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OPTIMIERTER ENTWURF VON HOCHLEISTUNGSWÄRMEÜBERTRAGERN Dissertation zur Erlangung des Grades Doktor-Ingenieur der Fakultät für Maschinenbau der Ruhr-Universität Bochum von Ender Tandogan aus Istanbul, Türkei Bochum 2001

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OPTIMIERTER ENTWURF VONHOCHLEISTUNGSWÄRMEÜBERTRAGERN

Dissertationzur Erlangung des Grades

Doktor-Ingenieur

derFakultät für Maschinenbau

der Ruhr-Universität Bochum

vonEnder Tandogan

aus Istanbul, Türkei

Bochum 2001

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Dissertation eingereicht am: 01.06.2001

Tag der mündlichen Prüfung: 10.09.2001

Erster Referent: Prof. Dr.-Ing. W. Leiner

Zweiter Referent: Prof. Dr.-Ing. V. Scherer

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„Es ist nicht genug, zu wissen, man muss auch anwenden.“Goethe, Wilhelm Meisters Wanderjahre

VORWORT

Die vorliegende Arbeit entstand als Dissertation in den Jahren 1998 bis 2001 wäh-rend meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Thermo- undFluiddynamik der Ruhr-Universität Bochum.

Die erste Anregung zu dieser Arbeit verdanke ich Herrn Prof. Dr. Nimai-Kumar Mitra,den wir im Oktober 1999 verloren haben. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Leiner für die anschließende wissenschaftliche Betreuung der Arbeitund die zahlreichen kritischen Diskussionen. Diese Unterstützung hat das Zustande-kommen der Arbeit mit ihrer jetzigen Zielsetzung möglich gemacht.

Herrn Prof. Dr.-Ing. Viktor Scherer danke ich für die Übernahme des Korreferatesund für sein freundliches Interesse an der Arbeit.

Dem Inhaber des Lehrstuhls „Verfahrenstechnische Transportprozesse“, Herrn Prof.Dr.-Ing. Eckhard Weidner, danke ich für die Unterstützung besonders in der Endpha-se der Arbeit. Insbesondere bedanke ich mich für den Rückhalt von Herrn Oberinge-nieur Dr.-Ing. Marcus Petermann.

Der Europäischen Union danke ich für die finanzielle Unterstützung im Rahmen desProjekts „Vortex Enhanced Heat Exchangers (VEHE)“. Dabei bedanke ich mich beiHerrn Dr.-Ing. Efat Chafik, nicht nur als Ansprechpartner in EU-Angelegenheiten,sondern auch für die Fachgespräche während der Forschungsarbeit.

Die engagierte Mitarbeit von (ehemaligen) Studenten war mir eine hilfreiche Unter-stützung bei der Anfertigung der Dissertation. Im einzelnen danke ich Dipl.-Ing. Chri-stian Thulfaut, Dipl.-Ing. Wilhelm Scheidtmann, Dipl.-Ing. Marco Horstmann, Dipl.-Ing. Mohammed Janati, Dipl.-Ing. Jörg Friedlein, cand.-Ing. Karsten Grasemann undDipl.-Ing. Patrick Zander.

Meinen Zimmernachbarn Herrn Dr.-Ing. Shisheng Wang und Herrn Dr.-Ing. AbdallaBatta gebührt mein besonderer Dank für die geduldige und offene Diskussion vonwissenschaftlichen Fragestellungen.

Weiterhin möchte ich mich ganz herzlich bei allen Kolleginnen und Kollegen des In-stituts und des Lehrstuhls für Verfahrenstechnische Transportprozesse für die aus-gezeichnete Arbeitsatmosphäre bedanken: Insbesondere Frau Ute Hendl, Frau Ur-sula Beitz, Frau Karin Hülsewig, Herrn Dipl.-Ing. Wolf-Dieter Manns, Herrn Dipl.-Ing.Udo Czwiklinski, Herrn Klaus-Peter Gottschlich, Herrn Günter Vohwinkel, Herrn HansStruck, Frau Renate Gölzenleuchter, Herrn Eberhard Dimter und Herrn ChristianGramann danke ich für die freundliche Hilfe.

Gewidmet ist diese Arbeit meinen Eltern und meiner Schwester. Ihrer Unterstützungund Geduld habe ich diesen Lebensweg zu verdanken.

Witten, im September 2001

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Inhaltsverzeichnis -I-

INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis ........................................................................................................ I

Nomenklatur .............................................................................................................. IV

1. Problematik............................................................................................................. 1

2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit ................................................................. 7

2.1 Auslegung und Nachrechnung von Wärmeübertragern................................ 7

2.2 Übertragungskennwerte ............................................................................. 12

2.2.1 Wärmeübergang ............................................................................. 12

2.2.2 Wahl der Bezugstemperatur ........................................................... 13

2.2.3 Impulsübertragung und Strömungsverluste .................................... 15

2.3 Maßnahmen zur Wärmeübergangssteigerung ........................................... 16

2.4 Bewertung von Wärmeübertragern ............................................................ 21

2.4.1 VG1-Kriterium ................................................................................. 22

2.4.2 Berücksichtigung von Exergieverlusten .......................................... 24

2.5 Zielsetzung ................................................................................................. 28

3. Ausgewählte Übertragungsflächen ....................................................................... 31

3.1 Konfigurationen des VEHE-Projektes......................................................... 31

3.1.1 Lamellenrohrkonfiguration............................................................... 31

3.1.2 Plattenwärmeübertragerkonfiguration mit geprägten

Wirbelerzeugern....................................................................................... 33

3.1.3 Wärmeübertrager mit dreieckigen Kanälen mit eingestanzten

Wirbelerzeugern....................................................................................... 35

3.2 Referenzkonfigurationen ............................................................................ 37

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Inhaltsverzeichnis-II-

4. Experimentelle Untersuchungen........................................................................... 38

4.1 Bestimmung lokaler Wärmeübergangskoeffizienten durch Messung des

analogen Stoffübergangs ................................................................................. 38

4.2 Versuchskonfiguration VEHE-Dreieckskanal.............................................. 47

5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung ................................................. 49

5.1 Kostenzuordnung zu Bau- und Betriebsgrößen.......................................... 49

5.1.1 Kostenoptimierung für einseitige Betrachtung (Tw = konst.)............ 51

5.1.2 Kostenoptimierung für Betrachtung des beidseitigen

Wärmeübergangs .................................................................................... 55

5.2 Flächenbezogene Kosten........................................................................... 57

5.3 Förderleistungsabhängige Kosten.............................................................. 59

6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern .............................................. 61

6.1 Entwurfskonzept......................................................................................... 61

6.2 Diskretisierung und Zahl der Elemente....................................................... 63

7. Ergebnisse ........................................................................................................ 72

7.1. Messungen zum Wärmeübergang im Dreieckskanal

mit und ohne Wirbelerzeuger ........................................................................... 72

7.1.1 Referenzkanal ohne Wirbelerzeuger............................................... 73

7.1.2 Dreieckskanal mit Wirbelerzeuger................................................... 76

7.1.2.1 Fläche II a ohne Wirbelerzeuger.......................................... 77

7.1.2.2 Fläche II b mit Wirbelerzeugern........................................... 80

7.1.2.3 Fläche II c mit Aussparungen .............................................. 81

7.1.3 Berücksichtigung der stromauf absorbierten NH3-Menge und

flächengemittelte Kennzahlen .................................................................. 87

7.1.4 Vergleich mit numerischen Ergebnissen ......................................... 91

7.2 Ergebnisse der Kostenoptimierung ............................................................ 93

7.2.1 Kostenoptimierter Betrieb (einseitige Betrachtung)......................... 93

7.2.2 Kostenoptimierter Betrieb (beidseitige Betrachtung) ....................... 95

7.3 Diskussion der Ergebnisse der Kostenoptimierung .................................. 100

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Inhaltsverzeichnis -III-

8. Zusammenfassung ............................................................................................. 103

9. Quellenhinweise.................................................................................................. 105

10. Anhang ........................................................................................................A1

A. Kostenoptimierung für beidseitige Betrachtung............................................A1

B. Eng. software for optimized design of vortex enhanced heat exchangers ...A4

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Nomenklatur-IV-

NOMENKLATUR

Physikalische GrößenZeichen Bedeutung SI-Einheit

A Wärmeübertragungsfläche m2

A Parameter zur Bezeichnung der Stromführung -

Af Frontfläche m2

a Temperaturleitfähigkeit m2/s

B Kanalbreite m

B Parameter zur Wahl einer Stromführung -

b Belegungsdichte kg/m2

C Parameter zur Bezeichnung einer Stromführung, Konstante -

c Konstante, Faktor -

cp spezifische isobare Wärmekapazität J/(kg K)

D binärer Diffusionskoeffizient m2/s

d Parameter zur Wahl einer Stromführung -

dh hydraulischer Durchmesser m

E Exergie J

E! Exergiestrom W

F Korrekturfaktor -

H Kanalhöhe m

H Enthalpie J

h Höhe m

h spezifische Enthalpie J/kg

K Kosten €

K! Kostenstrom €/s

k Wärmedurchgangskoeffizient W/(m2 K)

k1 Materialkosten €/m2

k2 Stanz- und/oder Prägekosten €/m2

k3 Montage- und Gehäusekosten €/m2

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Nomenklatur -V-

Zeichen Bedeutung SI-Einheit

kA flächenbezogener Kostenfaktor €/m2

Ak! flächenbezogener Kostenfaktorstrom €/(m2 s)

kP Kostenfaktor für Pumpleistung €/J

kv volumenbezogener Kostenfaktor €/m3

k�T Kostenfaktor für Exergieverlust durch Temperaturdifferenz €/J

L Kanallänge m

M Masse kg

M! Massenstrom kg/s

m! Massenstromdichte kg/(m2 s)

n Richtungsvektor normal zur Wand -

nx, ny, nz Zahl der Elemente in drei Raumrichtungen -

NTU number of transfer units -

P dimensionslose Temperaturänderung -

P! Pumpleistung W

p Druck Pa

ppm parts per million (millionstel Massenanteil) -

Q Wärme J

Q! Wärmestrom W

R Radius m

R Wärmekapazitätsstromverhältnis -

R Remissionsgrad -

R spezifische Gaskonstante J/(kg K)

Rmol universelle Gaskonstante J/(mol K)

S Entropie J/K

S! Entropiestrom W/K

s spezifische Entropie J/(kg K)

T Temperatur K

t Eindüszeit s

tA Abschreibungszeit s

u Geschwindigkeit m/s

uSchall Schallgeschwindigkeit m/s

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Nomenklatur-VI-

Zeichen Bedeutung SI-Einheit

V Volumen m3

Vfluid Fluidvolumen m3

V! Volumenstrom m3/s

W! Wärmekapazitätsstrom W/K

x Massenanteil -

x̂ normierte Lauflänge -

x, y, z kartesische Koordinaten m

z Zinssatz pro Zeiteinheit 1/s

α Wärmeübergangskoeffizient W/(m2 K)

β Anstellwinkel Grad

β Stoffübergangskoeffizient m/s

ε Nutzungsfaktor -

η dynamische Viskosität kg/(m s)

λ Wärmeleitfähigkeit W/(m K)

ν kinematische Viskosität m2/s

ρ Dichte kg/m3

τ Schubspannung N/m2

Dimensionslose Größen, KennzahlenDefinition Bedeutung

FrReSh= Frössling-Zahl

fL4

d

u2

pAA

u2

p

u2

h

2

f

22

w

ρ∆=

ρ∆=

ρτ= Reibungsbeiwert

j31

32

PrRe

NuPrSt == Colburn-Faktor

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Nomenklatur -VII-

Definition Bedeutung

LeDa

PrSc == Lewis-Zahl

MaSchalluu= Mach-Zahl

Nuλ

α= hd Nusselt-Zahl

Prλ

η=ν= pc

aPrandtl-Zahl

Reη

ρ=ν

= hh dudu Reynolds-Zahl

ShDdhβ= Sherwood-Zahl

StpcuPrRe

Nuρ

α== Stanton-Zahl

Indizes, tiefgestelltZeichen Bedeutung

A Fläche

app Apparat

aus Austritt

b Bulk

c kritisch

e Element

gegen Gegenstrom

gen generieren

ges gesamt

gl Gleichstrom

H auf die einfache Kanalhöhe bezogen

2H auf die doppelte Kanalhöhe bezogen

irr irreversibel

i, j, k Laufvariablen

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Nomenklatur-VIII-

Zeichen Bedeutung

k kalt

L Luft

m mittel

min Minimalwert

opt optimal

p periodisch

ref Referenz (-temperatur)

v Volumen

v Verlust

w Wand

w warm

x, y, z kartesische Koordinaten

Zelle gesamte Zelle

∆T Temperaturdifferenz

∆t Betriebs- oder Nutzungsdauer

∆p Druckdifferenz

0 Referenzkonfiguration

1, 2 Seiten eines Wärmeübertragers mit zwei Fluiden

∞ unendlich

Indizes, hochgestellt

Zeichen Bedeutung

´ Eintritt

´´ Austritt

ε Exponent

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Nomenklatur -IX-

KurzbezeichnungenBezeichnung Bedeutung

AAM Ammoniak-Absorptions-Methode

CFD Computational Fluid Dynamics

FIVO Finite-Volumen-Berechnungsverfahren (Programmpaket)

Int Integer-Zahl (Nachkommastellen werden abgeschnitten)

LMTM Logarithmic Mean Temperature Difference

SF Stromführung

VEHE Vortex Enhanced Heat Exchanger

VG Vortex Generator

WE Wirbelerzeuger

TUFI_E Tube-Fin-Konfiguration, Einlaufströmung, s. Bastani Jahromi [4]

TUFI_PV Tube-Fin-Konfiguration, periodisch vollentwickelte Strömung,

s. Bastani Jahromi [4]

H_1DR Hutze, eine doppelreihige Anordnung, s. Behle [10]

H_2DR Hutze, zwei doppelreihige Anordnungen, s. Behle [10]

DFWE Deltaflügelwirbelerzeuger, s. Brockmeier [24]

DWWEP Deltawingletwirbelerzeugerpaar, s. Brockmeier [24]

1DWP ein ausgestanztes Deltawingletpaar, s. Chen [27]

4DWP vier ausgestanzte DWP, alternierend versetzt, s. Chen [27]

LWE Längswirbelerzeuger, s. Grosse-Gorgemann [61]

FSB fluchtend, symmetrisch und beidseitig angeordnete

Rechteckwinglets, s. Güntermann [62]

QR Querrippen, s. Lorenz [83]

HPV_1DR Hutzenparametervariation, doppelreihige Anordnung,

s. Müller [88]

HAV_1DR Hutzenanordnungsvariation, doppelreihige Anordnung,

s. Müller [88]

DWP Deltawingletpaar, s. Tiggelbeck [132]

DWP_DR Deltawingletpaar in Doppelreihe, s. Tiggelbeck [132]

FGBG45 Rechteckwinglet, Anstellwinkel 45°, s. Weber [141]

FGBG90 Rechteckwinglet, Anstellwinkel 90°, s. Weber [141]

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Nomenklatur-X-

Chemische VerbindungenBezeichnung Bedeutung

H2O reines Wasser

H2O2 Wasserstoffperoxid

MnCl2 Mangan(II)-Chlorid

MnO2 Mangandioxid (Braunstein)

Mn(OH)2 Manganhydroxid

NH3 Ammoniak

NH4Cl Ammoniumchlorid (Salmiak)

NH4OH Ammoniumhydroxid

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1. Problematik -1-

1. PROBLEMATIK

Wärmeübertrager sind Apparate, die Wärme in Richtung eines Temperaturgefälles

zwischen zwei oder mehr fluiden Stoffströmen übertragen, Abb. 1.1. Sie dienen der

Zustandsänderung dieser Fluide (Kühlen, Heizen, Verdampfen, Kondensieren bzw.

Änderung physikalischer Eigenschaften, z. B. der Viskosität oder Löslichkeit durch

Temperaturänderung) oder helfen, beispielsweise durch Abwärmenutzung, Prozesse

wirtschaftlicher werden zu lassen.

Abb. 1.1: Schema eines Hochleistungswärmeübertragers, Energy Efficiency

Office [38]

Nach ihrer Funktionsweise werden direkte, indirekte und Speicherwärmeübertrager

unterschieden, Gelbe [57]. Die vorliegende Arbeit behandelt nur stationär durch-

strömte indirekte Wärmeübertrager, in denen die Fluide durch feste Wände getrennt

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1. Problematik-2-

sind (Rekuperatoren) und kein Stoffübergang zwischen den Fluiden stattfindet. Sol-

che Wärmeübertrager werden z. B. in der Energietechnik, der Verfahrenstechnik, der

Klimatechnik, der Kraftfahrzeug- und Luft- und Raumfahrttechnik eingesetzt. In mo-

bilen Anwendungen stellen Abmessungen und Gewichte wichtige Konstruktionskrite-

rien von Rekuperatoren dar, Kays & London [70], und tragen zu den Betriebskosten

des Systems bei.

In dieser Arbeit werden Einphasenströmungen mit geringen Änderungen der Stoff-

werte behandelt, d. h. es werden moderate Unterschiede der Temperaturniveaus, bei

mäßigen Geschwindigkeiten weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit (Ma < 0,3), wo

Dichteänderungen eine untergeordnete Rolle spielen (Bejan [16], Gersten [59] und

Muralidhar & Biswas [89]), betrachtet.

Je nach Anwendung unterscheidet man Wärmeübertrager für tiefe, mittlere oder ho-

he Temperaturen. Unterhalb der Umgebungstemperatur sind Anwendungen von

Wärmeübertragern vor allem in Kälteanlagen interessant. Die Ergebnisse dieser Ar-

beit eignen sich vorwiegend für den Temperaturbereich zwischen -50°C und +500°C.

Bei höheren Temperaturen bis etwa 1400°C werden z. B. Abhitzekessel mit hohem

Beitrag der Strahlung zur Wärmeübertragung in der Petrochemie betrieben; oberhalb

von etwa 1000°C treten in Gasen zunehmend thermische Dissoziation und Abwei-

chungen vom Idealgasverhalten auf. Bei tiefen Temperaturen spielen die Kondensa-

tion und das Ausfrieren von Luftfeuchte und Erstarrung der Wärmeträger oft eine

große Rolle.

Die vorliegende Untersuchung berücksichtigt vorwiegend Wärmeübertragung nahe

dem Umgebungsdruck, wobei starke Druckgradienten und Änderungen der Aggre-

gatzustände außer Acht gelassen werden. Platten- und Lamellen-Rohr-

Wärmeübertrager werden speziell betrachtet. Diese lassen sich in kompakter raum-

sparender Bauweise herstellen, Wadekar [140]. So sind Rekuperatoren mit dicht ge-

packten Wärmeübertragungsflächen über 700 m2/m3 Bauvolumen gängige Anwen-

dungen in Raumfahrt und Flugzeugbau, Shah [109-112]. Die menschliche Lunge

stellt einen Wärmeübertrager mit einer mit Abstand größten bezogenen Wärmeüber-

tragungsfläche von 2000 m2/m3 dar, Shah [112].

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1. Problematik -3-

Die Wahl der Wärmeübertragerbauart erfolgt einerseits mit Rücksicht auf die einge-

setzten Medien, deren Stoffeigenschaften und korrosive Wirkung, andererseits unter

dem Gesichtspunkt geringster Kosten für Apparat und Betrieb bei hoher Verfügbar-

keit.

Der Wärmeübergangskoeffizient soll bei möglichst geringem Druckverlust maximiert

werden, London [81]. Das kann mit aktiven Maßnahmen, wie dem Einsatz von pul-

sierenden Strömungen, erfolgen, Tandogan & Mitra [128] und Tandogan et al. [129].

Die Erzeugung von Hochleistungsoberflächen durch geometrische Oberflächenmodi-

fikationen gehört zu den passiv wirkenden Maßnahmen. Der Bedarf an Wärmeüber-

tragungsfläche und Förderleistung ist bei Luft- und Gasströmungen geringer Wär-

meleitfähigkeit und Dichte besonders hoch. Luftgekühlte Kondensatoren für die

Energie- und Prozesstechnik oder Luftkühler für Kraftfahrzeuge sind typische An-

wendungsbeispiele. Hier besteht besonderer Bedarf an wärmeübergangssteigernden

Modifikationen der Übertragungsflächen.

Die Wirkung einer Manipulation der Strömung zur Erhöhung des Wärmeübergangs

kann nur mit Kenntnis der resultierenden lokalen Wärmeübergangskoeffizienten be-

wertet und weiter verbessert werden. Denn die Kenntnis der lokalen Wärmeüber-

gangskoeffizientenverteilung erlaubt ein besseres Verständnis der Wechselwirkun-

gen zwischen dem Strömungsfeld und dem lokalen Wärmeübergang, welches wie-

derum zur Optimierung von Maßnahmen zur Strömungsmanipulation dienen kann.

Es gibt grundsätzlich zwei Wege, die lokale Verteilung des Wärmeübergangs zu un-

tersuchen. Der eine Weg, der in dieser Arbeit beschritten wird, ist die experimentelle

Bestimmung von lokalen Wärmeübergangsverteilungen. Der andere Weg ist die

computergestützte Berechnung des Strömungs- und Temperaturfeldes durch diskre-

tisierte Lösung der Erhaltungsgleichungen und numerische Ermittlung der lokalen

Wärmeübergangsverteilung auf den Wärmeübertragungsflächen, z. B. Cziesla et al.

[31].

Der Einfluss von Wirbelerzeugern auf die Erhöhung des Wärmeübergangs im Ver-

gleich zu einer glatten Fläche wird anhand Abb. 1.2 und 1.3 illustriert.

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1. Problematik-4-

Abb. 1.2: Kanal mit periodisch angeordneten Delta Winglet Paaren, Schulz &

Fiebig [107]

Abb. 1.3: Quergemittelte Nusselt-Zahl in einem ebenen Spalt mit einer Querreihe

von Deltawinglets, Grosse-Gorgemann [61]

Die vorliegende Arbeit ist im Rahmen eines von der Europäischen Union finanzierten

Forschung- und Entwicklungsvorhabens VEHE (Vortex Enhanced Heat Exchangers)

entstanden. Im Rahmen einer Partnerschaft zwischen Hochschulen und Industrie

werden aus Ergebnissen wissenschaftlicher Untersuchungen, die maßgeblich am

Institut für Thermo- und Fluiddynamik der Ruhr-Universität Bochum durchgeführt

wurden, erfolgversprechende Wirbelerzeugerkonfigurationen ausgewählt und in in-

dustriell gefertigte Wärmeübertrager implementiert.

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1. Problematik -5-

Drei Typen von Wärmeübertragern werden in diesem Projekt untersucht:

1.) Lamellen-Rohr-Wärmeübertrager mit Kreisrohren und aus den Rippen ausge-

stanzten Wirbelerzeugern,

2.) Plattenwärmeübertrager mit in die Platten geprägten Mulden (embossed VG‘s),

die als Wirbelerzeuger wirken und

3.) Plattenwärmeübertrager mit dreieckige Kanäle als Sekundärrippen mit ausge-

stanzten Wirbelerzeugern.

Ein Arbeitsbeitrag des Lehrstuhls für Verfahrenstechnische Transportprozesse (frü-

her Lehrstuhl für Wärme- und Stoffübertragung) im Institut für Thermo- und Fluiddy-

namik der Ruhr-Universität Bochum (RUB) ist die Entwicklung eines Computerpro-

gramms zur thermischen Auslegung bzw. Nachrechnung der ausgesuchten Wärme-

übertragertypen. Wichtige Größen zur Charakterisierung des Betriebs eines Rekupe-

rators sind die Eintrittsgeschwindigkeiten bzw. Reynolds-Zahlen jedes der beiden

Fluide.

Üblich sind bei Luft als Arbeitsmittel Strömungsgeschwindigkeiten zwischen 1 m/s

und 10 m/s (Paikert [92]), wobei sich eine Mach-Zahl von 0,003 ≤ Ma ≤ 0,03 ergibt,

so dass die oben genannte Annahme eines Fluids konstanter Stoffeigenschaften nä-

herungsweise gut erfüllt ist.

Wird auf der Luftseite eine realistische Kanalhöhe von 3 mm gewählt, z. B. in einem

Lamellen-Rohr-Wärmeübertrager als Motorkühler für einen Personenkraftwagen, so

liegt die auf die Kanalhöhe bezogene Reynolds-Zahl im Bereich 200 ≤ Re ≤ 2000. In

modernen Kfz-Kühlern werden z. T. Kanalhöhen um 1 mm realisiert. In diesem

Reynolds-Zahl-Bereich sind Spaltströmungen in glatten Kanälen meist laminar, Shah

& Bhatti [113] und Shah & London [114]. Im Spalt mit eingebauten Turbulatoren zur

Wärmeübergangserhöhung auf den Spaltwänden ist die kritische Reynolds-Zahl, bei

der die Strömung instationär wird, wesentlich niedriger. Die Strömungen in Hochleis-

tungswärmeübertragern mit Wirbelerzeugern liegen i. Allg. im laminaren oder im

Transitionsbereich.

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1. Problematik-6-

Einerseits werden eigene Messergebnisse zum Wärmeübergang in einem dreiecki-

gen Kanal mit Wirbelerzeugern präsentiert, andererseits werden Ergebnisse von an-

deren Arbeiten, die in den letzten Jahren an der Ruhr-Universität Bochum (vor allem

in der Forschergruppe Wirbel und Wärmeübertragung) entstanden sind, mit heran-

gezogen. Hierzu wird eine Datenbank aufgebaut, die in geeigneter Form Wärme-

übergangs- und Druckverlustkennzahlen von ausgewählten Oberflächenkonfiguratio-

nen mit Wirbelerzeugern katalogisiert, Scheidtmann et al. [103, 104]. Eine Zielset-

zung ist die kostengünstige Auslegung von Wärmeübertragern durch standardisier-

ten Zugriff auf diese Datenbank mit einer geeigneten Software.

Der Wärmeübergang wird in Form der Stanton-Zahlen St in Abhängigkeit von der

Reynolds-Zahl Re und Prandtl-Zahl Pr und des Strömungsverlusts durch den effekti-

ven Reibungsbeiwert f als Funktion von Re charakterisiert. Neben St wird auch der

Colburn-Faktor j = St Pr2/3 zur Kennzeichnung des Wärmeübergangs verwendet.

Die Arbeit zeigt Methoden für eine aufwandsoptimierte Auslegung von Wärmeüber-

tragern auf Basis von Flächencharakteristiken St oder j und f auf. Das Ziel der Opti-

mierung ist die Minimierung des Gesamtaufwands bzw. der Kosten für Investitionen

und Betrieb. Die Investitionen hängen wesentlich von der erforderlichen Apparate-

größe bzw. der Übertragungsfläche des Wärmeübertragers ab. Der Betriebsaufwand

wird vorwiegend durch den Bedarf an Förderleistung und, im Umfeld einer Anlage,

durch die Entwertung der Wärme durch ihre Überführung auf ein niedrigeres Tempe-

raturniveau bestimmt.

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -7-

2. STAND DES WISSENS UND ZIELE DER ARBEIT

2.1 AUSLEGUNG UND NACHRECHNUNG VON WÄRMEÜBERTRA-GERN

Zwei Typen von Aufgaben der Berechnung von Wärmeübertragern treten auf: die

Auslegung neuer und die Nachrechnung vorhandener Wärmeübertrager (Roetzel &

Spang [96], Baehr & Stephan [3] und Incropera & DeWitt [65]). Ausgehend von der

Betriebscharakteristik P = P(NTU, R, SF) spricht man vom Auslegungsproblem,

wenn die dimensionslose Temperaturänderung P und das Kapazitätsstromverhältnis

R gegeben sind und die Zahl der Übertragungseinheiten NTU abhängig von der

möglichen Stromführung SF gesucht wird1. Dabei sind die dimensionslosen Größen

P, R und NTU folgendermaßen definiert:

Dimensionslose Temperaturänderungen2:

'2

'1

''1

'1

1 TTTTP

−−= bzw. '

2'1

'2

''2

2 TTTTP

−−= (2.1)

Kapazitätsstromverhältnisse:

2p2

1p11 cM

cMR

!

!= bzw.

11p1

2p22 R

1cMcM

R ==!

!(2.2)

Zahl der Übertragungseinheiten:

11 W

AkNTU!

= bzw. 2

2 WAkNTU!

= (2.3)

Für eine gewählte Flächenkonfiguration mit bekannten Stoffdaten und Strömungsge-

schwindigkeiten liegt die Wärmeübertragungsfläche fest. Anders verhält es sich bei

1 Die Betriebscharakteristik P1 wird auch als Wirkungsgrad eines Wärmeübertragers bezeichnet, wenn„1“ der kleinere Wärmekapazitätsstrom ist. Andere Bezeichnungen dafür sind ε oder φ. Für das Kapa-zitätsstromverhältnis R wird teilweise auch µ verwendet. NTU ist ein Akronym für „Number of TransferUnits“.2 Die dimensionslose Temperaturänderung des kleineren Wärmekapazitätsstroms 1 oder 2 ist derWärmeübertragerwirkungsgrad.

