida,

generalmente se considera que va desde el nacimiento hasta los dos años.

- Estadio de Preparación y Organización de las Operaciones Concretas (2-

11 años): Caracterizada por la necesidad de manipulación de objetos por

parte del niño para comprender los conceptos matemáticos que estos

generan. “El niño aprende lo que es un cubo cuando ha sido enfrentado

con ejemplares de este concepto. En esta etapa la necesidad de manipular

objetos reales es el requisito o condición necesaria para el aprendizaje”

(Gómez.2000:83). Los niños también adquieren “un pensamiento

representativo, con imágenes y símbolos que se asocian a las

abstracciones mentales” (Wilson et al., 1972:461). Este Estadio se divide

en dos subperíodos, que van desde los 18 meses de edad a los 7 años

aproximadamente.

En esta etapa el niño posee lenguaje y es capaz de pensar simbólicamente,

manejar imágenes y símbolos. En este sub-período se describen dos fases:

La etapa preconceptual (de 2 a 4 años), y la sub-etapa intuitiva (entre los 4

y 7 años), ésta última se caracteriza por el uso de intuiciones por parte del

niño para tomar decisiones en la solución de problemas. “Surgen las

primeras apariciones de descentralización y reversibilidad, y el proceso

de pensamiento viene a ser dirigido más exactamente” (Brown &

Desforges, 1984:36).

66

El subperíodo de las operaciones concretas, propiamente dicho, es el

último de la niñez que va desde los 7 a los 11 años aproximadamente, y

comprende la mayor parte de la vida escolar del educando, que

corresponde a la I y II etapa de nuestra Educación Básica. El niño cuando

llega al subperíodo de las operaciones concretas evidencia un desarrollo

cognoscitivo digno de ser considerado psicológica y pedagógicamente, ya

que empieza a utilizar la lógica no formal, y las acciones motoras se

interiorizan a través de las operaciones que son procesos exclusivamente

mentales, sin embargo, el niño sólo maneja hechos concretos que pueda

manipular y así lograr operaciones lógicas no proposicionales, lo que se

realiza a través de una “estructura integrada global, o estructura de

conjunto […]. Esta se describe en los términos de un modelo lógico-

matemático” (Piaget, 1975:36).

Dentro de estas estructuras se llevan a cabo cinco operaciones

propiedades cognitivas o reglas que surgen de la combinación de pares de

elementos. Las estructuras son: clasificaciones, seriaciones,

correspondencia uno a uno, las cuales reciben también el nombre de

agrupamientos. Las reglas son las siguientes:

● Composición: Cualquier operación que combine dos elementos de una

misma serie o grupo da como resultado un elemento del mismo grupo.

Por ejemplo: hombres blancos y hombres negros pertenecen a su vez

al grupo de hombres.

● Asociación: Las operaciones se pueden realizar por caminos distintos.

● Identidad: Sólo existe un elemento que, combinado con otro, lo deja

inalterado. Por ejemplo: el elemento neutro en la adición.

● Inversibilidad: Las operaciones son susceptibles de recibir

transformaciones, es decir, el pensamiento puede ir y venir, asociar y

disociar para obtener la solución de problemas, esta propiedad es la

base de la inteligencia y es lo que caracterizan fundamentalmente las

operaciones aritméticas. “La inteligencia […], puede construir

hipótesis y luego desecharlas para volver al punto de partida,

recorrer un camino y volver por él sin modificar las nociones

empleadas” (Piaget & Inhelder, 1982:75). Por ejemplo la división

tiene su operación inversa como lo es la multiplicación y en la adición

la sustracción y en la potenciación la radicación o el cálculo de

logaritmos.

67

● Reunir una clase consigo misma, conduce a obtener la misma clase,

mientras que añadir una unidad a una cantidad conduce a un nuevo

resultado.

En este subperíodo el niño adquiere unos adelantos cognoscitivos que

según Piaget son el soporte en la adquisición de los conceptos

matemáticos básicos por parte del alumno, estos adelantos se refieren a la

noción de conservación, en donde el niño en esta etapa mantiene la

constancia de un número de objetos, elementos y sustancias

independientemente de la forma como se le presente. “Es la capacidad de

comprender que los objetos, fenómenos o cantidades se conservan y

permanecen constantes a pesar de sufrir cambios en su apariencia. Así

por ejemplo, cuando se vierte el contenido de una botella de refresco en

varios vasos, la cantidad sigue siendo la misma. Sólo ha habido un

cambio de forma” (UNA, 1986:59). Por el contrario los niños del sub-

estadio preoperacional creen que si por ejemplo se le cambia la forma a

una barra de plastilina, la cantidad de materia disminuye transformándolas

en esferas.

● La clasificación comprende las operaciones que realiza el niño con

objetos, agrupándolos de acuerdo a características similares. Según

Inhelder y Piaget, cuando se le proporciona al niño de 5 a 13 años

objetos para que los clasifique, se observa dos relevantes etapas: desde

los 5 ½ a los 6 años clasifica objetos en una forma aparentemente

racional, puesto que discrimina los grupos de objetos solamente por

sus características y todavía no relaciona las partes con el todo

(inclusión de clases). Y desde los 8 años en adelante no sólo clasifica

tomando en cuenta uno o dos criterios sino que domina la inclusión de

clases. “Así por ejemplo, si a un niño de 8 años de edad se le

muestran 8 caramelos amarillos, 4 caramelos castaños y luego se le

pregunta ¿Hay más caramelos o más caramelos amarillos?, el niño

dirá que hay más caramelos […] un niño de cinco años de edad

probablemente dirá que hay más caramelos amarillos” (Mussen et al.,

1985: 282).

● En la seriación el niño es capaz de colocar objetos y/o elementos

atendiendo a un orden según una medida cuantificada, como por

ejemplo: el tamaño, del más grande al más pequeño o viceversa.

● La correspondencia uno a uno hace referencia por ejemplo, cuando el

niño hace corresponder cajas y juguetes seriados por el tamaño, esta

68

operación se va desarrollando hasta que el niño logre una

correspondencia cuantitativa entre colecciones de elementos y

conservación de la cantidad hasta llegar a la adquisición del concepto

de número.

- Estadio de las Operaciones Formales (de los 12 años en adelante): El

adolescente comienza a tener un pensamiento más lógico e hipotético,

este se define “como el período que coincide con una serie de avances en

el desarrollo de las estrategias y capacidades cognitivas en relación con

la capacidad de razonar tanto de forma deductiva como inductiva, y la

habilidad para plantear y comprobar hipótesis y formular teorías”

(Hernández & Sancho, 1993:168). En las operaciones formales se

consideran cuatro características principales:

● La inclinación a razonar acerca de situaciones hipotéticas y la

capacidad de hacerlo.

● La búsqueda sistemática y completa de hipótesis.

● Las reglas de orden superior u operaciones lógicas (implicaciones,

disyunciones, conjunciones, identificaciones, etc.).

● Una disposición mental para encontrar incongruencias en las

proposiciones.

Estos cuatro elementos son los que definen la estructura del pensamiento

formal de la Matemática y que por consiguiente son los que en el proceso de

enseñanza-aprendizaje representan los mayores problemas para el alumnado en

nuestro contexto de estudio, donde pese a que sus edades cronológicas corresponden

a este período de desarrollo cognitivo, parece existir una ausencia considerable del

uso del pensamiento formal en el aprendizaje matemático, y esto es vital, puesto que

si no se tienen consolidadas las estructuras mentales que caracterizan este tipo de

pensamiento difícilmente se llegarían a lograr los aprendizajes matemáticos

superiores que se requieren en la prosecución de estudios universitarios. Son

precisamente estos elementos del pensamiento formal que describe Piaget los que se

pretenden desarrollar en la propuesta o modelo didáctico de autorregulación del

pensamiento formal para el aprendizaje de la Matemática y el reto principal es llevar

a la práctica estos elementos teóricos.

Hay que resaltar algunas consideraciones que han surgido de una serie de

investigaciones relacionadas con el tema del pensamiento formal en los adolescentes

que condicionan las propuestas de las teorías formuladas por Piaget e Inhelder:

69

- Es un error afirmar que el pensamiento de los adolescentes puede llegar a

un desarrollo pleno; creer que por sus edades están lo suficientemente

habilitados para abordar aprendizajes abstractos es un mito. Según del

Pozo y Carretero (1986) se puede afirmar que algunos adultos incurren en

muchos errores o deficiencias de pensamiento.

- No se puede generalizar esta teoría para todos los grupos de alumnos.

- El pensamiento formal no se desarrolla simplemente siguiendo el nivel de

maduración, se necesita también de las intervenciones pedagógicas, “las

actividades escolares bien organizadas y estructuradas favorecen el

acceso al pensamiento formal, pero a condición de que insistan no sólo

en la transmisión de métodos, sino también de marcos conceptuales o

contenidos” (del Pozo y Carretero, 1986:15).

- No siempre el logro de una habilidad cognitiva o estrategias de

razonamientos en una situación o contexto particular de aprendizaje puede

ser generalizada a otras diferentes.

Podemos entonces citar también la aportación que hace Snow (1986:285),

para determinar las directrices en el enfoque didáctico que asumiríamos los

profesores para fomentar el pensamiento formal en los estudiantes; las principales

serían las siguientes:

- “Utilizar el papel de los errores como fuente de aprendizaje y como base

para la detectación de las estructuras cognoscitivas de los estudiantes.

- Considerar que toda instrucción es incompleta para el estudiante, pues

no hay un solo docente que pueda enseñar todo lo que un estudiante

necesita para dominar una materia o un tema.

- Tener en cuenta que transferir, generalizar un aprendizaje de una

situación a otra, es un deseo y un objetivo de algunos docentes, pero una

tarea extremadamente difícil para muchos estudiantes.

- No perder de vista que la enseñanza de procedimientos puede en

ocasiones llevar a «deshacer estrategias de aprendizajes en estudiantes

capaces».

- Tener presente la diferencia entre el procesamiento de información

automático y el conscientemente controlado.

- Por lo general, la relación del alumnado con el conocimiento no es de

carácter estereotipado. Los estudiantes suelen ser «idiosincráticos,

inventivos y astutos»”.

70

Como podemos apreciar la tarea de orientar el aprendizaje en el nivel del

pensamiento formal y sobre todo en las matemáticas posee un grado considerable de

complejidad que para ser superado de una manera aceptable, se necesitan estudiar y

analizar todas las dimensiones y aspectos que forman parte de un posible modelo de

intervención pedagógico.

I.6.1.5. Aprendizaje por Descubrimiento de Bruner

Jerome Bruner, psicológo norteamericano, expuso una teoría más cercana a la

forma en la que se aprenden las matemáticas. Su enfoque se materializa en la

representación cognoscitiva de los conceptos matemáticos. Este interés por los

procesos cognitivos humanos, son definidos por él y otros colaboradores, como los

medios a través de los cuales los seres humanos obtienen, retienen y transforman la

información que proviene del medio; fomentó las bases de una versión más

pedagógica para la reestructuración del currículum de las matemáticas escolares

hacia la década de los 60, aunque ya desde 1956 se venía trabajando en esta línea.

Bruner describe la importancia de la representación de los conceptos en la

estructuración de la enseñanza de las matemáticas no sólo escolares, sino también a

nivel general, específicamente de tres modos de representación: enactiva, icónica y

simbólica. La representación enactiva se origina a través del uso de respuestas

motrices para explicar eventos o hechos pasados en una forma material, tangible o

concreta para dar explicación a un concepto, es por esta razón que observamos en

algunas personas y sobretodo en los niños, el uso de las manos, dedos o cualquier

otro material de fácil manipulación, para desarrollar las operaciones aritméticas

fundamentales.

“El segundo modo de representación, el icónico, nos separa un paso de lo

concreto y físico para entrar al campo de las imágenes mentales” (Resnick & Ford,

1990:139), esto representa una analogía de lo que Piaget denomina, esquemas

mentales; las personas tenemos la facultad de representar, no sólo mentalmente, sino

también gráficamente los conceptos matemáticos para internalizarlos de una manera

más efectiva. En la mayoría de los casos en los que se resuelven problemas tanto

sencillos como complejos se recurre al uso de gráficos para ayudar al alumno a

comprender holisticamente la estructura del problema.

Finalmente tenemos la representación simbólica, la cual implica un nivel

mayor de abstracción “que para Bruner es la tercera forma de capturar las

71

experiencias en la memoria, se posibilita sobretodo por la aparición de la

competencia lingüística” (Op. cit.,1990:140), y es precisamente en este modo de

representación donde debemos tener cuidado en el proceso didáctico de la

Matemática, puesto que, el aprendizaje del alumno se debe llevar a través de un

proceso gradual para la comprensión y aplicación del lenguaje matemático en forma

oral y escrita para evitar errores que ocasionarían un total analfabetismo numérico

que también es agudizado por el uso de pedagogías tradicionales caracterizadas por

el formalismo simbólico las cuales impiden el desarrollo normal de los conceptos

matemáticos en niños, e incluso en los adultos.

Esta es una de las principales razones que apoyan la estructuración de la

propuesta didáctica a ser implementada y evaluada en esta investigación en donde se

parte de la resolución de problemas como pilar fundamental en el desarrollo del

pensamiento formal; aquí la organización de la información y el cómo ésta se

representa son claves para la comprensión inicial de los problemas que se plantean en

las matemáticas, en consecuencia nuestra propuesta se basará en la siguiente

secuencia de organización de la información:

- Representación y organización en forma gráfica: consiste en el uso de

dibujos, diagramas, fotos, imágenes, etc.

- Representación y comprensión del lenguaje verbal y escrito: su finalidad

es la utilización correcta del lenguaje castellano.

- Representación, organización y comprensión simbólico-formal de

conceptos matemáticos: el objetivo de este último paso es el de comunicar

en forma eficiente la información a través del uso correcto de las

notaciones matemáticas.

Todo esto partiendo del supuesto de que el aprendizaje se desarrolle mediante

las tres etapas expuestas por Bruner, porque quizá la investigación demuestre que en

casos particulares haya alumnos que construyan su aprendizaje siguiendo una

secuencia diferente. También se puede observar que el modo enactivo no se incluye,

puesto que, “ciertas ideas matemáticas pueden aprenderse directamente de las

imágenes y sin una previa dependencia de la representación enactiva” (Orton,

1990:179). Esta afirmación parece indicar que esta secuencia de representaciones

depende mucho de la naturaleza del tipo de conocimiento matemático el cual debe

ser analizado antes de abordarlo con este enfoque pedagógico.

Para Bruner el aprendizaje significativo se logra a través de un proceso de

descubrimiento guiado por la curiosidad del que aprende, por consiguiente el

72

currículo debe orientarse hacia la creación de “oportunidades para que los

estudiantes expandan su conocimiento desarrollando y probando hipótesis en lugar

de tan sólo leer y escuchar al profesor” (Good & Brophy, 1995:163).

Las orientaciones de Bruner indican la organización del proceso didáctico en

actividades que fomenten la manipulación activa de objetos para “transformarlos por

medio de la acción directa, así como las actividades que los animen a buscar,

explorar, analizar o procesar de alguna manera la información que reciben en lugar

de sólo responder a ella” (Op. cit., 1995:163). El fundamento de estas series de

actividades consiste en que los alumnos desarrollen y apliquen estrategias generales

de pensamiento para lograr aprender a aprender, lo cual garantizaría la consolidación

de habilidades cognitivas de alto nivel necesarias para el pleno desenvolvimiento del

razonamiento formal.

I.6.1.6. Aprendizaje significativo de David Ausubel

Ausubel (1973) expone en su teoría del Aprendizaje Significativo la

importancia que tiene el aprendizaje con significado de las tareas escolares en

oposición a los contenidos sin sentido psicológico para el alumno. Ausubel (1973),

destaca el papel fundamental de los conceptos previos o prerrequisitos para la

consecución de nuevos aprendizajes que denominó organizadores avanzados, que

son los contenidos introductorios claros y estables, relevantes e inclusivos del

contenido que se va a enseñar, “si tuviera que reducir todo la psicología educativa a

un solo principio diría lo siguiente, el factor más importante que influye en el

aprendizaje es lo que el alumno ya sabe, averiguase esto y enséñese en

consecuencia” (Ausubel, citado por Novack y Gowin, 1988:60).

El aprendizaje significativo como concepto fundamental de la teoría de

Ausubel se define como la “adquisición de nuevos significados. Es un proceso

mediante el cual nueva información es relacionada con una información pertinente

que existe en la estructura cognoscitiva del aprendiz” (Lejter, 1990:19). Según Díaz

& Hernández (2002:39) “el aprendizaje significativo es aquel que conduce a la

creación de estructuras de conocimiento mediante la relación sustantiva entre la

nueva información y las ideas previas de los estudiantes”.

Lo que expone Ausubel en cuanto a “lo que el alumno ya sabe” guarda cierta

relación con las jerarquías de aprendizaje; este representante del constructivismo

habla de aprendizaje subordinado, donde la información nueva adquiere significado a

73

través de los conceptos previos que están presentes en la estructura cognoscitiva del

alumno, a estos se les denomina conceptos integradores u organizadores avanzados,

de esta manera se da un proceso cognoscitivo que Ausubel llama reconciliación

integradora, donde “las nuevas informaciones son adquiridas y las viejas pueden

reorganizarse y adquirir nuevos significados” (Lejter, 1990:15).

En función de las ideas centrales de la teoría de Ausubel antes mencionadas,

se plantean aspectos esenciales a ser tenidos en cuenta en la instrucción y

específicamente en la organización del contenido, el cual debe tener sentido o ser

significativo, ya que por el contrario, no tiene valor y se dificulta su transferencia por

carecer de sentido, “en este sentido se sugiere que los alumnos realicen aprendizajes

significativos por sí mismos o lo que es lo mismo que aprendan a aprender. Así se

garantiza la comprensión y la facilitación de nuevos aprendizajes al tener un soporte

básico en la estructura cognitiva previa construida por el sujeto” (Aznar et al.,

1992:120). En consecuencia para lograr un aprendizaje significativo en la

organización del contenido es necesario incluir las siguientes variables cognoscitivas:

La primera se refiere al anclaje de los materiales, es decir, a la relación que

debe existir entre el nuevo material y las ideas inclusivas o conceptos previos. La

segunda variable es “la discriminalidad del material novedoso respecto a los

conocimientos establecidos […] y hace posible el aprendizaje significativo” (Op. cit.,

1992:129). La última variable está relacionada con la permanencia del nuevo

material aprendido en la memoria y en la estructura cognitiva del alumno, que

dependen de la estabilidad y claridad de los organizadores avanzados, y de la

asimilación del material aprendido con antelación.

Este enfoque en la organización de un contenido para la elaboración de un

nuevo material es importante en el momento de atender las diferencias individuales y

las particularidades del grupo de estudiantes. Cabe destacar que uno de los problemas

que se presentan en la enseñanza de la Matemática en los alumnos del primer

semestre de la carrera Educación Integral de la UNELLEZ-Barinas es precisamente

la falta de un material significativo, con sentido, que se adapte realmente a los

conceptos previos o nivel de entrada que posee el aprendiz. Por el contrario se

utilizan textos de Matemática que todavía no tienen significado para el alumno. Por

consiguiente, un medio instruccional antes de ser elaborado y presentado debe

respetar las variables antes señaladas para lograr mejores resultados en el proceso de

enseñanza aprendizaje, puesto que, de acuerdo con Cubillo (1996:70) “Atribuir las

causas del fracaso en Matemáticas sólo a las características de los alumnos sería

una consideración totalmente unilateral. De esta consideración del problema surge

74

el planteamiento de que es necesario adaptar el currículum de Matemáticas a los

alumnos y no a la inversa. Esto significa asumir la responsabilidad de determinar

cuáles son las habilidades fundamentales para el aprendizaje escolar y organizarse

para propender al desarrollo”.

Para Ausubel el eje central de la instrucción es el alumno, por lo tanto, debe

ser individualizada en la mayoría de los casos a pesar de que se planifique en función

del grupo, por ello, se recomienda la instrucción programada o el uso de un buen

texto programado.

Muchas son las recomendaciones que se hacen para reformar los contenidos y

métodos de enseñanza en el sistema educativo en donde “no sólo se abunde en el

‘saber’, sino también en el ‘saber hacer’ ni tanto en el ‘aprender’, como en el

‘aprender a aprender’ ” (Aznar et al, 1992:119). Estos autores exponen legalidades

en el proceso que se deben contemplar en un Diseño Curricular de Base, estas son:

1. Partir del nivel de desarrollo del alumno (conocimientos previos).

2. Crear las condiciones para construir aprendizajes significativos (Ausubel,

1982).

3. Modificar los esquemas mentales del sujeto, como resultado del

aprendizaje significativo logrado por los alumnos.

Como se puede apreciar, estas orientaciones teóricas servirán de soporte en el

momento de elaborar un buen material instruccional, no sólo en el área de

Matemática sino también en otras.

Dentro de la teoría ausubeliana se tienen en cuenta dos aspectos que son

importantes y que por lo tanto se definen a continuación:

En primer lugar debe existir una actitud o predisposición adecuada por parte

del sujeto hacia el aprendizaje, es decir, “una disposición para relacionar no

arbitrariamente sino sustancialmente el material nuevo con su estructura

cognoscitiva”. También un material significativo puede aprenderse por repetición, no

necesariamente debe implicar una pasividad en el alumno.

En segundo lugar está el sentido lógico y el sentido psicológico. El primero se

refiere al contenido y a su comprensión interna en cuanto a la estructura conceptual

del mismo. El segundo está relacionado con la disponibilidad de motivación que

despierte en el alumno dicho contenido, es decir, que un material a pesar de tener un

75

sentido lógico, a veces no tiene para el alumno un sentido psicológico que por lo

menos le despierte cierta motivación, que para lograrla se han de tomar muy en

cuenta las características particulares de ese estudiante.

Otro elemento fundamental para que un aprendizaje sea significativo es

utilizar la técnica de los mapas conceptuales los cuales “dirigen la atención, tanto del

estudiante como del profesor, sobre el reducido número de ideas importantes en las

que deben concentrarse en cualquier tarea específica de aprendizaje” (Chadwick,

1988:18); estos se utilizan en la elaboración del material didáctico para otorgarle lo

que Ausubel denomina “material con sentido”.

Esta técnica elaborada por Novack y Gowin (1988), que se basa en la teoría

de Ausubel y resulta de gran utilidad en el logro del aprendizaje significativo, puesto

que ayudan a representar las relaciones significativas entre los conceptos teóricos de

un contenido a través de proposiciones más sencillas; tal y como lo mencionan estos

autores: “Un mapa conceptual es un recurso esquemático para representar un

conjunto de significados conceptuales incluidos en una estructura de proposiciones”

(Novack & Gowin, 1988:33).

Los mapas conceptuales sirven de refuerzo al aprendizaje del alumno y

contribuyen a una mejor orientación y retroalimentación del docente para con el

alumno. Esta estrategia cognoscitiva tiene un sentido jerárquico ya que los conceptos

más generales e inclusivos se localizan en la parte superior del mapa y los conceptos

más específicos, en un orden progresivo y menos inclusivo en la inferior, por

consiguiente “La ejecución de los mapas conceptuales por parte de los estudiantes

constituyen una estrategia de aprendizaje en el camino de la adquisición de los

significados de los conceptos, convirtiéndose así en unos de los instrumentos más

eficaces del aprendizaje significativo” (Lejter,1990:72).

Al respecto Martínez y Garfella (1992) después de interpretar las ideas de

Novack y Gowin sugieren cuatro actividades fundamentales para introducir al

alumno en el uso de esta estrategia de aprendizaje que seguidamente recogemos:

1. Ayudarles de manera explícita a que vean la naturaleza y el papel de los

conceptos y relaciones entre conceptos, tal como existen en sus mentes y

como existen fuera, en la realidad o en la enseñanza oral y escrita.

2. Asistirlos en la extracción de conceptos específicos (palabras) del material

oral o escrito y en la identificación de relaciones entre estos conceptos a

través de palabras de enlace.

76

3. Transmitir la idea de que los mapas conceptuales presentan un medio de

visualizar conceptos y relaciones entre conceptos.

4. Construir los mapas conceptuales varias veces, para evitar errores

haciendo que sean limpios, es decir, claros, no amontonados y confusos.

Dentro de las aplicaciones educativas adicionales que generan los mapas

conceptuales se puede mencionar la exploración o diagnóstico de lo que el alumno ya

sabe antes de iniciar el aprendizaje, los profesores se pueden trazar una ruta de

aprendizaje, se logran extraer los significados de los libros de texto y le ayudan a

realizar una evaluación final del aprendizaje.

Los mapas conceptuales constituyen una técnica efectiva en la evaluación

formativa del aprendizaje, retroalimentando y orientando tanto al alumno como al

profesor, además de fomentar la creatividad. Son muchos los alumnos que se dan

cuenta de la existencia de nuevas relaciones y significados entre conceptos que con la

sola instrucción no logran internalizarlos.

La integración social entre docente alumno y alumno-alumno se facilita

también con esta técnica. Por ejemplo en el grupo donde aplicamos el material

didáctico, se le solicitó a los estudiantes que trabajaran en parejas y plasmaran las

discusiones e ideas en mapas conceptuales; surgieron gran cantidad de

participaciones de los alumnos creando un clima social efectivo en beneficio del

aprendizaje de los contenidos señalados. “Hay que vencer la falta de significatividad

de la información y la victoria consiste en llegar a compartir los significados”

(Novack y Gowin, 1982:42).

En última instancia cabe destacar el valor de los mapas conceptuales en la

evaluación de los aprendizajes, los cuales nos pueden servir de ayuda para realizar la

evaluación diagnóstica determinando lo que el alumno “ya sabe” acerca de un tema,

a verificar los cambios en la estructura cognoscitiva y cognitiva del alumno una vez

aplicada la instrucción, evaluar la comprensión de un tema y el reconocimiento de

incongruencias entre la relaciones de conceptos; también pueden dar una idea del

nivel óptimo alcanzado en el proceso de enseñanza aprendizaje.

Finalmente, según Good & Brophy (1995:161), la teoría de Ausubel nos

aporta las siguientes directrices para organizar el aprendizaje significativo en los

alumnos:

77

- “Iniciar las lecciones con presentaciones previas que incluyan principios

generales, introducciones o preguntas.

- Describir brevemente los objetivos de aprendizaje y los conceptos claves.

- Presentar el material nuevo en pequeños pasos organizado y secuenciado

de manera lógica.

- Producir respuestas en el estudiante de manera regular para estimular el

aprendizaje activo y asegurarse de que cada paso este logrado.

- Terminar con una revisión de los puntos principales.

- Dar seguimiento a la lección con preguntas o trabajos que requieran que

los estudiantes codifiquen el material en sus propias palabras y lo

apliquen en nuevos contextos”.

I.6.1.7. Teoría específica del Aprendizaje Matemático de Dienes

La mayor contribución de Zoltan P. Dienes fue la elaboración y aplicación de

una teoría específica del aprendizaje de los conceptos matemáticos apoyándose

principalmente en los trabajos de Piaget y Bruner. “Su trabajo supone una propuesta

de combinar los principios psicológicos y matemáticos en la enseñanza basada en la

estructura” (Resnick & Ford, 1990:143).

La particularidad del enfoque de Dienes para la enseñanza de las matemáticas

supone el uso de materiales y juegos concretos en secuencias de aprendizajes

cuidadosamente planificadas, el ejemplo más ilustrativo es el del valor posicional,

para lo cual Dienes construyó los Bloques Aritméticos Multibase (M.A.B.) para

iniciar a los niños en un entorno adecuado de aprendizaje temprano para la

construcción del valor posicional. La teoría de Dienes se define en cuatro principios

didácticos:

1. Principio Dinámico: Es una derivación y aplicación del enfoque

piagetiano. “Dienes se refirió a las tres etapas de Piaget en la formación

del concepto y las describió como etapa del juego, etapa de la estructura

y etapa de la práctica” (Orton, 1990:178); estas etapas también están muy

relacionadas con las propuestas por Bruner.

2. Principio Constructivo: Es una versión algo primitiva del

constructivismo, se relaciona con los conceptos individuales del

aprendizaje y no se considera la relación entre asimilación y la estructura

cognitiva existente. El aprendizaje matemático es de naturaleza jerárquica

en el que el nuevo conocimiento debe relacionarse con el ya existente.

78

3. Principio de Variabilidad Matemática: Se refiere al número de variables

que puede tener un concepto matemático; según este principio se deben

combinar o variar los elementos de un concepto para lograr una mayor

comprensión de éste; un concepto matemático está constituido

generalmente por un número de variables y es la persistencia de la

comprensión de la relación entre éstas, mientras éstas cambian, lo que

determina el aprendizaje del concepto matemático. En este caso se

recomienda en el caso de la Geometría, variar las medidas de longitudes,

ángulos y orientación de las figuras para llevar a los alumnos a una mejor

comprensión de los conceptos geométricos presentes.

4. El principio de variabilidad Perceptiva: Consiste en la necesidad de

disponer de diferentes diseños de materiales concretos para la enseñanza

de conceptos similares, como en el caso de las figuras geométricas éstas

podrían representarse en la pizarra, papel, fabricados en madera, metal o

plástico.

La teoría de Dienes le ha proporcionado a la Didáctica de la Matemática un

enfoque más flexible para comprender desde una visión más completa y

estructuradora la forma en que los niños logran el aprendizaje matemático, con esto

se le atribuye mayor importancia a los procesos involucrados más que la simple

adquisición de información. Para Dienes (1960), “la importancia de las Matemáticas

escolares radicaba en la estructura que presentaban, y no tanto en el contenido,

como consecuencia precisamente de concebir las matemáticas como estructuras

encadenadas” (Llinares, 1994:194).

I.6.1.8. Teoría de la Zona del Desarrollo Próximo de Lev Vygotsky

La teoría desarrollada por el psicólogo ruso Lev Vygotsky (1.896-1.934) se

conoce también como teoría del aprendizaje sociocultural y las ideas que se exponen

en esta postura epistemológica de la Psicología del Aprendizaje agrega a la

explicación del aprendizaje humano un matiz más social, es decir, el aprendizaje

tiene como factores determinantes las interacciones que se originan entre el aprendiz

y el que enseña, en consecuencia, el desarrollo de los procesos mentales que se

involucran en la organización de nuevas experiencias y significados se debe al modo

en que recibimos ayuda de otras personas que poseen un nivel más elevado de

aprendizaje, por lo tanto, “el aprendizaje lo concibe Vigotsky como un proceso

dinámico por medio del cual el alumno se apropia no sólo del conocimiento, sino

también de nuevas formas de conocer la realidad” (Terán et al., 2005:22).

79

Vygostky, al igual que Piaget, da una gran importancia a los factores

genéticos y evolutivos del pensamiento, sin embargo, considera que estos no logran

su pleno desarrollo sin los factores externos que brinda el contexto social en que nos

desenvolvemos. Como lo señalan Miranda et al. (1998:56) “Vygostky considera el

contexto sociocultural como aquello que llega a ser accesible para el individuo a

través de la interacción social con otros miembros de la sociedad, que conocen

mejor las destrezas e instrumentos intelectuales, y afirma que, la interacción del

niño con miembros más competentes de su grupo social es una característica

esencial del desarrollo cognitivo”.

Es aquí donde nace el concepto de la zona de desarrollo próximo o potencial,

definida por el mismo Vygostky como “la distancia entre el nivel real de desarrollo,

determinado por la capacidad de resolver independientemente un problema, y el

nivel de desarrollo potencial, determinado a través de la resolución de un problema

bajo la guía de un adulto o en colaboración con otro compañero más capaz”

(Vygostky, citado por Aznar et al.1992:107). Esta postura nos conduce a

redimensionar los procesos de enseñanza-aprendizaje, puesto que, para el

constructivismo el aprendizaje es una responsabilidad individual en donde somos

responsables de procesar y estructurar la nueva información para organizar y lograr

cambio significativo de experiencias, ahora, la zona de desarrollo próximo le

incorpora una gran responsabilidad al docente y al contexto social al que pertenecen

en la formación del alumno.

Las implicaciones de esta postura van desde el análisis de la interacción que

tienen los padres con sus hijos en la formación de los valores y creencias de la

sociedad o grupo cultural, hasta la educación formal que el sistema que un estado

administra para la preparación del un ciudadano productivo, íntegro, crítico, con

actitudes y aptitudes que le permitan desenvolverse adecuadamente en su entorno,

por lo tanto, sin educación no existe el verdadero desarrollo de las habilidades y

destrezas del pensamiento. “El desarrollo basado en la enseñanza es un hecho

fundamental. La única educación que es útil al alumno es aquella que mueve hacia

delante su desarrollo y lo dirige” (Vygostky, citado por Rodríguez, 2001:265).

Otro de los elementos centrales de la teoría del aprendizaje sociocultural, es el

concepto de internalización o la Ley de doble función. La internalización es un

proceso de reconstrucción que se efectúa al nivel del pensamiento humano de los

procesos y operaciones que se ejecutan en el exterior, de esta manera, por ejemplo,

en la aritmética el concepto de adición como operación externa puede transformarse

en interpretaciones cognitivas no iguales, pero semejantes una vez que ha pasado por

80

el proceso de reconstrucción que ejecuta cada persona en sus esquemas mentales. El

concepto de la Ley de doble función es una relación de doble implicación entre los

factores sociales y las funciones psicológicas, es decir, “una interacción social, y un

proceso de mediación interna, que tiene lugar en el plano mental y que se produce

mediante el uso de estrategias de procesamiento” (Aznar et al., 1992:110).

La formación de conceptos es otro de los elementos que constituyen el

enfoque de Vygostky, quien los clasifica en conceptos espontáneos y científicos. Los

conceptos espontáneos se desarrollan como producto de la interacción social y la

actividad consciente que la persona orienta hacia los objetos que le rodean, este

proceso se inicia desde la infancia y su desarrollo depende significativamente del

lenguaje como mecanismo responsable en la dirección de nuestros pensamientos, tal

como lo señalan Good & Brophy (1995:64): “El pensamiento y el lenguaje se

desarrollan en su mayor parte de manera separada hasta que los niños comienzan a

volverse operacionales. Entonces los esquemas verbal y cognoscitivo se asimilan

entre sí y se coordinan en esquemas más potentes y diferenciados que por último se

convierten en estrategias para aprender a aprender, lógica operacional concreta y

otras habilidades de procesamiento de información y solución de problemas”.

Es aquí donde el uso del símbolo y la palabra o cualquier código de signos

son parte fundamental en la construcción de los conceptos tanto espontáneos como

científicos. Los conceptos científicos son considerados como los verdaderos

conceptos. “Estos a diferencia de los espontáneos, se adquieren en el espacio de la

instrucción y provocados por causas diferentes” (Aznar et al., 1992:115). Estos

conceptos dependen de una verdadera acción cognitiva hacia la construcción mental

consciente de los propios conceptos con características más formales que intuitivas.

Dentro de las implicaciones educativas que la teoría del aprendizaje

sociocultural ha originado se derivan las siguientes:

- La posibilidad de organizar el proceso de aprendizaje en unidades

didácticas orientadas a lograr una verdadera transformación del desarrollo

cognitivo.

- La función docente debe estar centrada en la creación de recursos y

herramientas que ayuden al alumno a lograr una autoconstrucción del

aprendizaje.

- La zona de desarrollo próximo nos posibilita una gran ventaja para

determinar de manera cualitativa el proceso interno que los alumnos

81

ejecutan durante el aprendizaje y cómo las funciones psicológicas se van

desarrollando en la evolución de los procesos cognitivos.

- La zona de desarrollo próximo aporta elementos interesantes para el

proceso de evaluación, desde sus diferentes dimensiones diagnóstica,

continua, dinámica, flexible, holística, puesto que, al establecer la

distancia entre la zona potencial y la zona real de desarrollo podemos

realizar diagnóstico del estado evolutivo de los procesos evolutivos y

proyecciones en cuanto su futuro desempeño.

- Si el desarrollo cognitivo está determinado por la interacción social con

personas de mayor formación, entonces se debe potenciar las estrategias

de enseñanza orientadas hacia el trabajo en grupos, de esta manera con el

aprendizaje cooperativo las personas podrían madurar sus funciones

mentales para lograr un aprendizaje efectivo.

El estudio de estas implicaciones de la teoría de Vygotsky ha desembocado

en la corriente epistemológica denominada constructivismo social, que se apoya en la

premisa de la construcción social de todo aprendizaje, por consiguiente todo proceso

didáctico que se ejecute en esta dirección debe tomar en cuenta como factor principal

el ambiente social en condiciones naturales, es decir, las actividades de enseñanza y

aprendizaje deben estar relacionadas con la vida cotidiana del alumno para que este

pueda darle significado a la nueva información que recibe. En el caso de las

matemáticas, resulta muy oportuno dirigir los temas hacia el entorno geográfico en el

que se ubica la escuela o el centro de enseñanza, o a las actividades comerciales que

se desarrollan en la región, ya que esto crearía un ambiente más propicio para el

logro un aprendizaje significativo y en consecuencia, más efectivo para el alumnado,

por el contrario, si se utilizan actividades que son importadas de otros contextos

sociales y geográficos, resultará más difícil la comprensión de los conocimientos

originando un aprendizaje más memorístico y repetitivo.

Good & Brophy (1995:168), presentan en el siguiente cuadro (Tabla 1.6.) un

análisis comparativo entre el enfoque tradicional caracterizado por la sola

transmisión y exposición y el punto de vista de la construcción social de la enseñanza

y el aprendizaje.

82

Punto de vista de la transmisión Punto de vista de la construcción social

El conocimiento como un cuerpo fijo transmitido por el profesor o del texto a los estudiantes.

El conocimiento como construido por medio de la discusión.

Textos y profesor como autoridades del conocimiento

La autoridad del conocimiento reside en la construcción de los argumentos de los estudiantes en función de los conocimientos formalizados.

El profesor es el responsable del proceso didáctico.

El profesor y alumnos comparten la responsabilidad del proceso didáctico.

El profesor, explica, analiza y juzga la corrección de las respuestas de los alumnos.

El profesor actúa como líder de la discusión, promueve el diálogo entre el grupo de estudiantes.

Los estudiantes memorizan y repiten información.

Los estudiantes procuran dar sentido a la información nueva relacionándola con la que poseen y consolidándola a través del diálogo con los demás.

El discurso se centra producir respuestas correctas.

El discurso enfatiza la discusión reflexiva de redes de conocimiento conectadas.

Las actividades enfatizan modelos que siguen algoritmos paso por paso.

Las actividades enfatizan las aplicaciones para resolver problemas auténticos que requieren del pensamiento de orden superior

Los estudiantes trabajan en su mayor parte solos con la finalidad de prepararse para competir por la recompensa de pasar o aprobar exámenes.

Los estudiantes colaboran actuando como una comunidad de aprendizaje que construye conocimientos compartidos por medio del diálogo sostenido.

Tabla 1.6. Análisis comparativo entre el punto de vista de la transmisión y punto de vista de la construcción social del aprendizaje y la enseñanza.

I.6.1.9. La transposición didáctica como teoría básica en la epistemología

de la Didáctica de la Matemática

Esta interesante teoría surge por la necesidad de tener un enfoque

epistemológico más específico de la Didáctica de la Matemática, sus orígenes se le

acreditan a la escuela francesa de Educación Matemática, cuyos máximos

representantes son Brousseau, Chevallard y Vergnaud. Para no desviarnos tanto del

objetivo central de la investigación, se explicarán los elementos más relevantes,

siguiendo el trabajo de Godino (1991) y Christin (2001).

En primer lugar describiremos algunos términos fundamentales para la

comprensión del concepto de Transposición Didáctica, los cuales conforman una

definición global de la Didáctica de la Matemática como disciplina científica. El

punto de partida lo conforma la idea de desarrollar modelos que comprendan las

dimensiones epistemológicas, sociales y cognitivas para tener una comprensión más

aproximada de las interacciones entre el saber, los alumnos y el profesor, dentro del

aula de clase; de esta manera se va construyendo una base conceptual del Sistema

Didáctico y de los tres subsistemas: profesor, alumno y saber, señalados por Christin

(2001) como la célula primaria o terna didáctica por considerarla como “la base del

esquema por la cual la Didáctica de la Matemática puede pensar su objeto, y

83

considerar su sujeto” (Christin, 2001:1). En segundo lugar la Noosfera, que

desempeña una función intermedia entre el Sistema Didáctico y el mundo externo a

la escuela o institución educativa, constituida principalmente por la sociedad en

general, los padres, profesores de Matemática, etc.

El aprendizaje y la enseñanza de la Matemática es enfocada con la Teoría de

las Situaciones Didácticas, la cual formula la iniciativa de estudiar “un conjunto de

relaciones explícita y/o implícitamente establecidas entre el alumno o un grupo de

alumnos, algún entorno (incluyendo instrumentos o materiales) y el profesor con un

fin de permitir a los alumnos aprender-esto es, reconstruir-algún conocimiento”

(Godino, 1991:28), la construcción de este conocimiento no es posible sin el interés

personal del alumno por la resolución del problema planteado en la situación

didáctica, lo que nos indica una evolución hacia una postura de independencia

cognitiva por los estudiantes, que es fundamental para el aprendizaje de las

matemáticas y de las demás disciplinas científicas.

Esta teoría también señala algunos tipos de obstáculos en la construcción del

aprendizaje; estos pueden ser ontogéneticos, los relacionados con las características

psicogenéticas debidas al desarrollo del niño, los didácticos y los epistemológicos.

El último planteamiento que nos presenta esta concepción autónoma de la

Didáctica de la Matemática, es la relación con el saber, constituido por la relatividad

del conocimiento respecto de las instituciones, denominada Transposición Didáctica,

“el cual se refiere a la adaptación del conocimiento matemático para transformarlo

en conocimiento para ser enseñado” (Godino, 1991:29), estas diferencias entre el

saber enseñado y el saber institucionalizado son la esencia del estudio de la

transposición didáctica, el cual abarca el análisis de las clases de diferencias y

determinar las causas por las cuales se han producido, con la finalidad de superarlas

y evitar que la enseñanza transmita significados inadecuados sobre los objetos

matemáticos.

84

I.6.2. Conclusiones

La Psicología ha desempeñado una función importante en el estudio de los

diferentes procesos que intervienen en nuestro aprendizaje. La Psicología del

Aprendizaje como rama de esta ciencia, conocida desde sus inicios por el uso de

métodos experimentales para el desarrollo de sus investigaciones, con la finalidad de

encontrar las respuestas a los diversos problemas en un campo tan complejo como el

de la conducta humana, nos ofreció en un primer intento explicaciones sobre el

aprendizaje, definiéndolo como un cambio de conducta observable condicionado a

una simple relación o asociación entre un estímulo y una respuesta. Las

implicaciones de esta definición no se dejaron esperar por los investigadores de las

ciencias de la educación de la época, quienes apoyaron la tesis de incorporar

estrategias basadas en la instrucción directa y repetida del conocimiento para obtener

el cambio de conducta deseado; observamos cómo las Leyes del efecto y del

ejercicio de Thorndike (1913) y la instrucción programa de Skinner (1974) son

incorporadas en la planificación de la enseñanza y muy especialmente en los textos,

no obstante la forma rigurosa, estática y mecanicista con la cual se enseñaban las

matemáticas producto de esta tendencia conductista, comienza a ser cuestionada.

En el caso de las matemáticas surgieron muchas dudas sobre si realmente la

ejercitación continua de ejercicios y problemas lograban el aprendizaje esperado por

los programas de estudio y si los refuerzos positivos o negativos fortalecían o

debilitaban el desempeño de los alumnos en tareas matemáticas. La realidad ha

demostrado que sin los procesos de internalización y comprensión de los procesos de

razonamiento y de la estructura global de los conceptos, el desempeño de los

estudiantes en las matemáticas suele ser precario.

Gagné (1977) incorpora nuevas formas de explicar el aprendizaje e introduce

el concepto de jerarquías del aprendizaje, sin embargo su postura no se desprende

mucho del enfoque conductista, gracias a esta posición conocida también como el

neoconductismo, se pudo organizar la enseñanza y la evaluación a través de la

formulación de objetivos para precisar la conducta que se requería modificar bajo

unas condiciones de ejecución y criterios de evaluación definidos, lo que originó la

tecnología educativa y el enfoque de sistemas para la instrucción y la enseñanza, el

cual reducía el proceso didáctico en tres pasos elementales para lograr los objetivos

terminales:

85

La posición conductista del aprendizaje nunca se preocupó por investigar los

procesos internos que suceden desde el inicio del estímulo hasta la respuesta, su

explicación se reduce a una simple relación de causa y efecto, por lo tanto, la

enseñanza de las matemáticas estuvo fundamentada bajo los paradigmas de la

transmisión verbal, calculista y algorítmico, según Gutiérrez (1983) y Gil (1988)

citados por González (1994), cuyo centro del proceso didáctico es, por un lado, el

conocimiento matemático del profesor, quien utilizaba a su vez un procedimiento de

enseñanza expositivo y un texto guía como recurso, y por el otro, las matemáticas

como una disciplina formal ya construida, la cual debía transmitirse respetando su

carácter científico.

Esta situación dejó vulnerable al conductismo con respecto a las nuevas

corrientes cognitivas y constructivistas, cuyos aportes han logrado cubrir el vacío

dejado en el proceso didáctico de las matemáticas y en las demás áreas del currículo.

La primera corriente psicológica que investigó los procesos mentales que se originan

cuando resolvemos problemas fue la Gestalt, escuela alemana de inicios del siglo

XX, cuya teoría del insight o aprendizaje súbito logró aproximarse a las respuestas

sobre cómo aprendemos, y a través de la tesis del aprendizaje productivo constituyó

un significativo aporte para la enseñanza de las matemáticas, puesto que incorporaba

estrategias relativas al razonamiento en la resolución de problemas, es decir, un

procedimiento de enseñanza heurístico para consolidar en los alumnos el aprendizaje.

Este trabajo lo continuaría la Epistemología genética de Piaget (1982), al

explicar la relación entre los desarrollos cognitivo y biológico en los niños,

planteamiento que se concretó en los estadios del desarrollo cognitivo que, en la

mayoría de los programas de estudio fueron incorporados para la enseñanza de las

matemáticas. Además, con los procesos de equilibración y reversibilidad del

pensamiento se pudieron introducir nuevas estrategias para orientar el proceso de

razonamiento en la resolución de problemas, siguiendo una secuencia desde las

operaciones concretas, semi-concretas y abstractas, brindándoles con esto una

oportunidad a los alumnos de construir progresivamente el aprendizaje matemático

significativo, con el apoyo del docente y recursos adaptados al nivel cognitivo del

alumno.

Conductas de entrada del alumno

Procesamiento de la

información

Aprendizajes nuevos o producto

86

Con la continuación de los trabajos de Ausubel (1973) y Brunner (1964) la

teoría de Piaget se fortalece gracias a una revisión crítica de la misma,

posteriormente la contribución de Dienes a través de la construcción de los Bloques

Aritméticos Multibase y sus cuatro principios didácticos conformaron las bases de

una teoría específica del aprendizaje matemático utilizando los fundamentos

psicológicos constructivistas, con los cuales podemos orientarnos para planificar el

proceso didáctico de las matemáticas y diseñar de una forma más precisa diferentes

estrategias y recursos para el aprendizaje que promuevan habilidades cognitivas en

los alumnos para consolidar la comprensión de conceptos, aplicación de operaciones

y propiedades en la resolución de los ejercicios y problemas.

Con el posterior advenimiento y rescate de la teoría de Vygotsky, se le

incorpora a la enseñanza de las matemáticas el constructivismo social y las

investigaciones sobre el aprendizaje dejan de tener no sólo un enfoque cognitivo,

sino que también comienzan con el análisis más profundo de los elementos

socioculturales que modifican el proceso de aprendizaje. La teoría sobre la zona de

desarrollo próximo nos explica cómo los alumnos y las personas en general

dependemos considerablemente del contexto social donde nos desenvolvemos y de

los demás seres humanos para lograr un verdadero aprendizaje, no obstante el

proceso didáctico de las matemáticas depende no sólo de los aspectos cognitivos que

se ejecutan internamente en nuestro cerebro, sino también de los elementos sociales

como las interacciones de significados, la comunicación y la orientación del docente

considerado como un actor fundamental en el desarrollo cognitivo de los alumnos.

El enfoque constructivista ha mantenido su aceptación por la comunidad de

investigadores preocupados por despejar las diferentes incógnitas de los problemas

de la enseñanza, aprendizaje y evaluación de las matemáticas, y la producción de sus

teorías han dejado aportaciones valiosas en el estudio de la Didáctica de la

Matemática, las cuales consideramos para el desarrollo de nuestra investigación, que

persigue dentro de sus objetivos diseñar e implementar un Programa de enseñanza de

estrategias de aprendizaje como una propuesta didáctica bajo en enfoque

constructivista de la Psicología del Aprendizaje para reorientar la práctica

pedagógica de la asignatura Matemática General.

CAPÍTULO II: MARCO METODOLÓGICO

89

CAPÍTULO II:

MARCO METODOLÓGICO

En el presente capítulo se sintetizan los parámetros fundamentales desde el

punto de vista teórico que dirigen el enfoque metodológico en nuestro estudio, para

la búsqueda sistemática de las respuestas a las interrogantes que se han planteado

desde el inicio de esta investigación, en consecuencia se precisan aspectos

relacionados al tipo de investigación a seguir, los métodos, técnicas e instrumentos

utilizados con su respectiva justificación en función de la adecuación de los mismos

al trabajo de campo que pretendemos desarrollar.

II.1. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN

El presente estudio corresponde a una investigación educativa de tipo

cualitativo, por su naturaleza social enmarcada en el contexto del aula de clase

universitaria y por la interacción que hay entre sus participantes. Para Rodríguez et

al. (1996:32): “Los investigadores cualitativos estudian la realidad en su contexto

natural, tal como sucede, intentando sacar sentido o interpretando los fenómenos de

acuerdo con los significados que tienen para las personas implicadas. La

investigación cualitativa implica la utilización y recogida de una gran variedad de

materiales –entrevista, experiencia personal, historias de vida, observaciones, textos

históricos, imágenes, sonidos– que describan la rutina y las situaciones

problemáticas y los significados en la vida de las personas”.

Podríamos decir que los estudios cualitativos expresan una mayor integridad

de las variables porque respetan la naturaleza de las interacciones sociales. Según

Walker (1989:105), citado por Sáez & Carretero (1994:165): “Parte del reciente

entusiasmo por los métodos cualitativos en la investigación educativa se deriva más

de su flexibilidad que de cualquier otra cualidad intrínseca que posean, ya que, a

diferencia de la mayoría de los métodos cuantitativos, pueden adaptarse y

modificarse a medida que avanza el proyecto”, además, “es precisamente la

necesidad de comprender la complejidad, la dinámica y las etapas de los procesos

de cambio, como las sociedades occidentales reclaman al sistema educativo, lo que

sin duda ha contribuido a la generación y al desarrollo de los enfoques

cualitativos”.

90

Aunque estas explicaciones nos ofrecen un camino para esclarecer la esencia

de los estudios cualitativos, para complementar más esta información necesitamos

exponer un resumen de las características que de los mismos hacen Aguilera y

Blanco (1987):

- Su interés se centra en el estudio de los significados sociales.

- Los principales datos que se recogen son los aspectos relacionados a los

procesos de pensamiento, análisis e interpretación y comprensión de

situaciones sociales.

- Posee una metodología amplia, puesto que, no se limita a utilizar técnicas

restringidas sino que abre la posibilidad para obtener la integración de

la observación, entrevistas, análisis de documentos, etc., en la

recolección de la información necesaria del contexto de estudio.

- Los investigadores cualitativos no asignan valores numéricos a sus

observaciones, sino que prefieren registrar sus datos en el lenguaje de

sus sujetos.

- Su diseño es flexible en la investigación para garantizar el

descubrimiento de todas las variables del proceso.

Pérez (1998:27), también aporta un análisis de las características más

relevantes del paradigma cualitativo que guardan semejanzas con las posiciones de

los autores antes citados; estas son las siguientes:

- La teoría constituye una reflexión en y desde la praxis: De acuerdo con la

explicación de la autora el principal objetivo de este enfoque o paradigma

es la construcción de teorías prácticas que nacen desde la misma práctica

y su constitución de reglas más que de leyes.

- Intenta comprender la realidad: Lo más importante no es establecer leyes

sobre la realidad, se quiere establecer regularidades, fijar conceptos,

establecer causas que aporten una comprensión más natural de los

fenómenos estudiados en el contexto social.

- Describe el hecho en el que se desarrolla el acontecimiento: Esta

característica se ejecuta desde dos vertientes: La primera a través de datos

descriptivos constituidos por las propias palabras de las personas,

habladas o escritas, y la segunda mediante la conducta observable, por lo

cual se hace necesaria la pluralidad de métodos y la adopción de

estrategias de investigación específicas, singulares y propias de las

interacciones sociales que tipifican la condición humana.

- Profundiza en los diferentes motivos de los hechos.

91

- El individuo es un sujeto interactivo, comunicativo, que comparte

significados.

De la misma forma Stake (1999:49), describe de manera sintética los

principales elementos de la investigación cualitativa que en resumidas cuentas son

las siguientes:

- Es holística: su contexto de estudio está bien desarrollado; el caso de

estudio se entiende como un sistema limitado, evita el reduccionismo y el

elementalismo, busca comprender más su objeto qué determinar en que se

diferencia de otros.

- Es empírica: está orientada al campo de observación, por lo que no es

intervensionista sino naturalista.

- Es interpretativa: se hace uso de la intuición del investigador para lograr

una mayor interacción entre éste y los sujetos del contexto de estudio.

- Es empática: da mucha importancia a la intencionalidad del actor, a sus

esquemas de referencia, sistema de valores y a todo lo que implica sus

interacciones sociales.

Finalmente citamos a Flores & Tobón (2001:6), quienes señalan la

investigación cualitativa como: “Propia de las ciencias humanas, que permite

comprender racionalmente la vida, la cultura y el acontecer humano sin reducir la

simplicidad mecanicista, sin suprimir al sujeto, ni negar la multiplicidad de

perspectivas teóricas, lenguajes y sentidos que nos caracterizan como seres en

contexto y en interacción permanente con el horizonte de sentido de los demás,

presentes o lejanos en el espacio o en el tiempo”.

Estas orientaciones teóricas de la investigación cualitativa nos llevan a

justificar racionalmente su aplicación en nuestro estudio, para lo cual tomaremos los

elementos que más se adapten de la misma a las necesidades propias de esta

investigación, que desde nuestra perspectiva científica serían los siguientes:

- Centrar el estudio de la realidad en el contexto natural e inalterable, donde

los estudiantes y profesores como actores principales de los

acontecimientos sociales del aula interactúan en el proceso didáctico de la

Matemática.

- Analizar no sólo el resultado de los aprendizajes sino también, y lo que es

más importante, los procesos de pensamiento que se originan en los

mismos.

92

- El uso integrado de las diferentes técnicas de recolección de información

como la observación, las entrevistas, análisis de documentos, los diarios

de campo, etc., para comprender desde un enfoque holístico el caso de

estudio desde sus dimensiones cognitivas, sociológicas y psicológicas de

sus principales actores.

Estos serán los elementos que estructurarán el concepto de la investigación

cualitativa que manejaremos para los efectos de nuestro trabajo de investigación.

II.1.1. Complementariedad de métodos cuantitativos y cualitativos

Aunque se han descrito a grandes rasgos los elementos fundamentales de la

investigación cualitativa para orientar nuestra investigación, también queremos

justificar una posición o enfoque complementario entre los paradigmas cualitativos y

cuantitativos, esto le permitirá al estudio un mayor alcance en cuanto a los resultados

obtenidos, pues consideramos que se deben aprovechar al máximo las ventajas de

ambos paradigmas y no desperdiciar tiempo en discusiones estériles sobre las

diferencias o desventajas que representan cada uno.

Al respecto Pérez (1998:71) nos dice que: “Tanto la orientación de tipo

cuantitativo como cualitativo pueden considerarse interdependientes. De esta

manera se puede iniciar un estudio cualitativo, exploratorio, y posteriormente

emplear métodos cuantitativos para ir ordenando lo que se va descubriendo o, a la

inversa, iniciar un estudio cuantitativo y a lo largo de su desarrollo precisar las

aportaciones cualitativas que permitan clarificar algún aspecto del trabajo al

constatar la necesidad de contar con la información complementaria que aporte una

visión más profunda de la realidad del objeto de estudio”.

También Aguilera & Blanco (1987), están de acuerdo con que ambas

perspectivas son necesarias y pueden utilizarse de manera complementaria, cuestión

que dependerá de la situación específica de cada investigación.

Otras de las razones que podemos citar para justificar la complementariedad

de paradigmas dentro de la investigación es que “el proceso investigativo por lo

general contiene aspectos de los diversos paradigmas: en el fondo, cada paradigma

conceptualizó el proceso investigativo desde un aspecto en particular, y no desde su

globalidad” (Hurtado, 2000:8).

93

Para nosotros tanto el análisis cuantitativo como el cualitativo nos ofrecen

una mejor apertura para la elaboración de juicios y conclusiones en el estudio, ya que

no se trata simplemente de estructurar información relacionada a porcentajes de

alumnos deficientes, buenos o excelentes o de verificar una relación causa-efecto

entre programas de enseñanza y aprendizaje matemático, existen otras variables que

tienen una implicación más profunda y son las que tienen que ver con la interacción

social y psicológica de los actores del proceso de investigación, como sus actitudes,

creencias y opiniones que como seres humanos es normal que exhiban dentro del

contexto real, “la cantidad y cualidad no se oponen en la investigación cualitativa,

siempre y cuando no se suprima el contexto, ni el sujeto del intérprete configurador

de sentidos, ni la voz de los actores participantes del evento en estudio, que también

aportan su sentido al acuerdo intersubjetivo” (Flores & Tobón, 2001:9).

De esta manera se nos presenta una verdadera necesidad de enfocar esta

tendencia ecléctica en el desarrollo de la investigación actual, tal como lo señalan

(Muñoz et al., 2001:40): “Cada vez más se aprecian acercamientos entre

paradigmas y métodos. Si bien, cada uno de ellos ostenta fortalezas y debilidades,

objetos y métodos propios, marcos conceptuales diversos, campos de acción

específicos, y técnicas de observación y análisis excluyentes, la síntesis

multimetodológica aumenta credibilidad”.

II.1.2. Estudio de casos

Es conveniente aclarar que tomaremos la práctica docente dentro del aula

como una situación externa, es decir, el caso estará constituido por el contexto social

del proceso didáctico integrado por un grupo de actores cuyas características estarán

bien definidas.

Tanto los estudiantes como el profesor serán los protagonistas del estudio en

nuestra investigación, por lo tanto se usará como método de investigación el estudio

de casos. Aunque existen divergencias en cuanto a su significado, puesto que, no

sólo se le considera como una herramienta metodológica, sino también como un

enfoque o estrategia que orienta la evaluación (Sáez & Carretero, 1994:165),

expondremos algunas definiciones de los estudios de casos que se tienen del mismo

para orientar nuestra investigación.

En primer lugar podemos citar la de Martínez (1990:31) quien la define como

“una investigación naturalista que atiende las apreciaciones y actividades de los que

94

intervienen en el programa objeto de evaluación”. El estudio de caso también se

presenta como herramienta fundamental, pues es un “método relativamente sencillo

de valorar el progreso de un curso de trabajo o las relaciones de un alumno o grupo

ante los métodos de enseñanza” (Walker, 1989:77). Igualmente se le ha considerado

“como una metodología de análisis grupal, cuyo aspecto cualitativo nos permite

extraer conclusiones de fenómenos reales o simulados en línea formativa-

experimental, de investigación y/o desarrollo de la personalidad humana o de

cualquier otra realidad individualizada y única” (Pérez, 1998:83).

Rodríguez et al. (1996) exponen una conceptualización que difiere de las

anteriores, al definir el estudio de casos como “una estrategia de diseño de la

investigación” (92); esto lo justifican por el hecho de que carecen de especificidad,

por lo que se pueden utilizar en cualquier campo disciplinar y por sus distintas

aplicaciones para responder a las diferentes interrogantes que orienten la indagación.

Por otro lado, se pueden disponer de diferentes técnicas y procedimientos

para obtener información del contexto donde se desarrolla la investigación, como la

entrevista, cuaderno de campo, análisis de preguntas, videos, diapositivas,

magnetófono, grabadora o la observación; con ellos se recogerá la información para

organizarla, presentarla, analizarla e interpretarla, para luego tomar decisiones y

modificar el proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación en el aula de clase como

situación social.

Este método de investigación también toma como referencia la investigación

crítica en donde “se plantean temas como la innovación y por ello, su evaluación, al

igual que la evaluación iluminativa, tiene peculiaridades que hacen generar

intervenciones que hacen modificar los comportamientos antes que se cierre la

investigación” (Martínez, 1990:30).

Es importante señalar que el estudio de casos se puede considerar “como una

sistematización de una experiencia dentro de la cual las interpretaciones son

críticamente manejadas con el propósito de evitar que la experiencia se tome

sesgada” (Stenhouse, 1987:83), y aunque han sido criticados por no tener rigurosidad

científica como los métodos cuantitativos, “los estudios de casos son especiales,

porque ellos tienen diferentes focos, se enfocan en un sistema limitado ya sea un

simple autor, una simple aula, una simple institución o una simple empresa,

usualmente bajo condiciones naturales de tal forma que se pueda entender dentro de

su propio hábitat” (Stake,1988:256).

95

Con esta investigación pretendemos determinar debilidades y fortalezas en los

aspectos, dimensiones y criterios que definen al proceso de aprendizaje matemático

en el alumno, para orientar la práctica docente a través de una propuesta o programa

de enseñanza de estrategias de aprendizaje centrado en la autorregulación del

pensamiento formal de los alumnos, por consiguiente, se tomará con mayor énfasis la

función de evaluación en la investigación de estudio de casos. “Cuando se dedica de

lleno a la función de evaluador de programas, el investigador en estudio de casos

elige unos criterios determinados o un conjunto de interpretaciones, mediante los

cuales se revelarán las virtudes y los defectos, los aciertos y errores del programa”

(Stake, 1999:86).

Como se puede apreciar, se trata de un estudio de casos evaluativo el cual

implica descripción, explicación y juicio. Este estudio de casos es muy útil cuando se

trata de evaluar la práctica docente, puesto que tiene la ventaja de “explicar los

vínculos causales de las intervenciones en la vida real, demasiado complejas para

ser examinadas por estrategias experimentales” (Pérez, 1998:99). Esta autora

también nos brinda una aportación valiosa de las etapas principales para realizar un

estudio de casos que a grandes rasgos son:

- Una etapa inicial donde el investigador entra en contacto con la realidad

del estudio, su naturaleza y contexto social.

- La segunda etapa cuya finalidad es la obtención de datos a través de las

diferentes técnicas de recolección de información.

- Y la tercera etapa considerada como el momento crucial, pues donde se

lleva a cabo el análisis de la información o datos obtenidos en la fase o

etapa anterior.

Dentro de las tipologías de los estudios de casos que mencionan Rodríguez et

al. (1996): diseños de casos únicos, diseños de casos múltiples y estudios globales e

inclusivos, tomaremos el segundo, pues es donde se puede obtener una gran

abundancia de información al utilizar varios casos únicos a la vez para estudiar la

realidad que se pretende explorar, describir, explicar, evaluar o modificar.

En definitiva, para nuestra investigación seguiremos las siguientes etapas en

función del análisis teórico efectuado en este apartado. Tenemos entonces tres

aplicaciones fundamentales del estudio de casos:

96

- Etapa Inicial: Durante la cual efectuaremos el diagnóstico o descripción

inicial de la situación problema, constituido principalmente por el análisis

de las estrategias de aprendizaje y la valoración de los aprendizajes

matemáticos que el alumno tiene como prerrequisito, su actitud y opinión

con relación a la asignatura de Matemática General.

- Segunda Etapa: Tiene como objetivo realizar el pronóstico o explicación

de acuerdo al análisis de los datos recolectados del contexto real del

estudio, en otras palabras, las evaluaciones efectuadas al proceso

didáctico que se desarrolló en el aula con los alumnos.

- Tercera Etapa: Efectuaremos el tratamiento de acuerdo al juicio y a las

conclusiones y toma de decisiones para mejorar la práctica educativa en la

enseñanza, aprendizaje y evaluación de las matemáticas con los alumnos.

II.1.3. Técnicas e instrumentos de investigación seleccionados

Ya se ha mencionado desde el inicio de este capítulo que la investigación

cualitativa reúne una diversidad de técnicas de recolección de información tales

como la observación, la entrevista, los registros de campos, los diarios, etc., en

función de esta gama queremos especificar las que utilizaremos para los fines de

nuestra investigación, dentro de las cuales se manejará la siguiente definición de

Hurtado (2000:27): “Las técnicas de recolección de datos comprenden

procedimientos y actividades que le permiten al investigador obtener la información

necesaria para dar respuesta a su pregunta de investigación. Se pueden mencionar

como técnicas de recolección de información la observación (ver o experimentar), la

encuesta (preguntar), la entrevista (dialogar), la revisión documental (leer), las

sesiones en profundidad (hacer o participar)”.

Otra definición que consideramos pertinente citar es la de Rojas et al.

(1998:25): “Por técnicas entendemos los procedimientos específicos que utiliza una

determinada área científica para la obtención de los datos de la investigación”;

estos autores prefieren asignarle el término de técnicas de recogida de datos porque

la refiere a una etapa más específica dentro del método de investigación que la

utilice; así mismo las clasifican de una manera general, atendiendo a su grado de

simplicidad, a la información que proporcionan, a las formas de cómo se utilizan,

etc., dentro de las que podemos citar:

97

- La observación.

- La entrevista.

- La encuesta.

- Las historias de vida.

- Los test, cuestionarios y escalas.

- Los grupos de discusión.

- La experimentación.

- Las medidas psicofisiológicas.

Rodríguez et al. (1996:142), define la recogida de datos como el

procedimiento “de reducir de modo intencionado y sistemático, mediante el empleo

de nuestros sentidos o de un instrumento mediador, la realidad natural y compleja

que pretendemos estudiar a una representación o modelo que nos resulte más

comprensible y fácil de tratar”.

Por otro lado, realiza una clasificación más completa de las técnicas de

investigación según dos criterios que a nuestro juicio consideramos de importancia,

las cuales presentamos en las Tablas 2.1. y 2.1.:

Investigador y su

percepción e interpretación

de la realidad

Perspectiva de los

demás participantes

Respuestas de los

participantes a la

perspectiva del

investigador

La perspectiva que

investigador o

participante tienen de sí

mismos

Observación (listas de

control, sistemas de

categorías, sistemas de

signos, observaciones no

estructuradas, documentos

y diarios, fotografías,

vídeos, etc.).

Entrevistas no

estructuradas,

documentos, diarios

(de profesores y

alumnos).

Entrevistas

estructuradas,

cuestionarios, escalas,

test, técnicas

proyectivas.

Diarios, cuestionarios

autoaplicables, técnicas

de grupo.

Tabla 2.1. Procedimientos y técnicas según quienes solicitan la información.

Objetivo Procedimiento o técnica

Describir una situación Cuestionarios, observación no estructurada, entrevista no

estructurada, escala, inventarios...

Contrastar una explicación Test, lista de control, sistema de categorías, sistema de

signos, escala de estimación, entrevista estructurada.

Interpretar lo que otros piensan Diario, documento, biografía, entrevista estructurada,

historia de vida.

Analizar lo que pienso Autobiografía, diario, observación no estructurada,

fotografía, cuestionario autoaplicable.

Ayudar a que otros tomen conciencia Diario, unidades narrativas, triangulación, encuesta feed-

back, grupo de discusión, técnicas de grupo.

Tabla 2.2. Procedimientos y técnicas según los objetivos del investigador.

98

Es importante resaltar que existen diversas formas de clasificar las diferentes

técnicas de recolección de información, sin embargo, el presentarlas no es nuestro

objetivo en este apartado, lo fundamental es seleccionar aquellas que se ajusten a las

verdaderas necesidades de nuestra investigación, esto le dará a la misma mayor

originalidad y proporcionará aportaciones más significativas para investigaciones

futuras en esta línea de investigación. “En la actualidad existe una gran variedad de

instrumentos y técnicas de recogida de datos que investigadores y expertos han

elaborado para cubrir las necesidades de investigación” (La Torre & González,

1987:350).

II.1.3.1. La Técnica de la observación

En principio se puede afirmar que la observación constituye la génesis de las

técnicas de recolección de información dentro la investigación, la primera percepción

de los hechos, fenómenos, acciones, etc., del mundo real nos son proporcionados a

través de ella, con lo cual su perfeccionamiento se ha hecho evidente en el transcurso

de la historia de la ciencia; no obstante, para obtener una concepción más precisa de

la misma, citaremos a especialistas tales como Hernández et al. (2000:309), quienes

señalan que “la observación consiste en el registro sistemático, válido y confiable de

comportamiento o conducta manifiesta”; además, puede ser útil para determinar la

aceptación de un grupo de alumnos respecto a su profesor y su estilo o método de

enseñanza, cuestión ésta que pretendemos estudiar en nuestra investigación. De igual

forma Salkind (1999:147) describe las técnicas de observación como aquéllas en las

“que el investigador se sitúa fuera de la conducta que se está observando y crea una

bitácora, notas, o un registro en audio o video de la conducta”.

La observación se nos presenta con una serie de elementos ordenados

sistemáticamente y con un propósito bien definido, que la pueden transformar en una

valiosa herramienta en la investigación social, para lo cual, según Pérez (1998), debe

cumplir las condiciones siguientes:

- Orientar a un objetivo de investigación.

- Planificar sistemáticamente en fases, aspectos, lugares y personas.

- Controlar y relacionar con proposiciones generales en vez de ser

presentada como una serie de curiosidades interesantes.

- Someterse a comprobaciones de fiabilidad y validez.

99

Una forma muy interesante de conceptuar la observación, la exponen también

Rodríguez et al. (1996:150), a través de la siguiente relación matemática:

“O P I= + , donde O es la observación, P es el sistema perceptivo del observador,

que incluye sus metas, prejuicios, marco de referencia y aptitudes o bien la

mediación de un sistema de observación (instrumento o herramienta utilizados para

realizar y registrar la observación); e I representa la interpretación que hace de lo

observado”.

Lo significativo de esta última definición se encuentra en la posibilidad de

generar una gran cantidad de información desde diversos focos y/o posiciones que

van a depender notablemente del observador; esto nos proporcionaría mayores

oportunidades de analizar el problema objeto de estudio si contamos con las

perspectivas de los diferentes actores involucrados en el contexto de estudio y de los

diferentes investigadores que se propongan desarrollar una misma investigación

aunque parezca una tarea algo ambiciosa; “dos investigadores observando lo mismo,

jamás escribirían lo mismo, puesto que cada uno tiene su propia historia y su

manera de concebir el mundo e interpretarlo” (Muñoz et al., 2001:158).

El tipo de observación que utilizaremos en nuestro estudio será en primer

lugar para la fase diagnóstica, la externa o no participante, puesto que el

investigador-observador no pertenece al grupo que se estudia, y además, será directa

por la necesidad de tener contacto directo con la realidad objeto de estudio y por

fundamentarse en las entrevistas y cuestionarios; esta modalidad de observación está

ajustada en función del grado de participación del observador. Utilizaremos según

Pérez (1998:24), la observación directa la cual “comprende todas las formas de

investigación sobre el terreno, en contacto inmediato con la realidad, y se

fundamenta en la entrevista y el cuestionario”.

En segundo lugar utilizaremos la observación participante en donde el

maestro “examina su práctica educativa mediante un control cuidadoso con objeto

de mejorarla” (La Torre & González, 1987:363), además “en ella el observador

participa en la vida del grupo u organización que estudia, entrando en la

conversación con sus miembros y estableciendo un estrecho contacto con ellos, de

manera que su presencia no perturbe e interfiera de algún modo el curso natural de

los acontecimientos” (Pérez, 1998:25).

De esta forma garantizamos la mayor diversidad de información posible para

la ejecución de la tercera fase de la investigación, que consistirá en la puesta en

práctica y evaluación de la propuesta didáctica como respuesta hacia la reorientación

100

del proceso didáctico de las matemáticas, en consecuencia el investigador y

observador necesitarán interactuar con los actores dentro del aula para formar parte

de todo el proceso de construcción de información dentro de nuestro estudio. “El

observador participante puede acercarse en un sentido más profundo y fundamental

a las personas y a comunidades estudiadas y a los problemas que les preocupan”

(Rodríguez et al., 1996:165).

En cuanto a las estrategias de observación a utilizar consideramos que los

sistemas descriptivos son los que mayores ventajas ofrecen a nuestro estudio, porque

nos aporta de manera abierta la recolección de las diferentes características, aspectos,

dimensiones y criterios que pretendemos estudiar desde el contexto social; no

obstante, “las unidades de observación abarcan múltiples aspectos de la conducta,

ya que lo que se pretende reflejar en toda su complejidad y extensión es un proceso o

fenómeno educativo dado o una conducta en particular” (Op. cit. 1996:161), por lo

tanto, utilizaremos el registro de lo observado a través de las notas de campo,

proceso que consiste en apuntar por escrito los acontecimientos que suceden durante

el trabajo de campo para su posterior organización y reflexión sobre el problema

estudiado.

Estas notas de campo las combinaremos con los sistemas de observación

tecnológicos, específicamente recopilaremos datos a través de las grabaciones en

audio de las sesiones de clase, lo cual nos garantiza según los autores precitados “dar

respuesta a un problema salvando el carácter relativo y temporal de la información

recogida. Las dimensiones del problema quedan registradas de modo permanente,

permitiendo una continua revisión de las mismas” (164).

Finalmente para complementar las estrategias de observación usaremos

dentro de los sistemas narrativos de observación los diarios, los cuales constituyen

otro de los instrumentos útiles en el desarrollo del estudio de casos, puesto que, con

la información personal que puedan redactar los actores que forman parte del

contexto de estudio, podemos recolectar y analizar datos con mayor profundidad y

coherencia desde las posiciones subjetivas que tienen las personas con relación al

fenómeno en estudio.

Los diarios son definidos como “informes personales que se utilizan para

recoger información sobre una base de cierta continuidad. Suele contener notas

confidenciales sobre observaciones, sentimientos, reflexiones, interpretaciones,

hipótesis o explicaciones” (Pérez, 1998:45); esta misma autora sostiene que son

101

excelentes como instrumentos de recogida de datos en el aula y también para obtener

información para la triangulación en la validación de datos.

Para Rodríguez et al. (1996:163), “el diario es un instrumento reflexivo de

análisis. Es decir, el investigador va a plasmar en él no sólo lo que recuerda –casi

siempre apoyado por las notas de campo– sino también o, mejor, sobre todo, las

reflexiones sobre lo que ha visto y oído”. Para seleccionar el tipo de diario a utilizar

en nuestra investigación consideramos que la mejor orientación la aportan Pérez

(1998) y la Torre & González (1985), quienes los clasifican según el formato y grado

de libertad de quien los realiza en: abiertos, semiestructurados y estructurados.

Consideramos que el uso de un diario abierto nos aportaría mejores ventajas

para nuestro caso, ya que resulta muy adecuado para narrar información en

profundidad sobre individuos, grupos, actividades, etc., representadas en este caso

por los alumnos que cursan la asignatura de Matemática en el primer semestre de la

carrera de Educación Integral, y por las diferentes actividades que se realizan en el

proceso de enseñanza-aprendizaje en el aula de clase, además, no requiere de una

elaboración y preparación específica. Estos diarios se analizarán desde la perspectiva

de los alumnos, lo que también nos ofrecerá una implicación de los mismos en la

mejora de la enseñanza.

Dentro de las ventajas que ofrecen este tipo de diarios, podemos destacar su

preparación sencilla, su fácil administración y elaboración por parte de quien lo

escribe, y el aporte de una descripción del clima social del aula en general, sin

embargo, sus desventajas son la subjetividad y dependencia de quien los realiza. Por

último exponemos las siguientes ventajas de los diarios de los alumnos según la

Torre & González (1985:351):

- “Proporcionan información desde la perspectiva del alumno.

- Pueden ayudar a identificar problemas de identificación.

- Implican a los alumnos en la mejora de la enseñanza.

- Proporcionan la base para la triangulación.

- Pueden ser una práctica no establecida en la clase”.

102

II.1.3.2. La Técnica de la entrevista

Nuestro estudio pretende lograr dentro de sus objetivos, determinar las

apreciaciones que tienen los estudiantes del proceso de enseñanza-aprendizaje en las

Matemáticas que se imparten en el primer semestre de la carrera Educación Integral

de la UNELLEZ-Barinas. Esto implica la necesidad de recolectar las diferentes

experiencias, opiniones y actitudes de los alumnos con relación a este aspecto

didáctico, por consiguiente, la sola técnica de la observación no es suficiente, aún

con una planificación sistemática y coherente de la misma, la entrevista se nos

presenta como la segunda alternativa viable para complementar nuestras técnicas de

recolección de información. Según Stake (1999:63): “Dos de las grandes utilidades

principales del estudio de casos son las descripciones y las interpretaciones que se

obtienen de otras personas. No todos verán el caso de la misma forma. Los

investigadores cualitativos se enorgullecen de descubrir y reflejar las múltiples

visiones del caso. La entrevista es el cauce principal para llegar a las realidades

múltiples”.

Esta excelente ventaja que posee la entrevista, de contar con enfoques y/o

visiones múltiples nos lleva al estudio más exhaustivo del caso, logrando con ello un

menor sesgo en los resultados y conclusiones finales obtenidos en la investigación;

otras de las bondades de la entrevista está en su gran utilidad para investigar en el

aula de clase. “Permite reunir información sobre creencias, expectativas, actitudes,

sentimientos, opiniones, etc., de los alumnos y profesores respecto a la situación del

aula. Es el medio más directo para obtener información sobre el contexto escolar”

(La Torre & González, 1985:352). Otra definición de esta técnica, la aporta Walker

(1989:113): “La entrevista se basa en la idea de que las personas son capaces de

ofrecer una explicación de su conducta, sus prácticas y sus acciones a quien les

pregunta sobre ellas. Abarca una amplia gama de técnicas, desde los cuestionarios

estructurados, hasta la conversación ‘no estructurada’ ”.

La entrevista también se puede definir “como una técnica en la que una

persona (entrevistador) solicita información de otra o de un grupo (entrevistados,

informantes), para obtener datos sobre un problema determinado” (Rodríguez et al.,

1996:150). Un concepto semejante al de este autor describe a esta técnica como una

“actividad mediante la cual dos personas (a veces pueden ser más), se sitúan frente a

frente, para una de ellas hacer preguntas (obtener información) y la otra, responder

(proveer información)” (Hurtado 2000:461).

103

Para Mora (2006), la entrevista es considerada como una manera de obtener

información por el investigador para una gran diversidad de objetivos. “Aunque la

entrevista como método cualitativo tiene expresiones diversas. La denominación de

carácter general que es acogida convencionalmente por ser distintiva de sus

diferentes formas es la entrevista en profundidad” (Mora, 2006:163). Para Wolcott

(1988), la entrevista comprende la segunda categoría de las técnicas de trabajo de

campo de mayor importancia después de la observación, y la define en un sentido

muy amplio, como la técnica en la cual el entrevistador es quién pregunta, ordena y

estructura todos los aspectos de la entrevista en la escena natural y se hace con el

intento consciente de obtener información particular directamente de los asuntos de

cada uno de los sujetos involucrados en el estudio. Y para Lankshear & Knobel,

(2003:11) “es una manera valiosa de acceder a las opiniones, creencias, valores,

prácticas de alfabetización y experiencias de enseñanza comunitaria de los

participantes”.

Para precisar mejor la modalidad de entrevista a utilizar en nuestro estudio,

nos basaremos en los tipos de entrevista que señalan, Walker (1989), Rodríguez et al.

(1996) y Hurtado (2000). Estas son tres: entrevista estructurada, semiestructurada y

entrevista en profundidad. Tomaremos la entrevista estructurada, la cual se basa

según Hurtado (2000:462): “En un formulario normalizado, cuyas preguntas han

sido previamente preparadas. Este tipo de entrevista supone conocimiento previo,

por parte del investigador, de los aspectos relevantes del evento estudiado, lo que

permite seleccionar y formular las preguntas de manera precisa; requiere además

que conozca el nivel de información y vocabulario de los entrevistados, de modo que

el lenguaje empleado sea comprensible para ellos sin necesidad de explicaciones

adicionales”.

Rodríguez et al. (1996), define a este tipo de entrevista estructurada como un

cuestionario donde no existe interacción persona a persona entre el entrevistador y

entrevistado. Es una técnica de recolección de información que implica un

interrogatorio en el cual las preguntas determinadas previamente se plantean en el

mismo orden y se formulan con los mismos términos; su principal ventaja radica en

el hecho de que con el cuestionario se logra disminuir los efectos subjetivos del

entrevistador por su carácter sistemático, puesto que, las preguntas son siempre las

mismas y se hacen de la misma forma a cada persona.

Walker (1989), por su parte explica que el cuestionario “formalmente es lo

mismo que una entrevista cara a cara, aunque a fin de prescindir de la presencia del

104

entrevistador, se presenta al sujeto lo que podría definirse como una transcripción

estructurada de entrevista sin respuestas”.

Una definición más pragmática del cuestionario señala que “es un

instrumento que agrupa una serie de preguntas relativas a un evento, situación o

temática particular, sobre el cual el investigador desea obtener información”

(Hurtado, 2000:469), también es “una forma impresa estandarizada (primaria) por

medio del cual se obtiene la información, de los sujetos, que servirá para el logro de

los objetivos y para aportar soluciones al problema en estudio” (Aroca, 2000:98).

El concepto que abordaremos de este instrumento para nuestro trabajo de

campo será el de guía para una entrevista estructurada, previamente diseñada,

ordenada y sistematizada en función de los aspectos y/o dimensiones del problema

en estudio. Esto nos llevará hacia la construcción de un cuestionario con preguntas

cerradas cuyas opciones son estructuradas, es decir, ofrece una serie de alternativas

de respuesta; sin embargo, para complementar aún más la información se incluyen

también opciones menos estructuradas. La razón de esta selección se explica por la

complementariedad de los métodos cuantitativos y cualitativos, “este enfoque del

diseño de cuestionarios ofrece una forma de integrar datos ‘cualitativos’ y

‘cuantitativos’ (Walker, 1989:130), aunque el mismo autor señala también, que es

difícil de lograr esta integración por lo complicado que es hallar un contexto

apropiado a partir de los estudios de casos, he aquí nuestro reto para superar los

obstáculos de toda investigación. Citaremos a continuación tres grandes ventajas que

nos ofrecen estos instrumentos en la recolección de información en el trabajo de

campo, según Rojas et al. (1998:117):

- “Aportan información estandarizada. Los encuestados responden al

mismo conjunto de cuestiones, por lo que es más fácil comparar e

interpretar sus respuestas.

- Ahorra tiempo. El cuestionario contribuye a realizar un uso eficiente del

tiempo de diferentes formas: 1. Permite encuestar a un gran número de

personas de una vez; 2. El encuestado puede responder en algunas

ocasiones en el momento más adecuado; y 3. Agiliza el análisis

estadístico de las respuestas.

- Facilita la confidencialidad.

105

II.1.3.3. Las pruebas de valoración de aprendizajes

Se les conoce también como pruebas de conocimiento o test de rendimiento.

Según Hurtado (2000), estos instrumentos tienen como principal objetivo determinar

el nivel de aprendizaje de los sujetos con relación a un tema específico, en nuestro

caso el área de pensamiento numérico de las Matemáticas. Por su parte, Salkind

(1999:137) las denomina pruebas de aprovechamiento para referirse a estos

instrumentos y los define con un enfoque cuantitativo como aquellos que “sirven

para medir los conocimientos en un área específica, y son las más comúnmente

utilizadas cuando el resultado que se esta midiendo es el aprendizaje. Estas pruebas

también sirven para medir la efectividad de la enseñanza que acompañó al

aprendizaje”.

El tipo de preguntas que conforman las pruebas de valoración que

aplicaremos en nuestra investigación están constituidas por ítems semiestructurados

y de tipo ensayo. En los primeros, además de ofrecer una serie de alternativas como

posibles respuestas, el participante deberá justificar la razón de su elección, lo que

nos permitirá analizar con mayor profundidad el o los procesos mentales que se

aplican en el aprendizaje matemático. En los segundos ítems existe mayor libertad

para el participante, el objetivo que se persigue con ellos es el de determinar

habilidades cognitivas más especificas que el sólo dominio de un conocimiento, lo

que se desea a grandes rasgos es analizar cuantitativamente y cualitativamente el

aprendizaje que demuestren los estudiantes en las pruebas de valoración desde una

perspectiva global e integradora de los diversos elementos que constituyen un

verdadero aprendizaje de las matemáticas. Según Badger (1989), lo importante en la

valoración de los aprendizajes o conocimientos matemáticos es el obtener

información sobre aspectos tales como:

- La capacidad de aplicar sus conocimientos en la solución de problemas

matemáticos y de otras disciplinas.

- La capacidad de utilizar el lenguaje matemático para comunicar ideas.

- La capacidad de razonar y analizar.

- El conocimiento y comprensión de los conceptos y procedimientos.

- La disposición hacia las matemáticas.

- La comprensión de la naturaleza de las matemáticas.

Estos aspectos conforman a grandes rasgos las dimensiones que se desean

estudiar en nuestra investigación. Tenemos que señalar que la valoración de los

aprendizajes también puede asumir el término de evaluación, “cuando queremos

106

referirnos a la complejidad y variedad de situaciones en las que están implicados los

profesores a la hora de valorar, enjuiciar, controlar y dirigir el trabajo de sus

alumnos se emplea el término evaluación” (Rico, 1996:107), esto es fundamental

para evitar imprecisiones en el empleo de estos conceptos en el desarrollo del

presente estudio.

II.1.4. Fiabilidad y validez

Una de las grandes preocupaciones que siempre han tenido los investigadores

es la determinar y precisar si los resultados del estudio representan con exactitud los

diferentes aspectos, elementos, dimensiones o variables del fenómeno objeto de

investigación. Este vacío se supera con la aplicación de validez y fiabilidad de los

instrumentos de recolección de información. “Si el instrumento o instrumentos

reúnen estos requisitos habrá cierta garantía de los resultados obtenidos en un

determinado estudio y, por lo tanto, las conclusiones pueden ser creíbles y

merecedoras de una mayor confianza” (Pérez ,1998:70).

La confiabilidad o fiabilidad y la validez son definidas desde el enfoque

cuantitativo relacionándolas con el uso de mediciones; la confiabilidad de un

instrumento se refiere “al grado en que su aplicación repetida al mismo sujeto u

objeto produce iguales resultados […]. La validez, en términos generales se refiere

al grado en que un instrumento realmente mide la variable que pretende medir”

(Hernández et al., 2000:235). Sin embargo, para los investigadores cualitativos “es

necesario no sólo ser exacto en la medición de las cosas, sino también lógico en la

interpretación del significado de esas mediciones” (Stake, 1999:94). En función de

esta premisa, desde la óptica de la investigación cualitativa, la fiabilidad “es el grado

en que las respuestas son independientes de las circunstancias accidentales de la

investigación, y la validez, en la medida en que se interpreta de forma correcta”.

(Pérez, 1998:79).

II.1.4.1. La triangulación

La triangulación es conocida como una de las técnicas de validación de

instrumentos más utilizadas en la investigación cualitativa. Es definida por Denzin

(1979:291) como “la combinación de metodologías en el estudio de un mismo

fenómeno”. Para La Torre & González (1985:365) “el principio básico que subyace

en la idea de triangulación es el recoger datos/observaciones de una situación o

107

algún aspecto de la misma, desde varios ángulos o perspectivas para compararlos o

contrastarlos”.

De manera más específica, Stake (1999) señala diferentes estrategias de

triangulación que pueden ser utilizadas en función de la naturaleza del estudio, sus

objetivos y necesidades, como la triangulación de las fuentes de datos observados, la

triangulación del investigador, la triangulación teórica y la triangulación

metodológica; esta última es descrita por (Walker, 1989:103), para referirse a “la

combinación de métodos en aras de un solo objetivo, esto permite observar los

mismos acontecimientos desde varios puntos de vista”.

La validación de los instrumentos de la presente investigación se realizará

mediante la triangulación metodológica, puesto que nos ofrece mayor factibilidad

para combinarlos, bondad por la que se le considera como una de las estrategias o

tipos de triangulación más usados. Esta triangulación relaciona la información

obtenida en la observación directa, la entrevista y documentos como los diarios de

los alumnos. “Con enfoques múltiples dentro de un único estudio, es probable que

clarifiquemos o que anulemos algunas influencias externas. Cuando hablemos de

métodos en los estudios de casos, nos referimos una vez más sobre todo a la

observación, la entrevista y la revisión de documentos” (Stake, 1999:99), con las

cuales se tendrá un mejor contraste de los datos que se obtengan de los participantes

en la investigación, pues, una da las mayores ventajas de los estudios de casos es que

dentro de ellos se pueden utilizar diferentes métodos para triangular los hallazgos

obtenidos (Stake, 1999).

II.1.5. Población y muestra

La población estará conformada por todos los estudiantes cursantes de sub-

proyecto o asignatura Matemática General de la carrera Educación Integral de nuevo

ingreso, y por los profesores con más de cinco años de experiencia dirigiendo el

proceso de enseñanza-aprendizaje en esta asignatura. El número total de alumnos es

de aproximadamente 450 distribuidos en nueve secciones, y el de los profesores es

de 7.

Antes de hacer la descripción de las unidades de análisis que se tomaron para

la muestra, hay que señalar algunos aspectos teóricos relacionados a este tema para

dirigir y centrar mejor este apartado de la investigación, que por su naturaleza

cualitativa implica una selección de la muestra con unos criterios bien definidos por

108

el investigador, “la selección de la muestra en un estudio etnográfico requiere que el

investigador especifique con precisión cual es la población relevante o el fenómeno

de investigación, usando criterios que pueden basarse en consideraciones teóricas o

conceptuales, intereses personales, circunstancias situacionales u otras

consideraciones” (Martínez, 1998:52).

En las investigaciones básicamente se seleccionan muestras probabilísticas –

cuando el propósito es extrapolar o generalizar resultados a la población objeto de

estudio–, o muestras intencionales –utilizadas cuando se efectúa un análisis o estudio

en profundidad del fenómeno a investigar–, siendo estas últimas las adecuadas para

el desarrollo de nuestra investigación. Según Ruiz (1999:64) “el muestreo

intencional es aquel en que los sujetos de la muestra no son elegidos siguiendo las

leyes del azar, sino de alguna forma intencional”. La forma de seleccionar los

sujetos o unidades de análisis es mediante otros métodos bien definidos. Según

Martínez (1998:54) “en la muestra intencional se elige una serie de criterios que se

consideran necesarios o muy convenientes para tener una unidad de análisis con las

mayores ventajas para los fines que persigue la investigación. Para Martínez

(1999:17), existen siete tipos de muestras intencionales: extrema o de casos

desviantes, muestra intensiva, muestra de máxima variación, muestra homogénea,

caso típico o paradigmático, muestra estratificada y caso crítico.

De estos siete tipos de muestra intencional, el que corresponde a nuestro

estudio es el del caso típico o paradigmático, puesto que “trata de ilustrar y poner de

relieve lo que es típico, normal, promedio, como ejemplo más representativo del

conjunto”; sin embargo, también utilizaremos dentro de la clasificación expuesta por

Ruiz (1999) al muestreo opinático, que es aquel en donde “el investigador selecciona

los informantes que han de componer la muestra siguiendo un criterio estratégico

personal”. Para nuestro caso, el criterio a seguir para elegir a los principales

informantes que son los estudiantes, es que estos sean alumnos regulares de la

carrera Educación Integral y que estén o hayan cursado la asignatura o sub-proyecto

Matemática General; los segundos informantes o profesores serán seleccionados de

acuerdo a sus años de experiencia como docentes del área de Matemáticas en la

misma carrera, la cual no debe ser menor a cinco años.

De acuerdo a esta exposición teórica, la muestra que tomamos para conseguir

los objetivos planteados en el presente estudio es una sección o curso de la asignatura

Matemática General. El proceso de selección de los estudiantes se realizó de manera

intencional, debido a las condiciones administrativas y de inscripción que tiene la

Universidad, y por el método y propósitos de la investigación, puesto que, los grupos

109

se deben mantener en forma intacta, puesto que no se trata de generalizar las

conclusiones sino de estudiar un Caso en profundidad.

CAPÍTULO III: PROCEDIMIENTO DE LA INVESTIGACIÓN

113

CAPÍTULO III: PROCEDIMIENTO DE LA INVESTIGACIÓN

Nos propusimos diseñar una planificación que nos guiara hacia el logro de los

objetivos formulados en esta investigación, para ello, estructuramos el estudio en las

que denominaremos “fases de investigación”, cada una de las cuales cumplió con un

propósito específico que nos llevó a consolidar la meta final del estudio.

III.1. PRIMERA FASE DE INVESTIGACIÓN

En esta fase de investigación efectuamos un diagnóstico de los elementos

fundamentales del Caso en Estudio. Las variables, aspectos, criterios y dimensiones

analizados nos proporcionaron datos valiosos en cuanto a la situación real e inicial

que presentan los alumnos que cursan la asignatura Matemática General de la carrera

de Educación Integral en cuanto a los conocimientos previos que poseen sobre los

sistemas numéricos, las estrategias de aprendizaje que utilizan en las matemáticas, la

opinión que tienen con respecto al proceso didáctico ejecutado por el docente, la

actitud que tienen los alumnos hacia los contenidos matemáticos, y por último, la

comunicación y participación que mantienen en el aula como elementos

fundamentales del clima social del aula.

Se presentaron, analizaron e interpretaron los resultados obtenidos una vez

aplicados los instrumentos de recolección de información, para explicar las

relaciones entre las diferentes dimensiones, criterios y aspectos evaluados en el

proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación que se generó en el aula, y para

establecer las reflexiones y conclusiones que ayudaran a efectuar los ajustes

progresivos sobre la práctica docente en el desarrollo de los contenidos curriculares

seleccionados en el Estudio de Caso.

En primer lugar diagnosticamos las estrategias de aprendizaje más usuales

que los alumnos utilizan para abordar los contenidos de la Unidad de Sistemas

Numéricos de la asignatura Matemática General y los conocimientos previos que

poseen sobre este bloque de contenidos matemáticos. Esta información nos permitió

reorientar la planificación del proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación para

efectuar su intervención a través de la puesta en práctica de la propuesta didáctica de

enseñanza de estrategias denominada “Programa de Autorregulación del

Pensamiento Lógico-Formal en el Aprendizaje de las Matemáticas” para potenciar

114

un aprendizaje significativo en los alumnos, tomando como bloque de contenidos la

Unidad de Sistemas Numéricos.

III.1.1. Descripción de la muestra: Procedimiento

El universo de estudio que seleccionamos para dar respuestas a los

interrogantes de nuestra investigación y lograr los objetivos propuestos, estuvo

conformado por los alumnos y profesores del primer semestre de la asignatura

Matemática General de la carrera de Educación Integral de la Universidad Nacional

Experimental de los Llanos Occidentales “Ezequiel Zamora” (UNELLEZ), del

Vicerrectorado de Planificación y Desarrollo Social de la ciudad de Barinas.

De acuerdo a los propósitos de la investigación, se tomaron solamente los 65

alumnos de la sección 01, como Caso de Estudio para efectuar el diagnóstico de la

primera fase de investigación. De estos, 54 asistieron regularmente a clase, por lo

cual fueron los que realmente participaron y colaboraron en el suministro de la

información que les solicitamos a través de los diferentes instrumentos de

recolección de datos.

Los criterios de inclusión para los alumnos fueron los siguientes:

- Estar inscrito regularmente en el primer semestre como estudiante de

nuevo ingreso, es decir, no haber sido reprobado en el curso o asignatura.

- Tener disposición positiva ante la investigación.

- Asistir regularmente a las sesiones de clase.

De igual forma establecimos los siguientes criterios de inclusión para el

profesor de la asignatura:

- Formar parte del personal académico de la Universidad.

- Tener como mínimo cinco años de experiencia docente en la asignatura

Matemática General.

- Tener una disposición positiva hacia la investigación.

115

III.1.2. Instrumentos de recolección de información

Con la finalidad de obtener la mayor información posible para aproximarnos

a la descripción de la situación real e inicial del Caso de Estudio nos planteamos un

proceso complejo de diseño y elaboración de instrumentos que reunieran las

características apropiadas para ser aplicados durante el trabajo de campo, con la

validez y confiabilidad necesarias para llegar a las respectivas conclusiones.

A) PRIMERA PARTE DEL DIAGNÓSTICO

Para recolectar información en esta primera parte de la fase inicial,

correspondiente al diagnóstico, diseñamos, elaboramos y aplicamos los instrumentos

siguientes:

III.1.2.1. Cuestionario de opinión para determinar las estrategias de

aprendizaje que utilizan los alumnos en los contenidos de la asignatura

Matemática General de la carrera de Educación Integral

Debemos comenzar por señalar que los cuestionarios son “instrumentos que,

mediante la presentación de preguntas o afirmaciones para ser seleccionadas por el

encuestado, permiten medir las actitudes y opiniones de un determinado grupo de

personas” (Hurtado, 2000:478).

Con la aplicación de este primer instrumento (Ver Anexo III-1), trazamos

como objetivo determinar la opinión del alumno, entendida como “una posición

mental consciente sobre algo o alguien, pero no implica necesariamente disposición

a la acción” (Hurtado 2000:478), por lo que, en nuestra investigación obtuvimos las

opiniones de los estudiantes en cuanto a las estrategias de aprendizaje que utilizan

para la comprensión de los contenidos matemáticos de la asignatura Matemática

General; de esta manera pudimos diagnosticar cuáles de las estrategias estaban

consolidadas, cuáles estaban en proceso y aquellas que necesitaban intervención para

su respectiva nivelación.

Cabe destacar que este cuestionario se diseñó y elaboró partiendo de la

revisión teórica, que investigadores tales como Polya (1978), Miranda et al. (1998),

de Guzmán (1999), Santaló et al (1994), Ríos (2004) y Alonso (1994) han

desarrollado sobre el tema de las estrategias de aprendizaje relacionadas con la

organización de la información y la resolución de problemas matemáticos, en el

desempeño académico de los alumnos en general y en las matemáticas en particular.

116

Al finalizar el proceso de diseño, revisión bibliográfica y validación, el cuestionario

se estructuró en 48 preguntas tipo escala Lickert.

En la validación de este instrumento participaron profesores de la UNELLEZ

especialistas en el área de metodología de la investigación con título de Doctor y del

Programa de Doctorado Evaluación y Diseño Curricular organizado por el

Departamento de Pedagogía de la Universidad de Valladolid. Todas sus sugerencias

fueron consideradas durante el proceso de revisión y corrección, no sólo de los

cuestionarios, sino también del resto de los instrumentos que aplicamos en la

investigación.

Para determinar la confiabilidad de este cuestionario aplicamos la estadística

descriptiva, utilizando la prueba conocida como Alfa de Cronbach, obteniendo una

confiabilidad óptima igual a ∝=0,92; este resultado nos brindó la oportunidad de

tener una valoración cuantitativa por adelantado, para compararla posteriormente con

los datos recolectados por el resto de los instrumentos y validarla de manera

cualitativa a través del proceso de triangulación.

El cuestionario de estrategias de aprendizaje se aplicó a 54 alumnos del

primer semestre de la carrera Educación Integral, con la supervisión de la profesora

de la asignatura y del profesor investigador, quien orientó al grupo sobre la forma de

responder a las diferentes preguntas formuladas en el instrumento. El proceso de

aplicación se efectuó de manera fluida y sin contratiempos.

El objetivo de este primer cuestionario consistió esencialmente en

diagnosticar las estrategias de aprendizaje que los alumnos utilizan para el estudio de

los contenidos matemáticos, analizándolas desde la dimensión del aprendizaje

matemático, y entendiéndose como el cambio significativo de experiencias que tiene

el alumno con relación a los diferentes aspectos teóricos y prácticos de los

contenidos, propiedades, estrategias de aprendizaje y procedimientos matemáticos

que se ejecutan en los Sistemas Numéricos. Esta primera dimensión de estudio

involucra los siguientes criterios:

- Estrategias en la organización de la información: Uso de estrategias para

organizar la información verbal, escrita, gráfica y simbólica que se genera

durante la clase en el intercambio entre el profesor y sus alumnos, y la que

contienen los diferentes materiales didácticos.

- Estrategias de resolución de problemas: Uso de estrategias de resolución

que los alumnos ponen en práctica para resolver ejercicios y problemas.

117

En la Tabla 3.1. presentamos resumidamente la estructura del cuestionario,

indicando el objetivo que pretende, la dimensión que aborda, los criterios e

indicadores a medir y el número de las preguntas que corresponde a cada indicador.

OBJETIVOS DIMENSIÓN CRITERIOS INDICADORES PREGUNTAS

Estrategias en la organización de la información

1. Capacidad de concentración al recibir instrucciones. 2. Utilización de técnicas de estudio. 3. Discriminación de la información. 4. Expresión verbal-escrita. 5. Utilización de material escrito. 6. Análisis de la información. 7. Proceso de abstracción.

1,2,3

4,5,6

7,8,9,10, 11,12,13

14,15,16,17

18,19,20, 21,22,23

24,25,26,27

28,29,30

1. Diagnosticar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los alumnos que inician el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática General.

Aprendizaje matemático

Estrategias de resolución de ejercicios y problemas.

1. Utilización de procesos de verificación. 2. Diseño y aplicación de planes de resolución. 3. Utilización de la intuición y proceso de inducción. 4. Apoyo en la asesoría académica del profesor. 5. Auto-evaluación del razonamiento aplicado. 6. Utilización de habilidades cognitivas personales. 7. Utilización del lenguaje matemático. 8. Uso del razonamiento deductivo en la resolución de problemas.

31,32,33

34,35,36,37

38,39,40

41

42

43

44

45,46,47,48

Tabla 3.1. Especificaciones del cuestionario de estrategias de aprendizaje.

118

Una vez obtenida la información del cuestionario, la organizamos de forma

manual y la presentamos en tablas de acuerdo a los indicadores descritos en su

estructura, apoyándonos en las distribuciones de frecuencias para hacer del

tratamiento de los datos un proceso más ordenado y sencillo, los cuales analizamos

tanto cuantitativamente como cualitativamente resaltando los indicadores en donde

los alumnos manifestaron opiniones trascendentales para el estudio realizado.

III.1.2.2. Pruebas de valoración de aprendizajes

Para complementar la recogida de datos en el diagnóstico de las estrategias de

aprendizaje y los conocimientos matemáticos previos de los alumnos, también

distribuimos la prueba diagnóstica de valoración de conocimientos matemáticos y

estrategias de aprendizaje, la cual fue analizada cuantitativamente y cualitativamente

teniendo en cuenta los siguientes criterios esenciales de la dimensión ‘aprendizaje

matemático’:

- Las estrategias de aprendizaje que los alumnos aplicaron para organizar la

información.

- Las estrategias de aprendizaje que los alumnos utilizaron para resolver los

ejercicios y problemas.

- El desempeño que demostraron en la comprensión y aplicación de los

conceptos, definiciones y propiedades de los contenidos matemáticos

desarrollados de acuerdo al programa de estudio.

Posteriormente generamos las interpretaciones, reflexiones y conclusiones

pertinentes para explicar la situación inicial del grupo de alumnos dentro del

contexto de estudio y así dar una respuesta aproximada sobre las estrategias de

aprendizaje que utilizan frecuentemente y sobre los conocimientos que poseen en el

área de ‘Sistemas Numéricos’.

Distribuimos la prueba de valoración a 53 alumnos que habían recibido el

proceso de enseñanza y aprendizaje ejecutado por la profesora de la asignatura, con

quien tuvimos algunas discrepancias en cuanto a las preguntas que formarían parte

de la evaluación, puesto que debimos ajustarnos al contenido que se había logrado

desarrollar. Cabe destacar que las sesiones de clase se efectuaron con interferencias

por los problemas internos que en ese momento se presentaron en la Universidad.

119

La prueba de valoración (Ver Anexo III-2) se construyó tomando en cuenta

los contenidos del sistema de los números racionales, quedando estructurada en dos

partes con nueve preguntas, de la siguiente manera:

- Primera parte: Consta de cinco preguntas de selección simple cuya

respuesta debía ser justificada por los alumnos para lograr valorar su nivel

de comprensión simbólico-matemática y las operaciones aritméticas

fundamentales que utiliza.

- Segunda parte: Consta de dos ejercicios para valorar la comprensión y

aplicación de las propiedades involucradas en las operaciones respectivas

y dos problemas de aplicación para diagnosticar las estrategias de

aprendizaje que los estudiantes utilizaron para resolverlos.

Para la presentación, organización y descripción de los resultados obtenidos

en la prueba de valoración, utilizamos las Tablas de criterios 3.2 y 3.3.

Objetivo 1. Diagnosticar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los alumnos que inician el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática General.

DIMENSIÓN: APRENDIZAJE MATEMÁTICO

N° DE ITEM CRITERIOS Y ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Estrategias en la Organización de la Información Uso de esquemas para organizar información. Representación gráfica de situaciones matemáticas. Uso de términos matemáticos correctos. Comparaciones entre conceptos. Comprensión de símbolos matemáticos. Orden sistemático de la información. Selección precisa de datos e incógnitas. Estrategias en la Resolución de Problemas Estructuración de la información de un problema en pequeños pasos.

Uso del azar como estrategia de resolución. Presencia de estrategias originales de resolución. Persistencia en el uso de una estrategia de solución. Aplicación del lenguaje matemático adecuado. Uso de ejemplos para justificar respuestas. Uso de contraejemplos para justificar respuestas. Descripción de las propiedades matemáticas que aplica en la resolución de ejercicios y problemas.

Estrategias de estimación en la verificación de las respuestas. Tabla 3.2. Criterios para determinar la ausencia o presencia de estrategias de aprendizaje que

utilizaron los alumnos en la prueba de valoración.

120

Objetivo 2. Diagnosticar los conocimientos matemáticos previos que poseen los alumnos al iniciar el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática General.

DIMENSIÓN: APRENDIZAJE MATEMÁTICO

Criterio: Comprensión y aplicación de conceptos, definiciones, propiedades y teoremas involucrados en los contenidos matemáticos Items N° Aspectos a valorar

Parte I 1 a. Error en la interpretación de símbolos matemáticos.

b. Error en la interpretación de los conceptos de las propiedades de la adición y multiplicación de números racionales. c. Responde correctamente pero falta coherencia en el procedimiento de la justificación. d. Contesta correctamente y utiliza ejemplos apropiados. e. No contesta.

2 a. Error en la interpretación de símbolos matemáticos. b. Error en la interpretación de los conceptos de las propiedades de la adición y multiplicación de números racionales. c. Responde correctamente pero falta coherencia en el procedimiento de la justificación. d. Contesta correctamente y utiliza ejemplos apropiados. e. No contesta.

3 a. Errores en cálculos aritméticos elementales. b. Confusión entre los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo. c. Responde bien pero existen errores en el procedimiento utilizado en la justificación. d. Responde bien y efectúa el procedimiento correcto. e. No contesta.

4 a. Ausencia o desconocimiento total del concepto de exponente negativo. b. Errores en el cálculo de potencias. c. Errores frecuentes en la aplicación de las reglas de los signos más(+) y menos( -). d. Errores en la interpretación de los signos de agrupación, llaves, corchetes y paréntesis. e. Responde correctamente. f. No contesta.

5 a. Errores en la interpretación de los signos de agrupación, llaves, corchetes y paréntesis. b. Uso del procedimiento correcto pero, persisten errores en los cálculos aritméticos. c. Contesta correctamente. d. No contesta.

Parte II 1 a. Desconocimiento del concepto de fracción equivalente.

b. Desconocimiento del uso del máximo común divisor para simplificar fracciones. c. Complican las operaciones entre fracciones al no simplificar cada expresión a una más simple. d. Errores en el cálculo del mínimo común múltiplo al sumar fracciones. e. Errores al operar fracciones en general. f. Contesta correctamente. g. No contesta.

