1

Версія від 18.03.2023 р.

В. Хотяїнцев

МЕТОДИ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

для студентів фізичного факультету (електронний конспект лекцій)

Київ - 2019

2 Шановні студенти!

Будь ласка відмічайте прямо в тексті помилки, неточності чи незрозумілі місця (в

Acrobat Reader вгорі праворуч є олівець «Виділити текст», можна і коментувати) і

присилайте pdf з цими відмітками на адресу vkhot@ukr.net . Це буде велика допомога.

Дякую В. Хотяїнцев

ПЕРЕДМОВА ДЛЯ СТУДЕНТІВ

Із формальної точки зору курс ММФ допомагає засвоїти навчальні курси, які мають справу з полями: електродинаміку, квантову механіку, механіку суцільного середовища. На відміну від цих курсів, лише в курсі ММФ є можливість приділити увагу математичному апарату, його вибору, обґрунтуванню, фізичному смислу і особливостям взаємодії з фізикою. Через спільність цього апарату відкривається єдність фізики, спільна природа фізичних явищ, розкиданих для вас по різних фізичних курсах.

У вузькому розумінні зміст курсу ММФ складають дві речі. Це рівняння математичної фізики (декілька класичних диференціальних рівнянь у частинних похідних і задач для них), та методи і математичний апарат для їх розв’язання. Щоб здати ММФ, треба навчитись із розумінням ставити і розв’язувати передбачені програмою типи задач. Для цього необхідно оволодіти відповідним набором методів, а для розуміння необхідна теорія.

Після екзамену студенти заповнюють анкети, оцінюють курс і викладачів, діляться своїми враженнями. Один із студентів висловився так:

«ММФ – дуже самобутній предмет».

У чому ж його самобутність?

У курсі ММФ уся математика, яку ви вчили раніше, починає працювати на фізику,

разом з нею.

Курс навчає за рівняннями і формулами бачити явище, говорити і думати двома

мовами, мовою фізики і мовою математики одночасно. ММФ – це фізика і математика

у взаємодії.

ММФ – це формування нового фізичного мислення на базі нових математичних

понять, без яких розуміння полів неможливе. Розібрані в курсі приклади є основою

розуміння фізики полів загалом.

Чи не найскладніше питання курсу – чому саме такий (а не інший!) математичний

апарат є прийнятним для фізики.

3

Частина I. Вступ до математичної фізики

В курсі математичної фізики (МФ) ми переходимо від звичайних диференціальних рівнянь до рівнянь в частинних похідних. При цьому відбувається якісний стрибок у рівні складності задачі. У вступній частині йдеться про прості і важливі речі, які є ключем до розуміння всього курсу:

як виглядають найпростіші рівняння математичної фізики з двома змінними (хвильове, теплопровідності та рівняння Лапласа);

звідки вони походять і які фізичні процеси описують; який фізичний смисл пов’язаних з ними величин; що означає поставити задачу для кожного з цих рівнянь; як зробити це правильно, і

яка фізика за цим стоїть; як виглядають розв’язки найпростіших задач для різних рівнянь, які процеси вони

описують; як працює найпростіший варіант методу відокремлення змінних (МВЗ); що являє собою пов’язаний з МВЗ математичний апарат:

- диференціальні спектральні задачі; - породжені ними системи ортогональних функцій; - розкладання в узагальнені ряди Фур’є за цими системами.

Це основа, яка в подальших розділах курсу буде ускладнюватись і узагальнюватись.

4

Розділ 1. Хвильове рівняння і задачі для нього

§ 1. Хвильове рівняння та фізичні системи, що описуються хвильовим рівнянням

1.1. Хвильове рівняння і його загальні властивості

У математичній фізиці традиційно використовуються особливі компактні позначення для похідних. Частинна похідна по кожній змінній позначається відповідним індексом, наприклад:

2

, x xy

u uu u

x x y

і т.п.

Хвильове рівняння і хвильове поле. У найпростішому випадку хвильове рівняння (ХР), а точніше, одновимірне скалярне хвильове рівняння, має вигляд

2 2

2 2 2

10

u u

x v t

Або у запроваджених вище позначеннях

2tt xxu v u (1.1)

Розберемося, як це треба розуміти.

Саме слово рівняння (на відміну від рівності, співвідношення або тотожності) означає, що в ньому є невідоме, тобто величина, яку з цього рівняння треба знайти. У фізиці рівняння, як правило, пишуться саме для конкретної величини. Так, рівняння Ньютона (рівняння руху частинки) – це рівняння на закон руху частинки, функцію x(t) (в одновимірному випадку), рівняння Максвелла – рівняння електромагнітного поля, рівняння Шредінгера, основне рівняння квантової механіки, - це рівняння на хвильову функцію ψ(x,t) (для однієї частинки в одновимірному випадку), і т.д. Ключовий об’єкт в рівнянні – невідоме. Умовно кажучи, яке невідоме – таке й рівняння. Наприклад:

алгебраїчне рівняння - невідоме х, – число; звичайне диференціальне рівняння - невідоме y(t), – функція однієї змінної; дифрівняння в частинних похідних - невідомі u(x, t), u(x, y), u(x, y, z, t) і т.п., –

функції кількох незалежних змінних. Отже, зустрівшись з новим рівнянням, найперше треба ідентифікувати в ньому

невідоме та визначити, яким саме об’єктом воно є, як з точки зору фізики, так і математики. У рівнянні (1.1) невідомим є u, причому u = u(x, t), де в звичайних ситуаціях x – декартова

координата, а t - час. Тобто невідомим є величина u як функція двох незалежних змінних x і t. Те, що саме x і t є незалежними змінними в рівнянні (1.1), видно з того, що в рівняння входять частинні похідні від u по цих змінних: uxx та utt. Напроти, величина v, що також входить в рівняння (виявляється, це швидкість хвилі), - це не змінна, а параметр. Тобто розв’язок рівняння може залежати і від змінних, і від параметрів.

У кожній конкретній фізичній моделі u означає цілком конкретну фізичну величину: зміщення точок струни (певну компоненту вектора зміщення), напруженість електричного поля, змінну частин густини або тиску в газі і т.п. (див. п. 1.2). Коли її природа не буде для нас важливою, будемо умовно називати ( , )u x t просто «хвильовим полем».

Одне із значень терміну «поле» в математиці є «функція точки простору». У фізиці ми часто говоримо про поле, як про матеріальний об’єкт. Наприклад, електромагнітне поле. Але ми говоримо також про поле температур, чи поле швидкостей в рідині. Тоді поле скоріше характеризує стан фізичної системи. Так само задає стан системи у квантовій механіці хвильова функція. Синонімом слова «поле» як просторової залежності може бути і слово «розподіл», наприклад розподіл густини заряду, температур і т.п.

5 Якщо ми користуємось певною системою координат, то положення точки задається через

відповідні просторові змінні, координати точки. Тоді полю відповідає функція просторових змінних і часу (якщо воно змінюється з часом). В одновимірному випадку, який ми зараз розглядаємо, це ( , )u x t , оскільки просторова змінна лише одна.

Подивимось уважніше, яку інформацію несе в собі цей об’єкт (поки що лише на рівні кінематики). Для конкретності візьмемо модель малих поперечних коливань струни (див. рис. 1.1). Вісь Ox відповідає рівноважному положенню струни. На рисунку кожна точка струни рухається виключно в перпендикулярному до осі Ox напрямку вздовж осі Oy (взагалі струна може рухатись і складнішим чином). Координата х служить неперервним «номером» точки (нескінченно малого елемента струни). Тоді ( , )u x t - це величина зміщення в

поперечному напрямі (вектор зміщення 0, ,0u u

) даної точки струни з координатою х в

даний момент часу t. Модель зручна своєю наочністю, адже графік (в належному масштабі) функції ( , )u x t для фіксованого t – це просто миттєве фото струни в профіль.

Рис. 1.1. Рух різних точок струни при поперечних коливаннях. Щоб виміряти u, треба вибрати одну з точок струни, зафіксувати значення її координати

x, відмітити рівноважне положення точки (на осі Ох) та її поточне положення в момент t й виміряти відстань між цими положеннями. Залишається врахувати знак u відповідно до вибраного додатного напряму осі Oy та поставити у відповідність отримане значення u координаті х даної точки струни та даного моменту часу t.

Зафіксуємо значення змінної x. Тоді 11( , ) ( , )x xu x t u x t - закон руху точки струни з

координатою х= х1, тобто 1( , )u x t показує, як рухається дана точка струни з часом. Для іншої

точки струни такий закон руху буде вже іншим, а точок таких нескінченне число. Таким чином функція двох змінних еквівалентна (умовно) нескінченному числу функцій однієї змінної.

Тепер зафіксуємо значення змінної t (див. рис. 1.1). Тоді u(x, t1) (крива 1) описує розподіл

зміщень вздовж струни при 1t t , а графік u(x, t1) в даній моделі описує форму струни в

даний момент. Розподіл зміщень змінюється з часом: крива 2 на рис. 1.1 відповідає

близькому моменту часу 2 1t t , форма струни змінилась. Видно, що на вибраному проміжку

часу від 1t до 2t точки з координатами х=х1 та х=х2 рухаються по-різному: перша

опустилася, а друга піднялася. Отже, u(x, t) задає закон руху струни в цілому, описуючи цілісний часово-просторовий

процес. Саме такого типу процеси описує хвильове рівняння (1.1) та інші рівняння, що описують зміну полів в часі. В цьому полягає специфіка функції двох змінних порівняно з функціями однієї змінної, до яких ви звикли в курсі звичайних ДР та в класичній механіці.

6 Рівняння, що описують зміну полів в часі, ми називатимемо еволюційними, щоб

відрізнити від стаціонарних рівнянь, які визначають виключно просторовий розподіл полів, що давно встановився і не залежать від часу. Зауважимо, що з суто математичної точки зору і час і координати в рівнянні (1.1) рівноправні як змінні, адже в результаті заміни vt y

рівняння набуває вигляду yy xxu u . Як ми побачимо згодом, об’єктивна різниця між

змінними в хвильовому рівнянні залишається, але проявляється вона лише в постановці задач, які мають фізичний смисл, у додаткових умовах до цього рівняння.

Загальна класифікація рівнянь і ХР. Загалом диференціальні рівняння можна розкласифікувати наступним чином.

o За кількістю невідомих функцій – на скалярні або векторні (або системи

рівнянь).

o За кількістю змінних - на звичайні ДР (одна незалежна змінна) або в

частинних похідних (ДРЧП).

o За порядком.

o Рівняння лінійні та нелінійні.

У цьому курсі ми розглядатимемо тільки скалярні лінійні ДРЧП другого порядку. Саме таким є ХР. Порядок рівняння – це порядок найстаршої частинної похідної (не має значення, по якій саме змінній). Рівняння (1.1) містить другі похідні по x і по t, на відміну від рівняння

теплопровідності 2t xxu a u (див. §6), яке теж є рівнянням другого порядку, але містить тільки

першу похідну по часу. Загальний вигляд лінійного ДРЧП з двома змінними є наступним

11 12 22 1 22 ,xx xy yy x ya u a u a u b u b u cu f x y . (1.2)

де 11a , 12a , 22a , 1b , 2b , c - коефіцієнти рівняння, які не залежать від невідомої функції u, а

,f x y - неоднорідний член, задана функція незалежних змінних. Коефіцієнти можуть

залежати від змінних х і y. Якщо вони є константами, то це рівняння зі сталими коефіцієнтами. Якщо коефіцієнти залежать від невідомої функції u або її частинних похідних, то рівняння вигляду (1.2) буде нелінійним.

Однорідність довільного співвідношення або умови на функцію u означає, що вони не змінюються при заміні u → cu, де c – довільна стала. Тобто, якщо співвідношення виконується для функції u, то воно виконується і для функції cu (зокрема, і для 0u ).

Наприклад, умови u(x1,t)=0, 2u dx

– однорідні, а ux(x1,t)=1, 2 1u dx

– неоднорідні.

Рівняння (1.1) – однорідне. Неоднорідне хвильове рівняння має вигляд

2 ( , )tt xxu v u f x t , (1.3)

Однорідними є також важливі для подальшого умови обмеженості функції або періодичності за певною змінною. З точки зору фізики однорідні умови виконуються незалежно від амплітуди поля, а неоднорідні, навпаки, фіксують амплітуду. Поклавши 0c , отримуємо зручну ознаку для перевірки на неоднорідність. Однорідне співвідношення завжди задовольняє функція 0u , а неоднорідне – не задовольняє. Для лінійного співвідношення це є критерієм однорідності.

Лінійність співвідношення в загальному випадку можна визначити через поняття лінійного оператора. Якщо заданий закон (або операція), яким кожній функції u з деякої множини допустимих функцій ставиться у відповідність деяка функція w: u w , то кажуть,

що на даній множині функцій заданий оператор L̂ , і пишуть ˆw Lu .

7

Оператор L̂ називається лінійним, якщо він задовольняє дві умови:

ˆ ˆ( ) ,L cu cLu 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ( )L u u Lu Lu (1.4)

тобто 1 1 2 2 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ( )L c u c u c Lu c Lu . Лінійними є зокрема оператори множення на число або

задану функцію, диференціювання, інтегральні оператори вигляду ( ) ( , ) ( )b

aw x K x x u x dx , а

також оператори, що є результатом послідовного застосування двох і більше лінійних операторів (якщо такі операції є допустимими).

Рівняння (співвідношення), яке може бути записане у вигляді

L̂u f , (1.5)

де u – невідоме, оператор L̂ - лінійний, а f - задана функція незалежних змінних, є лінійним

рівнянням (співвідношенням). Таке означення легко узагальнюється на рівняння будь-якого типу - алгебраїчні, диференціальні, інтегральні та ін. Так, рівняння (1.3) можна записати у вигляді:

2 ( , )tt xxu v u f x t

При заміні u cu та 1 2u u u ліва частина поводить себе відповідно до умов (1.4), тому

хвильове рівняння є лінійним. Отже, такий вигляд рівняння відповідає загальному вигляду

(1.5), де 2 2

2

2 2L̂ v

t x

- лінійний оператор. Наприклад, рівняння 2 20 sintt xxu v u u -

нелінійне рівняння (оскільки 1 2 1 2sin( ) sin sinu u u u ), а при малих u воно переходить в

рівняння 2 20tt xxu v u u , яке є лінійним і однорідним.

В лінійних рівняннях і співвідношеннях однорідними є члени вигляду L̂u , де L̂ - лінійний оператор. При заміні u c u вони збільшуються в c разів, а при 0u обертаються в нуль. Якщо рівняння (співвідношення) записане у стандартному вигляді (1.2), (1.5), то ліва частина містить лише однорідні члени, а права – неоднорідні.

Зауважимо, що рівняння називають скалярним, якщо у вибраній системі координат невідоме u задається одним числом. Саме в такому розумінні u є скалярною функцією змінних. Це не обов’язково означає, що u є скаляром в розумінні класифікації геометричних об’єктів (скаляр, вектор, тензор, і т.п.). Так, тиск – це скалярна величина, а напруженість

електричного поля E

– векторна, але якщо, наприклад, u – єдина відмінна від нуля декартова

компонента поля E

, то рівняння для вектора напруженості зводиться до рівняння на одну «скалярну» функцію u. Векторний характер полів є істотним в багатьох застосуваннях, особливо в електродинаміці та теорії пружності, проте випадки, коли відповідні рівняння зводяться (точно або наближено) до одного скалярного рівняння, також не поодинокі.

У традиційному розумінні рівняння математичної фізики - це скалярні рівняння в частинних похідних другого порядку. У цьому курсі ми майже виключно вивчатимемо лінійні рівняння математичної фізики.

1.2. Фізичні системи, що описуються хвильовим рівнянням

Користуючись математичним апаратом, фізик має бачити за формулами явище. Тобто має постійно контролювати фізичний смисл математичних співвідношень і виразів, які він отримує. В іншому разі втрата орієнтації в задачі є практично неминучою. Це повною мірою стосується рівнянь у частинних похідних. Першочергове значення має фізичний смисл невідомої функції (поля), її частинних похідних по кожній змінній, самого рівняння і додаткових умов до нього. Такий фізичний смисл є різним в залежності від фізичної моделі.

8

З навчальною метою ми свідомо використовуємо найпростіші моделі, найбільш наочні і доступні для розуміння. Для хвильового рівняння - це прості механічні моделі. Проте важливі фізичні застосування хвильового рівняння далеко не обмежуються тільки ними.

1.2.1. Модель одновимірного пружного середовища

Суцільне середовище, пружне середовище зокрема, детально розглядаються в курсі класичної механіки, у розділах «Механіка суцільного середовища» або «Теорія пружності». Зараз нам буде достатньо максимально спрощеного описання.

Уявіть прямолінійний ланцюжок із однакових частинок масою m, з’єднаних однаковими невагомими пружинками довжиною a. Частики можуть рухатись тільки вздовж ланцюжка; коли відстані між сусідніми частинками однакові, система знаходиться у рівновазі. Розглядатимемо тільки довгохвильові коливання такого ланцюжка, коли близько розташовані частинки зміщуються від положення рівноваги практично однаково, а характерна відстань λ, на якій зміщення частинок починають суттєво відрізнятись, (наприклад, довжина хвилі) дуже велика порівняно з відстанню між частинками a . На макроскопічному масштабі довжин порядку λ мікроструктура ланцюжка практично не має значення, і його можна розглядати в континуальному наближенні, тобто як неперервне суцільне середовище. Таке одновимірне пружне середовище (ОПС) можна уявляти як суцільну прямолінійну пружну нитку, що не має товщини. Характеризується вона середньою густиною маси на одиницю довжини ρ = m/a та деяким коефіцієнтом пружності, зміщення можливі тільки повздовжні, вздовж напрямку нитки.

З математичної точки зору переходу до континуального наближення при фіксованому λ відповідає граничний перехід 0a . А це означає, що на будь-якому скінченному проміжку кількість частинок ланцюга прямує до нескінченності: ми перейшли до системи з нескінченним числом ступенів вільності. В іншій термінології це системи з розподіленими параметрами1. Рівняння в частинних похідних описують саме такі системи, на відміну від звичайних диференціальних рівнянь, які описують системи зі скінченним числом ступенів вільності (або системи з зосередженими параметрами).

Інший приклад ОПС – малі повздовжні коливання тонкого пружного стержня. Він мусить бути тонким (λ2>>S, де S – площа поперечного перерізу). Адже повздовжнє видовження стержня супроводжується поперечними зміщеннями, і тому відповідна добавка до кінетичної енергії системи має бути малою порівняно з внеском повздовжніх зміщень.

Деформований стан ОПС. Нехай десь далеко кінці нитки закріплені, і система знаходиться в положенні рівноваги, нитка має форму прямої, попереднього розтягу немає.

Вісь Ox проведемо вздовж нитки. Деформований стан описуватимемо полем зміщень ( , )u x t .

Смисл будь-якої величини стає зрозумілим, якщо уявити, як її можна виміряти. На рис. 1.2

1Терміни, прийняті в радіотехніці: «системи з зосередженими параметрами» - звичайні ланцюги і схеми з дискретних елементів, таких як

резистори, конденсатори, котушки індуктивності і т.п.; на відміну від них «системи з розподіленими параметрами» поширені в техніці надвисоких частот (НВЧ) (метровий – сантиметровий діапазони довжин хвиль, телебачення, радіолокація, мобільний зв’язок), наприклад, двопровідна лінія, коаксіальний кабель, хвилевід і т. ін., історично першою такою системою, імовірно, стала телеграфна лінія.

9

показаний фрагмент нитки до деформації (вгорі) і після, в момент часу t (внизу). У нашому уявному експерименті з вимірювання поля зміщень вибираємо на нитці деяку точку і відмічаємо її фарбою (точка M на рисунку). Фіксуємо її координату x . Нехай після деформації точка M перейшла в положення M , тоді за означенням її координата є

( , )x u x t . Тобто зміщення u є проекцією вектора переміщення MM

(який є повздовжнім

відносно нитки) на додатний напрям осі Ox. Щоб знайти зміщення u , вимірюємо відстань між M та M і беремо її з відповідним знаком. Проте відносимо знайдену величину u до координати x точки M до (!) деформації. Таким чином маємо:

- ( , )u x t – поле зміщень (повздовжніх);

- ( , )tu x t – поле швидкостей2;

- ( , )ttu x t – поле прискорень.

Відносна деформація. Для випадку статичної деформації однорідного стержня

довжини L , розтягнутого до довжини L , відносна деформація є L L , де L L L є

видовження стержня. Для заданої величини сили, що викликає деформацію, L пропорційне довжині стержня, а відносна деформація не залежить від L і характеризує внутрішній стан деформованого середовища. Для розтягу відносна деформація додатна.

Щоб виміряти відносну деформацію ОПС, необхідно взяти дві близькі точки (див. рис. 1.3, точки M i N з координатами x та x x відповідно), що знаходяться на відстані x .

Після деформації вони переходять в точки Mʹ i Nʹ (з координатами ( , )x u x t та

( , )x x u x x t відповідно), відстань між якими буде x . Тоді для видовження маємо:

( ) ( , ) ( , )x x x u x x t u x t ,

і, відповідно, маємо для відносної деформації:

0

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim ( , )xx

x u x x t u x t u x x t u x tu x t

x x x

.

З фізичної точки зору перехід до границі 0x означає, що відстань між точками має бути настільки малою, щоб неоднорідністю деформації в межах вибраного відрізка можна

було знехтувати. Отже, ( , )xu x t – це відносна деформація, що характеризує стан

деформованого середовища в точці M , проте x – це координата точки M , тобто до

деформації. Відносна деформація xu – величина безрозмірна, 0xu означає розтяг, 0xu –

стиснення.

Пружна сила і закон Гука. Пружні сили, що виникають при розтягу (стисненні) ОПС, діють в кожній його точці, тобто це поле пружних сил ( , )F x t . Щоб виміряти його значення

2Насправді tu є швидкістю лише наближено і відрізняється від неї на так звану конвективну похідну. Те ж саме стосується і

прискорення. Детальніше про це йтиметься в курсі класичної механіки, в розділі «Механіка суцільного середовища», до якого ми і

відсилаємо читача. Для хвильових процесів, які ми розглядатимемо далі, відповідна поправка є малою, якщо швидкість tu є малою

порівняно зі швидкістю хвиль (швидкістю звуку) в середовищі.

10

у даній точці (уявно, звичайно), треба в момент t розрізати нитку в деякій точці, рівноважне (!) положення якої має координату x , і вставити у проміжок динамометр. Те, що він покаже, і є пружна сила ( , )F x t . Залишається питання її знаку. Адже насправді в даній точці діють дві

рівні за величиною і протилежно напрямлені сили, ліва частина нитки діє на праву, а права – на ліву. Саме остання сила і приймається за значення пружної сили ( , )F x t . Тобто у випадку

розтягу вона додатна, 0F . З боку лівої частини нитки на праву діє сила ( , )F x t . Це

необхідно мати на увазі, зокрема, при записі межових умов (див. §2) на правому чи лівому кінцях нитки (стержня).

Закон Гука3 стверджує, що пружна сила прямо пропорційна відносній деформації:

( , ) ( , )xF x t u x t , (1.6)

де β – пружна стала. Закон справджується, якщо відносна деформація є достатньо малою. У випадку розтягу (стискання) тонкого стержня S E , де S - площа поперечного перерізу,

а E – модуль Юнга, – це характеристика виключно матеріалу стежня.

ХР як рівняння руху ОПС випливає з:

1) означення поля зміщень ( , )u x t ;

2) другого закону Ньютона ima F ;

3) закону Гука ( , ) ( , )xF x t u x t .

Розглянемо ділянку ОПС від x до x x . Її маса m x , де - лінійна (!) густина маси.

Нехай середовище розтягнуте. Тоді справа на вибрану ділянку діє додатна пружна сила ( , )F x x t , а зліва – від’ємна сила ( ( , ))F x t (Зробіть рисунок самостійно). Запишемо

рівняння руху центру мас ділянки:

( , ) ( , )ttm u F x x t F x t ,

де u - зміщення центру мас. Розділимо це рівняння на x і спрямуємо довжину ділянки до нуля. В результаті одержимо:

( , )tt

F x tu

x

.

Тепер треба конкретизувати вираз для сили. Якщо виконується закон Гука (1.6), маємо

( )tt

uu

x x

.

Якщо β – соnst, пружний коефіцієнт не залежить від координати, отримуємо звідси рівняння (1.1):

tt xxu u ,

де швидкість повздовжніх хвиль в ОПС 2=v ; якщо задані ρ і швидкість хвиль v, пружну

константу знаходимо як 2v .

У разі розтягу стержня його діаметр зменшується. Тому при коливаннях стержня повздовжні зміщення супроводжуються зв’язаними з ними зміщеннями поперечними. Чим більше діаметр стержня, тим більше амплітуда останніх. Якщо стержень є тонким (порівняно з довжиною хвилі), то кінетичною енергією поперечного руху можна знехтувати, і наведені вище міркування повністю залишаються в силі. У протилежному граничному випадку необмеженого в поперечному напрямі пружного середовища повздовжні зміщення вигляду

( , )u x t (незалежні від поперечних координат) не супроводжуються поперечними, тому знову

отримане рівняння залишається в силі, проте в цьому випадку виражається не через

модуль Юнга, а через іншу пружну сталу середовища4.

