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Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Mott-Isolator-Übergang
Patrick Paul Denis Kast
Universität Ulm
5. Februar 2009
Seminar zu Theorie der kondensierten Materie IIWS 2008/09
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Gliederung
1 Festkörper-ModelleBändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
2 Leiter-Isolator-ÜbergängeErweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
3 Experimentelle Realisierung
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
Gliederung
1 Festkörper-ModelleBändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
2 Leiter-Isolator-ÜbergängeErweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
3 Experimentelle Realisierung
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
BändermodellAnnahmen
Ausgangspunkt: Modell des quasifreien Elektrons E = h2k2
2m
Gitterpotential als kleine periodische Störung
Periodizität im reziproken Raum: E (k +G ) = E (k)=⇒Reduktion auf erste Brillouin-Zone
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
BändermodellAnnahmen
Ausgangspunkt: Modell des quasifreien Elektrons E = h2k2
2m
Gitterpotential als kleine periodische Störung
Periodizität im reziproken Raum: E (k +G ) = E (k)=⇒Reduktion auf erste Brillouin-Zone
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
BändermodellAnnahmen
Ausgangspunkt: Modell des quasifreien Elektrons E = h2k2
2m
Gitterpotential als kleine periodische Störung
Periodizität im reziproken Raum: E (k +G ) = E (k)=⇒Reduktion auf erste Brillouin-Zone
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
BändermodellEnergie im k-Raum
Abbildung: Energiedispersion und Bandaufspaltung
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
Gliederung
1 Festkörper-ModelleBändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
2 Leiter-Isolator-ÜbergängeErweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
3 Experimentelle Realisierung
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
Tight-Binding-ModellAnnahmen
starke Bindung der Elektronen
LCAO-Methode: Überlagerung der einzelnen Wellenfunktionen
Eigenwertproblem für das freie Atom sei exakt gelöst:HAtom(r − rn)φ(r − rn) = Eφ(r − rn)
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
Tight-Binding-ModellAnnahmen
starke Bindung der Elektronen
LCAO-Methode: Überlagerung der einzelnen Wellenfunktionen
Eigenwertproblem für das freie Atom sei exakt gelöst:HAtom(r − rn)φ(r − rn) = Eφ(r − rn)
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
Tight-Binding-ModellAnnahmen
starke Bindung der Elektronen
LCAO-Methode: Überlagerung der einzelnen Wellenfunktionen
Eigenwertproblem für das freie Atom sei exakt gelöst:HAtom(r − rn)φ(r − rn) = Eφ(r − rn)
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
Tight-Binding-ModellRitzsches Verfahren
H = HAtom +v =− h2
2m∆ +VAtom(r − rn) + ∑m 6=nVAtom(r − rm)
= freier Anteil + Potential des Zentralatoms +Wechselwirkung mit NachbarkernenElektron-Elektron-Wechselwirkung vernachlässigt
Ritzscher Ansatz: löse HΨk = E (k)Ψk mitΨk = ∑n cne
ikrnφ(r − rn)
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
Tight-Binding-ModellRitzsches Verfahren
H = HAtom +v =− h2
2m∆ +VAtom(r − rn) + ∑m 6=nVAtom(r − rm)
= freier Anteil + Potential des Zentralatoms +Wechselwirkung mit NachbarkernenElektron-Elektron-Wechselwirkung vernachlässigt
Ritzscher Ansatz: löse HΨk = E (k)Ψk mitΨk = ∑n cne
ikrnφ(r − rn)
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
Tight-Binding-ModellEnergie-Eigenwerte
E (k)≈ h2k2
2m−A−B∑m e ik(rn−rm)
A =−∫drφ ∗(r − rn)v(r − rn)φ(r − rn)
=Erwartungswert von v am Punkt rnB =−
∫drφ ∗(r − rn+1)v(r − rn)φ(r − rn)
= Überlapp benachbarter Wellenfunktionen
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
Tight-Binding-ModellEnergie-Eigenwerte
E (k)≈ h2k2
2m−A−B∑m e ik(rn−rm)
A =−∫drφ ∗(r − rn)v(r − rn)φ(r − rn)
=Erwartungswert von v am Punkt rnB =−
∫drφ ∗(r − rn+1)v(r − rn)φ(r − rn)
