na. noŢiuni generale - deliu.ro · pdf fileconsiderații generale . în mecanică...

MECANICĂ*N* NA. NOŢIUNI GENERALE

‐ 1 ‐

NA.

NOŢIUNI GENERALE

MECANICĂ*N* NA. NOŢIUNI GENERALE

‐ 2 ‐

CUPRINS

Capitolul NA.01. Sisteme de vectori ………………………………………………………………………………………... 3NA.01.1. Consideraţii generale .......................................................................................................... 3NA.01.2. Momentul unui vector în raport cu un punct ...................................................................... 4NA.01.3. Momentul unui vector în raport cu o axă ........................................................................... 8NA.01.4. Caracterizarea unui vector alunecător. Suportul unui vector alunecător ............................ 10NA.01.5. Aplicație ............................................................................................................................. 12

Capitolul NA.02. Geometria maselor ………………………………………………………………………………………. 14 NA.02.1. Generalităţi. Definiţii .......................................................................................................... 14 NA.02.2. Centrul de masă .................................................................................................................. 16 NA.02.3. Proprietăţile centrului de masă ........................................................................................... 19 NA.02.4. Centrul de masă la corpuri omogene de rotaţie .................................................................. 20 NA.02.5. Teoremele Guldin-Pappus .................................................................................................. 25 NA.02.6. Aplicații .............................................................................................................................. 27 Capitolul NA.03. Momente de inerţie.............................................................................................................. 30 NA. 03.1. Definiţii ............................................................................................................................. 30 NA. 03.2. Proprietăţi .......................................................................................................................... 33 NA. 03.3. Momente de inerţie pentru corpuri omogene de rotaţie .................................................... 34 NA. 03.4. Modificarea matricei de inerţie la schimbarea reperului ................................................... 36 NA. 03.5. Momente principale de inerţie ........................................................................................... 39 NA. 03.6. Aplicații ............................................................................................................................. 41 Capitolul NA.04. Autoevaluare ...................................................................................................................... 44 Capitol NA.01. Sisteme de vectori ..................................................................................................... 44 ● Exerciţii şi probleme rezolvate ....................................................................................................... 44 Capitol NA.02. Geometria maselor ................................................................................................... 46 ● Exerciţii şi probleme rezolvate ....................................................................................................... 46 ● Exerciţii şi probleme propuse spre rezolvare ................................................................................. 54 Capitol NA.03. Momente de inerţie ................................................................................................... 57 ● Exerciţii şi probleme rezolvate ....................................................................................................... 57 Bibliografie ....................................................................................................................................... 63

MECANICĂ*N* NA.01.Sisteme de vectori

- 3 -

Capitolul NA.01. Sisteme de vectori

Cuvinte-cheie Mărimi scalare, Mărimi vectoriale, Vectori, Momentul unui vector în raport cu un punct,

Momentul unui vector în raport cu o axă, Vector alunecător, Dreapta suport, Metoda versorului

NA.01.1. Considerații generale

În mecanică există două tipuri de mărimi fizice şi anume:

mărimi scalare care sunt caracterizate complet de o valoare numerică ce exprimă numărul de unităţi de măsură conţinut de mărimea respectivă;

mărimi vectoriale care sunt caracterizate complet, pe lângă valoarea numerică (modul), de direcţie, sens şi punct de aplicaţie.

Exemple de mărimi scalare: masa, volumul, timpul, energia cinetică, lucrul mecanic, puterea.

Exemple de mărimi vectoriale: viteza, acceleraţia, impulsul, momentul cinetic, forţa.

În mecanică există trei tipuri de vectori:

1. vectori legaţi, al căror punct de aplicaţie este bine determinat (fix) şi nu pot fi deplasaţi cum este, de exemplu, viteza unui punct;

2. vectori alunecători, care pot aluneca pe dreapta suport, de exemplu, forţa care acţionează asupra unui solid-rigid;

3. vectori liberi, care pot fi translaţi în spaţiu, rămânând deci paraleli cu ei înşişi, de exemplu, vectorul cuplu de vectori.

Pentru a putea opera uşor cu mărimile vectoriale se utilizează un reper care, de regulă, este un reper cartezian ortogonal drept, notat R (O, i , j , k ), unde O este originea reperului numită şi pol iar ( i ,

j , k ) este o bază ortonormată (fig. 1.1). Vectorii i , j şi k se numesc versori ai axelor Ox, Oy şi

respectiv Oz. Ei au modulul egal cu unitatea şi sensul lor indică sensul pozitiv al axei. Orice vector F poate fi scris sub forma:

kFjFiFFFFF zyxzyx ++=++= (1.1)

numită şi expresia analitică a vectorului F . Vectorii yx FF , și zF sunt componentele lui F în baza

( i , j , k ) sau proiecțiile vectorului F pe cele trei axe ale reperului R (O, i , j , k ). Scalarii Fx, Fy

şi Fz sunt mărimile algebrice ale proiecţiilor lui F . Prin mărime algebrică se înțelege notarea cu un singur simbol a modulului și semnului la un loc. Odată cunoscută expresia analitică a vectorului,

acesta este complet determinat ca vector liber. Astfel, mărimea (modulul) vectorului F este

222zyx FFFF ++= , (1.2)


- 4 -

iar direcţia şi sensul (dacă 0≠F ) sunt date de cosinusurile unghiurilor pe care direcția vectorului le face cu cele trei axe:

( ) ( ) ( )FFkF

F

FjF

FFiF zyx === ,cos;,cos;,cos . (1.3)

Aceste cosinusuri se numesc cosinusuri directoare.

Se poate trage concluzia că un vector liber este determinat de trei parametri care sunt cele trei mărimi algebrice ale componentelor sale.

Un vector legat este determinat de şase parametri care sunt cele trei mărimi algebrice ale componentelor sale şi cele trei coordonate ale punctului de aplicație (x, y, z).

Se va arăta în continuare că un vector alunecător este determinat de cinci parametri.

NA.01.2. Momentul unui vector în raport cu un punct

Se consideră mai întâi un vector legat F aplicat într-un punct A şi O un alt punct, numit pol, faţă de

care se va defini momentul vectorului F . Momentul lui F faţă de punctul (polul) O mai este denumit şi moment polar.

Definiţie: Momentul vectorului legat F în raport cu polul O este un vector dat de produsul vectorial dintre vectorul de poziţie rOA = al punctului de aplicaţie A al vectorului F şi vectorul

F (fig. 1.2).

( )FM o

O r

b

F A

Fig. 1.2. Momentul unui vector în raport cu un punct

A0

z zF

yF

k F

j i xF

x Fig. 1.1. Descompunerea unui vector

y


- 5 -

( ) FrFOAFMO ×=×= . (1.4)

Se consideră acum un vector alunecător F aplicat într-un punct A de pe suportul său şi polul O. Momentul polar al vectorului F presupus ca fiind vector legat aplicat în punctul A este dat de formula 1.4. Dacă vectorul F alunecă pe suportul său, astfel încât punctul său de aplicaţie devine un alt punct oarecare B (fig. 1.3) situat tot pe suport, atunci, ținând cont că

BAOBOA += , (1.5)

rezultă

( ) ( ) FOBFBAFOBFBAOBFOAFM O ×=×+×=×+=×= , (1.6)

întrucât 0=× FBA , cei doi vectori fiind coliniari.

Relaţia 1.6. arată că momentul polar al vectorului alunecător F nu depinde de poziţia lui F pe suportul său.

Definiţie: Momentul unui vector alunecător F în raport cu un pol O este un vector dat de produsul vectorial dintre vectorul de poziţie r al unui punct oarecare de pe suportul său şi vectorul F :

( ) FrFM O ×= . (1.7)

Din modul de definire a momentului polar al unui vector legat sau alunecător (adică printr-un produs vectorial), rezultă că momentul polar este un vector perpendicular pe planul determinat de

punctul O şi de suportul vectorului F (deci şi pe vectorul F ), că are sensul dat de regula burghiului drept şi că modulul său este:

( ) ( ) bFFrFrFrFM O ⋅==×= ,sin , (1.8)

în care ( )Frrb ,sin= este numit braţul vectorului şi reprezintă lungimea perpendicularei construită

din pol pe suportul lui F (fig. 1.2. şi fig. 1.3.).

( )FM o

O r

b B F

F A

Fig. 1.3. Momentul unui vector alunecător

A0


- 6 -

Proprietățile momentului polar

Momentul polar al unui vector legat sau alunecător are următoarele proprietăţi:

1. Momentul polar se modifică la schimbarea polului din O în O' conform relaţiei:

( ) ( ) FOOFMFM OO ×+= '' , (1.9)

ceea ce arată că este un vector legat. Numai în cazul când 0' =× FOO , momentul polar rămâne neschimbat.

Demonstraţie: Pe baza figurii 1.4., se poate scrie relaţia vectorială:

AOOOOA ''+= , (1.10)

care conduce la:

( ) ( ) ( )FMFOOFAOFOOFAOOOFOAFM OO '''''' +×=×+×=×+=×= .

2. Produsul scalar dintre ( )FM O şi F este nul în orice pol (este un invariant la schimbarea polului).

Demonstraţie: Deoarece ( )FM O este perpendicular pe F rezultă că produsul lor scalar este nul

( ) 0=⋅ FFM O . (1.11)

În cazul schimbării polului dintre O şi O' avem:

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 0'

'

''

'

=⋅=⋅×+⋅=

=⋅×+=⋅

FFMFFOOFFM

FFOOFMFFM

OO

OO (1.12)

produsul mixt fiind nul deoarece conţine doi vectori identici.

3. Momentul polar al unui vector 0≠F este nul în cazul în care suportul acestuia trece prin pol.

A

O 'O

F

Fig. 1.4. Variația momentului la schimbarea polului


- 7 -

Demonstraţie: Atunci când suportul vectorului F trece prin pol, vectorul de poziţie al punctului de

aplicaţie OAr = fie este coliniar cu F fie punctele O şi A coincid, adică 0=r , ceea ce înseamnă

că vectorul este aplicat chiar în pol. În ambele situaţii 0=× Fr .

Calculul momentului polar

Se consideră polul O ca origine a unui reper R (O, i , j , k ). În această situaţie, momentul polar al

unui vector F se calculează cu ajutorul expresiei analitice a unui produs vectorial atunci când se cunoaşte expresia analitică a vectorului kFjFiFF zyx ++= și expresia analitică a vectorului de

poziție a punctului de aplicație A al său, kzjyixrOA ++== . Dacă vectorul F este alunecător,

atunci punctul A poate fi un punct oarecare de pe suportul vectorului F .

( )

( ) ( ) ( ) kMjMiMkyFxFjxFzFiyFxF

FFFzyxkji

FrFM

zyxxyzxxy

zyx

O

++=−+−+−=

==×=. (1.13)

Momentul polar este complet determinat de expresia analitică dată de (1.13). El este aplicat în polul O, are modulul:

( ) 222zyxO MMMFM ++= , (1.14)

şi orientarea dată de cosinusurile unghiurilor pe care le face vectorul cu axele de coordonate:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )FM

MkFM

FM

MjFM

FMMiFM

O

zO

O

yO

O

xO

=

==

,cos

;,cos;,cos

. (1.15)

Un caz particular este acela în care vectorul F se găseşte într-un plan de coordonate. Acest lucru înseamnă ca vectorul moment are direcţie cunoscută şi anume direcţia perpendicularei pe planul în cauză. Presupunând că planul de coordonate este Oxy , momentul polar va fi coliniar cu axa Oz şi

va avea versorul k . În acest caz, rezultă:

( ) FbFMMMM Ozyx ±=±=== ,0,0 , (1.16)

deci, momentul unui vector F situat în planul xOz se calculează cu relaţia:

( ) ( ) kFbkMkFMFM zOO ±=⋅=±= . (1.17)

Semnul “+” sau “–” din relația (1.17) se stabilește aplicând fie regula burghiului drept, fie regula observatorului care va fi explicată în continuare. Regula observatorului: privind dinspre sensul pozitiv al axei Oz, se rotește brațul b în jurul polului O în sensul indicat de vectorul F . La o rotație în sens trigonometric direct (antiorar) semnul momentului este pozitiv iar la o rotație în sens


- 8 -

trigonometric invers (orar) semnul momentului este minus (fig. 1.5). Aceasta este o convenție ce corespunde cu regula burghiului drept.

Relația de calcul (1.13) se poate folosi și în cazul plan conducând la forma particulară:

( ) ( ) kMkyFxFFFyx

kjiFrFM zxy

yx

O =−==×=00 . (1.18)

NA.01.3. Momentul unui vector în raport cu o axă

Momentul unui vector F în raport cu o axă ( )∆ , numit şi moment axial, este mărimea scalară dată

de mărimea algebrică a proiecţiei pe axa ( )∆ a momentului vectorului F calculat într-un pol oarecare O aparţinând axei ( )∆ :

( ) ( ) uFruFMM O ⋅×=⋅=∆ , (1.19)

unde u este versorul axei ( )∆ (fig. 1.6).