3Англ. Hooke`s law. Роберт Гук (Robert Hooke) (1635-1708) – видатний англійський природодослідник, див. сайт:

http://www.roberthooke.com/Default.htm 4Звук у пружному середовищі розглядатиметься в курсі класичної механіки, розділ «Теорія пружності».

11 Нехай тепер ми хочемо з’ясувати фізичний смисл хвильового рівняння. Розгортаємо наші

міркування в протилежному напрямку. Помножимо (1.3) на m x . Тоді отримаємо: 2 ( , )tt xxm u v u x m f x t ,

або

( , )ttm u F m f x t ,

Тобто отримали рівняння Ньютона для нескінченно малого елемента ОПС. Тут F - сума (тобто різниця) пружних сил, що діють на елемент ОПС. Останній член є сумою зовнішніх сил, що діє на елемент ОПС. Таким чином, неоднорідний член ( , )f x t в ХР (1.3) має смисл

густини зовнішніх сил у розрахунку на одиницю маси; відповідно ( , )f x t є лінійна густина

зовнішніх сил на одиницю довжини. Наприклад, для сили тяжіння, паралельної пружній нитці, маємо f g .

З фізичної точки зору «нескінченно малий» елемент ОПС порівняно з атомним або іншим характерним масштабом мікроструктури середовища має залишатися макроскопічно великим, а всі згадані вище величини, що його характеризують, насправді є середніми по цьому достатньо малому, але водночас макроскопічно великому об’єму. Звідси ясно, що поле зміщень та всі його похідні мають смисл з точки зору фізики, тільки якщо вони є достатньо гладкими функціями змінних (тобто принаймні неперервні і мають достатню кількість неперервних похідних).

Зверніть також увагу на смисл координати x в контексті моделі ОПС. ОПС можна уявити як сукупність нескінченно малих об’ємів (частинок), тоді x – це номер частинки, який для суцільного середовища є неперервним.

Дискретна модель ОПС. Задача. Отримайте самостійно рівняння руху частинок лінійного ланцюжка з однакових маятників, з’єднаних однаковими пружинками, якщо кожен з маятників рухається: а) у малому околі стійкого положення рівноваги; б) у малому околі нестійкого положення рівноваги. Перейдіть до континуального наближення (тобто наближення суцільного середовища) і отримайте відповідне рівняння руху в частинних похідних. Далі буде.

1.2.2. Інші фізичні моделі, що описуються хвильовим рівнянням

Малі поперечні коливання струни. Ідеальна струна – це та ж сама ідеальна пружна нитка, яку ми розглядали в підпункті 1.2.1, але тепер її попередньо розтягнули і закріпили кінці так, щоб вона залишалася натягнутою (наприклад, закріпили кінці нерухомо). Розглядаємо внутрішню частину струни, а кінці знаходяться достатньо далеко. Основні риси моделі наступні.

1) Струна характеризується лінійною густиною маси , пружною сталою і силою

попереднього натягу 0T .

2) Ідеальна струна не чинить спротиву згинові, а лише розтягу, тому в даній точці пружна сила завжди паралельна дотичній до струни.

3) Струна має положення рівноваги5, в якому має форму прямої (зовнішніх сил поки що немає).

Нехай положення рівноваги струни збігається з віссю Ox , тоді осі Oy і Oz перпендикулярні

5Поки що можна вважати, що положення рівноваги струни є стійким, але можливі й інші ситуації. Окрім рівняння руху струни, стійкість

її положення рівноваги залежить від фізичних умов на кінцях струни (межових умов), які ми зараз не розглядаємо.

12

Рис. 1.4. До виведення рівняння поперечних коливань струни.

до струни в рівноважному положенні (Рис. 1.4). Поле зміщень точок струни є векторним. У загальному випадку вектор зміщень u

довільної точки струни M може мати в процесі руху

струни як повздовжню (паралельнуOx , на Рис. 1.4 не показана), так і поперечну (перпендикулярну Ox ) компоненти одночасно. Обмежимось для простоти лише плоским рухом струни в площині xOy . Зрозуміло, що існують чисто повздовжні коливання струни,

під час яких поперечних зміщень немає зовсім, і це не залежить від амплітуди коливань. Вище в підпункті 1.2.1 ми розглядали повздовжні коливання ОПС. У випадку чисто повздовжніх коливань струни ніяких відмінностей від руху ОПС не виникає, крім незначної зміни лінійної густини внаслідок попереднього розтягу. Такі коливання ми не розглядатимемо.

Поперечні коливання струни існують саме завдяки її попередньому натягу. У загальному випадку вони обов’язково супроводжуються деякими повздовжніми зміщеннями. Проте виявляється, що у випадку малих поперечних коливань повздовжніми зміщеннями, які супроводжують поперечні, можна знехтувати. Таке наближення називають гармонічним або лінійним наближенням.

Покажемо, що це дійсно так. Розглянемо проекцію рівняння руху (рівняння Ньютона) малого елемента струни на вісь Оx. Коли струна знаходиться в положенні рівноваги, на

кожний елемент струни з двох сторін діють в напрямку осі Ox дві сили, 0T і 0T , які

врівноважують одна одну. Суть наближення полягає в тому, що при поперечних коливаннях малої амплітуди ця рівновага не порушується (якщо враховувати члени до лінійних включно за амплітудою поперечних зміщень).

Припустимо, що зміщення чисто поперечні (0, ,0)u u

, (1.7)

і подивимось, до чого це приведе. Кожна точка струни рухається так, що її координата x залишається незмінною. Графік ( , )u x t при фіксованому t передає форму струни у даний

момент часу, а похідна ( , )xu x t має смисл тангенса кута нахилу дотичної до струни в

даній точці (зробіть рисунок самостійно), ( , )xu x t tg . Величина пружної сили (вона

направлена вздовж дотичної) в даній точці ( , )T x t визначається відносною деформацією

розтягу малого елемента струни. Знайдемо зміну відносного видовження елемента струни

Рис. 1.5. Зміна довжини малого елемента струни при чисто поперечних зміщеннях.

, x x x при чисто поперечних зміщеннях

( , ) ( , ) ( , )u u x x t u x t u x t x

Оскільки ( )x x x , а

( ) 1x

x x

Тоді, відповідно до закону Гука,

0( , )T x t T . Аналогічно, ( , )xu x t tg

вісь Ox (тут і далі векторні індекси вказані в дужках)

Тобто в лінійному наближенні по

повздовжніх зміщень. Відповідно,

поперечними в процесі руху струни

кількісні критерії малості u

певний час. На цьому ми зупинятись не будемо.Проекція рівняння Ньютона

(намалюйте сили, що діють на елемент струни

де u - це зміщення центру мас

маємо (див. Рис. 1.4)

Це співвідношення є аналогом закону Гука стержня. Розділивши рівність ((1.10) і (1.11) хвильове рівняння (1

причому швидкість поперечних хвиль

лінійною густиною маси.

Рис. 1.5. Зміна довжини малого елемента струни при чисто поперечних зміщеннях.

при чисто поперечних зміщеннях. Оскільки x мале (Рис. 1.5

( , ) ( , ) ( , )xu u x x t u x t u x t x ,

x x x , а 2 2( ) ( )x x u , для відносного видовження маємо:

2 22 2( ) ( )( ) 1

1 12

x x

x u xxu u

x x

.

Тоді, відповідно до закону Гука, 20( , ) 2xT x t T u , і в лінійному по

( , )xu x t tg , cos 1 , і для проекції пружної сили натягу на

(тут і далі векторні індекси вказані в дужках) маємо (див. Рис. 1.4)

( ) 0cosxF T T .

в лінійному наближенні по xu поперечні зміщення не порушують рівноваги

. Відповідно, поперечні зміщення (1.7) залишаються чисто

поперечними в процесі руху струни, якщо xu достатньо мале. Для того, щоб сформулювати

xu , необхідно оцінити вплив нелінійних членів на

На цьому ми зупинятись не будемо. Проекція рівняння Ньютона для малого елемента струни на вісь

(намалюйте сили, що діють на елемент струни, самостійно):

( ) ( )( , ) ( , )tt y ym u F x x t F x t ,

зміщення центру мас елемента струни ( , )х x x . У лінійному по

( ) 0siny xF T T u .

Це співвідношення є аналогом закону Гука (1.6) для ОПС і малих повздовжніх деформацій Розділивши рівність (1.10) на x і переходячи до границі

хвильове рівняння (1.1)

0tt xxu T u ,

причому швидкість поперечних хвиль на струні 20v T , тобто визначається силою натягу і

13

Рис. 1.5. Зміна довжини малого елемента струни при чисто поперечних зміщеннях.

Рис. 1.5), маємо

(1.8)

відносного видовження маємо:

(1.9)

лінійному по xu наближенні

для проекції пружної сили натягу на

(див. Рис. 1.4)

оперечні зміщення не порушують рівноваги відносно

) залишаються чисто

достатньо мале. Для того, щоб сформулювати

необхідно оцінити вплив нелінійних членів на рух струни за

на вісь Oy має вигляд

(1.10)

лінійному по xu наближенні

(1.11)

) для ОПС і малих повздовжніх деформацій і переходячи до границі 0x , отримуємо з

, тобто визначається силою натягу і

14 Пропонуємо самостійно дослідити кількісні критерії малості нелінійних поправок для

поперечних коливань струни в гармонічному наближенні. Що означає «достатньо мале xu »?

Яке значення мають величина попереднього натягу струни та її пружна константа ?

Швидкість яких хвиль на натягнутій пружній струні більша, поперечних чи повздовжніх (у лінійному наближенні)? Чи можливий параметричний резонанс між поперечними і повздовжніми коливаннями струни?

Електромагнітні хвилі у вакуумі. Самостійно: див. курси електродинаміки та оптики. Хвильове рівняння є векторним і зводиться до скалярного точно тільки у випадку плоских хвиль (коли поле залежить тільки від однієї координати, наприклад, x ), або наближено у випадку «майже плоских» хвиль (так звані параксіальні пучки у скалярному наближенні). Хвилі у вакуумі (в ізотропному середовищі також) є чисто поперечними. Існують хвилі двох незалежних поляризацій, у вакуумі швидкість обох дорівнює швидкості світла. ред

Звук у рідинах і газах. Самостійно: див. механіку суцільного середовища, гідродинаміку. У наближенні ідеальної рідини (рідина без в'язкості і теплопровідності) з

рівняння Нав'є – Стокса випливає, що 0rotvt

. У випадку поширення звуку рух рідини

виникає із стану спокою, а тому 0rotv

в початковий момент і при всіх t; поле швидкостей ( , )v r t

є потенціальним і виражається через потенціал швидкостей u (так звана потенціальна

течія)

v u

. (1.12) Тоді змінна частина поля тиску, поля густини, а також потенціал швидкостей задовольняють скалярне хвильове рівняння у просторі:

2ttu v u , (1.13)

де означає оператор Лапласа, ( )u div u

.

Звук у пружному середовищі. Самостійно: див. механіку суцільного середовища, теорія пружності. Описується полем зміщень ( , )u r t

. Рівняння руху пружного середовища є

векторним. Зводиться до скалярного хвильового рівняння тільки в окремих випадках. В необмеженому однорідному ізотропному пружному середовищі існують три незалежні акустичні (звукові) хвилі: дві поперечні (двох різних поляризацій) і одна повздовжня. Швидкість повздовжніх хвиль більша за швидкість поперечних.

Контрольні запитання до п.п. 1.1, 1.26.

1. Як відрізнити на вигляд диференціальне рівняння в частинних похідних від

звичайного диференціального рівняння? Чи є рівнянням у частинних похідних

рівняння Лагранжа 0d L L

dt q q

(тут L – функція Лагранжа)? Чому?

2. Дайте загальну класифікацію (скалярне - векторне, число змінних, порядок, лінійне -

нелінійне) рівняння 0, 0t x xxxu uu u , де u – декартова компонента вектора

(0,0, )u u

.

3. Дайте класифікацію (однорідна - неоднорідна, лінійна - нелінійна) кожної з наступних

умов на функцію u (g – задана функція):

6 Щоб контрольні запитання принесли користь, пробуйте відповісти на них, не заглядаючи в

конспект. Якщо вам це не вдалося, значить потрібно попрацювати над параграфом знову. Після цього

повторіть спробу. Щоб розібратися в матеріалі, відповідайте на всі питання. Відповіді аргументуйте.

Це стосується контрольних запитань і до всіх подальших параграфів чи їх частин.

15

А. ( , ) ( , ) ( ) 0b

ya

u x y u x y g x dx ;

В. sin ( , ) 0, 0u a y ;

С. ( 2 , ) ( , ) 2u x y u x y

4. Який фізичний смисл має хвильове поле ( , )u x t в моделі поперечних коливань

струни? Як виміряти величину u для заданих x і t ? Опишіть уявний експеримент,

зробіть схематичний рисунок і поясніть, куди саме прикладати лінійку.

5. Які матеріальні параметри ОПС входять у хвильове рівняння? Як треба змінити кожен

із параметрів, щоб збільшити швидкість хвиль удвічи?

6. Який фізичний смисл має хвильове поле ( , )u x t в моделі ОПС? Опишіть уявний

експеримент, зробіть схематичний рисунок і поясніть, куди саме прикладати лінійку.

7. Що таке відносна деформація для ОПС? Зробіть рисунок і опишіть уявний

експеримент, в якому можна її виміряти.

8. Як виміряти пружні сили, що виникають при деформації ОПС (зробіть рисунок і

опишіть уявний дослід)?

9. Запишіть закон Гука для ОПС. Поясніть якісно, чому сила пропорційна не зміщенню,

а похідній від зміщення по координаті.

10. На що діє сила, що фігурує в законі Гука для ОПС, в якому місці і до чого вона

прикладена?

11. Який смисл мають перші похідні хвильового поля у випадку малих коливань струни?

1.3. Варіанти межових умов та їх фізичний смисл

Якщо струна (або ОПС чи інша система) є обмеженою, то хвильове рівняння необхідно доповнити умовами, які відображають фізичні умови на її кінцях – так званими межовими умовами. Неправильно записані межові умови становлять до 90% помилок на етапі запису постановки задачі для рівняння в частинних похідних (про постановку задачі йтиметься в §2). Подібна помилка є фатальною: задача студенту не зараховується. Тому раджу поставитися до цього пункту з усією увагою. Спочатку ми розглянемо класичні варіанти межових умов, які розглядаються в підручниках. Їх часто називають умовами першого, другого і третього роду [Тихонов, Самарский]. Ці три класичні випадки не вичерпують усіх можливих ситуацій. Приклади інших межових умов ми розглянемо наприкінці.

На відміну від рівняння, яке виконується в усіх внутрішніх точках області, тобто для довільного х, межова умова записується в певній точці, на лівому, або правому кінцях проміжку, на якому розв’язується задача (в одновимірних задачах). З’ясуємо фізичний смисл умов І, ІІ і ІІІ роду на прикладах малих коливань стержня і струни (Рис. 1.6-1.9). У випадку струни хвильове поле ( , )u x t – це зміщення точки струни х відносно положення рівноваги

(якому відповідає вісь Ох) у поперечному напрямі (в напрямку осі Оy); відповідно, сила F - це зовнішня сила, що діє на кінець струни в поперечному напрямку. У випадку стержня u – це зміщення точки струни х у повздовжньому напрямку (в напрямку осі Ох на рисунках); відповідно, сила F- це сила, що діє на кінець стержня в повздовжньому напрямку. Внутрішні сили, що виникають внаслідок деформації, для стержня і струни також є повздовжніми і

поперечними відповідно і пов’язані з похідною поля зміщень xu для стержня законом Гука

(1.6), де S E , і його аналогом для струни (1.11) (див. також коментарі до цих формул).

Похідна поля зміщень xu (для малих коливань вона є малою величиною!) має смисл

відносного видовження для стержня і тангенса малого кута нахилу дотичної до струни у даній точці. У випадку струни масштаб по осі Oy на рисунках сильно збільшений, насправді

відхилення від положення рівноваги малі, і кути нахилу дотичних до струни в усіх точках теж малі.

Найчастіше зустрічаються в задачахx a відповідно мають вигляд:

Однорідна умова І роду відповідає

Рис. 1.6. Ліворуч: струна із закріпленим кінцем; кінець струни прикріплений до жорсткої нерухомої опори, тобто закріплений нерухомо. Якщо прийняти, що точка закріплення кінця відповідає положенню рівноваги струни і прийняти положення рвісь Ох як показано на рисунку, то закріплений кінець буде лівим кінцем струни, і зміщення у точці 0x ситуація для стержня з нерухомо закріпленим кінцем.

( , )u x t задовольняє умову вигляду (1.4

Однорідна умова ІІ роду відповідає кінцю струни (Рис. 1.7, 1.8).способами (Рис. 1.7 внизу і Рис. 1.8). Струна має залишатись натягнутою в повздовжньому

напрямі (сила натягу є 0T ), і водночас кінець має переміщуватись у поперечному напрямі

вільно для малих відхилень від положення рівноваги. Тому на рисунках прикладена до правого кінця струни сила реакції має лише горизонтальну складову.

відхилення від положення рівноваги малі, і кути нахилу дотичних до струни в усіх точках

Найчастіше зустрічаються в задачах однорідні межові умови І і ІІ роду. Такі умови в точці відповідно мають вигляд:

( , ) 0u a t

( , ) 0xu a t

Однорідна умова І роду відповідає нерухомо закріпленому кінцю (Рис. 1

. Ліворуч: струна із закріпленим кінцем; кінець струни прикріплений до жорсткої нерухомої опори, тобто закріплений нерухомо. Якщо прийняти, що точка закріплення кінця відповідає положенню рівноваги струни і прийняти положення р

як показано на рисунку, то закріплений кінець буде лівим кінцем струни, і 0 дорівнюватиме нулю в усі моменти часу. Праворуч: аналогічна

ситуація для стержня з нерухомо закріпленим кінцем. В обох випадках поле зміщень задовольняє умову вигляду (1.4) (0, ) 0u t , яка є умовою І роду.

Однорідна умова ІІ роду відповідає вільному кінцю стержня, або так званому). Для струни випадок вільного кінця можна реалізувати двома

способами (Рис. 1.7 внизу і Рис. 1.8). Струна має залишатись натягнутою в повздовжньому

0T ), і водночас кінець має переміщуватись у поперечному напрямі

вільно для малих відхилень від положення рівноваги. Тому на рисунках прикладена до правого кінця струни сила реакції має лише горизонтальну складову.

16

відхилення від положення рівноваги малі, і кути нахилу дотичних до струни в усіх точках

І і ІІ роду. Такі умови в точці

(1.4)

(1.15)

(Рис. 1.6).

. Ліворуч: струна із закріпленим кінцем; кінець струни прикріплений до жорсткої нерухомої опори, тобто закріплений нерухомо. Якщо прийняти, що точка закріплення кінця відповідає положенню рівноваги струни і прийняти положення рівноваги струни за

як показано на рисунку, то закріплений кінець буде лівим кінцем струни, і дорівнюватиме нулю в усі моменти часу. Праворуч: аналогічна

В обох випадках поле зміщень , яка є умовою І роду.

так званому «вільному» можна реалізувати двома

способами (Рис. 1.7 внизу і Рис. 1.8). Струна має залишатись натягнутою в повздовжньому

), і водночас кінець має переміщуватись у поперечному напрямі

вільно для малих відхилень від положення рівноваги. Тому на рисунках прикладена до

Рис. 1.7. Вгорі: стержень з вільним кінцем. Внизу: струна з «вільним» кінцем. В обох випадках на кінець не діють зовнішні сили у напрямку його зміщень (закону Гука (1.6) це рівнозначно умові на поле зміщень в точці

правому кінцю стержня,

умова ІІ роду. Вісь Ох збігається з положенням рівноваги струни або віссю стержня

Рис. 1.8. Варіант реалізації струни з «вільним» кінцем: положення (лівий кінець струни А на рисунку закріплений нерухомо). До правого кінця струни B прикріплена довга невагома нитка, яка забезпечує натяг струни. Довжина нитки значно перевищує довжину струни насправді лежить на осі Ох значно правіше, ніж показано на рисунку. В ідеалі нитка є нескінченно довгою, а тому залишається горизонтальною для будь

струни; відповідно, прикладена до правого кін

завжди направлена горизонтально. Таким сили з боку нитки в поперечному напрямку на кінець струни не діють, і він вільно рухається в поперечному напрямі. Водночас у повздовжньому напрямі струна залишається натягнутою.

. Вгорі: стержень з вільним кінцем. Внизу: струна з «вільним» кінцем. В обох ь не діють зовнішні сили у напрямку його зміщень (

закону Гука (1.6) це рівнозначно умові на поле зміщень в точці

правому кінцю стержня, ( , ) 0xu l t . Це умова вигляду (1.20), тобто однорідна межова

збігається з положенням рівноваги струни або віссю стержня

. Варіант реалізації струни з «вільним» кінцем: AB - струна, ABположення (лівий кінець струни А на рисунку закріплений нерухомо). До правого кінця

прикріплена довга невагома нитка, яка забезпечує натяг струни. Довжина нитки значно перевищує довжину струни l, тому точка закріплення правого кінця нитки

значно правіше, ніж показано на рисунку. В ідеалі нитка є нескінченно довгою, а тому залишається горизонтальною для будь-яких малих зміщень кінця

струни; відповідно, прикладена до правого кінця струни в точці B сила натягу нитки

завжди направлена горизонтально. Таким сили з боку нитки в поперечному напрямку на кінець струни не діють, і він вільно рухається в поперечному напрямі. Водночас у повздовжньому напрямі струна залишається натягнутою.

17

. Вгорі: стержень з вільним кінцем. Внизу: струна з «вільним» кінцем. В обох ь не діють зовнішні сили у напрямку його зміщень ( 0F ). Згідно

закону Гука (1.6) це рівнозначно умові на поле зміщень в точці x l , що відповідає

), тобто однорідна межова

збігається з положенням рівноваги струни або віссю стержня.

AB - її рівноважне

положення (лівий кінець струни А на рисунку закріплений нерухомо). До правого кінця прикріплена довга невагома нитка, яка забезпечує натяг струни. Довжина нитки L

закріплення правого кінця нитки С значно правіше, ніж показано на рисунку. В ідеалі нитка є

яких малих зміщень кінця сила натягу нитки 0T

завжди направлена горизонтально. Таким сили з боку нитки в поперечному напрямку на кінець струни не діють, і він вільно рухається в поперечному напрямі. Водночас у

18

Неоднорідна межова умова І роду в точці x a має вигляд

( , ) ( )u a t t (1.16)

Вона відповідає ситуації, коли кінець струни або стержня x a (правий, чи лівий) рухається за заданим законом ( )t незалежно від того, як рухаються інші точки струни. Це

нестаціонарний зв’язок. Щоб реалізувати такий режим, на кінець струни мають діяти відповідні сили реакції з боку інших тіл.

Нехай тепер на правий кінець стержня діє задана зовнішня сила 2( )F t . Пружні сили у

деформованому стержні у точці х дає формула (1.6). У ній F –це сила, з якою права половина стержня діє на ліву. Якщо праву половину замінити іншим тілом, яке діє на ліву з такою ж силою, то для лівої половини стержня нічого не зміниться. Отже, у випадку заданої сили

2( )F t , прикладеної до правого кінця стержня x b , маємо

2( , ) ( )xu b t F t (1.17)

Розділивши на пружний коефіцієнт β, отримуємо неоднорідну межову умову ІІ роду

( , ) ( )xu b t t (1.18)

де 2( ) ( )t F t . Нагадаємо: S E для розтягу (стискання) тонкого стержня, де S -

площа поперечного перерізу, а E - модуль Юнга матеріалу (див. п.1.2.1).

З (1.17) випливає, що додатна сила 2F створює додатну ж відносну деформацію 0xu в

околі кінця стержня, тобто викликає його розтяг. Це правильно, тому що у випадку правого кінця додатна сила (тобто напрямлена паралельно осі Ох) спрямована від кінця стержня назовні і тому дійсно має викликати його розтяг. Таким чином можна перевірити, що знак у формулі (1.17) правильний. У випадку лівого кінця додатна сила напрямлена від кінця стержня всередину і має викликати стискання. Тому аналогічна (1.17) умова для лівого кінця x a відрізняється від (1.17) знаком правої частини

1( , ) ( )xu a t F t (1.19)

де 1( )F t - задана зовнішня сила, прикладена до лівого кінця в додатному напрямку осі Ох.

Якщо зовнішня сила дорівнює нулю, умови (1.17), (1.18) переходять в умови для вільного кінця вигляду (1.15). Те ж саме має бути і у випадку струни. Тому, щоб реалізувати випадок кінця струни, на який діє задана зовнішня сила, треба спочатку реалізувати ситуацію вільного кінця (Рис. 1.7 внизу, або 1.8), а потім додатково прикласти до кінця зовнішню силу. Оскільки формули для сил для стержня (1.6) і струни (1.11) формально мають однаковий вигляд, то умови (1.17) і (1.18) справедливі і для струни. Звичайно, для струни зовнішні сили прикладаються в поперечному напрямі (в напрямку можливих зміщень точок струни); додатною є сила F паралельна осі Oy на Рис. 1.7 і 1.8. Перевірте самостійно правильність

знаків у (1.17) і (1.18) для струни, виходячи з геометричного смислу похідної xu і того, в

якому напрямку відтягує струну додатна сила, прикладена до її лівого чи правого кінця.