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-8-

der Nachrechnung. Hier ist der Wärmeübertrager vorgegeben und somit auch der

Wert von NTU. Kennt man die Massenströme lässt sich die Größe P bestimmen, wo-

durch man bei bekannten Eintrittstemperaturen die Austrittstemperaturen erhält.

Abb. 2.1: Illustration der Vorgehensweise zur Auslegung und Nachrechnung von

Wärmeübertragern

Beide Methoden der Abb. 2.1 werden häufig kombiniert. Dabei gibt man den ge-

wünschten Wärmeübertragertyp mit seinen Abmessungen vor. Mit den Eintrittstem-

peraturen und Massenströmen werden die Temperaturen am Austritt und die Druck-

verluste auf jeder Seite berechnet. Erfüllen diese nicht die gewünschten Anforderun-

gen, werden die Abmessungen des Wärmeübertragers iterativ variiert, bis die Wir-

kungsgrade und Druckverluste die geforderten Werte erreichen.

Zur Auslegung bzw. Nachrechnung von Wärmeübertragern gibt es eine Reihe von

Berechnungsmethoden, die sich durch das Anwendungsgebiet sowie durch den Re-

chenaufwand und ihre Genauigkeit unterscheiden [96]. Tabelle 2.1 liefert eine Über-

sicht gängiger Methoden.

Die beste örtliche und zeitliche Auflösung liefern Differenzenverfahren, wobei diese

Verfahren den Nachteil haben, sehr aufwendig zu sein. Diese Methoden eignen sich

vornehmlich für den Fall der Nachrechnung. Dabei können das Strömungsfeld und

das Temperaturfeld zunächst unbekannt sein. Vorausgesetzt werden u. a. Konfigu-

ration, Reynolds-Zahl und Stoffdaten. Die Konturen des Strömungsweges bzw. die

Randbedingungen werden eingegeben und die Kontinuitäts-, Impuls- und Ener-

giegleichungen für einzelne Volumenelemente des Fluids und ggf. der Wände nume-

P1,2 = P(NTU, R, SF)1,2

geg.: R1,2 und P1,2

Auslegung

ges.: NTU1,2

geg.: R1,2 und NTU1,2

Nachrechnung

ges.: P1,2

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -9-

risch gelöst. Die Qualität der numerischen Modelle, z. B. die Berücksichtigung varia-

bler Stoffwerte oder die Verwendung geeigneter Turbulenzansätze und der gewähl-

ten Gitter, hat Einfluss auf die Genauigkeit der Ergebnisse.

Tabelle 2.1: Berechnungskonzepte von Wärmeübertragern. In allen Fällen, außer

den Differenzverfahren, ist die Vorgabe der Funktionen Nu(Re, Pr) und f(Re) erfor-

derlich.

Bezeichnung EigenschaftenDifferenzenverfahren, Finite-Volumen-

Verfahren (z. B. Bastani Jahromi [4]) -

vorzugsweise für repräsentative Kanäle in

einfachen Stromführungen,

Stoffdaten, Konfiguration sowie

Reynolds-Zahl müssen gegeben sein.

Numerische Berechnung von Strömungs-

und Temperaturfeldern. Hierbei wird ein

dichtes Feld lokaler Größen bestimmt.

Verfahren ist für Nachrechnung geeignet.

Zellenmethode (z. B. Gaddis [54]) -

für komplexere Stromführungen,

Strömungsverluste in den relativ einfa-

chen einzelnen Zellen und die NTUi und

Pi einer Zelle i müssen bekannt sein.

Aufteilung einer Austauschfläche in Ein-

zelapparate mit individuellen Ein- und

Austrittstemperaturen bzw. Stromführun-

gen. Verfahren ist für Nachrechnung ge-

eignet.

Konzept der mittleren Temperaturdiffe-

renz (z. B. Incropera & DeWitt [65]) -

Stromführung, Übertragungsfläche und

Wärmeübergangskoeffizient im Wärme-

übertrager sind bekannt, aus einem ge-

forderten Wirkungsgrad wird NTU be-

rechnet.

Die mittlere logarithmische Temperatur-

differenz bei Gegenstrom wird für eine

gewählte Stromführung mit einem Faktor

F zur Kennzeichnung der Minderung der

Übertragungsleistung im Vergleich zu

Gegenstrom multipliziert

∆Tm = ∆Tm gegen F, F = F(P, R, SF). Ver-

fahren ist für Auslegung und Nachrech-

nung geeignet.

Wirkungsgrad-NTU-Methode

(z. B. Incropera & DeWitt [65]) -

die Strömungsform im Wärmeübertrager

ist bekannt.

Der Wirkungsgrad P eines Wärmeüber-

tragers wird aus einer Vielfalt von be-

kannten Funktionszusammenhängen P =

P(NTU, R, SF) ermittelt. Verfahren ist für

Auslegung und Nachrechnung geeignet.

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-10-

Trotz des hohen Aufwands und den noch vorhandenen Fehlerquellen ist die Anwen-

dung einer Feldberechnung, z. B. Differenzenverfahren, auf einen ganzen Apparat i.

Allg. noch nicht möglich.

Eine andere Berechnungsmethode ist die Zellenmethode, bei der ein Gesamtapparat

in gekoppelte „Zellen“ mit individuellen Stromführungen aufgeteilt wird. Vorausge-

setzt wird der Wirkungsgrad einer Zelle i. Dabei entsteht ein Gleichungssystem, mit

dem man, ausgehend von den Eintrittstemperaturen, die Austrittstemperaturen aus

den einzelnen Zellen und dem Gesamtapparat berechnet und diese entsprechend

der Gesamtstromführung als Eintrittstemperaturen nachfolgender Zellen behandelt

(Gaddis [54] und Gaddis & Schlünder [55]).

In dem Konzept der mittleren Temperaturdifferenz wird bei bekannten Ein- und Aus-

trittstemperaturen des Gesamtapparates zunächst die mittlere logarithmische Tem-

peraturdifferenz ∆Tm (Logarithmic Mean Temperature Difference (LMTD), vgl. [65])

eines reinen Gegenstromapparates nach der Definition

'T''T''T'Tln

)'T''T()''T'T(T

21

21

2121gegenm

−−

−−−=∆ (2.4)

berechnet. Für eine beliebige Stromführung SF wird diese Temperaturdifferenz mit

einem stromführungsabhängigen Faktor 1F ≤

F = F(P, R, SF) (2.5)

korrigiert (∆Tm = ∆Tm ges = ∆Tm gegen F). Für den Wärmestrom gilt dann:

( )gegenmm TFAkTAkQ ∆=∆=! (2.6)

Für reinen Gegenstrom ist definitionsgemäß F =1.

Im Fall der Nachrechnung eines Wärmeübertragers mit bekannten NTU und Strom-

führung kennt man jedoch die Austrittstemperaturen nicht und kann sie nicht ohne

weiteres berechnen. Dies erfordert ein iteratives Vorgehen [65], das für einfache

Stromführungen durch Verwendung von analytischen Wirkungsgrad-NTU-

Beziehungen vermieden wird. Dabei erhält man die Austrittstemperaturen implizit als

dimensionslose Temperaturänderungen (Gl. 2.1) des Wärmeübertragers, wenn NTU,

das Wärmekapazitätsstromverhältnis R und die Stromführung in einen Zusammen-

hang der Form

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -11-

P = P(NTU, R, SF) (2.7)

zu F gesetzt werden können [65].

Der gesuchte Zusammenhang nach Gl. 2.7 kann für eine große Palette von Strom-

führungen nach einem Verfahren von Spang & Roetzel [120] näherungsweise ermit-

telt werden. Sind beispielsweise nach Abb. 2.2 T1´, T2´, Q! , 1M! , 2M! , Stoffwerte und

die Stromführung gegeben, ergeben sich die Wirkungsgrade P1,2 (Gl. 2.1) bei be-

kannten Kapazitätsstromverhältnissen.

Abb. 2.2: Schema eines Wärmeübertrager

Zunächst wird NTU für den Fall des Gegen

1

11

1gegen1 P1

PR1lnR1

1NTU−

−−

= und NTU

oder

1

1gegen1 P1

PNTU−

= , NTU

Die Zahl der Übertragungseinheiten NTU

nun iterativ (Newton-Verfahren) aus

NRaNTURcbaNTU db

1

1bs1

db1

1−=

+

und NTU2 = NTU1 R1. Die Parameter a,

Stromführung (Tabelle 1 und 2 in [120]).

Tabelle 2.2 diese Parameter. Zu Beginn

werden. Mit dem Wert von NTU1,2 liegt die

fest, womit das Problem der Auslegung pr

T1´

T1´´

T2´

T2´´

1M!

2M!

A

Q!

s und verwendete Bezeichnungen

stromapparates bestimmt:

2

22

2gegen2 P1

PR1lnR1

1−

−−

= , für R1,2=1 (2.8)

2

2gegen2 P1

P−

= , für R1,2≠1 (2.9)

für die gewählte Stromführung ergibt sich

1)1cb(TU)NTURa1(NTU

bs1

1cbs1

db1G1

−−+ +

(2.10)

b, c, d ergeben sich aus der Wahl der

Für einige einfache Stromführungen gibt

der Iteration kann NTU1s=NTU1G gesetzt

erforderliche Wärmeübertragungsfläche A

inzipiell gelöst ist. Die Frage der konstruk-

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-12-

tiven Gestaltung der Wärmeübertragungsflächen gehört zum Know-how der Herstel-

ler.

Tabelle 2.2: Erforderliche Parameter in Gl. 2.10 für einfache Stromführungen

Stromführung a b c dreiner Gleichstrom 0,671 2,11 0,534 0,5

reiner Kreuzstrom 0,433 1,6 0,267 0,5

beidseitig quervermischter Kreuzstrom 0,251 2,06 0,677 0,5

2.2 ÜBERTRAGUNGSKENNWERTE

2.2.1 WÄRMEÜBERGANG

Der konvektive Wärmeübergangskoeffizient α

ref

w

ref TnT

Tq

∆∂∂λ

−=∆

=α!

(2.11)

wird hier meist in Form der Stanton-Zahl St oder in Form des Colburn-Faktors j aus-

gedrückt. Dabei gilt die Abhängigkeit

pcuPrReNuSt

ρα== (2.12)

Die Reynolds-Zahl ist definiert als:

ηρ=

ν= hh duduRe (2.13)

Für die Nusselt-Zahl, bezogen auf die lokale mittlere (Bulk-)Temperatur des Fluids,

ergibt sich:

ref

hwh

T

dnT

dNu∆

∂∂

α= (2.14)

In Gl. 2.14 ist w)n/T( ∂∂ der normale Temperaturgradient an der Wärmeübertra-

gungsfläche. Die Definitionen der Stanton-Zahl und des Colburn-Faktors sind anders

als die der Nusselt-Zahl unabhängig von der Wahl der charakteristischen Länge dh.

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -13-

Ein Vorteil ist hierbei, dass sich bei der grafischen Auftragung von St oder j über der

Reynolds-Zahl eine fallende Kurve ergibt, die qualitativ dem Verlauf des Reibungs-

beiwerts entspricht, wodurch die Analogie zwischen Impuls- und Wärmeübertragung

deutlicher sichtbar ist. Ferner ist ∆Tref z. B. die Differenz zwischen der Wandtempe-

ratur und der massenstromgemittelten Temperatur des Fluids im Strömungsquer-

schnitt.

2.2.2 WAHL DER BEZUGSTEMPERATUR

Der Einfluss der Wahl der Bezugstemperatur, Eintritts- oder lokale Bulktemperatur in

∆Tref, auf den flächengemittelten Wärmeübergangskoeffizienten soll für eine Wärme-

übertragungsfläche mit konstanter Wandtemperatur diskutiert werden:

Nimmt man einerseits die Eintrittstemperatur T‘ in den Kanal als Referenztemperatur

des Wärmeübergangs an (∆Tref = T‘ – Tw), so ergeben sich für den Wärmeüber-

gangskoeffizienten und die Nusselt-Zahl

w'T T'T

q−

=α!

(2.15)

λ−= h

w'T

dT'T

qNu!

(2.16)

Der Index T‘ weist auf die Eintrittstemperatur als Referenztemperatur des Wärme-

übergangs hin. Integration über der Übertragungsfläche A liefert die mittlere Nusselt-

Zahl

∫∫ −λ==

Aw

h

A'Tm'T dAq

)T'T(AddANu

A1Nu ! (2.17)

mit

∫=A

dAqQ !! (2.18)

Eine Energiebilanz liefert

)''T'T(cAu)''T'T(cMQ pfp −ρ=−= !! (2.19)

Einsetzen von Gl. 2.19 in 2.17 ergibt:

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-14-

L4dPrReP

AAPrRePNu hf

m'T == (2.20)

bzw.

L4dP

PrReNu

dA'StA1St hm'T

Am'T === ∫ (2.21)

Dabei ist der Wirkungsgrad des Wärmeübertragers:

wT'T''T'TP

−−= (2.22)

Der hydraulische Durchmesser dh und das Verhältnis von Frontfläche zu Wärme-

übertragungsfläche Af/A sind definiert als

AV4d fluid

h = (2.23)

L4d

AA hf = (2.24)

Verwendet man andererseits die lokale kapazitätsstromgemittelte Bulktemperatur Tb

als Referenztemperatur (∆Tref = Tb – Tw), so gilt

wbTb TT

q−

=α!

(2.25)

λ−= h

wbTb

dTT

qNu!

mit (2.26)

∫ ρ=Af fp

pb dATuc

cM1T

!(2.27)

Eine Flächenmittelung führt dann zu

∫ ∫ λα

=αλ

=−λ

= hmTbTb

h

wb

hmTb

ddA

AddA

TTq

AdNu

!(2.28)

Für die mittlere Stanton-Zahl gilt entsprechend

p

mTbmTbmTb cuPrRe

NuSt

ρα

== (2.29)

Hiermit wird die number of transfer units NTU definiert:

pf

mTb

cAuA

NTUρα

= (2.30)

L4dNTUSt h

mTb = (2.31)

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -15-

Ein Vergleich zwischen Gl. 2.21 und 2.31 liefert für konstante Wandtemperatur

−−=

hmTbm'T

h dL4Stexp1St

dL4 (2.32)

die sich aus der Bedingung

P = 1 – exp(-NTU) (2.33)

ergibt. Ist beispielsweise in einer Arbeit der Wärmeübergangskoeffizient auf die Ein-

trittstemperatur bezogen angegeben, kann man ohne Kenntnis der messtechnisch

schwer zu ermittelnden lokal variierenden Fluidtemperatur die mittlere Stanton-Zahl

bezogen auf Tb berechnen:

−−= m'T

h

hTb St

dL41ln

L4dSt (2.34)

Die Werte von α, Nu und St in der vorliegenden Arbeit sind auf die Bulktemperatur

bezogen.

2.2.3 IMPULSÜBERTRAGUNG UND STRÖMUNGSVERLUSTE

Der scheinbare Reibungsbeiwert f ist der mittlere dimensionslose Druckgradient

∆p = ''p'p − und lautet

AA

u)''p'p(2f f

2ρ−= (2.35)

Er setzt sich aus drei Anteilen zusammen (Brockmeier [24] und Güntermann [62]).

Der Reibungsbeiwert wird durch die Haftung des Fluids an der Kanalwand verur-

sacht. Der Pumpleistungsaufwand wird noch um den Anteil des Formwiderstands

erhöht. Dieser ist im Wesentlichen durch die Projektionsfläche des Hindernisses (z.

B. Wirbelerzeuger) verursacht. Zu beiden Anteilen kommt die Impulsstromänderung

hinzu, die sich aus der Änderung des Geschwindigkeitsprofils zwischen Ein- und

Austritt des Kanals ergibt. Für ebene Strömungen ohne Ablösung und Formwider-

stände gilt die Colburn-Analogie

j = St Pr2/3 = 0,5 f (2.36)

Der Colburn-Faktor

j = St Pr2/3 (2.37)

beschreibt dabei den um den Einfluss der Prandtl-Zahl korrigierten Wärmeübergang.

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-16-

2.3 MASSNAHMEN ZUR WÄRMEÜBERGANGSSTEIGERUNG

Hochleistungswärmeübertragerflächen sind Übertragungsflächen, die einen hohen

Wärmestrom, bezogen auf die Übertragungsfläche des Wärmeübertragers und die

Temperaturdifferenz zwischen den Fluiden, liefern [70], vgl. Abb. 2.3.

Hochleistungsflächen werden vorwiegend für Anwendungen ausgelegt, bei denen

mindestens ein Fluid ein Gas ist, weil für Gase i. Allg. die aufzuwendende Pumplei-

stung, bezogen auf die übertragene Wärmeleistung, höher ist als bei Flüssigkeiten.

Für die übertragene Wärmeleistung und für die Pumpleistung gelten:

TAStucTAQ p ∆ρ=∆α=! (2.38)

Afu2A

Afu2

AupVP 3

f

2f

ρ=ρ=∆= !! (2.39)

d. h. Verhältnis der Förderleistung zur Wärmeübertragungsleistung steigt etwa mit

dem Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit an3.

Abb. 2.3: Darstellung von Wärmeübertragern in Abhängigkeit vom Grad der Kom-

paktheit (Bejan [15])

3 Die Stanton-Zahl und der Reibungsbeiwert hängen etwa mit der gleichen Potenz von der Strö-mungsgeschwindigkeit ab, wodurch immer die Pumpleistung stärker mit der Strömungsgeschwindig-keit ansteigt als die Wärmeleistung.

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -17-

Für eine Anwendung sind hierbei die Abhängigkeiten der Stanton-Zahl und des ef-

fektiven Reibungsbeiwerts von der Reynolds-Zahl interessant. Man kann schreiben

St = St(Re, Pr) bzw. j = j(Re) (2.40)

und

f = f(Re). (2.41)

Viele Wärmeübertragerkonfigurationen von Hochleistungswärmeübertragern werden

in dem Buch von Kays & London [70] mit Hilfe von Korrelationen der Colburn-

Faktoren und Reibungsbeiwerte in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl dokumen-

tiert.

Eine relativ neue Form von Hochleistungsflächen ist durch das Anbringen von Wir-

belerzeugern auf den Übertragungsflächen gekennzeichnet (Edwards & Alker [34],

Eibeck & Eaton [35], Fiebig & Schulz [51], Gentry & Jacobi [58], Lorenz [83], Tiggel-

beck et al. [133], Turk & Junkhan [136], Weber [141], Yanagihara [142] und Yanagi-

hara & Torii [143]).

Die Wirkung von Wirbelerzeugern im Vergleich zu Louvered4- und Offset-Strip-Fins5

ist anhand von Abb. 2.4 zu erkennen. Andere vergleichende Untersuchungen sind

von Lee [75-78] und Russell et al. [97] veröffentlicht worden. Der Abb. 2.4 liegt das

VG1-Kriterium von Webb [139] zugrunde, das eine Möglichkeit darstellt, mehrere

Flächen miteinander zu vergleichen. Als Referenzfläche ist eine Platte mit Offset-

Strip-Fins gewählt (mit A0 bezeichnet). Die Konfigurationen Offset-Strip-Fin und Lou-

vered-Fin haben einen ähnlichen Verlauf über die Reynolds-Zahl, wobei die Kiemen-

schnittkonfiguration in etwa 18% mehr Wärmeübertragungsfläche bei gleichem

Wärmestrom, gleicher Pumpleistung, gleichem Massenstrom und gleicher Tempe-

raturdifferenz zwischen Kanaleintritt und Wand benötigt.

Die untersuchte Delta-Flügel-Fläche bringt gegenüber der Fläche mit Offset-Strip-

Fins eine Ersparnis von durchschnittlich 35%. Das beidseitig angeordnete Rechteck-

Winglet-Paar bewirkt eine Ersparnis von 50%. Die Bedeutung der Leistungsfähigkeit

der Flächen mit Wirbelerzeugern ist sehr eindrucksvoll, wenn man sich vor Augen

4 Louvered Fins sind Rippen mit eingestanzten Kiemenschnitten zur Wärmeübergangsverbesserung,[70].5 Offset-Strip-Fins sind in einen Kanal senkrecht versetzt eingebaute Querrippen, die in Strömungs-richtung eine wiederkehrende Einlaufströmung bewirken, [70].

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-18-

führt, dass die Offset-Strip-Fin- und Louvered-Fin-Anordnungen bisher zu der Grup-

pe der leistungsfähigsten Wärmeübertragerflächen gehört haben.

Abb. 2.4: Wärmeübertragerflächenbedarf von Konfigurationen mit Louvered-Fins,

Offset-Strip-Fins, Deltaflügeln und beidseitig angeordneten Rechteck-Winglet-Paaren

in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl im Verhältnis zum Flächenbedarf A0 eines

Wärmeübertragers mit Offset-Strip-Fin-Flächenanordnung (Güntermann [62])

Eine Frage ist, ob die von Güntermann [62] erzielte Verbesserung der Leistungsfä-

higkeit ein Resultat optimierter geometrischer Verhältnisse ist, oder ob Wirbelerzeu-

ger allgemein wirksamer als andere Oberflächenmodifikationen sind. In dem Rück-

blick von Jacobi & Shah [66] wird darauf hingewiesen, dass die von Güntermann [62]

gewählten Louvered-Fin und Offset-Strip-Fin Anordnungen von Kays & London [70]

dokumentiert sind und somit keine neuartigen Flächenanordnungen darstellen. Aus

Rechnungen gewonnene Ergebnisse von Müller [88] zeigen, dass die beste von Fie-

big et al. [47] untersuchte Konfiguration durch den Einsatz von Hutzen6 noch über-

troffen werden kann, Abb. 2.5 und 2.6.

6 Hutzen sind eine spezielle Form von Wirbelerzeugern, die durch einen kombinierten Stanz- und Prä-geprozess hergestellt werden.

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -19-

Woher kommt die besondere Wirkung der Wirbelerzeuger, hohe Wärmeübergangs-

koeffizienten bei Laminar- und Transitionalströmungen zu bewirken? Die Frage soll

mit Hilfe einer Aufstellung der Konzepte zur Wärmeübergangserhöhung (Fiebig [40-

44] und Fiebig & Mitra [48]) beantwortet werden. Diese sind

1.) Grenzschichtneubildung (z. B. an versetzten Rippen),

2.) Strömungsdestabilisierung (z. B. im Nachlauf von Abreißkanten) und

3.) Erzeugung geordneter Spiralströmungen, sogenannter Längswirbel (z. B. durch

Deltaflügel oder angestellte Winglets).

Abb. 2.5: Vergleich einer optimierten Hutzenanordnung (Müller [88], S. 147) mit

Wingletkonfigurationen von Güntermann [62] und Hahne [63]

Bei der Grenzschichtneubildung wird die an der Wärmeübertragung beteiligte Wand,

z. B. eine Rippe, mehrfach unterbrochen, um immer wieder eine neue Strömungs-

und Temperaturgrenzschicht entstehen zu lassen. Das Ziel ist, die Grenzschichtdicke

durch kleine Lauflängen möglichst klein zu halten, um große Temperaturgradienten

A/A0

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-20-

an der wärmeübertragenden Wand zu erzielen, die hohe Wärmeübergangskoeffizi-

enten bewirken.

Strömungsdestabilisierung wird z. B. durch den Einbau von Querrippen in Kanälen

schon bei geringen Reynolds-Zahlen bewirkt. Die Fluidpartikel ändern ihre ursprüng-

lich geradlinige Bewegung in oszillierende Bewegungsformen um. Die dadurch auf-

tretenden Quergeschwindigkeitskomponenten führen zu einem instationären konvek-

tiven Austausch von wandnahem mit wandfernem Fluid, der eine Erhöhung der

Wandtemperaturgradienten bewirkt. Diese periodische oder turbulenzähnliche

Durchmischung kann bei Querrippen schon bei 185Re H2 ≈ (Grosse-Gorgemann

[61], S. 141) einsetzen.

Abb. 2.6: Lamelle mit periodisch angeordneten Hutzen nach Müller [88, S. 13] mit

vergrößertem Ausschnitt

Zur Erzeugung von spiralförmigen Strömungsstrukturen, die in Form von Längswir-

beln stromab transportiert werden, werden Plättchen (Wirbelerzeuger), die z. B.

durch Ausstanzen aus der Wandplatte erzeugt werden und an denen sich die Strö-

mung durch die Druckdifferenz zwischen beiden Seiten der Wirbelerzeuger ablöst, in

einem Anstellwinkel zur Hauptströmungsrichtung positioniert. Diese Wirbelerzeuger

induzieren Kräfte senkrecht zur Hauptströmungsrichtung und versetzen die abgelö-

ste Strömung in eine rotierende Bewegung.

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -21-

Wenn man die Bahn eines Fluidpartikels in der Längswirbelströmung beobachtet,

erhält man eine Spirale, die weit stromab erhalten bleibt. So hat Tiggelbeck [132]

noch nach 18,5 Kanalhöhen hinter einem Delta-Winglet-Paar den induzierten

Längswirbel nachgewiesen.

Der Verstärkungsmechanismus für den Wärmeübergang besteht darin, dass wand-

nahe und wandferne Fluide intensiv ausgetauscht werden und dabei die Grenz-

schichtdicke fortgesetzt reduziert wird.

2.4 BEWERTUNG VON WÄRMEÜBERTRAGERN

Ein zentrales Problem der Gestaltung von Hochleistungswärmeübertragungsflächen

ist die angemessene Bewertung der Transferflächen. Man betrachte die Colburn-

Zahlen und Reibungsbeiwerte zweier Flächen A und B in Abb. 2.7 aus Shah [109].

Die Fläche A hat höhere j- und f-Werte als die Wärmeübertragungsfläche B. Welche

der beiden Flächen ist besser? Zur Beantwortung der Frage ist ein Kriterium nötig,

nach dem man die Flächen miteinander vergleichen will.

Wenn der Druckverlust wenig Bedeutung hat und gleiche Strömungsgeschwindig-

keiten betrachtet werden, wird die Fläche A vorzuziehen sein, die bei derselben Flä-

chenabmessung wie B mehr Wärme überträgt als Fläche B. In diesem Fall ist die

Stanton-Zahl ein geeignetes Kriterium. Falls der Druckverlust mitentscheidend ist, ist

es erforderlich, ein Gütekriterium zum Vergleich heranzuziehen, um Druckverlust und

Wärmeübergang abzuwägen. Ferner müsste man eine Optimierung des gesamten

Wärmeübertragers für jede Übertragungsflächenkonfiguration durchführen, möglichst

auch unter Berücksichtigung beider Wärmeübertragungsseiten.

Zur Beurteilung der Güte einer Wärmeübertragungsfläche werden in der Literatur

verschiedene Methoden vorgeschlagen (z. B. Webb [139], Shah [112], Cowell [30],

Soland et al. [117, 118]). Eine Möglichkeit ist das VG1-Kriterium nach Webb [139].

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-22-

Abb. 2.7: Gegenüberstellung der Kennzahlen zweier Hochleistungsflächen (Shah

[109], S. 855)

2.4.1 VG1-KRITERIUM

Das VG1-Kriterium von Webb [139] ist anwendbar, wenn der Wärmedurchgangswi-

derstand durch die Widerstände eines Fluids, meist eines Gases, überwiegend be-

stimmt wird, d. h. wenn näherungsweise gilt: k A = α A. Das Kriterium vergleicht den

Wärmeübertragungsflächenbedarf von verschiedenen Kanalkonfigurationen zur

Übertragung eines gegebenen Wärmestroms bei gegebener Pumpleistung und be-

wertet diejenige Konfiguration als besser, welche die geringere Übertragungsfläche

benötigt. Folgende Prozessgrößen werden für die verglichenen Konfigurationen

gleich denen des Referenzfalls gesetzt ([139], [10]):

1. Wärmestrom Q! , 4. mittlere Temperaturdifferenz mT∆ ,

2. Pumpleistung P! , 5. hydraulischer Durchmesser hd ,

3. Massenstrom M! , 6. Stoffwerte.

Aus dem Ansatz (der Index 0 bezeichnet die gewählte Referenzkonfiguration)

1QQ

0

=!

!(2.42)

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -23-

folgt mit obigen Bedingungen und der Definition der Nusselt-Zahl Nu = α dh/λ für das

Flächenverhältnis

NuNu

AA 0

0

= (2.43)

Setzt man j in Gl. 2.43 ein, erhält man folgende Beziehung:

ReRe

jj

AA 00

0

= (2.44)

Für gleiche Pumpleistung

0PP !! = (2.45)

folgt für das Flächenverhältnis

ff

ReRe

AA 0

3

30

0

= (2.46)

Durch Gleichsetzen der Gl. 2.44 und Gl. 2.46 kann das Verhältnis der Reynolds-

Zahlen für gleiche Pumpleistungen bestimmt werden:

21

0

0

0 fjfj

ReRe

= (2.47)

Setzt man nun Gl. 2.47 in 2.44 ein, so folgt das Flächenverhältnis, nur ausgedrückt

durch den scheinbaren Reibungsbeiwert f und den Colburn-Faktor j:

21

0

23

0

0 ff

jj

AA

= (2.48)

Der Colburn-Faktor j und der scheinbare Reibungsbeiwert f seien z. B. als Potenz-

funktionen der Form1c

1 Rebj = und 2c2 Rebf =

bzw.1,0c

01,00 Rebj = und 2,0c02,00 Rebf = (2.49)

aus Messungen oder Simulationsrechnungen bekannt.

