Pavol Zlato

LINERNA ALGEBRA A GEOMETRIA

Cesta z troch rozmerov s presahmi do prbuznch odborov

Bratislava 2011

Obsah

Predhovor 11

Schma nadvznosti kapitol 17

I Zkladn pojmy 19

0 Zkladn pojmy z logiky a terie mnon 210.1 Logick spojky a kvantifiktory . . . . . . . . . . . . . . . . . 210.2 Mnoiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230.3 Zobrazenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260.4 Binrne opercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290.5 Permutcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310.6 Ekvivalencie a rozklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330.7 O matematickch dkazoch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360.8 Matematick indukcia a rekurzia . . . . . . . . . . . . . . . . 38Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1 Polia a vektorov priestory 471.1 Zkladn seln obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.2 Polia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.3 Polia Zp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.4 Vektory v rovine a v trojrozmernom priestore . . . . . . . . . 521.5 Vektorov priestory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.6 Prklady vektorovch priestorov . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2 Zklady maticovho potu 622.1 Matice nad danou mnoinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.2 Matice nad danm poom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.3 Matice nad vektorovm priestorom . . . . . . . . . . . . . . . 71Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Obsah 3

3 Sstavy linernych rovnc 763.1 Maticov zpis sstavy linernych rovnc . . . . . . . . . . . . 763.2 Redukovan stupovit tvar matice . . . . . . . . . . . . . . . 783.3 Gaussova-Jordanova eliminan metda . . . . . . . . . . . . 813.4 Gaussova eliminan metda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4 Linerne podpriestory a linerna nezvislos 904.1 Linerne podpriestory vektorovho priestoru . . . . . . . . . . 904.2 Linerny obal mnoiny vektorov . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3 Prienik a set linernych podpriestorov . . . . . . . . . . . . 934.4 Linerna nezvislos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5 Linerny obal a linerna nezvislos v priestoroch Km . . . . . 984.6 Linerne nezvisl postupnosti a mnoiny . . . . . . . . . . . . 102Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5 Bza a dimenzia 1055.1 Steinitzova veta a konenorozmern priestory . . . . . . . . . . 1055.2 Bza a dimenzia konenorozmernho priestoru . . . . . . . . . 1065.3 Sradnice vektora vzhadom na dan bzu . . . . . . . . . . . 1075.4 Dimenzia prieniku, stu a sinu vektorovch priestorov . . . 1105.5 Usporiadan a neusporiadan bzy . . . . . . . . . . . . . . . 1135.6 Fyzika v n-rozmernom priestore . . . . . . . . . . . . . . . . 115Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6 Linerne zobrazenia 1226.1 Linerne zobrazenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2 Jadro a obraz linerneho zobrazenia . . . . . . . . . . . . . . . 1256.3 Linerne izomorfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.4 Matica linerneho zobrazenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.5 Priestory linernych zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7 Inverzn matice a zmena bzy 1407.1 Hodnos matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.2 Inverzn matice a inverzn linerne zobrazenia . . . . . . . . . 1427.3 Vpoet inverznej matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.4 Matica prechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.5 Matice linerneho zobrazenia vzhadom na rzne bzy . . . . . 1487.6 Pohybliv bzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4 Obsah

8 Afinn podpriestory a afinn zobrazenia 1568.1 Body a vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.2 Afinn podpriestory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.3 Prienik a spojenie afinnch podpriestorov . . . . . . . . . . . . 1628.4 Vzjomn poloha afinnch podpriestorov . . . . . . . . . . . . 1658.5 Afinn zobrazenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9 Afinn podpriestory a sstavy linernych rovnc 1749.1 Podpriestor rieen homognnej sstavy a jeho bza . . . . . . 1749.2 Podpriestor rieen nehomognnej sstavy . . . . . . . . . . . 1769.3 Frobeniova veta a rieenie nehomognnej sstavy . . . . . . . 1769.4 Parametrick a veobecn rovnice afinnch podpriestorov . . . 1789.5 Rovnice prieniku a spojenia afinnch podpriestorov . . . . . . 182Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

10 Determinanty 19110.1 Orientovan objem a multilinerne alternujce funkcie . . . . 19110.2 Defincia a zkladn vlastnosti determinantu . . . . . . . . . . 19710.3 Charakterizcia determinantu a regulrnych matc . . . . . . . 19910.4 Laplaceov rozvoj determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . 20110.5 Vpoet determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20310.6 Inverzn matica a Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . 207Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

II Bilinerne formy a geometria 213

11 Bilinerne a kvadratick formy 21511.1 Bilinerne zobrazenia a bilinerne formy . . . . . . . . . . . . 21511.2 Symetrick bilinerne formy a kvadratick formy . . . . . . . . 22011.3 Diagonalizcia kvadratickch foriem . . . . . . . . . . . . . . . 223Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

12 Bilinerne a kvadratick formy nad poom R 23412.1 Signatra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23412.2 Definitnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23812.3 Extrmy funkci viac premennch . . . . . . . . . . . . . . . . 242Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Obsah 5

13 Euklidovsk priestory 25213.1 Skalrny sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25213.2 Gramova matica a Cauchyho-Schwartzova nerovnos . . . . . 25513.3 Dka vektora a uhol dvoch vektorov . . . . . . . . . . . . . . 25613.4 Ortogonlne a ortonormlne bzy . . . . . . . . . . . . . . . . 25913.5 Ortogonlne matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

14 Ortogonlne projekcie a podpriestory 27214.1 Ortokomplement a ortogonlna projekcia . . . . . . . . . . . . 27214.2 Vzdialenos dvoch afinnch podpriestorov . . . . . . . . . . . 27814.3 Odchlka dvoch afinnch podpriestorov . . . . . . . . . . . . . 28014.4 Polrne a sfrick sradnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28514.5 Rieenie nerieitench sstav a linerna regresia . . . . . . . . 28814.6 Geometria pravdepodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

15 Objem, orientcia a vektorov sin 30015.1 Objem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30015.2 Orientcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30215.3 Orientovan objem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30515.4 Vektorov sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

16 vod do pecilnej terie relativity 31316.1 Pseudoeuklidovsk priestory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31416.2 Minkowskho asopriestor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31816.3 Inercilny pozorovate a jeho svetoiara . . . . . . . . . . . . . 32116.4 Relativita sasnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32616.5 Inercilne bzy a vzan sstavy . . . . . . . . . . . . . . . . 32816.6 Paradox dvojiat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32916.7 Relatvna rchlos dvoch inercilnych pozorovateov . . . . . . 33116.8 Relativistick dilatcia asu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33416.9 Lorentzova transformcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33616.10Relativistick kontrakcia dky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

17 Unitrne priestory 34317.1 Poldruhalinerne formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34317.2 Hermitovsk formy a hermitovsk matice . . . . . . . . . . . . 34517.3 Komplexn skalrny sin a unitrne priestory . . . . . . . . . 347

6 Obsah

17.4 Unitrne matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35117.5 Diskrtna Fourierova transformcia . . . . . . . . . . . . . . . 35317.6 Stavov priestory v klasickej mechanike . . . . . . . . . . . . 35817.7 Kvantov mechanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36117.8 Stavovov priestory v kvantovej mechanike . . . . . . . . . . 364Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

III Linerne opertory 373

18 Vlastn hodnoty a vlastn vektory 37518.1 Matica linerneho opertora a podobnos matc . . . . . . . . 37518.2 Vlastn hodnoty a vlastn vektory . . . . . . . . . . . . . . . . 37718.3 Charakteristick polynm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38018.4 Prklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38218.5 Linerne opertory na nekonenorozmernch priestoroch . . . 385Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

19 Spektrum linerneho opertora 38919.1 Spektrum linerneho opertora a matice . . . . . . . . . . . . 38919.2 Schurova veta o triangularizcii . . . . . . . . . . . . . . . . . 39319.3 Rozrenia pol, algebraicky uzavret polia . . . . . . . . . . . 39819.4 Komplexifikcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40019.5 Geometrick vznam komplexnch vlastnch sel . . . . . . . 403Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

20 Jordanov kanonick tvar 40920.1 Jordanov kanonick tvar matice . . . . . . . . . . . . . . . . . 40920.2 Prklady pravy matc na Jordanov kanonick tvar . . . . . . 41320.3 Prpad viacnsobnho komplexnho vlastnho sla . . . . . . 41920.4 Rozklad na koreov podpriestory . . . . . . . . . . . . . . . 42220.5 Nilpotentn opertory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42520.6 Ete raz prava na JKT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

21 Polynomick invarianty podobnosti matc 43621.1 Polynomick maticov funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43621.2 Minimlny polynm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44021.3 Cyklick podpriestory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44321.4 Primrny a racionlny kanonick tvar . . . . . . . . . . . . . 44421.5 Vpoet invariantnch faktorov . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

Obsah 7

Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

22 Maticov funkcie 45622.1 Mocninn rady maticovej premennej . . . . . . . . . . . . . . 45622.2 Exponencila matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46222.3 Skalrne funkcie maticovho argumentu . . . . . . . . . . . . . 46522.4 Maticov a vektorov funkcie relnej premennej . . . . . . . . 46822.5 Sstavy linernych diferencilnych rovnc . . . . . . . . . . . . 47222.6 Autonmne sstavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47722.7 Komuttor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

23 Zdruen linerne opertory v unitrnycha euklidovskch priestoroch 48723.1 Zdruen linerne opertory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48723.2 Hermitovsk opertory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48923.3 Spektrlny rozklad hermitovskho opertora . . . . . . . . . . 49123.4 Unitrne opertory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49323.5 truktra ortogonlnych opertorov . . . . . . . . . . . . . . . 49723.6 Eulerove uhly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50323.7 Normlne opertory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

24 Kvadriky 51424.1 Veta o hlavnch osiach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51424.2 Kvadriky v euklidovskch priestoroch . . . . . . . . . . . . . . 51524.3 Kueoseky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52024.4 Kvadratick plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

25 Vybran aplikcie zdruench opertorov 53625.1 Singulrny a polrny rozklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53625.2 Pseudoinverzn linerne zobrazenia a matice . . . . . . . . . . 53925.3 Odchlka dvoch linernych podpriestorov . . . . . . . . . . . . 54325.4 Harmonick osciltor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54525.5 Harmonick osciltor a Fourierove rady . . . . . . . . . . . . . 547Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

26 Hermitovsk opertory v kvantovej mechanike 55326.1 Pozorovaten veliiny a hermitovsk opertory . . . . . . . . . 55426.2 Heisenbergov vzah neuritosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

8 Obsah

26.3 DeBroglieho vlnov funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55826.4 Pozorovaten polohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56026.5 Vlastn funkcie opertora polohy Diracova -funkcia . . . . 56126.6 Pozorovaten hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56426.7 Polohov a hybnostn reprezentcia Fourierova transformcia56826.8 alie pozorovaten momenty hybnosti . . . . . . . . . . . . 57126.9 Hamiltonin a Schrdingerova rovnica . . . . . . . . . . . . . 57326.10Kvantov harmonick osciltor . . . . . . . . . . . . . . . . . 577Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

IV Grupy a algebry 589

27 vod do terie grp 59127.1 Abstraktn pojem grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59127.2 Podgrupy, generujce mnoiny, cyklick grupy . . . . . . . . . 59427.3 Homomorfizmy a izomorfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59827.4 Rozklad grupy poda podgrupy, normlne podgrupy . . . . . . 60127.5 Faktorov grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60527.6 Priamy sin grp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61027.7 Von a konene prezentovan grupy . . . . . . . . . . . . . . . 61427.8 Grupy homomorfizmov a charaktery abelovskch grp . . . . . 620Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

28 Grupy transformci 62828.1 Cayleyho veta o reprezentcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62828.2 Akcie a reprezentcie grp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62928.3 Grupy automorfizmov a konjugcia . . . . . . . . . . . . . . . 63328.4 Polopriamy sin grp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63728.5 truktra grp jednoduchch rdov . . . . . . . . . . . . . . . 641Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643

29 Linerne a afinn grupy 64729.1 Veobecn a pecilna linerna grupa . . . . . . . . . . . . . . 64729.2 Afinn rozrenia linernych grp . . . . . . . . . . . . . . . . 65029.3 Izometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65229.4 Ortogonlna, pecilna ortogonlna a euklidovsk grupa . . . . 65629.5 Pseudortogonlna, Lorentzova a Poincarho grupa . . . . . . . 65829.6 Unitrna a pecilna unitrna grupa . . . . . . . . . . . . . . 66429.7 Svisl komponenty a orientcia . . . . . . . . . . . . . . . . . 66629.8 Homotopia a jednoduch svislos . . . . . . . . . . . . . . . . 672

Obsah 9

Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

30 Linerne algebry 68030.1 Algebry a truktrne kontanty . . . . . . . . . . . . . . . . . 68030.2 Graduovan algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68330.3 Grupov algebry a diskrtna Fourierova transformcia . . . . . 68630.4 Algebra kvaterninov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69130.5 Goniometrick tvar kvaterninu . . . . . . . . . . . . . . . . . 69630.6 Kvaterniny a rotcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69830.7 Nakrvajci homomorfizmus SU(2) SO(3) . . . . . . . . . 70230.8 Nakrvajci homomorfizmus SL(2,C) + (3) . . . . . . . 705Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708