Для стержня однорідна умова ІІІ роду відповідає пружно закріпленому кінцю. На 1.9 вгорі праворуч між кінцем стержня і нерухомою опорою знаходиться пружина жорсткістю k. У положенні рівноваги системи пружні сили у стержні і пружині можна вважати рівними нулю. Якщо правий кінець стержня зміщується, то на нього діє сила Гука ( , )F ku b t з боку

пружини (b координата кінця). Нехай вісь Ох направлена зліва направо, як на Рис. 1.9 внизу.

Тоді це правий кінець, і з (1.17) отримуємо ( , ) ( , )xu b t ku b t , тобто умову вигляду

( , ) ( , ) 0xu b t hu b t (1.20)

19

Це однорідна умова ІІІ роду для правого кінця . Тут h k - стала розмірності довжини;

вона є додатною, якщо жорсткість пружини додатна, як має бути. Якщо тепер ми поміняємо напрям осі Ох на протилежний, то той же кінець стане лівим, і з (1.19) отримаємо

( , ) ( , ) 0xu b t hu b t (1.21)

Тобто для лівого і правого пружно закріплених кінців межові умови відрізняються знаком між доданками. До такого ж результату приводить заміна x x в (1.20) за рахунок того, що похідна змінює знак. Отже, правильний знак в умовах вигляду (1.20) чи (1.21) залежить від вибору напряму осі Ох: паралельно зовнішній нормалі до межі чи антипаралельно.

Рис. 1.9. Вгорі праворуч: варіант реалізації однорідної межової умови третього роду для повздовжніх коливань стержня з пружно закріпленим кінцем, k – коефіцієнт жорсткості пружини. Внизу: варіант реалізації однорідної межової умови третього роду для струни; AB - струна, AB - її рівноважне положення (лівий кінець струни А закріплений нерухомо), до правого кінця струни B прикріплена невагома нитка B C довжиною L. Масштаб по вертикалі сильно збільшений: насправді кути нахилу нитки і дотичних до струни в усіх її точках малі.

Якщо точка закріплення правого кінця пружини (на Рис. 1.9 вгорі праворуч) буде рухатися за заданим законом, або на кінець стержня діятиме задана зовнішня сила, то межова умова ІІІ роду (1.20) для правого кінця стержня перетвориться на неоднорідну

( , ) ( , ) ( )xu b t hu b t t . (1.22)

Пружно закріплений кінець можна реалізувати і для струни. Для цього вільний кінець (кільце на Рис 1.7 внизу або точка B Рис. 1.8) треба додатково приєднати в поперечному напрямі до двох нерухомих опор пружинами, розташованими вертикально. Проте є простіший варіант реалізації умови ІІІ роду, показаний на Рис. 1.9 внизу. Суть у тому, що сила натягу нитки направлена вздовж нитки, а струни – по дотичній до струни. За третім законом Ньютона ці сили в точці B рівні по величині і протилежно направлені. Тому в точці B лінія AB C не може мати зламу (так само, як і в інших її точках), тобто кути нахилу нитки і дотичної до струни в точці B однакові. Оскільки малий кут B CB дорівнює

( , )u l t L , маємо ( , ) ( , )xu l t u l t L (на рисунку 0xu ). Це умова вигляду (1.20), в якій

0h L :

20

( , ) ( , ) 0xu l t Lu l t (1.23)

Як видно з Рис. 1.9, параметр L в цьому випадку має простий геометричний смисл, це довжина нитки, яка дорівнює довжині відрізка ВС у наближенні малих кутів нахилу. При L0 отримуємо закріплений кінець струни, а при L - вільний (Рис. 1.8).

Параметр h в у мові ІІІ роду (1.20), (1.21) називають також екстраполяційною довжиною. Стосується це умов до будь-яких рівнянь незалежно від фізичного смислу поля u. Походження такої назви пояснює Рис. 1.9 внизу, який треба тепер розглядати просто як графік просторової залежності поля, а пряму B C на ньому – як продовження цієї залежності за межу дотичною до графіка у точці B (лінійну екстраполяцію) до перетину з віссю Ох. Тоді h має смисл довжини відрізка ВС.

Таким чином, межові умови виражають у математичній формі фізичні умови на межі системи. Ще раз повернемось до важливої думки: рівняння не містить і не може містити інформації про умови на межі, адже рівняння відображає об’ємні властивості системи, в той час як межові умови – поверхневі. Тому отримати межові умови з рівнянь без додаткових припущень про фізичні умови на межі неможливо. Приклади лінійних межових умов, що не зводяться до умов І, ІІ чи ІІІ роду ілюструє Рис. 1.10. Можливі і нелінійні межові умови, наприклад, sin 0u на межі системи. Задача для лінійного рівняння з нелінійною межовою умовою є задачею нелінійною.

Рис. 1.10. Приклади межових умов, що не є умовами І, ІІ, або ІІІ роду. 1) До правого кінця стержня прикріплена зосереджена маса М, межова умова має вигляд

21

( , ) ( , )tt xMu l t u l t . 2) На правий кінець діє сила тертя, пропорційна його швидкості.

Остання умова порушує оборотність процесів у системі, оскільки тертя пов’язане з необоротними втратами енергії.

Контрольні запитання до п. 1.3.

1. Яким фізичним умовам на кінці відповідає однорідна межова умова II роду (запишіть

її вигляд) у випадку повздовжніх коливань тонкого стержня? Поясніть, звідки це

випливає і чому.

2. Як можна реалізувати на практиці ситуацію вільного кінця для малих поперечних

коливань струни? Зробіть рисунок і поясніть. Який вигляд має межова умова?

3. Запишіть межові умови для випадку повздовжніх коливань тонкого стержня 0 x l ,

до лівого і правого кінців якого прикладені сили 1( )F t і 2 ( )F t відповідно, якщо

додатні 1( )F t і 2 ( )F t відповідають силам, направленим всередину стержня. Поясніть,

як перевірити правильність знаків перед 1( )F t і 2 ( )F t .

4. Яким фізичним ситуаціям для випадку малих поперечних коливань струни може

відповідати однорідна межова умова ІІІ роду? Зробіть рисунок і поясніть. Який вигляд

мають умови для лівого і правого кінців? Чому вони мають різний вигляд?

5. Який фізичний смисл мають неоднорідні члени в межових умовах I, II роду (1.16),

(1.18) у випадку малих поперечних коливань струни і чому?

Додатковий матеріал до §1.

1.4. Інші скалярні лінійні рівняння, що описують хвилі. Закон дисперсії.7

Хвильове рівняння (1.1) займає таке ж визначне місце в теорії хвиль, як гармонічний осцилятор у теорії коливань. Сам же світ хвильових процесів є надзвичайно різноманітним. Окрім хвильового рівняння існують скалярні лінійні рівняння іншого вигляду (не кажучи вже про системи рівнянь), які теж описують хвилі. Це хвилі з іншими властивостями. Впродовж курсу ми ближче познайомимося з більшістю з цих рівнянь. Нелінійні хвилі і нелінійна взаємодія хвиль виходять за межі нашого курсу.

Рівняння коливань тонкого стержня або пластини на згин. Поширення таких хвиль описується рівнянням четвертого порядку

2tt xxxxu a u . (1.14)

Це один із прикладів, коли властивості хвиль суттєво відрізняються від тих, що описуються хвильовим рівнянням (1.1).

Закон дисперсії хвиль – це зв’язок між частотою і хвильовим вектором. Коли говорять про хвилі у тому чи іншому середовищі (системі), то перше, що обговорюється, - це вигляд закону дисперсії. Хвильове рівняння (1.1) є лінійним рівнянням зі сталими коефіцієнтами. Лінійними рівняннями або системами рівнянь у частинних похідних зі сталими коефіцієнтами (не залежать ні від часу, ні від координати) описується поширення хвиль у лінійному наближенні в будь-якому8 середовищі або системі, якщо вони є: а) однорідними в напрямку поширення хвиль; б) стаціонарними, тобто параметри їх не змінюються з часом. Подібно до звичайних диференціальних рівнянь і систем зі сталими коефіцієнтами, такі рівняння або системи мають частинні розв’язки експоненціального вигляду

7 При першому читанні Цей пункт можна опустити. Краще читати його при підготовці до заліку чи екзамену. 8Саме в цій універсальності і полягає цінність такого підходу!

22

( , ) ikx i tu x t Сe , (1.15)

де і k - комплексні, взагалі кажучи, параметри. У випадку системи рівнянь такий вигляд має кожна компонента кожного з полів, але зі своєю амплітудою C . Такі розв’язки часто називають «плоскими хвилями»9. Щоб отримати розв’язок, який має безпосередній фізичний смисл, до виразу (1.15) треба додати комплексно спряжений доданок, щоб поле стало дійсним (виключення становить квантова механіка, де хвильова функція комплексна10). Це звичайно позначають так

( , ) . .ikx i tu x t Сe к с (1.16)

Для дійсних і k рівнозначними є записи

( , ) * cos( )ikx i t ikx i tu x t Сe С e A kx t . (1.17)

Тут A і - амплітуда і початкова фаза плоскої хвилі, а C - комплексна амплітуда, яка

містить в собі інформацію і про амплітуду, і про початкову фазу: 1

2iC Ae .

Якщо і k додатні, хвиля (1.17) поширюється в додатному напрямку осі Ox. Підстановка розв’язку у вигляді плоскої хвилі у рівняння приводить до співвідношення вигляду

, 0f k ,

яке називають дисперсійним рівнянням. Виконання його є умовою існування ненульового (нетривіального) розв’язку вигляду (1.15). Легко бачити, що для хвильового рівняння (1.1) дисперсійне рівняння має вигляд

2 2 2 0v k . (1.18) Параметр має смисл частоти, якщо він є дійсним і невід’ємним 0 (як видно з (1.17), знак завжди можна вибрати на власний розсуд). У такому разі закон дисперсії хвиль, які описуються хвильовим рівнянням (1.1), можна записати у вигляді

v k , (1.19)

або

kv

,

де 0 . Тут два знаки k відповідають двом напрямкам поширення хвиль. Для хвильового

рівняння (1.1) закон дисперсії є лінійним, в площині , k йому відповідає пара півпрямих,

нахил яких визначається швидкістю хвиль v (пропонуємо графік закону дисперсії намалювати самостійно). У теорії хвильових процесів хвилі такого типу називають акустичними. Для інших рівнянь, що описують хвилі, навіть близьких за виглядом до хвильового, закон дисперсії є іншим. Так, для рівняння

2 20tt xxu v u u , (1.20)

яке може описувати, наприклад, хвилі у хвилеводі (детальніше про це рівняння див. §21), дисперсійне рівняння є рівнянням гіперболи

2 2 2 20v k . (1.21)

Прямі (1.19) є асимптотами для закону дисперсії (1.21); для будь-яких дійсних k маємо

0 , тобто частоти хвиль з дійсними k не можуть бути меншими за 0 .

Зміна знаку перед 20 у рівнянні (1.20) приводить до рівняння вигляду

2 20( )tt xxu v u k u (1.22)

Це суттєво змінює дисперсійне рівняння:

9Насправді термін «плоска» походить від просторових розв’язків аналогічного вигляду, для яких поверхня сталої фази є площиною,

перпендикулярною хвильовому вектору. 10Так звані хвилі де Бройля.

23

2 2 2 2 20v k v k . (1.23)

Тепер уже для будь-яких дійсних дійсні хвильові вектори є такими, що 0k k , тобто

існують дійсні хвильові вектори, не менші за модулем, ніж 0k , а для 0k k комплексні.

Пропонуємо самостійно намалювати графіки законів дисперсії, що визначаються рівняннями (1.21) і (1.22). Рівнянню (1.14) відповідає дисперсійне рівняння

2 2 4 0a k і квадратичний закон дисперсії

2ak . Як бачимо, за виглядом закону дисперсії можна реконструювати вигляд рівняння. Для цього треба замінити формально

k ix

, i

t

.

Такого типу міркування відіграли важливу роль у побудові рівнянь квантової механіки і релятивістської квантової теорії. Але з останнього прикладу видно, що процедура ця неоднозначна.

Наведений вище аналіз тягне за собою ряд запитань. Що ж від чого залежить, від k , чи k від ? Чи можна обмежуватись лише дійсними і k ? Що означають комплексні k при дійсних , або комплексні при дійсних k ? Повне відбивання? А може, нестійкість? Якщо так, то як ця нестійкість розвивається: у просторі чи у часі? Відповіді не на всі з цих питань є простими. Вони залежать від конкретної фізичної ситуації виникнення або випромінювання хвиль і вимагають більш послідовного фізичного і математичного розгляду. Ми повернемось до них після ознайомлення з інтегральними перетвореннями Фур’є і Лапласа. Як живий приклад реальної системи, в якій існують хвилі різних типів із різними законами дисперсії, пропонуємо дані зі статті щодо залежності частоти від хвильового вектора q для довгохвильових коливальних збуджень графенової стрічки. На даний час графен і відкриті в подальшому графеноподібні матеріали (http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5%D0%BD) є одними з найбільш активно досліджуваних матеріалів нанофізики. Стрічка має скінченну ширину у декілька міжатомних відстаней (спробуйте оцінити, скільки!). Хвилі поширюються вздовж стрічки, але відповідають коливанням різних типів: повздовжнім, поперечним в площині стрічки, коливанням на згин, а також торсіонним (крутильним) коливанням. З вигляду закону дисперсії можна легко зрозуміти, якого вигляду рівняння описує ті чи інші хвилі. Ненульову частоту при 0k мають хвилі хвилеводного типу, для яких існує певний розподіл зміщень по ширині стрічки, в поперечному до поширення хвилі напрямку.

24 Рисунок 1.6. Зависимость частоты от волнового вектора изгиб (b),

продольные (LA), поперечные (TA) и торсионные колебаний (t). Для изгиба, продольных и поперечных колебаний представлены только первая и вторая ветвь (j = 0, 1). Справа представлена плотность состояний для всех мод колебаний вместе взятых.

В графеновой ленте существует несколько видов колебаний: изгиб, продольные, поперечные и торсионные. Якщо ви зрозуміли, що тут намальовано, то як по-вашому має виглядати аналогічний спектр коливань нанотрубки?

Рівняння квантової механіки і релятивістської квантової теорії. Далі буде.

§2. ЗАДАЧА ДЛЯ РІВНЯННЯ В ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ

Правильна постановка задачі є передумовою успіху будь-якої справи не лише в науці. У математичній фізиці питання про постановку задач має дві сторони, – фізичну й математичну. Вони тісно пов’язані і мають відповідати одна одній. Саме тут відбувається неформальний контакт між фізикою і математикою. Почнемо з математичної сторони.

2.1. Математична сторона постановки задачі

Традиційна (представлена у абсолютній більшості підручників з МФ) логіка математика щодо постановки задач є наступною. Є рівняння, а є задача для рівняння. Диференціальне рівняння має багато розв’язків. Треба доповнити рівняння додатковими умовами так, щоб розв’язок був і при тому один (в ідеалі). Це і означає поставити задачу. На відміну від просто рівняння, розв’язок задачі описує конкретний «процес». З такої логіки ми і будемо поки виходити.

Визначимо спочатку, що таке розв’язок рівняння, а потім перейдемо до постановки задачі.

2.1.1. Диференціальне рівняння і його розв’язок.

Почнемо з простого питання. Є рівняння – простіше не буває 0y .

Тепер питання: функція

1, 0( )

0, 0

xy x

x

є розв’язком цього рівняння, чи ні? Запишіть будь ласка свою відповідь на папері. Відповідь «так» є неправильною, і так само неправильною є відповідь «ні». А тепер задумайтесь над означенням (воно стосується і звичайних дифрівнянь).

Означення. Нехай T – відкрита область за сукупністю змінних, від яких залежить невідома функція. Тоді класичний розв’язок рівняння в частинних похідних в T – це достатньо гладка всередині T функція, яка перетворює рівняння на тотожність в кожній точці області T.

Питання, що можна вважати розв’язком, а що – ні, може бути критично важливим. Тому зверніть увагу на декілька моментів.

1) Не може бути рівняння взагалі і розв’язку взагалі, а тільки у певній області змінних (рівняння – у відкритій області). Для наведеного вище прикладу правильна відповідь залежить від того, лежить точка 0x всередині області, чи ні.

2) Існує певний клас допустимих функцій, до яких має належати розв’язок. В означенні говориться, що це «достатньо гладкі» функції. Останнє означає існування і

25

неперервність в T функції та її частинних похідних аж до тих (включно), які входять у

рівняння. Наприклад, для одновимірного ХР це як мінімум , , , ,x t xx ttu u u u u . Причина у

тому, що в точках розриву цих величин рівняння просто не має смислу. 3) Класичний розв’язок – це розв’язок, для якого рівняння виконується поточково.

Якщо записати рівняння у вигляді ˆ ( , )Lu f x t , то рівність лівої частини правій

розуміється і перевіряється як рівність значень лівої і правої частин в кожній точці відкритої області змінних.

4) Для класичного розв’язку рівняння має виконуватись в усіх точках області T, без жодних виключень.

Інакше це не розв’язок. У нашому прикладі функція ( )y x не є достатньо гладкою в точці

0x , похідна в нулі не існує, і говорити про виконання рівняння в цій точці (всього одній!) не має смислу. У результаті значення функції при 0x не можна отримати із значень для

0x неперервним продовженням їх на сусідні значення для 0x за допомогою диференціального рівняння. А саме в цьому і полягає смисл диференціального рівняння: воно виражає зв’язок між значеннями функції у нескінченно близьких точках (!), який дозволяє неперервно продовжувати функцію далі і далі.

Пропонуємо самостійно проаналізувати наступні приклади. Чи є запропонована функція розв’язком відповідного рівняння?

1) ( , )u u x y , 0xx yyu u – двовимірне рівняння Лапласа, 2 2: 2T x y , 2 2( , ) ln( )u x y x y .

2) Те ж саме, але в іншій області 2 2: 1 2T x y .

2.1.2. Крайова задача для ДРЧП

Розглянемо як приклад постановки задачі для ДРЧП постановку однієї із задач для хвильового рівняння.

Звичайні дифрівняння. Постановки задач для ДРЧП можна розглядати як логічне продовження постановок для звичайних диференціальних рівнянь. Розглянемо два таких рівняння другого порядку, одне на функцію часу, інше – на функцію просторової координати

0, ( )y y y y t , 0, ( )u u u u x .

Їх загальні розв’язки, відповідно

cos siny A t B t , cos sinu C x D x .

Для кожного з рівнянь маємо двопараметричну множину розв’язків. Тепер для цих рівнянь поставимо задачі, які є природними для відповідних змінних.

Задача Коші11 за часом: Крайова задача12 за координатою:

0

(0) 0

(0) 1

y y

y

y

,

0

(0) 0

( 2) 2

u u

u

u

Кожна із цих задач має розв’язок, і при тому єдиний. Маємо, відповідно:

siny t , 2 sinu x .

Перейдемо тепер до рівняння у частинних похідних.

11Англ. – initial value problem. 12Англ. – boundary problem.

26 Приклад постановки задачі для хвильового рівняння. Невідома функція ( , )u u x t

залежить і від часу, і від координати, а постановка задачі ніби об’єднує в собі наведені вище задачу з початковими умовами за часом і задачу з крайовими умовами за координатою.

Задача для хвильового рівняння на відрізку включає наступні елементи:

2

1

2

( , )

0 , ( ):

0

( , )

(0, ) ( )

( , ) ( )

( ,0) ( )

( ,0) ( )

tt xx

t

u u x t

x l x DT

t

u v u f x t

u t t

u l t t

u x x

u x x

(2.1) – формат невідомої функції, набір змінних;

(2.2) – область за сукупністю змінних, D - просторова область;

(2.3) – рівняння;

(2.4)

(2.5)

– межові умови (задаються на межі області D);

(2.6) – початкові умови (умови у початковий момент часу).

(2.7)

Межові умови є умовами на межі області D по координаті x . У даному випадку це умови І роду. Їх явний вигляд може бути й іншим.

Область T за сукупністю змінних показана на рис. 2.1. Вона являє собою півнескінченну смугу. Її межа T складається з трьох частин, позначених на рисунку цифрами 1, 2, 3 (у кружечках). Слід розрізняти відкриту і замкнуту області. Остання включає також і межу:

T T T .

Межові умови13 (2.4), (2.5) задані на лініях 1 і 2, при 0x і x l (Рис. 2.1), а початкові умови14 (2.6), (2.7) – на лінії 3, при 0t . Як бачите, у даному випадку всі додаткові умови до рівняння, межові і початкові, задані на межі T , тому разом їх називають крайовими умовами, а подібні задачі для ДРЧП – крайовими задачами. Якщо невідома функція залежить лише від просторових змінних, і початкових умов немає (зокрема, для звичайних дифрівнянь), то терміни «межові умови» і «крайові умови» означають одне і те ж, їх можна вживати як синоніми.

Що стосується класифікації задач для ДРЧП, то тут єдиного підходу і єдиної термінології не існує, навіть у російськомовній літературі, не кажучи вже про англомовну і світову. Так, А. Н. Тихонов і А. А. Самарський [] називають задачу (2.1)-(2.7) «первая краевая задача», маючи на увазі, що межові умови (2.4), (2.5) за їхньою термінологією називаються умовами I роду (див. п. 1.3). Натомість В. С. Владимиров [] таку задачу називає «смешанная задача», маючи на увазі, що в цій задачі є як початкові, так і межові умови. Тому, користуючись різними джерелами, будьте уважні щодо термінології.

13Англ. – boundary conditions; рос. – граничные условия. 14Англ. – initial conditions; рос. – начальные условия.

27

Рис. 2.1. Область за сукупністю змінних (x, t) до задачі (2.1)-(2.7) для хвильового рівняння на відрізку.

Розв’язок (класичний) крайової задачі (не одного лише рівняння, а задачі для нього!). Зверніть увагу, що рівняння не має смислу на межі, воно визначене в T , тобто тільки у внутрішніх точках. Складається певний парадокс: рівняння задане в одному місці (всередині області), а крайові умови - в іншому (на межі T ). Зазначене питання відоме як питання про «неперервне примикання розв’язку до крайових умов». Насправді сукупність умов (2.1)-(2.7) означає, що розв’язавши рівняння в T , необхідно неперервно продовжити розв’язок рівняння до межі і підставити у відповідну крайову умову (початкову або межову) саме це значення, отримане неперервним продовженням (по t, чи по х, відповідно). Класичний розв’язок крайової задачі – це класичний розв’язок рівняння в T , який задовольняє крайові умови у вказаному вище розумінні у кожній точці межі T .

Дані задачі і вимоги до них. Умови задачі (2.3)-(2.7) записані у такій формі, що ліві частини містять лише однорідні члени, а праві - неоднорідні. Ці неоднорідні члени ми називатимемо даними задачі. Вимоги до даних задачі:

( , )f x t - неперервна в Т;

1 2( ), ( )t t неперервні по t;

( ), ( )x x неперервні по х в D.

Початкові та межові умови мають бути узгоджені між собою. Наприклад, має бути:

1(0) (0,0) (0)u .

Повна постановка задачі включає в явному вигляді умови (2.1) – (2.7), а в неявному - також указане вище розуміння розв’язку крайової задачі разом із вимогами до даних. Коли все це вказано, задачу можна вважати поставленою і говорити про певні математичні властивості цієї задачі.

28 Евристичні вимоги до постановки задачі. У практичній роботі корисно тримати в полі

зору певні правила, що допомагають виявити елементарні помилки в постановці задачі. Так, у задачі (2.1)-(2.7) невідома функція залежить від двох змінних ( , )u u x t . У кожній з

межових умов (2.4), (2.5) значення координати х фіксоване, тому ліві частини (2.4) і (2.5) залежать тільки від часу t. Отже праві частини теж можуть залежати тільки від t. Якщо замість функції від t написати у правій частині межової умови функцію від х, то рівність не матиме смислу. Напроти, у початкових умовах (2.6), (2.7) фіксованим є момент часу, тому ліві частини рівностей (2.6), (2.7) залежать тільки від координати х. Отже, праві частини теж можуть залежати тільки від х. Якщо замість функції від х написати у правій частині початкової умови функцію від t, то рівність не матиме смислу. Записуючи межові у початкові умови, завжди перевіряйте праву і ліву частини кожної рівності на відповідність.

Коректно поставлена задача.

Ми розглянули вище лише один із прикладів постановки крайової задачі (для кількох варіантів межових умов). Для інших рівнянь, для необмежених просторових областей, набір умов, що складають постановку задачі, не завжди є очевидним. Виникає питання, яку постановку слід вважати математично правильною, а яку ні. Існують стандартні вимоги до постановки задачі:

1) розв’язок задачі має бути єдиним;

2) розв’язок має існувати;

3) розв’язок має неперервно залежати від даних задачі (такий розв’язок називають стійким відносно малих змін даних задачі).

Якщо ці умови виконуються, задачу називають коректно поставленою, або, як кажуть Тихонов і Самарський [], фізично визначеною. Це поняття стосується й інших математичних задач, не лише для рівнянь у частинних похідних.

