no newtonianos

20
1 Fluidos no newtonianos Los fluidos newtonianos tienen como característica que mantienen constante su viscosidad al modificar la velocidad de corte sobre el fluido. Los que no muestran esa propiedad se consideran no newtonianos. Los fluidos no newtonianos se pueden clasificar en tres categorías: 1.- Comportamiento independiente del tiempo. 2.- Comportamiento dependiente del tiempo. 3.- Viscoelásticos. 1.- Para el primer caso de fluidos que muestran un comportamiento constante con el tiemp0, el esfuerzo cortante sólo depende de la velocidad de corte. Estos fluidos se muestran en la figura siguiente.

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Fluidos no Newtonianos

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Page 1: No Newtonianos

1

Fluidos no newtonianos

Los fluidos newtonianos tienen como característica que mantienen constante su viscosidad al

modificar la velocidad de corte sobre el fluido. Los que no muestran esa propiedad se consideran

no newtonianos.

Los fluidos no newtonianos se pueden clasificar en tres categorías:

1.- Comportamiento independiente del tiempo.

2.- Comportamiento dependiente del tiempo.

3.- Viscoelásticos.

1.- Para el primer caso de fluidos que muestran un comportamiento constante con el tiemp0, el

esfuerzo cortante sólo depende de la velocidad de corte. Estos fluidos se muestran en la figura

siguiente.

Page 2: No Newtonianos

2

Las expresiones comunes para representar el comportamiento de estos fluidos son:

Modelo de Ostwald de Waele o ley de la potencia:

��

� �

� �

� �

� �

�� �

� �

�� �

� �

K, el indice de consistencia, y n el indice de comportamiento de flujo, son parámetros

determinados empiricamente. El término ap , conocido como viscosidad aparente,cambia con la

velocidad de corte.

El valor de n determina la forma del comportamiento de estos flujos: si n<1 el fluido se denomina

pseudoplastico, y significa que fluye más fácilmente al incrementar la velocidad de corte. Cuando

n>1 se incrementa la resistencia a fluir al aumentar la velocidad de corte y el fluido se denomina

dilatante.

La mayoría de los fluidos no newtonianos son pseudoplasticos: jugos y pure de frutas,

salsas,polimeros fundidos (poliestireno, acrilonitrilo, propileno, etc.), cosmeticos,latex, tinta de

imprenta, etc.

Los fluidos dilatantes son más raros, ejemplo el cemento y suspensiones concentradas de almidón

de maíz, entre otras. Su comportamiento se explica porque a medida que la velocidad de corte

aumenta, el material se expande y comienzan a aparecer esfuerzos de interacción sólido-sólido

que se traducen en un aumento de la viscosidad aparente.

El modelo de la ley de la potencia tiene limitantes, tales como, ser aplicable a un rango de

velocidades de corte y que el valor de K depende del valor de n. Hay fluidos como el PVC que

muestran en comportamiento de pseudoplastico a cierto valor de la velocidad de corte y como

dilatante a otra velocidad de corte. El modelo de Carreau y el de Ellis son correciones a la ley de la

potencia a valores extremos de la viscosisdad aparente o de la velocidad de corte.

Dentro de los fluidos que muestran un comportamiento constante con el tiempo de hallan los

denominados viscoplásticos, que muestran un comportamiento de sólidos mientras el esfuerzo

cortante no supere el valor de fluencia 0, una vez superado este valor adoptan un

comportamiento de newtoniano: Bingham o ley de la potencia( Herchel-Bulkley).

Estas caracteristicas pueden ser deseables en ciertos fluidos como la pasta dental que se pretende

que permanezca en reposo cuando está aplicada sobre el cepillo y que fluya sólo con el cepillado.

Plástico de Bingham: pasta dental, pure de tomate, extracto de carne, etc.

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��

��

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Page 3: No Newtonianos

3

Modelo de Herschel- Bulkley: dulce de leche, chocolate fundido, etc.

