modelo de conductividad hidráulica en suelos

MODELO DE CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

EN SUELOS

Tesis de Magíster en Ingeniería – Recursos Hidráulicos

K =

f (P

SP)

K =

f (P

SP)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

Ciudad Universitaria Bogotá D.C. Mayo 2004

MODELO DE CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

EN SUELOS

Tesis de Magíster en Ingeniería – Recursos Hidráulicos

Por Leonardo David DONADO GARZÓN

Ingeniero Civil [email protected]

Julio Esteban COLMENARES MONTAÑEZ IC, MG, MSc, DIC, PhD

Director [email protected]

Ciudad Universitaria Bogotá D.C. Mayo 2004

UNIVERSIDAD

NACIONAL DE COLOMBIA S E D E B O G O T Á Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola Maestría en Ingeniería – Recursos Hidráulicos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

SEDE BOGOTÁ

Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola

Maestría en Ingeniería – Recursos Hidráulicos

GRUPO DE INVESTIGACIÓN EN GEOTECNIA – GIGUN GRUPO DE INVESTIGACIÓN EN INGENIERÍA DE RECURSOS HÍDRICOS – GIREH

COFINANCIADO POR

DIVISIÓN DE INVESTIGACIÓN

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA – SEDE BOGOTÁ

&

COLCIENCIAS

INSTITUTO COLOMBIANO PARA EL DESARROLLO DE LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA

“FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS”

PROGRAMA DE FORMACIÓN

DE JÓVENES INVESTIGADORES

INSTITUTO GEOGRÁFICO “AGUSTÍN CODAZZI”

Subdirección de Agrología

“MODELO DE CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

EN SUELOS” Tesis de Magíster

Nota de aceptación

Nelson OBREGÓN NEIRA, PhD Jurado Jurado Julio Esteban COLMENARES MONTAÑEZ, PhD Director

Bogotá D.C., julio 27 de 2004

Tesis de Maestría – © 2001-2004 Modelo de Conductividad Hidráulica en Suelos

A mis padres, LEONARDO y MARLENE, por ser mi inspiración para CRECER! A mis HERMANOS: Daniel, Mauricio y Luis... por su compresión en todos los momentos. A la VIDA... por darme otra oportunidad! Al resto de mi familia, mi tía hermana Yamile, mis abuelos, mis tíos y primos...

AGRADECIMIENTOS

El autor expresa su agradecimiento a: La Universidad Nacional de Colombia, claustro que me brindó todas las

oportunidades de las que hoy estoy disfrutando. Julio Esteban, por ser una constante guía en mi conocimiento.

Nelson, por ser maestro y amigo.

Carlos Eduardo, por su apoyo a esta empresa.

Mis pupilos: Nidia, José, Javier y Rubén, por ayudarme en los momentos más difíciles

de vida. El Laboratorio de Suelos del Instituto Geográfico Agustín Codazzi, por su

colaboración en los ensayos de porosimetría. Colciencias, por darme la beca y permitirme dedicarme a la investigación

Sika Andina y Germán Hermida, por ofrecernos la arena para este proyecto

La Universidad Politécnica de Cataluña, por permitirme la oportunidad de terminar

este trabajo Compañeros de GIGUN, por las parrandas de los viernes.

Compañeros de GIREH, por heredar y mantener todo el trabajo realizado,

especialmente a LIS, por ayudarme en la distancia. A mis médicos, por ser especiales conmigo y siempre mantenerme motivado a

continuar el camino.

RESUMEN

La conductividad hidráulica es un parámetro hidrogeológico fundamental para el estudio de la movilidad del agua subterránea. Es de difícil medición directa tanto en campo como en laboratorio, ya que presenta un alto grado de incertidumbre tanto en sus valores reales como en el fundamento de las teorías aplicadas por los diferentes ensayos. La estimación de la conductividad hidráulica como una función de parámetros más estables dentro de los suelos, se plantea como una alternativa de solución a estos inconvenientes.

El plan experimental incluyó la modelación física de la conductividad hidráulica, el estudio de la influencia de la distribución de tamaño de partículas, la medición y estimación de la curvas de retención de agua, la fabricación de secciones delgadas, la toma de microfotografías de las secciones delgadas, estudio de la dimensión fractal de poros y la intrusión de mercurio para la medición de la PSD (Distribución de Tamaños de Poros).

El estudio experimental se realizó sobre materiales granulares. Se trabajó con tres arenas limpias, con tamaños entre medio y fino. Una arena fina uniforme, AFU, otra arena media uniforme, AMU y una arena con diferentes gradaciones, ADG. Los tamaños de las arenas fueron estimados con base en el intervalo de mediciones de tamaños de poros ofrecida por el porosímetro de mercurio del IGAC.

La distribución de los poros conectados representa adecuadamente la conductividad hidráulica, y por tal motivo, un buen fundamento para plantear un modelo para la estimación de la conductividad hidráulica. La PSD fue medida con intrusión de mercurio, MIP, y ajustada mediante inferencia estadística a distribuciones de probabilidad. Para AFU y AMU (arenas uniformes), el mejor ajuste se logró para una distribución LOG-NORMAL, y para ADG además de la LOG-NORMAL también se ajusta la distribución GAMMA, para un nivel de confianza del 95%.

La Ecuación de Hagen – Poiseuille es el origen del modelo planteado. Este ecuación asume que el flujo ocurre en tubos circulares de determinado tamaño. Los modelos analizados presentan variaciones estocásticas en función de los principales estadísticos de los tubos donde ocurre el flujo. Estás variaciones son representadas por la PSD. El modelo de Childs and Collins – George (CCG) y la modificación de Marshall (CCGM) son los que mejor estima la conductividad hidráulica para las tres arenas, aunque el método de Juang & Holtz (JH) hace una buena estimación. Sería conveniente mediante el estudio de fotografías con microscopio electrónico y SEM, hacer el estudio de la conectividad de los poros y mejorar el planteamiento de esta función, y así lograr una mejor estimación de la conductividad hidráulica.

Palabras Claves: Conductividad Hidráulica Distribución de Tamaños de Poros (PSD) Childs and Collins – Goerge (CCG) Distribución Log-Normal Distribución Normal Intrusión de Mercurio (MIP)


ABSTRACT

Hydraulic Conductivity is a hydrogeological parameter that indicates the mobility of groundwater. The measurement of it is very hard in the laboratory and in the field, because it presents a high degree of uncertainty both in its real values and in its theoretical fundamentals of the lab experiments. The hydraulic conductivity estimate as more function of stables parameters inside the soils was set out as an alternative solution to these disadvantages. The experimental plan included the physical modeling of hydraulic conductivity, the study of the influence of the Particle Size Distribution, the measurement and estimate of the water characteristic curves, the manufacture and photography of thin sections, and study of the fractal dimension and mercury intrusion for the Pore Size Distribution measurement.. The experimental stage was made on granular materials. It worked with three clean sands, with sizes between medium and fine. A kind of fine and uniform sand, AFU, and another kind of medium uniform sand, AMU and another one with different sizes, ADG. The sands’ sizes were estimated from the range of measurement of pores of the IGAC’s mercury porosimeter. This project studied the Pore Size Distribution (PSD) as a soils fabric indicator. The soils fabric describe the particles and pores array, and the connected pores distribution was considered one of the most stable parameter, and for this reason, a good basis for a hydraulic conductivity estimate. PSD was obtained with mercury intrusion, MIP, and fitted by means of statistical inference to probability distributions. AFU and AMU (uniform sands) got their best fit to a LOG-NORMAL distribution, and ADG to GAMMA and LOG-NORMAL distributions, for a confidence level of 95%. The Hagen – Poiseuille equation gives rise to the suggested model. This equation supposes that flow occurs inside of circular tubes of any size. The analyzed models present stochastic variations in function of the main statistical data of the pipes’ sizes where the water flows. These variations account for the PSD. The Childs and Collins – George model (CCG) and the Marshall modification (CCGM) are the best fitted models to estimate the hydraulic conductivity for the three sands, even though the Juang and Holtz model (JH) gives a good estimation too. It might be a good idea to analyze electronic microscopic photographs (SEM) to check the connectivity, improve the connectivity function and get a better estimate of the hydraulic conductivity. Keywords: Hydraulic conductivity Pore size distribution (PSD) Childs and Collins – Goerge (CCG) Log-Normal Distribution Normal Distribution Mercury Intrusion (MIP)

Modelo de Conductividad Hidráulica en Suelos Tesis de Maestría – © 2001-2004

CONTENIDO

Pag.

RESUMEN vii

ABSTRACT viii

GLOSARIO DE VARIABLES xv

Capítulo 1

GENERALIDADES 1

1.1 INTRODUCCIÓN 4 1.2 ANTECEDENTES 5 1.3 ALCANCE 5 1.4 OBJETIVOS 6 1.5 ESTRUCTURA DEL DOCUMENTO 6 Capítulo 2

LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA Y LA FÁBRICA DEL SUELO 9

2.1 INTRODUCCIÓN 13 2.2 MEDIO POROSO 13 2.3 LEY DE DARCY 15 2.4 CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA Y PERMEABILIDAD 16 2.4.1 Conductividad hidráulica en suelos totalmente saturados 16 2.4.2 Conductividad hidráulica en suelos parcialmente saturados 16 2.5 MÉTODOS DE MEDICIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA 17 2.6 MODELOS EMPÍRICOS PARA EL CÁLCULO DE LA CONDUCTIVIDAD

HIDRÁULICA

18 2.7 FÁBRICA, ESTRUCTURA Y CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA 21 2.8 TORTUOSIDAD 22 2.9 DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑOS DE POROS 23 2.10 CONCEPTOS ASOCIADOS AL FLUJO 23 Capítulo 3

SELECCIÓN DE MATERIAL & EXPERIMENTACIÓN 33

3.1 INTRODUCCIÓN 33 3.2 PROPIEDADES DEL SUELO 33 3.2.1 Distribución de tamaños de partículas 34 3.2.2 Gradación 35


x 3.2.3 Límites de Atterberg 35 3.3 SELECCIÓN DEL MATERIAL 35 3.3.1 Otros Arreglos 36 3.3.2 Contenido de Arcilla 37 3.4 MATERIAL SELECCIONADO 40 3.5 PROGRAMA EXPERIMENTAL 42 3.6 EQUIPO 44 3.7 PROCEDIMIENTOS Y RESULTADOS 45 3.7.1 Conductividad Hidráulica Saturada 45 3.7.2 Determinación de las curvas de retención de humedad en laboratorio 46 3.7.3 Porosimetría 49 3.7.4 Resultados de las porosimetrías 50 3.7.5 Determinación de los poros del suelo, fuera del rango de MIP 54 3.7.6 Distribución de tamaños de poros, a partir de las curvas de retención de

agua

57 3.8 GEOMETRÍA FRACTAL 64 3.8.1 Microfotografías de secciones delgadas 64 3.8.2 Geometría fractal y dimensión fractal 65 Capítulo 4

ANÁLISIS ESTADÍSTICO 67

4.1 INTRODUCCIÓN 71 4.2 DENSIDAD Y DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑOS DE POROS 71 4.3 INFERENCIA ESTADÍSTICA 76 Capítulo 5

MODELACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA 85

5 MODELACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA 89 5.1 INTRODUCCIÓN 89 5.2 DERIVACIONES DE LA LEY DE DARCY 91 5.2.1 Modelo de tubos capilares 91 5.2.2 Modelo de Radio Hidráulico 93 5.2.3 Modelo de García-Bengochea 94 5.2.4 Modelo de Childs & Collins George – Marshall 95 5.2.5 Modelo de capilaridad equivalente 96 5.2.6 Modelo de Juang & Holtz 97 5.3 PREDICCIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA 98 5.4 CALIFICACIÓN Y AJUSTE DE LOS MODELOS EXISTENTES 101 5.5 INFLUENCIA DE LA DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑOS DE PARTÍCULAS Y DE

POROS

101 5.6 ANÁLISIS DE LA GEOMETRÍA FRACTAL DE LA FORMA DE LOS POROS 104


xi Capítulo 6

CONCLUSIONES & RECOMENDACIONES 107

6.1 INTRODUCCIÓN 110 6.2 EXPERIMENTACIÓN 111 6.2.1 Preparación de muestras 111 6.2.2 Secciones delgadas, microfotografías y dimensión fractal 111 6.2.3 Intrusión de Mercurio 111 6.2.4 Medición de la Conductividad Hidráulica 112 6.3 MODELACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA 112 6.3.1 Fábrica y Conductividad Hidráulica 112 6.3.2 Ajuste de la PSD y la pdf 113 6.3.3 Modelación estocástica 113 6.3.4 Otras modelaciones 114 6.4 FUTURAS INVESTIGACIONES 115 Capítulo 7

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 117

ANEXOS 123

A ANEXOS 127 A.1 NORMA ASTM PARA EL USO DEL POROSÍMETRO DE MERCURIO 127 A.1.1 Scope 127 A.2 CÁLCULO DEL TAMAÑO NECESARIO DE PARTÍCULAS 128 A.3 CÁLCULO DE LA RELACIÓN DE VACÍOS DE GRANO 129 A.4 CÁLCULO DE GRADACIÓN DE LA ARENA CON DIFERENTES

GRADACIONES 130

A.5 PROPIEDADES DEL CAOLÍN 131 A.6 ESTUDIO DE LA DENSIDAD APARENTE DE LA ARENA 132 A.7 MANUAL DE OPERACIONES DEL POROSÍMETRO DE MERCURIO 134 A.7.1 Instalación 134 A.7.2 Panel de controles, indicadores y conectores 134 A.7.3 Instrucciones de operación “paso a paso” 136 A.7.4 Calibración 139 A.8 OTROS MODELOS 141 A.8.1 Modelo de Resistencia a Flujo 141 A.8.2 Promedio de las Ecuaciones de Navier – Stokes 142 A.8.3 Modelo de Ferrandon 142 A.8.4 Modelo Estadísticos 143 A.8.5 Modelo de grietas 144 A.8.6 Otros capilares 145 A.8.7 Radio hidráulico 147 A.9 MODELOS RESULTADO DEL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN 149 A.9.1 Modelo de Barrera & Muñoz 149


xii A.9.2 Modelo de dimensión fractal de perfiles cerrados de Niño y Tovar 149 A.10 PROGRAMA 153 A.10.1 Para AFU 153 A.10.2 Para AMU 156 A.10.3 Para ADG 159


xiii A.1 NORMA ASTM PARA EL USO DEL POROSÍMETRO DE MERCURIO 127 A.1.1 Scope 127 A.2 CÁLCULO DEL TAMAÑO NECESARIO DE PARTÍCULAS 128 A.3 CÁLCULO DE LA RELACIÓN DE VACÍOS DE GRANO 130 A.4 CÁLCULO DE GRADACIÓN DE LA ARENA CON DIFERENTES

GRADACIONES 131

A.5 PROPIEDADES DEL CAOLÍN 132 A.6 ESTUDIO DE LA DENSIDAD APARENTE DE LA ARENA 133 A.7 MANUAL DE OPERACIONES DEL POROSÍMETRO DE MERCURIO 135 A.7.1 Instalación 135 A.7.2 Panel de controles, indicadores y conectores 135 A.7.3 Instrucciones de operación “paso a paso” 137 A.7.4 Calibración 140 A.8 OTROS MODELOS 142 A.8.1 Modelo de Resistencia a Flujo 142 A.8.2 Promedio de las Ecuaciones de Navier – Stokes 143 A.8.3 Modelo de Ferrandon 143 A.8.4 Modelo Estadísticos 144 A.8.5 Modelo de grietas 145 A.8.6 Otros capilares 146 A.8.7 Radio hidráulico 148 A.9 MODELOS RESULTADO DEL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN 149 A.9.1 Modelo de Barrera & Muñoz 149 A.9.2 Modelo de dimensión fractal de perfiles cerrados de Niño y Tovar 150 A.10 PROGRAMA 153 A.10.1 Para AFU 153 A.10.2 Para AMU 156 A.10.3 Para ADG 159


FIGURAS

Pág. Capítulo 2


Figura 2.1 Agregados y partículas (Adaptada de Mitchell, 1992) 20 Figura 2.2 Grados de Saturación. (Tomado de Bear, 1972) 25 Capítulo 3

SELECCIÓN DEL MATERIAL Y EXPERIMENTACIÓN 26

Figura 3.1 Clasificaciones de suelos más usadas (Adaptado de Bear, 1972) 33 Figura 3.2 Arreglos supuestos de partículas uniformes 34 Figura 3.3 Estructuras típicas de medios porosos (Adaptado de Bear, 1972) 35 Figura 3.4 Efectos del ordenamiento de partículas en la porosidad (Adaptado de Bear, 1972)

35

Figura 3.5 Diagrama de fase para un suelo saturado, mezcla de arcillas y granos (Adaptada de Mitchell, 1992)

37

Figura 3.6 Relaciones entre el contenido de humedad y la cantidad de arcilla requerida para llenar los vacíos en suelos granulares

38

Figura 3.7 Distribución de tamaños de partículas de los suelos seleccionados 39 Figura 3.8 Relaciones del contenido máximo de caolín en los suelos estudiados 41 Figura 3.9 Esquema de la saturación de las muestras mediante carga constante (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003)

44

Figura 3.10 Curva de Retención de Agua para las arenas estudiadas (Adaptado de Barrera & Muñoz, 2003)

46

Figura 3.11 Distribución de tamaño de poros, PSD, para AFU 48 Figura 3.12 Distribución de tamaño de poros, PSD, para AMU 49 Figura 3.13 Distribución de tamaño de poros, PSD, para ADG 50 Figura 3.14 Relaciones entre los volúmenes de sólidos, y poros y el portamuestras (Adaptado de Colmenares, 2001)

52

Figura 3.15 Distribución de tamaño de poros a partir de MIP 56 Figura 3.16 Distribución de tamaño de poros a partir de CRA 56 Capítulo 4


Figura 4.1 Ejemplo de la frecuencia del tamaño de poros obtenido mediante MIP

75

Figura 4.2 Ejemplo de la función de densidad de tamaños de poros 75 Figura 4.3 Histogramas y polígonos de frecuencia 79 Figura 4.4 Ajuste de la función de densidad y la función acumulada de


xv tamaños de poros a las distribuciones de probabilidad, para AFU 81 Figura 4.5 Ajuste de la función de densidad y la función acumulada de tamaños de poros a las distribuciones de probabilidad, para AMU

82

Figura 4.6 Ajuste de la función de densidad y la función acumulada de tamaños de poros a las distribuciones de probabilidad, para ADG

83

Capítulo 5


Figura 5.1 Modelos geométricos para el análisis de medios porosos 90 Figura 5.2 Modelos de tubos capilares (Adaptado de Bear, 1972) 92 Figura 5.3 Representación esquemática de la región de flujo (Adaptado de Juang & Holtz, 1986a)

94

Figura 5.4 Funciones que gobiernan el modelo de Juang & Holtz 98 Figura 5.5 Modelo geométrico. (a) Caja llena con una esfera, (b) Caja llena con ocho esferas organizadas, (c) Caja llena con ocho esferas desorganizadas. Tomado de Barrera & Muñoz (2003)

102 Figura 5.6 Selección y análisis de VER en las microfotografías de secciones delgadas de las arenas. (a) AMU, (b) AFU (Tomado de Niño & Tovar, 2003)

103

ANEXOS 123

Figura 1 Cálculo del tamaño de partículas del Arreglo 1 128 Figura 2 Cálculo del tamaño de partículas del Arreglo 2 128 Figura 3 Cálculo de la relación de vacíos del Arreglo 1 130 Figura 4 Cálculo de la relación de vacíos del Arreglo 2 130 Figura 5 Ajuste a la función de distribución normal de probabilidad 134 Figura 6 Diagrama de fuerzas actuando en el fluido dentro de un elemento cilíndrico del campo poroso. (Tomado de Bear, 1972)

142

Figura 7 Modelo de flujo de Irmay (Tomado de Bear, 1972) 143 Figura 8 Nomenclatura del Modelo de Ferrandon (Tomado de Bear, 1972) 144 Figura 9 Modelo de De Josselin de Jong de canales interconectados (Tomado de Bear, 1972)

145

Figura 10 Modelo de Grietas (Tomado de Bear, 1972) 146 Figura 11 Modelos de medio poroso usados para relacionar el factor de forma y el índice resistividad con la porosidad y la tortuosidad (Tomado de Bear, 1972)

147

Figura 12 Modelo de orificios capilares de Blick (Tomado de Bear, 1972) 148


TABLAS

Pág. Capítulo 2


Tabla 2.1 Resumen de los métodos de medición de la Conductividad Hidráulica Saturada (Adaptada de Youngs, 2001)

15

Tabla 2.2 Métodos de medición de la conductividad hidráulica en Suelos Parcialmente Saturados (Adaptado de Dirksen, 2001)

16

Tabla 2.3 Criterios y grados de selección de los métodos de medición de los parámetros de transporte de agua en suelos, en orden de adaptación: 5 para el más aceptable y 1 para el menos (Adaptado de Dirksen, 2001)

18 Tabla 2.4 Ecuaciones empíricas para la conductividad hidráulica (Tomada de Barrera & Muñoz, 2003)

18

Tabla 2.5 Factor de forma del poro (Tomado de Cook & Hoover, 1993) 22 Tabla 2.6 Propiedades representativas de los poros y su relación de tamaño (Adaptado de Marshall, Holmes & Rose, 1991)

23

Tabla 2.7 Relaciones densidad – porosidad (Tomado de Montenegro & Malagón, 1990)

24

Capítulo 3


Tabla 3.1 Valores típicos de porosidad (Adaptado de Bear, 1972) 35 Tabla 3.2 Distribución de tamaños de partículas de los suelos seleccionados 38 Tabla 3.3 Resumen de propiedades estudiadas para el diseño experimental 39 Tabla 3.4 Definición del contenido máximo de caolín 41 Tabla 3.5 Humedades máximas para los contenidos de caolín definidos 42 Tabla 3.6 Conductividad hidráulica saturada calculada por dos métodos (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003)

43

Tabla 3.7 Datos para el cálculo de la humedad saturada con el método directo (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003)

45

Tabla 3.8 Contenido volumétrico de agua de las arenas del estudio (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003)

45

Tabla 3.9 Datos característicos de las curvas de retención (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003)

46

Tabla 3.10 Clasificación de los poros (Tomado de Montenegro & Malagón, 1990)

47

Tabla 3.11 Resumen de los ensayos realizados 51 Tabla 3.12 Tamaños de poros esperados según arreglos teóricos 51 Tabla 3.13 Resumen de estadísticas de las pruebas de MIP 54 Tabla 3.14 Cálculo de la porosidad no intruida 54


xvii Tabla 3.15 Valores de dimensión fractal de poros de los suelos estudiados (Adaptado de Niño & Tovar, 2003)

59

Capítulo 4


Tabla 4.1 Funciones de distribución de variable continua analizadas (Tomado de Kottegoda & Rosso,1997)

76

Tabla 4.2 Formas de cálculos de los parámetros desconocidos de las distribuciones a partir del método de los momentos

77

Tabla 4.3 Estadísticos descriptores de los tamaños de poros en las arenas estudiadas, en diferentes escalas

78

Tabla 4.4 Estimadores de las distribuciones de probabilidad para el estudio, en escala aritmética

78

Tabla 4.5 Puntos porcentuales de rechazo de la hipótesis nula en la prueba K-S (Adaptado de Scheaffer & McClave, 1995)

80

Capítulo 5


Tabla 5.1 Funciones de los Parámetros de Tamaño de Poro, PSP 99 Tabla 5.2 Parámetros básicos y K medida en laboratorio de las arenas estudiadas (Tomado de Barrera & Muñoz, y Niño & Tovar, 2003)

99

Tabla 5.3 Resultados del Cálculo de PSP y K para cada modelo y cada pdf 100 Tabla 5.4 Tamaño predominante en cada una de las arenas 104 Tabla 5.5 Comparación de valores de dimensión fractal de poros y granos (Tomado de Niño & Tovar, 2003)

104

ANEXOS 123

Tabla 1 Propiedades de la Arena con diferentes gradaciones 131 Tabla 2 Resumen de resultados de ensayos de caracterización y clasificación del material (Tomado de González, 2003)

132

Tabla 3 Datos estadísticos de la densidad [Mg/ m3] para los datos de cada método de preparación de las muestras

134

Tabla 4 Valores de c para los suelos estudiados (Tomado de Niño & Tovar, 2003)

152


xviii

FOTOGRAFÍAS

Pág.

Capítulo 3


Fotografía 3.1 Probeta para ensayos de muestras de arenas limpias 42 Fotografía 3.2 Instalación del Porosímetro de Mercurio “Quantachrome Autoscan 500”

44

Fotografía 3.3 Portamuestras de 6 cm3 45 Fotografía 3.4 Proceso de saturación de las muestras mediante la aplicación de carga constante (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003)

46

Fotografía 3.5 Ollas de presión (Laboratorio de Física de Suelos, Ingeniería Agrícola, Universidad Nacional de Colombia)

46

Fotografía 3.6 Mesa de Succión (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003) 48 Fotografía 3.7 Fotografía a 40X de lámina delgada para AFU (Sin escala) (Adaptado de Niño & Tovar, 2003)

64

Fotografía 3.8 Fotografía a 100X de lámina delgada para AFU (Sin Escala) (Adaptado de Niño & Tovar, 2003)

64

Fotografía 3.9 Fotografía a 20X de lámina delgada para AMU (Sin Escala) (Adaptado de Niño & Tovar, 2003)

65

Fotografía 3.10 Fotografía a 20X de lámina delgada para ADG (Sin escala) (Adaptado de Niño & Tovar, 2003)

65


GLOSARIO DE VARIABLES

Símbolo Variable Dimensión Unidades SI

g(x’) Cantidad de una propiedad [M] o [E] o [C]

n Porosidad [-] % ( )0 v P

U⎡ ∆⎣ ⎤⎦ Volumen de vacíos dentro del VER [L3] m3

Porosidad [-] % K Conductividad hidráulica [L] [T-1] m/s

K( )θ Conductividad hidráulica en flujo parcialmente saturado [L] [T-1] m/s q Velocidad media de Darcy [L] [T-1] m/s Z Dirección o profundidad de flujo [L] m h∇ Gradiente hidráulico [-] [-]

g m(h h )∇ + Gradiente hidráulico en flujo parcialmente saturado [-] [-]

[-] Adimensional [L] Longitud [M] Masa [T] Tiempo [E] Energía [C] Momentum % Porcentaje


CAPÍT

ULO

M

odel

o de

Con

duct

ivid

ad H

idrá

ulic

a en

Sue

los

Generalidades

CONTENIDO

Pág. 1.1 INTRODUCCIÓN........................................................................................................................................ 5 1.2 ANTECEDENTES ...................................................................................................................................... 6 1.3 ALCANCE................................................................................................................................................... 7 1.4 OBJETIVOS ............................................................................................................................................... 7 1.5 ESTRUCTURA DEL DOCUMENTO........................................................................................................... 7


CAPÍTULO

1 GENERALIDADES

1.1 INTRODUCCIÓN

La conductividad hidráulica es una propiedad muy importante de los medios porosos, que indica la movilidad del agua dentro del suelo y depende del grado de saturación y la naturaleza del mismo. Las utilidades del conocimiento del valor de la conductividad hidráulica, son innumerables, de ahí la importancia de su estimación. Dentro de estos beneficios se puede resaltar, que sirve como indicador de la hidrodinámica del agua subterránea, y este entendimiento es fundamental para analizar problemas hidrogeológicos en relación con las obras civiles, como en presas y embalses; problemas hidrogeológicos en estudios geotécnicos y de minería; y el diseño de drenajes.

Otra utilidad del conocimiento de la hidrodinámica del acuífero es la caracterización para su explotación y gestión, ya sea para abastecimiento de agua potable o para riego o uso conjunto, y por lo tanto definir los perímetros de protección de las captaciones y modelos de simulación y de gestión con el fin de plantear regulaciones de los sistemas de explotación, y hacer el seguimiento del estado de las aguas subterráneas, por medio de redes de control piezométrico y redes de monitoreo de calidad y cantidad.

La conductividad hidráulica sirve para la definición de la interacción agua superficial – agua subterránea, esto permite realizar la valoración de las reservas y recursos subterráneos, porque ayuda a la estimación de la recarga, siendo insumo de los modelos precipitación – infiltración – recarga, procesos que se presentan en el tránsito de flujo por la zona parcialmente saturada. También es materia prima importante para la realización de modelos numéricos directos e inversos en hidrogeología de flujo y transporte. Por último se puede destacar su empleo en estudios de calidad y contaminación de las aguas subterráneas, estudios de contaminación puntual y difusa, almacenamiento de residuos y descontaminación de acuíferos.

La medición y estimación de la conductividad hidráulica es tema de constante investigación, dada la gran incertidumbre que arrojan los diferentes métodos de cálculo y medida. Una alternativa para representar los medios porosos son los modelos teóricos. Estos modelos también llamados abstractos (Chow et al., 1988), representan el sistema analizado en forma matemática y la operación del sistema se describe por medio de un conjunto de ecuaciones que relacionan las variables de entrada y de salida. Existen dos tipos de modelos teóricos: los determinísticos y los estocásticos. Entre los primeros se pueden citar el modelo de Kozeny para flujo basado en el concepto del Radio Hidráulico como longitud característica del medio poroso y el modelo Hagen-Poiseuille fundamentado en la teoría de flujo en tubos capilares; pero dado que el medio poroso natural es extremadamente desordenado y resulta muy difícil representarlo con modelos ordenados, consecuentemente se puede recurrir a conceptos probabilísticos que representen la aleatoriedad del suelo.


C A P Í T U L O 1 GENERALIDADES

6 Una posible aproximación para alcanzar una descripción muy detallada está basada en la introducción de alguna caracterización estadística de la matriz. Algunos ejemplos de descripciones estadísticas de medios porosos son la distribución de tamaños de partículas o granulometría y la distribución de tamaños de poros (Bear, 1972).

El proyecto de investigación “Estudio del comportamiento mecánico de suelos parcialmente saturados” financiado por COLCIENCIAS, la DIB (División de Investigación de la Sede Bogotá de la Universidad Nacional de Colombia), la Facultad de Ingeniería de la Sede Bogotá de la Universidad Nacional de Colombia y el Instituto Geográfico Agustín Codazzi, sirvió de marco para el desarrollo de la presente tesis. El proyecto subdividió en dos partes, una de modelación numérica del flujo, y la otra en la modelación física de la conductividad hidráulica y del comportamiento volumétrico y de resistencia. Dentro de esta segunda parte se realizaron dos trabajos finales de pregrado en Ingeniería Civil, además de la presente tesis. El primero estudió de manera tradicional el cálculo de la conductividad hidráulica revisando la influencia de la distribución de tamaño de partículas y el segundo un estudio determinístico de la geometría fractal de los poros y su influencia en la conductividad hidráulica. Ambos trabajos propusieron nuevos métodos de estimación de la conductividad hidráulica (Barrera et al., 2003, Niño & Colmenares, 2003).

1.2 ANTECEDENTES

Childs en 1950 (Juang y Holtz, 1986) presentó por primera vez un modelo probabilístico de la conductividad hidráulica de un suelo. Luego éste fue modificado por otros investigadores. En 1978, García Bengochea, definió el parámetro del tamaño del poro, que sirvió de base de su modelo probabilístico de conductividad hidráulica de suelos, el cual era afectado por un parámetro de regresión y un factor de forma. Estos dos métodos son empíricos, por tal motivo Juang y Holtz, en 1986 plantearon un nuevo modelo fundamentado en una nueva función de densidad de tamaño de poro y en probabilidades. Este método es útil para la predicción de la conductividad hidráulica en suelos compactados. La Universidad Nacional de Colombia ha contribuido a la investigación del flujo y el transporte en la zona vadosa, por medio de diversos proyectos de grado. Desde 1997 el Departamento de Ingeniería Civil ha concentrado esfuerzos en el estudio del flujo y el transporte en la zona parcialmente saturada, con el proyecto de Transporte de E-Coli y Cloruros en columna no saturada de material permeable realizado por el profesor Gonzalo Pulido. Posteriormente se realizaron dos proyectos más donde se evaluaron los parámetros de transporte de E-Coli en la zona no saturada (Cabrera y Carvajal, 1998) y se realizaron modelos experimentales y numéricos del transporte unidimensional de nitratos en arena no saturada (Salazar, 1999). Debido al alto costo y tiempo requeridos para obtener una curva de retención de humedad, para la determinación de la conductividad hidráulica (Pulido, 1997) se recomendó encontrar un método alternativo para el cálculo de éste parámetro hidráulico, además que en la investigación realizada por el profesor Pulido se encontraron inconvenientes con los métodos tradicionales para la obtención de la conductividad hidráulica. Colmenares (2002) concluyó que los actuales modelos de estimación de la conductividad hidráulica basados en la distribución de tamaños de poros no predecían valores concordantes con los medidos en laboratorio, por lo que la sugerencia de Pulido (1997) fue inicialmente analizada con los métodos basados en la Distribución de Tamaños de Poros.



7

1.3 ALCANCE

El problema expresado en anteriores investigaciones radica en la dificultad del cálculo y la medición de la conductividad hidráulica en suelo, por ello el presente proyecto pretende hacer el planteamiento de un modelo matemático para determinar la conductividad hidráulica, el cual es un parámetro muy importante en suelos. Este es fundamental en el estudio del flujo en medio porosos, el cual es de vital trascendencia para el estudio de transporte de contaminantes en las aguas subterráneas, así como en la mecánica de suelos, como se presentó detalladamente en la anterior sección. Para poder determinar el modelo fue necesario realizar pruebas en suelos diseñados y tener así, un control óptimo de los resultados. Una parte fundamental para el desarrollo del proyecto es el diseño experimental, donde se determinaron la cantidad de pruebas a realizar. Los posibles usuarios de los resultados de la investigación serán los consultores que requieran calcular para sus estudios el valor de la conductividad hidráulica, a partir de un ensayo de distribución de tamaño de poros disponible en nuestro medio en las instalaciones del Instituto Geográfico Agustín Codazzi (IGAC). A su vez está será la base de futuras investigaciones dentro de una línea de investigación interdisciplinaria de la Ingeniería, como lo pueden ser, la hidráulica subterránea, el transporte de contaminantes y la mecánica de suelos.

1.4 OBJETIVOS

El objetivo general de la investigación es estudiar la influencia de la distribución de tamaños de poros de los suelos en la estimación de la conductividad hidráulica, a la luz del planteamiento de un modelo matemático. Para completar esta meta se precisó: calificar los modelos existentes para estimar la conductividad hidráulica en función de la distribución de tamaños de poros, clasificar las distribuciones de tamaño de poros de diferentes suelos con el fin de determinar funciones típicas de densidad de tamaño de poros, y verificar la aplicabilidad de los modelos existentes para la predicción de la conductividad hidráulica en los suelos estudiados y en caso necesario proponer ajustes a dichos modelos.

1.5 ESTRUCTURA DEL DOCUMENTO

La tesis se encuentra dividida en 6 capítulos que se presentan de la siguiente manera: El capítulo 2 contiene una revisión de los conceptos básicos que influencian la fábrica y su relación con la Conductividad Hidráulica. En este apartado se resumen los principales modelos de estimación y métodos de cálculo de la conductividad hidráulica. En el capítulo 3 se exponen los métodos para la selección del material estudiado para esta investigación. Se hace una revisión de los posibles arreglos entre partículas y se define el tamaño de las partículas estudiadas. Además se muestran los resultados de los diferentes ensayos y pruebas



8 realizadas a las arenas estudiadas, como lo son: curvas de retención de agua, microfotografías e intrusión de mercurio. Dentro del estudio experimental se tuvo especial cuidado en la selección de la arena utilizada, ya que debía cumplir con ciertas características de redondez, para que se ajustara a los modelos teóricos de acomodación de partículas, además de un correcto diseño de las probetas, para la colocación de las muestras dentro del porosímetro de mercurio. Este poseía filtros de vidrio sinterizado para permitir la intrusión del mercurio en la arena. Como se comprobó que el mejor método de preparación de las muestras para el estudio era el de “llovido a mano”, se trató de corroborar al máximo que las muestras tuvieran la misma densidad y tener este factor como control de la fábrica. Además se realizaron verificaciones de la distribución estimada de tamaños de poros con intrusión de mercurio con las distribuciones estimadas de tamaños de poros a partir de las curvas de retención. En el capítulo 4 se hace un análisis estadístico de toda la información obtenida en laboratorio. Se hace una explicación del fundamento de los modelos basados en la distribución de tamaños de poros, y se sientan las bases de las funciones de densidad de tamaños de poros y de distribución de tamaños de poros. Luego se presenta el análisis de inferencia estadística para determinar las funciones de probabilidad que mejor ajustan las funciones de densidad de tamaño de poros. El capítulo 5 se realiza el análisis de resultados, haciendo una presentación de la distribución de tamaños de poro (PSD) y de los modelos de estimación de la conductividad hidráulica basados en ella, como también un análisis de la influencia de la distribución de tamaño de partículas y de poros en la conductividad hidráulica. También se hace una breve exposición de los modelos de Barrera & Muñoz (2003) y de Niño & Tovar (2003). El capítulo 6 contiene las conclusiones del trabajo y las recomendaciones para continuar con futuras investigaciones, como lo es realizar la ampliación de los modelos de cálculo, para la estimación de la conductividad hidráulica parcialmente saturada.


CAPÍT

ULO

Mod

elo

de C

ondu

ctiv

idad

Hid

rául

ica

en S

uelo

s

La Conductividad Hidráulica y

la Fábrica del Suelo

CONTENIDO

Pág.

2 LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA Y LA FÁBRICA DEL SUELO.............................................................. 13

2.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................. 13 2.2 MEDIO POROSO ................................................................................................................................ 13 2.3 LEY DE DARCY .................................................................................................................................. 15 2.4 CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA Y PERMEABILIDAD....................................................................... 16

2.4.1 Conductividad hidráulica en suelos totalmente saturados .............................................................. 16 2.4.2 Conductividad hidráulica en suelos parcialmente saturados .......................................................... 16

2.5 MÉTODOS DE MEDICIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA................................................. 17 2.6 MODELOS EMPÍRICOS PARA EL CÁLCULO DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA................... 18 2.7 FÁBRICA, ESTRUCTURA Y CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA.......................................................... 21 2.8 TORTUOSIDAD................................................................................................................................... 22 2.9 DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑOS DE POROS....................................................................................... 23 2.10 CONCEPTOS ASOCIADOS AL FLUJO .............................................................................................. 23


C A P Í T U L O 2 LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA Y LA FÁBRICA DEL SUELO

12

FIGURAS

Pág.

Figura 2.1 Detalle de los agregados y partículas (Adaptada de Mitchell, 1992).................................................... 21 Figura 2.2 Grados de Saturación. (Tomado de Bear, 1972) ................................................................................. 26

TABLAS

Pág.

Tabla 2.1 Resumen de los métodos de medición de la Conductividad Hidráulica Saturada (Adaptada de Youngs, 2001) ............................................................................................................................................................. 17

Tabla 2.2 Métodos de medición de la conductividad hidráulica en Suelos Parcialmente Saturados (Adaptado de Dirksen, 2001) ............................................................................................................................................... 18

Tabla 2.3 Criterios y grados de selección de los métodos de medición de los parámetros de transporte de agua en suelos, en orden de adaptación: 5 para el más aceptable y 1 para el menos (Adaptado de Dirksen, 2001) ............................................................................................................................................................. 19

Tabla 2.4 Ecuaciones empíricas para la conductividad hidráulica (Tomada de Barrera & Muñoz, 2003)............. 20 Tabla 2.5 Factor de forma del poro (Tomado de Cook & Hoover, 1993).............................................................. 24 Tabla 2.6 Propiedades representativas de los poros y su relación de tamaño (Adaptado de Marshall, Holmes &

Rose, 1991) ................................................................................................................................................... 25 Tabla 2.7 Relaciones densidad – porosidad (Tomado de Montenegro & Malagón, 1990) ................................... 25

Modelo de Conductividad Hidráulica en Suelos © 2001-2004 – Tesis de Maestría

CAPÍTULO

2 2 LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA Y LA FÁBRICA DEL SUELO

2.1 INTRODUCCIÓN

La conductividad hidráulica es un parámetro importante para la modelación del movimiento de agua en suelos. Esta propiedad física debe conocerse si se quiere solucionar el problema de flujo. Existen diversos métodos para la estimación de la conductividad hidráulica en suelos a partir de su medición in situ y en el laboratorio, sin embargo debido a las variabilidad de los resultados, la dificultad de realización de las pruebas y la incertidumbre que implican las suposiciones de los modelos elegidos, en algunos casos, es conveniente estimar la conductividad hidráulica de los suelos a partir de otros parámetros cuya obtención sea más sencilla.

La incertidumbre de los modelos de estimación tiene su origen en la ignorancia de la geometría detallada de las interfases fluido-sólido, lo que hace que los medios discontinuos sean reemplazados por medios continuos ficticios para así modelarlos matemáticamente. Estos modelos matemáticos pueden ser conceptuales o estadísticos. Una vez se puede modelar la estructura del suelo de alguna manera, es posible determinar valores medios de cualquier variable particular y luego representar correctamente el suelo mediante un Volumen Elemental Representativo (VER).

Este capítulo presenta los fundamentos de estos modelos y la influencia de la estructura y la fábrica en la conductividad hidráulica y la definición de conceptos asociados al flujo en medios porosos.

2.2 MEDIO POROSO

Los suelos constituyen un medio particulado y poroso, el cual se puede definir como un material constituido por una parte sólida o matriz y unos espacios o poros, los cuales pueden ser ocupados por una o varias fases de fluido ya sean liquidas o gaseosas. El líquido que se presenta comúnmente en los poros es el agua, sin embargo existen también múltiples fases liquidas no acuosas como los compuestos orgánicos en aquellos medios contaminados por hidrocarburos. De igual manera el gas más común presente en los poros es el aire, aunque por procesos de contaminación pueden existir otros tipos de gases. Una de las herramientas más poderosas, empleadas en todas las ramas de la física, para la investigación de fenómenos en sistemas complejos, es el modelo conceptual. De acuerdo con esta aproximación, en un fenómeno físico complicado, o sistema, el tratamiento matemático es prácticamente imposible, por lo cual es conveniente hacer suposiciones y simplificaciones que hagan posible el análisis matemático del fenómeno o sistema. Al realizar el análisis de estos sistemas simplificados (ficticios), los resultados encontrados son relaciones matemáticas de varios parámetros estudiados en el fenómeno (Bear, 1972). El modelo conceptual es usado para visualizar los fenómenos que no se pueden observar microscópicamente, pero del que pueden obtenerse mediciones de excitaciones y respuestas a nivel macro.



14 Un modelo, es la representación de un objeto, como por ejemplo, la visualización del medio poroso como sistema de tubos capilares interconectados, o de un proceso, como la interpretación del movimiento de un trazador en un medio poroso, como un conjunto aleatorio tridimensional de partículas. Un modelo conceptual predice el comportamiento con observaciones de un fenómeno. El modelo simplificado falla en proporcionar información adicional, a menos que se refine y se introduzcan suposiciones adicionales (Bear, 1972). Uno de los modelos conceptuales de mayor aceptación es el modelo de flujo en suelos de Bear y Bachmat de 1966 y 1967 (Bear, 1972). Ellos visualizaron el espacio de vacíos de un medio poroso como una red espacial de conductos (canales y tuberías) conectados aleatoriamente, de longitud, sección transversal y orientación variables, y uniones donde al menos tres canales se reúnen. Un canal posee dirección y por lo tanto se define un eje, mientras que la unión no la posee. Las uniones y los canales poseen una distribución espacial más o menos uniforme. La matriz de sólidos se asume como rígida y no interactúa con el llenado de fluidos del espacio vacío. El régimen de flujo válido en este modelo de medio poroso es el laminar, y por lo tanto cada canal se define en el espacio como un tubo de corriente en el cual el patrón de las líneas de corriente es fijo, aunque la dirección de flujo a lo largo de ellos puede que no lo sea. En una unión no hay un patrón fijo de las líneas de corriente. Se asume que el fluido que satura el medio poroso es newtoniano, de temperatura constante, químicamente inactivo e incompresible. Las fuerzas activas son debidas a la presión, la gravedad y el cortante resultante de la viscosidad del fluido. El modelo asume sólo pérdidas de energía mientras el fluido se encuentre en el conducto y no en las uniones, así la red de canales conectados entre sí produce gradientes promedio de presión, de densidad, de viscosidad y de concentración de solutos, en cualquier volumen elemental representativo (VER). Estos gradientes promedio son prácticamente independientes de la geometría de cada canal dentro del VER. De otro modo, las desviaciones locales de los valores medios son mucho más pequeñas que el promedio mismo y dependen fuertemente de la geometría local de la matriz sólida. Para entender mejor el comportamiento del flujo en el suelo, Darcy planteó la ley que rige el movimiento del agua en el suelo, la cual se explica en la siguiente sección. El comportamiento del flujo en cada una de estas zonas tiene propiedades diferentes, lo cual ha generado el desarrollo de teorías para cada caso. Para caracterizar un medio poroso en el cual cada una de sus fases ocupa solo una porción de un determinado volumen es necesario definir el llamado Volumen Elemental Representativo (VER), el cual es un elemento lo suficientemente pequeño como para considerar que las propiedades del medio poroso son constantes en él, pero lo suficientemente grande como para suponer que aún existe medio poroso en él y no únicamente uno de sus componentes (suelo, agua o aire). En conclusión el VER es el volumen más pequeño del material que puede considerase como medio poroso y en el cual tiene sentido definir las características de dicho medio. Cualquier volumen menor al VER analiza solo una de las componentes del medio y por lo tanto no es representativo del mismo. El tamaño del VER se selecciona de tal forma que los valores promedio de todas las características geométricas de la estructura en la fase sólido-vacío en cualquier punto del medio poroso, sean una función única de la localización de ese punto e independiente del tamaño del VER. En este modelo, todas las ecuaciones de conservación (Energía, Masa y Momentum) son válidas para cualquier punto del espacio de vacíos del medio poroso. La utilidad radica en la determinación de los valores medios de los parámetros de flujo de las ecuaciones, los cuales son tomados en el VER del medio poroso. Un valor promedio, ( )g P , en el punto P de alguna propiedad intensiva del fluido, g (cantidad de propiedad por unidad de volumen en el fluido), lo define la [Ec. 2.1]. Esta expresión no es representativa de propiedades extensivas.