2 a. Desconocimiento del concepto de fracción equivalente. b. Desconocimiento del uso del máximo común divisor para simplificar fracciones. c. Complican las operaciones entre fracciones al no simplificar cada expresión a una más simple. d. Errores al operar fracciones en general. e. Contesta correctamente. f. No contesta.

3 a. Organiza la información de problema. b. Utiliza estrategias originales. c. Desarrolla procedimientos de forma coherente. d. Resuelve las operaciones indicadas correctamente. e. Verifica el proceso de resolución. f. Contesta correctamente. g. No contesta.

4 a. Organiza la información de problema. b. Utiliza estrategias originales.

121

c. Desarrolla procedimientos de forma coherente. d. Resuelve las operaciones indicadas correctamente. e. Verifica el proceso de resolución. f. Contesta correctamente. h. No contesta.

Tabla 3.3. Criterios para determinar la valoración de conocimientos de los alumnos en la prueba diagnóstica.

Presentamos la información que obtuvimos igualmente en tablas de

distribución de frecuencias, atendiendo a la estructura descrita en las Tablas

presentadas anteriormente. Posteriormente realizamos un análisis cualitativo y de

reflexión sobre la situación general que presentaron los alumnos de la muestra en

cuanto al nivel de aprendizaje previo que tienen de los contenidos relacionados con

la Unidad de Sistemas Numéricos, específicamente en los números racionales.

III.1.2.3. Observación descriptiva en audio

A pesar de que en el inicio de las sesiones de clases sólo nos limitamos a

observar la realidad del aula, en los primeros días de clase nos sentimos un poco

incómodos con el grupo de alumnos, pues evidenciaron desconfianza ante nuestra

presencia y el trabajo que estábamos realizando. Progresivamente fuimos entablando

una mayor confianza con el grupo, posiblemente debido a que estuvimos

ayudándoles en muchas ocasiones a comprender aspectos del contenido,

respondiendo a sus preguntas, dudas y guiando en la resolución de ejercicios y

problemas formulados y asignados por la profesora. Todos los acontecimientos

fueron recopilados en una grabadora portátil, con los registros tomados por el

investigador, tratando de tomar con mayor exactitud los elementos que formaron

parte del aprendizaje matemático que se observó en los alumnos.

Para garantizar la validez de los datos obtenidos utilizamos las

transcripciones de las grabaciones de audio realizadas en las sesiones de clases

observadas. Establecimos comparaciones con los resultados del cuestionario y de las

pruebas de valoración de aprendizajes, focalizadas principalmente a detectar las

estrategias de aprendizaje que los alumnos utilizaron para organizar la información y

resolver ejercicios y problemas matemáticos.

Para extraer información de las grabaciones sobre los criterios e indicadores

señalados en el cuestionario de opinión, utilizamos el análisis del discurso tanto de la

profesora de la asignatura como de sus alumnos, complementándolos con nuestras

122

descripciones e interpretaciones de las situaciones que se generaron en el proceso de

enseñanza, aprendizaje y evaluación dentro del aula.

B) SEGUNDA PARTE DEL DIAGNÓSTICO

En una segunda parte del diagnóstico describimos el grado de actitud que

poseen los alumnos hacia la asignatura a través de la aceptación y valoración que

muestran hacia el procedimiento didáctico ejecutado por el docente y hacia los

contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos. Determinamos también la

participación de los alumnos en las sesiones de clase y el proceso de comunicación

que se efectúa entre el docente y sus alumnos, como aspectos relevantes del clima

social del aula durante el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Para obtener información sobre las variables de estudio en la segunda parte del

diagnóstico distribuimos un cuestionario de opinión para determinar el grado de

actitud del alumno con relación al proceso de enseñanza y aprendizaje de la

asignatura Matemática General de la carrera de Educación Integral, que pasamos a

comentar en el epígrafe siguiente.

III.1.2.4. Cuestionario de opinión para determinar el grado de actitud del

alumno con relación al proceso de enseñanza y aprendizaje de la

asignatura Matemática General de la carrera de Educación Integral

El proceso de elaboración técnica de este segundo cuestionario fue similar al

utilizado en el cuestionario para diagnosticar las estrategias de aprendizaje. El

instrumento quedó estructurado en cincuenta preguntas (Ver Anexo III-3) tipo escala

Lickert que, “consiste en un conjunto de ítems presentados en forma de afirmaciones

o juicios referidos al evento o situación acerca del cual se quiere medir la actitud”

(Hurtado, 2000:479); validado por los mismos doctores especialistas mencionados en

el apartado III.1.2.1 y evaluado estadísticamente con el Alfa de Cronbath; obtuvimos

un coeficiente de ∝=0,93. Como se puede observar, ambos cuestionarios obtuvieron

un nivel aceptable de confiabilidad desde el punto de vista cuantitativo.

Este cuestionario se diseñó y elaboró partiendo de la revisión teórica que

realizamos de las investigaciones de Miranda et al. (1998), de Guzmán (1999),

Santaló et al. (1994) y Ríos (2004), en cuanto a la actitud que manifiestan los

alumnos ante las matemáticas. Estructuramos el instrumento en una dimensión que

denominamos ‘actitud y clima social del aula’. La actitud es entendida como una

123

disposición positiva o negativa que tiene el alumno para abordar los aprendizajes de

los contenidos matemáticos, y el clima social se refiere al estado en que se encuentra

la participación y comunicación en el aula, es decir, los mecanismos de interacción

que se producen entre los actores del proceso didáctico de las matemáticas. Aunque

se pudieron separar ambos aspectos en dos dimensiones, los unificamos por

considerarlos que están íntimamente relacionados a través de los criterios e

indicadores utilizados en la elaboración del cuestionario. Esta dimensión la

dividimos en los siguientes criterios:

- Auto-concepto ante el desempeño de las actividades asignadas: Describe

el grado de percepción que tiene el alumno de su desempeño ante las

matemáticas desde el punto de vista cognitivo y afectivo. El auto-

concepto se define como “la valoración relativamente estable que hace el

sujeto acerca de sus capacidades y debilidades basándose en su historia

de éxitos y fracasos” (Miranda et al. 1998:163). Es importante destacar

que en la actitud desempeña un papel importante el auto-concepto y, en

segundo lugar, tenemos la motivación como “fuerza interior que nos

impulsa al logro de un objetivo, es el incentivo que nos conduce a una

acción” (Ríos, 2004:38). Aunque en la mayoría de los casos no se da la

importancia que merecen a los factores anteriores, en el proceso didáctico

alteran notablemente el desempeño académico de los estudiantes, por

consiguiente decidimos considerarlos como parte de nuestro estudio así

como la exploración de las creencias, conocimientos, mitos y fijaciones

más significativas que los alumnos tienen sobre las matemáticas.

- Concepción de los alumnos sobre los aprendizajes de los contenidos de la

asignatura de Matemática: Describe la opinión de los alumnos con

relación a la importancia que atribuyen a los contenidos matemáticos

aprendidos y a la valoración de las estrategias y procedimientos

personales que utilizan para estudiar las matemáticas.

- Concepción sobre el proceso didáctico desarrollado por el profesor:

Describe la valoración que el alumno hace de la situación actual que tiene

sobre el proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación que desarrolla el

profesor de la asignatura en el aula de clase.

El instrumento fue contestado por los 50 alumnos que asistieron a clase el día

que se aplicó. Estuvo presente la profesora de la asignatura y el investigador, quien

explicó la finalidad y estructura del cuestionario, además de orientar a los alumnos

sobre la forma de responder al mismo para evitar en lo posible las respuestas

sesgadas de los estudiantes del curso.

124

En la Tabla 3.4. presentamos de forma resumida la estructura del cuestionario

indicando los objetivos que pretende, la dimensión que aborda, los criterios e

indicadores que pretende medir y el número de las preguntas relacionadas con cada

uno de los indicadores.

OBJETIVOS DIMENSIÓN CRITERIO INDICADORES PREGUNTAS

Auto-concepto ante el desempeño de las actividades asignadas.

1. Impulsividad. 2. Responsabilidad. 3. Capacidad de razonamiento. 4. Temor al fracaso. 5. Rechazo. 6. Capacidad de logro. 7. Iniciativa. 8. Autocontrol. 9. Constancia. 10. Disciplina.

1,2

3

4,5

6,7,8,9

10

11,12,13,14

15

16,17

18

19 Concepción de los aprendizajes de los contenidos de la asignatura de Matemática.

1. Memorización. 2. Procedimientos en la resolución de problemas. 3. Valoración hacia los demás. 4. Utilidad de las matemáticas. 5. Esfuerzo propio. 6. Exigencia del profesor. 7. Nivel de participación. 8 Lenguaje matemático. 9. Nivel de compromiso.

20,21

22

23

24,25

26

27,28,29,30

31,32

33

34,35

3. Describir el grado de actitud del alumno a través de su aceptación y valoración hacia el procedimiento didáctico efectuado por el profesor y hacia los contenidos matemáticos. 4. Determinar los niveles de participación y de comunicación que los alumnos tienen en la asignatura Matemática General, como aspectos básicos que constituyen el clima social de aula.

Actitud y clima social de aula.

Concepción del proceso didáctico desarrollado por el profesor

1. Comunicación profesor-alumno.

36

125

2. Clima de confianza profesor-alumno. 3. Dominio de los contenidos matemáticos. 4. Utilización de los recursos para el aprendizaje. 5. Estructuración de los procedimientos en la resolución de problemas. 6. Proceso de evaluación. 7. Asesoría académica. 8. Procedimiento de enseñanza utilizado por el profesor. 9. Nivel de compromiso del profesor.

37

38,39,40, 41,42

43

44

45,46,47

48

49

50

Tabla 3.4. Especificaciones del cuestionario opinión-actitud.

III.1.2.5. Entrevista semi-estructurada de los alumnos

Las entrevistas que aplicamos a los alumnos nos brindaron más información

sobre las variables de la dimensión del clima social del aula y actitud del alumno

hacia las matemáticas, no obstante la recolección de información se efectuó tomando

los datos que aportaron los alumnos seleccionados y que respondieron de manera

cordial a las preguntas de la guía de la entrevista semi-estructurada (Ver Anexo III-

4), la cual quedó constituida en cuatro preguntas sobre los siguientes aspectos:

- Actitud general del alumno ante las estrategias de enseñanza utilizadas

por el profesor.

- Comunicación personal entre el profesor y sus alumnos.

- Elementos frecuentes en el clima social de la clase.

- Valoración hacia los contenidos matemáticos que se desarrollaron durante

la clase.

126

En la entrevista participaron 17 alumnos, debidamente orientados por el

investigador sobre la forma de responder a las preguntas formuladas. Esta actividad

nos ayudó a reducir los problemas en la comprensión e interpretación de la

información y las dudas que pudieran tener en el momento de responder a cada uno

de los planteamientos descritos en la guía respectiva. Los datos recolectados los

organizamos y presentamos utilizando distribuciones de frecuencia atendiendo a un

sistema de categorías que construimos de acuerdo a las respuestas que nos dieron los

entrevistados. Esta información se describe de forma cuantitativa pero su análisis se

realizó desde un enfoque más reflexivo y cualitativo.


Las grabaciones de audio efectuadas por el investigador de las sesiones de

clase, además de aportarnos datos valiosos sobre la dimensión del ‘aprendizaje

matemático’ en la primera parte del diagnóstico, también las utilizamos para verificar

los elementos característicos de la dimensión ‘actitud del alumno y clima social del

aula’, los cuales brindaron una mayor aproximación a la realidad del contexto al

describir los criterios e indicadores señalados anteriormente en la presentación de los

instrumentos utilizados en el Estudio del Caso. La finalidad del procedimiento que

hemos utilizado en la investigación para la recolección de datos, tanto cualitativos

como cuantitativos, es la de mejorar sustancialmente la validez de los mismos, a

través de la triangulación metodológica y por consiguiente de las conclusiones de

nuestro estudio.

Los resultados obtenidos en esta parte del diagnóstico tuvieron como premisa

numerosos estudios que revelan, según Velásquez (2000), una actitud negativa de los

alumnos hacia las matemáticas, la cual se inicia desde los primeros años de

escolarización; esto nos permitió aproximarnos con anticipación y cuidado a los

probables resultados que evidencian una vinculación entre aprendizaje matemático y

actitud de quien aprende dentro de nuestro contexto de estudio, tal como lo señala

Ernest (2000:16) “las conexiones entre las creencias y actitudes hacia las

matemáticas son complejas, con múltiples facetas y nada generalizables”.

Con la descripción de los sucesos desarrollados en las clases, en primer lugar

describimos el grado de actitud que demuestra el alumno hacia el proceso de

enseñanza, aprendizaje y evaluación que se lleva a cabo durante el desarrollo de la

asignatura; para ello se describen los sentimientos positivos o negativos que los

estudiantes exponen o exhiben para establecer su valoración sobre el procedimiento

127

de enseñanza del profesor, el lenguaje que se utiliza en la clase, la interacción social

existente entre ellos y el profesor, y la dificultad que representa para ellos el

aprendizaje de los contenidos matemáticos. Y, en segundo lugar, determinamos el

estado actual del clima social del aula utilizando como indicadores los niveles de

participación y comunicación que los alumnos tienen en la asignatura Matemática

General.

El proceso de presentación, descripción, análisis, y reflexión lo efectuamos

cualitativamente tomando los acontecimientos más significativos que ocurrieron

durante el proceso didáctico del aula entre los actores involucrados. A través de estos

acontecimientos logramos explicar la situación del clima social y la actitud general

del grupo de estudiantes, para lo cual hicimos uso principalmente del análisis del

discurso que tanto la profesora como los estudiantes utilizaron para comunicar sus

ideas, conceptos y demás información durante sus intervenciones en las sesiones de

clases.

128

III.1.3. Triangulación de datos

En el siguiente cuadro (Tabla 3.5.) se presentan de manera operativa los

instrumentos utilizados para medir las dimensiones de las variables de la

investigación:

OBJETIVOS DIMENSIÓNES CRITERIOS INSTRUMENTOS

1. Diagnosticar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los alumnos en el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática General. 2. Diagnosticar los conocimientos matemáticos previos que poseen los alumnos al iniciar el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática General.

Aprendizaje Matemático.

- Estrategias en la organización de la información.

- Estrategias de

resolución de problemas.

- Comprensión y

aplicación de conceptos, definiciones, propiedades y teoremas involucrados en los contenidos matemáticos.

1. Cuestionario. 2. Prueba diagnóstica de valoración de aprendizajes y del uso de estrategias. 3. Observación descriptiva en audio.

3. Describir el grado de actitud del alumno a través de su opinión y valoración hacia el procedimiento didáctico efectuado por el profesor y hacia los contenidos matemáticos. 4. Determinar los niveles de participación y de comunicación que los alumnos tienen en la asignatura Matemática General, como aspectos básicos que constituyen el clima social del aula

Actitud y clima social de aula

- Auto-concepto del alumno ante el desempeño de las actividades asignadas.

- Concepción que tiene

el alumno de los contenidos de la asignatura de Matemática y del clima social del aula.

- Concepción del

proceso didáctico desarrollado por el profesor.

1. Cuestionario. 2. Entrevista semi-

estructurada de los alumnos.

3. Observación

descriptiva en audio.

Tabla 3.5. Descripción de instrumentos de recolección de información.

La triangulación de datos, como técnica de validación de datos en la

investigación cualitativa, nos orientó en la comparación de la información obtenida a

través de las técnicas e instrumentos utilizados para establecer las conclusiones

finales del estudio. En el Capítulo anterior se presentó la técnica de triangulación1

metodológica como la más pertinente para evitar los sesgos producto de las

1 Cfr. Apartado II.1.4.1. Capítulo II.

129

interpretaciones inadecuadas de datos en el desarrollo del Estudio de Casos. Para

realizar esta triangulación utilizamos el siguiente procedimiento:

- Aplicación de diferentes técnicas e instrumentos (observación,

cuestionarios, entrevistas y pruebas de valoración) al grupo de alumnos

que forman el Caso de Estudio.

- Organización de la información obtenida en la recogida de datos.

- Comparación de las diferentes informaciones obtenidas por el grupo en

estudio desde las dimensiones del ‘aprendizaje matemático’ y ‘actitud del

alumno y clima social del aula’.

Para realizar esta comparación usamos la matriz de la Tabla 3.6. que refleja

para los objetivos, los resultados más significativos obtenidos en cada instrumento,

estableciendo semejanzas y diferencias en cuanto a las dimensiones de estudio.

OBJETIVO 1. Diagnosticar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los alumnos en el estudio de

los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática General.

TRIANGULACIÓN METODOLÓGICA

CUESTIONARIO PRUEBAS DE VALORACIÓN

DE APRENDIZAJES

OBSERVACIONES

OBJETIVO 2. Diagnosticar los conocimientos matemáticos previos que poseen los alumnos al iniciar

el estudio de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática

General.


CUESTIONARIO PRUEBAS DE VALORACIÓN

DE APRENDIZAJES

OBSERVACIONES

OBJETIVO 3. Describir el grado de actitud del alumno a través de su opinión y valoración hacia el

proceso didáctico efectuado por el profesor y hacia los contenidos matemáticos.


CUESTIONARIO ENTREVISTAS OBSERVACIONES

OBJETIVO 4. Determinar los niveles de participación y de comunicación que los alumnos tienen en

la asignatura Matemática General, como aspectos básicos que constituyen el clima social de aula.


CUESTIONARIO ENTREVISTAS OBSERVACIONES

Tabla 3.6. Matriz para comparar los resultados obtenidos con los instrumentos utilizados en la investigación.

130

III.2. SEGUNDA FASE DE INVESTIGACIÓN

El propósito de esta fase consistió en tomar las decisiones adecuadas para

reorientar el proceso didáctico estudiado en el desarrollo de los contenidos

curriculares previstos en la Unidad de Sistemas Numéricos del Programa de Estudio

de la asignatura Matemática General, los cuales se corresponden, tal como indica su

nombre con el tema del pensamiento numérico. Las reflexiones que presentamos en

el Capítulo 4, sobre el diagnóstico inicial nos guiaron hacia la planificación, diseño y

elaboración de la propuesta didáctica denominada “Programa de Autorregulación

del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas”, como

respuesta a las necesidades académicas que se evidenciaron en esta fase.

131

III.3. TERCERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN: PUESTA EN

PRÁCTICA Y EVALUACIÓN DEL PROGRAMA DE

AUTORREGULACIÓN

Finalmente, evaluamos este Programa tomando como punto de referencia las

dimensiones, criterios y aspectos que describen el proceso de enseñanza y

aprendizaje constructivista de las matemáticas, el aprendizaje matemático

significativo y el clima social del aula para obtener una respuesta completa a los

problemas formulados desde el inicio del proceso de investigación.

La razón que nos llevó a seleccionar este bloque de contenidos, era porque

nos ofrecía una mayor diversidad de situaciones de aprendizajes de conceptos

matemáticos relacionados con la vida cotidiana y, de esta forma, poder utilizar una

gran diversidad de estrategias de aprendizaje que ayuden al alumno a superar las

dificultades que presentan en la organización de la información y en la resolución de


Para la evaluación de nuestra propuesta didáctica, utilizamos una serie de

sesiones de clases organizadas por unidades didácticas, en las cuales se desarrollaron

los siguientes bloques de contenidos: Sistema de los Números Naturales, Sistema de

los Números Enteros y Sistema de los Números Racionales. Esta planificación la

denominamos Guiones de Trabajo (Ver Anexo III-5). En la Tabla 3.7. presentamos,

como ejemplo ilustrativo, una de las unidades didácticas ejecutadas.

TÍTULO: SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES

UNIDADES DE PRESENTACIÓN

Exploración/Motivación Idea intuitiva de Número Natural

Problemas de aplicación con

números naturales

Formalización y conceptualización de la teoría sobre el sistema de los

números naturales Aprendizajes a lograr - Presentar hechos de la

vida cotidiana cuya representación requiera el uso de los números naturales.

- Expresar la idea intuitiva del número natural.

- Relacionar el concepto de número natural a través de conjuntos de objetos.

- Organizar la información utilizando

Ideas a considerar - La necesidad

dentro de los grupos humanos de utilizar símbolos para agrupar, clasificar y contar cosas.

- Transición de la manipulación concreta hacia la abstracción de los números naturales.

- Utilización de las

Ideas a considerar - Utilidad de las

operaciones fundamentales en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas.

- Aplicación de diversas estrategias de resolución de problemas y especialmente las sugeridas por Polya (1978).

Ideas a considerar - Conceptulización de

las operaciones fundamentales en N.

- Formalizar las propiedades del conjunto N.

- Concepto intuitivo de Sistema Numérico.

132

esquemas, diagramas gráficos y mapas conceptuales.

notaciones formales para representar al conjunto de los números naturales.

- Diferenciar los procedimientos gráficos y analíticos para resolver problemas.

Actividades para los alumnos - Dar ejemplos sobre el

uso de los números naturales en la vida cotidiana.

- Representar gráficamente el conjunto de los números naturales.

- Elaborar esquemas, diagramas, gráficos, tablas y mapas conceptuales como estrategias de aprendizaje para la organizar la información de la clase.

Aspectos a observar y valorar - Comprensión del

concepto intuitivo de número natural.

- Verificar la relación entre manipulación concreta de elementos de un conjunto y su interpretación abstracta.

- Verificar las estrategias de aprendizaje que se utilizan para organizar la información.

Aspectos a observar y valorar

- Comprobar con cuáles estrategias inician los alumnos la resolución de estos problemas.

- Valorar el nivel de coherencia de los pasos que se siguen en la resolución de problemas.

- Valorar la aplicación que tienen de las operaciones fundamentales con números naturales para resolver los problemas.

- Monitorear las estrategias de resolución de problemas aplicadas durante la clase y como estas se incorporan al razonamiento de los alumnos.


- Verificar el grado de comprensión de los conceptos involucrados.

- Utilización de ejemplos numéricos para explicar las diferentes propiedades.

- Construcción de esquemas, diagramas, gráficos y mapas conceptuales para organizar la información como estrategias de aprendizaje.

Tabla 3.7. Unidad Didáctica sobre el Sistema de números naturales.

III.3.1. Descripción de la muestra: Procedimiento

Los criterios utilizados para la selección de la muestra fueron semejantes a los

empleados en la primera fase de la investigación, correspondiente al diagnóstico. La

diferencia entre la primera y segunda muestra fue el número de alumnos, puesto que

en la sección seleccionada como Caso de Estudio para la puesta en práctica y

evaluación de la propuesta didáctica, se matricularon 44 alumnos, de los cuales 35

asistieron regularmente a las clases, mientras que en la primera fase de la

investigación el grupo estuvo formado por 65 alumnos, de los cuales 54 asistieron

regularmente a las clases.

133

III.3.2. Instrumentos de recolección de información

De la misma forma, para obtener información y datos en esta fase de la

investigación utilizamos tanto las técnicas e instrumentos aplicados en la fase

diagnóstica, como los diarios de los alumnos y la descripción de los trabajos

efectuados por ellos en el aula.

La aplicación de los instrumentos de recolección de información la

efectuamos de acuerdo a las dimensiones de ‘aprendizaje matemático’ y ‘el clima

social del aula y actitud del alumno’, ya definidas en la primera fase, las cuales

decidimos evaluar en la última fase de nuestra investigación para verificar los

alcances del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el

aprendizaje de las matemáticas.

A continuación presentamos de forma breve y de acuerdo al orden de

aplicación, los instrumentos que se utilizaron en la fase de investigación.


Analizaremos la transcripción de nueve sesiones de clases observadas por el

profesor investigador, grabadas de forma digital en formato mp4, para lograr su

manipulación y acceso práctico, aprovechando con ello una ventaja ofrecida por las

tecnologías de información y comunicación. La información que obtuvimos en estas

observaciones nos garantizó el estudio de las dimensiones que nos propusimos

evaluar en nuestro último objetivo de la investigación.

Las observaciones se efectuaron sin mayores contratiempos. La forma

totalmente inadvertida con la que obtuvimos las grabaciones nos ofrecieron la

confianza necesaria de parte de los alumnos para desarrollar las actividades diarias

en el aula de clase.

III.3.2.2. Cuadernos de los alumnos

Analizaremos las diferentes asignaciones que los estudiantes desarrollaron

tanto individualmente como en pequeños grupos, no mayores de cuatro participantes,

durante las nueve sesiones de clases, cuyo contenido estaba orientado a ejecutar las

diferentes estrategias de aprendizaje que ofrecimos en la propuesta didáctica y en el

134

material didáctico para el desarrollo de conceptos, ejercicios y problemas de

aplicación relativos a los sistemas numéricos estudiados.

Los datos obtenidos de los trabajos de los alumnos los utilizamos

principalmente para evaluar la dimensión del ‘aprendizaje matemático significativo

logrado y las estrategias de aprendizaje aplicadas’.

III.3.2.3. Entrevista semi-estructurada de los alumnos

De manera semejante a la fase de diagnóstico, para complementar la

recolección de información aplicamos entrevistas semi-estructuradas a los alumnos

con los que obtuvimos, a través de la formulación de cuatro preguntas abiertas,

información relativa a la actitud del estudiante ante las matemáticas y sobre sus

niveles de participación y de comunicación como aspectos básicos que constituyen el

clima social, considerado como un elemento fundamental en el proceso didáctico.

Los aspectos que se trataron en la entrevista los estructuramos en las mismas

cuatro preguntas que se formularon en el diagnóstico (Ver Anexo III-4), que versaron

sobre los siguientes aspectos:

- Actitud general del alumno ante las estrategias de enseñanza utilizadas

por el profesor.

- Comunicación personal entre el profesor y sus alumnos.

- Elementos frecuentes en el clima social de la clase.

- Valoración hacia los contenidos matemáticos que se desarrollaron durante

la clase.

Logramos entrevistar a 24 alumnos que igualmente orientamos para reducir

las dudas que pudieran tener en el momento de responder a cada uno de los

planteamientos descritos en la guía respectiva. Los datos recolectados los

organizamos y presentamos utilizando distribuciones de frecuencia atendiendo a un

sistema de categorías que se construyó de acuerdo a las respuestas que los

entrevistados nos dieron, esta información se describe de forma cuantitativa, pero su

análisis se realizó desde un enfoque más reflexivo y cualitativo.

135

III.3.2.4. Cuestionario de opinión para determinar las estrategias de

aprendizaje que utilizan los alumnos en los contenidos de la asignatura

Matemática General de la carrera de Educación Integral

La información que obtuvimos con este cuestionario (Ver Anexo III-3), cuya

estructura y preguntas no sufrieron modificación alguna respecto al empleado en la

fase de diagnóstico, fue recopilada esencialmente para evaluar nuevamente las

estrategias de aprendizaje que los alumnos utilizaron para el estudio de los

contenidos matemáticos desarrollados en la Unidad seleccionada, y para establecer

juicios y reflexiones sobre los avances obtenidos por ellos en la dimensión del

aprendizaje matemático. Pretendemos averiguar el cambio significativo de

experiencias que tienen los alumnos con relación a los diferentes aspectos teóricos y

prácticos de los conceptos, definiciones, propiedades, estrategias de aprendizaje y

procedimientos matemáticos que se ejecutan durante la Unidad Didáctica de los

Sistemas Numéricos.

Recordamos, de nuevo, los criterios que conforman la dimensión ‘estrategias

de aprendizaje’:

- Estrategias en la organización de la información: Además de interpretar,

analizar y reflexionar sobre la nueva información que nos ofreció el

cuestionario, establecimos comparaciones entre los resultados obtenidos

del diagnóstico de la primera fase de investigación y los obtenidos

después de la aplicación de la propuesta o Programa de autorregulación

del pensamiento lógico-formal, sobre la aplicación o utilización de las

estrategias para organizar la información verbal, escrita, gráfica y

simbólica que se genera durante las clases en el intercambio de ideas entre

el profesor y los alumnos, y las estrategias contenidas en la Unidad

Didáctica elaborada siguiendo los principios, objetivos, fases y

características del Programa de autorregulación para el estudio de los

contenidos seleccionados de la asignatura Matemática General.

- Estrategias de Resolución de problemas: De forma semejante procedimos

a comparar los resultados entre el diagnóstico y la nueva información

obtenida después de la aplicación o puesta en práctica del Programa de

enseñanza, específicamente en el uso de las estrategias de resolución de

ejercicios y problemas de matemáticas que los alumnos generalmente

ponen en práctica durante la ejecución de las tareas o asignaciones de la


136

La información que recogimos de los 28 alumnos encuestados, la

organizamos de la misma forma que en el diagnóstico, destacando que se realizó un

análisis más cualitativo que cuantitativo.

III.3.2.5. Cuestionario de opinión para determinar el grado de actitud del

alumno con relación al proceso de enseñanza y aprendizaje del sub-

proyecto Matemática General de la carrera de Educación Integral

Este instrumento (Ver Anexo III-3) lo aplicamos para obtener información de

la dimensión ‘clima social del aula y actitud del alumno’, analizando los mismos

criterios definidos en la fase diagnóstica, los cuales seguidamente citamos:

- Auto-concepto ante el desempeño de las actividades asignadas.

- Concepción de los aprendizajes de los contenidos de la asignatura de

Matemática.

- Concepción del proceso didáctico desarrollado por el profesor.

Contestaron al cuestionario los 26 alumnos que asistieron a clase el día de su

aplicación, donde estuvo presente el profesor investigador para explicar su finalidad

y estructura, además de orientar a los alumnos sobre la forma de responder al mismo

y evitar en lo posible las respuestas sesgadas de los estudiantes del curso.

III.3.2.6. Pruebas de valoración de aprendizajes

Con el fin de obtener información y datos complementarios para evaluar la

dimensión ‘aprendizaje matemático’ distribuimos una prueba de valoración con

características semejantes a la que aplicamos en el diagnóstico, la cual fue analizada

cuantitativamente y cualitativamente teniendo en cuenta, igual que en la primera

fase, los siguientes criterios esenciales de la dimensión aprendizaje matemático:

- Las estrategias de aprendizaje que los alumnos aplican para organizar la

información.

- Las estrategias de aprendizaje que los estudiantes utilizan para resolver los


- El desempeño que los estudiantes demuestran en la comprensión y aplicación

de los conceptos, definiciones y propiedades de los contenidos matemáticos

desarrollados de acuerdo al programa de estudio.

137

Posteriormente generamos las interpretaciones, reflexiones y conclusiones

pertinentes para explicar los logros de los alumnos de la muestra en cuanto al

aprendizaje significativo y dar una respuesta aproximada sobre el progreso en la

aplicación eficiente de estrategias de aprendizaje utilizadas en estudio de los

contenidos seleccionados de la Unidad de Sistemas Numéricos.

Distribuimos la prueba de valoración a 31 alumnos que habían participado

completamente en el proceso de enseñanza y aprendizaje ejecutado por el profesor

investigador, siguiendo el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-

formal.

La prueba de valoración se construyó teniendo en cuenta los contenidos

correspondientes al sistema de los números racionales. Quedó estructurada en dos

partes, con diez preguntas, de la siguiente manera:

- Primera parte: Se presentaron seis preguntas de selección simple cuyas

respuestas debían ser justificadas por los alumnos para valorar su nivel de

comprensión simbólico-matemática y operaciones aritméticas

fundamentales.

- Segunda parte: Se presentaron dos ejercicios para valorar la comprensión

y aplicación de las propiedades involucradas en las operaciones

respectivas y dos problemas de aplicación para diagnosticar las estrategias

de aprendizaje que los estudiantes utilizaron para resolverlos.

III.3.2.7. Diarios de los alumnos

Para lograr obtener información a través de los diarios seleccionamos a 7

alumnos para que redactaran de manera abierta sus impresiones, comentarios y

opiniones sobre los acontecimientos que vivieron y observaron durante las sesiones

de clases. Seleccionamos dos clases porque consideramos que eran suficientes para

recolectar la información sobre las variables estudiadas y de esta manera evitar la

repetición de datos, lo cual constituía un trabajo innecesario para los estudiantes que

participaron gustosamente, reportándonos la información sobre diversos elementos

de las dos dimensiones estudiadas en esta última fase de la investigación.

Efectuamos el análisis de los instrumentos utilizados de manera cualitativa,

puesto que la naturaleza de los diarios nos restringe hacia este enfoque de análisis y

reflexión de información.

138

III.3.3. Triangulación de los datos

Para finalizar este apartado presentamos en la Tabla 3.8. la descripción

pormenorizada de los instrumentos utilizados en la tercera fase de la investigación

con sus respectivos objetivos, dimensiones y criterios.

OBJETIVO DIMENSIÓNES CRITERIOS INSTRUMENTOS

Aprendizaje matemático.

- Estrategias en la organización de la información.

- Estrategias de resolución

de problemas. - Comprensión y aplicación

de conceptos, definiciones, propiedades y teoremas involucrados en los contenidos matemáticos.

1. Cuestionario sobre estrategias de aprendizaje.

2. Prueba de valoración de aprendizajes y del uso de estrategias.

3. Observación descriptiva en audio. 4. Trabajos de los alumnos.

Evaluar el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en función del aprendizaje significativo logrado por los alumnos de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura matemática general, el clima social del aula y la actitud del alumno.

Actitud del alumno y

clima social del aula.

- Auto-concepto del alumno ante el desempeño de las actividades asignadas.

- Concepción que tiene el

alumno de los contenidos de la asignatura de Matemática y del clima social del aula.

- Concepción del proceso

didáctico desarrollado por el profesor.

1. Cuestionario. 2. Entrevista semiestructurada de los alumnos. 3. Observación descriptiva en audio. 4. Diarios de los alumnos.

Tabla 3.8. Descripción de instrumentos de recolección de información en tercera fase de la investigación.

La triangulación metodológica de datos como técnica de validación en la

investigación cualitativa nos orientó una vez más en la comparación de la

información obtenida a través de las técnicas e instrumentos utilizados para

establecer las conclusiones de la tercera parte del estudio. Para realizar esta

triangulación utilizamos el siguiente procedimiento:

- Aplicación de diferentes técnicas e instrumentos (observación,

cuestionarios, entrevistas semi-estructuradas, diarios de los alumnos,

trabajos de los alumnos y pruebas de valoración) al grupo de alumnos que

forman el Caso de Estudio.

- Organización de la información obtenida en la recogida de datos.

139

- Comparación de las diferentes informaciones obtenidas por el grupo en

estudio desde las dimensiones del ‘aprendizaje matemático’ y ‘actitud del

alumno y clima social del aula’.

Para realizar esta comparación utilizamos la siguiente matriz, en donde se

reflejó el objetivo y los resultados más significativos obtenidos en cada instrumento,

estableciendo semejanzas y diferencias en cuanto a las dimensiones de estudio.

OBJETIVO 6. Evaluar el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en función del

aprendizaje significativo logrado por los alumnos de los contenidos de la Unidad de Sistemas

numéricos de la asignatura matemática general, el clima social del aula y la actitud del alumno.

DIMENSIÓN: Aprendizaje matemático


OBSERVACIONES TRABAJO DE

LOS ALUMNOS

PRUEBAS DE

VALORACIÓN DE

APRENDIZAJES

CUESTIONARIO

OBJETIVO 6. Evaluar el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en función del

aprendizaje significativo logrado por los alumnos de los contenidos de la Unidad de Sistemas

Numéricos de la asignatura matemática general, el clima social del aula y la actitud del alumno.

DIMENSIÓN: Clima social del aula y actitud del alumno


OBSERVACIONES ENTREVISTAS DIARIOS CUESTIONARIO

Tabla 3.9. Matriz de objetivos y resultados significativos.

140

ANEXO III-1: CUESTIONARIO DE OPINIÓN PARA DETERMINAR LAS ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE QUE UTILIZAN LOS ALUMNOS EN LOS CONTENIDOS DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICA GENERAL

PROGRAMA DE DOCTORADO EN EDUCACIÓN MENCIÓN DISEÑO CURRICULAR Y EVALUACIÓN EDUCATIVA CONVENIO UNIVERSIDAD DE VALLADOLID (ESPAÑA) UNIVERSIDAD EZEQUIEL ZAMORA (VENEZUELA) INSTRUCCIONES: Estimado alumno, este cuestionario tiene como propósito fundamental recolectar información para desarrollar la tesis doctoral titulada: “HACIA UN PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN DEL PENSAMIENTO FORMAL EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS”, mediante el cual se espera que usted mejore sus técnicas de aprendizaje e incremente su rendimiento en el área de las Matemáticas. Las respuestas son de mucho interés, por lo tanto le agradezco la mayor sinceridad y objetividad posible en el momento de responder a cada una de las preguntas formuladas. Señale con una “X” la opción que mejor se ajuste a tu situación de aprendizaje: Ejemplo:

Sie

mpr

e

Con

Fre

cuen

cia

A V

eces

Nun

ca

La Matemática es una asignatura sumamente difícil de comprender. X

Sie

mpr

e

Con

Fre

cuen

cia

A v

eces

Nun

ca

1 Antes de tomar notas en mi cuaderno presto atención selectiva a las instrucciones y/o explicaciones del profesor.

2 Cuando exploro una información, concepto, definición o problema lo hago de manera impulsiva.

3 Cuando el profesor hace preguntas durante la clase contesto de manera impulsiva sin detenerte a razonar del porqué de esa respuesta.

4 Utilizo esquemas para ordenar la información durante la clase.

5 Organizo la información de manera gráfica cuando no comprendo alguna definición, concepto o problema.

6 Para lograr una mejor comprensión, utilizo esquemas en el procedimiento a seguir en la resolución de problemas.

7 Antes de cada clase de Matemática obtengo información específica del tema que se desarrollará para así tener una idea anticipada del mismo.

8 Cuando necesito reunir datos, no logro discriminar con precisión la importancia de cada uno de ellos, para comprender un concepto o resolver un ejercicio o problema de Matemática.

9 Suelo tener problemas con la percepción de las ideas principales de la información escrita en los textos de Matemática.

10 La percepción de las ideas o información principal cuando leo algún material de apoyo, libro o guía de estudio generalmente es superficial.

141

11 Identifico con precisión los conceptos y definiciones involucrados en los ejercicios y problemas.

12 Identifico con precisión la información que se suministra, así como las incógnitas en un problema.

13 Logro identificar las diferencias sustanciales entre un problema, un ejercicio o una información trivial.

14 Cuando quiero expresar los conceptos de manera verbal logro encontrar las palabras que me faciliten su organización.

15 Solo utilizo el lenguaje verbal o escrito para organizar la información de un concepto, definición o problema cuando estudio Matemática.

16 Después de analizar verbalmente o por escrito los datos e información de un problema de Matemática los cuantifico para obtener un procedimiento de resolución.

17 Cuando necesito expresar mis ideas por escrito logro encontrar las palabras requeridas para estructurar la información.

18 Utilizo diferentes fuentes de información además de la clase del profesor para complementar mi aprendizaje.

19 Cuando no logro resolver un problema busco información adicional en materiales de apoyo, como libros-textos o guías de estudio preparadas por el profesor.

20 El material didáctico de Matemática me enseña estrategias para comprender mejor la resolución de los ejercicios y problemas.

21 Logro comprender el lenguaje matemático que utiliza el material didáctico de Matemática sugerido por el profesor.

22 El material didáctico utilizado en Matemática me ayuda a utilizar estrategias de aprendizaje para organizar la información.

23 El material didáctico utilizado en Matemática se ha elaborado de acuerdo a mis necesidades de aprendizaje.

24 Realizo comparaciones entre dos o más conceptos Matemáticos para obtener una comprensión más clara de los mismos.

25 Realizo una lectura detenida y minuciosa de los problemas matemáticos antes de resolverlos.

26 Determino con precisión el grado de relación y/o asociación entre los datos de un problema.

27 Logro determinar en un problema, cuando los datos no son insuficientes para obtener una respuesta.

28 Ordeno los datos de un problema, primero de manera verbal-escrita, luego de manera gráfica y por último uso los símbolos matemáticos para darles mayor precisión.

29 En las clases de Matemática se utilizan situaciones más concretas y cotidianas para entender un concepto, ejercicios y problemas.

30 Me detengo a verificar la exactitud de las respuestas cuando resuelvo ejercicios y problemas.

31 Analizo las posibles causas de los errores que cometo en la resolución de ejercicios y problemas.

32 Determino con una simple estimación el o los posibles resultados de un ejercicio o problema.

33 Antes de resolver un problema lo analizo sistemáticamente en pequeños pasos para seleccionar las posibles alternativas de solución.

34 Si los problemas me parecen complejos, me planteo otro similar pero con una estructura más simple.

35 Analizo los problemas hacia delante y hacia atrás, para entenderlos mejor.

36 Utilizo el azar cuando las posibles alternativas de solución del problema se han agotado.

37 Reformulo los problemas con otras palabras para evaluar con mayor precisión sus datos.

38 Al resolver un problema o ejercicio de matemática comienzo por lo más sencillo que observo de éste.

142

39 Construyo figuras, diagramas o cualquier otro recurso visual para comprender la relación entre los datos del problema.

40 Busco apoyo o asesorías en el profesor o cualquier otro experto cuando tengo dificultades en la resolución de algún problema de matemática.

41 Tengo conciencia de mis debilidades y fortalezas cuando se me plantean ejercicios y problemas que considero complejos para mi.

42 Utilizo estrategias originales, es decir, de mi propia iniciativa para resolver ejercicios y problemas de Matemática.

43 Cuando uso alguna estrategia de solución de problemas y se me complica obtener el resultado correcto, me encasillo en esa única posibilidad.

44 Utilizo con eficacia el lenguaje matemático simbólico adecuado para representar la información disponible, datos e incógnitas.

45 Antes de resolver un problema, sintetizo la información que aportan las definiciones, axiomas, teoremas y fórmulas.

46 Utilizo las propiedades matemáticas relacionadas con la resolución de problemas.

47 Determino con precisión las fórmulas necesarias para obtener el resultado de un problema.

48 Cuando aplico fórmulas y teoremas en la resolución de problemas tengo una comprensión clara de su estructura formal.

143

ANEXO III-2: PRUEBA DE VALORACIÓN DE APRENDIZAJES UNELLEZ – BARINAS PROGRAMA EDUCACIÓN SUBPROYECTO: MATEMÁTICA GENERAL PROFESOR: Alumno: Sección: C.I. Fecha: PARTE I: Selección simple. INSTRUCCIÓN: Seleccione con una “X” la respuesta que considere correcta indicando su justificación. 1. De la adición en Q se puede decir que:

a. ( ) , ,a c a c c a

b d b d d b∀ ∈ + = +ℚ

b. ( ) , ,a c a c c a

b d b d d b∀ ∈ − = −ℚ

c. ( ) , ,a c a c c a

b d b d d b∀ ∈ ∗ = ∗ℚ

d. ( ) Se cumple la propiedad del inverso multiplicativo. Justificación:

2. El enunciado: , , ,a c e a c e a c e

b d f b d f b d f

∀ ∈ + + = + +

ℚ significa:

a. ( ) Propiedad asociativa de la multiplicación de números racionales. b. ( ) Propiedad Asociativa de la adición en Q

c. ( ) Existencia de Elemento Neutro para la suma en Q d. ( ) Existencia de un Inverso Aditivo para todo número racional.

Justificación:

3. El m.c.m. entre 120,1400 y 5400 es igual a:

a. ( ) 5.400 b. ( ) 10.800 c. ( ) 37.800 d. ( ) 1.400

Justificación:

144

4.

21

3

− −

es igual a:

a. ( ) 1

9− b. ( )

1

9

c. ( ) 9− d. ( ) 9

Justificación:

5. Al efectuar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 3 2 2 1 2 5 2 3 2 3 2 3 2 2 1 3− − + + − − − − + + − , nos queda:

a. ( ) 27− b. ( ) 18− c. ( ) 14 d. ( ) 54−

Justificación:

PARTE II. Simplifique las expresiones siguientes:

1.

1 5 1 2 3 2 15 54 2 4 2 4 3 5

3 1 2 8 1 5 14 3 4 8 4 2 4 2 4

=+ − + +

− + + −

2.

( )

22 6 2 3

3 42

4 4 1 1

3 3 2 3

1 33

2 4

−− −

−−

=

PARTE III. Resuelva los problemas siguientes: 1. Un estanque tiene tres grifos que vierten: el 1º 50 litros en 5 minutos; el 2º 91 litros en 7 minutos

y el 3º 108 litros en 12 minutos, y dos desagües por los que salen 40 litros en 5 minutos y 60 litros en 6 minutos, respectivamente. Si estando vacío el estanque y abierto los desagües se abren las tres llaves al mismo tiempo, necesita 40 minutos para llenarse. ¿Cuál es su capacidad?

2. En una lámina de metal se corta un trozo que constituye el 60% de dicha lámina. Si el pedazo

que queda pesa 24,2 Kg. ¿Cuál es el peso del trozo cortado?

145

ANEXO III-3: CUESTIONARIO DE OPINIÓN PARA DETERMINAR EL GRADO DE ACTITUD DEL ALUMNO Y EL CLIMA SOCIAL DEL AULA EN EL PROCESO DIDÁCTICO DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICA

GENERAL PROGRAMA DE DOCTORADO EN EDUCACIÓN MENCIÓN DISEÑO CURRICULAR Y EVALUACIÓN EDUCATIVA CONVENIO UNIVERSIDAD DE VALLADOLID (ESPAÑA) UNIVERSIDAD EZEQUIEL ZAMORA (VENEZUELA) INSTRUCCIONES: Estimado alumno, este cuestionario tiene como propósito fundamental recolectar información para desarrollar la tesis doctoral titulada: “HACIA UN PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN DEL PENSAMIENTO FORMAL EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS”, mediante el cual se espera que usted mejore sus técnicas de aprendizaje e incremente su rendimiento en el área de las Matemáticas. Las respuestas son de mucho interés, por lo tanto le agradezco la mayor sinceridad y objetividad posible en el momento de responder a cada una de las preguntas formuladas. Señale con una “x” el grado de acuerdo o desacuerdo con cada una de las frases siguientes: Ejemplo:

De

acue

rdo

Med

iana

men

te d

e ac

uerd

o

Sin

opi

nión

Med

iana

men

te e

n de

sacu

erdo

En

desa

cuer

do

La Matemática es una asignatura que me gusta estudiar mucho. X

De

acue

rdo

Med

iana

men

te d

e ac

uerd

o

Sin

opi

nión

Med

iana

men

te e

n de

sacu

erdo

En

desa

cuer

do

1 Experimento impulsividad por terminar una asignación o tarea relacionada con las matemáticas.

2 Generalmente realizo las tareas matemáticas con mucha prisa.

3 Evado la responsabilidad que debo tener ante la realización de las actividades de matemática que me asignan en clase.

4 Siento que no utilizo al máximo mi capacidad de razonamiento para resolver ejercicios y problemas de matemática.

5 Ante la presencia de una asignación compleja me cuesta demasiado iniciarla.

146

6 Ante un problema de matemática siento un complejo de inutilidad.

7 Siento miedo al ridículo que pueda hacer si me equivoco al intervenir en las clases de Matemática.

8 Generalmente siento mucho temor al desarrollar actividades de evaluación como las pruebas escritas en Matemática.

9 Prefiero no preguntar en clase porque siento temor hacia mi profesor.

10 Experimento generalmente cierta impresión de rechazo hacia las tareas que mi profesor de Matemática me asigna.

11 Si de verdad quisiera e invirtiera tiempo y esfuerzo suficiente, podría alcanzar éxito en las actividades de Matemática.

12 Pienso que los ejercicios y problemas complejos de Matemática significan un reto para aprender más de esta ciencia.

13 Frente a la actividad de resolver un problema siento que me proporcionará satisfacción personal el obtener una respuesta correcta.

14 EL profesor estimula mis logros como alumno de Matemática.

15 Generalmente cuando tengo la tarea de resolver ejercicios y problemas de Matemática tomo la iniciativa ante mis compañeros para elaborar un plan de resolución.

16 Para resolver los ejercicios y problemas propuestos pienso a mi ritmo, con tranquilidad y serenidad.

17 Para neutralizar el miedo a una prueba lo mejor es abordarlo con la seguridad de ir bien preparado.

18 Tengo mucha perseverancia en el momento de obtener la solución de ejercicios y problemas de Matemática.

19 Para desarrollar mis actividades asignadas en matemática necesito ajustarme a un horario planificado adecuadamente.

20 Para mi, las Matemáticas son cálculos y significan seguir unas reglas para memorizarlas.

21 En las Matemáticas, la función del estudiante es recibir información y el papel del profesor es transmitir conocimientos.

22 El procedimiento utilizado para resolver los problemas que se me presentan en matemática es muy complicado.

23 Sólo los más dotados intelectualmente o genios pueden crear Matemáticas.

24 Las matemáticas son muy importantes porque me enseñan a pensar y razonar correctamente.

25 Los contenidos que se imparten en la asignatura de matemática me resultan útiles para aplicarlos en mis actividades laborales y profesionales futuras.

26 Para aprender Matemáticas, no importa el estilo de enseñanza del profesor, lo que importa es el esfuerzo que el alumno hace para aprender.

27 La mayor parte del pánico que me producen los contenidos de esta asignatura se debe a la exigencia del profesor.

28 El profesor generalmente es riguroso y ajustado a las normas y reglamentos.

29 Generalmente has tenido profesores muy complacientes en las exigencias con el aprendizaje de esta asignatura.

30 Los profesores que tienen los mejores métodos de enseñanza son aquellos que exigen al alumno un aprendizaje más efectivo.

31 El profesor de Matemática General le da mucha importancia a la participación de los alumnos durante la clase.

32 Durante las clases de matemática, los alumnos son estimulados a expresar sus propias ideas aunque contradigan a las del profesor.

147

33 El profesor de Matemática utiliza un lenguaje poco

comprensible para mí en el momento de explicar los conceptos, definiciones, ejercicios y problemas.

34 El profesor de Matemática fomenta el compromiso que tengo como estudiante ante los objetivos que debo lograr en la asignatura.

35 En el aula de clase, generalmente muestro disposición para el trabajo en equipo.

36 El profesor mantiene una relación amigable con cada estudiante sin establecer preferencias.

37 El profesor de Matemática mantiene un clima de confianza en el aula para que los alumnos formulen preguntas y aclararen dudas.

38 El profesor de Matemática al compararlo con los profesores de otras asignaturas maneja adecuadamente la información y los procesos para la resolución de problemas.

39 El profesor de Matemática organiza la información en el pizarrón de manera clara y comprensible.

40 La información que se presenta en las clases de Matemática presenta un mejor nivel de organización que en las demás asignaturas.

41 Observas seguridad por parte del profesor en el dominio de la información matemática que desarrolla en la clase.

42 En el desarrollo de las clases de Matemática se utilizan ejemplos sencillos de la vida cotidiana relacionados con los contenidos enseñados.

43 El profesor de Matemática utiliza recursos de aprendizaje diferentes al pizarrón, tales como, láminas, diapositivas, videos, diagramas, talleres, etc.

44 El profesor describe las propiedades matemáticas de los problemas a resolver en el aula.

45 El profesor informa regularmente sobre el progreso que llevan sus alumnos en la evaluación de los aprendizajes.

46 La mayor parte de las evaluaciones que se aplican en Matemática son de carácter individual.

47 Consideras que en las Matemáticas las evaluaciones en su mayoría deben ser aplicadas en grupo.

48 Generalmente recibes ayuda y/o asesoría de parte del profesor en forma grupal e individual.

49 En general, los profesores de Matemática General que has tenido utilizan un procedimiento deficiente para enseñar la Matemática.

50 La actitud del profesor de Matemática ha sido muy positiva y de compromiso hacia la formación de los alumnos.

148

ANEXO III-4: ENTREVISTA SEMI-ESTRUCTURADA DE LOS ALUMNOS UNELLEZ – BARINAS PROGRAMA EDUCACIÓN SUBPROYECTO: MATEMÁTICA GENERAL PROFESOR: GUÍA DE LA ENTREVISTA APLICADA A LOS ALUMNOS DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICA GENERAL La presente entrevista tiene por finalidad conocer tu opinión sobre la actitud que tienes ante los contenidos, el proceso didáctico y el clima social del aula de clase en la asignatura Matemática General, información valiosa para el diseño y aplicación de un Programa de intervención que mejore sustancialmente la práctica docente. Sesión N°: __________ Fecha: __________ Día: __________ Hora: __________ Contenido: ___________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 1. En función de las estrategias de enseñanza utilizadas por el profesor durante el desarrollo de los

contenidos, ¿cómo describirías tu actitud general durante la clase?, ¿de participación y/o colaboración?, ¿de rechazo? Explica tu respuesta.

2. Describe brevemente cómo ha sido la relación de comunicación personal entre tu profesor y los

alumnos durante la clase. 3. En esta sesión de clase, cuáles de los siguientes elementos has observado con mayor frecuencia:

a) estímulo del profesor hacia el alumno; b) motivación del profesor hacia los contenidos que enseña; c) trabajo en equipo del profesor y alumnos. Explica tu respuesta.

4. ¿Qué impresión general te causaron los contenidos que se desarrollaron durante esta clase? ¿Son

útiles para tu formación profesional?, ¿no tienen significado para ti?, ¿en general no te interesaron?, ¿perdiste el tiempo?, ¿fueron sencillos de entender?, ¿sólo unos pocos los comprendieron? Explica tu respuesta.

149

ANEXO III-5: GUIONES DE TRABAJO PARA EL DESARROLLO DE LA PROPUESTA DIDÁCTICA





números naturales


números naturales Aprendizajes a lograr - Presentar hechos de la

vida cotidiana cuya representación requiera el uso de los números naturales.



- Organizar la información utilizando esquemas, diagramas gráficos y mapas conceptuales.


dentro de los grupos humanos de utilizar símbolos para agrupar, clasificar y contar cosas.

- Transición de la manipulación concreta hacia la abstracción de los números naturales.

- Utilización de las notaciones formales para representar al conjunto de los números naturales.


operaciones fundamentales en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas.




las operaciones fundamentales en N.




uso de los números naturales en la vida cotidiana.



Aspectos a observar y valorar - Comprensión del concepto intuitivo de número natural.

- Verificar la relación entre manipulación concreta de elementos de un conjunto y su interpretación abstracta.











150

TÍTULO: SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS


Exploración/Motivación Idea intuitiva de Número Negativo

Problemas de aplicación con números enteros


números enteros Aprendizajes a lograr - Presentar hechos de la

vida cotidiana cuya representación requiera el uso de los números negativos y positivos.

- Expresar la idea intuitiva y el significado del número negativo y compararlo con el número natural.

- Relacionar el concepto de número entero a través de cantidades positivas (ganancia, utilidad, crecimiento, etc.) y cantidades negativas (pérdida, deudas, déficit, etc.).



dentro de los grupos humanos de utilizar símbolos de números negativos para representar situaciones cotidianas.

- Transición de la manipulación semi-concreta hacia la abstracción de los números negativos.

- Utilización de las notaciones formales para representar al conjunto de los números enteros.


operaciones fundamentales con números enteros en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas.




las operaciones fundamentales en Z.

- Formalizar las propiedades del conjunto Z.



uso de los números negativos y positivos en la vida cotidiana.

- Representar gráficamente el conjunto de los números enteros.


Aspectos a observar y valorar - Comprensión del concepto intuitivo de número negativo, positivo y significado del cero.

- Verificar la relación entre la interpretación de situaciones cotidianas y la aplicación formal y abstracta del conjunto de los números enteros.





- Valorar la aplicación que tienen de las operaciones fundamentales con números enteros para resolver los problemas.




- Utilización de ejemplos numéricos para explicar las diferentes propiedades del conjunto de los números enteros.


151

TÍTULO: SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES


Exploración/Motivación Idea intuitiva de Número Racional


números Racionales

Formalización y conceptualización de la tª sobre el sistema de los nos Racionales

Aprendizajes a lograr - Presentar hechos de la

vida cotidiana cuya representación requiera el uso de los números racionales.

- Expresar la idea intuitiva y el significado del concepto de fracción y el número fraccionario.

- Relacionar el concepto de número fraccionario con el de expresión decimal.



dentro de los grupos humanos de utilizar símbolos de números fraccionario para representar situaciones cotidianas.

- Transición de la manipulación concreta de fracciones, semi-concreta hasta abstracción de los números racionales.

- Utilización de las notaciones formales para representar al conjunto de los nos racionales.


operaciones fundamentales con números racionales en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas.




las operaciones fundamentales en Q.

- Formalizar las propiedades del conjunto Q.



uso de los números racionales en la vida cotidiana.

- Representar gráficamente el conjunto de los números racionales.


Aspectos a observar y valorar - Comprensión del concepto intuitivo de número racional. Verificar la relación entre la interpretación de situaciones cotidianas y la aplicación formal y abstracta del conjunto de los números racionales.





- Valorar la aplicación que tienen de las operaciones fundamentales con números racionales para resolver los problemas.

- Monitorear las estrategias de resolución de probls. aplicadas durante la clase y cómo éstas se incorporan al razonamiento de los alumnos.



- Utilización de ejemplos numéricos para explicar las diferentes propiedades del conjunto de los números racionales.


CAPÍTULO IV: RESULTADOS OBTENIDOS EN LA FASE DE

DIAGNÓSTICO INICIAL

155

CAPÍTULO IV:

RESULTADOS OBTENIDOS EN LA FASE DE DIAGNÓSTICO

INICIAL

Los resultados que presentamos en la investigación corresponden al paso final

de un proceso riguroso de diseño, elaboración y aplicación de los instrumentos de

recolección de información durante la fase del trabajo de campo. De acuerdo al

procedimiento de nuestra investigación descrito en el Capítulo III, hemos utilizado

cuestionarios, entrevistas, cuadernos de los alumnos, observaciones y pruebas de

valoración de aprendizajes dirigidos exclusivamente a los alumnos que cursan la

asignatura Matemática General de la carrera de Educación Integral, sin restarle

importancia al grado de participación que pueda tener el docente con su

responsabilidad académica y administrativa. En este apartado llegamos al análisis de

datos que según La Torre & González (1987:364) es: “una etapa de búsqueda

sistemática y reflexiva de la información obtenida a través de los instrumentos de

recogida de datos. Constituye uno de los momentos más importantes del proceso de

la investigación e implica trabajar los datos, recopilarlos, organizarlos en unidades

manejables, sintetizarlos, buscar regularidades o modelos entre ellos, descubrir que

es importante y que van a aportar a la investigación”.

Para Rodríguez et al (1996:200), el análisis de datos cualitativos “supondrá

examinar sistemáticamente un conjunto de elementos informativos para delimitar

partes y descubrir las relaciones entre si mismas y las relaciones con el todo”.

Siguiendo una secuencia de análisis y reflexión sobre la fase diagnóstica,

efectuando una valoración crítica del trabajo realizado y de los acontecimientos

cotidianos que viven dentro del aula los actores del proceso didáctico de las

matemáticas, se llega a una producción científica y rigurosa de conocimientos que

pueden coincidir o discrepar de los planteamientos teóricos que han definido hasta el

presente los paradigmas en la enseñanza, aprendizaje y evaluación de la Matemática.

Estos nuevos conocimientos nos guiarán hacia una posible reorientación hipotética

de las bases teóricas, conceptuales y prácticas que fundamenten el modelo didáctico

para la enseñanza de las matemáticas que utiliza la autorregulación del pensamiento

formal para el aprendizaje de las matemáticas.

En este proceso sistemático de la investigación seguiremos los pasos de

presentación, análisis, interpretación y reflexión de los datos recogidos, tanto

156

cuantitativos como cualitativos, en función de la complementariedad de los métodos

cuantitativos y cualitativos que presentamos en el Capítulo II, sobre las dimensiones

que determinamos en el estudio, es decir, el aprendizaje matemático, la actitud del

alumno y el clima social del aula. Este punto de la investigación lo podemos

describir como el momento de transición entre los fundamentos epistemológicos que

vertebran la investigación y la fase empírica que demuestra lo que realmente está

ocurriendo en la realidad del contexto de estudio, información significativa para

responder a las primeras preguntas y verificar los logros alcanzados respecto a los

objetivos formulados en el planteamiento del problema de nuestro estudio.

Como señalamos anteriormente, dos dimensiones orientan el proceso de

presentación, análisis, interpretación y reflexión. La primera de ellas está constituida

por el proceso de aprendizaje matemático que ejecutan los alumnos tomando en

cuenta los siguientes criterios de análisis, ya descritos en el Capítulo III:

- Las estrategias para organizar la información.

- Las estrategias de aprendizaje que utilizan para resolver ejercicios y

problemas.

- El dominio cognoscitivo en la comprensión y aplicación de conceptos,

definiciones, propiedades y teoremas involucrados en los contenidos

matemáticos de las sesiones de clase ejecutadas.

La segunda dimensión la constituye la actitud del alumno ante las

matemáticas en general y el clima social que se genera en el aula durante el proceso

didáctico de la asignatura Matemática General. Para analizar esta dimensión de

estudio se utilizaron los siguientes criterios, también descritos en el Capítulo III:

- El auto-concepto del alumno ante su desempeño de las actividades

asignadas.

- La concepción que tiene el alumno de los aprendizajes de los contenidos

de la asignatura de Matemática.

- La concepción del proceso didáctico desarrollado por el profesor.

157


PRIMERA PARTE DEL DIAGNÓSTICO

En esta sección, se organizan, presentan, analizan y se lleva a cabo la

respectiva reflexión de los resultados de la dimensión de aprendizaje matemático

obtenidos de las respuesta aportadas por los alumnos en el cuestionario de estrategias

de aprendizaje, las transcripciones de las grabaciones efectuadas durante las sesiones

de clase observadas y las pruebas de valoración aplicadas al grupo de alumnos. Los

resultados los dividimos según los propósitos de cada uno de los instrumentos

utilizados.

IV.1.1. Análisis y reflexión de los resultados del cuestionario de opinión

para determinar las estrategias de aprendizaje que utilizan los alumnos

en los contenidos de la asignatura matemática general de la carrera de

Educación Integral

Está constituido por la distribución de la opinión que tienen los alumnos

sobre las estrategias de aprendizaje que más utilizan y cómo las aplican en la

ejecución de tareas que forman parte del contenido de la asignatura Matemática

General de la carrera Educación Mención Integral, tales como la ‘organización de la

información’ y la ‘resolución de ejercicios y problemas’.

En la Tabla 4.1. presentamos los resultados obtenidos de la aplicación del

cuestionario relativo a las estrategias de aprendizaje, atendiendo a los indicadores y

criterios de las dimensiones en estudio que están contenidos en la Tabla de

especificaciones de dicho instrumento de recolección de información.

Siempre Con

frecuencia A veces Nunca TOTAL

Indicador ITEM F % F % F % F % F %

1. Atención selectiva a las instrucciones. 30 55,56 10 18,52 14 25,93 0 54 100

2. Exploración impulsiva de la información. 2 3,70 4 7,41 32 59,26 16 29,63 54 100 C

apac

idad

de

con

cent

raci

ón

3. Respuestas impulsivas. 1 1,85 5 9,26 15 27,78 33 61,11 54 100

4. Utilización de esquemas. 5 9,26 5 9,26 24 44,44 20 37,04 54 100 5. Organización de la información de manera gráfica. 3 5,56 6 11,11 29 53,70 16 29,63 54 100

Uti

liza

ción

de

técn

icas

de

estu

dio

6. Utilización de esquemas en la resolución de problemas. 8 14,81 9 16,67 23 42,59 14 25,93 54 100

158

Siempre Con



7. Recolección previa de información. 2 3,70 12 22,22 21 38,89 19 35,19 54 100 8. Dificultad en la discriminación de datos. 3 5,56 11 20,37 29 53,70 11 20,37 54 100 9. Problemas con la percepción de las ideas principales de la información. 4 7,41 13 24,07 27 50 10 18,52 54 100 10. La percepción superficial de las ideas. 5 9,26 5 9,26 26 48,15 18 33,33 54 100 11. Precisión en la identificación de los conceptos y definiciones. 11 20,37 18 33,33 21 38,89 4 7,41 54 100 12. Precisión de la información e incógnitas en un problema. 7 12,96 17 31,48 27 50 3 5,56 54 100 D

iscr

imin

ació

n de

la in

form

ació

n

13. Diferenciar problemas y un ejercicio. 5 9,26 15 27,78 26 48,15 8 14,81 54 100 14. Uso apropiado del vocabulario y organización de información. 14 25,93 19 35,19 17 31,48 4 7,41 54 100 15. Uso exclusivo del lenguaje verbal o escrito para organizar la información. 16 29,63 18 33,33 15 27,78 5 9,26 54 100 16. Cuantificación de datos para obtener un procedimiento de resolución. 11 20,37 15 27,78 27 50,00 1 1,85 54 100

Exp

resi

ón v

erba

l-es

crit

a

17. Uso apropiado del vocabulario para expresar conceptos de manera escrita. 19 35,19 14 25,93 20 37,04 1 1,85 54 100 18. Utilización de diferentes fuentes de información. 13 24,07 14 25,93 23 42,59 4 7,41 54 100 19. Búsqueda de información adicional en materiales de apoyo y resolución de problemas. 22 40,74 13 24,07 14 25,93 5 9,26 54 100 20. Materiales de apoyo que recomiendan los profesores de Matemática y la ayuda que estos ofrecen. 17 31,48 17 31,48 19 35,19 1 1,85 54 100 21. Comprensión del lenguaje matemático que utilizan los textos y demás materiales instruccionales. 7 12,96 13 24,07 31 57,41 3 5,56 54 100 22. Los libros-textos y demás materiales instruccionales y su adecuación a las necesidades particulares de aprendizaje. 14 25,93 15 27,78 23 42,59 2 3,70 54 100

Uti

liza

ción

de

mat

eria

l esc

rito

23. Los libros-textos y demás materiales instruccionales y su relación con habilidades cognitivas del alumno. 8 14,81 10 18,52 31 57,41 5 9,26 54 100 24. Comparaciones entre dos o más conceptos Matemáticos para obtener una comprensión más clara de los mismos. 20 37,04 15 27,78 16 29,63 3 5,56 54 100 25. Realización de lectura detenida antes de resolver problemas matemáticos. 30 55,56 16 29,63 6 11,11 2 3,70 54 100

Aná

lisi

s de

la in

form

ació

n

26. Precisión para determinar el grado de relación y/o asociación entre los datos de un problema. 15 27,78 17 31,48 20 37,04 2 3,70 54 100

159

Siempre Con



27. Determinar si en un problema hay datos insuficientes para obtener una respuesta. 3 5,56 16 29,63 31 57,41 4 7,41 54 100 28. Ordenar datos de un problema, en la secuencia verbal-escrita, gráfica y simbólica. 15 27,78 14 25,93 20 37,04 5 9,26 54 100 29. Situaciones más cotidianas para entender información matemática. 8 14,81 20 37,04 21 38,89 5 9,26 54 100

Pro

ceso

de

abst

racc

ión

30. Construcción de figuras, diagramas o cualquier otro recurso visual para comprender la relación entre los datos del problema. 29 53,70 18 33,33 5 9,26 2 3,70 54 100 31. Verificación de la de las respuestas. 24 44,44 19 35,19 6 11,11 5 9,26 54 100 32. Análisis de las causas de los errores. 10 18,52 18 33,33 19 35,19 7 12,96 54 100

Uti

liza

ción

de

proc

esos

de

veri

fica

ción

33. Uso de la estimación para verificar. 20 37,04 22 40,74 10 18,52 2 3,70 54 100 34. Análisis sistemático para seleccionar las alternativas de solución. 9 16,67 18 33,33 24 44,44 3 5,56 54 100 35. Planteamiento de problemas con una estructura más simple para resolver problemas complejos. 12 22,22 15 27,78 20 37,04 7 12,96 54 100 36. Análisis retrospectivo de los problemas para entenderlo mejor. 5 9,26 8 14,81 26 48,15 15 27,78 54 100

Dis

eño

y ap

lica

ción

de

plan

es

de r

esol

ució

n

37. Persistencia en una sola posibilidad de resolución. 1 1,85 13 24,07 30 55,56 10 18,52 54 100 38. Utilización del azar cuando las estrategias de solución se han agotado. 28 51,85 14 25,93 11 20,37 1 1,85 54 100 39. Reformulación de problemas en otras palabras para evaluar con mayor precisión sus datos. 5 9,26 11 20,37 26 48,15 12 22,22 54 100

Uti

liza

ción

de

la

intu

ició

n y

proc

eso

de

indu

cció

n

40. Resolución de un problema o ejercicio de Matemática desde lo más sencillo. 26 48,15 16 29,63 11 20,37 1 1,85 54 100

Apo

yo e

n la

as

esor

ía

acad

émic

a de

l pro

feso

r

41. Apoyo o asesorías en el profesor o cualquier otro experto.

25 46,30 16 29,63 10 18,52 3 5,56 54 100

Aut

o-ev

alua

ción

del

ra

zona

mie

nto

apli

cado

42. Conciencia de debilidades y fortalezas.

9 16,67 21 38,89 21 38,89 3 5,56 54 100

Uti

liza

ción

de

habi

lida

des

cogn

itiv

as

pers

onal

es

43. Utilización de estrategias originales para resolver ejercicios y problemas de Matemática.

3 5,56 12 22,22 19 35,19 20 37,04 54 100

160

Siempre Con



Uti

liza

ción

de

l len

guaj

e m

atem

átic

o 44. Utilización eficaz del lenguaje matemático simbólico.

6 11,11 12 22,22 30 55,56 6 11,11 54 100 45. Síntesis de la información que aportan las definiciones, axiomas, teoremas y fórmulas. 5 9,26 19 35,19 22 40,74 8 14,81 54 100 46. Utilización de propiedades matemáticas. 14 25,93 23 42,59 15 27,78 2 3,70 54 100 47. Uso preciso de fórmulas resolver un problema. 16 29,63 24 44,44 14 25,93 0 54 100

Uso

del

raz

onam

ient

o de

duct

ivo

en la

re

solu

ción

de

prob

lem

as.

48. Aplicación formal de fórmulas y teoremas en la resolución de problemas. 10 18,52 16 29,63 25 46,30 3 5,56 54 100

Tabla 4.1. Resultados obtenidos en el cuestionario de opinión para determinar las estrategias de aprendizaje que utilizan los alumnos en los contenidos de la asignatura Matemática General de la

carrera de Educación Integral.

Al analizar los resultados obtenidos por los alumnos en el indicador

‘capacidad de concentración’ para recibir instrucciones, la mayoría de alumnos,

aproximadamente el 70%, opina que siempre o con frecuencia presta atención

selectiva a las explicaciones e instrucciones del profesor antes de tomar notas en su

cuaderno, sin embargo, es considerable que un 30% tenga problemas con la

capacidad de atención.

Con relación a la presencia o no de conductas impulsivas muy pocos

estudiantes opinan que tienen este comportamiento cuando exploran una

información, concepto, definición o problema, o cuando tratan de responder a las

preguntas formuladas por el profesor durante la clase de Matemática. Esto demuestra

que existe un acuerdo casi total de los alumnos en el uso de la capacidad de

concentración como una estrategia de aprendizaje fundamental para comprender los

contenidos matemáticos involucrados en la clase.

Sin embargo, en el indicador ‘utilización de técnicas de estudio’, se pudo

apreciar una notable deficiencia de las mismas, puesto que una minoría de

estudiantes afirmaron utilizar esquemas para ordenar información durante las clases

de Matemática; situación semejante ocurre con la organización de la información de

manera gráfica para lograr comprender definiciones, conceptos o problemas de

matemáticas; además un considerable 68,52% no hace uso de esquemas para resolver

problemas de Matemática.

De los datos obtenidos en el indicador ‘discriminación de la información’, se

puede decir que, solamente el 25% aproximadamente recolecta información previa al

161

tema que se desarrolla en la clase, lo cual implica un notable problema inicial en el

proceso de enseñanza y aprendizaje, puesto que la mayoría no tiene un conocimiento

previo del tema a desarrollarse, por consiguiente, el alumno tendrá que enfrentar

problemas en la comprensión y aplicación de los nuevos conceptos matemáticos por

no tener un punto de partida cognoscitivo representado por los pre-requisitos, los

cuales se consideran fundamentales para lograr un verdadero aprendizaje

significativo.

Paralelamente a este hecho, muy pocos estudiantes opinan que tienen

dificultad para discriminar la información para comprender conceptos, definiciones o

problemas de Matemática, presentados durante las clases, en los textos, libros y

materiales escritos. De igual forma sólo un 31% del grupo presentó problemas con la

percepción de ideas principales de la información de los textos de Matemática,

aunque es un pequeño porcentaje, no deja de ser significativo este dato, puesto que

nos brinda información importante sobre las nuevas formas de presentar el lenguaje

escrito y las estrategias de aprendizaje para fortalecer la discriminación de la

información para el rediseño y elaboración de materiales y recursos innovadores para

la enseñanza de los temas seleccionados de la asignatura Matemática General.

De los demás ítem se desprende que el grupo en general presenta deficiencias

con la estrategia de discriminación de la información de manera parcial; un

considerable 51% aproximadamente de los estudiantes opinan que logran con

precisión la identificación de los conceptos y definiciones involucrados en los

ejercicios y problemas, un 55,56% no logran precisar la información en los

problemas de Matemática y 63% no logra diferenciar entre un problema matemático

y una información trivial.

En cuanto al dominio de la ‘expresión del lenguaje verbal y escrito’, la mayor

parte de los estudiantes opinaron que han usado el vocabulario apropiado para

comunicar organizadamente conceptos matemáticos de manera verbal, sin embargo,

todavía es preocupante que un 39% tenga dificultad con esta estrategia de

aprendizaje básica para iniciar cualquier estudio académico. Esto nos indica que no

solamente las estrategias deben estar dirigidas hacia el lenguaje matemático escrito,

sino también a la expresión verbal del mismo cuando se comunican ideas, por lo

tanto el nuevo material debe incluir ejercicios destinados a potenciar la participación

del alumno con un lenguaje matemático claro, preciso y con un dominio apropiado

de la notación formal que se utiliza en el desarrollo de los conceptos, definiciones y

demás aspectos teórico-prácticos de la Matemática.

162

También existe un dominio parcial del lenguaje matemático, según los datos

obtenidos en el ítem correspondiente a la cuantificación de datos e información para

obtener un procedimiento de resolución. El 70% de los alumnos opinó que logra

efectuar esta habilidad matemática, pero también es considerable que el porcentaje

restante no consiga esta habilidad.

En el indicador que se refiere a la ‘utilización de material escrito’, en el

primer ítem las opiniones quedan claramente divididas aproximadamente en partes

iguales, el 50% de los estudiantes opinan que utilizan diferentes fuentes de

información adicionales a la clase del profesor de Matemática para complementar su

aprendizaje; así mismo, una significativa mayoría representada por el 63% de los

encuestados, considera que los materiales de apoyo que recomiendan los profesores

les sirve de ayuda para comprender mejor la estructura de ejercicios y problemas de

Matemática, en consecuencia en el proceso didáctico el profesor debe garantizar una

constante actualización de las unidades didácticas dentro de la planificación, para

mantener la elaboración de materiales didácticos, tanto escritos como audiovisuales

que estén a la vanguardia de los cambios científicos, tecnológicos y pedagógicos.

Esto representa una información valiosa para justificar la necesidad del

diseño y elaboración de materiales didácticos escritos para la asignatura Matemática

General, los cuales deben seguir lineamientos claros y precisos, específicamente en

su redacción, por lo tanto, deben escribirse en un lenguaje sencillo puesto que, una

considerable mayoría no comprende el lenguaje matemático que utilizan los textos y

demás materiales instruccionales referidos en el programa de estudio de la

mencionada asignatura. Además, estos materiales escritos deben estar ajustados a las

necesidades particulares del nivel de aprendizaje y utilizar estrategias de aprendizaje

que fomenten el pensamiento lógico-formal en el alumno, para activar los procesos

mentales que caracterizan la inteligencia humana mencionados por Inhelder & Piaget

(1985) tales como el equilibrio cognitivo y la reversibilidad del pensamiento.

Con relación a los datos obtenidos en el indicador análisis de la información

como estrategia de aprendizaje, el 65% de los estudiantes opina que utiliza

comparaciones entre dos o más conceptos matemáticos para obtener una

comprensión más clara de los mismos; de igual forma un considerable 85% expresa

que realiza una lectura detenida y minuciosa de los problemas matemáticos antes de

resolverlos; el 59% de alumnos dice lograr precisión para determinar el grado de

relación y/o asociación entre los datos de un problema, estos resultados también

demuestran, según los alumnos encuestados, un nivel aceptable en cuanto a las

estrategias utilizadas por ellos para analizar información.

163

En cuanto al ‘proceso de abstracción’, existe un dominio parcial de la

habilidad matemática utilizada para ordenar datos de un problema en la secuencia

verbal-escrita, gráfica y simbólica para darle mayor precisión al procedimiento; se

pudo evidenciar que un 56,3% lo utiliza muy poco, un 51% necesita de situaciones

más concretas y cotidianas para entender un concepto, ejercicios y problemas de

Matemática y también el 87% de los estudiantes encuestados manifestó que hace uso

de la construcción de figuras, diagramas o cualquier otro recurso visual para

comprender la relación entre los datos del problema, lo que indica que la forma de

pensamiento del grupo de alumnos encuestados es intuitivo y constructivo más que

analítico y abstracto. Este análisis nos conduce hacia otro elemento importante que

debemos considerar en los lineamientos de nuestra propuesta didáctica, el cual

consiste en incorporar en el diseño de la unidad didáctica o material escrito, un

enfoque más intuitivo que funcione como punto de partida en la comprensión de la

información nueva, además de agregar ejemplos prácticos de la vida cotidiana que

sirvan de soporte al inicio del estudiante en el razonamiento inductivo para luego

guiarlo hasta el deseado razonamiento deductivo, propio del conocimiento

matemático.

De los datos recogidos, correspondientes a la utilización de estrategias de

‘procesos de verificación’, se puede apreciar de los resultados obtenidos que los

alumnos hacen uso de alguna de estas habilidades; de esta forma, el 79% de los

encuestados afirma verificar la exactitud de las respuestas que obtiene cuando

resuelve problemas de Matemática; el 52% dice efectuar un análisis de las posibles

causas de los errores cometidos en la resolución de un problema y el 77,78% de los

encuestados opina que hace uso de la estimación para verificar posibles resultados de

un problema.

En la información que obtuvimos relativa al indicador ‘diseño y aplicación de

planes de resolución’ que aplican los alumnos para seleccionar las posibles

alternativas de solución, evidenciamos que, aproximadamente la mitad del grupo

encuestado opinó que hace uso de esta estrategia; muy pocos opinaron que hacen el

análisis de los problemas hacia delante y hacia atrás para entenderlo mejor, además

manifestaron que se encasillan o persisten en una sola posibilidad de resolución

cuando tienen complicaciones con un problema de Matemática. En general los textos

de Matemática no presentan la resolución de ejercicios y problemas con distintas

estrategias, procedimientos y métodos, por lo tanto, la mayoría de profesores

tampoco lo hace; las consecuencias se reflejan en el trabajo del alumno, quien se rige

por una sola manera de abordar las tareas matemáticas obstaculizando desde un

inicio su creatividad y puesta en práctica de otros recursos y estrategias que le

164

garanticen un mejor desempeño en el aprendizaje significativo de las matemáticas.

Esto implica efectuar dentro de la planificación del proceso didáctico que

pretendemos reorientar, el establecimiento de nuevos mecanismos y estrategias de

aprendizaje que diversifiquen la resolución de ejercicios y problemas tanto resueltos

como propuestos en la Unidad Didáctica fundamentada en el nuestro Programa de

autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas.

En el indicador ‘utilización de la intuición’, las estrategias que según los

alumnos utilizan más son: en primer lugar el 77% de los alumnos opina que utiliza el

azar como posible alternativa de solución del problema, apenas un 30% de alumnos

dice aplicar la reformulación de problemas, en otras palabras para evaluar con mayor

precisión sus datos; el 77,78% dice que efectuar la resolución de un problema o

ejercicios de Matemática comenzando desde lo más sencillo que observa del mismo.

Esta situación indica debilidades en las estrategias que utilizan los alumnos para

resolver problemas, lo que se traduce en que hay que realizar una orientación dirigida

a incorporar en los problemas resueltos estos tipos de procedimientos para ayudar a

los estudiantes a estructurar de la manera más óptima posible sus razonamientos

matemáticos desde un enfoque inductivo hasta llegar al formalismo deductivo.

Así mismo esta orientación debe apoyarse en la ‘asesoría académica del

profesor’, pues según los resultados de este indicador, una gran parte de alumnos

afirmaron necesitar apoyo o asesorías del profesor de Matemática o de cualquier otro

experto cuando tiene dificultades en la resolución de problemas, lo cual es vital para

el alumno, si tomamos en cuenta que, un poco más de la mitad (el 55%) de los

encuestados opinó que toma conciencia de sus debilidades y fortalezas cuando se le

plantea problemas de Matemática que considera complejos.

Además, un porcentaje muy pequeño no tiene consolidadas habilidades como

el pensamiento creativo en la resolución de problemas, esto es, un 28% de alumnos

opina que ha utilizado estrategias originales para resolver ejercicios y problemas de

Matemática, a esto se le agrega que sólo el 33,33% de estudiantes opina que utiliza

con eficacia el ‘lenguaje matemático’ simbólico adecuado para representar la

información disponible, datos e incógnitas de un problema.

Por último cabe destacar los resultados que obtuvieron los alumnos en el

indicador de ‘Uso del razonamiento deductivo en la resolución de problemas’.

Solo la mitad aproximadamente de los encuestados manifestó que sintetiza la

información que aportan las definiciones, axiomas, teoremas y fórmulas para

resolver un problema; así mismo, un considerable 68% de los alumnos opina que

165

utiliza propiedades matemáticas formales en la resolución de problemas y un 74%

que logra utilizar con precisión las fórmulas necesarias para obtener el resultado de

un problema. En cuanto a la aplicación formal de fórmulas y teoremas en la

resolución de problemas, el 46% de los alumnos opina que siempre logra una

comprensión clara de los problemas cuando hace uso de esta estrategia.

Indicadores Presencia Ausencia Presencia parcial Capacidad de concentración X Técnicas de estudio X Discriminación de la información X Expresión verbal-escrita X Utilización de material escrito X Análisis de información X Proceso de abstracción X Procesos de verificación X Planes de resolución de problemas X Intuición y proceso inductivo X Asesoría X Auto-evaluación X Habilidad cognitiva personal X Lenguaje matemático X Razonamiento deductivo X

Tabla 4.2. Presencia-ausencia de los indicadores que determinan las estrategias de aprendizaje que utilizan los alumnos en los contenidos matemáticos. Resultados del cuestionario de estrategias.

De los resultados obtenidos por el cuestionario que determinó la presencia de

estrategias de aprendizaje que utilizan los alumnos en el desempeño matemático, el

grupo de estudiantes encuestados manifestó utilizar y dominar parcialmente

estrategias de aprendizaje, es decir de un total de 16 indicadores, se determinó la

existencia de 8, esto representa un 50%, lo que implica que todavía existen

debilidades principalmente en estrategias tales como: la utilización de esquemas y

diagramas como técnicas de estudio, expresión verbal y escrita de la información,

proceso de abstracción matemática, planes de resolución de problemas, utilización

del lenguaje matemático y uso del razonamiento deductivo, fundamentales para

lograr un aprendizaje significativo de las matemáticas. En la Tabla 4.2 se ilustran

estos resultados.


efectuadas de las sesiones de clase

El proceso de observación que seguimos en las sesiones de clase nos

proporcionó datos relevantes en cuanto al estilo y procedimiento de enseñanza

ejecutado por el docente, así como de las diferentes técnicas, recursos y actividades

de aprendizaje, enseñanza y evaluación –características de la Didáctica de la

166

Matemática– que utiliza en el aula durante el desarrollo de las sesiones de trabajo;

además, pudimos verificar los hechos que realmente acontecen en el aula de clase,

actitudes y expresiones sinceras de los actores del caso de estudio seleccionado.

En total logramos participar en la observación de tres sesiones de clase, en las

dos primeras se desarrollaron contenidos sobre el sistema de los números racionales

y en la tercera sesión se trataron aspectos sobre el conjunto de los números

irracionales. Aunque nos resultó difícil describir en su totalidad cada elemento,

hecho o situación, hemos destacado lo más relevante con el propósito de dirigirlo

hacia los objetivos de nuestra investigación.

Sesión Nº 1: Lunes, 05-06-06

En esta sesión se desarrollaron contenidos relativos a la introducción del

conjunto de los números racionales, para lo cual se necesitó aclarar el concepto de

expresiones decimales, limitadas y periódicas, y su equivalencia con sus respectivas

fracciones. Para lograr esto la docente se apoyó en la representación gráfica de los

conjuntos numéricos N y Z para explicar la evolución histórica de los mismos y su

relación de inclusión. Además, explica los diferentes procedimientos para efectuar

las operaciones de adición, sustracción, producto y división entre números

fraccionarios, conjuntamente con las propiedades que se cumplen en el sistema de los

números racionales.

Del desarrollo de la clase apreciamos que se desprende un poco del carácter

formalista que generalmente se aplica en las matemáticas, la profesora utiliza un

lenguaje más cotidiano para comunicar la información y se podría decir que centra su

enseñanza en la explicación intuitiva de los conceptos involucrados en el tema de la

sesión de clase, puesto que los alumnos demuestran muchas dudas y las definiciones

matemáticas están bastante confundidas; incluso obtener la expresión decimal de una

fracción origina dificultades en muchos de ellos, en consecuencia, la clase se torna

unidireccional en la mayor parte del tiempo de su ejecución.

La mayoría de los alumnos del grupo observado recuerda algunos conceptos,

propiedades y procedimientos para efectuar operaciones con números fracciones,

pero todavía existe una gran confusión y distorsión de las definiciones y términos

fundamentales para lograr el aprendizaje en un grado óptimo del tema desarrollado.

167

Prof: ¿Cuál es el conjunto N?

Alumnos: Los naturales; 0,1,2,3...

Prof: ¿Cuál es el conjunto Z?

Observador: Los alumnos no responden, por lo que la profesora dibuja un diagrama de

Venn para explicar la relación de inclusión entre los conjuntos numéricos N, Z y Q.

Alumno: ¿Dónde se ubican las expresiones decimales ilimitadas periódicas?

Prof: Ahora vamos a explicar eso.

Observador: La profesora inicia la explicación algo intuitiva de expresiones que se

consideran decimales, ilimitadas periódicas; luego se señalar algunos ejemplos procede a

explicar el concepto y ejemplos de expresiones decimales mixtas.

Prof: Las expresiones decimales mixtas están compuestas por un anteperiodo, es decir

decimales que están ubicados antes de los valores que se repiten.

Observador: En este momento la clase es interrumpida por un grupo de alumnos que llegan

tarde a la clase.

Prof: Acordamos iniciar las clases a las 8:30, no vuelvan a interrumpir la clase.

Prof: ¿El conjunto Q está formado por?; ¿con qué letra se simbolizan los racionales?

Alumnos: La letra Q.

Prof: ¿Qué operaciones se efectúan en el conjunto Q?

Alumnos: Adición, sustracción, multiplicación, división.

Un alumno intervine: Las operaciones son las mismas solo que cambian a fracciones.

Prof: Ok, vamos a resolver sumas o adiciones con números fraccionarios. Existen dos

maneras de sumar fracciones:

* Podemos aplicar esta “formulita”, a c ad bc

b d bd

++ = , multiplicamos y luego

simplificamos la fracción resultante.

Observador: La profesora desarrolla ejemplos para ilustrar el procedimiento.

Prof: Prefiero aplicar el método del mínimo común denominador, porque tiene la ventaja de

que el resultado queda simplificado directamente, además se evitan operaciones largas de

multiplicación y adición.

Observador: La profesora explica este último procedimiento utilizando ejemplos para ello e

insiste en recomendarlo a los alumnos. Escribe en la pizarra el ejercicio siguiente: 8 6

3 4+ =

Prof: Vamos a aplicar mínimo común denominador (m.c.d).

Alumnos: Profesora nos resultó igual por ambos métodos y no necesitamos simplificar al

final.

Prof: Lo que sucede es que no seleccioné el ejemplo adecuado; vamos a resolver otro.

Observador: Escribe en la pizarra el ejercicio siguiente: 4 3

9 12+ =

Prof: ¿El m.c.d. es igual a?

Observador: Los alumnos calculan, algunos quedan observando la pizarra y parecen no

entender lo que la profesora ha preguntado.

Alumnos: Profesora ¿se seleccionan los comunes y no comunes con su mayor exponente?

Prof: Sí, ¿por qué están confundidos?, ya lo habíamos explicado.

Observador: En este momento los alumnos tienen problemas para descomponer en factores

primos a los denominadores de las fracciones, por lo que la profesora interviene

nuevamente.

168

Prof: ¿Cuándo un número es divisible por 2?, ¿cuándo un número es divisible por 3?

¿cuándo un número es divisible por 5?

Alumno: Estas son las reglas de la divisibilidad.

Alumno: ¿Cuándo un número es divisible por 3?

Observador: La profesora explica con un ejemplo y continúa aplicando la técnica de la

pregunta-respuesta para guiar a los alumnos en el cálculo preciso del m.c.d.

Alumno: ¡Es 36! Profesora.

Prof: Muy bien.

Observador: La profesora explica y escribe en la pizarra: 4.4 3.3

36

+ = , hemos dividido el

m.c.d. entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador

respectivamente.

Prof: Multiplicamos, sumamos y el resultado es 16 9 25

36 36

+ = . Ahora vamos a resolverlo

con el otro método.

Observador: La profesora escribe y explica las operaciones y procedimiento siguiente:

4 3 4.12 3.9 48 27 75 25

9 12 9.12 108 108 36

+ ++ = = = =

Prof: Observen que al final se necesitó multiplicar y sumar cifras más elevadas y simplificar

75

108, para obtener el resultado.

Se observa un rechazo de los alumnos por el procedimiento en el que se

calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, esto se debe a la dificultad

que tiene la mayoría para determinarlo, es decir, existen vacíos cognitivos en el

concepto del m.c.m. y el método para calcularlo, lo que genera la actitud antagónica

y persisten en apoyarse en el método alternativo que sólo utiliza la multiplicación, al

que muchos de los alumnos llaman el “método de la cruz”, el cual es criticable desde

todo punto de vista didáctico porque se basa en la aplicación mecánica de un

algoritmo y no se internaliza en procesos de pensamiento más complejos que

expliquen y justifiquen de manera lógica y procedimental el método de resolución.

Observador: La profesora rápidamente cambia de sección en el contenido, y formula la

pregunta siguiente:

Prof: ¿Cuáles son las propiedades de la adición?

Observador: Los alumnos responden con algunas dudas y la profesora explica brevemente y

algo rápido.

Prof: ¿Qué significa inverso aditivo?

Alumno: Que todo número tiene su inverso.

Observador: La profesora explica utilizando el formalismo matemático esta propiedad y

escribe en el pizarrón:

/ 0a a a a

b b b b

∀ ∃− + − =

169

Prof: Por ejemplo el inverso 7

3es

7

3−

Prof: ¿El inverso de 4

5− es?

Alumno: 4

5

Alumno: Es decir, ¿qué el inverso es la misma fracción pero de signo contrario?

Prof: Sí, si lo quieres resumir de esa manera.

Prof: Vamos a pasar rápidamente a las operaciones de multiplicación y división con

números fraccionarios.

Observador: La profesora explica brevemente el procedimiento de la multiplicación

utilizando ejemplos sencillos y señala el cuidado que se debe tener en los signos al

multiplicarlos.

Prof: Con respecto a la división, ¿cómo se efectúa?

Alumnos: Se aplica la “doble c”.

Observador: La profesora siguiendo la intervención de algunos de sus alumnos desarrolla

dos procedimientos para dividir fracciones, utilizando ejemplos sencillos. Luego pasa a

repasar las propiedades de la multiplicación.

Prof: ¿Quién recuerda las propiedades de la multiplicación?

Alumnos: Conmutativa, asociativa, elemento neutro, distributiva e inverso multiplicativo.

Observador: La profesora sigue preguntando y explicando de manera rápida las

propiedades de la multiplicación de números racionales, luego señala una actividad para

desarrollarla en el aula y asigna una serie de ejercicios. Mientras escribe en la pizarra,

algunos alumnos hablan y salen del aula.

Prof: ¡Necesito que pasen al pizarrón tres alumnos!

Observador: Sólo uno levanta la mano; la profesora selecciona dos más, éstos lo aceptan de

manera obligada. La profesora dirige la actividad formulando preguntas y aclarando las

dudas de los alumnos, podríamos decir que utiliza el procedimiento de enseñanza socrático

para ello.

En la sesión de clase se pudo observar como característica principal la

preocupación que manifiesta la profesora por desarrollar todos los aspectos que

integran el contenido para cumplir el 100% de la programación planificada; las

explicaciones de cada término, concepto, definición, operaciones, algoritmos,

propiedades, ejercicios y problemas son tratados de manera acelerada. Esta actitud se

explica en parte por los problemas de índole administrativo y académico que tuvo la

Universidad en esos momentos, el semestre se inicio tres semanas más tarde de lo

previsto en el calendario académico.

Por otro lado, la profesora se apoyó mucho en los conocimientos previos de

los alumnos sobre el tema de los números racionales y en las investigaciones que le

asignaban como parte de las actividades de discusión y participación en el proceso de

enseñanza-aprendizaje. La comprensión que logran los alumnos se debe

170

principalmente al enfoque intuitivo que ejecutó la docente, puesto que, al utilizar el

lenguaje matemático para representar las propiedades de la adición y multiplicación

de los números racionales se generaban conflictos en la interpretación de los mismos,

lo cual indica que la sola exposición del formalismo sin ejemplos concretos e

ilustrativos disminuyen las posibilidades de éxito del alumno en el aprendizaje

matemático.


En esta segunda sesión observada se desarrollaron aspectos relativos a la

operación de potenciación con números fraccionarios. La clase estuvo centrada en las

diferentes propiedades que se aplican para efectuar los ejercicios, aunque los

alumnos comprenden cada regla o propiedad por separado, al enfrentarse a los

ejercicios combinados se les presentan dificultades para seleccionar el camino más

apropiado para resolverlos, es decir, no analizan qué propiedad aplicar o seleccionar,

puesto que no logran una visión integral de las operaciones a efectuar; se puede decir

que esto es producido por el enfoque algorítmico-mecanicista con el cual los

alumnos abordan la mayoría de los conceptos y propiedades matemáticas, además de

la forma un poco accidentada con la cual se ejecutan las clases.

La profesora mantiene su estilo de enseñanza intuitivo, pero sin prescindir del

formalismo matemático; combinando ejemplos ilustrativos y ejercicios, los alumnos

mantienen su nivel de participación a pesar de que muchas de sus intervenciones se

caracterizan por ideas intuitivas, información incompleta, poco estructurada y con

errores conceptuales, lo que constata las dificultades que tienen para comprender el

lenguaje matemático que se escribe en la pizarra.

Prof: Ayer vimos operaciones con fracciones, se supone ya han estudiado estos aspectos.

Hoy vamos a trabajar con la potenciación, lo que se debe tener en cuenta son las

propiedades.

Primera propiedad: Todo número elevado a la cero es igual a la unidad.

Observador: La profesora escribe en la pizarra la expresión siguiente:

a0 =1, a∀ ∈ Q aunque no aclara que esta propiedad se aplica siempre y cuando la base sea

diferente de cero, por eso debió escribir 0a∀ ≠ .

Prof: Segunda propiedad: el cero elevado a cualquier potencia es igual a cero, con la

excepción de que el exponente tiene que ser diferente de cero.

Observador: Escribe en la pizarra utilizando el lenguaje matemático respectivo, los alumnos

se limitan a tomar apuntes.

Alumno: ¿Qué pasa si el exponente es una fracción?

Prof: El valor del exponente tiene que ser entero, porque tendríamos potencias con

exponentes fraccionarios que pueden ser números irracionales.

171

Observador: Llega un grupo de alumnos tarde e interrumpen la clase, sin embargo la

profesora hace caso omiso y continúa con la explicación del tema.

Prof: Toda base elevada a la uno es igual a sí misma, es decir,. a 1 =a, a∀ ∈ Q

Observador: La profesora escribe en la pizarra la siguiente expresión: ( )nxyz = y formula

preguntas a los alumnos.

Prof: ¿Qué es esto?, ¿cómo se desarrolla?

Observador: Los alumnos no responden, la profesora no espera mucho tiempo por las

respuestas y explica.

Prof: Nos queda de la forma siguiente: ( )n n n nxyz x y z= , observen que se multiplican los

exponentes.

Prof: Ahora, si tenemos la expresión m nx x = , ¿cómo nos quedaría el resultado?

¿si tenemos bases iguales y están multiplicando?

Alumnos: Se coloca la misma base y se suman los exponentes, es decir, m nx +

Prof: Vamos con la división. Si tenemos

n

x

y

¿cómo se desarrolla esta potencia?, esto es

igual a

n

n

x

y. ¿Qué sucede si las potencias son de igual base y se dividen?, es decir

m

n

x

x

Alumnos: Se coloca la misma base y se restan los exponentes.

Prof: Entonces, ¿cómo lo escribimos?

Alumnos: m

m n

n

xx

x

−=

Prof: Se debe tener en cuenta que el denominador debe ser diferente de cero. ¿Quién

recuerda como se desarrolla una potencia de una potencia?, es una expresión de la forma

( )nmx

Alumnos: Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes, mnx

Prof: Si tengo un número elevado a un entero negativo, esto nos indica que es una fracción,

1 1a

a

− = y 1n

na

a

− = . Si tenemos la expresión

na

b

−

, ¿cómo la desarrollamos?

Alumnos:

nb

a

Observador: La profesora explica el procedimiento para demostrar la igualdad

n na b

b a

− =

Observador: Los alumnos siguen tomando sus apuntes y no prestan atención a la explicación

del profesor.

Prof: Les recomiendo practicar mucho para dominar este tipo de ejercicios, se necesitan

resolver suficientes, voy a explicar algunos ejemplos y luego les asignaré otros para que los

resuelvan durante la clase.

172

Observador: La profesora borra la pizarra y escribe dos ejercicios con operaciones

relacionadas a las propiedades de la potenciación.

Alumnos: Profesora, ¡por favor, resuelva el segundo que es el más difícil!

Prof: ¿Por dónde empezamos?

Alumnos: Por los paréntesis.

Prof: ¿Cómo se resuelve el primer paréntesis?, ¿qué propiedad aplicamos?

Observador: Una alumna interviene confusa.

Alumna: ¡No entendí el último paso!

Prof: Esto se eleva también al mínimo exponente, es decir, como si fuera una potencia de

una potencia.

Alumna: ¿Se eliminan cuando tienen signos más y menos?

Prof: ¿Dónde, en el numerador o en el denominador?, si tenemos expresiones iguales en el

numerador y denominador sí., ¿cómo resolvemos arriba en el numerador?

Alumnos: Se aplican las propiedades del producto de las potencias de igual base.

Observador: Una alumna pasa hasta la pizarra y pregunta.

Alumna: ¿Si lo hago de esta manera, invierto primero el signo menos y luego multiplico?

Prof: está bien.

Observador: La profesora utiliza la pregunta para explicar al resto del grupo y aclarar las

dudas.

Prof: También podemos resolverlo de esta segunda forma.

Alumnos: No profesora, mejor es la primera forma.

Observador: La profesora explica el segundo procedimiento y una de las alumnas muestra

una actitud de rechazo, al final de la explicación el grupo cambia de opinión, muestran

comprensión del segundo método se resolución y toman notas.


El concepto y operaciones de números irracionales supone un esfuerzo mayor

del alumno desde el punto de vista cognitivo, puesto que se enfrenta a una

abstracción. La interpretación y comprensión del lenguaje matemático para

representar un radical y su equivalente con una expresión decimal ilimitada implica

la aplicación de propiedades algebraicas, que, de no profundizarlas e internalizarlas

en el proceso de enseñanza y aprendizaje, los logros serían muy precarios.

En esta sesión se aprecia claramente cómo el docente lleva la dirección

completa del proceso de enseñanza-aprendizaje, los alumnos en la mayoría de los

casos se limitan a escuchar y a prestar atención a la explicación, el carácter abstracto

de los contenidos origina este proceso unidireccional de la clase.

Prof: La clase pasada vimos racionalización y definición de radicales semejantes, ¿qué

dijimos que era un radical semejante?

Observador: Un alumno responde con dudas.

Alumnos: Son los que tienen igual índice y cantidad subradical.

Prof: Para sumar radicales semejantes ¿qué hay que hacer?

173

Observador: Los alumnos no responden.

Prof: ¿Cómo se le denomina al proceso de descomposición de radicales?

Observador: Los alumnos siguen sin responder.

Prof: Hoy vamos a continuar con la clase de radicales, desarrollaremos los temas de

multiplicación, división y potenciación de radicales.

Observador: Los alumnos manifiestan desmotivación por el tema y preguntan por los

resultados de la última evaluación.

Prof: Al final de la clase podemos hablar de las calificaciones. Vamos a desarrollar cinco

propiedades para efectuar las operaciones de multiplicación, división, potenciación,

potencias con exponente fraccionario y radicación de radicales.

¿Qué procedimiento se aplica cuando se multiplican radicales de igual índice?

Observador: Los alumnos responden con dudas y la profesora escribe la siguiente

expresión:n n n na b c abc=

Prof: Se coloca el mismo índice de la raíz y se multiplican los radicandos o cantidades

subradicales. Ahora ¿cómo se resuelve si las raíces tienen diferentes índices?

Observador: La profesora explica el procedimiento ante la falta de participación de los

estudiantes.

Prof: La tercera propiedad se utiliza para resolver potencia de radicales. La expresión

( )mn a ¿cómo se efectúa?

Observador: Los alumnos responden con errores y la profesora retoma la explicación.

Prof: si tenemos, por ejemplo: ( )xn ma , se resuelve de la forma siguiente:

( )xn nm mxa a= , se coloca el mismo índice y la cantidad subradical se eleva a la potencia

dada.

Prof: La cuarta propiedad tienen que ver con la equivalencia entre un radical y su potencia

con exponente fraccionario, es decir, que

1n na a=

Observador: la profesora continúa explicando y utiliza algunos ejemplos sencillos.

Luego pasa a desarrollar la quinta propiedad.

Prof: Cuando tenemos la expresión m n a , ¿cómo la efectuamos?

Observador: La profesora espera unos segundos y ante la falta de respuestas de los alumnos

decide explicar, luego de terminar con esta sección de contenido coloca ejercicios para

resolverlos durante la clase y motiva a sus alumnos para trabajar en conjunto.

Prof: ¿Ustedes son capaces de resolverlo?

Alumnos: ¡No!

Observador: La profesora resuelve y explica cada uno de los ejercicios propuestos.

Prof: ¿El resultado queda hasta aquí?

Alumnos: No, se tiene que simplificar el radical.

Prof: ¿Está claro?

Alumnos: Sí

174

En resumen, podemos afirmar que en la ejecución de las sesiones de clase se

destacan elementos que pueden indicar un desarrollo de estrategias de aprendizaje

convencionales o tradicionales apoyadas en la clase magistral del profesor y basada

en textos. En la mayoría de los casos, en las clases la profesora utiliza en su discurso

un lenguaje más cotidiano, y durante la resolución de los ejercicios planteados la

explicación es intuitiva, siguiendo un enfoque algorítmico y calculista caracterizado

por la siguiente secuencia didáctica:

En función de este análisis sobre la secuencia didáctica que observamos,

podemos decir que el espacio para pensar, reflexionar y razonar que se le dedica a los

aspectos teóricos-prácticos de los contenidos es muy poco, por lo tanto el proceso

didáctico se acerca más al paradigma conductista. La enseñanza es

fundamentalmente tradicional basada en el uso de textos, en la transmisión verbal y

en un procedimiento expositivo dominado por el conocimiento e intervención del

docente, a pesar de que se distinguen momentos en los cuales se les pide a los

alumnos que participen durante las sesiones de clase, sin embargo estos no logran

hacerlo de forma óptima por su precario nivel de conocimientos básicos que

constituyen los pre-requisitos para abordar los temas estudiados.

Desde el punto de vista cognitivo, no se observaron elementos que pudieran

indicar que los alumnos utilicen estrategias de aprendizaje dirigidas a desarrollar

habilidades del pensamiento formal, por lo general utilizan la memorización de

reglas y algoritmos para resolver ejercicios.

Explicación intuitiva de conceptos

Definición formal de conceptos

Aplicación de algoritmos

Aplicación ordenada de

reglas

Desarrollo de ejemplos

ilustrativos

Generalización de propiedades

Resolución de ejercicios

Retroalimentación

175

IV.1.3. Descripción, análisis e interpretación de los resultados de las

pruebas de valoración de aprendizajes

La prueba de valoración de aprendizajes se aplicó con el propósito de

diagnosticar dos aspectos que integran el aprendizaje matemático. Por un lado el

dominio cognoscitivo, cuyo análisis se efectuó siguiendo una serie de aspectos de

valoración de aprendizajes por pregunta y, por el otro, las diferentes estrategias de

aprendizaje que el alumno pone en práctica para resolver los diferentes

planteamientos matemáticos. Este instrumento de evaluación es el resultado final de

las negociaciones efectuadas entre nosotros y la profesora responsable de la


Finalmente la prueba de valoración quedó constituida en nueve preguntas que

nos facilitaron obtener la información pertinente. La descripción, interpretación y

análisis se han presentado en dos partes de acuerdo a los aspectos explicados en el

Capítulo III.

IV.1.3.1. Análisis y reflexión sobre los resultados de la prueba de

valoración en cuanto al uso de estrategias de aprendizaje

En las Tablas de frecuencias 4.3 y 4.4 presentamos los resultados de la prueba

de valoración sobre el uso de las estrategias de aprendizajes que utilizan los alumnos

en los ejercicios propuestos.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE

NÚMERO DE

ALUMNOS

% DE ALUMNOS

ALUMNOS QUE NO LA

UTILIZARON

% DE ALUMNOS

TOTAL

Uso de esquemas para organizar información

0 0 53 100 53

Representación gráfica de situaciones matemáticas

0 0 53 100 53

Uso de términos matemáticos correctos

5 9,43 48 90,56 53

Comparaciones entre conceptos

0 0 53 100 53

Comprensión de símbolos matemáticos

6 11,32 47 88,67 53

Orden sistemático de la información

10 18,87 43 81,13 53

Selección precisa de datos e incógnitas

0 0 53 100 53

176

Estructuración de ejercicios y de la información de un problema en pequeños pasos

0 0 53 100 53

Tabla 4.3 Estrategias de aprendizaje en la organización de la información.

ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE

NÚMERO DE

ALUMNOS

% DE ALUMNOS

ALUMNOS QUE NO LA

UTILIZARON

% DE ALUMNOS

TOTAL

Uso del azar como estrategia de resolución

0 0 53 100 53

Presencia de estrategias originales de resolución

0 0 53 100 53

Persistencia en el uso de una estrategia de solución

0 0 53 100 53

Aplicación del lenguaje Matemático adecuado

5 9,43 48 90,56 53

Uso de ejemplos para justificar respuestas

3 5,66 50 94,34 53

Uso de ejemplos y contraejemplos para justificar respuestas

0 0 53 100 53

Descripción de las propiedades matemáticas que aplican en la resolución de ejercicios y problemas

0 0 53 100 53

Estrategias de estimación en la verificación de las respuestas

0 0 53 100 53

Tabla 4.4. Estrategias de aprendizaje en la resolución de ejercicios y problemas.

Las estrategias de aprendizaje relativas a la organización de la información

son uno de los aspectos transcendentales en el logro de los aprendizajes

significativos de los alumnos, tanto en las matemáticas como en el resto de las áreas

académicas que forman parte del currículo, puesto que garantizan una mejor

comunicación y presentación de las ideas en la expresión verbal y escrita en la

comprensión, transmisión, orientación e interpretación del conocimiento científico.

En el grupo de alumnos del caso en estudio se apreció en la prueba de valoración una

debilidad considerable en esta dimensión, ya que ninguno de los estudiantes utilizó

los esquemas para organizar la información, ni recurrió a los diagramas para

representar situaciones matemáticas.

Muy pocos estudiantes utilizaron correctamente los términos matemáticos,

también son inexistentes las estrategias de comparación entre conceptos, por

ejemplo, no logran relacionar y discriminar entre los conceptos de propiedad

177

conmutativa para la adición y para la multiplicación o los conceptos de mínimo

común múltiplo y máximo común divisor. Sólo un 11,32% logró comprender los

símbolos matemáticos utilizados en la prueba de valoración y un 18,87% presentó la

información de sus respuestas en orden sistemático y coherente.

