modeliranje sistema

11/20/2008

1

Translatorni mehanički sistemiModeli fizičkih sistema

Modeliranje i simulacija sistema

Promenljive

Osnovne promenljive:

• x – rastojanje [m]

• v – brzina [m/s]

• a – ubrzanje [m /s2]

Sve su funkcije vremena

dtdxv =

2xddva ubrzanje [m /s ]

• f – sila [N]

Dodatne promenljive:

• w – energija [J]

• p – snaga [W]

2dtxd

dtdva ==

x

M

v

Mx

M

vfp ⋅=

v fM fMdt

dwp =

∫ +=1

)()()( 0

t

to

twdttptw

11/20/2008

2

Elementi i njihovi zakoni

Posmatramo elemente i pojave:

• Masa

• Trenje

• ElastičnostElastičnost

Masa tela

• Masa tela M [kg]

• II Njutonov zakon:

fvMdtd

=⋅ )( fdtdvM =za M=const

• Energija

– Kinetička

– Potencijalna

dt dt

221 vMwk ⋅=

Mghwp =

11/20/2008

3

Trenje

• Sila trenja se javlja kada se dva tela dodiruju i kreću različitim brzinama

)( vff Δ= 12 vvv −=Δ zanemarujemo trenje

v2M

česta oznaka: c

• Linearizovana zavisnost:

c – koeficijent trenja (viskoznosti) [Nm/s]

• direktno je srazmeren površi dodira, a obrnuto srazmeren debljini uljanog filma. c

v1

v2M

c ≡ 0v1

Mvcf Δ⋅=

• Karakteristika trenja

Δv

f

linearno

Δv

f

A

‐A

suvo

Δv

f

povlačenje

Elastičnost

• Opruga

– Pod dejstvom spoljašnje sile f opruga se isteže za Δx• do ‐ istegnutost opruge bez dejstva sile

f

x

• Sila u opruzi:

• Za mala istezanja važi (linearizovano ponašanje)

k ‐ koeficijent elastičnosti [N/m]

f

do+Δx)( xff Δ=

xkf Δ⋅=

12 xxx −=Δ

f

do‐x1+x2

x2x1

f

• Energija opruge: 221 )( xkwp Δ=

11/20/2008

4

Zakonitosti kod uzajamnog dejstva elemenata

1. Dalamberov zakon (drugačuja formulacija II Njutnovog zakona)

dtdvMf

iiext =∑ )( 0)( =−∑ dt

dvMfi

iext0=∑

iif

inercijalna sila

2. Zakon akcije i reakcije (III Njutnov zakon)

3. Zakon pomeraja: suma pomeraja duž zatvorene putanje je 0

D`Alambert‐ova sila

v1

v2

M

k fk≡fkfk

M

( ) 0=Δ∑i

ix

{ { 0)(

k

2

B2

12

B1

1 =−−+pomerajpomerajpomeraj

xxxx43421M1

k

x1 x2c1 c2

Dobijanje modela sistema – primer 1

• Kombinuju se zakonitosti elemenata i zakonitosti interakcije (međusobnih veza) elemenata

M1M2

k1 k

x1 x2

c

fa(t)

– Za svako telo posmatramo sile koje na njega deluju

Na osnovu Dalamberovog zakona

k2a( )

11xk11xM &&

22xM &&

)( 12 xxc && −)( 122 xxk −

)( 12 xxc && −)( 122 xxk − af

M1

M2

– Na osnovu Dalamberovog zakona pišemo jednačine

0)()()(0)()(

2212212

111112212

=−−−−−=−−−+−

xMxxkxxctfxkxMxxkxxc

a &&&&

&&&&

)(0)(

22222221

222121111

tfxkxcxMxkxcxkxcxkkxcxM

a=+++−−=−−−++

&&&&

&&&&

11/20/2008

5

z(t)

Mk2

f (t)

Primer 2

x(t)

M2

k1c1

fa(t)

M1

c3

c2M2

M1

)(2 zxk +zc &2)(2 zxM &&&& +

xc &1

xc &3

xM &&1

zc &2

xk1

af

Primer 3

k1 x1

k2 x2

fa(t)

M2B/2

k3

B/2

M111xM && 11xk 22xk

22xk 23xk )( 212 xxM &&&& +

M1

gM123xk 2xB&af

2xB& gM 2

M2

11/20/2008

6

Primer 4

k1

x1

f(t)M1 k1

B2

B1 x2

k2

M2

M111xM && )( 211 xxk −11xB &)(tf

M2

22xkgM 2 22xB &

22xM && )( 211 xxk −

11/20/2008

1

Rotacioni mehanički sistemiModeli fizičkih sistema


Promenljive od značaja

r

dm

τ α

ω

• θ – ugao [rad]

• ω – ugaona brzina [rad/s]

• α – ugaono ubrzanje [rad/s2]

• τ – moment sile [Nm]

ω = θ&θ

α = ω = θ&&&

[ ]

