МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext ›...

32
Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» Кафедра «Высшая математика» И.В. Бабичева, Т.Е. Болдовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ Практикум Омск 2016 СибАДИ

Upload: others

Post on 27-Jun-2020

59 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)»

Кафедра «Высшая математика»

И.В. Бабичева, Т.Е. Болдовская

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

Практикум

Омск 2016

СибАДИ

Page 2: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

УДК 519.2 ББК 22.172

Б12 Рецензенты:

д-р пед. наук, проф. В.А. Далингер (ФГБОУ ВПО ОмГПУ); д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.Ф. Стругов (ФГБОУ ВПО ОмГУ им. Ф.М. Достоевского)

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве практикума.

Бабичева, И.В. Б12 Математическая статистика : рабочая тетрадь [Электронный ресурс] : практикум / И.В. Бабичева, Т.Е. Болдовская. – Электрон. дан. Омск : СибАДИ, 2016. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/fulltext/esd79.pdf , свободный после авторизации. – Загл. с экрана.

ISBN 978-5-93204-865-8

Является дополнением к учебному пособию «Математическая статистика: контролирующие материалы» авторов И.В. Бабичевой, Т.Е. Болдовской. Тетрадь предназначена для организации решения заданий к разделу «Математическая статистика» студентами на учебных занятиях и для самостоятельной работы после ознакомления с новым учебным материалом на лекции. В тетрадь включены базовые задания, обеспечивающие репродуктивную деятельность в форме внешней речи. Наличие текстовых заготовок облегчает студенту выполнение действий в развернутой письменной форме, а преподавателю позволяет осуществлять оперативный контроль и коррекцию деятельности студентов. Материал тетради по математической статистике представлен четырьмя темами: «Выборки и их характеристики», «Элементы теории оценок», «Проверка статистических гипотез», «Элементы корреляционно-регрессионного анализа».

Имеет интерактивное оглавление в виде закладок, что обеспечивает удобную навигацию по главам. Созданы интерактивные переходы от ссылок в тексте к приложениям, в заданиях к ответам.

Адресован обучающимся и преподавателям математики технических вузов.

Текстовое (символьное) издание (1,5 МБ) Системные требования : Intel, 3,4 GHz ; 150 МБ ; Windows XP/Vista/7 ; DVD-ROM ;

1 ГБ свободного места на жестком диске ; программа для чтения pdf-файлов Adobe Acrobat Reader

Редактор И.Г. Кузнецова Техническая подготовка Т.И. Кукина

Издание первое. Дата подписания к использованию 26.02.2016

Издательско-полиграфический центр СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 РИО ИПЦ СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1

© ФГБОУ ВПО «СибАДИ», 2016

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от информации, причиняющей вред их здоровью и развитию» данная продукция маркировке не подлежит.

СибАДИ

Page 3: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

3

ВВЕДЕНИЕ

Настоящий практикум является дополнением к учебному пособию «Математическая статистика: контролирующие материалы» и составлен на основе лекций по теории вероятностей и математической статистике. Все задания, приведенные в рабочей тетради, определяют базовые понятия математической статистики, предусмотренные федеральными государственными образовательными стандартами.

При использовании пособия в самостоятельной работе обучающимся сначала рекомендуется изучить теоретический материал по разделу «Математическая статистика», а также использовать приведенный справочный материал в учебном пособии «Математическая статистика: контролирующие материалы», а затем проверить уровень понимания данного материала с помощью выполнения заданий рабочей тетради.

Рабочая тетрадь содержит текстовые заготовки, в которые необходимо вписать ответ согласно тексту задания. Для контроля правильности выполнения заданий каждая заготовка содержит номер ответа. В конце каждой главы представлены ответы на задания рабочей тетради. В практикуме также приведены статистические таблицы, необходимые при решении некоторых задач.

СибАДИ

Page 4: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

4

Глава 1. ВЫБОРКИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Задания 1. Совокупность случайно отобранных объектов или результатов наблюдений, производимых в одинаковых условиях над одним объектом, называется_______________________(1). 2. Совокупность объектов или результатов наблюдений, из которых производится выборка, называется ______________________________________________________(2).

3. Число объектов (наблюдений) в совокупности, генеральной или выборочной, называется её _________________ (3) и обозначается N или ____ (4) соответственно.

4. Выборка будет представительной (________________________) (5), если: – каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности; – все объекты имеют _____________________ (6) вероятность попасть в выборку. 5. Наблюдаемые значения ix называются ___________________ (7).

6. Последовательность вариант, записанных по неубыванию, называется _______________________________ (8) рядом.

7. Относительная частота (__________________) (9) i равна отношению _____________ к __________________________________(10), т.е.

nni

i , где ni – число ____________ (11) варианты _______(12).

8. Дискретным статистическим распределением выборки называется перечень _____________ (13) и соответствующих им ________________(14) или частостей. 9. Дана выборка: 3, 5, 7, 2, 5, 7,8, 9, 5, 4, 3, 6, 7, 4, 6, 3, 5, 6, 7, 7, 8, 5, 9, 4, 7, 5, 3, 2, 6, 7, 9. Тогда 1) Вариационный ряд имеет вид ____________________________________________________________ ______________________________________________________(15).

СибАДИ

Page 5: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

5

2) Статистическое распределение выборки:

ix 2 3 4 5 6 7 8 9

in (16)

3) Относительная частота варианты 7 равна ___ (17). 10. Размах выборки – разность между ____________________(18) и ______________(19) значениями признака, т.е. R = __________(20). 11. Пусть исследуемый непрерывный признак X – длительность случайно отобранных фильмов в минутах: 95, 120, 115, 124, 95, 93, 110, 122, 123, 105, 97, 118, 115, 123, 93. Вариационный ряд имеет вид ____________________________________________________________ _______________________________________________________ (21). Объем выборки n ____ (22). Размах выборки R _________ (23). Число интервалов m ______ (24). Длина частичного интервала _____(25). Начало первого интервала 0x _____ (26).

Интервальный ряд частот: (xi, xi+1] [90, 96) [96, 102) [102, 108)

(27)

in (xi, xi+1] [108,114) [114,120) [120, 126)

in Интервальный ряд частостей:

(xi, xi+1] [90, 96) [96, 102) [102, 108)

(28)

i (xi, xi+1] [108,114) [114,120) [120, 126)

i

12. Ломаную, отрезки которой соединяют точки (xi, ni), называют ______________________ (29) частот.

