newbold capitulo12

Regresi6n simple /

Esquema del capitulo 1 2.1. Analisis de correlacion

Contraste de hipotesis de la correlacion 12.2. Modelo de regresion lineal 1 2.3. Estimadores de coeficientes por el metoda de minimos cuadrados

Calculo por computador del coeficiente de regresion 12.4. EI poder explicativo de una ecuacion de regresion lineal

EI coeficiente de determinacion Ff2 12.5. Inferencia estadfstica: contrastes de hip6tesis e intervalos de confianza

Contraste de hip6tesis del coeficiente de la pendiente poblacional utilizando la distribuci6n F

12.6. Predicci6n 12.7. Analisis grafico

Introducci6n Hasta ahora hemos centrado la atenci6n en el anal isis y la inferencia relacionados con una unica variable. En este capftulo extendemos nuestro anal isis a las relaciones entre variables. Comenzamos con una breve introducci6n al analisis de correlaci6n, seguido de la presentaci6n del anal isis de regresi6n simple. Nuestra presentaci6n es paralela a la del Capftulo 3, en el que hicimos hincapie en las relaciones descriptivas, incluido el uso de diagramas de puntos dispersos, coeficientes de correlaci6n y la regresi6n lineal como instrumentos para describir las relaciones entre variables. Suponemos que el lec-tor esta familiarizado con ese capftulo.

En el analisis de los procesos empresariales y econ6micos se utilizan a menudo las relaciones entre variables. Estas relaciones se expresan en terminos matematicos de la forma siguiente:

y= f(X) donde la funci6n puede adoptar muchas formas lineales y no lineales. En algunos de esos casos, la forma de la relaci6n no se conoce exactamente. Aquf presentamos anal i-sis que se basan en relaciones lineales. En muchos casos, las relaciones lineales consti-tuyen un buen modelo del proceso. En otros casos, nos interesa una parte limitada de una relaci6n no lineal a la que podemos aproximarnos mediante una relaci6n lineal. En el apartado 13.7 mostramos que algunas relaciones no lineales importantes tambien pueden analizarse utilizando el anal isis de regresi6n. Por 10 tanto, los metodos de corre-laci6n y de regresi6n pueden aplicarse a una amplia variedad de problemas.

432 Estadfstica para administraci6n y economfa

Las relaciones lineales son muy utiles para muchas aplicaciones empresariales y economicas, como indican los siguientes ejemplos. EI presidente de Materiales de Cons-truccion, S.A., fabricante de placas de yeso, cree que la cantidad anual media de placas de yeso vendidas en su region es una funcion lineal del valor total de los permisos de edificacion expedidos durante el ana anterior. Un vendedor de cereales quiere saber co-mo afecta la produccion total al precio por tonelada. Esta desarrollando un modele de prediccion que utiliza datos historicos. EI departamento de marketing necesita saber como afecta el precio de la gasolina a sus ventas totales. Utilizando datos semanales sobre los precios y las ventas, planea desarrollar un modelo lineal que muestre cuanto varian las ventas cuando varia el precio.

Con la aparicion de muchos y buenos paquetes estadisticos y hojas de calculo como Excel , hoy es posible para casi todo el mundo calcular estadisticos de correlacion y de regresion. Desgraciadamente, tambien sabemos que no todo el mundo sabe interpretar y utilizar correctamente estos resultados obtenidos por computador. Aqui ellector apren-dera algunas ideas fundamentales que 10 ayudaran a utilizar el anal isis de regresion. Comenzaremos examinando el anal isis de correlacion.

12.1. Analisis de correlacion

En este apartado utilizamos los coeficientes de correlacion para estudiar las relaciones en-tre variables. En el Capitulo 3 utilizamos el coeficiente de correlacion muestral para des-cribir la relacion entre variables indicada en los datos. En el 5 y en el 6 aprendimos 10 que era la correlacion poblacional. Aqui presentamos metodos inferenciales que utilizan el coe-ficiente de correlacion para estudiar relaciones lineales entre variables.

En principio, dos variables aleatorias pueden estar relacionadas de diversas formas . Es util postular al comienzo del analisis una forma funcional de su relacion. A menudo es ra-zonable suponer, como buena aproximacion, que la relacion es lineal. Si se examina un par de variables aleatorias, X e Y, entre las que existe una relacion lineal, en un diagrama de puntos dispers~s las observaciones conjuntas sobre este par de variables tenderan a estar concentradas en torno a una linea recta. Y a la inversa, si no existe una relacion lineal, no estaran concentradas en torno a una linea recta. No todas las relaciones que estudiaremos estaran muy concentradas en torno a una linea recta. EI diagrama de puntos dispersos de much as relaciones importantes muestra una tendencia hacia una relaci6n lineal, pero con una considerable desviaci6n con respecto a una linea recta. En los diagramas de puntos

dispers~s del Capitulo 2 vimos algunos ejemplos. Las correlaciones tienen muchas aplicaciones en el mundo de la empresa y en la eco-

nomfa. En muchos problemas econ6rnicos aplicados, afirmamos que hay una variable inde-pendiente 0 exogena X, cuyos valores son deterrninados por actividades realizadas fuera del sistema economico exarninado y que hay una variable dependiente 0 endogena Y, cuyo valor depende del valor de X. Si preguntamos si las ventas aumentan cuando bajan los pre-cios, estamos analizando una situacion en la que un vendedor ajusta de una forma delibera-da e independiente los precios en sentido ascendente 0 descendente y observa como varian las ventas. Supongamos ahora que los precios y las cantidades vendidas son el resultado de equilibrios de la oferta y la demanda como propone el modelo economico basico. En ese caso, podriamos analizar los precios y las cantidades como variables aleatorias y pregun-tarnos si estas dos variables aleatorias estan relacionadas entre sf. El coeficiente de correla-ci6n puede utilizarse para averiguar si existe una relaci6n entre variables en cualquiera de estas dos situaciones.

Capftulo 12. Regresion simple 433

Supongamos que tanto X como Y son determinados simultaneamente por factores que se encuentran fuera del sistema economico analizado. Por 10 tanto, suele ser mas realista plantear un modelo en el que tanto X como Y sean variables aleatorias. En el Capitulo 5 presentamos el coeficiente de correlacion Pxy como medida de la relacion entre dos varia-bles aleatorias, X e Y. En esos casos, utilizamos el coeficiente de correlacion poblacional, Pxy' para indicar la existencia de una relacion lineal sin que ella quisiera decir que una de las variables era independiente y la otra dependiente. En las situaciones en las que una de las variables es dependiente logicamente de otra, el siguiente paso logico despues del ana-lisis de correlacion es la utilizacion del analisis de regresion para desarrollar el modelo li-neal. Este es el tema del siguiente apartado. Aqui presentamos metodos de inferencia esta-distica que utilizan correlaciones muestrales para averiguar las caracterfsticas de las correlaciones poblacionales.

Contraste de hipotesis de la correlacion El coeficiente de correlacion muestral

es una medida descriptiva util de la fuerza de la relacion lineal en una muestra. Tambien podemos utilizar la correlacion para contrastar la hipotesis de que no existe una relacion lineal en la poblacion entre un par de variables aleatorias; es decir,

Esta hipotesis nula de que no existe una relacion lineal entre un par de variables aleato-rias es muy interesante en algunas aplicaciones. Cuando calculamos la correlacion muestral a partir de datos, es probable que el resultado sea diferente de 0 aunque la correlacion po-blacional sea O. Nos gustarfa, pues, saber en que medida debe ser diferente de 0 una corre-lacion muestral para con tar con una prueba de que la correlacion poblacional no es O.

Podemos demostrar que cuando la hipotesis nula es verdadera y las variables aleatorias siguen una distribucion normal conjunta, la variable aleatoria

sigue una distribucion t de Student con (n - 2) grados de libertad. Las ecuaciones 12.1 a 12.3 muestran los contrastes de hipotesis adecuados.

Contrastes de la correlaci6n poblacional nula Sea rei coeficiente de correlaci6n muestral, calculado a partir de una muestra aleatoria de n pares de observaciones de una distribuci6n normal conjunta. Los siguientes contrastes de la hip6tesis nula

Ho:p = 0

tienen un valor de significaci6n ex:

434 Estadfstica para administracion y economfa

1. Para contrastar Ho frente a la hipotesis alternativa

H1:p > 0 la regia de decision es

Rechazar Ho si rJ(n - 2) J(1 - ?) > tll - 2,'1 (12.1 )

2. Para contrastar Ho frente a la hipotesis alternativa

H1:p tll - 2,'1/2 (12.3)

Aquf, tn

- 2 ~ es el numero para el que P(tll - 2 > tn - 2 ,rJ. ) = rx

donde la variable aleatoria tn - 2 sigue una distribucion t de Student con (n - 2) grados de libertad.

4. Si introducimos tn- 2 . w2 = 2,0 en la ecuaci6n 12.3, podemos demostrar que una regia practica aproximada para contrastar la hipotesis anterior de que la correlacion pobla-cional es 0 es

2 iri>-0z EJEMPLO 12.1 . Valoraci6n del riesgo politico (contraste de hip6tesis

de la correlaci6n) Un equipo de investigaci6n estaba intentando averiguar si el riesgo politico existente en los palses esta relacionado con su inflaci6n. En esta investigaci6n, se realiz6 una en-cuesta a analistas del riesgo politico que permiti6 elaborar una puntuaci6n media del riesgo politico de 49 paises (los datos proceden del estudio mencionado en la referencia bibliografica 2). Solucion Cuanto mas alta es la puntuaci6n, mayor es el riesgo politico. La conelaci6n muestral entre la puntuaci6n del riesgo politico y la inflaci6n de estos paises era de 0,43.

.:~

INTERPRETACION

Capitulo 12. Regresion simple 435

Queremos averiguar si la correlacion poblacional, p, entre estas medidas es diferente de 0. Concretamente, queremos contrastar

frente a

utilizando la informacion muestral

n = 49 I' = 0,43

EI contraste se basa en el estadfstico

rj(n - 2) 0,43j(49 - 2) t = = = 3265 j (l - ,2) j l - (0,43)2 '

Dado que hay (n - 2) = 47 grados de libertad, vemos en la tabla 8 de la t de Student del apendice que

t47, 0.005 < 2,704

Por 10 tanto, podemos rechazar la hipotesis nula al nivel de significacion del 0,5 por ciento. Tenemos, pues, pruebas contundentes de que existe una relacion lineal positiva entre la inflacion y la valoracion de los expertos del riesgo polftico de los pafses. Obser-vese que de este resultado no podemos extraer la conclusion de que una de las variables es la causa de la otra, solo que estan relacionadas.

\

Antes hemos sefialadoque la hipotesis nula Ho: P = puede rechazarse utilizando la regia practica aproximada II'I > 2/ In,. Este resultado proporciona un rapido contraste para averiguar si dos variables estan relacionadas linealmente cuando se examinan una 0 mas correlaciones muestrales. Asf, por ejemplo, en el caso de una muestra de tamafio n = 25, el valor absoluto de la correlacion muestral tendrfa que ser superior a 2/fo = 0,40. Pero en el caso de una muestra de tamafio n = 64, el valor absoluto de la correlacion muestral ten-drfa que ser superior a 2/.J64 = 0,25 solamente. Se ha observado que este resultado es util en muchas aplicaciones estadfsticas.

