números reales

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  1. 1. 5. Nmeros realesAlejandro PetrovichEn este captulo introduciremos el conjunto de los nmeros reales. Nos proponemosdar una construccin de este sistema numrico utilizando un mtodo particular paraaproximar dichos nmeros mediante fracciones o nmeros racionales. Mostraremosmediante algunos ejemplos de carcter geomtrico la forma de construir los nmerosreales a partir de esta aproximacin.Algunos resultados de este captulo sern enunciados sin demostracin dado que laprueba matemtica formal de los mismos requiere el manejo de ciertas tcnicas queestn fuera del alcance del presente libro.Si c y d son dos nmeros racionales con c d, notaremos con [c, d] al intervalo cerradodeterminado por c y d, esto es:[c, d]={x : cxd}Recordamos que para un nmero x, escribimos |x| su valor absoluto:|x| =x si x 0x si x0En trminos geomtricos, el valor absoluto de un nmero racional expresa cunto distadicho nmero del 0. Si a es un nmero racional positivo, entonces |x| = a si y slo six = a o bien x = -a. Ms an, si x e y son dos nmeros racionales, entonces el nmero|x - y| expresa la distancia entre x e y. Por ejemplo, cul es la distancia entre 4 y -7? Larespuesta es: |4 - (-7)| = |11| = 11.Propiedad 5.1. Una propiedad importante que verifican los nmeros racionales referida alvalor absoluto es la llamada desigualdad triangular. Esta desigualdad expresa lo siguiente:|x + y||x| + |y|para todo par de nmeros racionales x, y.Demostracin. Para demostrarla debemos separar en casos de la siguiente manera:Primer caso: x 0, y 0. Luego x + y 0 lo que implica |x + y| = x + y , |x| = x y |y| = y.Por lo tanto |x + y| = |x| + |y|.Segundo caso: x0, y0. Luego x + y0 lo que implica |x + y| = -x - y , |x| = -x y |y| = -y.Por lo tanto |x + y| = |x| + |y|.Tercer caso: x 0, y0. Notar que en este caso no podemos determinar el signo dex + y. Lo que s sabemos es que |x| = x y |y| = -y. Si x+y 0, entonces |x + y| = x + y.126 Los Nmeros
  2. 2. Por lo tanto |x + y| |x| + |y| si y slo si x + y x - y, o equivalentemente, y -y y estadesigualdad se cumple ya que y0. Si x+y0, entonces |x + y| = -x - y. Por lo tanto|x + y| |x|+|y| si y slo si -x - y x - y, o equivalentemente, -x x y esta desigualdad secumple pues x 0.Cuarto caso: x0, y 0. La prueba es similar al caso anterior y la omitiremos.Ejercicio 5.1. Mostrar que si a es un nmero racional positivo 0, entonces |x| asi y slo si -a x a.Los nmeros reales surgen como necesidad de resolverciertas ecuaciones que no tienen solucin en el conjuntode los nmeros racionales. Entre dichas ecuaciones se21encuentran las que nos permiten calcular ciertas racescuadradas. En efecto, una de las mltiples aplicacionesdel nmero real es la de poder demostrar la existencia de1races cuadradas de nmeros positivos. En primer lugar,debemos precisar qu significa que un nmero admita unaraz cuadrada. Consideremos, para ilustrar este concepto,el siguiente ejemplo que aparece en geometra. Tomemosun tringulo rectngulo cuyos catetos miden 1 cm de longitud. Qu longitud tiene lahipotenusa? Si llamamos h a la longitud de la hipotenusa, entonces segn el Teoremade Pitgoras tenemos que h2 = 12 + 12 = 2. Es decir h debe ser un nmero que elevadoal cuadrado d como resultado el nmero 2. Luego h debe ser solucin de la ecuacinx2 = 2. Es claro que si esta ecuacin admite una solucin x, entonces -x tambin essolucin ya que x2 = (-x)2 = 2. Como la longitud de la hipotenusa debe ser positiva,la solucin que estamos buscando debe ser nica, en el sentido que dicha ecuacin nopuede admitir dos soluciones positivas. Diremos en este caso que la raz cuadrada de 2es la nica solucin positiva de la ecuacin x2 = 2 y dicha solucin ser denotada por2. Sin embargo, para asegurarnos de que esta definicin es correcta debemos garantizarque la ecuacin x2 = 2 admite solucin. Comenzaremos probando que si dicha solucinexiste, entonces no puede ser un nmero racional.Teorema 5.2. Si x es un nmero racional, entonces x2 2.Demostracin. Supongamos por el absurdo que existe x Q tal que x2 = 2. Por lo dichoanteriormente, podemos suponer, sin prdida de generalidad, que x es positivo. Luego,existen dos nmeros naturales p, q tales que x = p/q donde adems p/q es una fraccinirreducible. Como x2 = 2, entonces p2/q2 = 2. A partir de esta igualdad, se sigue quep2 = 2q2. Luego, p es un nmero natural que elevado al cuadrado nos da un nmero par.Por lo tanto p debe ser par, lo que implica que existe k N tal que p = 2k. Reemplazandop por 2k obtenemos (2k)2 = 4k2 = 2q2. Luego, simplificando por 2 llegamos a que2k2 = q2, lo que implicara que q2 es par y por ende q es par. Por lo tanto p y q sonnmeros pares, lo que es imposible ya que p/q es una fraccin irreducible.Figura 1. Un tringulo con catetos que miden 1e hipotenusa que mide 2Nmeros reales 127
