OS OS CONJUNTOSCONJUNTOS NUMÉRICOSNUMÉRICOS

CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOSNUMÉRICOS

O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números

para responder a problemas entretanto

surgidos.

OS CONJUNTOS OS CONJUNTOS NUMÉRICOSNUMÉRICOS

NATURAIS

RACIONAIS

E ...?????

INTEIROS

NÚMEROS NATURAIS

Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais. Este universo é abordado de duas formas distintas: abordagem ordinal, em que os números indicam posições, e a abordagem cardinal, em que os números designam quantidades.

1

2

3

4

NÚMEROS NATURAIS

A formalização mais bem sucedida para o conjunto dos números naturais foi proposta pelo matemático Guiusepe Peano, no século XIX. Ele relacionou os conceitos ordinais e cardinais estabelecendo o conjunto N, cuja representação matemática é:

N = { 0,1, 2, 3, 4, 5, ... }

• Zero não é sucessor de nenhum número natural.

•Todo número natural possiu um único sucessor.

NÚMEROS NATURAIS

A adição é a primeira operação aritmética que devemos compreender neste universo e se aplica a dois ou mais números naturais (parcelas) e produz um único resultado, que chamamos de soma ou total.

•O zero é elemento neutro da adição.

•São válidas as propriedades:

Comutativas da adição: A + B = B + A

Associativas da adição: ( A + B ) + C = A + ( B + C )

NÚMEROS NATURAIS

A multiplicação é a próxima operação aritmética que devemos compreender no universo natural e se aplica a dois ou mais números naturais, agora chamados fatores, e também produz um único resultado, o qual chamamos de produto.

•O produto do número zero com qualquer outro número natural é igual ao número zero.

•O número um é elemento neutro da multiplicação.

NÚMEROS NATURAIS

Aplica-se ainda a lei da multiplicação distributiva .

•À direita:

(m + n ) . p = mp + np

•À esquerda:

p . (m + n ) = pm + pn

NÚMEROS NATURAIS

•São válidas as propriedades:

Comutativas da multiplicação: A . B = B . A

Associativas da multiplicação:( A . B ) . C = A . ( B . C)

No universo dos naturais a potenciação pode ser definida por sucessivas multiplicações de fatores iguais e se aplica a dois números apenas, a base, que indica o valor destes fatores, e o expoente, que indica a quantidade de vezes que devemos multiplicar o número um pela base.

NÚMEROS NATURAIS

A potenciação não possui propriedade comutativa nem associativa, e além disso as potências de expoentes dois e três costumam ser chamadas de quadrado e cubo, respectivamente, por estarem presentes nas expressões que calculam área e volume de figuras geométricas.

NÚMEROS NATURAIS

A divisão no universo natural é uma operação aplicada apenas a dois números (dividendo e divisor), e que produz dois resultados chamados de quociente e resto.

Sendo N e d dois números naturais, tais que N dividido por d produz um quociente q e um resto r, obedecendo as seguintes condições:

N = q.d + r e 0 ≤ r < d

NÚMEROS NATURAIS

*Fica comprovado aqui que não existe divisão em que o divisor é zero, pois, sendo d = 0, não existe número r que satisfaça a desigualdade 0 ≤ r < d.

Então, dados os números N e d ≠ 0, o quociente da divisão de N por d será o maior número natural q, tal que o produto q.d não ultrapasse o valor de N, e o resto dessa divisão é igual a diferença entre o dividendo N e o produto q.d. Por exemplo:

17: 5 = 3. 5 + 2

Note que 3.5 < 17 e o resto é 2 = 17 – 3.5 = 17 - 15

NÚMEROS NATURAIS

*Numa expressão aritmética as operações devem ser efetuadas necessariamente na seguinte ordem:

1)Potenciações;

2)Multiplicações e divisões;

3)Adições e subtrações.

NÚMEROS INTEIROS

A subtração, ou a operação inversa da adição, é a primeira operação aritmética que devemos compreender neste universo e se aplica a dois ou mais números naturais produzindo um único resultado, que chamamos de diferença ou total.

O cálculo: 3 – 4, no conjunto dos números naturais, era impossível (4 é chamado o subtraendo e 3 o minuendo), pois neste conjunto numérico para que a subtração tenha sentido é necessário que o minuendo seja maior que o subtraendo.