( )∆

'∆M

( )FM O'

'O

∆M

O

( )FM O

r A

F

u

Fig. 1.6. Momentul axial al unui vector

y

O

b r

A F

x - Fig. 1.5. Regula observatorului


- 9 -

Observaţie: Prin mărimea algebrică a unui vector se înţelege modulul acestuia însoţit de semn.

Mărimea algebrică a proiecţiei unui vector v pe o axă având versorul u , notată uv , se obţine

înmulţind scalar vectorul cu versorul axei:

uvvu ⋅= . (1.20)

Vectorul proiecţie rezultă prin înmulţirea mărimii algebrice a proiecţiei vectorului cu versorul axei:

( ) uuvuvv uu ⋅⋅=⋅= . (1.21)

Pentru a arăta că momentul axial nu depinde de alegerea polului pe axă, se alege un alt pol 'O pe

dreapta ( )∆ (fig. 1.6.). Notăm momentul axial în acest caz cu '∆M şi avem:

( ) ( )

( ) ( ) ∆

∆

=⋅=⋅

×−⋅=

=⋅

×−=⋅=

MuFMuFOOuFM

uFOOFMuFMM

OO

OO

'

''

'

(1.22)

deoarece produsul mixt ( ) uFOO ⋅×' este nul datorită faptului că vectorii 'OO şi u sunt coliniari.

Observaţii:

1. Definiţia momentului axial este valabilă atât pentru vectori alunecători cât şi pentru vectori legaţi deoarece momentul polar nu se modifică dacă vectorul alunecă pe suportul său.

2. Expresiile xM , yM şi zM din expresia momentului polar

( ) kMjMiMFM zyxO ++= sunt tocmai momentele axiale ale lui F în raport cu axele de

coordonate Ox , Oy şi respectiv Oz .

3. Condiţia ca momentul axial să fie nul este ca vectorul F şi axa ( )∆ să fie coplanare, fapt

care rezultă din definiţia (1.19), şi este îndeplinită în următoarele trei cazuri: a. vectorul F este paralel cu axa ( )∆ ;

b. vectorul F intersectează axa ( )∆ ;

c. vectorul F este situat pe axa ( )∆ .

Observațiile de mai sus permit aprecierea fără calcul a nulității unor componente ale momentului polar, în funcție de poziția suportului vectorului în raport cu unele axe de coordonate. Reciproc, nulitatea unor componente ale momentului polar permite aprecieri asupra poziției suportului vectorului în raport cu acele axe de coordonate față de care momentul axial este nul.

Calculul momentului axial

Dacă momentul axial ∆M al unui vector F este diferit de zero, acesta este egal cu momentul axial

al proiecţiei 1F a vectorului F pe un plan (P) perpendicular pe axa ( )∆

( ) ( ) ( )11 FMFMFM O±== ∆∆ , (1.23)

în care O este intersecţia dintre planul (P) şi axa ( )∆ (fig. 1.7.).


- 10 -

Fie (P) un plan perpendicular pe axa ( )∆ şi care trece prin punctul de aplicaţie A al vectorului F și

fie O punctul de intersecţie al axei ( )∆ cu planul (P). Se descompune F în două componente

21 FFF += , unde 2F este paralelă cu axa ( )∆ (fig. 1.7.). Notând cu u versorul axei ( )∆ , se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )11

2121

FMuFr

uFruFruFFruFruFMFM O

∆

∆

=×=

=×+×=+×=×=⋅= (1.24)

deoarece în produsul mixt ( )uFr 2× vectorii 2F şi u sunt paraleli şi deci produsul este nul. Pe de altă parte:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 111111 FbFMuuFMuFMFM OOO ±=±=⋅±=⋅=∆ , (1.25)

în care b1 este braţul vectorului 1F iar semnul se alege conform celor arătate la calculul

momentului unui vector în plan.

Atunci când vectorul F este alunecător, planul (P) nu este neapărat necesar să conţină punctul de

aplicaţie A, dar trebuie să fie perpendicular pe axa ( )∆ .

NA.01.4. Caracterizarea unui vector alunecător. Suportul unui vector alunecător

Pentru a determina mărimea, direcţia, sensul şi suportul unui vector alunecător F este suficient să

se cunoască cinci parametri independenţi dintre următorii şase: .,,,,, zyxzyx MMMFFF

Aceştia reprezintă mărimile algebrice ale componentelor vectorului şi momentului său polar calculat în raport cu originea O a axelor. Deoarece relaţia (1.11) este întotdeauna îndeplinită, rezultă că între cei şase parametri există ecuaţia de legătură:

0=++ zzyyxx MFMFMF , (1.26)

( )∆

O

(P)

u

b1

A

2F

1F

F

Fig. 1.7. Calculul momentului axial


- 11 -

care arată că numai cinci dintre ei sunt independenţi. Cunoscând cele şase mărimi scalare (numite şi

coordonatele lui Plücker), se poate determina suportul vectorului F aşa cum se arată în continuare.

Deoarece nici una dintre coordonatele lui Plücker nu se modifică atunci când vectorul F alunecă pe suportul său, putem considera punctul A0 de pe suport astfel încât vectorul

kzjyixrOA 00000 ++== să fie perpendicular pe vectorul F (fig. 1.8.), ceea ce arată că 0r este

tocmai brațul vectorului F . Acum se poate scrie

( ) FrFrFM O ×=×= 0 , (1.27)

relație care se înmulțește vectorial la stânga cu F , obținându-se:

( ) ( )FrFFMF O ××=× 0 . (1.28)

După dezvoltarea dublului produs vectorial, rezultă:

( ) ( )FrFrFFMF O 002

⋅−⋅=× . (1.29)

Cum vectorii 0r şi F sunt perpendiculari, produsul lor scalar este zero şi deci ultimul termen se

anulează.

Se obține:

( )20

F

FMFr O×= (1.30)

al cărui modul reprezintă tocmai lungimea brațului lui F .

Ecuaţia vectorială a dreptei suport este determinată de punctul A0 şi de direcţia lui F (fig. 1.8.).

( ) FF

FMFFrAArr O λλ +×

=+=+= 2000 , (1.31)

în care kzjyixr ++= este vectorul de poziţie al unui punct oarecare de pe dreapta suport, iar λ

este un parametru scalar astfel ales încât FAA λ=0 .

( )FM o

O

r

0r

A0

A

F

Fig. 1.8.Suportul unui vector alunecător


- 12 -

Ecuaţiile parametrice ale dreptei suport se obţin din (1.31), prin proiectarea acesteia pe axele unui reper Oxyz :

zyx FzzFyyFxx λλλ +=+=+= 000 ;; . (1.32)

Ecuaţiile canonice ale dreptei suport rezultă din (1.32) prin eliminarea parametrului λ între cele trei relaţii:

zyx Fzz

Fyy

Fxx 000 −

=−

=−

. (1.33)

Coordonatele punctului A0 rezultă din expresia analitică a relaţiei (1.30):

zyx

zyxMMMFFFkji

Fkzjyix 2000

1=++ , (1.34)

de unde:

( ) ( )

( )xyyx

zxxzyzzy

MFMFF

z

MFMFF

yMFMFF

x

−=

−=−=

20

2020

1

;1;1

(1.35)

Un caz particular important este acela când vectorul F se află în planul de coordonate xOy , situaţie în care 0=zF , 0=xM și 0=yM . Ecuaţia suportului se obține imediat din relația (1.18),

în care x și y reprezintă acum coordonatele generice ale unui punct al dreptei suport:

zxy MyFxF =− . (1.36)

NA.01.5. Aplicaţie

Determinarea expresiei analitice a unui vector alunecător atunci când se cunosc coordonatele a două puncte de pe suport şi modulul vectorului (metoda versorului)

Fie F un vector alunecător, având modulul F cunoscut. Fie un reper ( )kjiOR ,,, față de care

sunt cunoscute coordonatele ( )AAA zyx ,, și ( )BBB zyx ,, a două puncte A și B, situate pe suportul

vectorului F (fig. 1.9.). Se notează cu u versorul vectorului F , adică:

FFu = . (1.37)

Se consideră vectorul AB coliniar și de același sens cu F , prin urmare AB are tot versorul u :

ABABu = . (1.38)


- 13 -

Dacă exprimăm F din relaţia (1.37) în funcţie de u şi pe u îl înlocuim cu expresia (1.38), se obţine:

ABABFuFF ⋅=⋅= . (1.39)

Pe de altă parte, conform figurii 1.9:

( ) ( ) ( )kxzjyyixxrrAB ABABABAB −+−+−=−= , (1.40)

expresie care, utilizată în (1.39), ne furnizează formula cu care se determină expresia analitică a

vectorului F :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )222

ABABAB

ABABAB

xzyyxx

kxzjyyixxFF−+−+−

−+−+−⋅= . (1.41)

Această metodă de determinare a expresiei analitice se mai numește și metoda versorului.

z

O

x

y

Br

B(xB,yB,zB)

1F

A(xA,yA,zA)

Ar

Fig. 1.9. Determinarea expresiei analitice a vectorului cu

metoda versorului

MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor

- 14 -

Capitolul NA.02. Geometria maselor

Cuvinte-cheie Masa, Masa inerţială, Masa gravitaţională, Punct material, Curbă materială, Suprafaţă materială,

Volum material, Masa specifică, Centrul de masă, Coordonatele centrului de masă, Sistem material, Corpuri omogene, Teoremele Guldin-Pappus

NA.02.1. Generalităţi. Definiţii

Masa este o mărime fundamentală a Mecanicii. Din punct de vedere fizic masa se manifestă sub două aspecte: masă inerţială şi masă gravifică (gravitaţională). Masa inerţială are în vedere acea proprietate a sistemelor materiale de a nu-şi modifica starea de mişcare faţă de un reper, numit reper inerţial, dacă nu interacţionează cu alte sisteme materiale. Acest aspect calitativ al masei apare în principiile mecanicii, care vor fi expuse ulterior. Masa gravitaţională se referă la interacţiunea gravitaţională dintre sistemele materiale. Acest aspect calitativ al masei apare în forţa de atracţie gravitaţională (sau atracţie universală sau newtoniană).

Experimental s-a constatat egalitatea cantitativă a masei inerţiale şi masei gravifice. Egalitatea numerică dintre ele a fost considerată ca o coincidenţă. Prin teoria relativităţii generalizate s-a pus în evidenţă identitatea dintre masa grafivică şi cea inerţială, identitatea care este de fond, intimă, nu numai o egalitatea numerică, cantitativă.

Unitatea de măsură a masei este kilogramul (Kg).

Axiomele de masă

De-a lungul istoriei mecanicii s-a constatat că masa oricărui sistem material îndeplineşte anumite proprietăţi, are anumite caracteristici intrinseci, care nu pot fi demonstrate, ci acceptate ca atare. Aceste proprietăţi pot fi sintetizate în următoarele axiome de masă:

- Axioma 1. Masa oricărui sistem material )(S , notată )(Sm , este întotdeauna pozitivă, deci:

0)( ≥SM (2.1)

- Axioma 2. Dacă un sistem material )(S este format din n subsisteme materiale )( iS , disjuncte

între ele, atunci masa sistemului )(S este egală cu suma maselor subsistemelor componente:

( ) ( )∑=

=n

i iSmSm1

(2.2)

- Axioma 3. Masa unui sistem material )(S este constantă în timp. Exprimarea matematică a acestei

axiome este:

( ) 0=Sm (2.3)

Este de precizat că această ultimă axiomă este valabilă numai pentru sistemele care nu efectuează schimburi de masă cu alte sisteme materiale. Dacă masa sistemului este variabilă (sistemul pierde sau primeşte masă) axioma 3 se exclude.


- 15 -

Varietăţi geometrice materiale

Se consideră un sistem material )(S care ocupă un domeniu spaţial )(D . În funcţie de dimensiunile

domeniului )(D se introduc următoarele concepte mecanice, rezultate prin abstaractizare:

- Punct material (notat PM ) este un punct geometric căruia i se asociază o masă. - Curbă materială (notată CM ) este o curbă geometrică în punctele căreia este repartizată masă. - Suprafaţă materială (notată SM ) este o suprafaţă geometrică în punctele căreia este repartizată masă. - Volum material (VM ) este un volum geometric în punctele căruia este distribuită masă.

Aceste concepte mecanice numite modele mecanice de bază, care reprezintă nişte idealizări, au fost introduse pentru uşurarea studiului mişcărilor mecanice. Utilitatea lor se va dovedi mai târziu, când se va pătrunde în fondul fenomenelor din dinamică.

După cum s-a văzut din definiţiile de mai sus ale modelelor mecanice de bază considerate, prezintă importanţă nu numai mărimea masei ci şi distribuţia sa, legată atât de forma corpului cât şi de repartiţia masei acestuia. Mărimea care caracterizează distribuţia masei unui corp este masa specifică, întâlnită şi sub denumirea de densitate. Pentru fiecare tip de varietate geometrică materială se defineşte mai jos, câte un tip de masă specifică.

