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INDICES SIMPLESINDICES COMPLEJOS

NUMEROS INDICES

RELACIONES LABORALESESTADISTICA

3 de diciembre de 2009

NUMEROS INDICES


NUMEROS INDICES

1 INDICES SIMPLESDEFINICIONPROPIEDADES

2 INDICES COMPLEJOSCOMPLEJOS SIN PONDERARCOMPLEJOS PONDERADOS

NUMEROS INDICES


Introduccion

Supongamos que tenemos los precios de un determinado artıculodurante los 4 primeros meses del ano:

Enero Febrero Marzo Abril

25 30 20 28

Analisis Descriptivo

En los temas anteriores:

Ordenabamos

Resumıamos

Representabamos...

Media de los precios 25.75

Desviacion Tıpica 3.7666

NUMEROS INDICES


Otro aspecto interesante del estudio estadıstico es el referido a la:

Evolucion

Variacion

Comparacion

De los valores de la Variable o Conjunto de Variables Relacionadas.

Evolucion

En el ejemplo anterior:


25 30 20 28

El precio del artıculo subio un 20 % en Febrero respecto a Enero.El precio del artıculo bajo un 20 % en Marzo respecto a Enero.El precio del artıculo subio un 12 % en Abril respecto a Enero.

NUMEROS INDICES


Supongamos las siguientes cantidades referidas a exportacion entres provincias de Andalucıa:

Cadiz Sevilla Huelva

500 550 425

Comparacion

Las exportaciones de Sevilla superan en un 10 % a lasexportaciones de Cadiz.Las exportaciones de Huelva son un 15 % inferiores a lasexportaciones de Cadiz.

NUMEROS INDICES


Definicion

Los Numeros Indices son cantidades estadısticas ideadas paramostrar las variaciones que tienen lugar en una variable, o conjuntode variables relacionadas, con respecto a alguna caracterıstica comopuede ser el tiempo, situacion geografica, renta, profesion, edad,...

NUMEROS INDICES


Normalmente las variables que se estudian son magnitudeseconomicas:

Precios de Ventas, Compras,...

Volumen o Cantidades de Produccion, Ventas,Exportaciones,...

Salarios, Nivel de Paro,...

El numero ındice mas conocido es el IPC (Indice de Precios deConsumo) elaborado por el Instituto Nacional de Estadıstica (INE)

NUMEROS INDICES

http://www.ine.es


DEFINICIONPROPIEDADES



NUMEROS INDICES



Indices Simples

Para comparar dos cantidades se necesitan los valores de unavariable X en dos situaciones diferentes:

o txo xt

La situacion “o” se denomina periodo de referencia o periodo base.Y a la situacion “t” periodo actual o periodo corriente.

Se define el Numero Indice Simple de X en el periodo “t” respectoal periodo “o”, a la razon:

It|o =xt

xo

Observese que es adimensional (no depende de las unidades).Se suele expresar en porcentaje: ( It|o = xt

xo· 100 %)

NUMEROS INDICES



Ejemplo


25 30 20 28

IF |E =30

25= 1,2 (120 %)

Interpretacion: 120− 100 = 20 =⇒ el precio ha subido un 20 % enFebrero con respecto a Enero.

NUMEROS INDICES



Ejemplo


25 30 20 28

IM|E =20

25= 0,8 (80 %)

Interpretacion: 80− 100 = −20 =⇒ el precio ha bajado un 20 %en Marzo con respecto a Enero.

NUMEROS INDICES



Ejemplo


25 30 20 28

IA|E =28

25= 1,12 (112 %)

Interpretacion: 112− 100 = 12 =⇒ el precio se ha incrementadoen un 12 % en Abril con respecto a Enero.

NUMEROS INDICES



Ejemplo


25 30 20 28

IA|M =28

20= 1,40 (140 %)

Interpretacion: 140− 100 = 40 =⇒ el precio ha subido un 40 % enAbril con respecto a Marzo.

NUMEROS INDICES



Ejemplo


500 550 425

IS|C =550

500= 1,1 (110 %)

Interpretacion: 110− 100 = 10 =⇒ las exportaciones de Sevillasuperan en un 10 % a las exportaciones de Cadiz.

NUMEROS INDICES



Ejemplo


500 550 425

IC |S =500

550= 0,9091 (90,91 %)

Interpretacion: 90,91− 100 = −9,09 =⇒ las exportaciones enCadiz son un 9.09 % mas bajas comparadas con las exportacionesde Sevilla.

NUMEROS INDICES



Ejemplo


500 550 425

IH|C =425

500= 0,85 (85 %)

Interpretacion: 85− 100 = −15 =⇒ Las exportaciones de Huelvacon respecto a las de Cadiz son un 15 % mas bajas.

