BAB 4

BAB 5. PENERAPAN TURUNANPada bab ini akan dibahas beberapa penerapan turunan.A. Persamaan Garis Singgung

Bentuk umum persamaan garis adalah y = mx + n, dimana m adalah koeffisien arah (kemiringan) atau gradien garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan Gambar 1. Gradien garis l1 adalah .

Jika x 0, maka : .

Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis yang menyinggung titik (x,y) pada f(x) adalah : .Jika garis tersebut menyinggung kurva y = f(x) titik P(x1,y1) maka gradiennya adalah :

CACATAN1. Persamaan garis melewati titik dengan gradien m adalah

2. Persamaan garis melewati titik adalah

Contoh 1:Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + x -3 di titik P(2,3)

Penyelesaian : y = x2 + x -3

Gradien garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah :

Persamaan garis : y = mx + c. Karena menyinggung titik P(2,3) maka :

3 = 5(2) + c c = -7.

Jadi garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah: y = 5x 7Atau Persamaan garis melewati titik dengan gradien m = 5 adalah

mk atau y = 5x -7B. Persamaan garis normalGaris normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung. Dari pembahasan terdahulu kita telah mengetahui bahwa dua garis dikatakan saling tegak lurus jika perkalian kemiringan garisnya sama dengan -1; atau dalam bentuk rumus dapat ditulis menjadi: m1.m2 = -1 atau ,dimana m1 adalah kemiringan garis singgung dan m2 adalah kemiringan garis normalnya.Contoh 2 :Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (1,6) pada kurva : y = 3x2 2x + 5

Penyelesaian:

; m1 = ; m2 =

Jadi : - Persamaan garis singgung :y1 = m1x1 + n1 y1 = 4x1 + 2 - Persamaan garis singgung :y2 = m2x2 + n2 y2 = x1 +

Contoh 3 :

Jika diketahui persamaan parameter dan y = 3t2, tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung pada t = 2.

Penyelesaian: Titik singgung untuk t = 2 adalah (-2,12)

; ;

;

Jadi persamaan : garis singgung : y = 12x + 36

garis normal : y = Contoh Soal:1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari kurva :

a) di titik

b) x2 xy2 + 3y2 = 13 di titik P(2,3)

2. Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung dari fungsi parameter :

SOAL LATIHAN1. Tentukan Persamaan garis singgung pada kurva y = 2x2 + 3 yang sejajar garis 8x y +3 = 02. Tentukan Persamaan garis normal pada kurva y = 4 - x2 yang tegak lurus dengan garis 2x 4y = 03. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari kurva:

xy2 - yx3 = 9 di titik P(1,4)

C NILAI EKSTREMMisal terdapat suatu hasil pengukuran seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2. Pengukuran tersebut dapat berupa pengukuran temperatur, tekanan atau pertumbuhan suatu jenis bakteri terhadap waktu atau pengukuran lainnya. Jika

kita perhatikan Gambar 2, harga pengukuran meningkat pada [x0,x1], menurun pada [x1,x2] dan seterusnya hingga konstan pada selang [x6,x7].Definisi :

Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2 adalah dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka : i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) < f(x2) ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) > f(x2) iii) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap harga x1 dan x2Sifat :Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f setidak-tidaknya mempunyai satu nilai maksimum dan minimum [a,b].

Contoh 4 Jika diketahui f(x) = x2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk selang-selang berikut: a) [-2,0] b) (-3, 1)c) [-3,-2)d) (-1,1]Penyelesaian :

Pada selang [-2,0]

Maksimum =f(0)=6

Minimum = f(-2) = 0

a) Pada selang (-3,1)

Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x=-3)

Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = 1)

c) Pada selang [-3,-2)

Maksimum =f(-3)=0

Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -2)

d) Pada selang (-1,1]

Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -1

Minimum = f(1) = 12

Nilai Ekstrim Lokal

Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat suatu selang terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian rupa sehingga f mempunyai nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum). Setiap harga f yang mempunyai harga maksimum atau minimum disebut ekstrim lokal. Definisi :Jika c adalah bilangan yang terletak dalam daerah definisi (domain) fungsi, maka :i) f(c) adalah maksimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada (a,b).

ii) f(c) adalah minimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada (a,b).

Beberapa Sifat : Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f 1(c) = 0.

Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f dikatakan tidak mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f 1(c) ada dan tidak sama dengan 0. Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang tertutup [a,b]. Suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f 1(c) = 0. Jika c merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan kritis f, maka f(c) = 0. Nilai Ekstrim MutlakJika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka kita dapat menyimpulkan bahwa titik (c, f(c)) merupakan titik tertinggi pada garafik f. Sebaliknya f(c) adalah minimum mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) merupakan titik terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f.Sifat: Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan ril S. Jika c terletak pada S, maka :i) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f jika f(x) f(c) untuk setiap nilai x yang terletak dalam S.

ii) f(c) adalah nilai minimum mutlak f jika f(x) f(c) untuk setiap nilai x yang terletak dalam S.Langkah menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b] :1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b)

2. Tentukan titik ujung

a) Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b] maka titik ujungnya adalah a dan b.

b) Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b) maka f tidak mempunyai titik ujung.

c) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b] maka titik ujungnya adalah b.

d) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b) maka titik ujungnya adalah a.3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang didapat dari nomor 1 diatas.

4. Hitung harga f pada setiap titik ujung.

5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 3 dan 4 diatas.Langkah menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang terbuka (a,b) :1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).

2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.

3. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 diatas.Langkah menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang setengah terbuka [a,b) :1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).

2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.

3. Hitung nilai f(a)

4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.Langkah menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang setengah terbuka (a,b] :1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).

2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.

3. Hitung nilai f(b)

4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.Contoh 6 :

Jika diketahui f(x) = 2x3 - 3x2 12x + 10, tentukan nilai maksimum dan minimum f pada selang tertutup [-4,3]

Penyelesaian:Menentukan bilangan kritis (lihat teorema 5.4.7)

f(x) = 2x3 - 3x2 12x + 10

f (x) = 6x2 6x 12 = 0

6x2 6x 12 = 0 6(x2 x 2) = 0 6(x-2)(x+1) = 0

x1 = 2 ; x2 = -1

f(x1) = f(2) = 16 12 24 + 10 = -10

f(x2) = f(-1) = -2 3 + 12 + 10 = 17

Titik ujung : -4 dan 3

f(-4) = -64 48 + 48 + 10 = -54

f(3) = 54 27 -36 + 10 = 1

Jadi : f(2) adalah minimum lokal

f(-1) adalah maksimum lokal dan maksimum mutlak

f(-4) adalah minimum mutlak

Soal-soal1. Tentukan nilai-nilai ekstrim dari fungsi berikut ini serta gambarkan grafiknya !

a) f(x) = ; [2,5]

c) f(x) = ; [-1,3)

b) f(x) = ; (-3,1]d) f(x) = ; (-2,2)2. Tentukan nilai-nilai kritis dari fungsi-fungsi berikut ini !a) f(x) =

c) f(x) =

b) f(x) = 2x + 5

d) f(x) = D. Kecekungan dan kecembungan Definisi :Kurva f dikatakan cembung ke bawah (cekung keatas) pada selang (a,b) jika garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian bawah kurva f. Sebaliknya kurva f dikatakan cembung keatas (cekung kebawah) jika garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian atas kurva f.

Kurva f pada Gambar 6 cembung keatas pada selang (a,b) dan cembung kebawah pada selang (b,c).

Definisi :Jika pada selang (a,b) terdapat sembarang bilangan ril xo dan harga turunan kedua f pada x = xo atau f ||(xo) < 0 maka kurva f pada selang tersebut cekung kebawah atau cembung keatas. Jika pada selang (a,b) harga f || (xo) > 0, maka kurva f pada selang tersebut cekung keatas atau cembung kebawah.Definisi :Misal kurva f mempunyai persamaan y = f(x) dan kontinu di titik x = xo. Jika f|| (xo) = 0 dan disekitar x = xo berlaku f|| (x)>0 untuk xxo atau berlaku f||(x)xo, maka titik (xo,f(xo)) merupakan titik belok dari kurva tersebut.Contoh 7: Tentukan daerah cembung keatas dan cembung kebawah jika diketahui :f(x) = 6 5x + x2.

Penyelesaian :

f(x) = 6 5x + x2 ; f(x) = -5 + 2x ; f(x) = 2Karena f(x) > 0 untuk sembarang bilangan ril xo, maka kurva f cembung kebawah.Contoh 8:Jika diketahui persamaan f(x) = 2+x+3x2-x3, tentukan daerah pada kurva f yang merupakan daerah cembung kebawah, daerah cembung keatas dan titik belok dari kurva yang dimaksud !

Penyelesaian :

f(x) = 2+x+3x2-x3f(x) = 1 + 6x 3x2f(x) = 6 6x

Daerah cembung keatas : f(x) = 6 6x < 0 x>1

Daerah cembung kebawah : f(x) = 6 6x > 0 x