Con relación a las estrategias utilizadas para organizar información en la

resolución de problemas, todo el grupo de alumnos se caracterizó por una

imprecisión para seleccionar datos e incógnitas y por la falta de estructuración de la

información en los ejercicios y problemas que se les presentaron en la prueba de

valoración.

En cuanto a las estrategias que usan los alumnos en los planes de resolución

de ejercicios y problemas, el grupo se caracteriza por tener debilidades en todas estas

estrategias de pensamiento, aunque hay que destacar que no utilizan el azar para

responder a las preguntas formuladas en la prueba de valoración de aprendizajes.

Sólo se observó que algunos alumnos aplicaron el lenguaje matemático adecuado (un

9,43%) y usaron ejemplos y contraejemplos para justificar sus respuestas (un 5,66%).

Estos resultados indican que los alumnos se caracterizan por la ausencia

completa de estrategias de aprendizaje para lograr los aprendizajes matemáticos que

se desarrollan durante el proceso didáctico, lo cual es bastante preocupante, sobre

todo en alumnos que están iniciando un primer semestre de carrera universitaria.

En general evidenciamos una situación análoga a los datos del cuestionario,

los resultados revelan una situación precaria de los alumnos en cuanto al uso de

estrategias de aprendizaje o cognitivas para desarrollar los planteamientos

matemáticos de la prueba; como consecuencia de estos vacíos cognitivos el fracaso

se hizo evidente. Se aprecia claramente que más que señalar debilidades en el uso de

estrategias de aprendizaje se debe destacar la deficiencia en la comprensión de los

conceptos matemáticos fundamentales, es decir, el alumno no aplica la habilidad

cognitiva, no porque la desconozca o ésta no forme parte de sus esquemas mentales,

sino porque sencillamente desconoce los elementos conceptuales del contenido que

se relaciona con los ejercicios o problemas planteados.

178

IV.1.3.2. Análisis y reflexión sobre la valoración de los conocimientos

matemáticos de los alumnos

En las Tablas 4.5 a 4.13 presentamos la información obtenida de las

respuestas de los alumnos a cada una de las preguntas de la prueba de valoración de

aprendizajes, para verificar o diagnosticar sus conocimientos sobre el tema de

sistemas numéricos.

Pregunta n° 1: De la adición en ℚ se puede decir que:

a. ( ) , ,a c a c c a

b d b d d b∀ ∈ + = +ℚ

b. ( ) , ,a c a c c a

b d b d d b∀ ∈ − = −ℚ

c. ( ) , , * *a c a c c a

b d b d d b∀ ∈ =ℚ

d. ( ) Se cumple la propiedad del inverso multiplicativo.

Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos a. Error en la interpretación de símbolos matemáticos. 7 13,21 b. Error en la interpretación de los conceptos de las propiedades de la adición y multiplicación de números racionales.

13 24,53

c. Responde correctamente pero falta coherencia en el procedimiento de la justificación.

25 47,17

d. Contesta correctamente y utiliza ejemplos apropiados. 7 13,21 e. No contesta. 1 1,89 Total 53 100

Tabla 4.5. Resultados obtenidos de las contestaciones de los alumnos a la pregunta nº 1.

Pregunta n° 2: El enunciado: , , ,a c e a c e a c e

b d f b d f b d f

∀ ∈ + + = + +

ℚ significa:

a. ( ) Propiedad asociativa de la multiplicación de números racionales.

b. ( ) Propiedad Asociativa de la adición en Q.

c. ( ) Existencia de Elemento Neutro para la suma en Q.

d. ( ) Existencia de un Inverso Aditivo para todo número racional.

179

Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos

a. Error en la interpretación de símbolos matemáticos 2 3,77

b. Error en la interpretación de los conceptos de las propiedades de la adición y multiplicación de números racionales.

10 18,87

c. Responde correctamente pero falta coherencia en el procedimiento de la justificación.

28 52,83

d. Contesta correctamente y utiliza ejemplos apropiados. 6 11,32

e. No contesta. 7 13,21

Total 53 100 Tabla 4.6. Resultados obtenidos de las contestaciones de los alumnos a la pregunta nº 2.

Pregunta n° 3: El m.c.m. entre 120,1400 y 5400 es igual a:

a. ( ) 5400 b. ( ) 10800 c. ( ) 37800 d. ( ) 1400

Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos a. Errores en cálculos aritméticos elementales. 0 0 b. Confusión entre los procedimientos para calcular máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

26 49,06

c. Responde bien pero existen errores en el procedimiento utilizado en la justificación.

0 0,00

d. Responde bien y efectúa el procedimiento correcto. 6 11,32 e. No contesta. 21 39,62 Total 53 100,00


Pregunta n° 4:

21

3

− −

es igual a:

a. ( ) 1

9− b. ( )

1

9 c. ( ) 9− d. ( ) 9

Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos a. Ausencia o desconocimiento total del concepto de exponente negativo.

24 45,28

b. Errores en el cálculo de potencias. 3 5,66 c. Errores frecuentes en la aplicación de las reglas de los signos más (+) y menos (–).

0 0,00

d. Errores en la interpretación de los signos de agrupación, llaves, corchetes y paréntesis.

4 7,55

e. Responde correctamente. 10 18,87 f. No contesta. 12 22,64 Total 53 100,00


180

Pregunta n° 5:

Al efectuar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 3 2 2 1 2 5 2 3 2 3 2 3 2 2 1 3− − + + − − − − + + − , nos

queda:

a. ( ) 27− b. ( ) 18− c. ( ) 14 d. ( ) 54−

Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos a. Errores en la interpretación de los signos de agrupación, llaves, corchetes y paréntesis.

19 35,85

b. Uso del procedimiento correcto pero persisten errores en los cálculos aritméticos.

5 9,43

c. Contesta correctamente. 9 16,98 d. No contesta. 20 37,74 Total 53 100,00


Parte II: Simplificar las expresiones siguientes:

Pregunta n° 6:

1 5 1 2 3 2 15 54 2 4 2 4 3 5

3 1 2 8 1 5 14 3 4 8 4 2 4 2 4

=+ − + +

− + + −

Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos

a. Desconocimiento del concepto de fracción equivalente para simplificar fracciones.

5 9,43

b. Errores en el cálculo del mínimo común múltiplo al sumar fracciones.

0 0,00

c. Errores al efectuar operaciones combinadas de adición, sustracción, producto y división de fracciones en general.

25 47,17

d. Contesta correctamente. 1 1,89 e. No contesta. 22 41,51 Total 53 100,00

4.10. Resultados obtenidos de las contestaciones de los alumnos a la pregunta nº 6.

Pregunta n° 7:

( )

22 6 2 3

3 42

4 4 1 1

3 3 2 3

1 33

2 4

−− −

−−

=

181

Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos a. Errores al efectuar operaciones de potenciación de fracciones en general.

27 50,94

b. Contesta correctamente. 0,00 c. Procedimiento correcto con errores en cálculos aritméticos elementales.

9 16,98

d. No contesta. 17 32,08 Total 53 100,00


Pregunta n° 8:

Un estanque tiene tres grifos que vierten: el 1º 50 litros en 5 minutos; el 2º 91 litros en 7

minutos y el 3º 108 litros en 12 minutos, y dos desagües por los que salen 40 litros en 5

minutos y 60 litros en 6 minutos, respectivamente. Si estando vació el estanque y abierto los

desagües se abren las tres llaves al mismo tiempo, necesita 40 minutos para llenarse. ¿Cuál

es su capacidad?

Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos a. Organiza la información de problema. 2 3,77 b. Utiliza estrategias originales 0 c. Desarrolla procedimientos de forma coherente. 0 d. Resuelve las operaciones indicadas correctamente. 0 e. Verifica el proceso de resolución 0 f. Contesta correctamente. 0 g. No contesta. 53 100 Total 53 100,00


Pregunta n° 9:

En una lámina de metal se corta un trozo que constituye el 60% de dicha lámina. Si el

pedazo que queda pesa 24,2 Kg., ¿cuál es el peso del trozo cortado?

Criterios de valoración Nº alumnos % alumnos a. Organiza la información de problema. 2 3,77 b. Utiliza estrategias originales 0 c. Desarrolla procedimientos de forma coherente. 0 d. Resuelve las operaciones indicadas correctamente. 0 e. Verifica el proceso de resolución 0 f. Contesta correctamente. 0 g. No contesta. 53 100 Total 53 100 %


182

En las preguntas 1 y 2 verificamos la comprensión de las propiedades del

sistema de los números racionales a través de la utilización e interpretación del

lenguaje matemático formal para confirmar este aprendizaje de una manera más

precisa por parte de los alumnos.

Lo más significativo es que el mayor porcentaje de alumnos que responden

correctamente no logran justificar de manera coherente las respuestas, lo cual nos

indica que existen dificultades en la comprensión del lenguaje simbólico matemático.

La pregunta número 3 se formuló con el propósito de valorar la comprensión

del concepto de mínimo común múltiplo entre dos o más números y sus métodos

para determinarlo, puesto que este aprendizaje es fundamental en la continuación y

desarrollo de operaciones dentro de los sistemas numéricos. Principalmente se

pretende valorar el procedimiento de la descomposición en factores primos como

método fundamental.

Aunque ningún estudiante cometió errores básicos en los cálculos aritméticos,

el 49,06% tiende a confundir el método para determinar el mínimo común múltiplo

con el utilizado para calcular el máximo común divisor, lo que se resume en una

debilidad considerable en este aprendizaje matemático.

El siguiente ejercicio propuesto lo planteamos con la finalidad de valorar el

grado de comprensión que tienen los alumnos sobre el concepto de potenciación y de

sus propiedades, y muy específicamente de las potencias dentro del sistema de los

números racionales cuyos exponentes son enteros negativos.

De acuerdo a las respuestas observadas y valoradas, un significativo 45,28%

de los alumnos no han logrado comprender el concepto de exponente negativo en una

potencia; 5,66% tiene comprensión de las operaciones que se aplican en este tipo de

potencias, sin embargo, cometen errores básicos en el cálculo aritmético. De igual

forma 7,55% de los estudiantes cometen errores en la interpretación de los signos de

agrupación, en este caso el uso de los paréntesis, pero ningún alumno presentó

problemas con las leyes de los signos + (más) y − (menos).

Esta tendencia se sigue observando en las operaciones combinadas con

números enteros, donde el 35,85% del grupo cometió errores en la interpretación de

los signos de agrupación, llaves, corchetes y paréntesis, lo cual indica que no existe

por parte del alumno un aprendizaje del uso e interpretación correcta de estos

símbolos matemáticos.

183

En la segunda parte de la prueba de valoración de aprendizajes, se colocaron

ejercicios más complejos para obtener información sobre el proceso y estrategias que

siguen los alumnos para resolver operaciones combinadas en el conjunto de los

números racionales. En la pregunta 6, se ha propuesto la adición, sustracción,

producto y división con sus respectivos signos de agrupación, lo que nos permitió

tener una visión más global en la valoración de los aprendizajes matemáticos de los

alumnos del grupo.

Los datos obtenidos en la revisión de las respuestas obtenidas advierten de un

serio problema en el desarrollo de este tipo de ejercicios, puesto que sólo un 1,89%,

que representa un estudiante, logró resolver el ejercicio con un 100% de efectividad,

mientras que un 9,43% desconoce por completo conceptos tan básicos como el de las

fracciones equivalentes; sin embargo, no se observaron dificultades en el cálculo del

mínimo común múltiplo en ningún alumno, esto se debió quizás a que se trataba de

números pequeños.

Una considerable parte de los alumnos de la muestra, que representa el

47,17%, intentaron resolver el ejercicio pero tuvieron dificultades para efectuar las

operaciones combinadas en general, es decir, no discriminan entre los métodos para

sumar, restar, multiplicar o dividir fracciones y, finalmente, el 41,51% de los

estudiantes no contestaron al planteamiento formulado en esta pregunta, es decir, no

se observó ningún esfuerzo en la resolución del ejercicio propuesto.

Las dificultades siguen observándose en el séptimo ejercicio, el cual también

consistió en la resolución de operaciones combinadas de potenciación con números

racionales. Los resultados reflejan significativas y serias dificultades de los alumnos

en este tipo de operaciones, el 50,94% de los estudiantes, a pesar de hacer intentos de

resolver el ejercicio propuesto, al aplicar las propiedades cometen errores en el

cálculo de potencias y transforman la resolución del ejercicio en expresiones más

complicadas que la propuesta inicialmente; se puede apreciar que ningún alumno

respondió correctamente esta pregunta.

En las dos últimas preguntas relacionadas con la resolución de problemas de

aplicación evidenciamos la situación crítica que tienen los alumnos con respecto a las

estrategias que aplican para resolver problemas, prácticamente no existen; sólo dos

de los alumnos intentaron ordenar la información para buscar la solución de ambos

problemas, el resto dejó esta parte en blanco.

184

En la Tabla 4.14. hemos agrupado los resultados obtenidos por los alumnos

en la prueba de valoración de aprendizajes en las diferentes categorías de

rendimiento académico según el reglamento de evaluación de la universidad.

Categorías A*

Excelente B

Bueno C

Regular D

Deficiente E

Malo F

Pésimo Total

N° alumnos 1 1 2 1 7 41 53

% alumnos 1,89 1,89 3,77 1,89 13,21 77,36 100

* Categorías de evaluación utilizadas en el Reglamento de Alumnos de la UNELLEZ.

Tabla 4.14. Resultados finales de la prueba de valoración de aprendizajes.

En las categoría A se ubicó el 1,89% con un logro excelente; en la B el 1,89%

obtuvo un buen rendimiento y en la C el 3,77% logró de manera regular los

aprendizajes; en estas categorías se concentran los alumnos que han logrado los

objetivos de aprendizaje, que al sumarlos representan apenas un 7,55%, lo cual

representa una situación crítica en el dominio de los conocimientos matemáticos

previos de los alumnos en la Unidad de Sistemas Numéricos, si observamos las

categorías D, E y F en donde se concentra el “grupo débil”, es decir el de menor

rendimiento, en la categoría ‘Deficiente’ se ubica el 1,89%; en la E de rendimiento

malo, el 13,21% y la mayor parte de ellos representada por el 77,36% se ubica en la

última categoría F de rendimiento pésimo, lo que nos indica que una significativa

mayoría no logró el aprendizaje por parte de este grupo de alumnos y alumnas.

Cabe destacar y mencionar, en primer lugar que estos aspectos teórico-

prácticos que se contemplaron en la prueba de valoración, forman parte de los

programas de estudio del área de Matemática en la Escuela Básica, es decir que son

conocimientos cuyo aprendizaje deberían haberse logrado en esos niveles de

Educación por los alumnos, en segundo lugar los alumnos habían recibido

instrucción durante las sesiones de clase en el aula sobre estos temas, sin embargo

estos fueron explicados de acuerdo a una secuencia didáctica tradicional y

conductista caracteriza por un procedimiento de enseñanza expositivo, transmisión

verbal y en el apoyo de textos por parte de la profesora responsable de la asignatura;

además no se aplicaron ninguna de las estrategias de aprendizaje para organizar la

información y resolver problemas, por consiguiente se constata el deficiente

desempeño de los alumnos tanto en los aprendizajes como en las estrategias, por lo

que, un 92,46% no logró los aprendizajes matemáticos contemplados en la unidad de

‘sistemas numéricos’ del programa de estudio.

185

Estos resultados señalan que en los procesos de enseñanza-aprendizaje

ejecutados en las sesiones de clase deben reorientarse en cada una de las dimensiones

estudiadas desde el punto de vista cognitivo; el proceso didáctico debe reformularse

con diferentes actividades que contribuyan a desarrollar los procesos cognitivos,

desde los más sencillos como el de la organización de la información hasta los más

complejos utilizados en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos. La

incorporación y puesta en práctica de estas estrategias de aprendizaje consolidarán en

gran medida el pensamiento lógico-formal matemático tan esencial en el logro de los

objetivos de aprendizaje contemplados en los programas de estudio del currículo de

estudio.

186


SEGUNDA PARTE DEL DIAGNÓSTICO

En esta sección se presentarán los resultados obtenidos de la dimensión clima

social del aula y actitud del alumno, producto de la aplicación del cuestionario de

opinión para determinar el grado de actitud del alumno con relación al proceso de

enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática General de la carrera de

Educación Integral, de las transcripciones de las grabaciones efectuadas en las

sesiones de clase observadas y de las entrevistas semi-estructuradas aplicadas al

grupo de alumnos. Los resultados los dividimos según los propósitos de cada uno de

los instrumentos de la forma siguiente:

IV.2.1. Resultados del cuestionario de opinión para determinar el grado

de actitud del alumno sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje de la

asignatura matemática general de la carrera de educación integral

En el presente apartado presentamos y analizamos los resultados obtenidos de

los alumnos sobre su grado de actitud hacia la asignatura Matemática General del

Pensum de estudio de la carrera Educación Mención Integral y al proceso de

enseñanza, aprendizaje y evaluación que se desarrolla en el aula.

Para la descripción, análisis e interpretación de los resultados se ha efectuado

la clasificación que se presenta en la Tabla 4.15., atendiendo a los indicadores y

criterios de las dimensiones en estudio que están contenidos en la Tabla de

especificaciones 3.4. del Capítulo 3 de dicho instrumento de recolección de

información.

Acuerdo Medi.

acuerdo Sin

opinión Med.

Desac. Desac.

Nº Indicadores Ítems F % F % F % F % F %

1 Impulsividad para realizar asignaciones

7 14 12 24 25 50 3 6 3 6

2 Impulsividad Rapidez en la

realización de tareas Matemáticas

4 8 19 38 5 10 7 14 15 30

3 Responsabilidad Evadir la responsabilidad 6 12 8 16 2 4 7 14 27 54

4 Ausencia de la capacidad de razonamiento

17 34 13 26 2 4 8 16 10 20

5

Capacidad de razonamiento Dificultad en asignaciones

complejas 4 8 14 28 8 16 16 32 8 16

6 Complejo de inutilidad al resolver problemas

2 4 11 22 8 16 10 20 19 38

7 Miedo al equivocarse 18 36 9 18 3 6 5 10 15 30

8 Temor al ser evaluado 9 18 18 36 4 8 8 16 11 22

9

Temor al fracaso

Temor hacia el profesor 8 16 9 18 3 6 5 10 25 50

187

Acuerdo Medi.

acuerdo Sin

opinión Med.

Desac. Desac.


10 Rechazo Rechazo hacia las actividades matemáticas

4 8 2 4 12 24 10 20 22 44

11 Decisión de tener éxito en Matemática

36 72 10 20 2 4 2 4 0

12 Matemática como reto para aprender

36 72 8 16 4 8 1 2 1 2

13 Satisfacción personal y resolución de problemas

41 82 7 14 2 4 0 0

14

Capacidad de logro

Profesor como estimulador del logro de los alumnos

10 20 11 22 16 32 7 14 6 12

15 Iniciativa Iniciativa en el trabajo en equipo en las tareas matemáticas

17 34 13 26 8 16 4 8 8 16

16 Serenidad en la resolución de problemas

37 74 11 22 1 2 1 2 0 0

17 Autocontrol

Preparación y miedo a las evaluaciones

43 86 7 14 0 0 0 0 0 0

18 Constancia Perseverancia para obtener la solución de un problema

19 38 19 38 8 16 3 6 1 2

19 Disciplina Necesidad de ajustarse a un horario para estudiar Matemática

19 38 12 24 8 16 4 8 7 14

20 Matemáticas como cálculos y reglas para memorizar

15 30 19 38 5 10 3 6 8 16

21 Memorización

El estudiante como receptor de como cimientos matemáticos

34 68 11 22 2 4 2 4 1 2

22 Procedimiento en la

resolución de problemas Alto nivel de complejidad

5 10 23 46 5 10 9 18 8 16

23 Valoración hacia los

demás Las matemáticas y los genios

3 6 2 4 2 4 9 18 34 68

24 Enseñan a pensar y a razonar 31 62 11 22 4 8 3 6 1 2

25 Utilidad de la matemática Utilidad en su futura labor

profesional 31 62 10 20 6 12 2 4 1 2

26 Esfuerzo propio Esfuerzo personal como elemento principal en el éxito en las matemáticas

30 60 11 22 1 2 4 8 4 8

27 Exigencia y pánico 13 26 13 26 10 20 3 6 11 22

28 Rigurosidad en los estilos de enseñar de los profesores

14 28 14 28 8 16 5 10 9 18

29 Posición complaciente de los profesores

11 22 12 24 13 26 5 10 9 18

30

Exigencia del profesor

Calidad de enseñanza y exigencia del aprendizaje efectivo

27 54 17 34 6 12 0 0

31 Profesores y la importancia que le dan a la participación del alumno.

36 72 10 20 1 2 2 4 1 2

32

Nivel de participación Estímulo del alumno y su participación en clase

12 24 14 28 9 18 9 18 6 12

33 Lenguaje matemático Dificultad en la comprensión del lenguaje matemático

3 6 19 38 9 18 3 6 16 32

34 Fomento del compromiso del estudiante por parte del profesor

15 30 18 36 15 30 1 2 1 2

35

Nivel de compromiso Disposición al trabajo en equipo

29 58 10 20 3 6 4 8 4 8

36 Comunicación profesor-

alumno Relación amigable sin discriminación

28 56 10 20 7 14 4 8 1 2

37 Clima de confianza profesor-alumno

Confianza en el aula para generar intercambio de preguntas y respuestas

36 72 11 22 0 2 4 1 2

38 Dominio de los contenidos Manejo adecuado de la

26 52 10 20 14 28 0 0

188

Acuerdo Medi.

acuerdo Sin

opinión Med.

Desac. Desac.


información

39 Organización clara y comprensible de la información escrita en el pizarrón

29 58 15 30 3 6 2 4 1 2

40

Nivel de organización de la información en las clases de Matemática y otros Sub-proyectos

10 20 17 34 15 30 4 8 4 8

41 Seguridad del profesor en el dominio de contenidos

39 78 4 8 5 10 1 2 1 2

42

matemáticos por el profesor

Utilización de ejemplos sencillos para el desarrollo de las clases

24 48 17 34 6 12 1 2 2 4

43 Utilización de recursos

para el aprendizaje. Uso de láminas, diapositivas, diagramas, talleres

1 2 5 10 15 30 6 12 23 46

44 Estructuración de los procedimientos en la

resolución de problemas

Descripción de propiedades matemáticas 17 34 20 40 10 20 3 6 0

45 Información de calificaciones. 9 18 16 32 19 38 4 8 2 4

46 Frecuencia en la aplicación de evaluaciones individuales

29 58 6 12 9 18 2 4 4 8

47

Proceso de evaluación

Evaluaciones grupales 27 54 12 24 3 6 5 10

48 Asesoría académica del

profesor Cantidad de asesoría que recibe el alumno

15 30 15 30 12 24 7 14 1 2

49 Procedimiento de

enseñanza del profesor. Deficiencia en proceso de enseñanza los profesores

10 20 5 10 14 28 11 22 10 20

50 Nivel de compromiso del

profesor

Actitud positiva y de compromiso del profesor ante la formación de sus alumnos

32 64 10 20 4 8 4 8 0

Total de alumnos: 50

Tabla 4.15. Resultados obtenidos de las contestaciones al cuestionario de opinión para determinar el grado de actitud del alumno con relación al proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura

Matemática General de la carrera de Educación Integral Anexo 3).

En el indicador ‘impulsividad’ se puede apreciar que la mayoría de los

estudiantes presentan ansiedad en el momento de desarrollar tareas matemáticas, las

respuestas muestran claramente dos comportamientos muy comunes, impulsividad y

rapidez, y el espacio que deben dedicar para razonar y aplicar estrategias del

pensamiento lógico-formal, pocas veces es utilizado.

Sin embargo, en el indicador de ‘responsabilidad’, la mayoría de los alumnos

expresaron su desacuerdo con la evasión de responsabilidad como su característica

general ante el desempeño de tareas matemáticas, lo que refleja una actitud de

aceptación hacia los contenidos de esta asignatura.

Con relación a la utilización de ‘capacidad de razonamiento matemático’, la

gran parte de alumnos está de acuerdo con que el no utilizar al máximo esta habilidad

matemática depende sólo de ellos y no de factores externos, lo que nos puede indicar

que confían en sí mismos; también una mayoría expresa su desacuerdo con tener

dificultades para iniciar ejercicios y problemas complejos de Matemática; es

189

interesante observar una contradicción entre el indicador ‘impulsividad’ con el de

‘responsabilidad’, utilización de razonamiento matemático y dificultades con tareas

matemáticas complejas, los resultados de los tres últimos indican una actitud positiva

de los alumnos hacia las matemáticas, pero los resultados del primero indican todo lo

contrario.

Con relación al ‘temor al fracaso’ que tienen los estudiantes ante el

desempeño en matemáticas, la mayoría (un 58%) estuvo en desacuerdo en sentir

complejo de inutilidad para resolver problemas; por el contrario un 54%, manifestó

tener pánico para cometer errores al intervenir en clase, aunque a esta conducta se la

pueda considerar normal dentro del comportamiento humano. También la mayoría de

los alumnos encuestados opinó que sentían temor al ser evaluados en Matemática, sin

embargo, opinaron todo lo contrario respecto al profesor de la asignatura, donde un

60% expresa tener confianza ante su profesor para desenvolverse académicamente en

el aula durante la clase.

Este fenómeno se confirma al observar los resultados del indicador ‘rechazo

hacia las tareas matemáticas’; el 64% de los estudiantes están en desacuerdo con

tener rechazo hacia las tareas o asignaciones que el profesor de Matemática

distribuye durante la clase.

La actitud positiva hacia las matemáticas se sigue observando en los

resultados obtenidos por los alumnos en el indicador ‘capacidad de logro’; una

mayoría significativa, esto es un 92%, expresa su acuerdo en considerar que el

esfuerzo y dedicación personal son claves para obtener éxito en las matemáticas,

igualmente un 88% estuvo de acuerdo en considerar los problemas y ejercicios

matemáticos como un reto para aprender más sobre esta ciencia y un 96% manifiesta

sentir satisfacción personal cuando puede resolver problemas.

En los resultados obtenidos en el indicador ‘iniciativa’, se puede apreciar una

alta actitud hacia el trabajo en equipo y toma de decisiones para iniciar actividades

de la asignatura. Al observar los resultados en el indicador ‘autocontrol’, se verifica

otra contradicción, un 96% de los alumnos, casi el total, manifiestan que mantienen

la serenidad y la calma cuando resuelven ejercicios y problemas, conducta totalmente

contraria según los resultados arrojados en los ítems del indicador ‘impulsividad’.

De acuerdo a los resultados obtenidos en el indicador ‘constancia’, la

perseverancia es una característica de la mayoría de los alumnos encuestados; un

190

72% de los alumnos dicen estar de acuerdo con ser perseverantes para obtener

respuestas en ejercicios y problemas de Matemática.

En interesante apreciar que también la mayoría de los alumnos encuestados

manifiestan otra demostración de actitud positiva hacia las matemáticas, un 86% está

en desacuerdo con que las matemáticas sólo la puedan dominar personas con

características intelectuales superiores a las del promedio, este indicador brinda una

clara apreciación y aceptación por parte del estudiante de los contenidos que se

enseñan en esta asignatura.

Los resultados del cuestionario también evidencian que los estudiantes en su

mayoría dan una gran importancia a las matemáticas como una asignatura de mucha

utilidad en su futura labor profesional y para el desarrollo de su razonamiento y

pensamiento en general. De manera semejante consideran que el esfuerzo personal es

fundamental para obtener éxito en las matemáticas, independientemente del estilo de

enseñanza que utilicen los profesores de esta asignatura.

Según el indicador ‘exigencia académica’ del profesor, una considerable

mayoría opina que existe un íntima relación entre la exigencia de un aprendizaje

efectivo del profesor para con el alumno, y su efectividad en el proceso de

enseñanza-aprendizaje en las matemáticas, es decir, mientras mayor es esta

exigencia, mejor es el estilo de enseñanza del docente. A pesar de que los estudiantes

opinaron que esa rigurosidad por parte del profesor les causa un sentimiento de

temor, también piensan que es necesaria para lograr un aprendizaje significativo.

Otro indicador que también confirma una actitud positiva del estudiante hacia

la Matemática, es que un alto porcentaje de encuestados estuvieron de acuerdo y

medianamente de acuerdo al manifestar que los profesores de esta asignatura

incentivan y estimulan a sus estudiantes a participar en las clases.

Con relación a los indicadores, ‘nivel de compromiso’, ‘comunicación

profesor-alumno’, ‘clima de confianza profesor-alumno’, la mayoría de los

estudiantes encuestados estuvieron de acuerdo con la existencia de estos aspectos en

el proceso de enseñanza-aprendizaje que desarrollan los profesores de Matemática

que han tenido. Así mismo, manifiestan su acuerdo con que el profesor de la

asignatura Matemática General tiene un buen dominio de los contenidos, una

organización adecuada de la información que presenta en la pizarra durante las clases

y seguridad en el estilo de enseñanza que aplica en esta asignatura, aunque no utilice

recursos para el aprendizaje no convencionales como láminas, vídeos, diapositivas o

191

talleres entre otros. Además los alumnos opinaron que el profesor explica y describe

adecuadamente las propiedades matemáticas que utiliza en la resolución de ejercicios

y problemas.

En el indicador relacionado al ‘proceso de evaluación’, es interesante

observar como un 78% de los estudiantes está a favor de las evaluaciones grupales, a

pesar de que los resultados de los indicadores anteriores revelaron que los alumnos

tienen seguridad y confianza en si mismos; contradictoriamente también necesitan

estar acompañados de otras personas para afrontar las evaluaciones.

Los estudiantes al opinar sobre la actuación de los profesores de Matemática

en el proceso de enseñanza, muy pocos expresaron su acuerdo con la deficiencia que

tienen los docentes en sus estilos de enseñanza, y una mayoría considerable

manifestó estar recibiendo ayuda y ‘asesoría académica de su profesor’ y que este

posee una actitud positiva y de compromiso ante la formación de sus alumnos.

En líneas generales se puede decir que los resultados obtenidos en este

diagnóstico efectuado para determinar el grado de actitud de los alumnos cursantes

de la asignatura Matemática General, revelan una actitud positiva y de aceptación de

los estudiantes de la carrera Educación mención Integral hacia las matemáticas; este

fenómeno tal vez se deba a la gran expectativa que tiene el alumno de nuevo ingreso

sobre el trabajo académico que le corresponde realizar como universitario. Es de

hacer notar que esta situación es contradictoria con la percepción que tiene la

mayoría de las personas sobre la Matemática, ciencia que siempre es rechazada por

considerarla una asignatura rigurosa, abstracta y dura de aprender.

De acuerdo al análisis efectuado de los resultados del cuestionario de opinión-

actitud hacia las matemáticas, se puede decir en general, que el grupo de estudiantes

encuestados tiene un grado de actitud positiva hacia las diferentes actividades que se

desarrollan en las clases de Matemática; sin embargo, hubo indicadores en donde la

actitud arrojó un saldo negativo: conducta impulsiva, capacidad de razonamiento,

temor al fracaso, procedimiento en la resolución de problemas, dominio del lenguaje

matemático, utilización de recursos no convencionales para el aprendizaje por parte

del profesor e, incluso el procedimiento de enseñanza que utiliza el profesor es visto

por los alumnos con una actitud parcialmente positiva. Para ilustrar mejor estos

resultados se ha construido la Tabla 4.16.

192

ACTITUD INDICADOR

POSITIVA NEGATIVA Impulsividad X

Responsabilidad X Razonamiento X

Temor al fracaso X Rechazo X

Cap. De logro X Iniciativa X

Auto-control X Constancia X Disciplina X Memoria X

Procedimiento en la resolución de problemas X Valoración hacia los demás X Utilidad de las matemáticas X

Esfuerzo propio X Exigencia del profesor X

Participación X Lenguaje matemático X

Compromiso X Comunicación X

Dominio de contenidos por el profesor X Recursos para el aprendizaje X

Evaluación X Asesoría X

Procedimiento de enseñanza X Tabla 4.16. Presencia-ausencia de indicadores que determinan la actitud de los alumnos con relación

al proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. Resultados del cuestionario de opinión-actitud.

Como se puede apreciar, 16 de los 25 indicadores obtuvieron inclinación

positiva de la actitud de los alumnos encuestados, esto representa un 64% del total de

indicadores evaluados por el instrumento.



El proceso de observación que seguimos en las sesiones de clase nos

proporcionó datos relevantes en cuanto a la descripción del grado de actitud de los

alumnos hacia las matemáticas y hacia el proceso didáctico ejecutado por el docente;

además, nos proporcionó información adicional para describir el estado actual que

existe en la comunicación y participación general de los alumnos, como elementos

descriptores del clima social del aula; es decir, pudimos verificar los hechos que

realmente acontecen en el aula de clase, actitudes y expresiones sinceras de los

actores del caso de estudio seleccionado.

193

En total logramos participar en la observación de tres sesiones de clase; en las

dos primeras se desarrollaron contenidos sobre el sistema de los números racionales,

y en la tercera sesión, se trataron aspectos sobre el conjunto de los números

irracionales, aunque nos resultó difícil describir en su totalidad cada elemento, hecho

o situación. Hemos destacado lo más relevante con el propósito de dirigirlo hacia los

objetivos referenciados en nuestra investigación1.


En esta sesión pudimos observar que entre la profesora y el grupo de alumnos

ya existía un importante grado de confianza gracias a las sesiones de clase que se

habían desarrollado anteriormente durante cinco semanas, lo que permitió un

acercamiento entre los actores del proceso didáctico de la asignatura; dentro del

grupo ya existía una interacción de ideas y un intercambio fluido de comunicación,

lo que implicó un beneficio para nosotros, y nos garantizó un fácil acceso al contexto

de estudio para obtener la información oportuna sobre el clima social del aula.

Logramos apreciar que en el desarrollo de la clase la información matemática

que se transmitía se desprendía el carácter formalista que generalmente se aplica en

la enseñanza de las matemáticas, es decir, la profesora utiliza un lenguaje más

cotidiano para comunicar la información, pero la clase es unidireccional la mayor

parte del tiempo; sólo se apreciaba el discurso de la profesora durante toda la clase

para transmitir la información; sin embargo, existe confianza dentro del aula y los

alumnos no se sienten cohibidos al participar y formular las preguntas necesarias

para aclarar dudas. A continuación presentamos la transcripción de esta sesión de

clase.

Prof: ¿Cuál es el conjunto N?

Alumnos: Los naturales; 0,1,2,3,...

Prof: ¿cuál es el conjunto Z?

Observador: Los alumnos no responden, por lo que la profesora dibuja un diagrama de

Venn para explicar la relación de inclusión entre los conjuntos numéricos N, Z y Q.

Alumno: ¿Dónde se ubican las expresiones decimales ilimitadas periódicas?

Prof: Ahora vamos a explicar eso.

Observador: La profesora inicia la explicación algo intuitiva de expresiones que se

consideran decimales ilimitadas periódicas; luego se señalar algunos ejemplos procede a

explicar el concepto y ejemplos de expresiones decimales mixtas.

Prof: Las expresiones decimales mixtas están compuestas por un anteperíodo, es decir

decimales que están ubicados antes de los valores que se repiten.

1 Cfr. Apartado I.2. Capítulo I.

194

Observador: En este momento la clase es interrumpida por un grupo de alumnos que llegan

tarde a la clase.

Prof: Acordamos iniciar las clases a las 8:30, no vuelvan a interrumpir la clase.

Prof: ¿El conjunto Q está formado por?; ¿con qué letra se simbolizan los racionales?

Alumnos: La letra Q.

Prof: ¿Qué operaciones se efectúan en el conjunto Q?

Alumnos: Adición, sustracción, multiplicación, división.

Un alumno intervine: Las operaciones son las mismas solo que cambian a fracciones.

Prof: Ok, vamos a resolver sumas o adiciones con números fraccionarios. Existen dos

maneras de sumar fracciones:

* Podemos aplicar esta “formulita”, a c ad bc

b d bd

++ = , multiplicamos y luego

simplificamos la fracción resultante.

Observador: La profesora desarrolla ejemplos para ilustrar el procedimiento.

Prof: Prefiero aplicar el método del mínimo común denominador, porque tiene la ventaja de

que el resultado queda simplificado directamente, además se evitan operaciones largas de

multiplicación y adición.

Observador: La profesora explica este último procedimiento utilizando ejemplos para ello e

insiste en recomendarlo a los alumnos. Escribe en la pizarra el ejercicio siguiente: 8 6

3 4+ =

Prof: vamos a aplicar mínimo común denominador (m.c.d).

Alumnos: profesora nos resultó igual por ambos métodos y no necesitamos simplificar al

final.

Prof: Lo que sucede es que no seleccioné el ejemplo adecuado; vamos a resolver otro.

Observador: Escribe en la pizarra el ejercicio siguiente: 4 3

9 12+ =

Prof: ¿El m.c.d es igual a?

Observador: Los alumnos calculan, algunos quedan observando la pizarra y parecen no

entender lo que la profesora ha preguntado.

Alumnos: Profesora ¿se seleccionan los comunes y no comunes con su mayor exponente?

Prof: Sí, ¿Por qué están confundidos?, ya lo habíamos explicado.

Observador: En este momento los alumnos tienen problemas para descomponer en factores

primos a los denominadores de las fracciones, por lo que la profesora interviene

nuevamente.

Prof: ¿Cuándo un número es divisible por 2?, ¿cuándo un número es divisible por 3?,

¿cuándo un número es divisible por 5?

Alumno: Estas son las reglas de la divisibilidad.

Alumno: ¿Cuándo un número es divisible por 3?

Observador: La profesora explica con un ejemplo y continúa aplicando la técnica de la

pregunta- respuesta para guiar a los alumnos en el cálculo preciso del m.c.d.

Alumno: ¡Es 36! Profesora.

Prof: Muy bien.

195

Observador: La profesora explica y escribe en la pizarra: 4.4 3.3

36

+ = , hemos dividido el

m.c.d. entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador

respectivamente.

Prof: Multiplicamos, sumamos y el resultado es 16 9 25

36 36

+ = . Ahora vamos a resolverlo

con el otro método.

Observador: La profesora escribe y explica las operaciones y procedimiento siguiente:

4 3 4.12 3.9 48 27 75 25

9 12 9.12 108 108 36

+ ++ = = = =

Prof: Observen que al final se necesitó multiplicar y sumar cifras más elevadas y simplificar

75

108, para obtener el resultado.

Se observa un rechazo de los alumnos por el procedimiento de resolución

para sumar y restar números fraccionarios con diferentes denominadores en el que se

calcula el mínimo común múltiplo(m.c.m.) de los denominadores, esto se debe a la

dificultad que tiene la mayoría para determinarlo, es decir, existen vacíos cognitivos

en el concepto del m.c.m. y el método para calcularlo, lo que genera la actitud

antagónica y persisten en apoyarse en el método alternativo que sólo utiliza la

multiplicación, al que muchos de los alumnos, llaman el “método de la cruz”. Esto

nos indicó que a pesar de que la clase se centró en el discurso docente, los alumnos

no se cohíben al expresar sus inconformidades y sugerir sobre los procedimientos

para facilitarles la comprensión de los contenidos matemáticos.

Observador: La profesora rápidamente cambia de sección en el contenido, y formula la

pregunta siguiente:

Prof: ¿Cuáles son las propiedades de la adición?

Observador: Los alumnos responden con algunas dudas y la profesora explica brevemente y

algo rápido.

Prof: ¿Qué significa inverso aditivo?

Alumno: Que todo número tiene su inverso.

Observador: La profesora explica utilizando el formalismo matemático esta propiedad y

escribe en el pizarrón: / 0a a a a

b b b b

∀ ∃− + − =

Prof: Por ejemplo el inverso 7

3es

7

3−

Prof: ¿El inverso de 4

5− es?

Alumno: 4

5

Alumno: Es decir, ¿qué el inverso es la misma fracción pero de signo contrario?

196

Prof: Sí, si lo quieres resumir de esa manera.

Prof: Vamos a pasar rápidamente a las operaciones de multiplicación y división con


Observador: La profesora explica brevemente el procedimiento de la multiplicación

utilizando ejemplos sencillos y señala el cuidado que se debe tener en los signos al

multiplicarlos.

Prof: Con respecto a la división, ¿cómo se efectúa?

Alumnos: Se aplica la “doble c”

Observador: La profesora siguiendo la intervención de algunos de sus alumnos desarrolla

dos procedimientos para dividir fracciones, utilizando ejemplos sencillos. Luego pasa a

repasar las propiedades de la multiplicación.

Prof: ¿Quién recuerda las propiedades de la multiplicación?

Alumnos: Conmutativa, asociativa, elemento neutro, distributiva e inverso multiplicativo.

Observador: La profesora sigue preguntando y explicando de manera rápida las

propiedades de la multiplicación de números racionales, luego señala una actividad para

desarrollarla en el aula y asigna una serie de ejercicios. Mientras escribe en la pizarra,

algunos alumnos hablan y salen del aula.

Prof: ¡Necesito que pasen al pizarrón tres alumnos!

Observador: Sólo uno levanta la mano; la profesora selecciona dos más, éstos lo aceptan de

manera obligada. La profesora dirige la actividad formulando preguntas y aclarando las

dudas de los alumnos, podríamos decir que utiliza el procedimiento de enseñanza socrático

para ello.

En la sesión de clase se pudo observar como característica principal la

preocupación que manifiesta la profesora por desarrollar todos los aspectos que

integran el contenido para cumplir el 100% de la programación planificada; las

explicaciones de cada término, concepto, definición, operaciones, algoritmos,

propiedades, ejercicios y problemas son tratados de manera acelerada, por lo que no

establece un diálogo entre ella y los alumnos sobre aspectos de índole personal como

la motivación, los logros alcanzados, corrección de los errores de sus alumnos, una

atención individualizada y sobre todo, dar oportunidad a los alumnos para que

expresen sus inquietudes sobre el proceso didáctico que efectúa, es decir, prevalece

la importancia de los logros cognitivos, la planificación académica del semestre y el

desarrollo de los contenidos que establece el programa de estudio sobre los

elementos del clima social.


La profesora mantiene su estilo de enseñanza expositiva e intuitiva, pero sin

prescindir del formalismo matemático; combina ejemplos ilustrativos y ejercicios, y

los alumnos mantienen su nivel de participación a pesar de las dificultades que tienen

para comprender el lenguaje matemático que se escribe en la pizarra.

197

Prof: Ayer vimos operaciones con fracciones, se supone ya han estudiado estos aspectos.

Hoy vamos a trabajar con la potenciación, lo que se debe tener en cuenta son las

propiedades.

Primera propiedad: Todo número elevado a la cero es igual a la unidad

Observador: La profesora escribe en la pizarra la expresión siguiente:

a0=1, ∀ a∈Q aunque no aclara que esta propiedad se aplica siempre y cuando la base sea

diferente de cero, por eso debió escribir 0a∀ ≠ .

Prof: Segunda propiedad: el cero elevado a cualquier potencia es igual a cero, con la

excepción de que el exponente tiene que ser diferente de cero.

Observador: Escribe en la pizarra utilizando el lenguaje matemático respectivo, los alumnos

se limitan a tomar apuntes.

Alumno: ¿Qué pasa si el exponente es una fracción?

Prof: El valor del exponente tiene que ser entero, porque tendríamos potencias con

exponentes fraccionarios que pueden ser números irracionales.

Observador: Llega un grupo de alumnos tarde e interrumpen la clase, sin embargo la

profesora hace caso omiso y continúa con la explicación del tema.

Prof: Toda base elevada a la uno es igual a sí misma, es decir, a1=a, ∀ a∈Q.

Observador: La profesora escribe en la pizarra la siguiente expresión: ( )nxyz = y formula

preguntas a los alumnos.

Prof: ¿Qué es esto?, ¿cómo se desarrolla?

Observador: Los alumnos no responden, la profesora no espera mucho tiempo por las

respuestas y explica.

Prof: Nos queda de la forma siguiente: ( )n n n nxyz x y z= , observen que se multiplican los

exponentes.

Prof: Ahora, si tenemos la expresión m nx x = , ¿cómo nos quedaría el resultado?

¿si tenemos bases iguales y están multiplicando?

Alumnos: Se coloca la misma base y se suman los exponentes, es decir, m nx +.

Prof: vamos con la división. Si tenemos

n

x

y

¿cómo se desarrolla esta potencia?, esto es

igual a

n

n

x

y. ¿Qué sucede si las potencias son de igual base y se dividen?, es decir,

m

n

x

x.

Alumnos: Se coloca la misma base y se restan los exponentes.

Prof: Entonces, ¿cómo lo escribimos?

Alumnos: m

m n

n

xx

x

−=

Prof: Se debe tener en cuenta que el denominador debe ser diferente de cero. ¿Quién

recuerda como se desarrolla una potencia de una potencia?, es una expresión de la forma

( )nmx .

Alumnos: Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes, mnx .

198

Prof: Si tengo un número elevado a un entero negativo, esto nos indica que es una fracción,

1 1a

a

− = y 1n

na

a

− = . Si tenemos la expresión

na

b

−

, ¿cómo la desarrollamos?

Alumnos:

nb

a

.

Observador: La profesora explica el procedimiento para demostrar la igualdad

n na b

b a

− =

.

Observador: Los alumnos siguen tomando sus apuntes y no prestan atención a la explicación

del profesor.

Prof: Les recomiendo practicar mucho para dominar este tipo de ejercicios, se necesitan

resolver suficientes, voy a explicar algunos ejemplos y luego les asignaré otros para que los

resuelvan durante la clase.

Observador: La profesora borra la pizarra y escribe dos ejercicios con operaciones

relacionadas a las propiedades de la potenciación.

Alumnos: Profesora, ¡por favor, resuelva el segundo que es el más difícil!

Prof: ¿Por dónde empezamos?

Alumnos: Por los paréntesis.

Prof: ¿Cómo se resuelve el primer paréntesis?, ¿qué propiedad aplicamos?

Observador: Una alumna interviene confusa.

Alumna: ¡No entendí el último paso!

Prof: Esto se eleva también al mínimo exponente, es decir, como si fuera una potencia de

una potencia.

Alumna: ¿Se eliminan cuando tienen signos más y menos?

Prof: ¿Dónde, en el numerador o en el denominador?, si tenemos expresiones iguales en el

numerador y denominador sí. ¿cómo resolvemos arriba en el numerador?.

Alumnos: Se aplica la propiedad del producto de las potencias de igual base.

Observador: Una alumna pasa hasta la pizarra y pregunta.

Alumna: ¿Si lo hago de esta manera, invierto primero el signo menos y luego multiplico?

Prof: Está bien.

Observador: La profesora utiliza la pregunta para explicar al resto del grupo y aclarar las

dudas.

Prof: También podemos resolverlo de esta segunda forma.

Alumnos: No profesora, mejor es la primera forma.

Observador: La profesora explica el segundo procedimiento y una de las alumnas muestra

una actitud de rechazo, al final de la explicación el grupo cambia de opinión, muestran

comprensión del segundo método de resolución y toman notas.


En este apartado se aprecia claramente cómo el docente lleva la dirección

completa del proceso de enseñanza-aprendizaje. Los alumnos en su mayoría se

limitan a escuchar y a prestar atención a la explicación; el carácter abstracto de los

199

contenidos relativos al conjunto de los números irracionales, exige la comprensión,

interpretación y manipulación del lenguaje formal matemático; como consecuencia

de esta exigencia cognitiva se origina el proceso unidireccional de la clase.

Prof: La clase pasada vimos racionalización y definición de radicales semejantes, ¿qué

dijimos que era un radical semejante?

Observador: Un alumno responde con dudas.

Alumnos: Son los que tienen igual índice y cantidad subradical.

Prof: Para sumar radicales semejantes ¿qué hay que hacer?


Prof: ¿Cómo se le denomina al proceso de descomposición de radicales?

Observador: Los alumnos siguen sin responder.

Prof: Hoy vamos a continuar con la clase de radicales, desarrollaremos los temas de

multiplicación, división y potenciación de radicales.

Observador: Los alumnos manifiestan desmotivación por el tema y preguntan por los

resultados de la última evaluación.

Prof: Al final de la clase podemos hablar de las calificaciones. Vamos a desarrollar cinco

propiedades para efectuar las operaciones de multiplicación, división, potenciación,

potencias con exponente fraccionario y radicación de radicales. ¿Qué procedimiento se

aplica cuando se multiplican radicales de igual índice?

Observador: Los alumnos responden con dudas y la profesora escribe la siguiente expresión:

n n n na b c abc= .

Prof: Se coloca el mismo índice de la raíz y se multiplican los radicandos o cantidades

subradicales. Ahora ¿cómo se resuelve si las raíces tienen diferentes índices?

Observador: La profesora explica el procedimiento ante la falta de participación de los

estudiantes.

Prof: La tercera propiedad se utiliza para resolver potencia de radicales. La expresión

( )mn a ¿cómo se efectúa?

Observador: Los alumnos responden con errores y la profesora retoma la explicación.

Prof: Si tenemos, por ejemplo: ( )xn ma , se resuelve de la forma siguiente:

( )xn nm mxa a= , se coloca el mismo índice y la cantidad subradical se eleva a la potencia

dada.

Prof: La cuarta propiedad tienen que ver con la equivalencia entre un radical y su potencia

con exponente fraccionario, es decir, que

1n na a= .

Observador: La profesora continúa explicando y utiliza algunos ejemplos sencillos. Luego

pasa a desarrollar la quinta propiedad.

Prof: Cuando tenemos la expresión m n a , ¿cómo la efectuamos?

Observador: La profesora espera unos segundos y ante la falta de respuestas de los alumnos

decide explicar, luego de terminar con esta sección de contenido coloca ejercicios para

resolverlos durante la clase y motiva a sus alumnos para trabajar en conjunto.

200

Prof: ¿Ustedes son capaces de resolverlo?

Alumnos: ¡No!

Observador: La profesora resuelve y explica cada uno de los ejercicios propuestos.

Prof: ¿El resultado queda hasta aquí?

Alumnos: No, se tiene que simplificar el radical.

Prof: ¿Está claro?

Alumnos: Sí.

La comunicación de la información es unidireccional, las clases se centran en

el discurso docente y en su procedimiento expositivo, sin embargo, los alumnos

tienen mucha libertad para intervenir en la resolución de ejercicios y formulación de

preguntas. A pesar de que la docente se enfoca en el logro de los objetivos

académicos relacionados con el área cognitiva (no observamos dentro del proceso de

comunicación aspectos de índole personal como el estímulo por los logros

alcanzados, motivación, orientación para corregir errores…) sí facilita un clima de

confianza y de interacción social con los alumnos, ya que estos no sienten temor para

desarrollar las diferentes actividades durante las sesiones de clase. Sin embargo pasar

a la pizarra y participar en la solución de ejercicios no parece ser del agrado de la

mayoría de los alumnos, por lo que la profesora selecciona de manera autocrática a

los alumnos que resolverán los ejercicios propuestos.

En algunos momentos observamos rechazo de los alumnos por los

procedimientos utilizados por la profesora en la resolución de ejercicios de

aplicación; generalmente preferían formas más intuitivas para resolverlos, lo que no

dudaban en comunicarlo a la profesora.

IV.2.3. Análisis y reflexión de los resultados de las entrevistas aplicadas a

los alumnos

En las entrevistas aplicadas a los alumnos se han formulado una serie de

preguntas como guía de este instrumento, destinadas a obtener información sobre la

dimensión ‘actitud del alumno y clima social’, pidiendo a los estudiantes que

describan la participación y comunicación que se da entre los actores que interactúan

social y afectivamente dentro del aula, con el fin de relacionarlas con el proceso

didáctico ejecutado en la asignatura Matemática General. La presentación y

descripción de los resultados de las entrevistas los clasificamos en cuatro partes, tal y

como se representan en las Tablas 4.17, 4.18, 4.19 y 4.20.

201

Pregunta Respuestas Alumnos %

De participación y de colaboración porque a pesar de que no participo mucho en otras clases, en Matemática sí lo hago porque me gusta mucho este Sub-proyecto.

7 41,18

Mi participación y colaboración es regular, porque me cuesta un poco entender los contenidos y me cohíbo de preguntar.

1 5,88

Ninguna de las opciones, porque yo no participo en clase, pero tampoco pienso que sea rechazo, ya que me limito a prestar atención y a la hora de resolver un ejercicio trato de hacerlo solo, y si tengo alguna duda le pregunto a la profesora.

1 5,88

De participación y de colaboración, porque las estrategias que utiliza despierta nuestro interés.

3 17,65

De participación, porque mientras se desenvuelve la clase, quien lo desee puede opinar y expresar lo que piensa.

3 17,65

1. En función de las estrategias de enseñanza durante el desarrollo de los contenidos que ha explicado el profesor, ¿cómo describirías tu actitud general durante la clase?, ¿es de participación y/o colaboración?, ¿es de rechazo?

De participación, aunque a veces es muy poca, otras veces de colaboración, no por no entender, sino por miedo escénico o para evitar equivocarme al preguntar.

2 11,76

TOTAL 17 100

Tabla 4.17. Estrategias de enseñanza y actitud general del alumno.


Me parece que se ha creado una muy buena comunicación entre alumnos y profesor, ya que cualquier cosa que el alumno no entienda, la profesora no tiene ningún problema para explicarlo de nuevo.

6 35,29

Ha sido muy buena la relación, ya que es una profesora que sabe explicar la materia y está abierta a responder cualquier interrogante que tengamos los alumnos y, además, siempre está dispuesta a prestarnos su ayuda fuera del salón de clases.

2 11,76

Ha sido muy buena la comunicación porque nos escucha y también aprende de nosotros.

2 11,76

Es como toda relación de profesor a alumnos y de alumnos a profesor, es muy profesional, siempre está pendiente de que todos entendamos; nos ayuda mucho en la materia.

2 11,76

Buena, ya que la profesora tiene un lenguaje adecuado para dirigirse a nosotros.

2 11,76

Respetuosa, solamente nos dedicamos a prestar la mayor atención posible a las clases.

1 5,88

La relación de comunicación no es muy buena, porque hay cosas que no logro entender.

1 5,88

2. Describe brevemente cómo ha sido la relación de comunicación personal entre tu profesor y los alumnos durante la clase.

Ha sido muy buena, la profesora inspira confianza y esto ayuda a que tengamos buena comunicación, ya que no existe ese temor a equivocarnos y ser rechazados en clases.

1 5,88

TOTAL 17 100

Tabla 4.18. Comunicación entre el profesor y el alumno.

202


El trabajo en equipo del profesor y alumnos, ya que, la profesora trata de interactuar con los alumnos estimulando su participación.

4 23,53

Estímulo del profesor hacia los alumnos. El trabajo en equipo no es frecuente, hasta los momentos se ha trabajado individualmente.

5 29,41

La motivación del profesor hacia los contenidos, porque su manera de dar la clase y el dominio que tiene sobre sus temas estimula e incentiva a dar lo mejor de nosotros mismos, siendo partícipes del aprendizaje.

4 23,53

Durante todas las clases he observado todos los elementos nombrados.

2 11,76

¿La verdad?, ninguno. 1 5,88

3. En esta sesión de clase, ¿cuáles de estos elementos: estímulo del profesor hacia el alumno, motivación del profesor hacia los contenidos que enseña, trabajo en equipo del profesor y alumnos has observado con mayor frecuencia?

Lo que más he notado es la motivación del profesor hacia los contenidos de enseñanza. En realidad creo que falta un poco de motivación hacia aquellos alumnos que no tienen la capacidad de entendimiento.

1 5,88

TOTAL 17 100 Tabla 4.19. Elementos frecuentes en el clima social de la clase.


Son muy útiles para mi formación profesional, ya que, mientras mayor conocimiento posea, mejor nivel profesional tendré. Además, aunque para mi fueron sencillos de entender, observé que para otros les costó un poco comprenderlos.

5 29,41

Tienen gran significado, me interesaron todos sus aspectos, fueron un poquito difíciles de entender porque son nuevos para nosotros.

2 11,76

Los contenidos que se enseñaron fueron sencillos de entender, lo que pasa es que todo depende de la concentración del alumno y de cómo el profesor explica la clase.

3 17,65

Son útiles para nuestra formación profesional, ya que son conocimientos básicos.

3 17,65

Fueron sencillos de entender, son útiles y se puede decir que un 80% de los alumnos entendieron el desarrollo de la clase (Números Racionales) sin ninguna dificultad.

1 5,88

Sólo unos pocos comprendieron porque muchos tuvieron dudas para resolver algunos ejercicios de ‘números enteros’.

1 5,88

Sé que son muy útiles para mi formación profesional. Considero que el alumno necesita tiempo para copiar después de prestar atención y lo más importante: “tiempo para contestar a las preguntas en los exámenes”.

1 5,88

4. ¿Qué impresión general te causaron los contenidos que se desarrollaron durante esta clase? ¿Son útiles para tu formación profesional? ¿No tienen significado para ti? ¿En general no te interesaron? ¿Perdiste tu tiempo? ¿Fueron sencillos de entender? ¿Sólo unos pocos los comprendieron?

Pienso que no son importantes y no me sirven para nada, no entendí nada.

1 5,88

TOTAL 17 100

Tabla 4.20. Valoración hacia los contenidos matemáticos que se desarrollaron durante la clase.

203

Analizando las diferentes respuestas dadas por los alumnos se puede observar

que la mayoría (un 70,59% de alumnos) expresa participación en el desarrollo de las

clases por diferentes razones que se relacionan entre sí, dentro de las cuales destacan:

el gusto general por las matemáticas, la motivación que despiertan las estrategias

utilizadas por el profesor, el clima de confianza que se genera dentro del aula entre

profesor y alumnos. Cabe destacar que esta posición que asume el grupo de alumnos

seleccionado dentro del caso en estudio discrepa de las opiniones negativas que en

general se tienen hacia las matemáticas.

De acuerdo a las respuestas dadas por los alumnos, se puede verificar que

existe una relación entre el profesor y el alumno que se caracteriza por la disposición

que tiene el docente para orientar y atender a sus alumnos en la asignatura, lo cual es

percibido de manera positiva por el grupo de estudiantes. Según estos, por razones

tales como: su “buena forma de explicar la clase”, la disposición a escuchar, el

respeto, el lenguaje utilizado por la profesora es sencillo y adecuado para dirigirse a

sus estudiantes, porque ésta le inspira confianza y, según ellos, desaparece el temor

de equivocarse y a ser rechazados en la participación durante las clases.

Con relación a los elementos que integran el clima social del aula de clase, el

23,53% de los alumnos observó con mayor frecuencia el trabajo en equipo entre el

profesor y sus alumnos, porque la profesora “interactuaba con los alumnos para

motivarlos a participar”, y en igual proporción se consideró también la motivación

del profesor hacia los contenidos, lo que nos indicó una comunicación fluida entre

los actores del proceso didáctico. No obstante el 29,41% consideró igualmente que el

estímulo de la profesora hacia ellos es lo más observado pero manifestó que el

trabajo en equipo no es frecuente sino que por el contrario los trabajos y demás

asignaciones dentro del aula se han realizado de forma individual. Esto nos conduce

a una discrepancia de opiniones o puntos de vistas entre dos grupos de alumnos, en

donde prevalece una mayoría que niega el trabajo en equipo como un elemento

característico del proceso didáctico efectuado durante las sesiones de clases de la


El 23,53% de los alumnos señala que la motivación del profesor hacia los

contenidos enseñados es el elemento observado con mayor frecuencia, según ellos,

“porque su manera de dar la clase y el dominio que tiene sobre sus temas estimula e

incentiva a dar lo mejor de nosotros mismos, siendo partícipes del aprendizaje”. Un

11,76% señaló que ha observado todos los elementos señalados en la entrevista, es

decir, existe un equilibrio entre el estímulo del profesor hacia el alumno, su

204

motivación hacia los contenidos que enseña y el trabajo en equipo que desempeña

con los alumnos.

Buena parte de los alumnos consideró que los contenidos que se desarrollaron

durante las clases son útiles para su futura formación profesional y establecen una

relación entre el nivel de preparación que tengan de los mismos y el éxito en su

futura labor docente. Este grupo también expuso que los contenidos enseñados en la

asignatura fueron sencillos, sin embargo, precisan que el resto de sus compañeros

han tenido dificultades para comprenderlos.

Los estudiantes expresaron a través de sus respuestas, que los contenidos son

interesantes para ellos y que tuvieron un poco de dificultad para entenderlos porque

son “nuevos”; es importante señalar que el programa de la asignatura Matemática

General tiene como propósito fundamental consolidar los aprendizajes matemáticos

básicos para iniciar la carrera de Educación Integral, y además, sus contenidos están

relacionados con los contenidos programáticos de los últimos tres años de la

Educación Básica. Por lo tanto, estos aprendizajes debieron estar logrados en un

grado aceptable, sin embargo, se aprecia claramente que para algunos alumnos era la

primera vez que recibían enseñanza sobre el tema de los Sistemas Numéricos.

También un 5,88% de los estudiantes reveló que a pesar de considerar útiles

los contenidos matemáticos enseñados en las clases, señalan que necesitan más

tiempo para tomar apuntes y resolver los exámenes. Por consiguiente, destacan la

velocidad que tiene el docente en la ejecución de las sesiones de clase como un

elemento esencial en el logro de los aprendizajes, principalmente de los alumnos que

se sienten en desventaja académica con relación a sus demás compañeros.

Por último, un 5,88% de los estudiantes piensa que los contenidos que se

estudiaron durante las clases no son importantes, según este grupo creen que “no

sirven para nada” porque no entendieron nada. Podemos decir que es una opinión

bastante aislada de la mayoría de los compañeros.

De acuerdo con las respuestas suministradas por los alumnos apreciamos una

relativa “situación ideal” con relación a la actitud de los estudiantes hacia el proceso

didáctico ejecutado por la profesora de la asignatura Matemática General,

específicamente en cuanto a sus procedimientos de enseñanza, su disposición

orientadora y motivadora en el aula hacia los alumnos. La existencia de un clima

social dentro del aula que genera confianza, participación, colaboración, la relación

de comunicación fluida y bidireccional entre los actores que integran el proceso

205

didáctico, son otros de los elementos que los alumnos situaron como positivos, a

pesar de prevalecer el trabajo individual más que el grupal, además de la presencia de

una actitud de aceptación de los estudiantes hacia esta asignatura, dándole una gran

importancia y utilidad para su formación académica y futura labor profesional

docente. Debemos mencionar que estas respuestas obtenidas en las entrevistas no

garantizan en su totalidad la explicación de la realidad del estudio, en esta técnica de

recolección de datos existen dos inconvenientes a considerar: “el sesgo personal del

encuestado y la capacidad del encuestado para decir la verdad completa” (Bermejo,

B. 2003:67).

En cuanto a la actitud general de los alumnos, se verifica una participación y

colaboración de los estudiantes en el proceso de enseñanza-aprendizaje de los

contenidos matemáticos. Durante las clases predominó una mayoría considerable de

respuestas del tipo: “de participación y de colaboración porque a pesar de que no

participo mucho en otras clases, en Matemática sí lo hago porque me gusta mucho

este sub-proyecto”; “de participación y de colaboración, porque las estrategias que

utiliza despierta nuestro interés”; “de participación, porque mientras se desenvuelve

la clase, cualquiera puede opinar y expresar lo que piensa”.

La comunicación entre el profesor y el alumno es otro elemento que se

mantiene en condiciones óptimas. Se pudo observar que el grupo en general señaló

en las entrevistas la existencia de una comunicación efectiva de parte del docente

hacia ellos y una confianza notable entre los actores que forman parte del proceso

didáctico ejecutado en el aula de clase. Las siguientes respuestas así lo confirman:

“me parece que se ha creado una muy buena comunicación entre los alumnos y el

profesor, ya que cualquier cosa que el alumno no entienda, la profesora no tiene

ningún problema para explicarlo de nuevo”; “ha sido muy buena la relación, ya que

es una profesora que sabe explicar la materia y está abierta a responder cualquier

interrogante que tengamos los alumnos y siempre está dispuesta a prestarnos su

ayuda fuera del salón de clases”; “ha sido muy buena la comunicación porque nos

escucha y también aprende de nosotros”; “buena, ya que la profesora tiene un

lenguaje adecuado para dirigirse a nosotros”; “ha sido muy buena, la profesora

inspira confianza y esto ayuda a que tengamos buena comunicación, ya que no existe

ese temor a equivocarnos y ser rechazados en clases”.

En el clima social del aula también los alumnos destacaron elementos como

el trabajo en equipo entre profesor y alumnos, el estímulo del docente hacia el grupo

de estudiantes y la motivación del profesor hacia los contenidos que desarrolla en el

proceso de enseñanza-aprendizaje. Las siguientes respuestas dadas por la mayoría de

206

los alumnos pueden verificarlo: “el trabajo en equipo del profesor y alumnos, ya que

la profesora trata de interactuar con los alumnos mediante la participación de

ellos”; “estímulo del profesor hacia los alumnos. El trabajo en equipo no es

frecuente, hasta los momentos se ha trabajado individualmente”; “la motivación del

profesor hacia los contenidos, porque su manera de dar la clase y el dominio que

tiene sobre sus temas estimula e incentiva a dar lo mejor de nosotros mismos, siendo

partícipes del aprendizaje”; “lo que más he notado es la motivación del profesor

hacia los contenidos de enseñanza. En realidad creo que falta un poco de motivación

hacia aquellos alumnos que no tienen la capacidad de entendimiento”.

Con relación a la impresión general que tienen los alumnos de los contenidos

matemáticos desarrollados en la clase, pudimos observar una actitud de aceptación

de los alumnos hacia las matemáticas y la consideran como un área académica

importante que tiene gran utilidad para su formación profesional. Aunque algunos la

consideran una asignatura que origina dificultad para comprenderla, el rechazo del

grupo hacia las matemáticas se manifestó en menor grado. Las respuestas más

significativas que dieron los alumnos fueron las siguientes: “son muy útiles para mi

formación profesional, ya que, mientras mayor conocimiento posea, tendré un mejor

nivel profesional. Además aunque para mí fueron sencillos de entender, observé que

para otros les costó un poco comprenderlos”; “tienen gran significado, me

interesaron todos sus aspectos, fueron un poquito difíciles de entender porque son

nuevos para nosotros”; “los contenidos que se enseñaron fueron sencillos de

entender, lo que pasa es que, todo depende de la concentración del alumno y de

cómo el profesor explica la clase”; “son útiles para nuestra formación profesional,

ya que son conocimientos básicos”.

De acuerdo a las respuestas de las entrevistas, creemos que existen actitudes

que tienen que ver con las características cognitivas, sociales y afectivas del alumno

que les dificultan participar durante la clase, como la falta de comprensión de los

contenidos matemáticos, la preferencia por desarrollar las actividades de manera

individual, o miedo escénico o a equivocarse, sin embargo este último grupo no

expresó rechazo por las matemáticas.

207

IV.3. RESULTADOS DE LA TRIANGULACIÓN DE DATOS

En el proceso de recogida de datos utilizamos una serie de instrumentos que

nos proporcionaron datos tanto cuantitativos como cualitativos, los cuales han

resultado significativos para lograr una rigurosidad científica dentro de la

investigación. Cabe señalar que la gran diversidad de información aportada por los

actores del contexto de estudio a través de los cuestionarios de opinión, de los

registros obtenidos por los diarios de los alumnos y de las transcripciones de las

observaciones efectuadas por el investigador al proceso didáctico ejecutado en el

aula y a las diferentes manifestaciones de comportamiento de los que participaron en

el mismo, así como de las estrategias de aprendizaje que utilizaron los alumnos en las

pruebas de valoración de aprendizajes matemáticos, constituyen una amplia,

compleja y nutrida estructura de datos, lo que implica utilizar técnicas adecuadas

para evaluar toda la red conceptual generada.

Para garantizar un procedimiento de validación de estos resultados que nos

conduzca a la producción sistemática y coherente de nuevas teorías, presentamos la

técnica de la triangulación, tal como se explicó en el Capítulo II.

Con el apoyo de la matriz de triangulación, hemos comparado los diferentes

datos cualitativos para extraer las similitudes o discrepancias que los actores del

contexto de estudio han expresado a lo largo de todo el trabajo de campo y, de esta

manera, poder llegar a las conclusiones finales que precisen los logros alcanzados en

los objetivos formulados al inicio del estudio.

Presentamos a continuación las matrices utilizadas para la comparación de los

resultados obtenidos en los diferentes instrumentos aplicados durante la fase de

diagnóstico del trabajo de campo.

208

OBJETIVOS: Objetivo 1. Diagnosticar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los alumnos que inician el estudio de los contenidos de la Unidad de sistemas numéricos de la asignatura Matemática General. Objetivo 2. Diagnosticar los conocimientos matemáticos previos que poseen al iniciar el estudio de los contenidos de la unidad de sistemas numéricos de la asignatura Matemática General.

TÉCNICAS E INSTRUMENTOS

CUESTIONARIO OBSERVACIONES PRUEBAS DE VALORACIÓN

DE APRENDIZAJES MATEMÁTICOS

1. Capacidad de concentración durante el proceso de enseñanza-aprendizaje. 2. No hacen uso de las técnicas de estudio como los gráficos, esquemas y diagramas para lograr los aprendizajes. 3. Discriminación de la información y uso correcto de la expresión verbal-escrita de las ideas matemáticas. 4. Utilización de material escrito. 5. Dificultad en la comprensión del lenguaje en los materiales escritos. 6. Utilización del análisis de información para comprender los conceptos matemáticos. 7. Apoyo en situaciones más concretas y recursos visuales. 8. Utilización de los procesos de verificación para evaluar la solución de un problema. 9. Falta de un plan definido y sistemático en la resolución de problemas. 10. Aplicación de estrategias de intuición e inducción en la resolución de problemas.

1. Dudas y confusiones en las definiciones matemáticas. 2. Uso de Diagramas de Venn por el docente. 3. Intervenciones caracterizadas por ideas intuitivas, información incompleta, poco estructurada y con errores conceptuales. 4. La profesora sólo utiliza clases expositivas, la expresión escrita y simbólica. 5. Durante las clases se constató el poco uso de material escrito por los alumnos y profesor. 6. Conflictos en la interpretación del lenguaje matemático para representar las propiedades de la adición y multiplicación de los números racionales. 7. La profesora utiliza un lenguaje más cotidiano para comunicar la información. 8. No se observaron durante las clases. 9. Enfoque algorítmico-mecanicista con el cual los alumnos abordan la mayoría de los conceptos y propiedades matemáticas. 10. No se observaron.

1. Se destacó la deficiencia en la comprensión de conceptos matemáticos fundamentales. 2. No utilizaron esquemas, gráficos o diagramas. 3. No logran relacionar y discriminar entre los conceptos. 4. La mayoría no comprendió las expresiones simbólicas que se plantearon en los ejercicios propuestos. 5. Errores en la interpretación de los signos de agrupación, llaves, corchetes y paréntesis 6. Imprecisión para seleccionar datos e incógnitas y por la falta de estructuración de la información en los ejercicios y problemas. 7. Los problemas de aplicación a situaciones concretas no fueron resueltos. 8. En ningún ejercicio ni problema se utilizaron. 9. Situación crítica del grupo con respecto a las estrategias que aplican para resolver problemas, prácticamente no existen.

209

11. Necesidad del apoyo de las asesorías académicas del profesor o experto en el área. 12. Auto-evaluación de los alumnos en cuanto a sus debilidades y fortalezas. 13. No aplican estrategias personales creativas. 14. Dificultades en el uso eficaz del lenguaje matemático. 15. Aplicación parcial de los procesos formales del razonamiento deductivo matemático.

11. Dificultades para seleccionar el camino más apropiado para resolver los ejercicios de operaciones combinadas 12. Pocos alumnos hacen un análisis sobre las dificultades que tienen en las matemáticas. 13. No se observaron. 14. La mayoría no comprende los símbolos utilizados en las definiciones y propiedades matemáticas. 15. No se internaliza en procesos de pensamiento más complejos que expliquen y justifiquen de manera lógica y procedimental el método de resolución.

11. Dificultades para efectuar las operaciones combinadas en general, es decir, no discriminan entre los métodos para sumar, restar, multiplicar o dividir fracciones. 13. Poca creatividad en las estrategias para resolver ejercicios y problemas. 14. Existen dificultades en la comprensión del lenguaje simbólico matemático. 15. Cometen errores en el cálculo de potencias y transforman la resolución del ejercicio en expresiones más complicadas que la propuesta inicialmente.

Tabla 4.21. Matriz de triangulación de datos.

Podemos apreciar, de acuerdo a las categorías presentadas en los diferentes

instrumentos, la coherencia entre los resultados obtenidos en el cuestionario de

estrategias de aprendizaje, las clases observadas y las pruebas de valoración, aunque

también se observan algunas discrepancias entre las opiniones de los alumnos y los

análisis efectuados por el investigador de las sesiones de clase, de las estrategias de

aprendizaje y de los conocimientos previos en las pruebas de valoración.

El análisis comparativo que se deriva de los resultados obtenidos en los tres

instrumentos, nos reveló una situación crítica en el nivel de aprendizaje matemático

de los alumnos en los contenidos sobre sistemas numéricos y la inexistencia de

estrategias de aprendizaje que les faciliten organizar la información y la resolución

de problemas.

210

OBJETIVOS Objetivo 3. Describir el grado de actitud del alumno a través de su opinión y valoración hacia el proceso didáctico efectuado por el profesor y hacia los contenidos matemáticos. Objetivo 4. Determinar los niveles de participación y de comunicación que los alumnos tienen en la asignatura Matemática General, como aspectos básicos que constituyen el clima social de aula.

TÉCNICAS E INSTRUMENTOS

CUESTIONARIO ENTREVISTAS OBSERVACIONES 1. Los alumnos reflejan una actitud de aceptación hacia los contenidos de esta asignatura. 2. Pánico al cometer errores al intervenir en clase y al ser evaluados en Matemática. 3. La comunicación profesor-alumno se realiza sin discriminación hacia los alumnos. 4. Los alumnos están en desacuerdo con tener rechazo hacia las tareas o asignaciones que el profesor de Matemática distribuye durante la clase. 5. Hay en los alumnos una alta actitud hacia el trabajo en equipo y toma de decisiones para iniciar actividades de la asignatura. 6. Los alumnos manifiestan su perseverancia para obtener respuestas en ejercicios y problemas de Matemática. 7. La mayoría le da una gran importancia a las matemáticas, como una asignatura de mucha utilidad en su futura labor profesional y para el desarrollo de su razonamiento y pensamiento en general. 8. Consideran que el esfuerzo personal es fundamental para obtener éxito en las matemáticas independientemente del estilo de enseñanza que utilizan los

1. Los alumnos dicen tener una actitud de participación y de colaboración en Matemática porque les gusta mucho esta asignatura. 2. Existe confianza para intervenir y participar a pesar de las dificultades que tienen para comprender el lenguaje matemático que se escribe en la pizarra. 3. Se ha creado una muy buena comunicación entre alumnos y profesor. 4. No hay rechazo de los alumnos hacia las actividades de la asignatura. 5. El trabajo en equipo del profesor y alumnos, ya que, la profesora trata de interactuar con los alumnos mediante la participación de ellos. 6. No se observó esta situación. 7. Las consideran muy útiles para su formación profesional, ya que, mientras mayor conocimiento posea, tendré un mejor nivel profesional. Además aunque para mi fueron sencillos de entender, observé que para otros les costó un poco comprenderlos. 8. Los alumnos señalan que comprender los contenidos matemáticos depende de la concentración del alumno y de cómo el profesor explica la

1. Pasar a la pizarra y participar en la solución de ejercicios no parece ser del agrado de la mayoría de los alumnos. 2. Existe confianza dentro del aula y los alumnos no se sienten cohibidos de participar y formular las preguntas necesarias para aclarar dudas. 3. La comunicación de la información es bidireccional en el sentido que los alumnos tienen mucha libertad para intervenir en la resolución de ejercicios y formulación de preguntas. 4. El docente selecciona a los estudiantes de manera autocrática para resolver ejercicios en la pizarra. 5. Los alumnos intentan organizarse en pequeños grupos para resolver los ejercicios propuestos. 6. En la mayoría de los casos recurren a la ayuda de un compañero o a la de la profesora. 7. Se observó generalmente pasividad en la mayor parte del grupo hacia los temas tratados. 8. Se observó la poca motivación en la ejecución de asignaciones dentro del aula.

211

profesores. 9. Hay confianza ante el profesor para desenvolverse académicamente en el aula durante la clase. 10. El profesor de la asignatura Matemática General tiene un buen dominio de los contenidos, una organización adecuada de la información que presenta en la pizarra durante las clases y seguridad en el estilo de enseñanza. 11. No utiliza recursos para el aprendizaje no convencionales como láminas, videos, diapositivas, talleres, entre otros. 12. Profesor explica y describe adecuadamente las propiedades matemáticas que utiliza en la resolución de ejercicios y problemas. 13. Los alumnos prefieren las evaluaciones grupales.

clase. 9. El clima dentro del aula es de participación, existe la oportunidad para opinar y expresar lo que se piensa. 10. El profesor demuestra el dominio que tiene sobre sus temas, las estrategias que utiliza estimula e incentiva a los alumnos. 11. No se describe. 12. La profesora tiene un lenguaje adecuado para comunicar a los alumnos los conceptos. 13. Pocos alumnos señalaron que necesitaban más tiempo para contestar las pruebas.

9. La profesora facilita un clima de confianza y de interacción social con los alumnos. 10. Desarrollo de estrategias de aprendizaje convencionales o tradicionales apoyadas en la clase magistral del profesor y basada en textos. 11. La profesora utiliza la clase magistral, con un modo de enseñanza expositivo y de uso de texto. 12. Las clases siguen un enfoque algorítmico y calculista caracterizado por una secuencia concepto-definición-algoritmos-reglas-propiedades-ejemplos-ejercicios, incorporando un lenguaje más cotidiano y una explicación de conceptos intuitiva. 13. Solicitan a la profesora hacer las evaluaciones en grupo y no individuales.

Tabla 4.12. Matriz de triangulación de datos.

Dentro de las situaciones descritas en la matriz de triangulación se observa

una evidente contradicción entre los resultados de los instrumentos; existe una

relativa coherencia de opiniones expresadas por los alumnos en el cuestionario y la

entrevista, pero en las observaciones efectuadas se presentan situaciones contrarias;

en el caso de la actitud de los estudiantes hacia las matemáticas se pudo constatar una

aceptación, participación y colaboración, situación que se contradice cuando se

observa un rechazo en el momento de pasar a la pizarra a resolver los ejercicios

planteados por la profesora.

Sin embargo, por un lado, en la mayor parte de las categorías de análisis

existen similitudes que nos conducen a confirmar la coherencia entre los datos

recolectados en los tres instrumentos aplicados durante la fase diagnóstica de la

investigación para describir el grado de actitud de los alumnos ante el proceso

didáctico ejecutado por el profesor y los contenidos matemáticos desarrollados en la

212

asignatura y, por el otro, la comunicación y participación como elementos

fundamentales dentro del clima social del aula.

CAPÍTULO V: PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN DEL

PENSAMIENTO FORMAL EN EL APRENDIZAJE DE

LAS MATEMÁTICAS

215

CAPÍTULO V:

PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN DEL PENSAMIENTO

FORMAL EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

V.1. EL ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA EN LA DIDÁCTICA DE LA

MATEMÁTICA

El carácter formal de las ciencias matemáticas además de ser su mayor

fortaleza en la consolidación de su estructura conceptual, metodológica y

epistemológica, también ha representado uno de sus principales obstáculos desde el

punto de vista pedagógico, el cual se ha centrado sólo en la instrucción directa de

conocimientos del profesor hacia los alumnos en donde prevalecen la memorización,

la mecanización de procedimientos, la aplicación directa de algoritmos, el monopolio

de la información por parte del profesor, la pasividad en la investigación y

participación del alumno y los conflictos en el proceso de evaluación por su

naturaleza conductista, cuantificando los cambios de comportamiento en el

estudiante, para verificar el aprendizaje logrado, descrito en los objetivos de un

programa de enseñanza específico. “Visiblemente, enseñan algunas reglas,

“conceptos” exigiendo la memorización del tema y estas reglas se practican,

resolviendo ejercicios muy elementales, ayudando a la memorización de ciertos

algoritmos” (Szigeti, 2005:1).

Es evidente y consideramos “insólito pensar nuestra realidad sin las

matemáticas; ellas están presentes en nuestro cotidiano hacer y nuestros hijos las

aprenden a la par que empiezan a leer” (Freites, 2000:1). En consecuencia, en las

últimas tres décadas la investigación en el campo de la Psicología ha contribuido al

desarrollo de una ciencia nueva como la Didáctica de la Matemática, orientada al

estudio del proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación de esta disciplina, cuyo

resultado inmediato es un nuevo paradigma, conformado por elementos que cumplen

una función más integradora hacia el éxito del proceso didáctico, beneficiando

principalmente a los alumnos que son los actores más necesitados de nuevas

perspectivas en su formación académica de acuerdo a los avances tecnológicos y de

los cambios culturales que en los últimos años ha revolucionado nuestra sociedad. En

este escenario científico han surgido numerosas propuestas, modelos y programas

que enfocan diversas alternativas centradas en la importancia que tiene para el

alumno ‘aprender a aprender’, este término “significa desarrollar una serie de

habilidades metacognitivas que permitan al alumno reconocer y controlar las

216

situaciones de aprendizaje; y ello implica ayudarles a desarrollar su potencial de

aprendizaje, es decir, sus propias estrategias de aprendizaje”(Gómez-Granell,

1990:31), no obstante la función principal del docente es la de ‘enseñar a pensar’;

estas tesis, fundamentales en el logro de un aprendizaje significativo de la

matemáticas, generalmente destacan el papel del docente como un mediador y

orientador del proceso de enseñanza y aprendizaje, tal como lo señalan Ontoria et al.

(2001:51): “El profesor es un mediador entre la estructura conceptual de la

disciplina y la estructura cognitiva del estudiante. El profesor debe ser un facilitador

de los aprendizajes del alumno, una de cuyas funciones consiste en proporcionar al

alumno una selección de contenidos culturales significativos, además de unas

estrategias cognitivas que permitan la construcción eficaz de nuevas estructuras

cognitivas”.

En consecuencia, el alumno debe transformarse en una persona activa,

participativa e investigadora para lograr autonomía en su formación integral, que le

permita generar sus habilidades creativas, reflexivas y analíticas en el razonamiento

matemático para lograr el propósito central de ser constructor de sus propios

conocimientos científicos, por consiguiente, “el objetivo último del pedagogo o

conductor consiste en ayudar al estudiante al uso de la mente de forma

razonablemente crítica” (Genovard, 1990: 12).

De acuerdo a los planteamientos que hemos señalado realizaremos un breve

análisis teórico para fundamentar nuestra propuesta didáctica para la enseñanza de la

Matemática y así poder definir los objetivos, describir los pilares en cuales descansa,

explicar su secuencia didáctica y los lineamientos que caracterizan la estructura del

material didáctico utilizado en las sesiones de clase.

217

V.2. OBJETIVOS DEL PROGRAMA

1) Aplicar de manera práctica estrategias que fomenten en el alumno un

aprendizaje significativo y el pensamiento creativo en la resolución de

problemas de su interés, para generar un proceso didáctico que

consolide la construcción progresiva, reflexiva y científica del

conocimiento matemático, utilizando los aportes teóricos del

paradigma constructivista.

El Programa de autorregulación tiene por directriz principal diseñar y aplicar

estrategias de aprendizaje para que el alumno desarrolle su autonomía en la

construcción y producción de los conceptos, definiciones y análisis formal del

conocimiento matemático, proceso que consideramos debe iniciarse desde la

presentación intuitiva de la información (preconcepciones) hasta la demostración

formal de teoremas y su respectiva aplicación práctica, por lo que la diversidad de

estrategias que ha generado el paradigma constructivista se hace de vital importancia

para lograr un aprendizaje significativo en el alumno; además se deben incorporar

problemas que representen interés y significado social para despertar la motivación

necesaria para crear procedimientos, métodos, técnicas, recursos y estrategias para su

resolución.

2) Orientar al docente en los diferentes procedimientos, recursos y

actividades de enseñanza y evaluación, que constituyen el proceso

didáctico constructivista de las matemáticas para consolidar su

formación psicopedagógica.

La experiencia docente revela claramente que la puesta en práctica de un

programa con nuevas directrices origina conflictos en la comunidad de profesores

que se guían por los paradigmas tradicionales que se utilizan en la enseñanza,

aprendizaje y evaluación; sin embargo queremos presentar el Programa de

autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas

como una propuesta didáctica que oriente a través de sus lineamientos al profesor de

Matemática en el diseño, planificación y aplicación de una gran variedad de

procedimientos, actividades y recursos para la enseñanza y evaluación de esta

disciplina tan necesitada de cambios radicales que garanticen el éxito de los alumnos

en la misma.

Aunque el programa está centrado en un bloque de contenido en particular,

como es el área de pensamiento numérico, este se puede adaptar fácilmente después

218

de aplicar un diagnóstico apropiado al contexto socio-educativo al que pertenecen los

estudiantes y profesores. Por lo tanto, queremos hacer hincapié en su carácter

flexible y dinámico producto de su enfoque psicopedagógico.

3) Fomentar la comunicación para lograr la participación, debate,

reflexión, y sugerencias que aporten los actores que interactúan en el

proceso didáctico, dentro de un clima social del aula abierto,

dinámico y flexible que contribuya a un cambio de actitud del alumno

hacia la Matemática.

Uno de los problemas cotidianos que representa un gran desafío para el

proceso didáctico de las matemáticas y por ende para el profesor, es la actitud

negativa de la gran mayoría de alumnos hacia esta disciplina, causada principalmente

por el formalismo y rigurosidad que domina su proceso de enseñanza, aprendizaje y

evaluación; por estas razones,“quizás el aburrimiento de los alumnos se deba a que

estos piensan que las matemáticas es un conjunto de reglas ininteligibles que se

deben aprender debido a la insistencia de sus maestros” (Durán, 2005:3); en

consecuencia, el clima social para aprender dentro del aula se torna hostil para el

alumno y por lo tanto su participación y comunicación se ven anuladas.

Nuestra propuesta está dirigida también a este elemento vertebrador del

proceso didáctico como es el de garantizar un estado adecuado del clima social del

aula en donde los alumnos puedan generar debates y reflexiones, no sólo sobre el

conocimiento aprendido, sino también sobre las estrategias, procedimientos,

actividades y recursos que contribuyan al mejor desempeño del grupo de alumnos y

de su profesor. La oportunidad que se le da al alumno para comunicarse con sus

compañeros y su profesor permiten aportar sugerencias trascendentales en la

consolidación de un verdadero grupo humano consciente de sus necesidades,

derechos y deberes desde el punto de vista académico.

219

V.3. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DEL PROGRAMA

V.3.1. Fundamentos epistemológicos y psicológicos

El proceso de razonamiento matemático está dominado por factores que han

sido motivo de preocupación por una cantidad considerable de investigadores

pertenecientes, no sólo al área pedagógica, sino también al de las matemáticas

propiamente dicha como ciencia formal y aplicada. El pensamiento matemático ha

esquematizado la forma de proceder de muchos profesores desde el punto de vista

didáctico, pues, las corrientes filosóficas y epistemológicas que han implantado las

directrices fundamentales en el proceso de enseñanza-aprendizaje han sido dirigidas

por tres escuelas filosóficas clásicas de la Matemática: “la escuela logicista de Rusell

(1872-1970), la escuela formalista de Hilbert (1862-1943) y la escuela intuicionista

de Brouwer (1881-1966)” (Beyer, 2001:237).

Si bien es cierto que la última postura epistemológica de Brouwer ha ejercido

influencia en el surgimiento de nuevos paradigmas menos rigurosos, la permanencia

del enfoque absolutista en la enseñanza de las matemáticas se ha mantenido en un

grado considerable, hasta el punto en el cual algunas posturas llegan a expresar que

“la imagen popular negativa de las matemáticas tiene que ver con las ideas

desarrolladas por una filosofía que es denominada absolutista” (Ernest, 2000:13);

desde esta perspectiva, las matemáticas son vistas como un cuerpo de conocimientos

riguroso, objetivo e indiscutible, “la teoría tradicional de la enseñanza y el

aprendizaje de las matemáticas, ha considerado esta disciplina como un cuerpo ya

elaborado de conocimientos, que sólo hace falta transmitir: la enseñanza es

transmisión y el aprendizaje es incorporación” (Moreno & Sacristán, 1996:277).

Ante la perspectiva formalista, absolutista y rigurosa que obstaculiza toda

posibilidad de creación y producción intelectual en las matemáticas, ya que son

vistas como un cuerpo sólido de conocimientos construidos, se debe enfocar los

procesos que han originado su estructura axiomática-deductiva, tales como la

experimentación, la intuición, el ensayo-error, la aproximación, la estimación, la

evolución histórica de la Matemática y el análisis de situaciones concretas o

cotidianas, para crear un proceso didáctico dinámico acorde con las exigencias de su

contexto social y avances tecnológicos a los cuales nos enfrentamos docentes y

alumnos. De esta forma, el alumno vive la misma experiencia de un matemático en

estado de reflexión, producción y creación de conocimiento, “enfrentado con la

realidad cuya matematización ha dado origen a las nociones y conceptos que se

desean abordar, conocer el contexto histórico en el cual inicialmente la situación fue

220

formulada, conocer la historia del problema, su ubicación socio-cultural”

(González, 1994:51). En resumen, con la propuesta didáctica impulsamos una

didáctica centrada más en los procesos del pensamiento matemático que en el

producto o los contenidos, claro está sin restarle importancia a estos últimos.

Velásquez (2000) expone tres grandes líneas bajo las cuales deberían dirigirse

las matemáticas del siglo XXI, en primer lugar tomar en cuenta el carácter

multidisciplinar de esta ciencia para destacar que todo lo que nos rodea en nuestra

sociedad y cultura son elementos matematizables, en segundo lugar está la

innovación de los currícula para transformar los contenidos educativos a la luz de los

adelantos tecnológicos y nuevos campos del saber, y en tercer lugar y como elemento

que debemos considerar de mayor importancia, está la recuperación del lenguaje

matemático por ser este el segundo código escrito que los niños aprenden a dominar

durante su vida escolar.

Como se puede apreciar es una propuesta que se quiere dirigir hacia la

humanización de las matemáticas para tomar partida de sus aplicaciones sociales, “el

nuevo concepto asocia a las matemáticas con los conjuntos de las prácticas sociales,

cada uno con su historia, con sus personas, con sus instituciones y sus situaciones

sociales, formas simbólicas, propósitos y relaciones de poder” (Velásquez, 2000:14).

La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas actuales debe obedecer a

modelos integradores y la Didáctica tiene que dirigirse hacia los fundamentos

filosóficos, psicológicos y sociológicos para responder a cuatro grandes preguntas:

¿por qué enseñar matemática?, ¿cómo enseñarla?, ¿dónde enseñarla? y ¿a quién va

dirigida esta enseñanza? (Godino, 1991). De esta manera se podrá cristalizar un

modelo didáctico óptimo que garantice la construcción de un aprendizaje

significativo por parte de los alumnos. Debe destacar la importancia que tiene la

Matemática en nuestra vida cotidiana, incorporar progresivamente estrategias,

procedimientos, actividades, técnicas y recursos a la vanguardia de las aportaciones

psicopedagógicas y las características particulares del contexto social y, lo que es

más importante, establecer una relación social y académica más estrecha con los

alumnos para aprender más de ellos.

Esto nos llevaría a centrar nuestra propuesta didáctica en el paradigma

falibilista que presenta a las matemáticas como algo humano, corregible, enmarcado

históricamente y variable, desprendiéndonos de la antigua posición filosófica

formalista, tal como lo plantea Velásquez (2000:5): “Siendo probablemente la

Matemática el más bello, el más exacto y riguroso constructo humano, está sujeta

221

como el resto de los conocimientos científicos a las teorías filosóficas del falibilismo

(Pierce), de la falsabilidad (Popper) y la tesis de los paradigmas de Kuhn

(Paradigma socio-psicológico) y de Lakatos (paradigma normativo o generador de

programas de investigación racionales)”.

Este enfoque que proponemos está relacionado también con el paradigma

psico-socio-cultural que expone Gutiérrez (1988), cuyo propósito es el de contribuir

a que el alumno tenga una noción sistémica del universo, cree las bases para

desarrollar un pensamiento lógico acorde con la época actual, forme la capacidad de

establecer y producir cambios trascendentales, así como una actitud crítica, reflexiva

que contribuya a mejorar la realidad.

El Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal que

implementaremos en esta investigación, es una propuesta didáctica que se enfoca en

cómo enseñar estrategias de aprendizaje al estudiante para que logre un proceso de

construcción y reconstrucción del conocimiento matemático. Por consiguiente,

ofrecerá un apoyo y orientación al docente de la asignatura Matemática General en

su labor pedagógica y al alumno en el logro de un aprendizaje matemático

significativo. Cabe señalar que estas estrategias de aprendizaje se relacionan con

habilidades fundamentales que integran todo aprendizaje matemático, como “la

flexibilidad del pensamiento, la reversibilidad del pensamiento, la memoria

generalizada, la clasificación completa y la imaginación espacial” (Valiente,

2000:29), las cuales según el mismo autor deben estimular la formación del

pensamiento reflexivo, crítico y creativo.

La flexibilidad del pensamiento es una habilidad matemática que garantiza

diferentes maneras de proceder en la resolución de problemas de la manera más

efectiva, racional y económica posible, constituyéndose así en la esencia del

pensamiento lógico-formal de las matemáticas.

La reversibilidad del pensamiento se origina básicamente en las ideas

psicogéneticas de Piaget, esta habilidad marca la verdadera manifestación de la

inteligencia humana, es un proceso retrospectivo que se hace del razonamiento hecho

a situaciones problemáticas, lo que implica no sólo resolverla sino también plantear

problemas semejantes, estableciendo con ello secuencias de pasos progresivos y

regresivos en la construcción de procesos mentales directos e inversos.

La memoria generalizada consiste en la aplicación directa e indirecta de los

conceptos, definiciones, propiedades, teoremas a otros contextos matemáticos.

222

Implica también establecer relaciones matemáticas y cómo estas se integran unas con

otras, utilizando para ello formas sintéticas de razonamiento matemático.

La clasificación completa es una habilidad que consiste en establecer

clasificaciones de objetos matemáticos de forma correcta a partir de sus definiciones,

ejemplos y contraejemplos o propiedades comunes; se puede considerar como la más

sencilla y fácil de aprender desde los primeros años de escolaridad en los niños.

Por último, la imaginación espacial que complementa la estructura integral

del pensamiento matemático, como su nombre indica, se relaciona con las diferentes

formas de expresar el razonamiento geométrico desde su perspectiva gráfica hasta su

enfoque analítico y algebraico.

Nuestra propuesta didáctica se ha elaborado siguiendo las aportaciones de

Alonso (1994), Llinares (1994), González (1995), Nieto (1997), Miranda et al.

(1998), de Guzmán (1999), Velásquez (2000) y Valiente (2000). Estos especialistas

en Didáctica General y Didáctica de las Matemáticas unifican criterios para

consolidar una postura en el proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación de los

conocimientos de esta ciencia, tomando como punto de partida las aportaciones que

el constructivismo psicogenético y sociocultural han realizado a la Didáctica de la

Matemáticas, cuyos aspectos fundamentales según Carretero (1987:153) son

explicados en los postulados siguientes:

- “El aprendizaje es un proceso constructivo interno.

- El grado de aprendizaje depende del desarrollo cognitivo del individuo.

- El aprendizaje consiste en un proceso de reorganización interna.

- La estrategia más eficaz para lograr el aprendizaje es la creación de

contradicciones o conflictos cognitivos.

- El aprendizaje se favorece enormemente mediante la interacción social”.

Otro concepto en el que se fundamenta la propuesta didáctica es el de la

Etnomatemática, término con el cual se describe la relación de todos los conceptos

matemáticos con los distintos grupos culturales, es decir, con las particulares formas

que tienen sus miembros de pensar, razonar y usar sus propios códigos, símbolos y

mitos; con éstos interactúan en función de su medio o contexto social, lo cual implica

adaptar los programas de enseñanza a las características particulares de cada grupo,

escuela, centro de enseñanza o región geográfica, “las necesidades y las capacidades

no son las mismas para todos los alumnos, ni para los alumnos de un mismo curso,

223

ni mucho menos para los alumnos de distintos colegios, lugares o sociedades”

(Santaló et al., 1994:70).

Por otro lado, el aprendizaje además de ser un hecho psicológico, es también

un proceso social dinámico y complejo, cuyos participantes comparten no sólo

significados, sino también una serie de características culturales, físicas y biológicas

estableciendo una heterogeneidad en el aula de clase. Por lo tanto, la enseñanza es

sustancialmente social dando “origen a una serie de intercambios y negociaciones

que se estructuran para dar lugar a una red compleja de interrelaciones profesor-

alumnos; estos intercambios están mediados por un conjunto de significados los que,

en el caso del docente, constituyen el paradigma que guía su práctica pedagógica”

(González, 1994:13).

Nuestro Programa de enseñanza de estrategias de aprendizaje centrado en la

autorregulación del pensamiento formal, es una propuesta didáctica que toma los

conceptos de autorregulación y metacognición como vías eficaces para desarrollar el

pensamiento formal y mejorar las habilidades cognitivas responsables del

aprendizaje matemático. Una definición de la metacognición adoptada por los

investigadores cognitivos es “la toma de conciencia acerca de los mecanismos,

procesos, procedimientos y estrategias intelectuales que activamos cuando

resolvemos problemas, es decir, es el aumento de nuestro conocimiento acerca de

nuestros propios procesos de pensamiento” (González, 1995:59) o de una manera

más sencilla “podemos decir que, básicamente se refiere a la conciencia que tiene el

alumno de cuáles son las estrategias disponibles que le pueden ayudar en el

aprendizaje” (Carbonero & Crespo, 1993:31).

El concepto de autorregulación se “refiere a todas aquellas actividades

relacionadas con el control ejecutivo cuando se hace frente a una tarea cognitiva,

como son las tareas de planeación, predicción, monitoreo, revisión continua,

evaluación, etc., actividades que un aprendiz realiza cuando quiere aprender o

solucionar un problema” (Díaz & Hernández, 2002:246). De esta manera la

metacognición y la autorregulación se constituyen en actividades complementarias

para garantizar un mejor desempeño del alumno no sólo en las matemáticas sino

también en las demás ciencias, puesto que la deficiencia de los elementos que la

integran, contribuyen a una considerable desmotivación por parte del alumno para

con el aprendizaje (Kuhl, 1987). Por lo tanto, es de vital importancia “mejorar sus

posibilidades de éxito mediante la enseñanza de estrategias cognitivas y de solución

de problemas” (Alonso, 1994:37) y, de esta forma, activar los procesos

metacognitivos y autorreguladores del pensamiento formal en el aprendizaje de las

224

matemáticas, “pues según el enfoque aportado por las teorías centradas en los

procesos metacognitivos señalan que lo específico de la inteligencia humana es

precisamente la capacidad de autorregular el propio aprendizaje” (Carbonero &

Crespo, 1993:31). En el siguiente gráfico se describen las diferentes actividades de la

metacognición y la autorregulación:

Gráfico 5.1. Actividades de la metacognición. Basado en Díaz & Hernández (2002:246).

Gráfico 5.2. Actividades de la autorregulación. Basado en Díaz & Hernández (2002:246).

Autorregulación

Es la regulación autónoma del conocimiento a

través de:

La planificación y aplicación del conocimiento

El monitoreo y la supervisión

(regulación,seguimiento y comprobación)

Evaluación (relacionada con categorías de personas, tarea y

estrategias)

Metacognición

Es el conocimiento de la cognición,

tomando en cuenta:

El Conocimiento del qué

La Noción del cómo El Conocimiento del cuándo y dónde

Las Variables o categorías de persona, tarea y estratetegia

Las Experiencias metacognitivas

225

Así, la propuesta didáctica de enseñanza estará integrada por estrategias de

aprendizaje centradas en la autorregulación del pensamiento formal, las cuales son

“procedimientos (conjunto de pasos, operaciones o habilidades) que un aprendiz

emplea en forma consciente, controlada e intencional como instrumentos flexibles

para aprender significativamente y solucionar problemas” (Díaz & Hernández,

2002:234). De manera semejante se utiliza el término de estrategias cognoscitivas

para referirse a “procesos de control internos que pueden usar los aprendices para

supervisar y regular su aprendizaje y solución de problemas” (Good & Brophy,

1995:118).

De igual manera, la estrategia cognitiva es definida como “la forma de

organizar las acciones, usando las capacidades intelectuales propias, en función de

las demandas de la tarea, para guiar los procesos de pensamiento, hacia la solución

de un problema” (Ríos, 2004:141). Como se puede apreciar las estrategias de

aprendizaje, cognoscitivas y cognitivas, se consideran como sinónimos dentro del

proceso didáctico, por lo tanto utilizaremos el término estrategias de aprendizaje para

evitar ambigüedades dentro de la propuesta didáctica.

Para la ejecución de las estrategias de aprendizaje es necesario que se

efectúen paralelamente una serie de procesos cognitivos o recursos en los que se

debe apoyar el aprendiz. Díaz & Hernández (2002:235) los describen de la forma

siguiente:

- Procesos cognitivos básicos: Son todas aquellas operaciones y procesos

involucrados en el procesamiento de la información, como atención,

percepción, codificación, almacenaje y memorización, recuperación,

etcétera.

- Conocimientos conceptuales específicos: Se refieren al bagaje de hechos,

conceptos y principios que poseemos sobre distintos temas de

conocimiento.

- Conocimiento estratégico: Está relacionado con las estrategias de

aprendizaje propiamente dicha.

- Conocimiento metacognitivo: Es el tipo de conocimiento que poseemos

sobre el qué y cómo lo sabemos, y sobre nuestros procesos y operaciones

cognitivas cuando aprendemos.

226

Ríos (2004) realiza una explicación un poco más detallada de los procesos

cognitivos básicos, los cuales son necesarios para lograr comprender la forma en que

se presentan y aplican las estrategias de aprendizaje. Estos procesos cognitivos son:

- La observación: Este proceso cognitivo a pesar de ser el más sencillo, se

relaciona con la habilidad de percepción de las situaciones problema que

se presentan y proporciona la base para determinar atributos, cualidades,

propiedades o características del aspecto a estudiar. Por ello se

recomienda, en el proceso de enseñanza-aprendizaje, actividades que

incrementen en el alumno su capacidad de observación y percepción

formulando preguntas que le guíen en la comprensión del lenguaje escrito

y presentándole figuras, diagramas y gráficas para aclarar la información.

- La comparación: Este proceso cognitivo se relaciona muchas veces con la

evaluación o juicios que se establecen entre hechos, fenómenos, objetos

etc.; los cuadros y/o tablas son una ayuda eficaz en el momento de

efectuar esta operación de comparación. Por ejemplo, se puede elaborar

un cuadro con los pasos que se siguieron en la resolución de un problema

y compararlo con otro que está por resolver para encontrar semejanzas y

diferencias entre ambos.

- La clasificación: Es una operación que consiste en ordenar objetos de

acuerdo a una propiedad común; aunque este proceso cognitivo básico no

parece complicado, la mayoría de los alumnos presentan dificultad para

efectuarlo. Para lograr su consolidación se pueden realizar esquemas,

cuadros y diagramas de flujo para ordenar los conceptos matemáticos en

función de sus propiedades.

- Definición: Es un proceso que consiste en precisar el concepto claro,

breve y completo de lo que significa una palabra; es importante señalar,

que esto requiere del dominio efectivo del lenguaje verbal-escrito y de la

simbología utilizada en la Matemática, por lo que representa un proceso

más elaborado.

- Análisis-síntesis: El análisis es entendido como un proceso de separar en

partes más simples un todo (fenómeno, problema o texto), para efectuar

un estudio más exhaustivo del mismo; por su parte, la síntesis consiste en

expresar los elementos o aspectos más importantes analizados de manera

227

concreta y sucinta, de tal manera que el todo se pueda entender de manera

holística con el mínimo de información posible.

- Memorización: Aunque la memorización se ha criticado por considerarla

una actividad de aprendizaje conductista, “es la base fundamental para el

aprendizaje y el pensamiento por cuanto nos permite almacenar y

recuperar conocimientos acumulados, evocar experiencias vividas y

retener lo aprendido para sacarlo a la luz cuando sea necesario” (Ríos

2004:61). Es necesario que se utilicen estrategias para ayudar a consolidar

en el alumno la memorización, estas pueden ser el uso de esquemas,

parafrasear la información de los textos o realizar resúmenes de los

documentos estudiados.

- Inferencia. Es la operación cognitiva que consiste en establecer

conclusiones a partir de información o datos conocidos, en este proceso

cognitivo descansa el razonamiento deductivo del pensamiento formal.

- Seguir instrucciones. Este proceso implica precisar términos, secuencias,

recursos y metas y, por otro lado, traducir, utilizar y aplicar las

instrucciones verbales o gráficas en acciones físicas o en operaciones

intelectuales.

Las estrategias de aprendizaje también se clasifican de acuerdo a criterios

bien establecidos. Siguiendo a Díaz & Hernández (2002), se puede observar

estrategias según el tipo de proceso cognitivo y finalidad perseguidos, estas son:

- Las estrategias de recirculación de la información: Son las más

primitivas utilizadas por un aprendiz y consisten en la repetición

constante de la información para lograr memorizarla.

- Las estrategias de elaboración: Consisten en relacionar e integrar la

nueva información con los conocimientos previos pertinentes que tiene el

aprendiz.

- Estrategias de organización de la información: Permiten hacer una

reorganización constructiva de la información que se desea aprender. El

objetivo de estas estrategias es la de utilizar la información de manera

efectiva y eficiente.

228

Otro grupo de estrategias se han establecido atendiendo a su efectividad para

determinados materiales de aprendizaje. Así tenemos las estrategias de aprendizaje

para:

- Contenidos declarativos de tipo factual (términos, listas o pares de

términos):

● Estrategias de repetición simple, parcial o acumulativa: Para aprender

términos en un orden establecido.

● Organización categorial: Útil para aprender series de nombres en un

orden cualquiera.

● Elaboración verbal y visual: Útil para aprender palabras relacionadas

en un contexto particular (nombre de ciudades, países, etc.).

- Las estrategias de aprendizaje para contenidos declarativos complejos

(conceptos, proposiciones, explicaciones), son las que requieren un

esfuerzo cognitivo más exigente; se clasifican de la forma siguiente:

● Representación gráfica de redes conceptuales. Se aplican para integrar

la información de un contexto de manera coherente y particular.

● Resumir textos: Se utiliza para expresar de manera ordenada y

sintética la información más importante de un texto.

● Elaboración conceptual: Es fundamental en la comprensión de nuevos

conocimientos por parte del aprendiz, quien debe interpretar

definiciones.

● Hacer anotaciones y formular preguntas: Se utiliza en la lectura de

textos para facilitar el recuerdo de puntos concretos y sus posibles

implicaciones.

De manera homóloga Good & Brophy (1995:279), citan a Weinstein y Mayer

(1986), quienes clasifican e identifican cinco tipos de estrategias de aprendizaje:

- Las estrategias de ensayo: Implican la repetición activa (diciendo,

escribiendo) de un material o enfocarse en partes claves de él, por

ejemplo: repetir términos en voz alta, copiar el material, tomar notas

literales y subrayar partes importantes.

229

- Las estrategias de elaboración: Se usan para relacionar y establecer

conexiones entre los nuevos aprendizajes y los que están consolidados,

por ejemplo: parafrasear, resumir, crear analogías, comentar sobre el

material estudiado, responder preguntas.

- Las estrategias organizacionales: Consisten en estructurar el material de

estudio dividiéndolo en partes importantes de análisis y estableciendo

jerarquías de aprendizaje.

- Las estrategias de monitoreo de la comprensión: Se utilizan para tomar

conciencia del avance del aprendizaje logrado y del éxito de las destrezas

que se han aplicado para ello. Dentro de estas estrategias se destacan el

uso de preguntas o declaraciones de objetos para guiar el estudio,

establecer sub-objetivos, evaluar el progreso, auto-cuestionarse.