Das Einsetzen der Gln. 2.49 in Gl. 2.47 liefert die Reynolds-Zahl in der betrachteten

Konfiguration als Funktion der Reynolds-Zahl der Referenzkonfiguration Re0

)cc(5,011

)cc(5,010

21

21,0

2,01

21

2,01,0Rebb

bbRe

−−

−−

= (2.50)

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-24-

für die Bedingung gleichen Bedarfs an Pumpleistung. Der Ausdruck für das Flächen-

verhältnis ergibt sich dann zu:

)1c232c

21(

)2c1c(211

)2,0c1,0c(211

2,0c211,0c

23

0

2c1c21c32c

21

21

2

2,02c1c2

1c32c21

23

1

1,0

0

Rebb

bb

AA

−−−

−−+−

+−−

+−+−

−−

= (2.51)

Für Arbeitsflüssigkeiten hoher Dichte ist die aufzuwendende Pumpleistung im Wär-

meübertrager, im Vergleich zum Wärmestrom, relativ gering, so dass sie geringe Be-

deutung hat. Für Gase kann jedoch die mechanische Förderleistung zur Überwin-

dung der Druckverluste von ähnlicher Größenordnung sein wie der übertragene

Wärmestrom und die Förderkosten entsprechend hoch.

2.4.2 Berücksichtigung von Exergieverlusten

In Kapitel 2.3 wird festgestellt, dass der Wärmestrom zwar höchstens proportional

mit der Strömungsgeschwindigkeit ansteigt, jedoch die erforderliche Pumpleistung

mit deren zweiter bis dritter Potenz. Dieser Effekt gewinnt dadurch an Bedeutung,

dass Wärme eine Energieform geringerer Qualität7 als Pumparbeit ist (Clausius [28],

Planck [93], De Groot [33] und Fenn [39]). Die theoretische Arbeitsfähigkeit der

Wärme in einer Umgebung der Temperatur T0 ist auf einen Anteil beschränkt, der als

Exergie der Wärme bezeichnet wird (Rant [95]). Die Exergie, bzw. deren zeitliche

Ableitung, der Exergiefluss E! , kann formelmäßig als

QTT1E 0

Q!!

!

−= (2.52)

in Relation zum Wärmestrom Q! gesetzt werden, wobei T die Temperatur ist, bei der

die Wärme zugeführt wird. Der Ausdruck in der Klammer (rechte Seite in Gl. 2.52) ist

der Carnot-Wirkungsgrad (Carnot [26]). Aus Gl. 2.52 geht hervor, dass eine Um-

wandlung von Wärme in Arbeit bei endlichen Temperaturen T0 und T nur zum Teil

möglich ist. Bei Realprozessen ist die Arbeitsleistung gegenüber Gl. 2.52 meist stark

reduziert.

7 Eine Verknüpfung zwischen Arbeit und Wärme erfolgt über die Entropie, vgl. Baehr [2], Lucas [84],Stephan & Mayinger [122, 123].

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -25-

Bei der Wärmeübertragung geht Exergie dadurch verloren, dass die übertragene

Wärme von einem höheren auf ein niedrigeres Temperaturniveau gebracht wird. Die

Temperaturdifferenz der (mittleren) Temperaturen T1 – T2, wobei die Indizes 1 und 2

hier die warme bzw. die kalte Seite bezeichnen sollen, bewirkt auch eine Erniedri-

gung der Exergie des Prozesses 2. Die Differenz wird dabei als Exergieverlust oder

Verlust der Arbeitsfähigkeit bezeichnet, die sich zu

QTTTTTQ

TT1Q

TT1STE

21

210

2

0

1

0irr0v

!!!!! −=

−−

−== (2.53)

ergibt. Wärmeübertragung in einem Wärmeübertrager ist also ein irreversibler Pro-

zess, der mit einer Abwertung der Wärme einhergeht. Der Exergieverlust muss in der

Bewertung berücksichtigt werden, z. B. durch die Einführung eines Bewertungsfak-

tors.

Die Beschreibung des Exergieverlusts durch Strömungsverlustleistung wird nachfol-

gend erläutert. Dazu werden Bewertungskriterien zur Berücksichtigung der Exergie-

verluste in Wärmeübertragern von Bejan [11-14, 17] und Bejan & Pfister [18] vorge-

stellt. Die Entropieproduktion in einer stationären Kanalströmung mit Wärmeübertra-

gung kann anhand von Abb. 2.8 hergeleitet werden.

Abb. 2.8: Kontrollvolumen zur Bilanzierung der produzierten Entropie in einem Kanal

Der erste Hauptsatz liefert

dhMQd !! = (2.54)

Nach dem zweiten Hauptsatz gilt

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-26-

TTQddsMSd irr ∆+

−=!

!! (2.55)

Dabei bedeutet ∆T die Differenz aus der Temperatur an der Wand und der mittleren

Bulktemperatur der Strömung.

Mit der Gibbs´schen Fundamentalgleichung einfacher Systeme [122]

ρ−=

Tdp

Tdhds (2.56)

folgt

ρ−=

Tdp

TMQdds

!

!(2.57)

bzw.

ρ−

∆+

∆=T

dpM

TT1T

TQdSd2

irr

!!! (2.58)

Häufig gilt ∆T << T, woraus vereinfachend folgt:

ρ−∆=

TdpM

TTQdSd 2irr

!!! (2.59)

Nach einer Integration vom Kanaleintritt bis zum Kanalaustritt ergibt sich mit

( ∫−=∆''p

'p

dpp )

ρ∆+∆=

TpM

TTQS 2irr

!!! (2.60)

Die Entropieproduktion in einem Kanal nach Gl. 2.60 setzt sich aus zwei Anteilen

zusammen, der Entropieproduktion durch Wärmeübergang aufgrund der mittleren

Temperaturdifferenz zwischen Wand und Fluid ∆T

2

2

2T TTA

TTQS ∆α=∆=∆

!! (2.61)

welche von der Wärmestromrichtung, d. h. vom Vorzeichen von ∆T, unabhängig ist

und die Entropieproduktion durch die Reibung in der Strömung, die den irreversiblen

Druckverlust ∆p bewirkt:

ρ∆=∆ T

pMS p!! (2.62)

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -27-

In Gl. 2.62 ist ρ∆= /pMP !! die (isotherme) Förderleistung bei der (mittleren) Tempe-

ratur T. Der durch Dissipation der Förderleistung im Fluid entstehende Wärmestrom

PQ !! =∆ und die Restexergie der Förderleistung T/)TT(PSTQE 0irr0P −=−∆=∆ !!!!!

werden gegenüber Q! bzw. vE! in der Kostenbetrachtung und Kostenoptimierung des

Kap. 5 vernachlässigt.

Die Verknüpfung der thermodynamischen Optimierung, d. h. der Minimierung der

Gesamtentropieproduktion, mit ökonomischen Ansätzen8 ist Gegenstand vieler Ar-

beiten, vgl. Altfeld [1], Das & Sahoo [32], El-Sayed [36, 37], Gaggioli et al. [56], Ko-

lenda et al. [72], Moran [86], Moran & Shapiro [87], Ramananda Rao [94], Sama [98,

99], Sama et al. [100], Sciubba [108], Shao [115], Shuja et al. [116], Söylemez [119],

Stehlik et al. [124], Szargut [126], Szargut et al. [127], Tayal et al. [130], Tsatsaronis

[134, 135].

London & Shah [82] haben eine Methode präsentiert, mit der man die Kosten der

Entropieerzeugung in einem Wärmeübertrager der thermischen Kraftwerkstechnik

berechnen kann. Die Irreversibilitäten durch Fluidreibung, Wärmeübergang, Wärme-

leckagen und Fluidmischung werden dabei berücksichtigt. Allen Irreversibilitäten

werden individuelle Kosten zugeordnet, die zu den Gesamtkosten pro Jahr summiert

werden.

Die Quellen von Irreversibilitäten in Systemen zur Umformung und Übertragung von

Energie, wie beispielsweise in Wärmeübertragern, sind vielfältig. Einige von ihnen

werden in Tabelle 2.3 aufgeführt.

Für die Auslegung von Wärmeübertragern spielen die Irreversibilitäten durch Druck-

verlust und durch Wärmeübertragung eine Rolle, weswegen ausschließlich diese z.

B. von Bejan [13] benutzt werden. Jedoch können die Vernachlässigung weiterer

Irreversibilitäten zu beachtenswerten Unterschieden führen; z. B. werden von London

& Shah [82] der Verlust durch Leckagen und die Mischungsirreversibilitäten zusätz-

lich berücksichtigt. 8 Diese Disziplin wird auch als Thermoökonomie oder Exergoökonomie bezeichnet. In Netzwerkenvon Wärmeübertragern konkurrieren die thermoökonomischen Verfahren mit der Pinch-Point-Methode

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-28-

Die Mischungsirreversibilität spielt beispielsweise eine Rolle bei der Mischung von

ähnlichen Fluiden bei unterschiedlicher Temperatur. So verursacht die Mischung des

Abgases einer Gasturbine mit der Umgebungsluft eine Irreversibilität oder etwa das

Ablassen der Kühlflüssigkeit aus einem Kondensator in den nahegelegenen Fluss.

Tabelle 2.3: Irreversibilitäten in Energieumwandlungssystemen nach London & Shah

[82]

• Wärmeübergang mit einer endlichen Temperaturdifferenz

• Fluidreibung in Strömungen

• Reibung zwischen Festkörpern

• Drosselung von Strömung

• Freie Expansion, z. B. durch Explosionen

• Mischung von unterschiedlichen Fluiden

• Mischung von gleichen Fluiden unterschiedlicher Temperaturen

• Lösen eines Feststoffs in einer Flüssigkeit

• Plastische Deformation eines Festkörpers

• Aufwärmen eines elektrischen Leiters durch seinen elektrischen Widerstand

• Elektromagnetische Hysterese

• Chemische Reaktionen, wie Verbrennungsvorgänge

Leckagen im Wärmeübertrager verursachen Irreversibilitäten durch Vermischung

beider Stoffströme oder Austausch mit der Umgebung. Ferner treten auch Verluste

durch mangelnde Wärmedämmung des Wärmeübertragers gegenüber der Umge-

bung auf. Es entsteht dabei ein Wärmeübergang zwischen zwei unterschiedlichen

thermischen Reservoirs, nämlich dem Wärmeübertrager und der Umgebung.

2.5 ZIELSETZUNG

Die hohe Zahl der Veränderungsmöglichkeiten der Form und Abmessungen der

Wärmeübertragungsflächen, z. B. optimale Länge und Höhe von Wirbelerzeugern,

und optimale Anordnung der Elementarflächen zum kompletten Wärmeübertrager

(Sträter [125]). Die Pinch-Point-Methode ist ein Verfahren zur energetischen Optimierung von Prozes-sen (z. B. Netzwerken von Wärmeübertragern).

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit -29-

lassen eine bestimmte optimale Lösung kaum finden. Außerdem sind von Fall zu Fall

spezielle Bedingungen wie Druckfestigkeit der Anordnung, Verformbarkeitsgrenzen

und Korrosionsbeständigkeit des Materials sowie verfügbare Herstellungsverfahren

zu beachten. Häufig geht man bei einer Annäherung an die Optimierungsaufgabe

dazu über, nur eine Fluidseite zu betrachten. Dieser Ansatz bietet sich bei sehr klei-

nen Wärmekapazitätsstromverhältnissen an oder bei Gegen- oder Kreuzstrom mit

R ≈ 1 unter Annahme von Symmetrie der Temperaturverteilung.

Der Entropiebegriff taucht beim Entwurf und der Bewertung von Übertragungsflächen

selten auf, obwohl Entropie bei allen irreversiblen Prozessen, so auch bei der Wär-

meübertragung, produziert wird.

Diese Arbeit soll einen Beitrag dazu leisten, den Aufwand für die Herstellung und den

Betrieb eines Hochleistungswärmeübertragers zu quantifizieren und zu minimieren.

Der Aufwand für die Wärmeübertragung soll mit Hilfe von Aufwandsfaktoren oder

Kostenfaktoren für die Erzeugung des Apparates, für die Förderleistung und für den

Exergieverlust der Wärme bewertet werden.

Dabei ist die theoretisch aufzuwendende Förderleistung P! entgegengesetzt gleich

der isothermen Strömungsverlustleistung bei der mittleren Temperatur:

∫−=''p

'p

dpVP !! (2.63)

Die aus der Dissipation der Förderleistung resultierende Wärme hat ihrerseits einen

Exergieanteil

−=

TT1PE 0!! (2.64)

welcher bei höheren Temperaturen T > T0 positiv, bei tiefen Temperaturen negativ

ist. Diese Exergie der dissipierten Strömungsverlustleistung soll in der Kostenbe-

trachtung vernachlässigt werden.

Die in dieser Arbeit entwickelte Methode der Kostenminimierung wird in eine Soft-

ware integriert, die eine thermische Auslegung von Wärmeübertragern vornimmt. Die

Ergebnisse der Kostenbetrachtung werden für mehrere Konfigurationen illustriert.

Neben der Betrachtung der klassischen Spaltströmungen werden die Konfiguratio-

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2. Stand des Wissens und Ziele der Arbeit-30-

nen aus dem Projekt VEHE berücksichtigt. Lamellenrohranordnungen9 wurden in

früheren Arbeiten des Lehrstuhls für Wärme- und Stoffübertragung mehrfach unter-

sucht, so dass viele Werte von j und f für unterschiedliche geometrische Parameter

zur Verfügung stehen. Erneute Messungen oder Simulationsrechnungen dieses

Wärmeübertragertyps sollen in dieser Dissertation nicht erfolgen.

Ein Wärmeübertrager mit geprägten Wirbelerzeugern soll in Anlehnung an die Er-

gebnisse der Arbeiten von Grosse-Gorgemann [61] und Neumann [90], für rechtecki-

ge Winglets bewertet werden. Auch für diese Konfiguration sollen keine weiteren

Messungen oder Berechnungen von Wärmeübergang und Strömungsverlusten vor-

genommen werden. Durch Flüssigkristallthermografie und numerischen Berechnun-

gen wurden im Rahmen des EU-Projekts VEHE von den Projektpartnern Werte von

Wärmeübergangskoeffizienten und Strömungsverlustbeiwerten (efficient friction fac-

tor) dieser Konfiguration bestimmt.

Als dritter Wärmeübertragertyp soll ein Plattenwärmeübertrager mit dreieckigen Ka-

näle mit speziellen Wirbelerzeugern untersucht werden. Da die dreieckigen Kanal-

strömungen bislang wenig untersucht wurden widmet sich Kapitel 7 den erzielten

Messergebnissen. Die Resultate werden außerdem mit Computersimulationen von

Batta [8] verglichen. Das Vorgehen bei der Ermittlung der Kostenfaktoren für die

Übertragungsflächen soll exemplarisch dargestellt werden. Für alle Wärmeübertra-

gerkonfigurationen sollen die minimalen spezifischen Kosten der Wärmeübertragung

für ein repräsentatives „mittleres“ Element der periodischen Anordnung ermittelt und

miteinander verglichen werden.

Ein Verfahren zur kostenoptimierten Auslegung von Wärmeübertragern mit geome-

trisch periodischen Übertragungsflächenkonfigurationen durch Ermittlung der güns-

tigsten Strömungsgeschwindigkeiten und (soweit wählbar) der günstigsten Tempe-

raturdifferenz sowie der Wärmeübertragerabmessungen soll entwickelt und darge-

stellt werden.

9 vgl. dazu Bastani Jahromi [4, 5], Bastani et al. [6, 7], Mitra et al. [85], Chen [27], Fiebig et al. [45, 46],Valencia [137, 138], Fiebig et al. [52, 53], Fiebig et al. [49, 50], Sanchez [101] und Sanchez et al. [102]

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3. Ausgewählte Übertragungsflächen -31-

3. AUSGEWÄHLTE ÜBERTRAGUNGSFLÄCHEN

Mit Hilfe der Kostenbetrachtung werden verschiedene, besonders günstig erschei-

nende Konfigurationen, vornehmlich aus Arbeiten der Forschergruppe „Wirbel und

Wärmeübertragung“, betrachtet und bewertet. Eine Übersicht mit Skizzen der Konfi-

gurationen mit verwendeten Korrelationen für die Stanton-Zahlen und Reibungsbei-

werte ist in Scheidtmann et al. [103, 104] gegeben.

3.1 KONFIGURATIONEN DES VEHE-PROJEKTES

In dem Projekt VEHE wurden drei Konfigurationen in Anlehnung an die o. g. früheren

Untersuchungen von Wärmeübertragern mit Wirbelerzeugern festgelegt und näher

untersucht:

3.1.1 LAMELLENROHRKONFIGURATION

In Abb. 3.1 ist eine Skizze der Lamellenrohrkonfiguration mit Wirbelerzeugern abge-

bildet, die im Projekt betrachtet wurde. Die VEHE-Konfiguration ist an eine Konfigu-

ration angelehnt, die von Bastani [4] untersucht wurde. Die Rohre sind fluchtend an-

geordnet. Die Abmessungen des Elements ohne Wirbelerzeuger wurden ursprüng-

lich von Kays & London [70] untersucht, die Lamellenrohrwärmeübertrager mit ver-

setzter Rohranordnung betrachtet haben. Versetzte Rohranordnungen sind verbrei-

teter als fluchtende Anordnungen, weil sie in der Regel zu höherem Wärmeübergang

führen. Dieses wurde experimentell von Valencia [137] bestätigt. Er hat für die ersten

drei Rohrreihen die mittlere Nusselt-Zahl in Abhängigkeiten der Reynolds-Zahlen

zwischen 600 und 3000 aufgetragen. Er hat eine fluchtende Kreisrohranordnung mit

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3. Ausgewählte Übertragungsflächen-32-

der versetzten Anordnung verglichen. Ferner hat er eine versetzte Anordnung mit

flachen Rohren hinzugezogen.

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04Re(2H)

j23f 23

a [-] m [-] b [-] n [-]0,4481 0,5000 2,5402 -0,3700

St = a / Pr Rem-1 [-] f = b Ren [-]

Abb. 3.1: Lamellen-Kreisrohr-Konfiguration mit Wirbelerzeugern, Datenblatt

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3. Ausgewählte Übertragungsflächen -33-

Demnach liegen die Nusselt-Zahlen am höchsten für die versetzte Kreisrohranord-

nung. Danach kommt die versetzte Flachrohrkonstellation und am schlechtesten

schneidet die Kreisrohranordnung in fluchtender Anordnung ab.

Bei Verwendung von Wirbelerzeugern auf den Rippen ändert sich nach Valencia

[137] die Situation: Die fluchtende Kreisrohranordnung führt zu einem günstigeren

Verhältnis von Wärmeübergang zu Druckverlust als die versetzte.

Fiebig et al. [49, 50] haben den Einfluss eines Deltawinglets auf Wärmeübergang

und Strömungswiderstand einer Rippenrohrkonfiguration untersucht. Für einen

Reynolds-Zahl-Bereich zwischen 2000 und 5000 fanden sie eine optimale Konfigura-

tion der Wirbelerzeuger für die der lokale Wärmeübergang an der Rippe sich um

mehr als 70% erhöht. Ferner erhöhte sich der mittlere Wärmeübergang an der Rippe

um 20% bei gleichzeitiger Verringerung des Druck- und Reibungswiderstandes von

Rohr und Rippe um 7% für ein Flächenverhältnis von Rippe zu Halbflügelpaar von

375.

Während Fiebig et al. [49, 50] ein Rohr mit einer Rippe untersucht hat, hat Bastani [4]

den Einfluss von Wirbelerzeugern in einem kompletten Wärmeübertrager betrachtet.

Dazu wurde der Lamellenrohrwärmeübertrager in einen Einlaufbereich und einen

vollentwickelten Bereich (jeweils hydrodynamisch und thermisch) unterteilt und nu-

merisch simuliert. Die Wirbelerzeuger wurden in Anlehnung an die optimierte Anord-

nung von Fiebig et al. [49, 50] eingebaut.

3.1.2 PLATTENWÄRMEÜBERTRAGERKONFIGURATION MIT GEPRÄGTENWIRBELERZEUGERN

Das Grundelement, aus dem der Kreuzstromplattenwärmeübertrager aufgebaut ist,

ist mit seinen Abmessungen in Abb. 3.2 gezeigt. Es handelt sich um eine Anordnung,

bei der die Wirbelerzeuger etwa die Abmessungen der von Güntermann [62] unter-

suchten ausgestanzten Rechteckwinglets haben (Maßangaben lt. [62]).

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3. Ausgewählte Übertragungsflächen-34-

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04Re(2H)

j24f 24

b1 [-] c1 [-] b2 [-] c2 [-]0,3220 -0,4489 0,9439 -0,3600

St = b1 Rec1 Pr-2/3 [-] f = b2 Rec2 [-]

Abb. 3.2: Plattenwärmeübertragerkonfiguration mit geprägten Wirbelerzeugern, Da-

tenblatt

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3. Ausgewählte Übertragungsflächen -35-

Durch den Prägeprozess können Wirbelerzeuger kostengünstig hergestellt werden.

Für eine Serienfertigung können so preiswerte Prägewerkzeuge entwickelt werden.

Während also die Herstellungskosten erniedrigt werden und die mechanische Stabi-

lität zunimmt, können die Betriebskosten dadurch ansteigen, das die Leistungsfähig-

keit durch das Fehlen scharfer Ablösekanten10 abnimmt. Es war zu erwarten, dass

der Druckverlust etwa der gleiche wie beim Winglet sein sollte, weil u. a. Grosse-

Gorgemann [61] gezeigt hat, dass er im Wesentlichen durch den Formwiderstand

beeinflusst wird und dieser sich geringfügig unterscheidet.

3.1.3 WÄRMEÜBERTRAGER MIT DREIECKIGEN KANÄLEN MIT EINGESTANZ-TEN WIRBELERZEUGERN

Zu dieser neuen Konfiguration (Abb. 3.3) wird in Kapitel 6 ein Datenblatt aus Mes-

sergebnissen und numerischen Ergebnissen erstellt. Die Wahl von dreieckige Kanäle

bildenden Sekundärrippen in Plattenwärmeübertragern ist als Konzept bereits be-

kannt, vgl. Kays & London [70] und Brockmeier et al. [25]. Neu ist das Anbringen von

Wirbelerzeugern auf den Sekundärrippen.

Die Dreiecksrippen bewirken eine Vergrößerung der Wärmeübertragungsfläche. Fer-

ner erfolgt eine Stabilisierung der Konstruktion im Vergleich zum glatten Spalt, so

dass Verformungen der Grundplatten bei Druckdifferenzen zwischen den beiden

Fluidseiten abgefangen werden können.

Durch die ausgestanzten Wirbelerzeuger in den Sekundärrippen wird eine Erhöhung

des Wärmeübergangskoeffizienten ohne die Gefahr der Fluidmischung zwischen

warmer und kalter Seite der Platten möglich. Die Dreiecksrippen wirken dabei primär

als Rippen und „Träger“ der Wirbelerzeuger. Die Wahl der Konfiguration stützt sich

auf Optimierungsberechnungen mittels CFD von Batta [8]. Die Anordnung der Wir-

belerzeuger bewirkt ein großräumiges Durchmischen der Kernströmung. Die An-

stellwinkel der Wirbelerzeuger werden so gewählt, dass das Upwashgebiet auf die

gegenüberliegenden Kanalseiten ohne Wirbelerzeuger gerichtet ist.

10 Vom Verfasser wurde numerisch (FIVO) und experimentell (durch AAM) gezeigt, dass die gewähl-ten geprägten Wirbelerzeuger oberhalb etwa einer Reynolds-Zahl ReH = 800 Längswirbel generieren.

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3. Ausgewählte Übertragungsflächen-36-

Periodenlänge p

Strömungsrichtung

Strömungsrichtung

Strömungsrichtung

1,98 H 0,91 H 0,48 H

30°

90°

90°

0,81 H 0,43

H

0,92 H

28°62°

90°

3,375 H

0,1 H

90°

0,125 H

0,1 H1,

15 H

0,57

5 H

1,15 HH

60°

A-A

B-B

A

A

B

B

Abb. 3.3: Skizze des Dreieckskanals mit Wirbelerzeugern

Zur Herstellung eines Prototyps eines Gas-Gas-Wärmeübertragers im Kreuzstrom

mit solchen Dreieckskanälen mit Wirbelerzeugern werden schmale Streifen in der

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3. Ausgewählte Übertragungsflächen -37-

Breite einer Kanalseite geschnitten. Aus diesen Streifen werden die Winglets ausge-

stanzt. Im nachfolgenden Fertigungsschritt werden die einzelnen Streifen in einer

Einspannvorrichtung fixiert und mit einem Laser zusammengeschweißt. Dieses Ver-

fahren erwies sich als sehr aufwendig. Eine wirtschaftlichere Fertigungsprozedur

wurde bisher nicht gefunden.

3.2 REFERENZKONFIGURATIONEN

Um einen Maßstab für die Verbesserung des Wärmeübergangs (bei gleichzeitiger

Zunahme des Druckverlustes) zu haben, werden alle Konfigurationen auf den Fall

des ebenen Spaltes mit vollentwickelter Strömung bezogen. Da der ebene Spalt kei-

ne Einbauten besitzt, beträgt sein hydraulischer Durchmesser exakt 2H.

Ob die Strömung laminar oder turbulent ist hängt von der Reynolds-Zahl ab. Experi-

mentelle Ergebnisse aus der Literatur (Bhatti & Shah [23]) zeigen, dass die kritische

Reynolds-Zahl für Spaltströmungen Rec = udh dh/ν je nach Einlaufsituation in den Ka-

nal in einem Bereich von 2600 < Rec < 3400 liegt. Es wird in [23] empfohlen, die kriti-

sche Reynolds-Zahl in Spalten und Kanälen mit rechteckigem Querschnitt und sym-

metrischem scharfkantigem Eintritt mit Rec = 3100 anzunehmen. Die Berechnung der

Stanton Zahl St und des Reibungsbeiwerts f erfolgt für den laminaren Bereich nach

den Beziehungen (Shah & Bhatti [113]):

PrRe54,7St = ,

Re24f = (3.1)

Die Stanton-Zahl im turbulenten Bereich wird nach Blasius berechnet [23]:

RePr)100(Re0214,0St

6,08,0

−= , 25,0Re079,0f −= (3.2)

Die Beziehungen zur Berechnung der Stanton-Zahl wurden vereinfacht wie die für

konstante Wandtemperatur angenommen.

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4. Experimentelle Untersuchungen-38-

4. EXPERIMENTELLE UNTERSUCHUNGEN

4.1 BESTIMMUNG LOKALER WÄRMEÜBERGANGSKOEFFIZIENTENDURCH MESSUNG DES ANALOGEN STOFFÜBERGANGS

Zur Bestimmung lokaler Wärmeübergangskoeffizienten stehen verschiedene experi-

mentelle Verfahren zur Verfügung, deren Versuchssituation verschiedenen thermi-

schen Randbedingungen entspricht, u. a. stationäre und instationäre Messungen von

lokalen Temperaturen oder der Lage von Isothermen oder Verfahren zur Messung

des lokalen Stoffübergangs und Verwendung der Analogie von Wärme- und Stoff-

transport.

Für die Verwendung der Ergebnisse von Stoffübergangsmessungen ist die Gültigkeit

der Analogie von Wärme- und Stoffübertragung weniger kritisch als die Entspre-

chung/Analogie der (dimensionslosen) Randbedingungen in Experiment und Anwen-

dung, insbesondere in laminaren Strömungen.

Das in dieser Arbeit verwendete physikalisch-chemische Messprinzip basiert auf ei-

ner chemischen Nachweismethode für Ammoniak (Ammoniak-Absorptions-Methode

AAM, vgl. Kottke et al. [73], Kottke et al. [74] und Leiner et al. [80]). Dabei wird Am-

moniak dem Luftstrom zugemischt und an der Plattenoberfläche absorbiert. Durch

eine schnelle, farbgebende Reaktion entsteht eine Färbung, deren Intensität der ab-

sorbierten Ammoniakmenge entspricht und die photometrisch ausgewertet wird. Die

Oberfläche des Messobjekts, z. B. eine Wärmeübertragungsfläche mit Wirbelerzeu-

gern, wird hierfür mit einer saugfähigen Trägerschicht belegt. Als Trägerschicht eig-

nen sich Filterpapier, Membranfolien, Chromatografiefolien oder wasserhaltige Gele.

Das hier als Träger verwendete Filterpapier wird mit einer wässrigen Reaktionslö-

sung von Mangan(II)-Chlorid und Wasserstoffperoxid befeuchtet. Die Zusammenset-

zung der Komponenten ist in Tabelle 4.1 angegeben.

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4. Experimentelle Untersuchungen -39-

Tabelle 4.1: Zusammensetzung der Reaktionslösung bei Verwendung von 1 kg des-

tilliertem entionisiertem Wasser

Komponente Lösungsmenge [g/kg]Wasserstoffperoxid (H2O2), 30 Vol% 18,64

Mangan(II)-Chlorid (MnCl2) 50

Durch die Aufnahme der Reaktionslösung dehnt sich das Filterpapier, je nach Pa-

piersorte, aus und schrumpft bei Trocknung. Um die Längenausdehnung bei der

Trocknung einfach zu berücksichtigen, bietet es sich an, eine Papiersorte mit ani-

sotropen Ausdehnungseigenschaften zu verwenden. Das hier benutzte Papier dehnt

sich in einer Richtung stärker aus. Im Lieferzustand hat es eine Abmessung von 600

x 590 mm, wobei es nach der Befeuchtung die quadratische Abmessung von ca. 600

x 600 mm annimmt. Die Kenntnis der Längenausdehnung erlaubt es, das Papier im

Trockenzustand, selbst bei kompliziert aufgebauten Oberflächen, präzise zuzu-

schneiden, so dass die feuchtigkeitsbedingte Ausdehnung berücksichtigt wird.

Der Einsatz von Filterpapier hat den Vorteil, dass gewünschte Flächenausschnitte

auf einer Modellfläche gezielt belegt und nach dem Versuch einfach ausgewertet

werden können. Die Flächenbereiche ohne Belegung sind nicht am Stoffübergang

beteiligt. Übertragen auf ein Wärmeübergangsproblem entsprechen die nicht beleg-

ten Flächen adiabaten Wänden.

Das Messobjekt wird während der Versuchsdurchführung einem Luftstrom ausge-

setzt, dem geringe Mengen Ammoniak in kurzer Zeit zugemischt werden. In homo-

gener Verteilung umspült das Ammoniak-Luft-Gemisch den Messkörper. Wenn das

Gas auf die präparierte Oberfläche trifft, wird es, abhängig vom örtlichen Konzentra-

tionsgradienten des NH3, absorbiert. Dabei wird das NH3 aus dem Gasgemisch ab-

sorbiert und mit einer schnellen Farbumschlagreaktion lokal in der Trägerschicht ge-

bunden.

Die Nachweisreaktion des absorbierten Ammoniak erfolgt nach folgendem Schema:

NH3 + H2O ⇔ NH4OH ⇔ NH4+ + OH-

2NH4OH + MnCl2 ⇒ 2NH4Cl + Mn(OH)2

Mn(OH)2 + H2O2 ⇒ MnO2 + 2H2O (4.1)

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4. Experimentelle Untersuchungen-40-

Der entstehende Braunstein (MnO2) ist ein unlösliches Endprodukt der Reaktion. Er

bewirkt die bleibende sichtbare Verfärbung des Filterpapiers.

Die Farbänderung ist ein Maß für die lokal absorbierte Ammoniak-Belegungsdichte.

Die konzentrationsabhängige Verfärbung bzw. der damit verbundene unterschiedli-

che Remissionsgrad wird photometrisch gemessen, und mittels einer Kalibrierung

wird die übertragene Stoffmenge bestimmt.

In den Versuchen wurden jeweils etwa 500 bis 800 ppm NH3 dem Luftstrom beige-

setzt. In Kottke et al. [73] werden 100 ppm angegeben. Die Wahl der geeigneten

Ammoniak-Konzentration lässt sich auf empirische Weise abschätzen. Verwendet

man einerseits eine zu geringe Konzentration, so verläuft die Reaktion auf dem Fil-

terpapier zu schwach und die anschließende fotometrische Auswertung wird durch

geringe Kontrastunterschiede erschwert. Andererseits führt eine zu hohe Konzentra-

tion zur lokalen Sättigung, wodurch die weitere Absorption gehemmt wird. Infolge-

dessen nimmt wiederum der Kontrastunterschied ab.

Die während des Versuchs je Flächeneinheit übertragene und absorbierte Stoffmen-

ge wird als Belegungsdichte b bezeichnet. Sie wird remissionsfotometrisch durch den

Remissionsgrad R gemessen. Der Zusammenhang zwischen der Belegungsdichte

und dem Remissionsgrad wird über eine Eichbeziehung ermittelt.

Für konvektive Stoffübertragung gilt analog der konvektiven Wärmeübertragung der

Newton´sche Ansatz:

)(m AwAAA ρ−ρβ= ∞! (4.2)

mit der Stoffstromdichte Am! , dem Stoffübergangskoeffizienten Aβ und der Partial-

dichtedifferenz des Ammoniak zwischen Luftstrom ρA∞ und Wand ρAw. Wenn Infor-

mationen über den lokalen Stoffübergangskoeffizienten gefragt sind, müssen die

Partialdichten bekannt sein. Man nimmt an, dass das Ammoniak beim Auftreten auf

die Wand sofort in Lösung geht und dort schnell und vollständig chemisch reagiert.

Daher gilt für die Luft nahe der Wand

ρAw = 0 (4.3)

Der Zeitbezug des bei der Reaktion impulsartig eingedüsten Ammoniak-Luft-

Gemisches wird durch Integration von Gl. 4.2 über die Versuchszeit t eliminiert

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4. Experimentelle Untersuchungen -41-

∫∫∫ ∞∞ ρβ=ρβ=t

0AA

t

0AA

t

0A dtdtdtm! (4.4)

Für kleine Partialdichten ρA∞ ist βA unabhängig von der Versuchszeit t und ρA∞, wes-

halb βA vor das Integral gezogen werden kann. Für das Integral der Partialdichte er-

gibt sich dann

L

At

0A V

Mdt!

=ρ∫ ∞ , (4.5)

mit der am Eintritt zugeführten Ammoniakmenge MA und dem konstanten Luftvolu-

menstrom LV! . Der Volumenstrom LV! wird über eine Normblende am hinteren Ende

des Windkanals (Abb. 4.1) gemessen. Da der Volumenstrom von Ammoniak sehr

viel geringer ist als der von Luft, wird er in Gl. 4.5 vernachlässigt.

Für die lokale Belegungsdichte gilt

∫=t

0A dtmb ! (4.6)

womit man den Zusammenhang für den örtlichen Stoffübergangskoeffizienten erhält:

A

LA M

Vb !=β (4.7)

Die lokale Belegungsdichte wird nach einer Kalibrierung aus dem örtlichen Remissi-

onsgrad bestimmt.

Die während der Versuchszeit eingeleitete Ammoniakmenge kann u. a. auf zweierlei

Weise gemessen werden: Die Zudosierung von NH3 erfolgt entweder unter Messung

des Volumenstroms mit Hilfe eines Schwebekörperdurchflussmessers (Rotameter)

mit einem Zeitgeber oder durch Zugabe eines definierten Volumens mittels einer

Kolbeneinspritzanlage direkt in den Ansaugstutzen des Windkanals, wodurch eine

gute Vermischung mit dem angesaugten Luftstrom im Gebläse gewährleistet wird. In

dieser Arbeit wurde das Rotameter-Verfahren verwendet.

Bei Verwendung des Rotameters befindet sich an dessen Austritt ein Drosselventil,

das den Volumenstrom reguliert. Durch eine Schlauchleitung ist das Rotameter mit

einem elektrischen Magnetventil verbunden, das unmittelbar am Ansaugstutzen plat-

ziert ist. Das Ammoniak wird aus einer Hochdruckgasflasche bei etwa 7 bar zur Ver-

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4. Experimentelle Untersuchungen-42-

fügung gestellt und in einem an die Gasflasche angeschlossenen Druckminderer auf

ein bar Überdruck gedrosselt. Im Augenblick der Öffnung des Magnetventils steigt

der Ammoniakvolumenstrom steil an und pendelt sich nach kurzer Zeit auf den ein-

gestellten Wert ein. Es werden je Versuch etwa 3 bis 4 mg/s Ammoniak einem Luft-

volumenstrom von etwa 0,01 m3/s beigemischt.

0,155 p

1 2 3 4

5 6 7 8

910

18

12

13

11

12

14

15

16

17

NH3

Abb. 4.1: Schematische Darstellung (Horstmann [64]) des für die AAM eingesetzten

Strömungskanals und der Dosiereinrichtung für die Ammoniakzuführung11

Das Einpendeln des NH3-Volumenstroms auf einen konstanten Wert kann mehrere

Sekunden dauern, wodurch die exakte Messung der eingedüsten Ammoniakmenge

erschwert wird. Zur Abhilfe wird in einem Bypass (13) bereits vor dem Zeitpunkt des

Eindüsens ein konstanter Volumenstrom eingestellt. An das Rotameter schließt sich

ein Verteilerstück an, von dem zwei Leitungen, eine in den Versuchsstand, die ande-

re als Bypass in die Abluft, abgehen. Am Ende jeder Leitung befinden sich bauglei-

che Magnetventile. Während das eine Ventil in dem Ansaugtrichter des Radialgeblä-

11 Der Versuchsstand besteht aus folgenden Komponenten: Radialverdichter (1), Diffusor (2), Vor-kammer (3), Düse (4), Messstrecke (5), Düse (6), Beruhigungsstrecke (7), Normmessblende (8),Druckmessdose (9), Anzeigegerät (10), Steuereinheit (11), Magnetventile (12), Bypassleitung (13),Rotameter (14), Ventil mit Druckminderer (15), Druckbehälterventil (16), Druckflasche (17), Einsprit-zeinrichtung (18).

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4. Experimentelle Untersuchungen -43-

ses mündet, führt das Bypassventil zu einem Schlauch, der das Ammoniak aus dem

Gebäudes führt.

Beim Dosierverfahren mittels Kolbeneinspritzung, das hier der Vollständigkeit halber

erwähnt sei, wird die erforderliche Ammoniakmenge in einem Zylinderkolben gemes-

sen und anschließend in den Kanal eingedüst, Thulfaut [131]. Es wird aus der Am-

moniakflasche ein Stahlzylinder mit 5 mm Wandstärke und 50 mm Innendurchmes-

ser bei Umgebungsdruck gefüllt. Am Boden des Zylinders ist eine Bohrung ange-

bracht, durch die Ammoniak zugeleitet wird. In dem Zylinder befindet sich ein Kolben,

der entsprechend der Füllmenge nahezu isobar hochgefahren wird. Durch eine Ein-

rastautomatik wird der Kolben bei Erreichen der gewünschten Füllmenge arretiert.

Das Ausströmen aus dem Zylinder wird dadurch kontrolliert, dass nach Schließen

des Ventils zur Gasflasche das zum Ansaugstutzen führende Ventil geöffnet wird.

Die Dichtung zwischen Kolben und Zylinderwand hat einen wichtigen Einfluss auf die

Messgenauigkeit. Durch den Befüllungs- und Entlehrungsvorgang wird die verwen-

dete Gummidichtung abgerieben, so dass schnell Undichtigkeiten entstehen können,

die zum Entweichen des Zylinderinhalts führen. Daher ist es erforderlich, die Dich-

tungen regelmäßig zu schmieren und nach einigen Versuchen auszuwechseln.

Wenn die Arretierung aufgehoben wird, wird der Kolben durch sein Eigengewicht

nach unten gedrückt, wodurch das Gas aus dem Zylinder entweicht.

Aus den gemessenen lokalen Stoffübergangskoeffizienten werden die lokalen Wär-

meübergangskoeffizienten unter Annahme der Analogie von Wärme- und Stoffüber-

tragung bestimmt. Wärme- und Stoffübergang können in laminaren wie turbulenten

Strömungen näherungsweise durch Potenzgleichungen der gleichen Form darge-

stellt werden; für die Wärmeübertragung ausgedrückt durch die Nusselt-Zahl

Nu = A ReB PrC (4.8)

und analog für den Stoffübergang ausgedrückt durch die Sherwood-Zahl Sh

Sh = A ReB ScC (4.9)

Hierbei sind A bis C theoretisch oder empirisch gefundene Konstanten, welche für

laminare bzw. turbulente Strömungen verschiedene Werte annehmen können. Eine

erweiterte Analogie für Werte der Lewis-Zahl12

12 Für Gasgemische ist Le von der Größenordnung 1.

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4. Experimentelle Untersuchungen-44-

1Da

PrScLe

A

≠== (4.10)

liefert folgende Beziehung aus den Gln. 4.8 und 4.9

CC

A

C

LeDa

PrSc

NuSh =

=

= , (4.11)

mit der Temperaturleitfähigkeit a der Luft und dem Diffusionskoeffizienten DA von

Ammoniak in Luft. Dabei ist die Konstante C abhängig von den Randbedingungen

der Geschwindigkeits-Temperatur- bzw. der Geschwindigkeits-Konzentrations-

Felder13. Im laminaren Grenzschichtbereich einer Kanalströmung gilt

1/3 < C < 1/2 (4.12)

wobei der untere Wert für ∞→Pr gilt und der obere Wert für 0Pr → . Bei Innen-

strömungen mit turbulenten Grenzschichten gilt hingegen (Kottke et al. [73])

1/3 < C < 0,8 (4.13)

wobei wiederum die untere Schranke Gültigkeit besitzt für ∞→Pr und die obere

Schranke für 0Pr → . Die Grenzen der Exponenten hängen von dem Wert von Pr

und vom Typ der Strömung ab.

Gl. 4.11 gilt mit ausreichender Genauigkeit, wenn die Lewis-Zahl von der Größen-

ordnung 1 ist. Bei Umgebungsbedingungen ist die Prandtl-Zahl von Luft Pr = 0,72. Im

betrachteten Fall beträgt die Schmidt-Zahl von Luft-Ammoniak bei Umgebungsdruck

(988 mbar) und Umgebungstemperatur (20 °C) Sc = 0,62. Die Lewis-Zahl beträgt

demnach 0,86, d. h. das Verhältnis aus Prandtl- und Schmidt-Zahl ist von der Grö-

ßenordnung 1.

Da mit dem Versuchsstand Messungen in laminaren, wie auch in turbulenten Strö-

mungen durchgeführt werden können, bietet es sich an, den Exponenten

C = 0,5 (4.14)

anzunehmen. Damit gilt mit einem maximalen Fehler < 2% [73]

Nu = 1,07 Sh (4.15)

In Gl. 4.7 sind sowohl die Belegungsdichte als auch der Stoffübergangskoeffizient

zunächst unbekannt. Da bei der Messung des lokalen Stoffübergangskoeffizienten

die Belegungsdichte an der entsprechenden Stelle bestimmt werden muss, wird die-

13 Meistens von der Größenordnung 1/3.

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4. Experimentelle Untersuchungen -45-

se zunächst durch eine Eichung mit der gemessenen Verfärbung korreliert. Der zu

findende Zusammenhang lautet daher

Rw = Rw(bw) (4.16)

Hierbei bedeutet Rw der Remissionsgrad an der Wand, wo das Ammoniak in Reakti-

on geht. Der Index soll dabei auf die Ortsabhängigkeit hinweisen. Der Remissions-

grad ist der Grauwert eines beaufschlagten Filterpapiers bezogen auf den Grauwert

des Papiers vor der Messung.

Zur Kalibrierung der Beziehung zwischen Belegungsdichte und Remissionsgrad

(Verfärbung) wird eine Staupunktströmung auf einer Kreisscheibe erzeugt. Einfache

Anordnungen mit geringer Turbulenz können mit hoher Genauigkeit berechnet wer-

den oder die lokale Verteilung der Übertragungskoeffizienten kann auf eine Ge-

schwindigkeitsverteilung zurückgeführt werden, die aus einfachen Druckmessungen

abgeleitet werden kann ([73,74]).

In dieser Arbeit wurde der Stoffübergang im Staupunkt einer normal angeströmten

Kreisscheibe zur Kalibrierung genutzt. Dieser ist in einem größeren Bereich um den

Staupunkt annähernd konstant [74].

Mit abnehmendem Turbulenzgrad und bei geringen Reynolds-Zahlen (Re < 6000)

nähert sich die Frössling-Zahl14 dem konstanten Wert

67,0ReShFr == (4.17)

Man erhält also mit Gln. 4.7 und 4.17 mit der bekannten Relation

Re67,0D

dShA

A =β= , (4.18)

wobei d der Kreisscheibendurchmesser ist, auf den auch die Reynolds-Zahl bezogen

ist

14 Die Reynolds-Zahl ist auf den Durchmesser der Kreisscheibe bezogen. Der rechte Teil von Gl. 4.19ergibt sich daraus, dass die Geschwindigkeit, mit der die Reynolds-Zahl gebildet wird, die Hauptströ-mungsgeschwindigkeit im freien Kanalquerschnitt ist. Deswegen werden bei ihrer Berechnung derVolumenstrom und der Kanalquerschnitt mit einer Breite von B und einer Höhe von H abzüglich derScheibenfläche verwendet.

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4. Experimentelle Untersuchungen-46-

π−υ

==

4dHBVd

MDFrVd

MDReFrb2

AAAA

!!

(4.19)

als Arbeitsgleichung bei der Eichung. Man beachte, dass hier Sh und Re auf den

Kreisscheibendurchmesser d als charakteristische Länge bezogen sind.

Die Definition des Stoffübergangskoeffizienten an einer Stelle x nach Gl. 4.7 kann

wahlweise mit der zugeführten Ammoniakmenge MA = MA, ein am Eintritt in die Mess-

strecke erfolgen oder mit der den Strömungsquerschnitt x erreichenden durch Ab-

sorption stromauf verminderten Ammoniakmenge MA, x. Für näherungsweise vollent-

wickelte Strömung ist nur die zweite Definition sinnvoll.

Die lokal verfügbare NH3-Menge ∫ ∞ρ=t

0x,ALx,A dtVM ! in Gl. 4.5 wird unter Berücksich-

tigung der stromauf erfolgten Absorption für jeden Querschnitt x bestimmt. Strömt die

mit Ammoniak versetzte Luft über ein Filterpapierflächenelement, wird lokal Ammo-

niak absorbiert, und die in der Strömung verbleibende Menge wird um den absor-

bierten Anteil reduziert. Dieser Vorgang, der sich bis zum Ende des Filterpapiers

fortsetzt, lässt sich durch einen Algorithmus der Form NH3-Menge(n+1)= NH3-

Menge(n) – (Belegungsdichte x Einheitsfläche) darstellen. Dabei bezeichnet n eine

Zeile von Pixeln des eingescannten Filterpapiers und mit Einheitsfläche ist der Flä-

cheninhalt der Pixelreihe dieser Zeile gemeint. Die Belegungsdichte wird aus einer

Mittelung der Grauwerte einer Zeile aus der Kalibrierkurve bestimmt. Unter Berück-

sichtigung der Analogie von Wärme- und Stoffübertragung entspricht die lokal in der

Strömung verbleibende Ammoniakmenge der örtlichen Bulktemperatur, die sich beim

Überströmen einer isothermen Wand höherer Temperatur im kälteren Fluid einstellt.

Der Unterschied beider Definitionen ist nahe dem Eintritt, für NTU << 1, vernachläs-

sigbar und wächst mit der Lauflänge bzw. mit dem Wert NTU der überstrichenen Flä-

che15.

15 In dieser Arbeit sind alle Kennzahlen, bis auf die Ergebnisse für die längsgemittelten Nusselt-Zahlen, auf die massenstrom-gemittelte Konzentration bzw. Bulktemperatur bezogen.

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4. Experimentelle Untersuchungen -47-

[91] führt Stoffübergangsmessungen am ebenen Spalt für laminare Strömungen mit

und ohne Verlustkorrektur durch und vergleicht die mittleren absoluten Abweichun-

gen zu Literaturwerten nach [113]. Als Resultat erhält er für eine Reynolds-Zahl (be-

zogen auf die Spalthöhe) von 1000 eine mittlere Abweichung von 4,9% mit NH3-

Korrektur und eine mittlere Abweichung von 14,7% ohne NH3-Korrektur.

4.2 VERSUCHSKONFIGURATION VEHE-DREIECKSKANAL

In Abb. 4.2 ist ein Foto des Modells der Plattenkonfiguration mit Sekundärrippen und

ausgestanzten Wirbelerzeugern abgebildet. Zu Vergleichszwecken wurde die gleiche

Konfiguration auch ohne ausgestanzte Wirbelerzeuger untersucht16. Der Testkanal

wurde aus 2 mm dickem PVC hergestellt, die Winglets wurden ausgesägt und an

den entsprechenden Stellen geklebt. Die Konfiguration besitzt eine Kanalhöhe von H

= 32 mm. Die übrigen Abmessungen sind auf H bezogen (vgl. Abb. 3.3).

In einem Hochleistungswärmeübertrager ist eine Kanalhöhe von etwa 5 mm realis-

tisch. Die Winglets können durch Ausstanzen und Biegen hergestellt werden. Die

einzelnen Streifen mit den Winglets werden im Anschluss gebogen.

Der gesamte Luftvolumenstrom wird auf 7 dreieckige Kanäle aufgeteilt. Jeder Drei-

eckskanal wiederholt sich viermal periodisch in Strömungsrichtung. Am Kanaleintritt

liegt ein sich entwickelndes pfropfenförmiges Strömungsprofil vor. Periodische Strö-

mungen wurden direkt nicht gemessen, jedoch hat sich die eintretende Strömung

periodisch entwickelt und sich nach zwei bis drei Perioden bzw. Wirbelerzeugern

nicht mehr nennenswert geändert.

Während der Messungen war jeweils eine Seite der Modelloberfläche mit Filterpapier

und Reaktionslösung belegt, wobei auf den anderen Seiten keine Reaktion zustande

kam. Die analoge thermische Randbedingung heißt also auf einer Seite Tw = kons-

tant, auf den beiden anderen Seiten adiabate Wand.

16 hier nicht abgebildet

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4. Experimentelle Untersuchungen-48-

Abb. 4.2: Foto der untersuchten Konfiguration. Der Pfeil im oberen Rand des Bildes

zeigt die Strömungsrichtung an. Die Diskette und der anliegende Maßstab vermitteln

einen Eindruck der Größenverhältnisse

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5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung -49-

5. KOSTEN DER WÄRMEÜBERTRAGUNG UND OPTIMIE-RUNG

Die Kosten der Wärmeübertragung17 setzen sich zusammen aus (einmaligen) Inve-

stitionskosten für den Wärmeübertrager und seine Aufstellung sowie für notwendige

Gebläse oder Pumpen und ihre Installation und aus (wiederkehrenden) Betriebs-

kosten für die erforderliche Förderleistung und evtl. für Wartung und Reinigung. Inve-

stitionskosten werden in dieser Betrachtung auf die erwartete Betriebszeit innerhalb

der Lebens- oder der Abschreibungsdauer verteilt.

Zu den Kosten der Wärmeübertragung gehört auch die Entwertung der Wärme durch

Temperaturdifferenzen (Exergieverluste), welche sich wesentlich auf den Pri-

märenergiebedarf einer Anlage auswirken. In vielen Fällen, vor allem bei der Ersatz-

beschaffung von Wärmeübertragern, ist jedoch die zulässige mittlere Temperaturdif-

ferenz ∆Tm bzw. die minimale ∆Tmin durch Prozessdaten des Anwenders/Bestellers

vorgegeben.

5.1 KOSTENZUORDNUNG ZU BAU- UND BETRIEBSGRÖSSEN

Die Kosten der Wärmeübertragung sind normalerweise aus der Sicht des Wärme-

übertrageranwenders zu betrachten. Eine kostenoptimierte Auslegung ist jedoch

meist nur durch den Hersteller möglich. Um den Bezug zu den wesentlichen Ausle-

gungsgrößen, der Wärmeleistung Q! , der Übertragungsfläche A, der Förderleistung

P! und der mittleren Temperaturdifferenz ∆Tm, zu gewinnen, werden die Kosten im

Folgenden nach ihrer Abhängigkeit von diesen Größen in übertragungsflächenab-

17 Wirtschaftliche Aspekte der Auslegung von Wärmeübertragern werden von Kern [71] diskutiert.Bergmann & Schmidt [21] erläutern die kostenwirtschaftliche Optimierung von Wärmeübertragern zurregenerativen Speisewasservorwärmung und Cornelissen & Hirs [29] betrachten Lebenszyklusanaly-sen von Wärmeübertragersystemen.

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5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung-50-

hängige Kosten KA, förderleistungsabhängige Kosten KP und Kosten durch Exergie-

verluste der Wärme K∆T unterschieden:

TPA KKKK ∆++= (5.1)

Die übertragungsflächenabhängigen Kosten KA sind vor allem die Kosten für den

Wärmeübertrager, die sich zusammensetzen aus den Kosten der Übertragungsflä-

chen, des Gehäuses und der Montage sowie dem Unternehmergewinn des Herstel-

lers; hierzu können weiter die Kosten der Aufstellung des Wärmeübertragers und die

über die Lebensdauer oder Abschreibungszeit aufzuwendenden Wartungskosten

gerechnet werden.

Die förderleistungsabhängigen Kosten KP sind die Kosten der (elektrischen) Antriebs-

energie sowie Investitionskosten für Motoren, Gebläse und Installation.

Die Kosten K∆T der Exergieverluste der Wärme resultieren aus der abnehmenden

Verwertbarkeit der Wärme mit abnehmender Temperatur und sind stark abhängig

von der Form der Wärmebereitstellung (Verbrennung oder elektrische Heizung) so-

wie von den Möglichkeiten der Abfuhr oder Nutzung der Abwärme beim Anwender.

Vom Anwender bzw. Besteller wird deshalb die Mindesttemperaturdifferenz ∆Tmin

und damit die mittlere Temperaturdifferenz ∆Tm häufig vorgegeben. Ihre Optimierung

wird daher hier nicht weiter betrachtet.

Jede der drei hier unterschiedenen Kostenanteile der Gl. 5.1, rechte Seite, enthält

Anteile von Investitions- und von Betriebskosten, jedoch überwiegt, insbesondere für

große Einheiten, der Investitionskostenanteil in KA bzw. der Betriebskostenanteil in

KP und in K∆T.

Die Kosten nach Gl. 5.1 werden zweckmäßigerweise als spezifische Kosten der

Wärmeübertragung auf den übertragenen Wärmestrom bezogen:

m2m

0TPA T

TTk

QPk

QAk

QK

QK ∆++== ∆!

!

!!

!

!

(5.2)

Die durch Gl. 5.2 eingeführten Kostenfaktoren Ak! , kP und k∆T hängen ihrerseits von

den absoluten Werten der Auslegungsgrößen A, P! und ∆Tm ab, jedoch wird diese

Abhängigkeit umso schwächer, je größer die Einheiten sind. Der Kostenfaktor Ak! ist

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5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung -51-

auf die effektive Betriebszeit während der geforderten Abschreibungsdauer oder der

angenommenen Lebensdauer des Wärmeübertragers bezogen.

Zur Bestimmung der (spezifischen) Kosten der Wärmeübertragung werden geeignete

Werte der Kostenfaktoren Ak! , kP und k∆T ermittelt. Die Kosten sind für die optimierte

Auslegung eines Wärmeübertragers zu minimieren. Eine Eigenheit der Notation von

Gl. 5.2 ist der Bezug der zeitbezogenen Kosten auf die übertragene Wärmeleistung.

Die Investitionskosten werden auf die erwartete effektive Betriebszeit bezogen. Für

große Einheiten in wiederkehrender Bauweise können die Faktoren Ak! und kP in er-

ster Näherung als unabhängig von den Größen A bzw. P! angesehen werden.

Die minimalen und damit auch die mittleren Temperaturdifferenzen werden i. Allg.

vom Auftraggeber vorgegeben, so dass eine Kostenminimierung im Hinblick auf die

Exergieverluste der Wärme, bzw. auf ∆Tm, sich erübrigt. Die Optimierung von ∆Tm

wird deshalb hier nicht weiter betrachtet (siehe oben); jedoch ist die hier vorgestellte

Betrachtungsweise ohne weiteres auch bei Abhängigkeit der Faktoren Ak! und kP von

A bzw. P! und auf die Optimierung von ∆Tm anwendbar.

Kosten durch Mischung oder Leckagen sowie die durch Dissipation der Förderleis-

tung erzeugte Wärme und deren Exergiegehalt werden hier vernachlässigt.

5.1.1 KOSTENOPTIMIERUNG FÜR EINSEITIGE BETRACHTUNG (TW = KONST.)

Eine einseitige Betrachtung bietet sich an, wenn die Temperatur des anderen Fluids

konstant und zugleich der Wärmeübergangswiderstand vernachlässigbar ist, wie bei

Verdampfung und Kondensation. Dann gilt T2 = Tw = konst.