EJERCICIOS

Ejercicios basicos 12.2. Contraste la hip6tesis nula 12.1. Dados los pares siguientes de (x, y) observacio-

nes, calcule la correlaci6n muestral. a) (2, 5), (5, 8), (3 , 7), (1, 2), (8, 15). b) (7, 5), (10, 8), (8, 7), (6, 2), (13, 15). c) (12, 4), (15, 6), (16, 5), (21, 8), (14, 6). d) (2, 8), (5, 12), (3, 14), (1, 9), (8, 22).

Ho: P = frente a HI: P =1= dada

a) Una correlaci6n muestral de 0,35 en una mues-tra aleatoria de tamafio n = 40

b) Una correlaci6n muestral de 0,50 en una mlles-tra aleatoria de tamafio n = 60


c) Una correlacion muestral de 0,62 en una mues-tra aleatoria de tamano n = 45

d) Una correlacion muestral de 0,60 en una mues-tra aleatoria de tamano n = 25

12.3. El profesor de un curso de estadistica puso un examen final y tambien pidio a los estudiantes que realizaran un proyecto. La tabla adjunta muestra las calificaciones de una muestra aleato-ria de 10 estudiantes. Halle la correlacion mues-tral entre las calificaciones del examen y las del proyecto.

Examen 81 62 74 78 93 69 72 83 90 84 Proyccto 76 71 69 76 87 62 80 75 92 79

Ejercicios aplicados 12.4. En el estudio de 49 paises analizado en el ejem-

plo 12.1, la correlacion muestral entre la valora-cion del riesgo polftico realizada por los expertos y la tasa de mortalidad infantil de estos paises era 0,75. Contraste la hipotesis nula de que no existe ninguna correlacion entre estas cantidades frente a la hipotesis alternativa de que ex iste una correlacion positiva.

12.5. En una muestra aleatoria de 353 profesores de ensefianza secundaria, se observo que la correla-cion entre las subidas salariales anuales y las evaluaciones de la docencia era de 0,11. Contras-te la hipotesis nula de que estas cantidades no estan correlacionadas en la poblacion frente a la hipotesis alternativa de que la correlacion pobla-cional es positi va.

12.6. Se observa que la correlacion muestral de 68 pa-res de rendimientos anuales de acciones ordina-rias del pais A y del pais B es de 0,51 . Contraste la hipotesis nula de que la correlacion poblacio-nal es 0 frente a la hipotesis alternativa de que es positiva.

Se recomienda que los siguientes ejercicios se resuelvan con la ayuda de un computador.

12.7. ~~ La tabla adjunta y el fichero de datos Dow Jones muestran las variaciones porcentuales (Xi) del indice Dow-Jones registradas en los cinco primeros dias de sesion de cada uno de los afios de un periodo de 13 anos y las correspondientes variaciones porcentuales (y) del indice a 10 largo de todo el ano.

x y x y

1,5 14,9 5,6 2,3 0,2 - 9,2 - 1,4 11 ,9

-0,1 19,6 1,4 27,0 2,8 20,3 1,5 -4,3 2,2 -3,7 4,7 20,3

- 1,6 27,7 1,1 4,2 - 1,3 22,6

a) Calcule la correlacion muestral. b) Contraste al nivel de significacion del 10 por

ciento la hipotesis nula de que la correlacion poblacional es 0 frente ala hipotesis alternati-va bilateral.

12.8. ,., Una universidad di stribuye en todos sus cur-sos un cuestionario de evaluacion para que 10 re-Henen los estudiantes. La tabla adjunta y el fi-chero de datos Student Evaluation muestran tanto la valoracion media del profesor (en una escala de 1 a 5) como la calificacion media espe-rada (en una escala de A = 4 a E = 0) de una muestra aleatoria de 12 cursos.

Valoracion del profesor 2,8 3,7 4,4 3,6 4,7 3,5 4,1 3,2 4,9 4,2 3,8 3,3

Calificacion esperada 2,6 2,9 3,3 3,2 3,1 2,8 2,7 2,4 3,5 3,0 3,4 2,5

a) Halle la correlacion muestral entre las val ora-ciones de los profesores y las calificaciones esperadas.

b) Contraste al nivel de significacion del 10 por ciento la hipotesis de que el coeficiente de correlacion poblacional es 0 frente a la hipo-tesis alternativa de que es positivo.

12.9. ~, En un estudio sobre la publicidad, los investi-gadores querfan saber si existfa una relacion en-tre el coste per capita y los ingresos per capita. Se midieron las siguientes variables en una muestra aleatoria de programas de publicidad:

Xi = coste de la publici dad -:- n.o de preguntas recibidas

Yi = ingresos generados por las preguntas ..:... n.o de preguntas recibidas

Los datos muestrales se encuentran en el fichero de datos Advertising Revenue. Halle la correla-cion muestral y contraste la hipotesis nula de que la correlacion poblacional es 0 frente a la alter-nativa bilateral.


12.2. Modelo de re resi6n lineal

~ INTERPRETACION

" Retail Sales

Para medir la fuerza de cualquier relacion lineal entre un par de variables aleatorias se uti-lizan coeficientes de correlacion. Las variables aleatorias se tratan de una forma totalmente simetrica y da 10 mismo que hablemos de la correlacion entre X e Y que de Ia correla-cion entre Y y X . En el resto de este capitulo, continuamos analizando la relacion lineal entre un par de variables, pero desde el punto de vista de la dependencia de una de la otra. Ahora dejamos de tratar las variables aleatorias de una forma simetrica. La idea es que, dado que la variable aleatoria X toma un valor espedfico, esperamos una respuesta de la variable aleatoria Y. Es decir, el valor que toma X influye en el valor de Y. Podemos pen-sar que Y depende de X. Las variables dependientes 0 endogenas - Y- tienen valores que dependen de variables independientes 0 exogenas -X-, cuyos valores son manipulados 0 influidos, a su vez, por factores externos a un proceso economico espedfico.

Los modelos lineales no son tan restrictivos como podria parecer para el am'ilisis em-presarial y economico aplicado. En primer lugar, los modelos lineales a menudo consti-tuyen una buena aproximacion de una relacion en el intervalo examinado. En segundo lugar, en los Capitulos 13 y 14 veremos que algunas funciones no lineales pueden conver-tirse en funciones lineales implfcitas para el analisis de regresion.

En este capitulo realizamos un estudio formal del analisis de regresion y de la con-es-pondiente inferencia estadistica en el caso de modelos lineales sencillos. En los Capftulos 2 y 3 introdujimos los instrumentos de los diagramas de puntos dispersos, la correlacion y la regresion simple para describir datos. En el 13 aplicaremos estas ideas a los modelos de regresion multiple que tienen mas de una variable de prediccion y en el 14 presentamos metodos y aplicaciones avanzados que aumentan nuestra capacidad para analizar proble-mas empresariales y economicos.

Este analisis comienza con un ejemplo que muestra una aplicacion representativa del analisis de regresion y el tipo de resultados que pueden obtenerse.

EJEMPLO 12.2. Predicci6n sobre las ventas de Northern Household Goods (estimaci6n de un modelo de regresi6n)

El presidente de Northern Household Goods Ie ha pedido que desarrolle un modelo que prediga las ventas totales de las nuevas tiendas que se propone abrir. Northern es una cadena de gran des almacenes en nipida expansion y necesita una estrategia racional pa-ra averiguar donde deben abrirse nuevas tiendas. Para realizar este proyecto, necesita estimar una ecuacion lineal que prediga las ventas al por menor por hogar en funcion de la renta disponible del hogar. La empresa ha obtenido datos de una encuesta nacional realizada a los hogares y para desarrollar el modelo se utilizaran las variables de las ventas al por menor (Y) y la renta (X) por hogar.

Solucion

La Figura 12.1 es un diagrama de puntos dispersos que muestra la relacion entre las ventas a1 por menor y la renta disponible de las familias. Los datos efectivos se mues-tran en la Tabla 12.1 y se encuentran en el fichero de datos Hamado Retail Sales. Segun la teoria economica, las ventas deben aumentar cuando aumenta la renta disponible y el diagrama de puntos dispersos apoya en gran medida esa teoda. El am'ilisis de regresion nos proporciona un modelo lineal que puede utilizarse para calcular las ventas al por


'" 011 iii III iii ...

011 c.:: >-

Y Retail Sales = 1922 + 0.3815 X Income 7000 ,------ --------- ---,

6500

6000

5500 .. . /

9000 10000 11000 X Income

12000

13000

5 147.670 R-Sq 91.9% R-Sq(adj) 91.5%

Figura 12.1. Ventas al por menar par hagar en relaci6n con la renta dispanible per capita.

Tabla 12.1. Datos sobre la renta disponible por hogar (X) y ventas al por menor por hogar (Y).

Afio Renta (X) Ventas al por menor (y) Afio Renta (X) Ventas al por menor (y)

1 9.098 5.492 12 11.307 5.907 2 9.138 5.540 13 11.432 6.124 3 9.094 5.305 14 11.449 6.186 4 9.282 5.507 15 11.697 6.224 5 9.229 5.418 16 11.871 6.496 6 9.347 5.320 17 12.018 6.718 7 9.525 5.538 18 12.523 6.921 8 9.756 5.692 19 12.053 6.471 9 10.282 5.871 20 12.088 6.394

10 10.662 6.157 21 12.215 6.555 11 1l.019 6.342 22 12.494 6.755

menor por hogar cOlTespondientes a varios niveles de renta disponible. La recta del dia-grama representa el modelo de regresi6n simple

Y = 1.922,39 + 0,381517X

don de Y son las ventas al por menor por hogar y X es la renta disponible por hogar. Por 10 tanto, la ecuaci6n de regresi6n nos proporciona, a partir de los datos, el mejor mode-10 lineal para predecir las ventas correspondientes a una renta disponible dada. Observe-se que este modele nos dice que cada aumento de la renta familiar disponible per capita de 1 $, X, va acompafiado de un aumento del valor esperado de las ventas al por menor, Y, de 0,38 $. Es evidente que el resultado es importante para predecir las ventas al por menor. Por ejemplo, observamos que una renta familiar de 50.000 $ predecirfa que las ventas al por menor senin de 20.997 $ (1.922 + 50.000 x 0,3815).

'"""'loI INTERPRETACION

Figura 12.2. Modelo de regresion lineal poblacional.

Capitulo 12. Regresi6n simple 439

Llegados a este pun to, debemos hacer hincapie en que los resultados de la regresion resumen la informacion que contienen los datos y no demuestran que el aumento de la renta sea la causa del aumento de las ventas. La teorfa economica sugiere que existe una relacion causal y estos resultados apoyan esta teorfa. Los diagramas de puntos dispersos, las con-elaciones y las ecuaciones de regresion no pueden demostrar la existencia de una relacion causal, pero pueden aportar pruebas a su favor. Asf pues, para extraer conclusio-nes, necesitamos conjugar la teorfa -la experiencia en Ja administracion de empresas y el amllisis economico- con un buen analisis estadfstico.

Sabemos pOl' nuestros estudios de la econornfa que la cantidad comprada de bienes, Y, en un mercado especffico puede representarse pOl' medio de una funcion lineal de la renta disponible, X. Si la renta tiene un nivel especffico, X;, los compradores respond en compran-do la cantidad Yi' En el mundo real, sabemos que hay otros factores que influyen en la can-tidad efectiva comprada. Son factores identificables como el precio de los bienes en cues-tion, la publicidad y los precios de los bienes rivales. Tambien hay otros factores desconocidos que pueden influir en la cantidad efectiva comprada. En una ecuacion lineal simple, representamos el efecto de estos factores , salvo la renta, por medio de un termino de en-or Ilamado E.

