nmeros reales

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Dosier o libro de matemáticas donde se explica como calcular la fracción generatriz, los números irracionales, extraer factor común, intervalos matemáticos, aproximaciones y errores. Al final hay ejercicios o actividades, y una actividad competencial del tema.

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  • Ruben Sebastian

    rbnterrassa@gmail.com

    Actualitzaci: 11/09/2014

    https://sites.google.com/site/matematicasrbnterrassa/

    http://www.youtube.com/user/rbnterrassa

    Dosier Matemticas Nmeros reales by Ruben Sebastian is licensed under a Creative

    Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional License.

  • Nmeros reales

    2

    NDICE 1. NMEROS RACIONALES 3

    1.1. Paso de decimal a fraccin: fraccin generatriz. 3

    2. NMEROS IRRACIONALES 7

    3. NMEROS REALES 8

    3.1. Propiedades 8

    3.2. Extraer factor comn 9

    4. INTERVALOS 11

    4.1. Operaciones con intervalos (unin y interseccin) 12

    5. APROXIMACIONES Y ERRORES 15

    5.1. Errores: absoluto y relativo 15

    6. EJERCICIOS 17

    7. ACTIVIDAD COMPETENCIAL 20

  • Nmeros reales

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    1. Nmeros racionales

    Los nmeros racionales son los que los podemos representar mediante un cociente o una

    fraccin entre dos nmeros enteros.

    El conjunto de los nmeros racionales se representan mediante el smbolo .

    1.1. Paso de nmero decimal a fraccin

    A veces nos puede interesar transformar un nmero decimal

    como una fraccin para trabajar con ella y obtener un

    resultado ms exacto, ya que si el decimal es peridico

    normalmente acabamos redondendolo (y al hacerlo,

    cometemos un error y damos como resultado un nmero que

    no es tan preciso).

    Esta fraccin irreductible que cumple que si hacemos la

    divisin del numerador entre el denominador da el nmero

    decimal que queremos, se conoce como fraccin generatriz.

    Para obtener la fraccin generatriz de un nmero decimal, lo primero que hemos de hacer es

    identificar el tipo de nmero decimal que tenemos, porque la forma de resolverlo vara

    dependiendo de si es un decimal exacto, decimal peridico puro o decimal peridico mixto.

    1.1.1. Fraccin generatriz de decimales exactos.

    Los nmeros decimales exactos son los que tienen un nmero limitado de cifras en la parte

    decimal.

    Algunos ejemplos son: 1,2 982,18305 0,002 27,83

    EJERCICIO: Encuentra la fraccin generatriz de 12,6.

    1 Llamamos N al nmero decimal. N = 12,6

    2 Multiplicamos los dos miembros (los dos lados del

    igual)por un 1 seguido de tantos ceros como nmeros

    10 N = 10 12,6

    RECUERDA

    El nmero superior de

    la fraccin se llama

    numerador, y el inferior,

    denominador.

  • Nmeros reales

    4

    haya en la parte decimal.

    Como en el ejemplo hay un nmero en la parte decimal (el

    6) multiplicaremos por 10.

    10N = 126

    3 Aislamos N para obtener la fraccin. N =

    4 Simplificamos siempre que se pueda para obtener la

    fraccin generatriz.

    N =

    Por lo tanto la fraccin generatriz de 12,6 es

    .

    Para hacer la comprobacin y saber si el resultado es correcto, hemos de dividir 63 entre 5 i

    vers que el resultado ser el nmero decimal 12,6.

    1.1.2. Fraccin generatriz de decimales peridicos puros.

    Los decimales peridicos puros son los que tienen un conjunto de cifras en la parte decimal

    que se repiten constantemente.

    Ejemplos: 1,46464646... 621,999999999... 53,789478947894...

    Normalmente vemos estos nmeros decimales con el smbolo del periodo, que se pone

    encima de las cifras decimales que se repiten:

    621,999999999...

    53,789478947894...

    EJERCICIO: Encuentra la fraccin generatriz de 7,54545454...

    1 Escribir bien el decimal. 7,54545454...

    Mira el vdeo de Youtube para ver ms ejemplos: VDEO

  • Nmeros reales

    5

    2 Nombramos N al nmero decimal. N =

    3 Multiplicamos los dos miembros por un 1 seguido de

    tantos ceros como cifras hay en el periodo.

    En este caso tenemos como periodo 54, y como son dos

    cifras tendremos que multiplicar por 100.

    100 N = 100

    100N =

    4 Hacemos la resta de las dos ecuaciones que tenemos.

    Primero ponemos la ecuacin que hemos calculado en el

    paso 3, y debajo la del paso 2. Cuando hagamos la resta,

    delante de N siempre quedar un nmero con nueves (9,

    99, 999, 9999...).

    100N =

    N =

    99N = 747

    5 Aislamos N para obtener la fraccin. N =

    6 Simplificamos siempre que se pueda, para obtener la

    fraccin generatriz.

    N =

    De manera que la fraccin generatriz de es

    . Recuerdas como hacer la

    comprobacin? Prubalo ahora!

    1.1.3. Fraccin generatriz de decimales peridicos mixtos.

    Los decimales peridicos mixtos son los que tienen en la parte decimal unas cifras que se

    repiten constantemente, i alguna que no se repite.