Die wesentlichen kostenbestimmenden Größen, die erforderliche Übertragungsfläche

A und die Förderleistung P! , hängen von der Strömungsgeschwindigkeit bzw. von der

Reynolds-Zahl und von den mit ihr verbundenen Wärmeübergangskoeffizienten oder

von der Stanton-Zahl ab. Die (auf den übertragenen Wärmestrom bezogene) Über-

tragungsfläche lässt sich mit Hilfe der Kenngrößen Reynolds- und Stanton-Zahl der

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5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung-52-

Strömung und des Wärmeübergangs für einen Strömungsweg folgendermaßen be-

schreiben:

StRecTd

T1

QA

pm

h

m η∆=

∆α=

!(5.3)

Dabei ist ∆Tm die mittlere Temperaturdifferenz zwischen Strömung und Wand einer

betrachteten Fluidseite:

wm TTT −=∆ (5.4)

Die Übertragungsfläche und die hierfür aufzuwendenden Kosten nehmen mit stei-

gender Strömungsgeschwindigkeit bzw. Reynolds-Zahl und mit steigender mittlerer

Temperaturdifferenz ab; damit ist eine Verkleinerung des erforderlichen Bauvolu-

mens des Wärmeübertragers verknüpft18.

Die erforderliche Übertragungsfläche und das Bauvolumen wachsen oder fallen auch

mit dem hydraulischen Durchmesser. In der Praxis ist der hydraulische Durchmesser

oft herstellerspezifisch, z. B. durch vorhandene Werkzeuge, festgelegt, wenn nicht,

ist er durch den Fertigungsaufwand und durch Verschmutzungsrisiko nach unten be-

grenzt. Hydraulische Durchmesser von z. T. unter einem Millimeter sind, wie schon

erwähnt, in industriellen Anwendungen, z. B. im Automobilbau, Stand der Technik.

Für die erforderliche spezifische Pumpleistung ergibt sich folgender Ausdruck;

StTc2fu

StRef

Tcd2QP

mp

22

mp2h

2

∆=

∆ν=

!

!(5.5)

eine Steigerung der Reynolds-Zahl bzw. der Strömungsgeschwindigkeit u bewirkt

eine etwa quadratische Steigerung der spezifischen Pumpleistung während zugleich

die erforderliche Übertragungsfläche nur weniger als reziprok zu der Reynolds-Zahl

oder u reduziert wird. Der Reibungsbeiwert f und die Stanton-Zahl St sinken mit stei-

gender Reynolds-Zahl, jedoch kompensiert sich ihr Einfluss in Gl. 5.5 weitgehend.

18 Dies ist zum Verständnis wichtig, weil ideale Wärmeübertrager, entgegen der intuitiven Vorstellung,nicht eine unendlich große sondern gar keine Wärmeübertragungsfläche besitzen (Schlünder [105],Stephan [121]).

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5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung -53-

Gl. 5.5 gilt unter der Annahme P! <<Q! , d. h. die Wärmeerzeugung durch Dissipation

der Pumpleistung wird vernachlässigt. Wenn diese Vernachlässigung nicht gilt, wird

der zu übertragende Wärmestrom Q! durch dissipierte Pumpleistung bei einem Heiz-

prozess gemindert, bei Kühlprozessen jedoch erhöht.

Die Kennzahlen St und f in Gln. 5.3 und 5.5 sind Funktionen der Reynolds-Zahl und

der geometrischen Konfiguration des Strömungsweges.

Die bezogenen Exergieverluste infolge der Temperaturdifferenz (T1 –T2) der Wärme-

übertragung betragen:

QTS

T1

T1T

QE 0

irr12

0v

!!

!

!=

−=

21

m0 TT

TT ∆= (5.6)

Dabei ist die Entropieerzeugung durch Widerstände der Wärmeübertragung

21

221

21

21irr TT

)TT(AkTTTTQS −=−= !! (5.7)

naturgemäß immer positiv, wie die quadratische Abhängigkeit von (T1 – T2) in Gl. 5.7,

rechte Seite, verdeutlicht. Für die mittlere Temperaturdifferenz gilt dabei

m21m TTT −=∆ (5.8)

Die Reynolds-Zahl, der Reibungsbeiwert und die Stanton-Zahl haben in der Darstel-

lung der Gln. 5.6 und 5.7 keinen Einfluss auf den spezifischen Exergieverlust der

Wärme, sondern lediglich die mittlere Temperaturdifferenz ∆Tm. Bei Betrachtung nur

einer Seite des Wärmeübertragers ist ∆Tm die (mittlere) Temperaturdifferenz zwi-

schen der mittleren Bulktemperatur des Fluids und der mittleren Wandtemperatur.

Die Temperaturniveaus sind für die Entwertung der Wärme von besonderer Wichtig-

keit. Zwei Einflüsse können dabei unterschieden werden: Zum einen der Einfluss der

mittleren Temperatur 21m TTT = aus Fluid- und Wandtemperatur und zum anderen

die Referenztemperatur des gedachten Wärmereservoirs (Umgebung) T0. Der Ein-

fluss des Nenners (T1 T2) in Gl. 5.7 bewirkt bei hohen Temperaturen einen geringe-

ren spezifischen Exergieverlust als bei niedrigen. Deshalb werden z. B. bei einem

Dampferhitzer auf hohem Temperaturniveau viel größere Temperaturdifferenzen ∆Tm

zugelassen, als bei einem Wärmeübertrager der Kältetechnik, z. B. zur Luftzerlegung

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5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung-54-

(Baehr [2]). Dieser Sachverhalt ist von hoher praktischer Bedeutung, weil die not-

wendige Wärmeübertragungsfläche nach Gl. 5.3 umgekehrt proportional zur mittle-

ren Temperaturdifferenz ist:

mT1QA

∆α=

!(5.9)

Mit der Definition des Wärmekapazitätsstromverhältnisses

2

11 W

WR!

!= ; iii )T/h(MW ∂∂= !! , i = 1, 2 (5.10)

bedeutet der Fall R1 = 0 eine isotherme Enthalpieänderung. Dies tritt bei Verdamp-

fung oder Kondensation ( ∞→∂∂ T/h ) definitionsgemäß auf der Seite „2“ des Appa-

rats in Verbindung mit hohen Wärmeübergangskoeffizienten auf. Dann ist nähe-

rungsweise die Wandtemperatur Tw = T2 = konst.:

∆Tm = Tb – Tw (5.11)

Dabei ist Tb (entspricht T1) die über den Massenstrom gemittelte Bulktemperatur und

Tw (entspricht T2) die Wandtemperatur. Die Stanton-Zahl und der Reibungsbeiwert

können bei der Randbedingung Tw = konst. aus Experimenten oder CFD auf be-

kannte Weise bestimmt werden.

Damit erhält man für die spezifischen Kosten der Wärmeübertragung:

m2m

0T

2

mp2h

2

Ppm

hA T

TTk

StRef

Tcd2k

StRecTdk

QK ∆+

∆ν+

η∆= ∆!

!

!(5.12)

Nach Gl. 5.12 fallen die flächenbezogenen Kosten (1. Term rechte Seite) der Über-

tragungsfläche mit steigender Reynolds-Zahl für typische Abhängigkeiten der Stan-

ton-Zahl und des Reibungsbeiwerts von der Reynolds-Zahl, während die Kosten der

Förderleistung (2. Term rechte Seite) etwa quadratisch steigen und die Exergie-

verluste der Wärme (3. Term rechte Seite) bei konstantem ∆Tm unabhängig von der

Reynolds-Zahl sind.

Eine Minimierung der spezifischen Kosten erfolgt, indem man die partiellen Ableitun-

gen von (K/Q) nach den freien Variablen der Wärmeübertragerauslegung, Re (oder

u) und ∆Tm, gleich Null setzt:

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5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung -55-

( ) 0Re

QK =∂

∂ (5.13)

( ) 0TQKm

=∆∂

∂ (5.14)

Die Bedingungen in den Gln. 5.13 und 5.14 liefern Werte der Reynolds-Zahl bzw.

des ∆Tm für das Kostenminimum. Prinzipiell ist auch eine Optimierung nach dh

( )( ) 0d

QKh

=∂

∂ (5.15)

möglich. Jedoch ist die Mindestgröße des hydraulischen Durchmessers dh, wie oben

ausgeführt, technisch begrenzt und sein Einfluss ist primär dadurch reduziert, dass

er zugleich ein Faktor in der Definition der Reynolds-Zahl in den Gln. 5.3 und 5.5 ist.

Eine weitere Schwierigkeit der Optimierung von dh ist, dass von dh i. Allg. auch der

Kostenfaktor Ak! abhängt.

5.1.2 KOSTENOPTIMIERUNG FÜR BETRACHTUNG DES BEIDSEITIGENWÄRMEÜBERGANGS

Die Betrachtung beider wärmeübertragenden Fluidströme führt zur folgenden Erwei-

terung der Gl. 5.2 für die spezifischen Kosten der Wärmeübertragung:

m2m

0T

2

1ii

piAi T

TTkP

Qk

QAk

QK

QK ∆++== ∆

=∑ !

!!!

!

!, i = 1, 2, (5.16)

wobei i das Fluid (1 oder 2) bezeichnet, das die wärmeübertragende Oberfläche der

entsprechenden Seite benetzt. Das Verhältnis der Übertragungsflächen beider Sei-

ten ist für gekrümmte oder berippte Oberflächen A2/A1 ≠ 1.

Die Pumpleistung für eine Fluidseite ist definiert als:

i3h

33

i

3i d2

AfReAfu2

P

νρ=

ρ=! , i = 1, 2 (5.17)

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5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung-56-

Eine Energiebilanz19 liefert für den Wärmeübergang zwischen beiden Fluiden

2m221m11'2

''22

''1

'11m TATA:)TT(W)TT(WTAkQ ∆α=∆α=−=−=∆= !!! (5.18)

wobei mit der Bestimmungsgleichung für (k A) unter Vernachlässigung des Wider-

standes der übertragenden Wand gilt:

2211 A1

A1

kA1

α+

α= (5.19)

( )ih

pipi d

StRecStuc

η=ρ=α , i = 1, 2 (5.20)

Die Stanton-Zahl und der Reibungsbeiwert werden für verschiedene Konfigurationen

in der vereinfachten Form von Potenzgleichungen einer Datenbank entnommen:

( ) ( ) i3/2

ibe

i PrjPrReaSt 1 −− == (5.21)

( ) ie

i2ReCf −= (5.22)

Verallgemeinert ergibt sich für die spezifischen Kosten (s. Anhang A):

K/Q = f(Re1, Re2, ∆Tm, Flächenkonfiguration und Stoffwerte).

Eine Kostenoptimierung erfolgt dann durch die Bedingungen20:

0Re

)Q/K(1

=∂

∂ (5.23)

0Re

)Q/K(2

=∂

∂ (5.24)

0T

)Q/K(m

=∆∂

∂ (5.25)

Das Gleichungssystem (5.23) bis (5.25) kann beispielsweise nach dem Newton-

Verfahren iterativ gelöst werden, wobei die Werte von Re1 und Re2 sich unabhängig

von ∆Tm ergeben und zweckmäßigerweise zuerst bestimmt werden.

19 Das ∆Tm kann man, bei Vernachlässigung des Wandwiderstands, in den Widerstand beiderFluidseiten ∆Tm1 = │T1 - Tw1│ und ∆Tm2 = │T2 - Tw2│ aufteilen, so dass ∆Tm = ∆Tm1 + ∆Tm2 gilt.20 Hinreichende Bedingung ist, dass die zweiten Ableitungen größer als Null sind.

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5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung -57-

5.2 FLÄCHENBEZOGENE KOSTEN

Ein wichtiger Kostenanteil sind die flächenabhängigen Kosten, vorrangig die Materi-

al- und Herstellungskosten eines Wärmeübertragers. Die erforderliche Wärmeüber-

tragungsfläche bestimmt das Volumen des Apparats. Je höher der Aufwand zur Mo-

difikation der Übertragungsfläche ist, um Wirbelerzeuger, z. B. durch Stanz- und

Prägeprozesse, herzustellen, desto höher sind auch die flächenabhängigen Kosten.

Bei der Aufschlüsselung der Investitionskosten werden unterschiedliche Ansätze

vorgeschlagen. Gregorig [59] schlägt einen Potenzansatz der Form

K = c Aε (5.26)

bei der Berechnung eines Wärmeübertragers in Abhängigkeit der Wärmeübertra-

gungsfläche vor. Dabei schwankt der Exponent ε in Gl. 5.26 nach Gregorig [59] zwi-

schen 0,55 und 0,75 und hängt von der Art und vom Material der Übertragungsfläche

ab; der Faktor c ist von der Art der Konstruktion, vom Werkstoff und vom Druck ab-

hängig, d. h. der flächenbezogene Kostenfaktor steigt mit aufwendigerer Konstrukti-

on, höherwertigerem Werkstoff und steigendem Druck.

Leiner [79] hat eine Aufteilung der Apparatekosten in volumenproportionale und flä-

chenproportionale Kosten nach dem Zusammenhang

K = kV Vapp + kA A (5.27)

vorgeschlagen. In dieser Arbeit sind die Apparatekosten nur auf die Übertragungsflä-

che A einer Seite, z. B. A = A1, bezogen, da für einen festen Wert dh auch das Volu-

men der Übertragungsfläche proportional ist.

Wenn man die Investitionskosten als Kostenströme über die bewertete Betriebszeit

verteilen will, um durch den Zeitbezug eine Abwägung gegenüber den Betriebskos-

ten zu ermöglichen, kann man diese auf die Betriebs- oder Nutzungsdauer des

Wärmeübertragers beziehen:

tA kK A=! (5.28)

Abschreibung und Kapitalzinsen über die zu berücksichtigende Gesamtbetriebszeit

müssen in K! berücksichtigt sein.

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5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung-58-

Nachfolgend sei die Berechnung des Kostenfaktors Ak! erläutert. Dieser fasst für die

Produktion und Herstellung des Wärmeübertragers wichtigen, auf die Gesamtbe-

triebsdauer bezogenen, Kosten zusammen.

Bei Vorgabe eines konstanten hydraulischen Durchmessers (auf beiden Fluidseiten)

ist das Volumen des Wärmeübertragergehäuses V ∼ A, die Längenabmessungen bei

gleicher Bauform betragen L ∼ V1/3 ∼ A1/3 und die erforderliche Wandstärke in erster

Näherung s ∼ L ∼ A1/3. Der Materialbedarf des Gehäuses bzw. die Masse ist

MGehäuse ~ L2 ∼ A, d. h. mindestens für große Einheiten ist auch der Aufwand für das

Gehäuse näherungsweise proportional zu A und kann in die flächenabhängigen Kos-

ten einbezogen werden.

Ferner gehen Abschreibungs- und Kapitalströme mit in die Berechnung ein. Der Kos-

tenfaktor lässt sich berechnen aus:

ε+++=

A

A321A t

)zt1()kkk(k! (5.29)

In Tabelle 5.1 sind als Beispiel Materialkosten k1 für einige Wärmeübertragungsflä-

chen aufgelistet. Dazu sind Preisangebote für drei verschiedene Materialien einge-

holt worden (Einzelheiten s. Scheidtmann et al. [104]), die jeweils eine Gruppe der

meistverwendeten Wärmeübertragermaterialien repräsentieren. Für Lamellen-Rohr-

Wärmeübertrager wurden die Materialkosten für die Lamellenbleche k1,1 und die

Rohre k1,2 addiert (k1 = k1,1 + k1,2).

Für alle Wärmeübertrager sind die Stanz- und/oder Prägekosten k2 zur Herstellung

der für die Strömungsmanipulation benötigten Wirbelerzeuger für die Werkstoffe

Kupfer und Aluminium mit k2 = 4 €/m2 angesetzt worden. Die höheren Kosten der

Edelstahlverarbeitung werden mit k2 = 8 €/m2 angenommen, weil dieses Material teu-

rere Werkzeuge bei geringeren Standzeiten erfordert als Kupfer oder Aluminium.

Die Montage- und Gehäusekosten k3 (ebenfalls auf die Übertragungsfläche bezo-

gen) für Kupfer- und Aluminiummaterialien werden mit k3 = 4 €/m2 in die Berechnung

des Kostenfaktors Ak! einbezogen. Die Gehäusekosten für Edelstahl werden mit ei-

nem höheren Wert k3 = 8 €/m2 veranschlagt.

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5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung -59-

Ferner werden die Zinsen z mit 15 % im Jahr angesetzt und die Amortisations- bzw.

Abschreibungszeit tA mit 4 Jahren angenommen. Der Nutzungsfaktor ε, der den

durchschnittlichen Zeitanteil der Nutzung ausdrückt, findet mit 25 Prozent (6 Stun-

den/Tag) Berücksichtigung.

Tabelle 5.1: Kostenfaktoren k1 für die Wärmeübertragermaterialien Kupfer, Alumini-

um und VA-Stahl

Material Dicke [mm] k1 [€/m2]Kupfer halbhart, unlegiert 0,4 17,84Aluminium AlMg3 0,5 7,04VA-Stahl X5CrNi1810 0,5 18,41

5.3 FÖRDERLEISTUNGSABHÄNGIGE KOSTEN

Zur konvektiven Wärmeübertragung ist die Pumpleistung P! erforderlich. Die

Pumpleistung gleicht den Druckabfall im Apparat aus. Der Aufwand für Pumpleistung

ist ein maßgeblicher Teil der Betriebskosten:

∑=

∆=2

1iim,i pVP !! (5.30)

Für einen Wärmeübertrager, der mit niedrigviskosen Flüssigkeiten, z. B. Wasser, be-

trieben wird, ist die erforderliche Pumpleistung i. Allg. gering im Verhältnis zur Wär-

meübertragungsleistung. Daraus folgt, dass die Pumpleistung bei Flüssigkeiten nur

ein schwaches Kriterium für die Festlegung der Wärmeübertragungsfläche ist21. Hin-

gegen ist die Pumpleistung ein erhebliches Auswahlkriterium bei Gasen. Hier ist der

Aufwand mechanischer Energie zum Überwinden der Druckverluste wegen der gro-

ßen Volumenströme gegenüber der übertragenen Wärme nicht mehr vernachlässig-

bar.

Die Kosten der Förderleistung beinhalten überwiegend die Stromkosten der Gebläse

oder Pumpen, die als Betriebskosten eingehen. Dazu kommen die Abschreibung und

die elektrischen Verluste der Elektromotoren.

21 Korrosive oder toxischen Stoffe wie z. B. in Becker et al. [9]) werden nicht betrachtet.

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5. Kosten der Wärmeübertragung und Optimierung-60-

Diese Geräte verursachen sowohl Anschaffungs- als auch Betriebskosten, z. B. für

Wartung. Üblicherweise machen letztere einen sehr geringen Anteil der förderlei-

stungsabhängigen Kosten aus und werden daher nur pauschal berücksichtigt. Der

Kostenfaktor wird exemplarisch mit kP = 0,184 €/kWh = 5,11⋅10-8 €/J angenommen.

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6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern -61-

6. KOSTENOPTIMIERTER ENTWURF VON WÄRMEÜBER-TRAGERN

6.1 ENTWURFSKONZEPT

Für die Auslegung eines Wärmeübertragers sind i. Allg. die Art der wärmeübertra-

genden Fluide, ihre Eintrittstemperaturen (und im Zweifelsfall ihre Aggregatzustände)

sowie mindestens einer ihrer Massenströme vorgegeben. Darüber hinaus ist entwe-

der der übertragene Wärmestrom oder die Austrittstemperatur des bekannten Mas-

senstroms oder der Wärmeübertragerwirkungsgrad vorgegeben. Bei der Auslegung

von Wärmeübertragern in neuen Anlagen kann an die Stelle der Vorgabe des Wär-

meübertragerwirkungsgrades die Wahl der mittleren Temperaturdifferenz aufgrund

einer Kostenminimierung erfolgen.

Ein vom Konstrukteur zu lösendes Problem besteht darin, die günstigsten Strö-

mungsgeschwindigkeiten in den beiden Wegen des Wärmeübertragers zu bestim-

men. Folgende drei Konzepte können alternativ für eine gewählte Grundkonfiguration

zur Anwendung kommen (Abb. 6.1):

1.) Iteratives Nachrechnen eines Wärmeübertragers durch wiederholt angepasste

Wahl der Frontflächen. Damit liegen die Strömungsgeschwindigkeiten fest, womit

man die Wärmeübergangskoeffizienten berechnen kann. Mit den gefundenen

(k A) erhält man ein neues NTU. Mit den vorgegebenen Kapazitätsstromverhält-

nissen und der Stromführung bekommt man den Wirkungsgrad, wodurch die

neuen Austrittstemperaturen festliegen, die zur Berechnung der Wärmeleistung

notwendig sind. Schließlich wird die berechnete Wärmemenge mit der geforder-

ten verglichen. Bei einer Abweichung von Q! werden die Frontflächen entspre-

chend angepasst und die obige Prozedur wiederholt.

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6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern-62-

2.) Vorgabe der maximalen Druckverluste. Dieser Ansatz ist besonders wichtig in

Fällen, in denen die Druckverluste eine Vorgabe des Auftraggebers darstellen. In

diesem Fall werden beide Strömungsgeschwindigkeiten so gewählt, dass die ma-

ximalen Druckverluste nicht überschritten werden. Damit liegen die Frontflächen

fest. Aus den Wärmeübergangskoeffizienten lässt sich ein mittlerer Wärmedurch-

gangskoeffizient k berechnen. Falls die Flächen sehr unterschiedlich sind, wie z.

B. für die Lamellenrohrkonfiguration mit großem Flächenanteil der Rippen, spie-

len diese in der Bestimmungsgleichung für k eine Rolle. Dieses ist jedoch nicht

kritisch, weil für ein Element die Flächenverhältnisse bekannt sind. Schließlich er-

hält man auch hier die gesamte Wärmeübertragungsfläche A.

3.) Bestimmung von optimierten Strömungsgeschwindigkeiten. Dieses Konzept wird

in der vorliegenden Arbeit gewählt und vertieft. Dabei werden die Geschwindig-

keiten für ein repräsentatives mittleres Element bestimmt. Eine eingehende Be-

handlung der Grundlagen des Themas und die Herleitung der Kostengleichung

erfolgt in Kapitel 5. Mit den Geschwindigkeiten sind wie unter 2) die Frontflächen

und Wärmeübergangskoeffizienten bekannt, womit der mittlere Wärmedurch-

gangskoeffizient und die Übertragungsfläche des Apparats festgelegt sind. Eine

Beschreibung des Verfahrens in englisch, wie sie im Abschlussbericht des VEHE-

Projekts enthalten ist, erfolgt in Anhang B.

Die hier entwickelte Aufwands- oder Kostenoptimierung beruht auf der Minimierung

der spezifischen Kosten K/Q für ein repräsentatives Element einer ausgewählten

geometrisch periodischen Wärmeübertragerkonfiguration. Die Kostenoptimierung

liefert günstigste Werte der mittleren Reynolds-Zahlen bzw. Strömungsgeschwindig-

keiten beider Fluide und der mittleren Temperaturdifferenz ∆Tm, soweit letztere nicht

vorgegeben ist. Mit diesen drei Größen werden die Frontquerschnitte Af1 und Af2 der

beiden Fluidströme und die Wärmeübertragungsfläche A für den zu übertragenden

Wärmestrom festgelegt. Aus den Verhältnissen dieser drei Flächen des Apparats zu

den entsprechenden Teilflächen eines periodischen Elements werden die Anzahlen n

= nx ny nz der Elemente in den drei kartesischen Richtungen bestimmt.

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6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern -63-

Abb. 6.1: Konzepte zur Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeiten der beiden

Seiten eines Wärmeübertragers

6.2 DISKRETISIERUNG UND ZAHL DER ELEMENTE

Eine Software wurde entwickelt, mit der Wärmeübertrager mit Wirbelerzeugern aus-

gelegt werden können22. Die Software beruht auf der interaktiven Wahl einer Über-

tragungsflächenkonfiguration, der Kostenoptimierung der Parameter Re1, Re2 und

evtl. ∆Tm für eine repräsentative „mittlere“ Zelle und der Berechnung der notwendi-

gen Zahl der Zellen in den drei kartesischen Richtungen. In Abb. 6.2 und 6.3 sind die

Flussdiagramme zweier Programme zur optimierten Auslegung von Wärmeübertra-

22 Grundsätze zur Auslegung eines Wärmeübertragers sind u. a. in Bell [20] beschrieben, vgl. auchKap. 2.

2,1f2,12,1

2,1 AuM

!

bekannt unbekannt

Fall 1)

)Iteration(Qmgeforderte

mitVergleichQT

PNTU)kA(.bzwku)ragersWärmeübert

einesnNachrechne(vorgebenA,gegebenQ,M,M

''2,1

2,12,1

2,12,1

2,1,f

21

!

!

!!!

→→

→→→→

α→→

Fall 2)

AkAu)ragersWärmeüberteines

Auslegung(vorgebenp.max,gegebenQ,M,M

2,12,1f

2,1

2,1

21

→→α→

→→∆

!!!

Fall 3)

AkAragersWärmeüberteinesAuslegung(

vorgebenumierteskostenopti

2,12,1f

2,1

→→α→→)

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6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern-64-

gern abgebildet23. Das Diagramm 6.2 ist für periodische Strömungen konzipiert.

Hierbei wird ein charakteristisches „mittleres“ Element einer gewählten Konfiguration

kostenoptimiert, das in drei Raumrichtungen aneinander gereiht, den gesamten

Wärmeübertrager bildet, Abb. 6.4. Dabei liegt die Annahme zugrunde, dass die

Strömungsform, die durch das Element zustande kommt, unabhängig von der Lage

im Wärmeübertrager, gleich bleibt.

Im Gegensatz dazu berücksichtigt das Programmkonzept in Abb. 6.3 eine Untertei-

lung der Strömungsform: Das erste Element stellt den Einlaufbereich dar, während

vom zweiten Element an vollentwickelte bzw. periodische Strömung angenommen

wird. Diese Aufteilung hat einen unmittelbaren Einfluss auf den mittleren Wärme-

übergangskoeffizienten jeder Seite. Dieser ist nämlich im Vergleich zu Abb. 6.2 im

Einlaufbereich höher, wodurch sich die insgesamt benötigte Wärmeübertragungsflä-

che verkleinert.

Nachfolgend sollen die wesentlichen Programmschritte der Flussdiagramme erläutert

werden. In Abb. 6.2 erfolgt zunächst eine Eingabe der Auslegungsdaten, wie Art der

Fluide, wobei beispielsweise auf der Rippenseite Luft Verwendung findet und in den

Rohren Dampf bei praktisch konstanter Temperatur kondensiert24. Alternativ kann in

den Rohren ein Medium strömen, dessen Temperatur sich beim Durchlauf auch än-

dert25. In diesem Fall spielt die Stromführung eine Rolle, die in einem späteren Schritt

gewählt wird. Ferner werden die Massenströme und Eintrittstemperaturen beider

Wärmeübertragungsseiten, sowie die Wärmeleistung eingegeben. Das Programm

kann für die Auslegung sehr verschiedener Bauarten von Rekuperatoren Verwen-

dung finden. Speziell hierfür steht eine Datenbank ausgewählter Konfigurationen mit

Wirbelerzeugern zur Verfügung (Scheidtmann et al. [103, 104]).

Die Idee ist, dass ein Grundelement einer periodisch gestalteten Wärmeübertra-

gungsfläche vollständig in den drei Raumrichtungen in geeigneter Anzahl aneinander

gereiht wird, so dass es die Gesamtabmessungen des Apparats ergibt26.

23 Eine Auslegungssoftware, allerdings ohne Kostenoptimierungsmodul, wurde von Janati [67, 68]entwickelt.24 latente Wärmeübertragung mit konstanter Wandtemperatur25 z. B. Wasser oder Öl26 Diese beinhalten nicht die Abmessungen der Zuflüsse und Armaturen.

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6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern -65-

Abb. 6.2: Flussdiagramm der VE

AEintrit

Datenbank:“Übertragungsflächen”

Berechnung koste

Berechnung

EinBerec

Berechnung koste

Berechnun

Eingabe Auslegungsdaten:rt der Fluide, Massenströme,

tstemperaturen, Wärmeleistung Q!

