A=(-p,yv(0,0)P(x,y)F(p,0)24;0y pxp=>P :XYL:x=-p(-p,0)d(P,F)=d(P, L)Ecuacin de la Parbola con eje focal en el eje X y vrtice en el origen1 NOLAN JARA J. A(-p,y)BCP(x,y)LV(0,0)BCLF(p,0)(-p,0)xyP :y=4px;p>0DirectrizL: x = -p2 NOLAN JARA J. V(0,0) F(p,0)L: x= - p ; p= p p y24; 0 x py p = >24; 0 x py p = L:L:P :P :Ecuacin de la Parbola con eje focal en el eje Y y vrtice en el origen4 NOLAN JARA J. (0,-p)(0,-p)Ov(h,k)YXX:y=keje focalYF(h+p,k)2( ) 4 ( ) ; 0 y k px h p=>L : x=h-pP :Ecuacin de la Parbola con eje focal paralelo al eje X y vrtice en (h,k)5 NOLAN JARA J. OF(h-p,k)2( ) 4 ( ) ; 0 y k px h p= P :xyL :x = h-pV(h,k)xy6 NOLAN JARA J. YXF(h,k+p)OL: y=k-pV(h,k)xY:x=heje focal2( ) 4 ( ) ; 0 x h p y k p=>P :Ecuacin de la Parbola con eje focal paralelo al eje Y y vrtice en (h,k)7 NOLAN JARA J. YXF(h,k+p)OL: y = k-pV(h,k)xy:2( ) 4 ( ) ; 0 x h p y k p=P :8 NOLAN JARA J. x=heje focalNOLAN JARA J.9Ecuacin General de la Parbola con eje focal Paralelo al eje X y vrtice V en (h,k)Ecuacin General de la Parbola con eje focal Paralelo al eje Y y vrtice V en (h,k)En qu direccin se reflejaran Los rayos de una fuente de luz situada en el foco de un espejo parablico.Paralela al eje Focal.20 Cy Dx Ey F=20 Ax Dx Ey F=V2 V1F1 (-c,0)XYB2F2 (c,0)B12 22 2: 1x ya bI=P(x,y)Ecuacin de la Elipse con eje focal en el eje X y centro en el origend(P, F1) + d(P, F2)= 2a; (a>c)10 NOLAN JARA J. (0, 0) Cxy) 0 , (1c F) 0 , (2c F) , 0 (1b B ) , 0 (2b B) 0 , (1a V ) 0 , (2a Veax l= :1eax l = :2) , ( y x PCabc2 22 2: 1x ya bI=11 NOLAN JARA J. EExy) 0 , (1c F) 0 , (2c F) , 0 (1b B ) , 0 (2b B) 0 , (1a V ) 0 , (2a Veax l= :1eax l = :21L2L'1L'2L) , ( y x P(0, 0) Ca2 22 2: 1x ya bI=12 NOLAN JARA J. xy1(0, ) F c 2 (0, ) F c1( , 0) B b 2 ( , 0) B b1(0, ) V a 2 (0, ) V a1:al ye= 2:al ye=1L2L'1L'2L(0, 0) C2 22 2: 1y xa bI=13 NOLAN JARA J. Ecuacin de la Elipse con eje focal en el eje Y y centro en el origenC(h,k)' X' YOYX2 22 2( ) ( ): 1x h y ka bI =14 NOLAN JARA J. Ecuacin de la Elipse con eje focal paralelo aleje X y centro en (h,k)2 ( , ) V h ak 1( , ) V h ak 2 ( , ) F h ck 1( , ) F h ck 2 ( , ) B hk b 1( , ) B hk b C(h,k)' X' YOYX2 22 2( ) ( ): 1y k x ha bI =15 NOLAN JARA J. Ecuacin de la Elipse con eje focal paralelo aleje Y y centro en (h,k)2 ( , ) B h bk 2 ( , ) B h bk 2 ( , ) V hk a 1( , ) V hk a 2 ( , ) F hk c 1( , ) F hk c NOLAN JARA J.16Ecuacin General de la Elipse con eje focal paralelo a losejes coordenados y centro C en (h,k)2 20 pero signos igualesAx Cy Dx Ey FA C==17v1(-a,0)v2(a,0)P(x,y)|d(P, F1) - d(P, F2) | = 2a (c>a)Ecuacin de la hiprbolaF1(-c,0)F2(c,0) =2 22 2x y1a bNOLAN JARA J. 184 1 2 l l 2 1 4 12ll21xyF1 F2V1V2Foco FocoVrtice VrticeOCentroEje FocalEje Normal =2 22 2x y1a bc2= a2+ b2 NOLAN JARA J. 19F1. .F2-c-aa c. .V1V2W2W1V1V2: eje transversoW1W2: eje conjugadob-bNOLAN JARA J. 20 =2 22 2x y1 Ha b

