optique - fabry perot

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1 MAJ ELP FABRY PEROT 2010 L’interféromètre de FABRY - PEROT L'interféromètre de Fabry-Perot (FP) a été inventé à l'Université de Marseille au début du siècle dernier (par les physiciens Charles Fabry et Alfred Perot), il est maintenant universellement utilisé dans les laboratoires de Physique et sur de nombreux télescopes dans le monde. Il s'agit de deux lames (que l’on appellera miroirs) qui transmettent une partie de la lumière et réfléchissent le reste. Les propriétés de réflectivité étaient autrefois obtenues par de fins dépôts métalliques , maintenant, il s’agit de couches diélectriques d’indices différents dont les pertes par absorption sont réduites. On distinguera le Fabry-perot plan (miroirs plans ) du Fabry-perot confocal (miroirs sphériques). Les critères de qualité de surface des miroirs sont très rigoureux, il existe des plans avec une précision de surfaçage de l’ordre de λ/100 (5nm). Les faces extérieures des lames sont taillées en biseau de manière à pouvoir séparer les faisceaux qu ‘elles réfléchissent des faisceaux réfléchis par les faces intérieurs. Sa première utilisation a été la spectrométrie car il est beaucoup plus lumineux qu’un spectromètre à réseau. Il est couramment utilisé pour la mesure de vitesses radiales du gaz ionisé des nébuleuses et des galaxies. Il sert aussi à la mesure des champs magnétiques. La figure d’interférences formée par un Fabry-perot plan est une figure d’anneaux plus ou moins fins (suivant la réflectivité des miroirs) et dont voici un exemple trouvé à l’adresse suivante (http://www-obs.cnrs- mrs.fr/tricent/oma/anneaux.htm) surface partiellement réfléchissante surface partiellement réfléchissante onde plane incidente ondes planes réfléchies ondes planes transmises

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optique -

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Page 1: optique - fabry perot

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MAJ ELP FABRY PEROT 2010

L’interféromètre de FABRY - PEROT L'interféromètre de Fabry-Perot (FP) a été inventé à l'Université de Marseille au début du siècle dernier (par les physiciens Charles Fabry et Alfred Perot), il est maintenant universellement utilisé dans les laboratoires de Physique et sur de nombreux télescopes dans le monde. Il s'agit de deux lames (que l’on appellera miroirs) qui transmettent une partie de la lumière et réfléchissent le reste. Les propriétés de réflectivité étaient autrefois obtenues par de fins dépôts métalliques , maintenant, il s’agit de couches diélectriques d’indices différents dont les pertes par absorption sont réduites. On distinguera le Fabry-perot plan (miroirs plans ) du Fabry-perot confocal (miroirs sphériques). Les critères de qualité de surface des miroirs sont très rigoureux, il existe des plans avec une précision de surfaçage de l’ordre de λ/100 (5nm). Les faces extérieures des lames sont taillées en biseau de manière à pouvoir séparer les faisceaux qu ‘elles réfléchissent des faisceaux réfléchis par les faces

intérieurs. Sa première utilisation a été la spectrométrie car il est beaucoup plus lumineux qu’un spectromètre à réseau. Il est couramment utilisé pour la mesure de vitesses radiales du gaz ionisé des nébuleuses et des galaxies. Il sert aussi à la mesure des champs magnétiques. La figure d’interférences formée par un Fabry-perot plan est une figure d’anneaux plus ou moins fins (suivant la réflectivité des miroirs) et dont voici un exemple trouvé à l’adresse suivante (http://www-obs.cnrs-mrs.fr/tricent/oma/anneaux.htm)

surface partiellement réfléchissante

surface partiellement réfléchissante

onde plane incidenteondes planes réfléchies

ondes planes transmises

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Cliché Michel Marcelin Dans le télécommunications, le Fabry Perrot a plusieurs applications :

- analyse du spectre des sources laser - source laser en elle même qui est un milieu amplificateur placé dans une

cavité - filtres de longueur d’onde - modulateurs - des effets Fabry-perot parasites peuvent résulter de réflexions parasites

comme par exemple sur les extrémités de fibres ou lorsque le faisceau traverse des dioptres en espace libre.