( ) ( ) ( )( )

( )0 v P

v0 v

U

1g P g ' dU 'U

⎡ ⎤∆⎣ ⎦

=∆ ∫ x x [Ec. 2.1]



15

Donde ( )0 v PU⎡ ∆⎣ ⎤⎦ es el volumen de espacios vacíos dentro del VER, y tiene centro en el punto P.

2.3 LEY DE DARCY

La ley física que describe el movimiento del agua a través de suelos fue propuesta por Darcy en 1856. Darcy encontró que la velocidad del agua que fluye en un medio poroso es directamente proporcional al gradiente hidráulico causado por el flujo. La forma más general de la ley de Darcy expresa que el agua en un medio poroso, se mueve en dirección contraria al gradiente de energía y a una velocidad h∇ q proporcional al gradiente. El factor de proporcionalidad involucrado se conoce como conductividad hidráulica [K], la cual depende de la naturaleza del medio y de su grado de saturación:

[ ]q K h= − ⋅∇ [Ec. 2.2]

donde, es el vector velocidad de Darcy del líquido. [K] es la conductividad hidráulica; escribiéndose ésta como un tensor de segundo grado para un suelo anisotrópico,

qh es el potencial total del agua en el suelo, que tiene

naturaleza escalar, y es el operador gradiente, que da el carácter vectorial al producto ∇ h∇ . La conductividad hidráulica bajo condiciones saturadas es constante en cada punto bajo una gran cantidad de suposiciones, independientemente de la presión del agua. Sin embargo para condiciones parcialmente saturadas la conductividad hidráulica es variable y depende del contenido de humedad del suelo y en consecuencia de la succión del agua en el suelo. El gradiente de potencial en suelo, h∇ , varía de acuerdo con la zona donde se esté trabajando. En la zona vadosa los principales componentes del potencial total son la carga gravitacional, hg, y la carga matricial, hm, (ignorando las demás componentes de potencial) de manera que la ley de Darcy se expresa en este caso como:

[ ] g mq K (h h= − ⋅∇ + ) [Ec. 2.3]

Un medio poroso es isotrópico si en todos sus VER la conductividad hidráulica es igual en todas las direcciones (Kx= Ky= Kz= K). Adicionalmente, si el suelo no se encuentra saturado, el flujo se encuentra en la zona vadosa, y en esta posición, la conductividad hidráulica depende del contenido de humedad del punto en consideración, θ. La Ley de Darcy se escribe como:

[ ] g mV K( ) (h h= − θ ⋅∇ + ) [Ec. 2.4]

Considerando únicamente flujo unidimensional en dirección Z se tiene que:

mm

hq K( ) (Z h ) K 1Z Z

⎛ ⎞∂∂= − θ ⋅ + = − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

[Ec. 2.5]

A continuación se presenta con más detalle, la conductividad hidráulica y la influencia de la saturación del suelo en ella.



16

2.4 CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA Y PERMEABILIDAD

En apartes anteriores del texto se habló de la constante de proporcionalidad K. Ésta es la conductividad hidráulica, la cual depende de las propiedades del fluido y del medio. La conductividad tiene unidades [L T-1], la cual es equivalente a la movilidad que es definida como la relación entre la permeabilidad, k y la viscosidad cinemática, que tiene unidades [L3 . M-1 . T]. La conductividad hidráulica (K=ρgk/µ) puede ser dividida en dos términos, la fluidez (ρg/µ) y la permeabilidad intrínseca (k). La permeabilidad intrínseca es función de la estructura del poro y su geometría y es una propiedad solamente del medio, con unidades [L2] (Tindall & Kunkel, 1999). En un suelo el agua que ocupa los espacios vacíos generalmente se encuentra distribuida en una serie de zonas verticales de humedad las cuales se denominan de la siguiente manera: Zona Saturada o Zona de Presiones Intersticiales Positivas: Es aquella limitada superiormente por la

superficie freática y en donde el agua llena todos los espacios vacíos o poros existentes en el medio, y se encuentra experimentando presiones positivas en relación con la presión atmosférica.

Zona Parcialmente Saturada o Zona de Presiones Intersticiales Negativas: Está limitada inferiormente por la superficie freática y superiormente por la superficie del terreno, usualmente se le conoce como zona vadosa o zona de aireación y en ella se pueden distinguir tres subzonas: la primera de ellas es la sometida a evapotranspiración la cual esta comprendida entre la superficie del terreno y los extremos radiculares de la vegetación; la segunda es la intermedia que se ubica debajo de la anterior pero que no presenta formaciones radiculares y, la tercera es la capilar en la cual los poros se hallan saturados pero el agua de poros presenta una succión (presión inferior a la atmosférica) por efecto del ascenso capilar desde la zona saturada (cuya superficie se encuentra a presión atmosférica). El límite entre las subzonas capilar e intermedia puede ser o no claramente apreciable dependiendo de las características del suelo.

2.4.1 Conductividad hidráulica en suelos totalmente saturados

El movimiento del agua en el suelo se controla por dos factores: la resistencia de la matriz del suelo para fluir agua, y las fuerzas que actúan en cada elemento o unidad de agua del suelo. La ley de Darcy, la ecuación fundamental que describe el movimiento de agua en el suelo, relaciona la proporción de flujo con estos dos factores. El flujo saturado ocurre cuando la presión del agua de poros es positiva; es decir, cuando el potencial matricial del suelo es el cero. En la mayoría de suelos esta situación tiene lugar cuando aproximadamente el 95% del espacio del poro total está lleno con agua. El restante 5% está lleno con el aire atrapado.

2.4.2 Conductividad hidráulica en suelos parcialmente saturados

Es bien reconocido y confirmado experimentalmente el hecho de que la ley de Darcy es válida para flujo de agua en medios parcialmente saturados siempre y cuando se tenga en cuenta la dependencia de la conductividad hidráulica con el contenido de humedad. Algunos científicos como Childs y Collis – George (Juang & Holtz, 1986) encontraron experimentalmente que el valor de K es función de la humedad volumétrica del suelo, θ. La validez de esta teoría radica en la suposición que el arrastre de fluido en la interfase aire – agua es despreciable. El comportamiento general de la función K(θ) está bien establecido, gracias a investigaciones de Richards, Moore, Childs y Collis-George (Juang & Holtz, 1986) entre otros investigadores en el área de la hidráulica de suelos y extracción de petróleo. Se ha encontrado que K decrece muy rápidamente a medida que el contenido de humedad disminuye respecto al valor de saturación. Algunas de las razones para este comportamiento son las siguientes:



17 La sección transversal disponible para el flujo decrece con θ. Los poros de mayor tamaño son los primeros que se desocupan al disminuir la humedad. El cambio de la

conductividad hidráulica de un medio poroso es directamente proporcional al cuadrado del radio de los poros, mientras que la humedad es proporcional a la primera potencia de dicho radio, por lo que se puede esperar que K decrezca mucho más rápidamente que θ.

A medida que θ decrece, se incrementa la posibilidad de que parte del agua quede atrapada en poros y cuñas aisladas de la red tridimensional general de agua. Una vez la continuidad ha sido rota, no puede haber flujo en fase líquida.

2.5 MÉTODOS DE MEDICIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

La medición de la conductividad hidráulica por cualquier método produce un valor equivalente para cada patrón particular de flujo producido en un suelo uniforme por las condiciones de frontera del método utilizado. Este valor será diferente para cada condición de frontera si los suelos varían espacialmente (Youngs, 2001).

Tabla 2.1 Resumen de los métodos de medición de la Conductividad Hidráulica Saturada (Adaptada de Youngs, 2001)

CLASE DE MÉTODO MÉTODO EQUIPO COMENTARIO

1. Permeámetro de carga constante ES Se usan pequeños núcleos y columnas de suelo

2. Permeámetro de carga variable ES Se usan pequeños núcleos y columnas de suelo Método de Laboratorio en Suelos Saturados

3. Permeámetro oscilante AE Se usan pequeños núcleos y columnas de suelo. Sólo es necesario agregar una pequeña cantidad de agua.

1. Método de Infiltración ES Se usan columnas largas de suelo uniforme Método de Laboratorio en Suelos Parcialmente

Saturados 2. Permeámetro de momento variable AE Se usan columnas cortas de suelo uniforme

1. Hoyo con barrena ES Muestras de suelo bajo el nivel freático

2. Piezométrico ES Muestras de suelo en la vecindad de la base abierta

3. Dos pozos ES Muestras de suelo entre las dos perforaciones

4. Bombeo de pozos EPP Usadas en pruebas de acuíferos a profundidad

Método de campo con nivel freático

5. Drenaje de tierra ES Muestras de suelo entre las líneas de drenaje

1. Permeámetro de hoyo perforado ES Muestras de suelo en la vecindad de la superficie húmeda

2. Inverso del hoyo con barrena ES Muestras de suelo en la vecindad de la superficie húmeda

3. Permeámetro con entrada de aire AE Muestras de suelo dentro del tubo aislado

4. Infiltrómetro de disco ES Muestras de suelo cercana a la superficie

5. Goteo ES Muestras de suelo cercana a la superficie

6. Sorptividad AE Muestras de pequeño volumen (También puede clasificarse como un método de laboratorio con suelos parcialmente saturados)

7. Infiltrómetro de presión AE Usado en muestras de baja permeabilidad (También puede clasificarse como un método de campo con nivel freático)

Método de campo sin nivel freático

8. Infiltrómetro de doble anillo ES Muestras de suelo cercana a la superficie

ES: Equipo simple, usualmente encontrado los laboratorios de suelos o fácilmente fabricable. Los métodos de campo usualmente requieren perforación.

AE: Aparato especial, requiere taller para facilitar su ensamble. EPP: Equipo de perforación de pozos



18 La dependencia del valor equivalente de la conductividad hidráulica de las condiciones de borde de la región de flujo ha sido demostrada ampliamente. Las conductividades hidráulicas obtenidas por métodos que empleen cualquier condición de frontera serán útiles en flujos de agua en suelos uniformes, mientras que la precisión de las mediciones en suelos no uniformes dependerá de la relevancia de la conductividad hidráulica equivalente medida. Es decir que si la medición impone condiciones de borde que producen patrones de flujo diferentes a los de los modelos estudiados, las predicciones tendrán baja precisión, por lo que para aumentar la precisión el patrón de flujo en la medición debe ser lo más cercano posible al problema analizado, ya que las variaciones locales de la conductividad hidráulica producen cambios bruscos en los flujos. La Tabla 2.1 muestra los métodos más conocidos para la medición de la conductividad hidráulica saturada y la Tabla 2.2 los métodos para la medición de la conductividad hidráulica parcialmente saturada. La medición de los parámetros hidráulicos de flujo en suelos es una tarea difícil, la cual absorbe mucho tiempo y esfuerzos. A pesar de que muchos métodos han sido propuestos, ninguno es aproximado para todas las situaciones o propósitos. En general, los métodos de estado estable son más precisos que los métodos de estado transitorio y toman menos tiempo, lo que los hace menos costosos. Además es necesario saber escoger entre los métodos de laboratorio y los de campo. En la Tabla 2.2 se presentan los métodos de medición de la conductividad hidráulica, especificando sus criterios de utilización (5 es mejor y 1 menor adaptación), los cuales son presentados en la Tabla 2.3.

Tabla 2.2 Métodos de medición de la conductividad hidráulica en Suelos Parcialmente Saturados (Adaptado de Dirksen, 2001)

CRITERIO ESTADO UBICACIÓN MÉTODO A B C D E F G H I J K L

LABO

RATO

RIO Carga Controlada

Flujo Controlado Tasa estable (columna larga) Evaporación regulada Flujo de Potencial matricial

5 5 5 5 3

5 5 4 2 3

5 5 4 2 3

3(5) 3(5)

4 3 5

5 5 5 3 3

3 3(4)

2 2 3

2(1) 3(2)

1 2 3

3(2) 3(1)

3 3 4

3(2) 3(2)

3 3 4

4 4(3)

5 4 5

4 4(2)

4 2 5

4 4 4 4 4

ESTA

BLE

CAMP

O Infiltrómetro rociador Columna aislada (corteza) Cavidad esférica Infiltrómetro de tensión de disco

5 5 5

5,3

4 4 4 2

3 3 3 3

2 3 3 5

5 2 3 3

3(4) 2 4 2

2(1) 3 2 4

1 3 4 2

2 3 2 4

1 2 3 3

1 2 4 2

3 3 3 3

LABO

RATO

RIO

Plato de presión Salida de un paso Boltzman (Tiempo fijo) Boltzman (Posición fija) Aire caliente Sorptividad (flujo controlado) Perfil Instantáneo Evaporación de viento

4 4 4 4 4 4 5 5

2 2 4 4 4

4,2 5 3

4 4 5 5 1 5 5 5

5 5 2 2 4 4 2 3

3 3 1 1 1 3 2 4

2 2 5 5 5 5 3 4

2 3 4 5 4 4 2 2

3 3 3 1 4

3(1) 2 2

4 4 4 2 4 3 2 3

3 3 5 4 4 3 2 1

4 4 3 2 3 2 2 4

3 3 3 2 2 4 2 4

TRAN

SITO

RIO

CAMP

O Perfil instantáneo Gradiente unitario, prescrito Gradiente unitario, simple Infiltrómetro rociador

5 5

5,4 5

5 2 1 4

3 3 1 3

2 2 4 2

2 2 2 2

3 3 3 3

2 3 2 2

2 4 4 1

2 2 3 1

2 2 3 1

2 4 4 1

2 2 2 2

2.6 MODELOS EMPÍRICOS PARA EL CÁLCULO DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

Los modelos empíricos son una serie de relaciones potenciales, estrictamente experimentales. Tanto el ajuste de la función de conductividad, como el significado de varias constantes, no poseen una relación estructurada, con la distribución y la geometría del agua en los poros, correspondiente a la curva de retención de humedad. Las ecuaciones más importantes se presentan en la



19 Tabla 2.4. Dependiendo del número de mediciones de la conductividad hidráulica, puede escogerse el tipo de ecuación a utilizar. La predicción de los parámetros de ajuste en cada ecuación depende del número de mediciones; cuando estas exceden el número de parámetros puede lograrse un ajuste de la ecuación por métodos analíticos o numéricos. Cabe anotar, que los modelos exigen la medición directa de la conductividad en laboratorio (Fredlund, Huang y Xing, 1994). Tabla 2.3 Criterios y grados de selección de los métodos de medición de los parámetros de transporte de agua en suelos, en orden de adaptación: 5 para

el más aceptable y 1 para el menos (Adaptado de Dirksen, 2001)

A. Parámetro determinado 5. Conductividad hidráulica 4. Difusividad hidráulica 3. Potencial matricial de flujo 2. Sorptividad 1. Cualquier otra propiedad

B. Base teórica 5. Simple Ley de Darcy o rigurosidad exacta 4. Exacta, o suposiciones menores para simplificar 3. Casi exacta, suposiciones simplificadoras 2. Grandes suposiciones simplificadoras 1. Mínimo sustento teórico

C. Control de las condiciones iniciales o de frontera 5. Exacta, sin requerimientos 4. Indirecta y precisa 3. Aproximada 2. Aproximada parte del tiempo 1. Poco control, si lo hay.

D. Precisión de las mediciones 5. Peso, volumen de agua y tiempo 4. Mediciones directas del contenido de agua 3. Mediciones de la carga de presión 2. Mediciones indirectas calibradas 1. Mediciones aproximadas no calibradas

E. Propagación del error en análisis de datos 5. Cociente simple (Ley de Darcy) 4. Operaciones precisas con datos precisos 3. Operaciones imprecisas con datos precisos 2. Operaciones precisas con datos imprecisos 1. Operaciones imprecisas con datos imprecisos

F. Rango de aplicación 5. Saturación en el punto de marchites (h>-160 m) 4. Rango del tensiómetro (h>-8.5 m) 3. Rango hidrológico (K>0.1 mm/d) 2. Rango húmedo (h>-0.5 m) 1. Rango del psicrómetro (-10 m > h > -160 m)

G. Duración del método 5. 1 hora 4. 1 día 3. 1 semana 2. 1 mes 1. Más de 1 mes

H. Equipo 5. Tradicional de laboratorio de suelos 4. Propósito general, (movible) 3. Fácilmente construible o adquirible 2. Propósito especial (movible) 1. Propósito especial (fabricado a la medida)

I. Habilidad del operador 5. No se requieren habilidades especiales 4. Se requiere alguna práctica 3. Experiencia adecuada en medición general 2. Entrenamiento especial de experimentación 1. Alto grado de especialización

J. Tiempo del operador 5. Poco – operaciones rápidas 4. Operaciones poco elaboradas 3. Repeticiones simples y operaciones rápidas 2. Operaciones elaboradas repetidas 1. Se requiere de un operador continuamente

K. Mediciones simultáneas 5. No hay límite 4. Gran número a costo significante 3. Pequeño número a poco costo 2. Pequeño número a costo substancial 1. No hay potencial

L. Revisión de las mediciones 5. Monitoreo continuo de todos los parámetros 4. Fácil verificación en todo momento 3. Cada verificación requiere esfuerzo 2. Un solo chequeo es el gran esfuerzo 1. La revisión no es posible

La precisión de cualquier método está dada por su base teórica, el control de las condiciones iniciales y de borde, la precisión de medida requerida y la propagación del error.



20

Tabla 2.4 Ecuaciones empíricas para la conductividad hidráulica (Tomada de Barrera & Muñoz, 2003)

AUTOR MODELO

Averjanov (1950) nK = Θ n = 3.5 [Ec. 2.6]

Campbell (1973)

n

ss

K K⎛ ⎞θ

= ⎜ ⎟θ⎝ ⎠ [Ec. 2.7]

Davidson et al (1969) ( )s SK K= ⎡α θ−θ⎣ ⎦exp ⎤ [Ec. 2.8]

Gardner (1958) ( )K = −αψexp [Ec. 2.9]

Gardner (1958) ( )s

n

KK1

=αψ +

[Ec. 2.10]

Richards (1931) nK b= αψ + [Ec. 2.11]

Rijtema (1965)

sK K= para aevψ ≤ ψ

( )aevK = ⎡−α ψ −ψ⎣ ⎦exp ⎤ para aev rψ ≤ ψ ≤ ψ n

or

K K−

⎛ ⎞ψ= ⎜ ⎟ψ⎝ ⎠

para rψ > ψ

[Ec. 2.12]

Wind (1955) nK −= αψ [Ec. 2.13]

Los parámetros dados en las ecuaciones anteriores, se muestran a continuación:

K Conductividad hidráulica en función de ϕ o de θ.

KS Conductividad hidráulica en estado de saturación.

ψ Succión matricial del suelo.

ψaev Succión matricial en el punto de entrada de aire.

N Parámetro de calibración.

Θ Contenido de agua normalizado.

θ Contenido volumétrico de agua.

θS Contenido volumétrico de agua en condición saturada.

α Parámetro de calibración.

B Parámetro de calibración.

Ko Conductividad hidráulica en el punto de contenido residual de agua.

ψr Succión matricial en el punto contenido residual de agua.



21

2.7 FÁBRICA, ESTRUCTURA Y CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

Los términos fábrica y estructura son a menudo confundidos, por lo que a continuación se dará una definición de cada uno. La fábrica se define como la constitución física de un material de suelo expresada por el arreglo espacial de las partículas y vacíos asociados. Es decir, la fábrica se refiere a la organización total del suelo, expresada por la disposición espacial de los constituyentes del mismo y los arreglos geométricos de las partículas minerales constituyentes incluyendo el espacio de vacíos (Yong & Warkentin, 1975). La estructura de un suelo se refiere a las unidades componentes de partículas primarias. La cohesión1 o atracción molecular que está dentro de estas unidades es más grande que la adhesión2 o tensión superficial. La constitución física del material de un suelo es expresada por el tamaño, la forma y el arreglo de las partículas sólidas y los vacíos, incluyendo las partículas primarias, para formar partículas compuestas. La estructura de un suelo describe la gradación y el arreglo de partículas de suelo, la porosidad y la distribución de tamaños de poros, los agentes ligantes, y la interacción específica desarrolladas entre partículas a través de fuerzas eléctricas asociadas (Yong & Warkentin, 1975). La relación de vacíos total de un suelo tiene dos componentes [Ec. 2.14]: una de agregados (clusters) y otra de partículas. La primera es definida por la microfábrica y la segunda por la minifábrica, la cual es definida por la unión de agregados. La Figura 2.1 detalla los agreagados y las partículas. La microfábrica es la agregación regular de partículas y poros muy pequeños, en la cual no hay presencia de flujo, y la minifábrica contiene interagregaciones y poros interensamblados entre ellos; estos poros tienen diámetros de décimas de micra, donde el flujo es mucho mayor que en los poros interagregados. En la macrofábrica existen fisuras, laminaciones y hoyos de raíces. Estos son los poros transensablados, en los cuales la tasa de flujo es más grande que en los poros pequeños. El flujo de los fluidos está definido a través de los poros interagregados. El tamaño del agregado depende de la mineralogía, composición del fluido de poros y los procesos de formación.

TOTAL AGREGADOS PARTÍCULASe e e= + [Ec. 2.14]

Figura 2.1 Detalle de los agregados y partículas (Adaptada de Mitchell, 1992)

Enjambres

La fábrica de un suelo varía con la compactación del suelo, es decir es directamente influenciado por el contenido de humedad y la densidad. En conclusión, la permeabilidad y por ende la conductividad hidráulica se ve afectada por tres factores: la geometría de la red de poros, las propiedades del fluido y la interacción superficial entre fluido y medio poroso (Mitchell, 1992). 1 La cohesión aparente en suelos húmedos tiene lugar entre las moléculas de la fase líquida, las cuales actúan como puente entre partículas adyacentes de suelo (Montenegro & Malagón, 1990). 2 La adhesión actúa como una fuerza de atracción molecular entre la fase líquida y la superficie de la fase sólida. La estructura del suelo resulta de la variación entre estas fuerzas dentro de la masa del mismo (Montenegro & Malagón, 1990).

Partículas

EnjambresAgregados

Partículas



22

2.8 TORTUOSIDAD

El flujo en los poros del suelo no sigue un camino recto y parejo. El agua se mueve alrededor de partículas individuales y de poros de diferentes tamaños dentro del medio poroso, resultando un patrón mucho más largo que una línea recta. Los efectos de este camino meándrico en la permeabilidad del suelo puede ser tenidos en cuenta por la tortuosidad. Carman en 1937 (Bear, 1972) propuso un factor de tortuosidad, cuando estudiaba las relaciones entre la velocidad media en un tubo capilar tortuoso y uno recto (línea recta que separa el inicio y el final del mismo tubo capilar tortuoso), y la diferencia de carga piezométrica entre el inicio y el final del tubo. Él hizo el análisis teniendo en cuenta dos efectos, el de la velocidad y el de la fuerza del movimiento. A continuación se detallan estos dos fenómenos Efecto en la velocidad: Si la dirección de la línea recta de longitud L, la cual conecta los extremos del tubo

tortuoso de longitud Le, está definida en la dirección s, y la proyección en la misma dirección s de la velocidad media en el tubo, V, es us, se puede definir la velocidad media tangencial a la dirección de flujo mediante la [Ec. 2.15].

se

Lu vL

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ [Ec. 2.15]

Efecto en la fuerza del movimiento: Si sh∇ es el vector absoluto de la componente en la dirección s, del

gradiente hidráulico medio, el cual actúa como la fuerza de movimiento en el medio poroso, se plantea la [Ec. 2.16].

es

e

LhhL L∆

∇ = [Ec. 2.16]

Extendiendo los dos anteriores conceptos y utilizando la Ley de Poiseuille para flujo en tubos no circulares [Ec. 2.17], Carman planteó la ecuación de la velocidad media tangencial como lo describe la [Ec. 2.18].

2H

e

R g hVm Lρ ∇

=µ

[Ec. 2.17]

Donde RH es el radio hidráulico medio y m es el factor de forma de los poros.

22 H2

He

s

R g TLR g mLu h

m

⎛ ⎞ρ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ρ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ∇ =µ µ

h∇ [Ec. 2.18]

De esta última expresión se entiende que Carman definió la tortuosidad del medio poroso como 2

e

LT 1L⎛ ⎞= <⎜ ⎟⎝ ⎠

y no como la relación L/Le, como es definida por otros autores, ya que esta última representa el promedio del coseno del ángulo entre la dirección del eje del tubo de flujo y la dirección principal analizada. La tortuosidad es un factor que afecta la conectividad de los poros y por lo tanto presentará una alta influencia en los modelos de estimación de la conductividad hidráulica.



23

2.9 DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑOS DE POROS

Una forma de definir la distribución de tamaños de poros es por la determinación del diámetro del poro, X, en un punto dentro del espacio de poros de un medio poroso, que se define como el diámetro de la esfera más grande que sea contenida en este punto. Así, asignando un diámetro de poro a cada punto del espacio de poros, una distribución de tamaños de poros puede ser definida por determinación de una fracción, f(x), del volumen total de vacíos Vv, que tiene un diámetro de poros entre X y X+dX, (Scheidegger, 1960). Para esta distribución:

0

f(x)dx 1∞

=∫ [Ec. 2.19]

Dado que una simple dimensión como la longitud no puede ser empleada para describir el tamaño o la forma geométrica de los poros, algunas veces es conveniente visualizarlos como tubos capilares circulares cortos. Con la presión requerida para forzar un líquido que no moja al sólido (Ej. Mercurio) dentro de los poros puede determinarse el diámetro de los mismos, X. Si la presión capilar Pc, requerida para forzar al fluido que no moja los sólidos alrededor del poro es determinada a partir de la siguiente relación:

( )c w nwP h= γ − γ [Ec. 2.20]

Donde γw es el peso específico del fluido que moja el esqueleto del medio poroso, γnw es el peso específico del fluido que no moja y h la carga de presión generada, el diámetro de los poros, δ, puede calcularse mediante la ecuación de Washburn (Washburn, 1921):

c

FT cosXP

θ= [Ec. 2.21]

Donde T es la tensión superficial del líquido que no moja los granos de suelo, θ es el ángulo de contacto entre el líquido que no moja y las paredes del poro, F es el factor de forma del poro, el cual se define en la Tabla 2.5. La tensión superficial del mercurio es de 0.48 J/m2, a una temperatura de 20 °C. Ritter y Drake en 1945 introdujeron la función de distribución de tamaños de poros D(X) definida como (Bear, 1972):

( ) ( )vc

c

d V V2PD XX dP

−= [Ec. 2.22]

Donde V es el volumen del fluido inyectado y Vv es el volumen total de poros.

2.10 CONCEPTOS ASOCIADOS AL FLUJO

Los siguientes conceptos permitirán conceptuar el comportamiento del flujo en un medio total o parcialmente saturado y por lo tanto constituyen en parte los parámetros que caracterizan el mismo (Cabrera & Carvajal, 1998). Estos conceptos son el fundamento de muchos modelos de estimación y de medición de la conductividad hidráulica.



24

Tabla 2.5 Factor de forma del poro (Tomado de Cook & Hoover, 1993)

RELACIÓN H:V FORMA FACTOR DE FORMA

1:1

1.5:1

2:1

4:1

8:1

16:1

Paralelo

4.00

3.37

3.08

2.73

2.61

2.56

2.00

Relación de Vacíos: La relación de vacíos, e, es definida como la proporción entre el volumen de vacíos y

el volumen de sólidos. Esta es expresada como: Volumen de poros en el VERe

Volumen de sólidos en el VER= [Ec. 2.23]

Porosidad: La porosidad n se define como la relación entre el volumen de poros y el volumen total del

medio poroso: Volumen de poros en el VERn

Volumen total del VER= [Ec. 2.24]

Pueden considerarse dos tipos de porosidad: la macro y la microporosidad. La primera corresponde al porcentaje del volumen de poros ocupados por la fase gaseosa cuando el suelo se encuentra a capacidad de campo3; involucra los poros grandes (>30 µm) y está asociada a los procesos de aireación y de infiltración en el suelo. Los macroporos o poros no capilares han sido clasificados en cuatro grupos morfológicos: poros formados por la fauna del suelo, poros formados por raíces de plantas, grietas y fisuras, y conductos naturales del suelo. Típicamente los macroporos constituyen entre el 0.001 y el 0.05% del total del volumen del suelo (Tindall & Kunkel, 1999). Además no hay duda de que bajo condiciones saturadas el agua se mueve por los grandes poros, dado que el agua a través de los macroporos encontrará menor resistencia viscosa porque los macroporos tienen grandes conductividades. La microporosidad involucra los poros pequeños (<30 µm) y está asociada a los fenómenos de conducción, almacenamiento y retención del agua por encima del nivel freático. En los suelos la forma y tamaño de las partículas varían considerablemente formando espacios porosos igualmente irregulares, en consecuencia el valor de la porosidad de un material depende de la forma y organización de sus partículas. La Tabla 2.6 amplía la ilustración acerca de los intervalos de tamaños de los poros, y sus funciones dentro del suelo.

Contenido de humedad: Ya que en un medio poroso parcialmente saturado el espacio vacío del material está parcialmente lleno de agua y parcialmente lleno de aire, se hace necesario definir la cantidad relativa de agua en él. El contenido de humedad relaciona la cantidad de agua presente en un VER con el tamaño total del VER de dos maneras:

3 El concepto se introdujo por Israelsen y West, 1922, para designar el contenido en humedad de un suelo sometido a drenaje libre (después de un riego intenso o fuertes lluvias) durante 48 horas. La capacidad de campo se ha relacionado con la retención de humedad a un determinado potencial matricial, a menudo de 0,33 bar (33 kPa) en suelos de textura fina y de 0,1 bar (10 kPa) en suelos de textura gruesa.



25

wv

wm

Vol de Agua en el VERVol Total del VER

yMasa de Agua en el VER

Masa de Solidos en el VER

θ =

θ =

[Ec. 2.25]

Donde: θwv: Contenido de humedad volumétrico (cm3/cm3) θwm: Contenido de humedad gravimétrico (kg3/kg3) El contenido de humedad volumétrico y el contenido de humedad gravimétrico se relacionan de la siguiente manera:

awv vm

w

ρθ = θ ⋅

ρ [Ec. 2.26]

Donde ρw es la densidad del agua y ρa es la densidad aparente (La Tabla 2.7 muestra relaciones existentes entre la densidad de un material y su porosidad total) que está definida como:

aMasa de Solidos en el VER

Volumen total del VERρ = [Ec. 2.27]

Tabla 2.6 Propiedades representativas de los poros y su relación de tamaño (Adaptado de Marshall, Holmes & Rose, 1991)

TIPO TAMAÑO DESCRIPCIÓN RELACIÓN CON EL AGUA

Macroporos 1 mm a 10 mm Fisuras, túneles, y espacios entre terrones

Transmiten agua libremente, pero sólo si el suelo está saturado. No son conductantes si ψ > -0.3 kPa.

Poros de transmisión 30 µm a < 1mm

Poros entre agregados y dentro de ellos, especialmente en las interfases de pequeñas unidades. Poros entre partículas y suelos arenosos.

Transmiten agua durante la infiltración y son drenados a capacidad de campo, si ψ=-1.5 kPa.

Poros de almacenamiento 200 nm a < 30 µm Principalmente, poros entre los

agregados

El agua retenida por estos poros está disponible para plantas si ψ=-1.5 kPa., en un nivel más bajo de disponibilidad.

Poros complejos de arcillas 1nm a < 200 nm

Poros de arcillas complejas, incluyendo aquellos entre los dominios y <10 nm.

Los poros cambian de tamaño a medida que el suelo cambia de contenido de agua. Si la arcilla es lo suficientemente reactiva, el volumen bulk del suelo también cambia.

ψ es el potencial matricial.

Tabla 2.7 Relaciones densidad – porosidad (Tomado de Montenegro & Malagón, 1990)

DENSIDAD [Mg/m3]

POROSIDAD TOTAL [%]

< 1.0 1.0 – 1.2 1.2 – 1.4 1.4 – 1.6 1.6 – 1.8

> 1.8

> 63 55 – 62 47 – 54 40 – 46 32 – 39

< 31



26

Existen dos conceptos importantes asociados al contenido de humedad de un suelo los cuales son Capacidad de Campo (CC) y Punto de Marchitez Permanente4 (PMP). La CC se define como el contenido de agua del suelo que se permite drenar libremente por dos días desde la saturación con perdidas despreciables por la evaporación (Townend, Reevé & Carter, 2001), en otro sentido es el contenido mínimo de humedad al que puede llegar un suelo por efecto de drenaje únicamente (es decir si no se presentaran fenómenos de evapotranspiración). El PMP se define como el contenido de humedad por debajo del cual las plantas ya no pueden extraer agua del suelo; se le llama también límite inferior de agua disponible. La capacidad de campo es propiedad del suelo, mientras que el PMP es además función del tipo de vegetación.

Saturación: La saturación de un medio poroso hace referencia al porcentaje de espacios vacíos que están

ocupados por agua en un VER, se define de la siguiente manera:

eVol de Agua en el VERS

Vol de Vacios en el VER= [Ec. 2.28]

Donde Se es el grado de saturación efectivo (m3/m3) Se dice que el medio está saturado en determinado punto cuando su saturación efectiva es del 100%, es decir, cuando el VER correspondiente a las coordenadas de ese punto tiene sus poros totalmente llenos de la fase liquida. Los distintos grados de saturación de un medio poroso determinan la existencia o no del flujo; tal como se ilustra en la Figura 2.2a, para un estado de baja saturación el agua forma los llamados meniscos alrededor de los puntos de contacto de los granos y la interfase líquido-gas toma la forma de una silla de montar; en este punto los meniscos se hallan aislados uno del otro y no existe una fase liquida continua. Al incrementarse la humedad (Figura 2.2b) los meniscos se expanden hasta alcanzar la saturación de equilibrio en la cual ambas fases (liquida y gaseosa) son continuas. Si se continúa incrementando la humedad se llega a la saturación funicular en la cual comienza el flujo de agua. Finalmente en la Figura 2.2c se presenta una situación en la cual la fase gaseosa deja de ser continua y se rompe en burbujas que escapan hacia otros poros más grandes; se dice entonces que el aire está en saturación insular. Si toda la fase gaseosa desaparece se tendrá entonces un estado de saturación completa (Bear, 1972).

Figura 2.2 Grados de Saturación. (Tomado de Bear, 1972)

4 Se puede determinar mediante membrana de Richard relacionándolo con el contenido en humedad a un potencial matricial de 15 bar (1500 kPa). Pues se ha comprobado que el contenido de humedad de un suelo a una succión matricial de 1500 kPa se encuentra dentro del intervalo en el que una gran parte de las plantas se marchitan.



27 Tensión Superficial: Cuando dos fluidos diferentes e inmiscibles se ponen en contacto se origina un

esfuerzo en la interfase debido al desbalance dinámico que se presenta entre las fuerzas de cohesión de las moléculas en el interior de cada fluido y las localizadas en la superficie de contacto. Dicho esfuerzo superficial recibe el nombre de tensión superficial cuando se presenta en una interfase líquido-gas, o tensión interfacial cuando se trata de una interfase líquido-líquido. El principio de mínima energía explica que una masa de líquido en contacto con otro en el cual es inmiscible, tienda a formar la mínima superficie de contacto (esférica) y en consecuencia la mínima tensión superficial, tal como sucede con una gota de aceite en agua. La tensión superficial y sus efectos dependen principalmente de la naturaleza de los fluidos, de la temperatura y de la presencia de posibles sustancias químicas disueltas en los fluidos (Bear, 1972).

Presión Capilar: Cuando dos fluidos inmiscibles están en contacto, se genera una diferencia de presión a

través de la interfase que los separa como consecuencia de la tensión superficial que se genera entre las dos fases en contacto; dicha diferencia de presión es la llamada presión capilar pc. En un sistema de dos fases la presión capilar es la diferencia de presión entre el fluido que “moja” y el que “no moja”. La presión capilar es una medida de la tendencia que tiene un medio poroso parcialmente saturado a succionar el agua. Un valor negativo de pc recibe el nombre de succión o tensión (carga de presión negativa). Asumiendo que el aire en los poros se halla a presión atmosférica, el agua en los poros estará a presión inferior a la atmosférica (succión). Generalmente se usa el término de carga de presión para denotar presiones superiores a la atmosférica y succión para presiones negativas.

Difusividad Hidráulica: Es la relación entre la conductividad hidráulica parcialmente saturada y la

capacidad de humedad específica, y matemáticamente representa el inverso de la pendiente de la curva de retención, en un determinado contenido de humedad. En suelos homogéneos en los cuales, la histéresis puede ser despreciada o el flujo de humedecimiento o secado es un proceso monótono, es decir que h(θ) es una función de un solo valor, y si además se considera el flujo horizontal en dirección x, despreciando el efecto de la gravedad, la Ley de Darcy se puede expresar como:

( )q Dx∂θ

= θ∂

para ( ) ( ) dhD Kd

θ = θθ

[ Ec. 2.29]

Donde D(θ) es la función de difusividad hidráulica con unidades [L T-2]. Esto implica que el gradiente del contenido de agua puede ser definido como la fuerza que provoca el movimiento del agua, análogo a un proceso de difusión (Dirksen, 2001). La fuerza que realmente causa el movimiento del agua es el gradiente de la carga de presión, por lo tanto la función de difusividad es diferente para secado y para humectación.

Flujo de potencial matricial: El movimiento del agua en el suelo es una respuesta a gradientes del potencial de presión que puede ser descrito en términos del potencial matricial de flujo [Ec. 2.30].

( ) ( )h

0

K h dh D dθ

−∞

φ = = θ θ∫ ∫ donde qz∂φ

=∂

[Ec. 2.30]

El potencial matricial, φ, [LT] integra coeficientes de transporte y fuerzas de movimiento. En suelos homogéneos sin histéresis, la densidad del flujo de agua horizontal es simplemente igual al gradiente de φ. Esta formulación del movimiento (en dirección z) del agua ofrece distintas ventajas en ciertas situaciones, especialmente en la simulación del movimiento de agua bajo gradientes potenciales muy altos.

Sorptividad: Es una propiedad integral del agua en el suelo que contiene información de las propiedades hidráulicas, conductividad y difusividad hidráulica, las cuales pueden ser derivadas matemáticamente



28

(Dirksen, 2001). Generalmente la sorptividad puede ser medida más precisamente o más fácilmente que las propiedades hidráulicas. Esto permite un cálculo indirecto de K(θ) y de D(θ). En el caso de absorción en una dimensión (gravedad despreciable), iniciando en el tiempo t = 0, por una función de paso se incrementa el contenido de agua de θ0 a θ1 en la superficie del suelo, x=0. Esta función se representa por:

( ) 12

1 0I S , t= θ θ ⋅ [Ec. 2.31]

Donde I es la cantidad de agua absorbida [L] en un tiempo dado t, y la sorptividad S [L T-½] es una propiedad del suelo que depende del contenido inicial y final de agua, usualmente saturación. La sorptividad saturada caracteriza infiltración de un charco a pequeños tiempos.


CAPÍT

ULO

M

odel

o de

Con

duct

ivid

ad H

idrá

ulic

a en

Sue

los

Selección de Material & Experimentación

CONTENIDO

Pág.

SELECCIÓN DE MATERIAL & EXPERIMENTACIÓN ........................................................................................... 34 3.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................. 34 3.2 PROPIEDADES DEL SUELO.............................................................................................................. 34

3.2.1 Distribución de tamaños de partículas ............................................................................................ 35 3.2.2 Gradación ....................................................................................................................................... 36 3.2.3 Límites de Atterberg........................................................................................................................ 36

3.3 SELECCIÓN DEL MATERIAL ............................................................................................................. 36 3.3.1 Otros Arreglos................................................................................................................................. 37 3.3.2 Contenido de Arcilla ........................................................................................................................ 38

3.4 MATERIAL SELECCIONADO ............................................................................................................. 41 3.5 PROGRAMA EXPERIMENTAL ........................................................................................................... 42 3.6 EQUIPO............................................................................................................................................... 44 3.7 PROCEDIMIENTOS Y RESULTADOS ............................................................................................... 45

3.7.1 Conductividad Hidráulica Saturada................................................................................................. 45 3.7.2 Determinación de las curvas de retención de humedad en laboratorio .......................................... 46 3.7.3 Porosimetría.................................................................................................................................... 49 3.7.4 Resultados de las porosimetrías..................................................................................................... 50 3.7.5 Determinación de los poros del suelo, fuera del rango de MIP....................................................... 54 3.7.6 Distribución de tamaños de poros, a partir de las curvas de retención de agua............................. 57

3.8 GEOMETRÍA FRACTAL...................................................................................................................... 64 3.8.1 Microfotografías de secciones delgadas......................................................................................... 64 3.8.2 Geometría fractal y dimensión fractal ............................................................................................. 65

FOTOGRAFÍAS

Pág.

Fotografía 3.1 Probeta para ensayos de muestras de arenas limpias................................................................... 43 Fotografía 3.2 Instalación del Porosímetro de Mercurio “Quantachrome Autoscan 500” ...................................... 45 Fotografía 3.3 Portamuestras de 6 cm3 ................................................................................................................. 45 Fotografía 3.4 Proceso de saturación de las muestras mediante la aplicación de carga constante (Tomado de

Barrera & Muñoz, 2003)................................................................................................................................. 47 Fotografía 3.5 Ollas de presión (Laboratorio de Física de Suelos, Ingeniería Agrícola, Universidad Nacional de

Colombia)....................................................................................................................................................... 47 Fotografía 3.6 Mesa de Succión (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003)................................................................. 48 Fotografía 3.7 Fotografía a 40X de lámina delgada para AFU (Sin escala) (Adaptado de Niño & Tovar, 2003) ... 64Fotografía 3.8 Fotografía a 100X de lámina delgada para AFU (Sin Escala) (Adaptado de Niño & Tovar, 2003) 64Fotografía 3.9 Fotografía a 20X de lámina delgada para AMU (Sin Escala) (Adaptado de Niño & Tovar, 2003).. 65Fotografía 3.10 Fotografía a 20X de lámina delgada para ADG (Sin escala) (Adaptado de Niño & Tovar, 2003) 65


C A P Í T U L O 3 SELECCIÓN DE MATERIAL Y EXPERIMENTACIÓN

32



33

FIGURAS

Pág.

Figura 2.1 Clasificaciones de suelos más usadas (Adaptado de Bear, 1972) ....................................................... 35 Figura 3.2 Arreglos supuestos de partículas uniformes......................................................................................... 37 Figura 3.3 Estructuras típicas de medios porosos (Adaptado de Bear, 1972)....................................................... 38 Figura 3.4 Efectos del ordenamiento de partículas en la porosidad (Adaptado de Bear, 1972) ............................ 38 Figura 3.5 Diagrama de fase para un suelo saturado, mezcla de arcillas y granos (Adaptada de Mitchell, 1992) 40Figura 3.6 Relaciones entre el contenido de humedad y la cantidad de arcilla requerida para llenar los vacíos en

suelos granulares........................................................................................................................................... 40 Figura 3.7 Distribución de tamaños de partículas de los suelos seleccionados .................................................... 41 Figura 3.8 Relaciones del contenido máximo de caolín en los suelos estudiados ................................................ 44 Figura 3.9 Esquema de la saturación de las muestras mediante carga constante (Tomado de Barrera & Muñoz,

2003) .............................................................................................................................................................. 47 Figura 3.10 Curva de Retención de Agua para las arenas estudiadas (Adaptado de Barrera & Muñoz, 2003) .... 48 Figura 3.11 Distribución de tamaños de poros, PSD, para AFU............................................................................ 51 Figura 3.12 Distribución de tamaños de poros, PSD, para AMU........................................................................... 52 Figura 3.13 Distribución de tamaños de poros, PSD, para ADG ........................................................................... 53 Figura 3.14 Relaciones entre los volúmenes de sólidos, y poros y el portamuestras (Adaptado de Colmenares,

2001) .............................................................................................................................................................. 55 Figura 3.15 Distribución de tamaños de poros a partir de MIP (Porosímetro de Intrusión de Mercurio) .............. 63 Figura 3.16 Distribución de tamaños de poros a partir de CRA (Curvas de Retención de Agua).......................... 63

TABLAS

Pág.

