Variciju rini EsejaRadomirs Cirskis, Mate980102 (N=28, M=12) 2008.g. 28.februr

Satura rdtjsUzdevumi.............................................................................................................................................3 1. 1.uzdevums......................................................................................................................................4 1.1. Problmas korektums un izliektba..........................................................................................4 1.2. Atrisinjuma eksistence ..........................................................................................................4 1.3. Ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums ..................................................................5 1.4. Atrisinjums.............................................................................................................................5 2. 2.uzdevums......................................................................................................................................7 2.1. Uzdevuma korektums un izliektba ........................................................................................7 2.2. Atrisinjuma eksistence ..........................................................................................................7 2.3. Ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums ..................................................................8 2.4. Problmas ekstrmu atrisinjums............................................................................................8 2.5. Atrisinjuma eksistence...........................................................................................................8 3. 3.uzdevums......................................................................................................................................9 3.1. Uzdevuma korektums un izliektba.........................................................................................9 3.2. Atrisinjuma eksistence...........................................................................................................9 3.3. Ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums.................................................................10 3.4. Atrisinjums...........................................................................................................................11 4. 4.uzdevums....................................................................................................................................12 4.1. Uzdevuma korektums un izliektba.......................................................................................12 4.2. Ekstrmles nepiecieamie nosacjumi..................................................................................12 4.3. Problmas ekstremle............................................................................................................13 4.4. Atrisinjuma eksistence.........................................................................................................13

2/13

Uzdevumi1.Object9

2.Object6

3.Object7

4.Object8

3/13

1. 1.uzdevums(1.1)Object2

1.1.

Problmas korektums un izliektbair defints, joObject12 Object13

aj uzdevum funkcionlis

, un ldz ar to ir , kuras funkcija

neprtraukta. Pieaujamo funkciju kopa ir netuka, jo var uzrdt bezgalgi daudz funkciju no klases apmierintu robenosacjumus . Piemram, lineraObject15

Object14

.Object16

Apskatsim funkcionla I(u) izliektbu. Teorma 1.1.1. JaObject17 Object19

un jebkuram punktamObject20

Object18

funkcija ir

ir izliektaObject22

, tad funkcionlisObject21

izliekts kop Dotaj gadjum ,Object25

Object23

. , un ts otrs krtas atvasinjumu pc

Object24

matrica ir

ldz ar to uzdevuma (1.1) funkcionlis I(u) ir izliekts.

1.2.

Atrisinjuma eksistence

Lai problmai (1.1) eksisttu atrisinjums, ir nepiecieams, lai izpildtos sekojoa teorma. Teorma 1.2.1. Ja izpilds: 1. , 2. , 3. ,Object26 Object27 Object28

4. f ir stipri izliekta pc

Object29

:Object30

, tad

problmai eksist atrisinjums. Piezme 1.2.2. Teormas 1.2.1 4. punktu aj darba vienkrbas labad aizstsim ar vieglku nosacjumu . Apskatsim visas s prasbas. 1. Ir skaidrs, ka , jo , kas ir neprtraukta pc argumentiem u, . Savukrt, t k pc uzdevuma nosacjuma, tad f ir neprtraukta ar pc x. 2. Veiksim maingo maiu funkcijai . Td gadjum . emsim , td gadjum . Ldz ar to pie parametriem izpilds teormas 1.2.1 2. punkts. 3. emam funkciju . TadObject31 Object33 Object32 Object34 Object35 Object36 Object37 Object38 Object39 Object40

4/13

Object41

. Ldz ar to pie p = 2 izpilds teormas 1.2.1 3. punkts. 4. Sakar ar to, ka , tad izpilds stiprs izliektbas nosacjums. Ldz ar to problmai eksist atrisinjums.Object42

1.3.

Ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums

Varicijas rinu uzdevumiem ar ierobeojumiem ir sekojos ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums. Teorma 1.3.1. Ja un u0 ir problmas atrisinjums, tad 1. 2. , kurObject43 Object44 Object45

,Object46 Object47 Object48

,

. Defincija 1.3.2. sauc par pirmo variciju uz elementu u virzien h. Defincija 1.3.3. sauc par otro variciju uz elementu u virziena h. Defincija 1.3.4. Ja un , tad u0 sauc par ekstremli. Sakar ar to, ka teormas 1.3.1 nosacjumi ir grti prbaudmi, ir ieviests Eilera viendojuma jdziens. Teorma 1.3.5. Ja u0 ir problmas ekstremle, tad u0 apmierina Eilera viendojumu:Object49 Object50 Object51 Object52

(1.3.1)Object53

Problmai (1.1)

Object55

,

Object56

, unObject54

. Ldz ar to pc

teormm 1.3.1 un 1.3.5 ts ekstrma eksistences nepiecieamie nosacjumi ir: ,Object57 Object58

un

Object59

,Object61

(1.3.2)

kur

Object60

. eit acmredzami izpilds

.

1.4.

Atrisinjums

No ekstrma eksistences nepiecieamiem nosacjumiem (1.3.2) iegstam lineru 2. krtas nehomognu robeproblmu:,Object62

kuras viendojuma visprgais atrisinjums ir atrisinjumu viendojum ( ), iegsim robenosacjumus ( atrisinjumu:Object64 Object66 Object67

Object63

Object65

. Ievietojot visprjo . Ievietojot ), iegsim robeproblmas

. (1.4.1) funkcija ir problmas (1.1) ekstremle, jo t apmierina ekstrma eksistences nepiecieamos nosacjumus.

Tas patiem ir atrisinjums, jo, k bija pierdts iepriek, problmai (1.1) atrisinjums eksist. Pie tam tiek apmierinta sekojoa teorma.Teorma 1.4.1. JaObject68

un izpilds:

5/13

1. 2. u0 ekstremle, proti, tad u0 ir problmas atrisinjums.Object69

Object71

ir izliekta uz ,

Object70

,

6/13

2. 2.uzdevums. Aizstjot parametru, iegsim:Object3

(2.1)Object5

2.1.

Uzdevuma korektums un izliektbair defints, joObject79 Object78

Funkcionlis

, un ldz ar to ir neprtraukta.Object77

Pieaujamo funkciju kopa ir netuka, jo var uzrdt bezgalgi daudz funkciju no klases apmierintu robenosacjumus u(0) = 0, u(1) = 0. K piemru var mint . Apskatsim funkcionla I(u) izliektbu saska ar teormu 1.1.1. eitObject80 Object81

, kuras funkcijas ,

un ts otrs krtas atvasinjumu pc

Object83

matrica irObject82

, ttad pc teormas ), iespjams vienkrot problmas =

1.1.1 uzdevuma (2.1) funkcionlis I(u) ir izliekts. emot vr robenosacjumus un gluduma ierobeojumu ( funkcionli I(u):

Object208

Object205

. Respektvi, skotnjs problmas viet (2.1) var aplkot:Object206

(2.1.1)Object207

2.2.

Atrisinjuma eksistenceObject72 Object73

Apskatsim uzdevuma atrisinjuma eksistenci saska ar teormu 1.2.1. 1. Ir skaidrs, ka , jo , kas ir neprtraukta pc argumentiem x, u, , bdama polinomila funkcija, un pc uzdevuma nosacjuma. 2. Ir skaidrs, ka novrtjumu iegt nav iespjams, jo . 3. Nav tdas funkcijas , kuru vartu lietot, lai iegtu novrtjumu , jo ir prasba p> 1. 4. Sakar ar to, ka , tad izpilds stiprs izliektbas nosacjums. Rezumjot, jsecina, ka teorma 1.2.1 nav izmantojama problmas atrisinjuma eksistences izptei. Problmas atrisinjuma eksistenci atkrtoti aplkosim pc ekstrma eksistences.Object74 Object91 Object92 Object76 Object84 Object89

7/13

2.3.

Ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjumsObject90

Problmai (2.1.1)

,

Object93

, unObject94

. Ldz ar to

pc teormm 1.3.1 un 1.3.5 ts ekstrma eksistences nepiecieamie nosacjumi ir: ,Object96

unObject97

,(2.3.1)Object101

kur

Object95

. eit acmredzami izpilds

Object98

.

2.4.

Problmas ekstrmu atrisinjums,Object99

No ekstrma eksistences nepiecieamiem nosacjumiem (2.3.1) iegstam robeproblmu:

kuras viendojumam eksist tikai trivils atrisinjums

Object100

, kas apmierina robenosacijumus.

2.5.