RAPPELS :

a) relation champ-amplitude complexe pour des ondes monochromatiques de pulsation ω, le champ peut s’écrire E = E0 cos (ωt + ψ) = Réel (E0 exp (i (ω t + ψ))) on définit l’amplitude complexe A0 telle que E = Réel (A0 exp (i ω t)). on voit que , si on connaît E, on connaît A0 : A0 = E0 exp(iψ). et que , si on connaît l’amplitude complexe, on connaît le champ : E = Réel (A0 exp (i ω t)). Ajouter le champ de plusieurs ondes de même fréquence revient à ajouter les amplitudes complexes.

b) relation entre les amplitudes complexes en différents points de l’espace si on connaît l’amplitude A0 sur une surface d’onde et que l’on cherche à connaître l’amplitude en un point M de l’espace, on trace le rayon qui va de la surface d’onde au point M (c’est une perpendiculaire à la surface d’onde). - si la longueur du rayon entre la surface d’onde et le point M est l, en supposant que l’indice optique est uniforme et égal à n, la vitesse de la lumière le long du rayon est c/n. l’onde arrive au point M avec un retard

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temporel τ = ln/c . si le champ sur la surface d’onde s’écrit : E0 = Réel (A0 exp (i ω t)). en M, il va s’écrire : EM = Réel (A0 exp (i ω (t-l n / c))) on remplace ω/c par k et EM = Réel (A0 exp (i (ω t-k l n))) on en déduit l’amplitude en M : AM = A0 exp (-i k l n) - de plus, le module de l’amplitude va se multiplier par r (ou par t) si le rayon est réfléchi (ou transmis) par une surface optique de réflectivité en amplitude r (de transmission en amplitude t).

c) l’éclairement l’éclairement I est proportionnel à la valeur moyenne du carré du champ électrique (sur une période du champ électrique). Il est proportionnel à I = AA* pour une onde monochromatique.

Rayon Surface d’onde E0 = Réel (A0 exp (i ω t)).Amplitude : A0

O

M

l

Point M E0 = Réel (A0 exp (i (ω t – k n l ))).Amplitude : A0 exp (- i k n l)

Rayon Surface d’onde E0 = Réel (A0 exp (i ω t)).Amplitude : A0

O

M

l

Point M E0 = Réel (A0 exp (i (ω t – k n l ))).Amplitude : A0 exp (- i k n l)

Amplitude : A Amplitude : t A

Amplitude : r A

Amplitude : A Amplitude : t A

Amplitude : r A

Milieu d’indice n

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Si la lumière est poly-chromatique (possède plusieurs longueurs d’onde), alors on ajoute les éclairements dus à chacune des longueurs d’onde.

I TRANSMISSION DU FABRY PEROT

On considère d’abord une onde qui arrive sur un interféromètre de Fabry Perot plan. Cet interféromètre est constitué de 2 surfaces planes et parallèles ente elles appelées miroirs qui transmettent une partie de la lumière et en réfléchissent une autre partie. l’épaisseur de la zone comprise entre les miroirs est e et son indice de réfraction est n. Dans cette question, - la surface d’onde est parallèle aux miroirs, c’est à dire que les rayons sont perpendiculaires aux miroirs (on dira que l’incidence est normale) - l’onde est parfaitement monochromatique, c’est à dire qu’il n’y a qu’une seule fréquence ν = 2πω ou une seule longueur d’onde λ ou encore un seul vecteur d’onde k = ω n /c = 2πn/λ.

