números reales - unidad i

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIÓN DE ESTUDIANTES

UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Estoy bien, estudio bien


NÚMEROS REALES

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

Con el desarrollo de esta unidad se busca que el estudiante se familiarice con los

conceptos básicos que permiten introducirlo en los conceptos de los números

reales..

OBJETIVOS – PROBLEMAS

¿Qué son los números reales?

EVALUACIÒN DIAGNÒSTICA

Concepto de Números

¿Cómo están estructurados los números reales?

¿Cuáles son las características de los números reales?


REFERENTES TEÓRICOS

NUMEROS REALES.

Hablar de los números reales en general es habar de un campo denso y completo en el

cual nos vemos sumergidos de manera común, al momento de sacar una cuenta, verificar

cuantos artículos se vendieron al hablar de cambios de temperaturas, presión entre

otras.

Para dar un concepto de un número real primeros comenzaremos definiendo algunos

conjuntos que hacen parte de los números reales y que a la vez son de vital importancia

en la construcción de nuestra teoría.

Numero natural

Un número natural simbolizado por , se define como el conjunto

{ } tal que entre dos números naturales consecutivo no puede existir

otro numero natural. En la ecuación podemos notar que a es un

numero natural el cual es igual a 36.

Pero el avance de la matemática en el transcurrir de los tiempos se llegó al siguiente

interrogante en donde tendrá solución la ecuación ( ), de antemano

esta ecuación no tiene solución no tiene solución en el campo de los números naturales

por ende, se introduce un nuevo conjunto el cual definiremos a continuación.

Numero Entero

El conjunto de los números enteros simbolizado por se define por como el conjunto

por extensión dado por { }. Aquí observamos

que la ecuación ( ) tiene solución en los enteros es decir el valor de a es -12.

Aquí notamos que la ciencia encontró solución a la primera situación pero ahora el

interrogante seria el siguiente para que conjunto tiene solución la ecuación

( ), ya que esta ecuación no pertenece a los números enteros y mucho menos a los


numero naturales, entonces definiremos un conjunto en el cual la ecuación ( ) tenga

solución

Números Racionales

El conjunto de los números racionales los cuales se simbolizan con la letra se define

comprensión como {

} por tal razón la ecuación ( ) tiene

solución en este conjunto y es cuando

.

Nota.

Recordemos algunas propiedades fundamentales de los números racionales

Dos fracciones

son equivalentes cuando .

La suma o resta de dos fracciones

esta dada por la siguiente propiedad

. Respectivamente.

La multiplicación o división de dos fracciones

esta dada por

Y

. Respectivamente.

Todo número racional puede ser expresado de dos formas mediante su expresión racional

y mediante su expresión decimal. Veamos la forma de expresar un número racional de

manera decimal, simplemente se divide el numerado con el denominador y se obtendrán

cualquiera de los tres casos de números decimales siguientes.

Exacta Tiene un numero finito de cifras decimales.

Periódica pura la parte decimal se repite indefinidamente formando un periodo.

Periódica mixta la parte decimal tiene una cifra que no se repite seguida por otra

que se repite indefinidamente.


Números Irracionales

Hay números cuya expresión decimales no se ajusta a ningunas de las antes acá

mencionadas, esto es que presentan infinitas cifras decimales no periódicas, lo cual nos

permite deducir que soluciones de la forma √ , no se puede encontrar en

ninguno de los conjuntos anteriormente mencionados, con lo cual se vio la necesidad de

expresar el conjunto de los números irracionales. Luego podemos decir que el conjunto

de los números irracionales denotado con la letra es el conjunto de los números que

presentan infinitas cifras decimales no periódicas, tales como √ .

A continuación daremos algunos criterios referentes a los números irracionales

La suma de dos números irracionales da como resultado otro número irracional

(Clausurativa con respecto a la suma).

La suma de un número irracional con un número racional da como resultado un

número irracional.

Los números irracionales no son cerrado con la multiplicación ni la división. Esto

es la multiplicación de dos números irracionales no es necesariamente un numero

irracional

Números Reales

El conjunto de los números reales simbolizado con se define como la unión que existe

entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales

esto es . También se definen los números reales como el conjunto de todos los

valores que forman la recta numérica. Teniendo en cuenta este argumento podemos

decir que un número real es mayor que un numero real si y solo si el número real

se enuentra a la derecha del número real en la recta numérica.

A continuación daremos algunas propiedades de los números reales

En los números reales, hay unas operaciones definida con los signos las cuales

reciben el nombre de suma y multiplicación respectivamente.