- Las estrategias afectivas: Se refieren al nivel de motivación que se debe

mantener, enfocar la atención, mantener la concentración, manejar y/o

controlar la ansiedad para el desempeño de las actividades de aprendizaje

y distribuir el tiempo de manera efectiva.

V.3.2. Pilares que configuran el Programa

Consideramos necesario exponer las ideas fundamentales que constituyen

nuestra propuesta didáctica describiendo los pilares esenciales que forman parte de la

configuración didáctica del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-

formal en el aprendizaje de las matemáticas, los cuales representan elementos que se

deben tener en cuenta para lograr diseñar, elaborar y aplicar estrategias para activar

los procesos mentales y cognitivos que potencien un verdadero aprendizaje

significativo.

En función de las aportaciones didácticas del paradigma constructivista, con

relación a las estrategias de aprendizaje que el alumno debe activar y poner en

práctica para lograr autorregular su pensamiento lógico-formal y lograr un

aprendizaje significativo en las matemáticas, es fundamental que el docente genere

un proceso orientador basado en los pilares que se describen en siguientes epígrafes.

230

V.3.2.1. Comprensión y aplicación progresivas del lenguaje utilizado en

el proceso didáctico de las matemáticas

El principal medio para lograr apropiarnos del conocimiento es la

comunicación con nuestros semejantes a través de sus formas de propagación y de

los medios que utiliza; en consecuencia, la organización eficiente de la información

gráfica, verbal, escrita, simbólica-abstracta, destinada a superar problemas en la

recogida y elaboración de la información matemática requerida en la comprensión de

conceptos y definiciones fundamentales en la resolución de ejercicios y problemas,

adquiere un carácter trascendental. Este aspecto ha sido señalado como uno de los

más importantes para favorecer el acceso al razonamiento matemático. Según

Pluvinage (1996), por un lado se debe enriquecer el uso del lenguaje especializado,

tecnológico o científico, el cual tiene un nivel elevado de organización y considera a

la vez objetos y proposiciones y, por otro lado, se debe usar sistemáticamente los

diferentes sistemas semióticos que permiten expresar la lengua natural, fórmulas,

figuras, gráficas, tablas y matrices.

Cabe destacar que el dominio del lenguaje matemático es un proceso muy

complejo que debe comenzar progresivamente, superando la comprensión y

aplicación de la expresión verbal, escrita y gráfica, y la utilización de las nociones

conceptuales del conocimiento matemático; por ello, los obstáculos se hacen

evidentes en los estudiantes, principalmente en la comprensión del lenguaje

simbólico. Según Teberosky (1990:29) “se requiere una cierta asistencia técnica por

parte del maestro para combinar los procesos, no inversos sino complementarios, de

lectura y escritura. No se puede concebir la capacidad de producir sin la capacidad

de comprender textos”. Las debilidades más comunes en los procesos cognitivos

relativos a este aspecto, según Alonso (1994) son los siguientes:

En la recolección de información:

- Conducta exploratoria asistemática, implanificada e impulsiva.

- Inexistencia de la necesidad de precisión en la reunión de datos.

- Percepción superficial, borrosa e inestable.

- Falta de desarrollo en los sistemas de referencia necesarios para la

organización del espacio y orientación temporal.

- Carencia de conceptos verbales que originan un déficit en la

discriminación, codificación y almacenamiento de la información.

- Incapacidad para prestar atención a diferentes fuentes de información.

231

En la elaboración de la información:

- Falta de espontaneidad para realizar comparaciones.

- No existe reconocimiento espontáneo de lo que es un problema y su

respectiva solución.

- Inexistencia de los indicios relevantes para la solución de un problema.

- No se cuantifica la información.

- Limitaciones en la categorización de la información.

- Ausencia del pensamiento simbólico sobre los objetos matemáticos.

En la comunicación de la información:

- La forma de responder y ejecutar las tareas es impulsiva e implanificada.

- Carencia de elementos del lenguaje necesarios para comunicar lo que se

desea decir.

- Poca necesidad de precisión para comunicar ideas.

- Los modos de comunicación suelen ser egocéntricos.

- Prevalece el uso de la estrategia de ensayo y error para responder

preguntas.

Para lograr orientar al alumno y facilitarle las actividades de recolección,

elaboración y comunicación de la información es necesario enseñarle a utilizar las

técnicas sencillas para organizar la información, tales como: el resumen, el

subrayado para identificar las ideas principales, palabras clave, conceptos,

definiciones, propiedades y fórmulas de los contenidos desarrollados durante la

clase; esto se aplica igualmente en textos y materiales escritos que forman parte de

los recursos didácticos que se utilicen en el desarrollo del proceso didáctico.

También es muy útil la presentación por parte del profesor de esquemas y

diagramas de flujo para sintetizar la información del tema y guiar al alumno en la

elaboración de los mismos, de tal manera que logre aplicarlo habitualmente como

una técnica de estudio personal que le garantice su éxito en el aprendizaje

matemático. De manera similar, se debe poner énfasis dentro del proceso didáctico

para lograr presentar la información matemática en la presentación de imágenes,

fotografías, dibujos y gráficas; una película o vídeo relacionado con la importancia

histórica y aplicación cotidiana de las matemáticas puede resultar una actividad

motivadora que fomente en el alumno el verdadero significado lógico y psicológico

del tema tratado en la clase.

232

Además, con la ayuda de las imágenes, fotos, tablas y gráficas que

observamos cotidianamente en los diferentes medios de comunicación masivos,

podemos explicar la importancia de las matemáticas para el mundo real y el contexto

social al que pertenecen los alumnos, garantizando con ello la comprensión más

directa de la información de manera concreta sin tener que recurrir en primera

instancia al lenguaje matemático abstracto, en el que generalmente y

tradicionalmente se centra el estilo pedagógico de la mayoría de los profesores, no

obstante “la estructura cognitiva asociada con determinado concepto matemático

incluye todas las imágenes mentales, representaciones visuales, experiencias e

impresiones, así como propiedades y procesos asociados” (Campillo & Pérez.

2002:51-52).

La elaboración de mapas conceptuales, es otra técnica que se considera

innovadora para orientar y guiar la práctica docente y al alumno en la organización

de la información y contenidos de la clase, “los mapas conceptuales dirigen la

atención, tanto del estudiante como del profesor, sobre el reducido número de ideas

importantes en las que deben concentrarse en cualquier tarea específica de

aprendizaje” (Novack & Gowin, 1988:33). Esta técnica requiere de constancia y

esfuerzo adicional de profesores y alumnos para perfeccionarla y aplicarla

permanentemente en las sesiones de clase. Los mapas conceptuales son un recurso

esquemático utilizados para relacionar significados conceptuales, lo cual representa

una considerable ventaja para estructurar de manera sistemática, jerárquica y

progresiva las ideas fundamentales del conocimiento, por lo tanto, constituyen una

poderosa estrategia para lograr un aprendizaje significativo en el alumno; en

consecuencia, no sólo debe presentarse en el pizarrón sino también en los materiales

escritos que el profesor elabore como guía instruccional para los alumnos.

Es fundamental que el profesor enseñe y dirija a los estudiantes en la

comprensión, elaboración y puesta en práctica de los mapas conceptuales, puesto que

su sola presentación por parte del docente no lograría en el alumno una posición

activa en su aprendizaje, “los mapas conceptuales ayudan al que aprende a hacer

más evidentes los conceptos clave o las proposiciones que van a aprender, a la vez

que sugieren conexiones entre los nuevos conocimientos y lo que ya sabe el alumno”

(Novack & Gowin, 1988:41); es decir, lo que tratamos de lograr es operacionalizar el

proceso de aprender a aprender en los alumnos de Matemática, para que desarrollen

su pensamiento crítico, reflexivo y creativo.

233

V.3.2.2. Aplicación del razonamiento inductivo para activar las nociones


conceptualización científica y formal del conocimiento matemático

Mediante el intuicionismo del razonamiento inductivo muchos matemáticos

lograron cristalizar las grandes teorías y leyes que forman parte del constructo y

sistema axiomático, no sólo de las matemáticas sino también el fundamento

científico sobre el cual descansan todas las disciplinas, proceso que se ha

desarrollado paralelamente con la historia de la humanidad; no obstante, si

enfocamos la relación del nuevo aprendizaje con ejemplos cotidianos, podemos

generar situaciones concretas que orienten y ayuden al alumno a comprender

nociones sencillas de conceptos, elementos, definiciones y propiedades del

conocimiento matemático. Este pilar debe configurar en gran medida todo proceso

didáctico, para que el estudiante logre consolidar sus procesos cognitivos que todavía

se encuentran en fase de desarrollo y maduración.

Esto nos conduce a tomar y aplicar el carácter interdisciplinario que tienen las

matemáticas para destacar su relación con las demás áreas del conocimiento que

formar parte del currículo, “las matemáticas tienen que ver de forma sustancial,

además de con las disciplinas científicas habituales, con la cartografía, la

criptografía, la sociología, la psicología, la política, la publicidad..., hay muchos

ejemplos de matemáticas cotidianas, de matemáticas de la vida misma” (Corbalán,

1998:10).

Este pilar se justifica por tres razones bien definidas por Valiente (2000) para

la enseñanza de la Matemática; en primer lugar, debemos transmitir a los alumnos el

acervo cultural de la sociedad, en segundo lugar procurar que desarrollen nociones y

conceptos que les sean útiles para comprender el entorno y, por último,

proporcionarles un conjunto de procedimientos e instrumentos del pensamiento que

les permitan el acceso a otras áreas del conocimiento y de la actividad humana. Es

importante resaltar la necesidad de precisar las características del contexto social al

cual pertenecen los alumnos, este factor es crucial para establecer relaciones entre los

contenidos del currículum y su utilidad práctica en las necesidades del estudiante,

“En cuanto a la enseñanza de la Matemática que debe ser objeto de estudio en las

escuelas, es la que va unida al modo de vida que los pueblos eligen” (Santaló et al.,

1994:78).

El razonamiento inductivo debe implementarse a través de actividades y

estrategias relacionadas con el estudio informal de los contenidos matemáticos, tales

234

como observar y comparar objetos matemáticos para establecer propiedades comunes

para clasificarlos, utilizar ejemplos y contraejemplos para comprender conceptos,

formular conjeturas, efectuar aproximaciones y estimaciones de cálculos numéricos

antes de presentar respuestas exactas, realizar pequeñas comprobaciones a través del

ensayo-error y experimentación, entre otras.

V.3.2.3. Desarrollo y aplicación de diversas estrategias en la resolución de

problemas que promuevan el razonamiento deductivo y la comprensión

de la estructura formal de los contenidos matemáticos

Desde la perspectiva docente se considera necesario introducir en la

propuesta didáctica aspectos fundamentales de las estrategias generales y específicas

de resolución de problemas, “los estudiantes necesitan aprender a solucionar

problemas de manera efectiva-no sólo en matemáticas, sino en cualquier materia.

Un problema existe donde una persona percibe una necesidad de lograr algún

objetivo pero no sabe de inmediato cómo lograrlo” (Good & Brophy, 1995:283).

Los problemas son la génesis del conocimiento matemático; las soluciones de

los mismos contribuyen al descubrimiento y enriquecimiento del constructo formal

de la ciencia matemática y de las ciencias en general, “la resolución de problemas ha

jugado un papel fundamental en el desarrollo de la Matemática; muchas de sus

ramas han surgido como consecuencia de la búsqueda de solución a problemas”

(González, 1995:2). Por consiguiente, desde el punto de vista didáctico se deben

tener en cuenta los procesos, métodos y estrategias utilizadas en la resolución de

problemas para orientar a los alumnos en la difícil tarea de obtener soluciones.

En las matemáticas hay que diferenciar entre los ejercicios y problemas, un

ejercicio es una tarea por lo general que requiere de la aplicación directa de

algoritmos, propiedades y operaciones aritméticas o algebraicas para llegar a su

solución, como por ejemplo, resolver un producto notable, sumar fracciones, calcular

logaritmos aplicando sus propiedades, simplificar expresiones en otras más simples,

etc. Un problema, sin embargo, tiene un grado de complejidad mayor, en él se

plantea una situación totalmente inédita, que necesita de quien resuelve una serie de

estrategias o habilidades además de los conceptos, definiciones, propiedades,

algoritmos y operaciones relacionados con el tema del problema formulado, “la

capacidad para resolver problemas se relaciona con diversos aspectos cognitivos,

como a) la habilidad para recordar problemas similares; b) el reconocimiento de

patrones; y c) la creatividad para desarrollar nuevas soluciones” (Ríos, 2004:89), en

235

consecuencia González (2005:2) menciona que: “La resolución de problemas es una

actividad compleja que demanda un importante esfuerzo intelectual; en cualquier

situación problema es posible identificar unas condiciones objetivas, las cuales

tienen que ver con las circunstancias inherentes a la situación-problema misma; y

unas condiciones subjetivas, que corresponden al estado interior(cognitivo y

afectivo) de quien resuelve el problema”.

Para lograr el objetivo de formar a los alumnos en la tarea de resolver

problemas, presentamos los modelos de resolución de problemas más destacados,

como el método heurístico de Polya (1978), y las adaptaciones que de él han hecho

autores como Santaló (1994), Llinares (1994), Alonso (1994), González (1995),

Nieto (1997), Miranda et al (1998), De Guzmán (1999), Velázquez (2000), Kenney

& Silver (1993) y Valiente (2000).

Los elementos fundamentales que describe Polya (1978) se resumen en una

lista de preguntas en función de los cuatro aspectos siguientes: comprender el

problema, concebir un plan, ejecutar el plan y visión retrospectiva; en cada uno de

ellos estas preguntas siguen un orden sistemático de aplicación para efectuar una

autoevaluación progresiva del procedimiento que usa el que resuelve del problema.

En el primer paso relativo a la comprensión del problema, según Polya

(1978), lo que se persigue es que los alumnos se familiaricen con los problemas

visualizándolos como un todo, estimulando la memoria, dividiéndolos en sus partes

más importantes, como los datos con los que se cuenta, cuál o cuáles son las

incógnitas y qué condiciones existen para llegar a la solución.

El segundo a paso consiste en la concepción de un plan concreto y eficaz para

llegar a la solución, por lo tanto, se recomienda utilizar otros problemas ya resueltos

para establecer semejanzas que nos puedan orientar, redactarlo, formularlo o

enunciarlo de otra manera y precisar los aspectos teóricos, prácticos y

procedimientos que relacionan con las condiciones, datos e incógnitas del problema.

El tercer paso tiene que ver con la ejecución de lo planificado en el paso

anterior, se requiere de la comprensión total de la situación problema, efectuar todas

las operaciones aritméticas, algebraicas o geométricas y finalmente comprobar cada

uno de los pasos realizados.

El último y cuarto paso consiste en realizar una auto-evaluación sistemática

de todo el procedimiento o razonamiento ejecutado en la resolución del problema y

236

las respuestas que se obtuvieron; es muy útil aplicar otras formas de resolver el

problema, para establecer juicios comparativos y determinar la similitud en las

respuestas y la complejidad de los procedimientos o planes ejecutados.

En el siguiente mapa conceptual se pueden observar los pasos que Polya

expone para la resolución de problemas.

Gráfico 5.3. Pasos para la resolución de problemas. Basado en Polya (1978:51).

Como estrategia de enseñanza generalmente el docente puede utilizar dos o

más planes de resolución para ofrecer al alumno diferentes alternativas para que

pueda juzgar cuál de ellas le resulta más comprensible y más práctica, sin olvidar que

“el profesor que desee desarrollar en sus alumnos la aptitud para resolver

237

problemas, debe hacerles interesarse en ellos y darles el mayor número posible de

ocasiones de imitación y práctica” (Polya, 1978:27).

De Guzmán (1999), describe en su modelo para la ocupación con problemas,

elementos semejantes: familiarizarse con el problema, búsqueda de estrategias,

seleccionar una estrategia específica y revisión del proceso para determinar

consecuencias de él, los cuales se pueden representar en el siguiente diagrama:

Gráfico 5.4. Pasos para la resolución de problemas. Basado en de Guzmán (1999:139).

Valiente (2000) expone de una forma más integradora los elementos

necesarios para consolidar estrategias de resolución de problemas que ayuden al

alumno; considera que en todo proceso de resolución deben quedar presentes los

siguientes aspectos:

- Conceptos: Dentro de los cuales se pueden considerar, la discriminación

entre problemas y enunciados, el estudio de la posibilidad de resolución

con los conocimientos que hasta los momentos se tienen, el nivel de

dificultad del problema, las etapas de resolución, los procedimientos de

resolución, entre otros.

- Procedimientos: Como el uso del simbolismo adecuado, el enunciado de

las estrategias que pueden seguirse, la aplicación de la estrategia

específica, la elección de herramientas matemáticas operativas,

discriminación de datos, apoyarse en enunciados análogos al problema,

comprobar las soluciones, explicar el procedimiento seguido.

Familiarizarse con el problema

Búsqueda de

estrategias

Revisión del proceso

Selección de

estrategias

238

- Actitudes: Tales como el impacto del enunciado del problema, la decisión

de resolverlo, iniciativa para elaborar un plan de resolución, originalidad

del procedimiento usado, perseverancia, disposición para cambiar de

estrategia o punto de vista, valoración de resultados obtenidos,

disposición para el trabajo en equipo.

En general según este autor para la resolución de problemas se deben seguir

los pasos siguientes:

- Entender el enunciado.

- Determinar datos e incógnitas.

- Establecer si los datos son suficientes.

- Analizar si el enunciado es un caso particular, límite, general o ambiguo.

- Redactar el problema en forma distinta.

- Reducir el problema a otro más sencillo, si ello es posible.

- Estudiar si se pueden usar ejemplos y contraejemplos.

- Relacionar los datos e incógnitas con un código de referencia simbólico.

- Establecer un plan de resolución.

- Apoyarse en bocetos, cuando ello sea posible.

- Analizar si se tienen recursos matemáticos disponibles.

- Estimar el resultado al que se quiere llegar.

- Efectuar ensayos con los datos del problema.

- Establecer hipótesis.

- Usar el ensayo y error.

- Realizar los cálculos necesarios.

- Analizar si el resultado tiene sentido para los datos proporcionados.

- Comprobar el resultado.

- Dar el resultado en forma completa.

- Representar gráficamente tanto el problema como su solución.

- Verificar si ese problema se puede cumplir en otros contextos.

Kenney & Silver (1993) nos proporcionan estrategias más generales pero que

tienen una consideración importante para la orientación del alumno; para ello es

239

fundamental el proceso de autocontrol del estudiante en matemáticas, el cual se debe

efectuar siguiendo estas pautas:

- Poniéndolo por escrito: Es una forma de evaluar con anticipación la

información que tiene el estudiante de sí mismo, esto se puede estructurar

de la forma siguiente:

Lo que yo sé Lo que necesito saber Espacio para pensar

- Haciendo preguntas de automonitoreo: Consiste en estimular a los

alumnos a formularse preguntas para verificar la comprensión de su

autoconciencia y autoevaluación durante la clase; esto permitirá al alumno

internalizarlas y buscar mejores respuestas para seguir necesidades y

estilos personales. Las siguientes son algunas preguntas que se pueden

formular:

PREGUNTAS RESPUESTAS

(Exactamente) ¿Qué está haciendo Usted?

¿Puede describirlo con exactitud?

¿Por qué lo está haciendo?

¿Cómo encaja en la solución?

¿Cómo le ayuda eso?

¿Qué hará con el resultado, cuando lo obtenga?

- Asimilación de criterios para juicios: La finalidad de esta estrategia es la

de dotar a los alumnos de la habilidad de responder a una autoevaluación

congruente con los criterios y juicios que puedan hacer los profesores.

“Los avances de los estudiantes son más rápidos y de mejor calidad

cuando tienen oportunidades frecuentes de autoevaluación” (Pluvinage,

1996:90).

- El rol del profesor en el autocontrol del alumno: Es la última estrategia

que complementa el autocontrol; específicamente consiste en que el

docente adquiera experiencia para diseñar instrumentos que alimenten el

autocontrol en ámbitos como el conocimiento matemático, los procesos y

las actitudes.

240

Alonso (1994), aporta una serie de principios para enseñar a razonar a los

alumnos y aumentar esta capacidad fundamental en el aprendizaje matemático; estos

son los siguientes:

- Plantear a los alumnos situaciones que generen conflictos cognitivos, es

decir, una constante asimilación y acomodación de nuevos esquemas de

pensamiento o en otras palabras la relación permanente entre

conocimientos previos y la nueva información adquirida a través de un

concepto, definición, teorema, ejercicio o problema.

- Enseñar procedimientos que faciliten la representación de las situaciones

sobre las que se razona y la posibilidad de atender todos los elementos

que la conforman sin sobrecargarse de información.

- Estimular al alumno para que piense en voz alta el proceso de

razonamiento que desee desarrollar y utilizar.

- Perfeccionar de forma progresiva los hábitos de razonamiento eficientes,

mediante la práctica y una adecuada información correctora.

- Familiarizar a los alumnos con las distintas áreas del conocimiento, para

proporcionar no sólo el carácter interdisciplinar de las matemáticas, sino

también para que adquieran información valiosa de una diversidad de

ciencias que le garantizarían el éxito en la resolución de problemas

vinculado a las mismas.

Sugiere también la enseñanza a los alumnos de las siguientes estrategias para

facilitar la planificación y resolución de problemas:

- Analizar los medios y fines, es decir, dividir el problema en una serie de

submetas para avanzar por pasos hacia la meta general.

- Trabajar hacia atrás para obtener una visión retrospectiva del problema.

- Simplificar, es decir, hacer uso de problemas más sencillos y semejantes

al que se quiere resolver.

- Generalizar/especificar. Estrategia que permite considerar el problema

como un caso particular de otro más general o como un caso más especial.

- Tanteo simple o sistemático. Consiste en ir probando posibles formas de

solución aleatoria o sistemáticamente.

- Reformular el problema. Se refiere al proceso de redefinir las metas de un

modo más específico.

241

- Buscar información adicional.

- Dividir sistemáticamente el problema por la mitad.

- Aplicar reglas conocidas.

- Buscar contraejemplos.

- Realizar una tormenta de ideas. Este procedimiento es útil para buscar

soluciones creativas a problemas mal definidos.

- Usar analogías y metáforas procedentes de otras disciplinas.

- Consultar a un experto.

Las implicaciones que tienen estas estrategias para la planificación de la

enseñanza en el aula de matemáticas son fundamentales para consolidar la propuesta

didáctica; según Santaló et al (1994), se necesita considerar variables tales como:

- La eliminación de aspectos innecesarios de los programas de estudio.

Cree indispensable analizar la pertinencia que tienen los mismos para la

formación matemática e integral del alumno.

- La elección de problemas apropiados a las características de los alumnos,

y paralelamente a esto aclarar las diferentes dudas de los alumnos para no

descartar los diferentes caminos de solución que estos propongan, puesto

que muchas veces pueden sorprendernos la imaginación e ingenio que

puedan tener.

- Utilizar colecciones de problemas que sirvan de ejemplo para favorecer el

intercambio de problemas y soluciones entre profesores, entre profesores

y alumnos y entre alumnos.

- Alentar a los alumnos para que lleven a las clases problemas de diversas

índoles para promover las discusiones entre todos los actores del proceso

de enseñanza y aprendizaje.

- Determinar y poner especial interés en el origen de las buenas ideas, para

conocer a los alumnos con talento matemático e incorporarlos como

lideres en equipos de trabajo cuya función sea de apoyo a los que tengan

dificultades.

De manera similar, Santos (1996), propone cuatro actividades instruccionales

que han demostrado ser eficientes como estrategias de resolución de problemas:

242

- Exposición por parte del instructor. El docente debe preparar el tema o los

problemas con varias formas de solución, antes de tomar el camino

adecuado; por otro lado, se deben plantear problemas que sean nuevos

para el profesor, para que sus alumnos logren observar de una manera más

realista los procesos que se involucran en su resolución; estos problemas

pueden inclusive ser propuestos por los mismos alumnos.

- Discusión en pequeños grupos. Se persigue que los alumnos intercambien

significados para que posteriormente construyan por sí mismos

conocimientos y adquieren las capacidades necesarias para la resolución

de otros problemas.

- Presentaciones individuales por parte de los estudiantes. El aspecto

fundamental que se desea lograr en esta actividad, es que el alumno

aprenda a comunicar sus ideas, recurriendo a diversos ejemplos y

contraejemplos o a utilizar diferentes formas de representación para

probar o demostrar la validez de sus proposiciones.

- Participación grupal. Se debe realizar con la coordinación y evaluación

del docente para garantizar el intercambio de las ideas sugeridas por los

alumnos de manera equilibrada para promover la participación de los

mismos.

Además, es importante señalar lo que se expone en uno de los boletines

informativos del Comité Interamericano de Educación Matemática (Patrick, 1997:1),

en el cual se describen algunos resultados de la aplicación de este tipo de estrategias

para la enseñanza de la Matemática; en la exposición se hace una comparación entre

los métodos de enseñanza utilizados por países como Estados Unidos y Alemania por

un lado, y Japón por otro.

Los profesores norteamericanos y alemanes hacen “énfasis en la adquisición

de destrezas y existe una tendencia muy fuerte de seguir el siguiente patrón:

1. El profesor imparte una lección a los alumnos sobre un concepto o una

destreza.

2. El profesor resuelve algunos ejemplos para toda la clase.

3. Los alumnos practican por si solos mientras el profesor ayuda a algunos

individualmente”.

243

Por otro lado, en Japón, aparentemente, se hace énfasis en la comprensión de

conceptos y en el desarrollo del pensamiento. El patrón de las lecciones es muy

diferente:

1. “El profesor plantea un problema complejo que estimula el razonamiento.

2. Los alumnos se esfuerzan en resolver el problema.

3. Los alumnos presentan sus ideas/soluciones a la clase.

4. La clase discute los varios métodos de solución.

5. El profesor hace un resumen de las conclusiones de la clase.

6. Los alumnos practican problemas semejantes”.

Como consecuencia del uso de este último método Japón ocupó el primer

lugar en la evaluación realizada por la TIMSS entre los años 1994 y 1995. “El

promedio del rendimiento de los alumnos de Japón les coloca en un grupo de países

que está significativamente por encima del promedio internacional. Los alumnos de

los Estados Unidos y Alemania lograron promedios de rendimiento que no difieren

signicativamente del promedio internacional” (Patrick, 1997:1).

V.3.2.4. El clima social del aula flexible y dinámico, analizado desde la


comunicación y la participación

El clima social se define como “la calidad de las interacciones entre

estudiantes-profesores y entre estudiantes-estudiantes” (Emmons, Comer y Haynes

1996, citado por Trianes et al., 2006:1). Siguiendo las consideraciones que Medina &

Sevillano (1994) realizan sobre el clima social del centro educativo, podemos decir

que el clima social del aula es el ecosistema resultante de la multitud de interacciones

que se generan simultáneamente y/o sucesivamente entre el conjunto de actores del

proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación en el nivel interpersonal,

microgrupal o macrogrupal.

Un verdadero clima social para enseñar y aprender debe estar impregnado del

intercambio de las ideas que surgen de los actores del proceso de enseñanza-

aprendizaje bajo un código de símbolos bien definido, en un contexto social

dinámico, con características muy particulares y de integración pluralista. Para

nuestra propuesta consideramos de vital importancia los diferentes elementos que

constituyen el clima social, los cuales describimos a continuación:

244

- Los actores: El profesor y los alumnos con sus respectivas tareas y

funciones dentro del proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación.

- Las relaciones sociales: Son las actuaciones psico-socio-interactivas que

se originan y desarrollan entre los actores del proceso de enseñanza,

aprendizaje y evaluación. Dentro de estas relaciones podemos mencionar

la colaboración o competitividad, empatía o rechazo, seguridad o

inseguridad, confianza versus desconfianza, actividad-pasividad,

autonomía-dependencia, igualdad-desigualdad, gratificación-frustración y

flexibilidad-rigurosidad.

- La comunicación: Definida como un proceso de intercambio de

información que se genera entre los actores del proceso didáctico de la

Matemática en el aula, caracterizado por la comprensión eficiente de ideas

y símbolos.

- El contexto socio-cultural: Constituido por las pautas, valores,

expectativas, metas, creencias, que marcan la vida del grupo de alumnos y

su profesor.

- La situación arquitectónica: Se refiere a las condiciones de infraestructura

del salón de clase, puesto que el espacio físico, ubicación del mobiliario,

ventilación, iluminación, capacidad, decoración, entre otras, pueden

influir en el pleno desenvolvimiento de las clases.

- El tiempo: Considerado como un elemento determinante si se administra

adecuadamente en la planificación y ejecución de las actividades del

proceso didáctico.

El clima social del aula es un aspecto de suma importancia para el desarrollo

óptimo del proceso enseñanza-aprendizaje, pues se ha demostrado que “los

ambientes que proporcionan seguridad y confort se relacionan con un incremento de

la creatividad y conducta exploratoria, cooperación y relaciones amistosas,

posibilitando procesos de madurez personal, organización de competencias

psicológicas y funciones de aprendizaje y motivacionales” (Trianes et al., 2006:5).

Aunque los componentes netamente cognitivos nos ofrecen información

profunda del problema de cada situación de aprendizaje dentro del aula, también es

cierto que dentro de todo este proceso somos los seres humanos quienes participamos

con todo nuestro perfil integral, caracterizado no sólo con la objetividad pedagógica

o científica, producto del quehacer investigativo, sino que además se le agrega a todo

245

esto la interacción social que entre los alumnos ocurre, incluyendo por supuesto al

profesor.

La relación que existe entre la enseñanza y el clima social en el aula nos

dirige la atención sobre lo que deberíamos hacer los docentes para garantizar un

proceso didáctico orientado más al alumno y sobre todo a sus características

particulares. En primer lugar, cabe destacar lo que expresa Schulman (1986), citado

por Medina & Sevillano (1994) sobre los aspectos esenciales dentro de la enseñanza,

estos son: “la actividad socio-interactiva y el desarrollo intelectual”. Precisamente

uno de los problemas dentro de las matemáticas radica en que nosotros, como

profesores, damos mayor importancia al desarrollo intelectual; inclusive, la mayor

parte de las investigaciones en Didáctica de la Matemática tienen presente el aspecto

de la construcción del conocimiento, sin embargo uno de los principales objetivos es

el de presentar actividades generadoras de un clima humano y social en los

programas de enseñanza para que la instrucción no sólo ofrezca a los alumnos las

bases de un aprendizaje intelectual significativo, sino también un desarrollo social.

Hasta el momento presente hemos dirigido nuestra práctica docente bajo el

paradigma cognitivo, que analiza el proceso-producto que se origina en la actividad

intelectual de los alumnos, descuidando la sensibilidad emocional, actitudes y

creencias que los mismos tienen como seres humanos; no obstante tenemos que

mirar hacia nuevos paradigmas que tenga en cuenta la socio-afectividad, pero sin

descuidar los procesos cognitivos del alumno. Gaje & Bolster (1986) citado por

Medina & Sevillano (1994), exponen un paradigma etnográfico-sociolingüístico

(interaccionista-simbólico), el cual puede servirnos para construir nuestro Programa

de enseñanza de estrategias de aprendizaje. En este paradigma se consideran los

aspectos siguientes:

- La importancia de la participación de los alumnos en el aula.

- El conocimiento del lenguaje empleado en clase.

- El lenguaje situacional de los docentes para organizar y poner orden en la

clase.

- El contraste entre formas y funciones verbales.

- El sentido latente y real de los mensajes.

Se trata, según los autores citados, de construir una didáctica centrada en el

aspecto cualitativo y buscar más sobre las características del sujeto, analizar el

246

intrasujeto, cuestión esta que tenemos muy descuidada al menos en el contexto donde

realizamos esta investigación.

Dentro de nuestras universidades y sin temor a equivocarnos, el sentimiento

de rechazo hacia los profesores de esta área es casi general, quizás como

consecuencia de un estilo de liderazgo autócrata, crítico, amenazador, que exige

obediencia, temor, etc.; o de un estilo burócrata que mantiene el sistema y el negocio,

cuida los detalles, racional, lógico, imparcial, ajustado a las normas y reglamentos

(Reddin B. 1997); estos dos estilos son los más apreciados por nosotros como

profesores, sin descartar el estilo de liderazgo complaciente que muchas veces se

utiliza para contrarrestar los conflictos dentro del aula, situación nada ideal para el

proceso didáctico.

Esta situación hace necesario hacer un esfuerzo por cambiar paulatinamente e

ir desarrollando las cualidades de un docente que toma decisiones, utiliza el trabajo

en equipo, utiliza la participación adecuadamente, fomenta el compromiso del

alumno con los objetivos que tienen que lograr, estimula el logro, etc.; así tendríamos

estudiantes con una mayor confianza en nosotros y contribuiríamos de esta manera a

elevar la autoestima del alumno y a crear un mejor clima social que nos ayudaría a

orientar de una forma más óptima el proceso de enseñanza, aprendizaje y evaluación;

todo esto es un proceso en donde tendríamos que cambiar nuestro hacer, lo cual es

algo muy difícil de aceptar, sobre todo si se tienen muchos años de experiencia

docente.

Aplicando el antiguo estilo de liderazgo autoritario, estamos obstaculizando

los nuevos cambios y en consecuencia, formando alumnos sin una verdadera actitud

crítica; recordemos que en la educación se multiplican tanto las cualidades como los

defectos que forman parte de nuestra idiosincracia, quizás nuestro comportamiento

obedece a la forma en que nuestros maestros nos formaron y lamentablemente esto

también vamos a trasmitirlo a nuestros estudiantes, de modo que, si no queremos

futuros profesionales sin autoestima, sin confianza en sí mismos, con temores, sin

actitud crítica, tenemos que ir cambiando los viejos esquemas de liderazgo.

247

V.3.2.5. El proceso de evaluación dirigido hacia la valoración integral y


socio-afectivo de los actores del proceso didáctico de la Matemática

La evaluación es considerada como el aspecto más álgido dentro del proceso

didáctico de cualquier disciplina, más aún en la Matemática. Por su condición

formalista y tradición absolutista, se la ha reducido a la simple aplicación de pruebas

con la única finalidad de obtener resultados cuantitativos que demuestren la

aprobación o reprobación de los estudiantes en función de los objetivos descritos en

el currículo oficial de los diferentes niveles de educación, “por lo que se refiere a las

matemáticas está claro que el predominio de las conductas que expresan un alto

rendimiento en el conocimiento de hechos, definiciones y conceptos así como el

dominio de las destrezas de cálculo, razonamiento y representación, constituyen la

práctica totalidad de las actividades de evaluación” (Rico. Citado por Mosquera &

Quintero 1996:111).

Para el alumno, la evaluación se ha convertido en una situación estresante y

perturbadora que limita su capacidad de creación intelectual y, para el docente, ha

representado una labor tediosa e incómoda para sus funciones de orientador y

mediador del aprendizaje. La puesta en práctica de todo programa de enseñanza-

aprendizaje que pretenda innovar la práctica docente no puede lograr sus propósitos

sin la incorporación de un proceso de evaluación reestructurado y relacionado con

los principios en los que se fundamenta el nuevo proceso didáctico que se desea

aplicar en el aula; es por esta razón que el enfoque positivista, conductista y

cuantitativo que todavía prevalece en la educación debe ser reorientado hacia un

enfoque más descriptivo, reflexivo y orientador caracterizado por la diversificación

de estrategias, actividades e instrumentos de evaluación que resalten la valoración de

la participación activa del alumno en la construcción de su aprendizaje, no sólo a

través de sus logros intelectuales, sino también a través de las cualidades personales

y socio-afectivas que forman parte de su formación integral.

Para superar el problema de cómo evaluar desde un punto de vista

constructivista, debemos principalmente considerar la transición de las operaciones

concretas hacia las abstractas que suceden en los aprendizajes matemáticos,

brindando al alumno la oportunidad de vivir la experiencia de llevar a cabo este

proceso de construcción hasta que logre llegar a los niveles superiores del

conocimiento y lenguaje matemático, teniendo presente que esto se efectúa a un

ritmo paulatino y progresivo, para evitar la presión que se ejerce en el alumno como

consecuencia de la exigencia académica de un programa cerrado e inflexible que ha

248

ocasionado una actitud de obligación y no de motivación hacia las matemáticas,

puesto que, el alumno lo que desea es aprobar más que aprender. “La evaluación

centrada en procesos, está dirigida a aclarar y comprender la dinámica interna del

hecho educativo, lo cual requiere de una descripción detallada y de una

documentación diaria que permita orientar, retroalimentar y mejorar la acción

educativa” (Ministerio de Educación, 2005:12).

Dentro de nuestra propuesta concebimos la evaluación constructivista como

un proceso sistemático, equilibrado, flexible, dinámico, integral, cuyo propósito

fundamental consiste en emitir juicios de valor en función de los resultados

cualitativos y cuantitativos obtenidos de la aplicación de técnicas, actividades e

instrumentos elaborados bajo criterios de validez y confiabilidad que tengan en

cuenta el proceso, producto y avance del aprendizaje, determinados por el contexto

biosicosocial que influye tanto en el alumno como en el profesor, esta

conceptualización se corresponde con la posición de Ontoria et al. (2001:105),

quienes señalan que: “La evaluación es parte integrante de todo modelo educativo

que se refleja en el proceso de enseñanza-aprendizaje y, en definitiva, es una

actividad primordialmente valorativa e investigadora, a través de la cual se toman

decisiones que contribuyen a regular el proceso educativo. De ahí que el proceso

evaluador no tenga un carácter puntual, sino procesual y continuo”.

De igual forma sigue la postura de Stake (1975), citado por Rosales

(1990:24), en la cual señala que “la evaluación debe realizarse a través de un

método pluralista, flexible, interactivo y orientado hacia el servicio. En ella hay que

tomar en consideración además de los resultados, los antecedentes, los procesos, las

normas y los juicios”. Por esta razón se deben incorporar en el diseño y planificación

de la enseñanza, técnicas y actividades de evaluación tales como la entrevista, la

observación, el debate, las discusiones grupales, la presentación de ideas, la

participación en la resolución de problemas, así como presentar proyectos

relacionados con los contenidos matemáticos desarrollados durante la clase. De este

modo se da la oportunidad al alumno de demostrar sus diferentes habilidades y poder

autoevaluarse, y al docente de obtener mayor información para reflexionar sobre las

fortalezas y debilidades del proceso didáctico y así poder valorar de manera más

justa y equilibrada el aprendizaje de sus estudiantes.

En nuestra propuesta queremos resaltar las funciones de la evaluación, en

primer lugar la función diagnóstica como parte inicial y esencial en la planificación

del proceso didáctico de la Matemática, puesto que la determinación de las

características cognoscitivas, los aprendizajes previos y las cualidades de los

249

estudiantes, son cruciales para el diseño de las estrategias, actividades y recursos que

garanticen el logro del aprendizaje significativo; en segundo lugar, la función

formativa nos brindará la oportunidad de generar la reflexión integral y holística

antes, durante y después del proceso didáctico, para efectuar los cambios necesarios

que mejoren la práctica docente y actuación didáctica. Estas dos primeras funciones

determinarán la forma de llevar a la práctica la función sumativa de la evaluación,

con menor o mayor grado de complicación en el momento de tomar decisiones sobre

los resultados finales para la certificación, promoción o repetición y selección de los

alumnos.

Por el carácter complejo de la evaluación constructivista que pretendemos

implementar para lograr un aprendizaje significativo de las matemáticas a través del

Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal, ofreceremos sólo una

aproximación teórica de algunos aspectos para lograr una verdadera orientación e

intervención del proceso didáctico desde la óptica de este paradigma.

En los siguientes mapas conceptuales presentamos tanto la descripción del

proceso de evaluación constructivista, como la fundamentación teórica del Programa

de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las

matemáticas, explicando con este recurso de una forma más efectiva sus

fundamentos, objetivos, principios, elementos y aquellos aspectos esenciales que lo

configuran.

250

Gráfico 5.5. Proceso de evaluación constructivista.

251

Gráfico 5.6. Fundamentación teórica del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal

en el aprendizaje de las matemáticas.

252

V.4. FASES QUE ESTRUCTURAN LA SECUENCIA DIDÁCTICA

DEL PROGRAMA

Las fases que constituyen nuestra propuesta tienen un enfoque integral por la

forma en que diversos elementos, estrategias, procedimientos de enseñanza,

actividades, recursos y evaluación se engranan para atribuir mayor fortaleza al

proceso didáctico de la Matemática. Además, queremos dejar claro que no representa

una guía rigurosa y esquemática de planificación, ejecución y orientación de la

actuación didáctica, por consiguiente presenta flexibilidad y libertad tanto a los

docentes como a los alumnos para que contribuyan a mejorarlo a través de las

sugerencias que puedan incorporar.

De acuerdo con los objetivos propuestos, la fundamentación psicológica y

epistemológica y los pilares que constituyen la propuesta didáctica, su secuencia la

estructuramos en las fases siguientes:

V.4.1. Fase de Exploración

Su finalidad consiste en diagnosticar y analizar las diversas características

que tienen los alumnos desde el punto de vista cognitivo, sus aprendizajes previos, su

actitud, su estado socio-afectivo y el contexto en el que se desenvuelven. Esto

representa para la planificación de la enseñanza el punto de partida para la secuencia

de los contenidos, desde los más sencillos hacia los más complicados, y para definir

las estrategias adecuadas al nivel cognitivo del alumno estableciendo un proceso de

interacción socio-afectiva entre el docente y sus alumnos al compartir sus diferentes

expectativas, inquietudes y puntos de vista.

Para lograr obtener esta información en la fase exploratoria el docente puede

utilizar los instrumentos y técnicas de evaluación pertinentes, que pueden ser, desde

la simple observación informal, hasta las pruebas de valoración de aprendizajes

previos, guías de entrevistas, cuestionarios y el procedimiento socrático, en el que se

utilizan preguntas y respuestas para verificar el nivel de aprendizaje del alumno, y así

establecer la conexión entre lo aprendido y el nuevo aprendizaje.

En esta fase también hay que tener en cuenta la naturaleza formal del tema a

desarrollar y su nivel de complejidad para establecer las estrategias y recursos que

garanticen su concreción y manipulación con el fin de facilitar el aprendizaje

significativo de los conocimiento matemáticos, lo que implica para el docente

253

desarrollar su labor creativa en el diseño, elaboración y presentación de recursos que

establezcan la relación de los contenidos con la vida cotidiana, tales como:

fotografías, vídeos, modelos a escala, y la historia de la evolución y aplicación de

esos conocimientos al desarrollo de la humanidad.

Así mismo, se considerará las condiciones físicas del aula y los recursos

didácticos para satisfacer las necesidades requeridas por el docente y sus alumnos,

además, se deben tomar las medidas adecuadas para organizar el mobiliario, su

ubicación en forma matricial, en círculo o semicírculo, pues influye notablemente en

la comunicación de la información dentro del aula.

V.4.2. Fase de Presentación

El tema que se va a desarrollar debe seguir progresivamente un proceso

inductivo de construcción de significados, cuyo origen se localiza en las ideas

iniciales y cotidianas que posee el alumno sobre los contenidos matemáticos,

fomentando de esta manera la participación activa y promoviendo la motivación

intrínseca y extrínseca de cada estudiante. Esta actividad se debe apoyar en la

orientación instruccional del profesor y en los recursos audiovisuales

complementarios para que la presentación tenga un sentido tanto lógico como

psicológico, pues son aspectos fundamentales dentro del aprendizaje significativo.

Para lograr el objetivo principal en esta fase, hay que motivar e incorporar a

cada alumno en el proceso de enseñanza-aprendizaje, también se pueden incorporar

actividades grupales que generen discusiones y debates sobre los aspectos básicos de

los contenidos; estos pueden ser asignados con anticipación por el docente, por

ejemplo, antes de iniciar el estudio del sistema de los números naturales, se pueden

asignar pequeñas investigaciones sobre su origen e historia y efectuar su exposición

para establecer conclusiones que ayuden a comprender mejor toda la teoría

matemática de los números naturales.

Asimismo, el uso de los talleres de discusión en pequeños grupos de estudio y

debate sobre la resolución de problemas introductorios con significado y relevancia

dentro del contexto social de los alumnos, pueden atribuirle a la clase mayor

motivación, para ello se extraen ejemplos prácticos de situaciones problemáticas

sobre la economía local, familiar y personal. Este proceso nos conducirá

progresivamente a la construcción formal de conceptos, definiciones y significados

propios de la Matemática desde las situaciones concretas hasta llegar a la

254

comprensión y manipulación de la abstracción del conocimiento matemático a través

de su lenguaje simbólico.

Esto significa que la fase de presentación se inicia con una primera etapa de

manipulación de los aspectos concretos de los conceptos matemáticos a través de

ejemplos cotidianos, luego una segunda etapa constituida por la utilización de

representaciones gráficas y visuales para organizar la información y, en último lugar

la aplicación del lenguaje matemático para representar la información abstracta.

V.4.3. Fase de Valoración Cognitiva

En esta etapa se pretende efectuar el primer acercamiento para valorar el

proceso cognitivo interno de construcción de los aprendizajes, observando el grado

de asimilación y acomodación que los alumnos han alcanzado; esto requiere de la

aplicación permanente de la entrevista y de actividades de monitoreo, en las cuales el

profesor indague a través de pequeñas preguntas el grado de comprensión que los

alumnos tienen sobre los aspectos desarrollados durante la clase.

El proceso de orientación dirigido por el docente es la base fundamental para

lograr que el alumno aprenda a aprender a través de las estrategias pertinentes que le

permitan autoevaluarse y establecer sus debilidades, fortalezas y aspectos a mejorar

dentro de su nivel de aprendizaje alcanzado. En algunos momentos, se podrá utilizar

la retroalimentación como un instrumento complementario para aclarar dudas,

corregir desaciertos y resaltar logros, aspectos que le permitirán al profesor valorar

formativamente el proceso didáctico de la clase.

En esta etapa se determina en qué medida el alumno ha logrado establecer la

conexión entre los antiguos aprendizajes y la nueva información procesada, y si

existe un aprendizaje significativo; para verificar esto, se hace necesario implementar

una serie de actividades destinadas a consolidar el proceso de construcción del

aprendizaje matemático y la respectiva internalización cognitiva a través de

asignaciones tales como talleres de problemas de aplicación, elaboración de

pequeños proyectos, resúmenes, esquemas, mapas conceptuales, diagramas y

cuadros, los cuales brindarán al alumno la posibilidad de apropiarse de la

información en función de sus estrategias de aprendizaje.

255

Exploración Valoración del nivel cognitivo, aprendizajes previos, actitud,

estado socio-afectivo y contexto

Presentación Proceso inductivo de

construcción de significados desde la manipulación, representación gráfica y

simbólica

Valoración cognitiva Grado de asimilación y

acomodación que los alumnos han alcanzado

Proyección Lograr un pensamiento,

crítico, reflexivo y creativo en el alumno para aplicarlo en la

resolución de problemas novedosos

V.4.4. Fase de Proyección

Hemos destacado como principal finalidad dentro de nuestra propuesta

didáctica el logro de un pensamiento crítico, reflexivo y creativo por parte del

alumno; por consiguiente, la última fase está planificada con el objetivo de enfrentar

a los alumnos con situaciones novedosas, en donde apliquen los diferentes

aprendizajes matemáticos logrados para resolver problemas y, de este modo,

construyan nuevos conocimientos que les sean útiles para abordar nuevos problemas.

Los alumnos se forman en las diferentes habilidades creativas para desarrollar

actividades propias de investigadores noveles, resaltando el carácter

interdisciplinario de la Matemática, colocándola al servicio de las demás asignaturas

que forman parte del currículo universitario.

También queremos destacar las diferentes formas en que se manifiesta la

Matemática en los diferentes adelantos tecnológicos, y cómo los alumnos pueden

explicar su funcionamiento utilizando el razonamiento matemático y los contenidos

que están involucrados para dar una mayor amplitud a la relación de ésta con el

contexto social y cotidiano que nos rodea.

En el siguiente diagrama presentamos la sintaxis de las fases del Programa de

autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas,

para orientar mejor su comprensión.

Gráfico 5.7. Fases del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje

de las matemáticas.

256

V.5. CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL DIDÁCTICO

Para atribuir concreción al Programa de autorregulación del pensamiento

lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas nos apoyaremos en el diseño,

elaboración, presentación y aplicación del material didáctico en su versión escrita,

como primer recurso para el aprendizaje de los alumnos, complementándolo con

diversos materiales visuales, entre los cuales destacamos los videos, fotografías,

ilustraciones y gráficos, recordando que estos cumplen funciones implícitas de

“motivar la lección, aclarar ideas establecidas, confirmar un conocimiento y evaluar

un aprendizaje” (Valiente, 2000:101).

Hemos señalado anteriormente la gran importancia de iniciar el proceso

didáctico de la Matemática desde la fase concreta para lograr una construcción

progresiva del aprendizaje significativo y llegar hasta a la presentación abstracta y

lógica de los objetos matemáticos; por consiguiente, adoptaremos el enfoque del

material didáctico concreto, mediante el cual el alumno tiene la oportunidad de tomar

su propia experiencia y conocimientos previos para extraer y descubrir información y

así poder comprender los significados abstractos de la Matemática. Por esta razón, el

material seguirá la secuencia que propone Bruner (1964) para la enseñanza de las

matemáticas, siguiendo las etapas enactiva, icónica y simbólica en la presentación de

los conocimientos matemáticos.

Hay que destacar que esta idea viene desarrollándose desde hace mucho, pero

su concreción ha tenido mucha resistencia. Según Castelnuovo (1973:64) “La

enseñanza de las matemáticas debiera partir de lo concreto para tomar las ideas

generales y conducir al alumno a la abstracción…debe tener como objetivo llevar

poco a poco llevar a los alumnos de lo cualitativo a lo cuantitativo, valiéndose del

hábito mental dado por le estudio de las matemáticas y de las nociones aritméticas y

geometría aprendidas con el curso paralelo”.

En cuanto a la presentación del material didáctico, en primer lugar

destacamos el sentido psicológico que debe tener para lograr despertar el interés y la

motivación de los alumnos hacia el bloque de contenido a desarrollar; para esto se

incorporan suficientes imágenes, gráficas, ilustraciones, diagramas, mapas

conceptuales y elementos propios del contexto social del alumno que representen

relevancia. En segundo lugar, el sentido lógico, el cual está relacionado con la

estructura organizada y coherente de los contenidos desde los más sencillos hasta los

más complejos, cuestión que se aplica también a la resolución de ejercicios y

problemas de aplicación, los cuales deben activar el conflicto cognitivo en el alumno

257

para lograr la acomodación y asimilación del nuevo aprendizaje. Tanto el sentido

psicológico como el lógico son fundamentales: “al aprendizaje del material sin

sentido no tiene valor de transferencia y se opone al material con sentido, que es

sumamente susceptible de ser transferido” (Araujo & Chadwick, 1988:138).

Para garantizar la comprensión de la información del material didáctico, el

lenguaje escrito utilizado debe tener una secuencia progresiva, desde las nociones e

ideas intuitivas de los conceptos, definiciones y propiedades matemáticas hasta su

presentación formal; con ello se persigue evitar el problema que tienen los

estudiantes al comprender y aplicar la abstracción, y el simbolismo que tienen la

mayoría de los textos de Matemática. Bereiter (1985), citado por Hernández y

Sancho (1993:98), nos ofrece también las siguientes recomendaciones para ayudar a

superar la incapacidad de los alumnos en la asimilación de los conocimientos que se

exponen en los libros-textos:

- Seleccionar y secuenciar el material escrito para lograr establecer la

relación entre las partes y el todo de la información.

- Activar los conocimientos previos de los alumnos antes de utilizar el

nuevo material.

- Resaltar lo novedoso que los conceptos y términos poseen dentro del

material.

- Orientar sobre los aspectos difíciles para evitar formular hipótesis y

conclusiones falsas.

- Formular constantemente preguntas cuyas respuestas puedan encontrar en

el material, para que se familiaricen con el mismo.

- Establecer una relación permanente entre los contenidos nuevos y los

conocimientos que ya poseen.

- Promover la participación del estudiante en la presentación y

comunicación del aprendizaje a través de gráficos, esquemas, resúmenes,

cuadros, mapas conceptuales, etc.

El material didáctico también posee una gran diversidad de actividades tanto

individuales como grupales para que se desarrolle la integración social y la

participación adecuada de todos los actores del proceso didáctico, además, fomenta

la comunicación entre los mismos principalmente en el intercambio de ideas,

información y significados producto de la reflexión y creación del conocimiento en

las estrategias utilizadas para resolver ejercicios y problemas planteados, de tal

258

manera que el alumno pueda desarrollar, según Vygostky (1979), su zona de

desarrollo potencial y activar dentro del aula un verdadero aprendizaje sociocultural.

CAPÍTULO VI: DISEÑO DE UNA UNIDAD DIDÁCTICA SOBRE

SISTEMAS NUMÉRICOS

261

CAPÍTULO VI:

DISEÑO DE UNA UNIDAD DIDÁCTICA SOBRE SISTEMAS

NUMÉRICOS

VI.1. JUSTIFICACIÓN

Las necesidades que determinamos en la primera fase diagnóstica de nuestra

investigación en cuanto al nivel de aprendizaje logrado por los alumnos, nos han

revelado una situación precaria en las estrategias de aprendizaje utilizadas por los

alumnos para abordar los contenidos de la unidad de sistemas numéricos; por

consiguiente, su desempeño en el dominio de los conceptos, definiciones,

propiedades y procedimientos correspondientes, también tuvieron una poca

valoración desde el punto de vista cognoscitivo. Esta situación se explica, en primer

lugar, porque los alumnos que ingresan al sistema universitario poseen hábitos de

estudio tradicionales desde su formación en la escuela básica y bachillerato y, en

segundo lugar, esto se conjuga con las estrategias de enseñanza y aprendizaje

aplicadas por los docentes siguiendo las orientaciones estrictamente conductistas,

produciéndose de esta manera una débil consolidación en los aprendizajes necesarios

para continuar con sus estudios superiores en el nivel profesional.

Para dar una respuesta a este problema, hemos considerado las orientaciones

epistemológicas bajo las cuales fundamentamos nuestro Programa de autorregulación

del pensamiento lógico-formal, para guiarnos hacia la concreción de este material

didáctico o el diseño de la Unidad Didáctica sobre los Sistemas Numéricos, cuyos

contenidos son de vital importancia en la formación matemática de todo estudiante

de la carrera de Educación Integral, puesto que constituyen la base fundamental del

aprendizaje formal de esta disciplina en el currículo universitario y sobre todo para

su futura labor profesional docente.

El enfoque con el que diseñamos, elaboramos y presentamos esta unidad

didáctica la convierte en una propuesta innovadora, puesto que a través del

constructivismo pretendemos con ella implementar una manera diferente de presentar

y desarrollar los contenidos matemáticos de los sistemas numéricos, que son los

contenidos que conforman la unidad III del programa de la asignatura Matemática

General del primer semestre de la Carrera de Educación Integral. Por consiguiente, el

eje central de la misma será la enseñanza de los conceptos, definiciones, propiedades

y demás información, utilizando para ello estrategias de aprendizaje para organizar la

262

información y resolver ejercicios y problemas, además de incorporar actividades para

fomentar el clima social del aula y la actitud positiva del alumno hacia las

matemáticas.

Cabe destacar que los alumnos no disponen de materiales escritos desde esta

perspectiva epistemológica. La mayoría de los textos, sino todos, aún conservan las

directrices formativas y rigurosas de la Matemática y el tradicionalismo pedagógico

del conductismo, por lo tanto esta unidad didáctica diseñada y elaborada bajo las

orientaciones de nuestro Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal

constituyen un apoyo y garantía, en primer lugar, para los alumnos y, en segundo

lugar, para el docente de la asignatura, con la pretensión de potenciar el aprendizaje

significativo esperado dentro del programa de estudio.

263

VI.2. OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD DIDÁCTICA

El diseño, elaboración y aplicación de esta unidad didáctica para desarrollar

los contenidos relativos a los sistemas numéricos persigue dentro del proceso

didáctico los siguientes objetivos:

- Aplicar de manera práctica estrategias que fomenten en el alumno de la

asignatura Matemática General un aprendizaje significativo y el

pensamiento creativo en la resolución de problemas de su interés, para

generar un proceso didáctico en el aula que consolide la construcción

progresiva, reflexiva y científica de los conocimientos matemáticos de la

Unidad de Sistemas Numéricos, utilizando los aportes teóricos del

paradigma constructivista.

- Orientar al docente de la asignatura Matemática General en los diferentes

procedimientos, recursos y actividades de enseñanza y evaluación, que

constituyen el proceso didáctico constructivista en esta área del

conocimiento para consolidar su formación psicopedagógica.

- Fomentar la comunicación durante el desarrollo de los contenidos de la

Unidad de Sistemas Numéricos, para lograr la participación, debate,

reflexión, y sugerencias que aporten los actores que interactúan en el

proceso didáctico, dentro de un clima social del aula abierto, dinámico y

flexible que contribuya a un cambio de actitud del alumno hacia la


264

VI.3. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

Para centrarnos de manera precisa en el desarrollo de los contenidos nos

hemos planteado los siguientes objetivos de aprendizaje; se espera que el alumno:

- Desarrolle estrategias para aprender a aprender los conceptos,

definiciones y propiedades que forman parte de los aspectos teóricos de la

unidad de sistemas numéricos.

- Utilice las diferentes estrategias de aprendizaje para organizar la

información de manera gráfica, escrita y simbólica sobre los aspectos

teóricos de la unidad de sistemas numéricos.

- Comprenda y aplique el lenguaje y notación matemática relativos a los

contenidos de los diferentes sistemas numéricos desde su representación

gráfica hasta la simbología formal.

- Utilice estrategias en la resolución de problemas que garanticen una

comprensión intuitiva y formal de los conceptos, definiciones,

propiedades y procedimientos matemáticos correspondientes a los


- Participe de forma activa en las diferentes actividades durante el

desarrollo del proceso didáctico de la Unidad de Sistemas Numéricos.

- Desarrolle una actitud positiva hacia los contenidos aprendidos y hacia el

proceso didáctico de la asignatura Matemática General.

265

VI.4. SECUENCIA DIDÁCTICA SUGERIDA PARA EL DOCENTE

Es necesario establecer para el desarrollo de las clases una secuencia

didáctica que oriente la práctica pedagógica del docente durante el desarrollo de las

diferentes estrategias y actividades de enseñanza, aprendizaje y evaluación de la esta

Unidad Didáctica de los Sistemas Numéricos, no obstante consideramos que las fases

que conforman esta secuencia las presentamos de manera flexible para que puedan

adaptarse a los requerimientos propios del grupo de alumnos; es decir, el docente

puede hacer las modificaciones pertinentes para lograr mejores resultados en el

proceso didáctico, siempre y cuando respete los siguientes pilares sobre los que

descansa el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal:

- Comprensión y aplicación progresivas del lenguaje utilizado en el

proceso didáctico de las matemáticas. En la Unidad de los Sistemas

Numéricos se requiere de la utilización de estrategias de aprendizaje para

organizar la información escrita, gráfica y simbólica que contribuyan a

desarrollar progresivamente el lenguaje matemático para comprender los

diferentes aspectos teóricos y prácticos de los conjuntos numéricos. En

consecuencia, se han propuesto actividades para que el alumno haga uso

eficiente de las técnicas de estudio como la elaboración de esquemas,

diagramas, cuadros y mapas conceptuales.

- Aplicación del razonamiento inductivo para activar las nociones


conceptualización científica y formal del conocimiento matemático.

Consideramos oportuno dentro de la Unidad Didáctica de los Sistemas

Numéricos utilizar la mayor cantidad de ejemplos ilustrativos que estén

relacionados con la vida cotidiana de nuestro contexto social, facilitando

con ello la comprensión intuitiva y el razonamiento inductivo; además, el

pensamiento numérico es una de las áreas más próximas a nuestra

realidad y, por ello, el docente debe sacarle el mayor provecho para

fomentar la construcción formal de los aprendizajes matemáticos en el

alumno.

- Desarrollo y aplicación de diversas estrategias en la resolución de

problemas que promuevan el razonamiento deductivo y la comprensión

de la estructura formal de los contenidos matemáticos. Las estrategias que

utilizamos para resolver los problemas en la Unidad Didáctica están

basadas en los pasos referidos por Polya (1978), los cuales se resumen en

266

una lista de preguntas en función de los cuatro aspectos siguientes:

comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y realizar una

visión retrospectiva; en cada uno de ellos, estas preguntas siguen un orden

sistemático de aplicación para efectuar una autoevaluación progresiva del

procedimiento que usa el que resuelve el problema, sin embargo el

docente y el alumno tienen la libertad de implementar procedimientos

diversos para lograr la resolución de los mismos, recordemos que la

principal finalidad es la de resolver suficientes y variados problemas para

lograr el aprendizaje matemático en la Unidad de Sistemas Numéricos, la

cual nos ofrece una gran cantidad de situaciones tanto reales como ideales

para consolidar la resolución de problemas en los alumnos.

- El clima social del aula flexible y dinámico, analizado desde la


comunicación y la participación. Las diferentes actividades que contiene

la Unidad de Sistemas Numéricos además de guiar al docente en el

proceso didáctico y brindarles a los alumnos un material de apoyo para

lograr los aprendizajes, tienen como finalidad crear un clima social del

aula caracterizado por las interacciones que se generan entre los actores al

compartir los significados, opiniones, intervenciones y demás ideas para

realizar las asignaciones, que pueden ser preguntas teóricas, ejercicios y

problemas de aplicación. En consecuencia, el docente debe orientar su

práctica pedagógica hacia la comunicación y participación de todos los

actores en el aula para elevar la confianza y actitud del alumno hacia los

contenidos de esta Unidad Didáctica.

- El proceso de evaluación dirigido hacia la valoración integral y


socio-afectivo de los actores del proceso didáctico de la Matemática. En

la Unidad Didáctica de los Sistemas Numéricos proponemos una

diversidad de actividades e instrumentos de evaluación para reducir la

dependencia exclusiva de las pruebas escritas y brindar mayor confianza

al alumno para que demuestre sus aprendizajes. La valoración del proceso

de construcción de los aprendizajes cuando los alumnos elaboran un

concepto y resuelven ejercicios y problemas tiene una mayor importancia

en la evaluación de los contenidos de los sistemas numéricos que la sola

aplicación de operaciones aritméticas, fórmulas y algoritmos.

267

Para lograr la autorregulación del pensamiento lógico-formal en el

aprendizaje de las matemáticas y generar el aprendizaje significativo en la Unidad de

Sistemas Numéricos, consideramos seguir las fases que se describen en los epígrafes

siguientes.

VI.4.1. Fase de Exploración

Durante esta fase se planificarán diferentes actividades con la finalidad de

realizar un diagnóstico sobre los conocimientos previos que tienen los alumnos sobre

los Sistemas Numéricos, las estrategias de aprendizaje que utilizan, su estado socio-

afectivo, su actitud y el clima general del aula.

Para obtener esta información inicial nos apoyamos primeramente en la

observación, en las entrevistas abiertas y en pruebas escritas para valorar

principalmente los conocimientos; estos datos nos garantizan dentro de la

planificación un conjunto de estrategias y actividades para estructurar la Unidad

Didáctica y las sesiones de clases, utilizando como punto de referencia los

organizadores avanzados/previos para iniciar los nuevos aprendizajes, además de

tener un mejor conocimiento del grupo de alumnos.

En el caso de la asignatura Matemática General, los alumnos son del primer

semestre de la carrera de Educación Integral, por lo tanto su proceso de adaptación

en la universidad debe desarrollarse de manera progresiva con la ayuda del docente a

través de estas actividades de integración y participación.

VI.4.2. Fase de Presentación

Los aspectos teórico-prácticos que forman parte de la Unidad Didáctica de los

Sistemas Numéricos nos brindan la oportunidad de utilizar una gran cantidad de

situaciones cotidianas para presentar la información, lo que debe ser punto de partida

para construir conjuntamente con los alumnos los conceptos, definiciones, postulados

y demás propiedades y procedimientos matemáticos; esto implica seguir un proceso

intuitivo e inductivo para llegar al razonamiento deductivo y a la definición formal

de los conceptos involucrados.

Los sistemas numéricos desde los números naturales (N), enteros (Z) y

racionales (Q) son los que presentan una mayor relación directa con el entorno social

268

del alumno, puesto que constantemente hacemos uso de estos conjuntos numéricos y

de sus operaciones en todas nuestras actividades diarias, en consecuencia, le daremos

más sentido psicológico y motivación a las clases. Estas experiencias matemáticas

cotidianas también debemos presentarlas utilizando los recursos audiovisuales,

diapositivas, representaciones gráficas en el material escrito, a través de la asignación

de investigaciones de reseñas históricas sobre el origen de los números y su

importancia para el desarrollo de la humanidad.

Debemos destacar también la importancia de las actividades en pequeños

grupos para fortalecer la integración y la participación del alumno. Por esto, la mayor

parte de las preguntas, ejercicios y problemas se realizarán de forma grupal hasta

lograr la autonomía e independencia de cada alumno en los aprendizajes de los

contenidos de esta unidad.

VI.4.3. Fase de Valoración Cognitiva

En el proceso didáctico de la Unidad de los Sistemas Numéricos, todas las

actividades realizadas por los alumnos deben estar en constante evaluación y

orientación para valorar de manera integral todos los elementos involucrados en el

logro de un verdadero aprendizaje significativo de estos contenidos, esto implica una

reconstrucción y reconfiguración de la estructura y secuencia de los contenidos de las

clases para lograr su paulatina adaptación a las necesidades o requerimientos tanto

cognitivos como psicosociales de los estudiantes.

La finalidad principal durante esta fase es determinar las debilidades más

notables en el aprendizaje, analizarlas y tomar las medidas respectivas, utilizando las

estrategias de aprendizaje adecuadas para ayudar al alumno a superarlas; así mismo,

también en esta fase se determinan los aciertos y errores cometidos en la práctica

pedagógica. En la Unidad Didáctica diseñada hemos presentado una gran cantidad de

actividades, ejercicios y problemas para garantizar la mayor valoración posible sobre

los contenidos de los sistemas numéricos.

VI.4.4. Fase de Proyección

En esta última fase didáctica, pretendemos lograr uno de los objetivos más

ambiciosos en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, el cual

consiste en la consolidación del pensamiento crítico, reflexivo y creativo por parte de

269

los alumnos una vez logrados los aprendizajes sobre los conocimientos de la unidad

de sistemas numéricos, lo cual implica enfrentar a los alumnos a situaciones nuevas y

reales en donde puedan aplicar todas sus estrategias de aprendizaje y conocimientos

teórico-prácticos sobre los conjuntos numéricos, sus propiedades y operaciones en la

resolución de problemas de aplicación en el contexto actual. Por consiguiente, el

mejor recurso que podemos utilizar es la información escrita que nos ofrecen medios

impresos como los periódicos y revistas, aquí podemos conseguir información

estadística muy actualizada sobre las actividades de la economía, política, sociedad,

deportes y arte que potencian la funcionalidad e importancia de los conocimientos

matemáticos desarrollados y elevan la actitud positiva de los alumnos hacia las

matemáticas.

270

VI.5. ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

De acuerdo con el quinto pilar de nuestro Programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal, en el cual señalamos que el proceso de evaluación debe

estar dirigido hacia la valoración integral y equilibrada como fundamento para el

crecimiento académico, personal y socio-afectivo de los actores del proceso didáctico

de la Matemática, en la Unidad Didáctica de los Sistemas Numéricos hemos

incorporado una serie de actividades en un orden progresivo de dificultad para que

los alumnos trabajen sin presión. Además, la evaluación formativa es más importante

que la sumativa, puesto que aporta la mayor información sobre el proceso didáctico.

Las actividades de evaluación las podemos aplicar siguiendo la Tabla 6.1. que

presentamos a continuación:

Actividad Tipo de Evaluación

Participantes Ventajas Ponderación

Intervenciones Formativa Individual El docente orienta el aprendizaje utilizando los aciertos y errores de los alumnos.

Talleres sobre ejercicios y problemas

Formativa y sumativa

Grupal Orientación, asesoría directa e integración social. Utilización de procedimientos heurísticos. Integración, comunicación y participación. Constructivismo social y desarrollo de la zona próxima.

Asignación de investigaciones


Individual y grupal

Fortalecimiento de la autonomía del alumno.

Prueba de Valoración


Individual Ofrece una evaluación más precisa y objetiva del aprendizaje de cada alumno.

Entrevistas abiertas

Formativa Individual Desarrolla confianza en el alumno y ofrece al profesor más detalles sobre las debilidades de los aprendizajes.

Tabla 6.1. Actividades de evaluación sugeridas para la Unidad de Sistemas Numéricos.

De esta manera podemos lograr una evaluación más equilibrada e integral que

involucre todos los aspectos cognitivos, académicos y sociales del alumno, para

determinar con mayor precisión y justicia los logros alcanzados por cada alumno en

la Unidad de los Sistemas Numéricos.

271

VI.6. INSTRUCCIONES PARA EL ALUMNO EN EL MANEJO DE LA

UNIDAD DIDÁCTICA

El desarrollo del presente material escrito sobre la Unidad Didáctica de los

Sistemas Numéricos de la asignatura Matemática General tiene como propósito

fundamental ofrecer al alumno un contenido, expresado de forma intuitiva y con un

lenguaje sencillo, de tal manera que le facilite el logro de los aprendizajes básicos de

los sistemas numéricos desde un enfoque inductivo hasta llegar a su dominio formal.

Además, se elaboró con el cuidado de seguir una debida secuencia en orden creciente

de dificultad, es decir, los estudiantes desarrollaron los diversos contenidos del

material didáctico desde los más sencillos e intuitivos hasta los más complejos o

abstractos.

A continuación se presentan algunas recomendaciones que orientarán en la

ejecución de las actividades para el logro de los aprendizajes relacionados con este

contenido.

- Te sugerimos estudiar a un ritmo de 2 a 3 horas diarias, leyendo con

detenimiento los aspectos teóricos y observando el procedimiento

utilizado en la resolución de ejercicios y problemas, esto se debe realizar

de forma cuidadosa y reflexiva razonando e interpretando su significado

para resolver con efectividad los ejercicios y problemas asignados.

- Debes desarrollar en su totalidad los ejercicios y demás actividades

propuestas en el material y, en la medida que avances, anota aquellos

contenidos que no has comprendido para que los consultes con tu asesor

en las horas destinadas para tal fin.

- En el material didáctico se aplican algunas estrategias de aprendizaje para

orientarte en las diferentes formas de organizar la información, resolver

ejercicios y problemas, lo cual representa una alternativa para tu estudio

individual o grupal de los contenidos matemáticos, no obstante, es de tu

elección aplicarlas, comprenderlas e internalizarlas o utilizar otras que te

garanticen mayor efectividad en el aprendizaje.

272

VI.7. GUÍA DE CONTENIDO

Presentamos los contenidos de la unidad con una secuencia jerárquica, desde

los más sencillos hasta los más complejos; sin embargo, no es una presentación

rigurosa, el docente puede desarrollar cada aspecto en un orden diferente siempre y

cuando respecte la construcción progresiva de los mismos. En consecuencia, el

material didáctico escrito y organizado siguiendo este enfoque contempla los temas

siguientes:

1. Sistema de los Números Naturales N

1.1. Conceptos Fundamentales.

1.2. Operaciones.

1.2.1. Adición.

1.2.1.1. Propiedades de la adición.

1.2.2. Sustracción.

1.2.3. Multiplicación.

1.2.3.1. Propiedades de la multiplicación.

1.2.4. División.

1.2.5. Potenciación

1.2.6. Radicación.

1.2.7. Operaciones Combinadas.

1.3. Sistemas numéricos.

1.4. Números primos y compuestos.

1.5. Múltiplo de un número natural.

1.6. Divisor, sub-múltiplo o factor de un número natural.

1.7. Números pares.

1.8. Números impares.

1.8. Mínimo común múltiplo.

1.9. Máximo común divisor.

2. Sistema de los Números Enteros Z


2.2. Operaciones.

2.2.1. Adición.

2.2.1.1. Propiedades.




2.2.4. División.

2.2.5. Potenciación.

273


3. Sistema de los Números Racionales Q


3.2. Operaciones.

3.2.1. Adición.





3.2.4. División.



4. Sistema de los Números Irracionales I


4.2. Operaciones.

4.2.1. Adición.



4.2.4. División.



5. Sistema de los Números Reales R


5.2. Operaciones.

5.2.1. Adición.



5.2.4. División.



274

VI.8. DESARROLLO DE CONTENIDOS

VI.8.1. Sistema de los Números Naturales

En la Tabla 6.2. presentamos el guión de trabajo para el conjunto de los

números naturales siguiendo los principios y secuencia didáctica del Programa de






números naturales

Formalización y conceptualización de

la teoría sobre el sistema de los

números naturales Aprendizajes a lograr - Presentar hechos de la vida cotidiana cuya representación requiera el uso de los números naturales.




Ideas a considerar - La necesidad dentro de los grupos humanos de utilizar símbolos para agrupar, clasificar y contar cosas. - Transición de la manipulación concreta hacia la abstracción de los números naturales. - Utilización de las notaciones formales para representar al conjunto de los números naturales.

Ideas a considerar - Utilidad de las operaciones fundamentales en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas.



Ideas a considerar - Conceptulización de las operaciones fundamentales en N.



Actividades para los alumnos - Dar ejemplos sobre el uso de los números naturales en la vida cotidiana.



Aspectos a observar y valorar - Comprensión del concepto intuitivo de número natural. - Verificar la relación entre manipulación concreta de elementos de un conjunto y su interpretación abstracta. - Verificar las estrategias de aprendizaje que se utilizan para organizar la información.

Aspectos a observar y valorar - Comprobar con cuáles estrategias inician los alumnos la resolución de estos problemas.



- Monitorear las estrategias de

Aspectos a observar y valorar - Verificar el grado de comprensión de los conceptos involucrados.



275

resolución de problemas aplicadas durante la clase y como estas se incorporan al razonamiento de los alumnos.

Tabla 6.2. Guión de trabajo para el Sistema de los Números Naturales.

VI.8.1.1. Fase de exploración

De acuerdo con nuestra propuesta didáctica, para iniciar la autorregulación

del pensamiento lógico-formal, es necesario utilizar ejemplos sobre situaciones

cotidianas que se relacionen con los sistemas numéricos y complementar con

actividades relativas a la asignación de investigaciones sobre aspectos fundamentales

tales como la historia de los números naturales, la notación y noción de números

naturales para generar una discusión teórica al final de la clase con los alumnos.

Para que las actividades y asignaciones logren mejores resultados es

necesario que se desarrollen durante la clase, y que los alumnos, formen pequeños

grupos no mayores de cuatro participantes; además, se les debe estar constantemente

orientando y asesorando para disipar las dudas que se originen en los diferentes

planteamientos.

Siguiendo estos principios de nuestro Programa de autorregulación,

presentamos el siguiente ejercicio práctico introductorio para explorar los

conocimientos previos de los alumnos:

Ejercicio Nº 1: Situaciones cotidianas y el conjunto de los números naturales:

Antes de comenzar a explicar los aspectos teórico-prácticos del sistema de

los números naturales vamos a desarrollar un ejemplo práctico sobre su aplicación

en nuestra vida cotidiana, el cual describimos a continuación.

De las siguientes situaciones que se presentan a continuación, cuáles de ellas,

utilizan números naturales. Justifica tus respuestas.

1. La temperatura promedio del lunes en la ciudad de Barinas fue de 32,5°C.

2. El número de taxis que transitaron durante el día por la Avenida 23 de

Enero entre las 10:00 a.m. y 1:00 p.m.

276

3. La estatura promedio de los niños de la Escuela Básica “Francisco Rivas”

es de 1,45 m.

4. La calificación promedio o el índice académico que obtuviste el semestre

pasado.

5. El presupuesto familiar que calcularon para el próximo mes.

6. La velocidad que tiene un balón de fútbol cuando se dispara al arco rival

es de 90 km/h.

7. El número de profesores que dictan Matemática en la universidad.

8. La mitad de la torta que se repartió en tu cumpleaños pasado.

9. El número de llamadas que realizaste el mes pasado desde tu celular.

10. El I.V.A. que te cobraron por comprar tu ropa nueva en el mes de

diciembre.

11. La distancia que hay desde de tu casa a la biblioteca.

12. El ingreso que percibe el Estado venezolano producto de la renta

petrolera.

13. El número de jubilados de la administración pública durante el año 2005.

14. El número de bacterias que crecieron durante 12 horas en el jugo de

lechosa.

15. La cantidad de animales que hay en un zoológico.

16. El número de palabras que hay en tus apuntes de la clase de Matemática.

17. La distancia que hay desde la Tierra a la Luna.

18. La cantidad de combustible que se quema en el motor de un F16 para

sobrevolar el territorio nacional.

19. El número de viviendas que se han construido en el año 2005 en

Venezuela.

20. La cantidad de graduados en la carrera de Educación Integral en año

2006.

VI.8.1.2. Fase de valoración cognitiva

Debido a que la valoración cognitiva está presente en toda la secuencia del

proceso didáctico, hemos presentado gradualmente asignaciones específicas al tema

estudiado para lograr una mejor evaluación de los aprendizajes.

277

Asignación Nº 1: Realiza las actividades siguientes:

� Completa el siguiente cuadro:

Actividad Respuestas Escribe un concepto de número natural.

Escribe la sucesión de números naturales.

Escribe el símbolo que representa al conjunto de estos números. Representa gráficamente el conjunto de los números naturales. Señala diez ejemplos de situaciones cotidianas donde de utilicen los números naturales.

� Organiza y sintetiza toda esta información en un esquema, diagrama, o

cuadro.

VI.8.1.3. Fase de presentación

De acuerdo a las situaciones cotidianas donde apreciamos la utilidad de los

números naturales para determinar el conteo de elementos, podemos tener una

noción más clara sobre estos; por lo tanto, para que el alumno pueda complementar

su información se explican los aspectos siguientes:

VI.8.1.3.1. Conceptos fundamentales

A los números naturales se les define intuitivamente como los números que

utilizamos para contar elementos concretos del entorno que nos rodea, es decir, para

cuantificar conjuntos determinados de elementos.

Para simbolizar al conjunto de los Números Naturales se utiliza la letra N, de

esta manera nos queda representado de la forma siguiente:

N = {0,1,2,3,4,5,6…}

Para poder representar a los números naturales se ha utilizado de manera

gráfica una semirrecta, donde cada número está separado del otro a igual distancia, es

decir, son equidistantes. Ejemplo:

0 1 2 3 4 5 6

Históricamente los números naturales fueron los primeros en dar a los grupos

humanos la habilidad de entender el concepto de cantidad de elementos para

278

organizar sus labores productivas para la supervivencia, como el cálculo o conteo de

las cosechas, número de animales en un rebaño, los días del año, etc. Según Obregón

(2007:39):

“Los niños, aún los muy pequeños, pronto aprenden a señalar con su dedito

los objetos que los rodean y a contarlos: uno, dos, tres… Algunos logran contar

hasta diez, y los más precoces, con gran orgullo suyo y de sus padres, quizás lleguen

hasta veinte.

Pues bien, los hombres primitivos siguieron el mismo camino de los niños

pequeños: adquirieron el concepto de contar sus pertenencias, probablemente para

no olvidar cuántas ovejas poseían, harían señales, quizás cortes con su cuchillo, en

una pared o en un árbol.

Un número era una palabra que se asociaba con un cierto grupo de estas

señales o cortes (una palabra, no un signo: “tres”, no 3). Pero si yo tenía tres

ovejas, y mi vecino tres camellos o tres esposas, ambos usábamos la misma palabra:

“tres”, por tanto el nombre del grupo era ‘tres’, y así tenía que ser para que nos

entendiéramos, el mismo independientemente del tipo de objetos que estuviéramos

contando”.

Y según Baldor (1992) históricamente los “Griegos y romanos no tuvieron

una adecuada manera de representar los números, lo que les impidió hacer mayores

progresos en el cálculo matemático. Los hindúes, en cambio, habían desarrollado un

práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de

las cifras. Los árabes dieron a conocer el sistema en Europa a partir del siglo VIII

(D. C.). Por eso nuestras cifras se llaman indoarábigas”.

VI.8.1.3.2 Operaciones con números naturales

También se las conoce como operaciones aritméticas fundamentales, ya que

forman parte de nuestra vida cotidiana. Prácticamente todo lo que hacemos a diario

tiene que ver o está relacionado con las operaciones de suma, resta, multiplicación y

división.

279

� La suma o adición

Supongamos los conjuntos siguientes:

Conjunto A Conjunto B

El número de personas del conjunto A es 5 y el del conjunto B es 3, estos

valores reciben el nombre de cardinal de un conjunto, es decir nos indica el número

de elementos de un conjunto dado; utilizando este ejemplo, si se desea determinar la

suma entre ambos conjuntos, nos quedaría un cardinal que representa la reunión o

unión de todos los elementos, esto es igual a 8. Representando esta situación de

manera más formal, sería: ( ) 5A# = , ( ) 3B# = y ( ) ( ) 8A B# + # =

De esta manera podemos definir intuitivamente el concepto de adición de

números naturales, como la unión de elementos entre dos o más conjuntos dados.

Formalmente las partes de la adición se pueden explicar de la siguiente

manera: si 2 3 5+ = , 2,3 y 5 son números naturales donde 2 y 3 son los sumandos y

5 la suma; es decir, en forma general, si ,a b c+ = a y b se les denominan

sumandos y a c se le llama suma, estas serían las partes en las que se divide la suma

o adición de números naturales.

Asignación Nº 2: Elabora un concepto propio de suma o adición de números

naturales.

Asignación Nº 3: Responde a las preguntas siguientes:

Preguntas Respuestas ¿Qué le sucede a la suma si un sumando aumenta o disminuye un número cualquiera?

¿Qué le sucede a la suma si un sumando aumenta un número cualquiera y otro sumando disminuye el mismo número?

280

Problema de aplicación Nº 1:

Un auto chocado se compró en 4.500.000 Bs., al reparar la latonería se

gastaron 860.000 Bs.; en ponerle cauchos y rines 620.000Bs.; en pintura 1.900.000Bs

y luego al venderlo se obtuvo una ganancia de 1.360.000Bs. ¿Cuál fue el precio de

venta?

Antes de resolver un problema se sugiere que hagas un análisis previo de la

situación que se presenta en el mismo. Para ayudarte a resolverlo vamos a utilizar

una serie de pasos para visualizarlo de una forma más clara, para ello nos

formulamos las preguntas siguientes:

1. ¿Se logra entender la situación problema?

El problema que se plantea describe una situación cotidiana de cálculo de

presupuesto en la reparación de un vehículo, para hacer una venta posterior y lo que

se quiere determinar es el precio de la venta final del mismo.

Organicemos ahora la información que nos aporta el enunciado en el

siguiente cuadro:

Datos con los que se cuenta Incógnita o dato por determinar � Precio de compra: 4.500.000 Bs. � Gastos de latonería: 860.000 Bs. � Cauchos y rines: 620.000 Bs. � Pintura: 1.900.000 Bs. � Ganancia:1.360.000 Bs.

Precio de la venta del auto: ¿?

2. ¿Cuál es el plan de resolución más indicado?

Al observar los datos del problema y el enunciado se puede determinar que se

necesita aplicar las operaciones aritméticas de suma o adición con números naturales.

En efecto, para obtener el costo total del auto se necesita sumar todo lo que se gastó

en la compra, en latonería, en cauchos y rines, y en pintura; el auto se está vendiendo

por 1.360.000 Bs. más que el costo inicial, por lo que hay que sumarlo también para

llegar a la respuesta.

3. Ejecución del plan:

Ahora efectuemos las operaciones:

4.500.000 860.000 620.000 1.900.000 1.360.000 9.240.000Bs Bs BS Bs Bs Bs+ + + + = .

Respuesta: El precio de venta del auto es de 9.240.000Bs.

281

4. ¿El procedimiento y la respuesta obtenida son los correctos?

Para tener total seguridad en lo que se ha ejecutado necesitamos realizar una

visón retrospectiva, es decir, hacer una evaluación, utilizando para ello estrategias de

verificación. El procedimiento más sencillo es efectuar de manera inversa lo

ejecutado.

Al costo total de 9.240.000Bs. le restamos el presupuesto gastado en la

repotenciación y la ganancia. Ilustremos la operación:

9.240.000 (860.000 620.000 1.900.000 1.360.000 ) 4.500.000Bs Bs Bs Bs Bs Bs− + + + =

El resultado es el precio al cual fue comprado el auto.

Es importante destacar los pasos que hemos utilizado para resolver el

problema, los cuales resumiremos en el siguiente cuadro:

Pasos Preguntas para orientar 1. Entender el problema. ¿Cuáles son los datos e incógnitas?, ¿cómo

organizo la información del problema?, ¿manejo el contenido, conceptos, procedimientos para resolverlo?

2. Diseñar un plan de resolución. ¿Cuáles son las estrategias más eficaces para resolverlo?, ¿puedo diseñar algún diagrama, esquema o cuadro para estructurar la información del problema?, ¿existen axiomas, teoremas, fórmulas y definiciones o conceptos que funcionen para resolver el problema?, ¿podemos estructurar en pasos el procedimiento de resolución?

3. Aplicar el plan. ¿Respeto un orden coherente en la puesta en práctica del plan?, ¿ejecuto cada paso tomando en cuenta la información adecuada?, ¿efectúo las operaciones de manera correcta?, ¿analizo cada concepto antes de aplicarlo?

4. Verificación. ¿Puedo hacer estimaciones para verificar las respuestas?, ¿evalúo la aplicación de cada paso en le procedimiento? , ¿qué estrategias aplico para verificar la exactitud de la respuesta?, ¿cuáles son los errores más frecuentes?

Valoración cognitiva: El alumno debe resolver el problema planteado con la

asesoría del profesor y el apoyo de sus compañeros de equipo, una vez internalizados

los pasos, procedimientos y operaciones. Debe procurar resolverlo de manera

individual para garantizar un mejor aprendizaje. También se recomienda plantear y

resolver problemas semejantes para tener una diversidad de situaciones o ejemplos

ilustrativos y para comprender mejor los pasos que estamos aplicando.

282

Asignación Nº 4: Resuelve el problema siguiente aplicando los pasos del problema

anterior y completando el cuadro que se presenta a continuación:

Para trasladarse de Barinas a Puerto La Cruz una persona ha recorrido: 38

Km. en autobús; en taxi 34 Km. más que en autobús; en avión 316 Km. más que en

autobús y taxi y en transporte colectivo 12 Km. Si todavía le faltan 25 Km. para

llegar a su destino, ¿cuál es la distancia que debe recorrer entre la dos ciudades.

Respuesta: 573 Km.

Pasos en la resolución del problema Respuestas Entender el problema.

Diseñar un plan. Aplicar el plan. Visión retrospectiva.

� Propiedades de la adición de números naturales

En el siguiente cuadro presentamos un resumen de las propiedades de la

adición de números naturales. Es necesario que el alumno utilice suficientes

ejemplos similares a los presentados para lograr la construcción progresiva del

aprendizaje de las mismas, para lo cual es fundamental aplicar estrategias para

organizar la información como pueden ser la realización de cuadros como el de este

ejemplo, esquemas, mapas conceptuales o diagramas. En cualquiera de los casos el

profesor puede y debe asesorar y orientar al alumno durante esta actividad.

Propiedad Expresión matemática Ejemplos Conmutativa

a b b a+ = + 2 3 3 2

5 5

+ = +=

Asociativa

( ) ( )a b c a b c+ + = + + 2 (3 5) (2 3) 5

2 8 5 5

10 10

+ + = + ++ = +=

Elemento neutro

0 0a a a+ = + = 2 0 0 2 2+ = + =

Valoración cognitiva: Para realizar la valoración cognitiva de las propiedades

de la adición en N proponemos la siguiente actividad:

283

Asignación Nº 5: Utilizando ejemplos adicionales verifica las propiedades de la

adición en N

� La resta o sustracción

Si 18 5 13− = , donde 18,5 y 13 son números naturales, entonces 18 es el

minuendo, 5 el sustraendo y 13 es la resta o diferencia. La resta o sustracción es la

operación inversa de la suma, puesto que al sumar el resultado de la misma con el

sustraendo se obtiene el minuendo.

Dados los conjuntos siguientes:

A B

( ) 20A# = y ( ) 16B# = , al determinar la diferencia entre los cardinales de A y

B, nos quedaría de la manera siguiente: ( ) ( ) 20 16 4A B# − # = − =

Así podemos decir que la resta es una diferencia entre los cardinales de

conjuntos. En forma general a b c− = , si a b≥ y c∈N, esto quiere decir que el

sustraendo debe ser mayor que el minuendo para que el resultado de la resta sea un

número natural.


Si me sacara 25.000.000 Bs. en el kino, tendría 56.340.000 Bs. Si mi hermano

tiene 9.360.000 Bs. menos que yo, y mi prima 8.930.000 Bs. menos que mi hermano

y yo juntos, ¿cuánto tenemos entre los tres?

Formulemos las preguntas de análisis para la situación que se plantea en le

problema.

▲▲▲▲

▲▲▲▲

▲▲▲▲

▲▲▲▲

▲▲▲▲

▲▲▲▲

▲▲▲▲

▲▲▲▲

▲▲▲▲

284

1. ¿Se entiende el enunciado del problema?

Se pide determinar el monto total de dinero que tienen las tres personas, pero

antes de calcular esto hay una serie de operaciones que efectuar. Vamos a organizar

la información en el siguiente cuadro:

Datos con los que se cuenta Incógnita o dato por determinar � Dinero que me ganaría en la lotería:

25.000.000 Bs.

� Dinero que tendría hipotéticamente:

56.340.000 Bs.

� Dinero de mi hermano:

9.360.000 Bs. menos que yo.

� Dinero de mi prima:

8.930.000 Bs. menos que mi hermano y yo juntos.

Total de dinero que tenemos las tres personas: ¿?

2. ¿Cuál es el plan de resolución?

En primer lugar, hay que calcular el monto real de dinero que tiene cada

persona.

Ejecutando el plan: Resolvamos las operaciones necesarias.

El dinero que tengo es la diferencia entre lo que tendría si me gano el kino y

el premio de 25.0000.000 Bs., es decir:

56.340.000 25.000.000 31.340.000Bs Bs Bs− = .

Dinero de mi hermano, este se obtiene resolviendo la operación siguiente:

31.340.000 9.360.000 21.980.000Bs Bs Bs− = .

Dinero de mi prima: Se obtiene con las siguientes operaciones:

31.340.000 21.980.000 8.930.000 44.390.000Bs Bs Bs+ − =

Finalmente sumamos los tres montos:

31.340.000 21.980.000 44.390.000 97.710.000Bs Bs Bs Bs+ + =

Respuesta: La cantidad de dinero que tenemos es de 97.710.000 Bs.

Visión retrospectiva del procedimiento utilizado en el problema.

Se efectúan las operaciones necesarias restando del monto final de

97.710.000 Bs., cualquiera de las cantidades de dinero que tiene cada uno, para

285

obtener el dinero de las otras personas. Si queremos verificar la cantidad de dinero de

mi prima, restamos al monto total las cantidades de dinero de los hermanos, esto nos

debe dar 44.390.000 Bs., luego le restamos el dinero que tienen los hermanos juntos

para obtener el dato inicial de 8.930.000 Bs. y así sucesivamente hasta verificar que

los datos se corresponden con los resultados obtenidos por el procedimiento o plan

ejecutado.

Valoración cognitiva: El alumno resolverá el problema planteado en la

asignación Nº 6, siguiendo los pasos del procedimiento explicado durante la clase.

Asignación Nº 6: Resuelve el problema siguiente:

Un comerciante de la ciudad de Barinas pide 3 toneladas de carne. Primero le

mandan 854 Kg., más tarde 123 Kg. menos que la primera vez y después 156 Kg.

más que la primera vez. ¿Cuánto falta por enviarle?

Respuesta: 405 Kg.

� Producto o multiplicación

Generalmente a la multiplicación se le atribuye la noción de “suma

abreviada”; para entender mejor su concepto, también se le describe como la suma

que tiene por característica que los sumandos son iguales, por ejemplo: si

2+2+2+2+2=10 entonces podemos escribir esta operación como 2 5× operación

aritmética que indica que 2 debe sumarse 5 veces.

Simbólicamente podemos decir que, si a b c× = entonces,

....a a a a b+ + + + veces a , de este modo tenemos definidas las partes de la

multiplicación, a es el multiplicando, b es el multiplicador y c es el producto o

multiplicación.

Ejemplo ilustrativo Nº 1: En una fiesta fueron invitados dos grupos; el

primero formado por Felipe, Santiago y Esteban; el segundo formado por Gabriela,

Isabel, Ana, Lucía y Paulina. ¿Cuántas parejas de baile se pueden formar?

286

Paso 1: Entender el problema:

Datos Incógnitas Tenemos dos conjuntos o grupos de personas

{ } Felipe, Santiago y EstebanHombres =

{ }Gabriela, Isabel, Ana , Lucía y PaulinaMujeres =

Cuántas son las maneras de combinar las personas para formar parejas de baile.

Paso 2: Diseñar el plan:

Se tienen que combinar los elementos del primer conjunto uno por uno con

los elementos del segundo, de esta manera tendremos todas las combinaciones

posibles.

Paso 3: Ejecutar el plan:

Parejas = {(Felipe, Gabriela), (Felipe, Isabel), (Felipe, Ana), (Felipe, Lucía),

(Felipe, Paulina), (Santiago, Gabriel), (Santiago, Isabel), (Santiago, Ana), Santiago,

Lucía), (Santiago, Paulina), (Esteban, Gabriela), (Esteban, Isabel), (Esteban, Ana),

(Esteban, Lucía), (Esteban, Paulina)}.

Paso 4: Visión retrospectiva del plan ejecutado:

Como se puede apreciar el número de pares ordenados son efectivamente el

número de parejas de baile, es decir, 15 que representa el cardinal del conjunto

producto.

De acuerdo a este ejemplo, la multiplicación también se puede representar

utilizando conjuntos, si queremos obtener el número de parejas simplemente

calculamos el producto de los cardinales de los conjuntos de hombres y mujeres, de

esta manera, nos quedaría la siguiente operación sencilla:

( ) 3H# = , ( ) 5M# = , hombres y mujeres respectivamente, luego

( ) ( ) 3 5 15H M# × # = × =


Un ganadero compró 80 cabezas de ganado a 400.000 Bs. cada una. Vendió

30 a 450.000 Bs. y 25 a 480.000 Bs. ¿Cuánto debe obtener de las que quedan para

que la ganancia total sea de 4.000.000 Bs?

287

Paso 1. Entender el problema:

Datos Incógnitas Compra: 80 cabezas de ganado. Precio: 400.000 Bs. Venta. 30 cabezas por 450.000 Bs. 25 cabezas por 480.000 Bs. Ganancia: 4.000.000 Bs.

Precio de venta de las cabezas de ganado restantes.


Necesitamos calcular los montos siguientes:

Precio total de la compra o inversión, cantidad de dinero que se obtuvo en la

venta inicial y cantidad de cabezas de ganado que faltan por vender.

Paso 3: Ejecutar el plan:

Operaciones:

Inversión: 80 400.000 32.000.000Bs× = .

Dinero de la primera venta:

30 450.000 13.500.000Bs× = y 25 480.000 12.000.000Bs× = ; sumando estas

cantidades 13.500.000 Bs. + 12.000.000 Bs.=25.500.000 Bs.

Número de reses por vender = 80-55=25.

Hay que tener en cuenta que si la ganancia debe ser de 4 millones de Bs.,

entonces hay que sumar esta con la diferencia obtenida entre la inversión y la venta

del primer lote de ganado.

32.000.000 Bs.-25.500.000 Bs. = 6.500.000 Bs, luego 4.000.000 Bs +

6.500.000 Bs = 10.500.000 Bs.

El ganadero debe vender el lote de 25 cabezas de ganado por 10.500.000 Bs.


Se han vendido en un mayor de víveres 14 sacos de harina de trigo a 18.000

Bs. cada uno con una pérdida de 2.000 Bs. por cada saco; 20 sacos de arroz a 4000

Bs. cada uno con una ganancia de 1.000 Bs. por saco; y 7 sacos de frijoles a 15.000

288

Bs. cada uno con una pérdida de 3.000 Bs. por saco. ¿Cuál fue el costo de toda la

mercancía que se vendió?

Respuesta: 466.000 Bs.

� Propiedades de la multiplicación de números naturales

En el caso de las propiedades de la multiplicación el alumno debe utilizar las

estrategias de aprendizaje y las actividades sugeridas para las propiedades de la

adición.

Propiedad Expresión matemática Ejemplos Conmutativa a b b a× = × 2 3 3 2

6 6

× = ×=

Asociativa ( ) ( )a b c a b c× × = × × 2 (3 5 ) ( 2 3 ) 5

2 1 5 6 5

3 0 3 0

× × = × ×× = ×

=

Elemento neutro 1 1a a a× = × = 2 1 1 2 2× = × =

Distributiva de la multiplicación respecto a la adición

( )a b c a b a c× + = × + × 2 (5 3) 2 5 2 3

2 8 1 0 6

1 6 1 6

× + = × + ×× = +

=

� División o cociente

La división es una operación inversa de la multiplicación, es decir,

conociendo el producto y uno de los factores podemos determinar el segundo factor,

este resultado se le denomina cociente.

Si queremos dividir, por ejemplo, 30 entre 6, lo que estamos haciendo es

buscar un número por el cual multiplicar 6 para que sea igual a 30. Este es 5, de esta

manera podemos decir que 30 6 5÷ = , porque 6 5 30× = ; igualmente

450 10 45÷ = porque 45 10 450× = y 81 3 27÷ = porque 27 3 81× = .

En general si a b c÷ = entonces a b c= × , donde:

:::

a D i v i d e n d o

b D i v i s o r

c C o c i e n t e

289

Existen otras maneras de escribir simbólicamente a la división, utilizando las

siguientes expresiones: a

cb

= o a cb

= , algunas veces se utiliza las iniciales de

dividendo, divisor y cociente, D d c÷ = , para simbolizar la división, de donde

podemos establecer, que el dividendo es igual al producto entre divisor y cociente, si

dicha división es exacta, de lo contrario sería inexacta, porque el dividendo no se

reparte en partes iguales, por ejemplo:

32 5 6 5 2÷ = × + , 2 es un residuo o resto, es decir, lo que ha sobrado

después de la repartición, para que obtengamos el dividendo, entonces al producto

entre divisor y cociente ahora se le suma el resto, por lo tanto tenemos el siguiente

algoritmo general de la división:

Dividendo divisor cociente resto= × + o D dc r= + , si 0r = , la

división es exacta; si 0< r<d entonces es inexacta.


Se repartieron 243 lápices entre 54 personas y sobraron 27 lápices. ¿Cuántos

lápices recibió cada persona?

Procedimiento:

Paso 1: Entender el problema:

Datos Incógnita N° de lápices = 243 N° de personas = 54 N° de lápices que sobraron = 27

N° de lápices que recibió cada persona

Pasos 2 y 3: Diseño y ejecución del plan:

Operaciones Resultados 2 4 3 5 4

5 42 4 3 4

÷ =

(27)

Cociente = 4 Resto = 27 Cada persona recibió 4 lápices y sobraron 27

Paso 4: Verificamos el resultado utilizando el algoritmo de la división:

54 4 27 243D dc r= + = × + =

290

Valoración cognitiva: Para complementar las actividades de la fase de

valoración cognitiva el alumno realizará la actividad siguiente, insistiendo en

plantear y resolver problemas similares con la asesoría del profesor, el apoyo de los

compañeros de equipo y finalmente de forma individual.


Miguel compró cierto número de caballos por 21.200.000 Bs. a 400.000 Bs.

c/u. Vendió 40 caballos por 16.800.000 Bs. ¿Cuántos caballos le quedan y cuánto

ganó en c/u de los que vendió?

Respuesta: 13 caballos y 20.000 Bs.

� La potenciación

Generalmente a esta operación se le conoce como un producto de n factores

iguales, como por ejemplo: 2 2 2 2 2 32× × × × = Este procedimiento se puede

escribir de la forma siguiente:

52 32= , el número que se múltipla por si mismo se le llama base, el

número de veces que ha de multiplicarse exponente y el resultado potencia. De

manera general ...na a a a n= × × × v e c e s a , es decir que:

:

:

:

:

na b

d o n d e

a B a s e

n E x p o n e n te

b P o te n c ia

=

Asignación Nº 9: Efectuar las potencias siguientes:

6

5

15

100

4

5

2

3

1

0

5

10

===

==

=

5

2

3

2

2

3

5

6

8

9

11

12

======

291

Ejercicio Nº 2: Simplificar las expresiones siguientes:

22 3 4 2

2 4 3

2 .3 .2 .31)

2 .3 .2

=

Procedimiento: Se necesita aplicar las propiedades de la potenciación con

números naturales. Desarrollemos el ejercicio en los pasos siguientes:

Paso 1: La expresión es una potencia de un cociente, es decir, de la forma:

, 0n n

n

a ab

b b

= ≠

Tanto la expresión del numerador como la del denominador quedan elevadas

al mismo exponente, aplicando esta propiedad nos resulta:

( )( )

22 3 4 2

22 4 3

2 .3 .2 .3

2 .3 .2=

Paso 2: Las expresiones en el numerador y denominador ahora son potencias

de un producto, propiedad que indica que los exponentes de los factores se

multiplican con el exponente de la potencia mayor, es decir,

( . ) .n m r n r m ra b a b= , luego al efectuar nos queda:

4 6 8 4

4 8 6

2 .3 .2 .3

2 .3 .2=

Paso 3: Ahora se puede apreciar que, tanto en el numerador como en el

denominador, hay potencias de igual base, para lo cual se aplica la propiedad

correspondiente, esta señala que se debe colocar la misma base y sumar los

exponentes, es decir, .m n m na a a += . Efectuando nos queda entonces la

expresión siguiente:

12 10

10 8

2 .3

2 .3=

292

Paso 4: Finalmente quede un cociente o división de igual base, para

desarrollar esta operación se colocan las mismas bases y se restan los exponentes, es

decir, , 0m

m n

n

aa a

a

−= ≠ , así nos quedaría la expresión siguiente:

2 22 . 3 3 6=

( ) ( )( ) ( )

3 42 3

2 43 2

2 32 )

2 3=

Las expresiones que están en el numerador y denominador se les denomina

potencia de una potencia, esta propiedad se desarrolla, colocando la base y

multiplicando los exponentes, simbólicamente es ( )nm m na a= . Efectuando

nos quedaría:

6 1 2

6 8

2 . 3

2 . 3=

0 42 .3 = División de potencias de igual base.

02 1= Toda expresión diferente de cero elevada a la cero es igual a 1. 0 1, 0a a= ≠

41.3 81= Efectuando potencias.

Asignación N° 10: Resuelve el ejercicio N° 1 aplicando las propiedades de la

potenciación en N, puedes seguir un procedimiento diferente al desarrollado

anteriormente.

Resumen de las propiedades de la potenciación en N

Para internalizar las propiedades el alumno puede reproducir este cuadro con

ejemplos diferentes, para establecer la relación entre el nombre de la propiedad, su

expresión matemática y ejemplos ilustrativos, de esta manera el docente podrá

observar con mayor precisión las fortalezas y debilidades de este aprendizaje para

efectuar la respectiva valoración cognitiva.

293

Propiedad Expresión matemática Ejemplos Producto de potencias de igual base. .m n m na a a +=

2 3 52 .2 2=

División de potencias de igual base. , 0

mm n

n

aa a

a

−= ≠

52

3

22

2=

Potencia de una potencia. ( )nm m na a=

2 3 6(2 ) 2=

Potencia de un producto. ( . ) .n m r nr mra b a b=

2 3 3 6 9(2 .3 ) 2 .3=

Potencia de un cociente.

, 0n n

n

a ab

b b

= ≠

25 10

3 6

2 2

3 3

=

Potencia con exponente cero.

0 1, 0a a= ≠ 03 1=

Asignación Nº 11:

1) Explique por qué toda expresión diferente de cero elevada a la cero es

igual a 1.

2) Simplifique las expresiones siguientes:

52 3 5 3

2 4 3 3

2 3 2 3)

3 2 3 2i

=

R. 243

( )( )

532

423

3)

3i i

=

R. 729

Es importante establecer la retroalimentación adecuada con los alumnos

durante la resolución de estos ejercicios en el aula de clase para garantizar una

apreciación más cualitativa de los aprendizajes que los alumnos están construyendo.

� La radicación

Se pude decir que esta operación aritmética es inversa al cálculo de potencias,

por ejemplo, en la potencia 62 64= , si queremos determinar la base teniendo

como datos a la potencia y el exponente, lo que estamos efectuando es el cálculo de

294

la raíz sexta, es decir, obtener un número que multiplicado seis veces por si mismo

sea igual a 64. Este número es el 2, ahora para expresar en el lenguaje matemático

esta operación se utiliza la notación 6 64 2= , en general se escribe de la forma

siguiente:

n a b= , donde:

:n Indice de la raíz

:a Cantidad sub-radical o radicando.

:b Raíz

Ejercicio N° 2: Calcular las raíces siguientes:

Así mismo 4 2= (raíz cuadrada de 2 o raíz de 2), porque 22 4= ,

cuando en el índice de la raíz no se coloca ningún valor, por convención se acepta el

2, es decir, es una raíz cuadrada.

Asignación Nº 12: Determine las raíces siguientes:

3

3

4

1) 81

2) 100

3) 27

4) 216

5) 81

=

=

=

=

=

5

4

10

6

6) 32

7) 64

8) 1

9) 1000.000

10) 144

=

=

=

=

=

Asignación Nº 13: Realiza un resumen de los aspectos estudiados hasta el momento,

para ello se recomienda utilizar esquemas, diagramas o mapas conceptuales. A

continuación se ha elaborado un mapa conceptual para resumir el tema de los

números naturales. Puedes modificarlo de acuerdo a tu criterio, el objetivo es que

elabores tu propio mapa, esquema o diagrama.

295

Mapa conceptual ilustrativo:

VI. 8.1.4 Fase de proyección

A continuación se presentan una serie de problemas de aplicación para lograr

en el alumno la generalización y proyección de los aprendizajes logrados a

situaciones nuevas. Consideramos ejecutar esta fase en este punto de la unidad

didáctica, puesto que los alumnos ya han avanzado en el apartado sobre el sistema de

los números naturales y en la aplicación de las estrategias de aprendizaje para la

organización de la información y la resolución de problemas.

Asignación Nº 14: Resuelve los problemas siguientes:

De acuerdo a las orientaciones teóricas descritas en los pilares de nuestro

programa de autorregulación, damos a los alumnos las recomendaciones siguientes:

296

- Sigue los pasos que se utilizaron en los problemas de aplicación resueltos

para tener una idea clara sobre la información que aporta cada problema y

las incógnitas o datos desconocidos.

- También puede hacer uso del siguiente cuadro para tener una visión de

sus habilidades para resolver problemas.

Lo que usted sabe Lo que necesita saber Espacio para pensar La información matemática que maneja y domina.

Aclarar dudas a través de la consulta con un asesor o con materiales escritos como libros o guías.

Procedimiento para resolver el problema.

- Dividir el problema en sub-metas desde lo más sencillo hasta lo más

complicado.

- Relacionar el problema con ejemplos cotidianos.

- Trabajar en pequeños grupos y luego de forma individual.

- Utilizar diagramas, dibujos o bocetos para visualizar la situación que

plantean los problemas.

- Verificar si el resultado es correcto.

- Solicitar cuando sea necesario la asesoría del docente.

Problemas:

1) Si 10 niños de cada 100 usan lentes, ¿cuántos no usan lentes en un grupo

de 400 niños?

R.360.

2) Si usted ha entrado 3 veces en un lugar, ¿cuántas veces ha tenido que

salir?

R. 2 veces.

3) 10 barcos necesitan 10 días para consumir 10 tanques de aceite, ¿cuántos

días necesita un barco para consumir un tanque de aceite?

R. 10 días.

4) ¿Qué tiempo transcurre desde el año 325 antes de Cristo al año 325

después de Cristo?

R. 650 años.

5) Si cinco gatos cazan cinco ratones en cinco minutos, ¿cuántos gatos

cazarán un ratón en un minuto?