NUMEROS INDICES



Propiedades

Identidad

It|t = 1

Inversion

It|o =1

Io|t

NUMEROS INDICES



Ejemplo

Si las importaciones de Francia con respecto a Espana son un 12 %superiores, las importaciones de Espana con respecto a Francia soninferiores, ¿en que porcentaje?

IF |E = 1,12⇒ IE |F =1

1,12= 0,8929 (89,29 %)

Respuesta: 89.29-100=-10.71 =⇒ son inferiores en un 10.71 %

NUMEROS INDICES



Circular

It|o = It|s · Is|oCambio de base:

It|s =It|oIs|o

NUMEROS INDICES



Ejemplo

El precio de un artıculo subio un 5 % en febrero respecto de eneroy bajo un 5 % en mazo respecto a febrero. ¿Que variacionexperimenta en marzo respecto a enero?

IF |E = 1,05, IM|F = 0,95⇒ IM|E = 0,95× 1,05 = 0,9975 (99,75 %)

Respuesta: 99.75-100=-0.25 =⇒ El precio del artıculo bajo un0.25 % en marzo respecto a enero.

NUMEROS INDICES



Ejemplo

Se tiene los siguientes ındices en base 2000.

2003 2004 2005 2006

110 % 112 % 95 % 90 %

Expresar los ındices en base 2003.¿En que porcentaje se incrementa en el 2004 con respecto al 2003?

NUMEROS INDICES



I2004|2003 =I2004|2000

I2003|2000=

1,12

1,10= 1,0182

I2005|2003 =I2005|2000

I2003|2000=

0,95

1,10= 0,8636

I2006|2003 =I2006|2000

I2003|2000=

0,90

1,10= 0,8182

2003 2004 2005 2006

100 % 101.82 % 86.36 % 81.82 %

En 2004 respecto al 2003 se incrementa en un 1.82 %

NUMEROS INDICES



Encadenamiento

It|0 = It|t−1 · It−1|t−2 · · · · · I1|0.

Ejemplo

I2003|2002 I2004|2003 I2005|2004 I2006|2005

105 % 102 % 99 % 99 %

Calcular el I2006|2002

I2006|2002 = 0,99× 0,99× 1,02× 1,05 = 1,0497 (104,97 %)

NUMEROS INDICES



Homogeneidad

Los numeros ındices simples no depende de las unidades de medida.

Ejemplo

Supongamos el precio de un artıculo en dos anos consecutivosexpresado en dos unidades distintas:

2004 2005

Euros 25 30Centimos de Euros 2500 3000

En Euros:

I2005|2004 =30

25= 1,2 (120 %)

En Centimos de Euro

I2005|2004 =3000

2500= 1,2 (120 %)

NUMEROS INDICES



Ejemplo

En una estacion de servicio en el ultimo mes el volumen de litrosde gasolina vendidas se ha incrementado en un 10 % y el precio hadescendido un 5 %. ¿Cuanto se ha incrementado la recaudaciondurante el ultimo mes?

X=Litros, Y=Precio, XY=Recaudacion

I1|0(XY ) = I1|0(X )I1|0(Y ) = 1,10× 0,95 = 1,045 (104,5 %)

Respuesta: Se ha incrementado en un 4.5 %

NUMEROS INDICES


COMPLEJOS SIN PONDERARCOMPLEJOS PONDERADOS



NUMEROS INDICES



Introduccion

En la mayorıa de las situaciones lo que nos interesa es la evoluciono comparacion de un conjunto de variables relacionadas. Esto noslleva a buscar una medida que resuma las variaciones de todo elconjunto de variables. Estas medidas seran los numeros ındicescomplejos .

Ejemplos

Evolucion del precio en el conjunto de los carburantes.Evolucion de los precios en el mercado.Comparacion de las exportaciones entre paıses...

NUMEROS INDICES



Las variables las denominaremos:

X 1, X 2, . . . , X n

Se nos plantean dos situaciones diferentes:

Todas las variables tienen la misma importancia 7→ Complejossin Ponderar

Las variables tienen diferentes importancias 7→ ComplejosPonderados.

NUMEROS INDICES



Complejos sin Ponderar

Notacion

X i o t It|o(X i ) = I it|o

X 1 x1o x1

t I 1t|o = x1

tx1o

X 2 x2o x2

t I 2t|o = x2

tx2o

......

......

X n xno xn

t I nt|o = xn

txno

Definimos los siguientes Indices Complejos sin Ponderar.

NUMEROS INDICES



Media Geometrica

Media geometrica de los Indices Simples.

Gt|o = n

√I 1t|o × I 2

t|o × · · · × I nt|o

Media Agregativa

Comparacion de las medias de los valores en cada periodo.