    Ejemplos: 7,233333... 52,1386868686...

    Normalmente vemos estos nmeros con el smbolo de periodo

    solo en las cifras que se repiten de la parte decimal:

    7,233333...

    52,1386868686...

    RECUERDA

    Partes de los decimales

    peridicos mixtos:

    Antiperiodo / Periodo

    Mira el vdeo de Youtube para ver ms ejemplos: VDEO

  • Nmeros reales

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    EJERCICIO: Encuentra la fraccin generatriz de 142,7561561561...

    1 Escribir bien el decimal. 142,7561561...

    2 Nombrar N el nmero decimal. N =

    3 Multiplicar los dos miembros por un 1 seguido de tantos

    ceros como nmeros hay en el antiperiodo.

    En este caso, el antiperiodo es 7, que es una cifra. Por lo

    tanto multiplicamos por 10.

    10 N = 10

    10N =

    4 Volvemos a multiplicar los dos miembros de principio por

    un 1 seguido de tantos ceros como cifras hay en el

    antiperiodo y en el periodo.

    En este caso tenemos 7561, que son cuatro cifras. Por lo

    tanto multiplicamos por 10000.

    10000 N = 10000

    10000N =

    5 Hacemos la resta de las dos ecuaciones que hemos

    calculado.

    Primero ponemos la ecuacin que hemos calculado en el

    paso 4, y debajo la del paso 3. Cuando hacemos la resta,

    delante de N nos quedar siempre un nmero con nueves

    y ceros (90, 990, 900, 9990).

    10000N =

    10N =

    9990N = 1426134

    5 Aislamos N para obtener la fraccin. N =

    6 Simplificamos siempre que se pueda para obtener la

    fraccin generatriz.

    N =

    Por lo tanto, la fraccin generatriz de es

    . Haz la comprobacin!

    Mira el vdeo de Youtube para ver ms ejemplos: VDEO

  • Nmeros reales

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    2. Nmeros irracionales

    Los nmeros irracionales son aquellos que no podemos representar mediante fracciones. Son

    nmeros decimales peridicos, pero en la parte decimal no hay cifras que se repiten como

    pasa con los puros o los mixtos.

    Algunos ejemplos de nmeros irracionales son:

    - El nmero pi: 3,1415...

    - El nmero e: 2,71828...

    - 1,41421356...

    El conjunto de nmeros irracionales se representa mediante el smbolo .

  • Nmeros reales

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    3. Nmeros reales

    El conjunto de los nmeros reales, , incluye los nmeros racionales y irracionales.

    3.1. Propiedades de los nmeros reales.

    Cuando hacemos operaciones con los nmeros reales seguimos unas propiedades que son

    diferentes si estamos sumando o multiplicando.

    SUMA

    Propiedad Esquema Ejemplo

    Opuesto a + (-a) = 0 5 + (-5) = 0

    -1 + (+1) = 0

    Conmutativo a + b = b + a 2 + 4 = 4 + 2 = 6

    5 2 = - 2 + 5 = 3

    MULTIPLICACIN

    Propiedad Esquema Ejemplo

    Inversa

    Nmeros

    Reales

    Racionales

    Enteros Naturales i 0

    Negativos

    Decimales: exacto, peridico puro i peridico mixto.

    Irracionales

  • Nmeros reales

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    Conmutativa a b = b a 2 4 = 4 2 = 8

    (-3) 5 = 5 (-3) = -15

    Distributiva a (b + c) = a b + a c 2 (3 + 4) = 6 + 8 = 14

    3.2. Extraccin de factor comn.

    A veces, cuando nos encontramos con ecuaciones que tienen nmeros muy grandes nos puede

    interesar hacer que estos nmeros sean ms pequeos simplemente para facilitarnos los

    clculos posteriores. Por eso, podemos extraer factor comn.

    EJERCICIO: Extrae factor comn de la siguiente expresin 24x3y5 + 12x2y2 42x4y3z2

    1 Descomponer los coeficientes / nmeros y calcular el

    mximo comn divisor (m.c.d).

    El valor del m.c.d. ser el nmero que extraeremos como

    factor comn.

    24 = 2 2 2 3

    12 = 2 2 3

    42 = 2 3 7

    m.c.d. = 2 3 = 6

    2 De les variables, hemos de extraer las que aparecen en

    todos los trminos y con el exponente ms pequeo.

    Como los tres trminos

    tienen x y y, extraemos los

    que tienen un exponente

    ms bajo: x2y2.

    Como z no est en los tres

    trminos, no la podemos

    extraer.

    3 Lo que hemos ido obteniendo en los apartados

    anteriores es el factor comn. Lo apuntamos delante y

    abrimos un parntesis.

    6x2y2 (...)

    4 En el interior del parntesis quedar todo lo que no

    hemos sacado en el factor comn.

    Para obtener los resultados: dividimos los nmeros, y

    restamos los exponentes de las mismas letras.

    24x3y5 : 6x2y2 = 4xy3

    12x2y2 : 6x2y2 = 2

    42x4y3z2 : 6x2y2 = 7x2yz2