Pentru varietăţile geometrice materiale masa se calculează în felul următor:

- pentru curba materială:

( )dsC

tPlm ∫=)(

;ρ (2.4)

în care:

- )(C este curba geometrică suport pentru curba materială; - );( tPlρ este masa specifică liniară, care depinde de punctul P de pe curbă şi de timp (dacă curba este deformabilă) ; - ds elementul de arc pe curba )(C .

Unitatea de măsură pentru masa specifică liniară este Kg/m.

- pentru suprafaţa materială:

( )∫∫=)(

;S

dAtPm ρ (2.5)

în care:

- )(S este suprafaţa geometrică suport pentru masă; - dA este elementul de arie pe suprafaţa )(S ; - );( tPρ este masa specifică superficială, care depinde de poziţia pe suprafaţă (punctul P ) şi de timp (dacă suprafaţa este deformabilă).

Unitatea de măsură pentru masa specifică superficială este Kg/m2.


- 16 -

- pentru volumul material:

( )∫∫∫=)(

;D

dVtPm ρ (2.6)

în care:

- )(D este volumul geometric suport pentru masă; - dV este elementul de volum din )(D ; - );( tPρ este masa specifică volumică, care depinde de poziţia în domeniul )(D şi de timp (dacă domeniul (D) este deformabil) ;

Unitatea de măsură pentru masa specifică volumică este Kg/m3.

Dacă se raportează varietatea geometrică materială la un sistem de referinţă atunci poziţia oricărui

punct al acestuia )(P faţă de reperul considerat este dată prin vectorul de poziţie r . De aceea în

relaţiile (2.4), (2.5) şi (2.6) masa specifică );( tPρ se poate scrie ( )tr,ρ , sau mai simplu ρ .

Observaţie: Introducerea riguros matematică a noţiunii de masă specifică se poate face pe baza noţiunilor din teoria măsurii dar care nu fac obiectul lucrării de faţă.

NA.02.2. Centrul de masă

Definiţie

Se consideră un sistem de puncte materiale iM , ni ,1= (notat SPM), având masele im

( ( )iMmim = ), raportat la un sistem de referinţă. Fie ir vectorul de poziţie al punctului iM , ni ,1= ,

faţă de reperul precizat.

Centrul de masă al sistemului de puncte materiale este un punct notat C al cărui vector de poziţie faţă de reperul considerat este dat de relaţia:

irn

iim

mCr ∑=

=1

1 (2.7)

în care ∑=

=n

iimm

1, este masa sistemului de puncte materiale.

Pentru o curbă materială având ca suport geometric curba )(C (în general deformabilă), poziţia

centrului de masă se defineşte cu relaţia:

∫=)(

1

Cdsr

mCr ρ (2.8)

în care m este masa curbei materiale dată de (2.4).

Pentru o suprafaţă materială având ca suport geometric suprafaţa )(S , poziţia centrului de masă este

dată de:


- 17 -

dAS

rmCr ρ∫∫=

)(

1 (2.9)

în care m este masa suprafeţei materiale, calculată cu (2.5).

Pentru un volum material având ca suport geometric domeniul )(D , poziţia centrului de masă este

dată de relaţia:

∫∫∫=)(

1

DdVr

mCr ρ (2.10)

în care m este masa volumului material, dată de (2.6).

Din relaţiile precedente se deduc matricile coloană ataşate vectorului de poziţie al centrului de masă, astfel:

- pentru sistemul de puncte materiale:

{ } { }irn

iim

mcr ∑=

=1

1 (2.11)

în care { }ir este matricea coloană ataşată vectorului ir .

- pentru curba materială:

{ } { } dsC

rmcr ρ∫=

)(

1 (2.12)

- pentru suprafaţa materială:

{ } { } σρ dS

rmcr ∫∫=

)(

1 (2.13)

- pentru volumul material:

{ } { } τρ dD

rmcr ∫∫∫=

)(

1 (2.14)

În relaţiile (2.12), (2.13) şi (2.14), { }r este matricea coloană ataşată vectorului de poziţie r al punctului curent al curbei materiale, suprafeţei materiale sau volumului material.

Coordonatele centrului de masă se obţin din detalierea relaţiilor (2.11) – (2.14). Astfel, în cazul sistemului de puncte materiale, acestea sunt:

i

mn

i ix

mCx ⋅∑

==

1

1


- 18 -

i

mn

iiy

mCy ⋅∑=

=1

1 (2.15)

i

mn

iiz

mCz ⋅∑=

=1

1 ,

în care ix , iy , iz sunt coordonatele punctului iM .

Pentru celelalte varietăţi geometrice materiale coordonatele punctului C se determină cu relaţiile (2.15) în care se înlocuieşte, după caz, suma cu integrala curbilinie, de suprafaţă sau de volum.

Relaţiile precedente se pot extinde pentru sisteme materiale formate din puncte materiale, curbe, suprafeţe şi volume materiale. Astfel poziţia centrului de masă se determină cu relaţia:

∑=

∫ ∑=

∫∫ ∑=

∫∫∫+++∑=

=

p

kkC

u

llS

v

jjD

drdrdsrirn

i im

mCr 1 1 111 τρσρρ (2.16)

în care:

- n este numărul de puncte materiale; - p este numărul de curbe materiale; - u este numărul de suprafeţe materiale; - v este numărul de volume materiale ce compun sistemul mecanic; - m este masa întregului sistem material şi se calculează cu relaţia:

∑=

∫ ∑=

∫∫ ∑=

∫∫∫+++∑=

=

p

k kC

u

l lS

v

jjD

dddsn

i imm

1 1 11τρσρρ (2.17)

Matricea coloană ataşată vectorului Cr este:

{ } { } { } { } { }

∑=

∫ ∑=

∫∫ ∑=

∫∫∫+++∑=

=

p

k kC

u

l lS

v

jjD

drdrdsrirn

i im

mCr1 1 11

1 τρσρρ (2.18)

Pe componente, relaţia (2.18) dă coordonatele centrului de masă faţă de sistemul de referinţă:

∑=

∫ ∑=

∫∫ ∑=

∫∫∫+++∑=

=

p

kkC

u

llS

v

jjD

dxdxdsxixn

i im

mCx1 1 11

1 τρσρρ

∑=

∫ ∑=

∫∫ ∑=

∫∫∫+++∑=

=

p

kkC

u

llS

v

jjD

dydydsyiyn

i im

mCy1 1 11

1 τρσρρ (2.19)


- 19 -

∑=

∫ ∑=

∫∫ ∑=

∫∫∫+++∑=

=

p

kkC

u

llS

v

jjD

dzdzdszizn

i im

mCz1 1 11

1 τρσρρ

Observaţie: Prin particularizarea relaţiilor (2.16), (2.17) şi (2.18) se pot obţine vectorul de poziţie, matricea coloană ataşată şi coordonatele centrelor de masă pentru varietăţi geometrice materiale particulare (toate relaţiile 2.7 – 2.15).

NA.02.3. Proprietăţile centrului de masă

Se consideră că determinarea poziţiei centrului de masă se reduce la calculul unor integrale curbilinii, de suprafaţă sau de volum, ceea ce, pentru o geometrie mai complicată implică dificultăţi de calcul. De aceea este util să se folosească o serie de proprietăţi relative la poziţionarea centrului de masă.

Proprietatea 1. Dacă un sistem material este inclus în interiorul unei suprafeţe convexe, atunci centrul de masă al sistemului se află în interiorul acelei suprafeţe convexe.

Proprietatea 2. Poziţia centrului de masă al unui sistem material în raport cu punctele sale nu depinde de sistemul de referinţă ales.

Proprietatea 3. Dacă sistemul material )(S este o reuniune de subsisteme )( kS pk ,1= , disjuncte

între ele, la care se cunoaşte poziţia centrului de masă kC prin vectorul de poziţie kr faţă de un

reper dat, atunci centrul de masă al sistemului material )(S are vectorul de poziţie

krp

kkm

mCr ∑=

=1

1 (2.20)

în care:

- km este masa subsistemului )( kS ;

- ∑=

=n

k kmm

1 este masa sistemului )(S .

În acest fel, din punct de vedere al determinării poziţiei centrului de masă, fiecare subsistem )( kS

se înlocuieşte cu un punct material cu aceiaşi masă ca )( kS , plasat în centrul de masă al

subsistemului )( kS .

Un caz particular al acestei proprietăţi este următorul: dacă sistemul material S se obţine prin

eliminarea sistemului material 2S , având masa 2m şi centrul de masă cu vectorul de poziţie 2Cr ,

din sistemul material 1S , care are masa 1m şi centrul de masă cu vectorul de poziţie 1Cr , atunci

poziţia centrului de masă a sistemului )(S se determină cu relaţia:


- 20 -

21

2211mm

CrmCrmCr −

−= (2.21)

Proprietatea 4. Dacă sistemul material admite un plan, o axă sau un punct de simetrie materială (simetrie geometrică şi masică) atunci centrul de masă se găseşte în planul, pe axa sau în punctul de simetrie materială.

Proprietatea 5. Dacă toate punctele unui sistem material se găsesc pe o axă sau într-un plan atunci şi centrul de masă se găseşte pe axa sau în planul respectiv.

Demonstraţiile acestor relaţii se fac elementar pornind de la relaţiile de definiţie a centrului de masă.

Aceste proprietăţi pot fi folosite pentru simplificarea calculului poziţiei centrului de masă la corpurile cu geometrie complexă. În acest sens este util să se considere corpul ca fiind alcătuit din mai multe părţi, fiecare din acestea ocupând un subdomeniu.

Se calculează, în prealabil, masele şi poziţiile centrelor de masă ale acestor subdomenii. Apoi se consideră masele subdomeniilor componente concentrate în centrele lor de masă şi se tratează sistemul material ca un sistem discret alcătuit din puncte materiale. Dacă unele din aceste subdomenii (părţi componente ale corpului iniţial) reprezintă goluri, atunci masele lor se iau cu semn negativ, pentru ca, suprapuse peste o parte a unui subdomeniu de masă pozitivă, să realizeze golul dorit. Considerarea unei mase ca negativă este doar o formalitate de calcul şi nu o contrazicere a primei axiome a masei.

Deasemenea, concentrarea fiecărui subdomeniu în centrul său de masă, reprezintă doar o modelare de calcul, deoarece în realitate masa este distribuită pe întreg domeniul sau subdomeniul ocupat de corp, respectiv de subcorp.

NA.02.4. Centrul de masă la corpuri omogene de rotaţie

Un corp este omogen din punct de vedere masic dacă masa specifică nu depinde de punct, adică este constantă. În acest caz relaţiile care definesc poziţia centrului de masă capătă forme particulare. Se vor prezenta cazurile suprafeţelor omogene de rotaţie şi volumelor omogene de rotaţie.

A. CAZUL SUPRAFEȚELOR OMOGENE DE ROTAȚIE

Se consideră o curbă plană ( )C şi o dreaptă ( )∆ din planul acesteia. O suprafaţă de rotaţie se obţine

prin rotirea planului curbei ( )C în jurul dreptei ( )∆ cu un anumit unghi. Se are în vedere o suprafaţă

omogenă de rotaţie, obţinută prin procedeul de mai sus (fig. 2.1).

Se alege sistemul de referinţă:

- axa Oz să coincidă cu ( )∆ ; - planul Oyz să fie plan de simetrie al suprafeţei )(S .

Se consideră că ecuaţia curbei )(C obţinută prin intersecţia dintre suprafaţa )(S şi planul de

ecuaţie 0=x , este:


- 21 -

( )zfy = .

Fig. 2.1

Cu alegerea făcută pentru sistemul de referinţă, centrul de masă al suprafeţei )(S se găseşte în

planul Oyz , deci 0=Cx . Mai rămân de determinat celelalte coordonate ale centrului de masă. Prin

particularizarea relaţiilor (2.19) şi ţinând cont de omogenitatea suprafeţei se obţine:

∫∫

∫∫

=

)(

)(

Sd

Sdy

Cyσ

σ

; ∫∫

∫∫

=

)(

)(

Sd

Sdz

Cz σ

σ

(2.22)

Pentru efecuarea intergarelor din (2.22) se consideră următoarea parametrizare a suprafeţei )(S :

( ) θsinzfx =

( ) θcoszfy = (2.23)

zz =

în care θ este unghiul dintre dreapta care uneşte punctul O cu proiecţia în planul xOy a punctului curent al suprafeţei şi dreapta Oy

Elementul de arie se calculează cu relaţia:

θθ

σ ddzFEGrzrd 2−=

∂∂

×∂∂

= (2.24)

unde


- 22 -

222

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

=zz

zy

zxE

222

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

=θθθzyxG

θθθ ∂∂

⋅∂∂

+∂∂

⋅∂∂

+∂∂

⋅∂∂

=z

zzy

zyx

zxF .