У цьому курсі ми будемо розглядати певні класичні постановки крайових задач. Усі вони є коректно поставленими (наведені вище задачі для хвильового рівняння – теж), за окремими виключеннями, які обговорюватимуться окремо. Тут є два аспекти. Перший - суто практичний. Прочитавши умову задачі, ви повинні самостійно записати відповідну формальну математичну постановку правильно. У цій ситуації можна помилково пропустити якусь із умов (межову або початкову), або додати зайву. Важливо розуміти, що станеться у такому випадку. Якщо умов замало, то розв’язок буде визначений неоднозначно. Вам просто не вистачить умов, щоб знайти всі довільні коефіцієнти або всі невідомі функції. Якщо умов забагато, то як правило, ці умови будуть несумісними. Тобто вони суперечать одна одній, і розв’язок такої задачі не існує. Подібна помилка вже на самому початку може перекреслити всі ваші подальші зусилля розв’язати задачу. Щоб убезпечитись від цього, треба знати класичні постановки задач і розуміти, чому вони саме такі, а не інші. І тут на допомогу приходить фізика, фізичний зміст умов у постановці задачі.

Другий аспект стосується суті умов 1)-3). Щоб довести виконання першої умови, необхідно довести теорему єдиності розв’язку даної задачі. Приклади таких теорем ви зайдете у цьому курсі. Відповідні доведення суттєво спираються на властивості конкретного рівняння. Щоб довести існування розв’язку задачі, треба сформулювати шлях побудови розв’язку (реальний або формальний). Реальні способи знаходження розв’язків будуть у центрі нашої уваги протягом усього курсу.

З питаннями існування і єдиності розв’язку задачі ви стикалися в курсі звичайних диференціальних рівнянь. Натомість питання стосовно неперервної залежності від даних задачі є абсолютно новим. Якщо третя умова не виконується (в той час як розв’язок існує, і до того ж єдиний!), це свідчить про певну внутрішню ваду даної постановки задачі. Це значно гірше, ніж нестійкість розв’язку звичайного дифрівняння за Ляпуновим. Це вада, яка

29

повністю позбавляє задачу реального смислу. Суть справи стане зрозумілою, коли ми зустрінемось з відповідними прикладами.

Насправді, багато важливих для практики задач у різних областях виявляються некоректно поставленими. Продуктивні підходи до них можливі, якщо зробити певні припущення щодо вигляду розв’язку. Значний внесок у розробку методів розв’язання некоректно поставлених задач вніс академік А. М. Тихонов, підручником якого ви маєте можливість користуватися.

2.2. Постановка задачі: фізична сторона питання

Логіка фізика. Для нас, фізиків, головним є питання: для чого та чи інша математична задача потрібна, яке відношення вона має до фізики, яка нас цікавить. Саме це питання і є ключовим, питання відповідності між фізичною і математичною стороною задачі. Є вона, чи її немає? Наскільки прийнятним є той чи інший математичний апарат в контексті даної фізики? Чи є він адекватним фізиці? Принципово, що ці питання не є питаннями математики, це питання фізики!

Для фізика постановка задачі завжди починається саме з фізики, з мети дослідження. Якщо ви неправильно записали умови відповідної математичної задачі (хоча б одну), це буде задача не про ту фізичну ситуацію, яка є насправді.

Зразок логіки фізика дає нам класична механіка. Відправним елементом цієї логіки є фізична система. Фізика має справу з реальними об’єктами природи. Припустимо, ми підвісили тіло на нитці і хочемо вивчати його коливання. Це обов’язково передбачає, що далі ми спрощуємо описання, переходимо від реальної фізичної системи в усій складності її можливих проявів до ідеалізованої фізичної моделі системи (рух лише механічний, нитка нерозтяжна і невагома, тіло точкове або абсолютно тверде, і т.п.). Коли на фізичному рівні модель системи визначена, можна перейти до описання системи мовою математики. У механіці вся інформація про модель системи, її склад і будову, взаємодії всередині системи, а також про задані зовнішні сили, що діють на систему, (якщо вони є) концентрується у функції Лагранжа (або Гамільтона). Тому вона, фактично, і задає модельну фізичну систему мовою формул; доповнюють функцію Лагранжа формули, що визначають смисл узагальнених координат. У свою чергу, функція Лагранжа рівнозначна системі рівнянь руху. Остання ж містить інформацію про всі можливі рухи системи.

Можна сказати, що за кожною функцією Лагранжа або відповідною системою рівнянь руху стоїть деяка абстрактна фізична система, наприклад, гармонічний осцилятор, математичний маятник, зв’язані осцилятори і т. ін. До кожної з таких абстрактних систем можуть зводитись дуже різні фізичні системи, у тому числі і немеханічні15.

Далі, щоби з усіх можливих способів, якими може рухатись система, вибрати один, найчастіше задають її механічний стан у початковий момент часу. У механіці системи частинок - це координати і швидкості всіх частинок. Математично це відповідає задачі Коші для рівнянь руху. Її смисл – задача про рух певної модельної фізичної системи, механічний стан якої є заданим у початковий момент часу. І функція Лагранжа, і система рівнянь руху, і сукупність всіх можливих рухів системи, за великим рахунком, еквівалентні і можуть служити своєрідним паспортом, за яким одну систему можна відрізнити від іншої.

Коротке резюме. Перш ніж поставити задачу математично, необхідно поставити

задачу на фізичному рівні. Для цього потрібно:

а) задати модельну фізичну систему, рух якої вивчається;

15Прив’язка до конкретного об’єкта і його природи зберігається в узагальнених координатах, у їх зв’язку з вихідними координатами

системи, наприклад, з декартовими координатами частинок. Згадайте, наприклад, осцилятор, за яким може стояти маятник (малі коливання), частинка на пружинці і навіть коливальний контур.

30

б) задати стан системи у початковий момент часу (або інші умови, які з усіх можливих рухів системи визначають один).

Після цього треба перевести фізичну постановку задачі в математичну.

Як ми побачимо далі, цю схему можна поширити і на рух полів, які описуються ДРЧП. Наприклад, на рух струни. Якщо на фізичному рівні задача поставлена повно і правильно, то і на математичному проблем не повинно бути. Якщо ж аналіз математичної сторони задачі виявляє проблеми в її постановці, або такі проблеми виявляються в процесі розв’язання, то причини їх слід шукати у вадах фізичної постановки або у неправильному переведенні фізичних умов у математичні. Відповідність фізичної і математичної сторін постановки задачі обов’язково потрібно ретельно перевіряти, як і відповідність отриманого розв’язку фізичному смислу задачі.

Спробуємо тепер провести аналогію між динамікою систем зі скінченним числом ступенів вільності і систем з нескінченним числом ступенів вільності, описуваних рівняннями у частинних похідних.

Інтерпретація першої крайової задачі на відрізку, смисл і роль межових умов. Розглянемо задачу (2.1)–(2.7). Яку роль відіграє кожна із цих умов, особливо межові умови (2.4) – (2.5)? Адже їм немає прямого аналога у задачі про рух системи частинок, де є тільки система диференціальних рівнянь і початкові умови до неї. Де в умовах задачі (2.1)–(2.7) фізична система, де початковий стан і де аналог системи рівнянь руху?

Однією з моделей, що приводить до хвильового рівняння (див. §2), є малі поперечні коливання струни. Інтерпретуватимемо задачу в термінах цієї моделі (l – довжина струни), тобто в термінах механіки. Будемо виходити з того, що розв’язок задачі існує, і він єдиний. Результатом розв’язання задачі є хвильове поле ( , )u x t , а з точки зору фізики – один

конкретний рух струни. Отже, це теж задача про рух певної механічної системи, але описуваної хвильовим полем.

Найпростіше ідентифікувати серед умов (2.1)–(2.7) ті, які задають початковий стан. Це початкові умови (2.6), (2.7). Для кожної точки струни (тобто для кожного x ) вони задають

зміщення точки u і швидкість tu у початковий момент часу. Але на відміну від системи

частинок номер частинки х тепер неперервний.

Відкинемо тепер початкові умови (2.6), (2.7) разом з обмеженням на інтервал зміни часу16. Початковий стан більше не фіксується, а умови, що залишились, визначають всі можливі рухи системи. Висновок: роль системи рівнянь руху для струни відіграє не просто хвильове рівняння (2.3), а рівняння разом з межовими умовами (2.4), (2.5). При цьому рівняння задане при 0 x l (в певній відкритій просторовій області D), а межові умови – на кінцях проміжку 0, x l (на межі просторової області D ).

Коротке резюме.

1) Межові умови є умовами, які доповнюють рівняння в частинних похідних, задане

в області, що має межу17.

2) Рівняння і межові умови містять в собі різну і незалежну інформацію: рівняння –

про об’ємні властивості середовища і умови в об’ємі, а межові умови - про

властивості поверхні і умови на поверхні. Тому вивести межові умови з об’ємних

рівнянь без додаткових припущень про поверхню (явних або неявних) неможливо.

16 В даному випадку властивості системи явно не залежать від часу. 17 У випадку неомежених областей для деяких рівнянь (наприклад, теплопровідності, Лапласа чи Пуассона) необхідно задавати межові

умови також на некінченнсті.

31

Які саме елементи математичної постановки задачі визначають струну як динамічну систему? Звернемось до простішого аналога. Розглянемо рівняння руху кульки на пружинці.

( )mu ku F t (2.8)

Воно є лінійним. Саме ліва його частина (вона містить всі однорідні члени) ставиться у відповідність абстрактній фізичній системі, яку ми називаємо гармонічним осцилятором. Натомість права частина є зовнішньою силою, яку ми до складу системи не включаємо. Однозначність поділу на ліву і праву частини у (2.8) пов’язаний з тим, що попередньо ми вже вибрали, відносно якого положення відраховується зміщення u. Тобто в рівнянні (2.8)

0u вважається положенням рівноваги: ( ) 0u t є розв’язком, якщо зовнішня сила ( ) 0F t .

Для струни ситуація цілком подібна. Задача (2.1) – (2.7) є задачею про рух абстрактної фізичної системи (умовно назвемо її «хвильове поле в одновимірному резонаторі»), а поле

( , )u x t є відхиленням від завчасно вибраного положення рівноваги цієї системи, яке

відповідає ( , ) 0u x t . Цій абстрактній системі можна поставити у відповідність ліві частини

рівняння (2.3) і межових умов (2.4), (2.5), які містять однорідні члени. Натомість праві їх частини, які містять неоднорідні члени, відповідають зовнішнім чинникам, що діють на систему18. За відсутності таких чинників система може стояти в положенні рівноваги; тоді

( , ) 0u x t задовольняє рівняння і межові умови.

Саме по собі рівняння (в обмеженій області) не визначає конкретну фізичну систему повністю. На підтвердження наведемо приклад. Праві частини у рівнянні і межових умовах покладемо рівними нулю, щоб ніякі зовнішні чинники на систему не діяли. Розглянемо рух (у повздовжньому напрямі) двох однакових тонких пружних стержнів. Нехай у першого лівий кінець закріплений, а правий вільний. Тоді межові умови запишуться так (див. п. 2.3):

(0, ) 0u t , ( , ) 0xu l t .

У другого стержня обидва кінці вільні:

(0, ) 0xu t , ( , ) 0xu l t .

Отже, межові умови відрізняються лише одним «хрестиком», рівняння ж в обох випадках однакове, – це однорідне хвильове рівняння. Тепер без всяких рівнянь подумаємо, як фізики.

Другий стержень може рухатись рівномірно і прямолінійно, як ціле (розв’язок 0( , )u x t v t

задовольняє рівняння і межові умови). Але перший стержень так рухатись не може, оскільки

його лівий кінець закріплений нерухомо (межову умову (0, ) 0u t розв’язок 0( , )u x t v t не

задовольняє). Отже, це різні фізичні системи! А рівняння? Рівняння однакове.

Контрольні запитання до §2.

1. Що треба конкретизувати, перш ніж говорити про розв’язок РЧП? Що таке класичний

розв’язок рівняння у частинних похідних?

2. Як ставиться задача Коші та крайова задача для звичайного лінійного диференціального

рівняння другого порядку?

3. Запишіть постановку першої крайової задачі для хвильового рівняння на відрізку в

загальному вигляді.

4. Що означає «поставити задачу» з фізичної точки зору? Яка існує відповідність між

елементами фізичної постановки і математичної постановки крайової задачі для РЧП?

18 Неоднорідні члени в рівнянні і межових умовах відповідають зовнішнім впливам на систему, які діють через об’єм (неоднорідний член

в рівнянні), або через її межу (неоднорідні члени в межових умовах). Неоднорідні члени в рівнянні і в умовах ІІ роду відповідають заданим зовнішнім силам. Умови І роду фактично є умовами зв’язку, а неоднорідні члени в них викликають додаткові сили реакції і спричиняють відхилення від положення рівноваги.

32

5. З яких міркувань випливає, що хвильове рівняння на скінченному проміжку з межовими

умовами І роду і те ж саме рівняння на тому ж проміжку з межовими умовами ІІ роду

описують різні фізичні системи?

6. Що таке дані задачі для крайової задачі для хвильового рівняння на відрізку, який вони

мають фізичний смисл?

7. За яких умов крайова задача називається коректно поставленою?

Розділ 2. МЕТОД ВІДОКРЕМЛЕННЯ ЗМІННИХ І РЯДИ ФУР’Є

§ 3. ПРОЦЕДУРА ВІДОКРЕМЛЕННЯ ЗМІННИХ, ВЛАСНІ МОДИ ПОЛЯ В РЕЗОНАТОРІ

3.1. Постановка питання

Метод відокремлення змінних (МВЗ) – це один з основних універсальних методів аналітичного розв’язання задач для лінійних рівнянь у частинних похідних (РЧП). З практичного боку МВЗ – це певний алгоритм, який веде до побудови розв’язку. Суть методу полягає в розкладанні розв’язку за деякою системою ортогональних функцій, яка є природною для даної задачі. Отримані розвинення можуть бути узагальненими рядами Фур’є, або інтегралами типу тих, що використовуються в інтегральному перетворенні Фур’є. Різні варіанти методу об’єднуються під назвою метод Фур’є. Застосовність їх вимагає теоретичного обґрунтування. Поки що ми зосередимось саме на послідовності дій, що веде до побудови розв’язку, причому для найпростішого варіанту методу, який називатимемо процедурою Фур’є відокремлення змінних. У цьому і наступному параграфах ми розв’яжемо крайову задачу для хвильового рівняння на відрізку типу задачі (2.1) - (2.7). Абстрактну фізичну систему, рухові якої відповідає подібна задача, будемо називати «хвильове поле в резонаторі» (йдеться про лінійний резонатор). Конкретною її реалізацією може бути обмежена струна (малі поперечні коливання) або пружний стержень (повздовжні коливання). Задача про власні моди поля в резонаторі, яку ми розглянемо в цьому параграфі, з точки зору розв’язання задачі (2.1) - (2.7) в цілому є допоміжною. Звідси і назва, яку вживають математики, – «основна допоміжна задача МВЗ» (скорочено ОДЗ). Проте значення поняття власних мод для фізики є набагато ширшим. Воно стосується всієї лінійної фізики полів. Власні моди є основою одного з загальних поглядів на рух поля, який можна назвати модовою картиною поля.

ОДЗ – постановка і фізичний смисл. ОДЗ або задача про власні моди включає:

1) Однорідне рівняння на скінченному проміжку;

2) Однорідні межові умови на кінцях проміжку;

3) Вигляд частинного розв’язку – у вигляді добутку ( , ) ( ) ( )u x t X x T t ;

4) Вимогу нетривіальності розв’язку: ( , )u x t тотожно не дорівнює нулю.

Тепер конкретно. Розглянемо рух струни (нехай лівий кінець вільний, а правий – закріплений), коли будь-які зовнішні сили або інші зовнішні чинники відсутні. Це вільні коливання струни, подібні до вільних коливань гармонічного осцилятора. Вони описуються однорідним рівнянням з однорідними межовими умовами:

33

2

( , )

0

0 (3.1)

(0, ) 0 (3.2)

( , ) 0 (3.3)

tt xx

x

u u x t

x l

u v u

u t

u l t

На відміну від повної крайової задачі для хвильового рівняння, початковий стан струни тут не фіксується. Натомість шукаємо рухи деякого спеціального вигляду, які фізики називають модами (або власними модами19). Їм відповідають частинні розв’язки, що задовольняють умови (3.1)-(3.3), вигляду:

( , ) ( ) ( )u x t X x T t . (3.4)

Тобто розв’язкок має вигляд добутку функції тільки від часу на функцію тільки від координати. Це дуже сильне обмеження на вигляд функції двох змінних. Математично задача формулюється так: знайти всі нетривіальні розв’язки рівняння (3.1) з межовими умовами (3.2), (3.3) вигляду (3.4). Тривіальним називають при цьому тотожно рівний нулю розв’язок ( , ) 0u x t , який є очевидним, оскільки всі умови задачі однорідні. Тривіальний

розв’язок відповідає відсутності руху (відсутності поля зміщень), коли система стоїть в положенні рівноваги.

Аналогія з нормальними коливаннями: дискретна модель струни. Пошук частинних розв’язків у вигляді (3.4), тобто у вигляді добутку функцій від різних

змінних, є ключовим моментом МВЗ. Природно, виникає запитання, чому вигляд розв’язку має бути саме таким. Одне з пояснень, яким чином можна прийти до такого вигляду розв’язку, полягає в переході від дискретної моделі струни до неперервної. При цьому відбувається відповідна зміна форми описання.

Від струни, що описується співвідношеннями (3.1) – (3.3), перейдемо до її дискретної моделі (Рис. 3.1): нехай тепер вся маса зосереджена в однакових частинках - вузлах, які розташовані на невагомій нитці через рівні проміжки в точках з координатами xn, а загальне число частинок буде N. Як і струна, нитка натягнута з певною силою натягу. Для довгих хвиль, коли довжина хвилі набагато більша за відстань між частинками, дискретність струни практично не відчуватиметься. Проте замість поля зміщень ( , )u x t маємо тепер набір зміщень

окремих вузлів, тобто N функцій однієї змінної:

( , ) ( , ) ( )n nu x t u x t u t .

Рівняння руху для частинок – це система N лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами, отже її частинний розв’язок шукають у вигляді

( ) tn nu t A e ,

(або ( ) i tn nu t A e – як це робиться в механіці, в теорії малих коливань). Кожному такому

розв’язку (в механіці це – нормальні коливання) відповідає свій вектор амплітуд Аn (визначений з точністю до множника). А тепер перейдемо назад до неперервної струни.

Дискретний номер частинки заміняється її координатою nn x x , що змінюється

неперервно:

( ) ( ) ( , )t t tn nA e A x e X x e u x t . (3.5)

Так буде, якщо коефіцієнти рівняння (3.1) не залежать від t. Узагальнюючи, будемо мати

( ) ( , ) ( ) ( )te T t u x t X x T t .

19 Слово «власний» підкреслює, що йдеться про власні, тобто вільні рухи фізичної системи, а не вимушені, спричинені зовнішніми

впливами на неї.

34

Це універсальний вигляд частинного розв’язку. Наведені міркування показують, що він принаймні є природним. Смисл подібних розв’язків ми повністю з’ясуємо пізніше, коли отримаємо їх явний вигляд. Конкретний вигляд просторової ( )X x і часової ( )T t частин

розв’язку (3.4) визначається в процесі розв’язання задачі.

3.2. Процедура відокремлення змінних.

Крок 0. Перевіряємо однорідність рівняння і межових умов. Для цього достатньо перевірити наявність тривіального розв’язку задачі (в лінійних задачах). Якщо нульовий розв’язок не задовольняє рівняння і обидві межові умови, то описана тут процедура МВЗ не застосовна. У такому разі слід застосовувати інші варіанти методу відокремлення змінних, які ми розглянемо пізніше (див. Частину 2).

Крок 1. Відокремлюємо змінні в межових умовах (3.2), (3.3) і в рівнянні (3.1). Вигляд частинного розв’язку ( , ) ( ) ( )u x t X x T t підставляємо в (3.2), (3.3) і в (3.1).

Із межової умови (3.2) отримуємо:

( , ) ( ) ( ), (0, ) ( ) (0) 0x xu x t T t X x u t T t X .

Остання умова виконується при всіх t. Якщо ( ) 0T t , то 0u T X . Тому ( ) 0T t . Отже,

(0, ) 0 (0) 0xu t X .

Аналогічно, з межової умови (3.3) слідує: ( , ) ( ) ( ) 0u l t T t X l .

Оскільки ( ) 0T t , маємо ( ) 0X l . Таким чином, функція X(x) має задовольняти крайові

умови, вигляд яких відповідає межовим умовам задачі на функцію ( , )u x t .

Очевидно, що ( ) ( ), ( ) ( ) tt xxu T t X x u T t X x Тоді з рівняння (3.1) маємо 2( ) ( ) ( ) ( )T t X x v T t X x .

Останній вираз помножимо на 2

1 1

X T v

. Тоді одержимо:

2

( ) ( )

( ) ( )

T t X x

v T t X x

.

Така ситуація і називається відокремленням змінних: ліва частина цієї рівності залежить

тільки від t, а права - тільки від x, причому виконується ця рівність при всіх x і t. З рівності функцій двох різних змінних слідує, що кожна з них є константою. Дійсно, нехай

( ) ( )t f x . Зафіксуємо деяке значення 1t t і позначимо 1( )t . Тоді з 1( ) ( )t f x слідує

( )f x , а отже і ( )t . У результаті з одного рівняння, що містить дві змінні, ми

отримали два рівняння, кожне з яких містить по одній змінній. Константу , що входить до

кожного з отриманих рівнянь, називають константою відокремлення. Таким чином, маємо

2

( ) ( )

( ) ( )

T t X x

v T t X x

,

де λ – константа відокремлення. Її можливі значення будуть знайдені в процесі розв’язання задачі. Як ми побачимо згодом, введена саме таким чином константа відокремлення виявляється невід’ємною 0 . Тому в правій частині зручно поставити знак «мінус». В протилежному випадку матимемо, що 0 . На завершення кроку 1 виписуємо результат відокремлення змінних. Ми отримали рівняння для Т(t), в яке входить невідоме λ:

2 0T v T (3.6)

35

та крайову задачу на власні функції і власні значення для Х(х) (так звана задача Штурма-Ліувілля):

(3.7)

(0) 0 (3.8)

( ) 0 (3.9)

0

X X

X

X l

x l

Подальший план дій є наступним.

Крок 2. Розв’язуємо задачу Штурма-Ліувілля (див. п. 3.3), результат розв’язання у загальному вигляді – це нескінченний набір власних функцій і відповідних власних значень,

занумерованих певним чином ( ), , 0,1,2...n nX X x n .

У цьому полягає особливість цієї задачі, ми шукаємо ( ),n nX x - набір власних функцій і

власних значень, а не один розв’язок.20

Крок 3. Повертаємось до рівняння для ( )T t (3.6). Підставляємо в нього n .

Одержуємо набір рівнянь 2 0nT v T ; для кожного n знаходимо загальний розв’язок

( )nT T t (з довільними коефіцієнтами).

Крок 4. Виписуємо результат розв’язання ОДЗ:

( , ) ( ) ( ), 0, 1, 2...n n nu x t T t X x n

Результатом розв’язання ОДЗ є ( , )nu x t - набір власних мод.

Контрольні запитання до п.п. 3.1, 3.2.

1. Звідки видно, що задача про власні моди поля в резонаторі – це задача про вільні

коливання (вільні рухи), а не про вимушені?

2. Чи фіксується початковий механічний стан струни в задачі про її власні моди?

3. Назвіть умови, які включає постановка задачі на власні моди коливань обмеженої

струни. Запишіть приклад постановки і перевірте, що задача має.

4. Який рух струни описує тривіальний розв’язок задачі про її власні моди?

5. В якому вигляді шукається розв’язок задачі про власні моди коливань струни? В

якому вигляді шукається частинний розв’язок лінійної системи рівнянь зі сталими

коефіцієнтами? Поясніть чому полягає аналогія між виглядом розв’язків для цих двох

випадків?

6. Крайова задача для хвильового рівняння (2.1)-(2.6) включає 5 умов на невідому

функцію (рівняння, 2 межові і 2 початкові умови); які з них не включаються в основну

допоміжну задачу МВЗ?

7. Чи можливо відокремити змінні х і t (так/ні):

а) в неоднорідній межовій умові? б) в неоднорідному рівнянні? г) в однорідній початковій умові?

20У зв’язку з цим необхідно слідкувати у процесі розв’язування задачі за правильністю позначень і правильністю запису виразів. Всі

величини, що залежать від номера моди n мають нести на собі індекс n. Якщо він є у правій частині рівності і є вільним індексом, він мусить бути і в лівій частині, як вільний індекс. Тоді ми маємо не одну, а набір (тобто багато!) рівностей, для кожного значення n (для кожної моди). Після підсумовування по всіх n вираз перестає залежати від n, індекс n перетворюється на німий. Якщо рівність містить суму по n, то маємо лише одну рівність. Записуючи кожний рядок, треба уважно слідкувати, який із цих випадків ви маєте на увазі. Якщо знак суми потрібен, але він пропущений, смисл рівності спотворюється, замість однієї рівності отримуємо набір рівностей, що однозначно означає грубу помилку.