31 Lieove algebry a maticov grupy 71531.1 Lieove algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71531.2 Lieova algebra maticovej grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . 71731.3 Exponencilne zobrazenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71931.4 Lieove algebry konkrtnych maticovch grp . . . . . . . . . . 72231.5 Jednoparametrick podgrupy pseudoortogonlnej grupy . . . . 726Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727

V Multilinerna algebra 731

32 vod do tenzorovho potu 73332.0 Tenzor naptia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73332.1 Dualita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73532.2 Tenzorov sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73832.3 Zdvih poa skalrov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74732.4 Priestory (multi)linernych zobrazen . . . . . . . . . . . . . . 74832.5 Tenzory nad vektorovm priestorom . . . . . . . . . . . . . . . 75032.6 Opercie na tenzoroch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75732.7 Tenzory v (pseudo)euklidovskch priestoroch . . . . . . . . . . 759Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763

33 Symetrick a alternujce tenzory 76733.1 Symetrick tenzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76733.2 Symetrick tenzory a ppp-homognne formy . . . . . . . . . . . . 77233.3 Totlne derivcie vych rdov . . . . . . . . . . . . . . . . . 77633.4 Alternujce tenzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77833.5 Dualita vo vonkajej algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785

10 Obsah

33.6 Symetrick a alternujce tenzory v kvantovej mechanike . . . 787Cvienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790

Literatra 794

Predhovor

Linerna algebra je jazykom, sliacim na vyjadrenie geometrickch ide avzahov pvodne vychdzajcich z nho geometrickho nzoru, ktor vaktento rmec kee sa v priebehu vvoja ukzal prizky oraz vraznejieprekrauj. Km napr. naa geometrick predstavivos je ohranien dvomarozmermi roviny resp. troma rozmermi priestoru, v linernej algebre sa za-oberme priestormi ubovonej konenej dimenzie a okrajovo sa zatlame ajdo priestorov nekonenorozmernch, hoci tie u skr patria do oblasti psob-nosti funkcionlnej analzy. Apart linernej algebry je tak akousi slepeckoupalicou, ktorou si oukvame svet neprstupn nmu pohadu, zatia opvodn geometrick nzor sa stva zdrojom pojmov, intuitvnych vhadova metafor, ktor do tohto sveta prename a s ich pomocou sa v om orien-tujeme.V sasnosti kurz linernej algebry tvor spolu s kurzom matematickej

analzy dva zkladn piliere univerzitnho matematickho vzdelania. Line-rna algebra je aspo v poiatonej fze tohto procesu tou pojmovo priezra-nejou a logicky jednoduchou, no zrove abstraktnejou z oboch discipln.Jej zkladn pojmy, ako pole, vektorov priestor, bza, linerne zobrazeniea pod., s definovan ako abstraktn objekty resp. obory objektov, vyhovu-jce istm podmienkam (aximam). Vetky ich alie vlastnosti s z nichodvoden logickmi vahami, pri ktorch geometrick nzor a intucia hrajnanajv pomocn lohu. Linernu algebru tak mono do vekej miery bu-dova z minima zkladnch pojmov a vopred stanovench predpokladov axi-omatickou metdou, o z jej vuky rob idelny prostriedok kultivcie logic-kho myslenia a estetickho ctenia v matematike.Dleit lohu v matematike hr voba vhodnho oznaenia. Km v-

poty s akopdnou symbolikou sa mu ahko dosta do slepej uliky, i-kovne zvolen oznaenie nm u samotnou svojou truktrou odhauje nie-ktor strnky oznaovanho predmetu, a tak ns vedie sprvnym smerom.Zrove nm ponka mnemotechnick pomcky umoujce predchdza chy-bm, i ich aspo ahie odhali. Prve algebra (a nielen t linerna) asinajviac zo vetkch matematickch discipln cieavedome rozvja cit pre pri-meran symboliku.

12 Predhovor

Zkladn pojmy a metdy linernej algebry zasahuj do takmer vetkchoblast modernej matematiky a jej aplikci nielen vo fyzike, technike, ta-tistike i informatike (kde to asi mlokoho prekvap), no taktie v chmii,biolgii, ekonmii a socilnych vedch. S istou dvkou zjednoduenia monopoveda, e vina spechov aplikci matematiky napr. vo fyzike (no nielenv nej) sa zaklad na jednej pozoruhodnej vlastnosti mnohch prrodnch pro-cesov: zvislos ich prrastkov v malch asovch sekoch mono vzhadom nadku tchto sekov povaova za linernu. Podobne, vinu geometrickchobjektov vyskytujcich sa v technickej praxi mono v malch oblastiach vemidobre aproximova pomocou linernych (t. j. priamoiarych resp. rovnchplonch) tvarov. Takto chpan mylienka linearizcie je spolu s mylien-kou limitnho prechodu (prpadne v historicky pvodnej podobe s my-lienkou nekonene malch velin) zkladom diferencilneho a integrlnehopotu. Na druhej strane, asto sa meme stretn napr. s grafmi rznychzvislost, pozostvajcimi z empirickch dt vynesench nad asov klua pospjanch sekami do lomenej iary, zobrazujcimi napr. vvoj cien,priebeh priemernch dennch teplt, mnostva exhaltov v ovzdu a pod.Pokia vak nie je k dispozcii hlbia analza zaruujca, e v iastkovchintervaloch neme djs k vraznejm vkyvom sledovanho ukazovatea,treba by k podobnm bulvrnym uplatneniam mylienky linearizcie pri-najmenom skeptick.Inm spsobom vstupuje linerna algebra (a funkcionlna analza) napr.

do kvantovej mechaniky. Stavom kvantovomechanickho systmu zodpove-daj vektory vo vhodnom (typicky nekonenorozmernom) vektorovom prie-store nad poom komplexnch sel. Superpozciou dvoch stavov je op stavsystmu, ktormu zodpoved set vektorov zodpovedajcich pvodnm sta-vom. Cel fyzika takho systmu sa potom do znanej miery redukuje natdium spektrlnych vlastnost istch linernych opertorov na jeho stavo-vom priestore.

Zoi-voi mnostvu uebnc linernej algebry vo svetovej matematickejliteratre sa autor len ako vyhne otzke, i m vbec zmysel psa al-iu. iaston oprvnenie by mu vari mohla poskytn situcia v slovenskej(a eskej) matematickej produkcii. Ale ani t hoci m od idelnej aleko(o je vak takmer tautolgia) nie je nijako kritick. Poksim sa teda tejtootzke eli tak, e odhalm osobn ciele a ambcie, ktor som svojou knihousledoval. Nakoko tak zmery oprvuj podobn podnik a do akej mierysa mi ich podarilo naplni, to nech u posdia jej itatelia.Predovetkm som chcel napsa uebnicu, ak by som si elal ma k dis-

pozcii, ke som ako tudent navtevoval prednky z linernej algebry a

Predhovor 13

geometrie. Tm nevdojak prezrdzam, e s uebnicami, poda ktorch smevtedy postupovali, som prli spokojn nebol. Neskr, ke som u sm pred-nal linernu algebru na Matematicko-fyziklnej fakulte Univerzity Komen-skho v Bratislave (kurz som zdedil po kolegovi Joovi irovi, spolu s bri-lantnmi strunmi poznmkami k prednkam), som sa sm zaal rozhliadapo vhodnom uebnom texte. Najviac ma zaujali Linejnaja algebra i geomet-rija od Kostrikina a Manina [22] a Pstujeme linern algebru od Motlaa Zahradnka [29]. Zakrtko som si vak uvedomil, e predben priprave-nos a veobecn matematick kultra, ktor tieto knihy predpokladaj, sna podstatne vyej rovni, ne mono oakva od tudentov prvho ro-nka. Ja sm ako prvk by som sa poda nich uil len ako.Rozhodol som sa teda zvoli elementrnej spsob vkladu, ktor ok-

rem gymnazilnej ltky a paralelne rozvjanch poznatkov z matematickejanalzy aspo spoiatku nepredpoklad rozsiahlejie vedomosti z inchmatematickch discipln ani vek zbehlos a veobecn rozhad. Mojim cie-om bolo napsa uebnicu, ktor by jednak plne a logicky ucelene pokrvalamateril zkladnho dvojsemestrlneho kurzu linernej algebry, jednak po-nkala dostatone reprezentatvny vber tm tento materil presahujcich i u smerom k inm matematickm disciplnam alebo aplikcim mimormca istej matematiky. Ich vber bol popri vkuse autora ovplyvnenjednak spontnnym vvojom, kedy vznikajca kniha akoby zaala i svojmvlastnm ivotom a obas sa vymkla spod kontroly autora, jednak faktom,e som tto ltku dlhodobo prednal tudentom fyziky. Snail som sa pretozaradi do tmy (ako vyuitie metd linernej algebry v pecilnej terii re-lativity a v kvantovej mechanike), ktor by ich mohli i mali zauja. Napriektomu som zvolil abstraktnej prstup ne je pre potreby fyzikov nevyhnutn.Z ich hadiska by napr. plne stailo zaobera sa vektorovmi priestormi nadpoami relnych a komplexnch sel. S ohadom na potreby tudentov mate-matiky a informatiky som vak, pokia to bolo mon, volil jednotn spsobvkladu a pripustil ubovon polia skalrov, vrtane tch konench (hocina ukku ich aplikci v kdovan a kryptografii u nezostalo miesto). Nadruhej strane som prve z pedagogickch dvodov odolal pokueniu pouvajazyk terie kategri aj za cenu, e niektor partie (napr. otzky tkajce saduality) nebud prezentovan najelegantnejm monm spsobom.Napriek znanmu rozsahu sa do knihy nedostali ani niektor alie tmy,

ktor s ltkou linernej algebry zko svisia. Napr. o projektvnych pries-toroch alebo reprezentcich grp je tu len zopr letmch zmienok. Tmyako symplektick priestory, nezporn a stochastick matice, markovovskreazce, linerne programovanie alebo numerick metdy linernej algebry,nie s pokryt ani v nznaku. itateovi (nielen) preto odporam, aby sia-hol po inej literatre i u kvli nim ako aj pre porovnanie nho prstupu

14 Predhovor

k spracovanmu materilu s prstupom inch autorov. Nov pohad totispravidla odkrva svislosti, ktor by inak mohli zosta utajen.Z moderne poatch knh, ktor ma pri vbere a spracovan materilu

najviac ovplyvnili, vrelo odporam do pozornosti tak prednajceho akoaj tudentov u spomnan Linejnaja algebra i geometrija [22] a Pstujemelinern algebru [29]. Na druhej strane som hodne erpal z klasickch (hocidnes u trochu zastaralch) uebnc Gefanda [11] a Maceva [27]. Pokia saitate neboj rutiny, urite stoj za to sa do nich pozrie.Predben predstavu o nplni knihy mono zska z jej pomerne podrob-

nho obsahu. U pri zbenom pohade na (no vzhadom na jej hrbku ajbez toho) bude asi zrejm, e ltka pokryt v knihe sa v dvojsemestrlnomkurze ned nijako rozumne odpredna. Aksi nevyhnutn minimum tvoras I (t. j. kapitoly 010), alej kapitoly 1114 asti II a kapitoly 18, 19a prv dva paragrafy kapitoly 20 z asti III. Pri bliom pohade vyjde na-javo, e i z tohto minima mono ete stle velio vynecha. Poda rovnepredbenej matematickej prpravy posluchov mono napr. cel kapitolu 0prenecha na samostatn tanie. Z viacerch kapitol asti I mono vypustispravidla posledn paragrafy konkrtne 3.4, 4.6, 5.56, 6.5 a 7.6; z kapitol8 a 9 o afinnch priestoroch sa sta obmedzi na vodn paragrafy 8.12 a9.13. Podobne v asti II mono paragraf 12.3 prenecha na prednku z ana-lzy viac premennch a taktie vynecha paragrafy 14.3-4. Zo spomnanchkapitol asti III mono ete vypusti paragraf 19.2.Tento minimlny zoznam ponechva dostatok priestoru na rozrenie o nie-

koko alch ucelench tm. Je u len na prednajcom, ktor si vyberie.Pri plnovan mu me pomc Schma nadvznosti kapitol. alie si tudentme poda vlastnho zujmu osvoji samostatne. Po niektorch kapitolchme siahnu a neskr, pri tdiu inch matematickch discipln. Z tohodvodu som sa usiloval, aby pestr materil mohol poda knihy prednaaj uite, ktor nie je pecialistom na dan problematiku, a zrove sa z nejtudent prvho ronka mohol ui aj bez sprievodnej prednky. Cel prvas, vodn kapitoly alch ast, ako aj vodn paragrafy viny kapi-tol s preto (obas mono aj za cenu istej rozvlnosti) napsan pomernepodrobne, vrtane rozboru technickch detailov, s rozsiahlym vysvetujcimkomentrom a drazom na motivan a ilustran prklady. Smerom ku koncujednotlivch ast resp. kapitol (s vnimkou prvej asti) sa oakva, e po-sluch alebo itate sa v problematike zana postupne orientova, a vkladsa stva strmm. Jeden alebo dva zveren paragrafy kapitoly s obasvenovan doplujcim informcim, prpadne matematickm alebo filozofic-km letom od danej tmy.Atypicky neskor zaradenie kapitol o grupch je komentovan v poznmke

v paragrafe 27.1. Prednajci, ktor sa nechce vzda monosti pouva

Predhovor 15

pojmy grupy, podgrupy, homomorfizmu a pod. ako vhodn skratky, vakme aspo vodn paragrafy 13 kapitoly 27 zaradi do programu kedyko-vek skr (pri nevyhnutnej modifikcii niektorch dkazov a prkladov). Napr.samotn pojem grupy mono zavies u v paragrafe 0.4.