• p – snaga rotirajućeg tela

• w – energija

p = τ ⋅ω

0

t

ot

w(t) w(t ) p(t)dt= + ∫

11/20/2008

2

Zakoni elemenata• Moment inercije

• Trenje usled rotacije

• Elastičnost usled uvrtanja

• PolugaPoluga

• Zupčanici

• Primena II Njutnovog zakona na delić mase dm:

Moment inercije

( ) τJω =dtd Ako je J=const

Jω = τ&

J ‐moment inercije [kgm2]

Jω ‐moment količine kreatanja

τ ‐moment sile koji deluje na osu rotacije

d(Jω)/dt – inercijalni moment sile

• Primeri:

Energija:- kinetička

- potencijalna

2k

1w J2

= ω

hh-visina težišta u odnosu na ref. tačku. wp se ne menja kada telo rotira oko težišne ose.21J mL

12=

21J mR2

=

RL/2

L/2pw mgh=

11/20/2008

3

Moment inercije u odnosu na paralelne ose• Steiner‐ova teorema

Jo ‐moment inercije za osu koja prolazi kroz centar mase (težišnu osu)J ‐moment inercije za osu paralelnu prethodnoj(a = rastojanje osa)

• Primer

Jo J

a

2oJ J ma= +

L

2 2 21 1 1J mL mL mL12 4 3

= + =

Trenje• Rotaciono trenje – (trenje usled rotacije) je algebarska veza momenta sile i

relativne ugaone brzine između dve površi

– Opšta, nelinearna veza: τ = f(Δω)– Linearna veza: τ = c⋅Δω c – koeficijent trenja [Nms]j j [ ]

• Gde je Δω = ω1 ‐ ω2

τ ω2 τ ω1

c

11/20/2008

4

• obično se poistovećuje sa torzionom oprugom

• je algebarska veza momenta sile i relativnog ugaonog pomeraja

– Opšta, nelinearna veza: τ = f(Δθ)– Linearna veza: τ = k∙Δθ k – koeficijent elastičnosti [Nm]

Rotaciona elastičnost

Linearna veza: τ k Δθ k koeficijent elastičnosti [Nm]

• Gde je Δθ = θ1 ‐ θ2

θ2τ

τθ1

• Potencijalna energija uvrnutog štapa:2

21 )( θΔ= kWp

Poluga

• Idealna poluga ≡ čvrst štap sa tačkom osloncanema masu, trenje, moment inercije, unutrašnju energiju

• Za male ugaone pomeraje (<0,25rad) kretanje krajeva se može posmatrati kao translatorno

– Jer je

L2

L1

x2

x1

v2

v1

f2

f1

α

αα 2211 LxLx ==

• Na osnovu sličnosti trouglova važi

• Σmomenata oko obrtne tačke = 0 (kada je masa = 0)

22

112

2

11 v

LLvx

LLx ==

21

21 f

LLf =

02211 =− fLfL

11/20/2008

5

Zupčanici• Idealni zupčanici ‐ nemaju moment inercije, trenje, unutrašnju energiju i

zubci im savršeno naležu.

– Inercija i trenje se mogu predstaviti posebnim elementima

• Zupčasti prenos N ‐ odnos broja zubaca τp p j

– z1, z2 ‐ broj zubacaτ2τ1

ω1ω2

r2r1

fc’

2 2

1 1

r zNr z

= = =

1 21 1 2 2

2 1

rr r Nr

θθ = θ ⇒ = =

θ1

2

Nω=

ω

• Prenošenje momenta sile:– Za levi zupčanik važi: f c⋅r1 ‐ τ1 = 0– Za desni zupčanik važi: f c⋅r2 + τ2 = 0

gde su: fc‐ sila koja se prenosi na drugi zupčanikτ‐moment sile primenjen na zub

fc” = - fc’ = -fc

2 2

1 1

r Nr

τ= − = −

τ

Zakonitosti uzajamnog dejstva elemenata1. D`Alambert‐ov zakon – primenjen na telo konstantnog momenta inercije

koja se okreće oko fiksne ose:

( ) 0ili == ∑∑i

ii

iext J τωτ & silemoment iinercijaln−ω&J

2. Zakon reakcije momentnih silaPоsmatramo dva tela koja rotiraju oko iste ose. Ako momentom sile jadno telo deluje na drugo onda i drugo telo momentom sile reakcije deluje na prvo telo istom intenzitetom ali suprotnom smerom.

3. Zakon ugaonih pomerajasuma ugaonih pomeraja duž zatvorene putanje ≡ 0

( ) 0Δθ =∑ θ1( )ii

0Δθ =∑

( ) ( ) ( )1 2 1 2 0θ −∅ + θ −θ + ∅−θ =τa

1

J2

k2J1

k1

θ2

11/20/2008

6

Dobijanja modela sistema• Naznačimo (usvojimo) pozitivan

smer za promenljive

– smer porasta θ, ω, α nekog tela je isto

• Primer 1:

kθ τa(t)kθ

cω

• Upotrebom zakona (3) izbegavamo višak simbola potrebnih za opis kretanja

• Za svaku masu ili spojnu tačku (čije je kretanje nepoznato) crtamo dijagram koji pokazuje svemomente sila, uključujući inercijalni moment sile

ili:

J

c

τa

&

)(tkcJ aτθωω =++&

ω&J

inercijalni moment sile

• sve momente sila, sem pubudnih (ulaznih) izražavamo preko θ, ω, αupotrebom zakona elemenata

• primenjujemo D`Alambert‐ovzakon na svaki dijagram

ili:Jω&

[ ])(1 tkcJ aτθωω

ωθ

+−−=

=

&

&

)(tkcJ aτθθθ =++ &&&

Primer 2

θ1

J1 k1

τa(t)k2(θ2- θ1)

c2ω2

k1θ1

c1ω1

τa J2

k2

θ2

c1

c2

k2(θ2- θ1)2 2J ω& 1 1J ω&

1 1 1 1 1 1 2 2 1

2 2 2 2 2 2 1 a

J c k k ( ) 0

J c k ( ) (t)

θ + θ + θ − θ −θ =

θ + θ + θ − θ = τ

&& &

&& &

1 1(t) (t)θ = ω&

( )

( )

1 1 1 1 2 1 2 21

2 2

2 2 2 2 2 2 1 a2

1(t) c (k k ) kJ

(t) (t)1(t) c k k (t)J

ω = − ω − + θ + θ

θ = ω

ω = − ω − θ + θ + τ

&

&

&

11/20/2008

7

Primer 3

k1θA

τR

k2(θ-θA)

k1θA k2 (θ-θA) Jω&

k2

k1

θA

k1θA k2(θ θA)

τa c⋅ω

2

cτa

θ,ω

J( )

1 A R

1 A 2 A

2 A a

eq a

2

k 0k k 0J c k ( ) (t)J c k (t)

k k k

θ − τ =

θ − θ− θ =

ω+ ω+ θ− θ = τω+ ω+ θ = τ

&

&

• τR‐sila reakcije koja deluje na učvršćenje

22 1 2

eq 21 2 1 2

k k kk kk k k k

= − =+ +

Domaći

θ2, ω2

J2c

θ1

2

k

J1

τa(t), ω1 ωA,θA

τL(t)

11/20/2008

8

Primer 4 – sistem sa polugom

x

k2

x3

x4(t) zadato

L1

mk1

x1

x2c

L2ϕ

d1 k2(x4-x3) m 1xc&1 1m x&&

1 1 2k (x x )− +

-k1(x1+x2)

d2

ϕ0)( 211111 =+++ xxkxcxm &&&

)()( 21123421 xxkdxxkd +=−

22

13 x

dd

x =

Primer sa zupčanicima

J RJ1, R1k2

k1

c1τa2, ω2, θ2 τa2(t) k2θ2

R2 fc

k1θ1

c1ω1

R1 fc

J2, R2

c2τa1, ω1, θ1 c2ω2 τa1(t)2 2J ω& 1 1J ω&

1 2

1 2

NN

θ = θω = ω

1 1 1 1 1 1 1 c a1

2 2 2 2 2 2 2 c a 2

J c k R f (t) NJ c k R f (t)

ω + ω + θ + = τ ⋅ω + ω + θ − = τ

&

&

2 2 21 2 1 2 1 2 2 c a1

2 2 2 2 2 2 2 c a 2

J N c N k N R f N (t)J c k R f (t)

ω + ω + θ + = τ

ω + ω + θ − = τ

&

&

2 2 22 1 2 2 1 2 2 1 2 a 2 a1

eq 2 eq 2 eq 2 a2 a1

(J N J ) (c N c ) (k N k ) (t) N (t)J c k (t) N (t)

+ ω + + ω + + θ = τ + τ

ω + ω + θ = τ + τ

&

&

11/20/2008

9

Primer sa kanapom

k1c

θ,ω

k1θ1

Rfc

• Sila u opruzi: fc = k2(x-Rθ)

m

k2

θ,

xv

fa(t)

gcω Jω&

mcf mx&&

( )af t mg+

11/20/2008

1

Termički sistemiModeli fizičkih sistema


Termički sistemi• su sistemi gde postoji skladištenje ili prenos toplote

• Matematički modeli se izvodi na osnovu poznatih zakona termodinamike

• Primeri: termometar, sistem za rashlađivanje, pećnice, frižideri, ...

• Matematički model čineMatematički model čine

– zbog prostorne distribuiranosti → parcijalne diferencijalne jednačine

– koncentrisani parameteri → obične dif. jednačine

– linearizacija → linearne obične dif. jednačine

• Posmatramo sisteme

aproksimacija

aproksimacija

– Bez promene agregatnih stanja

– ne postoje termodinamički ciklusi (u hemijskim procesima)

11/20/2008

2

Promenljive• Temperatura – θ [K]

– obično je u različitim tačkama tela različita

– smatraćemo da je θ u svim tačkama tela ista i jednaka posečnoj temperaturi telap

– ukoliko je bitno da pojedini delovi tela imaju različite θ, onda se telo može posmatrati iz više segmenata

– obično se θ bira za promenljive stanja

– Temperatura ambijenta (spoljašnja temp.) θa• Količina toplote – q [J/s]≡[W]