R. 5 gatos.

297

6) Si una gallina pone 2 huevos en 3 días, ¿cuántos días se necesitan para

que 4 gallinas pongan dos docenas de huevos?

R.9 días.

7) Si el producto de las edades en años de dos adultos es 770, ¿cuánto vale la

suma de sus edades?

R. 57.

8) Cuando iba para la universidad topé con siete mujeres, cada mujer con un

bolso y en cada bolso siete gatos. Entre gatos, bolsos y mujeres, ¿cuántos

íbamos para la universidad?

R. 1.

9) Si 24 gallinas ponen 24 docenas de huevos en 24 días y 6 gallinas se

comen 6 Kg. de maíz en 6 días, ¿cuántos huevos equivalen a un kilo de

maíz?

R.3 huevos/kg.

10) El famoso cuadro de las Meninas fue pintado por Velásquez en 1.656, a

los 57 años, después de vivir 34 años en Madrid, donde se había instalado

a los 4 años de casado. ¿A qué edad se casó?

R.19 años.

11) Si 3 vacas dan 4 baldes de leche en 5 días, ¿en cuántos días 6 vacas,

igualmente productivas, dan 8 baldes de leche?

R. 5 días.

12) Un niño ha escrito los 100 primeros números, ¿cuántas veces ha utilizado

la cifra 1?

R.21 veces.

13) Cada uno de 6 hermanos recibió por herencia de su padre, un ganadero de

los llanos de Barinas, 31.600.000 Bs. más que el anterior por orden de

edad, y el menor recibió 1.013.200.000 Bs. Se pagó una deuda de

561.400.000 Bs. y se apartaron 41.500.000 para gastos. ¿A cuánto

ascendía la herencia?

R.7.156.100.000 Bs.

298

14) Después de vender mi casa con una pérdida de 3.184.000 Bs. Presté

2.006.000 Bs. y me quedé con 15.184.000 Bs. ¿Cuánto me había costado

la casa?

R.20.374.000 Bs.

15) ¿Cuánto costó un televisor que al venderse en 125.170 Bs. deja una

pérdida de 13.180 Bs.?

R.138.350 Bs.

16) Un estanque tiene tres grifos que vierten: el primero 50 litros en 5

minutos; el segundo 91 litros en 7 minutos y el tercero 108 litros en 12

minutos, y dos desagües por los que salen 40 litros en 5 minutos y 60

litros en 6 minutos, respectivamente. Si estando vació el estanque y

abierto los desagües, se abren las tres llaves al mismo tiempo, necesita 40

minutos para llenarse. ¿Cuál es su capacidad?

R. 560 litros.

17) Compro igual número de vacas y caballos por 12.375.000 Bs. ¿Cuántas

vacas y caballos habré comprado si el precio de una vaca es de 600.000

Bs. y el de un caballo 525.000 Bs.?

R. 11 de cada uno.

18) Un empleado gana 7.000 Bs. diarios, gasta 14.000 Bs. semanales.

¿Cuántos días tendrá que trabajar para comprar un carro de 5.600.000

Bs.?

R.1.120 días.

19) Siete personas tiene cada una siete gatos, cada gato come siete ratones,

cada ratón come siete espigas de cebada y cada espiga produce siete

medidas de grano, ¿cuál es el número de personas, gatos, ratones, espigas

de cebada y medidas de granos en total?

R. 7 personas, 49 gatos, 343 ratones, 2401 espigas, 16807 medidas de grano.

20) Un campesino se dirige a la ciudad, pensando tristemente que el dinero

que llevaba no iba a ser suficiente para comprar el lechoncillo que

deseaba. A la entrada del puente se encontró a un raro tipo, era el diablo;

este le dijo: conozco tu preocupación y voy a proponerte un trato, si lo

aceptas cuando hayas cruzado el puente tendrás en tu bolsa el doble de

dinero que al empezar. No cuentes el dinero que sería desconfianza de tu

299

parte, solo debes contar 32 monedas para echarlas al río; y yo sabré

contarlas y estas serán mi paga.

Aceptó el aldeano, y apenas cruzado el puente comprobó, lleno de alegría

y sin necesidad de contar, que su bolsa pesaba bastante más que antes.

Con gran contento echó las 32 monedas al agua. Le vino entonces la

tentación de repetir la acción y no supo resistirla, así que de nuevo pasó el

segundo puente, duplicó el dinero de su bolsa y pagó con 32 monedas.

Todavía una tercera vez hizo esto mismo y, entonces, desolado, comprobó

que se había quedado absolutamente sin ningún dinero, desesperado, se

tiró desde el puente al río, y el Diablo cobró así su trabajo. La pregunta es

¿cuánto dinero llevaba el campesino cuando le propusieron el malhadado

trato?

R. 28 monedas.

VI.8.1.4.1. Sistema numérico

Continuando con la fase de presentación, desarrollamos este apartado sobre

la definición intuitiva del sistema numérico y los conceptos de múltiplos, divisores,

números primos y compuestos, máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

Un sistema numérico se le puede definir de manera intuitiva como un

sistema formado por un conjunto numérico definido, las operaciones que se efectúan

entre los elementos de ese conjunto y las propiedades que cumplen dichas

operaciones. De acuerdo con esto, por ejemplo, en el cuadro siguiente se describe el

sistema de los números naturales:

Sistema de los números naturales:

Conjunto Operaciones Propiedades Adición Conmutativa, asociativa,

elemento neutro. Sustracción No se cumplen. Multiplicación Conmutativa, asociativa,

elemento neutro y distributiva.

División No se cumplen. Potenciación

N = {0,1,2,3,4,5,6…}

Radicación

300

VI.8.1.4.2. Números primos y compuestos

Si queremos determinar los divisores de 3,5 y 7 notaremos que tienen algo en

común, los divisores de 3, son 1 y 3; los de 5, 1 y 5 y los de 7, 1 y 7; solamente se

les puede dividir por la unidad y por ellos mismos. Determinamos los divisores de

8,12 y 15; tenemos que los divisores de 8 son: 1, 2 ,4 y 8; los de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6

y 12 y los de 15 serían: 1, 3, 5 y 15. Estos últimos son divisibles no sólo por uno y

ellos mismos sino por otros números.

Un número primo es aquél que es divisible sólo por la unidad y por él mismo.

Un número es compuesto cuando es divisible por tres o más números.

Asignación Nº 15: Determina la sucesión de números primos y compuestos menores

e iguales que 100, puedes utilizar un cuadro y encerrar en un círculo a los números

primos, los demás serán los compuestos.

VI.8.1.4.3. Múltiplo de un número natural

Cuando un número es múltiplo de otro es porque lo contiene un número

exacto de veces; por ejemplo, 8 es múltiplo de 2, porque 8 contiene al 2, 4 veces; 12

es múltiplo de 4, porque 12 contiene al 4, 3 veces. Si queremos determinar los

múltiplos de cualquier número natural, efectuamos el producto de éste con la

sucesión de números naturales, por ejemplo:

Múltiplos de 2: 2ℕ ={0,2,4,6,8,10,12,14,16,18…}

Múltiplos de 3: { }3 0, 3, 6, 9,12,15,18, 21...=ℕ

Múltiplos de 4: { }4 0, 4,8,12,16, 20, 24, 28...=ℕ

Múltiplos de 5: { }5 0, 5,10,15, 20, 25, 30, ...=ℕ

VI.8.1.4.4. Divisores, factores o sub-múltiplos de un número natural

Se puede decir que el divisor es un concepto inverso al del múltiplo. Un

número es divisor, factor o sub-múltiplo de otro cuando está contenido en el

segundo un número exacto de veces; por ejemplo, 2 es divisor de 10 porque está

301

contenido en el 10 cinco veces; 3 es factor de 18 porque está contenido en 18 seis

veces.

Asignación Nº 16: Determinar los divisores de los siguientes números naturales: 6,

8, 9, 12, 16, 18, 21, 22, 25, 26, 27, 36, y 45.

VI.8.1.4.5. Números pares

Es el conjunto formado por los múltiplos de 2. Su fórmula general es 2n ,

donde n∈N (Se lee n pertenece a N)

VI.8.1.4.6. Números impares

Son aquellos que no son pares. Su fórmula general es 2 1n ± , donde n∈N.

VI.8.1.4.7. Máximo común divisor

Determinemos los divisores de 8,12 y 20:

Divisores de 8 { }1,2,4,8= ; divisores de 12 { }1,2,3, 4,6,12= y divisores de

20 { }1,2,4,5,10,20= . Una vez obtenidos los divisores, se puede ver que los tres

conjuntos tienen divisores que son comunes, { }1,2,4 y uno que es el mayor de todos,

el 4; a través de este ejemplo, se puede comprender el concepto de máximo común

divisor como el mayor número que divide a todos exactamente.

Para determinar el m.c.d. (siglas de máximo común divisor) de dos o más

números generalmente se utilizan métodos, dentro de los cuales se destaca el de la

descomposición de los números en factores primos. Veamos un ejemplo:

Determinar el m.c.d. de 345 y 850.

302

345 5

69 3

23 23

1

850 5170 534 217 171

Factores primos de 345 5.3.23= , de 2850 5 .2.17= , luego seleccionamos el

factor común con el menor exponente y finalmente el m.c.d. de 345 y 850 es 5.

VI.8.1.4.8. Mínimo común múltiplo

Determinemos los múltiplos de los siguientes números:

3N={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27…} y 4N={0,4,8,12,16,20,24,28…}

Se observa que tiene dos múltiplos comunes, el 12 y el 24. Como 12 es el

menor de los múltiplos entonces el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12.

Así se puede definir al m.c.m. (siglas de mínimo común múltiplo) de dos o

más números como el menor número que los contiene un número exacto de veces.

Para determinar el m.c.m. de dos o más números se utiliza también la

descomposición en factores primos.

Ejemplo: Determinar el mínimo común múltiplo de 18, 24 y 40.

1 8 29 33 31

24 212 26 23 31

40 210 25 51

218 2.3= 324 2 .3=

340 2.5=

Seleccionamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente,

es decir; 3 22 .3 .5 360=

303

VI.8.2. Sistema de los Números Enteros

En la Tabla 6.3. presentamos el guión de trabajo a seguir en el desarrollo de

los contenidos relativos al sistema de los números enteros, respetando la secuencia y

elementos del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal.

TÍTULO: SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS


Exploración/Motivación Idea intuitiva de Número Negativo


números enteros



números enteros Aprendizajes a lograr - Presentar hechos de la vida cotidiana cuya representación requiera el uso de los números negativos y positivos.

- Expresar la idea intuitiva y el significado del número negativo y compararlo con el número natural.

- Relacionar el concepto de número entero a través de cantidades positivas (ganancia, utilidad, crecimiento, etc.) y cantidades negativas (pérdida, deudas, déficit...).


Ideas a considerar - La necesidad dentro de los grupos humanos de utilizar símbolos de números negativos para representar situaciones cotidianas. - Transición de la manipulación semi-concreta hacia la abstracción de los números negativos. - Utilización de las notaciones formales para representar al conjunto de los números enteros.

Ideas a considerar - Utilidad de las operaciones fundamentales con números enteros en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas.



Ideas a considerar - Conceptualización de las operaciones fundamentales en Z.

- Formalizar las propiedades del conjunto Z.


Actividades para los alumnos - Dar ejemplos sobre el uso de los números negativos y positivos en la vida cotidiana.

- Representar gráficamente el conjunto de los números enteros.


Aspectos a observar y valorar - Comprensión del concepto intuitivo de número negativo, positivo y significado del cero. - Verificar la relación entre la interpretación de situaciones cotidianas y la aplicación formal y abstracta del conjunto de los números enteros. - Verificar las estrategias de aprendizaje que se

Aspectos a observar y valorar - Comprobar con cuales estrategias inician los alumnos la resolución de estos problemas.


- Valorar la aplicación que tienen de las operaciones fundamentales con números enteros para resolver los problemas.

- Monitorear las


- Utilización de ejemplos numéricos para explicar las diferentes propiedades del conjunto de los números enteros.

- Construcción de esquemas, diagramas, gráficos y mapas conceptuales para organizar la

304

utilizan para organizar la información.

estrategias de resolución de problemas aplicadas durante la clase y como estas se incorporan al razonamiento de los alumnos.

información como estrategias de aprendizaje.

Tabla 6.3. Guión de trabajo para el Sistema de los Números Enteros.


El docente necesita de la información sobre los aprendizajes previos que

tengan los alumnos para establecer un punto de partida en el proceso didáctico, de

esta manera puede aplicar algunas técnicas y procedimientos de enseñanza como la

socrática para formular preguntas y obtener las respuestas sobre los aspectos a

desarrollar durante la clase, también de la forma más práctica proponemos la

realización de la siguiente actividad:

Responde las preguntas del cuadro siguiente:

Preguntas Respuestas Observaciones ¿Qué es un número entero?

¿Para que se usan los números negativos?

¿Cuál es el conjunto Z?

¿Cómo representamos al conjunto Z?

Menciona algunos ejemplos sobre el uso de los números negativos.


La introducción de los números enteros necesita igualmente de la utilización

de situaciones reales y cotidianas, el docente debe valerse de las aplicaciones directas

del número negativo y utilizar su origen histórico; si el profesor asigna estas

actividades a los alumnos para la discusión en la sesión de clase los resultados

pueden ser gratificantes en el proceso didáctico. No obstante hemos desarrollado

para guiar a los alumnos la exposición de varios aspectos.

Una vez desarrollada la fase de exploración para introducir el tema de los

números enteros, crear la motivación en los alumnos y determinar sus aprendizajes

previos, continuamos con la presentación de los aspectos siguientes:

305


Para comprender el origen de los números enteros hay que precisar el origen

los números negativos, para lo cual nos apoyamos en un problema sencillo como el

siguiente:¿qué número hay que sumarle a 5 para que el resultado sea igual a 3?

Podemos buscar en todo el conjunto de los números naturales y nunca lo

hallaríamos; la expresión 5 3x+ = , no tiene solución en N, es en este momento

histórico cuando se necesitó de otro tipo de números, los negativos, de esta manera el

problema tiene solución, para 2x=− , al sumar 5 con 2− , el resultado es igual a 3.

Según Baldor (1989:30): “Los números negativos no fueron conocidos por los

matemáticos de la antigüedad, salvo en el caso de Diofanto (siglo III D.C.). En el

siglo VI, los hindúes Brahmagupta y Bháskara usan los números negativos de un

modo práctico, sin llegar a dar una definición de ellos. Durante la Edad Media y el

Renacimiento los matemáticos rehuyeron usar los números negativos, y fue Newton

el primero en comprender la verdadera naturaleza de estos números. Posteriormente

Harriot (1560-1621) introdujo los signos + y − para caracterizar los números

positivos y negativos”.

Los números negativos generalmente se usan para representar magnitudes

relativas, que son cantidades que pueden tener dos sentidos, como la temperatura, la

longitud de perforación de un taladro en un pozo petrolero, también para representar

estados de deuda o déficit en una compañía. A continuación se presentan situaciones

representadas por números negativos:

- El promedio de la temperatura en Rusia es de –25° C, es decir, la

temperatura está a 25° C bajo cero.

- El yacimiento petrolero está a –350 m., es decir, está ubicado a 350 m. del

suelo.

- El saldo de la compañía es de –13.520.000 Bs., es decir, hay una deuda de

13.520.000 Bs.

Cuando se hace esta ampliación numérica, haciendo la unión entre N y los

números negativos, se origina el conjunto de los Números Enteros, el cual se

simboliza de la manera siguiente: Z={…-3,-2,-1,0,1,2,3…}

Para hacer su representación gráfica utilizamos la recta siguiente:

4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4

306

Valoración cognitiva sobre el uso de números negativos: Para realizar la

primera valoración cognitiva el docente les solicitará a los alumnos que mencionen

por lo menos cinco situaciones reales en donde se utilicen los números negativos,

representar gráficamente al conjunto de los números enteros usando la recta

numérica. Además, se pueden realizar actividades en las cuales los alumnos utilicen

las estrategias de aprendizaje para organizar la información desarrollada hasta el

momento y generar una discusión libre de ideas para que los alumnos participen de

manera activa y comuniquen sus diferentes respuestas.

VI.8.2.2.2. Operaciones con números enteros

� La adición

En la adición de números enteros se toma en cuenta el valor relativo de las

cantidades, es decir, si son positivas o negativas, generalmente se le conoce como

suma algebraica, ejemplo:

Efectuar: 3 5 6 8 2 15 3 5 8 15 6 2 31 8 23+ − + − + = + + + − − = − =

Como se puede observar se han agrupado las cantidades de acuerdo a su signo

y luego se ha efectuado una sustracción:

25 15 3 20 2 15 2 25 3 20 17 48 31− + − − + = + − − − = − = −

En esta operación se han agrupado números positivos y negativos,

observamos que el resultado es negativo porque 48 es de mayor valor absoluto, es

decir, está más alejado del cero que 17.

3 45 25 73− − − = −

En este caso todas las cantidades son negativas, por lo que se suman y se

coloca el signo correspondiente.

Conclusión: Si tenemos cantidades de igual signo se suman y se coloca el

signo correspondiente, si son de diferentes signos se restan y colocamos el signo de

la cantidad de mayor valor absoluto.

307


Luis tiene desde hace un mes una deuda de 3.500.000 Bs. Con un prestamista

que le cobra el 10% de interés mensual; además tiene dos recibos de electricidad y

teléfono pendientes de 85.000 Bs. y 55.000 Bs. respectivamente En el mes de

diciembre decide cancelar sus deudas, habiendo cobrado 2.500.000 Bs. En

aguinaldos, ¿cuál es la situación financiera de Luis?

Solución:

Entender el problema:

Datos con los que se cuenta Incógnita o dato por determinar

Deudas:

� Prestamista: 3.500.000 Bs. al 10% de interés

mensual.

� Electricidad: 85.000 Bs.

� Teléfono: 55.000 Bs.

� Aguinaldos: 2.500.000 Bs.

Situación financiera de Luis: ¿Cuánto

dinero tiene?

Concebir un Plan:

Representamos con números negativos las deudas que tiene Luis y el dinero

recibido en aguinaldos con números positivos. Recordemos que el préstamo es al

10% mensual, por consiguiente debemos calcular ese monto y sumarlo a la deuda.

Ejecutar el plan:

Calculamos el 10% de la deuda: 3.500.000 10%

350.000100

Bs× =

Total deudas:

3.500.000 350.000 85.000 55.000 3.990.000Bs Bs Bs Bs Bs− − − − = −

Dinero recibido o aguinaldos: 2.500.000 .Bs

Sumando: 3.990.000 2.500.000 1.490.000Bs Bs Bs− + = − , es decir, Luis tiene

una deuda de 1.490.000 Bs.

Visión retrospectiva: Dejamos como tarea al alumno la verificación tanto del

procedimiento como del resultado, esto formará parte de la valoración cognitiva de

los aspectos tratados en esta sección y la complementaremos con la asignación

siguiente:

308

Asignación Nº 17: Un submarino está en la superficie del océano y desciende 100

m.; al cabo de 5 minutos desciende 150 m. más; 10 segundos después su capitán

decide ascender 180 m. y finalmente a las 2 horas hace un último descenso de 480 m.

¿A qué distancia se encuentra de la superficie?

Respuesta: 550m− .

� Valor absoluto de un número

De manera intuitiva podemos decir que el valor absoluto de un número es el

valor numérico que representa, independientemente del signo que posee; por

ejemplo, una torre si está 12 m. bajo tierra y 12 m. en la superficie, -12 m. y 12 m.

son la misma distancia, sólo que tienen diferentes sentidos abajo y arriba

respectivamente.

El valor absoluto de un número entero es el mismo número sin signo o

geométricamente se le define como la distancia que separa dicho número del origen

de la recta numérica, es decir, del cero. El valor absoluto de 5 es 5 porque está a 5

unidades del cero, el valor absoluto de 3− , es 3 porque está a 3 unidades del cero. En

general se define mediante la siguiente expresión simbólica:

x si 0x ≥

x =

x− si 0x <

Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es igual a 3 porque es mayor e igual que

cero y el valor absoluto de 5− es igual a ( 5) 5− − = porque es menor que cero.

Valoración cognitiva: La suma algebraica de números enteros y el concepto

de valor absoluto representan en la mayoría de los casos un problema para los

alumnos, puesto que se exige una comprensión abstracta de los mismos. Por

consiguiente es necesario valorar su progreso a través de asignaciones como las

siguientes:

309

Asignación Nº 18: Efectuar las operaciones siguientes:

1) 15 6 8 16 8 9 14 2 5 8

2) 50 14 56 89 23 59 8

3)19 22 48 70 56 4 2 1

4)14 50 25 30 45 55 10 36 100

5) 30 25 40 89 54 95 125

− + − + − − + + + − =− − − + − + − =

− − − + − − − =+ + − − + − − + =

− − + − + − + =

( )

( )

6) 15

7) 2

8) 3

9) 5

10) 6 6

− =

− − =

− − =

− − − =

− − + − =

Respuestas:

1) 5

2) 3

3) 72

4)123

5) 20

−−−

−

6)15

7)2

8)3

9) 5

10)0

−

� Propiedades de la adición en Z

Propiedad Expresión matemática Ejemplos Conmutativa a b b a+ = + 2 3 3 2

5 5

+ = +=

2 ( 3) 3 2

1 1

+ − = − +− = −

Asociativa ( ) ( )a b c a b c+ + = + + [ ]2 (3 5) ( 2) 3 5

2 8 1 5

6 6

− + + = − + +− + = +

=

Elemento neutro

0 0a a a+ = + = 2 0 0 2 2+ = + =

Existencia de inverso aditivo para todo entero.

∀ a∈ Z , ∃ a,/a+a

,=a

,+a=0

Se lee: para todo a que pertenece al conjunto Z, existe un a prima tal que, al sumarlos nos

resulta cero, es decir ,a a= − .

2 ( 2) 2 2 0+ − = − + = , todo

entero tiene su opuesto, este el mismo valor pero de signo contrario. Al efectuar la suma algebraica entre ambos resulta cero, que es el elemento neutro de la adición.

Valoración cognitiva: Se recomienda al alumno construir este cuadro con

ejemplos similares para comprender y aplicar las propiedades de la adición en Z. El

docente se encargará de realizar las observaciones y orientaciones correspondientes.

310

� La sustracción

La definición es homóloga a la definición de sustracción de números

naturales, sin embargo hay diferencias cuando se trata de una resta con números

negativos, por ejemplo al efectuar 3 5 8− − = − , se aplica la ley de los signos en la

suma algebraica, pero al restar 5 ( 3)− − − = se deben multiplicar los signos y eliminar

el paréntesis; de esta manera nos queda 5 3 2− + = − , el producto de los signos

negativos es positivo. Para recordar estas leyes utilizamos el cuadro siguiente:

Producto Resultado

.+ + = +

.+ − = −

.− + = −

.− − = +

Podemos establecer una convención para comprender las leyes de los signos,

si al signo + lo llamamos amigo y al signo − enemigo, entonces tenemos las

relaciones siguientes:

El amigo (+) de mi amigo (+) es mi amigo (+)

El amigo (+) de mi enemigo ( − ) es mi enemigo ( − )

El enemigo ( − ) de mi amigo (+) es mi enemigo ( − )

El enemigo ( − ) de mi enemigo ( − ) es mi amigo (+)

� Multiplicación de números enteros

Para obtener el producto de dos o más números enteros hay que tener en

cuenta las leyes de los signos. Ejemplo: Efectuar las operaciones siguientes:

1)( 3).( 2)(5) 30− − =

2)(3).( 1)( 3)( 5) 45− − − = −

3)( 1000).( 2)( 10)(5) 100.000− − − = −

311

� Propiedades de la multiplicación en Z

Propiedad Expresión matemática Ejemplos

Conmutativa a b b a= ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) . ( 2 )

6 6

− = −− = −

Asociativa ( ) ( )a bc ab c=

[ ] [ ]( 2). (3).( 5) ( 2).(3) .( 5)

( 2).( 15) ( 6).( 5)

30 30

− − = − −− − = − −

=

Elemento neutro .1 1.a a a= = 2 1 1 2 2× = × =

Distributiva de la multiplicación respecto a la adición

( )a b c ab ac+ = + [ ]2 5 ( 3) 2.5 (2).( 3)

2.2 10 6

4 4

+ − = + −= −

=

� División en Z

En la división de números enteros también se aplican las leyes de los signos,

como se muestra en la tabla siguiente:

Leyes de los signos para la división en Z

División Resultado

+ ÷+ = +

+÷−= −

−÷+= −

−÷−= +

Ejemplo: Efectuar las divisiones siguientes:

1)( 6) (2) 3− ÷ = −

2)( 16) ( 4) 4− ÷ − =

1)( 18) (2) 9− ÷ = −

4)( 26) ( 2) 13− ÷ − =

312

� Potenciación en Z

Para efectuar potencias con números enteros se aplican las propiedades de la

potenciación en N, la diferencia significativa está en los signos, puesto que, se deben

aplicar también estas leyes.

Ejemplo: Efectuar las potencias siguientes:

21 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 4− = − − =

32) ( 3) ( 3)( 3)( 3) 27 − = − − − = −

33) (5) 25 =

Conclusión: si la base es de signo negativo y su exponente par, la potencia es

positiva. Si el exponente es impar, la potencia es negativa.

Asignación N°19: Efectuar las potencias siguientes aplicando las propiedades

correspondientes:

3 2 3 5

4 5 3

( 3) (2) ( 3) (2)1)

(2) ( 3) (2)

− − =− . 3R −

( )23 2

2 3

2 (2)2)

(2 )

− = .1 6R

( ) ( ) ( )( ) ( )

323 32

33 2

2 3 23)

3 2

− = −

.2 7R

( ){ }10010204) 1 − =

.1R

( ){ }10003105) 1 − =

.1R

313

� Operaciones combinadas

En estas operaciones se utilizan los signos de agrupación para separar las

operaciones indicadas.

Ejemplos: Efectuar las operaciones siguientes:

2 51) 3 2(5 3) (5 1) (2 3) − − − ÷ − + − =

Primera manera:

- Eliminando corchetes: Multiplicamos por el valor que está a la derecha

del paréntesis: 2 56(5 3) (5 1) 3(2 3)− ÷ − − −

- Efectuando las operaciones en los paréntesis: 2 56(2) (4) 3( 1)÷ − −

- Efectuando potencias: 6(4) (4) 3( 1)÷ − −

- Efectuando productos: 24 4 3÷ +

- Efectuando la división y sumando: 24 4 3 6 3 9÷ + = + =

Segunda manera:

( ) ( ) ( )( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

2 5

2 5

3 2(5 3) (5 1) (2 3)

3 2 2 4 1

3 2 4 4 1

3 8 4 1 3 2 1 3 3 9

− − − ÷ − + − =

− − ÷ + − =

− − ÷ + − =

− − ÷ − = − − − = − − =

314

( ) ( ) ( ) ( ){ }2 32) 3 2 3 6 4 5 3 2 3 5 3 7 − − − ÷ − − + ÷ − + =

Primera manera:

- Eliminando llaves: ( ) ( ) ( ) ( )2 36 3 6 4 5 3 2 3 5 3 7 − ÷ − − + ÷ − + =

- Eliminando corchetes: ( ) ( ) ( ) ( )2 318 6 4 5 3 12 3 5 3 7− ÷ − − + ÷ − + =

- Efectuando operaciones y eliminando paréntesis: 2 318(2) (2) 12(8) (4) 36 2 12(64) 64

18 12 6

÷ − ÷ = ÷ − ÷ =− =

Segunda manera:

( ) ( ) ( ) ( ){ }2 33 2 3 6 4 5 3 2 3 5 3 7 − − − ÷ − − + ÷ − + =

( ){ }[ ]{ }[ ]{ } [ ]{ } { }

3 2 6 2 2 64 64

3 2 3 128 64

3 2 3 2 3 2 1 3 2 6

− − ÷ − ÷ =

− − − ÷ =

− − − = − − = − − =

Valoración cognitiva: Para garantizar una evaluación integral y

constructivista los alumnos utilizarán las estrategias de aprendizaje para organizar la

información relativa al sistema de los números enteros, además el docente puede

realizar un debate con las exposiciones de los alumnos sobre los mapas conceptuales,

esquemas o diagramas elaborados. En consecuencia, proponemos la asignación

siguiente:

Asignación N° 20: Elabora un esquema, diagrama y mapa conceptual sobre el

sistema de los números enteros.

315

VI.8.3. Sistema de los Números Racionales

En la Tabla 6.4. presentamos el guión de trabajo a seguir en el desarrollo de

los contenidos relativos al sistema de los números racionales, en función de la

secuencia didáctica y los elementos presentados en el Programa de autorregulación

del pensamiento lógico-formal.

TÍTULO: SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES


Exploración/Motivación Idea intuitiva de Número Racional


números Racionales



números Racionales Aprendizajes a lograr - Presentar hechos de la vida cotidiana cuya representación requiera el uso de los números racionales.

- Expresar la idea intuitiva y el significado del concepto de fracción y el número fraccionario.

- Relacionar el concepto de número fraccionario con el de expresión decimal.


Ideas a considerar - La necesidad dentro de los grupos humanos de utilizar símbolos de números fraccionario para representar situaciones cotidianas. - Transición de la manipulación concreta de fracciones, semi-concreta hasta abstracción de los números racionales. - Utilización de las notaciones formales para representar al conjunto de los números racionales.

Ideas a considerar - Utilidad de las operaciones fundamentales con números racionales en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas.



Ideas a considerar - Conceptulización de las operaciones fundamentales en R.

- Formalizar las propiedades del conjunto R.


Actividades para los alumnos - Dar ejemplos sobre el uso de los números racionales en la vida cotidiana.

- Representar gráficamente el conjunto de los números racionales.

- Elaborar esquemas, diagramas, gráficos, tablas y mapas conceptuales como estrategias de aprendizaje para la

Aspectos a observar y valorar - Comprensión del concepto intuitivo de número racional. Verificar la relación entre la interpretación de situaciones cotidianas y la aplicación formal y abstracta del conjunto de los números racionales. - Verificar las

Aspectos a observar y valorar - Comprobar con cuáles estrategias inician los alumnos la resolución de estos problemas.


- Valorar la aplicación que tienen de las operaciones fundamentales con


- Utilización de ejemplos numéricos para explicar las diferentes propiedades del conjunto de los números racionales.

- Construcción de esquemas, diagramas,

316

organizar la información de la clase.

estrategias de aprendizaje que se utilizan para organizar la información.

números racionales para resolver los problemas.


gráficos y mapas conceptuales para organizar la información como estrategias de aprendizaje.

Tabla 6.4. Guión de trabajo para el Sistema de los Números Racionales.


Para iniciar los aspectos teórico-prácticos del sistema de los números

raciones, continuamos utilizando situaciones reales y cotidianas en donde se utilizan

las fracciones y expresiones decimales, además el docente puede complementarlas

con actividades para que el alumno realice investigaciones sobre los temas a

desarrollar durante la clase.

Para establecer la relación de las fracciones y expresiones decimales con la

vida cotidiana y valorar los aprendizajes previos de los alumnos, hemos propuesto las

siguientes actividades:

- Señale las situaciones en las que se utiliza las fracciones y expresiones

decimales. Justifica tus respuestas.

• El dólar está a 2,12 Bs.

• La inflación del mes de enero fue de 15%.

• En mi cumpleaños dividieron la torta en 16 pedazos iguales.

• Mañana cumplo 18 años y 9 meses.

• Luís tiene 5 hermanos.

• El mes pasado gané 750,50 Bs.

• Hoy envié 12 mensajes de texto con mi celular.

• Para llegar a la universidad tardé 20 minutos y 15 segundos.

• En mi práctica de 100m logré un tiempo de 15 segundos y 6 décimas.

• Para salir bien en la prueba de Matemática debo estudiar por lo menos

2 horas y media al día.

• El termómetro indica 32,6ºC durante la tarde.

• Hoy gasté en mi desayuno 15,68 Bs.

317

- Responde a los planteamientos del cuadro siguiente:

Planteamientos Respuestas Observaciones Escribe un concepto de fracción. Dí un ejemplo de fracción. Menciona tres ejemplos cotidianos donde se utilicen números decimales.

¿Qué es un número decimal? Formula un concepto de número racional.

Escribe el símbolo del conjunto de los números racionales.


Es fundamental que los alumnos lean y analicen con anticipación los aspectos

de la sección siguiente, para así lograr una mayor participación de estos durante las

sesiones de clases y garantizar un clima social del aula más dinámico y flexible, todo

ello para lograr una construcción verdadera de los aprendizajes durante el proceso

didáctico. Recordemos que la concentración de la clase en el discurso del docente no

fomenta las interacciones sociales tan necesarias para generar confianza en el

alumno.

El alumno está en libertad de complementar y ampliar la información sobre

los conceptos fundamentales en el sistema de los números racionales que se

describen en la sección siguiente, esto le ofrecerá una mayor ampliación de

conocimientos para construir un aprendizaje más significativo.


� El número Racional

Cuando sumamos números naturales, siempre se obtiene otro número natural,

por el contrario al efectuar una resta no siempre se cumple esta ley. Si restamos 3-2=

1, tenemos otro natural, pero al efectuar 2-3= -1, nos resulta un número negativo que

pertenece al conjunto Z.

De igual forma cuando multiplicamos naturales o enteros, el resultado

siempre será un número natural o entero respectivamente, pero no ocurre así con la

división. Si efectuamos 18 3 6÷ = , 6 pertenece a N y a Z, es una división exacta; por

318

el contrario al efectuar 25 2 12,5÷ = ; el resultado no pertenece a Z, porque la

división es inexacta. Este tipo de expresión decimal pertenece a un nuevo conjunto

llamado Conjunto de los Números Racionales, también conocido como fracciones o


Según Galdos (2000:159) “El primer conocimiento acerca de las fracciones

se produce hacia el año 2000 a. de C. en Egipto. Los griegos, 15 siglos después,

elaboraron con acierto las teorías anteriores de egipcios y babilonios e hicieron de

ellas una verdadera ciencia”.

La notación o expresión simbólica usada para representar al conjunto de los

números racionales es:

Q = {…-2,..3

2− ,…-1,…

1

2− ,…,

1

3− ,…,

1

4− ,..,0,..

1

4− ,..

1

3,..1

2,..1,..

3

2,2,…}

Gráficamente se utiliza la recta numérica para visualizar a este conjunto

numérico:

3− 5..., ... 2

2− − 3

..., ... 12

− − 1

..., ...02

− 1 3

..., ,...1,... ,...2 2

52,... ,...

2 3

También se utilizan los diagramas de Venn.

De acuerdo a esta representación podemos establecer la relación siguiente

entre los conjuntos numéricos:

Q

3

2−

3

2

Z -3,-2,-1

N 1, 2, 3

319

⊂⊂⊂

ℕ ℤ

ℤ ℚ

ℕ ℚ

La definición formal de número racional se expresa de la forma siguiente:

Q = { a

b/a, b∈Z y b≠0}

� Concepto de fracción

Las figuras que se muestran a continuación han sido divididas en partes

iguales.

Cada una de las partes iguales en las cuales se ha dividido cada figura es una

fracción.

Para representarlas simbólicamente se utilizan números fraccionarios, de

acuerdo al orden de las figuras, estas representan los números racionales 1 1 1 1, , ,

2 4 8 6

Cada fracción se puede expresar con su equivalente expresión decimal, que

resulta al dividir numerador entre denominador, por ejemplo:

1 0,521 0,333... 0,331 0,2541 0,25

=

= =

=

=

⌢

�

66

7

8

19

1 0,1666 0,1

1 0,0142857142857... 0,0142857

1 0,125

1 0,111... 0,

= =

= =

=

= =

⌢

⌢

El conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto

de los enteros. El conjunto de los números enteros está incluido

en el de los Racionales. Por transitividad, el conjunto N está

incluido en Q.

320

Se puede observar que se originan dos tipos de expresiones decimales, las

expresiones decimales limitadas y las ilimitadas periódicas cuyo valor periódico está

simbolizado por un arco.

� Partes de una fracción

Numerador: Es el número de veces de partes iguales que se han tomado.

Denominador: Indica el número de partes en las cuales se ha dividido la

unidad.

En la figura se han sombreado 8

16, 8 es el numerador y 16 el denominador.

Valoración cognitiva: Para valorar la comprensión del concepto del número

fraccionario y su aplicación en las diferentes actividades cotidianas, el alumno

desarrollará asignaciones como la siguiente:

Asignación N° 21: Señala algunas situaciones que se puedan representan utilizando


� Porcentaje

Para introducir el concepto de porcentaje podemos utilizar diversos ejemplos,

los cuales serán propuestos por los alumnos para establecer un equilibrio entre la

información del docente y la del grupo de estudiantes. Se necesita hacer hincapié en

la progresión de los conceptos desde su comprensión intuitiva hasta su definición

formal y esto se logra fundamentalmente estableciendo un nexo entre estos conceptos

y la realidad o contexto social al cual pertenecemos.

321

El porcentaje es un concepto que está relacionado al de fracción, puesto que

se refiere a una o varias de las cien partes iguales en que se ha dividido un número.

El signo utilizado para expresar el tanto por ciento de un número es %.

Por ejemplo el 50% de 120 o el 50

100de 120 equivale a 50 centésimas partes

de 120, es decir, dividimos 120 entre 100 y tomamos 50 de ellas. También se puede

utilizar la fracción equivalente de 50

100 que es

50 1

100 2= , es decir la mitad de 120, que

es 60.

De esta forma, podemos expresar relaciones entre fracción, expresión decimal

y porcentajes. A continuación se presenta una tabla para ejemplificar estas

relaciones.

Fracción Expresión decimal Porcentaje

12

0,5 0,5 100 50%× =

13

0,333... 0,3=⌢ 0,3 100 33,33%× =

⌢

14

0,25 0,25 100 25%× =

15

0,2 20%

34

0,75 75%

VI.8.3.2.2. Operaciones con números racionales

� La adición

Para sumar fracciones se utilizan dos formas, la gráfica y la numérica. Por

ejemplo, efectuar las siguientes operaciones:

1) 6 7

14 14+ =

322

Gráficamente: Se utilizan las figuras para representar a los sumandos

respectivamente:

6

14

7

14

Sumamos la cantidad de rectángulos sombreados y escribimos en forma de

fracción el resultado:

1 3

1 4

Numéricamente: Se debe tener en cuenta el denominador de las fracciones, en

este caso como son de igual denominador se suman los numeradores y se coloca el

denominador correspondiente:

6 7 6 7 13

14 14 14 14

+ =+ =

2) 1 5 7 133 3 3 3

+ + =

323

3) 5 18 4

+ =

Gráficamente:

5

8

14

Dividimos 14 en octavos para igualar los denominadores:

28

Finalmente sumamos 5 2 78 8 8

+ =

Numéricamente: En este caso se utiliza el m.c.m. de los denominadores para

obtener un denominador común: 5 1 5.1 1.2 78 4 8 8

++ = =

El mínimo común denominador (m.c.d.) de 4 y 8 es 8, este resultado se divide

por cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente,

para luego efectuar la suma.

3) 7 3 1 320 40 80 15

+ + + =

Determinamos el m.c.d. de 20, 40, 80 y 15: Usamos la descomposición de

factores primos para calcular el m.c.m.

324

2

3

4

20 2 .5

40 2 .5

80 2 .5

15 3 .5

====

4. . (20, 40,80 15) 2 .3.5 240m c d y = =

Aplicando el procedimiento correspondiente:

7 3 1 3 (12)(7) (6)(3) (3)(1) (16)(3)20 40 80 15 240

=+ + ++ + + =

84 18 3 48 153240 240

+ + + =

Finalmente el resultado es una fracción que puede ser reducida a una

expresión equivalente; para obtenerla se simplifica dividiendo tanto el numerador

como el denominador por el máximo común divisor de los dos.

4

. . .(153 240) 3

153 3.51

240 2 .3.5

m c d y ===

Luego: 153 3 51

240 3 80

÷ =÷ =

y finalmente nos queda 5180

Problema de aplicación N° 6:

Pedro ha estudiado Matemática 11

3 horas, Historia

23

4horas y Castellano 6 horas.

¿Cuánto tiempo ha estudiado?

325

Paso 1: Comprender el problema:

Datos Incógnita Tiempo Invertido en estudiar:

Matemática: 11

3horas

Historia: 23

4horas

Castellano: 6 horas

Total de tiempo invertido.


Lo que necesitamos es determinar la suma de fracciones o números

fraccionarios que representan respectivamente el tiempo empleado en estudiar dada

asignatura.

Paso 3: Aplicar el plan:

Efectuamos las operaciones indicadas:11 23 44 69 72 185

63 4 12 12

+ ++ + = = horas

Paso 4: Visión retrospectiva:

Se le asigna al alumno verificar la respuesta y procedimiento del problema.

Asignación N ° 22: Resuelve el problema siguiente:

La señora Carmen ha comprado en el mercado 12 y tres cuartos Kg. de papas,

5 y medio kg. de tomate, 3 y un cuarto Kg. de cebolla, 4 Kg. de ñame, 6 Kg. de

zanahoria y tres cuartos de kg. de ajo. Si cada Kg. se vende por un precio unitario de

1.500Bs. ¿Cuánto ha gastado la Sra. Carmen en verduras y legumbres?

Respuesta: 48.375 Bs.

Valoración cognitiva: Para obtener mejores resultados puedes seguir y

completar el cuadro siguiente para organizar la información y aplicar los pasos del

procedimiento aplicado:

Pasos Planteamiento del problema usando tus propias palabras:

Entender el problema

Diseñar un plan

Ejecutar el plan

Visión retrospectiva

326

� Propiedades de la adición en Q

Propiedad Expresión matemática Ejemplos Conmutativa a c c a

b d d b+ = +

2 3 3 2

3 2 2 34 9 9 4

6 613 13

6 6

+ = +

+ +=

=

Asociativa a c e a c e

b d f b d f

+ + = + +

2 1 3 2 1 3

5 2 4 5 2 4

2 2 3 4 5 3

5 4 10 4

2 5 9 3

5 4 10 48 25 18 15

20 2033 33

20 20

+ + = + +

+ + + = +

+ = +

+ +=

=

Elemento neutro

0 0a a a

b b b+ = + =

3 3 30 0

5 5 5+ = + =

Existencia de inverso aditivo para todo entero.

, ,,, / 0a a a a

b b b ba a

∀ ∈ ∃ + = + =ℚ

Se lee: para todo a que pertenece al conjuntoℚexiste un a prima tal que, al sumarlos nos resulta

cero, es decir

,a a

b b

= − .

3 3 3 3

4 4 4 4( ) 0+ − = − + =

Todo entero tiene su opuesto, este el mismo valor pero de signo contrario. Al efectuar la suma algebraica entre ambos resulta cero, que es el elemento neutro de la adición.

Valoración cognitiva: En el conjunto de los números racionales las

propiedades de la adición los alumnos deben utilizar suficientes ejemplos para lograr

su comprensión y construcción, por consiguiente se hace necesario la realización de

la actividad que se presenta a continuación:

Asignación N° 23: Verifica las propiedades de la adición en Q utilizando otros

ejemplos y solicítale al docente las observaciones y asesoría correspondiente.

327

� La resta o sustracción

El procedimiento que se aplica es similar al de la adición, teniendo en cuenta

la ley de los signos.

Ejemplo: Efectuar:

1)2 5 2 5 3 13 3 3 3

− −− = = = −

2)5 2 25 8 33 334 5 20 20 20

− − −− − = = = −


La octava parte de una finca de los llanos de Barinas se ha vendido; se alquiló

otra octava parte; cinco doceavos se utilizaron para cultivar maíz y el resto se empleó

para la cría de aves. ¿Qué parte de la finca se destinó para la cría de aves?


Datos: Incógnita Fracciones de Finca:

Vendido: 1

8

Alquilado: 1

8

Cultivada:5

12

Fracción o parte restante de la finca dedicada a la cría de aves.

Paso 2: Diseño y concepción de un plan:

Debemos sumar por un lado las porciones o fracciones que se han vendido,

alquilado y cultivado, luego restamos esta fracción del total de finca, es decir de la

unidad; el resultado será la parte de la finca destinada a la cría de aves.

Paso 3: Ejecución del plan:

Efectuemos las operaciones correspondientes.

1 1 5 3 3 10 16 28 8 12 24 24 3

+ ++ + = = =

Se restan los numeradores y se coloca el mismo denominador.

Se determina el m.c.d. (4 y 5)=20, este se divide entre cada denominador y se multiplica por los numeradores respectivos y, por último se efectúa la resta.

328

2 3 2 113 3 3

−− = =

Paso 4: Examinar la solución obtenida:

Para verificar sumamos todas las fracciones o partes de la finca, esto nos debe

dar uno, es decir, el total de la finca. 1 1 5 1 3 3 10 8 24 18 8 12 3 24 24

+ = + + ++ + = =

Valoración cognitiva: Las sugerencias son iguales a las de la asignación Nº

22.

Asignación N° 24: Resuelve el problema siguiente:

Los tres octavos de una parcela se venden, dos quintos se utilizaron para la

construcción de una casa y un décimo se empleó para el jardín. ¿Qué parte de la

parcela puede destinarse para el patio?

Respuesta: 18

� La Multiplicación

El procedimiento utilizado para multiplicar dos o más números fraccionarios

es el siguiente:

Se multiplican los numeradores. Este resultado será el numerador del

producto. El denominador será el producto de los denominadores. Ejemplos:

1)5 7 (5)(7) 352 3 (2)(3) 6

= =

2) 2 7 15 25 8 14

=5

7

3.58

7 .2

38

=

3) 3 2 7 34 5 9

=2.

22

75 3

7 72.5.3 30.3

= =

En este ejemplo se puede observar que hay factores comunes en los numeradores y denominadores, por lo tanto, se pueden simplificar o cancelar, es decir; 2, 5 y 7 al dividirlos el resultado es uno.

329


Se compran 21

4 kg. de arroz a 1.500 Bs./kg.;

16

3 kg. de harina a

1.260 Bs./kg.; 30

8kg. de carne a 8.800 Bs./kg.. ¿Cuántos kg. de comida se han

comprado y cuanto ha costado?


Datos Incógnitas Fracciones y precio:

Arroz: 21

4; 1.500 Bs./kg.

Harina: 16

3; 1.260Bs. /kg.

Carne: 30

8; 8.800 Bs./kg.

Cantidad de comida. Costo total de la compra.

Paso 2: Diseño y concepción del plan:

El primer lugar se debe efectuar la suma de las fracciones correspondientes a

cada producto comprado para determinar el total de comida; en segundo lugar, se

efectúan los productos de cada fracción por el precio de cada producto y, por último,

se efectúa la suma de estos productos cuyo resultado será el costo total de la comida.


21 16 30 126 108 90 324 274 3 8 24 24 2

+ ++ + = = =

( ) .21 1500 7875 Bs4

=

( )16 1260 6720 Bs. 3

= .7875 6720 33000 47595 Bs+ + =

( )30 8800 33000 Bs. 8

= Respuestas: 27

2kg y 47595 Bs .

Paso 4: Examinar la solución:

Se deja al lector la verificación de estas soluciones.

Valoración cognitiva: La resolución de problemas es una actividad que

requiere de suficiente práctica. En la medida que el alumno se enfrente a más y

nuevas situaciones en los problemas matemáticos aumentará su confianza y

330

experiencia para resolverlos, no obstante su aprendizaje se construirá de forma

progresiva hasta lograr los niveles deseados en su formación integral en la

asignatura. Es necesario que el docente siga orientando esta actividad para que los

alumnos superen sus debilidades y obtengan una verdadera autonomía para

autorregular su pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas, por

lo cual recomendamos investigar y plantear más y diversos problemas de aplicación

reales y prácticos relativos a las operaciones con fracciones.

Asignación N° 25: Resuelve los problemas siguientes:

1) ¿Cuántos litros hay que sacar de un tonel de 560 litros para que queden en

él los 6

7 de su contenido?

R. 80 litros.

2) Me deben 3

4 partes de 880.000 Bs. Si me pagan los

2

11 de 880.000 Bs.,

¿cuánto me deben?

R. 500.000 Bs.

� Propiedades de la multiplicación en Q

Propiedad Expresión matemática Ejemplos

Conmutativa. a c c a

b d d b

=

2 4 4 2

3 5 5 3

2 . 4 4 . 2

3 . 5 5 . 38 8

1 5 1 5

=

=

=

Asociativa. a c e a c e

b d f b d f

=

2 5 2 2 5 2

3 4 7 3 4 7

2 10 10 2

3 28 12 7

20 20

84 845 5

21 21

=

=

=

=

Elemento neutro. .1 1.

a aa

b b= =

2 2 21 1

5 5 5× = × =

331

Distributiva de la multiplicación respecto a la adición.

a c e a c a e

b d f b d b f

+ = +

2 5 1 2 5 2 1

3 4 5 3 4 3 5

10 2 50 8 58 9

12 15 60 60 10

+ = + =

++ = = =

2 5 1 2 25 4

3 4 5 3 20

2 29 58 27 9

3 20 60 30 10

+ + = =

= = =

Existencia de inverso multiplicativo para todo racional.

, ,,, / 1a a a a

b b b ba a

∀ ∈ ∃ = =ℚ

Se lee: para todo a que pertenece al

conjuntoℚ , existe un a prima tal que,

al multiplicarlos nos resulta uno, es

decir

1,a a b

b b a

− =

=

3 4 4 3

4 3 3 4

12 12

12 121 1

=

=

= =

Todo racional tiene su inverso multiplicativo. Al efectuar el producto entre ambos resulta uno, que es el elemento neutro de la multiplicación.

Valoración cognitiva: Para el estudio, comprensión y aplicación de las

propiedades de la multiplicación de raciones se sugiere al alumno actividades

semejantes a las realizadas en las propiedades de los naturales y enteros.

� División

Para dividir dos números fraccionarios se multiplica el dividendo por el

divisor invertido y se simplifica el resultado. Ejemplos:

1) 3 7 3 10 30 65 10 5 7 35 7

÷ = × = =

También se efectúa de la manera siguiente:

33 10 30 65

7 5 7 35 710

×= = =×

Se multiplica numerador del dividendo por denominador del divisor y denominador del dividendo por numerador del divisor.

332

2)

16 23

5 15 56

= =


Si en 20 minutos estudio 23de una página de un libro, ¿en cuánto tiempo

podré estudiar 10 páginas?


Datos Incógnitas Tiempo: 20 min.

Cantidad de páginas: 23

Tiempo que tarda en estudiar 10 páginas

Paso 2: Diseño del plan: Se requiere calcular la cantidad de páginas que

estudio en un minuto, luego este resultado se multiplica por 10.


2 60

3 220 30÷ = =

30 10 300× =

Valoración cognitiva: Para realizar la siguiente asignación el alumno puede

apoyarse en el procedimiento y pasos aplicados en los problemas resueltos, en las

ideas de sus compañeros de equipo y en las asesorías del profesor, quien tomará en

cuenta todos los elementos involucrados en esta actividad para efectuar una

evaluación formativa adecuada que oriente al alumno en su aprendizaje.

Estudio una página en 30 minutos.

Estudio 10 páginas en 300 minutos, es decir, tardo 5 horas.

333

Asignación N° 26: Resuelve los problemas siguientes:

1) Si una llave vierte 3 y tres cuartos litros y otra 2 y un quinto litros de agua

por minuto, ¿en cuánto tiempo llenarán un depósito de 59 y medio litros

de capacidad?

R. 10 minutos.

2) Si distribuyo entre varias personas 500.000 Bs. ¿cuántas recibirían dinero

si a cada una se le da 50.000

3 Bs.?

R. 30 personas.

� La potenciación

Para efectuar potencias con números racionales se aplican las propiedades

correspondientes, veamos los siguientes ejemplos:

3 2 2 5 2 5 2 5 23

5 2 5 4 3

2 3 2 2 3 2 3 2 .3 2 21) 2.3

3 4 3 3 4 3 4 3 .2 3 27− = = = = = =

( )

( )

( )

( )( )

23 2 6 43 6

6 ( 8) 4 ( 8)6 ( 4)

4 4 8 842 2

1 1 1 12 2

1 12 3 2 32) 2

2 31 1 1 14 2

2 3 2 3

− − −−

− − − − − −− − −

− −−

= = =

( )2 4 2

2

2 4 2 2 4

1 1 2 1 12

2 3 2 .3 2 .2 .3 1296

−− = = =

Valoración cognitiva: Es fundamental que el alumno establezca la relación

entre los pasos de los ejercicios y sus respectivas propiedades. El docente debe

valorar la comprensión y aplicación de las propiedades del sistema de los números

racionales más que la resolución mecánica de los ejercicios. Por ello, hemos

propuesto la asignación siguiente:

334

Asignación N° 27: Señala que propiedades se aplicaron para resolver los ejercicios

del ejemplo anterior y elabora una tabla con las propiedades de la potenciación en Q

con sus respectivos ejemplos.

� Operaciones combinadas

Aunque no hemos colocado suficientes ejemplos ilustrativos en este apartado,

consideramos que lo más oportuno sería la contribución de los alumnos a través de

sus investigaciones que aporten más ejercicios sobre las operaciones combinadas, de

esta forma se originará una comunicación y participación más activa que mejoren el

clima social del aula y la actitud del alumno hacia los contenidos desarrollados.

Ejemplo: Efectuar y simplificar:

( )10

1

1 2 1 5 1 21 112 3 2 2 22 3 31)3 3 922 23

−

− − + − −−= = = −

( ) [ ]1

1 1 2 1 5 1 5 5 12 33 2 3 4 12 3 12 12 132)1 2 2 231

6

− + − ÷ + ÷ = = =

Valoración cognitiva: Continuamos con la asignación siguiente destacando el

uso de los mapas conceptuales para organizar, presentar y comunicar la información

sobre el sistema de los números racionales, complementándolo a su vez con

ejercicios y problemas de aplicación variados para que el alumno logre internalizar

los aprendizajes y el docente recolecte la información adecuada para valorar el

progreso cognoscitivo de los alumnos sobre los conceptos, definiciones, propiedades

y procedimientos.

335

Asignación N° 28:

a) Elabora un mapa conceptual para resumir los aspectos estudiados sobre


b) Efectúa y simplifica:

1001 2 2 21 2 1 3

4 3 4 21)

33 1 2

2 4 3

−− − = −

R. 1

132

4

2

1

32 )

1

3

1

3

−−−

−

−

=

R. 81

11

3) 0, 010,19

− ÷ =

R.19

c) Completa la tabla siguiente:

Fracción Expresión decimal Porcentaje

2

3

52% 0,25

1

9

0,05 0,125 55,5% 0,45 80%

336

Resuelve los problemas siguientes:

1) Un ladrillo pesa un kg. más medio ladrillo. ¿Cuánto pesa el ladrillo?

R. 2 kg.

2) ¿Cuánto cuesta el almuerzo, si el recibo es por Bs. 23.000 Bs. y están

incluidos el 10% de servicio y el 5% de cubierto?

R. 20.000 Bs.

3) ¿Descuentos sucesivos del 10% y de 20% son equivalentes a un simple

descuento del…?

R. 28 %.

4) Un enfermo debe tomar una aspirina cada media hora. ¿En cuánto tiempo

tomará cuatro aspirinas?

R. Hora y media.

5) Un vagabundo furtivo entró en un huerto ajeno para apropiarse de algunas

naranjas. Al salir tropezó con un guardián que, compadecido por su

necesidad, le dejó pasar haciéndole entregar la mitad de las naranjas que

llevaba y otra media naranja. Con un segundo guardián consiguió, por

lástima de sus ruegos, que también le dejase pasar pero dándole también

la mitad de las naranjas que tenía más media naranja. Y lo mismo

exactamente le sucedió con un tercer guardián. Después de esto el

ladronzuelo se vio en campo libre y en posesión de dos naranjas. Se

pregunta cuántas naranjas había obtenido al principio.

R.23 naranjas.

6) En una lucha amorosa se rompió un collar de perlas; un sexto de las perlas

cayó al suelo, un quinto quedó sobre el lecho, la zagala salvó un tercio, un

décimo guardó consigo el mancebo y seis perlas quedaron enhebradas.

¿Cuántas perlas tenía el collar?

R. 30 perlas.

7) En una lámina de metal se corta un trozo que constituye el 60% de dicha

lámina. Si el pedazo que queda pesa 24,2 Kg., ¿cuál es el peso del trozo

cortado?

R. 36,3 Kg.

337

8) Un sastre compró la mitad de un metro cuadrado de tela y gastó 21

2m .

¿Cuánta tela le sobró?

R. Cero.

9) Un comerciante deshonesto gana 12% usando pesas falsas. ¿Cuál es el

peso verdadero?

R. 1

1,12Kg

10) De una finca de 50 hectáreas se vende el 16% y se alquila el 14% el resto

se siembra. ¿Cuántas hectáreas se sembraron?

R. 35 hectáreas.

11) En un frigorífico mantienen 550 Kg. de carne a una temperatura de -10ºC,

cada vez que se abre la puerta del refrigerador la temperatura sube 5ºC y

luego al cerrarla baja 2ºC. Si durante una hora se han abierto las puertas

cinco veces. ¿Cuál es la temperatura final de la carne?

R. 5 Cº

338

VI.8.4. Sistema de los Números Irracionales


Para lograr una valoración sobre los aprendizajes previos planteamos al

alumno la siguiente actividad:

Responde las preguntas del cuadro siguiente:

Preguntas Respuestas Observación ¿Qué es una raíz cuadrada? ¿Cómo determinamos un número irracional? ¿Dónde se utilizan las raíces cuadradas? ¿Qué diferencia existe entre un número racional y un número irracional?

Utilizando tu calculadora señala 5 números irracionales.


La comprensión y aplicación del número irracional exigen un mayor grado de

abstracción y formalización del pensamiento del alumno, sin embargo presentamos a

continuación algunos aspectos que pueden ayudar en el progreso y construcción de

estos aprendizajes.


Para explicar de una forma más ilustrada y comprender el origen de los

números irracionales, vamos a necesitar de la formulación y resolución de problemas

como el siguiente:

Hallar un número que multiplicado dos veces por si mismo sea igual a 2.

Datos Incógnita Procedimiento Condición: Multiplicado dos veces por si mismo sea igual a 2

:x Número buscado ( )( )2

2

2

x x

x

=

=

La operación que se está efectuando es el cálculo de una raíz cuadrada de un

número (operación inversa de la potenciación), el problema se presenta en

339

determinar un valor que no se corresponde a un número racional, es decir, no es una

raíz exacta como, por ejemplo, 4 2= o 9 3= .

Determinar la incógnita de problemas como estos llevaron, hacia el siglo V

a.C., a matemáticos griegos como los Pitagóricos a descubrir un nuevo tipo de

expresión a la que llamaron inconmensurables, con la diferencia que la situación que

plantearon se relacionaba con el cálculo de la diagonal de un cuadrado de lado igual

a 1, esto es el teorema mejor conocido como Teorema de Pitágoras, tal como se

ilustra en la figura siguiente:

1

2 2 2

2

1 1

2

2

d

d

d

= +=

=

1

El valor que se obtiene en ambos problemas es 2 que es una expresión

decimal ilimitada no periódica, igual a 1,4142135623730950488016887242097...

Así se puede definir de manera intuitiva al número irracional como una raíz inexacta

o expresión decimal ilimitada no periódica, a diferencia de los números racionales

que son expresiones decimales limitadas e ilimitadas periódicas. El conjunto de los

números Irracionales se simboliza con la letra Ι

Al medir el perímetro de una circunferencia cuyo diámetro sea igual a 1 nos

encontramos con otro número irracional, el número

π =3,1415926535897932384626433832795...

Asignación N° 27: Completa el cuadro siguiente señalando la relación de

pertenencia ∈o no pertenencia ∉ de cada número con su conjunto numérico.

d =?

1

340

Conjunto Numérico

Número N Z Q I

0,25

15

3

1,23615684...

�1,2536

0,0001

12,00001−

81

21

23

3 8−

� Partes de un Radical

La expresión siguiente simboliza de manera general un radical o número

irracional:

nb a , donde:

:b Coeficiente de la raíz

:n Índice de la raíz

:a Cantidad subradical o radicando

� Simplificación de Radicales

Es un procedimiento que se aplica para reducir un radical a su mínima

expresión, consiste en determinar las raíces exactas de los factores que componen a

la cantidad subradical. Ejemplo: Simplificar:

21) 5 0 2 .5 5 2= =

5 4 22)3 243 3 3 3 3 .3 3.3 3 27 3= = = =

Observe que 25 25= es un factor que tiene raíz exacta; al calcular esta sale del radicando 5.

4243 81.3 3 .3= = y 4 281 3 3 9= = =

341

VI.8.4.2.2.Operaciones con radicales

� Suma y resta

Para sumar o restar radicales deben ser semejantes, es decir, deben tener

igual el índice y la cantidad subradical, se suman los coeficientes respetando la ley de

los signos y se ordena la expresión final. Ejemplos:

( )1 11) 2 3 3 2 2 3 1 2 2 3 32 2

7 72 3 3 22 2

+ − + = − + +

− + = −

2 4

2

2)2 3 5 27 48 2 3 5 3 .3 2 .3

2 3 5.3 3 2 3 2 3 15 3 4 3 13 3

+ − = + − =

+ − = + − =

� Multiplicación

Para multiplicar radicales se aplican procedimientos de acuerdo a los índices

de los factores.

Caso I: Cuando los radicales tienen igual índice se multiplican

respectivamente coeficientes y radicandos, el producto de los radicandos se coloca

bajo radical común. Ejemplo:

1) 21 2 1 2 1 1 16 . 15 6 .15 80 3 .2 .5 3 10 10

2 3 2 3 3 3 3 = = = = =

4 4 2 2

2

1 8 3 1 8 32) 48. 5. 15 48.5.15 2 .3.5.3.5 2 .3 .5

4 3 2 4 3 2

2 .3.5 60

= = = =

=

Caso II: Cuando los radicales tienen diferentes índices se determina el

mínimo común índice, este valor es el m.c.m de los índices de las raíces y será el

índice general de la nueva raíz. El mínimo común índice se divide entre cada índice,

resultando un valor que representa el exponente del radicando correspondiente,

finalmente se efectúan los productos indicados y se simplifica la expresión.

342

Ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( )3 23 2 62 2 6 3 4 23 6 6

6 6 2 6 6 6

1)2 12. 18 2 12 . 18 2 2 .3 3 .2 2 2 .3 .3 .2

2 2 .2 .3 .3 2.2.3 12 12 12

= = = =

= =

612 12=

� División

Caso I: Radicales de igual índice:

Se dividen los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí,

colocando este último cociente bajo el signo radical común y se simplifica. Ejemplo:

11 1 0 121 0 2 5 22 2 5 4

÷ = =

Caso II: Radicales de diferentes índices

Es semejante al procedimiento utilizado en la multiplicación. Ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( )3 2 26 65 4 15 8 3 23 66

11 2 3 3232 81 2 3 2 .3 2 3 2 .3 9 72

22 3 4 43

÷ = = = =

� Potencia de Radicales

Para elevar un radical a una potencia cualquiera se eleva a esa potencia el

coeficiente y la cantidad subradical. Ejemplos:

3 3

31 1 1 31) 3 3 27 3

2 2 8 8 = = =

( ) ( ) 443 34 4 33 31 1 3

2) 3 5 3 5 5 .5 135 53 3 3

= = =

343

VI.8.5. Sistema de los Números Reales


Para verificar y valorar el concepto que tienen los alumnos sobre el número

real, hemos asignado las actividades siguientes:

- Representa gráficamente el conjunto de los números reales.

- Utiliza la recta real para representar a los números reales.

- En este diagrama de Venn indica los diferentes conjuntos numéricos.

VI.8.5.2. Fase de Presentación


La unión entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los

números irracionales se le conoce como conjunto de números reales. En el gráfico

siguiente se puede ver la relación entre los conjuntos numéricos:

R

Ι

2, 2

2;0,1259....− ℚ

3

2−

3

2

ℤ -3,-2,-1 ℕ

1,2,3

2, 2

2;0,1259....−

3

2−

3

2

-3,-2,-1

1,2,3

344

VI.8.5.2.2. Operaciones con números reales

� Adición y sustracción

Ejemplos:

21) 1 2,5 2 1 2,5 0,4 2 1,4 2,5 2 1,1 25

− + − + = − + − + = − + + = +

3 1 3 1 12) 48 3 4 3 34 2 4 2 4

− + + − = − + + − = − + 3 3

� Multiplicación

Ejemplos:

1 11) 2 1 2 22 2

=

− = −1

22

( ) ( )1 5 102) 2 3 2 2 2 2 23 3 3

− − = =

� División

Ejemplos:

31 1 3 5 321) 2 3 3 3 3

52 2 2 2 5 332

− ÷ − = ÷ = =

Racionalizando la expresión nos queda:

( )3 3 3 3 3 3 3 3

2 5.3 55 3 5 3. 3 5 3

= = = =

1 1 12) 2 2 1 22 3 2

− ÷ − + = ÷2 3

23 4

− = −

Se suman algebraicamente tanto números racionales como irracionales por separado y se deja la suma indicada.

345

� Potenciación

Ejemplos:

( ) ( ) ( ) ( )2 221) 3 2 3 2 3 2 2 9 6 2 2 11 6 2+ = + + = + + = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2) 2 3 2 2 2 3 3 2 2 6 3 5 2 6− = − + = − + = −

� Propiedades

∀ a ∈ R, se cumplen las propiedades siguientes:

Propiedad Adición Multiplicación Conmutativa a b b a+ = + ab ba= Asociativa ( ) ( )a b c a b c+ + = + + ( ) ( )a bc ab c=

Elemento neutro 0 0a a a+ = + = .1 1.a a a= = Distributiva de la multiplicación respecto a la adición

( )a b c ab ac+ = +

Elemento simétrico

Inverso aditivo , , ,, / 0a a a a a a∀ ∈ ∃ + = + =ℤ

Se lee: para todo a que pertenece al

conjunto ℤ , existe un a prima tal que, al sumarlos nos resulta cero, es decir ,a a= −

Inverso multiplicativo

., , ,0 , / . 1a a aa a a=∀ ≠ ∈ ∃ =ℝ

Se lee: para todo que pertenece al conjuntoℝ , existe un “a” prima tal que, al multiplicarlos nos resulta uno,

es decir, ( ) 1 1,a a

a

− ==

Valoración cognitiva: Realizar las asignaciones siguientes:

Asignación Nº 28: Elabora un mapa conceptual para organizar la información sobre

el conjunto R, destacando sus operaciones, propiedades y relación de inclusión entre

los conjuntos N, Z, Q.

346

Asignación Nº 29: Elabora un cuadro con las propiedades del sistema de los

números reales con sus respectivos ejemplos.

Asignación Nº 30: Resuelve los ejercicios siguientes:

i) 2 2 25 5 5 4(2)(3)+ + − =

ii) 26 7 4(3)( 2)1

2 2(3)

− ± − − =

iii) 3 2 5 2 2 5+ + + + =

iv) 2

3 22

− =

v) 23

ππ + − =

vi) 2

12 2

2 + + =

vii) ( ) ( )1 222 1 2 (1 4) 3 2 3 3

3

− − − − + − + + =

viii) ( )3 0,0020,2 0,01 1,01

0,0002− + − =

ix) ( ) ( )2 2

2 3 2 3 5+ − − + =

x) ( )1 12 2(0,01) 0,0001+ =

VI.8.6. Bibliografía

- BALDOR, A. (1992). Aritmética teórico-práctica. Ediciones Cultural

Venezolana: Caracas.

- BALDOR, A. (1989). Álgebra. Ediciones Cultural Venezolana, S.A.:

Caracas.

- GALDÓS, L. (2000). Matemáticas Galdós. Cultural, S.A.: Madrid-

España.

347

- PETERSON, J. & HASHISAKI, J. (1994). Teoría de la Aritmética.

Editorial Limusa: México.

- SAENZ, J. et al. (2001). Fundamentos de la Matemática. Editorial

Hipotenusa. Segunda edición. Barquisimeto-Venezuela.

- UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA (1993). Matemática I. Estudios

Generales. Sexta edición. Caracas-Venezuela.

CAPÍTULO VII: ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA

TERCERA FASE: PUESTA EN PRÁCTICA Y EVALUACIÓN

DEL PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN

351

CAPÍTULO VII:

ANÁLISIS Y REFLEXIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA

TERCERA FASE: PUESTA EN PRÁCTICA Y EVALUACIÓN DEL

PROGRAMA DE AUTORREGULACIÓN

En esta última fase de la investigación, a la que hemos denominado “puesta

en práctica y evaluación del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-

formal”, seguiremos los pasos de presentación, análisis, interpretación y reflexión de

los datos desde un enfoque cualitativo, complementándolo con datos cuantitativos en

función de las dimensiones que determinamos en el estudio, es decir, el aprendizaje

matemático, la actitud del alumno y el clima social del aula. Es el momento decisivo

que nos revelará los alcances y limitaciones del Programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas, el cual se constituye

desde sus fundamentos epistemológicos y psicológicos, desde los objetivos que

persigue, y siguiendo las fases de aplicación y material de trabajo como una

propuesta didáctica que persigue reorientar la práctica pedagógica en esta área de

conocimiento, específicamente en la asignatura Matemática General.

Esta fase de nuestro estudio se desarrolló entre el 17 de enero y el 17 de

febrero de 2008. En el transcurso de este tiempo, la implementación del Programa se

efectuó con un grupo de treinta y un alumnos, durante nueve sesiones de clase, sin

incluir la que dedicamos a la prueba escrita. Cabe destacar que en la planificación

estimamos más sesiones de clase para completar la mayoría de las actividades

programadas, sin embargo debimos ajustarnos y hacer modificaciones por el tiempo

perdido durante el semestre académico por los problemas de tipo político que se

suscitaron dentro de la universidad. La descripción de estas sesiones de clase la

realizamos utilizando la información que nos aportaron los instrumentos siguientes:

transcripciones de las sesiones de clase grabadas en audio, diarios y cuadernos de los

alumnos. El desarrollo completo y detallado de las sesiones figura en el Anexo VII-1

del presente capítulo. El resto de la información la obtuvimos a través de

cuestionarios, entrevistas semi-estructuradas a los alumnos y las pruebas de

valoración ya descritos en el Capítulo III.

De manera semejante al diagnóstico y de acuerdo al objetivo de investigación

Nº 6, con el cual pretendemos evaluar el Programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal en función del aprendizaje significativo logrado por los

alumnos de los contenidos de la Unidad de Sistemas Numéricos de la asignatura

352

Matemática General, el clima social del aula y la actitud del alumno, las dimensiones

que nos orientaron en el proceso de presentación, análisis y reflexión, son en primer

lugar, el aprendizaje matemático significativo que lograron los alumnos teniendo en

cuenta los siguientes criterios de análisis:

- Las estrategias que los estudiantes emplean para organizar la información.

- Las estrategias de aprendizaje que utilizan para resolver ejercicios y

problemas.

- El dominio cognoscitivo en la comprensión y aplicación de conceptos,

definiciones, propiedades y teoremas involucrados en los contenidos


La segunda dimensión está constituida por la actitud del alumno ante las

matemáticas en general y el clima social que se genera en el aula durante el proceso

didáctico de la asignatura Matemática General. Para analizar esta dimensión de

estudio se utilizaron los siguientes criterios:

- El auto-concepto del alumno ante su desempeño en las actividades

asignadas.


de la asignatura de Matemática General.


353


DIMENSIÓN APRENDIZAJE MATEMÁTICO SIGNIFICATIVO

En esta sección se presentarán los resultados de la dimensión de aprendizaje

matemático obtenidos en las observaciones de las sesiones de clases, en los

cuadernos de los alumnos, en el cuestionario de estrategias de aprendizaje y en las

pruebas de valoración aplicadas al grupo de alumnos, con la finalidad de evaluar los

alcances y limitaciones de acuerdo al primer objetivo general de nuestra propuesta,

formulado en el Capítulo V1 de la siguiente manera:

“Aplicar de manera práctica estrategias que fomenten en el alumno un

aprendizaje significativo y el pensamiento creativo en la resolución de

problemas de su interés, para generar un proceso didáctico que consolide la

construcción progresiva, reflexiva y científica del conocimiento matemático,

utilizando los aportes teóricos del paradigma constructivita”.

Los resultados los dividimos según los propósitos de cada una de las técnicas

e instrumentos de recolección de información, tal y como se indica en los epígrafes

siguientes:



El proceso de observación, que seguimos en las sesiones de clase, nos

proporcionó datos relevantes en cuanto al proceso didáctico ejecutado por el

profesor-investigador bajo los fundamentos del Programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal y siguiendo las diferentes estrategias, técnicas,

actividades de aprendizaje y evaluación, recursos que engloban la Didáctica de la

Matemática; de este modo, pudimos verificar los alcances y limitaciones en cuanto al

aprendizaje significativo logrado por los estudiantes en la Unidad de Sistemas

Numéricos durante la puesta en práctica del Programa de autorregulación, a través de

los acontecimientos que realmente se suscitaron en el aula de clase y expresiones

sinceras de los actores del caso de estudio seleccionado.

Para no extender mucho la descripción de las sesiones explicando

acontecimientos clase por clase, para evaluar el Programa de autorregulación del

1 Cfr. Apartado V.2. Capítulo V.

354

pensamiento lógico-formal hemos sintetizado la información destacando los aspectos

más significativos que nos aportan datos importantes sobre el proceso didáctico. En

total logramos grabar y transcribir las observaciones de nueve sesiones de clase, y

aunque nos resultó difícil describir en su totalidad cada elemento, hecho o situación,

hemos procurado destacar lo más relevante teniendo en cuenta los objetivos de

nuestra investigación. El análisis y reflexión lo hemos efectuado de acuerdo a las

unidades didácticas de la forma siguiente:

VII.1.1.1. Unidad Didáctica I: Sistema de los Números Naturales

El desarrollo de los contenidos relativos al Sistema de Números Naturales se

presentó durante las sesiones de clases 1, 2, 3, 4 y 5 siguiendo la planificación

expuesta en los guiones de trabajo descritos en el Anexo III-5 del Capítulo III.

En la primera sesión de clase el profesor conjuntamente con los alumnos

estableció las pautas del contrato didáctico, que son las condiciones y reglas bajo las

cuales se ejecutaron las clases, además estuvieron sujetas a negociaciones frecuentes

para mantener un equilibrio de participación entre los actores del proceso didáctico.

De igual forma el profesor explicó las características del material didáctico,

es decir la concreción del Programa de autorregulación, las recomendaciones

necesarias para su utilización y su respectiva entrega a cada alumno para lograr su

mayor participación posible en la ejecución de las diferentes asignaciones previstas

en el desarrollo de la unidad de contenidos seleccionada, las cuales se planificaron

siguiendo las Unidades Didácticas siguientes: Sistema de los Números Naturales,

Sistemas de los Números Enteros y Sistema de los Números Racionales.

En última instancia se dieron los criterios principales para valorar las

diferentes actividades que los estudiantes realizaron para su evaluación, es decir, en

las asignaciones, talleres, participación y la prueba escrita, en función del quinto pilar

del Programa de autorregulación en el cual concebimos a la evaluación como un

proceso dirigido hacia la valoración integral y equilibrada como fundamento para el

crecimiento académico, personal y socio-afectivo de los actores del proceso didáctico

de la Matemática.

El profesor-investigador inició la primera sesión de clase siguiendo la fase de

exploración de la secuencia didáctica de nuestra propuesta, en donde utilizó un

esquema como estrategia de aprendizaje para organizar la información e introducir

355

los aspectos básicos que constituyen al conjunto de los números naturales, dentro de

los cuales destacan la noción intuitiva de número natural, notación del conjunto N,

representación gráfica, reseña histórica y relación con la vida cotidiana. Los alumnos

utilizaron el material didáctico para realizar las actividades señaladas por el profesor;

durante el proceso observamos una dificultad para entender las instrucciones y

asumir individualmente y de manera independiente el trabajo asignado, a pesar de

estar en pequeños grupos. Esto evidencia que la capacidad de concentración es uno

de los indicadores que necesitó desarrollarse desde un inicio, por lo tanto fue

necesario utilizar estrategias que lograran en los alumnos la atención selectiva de

instrucciones y así lograr la disminución de respuestas impulsivas para garantizar una

aplicación correcta de los procesos que caracterizan la autorregulación del

pensamiento lógico-formal necesario en el aprendizaje significativo de las

matemáticas.

La discriminación de la información como estrategia de aprendizaje se utilizó

en la primera asignación de la clase, los alumnos presentaron algunas dificultades

para discriminar datos y su percepción de las ideas y conceptos eran superficiales, no

obstante la situación progresivamente se superó gracias a las orientaciones didácticas

del profesor, al apoyo del material didáctico y al trabajo en equipo de los estudiantes.

La idea de utilizar el conflicto cognitivo para generar el razonamiento deductivo,

activar la autorregulación del pensamiento lógico-formal en los alumnos y construir

el aprendizaje significativo de los contenidos matemáticos, presenta un primer

obstáculo en la sesión de clase; en general los alumnos no tenían iniciativa de

participar con sus propias ideas sino que recurrían al trabajo práctico y sencillo que

les ofrecía la información del material o unidad didáctica, sin embargo de manera

progresiva y con la orientación del profesor los alumnos fueron construyendo sus

propios conceptos de número natural, tal como se describe en la transcripción

siguiente:

Profesor: La primera actividad consiste en señalar de la lista de veinte, situaciones de la

vida cotidiana en las que se utilizan o están presentes los números naturales. Por ejemplo, en

la primera situación se dice ‘la temperatura promedio del lunes en la ciudad de Barinas fue

de 32,5Cº’, ¿se utilizan números naturales para presentar esta información?

Observador: Se produce un silencio.

Profesor: En la asignación nº1 ahí tenemos una serie de preguntas que responder. En la

primera pregunta se dice: ¿podrías dar un concepto sencillo de número natural?, creo que

es un concepto que manejamos todos en estos niveles, ¿alguien podría dar un concepto de

número natural?

Alumno: Son los números que utilizamos para contar elementos concretos del entorno que

nos rodea.

Profesor: Ese concepto está en el material, pero el concepto de ustedes ¿cuál es?

356

Observador: Ningún alumno contesta la pregunta.

Profesor: Razonen un poco para que redacten este concepto de número natural en el taller.

La siguiente actividad consiste en escribir la sucesión de números naturales, esto ya lo

veníamos estudiando en el módulo de teoría de conjuntos.

Alumno: Profesor, ¿qué opina de este concepto de número natural?: “son sucesiones

numéricas que utilizamos en nuestra vida cotidiana para contar personas, animales o

cosas”.

Profesor: ¡Bien, es aceptable!

Por otro lado, los alumnos se interesan por las nuevas estrategias de

aprendizaje para organizar la información que presentan en sus trabajos, como el uso

de los esquemas, cuadros, diagramas y mapas conceptuales, no obstante para que la

actividad se realice de manera fluida, el profesor constantemente explica y orienta

sobre la importancia de su aplicación e insiste para que los alumnos procuren obtener

sus propias respuestas a través de su razonamiento:

Observador: El profesor destaca las ventajas de la elaboración de los esquemas, diagramas,

cuadros para organizarla información y explica a través del esquema que escribió en la

pizarra. Además señala que los apuntes de los alumnos no presentan en la mayoría de los

casos organización de la información y les explica que esta situación perjudica notablemente

el aprendizaje. Finalmente da oportunidad al grupo de alumnos para que formulen las

preguntas y aclaren las dudas respectivas.

Alumno: En la pregunta ¿cómo surgieron los números naturales en las actividades

cotidianas del hombre?, ¿cómo vamos a obtener esta información?

Profesor: Razonen y reflexionen sobre como han evolucionado las civilizaciones, esto les

dará alguna idea. Al final de la clase cada equipo expondrá su trabajo para la discusión

general.

Para la mayoría de los alumnos aún es difícil clasificar las situaciones

cotidianas relativas al uso de los conjuntos numéricos expuestas en el ejemplo del

material didáctico, no discriminan entre los números naturales y los decimales, lo

cual origina el conflicto cognitivo que al final de cuentas benefició la construcción

del nuevo aprendizaje en función de la información que tenían los alumnos en su

estructura cognitiva, puesto que la relación entre desequilibrio y equilibrio cognitivo

de los procesos mentales garantizan que los alumnos autorregulen constantemente

sus esquemas mentales y por lo tanto el proceso constructivo del aprendizaje que van

adquiriendo. Veamos el fragmento siguiente:

Alumno: El número de palabras que hay en los apuntes de matemática ¿Es un número

natural?

Profesor: ¿Las palabras se escriben incompletas?

Alumno: ¡Claro que no!, entonces sí son números naturales.

357

Observador: Se mantiene el intercambio de ideas entre los alumnos y el profesor quien

monitorea a cada grupo para orientarlos y contestar a las diferentes interrogantes que

formulan los alumnos.

Alumno: La mitad de la torta o pastel es un número natural

Profesor: ¿Qué sucede si divides la unidad en partes iguales?

Alumno: Nos da decimales

Profesor: Entonces ¿qué tipo de número es?

Alumno: Es una fracción

Alumno: ¿Qué ocurre con la cantidad de combustible que consumió un avión?

Profesor: Se pueden utilizar tanto naturales como decimales, eso depende de la situación.

¡Razonen un poco más!

Durante las exposiciones de los alumnos se aprecian resultados satisfactorios

en el producto final de la actividad, la mayoría pudo comunicar de manera clara y

ordenada la información utilizando las estrategias de la Unidad Didáctica o material

escrito relativas al uso apropiado del vocabulario para expresar conceptos de manera

escrita, a la utilización de técnicas de estudio como la construcción de esquemas,

diagramas, cuadros y mapas conceptuales, los cuales constituyen uno de los pilares

del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal señalado en el

Capítulo V2, que se refiere a la ‘comprensión y aplicación progresivas del lenguaje

utilizado en el proceso didáctico de las matemáticas’; además las opiniones de los

estudiantes con relación a las estrategias utilizadas son favorables:

Observador: En algunos trabajos a pesar de algunos errores de contenido ya se distinguen

mapas conceptuales para organizar la información solicitada.

Profesor: Vamos a iniciar la discusión, ¿alguien quiere comenzar?

Observador: De manera espontánea un representante de un grupo levanta la mano pidiendo

el derecho de palabra e inicia una exposición clara y acertada.

Profesor: ¿alguien quiere dar su opinión sobre las actividades que efectuamos durante la

clase?

Alumno: Me ha parecido una forma distinta y agradable para aprender más sobre las

matemáticas y espero que sigamos utilizando estas estrategias.

Alumno: Es una manera de integrarnos más a la clase de matemáticas y de saber cuáles son

nuestras fallas en los ejercicios.

Profesor: Esto es una estrategia para trabajar de manera progresiva los conocimientos

matemáticos de los sistemas numéricos.

Observador: El profesor reitera a los alumnos la utilización del material didáctico y da por

finalizada la clase.

En la segunda sesión de clase podemos apreciar nuevamente el uso de los

mapas conceptuales por parte del docente como estrategia de aprendizaje para

organizar la información, además, hace un recuento de los aspectos que se estudiaron

2 Cfr. Apartado V.3.2. Capítulo V.

358

en la clase anterior, utilizando para ello el procedimiento socrático para obtener la

información de los alumnos a través de la formulación de preguntas; sin embargo,

existen todavía problemas en la comprensión y comunicación de los conceptos, esta

situación nos originó preocupación, puesto que no sabíamos con exactitud si era

producida por la poca motivación interna de los alumnos para estudiar los contenidos

o por la falta de contundencia de las estrategias propuestas en la Unidad Didáctica;

veamos:

Observador: El profesor continúa elaborando el mapa conceptual y formula preguntas a los

alumnos.

Profesor: ¿Este sistema numérico esta formado por?

Alumnos: Por el conjunto N

Profesor: ¿Para qué usamos los números naturales?

Observador: Los alumnos tardan en contestar la pregunta.

Profesor: ¿Qué pasa?, ustedes habían escrito esa respuesta en el taller que desarrollaron.

Alumno: Se utilizan para realizar conteos de objetos.

Profesor: ¿Qué tipos de objetos? ¿Dónde los encontramos…

Alumnos: En nuestra vida cotidiana

Profesor: Son elementos concretos de nuestro entorno que vemos a diario en nuestra vida

cotidiana. ¿Cuál es la sucesión de los números naturales?

De acuerdo a las respuestas dadas por los estudiantes, podemos decir que

tienen una deficiencia en los conceptos básicos de la aritmética, porque no responden

con seguridad a las preguntas formuladas por el profesor, este escenario ya lo

habíamos descrito en la fase de diagnóstico en donde determinamos un bajo nivel de

aprendizaje matemático en los alumnos y nuevamente se reitera esta situación

académica tal como se observa en el ejemplo siguiente:

Profesor: ¿Cuáles son las operaciones aritméticas?

Alumno: Adición, resta, ¿?

Observador: Los alumnos no comprender la pregunta, las palabras operaciones y

aritméticas parecen ser términos desconocidos y el profesor responde.

Profesor: Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Observador: Luego va escribiendo en el mapa conceptual los nombres de las diferentes

operaciones y los alumnos copian en sus cuadernos la información.

También continúan presentándose problemas en la organización de la

información, esta vez no logran expresar de manera coherente el concepto de adición

de forma verbal o escrita, esta situación se va constituyendo en otra oportunidad para

que a través de la intervención de la propuesta didáctica conjuntamente con la

explicación del profesor se logre nivelar a los estudiantes y de esta manera estos

puedan superar sus debilidades en cuanto a las presentación de los respectivos

359

conceptos, definiciones y demás contenidos matemáticos. En consecuencia se

destaca el uso de representaciones gráficas como estrategia de aprendizaje según

nuestra propuesta didáctica, para orientar a los alumnos en la comprensión de los

conceptos matemáticos estudiados durante la clase para guiarlos hacia un aprendizaje

progresivo y significativo, puesto que la sola presentación verbal-escrita y simbólica

de los mismos no es internalizada por el grupo de estudiantes.

Observador: A los alumnos se les dificulta la elaboración y redacción de conceptos, la

mayoría de las hojas de trabajo presentan incoherencias en sus escritos. El profesor explica

de manera intuitiva el concepto de adición, usa ejemplos y finalmente la teoría de conjuntos.

Profesor: Vamos a dar inicio a las exposiciones, ¿quién desea comenzar?

Observador: Los alumnos participan espontáneamente y el profesor hace la

retroalimentación a cada exposición.

Alumnos del primer equipo: “La adición es la unión de elementos de dos a más conjuntos”.

Profesor: Recuerden que es una definición intuitiva, es decir, una idea de lo que se entiende

del concepto.

Alumnos del segundo equipo: “Es una operación aritmética que tiene por objetivo unir dos

a más conjuntos para obtener otro conjunto que es el resultado de dicha operación”.

Alumnos tercer equipo: “La suma está compuesta de sumandos que son los números que se

suman”.

Profesor: Ustedes ya están mencionando las partes de la adición, entonces podemos escribir

formalmente su expresión matemática, es decir, a b c+ = , donde a y b son los sumandos y

c la suma.

Observador: Las exposiciones de los equipos restantes presentan conceptos semejantes.

Finalmente el profesor utiliza diagramas y dibujos de figuras geométricas para ayudar a los

alumnos a comprender los aspectos estudiados.

Con relación a las estrategias de diseño y aplicación de planes de resolución

de problemas, los alumnos participan activamente con el profesor, quien introduce

los pasos de resolución de problemas según Polya (1978); las respuestas que dan los

estudiantes nos indican que hubo una comprensión general del procedimiento

utilizado y se observa que la estrategia de utilizar situaciones cotidianas ofrece una

mejor oportunidad para la comprensión de los procesos de abstracción y cálculo

aritmético, tal como lo describe la transcripción siguiente:

Profesor: El problema que se les presentó es de una situación común, es un presupuesto de

compra y venta de un vehículo.

Observador: Un estudiante lee el problema.

Profesor: ¿Qué observan en las cantidades? ¿Están actualizadas?

Alumnos: No, se deben ser Bolívares fuertes.

Profesor: ¿Quién explica el procedimiento que usó para resolver este problema?

Alumno: Yo simplemente sumé todos los costos del carro y luego sume la ganancia, eso me

dio 9.240 Bolívares Fuertes (Bs. F.)

360

Profesor: ¿Alguien más desea participar?

Alumno: Sacamos una suma de la compra, con los gastos de reparación y la ganancia. De

esta forma conseguimos el precio de la venta, que es de 9.240.000 Bs.

Profesor: Para resolver ese problema ustedes necesitaron aplicar algunas estrategias y

pasos, en primer lugar comprender o entender el problema.¿Qué tuvieron que hacer para

entender el problema?

Alumnos: Sacamos los datos y las incógnitas.

Profesor: Es decir, organizamos la información, para lo cual podemos utilizar una tabla que

es de mucha ayuda para separar los datos de las incógnitas.

Observador: El profesor se dedica a construir la tabla con la participación de los alumnos.

Profesor: Una vez que hemos entendido el problema y organizado la información, pasamos a

concebir o diseñar un plan para resolverlo. ¿Qué plan diseñaron ustedes?

Alumnos: Sumamos todas las cantidades

Profesor: Bien, el plan consiste en efectuar las operaciones de adición para obtener el

precio final de venta. Luego seguimos con la aplicación o ejecución de este plan y tenemos el

resultado de 9.240 Bs. F.

Finalmente verificamos que tanto procedimiento como resultado sean correctos, ¿cómo

verificamos que esta suma está bien hecha.

Alumnos: Le restamos los costos y la ganancia, nos debe dar el precio de compra.

Profesor: Exacto, quién tiene alguna pregunta.

Observador: Ningún estudiante hace preguntas y los equipos entregan sus trabajos.

En la tercera sesión la situación es semejante en cuanto al desarrollo de las

actividades como la discusión de los aspectos teóricos y la resolución de problemas,

sin embargo el profesor interpela a los alumnos por su poca disposición con el

aprendizaje, puesto que la participación ha disminuido considerablemente. La

búsqueda de información previa a la sesión de clase no resultó una estrategia

contundente, tal como se refleja a continuación:

Profesor: ¿Cuáles son las partes de la sustracción?

Observador: Los alumnos no responden y algunos lo hacen con muchas dudas.

Profesor: Si hubiesen leído un poco el material didáctico todos estuvieran respondiendo, con

esto ustedes están demostrando la poca responsabilidad en su trabajo individual, al menos

eso es lo que yo puedo valorar.

Observador: Los estudiantes con ayuda del material responden a la pregunta y el profesor

escribe sus respuestas en la pizarra.

Profesor: Continuamos ahora con la definición del producto, ¿qué es la multiplicación?,

¿qué proceso ejecutamos en esta operación?

Observador: Los alumnos se limitan a leer lo que está en el material de apoyo, el profesor

los interpela, los exhorta a participar con sus propias ideas y utiliza ejemplos cotidianos

para explicar intuitivamente el concepto de la multiplicación.

Profesor: Según los ejemplos explicados ¿qué podemos decir del concepto del producto o

multiplicación?

Alumno: Es una suma que tiene las mismas cantidades.

361

En la aplicación de los procesos de verificación, pusimos en práctica las

estrategias relativas a la verificación de respuestas, utilizando como recurso la

calculadora. Esta es mencionada por el profesor, como una herramienta para

autoevaluar la resolución de ejercicios y problemas. Los alumnos tuvieron la

oportunidad de usarla sin obtener el beneficio esperado, observamos en general que

el alumno se concentra más en los resultados que en el procedimiento de resolución,

y esta tecnología que representa un recurso importante para la revisión retrospectiva

de los problemas se transforma en un obstáculo para el logro de un verdadero

aprendizaje significativo, por consiguiente evidenciamos que la ausencia de los

procesos de verificación nos demuestran que la autorregulación no está totalmente

consolidada en los alumnos:

Profesor: a y b también reciben el nombre de factores, es decir, los factores son divisores del

producto, si 3 6 18× = , 3 y 6 dividen exactamente a 18, por eso decimos que “el orden de

los factores no altera el producto” que es la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Observador: Algunos alumnos usan la calculadora para efectuar este producto sencillo, el

profesor observa y detiene por un momento la clase para señalar las condiciones en el uso

de la calculadora, la cual debe utilizarse para corregir resultados y no depender totalmente

de esa tecnología. Destaca el procedimiento como lo más importante de las operaciones y

exige a los alumnos no colocar el resultado directo de las calculadoras.

El apoyo o asesorías en el profesor o cualquier otro experto se mantiene como

una de las estrategias más utilizadas por el grupo de alumnos, este acontecimiento es

significativo para sostener que el constructivismo sociocultural como fundamento

psicológico de nuestra propuesta logra acercar más a los estudiantes al proceso

didáctico del profesor, pudimos observar cómo una vez más, con la ayuda del

profesor y el trabajo grupal, los alumnos logran resolver los problemas asignados:

Problema: Un comerciante de la ciudad de Barinas pide 3 toneladas de carne. Primero le

mandan 854Kg., más tarde 123Kg. menos que la primera vez y después 156Kg. más que la

primera vez. ¿Cuánto falta por enviarle?

Observador: A pesar de las preguntas de los alumnos, la mayoría no tiene dificultad para

resolver el problema, sólo tres alumnos no han podido terminar. Luego, al concluir el tiempo

asignado para la actividad el profesor este pide la participación de un alumno para que

exponga su trabajo en la pizarra.

Profesor: ¿alguien quiere pasar a la pizarra a explicar la resolución del problema?

Observador: Ninguno se atreve a pasar y el profesor señala que todos podemos ayudar a la

persona que pase y les dice que no deben tener miedo. Finalmente un alumno pasa a la

pizarra.

Profesor: Al leer el problema ¿qué entendiste?, ¿qué plan utilizaste?

Alumno: Primero se debe calcular los kilogramos de carne que han enviado y luego restarlo

de las tres toneladas que es el peso inicial. El primer lote es de 854Kg., al segundo le

restamos al primero 123Kg. y el tercer envío le sumamos 156Kg al primero, eso nos da

362

2.595Kg. Finalmente efectuamos 3000 2595 405kg kg Kg− = , que es lo que hace falta por

enviarse.

Observador: El alumno expone la información de manera organizada en la pizarra

separando los datos de las incógnitas y el plan diseñado lo ejecuta de manera coherente

conjuntamente con las operaciones involucradas. El profesor luego de monitorear el trabajo

de los alumnos destaca los logros en la mayoría del grupo en las estrategias utilizadas para

resolver el problema de aplicación.

En la cuarta sesión de clase se presenta el uso del lenguaje simbólico para

formalizar los conceptos y propiedades de las operaciones de los números naturales.

La comprensión de los símbolos en la mayoría representa un problema a superar, a

pesar de que el profesor se apoyó con un recurso visual –las diapositivas– y seguir un

proceso gradual en la presentación de la información con las estrategias de la Unidad

Didáctica de los Sistemas Numéricos desde las representaciones gráficas,

elaboración de esquemas, diagramas y mapas conceptuales. Recordemos que la

utilización del lenguaje matemático representa un proceso complejo y necesita del

tiempo suficiente para que los alumnos logren los resultados esperados; así se

observa a partir del siguiente diálogo:

Profesor: ¡Alguien podría interpretar los símbolos que tenemos en la diapositiva!

Observador: Los alumnos sólo comprenden algunos símbolos de la expresión ∀ a∈N,

∃ e/a+e=e+a=a y el profesor traduce lo que corresponde a la existencia del elemento

neutro para la adición en N.

Profesor: ¿Cómo escribimos en el lenguaje simbólico la propiedad conmutativa de la

adición y multiplicación?

Observador: No responden y el profesor nuevamente interviene.

Siguiendo la fase de presentación en la secuencia didáctica del Programa de

autorregulación del pensamiento lógico-formal, se proyectó una película de dibujos

animados cuyo tema se correspondía con la relación entre las matemáticas y el

mundo que nos rodea. Lo más significativo de esta clase fue el haber verificado la

gran importancia y ventaja que ofrece el uso del vídeo para despertar la motivación

en los alumnos y lograr la comprensión de la relación que tiene la Matemática con la

vida cotidiana. En la discusión final de la clase surgen comentarios como los

siguientes:

Alumno: Yo logré entender que hasta cuando jugamos están las matemáticas, todo lo que

nos rodea es matemática, pero que nosotros no las apreciamos como se debería porque sin

darnos cuenta la estamos utilizando todo el tiempo.

Profesor: ¿Alguien más?

Alumno: Me ha parecido una buena estrategia para motivarnos en el estudio de las

matemáticas porque nos ayuda a comprender nuestra vida cotidiana. Cuando compramos,

363

vendemos, jugamos, escuchamos música sin querer estamos en presencia de la matemática y

de esta manera es menos estresante para nosotros.

Observador: Otro alumno toma la palabra.

Alumno: Técnicamente las matemáticas están en todas partes aunque no las veamos pero en

todo lo que nos rodea están, ¡bueno así lo veo yo!

Observador: El profesor continúa motivando para que los demás alumnos intervengan.

Alumno: A mí me parece que las matemáticas tienen mucho que ver con en nuestra vida

cotidiana, porque todo lo que hacemos a diario necesita de la Matemática, por ejemplo

cuando vamos al supermercado, cuando miramos la hora.

Alumna: Sin la Matemática viviríamos en un mundo desordenado, es decir el mundo tal

como lo conocemos no existiría.

Con la sesión número cinco finaliza la Unidad Didáctica I. En esta clase se

resuelven ejercicios sobre potenciación de números naturales, en los cuales

intervienen propiedades básicas para su resolución; el procedimiento de enseñanza es

el socrático, puesto que el docente sigue activando el conflicto cognitivo en los

alumnos a través de la formulación de preguntas, las cuales responden de manera

general durante las explicaciones que realiza el profesor:

Observador: El profesor escribe en la pizarra el ejercicio siguiente:

Simplificar la expresión siguiente indicando las propiedades utilizadas:

( ) ( ) ( )( ) ( )

33 2 2

2 3 3 2

3 25 2 3

2 3 2 3

2 3 2 3

Profesor: ¡Bien!, ¿por dónde quieren comenzar?

Alumnos: Por los exponentes, eliminando los paréntesis.

Profesor: ¡Fíjense!, de manera sistemática podemos resolver las expresiones que están

“desde adentro hasta afuera”, es decir, resolvemos primero las operaciones de los

paréntesis y luego eliminamos el corchete. Siguiendo este procedimiento ¿cómo quedaría el

primer paso?

Alumnos: Queda dos elevado a la seis, tres a la seis, dos a la seis…

Profesor: ¿Qué propiedad estamos aplicando?

Alumnos: Potencia de una potencia.

Observador: Los alumnos participan en la resolución del ejercicio indicando el resultado de

cada potencia de una potencia y el resultado lo escribe el profesor en la pizarra

( )( )( )( )( )

36 6 6 2

5 6 6

2 3 2 3

2 3 2 3

Profesor: El siguiente paso, ¿cuál es?

Alumnos: Eliminando el corchete multiplicamos los exponentes, seis por tres y nos da dos a

la dieciocho, 3 a la dieciocho…

364

Los alumnos parecen comprender de manera intuitiva las propiedades de la

potenciación, aunque las aplican correctamente no logran identificarlas con los

términos apropiados; el lenguaje matemático para expresar los conceptos necesita

mayor dedicación para que los alumnos logren comprender de manera progresiva la

relación entre propiedad → nombre → expresión matemática → procedimiento, es

decir las estrategias correspondientes a la utilización de la intuición y procesos de

inducción son las que más se destacan en el razonamiento de los alumnos, esto lo

pudimos observar en el siguiente fragmento:

Profesor: Pero también si nos detenemos a observar el ejercicio y razonamos un poco,

podemos efectuar las operaciones dentro del corchete para tener una expresión más sencilla

de resolver, ¿qué propiedad aplicamos en las primeras potencias de la parte superior?

Alumnos: Colocamos las mismas bases y sumamos los exponentes.

Observador: Los alumnos no señalan el nombre de la propiedad.

Profesor: Es un producto de potencias de igual base, así nos quedaría el siguiente resultado:

Alumnos: Queda dos a la doce y tres a la ocho. Abajo dos a la once y tres a la siete.

Observador: El profesor escribe el resultado y propiedad aplicada

31 2 8

1 1 7

2 .3

2 .3

Producto de potencias de igual base.

Profesor: Entonces tenemos esta expresión más simple, ahora ¿qué propiedad puedo aplicar

para resolver las operaciones restantes?

Observador: Ningún alumno responde.

Profesor: ¿Qué operación tenemos ahí?

Alumnos: Es una división, entonces ¿restamos los exponentes?

Profesor: ¿Cómo queda el resultado?

Alumnos: Dos a la uno y tres a la uno.

Alumnos: Calculamos las potencias y multiplicamos.

El concepto de radicación es otro de los aspectos tratados durante esta sesión.

Se hizo necesario su explicación a los estudiantes, pues en su mayoría utilizaban las

calculadoras para hallar raíces cuadradas de números sencillos como 4, 9 o16;

además, observamos también problemas para utilizar la calculadora científica para

determinar raíces cúbicas. Situaciones como éstas evidencian la poca preocupación

del alumno por comprender el concepto y procedimiento matemático en esta

operación aritmética, se inclinan más hacia lo mecánico, es decir, lograr la respuesta

a través de una herramienta de apoyo como las calculadoras; en consecuencia, toda la

clase se concentra en el discurso del profesor, por lo tanto, estrategias tales como la

aplicación de las propiedades matemáticas, definiciones y axiomas relativos a la

aplicación del razonamiento deductivo están ausentes en los alumnos, sin los cuales

es difícil lograr una verdadera autorregulación del pensamiento lógico-formal, tal

como se aprecia en la siguiente transcripción:

365

Profesor: Continuamos ahora con la última operación aritmética: la radicación. ¿Cómo

calculamos la raíz cuadrada o cúbica de un número?, ¿qué procedimiento estamos

ejecutando?

Observador: Ningún alumno responde y utilizan la calculadora para determinar el resultado

de las raíces. El profesor explica el concepto de la radicación de manera intuitiva.

Profesor: Lo que hacemos al calcular la raíz cuadrada de un número se resume en encontrar

otro número que multiplicado dos veces por sí mismo sea igual al número que se le está

calculando la raíz, por ejemplo:

3

4 2 2 2 4

16 4 4 4 16

8 2 2 2 2 8

= ⇔ × =

= ⇔ × =

= ⇔ × × =

Observador: Al determinar las raíces de los ejemplos anteriores algunos alumnos todavía no

comprenden el concepto y utilizan la suma para encontrar los resultados, es decir, la raíz de

16 respondieron 8. Un alumno utiliza la calculadora pero determina la raíz cuadrada de 8,

lo que evidencia el desconocimiento de la calculadora científica, luego el profesor utiliza

esta experiencia para diferenciar los números naturales de los irracionales.

Profesor: Como podemos observar la radicación es una operación inversa de la

potenciación. En la potenciación calculamos la potencia de por ejemplo 32 8= , en la

radicación tenemos que encontrar la base 3 8 2=

Por el contrario, los conceptos de número primo, compuesto, múltiplos y

divisores no representaron para los alumnos mayor dificultad, las preguntas que

formuló el profesor fueron respondidas contundentemente de la forma siguiente:

Profesor: Vamos a repasar estos dos conceptos, números primos y compuestos. Esta

información ya la habíamos estudiado en la unidad pasada. ¿Quién recuerda qué es un

número primo?

Alumno: Es un número que se divide sólo entre el mismo número y la unidad.

Profesor: Exactamente, tienen sólo dos divisores, la unidad y ellos mismos. Por ejemplo si

seguimos la secuencia de los números naturales el primer número primo que encontramos es

el dos.

Alumnos: También el 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37…

Profesor: Ahora ¿Cuáles son los números compuestos?

Alumno: Tienen más de dos divisores.

Es importante destacar la actividad del material didáctico que el profesor

asigna a los alumnos para finalizar la Unidad Didáctica con relación a la fase de

valoración cognitiva de la secuencia didáctica de nuestra propuesta, la cual consistió

en la presentación de un resumen de los aspectos estudiados del sistema de los

números naturales, utilizando las estrategias para organizar la información para

lograr una comprensión más consolidada de estos contenidos matemáticos.

366

VII.1.1.2. Unidad Didáctica II: Sistema de los Números Enteros

Los contenidos relativos al Sistema de los Números Enteros se desarrollaron

durante las sesiones de clases 5 y 6; aunque hubiésemos necesitado más sesiones,

tuvimos que sintetizar la información por razones operativas del tiempo del semestre

académico de la Universidad.

La introducción de los números enteros se efectúa con una breve reseña

histórica como inicio en la fase de exploración, la cual no logra despertar el interés

de los alumnos, sin embargo, la sesión de clase se complementa con la presentación

de una situación práctica con la que sí se logra motivar realmente a los alumnos

sobre el tema de los números negativos; esto nos indica que la utilización de

situaciones concretas y cotidianas como estrategias de aprendizaje en el programa de

autorregulación del pensamiento lógico-formal representan para el alumno una gran

ayuda para comprender mejor los contenidos matemáticos, porque la forma

expositiva que el profesor utilizó durante la clase, no es la más aceptada por los

estudiantes. Todavía hay confusiones entre los símbolos de los conjuntos de los

números naturales y enteros, tal como se observa en el diálogo siguiente:

Profesor: ¿Qué significado tiene la letra Z en los sistemas numéricos? o ¿qué significa

conjunto Z?

Alumno: Es el conjunto de los naturales.

Alumno: No, son los enteros.

Profesor: Seguimos con el conjunto de los números enteros, que se identifica con la letra Z,

que tiene su origen en la palabra alemana zahl que significa número.

Observador: El profesor expone una breve reseña histórica de los números negativos y sus

diferentes aplicaciones, sin embargo, la forma expositiva que se utiliza como procedimiento

de enseñanza no genera motivación y atención en los alumnos.

Profesor: La representación gráfica de los números enteros, ahora no sólo tiene a los

naturales, aparecen en el lado izquierdo de la recta, otro tipo de números. ¿Cuáles son?

Alumnos: Los números negativos.

Profesor: Para observar la aplicación práctica de estos números tenemos el problema

siguiente: “Luís tiene hace un mes una deuda de 3.500.000 Bs. Con un prestamista que le

cobra 10% de interés mensual, además tiene dos recibos de electricidad y teléfono

pendientes de 85.000 Bs. y 55.000 Bs. En el mes de diciembre decide cancelar sus deudas y

ha cobrado 2.500.000 Bs. en aguinaldos. ¿Cuál es la situación financiera de Luís?”.

Profesor: ¿Qué significado numérico tienen las deudas de Luís?

Alumno: Es lo que debe pagar, es decir, no tiene el dinero completo porque apenas le

pagaron 2.500.000 Bs.

Profesor: Esa información es válida para resolver el problema, sin embargo, las deudas son

un ejemplo de números negativos, ¿cómo puedo escribir las deudas utilizando números

negativos?

Alumnos: Entonces sería 3.500.000− , 85.000− , 55000− y el 10% de 3.500.000−

367

Profesor: ¿Cómo organizamos los datos?

Alumnos: Por un lado colocamos lo que debe Luís y por el otro lo que le han pagado

Observador: El profesor resuelve el problema con la participación del grupo de estudiantes

y hace preguntas para verificar la comprensión del procedimiento y estrategias utilizadas.

Destaca también la diferencia entre el procedimiento y operaciones aritméticas, porque en

los problemas su resolución debe tener una estructura coherente sin importar el número de

pasos que se utilicen, de esa manera es que se ordena el conocimiento matemático.

Con relación a las operaciones con números enteros, utilizamos algunas veces

clases expositivas mientras que los alumnos seguían la información del material

didáctico, sin embargo, lograron entender el procedimiento para resolver los

ejercicios propuestos por el profesor, en el caso de la suma algebraica separan

positivos de los negativos y efectúan las operaciones de manera correcta:

Observador: El profesor escribe el siguiente ejercicio

3 10 8 ( 4) 16 ( 25) 40− + + + − + + − + = y algunos de los alumnos participan en su

solución, agrupan adecuadamente los valores positivos y negativos para obtener la respuesta

correcta.

Profesor: ¿Cuál es el procedimiento que se aplica para resolver este ejercicio?, es una suma

de números enteros.

Alumno: Agrupamos los positivos y los separamos de los negativos, luego sumamos aparte

cada grupo.