Jednotliv kapitoly s sprevdzan pomerne vekm potom cvien rz-nej nronosti. Bolo by naivn oakva, e itate ich vetky vyriei. Bolo byvak dobre, aby si ich vetky aspo pretal a vybral si z nich niekoko, kto-rmi sa potom bude zaobera podrobnejie. Niektor slia len na overenieporozumenia zkladnm pojmom alebo precvienie vpotovch postupov.Vo chvli, ke je itateovi jasn, o o ide alebo ako na to, me ich kudne pre-skoi. V inch cvieniach sa od itatea iada, aby doplnil vynechan dkazyniektorch tvrden, alebo dokzal alie. Aspo obas by sa mal o to poksi,u tch ach prpadne s vyuitm nvodu, ktorm s spravidla doplnen.Niektor cvienia prehlbuj alebo roziruj preberan ltku k tm monopristupova poda individulnej miery zujmu. asto s vak do cvien bezpredbenho varovania zaraden niektor pojmy a vsledky, na ktor sa bu-deme odvolva v alom vklade. itate, ktor ich preskoil a bude muchcie porozumie, by mal pota s tm, e sa k nim bude musie vraca (ovak nijako nepreka). asto som do cvien zapracval otzky (a nznakyodpoved), ktor mi kedysi ete ako tudentovi napadali v podobnch svis-lostiach, no na prednkach ani vo vtedy u ns dostupnej literatre som nane nenaiel odpove. Poteilo by ma, keby itateovi napadli alie i tak,na ktor tto kniha neprina odpove, a vyprovokovali ho k hadaniu apremaniu.

Ist as cvien, ako aj mnoho alch podobnch, no rozsahovo a nume-ricky podstatne nronejch (teda relnym aplikcim blich) loh monoefektvne riei pomocou interaktvnych softwarovch systmov ako Maple R,Mathematica R alebo MATLAB R. I ke sa v knihe nevenujeme iadnemuz nich, urite itateovi odporam, aby sa aspo s jednm z nich zozn-mil a zvykol si ho pouva. Ucelen prehad tchto systmov ako aj balkovpodprogramov pre linernu algebru mono njs v Handbook of Linear Al-gebra [15]. Tento (do jednej ruky priak) Handbook (t. j. Prruka) vakobsahuje omnoho viac: takmer pln prehad (pozor, nie vklad) zkladnchaj pokroilch pojmov, vsledkov a aplikci linernej algebry (vrtane tchnajnovch), systematicky zoraden poda jej jednotlivch oblast a doplnenpodrobnmi odkazmi na rozsiahlu literatru. itate, ktor sa bude chciedozvedie z linernej algebry okovek, o v naej knihe nenjde, urob najlep-ie, ak zane hada prve tu. asto dostupnejou, no menej autoritatvnoualternatvou je Wikipedia.

16 Predhovor

Vemi potrebn sptn vzbu pri psani knihy mi poskytli a viacermiradami a kritickmi poznmkami, ktor, ako verm, viedli k zlepeniu jejkvality, prispeli kolegovia Vlado Balek, Laco Kvasz, Martin Moji, MartinMaaj, Martin Niepel, Dano evovi a Joo ir. Obrzky nakreslila a sa-dzbu v LaTeXu pripravila Mria Beneov. Pri zhan finannej podpory najej vydanie mi pomohli Andrej Ferko, a hlavne Barbora Kamrlov; v samomzvere Peter Mederly. Vetkm im patr moja vaka. Za vetky chyby, ne-presnosti, preklepy, prehreky proti spisovnmu jazyku i in nedopatrenia,ktor v knihe ete zostali, sn je to zbyton i dodva vak nesie plna vhradn zodpovednos jej autor.Napokon by som chcel poakova svojej manelke Jane a dcram Hanke

a Janke za morlnu podporu, ktor mi poskytovali poas tch dlhch ro-kov prce na tejto knihe, a trpezlivos, s akou znali moju ast duevnneprtomnos.

Bratislava, jl 2011

Pavol Zlato

Schma nadvznosti kapitol

itate by si mal by vedom, e uveden schma je znane nepln a mlen orientan charakter. Predpokladan znalosti potrebn na tdium ne-jakej kapitoly nemusia nutne zaha cel obsah kapitol, ktor jej v schmepredchdzaj. Naopak, me sa sta, e niektor asti danej kapitoly si vy-aduj ist znalos (spravidla malch) ast kapitol, ktor nie s zaradenv schme ako jej nevyhnutn predpoklady. Spoahlivejia schma by muselamiesto kapitol operova s jednotlivmi paragrafmi (a iastone aj s cvie-niami). Vzhadom na ich poet (len paragrafov je takmer dvesto) by vakpravdepodobne bola znane neprehadn a sotva pouiten.

as I: 0 1 2 3 4 5 6 7 108 9

10 8

as II: 11 12 13 14 17

15 16

10 17

as III: 18 19 20 22 23 26 21 24 25

7 15 16 17 22

as IV: 27 28 29 30 31

13 30

as V: 32 33

18 Predhovor

as I

Zkladn pojmy

0. Zkladn pojmy z logiky a terie mnon

V tejto kapitole zavedieme niektor zkladn logick a mnoinov pojmy adohodneme sa na tandardnej symbolike, ktor budeme alej pouva. Nebu-deme vak systematicky budova axiomatick teriu mnon, prve naopak,s mnoinami budeme narba skr intutvne. itate, ktor zkladn mno-inov pojmy ovlda, me tto kapitolu vynecha, prpadne ju len letmoprelistova, aby sa oboznmil s naou terminolgiou a symbolikou.

0.1 Logick spojky a kvantifiktory

Kvli prehadnosti budeme niektor matematick tvrdenia zapisova v sym-bolickej podobe ako matematick formuly. S prkladmi rznych forml sa etestretneme. V tejto chvli sa zameriame len na spsob, ako mono z danchtvrden i forml tvori nov pomocou logickch spojok a kvantifiktorov.

Nech P , Q s ubovon tvrdenia.

(a) Tvrdenie, ktor je pravdiv prve vtedy, ke tvrdenie P je nepravdiv,nazvame negciou tvrdenia P , zname ho P a tame ho nie P,prpadne non P.

(b) Tvrdenie, ktor je pravdiv prve vtedy, ke s pravdiv obe tvrdeniaP , Q, nazvame konjunkciou alebo logickm sinom tvrden P , Q,zname ho P & Q a tame P a zrove Q, krtko len P a Q,prpadne P et Q.

(c) Tvrdenie, ktor je pravdiv prve vtedy, ke je pravdiv aspo jednoz tvrden P , Q, nazvame alternatvou alebo disjunkciou i logickmstom tvrden P , Q, zname ho P Q, a tame P alebo Q, pr-padne P vel Q.

(d) Tvrdenie P Q skrtene oznaujeme P Q a nazvame ho im-plikciou tvrden P , Q. Vraz P Q tame ak P , tak Q aleboz P vyplva Q, prpadne P implikuje Q. Tvrdenie P nazvamepredpokladom a tvrdenie Q zverom implikcie P Q. Uvedomte si,e implikcia P Q je nepravdiv jedine v tom prpade, ak predpo-klad P je pravdiv a zver Q je nepravdiv.

(e) Tvrdenie (P Q) & (Q P ) skrtene oznaujeme P Q a naz-vame ho ekvivalenciou tvrden P , Q. Vraz P Q tame P prvevtedy, ke Q, prpadne P je ekvivalentn s Q. Zrejme ekvivalencia

22 0. Zkladn pojmy z logiky a terie mnon

P Q je pravdiv vtedy a len vtedy, ke tvrdenia P , Q s zroveobe pravdiv alebo zrove obe nepravdiv.

Znaky , &, , , nazvame logickmi spojkami. V literatre samono tie stretn s oznaenm P , P alebo P pre negciu, P Q prekonjunkciu, P Q alebo P Q pre implikciu a P Q alebo P Q preekvivalenciu.

Okrem tvrden zapisujeme formulami aj vlastnosti objektov a vzahy me-dzi nimi. Na tento el pouvame formuly s vonmi premennmi. Oznau-jeme ich P (x), Q(x, y), R(x1, . . . , xn) a pod. Dosadenm konkrtnych objek-tov do forml namiesto vonch premennch dostvame tvrdenia. Naprklad,ak Q(x, y) je formula s vonmi premennmi x, y a a, b s nejak objekty,tak Q(a, b) je tvrdenie, ktor je pravdiv prve vtedy, ke sa objekty a, bnachdzaj vo vzahu oznaenom formulou Q.Zrejme aj na formuly s vonmi premennmi mono aplikova logick

spojky, ktor si pritom zachovaj svoj doteraj vznam. Popri logickchspojkch mono z forml tvori nov formuly i tvrdenia aj pomocou kvan-tifiktorov.Nech P (x) je ubovon formula.

(a) Tvrdenie existuje x tak, e P (x) skrtene zapisujeme (x)P (x).(b) Tvrdenie pre kad (pre vetky) x plat P (x) skrtene zapisujeme(x)P (x).

Znaky resp. s kvantifiktory; nazvame existenn a univerzlnyalebo tie veobecn kvantifiktor. Zrejme premenn x u nie je vo formulch(x)P (x) a (x)P (x) von ale viazan; ak x je jedin von premenn voformule P (x), tak (x)P (x) a (x)P (x) s tvrdenia. Oba uveden kvantifi-ktory s zviazan pravidlami negcie kvantifikovanch forml:

(x)P (x) (x)P (x),(x)P (x) (x)P (x).

Pomocou existennho a univerzlneho kvantifiktora u vieme vyjadri ikvantifiktor jednoznanej existencie. Ak P (x) je nejak vlastnos, tak tvr-denie existuje prve jedno x tak, e P (x), t. j. tvrdenie

(x)(P (x) & ( y)(P (y) y = x)),

skrtene zapisujeme v tvare (!x)P (x). Toto tvrdenie je zrejme ekvivalentns tvrdenm

(x)( y)(P (y) y = x).

0.2. Mnoiny 23

0.2 Mnoiny

Pod mnoinou rozumieme ubovon jednoznane vymedzen zoskupenie ne-jakch (asto i znane rznorodch) objektov prvkov mnoiny chpanako jedin objekt. Mnoiny budeme vinou znai vekmi latinskmi ps-menami, ich prvky malmi psmenami.Tvrdenie objekt x je prvkom mnoiny X, zapisujeme x X; hovorme

tie, e x patr do mnoiny X. Tvrdenie objekt x nie je prvkom mnoinyX, t. j. x nepatr do mnoiny X, zapisujeme x / X.Mnoina je jednoznane zadan zoskupenm svojich prvkov. Preto dve

mnoiny, nezvisle od spsobu ich zadania, povaujeme za toton, ak majtie ist prvky. Pre ubovon mnoiny X, Y teda plat

X = Y (x)(x X x Y ).

Tto vlastnos mnon nazvame extenzionalitou.Hovorme, e mnoina X je podmnoinou mnoiny Y , oznaenie X Y ,

ak kad prvok mnoiny X patr aj do mnoiny Y , t. j.

X Y (x)(x X x Y ).

Vzah nazvame vzahom inklzie Extenzionalitu mnon teraz monoskrtene vyjadri v tvare konjunkcie dvoch inklzi

X = Y X Y & Y X.

Kvantifikcie uveden v predchdzajcom paragrafe sa nazvaj neohra-nien, lebo oblas psobnosti kvantifiktorov v nich nebola nijako ohrani-en. V matematike (i v benom ivote) sa vak astejie vyskytuj ohra-nien kvantifikcie, v ktorch je oblas psobnosti prslunho kvantifik-tora ohranien nejakou mnoinou X. Ide o kvantifikcie tvaru (x X),(x X) a (!x X), ktor tame postupne existuje x z mnoiny X,pre kad (pre vetky) x z mnoiny X, resp. existuje prve jedno (jedin)x z mnoiny X. Tieto kvantifikcie mono vyjadri pomocou neohranie-nch kvantifikcii nasledujcim spsobom: Ak P (x) je ubovon vlastnos aX je mnoina, kladieme

(x X)P (x) (x)(x X & P (x)),(x X)P (x) (x)(x X P (x)),(!x X)P (x)

(x X

)(P (x) & ( y X)(P (y) y = x)

).

V poslednom prpade meme tie poui vyjadrenie

(!x X)P (x) (x X)( y X)(P (y) y = x).

24 0. Zkladn pojmy z logiky a terie mnon

Mnoinu nazvame konenou, ak ju mono zada vymenovanm vetkchjej prvkov. Ak X je konen mnoina a x1, x2, . . . , xn s vetky jej prvky,peme

X = {x1, x2, . . . , xn}.