Pentru parametrizarea dată de (2.23) rezultă

( )zfE 2'1+=

( )zfG 2=

0=F .

Prin urmare :

( ) θσ dzdzfzfd

+= 2'1 . (2.25)

Parametrii suprafeţei sunt independenţi între ei şi variază între limitele: [ ]baz ;∈ şi [ ]ααθ ;−= (s-a notat cu α2 unghiul de rotire al curbei care generează suprafaţa )(S ).

Dacă se calculează integralele de suprafaţă din (2.22) se obţine:

( ) ( )

( ) ( )dzzfb

azf

dzzfb

azf

Cy2'1

2'12sin

+∫

+∫⋅=

αα (2.26)

( ) ( )

( ) ( )dzzfb

azf

dzzfb

azzf

Cz2'1

2'1

+∫

+∫= . (2.27)

În cazul când rotirea este completă, πα = , coordonata 0=Cy , deci centrul de masă se găseşte pe

axa de rotaţie (care este şi axă de simetrie) în concordanţă cu proprietatea 4.

B. CAZUL VOLUMELOR OMOGENE DE ROTAŢIE

Se consideră două curbe plane coplanare ( )1C şi ( )2C şi o dreaptă ( )∆ din planul în care se găsesc

cele două curbe.


- 23 -

Se consideră că dreptele care unesc capetele celor două arce de curbe sunt perpendiculare pe dreapta ( )∆ . Prin rotirea planului curbelor ( )1C şi ( )2C în jurul dreptei ( )∆ cu un anumit unghi,

suprafaţa mărginită de cele două curbe va genera un volum de rotaţie.

Se are în vedere un volum omogen de rotaţie ( )D , obţinut prin procedeul de mai sus (fig. 2.2).

Se alege sistemul de referinţă astfel:

- axa Oz să coincidă cu ( )∆ ;

- planul Oyz să fie plan de simetrie al domeniului ( )D .

Se consideră că suprafaţa de intersecţie dintre domeniul ( )D şi planul de ecuaţie 0=x , este mărginită de curbele ( )1C şi ( )2C de ecuaţii:

( )1C : ( )zfy =1

( )2C : ( )zgy =2

Cu alegerea făcută pentru sistemul de referinţă, centrul de masă al domeniului ( )D se găseşte în planul Oyz , deci 0=Cx . Prin particularizarea relaţiilor (2.19) se obţin celelalte coordonate ale

centrului de masă,

( )

( )∫∫∫

∫∫∫

=

Dd

Ddy

Cyτ

τ

; ( )

( )∫∫∫

∫∫∫

=

Dd

Ddz

Czτ

τ

(2.28)

Fig. 2.2

Pentru calculul integralelor din (2.28) se consideră următoarea schimbare de variabile:

θsinrx =


- 24 -

θcosry = (2.29)

zz =

în care r este mărimea segmentului care uneşte punctul O cu punctul P ’, proiecţie a punctului curent P al domeniului în planul Oxy , iar θ este unghiul dintre dreptele OP ’ şi Oy .

Elementul de volum se calculează cu relaţia:

dzdrdJd θτ = (2.30)

în care J este iacobianul transformării (2.29):

dzdrdr

zz

rzz

zy

ryt

zx

rxx

J θ

θ

θ

θ=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= (2.31)

Parametrii θ şi z sunt independenţi între ei şi variază între limitele: [ ]baz ;∈ şi [ ]ααθ ;−= .

Parametrul r are următoarele limite ( ) ( )[ ]zfzgr ;∈ .

Efectuarea integralelor din (2.28) conduce la:

( ) ( )

( ) ( ) dzb

azgzf

dzb

azgzf

Cy

∫

−

∫

−

⋅=22

33

3sin2αα (2.32)

( ) ( )

( ) ( ) dzb

azgzf

dzb

azgzfz

Cz

∫

−

∫

−

=22

22

. (2.33)

În cazul particular când rotirea este completă, πα = , 0=Cy , deci centrul de masă se găseşte pe

axa de rotaţie, ceea ce este în conformitate cu proprietatea 4.

În cazul când ( ) 0=zg , relaţiile (2.32) şi (2.33) se simplifică la:

( )

( )dzb

azf

dzb

azf

Cy

∫

∫⋅=

2

3

3sin2αα (2.34)


- 25 -

( )

( )dzb

azf

dzb

azzf

Cz

∫

∫=

2

2

. (2.35)

NA.02.5. Teoremele Guldin-Pappus

O altă metodă facilă de a determina ariile şi volumele corpurilor de rotaţie este oferită de teoremele Guldin-Pappus care sunt expuse mai jos. Aceste teoreme pot fi folosite şi pentru a determina poziţia centrului de masă la curbe şi suprafeţe plane şi omogene.

Prima teoremă Guldin-Pappus: Aria A a suprafeţei )(S descrise de un arc de curbă plană )(C , omogen, care se roteşte în jurul unei axe )(∆ din planul curbei şi care nu o intersectează este egală

cu produsul dintre lungimea curbei )(C şi lungimea arcului de cerc, descris prin rotaţie, de centrul

de masă al acesteia:

LcdA ⋅⋅=β (2.36)

în care:

- β - unghiul de rotire; - cd - raza arcului de cerc descris de centrul de masă al curbei )(C ;

- L - lungimea curbei )(C .

Demonstraţie: Pentru demonstraţie se are în vedere fig. 2.1. Lungimea curbei )(C se calculează cu

relaţia:

dzb

azf

CdsL ∫ +=∫=

2'1 . (2.37)

Coordonata Cy a curbei )(C se calculează cu relaţia:

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )∫ +

+∫

=∫

∫

=

Cdzzf

dzzfzfC

Cds

Cyds

Cy2'1

2'1

. (2.38)

Cy reprezintă chiar raza cd a cercului descris de centrul de masă al curbei )(C .

Aria suprafeţei )(S descrisă de curba )(C (vezi fig. 2.1) se calculează cu relaţia:

∫∫=)(SdA σ . (2.39)

Pentru calculul integralei de suprafaţă din (2.39) se consideră parametrizarea (2.23) cu care elementul de arie este dat de (2.25). Se obţine:


- 26 -

( ) ( )dzb

azfzfA ∫ += 2'12α (2.40)

Deoarece unghiul de rotire αβ 2= , prin înlocuirea (2.37) şi (2.38) în (2.40) se obţine imediat (2.36).

În cazul rotirii complete, relaţia (2.36) capătă forme particulare:

LcdA ⋅= π2 (2.41)

A doua teoremă Guldin-Pappus: Volumul V al corpului )(D descris de o suprafaţă plană )(S , omogenă, care se roteşte în jurul unei axe )(∆ din planul suprafeţei şi care nu o intersectează este

egal cu produsul dintre aria suprafeţei )(S şi lungimea arcului de cerc, descris prin rotaţie, de

centrul de masă al acesteia:

AcdV ⋅⋅=β (2.42)

în care: - β - unghiul de rotire; - cd - raza arcului de cerc descris de centrul de masă al suprafeţei )(S ;

- A - aria suprafeţei )(S .

Demonstraţie: Se are în vedere fig. 2.2. Suprafaţa )(S este (în fig. 2.2) cea definită de curbele ( )1C

şi ( )2C . Teorema este valabilă chiar dacă suprafaţa )(S nu este convexă.

Aria suprafeţei )(S se calculează cu relaţia:

∫∫=

S

dA σ . (2.43)

Pentru calculul integralei de suprafaţă din (2.43) se consideră următoarea parametrizare:

===

zzry

x 0 (2.44)

în care r este distanţa de la punctul curent al suprafeţei )(S la axa Oz . Se obţine:

∫∫=

S

dzdrA (2.45)

Volumul corpului obţinut prin rotirea suprafeţei )(S este:

∫∫∫=)(DdV τ . (2.46)

Se consideră schimbarea de variabilă (2.43) cu care relaţia (2.46) devine:


- 27 -

∫∫⋅=∫∫⋅∫−

=)(

2)( S

dzdrrS

dzdrrdV αα

αα . (2.47)

S-a ţinut cont că toate secţiunile corpului care conţin axa Oz sunt identice cu )(S , deoarece se obţin prin rotirea acesteia.

Poziţia centrului de masă a suprafeţei )(S se calculează conform definiţiei (2.9). Coodonata Cy

este chiar raza cercului cd , care e dată de:

∫∫

∫∫

==

Sd

Sdy

Cycdσ

σ

. (2.48)

Cu parametrizarea (2.44) se obţine:

dzdr

S

Sdzdrr

Cycd∫∫

∫∫

==

. (2.49)

Dacă se înlocuiesc (2.49) şi (2.45) în (2.47) şi se ţine cont că βα =2 unghiul de rotire, se obţine

imediat relaţia (2.42).

În cazul particular al rotirii complete a suprafeţei )(S în jurul axei )(∆ relaţia (2.42) devine:

AcdV ⋅= π2 . (2.50)

Se observă că teoremele Guldin-Pappus oferă calculul coordonatelor centrului de masă pentru curbe şi suprafeţe plane, folosind ariile unor suprafeţe şi volume de rotaţie. Deoarece în practică se întâlnesc multe corpuri şi suprafeţe cu axe de rotaţie (şi de simetrie în acelaşi timp), uzual se folosesc relaţiile (2.41) şi (2.50).

NA.02.6. Aplicaţii

Aplicaţia 1. Să se determine poziţia centrului de masă pentru o curbă plană, omogenă, în formă de semicerc de rază R (fig. 2.3).

Rezolvare:

Axa Ox este axa de simetrie şi prin urmare centrul de masă se găseşte pe această axă. Trebuie calculată doar coordonata Cx . Prin proiectarea relaţiei (2.8) se obţine:

∫=)(

1

Cdsx

mCx ρ

Masa curbei se calculează cu relaţia (2.4). Pentru calculul integralelor se folosesc schimbările de variabilă


- 28 -

θcosRx =

θsinRy = ,

unde [ ]2/;2/ ππθ −∈ .

Rezultă

( ) ρππ

πθρρ RRdds

CtPlm =∫

−=∫=

2/

2/)(;

πθθπ

πρ

ρπρ

ρπ/2cos

2/

2/

21

)(

1 RdRRC

dsxRCx =∫

−=∫=

Poziţia centrului de masă se poate face şi cu ajutorul primei teoreme Guldin-Pappus. Rotind curba semicirculară în jurul axei Oy se obţine o suprafaţă sferică de rază R . Aria acestei suprafeţe este

24 Rπ . Cu relaţia (2.41) avem RcxR πππ ⋅= 224 de unde rezultă π/2RCx = .

Fig.2.3 Fig.2.4 Aplicaţia 2. Să se determine poziţia centrului de masă pentru o placă plană, omogenă, în formă de semicerc de rază R (fig. 2.4).

Rezolvare:

Axa Ox este axa de simetrie şi prin urmare centrul de masă se găseşte pe această axă. Trebuie

calculată doar coordonata Cx . Prin proiectarea relaţiei (2.9) se obţine:

dAS

xmCx ρ∫∫=

)(

1

Masa suprafeţei se calculează cu relaţia (2.5). Pentru calculul integralelor se folosesc schimbările de variabilă

θcosrx =


- 29 -

θsinry = ,

cu [ ]Rr ;0∈ și [ ]2/;2/ ππθ −∈ ț

Elementul de arie este θdrdrdA = .

Rezultă:

( )2

2

0

2/

2/)(; RR

rdrdS

dAtPm ρππ

πθρρ =∫ ∫

−=∫∫=

( )π

π

πθθρ

ρπρ

34

0

2/

2/cos2

22

)(;1 RR

drdrRS

dAtPmCx =∫ ∫

−=∫∫= .

Poziţia centrului de masă se poate face şi cu ajutorul celei de a doua teoreme Guldin-Pappus. Rotind placa semicirculară în jurul axei Oy se obţine o sferă de rază R . Volulmul acestei sfere este

3/34 Rπ . Cu relaţia (2.41) avem 2

22

3

34 RcxR πππ⋅= de unde rezultă

π34R

Cx = .

MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție

- 30 -

Capitolul NA.03. Momente de inerţie

Cuvinte-cheie Tensor de inerție, Momente de inerţie axiale, Momente de inerţie centrifugale, Moment de inerţie polar,

Momente de inerție mecanice, Momente de inerţie geometrice, Raza de inerţie, Teorema lui Steiner, Momente principale de inerţie, Axe principale centrale de inerţie

NA.03.1. Definiţii

Se consideră un sistem material format din:

- n puncte materiale iM având masele im , ni ,1= ;

- p curbe materiale ( )kC , pk ,1= ;

- u suprafeţe materiale ( )lS , ul ,1= ;

- v volume materiale ( )jD , vj ,1= .

