--oMODELAREASI SIMULAREAIN INGINERIACHIMICĂ /

ROGER G: E. FRANKS

Traducere din limba englezăpe G. C. SUCIU

I,

E O I TURA T E H N I CĂ'~.:" BUCUREŞTI-1979

I.

ROGER G. E. FRANKSCONSULTANT SENIOR LA DEPARMM,ENTUL DE CALCUL

ŞI DE ANALIZE DE INGINERIEEI. DU PONT DE NEMOURS & CO. Ii'!t. - 1972 •

1,

........

WI1EV- INTERSCIENCE,

o DIVIZIE DIN JOHN Wl LEY& SONS. INC.NEW-YORK, LONDON, SYDNEY, TORONTO

Soţiei mele Barbara.şi fiicelor mele BARBARA ANN,

DEBORAH LOUISE, .şi JENNIFER ELlZABETH

••

• •

.-

•

PREFATA LA TRADUCEREA IN LIMBA, ROMÂNÂ

Lucrarea lui R. G. E. Franks a avut Ull succes' aprecidbil datorilă fapluluiCcl tratează îlltr-ull mod uşor accesibil - chiar şi peniru illginerii de "formaţie.mai veche", absolvenţi ai facultăţilor inainte de 1970 - una din problemelede importanţă capitală pentru defillirea prQfilului modern al illginerului chi-mist: nwdelarea şi simularea proceselor. _

A modela un proces conform concepţiei uzuale, af;ceptată ill această lucrare,illseamllil a-l descrie printr-un sistem de ecuaţii dispuse în forma unui flux ra-ţiollal. Pelltru a efectua aceaslă operaţie, este neceSar să se. cunoască mărimiiecare iniervill in definirea procesului, ecuaţiile lor, şi să se .stabilească un fluxraţiollal al ecuaţiilor (cît mai apropiat de fluxul fizic al procesului), care săpermită soluţionarea convenabilă a îniregu{ui sistem. .

Programînd pe Ull calculalor modelul obţinuI se realizează una din fonnelede simulare ale procesului, formă pe care o traiează lucrarea de faţă.

Primele aplicări de simulare ale procesetor au fost efectuale utilizind calcula-toare analogice. De prill 1960-65 datează inceputurile substituirii acestora princalculaioare numerice. Deşi ill unele cazuri se justifică sau se menţine un sistemhibrid de simulare, caracterizat prin coexistenţa calculaloarelor analogice şi nu-merice, in prezent preponderenţa acestora din urmă este dominantă.

Ediţia a II-a a cărţii tui Franks, după care s-a efectuat această traducer;,ţille. seamă de această evoluţie, fiilld orielltată spre simularea prin calculatoareIlumerice.

Mai este de adăugat că, intrucît cartea lui Frallks tratează probleme funda-meniale ale modeLării şi simulării proceselor tehnologice din industria chimică,ea işi menţine actuali/alea şi in. condiţiile saltului care a avut toc.in ultimii aniin producţia de calculatoare, concretizat, intre' altele, prin extinderea utilizăriimicrocalculaloarelor la reglarea proceselor.

Înţelegerea uşoară.a lucrării este condiţionată de cunoaşterea elemenlară aÎllecanismeior prQceselorfizico.chimice, adică cinetica şi operaţiile unitare ale in-gineriei chimice, a relaţiilor matematice care le descriu şi a programării În limbaiFORTRAN.

Peniru a incuraja inginerii şi chimiştii 'de formaţie mai veche, care illcă nusini familiarizaţi cu procedeele de programare, se poate preciza că din cele 3 con-diţii de mai sus, primele 2 sînt cele nwi importanie, deoarece permit elaborareaIllod,elului procesului. Evident că /Jumai prin cunoaşterea programării, sau cu

•

\ '8 PREFAŢA LA TRADUCEREA IN LTh:IBA ROMANA---------------------ajutorul unui programator, se poate simula procesul şi se pot astfel extrage efectivşi complet foloasele reale. -

Lucrarea poale fi utilizată de studenţii din anii 8-5 ai facultăţilor C1l profilde inginerie chimică,.petrol şi p2lrochimie, de inginerii din cercetări, proiectărişi din producţie, fiind uşor accesibilă şi absolvenţilor Înainte de 1970.

Traducerea cărţii a. ridicat numeroase dificultăţi legale de terminologie. Îmiexprim pe aceaslă cale mulţumirile mele pentru ajutorul dat de tov. ing. DanVasilache care a efectual verificarea tehnică a traducerii.

Programele din lucrare fiind inJimbaj Fortran au fosl lnenţinute în versiuneaoriginală.

Se va observa că În cîteva exemplificări apar inconsec-venţe falâ de defi-niţiile sau notaţiile curente ale unor mărimi, (este c.azui coeficientului deschimb de căldură, p, În exemplele 7-2, 7-8). Asemenea inad-verlenţe sîntuşor de ~esizat prin examinarea dimensională a expresiilor.

Penlru a facilila- citirea textului s-au Întocmit urmâtoarele 8 anexe supli-mentare : •

ANEXA D. Glosar cu termenii utilizaţi m'li frecvent. /ANEXA E. Expresii mnemonice./! IVEXA F. Conversia unitâţilor de măsură utilizate în lucrare.'

TRADUCATORUL

,,

'.. •

•

/

~.'

•

PREFAŢĂ.

Lucrarea precedentă cu:esteia,.publicată în 1967, a fost intitutată "Modelarea %

IIUJterrwticăîn ingineria chi(llică" şi a fost scrisă Într-o perioadă (1964-1966)cînd utilizarea calculatoarelor analogice În industrie era În declin, fiind înlocuităprin simularea numerică. În perioada l1feea tehnotogia cati:ulatoarelor numerice-se găsea Într-o etapă iniţială de 'evoluţie. 'In afară de o scurtă descriere a simula-torului dinamic MIM IC cartea a accentuat, În par/ea cea mai' rrwre, prezentarea.tehnicilor analitice, care conduceau la trUJdeleadecvate pentru simularea' pe cal-culatoare analogice, hibrid£ sau numerice. În ultimii 7 ani s-a realizat un progres:considerabil În elaborarea programelor num.erice, aplicate ingineriei chimice şi.În prezent au ieşit în evidenţă unele procedee devenite uzuale.

În conSecinţă, în lucrare :Se vor prezenta două. programe de calcul scrise ÎnFORTR,ANIV (INT şi DYFLO), cu care se pot rezolva sisteme de ecuaţi{diferenţidle 'şi prin aceasta se poliie simula comportarea dinamică a proceselorchimice. Raţiunea principală pentru utilizarea programelor FORTRAN esie căaceasta constituie astăzi limbajul cel mai' uzual. Programul (elaborat penlruUNIVAC 1108) În maniera În care esie lisial În lexl poale fi adaptat la orice-calculator care posedă un compilator FORTRAN, implicînd doar modificărl~minore... .

Luci-area Iratează acele sisleme. din ingineria chimică, care prin analiză conduc'la modeleÎli care inlervin eCUIi/iidifer<!nţialeordinare, şi/sau ecuaţii diferenţiale'cu derivale parţiale. Prin urmare, nu priveşle bilanţurile de masă şi de' energie-În regim staţionar şi nu tratează programe care au ca obiect proiectarea detaliatăli utilajelor. -

Piiitru a face progr~mele de simulare mai concrete, ele sînt descrise În cadrulunor aplicaţii inginereşti şi sînt introduse În capitolele lucrării pe măsură ce se-tratează diverse 'probleme ale ingineriei ch.imice. Pentru utilizarea eficientă a:acesior programe, se recomandă cUlloaşterea metodelor numerice elementare, dinanaliza numerică. De aceea•.cap. 11, 111 Iratează lIoţiunile de bază ale proce-deelor numerice iteralive şi ale integrării numerice, Aceasta conduce la dezvoltareaprogramului I NT care constă dintr-un ansamblu de subrutine pentru rezolvareaosis/emelor de e(uaţii diferenţiale şi a ecuaţii/ar algebrice asixiaie cu acesiea. Pro-gramull NT formează baza unui set desubrutine, de un nivel mai ridicat (D YF LO).care simulează comportarea dinamică a majorităţii operaţiilor ullilare uzuale,.pili procesele chimice. Acesiea sînt introduse succesiv În capitolele care urmează,

•

.1

10

\

PREFAŢA

\

ŞI In mod deliberat sînt făcute mai simple penlru a cîştiga in viteză de execuţieşi pentru a uşura înţelegerea succesiunilor de calcule din aceste subrutine. Se.speră că inţelegerea acestora va încuraja cititorul să elaboreze subrutine su-plimentare pe măsura necesităţilor sale specifice.

Programele de calcul oferă un mijloc convenabil de efectuare a calculelorlegate de modelele maiematice, elaborate în partea analitică a lUi;rării, demon-.strînd, că sîni.ularea constituie o metodă practică de abordare a problemelor legale.de procesele complexe, tipice în practica induslrială prezentă. Ca şi în prima lu-aare se insistă asupra fne/odelor de formulare a nwdelelor. Mulţi ingineri po-sedă capacitaiea laientă de a descrie realitatea fizică prin simboluri maienwtice.Pentru aceasta se cere imaginaţie şi' experienţă acumulată din practică. Punereain valoare a acestor capacitâţi conduce la. o vedere analilică mai adîncă în di-namica proceselor şi o înţelegere mai completâ a datelor funda/nemale.

Lucrarea aceasia are ca scop slimularea abordării analitice, îndepârlîndobstacolele demodate şi prezentînd procedee direcie, unificate pentru construirea.modelelor matematice ale sistemelor de ecuaţii cdre .descriu procese complexe.

În comparaţie cu simulările complexe pe calculator, efectuate uzual în industrieşi în unele cazuri descrise în literatură, majoritaiea exemplelor prezentaie în lu-aarea aceasia, sînt elementare. Din această cauzâ lucrarea trebuie consideraiăiOao introducere în simularea cu ajutorul calculalorului. Esle de menţionat însă<:ă majoritatea principiilor generale, din modelele complexe, au fost induse înmod deliberai în exemplelC din aceasiă lucrare. .. Maierialul traiai progresează de la sisteme unitare (lumped), la sisteme in.trepte şi la sisteme care sînt descrise de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale.

Ultimul capitol arală maniera în care problemele 'de reglare neliniare, potfi Mordate prin simulare fără a avea cunoştinţe detaliaie asupra ieariei reglelrii.

Se considerel cel cititorul este familiarizat cu cunoştinţele fundameluale privi-toare la transferul de energie şi de masă, cinetică chimică şi echilibrul vapori-lichid, şi că are cunoştinţe de FORTRAN.

Beneficiarii acestei lucrări vor fi deci studenţii din ultimul an, absolvenţii şiinginerii pe care îi preocupă modelarea prin calculalor.

Sînt recUllOscătorcolegilor mei D-nii R. L. Buchanan, D. Culver; T.' Keane'ii A. Auster pentru ajutorul dat în elaborarea textului. Dl. D. Culver a datun deosebit ajutor în dezvoltarea programului D YFLO. Exprim fIlulţumiri d-neiJ. Schweikert şi D-rei B. Franks pentru dactilografierea textului. .

\Vilmington, Delaware

Decembrie 19i1 R. G. E. FRANKS

•

•CUPRINS

. REZOLVAREA NUMERICA A .ECUAŢIILOR ALGEBRICE.

REZOLVAREA' NUMERICA.A ECUAŢIILOR DIFEREN-ŢIALE

1.1. Ecuaţii1.2. Simulareâ sistemelor în regim staţionare3. Simularea proceselor dinamice

Prefaţă 13 traducerea în limba românăPrefaţă

INTRODUCERE

79

13

Il>2525

282832.343&

~".3T31>,39-40.43.4<1'

49'

49'5152'55.58:59m62:64.65.67"67-6g-,71'.71>.7&

82.

84'858&:91.

",

ELEMENTE DE MODELARE

4.1.- nezervor hidraulic simplu4.2. Rezervor hidraulic cu flux variabil4.3. Rezervor inchis .. .4.4. Compresia adiabatieă a unui gaz

, .3.1.' Ecuatii d)ferenţiale ordinare3.2. r\:letoda de integrare de ordinUl întîi (Euler simplu)3.3. Helaţia intre eroare şi mărimea pasului:3.4. Program FOHTHAN'3.5. Integrare de ordinul II:3.6. Subrutina INT3.7. Subrulina INTr:J.8. Metoda de ordinul patru Runge-Kutta3.9. Aranjarea generală. a p'rogramului principal3.10. Subrutirta P'RNTF . '\ ."3.11. Subrutina PHNTRS J •

3.12. Exemplu de programare folosind sistem'ul INT3.13. Precizia integrării3.14. Stabilitatea integl'ării nU1nerice . ,3.15. Soluţia algebrică a, ecuaţii10r difer.enţ'iale ~3,16. Subrutina DEţl'

2.1. Ecuaţii explicite şi implicite2.2. Substituţii parţiale2.3. Metoda \Vegstein pentru convergenţa algebrică2.4. Exemplu: Ecuaţia Beattie-Bridgeman2.5. Convergenţa Newton-Haphson2.6. Exemplu: Metoda Ncwton-Raphson2.7. Sisteme implicite de ordin superior2.8. Generarea de funcţii arbitrare (FUNl)2.9, Utilizarea' subrutinei FUNI .2.10. Funcţii bidimensionale (FUN2)

Capitolul 1.

Capitolul II.

Capitolul 111.

CapiJolnl IV.

12 CUPHINS

CURGEREA FLUIDELOR

CINETICA CHIMICA.

7.1. Sisteme cu curgere de gaze7.2. Regim hidraulic tranzitoriu

ECHILIBRU' VAPORI-LICHID IN SISTEM MULTICOM-PONENT ' I

9193949698

100

110

110112113114119120122125126127130132135135140

145

145147152157167

176

r184

184185

Rezervor cu amestecareAmestecare asociată cu reacţieReacţie reversibilăBilanţuri simultane de masă, şi energieAlimentare multiplă la un vas prevăzut cu mantaFierberea

4.5.4.6.4:7.4.8.4.9.4.10.

6.1. Schemă generală de modelare6.2. Reactor CSTR pentru faza lichidă6.3. Cinetică prin mecanism radicalic6.4. Cinetica sistemelor eterogene6.5. Copolimerizare în soluţie, in sistem semicontinuu6.6. Distribuţia timpului de staţion31'e a particulelor în

CSTR

5.1. Structura generală a pI;ogramului DYFLO5.2. Subrutinele ENTHL (1) şi- ENTHV (1). '5.3. Subrutina TEMP (1, L)5.4. EchilibrUl lichid-vapori5.0. Calculul punctului de rouă .5.6. Transformare de fază generalizată5.7. Subrutina FLASH. Evaporare (bruscă) în echilibru5.8. Evaporare (FLASH), adiabatică in echilibr.u5.9. Fierberea5.10. Condensatar. parţial (PCON)5.11. Zestre constind într-o singură fază (HLDP)5:12. Vaporizato'r cu acumulare .5.13. Editarea rezultatelor: subrutinele PRL şi RPR5.14..Exemplu de distilare discontinuă Cazul 5-1 .5.15. Distilare discontinuă in două trepte Cazul 5-2

Capitolul VII.

Capito~ul V.

Capitolul VI.

Capitolul VIII. OPERAŢII IN TREPTE

8.1. Subrulina SPLIT (J, K, M. RKJ)8.2. Subrutina SUM (1. J, K, L)8.3. Exemplu: Extracţie în contracurent8.4. Program de calcul8.5. Coloane de distilare8.6. Separări de .sisteme multi componente8.7.. Program general pentru coloane de distilare8.8. Aspecte de condiţionare care apar la simularea

nelor8.9. Subrutina STAGE

." 8.10. Treapta de alimentare, subrutina STGF8.11. Treaptă cu fluxuri laterale, subrutina STGS8.12. Baza coloanei subrutina BOT8.13. Subrutina STGH

200

200 C201202206.208212214

coloa-215216219221222

/ 224

CuPRINS 13

8.14. Refierbător 2288.15. Subrulina REB (A, II, CV, WC, JF, JB) 2318.16. Simularea unei coloane de distilare prin DYFLO 233

Capitolul IX.,...

.SlSTEME IN REGIM STAŢIONAR 243

9.1. Schimbător de căldură în contracurent 2439.2. Curgerea gazelor in conducte 2469.3. Permeaţie' 2489.4. Proiect de "vaporizator 2529.5. Reactor tubular 2579.6. Condensarea vaporilor" unei substanţe pure 2629.7. Condens'area vaporilor multicomponenţi 2669.8. Condensarea unui amestec multicomponent 2699.9. Schimbător de căldură in coniracurent 2729.10. Schimbător de căldură în regim staţionar pentru biblio-

teca pYFLO 2769.11. Heactor tubular 2799.12. Integrare in serie 28"2

Capitolul X.

Capitolul XI.

ECUAŢII .DIFERENŢIALE CU DERIVATE PARŢIALE

10.1. Bară metalică izolată10.2. Schimbător de căldură10.3: Regim termic tranzitoriu.10.4. Schimbător de căldură cu curgere" laminară10.5. Simularea dinamică a unui reaetor in strat fix10.6. Cinetica polimerizării

REGLAREA PROCESELOR

293

294299308.311314320

328

ANEX .•.•1 A.ANEXA B-l.ANEXA B-2.ANEXA B-3.ANEXA B-4.ANEXA B-5.ANEXA B-6.

"l:.ANEXA C.ANEXA D.ANEXA E.ANEXA F.

11.1. Configuraţia -de bază a procesului de reglare 32811.2. Traductoare funcţii de transfer de ordinul I TFN l' 32911.3_Funcţie de transfer de ordinul "doi 33111.4. Regulatoare 33211.5. Elemente de comandă 34111.6. Comanda unui reactor tip autoclavă 34411.7. Reglarea pompajului la un compresor centrifugal 34811.8. Reglarea unei coloane de distilare 359

Subrutinele INT şi DYFLO 367Subrutina de imprimare PRL 369Subrutina de repetare a imprimării RPRL 370Subrutina INT , 371Subrutina INTr 371Subrutina NRCT 372Subrutina START 372Implementarea lui INT şi DYFLO . 372Glosar de tenneni utilizaţi mai frecvent . 373Expresii mnemonice 374Conversia în S.I. a unităţilor de măsură utilizate in lucrare 375INDICE ALFABETIC

\

I

I

Q

'.

1. ]NTRODUCEIU~

In industria chimică şi petrolieră s-a remarcann ultimii 15 ani o tendinţăprcnunţată de a aborda cantitativ problemele de proiectare şi de exploatarea prcceselor. Această tendinţă a fost provocată de utilizarea progresivă a cal-culatcarelor electronice puternice pentru soluţionarea ecuaţiilor matematiceale sistemelor complexe. Abordarea analitică a problemelor de inginerie permite

~'. atît investigarea unui număr ridicat de variante, cit şi un studiu mai .eficiental proceselor discontinue şi continue. In plus, abqrdarea analitică cu calcu-latorul permite o înţelegere mai adîncă a mecanismelor inferne ale proceselor'studiate.

Astăzi atit f acultăţile cît şi industria dispun în general de calculatoare pu-ternice, iar prin tEndinţele actuale se întrevede generalizarea lucrului în regimconversaţional utilizînd display-uri cu c!aviatură alfanumerică şi cu posibi-lităţi grafice. In perioada în care se utilizau calculatoarele analogice pentrusimularea proceselor dinamice (1955-1965l, era necesară prezenţa unui grupde specialişti la fiecare calculator pentru a prelua de la beneficiar problemapropusă şi.a o rezolva prin programe scrîse pentru calCulator. Analiza pro-blemei, adică definirea ei în termeni matematici, era efectuată fie de bene-ficiar, fie de specialistul în calculatoare,. sau uneori în colaborare. Intre 1960şi 1970 calculaterul numeric a devenit preferat pentru simularea .proceselorchimice, din caULa capacităţii şi a vitezei lui mai mari şi din cauza creşteriivolumului bibliotecilor de programe specializate. Drept rezultat, utilizareacalculatoarelor analcgice a trecut printr-un declin, iar astăzi au fest eliminatedin cele mai multe inst,alaţii de calcuI-industriale. Intrcducerea simulării cucalculatoare numerice, care permit accesul utilizatorului la-bibliotecile de pro-grame specializate, dotate cu o amplă varietate de. cal,cule, a permis multoranalişti să renunţe la specialistul în calculatoare în rezolvarea problemelor.

Unul dintre 'O'biectivele acestei lucrări este de a pune la dispoziţia citito-rului un set de programe, care să-i permită să-şi- programeze problemeleproprii cu un efort minim, 'îndeosebi în domeniul simulării proceselor 'chimice,

Pe măsură ce procesele 'vor deveni. mai complexe, încorporînd, un nivelcrescut de automatizare, va fi din ce în ee'mai necesară aboidarea' analiticăa 'p'roblemelor de proiectare şi exploatare. Analiza modern~; a problemelortehnologice implică uzual o formă de modelare matematică, lucru 'care;.într-un

16 INTRODUCERE

matematice, indicînd pe aceleaCele mai multe din problemele

de ecuatiianalitică.

diverse claseo rezolvare

anumit sens ar trebui să fie. de un deosebit interes pentru inginerii chimiştiîntrucît simularea proceselor Ja banc sau în staţii pilot constituie de mulţiani o etapă preliminară În realizarea instalaţiilor industriale. Există diversemodele matematice pentru acelaşi sistem, adecvate soluţionării problemeiparticulare care interesează. O clasificare largă În acest sens o constituie mo-delele pentru starea staţionară şi modelele dinamice. In fiecare din acestea,informaţiile cerute depind de specificul problemei de soluţionat şi de volumulde date primare disponibile. O descriere exactă a unui sistem referitor la unproces chimic conduce adeseori la un sistem complicat de ecuaţii. Chiar dacăacesta poate fi rezolvat, este recomandabil ca analistul să Încerce prin ra-ţionamente cu caracter ingineresc să reducă ecuaţiile la un sistem mai puţincomplex, care totuşi, cu ajutor.ul datelor de bază disponibile, În limita precizieiacestora, să conducă la o soluţie inginerească. .

Un aspect important al modelării matematice îl constituie aranjarea ecua-ţiilor. S-a constatat din experienţă că dacă ecuaţiile sînt aranjate Într-o suc-cesiime logică de cauză şi' efect modelul prelucrat la calculator este stabil.Această succesiune este numită ordine "naturală" Întrucît se aseamănă cusuccesiunea de cauză şi efect găsită' În natură. Este uşor să ne, dăm seamacă cheia pentru înţelegerea mecanismului intern constă În posibilitatea de adefini această succesiune natur~Iă de cauză şi efect.~CStudiul cerut de analiza modernă devine o problemă din ce În ce maicomplicată deoarece intervenţia calculatoarelor a deplasat accentul care sepune În această problemă. Inainte de iritroducerea calculatoarelor În analizainginerească se limita la studiul sistemelor simple efortul principal punîndu-seasupra deducerii unor ecuaţii elementare care privesc rezolvarea ecuaţiilordiferenţiale.. .

Programele facultăţilor de inginerie chimică cuprindeau cursuri de ecuaţiidiferentiale, dar experienţa a arătat că după obţinerea diplomei inginerul re-ţinea puţine din aceste informaţii, din motivul simplu că metodele matema-tice Însuşite nu erau adecvate pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii întîlniteÎn industrie, şi astfel capitole!e de matematică mai avansată nefiind utiliza.'te erau uitate.

Tabelul 1.1 aratăcare se pretează la

Tabelul 1.1. Clasificarea problemelor matematice şi uşurinţa de rezolvare a lor prin metodeanalitice

Ecuaţii

Nelinlare

CIteva I . Mai multeUnaMai multe 1Citeva

Liniare

Una

Tipul

Algebrice Uşor Uşor Practic Foarte Foarte ~mposibilimposibil dificil .dificil

Diferenţ'iale Uşor Dificil Practic Foarte Imposj~i1 Imposibilordinare imposibil dificil

Difere-nţiale Dificil , Practic Imposibil Imposibil - Imposibil Imposibilpadiale I imposibil

lNTRODUCERE 17

\

legate de procesele industriale apartin ecuatiilor diferentiale neliniare carenu pot fi rezolvate decît cu calculatorul. Ecuatiile care se pot rezolva ana-olifi" sînt simple' şi se limitează la tratarea unui număr redus de caz-uri deinteres industrial. Tabelul arată delimitarea clară care separă posibilul deimposibil şi arată, de asemenea, că problemele de interes practic nu pot firezolvate analitic, sau conduc la răspunsuri extrem de complicate, în esentăinutilizabile. .

Cele trei domenii care s-au dovedit proprii pentru studii analitice,' cucalculatorul sînt următoarele:

1. Cercetarea şi dezvoltarea tehnologică.2. Proiectarea tehnologică.3. Tmbunătătirea exploatării tehnologice.Domeniile de analiză cuprind:1. Curgerea fluidelor. .2. Transferul de masă.3. Transferul de .căldură.4. Cinetica.5. Dinamica şi reglarea.Elaborarea modelelor matematice tratate în această lucrare presupune

cunoscute principiile fundamentale ale. acestor domenii. Modelul unei tehno-logii ti pice cuprinde adeseori toate operatiile de mai sus, iar procedeul generalpentru a efectua un studiu analitic poate fi schematizat în cele şapte etapearătate în fig. 1.1. .

Deşi prima etapă, este poate cea mai importantă, nu se pot stabili regulisuficient de generale pent{u a fi utile la definirea problemei. Problemeletehnice sînt atît de diferite încît rămîne în sarcina analistului să definescăclar fiecare problemă. Prin aceasta se stabileşte un obiectiv.clar al analizei,ceea' ce este deosebit de pretios pentru elaborarea schemei, de la enunt pînăla. solutionare.

Definireaproblemei

Teoria Ecuaţiile Flux deinformaţii

Fig. 1.1. PL)c.~dcu d(' Bb::)rdare an;liitică ti modelării.

2 - Modelarea şi simularea in ingineria chimică - cd. 29

,

18 INTRODUCERE

A doua etapă constă În definirea teoriei care guvernează fenomenele ca-racteristice problemei. Teoria este uzual disponibilă din surse vafiate, .pu-blicate sau nepublicate, iar pentru cazurile izolate, pentru care nu avem oteorie la (ndemînă, este p'referabil să postulă;n una sau mai multe şi să letestăm 'validitatea, comparînd soluţia modelului matematic astfel obţinut curetultatele experimentale. Unul din avantajele utilizării calculatorului constăÎn rapiditatea cu care se obţin soluţiile diverselor cazuri, ceea ce uşureazăcomparaţiile Între variantele examinate.

In continuare, teoria se aplică problemei concrete 'scrisă În simboluri ma-tematice, aceasta constituind o etapă care obligă analistul să lămureascăeventualele definiţii ambigue. Sistemele fizice studiate În lucrarea. aceastasînt În toate cazurile descfise de un sistem de ecuatii simultane alge-brice şi diferenţiale, care trebuie scrise În forma cea mai directă posi-bilă, fără să se recurgă la .nicio manipulare în această etapă. Este totuşiutil ca, ori de cîte ori este posibil, să se simplifice ecuaţiile, omiţîndu-setermenii nesemnificativi. Este important însă să ne ~sigurăm C2 termenii omişisînt realmente nesemnificativi În toate fazele de elăBorare ale problemei.Adeseori este posibil să se elimine ecuaţii Întregi, neglijÎnd variatiile minoreale anumitor variabile intermediare; ca exemplu să admitem că valoareacăldurii specili,ce a, unui amestec, multicomponent, necesară într-un bilanţtermic, variază numai cu 1% din 'cauza variaţiilor de compoziţie ale amestc-cului; în acest caz in loc să se introducă În model o ecuaţie, cu care s-arcalcula valoarea căldurii specifice în mod continuu, s-ar putea consideracăldura. specifică constantă.

După obţinerea sistemului de ecuaţii este necesară definirea unei metodede rezolvare. Matematicienii numesc uneori. aceasta "ordonarea ecuaţiilor"iar în lucrare va fi utilizată ,~aranjarea naturală" în sensul succesiunii cauză-efect. Aceasta constă în plasarea fiecărei ecuatii .Într-o schemă logică orientată,adică avind ordinea de parcurgere precizată prin săgeţi, care arată succesiuneaîn care ecuaţiile trebuie rezolvate. Se precizează în acest mod atit variabilace trebuie obţinută prin rezolvarea fiecărei ecuatii, cît şi interdependenţaecuaţiilor.

Tehnica aceasta nu e decit o extindere a notaţiei utilizate în metoda cla-sică a funcţiilor de transfer :liniare, la sisteme fizice caracterizate de sistemede ecuaţii neliniare. Un astfel de aranjament carer.merge În paralel cu rela-ţiile logice de cauză şi efect din sistemele fizice, preziiJtă o imagine clară amecanismului postulat şi scoate,. uneori, în evidenţă relaţii Între variabilecare nu erau evidente în etapele precedente. Etapa de calcul trebuie să fieprecedată de stabilirea soluţilor cerute de la model. Lista diverselor cazuricerute şi a informatiei pe care vrem să o obtinem,.în fiecare caz, va scoateÎn evidenţă situaţiile redundante şi va fi utilă În programarea etapelor decalcul. .

Faza de calcule, care urmează, oferă cîteva vadante pentru obţinerea so-lutiei. Metoda selecţionată depinde de complexitatea ecuaţiilor care urmeazăsă fie rezolvate. ExistăcÎn general. trei nivele, dintre care cel mai elementareste bunul'simt. In acest caz, dacă ecuaţiile sau soluţiile sînt suficient de simple,soluţiile dorite pot fipbtinute prin simpla examinare a modelului. Din păcate

INTRODUCERE

Otrangll/are . Str;1flgv/sre

----\ -!- 1~'--rM-Od-e-1--, \ ,-J!.- I~-o-,,\-' -Pf'.-oblema AfJiJ/iza ~ Ca/cuie uO/Ur" ..

______ / \~_m_at_e_m_a_t_ic 1 \ cantitative

Fig. 1.2. Difi::ultăti de ab:>rdare al13litică inainte de titiliz<.lre3 calculatoarelor.