Z extenzionality potom vyplva, e nezle na porad vymenovania prvkovmnoiny X. Taktie sa me sta, e X m menej ne n prvkov v ta-kom prpade sa niektor z prvkov x1, . . . , xn opakuj a v zpise mnoiny Xmeme (no nemusme) opakujce sa prvky a na jeden z nich vynecha.Naprklad {x, y} = {y, x}, a ak x = y, tak {x, y} = {x} = {y}. Okrem mno-n, ktor maj nejak prvky, zavdzame aj tzv. przdnu mnoinu , ktorneobsahuje nijak prvok. Z extenzionality vyplva, e przdna mnoina jetouto podmienkou jednoznane uren.Popri konench mnoinch vak v matematike asto pracujeme i s neko-

nenmi mnoinami, t. j. takmi, ktor nemono zada vymenovanm vet-kch ich jednotlivch prvkov. Takto mnoiny zvykneme zadva nejakoucharakteristickou vlastnosou. Ak P (x) je nejak vlastnos, peme

X = {x; P (x)},

m myslme, e pre ubovon x plat x X prve vtedy, ke x spa P (x).Z extenzionality vyplva, e takto definovan mnoina X je uren jedno-znane. Naprklad vlastnosou x je prne cel slo je uren mnoina vet-kch prnych celch sel.Poznamenajme, e z rovnosti X = {x; P (x)} ete nijako nevyplva, e

mnoina X je nekonen rovnako dobre me by aj konen, dokoncaprzdna.Na tomto mieste je potrebn poznamena, e uveden princp, ktor nm

umouje zadva mnoiny akmikovek vlastnosami ich prvkov, vedie k lo-gickm sporom, a je preto v uvedenej intuitvnej a neobmedzenej podobenepouiten. Kee sa vak nehodlme pa do jeho upresovania, o bysi vyiadalo vybudova zklady axiomatickej terie mnon, nezostva nmne itateovi vopred zarui, e vetky prpady pouitia tohto princpu, ktorsa v tomto texte vyskytn, bud plne leglne z hadiska terie mnon, a po-iada ho o dveru. Zatia sta, ak prezradme, e vetky mnoiny netvoriamnoinu, t. j. neexistuje mnoina vetkch mnon. To znamen, e vlastnos-ou x je mnoina nie je vymedzen nijak mnoina.Najastejie budeme spomnan princp pouva na vymedzovanie pod-

mnon nejakej vopred danej mnoiny pomocou vlastnost popsanch ma-tematickmi formulami. Ak M je mnoina a P (x) je nejak (matematick)vlastnos, tak existuje mnoina X vetkch tch prvkov x mnoiny M , ktor

0.2. Mnoiny 25

maj vlastnos P (x), t. j. mnoina

X = {x M ; P (x)} = {x; x M & P (x)}.

Nech X, Y s ubovon mnoiny. Prienikom, zjednotenm, a rozdielommnon X, Y nazvame porade nasledujce mnoiny:

X Y = {x; x X & x Y },X Y = {x; x X x Y },X r Y = {x; x X & x / Y }.

Mnoiny X, Y nazvame disjunktn, ak XY = . itateovi prenechvame,aby si sm premyslel zkladn vlastnosti uvedench mnoinovch operci.

Pod usporiadanou dvojicou objektov x, y rozumieme objekt oznaovan(x, y), tak, e pre vetky x, y, u, v plat:

(x, y) = (u, v) (x = u & y = v).

Uvedomme si, e nepotrebujeme vedie, o je naozaj usporiadan dvojica(x, y), dleit je len uveden vlastnos. Analogicky zavdzame pre ubovoncel slo n 2 usporiadan n-ticu (x1, . . . , xn) tak, e pre vetky x1, . . . , xn,y1, . . . , yn plat

(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , yn) (x1 = y1 & . . . & xn = yn).

Mnoiny

X Y = {(x, y); x X & y Y },X1 . . .Xn = {(x1, . . . , xn); x1 X1 & . . . & xn Xn}

nazvame kartezinskym sinom mnon X, Y , resp. mnon X1, . . . , Xn.V prpade, e X1 = = Xn = X, peme

X1 . . .Xn = Xn.

Pre plnos ete kladieme

X1 = X, X0 = {}.

Xn nazvame n-tou kartezinskou mocninou mnoiny X. Poet prvkov ko-

nenej mnoiny X budeme znai #X. Taktie przdna mnoina je konena plat # = 0. Pre nekonen mnoinu X peme #X = . Zrejme preubovon konen mnoiny X, Y plat

# (X Y ) = #X +#Y #(X Y ),#(X Y ) = #X #Y.

26 0. Zkladn pojmy z logiky a terie mnon

Z poslednej rovnosti vyplva, e

#(Xn)= (#X)n

pre kad cel slo n 0 a konen mnoinu X.

0.3 Zobrazenia

Zobrazenm alebo tie funkciou z mnoiny X do mnoiny Y rozumieme ubo-von predpis, ktor kadmu prvku xmnoinyX prirad jednoznane urenprvok y mnoiny Y . Zpis f : X Y oznauje, e f je zobrazenie (funkcia)z X do Y . Ten jednoznane uren prvok y Y , ktor zobrazenie f priradprvku x X, budeme znai f(x), prpadne len fx alebo fx. Vo vzahuy = f(x) nazvame x nezvisle premennou alebo argumentom a y zvislepremennou alebo funknou hodnotou funkcie f . Peme tie f : x 7 y.Dve zobrazenia f, g : X Y sa rovnaj, ak pre kad x X plat f(x) =

g(x).Mnoinu vetkch zobrazen z mnoiny X do mnoiny Y budeme ozna-

ova Y X ; tedaY X = {f ; f : X Y }.

Toto oznaenie je motivovan vzorcom pre poet prvkov mnoiny Y X . Prekonen mnoiny X, Y toti plat

#(Y X)= (#Y )(#X).

(Samostatne si rozmyslite preo!)Zobrazenie f : X X sa nazva transformciou mnoiny X alebo tie

unrnou (t. j. jednomiestnou) operciou na mnoine X.Zobrazenie f : X Y sa nazva prost alebo tie injektvne i injekcia,

ak rznym prvkom x1, x2 X prirauje rzne prvky f(x1), f(x2) Y , t. j.ak plat

(x1, x2 X)(x1 6= x2 f(x1) 6= f(x2)).

Uveden podmienku mono ekvivalentne vyjadri v tvare

(x1, x2 X)(f(x1) = f(x2) x1 = x2).

Zobrazenie f : X Y sa nazva zobrazenie na mnoinu Y alebo tiesurjektvne i surjekcia, ak na kad prvok mnoiny Y sa zobraz nejakprvok mnoiny X, t. j. ak plat

( y Y )(x X)(y = f(x)).

0.3. Zobrazenia 27

Hovorme, e f : X Y je prost zobrazenie X na Y alebo tie bijektvnezobrazenie i bijekcia, ak f je zrove prost a na, t. j. injektvne i surjektvne.Ete inak to meme vyjadri podmienkou

( y Y )(!x X)(y = f(x)).

Namiesto uvedench pojmov niekedy tie hovorme, e f je vzjomne jedno-znan zobrazenie mnoiny X na mnoinu Y .Ak f : X Y je bijekcia, tak existuje jednoznane uren zobrazenie

g : Y X, ktor kadmu y Y prirad ten jedin prvok x X, pre ktorplat y = f(x). Toto zobrazenie nazvame inverznm zobrazenm k zobraze-niu f a oznaujeme ho f1. Zrejme f1 : Y X je tie bijekcia a pre vetkyx X, y Y plat

f1(f(x)

)= x, f

(f1(y)

)= y.

Nech f : X Y , g : Y Z s zobrazenia. Kompozciou zobrazen f , galebo aj zloenm zobrazenm z f a g rozumieme zobrazenie oznaen akog f : X Z, dan pre kad x X predpisom

(g f)(x) = g(f(x)).

Zloen zobrazenie mono znzorni pomocou tzv. komutatvneho diagramu

1

Xf

- Y

g f

Z?

g

-

(Vimnite si, e zobrazenie g f zapisujeme v obrtenom porad najprvtoti na prvok x aplikujeme f a a potom g. Nti ns k tomu zauvankonvencia, poda ktorej argument x peme napravo od funkcie f . Pozname-najme, e niektor autori dvaj prednos prirodzenmu poradiu a kompo-zciu zobrazen f : X Y , g : Y Z, zapisuj ako f g. Kvli tomu vakopaj spomnan konvenciu a namiesto f(x) pu xf . V tomto duchufunguj napr. niektor kalkulaky.)Skladanie zobrazen je asociatvne v nasledujcom zmysle: ak f : X Y ,

g : Y Z a h : Z W s zobrazenia, tak

h (g f) = (h g) f.

ahko toti nahliadneme, e obe zobrazenia priradia prvku x X prvokh(g(f(x))) W .

28 0. Zkladn pojmy z logiky a terie mnon

Na kadej mnoine X mme definovan identick zobrazenie idX : X X, nazvan tie identita na X, tak, e

idX(x) = x

pre kad x X. Zrejme idX je bijekcia pre kad X, a pre ubovon zobra-zenie f : X Y plat

f idX = f = idY f.Pre f : X X kladieme f 2 = f f , f 3 = f f f , at. Kvli plnostidefinujeme aj f 1 = f , f 0 = idX . Zobrazenie fn nazvame n-tou iterciouzobrazenia f .Ak f : X Y je bijekcia, tak k nej inverzn zobrazenie f1 : Y X

teraz meme charakterizova rovnosami

f1 f = idX , f f1 = idY .

itate sm ahko nahliadne, e pre ubovon zobrazenia f : X Y , g : Y Z plat:(a) Ak f , g s injektvne, tak aj g f je injektvne.(b) Ak f , g s surjektvne, tak aj g f je surjektvne.(c) Ak f , g s bijektvne, tak aj g f je bijektvne.(d) Ak g f je injektvne, tak aj f je injektvne.(e) Ak g f je surjektvne, tak aj g je surjektvne.(f) Ak g f je bijektvne, tak f je injektvne a g je surjektvne.

Podmienka (c) ns oprvuje zavies pre bijekcie f : X X aj zpornitercie

fn =(f1)n=(fn)1

.

Nech f : X Y je nejak zobrazenie a A X. Zenm zobrazenia f namnoinu A nazvame zobrazenie f A : A Y tak, e

(f A)(x) = f(x)

pre kad x A. Obrazom mnoiny A v zobrazen f nazvame mnoinu

f(A) = {f(x); x A} Y.

pecilne, mnoinu f(X) nazvame obrazom zobrazenia f a zname ju

Im f = f(X) = {f(x); x X}.

Pre f : X Y a A X plat Im(f A) = f(A); zrejme f je surjekcia prvevtedy, ke Im f = Y .

0.4. Binrne opercie 29

Podobne, vzorom mnoiny B Y v zobrazen f : X Y nazvamemnoinu

f1(B) = {x X; f(x) B} X.

Pre ubovon A X, B Y mono jednoducho overi inklzie

A f1(f(A)

), f

(f1(B)

) B.

0.4 Binrne opercie

Ak X, Y , Z s mnoiny, tak zobrazenie f : X Y Z nazvame binrnou(t. j. dvojmiestnou) operciou na mnoinch X, Y s hodnotami v mnoine Z.Binrne opercie vinou oznaujeme znakmi umiestovanmi medzi hod-noty argumentov, ako napr +, , , a pod. Hodnotu takej opercie na dvojiciprvkov x X, y Y potom oznaujeme x+ y, x y (prpadne len xy), x y,x y a pod.Podobnm spsobom mono zavies aj n-miestne opercieX1. . .Xn

Y , prpadne Xn Y , i Xn X pre ubovon cel slo n 0.Najastejie budeme pracova s binrnymi operciami tvaru f : XX

X, ktor nazvame jednoducho binrnymi operciami na mnoine X.Binrna opercia na mnoine X sa nazva asociatvna, ak pre vetky

x, y, z X platx (y z) = (x y) z.

Asociativita opercie nm dovouje vynechva ztvorky a psa len x y z.Podobne si mono pona i v prpade viacerch argumentov.Binrna opercia na mnoine X sa nazva komutatvna, ak pre vetky

x, y X platx y = y x.

Prvok e X sa nazva neutrlny prvok binrnej opercie na mnoineX, ak pre vetky x X plat

x e = e x = x.

Zrejme neutrlny prvok opercie (ak existuje) je uren jednoznane. Kebytoti e1, e2 X boli dva neutrlne prvky, tak nevyhnutne

e1 = e1 e2 = e2.

Ak binrna opercia na mnoine X m neutrlny prvok e a k danmuprvku x X existuje prvok y X tak, e

x y = y x = e,

30 0. Zkladn pojmy z logiky a terie mnon

hovorme, e y je inverzn prvok k prvku x. Ak je asociatvna binrnaopercia naX, tak aj inverzn prvok k danmu prvku x X (pokia existuje)je uren jednoznane. Keby toti y1, y2 boli dva inverzn prvky k x, tak

y1 = y1 e = y1 (x y2) = (y1 x) y2 = e y2 = y2.