Auswahl Oberflächenkonfiguration (z. B. VEHE),Einlesen der Geometriedaten, Kostenfaktoren

und der Funktionen St(Re, Pr), f(Re)

HE-So

Datenbank:“Stoffeigen-schaften”

noptimierter Strömungsgeschwindigkeiten v2 und Af2

e

Re, St, f, Wärmeübergangskoeffizientenα1, α2 für beide Seiten

lesen von Stoffeigenschaften,hnung Wirkungsgrad, NTU, (k A)

noptimierter Strömungsgeschwindigkeiten v1 und Af1

g k, Wärmeübertragungsfläche A := A1,gesamte Zellenanzahl n

)

nz

Datenausgab

Anzahl nx der Zellen in Strömungsrichtung 1 (Integer

nx = int(nx) + 1ny = int(ny) +1

= int(n / (nx ny)) +1

Wahl der Stromführung

Abmessung Lx x Ly x Lz ,Druckverluste ∆p1, ∆p2

ftware (periodische Strömung)

Ende

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6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern-66-

AEintrit

Auswahl OEinlesen

undDatenbank:

“Übertragungsflächen”

Berechnung kosteno

Anpassung Strö-mungsgeschwindigkeit

zezxe,yex,y

2,12,1 LnLn

Vv

!=

EinBerec

Berechnung kosteno

j

gesamt

n neu,x −

n

ny, neu = int(ny) + 1

NT

j

n

Abb. 6.3: Flussdiagramm der VEH

Eingabe Auslegungsdaten:rt der Fluide, Massenströme,

tstemperaturen, Wärmeleistung Q!

berflächenkonfiguration (z. B. VEHE), der Geometriedaten, Kostenfaktoren der Funktionen St(Re, Pr), f(Re)

ptimierter Strömungsgeschwindigkeiten v

Berechnung Integer-Zahl derZellen ny

2,11zezxe,yex,y2,1 V01.0vLnLnV !! ≥−

e

lesen von Stoffeigenschaften,hnung Wirkungsgrad, NTU, (k A)

ptimierter Strömungsgeschwindigkeiten v

n

Berechnung (k A)Zelle, me Zellenanzahl n = (k A) / (k A)Zelle, m

1

?5.0nx ≥j

nx, neu

evtl

Startwerte:nx = 1ny = 2

(fix odervariabel)

Ende

?5.0nn xneu,y ≥−

E-Software (Einlaufströmung)

Datenbank:“Stoffeigen-schaften”

2 und Af2

1 und Af1

= int(nx) + 1

. interaktiverZugang

z

Datenausgab

Berechnung Re, St, f, Wärmeübergangskoeffizientenα1, α2 für beide Seiten

Anzahl nx, neu in Strömungsrichtung

Wahl der Stromführung

Berechnung korrigiertesU, Wirkungsgrad, ∆p1, ∆p2

nz = int(nz) + 1

Abmessung Lx x Ly x L
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6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern -67-

Abb. 6.4: Aufbau eines kompakten Wärmeübertragers aus aneinandergereihten re-

präsentativen Elementen

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6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern-68-

Grundsätzlich werden die Konfigurationen durch die Längen in Längs-, Breiten- und

Höhenrichtung (Lex, Ley, und Lez, vgl. Abb. 6.4), die hydraulischen Durchmessern auf

beiden Fluidseiten dh1 und dh2 und die Wärmeübertragungsflächen eines repräsenta-

tiven Elements Ae1 und Ae2 beschrieben. Die Wärmeübertragungsleistung der Flä-

chen wird in Form von Stanton-Zahlen und der Strömungsverlust durch Reibungs-

beiwerte ausgedrückt. Dies erfolgt durch Einlesen der entsprechenden Funktionen

oder ihrer Konstanten aus der o. g. Datenbank, die durch Aufnahme weiterer Flä-

chenkonfigurationen erweitert werden kann.

Nachdem die Stoffeigenschaften eingelesen und die Stromführung festgelegt wurde,

erfolgt eine Berechnung der Übertragungskennzahl NTU. Da diese eine Funktion des

Wirkungsgrades, des Kapazitätsstromverhältnisses und der Stromführung ist, lässt

sie sich hiermit bestimmen. Eine Vereinfachung ergibt sich bei konstanter Tempera-

tur einer Fluidseite, denn dabei gilt Stromführungsunabhängigkeit. Aus dem be-

kannten NTU folgt das Produkt aus Wärmedurchgangskoeffizient und Wärmeüber-

tragungsfläche (k A). Im Fall Tw = konst ist k ≈ α. Kann man nun das k oder α be-

stimmen, ist das Auslegungsproblem eines Wärmeübertragers prinzipiell gelöst, weil

damit auch die insgesamt erforderliche Wärmeübertragungsfläche A festgelegt ist.

Vor dem Berechnungsgang sind Startwerte der mittleren Geschwindigkeiten in den

Strömungskanälen zu wählen. Diese können anschließend durch Kostenminimierung

optimiert werden. Eine spätere Korrektur der kostenoptimierten Geschwindigkeiten,

um den Bedingungen der Auslegung zu genügen (bei ganzzahliger Zahl der Ele-

mente in jeder Richtung), ist dann häufig verhältnismäßig unkritisch, wenn die Ände-

rungen gering ausfallen, weil die Kosten sich in der Umgebung des Minimums nur

wenig mit den Geschwindigkeiten ändern.

Mit den schließlich berechneten Geschwindigkeiten beider Fluidströme können die

Frontflächen gemäß

2,12,1

2,1f u

MA

ρ=

!(6.1)

für beide Fluidseiten berechnet werden. Die Seiten 1 und 2 werden anhand Abb. 6.5

definiert.

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6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern -69-

Für die gefundenen Reynolds-Zahlen ergeben sich die Werte der Stanton-Zahl und

des Reibungsbeiwerts. Das Programm erlaubt eine Differenzierung der Kennzahlen

in Strömungsrichtung: Statt der Annahme eines mittleren Werts von Wärmeüber-

gangskoeffizient und Druckverlust für alle Geometrieelemente wird zwischen der

Einlaufzelle (Index 0) und den folgenden Zellen mit vollausgebildeter Strömung (In-

dex ∞ ) unterschieden. Somit werden erhöhte Übertragungskoeffizienten im Eintritts-

bereich berücksichtigt, die einen in Strömungsrichtung kürzeren Wärmeübertrager

auslegen lassen als bei der Annahme einer durchgehenden vollentwickelten Strö-

mung, mit dem die geforderte Wärme übertragen wird.

Um den Wärmedurchgangskoeffizienten zu berechnen, bedarf es einer Mittelung der

Wärmeübergangskoeffizienten auf beiden Strömungsseiten. Diese erfolgt über die

Anzahl der Zellen. Als Startwerte werden z. B. in x Richtung eine Zelle angenommen

und in y Richtung zwei. In der dritten Achse ergibt sich die Zellenanzahl im Laufe der

Rechnung. Daraus berechnet sich dann der mittlere Wärmeübergangskoeffizient bei-

spielsweise in x Richtung zu

x

x0m n

)1n( −α+α=α ∞ (6.2)

und der Wärmedurchgangskoeffizient bezogen auf die Fläche A1 zu1

m,22

1

m,101

1AA1k

α

= (6.3)

Dabei wird der Wärmewiderstand der Wand vernachlässigt. Nun lässt sich die Wär-

meübertragungsfläche A1 berechnen:

1

111 k

WNTUA!

= (6.4)

Die gesamte Zellenanzahl ergibt sich durch Division der Gesamtfläche durch die Flä-

che eines Elements auf der Seite 1. Somit ist auch die Zellenanzahl in der noch feh-

lenden z Richtung bekannt.

Anschließend erfolgt die Berechnung einer neuen Zellenzahl mit der Formel

zyeneu,x nnA

An = (6.5)

Mit einer Abfrage werden die alte und neue Zellenzahl in x Richtung miteinander ver-

glichen. Ist der Abstand größer als eine Schranke, wird nx,neu aufgerundet. Es erfolgt

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6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern-70-

ein Rücksprung an die Stelle der Berechnung der Wärmeübergangskoeffizienten und

die nachfolgenden Rechnungen werden in einer Schleife so oft durchlaufen, bis das

Kriterium erfüllt ist.

Abb. 6.5: Definition der Seiten und Richtungen für den Lamellenrohr- und Plattentyp

(Dreieckskanal mit eingeschlossen)

Danach werden ganze Zahlen für ny und nz gewählt, womit sich auch die Abmessun-

gen des Wärmeübertragers Lx x Ly x Lz durch Multiplikation mit den Abmessungen

eines Elements ergeben. An dieser Stelle bietet das Programm einen interaktiven

Zugang bei der Wahl der Zellenanzahl an, um entweder bestimmte Einschränkungen

bezüglich der Form der Abmessungen, wie beispielsweise der Einhaltung einer mög-

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6. Kostenoptimierter Entwurf von Wärmeübertragern -71-

lichst quadratischen Grundform, zu erlauben oder den Berechnungsvorgang zu be-

schleunigen, wenn die endgültigen Abmessungen abzusehen sind.

In der letzten Abfrage wird der Volumenstrom (bei inkompressibler Rechnung der

Massenstrom), der sich mit der gewählten Zellenzahl in der Ebene der Frontfläche

berechnen lässt, mit dem vorgegebenem Volumenstrom verglichen. Bei einer Abwei-

chung, die größer ist, als eine gegebene Schranke, erfolgt mit einer korrigierten Ge-

schwindigkeit ein Schleifenumlauf an die Stelle der Berechnung der Frontflächen, bis

die Volumenströme sich aneinander in ausreichendem Maße nähern.

Die Datenausgabe umfasst die Anzahl der Zellen n = nx ny nz, die Abmessungen des

Wärmeübertragers, die Übertragungsfläche A und die Druckverluste auf beiden

Fluidseiten.

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7. Ergebnisse-72-

7. ERGEBNISSE

Im ersten Teil des Kapitels werden einige Messergebnisse zu einer Dreieckskonfigu-

ration mit und ohne Wirbelerzeuger präsentiert. Im Anschluss wird unter Verwendung

dieser und anderer Konfigurationen die kostenoptimierte Auslegung von Wärme-

übertragern demonstriert. Eine Diskussion der Ergebnisse der Kostenoptimierung

schließt das Kapitel ab.

7.1 MESSUNGEN ZUM WÄRMEÜBERGANG IM DREIECKSKANALMIT UND OHNE WIRBELERZEUGER

Der Wärmeübergang wird mit Hilfe der Ammoniak-Absorptions-Methode an den drei

Wänden des Dreieckskanals mit Wirbelerzeugern untersucht. Als Referenzmessung

erfolgt auch eine Untersuchung an einem Dreieckskanals mit gleichen Abmessun-

gen, jedoch ohne Wirbelerzeuger (Abb. 7.1).

Abb. 7.1: Schnittbild zur Bezeichnung der Seiten eines Dreieckskanals ohne (links)

und mit (rechts) Wirbelerzeuger

Dabei wird nur eine Wandfläche des gleichseitigen Dreieckskanals ohne Wirbeler-

zeuger untersucht (in Abb. 7.1, links mit I gekennzeichnet). Aufgrund der Symmetrie

der Anordnung und unter Vernachlässigung von Volumenkräften, wie dem Erd-

schwerefeld, ist der Wärme- und Stoffübergang an den drei Wandflächen gleich.

Durch den Einbau von Wirbelerzeugern geht die Symmetrie verloren: Die Seite II a

kennzeichnet die Wärmeübertragerplatten, zwischen denen die Dreiecksrippe einge-

baut wird; diese enthält keine Wirbelerzeuger. Der Schenkel II b ist eine Seite mit

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7. Ergebnisse -73-

Wirbelerzeugern und mit II c ist deren Rückseite bezeichnet, die zwar Ausstanzun-

gen hat, aber keine Wirbelerzeuger im betrachteten Dreieckskanal aufweist.

Die gekennzeichneten Flächen werden dabei in mehreren Versuchen einzeln mit

Filterpapier belegt, so dass nur auf diesen Flächen ein Stoffübergang erfolgt. Die

Reynolds-Zahl variiert zwischen Re = 941,3 und Re = 2642,9.

7.1.1 REFERENZKANAL OHNE WIRBELERZEUGER

Zunächst wird der glatte Referenz-Dreieckskanal (nach Abb. 7.1, links) untersucht,

um einen späteren Vergleich mit dem Dreieckskanal mit Wirbelerzeugern zu erlau-

ben und den Einfluss der Wirbelerzeuger auf den Wärmeübergang zu erkennen.

Der Verlauf der quergemittelten Nusselt-Zahl in dem dreieckigen Kanal mit einseiti-

ger Wärmezufuhr soll im Folgenden mit dem ebenen Spalt mit gleichem dh verglichen

werden, Abb. 7.2. Nach Shah & Bhatti [113] berechnen sich die lokalen Nusselt-

Zahlen beim ebenen glatten Spalt mit einer isothermen und einer adiabaten Wand

wie folgt:

[ ][ ]27,017,0

7,017,02,1

x̂Pr0909,012,0x̂Pr0455,0x̂0606,086,4Nu

−−

+

−+= (7.1)

mit

PrRe2H/xx̂ = (7.2)

Anhand Abb. 7.2 wird deutlich, dass für die gleiche Reynolds-Zahl bezogen auf dh

der Verlauf der Nusselt-Zahl im ebenen Spalt höher liegt als im Dreieckskanal. Die

Verläufe nähern sich asymptotisch den Nusselt-Zahlen der thermisch voll ausgebil-

deten, laminaren Strömung. Für den ebenen Spalt mit einseitiger Wärmezufuhr be-

trägt dieser Wert Nu = 4,86. Beim ebenen Spalt ist zu erkennen, dass die Strömung

bei einem Abstand von x/H = 11 noch nicht voll entwickelt ist.

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7. Ergebnisse-74-

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10 12

x/H

Nu

Dreieckskanal

ebener Spalt

Abb. 7.2: Verläufe der Nusselt-Zahlen, bezogen auf den entsprechenden

hydraulischen Durchmesser, des ebenen Spalts mit einer isothermen und einer

adiabaten Wand und des dreieckigen Kanals mit zwei adiabaten und einer

isothermen Wand (Re = 931,9)

In Abb. 7.3 sind quergemittelte gemessene Nusselt-Zahlen im glatten Dreieckskanal

ohne Wirbelerzeuger über der Lauflänge aufgetragen. Man erkennt, dass mit zu-

nehmender Reynolds-Zahl das Niveau der Nusselt-Verläufe erwartungsgemäß an-

steigt. Interessant ist, festzustellen, dass jeder der vier Kurven sich offenbar einem

anderen konstanten Wert nähert. Im Fall der laminaren Strömung müsste dieser

Wert unabhängig von der Reynolds-Zahl gleich sein27. Es ist unklar, ob mit größerer

Lauflänge die Kurven auf einen gemeinsamen Wert der Nusselt-Zahl konvergieren.

Offensichtlich handelt es sich um instabile oder schon turbulente Strömungen. Durch

die Kurven wurden mit Hilfe eines Potenzansatzes entsprechende Regressionskur-

ven gelegt. Diese sind ebenfalls in Abb. 7.3 angegeben.

Eine farbcodierte Auftragung der Nusselt-Zahl erfolgt in Abb. 7.4. Die untere Skala

ordnet den Farben eine Nusselt-Zahl zu. Die Reynolds-Zahlen werden wie in Abb.

7.3 variiert, wobei der obere Balken die Verteilung für Re = 931,9 darstellt.

27 Aber abhängig von der Zahl der wärmeübertragenden Wände.

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7. Ergebnisse -75-

Nu = 6,2493(x/H)-0,3724

Nu = 5,2848(x/H)-0,3699

Nu = 3,2391(x/H)-0,3436

Nu = 8,2869(x/H)-0,3591

0

5

10

15

20

0 5 10 15

x/H

Nu Re=931,9

Re=1318,0

Re=1614,2

Re=1977,0

Abb. 7.3: In Querrichtung gemittelte Nusselt-Zahlen des glatten Dreieckskanals in

Abhängigkeit von der auf die Kanalhöhe H bezogenen Lauflänge für verschiedene

Reynolds-Zahlen

30 3 0,310

Nu d

H

Red

H

x/H; Strömungsrichtung

Abb. 7.4: Lokale Verteilung der Nusselt-Zahlen für verschiedene in Abb. 7.3 unter-

suchte Reynolds-Zahlen. Der linke vertikale Pfeil deutet an, dass die Reynolds-Zahl

vom oberen (Re = Redh = 931,9) zum unteren Streifen (Re = Redh = 1977,0) zunimmt.

Der rechte vertikale Pfeil symbolisiert die y/H-Richtung für jeden der vier Streifen

(von unten nach oben)

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7. Ergebnisse-76-

Man erkennt mit zunehmender Reynolds-Zahl den Einfluss vergrößerter Nusselt-

Zahlen am Kanaleintritt (rot). Der Bereich mit niedriger Nusselt-Zahl ist grün gefärbt.

Der starke Abfall der Kurven in Abb. 7.3 lässt sich deutlich antizipieren. In Querrich-

tung liegt stets ein asymmetrischer Verlauf vor, welcher auf eine schiefe, asymmetri-

sche Strömung hinweist.

Die Verteilung der längsgemittelten Nusselt-Zahlen ist in Abb. 7.5 dargestellt. Die

Reynolds-Zahl variiert zwischen Re = 931,9 und 2690,3. Auffällig ist die nahezu kon-

stante Verteilung der Nusselt-Zahlen. Der Bereich an den Ecken des Dreiecksquer-

schnitts wurde aus messtechnischen Gründen nicht ausgewertet. An diesen Stellen

ist davon auszugehen, dass der konvektive Wärmeübergang abnimmt, weil die

Strömungsgeschwindigkeit reduziert wird.

0

1

2

3

4

5

6

7

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

y/H

Nu

Re=931,9Re=1318,0Re=2250,9Re=2608,4Re=2690,3

Abb. 7.5: Längsgemittelte Nusselt-Zahlen des glatten Dreieckskanals für einseitigen

Stoffübergang. Die Position y/H der Abszisse kann Abb. 7.4 entnommen werden

7.1.2 DREIECKSKANAL MIT WIRBELERZEUGER

In diesem Abschnitt werden die Verläufe der Nusselt-Zahl dargestellt, die sich bei der

Überströmung der Flächen II a bis II c nach Abb. 7.6 aus dem Stoffübergang ablei-

ten.

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7. Ergebnisse -77-

Abb. 7.6: Querschnitt durch ein periodisches Element der Versuchsanordnung (Kon-

figuration mit Wirbelerzeugern)

In jedem Messvorgang wurde jeweils nur eine von 3 Kanalwänden mit Filterpapier

belegt, so dass nur an der entsprechenden Seite ein Stoffübergang nachgewiesen

wird. Ausgenommen hiervon ist eine eventuelle, störende Adsorption des NH3 an den

unbelegten Seiten, die einer Messaufnahme nicht zugänglich ist. Es konnte aber in

verschieden Arbeiten gezeigt werden [107, 10], dass das an dem feuchten Filterpa-

pier absorbierte NH3 den physikalischen Sachverhalt quantitativ richtig wiedergibt.

Die Oberflächen der Wirbelerzeuger wurden wegen des unverhältnismäßig großen

Aufwands für die feine Struktur nicht belegt. Die Wirbelerzeuger bilden nur ca. 6%

der inneren Kanaloberfläche.

7.1.2.1 FLÄCHE II a OHNE WIRBELERZEUGER

Die Verteilung der quergemittelten Nusselt-Zahlen über der Reynolds-Zahl ist in Abb.

7.7 (oben) dargestellt. Der im Bereich 5,1H/x0 ≤≤ auftretenden Abfall der Nusselt-

Zahl ist charakteristisch für eine Anlaufströmung. Im Bereich 2x/H1,6 ≤≤ wird der

abfallende Verlauf der Nusselt-Zahlen durch einen erneuten Anstieg unterbrochen.

Für diesen ist die Platzierung des ersten Wirbelerzeugerpaares verantwortlich28, die

eine lokale Wärmeübergangserhöhung bewirkt. Der Bereich x/H = 2 bis x/H = 2,68 ist

die projizierte Position des ersten Winglets und zugleich das Gebiet mit dem höch-

sten Wärmeübergang.

28 in Abb. 7.8 durch drei horizontale Balken angedeutet

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7. Ergebnisse-78-

Weitere Gebiete mit hohem Wärmeübergang29 treten in den Bereichen

6,1x/H5,3 ≤≤ und 9,5x/H8,7 ≤≤ auf, d. h. wo auch die Wirbelerzeuger sich befin-

den.

Der weiter alternierende Verlauf der Nusselt-Zahlen bis zu der Lauflänge von x/H =

11,1 spiegelt sich in der Falschfarbendarstellung wieder. Im Bereich zwischen den

Wirbelerzeugern verschiebt sich der durch Längswirbel erzeugte Streifen erhöhten

Wärmeübergangs immer zur Mitte der Seite. Mit höherer Reynolds-Zahl wird der

Streifen dicker und deckt mehr und mehr den Randbereich ab. Lediglich ein dünner

grüner Bereich mit niedrigerem Wärmeübergang erstreckt sich fast durchgehend

stromabwärts von x/H ≈ 2, der besonders gut in den Farbdarstellungen für Re =

1886,1 und 2277,7 zu erkennen ist.

In Abb. 7.8 wird der Kontrast zwischen lokal starkem und schwachem Wärmeüber-

gang anhand der Verläufe der längsgemittelten Nusselt-Zahlen verdeutlicht. Kenn-

zeichnend für die dargestellten Kurven sind zwei Extremwerte, die für alle unter-

suchten Reynolds-Zahlen in den gleichen Intervallen (0,13 < y/H < 0,25 und 0,4 < y/H

< 0,6) auftreten.

Für niedrige Reynolds-Zahlen, Re = 941,3 und Re = 1215,3, sind das absolute Mini-

mum und Maximum noch relativ schwach ausgeprägt. Die Differenz zwischen klein-

stem und größtem Wert der Nusselt-Zahl bei Re = 941,3 beträgt 1,4. Mit steigenden

Reynolds-Zahlen bilden sich die Maxima stärker aus.

Die Differenz zwischen den beiden Extremwerten ist für Re = 2412,7 mit ∆Nu = 5 ca.

3,6-fach größer als bei der niedrigsten Reynolds-Zahl Re = 941,3. Damit nehmen die

Krümmungsradien der Kurven in Abb. 7.8 ab, wie durch eine „scharfen“ Abgrenzung

der Bereiche hohen und niedrigen Wärmeübergangs in der Falschfarbendarstellung

(Abb. 7.7) deutlich wird. Aus dieser Beobachtung lässt sich schließen, dass eine un-

symmetrische Wärmeübergangserhöhung durch den Einfluss der Längswirbel be-

wirkt wird.

29 vgl. Falschfarbendarstellung

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7. Ergebnisse -79-

0

5

10

15

0 2 4 6 8 10 12

x/H

NuRe=941,3Re=1215,3Re=1629,9Re=1886,1Re=2277,7

30 3 0,310

Nu d

HRe

dH

x/H; Strömungsrichtung

y/H

Abb. 7.7: Über der dimensionslosen Lauflänge aufgetragene quergemittelte Nusselt-

Zahlen der Fläche II a (oben) und deren lokale Verteilungen (unten)

Position derprojiziertenWinglets

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7. Ergebnisse-80-

0

5

10

15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Nu Re=941,3Re=1215,3Re=1629,9Re=1886,1Re=2277,7Re=2412,7

Abb. 7.8: Längsgemittelte Nusselt-Zahl auf der Fläche II a. Die Orie

Abszisse kann Abb. 7.7 entnommen werden

7.1.2.2 FLÄCHE II b MIT WIRBELERZEUGERN

Abb. 7.9 oben dokumentiert den Verlauf der quergemittelten Nu

Überströmung der in Abb. 7.6 gekennzeichneten Fläche II b für d

Reynolds-Zahlen. Grundlage für die Auswertung bildet das aus vie

mengefügte Filterpapier. Am oberen Falschfarbenbild sind schwar

zur Andeutung der Positionen der Winglets angebracht. Mit dieser A

sich, nach dem Einlaufbereich, drei Perioden auswerten.

Zwischen x/H = 0 und x/H = 2 fallen alle Kurven in Abb. 7.9 expon

Nusselt-Zahlen ab. Ablösungserscheinungen an der Anlaufkante kö

Re = 941,3 nachgewiesen werden. Das Auftreffen des Fluids auf di

einem starken Anstieg des Wärmeübergangskoeffizienten verbund

Darstellung zeigt Gebiete hohen Wärmeübergangs an den spitz zula

Seiten der Winglets. Durch die Verzögerung des Fluids während d

der Wirbelerzeuger-Flächen kommt es an diesen zu einem Druckan

1

y/H

ntierung y/H der

sselt-Zahlen bei

rei verschiedene

r Teilen zusam-

ze Markierungen

nordnung lassen

entiell von hohen

nnen lediglich für

e Winglets ist mit

en. Die farbliche

ufenden inneren

er Überströmung

stieg. Dieser be-

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7. Ergebnisse -81-

wirkt eine Ablösung der Grenzschicht. Die sich bildende Strömungsstruktur ist auch

bei der Umströmung von Rohren zu beobachten (Hufeisenwirbel). Auf der Saugseite

der Winglets befinden sich die Aussparungen. Sie bewirken aufgrund einer Druck-

differenz einen Fluidaustausch zwischen je zwei benachbarten Kanälen.

Charakteristisch für diese Konfiguration sind die lokalen Maxima, die an den Stellen

x/H = 3,3, x/H = 6,4 und x/H = 9,4 auftauchen. Ihre Werte sind über die gemessenen

drei Perioden nahezu gleich, wodurch gezeigt wird, dass eine Periodizität des Wär-

meübergangs ab der ersten Wingletreihe vorliegt. Beispielsweise hat die Kurve für

die Reynolds-Zahl Re = 1629,9 an den genannten Stellen der Abszisse die Nusselt-

Zahlen Nu = 12,9, Nu = 13,3 und Nu = 12,9. Vor den durch die Wirbelerzeuger verur-

sachten Maxima liegt jeweils ein lokales Minimum. Diese Minimalwerte sind beson-

ders stark für Re = 1629,9 und 2412,7 ausgeprägt, während für Re = 941,3 erst in

der dritten Periode ein lokales Minimum vor dem Maximum deutlich sichtbar ist. Die

Maxima liegen hinter den Wirbelerzeugern, wo die Fläche nicht durch Aussparungen

reduziert ist.

Eine Darstellung der längsgemittelten Nusselt-Zahlen ist in Abb. 7.10 wiedergege-

ben. Die Verteilung der Messwerte ähnelt der von Abb. 7.8. Die Extremwerte, zwei

Maxima an den Rändern und ein inneres Minimum, werden mit steigenden

Reynolds-Zahlen ausgeprägter.

Die Wirbelerzeuger verursachen eine unsymmetrische Verteilung der Nusselt-Zahl

bezogen auf die Mittelachse y/H = 0,5. Der Abstand der Flügel verjüngt sich in Strö-

mungsrichtung und induziert Längswirbel mit gegensinnigem Drall, die Fluid von den

Rändern zum mittleren Bereich des Kanals transportieren. Die thermische Grenz-

schicht in Randnähe wird dadurch zerstört und der Wärmeübergang erhöht.

7.1.2.3 FLÄCHE II c MIT AUSSPARUNGEN

Die vierte untersuchte Oberfläche ist durch dreieckige Aussparungen gekennzeich-

net. Wie oben erwähnt, sind die Winglets im Experiment aus der Oberfläche gefräst

worden und an deren Rückseite befestigt. Der Einfluss der induzierten Längswirbel

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7. Ergebnisse-82-

ist auch auf dieser Seite erkennbar. Der charakteristische Verlauf der quergemittelten

Nusselt-Zahl für verschiedene Reynolds-Zahlen ist in Abb. 7.11 dargestellt.

0

5

10

15

20

0 5 10

Nu

Re=941,3Re=1629,9Re=2412,7

30 3 0,310

Nu d

H

Red

H

x/H; Strömungsrichtung

Abb. 7.9: Über der dimensionslosen Lauflänge aufgetragene q

Zahlen der Fläche II b (oben) und deren lokale Verteilungen (un

15

x/H

y/H

uergemittelte Nusselt-

ten)

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7. Ergebnisse -83-

0

5

10

15

0 0,2 0,4 0,6

NuRe=941,3Re=1331,3Re=1629,9Re=1886,1Re=2277,7Re=2412,7

Abb. 7.10: Längsgemittelte Nusselt-Zahlen der Fläch

Abszisse kann Abb. 7.9 entnommen werden

Die schwarzen Markierungen deuten die Positionen

fläche befestigten Winglets an.

In der Abbildung treten im Bereich der Aussparun

gangskoeffizienten auf. Die Steigerung der Nusselt-Z

Zahl ähnelt annähernd einer vertikalen Verschiebun

selt-Zahl, wobei die Peaks stärker akzentuiert werde

sind die Übergänge zu den Maxima teilweise weich

Fläche lokal weniger massiv gestört wird. Die Nuss

auch etwas geringer als an Fläche II b.

Die längsgemittelten Nusselt-Zahlen (Abb. 7.12) zei

Randbereichen zu beiden Seiten der Aussparungen.

Re = 941,3 ein flaches Minimum.

Bei Betrachtung von Abb. 7.11 erkennt man, dass d

teilung der Bereiche der Nusselt-Zahlen über der F

0,8 1

y/H

e II b. Die Orientierung y/H der

der auf der Rückseite der Ober-

gen die höchsten Wärmeüber-

ahl mit Erhöhung der Reynolds-

g einer Kurve niedrigerer Nus-

n. Im Gegensatz zur Fläche II b

er, da die Strömung an dieser

elt-Zahlen sind im Durchschnitt

gen zwei lokale Maxima in den

Zwischen ihnen existiert für

ie in Abb. 7.7 erkennbare Zwei-

läche II c weniger stark ausge-

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7. Ergebnisse-84-

prägt ist. Bei höheren Reynolds-Zahlen ist zu beobachten, dass das Minimum bei x/H

= 0,46 durch in ein weiteres (Neben-) Maximum geteilt wird. Dieser charakteristische

Verlauf ist im Vergleich zu Abb. 7.8 und 7.10 neu.