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Casson: aplicable a materiales biologicos (sangre)

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��

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2.- Comportamiento que depende del tiempo en que se aplica la velocidad de corte, dicho

comportamiento se divide en:

a) Tixotropía. La viscosidad aparente disminuye con el tiempo, tal como ocurre en suspensiones

de arcilla, ciertas suspenciones concentradas, suspensiones de proteinas y ciertos alimentos.

b)La reopexia es el fenomeno inverso a la tixotropía, que se manifiesta en un aumento de la

viscosidad aparente con el aumento de la velocidad de corte. Ejemplo: poliéster.

Ambos tipos( tixotropía y reopexia) presentan el fenómeno de histeresis cuando se realiza la curva

vs

�� .

Page 4: No Newtonianos

4

3.- Viscoelasticos. Tienen la caracteristica de recuperar parcialmente su estado inicial (memoria)

de manera semejante a un resorte. Su comportamiento se puede modelar mediante analogías

mecánicas compuestas de resortes y amortiguadores. El modelo más comun es el de Maxwell.

Se aplica a ciertos materiales biologicos.

Debido a que la mayoría de los fluidos no newtonianos se describen con modelos independientes

del tiempo, enseguida se muestra el comportamiento de ellos.

Fluidos que siguen la ley de la potencia:

De la materia de Fenómenos de transporte se conoce que para un conducto cilíndrico, la

distribución de velocidades en régimen laminar se expresa por:

*

� �

+

,

-

./ �

"0

1

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2

"0

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2

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�3

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6

7

8

60

Válida para perfiles de fluidos pseudoplásticos y dilatantes. La siguiente figura muestra su

comportamiento.

Page 5: No Newtonianos

5

En la figura anterior cuando el índice de comportamiento n es igual a 1, el fluido es newtoniano.

Procedimiento de Levenspiel para el cálculo del factor de fricción con fluidos pseudoplásticos simples (τy= 0, n < 1)

La ecuación reológica para los fluidos pseudoplásticos simples (n < 1), según el

modelo de Herschel–Bulkley es:

93

:;

:<0 5

"

El método de cálculo puede describirse en la siguiente forma:

1º Calcular el número de Reynolds generalizado, que se define con la siguiente

expresión:

1=

>?"

@

6

A

B

C

6

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6

C

8

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"

2

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2° Con Regen y n obtener el factor de fricción de Fanning fF con la gráfica obtenida por Dodge y Metzner adaptada por Levenspiel, que se presenta en la figura siguiente. Recuérdese que fF = f/4, siendo f el factor de fricción de la fórmula de Darcy.

Page 6: No Newtonianos

6

Fluidos que se interpretan como plásticos de Bingham.

En un conducto cilíndrico, la distribución de velocidades en régimen laminar para un fluido que

desciende se expresa por:

� 3

J

K

J

L

H

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&'

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P0 )

& para r < r0

Cuando r>ro el fluido fluye, mientras que para r<r0 se mueve como un sólido, ya que el esfuerzo cortante en esa zona no rebasa el valor de fluencia o. En las ecuaciones anteriores, que se obtienen otra materia, se define P=p-gz, donde R es el radio del tubo,y r el valor que mide a partir del centro del tubo.

Procedimiento de cálculo de Levenspiel (1986), para la determinación del factor de fricción con lodos residuales (Bingham pseudoplásticos)

Este investigador señala que aún no se ha resuelto el problema específico del cálculo de la caída de presión en una tubería que transporta un fluido Bingham pseudoplástico, pero sí plantea un procedimiento para calcular el Bingham plástico (τy > 0 y n = 1) y el pseudoplástico simple (τy = 0 y n < 1). La solución que propone Levenspiel consiste en descomponer el Bingham pseudoplástico en dos, a saber: un Bingham plástico, haciendo n = 1 en la expresión de Herschel–Bulkley y un pseudoplástico simple, haciendo τy = 0 en la misma ecuación. Posteriormente, calcular ambos líquidos e interpolar los resultados en alguna forma, dice el investigador, ya que el valor correcto del Bingham pseudoplástico tendrá necesariamente que encontrarse entre el Bingham plástico y el pseudoplástico simple, que son los dos fluidos en los que se ha descompuesto el original. La propuesta para el fluido pseudoplástico se presentó antes.