36

3.3. Задача Штурма-Ліувілля

Задача Штурма-Ліувілля належить до класу так званих спектральних задач. Алгебраїчні лінійні задачі на власні вектори і власні значення знайомі вам з курсів лінійної алгебри і тензорного аналізу. Лінійні спектральні задачі, диференціальні й алгебраїчні, зустрічаються не лише в класичній фізиці. Вони також є важливою частиною апарату квантової механіки, яку ви почнете вивчати вже з наступного семестру. Існують і нелінійні диференціальні спектральні задачі. Будь яка спектральна задача містить параметр, який називають спектральним параметром; за будь-яких значень спектрального параметра вона також має очевидний розв’язок який називають тривіальним. Для лінійних задач - це нульовий розв’язок. Розв’язати спектральну задачу означає знайти всі нетривіальні розв’язки задачі і ті значення спектрального параметра, для яких вони існують. Сукупність таких значень спектрального параметра називають спектром задачі.

Термін «задача Штурма-Ліувілля» стосується лінійних крайових спектральних задач на скінченному проміжку для диференціальних рівнянь другого порядку, які можуть бути приведені до певного загального вигляду. Власні функції і власні значення задачі Штурма-Ліувілля мають певний набір властивостей. Існує загальна теорія таких задач (теорія Штурма-Ліувілля). Свого часу ми підійдемо і до цього, а поки що працюватимемо з конкретними прикладами, не спираючись на загальну теорію.

До того ж не всі лінійні диференціальні спектральні задачі з нашого курсу і з квантової механіки повністю підпадають під цю теорію. Пізніше ми познайомимося із сингулярною задачею Штурма-Ліувілля; зараз ми розглянемо регулярну задачу.

Загальні властивості задачі. Задача (3.7) - (3.9) є простим прикладом задачі Штурма-Ліувілля. Усі її умови однорідні, оскільки заміна ( ) ( )X x c X x не впливає на виконання

умов задачі. Отже, для довільного існує тривіальний розв’язок ( ) 0X x . Шукаємо

( ) 0X x - нетривіальні розв’язки.

Означення. Нетривіальні розв’язки задачі Штурма-Ліувілля називаються її власними функціями, а значення спектрального параметра , для яких вони існують, - власними значеннями задачі.

Сукупність власних значень задачі називають спектром. Якщо ( )X x - розв’язок, то і ( )c X x буде розв’язком, тобто власні функції визначені з

точністю до множника. Тому різними вважаються лінійно-незалежні власні функції21.

0 Нульові моди, - це власні функції, що відповідають нульовому власному значенню 0 . Підставляючи 0 в рівняння (3.7) для Х, одержуємо:

0X , звідки:

1 2( )X x C C x .

Підставляючи цей розв’язок в межові умови (3.8) і (3.9), послідовно отримуємо 2 0C ,

1 0C , і 0X . Отже 0 не є власним значенням даної задачі. Нульових мод у цій

задачі немає.

0 . Зараз нам вигідно залучити щойно набуті знання з ТФКЗ і вважати, що - довільне комплексне число22, 0 . Розв’язок рівняння 0X X шукаємо у вигляді:

21В інших спектральних задачах зустрічається ситуація, коли одному власному значенню відповідає декілька різних власних функцій. У

такому випадку власні функції, що відповідають одному власному значенню, визначаються умовами задачі лише з точністю до лінійної комбінації.

22 Зараз ми свідомо не використовуємо ніяких результатів теорії задачі Штурма-Ліувілля. Те, що її власні значення дійсні, наперед не очевидно. Наприклад, для подібної задачі з дійсними коефіцієнтами, але першого порядку, , ( ) ( ),y y y x l y x x

(вона не є задачею Штурма – Ліувілля, фактично це задача на колі довжиною l) власні значення чисто уявні. Насправді з умов задачі,

записаної у формі (3.7) – (3.9), випливає, що 0 (якщо знак перед λ у рівнянні такий як у (3.7)!).

37

( ) xX x e .

Підставляючи цей розв’язок у рівняння, одержуємо: 2

2

( ) 0xe

i

Тут – теж невідоме довільне число, взагалі кажучи, комплексне, 0 .

1 2( ) cos( ) sin( )i x i xX x C e C e A x B x .

1( ) cosX x x та 2( ) sinX x x - два лінійно незалежні розв’язки рівняння23, для 0 їх

вронскіан відмінний від нуля:

1 2

1 2 1 2 2 1

1 2

( ) ( )( , ) det ( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

X x X xW X X X x X x X x X x

X x X x

Переконайтеся в цьому самостійно. Тепер послідовно підставляємо розв’язок

( ) cos( ) sin( )X x A x B x у межові умови:

( ) sin( ) cos( )

(0) 0 1 0 0

X x A x B x

X A B B

Враховуючи це, перепишемо розв’язок у вигляді:

( ) cos( )X x A x .

Тепер підставимо останній вираз у другу межову умову: ( ) 0

cos 0

X l

A l

Якщо припустити, що А=0, то одержимо тривіальний розв’язок ( ) 0X x , що нас не

влаштовує. Отже, А≠0, і має бути

cos 0l . (3.10)

Ця умова може виконуватись тільки за рахунок спектрального параметра. Це так зване характеристичне рівняння на спектральний параметр . Його корені в комплексній площині

z l лежать тільки на дійсній осі

2

l n

, де n - довільне ціле.

//Відступ у ТФКЗ. Дослідимо рівняння cos 0w і покажемо, що в комплексній площині w воно не має інших нулів, крім тих, що лежать на дійсній осі24.

1). Спочатку покажемо, що 0ze в скінченних точках комплексної площини25 ( z - істотно особлива точка експоненти). Нехай z x iy . Маємо

(cos sin )z x i y xe e e e y i y ,

0xe 2 2sin cos 1 y y cos sin 1iye y i y .

23 У частинному випадку дійсного λ розв’язки

1 2( ), ( )X x X x зводяться до дійсних функцій: для 2 0k маємо

cos( ) cos , sin( ) sinx kx x kx ; для 2 0 маємо cos( ) ch( ), sin( ) s h( )x x x i x .

24Те ж саме стосується і нулів синуса.

25 Цей факт також випливає з того, що як ze , та і

ze , в усій комплексній площині представляються збіжними степеневими рядами, а

отже є аналітичними в усій комплексній площині. Функція ze не може мати нулів, оскільки нулі аналітичної функції є ізольованими; якщо

припустити, що ze має нуль у скінченній точці, то у цій точці 1z ze e має полюс, а це суперечить її аналітичності.

38

Отже,

0z xe e і 0ze .

2). Покажемо, що коренями рівняння

1ze (3.11) є 2 , 0, 1, 2,...z ni n .

1 ze 1z xe e Re 0z x .

Тоді cos sin 1z x i ye e e y i y

cos 1y , sin 0y ,

Im 2 , 0, 1, 2,...z y n n ,

що і треба було довести. 3). Повернемось тепер до рівняння cos 0w . Зведемо його до рівняння (3.11). Перейдемо до експонент

1cos

2iw iww e e .

Звідки слідує iw iwe e . Помноживши на експоненту (вона не дорівнює нулю, маємо 2 1iw ie e , або 2 1z iw ie e . Отримали (3.11). Остаточно маємо

Re2

w w n

, де 0, 1, 2,...n . Тобто всі нулі косинуса в комплексній площині лежать

на дійсній осі. Пропонуємо самостійно подібним чином показати, що всі нулі синуса в комплексній площині лежать на дійсній осі.//

Повертаємось до спектральної задачі. Корені характеристичного рівняння такі

,2

nl l n

Отже 1

( )2

n nl

, де n – довільне ціле (!).

Зверніть увагу, що це ще не власні значення, а лише корені характеристичного рівняння.

Тепер необхідно визначити, яким з них дійсно відповідають нетривіальні розв’язки ( )nX x , і

які n відповідають різним (тобто лінійно незалежним) власним функціям. Таким чином ми знайдемо всі різні власні функції задачі, що і вимагається. Для кожного кореня знаходимо відповідний розв’язок задачі:

( ) cos( ) cos ( 1 2)n n n

xX x A x A n

l

, 0, 1, 2,...n

Далі A можна покласти рівним одиниці А=1 (з міркувань простоти запису), оскільки власні функції визначені з точністю до довільного множника.

Перш за все, перевіряємо, чи немає серед знайдених розв’язків тривіальних, тобто таких, що

( ) 0nX x . У даному випадку (в інших задачах буває по-іншому!) тривіальних серед них

немає ні при яких n. Тепер шукаємо серед розв’язків такі, які збігаються з іншими повністю або з точністю до множника. Оскільки косинус є парною функцією, cos( ) cosy y , то від’ємні n дають такі ж

самі розв’язки, як і n=0, 1, 2, … . Наприклад, однаковими є розв’язки для 1n і 0n . Отже всі різні власні функції і відповідні власні значення задачі можна перенумерувати наступним чином:

1( ) cos ( )

2n

xX x n

l

,

21

( )2

n nl

, де n = 0, 1, 2, … . (3.12)

39

Зверніть увагу, що всі знайдені власні значення в даній задачі додатні, 0n . Це

безпосередньо пов’язано з вихідною формою запису рівняння на власні значення (3.7), коли в правій частині стоїть знак мінус. Якщо змінити знак у правій частині на протилежний, то і знайдені значення змінять знак на протилежний, тобто стануть від’ємними. Власні функції при цьому не зміняться. Рівняння на власні значення прийнято записувати саме у формі (3.7), щоб власні значення були невід’ємними. Нульове власне значення існує в задачі з крайовими умовами (0) ( ) 0X X l . У загальному

випадку, моди, які відповідають нульовому власному значенню називають нульовими модами (номер моди тут ні до чого, ви нумеруєте моди, як вам зручно), а моду, яка відповідає найменшому власному значенню, - основною модою. У задачі з умовами

(0) ( ) 0X X l нульова мода одночасно є й основною модою. Але в задачах іншого вигляду

можуть існувати і від’ємні власні значення, тоді нульова мода (якщо вона є) не буде основною. Для розв’язання задач у частинних похідних і неоднорідних крайових задач терміни «основна мода» і «нульова мода» тягнуть за собою різні наслідки, які стануть зрозумілими впродовж курсу. Нульова мода - це завжди сигнал тривоги для студента. Вона відрізняється від інших, і це часто призводить до помилок. Тому будьте обережні з нульовими (тобто рівними нулю) власними значеннями! Як видно з (3.12), кожному власному значенню у даній задачі відповідає одна власна функція. Такі власні значення називаються простими.

Перевірка отриманого результату. Тепер необхідно перевірити, чи правильно знайдені власні функції і власні значення. Просто довести задачу до якогось результату мало. Щоб виключити можливість помилок, перевірку необхідно робити обов’язково26. Вона включає декілька кроків (див. також методичну розробку з ММФ 2017 р., зразок МКР-1).

На першому етапі перевіряємо виконання всіх умов задачі, тобто умов (3.7) - (3.9), для

знайдених ( )nX x і n .

1). Підставляємо власні функції 1

( ) cos ( )2

n

xX x n

l

в рівняння (3.7). Обчислюючи другу

похідну, одержуємо 2

1( )

2n nX n X

l

.

Порівнюємо з вихідним рівнянням (3.7) і робимо висновок 1: кожна з функцій ( )nX х (3.12)

дійсно є розв’язком рівняння (3.7) для значення спектрального параметра 2

1( )

2n

l

.

Далі, ці значення збігаються зі знайденими раніше власними значеннями (3.12), отже робимо висновок 2: знайдені власні значення (3.12) дійсно відповідають знайденим власним функціям. 2). Перевіряємо виконання межових умов аналітично. Підставляємо функції (3.12) в межові умови:

(0) 0nX : ( ) sin( )n n nX х x , sin( 0) 0n n - виконується, причому

незалежно від n .

26Взагалі, перевірку правильності своїх дій треба робити в усіх задачах, постійно, на кожному етапі й усіма можливими способами. Але в

задачах такого рівня складності, як в математичній фізиці, ймовірність отримання правильної відповіді без такого самоконтролю просто прямує до нуля. Тільки перевірка забезпечує надійність отримання правильного результату. Помиляються всі, а правильні відповіді отримують ті, хто вміє бачити, коли щось не так, знаходить помилки і виправляє їх. Зауважте також, що і в науковій роботі готових відповідей в кінці задачника немає. Тому способам самоконтролю треба так само спеціально вчитись, як і власне розв’язанню задач. З часом ви навчитесь робити це автоматично. Знаходження власних функцій і власних значень задачі Штурма-Ліувілля потребує особливої уваги. Саме тут робиться до половини всіх помилок (у випадку застосування методу відокремлення змінних). Це місце просто всіяне кістками тих, хто легковажно нехтував самоперевіркою.

40

( ) 0nX l : 1

( ) cos ( ) 02

n

lX l n

l

- виконується, але саме для знайдених значень n .

3). Додатково перевіряємо власні функції графічно (подвійний контроль!). Будуємо графіки кількох перших власних функцій

1( ) cos ( )

2n

xX x n

l

,

їх явний вигляд:

00 : ( ) cos2

xn X x

l

,

1

31: ( ) cos

2

xn X x

l

,

2

52 : ( ) cos

2

xn X x

l

,

і так далі. Як допоміжний, використовуємо графік косинуса (Рис. 3.2 вгорі). Коли х змінюється в межах 0 x l , аргумент косинуса для функції з номером n змінюється в

межах 0 2n . Тому графік n -ї власної функції ( )nX x являє собою відповідну

частину косинусоїди, яку слід зобразити на проміжку 0 x l (Рис. 3.2 внизу). Масштаб по вертикалі може бути довільним і різним для різних функцій, оскільки значення він не має.

Рис. 3.2. Вгорі – графік косинуса. Внизу - перші три власні функції задачі (3.7) - (3.9),

0,1,2n ; короткі горизонтальні лінії – це дотичні до графіка в нулі.

41

Функція, що відповідає найменшому власному значенню (у даному випадку - це

0 ( ) cos2

xX x

l

), відповідає так званій основній моді резонатора (про власні моди див.

нижче), для стаціонарних станів у квантовій механіці це основний стан системи, стан з найменшою можливою енергією.

Графіки власних функцій відображають їх основні властивості, які і треба перевірити. По-перше, з Рис. 3.2 видно, що в точці x l всі графіки проходять через нуль, отже крайова умова (3.9) на правому кінці виконується. На лівому кінці, в точці 0x , всі функції мають екстремуми, а дотичні до графіків горизонтальні, а отже похідна дорівнює нулю, - крайова умова (3.8) також виконується для всіх n. Графічна перевірка підсилює надійність аналітичної, зробленої раніше, де також іноді припускаються помилок, приймаючи бажане за дійсне.

Проте є надзвичайно підступний тип помилки, яку всі зроблені нами раніше перевірки не виявляють (!). Уявіть, що у розглянутій вище задачі ми, наприклад, помилково визначили діапазон зміни n як 1,2, ...n , тобто пропустили значення 0n . Це означає, що ми дійсно

знайшли власні функції і власні значення, але не всі, а отже задача розв’язана неправильно. Як це помітити? Допомагає так звана осциляційна теорема. З рис. 3.2 видно, що всі власні функції на проміжку 0 x l осцилюють, і при цьому всі вони мають різне число нулів. Число нулів (або «вузлів») всередині проміжку, на якому розв’язується задача, є своєрідною унікальною міткою власної функції. Цей факт не є випадковим і безпосередньо пов’язаний з ортогональністю власних функцій (про ортогональність власних функцій див. §4). Всі власні значення даної задачі прості, тобто між власними функціями і власними значеннями існує взаємно однозначна відповідність. Треба розташувати власні значення в порядку зростання. Тоді за осциляційною теоремою найменшому власному значенню відповідає функція, яка не має нулів у внутрішніх точках проміжку [0, ]l . Тобто основна мода завжди є безвузловою.

Далі, наступному за величиною власному значенню відповідає власна функція, що має один нуль, наступному - два нулі, і так далі. Для кожної наступної моди число вузлів збільшується на одиницю. Іншими словами, число нулів власної функції збігається з порядковим номером відповідного власного значення, якщо нумерувати їх у порядку зростання, починаючи з нуля. Як видно з Рис. 3.2, результат (3.12) в точності відповідає осциляційній теоремі. Отже, ми знайшли всі власні функції і власні значення. Якщо пропущено одне або кілька (наприклад, усі парні) власних значень, це легко виявити. Змоделюйте такі ситуації самостійно.

На цьому розв’язання задачі Штурма-Ліувілля і перевірка завершені. Результатом є занумерований певним чином набір власних функцій і власних значень (3.12).

Контрольні запитання до п.п. 3.3

1. Запишіть без допомоги конспекту постановку розв’язаної в п. 3.3 задачі Штурма-

Ліувілля. Переконайтеся, що тотожно рівна нулю функція є її розв’язком незалежно

від значення параметра λ.

2. Що таке власні функції задачі Штурма-Ліувілля?

3. Що таке власні значення задачі Штурма-Ліувілля?

4. Які власні функції задачі Штурма-Ліувілля вважаються різними і чому?

5. Які власні значення спектральної задачі називаються простими?

6. Що треба знайти в результаті розв’язання задачі Штурма-Ліувілля? Які обов’язкові

пункти має включати відповідь?

7. Як перевірити, що знайдені власні функції і власні значення задачі Штурма-

Ліувілля правильні? Назвіть всі пункти перевірки.

8. У чому полягає осциляційна теорема? Як і що саме можна перевірити за допомогою

неї у відповіді до задачі Штурма-Ліувілля?

42

9. Чи є функції а) cosy x , б) siny x , в) sin 2y x власними функціями задачі

Штурма-Ліувілля 0, (0) 0, ( 2) 0, 0 0 2y y y y x x (так/ні)? Яким

власним значенням вони відповідають? Відповіді обґрунтуйте (задачу не

розв’язувати!).

10. Чи є функція 1y власною функцією задачі Штурма-Ліувілля

, ( ) ( ) 0, y y y a y b a x b ?

Якщо так, то чи відповідає ця функція: а) нульовій моді? б) основній моді? Відповіді

обґрунтуйте (задачу не розв’язувати!). Чи є функція y C власною функцією цієї

задачі?

11. Чи є сума різних власних функцій задачі Штурма-Ліувілля (3.7)-(3.9) власною

функцією? Чому?

3.4. Власні моди

Функції ( )T t і власні моди. Повертаємось до ОДЗ (див. кінець п. 3.2). В отримане в

результаті відокремлення змінних рівняння для ( )T t , 2 0T v T ,

підставляємо знайдені значення n , Згідно (3.12) вони додатні 2

1( ) 0

2n n

l

,

тому позначаємо 2 2n nv , оскільки 2 0nT T - рівняння гармонічного осцилятора27, а

0n - його власна частота (для різних мод частити різні!). Розв’язуємо це рівняння для

кожного n . Його загальний розв’язок

( ) cos sinn ni t i tn n n n n n nT t C e C e A t B t .

Тепер повертаємось до самого початку відокремлення змінних (початок п. 3.2): ми шукали розв’язки у вигляді добутків ( , ) ( ) ( )u x t X x T t . Виписуємо всі такі розв’язки, які знайшли:

( , ) ( ) ( ) ( cos sin ) cosn n n n n n n nu x t T t X x A t B t x , 0,1,2,...n (3.13)

де 1

( )2

n nl

, n n v .

Звертаємо вашу увагу, що це не один, а набір розв’язків, точніше, нескінченна послідовність.

Для кожного n маємо інший розв’язок. За фізичним смислом множник n в аргументі

власної функції є хвильовим вектором. Якщо позначити n nk , то бачимо, що між

частотою і хвильовим вектором існує лінійний зв’язок k v , але для хвиль в резонаторі

хвильовий вектор приймає дискретні значення28 nk k . Основна допоміжна задача методу

відокремлення змінних розв’язана, результат – набір власних мод резонатора (3.13).

Аналіз результату. З’ясуємо фізичний смисл отриманих розв’язків. Для наочності будемо говорити про поперечні коливання струни. Розв’язки (3.13) є частинними розв’язками однорідного хвильового рівняння (3.1) з однорідними межовими умовами (3.2) і (3.3); отже зовнішні сили на систему не діють, тому з фізичної точки зору ці розв’язки відповідають вільним коливанням (рухам) струни. Окрім того, вони відповідають коливанням

27 Якщо в задачі є нульове значення 0 , то відповідну моду (це нульова мода) треба розглядати окремо від інших. Рівняння набуває

вигляду 0T . Це вже не осциллятор, а вільна частинка; коливань немає, а є рівномірний рух. 28 Так буде завжди, коли поле знаходиться в області скінченних розмірів.

43

(рухам) спеціального вигляду, оскільки відповідні розв’язки мають вигляд добутків ( ) ( )n nT t X x . З фізичної точки зору такі рухи і є власними модами поля в резонаторі для

випадку вільних коливань. Про власні моди можна говорити й у випадку вимушених коливань (див. §10).

Всі розв’язки ( , )nu x t (3.13) - дійсні29. Візьмемо один із них. Зафіксуємо певний довільний

момент часу 1t t , це буде миттєве фото n –ї моди струни. Просторовий розподіл зміщень

описується формулою

1 1( , ) ( ) ( )n n nu x t T t X x .

Видно, що в будь-який момент форма просторового розподілу зміщень (тобто форма струни)

залишається однаковою (!) і описується відповідною власною функцією ( )nX x ; змінюється

лише спільна амплітуда цього просторового розподілу і його знак за рахунок множника ( )nT t

. Отже, ( )nX x задає просторовий «профіль» моди, це її унікальне просторове «обличчя», -

найперша визначальна характеристика певної моди, за якою її можна пізнати.

Тепер прослідкуємо за рухом певної точки струни 1x x :

1 1( , ) ( ) ( )n n nu x t T t X x .

Видно, що всі точки струни здійснюють один і той же рух, одне і те ж гармонічне коливання

з частотою n , але для різних мод частоти коливань різні. З точністю до числового

множника і знаку коливання будь-якої точки струни задається однією функцією ( )nT t , але

амплітуда цих часових коливань в різних точках різна, вона визначається величиною ( )nX x .

У точках, де ( )nX x має нулі, амплітуда коливань дорівнює нулю, це вузли моди. Якщо ж

( )nX x змінює знак, то це відповідає зміні фази коливань на : частини струни, розділені

вузлами, коливаються в протифазі. Рух струни - це єдиний часово-просторовий процес. Для мод 2n і 3n він зображений на Рис. 3.3. Вузли залишаються нерухомими в процесі руху струни, якщо він відповідає певній

моді. У точках, де ( )nX x максимальне (за модулем), максимальна і амплітуда коливань, це

пучності. У нашому випадку (див. формули (3.13)) моди занумеровані так, що число вузлів всередині струни (без урахування вузла на правому кінці струни) дорівнює номеру моди.

29 У подальшому ви зустрінетесь і з комплексними розв'язками у вигляді добутків. Тоді фізичний смисл має сума комплексно спряжених

розв'язків (або дійсна частина).

44

Рис. 3.3. Схематичне зображення руху струни (лівий кінець вільний, правий – закріплений) для мод 2n (вгорі) і 3n (внизу). Для кожної моди зображені два крайні положення струни, коли відхилення максимальне, і вказаний напрям, в якому рухаються точки струни при переході з одного положення в друге. Рисунок сильно розтягнутий по вертикалі, в реальності відхилення є малим порівняно з довжиною хвилі, і кути нахилу дотичної до струни малі.

Вузли і пучності не переміщуються вздовж струни, і взагалі, в цілому рух у часі і просторовий розподіл зміщень залишаються ніби незалежними. Струна коливається, а просторовий розподіл «стоїть». Подібні рухи прийнято називати стоячими хвилями. Стоячі хвилі описуються окремим добутком вигляду

( , ) ( ) ( )u x t T t X x ,

де обидва множники дійсні. Комплексні розв’язки подібного вигляду можуть описувати хвилі з певним напрямком поширення, наприклад

( , ) ikx i tu x t Ce e к.с.,

де к.с. означає доданок, комплексно спряжений до першого. Власні моди такого типу можуть реалізуватися, наприклад, у кільцевому резонаторі (див. останній підпункт цього п. 3.4).

Отже, що ж таке власні моди? Це певні особливі рухи струни. У загальному випадку вільні коливання струни являють собою суперпозицію кількох або всіх мод (див. п. 3.5 і §4). З точки зору експерименту рух струни, що відповідає одній окремій моді, ідентифікується, перш за все, за частотою коливань. Струна звучить, і в спектрі звуку реєструється одна єдина частота власних коливань. Найнижчу можливу частоту має основна мода, це основний тон струни. Частоти вищих мод в акустиці називають обертонами. Підмішування обертонів до основного тону (тоді коливання є суперпозицією різних мод) надає звучанню струни специфічне забарвлення, або тембр.