Stanje ravnoteže• stanje ravnoteže

– gde se odvijaju normalne operacije

• devijacije promenljivih u odnosu na nominalne vrednosti su od interesa kada se posmatraju dinamičke karakteristikep j

θ-θ(t)(t)θ̂ =

(t)q̂qq(t)(t)θ̂θθ(t)

+=+=

q-q(t)(t)q̂θθ(t)(t)θ

==

11/20/2008

3

Elementi u termičkom sistemu• Dva tipa pasivnih elemenata:

– Termička kapacitivnost

– Termička otpornost

• Aktivan elemenatAktivan elemenat

– Termički izvor

Termička kapacitivnost• Postoji algebarska zavisnost između

– temperature tela θ i – akumulirane toplote u njemu Δq

• Ako nema promene agregatnog stanja i θ se menja u uskim granicamaAko nema promene agregatnog stanja i θ se menja u uskim granicama zavisnost se može posmatrati kao linearna

• C ‐ toplotni kapacitet tela [J/K]

( )(t)q-(t)q1(t)θ outinC=& ( )∫+=

t

t

dtC

0

(t)q-(t)q1)θ(tθ(t) outin0

σm ⋅=Cσ ≡ specifična toplota tela

• smatra se da θ tela uniformna

11/20/2008

4

Termička otpornost• Toplota se prenosi na 3 načina:

provođenjem, strujanjem ili zračenjem.• Ovde posmatramo samo provođenje toplote.• Provođenje toplote sa jednog tela na drugo telo je srazmerno razlici

temperatura dva telatemperatura dva tela

• R ≡ termička otpornost [Ks/J]– Karakteristika materijala

• d – debljina• A – površina poprečnog preseka

( )

[ ]1 21q(t) (t) (t)R

= θ −θ

dRA

=α

1q(t)R

= ⋅Δθ

• α – termička provodljivost (kataloški podatak)

• Može se upotrebiti samo ako materijal (telo) ne akumulira energiju. Ukoliko to nije slučaj u model treba dodati i termičku kapacitivnost.

• Odrediti termičku otpornost

Primer

R2R1

θB

q

θ1 θ2

[ ]1 B1

1qR

= θ −θ

θBθ1 θ2

savršena termička izolacija

[ ]1

( )1 1 2 2 1 21 2

1R q R q qR R

= θ −θ − ⇒ = θ −θ+

R R R ij k+ ←

Reqqθ1 θ2

[ ]B 22

2 2 B

1qR

R q

= θ −θ

⇓+ θ = θ

eq 1 2R R R serijska veza= + ←

11/20/2008

5

Primer• Odrediti termičku otpornost cilindrične posude debljine zida T i termičke

provodnosti α

e 2

d 4TRA D

= =α π αL

Term. otp. baze:

ee

1qR

= ΔθD

αT Term. otp. omotača: c

TRDL

=π α

cc

1qR

= Δθ

total e c2 1 1q 2q q

R R R⎛ ⎞

= + = + Δθ = ⋅Δθ⎜ ⎟⎝ ⎠e c eqR R R⎜ ⎟⎝ ⎠

eq c e

1 1 2R R R

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Paralelna veza

c eeq

c e

R RR2R R

⋅⇒ =

+

Termički izvor• Tipovi termičkog izvora

– izvor koji dovodi toplotu (određenom brzinom)

• količina toplote koja se do dovede je pozitivna

– izvor koji odvodi toplotuizvor koji odvodi toplotu

• količina toplote koja se do odvede je negativna

• Idealan termički izvor

qi(t)

11/20/2008

6

Dinamički model termičkih sistema• kao promenljive stanja se uzimaju temperature svakog tela koja ima

toplotni kapacitet

• prenošenje toplote u telo sa toplotnim kapacitetom zavisi od izvora toplote i prenošenja toplote preko termičkih otpornosti.

• Primer

θ

Cqi(t) R

θa

in iq q (t)=

out a1q ( (t) )R

= θ −θ

in a1 1(t) q (t) ( )C R⎛ ⎞θ = − θ−θ⎜ ⎟⎝ ⎠

&

i a1 1 1(t) q (t)

RC C RCθ + θ = + θ&

Primer (nastavak)• Linearizacija modela

• U ustaljenom stanju:

i a1 1 1(t) q (t)

RC C RCθ + θ = + θ&

ˆU ustaljenom stanju:

• Uvođenjem smena se dobija

a iRqθ = θ +

( ) [ ]i i a1 1 1ˆ ˆ ˆ(t) q (t) q

RC C RCθ + θ+ θ = + + θ&

iii q-(t)q(t)q̂θ-θ(t)(t)θ̂

==

• Eliminisanja konstantnih članova na osnovu

i1 1ˆ ˆ q̂ (t)

RC Cθ+ θ =&

a iRqθ = θ +

11/20/2008

7

Primer• Odrediti

C2

θ2R2

C1

θ1

qi(t) R1 θa( )2 iˆ ˆf q (t) ?θ = =

1 i 1 21 1

1 1(t) q (t) ( )C R

⎛ ⎞θ = − θ −θ⎜ ⎟

⎝ ⎠&

2 1 2 2 a2 1 2

1 1 1(t) ( ) ( )C R R

⎛ ⎞θ = θ −θ − θ −θ⎜ ⎟

⎝ ⎠&

( )