Profesor: Pero antes eliminamos los paréntesis multiplicando los signos.

Profesor: Entonces ¿Cómo queda?, ¿Qué pasa con los números que tienen igual signo?

Alumnos: Ahora nos queda10 16 40 3 25+ + − − = , luego se suman los positivos por un

lado y por el otro los negativos, 10 16 40 3 25 66 28+ + − − = −

Profesor: Ahora tenemos dos números de signos contrarios, ¿qué se hace?

Alumnos: Restamos y colocamos el signo del mayor, nos queda igual a 38.

Profesor: Colocamos el signo de la expresión de mayor valor absoluto. Vamos a restar

ahora en el conjunto Z, ¿cómo resolvemos esta operación? 2 ( 8)− − − =

Alumnos: Multiplicamos los signos y queda 2 8 6− + =

Asimismo recuerdan algunas de las propiedades de la potenciación de enteros

y llegan con la orientación del profesor a establecer conclusiones utilizando la

resolución de los ejercicios:

Profesor: Si tengo ( )22− , ¿eso igual a?

Alumno: 4

Profesor: ¿Cómo llegaron a ese resultado?

Alumnos: Multiplicamos ( ) ( )2 2 4− − =

Profesor: Ahora si tengo ( )32− , ¿cuál es el resultado?

368

Alumno: Queda negativo

Profesor: ¿Por qué?

Alumno: Al multiplicar tres veces el signo menos, nos da negativo ( ) ( ) ( )2 2 2 8− − − = −

Profesor: ¿Qué conclusión podemos establecer con las bases negativas?

Alumno: Si el exponente es par los da positiva y si es impar el resultado es negativo.

Profesor: Entonces podemos escribir lo siguiente:∀a∈ Z, se cumple que si n es par y

0 0na a< ⇒ ≥ o si n es impar y 0 0na a< ⇒ <

Observador: El profesor orienta a los alumnos en la interpretación del lenguaje simbólico

para expresar la propiedad y luego explica más ejemplos para que el grupo comprenda su

aplicación.

En los ejercicios de mayor complejidad aplican las propiedades de forma

correcta pero no identifican el nombre de las mismas, situación que se presentó

también con los números naturales. La forma de resolver los ejercicios es más

intuitiva que formal, el razonamiento es más inductivo que deductivo y analítico,

porque generalmente los alumnos observan cada ejercicio como si fuera un caso o

ejemplo especial a resolver y no analizan las propiedades como unas reglas generales

para efectuar dichas operaciones.

Profesor: Vamos a resolver los ejercicios siguientes para ilustrar mejor las propiedades de

la potenciación en Z: ( ) ( )( )( )2 22 3 2 3− − − − , ¿qué propiedad puedo aplicar?

Observador: No hay respuesta de los alumnos

Profesor: Hemos dicho que se aplican las mismas propiedades, en el ejercicio tenemos un

producto de potencias de igual base, después de multiplicar ¿cuáles son los exponentes de -2

y -3?

Alumno: ( ) ( )3 32 3− − , que es igual a ( )( )8 27 216− − = −

Profesor: Luego tenemos este otro ejemplo: ( ) ( )( ) ( )

3 5

2 3

2 3

2 3

− −=

− −, ¿qué propiedad se aplica?

Alumnos: Restamos los exponentes y queda ( ) ( )22 3 18− − =

Profesor: Muy bien, resuelvan ustedes el siguiente: ( )

( )

33

22

2

2

− = −

Alumnos: Ahí aplicamos potencia de una potencia y es igual a ( )( )

9

4

2

2

−

−, luego es una

división y restamos los exponentes ( )52 32− =

Observador: Generalmente los alumnos que se ubican en las primeras filas de la clase

contestan y participan en las clases de tipo expositiva que el profesor desarrolla, pero este

comportamiento se observa también cuando trabajan en pequeños grupos, son los mismos

369

alumnos que mantienen su participación tanto en el trabajo de los talleres como en las

preguntas que formulan al profesor.

Por otro lado, la eliminación de los signos de agrupación para resolver las

operaciones combinadas de números enteros, constituyeron un problema serio para la

mayor parte de los alumnos, quienes confundían el significado de la operación que

representaban los paréntesis, corchetes y llaves. Para algunos alumnos era la primera

vez que estudiaban estos ejercicios, aunque forman parte de su formación

matemática en la escuela básica.

Profesor: Vamos a revisar ¿cómo están con la eliminación de signos de agrupación?

Resuelvan el siguiente ejercicio: ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }10 52 3 1 2 3 2 3 2 5 5 1 − − − − + ÷ − + + − −

Observador: Los alumnos consultan con frecuencia al profesor y verificamos problemas en

la eliminación de signos de agrupación, puesto que no comprenden qué operación resolver

primero y cometen errores como el de sumar al resultado de ( )103 2− + 5− antes de

efectuar la división. Al final el profesor tiene que recurrir nuevamente a la clase expositiva

para explicar el ejercicio y formula preguntas para verificar la comprensión de cada paso en

el procedimiento.

Profesor: Podemos iniciar eliminando las llaves multiplicando menos dos por menos tres,

sin embargo si revisamos las operaciones internas que están en los paréntesis podemos

resumir un poco el trabajo, veamos: ¿cuáles son los resultados de las operaciones entre los

paréntesis?

Alumnos: ( )( ) ( ) ( )( ){ }10 52 3 1 1 1 5 4 − − − − ÷ − + −

Profesor: Entonces resolviendo las potencias y productos nos queda:

( )( ) ( ) ( )( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 3 1 1 1 5 4 2 3 1 1 20− − − ÷ − + − = − − − ÷ − + − , ahora ¿cuál

es el resultado de las operaciones que encierra el corchete?

Alumnos: [ ]{ } [ ]{ }2 3 1 20 2 3 19− − − = − − −

Profesor: ¿Qué indican las llaves y el corchete?

Alumnos: Restamos.

Profesor: Es una multiplicación, es un error que cometen muchos de ustedes, entonces si

efectuamos el producto, nos quedaría igual a?

Alumnos: 114−

Alumnos: Es negativo ¿por qué todos son negativos?

Profesor: Es la ley de los signos, ¿qué pasa?, ¡ya lo habíamos explicado!, tienen que revisar

más el material de apoyo. Ahora vamos a utilizar 10 minutos para que resuelvan el siguiente

ejercicio.

Observador: Los alumnos empiezan a resolver el ejercicio de la misma naturaleza que el

anterior y los alumnos siguen formulando preguntas porque prevalecen los problemas en la

eliminación de los signos de agrupación. El profesor retoma la clase y con la participación

de los estudiantes lo resuelve. El bajo nivel de aprendizajes básicos obstaculiza el trabajo de

370

la mayoría de los alumnos, aunque son contenidos que debieron aprender durante la

Educación Básica parece que es la primera vez que los estudian.

VII.1.1.3. Unidad Didáctica III: Sistema de los números Racionales

Nuevamente con las limitaciones de tiempo nos propusimos implementar

durante las sesiones de clases 7, 8 y 9 algunas de las estrategias de aprendizaje

contempladas en nuestra propuesta para desarrollar los contenidos de la Unidad

Didáctica relativa al Sistema de los Números Racionales.

Para iniciar el estudio de los números racionales el profesor asignó la

investigación del concepto, partes y ejemplos de fracciones con la finalidad de que

los alumnos tuvieran alguna información introductoria de la clase, sin embargo,

sorpresivamente sólo dos alumnas realizaron el trabajo, comprobándose una vez más

que la estrategia de aprendizaje correspondiente a la recolección previa de

información relativa al tema de la clase no es la más indicada para despertar

motivación en los alumnos.

Profesor: Vamos estudiar en la clase de hoy el conjunto de los números racionales, el cual

simbolizamos con la letra Q, primero discutamos algunos conceptos: ¿qué investigaron del

concepto de fracción?

Observador: Sólo dos estudiantes participan y exponen un concepto de fracción. El resto se

limita a escuchar la explicación del profesor.

Profesor: ¿Cómo representamos una fracción?

Observador: No hay respuesta de los alumnos y el profesor utiliza un rectángulo lo divide en

cuatro partes iguales para explicar el concepto de fracción. Luego hace preguntas con

relación a las partes de una fracción, los alumnos logran identificarlas sin problemas.

El profesor utiliza el concepto de fracción para introducir el concepto de número racional.

En estas sesiones de clase pudimos constatar nuevamente que el uso de

ejemplos de la vida cotidiana es una estrategia de aprendizaje muy significativa por

su contundencia en el momento de ilustrar las situaciones matemáticas en la

comprensión del concepto de número racional. A pesar del incumplimiento de la

tarea asignada, los alumnos logran seguir las explicaciones del docente y responden

las preguntas formuladas:

Profesor: Busquemos ahora ejemplos de la vida cotidiana que tengan relación con las

fracciones, ¿lo investigaron?, ¿quiénes trajeron ejemplos?

Alumno: Este puede ser uno, faltan un cuarto para las tres.

Profesor: Cada fracción tiene su expresión decimal, ¿cuál es la expresión decimal de tres

cuartos?, ¿cuántos céntimos tiene tres cuartos de un Bolívar?

371

Observador: No hay respuesta y el profesor efectúa la división correspondiente para

explicar la forma de hallar la expresión decimal.

Profesor: ¡Simple!, dividimos tres entre cuatro, ¿cuál es el resultado?

Alumno: 0,75

Profesor: Entonces, ¿cuántos céntimos son?

Alumno: Son 75 céntimos de Bolívar.

Profesor: ¿Qué fracción representan 50 céntimos?

Alumnos: La mitad, es decir, un medio.

Profesor: En el ejemplo de la hora, ¿cuántos minutos faltan para las tres?

Alumno: Son 15 minutos que son la cuarta parte de una hora.

Las operaciones con números fraccionarios son efectuadas por los alumnos de

manera mecánica, es decir, siempre hacen uso del enfoque algorítmico para sumar y

restar fracciones, por lo que el profesor genera experiencias para orientar a los

alumnos en la comprensión de estos procedimientos y recurre a la representación

gráfica de las fracciones para efectuar sumas y restas con fracciones con igual

denominador y luego con diferentes denominadores como estrategia de aprendizaje,

la cual consiste en presentar la información en la secuencia gráfica, verbal y

simbólica de acuerdo a las orientaciones didácticas del Programa de autorregulación

presentadas en el material escrito de la Unidad de contenidos que seleccionamos.

Profesor: Vamos a repasar las operaciones entre números racionales, ¿Cómo sumamos dos

fracciones?, ¿qué diferencia hay entre estas sumas? 2 5 4

3 3 3+ + = y

1 3 1

2 4 8+ + =

Alumnos: La primera tienen igual denominador y la segunda suma las fracciones tienen

diferente denominador.

Profesor: Si tienen igual denominador, ¿cuál es el procedimiento para efectuar la suma?

Alumnos: Sumamos los numeradores y se coloca el mismo denominador.

Profesor: ¿Por qué colocamos el mismo denominador?

Observador: Los alumnos no responden y el profesor utiliza la representación gráfica de las

fracciones para explicar.

Profesor: ¿Qué observamos de las figuras?

Alumnos: Todos los rectángulos están divididos en tres partes iguales.

Profesor: Entonces si cada pedazo son terceras partes, lo que hacemos es sumarlos y por eso

queda el mismo denominador.

El segundo ejemplo tiene diferentes denominadores, ¿cómo se suman?


Profesor: Determinamos el mínimo común múltiplo de los denominadores, pero ¿quién

recuerda el procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo entre dos o más

números?

Observador: Tampoco participan, luego el profesor hace la descomposición de los números

y pregunta por el nombre del método, ningún alumno responde.

Profesor: Esta forma de calcular el m.c.m. utiliza la descomposición de factores primos de

los números y multiplicamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente

372

para obtener el resultado. Les recomiendo que investiguen más sobre este aspecto en el

material didáctico o en cualquier otro libro que prefieran, ¡me sorprende que todavía no lo

hayan estudiado!

En la resolución de problemas que requieren de la aplicación de adición de

números fraccionarios, los alumnos necesitaron de la ayuda del profesor para

comprender progresivamente el procedimiento; la mayoría no toma la iniciativa para

razonar y aplicar las estrategias respectivas a pesar de que se ha tomado una

situación muy cotidiana, en consecuencia el profesor llama la atención de los

estudiantes en otro intento por hacerlos reflexionar sobre sus obligaciones para lograr

el aprendizaje esperado:

El primer problema es el siguiente: La señora Carmen ha comprado en el mercado 12 y tres

cuarto Kg. de papas, 5,5 kg. de tomates, 3 y un cuarto Kg. de cebolla, 4 Kg. de ñame, 6 Kg.

de zanahoria y tres cuartos de kg. de ajo. Si cada Kg. se vende por un precio unitario de

1.500 Bs . ¿Cuánto ha gastado la Sra. Carmen en verduras y legumbres?

Alumno: ¿Necesito aplicar los pasos que hemos utilizado en los demás problemas?

Profesor: Sí, necesitas hacerlo para que te ayuden a organizar la información y tener más

coherencia en lo que haces.

Alumno: Hay números entero y fracciones, ¿cómo hago para sumar?

Profesor: Primero intenta comprender el problema, selecciona los datos y sepáralos de la

incógnita, así verás mejor el plan que debes aplicar para resolverlo y recuerda que puedes

resumir operaciones al sumar primero los números naturales y los fraccionarios por

separado luego efectúas la adición entre estos dos, ¿entiendes lo que te explico?

Alumno: Es decir, sumo primero 12Kg.+5Kg +3Kg +4Kg +6Kg y luego

3 1 1 3Kg Kg Kg Kg

4 2 4 4+ + +

Profesor: ¡Exacto!, ahora ¿qué operación hace falta?

Alumno: Sumo los dos resultados y multiplico por el precio de 1.500 Bs. o 1,5 Bs F. ¡ese es

el resultado de la compra!

Profesor: Bien ahora puedes ayudar a tus compañeros de equipo con el problema.

Observador: Luego de unos minutos de orientar y monitorear a cada grupo el profesor toma

la palabra y se dirige a todos.

Profesor: Muchos de ustedes todavía tienen dificultades para entender los problemas que se

les plantean, muy pocos de los grupos han dividido en los pasos el problema y han

determinado correctamente el plan de resolución. Necesitan leer bien el enunciado para

establecer las operaciones a efectuar, discriminar o separar correctamente la información

para organizarla en el cuadro, de lo contrario será más complicado para ustedes.

El profesor nuevamente asigna otra investigación a los alumnos, esta vez les

solicitó que estudiaran las propiedades del inverso aditivo y multiplicativo explicadas

en el material didáctico, sin embargo no cumplen con el trabajo asignado. Cabe

destacar que algunos de los alumnos recuerdan las propiedades conmutativa,

asociativa y elemento neutro, pero presentan problemas para verificarlas en el

373

conjunto Q, todavía se observa dificultad en los algoritmos para sumar fracciones

con diferentes denominadores, especialmente con el método del mínimo común

múltiplo:

Profesor: Entonces podemos ver que se cumplen las mismas propiedades para la adición y

multiplicación de números naturales, sin embargo existe una propiedad nueva en los enteros,

que es la existencia de inversos aditivos o elementos opuestos, ¡alguien quiere explicar en

que consiste esta propiedad por favor!

Observador: Ningún alumno participa, la forma como revisan el material nos permite

deducir que no investigaron la información. El profesor utiliza algunos ejemplos para

obtener las respuestas.

Profesor: En el conjunto Q, ¿cuáles propiedades se cumplen en la adición?

Alumno: También la conmutativa, asociativa…

Profesor: Pueden dar un ejemplo para comprobar la propiedad conmutativa.

Observador: Los alumnos no responden y recurren al ejemplo que está en el material

didáctico.

Profesor: Me preocupa que no participen porque si fuera una pregunta de la prueba

entonces nadie la respondería, deben investigar la información, recuerden que esa es su

responsabilidad.

Alumno: 1 1 1 1

2 8 8 2+ = +

Profesor: ¿Cuánto nos da esa suma?

Observador: Los estudiantes guardan silencio y el profesor explica rápidamente el

procedimiento utilizando mínimo común denominador.

Profesor: De esta manera nos dio 5

8 y así comprobamos la propiedad utilizando un

ejemplo, luego podemos usar el lenguaje simbólico para escribirla de la siguiente

forma: ∀ ,a c

b d∈ Q ,

a c c a

b d d b+ = +

Profesor: Ahora ¿como verificamos la propiedad asociativa?

Alumnos: Utilizamos tres fracciones, 2 1 1

3 2 5+ +

Profesor: ¿Cómo las sumo según esta propiedad?

Alumno: Se agrupan usando paréntesis de la siguiente

manera: 2 1 1 2 1 1

3 2 5 3 2 5

+ + = + +

Profesor: Sumen ahora por favor y comparen los resultados.

Observador: El profesor revisa la actividad de cada alumno, orienta en caso de presentarse

dificultades y finalmente se resuelve en la pizarra.

En la resolución de potencias de números fraccionarios con exponentes

negativos progresivamente los alumnos participan y aplican correctamente la mayor

parte de las propiedades, esto se observa en el siguiente fragmento:

374

Profesor: El segundo ejercicio es un poco más largo pero verán que no tiene mucha

dificultad, veamos:

( )

2 2

32

2 1 5

5 2 2

52

2

−

−−

, ¿Qué propiedad aplicamos primero?

Alumnos: Sólo tenemos dos bases iguales que están dividiendo ¿Cómo se efectúa el resto?

Profesor: Razonen cuidadosamente las bases que tienen exponente negativo, si aplican el

inverso multiplicativo ¿qué obtienen?

Alumnos: 2 2

5 2

2 5

− =

, 3 3

5 2

2 5

− =

y ( )2

2 12

2

− =

, entonces nos quedaría igual

a:

2 2

3 2

2 1 2

5 2 5

2 1

5 2

Profesor: Una vez aplicada la propiedad del inverso multiplicativo, ¿qué propiedades

aplicamos?

Alumnos: sumamos los exponentes de dos quintos y restamos los de un medio y nos queda

4 1

3

2 1

5 2

2

5

−

, luego restamos los exponentes de dos quintos y es igual a: 1

2 1

5 2

−

,

como un medio a la menos uno es igual a dos nos queda ( )2 42

5 5

=

Observador: El profesor asigna otro ejercicio para lograr mayor participación de los

alumnos y lograr el aprendizaje de este contenido y luego solicita a los estudiantes la

resolución de tres ejercicios propuestos del material didáctico para la próxima clase de

manera individual.

En la última sesión de clase sobre los números racionales, se desarrollan

actividades relacionadas con el uso del porcentaje en nuestra vida cotidiana para

lograr la comprensión de este concepto y su relación con las fracciones. El recurso

utilizado son artículos de periódicos que contienen información estadística sobre

precios de productos, inflación, población económicamente activa, importación de

vehículos, construcción de viviendas, salud y deportes, al final se ha planificado la

exposición por equipos sobre el análisis cuantitativo de cada artículo.

Al inicio el profesor elabora un esquema sobre los aspectos a estudiar durante

la clase y comienza a verificar los conocimientos previos que los estudiantes tienen

sobre el tema de porcentaje, además utiliza un ejemplo práctico antes de asignar la

actividad por grupos:

375

Profesor: ¿Qué significa 30%, 50% o 70%?

Alumno: Son 30, 50 0 70 de cada 100

Profesor: Esta relación tiene que ver con las fracciones, porque por ejemplo, 30 de 100 es

igual a 30 3

100 10= tres décimos y 50 de 100 es

50 1

100 2= , es decir la mitad. Si decimos que

el 20% de los alumnos de la UNELLEZ, utilizan celulares de alta tecnología, eso quiere

decir que 20 de cada cien tienen esos celulares, es decir, 20 1

100 5= de cada grupo de cinco

alumnos uno tiene un celular de alta tecnología.

Ahora veamos un ejemplo más práctico de la vida cotidiana, supongamos que el total de

alumnos de la universidad es de 2500 y 1500 viven en la ciudad de Barinas y el resto en los

demás municipios, ¿cómo determinamos el porcentaje de alumnos?

Alumnos: Dividimos cada grupo entre el total

Profesor: Es decir, 1500.100%

60%2500

= viven en Barinas y el resto 40% en los demás

municipios del estado, con esta información ya pueden trabajar con los datos de los

artículos, cualquier duda pregunten.

Observador: Los alumnos en general se motivan para hacer el trabajo con orden,

participación y haciendo constantemente preguntas al profesor demostrando preocupación

por entender la actividad y con plena confianza para dirigirse al profesor.

En el transcurso de la actividad los alumnos en general demuestran

dificultades para analizar la información tanto escrita como cuantitativa de los

artículos, el profesor constantemente orienta y explica para ayudarlos a discriminar la

información:

Alumno: En este artículo, aquí ¿cómo haría? ¿Qué debo hacer?

Profesor: Van a calcular el porcentaje de jugadores convocados al partido de fútbol

amistoso por equipo de primera división venezolano.

Alumno: Esta información dice algo sobre las importaciones de vehículos en el país, hay

una cantidad de dólares solicitados y otra que se aprobó, ¿qué hay hacer?

Profesor: Determina los porcentajes de dólares aprobados y con relación a los solicitados,

eso es el total, luego calculan el porcentaje aprobado de acuerdo a los modelos, ¡hagan sólo

dos o tres ejemplos!

Alumno: ¿Esto tiene que dar 40%?

Profesor: ¿Qué hizo para calcularlo?

Alumno: Dividí 1300 entre 2000 y lo multipliqué por 100%

Alumno: No entiendo lo que dice aquí, en el mes pasado la tasa de desempleo se ubicó en

6,2%

Profesor: ¿Qué significa esa información?

Observador: El estudiante responde con dudas.

Profesor: Esto significa que de cada 100 venezolanos 6 están sin trabajo. Lean el artículo y

organicen los datos para que los interpreten correctamente.

376

Al finalizar los trabajos los grupos hacen las exposiciones de manera

espontánea, de las cuales hemos efectuado las valoraciones siguientes de acuerdo a lo

que observamos:

El primer equipo no presenta el título del artículo, el profesor lo menciona y

hace las correcciones respectivas, sin embargo la exposición que hace el equipo de

alumnos presenta tanto procedimientos como el cálculo de porcentajes de forma

correcta, y organiza de manera sistemática la información que han interpretado.

El segundo equipo a pesar de tener la orientación del profesor, herramientas

como la calculadora y el material didáctico, cometió errores tanto en el

procedimiento como en el cálculo de operaciones en los porcentajes, no logró

interpretar correctamente la información que se les entregó del artículo. El profesor

interviene inmediatamente y utiliza la situación para profundizar sobre el tema.

El tercer equipo, expresó de manera correcta los cálculos de operaciones, sin

embargo expuso con dificultad las ideas y la información.

El cuarto equipo comunica de manera fluida la información, presenta de

manera organizada la información en la pizarra de manera verbal, escrita y simbólica

con sus respectivos procedimientos y cálculos.

Los alumnos que integran el quinto equipo también presentan la información

de manera organizada y sus ideas son comunicadas de forma coherente utilizando la

expresión verbal escrita y simbólica con ayuda de la pizarra.

Los alumnos del sexto equipo, por el contrario, presentaron muchos

problemas en la fluidez de la lectura, errores en el procedimiento y operaciones, en

general no pudieron interpretar adecuadamente la información del artículo.

El séptimo equipo también logra presentar una interpretación correcta del

artículo, organizó la información de manera coherente, tanto sus procedimientos

como el cálculo de las operaciones se efectuaron sin errores.

377

Categorías de valoración Criterios de la dimensión aprendizaje matemático Correcta Con errores Sin aplicación Estrategias en la

Organización de la

información.

Equipos Nº 1, 4, 5 y 7 Equipos Nº 2 y 6

Estrategias de resolución de

problemas.

Equipos Nº 1, 3, 4,5 y 7 Equipos Nº 2 y 6

Tabla 7.1. Valoración del aprendizaje matemático y de las estrategias de aprendizaje aplicadas por los

alumnos durante las asignaciones realizadas en las sesiones clases.

El profesor utiliza cada ejemplo para formular más preguntas al grupo en

general, los alumnos a pesar de haber participado anteriormente ahora no responden,

no opinan y sólo les preocupa tomar nota de la clase, esto quizá se deba a que por lo

general, quien hace la exposición es el alumno con mayor dominio del aprendizaje, y

los demás, en la mayoría de los trabajos en equipo, son prácticamente espectadores.

Esta información la hemos presentado de manera resumida en la Tabla 7.1.,

donde podemos ver claramente que la mayor parte de los grupos superaron con la

ayuda, orientación y asesoría del profesor como principal estrategia de aprendizaje,

las dificultades de manera progresiva, solamente dos equipos no lograron concluir de

manera exitosa la asignación. Además se puede observar una relación estrecha entre

los tres criterios del aprendizaje matemático; los grupos que aplicaron de manera

correcta las estrategias para organizar la información y resolver problemas también

lograron aplicar de manera efectiva los conceptos, definiciones, propiedades y

operaciones, por el contrario los grupos restantes que no las aplicaron obtuvieron

muchos errores. Esta relación nos indica una secuencia de estos criterios de la

dimensión aprendizaje matemático en el proceso didáctico de la Matemática, lo que

representa una mayor garantía para el grupo de alumnos en la asignatura Matemática

General, y que presentamos en el diagrama siguiente:

Aplicación

de estrategias

para

organizar

información

y resolver

problemas

Activación de

la

autorregulación

del

pensamiento

lógico-formal

Aprendizaje

Matemático

significativo

Aplicación

del

razonamiento

deductivo

Comprensión

y aplicación

de contenidos

matemáticos

378

Esta secuencia debe complementarse con las actividades grupales, las cuales

garantizan una participación más activa de los alumnos en la construcción de su

aprendizaje matemático y brindan una mayor oportunidad del docente para orientar,

asesorar y establecer criterios más efectivos en el proceso de evaluación formativo a

través del cual pudiéramos obtener información vital para reconducir el proceso

didáctico en general y las estrategias de aprendizaje que están utilizando los alumnos.

Debemos destacar también la importancia que tienen las situaciones

cotidianas que se relacionan con los contenidos matemáticos desarrollados durante la

clase para crear mayor interés y motivación en los alumnos; en nuestro caso, los

ejemplos utilizados en los artículos de periódicos sobre datos estadísticos de las

actividades comunes en la economía, lograron mantener la atención de la mayoría de

los alumnos para realizar las asignaciones correspondientes a la sesión de clase; esto

se relaciona con el segundo pilar de nuestro Programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal, en el cual señalamos la ‘aplicación del razonamiento

inductivo para activar las nociones matemáticas y conducir sucesivamente al

alumno hacia la conceptualización científica y formal del conocimiento matemático’,

mediante el cual logramos enfocar la relación del nuevo aprendizaje con ejemplos

cotidianos, generando situaciones concretas que orienten y ayuden al alumno a

comprender nociones sencillas de conceptos, elementos, definiciones y propiedades

del conocimiento matemático.

VII.1.1.4. Reflexiones sobre las sesiones de clases

Es evidente que el bajo nivel de conocimientos previos que tienen los

estudiantes resultó ser desde el inicio un obstáculo para poner en práctica el

Programa de estrategias para lograr la autorregulación del pensamiento lógico-formal

y activar en el alumno el razonamiento deductivo. A pesar de que el material

didáctico lo elaboramos siguiendo los contenidos desde lo más sencillos hasta los

más complejos, la mayoría de los alumnos necesitaban más tiempo y esfuerzo para

comprender los aspectos discutidos durante las clases; constatamos en muchos casos

cómo algunos alumnos no habían recibido formación en sus años de educación

básica sobre los conjuntos numéricos, sin embargo, el reto había que superarlo y el

profesor-investigador ejecutó el proceso didáctico de manera progresiva, siguiendo la

secuencia didáctica de presentación, exploración, valoración cognitiva y proyección,

expuesta en el Programa de autorregulación. Por consiguiente, la mayor parte de las

sesiones se dedicaron al Sistema de los Números Naturales, porque sin este pre-

requisito resultaría más complicado continuar con el estudio de los demás sistemas

379

numéricos, puesto que para lograr un aprendizaje significativo se debe en primer

lugar determinar lo que sabe el alumno, para poder establecer los organizadores

avanzados que menciona Ausubel (1973) y, en consecuencia, seguir con el proceso

de enseñanza.

Esta situación representó también un problema para aplicar el conflicto

cognitivo y para generar la autorregulación del pensamiento lógico-formal y el

razonamiento deductivo en los estudiantes. Tal como se planteó en los fundamentos

psicológicos del Programa, el constructivismo psicogenético nos explica que un

verdadero aprendizaje se logra activando en los procesos mentales la asimilación y

acomodación para obtener de esta manera la reversibilidad del pensamiento, como

característica principal de la inteligencia, la cual estuvo obstaculizada no sólo por el

bajo nivel de aprendizaje previo, sino también por la poca dedicación de los alumnos

en el estudio del material didáctico.

Las clases expositivas tuvieron un impacto menor en el logro de los

aprendizajes de los alumnos; los conceptos, definiciones, operaciones y propiedades

se consolidaron en mejor grado con las actividades en pequeños grupos y con la

orientación docente, es decir, la zona de desarrollo próximo que destaca la teoría del

contructivismo social de Vygotsky se reduce considerablemente por la oportunidad

que tuvieron muchos de los alumnos para lograr los aprendizajes matemáticos,

porque tanto el profesor como sus compañeros les orientaban y explicaban los

aspectos que no entendían.

El uso de los vídeos como recurso audiovisual representó una notable ventaja

para la motivación de la clase y poder relacionar los conceptos que el estudiante

posee con la nueva información matemática. Estas reflexiones nos indican que la

incorporación de estas estrategias, actividades y recursos generan en el alumno su

construcción activa del aprendizaje, puesto que logran activar los procesos

autorreguladores de su pensamiento lógico-formal; por consiguiente, deben

constituirse en mayor proporción en la planificación de la enseñanza y, en

consecuencia, depender menos del procedimiento de enseñanza expositiva que

conduce sólo a la mecanización de los procesos matemáticos.

Con relación a las estrategias para la organización de la información

introducidas en nuestra propuesta didáctica, correspondientes al primer pilar relativo

a la ‘comprensión y aplicación progresivas del lenguaje utilizado en el proceso

didáctico de las matemáticas’, los alumnos fueron adoptando de manera progresiva

los esquemas y mapas conceptuales para presentar la información de las actividades

380

desarrolladas durante las clases; se observó aceptación de parte del grupo en general,

aunque no sabemos si era porque representaba para ellos una ayuda en el aprendizaje

o porque significaba una calificación para aprobar la signatura.

Durante las sesiones de clase en general, la información que era presentada de

manera escrita, verbal o simbólica resultaba incomprensible para el grupo de

estudiantes, por consiguiente observamos una dependencia considerable hacia las

representaciones gráficas para lograr que el alumno construyera su aprendizaje; esto

nos indicó desde el primer momento un bajo nivel de razonamiento abstracto para

interpretar, comprender y aplicar los conceptos, definiciones y propiedades en la

resolución de ejercicios y problemas, por esta razón las representaciones gráficas

desempeñaron dentro de la Unidad Didáctica una estrategia notable para guiar a los

alumnos en la construcción de los conceptos y definiciones correspondientes a la

Unidad de contenidos seleccionada. Por lo tanto, de acuerdo a los fundamentos

epistemológicos del Programa de autorregulación, hemos enfocado el análisis de

situaciones concretas o cotidianas, para crear un proceso didáctico dinámico que

tenga como punto de partida la comprensión intuitiva de la información matemática

hasta lograr las exigencias formales de su aplicación abstracta.

Desde las primeras sesiones de clase, el profesor-investigador inició la

explicación de las estrategias de resolución de problemas con los pasos según Polya

(1978). A pesar de que hizo hincapié en los mismos y en su práctica para fortalecer

su aprendizaje, su aplicación no se efectuaba de manera regular; algunos de los

alumnos resolvieron los problemas de manera más directa sin establecer detalles o

pasos más específicos; en función de esto podemos decir que el interés del alumno

está más dirigido a obtener una respuesta o solución de los problemas, que en las

estrategias que le ayuden a resolverlo, puesto que en ningún momento en el

transcurso de las nueve sesiones, mencionaron en sus intervenciones los pasos para

resolver los problemas: entender el problema, diseñar el plan, ejecutar el plan y

visión retrospectiva o verificación. Con todo ello, podemos decir que los procesos de

autorregulación del pensamiento lógico-formal aún no se han consolidado, puesto

que es claro que se requiere de unas condiciones específicas en cuanto al tiempo

dedicado a desarrollar las estrategias de aprendizaje para conducir al alumno hacia la

aplicación del razonamiento deductivo en las matemáticas.

Finalmente, a pesar de que el Programa de autorregulación del pensamiento

lógico formal representa una alternativa, creemos que correctamente fundamentada

para el proceso didáctico de las matemáticas, de acuerdo a los resultados de las

actividades de aprendizaje desarrolladas por los alumnos y a las opiniones de los

381

mismos, no observamos elementos e indicadores que señalen un logro de un

aprendizaje significativo de manera contundente. Sí constatamos una fuerte

dependencia de los alumnos hacia el apoyo y orientación del profesor para

desarrollar las diferentes asignaciones y un progreso relativo con relación a la

situación inicial que tenían los alumnos en cuanto al uso de las estrategias de

aprendizaje para la organización de la información, resolución de problemas y

comprensión de los conceptos, definiciones y propiedades del bloque de contenidos

matemáticos, criterios que pudimos demostrar que están estrechamente relacionados

entre sí de manera gradual. Es decir, en la medida que el alumno aplique de manera

correcta estrategias de aprendizaje para organizar información y resolver problemas

logrará la comprensión de los conceptos, definiciones, propiedades y teoremas, y por

consiguiente, un aprendizaje matemático significativo, tal como lo señala el enfoque

constructivista. Algunas de las razones que podemos mencionar para justificar este

resultado la podemos encontrar en las siguientes variables, que en nuestra

investigación resultaron difíciles de controlar:

- El bajo nivel de aprendizaje que los alumnos presentaron al iniciar el

estudio del bloque de contenidos seleccionados.

- El tiempo dedicado al desarrollo de los contenidos y a la puesta en

práctica del programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal,

el cual tuvimos que reducir como consecuencia de las situaciones

conflictivas internas de la Universidad.

- El poco trabajo individual del alumno dedicado al material didáctico, a

pesar de considerarlo de gran ayuda para su aprendizaje.


alumnos sobre las sesiones de clase

Para el análisis y reflexión de los diarios de los alumnos, tomamos los

aspectos más significativos que éstos expresaron para efectuar un juicio aproximado

de los resultados de la puesta en práctica de nuestro Programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal atendiendo a los criterios de la dimensión del aprendizaje

matemático.

Una de las primeras respuestas de los alumnos confirman las ventajas y

aceptación de las estrategias de aprendizaje que implementamos en el aula,

principalmente la relacionada al trabajo efectuado en los talleres con la orientación

docente para resolver problemas sencillos de la vida cotidiana; en el diario elaborado

382

el día 24-01-08 por una de las alumnas seleccionadas para esta actividad se lee lo

siguiente: “desarrollamos un taller individual con ayuda del profesor y los demás

compañeros tomando los ejercicios que aparecen en la guía. Esta forma de trabajo

me parece interesante, puesto que, es una más dinámica y fácil de desarrollar los

objetivos. De cierto modo nos ayuda a todos, porque así trabajando, aprendemos y a

la vez estamos siendo evaluados”.

También pudimos constatar la poca formación básica que tienen los alumnos

en el tema de los conjuntos numéricos, lo que nos indica un problema para lograr un

verdadero aprendizaje significativo puesto que el tiempo para recapitular los

conceptos involucrados desde el comienzo de la puesta en práctica del Programa era

limitado, no obstante, el material didáctico se elaboró pensando en el bajo nivel de

aprendizajes previos, situación que comprobamos en la primera fase de la

investigación; así lo podemos ver en el siguiente fragmento del diario elaborado por

uno de los alumnos “es un tema que se viene trabajando desde bachillerato, pero tú

le preguntas a un estudiante, ¿qué es el sistema de los números naturales?, ¿qué es

una adición, sustracción, conjunto, elementos y partes de una operación básica?, y

seguro no sabe responderte”.

En el diario escrito el día 07-02-08, otra alumna manifiesta de igual forma

esta dificultad: “el profesor dio inicio a la clase con el tema de sistema de los

números racionales, explicó un ejercicio sobre el origen de estos números. En el

punto de la potenciación nos explicó una serie de procedimientos para realizar el

ejercicio, pero demostramos serias dificultades para resolverlo, teniendo el profesor

que enseñarnos dos maneras de resolver el ejercicio”.

También los alumnos destacan la importancia y las ventajas de las estrategias

en la organización de la información, incluso establecen comparaciones con las

estrategias aplicadas en la unidad anterior de la asignatura; esto lo describen de la

forma siguiente: “a partir del 14 de enero de 2008, el profesor cambió la perspectiva

de la clase, debido a que en el primer módulo de este sub-proyecto la mayoría

resultó aplazada. Pienso que es una excelente idea, es práctica, dinámica, se permite

trabajar en grupo, integrándonos en toda una sección. Todo el grupo se muestra

atento a su explicación durante sus clases, respondiendo interrogantes y ejercicios

propuestos con mapas conceptuales, espero que sigamos trabajando así durante el

resto del semestre”.

La forma de trabajar en pequeños grupos y con la orientación del profesor, es

para los alumnos la estrategia más aceptada, no comparten mucho la idea de las

383

clases magistrales y expositivas que en algunos momentos el profesor necesita

ejecutar, además comienzan a atribuir importancia al material didáctico que están

usando, tal como verificamos en el diario siguiente: “estuvimos atendiendo a la clase

y a diferencia de las clases anteriores no desarrollamos ningún taller, ni trabajamos

en grupos. Hubiese sido interesante seguir trabajando de ese modo, pero desde

luego, ciertas clases requieren de la explicación del profesor y de nuestra atención.

Pero creo que todos entendimos bien la clase, ya que los ejercicios y problemas se

encuentran en la guía con la cual estamos trabajando y eso hace más fácil la

comprensión de cada ejercicio que se resuelve”.

La puesta en práctica del Programa tuvo un impacto significativo en los

alumnos en cuanto a las actividades de evaluación; el haberlas diversificado permitió

a los alumnos dar opiniones como esta: “Las clases han dado un cambio radical al

igual que el profesor, las estrategias aplicadas en Matemática General han sido más

flexibles. La forma de evaluar esta unidad nos ha abierto las posibilidades de

aprender e integrarnos más con el profesor y el resto de nuestros compañeros. Es

una metodología que nos permite conocernos y tener más conocimiento del módulo”.

Sin embargo expresan su opinión desfavorable por la prueba escrita individual,

porque consideran que es extensa, como lo pudimos apreciar en uno de los diarios,

en donde el alumno expresó que “el tema que estamos tratando me parece un poco

largo para un examen, sugiero que mande un trabajo con ejercicios…, siendo el

examen a evaluar algo largo sugiero que lo aplique en parejas”.

Los niveles de participación que se han generado en las sesiones de clase en

el aula por los alumnos nos demuestran también las ventajas del Programa de

autorregulación del pensamiento lógico-formal con la respectiva práctica pedagógica

del docente, puesto que los alumnos le dieron mucha importancia a la oportunidad

que se les da para intervenir y pasar a la pizarra; veamos lo que dice una alumna:

“Una de las técnicas de estudio que me parece interesante es la intervención en

clase al resolver un ejercicio en la pizarra, ya que permite que el estudiante exprese

sus destrezas. Me gustaría que el profesor pasara a la pizarra a aquellas personas

poco interesadas en la clase y preguntara sobre algún tema a un alumno que no está

prestando atención, así se dará cuenta de quien está o no interesado en la clase. La

forma como explica la clase me parece buena, muy buena”.

Los alumnos también reflejaron en sus diarios una opinión favorable hacia la

utilización del vídeo para la enseñanza de las matemáticas, expresaron

principalmente la importancia que a las matemáticas se le atribuye en nuestro mundo

y nuestra vida, es decir, la estrategia de utilizar situaciones más cotidianas para

384

entender información matemática representa una gran importancia para lograr los

procesos de abstracción en las matemáticas; de esta manera en dos de los diarios los

autores reflejaron estos acontecimientos: “La película que pudimos ver en relación a

la importancia de la Matemática es de gran interés, puesto que nos mostró cómo a lo

largo de los años se ha venido usando la Matemática, desde una forma simple a una

cada vez más compleja...”. “Esta fue una clase muy dinámica y divertida, porque la

estrategia que utilizó el profesor fue un vídeo y pudimos observar que la Matemática

es muy útil e indispensable, ya que es parte de nuestra vida”.

Evidenciamos cómo las respuestas de los alumnos se enfocan en dar una

opinión general sobre las estrategias de aprendizaje que se implementaron a través de

nuestra propuesta didáctica; aunque están conscientes de su innovación con relación

a los procedimientos de enseñanza tradicionales, no hacen una identificación

específica sobre las estrategias que han utilizado, esto lo podemos explicar por las

pocas sesiones de clases dedicadas para fomentarlas y consolidarlas. El criterio que

predomina para evaluar el Programa de autorregulación se concentra en las opiniones

favorables del alumno sobre los resultados positivos que les genera trabajar en el aula

con el material didáctico diseñado para la Unidad de los Sistemas Numéricos,

utilizando principalmente las técnicas de estudio tales como los mapas conceptuales

como principales estrategias de aprendizaje, las situaciones cotidianas para entender

las aplicaciones del conocimiento matemático y los recursos audiovisuales.

Por otro lado cabe destacar que ninguno de los alumnos que participaron en la

elaboración de los diarios expresaron información relacionada sobre los beneficios

en cuanto a la implementación de las estrategias para resolver problemas y

autorregular su pensamiento lógico-formal y lograr un aprendizaje significativo de

los conocimientos tratados durantes las sesiones de clases.

VII.1.3. Análisis y reflexión de los resultados de las actividades realizadas

en los cuadernos de los alumnos

Las diferentes actividades desarrolladas por los alumnos durante las sesiones

de clase las presentamos en la Tabla 7.2., con tres categorías para efectuar su

respectiva valoración: las actividades nulas en las cuales los alumnos no

desarrollaron ningún aspecto de la asignación, las actividades con errores que

contienen algún tipo de error conceptual, y las actividades correctas que se

completaron de manera satisfactoria.

385

Nº Actividades Nulas % Con

errores % Correctas % Total

1 Situaciones concretas y

números naturales. 0 0 0 12 100 12

2 Concepto de número natural. 0 0 6 50 6 50 12

3 Representación gráfica. 0 0 12 100 12

4 Elaboración de mapa

conceptual o esquema. 0 0 3 25 9 75 12

5 Redacción de Reseña histórica. 0 0 6 50 6 50 12

6 Concepto de adición. 0 0 2 25 8 75 10

7 Resolución de problema

(adición en N). 0 0 3 30 7 70 10

8 Resolución de problema

(Adición y sustracción en N). 0 0 12 34,29

23

65,71 35

9 Ensayo sobre la importancia de la Matemática.

0 0 12 46,15 14 53,85 26

10 Mapa conceptual sobre los números naturales.

12 30,77 9 23,08 18

46,15 39

11 Determinar divisores de números naturales.

2 16,67 1 8,33 9 75 12

12 Resolución de problemas en

Z. 1 8,33 3 25 8 66,67 12

13

Operaciones combinadas de potenciación en Z.

4 16,67 11 45,83 9 37,5 24

14 Signos de agrupación y operaciones combinadas en

Z. 1 4 13 52 11 44 25

15

Resolución de problemas de

adición con números

racionales.

1 10 2 20 7 70 10

16

Resolución de problemas de

multiplicación y división con


10 100 0 0 0 0 10

17 Mapa conceptual del sistema de los números racionales.

6 40 0 0 9 60 15

18 Signos de agrupación y operaciones combinadas en

Q. 2 13,33 0 0 13 86,87 15

19 Interpretación y análisis de

información sobre porcentaje. 1 9,09 1 9,09 9 81,82 11

Tabla 7.2. Resultados de las actividades realizadas por los alumnos durante las sesiones de clases.

Las actividades que los alumnos realizaron individualmente fueron 8, las

señaladas en la Tabla de frecuencias en negrita, el resto se ejecutaron en pequeños

grupos. El profesor siguiendo la secuencia didáctica de la propuesta, de exploración,

presentación, valoración cognitiva y proyección, orientaba y evaluaba

progresivamente a cada grupo para lograr en los alumnos la construcción de sus

aprendizajes matemáticos. Los alumnos desde el inicio se mostraron muy receptivos

y motivados para trabajar en equipos y con las actividades del material didáctico, a

pesar de que la mayoría no revisaba con anticipación los aspectos que se

desarrollarían durante la clase; en varias oportunidades constatamos esta situación. El

compromiso en los alumnos no era general, puesto que no cumplían con las

386

investigaciones asignadas por el profesor para ser discutidas en la clase siguiente, a

pesar de contar con la información accesible a través del material didáctico.

Podemos apreciar claramente cómo los estudiantes de acuerdo al nivel de

dificultad de las asignaciones, han tenido un desempeño variable, por ejemplo, las

actividades 1 y 3, las realizaron de manera satisfactoria en un 100%, y en la

elaboración del primer mapa conceptual también el 75% de los alumnos se

desempeñó de manera exitosa. Por el contrario, en las actividades 2, 5 y 6,

relacionadas con la utilización del lenguaje escrito, las actuaciones de los estudiantes

presentaron errores en mayor proporción, por ejemplo, la mitad de las redacciones

efectuadas sobre el concepto de número, así como en la reseña histórica de los

números naturales, las ideas se presentaron con muchas incongruencias; de igual

forma sucedió con el ensayo, en donde la información se presentó de manera

superficial en gran parte de los trabajos revisados, demostrándose de esta forma que,

la organización de la información para comunicar de manera escrita requiere de un

considerable tiempo y esfuerzo para consolidarse a través de las estrategias aplicadas

en la propuesta didáctica, principalmente si los alumnos tienen una formación básica

deficiente, tal como lo señalamos y describimos desde el inicio de la implementación

del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal.

Con relación a los mapas conceptuales y esquemas como estrategias de

aprendizaje para presentar y organizar información, hubo un considerable número de

alumnos que logró presentar de manera correcta esta asignación, sin embargo, una

proporción importante colocó información incorrecta y en muchos casos los

conceptos, definiciones y propiedades se dejaron incompletas; además, sólo una

pequeña parte del grupo realizó el último mapa conceptual de números racionales, de

39 mapas elaborados para el sistema de los números naturales, se redujo a 15, de los

cuales 9 (60%) fueron realizados de manera satisfactoria, es decir, el 38,46% de los

alumnos no cumplió con esta actividad.

Continuando con el orden de complejidad de las actividades, en los

problemas de aplicación sobre adición y sustracción con números naturales, la

mayoría culminó con éxito la asignación cuando se trató de trabajo en equipo e

individual. Destacamos que la integración entre la orientación del docente, el

material didáctico y el apoyo de los alumnos hacia sus compañeros, lograron un

resultado notable en la realización de esta actividad, de manera sencilla y sin

contratiempos, aunque debemos mencionar que una proporción considerable de

estudiantes, es decir un 34,29%, no la completó de manera satisfactoria.

387

Los ejercicios relacionados con el uso de signos de agrupación para las

operaciones combinadas tanto de números enteros como fraccionarios, tuvieron la

mayor cantidad de dificultades; por ejemplo, en la potenciación con números enteros,

solamente un 37,5% de los alumnos las efectuó de manera correcta; el 44% efectuó

satisfactoriamente las operaciones combinadas eliminando correctamente los signos

de agrupación. En las operaciones con números fraccionario el 86,87% de los

estudiantes logró resolver con éxito el ejercicio propuesto, observándose un cambio

notable y progresivo hacia el logro de los aprendizajes relacionados con este aspecto

de la Unidad de Sistemas Numéricos.

El desempeño de los alumnos en los problemas de aplicación estuvo marcado

por el nivel de complejidad, en el caso de los números naturales y enteros que fueron

problemas sencillos de la vida cotidiana, la mayor proporción de alumnos concluyó

sin contratiempos; en efecto, el 70%, 65,71% y 66,67 % de los estudiantes resolvió

respectivamente los ejercicios de las actividades 7, 8 y 12; sin embargo, en los

problemas con números fraccionarios, la situación fue diferente, mientras que en la

adición el 70% los resolvió correctamente, en la multiplicación y división ningún

alumno logró resolver el problema de aplicación, esta situación parece indicar que

aunque los algoritmos para multiplicar y dividir fracciones son sencillos de aplicar, la

comprensión de los problemas que involucran estas dos operaciones con fracciones

no es un aprendizaje tan accesible para los alumnos.

Destacamos finalmente los resultados obtenidos por los alumnos en la

interpretación de la información estadística de los artículos de prensa. Las

situaciones más concretas y cotidianas revisten de significado para el alumno;

efectivamente los alumnos en su mayoría culminaron la actividad propuesta de

manera óptima, pues el 81,82% realizó cálculos, operaciones, cuadros comparativos

y organizó la información de manera correcta. En consecuencia, el aprendizaje

logrado es significativo al tener una utilidad práctica directa en la interpretación y

análisis de los datos porcentuales.

Este análisis de los resultados obtenidos por los alumnos en la realización de

las actividades asignadas durante las sesiones de clase, nos conducen a establecer una

posición favorable hacia la implementación del Programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal, puesto que pudimos observar un desempeño progresivo

hacia el logro de los aprendizajes de la Unidad de contenidos seleccionados para

evaluar nuestra propuesta didáctica. A pesar de presentarse dificultades y errores en

el transcurso de las sesiones de clase, debemos recordar que el tiempo utilizado para

desarrollar en un 100% las actividades del material didáctico y las deficiencias del

388

aprendizaje básico que los alumnos demostraron, representaron dos de los aspectos

que difícilmente pudimos manejar en nuestra investigación.

Dentro de los indicadores de la dimensión del aprendizaje matemático donde

observamos de manera superficial un mayor desempeño de los alumnos, destacamos

la comprensión y aplicación de los conceptos, definiciones y propiedades

involucradas en la resolución de ejercicios y problemas; no obstante, en las

estrategias para la organización de la información, aunque paulatinamente fueron

mejorando todavía, necesitaron consolidarse. Esta reflexión es válida también para

las estrategias en la resolución de problemas; en efecto, en la revisión de los

cuadernos de los alumnos solamente dos grupos presentaron los pasos según Polya

(1978), los cuales se utilizaron en el material didáctico y durante las sesiones de clase

para resolver los problemas propuestos; esta información no está en la tabla de

frecuencias, pero hemos decidido presentarla de esta forma para destacar su

significado para la evaluación de la propuesta didáctica, lo cual nos conduce a más

interrogantes, como por ejemplo, ¿realmente necesitan los alumnos que se le enseñen

estrategias para resolver problemas?, ¿el nivel de aprendizaje de los alumnos fue tan

precario que no lograron comprender la importancia de estas estrategias?, y en

situaciones de mayor espacio de tiempo ¿es posible lograr una enseñanza más

efectiva y un aprendizaje significativo a través de la enseñanza de estas estrategias de

aprendizaje?

VII.1.4. Análisis y reflexión de los resultados del cuestionario de

estrategias de aprendizaje

En la Tabla 7.3. presentamos el análisis y reflexión de los resultados de forma

análoga a la fase diagnóstica de nuestra investigación, con la finalidad de evaluar el

Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las

matemáticas en función de sus alcances y limitaciones, utilizando para ello las

opiniones que los estudiantes han expresado en el cuestionario de estrategias (Ver

Anexo III-1 del Capítulo III).

389

SIEMPRE CON

FREC. A VECES NUNCA TOTAL Nº

ítems Indicadores Ítems

F % F % F % F % F %

1

Atención

selectiva a las

instrucciones.

7 25,00 12 42,86 9 32,14 0,00 28 100

2

Exploración

impulsiva de la

información.

3 10,71 2 7,14 17 60,71 6 21,43 28 100

3

Capacidad de

concentración.

Respuestas

impulsivas. 0,00 0,00 18 64,29 10 35,71 28 100

4 Utilización de

esquemas. 4 14,29 3 10,71 10 35,71 11 39,29 28 100

5

Organización

de la

información de

manera gráfica.

2 7,14 2 7,14 16 57,14 8 28,57 28 100

6

Utilización de

técnicas de

estudio. Utilización de

esquemas en la

resolución de

problemas.

1 3,57 5 17,86 14 50,00 8 28,57 28 100

7

Recolección

previa de

información.

2 7,14 6 21,43 11 39,29 9 32,14 28 100

8

Dificultad en la

discriminación

de datos.

1 3,57 2 7,14 22 78,57 3 10,71 28 100

9

Problemas con

la percepción

de las ideas

principales de

la información.

1 3,57 8 28,57 9 32,14 10 35,71 28 100

10

La percepción

superficial de

las ideas.

5 17,86 6 21,43 15 53,57 2 7,14 28 100

11

Precisión en la

identificación

de los

conceptos y

definiciones.

7 25,00 6 21,43 14 50,00 1 3,57 28 100

12

Precisión de la

información e

incógnitas en

un problema.

2 7,14 9 32,14 16 57,14 1 3,57 28 100

13

Discriminación

de la

información.

Diferenciar

problemas y un

ejercicio.

3 10,71 8 28,57 14 50,00 3 10,71 28 100

14

Uso apropiado

del vocabulario

y organización

de

información.

5 17,86 10 35,71 13 46,43 0,00 28 100

15

Expresión

verbal-escrita. Uso exclusivo

del lenguaje

verbal o escrito

para organizar

la información.

9 35,71 8 28,57 6 21,43 4 14,29 28 100

390

SIEMPRE CON



F % F % F % F % F %

16

Cuantificación

de datos para

obtener un

procedimiento

de resolución.

3 10,71 7 25,00 15 53,57 3 10,71 28 100

17

Uso apropiado

del vocabulario

para expresar

conceptos de

manera escrita.

7 25,00 11 39,29 10 35,71 0,00 28 100

18

Utilización de

diferentes

fuentes de

información.

6 21,43 17 60,71 5 17,86 0,00 28 100

19

Búsqueda de

información

adicional en

materiales de

apoyo y

resolución de

problemas.

10 35,71 8 28,57 8 28,57 2 7,14 28 100

20

Materiales de

apoyo que

recomiendan

los profesores

de Matemática

y la ayuda que

estos ofrecen.

19 67,86 4 14,29 4 14,29 1 3,57 28 100

21

Comprensión

del lenguaje

matemático

que utilizan los

textos y demás

materiales

instruccionales.

8 28,57 4 14,29 16 57,14 0,00 28 100

22

Los libros-

textos y demás

materiales

instruccionales

y su

adecuación a

las necesidades

particulares de

aprendizaje.

8 28,57 11 39,29 9 32,14 0,00 28 100

23

Utilización de

material

escrito.

Los libros-

textos y demás

materiales

instruccionales

y su relación

con habilidades

cognitivas del

alumno.

14 50,00 7 25,00 6 21,43 1 3,57 28 100

391

SIEMPRE CON



F % F % F % F % F %

24

Comparaciones

entre dos o más

conceptos

Matemáticos

para obtener

una

comprensión

más clara de

los mismos.

7 25,00 6 21,43 12 42,86 3 10,71 28 100

25

Realización de

lectura

detenida antes

de resolver

problemas

matemáticos.

7 25,00 12 42,86 6 21,43 3 10,71 28 100

26

Precisión para

determinar el

grado de

relación y/o

asociación

entre los datos

de un

problema.

3 10,71 12 42,86 12 42,86 1 3,57 28 100

27

Análisis de la

información.

Determinar si

en un problema

hay datos

insuficientes

para obtener

una respuesta.

1 3,57 9 32,14 11 39,29 7 25,00 28 100

28

Ordenar datos

de un

problema, en la

secuencia

verbal-escrita,

gráfica y

simbólica.

8 28,57 9 32,14 8 28,57 3 10,71 28 100

29

Situaciones

más cotidianas

para entender

información

matemática.

13 46,43 9 32,14 6 21,43 0,00 28 100

30

Proceso de

abstracción.

Construcción

de figuras,

diagramas o

cualquier otro

recurso visual

para

comprender la

relación entre

los datos del

problema.

9 32,14 9 32,14 8 28,57 2 7,14 28 100

31

Verificación de

la de las

respuestas.

10 35,71 13 46,43 5 17,86 0,00 28 100

32

Utilización de

procesos de

verificación. Análisis de las

causas de los

errores.

3 10,71 9 32,14 12 42,86 4 14,29 28 100

392

SIEMPRE CON



F % F % F % F % F %

33

Uso de la

estimación

para verificar.

8 28,57 8 28,57 9 32,14 3 10,71 28 100

34

Análisis

sistemático

para

seleccionar las

alternativas de

solución.

4 14,29 4 14,29 15 53,57 5 17,86 28 100

35

Planteamiento

de problemas

con una

estructura más

simple para

resolver

problemas

complejos.

5 17,86 9 32,14 11 39,29 3 10,71 28 100

36

Análisis

retrospectivo

de los

problemas para

entenderlo

mejor.

2 7,14 3 10,71 14 50,00 9 32,14 28 100

37

Diseño y

aplicación de

planes de

resolución.

Persistencia en

una sola

posibilidad de

resolución.

4 14,29 7 25,00 13 46,43 4 14,29 28 100

38

Utilización del

azar cuando las

estrategias de

solución se han

agotado.

11 39,29 7 25,00 9 32,14 1 3,57 28 100

39

Reformulación

de problemas

en otras

palabras para

evaluar con

mayor

precisión sus

datos.

4 14,29 5 17,86 14 50,00 5 17,86 28 100

40

Utilización de

la intuición y

proceso de

inducción.

Resolución de

un problema o

ejercicio de

Matemática

desde lo más

sencillo.

13 46,43 8 28,57 7 25,00 0,00 28 100

41

Apoyo en la

asesoría

académica del

profesor.

Apoyo o

asesorías en el

profesor o

cualquier otro

experto.

10 35,71 8 28,57 9 32,14 1 3,57 28 100

42

Auto-

evaluación del

razonamiento

aplicado.

Conciencia de

debilidades y

fortalezas.

7 25,00 9 32,14 10 35,71 2 7,14 28 100

393

SIEMPRE CON



F % F % F % F % F %

43

Utilización de

habilidades

cognitivas

personales

Utilización de

estrategias

originales para

resolver

ejercicios y

problemas de

Matemática.

1 3,57 9 32,14 10 35,71 8 28,57 28 100

44

Utilización del

lenguaje

matemático.

Utilizo con

eficacia el

lenguaje

matemático

simbólico.

3 10,71 6 21,43 16 57,14 3 10,71 28 100

45

Síntesis de la

información

que aportan las

definiciones,

axiomas,

teoremas y

fórmulas.

3 10,71 9 32,14 13 46,43 3 10,71 28 100

46

Utilización de

propiedades

matemáticas.

10 35,71 12 42,86 5 17,86 1 3,57 28 100

47

Uso preciso de

fórmulas

resolver un

problema.

9 32,14 8 28,57 10 35,71 1 3,57 28 100

48

Uso del

razonamiento

deductivo en la

resolución de

problemas.

Aplicación

formal de

fórmulas y

teoremas en la

resolución de

problemas.

6 21,43 7 25,00 12 42,86 3 10,71 28 100

Tabla 7.3. Resultados obtenidos en el cuestionario de opinión para determinar las estrategias de

aprendizaje que utilizaron los alumnos en la implementación de la propuesta didáctica en los

contenidos de la unidad de Sistemas Numéricos.

En la Tabla de frecuencias que hemos presentado, podemos apreciar la

opinión de los estudiantes con relación a las estrategias de aprendizajes que

utilizaron durante el desarrollo de la Unidad de Sistemas Numéricos con la

implementación del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal.

Los estudiantes expresan que tienen capacidad de concentración como el primer

indicador relacionado con las estrategias para organización de la información; en

efecto, el 25% mencionó que siempre presta atención selectiva a las instrucciones, el

42,86% con frecuencia y el 32,14% a veces; es decir, que el 100% aplica de manera

regular esta estrategia para su aprendizaje, además muy pocos alumnos nunca

presentan conductas impulsivas para explorar información y dar respuestas a

preguntas durante las clases de Matemática.

394

En el siguiente indicador, por el contrario, los resultados nos indican que no

hubo una aplicación de las técnicas de estudio para organizar información de manera

general; en efecto, sólo un 3,57% de los alumnos dice haber utilizado siempre los

esquemas para resolver problemas y un 57,14% a veces organiza de manera gráfica

la información; por consiguiente, según las opiniones de los alumnos el Programa de

autorregulación no logró desarrollar en ellos de manera contundente las principales

estrategias de aprendizaje incorporadas para organizar la información a través de las

técnicas de estudio como el esquema, diagramas, representaciones gráficas y mapas

conceptuales.

En cuanto a la discriminación de la información podemos decir que existe una

aplicación regular de la misma; un considerable 78,57% de los encuestados

mencionó que a veces tienen dificultad para discriminar datos, sólo un 17,86%

siempre percibe de manera superficial la información recibida y un 3,57% no tiene

dificultad para precisar la información de los problemas para separar los datos de las

incógnitas; estos resultados evidencian que las estrategias de aprendizaje relativas a

las técnicas de estudio no son tan utilizadas porque los alumnos en su mayoría no

presentan problemas para discriminar la información, lo que implica que los

estudiantes del grupo de estudio se inclinan más por estrategias más formales que no

necesitan del apoyo gráfico o escrito.

Con relación a la expresión verbal o escrita, vemos cómo el 17,86% de los

alumnos aplican siempre el uso apropiado del vocabulario para organizar la

información matemática, el 35,71% con frecuencia y a veces el 46,43%; de manera

semejante el 25% considera que usa de forma apropiada el vocabulario para expresar

conceptos de forma escrita, es decir, la mayoría opinó que mantiene un nivel

aceptable en la aplicación de este indicador de las estrategias de aprendizaje. Estas

opiniones reflejan los alcances que se obtuvieron con la implementación del

Programa de autorregulación, mediante el cual los alumnos demostraron un lento

pero progresivo desarrollo en el uso de las diferentes estrategias de aprendizaje para

lograr una aplicación correcta del lenguaje matemático.

El análisis de la información es otro de los indicadores donde los alumnos

utilizaron las estrategias de comparación entre conceptos matemáticos, lectura

detenida para extraer de forma precisa la información de los problemas y establecer

la relación entre sus datos; los valores obtenidos también nos complementa la

justificación de los resultados positivos de nuestra propuesta didáctica de acuerdo a

las respuestas de los estudiantes en el cuestionario facilitado por el investigador.

395

En el uso del material escrito, las respuestas de los alumnos concuerdan en

todos los ítems relacionados con este indicador; por ejemplo, el 21,43% utiliza

siempre diferentes fuentes de información, el 60,71% lo hace con frecuencia y el

17,86% a veces, sin embargo podemos apreciar algo muy significativo de estas

opiniones las cuales discrepan de los resultados que obtuvimos de las observaciones

de las sesiones de clases, puesto que en varias sesiones los alumnos no habían

revisado el material didáctico para investigar los aspectos asignados. Podemos

destacar que la mayoría de los estudiantes manifestaron una opinión favorable hacia

el material didáctico elaborado para la Unidad de Sistemas Numéricos, de acuerdo a

los lineamientos del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal, el

67,86% manifestó haber recibido siempre ayuda del material didáctico, el 14,29%

opinó una ayuda frecuente y sólo un 3,57% expresó la poca utilidad de este recurso

para su aprendizaje. También verificamos respuestas proporcionales con relación a

las habilidades cognitivas de los alumnos y el material didáctico, sólo un 3,57%

respondió que nunca hubo adaptación entre el material didáctico y sus características

cognitivas. Esta posición del grupo de alumnos discrepa de los datos que

recolectamos de las observaciones efectuadas a las sesiones de clases, a pesar de

considerar el material didáctico de gran apoyo a través de sus estrategias de

aprendizaje, no lo utilizaban de manera permanente y sólo se limitaban a utilizarlo

durante las clases, por consiguiente, nos encontramos con una contradicción entre la

valoración de la propuesta didáctica y su uso por parte de los alumnos.

Las respuestas de los alumnos también indican una posición desfavorable

hacia la aplicación de la abstracción en el aprendizaje matemático en todos los ítems

que forman parte de este indicador, podemos observar que la mayoría necesita de

situaciones cotidianas para entender la información que recibe y de la construcción

de figuras, diagramas o cualquier otro recurso visual para comprender un problema.

Esto nos indica que en el proceso didáctico las estrategias deben presentarse

siguiendo ejemplos de situaciones reales que se relacionen con los contenidos

matemáticos, de esta manera los alumnos comenzarán a extraer sus propias

conclusiones y principalmente a utilizar el razonamiento deductivo como producto

de la autorregulación del pensamiento lógico-formal en las matemáticas.

En la resolución de problemas, la mayoría considera que utilizó procesos de

verificación para autoevaluarse; en efecto, el 35,71% verifica siempre las respuestas,

mientras que el 43,43% lo realiza con frecuencia y el resto, el 17,86% a veces, sin

embargo, la proporción de los alumnos que dice diseñar y aplicar planes de

resolución de problemas disminuye considerablemente, la mayoría no analiza

sistemáticamente las alternativas de solución, sólo el 14,29% lo ejecuta siempre y el

396

53,57% a veces, de igual forma ocurre con el análisis retrospectivo de los problemas.

De acuerdo con las opiniones de los estudiantes, las estrategias para resolver

problemas que se aplicaron durante el Programa de autorregulación no lograron en su

totalidad los resultados esperados en nuestra investigación; se evidencia una falta de

progreso en la consolidación de estrategias más contundentes en la resolución de

problemas y los pasos según Polya (1978) no consiguieron lograr en los alumnos

desarrollar sus habilidades para autorregular su pensamiento lógico-formal y

razonamiento deductivo.

Los alumnos señalaron claramente una preferencia por la utilización de la

intuición y proceso de inducción en la resolución de problemas, observamos

respuestas favorables para el uso del azar, la reformulación de los problemas en otras

palabras y su resolución desde lo más sencillo hasta lo más complejo, lo cual nos

indica una inclinación favorable de los alumnos hacia los procesos relativos al

razonamiento inductivo, es decir que el aprendizaje matemático debe partir de

situaciones más concretas, reales y particulares para lograr un verdadero proceso de

construcción del aprendizaje significativo, tal como lo establecimos en el segundo

pilar del Programa de autorregulación que se basa en la ‘aplicación del razonamiento

inductivo para activar las nociones matemáticas y conducir sucesivamente al alumno

hacia la conceptualización científica y formal del conocimiento matemático’.

Asimismo existe una tendencia favorable hacia el apoyo en las asesorías del

profesor para fortalecer el aprendizaje matemático, el 35,71% siempre utiliza esta

estrategia cuando tiene dificultades para resolver ejercicios y problemas; el 28,57%

con frecuencia y el 32,14% a veces. El 25% dice tener conciencia de las debilidades

y fortalezas para autoevaluar el razonamiento aplicado en la resolución de

problemas, el 32,14% con frecuencia y 35,71% a veces.

Por otro lado se observó una opinión desfavorable en cuanto al uso de

estrategias originales para resolver ejercicios y problemas y en la aplicación del

lenguaje matemático de manera eficaz; según los resultados, la mayor parte del grupo

utiliza estas estrategias a veces o nunca. Por lo tanto, el pensamiento creativo como

uno de los elementos a lograr en nuestro primer objetivo del Programa de

autorregulación no demostró una verdadera consolidación en los alumnos de la


Finalmente, observamos en los resultados que los alumnos en su mayoría

utilizan estrategias de aprendizaje relacionadas con el razonamiento deductivo en la

resolución de problemas, la mayor proporción de ellos utilizan con frecuencia la

397

síntesis de la información matemática, aplicación de propiedades, fórmulas y

teoremas para resolver ejercicios y problemas, sin embargo estas opiniones

demuestran una clara inconsistencia de los resultados que se obtuvieron en las

preguntas correspondientes al indicador de diseño y aplicación de planes de

resolución, en donde se verificó una poca aplicación por parte de los alumnos de las

estrategias de aprendizaje en la resolución de problemas y luego opinan que aplican

en su mayoría el razonamiento deductivo, síntesis de la información y aplicación

formal de los contenidos matemáticos.

En la Tabla 7.4. hemos presentado de forma resumida la situación de los

alumnos encuestados en cuanto a la aplicación de las estrategias de aprendizaje para

la organización de la información y la resolución de problemas durante la aplicación

del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de

las matemáticas de los contenidos de la Unidad Didáctica de los Sistemas

Numéricos.

Indicadores Presencia Ausencia Capacidad de concentración. X

Técnicas de estudio. X

Discriminación de la información. X

Expresión verbal-escrita. X

Utilización de material escrito. X

Análisis de información. X

Proceso de abstracción. X

Procesos de verificación. X

Planes de resolución de problemas. X

Intuición y proceso inductivo. X

Asesoría. X

Auto-evaluación. X

Habilidad cognitiva personal. X

Lenguaje matemático. X

Razonamiento deductivo. X

Tabla 7.4. Presencia-ausencia de los indicadores que determinan las estrategias de aprendizaje que

utilizan los alumnos en los contenidos matemáticos.

En función de las respuestas obtenidas de los alumnos por indicadores, se

verifica una utilización considerable de las diferentes estrategias de aprendizaje por

parte de los alumnos; sin embargo, estrategias relacionadas con las técnicas de

estudio como el uso de esquemas o diagramas, los procesos de abstracción y planes

en la resolución de problemas no son aplicadas por la mayor parte de los alumnos, al

menos de manera explícita, porque tal vez, estos procesos formen parte de sus

esquemas mentales que de manera conciente o involuntaria utilicen para construir sus

aprendizajes y resolver problemas, puesto que, resulta contradictorio que a pesar de

coincidir con el uso de habilidades cognitivas personales y razonamiento deductivo,

no exista un plan implícito para la resolución de problemas. Además, la mayor parte

de los alumnos también se inclinó hacia la aplicación de la intuición y procesos

398

inductivos que le garantizan una comprensión más concreta de los conceptos

matemáticos.

Estas consideraciones nos indican que dentro del proceso didáctico de las

matemáticas se deben implementar en mayor proporción estrategias de aprendizaje

para que el alumno en primer lugar organice la información y/o conocimientos

matemáticos, para que los comunique de forma correcta y, en segundo lugar utilizar

planes de resolución de problemas de forma coherente para eliminar paulatinamente

las formas de razonamientos incongruentes, asistemáticos y de poca solidez

científica. En consecuencia, los procesos relativos a la autorregulación del

pensamiento lógico-formal se verán más favorecidos para generar en los alumnos el

razonamiento deductivo propio de las matemáticas y lograr la construcción

progresiva del aprendizaje.

Por otro lado es, necesario incorporar también actividades de enseñanza y

aprendizaje que consoliden progresivamente en el alumno un aprendizaje desde lo

concreto, ligado a situaciones cotidianas que ofrezcan ejemplos reales sobre la

información matemática, hasta llegar a sus representaciones gráficas y simbólicas.

Tal vez siguiendo esta secuencia, los alumnos logren un aprendizaje significativo;

recordemos que llevar estas ideas a la práctica pedagógica cotidiana implica un gran

esfuerzo, paciencia y tiempo.

VII.1.5. Análisis y reflexión de los resultados de la prueba de valoración

de conocimientos

Los resultados de las pruebas de valoración de conocimientos los hemos

analizado en función de los criterios de la dimensión del aprendizaje matemático ya

señalados en el inicio de este capítulo. Con la recolección de la información a través

de este instrumento cerramos la primera parte de la evaluación del Programa de

autorregulación del pensamiento lógico-formal en función del objetivo seis de

nuestra investigación, en el cual planteamos como principal alcance de la propuesta

el logro del aprendizaje significativo por parte de los alumnos de la asignatura


399

VII.1.5.1. Análisis y reflexión sobre los conocimientos matemáticos

En la Tabla 7.5 presentamos los resultados obtenidos en las pruebas de

valoración para complementar el proceso de recolección de información en la

evaluación de nuestro Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal

de acuerdo al criterio del dominio cognoscitivo en la comprensión y aplicación de

conceptos, definiciones, propiedades y teoremas involucrados en los contenidos


Contenidos Categorías de valoración Frecuencia %

a. Error en la interpretación de símbolos matemáticos. 0 0

b. Error en la interpretación de los conceptos de las

propiedades de la adición y multiplicación de números

racionales.

11 35,48

c. Responde correctamente pero falta coherencia en el

procedimiento de la justificación. 6 19,35



1. Propiedad

conmutativa en la

suma de números

racionales.

Total 31 100

a. Error en la interpretación de símbolos matemáticos. 0 0,00

b. Error en la interpretación de los conceptos de las

propiedades de la adición y multiplicación de números

racionales.

3 9,68

c. Responde correctamente pero falta coherencia en el

procedimiento de la justificación. 9 29,03



2. Propiedad

Asociativa en la suma

de números

racionales.

Total 31 100

a. Errores en cálculos aritméticos elementales. 7 22,58

b. Confusión entre los conceptos de máximo común divisor

y mínimo común múltiplo. 1 3,23

c. Responde bien pero existen errores en el procedimiento

utilizado en la justificación. 0 0,00

d. Responde bien y efectúa el procedimiento correcto. 6 19,35


3. Cálculo del mínimo

común múltiplo.

Total 31 100

a. Errores en la interpretación de los signos de agrupación,

llaves, corchetes y paréntesis. 20 64,52

b. Uso del procedimiento correcto pero, persisten errores en

los cálculos aritméticos. 1 3,23

c. Contesta correctamente. 3 9,68

d. No contesta. 7 22,58

4. Resolver

operaciones

combinadas de

números enteros con

signos de agrupación.

Total 31 100

a. Ausencia o desconocimiento total del concepto de

exponente negativo. 8 25,81

b. Errores en el cálculo de potencias. 0 0,00

c. Errores frecuentes en la aplicación de las reglas de los

signos más (+) y menos (-). 8 25,81

d. Errores en la interpretación de los signos de agrupación,

llaves, corchetes y paréntesis. 0 0,00

5. Cálculo de

potencias con

exponentes negativos.

e. Responde correctamente 8 25,81

400

Contenidos Categorías de valoración Frecuencia %

f. No contesta. 7 22,58

Total 31 100

a. Desconocimiento del procedimiento para determinar

máximo común divisor. 2 6,45

b. Desconocimiento del concepto de fracción equivalente. 6 19,35

c. Errores en el cálculo de operaciones. 5 16,13

d. Contesta correctamente. 4 12,90


6. Simplificación de

fracciones utilizando

máximo común

divisor y fracción

equivalente.

Total 31 100

a. Desconocimiento del concepto de fracción equivalente. 1 3,23

b. Desconocimiento del uso del máximo común divisor para

simplificar fracciones. 0 0,00

c. Complican las operaciones entre fracciones al no

simplificar cada expresión a una más simple. 0 0,00

d. Errores en el cálculo del mínimo común múltiplo al sumar

fracciones. 0 0,00

e. Errores al operar fracciones en general. 8 25,81

f. Contesta correctamente. 2 6,45

g. No contesta. 20 64,52

7. Operaciones

combinadas de

fracciones.

Total 31 100

a. Desconocimiento del concepto de exponente negativo. 0 0,00

b. Errores en la aplicación de las propiedades de la

potenciación. 12 38,71

c. Complican las operaciones entre fracciones al no

simplificar cada expresión a una más simple. 4 12,90

d. Errores al operar fracciones en general. 0 0,00

e. Contesta correctamente. 4 12,90

f. No contesta. 11 35,48

8. Operaciones

combinadas de

potencias de números

racionales.

Total 31 100

a. Organiza la información de problema. 8 25,81

b. Utiliza estrategias originales. 0 0,00

c. Desarrolla procedimientos de forma coherente. 0 0,00

d. Resuelve las operaciones indicadas correctamente. 0 0,00

e. Verifica el proceso de resolución. 0 0,00


g. No contesta. 21 67,74

9. Resolución de

problemas de

aplicación con

números naturales.

Total 31 100

a. Organiza la información de problema. 3 9,68

b. Utiliza estrategias originales. 0 0,00

c. Desarrolla procedimientos de forma coherente. 0 0,00

d. Resuelve las operaciones indicadas correctamente. 0 0,00

e. Verifica el proceso de resolución. 0 0,00


h. No contesta. 22 70,97

10. Resolución de

problemas

relacionados con el

porcentaje.

Total 31 100

Tabla 7.5. Resultados obtenidos de las contestaciones de los alumnos a las preguntas de la prueba de

valoración de conocimientos matemáticos.

401

El desempeño de los alumnos en la prueba de valoración de aprendizajes

resultó deficiente, en la mayor parte de las preguntas, ejercicios y problemas

planteados, esta situación nos revela el impacto sutil desde el punto de vista

cuantitativo que tuvo el programa de autorregulación en la comprensión de

conceptos, definiciones y propiedades de los sistemas numéricos, sin embargo, se

pudo apreciar un progreso cualitativo y relativo en función de los resultados que

obtuvimos en la primera fase de diagnóstico. En la comprensión de conceptos se

pudo apreciar un logro, por ejemplo en las interpretaciones correctas del lenguaje

matemático utilizado para identificar propiedades, así podemos ver que el 48,39% de

los alumnos contesta correctamente y utiliza ejemplos apropiados para identificar la

propiedad asociativa de la suma de números racionales.

El concepto y procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo todavía

presenta dificultad para la mayor parte de los alumnos, sólo el 19,35% logró

responder y efectuar correctamente el método de la descomposición de los números

en factores primos para calcularlo. También la situación es crítica en las operaciones

combinadas de números enteros y signos de agrupación, apenas el 9,68% logró

superar este ejercicio sin dificultad y en los conceptos de fracción equivalente y de

máximo común divisor tampoco se observó una comprensión y aplicación correctas

por los alumnos, solo el 12,9% logró simplificar la fracción del ejercicio a una

irreducible.

La situación precaria se sigue observando en las operaciones combinadas con

fracciones donde sólo el 6,45% de los alumnos resolvió y contestó correctamente

este ejercicio, es preocupante cómo el 64,52% no contestó, es decir, ni siquiera los

estudiantes intentaron resolverlo. En la resolución de problemas un reducido grupo

de alumnos logró aplicar las estrategias de aprendizaje para su resolución, pero la

mayoría tampoco contestó. En los dos problemas planteados en la prueba, el 67,74 %

no respondió el problema de aplicación con números naturales y el 70,97% no

resolvió el problema relacionado con el cálculo de porcentajes.

VII.1.5.2. Análisis y reflexión sobre las estrategias de aprendizaje

aplicadas por los alumnos

En las Tablas 7.6. y 7.7. figuran los resultados de las pruebas de valoración

tomando en cuenta las estrategias de aprendizaje relativas a la organización de la

información y las estrategias de aprendizaje que utilizan para resolver ejercicios y

problemas que son los otros dos criterios de la dimensión aprendizaje matemático.

402

Estrategias Aplicadas Alumnos que la utilizaron

% Alumnos que no la utilizaron

% Total

Uso de esquemas, mapas conceptuales o

diagramas para organizar información. 0 0 31 100 31

Organización gráfica de la información y

situaciones matemáticas. 0 0 31 100 31

Uso apropiado del vocabulario para expresar

conceptos de manera escrita. 15 48,39 16 51,61 31

Comparaciones entre conceptos. 6 19,35 25 80,64 31

Utilización eficaz del lenguaje matemático

simbólico. 15 48,39 16 51,61 31

Análisis sistemático de la información para

seleccionar las alternativas de solución. 15 48,39 16 51,61 31

Precisión de la información e incógnitas en un

problema. 10 32,26 21 67,74 31

Reformulación de problemas en otras palabras

para evaluar con mayor precisión sus datos, la

estructuración de ejercicios y de la

información de un problema en pequeños

pasos.

8 21,81 23 74,19 31

Tabla 7.6. Resultados del uso de estrategias de aprendizaje en la organización de la información.

Estrategias Aplicadas

Alumnos que la

utilizaron

%

Alumnos que no la

utilizaron

% Total

Utilización del azar cuando las estrategias de solución

se han agotado. 0 0 31 100 31

Utilización de estrategias originales para resolver

ejercicios y problemas de Matemática. 2 6,45 29 93,55 31

Persistencia en el uso de una estrategia de solución. 31 100 31

Utilización eficaz del lenguaje matemático simbólico. 6 19,35 25 80,64 31

Cuantificación de datos para obtener un

procedimiento de resolución. 15 48,39 16 49,61 31

Uso de ejemplos y contraejemplos para justificar

respuestas. 15 48,39 16 49,61 31

Uso y descripción de las propiedades matemáticas que

aplica en la resolución de ejercicios y problemas. 2 6,45 29 93,55 31

Resolución de un problema o ejercicio de Matemática

desde lo más sencillo. 6 19,35 25 80,64 31

Uso de la estimación en la verificación de las

respuestas. 6 19,35 25 80,64 31

Tabla 7.7. Resultados del uso de estrategias de aprendizaje en la resolución de ejercicios y problemas.

En función de los resultados del uso de las estrategias de aprendizaje para

organizar la información, pudimos verificar una progresión en el desempeño de los

alumnos en comparación a los obtenidos en la fase de diagnóstico; a pesar de no

haber logrado responder correctamente a la mayoría de las preguntas formuladas en

la prueba de valoración de aprendizajes matemáticos, una proporción estimable de

los alumnos aplicó algunas de las estrategias; por ejemplo, el 48,39% logró tener

orden sistemático de la información, el 32,26% seleccionó de manera precisa los

403

datos e incógnitas de los problemas y el 21,81% reformuló los problemas en otras

palabras para evaluar con mayor precisión sus datos, la estructuración de ejercicios y

de la información de un problema en pequeños pasos, para tener una comprensión

más clara de los mismos.

Mediante las estrategias de aprendizaje que se aplicaron en el Programa de

autorregulación del pensamiento lógico-formal se logró que el 48,39% de los

alumnos comprendieran los símbolos matemáticos de la información en la prueba de

valoración, puesto que utilizaron de manera eficaz el lenguaje matemático simbólico;

así mismo el 19,35% realizó comparaciones entre conceptos como estrategia para

aplicarlos de manera precisa en la resolución de ejercicios y problemas.

Ningún alumno utilizó esquemas, mapas conceptuales, diagramas y

representaciones gráficas para organizar y presentar información en la prueba. Esta

situación se mantuvo igual en la fase diagnóstica a pesar de que durante las sesiones

se utilizaron estas estrategias. Los alumnos no las aplicaron durante el desarrollo de

la prueba, demostrándose la falta de contundencia de las mismas en el aprendizaje

matemático de los alumnos, debido principalmente al tiempo reducido en el cual se

desarrollaron las actividades de clase.

Utilizando una vez la comparación de los resultados obtenidos en la fase

diagnóstico con los de la puesta en práctica de la propuesta didáctica, observamos el

mismo patrón en el progreso de la utilización de las estrategias para resolver

problemas; aunque una mayoría considerable no resolvió de manera correcta los

problemas planteados, pudimos destacar que un 19,35% aplicó el lenguaje

matemático de manera adecuada, un 48,39% aplicó ejemplos para justificar

respuestas y un 19,35% aplicó pasos para resolver problemas de manera sistemática

y utilizó estrategias de estimación para verificar los resultados de los ejercicios y

problemas; esto era inexistente en los alumnos durante el diagnóstico de la primera

fase de investigación.

404


DIMENSIÓN CLIMA SOCIAL Y ACTITUD DEL ALUMNO

En esta sección pretendemos evaluar nuestra propuesta didáctica o Programa

de autorregulación del pensamiento lógico-formal, tomando como punto de

referencia de la misma el objetivo 3, con el cual se persigue fomentar la

comunicación para lograr la participación, debate, reflexión, y sugerencias que

aporten los actores que interactúan en el proceso didáctico, dentro de un clima

social del aula abierto, dinámico y flexible que contribuya a un cambio de actitud

del alumno hacia la Matemática; por lo tanto, se presentarán los resultados de la

dimensión de clima social del aula y actitud del alumno analizados desde los

siguientes criterios:


asignadas.


de la asignatura de Matemática General.


La información que obtuvimos en las observaciones de las sesiones de clases,

los diarios de los alumnos, las entrevistas semi-estructuradas y en el cuestionario de

actitud-opinión aplicados al grupo de alumnos, los dividimos según los propósitos de

cada una de las técnicas e instrumentos de recolección de la forma siguiente:



El estado de las interacciones entre los diferentes actores del proceso de

enseñanza, aprendizaje y evaluación en el clima social del aula y la actitud de los

alumnos presentaron el grado positivo esperado por nosotros en la puesta en práctica

y evaluación de la propuesta didáctica, tal como lo habíamos señalado desde los

fundamentos epistemológicos del Programa de autorregulación del pensamiento

lógico-formal, en donde destacamos la importancia que tiene la Matemática en

nuestra vida cotidiana, la incorporación progresiva de estrategias, procedimientos,

actividades, técnicas y recursos a la vanguardia de las aportaciones psicopedagógicas

y las características particulares del contexto social y, lo que es más importante,

establecer una relación social y académica más estrecha con los alumnos para

aprender más de ellos. Por consiguiente, la integración, participación y comunicación

405

en las clases tanto de alumnos en los equipos de trabajo, los alumnos entre sí y el

profesor con los alumnos, fueron comportamientos observados desde la primera

sesión de clases. En el diálogo siguiente podemos verificarlo:





clase?





Las estrategias aplicadas por el profesor siguiendo las orientaciones del

Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal que mencionamos en el

cuarto pilar, en el cual se destaca la importancia del clima social del aula flexible y

dinámico, analizado desde la perspectiva de la interacción social entre profesor y

alumnos, mediante la comunicación y la participación durante las clases,

incrementaron la motivación de los alumnos, quienes participaron en las diferentes

actividades asignadas por el profesor de la asignatura; así lo pudimos constatar en la

siguiente transcripción de las observaciones efectuadas por nosotros en una de las

sesiones de clase:

“Los alumnos se muestran dispuestos y motivados para efectuar el trabajo asignado. Cabe

destacar que los equipos conservan sus mismos integrantes por las relaciones socio-afectivas

que se han creado”. “Los alumnos participan espontáneamente y el profesor hace la

retroalimentación a cada exposición”.

También en la siguiente transcripción podemos evidenciar elementos que

comprueban la participación de los alumnos en las actividades desarrolladas durantes

las sesiones de clase y la comunicación que mantienen con el profesor de la

asignatura para obtener la asesoría y orientación necesaria para comprender las

actividades asignadas:

Alumno: En la pregunta ¿cómo surgieron los números naturales en las actividades




general.

406

Observador: El profesor se dedica a orientar a cada equipo y los alumnos, explicando

algunos de los ejercicios. Algunos alumnos todavía no logran entender las actividades y

tienen dificultades para resolver los planteamientos.

La gran parte de los alumnos preguntar al profesor sobre la manera de presentar y

organizar la información.

Alumno: ¿Vamos a identificar dónde se utilizan números decimales?

Profesor: No, solamente en cuáles situaciones se utiliza el número natural

Alumno: Debemos justificar las respuestas, sí eso lo indica el material, ¿ya no lo habíamos

dicho?


natural?






En función de la fase de exploración de la secuencia didáctica del Programa

de autorregulación del pensamiento lógico-formal, en donde explicamos la función

del docente en su labor creativa para el diseño, elaboración y presentación de

recursos que establezcan la relación de los contenidos con la vida cotidiana, tales

como: fotografías, vídeos, modelos a escala, y la historia de la evolución y aplicación

de esos conocimientos al desarrollo de la humanidad, consideradas como estrategias

y actividades no convencionales que se aplicaron durante las clases, específicamente

la proyección de vídeos resultó ser una ayuda efectiva para lograr una actitud

positiva hacia las matemáticas, y para motivar la participación de los alumnos en el

proceso de enseñanza-aprendizaje ejecutado en la clase, además, pudimos observar

una integración e interacción más cercana entre alumnos y el profesor tras la

presentación de este recurso audiovisual sobre la historia de las matemáticas y su

relación con nuestro entorno. En el siguiente fragmento se puede apreciar este hecho:

Profesor: Ahora vamos a exponer nuestras sus opiniones con relación al vídeo, ¿quién desea

comenzar?






matemáticas porque nos ayuda a comprender que nuestra vida cotidiana. Cuando

compramos, vendemos, jugamos, escuchamos música sin querer estamos en presencia de la

matemática y de esta manera es menos estresante para nosotros.


Alumno: Técnicamente las matemáticas están en todas partes así nos las veamos pero en


407







Profesor: ¡Muy bien!, todas nuestras ideas, pensamientos y razonamientos los ordenamos

mejor gracias al estudio de la Matemática.

Alumno: La música tiene mucho que ver con la Matemática, muchos piensan que estudiando

las artes evitan las matemáticas pero no se dan cuenta que la pintura y la música dependen

mucho de las medidas.

Por otro lado, la confianza de los alumnos para intervenir en la clase se

realiza con libertad; el profesor fue receptivo con los diferentes comentarios y

opiniones que, en algunos casos, hacían los estudiantes con relación a su práctica

pedagógica en el desarrollo de las clases; de esta manera pudimos constatar un clima

de confianza entre el profesor y los alumnos en el aula para generar intercambio de

preguntas y respuestas. Por consiguiente la importancia que se dio a la participación

del alumno es un elemento significativo al permitir una disposición al trabajo en

equipo con una relación amigable sin discriminación entre los actores del proceso

didáctico:

Alumno: ¿Por qué todas sus clases son así?

Profesor: ¿Cómo así?

Alumno: Todo el mundo callado, los alumnos están en silencio y no hay desorden.

Profesor: Debe ser que en la clase de Matemática se entretienen pensando y razonando.

Alumno: Bueno en las otras clases la situación es diferente, nos portamos de manera

desordenada y hablamos demasiado.

Profesor: Muchachos la disciplina en el aula depende mucho del ejemplo que dé el profesor

o la profesora y esto lo deben comprender ustedes como estudiantes de educación. Si el

profesor no indica algunas reglas o contrato entre él y los alumnos en cuanto a las normas

es muy difícil que se efectúe un trabajo óptimo.

Particularmente les felicito por el comportamiento que han demostrado durante todo el

semestre espero que sigan así no sólo en Matemática sino también en el resto de las

asignaturas.

Un hecho significativo que también comprueba el nivel de participación de

los alumnos está relacionado con el proceso de evaluación, puesto que la opinión

hacia las pruebas escritas no fue favorable. Observamos la sinceridad de los

estudiantes para manifestar desde el principio su actitud de rechazo y el temor al

fracaso a ser evaluado mediante las pruebas escritas, constituyendo esta situación

otra demostración, en primer lugar de la comunicación e interacción entre los actores

del proceso didáctico para intercambiar posiciones, opiniones e ideas y, en segundo

408

lugar comprobamos que el enfoque que le hemos dado dentro de nuestra propuesta

didáctica a la evaluación es el más acertado, cuyo planteamiento se describe en el

quinto pilar, en el cual concebimos al proceso de evaluación con una dirección hacia

la valoración integral y equilibrada como fundamento para el crecimiento académico,

personal y socio-afectivo de los actores del proceso didáctico de la Matemática,

utilizando no sólo las pruebas de valoración de conocimientos sino también

actividades grupales tales como talleres de resolución de problemas, debates,

proyectos, discusiones e investigaciones.

Podemos apreciar cómo los alumnos expresaron esta preocupación sólo con

la prueba escrita de valoración de conocimientos, la cual debían resolver de forma

individual, así se evidencia también la presencia de actitudes negativas hacia las

matemáticas, tal como presentamos en el siguiente diálogo:

Alumno: ¿Esto también va para la prueba escrita?

Profesor: ¡Por su puesto!

Observador: Los alumnos expresan preocupación por la cantidad de información a ser

evaluada en la prueba de conocimientos.

Alumno: Profesor espero que en esa prueba sea flexible con nosotros

Profesor: ¿Todavía quieren más concesiones? Pienso que con los talleres pueden tener una

gran ayuda sólo tienen que aprovecharla al máximo.

El análisis y reflexión de las observaciones de las sesiones de clase nos

conducen a establecer un resultado favorable en el clima social del aula y la actitud

general del alumno hacia las matemáticas en la aplicación del Programa de


La comunicación profesor-alumnos y alumnos-alumnos se desarrolló con absoluta

confianza y libertad durante todo el proceso didáctico ejecutado en la Unidad de

Sistemas Numéricos. Las diferentes actividades asignadas por el profesor y las

propuestas en el material didáctico lograron un clima social de participación general

del grupo. Cabe destacar que los estudiantes en algunas oportunidades disminuyeron

esta participación, no por un clima hostil o por miedo, sino que simplemente no

tenían el dominio de los aspectos tratados durante las clases, tal como lo observamos

en la transcripción siguiente:

Profesor: Bien, ¿Qué más estudiamos de los naturales?

Alumno: Su notación, con la letra N y en forma de conjunto.

Profesor: Es decir, N={0,1,2,3…} . Entonces así hemos construido el primer mapa conceptual

relacionado con los números naturales, pero faltan por agregar las operaciones aritméticas

fundamentales que corresponden al tema de hoy y se estudiarán resolviendo tanto ejercicios

como problemas de aplicación. ¿Cuáles son las operaciones aritméticas?

409



aritméticas no parecen estar dentro de su léxico y el profesor responde.




Debemos destacar que la actividad que más generó estos resultados fue la

forma de trabajo en pequeños grupos; los alumnos se sintieron con mayor confianza

y seguridad para resolver los ejercicios y problemas formulados gracias al apoyo del

grupo y a la orientación constante del profesor. Es decir, las características del

material didáctico como recurso concreto de nuestro Programa de autorregulación

del pensamiento lógico-formal contribuyeron a lograr este objetivo, puesto que fue

diseñado y elaborado con una gran diversidad de actividades tanto individuales como

grupales, para que se desarrollara la integración social y la participación adecuada de

todos los actores del proceso didáctico, además de fomentar la comunicación entre

los mismos, principalmente en el intercambio de ideas, información y significados

productos de la reflexión y creación del conocimiento en las estrategias utilizadas

para resolver los ejercicios y problemas planteados. Además, la presentación de las

exposiciones para discutir las respuestas incrementó la participación de los alumnos,

ya que en las actividades individuales tienen dificultades y buscan la asesoría del

profesor, tal como lo describimos a continuación:

Observador: El profesor asigna las actividades para ser realizadas durante el resto de la

clase de manera individual, las cuales corresponden a los problemas de aplicación sobre la

resta y multiplicación en N. Los alumnos se dedican a resolver los problemas y acuden

constantemente al profesor para aclarar las dudas.

Los alumnos otorgaron un significado mayor para su comprensión a las

situaciones cotidianas que se incorporaron a los contenidos matemáticos; los

ejemplos, ejercicios y problemas tanto resueltos como propuestos en el material

escrito sobre la Unidad Didáctica de los Sistemas Numéricos, lograron mantener la

atención de los alumnos porque se trataban de hechos cotidianos del entorno social.

En el fragmento que sigue podemos verificar lo señalado anteriormente, puesto que

se observa cómo los alumnos participan de forma activa con el profesor en la

resolución del problema propuesto:





410









pasos, en primer lugar comprender o entender el problema. ¿Qué tuvieron que hacer para



Profesor: Es decir, organizamos la información, para lo cual podemos utilizar un a tabla

que es de mucha ayuda para separar los datos de las incógnitas.




Alumnos: Sumamos todas las cantidades.





verificamos que esta suma está bien hecha.




El material didáctico ofreció a los alumnos un notable apoyo en la

participación durante las sesiones de clases; en algunas oportunidades desconocían

las respuestas a las preguntas formuladas por el profesor y lograban intervenir con la

utilización de la información escrita que les aportaba la lectura de la Unidad

Didáctica durante la clase, sin embargo existían problemas para su uso fuera de las

sesiones de clases. Observemos el siguiente diálogo que transcribimos de la tercera

clase efectuada el 24-01-08:

Profesor: En la última clase estuvimos trabajando con la adición de números naturales,

¿qué aspectos se estudiaron?

Alumnos: Resolvimos problemas, utilizamos ejemplos y escribimos conceptos de suma.

Observador: El profesor hace un recuento de la clase anterior.

Profesor: ¿Cómo escribimos formalmente a la adición de números naturales?, es decir, que

símbolos utilizamos para generalizar su concepto.

Observador: Los alumnos no entienden la pregunta y el profesor explica.

Profesor: Cuando digo formalmente, quiero decir que si usamos letras, ¿cómo escribimos la

adición?

Alumnos: a b c+ =

Profesor: a y b ¿qué nombre reciben?

411

Alumnos: Sumandos y c es la suma

Profesor: Ahora ¿ qué pasa con la sustracción?. Vamos a elaborar un concepto de resta o

sustracción.

Alumnos: a b c− =








En general durante las clases los alumnos continúan participando y aportando

sus respuestas a las preguntas formuladas, específicamente en la sesión efectuada el

día 21-01-08, el profesor a través de las diapositivas incorpora nuevamente al grupo

de alumnos en el desarrollo de los contenidos sobre las operaciones y propiedades de

los sistemas numéricos. Parte del diálogo entre el profesor y los alumnos se presenta

a continuación:

Profesor: Ya hemos trabajado la parte teórica del conjunto de los números naturales, hoy

vamos a complementar con esta información lo que nos falta. En la primera diapositiva

tenemos un diagrama para representar los conjuntos numéricos, ¿qué diagrama es?

Alumnos: Es un diagrama de Venn, con los conjuntos N ,Z, Q, I, R, el conjunto de los

números reales los contiene a todos.

Profesor: ¿Qué representa cada una de las letras?

Observador: Los alumnos no responden, no identifican el símbolo de cada conjunto, sólo al

conjunto N. Luego el profesor explica el significado de cada letra N, Z, Q, I, R

Profesor: Así tenemos que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, y Q ∪ I = R poco a poco vamos a ir

estudiando esta relación, por los momentos sigamos con el conjunto N. ¿Qué operaciones

tenemos en la siguiente diapositiva?

Alumnos: Las operaciones de adición y sustracción.

Profesor: ¿Qué otras operaciones se efectúan en el conjunto N?

Alumnos: Multiplicación, división.

Profesor: También tenemos a la potenciación y a la radicación. En la sustracción tenemos

dos partes minuendo y sustraendo. ¿Por qué reciben estos nombres?

Alumnos: El minuendo es el que se le está quitando y el sustraendo es lo que vamos a restar.

Profesor: ¡Muy bien! , cada nombre tiene su razón, de este modo es fácil comprender cada

concepto.

En la multiplicación se dice que efectuamos una suma de sumandos iguales, ¿por qué se dice

esto?, ¿que hacemos cuando multiplicamos?

Observador: Los alumnos no responden y el profesor usa las multiplicaciones de la

diapositiva para explicar porque los estudiantes no parecen conocer estos aspectos teóricos

de las operaciones aritméticas.

Se continúa con las partes de la multiplicación, el uso del término factor o divisor. Los

alumnos se concentran más en tomar notas, el profesor les interrumpe y les informa que esa

412

información ya la tienen en el material didáctico, por lo que no es necesario que copien

porque es más importante escuchar la explicación, sin embargo les promete que le enviará la

presentación de diapositivas por correo electrónico.

Profesor: En la división ¿qué partes identificamos?

Alumnos: Dividendo, divisor, cociente y el resto.

Observador: El profesor utiliza ejemplos adicionales y hace hincapié en el algoritmo de la

división, puesto que es la primera formula que se presenta en la aritmética. El profesor

sugiere que tomen nota de este algoritmo.

Los estudiantes participan con el profesor en la presentación y discusión de las demás

operaciones de la potenciación y radicación.

Una actitud similar se sigue observando en la resolución de operaciones

combinadas de las propiedades de la potenciación con números naturales, los

alumnos mantienen su nivel de participación y el clima social del aula se caracteriza

por ser flexible y dinámico, puesto que se evidencia la integración equilibrada de los

actores principales del proceso didáctico que se generó durante la clase. Veamos el

siguiente ejemplo:



( ) ( ) ( )( ) ( )

33 2 2

2 3 3 2

3 25 2 3

2 3 2 3

2 3 2 3

¡Bien!, ¿por dónde quieren comenzar?





primer paso?





cada potencia de una potencia y el resultado lo escribe el profesor en la pizarra.

En el desarrollo de las clases correspondientes a las operaciones combinadas

con números enteros, los estudiantes participan con las respuestas correctas en cada

uno de los pasos del procedimiento seguido en la resolución de este ejercicio. A

continuación presentamos parte de la transcripción de la sesión observada:



413


correcta.




cada grupo.


Profesor: Entonces ¿Cómo queda? ¿Qué pasa con los números que tienen igual signo?





VII.2.1.1. Reflexiones sobre las sesiones de clases

De acuerdo con las sesiones de clases observadas y analizadas podemos

señalar que los elementos y criterios señalados en la dimensión clima social y actitud

del alumno hacia las matemáticas se lograron mejorar a través de las actividades

propuestas en el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal. Se

pudo verificar una mejoría del auto-concepto del alumno ante su desempeño en las

actividades asignadas. A pesar del bajo nivel de conocimientos matemáticos relativos

a los sistemas numéricos por parte del grupo, la actitud en general fue de aceptación

y de tomar la decisión de tener éxito en las matemáticas, demostrando con esto que el

grupo tuvo una capacidad de logro aceptable para el desempeño de las tareas en la

asignatura Matemática General en los contenidos seleccionados para implementar

nuestra propuesta didáctica. Esto se complementa con la iniciativa que tuvieron los

alumnos durante el trabajo desarrollado en equipo en el transcurso de las sesiones de

clases, además del autocontrol que les caracterizó en el momento de resolver con

serenidad los problemas y ejercicios planteados durante las clases y en el material

didáctico.

Con relación a la concepción que tiene el alumno de los aprendizajes de los

contenidos de la asignatura de Matemática General, no pudimos apreciar situaciones

dentro de las sesiones de clase que demostraran una actitud favorable hacia los

contenidos relativos a los sistemas numéricos. En ningún momento los alumnos a

través de su discurso expresaron la utilidad de las matemáticas para enseñar a pensar,

a razonar o para su futura labor docente.

En función de la concepción que tienen los alumnos del proceso didáctico

desarrollado por el profesor, como tercer criterio de análisis en la dimensión clima

414

social del aula y actitud del alumno hacia las matemáticas, el grupo de estudiantes se

inclina de forma positiva hacia las estrategias y actividades no convencionales para

desarrollar las sesiones de clases; es decir, el procedimiento de enseñanza expositivo

no es muy aceptado y los paradigmas tradicionales como el de la transmisión verbal,

algorítmico y calculista se constituyen dentro de la práctica pedagógica como estilos

de enseñanza que deben ir en menor proporción, dando más espacio a las estrategias

de aprendizaje, actividades y recursos que activen la cooperación, participación,

comunicación e integración de los actores del proceso didáctico de las matemáticas.

Destacamos también la importancia que los alumnos le atribuyeron al

material didáctico para la Unidad de Sistemas Numéricos, diseñado y elaborado en

función de las orientaciones teóricas de nuestro Programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal. A pesar de no haberlo utilizado en el nivel esperado por

nosotros, los alumnos mantienen una relación más estrecha con los contenidos

matemáticos enseñados durante las sesiones de clase, y su participación en los

talleres y demás asignaciones aumentaron considerablemente desde las primeras

clases.


alumnos sobre las sesiones de clase

Los diarios que los alumnos redactaron contribuyeron en la complementación

de la información que necesitamos para continuar nuestro proceso de análisis y

reflexión en la fase de evaluación y puesta en práctica de la propuesta didáctica o

Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal, en la dimensión del

clima social del aula y actitud del alumno hacia las matemáticas; en consecuencia, la

presentación de este apartado la realizaremos de acuerdo a los mismos criterios

explicados en el análisis y reflexión de las sesiones de clases.

Una de las principales características del clima social en aula es la presencia

de las interacciones entre los diferentes actores del proceso didáctico, por eso

destacamos la integración social que el Programa de autorregulación logró a través

de sus estrategias de aprendizaje, fortaleciendo en el alumno su autoconcepto en el

desempeño de las asignaciones durante las sesiones de clases, esto lo verificamos a

través de las siguientes respuestas:

415

Diario elaborado el 24-01-08:

“Desarrollamos un taller individual con ayuda del profesor y los demás compañeros

tomando los ejercicios que aparecen en la guía. Esta forma de trabajo me parece

interesante, puesto que, es una más dinámica y fácil de desarrollar los objetivos. De cierto

modo nos ayuda a todos, porque así, trabajando aprendemos y la misma vez estamos siendo

evaluados”.

Diario elaborado el 07-02-08:

“A partir del 14 de enero de 2008, el profesor cambió la perspectiva de la clase, debido a

que en el primer módulo de este sub-Proyecto la mayoría resultó aplazada. Pienso que es

una excelente idea, es práctica, dinámica, se permite trabajar en grupo, integrándonos en

toda una sección. Todo el grupo se muestra atento a su explicación durante subclases,

respondiendo interrogantes y ejercicios propuestos con mapas conceptuales, espero que

sigamos trabajando así durante el resto del semestre”.

El nivel de participación de los alumnos se incrementó gracias al estímulo de

los mismos hacia los contenidos desarrollados durante las clases; esta es la

apreciación de una de las alumnas, quien escribió en su diario lo siguiente:

“Mediante la actividad realizada en esta hora de la clase del sub-Proyecto Matemática

General pude notar el interés que tenemos algunos bachilleres por la clase y el contenido

expuesto por el profesor, que era el conjunto de los números naturales”.

Pudimos observar también en los alumnos un nivel de responsabilidad al

auto-valorarse en el desempeño y compromiso para lograr los aprendizajes

matemáticos. Señalan, además, un cambio del profesor hacia una actitud positiva y

de compromiso ante la formación de sus alumnos, veamos la transcripción del

fragmento siguiente:

“En cada clase vemos un cambio de carácter en el profesor hacia nosotros a pesar de que en

el inicio todos lo vimos estricto a la hora de dar la clase y evaluar, en el primer módulo más

de uno reprobó, no por el profesor sino por nosotros mismos por falta de interés, conciencia

e integración”.

Sin embargo, una estudiante describe impresiones opuestas a la de sus

compañeros; constata una situación en el aula que, de acuerdo con nuestro análisis,

constituye un caso específico y aislado al manifestar su desacuerdo con el grupo en

general y hace críticas contundentes sobre el comportamiento de sus compañeros de

trabajo, principalmente sobre el desempeño en las clases, responsabilidad,

416

participación y realización de las asignaciones. En efecto, en su diario escribió lo

siguiente:

“A veces me siento incómoda viendo la clase rodeada de tantas personas poco interesadas en

las clases y también porque no cuento con un buen grupo de trabajo; esas cosas me las tomo

muy a pecho”.

La actitud que demuestra esta alumna nos indica su gran auto-concepto en el

desempeño matemático, responsabilidad, capacidad de logro, iniciativa, constancia,

disciplina, participación y compromiso, algo poco común en el grupo que forma

nuestro caso de estudio; debemos destacarla de manera significativa puesto que

constituye parte de sus características personales y no son producto de las estrategias

de aprendizaje aplicadas según nuestro Programa de autorregulación del pensamiento

lógico-formal; esta opinión individual, a pesar de ser única, nos puede ofrecer un

panorama más realista sobre los alcances y limitaciones de la propuesta didáctica.

Las estrategias de aprendizaje que implementamos a través de nuestra

propuesta también tuvieron repercutieron sobre la comunicación entre el profesor

con los alumnos. Esta situación la pudimos observar frecuentemente en las sesiones

de clases y también en los diarios se apreció notablemente, tal y como se evidencia

en el siguiente comentario escrito por uno de los alumnos:

“Luego nos explicó las multiplicaciones en Q, donde los alumnos les formularon una serie de

preguntas y el profesor de la manera más cordial respondió y aclaró dudas a sus alumnos”.

“Lo que más nos gusta del profesor es que él pregunta, si quedamos con dudas o si

entendimos, para volver a explicar dichos problemas”.