СибАДИ

Page 6: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

6

13. Ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, у которых основания – частичные интервалы (xi, xi+1] длины i =

_______________ (30), а высоты равны отношению ii

i

nh

, называют

_____________________________________________ (31). 14. У гистограммы частостей высоты прямоугольников равны

отношению i

ih

(32).

15. Площадь гистограммы частот равна ___________________ (33), площадь гистограммы частостей равна ___________________(34). 16. Эмпирической (____________________(35)) функцией распределения называется функция ( )F x , определяющая для каждого значения х ______________(36) события __________(37), т.е.

( )F x ________________ (38) или nnxF x )( , где xn – число

наблюдений, больших(меньших) (39) х. 17. Статистическое распределение выборки имеет вид

ix 3 5 7

in 23 41 36

Тогда

____ при 3;0,23 при3 5;

*( )0,23 0,41 ____ при5 7;0,64 ____ ___ при 7.

xx

F xx

x

(40)

18. Свойства эмпирической функции:

1) по теореме Бернулли ( )F x является оценкой функции ______________________________ (41); 2) наибольшее значение ( )F x равно ____(42), наименьшее ___ (43); 3) ( )F x – не(возрастающая, убывающая) (44) функция.

19. Выборочная средняя Bx – среднее _____________________(45) всех значений выборки.

СибАДИ

Page 7: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

7

Для сгруппированной выборки Bx _____________ (46).

20. Выборочная дисперсия BD – среднее арифметическое ________________(47) отклонений значений выборки от ___________________________________(48).

Для сгруппированной выборки BD = __________________ (49).

21. Выборочное среднее квадратическое отклонение определяется формулой В ______ (50) и имеет размерность _____(51).

22. Исправленная выборочная дисперсия 2S __________ (52). 23. Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение (______________________ (53)) S = __________ (54). 24. По результатам контрольной работы составлен дискретный статистический ряд:

ix 2 3 4 5

in 3 8 10 4

Тогда объем выборки n = _____ (55); Bx _______________ (56); BD = __________________________________________________ (57); В _______ (58); 2S ___________________ (59); S = ______ (60).

25. Модой *

0M вариационного ряда называется вариант, имеющий _________________ (61) частоту.

26. Медианой *еM вариационного ряда называется значение

признака, приходящееся на ________________ (62) ряда. 27. Дан вариационный ряд для непрерывно распределенного признака: 5, 5, 7, 7, 7, 9, 10, 10, 10, 10. Тогда медиана *

еM ____ (63). Наибольшую частоту, равную ____ (64), имеет вариант ______ (65), т.е. мода *

0M ____ (66).

28. Начальный эмпирический момент находится по формуле _______________________ (67). Центральный эмпирический момент находится по формуле ___________________________ (68).

СибАДИ

Page 8: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

8

29. Выборочное среднее – _______________(69) эмпирический

момент _________ (70) порядка, т.к. 1

1 kB i i

ix x n

n =_______ (71).

30. Выборочная дисперсия – ________________(72) эмпирический

момент ______ (73) порядка, т.к. 2

1

1 kB i B i

iD x x n

n =_____ (74).

31. Выборочный коэффициент асимметрии характеризует _____________________ (75) полигона распределения и находится по формуле А ____________________ (76). 32. Выборочный коэффициент эксцесса характеризует _________________ (77) полигона распределения и находится по формуле Е ______________________ (78). 33. Дан вариационный ряд 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9. Статистический ряд имеет вид

ix 5 6 7 8 9 in (79)

Полигон распределения:

(80)

B ex M _____ (81); 0M принимает значения ___ и ___ (82);

BD = ____________________________________________ (83); 2S ____________ (84); S _______________ (85).

Ряд распределения симметричен относительно варианты ______ (86), следовательно, А _____ (87).

4 4 4 4

4(5 7) (6 7) 0 (8 7) (9 7)

7

_______ (88).

4 31,4

Е ____(89), следовательно, полигон имеет более

_______________ (90) вершину по сравнению с нормальной кривой.

СибАДИ

Page 9: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

9

Ответы: 1. Выборкой. 2. Генеральной совокупностью. 3. Объемом. 4. n. 5. Репрезентативной. 6. Одинаковую. 7. Вариантами. 8. Вариационным. 9. Частость. 10. Частоты к объему выборки. 11. Наблюдений. 12. ix . 13. Вариант. 14. Частот. 15. 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9. 16. 2, 4, 3, 6, 4, 7, 2, 3. 17. 0,2. 18. Наибольшим. 19. Наименьшим. 20. max minх x . 21. 93, 93, 95, 95, 97, 105, 108, 110, 115, 115, 120, 122, 123, 123, 124. 22. 15. 23. 31. 24. 4,9≈5. 25. 6. 26. 90. 27. 4, 1, 1, 2, 2, 5. 28. 0,27; 0,07; 0,07; 0,13; 0,13; 0,33. 29. Полигоном. 30. xi+1 – xi.

31. Гистограммой частот. 32. i i

i i

nn

. 33 Объему выборки. 34. 1.

35. Статистической. 36. Частость. 37. Х x . 38. X x .

39. Меньших. 40.

0 при 3;0,23 при3 5;

*( )0,64 при5 7;1 при 7.

xx

F xx

x

41. Распределения ( )F x .

42. 1. 43. 0. 44. Неубывающая. 45. Арифметическое. 46.

k

iiinx

n 1

1 .

47. Квадратов. 48. Выборочной средней. 49. 2

1

1 ki B i

ix x n

n .

50. BD . 51. Х. 52. BDn

n1 . 53. Стандарт. 54. 2S . 55. 25. 56. 3,6.

57. 0,8. 58. 0,89. 59. 0,83. 60. 0,92. 61. Наибольшую. 62. Середину.

63. 8. 64. 4. 65. 10. 66. 10. 67. 1

qk

k i ii

x

. 68. 1

q kk i B i

ix x

.

69. Начальный. 70. Первого. 71. 1 . 72. Центральный. 73. Второго.

74. 2 . 75. Симметричность. 76. 33A

s

. 77. Крутость. 78. 44 3E

s

.

79. 1, 2, 1, 2, 1. 80. 81. 7 82. 6 и 8. 83. 1,7. 84. 1,98. 85. 1,4. 86. 7. 87. 0. 88. 5,14. 89. –1,66. 90. Пологую.