= Überlapp benachbarter Wellenfunktionen
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
Tight-Binding-ModellEnergiebänder
Abbildung: Energiebänder nach dem Tight-Binding-Modell
=⇒ Bandaufspaltung nimmt mit abnehmendem Abstand derAtome zu
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
Gliederung
1 Festkörper-ModelleBändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
2 Leiter-Isolator-ÜbergängeErweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
3 Experimentelle Realisierung
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
ZusammenfassungUnterscheidung Metall/ HL/ Isolator
Metall: Fermikante in derMitte eines Bandes
Halbleiter: Fermikanteoberhalb eines Bandes,Energielücke E & kBT
Isolator: EnergielückeE � kBT
Abbildung: schematischeDarstellung der Energiebänder
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
ZusammenfassungUnterscheidung Metall/ HL/ Isolator
Metall: Fermikante in derMitte eines Bandes
Halbleiter: Fermikanteoberhalb eines Bandes,Energielücke E & kBT
Isolator: EnergielückeE � kBT
Abbildung: schematischeDarstellung der Energiebänder
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
BändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
ZusammenfassungUnterscheidung Metall/ HL/ Isolator
Metall: Fermikante in derMitte eines Bandes
Halbleiter: Fermikanteoberhalb eines Bandes,Energielücke E & kBT
Isolator: EnergielückeE � kBT
Abbildung: schematischeDarstellung der Energiebänder
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Gliederung
1 Festkörper-ModelleBändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
2 Leiter-Isolator-ÜbergängeErweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
3 Experimentelle Realisierung
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Elektron-Elektron-WWStörladung
Einfügen einer Störladung δq = eδU bei r = 0
Abbildung: Änderung der Zustandsdichte beim Einbringen der Störladung
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Elektron-Elektron-WWabgeschirmtes Potential
δn(r) = D(EF ) · eδU(r) in Poisson-Gleichung
=⇒ ∆(δU) =− δρ
ε0= e
ε0(δn(r) + δ (r)) = e
ε0(eD(EF )δU + δ (r))
abgeschirmtes Potential δU(r) = α
r· e−λ r
mit λ 2 = e2D(EF )ε0
, Thomas-Fermi-Abschirmlänge rTF = 1
λ
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Elektron-Elektron-WWabgeschirmtes Potential
δn(r) = D(EF ) · eδU(r) in Poisson-Gleichung
=⇒ ∆(δU) =− δρ
ε0= e
ε0(δn(r) + δ (r)) = e
ε0(eD(EF )δU + δ (r))
abgeschirmtes Potential δU(r) = α
r· e−λ r
mit λ 2 = e2D(EF )ε0
, Thomas-Fermi-Abschirmlänge rTF = 1
λ
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Elektron-Elektron-WWMott-Abschätzung
im freien e−-Gas: rTF = 0,5 · ( na0
)−1/6
rTF
{& a0 :. a0 :
Leiter
Isolator
a0= Bohr-Radius
Abbildung: abgeschirmtesPotential
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Elektron-Elektron-WWMott-Abschätzung
im freien e−-Gas: rTF = 0,5 · ( na0
)−1/6
rTF
{& a0 :. a0 :
Leiter
Isolator
a0= Bohr-Radius
Abbildung: abgeschirmtesPotential
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Gliederung
1 Festkörper-ModelleBändermodellTight-Binding-ModellZusammenfassung
2 Leiter-Isolator-ÜbergängeErweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
3 Experimentelle Realisierung
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangEinschränkungen
Übergang bei n−1/3 = 4a0
Parameter n ist nicht direkt zugänglich=⇒ Übergang nur selten beobachtbar, z.B. amorphe Halbleiter
stattdessen: Übergang vom Supra�uid zum Mott-Isolator beiBosonen
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangEinschränkungen
Übergang bei n−1/3 = 4a0
Parameter n ist nicht direkt zugänglich=⇒ Übergang nur selten beobachtbar, z.B. amorphe Halbleiter
stattdessen: Übergang vom Supra�uid zum Mott-Isolator beiBosonen
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangEinschränkungen
Übergang bei n−1/3 = 4a0
Parameter n ist nicht direkt zugänglich=⇒ Übergang nur selten beobachtbar, z.B. amorphe Halbleiter