Ecuaciones de las asntotasSi la ecuacin de la hiprbola esLas ecuaciones de las asntotas se obtienen igualando la ecuacin H a 00byax2222= =x y0 =x y0NOLAN JARA J. 21Ecuaciones de las asntotasb-b=y x= y xac-a-cNOLAN JARA J. ) 0 , (1c F) 0 , (2c F11L21L2L1L0 :2=y x LA 0 :1=y x LA eax l= :1eax l = :2 ) , 0 (1b B ) , 0 (2b B) 0 , (1a V ) 0 , (2a V) , ( y x PCc2 22 21x yHa b = yx22 NOLAN JARA J. NOLAN JARA J.23 1) Dos parabolas con eje focal vertical tienen su foco en el origen de coordenadas y pasan por el punto (2 7, 6).la distancia entre los vertices.EjemplosDiversosCalcular 2) La Elipse E con centro en el origen de coordenadas tiene un foco en4 2, 0si3, 3 E Hallar las ecuaciones de las directrices de E.3) Hallar la Ecuacion de la Hiperbola H cuyas asintotas:21 (x-2)3y

= 9 y que pasa por (- ,5) 24)Encontrar la ecuacion de la Elipse que tiene sus focos en losvertices dela hiperbola que tiene como asintotas las rectas 3y= x, y como directricesy = 4.Los vertices de l2 a elipse son los focos dela hiperbola.5) La Recta x=-3 es la directriz de una parbola, los Puntos (-13,-5) y (-13,11) pertenecen a la parbola y la abscisa del foco es mayor que -13.Hallar: la ecuacin de la parbola, la ecuacin de la recta tangente a la parbola que sea paralela a la recta x-2y-5=0.6) Dos puntos de una parbola son (11,9) y (6,-1). Si la directriz es la recta x=1 encontrar la ecuacin de la parbola.7) Hallar la longitud de la cuerda focal de la parbolaque pasa por el punto (8,-8).8) Hallar la ecuacin de la parbola de eje focal paralelo al eje Y, siendo su lado recto un Dimetro de la circunferencia 9) Un piloto conduce un carro militar que sigue la trayectoria recta y-2x=6.La frontera de su objetivo esta dada por la parbola Determinar a que distancia mnima de dicha frontera pasara el carro militar.10) Los focos de una elipse son los puntos (-4,-2) y (-4,-6) y la longitud de cada lado recto es 6.Hallar la ecuacin de la elipse y su excentricidad.11) Si las asntotas de una Hiprbola H son:3x-4y+3 =0,3x+4y+9=0 y (-3,-3/4) pertenece a H. Determinar el rea del triangulo que forma la asntota de pendiente positiva, el eje focal y la recta que contiene a uno de los lados rectos.28 0 x y=2 22 4 4 x y x y= 24 6 17 y x y = NOLAN JARA J.2512) Se desea adquirir un terreno para construir una cancha de Tenis. Se encuentra un terreno delimitado por la elipse x2+ 4y2= 48, a$500el m2. Considerando que los lados de la cancha sean paralelos a los ejes de la elipse y el largo sea el doble del ancho.Calcular el rea de la cancha de Tenis y su costo.Cuanto se pagara en total si hay un descuento del 50%por la parte del terreno donde no se construir la cancha.13) Se desea adquirir un terreno para construir una cancha de Tenis. Se encuentra un terreno delimitado por la elipse 3x2+ 4y2= 48, a$500el m2. Considerando que los lados de la cancha sean paralelos a los ejes de la elipse y el largo sea el doble del ancho.Calcular el rea de la cancha de Tenis y su costo.Cuanto se pagara en total si hay un descuento del 50%por la parte del terreno donde no se construir la cancha.14) El techo de un pasillo de 20 pies de ancho tiene la forma de una semi-elipse y tiene 18 pies de altura en el centro y 12 pies de altura en las paredes laterales. Encontrar la altura del techo a 4 pies de cualquier pared.15) Hallar el rea de la regin interior del cuadriltero AOBC y exterior a la elipse inscrita en el cuadriltero, si el lado AC contiene al foco de la parbolax2 4x + 12y + 4 = 0, que pasa por C. ( rea de la Elipse = ab )