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PC II für BiochemikerEberhard-Karls-Universität Tübingen, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Prof. Dr. J. Enderlein, http://www.joerg-enderlein.de

Elektronenstreuung am Doppelspalt

2 1 1, , ,x y x y x y

319.12 10 kgem

310 m sv

Längeneinheit m

Re 2

Einzelspalt-Lösung

2 310 m syv


Das lokalisierte Teilchen

2

2~ exp

4

x

Wir suchen: Wellenfunktion eines freien Teilchens mit räumlicher Lokalisierung

2x dx x

022 2x dx x

2

Wir hatten bereitsdie generelle Beziehung

2

2 22

~ exp ~ exp4

xdk ikx k

2 2

exp 2 exp2 2

k xdk ikx


Intermezzo: Fourier-Transformation

2

2 22

~ exp ~ exp4

xdk ikx k

2 m

100nm

Re exp ikx

2


Das lokalisierte Teilchen

Welche Energie hat das Teilchen?Impuls k

Energie 22E k k m

Wie ändert sich Wellen-funktion mit der Zeit für

eine gegebene Energie E(k)?

2

exp exp2

i i k tE k t

m

2

2 2, ~ exp2

i k tx t dk ikx k

m

2

2 22

~ exp ~ exp4

xdk ikx k


Das lokalisierte Teilchen: Wellenpaket

2

2exp exp4

ydk ikx k

2

22

1, ~ exp

4 22

xx t

i t mi t m

2, 1dx x t

NormierungWas fehlt?

2

2 2, ~ exp2

i k tx t dk ikx k

m

eine altbekannteBeziehung ()


Das lokalisierte Teilchen: Normierung

2zdze

2

22

1, ~ exp

4 22

xx t

i t mi t m

2 22

22 44

1, ~ exp

2 22

xx t

t mt m

eine andere altbekannteBeziehung ()

2

1 4 22

1, exp

4 22 2

xx t

i t mi t m



2x dx x

0 22 2x dx x

22 2t m

22char

mT

2

22 142 80kg 100nm1.5 10 s 4.8 10 aEnderleinT

2 22

22 44

1, exp

2 2 22

xx t

t mt m

22 100nm

173pseelectron

mT



20 m

319.11 10 kg

100nm

0 500ps

em

t

Re2

Beispiel: Elektron


Das lokalisierte sich bewegende Teilchen

2

2 2, ~ exp2

i k tx t dk ikx k

m


Das lokalisierte sich bewegende Teilchen

2

220, ~ exp

2

i k tx t dk ikx k k

m

0gv k m

2

01 4 22

1, exp

4 22 2

gx v tx t ik x

i t mi t m

222

22 44

1, exp

2 2 22

gx v tx t

t mt m

Gruppengeschwindigkeit


Der unendliche PotentialwallU = ∞

L/2

2 2

, exp2

ikx ikxi kx t t Ae Be

m

Freies Teilchen

2 2

exp cos sin2

i kt A kx B kx

m

Randbedingungen: , , 02 2

L Lt t

L/2



L

1cos 0

2n

sin 0n



L

1

2 2

kLn

~ cos kx

2

kLn ~ sin kx

Restriktion zulässiger k-Werte!

,

1 2

2e nk nL

,

2u nk n

L


EnergiequantisierungU = ∞

L

,

1 2

2e nk nL

,

2u nk n

L

2 22

,

1 2

2 2e nE nm L

222

,

2

2u nE nm L

0, 1, 2,n

1, 2,n

Grundzustandsenergie:2 2

,0 20

2eEmL


Der unendliche Potentialwall

Ene

rgie

(10

-22 J

)

319.11 10 kg

200nmem

L

23,0 5.95 10 JeE

,0 11.4km/sev

x (nm) x (nm)

||2

Zahl der Null-stellen von

(nodes) = Nummer der Eigenfunktion


ParitätLösungen der

Wellenfunktionsind gerade (e) bzw.

ungerade (u) Funktionen

Bei Spiegelunggehen sie insich selbstbzw. in ihr

Negatives über

Ene

rgie

(10

-22 J

)

x (nm) x (nm)

||2


Symmetrien, Operatoren, Eigenfunktion

ˆ ,S x t ,x t

Eigenfunktion eines Operators: ˆ , ,S x t s x t

ˆ cos cos cosS kx kx kx Zum Beispiel: 1s

ˆ sin sin sinS kx kx kx 1s

ˆ , ,H x t E x t

Schon bekanntes Beispiel: Eigenfunktionen des Hamilton-Operators


Symmetrieerhaltung

ˆ , ,S x t s x t

ˆ ˆˆ ˆ, ,SH x t HS x t Wenn ein System eine Symmetrie Ŝ hat,

dann gilt (Definition von Symmetrie)

Betrachten wir eine Wellenfunktion, die zum Zeitpunkt t Eigenfunktion von Ŝ ist

Entwicklung der Wellenfunktion mit der Zeit:

,ˆ ˆ, ,x t

S x t t S x t tt

ˆ, ,i t

s x t Hs x t

ˆ ˆ, ,i t

S x t H x t

,s x t t

Wenn Ŝ und Ĥ kommutieren, ist Symmetrie von eine Erhaltungsgröße


Symmetrieerhaltung: CO2-Molekül

Wenn Ŝ und Ĥ kommutieren, können Eigenfunktionen von Ĥ nach den Symmetrie-Eigenwerten s klassifiziert werden

SpiegelsymmtrieO C O

s = 1 s = 1 s = 1

2 ×

Schwingungszustände des CO2-Molküls


Der quantenmechanische harmonische Oszillator

Teilchen im harmonischen Potential (U = k∙x2/2):

H x E x

Gesucht: Eigenzustände des Hamiltonoperators

2 2

222 2

d kx x E x

m dx

, expi

x t x Et

Gesamte Wellenfunktion:


Die Operatormethode

22 2

2ˆ dh x

dx

2 2a b a b a b

ˆ ˆ d dA A x x

dx dx

2 22

2ˆ

2 2

d kH x

m dx

2

2ˆ ˆ ,m mk m

h H

22 2

2

dx

dx h

22 2

2ˆˆ ˆ d d d

AA x x x hdx dx dx

Kreisfrequenzdes klassischen Oszillators


Die Operatormethode2

2 22

ˆˆ ˆ d d dA A x x x h

dx dx dx

0 0ˆˆ ˆ 0A A x h x Angenommen es gibt ein (x) so daß

0 0h x x Dann ist 0(x) Eigenfunktion von ĥ !

00 0

ˆ 0d x

A x x xdx

Wir suchen:

22 2

2ˆˆ ˆ d d d

AA x x x hdx dx dx


Intermezzo: Komplettierung des totalen Differentials

00 0

ˆ 0d x

A x x xdx

Multiplizieren mit f(x): 00 0

d xf x xf x x

dx

Produktregel invers angewandt: falls df x

xf xdx

00 0

d x df x xf x x f x x

dx dx

2

exp2

xf x

2 2

0exp exp2 2

x d xx

dx


Grundzustand des harmonischen Oszillators

2 2

0 0ˆ exp exp 0

2 2

x d xA x x

dx

2

0 exp2

xx C

0 0h x x 0 2E x

1 4 2

0 exp2

m m xx

x (nm)

E (

J)

= 100 mm = 12 D

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