0

5

10

15

20

25

0 5 10

Nu Re=941,3Re=1331,3Re=1886,1Re=2412,7

Nu d

H

40 10 3 0,3

Red

H

x/H; Strömungsrichtung

Abb. 7.11: Über der dimensionslosen Lauflänge aufgetragene q

selt-Zahlen auf der Oberfläche II c (oben) und deren lokale Verteil

15

x/H

y/H

uergemittelte Nus-

ungen (unten)

Page 99: Optimierter Entwurf von Hochleistungswärmeübertragern · OPTIMIERTER ENTWURF VON HOCHLEISTUNGSWÄRMEÜBERTRAGERN Dissertation zur Erlangung des Grades Doktor-Ingenieur der Fakultät

7. Ergebnisse -85-

0

5

10

15

20

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

y/H

Nu Re=941,3Re=1331,3Re=1886,1Re=2108,8Re=2277,7Re=2412,7

Abb. 7.12: Längsgemittelte Nusselt-Zahlen der Fläche II c. Die Orientierung y/H der

Abszisse kann Abb. 7.11 entnommen werden

Diese Konfiguration profitiert hauptsächlich von dem Einfluss der durch die Wirbeler-

zeuger der Oberfläche II b hervorgerufenen Wirbel. Die Aussparungen führen zu ei-

ner erhöhten Vermischung des durch sie hindurch transportierten Fluids. An den

Rändern der Öffnungen bilden sich Gebiete erhöhten Wärmeübergangs, die im

Durchschnitt eine Erhöhung des Wärmeübergangs im mittleren Bereich nach sich

ziehen.

Die Ergebnisse für den Dreieckskanal mit Wirbelerzeuger werden in Abb. 7.13 mit

denen für den glatten Dreieckskanal exemplarisch für Re = 2277,7 gegenüberge-

stellt. Im Bereich 1,6x/H0 ≤< ist der Kurvenverlauf durch einen annähernd gleichen

stetigen Abfall gekennzeichnet. Für x/H > 1,6 verzeichnet der Dreieckskanal mit Wir-

belerzeugern auf allen Flächen wesentlich höhere Nu-Werte als der glatte Kanal.

Bemerkenswert ist der lokale Abfall der quergemittelten Nusselt-Zahl auf der Seite II

b bei x/H = 2 sogar unter das Niveau des glatten Dreieckskanals. Anhand Abb. 7.9

kann man erkennen, dass das verhältnismäßig starke Absinken unabhängig von den

untersuchten Reynolds-Zahlen an dieser Stelle vorhanden ist.

Page 100: Optimierter Entwurf von Hochleistungswärmeübertragern · OPTIMIERTER ENTWURF VON HOCHLEISTUNGSWÄRMEÜBERTRAGERN Dissertation zur Erlangung des Grades Doktor-Ingenieur der Fakultät

7. Ergebnisse-86-

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15

x/H

NuIII aII bII c

Abb. 7.13: Vergleich der quergemittelten Nusselt-Zahlen aller Oberflächenformen für

Re = 2277,7

Ein derartiger Abfall des Wärmeübergangs kurz vor den Wirbelerzeugern unterhalb

des Niveaus der gleichen Konfiguration ohne Wirbelerzeuger wird ebenfalls bei Un-

tersuchungen eines glatten Spalts mit auf einer Seite periodisch paarweise angeord-

neten Deltawinglets von [107] berichtet. Für x/H zwischen 2 und 4 verzeichnen die

Seiten des Dreieckskanals mit Wirbelerzeugern lokale Maxima. Dabei ist das jeweili-

ge Maximum der Seite mit Ausstanzungen jedoch ohne Wirbelerzeuger (II c) am

höchsten gefolgt von der Seite mit Wirbelerzeuger (II b) und derjenigen ohne Wirbe-

lerzeuger und Ausstanzungen (II a). Auffällig ist die Verschiebung stromabwärts des

Maximums auf der Seite II b im Vergleich zu den beiden anderen Seiten, deren Ma-

xima in etwa übereinander liegen. Zwischen x/H = 4 und 7 befinden sich nach einem

Abfall die zweiten lokalen Wärmeübergangsmaxima. Wiederum ist das Absinken

kurz vor dem Maximum der Kurve II b auffällig. Dieses unterschreitet jedoch diesmal

nicht die Kurve I. Das Niveau der Maxima entspricht in etwa den eine Reihe zuvor

ermittelten Werten. Ein ähnliches Verhalten wie in der vorigen Reihe kann auch nach

dem dritten Wirbelerzeuger-Paar festgehalten werden.

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7. Ergebnisse -87-

7.1.3 BERÜCKSICHTIGUNG DER STROMAUF ABSORBIERTENNH3-MENGE UND FLÄCHENGEMITTELTE KENNZAHLEN

Der Einfluss der NH3-Massenkorrektur soll im Folgenden anhand der Auftragung der

flächengemittelten Nusselt-Zahlen für die betrachteten Konfigurationen in Abhängig-

keit von der Reynolds-Zahl demonstriert werden. Abb. 7.14 bis 7.17 illustrieren den

Zusammenhang zwischen der Nusselt-Zahl und der Reynolds-Zahl.

Die Änderung der NH3-Menge mit x/H bei der Stoffübertragung entspricht der Ände-

rung der Bulktemperatur durch Wärmeübertragung. Ferner sind die relativen Abwei-

chungen zwischen den Nusselt-Zahlen mit und ohne Bulkkorrekturen in Abhängigkeit

von der Reynolds-Zahl angegeben. Man kann zum einen festhalten, dass die mittle-

ren Nusselt-Zahlen mit der Reynolds-Zahl ansteigen. Sie sind für die Seite I am nied-

rigsten und für die Seite II c am höchsten.

0

5

10

15

20

25

30

900 1400 19

Nu

I mit Bulkkorrektur

I ohne Bulkkorrektur

Abb. 7.14: Flächengemittelte Nusselt-Zahl i

die Seite I. Die relativen Abweichungen zw

Bulkkorrektur werden in dem kleinen Diagra

7

00 2400 2900

Re

n Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl für

ischen den Nusselt-Zahlen mit und ohne

mm dargestellt

0

1

2

3

4

5

6

900 1400 1900 2400 2900

Re

rel. Abw. (I) [%]

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7. Ergebnisse-88-

Die berechneten Nusselt-Zahlen bezogen auf lokale Bulktemperatur sind höher als

diejenigen ohne Korrektur. Der Grund hierfür ist, wie beschrieben, die Abnahme der

mittleren Partialdichte des Ammoniaks entlang des Untersuchungsbereichs durch die

Reaktion des NH3 auf dem Filterpapier. Infolgedessen wird die Differenz zwischen

der Partialdichte an der Wand30 und derjenigen im Fluid stromabwärts geringer, wo-

hingegen sie bei Bezug auf die Partialdichte am Kanaleintritt unverändert bleibt. So-

mit ist die Nusselt-Zahl mit Bulkkorrektur für x > 0 immer größer als ohne diese.

Für den Dreieckskanal ohne Wirbelerzeuger sind die relativen Abweichungen nahezu

unabhängig von der Reynolds-Zahl: Sie bewegen sich um 2%. Betrachtet man die

Seiten des Dreieckskanals mit Wirbelerzeuger stellt man eine Abnahme der relativen

Abweichungen mit der Reynolds-Zahl fest. Diese Tendenz wird auch von Novak [91]

aus Messungen des ebenen Spalts erhalten. Zusammenfassend werden in Abb. 7.18

die mittleren Nusselt-Zahlen der einzelnen Flächen, die mit Bulkkorrektur ermittelt

wurden, in einem Diagramm aufgeführt.

0

5

10

15

20

25

30

900 1400

Nu

II a mit Bulkkorrektur

II a ohne Bulkkorrektur

Abb. 7.15: Flächengemittelte Nusselt-Zah

die Seite II a. Die relativen Abweichunge

ne Bulkkorrektur werden in dem kleinen D

30 in unserem Fall null

7rel. Abw. (II a)

1900 2400 2900

Re

l in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl für

n zwischen den Nusselt-Zahlen mit und oh-

iagramm dargestellt

0

1

2

3

4

5

6

900 1400 1900 2400 2900

Re

[%]

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7. Ergebnisse -89-

0

5

10

15

20

25

30

900 1400

Nu

II b mit Bulkkorrektur

II b ohne Bulkkorrektur

Abb. 7.16: Flächengemittelte Nusselt-Zah

die Seite II b. Die relativen Abweichunge

ne Bulkkorrektur werden in dem kleinen D

0

5

10

15

20

25

30

900 1400

Nu

II c mit Bulkkorrektur

II c ohne Bulkkorrektur

Abb. 7.17: Flächengemittelte Nusselt-Zah

die Seite II c. Die relativen Abweichunge

ne Bulkkorrektur werden in dem kleinen D

7rel. Abw. (II b)

1900 2400 2900

Re

l in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl für

n zwischen den Nusselt-Zahlen mit und oh-

iagramm dargestellt

0

1

2

3

4

5

6

900 1400 1900 2400 2900

Re

[%]

7rel. Abw. (II c)

1900 2400 2900

Re

l in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl für

n zwischen den Nusselt-Zahlen mit und oh-

iagramm dargestellt

0

1

2

3

4

5

6

900 1400 1900 2400 2900

Re

[%]

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7. Ergebnisse-90-

Eine arithmetische Mittelung der Nusselt-Zahlen über den gesamten untersuchten

Bereich der Reynolds-Zahlen führt zu den folgenden Werten: Nu(I) = 4,2,

Nu(II a) = 7,8, Nu(II b) = 9,5, Nu(II c) = 10,4.

Als Zusatzinformation wurden aus den Datenpunkten jeder Seite Gleichungen von

Geraden angegeben. Üblicherweise werden Nusselt-Reynolds-Korrelationen in Form

von Potenzansätzen ermittelt. Beispielsweise gilt für eine turbulente Rohrströmung

mit einer hydraulisch glatten Oberfläche Nu ∼ Re0,8 für Re ≥ 10000.

In unseren Experimenten erstreckt sich die Bandbreite der Strömungsform von la-

minar bis turbulent31, weswegen hier solch ein mathematischer Zusammenhang nicht

gesichert ist. Daher haben wir der Einfachheit halber lineare Regressionen durchge-

führt. Man kann festhalten, dass die mittleren Nusselt-Zahlen der Fläche II c am

stärksten mit der Reynolds-Zahl ansteigen.

Nu = 0,0022 Re + 0,4114

Nu = 0,0027 Re + 2,8457

Nu = 0,0038 Re + 2,4492

Nu = 0,0043 Re + 2,5005

0

5

10

15

900 1400 1900 2400 2900

Re

NuFläche IFläche II aFläche II bFläche II c

Abb. 7.18: Zusammenfassende Auftragung der flächengemittelten Nusselt-Zahlen in

Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl von allen vier untersuchten Seiten. Die Glei-

chungen ergeben sich aus einer linearen Regression der Datenpunkte

31 vgl. Erläuterungen zu Abb. 7.4

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7. Ergebnisse -91-

St = -1E-07 Re + 0,0036

St = -1E-06 Re + 0,0085

St = -1E-06 Re + 0,0096

St = -1E-06 Re + 0,0099

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

900 1400 1900 2400 2900

Re

StFläche IFläche II aFläche II bFläche II c

Abb. 7.19: Darstellung der mittleren Stanton-Zahl in Abhängigkeit von der Reynolds-

Zahl für die untersuchten Konfigurationen mit den entsprechenden Regressionsgera-

den (Pr = 0,7)

Weiterhin wurden die Nusselt-Zahlen in Stanton-Zahlen für Pr = 0,7 wieder mit den

entsprechenden Regressionsgeraden transformiert (Abb. 7.19).

7.1.4 VERGLEICH MIT NUMERISCHEN ERGEBNISSEN

Batta [8] berichtet mit numerischen Berechnungen gewonnene Ergebnisse bezüglich

des Verhaltens des Wärmeübergangs und des Druckverlusts eines periodischen

Elements des Dreieckskanals mit Wirbelerzeugern. Jedoch sind in [8] alle drei

Wandseiten mit konstanter Wandtemperatur belegt, so dass eine größere Wärmelei-

stung übertragen wird.

In der Arbeit wird direkt der Wärmeübergang untersucht. Dementsprechend entfallen

Fehler durch Analogiebetrachtungen. Die Ergebnisse für die gemittelten Nusselt-

Zahlen sind in Tabelle 7.1 absolut und in Relation zum Wert der vollentwickelten la-

minaren glatten Dreiecksströmung (Nu0 = 2,47) zusammengefasst.

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7. Ergebnisse-92-

In dem betrachteten Bereich der Reynolds-Zahlen ist eine Wärmeübergangssteige-

rung von 70%, 133% und 189% bezüglich der vollentwickelten Strömung des glatten

Dreieckskanals ohne Wirbelerzeuger ermittelt worden. Abb. 7.20 stellt die numerisch

berechneten Nusselt-Zahlen den gemessenen gegenüber.

Bei einer Reynolds-Zahl von 100 (laminar) ist die Steigerung des Wärmeübergangs

durch Wirbelerzeuger etwa 1,6:1. Betrachtet man jedoch die höhere Reynolds-Zahl

von 900 beläuft sich die Steigerung des Wärmeübergangs auf ca. 2,5:1. Vermutlich

wir die Strömung durch den Einsatz der Wirbelerzeuger turbulent. Die Stanton-Zahl

für den Wärmeübergang mit Wirbelerzeugern klingt mit steigender Reynolds-Zahl ab

(ca. 2,0:1 bei einer Reynolds-Zahl von 2700).

Tabelle 7.1: Mit numerischen Untersuchungen gewonnene mittlere Nusselt-Zahlen

eines periodischen Elements des gleichen Dreieckskanals mit und ohne Wirbeler-

zeugern, wobei für alle drei Seiten Tw = konst. gilt [8]

ohne Winglet mit Winglets

Redh 100 100 200 400

Num, dh 2,47 4,202 5,755 7,128

Nu / Nu0 1 1,7 2,33 2,89

Hierzu wurden für jede Reynolds-Zahl eine arithmetische Mittelung der Nusselt-

Zahlen der einzelnen Flächen durchgeführt. Im Bereich 900Re400 << liegen keine

Ergebnisse vor. Eine Extrapolation der numerischen Werte über diesen Bereich er-

scheint nicht sinnvoll, da der Unterschied zu [8] durch die Betrachtung von zwei Sei-

ten als adiabate Wände bemerkenswert ist. Ferner ist zu bedenken, dass die aus

AAM gewonnenen mittleren Nusselt-Zahlen im Vergleich zur thermisch vollentwik-

kelten Strömung, wie er von [8] betrachtet wurde, durch das Einfließen des Einlauf-

bereichs in die Mittelwertbildung angehoben werden.

Aus den erhaltenen Ergebnissen wird, wie für die Lamellenrohrkonfiguration mit Wir-

belerzeugern und die geprägte Platte ein Datenblatt erstellt. Einfache Potenzkorrela-

tionen sind in Tabelle 7.2 angegeben.

Page 107: Optimierter Entwurf von Hochleistungswärmeübertragern · OPTIMIERTER ENTWURF VON HOCHLEISTUNGSWÄRMEÜBERTRAGERN Dissertation zur Erlangung des Grades Doktor-Ingenieur der Fakultät

7. Ergebnisse -93-

Abb. 7.20: Über alle Seiten des Dreiecks gemittelte Stanton-Zahlen in Abhängigkeit

von der Reynolds-Zahl – Vergleich AAM mit numerischen Berechnungen [8]

Tabelle 7.2: St- und f-Korrelationen des Dreieckskanals mit Wirbelerzeugern

b1 [-] c1 [-] b2 [-] c2 [-]0,0420 -0,2658 4,8025 -0,6441

f = b2 Rec2 [-]St = b1 Rec1 Pr-2/3 [-]

7.2 ERGEBNISSE DER KOSTENOPTIMIERUNG

7.2.1 KOSTENOPTIMIERTER BETRIEB (EINSEITIGE BETRACHTUNG)

In den Abb. 7.21 und 7.22 werden die betrachteten Konfiguration gegenübergestellt.

Neben dem oben erläuterten VG1-Kriterium erfolgt ein Flächenvergleich (A/Ao)Kmin.

Die flächenbezogenen Apparatekosten einer verbesserten, z. B. durch Wirbelerzeu-

ger modifizierten, Konfiguration wird mit dem eines ebenen Spalts (als Referenz) ins

Verhältnis gesetzt. Dieser Quotient wird für den optimalen Betriebspunkt erstellt, in

dem die Kosten für den Wärmeübergang minimal werden (ReK,min):

0,001

0,01

0,1

100 1000 10000Re

St

gemessen, ohne Wirbelerzeuger

gemessen, mit Wirbelerzeuger

numerisch, ohne Wirbelerzeuger

numerisch, mit Wirbelerzeuger

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7. Ergebnisse-94-

hminKminKpm

minK,0minK,0pmh

minK,0

minK

dStRecTStRecTd

)Q/A()Q/A(

η∆η∆

=!

!(7.3)

Unter der Annahme konstanter Wärmeströme Q! folgt daraus für gleiche ∆Tm:

minKminK

minK,0minK,0

minK0 StReStRe

AA =

(7.4)

Die Ergebnisse sind in Tabelle 7.3 verzeichnet und werden in Abb. 7.21 graphisch

dargestellt. Die Referenzfläche A0 ist die des glatten Kanals bei gleicher Wärme-

übertragungsleistung ( 00 AA α=α ) für die kostengünstigste Reynolds-Zahl.

Weiterhin wird ein Kostenvergleich (K/K0)Kmin durchgeführt. Der Vergleich der Ge-

samtkosten modifizierter Flächen mit denen des Referenzkanals erfolgt analog zur

Berechnung von (A/A0)Kmin. Der Unterschied besteht darin, dass neben den Appara-

tekosten auch die Betriebskosten berücksichtigt werden. Für gleiche Wärmeströme

Q! kann das Verhältnis von Kosten zu Wärmeübertragungsfläche im optimalen Be-

triebspunkt berechnet werden:

minK,0

2minK,0minK,0

mp2h

2

PminK,0minK,0pm

h0,A

minK

2minKminK

mp2h

2

PminKminKpm

hA

minK0

StRef

Tcd2k

StRecTdk

StRef

Tcd2k

StRecTdk

KK

∆ν+

η∆

∆ν+

η∆=

!

!

!

!(7.5)

Die berechneten Werte sind in Tabelle 7.3 verzeichnet. In Abb. 7.22 sind sie gra-

phisch dargestellt.

Tabelle 7.3: Ergebnisse der Verhältnisse (A/A0)Kmin, (A/A0)VG1 und (K/K0)Kmin

Autor / Jahr Konfig. (A/A0)Kmin (A/A0)VG1 (K/K0)Kmin

2.1.1.1 Wärmeübertrager mit Hutzen-WirbelerzeugernBehle (1996) H_1DR 0,61 0,47 0,60Behle (1996) H_2DR 0,55 0,41 0,57Müller (1998) HPV_1DR 0,33 0,28 0,34Müller (1998) HAV_1DR 0,27 0,22 0,302.1.1.2 Wärmeübertrager mit Winglet-WirbelerzeugernBrockmeier (1987) DFWE 0,78 0,84 0,74Brockmeier (1987) DWWEP 0,70 0,75 0,70

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7. Ergebnisse -95-

Embossed (1998) QWE 0,71 0,76 0,71Grosse-Gorgemann LWE - - -Grosse-Gorgemann FSB 0,49 0,48 0,50Güntermann (1992) QR 0,41 0,38 0,41Lorenz (1996) DWP 0,91 1,22 1,03Tiggelbeck (1990) DWP_DR 0,71 0,78 0,74Tiggelbeck (1990) PLFI (ver.) 0,90 1,05 0,92Weber (1995) FGBG45 0,68 0,72 0,60Weber (1995) FGBG90 0,58 0,68 0,702.1.1.3 Lamellen-Rohr-Wärmeübertrager mit Winglet-WirbelerzeugernBastani (1998) TUFI_E 0,95 1,19 1,97Bastani (1998) TUFI_PV 1,60 2,02 3,15Chen (1997) 1DWP 0,83 0,97 1,30Chen (1997) 4DWP 0,48 0,52 0,74VEHE1 (1998) TUFI 0,77 0,67 1,052.1.1.4 Dreieckkanal-Wärmeübertrager mit Winglet-WirbelerzeugernVEHE2 (1998) TRICHA 0,95 1,34 1,10

7.2.2 KOSTENOPTIMIERTER BETRIEB (BEIDSEITIGE BETRACHTUNG)

Betrachtet man die Abhängigkeit der minimierten Kosten von den Reynolds-Zahlen

beider Seiten, so erhält man Abb. 7.23 und 7.24 für spezifischen Kosten als Funktion

von Re1 und Re2. Die Kosten hängen von der Reynolds-Zahl auf der Luftseite im

Vergleich zur Reynolds-Zahl der Wasserseite sehr viel stärker ab (Abb. 7.24). Diese

Vorgehensweise der Kostenminimierung kann auf extreme Unterschiede der drei

Kanallängen des Wärmeübertragers führen und damit auf unhandliche Bauformen

und auf Anschlussquerschnitte mit ungünstig hohem Verhältnis von Umfang zu

Querschnittsfläche (teure Kanäle und Anschlussstücke), vgl. Abb. 7.25.

Gegebenenfalls lassen sich ungünstige Verhältnisse der Abmessungen (Schritt 1,

Abb. 7.25) des kostenoptimierten Wärmeübertragers dadurch korrigieren, dass der

Wärmeübertrager zu einer kompakteren Form gefaltet wird (Schritt 2, Abb. 7.25), d.

h. indem der Wärmeübertrager in geeigneter Form in mehrere Teile geschnitten wird

und diese dann in anderer Form wieder zusammengesetzt werden. Dabei werden

weder die Frontflächen noch die Wärmeübertragungsflächen verändert. Durch die

kompaktere Form kommt es jedoch zu zusätzlichen Strömungsverlusten in den

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7. Ergebnisse-96-

Rohrkrümmern. Unter Umständen lässt sich die so erzeugte neue Stromführung

durch eine wärmetechnisch günstigere ersetzen, z. B. im Fall der Abb. 7.25, Schritt

3, der zunächst angenommene Kreuzstrom durch einen Kreuzgegenstrom mit meh-

reren Durchgängen. In diesem Fall ist u. U. auch die Optimierung mit dem entspre-

chend der Stromführung korrigierten Wert von ∆Tm zu wiederholen.

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7. Ergebnisse-72-

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������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

2,40

2,60

2,80

3,00

3,20

Beh

le: H

_1D

R

Beh

le: H

_2D

R

Mül

ler:

HP

V_1

DR

Mül

ler:

HA

V_1

DR

Bro

ckm

eier

: DFW

E

Bro

ckm

eier

: DW

WE

P

Em

boss

ed: P

LFI (

ver.)

Gro

sse-

G.:

LWE

Gün

term

ann:

FS

B

Lore

nz: Q

R

Tigg

elbe

ck: D

WP

Tigg

elbe

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WP

_DR

Web

er: F

GB

G45

Web

er: F

GB

G90

Bas

tani

: TU

FI_E

Bas

tani

: TU

FI_P

V

Che

n: 1

DW

P

Che

n: 4

DW

P

VE

HE

1: T

UFI

VE

HE

2: T

RIC

HA

Autor / Konfiguration

Fläc

henv

erhä

ltnis

A /

A0

(A/A0) für Kmin

�����VG1

violett:Dreieckkanal-WÜ mit Winglet-WE

gelb:Lamellen-Rohr-WÜ

mit WE

grün:WÜ mit Winglet-WE

rot:WÜ mit Hutzen-WE

Referenz: K0 für hydrodynamisch vollentwickelte ebene Spaltströmung, kostenoptimiert

Abb. 7.21: Flächenbedarf für verschiedene Konfigurationen mit Wirbelerzeugern bezogen auf den Flächenbedarf für den ebenen

Spalt (kostenoptimiert), Scheidtmann et al. [104]

7. Ergebnisse -97-

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7. Ergebnisse -73-

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������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

2,40

2,60

2,80

3,00

3,20

Beh

le: H

_1D

R

Beh

le: H

_2D

R

Mül

ler:

HP

V_1

DR

Mül

ler:

HA

V_1

DR

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ckm

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E

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ckm

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LFI (

ver.)

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G.:

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FS

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nz: Q

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er: F

GB

G45

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V

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n: 1

DW

P

Che

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DW

P

VE

HE

1: T

UFI

VE

HE

2: T

RIC

HA

Autor / Konfiguration

Kost

enve

rhäl

tnis

K /

K0

rot:WÜ mit Hutzen-WE

gelb:Lamellen-Rohr-WÜ

mit WE

grün:WÜ mit Winglet-WE

Referenz: K0 für hydrodynamisch vollentwickelte ebene Spaltströmung, kostenoptimiert

Abb. 7.22: Minimale Kosten der Wärmeübertragung für verschiedene Konfigurationen mit Wirbelerzeugern bezogen auf minimale

Kosten der ebenen Spaltströmung, Scheidtmann et al. [104]

-98- 7. Ergebnisse

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7. Ergebnisse -99-

6042

078

011

4015

0018

6022

2025

8029

40

60900

17402580

0,000000003

3,6E-09

4,2E-09

4,8E-09

5,4E-09

0,000000006

5,4E-09-6E-09

4,8E-09-5,4E-09

4,2E-09-4,8E-09

3,6E-09-4,2E-09

3E-09-3,6E-09

Re1Re2

C/Q

Abb. 7.23: Spezifische Kosten in Abhängigkeit von den Reynolds-Zahlen beider

Fluide für Luft-Luft-Wärmeübertrager

1614

1291

2

2421

0

3550

8

4680

6

5810

3

6940

1

8069

9

74

1186

2298

3410

0,00E+00

6,00E-10

1,20E-09

1,80E-09

2,40E-09

3,00E-09

3,60E-09

4,20E-09

4,80E-09

C/Q

Re2 (Water)

Re1 (Air)

4,2E-09-4,8E-09

3,6E-09-4,2E-09

3E-09-3,6E-09

2,4E-09-3E-09

1,8E-09-2,4E-09

1,2E-09-1,8E-09

6E-10-1,2E-09

0-6E-10

Abb. 7.24: Spezifische Kosten in Abhängigkeit von den Reynolds-Zahlen beider

Fluide für Wasser-Luft-Wärmeübertrager

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7. Ergebnisse-100-

Abb. 7.25: Illustration des Faltens eines Wärmeübertragers im Fall des Lamellen-

rohrtyps

7.3 DISKUSSION DER ERGEBNISSE DER KOSTENOPTIMIERUNG

Die kostenoptimierte Auslegung eines Hochleistungswärmeübertragers durch Mini-

mierung der spezifischen Kosten der Wärmeübertragung führt auf folgende Ergeb-

nisse:

Die günstigsten Flächenverhältnisse im Verhältnis zum Flächenbedarf des ebenen

Spalts ohne Modifikationen werden durch den Einbau von Wirbelerzeugern in Form

von Hutzen in die Strömungskanäle der Wärmeübertrager erreicht. Hier kann der

Bedarf an Wärmeübertragungsfläche um ca. 70 bis 80% reduziert werden (Konfigu-

ration Müller [88]: HPV_1DR und HAV_1DR).

Im Vergleich von Lamellen-Rohr- mit Platten-Wärmeübertrager-Konfigurationen

macht sich bemerkbar, dass in ersteren die Außenströmung durch die querange-

strömten Rohre massiv gestört wird (hohe Formwiderstände), wodurch der Druck-

verlust deutlich erhöht wird. Durch die zusätzlichen Materialkosten der Rohre sind die

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7. Ergebnisse -101-

Kostenfaktoren Ak! für Lamellen-Rohr-Wärmeübertrager deutlich höher als bei Plat-

tenwärmeübertragungsflächen oder bei durchbrochenen Lamellen mit Hutzen. Da

der ebene (glatte) Spalt als allgemeine Referenzkonfiguration gewählt wurde, ist vor-

herzusehen, dass ein Vergleich von Lamellen-Rohr-Wärmeübertragern mit glatten

Kanälen relativ hohe Werte A/A0 ergibt (Bastani Jahromi [4]: TUFI_E und TUFI_PV).

Hier erreicht die Lamellen-Ovalrohr-Wärmeübertrager-Konfiguration von Chen [27]

(4DWP) die besten Werte wegen des sehr geringen Formwiderstands der dünnen

Ovalrohre im Vergleich zu dem Kreisrohrquerschnitt.

Für die Konfiguration mit Dreieckskanal gilt ähnliches wie für die Lamellen-Rohr-

Wärmeübertrager. Diese Konfiguration ist teurer als der ebene Spalt. Hierzu tragen

der relativ schlechte Wärmeübergang in den spitzwinkligen Ecken der dreieckigen

Kanäle und relativ langen Wärmeleitungswege in den Rippen bei.