0 5 6 7 8

1

2

9 ix

in

СибАДИ

Page 10: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

10

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОЦЕНОК

Задания 1. Статистическая оценка, определяемая одним числом, называется__________________________________(91) оценкой. 2. Выборочное среднее является _____________________ и________________________ (92) оценкой математического ожидания. 3. Смещенной и состоятельной оценкой дисперсии служит___________________________________________ (93). 4. Несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсиислужит________________________________________________(94). 5. Несмещенной и состоятельной оценкой разброса ошибок прибораявляется _______________________ (95). 6. В итоге четырех измерений диаметра подшипника одним прибором(без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм) 21, 23, 25, 27. Тогда несмещенной и состоятельной оценкой размера диаметра подшипника является средняя ____________________________(96), которая равна

Вx (21+________________________________)/4=________ (97). Найдем несмещенную и состоятельную оценку ошибок

измерений (стандарта): BD [(21-24)2+_________________________________]/4=_______ (98);

2

__ 1 ВnS D

=______________ (99). Тогда стандарт S =_______ (100).

7. С целью исследования закона распределения ошибки измерениядальности с помощью радиодальномера произведено 400 измерений дальности. Результаты опытов представлены в таблице.

il , м (20;30] (30;40] (40;50] (50;60] (60;70] (70;80] (80;90] (90;100]

ni 21 72 66 38 51 56 64 32 i 0,052 0,180 0,165 0,095 0,128 0,140 0,160 0,08

Выравнивание статистического ряда проведем с помощью закона равномерной плотности, который выражается формулой

1 , _____;( )

___, ; .

xb - af x

x a b

(101)

СибАДИ

Page 11: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

11

Для того чтобы упростить вычисления, связанные с определением статистических моментов, перенесем начало отсчета в точку x0=60 и примем за представителя его разряда его середину iх – среднее для разряда значение ошибки радиодальномера X при новом начале отсчета. Тогда ряд распределения примет вид

iх ~ -35 ____ -15 ____ 5 15 _____ 35 (102)

i 0,052 0,180 _____ ____ 0,128 _____ 0,160 0,08

Приближенное значение статистического среднего ошибки X равно

9

1B i i

ix x

___________________________________________(103).

Переходя к прежнему началу отсчета, получим новое статистическое среднее: 60B Bх x ______(104).

8 2 2

1( ) ___________________________B B i i B

iD D x x

(105).

Закон зависит от двух параметров а и b. Согласно методу моментов, оценки параметров находим по формулам:

3 ;

3B B

B B

a x

b x

_____________;_____________ .

аb

(106)

Откуда 1( )f xb a

____________(107).

Найдем выравнивающие частоты. Теоретические вероятности будут определяться по формуле

1 11

1 1( ) ( ) _______73,3

i i

i i

х x

i i ix x

P f x dx dx х xb a

(108).

Эмпирические частоты _________i in np (109).

8. Проведено 100 наблюдений над случайной величиной Х.Статистический ряд представлен в таблице: 1; ii [0;0,1) [0,1;0,2) [0,2;0,3) [0,3;0,4) [0,4;0,5) [0,5;0,6) [0,6;0,7) [0,7;0,8) [0,8;0,9) [0,9;1]

ni 27 18 12 11 6 6 7 7

34 6

ix~ 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95

;

СибАДИ

Page 12: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

12

Проведем выравнивание ряда по показательному закону.

Показательный закон выражается формулой , 0;( )0 , 0

xe xf xx

и

зависит от одного параметра λ.

Согласно методу моментов 1

Bx . Тогда 1 (0,05 27

100Вx ____

__________________________________________)=___________(110). Тогда λ≈_______(111) и теоретический закон будет иметь вид

___, 0;( )

___, x 0.x

f x

(112)

Для нахождения ( )if x воспользуемся прил. 1. 58,28607,0333)~( 15,005,03

1 eexf . Теоретические вероятности определяем по формуле

11 1

( ) |i i

ii

i i

x xxx х

i xx x

p f x dx e dx е

.

Значит, 26,07408,01)( 01,031 eeр .

Заполним сводную таблицу (113):

iх~ 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,62 i 0,27

i

ih * 2,7

)~( ixf 2,58 ip 0,26 inp 26

ni 27 18 12 11 6 6 7 4 3 6

Построим гистограмму и выравнивающий показательный закон распределения (114).

СибАДИ

Page 13: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

13

9. Оценка неизвестного параметра , определяемая интервалом 1 2, , покрывающим параметр , называется ____________________оценкой (115).

10. Интервал 1 2, , относительно которого с заданной вероятностью γ можно сказать, что внутри него находится ___________________(116) параметр θ, называют ____________________________(117) интервалом, вероятность γ –_______________________________ (118) вероятностью или __________________________ (119) оценки.

Возможные значения γ: ___________________ (120). 11. Если доверительный интервал выбирается из условиясимметричности относительно оцениваемого параметра , тогда он находится из равенства (___________) 1Р (121), где 0

характеризует _________________ (122) оценки. Чем меньше , тем _____________________ (123) оценка. 12. Пусть интервальная оценка математического ожидания нормальнораспределенного количественного признака Х имеет вид (23,7; a ), выборочная средняя равна 5,24Вx . Тогда точность оценки

_______5,24 (124), значение a равно _______ (125).

13. Точность оценки математического ожидания нормальнораспределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном находится по формуле ________________ (126), где параметр t определяется из равенства ( )Ф t ___________ (127).

14. Точность оценки математического ожидания нормальнораспределенного количественного признака Х по выборочной средней при неизвестном находится по формуле ________ (128), где t – квантиль распределения ____________________ (129). 15. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибкакоторого равна нулю, случайные ошибки распределены нормально с

5 . Выполнено 25 измерений. Найдем доверительный интервал для величины ошибок измерений при надежности 0,9 .

Так как известно, то точность оценки находим по формуле ________________(130).

СибАДИ

Page 14: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

14

Имеем Bx _____ (131), объем выборки n =________ (132). Параметр t находим из уравнения ________________(133). Тогда

( )Ф t _________(134). По прил. 2 определяем t ______ (135).

Следовательно, _________________(136). Доверительный интервал (________;_________)(137).

16. В результате статистической обработки результатов измерений роста 30 студентов получена несмещенная оценка среднего роста студента – 167,6 см и несмещенная и состоятельная оценка отклонений от среднего роста – 9,28 см.

Найдем доверительный интервал для оценки отклонений среднего роста студента при надежности 0,95 .

Так как неизвестно, то точность оценки находится как __________(138).

Имеем Bx _______(139); n =_____(140); стандарт S=___________(141).

Квантиль распределения Стьюдента _____ (142) находим по числу степеней свободы ____ (143) и надежности, равной ______(144). По прил. 3 определяем t _____(145).

Откуда ________________(146). Доверительный интервал (________;_________) (147). Ответы: 91. Точечной. 92. Несмещенной и состоятельной.

93. Выборочная дисперсия. 94. Исправленная выборочная дисперсия 2S . 95. Стандарт S. 96. Арифметическая диаметров. 97. 24. 98. 5. 99. n ,

20 / 3 . 100. 2 5 / 3 . 101.

1 , , ;( )

0 ; .

x a bb - af x

x a b

102.

iх ~ -35 -25 -15 -5 5 15 25 35

i 0,052 0,180 0,165 0,095 0,128 0,140 0,160 0,08

103. 0,26. 104. 60,26. 105. 447,7. 106. 23,6;96,9.

аb

. 107. 0,0136. 108. 0,136.

109. 54,4. 110. 0,33. 111. 3. 112. 33 , 0;( )

0 , 0.

xe xf xx

СибАДИ

Page 15: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

15

113. i 1; ii [0;0,1) [0,1;0,2) [0,2;0,3) [0,3;0,4) [0,4;0,5) [0,5;0,6) [0,6;0,7) [0,7;0,8) [0,8;0,9) [0,9;1]

1 ni 27 18 12 11 6 6 7 7

34 6

2 i 0,27 0,18 0,12 0,11 0,06 0,06 0,07 0,04 0,03 0,06 3 *

ih 2,7 1,8 1,2 1,1 0,6 0,6 0,7 0,41 0,31 0,62 4 ix 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 5 ixf 2,58 1,92 1,42 1,05 0,78 0,57 0,42 0,31 0,23 0,95 6 ip 0,26 0,19 0,14 0,1 0,07 0,06 0,04 0,03 0,02 0,17 7 inp 26 19 14 10 7 5 4 3 2 0

114.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95

115. Интервальной. 116. Оцениваемый. 117. Доверительным. 118. Доверительной. 119. Надежностью. 120. 0,9; 0,95; 0,99. 121. ( , )P . 122. Точность. 123. Точнее. 124. 23,7;

0,8 . 125. 25,3. 126. tn . 37.

2 . 128. St

n . 129. Стьюдента.

130. n

t . 131. 0. 132. 25. 133. 2

tФ . 134. 45,029,0tФ .

135. 1,65. 136. 51,65 1,6525

. 137. (–1,65; 1,65). 138. Stn .

139. 167,6. 140. 30. 141. 9,28. 12. t . 143. 291 n . 144. 0,95. 145. 2,05.

146. 9,282,05 3,4730 1

. 147. (164,13; 171,07).

СибАДИ

Page 16: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

16

Глава 3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Задания 1. Статистическая гипотеза – это ________________________(148) о генеральной совокупности, проверяемое по _________________ (149). 2. Нулевой (______________________ (150)) называют выдвинутую гипотезу H0, конкурирующей (_____________________(151)) называют гипотезу H1, которая _________________________(152) H0. 3. Гипотезы о виде распределения называются _______________________(153), а о параметрах распределения – ____________________________ (154). 4. Гипотеза, состоящая из одного значения параметра, называется ___________________ (155). 5. :Н МХ а – ______________ (156) гипотеза, :Н МХ а –_____________(157) гипотеза. 6. Проверить статистическую гипотезу – значит проверить, согласуются ли ______________________ (158) данные с ____________________(159) гипотезой.

При этом возможны следующие ошибки: – ошибка I рода – отвергнуть верную (неверную) (160) гипотезу; – ошибка II рода – принять верную (неверную) (161) гипотезу. 7. Уровень значимости – ___________________________(162) совершения ошибки _________________(163) рода. Стандартные значения : _____________________(164). 8. Вероятность недопущения ошибки второго рода 1 называется __________________(165) критерия. 9. Одновременное уменьшение ошибок первого и второго рода возможно лишь при увеличении (уменьшении) (166) объема выборок. 10. Применительно к радиолокации вероятность пропуска сигнала – ошибка _______________(167) рода, вероятность ложной тревоги – ошибка _______________(168) рода. 11. Правило, по которому принимается решение о принятии или отклонении гипотезы H0, называется________________________(169) критерием.

СибАДИ

Page 17: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

17

12. Схема проверки статистической гипотезы: 1) На основании результатов выборки 1 2, , , kx x x случайной

величины Х формируют ___________ (170) гипотезу H0 и ______________(171) гипотезу H1.

2) Формируют функцию выборки 1 2( , , , )kK K x x x – ________________(172) критерия.

3) Задают и по множеству возможных значений K определяют критическую область – область принятия (отклонения) (173) гипотезы H0. Для этого находят критическую точку крK , отделяющую критическую область от области ________________(174) значений статистического критерия.

Границы областей находят из условия: а) правосторонняя критическая область ( )крP K K ; б) _________________ (175) критическая область ( )крP K K ; в) ________________________ (176) критическая область

( ) ( )2

л пкр крP K K P K K

.

4) По результатам выборки 1 2, , , kx x x рассчитывают _____________________ (177) значение статистического критерия

1 2( , , , )наб kK K x x x . 5) Сравнивают набK с крK :

а) правосторонняя критическая область наб крK K H0 принимается; б) левосторонняя критическая область наб крK K H0

_______________(178); в) _________________(179) критическая область п

наб крK K и л

наб крK K H0_________________(180).

13. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением 4,1 извлечена выборка объемом

72n и по ней найдена выборочная средняя 112,6x . Для проверки параметрической гипотезы 106: 00 аН выбираем

статистику K u , где 0

/набx au

n

.

СибАДИ

Page 18: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

18

Зададим уровень значимости 05,0 . Имеем (____ ______) ___

___________набu

(181).

По виду конкурирующей гипотезы выбираем вид критической области и формулу для нахождения ее границы.

1) Если 106: 01 аН , то критическая область

________________(182). , /21( ) ______

2крФ u

(183). Согласно

прил. 2 ______крu (184).

кр набu u H0 ______________(185), т.е. выборочная и гипотетическая генеральные средние статистически различаются _____________________(186).

2) Если 1 0: 106Н а , то критическая область

________________(187). ,1 2( ) ______

2крФ u

(188). Согласно

прил. 2 ______крu (189).

кр набu u H0 ______________(190), т.е. выборочная и гипотетическая генеральные средние статистически различаются ____________________(191).

3) Если 106: 01 аН , то критическая область

________________(192). ,1 2( ) ______

2крФ u

(193). Согласно

прил. 2 ______крu (194). кр набu u H0 ______________(195), т.е. выборочная и

гипотетическая генеральные средние статистически различаются _____________________ (196). 14. Для проверки гипотезы о законе распределения Х используется критерий хи-квадрат – критерий__________________________(197). 15. Схема проверки гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона.