Tabla 3.1 Valores típicos de porosidad (Adaptado de Bear, 1972) ....................................................................... 37 Tabla 3.2 Distribución de tamaños de partículas de los suelos seleccionados ..................................................... 41 Tabla 3.3 Resumen de propiedades estudiadas para el diseño experimental....................................................... 42 Tabla 3.4 Definición del contenido máximo de caolín............................................................................................ 43 Tabla 3.5 Humedades máximas para los contenidos de caolín definidos ............................................................. 44 Tabla 3.6 Conductividad hidráulica saturada calculada por dos métodos (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003). 46Tabla 3.7 Datos para el cálculo de la humedad saturada con el método directo (Tomado de Barrera & Muñoz,

2003) .............................................................................................................................................................. 47 Tabla 3.8 Contenido volumétrico de agua de las arenas del estudio (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003) ......... 48 Tabla 3.9 Datos característicos de las curvas de retención (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003) ....................... 49 Tabla 3.10 Clasificación de los poros (Tomado de Montenegro & Malagón, 1990)............................................... 49 Tabla 3.11 Resumen de los ensayos realizados ................................................................................................... 54 Tabla 3.12 Tamaños de poros esperados según arreglos teóricos ...................................................................... 54 Tabla 3.13 Resumen de estadísticas de las pruebas de MIP (Parte 1) ................................................................. 58 Tabla 3.14 Cálculo de la porosidad no intruida (Parte 1)....................................................................................... 60 Tabla 3.15 Valores de dimensión fractal de poros de los suelos estudiados (Adaptado de Niño & Tovar, 2003) . 66


CAPÍTULO

3 SELECCIÓN DE MATERIAL & EXPERIMENTACIÓN

3.1 INTRODUCCIÓN

Muchos investigadores han explorado la posibilidad de la predicción de la conductividad hidráulica en suelos y otros medios porosos usando la distribución de tamaños de poros. Tales predicciones son de interés porque la función de conductividad hidráulica K(θ), es relativamente difícil de medir, mientras que la distribución de tamaños de poros (PSD) es fácilmente obtenible.

El problema expresado en anteriores investigaciones radica en la dificultad del cálculo y la medición de la conductividad hidráulica en suelo, por ello el presente proyecto pretende hacer el planteamiento de un modelo matemático para determinar la conductividad hidráulica. Éste es fundamental en el estudio del flujo en medios porosos, el cual es de vital trascendencia para el estudio de transporte de contaminantes en las aguas subterráneas, así como en la mecánica de suelos.

Para poder determinar el modelo fue necesario realizar pruebas en suelos fabricados, para poder tener un control óptimo de los resultados. Una parte fundamental para el desarrollo del proyecto fue el diseño experimental, donde se determinó la cantidad de pruebas a realizar. Paralelamente se llevaron a cabo mediciones tradicionales de la curva de retención de los suelos estudiados en el proyecto “Análisis de la influencia de la distribución de tamaño de partículas en la conductividad hidráulica de arenas limpias”, desarrollado por Barrera & Muñoz (2003) y se obtuvieron microfotografías de secciones delgadas de los suelos estudiados en el proyecto “Aplicación de la Geometría Fractal en el análisis de la conductividad hidráulica de suelos granulares”, realizado por Niño & Tovar (2003).

Este capítulo presenta el procedimiento utilizado para la selección de los suelos experimentales empleados. Además se exponen algunas de las propiedades básicas de suelos, que fueron controladas para mantener la reproducibilidad de las muestras teniendo en cuenta la facilidad de preparación, para llegar a una adecuada selección del material y así determinar el programa experimental seguido.

3.2 PROPIEDADES DEL SUELO

Los suelos en ingeniería son definidos como un conjunto discontinuo de partículas discretas, orgánicas o inorgánicas, que constituyen un sistema de varias fases (Lambe & Whitman, 1996). Una fase es una parte de un sistema, uniforme en su totalidad, incluidas sus propiedades físicas y composición química. Cada fase está separada de otras partes homogéneas del sistema por superficies de frontera. (Tindall & Kunkel, 1999). Los suelos son un sistema compuesto por tres fases: sólida, líquida y gaseosa. La fase sólida está compuesta de minerales y materia orgánica, los cuales conforman la matriz del suelo; la fase líquida está compuesta de agua y sustancias disueltas; y la fase gaseosa está compuesta por diversos gases en equilibrio dinámico. Cualquiera de estas tres fases puede ser homogénea o heterogénea. Si la composición química dentro de la fase no varía de un lugar a otro se dice que la fase es homogénea, si hay variación se dice que es heterogénea; es decir que



35 una fase puede ser físicamente homogénea pero químicamente heterogénea o viceversa (Tindall & Kunkel, 1999).

Dentro del sistema del suelo, las interfaces entre sólidos, líquidos y gases, están cambiando continuamente, resultando en grandes interacciones de adsorción, intercambio iónico, desplazamiento, tensión superficial, y fricción entre cada fase o combinación de estas (Tindall & Kunkel, 1999). Es importante resaltar que la fase sólida de los suelos es relativamente estable físicamente en comparación con las otras dos fases, las cuales son muy dinámicas (presentan variaciones), dado que sus propiedades son poco variables con temperatura y humedad del suelo. En esta sección se definen claramente las propiedades asociadas al suelo.

3.2.1 Distribución de tamaños de partículas

Las partículas individuales que hacen parte de la fase sólida del suelo pueden dividirse arbitrariamente en dos clases de acuerdo a sí su tamaño es menor o no que a un valor determinado. La fracción fina incluye minerales arcillosos, física y químicamente reactivos, los cuales han sido formados por productos secundarios de procesos de sedimentación (Marshall, Holmes & Rose, 1996). La fracción no arcillosa consiste de material no inerte y fragmentos de roca, y está dividido en limos, arenas y gravas, según límites de tamaños que varían entre diferentes escalas, como lo muestra la Figura 3.1.

GruesasClasificaciónMIT & BSI

CalsificaciónUSBS & USPRA

CalsificaciónISSS

Clasificación USDA

0.0020.020.2

Finas

Gruesas

0.25

2

0.0050.062

0.0020.052

0.0020.0060.020.060.20.62

Finas

Gruesas

Arenas

Arenas

Limos

Limos

LimosArenas

Gravas

Gravas

Gravas

Tamiz No.

Tamaño de la apertura [mm]

Diámetro [mm]

FinasMediasGruesasFinasGruesas Medias

0.0740.1690.2970.591.192.384.76

20010050301684

LimosArenasGravas

-21010 -1010110

0.00020.0006

Arcillas

Arcillas

Arcillas

FinasMediasArcillas

-310 10 -4

ClasificaciónISSS

ClasificaciónUSBS & USPRA

GruesasClasificaciónMIT & BSI

CalsificaciónUSBS & USPRA

CalsificaciónISSS

Clasificación USDA

0.0020.020.2

Finas

Gruesas

0.25

2

0.0050.062

0.0020.052

0.0020.0060.020.060.20.62

Finas

Gruesas

Arenas

Arenas

Limos

Limos

LimosArenas

Gravas

Gravas

Gravas

Tamiz No.

Tamaño de la apertura [mm]

Diámetro [mm]

FinasMediasGruesasFinasGruesas Medias

0.0740.1690.2970.591.192.384.76

20010050301684

LimosArenasGravas

-21010 -1010110

0.00020.0006

Arcillas

Arcillas

Arcillas

FinasMediasArcillas

-310 10 -4

ClasificaciónISSS

ClasificaciónUSBS & USPRA

MIT: Massachusetts Institute of Technology BSI: British Standards Institute USDA: U.S. Department of Agriculture

USBS: U.S. Bureau of Soils USPRA: U.S. Public Road Administration ISSS: International Soil Science Society

Figura 3.1 Clasificaciones de suelos más usadas (Adaptado de Bear, 1972)

Los materiales granulares como los suelos son descritos por su distribución de tamaños de partículas. El tamaño de partícula a excepción de esferas y cubos no puede ser definido por una simple dimensión longitudinal. Los dos métodos principales para determinarlo son el tamizado, para partículas gruesas (gravas y arenas) y la hidrometría para partículas finas (limos y arcillas). Existen otros métodos que incluyen medición directa con



36

microscopio, regla o calibrador, elutriación1, interacción con radiación electromagnética (luz, láser, rayos x o neutrones), propiedades eléctricas, propiedades ópticas, absorción de gas y permeablidad (Loveland & Whallet, 2001). Además los suelos se clasifican de acuerdo a su comportamiento ingenieril, según diversos sistemas de clasificación. Los sistemas más usados son el Unified Soil Classification System (USCS) y el de la American Association of State Highway and Transportation Officials (AASHTO). Ambos se basan en la distribución granulométrica del suelo (tamaño del grano y gradación) y además, para el caso de suelos finos, sus condiciones de plasticidad, a través de los Límites de Atterberg.

3.2.2 Gradación

Un suelo es bien gradado cuando hay una buena distribución y representación de los distintos tamaños de grano (mal seleccionado). Un suelo es pobremente gradado cuando hay concentración de un tamaño de grano (bien seleccionado) o ausencia de un rango de tamaño intermedio. Para determinar la uniformidad del suelo se determinan el coeficiente de uniformidad del suelo, CU, y el coeficiente de gradación, CG, los cuales se definen en la [Ec. 3.1], con base en la curva granulométrica del material. Si un suelo cumple con las condiciones 3.1, se dice que es uniforme o bien gradado.

6D10D60CU >= y ( ) 3

D60D10D30C1

2

G ≤×

=≤ [Ec. 3.1]

Donde CU es el coeficiente de uniformidad, CG el coeficiente gradación, D10 es el diámetro por el cual el 10% de suelo tiene un tamaño menor que este, D60 es el Diámetro por el cual el 60% de suelo tiene un tamaño menor que este, y D30 es el diámetro por el cual el 30% de suelo tiene un tamaño menor que este.

3.2.3 Límites de Atterberg

Dividen la consistencia de la fracción fina del suelo en función de su contenido de humedad (contenido de humedad), en cuatro estados: sólido, semisólido, plástico y líquido, además determinan una medición del grado de plasticidad de un suelo fino. Se tienen tres límites de consistencia: Límite de Contracción, Límite Plástico (LP o wp), Límite Líquido (LL o wl) y un índice que relaciona límites, llamado Índice de Plasticidad (IP = LL – LP). Los límites de Atterberg dan una medida indirecta de las relaciones entre composición y propiedades de los suelos finos o fracciones finas de suelos.

3.3 SELECCIÓN DEL MATERIAL

La estructura de poros de un suelo (tamaños, forma y distribución) es un elemento esencial en el estudio de la fábrica del suelo, pues es relevante para el estudio del comportamiento hidráulico y mecánico (Colmenares, 2002). Además, el número, tamaño y continuidad de los poros controlan el almacenamiento y la conductividad del agua en el suelo. Para la estimación de la distribución de tamaños de poros existen varios métodos a saber: secado de agua, secado con líquidos no polares, secado con nitrógeno, métodos micrométricos como secciones delgadas y microsocopía electrónica y el de intrusión en el porosímetro de mercurio.

1 Elutriación es el proceso en que las partículas finas son sacadas del lecho fluidizado debido a la proporción de flujo que atraviesa el lecho. Típicamente, las partículas finas son elutriazadas fuera de un lecho cuando la velocidad superficial a través del lecho excede la velocidad terminal de los finos en el lecho. Sin embargo, la elutriación también puede ocurrir a velocidades más lentas.



37 Este estudio aborda la determinación de los tamaños de poros en suelos por medio de la intrusión de mercurio. Los ensayos se realizaron en el porosímetro del Laboratorio de Suelos del Instituto Geográfico Agustín Codazzi. Se prepararon muestras de arenas medias a finas, y otras enriquecidas con caolín como llenante. El porosímetro de intrusión de mercurio sirve para determinar el volumen de poros y la distribución de tamaños de poro (PSD, por sus siglas en inglés, Pore Size Distribution). Un punto inicial para seleccionar los suelos a utilizar durante la investigación consiste en suponer arreglos iniciales de empaquetamiento de las partículas uniformes de suelo (Figura 3.2) para determinar el tamaño de partículas en función del tamaño de poros, y según el intervalo de trabajo del porosímetro determinar los posibles tamaños de partículas a utilizar. El intervalo de diámetros aparentes de poros para los cuales este método es aplicable es fijado por el rango de presión de operación del aparato. El diámetro aparente del poro es asumido como el de un cilindro que es intruido a una presión P, y es determinado por la ecuación de Washburn (Descrita en el capítulo 2). En este caso se pueden analizar diámetros entre 0.426 µm y 426 µm.

Poro

Partícula

ARREGLO 1 ARREGLO 2

Figura 3.2 Arreglos supuestos de partículas uniformes

La porosidad depende del empaquetamiento de los granos y agregados, su distribución de tamaños, su forma y ordenamiento (arreglo). Un punto inicial del entendimiento de esta dependencia consiste en la consideración de modelos simples, tales como empaquetamientos regulares de esferas o cilindros uniformes. Con base en estas distribuciones de los tamaños y teniendo el cuenta el rango de medición del porosímetro de mercurio se seleccionaron los suelos experimentales. En el Anexo A.1 se desarrolla el cálculo del tamaño necesario de partículas para estos dos arreglos.

3.3.1 Otros Arreglos

La Figura 3.3 ilustra arreglos típicos, con su respectiva porosidad (Bear, 1972). Allí se aprecian diferentes arreglos posibles estudiados por Grator y Fraser en 1935 donde analizaron la porosidad. Los primeros dos (a y b) son paquetes de esferas uniformes, el cúbico (menos compacto) y el romboédrico (12 esferas vecinas tangenciales). Existen posibles arreglos intermedios entre estos límites. En estos casos con esferas del mismo tamaño, la porosidad es independiente del tamaño de granos. Cuando se tienen partículas de menor tamaño que llenan los espacios vacíos entre las partículas más grandes, la porosidad disminuye, y así partículas más pobremente gradadas poseen mayor porosidad que otras bien gradadas, como se aprecia en la Figura 3.4. Otros factores que influyen en la porosidad de los suelos son la compactación, la consolidación y la cementación. La Tabla 3.1 muestra valores típicos de porosidad para diversos materiales.

Tabla 3.1 Valores típicos de porosidad (Adaptado de Bear, 1972)

Material Sedimentario Porosidad (%) Material Sedimentario Porosidad (%) Turbas Suelos Arcillas Limos Arenas gruesas a medias Arena uniforme

60 – 80 50 – 60 45 – 55 35 – 40 30 – 40 30 – 40

Arenas medias a finas Gravas Gravas y arenas Arenisca Esquistos Caliza

30 – 35 30 – 40 30 – 35 10 – 20 1 – 10 1 – 10



38

a. Arreglo Cúbico

b. Arreglo Romboédrico

c. Tubos capilares

n = 47.64 % e = 0.91 n = 25.96 % e = 0.35 n = π/4 = 78.54 % e = 3.66 Figura 3.3 Estructuras típicas de medios porosos (Adaptado de Bear, 1972)

n ≈ 32 % e ≈ 0.47 n ≈ 17 % e ≈ 0.83 n ≈ 12.5 % e ≈ 0.14

Figura 3.4 Efectos del ordenamiento de partículas en la porosidad (Adaptado de Bear, 1972)

3.3.2 Contenido de Arcilla

Las propiedades ingenieriles de los suelos dependen de su composición y la interacción de los materiales que lo componen. Estos factores son de dos clases: de composición y ambientales. Los primeros miden el intervalo potencial de sus valores, y pueden ser estudiados en muestras perturbadas. Los factores ambientales determinan el valor real de cualquier propiedad. Para su uso se requieren muestras no perturbadas o mediciones in situ (Mitchell, 1992). Los factores de composición del suelo son: el tipo de mineral, cantidad de cada mineral, tipo de catión absorbido, formas y distribución de las partículas y composición del agua de poros. Los factores ambientales son el contenido de humedad, la densidad, la presión de confinamiento, la temperatura, la fábrica y la disponibilidad de agua. La determinación cuantitativa de la complejidad del comportamiento del suelo en términos de composición y ambiente, es poco práctica, por muchas razones, dentro de las cuales se resaltan (Mitchell, 1992): La composición de la mayoría de suelos naturales es compleja, y la determinación de la composición del

suelo es difícil. La interacciones físicas y químicas pueden ocurrir entre diferentes fases y constituyentes. La determinación de una expresión cuantitativa de la fábrica del suelo es difícil.



39 La historia geológica y presente del ambiente in situ son difíciles de simular en laboratorio Las teorías fisicoquímicas y mecánicas para composición y ambiente relativos para la cuantificación de

propiedades son inadecuadas. No obstante, los datos de composición son útiles para el desarrollo de un entendimiento de propiedades y para establecer unas guías cualitativas de cómo se comporta realmente el suelo. En la naturaleza existen suelos residuales, los cuales son poco homogéneos, y la arcilla llena vacíos entre partículas de arena y eleva el peso unitario del suelo. De los minerales arcillosos, los cuales ven afectadas sus propiedades, y varían entre minerales puros y suelos naturales, el que menos se ve afectado por el ambiente es el caolín (Mitchell, 1992).

La cantidad de arcilla en un suelo aumenta su plasticidad ya que el agua es fuertemente atraída por los minerales arcillosos y agrega potencial de expansión y compresión, disminuye la conductividad hidráulica y aumenta la compresibilidad, la cohesión y disminuye el ángulo de resistencia al corte de un suelo. Las partículas de suelo poseen una superficie específica muy pequeña y por lo tanto desarrollan menor afinidad por el agua, así que el agua en el suelo es atraída por los minerales arcillosos y por lo tanto se desarrolla plasticidad, y se dice que toda el agua del suelo está asociada con la fase arcillosa. La cantidad de arcilla requerida para llenar los vacíos de la fase granular y prevenir el contacto directo de partículas granulares puede ser estimada para cualquier contenido de humedad. La Figura 3.5 representa las fases de un suelo saturado. Donde W es el peso, V es el volumen, C es el contenido de Arcilla, GSG es el peso específico de partículas granulares, GSC es el peso específico de partículas de arcilla, w es el contenido de humedad y γw es el peso unitario del agua. El volumen de vacíos es eGVGS, donde eG es la relación de vacíos de la fase granular y VGS el volumen de sólidos granulares, y esta dado por:

SG GS G

SG w

WCe V = 1- e100 G

⎛ ⎞⎜ ⎟ γ⎝ ⎠

[Ec. 3.2]

El volumen de agua más el volumen de arcilla es:

S Sw C

w SC

W Ww CV + V = +100 100 Gγ γw

[Ec. 3.3]

Si la arcilla y el agua llenan completamente los vacíos de la fase granular, se tiene que (igualando 4.2 a 4.3):

S SG

SG w w SC w

W WC w C1- e +100 G 100 100 G

⎛ ⎞ =⎜ ⎟ γ γ⎝ ⎠SWγ

[Ec. 3.4]

Y al simplificar:

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

G

SG SC

eC w C1- +100 G 100 100 G

[Ec. 3.5]

Despejando el contenido de arcilla, C, se tiene:

+G SC SG SC

SG G SC SG G SC

100 e G G GC = wG + e G G + e G

[Ec. 3.6]



40

Para este estudio se usó arena normalizada de Sika Andina S.A. con un GSG de 2.65, equivalente al del cuarzo, y como arcilla llenante, caolín con un GSC 2 de 2.61. Reemplazando estos valores en la [Ec. 3.6] se tiene que:

+G

G G

261 e 6.92C = w2.65 + 2.61 e 2.65 + 2.61 e

[Ec. 3.7]

Con la [Ec. 3.7] se pueden construir curvas de isorrelación de vacíos, para determinar el contenido de arcilla para llenar los vacíos de las partículas granulares dependiendo de la humedad, que estos posean.

V

γS

sc W

WC100 G

γ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

SSG

SG W

WC1 V100 G

γS

W

w W100 Agua

Sólidos Granulares(sin arcilla)

FracciónArcillosa S

C W100

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

SC1 W

100

SW

W

Sw W100

V

γS

sc W

WC100 G

γ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

SSG

SG W

WC1 V100 G

γS

W

w W100 Agua

Sólidos Granulares(sin arcilla)

FracciónArcillosa S

C W100

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

SC1 W

100

SW

W

Sw W100

Figura 3.5 Diagrama de fase para un suelo saturado, mezcla de arcillas y granos (Adaptada de Mitchell, 1992)

Figura 3.6 Relaciones entre el contenido de humedad y la cantidad de arcilla requerida para llenar los vacíos en suelos granulares

2 Obtenido en laboratorio en el proyecto de investigación (González, en preparación).



41 La Figura 3.6 indica que con contenidos de humedad usualmente encontrados en la práctica (entre el 15 y el 40%), sólo en la tercera parte de los suelos granulares la arcilla domina el comportamiento, evitando el contacto interpartículas. Existe la tendencia en los materiales arcillosos de cubrir las partículas granulares y llenar los vacíos, por lo tanto se influye en las propiedades del suelo, como el incremento en el peso unitario cuando se presentan cantidades mucho menores a las presentadas en la Figura 3.6 (Mitchell, 1992). El caolín es el material arcilloso que menos afecta el comportamiento del suelo.

3.4 MATERIAL SELECCIONADO

Para los ensayos de medición de la distribución de tamaños de poros en el porosímetro de mercurio se seleccionaron inicialmente los suelos, según los cálculos realizados en el Anexo A.1. Allí se detalla como se determinó el tamaño de las partículas de los suelos teniendo en cuenta el rango de medición del aparato (de 0.0025 µm a 100 µm) y los posibles arreglos de partículas descritos en la Figura 3.2. Para estos arreglos de arenas uniformes se seleccionaron arenas medias —retenida en el Tamiz No. 30— (ARENA MEDIA UNIFORME, AMU) en este informe y arenas finas —retenida en el Tamiz No. 100— (ARENA FINA UNIFORME, AFU). También se utilizó arena bien gradada entre estos dos tamaños (ARENA CON DIEFERENTES GRADACIONES, ADG). La Figura 3.7 ilustra las gradaciones de los suelos estudiados, mientras que la Tabla 3.2 detalla estas gradaciones. En el Anexo A.3 se muestra el cálculo de la granulometría de la ADG.

Tabla 3.2 Distribución de tamaños de partículas de los suelos seleccionados

% QUE PASA TAMIZ No.

TAMAÑO DE PARTÍCULA

(mm) AFU AMU ADG

20 0.84 100 100 100 30 0.60 100 100 60 40 0.43 100 0 30 50 0.30 100 0 20 60 0.25 100 0 17 70 0.21 100 0 14 80 0.18 100 0 13

100 0.15 0 0 10 200 0.074 0 0 0

Figura 3.7 Distribución de tamaños de partículas de los suelos seleccionados



42

A continuación se seleccionaron diferentes contenidos de arcilla para observar su influencia en los arreglos estudiados anteriormente. Según lo expuesto en el numeral 3.3.2 y teniendo en cuenta que muchos suelos residuales son poco homogéneos, se procedió a llenar los vacíos de los suelos anteriormente estudiados, sin que estos materiales arcillosos cambiaran las propiedades físicas de las arenas, ya que las propiedades de los minerales puros pueden no ser las mismas de los suelos naturales (Mitchell, 1992). Con los cálculos de la relación de vacíos integranular realizado en el Anexo A.2, se plantean en la Tabla 3.3 las relaciones que indican el contenido máximo de arcilla para llenar los poros de los diferentes arreglos de suelos en función de la humedad.

Tabla 3.3 Resumen de propiedades estudiadas para el diseño experimental

TIPO DE ARREGLO

n [ % ]

eG [ – ]

CONTENIDO DE ARCILLA MÁXIMO, C

Arreglo Cúbico 47.64 0.91 47.3 – 1.4 w

Arreglo Romboédrico 25.96 0.35 25.6 – 1.9 w

Tubos Capilares 78.54 3.66 78.3 – 0.6 w

Arreglo 1 23.08 0.30 22.8 – 2.0 w

AREN

A UN

IFOR

ME

Arreglo 2 9.09 0.10 9.0 – 2.4 w

Arreglo con muchos vacíos 32.0 0.47 31.6 – 1.8 w

Arreglo con menos vacíos 17.0 0.83 45.0 – 1.4 w

AREN

A C

ON

DIFE

RENT

ES

GRAD

ACIO

NES

Arreglo geométrico 12.5 0.14 12.1 – 2.3 w

Los diferentes grupos de materiales arcillosos exhiben un amplio intervalo de propiedades ingenieriles, pero el caolín es el menos influenciado por estas características, y por eso fue el material arcilloso seleccionado para este estudio. En el Anexo A.5 se muestran las características del caolín utilizado.

3.5 PROGRAMA EXPERIMENTAL

Esta investigación contempló dos etapas de experimentación. En la primera se definieron las características básicas de los materiales utilizados y se midió la permeabilidad saturada de los tres suelos estudiados, definidos en el numeral 3.3. En la segunda se estudiaron las distribuciones de tamaños de poros de estos tres tipos de suelos. La primera etapa se llevó a cabo en el laboratorio de mecánica de suelos del IEI y la segunda en el laboratorio de física de suelos del IGAC. Para la segunda etapa se realizaron 10 ensayos de porosimetría de mercurio (MIP) para cada una de las tres arenas así: Arena Fina Uniforme (AFU) Arena Media Uniforme (AMU) Arena de Diferentes Gradaciones (ADG)

Además, se quiso ver la influencia del contenido de un mineral arcilloso en la distribución de tamaños de poros, por lo que se realizaron 4 ensayos de porosimetría en muestras preparadas con un contenido de caolín de 5, 10, 20 y 30% en cada uno de los suelos estudiados (AFU, AMU y ADG), par a un total de 12 muestras, además de 4 ensayos en caolín.



43

Fotografía 3.1 Probeta para ensayos de muestras de arenas limpias

Para la preparación de las muestras de arena limpia, fue necesaria la fabricación de unas probetas cilíndricas de vidrio, con tapas en vidrio sinterizado de un diámetro mayor al menor esperado en las muestras y así evitar el “efecto de la botella de tinta”. La Fotografía 3.1 muestra el diseño de estos recipientes y su empleo. Esta probeta fue necesaria pues las arenas limpias no presentan ninguna cohesión que las mantenga unidas para la realización del ensayo de porosimetría. La probeta fue diseñada para que cupiera en la celda de muestras del porosímetro de mercurio del IGAC, y su volumen es de aproximadamente 12.28 cm3. El método de preparación de muestras empleado, fue el denominado “Llovido en aire” (Kuwano, 1999), el cual garantiza reproductibilidad de las muestras. Los ensayos de densidad relativa realizados a las arenas estudiadas y resumidos en el Anexo A.6, presenta una densidad media de 1.35 Mg/m3, con desviación estándar de 0.0070 Mg/m3, es decir con un coeficiente de variación del 0.51% y un coeficiente de asimetría de -0.108. El método del llover las arenas en aire es sensitivo a la tasa de vaciado de la arena y altura de caida. En este método la altura de caída se mantiene constante para muestras uniformes para controlar la densidad. La depositación determina la fábrica de los suelos. Este método da una orientación aleatoria y da la posibilidad de que aumente la densidad de la arena aplicando vibración adicional, ya que las arenas limpias tienen un rango de retención de vacíos (Kuwano, 1999). Con base en la relación de vacíos estudiada para los tres suelos (Barrera & Muñoz, 2003) y las relaciones del contenido máximo de arcilla presentado en el numeral 3.3.2 y la [Ec. 3.7] se obtienen los resultados mostrados en la Tabla 3.4, así:

Tabla 3.4 Definición del contenido máximo de caolín

TIPÒ DE MATERIAL

RELACIÓN DE VACÍOS eG [-]

CONTENIDO MÁXIMO DE ARCILLA, C[%]

HUMEDAD MÁXIMA, w [%]

Arena Fina Uniforme, AFU

Arena Media Uniforme, AMU

Arena de Diferentes Gradaciones, ADG

0.85

0.66

0.60

39.4 – 1.6 w

45.6 – 1.4 w

37.1 – 1.6 w

(39.4 – C) / 1.6

(45.6 – C) / 1.4

(37.1 – C) / 1.6



44

Figura 3.8 Relaciones del contenido máximo de caolín en los suelos estudiados

La Figura 3.8 resume las humedades máximas del caolín para llenar todos los poros de los materiales utilizados. La preparación de las muestras mezcladas con caolín se hizo en moldes cilíndricos de plástico, con el método de “llovido en aire” compactado ligeramente con una varilla (tapping, en inglés) (Kuwano, 1999). Luego mediante un pistón se expulsa la muestra del molde, el cual posee 9 mm de diámetro, y de un largo variable entre 10 y 30 mm. Este es el tamaño ideal para usar el portamuestras pequeño (Volumen de 3.0 cm3) del porosímetro de mercurio. En la Tabla 3.5 se muestran los valores de las humedades máximas utilizadas, teniendo en cuenta una pérdida de la misma por el trabajo de preparación y evaporación. Este valor es menor que el máximo calculado a partir de la [Ec. 3.7], ya que es necesario que existan poros, que sean medidos por medio de la intrusión de mercurio.

Tabla 3.5 Humedades máximas para los contenidos de caolín definidos

MATERIAL CONTENIDO MÁXIMO DE ARCILLA, C [%] AFU AMU ADG

5 10 20 30

22 % 18 % 12 % 5 %

29 % 25 % 18 % 11 %

20 % 17 % 11 % 4 %

3.6 EQUIPO

Las pruebas de porosimetría se realizaron en el Porosímetro de Mercurio “Quantochrome Autoscan 500” del Laboratorio de Física de Suelos del Instituto Geográfico “Agustín Codazzi”, IGAC. La Fotografía 3.2 muestra el equipo. Este aparato mide el volumen intruido en el suelo en intervalos de presión entre 0 y 500 PSIA (0 y 3500 kPa), lo que al usar la Ecuación de Washburn en poros de forma circular (Relación 1:1), los diámetros de los poros medidos varian entre 0.426 µm y 426 µm.



45

Fotografía 3.2 Instalación del Porosímetro de Mercurio “Quantachrome Autoscan 500”

Este aparato posee seis (6) portamuestras, de tres volúmenes diferentes (3, 6 y 24 cm3) y dos volúmenes de tallo que definen la corrección por el volumen que se gana al intruir mercurio en el portamuestras a utilizar según el Anexo A.7.4. Estos tallos son de 0.5 cm3 y 2.0 cm3, con números de calibración del volumen de 333 y 598 respectivamente (Ver Anexo A.7.4). Los portamuestras son de forma cilíndrica, y es recomendable que las muestras no posean un largo mayor de 4 cm, para los portamuestras de 6 y 24 cm3. El largo de las muestras en el portamuestras de 3 cm3 es máximo de 2 cm. El diámetro máximo recomendado para la muestras en el portamuestras de 24 cm3 es de 2.5 cm, y para los portamuestras de 3 y 6 cm3 es de 0.9 cm. La Fotografía 3.3 detalla la forma de los portamuestras y su preparación para el ensayo.

Fotografía 3.3 Portamuestras de 6 cm3

3.7 PROCEDIMIENTOS Y RESULTADOS

3.7.1 Conductividad Hidráulica Saturada

El valor de conductividad hidráulica saturada fue calculado utilizando el modelo de tubos capilares, empleando las curvas de retención obtenidas experimentalmente (Barrera & Muñoz, 2003). En la Tabla 3.6 se presentan los valores de conductividad saturada, obtenidos por diferentes métodos. El valor de Ks experimental, fue obtenido en el ensayo de carga hidráulica constante en laboratorio.



46

Tabla 3.6 Conductividad hidráulica saturada calculada por dos métodos (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003)

AFU AMU ADG

Ks Experimental (m/s) 2 x 10-4 4 x 10-3 2 x 10-3

Los valores calculados por este método son similares, y en todos los casos se cumple la relación de orden entre los valores, Ks es mayor para la arena de grano medio que para la arena de diferentes tamaños de partícula, y es a su vez mayor que para la arena de grano fino. La diferencia de orden de magnitud entre el valor teórico y el valor experimental, puede deberse a la diferencia en las condiciones del flujo de agua a través de las muestras para los dos métodos. Durante el ensayo de permeabilidad, el flujo de agua posee una gran altura de presión, lo cual indica un valor alto de la velocidad de acuerdo con la ley de Darcy. El aumento de la velocidad, para este ensayo, en contraste con las condiciones de la velocidad en los laboratorios para la obtención de la curvas de retención de humedad, podría ocasionar el lavado de las partículas más finas durante el ensayo de permeabilidad, lo cual haría aumentar el valor de la conductividad hidráulica saturada. Además, comparando estos valores, con los encontrados para las arenas de la base de datos UNSODA (2000), se observa que son de mismo orden de magnitud, en su mayoría (Barrera & Muñoz, 2003). De acuerdo con la Tabla 3.6, se puede analizar la influencia de la porosidad y el tamaño de poros predominante en la conductividad hidráulica saturada. La AMU tiene mayor porosidad y mayor conductividad hidráulica saturada que la ADG. Sin embargo, la AMU tiene mayor porosidad pero menor Ks que las otras arenas. Ahora, teniendo en cuenta que el tamaño de poros predominante en la AMU es mayor que el de la AFU, es congruente que también posea un valor mayor de conductividad hidráulica saturada. El análisis anterior, sugiere preliminarmente, que el tamaño de poros, es más influyente en la conductividad hidráulica saturada, que la porosidad de la muestra de suelo (Barrera & Muñoz, 2003).

3.7.2 Determinación de las curvas de retención de humedad en laboratorio

Para la determinación de la humedad de las arenas, en condición saturada, se prepararon cuatro muestras de cada arena, según el método establecido, sometiéndolas a saturación por capilaridad. La saturación por capilaridad, se realizó colocando las muestras sobre un plato poroso, el cual está cargado por una columna de agua externa (Figura 3.9 y Fotografía 3.4). Al terminar el proceso de saturación, se determinó el contenido de humedad por el método tradicional. Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla 3.7, y son comparados con los resultados del método indirecto en la Tabla 3.8. El proceso experimental fue realizado por medio de dos métodos experimentales para la medición de las propiedades de retención. El primero es el plato extractor de presión u ollas de presión (Fotografía 3.5), y el segundo es la mesa de succión (Fotografía 3.6) (Barrera & Muñoz, 2003). Las ollas de presión sirven en un rango entre 1 y 15 KPa. La mesa de succión fue utilizada para medir succiones menores de 1 kPa. Los datos obtenidos por los dos métodos se muestran en la Figura 3.10 . En las gráficas se puede observar que en el caso de la ADG y la AFU, la tendencia de los datos obtenidos por los dos métodos, corresponde de manera congruente. Sin embargo en el caso de la AMU, los datos obtenidos con la mesa de succión, inferiores a 1 kPa, o 10 cm de columna de agua, no se comportan de acuerdo con la tendencia general de todos los datos, como se puede ver en la Figura 3.10, debido a que posiblemente las muestras no estaban saturadas completamente cuando se realizaron las pruebas de laboratorio (Barrera & Muñoz, 2003).



47

Fotografía 3.4 Proceso de saturación de las muestras mediante la aplicación de carga constante (Tomado de

Barrera & Muñoz, 2003) Figura 3.9 Esqu

carga const

D H. Necesariopara saturarlas muestras

MuestrasPiedra porosa

D H. Necesariopara saturarlas muestras

MuestrasPiedra porosa

Fotografía 3.5 Ollas de presión (Laboratorio de Física de Suelos, Ingeniería

Tabla 3.7 Datos para el cálculo de la humedad saturada con el método dir

ARENA PESO

HÚMEDO [g]

PESO SECO

[g]

HUMEDAD DE SATURACIÓN

[%]

27.75 20.83 33.2

25.61 19.16 33.6

26.69 20.03 33.3 AFU

27.9 20.9 33.1

27.6 23.4 17.8

27.4 23.8 15.0

24.9 21.6 15.0 AMU

27.7 23.6 17.1

31.79 26.41 20.4

32.49 27.24 19.3

28.31 23.78 19.1 ADG

32.02 26.69 20.0

Tesis de Maestría – © 2001-2004

ema de la saturación de las muestras mediante ante (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003)

Agrícola, Universidad Nacional de Colombia)

ecto (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003)

PROMEDIO DE LA HUMEDAD DE SATURACIÓN

CONTENIDO VOLUMÉTRICO DE AGUA SATURADO

33.3 % 47,3 %

16.2 % 25,6 %

19.7 % 32,4 %

Modelo de Conductividad Hidráulica en Suelos


48

Tabla 3.8 Contenido volumétrico de agua de las arenas del estudio (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003)

CONTENIDO VOLUMÉTRICO DE AGUA EN CONDICIÓN SATURADA, θs ARENA

METODO DIRECTO METODO INDIRECTO

AFU 47,3 % 46.1 % AMU 25,6 % 41.2 % ADG 32,4 % 37.4 %

Muestras

Piedra Porosa

Manguera transparente llena de agua

∆h

Fotografía 3.6 Mesa de Succión (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003)

1.56765.301

0.460.9996

ln5.3

θψ

=⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞+⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭e

3.5995.114

0.401.00

ln5.0

θψ

=⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞+⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭e

1.3845.578

0.350.9998

ln4.0

θψ

=⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞+⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭e

Figura 3.10 Curva de Retención de Agua para las arenas estudiadas (Adaptado de Barrera & Muñoz, 2003)



49

Tabla 3.9 Datos característicos de las curvas de retención (Tomado de Barrera & Muñoz, 2003)

HUMEDAD SATURADA VALOR DE ENTRADA DE AIRE HUMEDAD RESIDUAL ARENA CONTENIDO

VOLUMÉTRICO DE AGUA SATURADO θs [%] *

SUCCIÓN MATRICIAL Ψ [KPa]

CONTENIDO VOLUMÉTRICO DE AGUA θ [%]

SUCCIÓN MATRICIAL Ψ [KPa]

CONTENIDO VOLUMÉTRICO DE AGUA θ [%]

AFU 46.0% 3.8 41.9% 25 1.6%

AMU 40.0% 3.1 35.8% 9 0.6%

ADG 35.0% 3.1 31.3% 27 1.4%

* Las curvas se ajustaron a los valores medidos en laboratorio

3.7.3 Porosimetría

El tamaño, forma y distribución de poros son elementos esenciales en el estudio de la fábrica del suelo y relevante para el estudio del comportamiento mecánico e hidráulico del suelo. El número, tamaño, conectividad y continuidad de los poros controlan la capacidad de almacenamiento de agua y la conductividad del agua a través del suelo (Colmenares, 2002). La distribución de tamaños de poros puede ser estimada por métodos de secado de fluidos (agua, líquidos no polares o nitrógeno); o por métodos micrométricos (secciones delgadas y revisión con microscopio electrónico) y por intrusión de mercurio. Los poros se clasifican como se muestra en la Tabla 3.10 (Montenegro & Malagón, 1990), para uso agrícola.

Tabla 3.10 Clasificación de los poros (Tomado de Montenegro & Malagón, 1990)

CLASIFICACIÓN TAMAÑO [µm] FUNCIÓN

Microporos

Mesoporos

Macroporos

D ≤ 9

9 ≤ D ≤ 60

D ≥ 60

Porosidad de aireación Almacenamiento de agua disponible para plantas Conductividad capilar. Se realiza el proceso de infiltración

Desde el desarrollo del primer porosímetro comercial de mercurio en 1945, la porosimetría se ha utilizado como una importante técnica para la determinación de distribución de tamaños de poros en materiales porosos. Las relación básica de la porosimetría de mercurio (MIP) es la ecuación de Washburn (definida en el capítulo 2). Con los datos obtenidos mediante la MIP se pueden realizar las siguientes curvas: El volumen acumulado de poros contra la presión o el tamaño de poro La frecuencia de volumen de poros contra la presión o el tamaño de poro La derivada del volumen acumulado con respecto a la presión contra la presión o el tamaño de poro La función de distribución del volumen, Dv(r), la cual representa el cambio de volumen de mercurio intruido

por unidad de cambio en el tamaño del poro.

( )2

vP dVD r

4T cos dP=

θ [Ec. 3.8]

La función de distribución del área de poros, Ds(r), la cual presenta el cambio de la superficie de poros por

unidad de cambio en el tamaño de poros.

( )( )

3

s 2P dD r

dP4 T cos=

θ

V [Ec. 3.9]



50

El área total superficial de poros contra el tamaño de poros. maxv

0

1S Pcos

=θ

dV∫ [Ec. 3.10]

Las siguientes son conceptos que se deben tener claramente definidos, para el análisis de los resultados de las pruebas de MIP. Diámetro Aparente del Poro: Es el diámetro del poro que es asumido para ser cilíndrico y que es intruido a

una presión P. Poros Inter fragmentos: Son aquellos poros que se ubican entre los agregados cuando estos están

empaquetados juntos, y son intruidos durante la prueba. Poros intra fragmentos: Son aquellos poros que yacen dentro de los límites del suelo o fragmentos de

roca. Volumen de poros intruido: Es el volumen corregido de mercurio intruido durante la prueba.

3.7.4 Resultados de las porosimetrías

Según la Norma ASTM 4404 de 1984 (revisada en 1998) (Anexo A.1) los resultados de las porosimetrías deben mostrarse en dos tipos de gráficas, que muestren la relación acumulada de poros intruidos. Estos datos son normalizados, ya sea con el volumen de la muestra o con el peso de ella. Para muchos tipos de materiales naturales, es difícil determinar el volumen, por lo que es aceptable normalizar con el peso de la muestra, mostrando los valores de las ordenadas en cm3/g, pero en esta investigación el volumen era conocido, así que se normalizó con el volumen (cm3/cm3). La Figura 3.11 muestra la distribución de tamaños de poro para AFU. La Figura 3.12 muestra los resultados para AMU y la Figura 3.13 para ADG, organizados de la misma manera. Las figuras a presentan los 10 ensayos realizados en cada tipo de arena, más el sinter del vidrio de las probetas. Las figuras c, presentan los datos de los ensayos que ofrecen curvas con una verdadera intrusión de mercurio, y las e ilustran las curvas mirando la influencia del caolín en la PSD (Distribución de tamaños de poros), en contenidos del 5, 10, 15 y 20 %. La Tabla 3.11 presenta el listado resumen de las pruebas realizadas. Las mediciones realizadas empleando muestras con caolín no son comparables con las muestras de arena sola, debido a los límites de medición del porosímetro de mercurio. Estas curvas sirven para determinar las tendencias de las PSD de cada suelo a diferentes cantidades de finos. Para AFU se aprecia que en ninguno de los contenidos de caolín analizados se presenta una tendencia diferente que para la arena suelta. Todas las distribuciones son monómicas. En AMU se aprecia que para contenidos mayores del 10% de caolín las distribuciones presentan una forma bimodal, mientras que en ADG la distribución presenta formas bimodales en contenidos mayores del 20% de caolín. En la Tabla 3.11, se aprecian errores de calibración de los equipos del IGAC, ya que se calculan valores erróneos de la densidad de sólidos. Se sobreestiman los valores para la arena, otorgándole valores entre 2.67 y 2.78 Mg/m3. Para el caolín los errores son mucho mayores.