At|o =x1t + x2

t + · · ·+ xnt

x1o + x2

o + · · ·+ xno

=

n∑i=1

x it

n∑i=1

x io

NUMEROS INDICES



Ejemplo

Supongamos que en una empresa existen tres categorıasprofesionales y que los salarios mensuales establecidos para cadauna de ellas durante los anos 2002 y 2003 fueron, medidos en milesde euros, los que se muestran en la tabla de la izquierda. A partirde dichos datos se puede calcular los ındices simples del ano 2003respecto al 2002 (tabla de la derecha):

2002 2003

Categorıa A 1 1.2

Categorıa B 1.6 2

Categorıa C 8 8

I2003|2002(A) 1.2

I2003|2002(B) 1.25

I2003|2002(C ) 1

NUMEROS INDICES



I2003|2002(A) I2003|2002(B) I2003|2002(C )

1.2 1.25 1

Indice Media Aritmetica

I 2003|2002 =1,2 + 1,25 + 1

3= 1,15 (115 %)

Interpretacion: Segun el Indice complejo sin ponderar de la MediaAritmetica los salarios se han incrementado en un 15 % en el 2003respecto 2002.

NUMEROS INDICES



I2003|2002(A) I2003|2002(B) I2003|2002(C )

1.2 1.25 1

Indice Media Armonica

H2003|2002 =3

11,2 + 1

1,25 + 11

= 1,1392(113,92 %)

Interpretacion: Segun el Indice complejo sin ponderar de la MediaArmonica los salarios se han incrementado en un 13.92 % en el2003 respecto 2002.

NUMEROS INDICES



I2003|2002(A) I2003|2002(B) I2003|2002(C )

1.2 1.25 1

Indice Media Geometrica

G2003|2002 = 3√

1,2 · 1,25 · 1 = 1,1447 (114,47 %)

Interpretacion: Segun el Indice complejo sin ponderar de la MediaGeometrica los salarios se han incrementado en un 14.47 % en el2003 respecto 2002.

NUMEROS INDICES



2002 2003

Categorıa A 1 1.2

Categorıa B 1.6 2

Categorıa C 8 8

Indice de la Media Agregativa

At|0 =1,2 + 2 + 8

1 + 1,6 + 8= 1,0566 (105,66 %

Interpretacion: Segun el Indice complejo sin ponderar de la MediaAgregativa los salarios se han incrementado en un 5.66 % en el2003 respecto 2002.

NUMEROS INDICES



Indices Complejos Ponderados

Los Indices Complejos Ponderados proporcionan diferenteimportancia (pesos) a cada una de las variables que los constituyen.Normalmente los pesos se eligen de forma que sumen uno.

Notacion

Variables I ndices Pesos

X 1 I 1t|o w 1

X 2 I 2t|o w 2

......

...

X n I nt|o wn

1

NUMEROS INDICES



Notacion

En una situacion general tendremos los siguientes datos:

Periodo Base(o) Periodo Corriente(t)Valores Pesos Valores Pesos

X 1 x1o w 1

o x1t w 1

t

X 2 x2o w 2

o x2t w 2

t

......

......

...

X n xno wn

o xnt wn

t

1 1

NUMEROS INDICES



Definimos los siguientes Indices Complejos Ponderados

Indice Complejo Ponderado de Laspeyres

Criterios:

Promedio: Media Aritmetica.

Ponderaciones: Periodo Base

Expresion

Lt|o = I 1t|ow 1

o + I 2t|ow 2

o + . . . + I nt|own

o =n∑

i=1

I it|0 · w

io

NUMEROS INDICES



Indice Complejo Ponderado de Passche

Criterios:

Promedio: Media Armonica.

Ponderaciones: Periodo Actual

Expresion

HP =1

1I 1t|o

w 1t + 1

I 2t|o

w 2t + . . . + 1

I nt|o

wnt

=1

n∑i=1

1

I it|o

w it

NUMEROS INDICES



Indices de Precios, Cantidades y Valor

Notacion

Consideremos las situaciones que se adapten a la siguiente tabla:

Periodo Base(o) Periodo Corriente(t)Precios Cantidades Precios Cantidades

X 1 p1o q1

o p1t q1

t

X 2 p2o q2

o p2t q2

t

......

......

...

X n pno qn

o pnt qn

t

NUMEROS INDICES



En estas situaciones y teniendo en cuenta que los pesos que seconsideran son el valor relativo de de la variable en el periodo quese considera, es decir:Peso de la variable X j en el periodo “t”

w jt =

pjt · q

jt

n∑i=1

pit · qi

t

Se definen los siguientes ındices aplicando los criterios anteriores.