У більш складних системах одній власній частоті можуть відповідати дві або кілька різних мод. Тому в загальному випадку визначальною рисою конкретної моди є не власна частота, а

характерний просторовий розподіл зміщень, її просторова частина ( )nX x . Тим більше, що у

45

випадку вимушених коливань закон руху в часі ( )nT t буде іншим. Іноді модами називають не

лише часово-просторові функції типу (3.13) і відповідні рухи, а і самі чисто просторові

функції ( )nX x . Вислів «розкладання за власними модами» ми будемо вживати як синонім

розкладання за системою функцій ( )nX x , що відповідають власним модам вільного руху

системи. Про початкові умови для власних мод. Як реалізувати на експерименті (принаймні уявному) рух струни у вигляді окремої моди? Формально для цього треба створити спеціальні початкові умови. Які саме, видно із формул (3.13). Поклавши в них 0t , отримаємо для моди з номером n :

( ,0) ( ) cosn n n nu x A X x A x ,

( ,0) ( ) cost n n n n n nu x B X x B x ,

де nA і nB можуть бути довільними. Тобто в початковий момент треба створити розподіли

зміщень і швидкостей (один з них може дорівнювати нулю), пропорційні власній функції

( )nX x саме для даної моди n . Це ще раз підкреслює, в чому полягає відмінність саме

власних мод у вигляді стоячих хвиль від всіх інших вільних коливань: для коливань у

вигляді власної моди просторова залежність полів u і tu (для струни – поле зміщень і поле

швидкостей) не змінюється з часом (змінюються в часі лише спільна амплітуда просторового розподілу і його знак), а отже просторова залежність полів залишається такою ж, якою вона була в початковий момент часу!

З іншого боку, в цьому розкривається фізичний смисл самих власних функцій ( )nX x : це такі

особливі просторові залежності полів, які залишаються незмінними (з точністю до множника) в процесі руху системи. Слово «власний» означає тут, що просторова залежність полів моди обумовлена самою фізичною системою, її внутрішніми взаємодіями і зв’язками, а не підтримується штучно за рахунок зовнішніх щодо системи чинників.

Моди інших резонаторів.

Чотири комбінації межових умов 1-2 роду – див. методичку 2019, задачі занять 1 і 2.

Симетричний резонатор з МУ 3 роду – див. там же задачі 2.5* і 2.6*.

Кільцевий резонатор. - далі буде?. Зауваження: дискретний чи неперервний спектр частот і хвилі певного напрямку поширення, чи стоячі – це різні речі, які можуть бути чи не бути незалежно.

3.5. Суперпозиція мод, загальний розв’язок

Умови (3.1) – (3.3) задають поле в резонаторі як певну фізичну (або динамічну) систему. Оскільки зовнішні сили відсутні, то йдеться про вільні коливання цієї системи. Ми знайшли її рухи спеціального вигляду – власні моди резонатора, яким відповідають розв’язки (3.13)

0 1 2( , ), ( , ), ( , ), ...u x t u x t u x t

Оскільки всі умови (3.1) – (3.3) лінійні й однорідні, то сума таких розв’язків 1 2+ u u - теж

розв’язок. Фактично ж, це не сума, а лінійна комбінація різних частинних розв’язків,

оскільки кожне nu уже містить в собі довільні коефіцієнти nA і nB :

( , ) ( cos sin ) cosn n n n n nu x t A t B t k x , 0,1,2,...n . (3.14)

46

Отже, для даної фізичної системи можливі рухи, які являють собою лінійну суперпозицію різних мод. Щоб одержати суперпозицію найбільш загального вигляду, просумуємо по всіх власних модах системи

0 0

( , ) ( , ) ( cos sin )cosn n n n n nn n

u x t u x t A t B t k x

(3.15)

Вираз типу (3.15), де Аn, Bn – довільні сталі, називають загальним розв’язком (рівняння з межовими умовами, в даному випадку (3.1) - (3.3)). Він має вигляд ряду. Оскільки про збіжність цього ряду нічого сказати не можна, поки всі константи не визначені, він є рядом формальним. Звідси інша назва – формальний розв’язок.

Увага! Між (3.14) (суми немає) і (3.15) (сума є) існує принципова різниця: (3.14) – це набір (багато) розв’язків, а (3.15) – один розв’язок. Якщо ви плутаєте перше з другим, це груба помилка. Будьте охайні в записах і завжди слідкуйте, що саме ви хочете записати!

Головне питання до (3.15): чи є загальний розв’язок дійсно загальним, тобто чи вичерпує він всі можливі вільні рухи даної системи? Для розглянутого прикладу відповідь є позитивною. Проте, це нетривіальне питання, яке потребує серйозного математичного обґрунтування. Поки що ми залишимо його в відкритим.

Контрольні запитання до п.п. 3.4, 3.5.

1. Чи є сума розв’язків (3.13), що відповідають різним власним модам, розв’язком, що

задовольняє рівняння і межові умови задачі на власні моди (3.1)-(3.3)? Чому?

2. Нехай у вашому розпорядженні є розкадровка відео вільних коливань струни.

Назвіть дві ознаки, за кожною з яких можна визначити, що рух струни відповідає

саме окремій власній моді, а не вільному рухові більш загального вигляду (3.15)?

3. Рух струни відповідає власній моді 1n (3.13). Чи мають коливання точок струни

1 6x l і 2 2x l : а) однакову частоту? б) однакову амплітуду? в) однакову фазу?

Якщо ні, то як саме вони відрізняються?

4. Струна вільно коливається з частотою, яка є другою за величиною серед усіх частот її

власних коливань. Зобразіть рух струни на рисунках (невеликого розміру, за зразком Рис.

3.3) для наступних випадків: 1) кінці струни закріплені; 2) лівий кінець закріплений, а

правий вільний; 3) кінці струни вільні.

§4. ЗАДАЧА ПРО ВІЛЬНІ КОЛИВАННЯ ПОЛЯ В РЕЗОНАТОРІ ПРИ ЗАДАНИХ ПОЧАТКОВИХ УМОВАХ.

РЯД ФУР’Є ПО СИСТЕМІ ОРТОГОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ.

4.1. Процедура отримання розв’язку методом ВЗ

Спочатку ми розглянемо послідовність дій, яка веде до побудови розв’язку, а потім, у п.п. 4.2, 4.3, обговоримо окремі питання, що стосуються смислу і математичного обґрунтування цієї формальної процедури.

Постановка питання. У попередньому параграфі ми розглянули вільні коливання фізичної системи, яка задається рівнянням і межовими умовами (3.1)-(3.3), не фіксуючи її початкового стану. Умовно таку фізичну систему ми називаємо «хвильове поле в резонаторі». Далі для конкретності будемо говорити про струну. Задамо тепер додатково початковий стан системи, тобто початкове відхилення і початкову швидкість для всіх точок струни (всіх x ). Тоді одержимо наступну крайову задачу:

47

2(4.1)

( , ), 0 , 0,

(4.2) (0, ) 0

(4.3) ( , ) 0

(4.4) ( ,0) ( )

(4.5) ( ,0) ( )

tt xx

x

t

u v u

u u x t x l t

u t

u l t

u x x

u x x

Вважаємо, що тут функції ( )x і ( )x неперервні і достатньо гладкі на [0, l] та

узгоджуються з межовими умовами (4.2), (4.3). На відміну від задачі про власні моди з таким же рівнянням і межовими умовами, розглянутої в §3, ця задача має єдиний розв’язок, який і треба знайти. Це задача для хвильового рівняння на відрізку, як і задача (2.1) - (2.7) з §2, але з іншою межовою умовою на лівому кінці: лівий кінець струни тепер вільний, а правий – закріплений. Порівняно з іншими задачами із заданими початковими умовами вона особлива тим, що рівняння і межові умови задачі однорідні (див. (4.1) - (4.3)). Отже фізично це задача про вільні коливання струни. Це суттєво, оскільки описана нижче процедура застосовна тільки до таких задач. Якщо рівняння або межові умови неоднорідні, метод ВЗ треба модифікувати. Тобто МВЗ – це ширше, ніж описана тут процедура; її ми іноді будемо називати процедурою Фур’є безпосереднього відокремлення змінних.

Розв’язання задачі (4.1) - (4.3) включає декілька етапів.

1) Розв’язуємо задачу про власні моди. Послідовність дій детально описана в §3. Виписуємо результат - отриманий в §3 набір власних мод (3.13). Власні моди - це ключ до задачі в цілому, тому цей етап називають також «основна допоміжна задача МВЗ».

2) Складаємо загальний розв’язок з усіх знайдених власних мод і виписуємо його. Це формула (3.15). Не забудьте поставити знак суми і проставити межі, які пробігає індекс підсумовування. Сума має бути по всіх n, тобто по всіх власних модах. У загальному випадку, сума має включати всі можливі розв’язки рівняння з межовими умовами у вигляді добутків (буває, що в силу симетрії задачі і даних достатньо і скороченого набору мод).

3) Підставляємо загальний розв’язок у початкові умови (4.4),(4.5). Власні функції пишемо в загальному вигляді, так буде зручніше.

0

( ,0) ( ) ( )n nn

u x A X x x

(4.6)

0

( ,0) ( ) ( )t n n nn

u x B X x x

(4.7)

Загальний розв’язок (3.15) уже задовольняє умови (4.1) - (4.3), тому це останні умови задачі, які залишилось задовольнити. Тут ( )x і ( )x - це задані функції загального вигляду, а

( )nX x - всі власні функції задачі Штурма-Ліувілля, причому ліві частини являють собою

ряди. А треба вибрати сталі nA і nB так, щоб рівності (4.6) і (4.7) задовольнялися тотожно по

х. Виникає природне запитання, чи можливо це в принципі, і ще цілий ряд запитань, відповіді на які дає теорія. Для розв’язання задач важливо, як знаходити коефіцієнти загального розв’язку nA і nB на практиці. Центральну роль тут відіграє те, що власні функції

задачі Штурма-Ліувілля ортогональні.

48 Ортогональність власних функцій. Безпосереднім обчисленням можна переконатись,

що інтеграли по проміжку 0,l від добутків різних власних функцій задачі Штурма-Ліувілля

(3.12) по проміжку 0,l , на якому вони визначені, дорівнюють нулю:

0

( ) ( ) 0, l

m nX x X x dx m n . (4.8)

Ви легко можете перевірити цей факт самостійно. Така властивість власних функцій називається ортогональністю. Рівність нулю інтеграла (4.8) (визначеного!) зокрема означає,

що добуток ( ) ( )m nX x X x є знакозмінним. Якщо ж m n , то під інтегралом стоїть невід’ємна

величина – квадрат власної функції. У такому випадку інтеграл є відмінним від нуля

22

0

( ) , n

l

nX x dx X m n . (4.9)

Тут 2

nX – додатні числа; 2

nX називають квадратом норми функції ( )nX x . Квадрат норми

треба обчислити. Він може залежати від номера функції n. Для всіх функцій (3.12) маємо

2 2 2

0 0 0

1 1( ) cos cos2 sin 2

2 2 2 4

12 sin( ) cos( )

2 4 2

l l l

n n n n n

n

n n

n

l lX X x dx k xdx k xdx k l

k

l lk l k l

k

Отже, 2

2nX l . Тут позначено n nk , і враховано, що в силу характеристичного

рівняння (3.10) cos 0n l .

Формальна процедура знаходження коефіцієнтів загального розв’язку. У (4.6) позначимо індекс підсумовування іншою буквою. Після цього помножимо обидві частини рівності на ( )nX x (далі номер n є фіксованим) і проінтегруємо ліву і праву частини по

проміжку [0, ]l . Формально інтегруючи ряд почленно, одержимо:

00

( ) ( ) ( )l

m m nm

A X x x X x dx

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )l l

m m n nm

A X x X x dx x X x dx

Тепер можна скористатись ортогональністю. В силу (4.8) відмінним від нуля у лівій частині останньої рівності є один член з номером m n . Враховуючи (4.9), маємо

2

0

( ) ( )l

n n nA X x X x dx , або

2

0

1( ) ( )

l

n n

n

A x X x dxX

(4.10)

Аналогічно знаходимо

2

0

1( ) ( )

l

n n

n n

B x X x dxX

(4.11)

Загальний розв’язок (3.15) з коефіцієнтами (4.10),(4.11) є результатом процедури побудови розв’язку задачі (4.1)-(4.5). Теоретичне обґрунтування такої формальної процедури буде дано пізніше. Аналогічно розв’язуються крайові задачі з іншими комбінаціями межових умов І, ІІ або ІІІ роду, якщо рівняння і межові умови однорідні. Відповідні власні функції теж ортогональні.

49

Насамкінець, корисне зауваження. Часто буває, що одна з початкових умов задачі є нульовою. Тобто початкове відхилення ( )x або початкова швидкість ( )x дорівнюють

нулю. Тоді описану вище процедуру можна дещо спростити. Адже відповідна початкова умова задачі є однорідною, і в ній також можна розділити змінні, як і в рівнянні і межових умовах. У таких випадках зручно одразу доповнити задачу про власні моди однорідною початковою умовою і відокремлювати змінні в усіх однорідних умовах вихідної задачі одночасно (а не лише у рівнянні і межових умовах). У результаті такого відокремлення ми додатково отримаємо до рівняння для ( )T t (3.6) нульову початкову умову (0) 0T , або

(0) 0T , залежно від того, яка з початкових умов вихідної задачі є нульовою. Далі

знаходимо розв’язок для ( )T t вже з урахуванням цієї умови, і однин з довільних коефіцієнтів

одразу визначається. Він буде дорівнювати нулю. Тоді всі знайдені власні моди (3.13) і складений з них загальний розв’язок будуть задовольняти відповідну початкову умову вихідної задачі на поле ( , )u x t . Коефіцієнти загального розв’язку, які залишились, знаходимо

з неоднорідної початкової умови. Легко бачити, що формули (4.10) і (4.11) дають такий же

результат, оскільки або всі nA , або всі nB у такому випадку дорівнюють нулю.

4.2. Ортогональність функцій

Ортогональність функцій і система ортогональних функцій. Означення 1. Функції ( ), ( )f x g x не рівні тотожно нулю називаються ортогональними на

проміжку [ , ]a b з вагою ( )x , якщо

( ) ( ) ( ) 0b

a

x f x g x dx . (4.12)

Означення 2. Система функцій ( )ny x , 0,1,2,...n , не рівних тотожно нулю, називається

ортогональною системою функцій на проміжку [ , ]a b з вагою ( )x , якщо всі функції цієї

системи попарно ортогональні на проміжку [ , ]a b з вагою ( )x :

( ) ( ) ( ) 0, b

n m

a

x y x y x dx n m . (4.13)

Щоб записати інтеграл (4.13), необхідно знати проміжок і вагу. При цьому має бути

2( ) ( ) 0, b

n

a

x y x dx n m .

Тому вага ( )x >0 при ( , )x a b ; у точках a і b вага може обертатися в нуль.

2 2( ) ( )b

n n

a

y x y x dx

– квадрат норми. Допоки не буде обумовлено інше, будемо вважати, що функції ( )ny x і вага

( )x неперервні на [ , ]a b .30 Тоді всі записані вище інтеграли існують. Інтеграл

ортогональності і вираз для квадрата норми можна об’єднати в один запис:

2( ) ( ) ( )b

n m n nm

a

x y x y x dx y . (4.14)

Для системи комплекснозначних функцій одну із двох функцій системи у цьому інтегралі необхідно замінити на комплексно спряжену:

2( ) ( ) ( )b

n m n nm

a

x y x y x dx y . (4.14а)

30 Насправді достатньою умовою уснування інтегралів (4.13) є існування у певному сенсі квадрата норми. Такі функції називають

інтегровними з квадратом.

50

Інтеграл (4.14а) називають інтегралом ортогональності системи функцій ( )ny x . Проміжок

інтегрування тут може бути як скінченним, так і нескінченним. Наприклад, розглянута вище система власних функцій задачі Штурма-Ліувілля (3.12)

( )nX x є ортогональною на проміжку [0, ]l з вагою ( ) 1x . Інтеграл ортогональності для

цієї системи має вигляд

0

( ) ( )2

l

n m nm

lX x X x dx

Ортогональність власних функцій задачі Штурма-Ліувілля. Вище ми встановили факт ортогональності власних функцій задачі Штурма-Ліувілля (3.7) - (3.9), спираючись на їх явний вигляд. За такого підходу ми бачимо тільки сам математичний факт, але не бачимо його причин, а отже не можемо знати, чи може цей результат стосуватися інших задач, з іншими крайовими умовами, зокрема.

Щоб побачити ці причини, треба перейти на вищий рівень розгляду проблеми. Виявляється, що ортогональність системи власних функцій випливає безпосередньо з умов спектральної задачі, яка цю систему породжує. Покажемо це на простому прикладі31. Доведемо, що власні функції задачі Штурма-Ліувілля (3.7) - (3.9) ортогональні, не використовуючи їх явного вигляду, тобто не розв’язуючи задачі.

Усі власні функції і власні значення задачі , , 0,1,2,...n nX n , задовольняють такі умови

(4.15)

(0) 0 (4.16)

( ) 0 (4.17)

n n n

n

n

X X

X

X l

Візьмемо дві довільні власні функції:

,n nX

,m mX

Скористаємось рівняннями (4.15), які вони задовольняють:

n n nX X

m m mX X

Рівняння для Хn помножимо на Xm , а рівняння для Xm помножимо на Хn, після чого віднімемо від першого друге. Результат проінтегруємо по проміжку [0, l]:

0 0

( ) ( )l l

m n m n m n n mX X dx X X X X dx .

Інтегруємо за частинами. Одержуємо:

00 0

( ) ( ) ( )l ll

m n n m m n n m m n n mX X X X dx X X X X X X X X dx

Очевидно, що 0

( ) 0l

m n n mX X X X dx . Розпишемо підстановку. Скористаємось тепер

тим, що обидві функції ( )mX x і ( )nX x задовольняють межові умови задачі. В силу (4.16) і

(4.17), підстановка обертається в нуль

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (0) (0) (0) (0)) 0l

m n n m m n n m m n n mX X X X X l X l X l X l X X X X

31Властивості власних функцій і власних значень задачі Штурма Ліувілля в загальній постановці ми розглянемо наприкінці семестру (див. §23). Ортогональність власних функцій оператора Лапласа (багатовимірна спектральна задача) - в другому семестрі (див. §33).

51

Отже, наслідком рівняння і крайових умов даної задачі є рівність:

0

( ) 0l

m n m nX X dx . (4.18)

Далі, в принципі, можуть реалізуватись два випадки.

1) Відповідні власні значення різні, m n . Тоді

0

0l

m nX X dx .

Отже, власні функції, що відповідають різним власним значенням, ортогональні. Як ми бачили в попередньому параграфі, для задачі Штурма- Ліувілля (3.7) - (3.9) кожному власному значенню відповідає тільки одна власна функція. Такі власні значення називають простими. Оскільки різні власні функції задачі відповідають різним власним значенням, то всі власні функції цієї задачі ортогональні.

Ідеї наведеного вище доведення є надзвичайно потужними. Вони дозволяють отримати ряд результатів для цієї й інших спектральних задач. Пропонуємо самостійно показати наступне.

(1) Що власні значення розглянутої спектральної задачі дійсні, і відповідно, власні функції можна вибрати дійсними. Для цього достатньо припустити, що вони комплексні і отримати

аналог співвідношення (4.18) для функцій nX і комплексно спряженої до неї функції.

(2) Що результат (4.18) зберігається, якщо крайові умови задачі (3.8) - (3.9) замінити іншими умовами I, II або III роду, або їх комбінаціями. Оскільки власні значення таких задач теж прості, це означатиме, що і для цих задач всі власні функції ортогональні.

2) Уявімо тепер, що ми знайшли дві лінійно незалежні (а отже, різні) власні функції, які

між собою не ортогональні, тобто 0

0l

m nX X dx . У розглянутій вище задачі (3.8) - (3.9) це не

можливо, але може бути в інших спектральних задачах32. Тоді з (4.18) випливає, що m n ,

тобто ці власні функції відповідають одному власному значенню. Отже,

наявність неортогональних різних власних функцій свідчить про те, що відповідне власне значення не є простим.

Дві або більше різних власних функцій можуть відповідати одному власному значенню в одновимірній задачі з так званими циклічними межовими умовами та в багатовимірних задачах. Якщо кілька власних функцій відповідають одному власному значенню, то будь-яка ненульова їх лінійна комбінація також є власною функцією, яка відповідає тому ж власному значенню, тому власні функції для одного власного значення завжди можна вибрати ортогональними (див. §23).

Отже, ми отримали висновки про властивості власних функцій і власних значень, не звертаючись до їх явного вигляду, а отже, це можна робити незалежно від того, можемо ми розв’язати задачу аналітично, чи ні. Викладені в цьому пункті ідеї матимуть подальший розвиток і застосування у нашому курсі.

4.3. Узагальнений ряд Фур’є за системою ортогональних функцій

Вступні зауваження. У п. 3.1 ми зустрілися із задачею представлення деякої функції загального вигляду у вигляді суми складових певного вигляду (або ряду):

0

( ) ( )n nn

A X x x

, (4.19)

32Часто наявність таких функцій можна передбачити з міркувань симетрії (див., наприклад, §§24, 42).

52

де Хn(x) – задані функції, а nA - коефіцієнти. Це нагадує задачу представлення функції

степеневим рядом 0

( ) nnf x a x

. Проте розв’язуються ці дві задачі зовсім по-різному.

Задачу, аналогічну (4.19), ви свого часу розв’язували для векторів. Розкладання на складові – основний метод роботи з векторами. Нехай a

- заданий вектор у двовимірному евклідовому

просторі, 1 2, e e

- задані лінійно незалежні вектори. Задача - представити a

у вигляді:

1 1 2 2a a e a e

(4.20)

Шукані коефіцієнти a1,a2 знаходяться просто, якщо вектори 1 2, e e

ортогональні, тобто їх

скалярний добуток 1 2 0e e

. Позначимо2

1 1 1e e e

і помножимо (4.20) скалярно на 1e

. Тоді

другий доданок обертається в нуль, а залишається тільки перший. У результаті одержимо: 2

1 1 1a e a e

, або

1 12

1

1a a e

e

Коефіцієнт a2 знаходимо аналогічним чином. Складемо тепер вектори 1 1a e

і 2 2a e

. Вони

ортогональні між собою. Це означає, що ми розклали вектор a

на дві ортогональні складові,

паралельні заданим векторам 1e

і 2e

. Якщо тепер скласти знайдені ортогональні складові, то

в сумі вони знову дадуть вектор a

.

У випадку розкладання за системою ортогональних функцій все дуже схоже. Описана в п. 4.1 формальна процедура знаходження коефіцієнтів загального розв’язку в точності повторює наші дії для векторів. Проте є суттєва відмінність, яка є джерелом низки нюансів у теорії: простір функцій є нескінченновимірним. Відповідно, число ортогональних функцій, за якими ведеться розкладання, є нескінченним, а замість суми типу (4.20) отримуємо ряд (див. ліву частина (4.19)). Цей ряд є рядом Фур’є (або узагальненим рядом Фур’є) за системою ортогональних функцій. Важливими для практики передусім є питання збіжності ряду Фур’є і повноти системи ортогональних функцій.

Узагальнений ряд Фур’є за системою ортогональних функцій. З курсу мат.аналізу вам відомий тригонометричний ряд Фур’є. Він є частинним випадком узагальненого ряду Фур’є. зараз нам потрібні загальніші підходи. Нехай маємо:

1) ( )ny x , 0,1,2,...n - ортогональна система функцій на ,a b з вагою ( )x ;

2) ( )f x - задана на ,a b функція загального вигляду.

Робимо наступні кроки. Крок 1. Функції f ставимо у відповідність набір чисел – коефіцієнтів Фур’є

( ) nf x f .

Означення 1. Коефіцієнтами Фур’є функції f відносно ортогональної системи функцій

( )ny x називаються величини

2

1( ) ( ) ( )

b

n n

an

f x f x y x dxy

. (4.21)

Вважатимемо надалі, що інтеграли (4.21) існують. Задум полягає в тому, щоб можна було здійснити обернений крок: за набором коефіцієнтів Фур’є відтворити функцію f

( )nf f x .

53

Крок 2. Утворюємо величини ( )n nf y x . Це ортогональні складові функції f, вони паралельні

(пропорційні) кожній з функцій ( )ny x , після чого складаємо ряд33

0

( )n nn

f y x

. (4.22)

Означення 2. Ряд (4.22), де fп – коефіцієнти Фур’є (4.21), називається рядом Фур’є (або

узагальненим рядом Фур’є) функції f за ортогональною системою функцій ( )ny x .

Тобто тепер ми складаємо всі ортогональні складові функції f разом. В ідеалі результатом знову має бути функція f 34, але насправді так буде не завжди. До ряду (4.22) виникає ряд запитань.

1) Чи існує його сума, чи збігається цей ряд?

2) Якщо сума ряду існує

0

( ) ( )n nn

f y x S x

, (4.23)

то чи можна поставити знак рівності між S і f ?

S f (4.24)

Відповіді на ці запитання залежать від трьох різних аспектів проблеми.

1) Чи достатньо «хорошою» є ортогональна система?

2) Чи достатньо «хорошою» є сама функція f, чи «підходить» вона для даної системи

( )ny x ?

3) Що конкретно ми розуміємо під рівністю функцій в (4.23) і (4.24): поточкову рівність, рівність у середньому, або рівність узагальнених функцій?

Не на всі поставлені питання відповіді є елементарними. Їх дає математична теорія узагальнених рядів Фур’є. Зараз зосередимося на практичних аспектах.

Частково заспокоїти нас має наступне.

Більшість рядів, з якими ви будете зустрічатись у першому семестрі курсу, зводяться до тригонометричного ряду Фур’є, який ви вивчали у курсі математичного аналізу.