'19

această tehnică nu poate fi extrapolată la cazuri mai co';plexe decît admitind, ipoteze simplificatoare, care conduc în general la o estiniare grosieră a so-

lutiei.' " ' , , ,Nivelul următor -este, de asemenea, limitat la sisteme de complexitate

moderată şi se pretează la rezolvarea ecuatiilor prin metode analitice, Aşacum s-a arătat în discutia de mai sus, este nevoie de o abilitate apreciabilăpentru a rezolva unele dintre cele mai simple sisteme de ecuatii neliniare,lucru care depăşeşte de obicei capacitatea inginerului tehnoiog mediu, De fapt,a treia alternativă, constînd în utilizarea calculatoarelor, oferă drumui celmai avantajos şi constituie metoda cea mai expeditivă pentru rezolvarea

.~ problemelor, chiar şi a celor de complexitate medie,Ultima etapă ci constituie studiul şi verjficareasolutiei obtinute prin

simularea modelului matematic, Orice solutie neaşteptată trebuie analizatăpentru ii ne asigura că nu au intervenit erori în calcul.; unele, rulări pe cal-culator trebuie să fie elaborate in mod .specific pentru a verifica validitatea-modelului matematic, "

Procedeul pentru a obtine solutii cantitative prin abordarea analitică s-amodificat apreciabil în ultimii ani. Figura 1.2 reprezintă simbolic situa~ia careexista înaintea utilizării extinse a calculatoarelor.

In esentă, existau două impedimente majore:' analiza problemei şi" rezol-varea ecuaţiilor rezultate din analiză, Această ultimă dificultate era, în general,de netrecut, ceea' ce făcea ca modelarea matematică să-şi piardă din utilitateÎntrucît ecuaţiile nu puteau fi în general rezolvate, Ca' rezultat, singura cale •care ră\nînea pentru rezolvarea problemelor tehnice era prin procedee experi-mentale în laborator sau în staţii pilol. Disciplinele rational-analitice erau deaceea privite ca fiind de interes pur academic şi nu erau considerate ca me-tode practica bile În industrie, -

'-IIT ultimii 15~20 ani utilizarea calculatoarelor a avut o _extindere con-siderabilă, iar inginerul mediu, avînd la dispoziţie limbaje de programareşi îndeosebi limbaje de simulare,' poate să-şi rezolve problemele dacă reuşeştesă depăşească prima dificultate, .aceea referitoare la analiza probleme!, Sepoate afirma, cu certitudine; că a doua dificultate nu mai există, aşa cum searată în figura 1.3. ,

-Un alt scop al acestei lucrări _este să Încurajeze inginerii să-şi dezvoltecapacitatea analitică, adoptînd iniţial metodele de abordare simple, de tipulceior-reprezentatejn paginile' urrnătoare. Este uiil să se treacă În revistă unelenotiuni fundamentale de matematică, .ceea ce se'va face În capitolele următoare.

- ~--

20 INTRODUCEB$',- . ... , ~

_____ Strangu/are,\ ~ .. /~--------I Ah3/iiă . MOde! :.o,. __ Ca/cuIe Sa//ltil

_p_r_Ob_'_~,!,_a__ l' :\~'__m_a_.t_o_m_a_t'_c -_'_ ..'._.. _-_. _C_âf1_"_!t_a_~I_ve

Fjg. 1.3. DiJ!cultăţile pre"lente. ale i,bord~rii analitice.'

lJ. ECUAŢII

, .Ecuaţiile pot fi clasificate în două grupuri mari: ecuaţii algebrice şi ecuaţii

diferenţial-integrale. In general, o ecuaţie algebrică nu conţine nici o variabilăsub fOrmă de derivată. Spre exemplu x = ay + bz este o ecuaţie algebrică,pe cînd dxfdl = ay + bz este o ecuaţie diferenţială în care dxfdl este deriva ta.

1.1.1.. Liniaritate

Conceptul de Iiniaritate al ecuaţiilor este deosebit de important. Ca exemplude ecuaţie liniară ar fi definiţia presiunii la partea inferioară a unui vas careconţine Iichfd (fig. 1.4): .

P = hgp + Po,

unde Po este presiunea deasupra suprafeţei libere; N fm';po, - presiunea la adîncimea h, m; Nfm';p densitatea; kgfm'.

Relaţia între P şi h este arătată ca o dreaptă în grafic; cu alte cuvinte,la orice nivel h o schimbare a .nivelului (tlh) va avea ca efect o modificarecorespunzătoare, proporţională a presiunii P. Rel~ţia între .debit şi căderea depresiune printr.o vană constituie un exemplu de ecuaţie neliniară.

Q =' C,.JPl- P"

Q,

21

,'.

"""

'Fig. 1.5. ExelTlplifknrea uTIui..-Sistem ncliniar.

unde: Q. debitiJl ;C, constanta vanei ;

(P, - P;) diferenţa de presiune prin vană.

In această expresie relaţia intre Q şi, (P, -P2l' este neliniară', .pe cind2ceea intre debit şi C, este liniară.

1.1.2. Ecuaţii implicite şi explicite

Ecuaţiile intre variabile pot fi explicite sau implicite. Ecuaţia de mai sus2 debitului este o ecuaţie explicită, intrucit avem P" P, şi C, date; Q p"atefi calculat direct. Ca exemplu de ecuaţie implicită putem considera re!aj'acurgerii pentru un rezervor prevăzut cu o scurgere la bază şi un preaplin<le deversare lateral (fig. 1.5). In regim 'staţionar se poate arăta că debituliota! Qp poate fi exprimat cu .relaţia :

Qp = a(H ~ Hw),,5 + c;,(H,,)"li nu' poate fi calculat direct cu ajutorul ecuatiei de mai sus, chiar dacăse cunosc QF,C, şi Hw (inălţimea preaplinului), ci 'sînt necesare transformărineelementare pentru a putea obţine' valoarea lui H,

1.1.3, Ecuaţii simultane

, .Pentru a descrie noţiunea de simultaneitate, să considerăm sistemul arătat

în fig. 1.6, in care o pompă livrează un debit constant Qp, prin două robinetela două obiecte aflate la presiunile P, şi P" Ecuaţiile sistemului sint

'. Q,. = Q, + Q,

Q,= C"J P,. - P,Q,=C,.JpP-p,

22

Rezervor

INTRO:DUCERE

-j -Q,

Fjg. 1.6. ExemplificarcfI unui sistem cu eeu<llii ~im~lItăâe.

în care C,. şi C" sînt constantele robinetelor, iar P F este presiunea de refularea. pompei. Pentru fiecare valoare a lui P

"P" C,,, C" şi QF avem trei valori

necunoscute şi anume Q., Q, şi P p. -Nu se poate obţine vaÎoarea' nici uneiadin aceste necunoscute prin rezolvarea uneia din ecuaţiile de mai sus .. Pentruaceasta este necesară rezolvarea simultană' a tuturor celor trei ecuaţii. Insens mai larg, Într-un sistem de ecuaţii simultane variabilele sînt 'definiteimplicit. . .'

1.1.4. Suficienţă şi redundanţă

Pentru a obţine soluţia unui sistem de ecuaţii este necesar, să avem un:număr de ecuaţii independente egal cu acela al variabilelor dependente. No.ţiunea de independenţă implică faptul că sistemul nu conţine nici o ecuaţie-care să poală fi dedusă din celelalte; .sp~e exemp'lu În sistemul. . ,., -

x+y+'2z=5 (a)

3x+ y + 22 =3. (b):- . .

2x + y + 22 = 4(c)

(e) este redundant deoarec'e se libate obţine ca suină a ecuaţiilor (a) şi (b)',.Împărţite cu 2 şi, din cauza aceasta, soluţionarea sistemului nu duce .Ia ob-,ţinerea de' valori unice pentru x, y, 2. Aceste observaţii sînt de asemenea.'valabile pentru ecuaţiile diferenţiale simultane .

. Sistemele, care cuprind mai multe variabile decît ecuaţii conduc, in general,.l ii o infinitate de soluţii; dacă Însă se impun condi!,ii de maxim sau minim.se peate selecţiona o soliJţie optimă. Domeniul care tratează"aceste cazurieste acela al. ',;programării liniare sau neliniare"." '" .

O altă situaţie este aceea În care dispunem de mai multe ecuaţii decîtnecunoscute: În cazul acesta problema se pune de a găsi ecuaţia care conduce'la soluţia cu cele. inai mici erori.' Acesta este domeniul general al problemelor-de regresie (•.data fitting").

•

ECUAŢII 23

1.1.5. Ecuaţii diferenţialev

între'

t timp

Fig. 1.7. RdHţic graficătimp t ~jviteză il.

In formularea ecuatiilor diferenţiale este necesar"ă se înteleagă în mod clar noţiunea de derivată ..simbolul d"jdt desemnează variatia lui v cauzată<le variaţia lui t. Dacă între v şi t există o<corelare, aşa cum se arată în fig. 1.Î atunci dvjdt.este panta curbei în orice pllnet t. Astfel dacă,"pre exemplu, un vas este umplut cu debitul F(t)lsimbol care înseamnă că debitul nu este con-stant in mod necesar şi variază în funcţie detimp), se poate scrie F = dvjdt, cu alte cuvinte variatia volumului în timp-este egală cu debitul F. Aceasta poate fi, de asemenea, pusă sub formaunei ecuatii integrale, prin integrarea ambilor membrii ai ecuaţiei

t

v = r F dt'J

~ =~ (AH) = A '!!.~+ HrlA'III lIi lIl. 01

<:Iar întrucît A este constant, dA jdt = O, iar

~ = A dJidt dt

adică produsul între secţiunea A şi variaţia nivelului cu timpul este egal cu<lebitul.

<conform căreia "volumul v în ofice moment t este egal cu volumul la timpul{) plus volumul acumulat prin debitul F în perioada de timp de la O la t".

Dacă vasul, care urmează să fie umplut, are o secţiune constantă A, vo-lumul. este v = AH, unde H este nivelul suprafeţei libere 'peste nivelul dereferinţă. In general,

•Ordinul ecuaţiilor diferenţialeOrdinul unei ecuaţii diferentiale arată numărul maxim de diferenţiefi

aplicate variabilei independente. Ecuaţia din subcapitolulprecedent a fost deordinul întîi, deoarece volumul a fost derivat.o singură dată (dvldt). Uneori,o ecuaţie diferenţi<ilă se scrie cu ajutorul derivatelor de ordin superior; spr.eexemplu ecuaţia clasică a acceleratiei :

M. d'x = Fdf2

masă X acceleraţie = forţă.

Aceasta constituie un exemplu de ecuaţie diferenţială de ordinul doi. Sepoate arăta, relativ uşor, că orice ecuaţie diferenţială de ordin superior poatefi transformată într-un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi, utilizîndvariabile intermediare. Numărul ecuaţii10r sistemului este egal cu ordinul

,

.•

24 INTl'tODUCEREI

ecuaţiei iniţiale. In cazul considerat variabila intermediară esie viteza, iarsistemul este:

el!' dxM~=F --=v.dt Ilt

Cînd se utilizea-ză calculatoare pentru rezolvarea ecua!iilor din modele nu secîştigă nimic deducînd o ecuaţie diferenţială de ordin superior, printr-un. proces.de substituire, întrucît ecuaţiile trebuie să fie, în orice caz, programate caecuaţii de gradul întîi. Este <)e reţinut faptul că relaţia fundamentală esteîn mod invariabil o relaţie de ordinul întîi. Ecuaţia de ordinul doi, consi-derată ca exemplu, (masă x acceleraţie = forţă) constituie, de fapt, un caz.particular în care masa este constantă. Relaţia mai generală ar fi

şiforjă = variaţia în timp a impulsului

viteza = variatia În timp a distanţei

dF=-(Mv)dl

dxV=-.

dl

Rezolvarea cu ajutorul calculatorului a unor asemenea -relaţii trebuie săfie identică cu o relatie de cauză şi efecl, care leagă aceste mărimi În reali--tatea fizică. Plecînd de la o forţă şi masă cunoscute, care nu trebuie să fie.în mod necesar constante în timp, un program de calcul ar arăta astfel:

1. Integrează forţa ~ impuls.2. Imparte impulsul cu masa ~ viteza.3. Integrează viteza ~ distanţa. _

Acest program este arătat în fig. 1.8 În formă simbolică. Analistul poate-să vadă clar fiecare din _aceste etape - forţa care schimbă impulsul şi vi-teza care modifică distanţa. Această Înţelegere melftală a situaţiei constituieun Iaclor cheie În asigurarea reuşitei studiilor cu câracler analitic. Relaţia_generală a acestui sistem_ .-

c-'!-- (M ~)= Fdi dl

• •nu poate fi vizualizată uşor şi nu poate fi programată sub forma aceasta. Din.aceste motive, astăzi, nu are o utilitate praclică, Această metodă ilustratăprÎn exemplul simplu de mai sus, constituie baza abordării modelării analitice,adoptate În această lucrare. Experienţa a arătat că înţelegerea sensului fizic:al expresiilor analitice şi al ecuaţiilor de către analist şi programator este esen--ţială. Din cauza aceasta este important să separăm expresiile complexe, incom-prehensibile, în componenţi care pot fi Înţeleşi şi programaţi mai uşor.

\

FortiF

fFdt=- MV(MV)

. Impuls

M

v_Vitez~

x Oistanţă

Fig. 1.8'. Schemă de jntegrare <1 unei ecuatii diferenli;de de ord.illul doi.

,ECUAŢI! 25Condiţii la limită (de frontieră)Definirea cOinpletă a ecuaţiilor diferenţiale trebuie ,să cuprindă valori nu-

merice pentru condiţfile limită. Ca exemplu, să considerăm ecuaţia de mai suspentru volumul de lichid dintr-un rezervor: dvldt"" F (fig. 1.9). Aceastăecuaţie defineşte volumul V în orice moment t, cu condiţia să se cunoascăvolumul' iniţial Vo la timpul t = O. Acest volum iniţiaJ se numeşte condiţie"limită şi valoarea"lui trebuie cunoscută pentru a soluţiona ecuaţia diferenţială.

In orice sistem de ecuaţii diferenţiale, care reprezintă modelul matematical unui sistem fizic, este necesar să se cunoască pentru toate variabilele de-pendente care apar, ca atare sau ca derivate, valorile lor pentru anumitevalori particulare ale variabilei independente. Aceste perechi de valori numerice"constituie condiţiile de frontieră (limită), Spre exemplu, sistemul următorde ecuatii defineşte variabilele X, Y, Z:

dY =X'-Y'+'3Z(I_I) (dt

.:'i = Y -2Z + X (1-2)<'1

X = 5Z' - .y + 6. (1-3)/

Valorile lui Y şi Z trebuie cunoscute la o anumită valoare .a variabilei. in-dependentet, şi întrucît (1-3) este o ecuaţi~ algebrică, X este definit automat.Uzual, valorile limită ale variabilelor dependente sînt toate specificate pentruvaloarea iniţi"Iă a variabilei independente şi sînt numite "conditii iniţiale".In unele situaţii, însă, ele sînt specificate la ,valori ale variabilei independenteîn interiorul iptervalului şi, în cazul acesta, se numesc probleme cu "condiţii.de frontieră intermediare" ("split boundary value"). . ~

Pentru ecuaţiile diferenţiale de ordin "superior este necesar să 'se cunoascăvalorile la limită, corespunzătoare ordinului ecuaţiei: spre exemplu, ecuaţia

d'X-=3-Xdt'

cere cunoaşterea valorii lui XO şi (dXldt)O la t = O drept conditii initiale.

,

,

v

L _v.

t'" Fig. 1.9. Condiţii m.']rgi~

mllr (la frontiern),.Fig. 1.10. Sistcm descrisde o ecuaţie difcrenţială

ordinară.

----------- ._-------~-

26 lN'J'RODUCERE

1.1.6. Ecuaţii diferenţiale cu derivate parţialeI '

,

.. , .In toate ecuaţiile diferenţiale considerate derivatele au fost definite faţă:

, . de o singură variabilă independentă, timpLiI. O .clasă mare .~i importantă de.ecuaţii diferenţiale cuprinde derivate în raport cu mai inulte variabile inde'pendente. Exemplele de mai jos arată diferenţa între ecuaţiile diferenţialeordinare ~i ecuaţiile diferenţiale cu 'derivate parţiale.

ExemplLiI 1.1

Să considerăm un lichid bine agitat dintr-un rezervor încălzit de un termo--plonjon care dezvoltă o cantitate de căldură, Q unităţHermice/sec (fig. 1.10)..Ecuaţia care defineşte temperatura f1uidului este .

..cJ....(WCT)= Q01

în care \fI este masa de fluid, C este unitatea de capacitate calorică, iar Teste temperatura. Ecuaţia implică aceeaşi temperatură în toate punctele'f1uidului, ca un efect al ipotezei unei bune agitări. Pentru acest caz, deci,.nu trebuie considerată decît o singură temperatură T ~i avem de a face cu.o ecuaţie diferenţială ordinară simplă cu o sigură' variabilă independentă,.timpul t.

Exemplul 1.2 )Cazul unei bare solide, încălzită la o' .extremilate şi izolată termic pe întreg:

restul suprafeţei poate fi reprezentat printr-o ecuaţie diferenţială cu derivateparţiale, dad, considerăm o stare tranzitorie'(dinamică). Ecuaţia care coreleazătemperatura, timpul şi distanţa este: .

iJT = + 1(!.1'Ta! aX2

unde 1( este difuzivitatea termică. Această ecuaţie defineşte temperaturaca o funcţie atît de timp, cit şi de distanţa X. Cu alte cuvinte, în orice,moment de timp, ti, temperatura variază cu distanţa X sau, altfel, s.pus,în orice punct anumit XI temperatura va varia cu timpul. Deşi ace_astă ecuaţie'reprezintă ..o definiţie scurtă, corectă şi elegantă a relatiei între variabile, este.greu de reprezentat ca o realitate fizică. In unele capitole ,ce urmează se pre-zintă o abordare mai pragmatică a acestei probleme, utilizînd metoda dife-renţelor finite. Aceasta permite definirea unui sistem fizic prin ecuaţiidiferen.ţiale ordinare aproximative, dar mai u~or de vizualizat.

1.11. Sistem descris de o ecuatie dif~-rcnlia!J cu deriv;:;te _p;lrtî: le.

SIMULAREA SISTEMELOR CONTINUE (IN TIMP) 27

1.2. SIMULAREA SISTEMELOR' CONTINUE. (IN TIMP)

După apariţi~ FORTRAN-ului au fost realizate o serie de programe [3]avînd rolul de a simula funcţionarea calculatorului analogic pe calculatorulnumeric. Înlocuind astfel in bună măsură calculatorul analogic. In final acesteprograme s-au dezvoltat, ajungindu-se la limbajele de simulare ale sistemelorcontinue, dintre care cele mai cunoscute sînt MIJ\1IC (pentru calculatoareleCDC şi UNIVAC) şi CSJ\1P (pentru calculatoarele -IBM). Alte calculatoareposedă versiuni modificate ale acestor programe.

In .rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferentiale ordinare aceste programedesi mulare concurează adeseori cu .bibliotecile de rutine specializate.

Rutinele specializate, combinate cu funcţiile şi tehnicile permise de Iim-bajul FORTRAN .au . practic capacitatea de a realiza relativ uşor funcţiileprogramelor de simulare. Avantajele bibliotecilor de rutine specializate faţăde programele de simulare rezultă dintr-o fiexi bilitate mai mare a aplicaţiilorce pot fi re~lizate, permiţînd şi trecerea facilă de la un calculator ta altul,singura condiţie fiind existenţa unui compilator FORTRAN la noul calculator.Din cauza aceasta, În lucrarea de faţă se oferă cititorului o listă completă aunui set de subrutine FORTRAN. care Îndeplinesc cele mai multe funcţiuniale unui program. de simulare. Rulinele sînt scurte şi directe, evitînd sofisli-carea şi CÎştigÎnd. prin aceasta În viteza de execuţie. Sistemul numit "INT"- cuprinde vreo 12 subrutine. Se speră cii cititorul inţelegÎnd modul lor de •funcţionare din explicatiile din text va fi stimulat să elaboreze alte programepentru scopurile sale specifice.

1.3. SIMULAREA PROCESELOR DINAMICE,

if.

.. - Elaborarea programelor de sinÎulare a ecuatiilor difere~ti~le a condus ladezvoltatea mai multor programe de nivel superior concepute pentru a simulacomportarea dinamică a proceselor chimice individuale sau combinate într-unsistem. Ele constituie echivalentul dinamic al programelor de bilanţ materialşi de energie.'; stărilor staţionare de tipul PACER [12], FLOWTRAN [13],CHESS [14J şi altele. Fig. 1.12 indică schematic structura de bază a acestorprograme şi arată, de .asemenea, faptul că o. problemă de simulare a unuiproces poate fi programată la oricare din cele trei nivele. Utilizarea unuinivel superior uşurează efortul de codificare; spre exemplu, simularea Ia ni-velul (11) a sistemului continuu elimină codificarea celor mai multe procedeenumerice cerute pentru integrarea ecuaţiilor. diferenţiale. pentru generareafuncţiilor arbitrare .şi pentru rezolvarea ecuaţiilor algebrice. Programarea lanivelul (e) prin utilizarea un.uisimulator de proces dinamic are avantajul .căpe lîngă eliminarea procedeelor de codificare numerică, oferită de nivelul (b),

._-~-'------_.-~--~-----

28

Nivelula Simulator; deprocese dinamitie .,..

Nivelul b . Eimu/atori desisteme GontinUJ

OYfLO, OYNSISPROOYIC RtMUS

, CSMp' INT, LEANSMIOAS, MIMic

Fig. 1.12. StruclUf(l programelorde simul(lrc.

. Nive/U/~~~,_- f_O_i?_T_R_A_N~ ~~

simplifică considerabil efortul de definire a sistemului de simulare. Aceastase realizează prin utilizarea subprogramelor care simulează operatii unitareîntregi, ca schimbătoare de căldură, coloane de fracţionare, reactoare etc.Prezenta lucrare oferă o listă şi descrie utilizarea unuia din aceste programenumit "DYFLO" care oferă o bibliotecă de cîteva zeci de subrutine pentrusimularea operaţiilor unitare. Iniţial, a fost întrebuintată mai mulţi arii înIacultăţi, iar în ultimul timp a Iost aplicată, cu succes la rezolvarea proble-melor marilor complexe industriale.

Programul "lNT" este prezentat În capitolele 2, 3 şi II, iar programul"DYFLO" este tratat şi ilustrat în capitolele 4, 5 şi 8. Bibliografia care ur-I11ează cuprinde referinţe asupra altor programe care sînt disponibile În mod

.' curent. '

BIBLIOGRAFIE

A. Progra:ne' de simulare a sistemelor continui

1. C SM P; Systeml,160 CO.'!tinIlOllS Sy."tem Mod~lillg Program Users Manlwi, Form H 20-03n703Număr program 330 A-cx-I.Gx. 1, B.M.1967.

2. MIM 1 C: A Digital Simulatof Program', H. G. Petersen and F J. Sansom, SESCA InternalMemo.

3. LEA N S: Lehigh Analog Simfllato.~. S. M.Morris, Lchigh University, Bethlehem. PCl1na.

B. Simula:-oare de Sis:~~ledinamic~

1. D Y N S Y S: Digit:J.! CO.71p!der Program<; for S-tudying the Behaviollr of Systems llsing uModular Approach. S. Babrow, ct aL. Dcpartamcnt of Chemical Ellgincering. McMastcTUniversity. Hamilton Ontario. CanadR, OctobCT, 1960.

2. P ROD Y C: A Simfllation Program for ChcmicaJ. Process DYrlamics and Contra!, f,J. ,\t !ll-gcb and R. L. Motard, University of Houston, Houston. Texas, RE 4-70. August. 1970.

3.. R E J"\ U S: ;,Routine for Executive Multi Unit Simulation", REJ\\US Users /I'h:ll1ual P. G.Ham, UniveTsity of Pennsylvania, .Philadelphia. Octobcr 1969.

SIMULAREA PROCESELOR DINAMICE 29

4. F L E X: O.. R. Shern. Proctor aJld Gamblc, CincÎnnatti.5. K A R O AS Z : -A lJiglz Le<.'elStnrcture Oricn!ed Simulation Lal1{flwgc for .Chemical Plants~J. H. Kardasz.~ Universîty of Pisc.

6. OS USI oM.: E. J. Freeh, Ohio State University, Columous.7.. E AR L Y ~ 1 R D: R. E. Weaver, Tulc:ne Univcrsity, New Orleans.

-C Programe pentru bilanţuri de energie .şi de ma"eric in regim s:aţionar

1. PAC"ER.: P. T. Shannon, Dartmoutli.0..l'llcge/H<lIlOvcr-i.N. H.2. F L O \V T R AN: J"lollSanto Co., Computerizei:l Engincering Ap.p1ieations Deţ:l3rtment.

St. Louis, Missouri. . - .3. C H E S S: SysJem Guidc. Tcchnical Publisidng Co., Houston, Texas.4. G 1 F"S:' Service Bureau CorporatioJl, New )'"ork.

•

/

l~ ~_

r -

2. m;ZOl,VAREA N.lJl\IERlCĂALGEBRICE

A ECUAŢIILOH

In acest capitol se prezintă notiunile de bază ale procedurilor iterative uti.lizate În calculatoarele numerice pentru rezolvarea sistemelor complexe deecuatii algebrice. Sînt descrise şi asamblate cîteva metode simple, dar puternicesub formă de subrutine, cu scopul de a simplifica efortul de programare a sis-temelor mai mari. Obiectivul care se urmăreşte, acelaşi, de altfel În Întreagalucrare, este.să se formeze o bibliotecă de subrutine, cu care să .se poată efectuao mare varietate de lucrări comune calculelor de inginerie chimică. In prezent,se observă o mare proliferare d.e sisteme similare acestora, unel~ particulare,altele de uz comun, dezvoltate de Întreprinderi sau universităţi, pe lîngă aceleaprocura bile de la fabricanţii de calculatoare. Uşurinta de a obtine astfel desisteme constituie o Încurajare pentru analist sau pentru cel ce formuleazăprobleme să-şi elaboreze propriul program, lucru care s-a văzut că se Întîmplăadeseori. Se speră că prin simplificarea activitătii de programare ca rezultatal utilizării programelor de simulare existente, analistul să-şi Îndrepte atentiaasupra activităţilor mai importante În soluţionarea problemelor, adică spreanaliza lor şi spre interpretarea rezultatelor simulării.

Deşi utilizarea programelor specializate elimină necesitatea codiîicării de.taliate şi repetate a procedurilor comune, prin aceasta nu se elimină necesitateaca programatorul să Înţeleagă succesiunea faptelor, sau cel puţin principiul debază al programului pe care il utilizează şi să-şi dea seama de limitările lui.

De aceea, este recomandabil ca cititorul să Înteleagă noţiunile descrise Înpaginile care. urmează.

2.1. ECUAŢII EXPLICITE ŞI IMPLICITE

Acest subiect este tratat pe scurt În capitolul I ; merită Însă să reconsiderămsensul ecuatii lor explicite şi implicite În modul În care se aplică sistemelor deecuatii simultane. Din ecuatia X = A + B

[ji.,,1

jECUAŢll EXPLIC!TE ŞI IMPLICITE. 31

cu A şi B cunoscute, X poate fi calculat direct, cu alte cuvinte X este de-linit.in mod explicit de A şi B. Să considerăm acum ecuaţia

X = AX + B

În care, deşi A şi B sint cunoscute, X nu mai poate li i'alculat dir,ect fără arecurge la unele transformări. In acest sens, o pereche de ecuaţii algebrice si-multane ca '

3Y+2X=2

2Y + 3X= 4

(2.1, a)

(2-1, b)

este implicită Întrucît X şi Y nu pot fi calculate direct fără unele transfor-mări,' Cele mai multe cazuri fizice sînt descrise printr-un sistem de ecuaţii,neliniare şi simu'ltane; ceea ce Înseamnă că vadabilele sint definite implicit. şisingura cale practică' de a obţine o soluţie a lor este prin metode numerice,care, deşi' sÎrit simple, conduc,la rezultatul dorit. In ceea ce urmează se vor pre-zenta unele l11etode simple, utilizind' 'ca exemplu 'ecuaţiile 2.1, a şi 2,1, b..

Aceste ecuaţii pot fi rezolvate prin transformări elementare; de fapt soluţiaeste evidentă după o simplă examinare, Cu toate acestea le 'vom Întrebuinţaaici pentru a ilustra cîteva metode de a obţine convergenţa spre soluţie, priniterare, Aceste metode se utilizează şi pentru situaţii mai complexe care nu sepretează la o soluţionare directă prin transformări matematice. Proceduracea mai elementară se numeşte "substituţie directă" şi este următoarea:. '

l. Alege (j valoare iniţială (arbitrară) a lui X (spre exemplu 3).2. Rezolvă ecuaţia 2.1, a pentru Y, utilizînd X = 3. . "":3, Introdu valoarea lui ,y obţinută în etapa 2 În ecuatia 2,1, b şi rezolv-o

pe aceasta pentru -X. .4. Compară 'această valoare nouă a lui X cu valoarea lui X admisă ini-

,lial şi dacă diferenţa nu se încadrează în anumite limite de tolerantă prescrise,reîntoarce-te la etapa 2, utilizînd noua valoare a lui X.

5. Dacă limita de tolerantă din etapa '4 este satisfăcută, continuă (adicăimprimă rezultatul sau treci la alte calcule).

Pentru a vizualiza'modul În care numerele se modifică de la ciclu la.ciclu,În tabela de mai jos' sînt trecute valorile lui X şi Y pentru fiecare ciclu.

CICLU 2 3 4 5 G 'i 8

X 3 2,22 1,87 1,72 1,67 1,62 1,61 J,GOy -1,,13 -0,81 -q.58 -0,,51 -0,44 -0,41 ,.0,40 --0,40

După cum se observă din tabel, valorile lui X şi Y "converg" spre valoa-rea lor finală 1,6 şi -0,4, în opt cicluri. Oricare ar fi fost valoarea iniţială ad-misă calculul converge întotdeauna spre aceste valori. Un calcul de Încercarene va convinge de acest lucru. Ilustrarea grafică a acestor cicluri este arătată.

\

•

I

. ,I

REZOLVAREA NUMERICA A ECUAŢIILOR.AI,.GEBRJCE32

xO 1 2 3

y'r--<

.1r "I

-ci

Fig. 2.1. Proces c!eC(Jl:.'llliterativ\

x .-+-] Ecuaţii

•

în.figura 2. L Cele două ecuaţii sîn!.arătate ca drepte care se intersectează înpunctul Y == .,-0,4 şi X ~ +1,6. Procedura În trepte de substituire directăconverge spre acest punct de intersecţie. Un-program simplu. FORTRAN,care ar implementa procedeul de mai sus ar fi următorul: -

X.=- 3.G Y ~ (2. - 2. * X)13.xc = ("._.2." y)/~.IF(ABS((XC - X)IX). LT .. OOOI)GO TO 5X~XCGO TO G

5 CONTlNUE.•..

Un mijloc mai eficace de a privi convergenţa algebrică este sugerată de pro-gramul de mai sus, din care rezultă că pentru fiecare valoare de încercare ad-misă pentru X rezultă o valoare calculată (XC). Obiectivul procedurii estede a reduce diferenţa Între aceste două valori sub o limită de toleranţă (eroare)admisă. De obicei, această diferenţă se exprimă ca O fracţiune a variabilei X.Pentru cele mai multe scopuri o toleranţă de 0,01 % este adecvată,. deşi poate.fi modificată dacă este necesar.

