penerapan integral

1 APLIKASI INTEGRAL PADA BIDANG LAIN

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang Masalah

Kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan

deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana

geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai

pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki

aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat

memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar

elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral

yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah

pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus

mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan,

kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi

perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi

lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai

ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf

berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol

ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan

beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi,

terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil

memecahkan paradoks tersebut.


2. Rumusan masalah

Adapun yang menjadi rumusan masalah dalam penulisan makalah tugas akhir ini

yaitu persoalan-persoalan yang berkaitan dengan ilmu matematika khususnya

kalkulus yang berhubungan dengan aplikasi integral.

Beberapa masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah seputar

penggunaan ilmu-ilmu kalkulus, terutama penggunaan integral, pada bidang fisika

dan bidang lainnya.

3. Manfaat dan Tujuan

Adapun manfaat dan tujuan penulis dalam menulis makalah tugas akhir ini adalah:

a.manfaat

1. untuk menambah pengetahuan mahasiswa tentang kalkulus khususnya

dalam pengaplikasian integaral yang telah didapat dari perkuliahan dengan keadaan

ang sebenarnya.

2. untuk memperoleh keterampilan yang baru sekaligus mengembangkan

pengetahuan, wawasan serta cara berpikir.

3. mengembangkan wawasan penulis yang dipelajari selama semester II ini

terhadap mata kuliah kalkulus II.

4. sebagai sarana untuk bahan pelajaran pendukung dalam penerapan ilmu

kalkulus seperti integral.

5. sebagai bahan acuan dalam penyusunan Tugas Akhir mata kuliah kalkulus

II.


b.tujuan

Penulisan makalah Aplikasi Integral pada Bidang Lain ini bertujuan untuk

mengetahui sampai sejauh mana kemampuan penulis dalam menganalisis suatu

masalah serta kemampuan dalam mempertanggungjawabkan bagaimana cara

mengatasi masalah tersebut khususnya dalam penggunaan integral seperti

menentukan titik berat suatu benda, usaha, integral dalam fluida dan penerapan

integaral lainnya.

Selain itu, pembuatan makalah ini bertujuan juga agar dapat menambah

pengetahuan kita dalam bidang kalkulus serta pengaplikasiannya ke dalam

kehidupan sehari-hari.


BAB II

PEMBAHASAN

1. TITIK BERAT (CENSTROIDS)

MOMEN MT SUATU LUASAN BIDANG, terhadap suatu garis T ialah hasil kali luas dengan jarak langsung titik berat ke garis itu.

Untuk suatu luasan bidang A yang mempunyai titik berat yx, dan momen-momennya Mx dan My terhadap sumbu-x dan sumbu-y,

yMxA dan xMyA

Misal:

Tentukan titik berat daerah di kuadran I yang dibatasi oleh parabola 24 xy

Titik berat persegi panjang yang didekati ialah

yx

2

1,

Penyelesaian :

2

0

yA dy = 2

0

24 x dx = 3

16

2

02

1yyM x dy =

2

0

2242

1x dx =

15

128

2

0

yxM y dx = 2

0

24 xx dx = 4

Maka 4

3

A

Mx

y,

5

8

A

My x , dan koordinat titik berat

5

8,

4

3

CONTOH

Cari titik berat daerah di kuadran I yang dibatasi oleh parabola 2xy dan garis xy

.

Titik berat persegi panjang yang didekati ialah

2

2

1, xxx .

Penyelesaian :

1

0

2 )( xxA dx = 6

1

1

0

22

2

1xxxxM x dx =

15

1

1

0

2xxxM y dx = 12

1


Maka 2

1

A

Mx

y,

5

2

A

My x , dan koordinat titik berat

5

2,

2

1

2. PUSAT MASSA BATANG


Tentukan pusat massa batang yang panjangnya 9 satuan dan rapat massanya di setiap

titik yang jaraknya x satuan dari ujung kiri batang adalah xxx 23 2

Penyelesaian


3. PUSAT MASSA KEPING DATAR

Hasil tadi akan menghasilkan koordinat-koordinat titik berat yx, yaitu

m

Mx

y

m

My x

Faktor saling menghilangkan ( konstan dalam pengintegralan ) sehingga :

b

a

b

a

dxxgxf

dxxgxfx

x

b

a

b

a

dxxgxf

dxxgxfx

y

22

2

1

CONTOH

Tentukan pusat massa daerah yang dibatasi oleh 3xy dan xy


Penyelesaian

4. USAHA ( WORK )

Dalam fisika kita tahu bahwa apabila benda bergerak sejauh d sepanjang suatu garis, sedangkan ada gaya F yang ki=onstan yang menggerakkan benda itu dengan arah

yang sama dengan gerak benda tersebut, maka kerja W yang dilakukan oleh gaya tadi

adalah

dFW Rumus ini menyatakan pula bahwa

Kerja = (gaya). (jarak)

Hanya saja dalam praktek pada umumnya gaya itu ridak konstan. Andaikan benda

digerakkan sepanjang sumbu x dari titik x = a ke titik x = b. Andaikan gaya yang

menggerakkan benda yang berada di x adalah F(x) dengan F sebuah fungsi yang

kontinu. Untuk memecahkan persoalan ini, kita menggunakan lagi metode potong-

potong, aproksimasi, integralkan. Dalam hal ini, kita harus mengartikan potong-

potong sebagai mempartisikan selang ba, menjadi selang-selang bagian, aproksimasi di sisi berarti bahwa pada selang xxx , ; gaya adalah konstan dengan nilai F(x) sehingga kerja yang dilakukan adalah xxF )( , integralkan berarti

jumlahkan semua kerja pada masing-masing x dan kemudian ditarik limitnya

dengan membuat x menuju nol.


Dengan demikian dapatlah kita simpulkan kerja yang dilakukan untuk menggerakkan

benda dari a ke b adalah

APLIKASI PADA PEGAS Dengan menggunakan hukum Hooke yang berlaku dalam fisika, gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik (atau menekan) pegas

sejauh x satuan dari keadaan alami adalah

kxxF )(

Di sini, k konstanta dan disebut konstanta pegas, k adalah positif dan tergantung

dari sifat-sifat fifis pegas itu. Makin pegas makin besar k.

CONTOH Apabila panjang alami pegas adalah 10 inci dan apabila diperlukan gaya 3 pon

untuk menarik dan menahannya sejauh 2 inci, tentukan kerja yang diperlukan

untuk menarik pegas itu sejauh 15 inci dari keadaan alami.

Penyelesaian

Menurut hukum Hooke gaya )(xF yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x

inci adalah kxxF )( . Untuk menghitung konstanta k pada pegas khusus ini, kita

lihat bahwa 3)2( F . Jadi 32 k , atau 2

3k , dan selanjutnya

xxF2

3)(


Apabila pegas dalam keadaan alami sepanjang 10 inci, 0x ; apabila pegas

panjangnya 15 inci, 5x . Sehingga kerja yang diperlukan untuk menarik pegas itu adalah

5

02

3xW dx = 75,18

4

75

22

35

0

2

x inci-pon

5. Termodinamika

1.usaha

Jika suatu sistem gas melakukan usaha pada lingkungan sehingga sistem mempunyai (VB >

VA), yang berarti V=VB VA bertanda positif, maka usaha (w) bertanda positif dan sebaliknya, ketika lingkungan melakukan usaha pada sisitem memampat ( VA VB) bertanda negatif, maka usaha bertanda negatif. Usaha pada proses termodinamika dapat ditentukan

dengan:

= = ( ) (proses isobarik)

Dengan:

p=tekanan tetap (N/m2)

VB=volum akhir (m3)

Va=volum awal (m3)

W=usaha (joule)

Jika grafik tekanan (p) terhadap Volum (V) diketahui, maka usaha pada proses dapat

ditentukan dari luas kurva dibawah kurva p = f (V)

2. proses isotermik

Proses isotermik adalah suatu proses perubahan keadaan gas pada suhu tetap. Pada proses ini

berlaku persamaan:

= =

=

=

2

1

= In V2 nRT In V1

= InV2V1

Dengan:

V2= volum akhir

V1= volum awal

Untuk gas ideal monoatomik berlaku hubungan:

=3

2 (2 1)

=3

2(22 11)


6. GAYA CAIRAN (FLUIDA)

Perhatikan tangki yang tampak pada Gambar 2. Ia diisi dengan fluida dengan kepadatan setinggi h . Maka gaya pada sebuah persegi panjang-panjang datar dengan luas A yang terletak di dasar tangki, sama dengan berat kolam cairan yang

terletak tepat di atas persegi panjang itu (Gambar 1), yaitu

hAF

Menurut Pascal, tekanan (= gaya pada tiap satuan luas) dari cairan sama besarnya dari

arah mana pun. Jadi tekanan pada semua titik sebuah permukaan sama besarnya, tidak

peduli apakah permukaan itu datar, tegak atau miring, asalkan titik-titik yang

bersangkutan berada pada kedalaman yang sama. Khususnya gaya pada tiga persegi

panjang dalam Gambar 2 kira-kira sama. Aproksimasi inilah yang memungkinkan kita

untuk menghitung gaya keseluruhan pada salah satu sisi tangki.

CONTOH Pandang salah satu tepi tegak dari tangki berbentuk seperti tampak pada Gambar 3.

Andaikan tangki diisi dengan air ( = 62,4 pon per kaki kubik) dengan kedalaman 5 kaki. Hitunglah gaya total yang bekerja pada tepi tersebut.

Penyelesaian

Gambarlah system koordinat pada tepi tangki itu seperti tampak pada Gambar 4.

Perhatikan bahwa kemiringan sisi kanan adalah 3, sehingga persamaannya adalah 3,

sehingga persamaannya adalah 830 xy atau 83

1 yx . Gaya pada sebuah

persegi panjang datar pada kedalaman y5 adalah hampir sama dengan

yyyhA )83

1)(5( .


yyyF

)8

3

15

5

0

83

15 dyyyF

5

0

5

0

322

9

1

6

1940

3

1

3

1940 yyydyyyF

66379

125

6

4752004,62

pon

7. KESETARAAN MASSA DAN ENERGI

Usaha yang dilakukan oleh sebuah gaya pada benda sama dengan selisih energi kinetik benda

itu. Hubungan paling terkenal yang diperoleh Einstein dari postulat relativitas khusus adalah

mengenai massa dan energi. Hubungannya dapat diturunkan secara langsung dari defenisi

energi kinetik (Ek)dari suatu benda yang bergerak dapat dinyatakan sebagai:

=

Dalam hubungan dengan gaya, usaha (W) dapat dinyatakan dengan =

0, sehingga

=

0

Dengan F menyatakan komponen gaya yang bekerja dalam arah perpindahan ,serta ds dan s

menyatakan jarak yang ditempuh.Dengan memakai bentuk relativistik hukum gerak kedua

diperoleh

=()

Sehingga rumusan energi kinetik menjadi:

= ()

0

=

=

= =

=

1 2

2

1 2

2

0

Misalkan 2 = 1 2

2 , maka v dv =-c

2 x dx, maka


=

2

1 2

2

2

2

=

2

1 2

2

+ 2 1

2

2

=

2

1 2

2

2

= 2

2

= ()2

Hasil ini menyatakan bahwa energi kinetik suatu benda sama dengan pertambahan massanya

(akibat gerak relatifnya ) dikalikan dengan kuadrat kelajuan cahaya.Persamaan dapat juga

ditulis

2 = 2

Einstein berpendapat bahwa energi total benda ketika bergerak dengan kecepatan v adalah

mc2, sedangkan m0c

2 adalah energi total benda ketika diam dan Ek adalah energi kinetik

benda. Untuk munyingkat penulisan, biasanya hubungan energi benda yang diam dan benda

yang bergerak dalam teori relativitas dapat dinyatakan dengan persamaan dengan persamaan

berikut ini.

= CONTOH

Berapakah energi total, energi kinetik dan momentum sebuah proton (m0c2=938MeV) yang

bergerak dengan kecepatanv=0,6c?

Penyelesaian:

a. E =m0c

2

1v 2

c 2

=938MeV

1 0,6c 2

c 2

=938

0,64= 1172,5MeV

= 1172 ,5106 1,602

1019

= 1,878 1010

b. Enegi kinetiknya: Ek=E-moc2

Ek=(1172,5-938)meV=234,5MeV

c. Momentumnya

mo=938

2=

938106 (1,61019 )

3108 2

=1,73x10-27

kg

Sehingga: =0

12

2

= 1,731027 (3108 )

1(0,6)2

2

= 3,98 1019


8. PELURUHAN RADIOAKTIF (DESINTEGRASI)

Peluruhan terjadi secara spontan dan tidak dapat dikontrol serta dipengaruhi oleh persamaan

kimia dan fisika seperti pengaruh suhu dan tekanan. Dari hasil penelitian diperoleh bahwa

kemampuan suatu unsur untuk meluruhkan berbeda-beda. Ada unsur yang dalam waktu

singkat semua intinya meluruh,dan ada pula yang meluruh dengan lambat.

Contonya,sejumlah besar inti atom N dari suatu radioisotop yang meluruh melancarkan

partikel partikel dan serta diikuti pemancaran . Jumlah rata rata atom belururbanding (dN) yang akan meluruh dalam waktu dt adalahs dengan jumlah atom N

sehingga dapat diberikan dalam persamaan.

=

=

0

0

In N

N0 = t

Sehingga,

N = N0et

Dengan

N =jumlah atom radioaktif setelah meluruh selama t

N0 =jumlah atom radioaktif sebelum meluruh

E =bilangan asli (eurel)= 2,71828

=konstanta peluruhan t =waktu paruh

Hubungan N dengan t pada proses peluruhan inti radioaktif dapat dinyatakan dalam grafik

berikut ini:

Pada peristiwa peluruhan inti radioaktif, waktu yang diperlukan untuk inti radioaktif untuk

meluruh sehingga jumlah atomnya setengah jumlah atom mula-mula disebut waktu

paruh(t1/2). Waktu paruh pada peristiwa peluruhan radioaktif dapat ditentukan dengan

persamaan berikut:

N = N0et

1

2 N0 = N0e

t12

1

2=

1

et1

2

In 2 = t12

Karena In 2=0,693, maka

12=

In 2

=0.693

Dengan:

t1/2=waktu paruh

CONTOH

Hitung tetapan peluruhan dari partikel pengion yang memiliki waktu paruh 4 tahun?

Penyelesaian:

Diketahui: t1/2=4 tahun


Dengan menggunakan persamaan: 12

= 0,693

, diperoleh

=0,693

12

=0,693

4=

0,17

Jadi, tetapan peluruhan adalah 0,17

9. KINEMATIKA

Menentukan kecepatan dari grafik fungsi percepatan

Jika percepatan a sebagai fungsi waktu t diketahui maka kecepatan v dapat ditentukan dengan

teknik integrasi.

=

=

Integralkan kedua ruas, maka kita peroleh:

=

0

0

=

= +

Dengan 0 adalah vektor kecepatan awal (kecepatan pada t=0).(catatan hasil tidak perlu diberi konstanta.)

Untuk gerak satu dimensi (pada sumbu X saja atau sumbu Y saja), persamaan persamaannya

persis seperti persamaan diatas, hanya huruf tebal diganti huruf miring. Ini karena arah vektor

kecepatan diwakili oleh tanda positif atau negatif.

= +

Menentukan Posisi dari fungsi kecepatan

Jika komponen-komponen kecepatan sebagai fungsi waktu diketahui maka posisi horizontal x dan posisi vertikal y dari partikel dapat ditentukan dari persamaan

pengintegralan:

=

=

0

0

0 =

= 0 +

=

=

0

0


0 =

= 0 +

=

3

2

=

2

1

3

2

CONTOH

Misalkan = 62 + 12 8 adalah fungsi percepatan pada garis koordinat titik x, dengan t dalam detik dan a dalam m/s

2. Tentukan persamaan kecepatan =

1 2 dan persamaan posisi = 2 8 Penyelesaian:

= 62 + 12 8 = 0 + ()

= 0 + 62 + 12 8 ; 0=0 maka

= 62 + 12 8

= 23 + 62 8 + 1 = 2(1)3 + 6(1)2 8 1 + 2 = 2 + 6 8 + = 2 Sehingga persamaan kecepatannya adalah:

= 23 + 62 8 + 2

= 0 +

= 0 + (23 + 62 8 + 2) ; 0 = , maka

= (23 + 62 8 + 2)

=1

24 + 23 42 + 2 +

2 =1

2 2 4 + 2 2 3 4 2 2 +

8 = 8 + 16 16 + = 0 Sehingga persamaan posisinya adalah:

=1

24 + 23 42 + 2


10. DALAM BIDANG EKONOMI

fungsi biaya

Contoh kasus:

Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q + 4. Carilah persamaan

biaya total dan biaya rata-ratanya.

fungsi penerimaan

Contoh kasus:

Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika

penerimaan marjinalnya MR = 16 4Q

fungsi utilitas

Contoh kasus:

Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90 10Q

fungsi produksi

Contoh kasus:

Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 18x 3x2 . carilah persamaa produk total dan produk rata-ratanya.

fungsi konsumsi dan tabungan

Contoh kasus:

carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah negara jika diketahui

outonomous consumption-nya sebesar 30 milyar dan MPC = 0,8.

Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari

suatu variabel ekonomi apabila fungsi marjinalnya diketahui. Karena fungsi marjinal pada

dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya, yakni

integrasi, dapatlah dicari fungsi asal dari fungsi tersebut atau fungsi totalnya.

1. Fungsi biaya

Biaya total C = f(Q)

Biaya marjinal : MC = C1 = dC/dQ = f1 (Q)

Biaya total tak lain adalah integrasi dari niaya marjinal

C = MC dQ = f1 (Q) dQ

Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:

Biya total : C = MCdQ = (3Q2 - 6Q + 4.) dQ = Q3 - 3Q2 + 4Q + k

Biaya rata-rata : C/Q = Q3 - 3Q2 + 4Q + k/Q

Konstanta k tak lain adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap tersebut adalah 4, maka:

C = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4

AC = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4/Q

2. Fungsi Penerimaan

Penerimaan total : R = f(Q)


Penerimaan marjinal : MR = R1 = dR/dQ = f1 (Q)

Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marjinal

R = MR dQ = f1 (Q) Dq


Penerimaan total : R = MR dQ = (16 4Q) dQ = 16Q 2Q2 Penerimaan rata-rata : AR = R/Q = 16 2Q Dalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak akan ada jika tak

ada barang yang dihasilkan atau terjual.

3. Fungsi Utilitas

Utilitas total : U = f(Q)

Utilitas marjinal : MU = U1 = dU/dQ = f1 (Q)

Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal

U = MU dQ = f1 (Q) dQ


Utilitas total: U = MU dQ = (90 10Q) dQ = 90Q 5Q2 Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disinipun konstanta k = 0, sebab tak ada

kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tak ada barang yang dikonsumsi.

4. Fungsi Produksi

Produsi total :P = f(x) dimana.

P = keluaran; x = masukan

Produk marjinal : MP = P1 = dP/dX = f1 (x)

Produk total tak lain adalah integral dari produk marjinal

P = MPdX = f1 (x) Dx Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:

Produk total : P = MPdX = (18x 3x2 ) dX = 9x2 x3 Produk rata-rata : AP = p/x = 9x x2

5. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyataka fungsional terhadap

pendapatan nasional (Y).

C = f(Y) = a + By

MPC = C 1 = dC/dY = f 1 (Y) = b

Karena Y = C + S, maka

S = g(y) = -a + (1 b) Y MPS = S1 = dS/dY = g 1 (Y) = (1 b) Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi da tabungan masing-masing adalah integral dari

marginal propensity to consume dan marginal propensity to save.


C = MPC dY = F(Y) + k k a S = MPS dY = G(Y) + k k -a

Konstanta k pada fungsi produksi da fungsi tabungan masing-masing adalah outonomous

consumption dan outonomous saving.


C = MPC dY = 0,8 Y + 30 milyar. S = MPS dY = 0,2 Y 30 milyar. Atau S = Y C = Y (0,8 Y 30 milyar) = 0,2Y 30 milyar.


BAB III

KESIMPULAN

Integral tentu dapat diterapkan pada bidang lain. Misalnya pada bidang fisika. Pada bidang

fisika, integral tentu dapat digunakan pada :

Titik berat

Pusat massa batang

Pusat massa keping datar

Usaha

Termodinamika

Gaya cairan ( fluida )

Kesetaraan massa dan energi

Peluruhan radioaktif (disentegrasi)

Kinematika

Penerapan dalam bidang ekonomi

Pada pembahasan titik berat: untuk suatu luasan bidang A yang mempunyai titik berat (

, ) dan momen-momennya Mx

dan My terhadap sumbu-x dan sumbu-y

A =

=

Pada pusat massa batang : Massa batang , momen massa batang terhadap titik O , dan titik pusat massa batang

didefenisikan sebagai berikut.

Massa : M =

n

i

L

iiP

dxxxcLim1 0

0)()(

Momen massa terhadap titik O :

n

i

L

iiiP

o dxxxxccLimM1 0

0)()(

Titik pusat massa :

L

L

o

dxx

dxxx

M

Mx

0

0

)(

)(

Pada pusat massa keping datar :

=

()

=

()


Pada pembahasan usaha: apabila benda bergerak sejauh d sepanjang suatu garis, sedangkan ada gaya F yang constant

yang menggerakkan benda itu dengan arah yang sama dengan gerak benda tersebut, maka

kerja W yang dilakukan oleh gaya tadi adalah:

W = F.d

Dimana penggunaan integralnya :

W =

Pada pembahasan termodinamika Jika suatu sistem gas melakukan usaha pada lingkungan sehingga sistem mempunyai (VB >

VA), yang berarti V=VB VA bertanda positif, maka usaha (w) bertanda positif dan sebaliknya, ketika lingkungan melakukan usaha pada sisitem memampat ( VA VB) bertanda negatif, maka usaha bertanda negatif. Usaha pada proses termodinamika dapat ditentukan

dengan:

= = ( ) Dimana penggunaan integralnya: =

=

=

=

=

=

Pada pembahasan gaya cairan ( fluida): apabila suatu tangki diisi dengan fluida dengan kepadatan setinggi h. maka gaya pada sebuah persegi panjang datar dengan luas A yang terletak didasar tangki sama dengan berat

kolam cairan yang terletak tepat diatas persegi panjang itu yaitu :

F = Dimana penggunaan integralnya : .. .

F =

Pada pembahasan kesetaraan massa dan energi Usaha yang dilakukan oleh sebuah gaya pada benda sama dengan selisih energi kinetik benda

itu. Hubungan paling terkenal yang diperoleh Einstein dari postulat relativitas khusus adalah

mengenai massa dan energi. Hubungannya dapat diturunkan secara langsung dari defenisi

energi kinetik (Ek)dari suatu benda yang bergerak dapat dinyatakan sebagai:

=

Dalam hubungan dengan gaya, usaha (W) dapat dinyatakan dengan =

0, sehingga

=

0

Dimana penggunaan integralnya:

= ()

0

=

=


= =

=

1 2

2

1 2

2

0

Misalkan 2 = 1 2

2 , maka v dv =-c

2 x dx, maka

=

2

1 2

2

2

2

=

2

1 2

2

+ 2 1

2

2

=

2

1 2

2

2

= 2

2

= ()2

2 = 2

= Pada pembahasan peluruhan radioaktif (disentegrasi) Peluruhan terjadi secara spontan dan tidak dapat dikontrol serta dipengaruhi oleh persamaan

kimia dan fisika seperti pengaruh suhu dan tekanan. Dari hasil penelitian diperoleh bahwa

kemampuan suatu unsur untuk meluruhkan berbeda-beda. Ada unsur yang dalam waktu

singkat semua intinya meluruh,dan ada pula yang meluruh dengan lambat.

Contonya,sejumlah besar inti atom N dari suatu radioisotop yang meluruh melancarkan

partikel partikel dan serta diikuti pemancaran . Jumlah rata rata atom belururbanding (dN) yang akan meluruh dalam waktu dt adalahs dengan jumlah atom N

sehingga dapat diberikan dalam persamaan.

=

=

0

0

In N

N0 = t

Sehingga,

N = N0et

1

2 N0 = N0e

t12

1

2=

1

e t1

2

In 2 = t12

Karena In 2=0,693, maka

12=

In 2

=0.693


Pada pembahasan dalam kinematika

Menentukan kecepatan dari grafik fungsi percepatan

Jika percepatan a sebagai fungsi waktu t diketahui maka kecepatan v dapat ditentukan dengan

teknik integrasi.

=

=

Integralkan kedua ruas, maka kita peroleh:

=

0

0

=

= +

Dengan 0 adalah vektor kecepatan awal (kecepatan pada t=0).(catatan hasil tidak perlu diberi konstanta.)

Untuk gerak satu dimensi (pada sumbu X saja atau sumbu Y saja), persamaan persamaannya

persis seperti persamaan diatas, hanya huruf tebal diganti huruf miring. Ini karena arah vektor

kecepatan diwakili oleh tanda positif atau negatif.

= +

Menentukan Posisi dari fungsi kecepatan

Jika komponen-komponen kecepatan sebagai fungsi waktu diketahui maka posisi horizontal x dan posisi vertikal y dari partikel dapat ditentukan dari persamaan

pengintegralan:

=

=

0

0

0 =

= 0 +

=

=

0

0

0 =

= 0 +


=

3

2

=

2

1

3

2

Penerapan dalam bidang ekonomi

1. Fungsi biaya

Biaya total C = f(Q)

Biaya marjinal : MC = C1 = dC/dQ = f1 (Q)

Biaya total tak lain adalah integrasi dari niaya marjinal

C = MC dQ = f1 (Q) dQ

2. Fungsi Penerimaan

Penerimaan total : R = f(Q)

Penerimaan marjinal : MR = R1 = dR/dQ = f1 (Q)

Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marjinal

R = MR dQ = f1 (Q) Dq

3. Fungsi Utilitas

Utilitas total : U = f(Q)

Utilitas marjinal : MU = U1 = dU/dQ = f1 (Q)

Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal

U = MU dQ = f1 (Q) dQ

4. Fungsi Produksi

Produsi total :P = f(x) dimana.

P = keluaran; x = masukan

Produk marjinal : MP = P1 = dP/dX = f1 (x)

Produk total tak lain adalah integral dari produk marjinal

P = MPdX = f1 (x) Dx

5. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyataka fungsional terhadap

pendapatan nasional (Y).

C = f(Y) = a + By

MPC = C 1 = dC/dY = f 1 (Y) = b

Karena Y = C + S, maka

S = g(y) = -a + (1 b) Y MPS = S1 = dS/dY = g 1 (Y) = (1 b) Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi da tabungan masing-masing adalah integral dari

marginal propensity to consume dan marginal propensity to save.

C = MPC dY = F(Y) + k k a S = MPS dY = G(Y) + k k -a


DAFTAR PUSTAKA

Martono, Koko. 1999. Kalkulus. Bandung: Erlangga

Purcell, E.J. 1995. Kalkulus dan Geometri Analitik (terjemahan I.N Susila, dkk).

Jilid I, edisi V. Jakarta: Erlangga

Schaum. 1985. Kalkulus. Jakarta : PT Gelora Aksara Pratama.

Serway,A.L. dan Faughn,J.S.1999.College Physics,USA: Harcourt Brace

College Publisher

Tim Dosen Matematika. 2010. Kalkulus II. Medan: FMIPA UNIMED

Tripler,P.A.1998.Fisikauntuk sains dan teknik jilid

1(terjemahan).Jakarta:Penerbit Erlangga

penerapan integral

Documents