nmeros reales - unidad i

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Números Reales

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  • UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIN DE ESTUDIANTES

    UNIDAD 1 NMEROS REALES Estoy bien, estudio bien

  • UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIN DE ESTUDIANTES

    NMEROS REALES

    PRESENTACIN DE LA UNIDAD

    Con el desarrollo de esta unidad se busca que el estudiante se familiarice con los

    conceptos bsicos que permiten introducirlo en los conceptos de los nmeros

    reales..

    OBJETIVOS PROBLEMAS

    Qu son los nmeros reales?

    EVALUACIN DIAGNSTICA

    Concepto de Nmeros

    Cmo estn estructurados los nmeros reales?

    Cules son las caractersticas de los nmeros reales?

  • UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIN DE ESTUDIANTES

    REFERENTES TERICOS

    NUMEROS REALES.

    Hablar de los nmeros reales en general es habar de un campo denso y completo en el

    cual nos vemos sumergidos de manera comn, al momento de sacar una cuenta, verificar

    cuantos artculos se vendieron al hablar de cambios de temperaturas, presin entre

    otras.

    Para dar un concepto de un nmero real primeros comenzaremos definiendo algunos

    conjuntos que hacen parte de los nmeros reales y que a la vez son de vital importancia

    en la construccin de nuestra teora.

    Numero natural

    Un nmero natural simbolizado por , se define como el conjunto

    { } tal que entre dos nmeros naturales consecutivo no puede existir

    otro numero natural. En la ecuacin podemos notar que a es un

    numero natural el cual es igual a 36.

    Pero el avance de la matemtica en el transcurrir de los tiempos se lleg al siguiente

    interrogante en donde tendr solucin la ecuacin ( ), de antemano

    esta ecuacin no tiene solucin no tiene solucin en el campo de los nmeros naturales

    por ende, se introduce un nuevo conjunto el cual definiremos a continuacin.

    Numero Entero

    El conjunto de los nmeros enteros simbolizado por se define por como el conjunto

    por extensin dado por { }. Aqu observamos

    que la ecuacin ( ) tiene solucin en los enteros es decir el valor de a es -12.

    Aqu notamos que la ciencia encontr solucin a la primera situacin pero ahora el

    interrogante seria el siguiente para que conjunto tiene solucin la ecuacin

    ( ), ya que esta ecuacin no pertenece a los nmeros enteros y mucho menos a los

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    numero naturales, entonces definiremos un conjunto en el cual la ecuacin ( ) tenga

    solucin

    Nmeros Racionales

    El conjunto de los nmeros racionales los cuales se simbolizan con la letra se define

    comprensin como {

    } por tal razn la ecuacin ( ) tiene

    solucin en este conjunto y es cuando

    .

    Nota.

    Recordemos algunas propiedades fundamentales de los nmeros racionales

    Dos fracciones

    son equivalentes cuando .

    La suma o resta de dos fracciones

    esta dada por la siguiente propiedad

    . Respectivamente.

    La multiplicacin o divisin de dos fracciones

    esta dada por

    Y

    . Respectivamente.

    Todo nmero racional puede ser expresado de dos formas mediante su expresin racional

    y mediante su expresin decimal. Veamos la forma de expresar un nmero racional de

    manera decimal, simplemente se divide el numerado con el denominador y se obtendrn

    cualquiera de los tres casos de nmeros decimales siguientes.

    Exacta Tiene un numero finito de cifras decimales.

    Peridica pura la parte decimal se repite indefinidamente formando un periodo.

    Peridica mixta la parte decimal tiene una cifra que no se repite seguida por otra

    que se repite indefinidamente.

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    Nmeros Irracionales

    Hay nmeros cuya expresin decimales no se ajusta a ningunas de las antes ac

    mencionadas, esto es que presentan infinitas cifras decimales no peridicas, lo cual nos

    permite deducir que soluciones de la forma , no se puede encontrar en

    ninguno de los conjuntos anteriormente mencionados, con lo cual se vio la necesidad de

    expresar el conjunto de los nmeros irracionales. Luego podemos decir que el conjunto

    de los nmeros irracionales denotado con la letra es el conjunto de los nmeros que

    presentan infinitas cifras decimales no peridicas, tales como .