Pentru cele mai multe cazuri, de complexitate reprezentativă,. ecuaţiilesînt neliniare şi poate să intervină un mare număr de ecuaţii Între X şi Xc. .Această situaţie se reprezintă prin expresia XC = f(X) În care f(X) poate fi oserie de ecuaţii explicite ca Y = fl(X); Z = f2(Y);. X = f3(Z).Succesiunea calculelor ar fi următoarea:

x Y IZ---1 Y~I,(X)\ --1 Z ~ I,(Y) --1 xc~ I,(Z) 1--xcI--xc

Dacă se reprezintă grafic valoarea lui XC În funcţie de X se obţine o curbă detipul aceleia din fig. 2.2. Diagonala reprezintă toate valorile care satisfac ecuaţia. XC = X. Prin urmare, punctul curbei -[(X) care intersectează. diagonala re-

" i. )

r,. .,1':

ECUAŢU EXPLICITE ş~ IMPLICITE

ri;. 2.2. l~eprelcjlt;\f{:'gwfică.

xc..."." /,/

((X)

-;(:I /) ,, •••• 1 I

~--:;;l' l'/1 II ,

" I I II / 1 I I

f' r rI Ij 1 I 1

,/ I I 11I

X, X2-Xa

Fig. 2.3. ConvergcJlp rapidă.

33

x

prezihtă soluţia pentru care X = {(X). Această qiagramă poate fi utilizată pen-tru cîteva funcţii tipice şi pentru a caracteriza eficienţa convergenţei prin metodasubstituţiei directe. .

Caz"l 2.1 : Convergenţă salisfăcăloare

Figura 2,3 ilustrează un caz tipic În care se poate obţine o convergenţă sa-tisfăcătoare după un număr relativ mic de cicluri de iteraţie (Începe la X, ~X,etc.).

Cazul 2.2: Cpnvergen/ă ÎncealăFigura 2.4 arată o. situaţie În care este necesar un număr mare de cicluri

pentru a obţine soJuţia.

Cazul 2.3: lnsiabiliiale oscila/arie•Figura.2.5 arată un caz tipic de instabilitate, În ca.r~ valoarea lui xC' con.

",tinuă să oscileze Între două valori (XI' Xi) de ambele' părţi ale soluţiei adevă.rare.

xc

..•.

rI11

X2

/

//--- ...•.--- -;(

)/ 1/ ,

, I/ r/ ', r

/ ,IIr

X,

rI11

.+. ,II /

'/~--:------/1, .

,.. 1/ r

Fig. 2.5. Insbbilitate osdlatorie .x)

rig; ,2.-1. COI1"ergenti'i lellUI.

xc ..

..~{ _ Modelarea....~isimularea în ingineria chimică - cc;l. 29

1•

REZOLVAREA NUMERICA A ECUAŢIILOR ALGEBRICE

II

!~

~x

", .~~

/I ---_-'": t I --~i:1 ! ~ /1:• • '/ 1,, " I 1, I /1 ')£--_-- :t... ~ 1I / ,, /

Jt!- --~_ -----I / . fiX)V

xc

(

.x

/,., ,. ','/__ ....Y

I ''; f(Xj ,1' "

j I ,()./ ..

1-:;-!,', F,, ,

l ,,.f/,,.' ,I - ! _

xc

34

•

•

•

Fig. ,2.7. Instabilitate divergcnU.i.

Cazul 2.4 : !nstabilitale divergcnlă. progresiVa'. .

. Unele situaţii se reprezintă prin ecuaţii care se comportă după cum se arată. în figura 2.6. După cum se vede, substituţia directă deplasează valoarea XCd~ la punctul care reprezintă soluţia problemei:

Cazul 2.5: !nstabililaie divergentă oscila/orie

Situaţia aceasta se caracterizează p~in "f1uctua-ţia aHI a lui X, cît -şi alui XC în jurul unei valori medii; amplitudinea fluctuaţiilor creşte progresiv-,continuînd spre o limită ca şi în cazul 2.3 sali spre o depăşire în calculator.Figura 2.7 ilustrează o funcţie tipică care are această comportare.

Din cele de mai sus re.u!tă că deşi substituţ!a directă este.o metodă simplă,ea nu dă-rezultate mulţumitoare decît pentru cazuri simple de tipul cazului 2.1,dar nu este adecvată sau eşuează complet în cazurile mai complexe ca .2.2,2.3, 2.4 şi 2.5. O metodă descrisă în subcapitolul următor, care constitu.ie omodificare a metodei de substituţie directă, permite programatorului un con-trol mai riguros asupra procedeului de convergenţă în cazuri mai complexe .

J

r

;~~.: .. 2.2. SUBSTITUŢII PARŢIALE

"

"

Metoda aceasta se utilizează uneori În situaţiile caracterizate .prin instabi-litate oscilatorie, ca în cazul 2.3. Metoda constă în a admite o noua valoare deîncercare undeva 'între. valoarea de încercare precedentă şi valoarea rezultatădin calcule. Formula pentru obţinerea acestei. valori este X = Xo ++(XC - Xo)* R în care Xo = valoarea de încercare precedentă; .

X = noua valoare --de Incercare.

Raportul R poate' fi potrivit de către programator pentru a obtine' o con-vergenţă stabilă, Dacă R = 0,5 valoarea .medie într~ Xo şi. XC va fi valoarea

. nouă de încercare. Dacă R = 1 se realizează substituţia directă; reducerea

..

•

SUBSTITUŢII PARŢIALE 35

•

Fig. 2.8. Sub,sti'tU\iC parţiaHi.

xe1Ij,1 ', 'y'

'1, ,/,

x,

,/

-//,

I ',/v

'1I

X2 x ,valorii 'lui R asigură o stabilitate mai mare. Figura 2.8 ,arată efectul luiR = 0,5 pentru cazul 2.3, în care se obţine o convergenţă rapidă. ,, Metoda aceasta este eficace şi pentru ,divergenţă oscilatorle (cazul 2.5)..-1'\e putel)' însă da seama că ,metoda .substituţi~iparţiale agravează viteza 'deconvergenţă în cazul 2'.2 (convergenjă înceată) şi este de asemeni inutilă pen-tru, instabilitate divergentă progresivă (cazul 2.4). Intnkît însă este uneoriutilă, 'în cazuri speciale, se dă în fig, 2.9, o subrutină pentru această metodă.Următorul este 'un exemplu al manierei în carIYS-ar, utiliza această subrutină.

Să presupunem că ecuaţia care ar trebui rezolvată pentru X esteX =' (5Y' + 3JX- 8X.,).36 r-

ÎI] care valoarea lui Y este'definită îiJ altă parte a programului. Programul pen-tru această ecuajie ar fi _. -

x == 5. (estimare Î!liţiaIă)CONTI;\'UE

• 5 XC = (5. :, y ,'* 2 -+- 3, "SQR T(X)- 8. * X **,8).,..36CALL CPS(X.XC;:5,NC)IF (Ne.NE.!) GO TO 5

6 CONTINUE'

Singurul. avantaj al metodei prin substituţie parţială com;!'ă în'faptul căoferă programatorului posibilitatea să intervină în succesiunea de iteraţii ajus-tind raportul de substituţie R, ceea ce este deosebit de util pentru cazurilecaracterizate prin instabilitate oscilatorie. Pentru cazul general, În~ă, este ne-cesară, o metodă mai generală de convergehjă, astfel încît să se objină con-vergenţa pentru toate cazurile 'uzuale. Există mai multe astfel de metode, daraici nu se vor discuta decît două: metoda lui Wegstein şi a 'lui ,Newton-Raphson. •

1,,,,5UORn~1INi cr'tx.xc.R,NC'"NC.:2If' A8S1 tx -xC) IiX. xc ll.l T •• 00011 /II(.:}X::x. (.X(-. I.RRET URNfNC

,

~ Fig. 2.9. Subrutina CPS. Lista arglUTI2ntelor:X = valoare de încercare; XC = valoare c<Jkulată; R = ra-port d,~ substituţie parti<lhi; Ne = index de cOllvergenlîi

(Ne -= J, convergcntli rcaJizat~).

•

36 REZOLVAREA NUMERICA A.ECUAŢIILOR ALGEBJ:tICE

2.3. METODA WEGSTEIN PENTRU CONVERGENTAALGEBRiCA [2] .

-.

Această metodă, se bazează pe tehnica proiectiei şi este similară l.ehniciimatematice .numită "pozitia falsă". In esentă, metoda constă în a obtine, prinproiectie, din două pUlJcte cunoscute pe curbă f(X) o valoare nouă a lui Xcare să constituie baza unei noi încercări. Procedura se continuă astfel, utili-zînd ultimele două valori ale lui X pentru a obtine prin proiectie valoarealui X pentru încercarea următoare. Tehnica aceasta este ilustrată în fig. 2.10.Figura 2.10 arată o functie f(X): pentru care urmează să se găsească scIutia

- X =f(X). Intrucit pentru efectuarea proicctiei sînt necesare două puncte Jiecurbă, primele două puncte se obţin prin substituţie dircctă. Plecînd cu X,se calcufează valoarea XC,. Al doilea punct XC, se obţine substituind pe XC,'(= X2) direct în f(X). Cunoaştem acum coordonatele a două puncte de pe curbă,anume X" XC, şi X2, XC2• Extrapolarea dreptei care trece prin aceste douăpuncte pînă la intersectia cu'diagonala XC ,= X necesită rezolvarea ecuatiei.'.

X3

=~I* XC2 - XCI * X2 •

. X1-X2+XCf-XC].

Expresia de mai sus se obţine rezolvînd pentru 'X ecuatia diagonalei XC = Xşi a. dreptei care trece' prin punctele 1 şi 2.

Valoarea proiectată X, se introduce îl1 f(X) pentru a calcula pe XC" iarîn continuare punctele 2 şi 3 se utilizează pentru dreapta care intersecteazădiagonala XC = X car'e defineşte pe.X,. Procedeul acesta'se repetă pînă cindse obţine convergenţa, ceea ce se realizează foarte rapid în comparatie cu me-todele mai elementare. Este de observat că metoda este aplicabilă pentru toatecazurile arătate mai înainte (2.1 la 2.5) în care substitutia directă sau partialăa eşuat. Cititorul se poate convinge de eficacitatea metodei, aplicind metoda.grafica Wegstein la unele curbe de formă caracteristică, 'de tipul celor din. figura 2.i. . .

xcxc,

1

",,,2 __,

,

, J--:.:-.:----,-J.."", "/,,. ,, ," ,, ,, ,

,,/ • II , ,

" :.••.1 1 _, ,X, X2

FIX)Fig. 2.' o. ,\\duda C~ convergenţă

Wegsteill.

1" •.•.,,. ,•,••. 10

il

""l'.J !;.,,;

"18 •.

METODA WEGSTEIN PENTRU CONVERG~ŢA ALGEBRICA

'St:SROlJ; iN( CC"VI X.l IN," .r-,C IOIt~Et..SICN XAllGI • rAtlO~lFt.lG-Sf {.,-YI/I:('YII.lL.GCClI &0 TO GIF • r.:.;:. lE • 1 1 (;0 TO 5 -Xl :_ (XtINI?I.Y-VA(N~l.llţ{iAIN;{-'-X.Y-l'INRII

Il! (:lK I li X'i'" NR 1 "1

X : li: 1

RE T uf::N'i U.Odl.l

'i'.c.fM~,X : '1' -

~C: 1R(TURr-.

fi x:-yWC::JR[ T UR N[NG

37

-1ig .2.11": Si/Îw_dlna CON\!.i ist.1 ,""-,g.'l:H'Iltd "1 :. X ,=" .v310."!f-c0(' În~ercare: Y = y~.l J::re;) c;>kubtă;NI? = ;l;;in~i/,de ap2J ~J rd1h.~i: Ne = i.lciice de cOllverg:,:nţ:i (Ne = "1,

-con '.'-erg'O'liţ ă re~ 1-1--7.;:tâ).

Metoda Wegstein este suficient de complicată pentru a justifica o subrutină.atunci. cînd se întrebuinţează maifrecvent,.Lista.acestei subrutine numită CONV-ergenţă este prezentată' în figura 2.11. Variabilele din lista de argumente for-male ale subrutinei au următoarea semnificaţie: ._ Xeste valoarea curentă.a variabilei X din. ecuaţia X = {(X) ce trebuie

rezolvată;\ . Y este valoarea. corespuAzătoare i funcliei {(X) pentru X curent;

~ N R ~ 'este o variabilă întreagă specifîcînd un rang în matricile XA(!'IR) , YA(N R) din interiorul subrutinei CONV. Dimensiunea .matricilor XA.l'A fiind.1O rezultă că valoarea. maximă p.entru NR' este.1O şi semnifică fap-tul că această subrutină poate rezolva şi memora soluţiile pentru cel' mult10 ecuatii de tipul X =,f(X) prin' metoda Wegstein, pe parcursul unui program.Evident, acest număr poate fi crescut în funcţie de necesităţi;. '- NC este.o variabilă întreagă, pe care subrutina o' furnizează către pro-gramlllapelant,. cu valorile NC = I sau ijC.~ 2. Cazul NC= 1 corespundecazului În care convergenţa e. realizată, iar NC = 2 cazului în care convergenţailU e, realizatli. Valorile acestei variabile sÎrit schimbate numai de subrutinaCONY şi niCiodată de programul apelant. Verificarea convergenţei soluţiei seface În linia 3 testînd valoarea diferenţei (X- Y) în rapon cu eroarea admisăîn rezolvare, considerată 0,01 %. Numitorul criteriului de convergenţă. din linia .3 a fost tăcută (X +Y)numai pentru '3 evita ca fie X, fie,Y, să devină la'.un moment dat zero În cursul iteraţiilor, situaţie în care ar avea loc o depăşirenumerică în calculator şi. calculul ar fi abandonat (împărţirea prin zero neavîndsens). "La prima trecere prin rutină NC ~'I (căci anterior s.a <ibţirlllt o soluţie con-

vergentă) În care caz urmează tratarea .din liniile 10-14 care realizează reini-.ţializarea rutinei cu NC = 2,' pentru rezolvarea unei noi ecuaţii de tipulX == {(X) a NR.a în ordinea' speCificată de'utilizatoL .

.,,

38 .REZOLVAREA ~UMEmCA A ECUAŢiILOR ALGEBRICE

'Un exemplu de utilizare a acestei rutine de către un 'program)fincipal esteodat pentru exemplul 2.2 tratat anterior: . .

X=5CONTINUE ..

5 XC ~ (5.•' Y ** 2 + 3. * SQRT(X) - 8 * X ** .8) ..,.., .16CALL CONV'(X, ,C, !,i'iC)GO ro (6,5), NC

6 CONTINUE'în care valoarea NR = 1 din apelul subrutinei CONV semnifică faptul că se1ace prima utilizare a acesteia pentru rezolvarea ecuaţiei din exemplul 2.2.() următoare utilizare, pentru o altă ecuaţie de tipul .X ~ f(X) se va face cuNR ~ 2 ş.a.m.d.

2.4. EXEMPLU: ECUAŢIA, BEATTIE'BRIDGEMAN

,

•

. ',~

sub- forma:

•

exprimatăI

P

Beattie-Bridgeman 'poate fi. r'- -' il ,y aV= RT+- -r- --+-.

tr 'Vz VJ

~ = 'RTBo ~ Ao --':"RC/T'i Y ~ -RTBob+ aAo~,RBoC/T'

a ~ RBobcjTC' .

Ecuaţia d'e stare

unde:R ~ constanta gazelor (0,08206 bar m3tKjkg '0101)T = temperatura ("K)P ,,; presiunea (bari)V'= volum (m").Constantele Ao, Bo, a,. b, c sînt prezentate În' formă de tabelă [1J pentru

mai multe gaze uzuale. Pentru iZâbutan' sînt următoarele: Ao.~ 16,6037 ;Bo ~ 0,2354; a = 0,11171; b~ 0,07697; c = 300 X 10', Pentru 'valori date"le temperaturii T şi ale preSiunii P ecuaţia de mai inainte nu permite obţi.nerea volumul V in mod explicit şi pentru a obţine o soluţie corectă. princonvergenţă este .nevoie de iterare. Luînd T = 350"K şi P =1 bar se poateefectua iteraţia necesară cu ajutorul programului arătat În fig. 2.12, car.e uli-

. 1-" 'OA'TJ\.ţ"B'C,AQ,eO/.l1l71,.07697.3.tfu16:f:037 •••2J5~12$ DATA R.T,P/.Og27,~08.,36.13. 100 FORMAt(QE12.S14. C .*PRELIMINARY CALCULATION ••s. .HT=R.T.BO-AO-R~C/T••26* GM=~q.T.RO.B+A.AO-R.BO.C/T••27_ OEL=R.800B.C/l •• ~j

B. V=R*T/P9* C .*ITERATION SECTIO~$.10. .5 VC:(R.T+HT/V+GM/Y.*?+O!L/V •• 3)/P11. PRINT lOO,V,V(12. CAll CONV{v,VC,l'NC)1'. 'GO 10 {6,5l,NC14* b C~NTINUE'l~.' ENO .

Fig. 2.12. 'Uliliz3f"" subc~tiTlei CONIi.

3(1

2

. veve

"

v

CONVERGENŢA ~.WTO.N,:"RAPHSON--'. Fig. 2.13. Rezultatele' ptogta~luJ~i ".din.

'fig. 2.12.' ..' ..

.93727 + 0:1 .66555 + 00

.66555 + ()O .57210 + 00

.52312 + 00 .494 ..8 + 00 .. .45888 + O) .44828 + 00.4219(, + 00 .41824 + 00A020n + O;). .'10'080 +.00 0,3.3921 ~ + on .:J9212 + 00 0.3 0.4 . 0.5.389"2:1+ 00 .38919 + 00 V

Iizează subrutin~ Wegstein, CONV. O ,'aloare iniţială pentru. V poate fi ob-ţinută 'din legea gazelor ideale, aşa cum Se arată' în linia 8, adică V= RT IP.

. Valorile de .Încercare a .lui V şi valorile calculate' .(Ve)' pentru fiecare ciclusînt arătate în fig. 2.13, atît ,sub formă numerică, cît şi ca reprezentare grafică,permiţînd să se observe rapiditatea cu care se obtine convergepţa.

Exemplul acesta va fi utilizat mai. jos pentru a demonstra obţinerea con-vergenjei prin 'metoda Newt0l!-Raphson.

2.5. CONVERGENŢA NEWTON-RAPHSON

,'fiX,),,I, ,

, '/('(X,) :/ ', :

I _

,Fig. 2.14. Convergen1ă' prin metod?' Newton-

•. Raphson.

Metoda aceasta este în deosebi utilă în cazurile in care derivata funcţiei. poate f,i'obţinută analitic. O manieră convenabilă,de a exprima relaţia funcţio-nală este t(X) ~O. Valoarea lui X căre satisface această relaţie reprezintărădăcina ecuaţiei. Metoda utilizează' derivata funcţiei în raport cu X,df(X)jdX pentru a determina 'valoarea. următoare, de încercare prin relaţia

Xw =X, - f(X,)If'(X,).Fig. 2.14 arată reprezentarea' lui f(X) În funcţie de X. In prima încercare'utilizînd pe X, se objinewaloareafuncţiei J()~l)a cărei derivată va fi f'(X1),-

~7Xr\

..

. I

40 • REZOLVAREA NUMEIDCA"A ECUAŢIILOa ALGEBRICE

Intrucit derivata f'(Xl) '" f(X,l/!:J.X variatia valorii de Încercare este!:J.X == f(Xl)/f'(X,), cu alte cuvinte X, = Xl ~- f(Xl)/f'(X,). Această.nouă valoarede Încercare va fi mai apropiată de rădăcina căutată X R' Procedura se .repetăpînă cind X se apropie suficient de mult de XR pentru ca f(X) să fie inferioar,jtolerantei prestabilite. .

'."2.6. EXEMPLU : METODA NEWTON-RAI!HSON

Exemplul de mai înainte a ilustrat metoda de calcul a volumului specificprin iteraţie, utilizînd ecuaţia de stare a lui Beattie.Bridgeman. In cele ce ur-mează se va utiliza metoda .Newton-Raphson pentru calculul volumului spe-",ifie. Ecuaţia B~B, exprimată, ca f(V) este:

fiVi ='(RT +.!!. +~+..i.).1..~v= O.'. . V F~ 1I~ p

Diferen\iind după V se obţine o,f. V o ( B ':., ."J I'( ) = o'V f(V) = -- + -=---+ -1- - 1.

V1 V,l l' fi

.Procedeul urmat În program este ilustrat in fig. 2.15. Sectiunea de iterare aprogramului este arătată'în fig. 2:16. Sectiunea de calcule preliminare este aec-ea~i ca şi în exemplul 2.6 (fig. 2.12). Rezultatele numerice ~i' r~prezentarea lor

.PfYn OiilclIle v.preliminare ---. f,( V)se estimează t (V

V

v

f( V)

['(V)---- Fals

Fig .. 2. !5: Schcmiî simlJJid p::ntru procc:lC'iil N'-'Nbl1-,RJ;}h~ Il,9' C "ITERATION SeCTlON"10" S FV=(R.T~8T/V+GM/V.~2+DEL/V••3J/P_V11' FPY=-(BT/V ••2+2.*GM/V •• 3+3 ••0EL/V ••4)/P_1.12" ERR:ABS(FV/V)13" PRINT lOO.v,ERR,Fv,FPV of

-. 14" V=V-FV/FPV15" lF.,(ERR.GT •• OOOl) 60 TO 516° CONTINUE17. ENO

Fig. 2.1G. Pro:::edcul N~~,d0il-Rapl;son.

SISTEME Il\'lP':£':lCITEDE ORDIN SUPERIOR" 41

.-

,M0.3

2.7, -'SISTEMEIMPLlCtTE DE.'ORDIN SUPERIOR

grafică sînt arătate în fig. 2.17. Cînd se . -nO,.",1r-~ - --~ --~ ,Ii <1,. compară metodele de convergenţă Wegstein, 1 '0

şi Newton-Raphson (2.13 şi 2.17) nu se pottrage conc!uz,ii asupra eficacităţii lor relativedecît .pentru cazuri concrct~, După' caz, o"metodă poate să" devină sensibil superioarăcelcilalte. Spre exemplu, o aplicare utilă a . ~ tmetodei . Newlon-Raphson este pentru obţi -. J'nerea convergentei la echilibrul. multicom- ~,"'.;;__0.

3, j,'"

ponent vapori-lichid, care intervine întot- .-:::dea una în procesel~ de separare, MetodaNe.wton.-R....aphson se va fGlo.si in capitolu.15! 0.2ca parte a .unei rutine generale pentru calcule ...,•...de echilibru (EQUI L). . t

0.1 rf

O,ti,.

(2-2, al(2-2, b)(2-2, el

foi:;. 2.17. "Rezultatele iter~ltici prirllmetOG;l NewtJn-Raphsoll"

t'Acest capitol are ca obiect metodele de

tratar.e.a ecuaţiilor implicite, .care pot inter-veni-Jn partea algebrică a unui model mate- .matic, In mod .caracteristic,poate să intervină o singură buclă ca X = fiX),. încare fiX) ar. putea corista diritr-oserie de ecuatii. In acest ca~ este necesar să seobţină convergenţa pentru X -prin una din metodele descrise în capitolelepreceilţnte' .Este .de asemenea posi bil oă ,avem de a 'face cu mai mul t de '"singură. bucfă'implicită, spre exemplti.: - ,

X = fl(Y' Z)Y =-f,(X,Z)Z = f,(X, V).

Metod~'recomandafă pentru un 'astfel de' sistem este arătiltă niai jos:: . :Trelpta 1 estim';",ă va I~area lui i '.

Treapta 2 estimează va 'oarea lui Y.Treapta .'3calculează pe X din ecuaţia 2-2,a.Treapta 4 calcu'ează pe YC din ecuatia 2-2, b.Treapta 5 calculează pe YCprin CONy-ergenţă şi valoarea lui Y

(estimată) reîntorc 'nelu-ne la treapta 2.Treapta 6 după ce treapta '5 este satisfăcută se calculează ZC

din ecuaţia 2-2, e. .Treapta 7 calculenă ZC şi Z prin CONV-ergentă şi valoarea

ltii Z prin reîntoarce b treapta 1., Parte~' i,~liportantă a procede;i1ui de mai sus este să se obţină convergenţa'.

'buclei intedoare (Y = YC) la fiecare iteraţie a buclei exterioare'; altfel s-ar'putea întîmplara sistemul să nu fie convergenl. Aceste observaţii se aplică

•

42

,

REZOLVAREA NUMERICĂ A E~UATII.LOR ALGEBRICE

yy3 ...-'"+ a

x

x

b

y

,

•Fig. 2.18: Varianfe pentru rezolvarea linei perechi" de ecuatii <lJj;c-

b,icc implicite .. 1

metodelor Wegstein sau de substitutie parţială. Metoda Newton-Raphson esteîn'special potrivită pentru aceste cazuri, Întrucît fiecare variabilă poate fi fă-~ută să conveargă individual. conform propriei ei. derivate. Un exemplu de

, <tplicare a acestei lŢletode la un caz multielement este arătat în capitolul 5.O altă recomandare este de a ne' prevala de avantajul. pe care îl. oferă

posibilităţile de rearanjare a ecuaţiilor În vederea. eliminării buclelor interioare.Spre exemplu, ecuaţiile 2-7, a, 2-7, b, 2-7, c ar putea fi reduse la

X = f;(Y)

Z = f~(Y, X)

Y -= f;(X, Y, Z) ..

Acest sistem, cere numai convergenţa luI'.Y. O ilustrare il acestui mod de tra-iare este arătat În exemplul 6-5: . . __ -- --

O alta recomandare este ca În interiorui buclei implicite, în care se efec-iuează convergenţa, succesiunea calculelor să fie astfel efectuată încît să seprocedeze' spre puterile mai mici ale variabilei ce interesează. Prin aceasta seva asigura, în cele mai multe cazuri, o stabilitate mai mare spre convergenţă.Spre exemplu fig. 2.18 arată două aranjamente ale unei perechi de ecuaţii al-gebrice simultane. .'. . '.. . __ .

Aranjarrientul a este probabil' să fie instabil'În comparaţie cu' b, Întrucîtfiecare valoare de încercare este' ridicată la o puter" mai mare pentru a calculavariabila urrriătoare. . '.' '. .

. 2.8. GENEMREAI>E FUNCŢII ARBiTRARE (FUN 1)

Pr~cedeul de generare al unei hin~ţii arbitrare este deosebit' de valoros pen-tru biblioteca de subruline. Opusul unei funcţii arbitrare este o funcţie ana-liticăca Y-= eX

' sau' V,--~sin x. Funcţiile arbitrare nu pot fi exprimate atîtde elegant; de fap! ele pot fi exprimate- numai' ca' o serie tabel ara de valori sau'printr-o curbă (2.19). .

Fig. 2.20. "Interpolare între punde vecine.

Prin metodele de.regresie se pot stabili coeficienţii unei ecuaţii de ordin su-perior, astfel încît să reprezinte funcţiunea cu o precizie prestabilită. Dar funcţiapoate fi reprezentată şi direct, reprezentînd-o ca o serie de. perechi de coordo-nate, completată cu utilizarea interpolărij. Prin aceasta'se.evită stabilirea uneiexpresii analitice prin metode de regresie. Singura restricţie constă în aceea căfuncţia trebuie să 'aibă cîte o singură valoare pentru fiecare din valorile varia-bilei de intrare. Precizia este determinată de numărul de perechi de coordonate,de care se dispune, •

Figura 2.19 arată o funcţie arbitrară legind.pe Y de X. Această funcţiune,poate să fie descrisă printr-un număr"de segmente de dreaptă unind punctelede pe curbă. Cu cît numărul punctelor este mai mare, cu atît curba va fi apro-ximată li,ai, exact de către aceste segmente de dreaptă. Intrucît' punctele nu:trebuie să fie plasate la distanţe egale, ele pot fi concentrate în regiunile unei'

.curb uri pronunţate şi pot fi mai 'distanţate in regiunil.e relativ liniare ale curbei~Majoritatea relaţiilor in ingineria' chii11ică sînt reprezentabile" prin curbe. simple,monotone, astfel incît' 10-20 'puncte sint uzual suficiente pentru a obţine re-prezentări reZonabil de' precise, deşi sînt cazuri în care se pot utiliza mai<'lUlte. puncte. ,Coordonatele fiecărui punct sînt memorate într-o matrice Kşi Y în programul principaL In continuare, se poate utiliza o subrutină,.PUN 1, pentru a calcula valoarea lui Y pentru o anumită v~loarea a lui X',CuajutorM matricei se vor localiza coordonatele în jurul lui X, adică X;, Y.

. r. '. . .

"

•

43

21.5

i-, ~~_;_

1X

-"O

o

10

y

'5

'.GE,NERAREA DE FUNCŢII ARBITRARE (FUN 1)

,.Fig. 2.19. Exemplu de funcţie arbitrară.

44

IZ)

•,6 -.•,• •• •10 •Il1Z

""as

REZOLVAREA NU) ..JERIC.'\ A ECUAŢHLOR ALGFBI?,CE

C 'ABITRARY FUNCTION SUBROUTIN[ • Y[R5u~ J. FUHCTION FUNUA.N.J,YJOI"£HSI0N X(2)"'ZIIl-Il-XII JI 5,5.6

.Ei IV IA-XfNI1 1.2.21 fUNI .: liN}

Rn URN5 FU~ I .: rl J)

REf URH .

I DO J [ .: 2.NIf IA .•U. xlIH GO TO II

J CONT INIiE

'" "'UN) : ¥(J-J) • U-Xn-I •.•• CYIIJ-YU-U)lUC,U_Ul_Jl.RE TURN[NO

/

Fig. 2.21. Sl!bruti1l1 rUN!.Lista ;\rg"lIBcntclor: A = v~rbb'l:i de illtr:Jre; IV -'= IlU:ililrul total dc pun:te; X = ma-

tri :ca X: y = iTI;}{r:-~c'l Y.

'ŞiX, Yi (vezi fig. 2.20). Apoi se'obţine' Y prin interpolare liniară între punctele{X" Y,) şi (X" V,) astfel.: '

Y _ Y ..L x- X,(y 1')- i I -'--.' j --,- i.

. Xj- Xi .

