Ruben Sebastian

rbnterrassa@gmail.com

Actualització: 11/09/2014

https://sites.google.com/site/matematicasrbnterrassa/

http://www.youtube.com/user/rbnterrassa

Dosier Matemáticas Números reales by Ruben Sebastian is licensed under a Creative

Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional License.

Números reales

2

ÍNDICE 1. NÚMEROS RACIONALES 3

1.1. Paso de decimal a fracción: fracción generatriz. 3

2. NÚMEROS IRRACIONALES 7

3. NÚMEROS REALES 8

3.1. Propiedades 8

3.2. Extraer factor común 9

4. INTERVALOS 11

4.1. Operaciones con intervalos (unión y intersección) 12

5. APROXIMACIONES Y ERRORES 15

5.1. Errores: absoluto y relativo 15

6. EJERCICIOS 17

7. ACTIVIDAD COMPETENCIAL 20

Números reales

3

1. Números racionales

Los números racionales son los que los podemos representar mediante un cociente o una

fracción entre dos números enteros.

El conjunto de los números racionales se representan mediante el símbolo .

1.1. Paso de número decimal a fracción

A veces nos puede interesar transformar un número decimal

como una fracción para trabajar con ella y obtener un

resultado más exacto, ya que si el decimal es periódico

normalmente acabamos redondeándolo (y al hacerlo,

cometemos un error y damos como resultado un número que

no es tan preciso).

Esta fracción irreductible que cumple que si hacemos la

división del numerador entre el denominador da el número

decimal que queremos, se conoce como fracción generatriz.

Para obtener la fracción generatriz de un número decimal, lo primero que hemos de hacer es

identificar el tipo de número decimal que tenemos, porque la forma de resolverlo varía

dependiendo de si es un decimal exacto, decimal periódico puro o decimal periódico mixto.

1.1.1. Fracción generatriz de decimales exactos.

Los números decimales exactos son los que tienen un número limitado de cifras en la parte

decimal.

Algunos ejemplos son: 1,2 982,18305 0,002 27,83

EJERCICIO: Encuentra la fracción generatriz de 12,6.

1 Llamamos N al número decimal. N = 12,6

2 Multiplicamos los dos miembros (los dos lados del

igual)por un 1 seguido de tantos ceros como números

10 · N = 10 · 12,6

RECUERDA

El número superior de

la fracción se llama

numerador, y el inferior,

denominador.

Números reales

4

haya en la parte decimal.

Como en el ejemplo hay un número en la parte decimal (el

6) multiplicaremos por 10.

10N = 126

3 Aislamos N para obtener la fracción. N =

4 Simplificamos siempre que se pueda para obtener la

fracción generatriz.

N =

Por lo tanto la fracción generatriz de 12,6 es

.

Para hacer la comprobación y saber si el resultado es correcto, hemos de dividir 63 entre 5 i

verás que el resultado será el número decimal 12,6.

1.1.2. Fracción generatriz de decimales periódicos puros.

Los decimales periódicos puros son los que tienen un conjunto de cifras en la parte decimal

que se repiten constantemente.

Ejemplos: 1,46464646... 621,999999999... 53,789478947894...

Normalmente vemos estos números decimales con el símbolo del periodo, que se pone

encima de las cifras decimales que se repiten:

621,999999999...

53,789478947894...

EJERCICIO: Encuentra la fracción generatriz de 7,54545454...

1 Escribir bien el decimal. 7,54545454...

Mira el vídeo de Youtube para ver más ejemplos: VÍDEO

Números reales

5

2 Nombramos N al número decimal. N =

3 Multiplicamos los dos miembros por un 1 seguido de

tantos ceros como cifras hay en el periodo.

En este caso tenemos como periodo 54, y como son dos

cifras tendremos que multiplicar por 100.

100· N = 100 ·

100N =

4 Hacemos la resta de las dos ecuaciones que tenemos.

Primero ponemos la ecuación que hemos calculado en el

paso 3, y debajo la del paso 2. Cuando hagamos la resta,

delante de N siempre quedará un número con nueves (9,

99, 999, 9999...).

100N =

N =

99N = 747

5 Aislamos N para obtener la fracción. N =

6 Simplificamos siempre que se pueda, para obtener la

fracción generatriz.

N =

De manera que la fracción generatriz de es

. ¿Recuerdas como hacer la

comprobación? ¡Pruébalo ahora!

1.1.3. Fracción generatriz de decimales periódicos mixtos.

Los decimales periódicos mixtos son los que tienen en la parte decimal unas cifras que se

repiten constantemente, i alguna que no se repite.

Ejemplos: 7,233333... 52,1386868686...

Normalmente vemos estos números con el símbolo de periodo

solo en las cifras que se repiten de la parte decimal:

7,233333...

52,1386868686...

RECUERDA

Partes de los decimales

periódicos mixtos:

Antiperiodo / Periodo

Mira el vídeo de Youtube para ver más ejemplos: VÍDEO

Números reales

6

EJERCICIO: Encuentra la fracción generatriz de 142,7561561561...

1 Escribir bien el decimal. 142,7561561...

2 Nombrar N el número decimal. N =

3 Multiplicar los dos miembros por un 1 seguido de tantos

ceros como números hay en el antiperiodo.

En este caso, el antiperiodo es 7, que es una cifra. Por lo

tanto multiplicamos por 10.

10· N = 10 ·

10N =

4 Volvemos a multiplicar los dos miembros de principio por

un 1 seguido de tantos ceros como cifras hay en el

antiperiodo y en el periodo.

En este caso tenemos 7561, que son cuatro cifras. Por lo

tanto multiplicamos por 10000.

10000· N = 10000 ·

10000N =

5 Hacemos la resta de las dos ecuaciones que hemos

calculado.

Primero ponemos la ecuación que hemos calculado en el

paso 4, y debajo la del paso 3. Cuando hacemos la resta,

delante de N nos quedará siempre un número con nueves

y ceros (90, 990, 900, 9990…).

10000N =

10N =

9990N = 1426134

5 Aislamos N para obtener la fracción. N =

6 Simplificamos siempre que se pueda para obtener la

fracción generatriz.

N =

Por lo tanto, la fracción generatriz de es

. ¡Haz la comprobación!

Mira el vídeo de Youtube para ver más ejemplos: VÍDEO

Números reales

7

2. Números irracionales

Los números irracionales son aquellos que no podemos representar mediante fracciones. Son

números decimales periódicos, pero en la parte decimal no hay cifras que se repiten como

pasa con los puros o los mixtos.

Algunos ejemplos de números irracionales son:

- El número pi: 3,1415...

- El número e: 2,71828...

- 1,41421356...

El conjunto de números irracionales se representa mediante el símbolo .

Números reales

8

3. Números reales

El conjunto de los números reales, , incluye los números racionales y irracionales.

3.1. Propiedades de los números reales.

Cuando hacemos operaciones con los números reales seguimos unas propiedades que son

diferentes si estamos sumando o multiplicando.

SUMA

Propiedad Esquema Ejemplo

Opuesto a + (-a) = 0 5 + (-5) = 0

-1 + (+1) = 0

Conmutativo a + b = b + a 2 + 4 = 4 + 2 = 6

5 – 2 = - 2 + 5 = 3

MULTIPLICACIÓN

Propiedad Esquema Ejemplo

Inversa

Números

Reales

Racionales

Enteros Naturales i 0

Negativos

Decimales: exacto, periódico puro i periódico mixto.

Irracionales

Números reales

9

Conmutativa a · b = b · a 2 · 4 = 4 · 2 = 8

(-3) · 5 = 5 · (-3) = -15

Distributiva a · (b + c) = a · b + a · c 2 · (3 + 4) = 6 + 8 = 14

3.2. Extracción de factor común.

A veces, cuando nos encontramos con ecuaciones que tienen números muy grandes nos puede

interesar hacer que estos números sean más pequeños simplemente para facilitarnos los

cálculos posteriores. Por eso, podemos extraer factor común.

EJERCICIO: Extrae factor común de la siguiente expresión 24x3y5 + 12x2y2 – 42x4y3z2

1 Descomponer los coeficientes / números y calcular el

máximo común divisor (m.c.d).

El valor del m.c.d. será el número que extraeremos como

factor común.

24 = 2 · 2 · 2 · 3

12 = 2 · 2 · 3

42 = 2 · 3 · 7

m.c.d. = 2 · 3 = 6

2 De les variables, hemos de extraer las que aparecen en

todos los términos y con el exponente más pequeño.