Procedimiento de Levenspiel para el cálculo del factor de fricción con fluidos tipo Bingham plástico (τy> 0, n = 1)

En este caso el método para realizar el cálculo puede describirse en la siguiente forma:

1. Determinar experimentalmente los parámetros: τy, γ, ρ y Κ

2. Calcular el número de Reynolds de la mezcla:

(D, diámetro de la tubería) 3. Calcular el número de Hedstrom:

Page 7: No Newtonianos

7

4. Determinar el factor de fricción de Fanning fF, con los parámetros Re y He en la gráfica de Hedstrom adaptada por Levenspiel y a partir de este valor, obtener el factor f de Darcy (f=4fF).

Page 8: No Newtonianos

8

Situaciones comunes en fluidos no-newtonianos

A-Se desconoce: la caída de presión o la diferencia de niveles o la potencia del sistema

motor-bomba o la longitud de la tubería.

Fluido que sigue la ley de la potencia

En lugar de conocer la viscosidad del fluido, ahora se conoce el coeficiente de consistencia del

fluido m y el índice de comportamiento del flujo o exponente n. Se considera que la rugosidad del

tubo tiene un efecto despreciable en el comportamiento del fluido, por lo que el número de

variables totales es el mismo que en el caso del fluido Newtoniano.

Planteamiento del problema:

Conocidos: Q,d,ρ,m,n,ef Encontrar P o z o hp o L

Procedimiento:

1- Calcular el número de Reynolds

W

4?

X

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F

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6

A

B

C

6

D

[\

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2

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"]

6

2- Calcular el coeficiente de fricción en el rango entero de número de Reynolds (laminar,

transición y turbulento) utilizando el diagrama o las siguientes expresiones.

Page 9: No Newtonianos

9

fL=16/N Re,pl, se aplica para NRe,pl < NRe, plc

^

_

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K

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hnh

6 para NRe,plc < NRE,pl < 4000

NRe,plc es el número de Reynolds critico al cual el comportamiento como flujo laminar cesa

NRe,plc=2100+875(1-n)

3- Evaluar las pérdidas por fricción mediante

4 -De aquí sigue evaluar la variable desconocida de la misma forma realizada para fluidos

Newtonianos.

Del balance de energía despejar la variable desconocida

4a-Caída de presión

4b- Diferencia de nivel

4c- Potencia del motor

4d- Longitud de la tubería

D

fLVF

22

))/(

)746(*)(*

2(

2

Fskgw

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VP

gFskgw

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)746(*)(*

2(

2

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2

2

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)746(*)(*

2(

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d

skgw

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)746(*)(*

2

2

Fskgw

EfhpZg

VP

Page 10: No Newtonianos

10

Fluido que se comporta como un plástico de Bingham.

Planteamiento del problema:

Conocidos: Q,d,ρ,τo,,ef Encontrar P o z o hp o L

El número de variables es igual al de los casos anteriores

Procedimiento:

1- El factor de fricción para un plástico de Bingham puede ser calculado para un número de

Reynolds de laminar a turbulento usando el diagrama correspondiente o mediante la las

expresiones escritas enseguida.

El número de Hedstom se escribe en las expresiones siguientes

1-a Ecuación

^

� #

^

p

[

^

_

[$

[0

donde m = 1.7 +40,000/NRe

Page 11: No Newtonianos

11

Para el plástico de Bingham no existe la abrupta transición de laminar a turbulento como

se observa en los fluidos Newtonianos, en su lugar, se presenta una gradual desviación del

flujo puramente laminar al flujo totalmente turbulento. Para flujo turbulento

^

_

��

q

b

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K

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8ji

donde

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&~ es el número de

Hedstrom. Para flujo laminar

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b

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xd

b

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I �

b

xd

o

i

b

cd

h �� donde el número de

Reynolds se manifiesta por NRe= DVρ/

2- Del balance de energía despejar la

variable desconocida, donde

3- De aquí sigue evaluar la variable desconocida de la misma forma expresada desde 4-a

hasta 4-d del caso anterior.

B- Fluido de flujo desconocido

El flujo de fluido es determinado cuando se conocen las fuerzas que impulsan su movimiento. El

mismo número total de variables está involucrada. La diferencia, ahora, consiste en que algunos

parámetros requeridos en el procedimiento de encontrar el valor desconocido del flujo, dependen

del valor de la incógnita. Este planteamiento hace pensar en un proceso iterativo como forma de

solución.