SubprograrrlUl de tip FUNCTION, FUN 1, permite şi rezolvarea cazurilorîn care valoarea de intrare este mai mică decît cea corespunzătoare primului:punct sau mai mare decît .cea a ultimului punct.

In fiecare caz ieşirea va fi prima valoare a lui Y (adică YI) sau respectiv.ultima valoa,e Y•. Fig. 2.21 arată subrutina FUN 1, iar X şi Y matricele coor-<lonatelor fiecărui punct.

Primele două instrucţiuni executabile din.subrutină (liniile 4 şi 5) testeazăintrarea faţă de valorile X ale primului .5i ultimului punct. Căutarea succe-sivă în matrice pentru a afla punctele vecine lui A se efectuează în bucla DOîncepînd cu linia 10. Formula de interpol are este utilizată în linia 13.

Din procedeul de căutare de mai sus rezultă că valurile coordonatelor În'matricele X,, Y.trebuie să fie dispuse după valorile crescătoare ale lui X. Co-ordonatele lui Y se sta.bilesc prin functia însăşi ~i pot lua orice valoare.

In cazul în care este necesar să se reprezinte o discontinuitate pronu_ntată,;Işa cum se arată în fig. 2:.22, se poate adopta o aproximare, nfeclind ordonata

y

a

x

FIg:. 2.2~. Fi 1l~1i.:-di:itollti:: ă.

45

X a punctului b cu o valoare ceva mai mare decît aceea a punctului a, astfelîncît segmentul să aibă o Înclinare aproape verticală. Se va arăta În cele ceurmează,.printr-un exemplu, modul cum se Întrebuinţează această subrutină.

2.9. UTILIZAREA SUBRUTINEI fUNl

Se va realiza În FORTRAN o functie arbitrară reprezentînd temperaturaperetelui unei conducte încălzite electric, considerată ca o funcţie continuăde lungime. Valorile măsurate sînt arătate în fig. 2.23. .

Curba trece printr-o 'serie de 12 puncte, ale căror coordonate sînt arătateÎn tabela din figură. Aceste date pot fi dispuse Într-o,matrice, În mai multe,moduri, depinzînd de preferinţele programatorului. O metodă adecvată esteindicată mai jos, utilizînd instructiunea DATA:

DATA (AL ("), N = 1, 12)[O.,' 1.. 2., 2.5, 3.. 4., 5.3, 7.4, 8., 8.5, 9.7, 10.1 .,. 'DATA (AT (NI, N ~ 1,12)110 .. 150.. 2('0., 320., 330., 3j5., 350., 370.. 375., 370.,

325., 290., I

După ce s-au introdus datele În matricea X (At) şi Y (AT) se recurge la sub-rutină ori de cîte ori se cere temperatura peritru orice poziţie în lungul tubuluiprin:

-.

T = FUNI (l, 12, Al, AT)

unde l este distanţa în lungul tubului şi. T este temperatura. Slibr\}t.ina aceastapoate fi utilizată În diferite moduri. Spre exemplu, să presupunem că se cereun procedeu de iniţiere pentru a rezolva o anumită problemă. Fiecare iteraţieproduce o funcţic F(l)' care trebuie să fie folosită în iteraţia următoare. Aceasta

• se poate realiza simplu, memorînd functia F(L) şi valoarea corespunzătoarelui l în două matrice ca intrări la FUN!, obtinîndu-se astfel F(l). Modul de_,aplicare al acestui procedeu 'va fi discutat mai tîrziu.

wo

4 fj!..unglmea L f't.

8 10 .

46 REZOLVAREA NUMERICA A ECUAŢIILOR ALGEBRICE

2.10. fUNCŢII BIDIMENSIONALE (fUN2)',o

Tehnica de in'terpolare, programată În generatorul de funcţii unidimensio-nale FUNI poate fi extinsă la funcţii bidimensionale. In acest caz, o variabilăY este funcţie de două variabile de intrare X şi Z: O metodă uzuală de defi-nire a unei asemenea funcţii este, printr-o familie de curbe, a'upă cum se aratăÎn fig; 2.24.

Procedura de interpolare pentru această funcţie bidimensională este pro-gramată În subrutina FUN2 arătată În fig. 2.25. Majoritatea i)1strucţiunilor dinaceastă subrutină constau În teste, prin care se urmăreşte dacă variabilele deintrare X şi Z se Încadrează În limitele valorilor disponibile. Dacă nu inter-vine acest. caz se determină cel mai apropiat punct la limita domeniului da-telor printr-o extrapolale adecvată şi se trece ca valoare a hincţiei. In condiţiinormale, valorile lui X şi Z (notate În lista argumentelor A şi B) se vor plasaÎn limitele datelor. Se stabilesc Întîi (incepÎnd cu linia 30) punctele vecine va-lorilor lui A pe axa X, apoi punctele vecine luI' B pe axa Z. Formulele, de in-terpolare sînt În liniile 47, 52 şi 53. .

Descrierea sumară de mai sus este suficientă ca.să ne dăm seama de proce-deu. Pregătirea datelor pentru matrice este condiţionată de următoarea regulăsimplă: trebuie să.existe acelaşi număr (M) de puncte În direcţia Z, pentru fie-care punct X. Aspectul acesta se va clarifica printr-un exemplu care arată mo-dul În.care.trebuie introduse datele în ma'tricele X, Y şi Z. Familiade curbe,arătată În fig. 2.24, poate fi exprimată printr-o serie de valori tfiple (X, Z şi Yk

5

~

,,1

V i'2

1

{/{/ ? ,1

x

/

Fig. 2.24. Funcţie arbitrară de dUlIă.- .ivariabile.

FUNCŢJÎ BIDIMENSIONALE (FUN 2) 47

. Z I J-} J I • 1 Y LJ 1 - T,c ..1-1 ) I

ZII"l GC TO 13ZINII) GC' TO IqZI")II GO TO 15ZlN-!''l1'll) 1 GO Ta 10.

I ~.~.

•

C ARElItRĂRY fUNOIO,," SUBROUIIN£ , VERSUS 1 ANO 1FU,,"CTlCN fL;:al •• E!I~•••Hf~.ZllJ

-OI ••••(N';;ION un. Zl2h H21If ItA .L(. XlIII .'ND. IB .LE •n tU .GE. UNI) .ANO •. le .G(.[F (Cl .l(. 11111 .ANO. ta .t::E •IF nA .GE. 1 Uil 1, .ANO. IIJ .L.£.IF (A .l(. 1111"(>0 Te 1'3IF IA .GE. I(INII _GO TO 23"P .: ""+1G o TO 17

III :. lh-M"l!12 : N60 Ta 2Z

1':! 1. .: 1IZ"': 1+1'1-1

2200Z0J:l,n~ IF ta .l"E. lt.lll GO 10 ZI21.1:.1-1

FU N2 YI..r~I+ I B-2 101• '1 III J+ \II -It .Il l • 1 T I J. II -., 1 J "

RETURN -IJ fUN2 .: YlI t

AETuRN" III FUNI .: 'f(NI

RETURN"IS fUNI .: 'f(HI

RO uRN16 fUNI .:'IN-M+11

REf uRN17 00 1 1 .:HP .N.~

IF (A .lT. 11,11' GQ TO ~CO,.tINU(.

• [r' tB .L1. zel-MI) 60'10 '3Ii 18.61. 2t1-111 GO TO 1.GO 10 ) 2

'3 ,.tl .: HI-Hl'T2 = '(lIGO ro 18

II 'TI = '11-)1'T2 : '1{+"-I)GO Ta 18~

12 JI=I-"J 2:' 1 - 100 S J :. J 1 • ;.12lf 18 .LJ. ZI"J)) GO Ta G

s COhlINU[" 'TI":. 'tj-l1 • 15-ZIJ-IJIIfZI.JI

12:.1+"';;100 1 J :. 1.12lF t9 .• lL Z'IJl' GO ro 8

1 CON1"INUE8""2:: Y1J-11 +wlB-ZIJ_lll/IZCJI-ZI..rIII'I'IJI':YI':'i-lll

III rUN2 :. ,T) -+ lol_XII_I)I/IXII)-xtI-1IJ'IYTZ-"TII

RElUAM[HO

I •1,• •,•1•••la

IIIl

"•••" .••1118

\ ,..2a21'".",.252.

,21"

",.,O3112

",."""".,.

/ "1]OI.2 •., .••"••" ..s •••50

"S2

"Sit ."

"

!

\ Fig. 2.25. ?ubrutin<J FUN2.Lista argumentcl'0f:- k~ -variabila (le intraiC 'X; B.= ~'3riabi1a de intr;1fc :Z;N = numărul total de pun:tc; M =omim5rul total de j)Ullete lil grup£:-; X ='m<ltri-

cea X; Z = matrice~' l: Y = rnntricc:l' Y.'

•..,-

48,

reprezentînd coqrdonatele fiecărui puncL Matricele X, Zşi Y vor fi urm~-toarele;

X z }'

1.' 1. 2.3i. 2. 1.71. u. 1.01. ~1. 0.42. L 2.62. 2. 2.02. '.3. 1.1 .2. .1- O.G4. 1. 3.74. 2. :;.04. 3. 2.:J

• 4. 4. 1.55. 1. 4.45. 2. 3.7.5. 3. 2.95. 4. 2.0

In lista argumentelor din FUN2, N reprezihtă numărul total al punctelorale căror coordonate sînI date; în acest exemplu N =.16. AI patrulea argumenteste M, numărul de puncte din fiecare grupă (acelea avînd valoarea lui X co-mună) care În acest caz esle 4. Ultimele trei argumente simbolizează matriceleX, z. şi Y. Datele se introduc în matrici, aşa după cum s-a arătat mai sus,În FUN 1, iar subrutina se utilizează într-o manieră analogă aceleia arătată pen-tru FUNI. ~

Intrucit funcţiile bidimensionale sînt foarte comune în ingineria chimică,FUN2 se aplică frecvenL Deoarece însă întrebuinţarea,rutinei acesteia consumătimp relativ mult, este recomandabil să se utilizeze nuniai în cazurile În caredatele nu pot fi aproximate satisfă~ător prin expresii analitice.

PROBLEME

1. Ecuaţia de stare Benedict'Webb-Rubin [Ir Valorile. constantelor pentru,izobutan 'sînt următoarele; : -.

Pu = RT +~+..c:.. + .l.+~ .Ao = 10.2326;:. u' v' . " . . Bo = .0.1'37544

~ = RTBo -' Ao - ColT' Co = 0.84994. 106a = 1.9376a = bRT - a2 + (clT')rY!"b = 0.042435

~ = cyr-;I;"IT" c ='0:286 ;106w = aoc oc = 1.0741 .10-3

.y = 3.4 • 10-'. . . .' I

În care R = 0,08207 În atm.m'/kg moI °K; P = presiunea (atm); u = vo-lumul În m'/kg.rnol; t= temperat tira (OK) ..

I

I

I

II

~

,.

~.r1S' Q

Să se calculeze volumul v la o presiune de 36 atm şi la temperatura între300-41OoK (din 10 în IO'K) şi să se determine diferenta în. % fată de valoriledeterminate cu ecuatia de stare .Beattie-Bridgeman (exef!1plul 2.4).

2.' O pompă centrifugală este amplasată la 1;5 m deasupra nivelului uneicisterne cu diametru1 de 2,4 m care contine un lichid cu densitatea de 1 350 kg/m"(fig. 2.26, a). Pompa vehiculează continutul cisternei la un rezervor printr-oconductă ..orizontaIă.

Variatia de presiune prin pompă este reprezentată grafic în functie de debit.in. fig. 2.26, b. Căderea totală de presiune datorită frecării in conductele de as-piratie şi. refulare este P f = 0,012Q', în care Q este dat în galoane/minut,iar P în livre/to1' .. Presiunea in. cisternă şi în rezervorul.dedepozit este aceeaatmosferică; Să se calculeze modul in care variază debitul la rezervorul de de-pozit .pe 'masura ce nivelul din 'cisternă scade cu 2,4 m; corespunzător de laplin la gol.

4 - Modelarea şi sImularea in ingineria chimică _ cd. 29

3. Gazele dintr-un cuptor la temperatura TG:radia~ăcantitatea de căldură.Qla suprafata exterioară a. unei conducte a cărei ..temperatură este T,..Călduraeste transmisa prin conduetivitate prin peretele conductei la -suprafata cînte-

50 REZOLVAREA NUMERICA A ECUAŢULOR ALGEBRICE

rioară a acesteia T w şi apoi, prin peliculă, la fluxul de fluid din in'teriorul con-ductei la. TP' Examinînd acest sistem se stabilesc următoarele relaţii:

Fluxul de căldură radiantă, Q ~ a(Tt - T;)Căldura transmisă prin conductivitate prin peretele'conductei Q = b(T,-

-T~. .Transmisia de. căldură prin peliculă Q = c(T w '--- T pl.

. .-a = '1,2 X 10-'

b = 70 + 0,07(T, +\Tw)'. c ~ 6.

Să se calculeze Q,T, şi T w pentru T p = 9000K şi din 50 În 500K pentru'T G care variază de la 1 200 la 2000oK.

4. Un reactor chimic, în flux continuu; în regim stationar poate fi descrisprin următorul sistem de ecuatii:

F.(XA) ~ FA - R

F * (X 13) ~ F IJ - R

F=FA+FI3-R

R = 60 * (XA). (X 13)",

Să se rezolve sistemul de ecuatii de mai sus pentru XA, XB, F şi. R admi-tînd FA = 5 şi FB = 7. Viteza' de reactie R este limitată fizic de valorile° şi FA.

5. SubnilinaFUNI deserisă pentru generarea' functiilor arbitrare suferă deun inconvenient minor, constînd în faptul că la fiecate chemare procedeul decăutare o ii! de.la Începutul matricei. Ce modificări ar trebui .aduse subrutineipentru a începe căutarea pu'nctelor de cQoidonate ale intrării nu de la începu-tul matricei, ci de la punctele găsite prin utilizarea precedentă a subrutinei ?

.'BIBLIOG~AfIE

UrrnătoClrele referinte oferă o discuţie mai .av~msată a;'subieetelor din acest C'lpitol.1. Matrrial CInd Encrgy Bal'ancc Compl1tatio:n;" E. J. Henley and E M. Rosen, Wilcy, Nc\v

York, 1969. . • "2. "Acccierating Convcrgence of Itcrativc Processcs." J. H. W~gstein, Com~. Assoc. Compu-. Ung 'Machi!lery:, l; 9.,. ' i.;.' ,"':"

3. C(lmputatioIlal. Tcchniques for Chemi:::al Enginecrs. H. H. Rosenbrock and. C;: .. c.,Storey,. Pergamoll, Press, New York;' 1967.~ . - '.';.4. Applied. NU!!1eriC:<I1Methods, B. Carnahan, .H..A .. Luther and- J. O. \Vi1kc~~"\Viley, New

York, 1970,

-

/

3. REZOLVAREA NUMERICA A ECUAŢIILORDIFERENTIALE,

S-au elaborat numeroase metode pentru a efectua integrarea numenca aecuaţiilor diferenţiale. Experienţa, cu un domeniu larg de probleme tipice deinginerie chimică a arătat că metoda de ordinul 4 (Runge-Kutta)' se poateaplica aproape fără excepţie În toate cazurile şi că metodele de'ordinul l şi 2se pot aplica În multe cazuri cu o precizie rezonabilă şi cu o eficienţă sporită.Capitolul acesta, plecînd de la un nivel elementar, explică şi exemplifică cele treimetode de integrare numerică. Se prezintă un sistem de subnitine' FORTRANcare cuprinde toate metodele şi care permite programatorului o alegere judicioasăp.entru orice' aplicare specifică,' ,"" , ,

,3.1. ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE

Ecuaţiile diferenţiale ordinare se caracterizează prin aceea că conţin o sin-,gură variabilă independentă: Intr-un sistem de ecuaţii diferenţiale ordinaresimultane variabila ind,ependentă, de obicei timpul sau distanţa, intervine Întoate ecuaţiile. Ceea ce se urmăreşte prin aceste ecuaţii este să se corelezevariabilele dependente cu variabila indepe)1dentă, obţinînd astfel soluţiasistemului. Această relaţie se exprimă uzual numeriC sau sub' formă grafică.Un exemplu va lămuri cele spuse mai sus. Fig. 3.1 arată un rezervor. În care curgeun lichid cu debitul Q,. Debitul poatesă fie con.st,ant sau, În cazul mai general,poate să "arieie,cu timpul, caz în care se scrie sub forma Q,(t), ceea ce Înseamnăcă "Q, este'o funcţie' (adică variază) cu timpul t". Lichidul se ,scurge din re-zervor printr-,O reducţie cu debitul Qo(t) , , care, este determinat de',nivelul li.al liChidului, În rezervor, şi este exprimat prin ,relaţia Qo=C, JH,..În careC, 'este o caracteristică a reducţiei, Se poate scrie o ecuaţie diferenţială pentru.'acest sistem, "exprimînd propoziţia: ',' ' .debitul de acumulare = debitul de' in,trare - debitul de ieşire

dj1 -' Q' 'Q (3-1)-dt -- i-o o'.r '

În care V= volum = A >( H'; A = sectiunea rezervorului.. !-~- '.

52 REZOLVAREA NUMERICA A ECUAŢIILOR DIFERENŢJALE

~Fig. :-'.1. Rezervor C:1 :l/illlCllt;T~

~ievacuare continllă.Hv= volumul

Ecuaţia 3.1 esle o.~cu'aţie diferentialil ordinară neliniaril, În care I estevariabila independent~ iar Veste variabila depeneJ.entil. Derivata lui Vestereprezentată de expresia din partea dreaptil a ecuatiei. 'Parametrii sistemuluisînt A şi C" iar debitul de intrare este Q;. Dacii se integreaiil ambii membriai acestei ecuaţii in raport cu timpul (1) rezultil următoarea ecuaţie integrală:

Î dV Î'J dt dl = V = J (Q, -Qo)dl. (3-2)

Ecuaţia (3.2) este forma integralil a ecuaţiei diferenţiale şi Este o paralelă di-rectă a procesului natural implicit. Exprimă faptul că volumul Veste integraladiferenţei Între debitul de intrare şi debitul de ieşire. Conform procesului na-tural, volumul din rezervor reprezintă acumularea diferenţei Între debitelede intrare şi ieşire. Este clar deci că integrarea reprezintă echivalentul matematical acumulării. Este de remarcat că procesele naturale nu pot decît să aeumuleze(adică să integreze), iar nu să deriveze. O ecuaţie diferenţialil reprezintă omanieră elegantil de a exprima o relaţie, dar ea se solutionează, În toate cazu-rile, printr-un prccedcu de integrare care este echivalent cu un proces natural.Toate sistemele fizice pot fi exprimate prin ecuatii integrale mai curînd decîtprin ecuaţii diferenţiale. Deşi acest lucru este adevărat, el reprezintă o abaterede la analiza tradiţională. Din cauza aceasta este necesar ca analistul să fiecapabil să lucreze cu uşurinţă, cu ambele moduri de exprimare şi să-şi dea seamacă ele sînt echivalente.

_ ~ Cînd se trece de la forma dilerenţialăla fonila integrală este necesar silse specifice limitele de integrare şi condiţia initială, care determinil constantade integrare. Spre exemplu, propoziţia "În orice moment variaţia de volum

1 reprezintă diferenţa Între intrare şi' ieşire" (ecuaţia 3.1) nu cere o precizaresuplimentară. Echivalentul integral al acesteia "volumul este integrala dife-renţei Între intrare şi ieşire", cere definirea limitelor de integrare, adicil de cîndpînă cînd, şi o specificare a valorii iniţiale a lui V, cu alte cuvinte: care eravorumul prezent la Începutul integrării. O propoziţie .completă a integrăriiar fi deci:volumul total' la 1= volumul' iniţial la 1, + acumularea de la 111a 1.

V(I) = (V),,+J (Q, - Qo)dl.t,

Următoarele două reguli trebuie ~ă fie respectate de analist sau progra-mator ori de cîte ori sînt 'de rezolvat mai multe ecuaţii prifi'integrare nume-

\

METODE DE INTEGRARE DE ORDINl?"L tN!lI (EULER S~PLt\) 53

rid. EI trebuie să specifice: (a) O condiţie iniţia!.ă sau o valoare de plecarepentru 'fiecare variabilă de integrare; (b)Limit~le de integrare, adîcă valorileiniţială şi finală ale ,'aria bilei independente. .• . .

1n continuarea acestui capitol, se va face o introducere la trei metode debază peritruintegrarea' numerică, urmată "<!e o discuţie a precauţiilor. caretrebuie luate cînd :se rezolvă sisteme .maiide ecuaţii diferenţiale (sau .inte-grale) neJiniare.' " '; .

- ,. ,'.'

3,2. METODA DE. INTEGRARE DE ORDINUL ÎNTÎI(EULER SIMPLA)

Metoda' Euler simplă reprezintă metoda cea mai elementară de care' dis:punem ..

Ecuaţia 3, I poate fi scrisă simplu:

V = fVdtunde V' este derivata lui V, simbolizînd expresia in care intervin Q; şi Qo. săpresupunem că soluţia lui V(t) la un .anumit set de condiţii este aceea arătatăîn fig. 3.2, a, Derivata lui V, panta curbei V, este arătată de asemeni în fig, 3.2, a.Să considerăm acum o porţiune îngustă Dt în lungul axei timp, arătată măritîn fig. 3.2, b. 1n interiorul .acestui interval Dt, derivata V' trece de la V; la V;eorespunzînd unei schimbări a lui V de la V; la V;.

Metoda de. ordinul întîi calculează derivata V, la începutul intervalului<le timp t" admite că este constantă pe intervalul Dt pînă la timpul t2 şi calcu-lează. modificarea corespun~ătoare a lui V sub forma:

L\V = V;DtVi = V, + V;Dt

v'

\

,II

'v,~v'__ . __ ~ 01

.L1V ,IIIII,*Vi1 .

:

III,I

V, 9-"',I,.IIII1

Vi ?--"I

t,~'~-Ot--_. t2ba

rI'II1 I,.'.I', I

"1 II'-... •.•. Ot

v

Fig"- 3.2. i\~~todaEulcr simpEi (jllteg,:~r('a numeri~~ de ard. 1).

54

-REZOLVAREA NU~ER~CAA ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE

cu alte cuvinte, valoarea lui V la 1, este egală cu valoarea lui V, + panta lui Vla 1, multiplicatăc'u incrementii! Dt, după cum rezultă din trigonometria ele-omentară. '

V; calculat în maniera aceasta este de fapt o aproximare a valorii 'corecte V.întrucit este bazată pe ipoteza că derivata V. rămîne constantă la valoareainiţială V; de la începutul intervalului, Este u~or de observat că de fapt existăo mică'diferenţă a lui V' de la V; la V; care va produce eroarea de trunchiereV, - V;. Procedeul pentru integrarea completă constă.în a specifica un incre-menI al variabilei independente DI, in a calcula derivafa la începutul integră-rii i, a avansa un pas DI mai departe 'în lungul lui 1, la i + 1, a calcula varia-bila dependentă cu ecuaţia :,

V'+I = V,+ V; X DI.

D~rivata V;+I este recalculată la I = 1'+1 şi procedeul se repetă pînă cind.s'a efectuat integrarea completă, adică. de la limita inferioară la limita supe-rioară. ' '.

Erorile de trunchiere, menţionate mai sus,. pot să se acumuleze în decursulintegrării producînd o diferenţă importantă între valorile calculate şi cele.adevărate. Se întîmplă însă ca în probleme de inginerie chimică, datorită na-turii acesteia, erorile să. producă modificări mici ale derivatelor calculate, ceeace la rîndul lor va avea ca efect o reducere a erorilor. Aceasta se datoresteautostabilizării inerente tipice fenomenelor naturale. Referindu-ne la p~o-blema rezervorului de mai sus, o eroare V, - V; (arătată în fig. 3.2, b) vaavea ca efect unH mai mic, care la rîndu-i va produce un debit de ieşire Q.'mai mic. Aceasta, la rîndu-i, va creşte derivata (Q, - Qu) care la pasul următor .va produce o creştere mai mare a lui V, micşorînd astfel eroarea.

3.3. RELAŢIA INTRE EROARE ŞI MARII~EA PASULUI

Referindu-ne la fig. 3,2, b este clar că dacă se reduce manmea pasului,adică a intervalului DI, se obţine cu aproximare mai bună valoarea corectă.

Efectul acesta este arătat îri fig. 3.3, în care un pas (de la 1, la 1,) se com-"pară cu două jumătăţi de pas (II - la şi ia -1,) ..

In acest al doilea caz, se pleacă cu derivata V; la il şi se parcurge numaio jumătate de pas la la. unde se calculează derivata V;, apoi se .trece la al doileapas ia la 1, cu noua derivată V~.Se poate vedea din fig. 3.3 că rezultatul finalV;. este mai aproape de valoarea corectă. ]1, decit V; obţinufă utilizînd între-gul pas deodată. 'De fapt ar părea că eroarea V, - ]I;'aproximativs-a înjumă-tăţit prin înjumătăţirea mărimii intervalului, conducînd la-generalizarea căperitru o metodă de integrare de ordinul întîi, erorile nurnerice sînt 'directproporţionale cu mărimea pasului (a intervalului). Aceasta ,poate fi doveditămatematic dezvoltînd funcţia V în serie Taylor şi observînd că în metoda de

.' •. 1 ' ,/

..

RELAŢIA INTRE EROARE ŞI MÂ-RlMEA PASULUI 55

)

.Fig. 3.3. 'Renllcerea mărimii pasului deintegrare.

I V2

'.J,V'.....- I 28" V __ :'-':'. --9l1l

••... -::.--- J_ - "'1'---' 1

I II I

I I 1.I I I

. , 1. I, I Ir r 1.I I r'

-1. I I

: r - - -.- - - - r~'1, . I r

, --~-- - ---+ -,-_.' - - --<Iv.'l' I r 1, I I, I I1 ' It, ta t2

,

•

<ordinul întii nu se utilizează decit primii termeni. Astfel, 'dezvoltarea Taylorpe)1tru'dVjdl = f(V, i)' este:

V(I, +DI) = V(t,) + Dt[(V(I,), 1,) + (~:)'f'(V(I,), '1,)+Metoda Euler reprezintă pri'ma aproximaţie a acestei serii şi 'anume:

V(I, + Dt) '" V(I,) + OI[(V(t,,), 1,),Suma restului termenilor seriei este eroarea rezultată din aproximare, întruCÎtseria este trunchiată după primii doi termeni (eroarea de tninchierej,' Intrucit,;eriile Taylor au proprietatea de a converge relativ rapid, 'primul termen alseriei' eliminate poate, fi considerat că reprezintă practic întreaga eroare, cu,alte cuvinte:

(OI)',< '" --- [(V(I,j, t,),

21 .(3-3)

-. ,.;"

arătînd că manmea erorii 'rezultă prin aplicarea metodei 'de~ordinul întîi-este proporţională cu mărimea pasului DI, ,

Toleranţa dorită sau eroarea maximă permisă determină mărimea pasului<:are se utilizează, Dacă o anumită valoare a mărimii pasului ,produce, erorimai mari decit toleranţa specificată, se scade mărimea pasului pînă cînd ero-rile se reauc la nivele acceptabile În limitele toleranţei 'specificate, Erorile pot

Funcţia f' poate fi de' asemenea dezvqltată într-o serie Taylor şi poate fi,aproximată prin:

f' = Imi,) + OI), 1, + Dt) - 1(\1(1,), t,) = 1, ~ 1, ,OI " OI

Substituind această valoare în ecuaţia .3,,3 se obţine:OI '

<=-(f,-f,)'I 2! ,..'

56 REZOLVAREA N'U?l.IERICA. A ECUAŢIlLOR .DIF<':fl:ENŢIALE

•

fi specificate fie ca procent sau. ca valori ale variabilelor (adică .% = 100le,;1 IV) sau ca valoare absolută le,!. Motivul pentru care s-a utilizat aceastăvariantă a definiţiei este că definitia fracţională sau procentuală a erorii işipierde sensul Cind V "" O. Matematic, aceste defini tii pot.fi foarte precise.dar ele pot să conducă la. timpi costisitori de rulare pe calculator.Spre exemplu, fig. 3.4 arată două soluţii ale unui, sistem .de ecuaţiidifer.enţillle şi anume o soluţie exactă şi lina aproximativă, aceasta din urmăputînd fi obţinută cu o metodă de integrare de ordinul Întîi. Examinareavizuală a acestor două soluţii arată că pentru scopuri practice inginereşti, solu-tia aproximativă poate fi considerată adecvată, În special in lucrări de explo-rare. Cu toate acestea, matematic, eroarea fracţională a sJluţieinumericeajunge pină la 40% (în jurul t = 38), ceea ce este teoretic un nivel inaccep-tabil, Cind se compară cu o tolerantă tipică de, să zicem, 1%. IntruCit, aşacum s-a văzut, specificarea mărimii toleranţei poate să producă confuzii şi şăfie costisitoare, se prezintă mai jos unele .recomandări practice pentru proegramator in legătură cu alegerea unui pas de integrare adecvat:

L Rezolvă ecuatiile numeric, utilizind o mărime a pasului bazată pe nivelulde' cunoaştere a ecuaţiilor din problemă. '.

2. Dacă rezultatele de la 1 par stabile (vezi cap. 3.13) repetă calculul inju-mătăţind mărimea pasului În 1 de mai sus.

3. Compară.soluţiikde la l şi 2 şi raţionÎnd intr-un mod analog ca În exem-plul ilustrat in fig. 3.4 decide dacă mărimea pasului utilizat ,În 1, a fost adec-vată. Dacă da repetă calculul utilizînd un pas de două ori mai mare ca În l.

4. Continuă să creşti mărimea pasului pînă CÎnd soluţia se deteriorează,peste limitele acceptabile, sau redu mărimea pasului pînă Cind se obţine oprecizie satisfăcătoare.

Procedeul de' mai sus se urmează numai .Cind trebuie rezolvate problemecomplexe, care cer rulări pe calculator lungi şi costisitoare" De obicei, ,sînt sufi-ciente cîteva rulări de incercare pentru a stabili o mărime adecvată.a pasului.

-

3-' -Sg/utie txJcti:- SIl';ţie iJprq0l1Jt1tivJ

20

.10

n,~_ 3.4 .. Srl\,ţk~ ('X~::tă şi aproximativă.

.Q.O ,10 30

,\

•

I ,

PROGRA:\1 FORTRAN' 57

)

Pentru probleme simple care cer numai cîteva secunde de caltulator sînt sufi-dente două rulări de Încercare cu un pas mic pentru a stabili autenticitatea-rezultateIar. .