51

a

b

c

Figura 3.11 Distribución de tamaños de poros, PSD, para AFU



52

a

b

c

Figura 3.12 Distribución de tamaños de poros, PSD, para AMU



53

a

b

c

Figura 3.13 Distribución de tamaños de poros, PSD, para ADG



54

Tabla 3.11 Resumen de los ensayos realizados

No. ARCHIVO No. LABORATORIO MUESTRA INTRUIDO BULK MIP BULK LAB APARENTE SÓLIDOS * SÓLIDOS **

1 01 SA272702 348187 14.8900 11.3097 1.2269 0.0824 2.0 1.3166 2.3519 1.1490 2.65 2.72 0.00962 02 SA361103 348188 13.9121 11.3097 0.0056 0.0004 2.0 1.2301 2.2723 1.0739 2.65 2.72 0.00103 03 SA272805 348189 14.8900 11.3097 0.1236 0.0083 2.0 1.3166 2.3519 1.1489 2.65 2.72 0.00054 04 SA272902 348190 14.8900 11.3097 0.0164 0.0011 2.0 1.3166 2.3519 1.1490 2.65 2.72 0.00015 05 SA272901 348191 14.9423 11.3097 0.0045 0.0003 2.0 1.3212 2.3562 1.1530 2.65 2.72 0.00006 06 SA272903 348192 14.6233 11.3097 0.8832 0.0604 2.0 1.2930 2.3302 1.1283 2.65 2.72 0.00677 07 SA361202 348193 13.7269 11.3097 0.6712 0.0489 2.0 1.2137 2.2572 1.0592 2.65 2.72 0.00438 08 SA361306 348194 13.8097 11.3097 1.0807 0.0783 2.0 1.2210 2.2640 1.0658 2.65 2.72 0.01219 09 SA361305 348195 12.6754 11.3097 0.0444 0.0035 2.0 1.1208 2.1716 0.9780 2.65 2.72 0.0005

10 10 SA361304 348196 14.0890 11.3097 1.0792 0.0766 2.0 1.2457 2.2867 1.0872 2.65 2.72 0.012811 01 SA351903 346177 15.2404 11.3097 0.0762 0.0050 2.0 1.3475 2.3804 1.1760 2.65 2.71 0.000012 02 SA352004 346178 14.3246 11.3097 0.0501 0.0035 2.0 1.2666 2.3059 1.1055 2.65 2.71 0.000213 03 SA352203 346179 14.8025 11.3097 0.9548 0.0645 2.0 1.3088 2.3448 1.1436 2.65 2.71 0.003114 04 SA352204 346180 15.1365 11.3097 0.1287 0.0085 2.0 1.3384 2.3720 1.1679 2.65 2.71 0.000115 05 SA352206 346181 14.2513 11.3097 0.8622 0.0605 0.5 1.2601 2.2999 1.1007 2.65 2.71 0.002016 06 SA352001 346182 15.2404 11.3097 0.0152 0.0010 2.0 1.3475 2.3804 1.1760 2.65 2.71 0.000017 07 SA370301 346183 15.0566 11.3097 1.0540 0.0700 2.0 1.3313 2.3655 1.1618 2.65 2.71 0.002018 08 SA370302 346184 14.8779 11.3097 1.0117 0.0680 2.0 1.3155 2.3509 1.1658 2.65 2.71 0.009719 09 SA370304 346185 15.5262 11.3097 0.1630 0.0105 2.0 1.3728 2.4037 1.1980 2.65 2.71 0.000220 10 SA370306 346186 14.2761 11.3097 0.0286 0.0020 2.0 1.2623 2.3019 1.1017 2.65 2.71 0.000121 01 SA280201 348167 15.9105 11.3097 0.0302 0.0019 2.0 1.4068 2.4350 1.2277 2.65 2.67 0.000122 02 SA280204 348168 16.4051 11.3097 0.8071 0.0492 2.0 1.4505 2.4753 1.2709 2.65 2.67 0.009123 03 SA280205 348169 16.4051 11.3097 0.0016 0.0001 2.0 1.4505 2.4753 1.2660 2.65 2.67 0.000124 04 SA351902 348170 15.6217 11.3097 0.0359 0.0023 2.0 1.3813 2.4115 1.2054 2.65 2.67 0.000125 05 SA280301 348171 15.6210 11.3097 0.6186 0.0396 2.0 1.3812 2.4114 1.2083 2.65 2.67 0.006926 06 SA351501 348172 15.1015 11.3097 0.5512 0.0365 2.0 1.3353 2.3691 1.1681 2.65 2.67 0.006127 07 SA280303 348173 16.0534 11.3097 0.4575 0.0285 2.0 1.4194 2.4466 1.2388 2.65 2.67 0.001728 08 SA351301 348174 15.6972 11.3097 0.6514 0.0415 2.0 1.3879 2.4176 1.2113 2.65 2.67 0.002229 09 SA351302 348175 16.3260 11.3097 0.5861 0.0359 2.0 1.4435 2.4688 1.2597 2.65 2.67 0.002430 10 SA351401 348176 15.3633 11.3097 0.0061 0.0004 2.0 1.3584 2.3904 1.1854 2.65 2.67 0.000031 5 SA360606 348205 0.4627 0.4533 0.0458 0.0990 0.5 1.0207 1.0423 2.63 2.78 0.035532 10 SA360603 348206 0.5815 0.5077 0.0660 0.1135 0.5 1.1454 1.1713 2.63 2.75 0.053133 20 SA360607 348207 0.4724 0.4013 0.0488 0.1033 0.5 1.1772 1.1914 2.63 2.78 0.017934 30 SA361104 348208 0.9738 0.7821 0.0477 0.049 0.5 1.2451 1.2969 2.63 2.77 0.038135 5 SA360602 34820 1.2840 1.0038 0.0236 0.0184 0.5 1.2791 1.2906 2.63 2.73 0.018936 10 SA360604 348202 1.2482 0.9388 0.0605 0.0485 0.5 1.3296 1.3566 2.63 2.72 0.052037 20 SA360601 348203 1.4130 1.3007 0.0119 0.0084 0.5 1.0863 1.0917 2.63 2.72 0.018738 30 SA360605 348204 0.5808 0.3894 0.0323 0.0556 0.5 1.4915 1.5389 2.63 2.74 0.036439 5 SA352303 348197 0.6400 0.5611 0.0263 0.0411 0.5 1.1406 1.1688 2.63 2.73 0.023240 10 SA352304 348198 1.4917 1.2245 0.0389 0.0261 0.5 1.2182 1.2468 2.63 2.72 0.046341 20 SA361201 348199 0.3547 0.2816 0.0751 0.2117 0.5 1.2596 1.4466 2.63 2.69 0.210742 30 SA352305 348200 1.9703 1.3250 1.1215 0.5692 0.5 1.4870 2.8997 2.63 2.78 0.201943 01 SA360608 348211 0.1143 0.1053 0.0061 0.0534 0.5 1.0858 1.1464 2.63 2.95 0.114344 02 SA360609 348212 0.3088 0.2990 0.0194 0.0628 0.5 1.0328 1.0944 2.63 2.95 0.133945 03 SA361801 348213 0.5498 0.5587 0.0065 0.0118 0.5 0.9841 0.9953 2.63 2.95 0.069346 04 SA370201 348214 0.2193 0.1733 0.0167 0.0762 0.5 1.2654 1.4004 2.63 2.95 0.351147 1 SA272802 348209 13.6100 12.9600 0.0000 0.0000 2.0 1.0502 1.0502 0.000048 2 SA272804 348210 13.6100 12.9600 0.0231 0.0017 2.0 1.0502 1.0502 0.0002

CAOLIN

SINTER

PESO DE LA MUESTRA [g]

CÓDIGO IGACMUESTRA

ADG

AFUC

AMUC

ADGC

AFU

AMU

ID

VOLUMEN TALLO [cm3]

VOLUMEN [cm3] VOLUMEN INTRUIDO

NORMALIZADO [cm3/g]

DENSIDAD [Mg/m3] ÁREA SUP. TOTAL

NORMALIZ. [m2/g]

* Típico de arena ** Medido en pentapicnómetro del IGAC

3.7.5 Determinación de los poros del suelo, fuera del rango de MIP

El porosímetro de mercurio Autoscan 500 tiene un rango de intrusión de mercurio entre 0.5 PSI [3.5 Pa] y 500 PSI [3.5 kPa], lo que implica que al aplicar la Ley de Washburn, determinará diámetros de poro entre 0.42 µm y 426 µm. Según los arreglos mostrados en el Anexo A.2, los tamaños de poros esperados para los tres tipos de suelos estudiados son resumidos en la Tabla 3.12. En ella se nota que los poros esperados están dentro del rango de medición del aparato. La Tabla 3.13 muestra el resumen de las estadísticas de las pruebas de MIP realizadas.

Tabla 3.12 Tamaños de poros esperados según arreglos teóricos

DIÁMETRO DE PORO MÍNIMO DIÁMETRO DE PORO MÁXIMO SUELO

mm µm mm µm AFU 0.02322 23.22 0.07457 74.57 AMU 0.09133 91.33 0.34797 347.97 ADG 0.02322 23.22 0.34797 347.97

Sin embargo es muy posible que se presenten poros de un tamaño menor, los cuales no se puedan medir con el porosímetro de mercurio porque son mayores de 426 µm o porque simplemente al aplicar la presión de vacío se



55 llenan; y también poros más pequeños (menores de 0.42 µm), los cuales no son detectados por el espectro de presión del equipo. Los poros grandes son importantes para la difusión de gases y el proceso de infiltración, por lo que es importante incluirlos en la distribución medida con el aparato. Utilizando el método de Olson (1987) para medir los poros fuera del rango de MIP. Este se basa en la densidad bulk y el peso específico de sólidos. El proceso de cálculo del volumen de poros dentro del suelo, mayor y menor del rango de intrusión, se presenta a continuación. La densidad bulk ρbd fue determinada en la MIP y se muestra en la Tabla 3.11, y el peso específico determinado en laboratorio fue de 2.65 (Sección 3.3.2). La densidad bulk del mercurio (ρHg) fue calculada dividiendo la masa de la muestra seca por el volumen de mercurio intruido, cuando la muestra es colocada en el portamuestras, y este se llena de mercurio. El volumen de mercurio intruido (VI) es conocido, y el volumen de los poros pequeños que no son intruidos es llamado VU, y el de poros grandes que no se intruyen, VL. La Figura 3.14 muestra la base de estos cálculos.

PARTÍCULAS SÓLIDASPOROS PEQUEÑOS QUE NO SE LLENAN CON LA

MÁXIMA PRESIÓN

POROS DENTRO DEL RANGO DE MIP

POROS QUE SE LLENAN CON LA PRESIÓN MÍNIMA

VOLUMEN EXTERIOR DE LA MUESTRA PERO

INTERIOR DEL PORTAMUESTRAS

VS VU VI VL

V3

V2

VT

VC

V1

Figura 3.14 Relaciones entre los volúmenes de sólidos, y poros y el portamuestras (Adaptado de Colmenares, 2001)

1. El volumen del portamuestras es igual a:

( )2 1C

Hg

M MV

−=

ρ [Ec. 3.11]

Donde M1 es la masa en gramos del portamuestras vacío, M2 la masa del portamuestras lleno de mercurio y ρHg es la densidad del mercurio, de 13.54 Mg/m3 a 295°C. El volumen del portamuestras utilizado en todas las muestras de arena limpia es de aproximadamente 24 cm3, y para las muestras con caolín de 6 cm3. 2. El volumen V1, es el mercurio en el portamuestras con la muestra, y se calcula:

( )4 31

Hg

M MV

−=

ρ [Ec. 3.12]

Donde M3 es la masa en gramos del portamuestras con la muestra y M4 es la masa en gramos del portamuestras con la muestra, lleno de mercurio. 3. El volumen V2 de sólidos más el volumen de poros grandes, se obtiene así:



56

2 CV V V1= − [Ec. 3.13]

4. El volumen V3 de partículas más el volumen de poros grandes no medidos con la MIP, es:

3 2V V VI= − [Ec. 3.14]

Donde VI es el volumen de poros intruido por el rango de presión del Porosímetro. 5. El volumen de sólidos, Vs es igual a:

( )3 1S

ps

M MV

−=

ρ [Ec. 3.15]

Donde ρps es la densidad de partículas sólidas. 6. El volumen de poros, VU, es decir los poros que no se intruyen por el porosímetro, se calcula así:

U 3V V VS= − [Ec. 3.16]

7. El volumen de poros más el volumen de partículas, VT, es:

( )3 1T

bd

M MV

−=

ρ [Ec. 3.17]

8. El volumen de poros, grandes que no son intruidos por el porosímetro se calcula como:

L TV V V2= − [Ec. 3.18]

9. Con los anteriores volúmenes se calcula el volumen total así:

T S U IV V V V V= + + + L [Ec. 3.19]

Los volúmenes V2 y V3 pueden usarse para calcular las densidades de la muestra en la mínima y en la máxima presión. La densidad bulk mínima de la muestra es:

( )3 1MIN

2

M MV−

ρ = [Ec. 3.20]

La densidad de la muestra, medida en la máxima presión es:

( )3 1MAX

3

M MV−

ρ = [Ec. 3.21]



57 El orden de relación entre las cuatro densidades es:

bd MIN MAX psρ < ρ < ρ < ρ [Ec. 3.22]

La diferencia entre ρbd y ρMIN es consecuencia del volumen de los poros grandes, VL que se llenan con una presión mínima. La separación entre ρMIN y ρMAX refleja el volumen de poros que puede ser intruido por el porosímetro. La diferencia entre ρMAX y ρps es un resultado del volumen VU de poros que no se llenan con la presión de mercurio. Los cálculos se muestran en la Tabla 3.14. Para definir la curva de distribución de tamaño representativa de cada uno de los tres tipos de arena estudiado, se revisaron los resultados de la Tabla 3.14 y se escogieron las pruebas con mayor porcentaje de poros intruidos. Para AFU, fue la prueba 01, para AMU la 07 y para ADG la 02. Se nota que las arenas medias fueron las que menor intrusión presentaron. Las pruebas realizadas a las arenas con caolín, muestran la influencia de los finos en las distribuciones de tamaños de poros. La Figura 3.11, al igual que la Figura 3.12 y la Figura 3.13 detallan que para contenidos de caolín menores al 20% de caolín inclusive, la curva tiene un comportamiento monomodal, pero que para contenidos de 30% anuncia otra tendencia. Estas distribuciones de tamaño de poros, son estudiadas para analizar tendencias pues muestra porcentajes de poros no intruidos muy altos. La Figura 3.15 muestra las curvas PSD para las tres arenas estudiadas, obtenidas a partir de MIP.

3.7.6 Distribución de tamaños de poros, a partir de las curvas de retención de agua

Utilizando las curvas de retención presentadas anteriormente, se procedió a presentar la PSD de cada tipo de arena estudiada, haciendo la transformación indicada en la [Ec. 3.23].

ghT4

PT4d ww

ρ== [Ec. 3.23]

Donde Tw es la tensión superficial del agua, equivalente a 0.73 N/m. Para los diferentes tipos de suelo, la Figura 3.16 muestra las curvas PSD.



58

Tabla 3.13 Resumen de estadísticas de las pruebas de MIP (Parte 1)

No. DE A DE A MEDIA DIÁMETRO [µm] MODA DIÁMETRO

[µm] MEDIANA DIÁMETRO [µm]

1 01 10.2043 3444.5730 144.1366 0.4270 0.0377 34.4500 0.0019 26.8000 0.0412 31.70002 02 20.1328 3444.2974 73.0555 0.4270 0.0003 1.7830 0.0007 0.6719 0.0002 2.92103 03 8.0669 3437.5405 182.3267 0.4279 0.0047 67.2900 0.0001 49.9600 0.0042 69.04004 04 12.4796 3432.2314 117.8576 0.4285 0.0009 56.6200 0.0000 55.1200 0.0005 79.01005 05 20.0639 3436.2305 73.3066 0.4280 0.0003 29.7400 0.0000 9.6350 0.0002 52.03006 06 16.8233 3437.7473 87.4271 0.4278 0.0264 36.0700 0.0018 31.8900 0.0302 34.52007 07 12.5485 3440.3674 117.2100 0.4275 0.0234 45.0000 0.0008 33.7500 0.0244 43.98008 08 35.5082 3431.9558 41.4218 0.4286 0.0443 25.8900 0.0027 24.0800 0.0393 27.04009 09 30.6129 3436.0237 48.0455 0.4281 0.0004 28.8500 0.0002 25.7600 0.0017 27.960010 10 34.4740 3446.6416 42.6644 0.4267 0.0315 23.9000 0.0031 20.8500 0.0383 23.160011 01 13.5138 3442.0911 108.8379 0.4273 0.0007 80.7000 0.0000 73.0600 0.0005 88.880012 02 17.7196 3438.1609 83.0047 0.4278 0.0006 16.0000 0.0000 3.8860 0.0004 61.650013 03 17.7886 3445.1936 82.6830 0.4269 0.0117 16.3500 0.0012 0.4269 0.0065 55.550014 04 17.1681 3442.4358 85.6716 0.4273 0.0009 49.6200 0.0000 42.9200 0.0009 48.820015 05 16.7544 3446.7104 87.7869 0.4267 0.0105 24.4800 0.0002 0.6238 0.0060 49.960016 06 18.9607 3446.8484 77.5717 0.4267 0.0002 65.3400 0.0000 57.1900 0.0001 0.426717 07 37.6456 3442.5046 39.0700 0.4273 0.0112 28.4400 0.0008 24.6300 0.0070 28.140018 08 18.5470 3429.4734 79.3019 0.4289 0.0069 5.5910 0.0057 5.0470 0.0068 5.589019 09 25.7176 3440.3674 57.1909 0.4275 0.0012 41.0900 0.0000 35.8500 0.0011 41.180020 10 15.4444 3446.2969 95.2331 0.4268 0.0003 25.2100 0.0000 8.1830 0.0002 61.830021 01 13.6517 3440.0225 107.7385 0.4276 0.0009 58.5500 0.0000 51.5300 0.0009 58.440022 02 19.2365 3428.0947 76.4596 0.4290 0.0441 21.5300 0.0008 0.5349 0.0246 44.440023 03 17.7196 3443.6768 83.0047 0.4271 0.0001 5.9460 0.0000 2.8310 0.0001 7.161024 04 5.2400 3447.1931 280.6871 0.4267 0.0011 69.8900 0.0000 45.2900 0.0011 67.940025 05 16.0649 3442.0220 91.5546 0.4273 0.0364 22.9000 0.0009 0.4791 0.0198 57.040026 06 17.7886 3441.7461 82.6830 0.4273 0.0325 23.9800 0.0005 42.5800 0.0183 46.990027 07 11.1696 3430.6458 131.6804 0.4287 0.0179 65.5500 0.0003 54.7000 0.0143 68.150028 08 10.6180 3443.8835 138.5209 0.4271 0.0233 75.7300 0.0005 68.8100 0.0208 78.140029 09 10.2043 3432.0244 144.1366 0.4286 0.0161 60.8700 0.0005 50.4300 0.0179 61.120030 10 13.0312 3441.6775 112.8689 0.4274 0.0000 79.4000 0.0000 60.4300 0.0002 81.730031 5 19.2365 3445.1936 76.4596 0.4269 0.0815 10.9200 0.0048 0.7475 0.0506 39.500032 10 18.6160 3439.1262 79.0082 0.4277 0.0975 8.5570 0.0148 0.5544 0.0568 45.970033 20 15.7891 3437.9541 93.1538 0.4278 0.0881 23.0100 0.0021 2.4570 0.0518 54.140034 30 34.6808 3439.3330 42.4100 0.4276 0.0373 5.1370 0.0053 0.9473 0.0245 12.370035 5 11.1006 3438.6438 132.4982 0.4277 0.0135 3.8950 0.0043 0.5087 0.0092 37.040036 10 15.1686 3438.2988 96.9646 0.4278 0.0384 3.7280 0.0107 0.5399 0.0243 44.820037 20 22.0634 3030.0251 66.6632 0.4288 0.0059 1.8010 0.0073 0.4824 0.0042 12.330038 30 14.4101 3446.5728 102.0680 0.4267 0.0429 6.1120 0.0072 0.9712 0.0278 23.760039 5 17.6507 3429.9561 83.3290 0.4288 0.0347 7.0660 0.0005 0.4582 0.0206 46.070040 10 29.3718 3442.7117 50.0756 0.4272 0.0190 2.2510 0.0129 0.4272 0.0130 7.212041 20 16.2717 3443.3320 90.3908 0.4271 0.1590 4.0140 0.0395 0.5260 0.1060 15.480042 30 14.7549 3440.7119 99.6833 0.4275 0.2928 11.2800 0.0303 6.5300 0.2846 11.770043 01 13.9964 3443.6768 105.0848 0.4271 0.0289 1.8680 0.0182 1.0880 0.0267 2.197044 02 23.5113 3443.9526 62.5578 0.4271 0.0402 1.8570 0.0456 0.4271 0.0317 2.783045 03 24.9592 3431.6799 58.9288 0.4286 0.0055 0.6819 0.0328 0.4437 0.0059 0.644446 04 14.0654 3446.0210 104.5697 0.4268 0.0479 0.8676 0.0795 0.9513 0.0381 0.945947 0548 0649 1 15.1686 3434.1619 96.9646 0.4283 0.0000 24.4100 0.0000 7.9210 0.0000 34.410050 2 10.3422 3447.0554 142.2148 0.4267 0.0006 41.0000 0.0000 26.0100 0.0009 38.0300

ID

AFU

PRESIÓN [kPa] DIÁMETRO [µm] VOLUMEN [cm3/g]MUESTRA

AMU

ADG

AFUC

AMUC

ADGC

CAOLIN

SINTER



59

Tabla 3.13 Resumen de estadísticas de las pruebas de MIP (Parte 2)

No. MEDIA DIÁMETRO [µm] MODA DIÁMETRO

[µm] MEDIANA DIÁMETRO [µm] MEDIA DIÁMETRO

[µm] MODA DIÁMETRO [µm] MEDIANA DIÁMETRO

[µm]1 01 0.0031 34.4500 0.0001 24.2400 0.0048 29.8800 0.0543 34.4500 0.0920 25.4600 0.5458 26.80002 02 0.0002 1.7830 0.0021 0.6719 0.0005 0.7920 0.0018 1.7830 0.0582 0.6719 0.5168 0.68223 03 0.0002 67.2900 0.0000 49.9600 0.0002 69.0400 0.0711 67.2900 0.1097 54.9800 0.5019 49.96004 04 0.0000 56.6200 0.0000 12.3300 0.0000 61.6500 0.0591 56.6200 0.0985 12.3300 0.5113 16.00005 05 0.0000 29.7400 0.0000 8.0440 0.0000 12.4800 0.0098 29.7400 0.1024 9.6350 0.5316 10.13006 06 0.0024 36.0700 0.0001 30.6900 0.0033 33.1200 0.0666 36.0700 0.0909 30.6900 0.5516 31.89007 07 0.0016 45.0000 0.0000 31.9300 0.0022 40.9400 0.0784 45.0000 0.1018 33.7500 0.5481 35.91008 08 0.0059 25.8900 0.0002 22.7200 0.0061 25.5800 0.0763 25.8900 0.0890 24.0800 0.5040 22.72009 09 0.0000 28.8500 0.0000 25.7600 0.0002 27.9600 0.3858 28.8500 0.3858 29.0600 0.5264 27.960010 10 0.0045 23.9000 0.0003 19.8800 0.0064 23.1600 0.0853 23.9000 0.1076 20.8500 0.5986 20.850011 01 0.0000 80.7000 0.0000 73.0600 0.0000 83.9900 0.0827 80.7000 0.1186 73.0600 0.5244 67.080012 02 0.0000 16.0000 0.0000 1.8190 0.0001 4.4820 0.0000 16.0000 0.0613 1.8190 0.5055 2.745013 03 0.0010 16.3500 0.0055 0.4269 0.0016 2.1550 0.0002 16.3500 0.0456 0.4269 0.5058 0.528814 04 0.0001 49.6200 0.0000 38.3000 0.0001 45.6800 0.1039 49.6200 0.1088 42.9200 0.5448 4.292015 05 0.0009 24.4800 0.0006 0.6238 0.0010 17.1800 0.0011 24.4800 0.0254 0.6238 0.5109 0.776016 06 0.0000 65.3400 0.0000 57.1900 0.0000 0.4267 0.1028 65.3400 0.1796 73.0600 0.5527 64.250017 07 0.0015 28.4400 0.0001 24.6300 0.0010 28.1400 0.1000 28.4400 0.1409 24.6300 0.6171 25.700018 08 0.0046 5.5910 0.0022 5.0470 0.0049 5.5890 0.0931 5.5910 0.1117 5.0470 0.5787 5.304019 09 0.0001 41.0900 0.0000 35.8500 0.0001 41.1800 0.1033 41.0900 0.1248 35.8500 0.5374 35.850020 10 0.0000 25.2100 0.0000 8.1830 0.0000 9.0890 0.0000 25.2100 0.0958 8.1830 0.5430 8.609021 01 0.0000 58.5500 0.0000 47.6200 0.0001 55.9900 0.0519 58.5500 0.0906 49.3800 0.5228 51.530022 02 0.0041 21.5300 0.0029 0.4613 0.0046 14.7000 0.0007 21.5300 0.0167 0.4613 0.5073 0.605223 03 0.0000 5.9460 0.0000 2.8310 0.0000 4.9810 0.0239 5.9460 0.0385 2.8310 0.5034 4.149024 04 0.0000 69.8900 0.0000 45.2900 0.0001 61.3000 0.0728 69.8900 0.1518 45.2900 0.5352 49.840025 05 0.0027 22.9000 0.0039 0.4791 0.0035 5.1760 0.0002 22.9000 0.0243 0.4791 0.5004 0.581826 06 0.0028 23.9800 0.0017 0.4882 0.0030 18.3900 0.0007 23.9800 0.0145 0.5428 0.5088 0.662327 07 0.0010 65.5500 0.0000 50.9100 0.0009 63.1100 0.0721 65.5500 0.0901 47.2000 0.5141 50.910028 08 0.0011 75.7300 0.0033 2.1920 0.0011 74.5900 0.0472 75.7300 0.0543 2.2140 0.5036 56.580029 09 0.0009 60.8700 0.0000 47.8300 0.0012 56.8900 0.0893 60.8700 0.1139 50.4300 0.5074 53.600030 10 0.0000 79.4000 0.0000 60.4300 0.0000 81.7300 0.0797 79.4000 0.1745 60.4300 0.5981 67.720031 5 0.0091 10.9200 0.0127 0.7475 0.0177 2.6290 0.0006 10.9200 0.0192 0.7475 0.5037 1.016032 10 0.0101 8.5570 0.0674 0.4277 0.0265 1.0960 0.0002 8.5570 0.0316 0.4277 0.5005 0.620833 20 0.0072 23.0100 0.0024 1.1950 0.0090 11.4300 0.0028 23.0100 0.0229 2.4570 0.5074 1.928034 30 0.0123 5.1370 0.0112 0.9473 0.0191 2.2620 0.0017 5.1370 0.0169 0.6124 0.5006 1.001035 5 0.0019 3.8950 0.0170 0.5087 0.0094 0.9644 0.0003 3.8950 0.0181 0.5087 0.5038 0.667436 10 0.0054 3.7280 0.0435 0.4694 0.0260 0.7269 0.0002 3.7280 0.0189 0.4762 0.5035 0.604937 20 0.0019 1.8010 0.0323 0.4418 0.0094 0.5505 0.0003 1.8010 0.0284 0.4418 0.5106 0.507038 30 0.0075 6.1120 0.0160 0.4363 0.0182 1.7190 0.0010 6.1120 0.0179 0.6850 0.5117 0.723539 5 0.0038 7.0660 0.0239 0.4582 0.0116 0.9872 0.0002 7.0660 0.0231 0.4717 0.5062 0.638740 10 0.0094 2.2510 0.0600 0.4272 0.0232 0.7152 0.0004 2.2510 0.0221 0.4272 0.5043 0.552541 20 0.0420 4.0140 0.1529 0.5128 0.1054 1.2160 0.0015 4.0140 0.0296 0.5128 0.5033 0.598842 30 0.0458 11.2800 0.0095 6.1690 0.1009 7.7230 0.0091 11.2800 0.0266 6.5300 0.5197 6.530043 01 0.0266 1.8680 0.0452 0.7829 0.0572 1.1920 0.0035 1.8680 0.0207 1.0880 0.5017 1.029044 02 0.0318 1.8570 0.2128 0.4271 0.0670 1.0900 0.0029 1.8570 0.0375 0.4271 0.5088 0.577545 03 0.0197 0.6819 0.1474 0.4437 0.0347 0.5452 0.0057 0.6819 0.0311 0.4554 0.5070 0.502246 04 0.1747 0.8676 0.1853 0.4791 0.1756 0.8718 0.0094 0.8676 0.0100 0.8451 0.5056 0.732547 0548 0649 1 0.0000 24.4100 0.0000 7.9210 0.0000 9.2070 0.0178 24.4100 0.1135 7.9210 0.5846 8.911050 2 0.0000 41.0000 0.0000 26.0100 0.0001 38.0300 0.0565 41.0000 0.1641 26.0100 0.5481 28.5600

ÁREA SUPERFICIAL [m2/g] FRACCIÓN DE NÚMERO DE PORO

ID

AFU

MUESTRA

AMU

ADG

AFUC

AMUC

ADGC

CAOLIN

SINTER



60

Tabla 3.14 Cálculo de la porosidad no intruida (Parte 1)

VOLUMEN CELDA

PESO MUESTRA M1 M2 M3 M4 VC V AIRE V1 V2 V3

No. [cm3 ] [g] [g] [g] [g] [g] [cm3 ] [cm3 ] [cm3 ] [cm3 ] [cm3 ]

1 01 40 28.8900 117.08 437.5400 145.9700 300.1834 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.05672 02 40 27.9121 117.08 437.5400 144.9921 299.2055 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.27813 03 40 28.8900 117.08 437.5400 145.9700 300.1834 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.16004 04 40 28.8900 117.08 437.5400 145.9700 300.1834 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.26725 05 40 28.9423 117.08 437.5400 146.0223 300.2357 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.27916 06 40 28.6233 117.08 437.5400 145.7033 299.9167 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.40047 07 40 27.7269 117.08 437.5400 144.8069 299.0203 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.61248 08 40 27.8097 117.08 437.5400 144.8897 299.1031 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.20299 09 40 26.6754 117.08 437.5400 143.7554 297.9688 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.239310 10 40 28.0890 117.08 437.5400 145.1690 299.3824 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.204411 01 40 29.2404 117.08 437.5400 146.3204 300.5338 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.207412 02 40 28.3246 117.08 437.5400 145.4046 299.6180 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.233513 03 40 28.8025 117.08 437.5400 145.8825 300.0959 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.328914 04 40 29.1365 117.08 437.5400 146.2165 300.4299 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.155015 05 40 28.2513 117.08 437.5400 145.3313 299.5447 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.421416 06 40 29.2404 117.08 437.5400 146.3204 300.5338 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.268417 07 40 29.0566 117.08 437.5400 146.1366 300.3500 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.229718 08 40 28.8779 117.08 437.5400 145.9579 300.1713 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.271919 09 40 29.5262 117.08 437.5400 146.6062 300.8196 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.120620 10 40 28.2761 117.08 437.5400 145.3561 299.5695 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.255121 01 40 29.9105 117.08 437.5400 146.9905 301.2039 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.253422 02 40 30.4051 117.08 437.5400 147.4851 301.6985 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.476523 03 40 30.4051 117.08 437.5400 147.4851 301.6985 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.282024 04 40 29.6217 117.08 437.5400 146.7017 300.9151 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.247725 05 40 29.6210 117.08 437.5400 146.7010 300.9144 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.665026 06 40 29.1015 117.08 437.5400 146.1815 300.3949 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.732427 07 40 30.0534 117.08 437.5400 147.1334 301.3468 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.826128 08 40 29.6972 117.08 437.5400 146.7772 300.9906 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.632229 09 40 30.3260 117.08 437.5400 147.4060 301.6194 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 11.697530 10 40 29.3633 117.08 437.5400 146.4433 300.6567 23.6781 16.3219 11.3945 12.284 12.277531 5 6 0.4627 41.06 121.0500 41.5227 115.3777 5.9103 0.0000 5.4570 0.4533 0.407532 10 6 0.5815 41.06 121.0500 41.6415 114.7603 5.9103 0.0000 5.4026 0.5077 0.441733 20 6 0.4724 41.06 121.0500 41.5324 116.0912 5.9103 0.0000 5.5090 0.4013 0.352534 30 6 0.9738 41.06 121.0500 42.0338 111.4389 5.9103 0.0000 5.1282 0.7821 0.734435 5 6 1.2840 41.06 121.0500 42.3440 108.7486 5.9103 0.0000 4.9065 1.0038 0.980236 10 6 1.2482 41.06 121.0500 42.3082 109.5925 5.9103 0.0000 4.9715 0.9388 0.878337 20 6 1.4130 41.06 121.0500 42.4730 104.8593 5.9103 0.0000 4.6096 1.3007 1.288838 30 6 0.5808 41.06 121.0500 41.6408 116.3607 5.9103 0.0000 5.5209 0.3894 0.357139 5 6 0.6400 41.06 121.0500 41.7000 114.0961 5.9103 0.0000 5.3492 0.5611 0.534840 10 6 1.4917 41.06 121.0500 42.5517 105.9693 5.9103 0.0000 4.6858 1.2245 1.185641 20 6 0.3547 41.06 121.0500 41.4147 117.5935 5.9103 0.0000 5.6287 0.2816 0.206542 30 6 1.9703 41.06 121.0500 43.0303 105.0878 5.9103 0.0000 4.5853 1.3250 0.203543 01 6 0.1143 41.06 121.0500 41.1743 119.7396 5.9103 0.0000 5.8050 0.1053 0.099244 02 6 0.3088 41.06 121.0500 41.3688 117.3121 5.9103 0.0000 5.6113 0.2990 0.279645 03 6 0.5498 41.06 121.0500 41.6098 114.0384 5.9103 0.0000 5.3516 0.5587 0.552246 04 6 0.2193 41.06 121.0500 41.2793 118.9239 5.9103 0.0000 5.7370 0.1733 0.1566

ID

AFU

AMU

MUESTRA

CAOLIN

ADG

AFUC

AMUC

ADGC



61


VS VU VV VT VL VT DENSIDAD MÍNIMA

DENISDAD MÁXIMA

No. [cm3 ] [cm3 ] [cm3 ] [cm3 ] [cm3 ] [cm3 ] [Mg/m3 ] [Mg/m3 ]

1 01 10.9019 0.1548 1.3817 12.2836 0.0000 12.2836 2.3519 2.61292 02 10.5329 1.7452 1.7508 12.2836 0.0000 12.2836 2.2723 2.27333 03 10.9019 1.2582 1.3817 12.2836 0.0000 12.2836 2.3519 2.37584 04 10.9019 1.3654 1.3817 12.2836 0.0000 12.2836 2.3519 2.35515 05 10.9216 1.3575 1.3620 12.2836 0.0000 12.2836 2.3562 2.35706 06 10.8012 0.5991 1.4824 12.2836 0.0000 12.2836 2.3302 2.51077 07 10.4630 1.1494 1.8206 12.2836 0.0000 12.2836 2.2572 2.38778 08 10.4942 0.7087 1.7894 12.2836 0.0000 12.2836 2.2640 2.48249 09 10.0662 2.1731 2.2174 12.2836 0.0000 12.2836 2.1716 2.179510 10 10.5996 0.6048 1.6840 12.2836 0.0000 12.2836 2.2867 2.507011 01 11.0341 1.1733 1.2495 12.2836 0.0000 12.2836 2.3804 2.395312 02 10.6885 1.5450 1.5951 12.2836 0.0000 12.2836 2.3059 2.315313 03 10.8689 0.4600 1.4148 12.2836 0.0000 12.2836 2.3448 2.542414 04 10.9949 1.1601 1.2887 12.2836 0.0000 12.2836 2.3720 2.397115 05 10.6609 0.7606 1.6228 12.2836 0.0000 12.2836 2.2999 2.473516 06 11.0341 1.2343 1.2495 12.2836 0.0000 12.2836 2.3804 2.383417 07 10.9648 0.2649 1.3189 12.2836 0.0000 12.2836 2.3655 2.587518 08 10.8973 0.3746 1.3863 12.2836 0.0000 12.2836 2.3509 2.561919 09 11.1420 0.9786 1.1417 12.2836 0.0000 12.2836 2.4037 2.436020 10 10.6702 1.5848 1.6134 12.2836 0.0000 12.2836 2.3019 2.307321 01 11.2870 0.9664 0.9966 12.2836 0.0000 12.2836 2.4350 2.441022 02 11.4736 0.0029 0.8100 12.2836 0.0000 12.2836 2.4753 2.649323 03 11.4736 0.8084 0.8100 12.2836 0.0000 12.2836 2.4753 2.475624 04 11.1780 1.0697 1.1056 12.2836 0.0000 12.2836 2.4115 2.418625 05 11.1777 0.4873 1.1059 12.2836 0.0000 12.2836 2.4114 2.539326 06 10.9817 0.7507 1.3019 12.2836 0.0000 12.2836 2.3691 2.480427 07 11.3409 0.4852 0.9427 12.2836 0.0000 12.2836 2.4466 2.541328 08 11.2065 0.4257 1.0771 12.2836 0.0000 12.2836 2.4176 2.553029 09 11.4438 0.2538 0.8399 12.2836 0.0000 12.2836 2.4688 2.592530 10 11.0805 1.1970 1.2031 12.2836 0.0000 12.2836 2.3904 2.391631 5 0.1759 0.2316 0.2774 0.4533 0.0000 0.4533 1.0207 1.135532 10 0.2211 0.2206 0.2866 0.5077 0.0000 0.5077 1.1454 1.316533 20 0.1796 0.1729 0.2217 0.4013 0.0000 0.4013 1.1772 1.340134 30 0.3703 0.3641 0.4118 0.7821 0.0000 0.7821 1.2451 1.326035 5 0.4882 0.4920 0.5156 1.0038 0.0000 1.0038 1.2791 1.310036 10 0.4746 0.4037 0.4642 0.9388 0.0000 0.9388 1.3296 1.421237 20 0.5373 0.7516 0.7634 1.3007 0.0000 1.3007 1.0863 1.096338 30 0.2208 0.1363 0.1686 0.3894 0.0000 0.3894 1.4915 1.626439 5 0.2433 0.2914 0.3178 0.5611 0.0000 0.5611 1.1406 1.196740 10 0.5672 0.6184 0.6573 1.2245 0.0000 1.2245 1.2182 1.258241 20 0.1349 0.0716 0.1467 0.2816 0.0000 0.2816 1.2596 1.717642 30 0.7492 -0.5457 0.5758 1.3250 0.0000 1.3250 1.4870 9.681843 01 0.0435 0.0557 0.0618 0.1053 0.0000 0.1053 1.0858 1.152644 02 0.1174 0.1622 0.1816 0.2990 0.0000 0.2990 1.0328 1.104445 03 0.2090 0.3432 0.3497 0.5587 0.0000 0.5587 0.9841 0.995646 04 0.0834 0.0732 0.0899 0.1733 0.0000 0.1733 1.2654 1.4005

ID

AFU

AMU

MUESTRA

CAOLIN

ADG

AFUC

AMUC

ADGC



62


POROSIDAD REAL

POROSIDAD IDEAL 1

POROSIDAD IDEAL 2

POROSIDAD INICIAL

POROSIDAD MICROFOTO

POROSIDAD NO INTRUIDA

POROS NO INTRUIDOS

POROS INTRUIDOS

RADIO HIDRÁULICO

No. [%] [%] [%] [%] [%] [%] [%] [%] [m]

1 01 11% 18% 11% 46% 37% 1% 11% 89% 0.00001272 02 14% 0% 0% 46% 37% 14% 100% 0% 0.00015483 03 11% 2% 1% 46% 37% 10% 91% 9% 0.00024434 04 11% 0% 0% 46% 37% 11% 99% 1% 0.00122175 05 11% 0% 0% 46% 37% 11% 100% 0% -6 06 12% 14% 8% 46% 37% 5% 40% 60% 0.00001967 07 15% 12% 6% 46% 37% 9% 63% 37% 0.00003748 08 15% 18% 10% 46% 37% 6% 40% 60% 0.00001319 09 18% 1% 0% 46% 37% 18% 98% 2% 0.000392110 10 14% 17% 10% 46% 37% 5% 36% 64% 0.000011611 01 10% 1% 1% 46% 37% 10% 94% 6% -12 02 13% 1% 0% 46% 37% 13% 97% 3% 0.000705213 03 12% 15% 8% 46% 37% 4% 33% 67% 0.000040414 04 10% 2% 1% 46% 37% 9% 90% 10% 0.001139515 05 13% 14% 8% 46% 37% 6% 47% 53% 0.000071716 06 10% 0% 0% 46% 37% 10% 99% 1% -17 07 11% 16% 9% 46% 37% 2% 20% 80% 0.000058318 08 11% 16% 9% 46% 37% 3% 27% 73% 0.000012619 09 9% 3% 1% 46% 37% 8% 86% 14% 0.000504720 10 13% 1% 0% 46% 37% 13% 98% 2% 0.001426621 01 8% 1% 0% 46% 37% 8% 97% 3% 0.000881222 02 7% 12% 7% 46% 37% 0% 0% 100% 0.000007923 03 7% 0% 0% 46% 37% 7% 100% 0% 0.000716224 04 9% 1% 0% 46% 37% 9% 97% 3% 0.000977625 05 9% 10% 5% 46% 37% 4% 44% 56% 0.000014226 06 11% 9% 5% 46% 37% 6% 58% 42% 0.000018927 07 8% 7% 4% 46% 37% 4% 51% 49% 0.000049028 08 9% 10% 6% 46% 37% 3% 40% 60% 0.000043329 09 7% 9% 5% 46% 37% 2% 30% 70% 0.000030930 10 10% 0% 0% 46% 37% 10% 99% 1% -31 5 61% 22% 10% 22% 51% 83% 17% 0.000017232 10 56% 24% 13% 21% 43% 77% 23% 0.000010633 20 55% 22% 12% 14% 43% 78% 22% 0.000030934 30 53% 12% 6% 7% 47% 88% 12% 0.000013835 5 51% 5% 2% 37% 49% 95% 5% 0.000027236 10 49% 12% 6% 34% 43% 87% 13% 0.000009537 20 59% 2% 1% 20% 58% 98% 2% 0.000031438 30 43% 13% 8% 17% 35% 81% 19% 0.000011939 5 57% 10% 5% 23% 52% 92% 8% 0.000024440 10 54% 7% 3% 21% 51% 94% 6% 0.000011641 20 52% 36% 27% 13% 25% 49% 51% 0.000002542 30 43% 61% 85% 7% -41% -95% 195% 0.000002243 01 59% 14% 6% 53% 90% 10% 0.000005144 02 61% 16% 6% 54% 89% 11% 0.000004545 03 63% 3% 1% 61% 98% 2% 0.000009046 04 52% 18% 10% 42% 81% 19% 0.0000015

ID

AFU

AMU

MUESTRA

CAOLIN

ADG

AFUC

AMUC

ADGC



63

Figura 3.15 Distribución de tamaños de poros a partir de MIP (Porosímetro de Intrusión de Mercurio)

Figura 3.16 Distribución de tamaños de poros a partir de CRA (Curvas de Retención de Agua)



64

3.8 GEOMETRÍA FRACTAL

La geometría fractal en los últimos años ha recibido especial atención debido a que describe mejor los objetos de la naturaleza que la geometría clásica o Euclidiana. Actualmente los fractales se utilizan en diferentes aplicaciones en todas las ramas de la ciencia arrojando mejores resultados en la descripción de los fenómenos físicos. En el desarrollo de un proyecto de investigación se estudió la influencia de la geometría fractal en la conductividad hidráulica, para determinar de una manera más real la forma de los poros. A continuación se presenta una descripción del trabajo de obtención de secciones delgadas y el análisis de la geometría fractal de los poros.

3.8.1 Microfotografías de secciones delgadas

Mediante el análisis de las secciones delgadas, a una escala adecuada, realizadas en el proyecto de investigación “Aplicación de la geometría fractal al análisis de la conductividad hidráulica en suelos granulares” desarrollado por Niño & Tovar (2003), se hizo necesario utilizar imágenes aumentadas de diversos puntos de las secciones. La Fotografía 3.7 muestra las tomas a la Arena Fina Uniforme (AFU) con una escala 20X, y la Fotografía 3.8 las muestra a una escala mayor, 100X. La Fotografía 3.9 y la Fotografía 3.10 ilustran tomas a 20X de las secciones delgadas de las arenas media uniforme (AMU) y de diferente gradación (ADG). Las fotografías obtenidas de los tres tipos de suelos se diferencian fácilmente entre si no solo por el tamaño promedio de partículas sino también por la distribución y el tamaño de poros (Niño & Tovar, 2003).

SECCIÓN TRANSVERSAL SECCIÓN LONGITUDINAL

Fotografía 3.7 Fotografía a 40X de lámina delgada para AFU (Sin escala) (Adaptado de Niño & Tovar, 2003)


Fotografía 3.8 Fotografía a 100X de lámina delgada para AFU (Sin Escala) (Adaptado de Niño & Tovar, 2003)



65


Fotografía 3.9 Fotografía a 20X de lámina delgada para AMU (Sin Escala) (Adaptado de Niño & Tovar, 2003)


Fotografía 3.10 Fotografía a 20X de lámina delgada para ADG (Sin escala) (Adaptado de Niño & Tovar, 2003)

Un análisis mas detallado de las fotografías indica que existe anisotropía que no es muy evidente entre la sección trasversal (en sentido perpendicular al flujo de impregnación) y la sección longitudinal (en el sentido del flujo de impregnación). El proceso de impregnación de las muestras con una resina epóxica de cierta viscosidad induce compactación, es decir un acomodamiento adicional de las partículas dentro de la masa de suelo para facilitar el tránsito de la resina a través de los poros (Niño & Tovar, 2003).

3.8.2 Geometría fractal y dimensión fractal

La dimensión fractal es una cuantificación numérica de la irregularidad que pueden presentar las formas de la naturaleza en varios aspectos, contorno, superficie o volumen. Los suelos granulares, objeto de este estudio, pueden ser caracterizados de las tres formas, siendo la más apropiada para nuestro caso, la dimensión fractal de perfil cerrado, por caracterizar la rugosidad de la sección transversal de un poro o grano de suelo. Para ello se analizaron las secciones delgadas presentadas anteriormente. Varios métodos se han desarrollado para medir la dimensión fractal de formas cerradas, así como de aquellos que forman los límites de los poros, los métodos más comúnmente utilizados para este análisis son: método de cajas, método divisor y método de líneas paralelas. Con base en el anterior análisis se concluyó que todos los datos de dimensión fractal de perfil cerrado, obtenidos para los poros de los tres suelos estudiados, tienden a un valor central o media que será el valor asumido para los modelos a aplicar. La Tabla 3.15 presenta los valores medios de dimensión fractal definidos para los tres tipos de suelos.