    A continuacin daremos algunos criterios referentes a los nmeros irracionales

    La suma de dos nmeros irracionales da como resultado otro nmero irracional

    (Clausurativa con respecto a la suma).

    La suma de un nmero irracional con un nmero racional da como resultado un

    nmero irracional.

    Los nmeros irracionales no son cerrado con la multiplicacin ni la divisin. Esto

    es la multiplicacin de dos nmeros irracionales no es necesariamente un numero

    irracional

    Nmeros Reales

    El conjunto de los nmeros reales simbolizado con se define como la unin que existe

    entre el conjunto de los nmeros racionales y el conjunto de los nmeros irracionales

    esto es . Tambin se definen los nmeros reales como el conjunto de todos los

    valores que forman la recta numrica. Teniendo en cuenta este argumento podemos

    decir que un nmero real es mayor que un numero real si y solo si el nmero real

    se enuentra a la derecha del nmero real en la recta numrica.

    A continuacin daremos algunas propiedades de los nmeros reales

    En los nmeros reales, hay unas operaciones definida con los signos las cuales

    reciben el nombre de suma y multiplicacin respectivamente.

    Sean nmeros reales cualesquiera, entonces se cumplen las siguientes

    propiedades

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    Suma

    Cerrada bajo la suma, es decir si

    La suma es conmutativa, esto es

    La suma es asociativa, eso es ( ) ( )

    Existencia del nico elemento neutro en la suma (0),

    Inverso aditivo (-a) ( ) ( ) .

    Producto

    Cerrada bajo la multiplicacin,

    El producto es conmutativo,

    El producto es asociativo, ( ) ( )

    Existencia del nico elemento neutro en la multiplicacin (1),

    Inverso aditivo en el producto excepto para cero (

    ) (

    ) (

    )

    .

    El producto es distributivo con respecto a la suma esto es ( )

    Luego de evidenciar estas propiedades fundamentales en los nmeros , nos vemos en

    la necesidad de mostrar algunas propiedades que nos permitan mostrar el orden en este

    conjunto, por lo cual se mencionan algunas propiedades importantes de orden en los

    nmeros reales.

    Orden

    Reflexiva, para cualquier se tiene que

    Antisimtrica, para cualquier , si

    Transitiva, , para cualquier , si

    para cualquier , si

    para cualquier si entonces

    para cualquier si entonces .

    para cualquier , tales que si

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    para cualquier , tal que si .

    para cualquier , entonces

    Exponente

    Si y se tiene

    (( ))

    ( )

    (

    )

    Si entonces ( ) , donde .

    Nota: si el exponente es un nmero racional no entero, entonces se considera un

    radical.

    Logaritmo

    Cuando hablamos del logaritmo no estamos refiriendo a la operacin opuesta a la

    exponencial la cual se define a continuacin. Si tal que

    entonces se llama logaritmo de b en base a ( ) al nmero al cual hay que elevar

    la base para obtener el nmero b, esto es . Unas de

    las bases ms utilizadas cuando se habla de la funcin logaritmo son las de base 10 y las

    de base de Euler, A continuacin mostraremos algunas propiedades referentes al

    logaritmo.

    Para todo tal que entonces se cumplen las

    siguientes propiedades

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    ( )

    (

    )

    Valor absoluto

    El valor absoluto de un nmero real se define como la funcin ( )

    {

    Observemos que el valor absoluto de un nmero real siempre ser mayor o igual a cero.

    Una de las propiedades ms utilizada con el valor absoluto utilizando la condicin de

    orden es la siguiente

    Si se tiene que .

    Si se tiene que

    Si se tiene que .

    Ley de los signos

    Recordemos que la ley de los signos en los nmeros reales nicamente es utilizada en el

    pr