Se raportează sistemul material precizat la un reper T , Oxyz , care are baza de versori

{} { }tkjii ;;= . Se defineşte vectorul de inerţie al sistemului material asociat unei axe ∆ , de versor

{} { }utiu = , care trece prin originea reperului T , prin:

( ) ( ) ( ) +∑=

∫∫ ××+∑=

∫ ××+∑=

××=

σρρ du

l lSrurds

p

k kCrur

n

iiruirimuI

111

( ) τρ dv

jjD

rur∑=

∫∫∫ ××+

1 (3.1)

în care:

- ir este vectorul de poziţie, faţă de reperul T , al punctului iM ;

- r este vectorul de poziţie, faţă de reperul T , al punctului curent al suprafeţei materiale ( )kC , pk ,1= , suprafeţei materiale ( )lS , ul ,1= , sau volumul material ( )jD , vj ,1= .

Pentru diferite varietăţi geometrice materiale, relaţia (12.1) se particularizează corespunzător. Pentru uşurinţa scrierii în cazul unei varietăţi geometrice materiale, vectorul de inerţie dat de (3.1) se va scrie:

( ) dvVGM

ruruI ρ∫ ××= (3.2)


- 31 -

în care ∫VGM

reprezintă, după caz, sumă în cazul sistemului de puncte materiale, integrală

curbilinie pentru curba materială, integrală de suprafaţă pentru suprafaţa materială sau integrală triplă pentru volumul material.

În scriere matriceală relaţia (3.2) devine:

{} [ ][ ] { }udvVGM

trrtiuI ⋅∫= ρ (3.3)

unde

[ ]

−−

−=

00

0

xyxz

yzr

este matricea antisimetrică ataşată vectorului de poziţie

kzjyixr ++= .

Se introduce matricea de inerţie a varietăţii geometrice materiale, relativ la sistemul de referinţă T prin relaţia:

[ ] [ ][ ] dvVGM

trrTI ρ∫= . (3.4)

Se poate arăta că matricea [ ]TI este matricea atașată unui tensor de ordinul doi, numit tensor de

inerţie, notat ⇒TI .

Deoarece:

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]TIdvVGM

trrdvt

VGM

trrtTI =∫=∫

= ρρ (3.5)

matricea de inerţie este simetrică şi tensorul de inerţie este un tensor simetric.

Dacă ( )1∆ şi ( )2∆ de versori 1u şi 2u sunt două axe care trec prin originea reperului T , se poate

arăta elementar că:

1221 uIuuIu ⋅=⋅ (3.6)

Această realaţie permite să se definească produsul de inerţie al varietăţii geometrice faţă de axele ( )1∆ şi ( )2∆ prin:

122121uIuuIuuuI ⋅=⋅= (3.6’)

Folosind scrierea matriceală şi relaţia (3.3) se obţine:


- 32 -

{ } [ ]{ }2121uTI

tuuuI = . (3.7)

În practică, axele faţă de care se calculează produsele de inerţie sunt axele sistemului de referinţă T . Se notează cu klI produsul de inerţie relativ la axele kOx şi lOx , adică:

{ } [ ]{ }liTIt

kiliki

IklI == (3.8)

cu:

{ } { }ti 0;0;11 = ; { } { }ti 0;1;02 = ; { } { }ti 1;0;03 = .

Se obţin următoarele produse de inerţie relative la reperul T:

a) dvVGM

zyxxII ρ∫

+== 22

11 ; dvVGM

zxyyII ρ∫

+== 22

22 ;

dvVGM

yxzzII ρ∫

+== 22

33 (3.9)

Acestea se numesc momente de inerţie axiale.

b) dvVGM

xyI ρ∫−=12 ; dvVGM

xzI ρ∫−=13 ; ) dvVGM

yzI ρ∫−=23 ; (3.10)

Mărimile 12IxyI −= , 13IxzI −= şi 23IyzI −= se numesc momente de inerţie centrifugale.

Se observă că termenii 22 zy + , 22 zx + ; 22 yx + , care apar la momentele de inerţie axiale reprezintă pătratele distanţelor de la punctul curent al varietăţii geometrice materiale la axele Ox , Oy respectiv Oz . Această constatare permite extinderea noţiunii de moment de inerţie. Astfel, se consideră un plan ( )α , o axă ( )∆ sau un punct O . Se defineşte momentul de inerţie al unui sistem material în raport cu planul ( )α (notat αI ), cu axa ( )∆ (notat ∆I ) sau punctul O (notat 0I ) prin:

τρσρρα dv

jjDdd

u

l lSdds

p

k kCd

n

iidimOI ∑

=∫∫∫+∑

=∫∫+∑

=∫+∑

==∆

1

21

21

21

2;;

(3.11)

în care:

- id este distanţa de la punctul iM la planul ( )α , axa ( )∆ sau polul O ;

- d este distanţa de la punctul curent al curbei materiale, suprafeţei materiale sau volumului material la planul ( )α , axa ( )∆ sau polul O .

αI se numeşte moment de inerţie planar, ∆I se numeşte moment de inerţie axial iar OI moment

de inerţie polar. Conform relaţiei (3.11) pentru o varietate geometrică materială, faţă de planele de coordonate ale reperului T se pot defini următoarele momente de inerţie planare:


- 33 -

dvVGM

zxOyI ρ∫= 2 ; dvVGM

yxOzI ρ∫= 2 ;

dvVGM

xyOzI ρ∫= 2 . (3.12)

De asemenea se poate defini momentul de inerţie polar al varietăţii geometrice materiale în raport cu originea reperului T , prin:

dvVGM

zyxOI ρ∫

++= 222 . (3.13)

Toate acestea sunt momente de inerție mecanice.

Pentru sistemele materiale continue omogene, care au densitatea ρ constantă, se definesc momente

de inerţie geometrice (planare, axiale, polare), prin:

( )OIg

OI ,,1

,, ∆=∆ αρα . (3.14)

Totodată, se poate introduce şi matricea momentelor de inerţie geometrice prin adaptarea relaţiei (3.13):

[ ][ ]∫=

VGMdvtrrg

TI . (3.15)

Pentru un sistem material se defineşte raza de inerţie (sau de giraţie) în raport cu un plan ( )α , o axă ( )∆ sau un pol O prin relaţia:

m

OIOi ,,

,,∆

=∆α

α , (3.16)

în care m este masa totală a sistemului material.

Unitatea de măsură pentru momentele de inerţie este "2" mkg ⋅ .

NA.03.2. Proprietăţi

Momentele de inerţie au o serie de proprietăţi dintre care cele mai importante sunt:

1) Momentele de inerţie planare, axiale sau polare sunt mărimi pozitive. Ele sunt nule atunci când sistemul material este conţinut în planul, pe axa sau în polul respectiv.

2) Momentele de inerţie centrifugale pot fi pozitive, negative sau nule, în funcţie de repartiţia maselor sistemului material faţă de axele în raport cu care se face calculul.

3) Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie planare faţă de trei plane, perpendiculare două câte două, care se intersectează în polul respectiv:


- 34 -

yOzIxOzIxOyIOI ++= . (3.17)

4) Momentul de inerţie în raport cu un pol este egal cu semisuma momentelor de inerţie axiale, faţă de trei axe concurente în polul respectiv şi care sunt perpendiculare între ele, respectiv:

( )zzIyyIxxIOI ++=21 . (3.18)

5) Momentul de inerţie al unui sistem material faţă de un pol O este egal cu suma dintre momentele de inerţie faţă de un plan ( )α ce trece prin polul respectiv şi momentul de inerţie faţă de o axă ( )∆ perpendiculară pe planul ( )α în punctul O :

xxIyOzIyyIxOzIzzIxOyIOI +=+=+= (3.19)

6) Momentul de inerţie în raport cu o axă este egală cu suma momentelor de inerţie faţă de două plane, perpendiculare între ele, care se intersectează după axa respectivă:

xOzIxOyIxxI += ; yOzIxOyIyyI += ;

yOzIxOzIzzI += . (3.20)

7) ( )zzIyyIxxIxOyI −+=21

( )yyIzzIxxIxOzI −+=21 (3.21)

( )xxIzzIyyIyOzI −+=21

8) zzIyyIxxI ≥+ ; yyIzzIxxI ≥+ ; xxIzzIyyI ≥+ (3.22)

9) Suma momentelor de inerţie ale unor mase repartizate într-un plan, în raport cu două axe rectangulare din acel plan, este egală cu momentul de inerţie polar în raport cu punctul de intersecţie al acestor axe.

10) Dacă cel puţin una dintre axele faţă de care se calculează momentul de inerţie centrifugal este axă de simetrie a varietăţii geometrice materiale atunci momentul centrifugal respectiv este nul.

Demonstraţia acestor proprietăţi se face elementar prin folosirea formulelor care definesc aceste momente de inerţie.

NA.03.3. Momente de inerţie pentru corpuri omogene de rotaţie

Deoarece în practică se întâlnesc foarte multe corpuri de revoluţie care prezintă axă de rotaţie, sunt importante momentele de inerţie faţă de acea axă. Se va trata numai cazul rotaţiei complete, similar putându-se efectua calculele şi pentru rotaţii incomplete (parţiale).


- 35 -

A. CAZUL SUPRAFEŢELOR OMOGENE DE ROTAŢIE

Se are în vedere fig. 3.1. Momentul de inerţie al suprafeţei omogene descrise de curba ( )1C prin rotirea completă în jurul axei Oz , faţă de această axă, se calculează cu a treia relaţie (3.9).

Fig.3.1

Cu parametrizarea

( ) θsinzfx =

( ) θcoszfy =

zz =

a suprafeţei ( )S , se obţine:

( ) dzdzfzfb

azfzfzzI θρ

πθθ

+∫ ∫

+= 2'1

2

0

2sin22cos2

adică:

∫ +=

b

adzzfzfzzI 2'132 ρπ . (3.23)

B. CAZUL VOLUMELOR OMOGENE DE ROTAŢIE

Se are în vedere fig.3.2. Momentul de inerţie al corpului omogen obţinut prin rotirea completă în jurul axei Oz a suprafeţei plane mărginite de curbele ( )1C şi ( )2C , faxă de axa Oz se calculează

cu a treia relaţie (3.9).

Cu schimbarea de variabile

θsinrx =

θcosry =


- 36 -

zz = se obţine:

( )

( )dz

b

a

zf

zgdrrdzzI ρ

πθ∫ ∫

∫=

2

0

3

adică:

( ) ( )∫

−=

b

adzzgzfzzI 44

2ρπ (3.24)

Fig.3.2

În cazul corpului plin, pentru care ( ) 0=zg , relaţia (3.24) devine:

( )∫=b

adzzfzzI 4

2ρπ . (3.25)

Pentru suprafeţele şi corpurile omogene obţinute prin rotiri incomplete în jurul axei Oz se obţin relaţii similare celor din (3.23), (3.24) şi (3.25) cu menţiunea că în loc de π apare α care este egal cu jumătate din unghiul de rotire.

NA.03.4. Modificarea matricei de inerţie la schimbarea reperului

Prin relaţia (3.4) a fost introdusă matricea de inerţie. Detalierea acestei relaţii duce la:

[ ] dvVGM zxyzxz

yzzxxyxzxyzy

TI ρ∫

+−−

−+−

−−+

=22

2222

. (3.26)


- 37 -

Se observă că elementele matricei de inerţie sunt chiar produsele de inerţie relative la reperul T , definite prin (3.9) şi (3.10). Prin urmare matricea de inerţie va avea forma:

[ ]

−−−−−−

=

zzIyzIxzIyzIyyIxyIxzIxyIxxJ

TI . (3.27)

Se pune problema determinării matricii de inerţie la schimbarea sistemului de referinţă. Pentru aceasta se consideră o varietate geometrică materială raportată la două sisteme de referinţă T şi 0T (fig.3.3). Se consideră cunoscute:

- poziţia reperului T faţă de 0T , adică se cunosc vectorul OR care dă poziţia originii reperului T faţă de 0T şi [ ]S matricea de schimbare de bază de la 0T la T :

{} [ ]{ }0iSi = , (3.28)

- matricea de inerţie a varietăţii geometrice materiale [ ]TI faţă de reperul T .

Fig.3.3.

Trebuie determinată matricea de inerţie faţă de reperul 0T , [ ]0TI .

Dacă r este vectorul de poziţie al unui punct al varietăţii geometrice materiale faţă de T , faţă de 0T

va avea vectorul de poziţie:

rORR += . (3.29)

Pentru calculul lui [ ]0TI este nevoie de matricea antisimetrică atașată vectorului R :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]SrtSORR += . (3.30)

În scrierea lui [ ]R s-a ţinut cont de modalitatea de transformare a unei matrici antisimetrice la schimbarea reperului. Cu relaţia de definiţie (3.5) a matricei de inerţie se obţine:


- 38 -

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] =∫

+

+=∫=

VGMdvStrtSt

ORSrtSORVGM

dvtRRTI ρρ0

[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] +⋅∫+⋅∫+∫⋅= tORS

VGMdvrtSS

VGMdvtrtSOR

VGMdvt

OROR ρρρ

[ ] [ ][ ] [ ]SVGM

dvtrrtS ⋅∫+ ρ .

