425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

SHS

Optimización Volumen

Prisma Hexagonal

C. G.

J. B.

1102

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Problema

• ¿Cuál es la dimensión requerida

para que un prisma hexagonal, con

área superficial de 389.71 cm2,

tenga un volumen máximo?

• Primero se define la figura y ciertas

características de esta. Que

permitirán resolver el problema. Si

se divide un hexágono cualquiera en

seis triángulos, cada uno formado

por el centro y dos vértices

consecutivos, estos triángulos

tendrán la misma área y las mismas

dimensiones, es decir que todos sus

lados son iguales.

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Proceso y metodología

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Apotema

• Para resolver el problema es necesario encontrar el

apotema de cada uno de los triángulos del hexágono

usando el teorema de Pitágoras.

𝑥2 = 𝑎2 +𝑥

2

2

𝑎2 = 𝑥2 − 𝑥

2

2

𝑎 = 3𝑥2

4

𝑎 = 3𝑥

2

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Área de la base

• Conociendo la apotema en términos de x podemos

hallar el área de el hexágono.

𝐴 = 𝑥 × 𝑎

2

𝐴 = 𝑥 ×

3𝑥2

2

𝐴 = 3𝑥2

4

𝐴 = 6 3𝑥2

4

𝐴 = 3 3𝑥2

2

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Altura

• Al saber ya el área de la base es posible hallar el

valor de la altura, pues la condición de el área

superficial se relaciona con el área de la base

hexagonal y con la altura del prisma.

𝐴𝑡 = 6 𝐴𝑟𝑒𝑐 + 2 𝐴ℎ𝑒𝑥

𝐴𝑡 = 6𝑥ℎ + 2 3 3𝑥2

2

𝐴𝑡 − 3 3𝑥2 = 6𝑥ℎ

ℎ =𝐴𝑡−3 3𝑥2

6𝑥

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Volumen

• Teniendo definido el valor correspondiente al área de la base y

la altura en términos de x es posible encontrar una ecuación

que relacione el volumen y el lado de la base.

𝑉 = 𝐴ℎ𝑒𝑥 × ℎ

𝑉 =3 3𝑥2

2×𝐴𝑡 − 3 3𝑥2

6𝑥

𝑉 =1

4× 3𝑥 × 𝐴𝑡 − 3 3𝑥2

𝑉 = 𝐴𝑡 3𝑥 − 9𝑥3

4

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Derivar

• Al derivar e igualar a cero, se halla una expresión

para el lado de la base en términos del área

superficial.

𝑉 = 𝐴𝑡 3𝑥 − 9𝑥3

4

𝑉 =𝐴𝑡 3𝑥

4−

9

4𝑥3

𝑉′ =𝐴𝑡 3

4−

27

4𝑥2 = 0

𝐴𝑡 3

4=

27

4𝑥2

𝑥2 =𝐴𝑡 3

27

𝑥2 =𝐴𝑡 3

9 3 3

𝑥 = 𝐴𝑡

9 3

𝑥 = 𝐴𝑡

9 34

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Hallar un área superficial dependiendo de

el lado de la base

• Para facilitar la construcción del modelo

tridimensional, se despeja el área total con el valor

de x deseado. En este caso 5 cm

𝑥 = 𝐴𝑡

3 34

𝐴𝑡 = 3 34

𝑥

𝐴𝑡 = 9 3𝑥2

𝐴𝑡 = 9 3 5 2

𝐴𝑡 = 389.71 𝑐𝑚2

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Altura con respecto de x

• Teniendo ya el área total y el valor de x podemos

usar la ecuación de la altura para construir el modelo

del prisma hexagonal.

ℎ =𝐴𝑡 − 3𝑥2

6𝑥

ℎ =389.71 − 3 × 52

6 × 5

ℎ = 8.6 𝑐𝑚

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Altura con respecto de x

• Teniendo ya el área total y el valor de x podemos usar la

ecuación de la altura para construir el modelo del prisma

hexagonal. De la misma forma encontramos la altura

correspondiente a una figura con la misan área superficial

pero con diferentes dimensiones y un volumen menor.

ℎ =𝐴𝑡 − 3𝑥2

6𝑥

ℎ =389.71 − 3 × 52

6 × 5

ℎ = 8.6 𝑐𝑚

ℎ =𝐴𝑡 − 3𝑥2

6𝑥

ℎ =389.71 − 3 × 32

6 × 3

ℎ = 19.05

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Comprobar

• Es posible comprobar los resultados de varias

maneras, una de ellas es reemplazando los valores

en la ecuación correspondiente al volumen.

𝑉 = 𝐴𝑡 3𝑥 − 9𝑥3

4

𝑉 = 389.71 × 3 × 5 − 9 × 53

4

𝑉 = 562.52 𝑐𝑚3

𝑉 = 𝐴𝑡 3𝑥 − 9𝑥3

4

𝑉 = 389.71 × 3 × 3 − 9 × 33

4

𝑉 = 445.44 𝑐𝑚3

425

13

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Comprobar con GeoGebra• Otra forma es con la ayuda de GeoGebra, graficando las funciones y

estableciendo los diversos puntos.

Gracias :D