66

Tabla 3.15 Valores de dimensión fractal de poros de los suelos estudiados (Adaptado de Niño & Tovar, 2003)

AFU AMU ADG SECCIÓN POROS GRANOS POROS GRANOS POROS GRANOS

Transversal 1.115 1.100 1.146 1.043 1.110 1.085

Longitudinal 1.117 1.056 1.057 1.054 1.066 1.063

Esta dimensión fractal corresponde a la llamada “Dimensión fractal de perfil cerrado”, cuyos valores oscilan entre 1.0 y 2.0, lo que significa que los valores cercanos a 1, indican una rugosidad baja o nula (la dimensión fractal de un círculo es 1.0), mientras que los cercanos a 2, indican una rugosidad muy alta. Los datos obtenidos, a simple vista indican una rugosidad baja, es decir, los poros de los suelos estudiados están definidos por perfiles no muy rugosos, siendo el valor más alto el obtenido para la sección transversal de la arena media. La Tabla 3.15 sugiere que la dimensión fractal de poros de un suelo, es superior a la dimensión fractal de los granos que lo conforman, ya que la rugosidad de un poro, depende de la rugosidad de las partículas que lo limitan y de los vértices y formas complejas que se presentan en las uniones entre los granos. En esta tabla puede observarse otro fenómeno; en la arena media, los valores de dimensión fractal de poros presentan las mayores variaciones entre aquellos que caracterizan a la sección transversal y longitudinal, pero las diferencias son las menores de los tres suelos, si se comparan los valores de dimensión fractal de granos; en la arena fina pasa lo contrario, entre tipos de secciones los valores presentan las mayores diferencias para la dimensión fractal de granos y las menores para la dimensión fractal de poros. Esto conlleva a definir dos tipos de anisotropía, la primera es determinada por el arreglo de granos y la segunda por la geometría de los poros que se conforman en el arreglo (Niño & Tovar, 2003). Con base en el estudio de la geometría fractal de los poros de las arenas estudiadas, se planteo un nuevo método para el cálculo de la conductividad hidráulica, el cual es presentado en el capítulo 5.


CAPÍT

ULO

M

odel

o de

Con

duct

ivid

ad H

idrá

ulic

a en

Sue

los

Análisis Estadístico

CONTENIDO

Pág. 4.1 INTRODUCCIÓN...................................................................................................................................... 71 4.2 DENSIDAD Y DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑOS DE POROS .................................................................... 71 4.3 INFERENCIA ESTADÍSTICA ................................................................................................................... 76


C A P Í T U L O 4 ANÁLISIS ESTADÍSTICO

70

FIGURAS

Pág.

Figura 4.1 Ejemplo de la frecuencia del tamaño de poros obtenido mediante MIP ............................................... 75 Figura 4.2 Ejemplo de la función de densidad de tamaños de poros .................................................................... 75 Figura 4.3 Histogramas y polígonos de frecuencia................................................................................................ 79 Figura 4.4 Ajuste de la función de densidad y la función acumulada de tamaños de poros a las distribuciones de

probabilidad, para AFU .................................................................................................................................. 81 Figura 4.5 Ajuste de la función de densidad y la función acumulada de tamaños de poros a las distribuciones de

probabilidad, para AMU ................................................................................................................................. 82 Figura 4.6 Ajuste de la función de densidad y la función acumulada de tamaños de poros a las distribuciones de

probabilidad, para ADG.................................................................................................................................. 83

TABLAS

Pág.

Tabla 4.1 Funciones de distribución de variable continua analizadas (Tomado de Kottegoda & Rosso,1997)..... 76 Tabla 4.2 Formas de cálculos de los parámetros desconocidos de las distribuciones a partir del método de los

momentos ...................................................................................................................................................... 77 Tabla 4.3 Estadísticos descriptores de los tamaños de poros en las arenas estudiadas, en diferentes escalas .. 78Tabla 4.4 Estimadores de las distribuciones de probabilidad para el estudio, en escala aritmética...................... 78 Tabla 4.5 Puntos porcentuales de rechazo de la hipótesis nula en la prueba K-S (Adaptado de Scheaffer &

McClave, 1995) .............................................................................................................................................. 80


CAPÍTULO

4 ANÁLISIS ESTADÍSTICO

4.1 INTRODUCCIÓN

Como se presentó en el Capítulo 2, el medio poroso se puede representar mediante modelos. Un modelo se desarrolla con el propósito de representar y estudiar la realidad, pero en la mayoría de los análisis no es necesario considerar todos sus detalles, por lo tanto, el modelo no sólo es sustituto de la naturaleza sino también su simplificación (Azarang & García, 1996). Los modelos pueden ser simbólicos, los cuales utilizan un conjunto de símbolos en lugar de una entidad física para representar el medio. Estos modelos pueden ser determinísticos donde las variables no se ven afectadas por variaciones aleatorias y se conocen con exactitud, o estocásticos o probabilísticos, en donde las variables dentro del modelo sufren variaciones que pueden ser manejadas mediante distribuciones de probabilidad.

Las distribuciones de probabilidad y los valores esperados de las características geométricas observables son ideales para una caracterización geométrica general. Esta precisión debe cumplir a cabalidad con cuatro criterios para que su aplicación sea útil. Primero, deben ser bien definidos (distribución de probabilidad y estadísticos), aunque con algunas excepciones, así las distribuciones de tamaños de poros medidas con intrusión de mercurio no son características geométricas observables en el sentido que no puede ser determinada a partir del conocimiento de sólo la geometría de las partículas, y pueden ser comparadas con las curvas de retención que determinan las distribuciones de tamaños de poros a partir de cálculos que involucran cantidades físicas como la tensión superficial y la viscosidad. Segundo, la caracterización geométrica deber ser directamente accesible en experimentación. Tercero, la implementación numérica no debe requerir grandes cantidades de datos. Esto significa que la cantidad de datos debe ser manejable por la tecnología actual. Finalmente, la caracterización geométrica debe ayudar en los cálculos teóricos de una manera exacta o aproximada (Hilfer, 2000).

Este capítulo demuestra mediante procesos de inferencia estadística, que la distribución de probabilidad GAMMA representa con un nivel de confianza del 95%, las distribuciones de tamaños de poros de arenas de diferentes gradaciones medidas con el porosímetro de mercurio, mientras que la distribución LOG-NORMAL lo hace para las arenas uniformes.

4.2 DENSIDAD Y DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑOS DE POROS

La distribución de tamaños de poros (PSD) muestra el volumen acumulado de poros intruidos como una función del diámetro aparente de poros. Por conveniencia matemática algunos autores prefieren presentar la PSD como una función adimensional. Otros han propuesto funciones de densidad de tamaño de poros derivada a partir de la distribución de tamaños de poro (Juang & Holtz, 1986), las cuales son útiles para el cálculo de la conductividad hidráulica saturada. Los sistemas de poros de todos los suelos tienen una geometría extremadamente compleja. Para caracterizar una fábrica particular de un suelo se analizaron los tamaños de poros y su distribución. Éste es un concepto algo abstracto, pues en efecto, no es clara la definición de la forma ni del tamaño del poro y por supuesto su



72 distribución. Las siguientes son las suposiciones en las que se basa la función de densidad del tamaño del poro, planteadas por Juang & Holtz en 1986: El diámetro del poro en cualquier punto dentro del espacio puede ser considerada como una variable

aleatoria X, donde X es el diámetro de la esfera más grande que puede estar contenida dentro del espacio de poros.

Cada punto en el espacio muestral tiene un diámetro de poro. Una función de distribución del diámetro del poro es establecida, determinando que fracción del espacio de

poros que ocupa cada diámetro . La función de densidad de tamaños de poro se puede determinar de manera indirecta aplicando técnicas de probabilidad en la distribución de tamaños del grano o usando técnicas electrónicas de microscopio (SEM), mediante técnicas de succión capilar o con un método más apropiado como la intrusión de mercurio. La función de masa o acumulada de distribución de tamaños de poros FX, es representada en la [Ec. 4.1]:

( ) ( )X Xx

F x f x dx∞

= ∫ [Ec. 4.1]

donde fX es la función de densidad de probabilidad del diámetro del poro, donde:

( )X0

f x dx 1∞

=∫ [Ec. 4.2]

FX define el valor de la probabilidad de que una variable tome un valor determinado (x≥X). La probabilidad de poros con diámetros variando entre x y x+dx es definida como fX(x)dx. Sí además denotamos el volumen de poros con diámetros entre x y x+dx como dV se tiene que:

( ) ( )XdV s x f x dx= [Ec. 4.3]

donde s(x) es el parámetro volumétrico de forma, el cual es una función de x y depende del modelo de forma de poro escogido. De la Ecuación de Washburn [Ec. 2.11] se asume que la tensión superficial y el ángulo de contacto son constantes por lo que el producto Px es constante. Derivando se tiene que:

( )Px C

d Px dCPdx xdP 0

xdx dPP

=

=

+ =

= −

[Ec. 4.4]

sustituyendo en la [Ec. 4.3] se obtiene:



73

( ) ( )XdPdV s x f x xP

= − [Ec. 4.5]

Introduciendo el valor constante VV (Volumen total de poros de la muestra) en la [Ec. 4.5] se tiene:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

v

v X

vX

d V V dVdPd V V s x f x xP

d V VPf xx s x dP

− = −

− =

−=

[Ec. 4.6]

El término VV-V es el volumen de poros con diámetro igual o mayor que x; y P es la presión correspondiente requerida para intruir mercurio en poros de diámetro x. El problema para encontrar la solución de la [Ec. 4.6] es la determinación de s(x), una alternativa consiste en la introducción de la función volumétrica de tamaño de poros, definida como:

( ) ( ) ( )vX Xf x s x f x= [Ec. 4.7]

Sustituyendo la [Ec. 4.6] en la [Ec. 4.5] se obtiene que:

( ) ( )vvX

d V VPf xx dP

−= [Ec. 4.8]

Sustituyendo la [Ec. 4.4] en la [Ec. 4.8] se obtiene que:

( ) ( )vvX

d V Vf x

dx−

= − [Ec. 4.9]

Integrando la [Ec. 4.9] entre x y ∞ se tiene que: ( ) ( )

( ) ( )

( )

v

vX v

V V

vX vx 0

vX v

f x dx d V V

f x dx d V V

F x V V

∞ −

= − −

= − −

= −

∫ ∫ [Ec. 4.10]

La [Ec. 4.10] representa la función acumulada de distribución complementaria de tamaño de poros, llamada a menudo, distribución de tamaños de poros (PSD). Por conveniencia matemática es preferible expresar la PSD en términos adimensionales o normalizados, con el volumen de vacíos o con el peso total. La función de distribución acumulada del tamaño de poros, definida como Fpx es:

( ) vpx pX

vx

V VF f x dx 100%V

∞ −= = ×∫ [Ec. 4.11]

o:



74

( ) vpx pX

Tx

V VF f x dx 100%W

∞ −= = ×∫ [Ec. 4.12]

La función de densidad de tamaño de poros en porcentaje es definida como:

( ) ( )vpx

v

d V V1f x x100V dx⎡ − ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

[Ec. 4.13]

o:

( ) ( )vpx

T

d V V1f x x100W dx

⎡ − ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦ [Ec. 4.14]

Para aproximar la función de densidad a un histograma de frecuencias se grafica en las ordenadas el volumen

normalizado ( )v

v

V VV

⎛ ∆ − ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

o ( )v

T

V VW

⎛ ∆ − ⎞⎜⎝ ⎠

⎟ contra x (en escala aritmética o logarítmica), como lo muestra la

Figura 4.1 de los datos de la distribución de tamaños de poros. Para una buena aproximación, la longitud de clase ∆ x debe estar entre 0.1 y 0.2 (Juang & Holtz, 1986a). La función de densidad de tamaños de poros puede ser aproximada conectando los puntos (di , f(di)), donde di, es la marca de clase de cada intervalo, calculada como la [Ec. 4.14]:

( ) ( )i i 11d x2 − ix= + [Ec. 4.15]

y f(di) es la densidad de probabilidad en di, la cual se calcula como sigue:

( )

( )v

vi

V VVf d

x

∆ −

=∆

[Ec. 4.16]

o:

( )

( )v

Ti

V VWf d

x

∆ −

=∆

[Ec. 4.17]



75

a. Histograma de Frecuencias

b. Aproximación de la función de densidad de tamaños de poros, PSD

c

Xi-1 Xi

Frec

uenc

ia, ∆

(VT

–V) /

VT

Diámetro del Poro, X o LOG X


[di , f(di)]

a. Histograma de Frecuencias

b. Aproximación de la función de densidad de tamaños de poros, PSD

c

Xi-1 Xi

Frec

uenc

ia, ∆

(VT

–V) /

VT



[di , f(di)]

Figura 4.1 Ejemplo de la frecuencia del tamaño de poros obtenido mediante MIP

Aplicando el procedimiento explicado anteriormente a los datos obtenidos mediante MIP, se producen los histogramas que muestran la frecuencia de tamaño de poros, y la función de densidad de tamaño de poros (Figura 4.2).

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

00.1 1.0 10 100 1000

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

00.1 1.0 10 100 1000

Diámetro del Poro

PSD

Diámetro del Poro

Func

ión d

e de

nsida

d de

tama

ños d

e po

ros 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

00.1 1.0 10 100 1000

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

00.1 1.0 10 100 1000

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

00.1 1.0 10 100 1000

Diámetro del Poro

PSD

Diámetro del Poro

Func

ión d

e de

nsida

d de

tama

ños d

e po

ros

Figura 4.2 Ejemplo de la función de densidad de tamaños de poros



76

4.3 INFERENCIA ESTADÍSTICA

Con los datos corregidos por los efectos del filtro de sinter1 de las probetas de ensayo, de la pruebas de MIP, se procedió al cálculo de las funciones de densidad de tamaño de poros. Estos datos son analizados estadísticamente, calculándole a cada arena estudiada, la media, la varianza (y la desviación estándar), la moda, la mediana, el coeficiente de asimetría, el coeficiente de curtosis y el coeficiente de variación. Estos estadísticos caracterizan la localización central, la dispersión y asimetría de sus histogramas (Kottegoda & Rosso, 1997). Asumiendo que la PSD es posible estudiarla como variable aleatoria continua, puede determinarse su función de densidad de probabilidad, pdf. La Tabla 4.1 presenta los cuatro tipos de distribuciones analizadas en esta investigación. Los parámetros estadísticos obtenidos sirven para estimar el ajuste de las funciones de densidad de tamaño de poro medida a las distribuciones de probabilidad. En la misma tabla se presenta la forma de calcular la media, µx o valor esperado, E[X], y la varianza (σx2), Var[X]. La [Ec. 4.18] muestra la forma de calcular el valor esperado y la [Ec. 4.19] como calcular la varianza a partir del valor esperado.

[ ] ( )x XE X xf x dx∞

−∞

µ = = ∫ [Ec. 4.18]

[ ] [ ]( )22 2

X Var X E X E X⎡ ⎤σ = = −⎣ ⎦ [Ec. 4.19]

Tabla 4.1 Funciones de distribución de variable continua analizadas (Tomado de Kottegoda & Rosso,1997)

DISTRIBUCIÓN FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD E[X] Var[X]

Normal 21 1 xexp

22⎡ ⎤−µ⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟σσ π ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

µ 2 σ

Log-Normal ( ) 2

*2

**

ln x1 exp2x 2

⎧ ⎫−⎡ −µ ⎤⎪ ⎪⎣ ⎦⎨ ⎬

σσ π ⎪ ⎪⎩ ⎭

2*

*exp2

⎛ ⎞σµ +⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )2 2* * * *exp 2 2 exp 2µ + σ − µ +σ

Gamma ( )r r 1 xx e

r

− −λλΓ

rλ

2rλ

Beta ( ) ( ) 111 x 1 x,

β−α− −Β α β

α

α+β

( ) ( )2 1αβ

α+β α +β+

* µ y σ son la media y la desviación estándar del ln(x). En la tabla anterior se mostraron las funciones gamma (Γ) y beta (Β), las cuales se calculan mediante las siguientes ecuaciones: 1 Vidrio pulverizado con una porosidad determinada.



77

( )r 1 x

0

x e dx para r 0r

0 en otro c

∞− −

⎧>⎪

Γ = ⎨⎪⎩

∫aso

[Ec. 4.20]

( ) ( ) ( ) ( )( )

11, x 1 x dxβ−α− Γ α Γ βΒ α β = − =

Γ α+β∫ [Ec. 4.21]

En la función gamma, r es conocido como el parámetro de forma de la distribución, y λ es llamado el parámetro de escala. En la [Ec. 4.21], se presentan los parámetros α y β, los cuales son constantes positivas. Para observar la relevancia de los datos muestreados, y poder tomar decisiones sobre la población, la cual incluye todas las posibles observaciones del proceso estudiado, se aplicará inferencia estadística, es decir que se asume que la distribución de la población es conocida, y por lo tanto, se asume que los estadísticos de las muestras son equivalentes a los de la población, suponiendo además que la muestra es aleatoria. En este contexto, el término “sesgo” es relativo a un estimador, el cual es un método de obtención del valor de un parámetro de la muestra. Existen diferentes métodos estimadores, como el método de los momentos, de la probabilidad ponderada, de L-momentos, de máxima verosimilitud, de estimación bayesiana, métodos de mínimos cuadrados, entropía, el método jackknife (de “herramienta útil por implicación”), el método bootstraps (“levantándose uno mismo luego de pisar los cordones de las botas”), y métodos basados en kernel. El presente estudio usó el procedimiento más ampliamente conocido, como lo es el de los momentos. Este método consiste en igualar los valores de los momentos de la muestra a los teóricos de las distribuciones para estimar los parámetros. La Tabla 4.2 presenta la forma de calcular los parámetros desconocidos de las distribuciones para observar su ajuste. En la Tabla 4.3 se presentan los estadísticos descriptivos de los tamaños de poro de las tres arenas estudiadas. Estos datos fueron obtenidos a partir de los histogramas, presentados en la Figura 4.3. En la Tabla 4.4 aparecen los valores de los estimadores de cada una de las funciones de distribución de probabilidad, para los tres tipos de arenas de la presente investigación.

Tabla 4.2 Formas de cálculos de los parámetros desconocidos de las distribuciones a partir del método de los momentos

DISTRIBUCIÓN Parámetro 1 Parámetro 2

Normal ˆ xµ = 2 2ˆˆ sσ =

Log-Normal 2

* 21 xˆ ln

s2 1x

⎛ ⎞⎜ ⎟

µ = ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2* 2

sˆ ln 1x

⎛ ⎞σ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Gamma 2

2xrs

= 2xˆs

λ =

Beta ( )2

2xˆ x 1s

xα = + − ( )3 2 2

2

ˆ ˆx 2x 1 s x sˆs

2− + − +β =

Donde x y son la media y la varianza estimadas a partir de datos de las muestras para la población.

2s



78

Tabla 4.3 Estadísticos descriptores de los tamaños de poros en las arenas estudiadas, en diferentes escalas

MEDIA M M DEES A C

E CDE

[ [µ [µ [µ [-] [-]

EDIANA ODA SVIACIÓN TÁNDAR V RIANZA D

OEFICIENTE ASIMETRÍA

OEFICIENTE CURTOSIS

COEFICIENTE DE

VARIACIÓN ARENA

[µm] µm] m] m] m2] [%] ARITMÉTICA 31.968 2 24. 12. 16 3. 17.031 986 764 2.926 190 5.309 40%

NORMAL 0.222 0 0. 0.089 0.008 3. 1

3 3. 0.290 0.084 1. 7.

2 27. 1.242 1.542 -1. 1

.196 177 190 5.309 40% AFU

LOG 3.414 .220 218 903 073 8%

ARITMÉTICA 28.026 7.330 524 410 9.813 4%

NORMAL 0.717 0 0. 0.032 0.001 -1. 1

3 3. 0.044 0.002 -1. 2

0 0. 5.627 31. 3. 1

.680 704 410 9.813 4% AMU

LOG 3.334 .282 315 971 4.485 1%

ARITMÉTICA 2.751 .870 501 658 419 4.334 204%

NORMAL 0.088 0 0. 0.180 0.032 3. 1

0 3. 0.210 0.044 2. 5

.028 016 419 4.334 204% ADG

LOG 2.025 .213 336 217 0.834 10%

Tabla 4.4 Estimadores de las distribuciones de probabilidad para el estudio, en escala aritmética

NORMAL L ˆ 2 *

LOG NORMA GAMMA BETA µ s µ 2

* s λ r α β ARENA

m] 2] 2] ] 68 26 4 7

[µ [µm [µm] [µm [µm-1 [-] [-] [-] AFU ARITMÉTICA 31.9 162.9 1.22 0.00 28.281 6.723 4.660 16.349

AMU ARITMÉTICA 26 42 4 5

25 44 0 6

28.0 1.5 1.20 8.64 18.172 509.282 143.249 56.452

ADG ARITMÉTICA 2.0 0.0 0.70 4.54 0.087 0.239 0.306 3.169

El siguiente paso consistió en escoger la distribución de probabilidad que mejor representará la densidad y distribución de los tamaños de poros en los suelos analizados. Mediante las pruebas de bondad de ajuste χ2 (chi o ji-cuadrado) y K-S (Kolmogorov-Smirnov). La primera prueba ajusta la función de densidad, partiendo de la hipótesis nula de que la función de densidad de tamaños de poros se ajusta a la función de probabilidad determinada. La medida estadística de esta hipótesis nula está dada por la expresión:

( )2ki i2

ii 1

ˆF E[F ]X

E[F ]=

−=∑ [Ec. 4.22]

Donde F es el valor de la densidad medido y E el valor esperado según la función de densidad a la que se quiera ajustar. Cuando el tamaño de la muestra es muy grande, esta medida estadística tiene una distribución χ2 aproximada con grados de libertad representados por (k-1)-(número de parámetros estimados). Esta prueba da un indicio de si es posible o no rechazar la hipótesis nula. Es decir sólo si X2≥χ2 se podría rechazar la hipótesis nula. La prueba K-S, se utilizó en el presente estudio para corroborar resultados de la prueba χ2. La medida estadística K-S también compara la densidad medida contra la teórica estimada, planteando la misma hipótesis nula. Esta medida se basa en la distancia máxima entre la función teórica y empírica, representada por Fn(y), la cual es definida por la [Ec. 4.23] . La distancia está dada por la [Ec. 4.24].



79

(a) AFU

(b) AMU

(c) ADG

Figura 4.3 Histogramas y polígonos de frecuencia



80

( ) i 1 in

n

i 1 si y y yF y n

1 si y y

−

+⎧ ≤ ≤⎪= ⎨⎪ ≥⎩

[Ec. 4.23]

( ) ( )nyD max F y F y= − [Ec. 4.24]

Es decir que la hipótesis nula se rechaza si D es demasiado grande. Stephens en 1974 (en Sheaffer & McClave, 1993) presentó los puntos porcentuales del extremo superior de D, según el nivel de confianza del ajuste para rechazar o no la hipótesis nula. Estos valores se presentan en la Tabla 4.5

Tabla 4.5 Puntos porcentuales de rechazo de la hipótesis nula en la prueba K-S (Adaptado de Scheaffer & McClave, 1995)

NIVEL DE CONFIANZA ÁREA DEL EXTREMO SUPERIOR

0.15 1.138

0.10 1.224

0.05 1.358

0.025 1.480

0.01 1.626

Para la comparación de valores se usa la formula D modificada, presentada a continuación:

mod0.11D D n 0.12

n⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

[Ec. 4.25]

Donde n es el tamaño de la población. La hipótesis nula se puede rechazar si Dmod es mayor o igual al área del extremo superior, explicado anteriormente. Según las pruebas de bondad de ajuste, con un nivel de confianza del 95%, ADG se puede representar con funciones de probabilidad gamma o beta, AMU, no se puede representar acertadamente con este nivel de confianza por ninguna de las cuatro distribuciones estudiadas y AFU por la LOG-NORMAL o la GAMMA. Esta investigación determinó que la distribución y la densidad de tamaños de poros en las arenas uniformes del presente estudio se ajustan a una distribución de probabilidad LOG-NORMAL, mientras que las arenas de diferentes gradaciones a una distribución de probabilidad GAMMA La Figura 4.4 muestra los ajuste a las funciones de densidad y a las distribuciones acumuladas, para AFU, la Figura 4.5 para AMU y la Figura 4.6 para ADG. En la Figura 4.4 se aprecia que la PSD para AFU presenta una distribución bimodal, la cual presumiblemente se deba a la influencia de los poros del sinter de las prebetas. El efecto del valor modal menor puede despreciarse, notándose un buen ajuste en las colas de las distribuciones. Las distribuciones estudiadas tienen un problema en representar los valores extremos de la PSD de AFU. La distribución LOG-NORMAL es la que mejor predice estos valores altos, por lo que se concluye que no se puede despreciar el ajuste de la PSD a este tipo de funciones. La función gamma puede llegar a presentar mejores ajustes a los valores de densidad de probabilidad de los valores modales de AFU, con variaciones en su factor de escala, pero perdiendo ajuste con respecto a los demás valores, y por lo tanto disminuyendo en nivel de confianza de dichos ajustes.



81

Figura 4.4 Ajuste de la función de densidad y la función acumulada de tamaños de poros a las distribuciones de probabilidad, para AFU



82

La forma de la función de densidad de tamaños de poros de AMU, parece informar que el mercurio presentó problemas para definir la PSD en esta arena. Esto también tiene evidencia en las correcciones a la PSD hechas en el capítulo anterior donde se determinaron porosidades no intruidas de alrededor del 20 o 30%.

Figura 4.5 Ajuste de la función de densidad y la función acumulada de tamaños de poros a las distribuciones de probabilidad, para AMU



83 La Figura 4.6 muestra claramente la influencia de partículas de menor tamaño y por lo tanto poros de menor tamaño dentro de la ADG estudiada. En ella se nota que los valores modales de tamaños de poros son menores, por lo que la distribución de tipo LOG-NORMAL pierde notablemente ajuste mientras que los factores de forma y escala de la distribuciones GAMMA o BETA logran representar con el nivel de confianza del 95% las distribuciones medidas.

Figura 4.6 Ajuste de la función de densidad y la función acumulada de tamaños de poros a las distribuciones de probabilidad, para ADG


CAPÍT

ULO

Mod

elo

de C

ondu

ctiv

idad

Hid

rául

ica

en S

uelo

s

Modelación de la Conductividad Hidráulica

CONTENIDO

Pág.

5 MODELACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA ............................................................................. 89

5.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................. 89 5.2 DERIVACIONES DE LA LEY DE DARCY ........................................................................................... 91

5.2.1 Modelo de tubos capilares .............................................................................................................. 91 5.2.2 Modelo de Radio Hidráulico ............................................................................................................ 93 5.2.3 Modelo de García-Bengochea ........................................................................................................ 94 5.2.4 Modelo de Childs & Collins George – Marshall............................................................................... 95 5.2.5 Modelo de capilaridad equivalente.................................................................................................. 96 5.2.6 Modelo de Juang & Holtz ................................................................................................................ 97

5.3 PREDICCIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA ..................................................................... 98 5.4 CALIFICACIÓN Y AJUSTE DE LOS MODELOS EXISTENTES ....................................................... 101 5.5 INFLUENCIA DE LA DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑOS DE PARTÍCULAS Y DE POROS .................. 101 5.6 ANÁLISIS DE LA GEOMETRÍA FRACTAL DE LA FORMA DE LOS POROS .................................. 104


C A P Í T U L O 5 MODELACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

88

FIGURAS

Pág.

Figura 5.1 Modelos geométricos para el análisis de medios porosos ................................................................... 90 Figura 5.2 Modelos de tubos capilares (Adaptado de Bear, 1972)........................................................................ 92 Figura 5.3 Representación esquemática de la región de flujo (Adaptado de Juang & Holtz, 1986a).................... 94 Figura 5.4 Funciones que gobiernan el modelo de Juang & Holtz ........................................................................ 98 Figura 5.5 Modelo geométrico. (a) Caja llena con una esfera, (b) Caja llena con ocho esferas organizadas, (c)

Caja llena con ocho esferas desorganizadas. Tomado de Barrera & Muñoz (2003).................................. 102 Figura 5.6 Selección y análisis de VER en las microfotografías de secciones delgadas de las arenas. (a) AMU,

(b) AFU (Tomado de Niño & Tovar, 2003)................................................................................................... 103

TABLAS

Pág.

Tabla 5.1 Funciones de los Parámetros de Tamaño de Poro, PSP ...................................................................... 99 Tabla 5.2 Parámetros básicos y K medida en laboratorio de las arenas estudiadas (Tomado de Barrera & Muñoz,

y Niño & Tovar, 2003) .................................................................................................................................... 99 Tabla 5.3 Resultados del Cálculo de PSP y K para cada modelo y cada pdf ..................................................... 100 Tabla 5.4 Tamaño predominante en cada una de las arenas ............................................................................. 104 Tabla 5.5 Comparación de valores de dimensión fractal de poros y granos (Tomado de Niño & Tovar, 2003).. 104


CAPÍTULO

5 5 MODELACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

5.1 INTRODUCCIÓN

La medición in situ y en el laboratorio de la conductividad hidráulica de los suelos total y parcialmente saturados es extremadamente difícil, por tal motivo resultaría útil poder determinarla a partir de otras características obtenibles en los suelos. Existen métodos predictivos tradicionales como el de Hazen basado en el tamaño del grano, el cual tiene un uso limitado para suelos granulares y poca aplicabilidad en suelos finos (Juang & Holtz, 1986), y otros basados en las relaciones volumétricas como la porosidad y la relación de vacíos. Sin embargo, la relación entre los parámetros volumétricos y la conductividad hidráulica de un suelo no es sencilla, debido a que existe una fuerte dependencia de la tasa de flujo en el área, continuidad, forma y tortuosidad de los canales porosos; es decir, un medio compuesto de muchos poros pequeños probablemente tendrá una conductividad hidráulica de saturación más baja que un medio con pocos poros pero más grandes (Juang & Holtz, 1986).

Para propósitos teóricos, el espacio de poros es frecuentemente visto como un conjunto aleatorio (Hilfer, 2000), que para aplicaciones prácticas, es usualmente discretizado, dadas las limitaciones de medición.

Los materiales porosos son una subclase de sistemas desordenados y heterogéneos, ya que son una mezcla de sólidos y fluidos, y existen muchas formas de representarlos junto con sus propiedades; una de ellas es el Teorema Fundamental de Hadweiger, él cual enfatiza la importancia de las cuatro funciones teóricas para la caracterización geométrica del medio, explicadas en el capítulo anterior; o la teoría de la geometría local en el conjunto observable que no cubre el anterior teorema (Hilfer, 2000). También existen otras teorías que se basan en la importancia de funciones de correlación o de distribución de contacto entre partículas, en consecuencia, del estudio de la porosidad y de la superficie específica interna, pero no son suficientes para distinguir la infinidad de microestructuras porosas presentes. La relación planteada en la [Ec. 5.1] explica esta idea. La Figura 5.1 muestra los diferentes tipos de modelos para el estudio del medio poroso.

3 donde ,= ⊂∪S P M P M R [Ec. 5.1]

Donde el espacio de suelo, , está compuesto por el espacio de poros, , y la matriz sólida , todo planteado en un espacio tridimensional, .

S PM 3R

Una caracterización de un medio estocástico debe ser planteada por medio de características geométricas microscópicas observables, que permitan distinguir cuantitativamente en el medio diferentes comportamientos macroestructurales (Hilfer, 2000). En términos generales un medio estocástico es definido como una distribución de probabilidad en un espacio de geometrías o configuraciones.



90

1 Modelos de tubos capilares

2 Modelos de tajadas

3 Modelos de granos

4 Modelos de redes

5 Modelos de percolación

6 Modelos fractales

7 Modelos de reconstitución estocástica

8 Modelos diagenéticos

MODE

LOS

GEO

MÉTR

ICOS

Figura 5.1 Modelos geométricos para el análisis de medios porosos

El modelo geométrico más completo es el de reconstitución estocástica, el cual trata de relacionar la porosidad y las cantidades geométricas como la superficie específica, funciones de correlación, o distribuciones lineales o esféricas. Estos modelos se basan en estadística espacial (Hilfer, 2000). Esto es valido pues al aumentar las cantidades relacionadas, se aproxima mejor el modelo planteado. Para validar estos modelos es conveniente compararlos con modelos inspirados en la física y con medición de imágenes.

Los problemas físicos en la teoría de medios porosos, se pueden clasificar en dos tipos: directo e inverso. El problema directo se origina en información parcial sobre la configuración del espacio de poros. El problema deduce la información de la solución de valores de frontera o iniciales que son comparables experimentalmente. El inverso tiene gran interés práctico, pues correlaciona otras variables para visualizar la interfase interna o el contenido de fluido.

Esta tesis estudia características geométricas de muestras experimentales, para proponer un modelo, y compararlo con otros y analizar su veracidad. El modelo planteado es de tipo directo, pues se calculará la conductividad hidráulica (un parámetro de flujo difícil de medir) a partir de una propiedad de obtención más sencilla, como lo es la distribución de tamaños de poros.

Este capítulo, tiene como propósito efectuar el análisis de los resultados alcanzados. Los temas principales a tratar son: la evaluación y análisis de los modelos utilizados para la determinación de la conductividad hidráulica saturada y la evaluación de las CRA ajustadas de datos experimentales y extrapoladas a partir de la PSD medida por MIP. Se presentan también resultados obtenidos por Barrera & Muñoz (2003) que relacionan la influencia del tamaño y organización de las partículas sólidas en la distribución y organización de los poros, y resultados de Niño & Tovar (2003) quines analizaron la geometría fractal de la forma de los poros de las arenas estudiadas.

La evaluación de los modelos para la determinación de la conductividad hidráulica, comprende el análisis de diferentes aspectos, tales como la forma de las curvas, el planteamiento teórico de los modelos y los valores de conductividad obtenidos.



91

5.2 DERIVACIONES DE LA LEY DE DARCY

Se han realizado varios intentos para derivar las ecuaciones de movimiento en medios porosos a partir de principios básicos de la teoría de hidrodinámica. Esta sección incluye una descripción de la derivación de la Ley de Darcy en flujo saturado, usando modelos conceptuales. Entre estos se destacan:

Modelos basados en la teoría de los tubos capilares Modelos estadísticos, para reproducir las aleatoriedad del suelo. Modelos basados en el concepto de radio hidráulico. Modelo de resistencia al flujo, basado en equilibrio de fuerzas dentro del VER. Modelo de promedio de las ecuaciones de Navier – Stokes. Modelo de Ferrandon, para medio anisotrópicos. Modelo de grietas, para representar medios fracturados. Modelos basados en la geometría fractal

En esta sección se presentarán los primeros (basados en la teoría de tubos capilares). Los demás son exhibidos en los Anexos.

5.2.1 Modelo de tubos capilares

La base de este modelo es la ley de Hagen – Poiseuille, que describe el flujo estable a través de un tubo sencillo capilar circular y recto de diámetro, x, orientado en la dirección del flujo. La Ec. 5.2 muestra esta relación:

4

sx gQ h

128π ρ

= − ∇µ

y

4

2s

s 2

x g hQ x g128q h

xA 34

π ρ− ∇

ρµ2

= = = −π µ

∇ [Ec. 5.2]

Donde s es la longitud medida a lo largo del tubo, Qs es el caudal total y Vs es la velocidad media en el tubo. La analogía con la Ley de Darcy es que la permeabilidad del medio k es igual a x2/32 (Bear, 1972). Todas la relaciones desarrolladas a partir de la Ley de Hagen – Poiseuille guardan una relación lineal entre la velocidad y el gradiente hidráulico. La Figura 5.2a muestra un paquete de dichos tubos paralelos, todos del mismo diámetro, x, embebidos en un sólido. Si hay N tubos por unidad de área de sección transversal (ab) del modelo (normal a la dirección del flujo), por lo que el caudal específico a través del bloque poroso es:

4s s

sQ Q x gq NA ab 128

π ρ≡ = = − ∇

µh [Ec. 5.3]

La porosidad n del modelo está dada por

4

4xN L x4n NL 4

ππ

= = [Ec. 5.4]

Al reemplazar [Ec. 5.3] en [Ec. 5.4] se tiene que:



92

sk gq K h ρ

= − ∇ = − ∇µ

h , donde 2xk n

32= [Ec. 5.5]

L

b

a

(a)

(b)

(c)

Qs

L

b

a

(a)

(b)

(c)

Qs

Figura 5.2 Modelos de tubos capilares (Adaptado de Bear, 1972)

La [Ec. 5.5] es análoga a la Ley de Darcy, y considera algún diámetro promedio del poro. El coeficiente numérico 1/32 no trasciende más del actual modelo. Este es reemplazado por algún coeficiente arbitrario que debe ser determinado experimentalmente. Algunos autores sugieren reemplazarlo por la tortuosidad (Bear, 1972). Suponiendo un modelo de poros con tubos capilares no uniformes (Figura 5.2b) la [Ec. 5.3] se convierte en:

m 4s i

s i

i 1

Q x g gq N h k hab 128

=

π ρ ρ≡ = − ∇ = − ∇

µ µ∑ , con m 4

ii

i 1

x128

=

k N π=∑ [Ec. 5.6]

Donde Ni es el número de tubos de diámetro xi por unidad de sección transversal del medio. Una desventaja de los modelos discutidos es que estiman la conductividad hidráulica en una sola dirección. Para superar este inconveniente los modelos son modificados para que sólo un tercio de los tubos capilares se localice en cada una de las tres direcciones mutuamente ortogonales. Así define una conductividad hidráulica más baja [Ec. 5.7] que la planteada en la [Ec. 5.4].

2g nxK96

ρ=µ

[Ec. 5.7]

Scheidegger sugirió un arreglo del modelo de “paquete de tubos capilares” relacionando el diámetro promedio del paquete, x, a la distribución de tamaños de poros f(x) del medio, la cual está definida en el capítulo 2. De acuerdo con esta definición, f(x) dx representa la fracción del volumen de poros cuyos diámetros están entre x y x + dx. El volumen que toman los capilares en este intervalo de diámetros, paralelos a cualquiera de las tres direcciones mutuamente ortogonales, xi, en una parte del modelo de longitud ∆xi y área de la sección transversal normal a 1xi, es ( )i

1 n x f x dx3 ∆ ⋅ , y como el área frontal de esos capilares es ( )1 nf x dx3 , la velocidad de flujo es:



93

( ) ( ) ( )i i

2x x

i0 0

1 1 g hq n q x f x dx n x f x dx3 96 x

∞ ∞ρ ∂

= = −µ ∂∫ ∫ [Ec. 5.8]

Donde q xi(x) es la velocidad promedio en los capilares de diámetro x dada por [Ec. 5.3]. Por comparación con la ley de Darcy se obtiene:

( )2

0

n gK x f96

∞ρ

=µ ∫ x dx [Ec. 5.9]

Además se consideró el caso donde los tubos capilares son tortuosos y de diámetro variable (Figura 5.2b y Figura 5.2c) se sugiere la [Ec. 5.10].

( ) ( )222

60 0

g n 1K96T f x

x f x dx dxx

∞ ∞

ρ=µ ⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

[Ec. 5.10]

Donde T es el factor de tortuosidad (definido en el Capítulo 2) se expresa como el cuadrado de la relación entre la longitud del canal de flujo y la longitud total del medio poroso.

5.2.2 Modelo de Radio Hidráulico

En flujo en tuberías y canales abiertos el concepto de Radio Hidráulico, RH, es definido como la relación entre la sección transversal y el perímetro mojado. Otra definición para RH es la relación entre el volumen de un conducto lleno y su superficie mojada. Esta última definición combinada con una visualización del medio poroso como una red de canales interconectados, lleva a que RH se calcule como la relación n/M, donde n es la porosidad y M es la Superficie específica. Así, RH representa un radio hidráulico equivalente del extremadamente complicado flujo en los canales (Bear, 1792). Reemplazando en la Ecuación de Poiseuille para flujo en tubería, y reemplazando el diámetro del poro por 4RH, se obtiene que:

2H

sR gq h

2ρ

= − ∇µ

[Ec. 5.11]

Donde ρ es la densidad del agua, g es la aceleración de la gravedad, µ la viscosidad cinemática, h la carga hidráulica y s es la dirección del flujo. Si se asumen tubos capilares de un solo diámetro, k=nRH2/2 o si es un modelo con variedad de diámetros, k=nRH2/6. De la [Ec. 5.11] se puede despejar, teniendo en cuenta la Ley de Darcy, la forma de calcular la conductividad hidráulica:

2H

1 gK n R2ρ

=µ

[Ec. 5.12]

El valor de M puede calcularse con la [Ec. 5.13], y reemplazarse en la [Ec. 5.11] para calcular el radio hidráulico, como lo muestra la [Ec. 5.14].



94

( )Ni

ii 1

f xM 4n

x=

= ∑ [Ec. 5.13]

( ) ( )H N N

i i

i ii 1 i 1

n 1Rf x f x

4n 4x x

= =

= =

∑ ∑

[Ec. 5.14]

Finalmente, se puede generalizar la forma de cálculo de la conductividad hidráulica, mediante la [Ec. 5.16].

( )2N

i

ii 1

n g 1K2 f x

4x

=

ρ=

µ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∑

[Ec. 5.15]

( )2N

i

ii 1

1 g nK32 f x

x=

ρ=

µ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∑

[Ec. 5.16]

5.2.3 Modelo de García-Bengochea

Este modelo considera un suelo homogéneo con poros interconectados aleatoriamente distribuidos, en los que la probabilidad de que los poros con tamaños entre x y x + dx (x → x + dx) es fX(x)dx, donde fX(x) es la función de densidad. El término fX(x)dx representa la relación entre el volumen ocupado por los poros de tamaño entre x y x+dx y el área total de poros. Si se considera una columna de suelo de espesor ∆y y dos secciones transversales con idénticas funciones de densidad de tamaño de poro, como lo muestra la Figura 5.3, la probabilidad de que los poros entre xi→xi+dxi en la sección transversal i, estén conectados con los poros de tamaño xj→xj+dxj en la sección transversal j es PXi,Xj(xi,xj). Esta función, tiene dos casos extremos: El primero cuando ∆y >> x, donde la conexión entre los poros de las dos secciones transversales puede asumirse completamente aleatoria, por lo tanto:

( ) ( ) ( )i j i jX X i j X i X j i jP x x f x f x dx dx=, , [Ec. 5.17]

∆y

Variable Aleatoria, XiCon una función de densidad fX(xi)

Variable Aleatoria, Xj

Con una función de densidad fX(xj)fX(xi) = fX(xj)

∆y



Con una función de densidad fX(xj)fX(xi) = fX(xj)

Figura 5.3 Representación esquemática de la región de flujo (Adaptado de Juang & Holtz, 1986a)

El segundo, cuando ∆y→0, donde las conexiones entre los poros son completamente correlacionados, por lo que:



95

( ) ( ) ( )i j i jX X i j X i i X j jP x x f x dx f x d= =, , x [Ec. 5.18]

Para el primer caso, el cual es la suposición básica del modelo de Child & Collins-George, García-Bengochea propuso el siguiente modelo para el cálculo de la conductividad hidráulica:

( ) ( )2

2i j i

0 0

n gK x f x f x dx dx32

∞ ∞ρ

=µ ∫ ∫ j [Ec. 5.19]

El segundo caso, el cual es la clásica expresión del modelo capilar, García-Bengochea derivó la siguiente ecuación para el cálculo de la conductividad hidráulica:

( )2

2

0

n gK x f32

∞ρ

=µ ∫ x dx [Ec. 5.20]

5.2.4 Modelo de Childs & Collins George – Marshall

Aplicando el modelo del tubo capilar anteriormente explicado y con base en la distribución de tamaños de poros determinada por cualquier método, en este caso con MIP, el modelo considera dos secciones transversales del medio poroso, colocadas de manera conjunta, de tal manera que los poros de una superficie estén aleatoriamente conectados con los de la otra superficie. Cada una de las secciones transversales contiene poros cilíndricos de radio variable. La distribución de tamaños de poros se asume idéntica para las dos secciones, y se representa así:

( )ii

f x n=∑ [Ec. 5.21]

En la cual f(xi) es la frecuencia volumétrica de ocurrencia del poro xi, y n es la porosidad. La probabilidad de que el poro xi de la i-ésima sección transversal, se una con un poro xj de la otra sección transversal, de acuerdo a la teoría de probabilidades se representa por la [Ec. 5.22], donde las dos funciones son independientes e idénticamente distribuidas.

