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1 INTRODUÇÂO

O pêndulo invertido é um sistema mecânico muito utilizado no estudo de

controle de sistemas instáveis, como o controle de lançamento de veículos

espaciais e o controle da postura ereta. O sistema consiste em um pêndulo

invertido preso a um carrinho motorizado que se movimenta sobre um trilho. O

objetivo do controle é manter o pêndulo equilibrado na posição vertical, mesmo

quando perturbações são aplicadas ao sistema.

Segundo Vendramini (2010), esse sistema ilustra as dificuldades

práticas associadas com aplicações de sistemas de controle no mundo real,

sendo, portanto, de interesse para os estudos em tecnologia de controle .

Este trabalho tem como objetivo construir um sistema de controle de

pêndulo invertido usando material reaproveitado de equipamento eletrônico de

impressão, dando ênfase na aplicação prática para que possam ser testadas e

comparadas estratégias de controle alternativas.

Na parte eletrônica será construído um sistema embarcado para operar

o pêndulo, o qual conterá em sua interface um sistema de conexão direta com

um microcomputador, possibilitando sua utilização como ferramenta didática

para o laboratório de automação.

2 MOTIVAÇÃO.

No mundo em que vivemos existe uma infinidade de sistemas com

características não lineares, onde as somatórias de forças levam a

comportamentos completamente diferentes e difíceis de serem controlados,

como exemplo podemos citar bolsa de valores, dinâmica de populações,

meteorologia entre outros.

Assim, há uma enorme quantidade de aplicações para as técnicas de

controle que podem ser utilizadas nesses tipos de sistemas. Dentre as diversas

técnicas, é possível destacar duas pelo fato de serem aquelas que apresentam

melhores resultados para o problema do pendulo:

RNA: As Redes Neurais Artificiais são um conjunto de técnicas

computacionais que apresentam um modelo matemático inspirado na

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estrutura neural de organismos inteligentes, que adquirem conhecimento

através da experiência.

PDI: O controle Proporcional Integral Derivativo é uma técnica de

controle que combina as vantagens dos controladores proporcional,

integral e derivativo. O efeito proporcional do controle minimiza o erro

proporcionalmente ao próprio erro. A ação integral está diretamente

ligada à precisão do sistema, sendo responsável pelo erro nulo em

regime permanente. A ação derivativa tende a aumentar a estabilidade

relativa do sistema enquanto simultaneamente torna a resposta do

sistema mais rápida devido ao seu efeito antecipatório.

3 OBJETIVOS

3.1 Objetivo Geral.

Construção de uma plataforma para estudo de técnicas de modelagem e

controle composta por um pêndulo invertido.

3.2 Objetivo Específico.

Implementar e desenvolver tecnologias de controle e de modelagem

para todos os valores de deslocamento angular do pendulo invertido.

Criar uma interface de comunicação entre o computador e o sistema

embarcado.

4 REVISÃO DE LITERATURA.

Para que haja a compreensão de sistemas complexos, é necessária a

obtenção de modelos quantitativos. Estes sistemas apresentam fatores

desconhecidos e de difícil manipulação, de modo que através da linearização

do problema é possível obter um conjunto de equações simplificadas, que

descrevem inicialmente o problema proposto, sendo útil na análise e projeto.

3

Segundo Ribeiro (2007) as etapas do processo de modelagem de um

sistema dinâmico podem ser listadas como:

1. Definir o escopo do sistema e dos seus componentes essenciais.

2. Formular o modelo matemático e listar as hipóteses necessárias.

3. Escrever as equações diferenciais que descrevem o modelo.

4. Resolver as equações em função das variáveis de saída de interesse.

5. Examinar as soluções e as hipóteses.

6. Se necessário aprimorar o modelo do sistema.

O sistema de um pêndulo invertido se constitui de um mecanismo muito

utilizado para a testagem de problemas de controle, principalmente por se

tratar de um problema não linear e instável. Existem inúmeras utilizações

práticas para os conceitos de pêndulo invertido, podemos citar como exemplos:

o controle de oscilações de arranha-céus; o conceito contra abalos sísmicos

desenvolvido por Zayas (1985) e a moto de uma roda só. A Figura 1 mostra um

exemplo de utilização das técnicas do pêndulo invertido.

Figura 1: Exemplo de utilização de pêndulo.

Fonte: http://www.materiaincognita.com.br/mobilidade-urbana-a-moto-tipo-scooter-com-

uma-roda-so/#axzz1cy7EH78U

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4.1 Movimento Circular Uniforme

No movimento circular, o vetor aceleração é dividido em uma

componente tangencial at e uma componente radial, ar. Assim, a aceleração

resultante, é dada pela expressão:

a=atɵ + arr (1)

Sendo:

ɵ - vetor unitário da direção tangencial

r – vetor unitário da direção radial

Onde:

at = d|v|/dt e ar = v2/R (2)

v- velocidade

R- raio da trajetória

A Figura 2 mostra um esboço do movimento circular para a situação

citada.

Figura 2: Componentes do movimento circular

Fonte: Mukai H.

O movimento circular uniforme se caracteriza pelo fato do módulo do

vetor velocidade |V| ser constante. Como a componente tangencial é dada pela

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derivada, neste caso ela se torna nula, sobrando apenas a componente radial,

que também é conhecida como aceleração centrípeta.

4.2 Movimento Harmônico Simples

Podemos definir o movimento harmônico simples como quando uma

partícula se move ao longo de um eixo X, estando sua posição x dada em

função do tempo t pela equação:

x=A·sen(ωt+ϕ) (3)

Onde:

A é a amplitude.

ω a freqüência angular.

ω t+ϕ a fase.

Φ a fase inicial.

Ou seja, um movimento é descrito como oscilatório ou vibratório quando

em um sistema uma partícula se desloca periodicamente sobre uma mesma

trajetória, de um lado para outro em relação a uma posição de equilíbrio. Essa

posição é o ponto sobre a trajetória na qual as resultantes das forças que agem

sobre a partícula é nula. Podemos citar como exemplo o movimento de um

pêndulo e o sistema massa mola.

Para que sejam estabelecidas as equações que permitam calcular as

variáveis que regem o comportamento da velocidade, aceleração e força

atuante em um dado instante de um sistema regido pelo movimento harmônico

simples (MHS), consideramos o deslocamento de um ponto material sobre uma

trajetória circunferencial de raio R, conforme mostra a Figura 3.

Quando observado o movimento da projeção P - do ponto material M

que realiza o movimento circularmente uniforme sobre um diâmetro da

trajetória, é possível perceber que se trata de um MHS. É evidente que a

projeção P oscilará em relação ao centro da trajetória com amplitude igual ao

raio da mesma. Neste caso, será trabalhado o diâmetro horizontal.

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Figura 3: Conceito do MHS

Fonte: Präss

Através da figura 3 utilizando trigonometria é possível chegar à seguinte

equação:

X=Rcosɵ (4)

Sendo a amplitude do movimento oscilatório realizado por P, igual ao

raio R. podemos dizer que a velocidade angular é:

ω=Δɵ/Δt (5)

Onde t é o tempo gasto para M percorrer o arco que compreende o

ângulo ɵ. Sendo assim a equação pode ser escrita como:

X= Acos(ωt) (6)

Sabendo que a velocidade angular também pode ser dada por:

ω=(2π/T)=2πf (7)

Sendo:

T=Período

f=Frequência

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Podemos assim reescrever a equação da seguinte maneira:

X=Acos(2πft+ϕ) (8)

Onde o ângulo ϕ compreende a fase do movimento para t=0.

Para que seja estabelecida a equação de velocidade que rege o

movimento harmônico simples do sistema, o problema será abordado de forma

análoga, determinando a equação para a velocidade linear do movimento

circunferencial. A velocidade para o ponto P será a projeção do vetor

velocidade linear da partícula sobre o diâmetro, como mostra a Figura 4.

Lembrando que é possível relacionar a velocidade linear com a

velocidade angular através das equações:

V=ωR ou V=2πf (9)

Figura 4: Projeção da velocidade sobre o diâmetro.

Fonte: Präss

Feita a projeção sobre x do vetor velocidade linear se obtém:

V=ωRcosα = -ωRcosβ = ωRsenɵ (10)

Substituindo nas equações:

8

V=-ωAsen(2πft) (11)

Para a descrição da aceleração do movimento harmônico simples, basta

que se projete o vetor aceleração centrípeta do ponto M sobre o eixo x, (vide

Figura 5 ) sabendo que a aceleração centrípeta segundo o movimento circular

uniforme é dada por:

ac=(V2/R)=(ω2/R) (12)

A projeção do vetor é:

a=accosΥ= -acosɵ (13)

Sendo assim:

a=-ω2Rcosɵ=- ω2Acosɵ (14)

Como:

X=Acosɵ (15)

Relacionando a equação (15) com a (14) obtém-se:

a=-ω2x (16)

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Figura 5: projeção da aceleração centrípeta do ponto M sobre o eixo X.

Fonte: Präss

Utilizando a equação fundamental da dinâmica para encontrar a

intensidade da força restauradora se tem:

F=ma (17)

Relacionando a equação (16) com a equação (17) encontra-se:

F=m(-ω2x) (18)

Como m e ω são constantes é possível substitui-las por:

K=mω2 (19)

Sendo assim:

F=-kx (20)

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Através dessa equação é possível perceber que a forca F atuante no

ponto P possui caráter restaurador, o que determina que o movimento seja

realmente harmônico simples.

4.3 Modelo do Pêndulo Simples

O pêndulo simples é um sistema composto por uma massa M, acoplada

a um fio de tamanho L que permite sua movimentação livre. A massa é

submetida à força da gravidade g, vide Figura 6.

Figura 6: Exemplo do pendulo Simples

Fonte:http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php

Há também neste modelo um ângulo ɵ do fio com a vertical. As forças

que atuam sobre esta massa são o peso e a tração (T). O peso sobre o corpo

pode ser descrito como o produto da massa multiplicada pela gravidade (mg).

O movimento oscilatório deste sistema se dá em torno de um arco de círculo de

raio L.

Existe uma grande quantidade de pêndulos sendo estudados em

diversas áreas, já que estes são objetos de fácil previsão de movimentos.

Estes já possibilitaram inúmeros avanços tecnológicos. Podemos citar os

pêndulos físicos, de torção, cônicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e

invertidos. Porém o modelo mais simples, e de maior utilização ainda é o

pêndulo simples.

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Quando a massa é afastada da posição de repouso e solta, o pêndulo

realiza oscilações. Ao desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças

que atuam sobre o pêndulo são a tensão com o fio e a massa da esfera, como

mostrado na Figura 7.

Figura 7: Decomposição das forças atuantes no pendulo.

Fonte: www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php

É possível dividir as componentes da força peso segundo as direções

radial e tangencial, obtendo-se assim:

Direção Radial: Py=mg cosɵ (20)

Direção Tangencial: Px=mg senɵ (21)

A segunda lei de Newton permite descrever o movimento segundo

a direção radial da seguinte maneira:

may=T-mg cosɵ (22)

Como não há movimento em Y, ay=0, obtém-se:

T= mg cosɵ (23)

Para o movimento na direção tangencial, a aceleração do sistema pode

ser descrita pela seguinte equação:

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ax=dv/dt (24)

Sabendo que a componente tangencial da aceleração descreve

unicamente as variações do módulo da velocidade da partícula no sistema e

que a componente radial dá as variações de direção da velocidade no decorrer

do tempo, pode-se escrever:

max=mg senɵ (25)