Sean números reales cualesquiera, entonces se cumplen las siguientes

propiedades


Suma

Cerrada bajo la suma, es decir si

La suma es conmutativa, esto es

La suma es asociativa, eso es ( ) ( )

Existencia del único elemento neutro en la suma (0),

Inverso aditivo (-a) ( ) ( ) .

Producto

Cerrada bajo la multiplicación,

El producto es conmutativo,

El producto es asociativo, ( ) ( )

Existencia del único elemento neutro en la multiplicación (1),

Inverso aditivo en el producto excepto para cero (

) (

) (

)

.

El producto es distributivo con respecto a la suma esto es ( )

Luego de evidenciar estas propiedades fundamentales en los números , nos vemos en

la necesidad de mostrar algunas propiedades que nos permitan mostrar el orden en este

conjunto, por lo cual se mencionan algunas propiedades importantes de orden en los

números reales.

Orden

Reflexiva, para cualquier se tiene que

Antisimétrica, para cualquier , si

Transitiva, , para cualquier , si

para cualquier , si

para cualquier si entonces

para cualquier si entonces .

para cualquier , tales que si


para cualquier , tal que si .

para cualquier , entonces

Exponente

Si y se tiene

(( ))

( )

(

)

Si entonces ( ) , donde .

Nota: si el exponente es un número racional no entero, entonces se considera un

radical.

Logaritmo

Cuando hablamos del logaritmo no estamos refiriendo a la operación opuesta a la

exponencial la cual se define a continuación. Si tal que

entonces se llama logaritmo de b en base a ( ) al número al cual hay que elevar

la base para obtener el número b, esto es . Unas de

las bases más utilizadas cuando se habla de la función logaritmo son las de base 10 y las

de base de Euler, A continuación mostraremos algunas propiedades referentes al

logaritmo.

Para todo tal que entonces se cumplen las

siguientes propiedades


( )

(

)

√

Valor absoluto

El valor absoluto de un número real se define como la función ( )

{

Observemos que el valor absoluto de un número real siempre será mayor o igual a cero.

Una de las propiedades más utilizada con el valor absoluto utilizando la condición de

orden es la siguiente

Si se tiene que .

Si se tiene que

Si se tiene que .

Ley de los signos

Recordemos que la ley de los signos en los números reales únicamente es utilizada en el

producto (multiplicación y división) lo cual nos dice que si al realizar una multiplicación o

división de factores este presenta factores con signo negativo para todo ,

entonces el resultado de esta operación será negativo, de lo contrario el resultado es

positivo.


Ejemplos

Ejemplo 1. En el siguiente cuadro diga en cuál de los subconjuntos de los números reales

tiene solución las ecuaciones planteadas

( ( ) ( ) ( ) ( )

Las respuestas son las que aparecen en rojo

Ecuación En donde tiene solución Explicación

Porque

Porque

Porque

√ Porque √

√ Porque √

Porque

Porque

En general si el resultado es positivo y es un número entero, entonces será un número

real, y además será un número racional. Si es un numero positivo y este no es entero,

pero se puede escribir de manera finita periódica entonces necesariamente es racional

de lo contrario será un numero irracional. Si el resultado es un numero negativo

automáticamente podemos afirmar que no es un numero natural, si además este número

negativo tiene decimales podemos asumir que no es un numero entero, y si este

número tiene decimales periódicos finitos entonces es un numero racional de lo

contrario es decir si es un numero decimal infinito no periódico entonces es un numero

irracional

Ejemplo 2. Realizar las siguientes operaciones

a.

b. (

)

c. (

) ( )


Solución.

a.

Ahora aplicamos la propiedad de los números fraccionario esto es

b. (

)

lo primero que hay que realizar en esto ejercicios es comenzar las operaciones del

paréntesis más interno hacia afuera esto es

(

)

(

( )

)

Ahora aplicamos la ley de los signos para así poder resolver la multiplicación de donde

obtenemos

( ( )

)

(

)

(

)

c.

(

) ( )

Lo primero que se hace es resolver los que está dentro del paréntesis, observemos que

aquí lo primero que se aplica es la ley de los signos lo demás queda igual

(

) ( ) (

) ( )

.

Note que la ley de los signo es una de las propiedades más utilizadas para desarrollar

operaciones en los números reales.