A idéia do número negativo veio da necessidade de expandir o universo dos naturais e, aparece na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas...surgem daí o conjunto dos números inteiros.

A abordagem cardinal e ordinal dos números naturais ganha orientação e o número zero se torna origem para contagem de posições feita no sentido definido arbitrariamente como positivo (+) e negativo (-).

A representação matemática deste conjunto é:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

*Na prática aritmética omitimos o sinal dos números positivos e usamos o sinal negativo para indicar o oposto ou simétrico de um número em relação a origem.

NÚMEROS INTEIROS

NÚMEROS INTEIROS

•São válidas as seguintes propriedades:

A - B = - B + A

(a ordem das parcelas não altera o resultado)

A – B - C = A - ( B + C )

A – ( B – C ) = A - B + C(futuramente será visto como um dos casos de fatoração: fator comum

em evidência, no caso acima o número -1)

NÚMEROS INTEIROS

A multiplicação no universo dos inteiros deve obedecer à seguinte regra de sinais: o produto entre dois números inteiros de mesmo sinal é positivo e o produto entre dois números inteiros de sinais opostos é negativo.

( + ) . ( + ) = ( + )

( + ) . ( -- ) = ( -- )

( -- ) . ( + ) = ( -- )

( -- ) . ( -- ) = ( + )

NÚMEROS INTEIROS

*Além disso, os fatores da multiplicação devem ser escritos entre parênteses para que os sinais dos números inteiros não sejam confundidos com os operadores de adição e subtração, só assim indicamos ao certo a base de uma potência negativa.

O produto sucessivo de fatores negativos iguais ou a potenciação de um número negativo (cuja base representa um número menor que zero), apresenta a seguinte propriedade:

•Base < 0 e expoente par, resulta em um número (+)

•Base < 0 e expoente ímpar, resulta em um número (-)

NÚMEROS INTEIROS

O resto da divisão no universo inteiro não pode ser negativo e o sinal do quociente obedece à mesma regra de sinais da multiplicação.

Como o divisor d não pode ser negativo:

N = q.d + r e 0 ≤ r < ǀ d ǀ

Em que ǀ d ǀ indica o valor absoluto do divisor, ou seja, o número d sem seu sinal ou a distância do mesmo até a origem.

NÚMEROS INTEIROS

Por exemplo:

•Dividindo-se (+17) por (-5) obtemos quociente (-3) e resto (+2), pois 17 = (-3).(-5) + 2 e 0 ≤ 2 < ǀ -5 ǀ.• Dividindo-se (-17) por (+5) obtemos quociente (-4) e resto (+3), pois (-17) = (-4).(+5) + 3 e 0 ≤ 3 < 5.•Dividindo-se (-17) por (-5) obtemos quociente (+4) e resto (+3), pois (-17) = (+4).(-5) + 3 e 0 ≤ 3 < ǀ -5 ǀ.

NÚMEROS INTEIROS

Se na divisão de um número inteiro N por um número inteiro d o resto obtido for igual a zero, então dizemos que o número N é divisível pelo número d ou que N é múltiplo de d, e ainda que o número d é divisor do número N.

Há duas operações básicas no universo dos números inteiros que não são indicadas por operadores simbólicos como: ( + ), ( -- ), ( . ) ou ( : ), mas sim por siglas que designam seu significado. Essas operações são chamadas mínimo múltiplo comum (mmc) e máximo divisor comum (mdc), podem ser aplicadas a dois ou mais inteiros a têm propriedade associativa e multiplicativa.

O máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros positivos é o maior número inteiro que divide todos esses números.

Uma maneira prática de se determinar o mdc é dividindo sucessivamente e simultaneamente os números por números primos até que não seja mais possível a divisão simultânea.

Dessa forma, o mdc é dado pelo produto desses números primos.

O O mdcmdc de dois ou mais números, quando fatorados, é de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado

ao menor expoente.ao menor expoente.

mdcmdc

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros positivos é o menor número inteiro positivo que é divisível por todos esses números.

Assim como o mdc é possível calcular o mmc. fazendo divisões sucessivas por números primos e depois multiplicando-se tais números primos. A diferença é que as divisões não param quando não existe mais um divisor primo que seja comum a todos.