stattdessen: Übergang vom Supra�uid zum Mott-Isolator beiBosonen
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangBose-Hubbard-Hamiltonian
H =−J ·∑<i ,j> a+i aj + ∑i εi ni + 1
2U ·∑i ni (ni −1)
mit J =−∫d3x ·w(x− xi )(− h2
2m∆ +VG (x))w(x− xj)
U = 4πh2am
∫d3x |w(x)|4
Term 1: Tunnelprozesse
Term 2: Energie-O�set
Term 3: Wechselwirkung
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangBose-Hubbard-Hamiltonian
H =−J ·∑<i ,j> a+i aj + ∑i εi ni + 1
2U ·∑i ni (ni −1)
mit J =−∫d3x ·w(x− xi )(− h2
2m∆ +VG (x))w(x− xj)
U = 4πh2am
∫d3x |w(x)|4
Term 1: Tunnelprozesse
Term 2: Energie-O�set
Term 3: Wechselwirkung
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangBose-Hubbard-Hamiltonian
H =−J ·∑<i ,j> a+i aj + ∑i εi ni + 1
2U ·∑i ni (ni −1)
mit J =−∫d3x ·w(x− xi )(− h2
2m∆ +VG (x))w(x− xj)
U = 4πh2am
∫d3x |w(x)|4
Term 1: Tunnelprozesse
Term 2: Energie-O�set
Term 3: Wechselwirkung
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangBose-Hubbard-Hamiltonian
H =−J ·∑<i ,j> a+i aj + ∑i εi ni + 1
2U ·∑i ni (ni −1)
mit J =−∫d3x ·w(x− xi )(− h2
2m∆ +VG (x))w(x− xj)
U = 4πh2am
∫d3x |w(x)|4
Term 1: Tunnelprozesse
Term 2: Energie-O�set
Term 3: Wechselwirkung
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangGrenzfall J>>U
Tunnelprozesse dominant, Wechselwirkung vernachlässigbar
Überlagerung der lokalisierten Zustände, Bloch-Welle
supra�üssige Phase, N Bosonen, M Gitterplätze:
|ΨSP >∝
(∑Mj=1 a
+j
)N
|0 >
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangGrenzfall J>>U
Tunnelprozesse dominant, Wechselwirkung vernachlässigbar
Überlagerung der lokalisierten Zustände, Bloch-Welle
supra�üssige Phase, N Bosonen, M Gitterplätze:
|ΨSP >∝
(∑Mj=1 a
+j
)N
|0 >
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
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Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangGrenzfall J>>U
Tunnelprozesse dominant, Wechselwirkung vernachlässigbar
Überlagerung der lokalisierten Zustände, Bloch-Welle
supra�üssige Phase, N Bosonen, M Gitterplätze:
|ΨSP >∝
(∑Mj=1 a
+j
)N
|0 >
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangEigenschaften von |ΨSF >
Alle Bosonen im selben Zustand, delokalisiert
Phase ist an allen Gitterplätzen gleich
Besetzungswahrscheinlichkeit für Gitterplätze führt aufPoisson-Verteilung=⇒ Anzahl der Teilchen pro Gitterplatz unbestimmt
quasikontinierliche Anregung auf der Energieparabel
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangEigenschaften von |ΨSF >
Alle Bosonen im selben Zustand, delokalisiert
Phase ist an allen Gitterplätzen gleich
Besetzungswahrscheinlichkeit für Gitterplätze führt aufPoisson-Verteilung=⇒ Anzahl der Teilchen pro Gitterplatz unbestimmt
quasikontinierliche Anregung auf der Energieparabel
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangEigenschaften von |ΨSF >
Alle Bosonen im selben Zustand, delokalisiert
Phase ist an allen Gitterplätzen gleich
Besetzungswahrscheinlichkeit für Gitterplätze führt aufPoisson-Verteilung=⇒ Anzahl der Teilchen pro Gitterplatz unbestimmt
quasikontinierliche Anregung auf der Energieparabel
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangEigenschaften von |ΨSF >
Alle Bosonen im selben Zustand, delokalisiert
Phase ist an allen Gitterplätzen gleich
Besetzungswahrscheinlichkeit für Gitterplätze führt aufPoisson-Verteilung=⇒ Anzahl der Teilchen pro Gitterplatz unbestimmt
quasikontinierliche Anregung auf der Energieparabel
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangGrenzfall U>>J
Wechselwirkung dominant, sehr wenige Tunnelprozesse
n Bosonen auf jedem Gitterplatz
Mott-Isolator-Phase, |ΨMI >∝ ∏Mj=1
(a+j
)n|0 >
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangGrenzfall U>>J
Wechselwirkung dominant, sehr wenige Tunnelprozesse
n Bosonen auf jedem Gitterplatz
Mott-Isolator-Phase, |ΨMI >∝ ∏Mj=1
(a+j
)n|0 >
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangGrenzfall U>>J
Wechselwirkung dominant, sehr wenige Tunnelprozesse