Ejemplo 3. Ordenar de mayor a menor los siguientes números reales

Lo primero que hay que hacer es encontrar el mínimo común múltiplo entre los

denominadores de las fracciones esto es ( ) así que lo que se

hace es modificar la fracción a una homogénea esto es

Luego ordenando de mayor a menor seria

Ejemplo 4. Se desea saber cuánto pesa una mezcla de harina, polvo para hornear, azúcar,

mantequilla para esto ante de mezclar estos ingrediente por separados y se obtuvieron

estos resultados.

Harina

polvo para hornear

; azúcar

;

mantequilla

s

Solución

El problema se resume en aplicar una suma de fracciones para saber en general cuánto

pesa esta mezcla esto es ( ) ( ) ( )

( )

Aquí realizamos la suma agrupando de dos en dos esto es

(

) (

)


Entonces la mezcla pesa

kilogramos.

Ejemplo 5. Encontrar el valor de x que satisface la ecuación

Solución

a. aquí lo que hacemos es aplicar logaritmo a ambos lados esto es

de donde

aquí comenzaremos aplicando a propiedad del logaritmo esto es

entonces la igualdad inicial se e transforma en

de donde se obtiene que es decir

de donde

Ejemplo 6 Encontrar los valores de x que satisfagan los ejercicios siguientes

a.

Solución

a. aplicando la propiedad del valor absoluto se tienen dos casos


del primero se obtiene que y del segundo

obtenemos que por lo tanto la solución de la ecuación serán los números

mayores que -2 y los números menores de -6.

Aplicamos la propiedad de valor absoluto obtenemos que

de donde se tienen que despejando x que es

decir lo cual nos dice que la solución está dada por los x que son mayores o

iguales a menos dos pero menores o iguales a ocho.

para resolver esta inecuación primero debemos conocer cuál

es el valor absoluto de los términos que me están delimitando la inecuación esto es

; así las cosas la ecuación queda replanteada de la siguiente

manera 4

Esto es es decir la solución de la ecuación son todos los valores que son

mayores o iguales a menos cinco pero que también son menores o igual a 6.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD

- Taller de Ejercicios

- Evaluación Unidad.

RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE

Computador

Acceso a internet


BIBLIOGRAFIA

Larson, R; Hostetler, R. Calculo. España. Mcgraw-HILL 1992.

Demana, F; Waits, B; Foley,G; Kennedy, D Precálculo, Grafico, Numérico, Algebraico.

México Pearson Educación 7°Ediccion 2007.

Fonseca, L. Espiral 11° Serie De Matemática. Grupo Editorial Norma. Bogotá 2006 .

Mesa, M. Símbolos 11° Matemática Aplicada; Editorial Voluntad; Bogotá 2006

Cifuentes, J. Hipertexto- Matemática 11°;Editorial Santillana 2010.

Leithold, Luis. El Cálculo. 7° Edición México: Oxford 1998

Ayres, Frank. Mendelson, Elliot. Calculo Diferencial. Mcgrawhill: Bogotá 2001

Leithold, Luis. Matemáticas Previas Al Cálculo : Funciones, Gráficas Y Geometría Analítica,

Con Ejercicios Para Calculadora Y Graficadora. 3a.Ed. -- México : Oxford University Press,,

1998

Stewart, James. Cálculo Conceptos Y Contextos, Bogotá Thomson,1999

Edwards C.H Jr Y .Penney, David, Cálculo Diferencial E Integral -- 4a.Ed Pearson Educación

1997

Warner, Stefan. Cálculo Aplicado, Thomson Learning, México 2002, México

Purcell, Edwin J, Cálculo Con Geometría Analítica. Prentice Hall México 1993

Hughes, Deborah. Calculo. Compañía Editorial Continental, S. A México 2000.

Larson, Ron, Hostetler, P. Cálculo. Mcgraw-Hill México 2006

Swokowski, Earl. Cálculo Con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamericana,,

México 1989.

Allendoerfer, Carl. Oakley Cletus. Matemáticas Universitarias. Mcgraw-Hill

Latinoamericana S.A, Bogota 1990, C2000.


Escudero T. Rafael. Matemáticas Y Su Relación Con Las Ciencias De La Vida. Ediciones

Universidad Del Norte Uninorte, Bogotá 2000

Pérez G, Javier. Calculo Diferencial e integral. Universidad de Granada. 2006.

Rondon , D Jorge. Calculo Diferencial. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. 2010.

Spivark, Michael. Cálculo Infinitesimal. Editorial Reverte S.A 1996.

-

números reales - unidad i

Documents