Figure 1

Rayon incident

Onde incidente E = cos (ωt)

t

tr

r

O1

O2

e

1 2 3

Rayon incident

Onde incidente E = cos (ωt)

t

tr

r

O1

O2

e

1 2 3

Indice : n

miroir

miroir

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L’amplitude complexe A0 de l’onde juste avant de traverser le premier miroir est égale à 1, c’est à dire que le champ est égal à cos (ωt). La puissance P0 de l’onde avant le premier miroir est égale à A0 A0* =1. - On s’intéresse d’abord aux ondes transmises. Le Fabry Perot forme plusieurs ondes à partir de l’onde incidente. Toutes ces ondes vont se superposer et interférer entre elles. Pour trouver la puissance à la sortie, nous allons sommer les amplitudes complexes de toutes les ondes pour obtenir l’amplitude résultante Ar. On appelle t1, t2, et r1, r2 , les coefficients de transmission et les réflexion (sur la face interne des miroirs) en amplitude de chacun des deux miroirs. On supposera r1 = r2 = r et t1 = t2 = t avec r et t : réels on pose R = r2 et T = t2 , on suppose R + T = 1 (absence de pertes) On appelle e l’épaisseur (distance entre les deux miroirs) du Fabry-perot (on supposera que l’indice du milieu entre les miroirs est n) et λ0 la longueur d’onde dans le vide. On pose k = 2πn/λ0. (k est le vecteur d’onde dans le matériau d’indice n). On appelle ϕ le déphasage ϕ = 2ke

- - I a) Ecrire l’amplitude de chacune des ondes à la sortie du 2ième miroir. Am

correspondant à la mième onde. Pour cela : suivre sur la figure 1 le trajet des différents rayons issus de celui qui passe au point O1 où l’amplitude complexe est connue. (Sur la figure 1, les rayons réfléchis sont dessinés inclinés pour pouvoir être visualisés alors que dans la réalité, ils sont parfaitement superposés au premier rayon).

pour la 1ere onde le trajet parcouru pour aller de M0 à M est O1O2 = e et l’onde est deux fois transmise. A1 = A0 t

2 exp [-ike] pour la seconde, l’onde est une fois transmise en O1, réfléchie en O2, réfléchie en O1 et transmise en O2. le trajet parcouru pour aller de M0 à M est 3 O1O2 = 3e et l’onde est deux fois transmise et deux fois réfléchie A2 = A0 t

2 r2 exp [-3ike]

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pour la miene onde, on a (n-1) aller-retour dans la cavité , le trajet est 2e(m-1) + e. Et il y a 2(m-1) réflexions et toujours 2 transmissions. On peut donc écrire pour la mieme onde : Am = A0 t

2 r2(m-1) exp [-ike (1 + 2(m-1))]

- I b) Ajouter toutes les amplitudes complexes de tous les rayons et trouver

l’amplitude totale en notant que la somme est une progression géométrique.

Ar = Σ Am

Ar = A0 Σ t2 r2(m-1) exp (-ike(1 + 2(m-1)) = t2 exp (-ike) Σ r2(m-1) exp (-2ike (m-1)) Ar = A0 t2 exp (-ike) [1 + r2 exp (-2ik e) + r4 exp (-4ik e) + r6 exp (-6ik e) + …] on a la somme d’une progression géométrique qui converge car r2 < 1 Ar = A0 t

2 exp (-ike) / [ 1 - r2 exp (-2ik e)]

- I c) Quelle est la transmission TR en puissance du système en fonction k

e, r et t ? TR = ArAr*/ A 0A0* = |Ar|2/|A0|2 TR = ArAr* = |Ar|2 si on a choisi A0 = 1 TR = ArAr*/ A 0A0* = t4 / [ 1 - r2 exp (2ik e) ( 1 - r2 exp (-2ik e)] TR = ArAr*/ A 0A0* = t4 / [ 1 - r2 exp (2ik e) ( 1 - r2 exp (-2ik e)] TR = ArAr*/ A 0A0* = t4 / [ 1 + r4 - 2 r2 cos (2k e)]

II FABRY PEROT EN REFLEXION On s’intéresse maintenant aux ondes réfléchies. - II a) Faire un schéma où les différentes ondes réfléchies sont dessinées.

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- II b) Quelle est la différence entre la première onde réfléchie et les autres ondes réfléchies? la première onde n’entre pas dans la cavité. Elle ne subit qu’une seule réflexion sur la face interne de la lame de verre qui sert de support au miroir. Le autres ondes subissent un nombre impair de réflexions sur les faces externes des lames de verre. le signe du coefficient de réflexion est opposé pour la première onde

II c) Ecrire les amplitudes de toutes les ondes réfléchies et expliquer comment calculer la réflectivité RR du Fabry Perot. Pour la première onde, on n’a qu’une seule réflexion avec un coefficient de réflexion en amplitude -r A1 = - A0 r Pour la deuxième onde, on a une transmission, un trajet de longueur e, une réflexion, un second trajet de longueur e et une transmission. A2 = A0 t

2 r exp [-2ike] Pour la troisème onde, on a en tout : 2 transmissions, un trajet de longueur 4e et 3 réflexions. A3 = A0 t

2 r3 exp [-4ike] Pour la miene onde, on a (m-1) aller-retour dans la cavité , le trajet est 2e(m-1). Et il y a (2m-3) réflexions et toujours 2 transmissions. On peut donc écrire pour la mieme onde : Am = A0 t

2 r(2m-3) exp [-2ike (m-1)] Pour calculer la réflectivité du Fabry-Perot, on ajoute toutes les amplitudes Am, en remarquant que A1, A2, A3, ..etc forme une progression géométrique. Ar = - r A0 + r t2 A0 exp (-2ike) [1+ r2 exp (-2ik e) + r4 exp (-4ik e) + r6 exp (-6ik e) +…] Ar = - r A0 + A0 r t

2 exp (-2ike) / [ 1 - r2 exp (-2ik e)] la réflectivité est donnée par RR = ArAr*/ A 0A0* -

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III FINESSE DU FABRY-PEROT On revient au FP en transmission

- III a) donner la transmission maximale

La transmission maximale est obtenue si le dénominateur est minimum, soit cos (2ke) = 1 ou 2ke = nombre entier de fois 2π. On a alors TRmax = t4 / [1 + r4 - 2 r2] = t4 / [1 – r2 ]2 = 1 lorsque R + T = 1 (pas de pertes) toute l’énergie de l’onde est transmise - III b) Pour quelles valeurs de e obtient-t-on la transmission maximale 2ke = nombre entier de fois 2π., c’est à dire 2e 2πn/λ0 = m 2π e = m λ0 / 2n

Il est possible grâce aux traitements de surface d’augmenter la réflectivité des miroirs. On donne sur la figure 2 les courbes de la transmission TR en fonction de ϕ = 2π (2 e n) /λ = 2ke. Ceci pour r = 0,95, r = 0,8 et r = 0,4. III c) Quelle est la périodicité de la fonction TR en fonction de ϕ ? A quoi ressemble la courbe TR si r est grand ? On appelle cette courbe « fonction d’Airy ». la périodicité est 2π

Figure 2 TR en fonction de ϕ = 2ke

r = 0,95

r = 0,8

r = 0,4

0 2 4 6 8 10 12 14 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

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La courbe forme des pics dont la largeur diminue lorsque r s’approche de 1. On appelle coefficient de finesse du Fabry-Perot l’expression

( )21

4

R

RC f −

=

III d) Donner TR en fonction de Cf et de ϕ TR = AA* = t4 / [ 1 + r4 - 2 r2 cos (2k e)] on va remplacer cos (2ke) par 1- 2 sin2(ke) ; on sait aussi que t2 = (1- r2) = 1 – R et r2 = R TR = AA* = (1-R)2 / [ 1 + R2 - 2 R(1- 2 sin2(ke) )] = (1-R)2 / [ 1 + R2 - 2 R + 4R sin2(ke) )] = TR = AA* = 1 / [ 1 + (4R/(1-R)2 ) sin2(ke) )] TR = AA* = 1 / [ 1 + Cf sin2(ke) )] TR = AA* = 1 / [ 1 + Cf sin2(ϕ/2) )] III e) En supposant que Cf est grand, exprimer la largeur ∆ϕ à mi hauteur du pic de la fonction d’Airy en fonction de Cf. pour cela, trouver ϕ0 tel que TR = ½ . puis ∆ϕ = 2 ϕ0