NUMEROS INDICES



Laspeyres de Precios

Lt|o(P) =p1t

q1o

+ p2t

q2o

+ · · ·+ pnt

qno

p1o

q1o

+ p2o

q2o

+ · · ·+ pno

qno

Lt|o(P) =

n∑i=1

pitqi

o

n∑i=1

pioqi

o

NUMEROS INDICES



Laspeyres de Precios

Lt|o(P) =p1t q1

o + p2t q2

o + · · ·+ pnt qn

o

p1oq1

o + p2oq2

o + · · ·+ pnoqn

o

Lt|o(P) =

n∑i=1

pitqi

o

n∑i=1

pioqi

o

NUMEROS INDICES



Laspeyres de Cantidades

Lt|o(Q) =q1t

p1o

+ q2t

p2o

+ · · ·+ qnt

pno

q1o

p1o

+ q2o

p2o

+ · · ·+ qno

pno

Lt|o(Q) =

n∑i=1

qitpi

o

n∑i=1

qiopi

o

NUMEROS INDICES



Laspeyres de Cantidades

Lt|o(Q) =q1t p1

o + q2t p2

o + · · ·+ qnt pn

o

q1op1

o + q2op2

o + · · ·+ qnopn

o

Lt|o(Q) =

n∑i=1

qitpi

o

n∑i=1

qiopi

o

NUMEROS INDICES



Paasche de Precios

Pt|o(P) =p1t

q1t

+ p2t

q2t

+ · · ·+ pnt

qnt

p1o

q1t

+ p2o

q2t

+ · · ·+ pno

qnt

Pt|o(P) =

n∑i=1

pitqi

t

n∑i=1

pioqi

t

NUMEROS INDICES



Paasche de Precios

Pt|o(P) =p1t q1

t + p2t q2

t + · · ·+ pnt qn

t

p1oq1

t + p2oq2

t + · · ·+ pnoqn

t

Pt|o(P) =

n∑i=1

pitqi

t

n∑i=1

pioqi

t

NUMEROS INDICES



Paasche de Cantidades

Pt|o(Q) =q1t

p1t

+ q2t

p2t

+ · · ·+ qnt

pnt

q1o

p1t

+ q2o

p2t

+ · · ·+ qno

pnt

Pt|o(Q) =

n∑i=1

qitpi

t

n∑i=1

qiopi

t

NUMEROS INDICES



Paasche de Cantidades

Pt|o(Q) =q1t p1

t + q2t p2

t + · · ·+ qnt pn

t

q1op1

t + q2op2

t + · · ·+ qnopn

t

Pt|o(Q) =

n∑i=1

qitpi

t

n∑i=1

qiopi

t

NUMEROS INDICES



Indice Complejo de Valor

Vt|o =p1t q1

t + p2t q2

t + · · ·+ pnt qn

t

p1oq1

o + p2oq2

o + · · ·+ pnoqn

o

=

n∑i=1

pitqi

t

n∑i=1

pioqi

o

Propiedad

El Indice de Valor verifica:

Vt|0 = L(P)t|0 · P

(Q)t|0 = L

(Q)t|0 · P

(P)t|0

NUMEROS INDICES



Ejemplo

Consideremos tres tipos de impresos (A, B y C) que se hancomprado en los anos 2004 y 2005. Estudiemos la evolucion de losprecios, de las cantidades compradas y del gasto total del asesorlaboral, considerando los siguientes datos:

Ano 2004 Ano 2005Precios Cantidades Precios Cantidades

Impreso A 2 8 3 7Impreso B 3 5 4 6Impreso C 1 3 2 3

NUMEROS INDICES





L2005|2004(P) =3× 8 + 4× 5 + 2× 3

2× 8 + 3× 5 + 1× 3=

50

34= 1,47 (147 %)

Interpretacion: Segun el Indice Complejo de Laspeyres los preciossubieron un 47 % en el 2005 respecto al 2004.

NUMEROS INDICES





L2005|2004(Q) =7× 2 + 6× 3 + 3× 1

8× 2 + 5× 3 + 3× 1=

35

34= 1,0294 (102,94 %)

Interpretacion: Segun el Indice Complejo de Laspeyres lascantidades aumentaron un 2.94 % en el 2005 respecto al 2004.

NUMEROS INDICES





P2005|2004(P) =3× 7 + 4× 6 + 2× 3

2× 7 + 3× 6 + 1× 3=

51

35= 1,457 (145,7 %)

Interpretacion: Segun el Indice Complejo de Paasche los preciossubieron un 45.7 % en el 2005 respecto al 2004.

NUMEROS INDICES





P2005|2004(Q) =7× 3 + 6× 4 + 3× 2

8× 3 + 5× 4 + 3× 2=

51

50= 1,02(102 %)

Interpretacion: Segun el Indice Complejo de Paascche lascantidades aumentaron un 2 % en el 2005 respecto al 2004.

NUMEROS INDICES





V2005|2004 =3× 7 + 4× 6 + 2× 3

2× 8 + 3× 5 + 1× 3=

51

34= 1,50 (150 %)

Interpretacion: El valor de lo adquirido en impresos aumento un50 % en el 2005 con respecto al 2004.

NUMEROS INDICES

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