Naprklad pre ubovon mnoinu X kompozcia je asociatvna binrnaopercia na mnoine XX vetkch transformci mnoiny X. Zrejme ak#X 2, tak tto opercia nie je komutatvna. Identick zobrazenie idX XX je neutrlnym prvkom opercie . K danmu zobrazeniu f XX existujeinverzn prvok prve vtedy, ke f je bijekcia; v tom prpade je nm inverznzobrazenie f1 XX .Binrnu operciu na konenej mnoine X mono zada pomocou tzv.

multiplikatvnej tabuky, ktorej stpce i riadky s oznaen prvkami mnoinyX. Do poa tabuky leiaceho v priesenku x-tho riadku a y-tho stpcavpeme hodnotu x y.Napr. tabukami

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

s zadan dve asociatvne a komutatvne opercie + a na mnoine {0, 1, 2, 3, 4}.alej 0 je neutrlny prvok opercie + a 1 je neutrlny prvok opercie . Na-vye ku kadmu prvku a tejto mnoiny existuje inverzn prvok vzhadom naoperciu + : k prvkom 0, 1, 2, 3, 4 s to postupne prvky 0, 4, 3, 2, 1. Pokiaide o operciu , vidme, e k prvku 0 neexistuje inverzn prvok; k prvkom1, 2, 3 vak inverzn prvky existuj: s to postupne 1, 3, 2.Komutativitu binrnej opercie mono ahko nahliadnu z jej multiplika-

tvnej tabuky prejav sa symetriou tabuky poda hlavnej diagonly spja-jcej av horn a prav doln roh. Taktie neutrlny prvok mono odhalina prv pohad, lebo v jeho riadku i stpci sa zreproduje riadok resp. stpeczo zhlavia tabuky. Ak u poznme neutrlny prvok, mono overi aj exis-tenciu inverznho k danmu treba njs neutrlny prvok v riadku i v stpcidanho prvku. Ak sa nm to podar pre dvojicu pol tabuky, ktor leiav stpci resp. riadku toho istho prvku, tak ide o hadan inverzn prvok.Asociatvnos, ia, tak jednoducho nahliadnu nemono.

0.5. Permutcie 31

0.5 Permutcie

Km znalos predchdzajcich paragrafov je nevyhnutnm predpokladom,aby itate mohol zaa so tdiom kapitoly 1, tento paragraf budeme potre-bova a neskr, ke zaneme prebera determinanty.Nech X je ubovon mnoina. Permutciou mnoiny X rozumieme ubo-

von bijektvne zobrazenie : X X. Mnoinu vetkch permutci mno-iny X zname S(X). Ak X je konen mnoina, tak poet prvkov mnoinyS(X) je dan znmym vzahom

#S(X) = (#X)! ,kde n! = 1 2 . . . n je faktoril prirodzenho sla n (pritom 0! = 1! = 1).Uvedomme si, e transformcia f : X X konenej mnoiny X je injek-

tvna prve vtedy, ke je surjektvna. Jedna i druh podmienka toti hovor,e mnoina f(X) X m rovnak poet prvkov ako X. Teda u jedna z uve-dench podmienok je postaujca na to, aby f bola permutciou konenejmnoiny X.Kee zloenie dvoch permutci , S(X) dva op permutciu

mnoiny X, kompozcia je asociatvna binrna opercia na mnoine S(X).ahko sa mono presvedi, e okrem prpadu, ke #X 2, tto opercianie je komutatvna. Zrejme idX S(X) je neutrlny prvok tejto opercie ainverznm prvkom k permutcii S(X) je inverzn permutcia 1 S(X).Pre X = {1, 2, . . . , n} namiesto S(X) peme Sn. Permutciu Sn

zvyajne zapisujeme v tvare

=

(1 2 . . . n

(1) (2) . . . (n)

).

Prvky mnoiny S3, t. j. permutcie mnoiny {1, 2, 3}, si meme predsta-vi ako symetrie rovnostrannho trojuholnka s vrcholmi oznaenmi slami1, 2, 3.Ak si identick permutciu tejto mnoiny ozname ako , otoenia okolo

aiska trojuholnka proti smeru resp. v smere hodinovch ruiiek o uhol /3ako % resp. %1, a osov smernos poda osi prechdzajcej i-tm vrcholoma stredom protiahlej strany ako i, pre i = 1, 2, 3, tak mnoina permutciS3 bude pozostva z permutci

=

(1 2 31 2 3

)% =

(1 2 32 3 1

), %1 =

(1 2 33 1 2

),

1 =

(1 2 33 2 1

), 2 =

(1 2 33 2 1

), 3 =

(1 2 32 1 3

).

32 0. Zkladn pojmy z logiky a terie mnon

Obr. 0.1. Symetrie rovnostrannho trojuholnka

Multiplikatvna tabuka binrnej opercie na mnoine S3 vyzer takto:

% %1 1 2 3 % %1 1 2 3

% % %1 3 1 2

%1 %1 % 2 3 1

1 1 2 3 % %1

2 2 3 1 %1 %

3 3 1 2 % %1

Permutciu S(X) nazvame transpozciou, ak existuj x, y X tak,e x 6= y, (x) = y, (y) = x a (z) = z pre kad z X r {x, y}. Inakpovedan, transpozcia je vmena dvoch prvkov mnoiny X.Zrejme 1, 2, 3 S3 s transpozcie.Z nzoru je zrejm (dkaz je v cvien 0.14), e kad permutciu ko-

nenej mnoiny X mono zska postupnmi vmenami dvojc prvkov, tedakad tak permutcia je kompozciou transpozci. Tento rozklad na trans-pozcie nie je jednoznan: napr. S3 mono zapsa ako , t. j. kompozciu0 transpozci, a taktie ako = 1 1 = 2 2 = 3 3, t. j. aspo tromaalmi spsobmi ako kompozciu dvoch transpozci.Dkou permutcie konenej mnoiny X nazveme najmen poet trans-

pozci, na kompozcu ktorch mono rozloi, a ozname ju ||. Samotndka || nie je dleit, vznam m len parita tohto sla, t. j. vlastne vrazsgn = (1)||, ktor nazvame znakom, prpadne znamienkom permut-cie .

0.6. Ekvivalencie a rozklady 33

Permutcia konenej mnoiny X sa nazva prna resp. neprna, akslo || je prne resp. neprne, t. j. ak jej znak je 1 resp. 1.Z nasledujcej vety vyplva, e pri urovan znamienka permutcie

meme poui jej ubovon rozklad na transpozcie = 1 . . . k a ne-musme sa stara o to, i tento rozklad je naozaj najkrat pre ubovontak rozklad toti plat

(1)|| = (1)k.

0.5.1. Veta. Nech X je konen mnoina. Potom pre ubovon , S(X)plat

(1)| | = (1)|| (1)| |.

Dkaz. Zrejme sta dokza uveden rovnos pre prpad, ke je transpo-zcia a X = {1, 2, . . . , n}.Pre kad Sn ozname p() sin vetkch rozdielov tvaru (j)(i),

kde 1 i < j n. Zrejme pre vetky Sn maj vrazy p() rovnakabsoltnu hodnotu a lia sa nanajv znamienkom. Toto znamienko zvis odparity potu zpornch lenov v sine p(). len (j)(i) je zporn prvevtedy, ke i < j a (i) > (j), kad tak dvojicu (i, j) nazvame inverzioupermutcie . Identita idX m 0 inverzi a p(idX) = 1n1 2n2 . . . (n1)1 =1! 2! . . . (n 1)! > 0.Sta teda dokza, e poet inverzi permutci a sa l o neprnu

hodnotu. Nech 1 k < l n s tie dva prvky, ktor vymiea transpozcia . Potom

=

(1 . . . k . . . l . . . n

(1) . . . (k) . . . (l) . . . (n)

),

=(1 . . . k . . . l . . . n

(1) . . . (l) . . . (k) . . . (n)

).

Inverzie (i, j) permutcie , v ktorch nevystupuje k ani l, s tie inverziamipermutcie . Inverzie, v ktorch vystupuj prvky i, k, a i, l, kde i 6= k, l,alebo obe sasne vznikn alebo sasne zanikn v oproti . Konene,pokia (k, l) nebola inverziou v , stane sa ou v ; pokia ou bola, ttoinverzia v zanikne. Teda celkov rozdiel potu inverzi permutci a je neprny.

0.6 Ekvivalencie a rozklady

Podobne ako predol, i tento paragraf me itate zatia preskoi. Jehoznalos bude potrebn a neskr, v svislosti s niektormi otzkami terie

34 0. Zkladn pojmy z logiky a terie mnon

grp. S pojmom ekvivalencie sa sce stretneme u predtm, dovtedy ho vaknebudeme systematicky vyuva.Nech je nejak dvojmiestny vzah, do ktorho vstupuj prvky nejakho

oboru objektov M (tento obor me, ale nemus by mnoinou). Zpisomx y zname, e prvky x, y M sa nachdzaj vo vzahu; ak sa x, y Mnenachdzaj v tomto vzahu, peme x 6 y.Hovorme, e vzah je na oboreM

(a) reflexvny, ak pre vetky x M plat x x;(b) symetrick, ak pre vetky x, y M plat x y y x;(c) tranzitvny , ak pre vetky x, y, z M plat x y & y z x z.Vzah , ktor je reflexvny, symetrick a tranzitvny na oboreM, nazvamevzahom ekvivalencie alebo len krtko ekvivalenciou na oboreM. Ekvivalen-cie budeme vinou znai znakmi , , a pod.Kad vzah ekvivalencie na nejakej mnoine i obore objektovM pred-

stavuje ist hadisko, z ktorho povaujeme niektor prvky z M za rovno-cenn, t. j. ekvivalentn, a in nie. Napr. na mnoine vetkch hracch guliiekv danej jamke mono zavies vzah ekvivalencie, v ktorom sa nachdzaj u-bovon dve guliky prve vtedy, ke maj rovnak farbu. Vzah, v ktoromsa nachdzaj dve takto guliky prve vtedy, ke maj rovnak hmotnos,je inm prkladom ekvivalencie na tejto mnoine.Jednm dychom vak poznamenajme, e uveden prklady neslobodno

bra prli vne, lebo rovnocennos sa v nich miea s podobnosou, na-ozajstn ekvivalencie predstavuj len v znane idealizovanom prpade. S ref-lexvnosou a symetriou nie je problm, v relnom ivote vak zvykne zlyhatranzitvnos. Meme sa naprklad zhodn, e guliky a, b maj rovnakfarbu, a takisto maj rovnak farbu guliky b, c. No farba guliiek a, c sanm u rovnakou zda nemus. Podobne meme v rmci presnosti naichvh dospie k zveru, e guliky p, q ako aj guliky q, r maj rovnak hmot-nos. Avak hmotnos guliiek p, r sa nm u venm me podari rozli.Lepm prkladom ekvivalencie je tak vzah na mnoine vetkch bankoviekdanej meny, v ktorom sa nachdzaj dve bankovky prve vtedy, ke majrovnak nominlnu hodnotu.Na rozdiel od relneho ivota sa v matematike nemusme trpi podob-

nmi akosami. Vetky ekvivalencie, s ktormi sa tu stretneme, bud mav plnej miere vetky tri uveden vlastnosti. Ete jeden prklad za vetky:vzahom

x y |x| = |y|

je definovan ekvivalencia ma rovnak absoltnu hodnotu na mnoine Cvetkch komplexnch sel.

0.6. Ekvivalencie a rozklady 35

Nech je ekvivalencia na mnoine X. Pre x X ozname

x = {u X; u x}

mnoinu vetkch prvkov u X ekvivalentnch s x, ktor nazvame triedoualebo blokom ekvivalencie prvku x. Zrejme pre ubovon x X plat x x.ahko tie mono dokza (skste sami), e

x y x = y x y y x x y 6=

pre vetky x, y X. Mnoinu

X/ = {x; x X}

vetkch tried ekvivalencie prvkov mnoiny X nazvame faktorovou mnoi-nou mnoiny X poda ekvivalencie . (Podotkame, e v zhode s paragra-fom 0.2 sa kad trieda x nachdza v mnoine X/ iba raz, i ke prvkovy X, pre ktor plat x = y, me by mnoho.)Priradenm x 7 x je definovan surjektvne zobrazenie X X/, ktor

nazvame prirodzenou alebo tie kanonickou projekciou mnoiny X na fak-torov mnoinu X/.Na faktorov mnoinu X/ sa mono dva dvojakm spsobom. Jed-

nak ako na vsledok stotonenia i zlepenia navzjom ekvivalentnch prvkovmnoiny X; v takom prpade sa na bloky x dvame predovetkm ako naprvky, ktor vznikli stiahnutm celej triedy x do jedinho bodu, a vedomesi nevmame fakt, e s to zrove mnoiny. Pouitm nzvu faktorovmnoina naznaujeme, e v danej chvli dvame tomuto pohadu prednos.Na druhej strane sa na mnoinu X/ mono dva ako na rozklad mnoinyX na navzjom disjunktn neprzdne mnoiny x.Rozkladom mnoiny X nazvame ubovon systm (t. j. mnoinu) jej ne-

przdnych podmnon R tak, e kad prvok mnoiny X padne do prvejednej mnoiny zo systmu R. Inmi slovami, systm R neprzdnych pod-mnon mnoiny X je jej rozkladom prve vtedy, ke spa nasledujce dvepodmienky:(1) zjednotenm vetkch mnon A R je cel mnoina X, t. j.(x X)(A R)(x A);

(2) mnoiny z R s navzjom disjunktn, t. j.(A,B R)(A 6= B A B = ).

ahko mono nahliadnu, e faktorov mnoina X/ mnoiny X poda ek-vivalencie je zrove rozkladom mnoiny X, ktor je tvoren triedaminavzjom ekvivalentnch prvkov. Taktie naopak, kad rozklad R mnoinyX uruje predpisom

x R y (A R)(x, y A)

36 0. Zkladn pojmy z logiky a terie mnon

ekvivalenciu na mnoine X. Inak povedan, prvky x, y X s vo vzahuekvivalencie urenej rozkladom R prve vtedy, ke sa nachdzaj v tej istej(jednoznane urenej) mnoine z tohto rozkladu. itateovi prenechvame,aby si samostane overil, e takto definovan vzah R je reflexvny, symet-rick a tranzitvny, t. j. m vetky tri poadovan vlastnosti ekvivalencie, akoaj rovnos X/R = R, t. j. e rozklad (faktorov mnoina) uren ekviva-lenciou R splva s pvodnm rozkladom R.