Como los tres términos

tienen x y y, extraemos los

que tienen un exponente

más bajo: x2y2.

Como z no está en los tres

términos, no la podemos

extraer.

3 Lo que hemos ido obteniendo en los apartados

anteriores es el factor común. Lo apuntamos delante y

abrimos un paréntesis.

6x2y2 · (...)

4 En el interior del paréntesis quedará todo lo que no

hemos sacado en el factor común.

Para obtener los resultados: dividimos los números, y

restamos los exponentes de las mismas letras.

24x3y5 : 6x2y2 = 4xy3

12x2y2 : 6x2y2 = 2

42x4y3z2 : 6x2y2 = 7x2yz2

5 Solución final 6x2y2 · (4xy3 + 2 - 7x2yz2)

Números reales

10

EJERCICIO: Extrae el factor común de la expresión 25m2n6 + 5m2n3

1 Descomponer los coeficientes / números y

calcular el máximo común divisor (m.c.d).

El valor del m.c.d. será el número que

extraeremos como factor común.

25 = 5 · 5

5 = 5

m.c.d. = 5

2 De les variables, hemos de extraer las que

aparecen en todos los términos y con el

exponente más pequeño.

m2n6 i m2n3 m2n3

3 Lo que hemos ido obteniendo en los apartados

anteriores es el factor común. Lo apuntamos

delante y abrimos un paréntesis.

5m2n3 · (...)

4 En el interior del paréntesis quedará todo lo que

no hemos sacado en el factor común.

Para obtener los resultados: dividimos los

números, y restamos los exponentes de las

mismas letras.

Si extraemos todo un término, queda un 1.

25m2n6 : 5m2n3 = 5n3

5m2n3 : 5m2n3 = 1

5 Solución final 5m2n3 · (5n3 + 1)

Números reales

11

4. Intervalos

Un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos valores.

En la siguiente figura hay un ejemplo de intervalo:

Este intervalo incluye todos los valores que van desde el 3 hasta el 6,5.

Si miras bien el ejemplo anterior habrás visto que en el 3 hay un punto rojo y en el 6,5 un

círculo blanco. Los extremos de los intervalos son muy importantes, y pueden ser de dos tipos:

- Abierto: se representan con un círculo e indica que aquel número no se incluye en el

intervalo. Por ejemplo, el 6,5 anterior no estaría incluido (el intervalo se acerca mucho

al valor y incluiría hasta el pero no el 6,5).

- Cerrado: se representan con un punto e indica que aquel número si está incluido en el

intervalo. Por ejemplo el 3 del ejemplo anterior si que formaría parte del intervalo.

A parte de la representación gráfica, podemos interpretar los intervalos con números y cifras o

mediante ecuaciones:

Representación gráfica Intervalo Ecuación

(4 , 6 ]

Fíjate en la simbología de los extremos:

Extremo Incluido Representación gráfica Intervalo Ecuación

Abierto No ( , )

Cerrado Si [ , ]

Números reales

12

EJEMPLOS DE INTERVALOS:

Representació gràfica Interval Equació Notes

[-3 , 2 ]

(0 , 5]

Cuando un extremo

se incluye se pone el

símbolo , y si no se

incluye .

(-2 , 1)

Si el intervalo no

tiene un extremo

limitado, quiere

decir que va hacia el

infinito.

4.1. Operaciones con intervalos.

Cuando queremos ver que números tienen en común varios intervalos, o queremos tener un

intervalo nuevo que incluya todos los números de varios intervalos, hemos de hacer una

pequeña operación.

Mira el vídeo de Youtube para ver más ejemplos: VÍDEO

Números reales

13

4.1.1. Unió de intervalos:

Llamamos unión de intervalos A y B al conjunto de elementos o números que encontramos

como mínimo en uno de esos intervalos. Para representar la unión de intervalos utilizamos el

símbolo .

EJEMPLO: Calcula la unión de A = (-4 , 2) i B = [-1, 5)

A B = (-4 , 5)

A

B

A U B

Como se ve en la imagen, para hacer la unión de intervalos cogemos los números que se

encuentran en uno de los dos intervalos o repetidos en los dos.

Mira el vídeo de Youtube para ver más ejemplos: VÍDEO

Números reales

14

4.1.2. Intersección de intervalos:

Llamamos intersección de los intervalos A y B al conjunto de elementos o números que

encontramos en común en estos intervalos. Para representar la unión de intervalos utilizamos

el símbolo .

EJEMPLO: Calcula la intersección de A = (-4 , 2) i B = [-1, 5)

A B = [-1 , 2)

A

B

A B

Mira el vídeo de Youtube para ver más ejemplos: VÍDEO

Números reales

15

5. Aproximaciones i errores

Cuando tenemos números decimales periódicos solemos hacer aproximaciones, que consisten

en reducirlo a un número decimal exacto que tendrá un valor parecido al número original.

Por ejemplo, el número 1,4839485... lo podemos aproximar como 1,48. Esto hace que sea más

fácil trabajar con él, por ejemplo cuando lo escribimos en la calculadora.

Las aproximaciones las podemos hacer de dos maneras:

- Per truncamiento: eliminamos las cifras del decimal a partir de un punto.

Ejemplo: 1,45283503... 1,452

- Per redondeo: eliminamos las cifras del decimal a partir de un punto, pero la cifra

anterior aumentará una unidad si el primer número que dejaremos de escribir es 5 o

superior.

Ejemplo: 1,45283503... 1,453

15,43290842... 15,432908

5.1. Errores

Los problemas de hacer aproximaciones son que al dejar de tener en cuenta algunos decimales

(los que perdemos al aproximar), el resultado final no es exacto, y por lo tanto hay un error.

El error absoluto, Ea , es la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado, en valor

absoluto.

Ea = Vexacto – Vaproximado

Como el resultado se da en valor absoluto, siempre será positivo.

El error relativo, Er , es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Como se multiplica

por 100, el resultado será un porcentaje.

Números reales

16

EJEMPLO: Un pintor midió la pared de una casa para pintarlas. Al principio dijo que una de las

paredes del comedor haría unos 7 metros de largo, pero con el metro vio que medía 6,80

metros. ¿Qué errores cometió al hacer su aproximación a ojo?

Valor exacto = 6,80 m Valor aproximado = 7 m

Ea = 6,8 – 7 = 0,2

Er =

· 100 = 2,94 %

Para valorar situaciones siempre es mejor hacerlo con el error relativo, porque es un

porcentaje.

Ahora piensa. Si un profesor se equivoca al contar la puntuación de un examen (cuenta 7

puntos, pero en realidad tenías 8 puntos), el error absoluto és 1 y el relativo 12,5%. En cambio,

si la puntuación es sobre 100 y el profesor cuenta un punto menos (cuenta 75 y tienes 76), el

error absoluto continua siendo 1, pero el error relativo es de 1,32%. Por lo tanto, aunque en

las dos situaciones el error absoluto sea el mismo, el error relativo nos indica que se ha

cometido menos error en la segunda situación.

Mira el vídeo de Youtube para ver más ejemplos: VÍDEO

Números reales

17

Ejercicios

1. Indica el tipo de decimal i encuentra la fracción generatriz:

a) 4,32 b) 1,2933333... c) 15,44444... d) 18,391391391...

e) 16,893 f) 51,2676767... g) 2,6 h)3,41515151515...

SOLUCIONES: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2. Indica cuales de los siguientes números son irracionales. Razona tu respuesta:

a) 3,472651... b) 15,283 c) 9,13131313... d) 8,0394852124...

3. Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas.

a) Todos los números racionales son reales. ......

b) Todos los números reales son decimales. ......

c) Todos los números decimales se pueden expresar mediante fracciones. ......

d) Todas las raíces cuadradas son irracionales. ......

4. Calcula el opuesto de los siguientes números:

a) 3 b) -5 c) d)

5. Calcula la inversa de los números anteriores:

6. Indica cuales de las siguientes operaciones tienen como resultado un número

irracional o uno racional:

Números reales

18

7. Extrae factor común de las siguientes expresiones:

a) 66x3y2 + 24x5y2 – 42xy4

b) 30m3n6 + 5m2n3 – 15m4n4

c) 27x2y3z + 45x6yz2 – 9x3y3z

d)

e)

8. Representa gráficamente en la recta real los siguientes intervalos:

a) (-1 , 4) b) [-5 , -2) c) [0 , 3]

d) (- , -4] e) (-2 , + )

9. Rellena la siguiente tabla:

Representación gráfica Intervalo Ecuación

(-3, 0)