Отримуючи відповідь задачі у вигляді ряду Фур’є, ви будете знаходити і явний вигляд коефіцієнтів Фур’є fп. Тоді збіжність ряду можна перевірити за виглядом коефіцієнтів. Найчастіше коефіцієнти Фур’є для великих n залежать від n степеневим чином із цілим показником степеня, а функції ортогональної системи є обмеженими

( )ny x M . Тоді ряд збігається абсолютно і рівномірно, якщо коефіцієнти Фур’є

спадають для великих n як 21 n або швидше, оскільки числовий ряд із членами

вигляду 2A n є мажорантним для такого ряду Фур’є. Тому ряд Фур’є збігається

рівномірно, а сума його є неперервною функцією, якщо функції ортогональної системи неперервні.

Для того, щоб функція ( , )u x t , представлена своїм рядом Фур’є, була розв’язком крайової

задачі для хвильового рівняння, формально необхідно, щоб ряди для utt i uxx рівномірно збігалися. Інакше визначена таким рядом функція не є класичним розв’язком рівняння. На практиці ці вимоги можна значно пом’якшити, якщо перейти до розуміння рівності в термінах узагальнених функцій. Але мова про узагальнені функції піде значно пізніше (див.

33Зауважте, що на цьому етапі немає жодних підстав ставити знак рівності між виразом (4.22) і f(x). Прохання не робити цього! 34 Як пряме (від f до {fn}), так і обернене (від {fn} до f) перетворення є лінійними, цим треба користуватись на практиці.

54

§45). Нарешті, ряд Фур’є може і обриватися, перетворюючись на скінченну суму, і питання його збіжності відпадає.

Приклад. Побудуємо для конкретної простої функції її ряд Фур’є по системі ортогональних функцій, відомій із розв’язаних вами перших задач, і подивимось, як послідовність частинних сум ряду наближається до границі, та якою є сума ряду

Фур’є. Функцію ( ) 1f x розкладемо на проміжку 0,1 за системою функцій

( ) sin , 1,2,...ny x n x n (4.25)

Вони ортогональні з вагою ( ) 1x на цьому проміжку. Це система власних функцій, що

відповідає власним модам струни із закріпленими кінцями, якщо за одиницю довжини обрати довжину струни l. Тоді координата х є безрозмірною, а струні відповідає проміжок 0 1x . Обчислюємо квадрат норми:

1

22 2

0

1( ) ( ) sin

2

b

n n

a

y x y x dx n x dx

Коефіцієнти Фур’є знаходимо за формулою (4.21), обчислюючи інтеграли:

1

2

0

1( ) ( ) ( ) 2 sin

b

n n

an

f x f x y x dx n xdxy

Відмінними від нуля є лише коефіцієнти з непарними номерами:

2 2 2 1

40, , 0,1,2,...

(2 1)k kf f k

k

. (4.26)

Ряд Фур’є з такими коефіцієнтами збігається. Ряд (4.22) набуває вигляду

0

sin (2 1)4( )

2 1k

k xS x

k

. (4.27)

Цей ряд збіжний, нехай ( )S x є його сума. Розглянемо послідовність частинних сум ряду

2 1

0

sin (2 1)4( ) , 0,1,2,...

2 1

m

mk

k xS x m

k

. (4.28)

Рис. 4.1 показує, яким чином частинні суми ряду наближаються до функції f з ростом числа врахованих членів ряду. Оскільки ортогональна система (4.25) породжується задачею Штурма-Ліувілля

(0) 0

(1) 0

0 1

y y

y

y

x

то на кінцях проміжку функції (4.25) обертається в нуль. Так само обертаються в нуль у крайніх точках 0, 1x x і всі частинні суми ряду, тому послідовність частинних сум має

границею нуль. Натомість у внутрішніх точках проміжку частинні суми прямують до одиниці, тобто до відповідних значень функції f. Таким чином ряд збігається до функції

1, при 0 1( )

0, при 0, 1

xS x

x x

Отже, у цьому прикладі ( ) ( )S x f x у внутрішніх точках проміжку, але у двох його крайніх

точках ( ) ( )S x f x . Тобто поточкової збіжності ряду до функції f на проміжку 0,1 , строго

55

кажучи, немає. Цей факт зрозумілий з точки зору побудови ряду Фур’є, оскільки значення функції у двох точках проміжку не впливають на значення коефіцієнтів Фур’є, які визначаються інтегралами. Тому для двох функцій ( )f x і ( )S x коефіцієнти Фур’є є

однаковими. З іншого боку, легко бачити, що ( ) ( ) 0S x f x . Це означає що ( ) ( )S x f x за

квадратичною нормою, а ряд Фур’є збігається до функції f у середньому.

Рис. 4.1. Представлення функції ( ) 1f x рядом Фур’є за системою ортогональних

функцій (4.25) на проміжку 0 1x . Горизонтальна пряма – графік ( )f x , хвилясті лінії –

графіки частинних сум ряду Фур’є (4.28) 1 3 21( ), ( ), ( )S x S x S x , число переколивань зростає з

номером суми (підрахуйте кількість «півхвильок» для кожної із сум).

Кілька практичних порад стосовно розвинення в ряд Фур’є.

1) Не пропускайте власні функції задачі Штурма-Ліувілля (типова помилка!). До чого може призвести подібна помилка, покажемо на прикладі. Нехай

0

( ) ( )n nn

A X x x

,

тобто ряд збігається до функції φ(х), причому А0≠0. Припустимо, при розв’язанні спектральної задачі ми знайшли всі власні функції Х1, Х2, Х3, … Хп, …, крім Х0, а власну функцію Х0 пропустили. Або ж просто неправильно вказали біля суми (чи зовсім не вказали), що n змінюється від одиниці, а не від нуля. Тоді відповідний ряд уже гарантовано буде збігатися не до функції φ(х), адже

0 01

( ) ( ) ( ) ( )n nn

A X x x A X x x

.

Можна ще коротше. Нехай φ(х) = Х0, тоді в силу ортогональності всіх інших функцій Хn до Х0 відповідні коефіцієнти Фур’є функції φ(х) обертаються в нуль: А1 = … = Ап =…= 0. У результаті сума ряду дорівнює нулю і не дорівнює ( )x :

1

( ) 0 ( )n nn

A X x x

.

Подібні помилки є дуже поширеними.

2) Два способи знаходження коефіцієнтів. (1) Для функції φ(х) загального вигляду не залишається нічого кращого, як обчислювати інтеграли у виразах для коефіцієнтів Фур’є. (2)

56

Функцію φ(х) іноді вдається розкласти за функціями Хп(x) «вручну», просто шляхом тотожних перетворень

0 0

( ) ( )n n n nn n

A X x X x

.

Тоді з єдиності розкладання в ряд Фур’є слідує, що треба просто прирівняти коефіцієнти при однакових функціях: Ап = φп для всіх n. Зокрема, права частина може містити скінченне число доданків (це означає, що частина коефіцієнтів φп = 0, тоді й відповідні Ап = 0).

3) Лінійність. Там, де це доцільно, треба користуватись лінійністю обох операцій: { }nf f і

{ }nf f . Тому для зручності, функцію, що розкладається у ряд Фур’є, можна розбивати на

частини (складові): (1) (2) . Тоді і коефіцієнти розкладання представляються у вигляді

суми відповідних частин (1) (2)n n nA A A , але знаходити їх можна окремо, і головне, різними

способами (див. вище). Для цього треба почергово покласти рівними нулю (1) і (2) .

Розв’язок задачі буде сумою двох відповідних частин (1) (2)( , ) ( , ) ( , )u x t u x t u x t . На

практичних і заліку вас чекають задачі на цей прийом. Контрольні запитання до §4

1. Чи є функції sin та sin 2x x ортогональними з вагою одиниця на наступних

проміжках:

а) 0,2 ; б) 0, ; в) 0, 2 . Як побачити це, не обчислюючи

інтеграл ортогональності?

2. Чи є функції 2

1 2( ) 1 та ( ) 3cos 1y y ортогональними на проміжку 0, з

вагою: а) одиниця; б) sin ?

3. Отримайте з умов задачі Штурма-Ліувілля , ( ) 0, ( ) 0, y y y a y b a x b .

рівність вигляду (4.18) для її власних функцій (не розв’язуючи задачі!). Доведіть, що

всі її власні функції попарно ортогональні, користуючись отриманим результатом і

тим, що власні значення цієї задачі дійсні і прості.

4. Що таке узагальнений ряд Фур'є за системою ортогональних функцій?

5. На якому найменшому проміжку набір функцій 1, cos2 , sin2 , 1,2,3,...nx nx n

утворює ортогональну систему з вагою одиниця? Запишіть вирази для коефіцієнтів

Фур’є функції f загального вигляду на цьому проміжку відносно даної системи.

6. Перевірте, що функції ( ) , 0, 1, 2,...imm e m утворюють ортогональну систему

на проміжку 0 2 з вагою одиниця. Запишіть вираз для коефіцієнтів Фур’є

функції ( )f відносно цієї системи і представлення функції ( )f рядом Фур’є по

функціях такої системи.

7. Що таке сума ряду (числового, функціонального)?

8. Чи є ряд у лівій частині рівності (4.27) абсолютно збіжним на проміжку 0,1 ?

9. Як побачити з представлених на Рис. 4.1 графіків, чи є ряд Фур’є (4.27) рівномірно

збіжним?

10. Представте функцію ( ) 1f x рядами Фур’є за власними функціями кожної з

наступних задач Штурма-Ліувілля на проміжку 0,l і запишіть відповідні ряди:

57

а) (0) 0

( ) 0

y y

y

y l

, б) (0) 0

( ) 0

y y

y

y l

, в) (0) 0

( ) 0

y y

y

y l

Розвинення в ряд для випадку в) отримати двома способами, описаними в §4. Ряд для

випадку б) дозволяється отримати шляхом заміни змінної х із ряду для випадку а).

11. Чи можна поставити знак рівності між функцією ( )f x і сумами рядів Фур’є,

отриманих у попередній задачі?

Розділ 3. Рівняння теплопровідності

§ 5. ФІЗИЧНІ СИСТЕМИ , ЩО ОПИСУЮТЬСЯ РІВНЯННЯМ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

Рівняння теплопровідності. Дифузія на прямій, рівняння дифузії і теплопровідності, їх можливі узагальнення.

Рівняння дифузії у просторі ( ) ( , )tu div D u f r t

; якщо D - const: tu D u f

В одновимірному випадку ( , )t

uu D f x t

x x

; якщо D - const: t xxu Du f

5.1. Рівняння теплопровідності: дифузія на прямій

Базова фізика. Математичне описання дифузії і теплопровідності, як макроскопічних процесів, є майже тотожними, з точністю до позначень (заміни одних букв на інші). Процес теплопровідності є одним із видів теплообміну, тобто передачі певної кількості теплоти від одного тіла до іншого (або від однієї частини тіла до іншої). Відмітимо два ключові моменти.

1). Умовою теплової рівноваги між двома тілами є рівність їх температур. Теплопередача виникає при порушенні теплової рівноваги. Тепло тече від гарячого до холодного: потік тепла виникає внаслідок існування градієнта температури, існування перепаду температур у просторі. 2). У ході теплообміну виконується певний закон збереження, повна кількість теплоти зберігається (якщо система не виконує роботи). Саме таку ситуацію ми і розглядатимемо. Аналогічна ситуація має місце і для дифузії.

Рівняння дифузії отримується як наслідок наступних двох співвідношень. 1). Рівняння неперервності, що виражає факт збереження кількості частинок і умову їх балансу. 2). Виразу для густини дифузійного потоку частинок через градієнт поля концентрацій.

Модель. Розглянемо найпростішу модель (Рис. 5.1). Довга труба з непроникними стінками заповнена однорідним нерухомим середовищем. Площа перерізу труби S. Між частиками середовища хаотично рухаються частинки іншого сорту, відносна кількість їх мала. Вивчаємо середню концентрацію цих частинок як функцію точки простору і часу – поле концентрацій. Труба достатньо тонка, в поперечному напрямі концентрація вирівнюється дуже швидко, і можна вважати, що концентрація змінюється лише в напрямку вздовж труби. Тобто поле концентрацій залежить лише від однієї координати x: ( , )u u x t . Те

саме стосується і густини потоку частинок ( , )j x t . На рисунку ( )N t - повна кількість

частинок в об’ємі 1 2[ , ]x x .

58

Рис. 5.1. Модель одновимірної дифузії частинок.

Фізичні величини, у термінах яких описується процес дифузії. Поле концентрацій. Концентрація ( , )u x t є кількістю частинок на одиницю об’єму:

2

1

( , ) ( )x

xu x t Sdx N t (5.1)

Густина потоку частинок. Встановимо у трубі лічильник частинок, які перетинають поперечний переріз труби з координатою x. Частинки, що перетинають переріз в додатному напрямі осі Ox, лічильник враховує зі знаком плюс, у протилежному напрямі – зі знаком мінус. Нехай за малий час t лічильник нарахував N частинок. Тоді, за

Рис.5.2. До означення густини потоку частинок. означенням густина потоку частинок ( , )j x t дорівнює

( , )N

j x tS t

. (5.2)

Вона може бути і додатною, і від’ємною, а у просторовому випадку є вектором35. Відповідно, якщо густина потоку відома, число частинок, що пройшли через переріз, знаходимо так

( , )N j x t S t . (5.3)

Умова балансу числа частинок. Подібні умови балансу є універсальним інструментом. Їх складають при підрахунку зміни кількості об’єктів або величин найрізноманітнішої природи: частинок, маси, кількості теплоти, заряду, грошей, товарів певного сорту і т.п. Перш ніж скласти умову балансу, необхідно чітко визначити три речі (приклад):

1. Що рахуємо? - Частинки - Гроші 2. Де рахуємо? - В об’ємі 1 2[ , ]x x - У власній кишені

3. За який період? - Від t1 до t2 - З 6-00 учора до 6-00 сьогодні

Для ситуації, зображеної на рис. 5.1, умова балансу числа частинок має вигляд:

2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )N t N t N x N x (5.4)

35 Не плутати зі скалярним потоком частинок, який використовується в теорії парних реакцій. Наприклад, скалярний потік нейтронів у

ядерному реакторі визначається як кількість частинок, які за одиницю часу перетинають із зовнішнього боку сферу малого радіусу з центром у даній точці, в розрахунку на одиницю площі сфери. Такий потік характеризує інтенсивність хаотичного руху частинок і може бути тільки невід’ємним.

59

Тут:

1( )N t – кількість частинок в об’ємі 1 2[ , ]x x на початок періоду (скільки їх було на початку);

2( )N t – кількість частинок в об’ємі 1 2[ , ]x x на кінець періоду (скільки їх стало в кінці);

1( )N x – кількість частинок, які зайшли в об’єм 1 2[ , ]x x через лівий переріз 1x x за час від t1

до t2 (вважаємо, що потік частинок направлений в додатному напрямі осі Ox).

2( )N x – кількість частинок, які вийшли з об’єму 1 2[ , ]x x через правий переріз 2x x за час

від t1 до t2. Отже, всі члени умови балансу в принципі визначаються незалежно. Ліва частина фіксує сам факт зміни кількості на певну величину («були гроші, і нема…»). Права частина вказує, що спричинило ці зміни: скільки додалось і звідки, скільки пішло і куди. Підрахувавши всі доданки, перевіряємо, виконується рівність, чи ні36. Виконання умови балансу (5.4) означає дві речі:

1) що загальна кількість частинок (грошей) зберігається (тобто вони не з’являються нізвідки і не зникають нікуди);

2) що всі канали надходження і уходу частинок враховані правильно.

У нашій моделі зміна кількості частинок у виділеному об’ємі відбувається виключно за рахунок що дифузійні потоки через його ліву і праву межі відрізняються. Якщо з’являються інші канали надходження або уходу частинок, то у рівнянні виникають додаткові члени. Отримаємо тепер рівняння неперервності з умови балансу (5.4) і формул для підрахунку числа частинок (5.1) і (5.3). Умова (5.4) запишеться так

2 2 2 2

1 1 1 12 1 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )

x x t t

x x t tS u x t dx S u x t dx S j x t dt S j x t dt .

Її можна переписати у вигляді

2 2 2 2

1 1 1 1

( , ) ( , )( )

x t t x

x t t x

u x t j x tdx dt dt dx

t x

.

Оскільки така рівність виконується для довільних проміжків за координатою і за часом, то можна прирівняти безпосередньо підінтегральні вирази. Це і є одновимірне рівняння неперервності

u j

t x

. (5.5)

У просторі рівняння неперервності має вигляд

0u

divjt

. (5.6)

У гідродинаміці рівняння такого ж вигляду виражає закон збереження маси, при цьому u

– густина, а j v

– густина потоку маси, v

– поле швидкостей. В електродинаміці таку ж

форму має закон збереження заряду.

Зв’язок між густиною потоку і полем концентрацій.

Дифузійний потік частинок виникає внаслідок порушення в системі рівноваги відносно обміну частинками, він сприяє її відновленню. У простій ситуації, яку ми розглядаємо, (про інші випадки див. п. 5.2) потік направлений з області з більшою концентрацією частинок до області з меншою концентрацією. Частинок у середовищі достатньо мало, отже вони не взаємодіють між собою і не змінюють властивостей середовища. Виникає парадокс: якщо

36У випадку підрахунку грошей аналогом рівняння (5.4) у фінансовому менеджменті є так званий «звіт про рух коштів” (cashflow).

60

частинки не взаємодіють, то звідки вони знають, куди їм рухатись, де їх більше, а де менше37? Якісне пояснення мікроскопічного механізму виникнення дифузійного потоку дає модель випадкових стрибків. Нехай нескінченна пряма розбита на однакові комірки, між якими частинки випадковим чином переміщуються стрибками. Причому після кожного стрибка частика одразу «забуває», звідки прийшла (так званий марківський випадковий процес). Нехай кожну секунду частика здійснює стрибок до сусідньої комірки праворуч або ліворуч з рівними ймовірностями 1 2 . Розглянемо тепер дві сусідні комірки. Нехай у лівій є 4

частинки, а в правій – 2. Підраховуємо середню кількість частинок, які пройдуть через межу між комірками за наступну секунду. В середньому з лівої комірки в праву перейдуть 2 частинки, а з правої в ліву – 1 частинка. Отже, результуючий потік частинок становить 1 частинку на секунду і направлений праворуч! Зв’язок між полем концентрацій і густиною потоку частинок в ізотропному середовищі має вигляд

j D u

, (5.7)

Де D – коефіцієнт дифузії, D > 0. Тобто дифузійний потік направлений проти градієнта концентрації. В анізотропному середовищі (наприклад, у кристалі, для носіїв заряду у зовнішньому магнітному полі) коефіцієнт дифузії є тензором другого рангу. Співвідношення (5.7) має назву першого закону Фіка. Це емпіричний закон (подібний, наприклад, до закону Ома). Його виконання свідчить про те, що рух частинок має дифузійний характер, що має місце у багатьох ситуаціях. Він також може бути отриманий теоретично для ряду мікроскопічних моделей переносу частинок. В одновимірному випадку він має вигляд

uj D

x

. (5.8)

Підставляючи вираз для потоку (5.8) у рівняння неперервності (5.5), отримуємо рівняння дифузії

( )u u

Dt x x

.

Відповідне просторове рівняння отримуємо з (5.6) і (5.7)

( )tu div D u

. (5.9)

Якщо D не залежить від координат, його можна винести за знак похідної. Якщо позначити 2D a , то одновимірне рівняння набуває вигляду

2t xxu a u . (5.10)

Теплопровідність описується рівнянням такого ж загального вигляду, тому незалежно від природи процесу, що описується рівнянням (5.10), ми називатимемо його рівнянням теплопровідності. Рівняння теплопровідності у просторі має вигляд

2tu a u . (5.11)

Тут символ означає оператор Лапласа ( )u div u

.

5.2. Рівняння дифузії з урахуванням додаткових чинників

Неоднорідне рівняння. Щоб з’ясувати смисл неоднорідного члена в рівнянні

( , )t xxu Du f x t

необхідно повернутись до умови балансу кількості частинок (5.4). Для цього рівняння треба помножити на V S x і на t . Тоді одержимо

37

У газі локальне збільшення концентрації атомів (молекул) в області макроскопічних розмірів приводить до збільшення тиску. В

результаті порушується механічна рівновага і виникає механічний рух кожного малого об’єму газу як цілого (гідродинамічний рух) в напрямку зменшення тиску. Якщо йдеться навіть про ідеальний газ (з точки зору рівняння стану), це неявно передбачає наявність взаємодії між молекулами, скінченної довжини їх вільного пробігу. Ніякого відношення до дифузії таке переміщення газу не має.

61

( , )N jS t f x t V t ,

де x xxj D u Du x . Зі смислу лівої частини (зміна кількості частинок в об’ємі V за

час t ) отримуємо, що f – кількість частинок, яка створюється зовнішнім джерелом в одиниці об’єму за одиницю часу.

Дифузія частинок зі скінченним часом життя. Приклад: радіоактивний розпад. У результаті такого розпаду ядро даного сорту зникає, перетворюючись на ядро іншого елемента (приклад β-розпаду: 239Np→239Pu+e-+ e ). Нехай N

– кількість ядер. Це спонтанний процес, кожне ядро розпадається з певною імовірністю в одиницю часу. Імовірність розпаду

p t ,

де – імовірність розпаду ядра в одиницю часу,

p

t

,

яку вважатимемо постійною (для ядер це саме так). Тоді N p N N t ,

Або остаточно

dNN

dt . (5.12)

Це рівняння описує зміну загальної кількості нестабільних частинок з часом. Звідси знаходимо

/( ) (0) (0)t tN t N e N e , де позначено

1 ,

τ – час життя частинок, за час кількість частинок зменшується в e разів38. Подібний експоненціальний закон затухання дуже поширений у фізиці. Згадайте, наприклад RC-ланцюжок. За відсутності дифузії рівняння вигляду (5.12) задовольняє і концентрація будь-яких частинок зі скінченним часом життя du

udt

.

Відповідно, рівняння дифузії частинок зі скінченним часом життя має вигляд

( , )t xxu Du u f x t . (5.13)

У випадку розмноження частинок пропорційно концентрації маємо: 1

( , )t xxu Du u f x t , >0 .

Відповідність між теплопровідністю і дифузією. На рівні математичного описання теплопровідність і дифузія майже не відрізняються, практично, – лише позначеннями. Тепер u – не концентрація, а температура. Новий нюанс полягає в тому, що величиною, яка зберігається, є не кількість температури, а кількість теплоти Q. Тече теж не температура, а теплота, густина потоку тепла пов’язана з градієнтом температури законом Фур’є

q k u

,

або в одновимірному випадку

38Так званий час або період напіврозпаду 1

2ln 2 .

62

uq k

x

,

де k – коефіцієнт теплопровідності. У результаті процес теплопровідності описується рівнянням

( , )t xxCu ku F x t ,

де – густина, C – питома теплоємність речовини, F – кількість теплоти, що виділяється в

одиницю об’єму за рахунок зовнішніх джерел. Або 2 ( , )t xxu u f x t ,

де – коефіцієнт температуропровідності, ( , ) ( , )f x t F x t C . Рівняння теплопровідності в

просторі має вигляд 2 ( , )tu u f r t

і описує теплопровідність в однорідному середовищі.

Дифузія в силовому полі (при першому читанні подальший матеріал цього параграфа можна опустити).

Дифузія є результатом хаотичного руху багатьох невзаємодіючих частинок. Нехай частинки знаходяться у слабкому зовнішньому силовому полі. Воно викликає дрейф частинок на фоні їх хаотичного руху. Середня швидкість дрейфу (не прискорення, а швидкість!) пропорційна силі, що діє на кожну частинку. У випадку дифузії електронів в електричному полі (наприклад, у напівпровіднику) прийнято писати:

ev E

,

де e – називають рухомістю електронів. Тоді густина потоку електронів (u – їх

концентрація) буде

j v u

,

а густина електричного струму

ei ej evu e uE

.

Це не що інше, як закон Ома

i E

,

де провідність ee u .

Таким чином, за наявності і дифузії, і дрейфу одночасно густина потоку частинок складається з двох складових, дифузійної і дрейфової, і має вигляд

ej D u uE

,

а в одновимірному випадку

x ej Du Eu .

Нехай D – константа. Підставляючи цей вираз для густини потоку в рівняння неперервності

tu divj

, отримаємо рівняння дифузії за наявності дрейфу в однорідному силовому полі

( )t xx e xu Du Eu . (5.14)

Якщо E постійне, матимемо еE , де const . Зауважте, що зовнішнє силове поле

вносить у систему нееквівалентність лівого і правого (!): у результаті заміни x x рівняння (5.14) змінюється, на відміну від рівняння (5.10). Густина потоку частинок і хімічний потенціал. Далі буде

Контрольні запитання до §5

1. Запишіть рівняння неперервності. Що воно виражає з фізичної точки зору у випадку

дифузії?

2. * Куди направлений дифузійний потік частинок у випадку дифузії на прямій? Чому

(поясніть механізм)?

63 3. Як густина дифузійного потоку пов’язана з полем концентрацій у просторі?

4. Який фізичний смисл мають поле ( , )u x t і неоднорідний член у рівнянні 2 ( , )t xxu a u f x t у випадку теплопровідності? Як виражається коефіцієнт при другій

похідній через матеріальні параметри середовища?

5. Які процеси описує рівняння дифузії: оборотні чи необоротні? Звідки це видно?