( ) ( )

i 1 21

1q 0R

1 1

− θ − θ =

θ − θ = θ −θ

2 a 2 i

1 a 1 2 i

R q

(R R )q

θ = θ +

θ = θ + + 222

111

θ-(t)θ(t)θ̂

θ-(t)θ(t)θ̂

=

=

( ) ( )1 2 2 a1 2R Rθ − θ = θ −θ

1 1 2 i1 1 1 1

2 2 11 1 2 2 2 2

1 1 1ˆ ˆ ˆ q̂R C R C C

1 1 1ˆ ˆ ˆ( )R C R C R C

θ + θ = θ +

θ + + ⋅θ = θ

&

&

Primer• Formirati model tela

• Aproksimacija 1

σ, ρ, α, AL

θi(t)

Aproksimacija 1

C, θR

θi(t)

C m AL= σ = σρ

in i1q ( )R

= θ −θ

( )i1

RCθ = θ −θ&

nema qout zbog ugaone izolacije

αALR =

σ ‐ specifična toplota tela

C m ALσ σρ

( )i1 1 t

RC RCθ+ θ = θ&

11/20/2008

8

Primer (nastavak)• Aproksimacija 2

½C

θ2

θi(t) ½C

θ1

• Leva komora

• Desna komora

½R

in i 11q ( (t) )

0,5R= θ −θ ( )1 i 1 2

4(t) 2RC

θ = θ − θ + θ&

( )2 1 24

RCθ = θ −θ&

in 1 21q ( )

0,5R= θ −θ outq 0=

1 1 2 i

2 2 1

8 4 4ˆ ˆ ˆ ˆ (t)RC RC RC

4 4ˆ ˆ ˆRC RC

θ + θ = θ + θ

θ + θ = θ

&

&

Primer• Formirati model sistema

θ =constq (t)

θi(t), v

Napomene:• Voda u rezervoaru se meša tako da je temperatura θ u njemu homogena. • Zapreminski protok v=const• θo= θ zbog mešanja

θ, ρ, σ, VR

θa =constqh(t)

θo(t), v

C m V=σ =σρ

( )in out1(t) q qC

θ = −&in h iq q (t) v (t)= + ρσθ

1q v (t) ( )= ρσθ + θ−θ v 1 v 1 1⎛ ⎞&

θo θ zbog mešanja

out aq v (t) ( )R

= ρσθ + θ−θ1 h a

v 1 v 1 1(t) q (t)V RC V C RC

⎛ ⎞θ+ + θ = θ + + θ⎜ ⎟⎝ ⎠

&

1 v 1V RC

= +τ

( ) θσρvVθσρCθθCq ===⋅=Δdtd

dtd

dtd

11/20/2008

9

Primer

CH=20000

CL= 106

RHL=10-3

qi(t)θH,C H

RHL

RLa

RHL 10

RLa=5⋅10-3

θa=300K

H in L aH HL

1 1q (t) ( )C R

⎛ ⎞θ = − θ −θ⎜ ⎟

⎝ ⎠&

θa

θL,C L

Ako je qi(t)=1,5⋅104⋅h(t) odrediti vreme potrebno da se θL zagreje do 365K

⎝ ⎠

L H L L aL HL La

1 1 1( ) ( )C R R

⎛ ⎞θ = θ −θ − θ −θ⎜ ⎟

⎝ ⎠&

11/20/2008

1

Sistemi sa fluidimaModeli fizičkih sistema


Sistem sa fluidimaPostoje u brojnim sistemima

• hidraulički sistemi postoje u hemijskim procesima, SAU, ...

• povezani sa mehaničkim sistemima preko pumpi, ventila, klipova, ...

– turbina pokretana vodom = hidraulički + mehanički + električni sistemturbina pokretana vodom hidraulički + mehanički + električni sistem

Posmatramo jednostavne slučajeve

• Analiza hidrauličkih sistema je složena zbog njihove distribuiranosti i nelinearnog (karaktera) otpora proticanju

• Ne razmatramo stišljive fluide – vazduh i druge gasove

• Posmatramo pojednostavljen – linearan model( )(u većini slučajeva za to ima opravdanja jer postoji jedna radna tačka)

11/20/2008

2

PromenljiveHidraulički sistemi uključuju protok i akumlaciju tečnosti, te su bitni:

• q – zapreminski protok [m3/s]

• V – zapremina [m3]

• h – visina (nivo) tečnosti [m]h visina (nivo) tečnosti [m]

• p – pritisak [N/m2] ili [Pa]

– obično se posmatra apsolutni pritisak, a ponekad relativno u odnosu na atmosferski: p*(t)= p(t)‐pa pa=1,013∙105 [N/m2]

Zakonitosti elemenata• Postoje 2 karakteristike koje se mogu predstaviti pojednostavljenim

elementima:

– Kapacitet posude za tečnosti

– Otpor proticanjup p j

11/20/2008

3

Kapacitet• Kod tečnosti smeštene u otvoren sud postoji algebarska ralacija između

zapremine tečnosti i pritiska u osnovi suda

• zapremina:

A(h) – površina na visini h ∫=h

o

dhhAV )(( ) p

• apsolutni pritisak:

• Za svaki sud određene geometrije, gustine tečnosti, atm. pritiska postoji jedinstvena algebarska veza između p i vTipična: Linearna:

o

apghp += ρ

p

pa)(

1hc

p

pa)(

1hc

• za A(h)=const imamo:

• Hidraulički kapacitet c ‐ recipročna vrednost nagiba krive za datu radnu tačku

Vpa

0V

pa

0

aa pcVp

AVgp +=+= ρ

Hidraulički kapacitet (2)

ghA

dpdh

dhdVhc

dpdV

dVdphc

ρ)()(

/1)(

=⋅=

==

[ ] dtddttqtqVtV

b

ooutino )()()( ⋅−+= ∫

)()( tqtqdtdV

outin −=

[ ])()()(

1 tqtqhAdt

dhdtdh

dhdV

dtdV

outin −⋅=→⋅=Jedna od promenljivih V, h ili p se bira kao promenljiva stanja

[ ])()()(

1 tqtqhcdt

dpdtdp

dpdV

dtdV

outin −⋅=→⋅=

11/20/2008

4

Primer:• Posmatra se cilindrična posuda napunjena tečnošću gustine ρ. Koliki je

hidraulički kapacitet vertikalno i horizontalno položene posude?

RhA π2)(R

constg

RghAhc ===

ρπ

ρ)()(

hL

ghRRL

ghAhc

ρρ

22 )(2)()(−−

==

h2R

L

Otpornost• kada tečnost protiče kroz cev, ventil ili otvor dolazi do pada pritiska.

• pad pritiska se objašnjava gubitkom energije i obično je posledica nelinearne zavisnosti )( pfq Δ=

• npr. kod ventila:

• Hidraulička otpornost R je recipročna vrednost nagiba krive q=f(Δp)za datu radnu tačku

dobro opisuje turbulentno kretanje kroz ceovod

karakteristika cevi, ventila ili otvora

pkq Δ=

q-+ Δp

q̂ nagib=q

R1

za datu radnu tačku

0 Δp

gq

pΔ

p̂Δ

R

11/20/2008

5

Otpornost (2)• Inkrementalan model

pppd

dqqqp

+Δ−ΔΔ

+=Δ

....)(

dq

pR

q Δ⋅=Δ

1

1

• Za:

pppqqq Δ−Δ=Δ−= ˆ ,ˆppd

dqR ΔΔ=

1 :je gde

pkq Δ= pkpk

pddq

R p Δ=Δ

Δ=

Δ 21

2

2kqR =

pkq Δ= pq

Primer• U grani tečnost protiče koz nekoliko cevi, ventila, otvora tako da su

prisutne redne i paralelne veze elemenata

q kcq ka kb q-+ Δp

cq-+ Δp

a

-+ Δp

b

pkpkpkq cba Δ=Δ=Δ=

c qkqR +== )11(22

222

Redna veza

2

2

2

2

2

2

bac

bac

kq

kq

kq

ppp

+=

Δ+Δ=Δ

bac

bac

RRRkk

qk+=

)( 222

222111

bac

bac

kkk+=

11/20/2008

6

Izvor ≡ Pumpa• Pumpa je izvor energije koja dobija snagu od elektro motora

– Posmatraćemo centrifugalnu pumpu konstantne ugaone brzine

– Povećava pritisak na potisu Δp2 u p1

qp2

p p p2 odnosu na pritisak na usisu Δp1

– Često se upotrebljava u hemijskim procesima

• Karakteristika pumpe Δp=f(q) se određuje eksperimentalno u ustaljenom stanju i prilično je nelinearna

– Δpp +

Δp ω1

ω2

ω1>ω2>ω3Δp

nagib= −Kp̂Δ

q̂pΔ

• Linearizacijom određujemo linearnu vezu inkrementa protoka i inkrementa povećanja pritiska (sa dato ω)

q

ω2

ω3

q

q

q][0ˆˆ m

NsKKqKp >−=Δ

p

Dinamički model hidrauličkog sistema• Primer: Napisati nelinearan model promene p1 i odrediti funkciju prenosa

koja povezuje inkrementalne promenljive:

qi(t)

)(ˆ i ˆ1 tqp iΔ

1

k qop1 pa

pa

A,ρ

[ ])()(11 tqtq

Cp outin −=&

)()( tqtq iin =

aout ppktq −= 1)(

[ ])(111 tqppk

Cp ia +−−=&

11/20/2008

7

Linearizacija modela iz primera1. U ustaljenom stanju:

2. Predstava linearnih članova:

3. Linearzicija nelinearnog člana i

4. skraćivanje konstantnih članova

)(ˆ)()(ˆ)( 111 tqqtqtpptp ii +=+=ia qppkp =−⇒= 10&

221

1ia q

kpp ⋅+=

4. skraćivanje konstantnih članova

– Na osnovu:

– Dobijamo:

[ ]

)(ˆ)(ˆ2

11

)(ˆ)(ˆ1)(ˆ

11

1

111

tqqtppp

ppkC

tqqpptpkC

tp

iia

a

iia

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−−=

=++−+−=&

...2

1

00

+Δ+≈Δ+ xx

xxxx

x

– Konačno:

2

2kqR i=

)(ˆ1)(ˆ2 1 tq

Ctp

qk

Ck

ii

+−

=

RC

Ci s

sHtqC

tpRC

tp1

1

11 )()(ˆ1)(ˆ1)(ˆ+

=⎯→⎯=+&

PrimerNaći linearan model sistema sa slike.