Fluido que sigue la ley de la potencia

Planteamiento del problema:

Conocidos: P,z, V2,wo, d,ρ,m,n,L,ef Encontrar Q

Procedimiento: El coeficiente de fricción depende del caudal y éste depende del coeficiente de

fricción, por lo que una opción para resolver el problema es un método iterativo. El método

elegido es el de Newton que se va a aplicar mediante un programa de computadora. Los pasos son

los siguientes.

1- Para obtener el valor inicial de la velocidad del fluido, necesario para que inicie el método

de Newton, se propone un valor de f=0.005, además de despreciar los cambios de energía cinética,

y considerar que el sistema no tiene bomba, así

*

� �

w

#

+

D0

2

+

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$

&

w

`

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w

p

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)746(*)(*

2

2

Fskgw

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VP

D

fLVF

22

Page 12: No Newtonianos

12

2- Definir la función

3- Evaluar su derivada

T

�("

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#

+

A

B

$

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w

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w

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donde f y su derivada se obtienen de:

fL=16/N Re,pl, se aplica para NRe,pl < NRe, plc

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`

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6 para NRe,plc < NRE,pl < 4000

NRe,plc es el número de Reynolds critico al cual el comportamiento como flujo laminar cesa

NRe,plc=2100+875(1-n)

La derivada de f, según el caso, se evalúa numéricamente mediante

��

�A

7

K

`

KK8

`

���

4 Encontrar Vn = V – Fcn/Fcn’ . Si abs(Vn-V) < error asignado( criterio de convergencia) el

valor de V es la solución, en caso contrario V=Vn y se repite el procedimiento desde el

paso 2 hasta que se satisfaga el criterio de convergencia.

Fluido que se comporta como un plástico de Bingham.

Planteamiento del problema:

Conocidos: P,z, V2,wo, τo,,d,ρ,L,ef Encontrar Q

De manera semejante a los dos casos anteriores en que se desconoce el caudal, se propone el

método de Newton como procedimiento de solución.

Procedimiento:

1- Para obtener el valor inicial de la velocidad del fluido, necesario para que inicie el método

de Newton, se propone un valor de f=0.02, además de despreciar los cambios de energía cinética,

y considerar que el sistema no tiene bomba, así

*

� �

w

#

+

D0

2

+

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$

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2- Definir la función

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skgw

EfhpZg

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)746(*)(*

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Page 13: No Newtonianos

13

3- Evaluar su derivada

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donde f y su derivada se obtienen de:

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donde m = 1.7 +40,000/NRe ,

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&~ es el número de Hedstrom. Para flujo laminar

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h �� donde el número de Reynolds se manifiesta por NRe= DVρ/

La derivada se evalúa numéricamente mediante

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K

`

KK8

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��� .

4- Encontrar Vn = V – Fcn/Fcn’ . Si abs(Vn-V) < error asignado( criterio de convergencia) el

valor de V es la solución, en caso contrario V=Vn y se repite el procedimiento desde el

paso 2 hasta que se satisfaga el criterio de convergencia.

5-

C- Se desconoce el diámetro de la tubería

Cuando se determina el caudal que debe fluir a través de cierta tubería y el objetivo es determinar

el diámetro de la misma, el problema es semejante al caso en que se desconoce el caudal, ya que

solo se cambia de variable y la solución del problema depende de la variable desconocida. Por lo

que el procedimiento que se va a proponer es iterativo. Se va a utilizar el método de Newton

Fluido que sigue la ley de la potencia

Conocidos: P,z, V2,wo, d,ρ,m,n,L,ef Encontrar Q

Procedimiento: El coeficiente de fricción de Fanning depende del caudal y éste depende del

coeficiente de fricción de Fanning, por lo que una opción para resolver el problema es un método

iterativo. El método elegido es el de Newton que se va a aplicar mediante un programa de

computadora. Los pasos son los siguientes.