n Bosonen auf jedem Gitterplatz
Mott-Isolator-Phase, |ΨMI >∝ ∏Mj=1
(a+j
)n|0 >
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangEigenschaften von |ΨMI >
Alle Bosonen durch lokalisierte Wellenfunktion beschrieben
zufällige Phase an jedem Gitterplatz
Gitterplätze nicht mehr durch die Wellenfunktion gekoppelt=⇒ Isolator
genau n Bosonen an jedem Gitterpunkt
Anregungen durch Tunnelprozesse einzelner Bosonen, fallsWechselwirkungsenergie U zur Verfügung steht=⇒ Anregungslücke der Gröÿe U
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangEigenschaften von |ΨMI >
Alle Bosonen durch lokalisierte Wellenfunktion beschrieben
zufällige Phase an jedem Gitterplatz
Gitterplätze nicht mehr durch die Wellenfunktion gekoppelt=⇒ Isolator
genau n Bosonen an jedem Gitterpunkt
Anregungen durch Tunnelprozesse einzelner Bosonen, fallsWechselwirkungsenergie U zur Verfügung steht=⇒ Anregungslücke der Gröÿe U
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangEigenschaften von |ΨMI >
Alle Bosonen durch lokalisierte Wellenfunktion beschrieben
zufällige Phase an jedem Gitterplatz
Gitterplätze nicht mehr durch die Wellenfunktion gekoppelt=⇒ Isolator
genau n Bosonen an jedem Gitterpunkt
Anregungen durch Tunnelprozesse einzelner Bosonen, fallsWechselwirkungsenergie U zur Verfügung steht=⇒ Anregungslücke der Gröÿe U
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangEigenschaften von |ΨMI >
Alle Bosonen durch lokalisierte Wellenfunktion beschrieben
zufällige Phase an jedem Gitterplatz
Gitterplätze nicht mehr durch die Wellenfunktion gekoppelt=⇒ Isolator
genau n Bosonen an jedem Gitterpunkt
Anregungen durch Tunnelprozesse einzelner Bosonen, fallsWechselwirkungsenergie U zur Verfügung steht=⇒ Anregungslücke der Gröÿe U
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangEigenschaften von |ΨMI >
Alle Bosonen durch lokalisierte Wellenfunktion beschrieben
zufällige Phase an jedem Gitterplatz
Gitterplätze nicht mehr durch die Wellenfunktion gekoppelt=⇒ Isolator
genau n Bosonen an jedem Gitterpunkt
Anregungen durch Tunnelprozesse einzelner Bosonen, fallsWechselwirkungsenergie U zur Verfügung steht=⇒ Anregungslücke der Gröÿe U
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangUnschärferelation
Mott-Isolator-Übergang = Übergang zwischen supraleitenderund isolierender Phase
Unterscheidung durch Unschärferelation:
Phase der Gesamtwellenfkt. ⇐⇒ Teilchenzahl an einemGitterpunkt
Zustand des Systems hängt ab vom Verhältnis U/J
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangUnschärferelation
Mott-Isolator-Übergang = Übergang zwischen supraleitenderund isolierender Phase
Unterscheidung durch Unschärferelation:
Phase der Gesamtwellenfkt. ⇐⇒ Teilchenzahl an einemGitterpunkt
Zustand des Systems hängt ab vom Verhältnis U/J
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangVeranschaulichung
Abbildung: Veranschaulichung der beiden Phasen
Unschärfe der TeilchenzahlmaximalPhasenkohärenz
konstante Teilchenzahl anjedem Gitterpunktvöllige Dekohärenz
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangVeranschaulichung
Abbildung: Veranschaulichung der beiden Phasen
Unschärfe der TeilchenzahlmaximalPhasenkohärenz
konstante Teilchenzahl anjedem Gitterpunktvöllige Dekohärenz
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Erweiterung durch Elektron-Elektron-WWMott-Isolator-Übergang
Mott-Isolator-ÜbergangVeranschaulichung
Abbildung: Veranschaulichung der beiden Phasen
Unschärfe der TeilchenzahlmaximalPhasenkohärenz
konstante Teilchenzahl anjedem Gitterpunktvöllige Dekohärenz
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Experimentelle RealisierungAufbau
Bose-Einstein-Kondensat aus 87Rb-Atomen
eingesperrt in Feld aus drei stehenden Laserwellen:V (x ,y ,z) = V0(sin2(kx) + sin2(ky) + sin2(kz))
Änderung der Laserintensität =⇒ Modulation desVerhältnisses U
J
exponentielles Hochfahren der Fallenstärke, dann sprungartigesAbschalten
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Experimentelle RealisierungAufbau