Dar, conform definiţiei masei, centrului de masă şi matricei de inerţie:

- ∫ =VGM

mdvρ este masa varietăţii geometrice materiale;

- [ ] [ ]crVGM

mdvr∫ =ρ în care [ ]cr este matricea antisimetrică ataşată vectorului de poziţie al

centrului de masă al varietăţii geometrice materiale, faţă de reperul T ;

- [ ][ ] [ ]TIVGM

dvtrr∫ =ρ .

Înlocuind toate acestea în relaţia precedentă se obţine:

[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]STItStORScr

tSmStcr

tSORmtORORmTI +++=

0. (3.31)

Cazuri particulare:

a) Dacă sistemele de referinţă T şi 0T au aceeaşi origine, vectorul OR este nul, relaţia (3.31)

capătă forma:

[ ] [ ][ ]STItSTI =

0. (3.32)

Aceasta coincide cu relaţia de definiţie a unei mărimi tensoriale ceea ce demonstrează caracterul tensorial al tensorului de inerţie.

b) Dacă sistemele de referinţă T şi 0T au axele paralele, matricea de schimbare de bază coincide cu

matricea unitate, relaţia (3.31) devenind:

[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]TItORcrmt

crORmtORORmTI +++=

0. (3.33)

c) Dacă sistemele de referinţă au axele paralele şi originea reperului T este aleasă chiar în centrul de masă al varietăţii geometrice materiale, atunci [ ] [ ]IS = şi [ ] [ ]0=cr , deci:

[ ] [ ][ ]tORORmTITI +=

0. (3.34)

Relaţia (3.34) constituie legea de variaţie a momentelor de inerţie în raport cu axele paralele, cunoscută sub numele de teorema lui Steiner. Dacă se particularizează (3.34) se poate obţine


- 39 -

teorema lui Steiner cu referire numai la una din axele reperului T , respectiv 0T . Se dă enunţul

referitor la o axă oarecare: momentul de inerţie al unui sistem material faţă de o axă oarecare ( )∆ este egal cu momentul de inerţie al sistemului material faţă de o axă ( )c∆ paralelă cu ( )∆ şi care

trece prin centrul de masă al sistemului, la care se adaugă produsul dintre masa totală a sistemului şi pătratul distanţei d dintre cele două axe:

2mdc

II +∆=∆ . (3.35)

Din (3.34) se poate obţine şi teorema lui Steiner referitoare la momentele de inerţie centrifugale.

NA.03.5. Momente principale de inerţie

Se consideră un sistem material raportat la un sistem de referinţă T . Se ia o dreaptă ( )∆ de versor

{} { }3;2;1 uuut

iu = care trece prin originea reperului T ( 1u , 2u şi 3u sunt cosinuşii directori ai

axei ( )∆ în sistemul de referinţă T ). Pentru determinarea momentului de inerţie al sistemului material faţă de axa ( )∆ se poate proceda în două moduri. Un prim mod presupune alegerea unui alt sistem de referinţă cu aceeaşi origine, axa ( )∆ fiind una din axele noului sistem de referinţă. Cu relaţia (3.32) se va determina ∆I . O altă modalitate de calcul a acestui moment de inerţie se

bazează pe folosirea relaţiei (3.7). Se obţine:

{ } [ ]{ }uTItu

uuII ==∆ . (3.36)

Detaliat (3.36) duce la:

32231221223

22

21 uuyzIuuxzIuuxyIuzzIuyyIuxxII −−−++=∆ . (3.37)

Relaţiile (3.36) şi (3.37) reprezintă legea de variaţie a momentelor de inerţie faţă de axele care trec prin originea reperului, ∆I fiind o funcţie de cosinuşii directori 1u , 2u şi 3u .

Se pune problema determinării valorilor extreme (maxime şi minime) pe care le poate atinge momentul de inerţie ∆I . Aceasta este o problemă de extrem condiţionat deoarece variabilele 1u ,

2u , 3u ale funcţiei ∆I trebuie să îndeplinească relaţia:

{ } { } { } [ ]{ } 1== uItuutu . (3.38)

Pentru determinarea extremelor momentului de inerţie se foloseşte metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se construieşte funcţia auxiliară:

( ) { } { } { } [ ] [ ]( ){ }uITItuutuIuuuf λλ −=−∆=3;2;1 . (3.39)

Condiţiile de staţionaritate sunt:


- 40 -

01=

∂∂uf ; 0

2=

∂∂uf ; 0

3=

∂∂uf . (3.40)

Cele trei relaţii (3.90) formează un sistem liniar omogen, a cărui formă este:

[ ] [ ]( ) { } { }0=− uITI λ . (3.41)

Relaţia (3.41) arată că valorile extreme ale momentului de inerţie ∆I sunt chiar valorile principale

ale tensorului de inerţie, de aceea ele se numesc momente principale de inerţie, iar axele faţă de care se obţin se numesc axe principale de inerţie. Dacă axele principale de inerţie trec prin centrul de masă al sistemului material dat, atunci ele se numesc axe principale centrale de inerţie.

Pentru ca sistemul (3.41) să aibă soluţii diferite de soluţia banală trebuie ca determinantul matricei sistemului să fie nul:

[ ] [ ]( ) 0det =− ITI λ . (3.42)

Dezvoltarea determinantului din (3.41) conduce la o ecuaţie de gradul trei:

0322

13 =−+− III λλλ (3.43)

în care 1I , 2I şi 3I sunt invarianţii tensorului de inerţie. Deoarece tensorul de inerţie este simetric,

ecuaţia (3.43) are trei soluţii reale: 1λ , 2λ , 3λ .

Direcţiile principale de inerţie se obţin rezolvând pentru fiecare valoare iλ , 3,1=i sistemul (3.41)

la care se adaugă condiţia (3.38), adică:

[ ] [ ]( ){ } { }

{ } { }

=

=−

1

0

utu

uIiTI λ. (3.44)

Se obţin deci trei axe (axele principale de inerţie) care sunt ortogonale, având matricele cosinuşilor directori { }iu , 3,1=i .

Determinarea momentelor de inerţie extreme se face cu (3.36), în care se ţine cont de relația:

[ ]{ } [ ]{ }iuIiiuTI λ= (conform 3.44).

Se obţine:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { } iiutiuiiuIi

tiuiuTI

tiu

iI λλλ ==⋅==∆ .

Prin urmare, se obţine concluzia că valorile extreme ale momentelor de inerţie axiale, coincid cu valorile principale ale tensorului de inerţie. De aceea vor fi notate simplu 11 λ=I , 22 λ=I ,

33 λ=I .


- 41 -

Cu relaţia (3.32) se poate calcula matricea de inerţie faţă de reperul format de axele principale de inerţie. Matricea de schimbare de bază în aceste caz este:

[ ] { }{ }{ }[ ]3u;2u;1uS = . (3.45)

Se obţine imediat, că faţă de axele principale de inerţie tensorul de inerţie are matricea ataşată:

=

300020001

0I

II

TI . (3.46)

Obervaţie: Din teorema lui Steiner rezultă că momentul de inerţie minim corespunde unei axe care trece prin centrul de masă al sistemului material. De aceea matricea de inerţie corespunzătoare axelor principale centrale de inerţie va avea componentele diagonale cu cele mai mici valori.

Forma (3.46) a matricei de inerţie arată că faţă de axele principale de inerţie momentele de inerţie centrifugale sunt nule. Este valabilă şi concluzia reciprocă adică dacă momentele centrifugale ale unui sistem material faţă de axele unui reper T sunt nule, atunci axele reperului T sunt axe principale de inerţie.

NA.03.6. Aplicaţii

Aplicaţia 1. Distanţa de la un punct M de masă 2 kg la un punct O (fig.3.4,a) este de 3 m. Să se determine momentul de inerţie al punctului M faţă de punctul O.

Rezolvare:

Momentul de inerţie al punctului M faţă de punctul O se calculează cu relaţia (3.11):

2182322 kgmmdOI ⋅=⋅== .

Aplicaţia 2. Distanţa de la un punct M de masă 5 kg la o dreaptă ( )∆ (fig.3.4,b) este de 2 m. Să se

determine momentul de inerţie al punctului M faţă de dreapta ( )∆ .

Rezolvare:

Momentul de inerţie al punctului M faţă de dreapta ( )∆ se calculează cu relaţia (3.11):

2202252 kgmmdI ⋅=⋅==∆.

Aplicaţia 3. Distanţa de la un punct M de masă 4 kg la un plan ( )α (fig.3.4,c) este de 5 m. Să se

determine momentul de inerţie al punctului M faţă de planul ( )α .

Rezolvare:

Momentul de inerţie al punctului M faţă de planul ( )α se calculează cu relaţia (3.11):

21002542 kgmmdI ⋅=⋅==∆.


- 42 -

a) b) c)

Fig.3.4

Aplicaţia 4. Pentru placa plană omogenă din fig. 3.5 se cere:

1) Momentele de inerţie faţă de axele Ox şi Oy . 2) Momentul centrifugal de inerţie xyI .

3) Momentul de inerţie faţă de axa ( )∆ care trece prin centrul de masă plăcii şi este paralelă cu axa

Ox .

Fig.12.5

Rezolvare

1) Momentul de inerţie faţă de axa Ox se determină cu prima relaţie (3.9):

3

3

00

2

)()22(22 bhbh

dxdyyS

dAzydvVGM

zyxxI ρρρρ =∫ ∫ ⋅=∫∫ +=∫

+=

Similar, momentul de inerţie faţă de axa Oy este:

3

3

00

2

)()22(22 hbbh

dxdyxS

dAzxdvVGM

zxyyI ρρρρ =∫ ∫ ⋅=∫∫ +=∫

+=


- 43 -

2) Momentul centrifugal de inerţie xyI se calculează cu prima relaţie (3.10) :

4

22

00)(

hbbhdxdyxy

SdAxydv

VGMxyxyI ρρρρ =∫ ∫=∫∫=∫=

3) Pentru a determina momentul de inerţie faţă de axa ( )∆ (care trece prin centrul de masă plăcii) se

aplică teorema lui Steiner între această axă şi axa Ox :

4

32

22 bhIhbhImdIxxI ρρ +∆=

+∆=+∆=

Rezultă

12

3

4

3

3

3

4

3 bhbhbhbhxxII ρρρρ

=−=−=∆ .

MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare

‐ 44 ‐

Capitolul NA.04. Autoevaluare

Capitol NA.01. Sisteme de vectori

● Exerciţii/ probleme rezolvate 1. Se consideră un paralelipiped de dimensiuni aOA 3 , aOC 4 şi aOD 5 supus acţiunii unui

sistem de solicitări 54321 ,,,, FFFFFS cu PF 1 , 342 PF , 2103 PF , PF 34 ,

PF 55 . Se cere să se calculeze expresia

vectorială a rezultantei sistemului de forţe.

Rezolvare: (1p oficiu)

Pentru a determina expresiile analitice ale vectorilor vom folosi metoda versorului. Se determină coordonatele a două puncte de pe suportul fiecărui vector astfel:

O(0,0,0), A(3a,0,0), C(0,4a,0),

E(3a,0,5a), G(3a,4a,5a), H(0,4a,5a).

(0,5 puncte)

Expresiile analitice ale vectorilor sunt:

kPa

kajaaiP

zzyyxx

kzzjyyixxF

HC

CHFuFF

HCHCHC

HCHCHCHC

222

2221111

500000

504400

(1,5 puncte)

kiPaaaa

kajaaiaP

zzyyxx

kzzjyyixxF

CG

GCFuFF

CGCGCG

CGCGCGCG

53054403

05440334

222

2222222

(1,5 puncte)

F3 F2

F4

F5

F1

H

G E

D

C

B A

O

x

y

z

Fig. 4.1.1.


‐ 45 ‐

kjiPaaa

kajaiaP

zzyyxx

kzzjyyixxF

CE

ECFuFF

CECECE

CRCRCECE

5432054003

054003210

222

2223333

(1,5 puncte)

jPa

kjaiP

zzyyxx

kzzjyyixxF

CO

OCFuFF

COCOCO

COCOCOCO

3004000

0040003

222

2224444

(1,5 puncte)

jiPaa

kjaiaP

zzyyxx

kzzjyyixxF

AC

CAFuFF

ACACAC

ACACACAC

43000430

0004305

222

2225555

(1,5 puncte)

Centralizând rezultatele obţinute într-un tabel avem:

Forţa ixF iyF izF

1F 0 0 -P

2F 3P 0 5P

3F 6P -8P 10P

4F 0 -3P 0

5F -3P 4P 0

Σ 6P -7P 14P

Expresia vectorială a rezultantei sistemului de forţe este:

kPjPiPR 1476

(1 punct)

2. Se consideră un cub de latură a supus acţiunii unui sistem de solicitări 4321 ,,, FFFFS cu

PF 21 , 232 PF , 33 PF , 224 PF . Se cere să se calculeze expresia vectorială a

rezultantei sistemului de forţe.