Esto nos indica que los niveles de comunicación y participación se

incrementan con las diferentes estrategias de aprendizaje implementadas a través del

Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal. Por ejemplo, en los

momentos establecidos para aplicar las estrategias de aprendizaje para organizar la

información, cuyo eje central consiste en realizar una serie de actividades destinadas

a fomentar el trabajo en equipo en el que todos los actores del proceso didáctico

desarrollado en el aula de clase necesitan interactuar constantemente entre sí, a través

de la orientación que el profesor brinda. Concretamente, en el uso de las técnicas de

estudio –como la elaboración de esquemas y mapas conceptuales– y en el momento

de resolver los ejercicios y problemas planteados, la comunicación se fortalecía en la

medida que necesitaban compartir las informaciones, datos y las diferentes

estrategias para lograr la solución de los mismos, lográndose en algunos casos un

417

aprendizaje cooperativo a través de la construcción progresiva de la autorregulación

del pensamiento lógico-formal, con el cual los alumnos activaron el razonamiento

deductivo que caracteriza a las matemáticas.

La actitud del alumno durante las clases se ve modificada de acuerdo a las

estrategias de aprendizaje del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-

formal, principalmente existe mejor actitud cuando se integran en pequeños grupos y

con la ayuda del profesor para resolver los ejercicios y problemas, mientras que en

las clases expositivas su interés, motivación y actitud en general disminuyen.

Veamos el siguiente comentario:

“Fue una clase adicional que el profesor negoció con los alumnos para verla en la tarde, la

clase trató sobre números naturales en una diapositiva, la cual al inicio me pareció

aburrida, pero interesante por la forma de explicar cada parte… las clase de matemática

siempre suelen ser aburridas, pero si el profesor aplicas técnicas de estudio, ésta será

participativa, la cual tendrá comunicación con el profesor, estudiante, estudiante-

estudiante”.

Esto nos indica que los estudiantes necesitan estrategias de aprendizaje

diseñadas y construidas bajo los fundamentos teóricos de nuestro Programa de

autorregulación del pensamiento lógico-formal, las cuales estuvieron dirigidas hacia

un proceso didáctico adaptado a las características particulares del grupo de alumnos.

Durante el desarrollo de las sesiones de clases en el aula pudimos evidenciar que la

concepción de aprender a aprender en el alumno y la de enseñar a pensar en el

docente son orientaciones epistemológicas que se deben activar, fomentar y

consolidar; no obstante, en nuestro caso, las estrategias que se implementaron a

través de nuestra propuesta tuvieron mayor aceptación que las clases expositivas o

magistrales donde se impone el paradigma de transmisión verbal con la presencia

exclusiva del discurso del profesor como recurso de instrucción; por lo tanto, las

consecuencias son un aprendizaje sin significado por parte de los alumnos.

VII.2.3. Análisis y reflexión de los resultados de las entrevistas

Continuando de manera ordenada y sistemática con el desarrollo de nuestro

análisis y reflexión de los datos recopilados en la tercera fase de nuestra

investigación, hemos suministrado a los alumnos las entrevistas semi-estructuradas

para obtener información complementaria, con la cual justificaremos de forma

adecuada el proceso de validación a través de la triangulación metodológica descrita

418

en el Capítulo II3. De acuerdo a las respuestas que los alumnos nos dieron en función

de los cuatro aspectos tratados en las preguntas formuladas en la guía de la entrevista

construimos las Tablas 7.8, 7.9, 7.10 y 7.11, las cuales presentamos a continuación:

Pregunta Respuestas Alumnos % Muy participativa debido al nuevo

“mecanismo de aprendizaje” todos tenemos

la oportunidad de participar y colaborar con

la clase y tenemos por beneficio aprender

mucho más.

3 12,5

No tuve participación activa, porque no

entendí el tema, sentía vergüenza ante mis

compañeros.

1 4,17

Mi actitud no fue ni de participación ni de

rechazo. 1 4,17

La actitud que tuve fue de colaboración. 2 8,33

Hay participación de todo el grupo porque la

clase ha sido clara. 1 4,17

Con la enseñanza y estrategia que está dando

el profesor hay mejor participación y

entendimiento.

3 12,5

He colaborado muy poco. 1 4,17

Participativa, me gustó la clase porque me

agrada compartir con mis amigos. 1 4,17

Me gusta mucho, usa métodos que hace que

todo el grupo se sienta a gusto en la clase,

por eso soy participativo.

1 4,17

He participado por la forma en que se han

desarrollado los talleres. 1 4,17

Es buena mi actitud y colaboración me

parece mejor la estrategia en grupo. 2 8,33

En gran parte de colaboración y

participación porque cada uno de los

alumnos tuvo algo que ver con las respuestas

de los ejercicios y problemas del taller.

2 8,33

De rechazo, no participo por miedo ya que

tenía tiempo sin estudiar. 1 4,17

1. En función de las estrategias de

enseñanza durante el desarrollo de

los contenidos que ha explicado el

profesor, ¿cómo describirías tu

actitud general durante la clase?,

¿de participación y/o

colaboración?, ¿de rechazo?

De participación principalmente cuando

tengo dudas y preguntas que hacer. 4 16,7

Tabla 7.8. Estrategias de enseñanza y actitud general del alumno.

Podemos observar en la Tabla 7.8. cómo las estrategias de aprendizaje que se

implementaron en las sesiones de clase bajo los lineamientos de la propuesta

didáctica o Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal lograron una

actitud positiva en el alumno. De acuerdo con los resultados de las entrevistas, la

mayor parte de las respuestas señalan la participación y colaboración de los

estudiantes durante las sesiones de clase, en efecto, el 12,5% menciona que la clase

es muy participativa por los “nuevos mecanismos de aprendizaje”, el 16,7% señala

su participación cuando tiene dudas y preguntas que hacer, y el 12,5% del alumnado

da la siguiente respuesta “con la enseñanza y estrategias que está dando el profesor

3 Cfr. Apartado II.1.4.1. Capítulo II.

419

hay mejor participación y entendimiento”. Sólo el 4,17% de los estudiantes expresó

su rechazo y temor a la participación durante las clases por su falta de preparación en

los contenidos tratados, y otro 4,17% señaló su poca colaboración, pero no menciona

las razones de su actitud.

Estos resultados nos demuestran cómo las estrategias de aprendizaje del

Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal crearon condiciones

adecuadas para la participación de los alumnos en el proceso de enseñanza,

aprendizaje y la comunicación entre los actores, contribuyendo y garantizando un

clima social del aula en donde los alumnos generaron debates, discusiones y

reflexiones, no sólo respecto al conocimiento aprendido sobre los sistemas

numéricos, sino también sobre las estrategias, procedimientos de enseñanza,

actividades y recursos de aprendizaje que utiliza el profesor para que de esta forma

contribuyan al mejor desempeño del grupo de alumnos y del docente de la asignatura

Matemática General. Cabe destacar que este fundamento lo describimos en el

objetivo 3 del Programa de autorregulación, permitiéndonos justificar este

importante alcance relativo al clima social del aula y la actitud de los alumnos hacia

las matemáticas a través de su cuarto pilar descrito en el Capítulo V4, el cual

establece el clima social del aula flexible y dinámico, analizado desde la perspectiva

de la interacción social entre el profesor y los alumnos, mediante la comunicación y

la participación para lograr un proceso didáctico que nos conduzca hacia la

consolidación de un verdadero aprendizaje significativo de las matemáticas.

Pregunta Respuestas Alumnos % Es buena ya que el profesor es muy

colaborador con los alumnos. 8 33,33

El profesor se muestra con respeto hacia

sus alumnos y al igual que los alumnos

hacia él.

3 12,5

Bien. El profesor sólo comenta aspectos

de la clase. 5 20,8

Hay una comunicación estrecha entre el

profesor y los alumnos. 1 4,17

Mi comunicación ha sido tranquila con el

profesor y mis compañeros. 1 4,17

Es una comunicación profesional

profesor-alumno. El profesor ha

demostrado que podemos confiar en él.

2 8,33

Hubo una relación bastante comunicativa.

El profesor rodeaba todo el salón para ver

que alumno o grupo necesitaba ayuda.

2 8,33

2. Describe brevemente ¿cómo ha

sido la relación de comunicación

personal entre tu profesor y los

alumnos durante la clase?

Con el profesor ha sido muy poca. 2 8,33

Tabla 7.9. Comunicación profesor-alumno.

4 Cfr. Apartado II.3.2.4. Capítulo V.

420

Con relación a las respuestas dadas por los alumnos sobre la comunicación

entre ellos y el profesor, de igual forma observamos una mejor relación profesor-

alumno y alumno-alumno con la puesta en práctica de las estrategias de aprendizaje

que se aplicaron de acuerdo con nuestra propuesta didáctica, la mayoría de los

estudiantes entrevistados indicaron mediante sus respuestas esta situación dentro del

clima social del aula de clase; de esta manera un 33,33% señaló que la relación entre

el profesor y ellos “es buena ya que el profesor es muy colaborador con los

alumnos” y otro 8,33% manifestó que “hubo una relación bastante comunicativa. El

profesor rodeaba todo el salón para ver qué alumno o grupo necesitaba ayuda”.

Observando el resto de las respuestas, podemos decir que según los alumnos

entrevistados existe una adecuada relación de comunicación entre los actores del

proceso didáctico desarrollado durante las sesiones de clase en las cuales se

implementó nuestro Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal,

específicamente a través de las diferentes estrategias, actividades y asignaciones del

material didáctico sobre la Unidad de Sistemas Numéricos, las cuales permitieron la

integración y la cooperación de los alumnos cuando resolvían los ejercicios y

problemas. De esta forma logramos alcanzar una aplicación importante del

constructivismo social de Vygotsky (1979) consolidando su zona de desarrollo

potencial para generar un aprendizaje sociocultural dentro de las matemáticas.

Pregunta Respuestas Alumnos % La motivación del profesor es favorable y

beneficiosa para los alumnos, porque nos

orienta.

2 8,33

Con frecuencia nos invita a tomar interés

por la asignatura. 1 4,17

Motivación con los contenidos. 8 33,3

Se han visto todos los elementos: estímulo

hacia los alumnos, motivación del profesor

y trabajo en equipo.

6 25

He observado con mayor frecuencia los

talleres en grupo, para mí es excelente. 2 8,33

Trabajo en equipo del profesor con los

alumnos. 3 12,5

3. En esta sesión de clase, ¿cuáles de

estos elementos: estímulo del

profesor hacia el alumno, motivación

del profesor hacia los contenidos que

enseña, trabajo en equipo del

profesor y alumnos; has observado

con mayor frecuencia?

El profesor nos motivó en el trabajo que

realizamos en grupo. Logró que la gran

mayoría le prestara atención, cosa que

antes no ocurría, se distraían más.

2 8,33

Tabla 7.10. Elementos frecuentes en el clima social de la clase.

Las respuestas que hemos presentado en la Tabla 7.10. correspondiente al

estímulo, motivación y trabajo en equipo como elementos que frecuentemente nos

indican un clima social del aula de clase de integración, nos revelan que existe una

presencia importante de los mismos dentro del aula. Pudimos verificar una

421

significativa motivación del profesor durante la aplicación de las estrategias del

Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal, las respuestas que más

se destacan de los alumnos son, por ejemplo, “motivación hacia los contenidos” con

un 33,33%, “trabajo en equipo del profesor con los alumnos” con un 12,5% y el 25%

dijo observar al profesor estimular a los alumnos hacia el logro, y que estuvo

motivado para trabajar en equipo con los alumnos.

Resaltamos estos resultados por su gran importancia para reducir actitudes

negativas del alumno, tales como el complejo de inutilidad para resolver problemas,

temores hacia el profesor, la evaluación y a cometer errores en sus intervenciones

durante las clases, lo cual implica una mejor percepción y auto-concepto del alumno

hacia su desempeño matemático.

Pregunta Respuestas

Interés General: Alumnos %

Son útiles para nuestra formación

profesional. 15 62,5

Pienso que son muy útiles ya que con

ellos aprendemos a profundizar en el

tema.

1 4,17

Me parece que son de gran utilidad,

porque nuestra carrera está relacionada

con la Matemática.

3 12,5

Han servido para mi preparación ética y

profesional 1 4,17

Me parecieron muy interesantes por los

talleres que se hacen para participar 1 4,17

Me gustaron, los he aprovechado y las

clases son de gran importancia. 1 4,17

Fue una clase que jamás esperaba, y

menos en Matemática, estuvo tan

práctica como dinámica.

1 4,17

Tienen una utilidad específica ya que se

utilizó una técnica distinta a lo

acostumbrado para el desarrollo del

aprendizaje.

1 4,17

Dificultad de los contenidos:

Me dieron un conocimiento sobre

técnicas de estudio. 1 4,17

Los ejercicios fueron fáciles de entender,

ya ese contenido lo conocía pero no lo

recordaba.

1 4,17

Sólo unos pocos los comprendieron. 2 8,33

Fueron sencillos de entender. 3 12,5

4. ¿Qué impresión general te causaron

los contenidos que se desarrollaron

durante esta clase? ¿Son útiles para tu

formación profesional?, ¿no tienen

significado para ti?, ¿en general no te

interesaron?, ¿perdiste tu tiempo?,

¿fueron sencillos de entender?, ¿sólo

unos pocos los comprendieron?

A las matemáticas hay que ponerles

mucho amor y dedicación. 1 4,17

Tabla 7.11. Valoración hacia los contenidos matemáticos que se desarrollaron durante la clase.

Los alumnos destacaron la importancia de los contenidos que estudiaron

durante la Unidad Didáctica de Sistemas Numéricos, efectivamente, el 62,5% de

422

entrevistados que constituyen la mayor parte de los alumnos destacó que los

contenidos desarrollados durante las clase son útiles para su formación profesional y

el resto, es decir 37,5% señaló otras razones por las cuales representaban esta gran

importancia para con los contenidos. Sin embargo, con relación a la dificultad que les

supuso entender estos mismos contenidos, el 12,5% expresó que fueron sencillos de

entender. Si sumamos el total de las respuestas que expresaron la facilidad para

comprender los contenidos matemáticos, tenemos que un 12,51% de los estudiantes

no le atribuyó dificultad a los aprendizajes matemáticos de la Unidad Didáctica. Por

el contrario, sólo 8,33% respondió que pocos alumnos comprendieron las clases

desarrolladas sobre estos aspectos de la asignatura Matemática General.

Así podemos decir que los criterios relativos a la concepción que tiene el

alumno de los aprendizajes de los contenidos de la asignatura de Matemática General

y a la concepción del proceso didáctico desarrollado por el profesor, de acuerdo a las

entrevistas de los alumnos, son aspectos que se fueron consolidando progresivamente

durante las sesiones de clase con la implementación de las estrategias de aprendizaje

en la organización de la información y resolución de problemas que presentamos en

nuestro Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal.

VII.2.4. Análisis y reflexión de los resultados de los cuestionarios de

actitud-opinión del alumno

En función de la complementariedad de análisis de datos que nos ofrece la

combinación del método cualitativo y cuantitativo que describimos en el Capítulo II5,

hemos organizado y presentado en la Tabla 7.12. los resultados de los cuestionarios

suministrados al grupo de alumnos de acuerdo con los indicadores y las preguntas

formuladas para garantizar una mayor información que nos permita lograr el último

objetivo de investigación.

Los resultados obtenidos en los ítems de los indicadores del cuestionario de

actitud reflejan un nivel positivo en esta característica personal de los alumnos; las

diferentes estrategias de aprendizaje, asignaciones y actividades del material

didáctico desarrolladas durante las sesiones de clase, según las orientaciones teóricas

del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal, lograron influir

significativamente en la opinión que tenían los estudiantes de las matemáticas y

específicamente de la asignatura y del profesor.

5 Cfr. Apartado II.1.1. Capítulo II.

423

Acuerdo M.d.a. Sin opinión Med. Desac.

Desac. Nº Indicadores Ítems

F % F % F % F % F %

1

Impulsividad para

realizar

asignaciones.

7 26,92 8 30,77 6 23,08 1 3,85 4 15,38

2

Impulsividad. Rapidez en la

realización de

tareas

Matemáticas.

4 15,38 6 23,08 4 15,38 3 11,54 7 26,92

3 Responsabilidad. Evadir la

responsabilidad. 3 11,54 2 7,69 8 30,77 1 3,85 12 46,15

4

Ausencia de la

capacidad de

razonamiento.

7 26,92 8 30,77 3 11,54 3 11,54 5 19,23

5

Capacidad de

razonamiento. Dificultad en

asignaciones

complejas

5 19,23 6 23,08 6 23,08 3 11,54 5 19,23

6

Complejo de

inutilidad al

resolver

problemas.

2 7,69 5 19,23 4 15,38 4 15,38 10 38,46

7 Miedo al

equivocarse. 7 26,92 6 23,08 2 7,69 4 15,38 7 26,92

8 Temor al ser

evaluado. 9 34,62 6 23,08 4 15,38 2 7,69 5 19,23

9

Temor al

fracaso.

Temor hacia el

profesor. 4 15,38 7 26,92 3 11,54 2 7,69 10 38,46

10 Rechazo.

Rechazo hacia las

actividades

matemáticas.

3 11,54 3 11,54 3 11,54 3 11,54 14 53,85

11

Decisión de tener

éxito en

Matemática

20 76,92 4 15,38 0,00 2 7,69 0,00

12 Matemática como

reto para aprender. 21 80,77 2 7,69 2 7,69 1 3,85 0,00

13

Satisfacción

personal y

resolución de

problemas.

15 57,69 9 34,62 1 3,85 1 3,85 0,00

14

Capacidad de

logro.

Profesor como

estimulador del

logro de los

alumnos.

8 30,77 5 19,23 6 23,08 4 15,38 3 11,54

15 Iniciativa.

Iniciativa en el

trabajo en equipo

en las tareas

matemáticas.

5 19,23 11 42,31 6 23,08 1 3,85 3 11,54

16

Serenidad en la

resolución de

problemas.

16 61,54 7 26,92 2 7,69 1 3,85 0,00

17

Autocontrol. Preparación y

miedo a las

evaluaciones.

21 80,77 2 7,69 2 7,69 1 3,85 0,00

18 Constancia.

Perseverancia para

obtener la solución

de un problema.

6 23,08 13 50,00 7 26,92 0,00 0,00

424



F % F % F % F % F %

19 Disciplina.

Necesidad de

ajustarse a un

horario para

estudiar

Matemática.

10 38,46 7 26,92 6 23,08 2 7,69 1 3,85

20

Matemáticas como

cálculos y reglas

para memorizar.

13 50,00 7 26,92 1 3,85 2 7,69 3 11,54

21

Memorización. El estudiante

como receptor de

como cimientos

matemáticos.

14 53,85 6 23,08 1 3,85 2 7,69 4 15,38

22

Procedimiento

en la resolución

de problemas.

Alto nivel de

complejidad. 7 26,92 5 19,23 4 15,38 7 26,92 3 11,54

23 Valoración hacia

los demás

Las matemáticas y

los genios. 2 7,69 2 7,69 7 26,92 3 11,54 12 46,15

24 Enseñan a pensar

y a razonar. 16 61,54 7 26,92 2 7,69 1 3,85 0,00

25

Utilidad de la

matemática. Utilidad en su

futura labor

profesional.

19 73,08 4 15,38 3 11,54 0,00 0,00

26 Esfuerzo propio.

Esfuerzo personal

como elemento

principal en el

éxito en las

matemáticas.

15 57,69 5 19,23 4 15,38 1 3,85 1 3,85

27 Exigencia y

pánico. 5 19,23 2 7,69 5 19,23 7 26,92 7 26,92

28

Rigurosidad en los

estilos de enseñar

de los profesores.

10 38,46 8 30,77 5 19,23 1 3,85 2 7,69

29

Posición

complaciente de

los profesores.

8 30,77 7 26,92 6 23,08 2 7,69 3 11,54

30

Exigencia del

profesor.

Calidad de

enseñanza y

exigencia del

aprendizaje

efectivo.

14 53,85 3 11,54 4 15,38 3 11,54 2 7,69

31

Profesores y la

importancia que le

dan a la

participación del

alumno.

15 57,69 6 23,08 3 11,54 2 7,69 0,00

32

Nivel de

participación. Estímulo del

alumno y su

participación en

clase.

6 23,08 9 34,62 5 19,23 1 3,85 5 19,23

33 Lenguaje

matemático.

Dificultad en la

comprensión del

lenguaje

matemático.

3 11,54 5 19,23 3 11,54 5 19,23 10 38,46

425



F % F % F % F % F %

34

Fomento del

compromiso del

estudiante por

parte del profesor.

8 30,77 11 42,31 5 19,23 2 7,69 0,00

35

Nivel de

compromiso.

Disposición al

trabajo en equipo. 8 30,77 8 30,77 2 7,69 3 11,54 5 19,23

36

Comunicación

profesor-

alumno.

Relación amigable

sin discriminación. 12 46,15 2 7,69 4 15,38 6 23,08 2 7,69

37

Clima de

confianza

profesor-

alumno.

Confianza en el

aula para generar

intercambio de

preguntas y

respuestas.

9 34,62 9 34,62 1 3,85 2 7,69 5 19,23

38 Manejo adecuado

de la información. 20 76,92 1 3,85 4 15,38 0,00 1 3,85

39

Organización clara

y comprensible de

la información

escrita en el

pizarrón.

18 69,23 6 23,08 1 3,85 1 3,85 0,00

40

Nivel de

organización de la

información en las

clases de

Matemática y

otros sub-

proyectos.

10 38,46 12 46,15 2 7,69 1 3,85 1 3,85

41

Seguridad del

profesor en el

dominio de

contenidos.

20 76,92 4 15,38 2 7,69 0,00 0,00

42

Dominio de los

contenidos

matemáticos por

el profesor.

Utilización de

ejemplos sencillos

para el desarrollo

de las clases.

16 61,54 7 26,92 2 7,69 1 3,85 0,00

43

Utilización de

recursos para el

aprendizaje.

Uso de láminas,

diapositivas,

diagramas,

talleres.

15 57,69 8 30,77 2 7,69 0,00 1 3,85

44

Estructuración

de los

procedimientos

en la resolución

de problemas.

Descripción de

propiedades

matemáticas.

15 57,69 8 30,77 2 7,69 1 3,85 0,00

45 Información de

calificaciones. 10 38,46 5 19,23 10 38,46 1 3,85 0,00

46

Frecuencia en la

aplicación de

evaluaciones

individuales.

4 15,38 4 15,38 1 3,85 9 34,62 8 30,77

47

Proceso de

evaluación.

Evaluaciones

grupales. 12 46,15 10 38,46 1 3,85 1 3,85 2 7,69

48

Asesoría

académica del

profesor.

Cantidad de

asesoría que recibe

el alumno.

12 46,15 12 46,15 2 7,69 0,00 0,00

426



F % F % F % F % F %

49

Procedimiento

de enseñanza del

profesor.

Deficiencia en

proceso de

enseñanza los

profesores.

5 19,23 6 23,08 3 11,54 6 23,08 6 23,08

50

Nivel de

compromiso del

profesor.

Actitud positiva y

de compromiso

del profesor ante

la formación de

sus alumnos.

15 57,69 7 26,92 3 11,54 1 3,85 0,00

Total de alumnos: 26 Tabla 7.12. Resultados obtenidos de las contestaciones al cuestionario de opinión para determinar el

grado de actitud del alumno con relación al proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura

Matemática General de la carrera de Educación Integral.

En primer lugar podemos señalar que la impulsividad para realizar

asignaciones es el comportamiento en el que los estudiantes expresaron tener de

manera parcial problemas; en efecto, un poco más de la mitad respondió a favor de

este indicador, concretamente el 26,92% está de acuerdo y el 30,77% medianamente

de acuerdo; por el contrario, el 15,38% está de acuerdo y el 23,08% está

medianamente de acuerdo en que responden de forma rápida sin razonar las

preguntas de matemáticas y un poco más de la mitad 56,84% está en desacuerdo.

Por el contrario destacamos la responsabilidad como una de las cualidades

señaladas por la mayor parte del grupo de alumnos encuestados; observamos que un

30,77% está medianamente en desacuerdo y un 46,12% en desacuerdo con evadir las

responsabilidades que deben asumir como alumnos de la asignatura Matemática

General. En cuanto a la capacidad de razonamiento, los alumnos tienen la impresión

de no estar utilizando todo su potencial para lograr los objetivos de aprendizaje, es

decir, han tomado conciencia sobre la responsabilidad individual en el éxito o fracaso

en la asignatura. También pudimos verificar que una gran parte de los estudiantes

indicaron estar de acuerdo y medianamente de acuerdo en tener dificultades para

iniciar actividades matemáticas complejas.

El temor al fracaso también es un comportamiento negativo que está presente

en los alumnos; el 26,92% está de acuerdo y el 23,08% medianamente de acuerdo

con tener miedo a equivocarse; asimismo, el 34,62% está de acuerdo y el 23,08%

medianamente de acuerdo en sentir temor al ser evaluado. Sin embargo, el temor

hacia el profesor diminuyó con relación a estos dos aspectos, solamente el 15,38%

estuvo de acuerdo y el 38,46% en desacuerdo con esta situación en el aula de clase.

Constatamos igualmente muy poco rechazo hacia las actividades matemáticas, sólo

un 11,54% estuvo de acuerdo con este comportamiento.

427

Los estudiantes en su mayoría estuvieron de acuerdo con que el éxito en las

matemáticas depende de ellos mismos y no a factores externos, así lo sostiene el

76,92% de los encuestados; igualmente consideran que los ejercicios y problemas de

matemática son un reto para aprender más de esta disciplina, y destacan el estímulo

hacia el logro que el profesor transmite para alcanzar el éxito en los aprendizajes.

En cuanto a la iniciativa que toman al resolver problemas en equipos de

trabajo, una considerable proporción de alumnos también expresó su acuerdo con

esta característica personal, asimismo observamos la misma situación con el

autocontrol en donde 61,54% de los alumnos está de acuerdo y el 26,92%

medianamente de acuerdo con tener serenidad para resolver problemas de

matemática y, por último, un 80,77% destaca que la seguridad y la preparación

adecuada elimina el miedo para responder las pruebas y evaluaciones de matemática.

También la constancia y la disciplina fueron consideradas como comportamientos de

gran importancia para alcanzar los logros en los aprendizajes matemáticos.

Los alumnos todavía tienen opiniones favorables hacia la visión y concepto

tradicional que se tiene de las matemáticas, en efecto, el 50% dice estar de acuerdo

en que las matemáticas son cálculos y reglas para memorizar, y el 53% considera que

el alumno es un receptor de conocimientos y el docente un transmisor de

información. Con relación al alto nivel de complejidad en el procedimiento, las

opiniones favorables y negativas de los alumnos se dividieron en iguales

proporciones; la percepción de las matemáticas como una disciplina que sólo es para

estudiantes destacados no es compartida por la mayoría del grupo, así, el 46,16% está

en desacuerdo y 11,54% medianamente en desacuerdo.

La utilidad de las matemáticas para aprender a pensar, razonar y hacia la

futura labor profesional, esfuerzo propio del estudiante y exigencia de parte del

profesor obtuvieron respuestas favorables de parte de los estudiantes encuestados.

Estos indicadores nos permiten decir una vez más que la actitud del alumno es

positiva hacia los contenidos de esta disciplina académica.

De igual forma la situación es semejante con el nivel de participación de los

alumnos en las clases de la asignatura Matemática General; el 57,69% expresó su

acuerdo y el 23,08% estuvo medianamente de acuerdo con que el profesor le

atribuyó importancia a la participación de los estudiantes. Verificamos también en el

docente la preocupación por fomentar el compromiso del alumno hacia sus

obligaciones, así como la comunicación y clima de confianza entre el profesor y los

alumnos.

428

Con relación al desempeño pedagógico del profesor en el proceso didáctico

ejecutado durante la implementación del Programa de autorregulación, constatamos

que los estudiantes en una gran proporción manifestaron su acuerdo general con el

dominio de los contenidos matemáticos que el docente desarrolló durante las clases;

el 76,92% de los estudiantes señaló el manejo adecuado de la información, el 69,23%

destacó la organización clara y comprensible de la información escrita en la pizarra,

el 76,92% la seguridad del docente en los temas impartidos, el 61,54% el uso de

ejemplos sencillos para el desarrollo de las clases y un 57,69% estuvo de acuerdo al

señalar que el docente utilizó recursos de aprendizaje no convencionales como

láminas, diapositivas, diagramas, talleres y vídeos.

De manera semejante, aproximadamente un 88% del grupo expresó opiniones

favorables hacia la estructuración de los procedimientos en la resolución de

problemas desarrollados por el profesor para lograr una mejor comprensión en los

alumnos; también pudimos apreciar una constante asesoría del profesor para orientar

a los alumnos en el proceso de aprendizaje y, finalmente, destacaron el nivel de

compromiso y actitud positiva del profesor ante la formación de sus alumnos.

En la Tabla 7.13. podemos verificar de manera resumida cómo en la mayoría

de los indicadores hubo opiniones positivas de parte de los alumnos encuestados:

Opinión Nº INDICADOR

Positiva Negativa 1 Impulsividad. X

2 Responsabilidad. X

3 Razonamiento. X

4 Temor al fracaso. X

5 Rechazo. X

6 Cap. De logro. X

7 Iniciativa. X

8 Auto-control. X

9 Constancia. X

10 Disciplina. X

11 Memorización. X

12

Complejidad en el

Procedimiento en la

resolución de problemas.

X

13 Valoración hacia los demás. X

14 Utilidad de las matemáticas. X

15 Esfuerzo propio. X

16 Exigencia del profesor. X

17 Participación. X

18 Lenguaje matemático. X

19 Compromiso. X

20 Comunicación. X

21 Dominio de contenidos por

el profesor. X

429

Opinión Nº INDICADOR

Positiva Negativa

22 Recursos para el

aprendizaje. X

23 Evaluación. X

24 Asesoría. X

25 Procedimiento de

enseñanza. X

Tabla 7.13. Presencia-ausencia de indicadores que determinan la actitud de los alumnos con relación

al proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática.

Con esta información verificamos que de veinticinco indicadores, veintitrés

de ellos, que representan el 92%, tuvieron una opinión favorable según las respuestas

de los alumnos en el cuestionario de actitud-opinión; por consiguiente, la

implementación del Programa de autorregulación tuvo un impacto contundente en la

actitud de los alumnos hacia los contenidos seleccionados de la asignatura

Matemática General, es decir en los tres criterios que constituyen la dimensión del

clima social del aula y la actitud del alumno, como lo son:


asignadas. Los indicadores que tuvieron una opinión parcialmente

favorable en este criterio fueron la impulsividad, en la cual los alumnos

manifestaron que sus respuestas e intervenciones no son impulsivas, es

decir que existe un relativo autocontrol en sus procesos de razonamiento.

La responsabilidad fue otro de los indicadores de opinión favorable que

los llevaron a la conclusión de que el grupo en general tiene un buen auto-

concepto de su desempeño en la asignatura Matemática General. De igual

forma, tenemos con opiniones favorables indicadores tales como: temor al

fracaso, capacidad de logro, iniciativa, autocontrol, constancia y

disciplina, sin embargo de manera paradójica el rechazo se mantiene en el

grupo de alumnos y también una apreciación negativa de su capacidad de

razonamiento para resolver problemas. Esto nos indica limitaciones que

se deben superar dentro de nuestro Programa de autorregulación,

recordemos que la dimensión de actitud es una variable que necesita de un

proceso gradual y paulatino para lograr cambios significativos.


de la asignatura de Matemática General. En función de los resultados de

la Tabla 7.13. podemos decir que el grupo de estudiantes de la asignatura

Matemática General posee una concepción positiva hacia los contenidos

relativos a la Unidad Didáctica de Sistemas Numéricos, esto lo afirmamos

porque los alumnos no consideraron a las matemáticas como simples

430

cálculos y reglas para memorizar ni al alumno como un receptor pasivo de

conocimientos, mantienen una actitud positiva hacia lo complejo que

pueda representar para ellos el procedimiento utilizado en la resolución de

problemas y finalmente le dan una gran importancia a la utilidad de las

matemáticas para su futura labor profesional y para su formación

académica. No obstante uno de los indicadores que los alumnos

expresaron como una actitud negativa fue la del uso del lenguaje

matemático, ofreciéndonos otra de las limitaciones del Programa de

autorregulación que se tiene que redireccionar para lograr su activación y

consolidación en la comunicación, organización y presentación de la

información matemática.

- La concepción del proceso didáctico desarrollado por el profesor. Con

relación a este último criterio también podemos afirmar que los

estudiantes han expresado una actitud favorable hacia el proceso didáctico

ejecutado por el profesor bajo las orientaciones del Programa de

autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las

matemáticas; en la Tabla 7.13. podemos apreciar cómo los indicadores en

su mayor parte tuvieron una opinión positiva, por ejemplo la exigencia del

profesor es considerada por los alumnos como un factor decisivo para

lograr un aprendizaje significativo y un excelente nivel de formación; así

mismo, el fomento de la participación, el compromiso del profesor hacia

sus alumnos y la comunicación fueron indicadores cuya apreciación

positiva nos señala que la propuesta didáctica estuvo en una dirección y

orientación adecuadas al grupo de alumnos de nuestro estudio de casos.

Asimismo, el dominio de los contenidos por parte del profesor sigue siendo

una dimensión de gran importancia y significado para los alumnos; también lo

constituyen las dimensiones: a) utilización de recursos no convencionales para el

aprendizaje, como ilustraciones, gráficos, vídeos y diapositivas; b) la evaluación

como un proceso integral y equilibrado a través del uso complementario de los

diferentes instrumentos y actividades; y c) las pruebas de valoración, tales como

talleres, proyectos, discusiones y exposiciones. Cabe destacar que desde las

observaciones que efectuamos de las clases en el aula, la asesoría del profesor

representó siempre la principal estrategia que los alumnos utilizaron para realizar las

diferentes asignaciones del material didáctico, situación que se reiteró en los

resultados del cuestionario, tal como lo refleja la Tabla 7.13. Además, y para

finalizar, el procedimiento de enseñanza que utilizó el profesor resultó también con

una opinión y/o actitud positiva de los alumnos, demostrando con esto que los

431

fundamentos epistemológicos y las orientaciones pedagógicas del Programa de

autorregulación del pensamiento lógico-formal lograron una contundencia

considerable en la dimensión clima social del aula y actitud del alumno.

432

VII.3. RESULTADOS DE LA TRIANGULACIÓN DE DATOS

De manera semejante a la fase diagnóstica, en el proceso de recogida de datos

en esta tercera y última fase de nuestra investigación utilizamos una serie de

instrumentos que nos proporcionaron datos tanto cuantitativos como cualitativos, los

cuales han resultado significativos para realizar un análisis y reflexión desde un

enfoque cualitativo, para aproximarnos a la explicación más cercana de la realidad

del caso y contexto de estudio, desviándonos lo menos posible de la rigurosidad

científica que caracteriza a toda investigación. Cabe señalar que la gran diversidad de

información aportada por los actores del caso de estudio a través de las

transcripciones de las observaciones efectuadas por el investigador a las sesiones de

clases, de los registros obtenidos de los diarios y cuadernos de los alumnos, de las

entrevistas, de los cuestionarios de opinión y de las pruebas de valoración de

conocimientos constituyeron una amplia, compleja y nutrida estructura de datos, para

responder a las últimas interrogantes planteadas en nuestra investigación

Para garantizar un procedimiento de validación de estos resultados que nos

conduzca a la producción sistemática y coherente de las conclusiones respectivas,

presentamos la técnica de la triangulación, tal como lo explicamos en el Capítulo II.

Con el apoyo de la matriz de triangulación hemos comparado los diferentes datos

cualitativos y cuantitativos para extraer las similitudes o discrepancias que los

actores del contexto de estudio han expresado a lo largo de todo el trabajo de

implementación de la propuesta didáctica o Programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal y de esta manera poder llegar a establecer los logros

alcanzados en los objetivos formulados al inicio del estudio.

Presentamos a continuación en las Tablas 7.14. y 7.15., las matrices utilizadas

para la comparación de los resultados obtenidos en los diferentes instrumentos

aplicados durante la fase de puesta en práctica y evaluación del Programa de

autorregulación.

OBJETIVO 2.6. Evaluar el programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en función del aprendizaje significativo logrado por los alumnos en los contenidos de la unidad de sistemas numéricos de la asignatura matemática general, el clima social del aula y la actitud del alumno. DIMENSIÓN: Aprendizaje matemático

OBSERVACIONES CUADERNOS DE LOS ALUMNOS

PRUEBAS DE VALORACIÓN DE APRENDIZAJES

CUESTIONARIOS

El profesor destaca las

ventajas de la

elaboración de los

esquemas, diagramas y

En la elaboración del

primer mapa

conceptual los alumnos

se desempeñaron de

Progreso relativo en el

aprendizaje en

comparación con los

resultados de la fase de

Capacidad de

concentración para

organización de la

información.

433

cuadros para organizarla

información.

Observamos una

dificultad para entender

las instrucciones, en

asumir individualmente y

de manera independiente

el trabajo asignado, a

pesar de estar en

pequeños grupos.

Durante las exposiciones

de los alumnos la mayoría

pudo comunicar de

manera clara y ordenada

la información.

Utilización de los mapas

conceptuales por el

docente para organizar la

información.

Uso de representaciones

gráficas en la

comprensión de los

conceptos matemáticos.

Los alumnos participan

activamente con el

profesor en la resolución

de problemas, quien

introduce los pasos de


según Polya (1978).

Las respuestas que dan

los estudiantes nos

indican que hubo una

comprensión general del

procedimiento utilizado.

Una vez más con la ayuda

del profesor y el trabajo

grupal los alumnos

logran resolver los

problemas asignados.

La mayoría presenta

problemas en el uso del

lenguaje simbólico para

formalizar los conceptos y

propiedades de las

operaciones de los

números naturales.

Los alumnos parecen

comprender de manera

intuitiva las propiedades

de la potenciación.

manera exitosa.

La organización de la

información para

comunicar de manera

escrita requiere de un

considerable tiempo y

esfuerzo para

consolidarse a través

de las estrategias

aplicadas en la

propuesta didáctica.

Con relación a los

mapas conceptuales y

esquemas hubo un

considerable número

de alumnos que

lograron presentar de

manera correcta esta

asignación.

La integración entre la

orientación del

docente, el material

didáctico y el apoyo de

los alumnos hacia sus

compañeros lograron

este resultado notable

en la realización de

esta actividad, de

manera sencilla y sin

contratiempos.

El desempeño de los

alumnos en los

problemas de

aplicación, estuvo

marcado por el nivel

de complejidad.

Los estudiantes

presentaron errores en

mayor proporción la

utilización del lenguaje

escrito.

Dificultades en el uso

de signos de

agrupación para las

operaciones

combinadas tanto de

números enteros como

fraccionario.

Las situaciones más

concretas y cotidianas

revisten de significado

para el alumno el

aprendizaje que se

diagnóstico.

Ningún alumno utilizó

esquemas, mapas

conceptuales, diagramas

y representaciones

gráficas para organizar

y presentar información

en la prueba.

Interpretaciones

correctas del lenguaje

matemático utilizado

para identificar

propiedades.

En la resolución de

problemas un reducido

grupo de alumnos

lograron aplicar las

estrategias de

aprendizaje para su

resolución.

Una proporción

estimable de los alumnos

aplicaron el orden

sistemático de la

información,

seleccionaron de manera

precisa los datos e

incógnitas de los

problemas.

Pocos alumnos

estructuraron en

pequeños pasos los


Aprendizaje deficiente en

la mayor parte de las

preguntas, ejercicios y

problemas planteados.

Comprensión de los

símbolos matemáticos en

la información de la

prueba de valoración.

La situación precaria se

sigue observando en las

operaciones combinadas

con fracciones.

Observamos el mismo

patrón en el progreso de

la utilización de las

estrategias para resolver

problemas.

Uso apropiado del

vocabulario para

organizar la

información

matemática.

No hubo aplicación

de las técnicas de

estudio para

organizar la

información de

manera general.

Utilización de las

estrategias de

comparación entre

los conceptos

matemáticos.

Utilización de

estrategias de

aprendizaje

relacionadas con el

razonamiento

deductivo en la

resolución de

problemas.

Lectura detenida

para extraer de

forma precisa la

información de los

problemas y

establecer la

relación entre sus

datos.

No aplican

estrategias

originales para

resolver ejercicios y

problemas.

Procesos de

abstracción y planes

en la resolución de

problemas no son

aplicadas por la

mayor parte de los

alumnos.

Dificultades en la

aplicación lenguaje

matemático.

Aplicación de la

intuición y procesos

inductivos que le

garantizan una

434

Los alumnos no logran

comprender de manera

progresiva la relación

entre propiedad-nombre-

expresión y matemática-

procedimiento.

Problemas en la

eliminación de los signos

de agrupación para

resolver las operaciones

combinadas de números

enteros.

Importancia y ventaja que

ofrece el uso del video

para despertar la

motivación en los

alumnos y lograr la

comprensión de la

relación que tiene la

Matemática con la vida

cotidiana.

El uso de ejemplos de la

vida cotidiana es un

recurso muy ilustrativo

para lograr la

comprensión del concepto

de número racional.

Los alumnos necesitaron

de la ayuda del profesor

para comprender

progresivamente el

procedimiento en la


que requieren de la

aplicación de adición de


Los grupos que aplicaron

de manera correcta las

estrategias para

organizar la información

y resolver problemas,

también lograron aplicar

de manera efectiva los

conceptos, definiciones y

propiedades y

operaciones.

quiere lograr, al tener

una utilidad práctica

directa.

La comprensión de los

problemas que

involucran los

algoritmos para

multiplicar y dividir

fracciones no es un

aprendizaje tan

accesible para los

alumnos.

Destacamos la relativa

comprensión y

aplicación de los

conceptos, definiciones

y propiedades

involucradas en la

resolución de


comprensión más

concreta de los

conceptos

matemáticos.

Tabla 7.14.: Matriz de triangulación que resume los datos más significativos obtenidos en las

diferentes técnicas e instrumentos de recolección en la dimensión Aprendizaje Matemático.

Podemos apreciar, de acuerdo a las categorías presentadas para analizar la

dimensión del aprendizaje matemático en los diferentes instrumentos, una de las

primeras inconsistencias con relación a las estrategias para la organización de la

435

información; tanto en los registros de las observaciones como en los cuadernos de los

alumnos pudimos constatar el uso de las técnicas de estudio tales como los

esquemas, diagramas, representaciones gráficas y diagramas; por el contrario, en las

pruebas de valoración y en el cuestionario no hubo resultados semejantes, con lo cual

podemos señalar con firmeza la contundencia del Programa de autorregulación sobre

este primer criterio de la dimensión aprendizaje matemático, no obstante las

opiniones de un grupo de encuestados a veces están cargadas de subjetivismo,

elemento que influye notablemente en los resultados de cualquier estudio.

Cabe destacar que en la organización general de la información, los alumnos

desde las primeras sesiones de clases presentaban problemas para seguir

instrucciones de acuerdo a las observaciones registradas, de manera similar en los

cuadernos de los alumnos se evidencia un esfuerzo y dedicación para superar las

debilidades relativas a la organización de la información matemática; luego

apreciamos un cambio en los resultados de las pruebas de valoración en donde

utilizan de manera adecuada el lenguaje matemático, y en los cuestionarios opinaron

que usaron el vocabulario apropiado para organizar información matemática y

destacan su capacidad de concentración para la organización de la información, lo

cual es significativo para las conclusiones de nuestra investigación, si realizamos un

análisis comparativo de acuerdo a los momentos en los cuales se aplicaron los

instrumentos: las observaciones al inicio y las pruebas de valoración y cuestionarios

al final respectivamente de la implementación del Programa de autorregulación; por

tanto, vemos cómo hubo un relativo progreso con relación al criterio de las

estrategias para la organización de la información en los alumnos de la Asignatura


También se pueden establecer semejanzas o coherencias entre los resultados

obtenidos en las transcripciones de las sesiones de clase, los cuadernos de los

alumnos, las prueba de valoración de conocimientos y el cuestionario de estrategias

de aprendizaje, a pesar de algunas discrepancias entre las opiniones que los alumnos

expresaron en las entrevistas, cuestionarios y diarios, y su respectivo desempeño en

las pruebas de valoración y en las asignaciones realizadas en el aula de clase. Con

relación a las estrategias para resolver problemas, existe la unificación de resultados

en los cuadernos de los alumnos, pruebas de valoración y cuestionarios, los cuales

reflejan una debilidad en este criterio de la dimensión aprendizaje matemático y, en

consecuencia, el Programa de autorregulación no logró en su totalidad los objetivos

esperados; sólo en las observaciones hemos encontrado evidencias sobre la

participación de los alumnos con el profesor siguiendo los pasos de resolución de

problemas según Polya (1978).

436

El análisis comparativo que se deriva de los resultados obtenidos en los

cuatro instrumentos nos reveló una situación crítica en el nivel de aprendizaje

matemático de los alumnos en los contenidos sobre sistemas numéricos, quienes de

forma progresiva superaron las dificultades en la comprensión y aplicación de los

conceptos matemáticos involucrados en este bloque de contenido, además, desde el

inicio de las actividades se constató la inexistencia de estrategias de aprendizaje que

les facilitaran la organización de la información y la resolución de problemas,

situación que, a pesar de no consolidarse en su totalidad, también evolucionó de

manera paulatina pero no de forma contundente.

OBJETIVO 2.6. Evaluar el programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en función del aprendizaje significativo logrado por los alumnos de los contenidos de la unidad de sistemas numéricos de la asignatura matemática general, el clima social del aula y la actitud del alumno. DIMENSIÓN: Clima social del aula y Actitud del alumno

TRIANGULACIÓN METODOLÓGICA OBSERVACIONES ENTREVISTAS DIARIOS CUESTIONARIOS

Integración, participación

en las clases y

comunicación tanto de

alumnos en los equipos de

trabajo, los alumnos entre

sí y el profesor con los

alumnos.

Las estrategias aplicadas

durante las clases

aumentan la motivación de

los alumnos, quienes

participaron en las

diferentes actividades

asignadas por el profesor

de la asignatura.

Confianza de los alumnos

para intervenir en la clase

se realiza con libertad,

receptividad del profesor

hacia los diferentes

comentarios y opiniones de

los alumnos.

Sinceridad de los

estudiantes para manifestar

su actitud de rechazo hacia

las pruebas escritas del

proceso de evaluación.

Los alumnos se sintieron

con mayor confianza y

seguridad para resolver los

ejercicios y problemas

formulados gracias al

apoyo del grupo y a la

orientación constante del

Las respuestas

señalan la

participación y

colaboración de los

estudiantes durante

las sesiones de

clases.

Las estrategias de

aprendizaje bajo los

lineamientos de la

propuesta didáctica

lograron una actitud

positiva en el

alumno.

Mejor relación

profesor-alumno y

alumno-alumno con

la puesta en práctica

de la propuesta

didáctica.

Estímulo del

profesor hacia el

logro de los

aprendizajes de los

alumnos.

Motivación del

profesor para

trabajar en equipo

con los alumnos.

Los alumnos de

igual forma

destacaron la

importancia de los

contenidos que

La comunicación del

profesor con los

alumnos se observa

frecuentemente.

Comunicación y

participación se

benefician con las

diferentes estrategias

implementadas a

través del programa.

La integración social

que el programa de

autorregulación

logró a través de sus

estrategias de

aprendizaje.

La actitud del

alumno durante las

clases se ve

modificada de

acuerdo a las

estrategias de

aprendizaje,

principalmente existe

mejor actitud cuando

se integran en

pequeños grupos y

con la ayuda del

profesor para

resolver los

ejercicios y

problemas.

Estímulo hacia el logro

que el profesor les

manifiesta a los alumnos

para alcanzar el éxito en

los aprendizajes.

Impulsividad para

realizar asignaciones.

El temor al fracaso

estuvo presente en los

alumnos.

La responsabilidad en la

mayor parte del grupo de

alumnos.

La utilidad de las

matemáticas para

aprender a pensar,

razonar y hacia la futura

labor profesional,

esfuerzo propio del

estudiante y exigencia de

parte del profesor.

Conciencia sobre la

responsabilidad

individual en el éxito o

fracaso en la asignatura.

Las diferentes actividades

desarrolladas durante las

sesiones de clase

lograron influir

significativamente en la

actitud que tenían los

estudiantes hacia las

437

profesor.

Las actividades no

convencionales como la

proyección de videos,

resultó un recurso efectivo

para lograr una actitud

positiva hacia las

matemáticas, la motivación

y la participación de los

alumnos en el proceso de

enseñanza-aprendizaje

ejecutado en la clase.

estudiaron durante

la unidad de


Una significativa

motivación del

profesor durante la

aplicación de las

estrategias del

programa.

matemáticas y

específicamente de la

asignatura y el profesor.

Profesor le atribuyó

importancia a la

participación de los

estudiantes.

Preocupación del docente

por fomentar el

compromiso del alumno

hacia sus obligaciones.

Comunicación y clima de

confianza profesor-

alumnos.

Dominio de los

contenidos matemáticos

del docente durante las

clases.

Utilización de ejemplos

sencillos para el

desarrollo de las clases.

Utilización de recursos

de aprendizaje no

convencionales como

láminas, diapositivas,

diagramas, talleres y

videos.

Tabla 7.15.: Matriz de triangulación que resume los datos más significativos obtenidos en las

diferentes técnicas e instrumentos de recolección en la dimensión Clima social del aula y Actitud del

alumno.

De manera semejante dentro de las situaciones descritas en la matriz de

triangulación, observamos una evidente similitud entre los resultados de los

instrumentos, existiendo una gran coherencia entre las observaciones que efectuamos

en las sesiones de clase y las opiniones expresadas por los alumnos en las entrevistas,

diarios y cuestionarios. Respecto al clima social del aula y la actitud de los

estudiantes hacia las matemáticas se pudo constatar una interacción y comunicación

entre los actores del proceso didáctico, así como la aceptación, participación y

colaboración de la gran parte del grupo de alumnos, como así se refleja en los

resultados de los cuatro instrumentos aplicados.

En el primer criterio, correspondiente al auto-concepto del alumno ante su

desempeño de las actividades matemáticas, podemos apreciar en las observaciones

de las clases, entrevistas, diarios y cuestionarios el desarrollo de una confianza y

responsabilidad de los alumnos para integrarse de manera notable en las actividades

programadas y ejecutadas del proceso didáctico. Las estrategias de aprendizaje

438

aplicadas de acuerdo al Programa de autorregulación lograron aumentar la

motivación y participación de los alumnos incentivando su iniciativa en la toma de

decisiones para realizar las diferentes asignaciones.

La concepción positiva que tiene el alumno de los aprendizajes de los

contenidos de la asignatura de Matemática General es otro de los criterios que

demostraron una de las fortalezas del Programa de autorregulación del pensamiento

lógico-formal y que está presente en los cuatro instrumentos de recolección de

información, desarrollándose en el aula la participación, comunicación y estímulo

hacia el logro. Por consiguiente, los alumnos destacaron la importancia de los

contenidos que estudiaron durante la unidad de sistemas numéricos para aprender a

pensar, razonar y hacia la futura labor profesional.

Igualmente, apreciamos la unificación de la información presentada en la

matriz de triangulación con relación a la concepción de los alumnos hacia el proceso

didáctico desarrollado por el profesor; destacamos que la actitud de los estudiantes es

positiva si en la planificación y ejecución del proceso se utilizan las estrategias,

actividades y recursos para el aprendizaje no convencionales, además de la

preocupación del docente por fomentar el compromiso de los estudiantes y su

domino de los contenidos desarrollados.

De acuerdo al análisis comparativo efectuado podemos señalar que el proceso

efectuado a través de la triangulación metodológica confirma una aceptación y

validación de los instrumentos aplicados durante la tercera fase de nuestra

investigación, en la cual implementamos y evaluamos el Programa de


439

ANEXO VII-1: Transcripciones de las sesiones de clases

Jueves 17-01-2008

Observador: El profesor inicia la clase explicando la forma de utilizar el material didáctico

y exhortando a los alumnos a tenerlo para iniciar el aprendizaje de los contenidos de la

unidad o módulo de Sistemas Numéricos. Luego escribe en la pizarra un esquema de los

aspectos que se desarrollarán durante la clase.

Profesor: Como ya lo hemos venido manejando, el título del Módulo o unidad es Sistemas

Numéricos, en la primera sesión de hoy vamos a trabajar con el Sistema de los Números

Naturales. En este esquema tenemos los aspectos más importantes que vamos a estudiar y

tienen que ver con:

- La noción de número natural.

- Conjunto de los números naturales.

- Notación, es decir, como se escribe formalmente.

- Representación gráfica.

- Breve reseña histórica.

Observador: El profesor gira instrucciones a los alumnos sobre las actividades que se

desarrollarán del material didáctico, indica la formación de pequeños grupos de trabajo y

discusión con tres personas. La mayoría de los alumnos cuentan con el material por lo que

la organización de los equipos se hace sin contratiempo.

Profesor: La primera actividad consiste en señalar de la lista de veinte (20) situaciones de la

vida cotidiana, en cuales de ellas se utilizan o están presentes los números naturales.

Por ejemplo en la primera situación dice: la temperatura promedio del día lunes en la

ciudad de Barinas fue de 32,5Cº ¿Se utilizan números naturales para presentar esta

información?

En la asignación nº1 ahí tenemos una serie de preguntas que responder. En la primera

pregunta dice: -¿Podrías dar un concepto sencillo de número natural?, creo que es un

concepto que manejamos todos en estos niveles, ¿alguien podría dar un concepto de número

natural?

Alumno: Son los números que utilizamos para contar elementos concretos del entorno que

nos rodea.

Profesor: Ese concepto está en el material, pero, el concepto de ustedes ¿cuál es?

Observador: Ningún alumno contesta la pregunta.

Profesor: Razonen un poco para que redacten este concepto de número natural en el taller.

La siguiente actividad consiste en escribir la sucesión de números naturales, esto ya lo

veníamos estudiando en el módulo de teoría de conjuntos.

Observador: El profesor sigue explicando las actividades del material y luego formula

preguntas.

Profesor: Generalmente ¿qué se utiliza para representar al conjunto de los números

naturales?

Alumno: Diagramas de Venn.

Profesor: Bien, los diagramas de Venn se utilizan para representar conjuntos finitos en la

mayoría de las veces, aunque también se utilizan para establecer las relaciones de inclusión

entre conjuntos numéricos. Pero lo se utiliza para representar al conjunto N es una semi-

recta en donde se observa la sucesión, 0,1,2,3…

440

Observador: El profesor destaca las ventajas de la elaboración de los esquemas, diagramas,

cuadros para organizarla información y explica a través del esquema que escribió en la

pizarra. Además señala que los apuntes de los alumnos no presentan en la mayoría de los

casos organización de la información y les explica que esta situación perjudica notablemente

el aprendizaje. Finalmente da oportunidad al grupo de alumnos para que formulen las

preguntas y aclaren las dudas respectivas.

Alumno: En la pregunta ¿Cómo surgieron los números naturales en las actividades




general.

Observador: El profesor se dedica a orientar a cada equipo y los alumnos, explicando

algunos de los ejercicios. Algunos alumnos todavía no logran entender las actividades y

tienen dificultades para resolver los planteamientos.

La gran parte de los alumnos preguntar al profesor sobre la manera de presentar y

organizar la información.

Alumno: ¿Vamos a identificar dónde se utilizan números decimales?

Profesor: No, solamente en cuáles situaciones se utiliza el número natural.

Alumno: Debemos justificar las respuestas, sí eso lo indica el material, ¿ya no lo habíamos

dicho?


natural?






Alumno: La mitad de la torta o pastel es un número natural

Profesor: Es un número fraccionario

Alumno: Qué ocurre con la cantidad de combustible que consumió un avión.

Profesor: Se pueden utilizar tanto naturales como decimales, eso depende de la situación.

Alumno: Profesor, ¿qué opina de este concepto de número natural?: “son sucesiones

numéricas que utilizamos en nuestra vida cotidiana para contar personas, animales o

cosas”.

Profesor: Bien, es aceptable.

Observador: Los alumnos siguen preguntando sobre las situaciones de la vida cotidiana

presentadas en el material que no distinguen si utilizan números naturales o decimales. El

profesor contesta usando otros ejemplos similares y luego señala que el momento de las

exposiciones se aproxima y solicita a los alumnos mayor fluidez en el trabajo.

En algunos trabajos a pesar de algunos errores de contenido ya se distinguen mapas

conceptuales para organizar la información solicitada.




Profesor: Existen problemas en cuanto a las normas de presentación de los expositores,

vamos a corregir eso. Deben colocarse de pié, dirigirse con un tono de voz adecuado y mirar

al grupo con seguridad de lo que están hablando.

441

Observador: El profesor se dedica a corregir algunos errores y aclara las dudas que han

surgido sobre los conceptos de número, su reseña histórica y representación gráfica. En

cuanto a la reseña histórica hace una visión retrospectiva de los sistemas de numeración.

Profesor: ¿qué sistema de numeración utilizamos?

Alumno: Naturales.

Observador: Los demás no responden. El profesor escribe en la pizarra números romanos.

Profesor: ¿Qué sistema de numeración es este?

Alumnos: Romano.

Observador: Los alumnos identifican mejor el sistema de numeración romana, más que el

indo-arábigo. Continúan el resto de los equipos la exposición.


clase?





Profesor: Esto es una estrategia para trabajar de manera progresiva los conocimientos

matemáticos de los sistemas numéricos.

Observador: El profesor reitera a los alumnos la utilización del material didáctico y da por

finalizada la clase.

442

Lunes, 21-01-08

Profesor: Hoy vamos a continuar con el Sistema de los números naturales, pero antes vamos

a repasar un poco los aspectos tratados en la clase pasada, principalmente con la

elaboración de los mapas conceptuales, diagramas y esquemas de la última parte de la

actividad. Estas estrategias nos ayudan a organizar y sintetizar la información, por ejemplo

lo que tenemos en la pizarra es un mapa conceptual del Sistema de los Números Naturales.

Observador: El profesor continúa elaborando el mapa conceptual y formula preguntas a los

alumnos.

Profesor: ¿Este sistema numérico esta formado por?

Alumnos: Por el conjunto N

Profesor: ¿Para qué usamos los números naturales?

Observador: Los alumnos tardan en contestar la pregunta.

Profesor: ¿Qué pasa?, ustedes habían escrito esa respuesta en el taller que desarrollaron.

Alumno: Se utilizan para realizar conteos de objetos.

Profesor: ¿Qué tipos de objetos? , ¿Dónde los encontramos?...

Alumnos: En nuestra vida cotidiana.

Profesor: Son elementos concretos de nuestro entorno que vemos a diario en nuestra vida

cotidiana. ¿Cuál es la sucesión de los números naturales?

Alumno: 0,1,2,3,4,5… y se representan con la semi-recta.

Profesor: Bien, ¿Qué más estudiamos de los naturales?

Alumno: Su notación, con la letra ℕ y en forma de conjunto.

Profesor: Es decir, N={0,1,2,3…}. Entonces así hemos construido el primer mapa

conceptual relacionado con los números naturales, pero faltan por agregar las operaciones

aritméticas fundamentales que corresponden al tema de hoy y se estudiarán resolviendo

tanto ejercicios como problemas de aplicación. ¿Cuáles son las operaciones aritméticas?



aritméticas no parecen estar dentro de su léxico y el profesor responde.




El profesor organiza nuevamente a los alumnos en pequeños grupos de trabajo para

desarrollar las actividades del material didáctico.

Profesor: Son las asignaciones 2, 3 y el problema de aplicación nº 1.

Observador: Los alumnos se muestran dispuestos y motivados para efectuar el trabajo

asignado. Cabe destacar que los equipos conservan sus mismos integrantes por las

relaciones socio-afectivas que se han creado.

El profesor se acerca a una de las estudiantes y le formula preguntas para verificar la

comprensión de las instrucciones.

Profesor: Aunque el problema está resuelto en el material utilizando estrategias específicas

de resolución, ustedes deben aplicar sus propias estrategias, es decir, su creatividad para no

repetir lo que ya está escrito. Sabemos que cada persona y cada equipo tienen propuestas

diferentes para un mismo problema.

Observador: El profesor señala las 8:15 am. Como la hora para finalizar el trabajo e iniciar

las discusiones.

443

Alumno: Profesor, ¿podemos decir que la suma es la unión o enlace entre dos conjuntos?

Profesor: La unión se relaciona más al concepto de adición. Recuerde que la adición

primero es una operación aritmética, ahora ¿qué procedimiento se ejecuta? Además la

Aritmética es la rama de la Matemática que estudia los números, sus operaciones y

propiedades.

Observador: A los alumnos se les dificulta la elaboración y redacción de conceptos, la

mayoría de las hojas de trabajo presentan incoherencias en sus escritos. El profesor explica

de manera intuitiva el concepto de adición, usa ejemplos y finalmente la teoría de conjuntos.

Alumno: Al sumar una misma cantidad a un sumando, ¿Cómo? No entiendo.

Observador: Una de las actividades consistió en verificar qué le ocurre a la suma si se le

aumenta o disminuye un número cualquiera.

Profesor: ¿Cuáles son los sumandos en una suma?

Alumnos: Las cantidades que se suman. La suma cambia si aumenta uno de los sumandos.

Profesor: ¿Cómo cambia?, ¿Por qué no utilizan un ejemplo?

Alumno: ¿Cuál ejemplo?

Observador: El profesor orienta al alumno en la elaboración del ejemplo y formula

preguntas para llegar a la conclusión final. La situación se repite en los diferentes grupos.

Con relación al problema de aplicación todos se guían por el procedimiento del material

didáctico y hacen pocas preguntas.

Profesor: Vamos a dar inicio a las exposiciones, ¿quién desea comenzar?

Observador: Los alumnos participan espontáneamente y el profesor hace la

retroalimentación a cada exposición.

Alumnos del primer equipo: “La adición es la unión de elementos de dos a más conjuntos”.

Profesor: Recuerden que es una definición intuitiva, es decir, una idea de lo que se entiende

del concepto.

Alumnos del segundo equipo: Es una operación aritmética que tiene por objetivo unir dos a

más conjuntos para obtener otro conjunto que es el resultado de dicha operación”.

Alumnos tercer equipo: “La suma está compuesta de sumandos que son los números que se

suman”.

Profesor: Ustedes ya están mencionando las partes de la adición, entonces podemos escribir

formalmente su expresión matemática, es decir, a b c+ = , donde a y b son los sumandos y

c la suma.

Observador: Las exposiciones de los equipos restantes presentan conceptos semejantes.

Finalmente el profesor utiliza diagramas y dibujos de figuras geométricas para ayudar a los

alumnos a comprender los aspectos estudiados.

Se inician las exposiciones sobre la resolución del problema de aplicación cuyo enunciado

es el siguiente:

Un auto chocado se compró en 4.500.000 Bs., al reparar la latonería se gastaron 860.000

Bs.; en ponerle cauchos y rines 620.000Bs.; en pintura 1.900.000Bs y luego al venderlo se

obtuvo una ganancia de 1.360.000B. ¿Cuál fue el precio de venta?





444









pasos, en primer lugar comprender o entender el problema. ¿Qué tuvieron que hacer para



Profesor: Es decir, organizamos la información, para lo cual podemos utilizar un a tabla

que es de mucha ayuda para separar los datos de las incógnitas.




Alumnos: Sumamos todas las cantidades.





verificamos que esta suma está bien hecha?




445

Jueves, 24-01-08

Profesor: En la última clase estuvimos trabajando con la adición de números naturales,

¿qué aspectos se estudiaron?

Alumnos: Resolvimos problemas, utilizamos ejemplos y escribimos conceptos de suma.

Observador: El profesor hace un recuento de la clase anterior.

Profesor: ¿Cómo escribimos formalmente a la adición de números naturales?, es decir, que

símbolos utilizamos para generalizar su concepto.

Observador: Los alumnos no entienden la pregunta y el profesor explica.

Profesor: Cuando digo formalmente, quiero decir que si usamos letras, ¿cómo escribimos la

adición?

Alumnos: a b c+ =

Profesor: a y b ¿qué nombre reciben?

Alumnos: Sumandos y c es la suma

Profesor: Ahora ¿qué pasa con la sustracción? Vamos a elaborar un concepto de resta o

sustracción.

Alumnos: a b c− =








Profesor: ¿Por qué al minuendo se le llama así?

Alumnos: Es la cantidad que disminuye, es decir, se le está quitando lo que indica el

sustraendo.

Profesor: Bien, también debemos tomar en cuenta que en la sustracción en N debe cumplirse

una condición para su resultado pertenezca al conjunto N, si a b c− = , a b≥ , ¿por qué?,

veamos un ejemplo: 8 3 5− = , 8 3> , por eso5 ∈ N, pero ¿qué sucede si efectuamos

3 8− ?

Alumnos: Nos da 5− , un número negativo.

Profesor: Es un número entero, no pertenece al conjunto N. ¿Qué pasa si a b= ?

Alumnos: Nos da cero.

Profesor: Continuamos ahora con la definición del producto, ¿qué es la multiplicación?,

¿qué proceso ejecutamos en esta operación?

Observador: Los alumnos se limitan a leer lo que está en el material de apoyo, el profesor

los interpela, los exhorta a participar con sus propias ideas y utiliza ejemplos cotidianos

para explicar intuitivamente el concepto de la multiplicación.

Profesor: Según los ejemplos explicados ¿qué podemos decir del concepto del producto o

multiplicación?

Alumno: Es una suma que tiene las mismas cantidades.

Profesor: Exacto, es una suma de sumandos iguales. De manera simbólica ¿cómo la

escribimos?

Alumnos: a b c× =

446

Observador: El profesor escribe tres formas , . ,a b c a b c ab c× = = =

Profesor: ¿Qué nombre recibe cada parte de la multiplicación?

Alumnos: a es el multiplicando, b es el multiplicador y c es el producto.

Profesor: a y b también reciben el nombre de factores, es decir, los factores son divisores del

producto, si 3 6 18× = , 3 y 6 dividen exactamente a 18, por eso decimos que “el orden de

los factores no altera el producto” que es la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Observador: Algunos alumnos usan la calculadora para efectuar este producto sencillo, el

profesor observa y detiene por un momento la clase para señalar las condiciones en el uso

de la calculadora, las cuales deben utilizarse para corregir resultados y no depender

totalmente de esa tecnología. Destaca el procedimiento como lo más importante de las

operaciones y exige a los alumnos no colocar el resultado directo de las calculadoras.

El profesor asigna las actividades para ser realizadas durante el resto de la clase de manera

individual, las cuales corresponden a los problemas de aplicación sobre la resta y

multiplicación en N. Los alumnos se dedican a resolver los problemas y acuden

constantemente al profesor para aclarar las dudas. Uno de los problemas era el siguiente:

Un comerciante de la ciudad de Barinas pide 3 toneladas de carne. Primero le mandan

854Kgs., más tarde 123Kgs. menos que la primera vez y después 156Kgs. más que la

primera vez. ¿Cuánto falta por enviarle?

Observador: El problema a pesar de las preguntas de los alumnos la mayoría no tiene

dificultad para resolverlo, sólo tres alumnos no han podido terminar. Luego al concluir el

tiempo asignado para la actividad el profesor pide la participación de un alumno para que

exponga su trabajo en la pizarra.

Profesor: ¿alguien quiere pasar a la pizarra a explicar la resolución del problema?

Observador: Ninguno se atreve a pasar y el profesor señala que todos podemos ayudar a la

persona que pase y les dice que no deben tener miedo. Finalmente un alumno pasa a la

pizarra.

Profesor: Al leer el problema ¿qué entendiste?, ¿qué plan utilizaste?

Alumno: Primero se debe calcular los kilogramos de carne que han enviado y luego restarlo

de las tres toneladas que es el peso inicial. El primer lote es de 854Kg, al segundo le

restamos al primero 123Kg y el tercer envío le sumamos 156Kg al primero, eso nos da

2595Kg. Finalmente efectuamos 3000 2595 405kg kg Kg− = , que es lo que hace falta

por enviarse.

Observador: El alumno expone la información de manera organizada en la pizarra

separando los datos de las incógnitas y el plan diseñado lo ejecuta de manera coherente

conjuntamente con las operaciones involucradas. El profesor luego de monitorear el trabajo

de los alumnos destaca los logros en la mayoría del grupo en las estrategias utilizadas para

resolver el problema de aplicación.

Profesor: ¿Alguien quiere hacer alguna pregunta?

Observador: Los alumnos no formulan preguntas y el profesor explica que el problema era

sencillo por lo que no representó mayor dificultad, luego asigna otro problema ya resuelto

en el material didáctico para que lo analicen y usen otra forma para resolverlo. El problema

es el siguiente:

447

Si me sacara 25.000.000 Bs. en el kino, tendría 56.340.000Bs. Si mi hermano tiene 9.360.000

menos que yo, y mi prima 8.930.000 Bs. menos que mi hermano y yo juntos, ¿Cuánto

tenemos entre los tres?

Los alumnos se dedican a trabajar y piden asesoría al profesor, quien responde las

preguntas e inquietudes. Cabe destacar que este segundo problema ofrece mayores

dificultades a los estudiantes, aunque organizan la información, no discriminan el

procedimiento a seguir y no diseñan plan alguno porque no precisan las operaciones

aritméticas que se necesitan y en algunos casos existen errores en el cálculo de las

sustracciones.

Finalmente el profesor pide nuevamente la participación de un alumno para que exponga su

trabajo.

Profesor: Por favor vamos a escuchar la exposición de su compañera y presten atención.

Alumna: Comienzo por ordenar los datos del problema y la incógnita.

Observador: la participante ordena en la pizarra la información y el profesor va orientando,

corrigiendo y simultáneamente formula preguntas al resto de los alumno porque falta

precisión en los datos que se escriben del problema.

En estos momentos se destaca el uso de la nueva moneda y se hace la conversión hacia

bolívares fuertes, situación que supimos aprovechar para relacionar las operaciones

aritméticas con la vida cotidiana.

Alumna: Como dice que mi hermano tiene 9.360.000Bs, es decir, 9.360 Bs. F menos que yo

entonces resta y nos resulta 21.980 Bs. F.

Profesor: El problema nos plantea operaciones de adición y sustracción.

Alumna: Luego calculamos el dinero de la prima, que es 8.930 Bs. F menos que la cantidad

de dinero que tienen los hermano, eso da .44.390Bs F. Luego sumamos las tres cantidades

para saber el total de dinero, que es igual a 97.710 Bs. F.

Profesor: Muy bien, ¿alguna pregunta?

Observador: Los alumnos expresan comprensión de la resolución del problema y el profesor

asigna una vez más el estudio y resolución de los demás problemas del material didáctico,

especialmente los relacionados a la multiplicación y división en N.

448

Viernes, 25-01-08

Observador: En esta sesión el profesor trajo al aula una presentación de diapositivas en el

programa Power point y un video relacionado con la importancia de las matemáticas en

nuestra vida, titulado. “El pato Donald en el mundo de las Matemáticas” editado por Walt

Dysney en 1959.

El profesor inicia con la explicación de la relación de inclusión entre los conjuntos

numéricos utilizando un diagrama de Venn.

Profesor: Ya hemos trabajado la parte teórica del conjunto de los números naturales, hoy

vamos a complementar con esta información lo que nos falta. En la primera diapositiva

tenemos un diagrama para representar los conjuntos numéricos, ¿qué diagrama es?

Alumnos: Es un diagrama de Venn, con los conjuntos N, Z, Q, I, R, el conjunto de los

números reales los contiene a todos.

Profesor: ¿Qué representa cada una de las letras?

Observador: Los alumnos no responden, no identifican el símbolo de cada conjunto, sólo al

conjunto N. Luego el profesor explica el significado de cada letra N, Z, Q, I, R,

Profesor: Así tenemos que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, y Q ∪ I = R, poco a poco vamos a ir

estudiando esta relación, por los momentos sigamos con el conjunto N. ¿Qué operaciones

tenemos en la siguiente diapositiva?

Alumnos: Las operaciones de adición y sustracción.

Profesor: ¿Qué otras operaciones se efectúan en el conjunto N?

Alumnos: Multiplicación, división.

Profesor: También tenemos a la potenciación y a la radicación. En la sustracción tenemos

dos partes minuendo y sustraendo. ¿Por qué reciben estos nombres?

Alumnos: El minuendo es el que se le está quitando y el sustraendo es lo que vamos a restar.

Profesor: ¡Muy bien! , cada nombre tiene su razón, de este modo es fácil comprender cada

concepto.

En la multiplicación se dice que efectuamos una suma de sumandos iguales, ¿por qué se dice

esto?, ¿que hacemos cuando multiplicamos?

Observador: Los alumnos no responden y el profesor usa las multiplicaciones de la

diapositiva para explicar porque los estudiantes no parecen conocer estos aspectos teóricos

de las operaciones aritméticas.

Se continúa con las partes de la multiplicación, el uso del término factor o divisor. Los

alumnos se concentran más en tomar notas, el profesor les interrumpe y les informa que esa

información ya la tienen en el material didáctico, por lo que no es necesario que copien

porque es más importante escuchar la explicación, sin embargo les promete que le enviará la

presentación de diapositivas por correo electrónico.

Profesor: En la división ¿qué partes identificamos?

Alumnos: Dividendo, divisor, cociente y el resto.

Observador: El profesor utiliza ejemplos adicionales y hace hincapié en el algoritmo de la

división, puesto que es la primera formula que se presenta en la aritmética. El profesor

sugiere que tomen nota de este algoritmo.

Los estudiantes participan con el profesor en la presentación y discusión de las demás

operaciones de la potenciación y radicación.

Profesor: En las operaciones de adición y multiplicación se cumplen algunas propiedades

las cuales pueden conseguir en sus materiales de apoyo. La primera propiedad es la

conmutativa, ¿qué significa la palabra conmutativa o conmutar?

449

Alumno: Intercambiar cosas

Profesor: Exacto, por eso tenemos que independientemente de la ubicación de los sumandos

la suma nunca se alterará. ¿Alguien podría explicar esta propiedad con sus propias

palabras?

Alumno: El orden de los factores no altera el producto.

Profesor: Hemos dicho que los factores son partes de la multiplicación, ¿qué pasa con la

suma? ¡lo acabo de decir!

Alumno: El orden de los sumandos no altera el producto.

Profesor: ¡El orden de los sumandos no altera la suma¡

Observador: El profesor continúa explicando cada propiedad utilizando el recurso de la

diapositiva, ejemplos ilustrativos y la técnica de la pregunta-respuesta para lograr la

participación de los alumnos.

Profesor: ¡Alguien podría interpretar los símbolos que tenemos en la diapositiva!

Observador: Los alumnos sólo comprenden algunos símbolos y el profesor traduce lo que

corresponde a la existencia del elemento neutro para la adición en N.

Profesor: ¿Cómo escribimos en el lenguaje simbólico la propiedad conmutativa de la

adición y multiplicación?

Observador: No responden y el profesor nuevamente interviene.

Profesor: Hasta aquí tenemos todas las propiedades para la adición y la multiplicación en el

conjunto de los números naturales, queda como asignación para ustedes elaborar un mapa

conceptual, diagrama o esquema para resumir este tema para que les ayude a comprenderlo

mejor.

A continuación vamos a presentar un vídeo que se titula “El pato Donald en la tierra de las

matemáticas” el cual ilustra de manera pedagógica la relación de las artes plásticas,

naturaleza, música, los deportes y la tecnología con las matemáticas, por favor presten

atención que hay otra asignación con respecto a este material, la cual consiste en elaborar

un ensayo destacando las partes que ustedes consideren más importantes del video.

Esperemos que este vídeo les responda la pregunta de ¿Por qué estudiamos matemática

desde que estamos en la escuela?

Observador: Se da inicio a la transmisión del video, los alumnos se concentran y toman

nota. Al finalizar el video los alumnos aplauden y el profesor los invita a exponer sus

opiniones con relación al material audiovisual.

Profesor: Ahora vamos a exponer nuestras sus opiniones con relación al video, ¿quién desea

comenzar.






matemáticas porque nos ayuda a comprender que nuestra vida cotidiana. Cuando

compramos, vendemos, jugamos, escuchamos música sin querer estamos en presencia de la

matemática y de esta manera es menos estresante para nosotros.


Alumno: Técnicamente las matemáticas están en todas partes así nos las veamos pero en



450






Profesor: ¡Muy bien!, todas nuestras ideas, pensamientos y razonamientos los ordenamos

mejor gracias al estudio de la Matemática.

Alumno: La música tiene mucho que ver con la Matemática, muchos piensan que estudiando

las artes evitan las matemáticas pero no se dan cuenta que la pintura y la música dependen

mucho de las medidas.

Observador: Los alumnos hacen algunas preguntas sobre las asignaciones y se retiran.

451

Jueves 31-01-08

Profesor: Hoy vamos a continuar con las propiedades de la potenciación, simplificaremos

algunas expresiones utilizando estas propiedades, cuando digo simplificar quiero decir que

vamos a resolver las operaciones indicadas en el ejercicio hasta llevarlo a la mínima

expresión matemática posible o resultado final. En otras palabras, la simplificación consiste

en convertir una expresión más compleja en otra más sencilla.

Debemos tener cuidado con estas expresiones porque en la mayoría de los casos por los

procedimientos erróneos lo que se hace es complicar aún más la expresión original.

En el ejercicio se deben indicar también las propiedades que se están aplicando en cada

paso del procedimiento, esto lo hacemos con la finalidad de comprender mejor la función de

cada propiedad en la resolución del mismo.



( ) ( ) ( )( ) ( )

33 2 2

2 3 3 2

3 25 2 3

2 3 2 3

2 3 2 3

¡Bien!, ¿por dónde quieren comenzar?





primer paso?





cada potencia de una potencia y el resultado lo escribe el profesor en la pizarra:

( )( )( )( )( )

36 6 6 2

5 6 6

2 3 2 3

2 3 2 3

Profesor: El siguiente paso ¿cuál es?

Alumnos: Eliminando el corchete multiplicamos los exponentes, seis por tres y nos da dos a

la dieciocho, 3 a la dieciocho…

Profesor: Pero también si nos detenemos a observar el ejercicio y razonamos un poco,

podemos efectuar las operaciones dentro del corchete para tener una expresión más sencilla

de resolver, ¿qué propiedad aplicamos en las primeras potencias de la parte superior?

Alumnos: Colocamos las mismas bases y sumamos los exponentes.

Observador: Los alumnos no señalan el nombre de la propiedad.

Profesor: Es un producto de potencias de igual base, así nos quedaría el siguiente resultado.

Alumnos: Queda dos a la doce y tres a la ocho. Abajo dos a la once y tres a la siete.

Observador: El profesor escribe el resultado y propiedad aplicada.

31 2 8

1 1 7

2 .3

2 .3

Producto de potencias de igual base.

452

Profesor: Entonces tenemos esta expresión más simple, ahora ¿qué propiedad puedo aplicar

para resolver las operaciones restantes?

Observador: Ningún alumno responde.

Profesor: ¿Qué operación tenemos ahí?

Alumnos: Es una división, entonces restamos los exponentes.

Profesor: ¿Cómo queda el resultado?

Alumnos: Dos a la uno y tres a la uno.

Observador: El profesor escribe [ ]32 .3 y vuelve a preguntar el nombre de la propiedad.

Alumnos: Es una división de potencias de igual base.

Profesor: Finalmente eliminando el corchete, ¿nos quedaría?

Alumnos: dos a la tres por 3 a la 3.

Profesor: El resultado es entonces: 3 32 .3 8.27 216= = ¿qué nombre recibe este quinto y

último paso?

Alumnos: Calculamos las potencias y multiplicamos.

Profesor: Ahora para los que prefieren empezar eliminando el corchete, este procedimiento

es perfectamente válido, sólo que vamos a tener exponentes mayores en cada base.

En la parte superior nos queda, dos a la dieciocho por tres a la dieciocho por dos a la

dieciocho por tres a la seis. ¿En la parte inferior?

Alumnos: Dos a la quince por tres a la dieciocho por dos a la dieciocho por tres a la tres.

Profesor: Entonces ¿Qué propiedades hemos aplicado?

Observador: Los alumnos no responden, la mayoría sabe aplicar las propiedades pero no las

identifica por su nombre.

Profesor: Hemos aplicado potencia de un cociente y potencia de una potencia de manera

simultánea.

Observador: El profesor les da un tiempo para que los alumnos tomen nota de la clase.

Durante las clases y principalmente durante la explicación de los ejercicios muchos de los

alumnos se dedican a escribir y no prestan atención ni se concentran en el procedimiento de

resolución.

Alumno: ¿Por qué todas sus clases son así?

Profesor: ¿Cómo así?

Alumno: Todo el mundo callado, los alumnos están en silencio y no hay desorden.

Profesor: Debe ser que en la clase de Matemática se entretienen pensando y razonando

Alumno: Bueno en las otras clases la situación es diferente, nos portamos de manera

desordenada y hablamos demasiado.

Profesor: Muchachos la disciplina en el aula depende mucho del ejemplo que dé el profesor

o la profesora y esto lo deben comprender ustedes como estudiantes de educación. Si el

profesor no indica algunas reglas o contrato entre él y los alumnos en cuanto a las normas

es muy difícil que se efectúe un trabajo óptimo.

Particularmente les felicito por el comportamiento que han demostrado durante todo el

semestre espero que sigan así no sólo en Matemática sino también en el resto de las

asignaturas.

Profesor: Continuamos ahora con la última operación aritmética que es la radicación.

Cuando calculamos la raíz cuadrada o cúbica de un número, ¿qué procedimiento estamos

ejecutando?

453

Observador: Ningún alumno responde y utilizan la calculadora para determinar el resultado

de las raíces. El profesor explica el concepto de la radicación de manera intuitiva.

Profesor: Lo que hacemos al calcular la raíz cuadrada de un número se resume en encontrar

otro número que multiplicado dos veces por sí mismo sea igual al número que se le está

calculando la raíz, por ejemplo:

3

4 2 2 2 4

16 4 4 4 16

8 2 2 2 2 8

= ⇔ × =

= ⇔ × =

= ⇔ × × =

Observador: Al determinar las raíces de los ejemplos anteriores algunos alumnos todavía no

comprenden el concepto y utilizan la suma para encontrar los resultados, es decir, la raíz de

16 respondieron 8. Un alumno utiliza la calculadora pero determina la raíz cuadrada de 8,

lo que evidencia el desconocimiento de la calculadora científica, luego el profesor utiliza

esta experiencia para diferenciar los números naturales de los irracionales.

Profesor: Como podemos observar la radicación es una operación inversa de la

potenciación. En la potenciación calculamos la potencia de por ejemplo 32 8= , en la

radicación tenemos que encontrar la base 3 8 2=

Observador: Los alumnos toman nota. El profesor explica y orienta a los alumnos la

asignación nº 13 del material didáctico para entregarla la próxima clase.

Asignación N° 13: Realiza un resumen de los aspectos estudiados hasta el momento, para

ello se recomienda utilizar esquemas, diagramas o mapas conceptuales. A continuación se

ha elaborado un mapa conceptual para resumir el tema de los números naturales. Puedes

modificarlo de acuerdo a tu criterio, el objetivo es que elabores tu propio mapa, esquema o

diagrama.

Luego pide a los estudiantes estudiar e investigar las propiedades de la adición y

multiplicación del conjunto N y formula algunas preguntar para verificar los conocimientos

sobre el tema, las cuales son respondidas por la mayoría.

Profesor: ¿Qué propiedades se cumplen en la adición y multiplicación?

Alumnos: Propiedad conmutativa, asociativa, elemento neutro en la adición.

Profesor: ¿En la multiplicación?

Alumnos: Propiedad conmutativa, asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva.

Alumno: ¿Vamos a realizar un mapa conceptual de las propiedades?.

Profesor: No sólo de las propiedades sino también de todo el contenido que hemos estudiado

hasta los momentos. Fíjense que en el mapa que está en el material contiene todo esos

aspectos.

Observador: El profesor indica también el estudio del material, especialmente la resolución

de los ejercicios y problemas propuestos como parte fundamental en el aprendizaje.

Profesor: Vamos a repasar estos dos conceptos, números primos y compuestos. Esta

información ya la habíamos estudiado en la unidad pasada. ¿Quién recuerda qué es un

número primo?

Alumno: Es un número que se divide sólo entre el mismo número y la unidad.

Profesor: Exactamente, tienen sólo dos divisores, la unidad y ellos mismos. Por ejemplo si

seguimos la secuencia de los números naturales el primer número primo que encontramos es

el dos.

454

Alumnos: También el 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37…

Profesor: ¡Muy bien!, ahora ustedes les queda como asignación indicar todos los números

primos menores que 100.

Ahora ¿Cuáles son los números compuestos?

Alumno: Tienen más de dos divisores

Profesor: ¡Muy bien!, son los que no son primos, cuando construyan la tabla señalando los

primos los demás serían los números compuestos.

Observador: Los alumnos toman notas y otros se acercan al profesor para preguntar sobre el

trabajo asignado.

Profesor: Tenemos otros conceptos sencillos que estudiar, estos son el de múltiplos y

divisores de un número natural. Para que lo hagamos más práctico realicen la asignación

nº16 que dice:

“Asignación N° 16: Determinar los divisores de los siguientes números naturales:

6,8,9,12,16,18,21,22,25,26,27,36,y 45”.

Profesor: ¿Qué significado tiene la letra Z en los sistemas numéricos? O ¿qué significa

conjunto Z?

Alumno: Es el conjunto de los naturales.

Alumno: No, son los enteros

Profesor: Seguimos con el conjunto de los números enteros, que se identifica con la letra Z,

que tiene su origen en la palabra alemana zahl que significa número.

Observador: El profesor expone una breve reseña histórica de los números negativos y sus

diferentes aplicaciones, sin embargo, la forma expositiva que se utiliza como procedimiento

de enseñanza no genera motivación y atención en los alumnos.

Profesor: La representación gráfica de los números enteros, ahora no sólo tiene a los

naturales, aparecen en el lado izquierdo de la recta, otro tipo de números. ¿Cuáles son?

Alumnos: Los números negativos.

Profesor: Para observar la aplicación práctica de estos números tenemos el problema

siguiente:

“Luís tiene hace un mes una deuda de 3.500.000 Bs. Con un prestamista que le cobra 10%

de interés mensual, además tiene dos recibos de electricidad y teléfono pendientes de 85.000

Bs. y 55.000 Bs. En el mes de diciembre decide cancelar sus deudas y ha cobrado 2.500.000

Bs. En aguinaldos. ¿Cuál es la situación financiera de Luís?”.

Profesor: Tienen 10 minutos para resolverlo y se organizan en pequeños grupos no mayores

de tres personas. Recuerden que pueden utilizar sus propias estrategias o seguir las que

hemos utilizado en el material didáctico y las clases.

Observador: El profesor resuelve el problema con la participación del grupo de estudiantes

y hace preguntas para verificar la comprensión del procedimiento y estrategias utilizadas.

Destaca también la diferencia entre el procedimiento y operaciones aritméticas, porque en

los problemas su resolución debe tener una estructura coherente sin importar el número de

pasos que se utilicen, de esa manera es que se ordena el conocimiento matemático.

Observador: Aunque el problema no ofreció dificultad para la mayoría de los alumnos, el

profesor coloca este otro problema para profundizar sobre el uso de los números enteros.

Un submarino está en la superficie del océano, desciende 100 metros, al cabo de 5 minutos

desciende 150 metros, a los 10 segundos su capitán decide ascender 180 metros y finalmente

455

a las 2 horas hace un último descenso de 480 metros. ¿ A qué distancia se encuentra de la

superficie?

Los estudiantes se dedican a resolverlo y buscan la asesoría del profesor para aclarar sus

dudas.

Alumno: ¿Esto también va para la prueba escrita?

Profesor: ¡Por su puesto!

Observador: Los alumnos expresan preocupación por la cantidad de información a ser

evaluada en la prueba de conocimientos.

Alumno: Profesor espero que en esa prueba sea flexible con nosotros.

Profesor: ¿Todavía quieren más concesiones? Pienso que con los talleres pueden tener una

gran ayuda sólo tienen que aprovecharla al máximo.

Alumnos: ¿Cómo hacemos para sumar?

Profesor: Es un problema de distancias tanto positivas como negativas, por ejemplo las

distancias bajo la superficie del mar se les consideran negativas, al igual bajo el suelo

cuando necesitamos indicar la profundidad de un taladro de un pozo petrolero.

Alumno: ¿Vamos a sumar las distancias que asciende y luego las que desciende?, ¿y luego

qué?

Profesor: Exacto coloquen con signos positivos los metros que asciende el submarino y con

signo negativo los metros que desciende, al efectuar esta suma de números enteros tenemos

la posición del mismo.

Observador: Los alumnos efectúan las operaciones del problema y entregan sus trabajos.

456

Jueves, 07-02-08

Profesor: Tenemos en la pizarra un esquema para resumir todos los aspectos que hemos

estudiado del conjunto Z, recuerden que estamos utilizando mapas conceptuales, esquemas y

diagramas como estrategias de organización de la información que nos ayudan en el

aprendizaje de los conceptos, definiciones y propiedades. ¿Alguien podría dar ejemplos del

uso de los números negativos en la vida cotidiana?

Alumnos: Para escribir las deudas, para las temperaturas muy frías.

Profesor: ¿Qué zonas geográficas tienen temperaturas bajo cero?

Alumnos: En Mérida, en el Pico Bolívar.

Profesor: En esta época del año también hay temperaturas bajo cero en los países del

Hemisferio norte tales como Estados Unidos de Norte América, y en Europa países como

Alemania, España, Italia, Francia… Ahora ¿Qué civilización utilizó por primera vez los

números negativos?


Profesor: Es un tema que pueden investigar, pero en la clase pasada explicamos que fueron

los chinos hacia el 220 A. C. También utilizamos la recta para representar al conjunto de los

números enteros. ¿Quién pasa a la pizarra a escribir esta representación gráfica?

Alumnos: Los negativos están a la izquierda y los positivos a la derecha.

Observador: Los alumnos prefieren contestar desde sus asientos y el profesor coloca las

respuestas en el pizarrón. Con el esquema el profesor hace un resumen de todos los aspectos

estudiados del conjunto Z.

Profesor: En el día de hoy vamos a trabajar con operaciones en Z, este ejercicio que

tenemos aquí se le llama suma algebraica porque tenemos que considerar las expresiones

tanto positivas como negativas.




correcta.




cada grupo.


Profesor: Entonces ¿Cómo queda?, ¿Qué pasa con los números que tienen igual signo?





Profesor: Colocamos el signo de la expresión de mayor valor absoluto. Vamos a restar

ahora en el conjunto Z, ¿cómo resolvemos esta operación? 2 ( 8)− − − =

Alumnos: Multiplicamos los signos y queda 2 8 6− + =

Profesor: Muy bien, recordemos la ley de los signos, signos diferentes se restan y colocamos

el signo del número con mayor valor absoluto.

Ahora que pasa con el producto de números enteros, por ejemplo: ( 2)(3)( 5)− − =

457

Alumnos: Multiplicamos los signos y luego las cantidades, es decir, ( 2)(3)( 5) 30− − = − .

Profesor: Ustedes nunca se han preguntado el porque de la ley de los signos, ¿por qué

menos por menos es más o más por menos es menos?, esta ley es para la multiplicación y

división.

Observador: El profesor hace un resumen en una tabla de la ley de los signos y utiliza el

siguiente ejemplo práctico del material didáctico:

El amigo (+) de mi amigo (+) es mi amigo (+)

El amigo (+) de mi enemigo ( − ) es mi enemigo ( − )

El enemigo ( − ) de mi amigo (+) es mi enemigo ( − )

El enemigo ( − ) de mi enemigo ( − ) es mi amigo (+)

Profesor: El siguiente ejemplo: ( 1)( 8)( 3)− − − = , ¡está sencillo!

Alumnos: 24−

Profesor: En la división ¿cómo resolvemos las operaciones?, por ejemplo ( 18) ( 3)− ÷ − = ,

aquí también aplicamos la ley de los signos, ¿menos entre menos?

Alumnos: Más y 18 3 6÷ = , nos queda 3 positivo.

Profesor: Entonces de esta manera hemos estudiado las operaciones de adición, sustracción,

producto y división en el conjunto Z.

Nos queda la potenciación en donde se aplican las mismas propiedades de la potenciación

en, N, sólo hay que tener en cuenta las bases negativas, por ejemplo:

Si tengo ( )22− , ¿eso igual a?

Alumno: 4

Profesor: ¿Cómo llegaron a ese resultado?

Alumnos: Multiplicamos ( ) ( )2 2 4− − =

Profesor: Ahora si tengo ( )32− , ¿cuál es el resultado?.

Alumno: Queda negativo

Profesor: ¿Por qué?

Alumno: Al multiplicar tres veces el signo menos, nos da negativo ( ) ( ) ( )2 2 2 8− − − = −

Profesor: ¿Qué conclusión podemos establecer con las bases negativas?

Alumno: Si el exponente es par los da positiva y si es impar el resultado es negativo.

Profesor: Entonces podemos escribir lo siguiente: a∀ ∈ℤ , se cumple que si n es par y

0 0na a< ⇒ ≥ o si n es impar y 0 0na a< ⇒ <

Observador: El profesor orienta a los alumnos en la interpretación del lenguaje simbólico

para expresar la propiedad y luego explica más ejemplos para que el grupo comprenda su

aplicación.

Profesor: Vamos a resolver los ejercicios siguientes para ilustrar mejor las propiedades de

la potenciación en Z:

( ) ( )( )( )2 22 3 2 3− − − − ¿qué propiedad puedo aplicar?

Observador: No hay respuesta de los alumnos

Profesor: Hemos dicho que se aplican las mismas propiedades, en el ejercicio tenemos un

producto de potencias de igual base, después de multiplicar ¿cuáles son los exponentes de -2

y -3?

458

Alumno: ( ) ( )3 32 3− − , que es igual a ( )( )8 27 216− − = .

Profesor: Luego tenemos este otro ejemplo: ( ) ( )( ) ( )

3 5

2 3

2 3

2 3

− −=

− −, ¿qué propiedad se aplica?

Alumnos: Restamos los exponentes y queda ( ) ( )22 3 18− − =

Profesor: Muy bien, resuelvan ustedes el siguiente: ( )

( )

33

22

2

2

− = −

Alumnos: Ahí aplicamos potencia de una potencia y es igual a ( )( )

9

4

2

2

−

−, luego es una

división y restamos los exponentes ( )52 32− = − .

Observador: Generalmente los alumnos que se ubican en las primeras filas de la clase

contestan y participan en las clases de tipo expositiva que el profesor desarrolla, pero este

comportamiento se observa también cuando trabajan en pequeños grupos, son los mismos

alumnos que mantienen su participación tanto en el trabajo de los talleres como en las

preguntas que formulan al profesor.

Profesor: Este último ejercicio, nos ofrece una combinación de las distintas propiedades:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

23 2 2 3

4 3 2

2 3 2 3

2 3 3

− − − −=

− − −

, ¿Qué propiedades se aplican?, ¿cuál sería el primer

paso?

Observador: Los alumnos responden el resultado de cada operación pero no utilizan el

nombre de la propiedad involucrada, al final el profesor les concede un tiempo para que

resuelvan el ejercicio propuesto y verifica el progreso de cada alumno.

Al terminar el tiempo el profesor inicia la discusión del ejercicio y un alumno pasa a la

pizarra. El ejercicio se desarrolla prácticamente con la participación abierta del resto del

grupo y del profesor quien va orientando y corrigiendo los errores. La mayoría demuestra

un relativo aprendizaje en el uso de las propiedades de la potenciación.

Profesor: ¡Bien!, ¿Qué hicieron en el primer paso?

Alumnos: Ubicamos las potencias de igual base y sumamos exponentes.

Observador: El alumno escribe en la pizarra ( ) ( )( ) ( )

25 5

4 5

2 3

2 3

− −=

− −

, luego el alumno continúa

y escribe ( ) ( )2

02 3 − − =

Profesor: ¿Cuáles propiedades aplicamos?

Alumno: Producto y división de potencias de igual base. Luego nos queda…

Profesor: ¿Qué dicen ustedes?

Alumnos: Sí profesor, luego menos tres a la cero es uno y ( ) ( )2 22 2 4− = − =

Profesor: ¿Alguien tiene dudas o quiere hacer alguna otra pregunta?

459

Observador: El grupo de estudiantes manifiestan satisfacción por la explicación del ejercicio

y no hacen más preguntas. Inmediatamente se coloca otro ejercicio que corresponde al uso

de signos de agrupación para efectuar operaciones combinadas.

Profesor: Vamos a revisar ¿cómo están con la eliminación de signos de agrupación?

Resuelvan el siguiente ejercicio:

( ) ( ) ( ) ( )( ){ }10 52 3 1 2 3 2 3 2 5 5 1 − − − − + ÷ − + + − −

Observador: Los alumnos consultan con frecuencia al profesor y verificamos problemas en

la eliminación de signos de agrupación, puesto que no comprenden qué operación resolver

primero y cometen errores como el de sumar al resultado de ( )103 2− + 5− antes de

efectuar la división. Al final el profesor tiene que recurrir nuevamente a la clase expositiva

para explicar el ejercicio y formula preguntas para verificar la comprensión de cada paso en

el procedimiento.

Profesor: Podemos iniciar eliminando las llaves multiplicando menos dos por menos tres,

sin embargo si revisamos las operaciones internas que están en los paréntesis podemos

resumir un poco el trabajo, veamos: ¿cuáles son los resultados de las operaciones entre los

paréntesis?

Alumnos: ( )( ) ( ) ( )( ){ }10 52 3 1 1 1 5 4 − − − − ÷ − + −

Profesor: Entonces resolviendo las potencias y productos nos queda:

( )( ) ( ) ( )( ){ } ( ) ( ) ( ){ }2 3 1 1 1 5 4 2 3 1 1 20− − − ÷ − + − = − − − ÷ − + − , ahora ¿cuál

es el resultado de las operaciones que encierra el corchete?

Alumnos: [ ]{ } [ ]{ }2 3 1 20 2 3 19− − − = − − −

Profesor: ¿Qué indican las llaves y el corchete?

Alumnos: Restamos.

Profesor: Es una multiplicación, es un error que cometen muchos de ustedes, entonces si

efectuamos el producto ¿nos quedaría igual a?

Alumnos: 114−

Alumnos: Es negativo ¿por qué todos son negativos?

Profesor: Es la ley de los signos, ¿qué pasa?, ¡ya lo habíamos explicado!, tienen que revisar

más el material de apoyo. Ahora vamos a utilizar 10 minutos para que resuelvan el siguiente

ejercicio.

Observador: Los alumnos empiezan a resolver el ejercicio de la misma naturaleza que el

anterior y los alumnos siguen formulando preguntas porque prevalecen los problemas en la

eliminación de los signos de agrupación. El profesor retoma la clase y con la participación

de los estudiantes lo resuelve. El bajo nivel de aprendizajes básicos obstaculiza el trabajo de

la mayoría de los alumnos, aunque son contenidos que debieron aprender durante la

Educación Básica parece que es la primera vez que los estudian.

El profesor asigna el estudio de algunos aspectos que se estudiarán en la próxima clase.

460

Lunes, 11-02-08

Profesor: Vamos estudiar en la clase de hoy el conjunto de los números racionales, el cual lo

simbolizamos con la letra Q, primero discutamos algunos conceptos, ¿qué investigaron del

concepto de fracción?

Observador: Sólo dos estudiantes participan y exponen un concepto de fracción. El resto se

limita a escuchar la explicación del profesor.

Profesor: ¿Cómo representamos una fracción?

Observador: No hay respuesta de los alumnos y el profesor utiliza un rectángulo lo divide en

cuatro partes iguales para explicar el concepto de fracción. Luego hace preguntas con

relación a las partes de una fracción, los alumnos logran identificarlas sin problemas.

El profesor utiliza el concepto de fracción para introducir el concepto de número racional.

Profesor: Vamos a resolver este pequeño problema: Busquemos un número que multiplicado

por dos sea igual a uno,¿existe ese número?, ¿cómo planteamos este problema? Recuerden

las estrategias de resolución de problemas que hemos usado. ¿Cuál es la incógnita?, ¿cuáles

son los datos?

Alumnos: ¿Es un número que multiplicado por dos sea igual a uno?

Profesor: Sí , ahora nos queda así: x : es el número buscado, entonces al multiplicar por

dos nos queda 2 1x = y 1

2x = , es decir, es una fracción por eso a simple vista mucho de

ustedes no encontraban el número porque estaban pensando en números naturales o enteros.

Podemos ver que es una situación que nos llevan a la necesidad de utilizar números

fraccionarios, los cuales tienen su expresión decimal.

Busquemos ahora ejemplos de la vida cotidiana que tengan relación con las fracciones,

¿investigaron? ¿Quiénes trajeron ejemplos?

Alumna: Este puede ser uno, faltan un cuarto para las tres.

Profesor: Cada fracción tiene su expresión decimal, ¿cuál es la expresión decimal de tres

cuartos?, cuántos céntimos tiene tres cuartos de un Bolívar?

Observador: No hay respuesta y el profesor efectúa la división correspondiente para

explicar la forma de hallar la expresión decimal.

Profesor: ¡Simple!, dividimos tres entre cuatro, ¿cuál es el resultado?

Alumno: 0,75

Profesor: Entonces, ¿cuántos céntimos son?

Alumno: Son 75 céntimos de Bolívar.

Profesor: ¿Qué fracción representan 50 céntimos?

Alumnos: La mitad, es decir, un medio.

Profesor: En el ejemplo de la hora, ¿cuántos minutos faltan para las tres?

Alumno: Son 15 minutos que son la cuarta parte de una hora.

Profesor: ¡Perfecto!, discutamos otros ejemplos, ¿quién desea participar?

Alumno: Cuando dividimos una torta en cuatro partes iguales en una fiesta.

Profesor: Sí, pero en una fiesta hay más de cuatro personas, si hay 8 personas ¿qué fracción

es cada pedazo?, ¿si hay 10?, ¿si hay 12?

Alumnos: Si la repartimos entre 8 personas sería un octavo; diez, un décimo o doce en

doceavos.

Otro ejemplo es en el uso de mediadas para líquidos, siempre compramos un cuarto de litro,

medio litro o un litro, porque son los recipientes más usados.

461

Profesor: En la actividad nº 1 del material identificamos situaciones de la vida cotidiana en

las que se utilizan números naturales, ahora vamos a identificar también aquéllas que

utilizan números racionales o decimales.

Observador: Los alumnos identifican cada situación y el profesor orienta para que

justifiquen sus respuestas.

Con ayuda del material didáctico el profesor les indica las formas de representar al conjunto

de los racionales, por un lado señala su determinación por extensión y por otra su

representación gráfica utilizando la recta numérica.

Los alumnos establecen la relación entre cada fracción con un punto de la recta numérica,

es decir, ubican de manera correcta cada expresión decimal de la fracción respectiva.

Al final de la discusión sobre la noción de número racional, ejemplos y representación

gráfica, el profesor escribe la definición más formal usando la notación por comprensión de

conjunto y explica su significado.

Profesor: La definición formal de número racional la escribimos de la manera siguiente:

Q={a

b/a, b∈y b≠0} ¿Por qué b es diferente de cero?

Observador: Los alumnos no entienden la pregunta.

Profesor: Si dividimos entre cero ¿qué sucede?


Profesor: Están seguros de lo que dicen, efectúen un ejemplo y observen qué sucede.

Alumnos: No se puede hacer, además en la calculadora marca error.

Profesor: Entonces ¿cuál es la conclusión?

Alumnos: No se puede dividir entre cero, por eso b el denominador no puede ser cero.

Profesor: Vamos a trabajar con la representación gráfica y numérica de fracciones, para

esto disponemos de 10 minutos.

Observador: los ejercicios se refieren a la relación entre expresión numérica y gráfica de

una fracción, por ejemplo: Utilizar un rectángulo para representar dos quintos o identificar

qué fracción representa una sección de un círculo.

El profesor orienta a los estudiantes para resolver estos ejercicios, la mayoría parece

comprender la relación gráfica-numérica y numérica-gráfica.

Luego continúa la clase con las operaciones entre fracciones, para ello sigue utilizando el

procedimiento socrático para apoyarse en los aprendizajes previos de los alumnos.

Profesor: Vamos a repasar las operaciones entre números racionales, ¿Cómo sumamos dos

fracciones?, ¿qué diferencia hay entre estas sumas? 2 5 4

3 3 3+ + = y

1 3 1

2 4 8+ + =

Alumnos: La primera tienen igual denominador y la segunda suma las fracciones tienen

diferente denominador.

Profesor: Si tienen igual denominador, ¿cuál es el procedimiento para efectuar la suma?

Alumnos: Sumamos los numeradores y se coloca el mismo denominador.

Profesor: ¿Por qué colocamos el mismo denominador?

Observador: Los alumnos no responden y el profesor utiliza la representación gráfica de las

fracciones para explicar.

Profesor: ¿Qué observamos de las figuras?

Alumnos: Todos los rectángulos están divididos en tres partes iguales.

Profesor: Entonces si cada pedazo son terceras partes, lo que hacemos es sumarlos y por eso

queda el mismo denominador.

462

El segundo ejemplo tiene diferentes denominadores, ¿cómo se suman?


Profesor: Determinamos el mínimo común múltiplo de los denominadores, pero ¿quién

recuerda el procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo entre dos o más

números?

Observador: Tampoco participan, luego el profesor hace la descomposición de los números

y pregunta por el nombre del método, ningún alumno responde.

Profesor: Esta forma de calcular el m.c.m. utiliza la descomposición de factores primos de

los números y multiplicamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente

para obtener el resultado. Les recomiendo que investiguen más sobre este aspecto en el

material didáctico o en cualquier otro libro que prefieran, ¡me sorprende que todavía no lo

hayan estudiado!

Observador: El profesor explica el procedimiento ante la mirada un poco pasiva del grupo

de alumnos. Todo parece indicar que los alumnos no recordaban nada sobre el concepto de

mínimo común múltiplo.

Profesor: Esta suma también la podemos resolver gráficamente y haciendo uso de fracciones

equivalentes, por ejemplo 1 2 4

2 4 8= = y

3 6

4 8= , de esta manera tenemos rectángulos

divididos todos en octavas partes.

Observador: El profesor utiliza nuevamente los rectángulos para explicar este procedimiento

Alumno: Entonces podemos sumar todo como si tuvieran igual denominador,

4 6 1 11

8 8 8 8+ + =

Profesor: Exacto, ahora tienen dos maneras de efectuar la adición de fracciones con

diferentes denominadores.

Observador: El profesor continúa con la sustracción y los alumnos participan un poco más,

puesto que ya han comprendido el procedimiento el cual es semejante para sumar y restar.

Con relación a la multiplicación y división de fracciones la mayoría participa, se puede

notar que hay menos dificultades para comprender los procedimientos con relación a los

utilizados en la adición y sustracción.

Profesor: Ahora resolverán los problemas de las asignaciones 20, 22 y 28 del material

didáctico para que pongan en práctica las operaciones de adición, sustracción,

multiplicación y división de números fraccionarios en situaciones de la vida cotidiana.

Observador: Los alumnos intentan formar grupos numerosos y el profesor les recuerda que

son grupos pequeños no mayores de tres estudiantes. El profesor continúa orientando a los

grupos y en algunas oportunidades establece un diálogo informal para establecer más

confianza con los estudiantes. Además ofrece atención individual a los que preguntan sobre

los ejercicios y problemas planteados en el material.

El primer problema es el siguiente: La señora Carmen ha comprado en el mercado 12 y tres

cuartos Kg. de papas, 5 y medio Kg. de tomate, 3 y un cuarto Kg. de cebolla, 4 Kg. de ñame,

6 Kg. de zanahoria y tres cuartos Kg. de ajo. Si cada Kg. se vende por un precio unitario de

1500 Bs. Cuánto ha gastado la Sra. Carmen en verduras y legumbres?

Alumno: ¿Necesito aplicar los pasos que hemos utilizado en los demás problemas?

Profesor: Sí necesitas hacerlo para que te ayuden a organizar la información y tener más

coherencia en lo que haces.

Alumno: Hay números entero y fracciones, ¿cómo hago para sumar?

463

Profesor: Primero intenta comprender el problema, selecciona los datos y sepáralos de la

incógnita, así verás mejor el plan que debes aplicar para resolverlo y recuerda que puedes

resumir operaciones al sumar primero los números naturales y los fraccionarios por

separado luego efectúas la adición entre estos dos, ¿entiendes lo que te explico?