Die Unterschiede der Flächenbedarfswerte verschiedener Konfigurationen vom

höchsten zum niedrigsten Wert sind nach VG1 (gleiche Strömungsverlustleistung)

größer als bei der Kostenoptimierung. Eine Erklärung dafür ist, dass die Kostenopti-

mierung für sehr wirksame Wärmeübertragungsflächen geringere Geschwindigkeiten

und infolgedessen eine geringere Flächenverkleinerung bewirkt, wobei auch die Er-

höhung der Förderleistung reduziert wird. Da beim VG1-Kriterium das Verhältnis

0P/P !! stets 1 ist, ist die Geschwindigkeit durch f(Re) festgelegt.

Einen höheren Flächenbedarf als ebene Spalte mit Wirbelerzeugern zeigen im Ver-

gleich nach dem VG1-Kriterium die Lamellen-Kreisrohr-Konfigurationen von Bastani

Jahromi [4], die breiten Kanäle mit Querrippen von Lorenz [24] und die Dreieckska-

nalkonfiguration VEHE2. Diese Konfigurationen sind durch besonders hohe Formwi-

derstände gekennzeichnet.

Die beiden periodisch angeordneten Hutzen-Konfigurationen von Müller [88] und die

fluchtend, symmetrisch und beidseitig in den Strömungskanal eingebrachten

Wingletkonfigurationen von Güntermann [62] liefern die niedrigsten Werte des Flä-

chenbedarfs nach VG1-Kriterium.

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7. Ergebnisse-102-

Auch für die Kostenoptimierung im Vergleich zum ebenen Spalt (K/K0)Kmin haben die

Hutzen-Konfigurationen von Müller [88] die günstigsten Werte, gefolgt von den Kon-

figurationen von Güntermann [62]. Allerdings sind die Hutzen-Wirbelerzeuger von

Müller wegen der Perforation der Übertragungsflächen nicht für Platten-

Wärmeübertrager sondern z. B. für Lamellenrohrwärmeübertrager oder Regene-

ratoren geeignet.

Relativ teuer sind die Lamellen-Kreisrohr-Konfigurationen mit Wirbelerzeugern vonBastani Jahromi [4], verursacht durch das Zusammentreffen von großem Über-

tragungsflächenbedarf aufgrund geringerer Geschwindigkeiten (wegen hohen Form-

widerstands) und hohe Kostenfaktoren. Sie sind aber für den Einsatz in Gas-

Flüssigkeits-Wärmeübertragern und bei hohen Druckunterschieden ∆p besonders

geeignet und jedenfalls günstiger als Lamellen-Kreisrohr-Konfigurationen ohne Wir-

belerzeuger.

Bei der beidseitigen Kostenoptimierung können die asymmetrischen Abmessungen

durch Falten der Anordnung geändert werden.

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8. Zusammenfassung -103-

8. ZUSAMMENFASSUNG

In Hochleistungswärmeübertragern werden Übertragungsflächen hoher Flächen-

dichte mit speziellen Einbauten oder Strukturen zur Steigerung der Wärmeüber-

gangskoeffizienten verwendet. Von der DFG-Forschergruppe „Wirbel und Wärme-

übertragung“ (unter Leitung von Prof. Dr.-Ing. M. Fiebig) wurde über viele Jahre die

Anwendung von wirbelerzeugenden Flügeln oder Winglets untersucht. Durch solche

Wirbelerzeuger kann der Wärmeübergang beträchtlich erhöht werden, jedoch steigen

auch die damit verbundenen Druckverluste i. Allg. überproportional.

Ein anwendungsgerechter Lösungsansatz zur Bewertung von Hochleistungsflächen

ist die Betrachtung der minimalen spezifischen Kosten der Wärmeübertragung. In

dieser Arbeit werden verschiedene Wärmeübergangsflächen mit Wirbelerzeugern im

Hinblick auf ihre spezifischen Kosten der Wärmeübertragung verglichen. Betrachtet

werden dabei drei Kostenbeiträge, welche durch Kostenfaktoren gewichtet werden:

die erforderliche Übertragungsfläche, der Bedarf an Förderleistung und die Abwer-

tung der Wärme durch Entropieerzeugung. Der kostengünstigste Betrieb wird ermit-

telt, indem die Ableitungen der spezifischen Kosten der Wärmeübertragung nach den

Strömungsgeschwindigkeiten beider Seiten und nach der mittleren Temperaturdiffe-

renz ∆Tm zu Null gesetzt werden. Die Ermittlung der Kostenfaktoren ist naturgemäß

nur unter Vereinfachungen und für einen bestimmten Zeitraum möglich.

Verschiedene Übertragungsflächen mit Wirbelerzeugern, deren Wärmeübergangs-

verhalten und Druckverluste bekannt sind, wurden für Betrieb mit jeweils minimierten

Kosten untersucht bzw. miteinander verglichen. Für die Beurteilung der Flächenkon-

figurationen ist als gemeinsamer Referenzfall die hydrodynamisch voll entwickelte

ebene Spaltströmung mit der kostengünstigsten Reynolds-Zahl gewählt worden. Nä-

her untersucht wurden vor allem drei Konfigurationen, die im Rahmen des EU-

Projekts „Vortex Enhanced Heat Exchangers (VEHE)“ für industrielle Anwendungen

ausgewählt wurden.

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8. Zusammenfassung-104-

Für jeden Flächentyp ergeben sich bestimmte Strömungsgeschwindigkeiten beider

Fluide, welche minimale Kosten der Übertragungsfläche und der Pumpleistung er-

lauben, und, soweit nicht fest vorgegeben, eine kostengünstigste mittlere Tempera-

turdifferenz. Die Untersuchung zeigt, dass die minimierten spezifischen Kosten der

Wärmeübertragung eine ähnliche Rangordnung der betrachteten Flächen liefern, wie

das VG1-Kriterium nach Webb [139], und dass es möglich ist, die minimalen spezifi-

schen Kosten der Wärmeübertragung gegenüber konventionellen Platten- oder

Rohrbündelwärmeübertragern auf weniger als die Hälfte zu senken.

Die spezifischen Kosten der Wärmeübertragung in einer gewählten Konfiguration,

aufgetragen über dem Feld der Reynolds-Zahlen beider Fluide, zeigen eine schüs-

selförmige Verteilung der spezifischen Kosten mit einem Kostenminimum. Die Ab-

hängigkeit der Kosten von der Reynolds-Zahl der Gasseite ist wesentlich stärker als

von der Reynolds-Zahl der Flüssigkeitsseite eines Gas-Flüssigkeit-Wärmeübertra-

gers.

Die kostenoptimierte Auslegung kann zu einem Wärmeübertrager mit extremen Un-

terschieden der drei Längenabmessungen führen. Dann besteht die Möglichkeit des

„Faltens“ des Wärmeübertragers evtl. mit der Möglichkeit einer verbesserten Strom-

führung (Kreuzstrom mit mehreren Durchgängen). Zusätzlicher Druckverlust kann

dabei durch den Einbau von Rohrkrümmern entstehen.

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9. Quellenhinweise -105-

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9. Quellenhinweise-122-

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10. ANHANG

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10. Anhang -A 1-

A. KOSTENOPTIMIERUNG FÜR BEIDSEITIGE BETRACH-TUNG

Die Gleichung für die spezifische Kosten kann auf folgende Art formuliert werden,

vgl. auch Schneeloch [106]:

m20

T

2

1ii

m

P

m

iAi T

TTkP

TAkk

TAkAk

QK ∆+

∆+

∆= ∆

=∑ !!

!

!, i=1, 2 (A1)

und

m20

T

2

1ii

2111m

P

2111m

iAi T

TTkP

A1

A1

Tk

A1

A1

TAk

QK ∆+

α

+α∆

+

α

+α∆

= ∆=∑ !!

!

!(A2)

m20

T

32h

2232

322

31h

1131

311

22222p

2h

11111p

1h

m

P

2

i

2222p

2h

1

i

1111p

1h

mAi

TTTk

d2AfRe

d2AfRe

AStRecd

AStRecd

Tk

AA

StRecd

AA

StRecd

T1k

QK

∆+

νρ+νρ

η

+η∆

+

η

+

η∆

=

!!

!

(A3)

Daraus ergibt sich

m20

T

2ee2b

222p22h

222e3

21e

11

23

2h

2322

b1111p

1h

1e2

e31

2

1b2222p

2h31h

13112ee

1b111p

21h

121

m

P

1e2

2

ib2222p

2h1e1

1

ib1111p

1h

mAi

TTTk

RePracd2

CReReAA

d2C

Pracd

ReReAA

Pracd

d2CRe

Pracd2C

Tk

ReAA

PracdRe

AA

Pracd

T1k

QK

2212

2

2211

1

1221

2

2111

1

12

2

11

1

∆+

ν+

νρ⋅η

+

η

νρ+

ν

∆+

η

+

η∆

⋅=

+−−−

−−+−

−−!!

!

(A4)

Wenn man zur Vereinfachung folgende Variablen einführt

η

=1

ib1111p

1h1 A

APrac

dX1

(A5)

η

=2

ib2222p

2h2 A

APrac

dX2

(A6)

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10. Anhang-A 2-

1b111p

21h

121

3 Pracd2CX ν= (A7)

η

νρ=2

1b2222p

2h31h

1311

4 AA

Pracd

d2CX

2(A8)

νρη

=1

23

2h

2322

b1111p

1h5 A

Ad2

CPrac

dX1

(A9)

2b222p

22h

222

6 Pracd2CX ν= (A10)

erhält man

( )

( )

m20

T

2ee26

e32

1e15

1e2

e314

2ee13

m

P

1e22

1e11

mAi

TTTk

ReXReReXReReXReXT

k

ReXReXT1k

QK

2212221112212111

1211

∆+

+++∆

+

+∆

=

+−−−−−+−

−−!!

!

(A11)

Eine Kostenoptimierung wird durch zu Null Setzen der ersten partiellen Ableitungen

von Gl. A11 nach Re1, Re2 and ∆Tm durchgeführt:

( )( )

( ) ( ) ( )( )221112212111

11

e32

2e1115

1e2

e21214

1ee121113

m

P

2e1111

mAi

1

ReRe1eXReRee3XRe2eeXT

k

Re1eXT1k0

Re)Q/K(

−−−−+−

−+−++−∆

+

−∆

==∂

∂ !

(A12)

( )( )

( ) ( ) ( )

+−+−+−

+

−∆

==∂

+−−−−−

1ee222126

e2222

1e15

2e212

e31

2

14

m

P

2e2122

mAi

2

221222111221

12

Re2eeXRee3ReXRe1eReAAX

Tk

Re1eXT1k0

Re)Q/K( !

(A13)

( )

( )

20

T

2ee26

e32

1e15

1e2

e314

2ee132

m

P

1e22

1e112

mAi

m

TTk

ReXReReXReReXReXT

k

ReXReXT1k0

T)Q/K(

2212221112212111

1211

+−−−−−+−

−−

+

+++∆

+∆

⋅−==∆∂

∂ !

(A14)

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10. Anhang -A 3-

Das nichtlineare Gleichungssystem A12 bis A14 kann beispielsweise nach dem

Newton-Verfahren gelöst werden. Die optimalen Werte von Re1 und Re2 sind unab-

hängig von ∆Tm. Nach Berechnung der optimalen Re1 und Re2 kann ∆Tm direkt ge-

wonnen werden. Mit Hilfe des optimalen ∆Tm kann man prüfen, ob der aus der Auf-

gabenstellung bekannte Wert laut dem Optimierungskriterium günstig gewählt ist.

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10. Anhang-A 4-

B. ENGINEERING SOFTWARE FOR OPTIMIZED DESIGN OFVORTEX ENHANCED HEAT EXCHANGERS

1. CONCEPT OF SOFTWARE

A software for prediction and design of industrial VEHE’s is developed. Flow charts ofthe VEHE design software are given in Figs. 1a and b. Fig. 1a is applicable in case ofperiodic flow, while Fig. 1b annotates the procedure for developing flow conditions.

The types and mass flow rates of both heat exchanging fluids, the inlet temperatures,and the required heat load of the apparatus are the input data for the operating con-ditions.

The configuration of the heat transfer surface is chosen from a data bank establishedfor this purpose. The data bank includes smooth surfaces as circular tubes and flatplates and enhanced surfaces, in particular:

- plates bearing winglet type vortex generators for heat transfer augmentation,

- fin-and-tube configurations without and with vortex generators,

- corrugated plates, and in particular

- three vortex enhanced configurations selected within the present project.

Most of the enhanced surface configurations, except the three ones selected in thisproject, have been investigated at the RUB. Transfer features of these surfaces aregiven as Colburn factor and (apparent) friction factor respectively, both being func-tions of the Reynolds number.

A data bank of available information from numerical and experimental studies of heattransfer and pressure drop in VEHE’s and other heat exchanger configurations isgenerated. Figs. 2 to 4 show the data sheets of the transfer surfaces which are in-vestigated in particular in this project (tube-fin, embossed and secondary fin VEHE).

The data sheet of each configuration includes

- a schematic of the configuration,

- the curves of Colburn and friction factors versus the Reynolds number and

- the parameters of the correlations yield by a curve fit.

The flow arrangement is to be chosen to be compatible with the selected surface.

Fluid properties are given interactively by the user or are taken from another databank.

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10. Anhang -A 5-

Fig. 1a: Flow chart of VEHE software

type oinlet te

select Vread geo

fundata bank:

“transfer surfaces”

comput

compute Re

comp

comput

computeto

n

p

Input design data:f fluids, mass flow rates,mperatures, heat load Q!

– pe

EHE surface configuration,metric data, cost factors andctions St(Re, Pr), f(Re)

data bank:“fluid pro-perties”

e cost optimized v2 and AF2

, St, f, heat transfer coefficientsα1, α2 for both sides

read fluid properties,ute efficiency, NTU, (k A)

e cost optimized v1 and AF1

k, heat transfer area A := A1,tal number of cells n

)

z

re 2

print data

number nx of cells in flow direction 1 (integer

nx = int(nx) + 1ny = int(ny) +1

= int(n / (nx ny)) +1

select flow arrangement

size Lx x Ly x Lz ,ssure drop ∆p1, ∆p

riodic flow

end

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10. Anhang-A 6-

Fig. 1b: Flow chart of VEHE software (i

type inlet te

select Vread geo

fundata bank:

“transfer surfaces”

comput

com

fit flow velocity

zezxe,yex,y

2,12,1 LnLn

Vv

!=

compute Re

comput

comput

y

ctotal numbe

nn xnew,x −

n

ny, new = int(ny) + 1y

n

Input design data:of fluids, mass flow rates,mperatures, heat load Q!

nlet fl

EHE surface configuration,metric data, cost factors andctions St(Re, Pr), f(Re)

data bank:“fluid pro-perties”

e cost optimized v2 and AF2

pute integer numbers ofcells ny

2,11zezxe,yex,y2,1 V01.0vLnLnV !! ≥−

a

, St, f, heat transfer coefficientsfor both sides

read fluid properties,e effectiveness, NTU, (k A)

e cost optimized v1 and AF1

n

ompute (k A)cell, meanr of cells n = (k A) / (k A)cell, mean

?5.0≥

ynx, new = int(nx) + 1

eventually inter-active access

default:nx = 1ny = 2

set fixed orvariable

end

?5.0nn xnew,y ≥−

z

print dat

number nx, new of cells in flow direction 1

select flow arrangement, ∆Tm

calculate corrected NTU,effectiveness, ∆p1, ∆p2

nz = int(nz) + 1

ow)

size Lx x Ly x L

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10. Anhang -A 7-

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04Re(2H)

j23f 23

a [-] m [-] b [-] n [-]0,4481 0,5000 2,5402 -0,3700

St = a / Pr Rem-1 [-] f = b Ren [-]

Fig. 2: Data sheet for tube fin VEHE

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10. Anhang-A 8-

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04Re(2H)

j24f 24

b1 [-] c1 [-] b2 [-] c2 [-]0,3220 -0,4489 0,9439 -0,3600

St = b1 Rec1 Pr-2/3 [-] f = b2 Rec2 [-]

Fig. 3: Data sheet for embossed plate VEHE

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10. Anhang -A 9-

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04Re(dh)

f25j 25

b1 [-] c1 [-] b2 [-] c2 [-]0,0420 -0,2658 4,8025 -0,6441

f = b2 Rec2 [-]St = b1 Rec1 Pr-2/3 [-]

Fig. 4: Data sheet for secondary fin VEHE

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10. Anhang-A 10-

The heat exchanger efficiency, the NTU and the required overall heat transfer per-formance (k A) are computed from the design data, taking account for the chosenflow arrangement and for the fluid properties.

Depending on the set of given data of operating conditions and on the flow arrange-ment the mean temperature difference is fixed by these data or obtained by cost op-timization.

In the next step cost optimized flow velocities are estimated. An approach for heatexchanger optimization with constant wall temperature is

m21

0TPA T

TTTc

QPc

QAc

QC ∆++= ∆!

!

!!

!

!(B1)

where Ac! , cP and c∆T are cost factors for the particular costs, depending on thetransfer surface A, the pumping power P! and the heat degradation lE! (exergylosses), respectively. They are obtained from market and producer information.

Consideration of both fluid flows yields the following notation of the equation of spe-cific costs:

( ) m21

0T21

piAi T

TTTcPP

Qc

QAc

QC ∆+++= ∆

!!!!

!!

!, with i = 1, 2 (B2)

where the pumping power for each of both fluids is defined as

Afv2

P 3ρ=! (B3)

An energy balance yields

2m221m11'2

''22

''1

'11m TATA:)TT(W)TT(WTAkQ ∆α=∆α=−=−=∆= !!! (B4)

with the following definitions

2211 A1

A1

Ak1

α+

α= (B5)

Stvcp ρ=α

ν= hdvRe

ρν=η

The Stanton number and friction factor are tabulated for each configuration in a databank in the following scheme (data sheet):

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10. Anhang -A 11-

3/2be PrjPrReaSt 1 −− == (B6)

2eReCf −= (B7)

The specific cost (B2) can be formed as

m21

0T21

m

P

m

iAi T

TTTc)PP(

TAkc

TAkAc

QC ∆++

∆+

∆= ∆

!!!!

!(B8)

and

m21

0T21

2111m

P

2111m

iAi T

TTTc)PP(

A1

A1

Tc

A1

A1

TAc

QC ∆++

α

+α∆

+

α

+α∆

= ∆!!!

!

!(B9)

m21

0T

32h

2232

322

31h

1131

311

22222p

2h

11111p

1h

m

P

2

i

2222p

2h

1

i

1111p

1h

mAi

TTT

Tc

d2AfRe

d2AfRe

AStRecd

AStRecd

Tc

AA

StRecd

AA

StRecd

T1c

QC

∆+

νρ+νρ

η

+η∆

+

η

+

η∆

=

!!

!

(B10)Inserting the correlations (B5) to (B7) yields

m21

0T

2ee2b

222p22h

222e3

21e

11

23

2h

2322

b1111p

1h

1e2

e31

2

1b2222p

2h31h

13112ee

1b111p

21h

121

m

P

1e2

2

ib2222p

2h1e1

1

ib1111p

1h

mAi

TTT

Tc

RePracd2

CReReAA

d2C

Pracd

ReReAA

Pracd

d2CRe

Pracd2C

Tc

ReAA

PracdRe

AA

Pracd

T1c

QC

2212

2

2211

1

1221

2

2111

1

12

2

11

1

∆+

ν+

νρη

νρ+

ν

∆+

η+

η∆=

+−−−

−−+−

−−!!

!

(B11)By introducing the following variables for simplification

1

ib1111p

1h1 A

APrac

dX1η

= (B12)

2

ib2222p

2h2 A

APrac

dX2η

= (B13)

1b111p

21h

121

3 Pracd2CX ν= (B14)

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10. Anhang-A 12-

2

1b2222p

2h31h

1311

4 AA

Pracd

d2CX

2ηνρ= (B15)

1

23

2h

2322

b1111p

1h5 A

Ad2

CPrac

dX1

νρη

= (B16)

2b222p

22h

222

6 Pracd2CX ν= (B17)

one gets

( )

( )

m21

0T

2ee26

e32

1e15

1e2

e314

2ee13

m

P

1e22

1e11

mAi

TTT

Tc

ReXReReXReReXReXTc

ReXReXT1c

QC

2212221112212111

1211

∆+

+++∆

+

+∆

=

+−−−−−+−

−−!!

!

(B18)The cost optima are obtained by setting the first partial derivatives of equation (B18)versus Re1, Re2 and ∆Tm to zero:

( )( )

( ) ( ) ( )( )221112212111

11

e32

2e1115

1e2

e21214

1ee121113

m

P

2e1111

mAi

1

ReRe1eXReRee3XRe2eeXTc

Re1eXT1c0

Re)Q/C(

−−−−+−

−+−++−∆

+

−∆

==∂

∂ !

(B19)

( )( )

( ) ( ) ( )

+−+−+−

∆+

−∆

==∂

+−−−−−

1ee222126

e2222

1e15

2e212

e31

2

14

m

P

2e2122

mAi

2

221222111221

12

Re2eeXRee3ReXRe1eReAAX

Tc

Re1eXT1c0

Re)Q/C( !

(B20)

( )

( )

21

0T

2ee26

e32

1e15

1e2

e314

2ee132

m

P

1e22

1e112

mAi

m

TTTc

ReXReReXReReXReXTc

ReXReXT1c0

T)Q/C(

2212221112212111

1211

+−−−−−+−

−−

+

+++∆

+∆

−==∆∂

∂ !

(B21)

The system of non linear equations (B19) to (B21) can be solved by using Newtonprocedure. The optimum values of Re1 and Re2 are independent of ∆Tm. After gettingthe optimum values of Re1 and Re2 the ∆Tm can be computed from equation (B21).The optimum ∆Tm is an indication whether the inlet and outlet temperatures areproperly chosen.

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10. Anhang -A 13-

The specific costs for air-air and liquid-air heat exchangers are shown in figures 2and 3, respectively. It is important to note the stronger dependence of costs from theReynolds number at the air side as compared to the water side, see Fig. 3.

From the optimized Reynolds numbers and ∆Tm both front areas and the completeheat transfer surface are calculated. The combination of these three informationyields immediately the dimensions of a cross flow heat exchanger.

For tube fin VEHE unacceptable dimensions can be yielded as result of the optimiz-ing procedure. In this case `folding` of the VEHE may be required, Fig. 7. Additionalpumping power losses due to installation of 180° elbow tubes are estimated below15%.

Cell averaged values of heat transfer coefficients in the first and in the following peri-odic element in flow direction are computed. For a flow path including n cells, theheat transfer coefficient is averaged according to

n)1n(1 ∞α−+α=α (B22)

where α1 is the mean heat transfer coefficient of the first cell and α∞ the mean valueof the periodic element. From both single side heat transfer coefficients mean overallheat transfer coefficient k and the total required heat transfer area A are calculatedproviding a first estimation of the total number n of cells.

The total number of cells is then fitted iteratively to be a product of three integers n =nx ny nz, where the factors describe the linear number of cells in x, y and z direction,respectively. The number of cells being fixed in three directions yields the overall di-mensions of the heat exchanger. The flow velocities are also iteratively fitted to fulfilthe design data for the actual number of cells.

6042

078

011

4015

0018

6022

2025

8029

40

60900

17402580

0,000000003

3,6E-09

4,2E-09

4,8E-09

5,4E-09

0,000000006

5,4E-09-6E-09

4,8E-09-5,4E-09

4,2E-09-4,8E-09

3,6E-09-4,2E-09

3E-09-3,6E-09

Re1Re2

C/Q

Fig. 5: Specific costs plotted versus the Reynolds numbers of both flows for air-airheat exchanger

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10. Anhang-A 14-

1614

1291

2

2421

0

3550

8

4680

6

5810

3

6940

1

8069

9

74

1186

2298

3410

0,00E+00

6,00E-10

1,20E-09

1,80E-09

2,40E-09

3,00E-09

3,60E-09

4,20E-09

4,80E-09

C/Q

Re2 (Water)

Re1 (Air)

4,2E-09-4,8E-09

3,6E-09-4,2E-09

3E-09-3,6E-09

2,4E-09-3E-09

1,8E-09-2,4E-09

1,2E-09-1,8E-09

6E-10-1,2E-09

0-6E-10

Fig. 6: Specific costs plotted versus the Reynolds numbers of both flows for water-airheat exchanger

Fig. 7: Schematic of folding in case of tube fin VEHE

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10. Anhang -A 15-

2. EXAMPLE FOR COST SAVING DUE TO USE OF VORTEX GENERATORS

The cost saving effect of vortex generators is shown in the following for a tube finconfiguration. The correlations for heat transfer and friction factor may be taken fromthe data bank in the form

j0 = 0.07433 Re-0.3135 f0 = 0.3648 Re-0.1848

j = 0.07852 Re-0.2626 f = 0.51160 Re-0.1792

where the index 0 refers to a reference tube-fin heat exchanger without vortex gen-erators. In table 1 the Reynolds numbers and mean temperature differences for op-timal operation of both heat exchangers is summarised.

Table 1: Optimum operation point of tube-fin exchangers with and without vortexgenerators

Without VG’s With VG’s DifferenceReair 7216.14 6447.56 10.7%Rewater 43019.92 48406.95 12.5%�Tm 57.19 47.32 17.3%C/Q 2.992299x10-9 2.475802x10-9 17.5%

The net benefit of the VG’s for this type of vortex enhanced heat exchanger is 17.5%reduction of the net costs as compared to the reference heat exchanger withoutVG’s.

The distribution of each cost part relative to the total costs is given in table 2.

Table 2: Shares of costs for of area, pumping power and mean temperature differ-ence in the overall costs

overall costs area costs costs of pump-ing power

costs of tem-perature deg-radation

without VG’s 2.992299x10-9 1.127713x10-9

(37.69%)0.368436x10-9

(12.31%)1.496149x10-9

(50.00%)with VG’s 2.475802x10-9 0.911948x10-9

(36.83%)0.325953x10-9

(13.17%)1.237901x10-9

(50.00%)

It is remarkable that half of the costs are due to temperature degradation for bothtypes of heat exchangers. The second important shares of costs are those for area, i.e. the production costs, which are reduced by using VG’s.

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10. Anhang-A 16-

Nomenclature

Symbol physical quantity

A heat transfer surfacea coefficient in eq. (B6)b coefficient in eq. (B6)C coefficient in eq. (B7)C cost of heat transfer

Ac! , cP, c∆T cost factors of transfer surface, pumping power and exergy lossescp specific heat capacity∆Tm mean temperature difference between both fluidsdh hydraulic diameter of flow channel

lE! rate of exergy loss by temperature differencee1, e2 coefficients in eqs. (B6) and (B7)f friction factorint integer valuej Colburn factork mean heat transfer coefficient through transfer surfaceL length of a heat exchanger element (Le) in flow directionLx, Ly, Lz size of heat exchanger in x, y and z directionsM! mass flow rateNTU number of transfer unitsn number of cellsP! pumping power∆p pressure lossQ! heat loadRe Reynolds numberPr Prandtl numberSt Stanton numberT temperatureV! volume flowVfluid fluid volume of a heat exchangerv velocity

pcMW !! = capacity flowx1 to x6 variables

i, j, k number of cells in x, y and z directionsx, y, z cartesian co-ordinatesα heat transfer coefficient at fluid wallη dynamic viscosityν kinematic viscosity

Superscripts´ inlet´´ outlet.

rate per unit time (in Ac! ; C! ; Q! and M! )

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10. Anhang -A 17-

Subscripts1, 2 fluid of lower / higher heat capacity rate0 environment∞ periodic cellF frontal (area)fluid fluid 1 or 2i irreversibilityw solid wallx, y, z cartesian co-ordinates, s. Fig. 1

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LEBENSLAUF

Persönliche Daten:Name: Ender Tandogan

Geburtsdatum: 30.09.1972

Geburtsort: Istanbul / Türkei

Schulausbildung:08/1979 - 07/1983 Baedeker Grundschule in Witten

08/1983 - 06/1992 Städt. Albert-Martmöller-Gymnasium

in Witten

Abschluss: Allgemeine Hochschulreife

Hochschulausbildung:10/1992 - 07/1997 Maschinenbaustudium an der

Ruhr-Universität Bochum

Vertiefungsrichtung: Energietechnik –

Anlagen- und Umwelttechnik

Abschluss: Diplom-Ingenieur

Studienbegleitende Tätigkeit:05/1995 - 06/1997 Studentische Hilfskraft am Lehrstuhl

für Wärme- und Stoffübertragung,

Ruhr-Universität Bochum

Berufstätigkeit:02/1998 - 02/2001 Wissenschaftlicher Mitarbeiter am

Lehrstuhl für Verfahrenstechnische

Transportprozesse,

Ruhr-Universität Bochum

seit 03/2001 Assistent im Zentralbereich

Energie/Technische Betriebswirtschaft

der Thyssen Krupp Stahl AG

in Duisburg