‐ 46 ‐


Se determină coordonatele a două puncte de pe suportul fiecărui vector astfel:

O(0,0,0), A(a,0,0), B(a,a,0),

E(a,0,a), G(a,a,a).

(0,5 puncte)

Calculând proiecţiile fiecărei forţe în parte pe cele

3 axe se obţin următoarele rezultate:

Forţa ixF iyF izF Punctaj autoevaluare

1F 2P 0 0 1,5 puncte

2F 3P 0 3P 1,5 puncte

3F P P P 1,5 puncte

4F 2P 2P 0 1,5 puncte

Σ 8P 3P 4P 1,5 puncte

Expresia vectorială a rezultantei sistemului de forţe este:

kPjPiPR 1438

(1 punct)

Capitol NA.02. Geometria maselor

● Exerciţii/ probleme rezolvate 1. Se consideră bara omogenă cotită în spaţiu din figura 4.2.1, formată din: AO-semicerc în Oxy, AO1 = O1O = l , OB = 2l , O2B = O2C = l , BC - sfert de cerc în Oyz, CD = l, O2D = OE , DE ∥ OO2, DE = OO2, EF ∥ OO1 , EF = OO1 , FG ∥ Oz , FG = l. Se cere să se determine coordonatele centrului ei de masă.


Se împarte bara în corpuri simple (bare drepte sau arc de cerc), iar centrul de masă se calculează cu relaţia (1) proiectată pe axe, rezultatele fiind centralizate în tabelul 1.

F3 F2

F4

F1

H

G E

D

C

B A

O

x

y

z

Fig. 4.1.2.

B

A

z

G

F

E

DC

O1

O

O2

x

y

Fig. 4.2.1.


‐ 47 ‐

A

O

O1

Tabelul 1

Corp li xi yi zi xili yili zili

πl l l2

0 πl2 -2l2 0 (1 punct)

2l 0 0 l 0 0 2l2 (1 punct)

4

l 0

l2

l2

l3 0 2

2l

24

3 22 ll

(1 punct)

l 0 2

3l 3l 0

2

3 2l 3l2

(1 punct)

3l 0 2l 2

l3 0 6l2

2

9 2l (1 punct)

l 2

l 2l 0

2

2l 2l2 0 (1 punct)

l l 2l 2

l l2 2l2

2

2l (1 punct)

l84

l3

2

3 22 l

l 10l2

2

17

4

3 22 ll

(1 punct)

Se obţin coordonatele centrului de masă:

.

323

343,

323

40,

323

322l

l

lzzl

l

lyyl

l

lxx

i

iiC

i

iiC

i

iiC

(1 punct)

Observaţie:

În cazul corpurilor compuse, acestea se împart în bare, plăci sau volume ale căror centre de masă se cunosc; corespunzător fiecărui tip, pentru calculul centrului de masă se utilizează una dintre relaţiile următoare:

;,,

i

iiC

i

iiC

i

iiC V

Vrr

A

Arr

l

lrr (1)

În cazul în care unul dintre elementele constitutive se elimină (se decupează), atunci aria sau volumul acestuia se iau negative.

Observaţie:

Centrul de masă pentru bara dreapta

Se va considera, pentru început, că bara este neomogenă, având densităţile ρ1 în capătul A şi ρ2 în capătul B (fig.4.2.2.), legate prin relaţia:

B

C O2

C D

D

E

E

F

F

G

Σ

O

B


‐ 48 ‐

.)( 121 x

lx

(2)

Se obţine:

.3

2)(

21

21

0

121

0

121

)(

)(l

dxxl

dxxl

x

dx

dxxx

xl

l

D

DC

(3)

În cazul în care bara dreaptă AB de lungime l este omogenă, adică ρ1 = ρ2 = ρ , atunci se observă cu

uşurinţă din relaţia (3) că are centrul de masă la jumătatea lungimii ei, respectiv 2

lxC .

Observaţie:

Centrul de masă pentru bara arc de cerc

O bară omogenă sub formă de arc de cerc, de rază R şi unghiul la centru 2α, are ca axă de simetrie bisectoarea acestui unghi, ceea ce face ca centrul său de masă, C , să se găsească pe această dreaptă (fig.4.2.3.). Pentru simplitate ea va fi aleasă drept axă Ox, şi ca urmare,

.0 (4)

Pentru calculul coordonatei ξ=OC, a centrului de masă se consideră un arc de lungime elementară ds = Rdθ şi unghi la centru dθ, situat la unghiul θ faţă de axa Ox, astfel încât se obţine:

.sin

cos

)(

)(

R

dR

dRR

ds

dsx

x

D

DC

(5)

Rezultă coordonatele centrului de masă al barei arc de cerc:

.0;sin

CC yRx

(6)

2. Pentru placa plană omogenă din fig. 4.2.4. Se cere poziţia centrului de masă.

Rezolvare

Se împarte placa în figuri geometrice simple la care se pot calcula uşor masa şi poziţia centrului de masă, astfel:

- figura (1) – dreptunghiul ONBM

Fig. 4.2.2.

A(ρ1) B(ρ2)

l

x dx

C

O x

R A

α

B

dθ

θ

ds

x

α C

Fig.4.2.3.


‐ 49 ‐

- figura (2) – dreptunghiul MDEF - figura (3) – triunghiul NAB

Fig. 4.2.4.

Pentru figura (1), masa este: 2541 am

Centrul de masă se găseşte la intersecţia diagonalelor. Pentru aflarea coordonatelor sale se face media aritmetică a coordonatelor pentru două vârfuri opuse, de exemplu )0;0;0(O şi )0;6;9( aaB .

2

9

1

aCx ; aCy 3

1 .

Pentru figura (2), masa este 2362 am . Centrul de masă se determină ca la figura (1),

)0;6;0( aM ; )0;12;6( aaE :

aCx 32 ; aCy 9

2 .

Pentru figura (3), masa este 2183 am . Centrul de masă se găseşte la intersecţia medianelor.

Coordonatele sale se determină ca medie aritmetică a coordonatelor vârfurilor: )0;0;9( aN ,

)0;0;15( aA , )0;6;9( aaB , respectiv:

aCx 113 ; aCy 2

3 .

Coordonatele centrului de masă al plăcii se determină cu relaţiile:

a

iim

i iCxim

Cx12

613

1

3

1

a

iim

i iCyim

Cy3

143

1

3

1

.

Poziţia centrului de masă se poate determina şi cu ajutorul celei de a doua teoreme Guldin-Pappus.


‐ 50 ‐

Aria plăcii este 108a2.

Prin rotirea plăcii în jurul axei Ox se obţine:

-un cilindru cu raza 12a şi înălţimea 6a, deci cu volumul 3864 a .


-un con cu raza 6a şi înălţimea 6a, deci cu volumul 372 a .

Volumul total obţinut este 31044 a .

Conform celei de-a doua teoreme Guldin-Pappus:

2108231044 aCya , de unde aCy3

14 .

Prin rotirea plăcii în jurul axei Oy se obţine:

-un trunchi de con cu raza mare 15a, raza mică 9a şi înălţimea 6a, deci cu volumul 3822 a .


Volumul total obţinut este 31098 a .

Conform celei de-a doua teoreme Guldin-Pappus:

2108231098 aCxa , de unde aCx12

61 .

3. Se dă placa plană omogenă din figura 4.2.5 şi se cer coordonatele centrului ei de masă.


Se împarte placa în suprafeţe ale căror centre de masă se cunosc respectiv, pătrate sau dreptunghiuri, triunghiuri şi sectoare de cerc. Rezultatele sunt centralizate în tabelul 2.

Tabelul 2

Corp Ai xi yi xiAi yiAi

2

a2 3

4a 0

3

2 3a 0 (1,5 puncte)

2a2

2

a 0 a3 0 (1,5 puncte)

O

y

x

a a a

a a

Fig. 4.2.5.

O

a/2


‐ 51 ‐

a2

3

4a 0

3

4 3a 0 (1,5 puncte)

16

2a 3

2a

32a

24

3a

24

3a (1,5 puncte)

4

2a 3

4aa

34a

a 34

33 aa

34

33 aa

(1,5 puncte)

22

316

5a

a

24

47

4

33 aa

8

3

4

33 aa

(0,5 puncte)

Rezultă următoarele coordonate ale centrului de masă al plăcii:

.

485

322,

4853

4762a

A

Ayya

A

Axx

i

iiC

i

iiC

(1 punct)

4. Pentru corpul prismatic omogen din fig. 4.2.6 se cere să se determine poziţia centrului de masă.

Rezolvare

Masa corpului prismatic se calculează cu relaţia:

)(D

dVm .

Elementul de volum este dxdydzd . Pentru efectuarea integralei precedente trebuie stabilite

limitele de integrare pentru variabile. Ecuaţia planului ABGE este:

xa

bbz .

Prin urmare limitele de integrare sunt: ax ;0 ; cy ;0 ;

x

a

bbz ;0 .

Fig. 4.2.6.

Σ


‐ 52 ‐

Deci:

dxa

xa

bbcdx

a xa

bb

zc

ydxa

xa

bb

dzc

dym00 0

00 00

202

2abcax

a

bbxc

.

În mod asemănător se calculează integralele:

)( 36

2

D

mabcadx

)( 24

2

D

mcabcdy

)( 36

2

D

mbcabdz

Coordonatele centrului de masă se obţin imediat:

3

aCx ;

2

cCy ;

3

bCz .

5. Pentru o suprafaţă conică circulară omogenă, de înălţime H şi raza bazei R se cere poziţia centrului de masă (fig. 4.2.7.).

Fig. 4.2.7. Rezolvare:

Dacă se alege sistemul de referinţă cu originea în vârful conului şi axa Oz pe axa de simetrie a suprafeţei conice atunci ecuaţia curbei care prin rotire generează suprafaţa conului este:

zH

Ry , deci z

H

Rzf .


‐ 53 ‐

Poziţia centrului de masă se determină cu relaţia (2.27):

HH

dzH

Rz

H

R

Hdz

H

Rz

H

Rz

Cz3

2

02

21

02

21

.

6. Se consideră corpul (volumul) omogen din figura 4.2.8 format dintr-un con, o jumătate de cilindru şi o semisferă. Se cere să se determine coordonatele centrului său de masă.


Solidul studiat are planul Oyz plan de simetrie, ceea ce face ca centrul său de masă să se găsească în acest plan. Centrul de masă al semicilindrului se află într-un plan paralel cu Oxy situat la jumătatea înălţimii lui. Poziţia sa se determină folosind relaţia de la plăcile sector de cerc. Rezultatele sunt centralizate în tabelul 3.


.6

11

,7

4

,0

RV

Vzz

RV

Vyy

V

Vxx

i

iiC

i

iiC

i

iiC

(1 punct)

Tabelul 3

Corp Vi yi zi yiVi ziVi

3

4 3R 0

8

27R 0

2

9 4R (2,5 puncte)

2

3 3R 3

4R

2

3R

-2R4 4

9 4R (2,5 puncte)

3

2 3R 0

2

R 0

3

4R (2,5 puncte)

2

7 3R -2R4

12

77 4R (0,5 puncte)

z

x

yO

Sferă R

R

2R

3R

Fig.4.2.8.

Σ


‐ 54 ‐

● Exerciţii/ probleme propuse 1. Se consideră bara omogenă cotită în planul Oxy din figura 4.2.9. Dimensiunile acesteia sunt prezentate în figură. Se cere să se determine coordonatele centrului ei de masă.

Răspuns:


.a0777,0

52

5

a,4055,0

52

52

13

2

2

a

a

l

lyy

a

a

l

lxx

i

iiC

i

iiC

Fig. 4.2.9.

2. Pentru placa plană omogenă din fig. 4.2.10 se cere poziţia centrului de masă.

Fig.4.2.10.

Indicație:

Se împarte placa în figuri geometrice simple la care se pot calcula uşor masa şi poziţia centrului de masă, astfel:

figura (1) – semicercul de rază R2 ,

figura (2) – semicercul de rază R ,

figura (3) – semicercul decupat de rază R .

Pentru figura (1), masa este: 221 Rm . Poziţia centrului de masă la placă semicirculară a fost

determinată în capitolul NA.02.6. Pentru această placă coordonatele centrului de masă sunt:

2a

O x

y

x

y

a

2a

2a

a


‐ 55 ‐

01Cx ;

38

1

RCy .

Pentru figura (2), masa este: 22

12 Rm . Coordonatele centrului de masă sunt:

RCx 2

; 3

4

2

RCy .

Pentru figura (3), care este decupată, masa este: 22

13 Rm . Coordonatele centrului de masă

sunt:

RCx 3

; 3

43

RCy .

Coordonatele centrului de masă al plăcii se determină cu relaţiile:

22

2

122

122

).(22

1.2

2

10.22

321

332211 R

RRR

RRRRR

mmm

CxmCxmCxm

Cx

R

RRR

RR

RR

RR

mmm

CymCymCym

Cy2

22

122

122

)3

4.(2

2

1)

3

4.(2

2

1

3

8.22

321

332211


Fig. 4.2.11

Răspuns:

2a

3a

y

O x

a

3a/5

a

a


‐ 56 ‐


.a2126,1

8100

141125

2241

100

91

a,9654,0

8100

141125

1009

4

5

2

3

2

3

a

a

A

Ayy

a

a

A

Axx

i

iiC

i

iiC


Răspuns:


.a889,0

2721664

27450128

a,927,0

2721664

18936128

2

3

2

3

a

a

A

Ayy

a

a

A

Axx

i

iiC

i

iiC

Fig. 4.2.12.

5. Se dă placa plană omogenă din figura 4.2.13. şi se cer coordonatele centrului ei de masă.

Răspuns:


.a376,1

730050

5015750

a,438,0

730050

2791300150

2

3

2

3

a

a

A

Ayy

a

a

A

Axx

i

iiC

i

iiC

Fig. 4.2.13.

y

O x

3a/23a/2

3a/4

3a/4

a

a

a

2a 3a/5

2a

y

O

x


‐ 57 ‐

6. Pentru un volum conic circular omogen, de înălţime H şi raza bazei R se cere poziţia centrului de masă .

Indicație:

Poziţia centrului de masă se determină cu relaţia (2.35):

HH

dzzH

R

Hdzz

H

Rz

Cz4

3

0

20

2

.

7. Se consideră corpul (volumul) omogen din figura 4.2.14. Se cere să se determine coordonatele centrului său de masă.

Răspuns:


.a83,226

12

883

a,26,026

3

64

,026

0

3

4

3

4

3

a

a

V

Vzz

a

a

V

Vyy

aV

Vxx

i

iiC

i

iiC

i

iiC

Fig.4.2.14.

Capitol NA.03. Momente de inerție

● Exerciţii/ probleme rezolvate 1. Pentru placa plană omogenă din fig. 4.3.1, se cer: momentele de inerţie faţă de axele Ox şi Oy .

Rezolvare:


‐ 58 ‐

Se împarte placa în figuri geometrice simple, astfel:

- figura (1) – dreptunghiul ONBM - figura (2) – dreptunghiul MDEF - figura (3) – triunghiul NAB

Fig. 4.3.1.

Pentru calculul momentelor de inerţie sunt necesare următoarele precizări, care se demonstrează elementar folosind definiţiile momentelor de inerţie:

- pentru o placă dreptunghiulară având baza b şi înălţimea h , momentul de inerţie în raport cu baza se calculează cu relaţia:

3

3bhI

iar momentul de inerţie faţă de o axă care trece prin centrul de masă al plăcii şi este paralelă cu baza se calculează cu relaţia:

12

3bh

cI

- pentru o placă triunghiulară care are baza b şi înălţimea h , momentul de inerţie în raport cu o axă ce se suprapune cu baza este:

12

3bhI

iar în raport cu o axă, paralelă cu baza, care trece prin centrul de masă este:

36

3bh

cI .

Momentul de inerţie al plăcii în raport cu axa Ox este:

)3()2()1(

xxI

xxI

xxI

xxI

- pentru figura (1):


‐ 59 ‐

46483

369)1( aaa

xxI

;

- pentru figura (2) se foloseşte teorema lui Steiner:

430242923612

366)2( aaaaa

xxI

;


410812

366)3( aaa

xxI

.

Se obţine:

43780axx

I .

Momentul de inerţie în raport cu axa Oy este:

)3()2()1(

yyI

yyI

yyI

yyI


414583

396)1( aaa

yyI

;


44323

366)2( aaa

yyI

;

- pentru figura (3) se aplică teorema lui Steiner:

4221421121836

366)3( aaaaa

yyI

.

Se obţine:

44104ayy

I .

2. Pentru corpul prismatic omogen din fig. 4.3.2 se cer:

a) Matricea de inerţie faţă de reperul T . b) Momentul de inerţie faţă de axa OE .

Rezolvare:

Masa corpului prismatic se calculează cu relaţia:

)(D

dm .

Elementul de volum este dxdydzd . Pentru efectuarea integralei precedente trebuie stabilite

limitele de integrare pentru variabile. Ecuaţia planului ABGE este:


‐ 60 ‐

xa

bbz .

Prin urmare limitele de integrare sunt: ax ;0 ; cy ;0 ;

x

a

bbz ;0 .

Fig. 4.3.2.

Deci:

dxa

xa

bbcdx

a xa

bb

zc

ydxa

xa

bb

dzc

dym00 0

00 00

202

2abcax

a

bbxc

.

1-Componentele matricei de inerţie se calculează cu relaţiile 3.9 şi 3.10. Se calculează integralele:

)( 6

2

12

32

D

mabcadx

)( 3

2

6

32

D

mcabcdy

)( 6

2

12

32

D

mbcabdz

)( 612

22

D

macbcadxy

)( 1224

22

D

mabcbadxz

)( 612

22

D

mbccabdyz .


‐ 61 ‐

Deci matricea de inerţie va avea forma:

2226612

6222

66

126222

6

cambc

mab

m

bcmba

macm

abm

acmcb

m

TI .

2-Cosinusurile directoare ale dreptei OE sunt: 221

ca

au

;

222ca

cu

; 0

3u .

Momentul de inerţie al corpului prismatic faţă de axa OE se calculează cu relaţia (3.36):

226

222222

2122

221

ca

cbcabamuu

zzIu

yyIu

xxII .

3. Pentru o suprafaţă conică circulară omogenă, de înălţime H şi raza bazei R se cere momentul de inerţie faţă de axa de simetrie (fig.4.3.3.).

Rezolvare:

Dacă se alege sistemul de referinţă cu originea în vârful conului şi axa Oz pe axa de simetrie a suprafeţei conice atunci ecuaţia curbei care prin rotire generează suprafaţa conului este:

zH

Ry , deci z

H

Rzf .

Momentul de inerţie faţă de axa de rotaţie se calculează cu relaţia (3.23).

Fig. 4.3.3.

Rezultă:

2

2223

202

21

32

mRHRR

Hdz

H

Rz

H

RI

.


‐ 62 ‐

4. Pentru un volum conic circular omogen, de înălţime H şi raza bazei R se cere momentul de inerţie faţă de axa de simetrie.

Rezolvare:

Momentul de inerţie faţă de axa de rotaţie se calculează cu relaţia (3.25):

2

10

3

10

4

0

4

2mR

HRHdzz

H

RI

.

MECANICĂ*N* NA. Bibliografie

‐ 63 ‐

Bibliografie

[A01] Atanasiu M., Mecanica, Editura didactică și pedagogică, București, 1973.

[B01] Bălan, Şt., Complemente de mecanică teoretică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.

[B02] Beer F. P., Russell J. E., Clausen W. E., Vector Mechanics for Engineers. Statics, 8th edition, McGraw Hill, New York, 2007.

[B03] Bolcu, D., Rizescu, S., Mecanica – Vol. I, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2009

[B04] Bolcu, D., Marin, M., Mecanică, Editura Universitaria, Craiova, 2003.

[B05] Bratu, P., Mecanică teoretică, Editura Impuls, ISBN 973-8132-57-6, Bucureşti, 2006.

[C01] Ceaușu V., Enescu N., Probleme de mecanică. Statică. Cinematică, Editura Corifeu, București, 2002.

[C02] Ceaușu V., Enescu N., Probleme de mecanică. Dinamică. Mecanică analitică, Editura Corifeu, București, 2004.

[C03] Constantinescu I., Bolog C., Mecanică, Editura didactică și pedagogică, București, 1978.

[E01] Enescu N., Carp-Ciocârdia D. C., Predoi M.V., Savu M., Mecanica pentru ingineri din profilul electric, Editura MATRIX-ROM, Bucureşti, 2000.

[G01] Gross. D, Hauger W., Schröder J., Wall W. A., Rajapakse N., Engineering Mechanics 1. Statics, Springer – Verlag Berlin Heidelberg, 2009.

[H01] Hagedorn, P., Technische Mechanik. Vol I-III Verlag H , Deutsche Frankfurt am Main, 1989-1990.

[H02] Hangan S., Slătinenu I., Mecanică, Editura didactică și pedagogică, București, 1983.

[H03] Higdon, A., Stiles, W., Davis, A., Evces, Ch., Engineering Mechanics. Prentice Hall Inc. Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.

[H04] Hibbeler R. C., Engineering mechanics. Statics, 11th edition, Pearson Prentice Hall, New Jersey, 2007.

[I01] Iacob, C., Mecanica teoretica, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980.

[I02] Ibănescu R., Rusu E., Mecanică. Statică, Editura Cermi, Iași, 1997.

[I03] Ispas, V., Negrean, I., s.a. Mecanică, Ed. Dacia, ISBN 973-35-06-97-4, Cluj-Napoca, 1997.

[K01] Kittel C., Knight W. D., Ruderman M. A., Cursul de fizică Berkley, vol I, Mecanică, Editura didactică și pedagogică, București, 1981.

[M01] Mangeron D., Irimiciuc N., Mecanica rigidelor cu aplicații în inginerie. Mecanica rigidului, Editura tehnică, București, 1978.

[M02] Mc.Gill, D., King, W., Engineering Mechanics; Statics and an Introduction to Dynamics, P.W.S. Engineering, Boston, 1985.

[M03] Meriam J. L., Kraige L. G., Engineering Mechanics. Statics, 6th edition, John Wiley &Sons, New Jersey, 2007.


‐ 64 ‐

[M04] Morin D., Introductory Classical mechanics With Problems and Solutions, Cambridge University Press, 2008.

[N01] Negrean, I., Mecanică Avansată în Robotică, Ed. UT PRESS, ISBN 978-973-662-420-9, Cluj-Napoca, 2008.

[N02] Negrean, I., Mecanică. Teorie şi Aplicaţii, Ed. UT PRESS, ISBN 978-973-662-523-7, Cluj-Napoca, 2012.

[N03] Newton, I., Principiile matematice ale filosofiei naturale (transl. from English), Ed. Academiei R.P.R., 1956

[N04] Nita, M.,M.,Curs de mecanica teoretica, Academia militara, Bucuresti, 1972.

[O01] Onicescu, O., Mecanica, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1969.

[P01] Posea, N., ş.a., Mecanică aplicată pentru ingineri, Editura Tehnică, Bucureşti, 1984.

[P02] Pytel A., Kinsalaas J., Engineering Mechanics. Statics, 3th edition, Cengage Learning, Canada, 2010.

[R01] Rădoi M., Deciu E., Mecanica, Editura didactică și pedagogică, București, 1977.

[R02] Ripianu A., Popescu P., Bălan B., Mecanică tehnică, Editura didactică și pedagogică, București, 1982.

[R03] Roșca I., Ion C., Curs de Mecanică pentru ingineri. Statica, IPB, 1985.

[R04] Roșca I., Ion C., Curs de Mecanică. Cinematica-dinamica, IPB, 1981.

[R05] Roy, M., Mécanique. Corps rigides. Dunod Paris, 1965.

[R06] Ruina A., Pratap R., Introduction to Statics and Dynamics, Oxford University Press, 2011.

[S01] Silaș G., Groșanu I., Mecanica, Editura didactică și pedagogică, București, 1981.

[S02] Staicu Șt., Introducere în mecanica teoretică, Editura ștințifică și enciclopedică, București, 1983.

[S03] Staicu Șt., Mecanică teoretică, Editura didactică și pedagogică, București, 1998.

[S04] Stoenescu, A., Silaş, Gh., Mecanica teoretica. ed. III, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1969.

[S05] Stroe I., Mecanica. Statica, Teorie si probleme, IPB, 1991.

[S06] Stroe I., Buracu V., Carp-Ciocardia C.D., Motomancea A., Iliescu V., Alecu A., D.Caruntu, Voiculescu L., Dragomirescu C., Boiangiu M., D.Deleanu, Probleme de statică pentru studenţii din învăţământul superior tehnic, Editura Printech, Bucureşti, 2000 (reeditare).

[T01] Teodorescu P. P., Sisteme mecanice. Modele clasice, vol. 1, Editura tehnică, București, 1984.

[T02] Tocaci E., Mecanica, Editura didactică și pedagogică, București, 1985.

[V01] Voinea, R.,P., Stroe, I.,V., Predoi, M.,V., Technical Mechanics, Geometry Balkan Press, Bucharest, 1996.

[V02] Voinea, R.,P., Stroe, I.,V., Predoi, M.,V., Technical Mechanics, Editura Politehnica Press, Bucuresti, 2010, reeditare in 2012.

[V03] Voinea R., Voiculescu D., Ceaușu V., Mecanica, Editura didactică și pedagogică, București, 1983.


‐ 65 ‐

[V04] Voinea R., Voiculescu D., Simion F. P., Introducere în mecanica rigidului cu aplicații în inginerie, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1989.

na. noŢiuni generale - deliu.ro · pdf fileconsiderații generale . în mecanică...

Documents