Observação: Dados dois números primos entre si, o mmc deles é o produto desses números.

mmcmmc

Sendo n um número inteiro, considere os conjuntos M(n) e D(n) dos múltiplos e dos divisores positivos do número n, respectivamente. Assim, temos por exemplo:

M(6) = {6,12,18,24,30,...}

M(8) = {8,16,24,32,40...}

D(6) = {1,2,3,6}

D(8) = {1,2,4,8}

mmc(6,8) = 24

mdc(6,8) = 2

mmc e mdcmmc e mdc

Exemplo:

Sejam os números 24 e 36.

D(24)={1;2;3;4;6;8;12;24}

D(36)={1;2;3;4;6;9;12;18;36}

O máximo divisor comum ou mdc entre 24 e 36 é 12.

mdc(24,36)=12mdc(24,36)=12

mmc e mdcmmc e mdc

M(24)={24;48;72;96;120;144;160;192;216;...}

M(36)={36;72;108;144;180;216;...}

Os múltiplos positivos comuns de 24 e 36 são: {72;144;216;...}

O mínimo múltiplo comum ou mmc entre 24 e 36 é o 72.

mmc(24,36)=72mmc(24,36)=72

mmc e mdcmmc e mdc

mmc e mdcmmc e mdcFatorando:

24=2³ . 3 mdc(24,36)=12=3.2²mdc(24,36)=12=3.2²36=2² . 3² mmc(24,36)=72=3².2³mmc(24,36)=72=3².2³

mdcmdc: Separadamente, note que o máximo divisor comum (mdc) é o produto de todas as bases comuns a ambas as decomposições, com menor expoente.

mmcmmc: Separadamente, note que o mínimo múltiplo comum (mmc) é o produto de todas os fatores de ambas decomposições (uma vez cada), e quando há repetição usa-se o de maior expoente.

RELAÇÃO ENTRE RELAÇÃO ENTRE MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUMMÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

mdc( a , b ) . mmc( a , b ) = a . bmdc( a , b ) . mmc( a , b ) = a . b

NÚMEROS INTEIROS

Assim, definimos o mínimo múltiplo comum entre dois números inteiros a e b diferentes de zero, como sendo o menor elemento da interseção dos conjuntos M(a) e M(b), e o máximo divisor comum desses números como sendo o maior elemento da interseção dos cunjuntos D(a) e D(b). A única exceção a essa regra é para mmc entre zero e um número qualquer, isto é, mmc (0, n) = 0.

*O resultado das operações mmc e mdc serão positivos mesmo quando essas operações são aplicadas a números negativos.

NÚMEROS RACIONAIS

Há muito tempo transmitimos a idéia de quantidades concretas através de palavras como “metade”, “percentual”, “centavos” ou “dízimo”.

É inegável que R$ 100,00 ou ¼ ou 30% são legítimas representações de quantidade, embora não compartilhem do mesmo sistema de representação.

Frases como: “um terço da população”, “quatro de cada dez pessoas”, “um em um milhão” e outras, se fazem constantes em nosso cotidiano.

NÚMEROS RACIONAIS

Entretanto... com o tempo surgiram outras questões que no conjunto dos números inteiros não tinham sentido.

“ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? ”

Para resolver problemas desse tipo foram criados os números fracionários e decimais.

Estes números juntamente com os números inteiros formam o conjunto dos números racionais.

Q = Z { números fracionários e decimais }

A representação matemática deste conjunto é:

O que são Números Racionas?

Número Racional é todo o número que pode ser

representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros (com denominador diferente de zero), podendo apresentar ainda a forma

decimal (casos em que não há resto).

1/4 = 0,25

Noções intuitivas de fração:

3

2

4

1

8

8

3

3

2

3

3

4

4

5

4

4

6

3

Nota: Quando o numerador é menor que o denominador, a fração representa um número menor que 1, isto é, uma FRAÇÃO PRÓPRIA caso contrário ela é dita IMPRÓPRIA, e se o numerador é igual ao denominador essa fração representa o número 1.

NÚMERO MISTO

As frações impróprias compõem o número misto.

Por exemplo:

3

7

3

16

3

13.2

3

12

3

12

5

21

5

120

5

15.4

5

14

5

14

6

13

6

76

6

71.6

6

71

6

71

100

510

25

1000

810

96

100

312

1000

12

Nota: Outras frações bem conhecidas são as DECIMAIS, ou seja, frações cujo denominador é um múltiplo de DEZ, isto é, 10, 100, 1000… (potência de base 10).

Amêndoa

Chocolate

Noz

0

2

4

6

8

10

12

Nº

de

fa

tia

s c

om

ida

s

12

8

Escreva a fração correspondente ao número de fatias que se comeu de cada bolo.

Amêndoas : Chocolate: Noz:12

4

12

11

12

4

12

8

12

11

Conclusão: Em frações com o mesmo denominador, o maior número é aquele que tiver maior numerador.

Comparando números fracionários com mesmo denominador

A mãe do André pôs-lhe um problema: tenho uma barra de chocolate para repartir por duas, três ou quatro crianças. Em que caso, ficará cada criança com mais chocolate?

4

1

3

1

2

1

Conclusão: Em frações com o mesmo numerador, o maior número é aquele que tiver menor denominador.

2

1

3

1

4

1

O André pensou, fez um esquema e depois respondeu:

Comparando números fracionários com mesmo numerador

FRAÇÕES EQUIVALENTES OU PROPORÇÕESPaula deu a cada um dos meninos: Zezinho, Pedrinho e Joãozinho,

uma folha A4 para pintarem como se fosse uma parede.

O Zezinho pintou da folha, o Pedrinho e o Joãozinho .

Qual deles pintou mais?2

1

4

2

8

4

Zezinho Pedrinho Joãozinho2

18

4

4

2

5,08

4

4

2

2

1

Afinal, pintaram todos a mesma porção de folha. Frações equivalentes são frações que representam o mesmo número.

Repare:

8

4

4

2

2

1 8

4

4

2

2

1

x 2

x 4

x 2

x 4

: 2

: 4

: 2

: 4

ou

Princípio de equivalência de frações: se multiplicarmos ou dividirmos ambos os termos de uma fração (numerador e denominador) pelo mesmo número inteiro, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à dada.

Por exemplo:

x 3

x 3

5

4

15

12

: 5

: 5

30

15

6

3

x 2

x 2

9

1

18

2

4

2

5

1é maior ou menor que ?

A forma fracionária deixa bastante claro como se deve obter a parte desejada, mas torna difícil a comparação entre os números.

5,04:24

2 2,05:15

1 2,05,0

Logo:5

1

4

2

Conclusão: Podemos dividir o numerador pelo denominador e comparar os resultados, ou tornar o denominador o mesmo, através do princípio de equivalência das frações, e em seguida comparar.

Já na forma decimal, a ordem crescente desses números se faz visível em pouco tempo, desde que sejam usadas o mesmo número de casas

decimais.

Comparando números fracionários com numerador e denominador diferentes

Simplificar uma fração é, obter uma fração equivalente com termos menores até que o mdc do numerador e denominador seja igual a um, chegando-se portanto a fração na forma irredutível.

3

2não se pode simplificar mais, chama-se FRAÇÃO

IRREDUTÍVEL.

ou

: 2 : 2

: 2 : 2

: 12

: 12

36

24 18

12 9

6

3

2 36

243

2: 3

: 3

SIMPLIFICAÇÃO

Adição e subtração em Z e Q

(+3)+(+2)=(+5)

(-3)+(-2)=(-5)

Sinais posicionais Sinais

operacionais

ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM O MESMO SINAL

Da adição de dois números relativos com o mesmo sinal, resulta um número com o mesmo sinal e cujo valor absoluto é a soma dos valores

absolutos desses números.

(-3)+(+2)=(-1)

Da adição de dois números relativos com sinais contrários, resulta um número com o

sinal do que tiver maior valor absoluto. O seu valor absoluto é a diferença dos valores

absolutos desses números.

Sinais posicionais Sinais

operacionais (+3)+(-2)=(+1)

ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM SINAIS

CONTRÁRIOS

Será que só existem adições? Então e a subtração (+2) -

(+4) ?

Fácil! Nesse caso transforma-se a subtração em adição pelo seu simétrico

ou oposto.

(+2) + (- 4 ) = - 2

SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

A definição de adição de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais

relativos, a única diferença é que neste conjunto numérico é necessário que o

denominador seja o mesmo, ou pelo princípio da equivalência de frações ou pelo cálculo do mmc

entre os denominadores:

)2()5(

109

104

105

52

21

)2()5(

109

104

105

52

21

E agora como vamos adicionar números racionais relativos na

forma fracionária ?

E SE OS SINAIS FOREM DIFERENTES?

)2()5(

10

1

10

4

10

5

5

2

2

1

A expressão é o mesmo que:

5

2

2

1

Logo:

)2()5(

10

1

10

4

10

5

5

2

2

1

5

2

2

1

E agora como vamos subtrair números racionais relativos na

forma fracionária ?

A definição de subtração de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais, de forma análoga a anterior.

A definição de adição e subtração de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais relativos na forma decimal, o único cuidado é que estas operações devem ser executadas alinhando-se os termos com o mesmo número de casas decimais. Exemplos:

1,875 + 2,5 = 4,375

0,12 + 0,3 = 0.42

34,5 -12,34 = 22.16

0,34 – 0,045 = 295

E se os números racionais relativos estiverem na forma

decimal?

Divisão e Multiplicação

em Q

JÁ SABEMOS QUE NO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS:

21 : 3 = 7

18 : 2 = 9

Ou seja:

Dividendo : Divisor = Quociente

porque

Quociente × Divisor = Dividendo

porque 7 × 3 = 21porque 9 × 2 = 18

Não há nenhum número que multiplicado por 0 dê 6!

A divisão por zero é impossível!

6 : 0 = ?

Sendo N e d números inteiros, tal que N não é múltiplo de d, então para se obter o para se obter o quociente N : d no universo racionalquociente N : d no universo racional, devemos primeiro executar a divisão no universo inteiro. Depois disso, escrevemos uma vírgula no quociente e acrescentamos zeros ao resto, continuando a divisão até que não haja resto ou que algum resto se repita (neste caso a forma decimal do quociente é uma dízima periódica e será discutida no decorrer do curso).

Divisão de números racionais

(- 30) : (+ 5) = - 6 porque (- 6) (+5) = - 30

porque +56

35

+ = +15

302:

5+

1 3+ = +56

Como descobrir este número?

E agora? Como vamos dividir números racionais

relativos na forma fracionária?

A definição de divisão divisão mantém-se para o conjunto

dos números racionais relativos:

Agora já é fácil descobrir o número:

+ 12

: 35

+ = + 12

53

+ =+56

Para descobrir este número existe uma regra!

Para dividir dois números racionais, multiplica-se o dividendo pelo inverso do divisor

(DIVISOR 0).

A definição de divisão de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais relativos na forma decimal, esta operação pode ser ser executada ignorando-se as vírgulas do dividendo e divisor através do princípio de equivalência de frações ou transformando os mesmos em frações decimais e depois dividindo-os. Por exemplo:

0,15 : 2,40 = 15 : 240

Daí: 15 . 240 = 0,0625

No caso da trasformação para fração decimal,

tem-se: 15/100 : 24/10 = 15/100 . 10/24 = 0,0625

E se os números racionais relativos estiverem na forma

decimal?

regras operatórias

da multiplicação em Q

DivisãoDivisão(multiplica-se a primeira fração (multiplica-se a primeira fração

pelo inverso da segunda fração)pelo inverso da segunda fração)

MultiplicaçãoMultiplicação(multiplica-se os (multiplica-se os numeradores e numeradores e

denominadores entre si)denominadores entre si)

: ++ ––

++

––

++ ––

++

–– +

–

– +

=

–+

+–

REGRA DE SINAIS

regras operatórias

da divisão em Q

A definição de multiplicação de inteiros mantém-se para o conjunto dos números racionais relativos na forma decimal, esta operação pode ser ser executada ignorando-se a vírgula de todos os fatores e definindo posteriormente seu devido lugar ou transformando os fatores em frações decimais e depois em números decimais. Por exemplo:

0,15 . 2,4 = 15 . 24 / 1000

(duas casas decimais) (uma casa decimal) (três casas decimais)

Daí: 0,15 . 2,4 = 0,360

No caso da trasformação para fração decimal,

Tem-se: 15/100 . 24/10 = 360/1000 = 0,360

E se os números racionais relativos estiverem na forma

decimal?

RECORDA QUE:

- 4 : 5 = ?- 4 : 5 =

15

=

OU

- 4 : 5 =

- 45

- 4 - 45

= 5

- 4 4

5-

ba : b =

a em que b 0

em que b 0

- ab

a- b

ab

-

7 : (- 4) = ?

7 : (- 4) =

=

OU

7 : (- 4) =7

- 4

4 - 7 7

- 4=

CONCLUSÃOCONCLUSÃO::

=

7 14

-74

-

=

FIMFIM!