Utilizando-se a equação (9) e considerando c comprimento do fio L sendo igual

ao do raio R, temos:

ax = Rdω/dt = Ld2ɵ/dt2 (26)

Lembrando que a força tangencial é do tipo restauradora, ao relacionar a

equação (25) e (26) obtém-se :

d2ɵ/dt2 + (gsenɵ)/L =0 (27)

Para este modelo a componente tangencial é conhecida como força

restauradora, o que indica que a força F se opõe ao aumento de ɵ. Essa força

não é proporcional ao deslocamento angular ɵ, mas sim ao senɵ. Dessa forma,

o movimento não é harmônico simples. No entanto, se o ângulo ɵ for

suficientemente pequeno, de modo que a função senɵ seja aproximadamente

igual a ɵ, o deslocamento ao longo do arco será deduzido por:

x = Lɵ. (28)

Assim obtém-se:

( ) ( ( )) (29)

Isto mostra que para pequenos deslocamentos a força restauradora é

proporcional ao deslocamento com sentido contrário, sendo esta a condição

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para se obter movimento harmônico simples. Esse desenvolvimento pode ser

provado através das séries de Taylor:

Senɵ = ɵ - (ɵ3/3!) + (ɵ5/5!) - (ɵ7/7!)... (30)

Uma vez que o ângulo seja suficientemente pequeno (ɵ<15º),

atendemos a condição de senɵ≈ɵ. Assim, as oscilações do pêndulo são

descritas pela fórmula:

(d2ɵ/dt2) – (g/L)ɵ = 0 (31)

Onde a solução é dada por:

ɵ(t)=ɵ0cos(ωt+ϕ) (32)

Sendo:

ω2=g/L (33)

Lembrando que a frequência angular é:

ω=2π/T (34)

Podemos descrever o período de oscilação do pêndulo como sendo:

√ (36)

4.4 Pêndulo Invertido

Um pêndulo invertido basicamente é um dispositivo físico constituído de

uma barra metálica, a qual é livre para movimentar-se em torno de um ponto

fixo. Esse ponto é fixado em uma plataforma móvel que por sua vez é livre para

mover na direção horizontal. A plataforma é acionada por um motor que pode

exercer uma força variável no deslocamento da mesma. Naturalmente, a haste

tende a cair, pois sua posição vertical inicial é uma condição de equilíbrio

instável. Para o controle do mecanismo usa-se uma malha de controle com o

objetivo de estabilizar a haste do pêndulo na posição vertical. Isso é possível

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exercendo-se uma força através do movimento do carro que tende a

contrabalancear a dinâmica natural do pêndulo. A intensidade da força pode

ser controlada a partir da informação da posição angular da haste. Para isso é

necessário que o sistema do pêndulo seja modelado identificando todos os

seus parâmetros para que se possa projetar um controlador a fim de estabilizá-

lo. A Figura 8 mostra o exemplo de um pendulo invertido.

Figura 8: Pendulo Invertido.

Fonte: Carvalho, 1999.

De acordo coma Figura 8 nota-se a existência de três grandezas

envolvidas no problema: a força F, a distância X e o ângulo θ. A primeira é a

força F aplicado na plataforma sendo ela nossa variável manipuladora do

processo. Para a força se adota valores limites de saturação, que é uma forma

de não linearidade, tendo então que a força estará entre os limites de

estabelecidos por Fmax ≤ |F| >0.

Como mostrado na Figura 8, o ângulo ɵ é contado a partir da posição

inicial. Considerando os limites físicos temos que o |ɵ| ≤ ɵmax, onde 0 < ɵmax

≤90º. Se |ɵ| ≥ ɵmax tem-se uma situação em que o pêndulo se encontra na

posição horizontal, sendo parte da proposta deste trabalho manipular o pêndulo

de modo que retome a estabilidade do sistema.