( ) ( )i j ix x f x f x→ = j [Ec. 5.22]

La tasa de flujo a través de los capilares conectados xi y xj se representa por:

( ) ( )i j

2x x i j

gq h x f x32→ f xρ

= ∇µ

[Ec. 5.23]

En la cual, es el gradiente hidráulico y , representa el poro más pequeño de los dos tamaños de poro, xh∇ x i y xj. La cantidad de flujo a través del volumen unitario de medio poroso es:



96

( ) ( )n n

2i j

i j

gq h x f x f32ρ

= ∇µ ∑∑ x [Ec. 5.24]

Al aplicar la Ley de Darcy para tubos capilares, se produce:

( ) ( )n n

2S i

i j

gK C x f x f xρ=

µ ∑∑ j

f x

[Ec. 5.25]

En la cual el término , es el diámetro más pequeño entre las secciones i y j. El factor que multiplica a C

2x s en la

[Ec. 5.26] se conoce como el parámetro de Marshall.

( ) ( )n n

2 2i j

i j

x x f x=∑∑ [Ec. 5.26]

Resumiendo, la conductividad hidráulica se calcula como lo muestra la siguiente expresión:

2

SgK C xρ

=µ

[Ec. 5.27]

5.2.5 Modelo de capilaridad equivalente

Los modelos de capilaridad equivalentes se fundamentan en la Ecuación de Hagen – Poiseuille, la cual es válida en flujo laminar, y presentada en el capítulo 2. Para más de un capilar de radio xi, si f(xi) representa el número de poros de tamaño xi, el término 0.25f(xi)πxi2 es la frecuencia de área de esos mismos capilares. Al multiplicar el área por la longitud se obtiene la frecuencia volumétrica f(xi), la cual es medida por MIP. Si se considera un volumen unitario de poros, con una distribución de tubos paralelos atravesándolo se tiene que:

( )ii

f x 1=∑ [Ec. 5.28]

Y al aplicar la Ley de Darcy se llega a:

( ) 2i i

g nK f32

ρ=µ

x x∑ [Ec. 5.29]

Sustituyendo el tamaño de poros por el diámetro y teniendo en cuenta que la sumatoria en la [Ec. 5.29] representa el segundo momento de la distribución de tamaños de poros con respecto al origen, [Ec. 5.30], se puede calcular la conductividad como lo indica la [Ec. 5.31].

( ) 2 2i if x x E x⎡ ⎤= ⎣ ⎦∑

[Ec. 5.30]



97

2S

gK C nE xρ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦µ [Ec. 5.31]

CS es el llamado coeficiente de forma, y es equivalente a 1/32, para tubos circulares, como se expresa en la [Ec. 5.2].

5.2.6 Modelo de Juang & Holtz

Este modelo toma en cuenta que los poros de un tamaño determinado en la sección i tiene una alta probabilidad de estar conectados con poros del mismo tamaño en la sección j, pero también están conectados a poros de otros tamaños, por lo que la probabilidad de que los poros de tamaño xi→xi+dxi en la sección transversal i este conectada con poros de tamaño xj→xj+dxj en la sección transversal j es:

( ) ( ) ( ) ( )i j i j i j i jP x x g y x x f x f x dx dx=, , , [Ec. 5.32]

Donde g(y,xi,xj) es la función de conexión, y es la tercera variable direccional (longitud) para tener en cuenta la tortuosidad de flujo. De manera similar, la conductividad hidráulica puede calcularse con la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( )2

2i j i j i j

0 0

n gK x g y x x f x f x dx dx32

∞ ∞ρ

=µ ∫ ∫ , , [Ec. 5.33]

La conectividad entre poros es muy compleja en la naturaleza, y depende de la geometría de los poros y la tortuosidad de los capilares. Esta es de forma gaussiana y se denomina función de gobierno del modelo. La idea se presenta en la Figura 5.4 . La [Ec. 5.34] indica la forma de calcularla.

( )2

j ij

x xG x exp

L

⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

[Ec. 5.34]

Donde L es una función no determinada del tamaño de poro. La [Ec. 5.33] puede reescribirse como:

( ) ( ) ( )2

2j i j i

0 0

n gK x G x f x f x dx dx32

∞ ∞ρ

=µ ∫ ∫ j [Ec. 5.35]

Si L→∞, G(xj)→1, y la [Ec. 5.34] se reduce en la [Ec. 5.19]. De otro modo, si L→0, las conexiones entre poros se interpretan como completamente correlacionadas, el cual es el caso del modelo capilar, por lo tanto G(xj) llega a ser una función δ de Dirac, con la siguiente definición:

( ) i jj

i j

1 x xG x 0 x x

=⎧= ⎨ ≠⎩

,,

[Ec. 5.36]

En la [Ec. 5.34], existe un término indeterminado L, el cual debe ser establecido. Juang & Holtz (1986b) asumieron una función lineal del tamaño del poro, como la plantea la [Ec. 5.37].



98

( )j jL x l x= ⋅ [Ec. 5.37]

La variable l se determinó experimentalmente en el estudio de Juang & Holtz, correlacionando con los tamaños de poro. La [Ec. 5.38] muestra la función de correlación con R2 de 0.97, para los suelos estudiados por ellos. Los subíndices representan el percentil de la PSD.

40 40 60

25 10 10

D Dlogl 2.7 17.4 51.6 34.0D D

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= − − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

DD

⎞⎟⎠

[Ec. 5.38]



Con una función de densidad fX(xj)

Ecuación de gobierno, G2


xi1

xi2

Media = x i1

Media = xi2



Con una función de densidad fX(xj)



xi1

xi2

Media = x i1

Media = xi2

Figura 5.4 Funciones que gobiernan el modelo de Juang & Holtz

5.3 PREDICCIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

La predicción de la conductividad hidráulica se realizó utilizando las funciones de densidad de probabilidad que mejor se ajustaban a la distribución de cada arena, como se mostró anteriormente. Para tal fin se determinó el Parámetro de Tamaños de Poros (PSP), el cual es común en todos modelos presentados. Como su nombre lo indica es una función en forma integral que relaciona los tamaños de poros, con su densidad de existencia en cada arena. La Tabla 5.1 presenta los PSP que fueron evaluados mediante un software desarrollado en lenguaje Visual FORTRAN. El código de la aplicación llamada mirh.exe es adjuntado en los Anexos. El término PSP es presentado por García – Bengochea et al. (1979). El cálculo la conductividad hidráulica incluye tres factores. El parámetro de forma Cs, que es adimensional y es equivalente a 1/32 para tubos circulares en una dimensión o 1/96 para tubos circulares con flujo en las tres direcciones principales de flujo. El segundo es la fluidez, que es igual a ρg/µ, que tiene un valor de 9.81 x 109 m-1s-1, para agua a una temperatura de 25ºC. Para fines prácticos este término es equivalente a 1 x 1010 m-1s-1. El tercer término es el PSP, que en varios modelos es afectado por la porosidad o la tortuosidad y



99 tiene unidades de [L2], que en el sistema internacional son m2. La [Ec. 5.39] presenta de forma general esta expresión. Las dimensiones de K son [L] / [T], y en SI se expresa en m/s.

SgK C PSPρ

=µ

[Ec. 5.39]

Tabla 5.1 Funciones de los Parámetros de Tamaño de Poro, PSP

MODELO PSP

Tubos Capilares ( )2

0

x f x dx∞

∫

Tubos capilares tortuosos ( ) ( )2

26

0 0

1f x

x f x dx dxx

∞ ∞⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

Radio Hidráulico ( )21

i

ii

1

f xx

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∑

García – Bengochea ( )2

0

x f x dx∞

∫

Childs and Collins George – Marshall ( ) ( )n n

2i j

i j

x f x f x∑∑

Capilaridad equivalente ( )2 2E x 2= µ + σ

Juang & Holtz ( ) ( ) ( )2j i j i

0 0

x G x f x f x dx dx∞ ∞

∫ ∫ j

Los resultados del cálculo de PSP para cada uno de los modelos existentes, se exponen en la Tabla 5.3. Reemplazando cada unos de estos valores en la [Ec. 5.39], es posible calcular la conductividad hidráulica para cada una de las posibles funciones de densidad de probabilidad de tamaño de poro y para cada tipo de arena. En la misma tabla se observa el cálculo de la conductividad hidráulica. Para estos cálculos se usaron los parámetros empleados en todo el proyecto de investigación (tomados de Barrera & Muñoz, y Niño & Tovar, 2003), los cuales son presentados en la Tabla 5.2.

Tabla 5.2 Parámetros básicos y K medida en laboratorio de las arenas estudiadas (Tomado de Barrera & Muñoz, y Niño & Tovar, 2003)

PARÁMETRO AFU AMU ADG Porosidad [%] Tortuosidad [-] Conductividad Hidráulica [m/s]

46%

0.62

2 x 10-4

40%

0.56

4 x 10-3

35%

0.74

2 x 10-4



100 Según Carrera (comunicación verbal, 2004) la conductividad hidráulica depende principalmente de la conectividad de los poros, la cual es representada por la varianza de la PSD. Es decir, que a menor varianza mayor es la conectividad y al analizar los valores de la anterior tabla se observa que la conductividad hidráulica de AMU es mayor que la de las otras dos arenas, coincidiendo con los valores de varianza presentados en el Capítulo 4. Es conveniente recordar que del análisis de inferencia estadística presentado en la Sección 4.3, se concluyó que para ADG se ajustaban mejor las funciones de densidad de probabilidad (pdf) Gamma, y que para AMU y AFU la Log-Normal lograba representar su forma. Como se aprecia en la Tabla 5.3, el programa intentó calcular PSP y K para todas las distribuciones analizadas, aunque sin mucho éxito en varias de ellas.

Tabla 5.3 Resultados del Cálculo de PSP y K para cada modelo y cada pdf

PSP [m2 x 10-12] K [m/s] MODELO pdf

AFU AMU ADG AFU AMU ADG

NORMAL 1184.7 787.00 30.360 1.7E-01 9.8E-02 3.3E-03

LOG-NORMAL 1092.5 789.87 62.615 1.6E-01 9.9E-02 6.8E-03 Tubos Capilares

GAMMA 3030.4 - 37.694 4.4E-01 - 4.1E-03

NORMAL 0.0017 - 0.0688 2.4E-07 - 7.5E-06

LOG-NORMAL - - 0.00001 - - 1.3E-09 Tubos capilares tortuosos

BETA 3.E-07 - 0.1358 4.3E-11 - 1.5E-05

NORMAL 0.0412 0.0358 0.1939 5.9E-06 4.5E-06 2.1E-05

LOG-NORMAL 0.0343 0.0357 0.1349 4.9E-06 4.5E-06 1.5E-05 Radio Hidráulico

GAMMA 0.0768 - 0.2170 1.1E-05 - 2.4E-05

NORMAL 1184.7 787.00 30.360 1.7E-01 9.8E-02 3.3E-03

LOG-NORMAL 1092.5 789.87 62.615 1.6E-01 9.9E-02 6.8E-03 García – Bengochea

GAMMA 3030.4 - 37.694 4.4E-01 - 4.1E-03

NORMAL 1184.9 787.00 39.231 1.7E-01 9.8E-02 4.3E-03

LOG-NORMAL 11.739 11.117 4.1447 1.7E-03 1.4E-03 4.5E-04

BETA 1121.2 - 0.0088 1.6E-01 - 9.6E-07 Capilaridad equivalente

GAMMA 1184.9 - 1004.6 1.7E-01 - 1.1E-01

NORMAL 724.18 748.80 7.0238 1.0E-01 9.4E-02 7.7E-04

LOG-NORMAL 25.567 27.372 3.2429 3.7E-03 3.4E-03 3.5E-04Childs and Collins George – Marshall

GAMMA 57.976 - 2.4634 8.3E-03 - 2.7E-04

NORMAL 724.18 748.80 7.0238 1.0E-01 9.4E-02 7.7E-04

LOG-NORMAL 2.2040 - - 3.2E-04 - -

BETA 12984819 - - 1.9E+03 - - Juang & Holtz

GAMMA 2.E-10 - 2.4634 2.9E-14 - 2.7E-04

Al analizar los resultados de las estimaciones realizadas se puede observar que los métodos de tubos capilares, tubos capilares tortuosos, radio hidráulico y de García-Bengochea no presentan ninguna estimación acertada en el orden de magnitud de las conductividades hidráulicas medidas. En los otros métodos, si existen aciertos, los cuales son resaltados en negrilla y subrayados en la Tabla 5.3. Para AMU, sólo las pdfs Normal y Log-Normal logran calcular un valor de PSP y en consecuencia de K.



101 Comparando los valores K medidos en laboratorio con los obtenidos con estás estimaciones, se concluye que sólo un método, el de Juang & Holtz para una pdf Log-Normal, calcula con el mismo orden de magnitud. Para AMU, usando una pdf Log-Normal los métodos de Childs and Collins – George - Marshall y el método de Capilaridad Equivalente, hacen una estimación correcta del orden de magnitud de la conductividad hidráulica. También es claro que sólo las pdfs Normal y Log-Normal presentan valores estimados de conductividad. El método de Childs and Collins – George – Marshall presenta una buena estimación de los valores de conductividad hidráulica. Por último, para ADG, al igual que para AMU, los métodos de Childs and Collins – George - Marshall (CCGM) y el de Juang and Holtz hacen una predicción de la conductividad hidráulica en el mismo orden de magnitud. El método de capilaridad equivalente, para una pdf Log Normal y una GAMMA, también hace una buena predicción. La diferencia con AMU es que presenta un mejor ajuste con mayor tipo de pdfs. Los métodos de tubos capilares, tubos capilares tortuosos, radio hidráulico y de García-Bengochea no presentan ninguna estimación acertada en el orden de magnitud de las conductividades hidráulicas medidas.

5.4 CALIFICACIÓN Y AJUSTE DE LOS MODELOS EXISTENTES

Los valores estimados y los medidos en laboratorio con el ensayo tradicional de carga constante están dentro del intervalo para arenas sueltas y limpias. Estos suelos poseen una conductividad hidráulica entre 10-6 y 10-2 m/s (Freeze & Cherry, 1979). La conductividad hidráulica muestra una variabilidad natural errática que difícilmente puede ser representada por funciones determinísticas. A está variabilidad hay que añadir la variabilidad inducida por los métodos empleados para su determinación (Samper & Carrera, 1990), por lo que la medición de la conductividad hidráulica mediante el ensayo de carga hidráulica constante, puede estimar incorrectamente el valor real de la conductividad hidráulica, mientras que la interpretación estadística de los parámetros hidrogeológicos, como la conductividad hidráulica, tiene la clara ventaja que permite estudiar su incertidumbre, y por tanto, la de las predicciones obtenidas con base en los mismos. El modelo de Childs and Collins – George – Marshall es el que mejor se comporta para las tres arenas limpias y sueltas analizadas. La función de densidad de tamaño de poros presenta un mejor ajuste en términos generales a una distribución Log-normal, lo cual corrobora la literatura (Juan & Holtz, 1986, Samper & Carrera, 1990). Es recomendable hacer un estudio más amplio de la función de interconexión de poros de Juang & Holtz, para tener un mayor fundamento físico de su forma y poder aplicar este método con mayor entereza, pero puede decirse que la varianza de la PSD es buen indicador de ella, pues las arenas con una varianza baja presentan poros de tamaños similares que están mejor conectados, mientras que si la varianza es alta, hay presencia de mayor diversidad de tamaños de poros, disminuyendo la probabilidad de conexión.

5.5 INFLUENCIA DE LA DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑOS DE PARTÍCULAS Y DE POROS

El análisis del acomodamiento de las partículas en función de su tamaño logra explicar el comportamiento de la relación de vacíos. Una manera de evaluar este modelo, consiste en la observación de microfotografías de las tres arenas, obtenidas con microscopio óptico (Niño & Tovar, 2003). El análisis de la variación de la relación de vacíos con el tamaño de partículas, es una herramienta para la interpretación de la organización de las partículas, y su influencia en la variación de la conductividad hidráulica.



102 La investigación se concentró en el análisis de la influencia de la distribución del tamaños de poros en la conductividad hidráulica; cabe anotar que esta función de distribución fue obtenida a partir de CRA para cada arena. Este análisis comprende la propuesta de un modelo para la explicación de la variación de la conductividad hidráulica, a partir de la distribución de contenido de poros o distribución acumulativa del tamaño de poros, en cada una de las arenas. De acuerdo con los resultados obtenidos para la relación de vacíos de las tres arenas en estudio, se observa que la relación de vacíos para AFU es mayor que la de AMU. Aparentemente, se tiende a pensar que la relación de vacíos crece a medida que aumenta el tamaño de las partículas. Sin embargo, los resultados experimentales contradicen esto. Para entender este comportamiento, Barrera & Muñoz (2003) realizaron una demostración usando los modelos geométricos con partículas esféricas de dos tamaños diferentes, de la Figura 3.3. La Figura 5.5 ilustra los pasos para el análisis del modelo geométrico. En primer lugar se toma una caja de volumen conocido (a) en la cual se encuentra una partícula esférica que la ocupa totalmente. Luego se toma la misma caja, pero ocupada con esferas cuyo diámetro es la mitad del diámetro de la esfera inicial. Así, la caja queda llena con ocho esferas organizadas (b). Al calcular la relación de vacíos para los dos arreglos, se encuentra que es igual; así, en estas condiciones, la relación de vacíos no depende del tamaño de partículas, si estas se encuentran organizadas.

a b C

Figura 5.5 Modelo geométrico. (a) Caja llena con una esfera, (b) Caja llena con ocho esferas organizadas, (c) Caja llena con ocho esferas desorganizadas. Tomado de Barrera & Muñoz (2003)

Por otra parte, si se toma la misma caja, con ocho esferas dentro, pero desorganizadas (c), lo cual puede representar con mayor fidelidad la fabrica de los suelos, tenemos que el mismo número de partículas rebasa el volumen de la caja, por lo tanto el volumen de partículas dentro de la caja disminuye, aumentando el volumen de vacíos con respecto al caso anterior, esto lleva a que la relación de vacíos aumente. La discusión anterior sugiere que a medida que disminuye el tamaño de las partículas, la probabilidad de desorganización en la fábrica aumenta, y el volumen de sólidos disminuya dentro del VER, por lo cual la relación de vacíos aumenta. Una manera de evaluar esta idea, consiste en la observación de microfotografías de las arenas en estudio, realizadas a partir de secciones delgadas, realizadas por Niño & Tovar (2003). Las microfotografías se realizaron con microscopio óptico y se muestran en la Figura 5.6. Se aprecia en (a), que AMU posee una densidad de partículas más alta que AFU (b), con lo cual podría concluirse que AMU posee un grado más alto de organización que la AFU. Lo anterior sugiere que la relación de vacíos de AFU puede ser mayor que la relación de vacíos de AMU, aún cuando estos sean fabricados mediante procesos similares (Barrera & Muñoz, 2003). En el capítulo 3 se muestra que AFU tiene un mayor contenido volumétrico de agua saturado, que AMU. En el caso de ADG, la cantidad de poros es menor, ya que posee menor porosidad. Lo anterior puede explicarse,



103 como consecuencia del mejor acomodamiento de las partículas, ya que las más pequeñas llenan los espacios vacíos dejados por las de mayor tamaño; aunque suceda esto con la porosidad, la conductividad hidráulica de AMU es mayor que la de AFU y ADG, y es debido a la alta tasa de conectividad de los poros de esta arena como la muestra su densidad de tamaños de poro. En las Curvas de Retención de Agua, CRA (Capítulo 3), Barrera & Muñoz (2003) notaron que el valor de entrada de aire, (AEV), es el valor de succión capaz de hacer que en un suelo comience a entrar aire en sus poros. En un suelo, los poros que primero se desocupan son los más grandes, es decir que el valor de AEV esta directamente relacionado con el tamaño de los poros más grandes de un suelo. Entre mayor sea el valor de AEV, menor será el tamaño de sus poros más grandes, ya que a medida que disminuye el tamaño de los poros, es más difícil sacar el agua atrapada en ellos. En las arenas en estudio, el valor de AEV de AFU es el mayor de los tres, lo cual sugiere que sus poros más grandes de AFU, son de menor tamaño que los poros más grandes de las otras arenas en estudio. Los valores de AEV de AMU y ADG son iguales, 3.1 kPa, lo que sugiere que los tamaños de los poros más grandes para ambas arenas son equivalentes (Barrera & Muñoz, 2003).

a b

Figura 5.6 Selección y análisis de VER en las microfotografías de secciones delgadas de las arenas. (a) AMU, (b) AFU (Tomado de Niño & Tovar, 2003)

La organización de los poros en todos los suelos, inclusive para los más uniformes, es caracterizada por una geometría altamente complicada, por lo que caracterizar la fábrica de un suelo por medio del tamaño de los poros y su distribución, es un concepto bastante abstracto, pero muy útil. De las PSD estimadas a partir de CRA y MIP se pueden extraer valores como el de la moda, el cual nos indica cual es el tamaño predominante en la suelos estudiados, y son presentados en la Tabla 5.4. Estos valores dan una indicación de la variación de las formas de las PSD ajustadas por MIP y por CRA, donde aparentemente AFU es la que mejor se ajusta en los dos métodos, mientras que confirma los problemas de AMU con la intrusión de mercurio, y la presencia de poros de menor tamaño en ADG.



104 Las PSD (Capítulo 3) muestran claramente que ADG y AFU (poseen granos más pequeños) presentan cierto número de poros de tamaños pequeños que les impide drenar rápidamente, en comparación con AMU. Además indican que ADG presenta más amplitud y variedad de tamaños de poros, mientras que AMU y AFU, concentran su porosidad en valores cercanos a la media, la mediana y la moda de sus distribuciones, y la función de densidad de tamaño de poros tiene tendencia unimodal, corroborando la teoría acerca de estás distribuciones en suelos sin finos (García-Bengochea et al, 1979).

Tabla 5.4 Tamaño predominante en cada una de las arenas

Radio de poros predominante m x 10-6ARENA CRA MIP

AFU 237 250

AMU 305 28

ADG 305 7

La porosidad y la relación de vacíos, dependen más de la organización de partículas que del tamaño de las mismas. Entonces, si las partículas de un suelo se encuentran más organizadas, (AMU), la porosidad será menor, es decir, que la conductividad hidráulica será menor en comparación con suelos donde las partículas se encuentren más desorganizadas, caso de la AFU. Al relacionar la organización del sistema de poros de los suelos estudiados con proceso de drenaje del medio, se determina la influencia de la primera en la conductividad hidráulica. Barrera & Muñoz (2003) concluyeron que entre mayor sea la organización de los sistemas de poros de los suelos, estos drenan más rápidamente, por lo que se esperaría una mayor conductividad hidráulica en estos suelos.

5.6 ANÁLISIS DE LA GEOMETRÍA FRACTAL DE LA FORMA DE LOS POROS

La diferencia entre los valores de dimensión fractal entre AMU y AFU es de 2.7%. Aparentemente es muy baja, pero cuando se analizan dimensiones fractales, es una diferencia importante. Las diferencias entre los valores de dimensión fractal son importantes a partir de la tercera cifra decimal (Niño & Tovar, 2003). Para una confianza del 95%, las dimensiones fractales de poros pueden ser comparadas con aquellas que fueron calculadas para el perfil de los granos:

Tabla 5.5 Comparación de valores de dimensión fractal de poros y granos (Tomado de Niño & Tovar, 2003)

AFU AMU ADG SECCIÓN

Poros Granos Poros Grano Poros Granos

Transversal 1.115 1.100 1.146 1.043 1.110 1.085

Longitudinal 1.117 1.056 1.057 1.054 1.066 1.063

La Tabla 5.5 concluye que la dimensión fractal de poros de un suelo, es superior a la dimensión fractal de los granos que lo conforman, ya que la rugosidad de un poro, depende de la rugosidad de las partículas que lo limitan y de los vértices y formas complejas que se presentan en las uniones entre los granos (Niño & Tovar, 2003).



105 En AMU, los valores de dimensión fractal de poros presentan las mayores variaciones entre aquellos que caracterizan a la sección transversal y longitudinal, pero las diferencias son las menores de los tres suelos, si se comparan los valores de dimensión fractal de granos; en AFU pasa lo contrario, entre tipos de secciones los valores presentan las mayores diferencias para la dimensión fractal de granos y las menores para la dimensión fractal de poros. Por estos motivos se definen dos tipos de anisotropía: la primera que es determinada por el arreglo de granos, y la segunda, por la geometría de los poros que se conforman en el arreglo (Niño & Tovar, 2003). Las partículas pequeñas tienden a formar poros con sección transversal menos rugosa que las partículas grandes, es decir, si la granulometría de un suelo granular presenta mayor influencia de tamaños pequeños, es de esperarse una dimensión fractal de poros baja. Las secciones delgadas concluyen que en las arenas uniformes la anisotropía que depende de la geometría de los poros, es directamente proporcional al tamaño de las partículas del suelo, mientras que la anisotropía de la rugosidad de grano es inversamente proporcional al tamaño medio de las partículas (Niño & Tovar, 2003).


CAPÍT

ULO

Mod

elo

de C

ondu

ctiv

idad

Hid

rául

ica

en S

uelo

s

Conclusiones & Recomendaciones

CONTENIDO

Pág.

6 CONCLUSIONES & RECOMENDACIONES .............................................................................................. 110

6.1 INTRODUCCIÓN............................................................................................................................... 110 6.2 EXPERIMENTACIÓN ........................................................................................................................ 111

6.2.1 Preparación de muestras .............................................................................................................. 111 6.2.2 Secciones delgadas, microfotografías y dimensión fractal ........................................................... 111 6.2.3 Intrusión de Mercurio .................................................................................................................... 111 6.2.4 Medición de la Conductividad Hidráulica ...................................................................................... 112

6.3 MODELACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA.................................................................. 112 6.3.1 Fábrica y Conductividad Hidráulica............................................................................................... 112 6.3.2 Ajuste de la PSD y la pdf .............................................................................................................. 113 6.3.3 Modelación estocástica................................................................................................................. 113 6.3.4 Otras modelaciones ...................................................................................................................... 114

6.4 FUTURAS INVESTIGACIONES ........................................................................................................ 115


CAPÍTULO

6 6 CONCLUSIONES & RECOMENDACIONES

6.1 INTRODUCCIÓN

La predicción de la conductividad hidráulica saturada en suelos y acuíferos es importante en la ingeniería geotécnica e hidrológica. La movilidad del agua y los solutos en el subsuelo es definida por los valores determinados de este parámetro hidrogeológico, y, además define la estabilidad de infraestructuras, y la calidad y cantidad de agua presente en medios porosos y fracturados. El presente trabajo de investigación presenta una forma de estimar el valor de la conductividad hidráulica de suelos basada en parámetros de la fábrica como la distribución de tamaños de poros. El siguiente fue el proceso llevado a cabo:

Revisión de las referencias y resultados de pasadas investigaciones.

Selección del material utilizado: definición de los tamaños de arena en función de los tamaños de poro esperados, según la amplitud de mediciones del porosímetro de mercurio.

Definición del método de preparación de muestras, para garantizar la reproducibilidad de las muestras, para los diferentes ensayos.

Diseño de las probetas para los ensayos de intrusión de mercurio.

Medición de succión para la determinación de las curvas de retención de agua.

Elaboración de microfotografías de secciones delgadas de los suelos para el estudio de la dimensión fractal y la tortuosidad.

Intrusión de mercurio para la determinación de la distribución de tamaño de poros. Se trató de revisar la influencia de materiales finos, en la distribución de tamos de poros de las arenas.

Análisis de inferencia estadística para la determinación de la función de probabilidad que mejor representa la función de densidad de tamaños de poros.

Modelación en Visual Fortran para el cálculo del parámetro de tamaños de poros y la conductividad hidráulica.

En este capítulo también se presentan recomendaciones de futuros temas de investigación. Para hacer la lectura de este capítulo más sencilla, los aspectos de la investigación se agrupan en dos grandes partes: una experimental y otra de modelación. En cada una de estás partes se presentan los temas relacionados.


C A P Í T U L O 6 CONCLUSIONES & RECOMENDACIONES

111

6.2 EXPERIMENTACIÓN

6.2.1 Preparación de muestras

En el proyecto de investigación se realizaron varios ensayos al material estudiado. Estos fueron: la medición de la succión en ollas de presión, para la construcción de las curvas de retención de agua, CRA; la fabricación de secciones delgadas para la toma de microfotografías y realizar el estudio de la dimensión fractal y la tortuosidad de las arenas, y la intrusión de mercurio, MIP, para la determinación de la distribución de tamaños de poros, PSD. Para garantizar que en todos los ensayos se estuviera trabajando con el mismo material, se eligió dentro de la gran variedad de métodos de preparación, el método de “llovido a mano”, que además de garantizar estadísticamente (un coeficiente de variación bajo) la reproducibilidad de la densidad del material, presenta una fácil implementación. La densidad de la arena es un indicador indirecto de la relación de vacíos, que es muy buen parámetro para controlar la fábrica del suelo. De acuerdo a esto, la organización de partículas determina la distribución de poros, la porosidad y la relación de vacíos de las arenas. La arena fina uniforme, AFU tiene una relación de vacíos mayor que la arena media uniforme, AMU. Esto es debido a que llenan el mismo espacio con partículas más pequeñas, reduciendo el espacio de los poros.

6.2.2 Secciones delgadas, microfotografías y dimensión fractal

Para la realización de esta parte de la investigación se generó un método de preparación de muestras de arena suelta y limpia, el cual puede ser consultado en Niño & Tovar (2003). Es destacable que no existía ninguna referencia al respecto. Gracias a la autosimilitud, la dimensión fractal no depende de la escala de observación de las muestras. Ésta varía de acuerdo al método de medición empleado, y en el tipo de sección que se esté analizando. Esta diferencia entrega una idea de la anisotropía provocada por el método de preparación. En términos de análisis fractal se puede ver que esta variación es alta, ya que las diferencias en dimensiones fractales son notable a partir de la primera cifra decimal (Obregón, comunicación verbal, en su tesis doctoral, 2003).

6.2.3 Intrusión de Mercurio

Usualmente el ciclo de intrusión-extrusión permite determinar dos tipos de porosidad: la primera que llena los poros que están interconectados, determinando la distribución de la porosidad total; y la segunda que define la porosidad no restringida, es decir la porosidad interagregados. El porosímetro de mercurio utilizado en el presente proyecto sólo permite el primer ciclo, y por tal motivo solo se utilizaron arenas sueltas, las cuales no poseen porosidad no restringida. Las muestras de mezcla de arena y caolín, que fueron ensayadas presentan sólo una idea de la forma de la distribución de tamaños de poros, pero no valoran correctamente la densidad de tamaños, pues no es capaz de brindar mayor presión para alcanzar tamaños menores de poros. Inclusive, los resultados entregados por el porosímetro de mercurio del IGAC, no son suficientes para determinar toda la porosidad de las muestras, por lo que es necesario hacer unas correcciones para alcanzar las porosidades establecidas durante el proyecto de investigación. Está corrección es necesaria para determinar cual de las pruebas realizadas a las diferentes probetas es más cercana a la realidad. La corrección distribuye el error proporcionalmente en toda la distribución. Observando las tres distribuciones de tamaño de poro definidas para las arenas en estudio se concluye que AMU tiene un tamaño predominante de poros y poca cantidad de poros de tamaños menores o mayores. AFU no tiene tan marcada está tendencia pero si presenta una leve intención de comportamiento bimodal, debido muy



112 posiblemente al efecto de los poros de sinter de las probetas de ensayo. ADG presenta una variedad mayor de poros, pero sobretodo menores que el tamaño medio de poros. Estás tendencias dan una idea de que las mejores PSD se han obtenido para ADG, y tal vez esto concuerde con el acierto de mayor tipo de modelos en la estimación de la conductividad hidráulica saturada. Al comparar las PSD obtenidas por intrusión de mercurio, MIP, con las estimadas de las curvas de retención de agua, CRA, se observa que: AFU presenta un tamaño medio menor que AMU y ADG, y que el tamaño medio de AMU y ADG es muy similar. Igualmente puede comprobarse que AMU presenta una PSD con un valor modal de tamaño de poros que agrupa gran cantidad de los poros presentes en esta arena. Las PSD de AMU y ADG estimadas a partir de CRA o medidas por MIP, presentan una concordancia muy alta en forma, pero solo ADG en tendencia. La tendencia de AFU, muestra que presenta mayor cantidad de poros pequeños que tal vez no han sido medidos mediante la intrusión de mercurio. Estos errores pueden atribuirse a la calibración de los equipos del IGAC, que se comprueban al realizar mediciones de la porosidad de las muestras en el pentapicnómetro. Los resultados están muy por encima de los valores esperados y de los medidos en el laboratorio de suelos de la Universidad. Estos motivos no son suficientes para desechar el uso de la MIP en Colombia como indicador de la PSD de un suelo, ya que la MIP tiene grandes ventajas. Dentro de éstas se destacan que el mercurio es un fluido que no moja el suelo y por lo tanto no reacciona con el mismo ni produce cambios volumétricos inesperados. Revisando la influencia de los finos en la PSD de las arenas estudiadas se nota que para ADG que para contenidos alrededor del 30% de caolín, la densidad de tamaños de poros es bimodal. Para AFU, está tendencia se notó para contenidos superiores al 20% de caolín, mientras que para AMU, está tendencia no se alcanza a notar con los experimentos realizados. Desafortunadamente, debido al diseño de las probetas de vidrio, no fue posible evaluar las curvas de extrusión de mercurio, las cuales al comparase con las de intrusión, mostrarían la histéresis presente en el ciclo intrusión-extrusión de mercurio. La histéresis es un buen indicador de la conectividad de poros, por que muestra cuales son los poros que están verdaderamente conectados.

6.2.4 Medición de la Conductividad Hidráulica

La medición tradicional de la conductividad hidráulica mediante el ensayo de carga hidráulica constante presenta inconvenientes que pueden ser causa de una estimación errónea del valor real de la conductividad. Dentro de estos problemas se destacan la presencia de regímenes de flujo turbulentos, ya que el número de Reynolds de rugosidad (teniendo en cuenta el diámetro promedio de partículas) es muy alto. Esto va en contra de los principios y suposiciones básicas de la Ley de Darcy, que supone flujo laminar. Este problema se presenta especialmente en AFU y AMU (Niño & Tovar, 2003). La conductividad hidráulica medida es menor para las muestras de menor tamaño de partícula, que lo que usualmente es presentado en la literatura (p.e. las gravas presentan mayor conductividad que las arenas) (Freeze & Cherry, 1979). Esto también lo confirma la conectividad de los poros. La conectividad es inversamente proporcional a la varianza de la distribución de tamaños de poros del suelo, y las arenas con tamaños de arena mayores presentan una varianza pequeña, mientras los que tienen partículas pequeñas poseen más variedad de tamaños, disminuyendo la probabilidad de conexión entre ellos.

6.3 MODELACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

6.3.1 Fábrica y Conductividad Hidráulica



113 Es claro que la conductividad hidráulica es un parámetro que es altamente variable y fuertemente dependiente de la fábrica del suelo. La PSD es muy buen indicador de la fábrica del suelo, ya que es un parámetro que tiene un comportamiento muy estable, por eso los modelos basados en ella, son un buen indicador del valor real de la conductividad hidráulica. Como lo muestran los diferentes modelos anteriormente expuestos, y por el concepto de movilidad definido por la conductividad hidráulica, la tortuosidad es un parámetro que es inversamente proporcional a la conductividad hidráulica, más aún si se tiene en cuenta que está puede ser variable y más fuerte con la disminución del grado de saturación del suelo. Con respecto a la porosidad, si se encuentra la relación esperada, la cual indica que la conductividad hidráulica depende directamente de la porosidad. Éste es un muy buen indicador de que una modelación de la conductividad hidráulica basada en la PSD, tendría buenos resultados. Se comprobó que los suelos con partículas más grandes presentan poros más pequeños, y viceversa, por lo que la porosidad de AMU es menor que la de AFU, y por lo tanto la conductividad hidráulica de AMU es menor que la de AFU. En términos generales se puede concluir que las arenas con una distribución de tamaños uniforme, presenta una PSD uniforme, y una tendencia a tener concentrados la totalidad de sus poros en un único tamaño, donde las medidas de tendencia central (moda, mediana y media) sean casi la misma, y además los diámetros presenten una desviación estándar muy pequeña. Suceso contrario se presenta en los suelos con PSD más amplia, donde se presentan gran amplitud de tamaños de poros, como es el caso de ADG.

6.3.2 Ajuste de la PSD y la pdf

Como se mencionó anteriormente, el porosímetro de mercurio del IGAC permite mediciones limitadas del tamaño de poros, y además se encuentra descalibrado. Por tal motivo realizar el ajuste de las PSD medidas, distribuyendo el error en las densidades de tamaños de poros encontradas, hace que estas curvas presenten algunas incongruencias con las estimadas a partir de CRA, que aparentemente son capaces de presentar una medición de todos los tamaños de poros presentes en las arenas. Debe tenerse en cuenta que el agua es un fluido que si moja el suelo y entra en contacto con el agua presente en la estructura de los granos de arena, generando errores en esta estimación. Al realizar el estudio de inferencia estadística y la estimación de los parámetros de tamaños de poros, PSP, de cada arena se llegó a la conclusión que la función de probabilidad que mejor ajusta la PSD y la función de densidad de tamaño de poros, pdf, es la de tipo GAMMA, para arenas con diferentes gradaciones, aunque los valores numéricos de los momentos pueden diferir de los de la función de probabilidad por el tipo de muestra utilizada y por no tener en cuenta otros momentos como el tercero y mayores. La distribución LOG-NORMAL, presenta buen ajuste para la predicción de la conductividad hidráulica en los suelos de tamaño uniforme..

6.3.3 Modelación estocástica

El conocimiento determinístico de la hidrogeología de un sitio es un estado que raramente –si se logra– se encuentra. Los modelos tradicionales usan conceptos determinísticos basados en condiciones difíciles de entender, e implican gran cantidad de conjeturas y especulación. El determinismo existe sólo si la incertidumbre y la ambigüedad son inevitables (Rubin, 2003) y como no lo son, estas últimas deben ser estudiadas y entendidas de alguna manera. A continuación se presenta una justificación del uso del modelo probabilística. Existen dos tipos de incertidumbre presentes: la variabilidad intrínseca y la incertidumbre epistémica. La primera es inherente a la naturaleza y a la variabilidad aleatoria de propiedades y de efectos ambientales, la cual



114 no puede ser despreciada. La segunda es debida a la insuficiencia del conocimiento que obliga a simplificar y utilizar modelos con escasez de datos. El uso de los métodos basados en capilaridad equivalente o radio hidráulico equivalente, tiene algunos inconvenientes causados por las suposiciones de los modelos, como la de que el medio es isotrópico, del cual ya se tiene certeza que no lo es como conclusión del análisis de la tortuosidad en las secciones delgadas longitudinales y transversales de las arenas. Al analizar todas las complicaciones presentes en la medición de los parámetros necesarios para el desarrollo de los estimaciones realizadas, se hace necesario la utilización de modelos estocásticos que valoren la incertidumbre presente, y el uso de estadísticos que representen espacio de poros aleatoriamente distribuido. Dentro de las muchas incertidumbres asociadas al modelo, se encuentra que la distribución de volúmenes de poros es parametrizada en los radios medio y efectivo de los poros conectados, los cuales son en teoría, los intruidos, asumiendo además que los poros son circulares, y que estos son muy pequeños para que la interfase líquido – vapor de mercurio tenga presencia. Todos estos argumentos fortalecen el planteamiento del modelo estocástico para la estimación de la conductividad hidráulica en suelos, ya que se resuelve el problema dentro de un marco probabilístico, para tratar la incertidumbre de una manera racional. El modelo estocástico es automatizado en un lenguaje de programación bastante versátil y ágil a la hora de realizar cálculos, como lo es el Visual FORTRAN. Este lenguaje se recomienda para ser implementado en futuras modificaciones al modelo planteado. El modelo que mejor ajusta los valores de conductividad hidráulica es el de Childs and Collins – George (CCG), aunque el modelo de Juang & Holtz (JH) presenta estimaciones cercanas. Para mejorar el modelo JH es necesario un estudio más detallado de la incertidumbre de la función de conectividad con el uso de otras técnicas como la de análisis de la histéresis de la curva intrusión – extrusión de mercurio, o de análisis con microscopio electrónico. La función de conectividad puede ser establecida en términos de la varianza de la PSD.

6.3.4 Otras modelaciones

El modelo planteado por Niño & Tovar (2003) plantea una modificación al modelo de tubos capilares, utilizando el cambio de la longitud característica de la ecuación de Hagen – Poiseille de Vallejo (1995). Este cambio introduce la dimensión fractal de poros como un parámetro que identifica mejor los poros que el radio de un poro circular. Este nuevo modelo presenta estimaciones menores que las del método tradicional, aunque con valores muy cercanos en términos de cifras significativas. Está diferencia es debida a que este modelo incluye además de la tortuosidad, la rugosidad propia de los tubos, con la dimensión fractal. Los valores obtenidos por este método, tienen más cercanía con los valores medidos en laboratorio. Otro modelo resultado del proyecto de investigación marco es la modificación del modelo de Kozeny-Carman (Radio Hidrálico) realizado por Barrera et al. (2003). Este modelo muestra que la conductividad hidráulica es directamente proporcional al radio hidráulicos de los poros. Este radio hidráulico es función de la PSD obtenida a partir de CRA. Los resultados son muy similares a los medidos en laboratorio, pero hace necesario un estudio más amplio de la obtención de la PSD, por otros medios como la intrusión de mercurio.



115

6.4 FUTURAS INVESTIGACIONES

Con base en las conclusiones y recomendaciones presentadas, se hace necesario estudios más detallados de ciertas variables para reducir la incertidumbre del problema analizado. Dentro de estos se pueden destacar: Estudiar de manera más detallada mediante otras técnicas como el análisis de la histéresis de las curvas de

intrusión – extrusión de mercurio o el análisis de microscopio electrónico la conectividad de los poros, y así poder definir con mayor acierto una función de conectividad que permita ajustar el modelo de Juang & Holtz.

Ampliar los tipos de suelos analizados y generar una relación entre la dimensión fractal, la porosidad y la tortuosidad, y generar un modelo de conectividad de los poros.

Completar los estudios de dimensión fractal, y relacionarla con los parámetros de forma (redondez y elongación) de Kozeny, Hagen-Poiseuille y Washburn.

Aplicar otros métodos de ajuste de la distribución de tamaños de poros, para intentar mejorar la confianza de las funciones ajustadas. Además deben probarse otras distribuciones de probabilidad, como distribuciones fractales como la LEY POTENCIAL, o LOG-NORMAL modificada de dos parámetros.

Este trabajo no tuvo en cuenta la histéresis de los procesos estudiados. La intrusión de mercurio presenta histéresis, al igual que el drenaje de agua. El tener este fenómeno en cuenta, ayudaría a conocer mejor la conectividad de poros y por ende la movilidad de los fluidos dentro del medio poroso.

Realizar extrapolaciones, para la estimación de la conductividad hidráulica parcialmente saturada en función de la cantidad de poros de cierto tamaño, que aportan al drenaje del suelo.

Estudiar la correlación entre parámetros de menor incertidumbre con la PSD, y así generar métodos de estimación más simplificados.


CAPÍT

ULO

Mod

elo

de C

ondu

ctiv

idad

Hid

rául

ica

en S

uelo

s

Referencias Bibliográficas

CAPÍTULO

7 5 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Azarang, M. R.; García, E. (1996) Simulación y análisis de modelos estocásticos. McGraw Hill. México D.F.,

México Barrera, N. E.; Muñoz, J. A. (2003) Análisis de la influencia de la distribución de tamaño de partículas en la

conductividad hidráulica de arenas limpias. Trabajo de grado de Ingeniero Civil. Universidad Nacional de Colombia. Bogotá D.C., Colombia.

Barrera N. E.; Muñoz, J. A.; Colmenares, J.E., Donado, L. D. (2003) Análisis de la influencia de la distribución de

tamaño de partículas en la conductividad hidráulica de arenas limpias. XI jornadas geotécnicas de la ingeniería en Colombia y V Foro de Geotecnia de la Sabana de Bogotá. Bogotá, Octubre.

Bear, J. (1972) Dynamics of fluids in porous media. Dover Publications, Inc. New York. USA Cabrera A.; Carvajal, J. C. (1998) Evaluación de los parámetros de E.Coli en arena uniforme saturada.

Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ingeniería. Departamento de Ingeniería Civil. Santafé de Bogotá, Colombia.

Case, C. (1994) Physical Principles of flow in unsaturated porous media. Oxford monographs on geology and

gephysics No. 26. Oxford University Press. New York, USA. Chow, V. T.; Maidment, D. R.; Mays, L. W. (1994) Hidrología Aplicada. McGraw Hill. Santafé de Bogotá,

Colombia. Colmenares, J. (2002) Suction and volume changes of compacted sand-bentonite mixtures. PhD Thesis,

Imperial College of Science, Technology and Medicine. University of London. United Kingdom. Cook R. A.; Hover, K. C. (1993) Mercury porosimetry of cement-based materials and associated correction

factors. ACI Materials Journal. 90:2: 152-161. Dineen, K. (1997). The influence of suction on compressibility and swelling. PhD Thesis, Imperial College of

Science, Technology and Medicine. University of London. United Kingdom. Dirksen, C. (2001). Unsaturated hydraulic conductivity. Chapter 5 in Soil and environmental analysis. Edited by

K. A. Smith & C. E. Mullins. Marcel Dekker, Inc. New York, USA. Freeze, R. A.; Cherry, J. A. (1979) Groundwater. Prentice Hall, Inc. N.J., USA, p. 29. García-Bengochea, I.; Lovell, C. W.; Altschaeffl, A. G. (1979). Pore distribution and permeability of silty cáliz.