0.6.1. Prklad. Rozklad prislchajci k spomnanej ekvivalencii x y |x| = |y| na mnoine C je vlastne rozkladom komplexnej roviny na navzjomsstredn krunice so stredom v poiatku 0 a ubovonm polomerom r 0(krunicu s nulovm polomerom prirodzene stotoujeme s jej stredom).

0.7 O matematickch dkazoch

Matematika je veda vybudovan prevane (hoci nie vlune) deduktvne. Toznamen, e v tej-ktorej matematickej terii vychdzame z uritch zklad-nch pojmov, ktor povaujeme za intuitvne jasn vaka istm s nimi spo-jenm nzornm predstavm. alie pojmy potom definujeme pomocou poj-mov zkladnch alebo skr definovanch. Zkladn pojmy oznauj zkladnobjekty, ktor tvoria predmet nho tdia, alebo urit zkladn vzahy me-dzi nimi. Tieto objekty a vzahy s charakterizovan istmi vchodzmi tvr-deniami, ktorm hovorme aximy. V najjednoduchch prpadoch je platnosaxim jasn z nzoru, ktor stoj v pozad prslunej terie. V zloitejch pr-padoch vak mu nzorn predstavy zlyha vtedy sa na aximy dvameako na implicitn defincie zkladnch pojmov. To znamen, e rezignujemena otzku, o naozaj oznauj zkladn pojmy. Mu oznaova okovek,o spa dan aximy to je vetko, o o nich predpokladme. Zisk z tak-hoto prstupu spova v univerzlnosti matematiky aj vsledky matema-tickch teri sa potom vzahuj na vemi rznorod oblasti reality. Toti natie, v ktorch mono interpretova zkladn pojmy danej terie tak, e spritom splnen jej aximy.Pri deduktvnej vstavbe nejakej terie vyvodzujeme alie poznatky z jej

axim logickmi prostriedkami, t. j. dokazujeme ich. Tmto dokzanm po-znatkom hovorme vety, tvrdenia, lemy a dsledky, m naznaujeme rznystupe dleitosti, ktor im pripisujeme. Nzvom veta oznaujeme tie najd-leitejie z nich, menej dleit nazvame tvrdeniami a tvrdenia pomocnhocharakteru oznaujeme ako lemy. Dsledky, ako u samotn nzov napoved,pripjame ako bezprostredn dsledky niektorch viet, tvrden i liem, po-kia ich vznam nedosahuje rove viet. Poznamenajme, e toto rozdeleniem znane subjektvny charakter a vvoj ho asto zvykne prekona. Mnoh

0.7. O matematickch dkazoch 37

vety asom upadaj do zabudnutia, km naopak mnoh lemy postupne na-dobdaj na vzname.Zkladnm prostriedkom odvodzovania novch poznatkov v deduktvnej

terii je dkaz. V tomto paragrafe sa vemi strune zoznmime s hlavnmitypmi matematickch dkazov: s priamym dkazom, s nepriamym dkazom as dkazom sporom. Uvidme, e toto rozdelenie tak trochu svis so stratgiouvedenia prslunho dkazu. V nasledujcom paragrafe sa ete zoznmimes dkazom matematickou indukciou.Vina matematickch tvrden m tvar implikcie P Q, t. j. tvrd sa

v nich, e z predpokladu P vyplva zver Q. Pritom predpoklad P je astokonjunkciou nejakch dielch predpokladov, ie m tvar P1 & . . . & Pn.Na tomto mieste sa obmedzme na niekoko poznmok o dkazoch tvrdentakhoto tvaru.

0.7.1. Priamy dkaz. Pri priamom dkaze implikcie P Q dokazuje-me (i sa aspo pokame dokza) zver Q z predpokladu P . Spoiatkusa sname dokza priamo zver Q z danch axim a u skr dokzanchtvrden. Postupujeme pri tom tak aleko, ako sa len d, priom jednm okomstle pokuujeme po predpoklade P , i dielch predpokladoch P1, . . . , Pn. Vochvli, ke u nevieme ako alej, siahneme po tom z dielch predpokladov Pi,ktor nm umon pohn sa dopredu. Op postupujeme alej a vo vhodnejchvli zasa pouijeme niektor diel predpoklad Pj (nie nevyhnutne rzny odPi). Ak sme spen, nakoniec sa nm podar dospie k zveru Q, m dkazkon. Ak sme nespen, musme to sksi inak, prpadne sa zamyslie nadotzkou, i spomnan implikcia vbec plat.Me sa sta, e pri naom spenom dkaze sme nepouili vetky dielie

predpoklady P1, . . . , Pn, ale povedzme prv a posledn z nich sme nepotrebo-vali. To znamen, e miesto pvodnho tvrdenia (P1 & P2 & . . . & Pn1 & Pn) Q sme dokzali silnejie tvrdenie (P2 & . . . & Pn1) Q.

0.7.2. Nepriamy dkaz. Pri nepriamom dkaze implikcie P Q doka-zujeme miesto nej logicky ekvivalentn tzv. transponovan implikciu Q P prve opsanou metdou priameho dkazu. Za tm elom bva astouiton (pokia to ide) rozleni predpoklad Q na konjunkciu dielch pred-pokladov R1 & . . . & Rm. Ak pvodn predpoklad P bol konjunkciou dielchpredpokladov P1 & . . . & Pn, tak jeho negcia P je ekvivalentn s alter-natvou P1 . . . Pn. Potom transponovan implikcia Q P jelogicky ekvivalentn s ubovonou z implikci

(Q & P1 & . . . & Pi1 & Pi+1 & . . . & Pn) Pi,

kde 1 i n. Nov zver Pi sa, samozrejme, usilujeme vybra o najv-

38 0. Zkladn pojmy z logiky a terie mnon

hodnejie, na o neexistuje jednoznan recept, no asom sa nm azda podarnadobudn cit, ktorm sa budeme mc riadi.

0.7.3. Dkaz sporom. Dkaz sporom do istej miery pripomna nepriamydkaz a asto sa s nm zvykne zamiea. Najm zaiatonk by mal k nemusiahnu a vtedy, ke sa mu priamy ani nepriamy dkaz nedar, prpadne kev om skrsne podozrenie, e dokazovan tvrdenie neplat. Namiesto dokazo-vanej implikcie P Q prijmeme predpoklad P & Q, ktor je logickyekvivalentn s jej negciou (P Q). Tento predpoklad sa usilujeme do-vies k sporu, m sa mysl nejak logicky absurdn zver, ako napr. x 6= x,alebo spor s niektorm z pvodnch predpokladov P , Q, prpadne spors niektorou z axim alebo s niektorm zo skr dokzanch tvrden.Na rozdiel od priameho alebo nepriameho dkazu, dkaz sporom nem

vopred stanoven smer uren nejakm znmym zverom ten by sa malobjavi a v jeho priebehu. Ak sa ani pokus dovies k sporu predpokladP & Q neskon spene, je namieste poksi sa ho dokza, to znamenvyvrti pvodn hypotzu P Q.

0.7.4. Dkaz ekvivalencie. Niekedy sa nm me podari dokza ekvi-valenciu P Q postupnosou logicky ekvivalentnch krokov, no to je skrvnimka ne pravidlo. Vo veobecnosti si jej dkaz vyaduje dokza zvlkad z implikci P Q, Q P . Pritom na kad z nich mono pouiubovon z troch skr spomnanch metd. asto sa jedna z uvedench im-plikci dokazuje priamo a druh nepriamo, teda dkaz uvedenej ekvivalenciepozostva napr. z priamych dkazov implikci P Q a P Q.V naom kurze sa neraz stretneme s vetami, v ktorch sa tvrd ekviva-

lencia viacerch podmienok P1, . . . , Pn. V tom je zahrnutch n(n 1) jed-notlivch implikci Pi Pj pre rzne i, j n. Dokazova ich vetky bypre n 3 bolo znane neefektvne a taktie zbyton. Sta toti dokza nimplikci tvoriacich cyklus

P(1) P(2) . . . P(n1) P(n) P(1),

kde je ubovon permutcia mnoiny indexov {1, . . . , n}, ktor si volmetak, aby to bolo o najvhodnejie. S prkladmi vetkch uvedench typov

dkazov sa budeme v naom kurze neustle stretva.

0.8 Matematick indukcia a rekurzia

Mnoinu vetkch nezpornch celch sel zname N = {0, 1, 2, . . . , } anazvame ju tie mnoinou vetkch prirodzench sel.

0.8. Matematick indukcia a rekurzia 39

0.8.1. Dkaz matematickou indukciou. Platnos nejakho tvrdenia P (n)pre vetky prirodzen sla, t. j. tvrdenie (n N)P (n) sa obvykle dokazujematematickou indukciou. Dkaz indukciou spova v dkaze dvoch tvrden:nato, aby sme dokzali, e kad prirodzen slo n m vlastnos P , stadokza, e plat1 P (0), t. j. 0 m vlastnos P ;

2 (n N)(P (n) P (n+ 1)),t. j. ak n je ubovon prirodzen slo, ktor m vlastnos P , tak aj slon+ 1 m vlastnos P .truktru dkazu matematickou indukciou tak mono zhrn do schmy(

P (0) & (n N)(P (n) P (n+ 1))) (n N)P (n).

V bode 2 sa vlastne tvrd platnos vetkch implikci P (0) P (1),P (1) P (2), P (2) P (3), . . . . Z bodu 1 a prvej z nich vyplva P (1),z toho spolu s druhou implikciou dostvame P (2), z oho pomocou tretejimplikcie plynie P (3), at.Princp matematickej indukcie je logicky ekvivalentn so zdanlivo oi-

vidnm princpom dobrho usporiadania, ktor tvrd, e kad neprzdnamnoina A N m najmen prvok. Kee pre vinu tudentov bva tentoprincp ahie prijaten ne princp indukcie, predvedieme ako mono prin-cp indukcie z neho dokza. Dkaz princpu dobrho usporiadania z princpuindukcie prenechvame na rozmyslenie itateovi.Predpokladajme teda platnos princpu dobrho usporiadania. Nech P

je vlastnos tak, e plat P (0) a (n N)(P (n) P (n + 1)). OznameA = {n N; P (n)}. Ak neplat (n N)P (n), tak A 6= . Nech m jenajmen prvok mnoiny A. Potom zrejme m 6= 0 a m 1 / A, teda platP (m 1). No kee P (m 1) P (m), plat P (m), ie m / A, o je spor.Z pedagogickch dvodov sa budeme (najm spoiatku) pri dkazoch

indukciou odvolva radej na princp dobrho usporiadania ne na princpindukcie, a tomu tie podriadime redakciu dkazu.

Poznmka. (a) Niekedy je potrebn miesto poiatonho tvrdenia 1 oso-bitne dokza niekoko prvch tvrden P (0), P (1), . . . , P (k) a potom prejsk dkazu modifikovanho tvrdenia 2, toti (n k)(P (n) P (n+ 1)).(b) Indukciou mono dokazova aj tvrdenia tvaru (n m)P (n), kde

m je nejak pevn prirodzen slo. Sta dokza mierne upraven verzietvrden 1 a 2: P (m) a (n m)(P (n) P (n+ 1)).(c) Pri dkaze indukciou mono bod 2 nahradi tvrdenm

(n N)((P (0) & . . . & P (n)) P (n+ 1)

).

40 0. Zkladn pojmy z logiky a terie mnon

Inak povedan, pri dkaze zveru P (n+1) v bode 2 sa nemusme opiera leno predpoklad P (n), ale v prpade potreby meme ako predpoklady pouivetky predchdzajce tvrdenia P (0), . . . , P (n). Takto dkaz indukciou savlastne riadi schmou

(n N)(( k < n)P (k) P (n)

) (n N)P (n).

Rozmyslite si, ako je predpoklad 1, t. j. tvrdenie P (0), u zahrnut v predpo-klade novej schmy pre n = 0, t. j. v tvrden ( k < 0)(P (k) P (0)). alejsi premyslite, ako mono transpozciou uvedenej implikcie priamo dostamatematick formulciu princpu dobrho usporiadania.