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Por último temos a distancia na qual a plataforma se desloca em X,

sendo que os limites dos movimentos determinados por |X| ≤ Xmax, para Xmax

> 0, sendo assim temos uma condição de falha para |X| > Xmax.

De acordo carvalho (1999) adotando o sistema internacional de medidas

SI onde todas as derivadas tem relação com o tempo, podemos convencionar

as seguintes grandezas:

L – Distancia do eixo ao centro da massa do pendulo.

g – Aceleração da gravidade – 9,81m/s2

M – Massa da plataforma (Kg)

m – Massa do pendulo (Kg)

J – Momento de inercia do pendulo com relação ao eixo (Kgm2)

µC – Coeficiente de atrito da plataforma com o trilho (Ns/m)

µP – Coeficiente de atrito do pendulo em seu eixo (Nms/rad)

Comumente e encontrada na literatura valores que descrevam essas

grandezas como os valores propostos pelo manual do pêndulo, estes valores

servirão para uma primeira aproximação do problema.

Fmax= 24 N

L =0,36 m

m = 0,23 kg

µc= 0,050 Ns/m

xmax = 0,50m

M = 2,4 kg

J = 0,099 kgm2

µp = 0Nms/rad

Esses valores serão utilizados apenas na primeira abordagem, para um

maior entendimento do sistema. Lembrando que proposta deste projeto

consiste na construção do sistema do pendulo, sendo assim devemos obter as

características mecânicas do projeto real. Segundo Ribeiro (2007) essas

características podem ser obtidas a partir dos dados de ensaio do pêndulo

simples. Também há necessidade do tratamento da auto ereção do pendulo,

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que ocorrerá a partir da modelagem, não fazendo a consideração de

aproximação de senɵ = ɵ, como foi mostrado na equação 28.

4.5 Sistema de Controle do Pêndulo

Segundo Tavares (2006) para controle do pêndulo é necessário que haja

um sistema de controle com realimentação, isto é, um sistema que estabelece

uma relação de comparação entre a saída e a entrada de referência utilizando

a diferença como meio de controle. De acordo com Ogata (2008) os sistemas

de controle com realimentação também são denominados como sistema de

controle em malha fechada. Em um sistema de controle de malha fechada, o

sinal do erro que atuará na correção do processo é a diferença entre o sinal de

entrada e o sinal de realimentação, que tanto pode ser o próprio sinal de saída

como alguma função que o relaciona. Esse sinal de erro realimenta o

controlador de forma a minimizar o erro do sistema para que a saída possa ser

a mais próxima do valor desejado. A Figura 9 mostra um exemplo de controle

em malha fechada.

Figura 9: Controle em malha fechada.

Fonte: http://www.ece.ufrgs.br/~jmgomes/pid/Apostila/apostila/node6.html

A utilização do sistema de malha fechada deste projeto é obrigatória,

pois este é um controle em que dependemos a todo momento da posição de

sua haste, que por sua vez possibilita a realização de correções na força

aplicada ao carrinho de controle e no direcionamento do mesmo.

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5 METODOLOGIA

A análise do controle do pêndulo invertido pode ser destrinchada em três

partes distintas: a construção do modelo mecânico, o levantamento dos

parâmetros e implementação dos algoritmos de controle.

A primeira parte refere-se à construção do modelo mecânico do projeto.

Para tanto, será utilizada partes reaproveitadas de equipamentos

eletromecânicos vindos de uma impressora, como mostrado na Figura 10. Nela

será instalada uma haste com peso em uma ponta e a outra ponta fixada no

carrinho(conforme Figura 11), que será controlado por um motor de corrente

continua (CC), alimentado em 12 volts. O motor será acionado através da

modulação de largura de pulso (PWM). Esse tipo de modulação funciona

através da variação do período do sinal, o que faz com que o valor de potencia

entregue ao motor varie. Sendo assim, será possível controlar a força que afeta

o sistema do pêndulo.