Alumno: Es decir, sumo primero 12Kg.+5Kg +3Kg +4Kg +6Kg y luego

3 1 1 3Kg Kg Kg Kg

4 2 4 4+ + +

Profesor: ¡Exacto!, ahora ¿qué operación hace falta?

Alumno: Sumo los dos resultados y multiplico por el precio de 1500 Bs. o 1,5 Bs F. ¡ese es el

resultado de la compra!

Profesor: Bien ahora puedes ayudar a tus compañeros de equipo con el problema.

Observador: Luego de unos minutos de orientar y monitorear a cada grupo el profesor toma

la palabra y se dirige a todos.

Profesor: Muchos de ustedes todavía tienen dificultades para entender los problemas que se

les plantean, muy pocos de los grupos han dividido en los pasos el problema y han

determinado correctamente el plan de resolución. Necesitan leer bien el enunciado para

establecer las operaciones a efectuar, discriminar o separar correctamente la información

para organizarla en el cuadro, de lo contrario será más complicado para ustedes.

Observador: Algunos de los alumnos piden al profesor que les explique el método para

sumar fracciones con el mínimo común múltiplo, este algoritmo ofrece todavía muchas

dificultades a los estudiantes a pesar de que el profesor lo explicó en clase, esta desarrollado

en el material didáctico y se ofrece ayuda individualizada, todo parece indicar que no hay

evidencia del esfuerzo personal o individual que el estudiante debe hacer para su

aprendizaje.

Profesor: Les recuerdo que la próxima semana es la prueba escrita para que tomen las

previsiones que les corresponde.

Observador: Los alumnos se muestran sorprendidos y manifiestan un poco de rechazo hacia

la actividad de evaluación. El profesor les insiste en el trabajo adicional que deben hacer

con el material para apoyar el aprendizaje de manera individual además de las actividades y

talleres que se han efectuado en el aula de clase.

Con relación a los problemas de las asignaciones 22 y 23 prácticamente todos necesitaron

de la orientación del profesor para resolverlos, se necesita más tiempo y esfuerzo para

lograr que los alumnos utilicen estrategias de aprendizaje que activen el pensamiento lógico-

formal.

Para terminar la clase el profesor asigna a los estudiantes investigar o preparar la

información sobre las propiedades de la adición, multiplicación y potenciación de números

racionales.

464

Jueves, 14-02-08

Profesor: Hoy vamos a estudiar las propiedades de los conjuntos Z y Q, hasta los momentos

sólo hemos resuelto ejercicios y problemas de aplicación. ¿Cuáles propiedades se cumplen

en estos dos conjuntos?, veamos si han utilizado el material didáctico para investigar esto.

Alumno: Elemento neutro, asociativa, conmutativa…

Profesor: Entonces podemos ver que se cumplen las mismas propiedades para la adición y

multiplicación de números naturales, sin embargo existe una propiedad nueva en los enteros,

que es la existencia de inversos aditivos o elementos opuestos, ¡alguien quiere explicar en

que consiste esta propiedad por favor!

Observador: Ningún alumno participa, la forma como revisan el material nos permite

deducir que no investigaron la información. El profesor utiliza algunos ejemplos para

obtener las respuestas.

Profesor: ¿Cuál es el opuesto de 2?

Alumnos: Es menos dos -2.

Profesor: Si tengo -5, ¿Cuál es el opuesto?

Alumnos: Es 5.

Profesor: ¿Qué sucede si sumamos 2 con su opuesto?, es decir, 2 ( 2)+ − =


Profesor: ¿Qué función cumple el cero en la adición?

Alumnos: Es el elemento neutro.

Profesor: Entonces podemos escribir de manera formal que ∀ a∈ Z, 'a /a+ 'a =0, es decir

'a a= − el opuesto o inverso aditivo de a es a− .

En el conjunto Q, ¿cuáles propiedades se cumplen en la adición?

Alumno: También la conmutativa, asociativa…

Profesor: Pueden dar un ejemplo para comprobar la propiedad conmutativa.

Observador: Los alumnos no responden y recurren al ejemplo que está en el material

didáctico.

Profesor: Me preocupa que no participen porque si fuera una pregunta de la prueba

entonces nadie la respondería, deben investigar la información, recuerden que esa es su

responsabilidad.

Alumno: 1 1 1 1

2 8 8 2+ = +

Profesor: ¿Cuánto nos da esa suma?

Observador: Los estudiantes guardan silencio y el profesor explica rápidamente el

procedimiento utilizando mínimo común denominador.

Profesor: De esta manera nos dio 5

8 y así comprobamos la propiedad utilizando un

ejemplo, luego podemos usar el lenguaje simbólico para escribirla de la siguiente forma:

∀ ,a c

b d∈ Q

a c c a

b d d b+ = +

Profesor: Ahora ¿como verificamos la propiedad asociativa?

465

Alumnos: Utilizamos tres fracciones, 2 1 1

3 2 5+ +

Profesor: ¿Cómo las sumo según esta propiedad?

Alumno: Se agrupan usando paréntesis de la siguiente

manera:2 1 1 2 1 1

3 2 5 3 2 5

+ + = + +

Profesor: Sumen ahora por favor y comparen los resultados.

Observador: El profesor revisa la actividad de cada alumno, orienta en caso de presentarse

dificultades y finalmente se resuelve en la pizarra.

Profesor: Con estas explicaciones pueden verificar las propiedades de elemento neutro y

distributiva, porque la existencia de inverso multiplicativo o elemento simétrico vamos a

estudiarla con mayor cuidado, veamos:

Así como en la adición de enteros existen inversos aditivos o elementos opuestos, en la

multiplicación de racionales tenemos inversos multiplicativos que es una propiedad utilizada

para efectuar potencias con exponentes negativos, por ejemplo:

13

2

−

¿Cuál es el resultado

de esta potencia?, ¿quién recuerda el procedimiento?

Observador: Los alumnos generan una pequeña discusión y hacen algunas suposiciones

sobre la respuesta, pero no concretan.

Alumno: Es igual a 3

2−

Profesor: Ese no es el resultado, entonces ¡nadie lo recuerda!, veamos

13

2

−

es el

resultado de dividir

03

1 22

3 3 3

2 2

= = , es decir que

13 2

2 3

− =

, ¿qué cambios se

observan?

Alumnos: El exponente es positivo y se intercambian numerador y denominador.

Profesor: ¿A qué conclusión llegamos?

Alumno: Intercambiamos numerador y denominador y el exponente es positivo.

Profesor: Es decir,

n na b

b a

− =

, ahora ¿cuál es el resultado de

13 3

2 2

−

?

Observador: Los alumnos razonan por unos segundos y no responden.

Profesor:

13 2

2 3

− =

, entonces ¿cuánto es3 2

2 3

?

Alumnos: 6

6 que es uno.

Profesor: En conclusión, podemos decir que el producto de un número racional por su

inverso multiplicativo es igual a uno, es decir siempre nos resulta el elemento neutro de la

multiplicación.

Ahora pregunto ¿cuál es el inverso multiplicativo de uno?

466

Observador: Los alumnos no responden y les describe el proceso para llegar a la respuesta,

además les recomienda profundizar más utilizando los ejercicios del material.

Profesor: ¿Cuál es el inverso multiplicativo de menos uno?, es decir, ( ) 11

−−

Observador: Los alumnos tampoco responden la pregunta y el profesor explica nuevamente

Profesor: Entonces los elementos simétricos tanto de 1 como de 1− son ellos mismos. ¿Cuál

es el inverso multiplicativo de 2?

Observador: los alumnos no responden y el profesor explica que es 1 1

22

− = . Luego utiliza

más ejemplos para lograr la comprensión del procedimiento para obtener el inverso

multiplicativo de números raciones.

Profesor: Vamos a resolver ahora estos dos ejercicios para completar el estudio del inverso

multiplicativo.

Observador: el profesor escribe en la pizarra el ejercicio siguiente:

2 2

3 3

3 1

2 2

3 1

2 2

=

y

pregunta sobre las propiedades de la potenciación que se deben aplicar.

Profesor: ¿Qué observamos en las potencias? ¿hay bases iguales?¿Están multiplicando o

dividiendo?

Alumno: Las bases son iguales en el numerador y denominador aplicamos división de

potencias.

Profesor: Entonces después de aplicar esa propiedad ¿cuál es el resultado?

Alumnos: Nos queda

1 11 3

2 2

− −

Profesor: Al aplicar el inverso multiplicativo, entonces es igual a:

Alumnos: 2 4

23 3

=

Profesor: El segundo ejercicio es un poco más largo pero verán que no tiene mucha

dificultad, veamos:

( )

2 2

32

2 1 5

5 2 2

52

2

−

−−

, ¿Qué propiedad aplicamos primero?

Alumnos: Sólo tenemos dos bases iguales que están dividiendo ¿Cómo se efectúa el resto?

Profesor: Razonen cuidadosamente las bases que tienen exponente negativo, si aplican el

inverso multiplicativo ¿qué obtienen?

467

Alumnos:

2 25 2

2 5

− =

,

3 35 2

2 5

− =

y ( )2

2 12

2

− =

, entonces nos quedaría igual

a:

2 2

3 2

2 1 2

5 2 5

2 1

5 2

Profesor: Una vez aplicada la propiedad del inverso multiplicativo, ¿qué propiedades

aplicamos?

Alumnos: sumamos los exponentes de dos quintos y restamos los de un medio y nos queda

4 1

3

2 1

5 2

2

5

−

, luego restamos los exponentes de dos quintos y es igual a:

12 1

5 2

−

,

como un medio a la menos uno es igual a dos nos queda ( )2 42

5 5

=

Observador: El profesor asigna otro ejercicio para lograr mayor participación de los

alumnos y lograr el aprendizaje de este contenido y luego solicita a los estudiantes la

resolución de tres ejercicios propuestos del material didáctico para la próxima clase de

manera individual.

468

Lunes, 17-02-08

Profesor: Vamos a trabajar el día de hoy con el cálculo de porcentajes y problemas

cotidianos en los cuales es importante su uso, se organizan en los pequeños grupos, cada

uno de los cuales recibirá información actualizada de los periódicos sobre datos estadísticos

que se relacionan con el número racional.

Observador: El profesor escribe en la pizarra un esquema sobre los aspectos que

corresponden desarrollar en la clase. Los alumnos constituyen los equipos de trabajo y el

profesor entrega recortes de periódicos sobre artículos relacionados a estadísticas sobre

precios de productos, inflación, población económicamente activa, importación de vehículos,

construcción de viviendas, salud y deportes, al final se ha planificado la exposición por

equipo sobre el análisis cuantitativo de cada artículo.

El profesor se dedica a orientar cada grupo sobre el trabajo que van a realizar y cómo

efectuar un análisis correcto de los datos estadísticos de cada artículo.

Profesor: Ustedes como primer equipo les corresponde verificar si estos datos sobre

incremento población son correctos, para ello tomen los tres últimos años, además de

analizar toda la información del artículo.

Observador: El profesor explica brevemente el concepto de porcentaje utilizando ejemplos,

porque la mayoría tienen problemas en la comprensión del mismo.

Profesor: ¿Qué significa 30%, 50% o 70%?

Alumno: Son 30, 50 0 70 de cada 100.

Profesor: Esta relación tiene que ver con las fracciones, porque por ejemplo, 30 de 100 es

igual a 30 3

100 10= tres décimos y 50 de 100 es

50 1

100 2= , es decir la mitad. Si decimos que

el 20% de los alumnos de la UNELLEZ, utilizan celulares de alta tecnología, eso quiere

decir que 20 de cada cien tienen esos celulares, es decir, 20 1

100 5= de cada grupo de cinco

alumnos uno tiene un celular de alta tecnología.

Ahora veamos un ejemplo más práctico de la vida cotidiana, supongamos que el total de

alumnos de la universidad es de 2.500 y 1.500 viven en la ciudad de Barinas y el resto en los

demás municipios, ¿cómo determinamos el porcentaje de alumnos?

Alumnos: Dividimos cada grupo entre el total

Profesor: Es decir, 1500.100%

60%2500

= viven en Barinas y el resto 40% en los demás

municipios del estado, con esta información ya pueden trabajar con los datos de los

artículos, cualquier duda pregunten.

Observador: Los alumnos en general se motivan para hacer el trabajo con orden,

participación y haciendo constantemente preguntas al profesor demostrando preocupación

por entender la actividad y con plena confianza para dirigirse al profesor.

Se puede apreciar serías dificultades en la comprensión de los ejercicios sobre porcentaje

porque el profesor en cada grupo explica reiteradamente el procedimiento.

Alumno: En este artículo, aquí ¿cómo haría? , ¿qué debo hacer?

Profesor: Van a calcular el porcentaje de jugadores convocados al partido de fútbol

amistoso por equipo de primera división venezolano.

Alumno: Esta información dice algo sobre las importaciones de vehículos en el país, hay

una cantidad de dólares solicitados y otra que se aprobó, ¿qué hay hacer?

469

Profesor: Determina los porcentajes de dólares aprobados y con relación a los solicitados,

eso es el total, luego calculan el porcentaje aprobado de acuerdo a los modelos, ¡hagan sólo

dos o tres ejemplos!

Observador: El grupo de alumnos parece entender la explicación y comienzan a trabajar. El

profesor asigna de manera complementaria un ejercicio del material didáctico en el que se

relacionan fracciones, expresiones decimales y porcentajes.

Alumno: ¿Esto tiene que dar 40%?

Profesor: ¿Qué hizo para calcularlo?

Alumno: Dividí 1300 entre 2000 y lo multipliqué por 100%

Profesor: ¿Seguro qué es el procedimiento? Verifica el artículo, dice que a los médicos de la

misión barrio adentro le aumentaron un 40%, antes ganaban 1300 Bs. Ahora ganan 2.000

Bs., por lo tanto, ¿cuál es la diferencia?

Alumno: Son 700 Bs., es decir, esta cantidad es la que utilizó para comprobar el aumento

del 40%.

Profesor: Muy bien, ahora desarrolle el procedimiento y calcule el porcentaje.

Alumno: El resultado es 53,85%, en el diario no está bien calculado, el incremento es mayor

al 40%.

Profesor: De esta manera nosotros podemos ser más críticos con la información que leemos

a diario en los diferentes medios de comunicación.

Alumno: A nosotros nos correspondió los incrementos de los precios de los alimentos

derivados de la leche, ¿qué vamos a comprobar del cuadro que hay en el artículo?

Profesor: Veamos, en la primera columna están los precios viejos, en la segunda los nuevos

precios y en la tercera el porcentaje de variación, ustedes les corresponde verificar que los

datos de la última columna sean correctos. Les explico un ejemplo para que entiendan mejor.

El queso duro costaba 12,54 Bs., ahora ¿cuántos Bs. Aumentó?

Alumno: Restamos 18,48 12,54 5,94− = ; este resultado ¿qué significa?

Profesor: Es la variación del precio, luego la expresamos en porcentaje, esto es

5,94.100%47,37%

12,54= , entonces vemos que el dato de la última columna de la tabla es

correcto. De la misma forma verifiquen cinco productos más.

Alumno: En el equipo del atlético Zamora hay tres ¿Cómo calculo el porcentaje?

Profesor: ¿Cuántos jugadores fueron convocados?

Alumno: 21 jugadores.

Profesor: Recuerda, es la división de 3 entre 21 y luego multiplicas por 100%.

Observador: Pasan unos minutos y una estudiante consulta al profesor sobre el

procedimiento efectuado en el cálculo del porcentaje en la información del fútbol y el

docente lo valora positivamente.

Profesor: Ahora puedes formular y responder preguntas tales como: ¿Cuál o cuáles equipos

tuvieron mayor o menor participación? Y con esto pueden finalizar su trabajo.

El profesor sigue orientando a los alumnos de los diferentes equipos de trabajo, explicando

principalmente el procedimiento y cómo interpretar la información de los artículos, con la

finalidad de hacer una exposición acertada del cada tema.

Alumno: No entiendo lo que dice aquí, en el mes pasado la tasa de desempleo se ubicó en

6,2%.

Profesor: ¿Qué significa esa información?

Observador: El estudiante responde con dudas.

470

Profesor: Esto significa que de cada 100 venezolanos 6 están sin trabajo. Lean el artículo y

organicen los datos para que los interpreten correctamente.

Observador: El profesor inicia las exposiciones de los equipos, cuyo orden de presentación

se hace de manera espontánea con un buen grado de motivación y participación.

El primer equipo no presenta el título del artículo, el profesor lo menciona y hace las

correcciones respectivas, sin embargo la exposición que hace el equipo de alumnos presenta

tanto procedimientos como el cálculo de porcentajes de forma correcto y organizan de

manera sistemática la información que han interpretado.

El segundo equipo a pesar de tener la orientación del profesor, herramientas como la

calculadora y el material didáctico cometió errores tanto en el procedimiento como en el

cálculo de operaciones en los porcentajes, no lograron interpretar correctamente la

información que se les entregó del artículo. El profesor interviene inmediatamente y utiliza

la situación para profundizar sobre el tema.

El tercer equipo, expresó de manera correcta los cálculos de operaciones, sin embargo

exponen con dificultad las ideas y la información.

El cuarto equipo comunica de manera fluida la información, presentan de manera

organizada la información en la pizarra de manera verbal, escrita y simbólica con sus

respectivos procedimientos y cálculos.

Los alumnos que integran el quinto equipo también presentan la información de manera

organizada y sus ideas son comunicadas de forma coherente utilizando la expresión verbal

escrita y simbólica con ayuda de la pizarra.

Los alumnos del sexto equipo por el contrario, presentaron muchos problemas en la fluidez

de la lectura, errores en el procedimiento y operaciones, en general no pudieron interpretar

adecuadamente la información del artículo.

El séptimo y último equipo también logra presentar una interpretación correcta del artículo,

ha organizado la información de manera coherente, tanto sus procedimientos como el

cálculo de las operaciones se efectuaron sin errores.

El profesor utiliza cada ejemplo para formular más preguntas al grupo en general, los

alumnos a pesar de hacer participado no responden, no participan y sólo les preocupa tomar

nota de la clase, esto quizá se deba porque, por lo general, quien hace la exposición es el

alumno con mayor dominio del aprendizaje y los demás en la mayoría de los trabajos en

equipo son prácticamente espectadores.

CAPÍTULO VIII: CONCLUSIONES, APORTES Y RECOMENDACIONES

473

CAPÍTULO VIII: CONCLUSIONES, APORTES Y RECOMENDACIONES

En este capítulo nos dedicamos a responder las preguntas formuladas en

nuestra investigación, con el apoyo de las reflexiones finales que se generaron de los

resultados obtenidos sobre la práctica realizada en el trabajo de campo y en el

análisis teórico que sustentó el punto de partida del problema de estudio, como es la

dificultad en el aprendizaje significativo de las matemáticas que presentan los

alumnos. Para potenciarlo, presentamos una propuesta didáctica centrada en la

aplicación de estrategias de aprendizaje para la organización de la información, la

resolución de problemas, la promoción de un clima social de aula participativo, así

como en una actitud adecuada de los alumnos para lograr la autorregulación del

pensamiento lógico-formal para la construcción de los aprendizajes matemáticos. El

Programa de autorregulación se ha diseñado para dar una respuesta o alternativa de

mejora continua que nos aproxime a la innovación curricular de las matemáticas en

nuestro contexto de estudio.

Con la puesta en práctica de la propuesta didáctica denominada “Programa de


matemáticas”, pretendimos que los alumnos desarrollaran estrategias de aprendizaje

que consolidaran su pensamiento crítico, reflexivo y creativo en las matemáticas para

lograr un aprendizaje significativo de las mismas, un clima social flexible del aula y

una actitud positiva hacia las matemáticas. En última instancia, todo ello nos llevó a

reflexionar sobre el proceso didáctico en general de la disciplina científica

Matemática General, específicamente en los contenidos de la unidad de sistemas

numéricos.

Para tener una visión completa e integral del proceso de investigación

realizado en nuestro trabajo, estructuramos este capítulo siguiendo los apartados

siguientes:

- Reseña de la investigación.

- Aportes y aspectos originales de la tesis.

- Principales resultados y conclusiones.

- Recomendaciones para el trabajo futuro.

474

VIII.1. RESEÑA DE LA INVESTIGACIÓN

La planificación y desarrollo de nuestra investigación se origina por la

preocupación constante que tenemos en nuestro contexto universitario por las

dificultades que poseen los alumnos de la asignatura Matemática General, en el

aprendizaje de sus contenidos, tal y como lo describimos en el planteamiento del

problema; en este estudio abordamos los problemas relativos a la Unidad de los

Sistemas Numéricos. Esta situación se debe principalmente a las debilidades que

tienen los alumnos en los aprendizajes previos necesarios para abordar los contenidos

de las matemáticas universitarias, principalmente en la utilización de estrategias de

aprendizaje para organizar la información y resolver problemas, y en que se sigue en

el aula un proceso didáctico centrado en el tradicionalismo y formalismo matemático

caracterizado por contenidos que carecen de pertinencia social o no tienen conexión

alguna con la realidad y contexto social donde se desempeñan los profesores y

estudiantes.

Siguiendo la metodología de investigación educativa de tipo cualitativo y un

estudio de casos evaluativo, el procedimiento de investigación lo estructuramos en

tres fases, las cuales se desarrollaron de manera progresiva para analizar y estudiar

las diferentes variables de estudio. En la primera fase realizamos un diagnóstico,

mediante el cual evidenciamos y constatamos debilidades considerables en los

aprendizajes previos de los alumnos, sus estrategias de aprendizaje y el proceso

didáctico que el docente realiza para desarrollar los contenidos de la unidad didáctica

seleccionada de la asignatura, por el contrario, el clima social del aula demostró

niveles aceptables. Con este primer acercamiento a la realidad del proceso didáctico

del aula de clase, con sus diversas características y con las impresiones de los

actores, realizamos un proceso de reflexión que nos guió hacia la reorientación de la

práctica pedagógica.

Los resultados obtenidos nos llevaron al desarrollo de la segunda fase, en

donde nos planteamos como objetivo principal diseñar y elaborar una propuesta

didáctica para reorientar la enseñanza, aprendizaje y evaluación, la cual

denominamos “Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el

aprendizaje de las matemáticas”, cuyos fundamentos epistemológicos se

corresponden con el constructivismo psicogénetico de Jean Piaget, David Ausubel y

Jerome Brunner, el constructivismo sociocultural de Lev Vygosky, el paradigma

falibilista de Pierce, la falsabilidad de Popper y la tesis de los paradigmas de Kuhn

(paradigma socio-psicológico) y de Lakatos (paradigma normativo o generador de

programas de investigación racionales). Mediante el Programa de autorregulación

475

intentamos potenciar en el alumno un proceso de aprender a aprender, y en el

docente, que enseñe a pensar bajo un clima social del aula dinámico, flexible,

comunicativo y participativo, en el cual los alumnos desarrollen mayor confianza y

actitud positiva hacia el proceso didáctico, hacia el profesor y hacia los contenidos

matemáticos.

También, consideramos las aportaciones de especialistas en Didáctica

General y Didáctica de las Matemáticas, tales como: Polya (1978), Alonso (1994),

Llinares (1994), González (1995), Nieto (1997), Miranda et al. (1998), de Guzmán

(1999), Velásquez (2000) y Valiente (2000); no obstante llevar a la práctica estas

orientaciones en el desarrollo de contenidos específicos de la Matemática dentro de

nuestro contexto universitario a través de una propuesta didáctica no se había

desarrollado todavía, lo que implicó hacer un esfuerzo mayor en esta línea de

investigación de la Didáctica de la Matemática, para materializar este progreso

científico que beneficiará a nuestra práctica pedagógica.

La construcción del Programa de autorregulación nos orientó para definir las

dimensiones de estudio y sus respectivos criterios, las cuales presentamos en la Tabla

8.1.

Dimensiones Criterios

• Aprendizaje matemático - Las estrategias de aprendizaje para organizar

la información.

- Las estrategias de aprendizaje para resolver


- El dominio cognoscitivo en la comprensión y

aplicación de conceptos, definiciones,

propiedades y teoremas involucrados en los

contenidos matemáticos de las sesiones de

clase ejecutadas.

• Actitud del alumno ante las matemáticas

en general y el clima social del aula.

- El auto-concepto del alumno ante su

desempeño de las actividades asignadas.

- La concepción que tiene el alumno de los

aprendizajes de los contenidos de la

asignatura de Matemática General.

- La concepción del proceso didáctico

desarrollado por el profesor.

Tabla 8.1. Dimensiones y criterios de la Investigación.

En la tercera y última fase implementamos el Programa de autorregulación

del pensamiento lógico-formal diseñando, y puesto en práctica una Unidad Didáctica

o módulo instruccional de la asignatura Matemática General de la carrera Educación

Integral de la Universidad Nacional Experimental de los Llanos Occidentales

“Ezequiel Zamora” de la ciudad de Barinas-Venezuela, cuyos contenidos se refieren

a los Sistemas Numéricos, los cuales consideramos apropiados por su gran conexión

476

con situaciones reales y cotidianas que viven los alumnos en su contexto social. Así

mismo, nos aportaba una gran oportunidad para utilizar las estrategias de aprendizaje

en la organización de la información y en la resolución de problemas de aplicación,

además, nuestra experiencia como docentes nos indicó que el mayor problema de

aprendizaje se encontraba en esta Unidad o módulo instruccional.

El desarrollo de nuestra tesis, con sus diversos alcances y a pesar de sus

limitaciones durante su planificación, ejecución en el trabajo de campo y recolección

de información para su respectivo análisis y reflexión, logró los objetivos que nos

formulamos en el planteamiento del problema y, por lo tanto, consideramos también

que ha generado algunos aportes para la línea de investigación de la Didáctica de la

Matemática, los cuales presentamos en el apartado siguiente.

477

VIII.2. APORTES Y ASPECTOS ORIGINALES DE LA TESIS

Señalamos, en primer lugar, que cualquier aporte dentro de las diversas líneas

de investigación contribuye a redimensionar el constructo científico de cada área

respectiva del conocimiento; no obstante, nuestra tesis a través de sus fundamentos

teóricos y los resultados obtenidos en la ejecución del procedimiento de

investigación y puesta en práctica de nuestro Programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal, nos llevan a tener una visión diferente del proceso

didáctico de la asignatura Matemática General en nuestro contexto universitario.

El análisis epistemológico efectuado para fundamentar los diferentes

problemas formulados en nuestra investigación, nos indica que las corrientes

constructivistas de la psicología del aprendizaje tienen un significado de actualidad y

aún no han sido estudiadas en profundidad, lo que nos indica una gran necesidad

dentro de la Didáctica de la Matemática como disciplina científica de seguir

abordando estos aspectos para lograr crear las condiciones óptimas dentro del aula

para promover, fomentar y consolidar un verdadero aprendizaje significativo de las

matemáticas.

Destacamos la importancia que tiene un enfoque epistemológico ecléctico que

favorezca este aprendizaje en el alumno. Esta premisa nos indicó que la integración

de las bondades del constructivismo psicogenético de Jean Piaget y sus seguidores,

del constructivismo sociocultural de Lev Vygosky, de los estudios realizados por

Polya (1978), Alonso (1994), Llinares (1994), González (1995), Nieto (1997),

Miranda et al. (1998), de Guzmán (1999), Velásquez (2000) y Valiente (2000) sobre

las estrategias de aprendizaje para organizar información y resolver problemas, de las

aportaciones de Santaló et al. (1994) sobre el concepto de Etnomatemática y de las

orientaciones teóricas de Trianes et al. (2006) sobre el clima social del aula,

constituye una adecuada respuesta para lograr construir el modelo didáctico teórico

que denominamos “Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en

el aprendizaje de las matemáticas”, el cual consideramos que posee una visión y

perspectiva original porque en él convergen la mayor parte de los elementos

cognitivos, sociales y afectivos a considerar en todo proceso didáctico, no sólo de las

matemáticas sino también en las demás áreas del currículo.

La implementación práctica y concreta del Programa de autorregulación

constituye otro de los aportes significativos de nuestra investigación, principalmente

por la gran necesidad que existe en nuestro contexto universitario de unidades

didácticas elaboradas bajo estos enfoques que están a la vanguardia de los adelantos

478

científicos, tanto de la Didáctica General como de la Didáctica de la Matemática.

Además, la construcción de este material didáctico supuso un esfuerzo por la

complejidad que representó incorporar las orientaciones teóricas para ofrecer tanto al

docente como a los alumnos una guía didáctica que permitiera un mayor éxito en la

asignatura Matemática General, y concretamente, en una de sus unidades más

críticas, como es la correspondiente a los Sistemas Numéricos.

La Unidad Didáctica seleccionada de los Sistemas Numéricos en la

investigación reviste otro aporte fundamental por la trascendencia que tienen los

aprendizajes de los contenidos en esta área del pensamiento numérico para

comprender, aplicar y construir el andamiaje matemático durante la formación

universitaria del alumno de la carrera de Educación Integral.

Los resultados obtenidos durante la evaluación de la Unidad Didáctica de los

Sistemas Numéricos nos brindan quizás el aporte más notable, puesto que las

evidencias demuestran que el Programa de autorregulación del pensamiento lógico-

formal a través de su concreción como Unidad o material didáctico puede ser

utilizado de manera sustancial en la constante resignificación, reorientación y

adaptación del currículo, los programas de estudio, la práctica pedagógica y las

funciones o actividades que le corresponden al alumno para ubicarlo como el

verdadero protagonista del aprendizaje significativo de las matemáticas.

479

VIII.3. PRINCIPALES RESULTADOS Y CONCLUSIONES

Las conclusiones de acuerdo al análisis de los resultados que obtuvimos en

nuestro estudio por distintas vías, las describimos de acuerdo a las fases que se

desarrollaron durante la investigación y en función de los problemas formulados y

los objetivos propuestos.

VIII.3.1. Primera fase: diagnóstico

En la Tabla 8.2 presentamos los problemas formulados y los objetivos

propuestos que nos guiaron durante la primera fase diagnóstica de la investigación,

de esta forma garantizamos el acercamiento más próximo a la realidad objeto de

estudio para poder explicarla con mejores soportes e información, lo que nos

garantizó mantener el orden coherente en la ejecución de las restantes fases del

estudio.

Problemas formulados Objetivos propuestos

¿Qué estrategias de aprendizaje utilizan

generalmente los alumnos para abordar los

conocimientos matemáticos?

1. Diagnosticar las estrategias de aprendizaje

utilizadas por los alumnos en el estudio de los

contenidos de la unidad de sistemas numéricos,

de la asignatura Matemática General.

¿Cuáles son los conocimientos matemáticos

previos que los alumnos poseen para iniciar la

asignatura Matemática General?

2. Diagnosticar los conocimientos matemáticos

previos que los alumnos poseen al iniciar el

estudio de los contenidos de la unidad de

sistemas numéricos, de la asignatura


¿Cuál es la actitud general que presentan los

alumnos ante las matemáticas? 3. Describir el grado de actitud del alumno a

través de su opinión y valoración hacia el

proceso didáctico efectuado por el profesor y

hacia los contenidos matemáticos ¿Cómo se desarrolla la comunicación y

participación de los alumnos dentro del proceso

de enseñanza-aprendizaje?

¿En que medida afecta el clima social del aula en

el aprendizaje matemático de los alumnos?

4. Determinar los niveles de participación y de

comunicación que los alumnos tienen en la

asignatura Matemática General, como aspectos


Tabla 8.2. Problemas y objetivos de la primera fase.

Las conclusiones más destacadas que obtuvimos del análisis y reflexión de

los resultados de esta primera fase de diagnóstico, nos dieron respuestas a los

diferentes interrogantes planteados, y entendemos que nos llevaron a conseguir de

forma satisfactoria los objetivos de investigación formulados que presentamos a

continuación para exponer nuestras conclusiones:

480

Objetivo 1: Diagnosticar las estrategias de aprendizaje utilizadas por los

alumnos en el estudio de los contenidos de la unidad de sistemas numéricos

de la asignatura Matemática General.

Resaltamos como principal logro de este objetivo la realización del

diagnóstico de las diferentes estrategias de aprendizaje utilizadas por los alumnos

para abordar el estudio de los contenidos relativos a la unidad de los sistemas

numéricos, el cual nos reveló un escenario crítico y preocupante de la situación a

nivel cognoscitivo que presentó la mayor parte del alumnado de la asignatura

Matemática General, lo que constituyó el caso de estudio en nuestra investigación.

En el primer criterio establecido de la dimensión aprendizaje matemático, como son

las estrategias en la organización de la información, los resultados obtenidos

reflejan que los alumnos tienen grandes carencias en la utilización de las mismas, es

decir, prácticamente no disponen de dichas estrategias. Por lo general, los estudiantes

organizan, presentan y comunican la información verbal y escrita de forma caótica y

con errores conceptuales, además, no se apoyan en ninguna forma gráfica, ni en

diagramas o esquemas, ni mucho menos en mapas conceptuales.

Hemos señalado que las estrategias que se aplican para el uso eficiente de la

información son vitales, representando condiciones académicas necesarias para dar al

alumno un soporte cognoscitivo suficiente para que pueda aprender de forma

significativa, no sólo en la asignatura Matemática General sino también en las demás

disciplinas que forman parte del currículo universitario. Sostenemos con propiedad el

imperativo de establecer nuevos criterios, aspectos y elementos epistemológicos,

psicológicos, sociológicos y pedagógicos que reestructuren la planificación del

proceso didáctico y, con su puesta en práctica, se pueda ayudar al estudiante a

superar el problema mencionado y mejorar la habilidad y desempeño en la expresión

verbal y escrita.

Con estas evidencias iniciales recolectadas en la fase diagnóstica, podemos

afirmar que el problema del aprendizaje de la Matemática, además de tener su origen

en las formas o procedimientos de enseñanza tradicionales, las debilidades

concernientes a la organización, presentación y comunicación de la información

tanto verbal, escrita y simbólica constituyen otra causa que representa una

preocupación de importancia dentro del proceso didáctico de las matemáticas.

Con relación al segundo criterio del aprendizaje matemático, relativo al uso

de las estrategias de resolución de ejercicios y problemas, las deficiencias siguen

manifestándose. Específicamente encontramos problemas en la discriminación que

481

hacen los alumnos de la información que aporta el enunciado de los problemas

planteados para lograr seleccionar los datos completos y separarlos de las incógnitas.

Además, no aplican procedimientos intuitivos como el ensayo y error, los contra-

ejemplos, las figuras o gráficos y, ni mucho menos, procesos más formales como el

razonamiento lógico-deductivo en la aplicación de conceptos, definiciones y

propiedades. Esta situación nos conduce a establecer una posible conexión entre

ambos criterios, sin la cual, sería difícil lograr un verdadero aprendizaje matemático;

es decir, si los alumnos tienen problemas en la aplicación de estrategias de

aprendizaje para la organización de la información matemática es probable que

también los tengan en las estrategias para resolver ejercicios y problemas.

De acuerdo con los resultados del cuestionario aplicado para diagnosticar

estrategias de aprendizaje, así como los obtenidos fruto de las observaciones y

pruebas de valoración realizadas, constatamos debilidades principalmente en las

estrategias siguientes: la utilización de esquemas y diagramas como técnicas de

estudio, la expresión verbal y escrita de la información, el proceso de abstracción

matemática, planes de resolución de problemas, utilización del lenguaje matemático

y uso del razonamiento deductivo, todas ellas consideradas fundamentales para

lograr un aprendizaje significativo de las matemáticas. Sin embargo, en los

indicadores relativos a la capacidad de concentración, utilización de material escrito,

análisis de la información, procesos de verificación, intuición y procesos inductivos,

asesorías y autoevaluación, se obtuvieron resultados medianamente positivos, lo cual

implica una información valiosa porque nos señala un punto de partida para construir

una propuesta didáctica siguiendo estas estrategias, que también tienen gran

importancia para lograr los aprendizajes matemáticos.

Durante la ejecución de las sesiones de clase observadas, pudimos determinar

elementos convencionales característicos de unas estrategias de aprendizaje basadas

en la clase magistral-expositiva del profesor y en el procedimiento de enseñanza

sustentada en textos. En la mayoría de los casos, las clases siguen un enfoque

algorítmico y calculista caracterizado por la secuencia siguiente:

Explicación

intuitiva de

conceptos

Definición

formal de

conceptos

Aplicación de

algoritmos

Aplicación

ordenada de

reglas

Desarrollo de

ejemplos

ilustrativos

Generalización de

propiedades

Resolución

de ejercicios Retroalimentación

482

En esta secuencia se aprecia un discurso docente basado en la utilización de

un lenguaje cotidiano y en explicaciones intuitivas; por lo tanto, el espacio para

pensar, reflexionar y razonar que se le dedica a los aspectos teóricos-prácticos de los

contenidos se desarrolla muy poco, se puede decir, que el proceso didáctico desde el

punto de vista psicológico se acerca más al paradigma conductista y, desde la

perspectiva de la comunicación de saberes entre el docente y sus alumnos, se

corresponde con un paradigma de transmisión verbal.

Objetivo 2: Diagnosticar los conocimientos matemáticos previos que los

alumnos poseen al iniciar el estudio de los contenidos de la unidad de

sistemas numéricos de la asignatura Matemática General.

En la valoración de los conocimientos previos de los alumnos sobre la Unidad

Didáctica de los Sistemas Numéricos efectuada principalmente mediante las pruebas

aplicadas a los alumnos, determinamos un escenario muy crítico. Es preocupante

comprobar como la mayor parte del grupo no posee los pre-requisitos necesarios para

iniciar el estudio de los contenidos de esta Unidad Didáctica o módulo instruccional.

Podemos decir de forma razonada que muy pocos estudiantes lograron demostrar de

forma aceptable un dominio cognoscitivo de los aspectos teórico-prácticos

desarrollados en las sesiones de clase, sobre todo en los ejercicios y problemas

propuestos en la prueba de valoración de aprendizajes. Esto puede explicarse, en

primer lugar, por las formas tradicionales de enseñanza a las que están

acostumbrados los alumnos desde su escuela básica y bachillerato que aún se

mantiene en la universidad, y en segundo lugar, por los resultados que describimos

en el objetivo uno.

Los estudiantes de la asignatura Matemática General tienen serias dificultades

para comprender y aplicar los conceptos, definiciones, propiedades, procedimientos

y operaciones aritméticas. Al valorar cognoscitivamente las respuestas o

constestaciones que dieron a las preguntas, pudimos determinar inconsistencias entre

el resultado y el procedimiento ejecutado, es decir, responden correctamente, pero no

logran justificar de manera coherente las respuestas, lo cual nos indica que tienen

dificultades en la comprensión y aplicación del lenguaje simbólico matemático para

interpretar, discriminar y comunicar la información.

Por ejemplo, aproximadamente la mitad de los alumnos que contestó a la

prueba escrita confunde el método para determinar el mínimo común múltiplo con el

utilizado para calcular el máximo común divisor, lo que se resume en una debilidad

483

considerable en este aprendizaje matemático. Por otro lado, casi la mitad de los

alumnos no ha logrado comprender el concepto de exponente negativo en una

potencia, y sólo un cinco por ciento comprende el procedimiento que se aplica en las

operaciones en este tipo de potencias, pero comete errores básicos en el cálculo

aritmético. Por el contrario, uno de cada dieciocho estudiantes comete errores en la

interpretación de los signos de agrupación, en este caso el uso de los paréntesis, y

ninguno presenta problemas con las leyes de los signos + (más) y − (menos).

Esta tendencia se sigue observando en las operaciones combinadas con

números enteros, donde aproximadamente la tercera parte de los alumnos de la

muestra cometió errores en la interpretación de los signos de agrupación, llaves,

corchetes y paréntesis, lo que indica que no existe por parte de este porcentaje de

alumnos un aprendizaje del uso e interpretación correcta de estos símbolos

matemáticos.

En función del análisis y reflexión efectuados, llegamos a la conclusión de

que a pesar de la formación que los alumnos tuvieron sobre los conocimientos

relativos a los sistemas numéricos durante los tres años de la tercera etapa de la

Educación Básica venezolana y de recibir instrucción adicional en la asignatura

Matemática General, los estudiantes de nuestro caso de estudio tienen muy poco

dominio cognoscitivo de los mismos.

El estado actual y las condiciones que determinamos durante el diagnóstico

con respecto a los conocimientos matemáticos previos de los alumnos, constituyen

otra evidencia contundente que nos lleva a considerar y señalar una explicación más

aproximada sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje de los contenidos

matemáticos en los alumnos, puesto que las debilidades que se encontraron de forma

simultánea y análoga, tanto en la aplicación de las estrategias de aprendizaje relativas

a la organización de la información y a la resolución de problemas como en el

dominio cognoscitivo de los contenidos matemáticos de los sistemas numéricos, nos

indican una posible conexión entre estos dos criterios de la dimensión aprendizaje

matemático, resultado muy significativo para buscar una respuesta a los problemas

de la investigación y generar aportes e ideas que contribuyan a la reconstrucción del

proceso didáctico de la asignatura Matemática General.

Como conclusión, podemos decir que algunas de las causas detectadas que

explican el pobre aprendizaje significativo de las matemáticas por los alumnos son

las siguientes:

484

- Deficiencias en las conductas de entrada o conocimientos matemáticos

previos de los alumnos.

- Problemas en la organización, elaboración y comunicación de la

información.

- Dificultades en las estrategias que utilizan los estudiantes para la

resolución de ejercicios y problemas.

- Enfoques tradicionales en los procedimientos de enseñanza y aprendizaje

de las matemáticas.

Objetivo 3: Describir el grado de actitud del alumno a través de su opinión

y valoración hacia el proceso didáctico efectuado por el profesor y hacia los


Los resultados del cuestionario de opinión-actitud y de las entrevistas nos

revelaron, de acuerdo a los análisis y reflexiones efectuados, la existencia en forma

general de una actitud positiva de los alumnos hacia los contenidos matemáticos y

hacia el proceso didáctico que se desarrolló en el aula. Las opiniones y respuestas

que expresó la mayoría de los alumnos demuestran un buen grado de autoestima y

confianza en sí mismos, a pesar de las dificultades de tipo cognoscitivo que tenían

para comprender los aspectos que se estudiaban durante las clases.

De acuerdo con el cuestionario de opinión-actitud, el 86% de los estudiantes

expresó su desacuerdo con respecto al concepto que suelen tener respecto a que sólo

las personas con características intelectuales superiores a las del promedio pueden

dominar las matemáticas; por consiguiente, este indicador demuestra una apreciación

y aceptación de las aptitudes personales de los estudiante para asumir el aprendizaje

de los contenidos que se enseñan en la Unidad ‘Sistemas Numéricos en la asignatura

Matemática General’; es decir, tienen un autoconcepto positivo al afirmar que las

matemáticas pueden ser aprendidas por cualquier persona que tome la decisión de

hacerlo.

El análisis y la reflexión efectuados sobre los resultados de las entrevistas

reflejaron, en una mayoría significativa de los alumnos, una utilidad e importancia

sobre los contenidos que se desarrollaron durante las clases, principalmente para su

futura formación profesional docente. También consideraron que el éxito en su futura

labor docente será más contundente si disponen de una buena comprensión de los

contenidos. Estos resultados demuestran una discrepancia con relación a la posición

485

que siempre se ha tenido de la actitud hacia las matemáticas, ya que el grupo de

alumnos de la asignatura Matemática General seleccionado como caso de estudio

formuló respuestas que se alejan de las opiniones negativas que, en general, se tienen

hacia las matemáticas y hacia sus profesores.

Las conclusiones que presentamos de los resultados de la actitud del alumno

hacia las matemáticas en nuestra investigación, pueden contribuir a generar otras

alternativas de discusión para entender mejor esta disposición personal del alumno

hacia el aprendizaje, puesto que es un fenómeno muy complejo y multivariable. Por

lo general, se tiene una explicación causa-efecto entre la actitud y el aprendizaje, sin

embargo, en nuestro caso de estudio se encontró una situación relativamente

favorable en el autoconcepto que tiene el estudiante ante su desempeño matemático,

como son las concepciones que tiene el alumno de los aprendizajes de los contenidos

de la asignatura de Matemática y la concepción del proceso didáctico desarrollado

por el profesor. Pero los resultados, en cuanto a la valoración cognoscitiva de los

aprendizajes matemáticos de la Unidad de Sistemas Numéricos, no cubrieron

totalmente las expectativas; es decir, que de acuerdo a los resultados no podemos

concluir que una buena actitud del alumno es una condición suficiente y necesaria

para lograr un aprendizaje significativo en las matemáticas, porque la relación entre

la actitud y el rendimiento no fue muy estrecha; es decir, aunque se observó en el

grupo una buena actitud, no hubo un dominio claro de los aprendizajes matemáticos

de los contenidos relacionados a los sistemas numéricos.

Objetivo 4: Determinar los niveles de participación y de comunicación que

los alumnos tienen en la asignatura Matemática General, como aspectos


En el proceso de investigación de nuestra tesis consideramos de gran

importancia y significado una descripción del clima social del aula como variable de

estudio, porque es una parte fundamental para generar en todo proceso didáctico la

participación y comunicación de los alumnos y de los profesores, elementos que

relevantes para mantener una buena relación interpersonal, de armonía, flexibilidad,

integración, cooperación y dinamismo, adecuados para reducir la hostilidad que

perturba el trabajo en el aula de clase.

Fruto de los resultados analizados, podemos afirmar que la comunicación y la

participación de los estudiantes en las sesiones de clase adquirieron niveles positivos,

variables que indican un aceptable clima social en el aula. Tanto los alumnos como el

486

docente interactuaron socialmente con fluidez, desarrollando y utilizando el

intercambio de información, significados e ideas que se generan producto de la

discusión y análisis que efectuaron los actores en la Unidad de Sistemas Numéricos

de la asignatura Matemática General. Por lo tanto, fue evidente dentro del proceso

didáctico, una confianza en los alumnos para exponer sus aportes, ideas, respuestas,

planteamientos e inquietudes y formular las preguntas necesarias para aclarar dudas y

comprender mejor los aspectos estudiados.

Las respuestas suministradas por los alumnos entrevistados revelan, por

ejemplo, que aproximadamente dos terceras partes de los estudiantes participan en el

desarrollo de las clases, gracias a diferentes razones que consideramos se relacionan

entre sí: el gusto general por las matemáticas, la motivación que despiertan las

estrategias utilizadas por el profesor y el clima de confianza que se genera dentro del

aula entre profesor y alumnos. Además, los resultados de la triangulación demuestran

una semejanza en la gran parte de los hallazgos, aunque existen algunas diferencias

entre las observaciones y los cuestionarios, principalmente en lo referente a la

participación de los alumnos en la resolución de ejercicios y problemas en la pizarra.

En el escenario pedagógico que observamos, evidenciamos dentro del clima

social del aula que se vivió durante las sesiones de clases de la Unidad de Sistemas

Numéricos, una situación que podemos describir en términos generales como

favorable para el proceso didáctico de la asignatura Matemática General; sin

embargo, las condiciones críticas en las que se encuentra el aprendizaje matemático

de una mayoría importante de los estudiantes no están a la par o no guardan una

relación directa con el clima social óptimo que encontramos. Estamos de acuerdo en

decir que la dimensión ‘clima social del aula y actitud del alumno’ tiene una gran

importancia para ser considerada en el proceso didáctico de las matemáticas, pero

nuestras conclusiones nos indican que las principales causas que originan

deficiencias en el aprendizaje de las matemáticas necesitan ser investigadas más

dentro del campo cognitivo o cognoscitivo que en los afectivo, emocional y social, al

menos esto es lo en nuestro contexto de estudio universitario interpretamos.

VIII.3.2. Segunda fase: Diseño y elaboración del Programa

En este segundo momento de la investigación nos preguntamos y tomamos

decisiones sobre las aportaciones teóricas apropiadas para fundamentar el Programa

de autorregulación del pensamiento lógico-formal; así mismo, analizamos la

información que obtuvimos del trabajo de campo del diagnóstico inicial. Fruto de

487

ambos trabajos efectuamos reflexiones para la toma de decisiones en la reorientación

del proceso didáctico de la asignatura Matemática General y logramos diseñar un

Programa de intervención para satisfacer las preguntas y objetivos siguientes:

Problemas formulados Objetivo propuesto

¿Podemos diseñar un programa de enseñanza de

estrategias de aprendizaje centradas en la

autorregulación del pensamiento formal que

logre en los alumnos de la asignatura

Matemática General un aprendizaje significativo

de los contenidos relacionados a los sistemas

numéricos?

¿Cuáles serían los principales lineamientos que

estructurarían este programa para lograr un

aprendizaje matemático significativo en los

alumnos de la asignatura Matemática General?

¿Qué aspectos fundamentales debe tener este

programa para crear en el aula de clase un

ambiente social caracterizado por la

participación y comunicación de los alumnos en

el proceso de enseñanza, aprendizaje y

evaluación de las matemáticas?

5. Diseñar el programa de enseñanza de estrategias

de aprendizaje centrado en la autorregulación

del pensamiento lógico-formal de acuerdo al

análisis epistemológico del paradigma

constructivista y a las necesidades detectadas en

el diagnóstico de las estrategias de aprendizaje,

conocimientos previos, actitud del alumno y al

clima social del aula.

Tabla 8.3. Problemas y objetivos de la segunda fase.

Las conclusiones a las que llegamos en la fase diagnóstica resultaron

oportunas para determinar la necesidad desde el punto de vista operativo y funcional

de un Programa de intervención en el proceso didáctico para la asignatura

Matemática General, en la Unidad de los Sistemas Numéricos. En tal sentido,

afirmamos que en nuestro contexto de estudio se hace necesario reorientar la práctica

pedagógica en esta disciplina bajo lineamientos constructivistas epistemológicos,

psicológicos y sociológicos que fomenten y promuevan un verdadero aprendizaje

significativo de las matemáticas. Paralelamente a esto se necesita incorporar

innovaciones curriculares a la luz de la actualidad, caracterizada por el alto consumo

tecnológico, el cual es propicio para fundamentar una relación más próxima entre la

Matemática y el mundo que nos rodea.

Las debilidades en las diferentes estrategias de aprendizaje nos ofrecen una

información valiosa para la planificación del proceso didáctico y, por consiguiente,

en la elaboración de los recursos y materiales didácticos. Por esta razón,

consideramos que en la estructuración del material didáctico se debe ofrecer a los

alumnos una presentación de los conocimientos matemáticos propios del currículo

universitario para la Carrera de Educación Integral y una utilización de estrategias de

aprendizaje que le garanticen superar sus debilidades en capacidades

procedimentales. El material didáctico debe enseñar las estrategias de organización

de la información y las de resolución de ejercicios y problemas de aplicación, así

488

como fomentar esta aplicación no sólo de manera individual sino también de forma

participativa, grupal y cooperativa.

La evaluación dentro de nuestra propuesta didáctica debe garantizar una

atención integral de todos los aspectos involucrados en el proceso de enseñanza y

aprendizaje. Se debe hacer énfasis en los aspectos cualitativos de la Matemática más

que en los formalistas y algorítmicos, es decir, tomar la síntesis dialéctica proceso-

producto de esta ciencia para orientar la práctica docente.

Con estas directrices básicas podríamos aproximarnos a la realidad deseada

en el aula de clase, con un clima social caracterizado por la participación,

comunicación e interacción constante de información y significados entre los actores

del proceso didáctico, para construir un futuro modelo pedagógico más ajustado a los

cambios sorpresivos de nuestra sociedad.

VIII.3.3. Tercera fase: Puesta en práctica y evaluación del Programa

Los problemas y objetivos formulados para esta última fase de la

investigación se presentan en la Tabla 8.4.

Así mismo, para la presentación de las conclusiones nos orientamos y

seguimos las dimensiones y los criterios que figuran en la Tabla 8.5., los cuales

establecimos para el análisis de los datos del Capítulo VII.

Problemas formulados Objetivo Propuesto

¿En que grado afectan la aplicación de este

programa al aprendizaje significativo, clima

social del aula y actitud general del alumnado?

¿Cuáles serían los resultados que produciría la

puesta en práctica de este programa en el

proceso didáctico de la asignatura Matemática

General y en el aprendizaje significativo de los

alumnos?

6. Evaluar el programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal en función del

aprendizaje significativo logrado por los

alumnos de los contenidos de la unidad de

sistemas numéricos de la asignatura matemática

general, el clima social del aula y la actitud del

alumno.

Tabla 8.4: Problemas y objetivos de la tercera fase.

Dimensión Criterios

• Aprendizaje Matemático. - Las estrategias para organizar la información.

- Las estrategias de aprendizaje que utilizan

para resolver ejercicios y problemas.

- El dominio cognoscitivo en la comprensión y

aplicación de conceptos, definiciones,

propiedades y teoremas involucrados en los

contenidos matemáticos de las sesiones de

clase ejecutadas.

489

• Actitud del alumno y clima social del aula. - El auto-concepto del alumno ante su

desempeño de las actividades asignadas.

- La concepción que tiene el alumno de los

aprendizajes de los contenidos de la

asignatura de Matemática.

- La concepción del proceso didáctico

desarrollado por el profesor

Tabla 8.5. Dimensiones y criterios de la tercera fase.

La gran diversidad de resultados que recolectamos con los diferentes

instrumentos de recogida de información, a pesar de la complejidad del análisis y

reflexión que tuvimos que realizar sobre las variables de estudio, nos permitió emitir

una serie de conclusiones suficientes para conseguir en buena medida el objetivo

último de la investigación y los objetivos de la propuesta didáctica relativos a evaluar

los alcances y limitaciones del Programa de autorregulación del pensamiento lógico-

formal en el aprendizaje significativo de las matemáticas, en el clima social del aula

y en la actitud del alumno.

A continuación presentamos las conclusiones de acuerdo a los alcances y

limitaciones del programa de autorregulación, en función de los objetivos que

formulamos en la propuesta didáctica para la Unidad de los Sistemas Numéricos.

Objetivo 1: Aplicar de manera práctica estrategias que fomenten en el

alumno un aprendizaje significativo y el pensamiento creativo en la

resolución de problemas de su interés, para generar un proceso didáctico

que consolide la construcción progresiva, reflexiva y científica del

conocimiento matemático, utilizando los aportes teóricos del paradigma

constructivita.

Resaltamos como uno de los principales logros en la implementación del

Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en la Unidad Didáctica

de los Sistemas Numéricos, el diseño, elaboración y aplicación de estrategias de

aprendizaje para la organización, presentación y comunicación de la información, así

como para la resolución de ejercicios y problemas de aplicación con una orientación

constructivita. Así mismo, destacamos la utilización de recursos de aprendizajes

audiovisuales, tales como las diapositivas, vídeos y la incorporación de problemas

cuyas aplicaciones representan interés y significado social, que despiertan la

motivación en los alumnos. Esta integración de aspectos en la secuencia didáctica

aplicada desde las fases de exploración, presentación, valoración cognitiva y

proyección fomentaron en los estudiantes un proceso progresivo y paulatino en la

construcción de los aprendizajes matemáticos, evolucionando desde los preconceptos

490

hasta las definiciones más formales de los contenidos seleccionados y desarrollados

en la implementación del Programa de autorregulación. Por consiguiente, creemos

que la puesta en práctica de la Unidad Didáctica de los Sistemas Numéricos nos

indicó, desde el inicio de la investigación, la necesidad de incorporar los

fundamentos epistemológicos y teóricos que tuvimos en cuenta y de seguir

reorientando el proceso didáctico de las matemáticas, modificando paulatinamente

las clases tradicionales con procedimientos de enseñanza expositivos de transmisión

verbal, basados exclusivamente en textos y en el discurso del docente.

No obstante, en cuanto a las limitaciones para lograr este objetivo, señalamos

que el pensamiento lógico-formal en los alumnos necesitó de una mayor

consolidación y aplicación más constante de las estrategias contempladas en el

proceso didáctico. Observamos que las estrategias relacionadas con el razonamiento

inductivo son más utilizadas que las relativas al razonamiento deductivo, este

resultado nos permitió evaluar nuestra propuesta desde una perspectiva más precisa y

determinar porqué el pensamiento creativo que planteamos no tuvo el resultado

esperado por nosotros en la puesta en práctica del Programa de autorregulación en la

Unidad de contenidos seleccionada. Para explicar de una forma más general y

resumida la situación del aprendizaje del alumno, podemos decir que éste se

caracterizó por una construcción progresiva y reflexiva de los contenidos

matemáticos, los cuales requieren de esfuerzo y tiempo necesarios. El resultado final

es que los estudiantes del grupo de alumnos de la asignatura Matemática General no

obtuvieron una valoración cognoscitiva contundente en la construcción científica de

los contenidos, debido principalmente al bajo nivel de conocimientos básicos

matemáticos que tenían al comienzo de la investigación.

Objetivo N 2: Orientar al docente en los diferentes procedimientos, recursos

y actividades de enseñanza y evaluación, que constituyen el proceso

didáctico constructivita de las matemáticas para consolidar su formación

psicopedagógica.

Señalamos como otro aspecto significativo, la aplicación pertinente y

funcional que representó la implementación y evaluación del Programa de

autorregulación del pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas

en la Unidad Didáctica de los Sistemas Numéricos. Logramos conducir de manera

acertada la reorientación de las estrategias de aprendizaje en los alumnos, los

procedimientos, los recursos y las actividades de enseñanza y evaluación que aplicó

el docente-investigador con lineamientos constructivitas innovadores dentro de la

491

práctica docente y en el proceso didáctico en general de la asignatura Matemática

General. Cabe destacar que poner en práctica los fundamentos epistemológicos

constructivitas en el proceso didáctico de cualquier disciplina del currículo escolar y

universitario es una tarea compleja que necesita llevarse con cuidado, porque hay que

considerar la gran cantidad de variables que poseen los procesos de enseñanza,

aprendizaje y evaluación como situaciones sociales, sin las cuales no se puede

cristalizar con éxito el proceso de planificación de la enseñanza. Como resultado de

la implementación, podemos afirmar de manera razonada que nuestra propuesta

didáctica o Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal, representa

otra adecuada guía orientadora a disposición del docente que le facilitará cumplir con

una de sus principales funciones: ser un verdadero responsable del asesoramiento y

mediación entre los nuevos aprendizajes matemáticos de la Unidad seleccionada y

los alumnos de la asignatura que constituyeron el caso de estudio.

Objetivo Nº 3: Fomentar la comunicación para lograr la participación,

debate, reflexión, y sugerencias que aporten los actores que interactúan en

el proceso didáctico, dentro de un clima social del aula abierto, dinámico y

flexible que contribuya a un cambio de actitud del alumno hacia la

Matemática.

La perspectiva o enfoque que orientó la aplicación del Programa de

autorregulación del pensamiento lógico-formal, para llevar a la práctica pedagógica

la utilización por parte de los alumnos de las estrategias de aprendizaje en la

organización de la información y en la resolución de problemas a través del trabajo

en pequeños grupos y con la orientación y asesoramiento del profesor, creó y

fomentó dentro del aula de clase las condiciones idóneas para estimular, motivar y

lograr la participación e intervención activa del alumnado en las diferentes

actividades de aprendizaje planificadas y programadas en la Unidad Didáctica de los

Sistemas Numéricos.

Las exposiciones, los debates, las reflexiones e intervenciones en la

resolución de ejercicios y problemas de aplicación, que constituyeron las

asignaciones dentro las sesiones de clases, incrementó sustancialmente la

comunicación y la interacción social de los actores del proceso didáctico, así como el

intercambio de significados. De este modo, se consolida un clima social de aula

flexible, dinámico e integrador en donde los alumnos y el docente se desempeñan

con absoluta confianza, contribuyendo de esta manera a mejorar la actitud de los

estudiantes hacia los elementos vertebradores del proceso didáctico de la asignatura

492

Matemática General, es decir, hacia los contenidos de la Unidad Didáctica, hacia el

profesor y hacia las estrategias, recursos y actividades de enseñanza-aprendizaje-

evaluación.

Estas conclusiones nos permiten afirmar la relevancia y trascendencia que ha

caracterizado nuestra propuesta didáctica –el Programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas–-, puesto que a

través de su implementación se lograron conjugar y equilibrar las dimensiones del

aprendizaje matemático, el clima social del aula y la actitud del alumno, sin las

cuales sería muy complicado analizar y reorientar la práctica pedagógica de esta

disciplina científica desde una forma integradora, con una perspectiva más humana y

realista, en donde los actores son considerados como participantes fundamentales en

la investigación y desarrollo de nuevas teorías para la reconstrucción de estrategias

de enseñanza, aprendizaje y evaluación del proceso didáctico de las matemáticas.

Por último, en cuanto a las conclusiones derivadas del objetivo final de

investigación, mediante el cual perseguimos evaluar el programa de autorregulación

del pensamiento lógico-formal en función del aprendizaje significativo logrado por

los alumnos de los contenidos de la unidad de sistemas numéricos de la asignatura

matemática general, el clima social del aula y la actitud del alumno, podemos decir

lo siguiente:

Consideramos que las estrategias de aprendizaje implementadas durante la

práctica pedagógica del docente y en la utilización del material didáctico sobre la

Unidad de Sistemas Numéricos a través de la propuesta didáctica, demostraron ser el

enfoque epistemológico más apropiado y adaptado para que los alumnos superaran

las principales dificultades en la comprensión y aplicación de los conceptos,

definiciones, propiedades y procedimientos necesarios para lograr el aprendizaje

matemático; esto se justifica desde el inicio del trabajo práctico efectuado en el aula,

en donde concluimos que los conocimientos básicos de los alumnos presentaron una

condición muy crítica. Es decir, la determinación, construcción y reconstrucción de

los organizadores avanzados y que señala Ausubel en su teoría del aprendizaje

significativo para establecer la conexión con los nuevos aprendizajes, representaron

el foco central para dar respuesta al problema formulado en la dimensión de

aprendizaje, transformándose esta situación de la fase diagnóstica de la investigación

en el primer obstáculo a vencer para obtener resultados satisfactorios, que nos

indicaran en el alumno un aprendizaje significativo, situación que nos propusimos

493

lograr con la puesta en práctica de las actividades del material didáctico y en la

planificación de las unidades didácticas.

No obstante, las evidencias confirmaron que la mayoría de los estudiantes de

la muestra no llegaron a obtener un alto nivel o grado de comprensión de los

conceptos, definiciones y propiedades relativos a los bloques de contenidos

seleccionados del programa de estudio de la asignatura Matemática General,

teniendo dificultades en la aplicación de los mismos. Sin embargo, a pesar de estos

resultados finales, destacamos que los estudiantes realizaron aprendizajes

progresivos, mejorando muchos de los resultados obtenidos en la fase diagnóstica; es

decir, comprobamos que el grupo evolucionaba paulatinamente de manera cualitativa

hacia el logro de los aprendizajes matemáticos, a pesar del corto periodo de clase con

el que contamos para aplicar la mayoría de las estrategias de aprendizaje de nuestro

Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en la Unidad Didáctica

de los Sistemas Numéricos; recordemos que solo desarrollamos nueve sesiones de

clase durante un mes, cada una con dos horas de duración.

Como consecuencia de la situación crítica evidenciada en los alumnos en

cuanto a su formación básica sobre los aprendizajes previos de la Unidad Didáctica

de los Sistemas Numéricos, las estrategias de aprendizaje diseñadas y dirigidas por el

docente- investigador durante las sesiones de clases, aunque fueron utilizadas por

gran parte de los alumnos, se presentaron problemas para su aplicación fluida y

contundente. Cabe destacar que desde el comienzo de la investigación habíamos

constatado de forma semejante una situación preocupante en el dominio por parte del

alumnado de las estrategias de aprendizaje, sin embargo en el transcurso de las

sesiones de clase, de manera gradual pudimos observar el progreso relativo de los

estudiantes para superar estas debilidades que detectamos principalmente en la

expresión escrita y simbólico-matemática. Por otra parte, las actividades efectuadas

por los alumnos con relación a la elaboración de los mapas conceptuales y esquemas

resultaron técnicas de aprendizaje efectivas para la comprensión intuitiva de los

conceptos matemáticos, garantizando su aplicación coherente en los diferentes

ejercicios y problemas cotidianos contemplados en la Unidad Didáctica seleccionada

para la implementación de nuestra propuesta o Programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal.

El panorama que presentaron los alumnos en cuanto a las estrategias para

resolver problemas se caracterizó también por tener serias dificultades cognitivas y

procedimentales para lograr con éxito, tanto la comprensión e interpretación de los

enunciados, como la información verbal-escrita de los planteamientos de los

494

problemas y los procedimientos a seguir para obtener las respuestas correctas. Sin

embargo, con la puesta en práctica de los pasos de resolución propuestos por Polya

(1978) –como una de las principales estrategias utilizadas en los problemas resueltos

y propuestos en la unidad didáctica–, pudimos dar una respuesta concreta y

apropiada a esta situación y, aunque no se logró superar de manera satisfactoria las

diversas situaciones problemáticas en cuanto al aprendizaje significativo, gracias al

apoyo constante de la asesoría y orientación del docente-investigador, los alumnos

organizaron, estructuraron y discriminaron de forma correcta los datos de la mayoría

de los problemas propuestos durante el desarrollo de la Unidad de Sistemas

Numéricos.

Finalmente, podemos decir que la situación con relación a la dimensión ‘el

clima social del aula y la actitud del alumno’ resultó ser diferente, puesto que los

resultados obtenidos fueron satisfactorios por el alcance significativo que tuvo el

Programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el desarrollo de los

contenidos de la Unidad Didáctica seleccionada, mejorándose de forma notable los

elementos fundamentales del clima social del aula. En efecto, el proceso didáctico

desarrollado por el docente-investigador mejoró las interacciones sociales, la

comunicación y la participación de los actores, además de resignificar el cambio

progresivo de actitud de los alumnos hacia los contenidos enseñados en la Unidad

Didáctica de los Sistemas Numéricos, y las matemáticas en forma general.

Creemos que las causas principales del cambio tienen que ver con la

incorporación de actividades de enseñanza, estrategias de aprendizaje y evaluación

no convencionales, tales como: el uso de situaciones cotidianas de nuestro entorno

relacionadas con los temas matemáticos tratados, el trabajo en pequeños grupos para

realizar talleres, las exposiciones y la proyección de vídeos ilustrativos sobre la

importancia de las matemáticas para el desarrollo científico, tecnológico y

humanístico de la sociedad. A través de estas actividades, los alumnos lograron una

comprensión más eficaz de los conceptos, definiciones, propiedades, operaciones y

procedimientos matemáticos. Estamos convencidos de que se debe modificar

sustancialmente la metodología de las clases magistrales expositivas basadas

excesivamente en la información que transmite el discurso del docente, en los libros

de texto y en la aplicación de pruebas escritas al final del curso.

Con los resultados obtenidos también se comprueba que la mayoría de los

alumnos se inclinan más por la aplicación del razonamiento de tipo inductivo y los

procesos mentales intuitivos que por el razonamiento deductivo, la abstracción y el

formalismo en la construcción de conceptos matemáticos. Así lo planteamos en los

495

fundamentos epistemológicos de nuestro Programa de autorregulación del

pensamiento lógico-formal en el aprendizaje de las matemáticas, de acuerdo a lo

señalado por Velásquez (2000) cuando se refiere al paradigma falibilista como

fundamento central para la enseñanza de las matemáticas, quien las presenta como

una actividad propia del ser humano, la cual es flexible, corregible, cuya evolución

histórica es variable y dinámica, y susceptible de cambios y correcciones. Por

consiguiente, necesitamos separarnos un poco de la antigua posición filosófica

formalista, tal como lo planteamos en el pilar relacionado con la aplicación del

razonamiento inductivo para activar las nociones matemáticas y conducir

sucesivamente al alumno hacia la conceptualización científica y formal del

conocimiento matemático. En este sentido, creemos que la secuencia didáctica del

proceso de enseñanza y aprendizaje debe iniciarse desde la comprensión intuitiva de

los contenidos como una forma de guiar al alumno hacia la construcción del

aprendizaje significativo y de manera progresiva lograr una aplicación más formal y

deductiva que fomente y consolide desde el punto de vista científico el desempeño

matemático de los estudiantes.

496

VIII.4. RECOMENDACIONES PARA TRABAJO FUTURO

La Didáctica de la Matemática es una disciplina relativamente nueva y sus

campos de investigación son infinitos, pues dan la oportunidad a los diferentes

investigadores de producir más conocimientos que aporten información novedosa y

vital para la construcción y reconstrucción de las teorías que fundamentan a esta área

de conocimiento. A través de los resultados y conclusiones que se han presentado

podemos decir que, el tema sobre la autorregulación del pensamiento lógico-formal

en el aprendizaje de las matemáticas desarrollado en nuestro trabajo de investigación

necesita seguir siendo investigado para obtener más respuestas sobre cómo lograr

activar, aplicar, promover, fomentar y consolidar esta habilidad cognitiva en los

alumnos para que el aprendizaje matemático sea realmente significativo. En tal

sentido, para profundizar más sobre esta línea y tema de investigación, consideramos

que se deben tomar en cuenta las recomendaciones y orientaciones siguientes:

- Las futuras investigaciones deben continuar desarrollando y avanzando en

la construcción de este modelo teórico-práctico relativo a la


matemáticas, puesto que constituye un programa imprescindible para el

desarrollo del proceso didáctico de las matemáticas, por el hecho de

incorporar los fundamentos epistemológicos constructivistas, en los

cuales se integraron de manera equilibrada estrategias de aprendizaje para

la organización de la información, resolución de problemas y actividades

de enseñanza, aprendizaje y evaluación que promovieron la participación,

comunicación y demás interacciones entre los actores del proceso

didáctico de la Unidad de Sistemas Numéricos, contribuyendo a crear un

clima social de aula flexible, integrador y dinámico en donde los alumnos

desarrollaron confianza y actitud para lograr los objetivos de aprendizajes

propuestos en el programa de estudio.

- Es necesario que se constituyan equipos de trabajo docente para seguir

implementando esta propuesta didáctica y efectuar su evaluación

correspondiente, que garantice un estado apropiado de la misma que

beneficie tanto a los alumnos como a la comunidad de profesores

responsables de la asignatura Matemática General. Además, proponemos

incrementar el tiempo de ensayo, que nosotros no tuvimos oportunidad de

llevar a cabo, para lograr desarrollar en su totalidad las diferentes

actividades programadas y, de esta forma, lograr una mayor flexibilidad a

497

la planificación y, lo que es más importante, al proceso de construcción

del aprendizaje en los alumnos.

- Ampliar y diversificar las diferentes estrategias de comunicación de la

información relativas a la proyección de vídeos y utilización de otros

recursos multimedia que expliquen la conexión entre nuestra vida

cotidiana y las matemáticas. En la realidad educativa actual este tipo de

recurso es muy escaso, necesitándose potenciar para el aprendizaje,

además de las diapositivas y vídeos, otros recursos relacionados con las

tecnologías de información y comunicación (TIC) y estudiar su impacto

en la autorregulación del pensamiento lógico-formal en la construcción

del aprendizaje matemático. Esto podría constituir un tema de

investigación interesante en la Didáctica de la Matemática.

- Incorporar otras técnicas de investigación cualitativas y cuantitativas, e

instrumentos de recolección de información para perfeccionar el

procedimiento de investigación aplicado y obtener resultados más

aproximados sobre las variables estudiadas del aprendizaje matemático de

los alumnos y el clima social del aula. Además, es oportuno considerar en

otros estudios de caso las entrevistas, diarios y cuestionarios aplicados a

los docentes para tener un mejor escenario de datos que evidencien los

alcances y limitaciones del Programa de autorregulación del pensamiento

lógico-formal en el aprendizaje matemático de la Unidad de los Sistemas

Numéricos.

- Adaptar los diferentes aspectos teórico-prácticos del Programa de

autorregulación a otros contenidos de la asignatura Matemática General y

demás asignaturas de matemáticas que forman parte del pensum de

estudio universitario. Existen unidades de contenidos sobre álgebra

básica, inecuaciones, funciones reales y geometría plana que presentan un

gran problema de enseñanza, aprendizaje y evaluación. El rendimiento

académico en los alumnos es muy crítico, ocasionado por la debilidad que

existe en los aprendizaje previos, no obstante la determinación de los

organizadores avanzados que señala Ausubel deben ser el punto de

partida para lograr el aprendizaje significativo; en nuestro caso, la

construcción y reconstrucción de éstos fueron el verdadero problema,

cuyas respuestas contribuyeron a obtener resultados más satisfactorios en

la puesta en práctica de nuestro Programa para autorregular el

pensamiento lógico-formal en el alumno.

498

- Planificar y realizar cursos de formación pedagógica con la contribución y

aportes de los resultados de nuestro estudio, en donde se contemplen

principalmente la elaboración y construcción de este tipo de modelos

teóricos y su concreción en unidades didácticas que brinden el apoyo y

orientación necesaria a los docentes de matemáticas y al alumnado de

nuestro contexto universitario.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

501

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ACUÑA, C. (1996). Un modelo de tratamiento didáctico para la enseñanza del

razonamiento deductivo y de la demostración en el nivel medio superior. En F.

Espinoza (Dir.): Investigaciones en Matemática Educativa. Departamento de

matemática educativa. CINVESTAV-IPN. México: Grupo editorial Iberoamericana.

Pp. 93-109.

AGUILERA & BLANCO (1987). Investigación Cualitativa, Características,

Metodología y Problemática. Madrid: MEC.

AGUIAR, M. (2001). El Diálogo en el Aula ¿Una alternativa al tradicional método

de selección natural en la enseñanza de la Matemática? Base de datos TESEO.

Disponible en Internet: https://www.educacion.es/teseo/mostrarRef.do?ref=269664.

Extraído el 05 de febrero de 2010

ALONSO, J. (1994). Motivación y Aprendizaje en el aula. Cómo Enseñar a Pensar

Madrid: Santillana.

AMARO, A. (2000). La Educación, utopía necesaria. Diario El Nacional. Caracas-

Venezuela. Domingo, 02 de julio de 2000. Economía. Pp. 15.

ARAUJO, J. & CHAWICK, C. (1988). Tecnología Educacional, Teorías de

Instrucción. Barcelona: Paidós.

ARIAS, O. (1999). Efecto de un módulo instruccional para nivelar los

conocimientos matemáticos en bachilleres aspirantes a las carreras de Ingeniería.

Unellez-Guanare. Trabajo de ascenso no publicado. Universidad Nacional

Experimental de los Llanos Occidentales Ezequiel Zamora. Barinas-Venezuela.

AROCA, Y. (2000). Metodística Aplicada. Componentes principales del trabajo de

campo. Valledupar: Gráficas del comercio.

ARRECHE, M. (2001). Formación Matemática de los Maestros. Base de datos

TESEO. Disponible en Internet:

https://www.educacion.es/teseo/mostrarRef.do?ref=262272


502

ARRIETA, M. (1996). Modelo causal del Rendimiento en Matemáticas (11 12años).

Didáctica de la Matemática. Universidad del País Vasco-España. Disponible en

Internet: http://ddd.uab.cat/pub/edlc/02124521v16n1p63.pdf

Extraído el 23 de julio de 2009

ARTIGUE, M. (2003). ¿Qué se puede aprender de la Investigación educativa a nivel

universitario? Boletín de la Asociación Matemática Venezolana. Vol. 10, N° 2.

AUSUBEL, D. (1973). Algunos aspectos psicológicos de la estructura del

conocimiento. En S. Elam (Comp.): La educación y la estructura del conocimiento.

Investigaciones sobre el proceso de aprendizaje y la naturaleza de las disciplinas

que integran el currículum. Buenos Aires: Ediciones el Ateneo. Pp. 211-239.

AZNAR, P. et al. (1992). Constructivismo y Educación. Valencia-España: Tirant lo

blanch.

BADGER, E. (1989). Algo más que la Aplicación de Pruebas. Mathematical Power

Currículum and Evaluation Standards. NCTM. En Mosquera, J. & Quintero, I.

(Comp.): Evaluación de los Aprendizajes. Caracas: Universidad Nacional Abierta.

BEDOYA, E. (2001). Formación Inicial de Profesores de Matemáticas: Enseñanza

de Funciones, Sistemas de Representación y Calculadoras Graficadoras. Base de

datos TESEO. Disponible en Internet:



BALDOR, A. (1992). Aritmética teórico-práctica. Caracas: Cultural venezolana.

BALDOR, A. (1989). Álgebra. Caracas: Cultural venezolana.

BERMEJO, B. (2003). Método Empírico en la Recolección de datos. En M. Sánchez

y S. Nube (Comp.): Metodología Cualitativa en Educación. Candidus editoriales

educativas. Cuaderno Nº 1 Sep-Dic, 2003. Pp. 58-69.

BEYER, W. (2001). Algunos aspectos epistemológicos de la matemática: ¿Es la

matemática un lenguaje? Revista Educere, Trasvase, año 4, N°14. Julio-agosto-

septiembre. Mérida-Venezuela. Pp. 236-240.

503

BRASHI, P. L. (1.993). Elaboración y Evaluación de los Módulos de Enseñanza-

Aprendizaje para el sub-proyecto Matemática II. UNELLEZ-Barinas. Trabajo de

ascenso no publicado. Universidad Nacional Experimental de los Llanos

Occidentales Ezequiel Zamora.

BRASHI, P. L. (1999). Matemática II. Barinas-Venezuela: Ediciones de la

Universidad Ezequiel Zamora Colección Docencia Universitaria.

BRICEÑO, M. (2005). Un Lenguaje para la Física: La Matemática. Mérida-

Venezuela: Escuela venezolana para la Enseñanza de la Matemática.

BROWN, G. y DESFORGES C: (1984). La Teoría de Piaget: Estudio crítico.

Madrid: ANAYA.

BRUNER, J. (1964). The course of cognitive growth. American Spychologist. (19).

Pp. 1-15.

CAMPILLO, P. y PÉREZ, P. (2002). Construcción de un Concepto-Imagen

adecuado al concepto de Continuidad de Cauchy. Revista Divulgaciones

Matemáticas. Vol. 10, N° 1. Universidad del Zulia. Maracaibo-Venezuela. Pp. 51-62.

CARBONERO, M & CRESPO (1993). Dificultades de Aprendizaje. Tendencias y

orientaciones actuales en la escuela. Instituto de Ciencias de la Educación.

Universidad de Valladolid-España.

CARBONERO, M. & NAVARRO, J. (2006). Entrenamiento de los alumnos de

Educación Superior en Estrategias de Aprendizaje en matemáticas. Psichotema 2006.

Vol. 18, Nº 3. Pp. 348-352.

Disponible en Internet: http://www.cedus.cl/files/3221.pdf

Extraído el 29 de mayo de 2008

CARRETERO, M. (1987). Desarrollo Cognitivo y Educación. Cuadernos de

Pedagogía. Nº 153.Madrid. Pp. 66-69.

CASTELNUOVO, E. (1973). Didáctica de la Matemática Moderna. México: Trillas.

504

CASTRO, E. (1994). Exploración de patrones numéricos mediante configuraciones

puntuales. Base de datos Dialnet. Disponible en Internet:

http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=2746539


CASTRO, E. & RICO, L (1994). Conocimiento Matemático, Comprensión y

Evaluación. Revista Interuniversitaria de Formación del Profesorado, 21.

Universidad de Granada-España. Pp. 71-82. Disponible en Internet:

http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=117838


CERDA, J. (2001). Efecto de un diseño instruccional jerárquico-conceptual en el

aprendizaje de los contenidos algebraicos de Matemática I en Educación Integral de

la Unellez-Barinas. Revista Scientia Unellezea. Vol. 1, Nº 1. Barinas-Venezuela. Pp.

62-81.

CONSEJO NACIONAL DE SUPERVISORES DE MATEMÁTICA (1989). Las

Matemáticas Esenciales para el siglo XXI. Revista de Mathematics Teacher. Vol. 82,

Nº 6. Illinois-U.S.A.

CHADWICH. C. (1998). La psicología de aprendizaje del enfoque constructivista.

Revista Latinoamericana de estudios educativos (México).Vol. XXXI, Nº 4. Pp.111-

126. Disponible en Internet: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/270/27031405.pdf


CORBALÁN, F. (1998). La Matemática Aplicada a la Vida Cotidiana. Barcelona:

Graó de Serveis Pedagògies. Cuarta edición.

CHRISTIN, A. (2001). La Terna Didáctica. Disponible en Internet:

http://serbal.pntic.mec.es/~cmunoz11/christin.htm


CHUNG, F. (1996). La educación en África en la actualidad. Informe UNESCO.

Madrid: Santillana.

CUBILLO, C. (1996). Memoria de tesis doctoral. Departamento de Análisis

Matemático y Didáctica de la Matemática. Universidad de Valladolid-España.

505

CUBILLO, C. & ORTEGA, T. (2000). Influencia de un Modelo Didáctico en la

Opinión/actitud de los alumnos hacia las matemáticas. Revista Latinoamericana de

Investigación en Matemática Educativa. Julio. Vol. 3, Nº 2. México. Disponible en

Internet: http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=33530205

Extraído el 15 de abril de 2008

DAHRENFORD, R. (1990). El conflicto social moderno. Ensayo sobre la política de

la libertad. Barcelona: Grijalbo-Mondadori.

DE GUZMÁN, M. (1999). Para pensar mejor. Desarrollo de la creatividad a través

de los procesos matemáticos. Madrid: Pirámide. Cuarta edición.

DELORS, J. (1996). La Educación encierra un gran tesoro. Informe a la UNESCO

de la Comisión Internacional sobre educación para el siglo XXI. Santillana

UNESCO.

DENZIN, N. (1979). The Research Act in Sociology. Chicago: Aldine.

DÍAZ, F. & HERNÁNDEZ, G. (2002). Estrategias docentes para un aprendizaje

significativo. Una interpretación constructivista. Caracas: McGraw-Hill. Segunda

edición.

DURÁN, D. (2005). Temas de Aritmética. Escuela venezolana para la Enseñanza de

la Matemática: Mérida-Venezuela.

ERNEST, P. (2000). Los valores y la imagen de las matemáticas: Una perspectiva

filosófica. Matemáticas, Cultura y Sociedad. Uno Revista de Didáctica de las

Matemáticas. Nº 23 (1). Barcelona: Graó de Serveis Pedagògies. Pp. 9-28.

EVERTSON, C. & GREEN, J. (1989). La Observación como indagación y método.

Madrid: Paidós.

FLORES & TOBÓN (2001). Investigación educativa y pedagógica. Colombia:

McGraw Hill.

FERNÁNDEZ, A. et al (2003). Análisis Cienciométrico de las tesis españolas en

Educación Matemática. Revista Esp. Doc. Cient. Disponible en Internet:

http://redc.revistas.csic.es/index.php/redc/article/viewFile/135/189


506

FERNÁNDEZ, A. (1990). Impacto de la calculadora electrónica en la educación

matemática primaria. Un estudio cuasi-experimental en el tercer nivel. Base de

datos TESEO. Disponible en Internet:



FREITES, Y. (2000). Un esbozo histórico de las matemáticas en Venezuela. I Parte

desde la Colonia hasta finales del siglo XIX. Boletín de la Asociación Matemática

Venezolana. Vol. VII, 1y 2. Pp. 9-37.

GAGNÉ, R. (1977). The Conditions of learning. New York: Holt, Rinert y Winston.

GAGNÉ, R. (1979). Las Condiciones del Aprendizaje. México: Editorial

Interamericana. Tercera edición.

GALDÓS, L. (2000). Matemáticas Galdós. Madrid: Cultural.

GALLARDO, A. (1996). El Paradigma Cualitativo en Matemática Educativa.

Elementos teóricos-metodológicos de un estudio sobre números negativos. En F.


Matemática educativa CINVESTAV-IPN. México: Grupo editorial Iberoamericana.

Pp. 197-222.

GENOVARD, C. (1990). Las estrategias de aprendizaje desde la perspectiva de la

Psicología de la Instrucción. Conferencia inaugural. En C. Monereo (Ed.): Enseñar a

Aprender y a Pensar en la Escuela. Actas de las Primeras Jornadas de Estudio sobre

las estrategias de aprendizaje. 27 y 28 de abril. Pp. 9-16. Barcelona.

GODINO, J. (1991). Hacia una Teoría de la Didáctica de la Matemática. En A.

Gutiérrez (Ed.): Área de conocimiento: Didáctica de la Matemática. Madrid:

Síntesis. Pp. 105-148. Disponible en Internet:

http://www.cimm.ucr.ac.cr/ciaem/articulos/universitario/conocimiento


GODINO, J. et al. (2000). Hacia una Teoría de la Didáctica de la Matemática. En L.

Romero y A. Fortuny, L. Puig (Eds.): Área de Conocimiento. Didáctica de la

Matemática. Madrid: Síntesis. Pp.105-148.

507

GÓMEZ-GRANELL, C. (1990). Estrategias de aprendizaje en psicopedagogía de las

matemáticas. En C. Monereo (Ed.): Enseñar a Aprender y a Pensar en la Escuela.

Ponencias de las Primeras Jornadas de Estudio sobre las estrategias de aprendizaje.

27 y 28 de abril. Barcelona. Pp. 31-46.

GÓMEZ, A et al. (2000). Las Matemáticas y el Proceso Educativo. En A. Gutiérrez

(Ed.): Área de conocimiento Didáctica de la Matemática. Madrid: Síntesis. Pp.59-

104.

GÓMEZ. F. (1978). La Universidad Ezequiel Zamora y el desarrollo agrícola

venezolano. Serie políticas y programas. Caracas: MAC.

GONZÁLEZ, F. (1995). El corazón de la Matemática. Valencia-Venezuela: Temas

de Educación Matemática.

GONZÁLEZ, F. (1994). Paradigmas en la enseñanza de las Matemáticas. Valencia-

Venezuela. Editorial Temas de Educación Matemática. Primera edición.

GONZÁLEZ, F. (2005). Resolución de Problemas. Mérida-Venezuela: Escuela

venezolana para la Enseñanza de la Matemática.

GOOD, L. & BROPHY, J. (1995). Psicología Educativa Contemporánea. México:

Mc Graw Hill. Quinta edición.

GUERRA, C. (1994). Factores que influyen en el rendimiento académico estudiantil

del sub-proyecto Matemática I. Trabajo de Grado de Maestría no Publicado.

Universidad Nacional Experimental de los Llanos Occidentales Ezequiel Zamora.

Barinas-Venezuela.

GUERRA, C. (1999). Matemática 1. Barinas-Venezuela: Ediciones de la

Universidad Ezequiel Zamora. Colección Docencia Universitaria.

GUIDO, S (2003). Mapas conceptuales y aprendizaje significativo en estudiantes

universitarios. Base de datos TESEO. Disponible en Internet:



508

GUTIÉRREZ, L. (1994). La Matemática Escolarizada: ¿la ciencia transformada en

dogma?: un estudio etnográfico realizado en aulas universitarias. Tesis de

doctorado no publicado. Universidad Nacional Experimental Simón Rodríguez.

Caracas.

GUTIÉRREZ, L. (1988). Tres enfoques para la enseñanza de la Matemática en el

sistema educativo Venezolano. Trabajo presentado como requisito de Evaluación en

el curso Problemas Críticos y Desarrollo Histórico-Político de Venezuela y su

Sistema Educativo. Universidad Simón Rodríguez. Caracas. Doctorado en

Educación.

GUTIÉRREZ, R. (2002). Beyond Essentialism: The Complexity of Lenguaje in

Teaching Mathematics to Latina/o Students. American Educational Research

Journal. Vol. 39, Nº 4- Winter 2002. Pp.1047-1088.

HERNÁNDEZ, R. et al. (2000). Metodología de la Investigación. México: McGraw-

Hill.

HERNÁNDEZ, J. & SANCHO, F. (1993). Para enseñar no basta con saber la

asignatura. Barcelona: Paidós.

HENRIQUEZ, M. (1998). Rendimiento académico de los estudiantes cursantes del

sub-proyecto Matemática III bajo el régimen de estudio regular y curso

intersemestral, en la Unellez, Vicerrectorado de Producción Agrícola. Trabajo de

ascenso no publicado. Universidad Nacional Experimental de los Llanos

Occidentales Ezequiel Zamora. Barinas-Venezuela.

HURTADO, J. (2000). Metodología de la investigación holística. Caracas: SYPAL.

IBÁÑES, M. (2000). Aspectos cognitivos del aprendizaje de la demostración

matemática en alumnos de primer curso de Bachillerato. Base de datos TESEO.

Disponible en Internet: https://www.educacion.es/teseo/mostrarRef.do?ref=251352.


INHELDER, B & PIAGET, J. (1985). De la lógica del niño a la lógica del

adolescente. Piados. Psicología Evolutiva. Barcelona: España.

JIMÉNEZ, D. (1999). La Aventura de la Matemática. Caracas: Editorial Los Libros

del Nacional.

509

KENNEY, P. & SILVER, E. (1993). Student self-assessment in mathematics. In

Norman L. Webb and Auhur F. Coxford (Eds.). Assessment. In the Mathematics

Classroom 1993 Yearbook. Reston, VA: National Council of Teachers of

Mathematics. Pp. 229-238.

KUHL, J. (1987). Feeling versus being helpless. Metacognitive mediation of failure-

induced performance deficits. En F. Weinert y R.H. Kluwe (Eds). Metacognition,

motivation, and understanding. Hillsdale, Nueva Jersey. LEA. Pp. 217-235.

LA TORRE, A. & GONZÁLEZ, R. (1987). El maestro investigador. Barcelona:

Grao.

LANKSHEAR, C. & KNOBEL, M. (2003). Problemas Asociados con la

Metodología de la Investigación Cualitativa. En M. Sánchez y S. Nube (Comp.):

Metodología Cualitativa en Educación. Mérida-Venezuela: Candidus Editores

Educativos. Pp.11-23.

LEJTER, D., J. (1990). Instrucción y aprendizaje significativo. Caracas: Universidad

Experimental Libertador.

LEY ORGÁNICA DE EDUCACIÓN CON SU REGLAMENTO (Decreto Nº.

2.635) (1980, julio 28). Gaceta Oficial de la República Bolivariana de Venezuela,

5.662 (Extraordinario), Septiembre 24,2003.

LLINARES, S. (1994). Los aprendizajes y las matemáticas: el proceso de

aprendizaje. En V. García (Dir.): La Enseñanza de las matemáticas en la educación

intermedia. Madrid: Rial, S.A. Pp.183-225.

LOBO DE P., A. (1996). Factores sociales y académicos que influyen en el

rendimiento de los estudiantes en el sub-proyecto Matemática I en la Unellez-Apure.

Trabajo de ascenso no publicado. Universidad Nacional Experimental de los Llanos

Occidentales Ezequiel Zamora. Barinas-Venezuela.

LONDOÑO, L. & RUIZ, G. (2001, noviembre). Proyecto Macreatico. Un modelo

metodológico que establece relaciones entre las matemáticas, la creatividad y la

informática en el contexto de la complejidad. Ponencia presentada en las segundas

jornadas internacionales de investigación holística. 7 y 8 de noviembre. Universidad

Católica Andrés Bello, UCAB, Caracas-Venezuela.

510

LÓPEZ, A. & MORENO, M. (1997). Tercer estudio internacional de Matemáticas y

Ciencias. Disponible en Internet:

http:/www.ince.mec.es/timss/completo.htm

Extraído el 06 de noviembre de 2002

MAGUAL, I. (2004). Incapacidad para enseñar. Diario El Universal. Caracas.

Calidad de Vida. Miércoles ,13 de octubre de 2004. Pp.1.

MARCHESI, A. & MARTÍN, E. (1998). Calidad de la Enseñanza en tiempos de

cambio. Madrid: Alianza.

MARTÍNEZ, J. (1990). Hacia un enfoque interpretativo de la enseñanza. Granada:

Ediciones de la Universidad.

MARTÍNEZ, M. (1998). La investigación cualitativa Etnográfica en Educación.

México: Trillas.

MARTÍNEZ, B. & GARFELLA, P. (1992). La construcción humana a través del

aprendizaje significativo. D. Ausubel. En P. Aznar, P. (Coord.): Constructivismo y

Educación. Valencia-España: Tirant lo blanch. Pp. 119-137.

MARTÍNEZ, M. (1999). Psicoprisma. Evaluación Cualitativa de programas.

Caracas: Evepso.

MATSUURA, K. (2006). Educación para todos. Diario El Nacional. Caracas.

Viernes, 09 de julio de 2006. Opinión A. Pp.18.

MAYOR, J. et al. (1989). Psicología Evolutiva. Madrid: ANAYA.

MEDINA, A. & SEVILLANO, M. (1994). El clima social del Centro Educativo.

Guía Didáctica. Madrid: Universidad Nacional de Educación a Distancia.

MÉNDEZ, C. (1995). Metodología. Colombia: McGraw-Hill. Segunda edición.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN. (1997). Programa de Matemática. Primera Etapa.

Tercer Grado. Caracas. República de Venezuela. Dirección de Educación Básica.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN (2005). Manual de Evaluación para el nivel de

Educación Básica. Cuadernos Educere. Nº 1. Segunda edición.

511

MINISTERIO DE EDUCACIÓN (1980). Ley Orgánica de Educación. Gaceta

Oficial de la República de Venezuela, Nº 2.635.

MIÑAN, A. (1996). Resolución de problemas en alumnos con necesidades

educativas especiales. Base de datos TESEO. Disponible en Internet:



MIRANDA, A. et al. (1998). Dificultades del aprendizaje de las matemáticas. Un

enfoque evolutivo. Málaga-España: Aljibe.

MODESTO, A. (1996). Análisis Causal para un Diagnóstico Individual del

Rendimiento en Matemáticas (11-12 años). Revista de Psicodidáctica. Didáctica de

la Matemática E.U. Profesorado Donosita. U.P. V/E.H.U. Pp. 1. Disponible en

Internet: http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=1997779


MONAGAS, O. (1998). Mapas conceptuales como herramienta didáctica.

Universidad Nacional Abierta. Revista Tripod. Disponible en Internet:

http://www.hugocarrion.com/index_archivos/Docs/A_mapas.pdf

Extraído el 12 de marzo de 2007

MORA, D. (2005). ¿Por qué raspan en matemáticas a los estudiantes venezolanos?

Buscan nuevos lugares para la enseñanza de la Matemática. Disponible en Internet:

http://prensa.ula.ve/index.php?cmd=1&IdCatNoticia=16

Extraído el 10 de diciembre de 2005

MORA, L. (2006). Investigación Educativa. Caracas: Universidad Nacional Abierta.

MORALES, E. (l995). Efectos de una didáctica centrada en la resolución de

problemas empleando la técnica heuríatica V de Gowin y mapas conceptuales en el

razonamiento matemático de los alumnos de noveno Grado de Educación Básica,

Trabajo de Grado de Maestría no Publicado. Universidad de Carabobo. Valencia-

Venezuela.

MORENO, L. & SACRISTÁN A. (1996). Representaciones y aprendizaje.

Investigaciones en Matemática Educativa. En F. Espinoza (Dir.): Investigaciones en

Matemática Educativa. Departamento de matemática educativa. CINVESTAV-IPN.

México: Grupo editorial Iberoamericana. Pp. 277-289.

512

MOSQUERA, J. & QUINTERO, I. (1996). Evaluación de los Aprendizajes.

Selección de lecturas. Caracas: Universidad Nacional Abierta.

MOYA, C. (1998). Discursos y Prácticas Educacionales en América Latina: entre la

continuidad y la ruptura. Universidad de Valladolid. Lección inaugural. Programa de

Doctorado en Educación mención Evaluación y Diseño Curricular. Ponencia

presentada en el V y VI Encuentro para la formación de profesores en el Cono Sur.

Punta de Tralca-Chile.

MUSSEN, P. et al. (1985). Desarrollo de la personalidad en el niño. México: Trillas.

MUÑOZ, J. et al (2001). Cómo desarrollar competencias educativas en

investigación. Bogotá: Magisterio.

NIETO, J. (1997). Cómo enseñar a pensar. Los programas de desarrollo de las

capacidades intelectuales. Madrid: Editorial escuela Española.

NIETO, J. (2001). Las Olimpiadas Matemáticas de Centroamérica y del Caribe.

Boletín de la Revista de la Asociación Matemática Venezolana. Vol. III, N° 1. Pp.

43-48.

NISS, M. (1996). ¿Por qué enseñamos Matemáticas en la Escuela? Revista de

Investigación y Didáctica de las Matemáticas. Madrid: Ministerio de Educación y

Ciencia (CIDE). Pp. 19-30.

NOVACK, J. & GOWIN, B. (1988). Aprendiendo a Aprender. Barcelona: Martínez

Roca.

OBREGÓN, I. (2007). Magia y belleza de las Matemáticas y algo de su Historia.

Bogotá: Intermedio editores.

OLIVERAS, M. (1994). Etnomatemáticas en trabajos de artesanía andaluza. Su

integración en un modelo para la formación de profesores y en la innovación del

currículo matemático Escolar. Base de datos TESEO. Disponible en Internet:



ONTORIA, A. et al. (2001). Mapas conceptuales. Una técnica para aprender.

Madrid: Narcea. 11a edición.

513

ORSINI, M. (1994). La actitud hacia las Matemáticas y el rendimiento académico

en el sub-proyecto Matemática I. Trabajo de Ascenso no Publicado. Universidad

Nacional Experimental de los Llanos Occidentales Ezequiel Zamora. Barinas-

Venezuela.

ORSINI, M. (1999). Procesos Cognitivos que activa el docente de Matemática de

Educación Superior durante su interacción con el aula en relación con su eficacia

docente. Trabajo de ascenso presentado para optar a la categoría de profesor titular.

Universidad Ezequiel Zamora. Barinas-Venezuela.

ORTIZ, A. (1997). Razonamiento inductivo numérico. Un estudio en Educación

Primaria. Base de datos TESEO. Disponible en Internet:



ORTON, A. (1.990). Didáctica de las Matemáticas. Madrid: Morata. Ministerio de

Educación y Ciencia.

PAVLOV, I. (1927). Conditioned Reflexes: An Investigation of the Physiological

Activity of the Cerebral Cortex. London: Translated and Edited by G. V. Anrep.

PATRICK, S. (1997, mayo). Situaciones problemáticas: parte de una posible

respuesta al desafío de los resultados del TIMSS. Universidad Estatal de Nuevo

México. COMITE INTERAMERICANO DE EDUCACION MATEMÁTICA

Boletín Informativo Año 5. No. 1. Disponible en Internet:

http://www.furb.br/ciaem/boletins/1997_maio.htm


PÉREZ, G. (1998).Investigación cualitativa. Retos e interrogantes. Madrid: Muralla.

PERNÍA, R. (1997). La Regla de tres como uno de los métodos usados por los

estudiantes de Educación Básica para resolver problemas de variación

proporcional. Trabajo de ascenso presentado para optar a la categoría de profesor

asociado. Universidad Ezequiel Zamora. Barinas-Venezuela.

PIAGET, J. & INHELDER, B. (1982). Psicología del niño. Madrid: Morata.

PIAGET, J. (1975). La formación del símbolo en el niño. México: Fondo de Cultura

Económica.

514

PIAGET, J. (1983). Psicología y Pedagogía. Barcelona: Barral.

PLANCHART, E. et al. (2005). La Enseñanza de la Matemática en Venezuela.

Programa de Didáctica de la Matemática para la Educación Media. En I. Gómez y E.

Planchart (Eds.): Educación Matemática y Formación de Profesores Propuestas

para Europa y Latinoamérica. Bilbao-España: Universidad del Deusto. Pp.33-50.

Disponible en Internet:

http://www.humanitariannet.deusto.es/publica/PUBLICACIONES_PDF/15%20

Formacion%20Docentes.pdf.

Extraído el 23 d enero de 2010

PLUVINAGE, F. (1996). Diferentes formas de razonamiento Matemático. En F.


matemática educativa. CINVESTAV-IPN. México: Grupo editorial Iberoamericana.

Pp. 77-91.

POLYA, G. (1978). Cómo Plantear y Resolver Problemas. México: Trillas.

POZO, J. & CARRETERO, M. (1986). Desarrollo Cognitivo y Aprendizaje Escolar.

Cuadernos de Pedagogía. Nº 133. Pp. 15-19.

PROGRAMME FOR INTERNATIONAL STUDENT ASSESSMENT (PISA)

(2001, Diciembre 4). Datos Internacionales comparables en cuanto a desempeño

estudiantil. Disponible en Internet:

http://www.pisa.oecd.org/dataoecd/45/34/33694020.pdf.


PUIG, L. & CALDERÓN, J. (1996). Investigación y Didáctica de las Matemáticas.

Ministerio de Educación y Ciencia. Madrid: Centro de Publicaciones.

PURYEAR, J (1998). La Realidad de la Educación Pública en Latinoamérica.

Revista Foreign Policy del Diario El Nacional. Nº 3. Caracas: Edición Venezolana.

RAMÍREZ, Z. (1998). Constructivismo Didáctico Aplicado a las Matemáticas.

Disponible en Internet:

http://www.iisue.unam.mx/seccion/bd_iresie/index.php?lg=b2J0X2FydC5odG1s

Extraído el 18 de marzo de 2001.

515

REAL DECRETO Nº 1006. Reglamento de enseñanzas mínimas correspondientes a

la Educación Primaria Española. 1991, junio 14.

REDDIN, B. (1997). El Estilo de Gestión. Bilbao-España: Ediciones Deusto.

RESNICK, L. & FORD, W. (1.990). La Enseñanza de las Matemáticas y sus

Fundamentos Psicológicos. Barcelona: Paidós.

RÍOS, P. (2004). La Aventura de Aprender. Caracas: Cognitus. Cuarta edición.

RICO, L. (1996). Pensamiento numérico. En F. Espinoza (Dir.): Investigaciones en

Matemática Educativa. Departamento de Matemática educativa CINVESTAV-IPN.

México: Grupo editorial Iberoamericana. Pp.27-53.

RICO, L. (1996). Evaluación en el Sistema Educativo Español: el caso de las

Matemáticas. Departamento de Didáctica de la Matemática. Granada-España:

Universidad de Granada.

ROA, R. (1999). Razonamiento combinatorio en estudiantes con preparación

Matemática avanzada. Base de datos TESEO. Disponible en Internet:



RODRÍGUEZ, G. et al. (1996). Metodología de la investigación cualitativa.

Granada-España: Aljibe.

RODRÍGUEZ R, M. (1997). Necesidad de un enfoque crítico de la educación en una

época posmoderna o el campo de la globalidad. En D.O.E. (1997): III simposium

internacional sobre investigación acción y prácticas educativas críticas. 22 de

noviembre de 1997. Valladalid-España: Departamento de Didáctica y Organización

Escolar. Pp. 7-15

RODRÍGUEZ, W. (2001). La valoración de las funciones cognoscitivas en la zona

de desarrollo próximo. Educere Revista venezolana de Educación. Universidad de

los Andes. Año 5. N° 15. Mérida-Venezuela. Pp. 261-269.

ROJAS, A. et al. (1998). Investigar Mediante Encuestas. Madrid: Síntesis.

516

ROMERO, I. (1995). La Introducción del Número Real en Educación Secundaria.

Base de datos TESEO. Disponible en Internet:



ROSALES, C. (1990). Evaluar es reflexionar sobre la enseñanza. Madrid: Narcea.

RUIZ, J. (1999). Metodología de la investigación cualitativa. Bilbao-España:

Universidad de Deusto.

SALKIND, N. (1999). Métodos de Investigación. México: Prentice Hall. Tercera

edición.

SÁNCHEZ, R. (2001). La 42a Olimpiada Internacional de Matemáticas. Washington,

D.C. Boletín de la Revista de la Asociación Matemática Venezolana. Vol. III, N° 1.

Pp. 49-56.

SNOW, R. (1986). Procesos Cognitivos en los estudiantes e Investigación en toma de

decisiones. En L. M. Villar (Comp.): Pensamiento de los Profesores y Toma de

Decisiones. Sevilla: Servicios de Publicaciones de la Universidad de Sevilla. Pp.

285-295.

SÁEZ, M. & CARRETERO, A. (1994). El Estudio de caso en Evaluación o la

Realidad a través de un Calidoscopio. Revista Universitaria del Profesorado. Nº 20.

Pp.163-178.

SANTALÓ et al. (1994). La Enseñanza de las Matemáticas en la Educación

Intermedia. Madrid: Rialp.

SANTOS, L. (1996). La importancia de la transferencia del conocimiento en el

estudio situado de las matemáticas. En F. Espinoza (Dir.): Investigaciones en

Matemática Educativa. Departamento de matemática educativa. CINVESTAV-IPN.

México: Grupo editorial Iberoamericana. Pp.405-422.

SEQUERA, E. (1.996). Efectos de un diseño instruccional en el desempeño de los

alumnos en la asignatura Introducción a la Matemática. Trabajo de Grado no

Publicado. Universidad de Carabobo. Valencia-Venezuela.

SKINNER, B. (1977). Sobre el conductismo. Barcelona: Fontanella.

517

STAKE, R. (1988). Case Study Methods in Educational Research. En R. Jaeger

(Ed.): Complementary Methods For Research In Education. American Educational

Reserch Association. Washinton. Pp. 251-265.

STAKE, R. (1999). Investigación con Estudios de Casos. Madrid: Morata. Segunda

edición.

STENHOUSE, L. (1987). La Investigación como base de la enseñanza. Madrid:

Morata.

SUTHERLAND, R. et al. (1996). Cultura y Cognición. El caso de las matemáticas y

las ciencias. En F. Espinoza (Dir.): Investigaciones en Matemática Educativa.

Departamento de Matemática educativa CINVESTAV-IPN. México: Grupo editorial

Iberoamericana. Pp.1-16.

SZIGETI, F. (2005). Estrategias en la Resolución de Problemas. Mérida-Venezuela:

Escuela venezolana para la Enseñanza de la Matemática.

TEBEROSKY, A. (1990, abril). Lenguaje escrito, alfabetización y estrategias de

aprendizaje. Ponencia presentada en las Primeras Jornadas de estudio sobre las

estrategias de aprendizaje. Barcelona. Pp.17-30.

TERÁN et al. (2005). Estrategias para la enseñanza y aprendizaje de la Matemática.

Mérida-Venezuela. Fondo Editorial Programa de perfeccionamiento y actualización

Docente. Universidad de los Andes.

THORNDIKE, E. (1913). Education Psycology. The Psycology of Lerning. Vol. 2.

Nueva York. Teacher college. Columbia University.

TORRALBO, M. et al. (2000). Tesis Doctorales españolas en Educación

Matemática. Disponible en Internet:

http://www.raco.cat/index.php/Ensenanza/article/viewFile/21937/21771


TRIANES, M. et al (2006). Cuestionario para evaluar el clima social del centro

escolar. Psicothema. Año/Vol. 18, Nº 002. Universidad de Oviedo-España.

Disponible en Internet: http://redalyc.uaemex.mx/pdf/727/72718217.pdf

Extraído el 11 de junio de 2007

518

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA (1986). Psicología del Desarrollo. Vol. I.

Caracas: Autor.

VALIENTE, S. (2000). Didáctica de la Matemática. Madrid: La Muralla.

VACAS, A. & ZUNKER, D. (2001). Un modelo educativo sin futuro. Disponible en

Internet: http://www.tierradenadie.de/archivo2/pisa.htm


VELÁSQUEZ, F. (2000). Las Matemáticas ante el reto cultural y social del siglo

XXI. Matemáticas, Cultura y Sociedad. Uno: Revista de Didáctica de las

Matemáticas. Nº 23 (1). Barcelona: Graó de Serveis Pedagògies. Pp.5-8.

VIVAS, V. (1998). El nivel cognoscitivo y el rendimiento en Matemática I y II

UNELLEZ San Carlos. Revista Unellez de Ciencia y Tecnología. Vol. 14, N° 1.

Serie Ecosociales. Pp.43-58.

VYGOTSKY, L. (1979). El Desarrollo de los Procesos Psicológicos Superiores.

Barcelona: Grijalbo.

WALKER, R. (1989). Métodos de investigación para el Profesorado. Madrid:

Morata, S.A.

WILSON, J. A. R. et al. (1972). Fundamentos psicológicos del aprendizaje y la

enseñanza. Madrid: Anaya.

WOLCOTT, H. (1988). Etnographic Research in Education. En R. Jaeger (Ed.):

Complementary Methods For Research In Education. American Educational Reserch

Association. Washinton, DC. Pp.185-206.

WORD ECONOMIC FORUM. (2009). The Global Competitiveness Report 2009-

2010. Editor Schwad, k. Disponible en Internet:

http://www.weforum.org/pdf/GCR09/GCR20092010fullreport.pdf

Extraído el 23 de enero de 2010.

pensamiento lógico matemático

Documents