[1 , + )

10. Haz las operaciones que se indican con los siguientes intervalos:

A = (-2 , 3) B = [0 , 5) C = [-5, 1] D = [-2 , + ) E = (- 4)

a) A U B b) C U D c) E B d) A D e) D U A

f) D U E g) B C h) D C i) A U E j) C A

SOLUCIONES DESORDENADAS: [-2 , 1] (- , + ) (-2 , 5 ) [-2 , + )

[0 , 4) [0 , 1] (-2 , 1] [-5 , + ) (- 4) (-2 , 3)

Números reales

19

11. Los precios para hacer una vuelta con un vehículo anfibio por el lago Jökulsárlón de

Islandia son los siguientes.

Representa la información en intervalos.

12. Representa la siguiente información del precio de la entrada al cine en intervalos.

13. Pedro quiere vender un terreno que tiene en el pueblo. Él creía que el terreno medía

58 metros de largo por 46 de ancho. El comprador fue al registro del ayuntamiento y

vio que las medidas del terreno eran de 60 metros de largo y 45 de ancho.

a) Calcula el error absoluto y el error relativo que cometió Pedro con su aproximación.

b) Si el metro cuadrado vale 35 €, calcula que error hubiese hecho al vender la finca con

sus medidas:

14. ¡Pruébalo con el compañero! Decid, a ojo, cuanto creéis que mide una libreta de

ancho y después medidla. Calculad los errores absolutos y relativos que habéis

cometido cada uno.

15. Al principio de curso trajeron una pizarra nueva que medía 2,3 metros de ancho,

pero la pared hacía 2,15. ¿Qué errores cometieron los fabricantes?

Números reales

20

ACTIVIDAD COMPETENCIAL

Hemos alquilado un local para poner nuestro negocio de pasteles.

1. Queremos cambiar el suelo entero. El local es rectangular y hace 16 metros de ancho y

10 de largo. Nos han gustado dos tipos de baldosas: unas cuadradas de 50 cm de lado,

y otras rectangulares de 20 x 30 cm.

a) ¿Cuántas baldosas cuadradas nos harán falta?

b) ¿Cuántas baldosas rectangulares harán falta como mínimo para cubrir todo el

suelo? Piensa de cuantas maneras las podemos colocar:

c) El precio de las baldosas cuadradas es de 10,54 € y de las rectangulares 10,25 €,

pero en los dos casos se ha de sumar el IVA (que es del 21%). ¿Cuál será el precio

final del metro cuadrado con el IVA incluido?

d) ¿Cuánto nos costará poner las baldosas en todo el local, con cada tipo de baldosa?

2. Queremos pintar el techo del local. Busca por internet cuánto vale un bote de pintura

blanca (pon la página de donde lo has sacado o una captura de pantalla en el trabajo),

y ten en cuenta que por cada litro de pintura podemos pintar diez metros cuadrados, y

que tendremos que dar dos capas de pintura.

3. Un mes después abrimos el negocio. Uno de los primeros pedidos ha sido un pastel

para 100 personas. Busca en internet una receta de un pastel (pon la página de donde

la has sacado o haz una captura de pantalla), y calcula cuanta harina, huevos, azúcar y

mantequilla harán para hacer ese pastel para 100 personas.

a) Ves a un supermercado, haz una foto del precio de los productos y calcula cuanto

nos valdrán todos los ingredientes anteriores para el pastel de 100 raciones.

Números reales

21

4. Después de un tiempo hemos decidido fijar un poco los precios, i en lugar de cobrar

por ración (7 euros por cada ración) lo haremos mediante la siguiente tabla:

Raciones Precio por ración

20 - 30 10 €

31 - 40 9 €

41 - 50 8 €

51 - 70 7 €

71 - 100 6,5 €

101 - 200 6 €

Representa los datos de la tabla con intervalos.

5. Cuando un cliente viene a recoger su pastel, cometimos un error. El cliente nos pidió

un pastel para 60 personas, pero lo hicimos para 80. Le dimos el pastel que le

habíamos hecho, pero:

a. Calcula cuanto le valía el pastel para 80 personas, y cuanto pago por el de 60

personas (que es lo que se le cobró porque fue error nuestro).

b. Con los precios del apartado anterior, calcula cuales son los errores absolutos y

relativos que se han hecho.