Atrisinjuma eksistence

T k zemintegra funkcija ir 3 reizes neprtraukta, dotajai problmai var pielietots sekojou atrisinjuma eksistences teormu: Teorma 2.5.1. Ja funkcija f , izliekta funkcija attiecb pret ( u, ) R R , un ja u 0 C1 ( [ a, b] ) ir problmasb I ( u ) = f ( x, u ( x ) , u ( x ) ) dx min, a 1 u C ( [ a, b] ) , u ( a ) = A, u ( b ) = B , ekstremle, tad u 0 ir ar s problmas atrisinjums.

f : [ a, b] R R R , pieder klasei C 3 ( [ a, b] R R ) un f ir

Ttad problmai ir atrisinjums viens unikls un trivils atrisinjums

Object75

.

8/13

3. 3.uzdevums. Aizstjot parametru, iegsim:Object4

(3.1)

Object10

3.1.

Uzdevuma korektums un izliektbaObject105 Object108

Funkcionli I(u) un J(u) ir definti, jo , un ldz ar to ir neprtraukta. Pieaujamo funkciju kopa ir netuka, jo var uzrdt bezgalgi daudz funkciju no klases apmierintu izoperimetrisko nosacjumuObject109

, kuras

. Trivilkais piemrs konstant funkcija . o unObject112

. Apskatsim funkcionlu I(u), J(u) izliektbu. eitObject114

Object110

funkciju otrs krtas atvasinjumu pc

Object111

matricas ir

. Ldz ar to pc teormas 1.1.1 uzdevuma (3.1) funkcionli I(u), J(u) ir izliekti.Object113

3.2.

Atrisinjuma eksistence

Defincija 3.2.1. Par izoperimetrisku uzdevumu sauc uzdevumu ar sekojoiem nosacjumiem:

,

(3.2.1)

Object122

kur funkcijas un konstantes A, B ir dotas. Izoperimetrisko uzdevumu atrisinjuma eksistences nosacjumus apraksta sekojoa torma. Teorma 3.2.2. Ja izpilds sekojoas nosacjumi: 1. Funkcija apmierina teormas 1.2.1 nosacjumus: 1. , 2. , 3. , 4. f ir stipri izliekta pc :Object123 Object115 Object118 Object119 Object120 Object116

9/13

,Object117

2. eksist funkcija 3. 4.

Object121

, kura apmierina problmas izoperimetriskos nosacjumus ;Object125

Object124

;

Object126

;Object127

5. funkcijas gk ir afnas pret argumentu funkcijm , proti,Object132

- funkcija var izteikt ar divm noObject128

Object133

neatkargm

,

tad izoperimetriskam uzdevumam eksist atrisinjums.

aj uzdevum m = 1. Pieaujam (izoperimetriskos nosacjumus apmierinoa) funkcija kas bija pardts iepriek. Apskatsim nosacjumus, kas uzlikti uz funkciju : 1. Sakar ar to, ka , tad , jo ; 2. emot un p = 2 > 1, izpilds prast neviendba :Object103 Object104 Object107 Object106 Object129 Object130 Object131

Object102

eksist,

;Object135 Object136

ir afna pret , jo, emot un , izpilds . Apskatsim teormas 1.2.1 nosacjumus attiecb uz funkciju : 1. , jo t ir neprtraukta pc , un, t k , tad ar pc x; 2. Veiksim maingo maiu funkcijai . Td gadjum . Ja , tad jebkuram izpilds neviendba . Tomr, sakar ar to, ka ms apskatam tikai , var novrtt k fikstu lielumu, nevis atkargu no x: . Ldz ar to neviendba izpilds pie . 3. Sakar ar to, ka argumentu x apskatm tikai intervl [0,1], varam novrtt , pie ; 4. Sakar ar to, ka , tad izpilds stiprs izliektbas nosacjums. Ldz ar to problmai (3.1) eksist atrisinjums.Object134 Object137 Object138 Object139 Object148 Object149 Object150 Object151 Object152 Object153 Object154 Object155 Object156 Object157 Object158 Object159 Object160 Object161 Object162 Object140

3. Funkcija

3.3.

Ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums

Izoperimetrisko uzdevumu ekstrma eksistences nepiecieamais nosacjums ir sekojos. Teorma 3.3.1. Ja funkcijas f un g j , j = 1,..., m, pieder klasei C 1 ( [ a, b] R R ) un ja u 0 ir

izoperimetrisks problmas (3.2.1) atrisinjums, tad eksist konstantes 0 , 1 ,..., m , ne visas viendas ar nulli, tdas, ka

01I ( u0 ) h +

j 1 J j ( u0 ) h = 0j =1

m

h U 0 ,

U 0 = h C1 ( [ a, b] ) h( a ) = 0, h( b ) = 0 , un

{

}

10/13

d m 0 f ( x, u0 ( x ) , u 0 ( x ) ) + j g j ( x, u0 ( x ) , u0 ( x ) ) dx j =1 m 0 f u ( x, u0 ( x ) , u0 ( x ) ) j g j u ( x, u0 ( x ) , u0 ( x ) ) = 0, a < x < b, j =1 u0 ( a ) = A, u0 ( b ) = B. Ldz ar to, emot vr, ka ,Object163

Object164

,

unObject165

, pc s teormas nosacjumiem uzdevumaObject166

(3.1) ekstrma eksistences nepiecieamie nosacjumi ir: unObject167 Object168

No ejienes var secint, ka nosacjumiem.