La Figura 12.2 muestra un ejemplo de un conjunto de observaciones generadas pOl' un modelo lineal subyacente de un proceso. EI nivel medio de Y, para to do X, se representa pOl' medio de la ecuacion poblacional

Y= f30 + f3I X El modelo de regresion lineal permite hallar el valor esperado de la variable aleatoria Y cuando X toma un valor especffico. El supuesto de la linealidad implica que esta esperanza puede expresarse de la forma siguiente:

E(YIX = x) = f30 + f3IX donde f30 representa la orden ada en el origen Y de la ecuacion y f3, es la pendiente. El va-lor observado efectivo de Y para un valor dado de X es igual al valor esperado 0 media poblacional mas un error aleatorio, E, que tiene una media 0 y una varianza (52:

Yi = f30 + f3 j x; + Ei EI terminG de error aleatorio E representa la variacion de Y que no es estimada porIa rela-cion lineal.

y

(X"y,) +

I y, :

I I

X,

I

: Ei I + I

: (Xi'Yi) I I I IYi = (30 +'(3, Xi + Ei I I I I I I I I I I I I I I I I

Xi x


-~

INTERPRETACION

La regresi6n por minimos cuadrados nos proporciona un modelo estimado de la rela-ci6n lineal entre una variable independiente 0 ex6gena y una variable dependiente 0 end6-gena. Comenzamos el proceso de formulaci6n de la regresi6n partiendo de un modelo po-blacional en el que X tiene unos valores predeterminados y para to do X hay un valor medio de Y mas un termino de error aleatorio. Utilizamos la ecuaci6n de regresi6n estimada -mostrada en la Figura 12.1- para estimar el valor medio de Y para to do valor de X. Los puntos no estan alineados siempre en esta recta debido a que existe un termino de error aleatorio que tiene una media 0 y una varianza comun para todos los val ores de X. El error aleatorio representa todos los factores que influyen en Y que no estan representados por la relaci6n lineal entre Y y X. Los efectos de estos factores, que se supone que son indepen-dientes de X, se comportan como una variable aleatoria cuya media poblacional es O. Las desviaciones aleatorias 8i en torno al modelo lineal se muestran en la Figura 12.2 y se combinan con la media de Yi para todo Xi para obtener el valor observado Yi.

Regresi6n lineal basad a en un modelo poblacional En la aplicaci6n del anal isis de regresi6n, se representa el proceso estudiado por medio de un modele poblacional y se calcula un modele estimado utilizando los datos de que se dispone y realizando una regresi6n por mfnimos cuadrados. EI modele poblacional es

(12.4)

donde {30 y {31 son los coeficientes del modelo poblacional y 8 es un termino de error aleatorio. Para todo valor observado, Xi' el modelo poblacional genera un valor observado, Yr Para reali-zar la inferencia estadfstica, como veremos en el apartado 12.4, se supone que 8 sigue una distribuci6n normal de media 0 y varianza (J2 . Mas adelante, veremos que puede utilizarse el teorema del Ifmite central para abandonar el supuesto de la distribuci6n normal. EI modele de la relaci6n lineal entre Y y X viene definido por los dos coeficientes, {30 y {31. La Figura 12.2 10 representa esquematicamente.

En el modelo de regresi6n por mfnimos cuadrados suponemos que se seleccionan valo-res de la variable independiente, Xi' y para cada Xi existe una media poblacional de Y. Los valores observados de Yi contienen la media y la desviaci6n aleatoria 8;. Se observa un con-junto de n(xi , Y;) puntos Y se utiliza para obtener estimaciones de los coeficientes del mo-delo utilizando el metoda de mfnimos cuadrados. Ampliamos los conceptos de la inferen-cia clasica presentados en los Capitulos 8 a 11 para hacer inferencias sobre el modelo poblacional subyacente utilizando el modelo de regresi6n estimado. En el Capitulo 13 ve-remos c6mo pueden considerarse simultaneamente varias variables independientes utilizan-do la regresi6n multiple.

El modelo de regresi6n estimado y mostrado esquematicamente en la Figura 12.3 viene dado por la ecuaci6n

donde bo y b j son los valores estimados de los coeficientes y e es la diferencia entre el valor predicho de Y en la recta de regresi6n

)Ii = bo + bjXi y el valor observado Y;. La diferencia entre Yi e )Ii para cada valor de X es el residuo

~

e; = Yi - Yi = Yi - (bo + bjxJ

Capftu lo 12. Regresi6n simple 441

Figura 12.3. Modelo de regresion estimado.

Y

Xl

I x2,V2) I I I I I I I I I I

X2

:}(Xj,Y';l I ej I I t (Xj,Yi) I I I I I I I I I I

x

Por 10 tanto, para cada valor observado de X hay un valor predicho de Ya partir del mode-10 estimado y un valor observado. La diferencia entre el valor observado de Y y el predi-cho es el residuo, ej El residuo, ej , no es el error del modelo, , sino la medida combinada del error del modelo y los errores de la estimaci6n de bo Y bi y, a su vez, los errores de la estimaci6n del valor predicho.

Hallamos el modelo de regresi6n estimado obteniendo estimaciones, bo Y b l , de los coeficientes poblacionales utilizando el metoda Hamado amilisis de minimos cuadrados, que presentamos en el apartado 12.3. Empleamos, a su vez, estos coeficientes para obtener los val ores predichos de Y para todo villor de X.

Resultados de la regresion lineal La regresi6n lineal da dos importantes resultados:

1. Los valores predichos de la variable dependiente 0 end6gena en funci6n de la variable independiente 0 ex6gena.

2. La variaci6n marginal estimada de la variable end6gena provocada por una variaci6n unitaria de la variable independiente 0 ex6gena.

EJERCICIOS

Ejercicios basicos 12.11. Dada la ecuaci6n de regresi6n Y= - 50 + 12X 12.10. Dada la ecuaci6n de regresi6n

y= 100 + lOX a) l,Cmil es la variaci6n de Y cuando X varia en

+3? b) l,Cmil es la variaci6n de Y cuando X varia en

- 4? c) l,Cmil es el valor predicho de Y cuando

X = 12? d) l,Cmil es el valor predicho de Y cuando

X = 23? e) l,Demuestra esta ecuaci6n que una variaci6n

de X provoca una variaci6n de Y?

a) l,Cual es la variaci6n de Y cuando X varia en +3?

b) l, Cual es la variaci6n de Y cuando X varia en - 4?

c) l,Cual es el valor predicho de Y cuando X = 12?

d) l,Cual es el valor predicho de Y cuando X = 23?

e) l,Demuestra esta ecuaci6n que una variaci6n de X provoca una variaci6n de Y?

12.12. Dada la ecuaci6n de regresi6n Y = 43 + lOX


a) (,Cual es la variaci6n de Y cuando X varia en +87

e) (,Demuestra esta ecuaci6n que una variaci6n de X provoca una variaci6n de Y7

b) (,CuaJ es la variaci6n de Y cuando X varia en - 67 Ejercicios aplicados

c) (,Cual es el X = 117

d) (,Cual es el X = 297)

valor predicho

valor predicho

de Y

de Y

cuando

cuando

12.14. (,Que diferencia existe entre un modelo lineal poblacional y un modele de regresi6n lineal es-timado7

e) (,Demuestra esta ecuaci6n que una variaci6n de X provoca una variaci6n de Y7

12.15. Explique la diferencia entre el residuo e j y el error del modele ej.

12.13. Dada la ecuaci6n de regresi6n 12.16. Suponga que hemos estimado una ecuaci6n de la regresi6n de las ventas semanales de palm pi-lot y el precio cobrado durante la semana. fnter-prete la con stante bo para el director de la marca. a)

b)

c)

d)

Y= 100 + 21X

(,Cual es la variaci6n de Y cuando X varia en +57 (,CuaJ es la variaci6n de Y cuando X varia en - 77 (,CuaJ es el valor predicho de Y cuando X = 147 (,Cual es el valor predicho de Y cuando X = 277

12.17. Se ha estimado un modelo de regresi6n de las ventas totales de productos alimenticios con res-pecto a la renta disponible uti li zando datos de pequefias ciudades aisladas del oeste de Estados Unidos. Elabore una lista de los factores que po-drian contribuir al termino de error aleatorio.

12.3. Estimadores de coeficientes por el metodo de mfnimos cuadrados

La recta de regresion poblacional es un util instrumento teorico, pero para las aplicaciones necesitamos estimar el modele utilizando los datos de que se disponga. Supongamos que tenemos n pares de observaciones, (XI' YI), (X2' Yz), ... , (xn, Yn)' Nos gustarfa encontrar la linea recta que mejor se ajusta a estos puntos. Para ello, es necesario encontrar estimadores de los coeficientes desconocidos /30 y /31 de la recta de regresion poblacional.

Hallamos los estimadores de los coeficientes bo Y b l con ecuaciones obtenidas utilizan-do el metoda de mfnimos cuadrados. Como mostramos en la Figura 12.3, hay una desvia-cion, ei, entre el valor observado, Yi' y el valor predicho, Yi' en la ecuacion de regresi6n estimada para cada valor de X, donde ej = Yi - Yi' A continuacion, calculamos una funcion matematica consistente en elevar al cuadrado todos los residuos y sumar las cantidades re-sultantes. Esta funcion -cuyo primer miembro se denomina SCE- incluye los coeficien-tes bo Y bl' La cantidad SCE se denomina suma de los cuadrados de los errores. Los esti-madores de los coeficientes bo Y b l son los estimadores que minimizan la suma de los cuadrados de los errores.

Metodo de mlnimos cuadrados EI metoda de mfnimos cuadrados obtiene estimaciones de los coeficientes de la ecuaci6n li-neal bo y b1 en el modelo (12.5)

minimizando la suma de los cuadrados de los errores ej :

SCE = L e~ = L (yj - yi (12.6)


Los coeficientes bo y b1 se eligen de tal manera que se minimice la cantidad

11 Il

seE = I e; = I [Yi - (bo + b1xJf (12.7) ; = 1 ; = 1

Utilizamos el calculo diferencial para obtener los estimadores de los coeficientes que minimizan la SeE. En el apendice del capitulo se ex plica c6mo se obtienen los estimadores por medio del calculo.

EI estimador del coeficiente resultante es II

;= 1 II

;=1 Il

II Yi I (x; - X)X; ;=1

COy (x, Y) 2

Sx

Observese que el numerador del estimador es la covarianza muestral de X e Y y el denomi-nador es la varianza muestral de X. La tercera lInea muestra que el coeficiente b l es una funcion lineal de las Y. Dedicamos mucho tiempo al coeficiente de la pendiente porque es-te resultado es clave para much as aplicaciones. El coeficiente de la pendiente b l es una estimacion de la variacion que experimenta Y cuando X varia en una unidad. Por ejemplo, si Yes la produccion total y Xes el numero de trabajadores, entonces b l es una estimacion del aumento marginal de la produccion por cada nuevo trabajador. Este tipo de resultados explica por que la regresion se ha convertido en un instrumento analftico tan importante.

Con algunas manipulaciones algebraicas podemos demostrar que el estimador del coe-ficiente tambien es igual a

donde rxy es la correlacion muestral y Sy Y Sx son las desviaciones tfpicas muestrales de X e Y. Este resultado es importante porque indica como esta relacionada directamente la rela-cion estandarizada entre X e Y, la correlacion rxy' con el coeficiente de la pendiente.