.3.4; PROGRAM FORT~AN

Modelul care descrie variatia nivelului H În rel,ervor ca o functie a' debituluide intrare Q, şi de ieşire Qo, prezentat În capitolul. precederit, 'poate fi sinte-tizat prin următoarele ecuatii

d' I = .!l,_:..!Lrlt A

bil an t de masă

Q,FO f(/)

'Q. = C,; VHdebit de intrare

debit de ieşire

Este important să se retină cele trei variabile H, Q" Qo pentru a evita substi-tuicea Într-a-ecuatie 'fi!1aJ".'Sînt necesare următoarele date pentru rezolvareaacestor ecuatii; .

f• 1

1. CI' = ft'1(ft" min), constanta supapei;'2. A = fi' sectiunea rezervarului';3. H = O fi la !-= O, drept c~nditie iriilia!";4. Să se calculeze H de la t = O la 1='10.

Precizarea uni,ătoare sereferii la debitul de intrare f(l). Acesta va fi o functiearbitrară de timp, dup" cum se arată'in fig. 3.5, a şi va fi aproximată printr-oserie de 12 segmente liniare, conectÎnd 12 puncte de pe curbă. Coordonatelepunctelor sînt specificate În fig. 3.5, b. . ._

Ti~n:lll1 D'biluJ Q

o o.5 20.1. 34.2, 52.3. G3.4. iD.5. iO.G. Gi.t 48.S. 42 .9. .41.10. 40.

(b)

•10458

Timpul (min)a

.----.-----~I.'j

2

10

OO

fig. 3.5. Variaţia ucbitultli de ~Iimt'11tnrC .,

•.

58 REZOLVAREA NUMERI~A A ECU~ŢII~OR DIFERENŢIALE

Programul pentru acest sistem de ecuatii poate fi descompus in următoarele,secţiuni: ". . . .

Secţiunea de iniţializare

Această sectiu[1e contine datele şi calculele preliminare .după cuin urmează:

1. 100 FORMAT(lFI0.~12. 101 FORMAT(6E12.5)3. Dllo1[USION AT(l5)'AOI151ij. C "INIThTION SEcTION.. .5.' ,; DATA-IAT(NI'N:l,li)/O.,.S',1.~.2 •• !••.ItI,~.,6.,1 .• 8~.9.,10.1 .b* ,DATAI AQ(N) n~=1.1c.1I0., 20" 3lt •• 52 •• 63. 170 •• 70 •• 61. ,"8. ,lt2 •.•1+1" • ~O • .17. . 8 READ 100,OT-8* 1:0.9* H=O. -

10. TPRNT=O•

Liniile 5 .şi 6 cuprind datele pentru coordonatele punctelo!, din functia:debitului de intrare. Rîndurile 8 şi 9 stabilesc conditiile initiale pentru timp.. ,şi pentru nivelul H din rezervor. TPRNT este un indice.de imprimare, explica!mai jos, care În această secţiune Începe cu valoarea f):

Secţiunea de derivare

Această secţiune ,eonfine expresiil~ algebrice care conduc la calculul deri-vatei sau a derivatelor În cazul În 'care sînt mai multe ecuatii de rezolva!' Este.important de observat că trebtiiesă se urmeze succesiunea.logică FORTRAN;.adică nici o variabilă nu poate fi utilizată pînă CÎnd nu a fost definită .printr-o-propozitie precedentă. Spre exemplu, ecuatia derivatei dH trebuie să urmeze.definitiile Q, şi Qo. Avem astfel următoarea succesiune:

11* C ••OERIVATIVE SEcTION*.12* 7 QO=17 ••SQRT(H)13. GI=F~Nl(T.t2.AT.AO)1~. OH=(Ol-00)/i5.

Debitul de intrare Q, este obţinut prin FUNl care este o subrutină de generarea functiilor arbitrare, descrisă În cap. 2., Prin aceasta s-au specificat toate variabilele integrate (T, H) şi s'a calculatderivata (DH) şi variabilele intermediare sau dependente (Q, şi Q"j. Aceastaeste faza logică CÎnd trebuie să se imprime informaţiile asupra -stării relative'a tuturor variabilelor care "interesează. .•

Secţiunea de imprimare se 'plasează deci la sfîrşitul secţiunii de derivare. 'In general, această informaţie este de dorit să se obţină la intervale 'specifi-cate, În acest caz la fiecare l sau 5 minute. Astfel deci, devine necesar sa. se includă un test pentru a c0n:tpara timpul' Tcu indicele de imprim.are

•

P~?GRAM FORTRAN 59\

l,{TPRNT) care specifică timpul de imprimare următor. Această operajie este-cuprinsă în linia 17 a programului prezentaf mai jos.

1$. C TEST FOR pRINT AND FINISH16* JF(T .GE~TPRNTI PR1NT '101 ,'T,J..IiDH,QI,QO,OT

'17'* .1FCT,GE.TPRNT) rPRNT=TPQNT+\.ila... ,'JF'IT.GE.IO.IIG01&te

Secli unea 'de integrare, ' ,

Aceasta este ultima dintre secţiunile programului şi conli.ne algoritmul de par-'-curgere pas cu pas (DT.) a intervalului de pe axa variabilei independente (T),-calculînd la fiecare pas valoarea H, Pentru metoda de ordinul 1 proceduraeste aceasta:

19. C •• INT(GRATION"SECTION ••20* -1:1+0121* H:H:'OH*oT.22* 60 TO 723. ENO

, Pentru ecuajii diferenţial~ rnultiple paşii de ,integrare pot fi Iistati într-o, 'Ordine 'Ia alegere,' După integrarea'pas cu, pas,calculul se reia cu sectiunea de,-

derivare; reevaluînd derivalele, şi aşa mai departe. ',', .Ciclul continu'ă pînă Cîn'd'variabila independenfă T atinge o valoare presta-

bililă. Aceasta se verifică în linia 18 imediat după inslrucjiunea' de impri-lllare :

IF (T.. GE. -10) GO Ta 8

Dacă ac~astă condiţie este satisfăcută caiculul se reia cu o nouă valoare a lui DTcitită în linia 7. '

,-.1'

-{'."iI

9<10_11.'

- 12_ .1:3.

.~.~:.1._11_18_19_20-21022_23* ,

t~O FOR~nTIIFIO.~)lJl FOR~AT{~E12.51.

[l:~1E,JS!ON Ayll'll'flQllS),: c: •. INITlATION SECTION.", '.'. ,- " ;,

D,'>.,.;(AT ~N) 'N=l.l'J 10 ••• 5.' 1. ,'2•• :5. ,!.l-•• 5. ,e. .• 7 •• e., .9. ,10. ~ 'OAT~IAQ(~I'N=1.12J/O.,20••3~.;52.,63'770.,7n••61••4G ••~~••41.'40.J

8 REAO 100,01 . .- , ./1 . T::;C.

1;=0..• TPRNT=O.

C '•• DERIVATlVE SEcTION ••7 GO=11.*SGRT(H). GI=FUNl(T.1Z'AT,AQf

OH=tOI~GO)J25. ' .C TEST FOR pRINT ANO FINISHIF(T.GE.TPRNT) pRINT 101.T,H.OH,GI,QO,DT_IF{T.GE.TPRNTj TPRNT::;TPRNT+l•.IF(T.GE.I0., GO 10 8

C •• INTEGRATloN SECTION ••,-T::;T+OT .H::;H.OH.Ol .' , 7"60 'TO 7ENO

Fig. 3.G. Program F,Ji~ŢRAi\i pentru simularea. rezervorului.

60 REZOLVAREA NUMERICA A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE~

dT ,Tilll]ll,l 0,5 0.2 0.1 O.fI;} O.fl2 0,01 {U)15

O 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 '0.0' e.o1 ('.4000 0,44(5 e.';G43 1.47P5 0..19'17 0:4905 0.4919

j2 1.4l~8S IA789 1.5113 1.5279 1.53t2 J:5.!IG 1.513-13 2.'iQ!i(J 2.78<;{) ~.81~3 '2.8275 :U~;-j14 2.8408 2.84254 4.1110 4.li-n 4.19~A 4.1234 4.~~21 .L:250 4.:.:2G55 5.475.) 5 ..;SG3 5.5(j98 5.51il 5.524"7 5.-52:13 5.514Jo 0.5515 G.49GO 6.41HI 0.4788 4.4i59 (j.~75J G.47t.[)

" 7 7.098! 6.9040 '3.~J2GO 6.9077 G.8911 'G.~~5 G_89i~8 7.1400 .6.934'1 G.:)ti.liÎ G.Y2JO (~.~;j02 0.9(,00 G.SOJ99 7.00Lti G.boâ (j.~iIG 6.8020 6:19C4 G.785G 0.784710 C.8300 G.71:.:5 (;.(;75-1 G.(5:;2 6.l47o 6.6443 G.G42G

Fi:;;. 3.7. T<lbel cu rczul bit-.:lc prowrlln:llui dn fig. 3.0.

De fapt se pot utiJiz~' şi. alte condiţii ale problemei' pentru a încheia unciclu de calcul şi a trece la următorul. Spre exemplu dacă nivelul fi atingevaloarea prestabilită o instrucţiune finală ar fi:

IF (1-1.GE. 6.5) GO ~O 8

Intregul program este arătat În figura 3.6. fiecan,operaţie a fost efectuatăcu cîte o valoare diferită a pasului de integrare, variind de la 0,5 min la 0,005 .min. Rezultatele referitoare la nivelul din rezervor fi sînt prezentate tabelarîn figura 3.7." .

.3.5. INTEGRARE DE ORDINUL II

Gradul de sofisticare faţă de metoda de ordinul 1 este sugerat. chiar delimitările inerente metodei de ordinul I. Aceasta cere efectuarea a două calculede derivate prin oricare din cele două căi. de mai. jos:

I. Deriv?tele sînt calculate la Începutul intervalului (1,) şi cu aceste deri.vate se face un pas la jumătatea drumului În intervalul (1,+ DI(2). In etapaaceasta derivatele se recalculează şi se consideră că reprezintă derivatele mediipentru acest interval. In continuare, Începînd din nou cu 1, se efectueazătreapta Întreagă pentru intervalul complet DI considerînd derivata medie la(1,+ DI(2). Metoda aceasta este obişnuit numită metoda Euler modificată ..2. A doua variantă a metodei de ordinul II este În realitate prima. din meto-

dele Runge-Kutta. Procedeul este următorul: •a) Calculează. derivatele elV (dl la 1,.b) Cu derivatele elin treapta a se integrează peste Întreg incrementul pînă

la 1,( = 1, + DI) prin,metoda Euler simplă.

\1,) = V), +{dV} DI.•• . dt J

i

. sUBRuTINA INT 61

3. Recalculează derivatele (dVldt), la iz.4. Calculează derivata medie din cele două deriv,~te la t, şi /,:, ,

tiV ~ ~({~} -1- {~\.r.:} l-I dt 2 dt)' d1'2

5. IncepÎnd din nou cu ti se integrează pe intreg incrementul, pînă la Iz.utilizînd derivata medie din treapta 4. ' '

. dV\i), ~ \i), + - .. Dt.

• Gl

In,această metodă este necesar calculul a două derivate pentru fiecare pasde.integrare.,D~' aici provine .denumirea': metodă ,de integrare de ordinul It.

,~lhtrucît procedeul descris mai sus este complicat va fi realizată o rutinăc,re va 'rezolva-problema în toate'.detaliile.' Obiectivul ansamblului de rutine

-:dezvolt'at .în ,această lucrare estede.a permite programatorului, care stabileşteecuaţiile, 'să le.rezolve prin apelarea rutinelor: specifice. Intregul'ansamblude rutine destinat rezolvării ecuaţiilor diferentiale ordinare din acc,stă lucrare

,se numeşte programul 1NT. "

3.6. SUBRUTINA INT

_ In acest ansamblu sînt două subrutine foarie irn~~rtante llumite INT.şi INTI. Ele se vor utiliza împreună Întrucît au În c')lilun inÎ9fmaţi.lc spc.cificate' într-o declaraţie COMj\~ON.

'Prima subrutină care va fi descrisă este INT. la care S~ face apel din pr,)-gramul principal prin următoarea instrucţiune:

.- CALL INT(X. DX) ,unde X este variabila 'integrată, iar DX este derivata calculată in secţiunea,de derivare precedentă. Subrutina poate să efectueze oricare din cde trei crdine'de integrare, adică 1. II şi IV.. Intrucit mai sus s.a prezentat procedura pentmordinele I şi 11, mai jos se va descrie numai sccţillnea subrutinei care ira.tează aceste două metode. Secţiunea din su)Jrutină.care trateaz;] metoda deordinul IV, va fi descrisă în urma prezentării procedurii de efectuare a inte.grării' de ordinul IV: ' .

Lista secţiunilor INT deorctinul I şi II este arătaiă În figura 3.8.' Listaargumentelor are două variabile, variabila de integrat (X) şi derivat, ci (DX),Declaraţia C01\\MONICINT r conline variabila independentă T, intervalul Le,integrare DT şi un 'Întreg JS care are. valorile de 2 sau 1, specificînd dacă seefectuează calculul pentru derivate de ordinul Întîi sau. doi, adică treapta 1sau treapta 3 din metoda de integrare de ordinul II. 'J N din lista C01\'\MONare rolul'unui indice' intern, cu care se identifică 'o locaţie de memorie În masi.vul DXA. Valorile lui T, DT, JS şi valoarea iniţială JN ~ O sînt determinateîn subrutina de control INT1 care integrează variabila independentă DT după,cum va fi descris ulterior. .

"

•

I

62 REZOLVAREA NUMERICA A ECUAŢln..OR DIFEREl'..:""ŢIALE

,U SU8ROUTyNE yNT,IX,DXl .' .2. . COMMON/( INT IT ,DT ,,JS • .;N,bXA ISOO J • :f-r.., 500} • 10. JSu.3. .JN=.JN+l .•.~. 60 TO (9,8'3'31,105. 9. X:X+OX*OT' \&. RETURN7_ 6"GO T01"(1,2I,J58* 1 OXA(JN):OX9." X:X+DX*DT10. RE TURN11_ 2 X:X+{OX-DXAf.JN)}.OT/2.12. RETURN

t'jg~3.8.. ,Lista

S:JbratinJ' IN} .(num:i s~:::titln'lc p~nt~lI.meto:.lde d.:::oroirJul.. intii şi dei) .

~r~ument~l~>:-_~ =. YiHiai).:I,i inhgrată: DX.= (:criv~;til:

•

, .Linia a treia din program, creşte pe JN cu o unitate. ide;ltiIicînd '"slfel

fiecare 'cALL particular. In problemele, tipice există uneori mailhtilte ecuaţiidiferentiale. care trebuie integrate. cerind' u'i1număr egal' de apeluri la subru-tina de integrare, Intrucit rutina va fi apelată succesiv din programulprincipal. JN va caracteriza astfel fiecare CALL succesiv, ..

Instructiunea GOTO din linia 4 dirijează calculul spre una din etichetele 9.B sau 3 după cum variabila intreagă 10. care specifică ordinul metodei de inte-grare. are valoarea 1,.2 sau 4, Variabila 10 este' de asemeni disponibilă prin'CO,I1MON. '

Prima etichetă, 9. realizează tratarea metodei de ordinul i care este evidenta(cazul 10 = 1). A doua eticheta. 8, realizează tratarea metodei de ordinul II.In linia 7 ('cu eticheta 8) un nou GOTO calculat ramifică această tratare spre"tichetele I sau 2 după valoarea lui .JS. In linia 8 (cu eticheta 1) rezultatulprimei evaluări a derivatei, (DX) este memorat în. matricea DXA('JN). iarapoi variabila X este incrementată cu DX. * DT. La .următoarea trecere winrutină, cu JS = 2 in linia II ('cu eticheta 2) se recalculeaiă valoarea lu)':

.x = X + (DX -DXA(JN))* DT .. ' . .2

Aceasta poate fi ii1ţeleasă reamintÎnd că pe baza 'definiţiei integrării de ordinuldoi; valoarea corectată a lui X la 1, este

'. DTX, ~ X, +('DX + DXA(JN)) *2'

Pentru areduce necesarul' de memorie. X, nu .este disponibil la 1,. ci este' dispo-nibilă valoarea 'Iui X, prin metoda Euler simplă:

. ,X = X,.+ DXA('JN) * DT.Eliminînd pe X, din aceste ultime două ecua!ii se obtine expresia din linia II. .

..3.7.. SUBRUTINAINTI

In Ijst~rea parţială a 'lui Ii'nI .din fig. 3.9 se arată pentru integrările de-ordinul întîi şi doi, secţiunile corespunzătoare. In lista de argumente avemin ordine: TD numele variabilei independente, DTD incrementul de integrare

•

SUBRUTINA INTI 63

•

1-2-3.••••S_6.7-8* ,-9_10.H.

- 12_'13.14.

SUB~OUTINE INTIITO,OTO,IOOI ,1COMMON/CINT IT ,OT,J$,JN,OXAISOOI, XAISOOJ ,10,JS~" ' '10 = IOD '

".loIN=:O , . '. ,:. .~:60 TO (&,5'1,1',10

6 JS=260 TO 7 '"5 JS=JS.IIF C,JS.ECh 3) ",,5:1lFeJs.EQ,Z)RETURN

7 OT=OTO "3'TO=TO+OT

T=TO~E:TURN

,,

fig. ~.9:. SubrdinCl r:';Tr (ll'~!~l;li~'s:,:~!,illriik\C!ltnl mdodc1c f!p' ordinul.' Întli,:i doi). . -

Lis't"; argllmcn't'::],)f: TD'=vari<lbiIJ iil(~ep~nd('nUi'; DTD=--=lT1ăime.J p,~$iJlu\. '(le jnl~gr(lrc; IOD ~ crdinI1k.integr:irii. ... •

şi IOD ordinul de integrare, In secţiunea de integrare est~ necesar ca intol-deaunasă se fâcăîntîi apel la această subruti!lă (INTI); care trebuie să pre-ceadă toate apelurile la subrulina INT. Intrucîl TD, DTD'şi IOD din listade, argumente corespund cu T, DT şi 10 în declaraţia COMlv\ONjCINT / ele

, trebuie făcute formale pentru a evita confuzia. Variabilele din lista de argt)mentetrebuie să fie transferate la timpul potrivit în cele din declaraţia COMMON.Spre exemplu, linia 3 transferă ordinul 'de integrare în variabila 10 dinCOMN\ON, ceea ce permite schimbarea metodelor de integrare in timpul efec-tuării calculului: '. '

Linia 4 repune contorul de apel J N la zero, iar linia 5 dirijează calcululla (ma din cele trei etichete, depinzînd de 10. Eticheta 6 reprezintă prima linie-din secţfunea pentru integrarea de,ordinul întii şi stabileşte indicele .JS la 2,semnifidnd o trecere normală, Întrucît pentru ordinul Înt ii.' nu există treceri'-intermedi~re sau fictive. In linia cuelicheta 7 intervalul ,de integrare DTDeste transferat în COMMON l'a DT, operaţie care permite apelul acestei sub-rutine cu o dimensiune variabilă â pasului. Linia următoare .(12) integrcazii cvariabila independentă DT şi apoi o transferă în COMMON, la T (linia 13).

Procedura pentru ordinul doi începe 'la eticheta 5 (iinia 8), unde indieele.treptei este crescut cu o unitate şi apoi"este testat. In cazul cînd J S ~ 3, .JSeste repus la valoarea L Dacă .JS =.1 (cu alte ~tuvinte calculul a fost efectuatpentru tr,ecerea întîi, prin secţiunea de derivare p,entru ,increfl.lentul prezent)se integrează variabila 'indeperiiientă (linia 12). Dacă s-,a efectua! a doua tre-cere (JS = 2) atunci nu, mai este necesară 'acţiunea următoare şi ne reîntoar-cem la programul principal (linia 10).

'.Inainte, de a arăta printr-un exemplu maniera în care aceste rutine sîntutilizate, pentru rezolvarea unui sistem de ecuaţii diferenjiale, se va descriemetoda de integrare de ordinul patru, întrucît aplicarea acestei metode vaconstitui o c()mpietare a subrutinelor INT şi INTI. '

\ '.

•..;.

64 REZOLYAREA NUMERICA A ECUA....TI1LOR DIFERE..'VŢIALE

3.8. METODA DE ORDINUL PATRU RUNGE-KUTTA

"Aceasta este cea mai uzuală metodă de integrare de ,ordin superior şi cerepatru calcule de derivate pentru fiecare pas de integrare. Inconvenientul, căimpune un efort de calcul dublu faţă de metodele de integrare de ordinul doi,

.,este compensat de faptul că se pot. utiliza ihter\.ale 'mai .mari "pentru o pre-"izie dată, Întrucît erorile de integrare sînt proporţionale cu puterea a pat.raa .intervalului de integrare, adică, .:. (DT)'. Aceste ,observaţii sînt valabilenumai În cazurile În care dimensiunile intervalului maxim nu sînt limitate de#alţi factori, cum ar fi stabilitatea soluţiei sau intervalul de imprimare (cap. 3.13).

Procedeul pentru integrare~ de ordinul patru cqnstă În calculul .derivatelor \la Începutul, la mijlocul şi la sfirşitul intervalului de integrare; apoi se efectu-ează treapta finală peste intreg intervalul, utilizînd o medie ponderată a t,utu-rar derivatelor. Mai detaliat, procedeul este dat mai jos (vezi fig. 3.10) :

1. Se calculează derivata V; la 1, şi se ,calculează valoarea funcţiei, folo-sind metoda Euler sim::.Iă, la (1, + DT{2)'~ V,.

2. Se calculează derivata la t, + DT {2 ~-V;.,3, .Plecînd de 'la V,, 1, se recalculează funcţia la 1, + DT{2, utilizînd deri.

vata V;! 'Pentru, a obţine punctul V,.4, Se recalculează dHivala V; l'a I, + DT {2. .5. Plecînd de la Vlo tI se calculează funcţia la.l, ( = I, + DT) utijizind

.derivata V; pentru a obţine punctul V,.6, Se calculează derivata V; la 1,.7: Utilizînd derivatele V;' ~ V~ obţinute in etapele 1--6, se calculează

:v'aloarea finală a funcţiei V(li) utilizînd o medie ponderată a derivatelor(1" -.L 2. C' 1 '1 * C' + 11'\ • "TV(I ) = VII ) + _,_o '_' , , - , • " ,

l , 1 '. 6

.Fig. 3.10. Procer'eal 'Rl'Illg:~-Kutta(metora de int'_'~r3rc d" ordinul

patru) .

•tt, + .o;.

.'"\

•

"METODA DE ORDINUL PATRU RUNGE-KUTTA

I ,,~I

i~,

,

Fig. 3.11. Sectiunea de ordinul patru dinsub rutina INT.

13~1"_15•

. 16_17_. lec:19'20'21'*22_23'21::'lI

2Ş*26'27.

65

3 GO TO(4,5,6,7)'J54&+ XA(.,IN)=X

OXAIJN):OXX=X+Ox.e:CTRETURN

5 DX~(JN)=OXA(JN)+2.*OXX:XArJN)+OX*DTRETURN

b DXA(JN):DXA(JNJ+2.-0XX:XACJN)+CX.OTRETuRN

7 OXAIJN)=COXA(JN)+OXJ/o.X:XArJN)+OXACJN)oOTRETURNENO

Procedura de mai sus este programată in partea' a doua a subrutinei INT (ară.tată în fig, 3,11), Declaratia COMMON contine o rezervare suplimentarăpentru matricea XA şi controlul de treceri JS4, Dimensiunea acestor două ma-trice XA şi DXA, luată 500, determină numărul total de ecuatii diferentialecare pot fi rezolvate cu ajutorul subrutinei INT.

Cind 10 are valoarea patru in lista de arguniente INTI. calculul este dirijat,spre sectiunea de integrare de ordinul patru, în care cele şapte etape fixatemai sus, sînt programate după cum urmează:

Treapta 1. (JS4 = 1). Liniile 14-16. X şi DX sînt memorate în matricileXA{JN), DXA{JN). DT din COMMON trebuie să fie jumătate din pasul deintegrare. '

Treapta 2. Este realizată în programul principal.Treapta 3. (JS4 = 2). Liniile 18-19. Este observat că şi în etapa aceasta

DT reprezintă încă jumătate din pasul deinlegrare.Treapta 4. Este realizată în programul prinCipal.Treapta 5. (JS4 = 3). Liniile 21-22. Variabila DT are acum valoarea

întregului pas de integrare. .Treapta 6. Este reafizată in programul principal.Treapta 7. (JS4 = 4). Liniile 24~25. Diversele derivate, conform metodei,

sînt acumulate în matricea DXA în liniile 15, 18, 21' şi 24. Valorile medii finalesînt calculate în linia 24.

'Figura 3.12 arată sectiunea corespunzătoare metodei de ordinul patru dinsubrutina INT!. In linia 15 se creşte JS4 cu o unitate, iar în linia 16 el este

Fig. 3.12. Secţiunea de ordinul patrudin subrutin:l INTl.

15*"16.17.18_19'20.21'22-23.2"_25'26.

1 JS"=JS".lIF(~S~.EG.5}~S~=1IF(,",S't.EQ.l) GO.TO '2!FIJS".EQ.3). GOTO •RETURN ,

2 OT=OTO/2.GO TO 3

" TO=To.OTOT=2._0TT:TORETURNENO

,t

5"":' Modelarea şi simularea in ingine.ria chimică - cd. 29

66 REZOLVAREA NUMERICA A ECUAŢIILQR "OIFERENŢLL\LE

repus la I dacă .arevaloarea 5 (Începe cu o nouă integrare). Dacă JS~ este 2sau 4' nu se intreprinde o altă acţiune. In cazul cînd JS = l se Înjumătăţeşteintervalul de integrâre (DTD) din lista de argumente (lini a 20) şi se transferă'În COMMON'ca DT. Calculul continuă apoi la eticheta 3, unde T se integreazăpînă la T + DT. Dacă JS4 are valoarea 3, atunci T se integrează mai departepînă la sfîrşitul interval urui (linia 22), iar variabila DT se majorează la valoarea 'întregului pas de integrare (linia 23).

3.9. ARANJAREA GENERALĂ A PROGRAMULUIPRINCIPAL

l',I

S£C!/UNEA DE IN!£6RAR[

,'?e!lf;jre la pNm~!ifll(' il st'd'lfnr{ de

der,vare

Jt

Int,~,;r~diJleC:Jr,d/tli itlltiaie

Ca/c/t! prelimmar'al p2ri;:~e~r';or

StCT/UN[A DE OECLARAT/IFormat

IJecla!'aţti de tipCamma"

D:menSlIJn!!d

CAU INTI /Iar/aMa decontrol si var'labl/ă

illdepende'na. CALL INTpentru /I<J/'Iab,'!o:dependmte

O,;le t ~'jitJ.-.: 'Olţ Mie

"['""'C' •• "'.f"c!"(iţli, algt'bm;,lcare sliJotlesc

derivateleImprlmar!: /'aultiiu ie~::~

Test.~rerht terminJ!'e"-;!ri,,,J!e

Alai sus s-a făcut descrierea completă li subrutinelor INT şi INTI. Subru-tinele sînt prezentate, cu lista completă in anexele 3-3 şi 3-4, Împreună cudefiniţiile corespunzătoare ale elementelor din lista de argumente. Programul

pentru procedura de integrare este redus 'acum lao listă de instrucţiuni CALL JNT. Instrucţi-unea CALL INT poate fi, bineînţeles introdusăÎntr-o buclă DO, iar lista de argumente' poa:econţine variabile normale sau cli indici. Utilizareaacestora se va arăta mai jos. Aranjarea progra-mului principal pentru rezolvarea unui sistem deecuaţii 'diferenţiale este similară cu. procedeul ară-tat in fig. 3.6, pentru metoda de ordinul intÎi.Intr-o formă generală este prezentată În fig. 3.1.3.Aceasta conţine'o secţiune de rezervări, cuprin-zind declaraţii _de tip FORMAT, DIA\ENSION,CO,\IMON etc. După aceasta urmează sectiuneade .iniţializare, În care se efectuează toate cal-culele şi specificaţiile 'pentru parametri' şi coefici-enţii problemei. Acestea sînt valorile care nu va-riază În cursul calculelor iterative. In această sec-ţiune trebuie să se specifice condiţiile iniţiale alevariabilelor care se integrează şi trebuie să seintroducă, prin instrucţiuni READ, date noi pen-tru operaţiile repetitive.

Secţiunea unnătoare este secţiunea de derivare,care conţine toate ecuaţiile algebrice, specificîndderivatele varialiiieIor integrate. Succesiunea ecua-tiilor trebuie să fie ordonată, cu alte cuvinte nicio variabilă nu poate fi folosită pînă nu a fost spe-cificată Într-o declaraţie precedentă'. La sfîrşitulacestei secţiuni se efectuează un test pent_ru im-primare şi pentru terminarea operaţiei. Pentruaceasta În paragraful 3.10 se va descrie subru-"tina PRNTF. .

Fig. 3.13. Organizarea ge-ne-rală a programului principalpentru utiHzOlrea corectă a su-brutinelor INT şi INTI.

l

SUBRUTINA PRNTF 67

Ultima secţiune este aceea de integrare, unde se apelează subrutina INT(CALL INT) pentru fiecare variabilă integrată. Trebuie respectată, aici oregulă esenţială: primul apel trebuie făcut la subrutina INTI pentru variabila

~ independentă, întrucît această subrutină stabileşte contoarele de apel şi de.j' trecere, în COMMON (CfNT), controlînd -astfel funcţionarea celorlalte rutine.

Apelurile 'succesive CALL' INT, care urmează apelului subrutinei de controlINTI,. pot fi făcute în orice ordine, cu condiţia respectării următoarei reguli :nici-o derivată dintr-un argument INTnu poate fi specificată 'prin ieşirea.dintr-o rutină precedentă INT." .

Ca o explicaţie a acestei reguli, să presupunem că sint de integrat urmă-toarele două ecuaţii: . •

OX = Io'xX = fOx.

Succesiunea corectă a instrucţiunilor CALL din secţiunea de integrare trebuiesă fie în ordine inversă celei de mai SliS adică:

CALL INT(X,DX)

CA~L INT(DX,D2X).

Această succesiune inversă va obţine în mod corect derivata in funcţie devariabila 'independentă.

După ce s-a efectuat listarea tuturor instrucţiunilor CALL INT, ultimainstrucţiune dirijează calculul la prima linie a sec,ţiunii de derivare astfel încîtsă se parcurgă în mod continuu secţiunile de derivare şi integrare pină la sfîr-şitul ,execuţiei .

. ,

3.10. SLJBRLJTlNA PRNTF. ' '

Obiectivul" acestei subruline este dublu: controlează frecvenţa imprimăriivafiabilelor ce interesează şi, de asemenea, testează finele execuţiei. In modlogic, imprimarea rezultatelor trebuie să fie făcută la sfirşitiJl secţiunii de deri-vare, după cum se arată în fig. 3.6 şi 3/13. Aici este necesar să se imprime valo-rile variabilelor 'selecţionate la un interval specificat, numit interval de impri-mare şi notat PR I. Aceste valori nu pot fi imprimate decît după efectuarea

" pasului precedent şi după ce s-au calculat noile derivate. Aceasta este treaptapentru care indicele de trecere JS pentru metoda de ordinul intîi şi de ordi-

'. nul doi are valoarea 2. ...Pentru metoda de gradul al patrulea, 'indicele de treaptă JS4 este 4. Sub-

rutina care ţine seamă de aceste detalii este arătat îIi fig. 3.14. Primul din listaargumentelor ",fe PRf, intervalul de impriinare care se referă la variabilaindependentă T disponi bilă din COMMONjCiNT j. Argumentul ur.:nător FNR estevaloarea lui T "FiNish-Run", care specifică momentul în care execuţia trebuie

68

12,, .s •• •,•,,.

II12 •

"••lS,.J 1 .,

18 ."•• •2.21 •

REZOLVAREA NUMERICA A ECUAŢrILOR DIFERE:KŢIALE

SUBROUT HH. fR NTF I PR 1.ftUl:. Hf IA o" .e .•O. E .F'.6 .•Q.~.Q )

COI'tl'lONICl""T I t. OT.J S.,JN. DU 1seD 1 ,",l,( sec). 10. J~'CO'HIOHICPR/NP R

100 fQRI'tA'TtJOEl'l.;I \HPR :: o"IFlTPRNT.LT.PRJ) 6010 ••n,n.GE.fNR-DtJ2.I.ANO.IIJS.EIl.2J".OR.I..ISQ.(Q'.QIII 50 TO l..[F (1 T. GE. TPRNI-CT/2. 1.•.•,io. II JS .Eid.V .OR. IJ:>'''.f;o. ~) Il 60 rCiRETURN

Il NF :: J5 tPRHl : TPRNT'PRJB PRINT IOO,.,lJ • .(.[..E.F.~.O.P..Q

/ NPR:: JRETURH

li T :: O.TPRNT :: O.Hf :. 200 1 ,)::1.500

J IAc.U :: O•60 Te e

. ENO

Il

,1

Fig.':.!.I'~ Su.rutina PRNTF.Lista argumentelor: PRI =.; if)tr~I\'Hl de imprimare; FNR= finele executiei;NF= Îndex de. t~rminare (NF ~=2 Îil,camnă terminare); A _ Q indică VD.fL1bilelc

c;:re urm:':;_~J să fie imprimate.

terminată, Acesta este urmat de 'indicele NF care arată dacă execuţia este cam-plejă (NF = 2) sau nu este completă (NF ~ 1). Acest indice este utilizat inprogramul principal în dirijarea calculului, respectiv pentru continuare(NF ~ 1) ori pentru oprire (NF = 2). .

Următoarele la argumente din listă A ~ Q reprezintă variabilele caretrebuie imprimate. Dacă sint necesare mat puţin de 10 variabHe, restul loca-ţiilor din memorie trebuie să conţină numere fictive, ca O sau 1. DeclaraţiaCOMMON /CPR / din linia 3 conţine indicele NPR, care controlează o sub-rutină secundară PRNTRS (fig. 3.15) care va imprima un set suplimentarde 10 variabile. Cînd rutina principală de imprimare PRNTF îşi imprimăvariabilele, NPR este făcut egal cu 1, iar aceasta va imprima automat variabi-lele. din lista specificată la apelul rutinei PRNTRS. '

Testul pentru imprimare este în linia Î şi depinde de indicele de imprimare. TPRNT (timpul de imprimare) şi de JS indicele de treaptă. Dac~ condiţiilesînt saiisfăcute, indicele de imprimare TPRNT este majorat cu intervalulde imprimare PRl (linia II) Care specifică timpul de imprimare următor.

I ' .

12, .•s • /•,• •••

SUBRCuTINE PF<"Hl':d 1'il A,d.e. 0;(. f .G. C.P.Q ICOMHON/CPR/NP 1\

100 FOF<l1AHIOE.2.5)IfINPR.£G.IIGO Ta 5 ...•RETuRN

S PRINT lDO.'.(J.C.D.[.F.Ei.O,PtQIfIIS.£Q.J)PIHNT !CDREf URN

. [Ni:

I

Fig, 3,15, Subrulina PRNTRS,Lista 'mgumentelor: .15 =;: pentru spaţiul după linia de imprimare(l5 = 1 pentru sp-aţiu); A .....•Q indică variabilele C(lrc urmeaz.ă să

fie imprimate.

EXEMPLU"DE PRO~R"AMARE FOLOSIND SrS'l'EMuL INT 69

Variabilele se imprimă, iar indicele de imprimare NPR se comută la 1 În cazulÎn care se cer imprimări suplimentare dela PRNTRS. '

Testul de sfîrşit este În linia 7 şi in cazul în care este pozitiv se pIine lazero variabila independentă T (linia 15) şi, de asemenea, TPRNT se repunela zero pentru operaţia următoare. Matricea XA este ştearsă (linia 19) şi indi-cele de terminare este comutat la 2.

3.11. SUBRUTINA PRNTRS

Subrutina aceasta se utilizează in cazurile în care trebuie imprimate maimult de 10 variabile. Excesul trebuie să fie manipulat de această rutină("Print Repeat Space") arătată în fig. 3.15. După cum s'a explicat mai ina-inte, testul pentru imprimare se efectuează În rutina principală PRNTF, iarindicele de imprimare este 'transmis acestei rutine prin declaraţia COMMON{-/CPR/NPR. Restul codificării este clar. Această subrutină oferă opţiunea de aspecifica un spaţiu (rînd liber) în cursul imprimărilor, realizat, dînd Întregul 1ca prim argument În listă la apelul PRNTRS; În felul acesta se separă ultimulrînd de ieşire la fiecare interval de imprimare, de primul rînd de ieşire al inter-valului următor.

Cele trei rutine INTI, INT şi PRNTF, descrise În acest capitol, formeazăcadrul de soluţionare al ecuaţiilordiferenţiale ordinare neliniare, Pentru a _1ne da seama de uşurinţa de programare a ecuaţiilor/,prin utilizarea acestui.sistem se va prezenta În continuare un exemplu simplu.

3.12. EXEMPLU DE PROGRAMARE FOLOSINDSISTEMUL INT

Pentru ajlustra utilizarea programului INT se va face apel la acelaşi exem-plu care s.a prezentat la inceputul capitolului şi a (ost descris în subcapito-lui 3.3. Programul INT este arătat în fig. 3,16, in care ecuaţiile care descriuvariaţia nivelului H din rezervor se rezolvă peritru o succesiune de valori aleintervalului de integrare DT cuprins în matricea DTA, Aceasta se realizeazăincluzînd în interiorut buclei DO (liniile 33' şi 49) secţiunile'de lniţiere;derf:vare şi integrare. Pentru fiecare parcurgere a buclei DO se utilizează o nouăvaloare a lui DT. Integrarea incepe la T =0 si continuă pînă la T = 10 min,'după cum se specifică de către al doilea arg~ment din PRNTF, Rezultaleiesînt imprimate la fiecare minut, după cum se specifică de către primul argu-ment pen,tru PRNTF. Linia 39 (eticheta 7) este prima din secţiunea de deri-vare. După efectuarea lui CALL INT (H, DH), (linia 47) calculul este reciclatpînă la acest pJnct. Cititorul trebuie să studieze programul din fig.. 3.16 şi să

70

".~,.~l'~2.40,3_

~4.~5.~b'47.~8'~9.50'

REZO~VAREA NUMERICA A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE

C ••HJU~EKEEPJNG S~CTION ••2DC FOR~~T{lHl.lFln.5J

DI~E~iSION OTA(15J,lT(15',AOllS). C :lo.PHT!ATIO:l S":cf.!O!\:",.

DATA{DT,~ (t;) ,;'l::l. ~ i /1 ••• ~ •• 2 •• : •• OS •• U;?. el",. (1,:51DAT.\('AT{fll ,N'-}, 121/(1., .5.1. ,2 .• 3.',4, ,:i. ,te',,7. ,e ••9., 10,1Of-TAr :,r. pn .~=l.l? i/O •• 20 •• ~:o•• 52. '63 •• 70 •• 7:1, . tI, ,lo:;., ,tJ2. ,!OI. ,40.100 S .,):::1.•81::0,H:O.DT::OjA(,J)f'RI~l"" IOa.lJT

C "DERIVATIVE SECT!ON ••7 OO=17.~5QRi(Hl

Ql=FU~1(T.12,AT.~GlV~:;:(01-\iOl/2:J.

C TEST Fort PP.INT ANO F!:!!Sfl •CALL PRNTFll •• 1i:!.,NF,T,Ii'DH,QI.GO,Di,O.,O •• O.,O.l'GO re. 15.81,NF .

C "INTEGRATION SECTION.'5 CALL.INTJIT.UT.l1CAlL ',INT (H,DH)GO TO 7

a CONTINUE:ENO

Fig. 3.16. Exempb dC'program principal utilizînJ subi"utill~k l:-\T ~:iINT!.

identifice recomandările iăcute pentru aranjamentul general, care în rezumatsînt următoarele:

1. Divizarea programului în patru sectiuni iuncţionale.2. Apelul rutinei PRNTF este la sÎîrşitul secţiunii de derivare.3~ Primul apel în secţiunea de integrare este făcut la rutina INTI, variabilaindependentă fiind specificată.

4. Condiţiile iniţiale (T = O, H = O) sînt speCÎiicate în secţiunea de ini-ţializare.

5. Bucla interioară este închisă de prima linie a secţiunii de derivare .

.Dacă se respectă precauţiunile de mai sus, sistemul' INT va rezolva cuuşurinţă toate tipurile de ecuaţiî diferenţiale ordinare neliniare.

Numărul total este limitat numai de dimensiunile matricilor din COMMON {{CINT sau, în final, de,dimensiunea memoriei calculatorului. In prezent, dacăse dispune de un calctila~or de capacitate mare, se pot simula prin proceduristandardizate modele matematice descrise' prin sisteme de circa 500 de ecuaţiidiferenţiale. In unele capitole următoare din această carte se va indica madulîn care se crează aceste modele şi raţiunea pentru care ele trebuie să' fie salu-.tionate.

In fig. 3.17 se arată lista imprimală de rutina generală PRN-TF.Intrucit rutina este realizată pentru a fi generală, variabilele de'

imprimat, trebuie să fie reprezentate aşa cum se arată, în virgulă mobilă. Estede menţionat că nu este nici un impediment pentru ca programatprul să-şimodifice acest format (linia 4 din PRNTF) cu unul mai convenabil, conţinînd,de exemplu, şi variabile întregi. .

PRECIZIA INTEGRARII -71

3.13. PRECIZIA INTEGRĂRII

Fig. 3.17 .. Rezultate editate de programul din fig. 3.16 '(primele şase coloa~e' numaipentru D T ~ 0,005).

. 5,,000~n2

.50000-02'

.5,1000-U2

.5cODa-02"

.5;1000-02

.5..,000-02

.5(1000-02'

.50000-02

.5nOOO-02

.5(1000-02"• S,loOO";'02

.0000-0

.1.1976+02

.21162+02

.28.696+02

.:,\4g7,q+02• ~g977+02.1l3268+02.44631+02.44666+02./14278+02.lI.3812+02

.(10001"

.3409n+112

.5205~+02

.63035+1"1;'

.7000(1+1"2

.699'1')+02

.f'i093c:,+0?

.4797-(}H)2;"1995+02.!+o99s.n?.4.0000+n2

.0000n

.B8454.00

.12357+01

.1373f,+Ol

.1~OOQ+Ol

.1199i-+01

.70667+00

.1335",+00-.10684+00-.J3134+00-.1524P.+OO

.000011

.49b3UOO

.15495+01

.2849.1+01

.4233'i+Ol

.55j01+01

.64780+01

.68925+01.•69033+01.67840.01.66q.lfl.+Ul

.-0000(1'.100~0.01:.200:::>0+01.30050+01.400':)0+01.500~0+OI.6005(1+01.7-00::>0+.01.800~0+01.900:>0+01.100_05.02

în suhcapitolul 3.2 s-a discutat efectul mărimii pasului de integrare asuprareciziei integrării în metoda de ordinul întîi. S-a arătat că erorile de trunchiereau proporţionale cu dimensiunea pasului utilizat. Metodele de integrare' dedinul doi .şi patru au erori proporţionale cu pătratul şi respectiv cu putereapatra a rnărimii pasului. Aceasta se poate demonstra, pentru sistemele lini-e, examinînd primul termen, din seria trunchiată din dezvoltarea Taylor,

aşa cum s-a făcut la metoda de ordinul Întîi. O abordare mai practică În cadrulacestei discuţii, este ca pentru un exemplu tipic, ca cel din problema rezervo-rului, descrisă mai sus, să' se măsoare şi să se compare erorile rezultate prindiversele metode de integrare şi prin mărirea pasului de integrare utilizat.

Fig. 3.18 arată rezultatele numerice obţinute prin metoda de ordinul 2pentru mărimi ale pasului variind de la 0,5-0,005 min. Datele din acest tabloucomparate cu cele din fig. 3.7 obţinute prin metoda de ordinul Întîi ne permitsă ne dăm seama deconvergenţa mai rapidă, spre o soluţie corectă, a metodeide ordinul.doi. Un tabel similar pentru metoda de ordinul patru ar arăta o con-vergenţă şi mai rapidă.. '. ' .

DT

Tiillpul 0,5 0,2 0.1 0,f6 0,02 0.01 0,005

10 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.01 0.55019 0.500G5 0.49560 0.49389 0.49340 0.49333 -0.493312 1.5,)27 1.5515 1.5470 1.5456 1.5452 1.5451 1.54513 2.8818 2.8197 . 2.8453 2.8146 2.84-i2 2.8142 2.84424 4.2630 4.2328 .4.2294 -4,2284 4.2280 4.2280 4,22795. 5.5542 5.5289 5.5261 5.5:l52 5.5249 5.5249 5.52496 G.4971 6.4772 6.4750 G.4743 6.4741 6.4741 G.474 17 G.901] 6.8923 6.89C8 6.8902 . 6.8901 D.8901 6.89018 6.9157 6.9036 6.9024 6.9019 6.9018 6.9018 6.9018

9 6.7948 6.7843 6.7833 6.7829 . 6.7828 6.7828 6.782810 6.6513 6.64::£ 6.6413 6.6410 6.6409 6.6409 6.6409

Fig. 3.18. Soluţionarea numerică..<1 problemei rezervorului utilizînd m2toda int-egrării de' or-dinul doi.

REZOLVAREA NUMERICA A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE

\ )\J

10

, ;j

0.5% eroare

l}rdIflIJ!pa ru

o.

20.

Fig. 3.20. VariaţiJ eiOm In funclie denumărul de CViliuări .ale deriv<lteL

aUI0.01

10

Pentru a compara metodele şi efectul mărimii pasului se defineşte un cri-teriu al erorii prin devierea soluţiei rezultate. prin integrarea numerică. de~a soluţia corectă Într-un anumit punct. spre exemplu t = 4 min. In' acest cazsoluţia' corectă este H = 4,2279. iar eroarea 'procentuală rezultată va fi:

% 100' (H - 4.2279)oe= ------ __ ... 4.2219

Fig. 3.19 reprezintă grafic În ordonate log-log •.. %e" În funcţie de mărimea.pasului. pentru fiecare metodă de integrare. Figura arată Îmbunătăţirea rela-iivă pe care o asigură metodele de integrare de ordinul patru faţă .de metodele-de integrare de ordinul doi şi unu, la orice mărime a pasului. Este demen-ţionat că metodele de integrare de ordin superior cresc mai repede precizia.la o scădere dată a 'mărimii" pasului. fapt care.rezultă şi din relaţia indicată-de teorie:

%e oc (Dt)'O

În care 1.0 = ordinul de integrare. Metoda d~ ordinul palru pare să se abali'puţin de"la această relaţie, datorită probabil caracterului neliniar al ecuaţiede rezolvat". . \

!ntrucît fiecare metodă cerc calculul unui număr diferit de derivate pentrliecare pas de integrare, ar fi mai normal să se compare avantajele. relati/'prin compararea numărului de calcule de derivate cerute În unitatea de ti....,în funcţie de eroare. Aspectul acesta este arătat În fig. 3.20 pentru fied" ..~.metodă de integrare: cu toate că este necesar un număr de derivări mărit

0.1 1Ittarimea t"ep/-eIOT(min)

Fig 3.19. Reprezentarea erorii 11r~CentualeÎn funcţie. de mărimea pasului.

STABILITATE'..'\. INTEGRARII NUMERlCE {Il 73

pentru fiecare pas metodele de ordin superior arată un avantai. clar prin numă-rul -de derivate calculate (NDE), sau echivalentul acestora, exprimat priatimpul de utilizare al calculatorului (T), pentru o eroare ;dată.

1n concluzie, această analiză arată că utilizarea metodelor de ordin superioreste mai eficientă intrucît pentru fiecare grad de precizie specificat (uzual 1%.este considerat. corespunzător) poate fi utilizat un pas mai. mare. Dacă însă.din alte raţiuni, dimensiunea maximă a pasului este limitată, poate să devinăconvenabil să utilizăm o metodă' de ordin inferior. Spre exemplu, dacă pre-supunem că, în problema rezervorului, s-ar fi specificat un interval de imprimarede 0,2 min şi s-ar fi specificat ul) criteriu al erorii de 1,,5% se poate observa dinfig. 3.19 că pentru aceste conditii metoda de integrare de ordinul intii ar fi fostsatisfăcătoare. ,vletodele de ordinul doi şi patru ar asigura, ce-i drept, o preciziesuperioară, dar aceasta nefiind necesară s-ar face În contul unui timp de rularede două ori sau de patru ori mai mare. Un alt factor care limitează de obiceimărimea pasului este stabilitatea soluţiei, care se va explica'În subcapitolulurmător. ' .

3.14. STABILITATEA INTEGR.ĂRII NUMER.ICE Il]

o dificultate comună inerentă 'integrării numerice esle instabilitatea; eaapare, în cazurile În căre trebuie simulate mai multe ecuaţii diferenţialesimultane cu un domeniu larg .al constantelor de timp. Pentru o înţelegereclară a acestui fenomen 'să considerăm următoarea ecuaţie liniara simplă degradul Întîi

5;

,,,,,

.//

5

/

t/:rJ.2

A

/ \,/ "

< ," ,/ "" '.f

"' / "'''"a .',// ". "" " \:

, b '~/ .•..--- - ----- ----',

// SoIu(,Jii corect~

2

':y =..!- *(I.-y).dt c

Soltitia: analitică a acestei 3ecuaţii pentru condiţia initi-alii Y '= ° l'a t = ° este

. ,y.7' 1. -. ee"l'.

Constanta de. timp a 'acesteiecuaţii este parametrul .•..Dacă 1se integrează numeric acel,stăecuaţie diferenţială, utilizînd

rmetoda. de ordinul Întîi şi .0 omărime a pasului DT =2 * .•.;. rezultatul va fi stabil la limită;.după cum se arată în fig. 3.2'1 -1 'cazul a: Dacă măriJ11eapasul ui oeste numai- "cu ceva mai m"aredecît valoarea. critică 2*"Ţ"re- Y'ig.3.21. Stabilit{ltcn e~uâ\iil()r diferenţiale de ordinuf

Întîi. Cazu! li, DT =- 2", "';; C:nuJ b,DT = .•; Ca-zultatul va oscila cu amplitu- zul. c, DT> 2c.

1---

74 REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUATJILOR DIFERENŢIALE

dine din ce in ce mai mare. O asemenea situaţie se numeşte instabilă. Pemăsură ce se scade _progresiv mărimea pasului, soluţia numerică se apropiede soluţia analitică corectă.

Pentru o ecuaţie simplă liniară de ordinul Întîi, cu o constantă de timp "dimensiunea critică a pasului pentru fiecare ordin de integrare este urmă-toarea:

Ordinul Întii DT c = 2 * •Ordinul doi DTc = 2 * •Ordinul patru DT c = 3. ,Cînd se soluţionează o singură ecuaţie diierenţială situatia aceasta nu

intervine, intrucit pentru a obţine o precizie rezonabilă mărimea pasului vatrebui să fie considerabil mai mică decît constanta de timp caracteristică.Dificultăţile privind stabilitatea se nasc atunci tind sint mai multe ecuaţiide_ rezolvat. Pentru a demonstra aceasta, să considerăm procesul arătat Înfig. 3.22, În care continutul unui vas mare este Încălzit prin mantaua men-ţinută la temperatură constantă. Cele două variabile care interesează sînttemperatura fluidului T şi temperatura TM indicată de un termocupIu plasatîn interiorul fluidului din vas. Printr-un-bilanţ de căldură asupra fluidului dinvas şi a termocuplului se obţin două ecuaţii diferentiale care pot fi normali-zate la forma următoare:

dT ~ (l -T)dO '

d(TM) = (T ~ TM) .~LO' ~

(3-4, a)

(3-4, b)

Schimbind dimensiunea tecii termocuplufui se .poate modifica valoarea lui- .,-Raportul Între constantele de timp ale ecuaţiilor 3-4, a şi 3-4, b va fi T întru-dt constanta de timp a ecuaţiei a este I minut. Raportul acesta va fi numit,în continuare "raport de condiţionare al problemei" (stiffness ratio),

'Să presupunem că in acest caz constanta de timp a tecii termoctiplului-este 0,03 minpte; extinzind cele găsite mai Înainte, pentru -solutia numerică,.se poate specifica, ca mărime maximă a pasului, valoarea 0,06 min pentru mc-iodele de integrare de ordinul unu şi doi şi 0,09 min pcntru ordinul patru,

Soluţia analitică. a ecuatiilor .3.4, a şi 3.4, b este

-Tm

T

-

Fig. 3.22. Vas cu capacitate: m~lr2cu termocJemcnt.

- I \TM = I ~ -'-,'. e(-O/~)+ rO I(T~ 1)..• I -

Prin soluţionare numerică util-izÎnd mehida deor"dinul Întîi, cub mărime a pasului de 90%din valoarea critică, adică DT "" 0,054 minute,rezultatele sint În limita de' 1% faţă de solu-jia analitică in regiunea T.M =0,5, Acest nivelde precizie, la o mărime aproape egală cu rnă-rimea critică a -pasului de-integrare a fost obţi-nut, pentru- sistemul considerat, pentru v,alori

STABILITATEA L""'lTEGRARl1NUMERICF. [1]

°10:1"Eroal'e

Fig. 3.23. Re-I fl tia. între crO<lre şi rap:Jrtul de condiţiomre.

75

ale raportului de condiţionare de la 0,2 la 0,005. Rezultatele pentru celetrei metode de integrare sînt sumarizate in fig. 3.23, din care se poate ve-dea că pentru rapoarte de condiţionare de 0,0,3 sau mai mici. se obţin pre-cizii acceptabile (%e '< 1%) prin metoda de o'rdinul întîi. Pentru asemeneacazuri, metoda. de ordinul întii este mai eficientă decît metodele de ordinul doi:şi patru, eficientă care se poate măsura prin raportul numărului de derivăricerut prin fiecare metodă, adică respectiv 2 şi 4.

Caracteristica de mai sus se accentuează cînd avem de a face cu sistemefoarte mari de ecuaţii neliniare rău condiţionate. Din această cauză în subru-tine INT descrisă în acest subcapitol, sînt cuprinse toate trei metodele deintegrare. Ele oferă programatorului posibilitatea să optimizeze timpul de'rulare pe calculator în raport cu stabilitatea şi precizia, experimentînd diver-sele metode de integrare. Procedeul ar trebui să fie următorul:

L Incepînd cu metoda de ordiriul p,atru redu mărimea pasului pînă cîndse obţine stabilitatea (~DT,).

2. Estimează preci"ia reducînd mărimea pasului la 1/2 * DT,.'3. Dacă se obţine' o precizie satisfăcătoare la valoarea critică a pasului.

se repetă execuţia utilizînd metoda de ordinul doi.4. Dacă prin metoda de ordinul doi s.a obţinut o precizie satisfăcătoare'.

se repetă operatia utilizînd metoda de ordinul întîi, şi 'se caleulează pre.cizia.

Procedeul de mai sus se aplică în cazurile în care timpul de rulare pe calcu-lator, pentru soluţia căutat ii, este excesiv.

În ultimul timp s.au dezvoltat metode sQfisticate [2] pentru a depiişi difi.:cultătile 'de instabilitate ale sistemelor rău conditionak Descrierea acestormetode însă depăşeşte cadrul lucrării de faţă.

76 REZOLVAHEA NUMERICA A ECUATIILQR DIFERENŢIALE

Metode de integrare cu pas variabil

O elasă largă de metode de integrare, numită "metode cu pas variabil '"are proprietatea de a controla permanent eroarea de integrare şi de a ajustaîn mod automat mărimea pasului; astfel incît eroarea- să se menţină in cadrulunei toleranţe specificate. Aceste metode sint frecvent intrebuinţate in situa-ţiile care implică integrare "deschisă", cu alte cuvinte, pentru sisteme fărăconexiune inversă interioară sau fără. autoreglarc, ca spre exemplu, în pro-blemele de navigaţie sau de traieelorii. Majoritatea problemelor din ingineriachimică sînt de tipul "închis",conţinind suficiente conexiuni inverse (feedback)interne astfel incit corecţiile de mărime ale pasului .sinf justificate doar incazuri rare; aceste metode. cer un timp de calculator cu mult mai mare pentrusoluţionare decit metodele direcfe descrise in acest capitol. Mai jos se vor des-(Tie două din metodele cele mai uzuale peniru corectarea automată a mărimiipasului. '.

3.14.1. Metoda implicită

J\\etoda aceasta poate fi aplicată cu 'oricare ordin de integrare şi constă inurmătoarea procedură (arătată simbolic in fig. 3.24) :

'1. Se efectuează integrarea pe intervalul DT iar rezultatul se reţine inmemorie (a ~ b). .

2. Se recalculează rezultatul integrind de două ori pe fiecare jumătate aintervalului total (a ~ c ~ d) ..

3. Rezultatele integrării intr,o singură treaptă şi in două jumătăţi detreaptă se compară intre ele (b - d).

4. Dacă diferenţa este mai mare decit o anumită toleranţă specificată, serepetă procedura (punctele J, 2 şi 3), utilizind jumătate din mărimea pasuluiiniţia!. .

•

bd

,,.,,,I,,- ,II,,,I

----D'T---

]:iig. 3.24. Ilustrare;"! metodei im-plicite.

5. Ciclul de operaţii de mai sus se repetăpină cind este satisfăcută eroarea specificată decătre toate variabilele integrate.

6. După ce s,a găsit o mărime a pasuluiadecvată calculul continuă la intervalul urmă-tor, în care se va încerca un pas de două ori maimare.Prin metoda aceasta se Încearcă să se crească

mărimea pasului cind este posibil şi, de asemeni,să se reducă mărimea pasului în cazurile încare toleranţa erorii nu este satisfăcută. Metodaare deci următoarele avantajele:

1. Satisface toleranţa erorii, pentru toatevariabilele, pe. parcursul intregului interval deintegrar~, asigurind o soluţionare satisfăcătoare,

STABILiTATEA J,NTEGRARII. NUMERICE [1]

Fig. 3.2"5" Dou5 c;}zuri cu o er~afc maximă de ]0%.

•

3.14,2, Metode explicite (Runge- K.utta-Merson)

Metoda aceasta de integrare cu 'pas de dimensiune variabilă este mai efi-cientă decît metoda implicită discutaţă in subcapitolul precedent. In esenţă,constă în metoda de integrare de ordinul patru Runge-Kutta, cu o eroare detrunchiere proporţională cu puterea a patra a mărimii pasului, modificată deMerson ca să pcrmita estimarea explicită a erorii cu un singur calcul 'supli-

. ,'tO/30 __ ,----

•....•..• ,(20 ...•.. •

,;'/ :110 .•.' t

/ I/ I

/00 t.a

2. Tinde să crească mărimea pasului de integrare pentru a reduce timpul.<Ie calc'l. .'. ' .

..'.ceste avantaje fac ca metoda să 'fie recomandabilă pentru începătoriSdU ,penl.ru utilizatorii ocazionali, care nu posedă cunoştinţele fundamentalepentru a aplica metodele mai directe descrise mai înainte în acest capitol.Pentru a obţine precizia dorită prin .această metodă este necesar un timp decalculator mai mare pentru fiecare soluţie. In timp-ee metoda de ordinul patru,pentru un singur pas, necesită patru. calcule de derivate, metoda cu pas variabilnecesită Il astfel de :alcule. Procedeul impune cel puţin un pas de incercaresuplimentar (d~ două ori mărimea pasului anterior) la fiecare interval: astfel, lafiecare pas sint necesare cel puţin 22 de calcule de derivate, Dacă avem de rezal.vat un sL~em de ecuatii diferenţiale-rău condi'ţionat, în care este satisfăcătoarejlrcciziadată de metoda de ordinul întîi, la mărîmea critică a pasului, aceasta'va fi de 22 ori mai rapidă decit metoda de ordinul patru cu pas variabil. Inplus reducind ,nărimea pasului astfel încît variabilele să satisfacă eroarea spe.cificată, prin metoda cu pas variabil se poate reduce pasul de integrare mai multdecît. ar fi necesar.

Aceasta se întîmplă deoarece unele din variabilele intermediare, care inter'vin în ecuaţii avînd constante de timp mici, pot să fie foarte eronate fără caprin aceasta să fie afectată precizia variabilelor primare care interesează în pro:blemă. Este, de asemenea, de menţionat că noţiunea de toleranţă a precizieinu este prea clară, aşa cum s-a discutat în subcapitolul 3,2. Fig. 3.25 ilustreazădouă cazuri: (a) cu eroarea' neacceptabilă şi (b) cu eroare acceptabilă, deşiambele rezultate prezintă la 1; aceeaşi eroare de 10%,

Rezultă de aici că o toleranţă a erorii stabilită arbitrar nu reprezintă înmod necesar un criteriu satisfăcător pcntru acceptarea soluţiei.

3.15. SOLUŢIA ALGEBRICA A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE

Capitolele precedente arată faclorii care determină mărimea critică a pasuluipentru a integra un sistem de ecuatii diferenţiale rău condiţionat. Acest facloreste definit prin raportul celei mai mici constante de timp, care stabileşte

I .V"+l ~ V" + 5(dV1 + 4 dV, + dV,).

Valoarea estimată pentru eroarea de trunchiere este

__ ( 1 )(dV _ 9dV'-L 4dV dV,)<:-/-- 1 --, ,~-.;) 2 . 2

rn programul general, procedura de ~,ai sus se efecluează pentru fiecare varia-bilă, iar eroarea c, se transformă într-o eroare fraclionară sau absolută şi secompară cu o toleranţă specificată. Dacă. croarea este mai mare decît tole-ranla se repetă integrarea la jumătatea intervalului etc. In inte"rvalul careurmează unei .estimări acceptabile se încearcă cu un pas dublu pasului ante-rior, în mod analog ca în metoda implicită.

Avantajele şi dezavantajele metodelor de integrare cu pas variabil, discu-tate în capitolul precedent, se aplică şi la metoda Runge-Kutla-Merson, deşiinconvenient ele nu sînt atît de severe. Trebuie remarcat totuşi că volumul decalcule ce trebuie efecluat pentru integrare, în afară de acele cerute pentru cal-culul derivatelor, este sensibil mai mare decît în metoda implicită şi acestinconvenient se accentuează pentru ordine de integrare mai mari. decît patru.

REZOLVAREA NUMERICA A ECU AŢIILOR DIFERENTIALE.78

Evaluarea

Evaluarea 5

Evaluarea 4

Evaluarea 2

Evaluarea 3

mentar de derivată. Procedeul va fi schi lat prin următoarea serie de cinci cal-cule de derivate, în modul în care se aplică într-o formă generalizată la ecualiadiferenlială a rezervorului, descrisă în subcapilolul 3.2. .

dV =f(V 1)dt .'

DtdV1 = f(V., In) *-3

dV,=f(V.+dV"

I.+~)*~3 3

dV ~f(V ...LdV,+dV, t+Dt).~3 '1112 2"/1 3 3

dV, = f (Vn + 3dV, + 9dV, I +~) .• ~8 8'" 23

dV,=f(V.+~d-"2._9dV'+6dV I +DI)* Dt_2 2 • 4, II 3

Integrarea finală se efecluează cu următoarea formulă de medii ponderateale derivatelor:

•

SOLUŢIA ALGEBRICA A ECUAŢIE! DIFERENŢIALE 79

mărimea critică a pasului şi cea mai mare constantă de timp, care stabil~tedomemul de integr.are. Dacă acest raport este foarte mic, să zicem mai micdecît I /20 sau 1/30 sistemul de ecuaţii se num~te rău condiţioni't; esteposibil ca în unele cazur; să mărim raportul de condiţionare, eliminind din sis-tem ecuaţiile care au .constante mici de timp. Aceasta se realizează conver-tindu-Ie În 'ecuaţii algebrice. Să presupunem, spre exemplu, că sistemul nostrude ecuaţii conţine următoarea ecuaţie

dV. = .!.. (f(l) ~ f(ll))dt '" .

în care constanta de timp'" este relativ mică faţă de constanta de timp maximăa sistemului. Dacă ecuaţia se rezolvă prin integrare

V = ~~ (f(l) - f(V))dl-

este necesar un pas mie de integrare. Alternativa constă în a' ne da seama căÎntrucî.t ..,"este mic expresia ",'dV/dl va fi, de asemenea"mică în comparaţiecu f(l) sau cu f(V). Astfel, într-o primă aproximatie, ecuaţia poate fi rezol-vată pentru V neglijînd termenul derivatei, cu alte cuvinte

f(V) "" f(l) or V "" fI(I).Jncursul formulării iniţiale a problemei, cînd analistul va ignora introducereaîn memorie de mase şi energii, care sînt considerate nesemnificative, procedeulacesta se aplică foarte frecvent. Analistul, în cazul acesta, îşi poate definisistemul prin IN = OUT. Astfel, de exemplu, în problema rezen,orului des-crisă mai înain\.e sub forma

dH 1di =X(Q,- Qo)

nivelul' H ajunge repede la echilibru în cazul în care secţiunea este foarte' mică;astfel încît

Qo "" Q,.Neglijînd starea de echilibru, adică termenul A (dH /dl) ecua(ia. se re(!ucela' Qo= Q,. Relaţia exactă poate fi rezolvată redefinind-o sub forma:

dH .Qo- Q,- A-

. . dt .

care. poate' fi rezolvată în mod satisfăcător pentru Qo atîta timp cît termenulA(dH/dl) este relativ mic.în cOIhpar'aţie fie cu Q, fie cu Qo. Dacă acest termeneste mare există riscul de instabilitate, iar în acest caz trebuie să.' se recurgăla rezolvarea prin integrare. Pentru această rezolvare exactă procedeul constăîn a obţine variapila. care apare sub formă diferenţială (H), se. calculează/ diferenţIa1a 'acestei variabile şi se substituie în ecuaţie, adică

dltQ,= Q, - A *di

. Ii'H=-' .( ;

•

80 REZOLVAREA NUMERICA A ECOAŢIILOR DIFERENŢ-IALE

\

II.,,,, ,,, ,,, ,, ,, ,, ':,,,,

l, t2

,,,,,t.

Viteza de variaţie a lui H trebuie să fie calculatăca o "derivată inversă\l. Aceastq înseamnă 'că peparcursul pasului 12 ~ ia se utilizează derivata de la ,pasul 'precedent, cu. alte cuvinte (H 2 ~ H ,)I(i, - i,)(fig. 3.26). După aflarea derivatei, prin extrapolare, . Jaceastă valoare va fi utilizată la pasul următor etc. ;procedeul descris poate îi generalizat şi se va pre-zenta mai jos În subrutina DER.'

3.16. SUB RUTINA DER

fig. 3.26. Derivată inversă. Această subrutină se utilizează pentru a generaderivata unei yariabile Y În raport cu orice altă

variabilă X a problemei. Mecanismul intern al rutinei este bazat pe siste-mul INT pentru rezolvarea ecuaţiilor diîerentiale. Astîel nu avem de a facecu o rutină independentă care să poată fi utilizată În orice program; pen-tru aceasta se impun modificări speciale. Prima variabilă În lista.pe argu-mente (fig. 3.27) este Y, a cărei derivată trebuie să fie determinată În ra-port cu variabila X, care este al doilea argument. Derivata DYDX apare atreia În lista argumentelor, iar ultimul element, 1, specifică numărul de ordineal apelului (CALL). Derivata se calculează numai după terminarea unui pasde integrare: pentru metoda de ordinul patru după un ciclu În care JS4 = 4,iar pentru metodele de ordinul unu şi doi pentru JS = 2. Prin urmare. În acestecicluri derivata se recalculează (linia 10), utilizînd valorile lui X şi Y, memo-rate În masivele AY (I), AX(I) În ciclul precedent, şi valorile curente ale lui Xşi Y din lista de argumente~' Valorile din memorie.X şi Y sînt apoi Înlocuiteprin valorile curente X şi Y (liniile 7 şi 8), Înainte de a ne reÎntoarce la pro-gramul apelant. Intrucit pentru a determina această derivată este necesarăcunoaşterea valorilor X şi Y anterioare, la trecerea iniţială (T =O) nu se poatecalcula derivata; la această trecere se introduc În masivele respective,valorile iniţiale ale lui X şi Y.Derivata iniţială poate fi estimată saucalculată În secţiunea de' iniţializare şi poate fi introdusă În lista de argumenteca o condiţie iniţială.

,.'z •3 •q

5G •., .8•10 • -

II'P •

SUSRoutIN( OUllY'oltiOYOXolJCO""MON/CINT IT. DT _..1 9!.JN .OXA 1 SODI IU iSOiJJ. IO.JSIf01,",(N510N A yt'IGI, AX t 10)IF IT elE. o.) GO Ta 6 .IF llJSq .EG. '41 .OR. IJS ~EQ. ZII GO 10 5'RE tuRN

.6 AHll~YAX 1 I. J=lfR[T UR.N

50YDX':fY-ATtllIlU-AXIUJG o TO e.

, ENO

Fig. 3.27. Subrutina DER,.List<l argumentelor: Y = variabila- Y; X = variabila X; DYDX = dcrivata

lui Y f:lţă de X ; I = r~lImărul de ape! .

. -

SUBRUTINA DER 81

Trebuie reamintit că utilizarea acestei subrutine Într-o ecuatie implică (}aproximare din cauza derivatei inverse; pe măsură ce scade valoarea deri-vatei, inexactitatease \Ta reduce în mod corespunzător.

Probleme

Un proces discontinuu constă din următoarea succesiune de reacţii chi-mice

R,A+B~C

C+ B~D.

Ecuatiile diferenţiale care .definesc bilanturile moiare pe componentisînt

dAdrj= - R1

dB- dO = - R1- R,

de =R1-Rode •

dD = RodO -

in care vitezele de reactie R 1 sînt

R, = k,AB ~ k;C

R2 = k,BC.

• I. Se obtine compoziţia A, B, C şi D În functie. de timp, utili"înd datelede mai jos:

k1 = 0.001

k; = 0.015

k, - 0.001

la O= O,' A = 10.-

o la O = O, B = 20.

la O = O, C = D = O.

a. Cu un. interval de imprimare de 10; se continuă rezolvarea pînă cîndO--c:200,. utilizînd metoda de ordinul Întîi şi o mărime a pasului suficient demică pentru.a reduce eroarea sub 1%. ,Defineşte Î[1acest caz" %e" sub forma• = (B -, B')100/B', pentru B "" 10, În care B este valoarea calculată şiB* este valoarea exactă. . '. '. • ._. b. Se repetă rezolvarea utilizînd metodele de ordinul doi şi patru ..Determină

În fiecare caz mărimea necesară a pasului pentru a mentine .In",," < I.se compară mări mile pasului necesare în cele trei metode şi se fac comentariiprivitoare la eficienta relativă a metodelor .•

6 - MOdclaren şi simularea in ingineria chimică _ cd. 29

• "of.

82 REZOLVAREA NU:1'oIERICAA ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE

2. Se repelă I a) şi I b) cu un sislem rău condiţional, modificînd pe k,pînă la 0,4 şi pe k, pînă la 0,01. ,

3. Repelă problema. de la punctul 2, inlroducînd li, şi R, În ecuaţia dife.renţială a lui C şi obţine pe C pe cale algebrică, neglijind termenul dC/de.

4. Se 'repetă problema de la punctul 3 fără a neglija derivata de mai Îna-inte, de/de. In problema 3 şi 4, observă relaţia Între precizie, mărimea pasuluişi metoda de integrare.

5. Rezolvă problema 1; introducînd urmălorii coeficienţi În ecuaţiile de lipArrhenius:

k1 = k2 = 5 * 1018 * e(-15000IT)

k~= 75 * 1018 * e(-lf.0001T}.

Temperatura T se obţine din ecuaţia de bilanţ termic:dT . .- = (R1+ R,) .10+ (300. - T).(:') - .

6. Arată modul în care pasul de integrare de mărime variabilă şi intervalulde imprimare Îmbunătăţes<; timpul de calcul şi distribuţia densităţii de infor-maţii În cazul problemei de la 5.

7. EcuaţiiledY, = -0.041', + 10"1'"1',dl .-

e1YI, = 0.041', _ 10'1'21', _ 3.107Y~

, . .dY'=3.107Y~ci

În care Y,(O) = 1, 1',(0) = O, 1',(0) = O reprezintă un sistem de ecuaţii al vi-tezelor de reacţie [IJ considerat ca exemplu de sistem rău condiţionat [3]. Să searate că:

a. Soluiia obţinută utilizînd RK4 cu Dt = 0,001 este nestabilă după t ~ 18.b. Se poate obţine o soluţie stabilă utilizînd o metodă de integrare cu pas

variabil, Dt determinat de 1'" adică Dt ~ f(Y,).c. Se poate obţine. aproape aceeaşi soluţie utilizînd acelaşi Dt, ca şi În b,

cu ajutorul melodei de integrare de ordinul întîi.d. Rezolvind cazul pentru 1'2 în mod algebric (adică d l' /dt = O) se poate

obţine aceeasi soluţie cu o mărime a pasului mai mare cu cîteva ordine de mă-ri~. \, .

8. R.eacţia exatermică A + B .~ C + D se efectuează Într:un 'reactar pre-văzut cu manta exterioară, prin care .ţrece un debit constant de apă F ro, intrindla temperatura T Ji (40°). Să se calcu- .leze temperatura şi compoziţia fluidului tw.•• l bdin vas utilizînd datele următoare: ;~,:./ /, .1'711))'//;/' c:/ ";t;~:lt;:o~~~~1~~:i~~!fi~~~~i~~IUde: . TJi ~:. . .. ,.. Ţ ... ~fW

II

SUBRUTINA DER 83

l

(b) şarja iniţială: 30 moli A + 24 moli B, la temperatura de iO°e.(c) viteza de reacţie este de ordinul doi, fiind proporţională cu concentraţia

fiecărui component (moli/It'). Coeficientul vitezei de reacţie este k = 2,58 xx 105exp.(-5 OOO/T("K)), În it'/(mol.min).

(d) căldura de reacţie este 10,8 x 10' PCU/mol de A sau B care reacţio-nează, iar capacitatea calorică medie a masei de reacţie este 300 PCU /mol 0e.

(e) se admite că temperatura medie a apei din manta este egală cutemperatura de ieşire a masei de reacţie, iar temperatura iniţială este 40°e.Cantitatea de căldură care se transmite Între manta şi masa din readareste 40.000 PCU /min .0c.

Debitul apei de răcire prin manta este F w = 6 8ii Livre/min, iar capacita-tea calari că a apei din !nantaeste 2000 PCU re.

BIBLIOGRAFIE

.1. .,Rcvi~l'! of Numerical intcgratiJn 'TcclJnique..<; for StiH Ordill;HY Diffcrentia[ Equatbns",J. Sienfi~ld, L. L:Jpidus and [-1. H\vang, lttd. Eng. Chem. FUlld. 9, 110. 2. 19iO.

2.. ,The Allt;)matL~ IntegralÎ:Jn cf Orcindry Differential EquatiJlls" C. W. G2ar, emUlI. af tileACNI, 14, Np. 3, Mar.:1J 1970.

3. "SJluti;)1l of a s.~t Reaction Rate EquBtbns", H. H. Roo2rtsan, in Nilm::rical A!lalysis,J. W<:Ish{ Ed., ThelTISOll Rook, Washington, D.C., 1967. .Pelltru o dL;:'lI(i~ m&.i dct,dl<ltă şi mai flvan;;3tă n s~lbie.:L~lJr din aC2st capitol să s.:'consulte:

4... 4....,p!iei Nwn~riC1l A1?!.'ToJs", [3. C1flBh111, H. A. L'.iliJ2i, anj J. O. \Vilk~s, \Vi!~y, NewYork. 197'0.

I

I

I 4. l~LEMENTE DE

, .

i\'lODELARJ~

N

Fig. 4.1. Bloc de flux inform<ltiond.

-

Cap. 1 de'scrie procedeul de soluţionare a problemelor prin utilizarea abor-dării analitice. Este de remarcat că dificultatea de rezolvare a unui număr marede ecuaţii complexe rezultînd din analiza proceselor se elimină, în mare parte,graţie calculatoarelor puternice. In cap. II şi III se arată că aceasta se poaterealiza dezvoltînd o serie de subrutine care servesc la soluţionarea ecuaţiilorcomplexe algebrice şi diferenţiale. Aceste rutine conţin procedura pentru integr'arenumerică şi pentru iterare astfel încît programarea unui sistem de ecuaţii sereduce la' a face apel la subrutinele corespunzătoare. Pentru a recapitulape scurt să considerăm o ecuaţie diferenjială dintr-un sistem

d~(NX.) = FRXCR + R - VY,01 .

Singurul efort de programare cerut de soluţionarea acestei ecuaţii este următoa-rea atribuire FORTRAN în secţiunea de derivare,

DNXC = FR * XCR + R - V * YC

şi apelul la subrutina de integrareCALL INT(NXC, DNXC)

care apare în secţiunea de integrare, cu prevederea valorii iniţiale a lui NXC.Pentru a obţine variabila XC (care este o compozitie) se efectuează o împărţireîn secţiunea de derivare ,'XC ~ NXCJN. Procedeul de listare a ecuaţiilor şi iideclaraţiilor sau instrucţiunilor într-o ordine adecvată este o procedură ele-mentară. In textul care va mai urma se vor utiliza diagrame formate din blocuri

. ce descriu fluxul informa ţi-onal' pentru dezvoltarea mo-delelor matematice a siste-melor fizice. Pentru ecuaţiade mai sus blocul informa-ţianal este "arătat, c.u .nota-ţiile respective, în fig. 4.1.

ELEMENTE DE MODELARE. 85

Fig. 4.2. Bloc tipic de integrare:'

RNFigura reprezintă faptul căfiind date toate variabilele, cuexcepţia uneia necunoscute (X elecuaţia poate fi uşor rezolvatăpentru această necunoscută prii! VYe d ( .

X . d-t ffXc) = FRXCR + R- VYeutilizarea unui procedeu nume- FR c~ric adecvat. Scopul acestor5cheme logice cu' blocuri infor-maţionale este acefa de' a creao imagine clară a legăturii directe ce trebuie să existe între modelul analitic şi5istemul analizat. Prin aceasta se speră să se elimine o mare parte din sternitateaaparenf[, a ecuaţiilor matematice, prezentîndu-le astfel ca expresii elegante ale.relaţiilor inginer~ti. In schemele logice complexe, cu blocuri interconectate,adică în modele, este importantă distincţia între ecuaţiile care urmează să fierezolvate algebric şi acelea care urmează să fie rezolvate prin integrare. Raţiuneanecesităţii de a face aceată distincţie constă în faptul că analistul trebuie săidentifice prezenţa oricăror bucle implicite din model pentru a putea lua măsu-rile necesare în programare. Toate blocurile de integrare sînt de aceea notate laieşire cu un triunghi negru aşa cum se arată în .fig. 4.2. -

Această ieşire poate fi considerată ca un punct de plecare cînd se elaborează5uceesiunea FORTRAN a secţiunii de derivare, adică ieşirile tuturor ecuaţiilordiferenţiale sînt disponibile la începutul secţiunii de derivare. Pentru modelelecare nu contin bucle algebrice implicite toate celelalte variabile, inclusiv deri-vatele, pot fi obţinute în mod explIcit din aceste variabile de plecare, fără a finecesar să se utilizeze variabile care nu au fost definite prin declaraţii precedente.In cazurile în care aceasta nu se poate realiza înseamnă că sînt prezentate bucle.algebrice care impun apelul la subrutina CONV (vezi cap. 11).' Exemple de ase-menea cazuri sînt discutate în capitolele care urmează .

•Principii de modelare

Pentru a putea elabora modelele matematice prin procedeul prezentat maiînainte, trebuie respectate cîteva reguli :

1. Pentru sistemele fizice trebuie să existe un număr de ecuaţii independente(neredundante) egal cu numărul mărimiior necunoscute.

2. Orice ecuaţie poate fi soluţionată, pentru a afla o cantitate necunoscută,cu condiţia ca toate celelalte valori ale necunoscutelor să fie obţinute din cele-lalte ecuaţii ale sistemului. .

3.. Ecuaţiile trebuie să fie aranjate astfel încît fiecare să fie rezolvată pentru.a afla una

ldin cele mai semnificative mărimi din respectiva ecuaţie, aceasta

.avînd în vedere aspectul fizic al problemei.Dacă aceste reg'uli se aplică corect, ele trebuie să conducă la modele mate-

matice convergente şi stabile.Restul acestui capitol tratează m?dul de abordare al modelării matematice

.a sistemelor fizice, plecînd de la un sistem foarte simplu, comun multor procesechimice, şi crescînd mereu complexitatea sistemului. Diagramele cu blocuri. . .

86 ELEMENTE DE MODELARE

/

de flux informaţional devin maiample pe măsură ce sistemul fiziedevine mai complex. Se va arătaÎnsă că complexitatea mărită nucere decît includerea În model a

I~ mai multor ecuaţii, fără a provocaFig. 4.3. ReZ-Cfvor eli climcnÎJre si evacuare con- prin aceasta modificări ale modelu-

tinuă.' lui de bază. Sistemul fizi<; care seva examina constă dintr-un vas

bine agitat, cu un debit continuu şi cu variabile dependente caracteristice cadebit, presiune, amestecare şi reacţie chimică. Ca prim caz, să considerăm unrezervor În care se introduce un fluid cu debit constant F 1 şi din care iese un.fluid cu debit constant F2, ambele fiind cunoscute. Este de observat că debitele.'sînt funcţii de timp şi, În general, 'pot să nu fie constante. Se cere să se deter-mine nivelul Z al f1uidului din vas În orice moment I (fig. 4.3).

4.1. REZERVOR HIDRALJLlC SIMPLlJCazul 1

Se aplică ecuaţia bilanţului de materiale, care, poate fi formulată astfel ::debitul de acumulare = debitul.de intrare-.debitul de ieşire.

Debitul de acumulare se exprimă prin variaţia În timp, a volumului de fluid,cu alte cuvinte, dV/dl. Dacă secţiunea vasului este A volumul va fi ZA, iardV/dt devine d(ZA)/dl = AdZ/dt Întrucît A este constantă. Ecuaţia pentrusistemul acesta poate fi scrisă sub forma

dZA-=F1-F,dl .

Această ecuaţie este arătaU, În fig. 4.4 unde este dispusă sub forma unei diagramede flux informaţional.

Modelul acesta exprimă faptul că introducînd valorile celor două debiteF, şi F, În prima ecuaţie sub forma unor funcţii continue de timp se poate cal-cula derivata dZ/dl ca o funcţie continuă de timp. Această derivată poate fiintegrată În mod continuu (după C\lm se arată În blocul al doilea) pentru a,obţine pe Z, ,nivelul Jichidului din vas, ca o funcţie continuă de timp. UzualiEste convenabil ca a doua operaţie, aceea de integrare a derivatei, să se cu-

z

Intriri

r,-r2------, [clJaţJlleslStemlllul -------- •.•• le~irJ_____ ~dZ

A dZ = J, -'2 -!!!... 1 = f (dZ) dtdt . dt

REZRVOR HIDRAULIC cu FLUX VARlABU .•.87

,IntrJri---.Ecuaţlil~ sistemului --- leş""

F I . ~--.!....- d Z . ZF. A - = Ff - .Fz2 dt.------- .

, ,

• prindâ în primul bloc, admiţîndu-se cădZ jdt poate fi integrată, pentru a obţinevariabila Z. Prin aceasta modelul se sim-plifica, luînd. forma diagramei din fig. 4.5.Este de observat că întrucit A este con-

_stantă, valoarea ei este presupusă cunos- Fig. 4.5. J'}?delu\ rcz(:.'fvoruhli din fig. 4.3.cută şi nu trebuie să fie furnizată în in~.trarea blocului.

Dacă se furnizează F, şi F, şi.o valoare iniţială pentru nivelul din vas, Zo,ecuaţia aceasta poate fi rezolvată cu un calculator pentru a da valoarea lui Zca o funcţie. de timp. Exemplul de mai sus a fost utilizat pentru a ilustra ideeacare stă la baza reprezentării unei ecuaţii ca o parte componentă a unei dia-grame cu blocufi informaţionale. Un caz mai complicat ar fi acela în care atitdebitul de intrare, cît. şi de ieşire sînt influenţate de nivelul din rezervor, dupăcum se va vedea în cazul următor:

4.2. REZERVOR HIDRAULIC CU FLUX VARIABIL

Cazul 2

In acest caz (fig. 4.6) debitul de intrare F, trece prin supapa de intrare subacţiunea unei presiuni P" Presiunea în aval de supapa de intrare are valoarea P,egală cu presiunea hidrostatică din vas la nivelul supapei. In mod similar,debitul de ieşire trece printr-o supapă cu presiunea P,în amonte şi P, în.aval. lntrucît debit ele. F, şi F2 sint. influenţate de o variabilă a sistemului.~ianume de nivelul Z, ambele devin variabile dependente, iar timpul şi presiu-nile Po, PI şi P3 sînt variabilele independente. Intrucît sistemul are patru va-riabile dependente. (F" F" Z şi P ,) sînt necesare patru ecuaţii pentru a lecalcula. Prima este ecuaţia de bilanţ arătată în exemplul precedent.

dZ 1- = -'(F, - F2)dl "A

Acesteia se adaugă. două ecuaţii de curgere prin supape:

F, =C"J(P, - P,)

F, ,;,CI',J(P, -P3)

În care C v' este constanta supapelor.

Fif!. 4.6. Rezervor CI1 alin"en:t;)H' şi C'v2cu<Jrc.

88 ELEMENTE DE MODELARE

P, Robinetul 1 F,-+'

Fi.= /(V/V P1- P2Bi.'3flţ de masa

pE' vasdZ 1- = - (FI - 0,)dt .A

Robin_tul 2

F2= KV2VP2- P3

z PresiunDa

ng. 4.7. M:){:1el 1. V:lriantă a modelului pentru sistemul din fig. 4.6 ..A patra ecuaţie corelează presiunea P2 cu nivelul hidrostatic Z

P2=PO+?Zîn care ? este densitatea.

Aceste patru ecuaţii pot fi dispuse sub forma unor modele în cele trei mo-duri diferile, arătate în fig. 4J. Diferenţa între aceste modele provine de la mo-dul de selee!are a diverselor ecuaţii pentru obţinerea fiecărei variabile. Deşi fie-.care din aceste modele este din pune! de vedere matematic raţional, mlmai pri-mul dintre ele are sens din Rune! de vedere fizic. rn acesta fiecare ecuaţie esfe.utilizată 'în succesiunea şi forma "naturală": debitele F, şi .F, rezultă ca un.efee! al.presiunii care se exercită de fluid asupra supapelbr. O succesiune "ne-naturală" a acestei ecuaţii (modelele 2 şi~3) ar fi să impunem debitul şi să de-ducem, din ecuaţie, presiunile necesare pentru a produce acest debit,' ceea cereprezintă un exemplu de raţionament abstrae! care nil este bazat pe relatiade cauză şi efee! care are loc în natură. (Cu toate inconvenientele arătate de.autor, astfel de cazuri intervin uneori în prae!ica proiee!ării)*' In mod similar,.ecuaţia bilantului material poate fi utilizată matematic fie pentru a obţinedebitill F.-(modelul 3) sau F, (modelul 2) dacă se cu'noaşte unul din debilele

...şi nivelul Z ca o funcţie de timp. Nici 'în acest caz nu avem o secvenţă de cauzăşi efee!, deoarece variaţiile de debile F, şi F, sînt acelea care produc variaţiani.velului Z, ceea ce sugerează ca ecuaţia bilanţului de material să fie utilizată.ca în 'modelul 1.

Un alt exemplu de raţionament abstrae! esfe ilustrat prin utilizarea ecuaţici,de bilanţ material în fig. 4.7, model 2 : "Dacă unul dih debite F, este introdus.în ecuaţia de bilanţ'material, cum trebuie să varieze celălalt debit F, pentru casă producă variatia observată Z a nivelului .din vas ?". Există două motiveimportante pentru a prţfera modelul "natural" fală de alte aranjamente posi-bile din pune! de vedere matematic. Primul constă în .faptul că. întrucît mo-delulnalural este bazal în mod riguros pe relaţia de cauză şi efee!, va permile

. *' Obs'2l"vaţia traducătorului.

REZERVOR HIDRÂULIC CU FLUX VARIABIL

Preslllriea

•89

Z

Robinetul 2

P, Robinetul I

Bilanţ de masă pe vas F2dZ 1

d/= A (F, - F2)

F,

P2F2 = KviV p. - P3•

Fig. 4.7. i\bde! 2. Vari<.!JllJ <l 111Jdelului pentru siste:Tluf elin fig, 4.6.

I • analistului să aibă o vedere clară a mecariismului real al sistemului. AI doilea~ constă in faptul că modelele "nenaturale" conduc adeseori la dificultăţi de cal-

cul provenind din instabilitate sau divergenţă, pe cînd modelele. naturale sintinerent stabile din punct de vedere al calculelor (excludem de aici instabilită-(i1e numerice descrise în cap_ II). -

Presiunea

P2 ~ Pa + zf Z

8ildnţ de masa pe vasF,

dZ 1dt .= A (F, - F2)

Robinetul 2

F2 ~ KviV p. -.P3

Robinetul 1•

F, = K~lVP, - P2

Fig. 4.7. Model 3. Variantă a modelului pentru si.stcffiul din "fig. 4.6.

90 ELEJVIENTE DE MODELARE

-

4.3. REZERVOR ÎNCHIS,Cazul 3

Cazul urm'ător ce se va studia este similar celui precedent, cu excepţia fap-tului că vasul este complet inchis (fig. 4.8) şi astfel presiunea Po nu mai esteconstantă, ci devine o variabilă. Se 'cere să se coreleze această presiune cu va-,riaţia nivelului suprafeţei libere a lichidului. Este evident că' deplasarea su-prafeţei În. sus şi În jos va avea ca efect o comprimare şi, respectiv o destinderea gazului din spaţiul liber, provocînd modificări ale presiunii. Po. Admiţîndun gaz ideal relaţia Între variabile se defineşte prin ecuaţia legii gazelor:

PoVG=mRTGin care variabilele se referă la gaz şi reprezintă Po .:.. presiunea, VG = volumul,Te = temperatura, !Il = masa gazului şi R = constanta gazelor. .

Se admite că expansia şi compresia sînt izoterme, adică temperatura Tarămîne constantă, că vaporizarea de la suprafaţă. este neglijabilă şi că masade gaz !Il rămine constantă.

Dacă secţi~nea vasului este A, volumul de lichid va,fi AZ, iar dacă Voreprezintă volumul total al 'vasului, V" = V - AZ este volumul gazului.Aceste două ecuaţii sint dispuse in modelul arătat În fig. 4.9. Anexarea lor lamodel este arătată În figura 4.10. O soluţie a acestui sistem de ecuatii ar putea'să constea În determinarea variatiei nivelului Z pentru un regim dat al luiP ,(1) şi P3(1). Astfel de soluţii sînt greu de obtinut prin tehnicile matematiceuzuale, dar pot fi uşor programate la un calculator de orice programator com-petent. Prin prezentarea problemei Într-un model natural se reduce a.ctivita-.tea programatorului la efectuarea unei proceduri simple.

Pentru a pune in evidenţă relaţia intre ecuatii şi sistemul fizic este adeseoriconvenabil ca modelul matematic să fie astfel dispus Încît să.se asemene cu oimagine a sistemului fizic. Spre exemplu', modelul din cazul 4.3 poate fi dispusca să se asemene cu vasul arătat În fig. 4.11. Pentru construirea unui model"natural" este avantajos ca, În cazul problemelor mari, blocurile să fie dispuseÎntr.o succesiune de 'imagini.

Cazul 4.