Journal of the geotechnical engineering division. ASCE. 105(GT7), 839 – 856 Hilfer, R. (2000) Local porosity theory and stochastic reconstruction for porous media. In: K. R. Mecke & D.

Stoyan. Springer - Verlag LNP 554, pp 203 – 241. Berlin, Alemania.


C A P Í T U L O 7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

120 Huang, S.; Babour, S. L.; Fredlund, D. G. (1997) Development and verification of a coefficient of permeability

function for a deformable unsaturated soil. Department of Civil Engineering, 57 Campus Dave, University of Saskatchewan, Saskatoon. Canada.

Hyslip, J. P.; Vallejo, L. E. (1997) Fractal analysis of the roughness and size distribution of granular materials.

Engineering Geology 48:231-244 Juang, C. H.; Holtz R. D. (1986) Fabric, pore size distribution, an permeability of sandy soils. Journal of the

geotechnical engineering division. ASCE. Vol. 112, No. 9: 855-868. Juang, C. H.; Holtz R. D. (1986a) A probabilistic permeability model and the pore size density function.

International Journal for numerical and analytical methods in geomechanics. Vol. 10, p. 543-553. Korvin, G. (1992) Fractal Models in the Earth Sciences. Elsevier Science Publishers. Amsterdam, NL. Kottegoda, N. T.; Rosso, R. (1997) Statistics, Probability, and Reliability for Civil and Environmental Engineers.

McGraw Hill. Singapore. Kuwano, R. (1999) The Stiffness and yielding anisotropy of sand. PhD Thesis, Imperial College of Science,

Technology and Medicine. University of London. United Kingdom. Lambe, T. W.; Whitman, R. V. (1994) Mecánica de Suelos. Editorial Limusa S. A. México D.F. México. Loveland, P. J.; Whalley, W. R. (2001) Particle Size Analysis. Chapter 7 in Soil and environmental analysis.

Edited by K. A. Smith y C. E. Mullins. Marcel Dekker, Inc. New York, USA. Marshall, T. J.; Holmes, J. W.; Rose, C. W. (1991) Soil Physics. Third Edition. Cambridge University Press.

New York, USA. Mitchell, J. K. (1993) Fundamentals of soil behavior. Second Edition. John Wiley & sons, Inc. New York, USA. Montenegro, H.; Malagón, D. (1990) Propiedades físicas de los suelos. Subdirección de Agrología, Instituto

Geográfico “Agustín Codazzi”. Ediciones IGAC. Bogotá, Colombia. Nemes, A.; Schaap, M. G.; Leij, F. J. (1999) UNSODA. USDA – ARS. Salinity Laboratory. Riverside, CA, USA. Niño, C. J.; Tovar, R. D. (2003) Aplicación de la Geometría Fractal en el análisis de la conductividad hidráulica

de suelos granulares. Trabajo de grado de Ingeniero Civil. Universidad Nacional de Colombia. Bogotá D.C., Colombia.

Niño, C. J.; Tovar, R. D.; Colmenares, J. E. (2003) Modelo de tubos capilares modificado en función de la

dimensión fractal, para el cálculo de la conductividad hidráulica de arenas limpias. XI jornadas geotécnicas de la ingeniería en Colombia y V Foro de Geotecnia de la Sabana de Bogotá. Bogotá, Octubre.

Rubin, Y. (2003) Applied stochastic hydrogeology. Oxford University Press. New York, USA. Salazar, M. L. (1999) Modelación experimental y matemática del transporte unidimensional de nitratos en arena

uniforme no saturada. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ingeniería. Departamento de Ingeniería Agrícola. Santafé de Bogotá, Colombia.


C A P Í T U L O 7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

121 Samper, F. J.; Carrera, J. (1990) Geoestadística. Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería.

UPC. Barcelona, España. Scheaffer, R.L.; McClave (1993) Probabilidad y Estadística para Ingeniería. Grupo Editorial Iberoamérica.

México. Scheidegger, A. E. (1960) The physics of flow through porous media. 2nd. Edition. University of Toronto Press.

Toronto. Tindall, J. A.; Kunkel, J. R.; Anderson, D. E. (1999) Unsaturated zone hydrology for Scientists and Engineers.

Prentice Hall. New Jersey, USA. Townend, J.; Reeve, M. J.; Carter, A. (2001) Water release characteristic. Chapter 3 in Soil and environmental

analysis. Edited by K. A. Smith y C. E. Mullins. Marcel Dekker, Inc. New York, USA. Vallejo, L. E. (1995) Fractal Analysis of Granular materials. Geothecnique. 45-1:159-163. Washburn, E.W. (1921) Note a method of determining the distribution of pore size in porous material. Proc. Natl.

Acad. Sci. USA, 7:115-116 Yong, R.; Warkentin, B. (1975) Soil properties and behavior. Elsevier, Amsterdam. Youngs, E. G. (2001) Hydraulic conductivity of saturated soils. Chapter 4 in Soil and environmental analysis.

Edited by K. A. Smith y C. E. Mullins. Marcel Dekker, Inc. New York, USA.


A

nexos

A

Mod

elo

de C

ondu

ctiv

idad

Hid

rául

ica

en S

uelo

s

Anexos


CONTENIDO

Pág.

A ANEXOS............................................................................................................................. 127

A.1 NORMA ASTM PARA EL USO DEL POROSÍMETRO DE MERCURIO.................................... 127 A.1.1 Scope..................................................................................................................... 127

A.2 CÁLCULO DEL TAMAÑO NECESARIO DE PARTÍCULAS................................................... 128 A.3 CÁLCULO DE LA RELACIÓN DE VACÍOS DE GRANO ....................................................... 129 A.4 CÁLCULO DE GRADACIÓN DE LA ARENA CON DIFERENTES GRADACIONES.................... 130 A.5 PROPIEDADES DEL CAOLÍN......................................................................................... 131 A.6 ESTUDIO DE LA DENSIDAD APARENTE DE LA ARENA .................................................... 132 A.7 MANUAL DE OPERACIONES DEL POROSÍMETRO DE MERCURIO..................................... 134

A.7.1 Instalación............................................................................................................... 134 A.7.2 Panel de controles, indicadores y conectores.................................................................. 134 A.7.3 Instrucciones de operación “paso a paso”...................................................................... 136 A.7.4 Calibración .............................................................................................................. 139

A.8 OTROS MODELOS....................................................................................................... 141 A.8.1 Modelo de Resistencia a Flujo ..................................................................................... 141 A.8.2 Promedio de las Ecuaciones de Navier – Stokes............................................................. 142 A.8.3 Modelo de Ferrandon................................................................................................. 142 A.8.4 Modelo Estadísticos .................................................................................................. 143 A.8.5 Modelo de grietas ..................................................................................................... 144 A.8.6 Otros capilares......................................................................................................... 145 A.8.7 Radio hidráulico........................................................................................................ 147

A.9 MODELOS RESULTADO DEL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN......................................... 149 A.9.1 Modelo de Barrera & Muñoz........................................................................................ 149 A.9.2 Modelo de dimensión fractal de perfiles cerrados de Niño y Tovar ...................................... 149

A.10 PROGRAMA................................................................................................................ 153 A.10.1 Para AFU............................................................................................................ 153 A.10.2 Para AMU............................................................................................................ 156 A.10.3 Para ADG............................................................................................................ 159

ANEXOS

126


FIGURAS

Pág.

Figura 1 Cálculo del tamaño de partículas del Arreglo 1.......................................................................128 Figura 2 Cálculo del tamaño de partículas del Arreglo 2.......................................................................128 Figura 3 Cálculo de la relación de vacíos del Arreglo 1.........................................................................129 Figura 4 Cálculo de la relación de vacíos del Arreglo 2.........................................................................129 Figura 5 Ajuste a la función de distribución normal de probabilidad .........................................................133 Figura 6 Diagrama de fuerzas actuando en el fluido dentro de un elemento cilíndrico del campo poroso. (Tomado

de Bear, 1972).......................................................................................................................141 Figura 7 Modelo de flujo de Irmay (Tomado de Bear, 1972)...................................................................142 Figura 8 Nomenclatura del Modelo de Ferrandon (Tomado de Bear, 1972) .............................................. 143 Figura 9 Modelo de De Josselin de Jong de canales interconectados (Tomado de Bear, 1972)....................144 Figura 10 Modelo de Grietas (Tomado de Bear, 1972 ) .........................................................................145 Figura 11 Modelos de medio poroso usados para relacionar el factor de forma y el índice resistividad con la

porosidad y la tortuosidad (Tomado de Bear, 1972 ).......................................................................146 Figura 12 Modelo de orificios capilares de Blick (Tomado de Bear, 1972 ).................................................147

TABLAS

Pág.

Tabla 1 Propiedades de la Arena con diferentes gradaciones ................................................................130 Tabla 2 Resumen de resultados de ensayos de caracterización y clasificación del material (Tomado de

González, 2003).....................................................................................................................131 Tabla 3 Datos estadísticos de la densidad [Mg/ m3] para los datos de cada método de preparación de las

muestras .............................................................................................................................. 133 Tabla 4 Valores de c para los suelos estudiados (Tomado de Niño & Tovar, 2003)....................................151


A A ANEXOS

A.1 NORMA ASTM PARA EL USO DEL POROSÍMETRO DE MERCURIO

Test Method D4404-84(1998)e1 Standard Test Method for Determination of Pore Volume and Pore Volume Distribution of Soil and Rock by Mercury Intrusion Porosimetry

Copyright 2001 AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS, West Conshohocken, PA. All rights reserved.

A.1.1 Scope

Ø This test method covers the determination of the pore volume and the pore volume distributions of soil and rock by the mercury intrusion porosimetry method. The range of apparent diameters of pores for which this test method is applicable is fixed by the operant pressure range of the testing instrument. This range is typically between apparent pore entrance diameters of about 100 µm and 2.5 nm (0.0025 µm). Larger pores must be measured by another method.

Ø Mercury intrusion porosimetry is useful only for measuring pores open to the outside of a soil or rock fragment; mercury intrusion porosimetry will not give the volume of any pores completely enclosed by surrounding solids. This test method will give only the volume of intrudable pores that have an apparent diameter corresponding to a pressure within the pressurizing range of the testing instrument.

Ø The intrusion process proceeds from the outside of a fragment toward its center. Comparatively large interior pores can exist that have smaller pores as the only means of access. Mercury intrusion porosimetry will incorrectly register the entire volume of these "ink -bottle" pores as having the apparent diameter of the smaller access pores. In a test sample, inter-fragment pores can exist in addition to intra-fragment pores (see Section 3 for definitions). The inter-fragment pores will vary in size and volume depending on the size and shape of the soil or rock fragments and on the manner in which the fragments are packed together. It is possible that some inter-fragment pores can have the same apparent diameter as some intra-fragment pores. When this occurs this test method cannot distinguish between them. Thus, the test method yields an intruded pore volume distribution that is in part dependent upon the packing of multifragment samples. However, most soils and rocks have intra-fragment pores much smaller than the inter-fragment pores. This situation leads to a bi-modal pore size distribution and the distinction between the two classes of pores can then be made (see Figs. 1 and 2).

Ø Mercury intrusion may involve the application of high pressures to the sample. This may result in a temporary, or permanent, or temporary and permanent alteration in the pore geometry. Generally, soils and rocks are composed of comparatively strong solids and are less subject to these alterations than certain other materials. However, the possibility remains that the use of this test method may alter the natural pore volume distribution that is being measured.

Ø This standard does not purport to address all of the safety problems, if any, associated with its use. It is the responsibility of the user of this standard to consult and establish appropriate safety and health practices and determine the applicability of regulatory limitations prior to use. For specific precaution statements, see Section 8.

C 699 Methods for Chemical, Mass Spectrometric, and Spectrochemical Analysis of, and Physical Tests on, Beryllium Oxide Powder

ANEXOS

128


A.2 CÁLCULO DEL TAMAÑO NECESARIO DE PARTÍCULAS

En el arreglo 1 se determinó usando el teorema de Pitágoras, se tiene que 222 RRr)(R +=+ , de donde: ( ) 0.414RR12r ≅−= , por lo tanto:

2.414dD ≅ [Ec. 1]

Donde D es el diámetro de partículas y d, el diámetro de poros. Así si el intervalo del porosímetro es: 0.00250 µm < d < 100 µm para el arreglo 1, se necesitan partículas así:

0.00604 µm < D < 241.4 µm 0.00604 µm < D < 0.241mm

Es decir que si las arenas son partículas entre 0.06 a 2.00 mm (Clasificación MIT & BSI), se necesitan arenas entre 0.06 mm y 0.2 mm (Arenas finas). En el arreglo 2 se determinó el tamaño de poros con base en el tamaño de partículas así: Usando en el Triángulo Rojo el teorema de Pitágoras, se tiene que:

( )222 0.5RRh −= , de donde: R23h =

La distanc ia x es: ( )R2

32hRx −=−=

Por geometría se tiene que R63h

31xr ==+ , por lo tanto:

xR63h

31r −==

( ) ( ) 0.154RR6

634R2

32R63r ≅−=−−= , por lo tanto:

6.46dD ≅ [Ec. 2]

Por lo tanto para el arreglo 2, teniendo en cuenta que el rango del porosímetro de intrusión de mercurio es 0.00250 µm < d < 100 µm, se necesitan partículas así:

0.01615 µm < D < 646 µm 0.01615 µm < D < 0.646mm

Es decir que si las arenas son partículas entre 0.06 a 2.00 mm, se necesitan arenas entre 0.06 mm y 0.6 mm. Según la clasificación del MIT & BSI, se necesitan arenas finas y medias.

R

R

R

r

Figura 1 Cálculo del tamaño de partículas del Arreglo 1

2R

R

y

0.5R

hx

r

Poro

Figura 2 Cálculo del tamaño de partículas del Arreglo 2

ANEXOS

129


A.3 CÁLCULO DE LA RELACIÓN DE VACÍOS DE GRANO

Para los dos arreglos básicos se calculó la relación de vacíos así: para el arreglo 1, con base en su geometría expuesta en la Figura 3. El volumen total VT es: 2RVT =

El volumen de sólidos VS se calcula: 4

2RVSπ=

Y el volumen de vacíos, VV es la diferencia entre los dos anteriores, así:

22

2

41

4RRRVVV STV

−=−=−=

ππ

Por lo tanto la relación de vacíos intergranular es:

3.04

4

44

4R

R4

1

VVe 2

2

S

VG1

≅−=

−

=

−

==π

ππ

π

π

π

Para el Arreglo 2, según la Figura 4, se tiene que:

El volumen total es igual a: 2

bhVT = , donde:

R3h = , por lo tanto: 2T R3

2R3R2V =×=

El volumen de sólidos VS se calcula como tres sextas

partes de un círculo, así: 2RV

2

Sπ=

Y el volumen de vacíos, VV es la diferencia entre los dos anteriores, así:

22

2STV R

23

2RR3VVV

−=−=−=

ππ

Por lo tanto la relación de vacíos intergranular para el arreglo 2 es:

1.032

2

232

2R

R2

3

VVe 2

2

S

VG2

≅−

=

−

=

−

==π

ππ

π

π

π

R

R

Figura 3 Cálculo de la relación de vacíos del Arreglo 1

2R

R

h

Figura 4 Cálculo de la relación de vacíos del Arreglo 2

ANEXOS

130


A.4 CÁLCULO DE GRADACIÓN DE LA ARENA CON DIFERENTES GRADACIONES

La arena bien gradada se prepara cumpliendo los criterios expresados en el numeral 3.2.2. El coeficiente de uniformidad CU es menor que y el coeficiente de gradación está entre 1 y 3, por lo q ue la arena es pobremente gradada.

= = =60u

10

D 0.6C 4D 0.15

y 2 230

g10 60

D 0.425C 2.01D D 0.6 0.1

= = =× ×

La Tabla 1 muestra el cálculo de las proporciones de material para preparar la arena con diferentes gradaciones.

Tabla 1 Propiedades de la Arena con diferentes gradaciones

TAMIZ No.

TAMAÑO DE PARTÍCULA (mm)

% RETENIDO

% RETENIDO ACUMULADO

% QUE PASA

20 0.84 0 0 100 30 0.60 40 40 60 40 0.43 30 70 30 50 0.30 10 80 20 60 0.25 3 83 17 70 0.21 3 86 14 80 0.18 1 87 13 100 0.15 3 90 10 200 0.074 10 100 0

ANEXOS

131


A.5 PROPIEDADES DEL CAOLÍN

Tabla 2 Resumen de resultados de ensayos de caracterización y clasificación del material (Tomado de González, 2003)

ENSAYO ESPECIFICACIÓN RESULTADO

Humedad natural ASTM D-2216 Humedad Gravimétrica (w): 1.7 %

Límite líquido (LL): 81 %

Límite Plástico (LP): 48 %

Límite de Contracción (LC): 37 %

Índice de Plasticidad (IP): 34 %

Clasificación Carta de Plasticidad: MH

Límites de Consistencia ASTM D-4318 ASTM D-427

Actividad de Skempton: 0.47 (Arcilla Inactiva) Hidrometría ASTM D-422 % partículas menores de 2µ: 72 % Gravedad específica de sólidos ASTM D-854

Gs: 2.61

Valor de Azul: 1.80 Azul de Metileno

Actividad de Azul: 3.0 (Arcilla Inactiva)

ANEXOS

132


A.6 ESTUDIO DE LA DENSIDAD APARENTE DE LA ARENA1

Los métodos conocidos para la preparación de muestras son: § Preparación con embudo: Se utiliza un embudo de laboratorio, para esparcir la muestra dentro del molde. De

esta manera se llena primero el centro y posteriormente el perímetro del molde. § Preparación con llenado a mano: Se esparce el suelo con la mano dentro del molde, procurando un llenado

uniforme. § Preparación utilizando tamiz: Mediante un tamiz de abertura mayor al tamaño de la partícula (tamiz número

80), se procura simular una lluvia del suelo dentro del molde tratando lograr uniformidad en el llenado. § Preparación mediante compactación: El procedimiento consiste en llenar el molde en tres capas de suelo,

compactadas con 15 golpes por capa. § Preparación con saturación parcial : Mediante este método se procuro llenar el molde con el suelo a cierto

grado de saturación. El procedimiento consiste en sumergir el molde en agua, para luego llenarlo progresivamente esparciendo el suelo con la mano, de tal manera que no se formen grumos. Este método presento dificultades al momento de enrasar, ya que se presentaron fases visibles de agua.

El análisis para la determinación del método de preparación de las muestras, se realizó evaluando el ajuste de los datos, de cada uno de los métodos, a una distribución normal de probabilidad empleando el valor promedio y la desviación estándar en cada caso. La distribución normal fue desarrollada originalmente para el estudio de los errores experimentales. Cada error esta relacionado a diferencias inevitables entre las observaciones, cuando un experimento es repetido varias veces bajo condiciones similares. La distribución normal puede aplicarse, cuando los errores poseen carácter aditivo. Esto quiere decir, que las observaciones tienden a acercarse a un valor central. Este comportamiento puede analizarse, a partir del coeficiente de asimetría (Kottegoda y Rosso, 1997). Los valores de la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría se observan en la Tabla 3. Como primera medida, el coeficiente de asimetría ofrece una medida de la proximidad entre los valores de media, moda y mediana de un conjunto de datos (Kottegoda y Rosso, 1997). El signo negativo del coeficiente de asimetría, significa que la media es mayor, que los valores de mediana y moda; es conveniente aclarar que la mediana es el valor central de un conjunto ordenado de datos, y la moda es el valor de mayor ocurrencia en el conjunto mencionado. Teniendo en cue nta los valores observados, el método de llenado a mano, posee una distribución casi totalmente simétrica por la cercanía del coeficiente de asimetría a cero, mientras que los demás métodos, organizados de menor a mayor valor del coeficiente de asimetría, poseen grados de simetría sucesivamente menores, de acuerdo a los indicadores propuestos en la bibliografía (Kottegoda y Rosso, 1997). El análisis anterior sugiere aplicar la distribución normal solo a los conjuntos de datos con mejor grado de simetría. Así, se decidió aplicar la distribución normal a los datos obtenidos con los métodos de llenado a mano y llenado con tamiz. La [Ec. 3] presenta una expresión para el ajuste a la distribución normal.

1 Adaptado de: Barrera & Muñoz, 2003

ANEXOS

133


−−

σ=σ π

2

2(x x)

21P e2

[Ec. 3]

Donde P es la probabilidad de ocurrencia de que se presente un valor x de densidad, x es el valor de densidad al cual se calcula la probabilidad de ocurrencia, - < x < , x es la media de los valores de densidad, y ó es la desviación estándar de los mismos. En la Figura 5, se presenta el ajuste de los datos para los métodos de preparación escogidos, a la función de distribución normal y se observa que el conjunto de datos con menor dispersión, representa al método de llenado a mano. Así, se puede establecer que el método de llenado a mano presentó las condiciones de menor variabilidad en la fábrica de las muestras. Con base en la discusión preliminar, este fue el método utilizado para preparar todas las muestras durante el proyecto.

Tabla 3 Datos estadísticos de la densidad [Mg/ m3] para los datos de cada método de preparación de las muestras

MÉTODO DE PREPARACIÓN VALOR PROMEDIO

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

COEFICIENTE DE ASIMETRÍA

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

< Llenado con embudo 1.366 0.0430 -1.235 3.15% < Llenado con la mano 1.348 0.0070 -0.108 0.52% < Llenado con tamiz 1.514 0.0230 -0.484 1.51% < Llenado mediante compactación 1.469 0.0100 -1.752 0.71% < Llenado con saturación Parcial 1.584 0.0710 -0.926 4.48%

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

50

40

30

20

10

Densidad [Mg/m3]

P [

X=x

]

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

50

40

30

20

10

Densidad [Mg/m3]

P [

X=x

]

Figura 5 Ajuste a la función de distribución normal de probabilidad

ANEXOS

134


A.7 MANUAL DE OPERACIONES DEL POROSÍMETRO DE MERCURIO

A.7.1 Instalación

A. Conecte el cable gris del computador al conector de la parte trasera del Autoscan en el tablero de interfase del AUTOSCAN en el PC (Ver el manual)

NOTA: Los “bindings posts” no deben conectarse en el porosímetro. B. Conecte el tubo de vacío a la manguera localizada atrás del porosímetro. Una bomba de al menos 50

micrómetros de Hg o menos es necesario para obtener el vacío requerido. Se recomienda que la bomba esté equipada con una válvula de alivio. Esta purgará el aire en el sistema para prevenir que el aceite entre el porosímetro, en el evento de un apagón inapropiado.

C. Inserte el tubo U en vidrio en su estuche al lado derecho del gabinete. El nitrógeno líquido sirve para

condensar todo el vapor de Hg y prevenir su evaporación. D. Un tubo de cobre [D = 1/8" L = 10 ft] es provisto con un conector macho al final. Estos plugs en él se acoplan

al conector hembra en el panel trasero. El otro extremo del tubo se une al gas comprimido. Para desconectar la línea de entrada, hale la parte roscada hasta que ajuste. Este se autosella y no permite el flujo cuando se desconecta. Gas comprimido con una presión de salida de 500 PSI absolutos es requerido. Es conveniente nitrógeno seco y limpio o aire. Los gases corrosivos, como SO 2, no pueden ser usados. Estos pueden causar severos daños en válvulas y mecanismos internos de seguridad haciendo el instrumento poco seguro para su uso. Los gases que se pueden descomponer y dejar residuos sólidos no deben ser usados en el instrumento.

E. El conector multi-pin en el panel trasero es usado para otorgar señales del AutoScan a la computadora. F. Una botella de 5 lb de mercurio es suministrada con el equipo, y se ajusta en el compartimiento del lado

izquierdo del gabinete. Rotando la rueda plástica en sentido horario en la parte baja de la plataforma hasta que la botella de mercurio pueda ajustarse en la plataforma con un tubo sifón dentro de la botella. Luego de que rote la rueda en sentido horario, levantando la botella hasta que el labio de esta presione firmemente con el “gasket” el cual da un sello. Cuando un suplemento de Hg fresco se necesite, es recomendable que el mercurio sea transferido en una botella ofrecida con el porosímetro después de limpiar o secar.

A.7.2 Panel de controles, indicadores y conectores

Todos los paneles superiores de control son eléctricos. Todos los inferiores, son de control de flujo. A. Panel Superior

1. “POWER” provee energía a todos los circuitos. En condición ON se enciende una luz. La principal potencia es de 2 amperios y esta localizada en el panel trasero.

2. Volumen “ZERO” ajusta el display digital del volumen. El display superior 3. Los conectores de cable coaxial continuamente requieren que el cable coaxial este conectado entre la

cavidad de muestras y el puente de capac itancia (ENTRADA DE VOLUMEN). 4. El display digital de volumen indica el volumen en cm 3. Además indica la temperatura de calentamiento,

cuando se requiera calentar.

ANEXOS

135


5. El display digital de presión indica la presión en la celda de muestra en PSIA con e selector de modo X1, X10 o LOG. En “VAC” la presión se muestra en militorrecilli.

6. “HEATING MANTLE TEMP” calienta cuando de enciende “ON” (se presiona) El display de “VOLUMEN” indica el manto de temperatura en ºC, cuando el botón “READ” se presiona. Cuando la termo cúpula se desconecta, ninguna lectura será mostrada en el modo “TEMP”. Para borrar el display de volumen, se presiona completamente y se suelta el botón “READ”.

7. “TEMP SET”- configura el manto de calentamiento ajustándolo a 3 dígitos. Cada dígito puede ser avanzado o reducido presionando el botón de arriba. La máxima temperatura permitida es de aproximadamente 125 ºC. Este límite es impuesto para prevenir ablandamiento y deformación del “plástico delrin” usado para sellar las celdas de muestras. Configuraciones sobre 125 oC no se producen mantos de temperatura.

8. Presión “ZERO” se usa para ajustar la lectura de presión. El dial no ajusta las lecturas de vacío. Para gran precisión de lectura se debe ajustar en modo X10 para presión ambiente, usualmente 14.7 PSIA a nivel del mar y condiciones estándar.

9. “CALIBRATE”: determina la ganancia en el volumen del circuito. Los cambios de configuración “CALIBRATE” resultan en indicaciones de volumen lineal con ajustes. Así pues, doblando o dividiendo en la mitad la configuración resultara en doblar o dividir en la mitad el volumen indicado. La habilidad para incrementar la ganancia es útil cuando pequeños volúmenes de intrusión ocurrieran. La correcta configuración “CALIBRATE” esta en el frente del manual. Para cambiar la configuración se presiona el botón superior o inferior para que cada digito aumente o reduzca la lectura.

10. “VAC”: para lecturas de vacío en micrómetros de Hg en la presión (inferior) display digital. Cuando la lectura de presión de vacío “ZERO” se ajuste. Lecturas sobre 1000 militorriceli son poco preciosas.

11. MODOS DE OPERACIÓN a. X1: presión normal de operación. Rango del vació hasta 500 PSIA. b. X10: presión extendida 10 veces. La escala máxima corresponde a 50 PSIA comienza presurización

en el modo 10X y se devuelve el switch a modo 1X para aproximar el máximo intervalo. c. LOG: la señal de salida para un XY grabador (si se usa) es proporcional al logaritmo de la presión.

Cuando se usa papel semilogaritmico Quantacrome, cada cambio de década de radio ocupara un porcentaje igual del intervalo grabado. El display digital continúa indicando la presión linealmente.

B. Panel Inferior (ver figura 2 para circuito de flujo)

1. Válvula “SELECTOR” a. “VACUUM”: permite que se coloque vacío en el porosimetro para sacar gases de las muestras y

llenar la celda de muestras con Hg. b. “VENT”: Admite aire en el porosimetro cuando se esta en condiciones de vacío. Saca gas fuera del

porosímetro cuando existe presión. c. “PRESURE”: Permite gas comprimido en el porosimetro. d. “OFF”: Aísla el porosimetro para mantener la condición que existe.

2. “FLOW CONTROLS”

a. “COARSE”- “OPEN”: Permite la rápida evacuación, presurización o despresurización. b. “COARSE”-“BLOCKED”: Permite el control de flujo por la válvula de control “FINE”. c. “FINE”: para controlar evacuación, presurización o despresurización.

3. “Hg FILL”- Se rota la perilla a “Hg FILL” para agregar mercurio a la cavidad interna.

C. Panel Central “HEATING MANTLE”: Es una resistencia para dar un manto de calor.

D. Lado Derecho del Gabinete

Trampa Fría: Permite colocar vacío a través de un liquido refrigerador

ANEXOS

136


E. Lado Izquierdo del Gabinete

Contiene el reservorio de mercurio para llenar el porosímetro con mercurio y una válvula de desahogo para sacar el mercurio atrapado cada vez que el envase queda vacío.

A.7.3 Instrucciones de operación “paso a paso”

A. Añadiendo mercurio a la jarra de vacío. NOTA: Estos pasos deben hacerse antes de procederse con la purga del equipo.

1. Coloque la válvula “SELECTOR” indicando “VENT”. 2. Coloque el control de flujo en “COARSE OPEN”. 3. Suelte la rosca al lado izquierdo de la cavidad de la celda e insertar el plug de acero inoxidable en la

cavidad para sellar la cavidad interna. Suavemente apriete la rosca y cierre la cavidad trasera. 4. Desatornille y deslice la cubierta externa del habitáculo de la celda, cuando este en posición horizontal. 5. Con la bomba de vació encendida, coloque la válvula “SELECTOR” en “VACUUM” y cierre el agujero del

lado derecho del “flange” usando el tapón de caucho que viene con el instrumento. 6. Rote la válvula “Hg FILL” a “FILL”. El mercurio fluirá del envase a la jarra de vació. Retórnela a “CLOSE”

cuando el mercurio toque la parte inferior de la envoltura. NOTA: Cualquier exceso en el mercurio agregado a la cavidad, fluirá en la trampa.

B. Carga de Celdas de Muestra.

1. Coloque la muestra en una celda limpia y seca, Pese la celda luego de agregar la muestra para obtener el peso de la muestra. El tubo curvo dentro de la celda previene que el polvo entre por el tallo. El tamaño de la celda de muestra es determinado por el tamaño físico de la muestra y el volumen de intrusión esperado. Cuando sea posible la celda más pequeña debe ser utilizada.

2. Coloque un poco de vaselina en la base de la celda de muestra si ensamble la celda como la muestra la figura 3.

3. Gire la válvula “SELECTOR” A “VENT” y remueva el plug de la cavidad interna. 4. Inserte la celda de muestras en la jarra de vacío y gire suavemente la rosca. El tallo de la celda será

contenido por la envoltura de acero inoxidable, la cual debe ser mantenida tan limpia como sea posible.

C. Purga de Gases:

1. Encender “POWER” en “ON” 2. Presione el botón X10, ajuste el display de presión a presión ambiente (usualmente 14.7 PSIA) 3. Si se requiere calor, coloque el manto de calor alrededor de la parte protuberante de la celda de

muestras del habitáculo de la celda. Inserte el manto en su receptáculo de potencia y el plug de temperatura del manto en el receptáculo adyacente a la salida de corriente.

4. Coloque el manto de temperatura. Presione “ON” para encender el manto. Presione “READ” para mostrar la temperatura del manto.

5. Cierre la cubierta externa 6. Gire “FLOW CONTROL” de “COARSE” a “CLOSE”. “FINE FLOW CONTROL” a “OFF”. Todo en sentido

horario. 7. Gire la válvula “SELECTOR” a “VACUUM” y cierre el agujero en la izquierda del “flange” insertando el

tapón.

ANEXOS

137


8. Abra “FINE FLOW CONTROL” suavemente en sentido horario. 9. Revise el display de presión hasta que indique cero. Luego pásese al modo “VACUUM”. Suavemente

abra “FINE FLOW CONTROL” completamente en sentido horario 10. Cuando el vacío llega bajo 200 militorriceli abra “COARSE FLOW CONTROL”

PRECAUCION: Si las válvulas “COARSE” o “FINE FLOW CONTROL” son abiertas prematuramente las muestras polvorosas pueden salirse de la celda durante una repentina despresurización. Un inadecuado sello en la base de la celda causaría que el polvo salga de la celda y no se obtendría un vacío adecuado. Si el polvo no sale del la celda, vea sección de mantenimiento para removerlo del vidrio de la jarra de vacío y limpiarlo.

11. Después de la purga, la cual requiere cierto tiempo, usualmente indicado por una lectura de vacío de

alrededor de 50 militorriceli, remueva el manto de calor y permita que la muestra se enfrié mientras se mantiene el vacío.

12. Cierre las válvulas de control de flujo grueso y fino. 13. Oprima el switch X10 y coloque la presión en 0. 14. Gire la válvula “SELECTOR” a “PRESSURE”. 15. Suavemente abra la válvula de control fino y lleve la presión hasta ambiente. 16. Quite el tapón del hoyo del lado izquierdo del tapón y cierre la cubierta trasera. Conecte el electrodo a la

base del plato si se usa la celda corta. 17. Repita los pasos 5 a 9 para reevaluar la cámara. Alternamente, si el calor no es requerido en la celda

muestra, se puede evacuar y llenar con mercurio las cubiertas externa y trasera en su lugar. 18. Encienda el display “VOLUME” de vuelta a volumen presionando y soltando el botón “READ”. Apague el

manto de calor. D. Llenado de la Celda de Muestra con Mercurio

1. Oriente hacia abajo el lado derecho de la cavidad, girando la columna localizada detrás de la cavidad (protuberante en el lado derecho) en sentido horario, hasta que la columna toque el pívot de parado.

2. Cierre “COARSE” y “FINE FLOW CONTROL” 3. Gire la válvula “SELECTOR” a “VENT”. 4. Presione a modo X10. 5. Cuidadosamente y lentamente abra la válvula de “FINE FLOW CONTROL”. 6. Un repentino cambio en el display de volumen indicara que el mercurio ha contactado la base del plato

electrodo. Agregue 0.1 PSIA adicionales y cierre “FINE FLOW CONTROL”. Espere 1 minuto para asegurar un llenado completo de la celda de muestras.

7. Retorne la cavidad a la posición horizontal. E. Llenado de la Macrocelda.

1. Remueva la punta “tapón”del final del empaque de control. 2. Inserte la Macrocelda sellada en la jarra de vacío. Cierre la cavidad trasera e inserte el tapón en el hoyo

en el lado derecho del “tapón”. Evacúe la celda y purgue la muestra. 3. La punta del lado derecho de la cavidad se baja tanto como se pueda. 4. Agregue Mercurio a la jarra de vacío desde ½ hasta 2/3 de lleno. 5. Cierre las válvulas de control grueso y frió y gire la válvula selector a “VENT”. 6. Presione el botón 10X y cuadre la presión cero. 7. Abra la válvula de control fino hasta que las lecturas de presión sean de 3.5 PSIA, luego cierre la

válvula. 8. Retorne la cavidad a su posición.

ANEXOS

138


9. Cuadre la medición del volumen a cero. Seleccione la presión deseada (X1 a X10) y proceda con la revisión de la presión ambiental.

10. En presión ambiental remueva el tapón, cierre la cavidad externa y gire la válvula “SELECTOR” a “PRESSURE”.

11. Continué revisando a presiones deseadas (50 a 500 PSIA). F. Falla para hacer contacto eléctrico.

Es necesario que el contacto eléctrico sea hecho por el mercurio contra el plato base electrodo cuando se esta llenando la celda. Si el flujo libre de mercurio es impedido por la muestra, el contacto eléctrico no debe ser hecho y presión adicional tendría que usarse para forzar el mercurio a través del “lecho del polvo”. Por lo tanto, los datos no se obtendrán pues no habrá la presión requerida para el contacto eléctrico. Para vencer esta situación, la cual ocurre algunas veces con muy pocos finos, se recomienda que la celda sea rotada sobre su eje mayor mientras se mantiene horizontal para distribuir el polvo a lo largo de la celda, dejando espacio para el flujo de mercurio impedido.

G. Intrusión en los Modos X1 o X10

NOTA: Vea el manual de software de adquisición de datos.

1. Seleccione “DATA ADQUISITION” del menú principal. 2. Seleccione el instrumento y el rango en el menú de adquisición. 3. Entre el peso de la muestra en el menú de análisis de parámetros 4. Presione X1 o X10 para seleccionar el modo de operación dependiendo del rango de presión requerido. 5. Limpie la lectura de volumen a cero. 6. Gire la válvula “SELECTOR” a “PREASSURE”. 7. Abra suavemente la válvula “FINE FLOW CONTROL” hasta que el display de presión y el grabador

marquen el flujo deseado. Una tasa razonable es de 5 minutos para alcanzar la presión máxima. 8. Ajuste el “FINE FLOW CONTROL” hasta que el flujo deseado sea conseguido. Una tasa razonable para

alcanzar la presión máxima es de 5 minutos. H. Extrusión

1. Gire la válvula “SELECTOR” a “VACUUM”. 2. Ajuste la tasa de despresurización con el “FINE FLOW CONTROL”. NOTA: La curva de extrusión de ser terminadas a la misma presión la cual se hizo la intrusión. A presiones bajas, la columna en el tallo de la celda puede romperse dando un gran salto positivo en el display de volumen.

3. Cuando la extrusión se completa, gire la válvula “SELECTOR” a “VENT”.

I. Apagar.

1. Abrir “COARSE FLOW CONTROL” 2. Remueva las celdas de muestras 3. Apague la bomba de vacío 4. Gire “SELECTOR” a “VACUUM”. 5. Remueva la trampa fría, limpia y seca 6. “Selector” a “OFF” 7. Apagar el porosimetro

ANEXOS

139


8. Inserte el plug en “CELL HUUSING”.

A.7.4 Calibración

A. Volumen de calibración: 6 celdas de muestras están disponibles con el Porosimetro. Sus volúmenes son aproximadamente 3, 6 y 24 cm3. 3 de las celdas tienen tallos de 2mm I.D. y 3 tienen 4mm I.D. Los volúmenes de los tallos correspondientes a los volúmenes intruibles despreciables de 0.5 cm3 cuando se llenan con mercurio a más de 1 cm. de la parte superior. Un número de calibración para cada tallo esta dado en el manual. Este número debe cuadrarse en el “CALIBRATE” display. Esta configuración establece un volumen amplificado que se gana y que la señal propiamente rastrea el volumen instruido.

En las celdas de 3 y 6 cm3 hay tallos de 2mm I.D. tallos escasamente 0.5 cm3 y 2 cm3 cuando se llena con mercurio a más de 1cm de la parte superior.

Un numero de calibración de c/tallo esta dado en el manual, y se calibra el volumen que se gana al intruir mercurio. (error de ± 1%) 1. Celda de muestra con cavidad pequeña: V = 3 cm3

a. Columna de calibración = 0.031 cm 3/cm b. Número de calibración = 333

2. Celda de muestra con cavidad grande: V = 6 cm3

a. Columna de calibración = 0.127 cm 3/cm b. Número de calibración = 598

Hay 2 métodos de calibración.

1. Llenado de la celda con mercurio como se describe en la sección III-D y se pesa. A este peso se le llama peso 1. Se coloca la celda en la vaina dentro de la jarra campana, asegurando que las cámaras de entrada y salida cubran su sitio. Se cuadra el control de calibración para su ajuste nominal, para que la celda sea usada. El display de volumen debe estar en 0. Se promueve la celda y se reduce el nivel de mercurio en el tallo de 2 a 4 pulgadas insertando un delgado alambre en el tallo para desplazar el mercurio. Volviendo a pesar y llamando a este el peso 2. La diferencia de volumen de mercurio en la celda es:

Hg

21 PPVρ−

=∆ [Ec. 4]

Se reinserta la celda en el Autoscan-500 y se cierran las cubiertas.

El display de volumen debe indicar el volumen calculado removido dentro de un pequeño porcentaje. Se recomienda que se tomen muchos más datos para obtener la mejor relación:

[VERDADERO VOLUMEN] / [VOLUMEN INDICADO]

Volumen Verdadero Numero de Calibracion=Nuevo Numero de CalibracionVolumen Indicado

× [Ec. 5]

ANEXOS

140


2. La información de la calibración dada en el frente del manual incluye el volumen por cm. de cada tallo. Removiendo longitudes de mercurio del tallo (un delgado alambre insertado en el tallo desplaza mercurio) y tomando lecturas sucesivas del volumen por unidad de longitud, este puede ser confirmado. Si las celdas de otros diámetros son usados, se ajuste el “Volumen cero” hasta que la escala de llenado deseado a la escala de fracción de llenado aparece en el display.

ANEXOS

141


A.8 OTROS MODELOS

A.8.1 Modelo de Resistencia a Flujo

El movimiento de un fluido en un canal de flujo ejerce una fuerza en la fronteras sólidas. Esta fuerza es causada por dos factores. El primero es el esfuerzo cortante debido a la viscosidad y los gradientes de velocidad en la superficie de frontera. Este esfuerzo genera una fuerza tangencial a la superficie. El segundo es la variación de la presión a lo largo de la superficie, y causa una fuerza normal a la superficie. La fuerza resultante, tiene dos componentes, una en dirección a la velocidad relativa, V, llamada arrastre, D. La componente normal a la velocidad es llamada Fuerza Lateral. La fuerza de arrastre es la suma de los componentes friccional, Df y la componente de presión Dp. La [Ec. 6] muestra la forma de calcular cualquiera de estas fuerzas:

2

f f fVD C A2

ρ=

2

p p pVD C A2

ρ=

2

DVD C A2

ρ= [Ec. 6]

donde A es el área, C es el coeficiente de arrastre.

Figura 6 Diagrama de fuerzas actuando en el fluido dentro de un elemento cilíndrico del campo poroso. (Tomado de Bear, 1972)

Estos modelos han sido empleados para desarrollar modelos de permeabilidad en medios porosos. La aproximación más simple ha sido usar el arrastre e n una esfera de diámetro d, como una analogía al arrastre de partículas en un medio poroso, donde la fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad (Ecuación de Stokes):

D 3 d V= π µ [Ec. 7]

Al comparar las expresiones anteriores se llega a que:

2 2 224 V 24 V dD ARe 2 Re 2 4

π= ρ = ρ [Ec. 8]

ANEXOS

142


El valor de CD es válido para números de Reynolds, Re<1. Rumer & Drinker en 1966 (Bear, 1972 ) introdujeron el concepto de fuerza de arrastre en un cilindro perpendicular a la corriente, como lo muestra la Figura 6, concluyendo que:

Reln4Reln2d

n1n

163k 2

−−

−= con VdRe ρ

=µ

[Ec. 9]

Esta ecuación muestra que k es una función de Re, y por lo tanto del caudal.

A.8.2 Promedio de las Ecuaciones de Navier – Stokes

Irmany en 1958 (Bear, 1972) simplificando las ecuaciones de Navier – Stokes, y computando el espacio promedio para un modelo de de esferas de diámetro d (Figura 7), representó un modelo isotrópico, concluyendo que para bajos valores del número de Reynolds, Re, la conductividad hidráulica se puede calcular como:

( )2 3

2

gd nK1 n

=βν −

[Ec. 10]

donde â es un factor numérico de forma que depende de la forma de los granos, y no de la porosidad o el diámetro.

d

d

d

LL + 2dL + 2d

d

d

d

LL + 2dL + 2d

Figura 7 Modelo de flujo de Irmay (Tomado de Bear, 1972)

A.8.3 Modelo de Ferrandon

Ferrandon presentó en 1948 (Bear, 1972) uno de los modelos más útiles para el entendimiento de la anisotropía en la permeabilidad.

ANEXOS

143


Este modelo considera un área A, alrededor de un punto P que está contenido en el dominio del medio poroso (Figura 8). Existe un vector 1n (componente ni en un sistema de coordenadas cartesianas x i) normal al área A, y sii 1m es un vector unitario (componente mi en un sistema de coordenadas cartesianas xi) en una dirección arbitraria, y además dÙ un ángulo infinitesimal del sólido cuyo eje está en la dirección 1m y cuyo vértice del punto P, Ferrandon propone que para calcular la velocidad de flujo y por tanto la conductividad hidráulica la [Ec. 11].

2

n i i j i i jj j0

q n kcmmd n kx x

πγ ∂ϕ γ ∂ϕ

= − Ω = −µ ∂ µ ∂∫ , donde

2

ij i j0

k k c m m dπ

= Ω∫ [Ec. 11]

La cual es la Ley de Darcy para flujo tridimensional en un medio anisotrópico.

x

z

y

1n1m

A

dΩ

x

z

y

1n1m

A

dΩ

Figura 8 Nomenclatura del Modelo de Ferrandon (Tomado de Bear, 1972)

A.8.4 Modelo Estadísticos

Todos los modelos anteriores consideran un alto grado de simplificación del medio poroso y del flujo a través de él. Esto se hace con el fin de permitir el tratamiento matemático o teórico. Para poder introducir el desorden en nuestras consideraciones, son aplicados los métodos estadísticos. Un ejemplo de la aplicación de un modelo estadístico fue el planteado por Scheidegger entre 1954 y 1960 (Bear, 1972). En él, se plantea que:

( )k pnn= = − ∇µ

qV [Ec. 12]

En el modelo estadístico de Scheidegger se considera la aleatoriedad del movimiento del fluido. Éste plantea sólo un medio isotrópico, para poder derivar fácilmente la densidad de probabilidad p, [Ec. 13], de un producto de tres probabilidades idénticas. Esta suposición se puede extender fácilmente a un medio anisotrópico partiendo de la distribución de probabilidad que gobierna los desplazamientos individuales, la cual es una func ión gaussiana, y es presentada en la [Ec. 13].