En el apendice del capitulo tambien mostramos que el estimador de la constante es

Sustituyendo bo por este valor en la ecuacion lineal, tenemos que

Y = 51 - b1x + b1x Y - 51 = bl(x - x)

En esta ecuacion vemos que cuando x = x, entonces Y = 51 y que la ecuacion de regresion siempre pasa por el punto (x, 51). EI valor estimado de la variable dependiente, y;, se obtie-ne utilizando


o utilizando

Esta ultima forma pone de relieve que la recta de regresion pasa por las medias de X e Y.

Estimadores de coeficientes por el metodo de mfnimos cuadrados EI estimador del coeficiente de la pendiente es

11

y el estimador de la con stante u ordenada en el origen es

Tambien sefialamos que la recta de regresion siempre pasa por la media X, y. EI metodo de mfnimos cuadrados podrfa utilizarse para calcular estimaciones de los coefi-

cientes bo y b1 utilizando cualquier conjunto de datos pareados. Sin embargo, en la mayorfa de las aplicaciones queremos hacer inferencias sobre el modelo poblacional subyacente que for-ma parte de nuestro problema economico 0 empresarial. Para hacer inferencias, es necesario que estemos de acuerdo en ciertos supuestos. Dados estos supuestos, puede demostrarse que los estimadores de los coeficientes por minimos cuadrados son insesgados y tienen una varianza minima.

Supuestos habituales en los que se basa el modelo de regresion lineal Para hacer inferencias sobre el modele lineal poblacional utilizando los coeficientes del modele estimados se postulan los siguientes supuestos.

1. Las Y son funciones lineales de X mas un termino de error aleatorio

2. Las x son numeros fijos 0 son realizaciones de la variable aleatoria X que son indepen-dientes de los terminos de error, e;- En el segundo caso, la inferencia se realiza condi-cionada a los valores observados de las x.

3. Los terminos de error son variables aleatorias que tienen la media 0 y la misma varian-za (J2. EI segundo supuesto se llama homocedasticidad 0 varianza uniforme.

E[sJ = 0 y E[s;] = (i para (i = 1, ... , n) 4. Los terminos de error aleatorio, ei, no estan correlacionados entre sf, por 10 que

para todo i =P j

Generalmente, se considera, con razon, que el segundo de estos supuesios es cierto, aunque en algunos estudios econometricos avanzados es insostenible (el supuesto no se cumple, por ejemplo, cuando no es posible medir Xi con precision 0 cuando la regresion forma parte de un sistema de ecuaciones interdependientes). Sin embargo, aquf considera-remos que se satisface este supuesto.

~~

INTERPRETACION


Los supuestos 3 y 4 se refieren a los terminos de enor, ci' de la ecuaci6n de regresi6n . El termino de error esperado es y todos los terminos de enor tienen la misma varianza. Por 10 tanto, no esperamos que las varianzas de los terminos de enor sean mas altas en el caso de algunas observaciones que en el de otras. La Figura 12.2 muestra esta pauta: los en"ores conespondientes a todos los valores de X proceden de poblaciones que tienen la misma varianza. Por ultimo, se supone que las discrepancias no estan correlacionadas entre sf. Asf, por ejemplo, la aparici6n de una gran discrepancia positiva en un punto de obser-vaci6n no nos ayuda a predecir los valores de ninguno de los demas terminos de error. Los supuestos 3 y 4 se satisfacen si los terminos de error, c;, pueden concebirse como una muestra aleatoria procedente de una poblaci6n que tiene de media 0. En el resto de este capftulo, estos supuestos se cumplen. La posibilidad de abandonar algunos de ellos se exa-mina en el Capftulo 14.

Calculo por computador del coeficiente de regresion La extensa aplicaci6n del analisis de regresi6n ha sido posible gracias a los paquetes esta-dfsticos y a Excel. Como sospechara el lector, los calculos para obtener estimaciones de los coeficientes de regresi6n son tediosos. Las ecuaciones de los estimadores y otros im-portantes calculos estadfsticos estan incluidos en los paquetes informaticos y en Excel y se utili zan para estimar los coeficientes de problemas especfficos. El program a Excel puede utilizarse para realizar analisis basicos de regresi6n sin demasiadas dificultades. Pero si se desea utilizar metodos de analisis de regresi6n aplicado avanzado 0 un perspicaz analisis grMico, debe utilizarse un buen paquete estadfstico. Dado que nos interesan principalmente las aplicaciones, nuestra tarea mas importante es realizar un analisis adecuado de los calcu-los de regresi6n para estas aplicaciones. Este analisis debe realizarse conociendo las ecua-ciones de los estimadores y el analisis relacionado con elias. Sin embargo, no utilizamos estas ecuaciones para calcular realmente las estimaciones u otros estadfsticos de la regre-si6n. Dejamos los calculos para los computadores; nuestra tarea es pensar, analizar y ha-cer recomendaciones.

La Figura 12.4 muestra una parte de las salidas Minitab y Excel correspondientes al ejemplo de las ventas al por menOL Observese la localizaci6n de las estimaciones de la constante, bo, y el coeficiente de la pendiente, b L, en la salida informatica. Los conceptos restantes de cada lfnea ayudan a interpretar la cali dad de las estimaciones y se explican en apartados posteriores.

En esta regresi6n, la constante estimada, bo, es 1.922 y el coeficiente de la pendiente estimado, b L, es 0,382. Estos valores se calculan utilizando las ecuaciones de los estimado-res de los coeficientes antes presentadas. La ecuaci6n estimada puede expresarse de la for-ma siguiente:

y = 1.922 + 0,382x 0, utilizando las medias x = 10.799 e y = 6.042, de la forma siguiente:

y = 6.042 + 0,382(x - 10.799) Normalmente, los modelos de regresi6n s610 deben utilizarse en el rango de los val ores

observados de X en el que tenemos informaci6n sobre la relaci6n porque lao relaci6n puede no ser lineal fuera de este rango. La segunda forma del modelo de regresi6n esta centrada en las medias de los datos con una tasa de variaci6n igual a b L Utilizando esta forma, cen-tramos la atenci6n en la localizaci6n media del modelo de regresi6n y no en la ordenada


Results for: retail sales.MTW Regression Analysis: Y Retail Sales versus X Income The regression equation is Y Retail Sales = 1922 + 0.382 X Income Coeficientes ba, b,

Predictor SE Coe f T P Constant 274 .9 6.99 0.000 X I ncome 0.02 529 15 .08 0.000

S = 147.670 R- Sq

A 1 ,SUMMARY OUTPUT 2

=

B

3 , Retp"ession Stolislics

91. 9%

4 'Multiple R 0.958748803 5 iR Square 0.919199267 . 6 'Adjusted R Square 0.91515923 7 Standard Error 147.6697181 , 8 'Observations 22 . 9 : 10 IANOVA

R-Sq(adj} = 91.5% (a)

c o E F

11 ' d/ SS !.IS F Siqni/iconce F 12 ~i R~e-g-re-s-s~io-n----~----~---1~-4~9~6~14~3~4~.4~0~6--4~9~6~1~43~4~ ~2~2~7~.5~2~25~~2~.~17~1~3~4~E~-1~2 13 ,Residual 20 436126.9127 , 21806.35

G

14~T~O~~~I~~~~~~~~~~2~1~5~3~9~75;6~1;.3~1~8~' ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~coeficiemes~,~ 15 i 1 6 ! 1 ::'"'101 P-~"olue Lowe, 9fi% U, e, 9fi% : 17 ilntercept 6.991806 8.74E-07 1348.858617 2495.92677 18 iX Income 15.08385 . 2.17E-12 : 0.328756343 0.4342771 19 :

(b) Figura 12.4. Amllisis de regresion de las ventas al por menar (a) par media de Minitab y (b) par media de Excel.

en el origen con el eje de las Y. Los usuarios ingenuos del analisis de regresi6n a veces intentan hacer interpretaciones de la constante bo, extrayendo ciertas conclusiones sobre la variable dependiente cuando la variable independiente tiene un valor de O. Consideremos la regresi6n de las ventas al por menor con respecto a la renta disponible del ejemplo. l,Afirmarfamos realmente que las ventas al por menor son de 1.922 $ cuando la renta dis-ponible es de O? En realidad, sencillamente no tenemos datos para afirmar que se vende algo cuando la renta disponible es O. Este es otro ejemplo de la importancia de un buen analisis en lugar de interpretaciones tontas. Como analistas profesionales, debemos tener cuidado de no defender resultados que sencillamente no existen.

EJERCICIOS

Ejercicios basicos c) X = 20; Y = 100; Sx = 60; Sy = 78; rxy = 0,75; /7= 60 12.18. Calcule los coeficientes de una ecuaci6n de re-

gresi6n por minimos cuadrados y formule la ecuaci6n, dados los siguientes estadisticos muestrales: a) x = 50; Y = 100; Sx = 25 ; Sy = 75 ; r xy = 0,6;

n = 60 b) x = 60; Y = 210; Sx = 35; Sy = 65; rxy = 0,7;

n= 60

d) x = 10; Y = 50; Sx = 100; Sy = 75; rxy = 0,4; n = 60

e) x = 90; Y = 200; Sx = 80; Sy = 70; r xy = 0,6; /7 = 60

Ejercicios aplicados 12.19. Una empresa fija un precio distinto para un sis-

tema de DVD en ocho regiones del pais. La ta-

bla adjunta muestra los numeros de unidades vendidas y los precios correspondientes (en cientos de d6Iares) .

Ventas 420 380 350 400 440 380 450 420

Precio 5,5 6,0 6,5 6,0 5,0 6,5 4,5 5,0

a) Represente estos datos y estime la regresi6n lineal de las ventas con respecto al precio.

b) l,Que efecto seria de esperar que produjera una subida del precio de 100 $ en las ventas?

12.20. Dada una muestra de 20 observaciones mensua-les, un analista financiero quiere realizar una re-gresi6n de la tasa porcentual de rendimiento (Y) de las acciones ordinarias de una empresa con respecto a la tasa porcentual de rendimiento (X) del Indice Standard and Poor's 500. Dispone de la siguiente informaci6n:

20 20

L Yi = 22,6 L Xi = 25,4 i ~ l i=.l

20 20

L x2 = 1457 1 ' L XiYi = 150,5 i ~ l i=1

a) Estime la regresi6n lineal de Y con respecto aX.

b) Interprete la pendiente de la recta de regre-si6n muestral.

c) Interprete la ordenada en el origen de la rec-ta de regresi6n muestral.

12.21. Una empresa realiza un test de aptitud a todos los nuevos representantes de ventas. La direc-ci6n tiene interes en saber en que medida es ca-paz este test de predecir su exito final. La tabla adjunta muestra las ventas semanales medias (en miles de d61ares) y las puntuaciones obteni-das en el test de aptitud por una muestra aleato-ria de ocho representantes.

Ventas semanales 10 12 28 24 18 16 15 12

Puntuaci6n 55 60 85 75 80 85 65 60

a) Estime la regresi6n lineal de las ventas se-manales con respecto a las puntuaciones del test de aptitud.

b) Interprete la pendiente estimada de la recta de regresi6n.