Figura 10: Imagem da Plotter a ser Utilizada.

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Figura 11: Local de fixação da haste do pendulo

Nesta fase também será construído o sistema embarcado para controle

do pêndulo. Esse sistema será inicialmente produzido através do

microcontrolador PIC 18F452 com o uso do kit de gravação da Micro Gênios

como mostrado na Figura 12. Esse micro controlador foi escolhido por ser de

fácil acesso e de baixo custo.

Figura 12: Kit de Gravação Micro Gênios como micro controlador a ser utilizado.

Para que seja medida a posição do ângulo da haste será utilizado um

encoder, que são transdutores de movimento capazes de converter

movimentos lineares ou angulares em informações elétricas que por sua vez,

podem ser transformadas em informações binárias e tratadas. A Figura 13

mostra o encoder a ser utilizado.

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Figura 13: Encoder a ser utilizado.

A segunda parte do projeto consiste em obter os parâmetros, através de

ensaios para a modelagem do pêndulo proposto. Primeiramente serão

atribuídos os valores padrão dados pelo manual do pêndulo invertido para

testes no sistema. Em seguida, o sistema será ensaiado para que sejam

encontrados os valores característicos deste sistema. Para o ensaio ser

possível e necessário a remoção do conjunto do carro haste e posiciona-lo de

cabeça para baixo o fixando em uma borda de suporte de forma que o mesmo

pudesse se movimentar livremente, como em um pendulo simples. Para a

realização do ensaio posiciona-se a haste na posição de 90º ao solta-la ela

realizar livremente o movimento oscilatório característico de um pêndulo.

Durante esse período o sinal do encoder é registrado, de posse destes dados e

possível obter os parâmetros do modelo.

A ultima parte do projeto consiste na criação do algoritmo de controle e

sua implementação. O algoritmo será desenvolvido em linguagem C, para o

microcontrolador PIC 18F452, onde será testada duas técnica de controle e

para promover a aplicação daquela que apresentar maior estabilidade ao

pêndulo.

6 RESULTADOS ESPERADOS

Ao final do projeto pretendesse obter um equipamento didático para o estudo

de estabilidade de sistemas mecânicos.

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7 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] Carvalho D. Balparda; Controle de um pendulo invertido real utilizando-se

uma RNA treinada por algoritmos de otimização. 1999

[2] Feedback, Digital pendulum control manual, tech. Rep Feedback

Instruments Ltd, 1996.

[3] Mukai H., Fernandes P.; Manual de Laboratório-Física experimental

1,Capítulo 7 Movimento Circular Uniforme

[4] Ogata Katsuhiko; Engenharia de Controle Moderno. 4º edição, Editora

Pearson Education do Brasil. 2008.

[5] Präss A. Ricardo; Movimento Harmônico Simples - M. H. S.

[6] Ribeiro R.; Implementação de um sistema de controle de um pêndulo

invertido. 2007

[7] Tavares M. Adriana, Santos R. Borges, Neto C. Mesquita, Júnior, V. Lopes;

Controle de um pêndulo invertido utilizando o modelo fuzzy Takagi-Sugeno.

2006

[8] Vendramini G.; Silva P. S.; controle de um pêndulo invertido sobre uma

plataforma móvel utilizando PID e MFAC (model-free adaptive control) 2010

[9] Zayas,H; Earthquake Protection Systems, Inc.; Technical Characteristics of

Friction Pendulum, 1985

[10] Moto de uma roda só. Disponível em:

http://www.materiaincognita.com.br/mobilidade-urbana-a-moto-tipo-scooter-

com-uma-roda-so/#axzz1cy7EH78U Acessado em 05/10/2011

[11] Pendulo Simples. Disponível em:

http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php Acessado

em 23/10 /2011.

[12] Controle em malha fechada. Disponível em:

:http://www.ece.ufrgs.br/~jmgomes/pid/Apostila/apostila/node6.html Acessado

em: 03/11/2011.