1- Para obtener el valor inicial de la velocidad del fluido, necesario para que inicie el método

de Newton, se propone un valor de f=0.005, además de despreciar los cambios de energía cinética,

y considerar que el sistema no tiene bomba, así

*

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#

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D0

2

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4- Definir la función

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Page 14: No Newtonianos

14

5- Evaluar su derivada

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fL=16/N Re,pl, se aplica para NRe,pl < NRe, plc

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6 para NRe,plc < NRE,pl < 4000

NRe,plc es el número de Reynolds critico al cual el comportamiento como flujo laminar cesa

NRe,plc=2100+875(1-n)

La derivada de f, según el caso, se evalúa numéricamente mediante

��

�A

7

K

`

KK8

`

���

5 Encontrar Vn = V – Fcn/Fcn’ . Si abs(Vn-V) < error asignado( criterio de convergencia) el

valor de V es la solución, en caso contrario V=Vn y se repite el procedimiento desde el

paso 2 hasta que se satisfaga el criterio de convergencia.

Fluido que se comporta como un plástico de Bingham.

Planteamiento del problema:

Conocidos: P,z, V2,wo, τo,,d,ρ,L,ef Encontrar Q

De manera semejante a los dos casos anteriores en que se desconoce el caudal, se propone el

método de Newton como procedimiento de solución.

Procedimiento:

1- Para obtener el valor inicial de la velocidad del fluido, necesario para que inicie el método

de Newton, se propone un valor de f=0.02, además de despreciar los cambios de energía cinética,

y considerar que el sistema no tiene bomba, así

*

� �

w

#

+

D0

2

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6- Definir la función

7- Evaluar su derivada

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Page 15: No Newtonianos

15

donde m = 1.7 +40,000/NRe ,

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&~ es el número de Hedstrom. Para flujo laminar

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La derivada se evalúa numéricamente mediante

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8- Encontrar Vn = V – Fcn/Fcn’ . Si abs(Vn-V) < error asignado( criterio de convergencia) el

valor de V es la solución, en caso contrario V=Vn y se repite el procedimiento desde el

paso 2 hasta que se satisfaga el criterio de convergencia.

Ejemplo de un fluido que sigue la ley de la potencia.

Para bombear un puré de manzana una bomba produce una caída de presión de 488 Pa/m en un

tubo liso de 15.24 cm de diámetro interno. El puré se conoce que se comporta como un

seudoplastico con un índice de consistencia K=0.66 Kg/m s2-n

y un índice de flujo n=0.41.

Considerar una densidad de 1000kg/m3. Determinar el caudal de puré en las condiciones descritas.

Si en lugar de puré se hace fluir agua, ¿cuál sería el caudal?

Respuesta: El balance de energía en estado estacionario se expresa mediante

En el tubo no existe cambio de diámetro, además, no se manifiesta en el enunciado diferencia de

nivel entre los puntos en que se mide la caída de presión y no existe bomba. Así el balance de

energía se reduce a

8

B

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�Z

A

B

� . La solución se obtiene usando un método iterativo.

Proponiendo una velocidad de 3.04 m/s se evalúa el Reg

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En el siguiente grafico se observa que el valor correspondiente a n=0.4 es f=0.004

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)746(*)(*

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2

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Page 16: No Newtonianos

16

Sustituyendo en el balance de energía:

HFF

����

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w

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A

B

`

��& , de aquí despejando V se obtiene

V=3.04 m/s lo que significa que la propuesta fue correcta y representa la solución. Por último Q=

AV = π*(.152)2*3.04/4 =0.055 m

3/s.

Resolviendo el mismo problema usando el método de Newton.

Programa:

v=5;% valor inicial propuesto

ro=1000;

d=0.152;

m=0.66;

n=0.41;

>> e=1;

>> while e>0.0001

[f,df]=flp(d,v,ro,m,n);

p=0.488-2*f*v*v/(d);

dp=-df*v*v*2/(d)-4*f*v/d;

vn=v-p/dp;

e=abs(vn-v);

v=vn;

end

function [f,df]=p(d,v,ro,m,n) Re=(8*(d^n)*(v^(2-n))*ro)/(m*(2*(3*n+1)/n)^n); v1=v+0.0001; Re1=(8*(d^n)*(v1^(2-n))*ro)/(m*(2*(3*n+1)/n)^n); fl=16/Re; fl1=16/Re1; de=1/(1.87+2.39*n);