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2

3 / 2x x y y z z

p x,y,z,t 4 Dt exp4Dt

− + − + − = π −

[Ec. 13]

ANEXOS

144


En 1969 De Josselin de Jong (Bear, 1972 ), usando el modelo de tubos interconectados mostrado en Figura 9, sugirió la [Ec. 14] para el cálculo del flujo causado por un gradiente promedio, ∇ϕ , que ocasiona un ángulo α con el eje x.

( )cos∇ϕ θ − α y ( ) ( ) ( )q cosθ = λ θ ∇ϕ θ − α [Ec. 14]

El autor asume que la probabilidad de que una partícula tenga una orientación entre è y è + dè es inversamente proporcional al caudal en dicha dirección, y se calcula como sigue:

( ) ( ) ( )n q dP , d

Qθ θ θ

θ θ + θ = [Ec. 15]

Donde n(è) es el número de canales que tienen un ángulo entre è y è + dè. El número total de canales es:

( )2

2

N n dπ+

π−

= θ θ∫ [Ec. 16]

Por lo tanto el caudal está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2

Q n q d n cos dπ π+ +α + +α

π π+ +α + +α

= θ θ θ = ∇ ϕ θ λ θ θ − α θ∫ ∫ [Ec. 17]

l

α

αθ

∇ϕ

x

y

l

α

αθ

∇ϕ

x

y

Figura 9 Modelo de De Josselin de Jong de canales interconectados (Tomado de Bear, 1972)

A.8.5 Modelo de grietas

Estos modelos se basan en delgadas grietas capilares (o tajadas de ancho constante) como un modelo que representa el medio poroso. Una roca fracturada es seguramente una apro ximación a este modelo (Figura 10a). El inicio para el análisis de este modelo es la solución de la ecuación de Navier – Stokes para la velocidad media,

ANEXOS

145


V (Bear, 1972), en una grieta sencilla de ancho constante, b, limitado por dos planos paralelos impermeables (Figura 10c), la cual es definida por la [Ec. 18]

2b gV i12

ρ=

µ [Ec. 18]

Donde i es el gradiente hidráulico. Si se considera el medio poroso hecho de un gran número de grietas paralelas como en la Figura 10b se obtiene la [Ec. 19].

b1 b1a1

b2

a2

b2

b

b

b

a

a

b v

Distribuciónde velocidad

b1 b1a1

b2

a2

b2

b

b

b

a

a

b v

Distribuciónde velocidad

a b c

Figura 10 Modelo de Grietas (Tomado de Bear, 1972)

ig12bnnV

baVbq

2

µρ

==+

= , donde: ( ) 12

an1

n12bnk

2

2

32

−== [Ec. 19]

La [Ec. 19] muestra la permeabilidad en función del tamaño de poro b o de partícula a. El coeficiente 1/12 es el factor de forma, para las tajadas.

A.8.6 Otros capilares

La Figura 11a muestra el modelo sugerido por Wylie y Spangler, planteado en 1952 (Bear, 1972 ). Las áreas de las secciones transversales de las aberturas de los poros varían a lo largo de su longitud, pero la suma de las áreas de los poros se mantiene constante. Le representa la longitud patrón promedio a través de los poros. En este modelo no tiene en cuenta las diferencias entre la dirección flujo promedio y las velocidades locales. Así se puede calcular el Factor de Forma, F:

= eL LF

n o 1

FnT

= , donde 2

e

LTL

=

[Ec. 20]

Si Sw es la saturación del agua, se puede definir el Índice de resistividad, así:

=e wA ' nS A , donde: = e

w

L ' LIS

[Ec. 21]

En el modelo sugerido por Cornell y Katz en 1953 (Bear, 1972 ), mostrado en la Figura 11b, la longitud efectiva Le es mayor que L. Este modelo toma en cuenta que el flujo tiene una dirección diferente a la orientación del medio poroso. F se define en la [Ec. 22] e I en la [Ec. 23].

ANEXOS

146


L

A

A1 A2Le

A1A2

A

A1

L

A1

Le

A1

A

d2 b2

c2 a1

c2

d 2 b1

a2

Ae = A1+A2 = nA Ae = A 1 = A1 =nALLe

LLe

´

Ae = n2 A

a) Modelo de tubos capilares rectos ( Wylie y Spangler, 1952) b) Modelo de tubos capilares inclinados ( Cornell y Katz, 1953)

c) Modelo de tubos capilares ( Willie y Gardner , 1958)

L

A

A1 A2Le

A1A2

A

A1

L

A1

Le

A1

A

d2 b2

c2 a1

c2

d 2 b1

a2

Ae = A1+A2 = nA Ae = A 1 = A1 =nALLe

LLe

Ae = A 1 = A1 =nALLe

LLe

´

Ae = n2 A

a) Modelo de tubos capilares rectos ( Wylie y Spangler, 1952) b) Modelo de tubos capilares inclinados ( Cornell y Katz, 1953)

c) Modelo de tubos capilares ( Willie y Gardner , 1958) Figura 11 Modelos de medio poroso usados para relacionar el factor de forma y el índice resistividad con la porosidad y la tortuosidad (Tomado de Bear,

1972)

( )=

2eL L

Fn

o 1F

nT= [Ec. 22]

= = =1e 1 w

e e

A ' L LA ' A' ' nS A

L ' L ', donde: ( )

=2

e

w

L ' LI

S [Ec. 23]

La Figura 11c ilustra el modelo presentado por Wylie y Gardner en 1958 (Bear, 1972). La [Ec. 24] muestra el cálculo del factor de forma y la [Ec. 25] la forma de calcular el índice de resistividad.

( )= e

2

L LF

n o 2

1F

n T= , ya que L = Le, entonces = 2

1F

n [Ec. 24]

( )= 2e wA ' nS A , donde: =

w

1I

S [Ec. 25]

Otro modelo, basado en el movimiento no lineal fue propuesto por Blick en 1966 (Bear, 1972). Este modelo mostrado en la Figura 12 consiste en un paquete de tubos capilares con láminas de orificios espaciados a lo largo de cada tubo, separados por una distancia igual al diámetro medio del poro. Las suposiciones hechas por el balance de momentum en el elemento. El medio es rígido, el fluido es homogéneo y newtoniano y llena el espacio de poros completamente, no hay fase de absorción presente, el flujo es unidimensional. Se aplica la teoría de momentum en el volumen de control en la Figura 12b.

ANEXOS

147


∆ x

δ

δD

p p+ ∆xdp

dxVτ

(a) (b)

Volumen de Control

∆ x

δ

δD

p p+ ∆xdp

dxVτ

(a) (b)

Volumen de Control

Figura 12 Modelo de orificios capilares de Blick (Tomado de Bear, 1972)

A.8.7 Radio hidráulico

Una expresión más generalizada para la permeabilidad, basada en el Radio Hidráulico, la muestra la.

( ) ( ) 2H21 Rsfsfk ′′= [Ec. 26]

Donde f´1(s) es el factor de forma (adimensional) y f 2(s) es la función de porosidad (factor de porosidad). Una de las funciones para el cálculo de la permeabilidad es la Ecuación de Kozeny, planteada en 1927 y luego modificada por Carman en 1397 y 1956 (Bear, 1972). Este modelo supone un conjunto de tubos capilares de igual longitud, y la permeabilidad se puede calcular así:

3S

2

C nk

M= [Ec. 27]

Donde CS es un coeficiente numérico llamado constante de Kozeny. Este varía de acuerdo con la forma geométrica del canal en el modelo (0.5 si es un cículo, 0.562 para un cuadrado, 0.597 para un triángulo equilátero y 0.667 para un listón). La [Ec. 27] es conocida como la ecuación de Kozeny. Reemplazando el Radio Hidráulico RH=n/M planteado en la [Ec. 26] se obtiene que:

3

2

nk2M

= o 3

2

nk6M

= [Ec. 28]

Donde M es la superficie específica. Si se expresa la superficie específica con respecto al volumen de sólidos se tiene que:

( )

3

S 2 2s

n 1k CM1 n

=−

[Ec. 29]

M y MS (superficie específica de sólidos) se pueden calcular así:

SAM

V= [ ] 1M L−= S

MM

1 n=

− [Ec. 30]

Carman en 1937 generalizó la ecuación, exponiendo que CS es igual a 1/5. Este resultado se observa en la [Ec. 31]. Esta ecuación es conocida como la de Kozeny – Carman.

ANEXOS

148


( )3

2 2s

n 1k5M1 n

=−

[Ec. 31]

En la [Ec. 31] el factor de porosidad f(n) es expresado por n3/(1-n)2, y si se define el tamaño medio de partícula como d m = 6/Ms, se obtiene que:

( )

2 3m

2

d nk180 1 n

=−

[Ec. 32]

Si se tiene en cuenta la tortuosidad, T, en la [Ec. 27] y en la [Ec. 31] se llega a:

3S 2

Tk C n

M= o

( )3

S 22s

T nk CM 1 n

=−

[Ec. 33]

Si además c = CST = 1/5, y se reemplaza en la [Ec. 33] se obtiene la [Ec. 34]:

2

3

M5nk = o

( )2

3

2s n1

nM51k

−= [Ec. 34]

En términos del diámetro promedio del grano, d m, la [Ec. 26] se puede expresar como la [Ec. 35].

( ) ( ) 2mk f n f s d= [Ec. 35]

La ecuación de Kozeny – Carman considera un conjunto de tubos capilares, pero teniendo en cuenta la tortuosidad del medio (Tindall & Kunkell, 1999).

ANEXOS

149


A.9 MODELOS RESULTADO DEL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN

Como resultado del proyecto de investigación, se modificaron dos modelos para la estimación de la conductividad hidráulica en arenas. El primero hace una modificación al modelo de Kozeny – Carman, basado en la distribución de tamaños de poros. El segundo estima la conductividad hidráulica tomando como longitud característica la dimensión fractal de poros y no el radio. Este modelo modifica el modelo de tubos capilares. Más detalles acerca de estos modelos son presentados en Barrera et. al (2003) y Niño et. al (2003).

A.9.1 Modelo de Barrera & Muñoz

La [Ec. A.36] presenta la forma general del cálculo de la conductividad hidráulica mediante el modelo de Kozeny – Carman.

2

ii 2

s

r1 gK nC T 2

ρ= µ [Ec. A.36]

Esta expresión sugiere que el radio hidráulico de un suelo cuyos poros son circulares es la mitad del radio ponderado de los poros húmedos ir . Es decir que la conductividad hidráulica en suelos parcialmente saturados depende directamente del tamaño ponderado de los poros que estén saturados. Barrera y Muñoz (2003) concluyeron que el valor de la conductividad hidráulica saturada, para AMU, es mayor que el de ADG y AFU. En términos de tortuosidad y porosidad, la conductividad hidráulica saturada de AFU debe ser la mayor de las tres arenas estudiadas, sin embargo es la menor, por lo que el término más influyente en este modelo es el radio hidráulico RH del suelo ya que un suelo con cierto grado de saturación, depende fuertemente del tamaño de los poros que estén llenos de agua en ese instante. AMU tiene mayor porosidad y mayor conductividad hidráulica saturada, que la arena de diferentes tamaños de partículas. Sin embargo, AFU tiene mayor porosidad pero menor conductividad hidráulica saturada que las otras arenas. La diferencia de orden de magnitud entre el valor teórico y el valor experimental, puede deberse a la diferencia en las condiciones del flujo de agua a través de las muestras para los dos métodos, lo cual conlleva a un contraste en el valor de la conductividad hidráulica saturada. Durante el ensayo de carga constante, el flujo de agua posee una gran carga hidráulica, lo cual indica un valor alto de la velocidad de acuerdo con la ley de Darcy. El aumento de la velocidad, para este ensayo, en contras te con las condiciones de la velocidad en los laboratorios para la obtención de la curvas de retención de humedad, podría ocasionar el lavado de las partículas más finas durante el ensayo de permeabilidad, lo cual haría aumentar el valor de la conductividad medida.

A.9.2 Modelo de dimensión fractal de perfiles cerrados de Niño y Tovar

Las mediciones y cálculos de la dimensión fractal se aplican a este modelo. Para realizar la modelación se recurre al cálculo del caudal que pasa a través de un poro empleando la ley de Poiseuille, la cual aplica para flujo laminar (Bear, 1972).

ANEXOS

150


4w RQ i8

γ π=

µ [Ec. A.37]

Donde γw es el peso unitario del agua o fluido, R es el radio del poro circular, µ la viscosidad del agua o fluido e i el gradiente hidráulico La [Ec. A.37] es aplicable a conductos con sección transversal circular, y los poros de un suelo difícilmente pueden llegar a tener este tipo de sección, es por ello que la ecuac ión debe ser transformada. El área de un poro no circular, puede ser expresada con la siguiente ecuación:

2promA R= π [Ec. A.38]

Donde Rprom es el radio promedio en la sección transversal no circ ular del poro. Reemplazando la [Ec. A.38] en la [Ec. A.37] se tiene:

2prom wAR

Q i8

γ=

µ [Ec. A.39]

De acuerdo con Korvin (1992) el área A de un conducto con sección transversal no circular puede ser obtenida a partir del perímetro de la sección utilizando la siguiente expresión:

2 / DA cP= [Ec. A.40]

Donde c es una constante, P es el perímetro, y D es la dimensión fractal del perímetro del perfil cerrado. Reemplazando la [Ec. A.40] en la [Ec. A.39], se obtiene la siguiente relación:

2 / D 2prom wcP R

Q i8

γ=

µ [Ec. A.41]

Analizando la [Ec. A.41] se observa que el caudal o tasa de flujo a través de un conducto de sección transversal no circular, es proporcional al cuadrado de su radio promedio, y además está influenciado por la rugosidad del perímetro del conducto (representada por la dimensión fractal D). Se identifica entonces que a una dimensión fractal mayor en el perfil del conducto, se presenta un menor flujo a través de él (Vallejo, 1995). La dimensión fractal en la [Ec. A.41] hace referencia a la rugosidad de la sección transversal del poro, por lo tanto la dimensión fractal y la constante c, a emplear en el modelo, son obtenidas a partir del análisis de las secciones delgadas transversales. Esta constante representa un factor de ajuste entre el área y el perímetro de un poro, siendo este último influenciado por la dimensión fractal. Es importante aclarar que esta constante depende en gran medida de las unidades en las cuales se exprese el área y el perímetro; Niño & Tovar (2003) plantearon el perímetro en metros y el área en metros cuadrados, ya que todas las variables que incluyen los modelos planteados, se expresan en el sistema internacional, y las expresiones no funcionan adecuadamente para otras unidades. Es sumamente difícil comparar los valores de la constante c, obtenidos en este trabajo, con aquellos que han sido determinados por otros autores, debido a la gran cantidad de variables que influyen en ella; unidades de medida, tipo de suelo, fábrica de los granos y compactación entre otras (Niño & Tovar, 2003).

ANEXOS

151


Ahora bien, en una capa de suelo de espesor considerable, la sección transversal de un poro varía enormemente a lo largo de su longitud, y el recorrido del fluido no es completamente perpendicular a la sección transversal (aunque el recorrido promedio si lo es), por lo tanto, para una modelación completa se debe analizar la tortuosidad o relación existente entre la longitud de la muestra, y la longitud real que recorre el fluido durante su paso a través del medio poroso. La tortuosidad generalmente se calcula a través de mediciones indirectas, pero, en este trabajo se emplean las secciones delgadas longitudinales para medir la tortuosidad directamente. De igual manera no se puede modelar un poro y aplicar dichos resultados a todo el suelo, se deben analizar diferentes tamaños de poros y analizar la probabilidad de presencia de dichos tamaños de poros dentro de un volumen de suelo. Para ello que se emplea el “Modelo de tubos capilares para la estimación de la conductividad hidráulica en condición parcialmente saturada”, el cual parte de la curva de retención. La curva de retención describe l a variación en el contenido volumétrico de humedad de un determinado suelo en función de la presión necesaria para desalojar el agua contenida en sus poros partiendo de la condición saturada. La [Ec. A.42] representa la conductividad hidráulica de un arreglo de tubos capilares en condición parcialmente saturada, calculada a partir de la curva de retención.

( )2 Ms

S 2j i 1w j

T T 1K i2 * h= +

∆θθ − ∆ θ =

µ γ ∑ [Ec. A.42]

La tortuosidad fue evaluada directamente mediante la comparación de la longitud real de la trayectoria de flujo y la longitud recorrida en la dirección promedio de flujo. La [Ec. A.43] presenta el modelo de tubos capilares modificado con la introducción de la dimensión fractal (Niño & Tovar, 2003)

( ) [Ec. A.43]

En las gráficas se observa una clara tendencia de los valores hacia una medida central, se asume que el promedio de los valores calculados para c es el valor final asumido para la aplicación del modelo en cada tipo de suelo. La Tabla 4 presenta dichos valores.

Tabla 4 Valores de c para los suelos estudiados (Tomado de Niño & Tovar, 2003)

DIRECCIÓN AFU AMU ADG

Transversal 0.00998 0.00566 0.00882 Longitudinal 0.00864 0.01429 0.00970

Los valores de la constante c, dependen de la dimensión fractal, y de la relación entre el área y el perímetro de los poros, es por ello que las diferencias que se presentan entre los valores de la sección transversal y longitudinal de un mismo suelo, pueden indicar cierta anisotropía, siendo ésta más notoria en el caso de la arena media uniforme (Niño & Tovar, 2003). Para que las curvas descritas por estos modelos tengan validez experimental, el valor de la conductividad hidráulica saturada fue obtenido mediante un ensayo de permeabilidad de carga hidráulica constante. El modelo de tubos capilares modificado (en función de la dimensión fractal de poros), produce valores de conductividad hidráulica saturada más bajos que el modelo de tubos capilares original. Para AFU la diferencia es del 26%, para AMU del 40% y para ADG del 42%. La diferencia porcentual es mucho mayor para AMU que para AFU, con lo que Niño y Tovar (2003) concluyeron que la influencia de la dimensión fractal en el cálculo de la conductividad hidráulica se ve reflejada en mayor medida cuando se trata de tamaños de partículas grandes, en

ANEXOS

152


relación a que los mayores valores de dimensión fractal de poros se obtienen en el caso de suelos granulares con tamaños de partículas altos.

ANEXOS

153


A.10 PROGRAMA

A.10.1 Para AFU

PROGRAM EXACTA ******************************************************************************** * * PROPÓSITO: Solución de mi tesis * * MODELO DE CONDUCTIVIDAD HIDRAULICA EN SUELOS * BASADO EN LA DISTRIBUCION DE TAMAÑOS DE POROS * * HISTORY: Re Escritura... Marzo 2004 * ******************************************************************************** C_______________________ Paso 0: Declaracion de variables IMPLICIT NONE REAL*8 pi, DE_n, DE_ln, MED_n, MED_ln, r_g, l_g, Gamma_r, MED_g, ;DE_g, alfa_b, beta_b, BETA_ab, MED_b, DE_b, ;X_MIN, X_MAX, INF, SUP, D10, D25, D40, D60, ;X, Y, D, X_b, Y_b, D_b, ;fn_i, fn_j, fln_i, fln_j, fg_i, fg_j, fb_i, fb_j, ;L, ele, G, DELTA_X, DELTA_Y, DELTA_X_b, DELTA_Y_b, ;PSP_TC_n, PSP_TC_ln, PSP_TC_b, PSP_TC_g, ;PSP_TCT_n, PSP_TCT_ln, PSP_TCT_b, PSP_TCT_g, ;PSP_R H_n, PSP_RH_ln, PSP_RH_b, PSP_RH_g, ;PSP_CE_n, PSP_CE_ln, PSP_CE_b, PSP_CE_g, ;PSP_CCG_n, PSP_CCG_ln, PSP_CCG_g, PSP_CCG_b, ;PSP_JH_n, PSP_JH_ln, PSP_JH_g, PSP_JH_b INTEGER*4 i,j C_______________________ Paso 1: Entrada de datos OPEN(UNIT=2,FILE='PSP_AFU.DAT',STATUS='UNKNOWN') pi = 4.0D0 * ATAN (1.0D0) DE_n = 12.764D0 DE_ln = 0.290D0 MED_n = 31.968D0 MED_ln = 3.414D0 r_g = 6.723D0 l_g = 28.281D0 Gamma_r = 192.297D0 MED_g = MED_n DE_g = DE_n alfa_b = 4.660D0 beta_b = 16.349D0 BETA_ab = 1.99E-05 X_MIN = 1.0D0 X_MAX = 140.0D0 MED_b = 0.222D0 * X_MAX DE_b = 0.089 * X_MAX INF = X_MIN SUP = X_MAX D10 = 23.0D0 D25 = 25.0D0 D40 = 26.0D0 D60 = 28.5D0 fn_i = 0.0D0 fn_j = 0.0D0 fln_i = 0.0D0 fln_j = 0.0D0 fg_i = 0.0D0 fg_j = 0.0D0 fb_i = 0.0D0 fb_j = 0.0D0

ANEXOS

154


PSP_TC_n = 0.0D0 PSP_TC_ln = 0.0D0 PSP_TC_b = 0.0D0 PSP_TC_g = 0.0D0 PSP_TCT_n = 0.0D0 PSP_TCT_ln = 0.0D0 PSP_TCT_b = 0.0D0 PSP_TCT_g = 0.0D0 PSP_RH_n = 0.0D0 PSP_RH_ln = 0.0D0 PSP_RH_b = 0.0D0 PSP_RH_g = 0.0D0 PSP_CE_n = 0.0D0 PSP_CE_ln = 0.0D0 PSP_CE_b = 0.0D0 PSP_CE_g = 0.0D0 PSP_CCG_n = 0.0D0 PSP_CCG_ln = 0.0D0 PSP_CCG_g = 0.0D0 PSP_CCG_b = 0.0D0 PSP_JH_n = 0.0D0 PSP_JH_ln = 0.0D0 PSP_JH_g = 0.0D0 PSP_JH_b = 0.0D0 DO i = INF, SUP, 1 X = i X_b = X / X_MAX fn_i= ; 1/DE_n/SQRT(2.0D0*PI)*EXP(-0.5D0*(((X-MED_n)/DE_n)**2.0D0)) fln_i= ; 1/X/DE_ln/SQRT(2.0D0*PI)*EXP(-0.5D0*(((DLOG(X)-MED_ln)/ ; DE_ln)**2.0D0)) fg_i=(l_g**r_g)*(X**(r_g-1.0D0))*EXP(-l_g*X)/Gamma_r fb_i=(X_b**(alfa_b-1.0D0))*((1-X_b)**(beta_b-1.0D0))/BETA_ab C PSP Tubos Caplilares: PSP_TC_n = PSP_TC_n + ((X**2.0D0) * fn_i) PSP_TC_ln = PSP_TC_ln + ((X**2.0D0) * fln_i) PSP_TC_g = PSP_TC_g + ((X**2.0D0) * fg_i) PSP_TC_b = PSP_TC_b + ((X**2.0D0) * fb_i) C PSP Tubos Caplilares Tortuosos PSP_TCT_n = PSP_TCT_n + ; (1.0D0 / (((X**2.0D0) * fn_i)** ; 2.0D0) / (fn_i / (X**6.0D0)) ) PSP_TCT_ln = PSP_TCT_ln + ; (1.0D0 / (((X**2.0D0) * fln_i)** ; 2.0D0) / (fln_i / (X**6.0D0)) ) PSP_TCT_g = PSP_TCT_g + ; (1.0D0 / (((X**2.0D0) * fg_i)** ; 2.0D0) / (fg_i / (X**6.0D0)) ) PSP_TCT_b = PSP_TCT_b + ; (1.0D0 / (((X_b**2.0D0) * fb_i)** ; 2.0D0) / (fb_i / (X_b**6.0D0)) ) C PSP Radio Hidráulico PSP_RH_n = PSP_RH_n + ; (1.0D0 / ((fn_i / X)**2.0D0)) PSP_RH_ln = PSP_RH_ln + ; (1.0D0 / ((fln_i / X)**2.0D0)) PSP_RH_g = PSP_RH_g + ; (1.0D0 / ((fg_i / X)**2.0D0))

ANEXOS

155


PSP_RH_b = PSP_RH_b + ; (1.0D0 / ((fb_i / X_b)**2.0D0)) C PSP Capilaridad Equivalente PSP_CE_n = (MED_n ** 2.0D0) + (DE_n ** 2.0D0) PSP_CE_ln = (MED_ln ** 2.0D0) + (DE_ln ** 2.0D0) PSP_CE_g = (MED_g ** 2.0D0) + (DE_g ** 2.0D0) PSP_CE_b = (MED_b ** 2.0D0) + (DE_b ** 2.0D0) DO j = INF, SUP, 1 Y = j Y_b = Y / X_MAX fn_j= ; 1/DE_n/SQRT(2.0D0*PI)*EXP(-0.5D0*(((Y-MED_n)/DE_n)**2.0D0)) fln_j= ; 1/Y/DE_ln/SQRT(2.0D0*PI)*EXP(-0.5D0*(((Y-MED_ln)/ ; DE_ln)**2.0D0)) fg_j=(l_g**r_g)*(Y**(r_g-1.0D0))*EXP( -l_g*Y)/Gamma_r fb_j=(Y_b**(alfa_b-1.0D0))*((1-Y_b)**(beta_b-1.0D0))/BETA_ab IF (X.LE.Y) THEN D = X ELSE D = Y END IF C PSP Childs and Collins-George D_b = D / X_MAX PSP_CCG_n = PSP_CCG_n + ((D**2.0D0)*fn_i*fn_j) PSP_CCG_ln = PSP_CCG_ln + ((D**2.0D0)*fln_i*fln_j) PSP_CCG_g = PSP_CCG_g + ((D**2.0D0)*fg_i*fg_j) PSP_CCG_b = PSP_CCG_b + ((D_b**2.0D0)*fb_i*fb_j) C PSP Juang And Holtz ele = EXP(-2.7D0-17.4D0*(D40/D25)+51.6D0*(D40/D10) ; +34.0D0*(D60/D10)) L = ele * Y G = EXP(-(((Y-X)/L)**2.0D0)) PSP_JH_n = PSP_JH_n +((D**2.0D0)*G*fn_i*fn_j) PSP_JH_ln = PSP_JH_ln + ((D**2.0D0)*G*fln_i*fln_j) PSP_JH_g = PSP_JH_g + ((D**2.0D0)*G*fg_i*fg_j) PSP_JH_b = PSP_JH_b + ((D**2.0D0)*G*fb_i*fb_j) ; END DO END DO WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TC_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TC_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TC_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TC_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TCT_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TCT_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TCT_b

ANEXOS

156


WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TCT_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_RH_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_RH_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_RH_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_RH_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CE_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CE_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CE_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CE_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CCG_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CCG_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CCG_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CCG_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_JH_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_JH_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_JH_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_JH_g 500 FORMAT(f20.10,' ') WRITE(2,*) STOP ' HE ACABADO' END

A.10.2 Para AMU

PROGRAM EXACTA ******************************************************************************** * * PROPÓSITO: Solución de mi tesis * * MODELO DE CONDUCTIVIDAD HIDRAULICA EN SUELOS * BASADO EN LA DISTRIBUCION DE TAMAÑOS DE POROS * * HISTORY: Re Escritura... Marzo 2004 * ******************************************************************************** C_______________________ Paso 0: Declaracion de variables IMPLICIT NONE REAL*8 pi, DE_n, DE_ln, MED_n, MED_ln, r_g, l_g, Gamma_r, MED_g, ;DE_g, alfa_b, beta_b, BETA_ab, MED_b, DE_b, ;X_MIN, X_MAX, INF, SUP, D10, D25, D40, D60, ;X, Y, D, X_b, Y_b, D_b, ;fn_i, fn_j, fln_i, fln_j, fg_i, fg_j, fb_i, fb_j, ;L, ele, G, DELTA_X, DELTA_Y, DELTA_X_b, DELTA_Y_b, ;PSP_TC_n, PSP_TC_ln, PSP_TC_b, PSP_TC_g, ;PSP_TCT_n, PSP_TCT_ln, PSP_TCT_b, PSP_TCT_g, ;PSP_RH_n, PSP_RH_ln, PSP_RH_b, PSP_RH_g, ;PSP_CE_n, PSP_CE_ln, PSP_CE_b, PSP_CE_g, ;PSP_CCG_n, PSP_CCG_ln, PSP_CCG_g, PSP_CCG_b, ;PSP_JH_n, PSP_JH_ln, PSP_JH_g, PSP_JH_b INTEGER*4 i,j C_______________________ Paso 1: Entrada de datos OPEN(UNIT=2,FILE='PSP_AFU.DAT',STATUS='UNKNOWN') pi = 4.0D0 * ATAN (1.0D0) DE_n = 12.764D0 DE_ln = 0.290D0 MED_n = 31.968D0 MED_ln = 3.414D0 r_g = 6.723D0 l_g = 28.281D0 Gamma_r = 192.297D0 MED_g = MED_n DE_g = DE_n

ANEXOS

157


alfa_b = 4.660D0 beta_b = 16.349D0 BETA_ab = 1.99E-05 X_MIN = 1.0D0 X_MAX = 140.0D0 MED_b = 0.222D0 * X_MAX DE_b = 0.089 * X_MAX INF = X_MIN SUP = X_MAX D10 = 23.0D0 D25 = 25.0D0 D40 = 26.0D0 D60 = 28.5D0 fn_i = 0.0D0 fn_j = 0.0D0 fln_i = 0.0D0 fln_j = 0.0D0 fg_i = 0.0D0 fg_j = 0.0D0 fb_i = 0.0D0 fb_j = 0.0D0 PSP_TC_n = 0.0D0 PSP_TC_ln = 0.0D0 PSP_TC_b = 0.0D0 PSP_TC_g = 0.0D0 PSP_TCT_n = 0.0D0 PSP_TCT_ln = 0.0D0 PSP_TCT_b = 0.0D0 PSP_TCT_g = 0.0D0 PSP_RH_n = 0.0D0 PSP_RH_ln = 0.0D0 PSP_RH_b = 0.0D0 PSP_RH_g = 0.0D0 PSP_CE_n = 0.0D0 PSP_CE_ln = 0.0D0 PSP_CE_b = 0.0D0 PSP_CE_g = 0.0D0 PSP_CCG_n = 0.0D0 PSP_CCG_ln = 0.0D0 PSP_CCG_g = 0.0D0 PSP_CCG_b = 0.0D0 PSP_JH_n = 0.0D0 PSP_JH_ln = 0.0D0 PSP_JH_g = 0.0D0 PSP_JH_b = 0.0D0 DO i = INF, SUP, 1 X = i X_b = X / X_MAX fn_i= ; 1/DE_n/SQRT(2.0D0*PI)*EXP(-0.5D0*(((X-MED_n)/DE_n)**2.0D0)) fln_i= ; 1/X/DE_ln/SQRT(2.0D0*PI)*EXP(-0.5D0*(((DLOG(X)-MED_ln)/ ; DE_ln)**2.0D0)) fg_i=(l_g**r_g)*(X**(r_g-1.0D0))*EXP(-l_g*X)/Gamma_r fb_i=(X_b**(alfa_b-1.0D0))*((1-X_b)**(beta_b-1.0D0))/BETA_ab C PSP Tubos Caplilares: PSP_TC_n = PSP_TC_n + ((X**2.0D0) * fn_i) PSP_TC_ln = PSP_TC_ln + ((X**2.0D0) * fln_i) PSP_TC_g = PSP_TC_g + ((X**2.0D0) * fg_i) PSP_TC_b = PSP_TC_b + ((X**2.0D0) * fb_i)

ANEXOS

158


C PSP Tubos Caplilares Tortuosos PSP_TCT_n = PSP_TCT_n + ; (1.0D0 / (((X**2.0D0) * fn_i)** ; 2.0D0) / (fn_i / (X**6.0D0)) ) PSP_TCT_ln = PSP_TCT_ln + ; (1.0D0 / (((X**2.0D0) * fln_i)** ; 2.0D0) / (fln_i / (X**6.0D0)) ) PSP_TCT_g = PSP_TCT_g + ; (1.0D0 / (((X**2.0D0) * fg_i)** ; 2.0D0) / (fg_i / (X**6.0D0)) ) PSP_TCT_b = PSP_TCT_b + ; (1.0D0 / (((X_b**2.0D0) * fb_i)** ; 2.0D0) / (fb_i / (X_b**6.0D0)) ) C PSP Radio Hidráulico PSP_RH_n = PSP_RH_n + ; (1.0D0 / ((fn_i / X)**2.0D0)) PSP_RH_ln = PSP_RH_ln + ; (1.0D0 / ((fln_i / X)**2.0D0)) PSP_RH_g = PSP_RH_g + ; (1.0D0 / ((fg_i / X)**2.0D0)) PSP_RH_b = PSP_RH_b + ; (1.0D0 / ((fb_i / X_b)**2.0D0)) C PSP Capilaridad Equivalente PSP_CE_n = (MED_n ** 2.0D0) + (DE_n ** 2.0D0) PSP_CE_ln = (MED_ln ** 2.0D0) + (DE_ln ** 2.0D0) PSP_CE_g = (MED_g ** 2.0D0) + (DE_g ** 2.0D0) PSP_CE_b = (MED_b ** 2.0D0) + (DE_b ** 2.0D0) DO j = INF, SUP, 1 Y = j Y_b = Y / X_MAX fn_j= ; 1/DE_n/SQRT(2.0D0*PI)*EXP(-0.5D0*(((Y-MED_n)/DE_n)**2.0D0)) fln_j= ; 1/Y/DE_ln/SQRT(2.0D0*PI)*EXP(-0.5D0*(((Y-MED_ln)/ ; DE_ln)**2.0D0)) fg_j=(l_g**r_g)*(Y**(r_g-1.0D0))*EXP( -l_g*Y)/Gamma_r fb_j=(Y_b**(alfa_b-1.0D0))*((1-Y_b)**(beta_b-1.0D0))/BETA_ab IF (X.LE.Y) THEN D = X ELSE D = Y END IF C PSP Childs and Collins-George D_b = D / X_MAX PSP_CCG_n = PSP_CCG_n + ((D**2.0D0)*fn_i*fn_j) PSP_CCG_ln = PSP_CCG_ln + ((D**2.0D0)*fln_i*fln_j) PSP_CCG_g = PSP_CCG_g + ((D**2.0D0)*fg_i*fg_j) PSP_CCG_b = PSP_CCG_b + ((D_b**2.0D0)*fb_i*fb_j) C PSP Juang And Holtz ele = EXP(-2.7D0 -17.4D0*(D40/D25)+51.6D0*(D40/D10) ; +34.0D0*(D60/D10))

ANEXOS

159


L = ele * Y G = EXP(-(((Y-X)/L)**2.0D0)) PSP_JH_n = PSP_JH_n +((D**2.0D0)*G*fn_i*fn_j) PSP_JH_ln = PSP_JH_ln + ((D**2.0D0)*G*fln_i*fln_j) PSP_JH_g = PSP_JH_g + ((D**2.0D0)*G*fg_i*fg_j) PSP_JH_b = PSP_JH_b + ((D**2.0D0)*G*fb_i*fb_j) ; END DO END DO WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TC_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TC_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TC_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TC_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TCT_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TCT_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TCT_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TCT_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_RH_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_RH_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_RH_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_RH_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CE_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CE_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CE_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CE_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CCG_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CCG_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CCG_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CCG_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_JH_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_JH_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_JH_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_JH_g 500 FORMAT(f20.10,' ') WRITE(2,*) STOP ' HE ACABADO' END

A.10.3 Para ADG

PROGRAM EXACTA ******************************************************************************** * * PROPÓSITO: Solución de mi tesis * * MODELO DE CONDUCTIVIDAD HIDRAULICA EN SUELOS * BASADO EN LA DISTRIBUCION DE TAMAÑOS DE POROS * * HISTORY: Re Escritura... Marzo 2004 * ******************************************************************************** C_______________________ Paso 0: Declaracion de variables IMPLICIT NONE REAL*8 pi, DE_n, DE_ln, MED_n, MED_ln, r_g, l_g, Gamma_r, MED_g, ;DE_g, alfa_b, beta_b, BETA_ab, MED_b, DE_b, ;X_MIN, X_MAX, INF, SUP, D10, D25, D40, D60, ;X, Y, D, X_b, Y_b, D_b,

ANEXOS

160


;fn_i, fn_j, fln_i, fln_j, fg_i, fg_j, fb_i, fb_j, ;L, ele, G, DELTA_X, DELTA_Y, ;PSP_TC_n, PSP_TC_ln, PSP_TC_b, PSP_TC_g, ;PSP_TCT_n, PSP_TCT_ln, PSP_TCT_b, PSP_TCT_g, ;PSP_RH_n, PSP_RH_ln, PSP_RH_b, PSP_RH_g, ;PSP_CE_n, PSP_CE_ln, PSP_CE_b, PSP_CE_g, ;PSP_CCG_n, PSP_CCG_ln, PSP_CCG_g, PSP_CCG_b, ;PSP_JH_n, PSP_JH_ln, PSP_JH_g, PSP_JH_b INTEGER*4 i,j C_______________________ Paso 1: Entrada de datos OPEN(UNIT=2,FILE='PSP_ADG.DAT',STATUS='UNKNOWN') pi = 4.0D0 * ATAN (1.0D0) DE_n = 5.627D0 DE_ln = 0.210D0 MED_n = 2.751D0 MED_ln = 2.025D0 r_g = 0.239D0 l_g = 0.087D0 Gamma_r = 3.8D0 MED_g = r_g / l_g DE_g = r_g / l_g**2.0D0 alfa_b = 0.130D0 beta_b = 1.345D0 BETA_ab = 2.129D0 MED_b = alfa_b / (alfa_b + beta_b) DE_b = alfa_b * beta_b / ((alfa_b + beta_b)**2.0D0) / ; (alfa_b + beta_b + 1.0D0) X_MIN = 5.0D0 X_MAX = 140.0D0 INF = X_MIN SUP = X_MAX * 10.0D0 D10 = DLOG(0.5D0) D25 = DLOG(0.6D0) D40 = DLOG(0.8D0) D60 = DLOG(1.0D0) fn_i = 0.0D0 fn_j = 0.0D0 fln_i = 0.0D0 fln_j = 0.0D0 fg_i = 0.0D0 fg_j = 0.0D0 fb_i = 0.0D0 fb_j = 0.0D0 PSP_TC_n = 0.0D0 PSP_TC_ln = 0.0D0 PSP_TC_b = 0.0D0 PSP_TC_g = 0.0D0 PSP_TCT_n = 0.0D0 PSP_TCT_ln = 0.0D0 PSP_TCT_b = 0.0D0 PSP_TCT_g = 0.0D0 PSP_RH_n = 0.0D0 PSP_RH_ln = 0.0D0 PSP_RH_b = 0.0D0 PSP_RH_g = 0.0D0 PSP_CE_n = 0.0D0 PSP_CE_ln = 0.0D0 PSP_CE_b = 0.0D0 PSP_CE_g = 0.0D0 PSP_CCG_n = 0.0D0 PSP_CCG_ln = 0.0D0 PSP_CCG_g = 0.0D0 PSP_CCG_b = 0.0D0 PSP_JH_n = 0.0D0 PSP_JH_ln = 0.0D0 PSP_JH_g = 0.0D0 PSP_JH_b = 0.0D0

ANEXOS

161


DO i = INF, SUP, 1 X = i X_b = X / X_MAX fn_i= ; 1/DE_n/SQRT(2.0D0*PI)*EXP(-0.5D0*(((X-MED_n)/DE_n)**2.0D0)) fln_i= ; 1/X/DE_ln/SQRT(2.0D0*PI)*EXP(-0.5D0*(((DLOG(X)-MED_ln)/ ; DE_ln)**2.0D0)) fg_i=(l_g**r_g)*(X**(r_g-1.0D0))*EXP(-l_g*X)/Gamma_r fb_i=(X_b**(alfa_b-1.0D0))*((1-X_b)**(beta_b-1.0D0))/BETA_ab C PSP Tubos Caplilares: PSP_TC_n = PSP_TC_n + ((X**2.0D0) * fn_i) PSP_TC_ln = PSP_TC_ln + ((X**2.0D0) * fln_i) PSP_TC_g = PSP_TC_g + ((X**2.0D0) * fg_i) PSP_TC_b = PSP_TC_b + ((X**2.0D0) * fb_i) C PSP Tubos Caplilares Tortuosos PSP_TCT_n = PSP_TCT_n + ; (1.0D0 / (((X**2.0D0) * fn_i)** ; 2.0D0) / (fn_i / (X**6.0D0)) ) PSP_TCT_ln = PSP_TCT_ln + ; (1.0D0 / (((X**2.0D0) * fln_i)** ; 2.0D0) / (fln_i / (X**6.0D0)) ) PSP_TCT_g = PSP_TCT_g + ; (1.0D0 / (((X**2.0D0) * fg_i)** ; 2.0D0) / (fg_i / (X**6.0D0)) ) PSP_TCT_b = PSP_TCT_b + ; (1.0D0 / (((X_b**2.0D0) * fb_i)** ; 2.0D0) / (fb_i / (X_b**6.0D0)) ) C PSP Radio Hidráulico PSP_RH_n = PSP_RH_n + ; (1.0D0 / ((fn_i / X)**2.0D0)) PSP_RH_ln = PSP_RH_ln + ; (1.0D0 / ((fln_i / X)**2.0D0)) PSP_RH_g = PSP_RH_g + ; (1.0D0 / ((fg_i / X)**2.0D0)) PSP_RH_b = PSP_RH_b + ; (1.0D0 / ((fb_i / X_b)**2.0D0)) C PSP Capilaridad Equivalente PSP_CE_n = (MED_n ** 2.0D0) + (DE_n ** 2.0D0) PSP_CE_ln = (MED_ln ** 2.0D0) + (DE_ln ** 2.0D0) PSP_CE_g = (MED_g ** 2.0D0) + (DE_g ** 2.0D0) PSP_CE_b = (MED_b ** 2.0D0) + (DE_b ** 2.0D0) DO j = INF, SUP, 1 Y = j Y_b = Y / X_MAX fn_j= ; 1/DE_n/SQRT(2.0D0*PI)*EXP(-0.5D0*(((Y-MED_n)/DE_n)**2.0D0)) fln_j= ; 1/Y/DE_ln/SQRT(2.0D0*PI)*EXP(-0.5D0*(((Y-MED_ln)/ ; DE_ln)**2.0D0)) fg_j=(l_g**r_g)*(Y**(r_g-1.0D0))*EXP( -l_g*Y)/Gamma_r fb_j=(Y_b**(alfa_b-1.0D0))*((1-Y_b)**(beta_b-1.0D0))/BETA_ab

ANEXOS

162


IF (X.LE.Y) THEN D = X ELSE D = Y END IF C PSP Childs and Collins-George D_b = D / X_MAX PSP_CCG_n = PSP_CCG_n + ((D**2.0D0)*fn_i*fn_j) PSP_CCG_ln = PSP_CCG_ln + ((D**2.0D0)*fln_i*fln_j) PSP_CCG_g = PSP_CCG_g + ((D**2.0D0)*fg_i*fg_j) PSP_CCG_b = PSP_CCG_b + ((D_b**2.0D0)*fb_i*fb_j) C PSP Juang And Holtz ele = EXP(-2.7D0 -17.4D0*(D40/D25)+51.6D0*(D40/D10) ; +34.0D0*(D60/D10)) L = ele * Y G = EXP(-(((Y-X)/L)**2.0D0)) PSP_JH_n = PSP_JH_n +((D**2.0D0)*G*fn_i*fn_j) PSP_JH_ln = PSP_JH_ln + ((D**2.0D0)*G*fln_i*fln_j) PSP_JH_g = PSP_JH_g + ((D**2.0D0)*G*fg_i*fg_j) PSP_JH_b = PSP_JH_b + ((D**2.0D0)*G*fb_i*fb_j) ; END DO END D O WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TC_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TC_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TC_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TC_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TCT_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TCT_ln WRITE(2,500,advanc e='YES') PSP_TCT_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_TCT_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_RH_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_RH_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_RH_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_RH_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CE_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CE_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CE_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CE_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CCG_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CCG_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CCG_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_CCG_g WRITE(2,500,advance='YES') PSP_JH_n WRITE(2,500,advance='YES') PSP_JH_ln WRITE(2,500,advance='YES') PSP_JH_b WRITE(2,500,advance='YES') PSP_JH_g 500 FORMAT(f20.10,' ') WRITE(2,*) STOP ' HE ACABADO' END

modelo de conductividad hidráulica en suelos

Documents