1) Определить меру расхождения между теоретическим и ________________________ (198) распределениями по формуле

СибАДИ

Page 19: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

19

2

1 _______k

i

(199), где in – ________________(200) частота,

inp – _____________________________(201) частота, ip − ___________________(202) попадания возможных значений Х в интервал [xi, xi+1).

2) Определить 1 lkr – число _______________________ (203), где k − число_________________(204); l − число –__________________________________(205).

3) Выбрать уровень значимости . Используя таблицу распределения 2 (см. прил. 4), по выбранному значению и найденному r найти ________________________(206) точку 2

,r . Если 2

,2

r , то гипотеза H0 __________________(207). Если ,2

,2

r то H0 ____________________(208).

16. По выборочным данным проверяется гипотеза : ~ ( , )H X N a . Сгруппировано 6 интервалов и вычислена мера расхождения

2 1,045наб . Для проверки гипотезы на уровне значимости 0,01 находим число параметров: l ____(209) (т.к. оцениваются параметры а и ); k ____ (210). Тогда r __________ (211). По таблице распределения 2 (см. прил. 4) находим

2 20,01;3кр ___________(212). 2 2

наб кр H0 _____________(213) на уровне значимости ____________________(214).

17. По выборочным данным проверяется гипотеза H : X ~ R a;b . Сгруппировано 7 интервалов и вычислена мера расхождения

2 8наб . Для проверки гипотезы на уровне значимости 1,0 находим l ____(215) (т.к. оцениваются параметры а и b); k ____ (216). Тогда r __________ (217).

По таблице распределения 2 (см. прил. 4) находим _____________2

4;012 кр (218).

2 2наб кр , H0_____________(219) на уровне значимости

________________(220).

СибАДИ

Page 20: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

20

18. По выборочным данным проверяется гипотеза в пользу показательного закона распределения. Сгруппировано 6 интервалов и вычислена мера расхождения 2 1,045наб . Для проверки гипотезы на уровне значимости 0,01 находим l ____(221) (т.к. оценивается один параметр______(222)); k ____(223). Тогда r __________ (224).

По таблице распределения 2 (см. прил. 4), находим 2 2

0,01;4 _____________кр (225). 2 2наб кр H0

__________________(226) на уровне значимости ________(227). 19. Результаты наблюдений над случайной величиной Х (рост мужчины) представлены в виде статистического ряда:

Х [160;165) [165;170) [170;175) [175;180) [180;185) [185;190] ni 36 54 66 24 15 5

Проверяем по критерию Пирсона на уровне значимости 1,0 основную гипотезу о том, что Х подчиняется нормальному закону распределения.

1200Bx (162,5·36+_______________________________)≈______(228).

1200BD ((162,5-171)2·36+_____________________________________

____________________)≈______(229). Тогда SВ ______(230). Так как n6=5, то последние два

интервала объединяем как низкочастотные. Находим вероятности попадания в i-й разряд по формуле

11

i B i Bi i i

x x x xp P x X x Ф ФS S

.

Составляем таблицу: Интервалы ( ;165) [165;170) [170;175) [175;180) [180;+ )

ni 36 54 66 24 20 рi 0,1587 0,2738 0,3161 0,1846 0,0668

ii pn 200 31,7 54,8 63,2 36,9 13,4

2 22

1

( ) (36 31,7)31,7

ki i

i i

n nn

_____________________________

___________________________________(231). r=_____________(232). 2 20,1;1 2,7 наб основную гипотезу H0 ______________(233).

СибАДИ

Page 21: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

21

Ответы: 148. Предположение. 149. Выборке. 150. Основной. 151. Альтернативной. 152. Противоположна. 153. Непараметрическими. 154. Параметрическими. 155. Простой. 156. Простая. 157. Сложная. 158. Выборочные. 159. Выдвинутой. 160. Верную.161. Неверную. 162. Вероятность. 163. Первого. 164. 0,01; 0,005; 0,001. 165. Мощностью. 166. Увеличении. 167. Первого. 168. Второго. 169. Статистическим. 170. Нулевую (основную). 171. Альтернативную (конкурирующую). 172. Статистику. 173. Отклонения. 174. Допустимых. 175. Левосторонняя. 176. Двусторонняя. 177. Наблюдаемое. 178. Отвергается. 179. Двусторонняя. 180. Отвергается.

181. 112,6 106 13,664,1/ 72набu

. 182. Двусторонняя. 183. 0,475.

184. 1,96. 185. Отклоняется. 186. Значимо. 187. Левосторонняя. 188. 0,45. 189. –1,65. 190. Принимается. 191. Незначимо. 192. Правосторонняя. 193. 0,45. 194. 1,65. 195. Отклоняется. 196. Значимо. 197. Согласия Пирсона. 198. Эмпирическим.

199.

k

i i

ii

npnpn

1

2)(. 200. Эмпирическая. 201. Теоретическая.

202. Вероятность. 203. Степеней свободы. 204. Интервалов. 205. Параметров распределения. 206. Критическую. 207. Отвергается. 208. Принимается. 209. 2. 210. 6. 211. 6-2-1 3r . 212. 11,3. 213. Принимаем. 214. 0,01 . 215. 2. 216. 7. 217. r=7-2-1=4. 218. 7,8. 219. Отвергаем. 220. 1,0 . 221. 1. 222. . 223. 6. 224. r=6-1-1=4. 225. 4,6. 226. Принимается. 227. 0,01 .

228. 171200

34167 . 229. 39

2007776

. 230. 6. 231. 9,9. 232. r=5-2-1=1.

233. Отвергаем.

СибАДИ

Page 22: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

22

Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННО- РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Задания

1. Определите вид зависимости: а) ___________________________(234), когда каждому значению x величины X соответствует вполне определенное значение y величины Y. б) __________________________(235), когда изменение величины X влечет за собой изменение среднего значения величины Y. в) ___________________________(236), когда изменение величины X влечет за собой изменение распределения Y. 2. Установите соответствие по разновидностям статистических связей (237):

1) по направлению действия А) прямолинейные и криволинейные

2) по аналитическому выражению В) прямые и обратные 3) по количеству факторов, действующих на результативный признак

С) однофакторные и многофакторные

3. По характеру расположения точек на корреляционном поле можно судить о ___________________(238) и _________(239) связи между случайными величинами.

4. Регрессией __ (240) на __ (241) или условным математическим ожиданием случайной величины Y относительно случайной величины X называется функция вида ( )f x ___________ (242).

Регрессией ____ (243) на _____ (244) называется функция вида ( ) ( / )g y M X Y y .

5. Оценками функций f(x) и g(x) служат выборочные ____________________________ (245) или ___________________ (246) средние:

( )xy f x , где xy – _______________________(247) переменной Y при фиксированном значении переменной ________ (248);

( )yx g y , где yx – __________________ (249) переменной X при фиксированном значении переменной ______ (250).

СибАДИ

Page 23: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

23

6. В уравнении регрессии xy ax b коэффициент yxa называется выборочным коэффициентом __________________(251), который показывает, на сколько единиц в ___________(252) изменяется переменная Y при увеличении переменной Х на единицу.

7. Уравнение регрессии имеет вид 5,1 1,7xy x . Тогда коэффициент регрессии yx ____(253) показывает, что

если Х увеличится на одну единицу своего измерения, то Y в среднем увеличится (уменьшится) (254) на _______(255) единиц, т.к.

( , )0yx (256). Связь между величинами прямая (обратная) (257).

8. Виды уравнений регрессии: xy ax b – _______________________(258) зависимость;

2xy ax bx c – ________________________(259) зависимость;

_______________(260) – экспоненциальная зависимость; _______________(261) – обратно пропорциональная зависимость. Здесь x –_________________(262) переменная; , ,a b c – параметры регрессии. 9. Параметры регрессии находят исходя из принципа метода наименьших квадратов: сумма _________________(263) отклонений эмпирических групповых средних iy от значений ( )x iy x , найденных по уравнению регрессии, должна быть _____________________(264),

т.е. по формуле ______2

1

n

ixi yy (265).

10. В случае несгруппированной выборки неизвестные параметры а и b _____________________(266) зависимости xy ax b находятся из системы нормальных уравнений вида

2 _________________

i i

i

a x b xa x nb

(267);

(268).

11. Получены результаты измерений значений величин Х и Y: Х 2 4 5 7 10 Y 3 2 1 4 5

Для нахождения линейной регрессии Y на Х вида xy ax b

СибАДИ

Page 24: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

24

составляем расчетную таблицу:

i ix iy 2ix

(269) i ix y

(270)

1 2 3 2 5 2 3 6 1 4 7 4 5 10 5 (271)

Тогда система нормальных уравнений примет вид

214 30 ______30 5 ________

a ba b

(272); (273).

Откуда a =______(274); b=______(275); xy _____________(276). Коэффициент регрессии yx _______(277). При увеличении

переменной Х на одну единицу Y ____________________(278) на _____(279) единиц. 12. Коэффициент корреляции является показателем _________________ (280) связи между переменными Х и Y. 13. Установите соответствие между значением коэффициента корреляции и его свойствами: (281) 1) 0r A) связь между величинами прямая, т.е. с ростом X

увеличивается Y . 2) 0r B) X и Y связаны функционально. 3) 0r C) линейная корреляционная зависимость отсутствует.

4) 1r D) связь между величинами обратная, т.е. с ростом X убывает Y .

14. Коэффициент корреляции r величин X и Y есть средняя _____________________(282) коэффициентов регрессии, т.е.

__________r (283). Знак «+» выбираем в том случае, если ( , )0, ( , )0yx xy (284), и знак

«–», если 0),(,0),( xyyx (285). Коэффициент корреляции находится по формулам:

СибАДИ

Page 25: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

25

_______x

xyrS

(286); ___

yr

S (287); _ __

ySr (288).

15. Получены результаты измерений значений величин Х и Y: Х 2 5 6 7 10 Y 3 2 1 4 5

Найдем коэффициент корреляции по формуле

___

X Y

xy x yrS S

.

Имеем

1

1 ni

ix x

n =_____________________________________________(289);

1

1 ni

iy y

n =____________________________________________ (290);

i

n

ii yx

nxy

1

1_________________________________________(291);

2

1)(1 xx

nD

n

iix ___________________________________________

_______________________________________________________(292); 2

1

1 ( )n

y ii

D y yn

___________________________________________

_______________________________________________________(293);

xx Dn

nS1

2______(294);

yy D

nnS

12

________ (295);

2xx SS _______ (296); 2

yy SS _______ (297);

_______20r _____(298).

Воспользуемся формулой Xyx

Y

SrS

. Ранее было установлено

0,29 1,27xy x ; ,290yx . Тогда 0,29__

r _____(299).

По шкале Чеддока рассчитанное значение коэффициента корреляции свидетельствует о ____________ (300) линейной связи между величинами Х и Y.

СибАДИ

Page 26: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

26

16. Корреляционное отношение yx величины Y по X – отношение ________________ (301) среднего квадратического отклонения к __________ (302) среднему квадратическому отклонению признака. 17. Установите соответствие между значением корреляционного отношения и его свойствами: (303)

1) 0yx А) связь функциональная 2) yx r В) корреляционной связи нет 3) 1yx С) между X и Y существует линейная

корреляционная зависимость

18. По данным таблицы Y/Х 10 20 30 ny 15 4 28 6 38 25 6 – 6 12 nx 10 28 12 50

найдем корреляционное отношение Y к Х. Общая средняя признака Y:

(38 15 __________)50

yn yy

n

________(304).

Общее среднее квадратическое отклонение признака Y: 22 38 (15 17,4) __________( )y

yn y y

n

_______(305).

Находим групповые средние

2

1i

i

j ijj

xx

y ny

n

.

Х 10 20 30

ixy ___ ___ ___ (306) Межгрупповое среднее квадратическое отклонение признака Y:

2( )x

x xy

n y yn

210 (21 17,4) __________ __________

=______ (307).

СибАДИ

Page 27: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

27

Корреляционное отношение Y к Х: xyyx

y

________(308).

Коэффициент детерминации 2yx =_______(309).

Рассчитанное значение эмпирического корреляционного отношения свидетельствует о _____________ (310) статистической связи между Х и Y.

Ответы: 234. Функциональная. 235. Корреляционная. 236. Статистическая. 237. 1)–В); 2)–А); 3)–С). 238. Направлении. 239. Силе. 240. Y . 241. X . 242. M(Y/X = x). 243. X . 244. Y . 245. Уравнения регрессии. 246. Условные. 247. Условная средняя. 248. X x . 249. Условная средняя. 250. Y y . 251. Регрессии. 252. Среднем. 253. –1,7. 254. Уменьшится. 255. 1,7. 256. 0yx .

257. Обратная. 258. Линейная. 259. Квадратичная. 260. bxxy ae .

261. xay bx

. 262. Независимая. 263. Квадратов. 264. Минимальной.

265. min. 266. Линейной. 267. ii yx . 268. iy . 269. 4, 25, 36, 49, 100. 270. 6, 10, 6, 28, 50. 271. 30, 15, 214, 100. 272. 100. 273. 15. 274. 0,29. 275. 1,26. 276. 0,29x +1,26. 277. 0,29. 278. Увеличится. 279. 0,29. 280. Тесноты. 281. 1) – C); 2) – A); 3) – D); 4) – B). 282. Геометрическая. 283. xyyx . 284. 0yx ; 0xy .

285. 0yx ; 0xy . 286.

___

X Y

xy x yrS S

. 287. Xyx

Y

SrS

.

288. Yxy

X

SrS

. 289. 6. 290. 3. 291. 20. 292. 534

. 293. 2. 294. 434

.

295. 2,5. 296. ≈2,9. 297. ≈1,6. 298. ≈0,43. 299. ≈0,5. 300. Средней. 301. Межгруппового. 302. Общему. 303. 1)–В); 2)–С); 3)–А). 304. 17,4. 305. 4,27. 306. 21; 15; 20. 307. 2,73. 308. 0,64. 309. 0,4. 310. Средней.

СибАДИ

Page 28: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

28

П р ило же н ия Приложение 1. Значения функции xe

x Сотые доли 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0, - 9900 9802 9704 9608 9512 9418 9324 9231 9139 0,1 0, 9048 8958 8869 8781 8694 8607 8521 8437 8353 8270 0,2 0, 8187 8106 8025 7945 7866 7788 7710 7634 7558 7483 0,3 0, 7408 7334 7261 7189 7118 7047 6977 6907 6839 6771 0,4 0, 6703 6636 6570 6505 6440 6376 6313 6250 6188 6126 0,5 0, 6065 6005 5945 5886 5827 5770 5712 5655 5599 5543 0,6 0, 6488 5433 5379 5326 5273 5220 5168 5117 5066 5016 0,7 0, 4966 4916 4867 4819 4771 4724 4677 4630 4584 4538 0,8 0, 4493 4449 4404 4360 4317 4274 4232 4189 4148 4107 0,9 0, 4066 4025 3985 3945 3906 3867 3829 3791 3753 3716 1,0 0, 3679 3642 3606 3570 3534 3499 3465 3430 3396 3362 1,1 0, 3329 3296 3263 3230 3198 3166 3135 3104 3073 3042 1,2 0, 3012 2982 2952 2923 3894 2865 2836 2808 2780 2753 1,3 0, 2725 2698 2671 2645 2618 2592 2567 2541 2516 2491 1,4 0, 2466 2441 2417 2393 2369 2346 2322 2299 2276 2254 1,5 0, 2231 2209 2187 2165 2144 2122 2101 2080 2060 2039 1,6 0, 2019 1999 1979 1959 1940 1920 1901 1882 1864 1845 1,7 0, 1827 1809 1791 1773 1755 1738 1720 1703 1686 1670 1,8 0, 1653 1636 1620 1604 1588 1572 1557 1541 1526 1511 1,9 0, 1496 1481 1466 1451 1437 1423 1409 1395 1381 1367 2,0 0, 1353 1340 1327 1313 1300 1287 1275 1262 1249 1237 2,1 0, 1225 1212 1200 1188 1177 1165 1153 1142 1130 1119 2,2 0, 1108 1097 086 1075 1065 1054 1043 1033 1023 1013 2,3 0, 1003 0993 0983 0973 0963 0954 0944 0935 0926 0916 2,4 0,0 9072 8981 8892 8804 8716 8629 8544 8458 8374 8291 2,5 0,0 8208 8127 8046 7966 7887 7808 7730 7654 7577 7502 2,6 0,0 7427 7354 7280 7208 7136 7065 6995 6925 6856 6788 2,7 0,0 6721 6654 6587 6522 6457 6393 6329 6266 6204 6142 2,8 0,0 6081 6020 5961 5901 5843 5784 5727 5670 5614 5558 2,9 0,0 5502 5448 5393 5340 5287 5234 5182 5130 5079 5029 3,0 0,0 4979 4929 4880 4832 4784 4736 4689 4642 4596 4550 3,1 0,0 4505 4460 4416 4372 4328 4285 4243 4200 4159 4117 3,3 0,0 3688 3652 3615 3579 3544 3508 3474 3439 3405 3371 3,5 0,0 3020 2990 2960 2930 2901 2872 2844 2816 2788 2760 3,7 0,0 2472 2448 2423 2399 2375 2352 2328 2305 2282 2260 3,9 0,0 2024 2004 1984 1964 1945 1925 1906 1887 1869 1850 4,0 0,0 1832 1813 1795 1777 1760 1742 1725 1708 1691 1674 5,0 0,00 6738 6671 6604 6539 6474 6409 6346 6282 6220 6158

СибАДИ

Page 29: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

29

Приложение 2. Значения функции 2

2

0

12

zxФ x e dz

x Сотые доли х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,000 00399 00798 01197 01595 01994 02392 02790 03188 03586 0,1 03983 04380 04776 05172 05567 05962 06356 06749 07142 07535 0,2 07926 08317 08706 09095 09483 09871 10257 10642 11026 11409 0,3 11791 12172 12552 12930 13307 13683 14058 14431 14803 15173 0,4 15542 15910 16276 16640 17003 17364 17724 18082 18439 18793 0,5 19146 19497 19847 20194 20540 20884 21226 21566 21904 22240 0,6 22575 22907 23237 23565 23891 24215 24537 24857 25175 25490 0,7 25804 26115 26424 26730 27035 27337 27637 27935 28230 28524 0,8 28814 29103 29389 29673 29955 30234 30511 30785 31057 31327 0,9 31594 31859 32121 32381 32639 32894 33147 33398 33646 33891 1,0 34134 34375 34614 34850 35083 35314 35543 35769 35993 36214 1,1 36433 36650 36864 37076 37286 37493 37698 37900 38100 38298 1,2 38493 38686 38877 39065 39251 39435 39617 39796 39973 40147 1,3 40320 40490 40658 40824 40988 41149 41308 41466 41621 41774 1,4 41924 42073 42220 42364 42507 42647 42786 42922 43056 43189 1,5 43319 43448 43574 43699 43822 43943 44062 44179 44295 44408 1,6 44520 44630 44738 44845 44950 45053 45154 45254 45352 45449 1,7 45543 45637 45728 45818 45907 45994 46080 44616 46246 46327 1,8 46407 46485 46562 46638 46712 46784 46856 46926 46995 47062 1,9 47128 47193 47257 47320 47381 47441 47500 47558 47615 47670 2,0 47725 47778 47831 47882 47932 47982 48030 48077 48124 48169 2,1 48214 48257 48300 48341 48382 48422 48461 48500 48537 48574 2,2 48610 48645 48679 48713 48745 48778 48809 48840 48870 48899 2,3 48928 48956 48983 49010 49036 49061 49086 49111 49134 49158 2,4 49180 49202 49224 49245 49266 49286 49305 49324 49343 49361 2,5 49379 49396 49413 49430 49446 49461 49477 49492 49506 49520 2,6 49534 49537 49560 49573 49585 49589 49609 49621 49632 49643 2,7 49653 49664 49674 49683 49693 49702 49711 49720 49728 49736 2,8 49744 49752 49760 49767 49774 49781 49788 49795 49801 49807 2,9 49813 49819 49825 49831 49836 49741 49846 49851 49856 49861 3,0 49865 – – – – – – – – – 3,5 49977 – – – – – – – – – 4,0 49997 – – – – – – – – – 4,5 499997 – – – – – – – – – 5,0 499999 – – – – – – – – –

СибАДИ

Page 30: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

30

Приложение 3. Значения t-распределения Стьюдента (k – число степеней свободы)

k Уровень значимости

(двусторонняя критическая область) 0,10 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001

1 6,31 12,7 31,82 63,7 318,3 637,0 2 2,92 4,30 6,97 9,92 22,33 31,6 3 2,35 3,18 4,54 5,84 10,22 12,9 4 2,13 2,78 3,75 4,60 7,17 8,61 5 2,01 2,57 3,37 4,03 5,89 6,86 6 1,94 2,45 3,14 3,71 5,21 5,96 7 1,89 2,36 3,00 3,50 4,79 5,40 8 1,86 2,31 2,90 3,36 4,50 5,04 9 1,83 2,26 2,82 3,25 4,30 3,78

10 1,81 2,23 2,76 3,17 4,14 4,59 11 1,80 2,20 2,72 3,11 4,03 4,44 12 1,78 2,18 2,68 3,05 3,93 4,32 13 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85 4,22 14 1,76 2,14 2,62 2,98 3,79 4,14 15 1,75 2,13 2,60 2,95 3,73 4,07 16 1,75 2,12 2,58 2,92 3,69 4,01 17 1,74 2,11 2,57 2,90 3,65 3,96 18 1,73 2,10 2,55 2,88 3,61 3,92 19 1,73 2,09 2,54 2,876 3,58 3,88 20 1,73 2,09 2,53 2,85 3,55 3,85 21 1,72 2,08 2,52 2,83 3,53 3,82 22 1,72 2,07 2,51 2,82 3,51 3,79 23 1,71 2,07 2,50 2,81 3,49 3,77 24 1,71 2,06 2,49 2,80 3,47 3,74 25 1,71 2,06 2,49 2,79 3,45 3,72 26 1,71 2,05 2,48 2,78 3,44 3,71 27 1,71 2,05 2,47 2,77 3,42 3,69 28 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66 29 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66 30 1,70 2,04 2,46 2,75 3,39 3,65 40 1,68 2,02 2,42 2,70 3,31 3,55 60 1,67 2,00 2,39 2,66 3,23 3,46 120 1,66 1,98 2,36 2,62 3,17 3,37 1,64 1,96 2,33 2,58 3,09 3,29

СибАДИ

Page 31: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

31

Приложение 4. Квантили 2,k распределения 2 (k – число степеней свободы)

k Уровень значимости 0,30 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002 0,001

1 1,07 1,64 2,7 3,8 5,4 6,6 7,9 9,5 10,83 2 2,41 3,22 4,6 6,0 7,8 9,2 11,6 12,4 13,8 3 3,66 4,64 6,3 7,8 9,8 11,3 12,8 14,8 16,3 4 4,9 6,0 7,8 9,5 11,7 13,3 14,9 16,9 18,5 5 6,1 7,3 9,2 11,1 13,4 15,1 16,3 18,9 20,5 6 7,2 8,6 10,6 12,6 15,0 16,8 18,6 20,7 22,5 7 8,4 9,8 12,0 14,1 16,6 18,5 20,3 22,6 24,3 8 9,5 11,0 13,4 15,5 18,2 20,1 21,9 24,3 21,6 9 10,7 12,2 14,7 16,9 19,7 21,7 23,6 26,1 27,9

10 11,8 13,4 16,0 18,3 21,2 23,2 25,2 27,7 29,6 11 12,9 14,6 17,3 19,7 22,6 24,7 26,8 29,4 31,3 12 14,0 15,8 18,5 21,0 24,1 26,2 28,3 31,0 32,9 13 15,1 17,0 19,8 22,4 25,5 27,7 29,8 32,5 34,5 14 16,2 18,2 21,1 23,7 26,9 29,1 31,0 34,0 36,1 15 17,3 19,3 22,3 25,0 28,3 30,6 32,5 35,5 37,7 16 18,4 20,5 23,5 26,3 29,6 32,0 34,0 37,0 39,2 17 19,5 21,6 24,8 27,6 31,0 33,4 35,5 38,5 40,8 18 20,6 22,8 26,0 28,9 32,3 34,8 37,0 40,0 42,3 19 21,7 23,9 27,2 30,1 33,7 36,2 38,5 41,5 43,8 20 22,8 25,0 28,4 31,4 35,0 37,6 40,0 43,0 45,3 21 23,9 26,2 29,6 32,7 36,3 38,9 41,5 44,5 46,8 22 24,9 27,3 30,8 33,9 37,7 40,3 42,5 46,0 48,3 23 26,0 28,4 32,0 35,2 39,0 41,6 44,0 47,5 49,7 24 27,1 29,6 33,2 36,4 40,3 43,0 45,5 48,5 51,2 25 28,1 30,7 34,4 37,7 41,6 44,3 47,0 50,0 52,6 26 29,3 31,8 35,6 38,9 42,9 45,6 48,0 51,5 54,1 27 30,3 32,9 36,7 40,1 44,1 47,0 49,5 53,0 55,5 28 31,4 34,0 37,9 41,3 45,4 48,3 51,0 54,5 56,9 29 32,5 35,1 39,1 42,6 46,7 49,6 52,5 56,0 58,3 30 33,5 36,3 40,3 43,8 48,0 50,9 54,0 57,5 59,7

СибАДИ

Page 32: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ …bek.sibadi.org › fulltext › esd79.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

32

Приложение 5. Значения функции 2

212

t

t e

t Сотые доли t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3856 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3696 0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1,0 0,2420 2396 2372 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0081 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0061 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0046 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0034 3,0 0,00447 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0025 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0018 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0013 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0009 3,4 0012 0012 0012 0011 00111 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006

СибАДИ