On se place au maximum de transmission (ϕ = 0) et on fait varier ϕ. Pour ϕ = 0, la transmission est TR = ArAr* = 1 / [ 1 + Cf sin2(0) )] = 1 On cherche la valeur de ϕ0 qui donne TR = 0,5, on a alors 1 + Cf sin2(ϕ0/2) = 2 sin2(ϕ0/2) = 1/Cf si Cf est grand ϕ0 est petit et ϕ0/2 = 1/ Cf

1/2 la largeur à mi-hauteur est donc 2ϕ0 = 4/ Cf

1/2 III f) On défini la Finesse F du Fabry-Perot comme le rapport entre la distance entre 2 pics (2π) et la largeur à mi hauteur du pic. Trouver la Finesse en fonction de Cf puis de R.( on suppose que Cf est >>1) F = 2π / 2ϕ0

F = π Cf 1/2/ 2

on remplace Cf par sa valeur

F = π R1/2 / (1-R)

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IV APPLICATION A L’ANALYSE DE SPECTRE C’est maintenant de l’air qu’il y a entre les 2 miroirs. (on prendra n = 1) Le spectre de la source est continu entre deux longueurs d’ondes λ1 et λ2 avec λ2 = ∆λ + λ1 (∆λ = λ2 – λ1 << λ1 ou λ2). On supposera que la forme du spectre est carrée. Le spectre de la source est dessiné sur la figure 4. Les éclairements pour chacune des longueurs d’onde s’ajoutent. Pour chacune des longueurs d’onde, on a la même transmission en fonction de ϕ, mais ϕ dépend de λ.

IV a) Donner la puissance transmise en fonction de e, λ1, λ2 et de Cf . (on ne cherchera pas à simplifier l’expression) pour chacune des longueurs d’onde λ, on un vecteur k et une transmission en fonction de e : TR = 1 / [ 1 + Cf sin2(ke) )] avec k = 2π/λ. La puissance transmise est

( ) λ

λπ

λλ

de

CI

f

+∫ 2

sin1

1

2

Figure 4 : spectre de la source

λλ1 λ2

λλ1 λ2

∆λ

λλ1 λ2

λλ1 λ2

∆λ

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On prend ∆λ = λ2 – λ1 = λ1 / 10 on prend λ1 = 1 µm On suppose que F et Cf sont très grand. tracer sur un graphe x,y: en abscisse x = 2e = 2 fois l’épaisseur du FP en ordonnée y = λ0, les longueurs d’onde du spectre de la source qui sont transmises pour e variant de 0 à 15 µm. On place un photodétecteur à la sortie du FP On considère que l’on a un signal S=1 à la sortie du FP quand une (ou plusieurs) longueur d’onde de la source est transmise par le FP sinon, S=0. Tracer sur le même graphique, le signal en fonction de 2e. e = m λ0 / 2n d’où λ0 = 2e / m si n = 1 on a plusieurs segments de droite

IV b) Un des deux miroirs est placé sur un support qui permet de le positionner à une épaisseur e0 et ensuite de le translater de 0.5µm de part et d’autre de sa position initiale. on va donc pouvoir tracer un morceau de la courbe précédente. Peut-on observer le spectre de la source ? (c’est à dire observer une figure analogue à la figure 4) On observe une figure analogue au spectre si 2e0 est compris entre 1 et 10λ1 . Plus e0 augmente et plus large est le spectre . si 2e0 > 10µm, alors le signal ne dépend plus de e, on a toujours 1

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2e

lambd

a

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V INTERVALLE SPECTRAL LIBRE (ISL) V a) De manière générale, L’ISL est défini comme étant l’écart ∆λ entre deux longueurs d’onde λa = λ et λb tel que :

- λa et λb correspondent à un maximum de transmission - il n’y a pas d’autre longueur d’onde qui correspondent à un maximum de

transmission entre λa et λb c’est à dire que : dans 2 fois l’épaisseur e du Fabry Perot, on a m (nombre entier) fois λa et (m-1) fois λb m λ = (m-1) (∆λ + λ) Calculer ∆λ en fonction de e et de λ en remarquant que dans la pratique m>>1. Comment varie l’ISL quand l’épaisseur e augmente ? A quel écart de fréquence ∆ν correspond ∆λ? n λ = (n-1) (∆λ + λ) , comme n est grand donne n∆λ = λ, or n = 2e / λ on a donc ∆λ = λ2