Object169

, jo

Object170

(3.3.1) , un ta nedrkst bt pc teormas

3.4.

Atrisinjums

No uzdevuma (3.1) ekstrma eksistences nepiecieam nosacjuma (3.3.1) iegstam parasto 2. krtas nehomogno diferencilviendojumu ar konstantiem koeficientiem ,Object171

kurObject172

. . Integrjot o 1. krtas parastoObject173

Integrjot to pirmo reizi, iegsim

diferencilviendojumu, iegsim problmas (3.1) ekstremliObject174

eit ir 3 nezinmie parametri: nosacjuma iegstam:

Object175

. No problmas robenosacjumiem un izoperimetrisk

,Object177

.

Object176

No k izriet, kaObject178

. Ttad problmas ekstremle ir , kas, emot vr abu funkcionu I(u) un J(u) izliektbu, ir problmas

Object179

atrisinjums.

11/13

4. 4.uzdevums. Aizstjot parametru, iegsim:Object1

.Object11

(4.1)

Dotais uzdevums ir variciju rinu uzdevums bez ierobeojumu nezinms funkcijas vrtbm:b I ( u ) = f ( x, u ( x ) , u ( x ) )dx min a u C 1 ( [ a, b] ) .

(4.2)

4.1.

Uzdevuma korektums un izliektbair defints,Object180 Object181

Uzdevumam atbilstoais funkcionlisApskatsim funkciona I(u) izliektbu. Problmai nav uzdoti robenosacjumi. aj uzdevum zemintegra funkcija ir atvasinjumu pcObject183 Object182

.

un ts otrs krtas , ttad pc teormas 1.1.1 uzdevuma (4.1)

matrica irObject184

funkcionlis I(u) ir izliekts. Zemintegra funkcija funkciju klasei .Object198 Object197

, bdama polinomila funkcija, pieder

4.2.

Ekstrmles nepiecieamie nosacjumi

da tipa uzdevumiem (variciju riu uzdevums bez ierobeojuma nezinmajai funkcijai) estremli var atrast, izmantojot sekojou teormu. Teorma 4.2.1. Ja u 0 ir problmas (4.2) atrisinjums un f C 3 ( [ a, b] R R ) , tad u 0 apmierina Eilera viendojumu ar robenosacjumiem (t dvtajiem transversalittes vai Neimana nosacjumiem) d f ( x, u ( x ) , u ( x ) ) f u ( x, u ( x ) , u ( x ) ) = 0, a < x < b, dx f ( x, u ( x ) , u ( x ) ) = 0, f ( x, u ( x ) , u ( x ) ) x = b = 0.x=a

emot vr, ka

Object185

, problmai atbilst sekojos Eilera viendojums: . Transverasalittes vaiObject186

Neimana nosacjumi izpilds jebkurai neatkarg maing vrtbai x.

12/13

4.3.

Problmas ekstremleObject188

Iegtajam Eilera viendojumam

ir viensuniklu atrisinjumsObject189

neraugoties uz to, ka robenosacjumi nav uzdoti.

4.4.

Atrisinjuma eksistence

T k zemintegra funkcija ir 3 reizes neprtraukta, dotajai problmai var pielietots sekojou atrisinjuma eksistences teormu: Teorma 4.4.1. Ja funkcija f , izliekta funkcija attiecb pret ( u, ) R R , un ja u 0 C1 ( [ a, b] ) ir problmasb I ( u ) = f ( x, u ( x ) , u ( x ) ) dx min, a u C1 ( [ a, b] ) , u ( a ) = A, u ( b ) = B , ekstremle, tad u 0 ir ar s problmas atrisinjums.

f : [ a, b] R R R , pieder klasei C 3 ( [ a, b] R R ) un f ir

Ttad problmai ir atrisinjums viens unikls atrisinjumsObject204

.

13/13