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17

ft=0.0682*(n^(-0.5))/(Re^de); ft1=0.0682*(n^(-0.5))/(Re1^de); ftr=0.000179*exp(-5.24*n)*(Re^(0.414+0.757*n)); ftr1=0.000179*exp(-5.24*n)*(Re1^(0.414+0.757*n)); Rec=2100+875*(1-n); if Re<Rec f=fl; df=(fl1-f1)/0.0001; end if Re>4000 && Re< 100000 f=ft; df=(ft1-ft)/0.0001; end if Rec<Re && Re< 4000 f=ftr; df=(ftr1-ftr)/0.0001; end

La respuesta es V=3.09 m/s

Para el caso en que fluye agua el problema se resuelve mediante el programa ya comentado en

clase.

v=1;% valor inicial propuesto

vi=0.001;

ru=0.00006;

ro=1000;

d=0.152;

>> e=1;

>> while e>0.0001

[f,df]=dfv(d,v,vi,ro,ru);

p=0.488-f*v*v/(2*d);

dp=-df*v*v/(2*d)-f*v/d;

vn=v-p/dp;

e=abs(vn-v);

v=vn;

end

function [f,df]=p(d,v,vi,ro,ru)% Función guardada como dfv re=d*v*ro/vi; rr=ru/d; a=rr/3.7; b=log10(a+14.5/re); c=a-5.02*b/re; da=-2*log10(c); f=1/(da*da); v1=v+0.001; re1=d*v1*ro/vi; b1=log10(a+14.5/re1); c1=a-5.02*b1/re1; d1=-2*log10(c1); f1=1/(d1*d1);

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df=(f1-f)/0.001; end

Resultado

v= 2.94 m/s

Ejemplo de un fluido de Bingham

Una tubería de 2 pulgadas de acero comercial cedula 40 transporta un lodo desde un tanque

abierto con un caudal de 1000 litros por minuto en una longitud de 30m hacia otro tanque,

también abierto. Las propiedades del lodo pueden ser descritas mediante el modelo de un plástico

de Bingham con un esfuerzo de fluencia de 15 dinas/cm2, una viscosidad plástica de 20cp y una

gravedad específica relativa de 1.3. El nivel del lodo en cada tanque es el mismo.

a) ¿Cuál es la potencia de una bomba que tiene una eficiencia de 0.8 para satisfacer las

condiciones de operación del lodo?

b) ¿Cuál es la potencia de la bomba para transportar agua en lugar de lodo?

Respuesta: El balance de energía en estado estacionario se expresa mediante

Los tres primeros tres términos del modelo son cero. Así el balance de energía se reduce a

#

$

w

�^

w

tsv

-

w

^

w

w

*

&

:

El flujo de masa w = 1000(1.3)/60 = 21.66 kg/s y la velocidad del lodo es V = Q/A =

(1/60)/(π*(2.067*.0254)2/4) = 0.0166 (m

3/s) / 0.00216 m

2 = 7.66 m/s

Para encontrar f es necesario primero determinar el número de Reynolds. Re =

0.0525*7.66*1300 / 0.02 = 26140.6 y enseguida el número de Hedstrom

?

B

D

q

B

�#

��

w

`

�$

w#

`

��&�$

B

w

�I��

`

�&

B

R�s�v

`

t De la grafica mostrada enseguida se encuentra f=0.006

Sustituyendo en el balance de energía:

#

Y

$

w

`

F

w

lHa

&�

`

aa

&

w

`

��a

w

I�

w

l

`

aa

B

`

��&� . De aquí hp = 14.6

En el caso de que el fluido sea agua a un Re=26140 y /d = 0.00006/0.0525=0.00114 se encuentra

en el diagrama de Moody f= 0.028. Sustituyendo en el balance de energía y considerando la forma

en que se encuentran en este caso las pérdidas por fricción.

0)/(

)746(*)(*

2

2

Fskgw

EfhpZg

VP

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#

Y

$

w

`

F

w

lHa

&�

`

aa

`

�&F

w

I�

w

l

`

aa

B

&

w

`

��&� . De aquí hp = 17

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