Poznata je karakteristika centrifugalne pumpe (veza Δp i qi je data na dijagramu)

Δp ω=const

k qop1 pa

pa

pa

qi

– Δpp ++ Δpv – qi

11/20/2008

8

Primer (nastavak)• U ustaljenom stanju važi:

• Na pumpi:

• Na ventilu:

• Radna tačka se određuje grafičkim putem docrtvanjem na dijagram:

oi qq =

appp −= 1

pkqo Δ=appp −= 1

Radna tačka se određuje grafičkim putem docrtvanjem na dijagram:

ˆ1ˆ11ˆ1 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −Δ−+Δ−= qp

Rqp

KCp oi&

Δp

Radna tačka

karakteristika ventilakarakteristika

pumpe Linearizovana karakteristika ventila -pravca R

Linearizovana karakteristika pumpe – K=?

pΔ

[ ])()(11 tqtq

Cp outin −=&

• Aproksimacija protoka – na pumpi:– Na ventilu:

0ˆ111ˆ

ˆˆ

1

Re

1

1

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

Δ=

+=

pRKC

p

pp

KRRKq

43421

&

qiq

pqq Roo ˆ1 Δ+=

pqq Kii ˆ1 Δ−=

Primer

k1 q1p1

pa

pa

C1 k2 q2p2 pa

paC2qp

appkq

ppkq

−=

−=

222

2111

• U ustaljenom stanju važi

• Na pumpi

• Na osnovu redne veze dva ventila

• Kriva q=f(Δp) se crta preko karakteristike pumpe i pronalazi se radna tačka

21 qqqp ==appkq

ppkq

−=

−=

222

2111

appp −=Δ 1

22

21

21

kk

kkkeq+

+=

• Inkrementalni model je tada:– Model bez ulaza

(odziv na početno stanje)

1pkq eqp Δ=

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−=

22

2112

2

211

11

1

ˆ1ˆˆ11ˆ

ˆˆ1ˆ11ˆ

pR

ppRC

p

ppR

pKC

p

&

&

11/20/2008

1

Modeli elektro-mehaničkih sistema


Primer - Galvanometar

+

θ(t) R++

LR

N S

magnet

ei(t)

i(t)

ei(t) emi(t)

k

cJnamotaj

as

• Ugaoni pomeraj je srazmeran struji koja protekne kroz namotaj• U osi kalema postoji torziona opruga• Pretpostavka: u vazdušnom procepu je uniforman mag. fluks gustine B• Ima N namotaja žice (širine s, poluprečnika a)

11/20/2008

2

Galvanometar (2)

Moment sile usled proticanja struje: aBNsiafee )2( ⋅⋅==τ

&Indukovama ems:

Ravnoteža momenata i el. kolo:

BaNsBvNsem ⋅⋅=⋅⋅= )()2()2( θ

( )

( ) )()(2)()()(2)()()(

tetNBsatRidt

tdiL

tiNBsatktctJ

i=⋅++

⋅=++

θ

θθθ

&

&&&

++

ei(t) em

LR

i(t)

k

cJnamotaj

as

Ako zanemarimo L << 1 ...

Galvanometar (3)

kcR

NBsatteti i 2)()()(

⎟⎞

⎜⎛

⋅−=

αα

θ

&&&

NBsa

teJR

tJkt

JRJct i

2

)()()()(

=

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

α

αθθαθ

02 22

k

ss nn ωξω =++

Im{s}=jω

s1

ωn

Ψθ

2n 1j ξ−ω

)(2

1 2

Rc

kJ

Jk

n

αξ

ω

+=

= -ξωn 0-2ξωn

s2

Re{s}=σ

θ

2n 1j ξ−ω−

11/20/2008

3

Primer - Mikrofon

NNk x(t)

++

eo(t) L

SSmagnet

c

L Ri(t)

N

fa(t)

m

+

em

R

i(t)

v

fa(t)fe

kx

• Ima N namotaja žice u kalemu poluprečnika a• Otpornost namotaja se zanemaruje• Radijalno mag. polje na namotaje

+eo(t) m(dv/dt)cv

Mikrofon (2)

aNBlBaNl

παπ

22

===

)()()()()()()()(

tvtRidt

tdiL

tftitkxtcvtvm a

⋅=+

+⋅−=++

α

α&

)()( titf ⋅=α( )

( ))()()()(1)(

)()(

)()(1)(

tftkxtcvtimdt

tdv

tvdt

tdx

tvtRiLdt

tdi

a+−−⋅−=

=

⋅+−=

α

α)()()()(tvtetitf

m

e

⋅=⋅=

αα

++

eo(t)

em

L

R

)()( tiRteo ⋅=

kRscRkLscLmRmLssR

sFsE

a

o

++++++⋅

=)()()(

)(223 α

α

m

i(t)v

m(dv/dt)

fa(t)fe

kxcv

11/20/2008

4

Primer - Motor jednosmerne struje

AtiB F=))((φ

τec

τL

atilA

tit AF

e ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅= )())(()( φτ

• Prikazan je jednosmerni motor sa nezavisnom pobudom, upravljan strujom rotora.