  3. 3. Ejercicio 5.2. Mostrar que si n es un nmero natural, no existe un nmero racional xtal que x2 = 22n+1.Tanto el teorema 5.2 como el enunciado del ejercicio 5.2 muestran que es necesario ampliarel conjunto de los nmeros racionales para poder resolver ciertas ecuaciones. En la seccin 4mostraremos, efectivamente, que la ecuacin x2 = 2 admite solucin en el conjunto de losnmeros reales. En la seccin 2 mostraremos otro ejemplo de carcter geomtrico que ilustracmo aparecen los nmeros reales en el clculo de reas de ciertas figuras geomtricas.1. Sucesiones crecientes y acotadasDiremos que una sucesin de nmeros racionales (an)n1 es creciente si an an+1 para todo nmero natural n.Si anan+1 n N, diremos que (an)n1 es estrictamente creciente. Los conceptos de sucesin decreciente yestrictamente decreciente son anlogos cambiando el orden de la desigualdad (es decir, an an+1 y anan+1).En otras palabras, una sucesin es creciente cuando cada trmino es mayor o igual que el anterior,mientras que una sucesin es estrictamente creciente cuando cada trmino es estrictamentemayor que el anterior. Es fcil ver que una sucesin (a)es creciente (estrictamente creciente)nn1 si y slo si a a(a a) para todo par de nmeros naturales n, m tal que nm.n m n mEs claro que la sucesin de los nmeros naturales a= n es una sucesin estrictamenten creciente. Por otro lado, la sucesin a= (-1)n no es creciente ni decreciente.n Ejercicio 5.3.1. Mostrar que las sucesiones an = 1 y bn = 1son estrictamente decrecientes.2n2. Mostrar que la sucesin ncn = nes estrictamente creciente.n+1Ejercicio 5.4. Dar un ejemplo de una sucesin creciente pero no estrictamente creciente.Diremos que una sucesin de nmero racionales (an)n1 es acotada superiormente, si existe un nmeroracional d tal que an d para todo n N. En este caso, diremos que d es una cota superior de la sucesin(an)n1. Anlogamente, diremos que (an)n1 es acotada inferiormente, si existe un nmero racional c tal quec an para todo n N, y c se denomina una cota inferior de la sucesin (an)n1. Finalmente, diremos que(an)n1 es acotada si es acotada superiormente e inferiormente.Para ilustrar el concepto de sucesin acotada, consideremos la sucesin de los nmeros naturalesan = n y la sucesin bn = 1/n. La primera, est acotada inferiormente pero no superiormente.Cualquier nmero c 1 es una cota inferior. Sin embargo, ningn nmero d tiene la propiedadde ser mayor que todos los nmeros naturales. Es decir, si d es un nmero racional, existealgn natural md, por lo que amd, y luego d no puede ser una cota superior de (an)n1. Porotra parte, la sucesin bn est acotada tanto superior como inferiormente. De hecho, cualquiernmero 0 es una cota inferior, y cualquier nmero 1 es una cota superior.128 Los Nmeros
  4. 4. Es importante destacar que una sucesin (an)n1 es acotada si todos sus trminos estndentro de un intervalo [c, d] donde c y d son cotas inferiores y superiores de (an)n1,respectivamente. Esto significa que c an d para todo n 1.Ejercicio 5.5.1. Probar que toda sucesin creciente de nmeros racionales es acotada inferiormente.2. Probar que toda sucesin decreciente de nmeros racionales es acotada superiormente.Ejercicio 5.6. Mostrar cotas superiores e inferiores para las sucesionesan = nn+1, bn = 12n y cn = ( 1)n2. Un ejemplo geomtricoConsideremos el grfico de la funcin y = f(x) = 1/x en el intervalo [1, 2]. Cul es el reade la regin R comprendida por dicho grfico, el eje x y las dos rectas verticales x = 1 yx = 2? En la figura 2 ilustramos a la regin R marcada con color verde.Llamemos S al valor del rea de la regin R. Dado queyno tenemos una herramienta para calcular el valor de S,1,0desarrollaremos un nuevo mecanismo para poder aproximar0,8dicho valor, utilizando algunos conocimientos elementales0,6de geometra. Entre todas las figuras geomtricas de las cualessabemos calcular el rea se encuentra el rectngulo. Recordemos0,4que el rea de un rectngulo de base b y altura h es el producto0,2bh. Veamos cmo podemos utilizar esta frmula paraaproximar el valor de S. Observemos que, si consideramosel rectngulo R que tiene como base el intervalo cerrado[1, 2] y altura f (2) = 1/2, dicho rectngulo se encuentra pordebajo del grfico de la funcin y el rea del mismo es 1/2.Es claro que este valor no va a coincidir con el valor de S quequeremos calcular, ya que hay puntos de R que no pertenecena R. Estos puntos se corresponden con la regin en blancode la figura 3. Si bien no hemos calculado el valor de S,hemos aproximado dicho valor por el nmero 1/2 y adems1/2S. Una pregunta natural es la siguiente: cul es el errorcometido al usar esta primera aproximacin? Entendemospor error a la diferencia entre el valor exacto S y el valor1/2, es decir S - 1/2. Como no conocemos el valor de S, nopodemos determinar el valor exacto del error cometido. Sinembargo, es importante destacar que el valor S - 1/2 coincidecon el rea de la regin en blanco de la figura 3.Supongamos ahora que dividimos al intervalo [1, 2] en dos subintervalos I, Ide la misma12 longitud. Como el intervalo [1, 2] tiene longitud 1, resulta que I= [1, 3/2] e I= [3/2, 2].1 2 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0Figura 2.xy1,00,80,60,40,21,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0Figura 3.xNmeros reales 129
  5. 5. Luego, ca