Bose-Einstein-Kondensat aus 87Rb-Atomen
eingesperrt in Feld aus drei stehenden Laserwellen:V (x ,y ,z) = V0(sin2(kx) + sin2(ky) + sin2(kz))
Änderung der Laserintensität =⇒ Modulation desVerhältnisses U
J
exponentielles Hochfahren der Fallenstärke, dann sprungartigesAbschalten
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Experimentelle RealisierungAufbau
Bose-Einstein-Kondensat aus 87Rb-Atomen
eingesperrt in Feld aus drei stehenden Laserwellen:V (x ,y ,z) = V0(sin2(kx) + sin2(ky) + sin2(kz))
Änderung der Laserintensität =⇒ Modulation desVerhältnisses U
J
exponentielles Hochfahren der Fallenstärke, dann sprungartigesAbschalten
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Experimentelle RealisierungAufbau
Bose-Einstein-Kondensat aus 87Rb-Atomen
eingesperrt in Feld aus drei stehenden Laserwellen:V (x ,y ,z) = V0(sin2(kx) + sin2(ky) + sin2(kz))
Änderung der Laserintensität =⇒ Modulation desVerhältnisses U
J
exponentielles Hochfahren der Fallenstärke, dann sprungartigesAbschalten
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Experimentelle RealisierungBeobachtung
kleines V0: Interferenzerscheiningen
groÿes V0: Dekohärenz, keine Interferenz
Übergang bei V0 ≈ 13 ·ER , Rückstoÿenergie ER = h2k2
2m
Abbildung: Interferenzmuster, abhängig von der Potentialstärke
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Experimentelle RealisierungBeobachtung
kleines V0: Interferenzerscheiningen
groÿes V0: Dekohärenz, keine Interferenz
Übergang bei V0 ≈ 13 ·ER , Rückstoÿenergie ER = h2k2
2m
Abbildung: Interferenzmuster, abhängig von der Potentialstärke
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Experimentelle RealisierungBeobachtung
kleines V0: Interferenzerscheiningen
groÿes V0: Dekohärenz, keine Interferenz
Übergang bei V0 ≈ 13 ·ER , Rückstoÿenergie ER = h2k2
2m
Abbildung: Interferenzmuster, abhängig von der Potentialstärke
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Experimentelle RealisierungBeobachtung
kleines V0: Interferenzerscheiningen
groÿes V0: Dekohärenz, keine Interferenz
Übergang bei V0 ≈ 13 ·ER , Rückstoÿenergie ER = h2k2
2m
Abbildung: Interferenzmuster, abhängig von der Potentialstärke
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Experimentelle RealisierungAnregungslücke
periodisches Wiederholen mehrerer Schritte:
Hochfahren der Intensität auf Vmax= 10...20 ER
Störung über die Dauer τpertub durch Potentialgradient
Zurückfahren auf V0= 9 ER
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Experimentelle RealisierungResultat
Abbildung: Breite des Interferenzpeaks gegen Energiedi�erenz proGitterplatz
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Experimentelle RealisierungErklärung
SL-Phase: quasikontinuierliche Anregung möglich
MI-Phase: Resonanzen durch Tunnelprozesse
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Zusammenfassung
zwei Grenzfälle im BEK:Tunneln bzw.Wechselwirkung dominant
Tunneln dominant:SL-Phase
Wechselwirkungdominant: Mott-Isolator,Anregungslücke Abbildung: Interferenz der
Materiewellen
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Zusammenfassung
zwei Grenzfälle im BEK:Tunneln bzw.Wechselwirkung dominant
Tunneln dominant:SL-Phase
Wechselwirkungdominant: Mott-Isolator,Anregungslücke Abbildung: Interferenz der
Materiewellen
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Zusammenfassung
zwei Grenzfälle im BEK:Tunneln bzw.Wechselwirkung dominant
Tunneln dominant:SL-Phase
Wechselwirkungdominant: Mott-Isolator,Anregungslücke Abbildung: Interferenz der
Materiewellen
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator
Festkörper-ModelleLeiter-Isolator-Übergänge
Experimentelle RealisierungZusammenfassung
Zusammenfassung
zwei Grenzfälle im BEK:Tunneln bzw.Wechselwirkung dominant
Tunneln dominant:SL-Phase
Wechselwirkungdominant: Mott-Isolator,Anregungslücke Abbildung: Interferenz der
Materiewellen
Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator