Modelo de crecimiento de SolowModelo de crecimiento de Robert Solow (1956), conocido como el modelo exgeno de crecimiento o modelo de crecimiento neoclsico, es un modelo macroeconmico creado para explicar el crecimiento econmico y las variables que inciden en este en el largo plazo.Contenido[ocultar]

1 Explicacin intuitiva 2 Formulacin matemtica

o o

2.1 Ecuaciones relevantes del modelo de Solow 2.2 Equilibrio del estado estacionario

2.2.1 Aumentos en la tasa de ahorro 2.2.2 Condiciones del producto en estado estacionario 2.2.3 La regla de oro

3 Evidencia emprica 4 Vase tambin 5 Referencias

o o

5.1 Notas 5.2 Bibliografa

[editar]Explicacin

intuitiva

El modelo de Solow pretende explicar como crece la produccin nacional de bienes y servicios mediante un modelo cuantitativo. En el modelo intervienen bsicamente la produccin nacional (Y), la tasa de ahorro (s) y la dotacin de capital fijo (K). El modelo presupone que elProducto interior bruto (PIB) nacional es igual al renta nacional (es decir, se supone una "economa cerrada" y que por tanto no existenimportaciones ni exportaciones). La produccin por otra parte depender de la cantidad de mano de obra empleada (L) y la cantidad de capital fijo (K)(es decir maquinaria, instalaciones y otros recursos usados en la produccin) y la tecnologa disponible (si la tecnologa mejorara con la misma cantidad de trabajo y capital podra producirse ms, aunque en el modelo se asume usualmente que el nivel de tecnologa permanece constante). El modelo presupone que la manera de aumentar el PIB es mejorando la dotacin de capital (K). Es decir, de lo producido en un ao una parte es ahorrada e invertida en acumular ms bienes de capital o capital fijo (instalaciones, maquinaria), por lo que al ao siguiente se podr producir una cantidad

ligeramente mayor de bienes, ya que habr ms maquinaria disponible para la produccin. En este modelo el crecimiento econmico se produce bsicamente por la acumulacin constante de capital, si cada ao aumenta la maquinaria y las instalaciones disponibles (capital fijo) para producir se obtendrn producciones progresivamente mayores, cuyo efecto acumulado a largo plazo tendr un notable aumento de la produccin y, por tanto, un crecimiento econmico notorio. Entre las predicciones cualitativas del modelo est que el crecimiento basado puramente en la acumulacin de capital, sin alterar la cantidad de mano de obra ni alterar la tasa de ahorro es progresivamente ms pequeo, llegndose a un estado estacionario en que no se produce ms crecimiento y las inversiones compensan exactamente la depreciacin asociada al desgaste del capital fijo.[editar]Formulacin

matemtica

El modelo busca encontrar las variables relevantes que ocasionan el crecimiento econmico de un pas (economa cerrada), en cuanto algunas ayudan a mejorar la situacin solo en el corto plazo, y otras, que afectan a las tasas de crecimiento del largo plazo. Se toman todas las variables que el modelo considera como significativas en el proceso de crecimiento, como exgenas, pero muestra la incidencia de estas en el proceso de crecimiento. El modelo utiliza la funcin de produccin Cobb-Douglas: (1a) Definiendo las variables, tenemos que: = Capital total = fuerza laboral o trabajo total usado en la produccin. = es una constante matemtica que depende del nivel de tecnologa. = Produccin total [medida por ejemplo en unidades monetarias]. = Fraccin del producto producida por el capital, o coeficiente de los rendimientos marginales decrecientes. Se sabe, por otro lado, que necesariamente , se puede probar que coincide con la participacin total del capital en la produccin (de acuerdo con el anlisis de la productividad total de los factores). Si alfa es ~ 1, la produccin se basar fundamentalmente en el capital disponible y ser casi independiente de la mano de obra. Existen razones para suponer que para muchas

situaciones reales la funcin de produccin de CobbDouglas es una funcin creble de produccin que tiene retornos constantes a escala, y rendimientos marginales decrecientes al capital y al trabajo. Ms adelante se ver que si se supone que la funcin de produccin es de este tipo, exite la posibilidad de convergencia a un producto estacionario que deja de crecer mediante la tasa de ahorro. Tcnicamente la hiptesis de que la funcin de produccin es la funcin de Cobb-Douglas no es fundamental para el modelo, porque bastara que fuera una funcin montona creciente en el capital y la cantidad de trabajo. Para formular el modelo a partir de la funcin de CobbDouglas se definen por conveniencia:

el producto per cpita efectivo y como la cantidad de produccin por unidad de mano de obra y el stock de capital per cpita efectivo k como la cantidad de capital por unidad de mano de obra

Es decir, definimos las variables: (2) Como hemos supuesto que la funcin de produccin es de tipo Cobb-Douglas se tiene la siguiente relacin entre y y k:

(1b) Asumiendo el producto per cpita efectivo y en la funcin anterior, tendremos que mientras menor sea habr un producto per cpita efectivo cada vez menor, es decir, la funcin toma la forma de una raz, aunque la funcin es divergente al infinito si k tiende al infinito. La funcin anterior satsiface las condiciones de Inada, a saber:

Estos lmites son conocidos como las condiciones de Inada, y explican que la derivada de , es decir, el producto marginal del capital es 0 cuando k es alto.

Adems explica que cuando k es demasiado bajo, el producto marginal es muy alto. Estas ltimas condiciones, aunque bastante evidentes matemticamente, posteriormente implicarn que pases con una cantidad de capital baja creceran a tasas altas, mientras que pases con altas cantidades de capital creceran a tasas ms bajas, debido a los rendimientos marginales decrecientes de este.[editar]Ecuaciones

relevantes del modelo de Solow

Existe una ecuacin relevante del modelo de Solow, y es la ecuacin de acumulacin de capital.

(4) Donde = Tasa de ahorro = Producto de la economa en el perodo t = tasa de depreciacin del capital existente. = Capital total en el perodo t El trmino representa la inversin efectiva en capital que puede

realizar la economa, que es el producto multiplicado por la tasa de ahorro (ya que el modelo presupone que todo el ahorro se invierte). El segundo trmino de la ecuacin representa la inversin de reposicin (o gastos de amortizacin) que representa cuanto capital ya no sirve o es intil para la acumulacin de capital. Para analizar ms la inversin de reposicin, es necesario determinar esta misma ecuacin en trminos per cpitas y efectivos. Para calcular el incremento de stock de capital per cpita, derivando, usando la regla de la cadena y substiyendo el la ecuacin resultante el resultado (4) se tiene: (5) Donde:

Esta ltima ecuacin tiene el mismo aspecto que (4), pero en trminos per cpita, con una inversin de reposicin igual a , que muestra

la cantidad de inversin necesaria para mantener el capital constante. Aumentos de depreciacin, tendran efectos de disminucin de la acumulacin de capital, y por lo tanto, un menor [estado estacionario] del capital. Aumentos en la tasa de crecimiento de la poblacin, causaran un aumento menor o disminucin de la acumulacin de capital per cpita efectivo. Es necesario que la inversin efectiva pueda sostener los movimientos o la depreciacin misma, as como el crecimiento de la poblacin y la nueva tecnologa que necesitan inversin fsica para producirla. Si tenemos altas tasas de crecimiento de la poblacin, es difcil que el capital per cpita efectivo crezca, ya que habr mayor maquinaria que repartir entre los nuevos individuos potencialmente productivos que entran al mercado. As tambin, aumentos de la tasa de tecnologa necesitan producir nueva maquinaria, por lo que es necesario que haya inversin efectiva para sostener aumentos de la tecnologa.[editar]Equilibrio

del estado estacionario

Diagrama del modelo de crecimiento de Solow

El equilibrio estacionario es la condicin del modelo en que finaliza el aumento del capital reflejado en la ecuacin de acumulacin de capital per cpita, que termina con un capital fijo sin variaciones adicionales.

Como se supone que la funcin solucin nica

el sistema anterior tendr una

y los niveles de renta per cpita efectiva, capital

per cpita efectivo, tasa de ahorro, tasa de cambio tecnolgico y tasa de depreciacin del mismo determinan el llamado estado de equilibrio o estado estacionario del modelo de Solow. El equilibrio en el modelo de Solow es la senda de la convergencia de los pases: una economa, mediante la propiedad de rendimientos marginales decrecientes, tiende a decrecer su produccin marginal; o dicho en otros trminos, la produccin total cada vez crece menos. Por lo que tiende tambin a crecer menos, lo que eventualmente hace . Esta condicin mantiene el stock de capital que se iguale a

per cpita efectivo constante, sin variaciones. Sin embargo, en estado estacionario, es posible afirmar que el producto per cpita crece a la tasa de crecimiento de la tecnologa, y el producto total crece a la tasa de crecimiento de la poblacin y de la tecnologa. El aporte de estas variables exgenas logran explicar el crecimiento en el largo plazo, es decir, cuando la economa alcanza su capital estacionario. Este es el grfico principal del modelo de Solow, y muestra que en el equilibrio de largo plazo, que y es igual a efectiva . La razn de la convergencia es , la funcin del producto per cpita tiene

rendimientos decrecientes, as tambin, la funcin de inversin . De esta forma, los rendimientos decrecientes del capital per cpita hacen que haya una convergencia entre la inversin de reposicin y la inversin efectiva. En el grfico, k "EST" representa el estado de capital estacionario y, por lo tanto, el estado de producto estacionario.[editar]Aumentos en la tasa de ahorro

Un aumento en la tasa de ahorro hara que

aumente, por lo que

aumenta el capital de estado estacionario. El efecto de la tasa de ahorro tiene un efecto de crecimiento ms rpido en el corto plazo, pero en el largo plazo el efecto es nulo. Bsicamente, la tasa de ahorro tiene efectos en el nivel de producto, no as los efectos de la tasa del aumento de la tecnologa, que son efectos de crecimientos en el largo plazo.[editar]Condiciones del producto en estado estacionario

Teniendo la igualdad

, podemos reemplazar el

capital, obteniendo as el capital de estado estacionario.

. Adems, utilizando , obtenemos: Plantilla:Ecuacim En estado

estacionario, es posible determinar las siguientes conclusiones: Aumentos del nivel de tecnologa produciran un mayor producto per

cpita estacionario. As tambin, mayor fuerza de trabajo incidira positivamente en el producto estacionario. Inversamente, aumentos de la tasa de crecimiento de la poblacin, y altas depreciaciones, tendran como resultado bajos productos per cpita efectivos estacionarios. En estado estacionario, dado que

, la tasa de crecimiento

del producto total es igual a n + g y la tasa de crecimiento del producto per cpita es igual a g. El producto per cpita en estado estacionario crecera solo a la tasa de crecimiento de la tecnologa.[editar]La regla de oro

La regla de oro consiste en un capital ptimo que maximiza el consumo. Si asumimos que la utilidad depende del consumo, el capital de estado estacionario no es sinnimo de maximizacin, ya que con un capital ptimo se puede hacer el consumo mximo. Al respecto, es visible que:

Esta ltima ecuacin representa el consumo en estado estacionario, es decir, el en el largo plazo. Necesariamente, para encontrar un capital que maximice el consumo , debemos derivar esta ecuacin con respecto al capital. c = f(k) k(n + g + ) Derivando el consumo respecto al capital, se tiene:

Igualando a cero, se tiene:

Esto nos dice, que el producto marginal del capital, o la ltima unidad de capital generada debe ser igual a la tasa de crecimiento de la poblacin, la tasa de depreciacin y de tecnologa para que el consumo sea mximo. Desde el punto de vista algebraico, se tiene que el capital de la regla de oro es el siguiente:

Ntese la similitud con el capital estacionario. Se puede inferir, que la tasa de ahorro que maximiza el consumo es la siguiente:

Por lo tanto, necesariamente la condicin para que el capital estacionario sea igual al capital de la regla de oro y se maximice el consumo es que la tasa de ahorro debe ser igual a la fraccin del producto producida por el capital, es decir[editar]Evidencia

.

emprica

Mankiw, Romer y Weil (1992) basndose en el modelo de Solow examinaron las diferencias internacionales de renta per cpita suponiendo que stas son una funcin de la tasa de ahorro, la tasa de crecimiento de la poblacin y los niveles iniciales de productividad del trabajo. Bajo esos supuestos el 60% de las diferencias de renta en 1985 en una muestra de noventa y ocho pases parecan ser explicables. Sin embargo, cuando calcularon la contribucin implcita del capital en la renta nacional a partir del modelo, resultaron ser casi el doble que las estimaciones directas. Esto supona una dificultad al modelo de Solow como modelo explicativo.1 Para resolver esta discrepancia construyeron un modelo modificado, que contemplara la acumulacin de capital humano. Con ese nuevo modelo podan explicar alrededor del 80% de la variacin observada, y

una contribucin del capital fsico cercana al 30% en acuerdo con la cantidad estimada directa. As que concluyeron que si bien el modelo de Solow no explicaba suficientemente bien los datos una modificacin del mismo s pareca dar cuenta de los datos. Sin embargo, Grossman y Helpman (1994) observan que la productividad total de los factores (PTF) tiene un papel importante. Dado que los incrementos de PTF estimulan la inversin pudiera ser que desde un punto de vista causal no sea la acumulacin de capital la causa original del crecimiento sino otros factores que hacen aumentar la PTF.2[editar]

Modelo Harrod-DomarEl modelo de crecimiento de Harrod-Domar, fue elaborado a finales de los aos cuarenta por dos economistas keynesianos (keynesianismo) , Sir Roy Harrod de Gran Bretaa y Evsey D. Domar de Estados Unidos, ambos desarrollaron de forma independiente un anlisis del crecimiento econmico que es conocido como el modelo Harrod-Domar. En el modelo econmico se analizan los factores o razones que influyen en la velocidad del crecimiento, a saber, la tasa de crecimiento del trabajo, la productividad del trabajo, la tasa de crecimiento del capital o tasa de ahorro e inversin y la productividad del capital. En el modelo de Harrod-Domar se llama tasa natural de crecimiento al ritmo de crecimiento de la oferta de trabajo. Por oferta de trabajo se entiende aqu no slo el aumento del nmero de trabajadores, o de horas que estn dispuestos a trabajar, sino tambin al aumento de su capacidad productiva y de su productividad. En otras palabras, es la tasa de crecimiento de la poblacin activa ms la tasa de crecimiento de la productividad del trabajo. Para que haya un crecimiento econmico equilibrado y con pleno empleo es necesario que el producto y el capital productivo crezcan exactamente en esa misma proporcin, la tasa natural. Si el crecimiento del capital es menor del crecimiento del trabajo, habr desempleo. Si el crecimiento es superior se producirn distorsiones en la tasa de ahorro e inversin que desequilibrarn el crecimiento. El crecimiento del producto requiere crecimiento del capital existente y esto requiere ahorro, es decir, destinar un porcentaje de la renta a la inversin en capital. En el modelo de Harrod-Domar se llama tasa garantizada de crecimiento o tasa de crecimiento requerido a "aquel ritmo general de avance que, si se consigue, dejar a los empresarios en una actitud que les predispondr a continuar un avance similar". En otras palabras, es la tasa de crecimiento que hace que la tasa de ahorro e inversin permanezcan constantes. Al analizar Harrod y Domar esas variables y las relaciones entre ellas encontraron dos graves problemas:

Las razones del crecimiento de la poblacin activa no tienen nada que ver con las razones que determinan el ahorro, la inversin y las variaciones en la productividad del trabajo y del capital. Por tanto, no hay ninguna razn por la que podamos suponer que sus tasas de crecimiento coincidan. Cuando la tasa de crecimiento del producto difiere de la tasa natural, el distanciamiento tiende a agravarse. Por tanto sus previsiones de crecimiento resultaron muy pesimistas. El crecimiento econmico tiene tendencia a ser inestable e inevitablemente se producirn cambios cclicos en las tasas de crecimiento, de ahorro, inversin y empleo. La solucin del modelo de Harrod es del tipo funcin exponencial, condicin suficiente para que se produzca una economa de rendimientos constantes. Una solucin exponencial determina que la economa crece igual que una cantidad monetaria depositada en un banco a un tipo de inters nominal g. En el modelo de Harrod g, es la tasa garantizada.Contenido[ocultar]

1 Tasa garantizada 2 Solucin exponencial 3 Relacin entre capital y trabajo 4 Tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo 5 Acumulacin y cambio tecnolgico 6 Tasa natural de crecimiento 7 Modelo de Harrod con retardo en el ahorro 8 Influencia del modelo de Harrod 9 Inconsistencias y crticas del modelo 10 Bibliografa

[editar]Tasa

garantizada

El desarrollo matemtico de logaritmos est obsoleto y si aplicamos una tecnologa con un coeficiente v variable obtendremos el modelo revisado de Harrod. Esta versin combina el modelo simple de Harrod y la versin multiplicador acelerador.

La primera condicin de equilibrio es denominada por Harrod de "plena capacidad" o "mxima capacidad instalada". K=vY es una relacin tecnolgica de coeficientes constantes relacionada con el modelo de Kalecki. La segunda es la condicin de equilibrio en el mercado de bienes del modelo keynesiano. La tercera condicin es de "pleno empleo". K es el capital. Y es el producto final similar al PIB. 1/v es laproductividad media del capital. dK es la inversin que se produce entre dos ejercicios econmicos dK=K(1)-K(0). Una inversin mayor que cero significa que hemos invertido por encima de la depreciacin de la maquinaria, equipos o instalaciones. L es la demanda de trabajo. uYes la cantidad de horas de trabajo ofertadas por las empresas. En economa, los empresarios demandan trabajo y los empleados ofertan trabajo. En equilibrio, la oferta es igual a la demanda. 1/u es la productividad media del trabajo. La productividad media se define como la cantidad de producto por unidad de trabajo o capital. s es la propensin marginal al ahorro. c es la propensin marginal al consumo. Altas tasas de ahorro significarn bajas tasas de consumo ya que s+c=1. Diferenciando la primera expresin

Sustituyendo la segunda expresin, dividimos por vY

Simplificamos trminos

Despejamos la expresin que valora el crecimiento

Si igualamos la expresin dv/v a cero obtenemos g, tasa garantizada

El crecimiento depende de la propensin marginal al ahorro, la relacin inicial de capital por unidad de producto final y la variacin de la relacin tecnolgica v. El modelo revisado contempla la decisin de cambio tecnolgico por variacin de precios del capital u otra causa. El modelo original y el revisado parecen idnticos pero las diferencias podran ser considerables si el pas cambia de tecnologa. Si hacemosdv/v igual a cero obtendremos el viejo modelo. Para exponer qu explica el modelo utilizar una tabla donde todos crecen a un seis por ciento y el nivel de salarios y beneficios es tambin el mismo. Pas K Y s v n

Pas A 333 100 0,2 3,3 6% Pas B 500 100 0,3 5 6%

Pas C 666 100 0,4 6,6 6% La tabla explica una acumulacin de capital con tasas de ahorro creciente. A mayor capital, la cantidad de ahorro para crecer es mayor. Si consideramos tres pases con la misma cantidad de capital y diferentes tasas de ahorro obtendremos una gran diferencia en la distribucin de salarios y beneficios traducido en niveles tambin diferentes de producto final. Una tasa de ahorro elevada produce un menor nivel de renta comparada. Si en perodos siguientes el capital no aumenta sustancialmente, el ahorro se podr describir como improductivo. Pas K Y s v n

Pas A 300 90,9 Pas B 300 60

0,2 3,3 6% 0,3 5 6%

Pas C 300 45,45 0,4 6,6 6% La tabla vislumbra una teora del ciclo econmico y explica la razn por la que algunos pases con el mismo capital tienen salarios y beneficios por debajo de otros.

[editar]Solucin

exponencial

La tabla siguiente representa la evolucin de las variables de un pas con una tasa de ahorro constante. Ao K L Y 90,9 s v n PMK

Ao 1 300 100

0,2 3,3 6% 0,3

Ao 2 337 112,36 102,13 0,2 3,3 6% 0,3 Ao 3 357 119 108,26 0,2 3,3 6% 0,3

PMK es el producto medio del capital que se mantiene constante. Las soluciones exponenciales del modelo de Harrod son las siguientes.

El modelo de Harrod utiliza el nmero e para expresar las soluciones. Podemos evaluar la veracidad de la tabla comprobando los valores con las soluciones exponenciales. [editar]Relacin

entre capital y trabajo

La relacin tecnolgica dentro del modelo de Harrod Domar es la siguiente

Sustituyendo esta expresin en la primera

Si definimos una nueva variable z

El resultado final ser

La demanda de trabajo aumenta con u, trabajo demandado por unidad de producto. Si aumenta v, capital por unidad de producto, la demanda de trabajo desciende al suponer una inversin ahorradora de trabajo. [editar]Tasa

de crecimiento de la fuerza de trabajo

Realizando una diferencial de L=uY obtendremos

Dividiendo los trminos entre uY

Simplificando

Haciendo du/u igual a cero obtendremos n, tasa de crecimiento de la oferta laboral o fuerza de trabajo. Si la relacin trabajo por unidad de renta o trabajo por unidad de output permanece constante llegamos al resultado del viejo modelo donde la tasa garantizada es igual a la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo.

Observamos que la tasa garantizada es igual al crecimiento de la oferta de trabajo o fuerza laboral

[editar]Acumulacin

y cambio tecnolgico

La expresin dv/v, se calcula matemticamente de la siguiente manera

Si aplicamos el modelo revisado, la tabla inicial quedara as Pas K Y K' Y' dv/v dY/Y 6%

Pas A 300 100 300 100 0%

Pas B 333 100 500 100 0,50% 5,50% Pas C 500 100 666 100 0,33% 5,67% La acumulacin de capital produce un menor crecimiento evaluado en un 0,50% en el segundo pas y un 0,33% en el tercer pas. [editar]Tasa

natural de crecimiento

El progreso tcnico segn Harrod estaba producido por una mayor eficiencia de la fuerza de trabajo. La cantidad de horas trabajadas disminuir. Si consideramos una funcin de produccin sta quedar desplazada.

La funcin de progreso tecnolgico es p que vara en funcin del tiempo t.

El desarrollo matemtico diferencial es el siguiente

Simplificando trminos

Harrod defini la variable m como la tasa de variacin temporal de la eficiencia laboral . La tasa de crecimiento de un pas con progreso tecnolgico segn Harrod se define igualando du/u a cero

A esta expresin la llam tasa natural de crecimiento. Si m es igual a cero retornamos a la tasa garantizada de crecimiento.

Tembin defini el progreso tcnico ahorrador de trabajo con tasa de beneficio constante como aquel que disminuye la relacin producto capital (Y/K) y el progreso tcnico ahorrador de capital como aquel que aumenta la relacin producto capital (Y/K). Cuando analizamos el progreso tcnico se tiende a poner el ejemplo de la azada. Una azada mejor diseada podr realizar un trabajo ms productivo pero este progreso no puede desvincularse de la persona que la utiliza porque tarde o temprano crear la habilidad necesaria para aumentar su productividad. La habilidad o eficiencia humana aumenta con la eficiencia de la mquina y la eficiencia de la mquina aumenta con una mayor eficiencia humana. El progreso tecnolgico es "neutral" cuando la relacin de factores de produccin K/L es constante y este progreso es "segn Harrod" cuando la relacin Y/K permanece tambin constante. [editar]Modelo

de Harrod con retardo en el ahorro

Las decisiones econmicas no son inmediatas. Una disminucin de renta produce efectos en ejercicios posteriores. El modelo contempla que la inversin hoy depende del ahorro de ayer. Tambin determina como primera condicin que la inversin hoy es funcin de la variacin de la renta en el pasado.

La solucin a este modelo dinmico con retardos es idntica al modelo multiplicador acelerador ya expuesto. La economa sigue creciendo a la tasa garantizada g=s/v. Si tenemos en cuenta que

Dividiendo la primera expresin a) entre la segunda b) obtenemos

Las soluciones tambin exponenciales son las siguientes

Podemos apreciar que la inversin, producto y empleo crecen a la misma tasa pero no durante el mismo perodo. Este hecho produce desajustes o ciclos econmicos. [editar]Influencia

del modelo de Harrod

El modelo de Kaldor utiliza las mismas condiciones de equilibrio e introduce la tasa de beneficio. Un modelo neoclsico de crecimiento introduce una funcin de produccin lo cual permite, bajo ciertos supuestos, utilizar la productividad marginal del trabajo y el capital. La expresin dK=vY fue tambin utilizada por Samuelson y Hicks para analizar el ciclo econmico. El modelo elemental Samuelson-Hicks est basado en el modelo de Harrod Domar. [editar]Inconsistencias

y crticas del modelo

Fundamentalmente se encuentran dos inconsistencias relacionadas con la lgica del modelo o relacin entre los axiomas. El modelo es inconsistente con la teora de la productividad marginal y tambin con funciones de distribucin de la renta sean o no homogneas. Estas inconsistencias dieron lugar a los modelos neoclsicos de crecimiento. Cuando no hay inversin la tasa de ahorro es negativa e igual a la tasa garantizada. La inversin es imprescindible para ahorrar y sin inversin el pas desahorra. Una crtica es la ausencia del mercado de dinero. La condicin de equilibrio I=sY es keynesiana sin embargo las otras dos

condiciones describen la productividad media del trabajo y el capital. El modelo Harrod Domar tiene versiones estticas y dinmicas donde la variable tiempo adquiere importancia. Sin embargo, cuando se escribieron, no tuvieron en cuenta la variacin de la variable v porque a corto y medio plazo la relacin entre capital y producto permanece constante. Pero s fueron conscientes de que cambiaba porque normalmente se utiliza las primeras consonantes a,b... para definir relaciones constantes y las ltimas u,v,x... para determinar variables.7