opći prostorni sustav sila

Opći prostorni sustav sila

Opći prostorni sustav sila. Slaganje općeg prostornog sustava sila

Slaganje općeg prostornog sustava sila

na tijelo djeluje sustav sila nFFF

...,, , 21

vektori položaja sila sustava n21 ...,, , rrr

O – točka redukcije

primjena teorema o paralelnom prenošenju sile:

- sustav sila nFFF

...,,, 21

nn FFFFFF

,...,, 2211

- sustav spregova sila vektora momenata nMMM

...,,, 21

nnF

nFF

FrMMFrMMFrMM n

022021101 ...,,, 21

F...FFF...FFF n'n

''R

2121

n

iiR FF

1

- GLAVNI VEKTOR SILA!

nFo

Fo

Fono MMMMMMM

...... 21

21

n

i

Foo

iMM1

- GLAVNI VEKTOR MOMENATA

SILA U ODNOSU NA TOČKU O!

Primjenom teorema o paralelnom prenošenju sile svaki prostorni sustav sila može se zamijeniti jednom silom RF

i jednim spregom sila vektora momenta oM

.

n

iiR FF

1

,

n

i

Foo

iMM1

Glavni vektor sila RF

jednak je vektorskom zbroju svih sila sustava. Glavni vektor momenata sila oM

jednak je vektorskom zbroju momenata svih sila

sustava u odnosu na točku redukcije.

Dva prostorna sustava sila su ekvivalentna ako su im glavni vektor sila i glavni vektor momenata jednaki.

Glavni vektor sila RF

ne ovisi o izboru točke redukcije. Glavni vektor momenata sila oM

ovisi o izboru točke redukcije.

Opći prostorni sustav sila. Slaganje općeg prostornog sustava sila

analitički način određivanja glavnog vektora sustava sila RF

n

iiR FF

1

projekcije vektora

n

iixRx FF

1

n

iiyRy FF

1

n

iizRz FF

1

iznos vektora

222RzRyRxR FFFF

pravac i smjer vektora

R

RxRx

F

Fcos ,

R

RyRy

F

Fcos ,

R

RzRz

F

Fcos

komponente vektora

kFFjFFiFF RzRzRyRyRxRx

,,

kFjFiFFFFF RzRyRxRzRyRxR

analitički način određivanja glavnog vektora momenata sustava sila OM

n

i

FOO

iMM1

projekcije vektora

n

iiyiizi

n

i

FOxOx FzFyMM i

11)(

: zbroj momenata sila sustava u odnosu na os Ox

n

iiziixi

n

i

FOyOy FxFzMM i

11)(

: zbroj momenata sila sustava u odnosu na os Oy

n

iixiiyi

n

i

FOzOz FyFxMM i

11)(

: zbroj momenata sila sustava u odnosu na os Oz

iznos vektora

222OzOyOxO MMMM

pravac i smjer vektora

O

OxMx

M

Mcos ,

O

OyMy

M

Mcos ,

O

OzMz

M

Mcos

komponente vektora

kMMjMMiMM OzOzOyOyOxOx

,,

kMjMiMMMMM OzOyOxOzOyOxO

Opći prostorni sustav sila. Svođenje općeg prostornog sustava sila na jednostavniji oblik

Svođenje općeg prostornog sustava sila na jednostavniji oblik

svaki prostorni sustav paralelnih sila može se svesti na glavni vektor sustava sila RF

i glavni vektor momenata sustava sila u odnosu na točku redukcije OM

mogući slučajevi ovisno o iznosima i pravcima vektora RF

i OM

slučaj 1. 0 ,0 oR MF

: uravnoteženi sustav sila


:

sustav se svodi na spreg vektora momenta

n

i

Foo

iMM1

, vektor oM

ne ovisi o

izboru točke redukcije!


: sustav se svodi na rezultantu Rr FF

pravac rezultante rF

prolazi točkom redukcije!

slučaj 4. oRoR MFMF

,0 ,0 :

sustav se svodi na rezultantu kojoj pravac prolazi točkom C za koju vrijedi

ORRo MOCFOCFMOC

,,

Dokaz:

paralelno prenošenje sile RF

u točku C

OR

ORR

FC M

F

MFOCFM R

OFC MM R

vektori RFCM

i OM

mogu se ukloniti,

preostaje sila rF

kao rezultanta!


slučaj 5. oRoR MFMF

,0 ,0

u ovom slučaju daljnje pojednostavljenje nije moguće!

sustav se svodi na oR MF

, - dinamički vijak

pravac vektora oR MF

, naziva se os dinamičkog vijka (središnja os sustava sila)

Dokaz da daljnje pojednostavljenje nije moguće:

1.mogućnost: vektor momenta sprega sila oM

može se predstaviti sustavom

dviju paralelnih sila jednakog iznosa a suprotnog smjera

moment oM

predstavljen je spregom ) ,( FF

OAFMo

rezultanta sila FFR

,

FFF RR

slaganje sila FFR

, ne može se izvršiti jer im

se pravci ne sijeku

sustav je predstavljen s dvije veličine:

RO FM

, ili FFR

,

2. mogućnost: primjena teorema o paralelnom prenošenju sile za silu RF


u točku A

OAFM RFA

R

vektori RFAM

i OM

ne mogu se ukloniti,

može se izvršiti slaganje vektora RFAM

i OM

OFAO MMM R

sustav je predstavljen s dvije veličine:

RO FM

, ili RO FM

,


slučaj 6. ),(,0 ,0 oRoR MFMF

sustav se svodi na dinamički vijak čija os prolazi točkom C za koju vrijedi

ORRo MOCFOCFMOC

,,sin

Dokaz:

razlaganje vektora OM

21 MMMO

sin

cos

2

1

O

O

MM

MM


u točku C

2sinsin

MMF

MFOCFM O

R

ORR

FC

R

2MM RFC

vektori RFCM

i 2M

mogu se ukloniti,

preostaje dinamički vijak ),( 1MFR

u točki C!

Opći prostorni sustav sila. Uvjeti ravnoteže općeg prostornog sustava sila

Uvjeti ravnoteže općeg prostornog sustava sila Nužan i dovoljan uvjet ravnoteže: Glavni vektor sila i glavni vektor momenta sila jednaki nuli!

0,0 0 MFR

n

iiF

10

,

n

i

FO

iM1

0

analitički uvjet ravnoteže Algebarski zbroj projekcija svih sila na svaku od tri pravokutne koordinatne osi jednak nuli i algebarski zbroj momenata svih sila u odnosu na svaku od tri pravokutne koordinatne osi jednak nuli .

0222 RzRyRxR FFFF 0;0 ;0 RzRyRx FFF

0)3(

0)2(

0)1(

1

1

1

n

iizRz

n

iiyRy

n

iixRx

FF

FF

FF

JEDNADŽBE PROJEKCIJA SILA

0222 OzOyOxO MMMM 0;0 ;0 OzOyOx MMM

0)6(

0)5(

0)4(

1

1

1

n

iOzOz

n

iOyOy

n

iOxOx

MM

MM

MM

JEDNADŽBE MOMENATA SILA

kraći zapis:

0)3(0)2(0)1( zyx FFF

0)6(0)5(0)4( zyx MMM

JEDNADŽBE PROJEKCIJA SILA: ograničavaju moguće pomake krutog tijela duž pravaca koordinatnih osi x, y, z!

JEDNADŽBE MOMENATA SILA: ograničavaju moguće zakrete krutog tijela oko koordinatnih osi x, y, z!


ako je broj nepoznanica = broj jednadžbi ravnoteže (6)

STATIČKI ODREĐEN PROBLEM

ako je broj nepoznanica > broj jednadžbi ravnoteže (6)

STATIČKI NEODREĐEN PROBLEM

uvjeti ravnoteže ako na tijelo pored n sila niFi ..1,

djeluje i m spregova sila

vektora momenata mjM j ..1,

0)6(;0)5(;0)4(

0)3(;0)2(;0)1(

111111

111

m

ijz

n

i

FOz

m

ijy

n

i

FOy

m

ijx

n

i

FOx

n

iiz

n

iiy

n

iix

MMMMMM

FFF

iii

uvjeti ravnoteže ako na tijelo djeluje sustav paralelnih sila (npr. sile paralelne s osi Oz)

0)3(

0)2(

0)1(

y

x

z

M

M

F

Primjer 1.

Pravokutna ploča dimenzija 4a2a i težine G vezana je za vertikalni strop s tri užeta. Odrediti reakcije užeta. Zadano: G, a

uvjeti ravnoteže prostornog sustava paralelnih sila

02:0)3(

0232:0)2(

0:0)1

aGaFaFM

aGaFaFM

GFFFF

BAy

CBx

CBAz

-------------------------------------------------------------------------------

.........,.................., CBA FFF


Primjer 2.

Ravni štap pravokutnog poprečnog presjeka duljine ABl uklješten je na kraju A dok je slobodnom kraju B opterećen silom F i spregom sila momenta M u ravnini y'z'. Odrediti reakciju uklještenja. Zadano: F, M, l.

uklještenje

AzAyAxA FFFF

- vektor reakcijske sile

AzAyAxA MMMM

- vektor momenta reakcijskog sprega

uvjeti ravnoteže općeg prostornog sustava sila

030cos:0)6(

030sin:0)5(

0:0)4(

030sin:0)3(

030cos:0)2(

0:0)1(

lFMM

lFMM

MMM

FFF

FFF

FF

Azz

Ayy

Axx

Azz

Ayy

Axx

-------------------------------------------------------------------------------

lFMlFMMM

FFFFF

AzAyAx

AzAyAx

30cos,30sin,

30sin,30cos,0

Primjer 3.

Pravokutna ploča dimenzija 6a4a i težine G vezana je za nepomičnu podlogu sfernim zglobnim osloncem u točki A, kliznim sfernim zglobnim osloncem u točki B te lakim štapom CE. Pravac klizača u točki B podudara se s pravcem y osi. Odrediti reakcije veza. Zadano: G=2kN, a=1m.

uvjeti ravnoteže općeg prostornog sustava sila

06:0)6(

030cos430cos30sin430sin30cos2:0)5(

063:0)4(

030cos:0)3(

0:0)2(

030sin:0)1(

aFM

aFaFaGM

aFaGM

GFFFF

FF

FFFF

Bxz

CCy

Bzx

BzAzz

Ayy

CBxAxx

-------------------------------------------------------------------------------

kNFkNFF

kNFFkNF

CBzBx

AzAyAx

433,0,1,0

625,0,0,217,0

opći prostorni sustav sila

Documents