• Odrediti funkciju prenosa koja opisuje zavisnost brzine rotora od napona rotora i promene opterećenja motora.

• Pretpostaviti da se radi o opsegu brzina do nominalne (ω≤ωn) i da je fluks u mašini Ψf=const. (pobudnia struja if=If=const).

Motor (2)

tiA

tiB F

⎟⎞

⎜⎛

=

))((

))((

φ

φ

)())(()( tititAla

AFe ⋅⋅=

=

φγτ

γ

atilA

tit AF

e ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅= )())(()( φτ

F

FF R

UI =

)())(()( ttite Fm ωφγ ⋅⋅=

• Neka je uF(t)=UF=const - pojednostavljenje

)()( tit Ae ατ ⋅=

)( FIφγα ⋅= )()( ttem ωα ⋅=

11/20/2008

5

Motor (3)

( )

( ))()()(1)(

)()()(1)(

ttctitd

tuttiRLdt

tdiAAA

A

A

τωαω

ωα

−⋅−⋅=

+⋅−−=

( ))()()( ttctiJdt LA τωα=

)()()()()()()()(

sscsIsJssUssIRssIL

LA

AAAAA

ταα

−Ω⋅−⋅=Ω+Ω⋅−−=

)()()()()( 21 ssHsUsHs LA τ⋅+⋅=ΩA sPJL

sH1 )(1)( α

=

A

A

A

A

A

A

A

JLcRs

Jc

LRssP

sPJLR

JssH

sJ

22

2

)(

)(1)(

)(

α++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

11/20/2008

1

Elektromehaničke analogije


• Mehanički sistem sa translatornim kretanjem

MK

f(t)

x(t)

F

M – masa; K – koeficijent elastičnosti opruge; F – koeficijent trenja; x(t) – pomeraj (položaj) tela f(t) – spoljna sila pod čijim se dejstvom vrši kretanje

Mx⋅⋅(t)+Fx⋅ (t)+Kx(t)=f(t)

11/20/2008

2

Kθ(t) J – momenat inercije valjka;

• Mehanički sistem sa rotacionim kretanjem

M(t)( )

F

J

K – koeficijent elastičnosti opruge; F – koeficijent trenja; θ(t) – ugaoni pomeraj (položaj) tela; f(t) – spoljni momenat pod čijim se dejstvom vrši kretanje.

Jθ⋅⋅(t)+Fθ

⋅ (t)+Kθ(t)=M(t)

i(t)uR

uL

• Redno RLC kolo

R+

i(t)

u(t)

L

C uC

Lq⋅⋅(t)+Rq⋅ (t)+1Cq(t)=u(t)

11/20/2008

3

Mx⋅⋅(t)+Fx⋅ (t)+Kx(t)=f(t)Lq⋅⋅(t)+Rq⋅ (t)+1

q(t)=u(t) Jθ⋅⋅(t)+Fθ

⋅(t)+Kθ(t) M(t)

Analogije• Pristup preko konture

Električne veličine Translatorne veličine Rotacione veličine napon u(t) ⇔ sila f(t) ⇔ momenat M(t) struja i(t) ⇔ brzina v(t) ⇔ ugaona brzina w(t) naelektrisanje q(t) ⇔ položaj x(t) ⇔ ugao q(t) induktivnost L ⇔ masa M ⇔ momenat inercije J

Mx(t)+Fx(t)+Kx(t)=f(t)Lq(t)+Rq(t)+Cq(t)=u(t) Jθ(t)+Fθ(t)+Kθ(t)=M(t)

kapacitet C ⇔ elastičnost 1/K ⇔ elastičnost 1/K otpor R ⇔ trenje F ⇔ trenje F

• Postoje analogije - (pristup) preko čvora

Analogijeelektrični translatoran rotacioni termički hidraulični pneumatski

količina elektriciteta

pomeraj ugaoni pomeraj toplotna energija zapremina

q x θ Q Vnapon sila moment sile temperatura nivo pritisak

u f τ θ h pu f τ θ h p

jačina struje brzina ugaona brzina količina toplote zapreminski protok

i v ω q v

otpornost koef. Trenja koef. Trenja obrtanja

termička otpornost

otpornost proticanja

hidrodinamička otpornost

R c c R R R

kapacitivnostkoef. Elastičnosti

oprugekoef. Torzione

elastičnostitermički

kapacitet kapacitet sudaprotočni

kapacitet

C 1/k 1/k C C Cinduktivnost masa moment inercije

L m J

modeliranje sistema

Documents