12.22. Se ha formulado la hip6tesis de que el numero de botellas de una cerveza importada que se


vende cada noche en los restaurantes de una ciudad depende linealmente de los costes me-dios de las cenas en los restaurantes. Se han ob-tenido los siguientes resultados de una muestra de n = 17 restaurantes que son aproximada-mente del mismo tamano, siendo

Y = numero de botellas vendidas por noche X = coste medio, en d6lares, de una cena

x = 25,5 Y = 16,0 If II

L (Xi - i)2 L (X; - x)(y; - y) i = 1

=350 i~l 180 n - 1 n - 1

a) Halle la recta de regresi6n muestral. b) Interprete la pendiente de la recta de regre-

si6n muestral. c) l,Es posible dar una interpretaci6n que tenga

sentido de la ordenada en el origen de la rec-ta de regresi6n muestral? Explique su res-puesta.


12.23. ~;;g Vuelva a los datos del ejercicio 12.7 sobre la variaci6n porcentual (X) del indice Dow-Jones en los cinco primeros dias de sesi6n del ano y la variaci6n porcentual (Y) del Indice en el conjunto del ano. a) Estime la regresi6n lineal de Y con respecto

aX. b) Interprete la orden ada en el origen y la pen-

diente de la recta de regresi6n muestral.

12.24. fi.i1 El viernes 13 de noviembre de 1989, caye-ron vertiginosamente las cotizaciones en la bol-sa de Nueva York; el fndice Standard and Poor's 500 cay6 un 6,1 por ciento ese dia. El fi-chero de datos New York Stock Exchange Gains and Losses muestra las perdidas porcen-tuales (y) que experimentaron los 25 mayores fondos de inversi6n el 13 de noviembre de 1989. Tambien muestra las ganancias porcen-tuales (x), suponiendo que los dividendos y las ganancias de capital de estos mismos fondos se reinvirtieron en 1989 hasta el 12 de noviembre. a) Estime la regresi6n lineal de las perdidas re-

gistradas el 13 de noviembre con respecto a las ganancias obtenidas hasta el 13 de no-viembre de 1989.

b) Interprete la pendiente de la recta de regre-si6n muestral.


12.25. fi ) Ace Manufacturing esta estudiando el ab-sentismo laboral. Los datos del fichero Em-ployee Absence se refieren a la variaci6n anual de la tasa total de absentismo y la variaci6n anual de la tasa media de absentismo por en fer-medad.

a) Estime la regresi6n lineal de la variaci6n de la tasa media de absentismo por enfermedad con res pee to a la variaci6n de la tasa de ab-sentismo.

b) Interprete la pendiente estimada de la recta de regresi6n.

12.4. EI poder ex licativo de una ecuaci6n de re resi6n lineal El modelo de regresion estimado que hemos presentado puede concebirse como un intento de explicar los cambios de una variable dependiente Y provocados por los cambios de una variable independiente X. Si solo tuvieramos observaciones de la variable dependiente, y, la tendencia central de Y se representarfa por medio de la media y y la variabilidad total en torno a Y se representarfa por medio del numerador del estimador de la varianza muestral, L(y; - yl Cuando tambien tenemos medidas de X, hemos demostrado que la tendencia central de Yahora puede expresarse en funcion de X. Esperamos que la ecuacion lineal es-te mas cerca de los valores individuales de Y y que, por 10 tanto, la variabilidad en torno a la ecuacion lineal sea men or que la variabilidad en torno a la media.

Estamos ya en condiciones de desarrollar medidas que indiquen la eficacia con que la variable X explica la conducta de Y. En nuestro ejemplo de las ventas al por menor mostra-do en la Figura 12.1, las ventas al por menor, Y, tienden a aumentar con la renta disponi-ble, X y, por 10 tanto, la renta disponible explica algunas de las diferencias entre las ventas al por menor. Sin embargo, los puntos no estan todos en la Ifnea, por 10 que la explicacion no es perfecta. Aquf desarrollamos medidas basadas en la descomposicion de la variabili-dad, que miden la capacidad de X para explicar Y en una regresion especffica.

El analisis de la varianza, ANOV A, para una regresion de mfnimos cuadrados se reaIi-za descomponiendo la variabilidad total de Yen un componente explicado y un componen-te de error. En la Figura 12.5 mostramos que la desviacion de un valor de Y con respecto a su media puede descomponerse en la desviacion del valor predicho con respecto a la media y la desviacion del valor observado con respecto al valor predicho

Figura 12.5. Y Descomposicion de la variabilidad.

Y 1----

STC t- Yi- Y

I I I I I I I I I I

Y= bo + b1 X / A

ei= Yi - Yi ---. SCE

Xi X

Capitulo 12. Regresion simple 4 4 9

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuacion -ya que la suma de las desviacio-nes en torno a la media es igual a 0- y sumamos el resultado obtenido en los n puntos

II II II

; = ] i = 1 i = 1

Tal vez algunos lectores se hayan dado cuenta de que la elevacion al cuadrado del primer miembro debe incluir el producto de los dos terminos ademas de sus cantidades al cuadra-do. Puede demostrarse que el termino del producto de los dos terminos es igual a O. Esta ecuacion puede expresarse de la forma siguiente:

STC = SCR + SCE

Aqui vemos que la variabilidad total - STC- puede dividirse en un componente -SCR-que representa la variabilidad que es explicada por la pendiente de la ecuacion de regre-sion (la media de Y es diferente en distintos niveles de X). El segundo componente -SCE- se debe a la desviacion aleatoria 0 sin explicar de los puntos con respecto a la recta de regresion. Esta variabilidad es una indicacion de la incertidumbre relacionada con el modelo de regresion. EI primer miembro es la suma total de los cuadrados:

n

STC = I (y; - .02 i = ]

La cantidad de variabilidad explicada poria ecuacion de regresion es la suma de los cua-drados de la regresi6n y se calcula de la forma siguiente:

n n

; = ] i = ]

Vemos que la variabilidad explicada porIa regresion depende directamente de la magnitud del coeficiente hi y de la dispersion de los datos de la variable independiente, X. Las des-viaciones en torno a la recta de regresion, ei, que se utilizan para calcular la parte no expli-cada, 0 sea, la suma de los cuadrados de los errores, pueden definirse utilizando las si-guientes formas algebraicas:

II II II

i = ] i=] i = ]

Dado un conjunto de valores observados de las variables dependientes, Y, la STC es fi-ja e igual a la variabilidad total de todas las observaciones con respecto a la media. Vemos que en esta descomposicion, cuanto mas altos son los valores de SCR y, por 10 tanto, cuan-to mas bajos son los valores de SCE, mejor se ajusta 0 se aproxima la ecuacion de regre-si6n a los datos observados. Esta descomposicion se muestra grcificamente en la Figura 12.5. En la ecuacion de SCR vemos que la variabilidad explicada, SCR, esta relacionada directamente con la dispersion de la variable independiente 0 X. Por 10 tanto, cuando exa-rninamos aplicaciones del analisis de regresion, sabemos que debemos tratar de obtener da-tos que tengan un gran rango para la variable independiente de manera que el modelo de regresion resultante tenga una variabilidad sin explicar men or.


Retail Sales

Analisis de la varianza La variabilidad total en un analisis de regresion, STC, puede descomponerse en un componen_ te explicado por la regresion, SCR, y un componente que se debe a un error sin explicar, SCE:

STC = SCR + SCE (12.8) cuyos componentes se definen de la forma siguiente.

Suma total de los cuadrados: 11

(12.9) ;=1

Suma de los cuadrados de los errores:

11 11 II

SCE = L (Yi - (bo + b[X;))2 = L (y; - .Vi = L ei (12.10) ;=1 i = l i = l

Suma de los cuadrados de la regresi6n:

Il n

(12.11) ; = I ; = 1

Vol vamos con esta informacion a nuestro ejemplo de las ventas al por menor (ejem-plo 12.2) con el fichero de datos Retail Sales y veamos como utilizamos la descomposi-cion de la variabilidad para averiguar en que medida explica nuestro modelo el proceso estudiado. La Tabla 12.2 muestra los calculos detail ados de los residuos, e;; las desviacio-nes de Y con respecto a la media, y las desviaciones de los val ores predichos de Y con respecto a la media. Estos nos proporcionan los componentes para calcular SCE, STC y SCR. La suma de los cuadrados de las desviaciones de la columna 5 es SCE = 436.127. La suma de los cuadrados de las desviaciones de la columna 6 es STC = 5.397.561. Por ultimo, la suma de los cuadrados de las desviaciones de la columna 7 es SCR = 4.961.434. La Figura 12.6 presenta las salidas Minitab y Excel del analisis de re-gresion, incluido el analisis de la varianza.

EI coeficiente de determinacion R2 Bemos visto que el ajuste de la ecuacion de regresion a los datos mejora cuando aumenta SCR y disminuye SCE. El cociente entre la suma de los cuadrados de la regresion, SCR, y la suma total de los cuadrados, STC, es una medida descriptiva de la proporcion 0 por-centaje de la variabilidad total que es explicada pOl' el modelo de regresion. Esta medida se llama coeficie~te de determinacion 0, en terminos mas generales, R2.

2 SCR SCE R =-=1 - -

STC STC

A menudo se considera que el coeficiente de determinacion es el porcentaje de la variabi-lidad de Y que es explicado por la ecuacion de regresion. Antes hemos demostrado que SCR aumenta directamente con la dispersion de la variable independiente X:

11 II

SCR = L cY; - y)2 = bi L (X; - x)2 ;=[ ;=[


Tabla 12.2. Valores efectivos y predichos de las ventas al por menor por hogar y residuos calculados a partir de su regresion lineal con respecto a la renta por hogar.

Desviacioll Desviacioll Ventas al Velltas al observada predicha

por mellor por mellor COil respecto COil respecto ADO Rellta (X) (Y) predichas Residuo a la media a la media

1 9.098 5.492 5.394 98 -550 - 649 2 9.138 5.540 5.409 131 -502 - 633 3 9.094 5.305 5.392 -87 -737 - 650 4 9.282 5.507 5.464 43 -535 -578 5 9.229 5.418 5.444 - 26 -624 - 599 6 9.347 5.320 5.489 - 169 -722 - 554 7 9.525 5.538 5.557 - 19 -504 - 486 8 9.756 5.692 5.645 47 -350 - 397 9 10.282 5.871 5.846 25 -171 -197

10 10.662 6.157 5.991 166 115 - 52 11 1l.019 6.342 6.127 215 300 84 12 11.307 5.907 6.237 - 330 - 135 194 13 11.432 6.124 6.284 - 160 82 242 14 11.449 6.186 6.291 - 105 144 248 15 11.697 6.224 6.385 - 161 182 343 16 11.871 6.496 6.452 44 454 409 17 12.018 6.718 6.508 210 676 465 18 12.523 6.921 6.701 220 879 658 19 12.053 6.471 6.521 - 50 429 479 20 12.088 6.394 6.535 -141 352 492 21 12.215 6.555 6.583 - 28 513 541 22 12.494 6.755 6.689 66 713 647

Sllma de los cuadrados de los val ores 436.127 5.397.561 4.961.434

Vemos, pues, que R2 tambien aumenta directamente con la dispersion de la variable inde-pendiente. Cuando buscamos datos para estimar un modelo de regresion, es importante ele-gir las observaciones de la variable independiente que abarquen la mayor dispersion posi-ble de X con el fin de obtener un modele de regresion con el mayor R2.

Coeficiente de determinacion R2 EI coeficiente de determinacion de una ecuacion de regresion es

SCR R2 = -- = 1

STC SCE STC (12.12)

Esta cantidad yarra de 0 a 1 y los valores mas altos indican que la regresion es mejor. Las interpretaciones generales de R2 deben hacerse con cautela, ya que un valor alto puede de-berse a que SCE es bajo 0 a que STC es alto 0 ambas cos as a la vez.

R2 puede variar de aI, ya que STC es fijo y < SCE < STC. Cuando R2 es alto, significa que la regresion es mejor, manteniendose todo 10 demas constante. En la salida del analisis de regresion vemos que el R2 de la regresion de las ventas al por menor es 0,919,0 sea, 91,9 por ciento. Normalmente, se considera que R2 es la variabilidad porcen-tual explicada.


Results for: retail sales.MTW Regression Analysis: Y Retail Sales versus X Income

The regression equation is Y Retai l Sa l es = 1922 + 0 . 382 X Income

Pre d i ctor Consta n t X I n come

Coef 1922.4

0 .3 8152

Ana l ysis o f Variance

SE Coe f 274 . 9

0 . 025 29

T 6 . 99

15.08

R- Sq(adj)

P 0 . 000 0 . 000

91 .5 %

Se' Error tfpico de la estimacion

R2, Coeficiente de determinacion

Source DF MS F P Regres s i on 1 Residua l Error 20 Total 21

Unusua l Ob serva t i on s Y

Reta i l

4 9~ 227.52 O. 000 S~, Varianza del error del modelo ~~.--------------SRC = 4,961,434 SCE = 436,127 STC = 5,397,561

Obs X Income Sales Fit SE Fit Residual 12 11307 5907 . 0 623 6. 2 34 . 0 -32 9.2

St Res i d -2. 29R

R denotes an observat i on with a l arge standa r dize d residual .

(a)

1 isLfMMA~OUTPJT ---B----"i-_.s_--~-- Q _,_..s.----c---L ...... --c---Q.--.L-2 Se' Error ,tipico dela estimaci6n : 3 . i Reo/ession Slotisties

~ i Multipl,e H . 0.958748803 : ::. 5 li'\ qu~re,. . ( 0.919199267 ' )+-_'-------- R}, Coeficiente de determ.inaCi6n 6 ! ,A..dju~t.ed R quare l .. 0.91515923 7 jSlandard Error : (147.6697181 :) 8 !Observations 22 , . ~ ! ., ..... 10 ANOVA

'. ~, Varia;nza del error del modelo

Hf::; R:-e-g-re-s-s-:-io-n-------L--~tU~--:+---r.;~~;=;;:-;i-------O:=--=Oc-=~=~~~~~ ~.~ I~:i~~~~" ,

SRC = 4,961,434 .: SCE = 436,127 : STC = 5,397,561

15 i 1'6 -+i --------'--c.=-o-e....,ffI""CJ....,.e-n-ts----'S-=-t,B-nd.-:B-~-d'"'j=-"-o-'~'--t-St.-=-o-t --'-. -:P--::--vB-":-ue--'---,L-o-~-tN-g-=-'=-%:--.;... ....,.up..,...'P-e-~-g""'=-%,....;. 17 ! Intercellt 1922.392694 ; 274.9493737 , 6.991806 ; 8.74E-07 : 1348.858617 ' 2495.92677 : 18 1x In;;~me 0.38151672 ' 0.025293061 15.08385 : 2.17E-12 ' 0.328756343 0.4342771 :

(b)

Figura 12.6. Anillisis de regresion de las ventas al por menor con respecto a la renta disponible: (a) salida Minitab; (b) salida Excel.

~ INTERPRETACION

La segunda forma de la ecuaci6n pone de manifiesto que R2 depende del cociente entre SCE y STC. R2 puede ser alto porque SCE es bajo -el objetivo deseado- 0 porque STC es alto 0 por ambas cosas a la vez. Las interpretaciones generales de R2 que se aplican a todas las ecuaciones de regresi6n son peligrosas. Dos modelos de regresi6n que tengan el rnismo conjunto de Yi observadas siempre pueden compararse utilizando el coeficiente de determinaci6n R2, y el modelo cuyo R2 sea mas alto explica mejor la variable Y. Pero las comparaciones generales de R2 -que afirman que un modelo es bueno porque su R2 es


superior a un determinado valor- son engafiosas. Generalmente, los analistas con expe-riencia han observado que R2 es 0,80 0 mas en los modelos basados en datos de series tem-porales. En los modelos basados en datos de corte transversal (por ejemplo, ciudades, re-giones, empresas), el valor de R2 oscila entre 0,40 y 0,60 y en los modelos basados en datos de personas individuales a menudo oscila entre 0,10 y 0,20.

Para ilustrar el problema de las interpretaciones generales de R2, consideremos dos mo-elos de regresi6n -cuyos graficos se muestran en la Figura 12.7-, cada uno de los cuales se basa en un total de 25 observaciones. En ambos modelos, SeE es igual a l7 ,89, por 10

Figura 12.7. Comparaci6n del R2 de dos model os de regresi6n;

Regression Model with High R Squared Y1 = 10.3558 + 1.99676 X

S = 0.881993 R-Sq = 99.7 % RSq(adj) = 99.6 % (a) R2 alto; (b) R2 bajo. 60

50

40

30

20

10

0 5 10 15 20 25

X (a)

Regression Model with Low R Squared

Y2 = 10.3558 + 0.196759 X

S = 0.881993 R-Sq = 73.8 % R-Sq(adj) = 72.6 %

16

15

14

N 13 >-

12

11

10

9

0 5 10 15 20 25

X (b)


que el aj uste de la ecuacion de regresion a los puntos de datos es el mismo. Pero en el primer modelo, la suma total de los cuadrados es igual a 5.201 ,05 , mientras que en el se-gundo es igual a 68,22. Los valores de R2 de los dos modelos son los siguientes.

Modelo 1:

Modelo 2:

SCE R2 = 1 - - = 1

STC 17,89

- - - =0,997 5.201,05

SCE 17,89 R2 = 1 - - = 1 - -- = 0738

STC 68,22'

Dado que SCE es igual en ambos modelos y, pOl' 10 tanto, la bondad del ajuste es la misma en los dos , no podemos afirmar que el modelo 1 se ajusta mejor a los datos. Sin embargo

') , en el modelo 1 el valor de R- es mucho mas alto que en el modelo 2. Como vemos aquf, la interpretacion general de R2 debe hacerse con mucha cautela. Observese que los dos inter-valos diferentes del eje de ordenadas de la Figura 12.7 se deben a valores diferentes de STC.

Tambien puede establecerse una relacion entre el coeficiente de correlacion y el R2, observando que la correlacion al cuadrado es igual al coeficiente de determinacion . Otra interpretacion de la correlacion es que es la rafz cuadrada de la variabilidad porcentual ex-plicada.

Correlacion y R2 EI coeficiente de determinacion, R2, de la regresion simple es igual al cuadrado del coeficiente de correlacion simple:

(12.13)

Este resultado establece una importante conexi on entre la correlacion y el modele de regre-sion.

La suma de los cuadrados de los errores puede utilizarse para obtener una estimacion de la varianza del error del modelo ei' Como veremos, el estimador de la varianza del error del modelo se utiliza para realizar la inferencia estadfstica en el modelo de regresion. Re-cuerdese que hemos supuesto que el error poblacional, e;, es un error aleatorio que tiene una media 0 y una varianza (J2 . El estimador de (J2 se calcula de la forma siguiente:

Estimacion de la varianza del error del modelo La cantidad SeE es una medida de la suma total de los cuadrados de las desviaciones en tor-no a la recta de regresion estimada y e; es el residuo. Un estimador de la varianza del error poblacional del modelo es

Il

L e; ~2 2 ; = I (J =s = --

e n - 2 SCE

n - 2 (12.14)

Se divide por n - 2 en lugar de n - 1 porque el modelo de regresion simple utiliza dos parame-tros estimados, bo y b1 , en lugar de uno. En el siguiente apartado vemos que este estimador de la varianza es la base de la inferencia estadfstica en el modelo de regresion.


EJERCICIOS

Ejercicios basicos 12.26. CaJcule SCR, SCE, s; y el coeficiente de deter-

minaci6n, dados los siguientes estadisticos cal-culados a partir de una muestra aleatoria de pa-res de observaciones de X e Y:

n

a) I (Yi - j)2 = 100.000; r = 0,50; n = 52 i = 1

II

b) I (Yi - y)2 = 90.000; r2 = 0,70; n = 52 n

c) I (y; - y)2 = 240; r = 0,80; n = 52 II

d) I (y; - y)2 = 200.000; r = 0,30; n = 74 II

e) I (Yi - y)2 = 60.000; r = 0,90; n = 40 ;~I

Ejercicios apl icados 12.27. Sea la recta de regresi6n muestral

Yi = bo + blx; + ei = Yi + e; (i = 1, 2, ... , n) y sean x e y las medias muestrales de las varia-bles independiente y dependiente, respectiva-mente.

a) Demuestre que ei = Yi - Y - b(x; - x)

b) Utilizando el resultado del apartado (a), de-muestre que

II

c) Utilizando el resultado del apartado (a), de-muestre que

" 11 II I e; = I (Yi - y)2 - b2 I (Xi - X)2 ; = 1 i=1

d) Demuestre que Yi - Y = b;Cx; - x)

e) Utilizando los resultados de los apartados (c) y (d), demuestre que

STC = SCR + SCE

f) Utilizando el resultado del apartado (a), de-muestre que

11

I e;(Xi - x) = 0 ; ~ I

12.28. Sea 2 SCR R = -

STC

el coeficiente de determinaci6n de la recta de regresi6n muestral. a) Utilizando el apartado (d) del ejercicio

12.27, demuestre que II

I (x; - x)2 R2 = b2 _i~_I ___ _

I II

I (Yi - y)2 i~1

b) Utilizando el resultado del apartado (a), de-muestre que el coeficiente de determinaci6n es igual al cuadrado de la correlaci6n mues-tral entre X e Y.

c) Sea b l la pendiente de la regresi6n por mfni-mos cuadrados de Y con respecto a X, b'r la pendiente de la regresi6n por mfnimos cua-drados de X con respecto a Y y r la correla-ci6n muestral entre X e Y. Demuestre que

b l bt=r2

12.29. Halle e interprete el coeficiente de determina-ci6n de la regresi6n de las ventas del sistema de DVD con respecto al precio, utilizando los da-tos siguientes.

Ventas 420 380 350 400 440 380 450 420

Precio 5,5 6,0 6,5 6,0 5,0 6,5 4,5 5,0

12.30. tli .o9 Halle e interprete el coeficiente de determi-naci6n de la regresi6n de la variaci6n porcen-tual del fndice Dow-Jones en un ano con res-pecto a la variaci6n porcentual del fndice en los cinco primeros dias de sesi6n del ano, conti-nuando con el analisis del ejercicio 12.7. Com-pare su respuesta con la correlaci6n muestral obtenida con estos datos en el ejercicio 12.7. Uti lice el fichero de datos Dow Jones.

12.31. 4;,} Basandose en los datos del ejercicio 12.24, halle la proporci6n de la variabilidad muestral de las perdidas porcentuales experimentadas por los fondos de inversi6n el 13 de noviembre de 1989 explicada por su dependencia lineal de las ganancias porcentuales obtenidas en 1989 hasta el 12 de noviembre. Utilice el fichero de datos New York Stock Exchange Gains and Losses.


12.32. f ~ Vuelva a los datos sobre la tasa de absentis-mo lab oral del ejercicio 12.25. Utilice el fichero de datos Employee Absence. a) Halle [os valores predichos, Yi' y los resi-

duos, ei, de la regresi6n por mlnimos cua-drados de la variaci6n de la tasa media de absentismo por enfermedad con respecto a la variaci6n de [a tasa de desempleo.

b) Halle las sumas de los cuadrados STC, SCR y SCE Y verifique que

STC = SCR + SCE

c) Utilizando los resultados del apartado (a), halle e interprete el coeficiente de determi-naci6n.

12.33. Vuelva a los datos sobre las ventas semanales y las puntuaciones obtenidas en un test de aptitud por los representantes de ventas del ejercicio 12.21. a) Halle los valores predichos, Yi' y los resi-

duos, ei, de la regresi6n por mlnimos cua-

drados de las ventas semana[es con respecto a [as puntuaciones del test de aptitud.

b) Halle las sumas de los cuadrados STC, SCR y SCE Y verifique que

STC = SCR + SCE

c) Utilizando los resultados del apartado (a), halle e interprete el coeficiente de determi-naci6n.

d) Halle directamente el coeficiente de corre[a-ci6n muestral entre las ventas y las puntua-ciones del test de aptitud y verifique que su cuadrado es igual al coeficiente de determi-naci6n.

12.34. En un estudio se demostr6 que en una muestra de 353 profesores universitarios, la correlaci6n entre las subidas salariales anuales y las eva[ua-ciones de la docencia era de 0,11 . i., Cmil seria el coeficiente de determinaci6n de una regresi6n de las subidas salaria[es anuales con respecto a [as evaluaciones de la docencia en esta mues-tra? Interprete su resultado.

12.5. Inferencia estadfstica: contrastes de hip6tesis e intervalos de confianza

Una vez desarrollados los estimadores de los coeficientes y un estimador de (12, estamos ya en condiciones de hacer inferencias relativas al modelo poblacional. El enfoque Msico es paralelo al de los Capftulos 8 a 11. Desarrollamos estimadores de la varianza para los esti-madores de los coeficientes, bo Y bl> Y utilizamos los panimetros y las varianzas estimados para contrastar hip6tesis y para calcular intervalos de confianza utilizando la distribuci6n t de Student. Las inferencias realizadas a partir del analisis de regresi6n nos ayudaran a comprender el proceso analizado y a tomar decisiones sobre ese proceso. Suponemos ini-cialmente que los errores aleatorios del modelo, c, siguen una distribuci6n normal. Mas adelante, sustituiremos este supuesto por el del teorema del limite central. Comenzamos desarrollando estimadores de la varianza y formas utiles de contraste. A continuaci6n, los aplicamos utilizando nuestros datos sobre las ventas al por menor.

En el apartado 12.2 definimos la regresi6n simple correspondiente al modelo pobla-cional:

en la que las Xi tienen valores predeterrninados, pero no son variables aleatorias. En los Ca-pftulos 5 y 6 sobre las funciones lineales de variables aleatorias vimos que si ci es una va-riable aleatoria que sigue una distribuci6n normal de varianza (12, entonces Yi tambien si-gue una distribuci6n normal que tiene la misma varianza. El segundo miembro es una funci6n lineal de X, salvo por la variable aleatoria ci. Si sumamos una funci6n de X a una


variable aleatoria, no cambiamos la varianza. En el apartado 12.3 observamos que el esti-mador del coeficiente de la pendiente, b I' es

11

I (Xi - X)(yi - )I) i=1 b l = 11

I (Xi - i)2 i=1

donde

(Xi - i) ai = -,-, --'----

I (Xi - X)2 i=1

En este estimador, vemos que b l es una funci6n lineal de la variable aleatoria Yi cuya varianza es (j2. Las Yi son variables aleatorias independientes. Por 10 tanto, la varianza de bl es una transformaci6n simple de la varianza de Y. Utilizando los resultados del Capitu-lo 6, la funci6n lineal puede expresarse de la forma siguiente:

11

b l = I aiYi i=1

(Xi - x)

n I (Xi - X)2 i=1

11

Dado que Yi sigue una distribuci6n normal y b I es una funci6n lineal de variables normales independientes, esta funci6n lineal implica que b l tambien sigue una distribuci6n normal. De este amilisis podemos deducir la varianza poblacional y la varianza muestral.

458 Estadfstica para administracion yeconomfa

:~ INTERPRETACION

Distribuci6n en el muestreo del estimador de los coeficientes por mfnimos cuadrados Si se cumplen los supuestos habituales de la estimacion por mfnimos cuadrados, entonces b es un estimador insesgado de f3 1 y tiene una varianza poblacional 1

(J2 ,.,.2 _ ____ _ vb l - 11 I (X i - X)2

; = I

y un estimador insesgado de la varianza muestral ?

2 s; S = ---"---b l n I (Xi - X)2

i = 1

(n - l)s~

,.2 v e

(n - 1)s;

(12.15)

(12.16)

EI estimador de la constante de la regresion, bo, tambien es una funcion lineal de la variable aleatoria Yi y, por 10 tanto, puede demostrarse que sigue una distribucion normal , y su estimador de la varianza puede obtenerse de la forma siguiente:

i = - + i ( 1 2) bo n (n - l)s~ e Es importante observar que la varianza del coeficiente de la pendiente, bl , depende de dos importantes cantidades:

1. La distancia de los puntos con respecto a la recta de regresion medida por s;'. Cuando los valores son mas altos, la varianza de b l es mayor.

2. La desviacion total de los valores de X con respecto a la media medida por (n - 1)s; . Cuanto mayor es la dispersion de los valores de X, menor es la varianza del coeficiente de la pendiente.

Estos dos resultados son muy importantes cuando hay que elegir los datos para realizar un modelo de regresion. Antes hemos sefialado que cuanto mayor era la dispersion de la variable independiente, X, mayor era R2, 10 que indicaba que la relacion era mas estrecha. Ahora vemos que cuanto mayor es la dispersion de la variable independiente -medida por

s"~-, menor es la varianza del coeficiente estimado de la pendiente, b l . Por 10 tanto, cuanto menores sean los estimadores de la varianza del coeficiente de la pendiente, mejor es el modelo de regresion. Tambien debemos afiadir que muchas conclusiones de investigacio-nes y muchas decisiones de polftica economica se basan en la variacion de Y que se debe a una variacion de X, estimada pOl' b I' Por 10 tanto, nos gustarfa que la varianza de esta im-portante variable de decision, b l , fuera 10 mas pequefia posible.

En el analisis de regresion aplicado, nos gustaria saber primero si existe una relacion. En el modelo de regresion, vemos que si /31 es 0, entonces no existe una relacion lineal: Y no aumentarfa 0 disminuirfa continuamente cuando aumenta X. Para averiguar si existe una relacion lineal, podemos contra star la hipotesis

frente a


Dado que h, sigue una distribuci6n normal, podemos contrastar esta hip6tesis utilizando el estadfstico t de Student

que se distribuye como una t de Student con n - 2 grados de libertad. El contraste de hip6tesis tambien puede realizarse con valores de /31 distintos de 0. Una regia practica es extraer la conclusi6n de que existe una relaci6n si el valor absoluto del estadfstico t es su-perior a 2. Este resultado se obtiene exactamente en el caso de un contraste de dos colas con un nivel de significaci6n rL = 0,05 y 60 grados de libertad y constituye una buena aproximaci6n cuando n > 30.

Base para la inferencia sobre la pendiente de la regresi6n poblacional Sea /31 la pendiente de la ecuaci6n poblacional y b1 su estimaci6n por minimos cuadrados ba-sad a en n pares de observaciones muestrales. En ese caso, si se cumplen los supuestos habi-tuales del modele de regresi6n y puede suponerse tambien que los errores, 8;, siguen una dis-tribuci6n normal, la variable aleatoria

(12.17)

se distribuye como una t de Student con (n - 2) grados de libertad. Ademas, el teorema del limite central nos permite conciuir que este resultado es aproximadamente valido para una am-plia variedad de distribuciones no normales y muestras de un tamafio suficientemente grande, n.

La mayorfa de los programas que se emplean para estimar regresiones calculan normal-mente la desviaci6n tfpica de los coeficientes y el estadfstico t de Student para /3, = 0. La Figura 12.8 muestra las salidas Minitab y Excel correspondientes al ejemplo de las ventas al por men or.

En el caso del modelo de las ventas al por menor, el coeficiente de la pendiente es hI = 0,382 con una desviaci6n tfpica Sb[ = 0,02529. Para saber si existe relaci6n entre las ventas al por menor, Y, y la renta disponible, X, podemos contrastar la hip6tesis

frente a

En la hip6tesis nul a, el cociente entre el estimador del coeficiente, h j , y su desviaci6n tfpi-ca sigue una distribuci6n t de Student. En el ejemplo de las ventas al por menor, observa'-mos que el estadfstico t de Student calculado es

hj - /3, t=---

0,38152 - 0,02529 = 15,08

El estadfstico t de Student resultante, t = 15,08, mostrado en la salida del am'ilisis de regre-si6n, constituye una prueba contundente para rechazar la hip6tesis nula y concluir que existe una estrecha relaci6n entre las ventas al por menor y la renta disponible. Tambien

460 Estadistica para administracion y economia

Results for: retail sales.MTW Regression Analysis: V Retail Sales versus X Income

The regression equation is tbl , Estadfstico tde Student Y Retall Sales = 192 2 + 0 . 382 X rncomeC

Predlctor Coef SE Coef T P Constan t 1922. 4 274 . 9 6 . 99 0.000 X Income ~~~ 0.000 ~ Sbl ' Error tfpico del coeficiente de la pendiente ~ 147.~ R-S = 91.9 % R- Sq(adj) = 91.5%

Se' Error tfpico de la estimaci6n Analysis of

Source Regression Residual Error Tota l

F P ~~~) ... __ --_O_, _O_O_O_~, Varianza del error del modelo

Unusual

Retail Obs X I ncome Sale Fi t SE Fi t Residual 12 11307 5907. 6236.2 34.0 -329. 2

SCR, Suma de los cuadros de la regresi6n

St Resid - 2 . 29R

SCE, Suma de los cuadros de los errores

R denotes an observat on with a large standardized residual .

b l , Coeficiente de la pendiente (a)

A B 1 !SUMMARYOUTPUT 2 3 4 5 6 7 8 9

i Regression ~"'Btistics iMultiple R 0.958748803 IH Squllre 0.919199267 !Adjusted R Squllre 0.91515923 ' IStllndllrd Error


Tambien podrfan realizarse contrastes de hipotesis relativos a la constante de la ecua-cion, bo, utilizando la desviacion tfpica desarrollada antes y mostrada en la salida Minitab. Sin embargo, como normalmente nos interesan las tasas de variacion -medidas por b l-, los contrastes relativos a la constante general mente son menos importantes.

Si el tamafio de la muestra es 10 suficientemente grande para que se apJique el teorema del lfmite central , podemos realizar esos contrastes de hipotesis aunque los elTores, c;, no sigan una distribucion normal. La cuestion clave es la distribucion de bl' Si bl slgue una distribucion normal aproximada, es posible realizar el contraste de hipotesis.

Contrastes de la pendiente de la regresion poblacional Si los errores de la regresion, 8i, siguen una distribucton normal y se cumplen los supuestos habituales del metodo de los mfnimos cuadrados (0 si la distribucion de b1 es aproximada-mente normal), los siguientes contrastes tienen un nivel de significacion ex .

1. Para contrastar cualquiera de las dos hipotesis nulas

Ho:PI=M frente a la hipotesis alternativa

la regia de decision es

Rechazar Ho si

2. Para contrastar cualquiera de las dos hipotesis nulas

Ho: PI = f3l" frente a la hipotesis alternativa

la regia de decision es

Rechazar Ho si

3. Para contrastar la hipotesis nula

frente a la hipotesis alternativa bilateral

HI :PI #- fit la regia de decision es

Rechazar Ho si b - P* I I >: /' tll - 2 ,,/2 S

hJ o

(12.18)

(12.19)

(12.20)

Podemos obtener interval os de confianza para la pendiente PI de la ecuacion poblacio-nal utilizando los estimadores de los coeficientes y de las varianzas que hemos desarrolla-do y el razonamiento realizado en el Capitulo 8.


Intervalos de confianza de la pendiente de la regresi6n poblacional ~ Si los errores de la regresi6n, 8i , siguen una distribuci6n normal y se cumplen los supuestos habituales del analisis de regresi6n, se obtiene un intervalo de confianza al 100(1 - 0:)% de la pendiente de la recta de regresion poblacional (11 de la forma siguiente:

(12.21)

don de tn

- 2 aJ2 es el numero para el que

y la variable aleatoria tn

- 2 sigue una distribuci6n t de Student con (n - 2) grados de libertad.

En la salida del analisis de regresi6n de las ventas al por menor con respecto a la renta disponible de la Figura 12.8, vemos que

n = 22 hi = 0,3815 Sb = 0,0253

Para obtener el intervalo de confianza al 99 por ciento de PI' tenemos 1 - rx = 0,99 y n - 2 = 20 grados de libertad y, por 10 tanto, vemos en la tabla 8 del apendice que

t n - 2,rx/2 = t20 , 0,005 = 2,845

Por 10 tanto, tenemos el intervalo de confianza al 99 por ciento

0,3815 - (2,845)(0,0253) < PI < 0,3815 + (2,845)(0,0253) o sea

0,3095 < PI < 0,4535

Vemos que el intervalo de confianza al 99 por ciento del aumento esperado de las ventas al por menor por hogar que acompafia a un aumento de la renta disponible por hogar de 1 $ abarca el intervalo de 0,3095 $ a 0,4353 $. La Figura 12.9 muestra los intervalos de confianza al 90, al 95 y al 99 por ciento de la pendiente de la regresi6n poblacional.

Figura 12.9. Intervalos de confianza de la pendiente de la recta de regresi6n poblacional de las ventas al por menor a los niveles de confianza del 90, el 95 y el 99 por ciento.

Intervale de confianza al 90% ,-------------------4

0,3379 0,3815 0,4251

Intervalo de confianza al 95% 11-----------------------11-----------------------1 0,3287 0,3815 0,4343 Intervale de confianza al 99% 1------------------------- I------------~~--------------I 0,3095 0,3815 0,4535


Contraste de hip6tesis del coeficiente de la pendiente poblacional utilizando la distribuci6n F Existe otro contraste de la hipotesis de que el coeficiente de la pendiente, (31' es igual a 0:

Ho :(3) = 0 H1 :(31 #0

Este contraste se basa en la descomposicion de la variabilidad que hemos presentado en el apart ado 12.4. Este contraste parte del supuesto de que, si la hipotesis nula es verdade-ra, entonces pueden utilizarse tanto SCE como SCR para obtener estimadores indepen-dientes de la varianza del error del modelo (f2 . Para realizar este contraste , obtenemos dos estimaciones muestrales de la desviacion tfpica poblacional (f, que se denominan ter-minos cuadniticos medios. La suma de los cuadrados de la regresion, SCR, tiene un gra-do de libertad, ya que se refiere al coeficiente de la pendiente, y el cuadrado medio de la regresion, CMR, es

SCR CMR = - = SCR

1

Si la hipotesis nula - ausencia de relaciones verdadera, entonces CMR es una estima-cion de la varianza global del modelo, (f2 . Tambien utilizamos la suma de los cuadrados de los errores al igual que antes para hallar el error cuadnitico medio, ECM:

SCE ECM=--=S2

n ~ 2 e

En el apartado 11.4 introdujimos la distribucion F, que era el cociente entre estimacio-nes muestrales independientes de la varianza, dadas varianzas poblacionales iguales. Puede demostrarse que CMR y ECM son independientes y que en Ho ambas son estimaciones de la varianza poblacional, (f2. Por 10 tanto, si Ho es verdadera, podemos demostrar que el co-ciente

CMR SCR F = -- = -

ECM s; sigue una distribucion F con 1 grado de libertad en el numerador y n ~ 2 grados de liber-tad en el denominador. Tambien debe seiialarse que el estadfstico F es igual al cuadrado del estadfstico t del coeficiente de la pendiente. Esta afirmacion puede demostrarse alge-braicamente. Aplicando la teorfa de la distribucion, podemos demostrar que una t de Stu-dent al cuadrado con n ~ 2 grados de libertad y la F con 1 gr'ldo de libertad en el numera-dor y n ~ 2 grados de libertad en el denominador son iguales:

F(J., 1,17-2 = ~/2,n - 2 La Figura 12.8(a) muestra el analisis de varianza de la regresion de las ventas al por

menor procedente de la salida Minitab. En nuestro ejemplo de las ventas al por menor, la


suma de los cuadrados de los errores se di vide por los 20 grados de libertad para calclllar el ECM:

436.127 ECM = 20 = 21.806

A continuaci6n, se calcula el cociente F, que es como el cociente entre dos cuadrados me-dios:

CMR 4.961.434 F = - - = = 227 52

ECM 21.806 '

Este cociente F es considerablemente mayor que el valor crftico de r:t. = 0,01 con 1 grado de libertad en el numerador y 20 grados de Iibertad en el denominador (F 1.20,0,0 I = 8, 10) segun la Tabla 9 del apendice. La salida Minitab -Figura 12.8(a)- de la regresi6n de las ventas al por menor muestra que el p-valor de esta F calculada es 0,000, 10 que constitllye una prueba alternativa para rechazar Ho. Observese tambien que el estadistico F es igual a ?, siendo t el estadistico del coeficiente de la pendiente, b I:

F = t2

227,52 = 15,082

Contraste F del coeficiente de regresion simple Podemos contrastar la hipotesis

frente a la alternativa

util izando el estadfstico F CMR SCR

F=--= -ECM s;

La regia de decision es

Rechazar Ho si F): F1,n - 2,iX

Tambien podemos mostrar que el estadfstico F es

en cualquier anal isis de regresion simple.

(12.22)

(12.23)

(12.24)

Este resultado muestra que los contrastes de hip6tesis relativos al coeficiente de la pen-diente poblacional dan exactamente el mismo resultado cuando se utiliza la t de Student que cuando se utiliza la distribuci6n F. En el Capitulo 13 veremos que la distribuci6n F -cuando se utiliza en un analisis de regresi6n multiple- tambien brinda la oportunidad de contrastar la hip6tesis de que varios coeficientes poblacionales de la pendiente son si-multaneamente iguales a O.


EJERCICIOS

Ejercicios basicos 12.35. Dado el modelo de regresi6n simple

Y=[30+[3I X y los resultados de la regresi6n siguientes, con-traste la hip6tesis nula de que el coeficiente de la pendiente es 0 frente a la hip6tesis alternativa de que es mayor que cero utili zando la probabi-lidad de cometer un error de Tipo I igual a 0,05 y halle los interval os de confianza bilaterales al 95 y al 99 por ciento. a) Una muestra aleatoria de tamano n = 38 con

h i = 5 Y Sb, = 2,1 b) Una muestra aleatoria de tamano n = 46 con

hi = 5,2 Y Sb , = 2,1 c) Una muestra aleatoria de tamano 11 = 38 con

h i = 2,7 Y Sb, = 1,87 d) Una muestra aleatoria de tamano 11 = 29 con

hi = 6,7 Y sb, = 1,8

12.36. Uti lice un modelo de regresi6n simple para con-trastar la hip6tesis

frente a

suponiendo que (J. = 0,05, dados los siguientes estadfsticos de la regresi6n: a) EI tamano de la muestra es 35, STC= 100.000

Y la correlaci6n entre X eYes 0,46. b) EI tamafio de la muestra es 61, STC= 123.000

y la correlaci6n entre X eYes 0,65. c) EI tamano de la muestra es 25, STC= 128.000

Y la correlaci6n entre X eYes 0,69.

Ejercicios aplicados 12.37. Considere la regresi6n lineal de las ventas del

sistema DVD con respecto al precio del ejerci-cio 12.29. a) Utilice un metodo de estimaci6n insesgado

para hallar una estimaci6n de la varianza de los terminos de en'or en la regresi6n pobla-cional.

b) Utilice un me to do de estimaci6n insesgado para hallar una estimaci6n de la varianza del estimador pOI' mfnimos cuadrados de la pen-diente de la recta de regresi6n poblacional.

c) Halle el intervalo de confianza al 90 pOI' ciento de la pendiente de la recta de regre-si6n poblacional.

12.38. Una cadena de comida nlpida decidi6 realizar un experimento para averiguar la influencia de los gastos publicitarios en las ventas. Se intro-dujeron diferentes cambios relativos en los gas-tos publicitarios en comparaci6n con el ano an-terior en ocho regiones del pafs y se observaron los cambios que experimentaron las ventas co-mo consecuencia. La tabla adjunta muestra los resultados.

Aumento de los gastos publicitarios (%) 0 4 14 10 9 8 6 Aumento de las ventas (%) 2,4 7,2 10,3 9,1 10,2 4,1 7,6 3,5

a) Estime por mfnimos cuadrados la regreslOn lineal del aumento de las ventas con respec-to al aumento de los gastos publicitarios.

b) Halle el intervalo de confianza al 90 por ciento de la pendiente de la recta de regre-si6n poblacional.

12.39. Un vendedor de bebidas alcoh6licas al por mayor tiene interes en averiguar c6mo afecta el precio de un whisky escoces a la cantidad ven-dida. En una muestra aleatoria de datos sobre las ventas de ocho seman as se obtuvieron los resultados de la tabla adjunta sobre el precio, en d61ares, y las ventas, en cajas.

Precio 19,2 20,5 19,7 21,3 20,8 19,9 17,8 17,2

Ventas 25,4 14,7 18,6 12,4 11,1 15,7 29,2 35,2

Halle el intervalo de confianza al 95 por ciento de la variaci6n esperada de las ventas provoca-da por una subida del precio de 1 $.


12.40. 6'9 Continue el amllisis del ejercicio 12.30 de la regresi6n de la variaci6n porcentual del Indice Dow-Jones en un ano con respecto a la varia-ci6n porcentual del fndice en los cinco primeros dras de sesi6n del ano. Utilice el fichero de da-tos Dow Jones. a) Utilice un metoda de estimaci6n insesgado

para hallar una estimaci6n puntual de la va-rianza de los terminos de error de la regre-si6n poblacional.


b) Utilice un metoda de estimaci6n insesgado para hallar una estimaci6n puntual de la va-rianza del estimador por mfnimos cuadrados de la pendiente de la recta de regresi6n po-blacional.

c) Halle e interprete el intervalo de confianza al 95 por ciento de la pendiente de la recta de regresi6n poblacional.

d) Contraste al nivel de significaci6n