6. Дифузія збуджених світлом квазічастинок у напівпровіднику описується рівнянням 2

t xxu L u u . (1)

З якою властивістю квазічастинок пов’язаний останній член у праві частині? Який

фізичний смисл має параметр τ? Як у цьому впевнитись?

7. Дифузія квазічастинок у напівпровіднику описується рівнянням

t xx xu Du u (2)

З яким чинником пов’язаний останній член у праві частині рівняння? Як у цьому

впевнитись? Від яких фізичних параметрів залежить коефіцієнт β?

8. Порівняйте рівняння (1), (2) і рівняння t xxu Du (3). Які з них змінюють, а які не

змінюють вигляд внаслідок заміни вибору напрямку осі Ох на протилежний? Чим це

зумовлено з фізичної точки зору?

§6. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДЛЯ РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ ТА ЗАГАЛЬНІ

ВЛАСТИВОСТІ РОЗВ’ЯЗКІВ.

6.1. Фізичний смисл межових умов.

Межові умови та інші елементи задачі інтерпретуємо на прикладі явищ теплопровідності і дифузії.

В одновимірному випадку основні варіанти межових умов є наступними. Умова першого роду:

1(0, ) ( )u t T t

– заданою є температура (концентрація частинок) в точці х=0. Умова другого роду:

1(0, ) ( )j t j t

– заданим є потік (тепла, частинок), або точніше, густина потоку. Оскільки j k u

, умова

набирає вигляду

1(0, ) ( )xku t j t ,

або

1(0, ) ( )xu t v t .

Умова третього роду. Умова на лівому кінці х=0 має вигляд: j su .

Тобто потік частинок через поверхню (точніше, в напрямку до поверхні поблизу самої межі середовища) пропорційний їх концентрації (або потік тепла пропорційний температурі). При цьому в реальності частинки, що дифундують, досягнувши поверхні середовища, можуть або з певною імовірністю вилітати назовні (наприклад, нейтрони в ядерному реакторі), або «гинути» на поверхні (наприклад, екситони безрадіаційно віддають енергію іншим ступеням вільності кристала чи захоплюються поверхневими центрами). Для умови на правому кінці знак треба змінити на протилежний j su (для додатної концентрації 0u потік частинок

завжди направлений назовні). Звичайно, тут 0s .

64

Неоднорідну умову одержимо, замінивши u на 1( )u T t (потік тепла через тонкий

поверхневий шар пропорційний різниці температур на його сторонах).

Оскільки потік пропорційний градієнту концентрації xku su , умови на лівому і правому

кінцях відповідно набувають вигляду

1 1 10( ) ( )x x

u u t

; (6.1)

1 1 2( ) ( )x x lu u t

, (6.2)

де коефіцієнти 1 , 1 і 2 , 2 попарно одного знаку, це випливає з фізичного смислу

відповідних коефіцієнтів.

У просторових задачах межові умови є аналогічними.

( , ) ( , )s

u r t M t

– умова I роду. (6.3)

У просторовому випадку на поверхні, що обмежує область, може фіксуватись тільки

нормальна до поверхні складова густини потоку nj . Вона пропорційна скалярному

добутку

( )u

D n u Dn

.

За означенням

nn

називається похідною по нормалі, або похідною вздовж нормалі. Остаточно маємо

( , )n

s

uk j M t

n

,

або

( , )s

uM t

n

. (6.4)

Це і є умова II роду. Умова ІІІ роду

( ) ( , )s

uu M t

n

, (6.5)

причому в звичайних ситуаціях і одного знаку.

В одновимірному випадку на правому і лівому кінцях відповідно маємо

n x

,

n x

.

Тому умова (6.5) на лівому кінці набуває вигляду (6.1), а на правому – (6.2).

Приклад постановки задачі для одновимірного рівняння теплопровідності: 2 ( , )

0 , 0

(0, ) ( )

( , ) ( )

( ,0) ( )

t xx

x

u a u f x t

x l t

u t v t

u l t t

u x x

, (6.6)

Нагадаємо смисл величин, які фігурують у формальній постановці задачі. У випадку дифузії u – концентрація частинок у розрахунку на одиницю об’єму (або довжини), тоді f – кількість частинок, що створюються зовнішнім джерелом в одиниці об’єму (або довжини) за одиницю часу.

65

У випадку теплопровідності u – температура, а Сu Q – кількість теплоти, тоді Сf –

кількість теплоти, що виділяється в одиниці об’єму (довжини) за одиницю часу, а –

питома густина на одиницю об’єму (довжини) відповідно, а C – питома теплоємність на одиницю маси.

Приклад постановки задачі для рівняння теплопровідності в просторі:

2

0

( , )

( , )

, 0

( , )

( )

t

D

t

u u r t

u u f r t

r D t

u M t

u r

(6.7)

Замінивши тут межову умову І роду на умови (6.4) або (6.5), отримаємо інші варіанти постановки задачі. Аналогом одновимірної задачі (6.6) для скінченного проміжку є внутрішня крайова задача, коли область D є частиною простору, обмеженою замкнутою поверхнею S D зовні. Особливості постановки задач для необмежених областей ми розглянемо в п. 15.2. Звичайно, можна поставити аналогічні задачі й у двовимірному просторі, для дифузії чи теплопровідності на площині.

6.2. Загальні властивості розв’язків однорідного одновимірного рівняння теплопровідності

Розглянемо окремі властивості розв’язків одновимірного рівняння теплопровідності 2

t xxu a u . (6.8)

Загальний баланс кількості теплоти (частинок). Проінтегруємо рівняння по проміжку [a, b]:

2b

t xx

a

u a u dx

2( ) ( , ) ( , )b

x x

a

dudx a u b t u a t

dt .

Ми отримали закон збереження кількості теплоти Q (з точністю до множника) для

вибраного проміжку: швидкість зміни кількості теплоти дорівнює різниці потоків тепла через лівий і правий кінці проміжку. Розглянемо частинні випадки.

а) Поширення тепла на необмеженій прямій ( , )x . Потік тепла 0xj u , при x

, тому на нескінченній прямій повна кількість теплоти зберігається:

( , ) constu x t dx

,

constQ .

б) Теплоізольована система a x b , ,

0x x a bu

:

( , ) const ( )b

a

u x t dx b a T ,

зберігається не тільки повна кількість теплоти, але і середня температура T : у процесі встановлення теплової рівноваги температура прямує з часом не до нуля (тут нуль – це температура кінців), а до середнього значення, яке залежить від початкових умов. Про це необхідно пам’ятати при розв’язанні задач.

66

Зауважимо, що в іншому випадку, коли температура (концентрація) на кінцях підтримується

рівною нулю ,

0x a b

u

, маємо ( , ) 0, .u x t t

Властивості, що випливають з міркувань розмірності. Міркування розмірності відображають закони подібності, характерні для даного явища. З

точки зору розмірності РТ 2t xxu a u виглядає наступним чином

2

2

1 a

t x

,

тобто 2

2

x

a t – це безрозмірна комбінація змінних. Внаслідок цього характерний час T і

характерна довжина L у задачах теплопровідності та дифузії пов’язані співвідношенням 2

21

L

a T .

Така комбінація є величиною порядку одиниці. Розглянемо приклади. Дифузія, що описується рівнянням (6.8), є усередненим результатом хаотичного руху багатьох частинок. Розглянемо рух однієї такої частинки вдовж нескінченної прямої. Тоді середній квадрат зміщення частинки лінійно зростає з часом руху t як

2 2x a t . Саме така залежність свідчить про те, що хаотичний рух має дифузійний характер39. Аналогічно, характерна відстань, на яку поширюється тепло за час T , зростає як корінь із T :

L a T . З іншого боку, характерний час охолодження тіла розміром L є

2 2T L a .

Якщо лінійні розміри яйця збільшити втричі, то варити його треба у 9 разів довше! Подумайте, скільки треба варити яйце страуса масою 1,6 кг, якщо геометрично подібне куряче яйце такого ж складу масою 0,05 кг вариться 6 хв.? Графічний аналіз просторової залежності температури. Накресліть самостійно плавну

криву залежності температури u від координати x з кількома максимумами і

мінімумами різної висоти і глибини. За виглядом такої залежності у даний момент часу

1( , )u x t можна отримати відповіді на два запитання:

1) В якому напрямку тече тепло в даній точці x ? 2) В яких точках x температура зростає з часом, а в яких спадає?

Тепло тече від гарячого до холодного. Тому потік тепла спрямований в сторону зменшення температури, від максимумів температури до мінімумів, відповідно до формули

uq k

x

(закон Фур’є). Звідси випливає відповідь на перше запитання. Зміна напрямку потоку відбувається при переході через точки локального екстремуму температури, тобто мінімуми, або максимуми. У цьому контексті зрозуміло, що в околі максимуму температура зменшується з часом, а в

околі мінімуму – зростає. Але де саме зростання ( 0tu ) змінюється спаданням ( 0tu )?

Відповідь на це дає саме рівняння теплопровідності 2

t xxu u .

Отже знак похідної за часом tu визначається знаком xxu . Остання є від’ємною там, де крива

просторової залежності температури опукла вгору (перша похідна спадає – друга від’ємна), у таких областях температура у даний момент зменшується. І навпаки, там, де крива

39З більш загальних позицій подібна залежність свідчить про те, що рух частинок є марківським випадковим процесом.

67

залежності температури від x опукла вниз, температура збільшується з часом. Розділяють

області росту і спаду температури точки перегину, в яких 0xxu . Чим більше кривизна

кривої, тим більше і швидкість зміни температури, тому сильні перепади температури і різкі злами просторової залежності згладжуються найшвидше. Із плином часу крива просторової залежності стає все більш і більш плавною (за відсутності зовнішніх джерел тепла всередині області!).

Контрольні запитання до §6.

1. Скільки початкових умов включає постановка крайової задачі для рівняння

теплопровідності? Для хвильового рівняння?

2. Кінці тонкого стержня a x b теплоізольовані. Запишіть межові умови на поле

температур на кінцях стержня. Чому умови мають такий вигляд?

3. На всій поверхні циліндра виконується умова на поле температур 0u

u Ln

. Якщо

вісь Оz направити по осі циліндра, то який вигляд матимуть межові умови на його

основах 0z і z h (h – висота циліндра)?

4. Через основу циліндра радіуса а всередину циліндра подається заданий дифузійний

потік I. Запишіть межову умову на основі, якщо початок координат вибраний в центрі

цієї основи, а вісь Ох направлена вздовж осі циліндра в напрямку іншої основи

циліндра. Коефіцієнт дифузії частинок у циліндрі D.

5. Температура однорідного середовища у певний момент часу залежить тільки від

координати х, джерел тепла всередині середовища немає. Крива залежності

температури від координати має кількома максимумів і мінімумів. Намалюйте таку

плавну криву і позначте на осі Ох:

а) проміжки, на яких густина потоку тепла направлена праворуч, і проміжки, в

яких вона направлена ліворуч, напрям потоку в кожній області позначте стрілкою;

б) проміжки, на яких температура у даний момент часу зростає, і проміжки, на

яких вона спадає.

6. У скільки разів можна зменшити втрати тепла через стіни цегляного будинку, якщо

збільшити товщину стін удвічі?

7. Якщо куряче яйце масою 0,05 кг вариться 6 хв., то скільки часу довелося б варити

яйце динозавра масою 50 кг? Чому? Вважати, що яйце динозавра є збільшеною

копією курячого з тим же складом.

8. В активній зоні ядерного реактора на швидких нейтронах проходить у середньому 71,6 10 c з моменту виходу нейтрона поділу (утворюються при поділі важких ядер)

до його захоплення іншим ядром, а середньоквадратична відстань від точки виходу

нейтрона до точки його захоплення становить 24 см. Яким є середньоквадратичне

зміщення нейтрона за час 81,0 10 c ? Чому? Активну зону вважати однорідною для

швидких нейтронів, а їх рух – дифузійним.

Розділ 4. Рівняння Лапласа і Пуассона

§7 СИСТЕМИ, ОПИСУВАНІ РІВНЯННЯМИ ЛАПЛАСА І ПУАССОНА

Оператор Лапласа, його інваріантний зміст і симетрія. Рівняння Лапласа і Пуассона, класичні постановки крайових задач для них: задачі Діріхле і Неймана. Фізичні системи, що описуються

68

рівняннями Лапласа і Пуассона, фізичний смисл «потенціалу» і крайових умов у різних моделях. «Потенціали», які є неоднозначними функціями точки простору.

7.1. Оператор Лапласа. Рівняння Лапласа і Пуассона.

Оператор Лапласа, лапласіан, або коротко «лаплас», від скалярної функції можна

визначити так

div(grad ) div( )u u u

. (7.1)

Оператор Лапласа, як і векторні диференціальні операції першого порядку, градієнт, дивергенція і ротор, є просторовою диференціальною операцією, що діє безпосередньо на u як функцію точки простору. Він може бути визначений без використання будь-якої системи координат, а тому має інваріантний смисл. Щоб розв’язати задачу в певній області, ми використовуємо конкретну систему координат. Тоді ми переходимо від u як функції точки простору до u як функції відповідних координат. Явний вигляд оператора Лапласа в різних СК є різним. У прямокутній декартовій системі координат

2 2 2

2 2 2

u u uu

x y z

.

Такий вигляд оператор Лапласа має в будь-якій (!) декартовій системі координат, а отже він є сферично симетричним, адже його вигляд не змінюється, як би ми не повертали осі декартової системи. Отже, оператор Лапласа є ізотропним об’єктом, який не має ніяких виділених напрямків. Він також не змінює вигляду у випадку зміни знаку кожної з декартових координат на протилежний; зокрема, він є центрально-симетричним. Таким чином, симетрія оператора Лапласа – це симетрія сфери. Зауважте також, що розмірність оператора Лапласа – це одиниця на квадрат довжини.

Якщо ( , )u u x y , тобто поле u не залежить від координати z, то тривимірний оператор

Лапласа переходить у двовимірний (іноді позначатимемо 3u і 2u відповідно) 2 2

2 2

u uu

x y

.

Одновимірним оператором Лапласа є просто друга похідна. Оператор Лапласа можна розглядати і на координатній поверхні ортогональної криволінійної системи координат (наприклад, на сфері), і навіть на координатній лінії (наприклад, на колі). Рівняння Лапласа і Пуассона. Нехай ( )u u r

– функція точки простору. Рівняння

Пуассона має вигляд ( )u f r

. (7.2)

Відповідне однорідне рівняння є настільки важливим, що має окрему назву – рівняння Лапласа:

0u . (7.3)

Рівняння Лапласа і Пуассона можна розглядати у просторах різної розмірності, тривимірному (3-D), двовимірному (2-D), і навіть одновимірному (1-D). В останньому

випадку рівняння Лапласа зводиться до 0u і має розв’язок 1 2u C x C . Важливо

розуміти, що розв’язок (одного з цих або іншого рівняння в частинних похідних) у просторі меншої розмірності є одночасно і розв’язком того ж рівняння у просторі більшої розмірності, але таким, який залежить не від меншого числа координат. Так, розв’язок ( , )u u x y

двовимірного рівняння 0xx yyu u

є одночасно розв’язком рівняння 0xx yy zzu u u ,

69

який не залежить від z . Постановка крайових задач для рівнянь Лапласа і Пуассона. За смислом це задачі на

однозначну скалярну функцію точки простору, яка не залежить від часу, ( )u u r

. Її часто

називають «потенціалом», оскільки електростатичний потенціал – одна з очевидних інтерпретацій поля u . Загальна формальна постановка крайової задачі включає: область r D

, рівняння, і межові (або крайові, оскільки початкових умов немає) умови, які задаються на всій межі області D ; далі n

– зовнішня нормаль до межі області в даній точці

межі. Остання (якщо вона є) має бути кусково гладкою поверхнею. Ми обмежимось поки що постановкою внутрішніх задач для обмежених областей. У

зовнішніх задачах і задачах для необмежених областей необхідно задавати крайові умови на нескінченності, і це питання є більш складним. Умови на нескінченності є різними в 3-D і в 2-D, а їх правильне формулювання є неоднозначним і може потребувати уточнення фізичної постановки задачі.

Крайові умови першого і другого роду для рівнянь Лапласа та Пуассона мають власні іменні назви. Умова Діріхле

( )D

u M (7.4)

означає, що на межі задано значення потенціалу в кожній точці M поверхні D , а умова Неймана

( )D

uM

n

(7.5)

– що на межі задано значення похідної потенціалу по нормалі (означення див. §6). Задача Діріхле:

( )

( )D

u f r

u M

r D

(7.6)

Вона є коректно поставленою. Задача Неймана

( )

( )D

u f r

uM

n

r D

(7.7)

відрізняється тим, що має розв’язок не при всяких даних ( )f r

і ( )M , а її розв’язок

визначений з точністю до довільної сталої. Ці питання, а також теореми єдиності розв’язку для задач Діріхле і Неймана ми розглянемо у §32. Можна поставити крайову задачу для рівнянь Лапласа і Пуассона також з умовами третього роду

( ) ( )D

uu M

n

. (7.8)

Мішана крайова задача – це коли на різних ділянках межі задані умови різних типів: Діріхле, Неймана, або умови ІІІ роду. Фактично це рівнозначно тому, що параметри α і β в умові (7.8) є функціями точки M на межі.

7.2. Фізичні системи, що описуються рівняннями Лапласа і Пуассона

Стаціонарний розподіл температур. Рівняння теплопровідності в просторі, основні

варіанти межових умов до нього, а також приклади постановки крайових задач про еволюцію поля температур чи концентрацій у часі ми розглянули в п.п. 5.2 і 6.1. Змінюючись з часом,

70

розподіл температур може за певних умов прямувати до деякого кінцевого розподілу, який від часу не залежить: t , ( , ) ( )u r t u r

.

Тоді в системі встановлюється стаціонарний розподіл температур. Якщо джерела тепла, або умови на поверхні будуть весь час змінюватись, то стаціонарний розподіл не встановиться ніколи. Тому для існування стаціонарного розподілу необхідно (але не завжди достатньо), щоб неоднорідні члени в рівнянні і межових умовах не залежали від часу, тобто щоб система знаходилась у стаціонарних зовнішніх умовах. Для конкретності будемо говорити про задачу (6.7). За таких умов вона матиме вигляд:

2

0

( , )

( )

, 0

( )

( )

t

D

t

u u r t

u u f r

r D t

u M

u r

(7.9)

Для того, щоб знайти тільки стаціонарний розподіл температур, повністю розв’язувати цю задачу не треба. Його можна знайти окремо, як стаціонарний частинний розв’язок, який не

залежить від часу ( , ) ( )u r t u r

. Для цього в (7.9) початкову умову 0

( )t

u r

треба

опустити, а похідну за часом – покласти рівною нулю 0tu . Тоді задача (7.9) переходить в

задачу Діріхле (7.6) (з функцією f, яка відрізняється сталим множником). Аналогічно для інших межових умов.

Електростатика у вакуумі. За відсутності струмів рівняння Максвелла у вакуумі для полів, які не залежать від часу, набувають вигляду

0

divE

, (7.10)

rot 0E

. (7.11)

З останнього рівняння бачимо, що поле E

є потенціальним і може бути представлене у вигляді

E

, (7.12)

де ( )r

– однозначна функція точки простору, потенціал електростатичного поля.

Підставляючи (7.12) в (7.10), отримуємо, що потенціал задовольняє рівняння Пуассона

0

( )r

.

У частині простору без зарядів потенціал задовольняє рівняння Лапласа 0 .

Межова умова Діріхле (7.4) означає, що на поверхнях, які обмежують область, підтримується заданий розподіл потенціалу ( )M . Фізично такі умови на межі можна реалізувати, якщо

оточити область металічними (провідними) електродами і підтримувати їх потенціали заданими. В електростатиці потенціал всього металічного електрода є однаковим, різними можуть бути тільки потенціали різних електродів, якщо вони ізольовані один від одного. Дещо складніше з інтерпретацією умов Неймана у термінах електростатики. Як відомо, всередині провідника, вміщеного в електростатичне поле, напруженість поля дорівнює нулю, тобто зовнішнє поле повністю екранується поверхневим зарядом, що утворюється на поверхні. З теореми Гауса слідує, що нормальна складова напруженості поля біля поверхні провідника (нормаль спрямуємо всередину провідника) дорівнює

0

nE

.

71

σ – поверхнева густина заряду у даній точці поверхні провідника. Оскільки

nn E En

,

то потенціал на поверхні провідника задовольняє умову Неймана (7.5), в якій

0( ) ( )M M . Однак, насправді підтримувати заданий розподіл густини поверхневого

заряду на поверхні провідника не видається можливим. Умова Неймана в електростатиці чітко виконується, наприклад, на площинах симетрії, де потенціал має проходити через мінімум або максимум в напрямку нормалі до площини. Умова Неймана тоді є однорідною,

0D

u

n

.

Електромагнітні потенціали у калібровці Кулона. Як відомо з курсу електродинаміки і класичної механіки, змінні електромагнітні поля можна виразити через потенціали, які

називають електромагнітними: скалярний потенціал ( , )r t

і векторний потенціал ( , )A r t

.

Вибір потенціалів є неоднозначним, тому на них накладають так звану умову калібровки. Її

основні варіанти – калібровка Лоренца і калібровка Кулона div 0A

(кожна має свої переваги). У калібровці Кулона векторний потенціал задовольняє хвильове рівняння, а скалярний – рівняння Пуассона, формально таке ж саме, як і в електростатиці(!), незважаючи на те, що густина заряду може змінюватись із часом

0

( , )r t

.

Гідродинаміка: потенціальна течія нестисливої ідеальної рідини40. Рівняння неперерв- ності у гідродинаміці виражає закон збереження маси і нерозривність течії (коли всередині рідини не утворюються пустоти) Воно має вигляд

div( ) 0vt

де ρ – поле густини, а v

– поле швидкосей. Для нестисливої рідини ( const ) воно

зводиться до умови div 0v

. (7.13) Ідеальною називається рідина без в’язкості і теплопровідності. За відсутності в’язкості і для рідини, яка рухається у полі потенціальних сил, з рівняння руху рідини (так зване рівняння Нав’є-Стокса) слідує, що

( ) 0rotvt

.

Якщо рух рідини виникає із стану спокою, то в усі моменти часу 0rotv

, а це означає що поле швидкостей можна шукати у вигляді

v u

, де u – потенціал швидкостей. Для нестисливої рідини в силу (7.13) потенціал швидкостей задовольняє рівняння Лапласа (7.3). Якщо рідина тече в області, обмеженій нерухомими жорсткими стінками, то нормальна складова швидкості на межі області має обертатися в нуль. Відповідно, потенціал швидкостей на нерухомій межі задовольняє однорідну умову Неймана

0D

u

n

. (7.14)

Розподіл постійного електричного струму і потенціалу у провіднику. Густина

40Читається наприкінці четвертого семестру в курсі класичної механіки.

72

електричного струму в провіднику з однорідного ізотропного матеріалу, для якого виконується закон Ома (питома провідність матеріалу – ), визначається розподілом напруженості електричного поля, адже

j E

. (7.15)

Якщо струм є постійним, то із закону збереження заряду

div 0jt

випливає, що div 0j

, тобто заряд тече як нестислива рідина. Тоді в силу закону Ома маємо

div 0E

. (7.16) Електростатичне поле є потенціальним, тому з (7.12) і (7.16) отримуємо, що електростатичний потенціал в провіднику, в якому протікає постійний струм, задовольняє рівняння Лапласа. На стінках провідника, через які струм не тече, нормальна складова густини струму дорівнює нулю, а тому в силу (7.15) потенціал задовольняє однорідну умову Неймана (7.14).

Контрольні запитання до §7

1. Що означають слова, що оператор Лапласа має симетрію сфери? Яких операцій симетрії

це стосується? З чого випливає, що його симетрія саме така?

2. Що таке задача Діріхле, як вона ставиться? Що таке задача Неймана, як вона ставиться?

3. Який фізичний смисл має неоднорідна межова умова Неймана на потенціал на поверхні

провідника у випадку електростатики? Отримайте вираз для неоднорідного члена в умові

Неймана.

4. Який фізичний смисл має неоднорідний член у рівнянні Пуассона для поля температур?

5. Яка умова на потенціал електростатичного поля виконується на поверхні провідника, по

якому протікає постійний струм? Чому?

6. Що таке ідеальна рідина? Що таке потенціал швидкостей? В яких випадках його можна

ввести? В яких випадках потенціал швидкостей для ідеальної рідини задовольняє

рівняння Лапласа? Чи можна описати рівнянням Лапласа нестаціонарну течію рідини у

відповідному наближенні (наприклад, куля рухається у воді прискорено)?

7. В якому випадку скалярний потенціал електромагнітного поля задовольняє рівняння

Лапласа?

8. Покажіть, що розв’язок задачі Неймана визначений з точністю до константи. Який смисл

має ця константа у випадку задачі на поле температур?

9. Від чого залежить, має задача Неймана розв’язок чи ні? Підберіть приклад фізичної

ситуації, для якої задача Неймана для поля температури в обмеженій області не має

розв’язку. Наведіть аналогічний приклад з електростатики.

10. Покажіть, що у випадку магнітостатики у вакуумі (рівняння для індукції магнітного поля

00,divB rotB j

) скалярний потенціал u B

тонкого провідника зі струмом

задовольняє поза провідником рівняння Лапласа, але є неоднозначною функцією точки

простору.