0.8.2. Rekurzia. Princp matematickej indukcie sa pouva nielen na d-kazy tvrden o prirodzench slach. Mono ho poui aj na kontrukciurznych, i u konench alebo nekonench postupnost. V takom prpademiesto indukcie budeme radej hovori o postupnosti definovanej i zostroje-nej rekurziou.Nech X je mnoina a F je zobrazenie, ktor kadej konenej postupnosti,

(usporiadanej n-tici) (x1, . . . , xn) prvkov zX (akejkovek dky n N) priradnejak prvok F (x1, . . . , xn) X. Pomocou zobrazenia F mono zostrojinekonen postupnos (an)n=0 prvkov z X tak, e polome

a0 = F (), an+1 = F (a0, a1, . . . , an)

pre kad n N. V takom prpade, hovorme, e postupnos (an) je defino-van rekurziou pomocou zobrazenia F .Druh rovnos mono samozrejme zapsa v tvare an = F (a0, a1, . . . , an1)

pre n > 0. Taktie mono definciu rekurziou obmedzi len na nejak po-iaton sek 0, 1, . . . , n mnoiny prirodzench sel a dosta tak rekurzioukonen postupnos (a0, a1, . . . , an). Niekedy rekurziu zaname nie od nulyale od jednotky, prpadne od ubovonho prirodzenho sla k.Prvm lenom postupnosti (an) zostrojenej rekurziou pomocou zobra-

zenia F je prvok a0 = F () X. alie leny potom vyzeraj takto:a1 = F (a0), a2 = F (a0, a1), a3 = F (a0, a1, a2), . . . , an = F (a0, . . . , an1),an+1 = F (a0, . . . , an), at.Najastejie sa stretme s prpadom, ke sa pri rekurzvnej kontrukcii

lena an+1 nepouva cel predchdzajca as postupnosti (a0, . . . , an) alelen jej posledn len an. Naprklad v aritmetickej postupnosti relnych -sel s poiatonm lenom a0 a diferenciou d plat an+1 = an + d; podobnerekurentn vzah pre geometrick postupnos relnych sel s poiatonmlenom a0 a kvocientom q m tvar an+1 = qan.

0.8. Matematick indukcia a rekurzia 41

Inm znmym selnm prkladom je tzv. Fibonacciho postupnos (n)n=0,ktorej rekurzvna defincia

0 = 1 = 1, n+2 = n + n+1

pouva dva predchdzajce leny. Rozmyslite si, ako tto defincia zapaddo naej veobecnej schmy.

0.8.3. Prklad. Bellove sla s definovan rekurziou

B0 = 1, Bn+1 =nk=0

(n

k

)Bk,

pri ktorej sa vyuvaj vetky predchdzajce leny. Pre istotu pripomname,e (

n

k

)=

n!k!(n k)!

=n(n 1) . . . (n k + 1)

k!

oznauje binomick koeficient alebo kombinan slo udvajce poet vet-kch k-prvkovch podmnon n-prvkovej mnoiny.Vypotame niekoko poiatonch hodnt Bellovch sel:

B0 = 1, B1 =

(00

)B0 = 1, B2 =

(10

)B0 +

(11

)B1 = 2,

B3 =

(20

)B0 +

(21

)B1 +

(22

)B2 = 5,

B4 =

(30

)B0 +

(31

)B1 +

(32

)B2 +

(33

)B3 = 15,

B5 =

(40

)B0 +

(41

)B1 +

(42

)B2 +

(43

)B3 +

(44

)B4 = 52,

B6 =

(50

)B0 +

(51

)B1 +

(52

)B2 +

(53

)B3 +

(54

)B4 +

(55

)B5 = 203, . . .

Matematickou indukciou teraz dokeme, e poet vetkch rozkladovn-prvkovej mnoiny (teda aj ekvivalenci na n-prvkovej mnoine) je rovnslu Bn. Zrejme na przdnej moine existuje jedin rozklad R = . Predpo-kladajme teraz, e pre kad k n existuje prve Bk rozkladov k-prvkovejmnoiny. Vetky rozklady (n+ 1)-prvkovej mnoiny {0, 1, . . . , n} mono zs-ka nasledujcim spsobom:

42 0. Zkladn pojmy z logiky a terie mnon

(1) zvolme si ubovon k n a ubovon k-prvkov podmnoinu A mno-iny {1, . . . , n} to pre dan k mono urobi prve

(nk

)spsobmi;

(2) vezmeme ubovon rozklad R mnoiny A ten poda induknho pred-pokladu mono vybra prveBk spsobmi a mnoinuA = {0, 1, . . . , n}rA pridme k pvodnmu rozkladu R.Zrejme sme takto zskali nejak rozklad RA = R{A} (n+1)-prvkovej

mnoiny {0, 1, . . . , n}, priom kad rozklad S mnoiny {0, 1, . . . , n} m tvarS = RA pre jednoznane uren dvojicu (R, A). Vetkch rozkladov (n+1)-prvkovej mnoiny teda je

nk=0

(nk

)Bk = Bn+1.

Cvienia

0.1. Pre ubovon mnoiny X, Y s nasledujce tyri podmienky ekvivalentn:(i) X Y , (ii) X Y = X, (iii) X Y = Y , (iv) X r Y = .Dokte.

0.2. Vzah inklzie je reflexvny a tranzitvny, t. j. pre ubovon mnoiny X, Y , Z plat:(a) X X; (b) X Y & Y Z X ZDokte. Njdite prklad dosvedujci, e nie je symetrick.

0.3. Nech Z = {. . . ,2,1, 0, 1, 2, . . . } oznauje mnoinu vetkch celch sel. Prekad 0 6= n Z ozname nZ = {nx; x Z} mnoinu vetkch celch seldelitench slom n. Dokte, e pre ubovon nenulov cel sla m, n plat(a) mZ nZ m je nsobkom n;(b) mZ = nZ |m| = |n|;(c) mZ nZ = kZ, kde k je najmen spolon nsobok sel m a n;(d) Me pre niektor m, n nasta rovnos mZnZ = , prpadne mZnZ = {0}?Zdvodnite.

0.4. Pre ubovon mnoiny X, Y , Z plat

X Y = Y X, X Y = Y X,X (Y Z) = (X Y ) Z, X (Y Z) = (X Y ) Z,

X X = X, X X = X,X = , X = X,

X (Y Z) = (X Y ) (X Z), X (Y Z) = (X Y ) (X Z),

X rX = , X r = X,X (Y rX) = , X (Y rX) = X Y,(X Y )r Z = (X r Z) (Y r Z), (X Y )r Z = (X r Z) (Y r Z),X r (Y Z) = (X r Y ) (X r Z), X r (Y Z) = (X r Y ) (X r Z),(X r Y )r Z = X r (Y Z), X r (Y r Z) = (X r Y ) (X Z),(X r Y ) Z = (X Z)r Y, (X r Y ) Z = (X Z)r (Y r Z).

Dokte. Pomenujte niektor z uvedench vlastnost binrnych operci , ar (komutatvnos, asociatvnos, . . . ).

0.5. Pre ubovon mnoiny X, Y , Z plat

Cvienia 43

X (Y Z) = (X Y ) (X Z), X (Y Z) = (X Y ) (X Z),X (Y r Z) = (X Y )r (X Z), X = .

Dokte. Napte analogick vzahy distributvnosti kartezinskeho sinu vzha-dom na opercie prieniku, zjednotenia a mnoinovho rozdielu pri nsoben sprava.

0.6. Nech X, Y , Z s ubovon mnoiny. Njdite o najprirodzenejiu bijekciu a k nejinverzn zobrazenie medzi kadou z nasledujcich dvojc mnon (mnoina P(X)vetkch podmnon mnoiny X z asti (f) sa nazva potenn mnoina mnoinyX):

(a) X Y , Y X; (b) X (Y Z), (X Y ) Z;

(c) (X Y )Z , XZ Y Z ; (d) XYZ ,(XY

)Z;

(e) Xn, X{1,...,n}; (f) {0, 1}X , P(X) = {A; A X};(g) XY Z , XY XZrY ; (h) XY XZ , X(Y{0})(Z{1}).

0.7. Nech R oznauje mnoinu vetkch relnych sel. Funkcie f, g, h : R R s danpredpismi f(x) = (x + 1)2, g(x) = 1 sin 2x, h(x) = ex. Napte a zjednodutepredpisy pre zloen funkcie f f , f g, g f , f h, h f , g h, h g, f g h,h g f , g f h a g h f .

0.8. Nech f : X Y , g : Y Z s ubovon zobrazenia. Dokte postupne nasledujcetvrdenia:(a) Ak f , g s injektvne, tak aj g f je injektvne.(b) Ak f , g s surjektvne, tak aj g f je surjektvne.(c) Ak f , g s bijektvne, tak aj g f je bijektvne.(d) Ak g f je injektvne, tak aj f je injektvne.(e) Ak g f je surjektvne, tak aj g je surjektvne.(f) Ak g f je bijektvne, tak f je injektvne a g je surjektvne.Na prklade ukte, e v prpade (f) g nemus by injektvne ani f surjektvne. oz toho vyplva pre prpady (d) a (e)?

0.9. Pre ubovon zobrazenia f : X Y , g : Y Z a mnoiny A X, B Z dokterovnosti:(a) (g f)(A) = g(f(A)); (b) (g f)1(B) = f1(g1(B)).

0.10. Nech f : X Y je ubovon zobrazenie. Potom pre vetky A, B X, C, D Yplat

(a) A B f(A) f(B); (b) C D f1(C) f1(D);(c) f(A B) f(A) f(B); (d) f1(C D) = f1(C)f1(D);(e) f(A B) = f(A) f(B); (f) f1(C D) = f1(C) f1(D);(g) f(ArB) f(A)r f(B); (h) f1(CrD) = f1(C)rf1(D);(i) f1(f(A)) A; (j) f

(f1(C)

) C.

Dokte. Na prkladoch sa presvedte, e inklzie v prpadoch (c), (g), (i) a (j)nemono zameni rovnosami. Ukte, e rovnos pre vetky A, B X je v ubo-vonom z prpadov (c), (g) a (i) ekvivalentn s injektvnoou zobrazenia f . Podobneje rovnos pre kad C Y v prpade (j) ekvivalentn so surjektvnosou f .

44 0. Zkladn pojmy z logiky a terie mnon

0.11. Nech f : X Y , g : Y Z s bijektvne zobrazenia. Potom (g f)1 = f1 g1.Dokte. Odvote z toho, e pre kad permutciu Sn plat || =

1 asgn = sgn1.

0.12. (a) Sformulujte pojmy avho a pravho neutrlneho prvku binrnej opercie namnoine X.

(b) Nech x . y = y pre vetky x, y X. Je tto binrna opercia na mnoine Xasociatvna resp. komutatvna? Njdite vetky av a vetky prav neutrlne prvkyopercie ..

(c) Predpokladajme, e e je jedinm neutrlnym prvkom (i u avm, pravmalebo obojstrannm) binrnej opercie na mnoine X. Sformulujte pojmy avhoa pravho inverznho prvku k danmu prvku x X.(d) Pomocou multiplikatvnej tabuky njdite prklad (neasociatvnej) binrnejopercie na mnoine X, ktor m jedin (obojstrann) neutrlny prvok e, priomniektor prvok a X m jedin av inverzn a dva rzne prav inverzn prvky,a in prvok b X m jedin av inverzn no iadny prav inverzn prvok. Aksitucie mu ete nasta? (Pozri cvienie 0.18.)

0.13. Nech % =(1 2 3 4

3 4 1 2

), =

(1 2 3 4

2 3 1 4

)s permutcie mnoiny {1, 2, 3, 4}. Vypotajte

permutcie 1, %1 %, % , %1, % 1 a %1 %.

0.14. Nech 1 i n N. Permutcia Sn sa nazva i-cyklus, ak na nejakej i-prvkovej mnoine {a1, a2, . . . , ai} {1, 2, . . . , n} operuje cyklicky poda schmy : a1 7 a2 7 . . . 7 ai 7 a1 a na zvyku mnoiny {1, . . . , n} identicky, t. j.(a) = a pre a {1, . . . , n} r {a1, . . . , ai}. Skrtene peme = (a1, . . . , ai). Dvacykly = (a1, . . . , ai), = (b1, . . . , bj) sa nazvaj disjunktn, ak {a1, . . . , ai} {b1, . . . , bj} = . Zrejme identick permutciu mono povaova za 1-cyklus a kadtranspozcia je 2-cyklus. Dokte postupne nasledujce tvrdenia:

(a) Nech , Sn s dva cykly. Potom = prve vtedy, ke cykly , s disjunktn alebo aspo jeden z nich je 1-cyklus.

(b) Kad permutcia Sn, je kompozciou disjunktnch cyklov = 1 . . . k. Ak do tejto kompozcie zahrnieme aj vetky 1-cykly, tak uveden rozklad jeuren jednoznane a na poradie jednotlivch cyklov. (Nvod : Vytvorte cyklus(1, (1), 2(1), . . . , i1(1)). Na zvyku mnoiny {1, . . . , n}, ak nejak zostal, po-stup opakujte.)

(c) Kad cyklus je kompozciou transpozci (napr. (1, 2, . . . , n) = (1, n) . . . (1, 3) (1, 2)).(d) Kad permutcia Sn je kompozciou transpozci.(e) Dka i-cyklu je || = i 1 a jeho znak je sgn = (1)i1.(f) Nech = 1 . . . k je rozklad permutcie na disjunktn cykly, pri-om j je ij-cyklus. Potom dka permutcie je || = i1 + . . . + ik k a jejznak je sgn = (1)i1+...+ikk. Ak uveden rozklad zaha aj vetky 1-cykly, tak|| = n k a sgn = (1)nk.

0.15. (a) Rozlote kad z permutci zo zadania aj vsledkov v cvien 0.11 na kompo-zciu disjunktnch cyklov (vrtane 1-cyklov) a pre kad z nich urte jej dku aznamienko.

Cvienia 45

(b) Spotajte pre kad z uvedench permutci poet jej inverzi a porovnajtes jej dkou. Presvedte sa, e obe sla sa nemusia rovna, no vdy maj rovnakparitu.

(c) Rozlote permutciu = (1, 3, 5, 7) (1, 2) (2, 4, 6, 8) (4, 5, 6) S10 nadisjunktn cykly (vrtane 1-cyklov) a urte jej dku a znamienko.

0.16. k:0.16 (a) Nech n Z (pozri cvienie 0.3). Dokte, e vzahom x n y xy nZ je definovan ekvivalencia na mnoine Z. Tto ekvivalenciu zname tie x ymod n a nazvame ju kongruenciou modulo n.

(b) Predpokladajme, e n > 0, a ozname Zn = {0, 1, . . . , n 1} = {x Z; 0 x < n}. Potom (x Z)(! z Zn)(x n z). Dokte. Toto jednoznane urenz Zn nazvame zvykom po delen sla x slom n.(c) Pre ubovon n Z plat (x, y, u, v Z)(x n y & u n v x + u ny + v & xu n yv).(d) Ako vyzeraj triedy rozkladu mnoiny Z poda kongruencie n?

0.17. Matematickou indukciou dokte nasledujce vzorce:(a)

ni=1 i = 1 + 2 + . . .+ n =

12n(n+ 1);

(b)nj=1 j(j + 1) = 1 2 + 2 3 + . . .+ n(n+ 1) =

13n(n+ 1)(n+ 2);

(c)nk=1 k

2 = 12 + 22 + . . .+ n2 = 16n(n+ 1)(2n+ 1);

(d)nk=0 q

k = 1 + q + q2 + . . .+ qn = qn+11q1 , (q 6= 1);

(e)np=1 sin px = sinx + sin 2x + . . . + sinnx =

sin(nx/2) sin((n+1)x/2)sin(x/2) , (x 6= 2k,

k Z);

(f)np=0 cos px = cos 0 + cosx + . . . + cosnx =

cos(nx/2) sin((n+1)x/2)sin(x/2) , (x 6= 2k,

k Z);

(g) n =

(1+5)n+1

(1

5)n+1

2n+15

, (n s Fibonacciho sla).

0.18. (a) Priamym vpotom overte, e binomick koeficienty(nk

)= n!k!(nk)! vyhovuj

rovnosti(nk

)=(n

nk)a pravidlm Pascalovho trojuholnka, t. j.

(n0

)=(nn

)= 1 a(

n+1k

)=(nk1)+(nk

)pre 1 k n.

(b) Ozname C(n, k) poet vetkch k-prvkovch podmnon n-prvkovej mnoiny.Kombinatorickou vahou dokte, e aj tzv. kombinan sla C(n, k) vyhovujpravidlm Pascalovho trojuholnka, t. j. C(n, 0) = C(n, n) = 1 a C(n + 1, k) =C(n, k 1) + C(n, k) pre 1 k n.(c) Na zklade (a) a (b) odvote znmy vzorec C(n, k) =

(nk

). Kde treba pritom

poui matematick indukciu?

(d) Pre k > n dodefinujme(nk

)= C(n, k) = 0. Predpisom n k = C(n, k) je

tak definovan binrna opercia na mnoine N. Je tto opercia komutatvna resp.asociatvna? M nejak av resp. prav neutrlny prvok? (Pozri cvienie 0.12.) Akoje to s prpadnmi avmi i pravmi inverznmi prvkami?

(e) Riete lohu (d) aj pre binrnu operciu n k = C(n + k, k) = (n+k)!n! k! namnoine N.

0.19. Matematickou indukciou dokte princp dobrho usporiadania mnoiny N (t. j.

46 0. Zkladn pojmy z logiky a terie mnon

kad neprzdna podmnoina A mnoiny N m najmen prvok).(Nvod : Transponujte implikciu (n N)

(( k < n)P (k) P (n)

) (n N)P (n),

a nahrate vlastnos P (n) vlastnosou n / A.)

1. Polia a vektorov priestory

V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraickch truktr, ktor budhra v celom alom vklade kov lohu, a dokeme o nich niekokojednoduchch zkladnch tvrden. Ide truktry, ktor zahame pod pojempoa a pojem vektorovho priestoru.Prvky poa budeme nazva skalry, a niekedy len sla. Fyziklne ich

mono interpretova ako hodnoty fyziklnych velin, ktor s uren ibasvojou vekosou a znamienkom. Prvky vektorovho priestoru, t. j. vektory,zasa zodpovedaj fyziklnym veliinm, ktor s okrem vekosti uren tiesmerom a orientciou.

1.1 Zkladn seln obory

Predpokladme, e itate pozn zkladn seln obory, ako s prirodzensla, cel sla, racionlne sla, relne sla a komplexn sla. Kad z tchtoselnch oborov tvor mnoinu. Dohodneme sa, e ich budeme oznaova tzv.tunmi tabuovmi psmenami:

N mnoina vetkch prirodzench sel,Z mnoina vetkch celch sel,Q mnoina vetkch racionlnych sel,R mnoina vetkch relnych sel,C mnoina vetkch komplexnch sel.

Ete poznamenajme, e i nulu povaujeme za prirodzen slo, t. j. 0 N.Imaginrnu jednotku (ktor je prvkom C r R) budeme znai i.Kontatovanm, e uveden seln obory tvoria mnoiny, sme vak ich

truktru zaleka nevyerpali. Omnoho dleitejie je, e na kadej z tchtomnon s definovan dve binrne opercie, stanie + a nsobenie . Pri-tom na kadej z uvedench mnon s obe tieto opercie asociatvne a ko-mutatvne. Navye, nsobenie je (z oboch strn) distributvne vzhadom nastanie, t. j. pre vetky prvky x, y, z prslunej mnoiny plat

x(y + z) = xy + xz, (x+ y)z = xz + yz.

seln obor N je v porovnan s obormi Z, Q, R a C aksi chudobnej km rovnice tvaru x + a = b maj v oboroch Z, Q, R, C rieenie x = b apre ubovon a, b, v N je takto rovnica rieiten len ak a b. Obory Q,R a C s vak bohatie nielen v porovnan s N no i so Z rovnice tvaru

48 1. Polia a vektorov priestory

ax = b maj v oboroch Q, R, C rieenie pre ubovon a 6= 0 a b, km v N iZ s rieiten len ak a je deliteom b.Ns bud zaujma prve vlastnosti selnch oborov Q, R a C s oper-

ciami stania a nsobenia. Pritom vyuijeme, e uveden opercie na tchtooboroch maj rad spolonch vlastnost, o nm umouje skma ich dovekej miery jednotnm spsobom a sasne. To dosiahneme tm, e sfor-mulujeme abstraktn pojem poa, pod ktor zahrnieme vetky spomnanprpady, ako i mnoh alie, ktor sa nm objavia a akosi dodatone. Akosme spomnali u v vode, prve takto prstup je charakteristick pre al-gebru, presnejie, v om spova jej podstata.

1.2 Polia

Poom nazvame mnoinu K s dvoma vznanmi prvkami nulou 0 ajednotkou 1 a dvomi binrnymi operciami na K stanm + a nsobenm takmi, e plat

( a, b K)(a+ b = b+ a), ( a, b K)(a b = b a),( a, b, c K)(a+ (b+ c) = (a+ b) + c), ( a, b, c K)(a (b c) = (a b) c),( a K)(a+ 0 = a), ( a K)(1 a = a),( a K)( b K)(a+ b = 0), ( a K r {0})( b K)(a b = 1),( a, b, c K)(a (b+ c) = (a b) + (a c)), 0 6= 1.

Teda stanie a nsobenie v poli s komutatvne a asociatvne opercie ansobenie je distributvne vzhadom na stanie. alej 0 je neutrlny prvokstania a 1 je neutrlny prvok nsobenia, priom tieto dva prvky s rzne.Jednoducho mono nahliadnu, e prvok b K tak, e a + b = 0, t. j.inverzn prvok vzhadom na operciu stania, je k danmu prvku a Kuren jednoznane (pozri paragraf 0.4). Tento jednoznane uren prvokk danmu a oznaujeme a a nazvame opan prvok k a. Miesto a+ (b)zvykneme psa len a b. Takisto prvok b K tak, e a b = 1, je k danmu0 6= a K uren jednoznane oznaujeme ho a1 alebo 1

a, prpadne 1/a

a nazvame inverzn prvok k a alebo prevrten hodnota prvku a. Miestoa b1 peme tie a

balebo a/b.

Znak nsobenia budeme vinou vynechva a nsobenie bude ma pred-nos pred stanm, teda napr. miesto (a b) + c budeme psa len ab + c.Asociatvnos nm umouje vynechva ztvorky a sty i siny ubo-vonch konench postupnost prvkov poa jednoznane zapisova v tvarea1 + a2 + . . . + an resp. a1 a2 . . . an prpadne len a1a2 . . . an; komuta-tvnos nm navye dovouje nestara sa o poradie stancov resp. initeov.Kvli plnosti sa dohodneme, e pre n = 1 sa oba uveden vrazy rovnaja1; pre n = 0 kladieme przdny set rovn 0 a przdny sin rovn 1. Ak

1.2. Polia 49

a1 = . . . = an = a, tak miesto a1 + . . . + an peme na a miesto a1 . . . an lenan.Teraz si ukeme, ako mono niektor najzkladnejie pravidl potania,

na ktor sme zvyknut v selnch oboroch Q, R a C, odvodi len z aximpoa. Zhrnieme ich do nasledujceho tvrdenia. Okrem inho z neho vyplva,e k 0 neme v poli existova inverzn prvok (podmienka (c)).

1.2.1. Tvrdenie. NechK je pole. Potom pre ubovon n N a a, b, c, b1, . . . ,bn K plat(a) a+ b = a+ c b = c,(b) (ab = ac & a 6= 0) b = c,(c) a0 = 0,(d) ab = 0 (a = 0 b = 0),(e) a = (1)a,(f) a(b c) = ab ac,(g) a(b1 + . . .+ bn) = ab1 + . . .+ abn.

Dkaz. (a), (b) Kee obe podmienky mono dokza v podstate rovnako,urobme to len pre druh z nich. Z ab = ac vyplva a1ab = a1ac. avstrana sa rovn b a prav c.(c) a0 + a0 = a(0 + 0) = a0 = a0 + 0. Poda (a) z toho vyplva a0 = 0.(d) Nech ab = 0. Potom poda (c) ab = 0 = a0. Ak a 6= 0, tak poda (b)

z toho vyplva b = 0.(e) Vaka jednoznanosti opanho prvku k a sta overi, e (1)a+a =

0. Jednoduch vpoet dva (1)a+ a = (1)a+ 1a = (1 + 1)a = 0a = 0poda (c).(f) Poda (e) a(bc) = a(b+(1)c) = ab+a(1)c = ab+(1)ac = abac.(g) Rovnos zrejme plat pre n = 0, 1, 2. Keby neplatila pre vetky

prirodzen sla, ozname n najmenie prirodzen slo, pre ktor existuja, b1, . . . , bn K tak, e uveden rovnos neplat. Potom n > 2 a pre n 1rovnos plat. Preto

a(b1 + . . .+ bn1 + bn) = a(b1 + . . .+ bn1) + abn = ab1 + . . .+ abn1 + abn.

To je vak spor.

Doplme, e podmienky (a) a (b) sa nazvaj zkony o krten pre s-tanie resp. nsobenie v poli.Podmienka (e) nm umouje zavies ubovon celoseln nsobky prv-

kov z poa. Pre a K, n N kladieme (n)a = (na) = n(a). Podobnemono pre nenulov prvky poa zavies i ubovon celoseln mocniny. Pre0 6= a K, n N kladieme an = (an)1 = (a1)n.

50 1. Polia a vektorov priestory

itateovi prenechvame, aby si sm odvodil nasledujce rovnosti znmez bench selnch oborov:

0a = 0, 1a = a, a K,n(a+ b) = na+ nb, a, b K, n Z,(m+ n)a = ma+ na, a K, m, n Z,(mn)a = m(na), a K, m, n Z,(mn)(ab) = (ma)(nb), a, b K, m, n Z,a0 = 1, a1 = a, a K,(ab)n = anbn, a, b K, n Z, n < 0 a 6= 0 6= b,am+n = aman, a K, m, n Z, (m < 0 n < 0) a 6= 0,amn = (am)n, a K, m, n Z, (m < 0 n < 0) a 6= 0,

Ete podotkame, e v rovnostiach v prvom a iestom riadku oznauj 0 a1 n