/ 2e ∆ν = ∆λ c / λ2 = c /2e V b) vérifier que dans le cas de la section IV, pour 2e = 10µm, la largeur spectrale de la source est égale à l’ISL. L’ISL est la largeur maximale d’un spectre que l’on peut analyser avec un Fabry Perot Note :En spectrométrie, la résolution du Fabry-Perot augmente avec l’épaisseur et avec la finesse, cependant, l’intervalle spectral libre diminue avec l’épaisseur, on ne pourra donc étudier que des sources à spectre étroit. Ceci est bien adapté aux sources utilisées dans les télécommunications optiques : laser quasiment monochromatique (raie très fine) modulée en amplitude avec des 0 et des 1, il s’agit donc d’une porteuse très fine entourée de bandes latérales et la largeur totale du spectre est de l’ordre de grandeur du débit.

VI Application au filtre de longueur d’onde On veut réaliser un filtre Fabry-Perot à l’aide d’une lame de verre d’indice 1,5 et de traitements diélectriques partiellement réfléchissants.

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Le filtre doit laisser passer la longueur d’onde λ = 1555nm et avoir une largeur à mi hauteur de 1nm. On veut aussi qu’aucune autre longueur d’onde de la bande C (1530 –1560nm) ne traverse le filtre. VIa) Trouver l’épaisseur maximale e0 de la lame pour que l’ISL>30nm Aucune autre longueur d’onde de la bande C ne passera si l’intervalle spectral libre est supérieur à 30nm. On va utiliser la relation précédemment trouvée pour déterminer l’épaisseur maximale qui donne ISL = ∆λ > 30nm. On cherche d’abord une épaisseur fictive dans l’air ea 2ea = λ2 / ∆λ AN : ea = 1555*1555 /(2*30) =40,5 µm L’épaisseur de la lame de verre est e0 =ea /1,5 = 27 µm VIb) Trouver la finesse et la réflectivité R du traitement. l’épaisseur du FP est maintenant fixée et c’est la longueur d’onde qui peut varier de δλ = 1mn. 1nm correspond à un déphasage égal à la largeur à mi-hauteur de la fonction d’Airy. ϕ = 2ea 2π /λ ∆ϕ = 2ea 2π δλ/λ2 =4/Cf

1/2 ( on reconnaît aussi 2π δλ/ISL ) on en déduit Cf

1/2 = λ2/(ea π δλ) et F = π Cf

1/2 /2 = = λ2/(2 ea δλ) = ∆λ / δλ AN : F = 30 / 1 = 30

or, F = π R1/2 / (1-R) 1-R = π R1/2 / F presque égal à π / F car R est voisin de 1

R = π / 30 = 0,895 ≅ 0,9 VIc) Calculer une épaisseur exacte de la lame pour λ =1,555nm On évalue d’abord le nombre d’allers-retours dans la cavité : m m = 2 ea / λ = = λ / ∆λ = 1555 / 30 = 51,83 ce n’est pas un nombre entier, pour que le FP soit accordé sur 1,555nm, il faut que m soit entier. On prend donc la valeur entière de m : 51 e0 = m λ /2n = 51 x 1,555 /2 x 1,5 = 26,435 µm

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VId) Quelle doit être la précision sur l’épaisseur pour que le centre du filtre ne se décale pas plus de 0,1nm ? e0 = m λ /2n ∆e0 = m ∆λ /2n ∆e0 = m ∆ λ /2n = 51 x 0,1 /2 x 1,5 = 1,7 nm

FIN du BE : questions facultatives

V Figure d’interférence Nous allons voir comment on peut utiliser un interféromètre de Fabry-Perot pour analyser le spectre de certaines sources de lumière. Pour cela, on va faire varier le déphasage ke = ϕ . Il y a deux méthodes pour faire varier ϕ, la première est évidente, on fait varier l’épaisseur e de la cavité, pour la seconde, on fait varier l’angle d’incidence. les rayons de l’onde incidente font maintenant un angle θ avec la normale aux miroirs. Trouver le déphasage entre deux ondes successives en fonction de λ, e et θ. (on rappelle que tous les points d’une même surface d’onde ont même amplitude A0 et qu’on trouve l’amplitude d’un point M de l’espace en multipliant A0 par exp( - i k l) où k est le vecteur d’onde = 2π/λ et l le trajet d’un (du) rayon qui va de la surface d’onde jusque M.). Le déphasage augmente-t-il ou diminue-t-il lorsque θ augmente ? On considère une source de lumière monochromatique mais spatialement incohérente : c’est lampe à vapeur qui éclaire un dépoli. Dans ce type de source, on peut considérer que l’on a une somme d’ondes planes ayant chacune un angle d’incidence θ. Chaque onde plane est focalisée en un point d’abscisse x = θ f dans le plan focal d’une lentille de focale f. Quel est le déphasage et donc l’amplitude en fonction de x ? qu’obtient-t-on comme figure ? On comprend alors d’où vient le terme « finesse »

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Corrigé : Tous les points de l’onde incidente sont en phase . Le premier rayon qui arrive en M suit le chemin M1M = M1H1 + H1K1 + K1K2 + K2M Le second rayon qui arrive en M suit le chemin M0M = M0O1 + O1O2 + O2K1 + K1K2 + K2M Les deux rayons font en commun + K1K2 + K2M et on a M1H1 = M0O1 La différence de chemin δ = M0M - M1M = O1O2 + O2K1 - H1K1 O1O2 = O2K1 = e / cos(θ) H1K1 = O1K1 sin(θ) = 2e tan(θ) sin(θ) δ = 2e / cos(θ) - 2e tan(i) sin(θ) = 2e cos(θ) le déphasage = k δ = 2ke cos(θ), il diminue quand θ augmente. A chaque surface d’onde de la source correspond un point dans le plan focal de la lentille. On aura donc un éclairement proportionnel à TR(i) . = 1 / [ 1 + F sin2(kecos(θ)) )] Tant que θ est petit, on peut remplacer cos(i) par (1- θ 2/2) On obtient alors TR(θ ) . = 1 / [ 1 + Cf sin2(ke(1 – θ 2/2) )] Il y a symétrie de révolution autour de l’axe optique et on obtient des anneaux qui correspondent à ke(1 – θ 2/2) = nombre entier de fois π. Remarque : dans un milieu d’indice, la différence de chemin optique est 2ne cos(θ) avec θ : angle à l’intérieur de la cavité. Cette configuration n’est pas adaptées aux télécommunications où on a toujours des sources spatialement cohérentes. Elle est essentiellement utilisée en astronomie pour mesurer des vitesses radiales et des champs magnétiques.

Onde incidente E = E0 cos(ωt)Rayons incidents

e

t

M0

O1

O2

M

M1

K1

K2

i

H1 i

Onde incidente E = E0 cos(ωt)Rayons incidents

e

t

M0

O1

O2

M

M1

K1

K2

i

H1 i

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16

VI champ à l’intérieur de la cavité on se place à une épaisseur e pour laquelle ϕ = 2π ou un multiple de 2π. Quel est le champ de l’onde se propageant dans le sens de l’onde incidente dans la cavité ? Corrigé : On pourrait reprendre le calcul initial en remarquant qu’entre l’intérieur et la sortie de la cavité, l’amplitude des ondes a été multipliée par t. la puissance a donc été multipliée par t2 = T = 1 - R La puissance de l’onde dans la cavité est donc TR / (1- R) Dans le cas où ϕ = 2π, alors TR = 1 , la puissance dans la cavité est beaucoup plus grande que la puissance incidente. La puissance à l’intérieur de la cavité peut être beaucoup plus grande que la puissance incidente, ceci est utilisé pour le doublage de fréquence de sources laser. Par exemple obtenir une source de longueur d’onde 1,532nm à partir d’un laser YAG 1,06µm. pour cela, il est très important de réduire les pertes qui limitent l’accumulation de puissance.