Spre deosebire de cazul 4.3, in care s-a presupus că volumul de gaz se com-primă in conditii izoterme, În cazul prezent se admite compresia adiabatică,în care temperatura gazului nu mai rămîne constantă şi variază cu compresia.Deşi este valabilă aceeaşi lege a gazelor (PoV G= !Il RT G), este necesar săfie date temperatura T G şi V G pentru a putea calcula presiunea Po. Pentrua defini temperatura se utilizează relaţia Între lucrul de compresie asupra ga-zului şi căldura sensibilă a gazului. TI}cazul acesta, -adiabatic, Întreaga can-titate de căldură echivalentă lucrului efectuat asupra gazului (sau de către gaz)

•IiII,II

.~

1 ',,'l

REZERVOR INCHIS 91

Po \

fi

zp,.2

Fig. 4.8. Vas închis.

Volumulde gaz VG Legea gazelol'

I VG=Vo-AZ POVG = mRTs

ti ~Po

Fig. 4.;}. Modd pentru v..:.llim~ji ele gi..z.f

P,- Robinetul I

Ft = kvt..;p;= P2Volumul de gaz ve

~G= Vo-AZ

Legea gazelorPove î:::: mRTG

RobInetul 2

f2 =' I<Vl!.j P2 - Pa

[/lIant demasa peF2 .---.. dZ 1

- = -(F., - F.). dt A 2

z Presi,!neaPg - Po + ZP

-Pefig. 4.]0. '.t\\cd('j pentru lin v:s Închis.

I,, F2L _

P.F2= KV2-./P2 - Pa

z

II

II,I Z. f":''''''''0.. w..''0 ~"0.%'0:-~~'V0:.,.I

II

F, Ip, -1 .

1 r,,,,K.,-./(P'-P2!

Fig. 4'.11. D:spunerc<l "naturalli" a ITI~dclullli din fig. 4.tO.

92 ELEMENTE DE MODELARE

gazuluiasupra

Fig. 4.12. Model pentru volllmul degaz în condiţii adiabaticc.

va apare dr~pt căldură sensibilă a gazuluiSe pot scrie următoarele ecuaţii termodina-mice:'lucrul efectuat

= -Po.dVc/dtechivalentul caloric al acestui lucru =

~ -ljJ-Po'dVG/dtîn care J este echivalentul tţrmic al lucrului mecanic în jolui.

Variaţia în timp a căldurii specifice a gazului este d/dt(mCvT el şi îritrucîtm şi Cv (căldura specifică) sînt constant expresia devine mCv .dT c/dt. Ega-Jind lucrul cu căldura sensibilă, adică variaţia căldurii sensibile = lucrul efec-tuat se 'obţine :- ' -

mCvdTG= _..!.!... dVc;dt ' J dt

care este arătată în fig. 4.12. Incluzînd acest efect la modelul de bază din cazul4.3 se obţine modelul nou, arătat în fig. 4.13. ,

In exemplul precedent există tentaţia de a utiliza pentru compresia adi a- { -,batică ecuaţia binecunoscută P"V~ = constant. Prin aceasta sistemul ar de-veni mai puţin flexibil, fiind limitat nU1mi la compresia adiabatică. In cazuîn care volumul de gaz ar suferi şi alte pierderi de căldură, acestea pot fi incluseuşor în ecuaţia de bază arătată în model; ele nu ar putea fi introduse însă înecuatia adiabatică.

AdiabaticdTG Po dVadt = - mC"J' df

Robinetul {F, = evl,f P1 - P2

F, Volumulde gaz VavG= Vo-AZ

Legea gilzelurPOVG =mRTG

Z

Pa Robmetal 2-'F2 = C"2-J P2 - P3dZ {-- ~ - (F, - F.)<It A 2

Z PresiuneaP2 = Po + Zp -

Fig. 4:13. Modd pentru sistemul cu rezervor, considerind volumul de gaz ÎnCOlldiţii adi(l!>?ticc.

ELEMENTE DE MODELARE

4.4.1. Programarea la calculator

93

Considerăm că este util să se arate cititorului în etapa aceasta simplitateaprogramării modelului arătat În fig. 4.13. Este .de rernarcat cit derivata lui V G .

poate fi obţinută diferenţiind'ecuaţia volumului de gaz d Vcldt = -AdZldt.Derivata nivelului Z este disponibilă din ecuaţia bilanţului de mase. Instrucţiu ..nile esenţiale din program (cu excepţia secţiunii de declaraţii) sînt arătatemai jos.

C •• lNITIATION SECTlON •.•DATA eVI, CV2. M, CV. J, R. RO, A, VOI Numericall'aluesJT=Q .Z.=O.Ta = 25.PI = 20.P3 = 15.

CoOoO DERIVATIVE SECTION .•.•5 VG = va - A .• Z. PO = M .• R .• TG/VeP2"'" pa + ZoO ROfi = eVI .• SQRT (PI - P2)F2 = eV2 .• SQRT (P2 - P3)DZ = (PI - F2)/AOTG = -PO/(M .•cv .•1) .•A .•OZCALL PRNTF (1., 20.. NF. T.Z, FL. Fl,PO.Pl, va, TG,02. OTG) ,GO 1'0 (6,1), NF

C •.• lNTEGRATION SECTION •.•6 CALL INTI (1'.. 1,2)

CALL JNT JZ, DZ)CALllNT (TG. O1'G)G01'05

7 STOPEND

Programul acesta esbe realizat după procedura generală descris" in capi-toIul 3, rezumată mai jos.

1. Se specifică parametrii şi condiţiile iniţiale.2. Se specifică, în ordine adecvată, ecuaţiile {diferenţiale.3. Se face apel la rutina PRNTF specificîndu.se intervalul de imprimarc.

(1) şi condiţia de terminare (20).4. Se face apel la rutina de integrare INT pentru. a integra derivatele obţi-

nute în 2,incepînd cu INTI.5. Se reciclează la prima instrucţiune din secţiunea de derivar".

4.5. REZERVOR CU AMESTECARECazul 5

In exemplele următoare se prezintă elementele de bază ale amestecării şicinetica elementară în legătură cu cazul vasului bine agitat cu debitul de in-trare2 FI> şi debitul de ieşire, F,. cunoscute (fig. 4.14). Fluxul de intrare şi.

I

94

v

ELEl\'IENTE DE MODELARE

de ieşire este constituit dintr-un so!vent,care conţine -doi componenţi solubili, Aşi B, cu concentraţiile CAI şi CRI• Ecua-. ţiile care corelează compoziţiile de ieşirecu acelea de intrare sînt bazate pe bilan-ţuri de masă simple:

debitul de acumulare = debitul de in-F2 trare - debitul de ieşire~

Ci2

Fig. 4.14. Vas cu :'Jnesiceare. '

. componentul A)

ft (VCm) = F,CR,- F,Cm (bilanţ pe componentul B)

lntrucît se presupune că amestecarea este perfectă, compoziţia debitului deieşire este aceeaşi ca şi compoziţia din vas. Ca şi În cazul 4 volumul _V dinvas este obtinut printr-u"n bilanţ general de masă.

- dV/dt = F, - F,

Aceste ecuatii sînt dispuse sub forma modelului din fig. 4.15. Se pot şi alCIconcepe mai multe dispoziţii, Însii numai aceea arătată În figură are sens dinpunct de vedere fizic. Acelaşi raţionament se aplică tuturor celor trei ecuatiide mai sus, cu alte cuvinte introducînd fluxurile În ecuaţia de bilanţ generalse stabileşte volumul total V. iar ecuatiile componente, care ne dau fluxulde componenţi FC

"stabilesc cantitatea din vas VC, şi Întrucît se cunoaşte V,

se obtine compozitia Ci. Este de remarcat faptul cii nu mai este necesară nici,

Bilanţ de masă pe C'OmponetTtul A

v

Bilanţ demasa pe componentuZ B'1 CSf d . .____ - (VCsoJ = FICST - F'2C8~ CS2..; . dt

Fig. 4.15. Model pentru t1Jl va~ ,li amestecare.

I. REZERVOR"' CU AMESTECARE 95

o modificare su~limeni'a~ă a ecualiilor. Expresiile..'!. (V .C,) vor fi lăsaie În. . dl

aceasiă formă, fără a fi derivate ca produse (deoarece Veste cunoscui in oricemoment, c~ mărime de ieşire a blocului anterior) .

. 4.6. AMESTECARE ASOCIATĂ CU REACPE )

Cazul 6

Continuînd exemplul anterior, să admilem că În vas are loc o reaclie Întrecomponenlii A şi B, reaclie care se defineşie prin ecualia stoichiomefrică:

. k/o'A +B-C+D.

Efluentul şi conlinuiul vasului constau din patru conlponenli A, B, .C şi D ..Vileza reacţiei poate fi. definită prin expresia

R =kp,V,CA,Cnin care R = moli/unitate de timp, reprezintă viteza reacjiei În volumul V,iar k,. este constanta vitezei de reactie.a manieră convenabilă de a privi această ccuaţie este de a considera pe

R ca un flux de ieşire al componenjilor A şi B şi ca u"' flux de intrare alcomponenlilor C şi D. Ecuaţiile bilanţurilor de masă devin:

debitul de acumulare = intrare - ieşire

d ..,...(Ve,,) ~ F,C,II - (F,C,,, + R)LI ( -

d ".-(VCm) = r,Cm - (FoC/J2 + R)ci -

Se d.ezvoltă modelul din cazul 5, adăugÎndu-se termenul R la bilanlurilede masă ale componenlilor A şi B. Se adaugă compoziţiile CA, CR şi :volu-mul V la ecualia cinetică din care se calc'ulează R. Acesta va fi utilizat ap0iÎn bilanţurile de masă ale componenlilor A şi B şi, În continuare, la bilanţu-rile de masă ale componentilor C şi D. Succesiunea aceasta este. arătată Înfig. 4.16.

96 ,ELEMENTE DE MODELARE)

Bilant de masă pe ./

componentul C

V d Cc'-- _ (VGd = R - F,Cc'dtBd,mţ de masa pecomponentu/ A F,

f,CA1d CAZ-(VCA,)=- d'

F1CA1 - F2C42 - RCA'

R CineticăF,

dV V R- -=F~F R = I<F- V C.42. CB2 --F, dt 1 ti-- Bilant de masă

v ge.'-rerill

1F, )R CB,

F,C31d CB'-(VCB')~d, .

F1CB1- FzC82 - R jr,Bila,7t de masăpE' :;~fTlponent(J/ B

V d . Cm-- dt (VCD2) = R - FzCo'?

Bilant de masă pecompanentlJl O

Fig. 4.16:" Model peiltru lin vas cu amestecare, În care ani loc o reacţie ..,. "

4.7. REACŢIE REVERSIBILA

Cazul 7

Continuînd cazul 6, să presupunem că reacţia esle reversi bilă, adică- k"

A + B~C+D.. hAstfel, viteza de reacţie devine

R = k"VC"C1l2 - kRVCc,CmIn cazul prezent se admite că reactia are loc În vasul inchis din cazul 4, Uun gaz aII al În conlact cu suprafata Iichidului, avînd lIuxul de inlnireasiguralÎn partea inferioară a vasului, printr-o supapă cu deschidere fixă, sub acţiu-nea presiunii cunoscute P" De asemeni, fluxul de ieşire F2 va trece printr-).supapă cu deschidere fixă sub acţiunea presiunii cunoscute P,. In ace"t-capitol s-au descris toate ecuaţiile acestui sistem, iar modelul Îinal este

\ rrezentat în fig. 4.17. '"'

'-1

~

~t'l,.~

IVI

~

F,

F,R

\

~V

Bilant de masă pecomponenţli' ~ O...

d- (VCD,) = R - F,CD2dt .

c.v

CineticăF,

dVG'-:it

R

ţF,Volumul de gal

Pa-

F1CA1

F,C8l

ddt (VCA2) =. F,CA1 - F2C~'2 - R L CA?

ddi(VCS2)- FI~8t- F2CB'l- R,lC

B2

Bilanţ de masă pe componcn(4i A. 8 .

v

V

v

V

Lpa

... ,[":ig. 4.,17. Model complet pentm o l'c:'lcţic in vas. Inchis.

P,

P2~Pa+ (~)f

HidN1ulica

P,

F,=K ~I F," v, ,-P, l, ,1 ~ =F, - F,} V

P, IF,=KV2~I~

tP3~N~

I~~S~

•SE.~~S'

"~"~.'8:s,o".

.",

<O-l

\

In partea a doua a acestui capitol se prezintă pentru sisteme simple în fluxnoţiunile de bază ale bilanţurilor de energie. Procesele chimice implică în mod ine-vitabil transfer de energie simultan cu transferul de masă, ceea ce face deosebitde importantă cunoaşterea factorilor implicaţi în efectuarea corectă a bilan-ţurilor termice. Se va utiliza acelaşi mod general de abordare, ca şi în capito-lul3, dezvoltînd pentru fiecare caz ecuaţiile diferenţiale care definesc situaţiiledinamice.

98 ELEMENTE DE MODELARE

4.8. BILANŢURI SIMULTANE DE MASA ŞI ENERGIE

Cazul 8

Fig. 4:18 arată un vas prevăzut cu o marita de încălzire cu abur, .debitulde intrare F, şidebitul de ieşire F, (volumltimp).

Conţinutul vasului V variază conform ecuaţiei

dVldt;= F, - F,

Bilanţul de energie pentru conţinutul recipientului este analog cu bilanţul demasă utilizat în capitolul 3, adică variaţia energiei termice din vas = călduraintrată - căldura ieşită.

Conţinutul de căldură al vasului = VcpT,Căldura care intră in vas = F,cpT,Căldura ce iese din vas =. F2cpT2Căldura transferată de la manta q= UA(T, - T,,)

. în care T, = temperatura debitului de iritrare;T2 = temperatura materialelor din vas;U = coeficientul general de transmisie a căldurii prin peretele mantalei:A = suprafaţa peretelui manlalei, ft'.

F,-,.. Volumul VTemperatura 72

Mantil cuabur

Fig. 4.18. Vas prevăzut cu manta cu abur.

Ts = temperatura aburului În manta,c = căldura specifică a fluidelor, rCU/livră co,p = densitatea livre/ft'.

Introducînd aceste variabile În ecuaţia bilanţului de energie se obţine ur-mătoarea ecuaţie:

BILANŢURI SIMULTANE DE MAsA ŞI ENERGIE 99

d. 'di(VcpT2) = F,CFT, - q - F,cpT,

Ca şi În exemptul de amestecare din cap. '3 se admile şi aici că temperaturaT2 este aceeaşi În toate punctele din interiorul vasului şi de aceea este egală cutemperatura fluxului de ieşire Fo. Temperatura mantalei cu abur, Ts, esteÎuncţie de presiune şi admitem că această presiune p.I' poate fi menţinută la ovaloare cunoscută. Temperatura aburului, Ts poate fi deci definită simplu cao funcţie de presiune, fiind vorba de abur saturat:

care este refaţia binecunoscută intre temperatură şi tensiunea de vapori a apei.Este de menţionat că nu este necesar să aproximăm analitic această ecuaţie,deoarece, În cazul utilizării unui calculator, este mai' convenabil să obţinemaceastă dependenţă utilizînd funcţiile standard ale calculatorului.

AsamblÎnd ecuaţiile de mai sus se obţine modelul din fig. 4.19.Dispozitivul de mai sus este logic; se utilizează bilanţul de masă pentru

a determina conţinutul vasului V; ecuaţia de transfer de căldură defineştepe q, iar bilanţul termic, prin ecuaţia corespunzătoare, defineşte temperaturavasului T2• Se reaminteşte că din punct de vedere matematic este posibil şiun alt aranjament, dar acesta nu ar corespunde relaţiei de cauză şi efect.

q q

!!. (VcT2) ,; F,eT, -~- F2cT2T2 q = UA(T2 ,- Ts)dt .

Bilanţ t,,"!TJIC' Flux termICla ;manta

V 'Ts

Si/cint de Temperaturămasa manta

fI--dV

= F, - F2Ps.

F2 dt T$ =f(Ps)

Fig. 4.19. r.\odcl pcntru vasul prevăzut cu mJl1ta cu Rbur.

100 ELEMENTE DE MODELARE

4.9. ALIMENTARE MULTIPLĂ LA UN VAS PREVAZUTCU MANTA.

Cazul 9

Să completăm exemplul din cazul 8 ccimplicîndu-l În felul următor: înlocul unui singur flux de alimentare se consideră două, fluxuri, FA şi F B, avîndcăldurile specifice respective CA şi CE; să admitem că suprafaţa de transferde căldură dintre mantaua de abur şi conţinutul vasului A, variază pe mă-sura variaţiei nivelului din vas (fig. 4,20). Se'admite că variaţiile de densitatesînt neglijabile.

Bilanţul de masă pentru acest caz devine

dVjdt=FA+FB~F2

Conţinutul de căldură al fluidelor din vas este

În care C = concentraţia În Iivre molijft',p = densitatea În Iivre molijft'.

Pentru a stabili concentraţiile CA şi CB mai sînt necesare două ecuaţii:debitul de acumulare = intrare - ieşire

ddi(C"V) = FA - F,CA

d 'dt (C},v) "'" F B - F,Cn

Temperatura Ti

AtJur~-:~'

Fig. 4.20. Vas de amestecare prevăzut cu mant.a cu abur.

ALIMENTARE MULTIPLĂ "LA UN VAS PREVAZUT CU MANTA loi.

Variaţia volumului din vas va produce o variaţie a suprafeţei: de .transfer decăldură A, conform ecuaţiei t

A = D'"j4 + 4V IDîn care D = diametrul vasului.In toate cazurile tratate fiecare exemplu a fost elaborat din cel precedent,

.care era mai puţin complex. Experienţa a arătat că aceia care nu sînt famili-arizaţi eli tehnica ingineriei sistemelor sau cu programarea calculatoarelorîntîmpină dificultăţi la asamblarea completă într-un model a fluxului informa-ţional, plecînd de la părţile componente. Există bineînţeles, mai multe manierede a asambla informaţiile într-un model. Regulile de m'ai jos pot fi utilizatepentru .orientare: .1. Se întocmeşte o listă a ecuaţiilor, definind toate notaţiile.2. Plecînd de la consideraţii fizice (adică relaţii de cauză şi efect) se stab.i-

leşte maniera de utilizare a fiecărei ecuaţii (adică necunoscuta pe care o defi-neşte). Pentru a ilustra acest procedeu prezentăm exemplul de mai jos:

(a) Bilanţ de masă pe componentul A ~ CA(b) Bilanţ de masă pe componentul B ~ CII

(c) Bilanţ de masă general ~ V(d) Suprafaţa ~ A(e) Transferul de căldură de la manta ~ q(f) Căldura specifică ~ c2(g) Bilanţ termic ~ T 2

(h) Relatia punctului de fierbere ~ Ts3. 'Se face o listă a intrărilor (şi a valorilor iniţiale).Numărul de valori pentru condiţiile iniţiale trebuie să fie acelaşi cu numă-

rul ecuaţiilor diferenţiale de ordinul întii. •Intrări Valori iniţiale pentru:1. FA V2. FIICA3. p. C.4. F2 T,5. TA6. TI< ,4. După preferinţele per-sonale, se dispun ecuaţiile, conectînd blocul fiecă-

rei ecuaţii cu blocul următor (după cum se arată în fig. 4.21), ţinînd seamă că,pe cît este posibil, schema trebuie să reflecte succesiu'nea fluxului informaţionalprincipal.5. Se face o verificare pentru a ne asigura că variabilele care intervin în

fiecare ecuaţie sînt date de alte ecuaţii din model sau că reprezintă o valoarede intrare în .sistem.,Modelul poate fi programat direct pentru calculator.

I---------------------------------==----- .•q

102 ELEMENTE DE MODELARE

Bilim{;, de mils';pe cQmponeittulA Fz

~1

I

I,

I

IBilanţ termic

qc4+ C#/dllra {Jpecif'ici

C8 CA Cacz= CA r.:; + Caf8

v

Bilanţ de mi/si peoomponentul 8

v

d- (jIea) = f8 - FzCBdt

Fig. 4.21. Model pentru vasul de mTIcstec.:r0. cu m,'nbJ,

4.10. FIE~BEREA

Incălzirea unui fluid într-un vas prin cantitatea de căldură q (PeU/timp)poate fi definită prin ecuaţia de bilanţ termic

variatia continutului ae căldură = căldura intrată - căldura ieşităd/dl (VcT) = q - O (admiţ1nd că nu au loc pierderi de căldură)

în care V ~ volumul, iar c = căldura specifică.Intrucit V, q şi c sînt cunoscute ecuatia aceasta poate fi utilizată pen-

tru a calcula temperatura (fig. 4.22).Presiunea de vapori exercitată de lichid, variază cu temperatura după cum

se arată în fig. 4.23. Vaporîzarea poate 'fi considerată ca fiind neglijabilă pînă.cînd nu se atinge punctul de fierbere, la care presiunea vaporilorPv tinde sădepăşească presiunea din sistem ", adică Pv > ", ceea ce are ca efect o dezvol-tare de vapori din lichidul care fierbe, Intrucit nu există nici o rezistenţă caresă se opună îndepărtării vaporilor, dezvoltarea acestora opreşte ridicarea tem-

,~,.

"

Fig. 4.22. Model pentru b:lanlult"'fmÎC.

Fig. 4.23. Relalia intre pre-siunea de v<ljlori şi' tempe-

ratură.

.---==,..-~..~~=~-,..---------------------,..----;-:,..-----

FIERBEREA 103

Bilant termic

iI

1TEchilibru

v=G(Pv-rr)pentru

(Pv-,,) > O

Preslt.me devaporI

F!(j~ dtJ vapori

T P,=IIT)P,Tcl1Jperatura .

v:V,

ddt (VeT) ~ q -<1:!-

i

q

Fig. 4.24. Model (micros:opic) pentru bil:m\ul la echilibru.

peraturii peste punctul de fierbere. Presiunea vaporilor corespunzătoare punc-tului de fierbere este infinitezimal. mai ridicată decît presiunea totală; aceastădiferenţă minimă Însă este suficientă pentru a asigura starea staţionară. a sis-otemului. Bilanţul termic la fierbere este arătat în fig. 4.24. Ecuaţiade echilibru,din care se calculează v conţine un factor de amplificare G care este suficientde mare pentru a menţine (P" - T:) foarte mic. Modelul acesta reprezintădefiniţia "naturală" a sistemului şi poate fi regrupat după cum se aratăÎn fig. 4.25. Schema generală din' fig. 4.26 arată că sistemul posedă douăintrări T: şi q şi două ieşiri T şi V. Fenomenul fierberii este de aşa.natură încît acestea practic nu interacţionează, adică temperatura depinde

pentru ~

v = G(Pv- n)T

;,,,, - ,'- .:. ., J

r----------- ---------.- ----~--- -- --.- ---- - ---:--------- ---,, ., ,, .: r :, ,: ',,,,:,,,,,

rr ' ~'15t(VeI) = q -7Y)' rf I

._q ~---- I

,.

Fig. 4.25. Relaţia între intrare-ieşire pentru mocelul "microscopic" de' fierbere.

Presi{fnea totală 1J'

Fluxul termic

,--------, T - TemperaturaSistem de

f'ierbere V - Fluxul de vaoori '..Fig. 4.26. Relaţie Jl1<lCfOSCOpkă pentru intrare şi .-ieşire.

r-----_-_-_-----------------------~-~-.=~=-==~---

104 ELEMENTE DE ¥ODELARE

..", .~

Fig. 4.27. Model m<l.croscopic pen-tru fierbere.

numai de presiunea totală ", iar debitul de va-pori numai de fluxul de căldură q. Prin acestea

'l- d . -J se ajunge la modelul macroscopic mai conve-dt (VcT) = q - VA -. nabil, arătat În fig. 4.27. Pentru a stabili fluxul

de vapori se foloseşte bilanţul termic, iar pen-, tru a stabili temperatura se recurge la presiunea, sistemului. In cele mai multe cazuri termenul:7

~ Idiferenţial d/dl (VcT) este foarte mic În com-

." 7 = f(n) ,-_-,-_~T_•• para ţie cu q şi poate fi neglija!. Intrucit această.. din urmă .schemă se transpune cel mai uşor pe

un calculator, se utilizează aproape în toate cazu-rile. Deşi schema din fig. 4.27 nu reprezintă. oparalelă cu modelul microscopic natural dinfig. 4.25, ea reproduce totuşi modelul macros-

<:opic din fig. 4.26. Prezintă.În schimb avantajul că evită bucla de calcul priniteraţie (arătată În fig. 4.24) a cărei execuţie ar cOnsuma. timp. .

Rezumînd deci, singura manieră de a modifica temperatura unui lichidmonocomponent la fierbere constă în a modifica presiunea totală; modifi-<:area fluxului termic nu niodifică decit debitul de dezvoltare al vaporiioL Re-laţiile de cauză şi efee! pentru un lichid monocomponent la fierbere pot fi de-finite astfel: .

Presiunea (P)stabileşte temperatura de fierbere (T).Fluxul termic (q) determină debitul de vapori (v).

Cazul 10

Reîntorcindu-ne la primul exemplu din acest capitol să analizăm desfăşu-rarea procesului fierberii pentru vasul cu manta. Fig. 4.28 prezintă debitulde intrare În stare lichi dă şi debitul de ieşire în stare de vapori. Modelul mate-matic pentru acest fierbător constă din bilanţuri simultane de masă şi energie.Bilanţul de masă asupra Iichidului este d V /dl = F, - v în. care FI este debitul2limentării, iar veste debitul vaporilor produşi prin fierbere. Bilanţul de masă

I

Abur

... Pa-VE

TemperatUf'a TVolumul .V

..-Fig. 4.28. Sistem de fierbere În. regim staţionm.

FIERBEREA 105

t1.

III

asupra vaporilor este: dm/dt ~ v - V F. În care v;; = debitul de vapori prinrobinetul de ie5ire. Jntrucît se admite, că există permanent echilibru Între li-chid şi vapori, ~ueste necesar un bilanţ de energie pentru vapori, far tempera-tura acestora se admite că este aceeaşi cu temperatura Jichidului. Bilanţulde energie În lichid. este:variaţia căldurii sensibile ~ căldura intrată + fluxul de la manta - conţinu-tul de căldură al vaporilor•

~ (V,T) ~ FlcT,+ q ~ v(cT + A).~ . .

În care (cT + A) reprezintă o aproximare a entalpiei vaporiloL Presiunea din~patiul de vapori se obţine din legea gazelor

P V G ~ mRT şi V G c=" Vo - V/ pÎn care p este densitatea, masă/unitate de volum, iar Vo este volumul totalal vasului. Temperatura se obţine din relaţia Între presiune şi temperaturade fierbere:

~I

T = t(P) = c,/(lnP' - el)

Daca deschiderea robinetului pe efluent este fixată, debitul de vapori pri"nacesta, VEI va fi

-4 V!,;:VE = k,j P(P - PolPVG=mRT ~Ptim- =v-VE-4mefi. •

, ., ~-

'7. Bilanţ de masă pe lichid

T = t(P)'~ T''. q = UA(T;'- T) ~ q .',;'

d '-(VcT) = FleT, +q-(eT+ f.)v-"mcit . .' . '.:09 T

dV.= F _ ti --4 V GinI!) .<lt.' '. ,uijEqe

8. Yol\lmur de gai. V = v _.l- ~ V ,s:jqs!?S, .• :'- - _ -, • G, o F G 9/iijGu":),)

.. Ecua,jiile de' mai -sus sînt asamblate În rriodeiul prezentat În fig. -ii'2!1FJ9q

Debitul termic este acelaşi ca şi in primul exemplu din acest capitol, adică q == UA(T •.- T). .

După ce s-au definit astfel ecuaţiile pentru fiecare parte a sistemului seva urma acum procedura de asamblare a modelului..

A. Yalori de intrare şi ieşire.1. Debitul de intrare F"2. Temperatura de intrare T,3.. Presiunea aburului' În manta P"4. Presiunea .de. ieşire Pu

B. Ecuaţii.1. Robinetul2, Legea gazelor,3. Bilanţ de masă vapori

4. 'Punctul. de fierbere5. Ciilduni 'de la manta

6. Bilanţ de căldură

•

106 ELEMENTE DE MODELARE

"R061f7Ct

VE = kv-Jp(P - Po)

v.

~11, IJtl~l7ţ 'termic 'b"

- !...(VcT)= F,cT,+q -(el +lYI'dt .

m Debit m6side vaporio -if-.qEdt

Fig. 4.29~ Model pentru flux continuu cu fierbere în vas prevăzut cu mant<l.

4.10.1. Program pentru simularea fierberii in flux continuu

In paragraful acesta se descrie un program FORTRAN pentm a pune Înevidentă simplitatea relativă a simulării, În cazul solutionării unei problemede complexitate medie. Sistemul descris În cazul precedent 10 se. află În ur-mătoarele conditii :

1. Nivelul lichidului se mentine Într-o pozitie fixă cu ajutorul unui regula-tor de nivel. Prin aceasta V şi V G devin constante şi, deasemeni, fluxul ali-mentării F, = EE' .

2. Lichidul care este initial cece se Încălzeşte la punctul de fierbere. După. ce Începe fierberea presiunea creşte la valoarea ei de echilibru, ridicînd tem-peratura la o valoare mai mare. .

Prin restrictia de la punctul I modelul se va simplifica fiind definit prinprimele şase ecuatii din cazul 10.B. '

Conditiile de la 2.complică procedura de solutionare Întrucît ecuatia debilant termic (6) trebuie integrată pînă În momentul În .care Începe fierberea,iar după aceea trebuie solutionată algebric. Aceasta se efectuează cu programularătat În fig. 4.30 şi 4.31. Prima parte a programului stabileşte valorile numericeale constantelor precum şi presiunea initială P şi temperatura de alimentare TI.Temperatura initială a şarjei se presupune egală cu temperatura de alimentare(linia 7). Cu ajutorul presiunii (linia 6) se calculează molii initiali de gaz dinspatiul de gaz. In linia 5 se calculează nivelul de temperatură la care este deaşteptat să fiarbă lichidul (TB). Această sectiune de initializare este urmată deecuatiile care descriu variatia temperaturii Înainte de fierbere. Derivata tem-peraturii DTC, calculată În linia 10, este integrată În linia 14, după apelul

FIERBEREA 107

1. COMMON/CINT/XT,OT,JS,JN,OXA(500),X4(SOOl'IO'JSij2_ REAL M'LM,KV;3* DATA TS,VC,VG,Tl'IliV,PI1'SO,,1.Eij,:3,E4,15.'S,7.101~. DATA Cl,C2,L~,R,UA/13.96,.5210,6,911,.,l,98'1700,15_ T6 = C2/(LOG(P).Cl)-213,6_ M = p.VG/tR.(TB+213l)1. Te = TI8. ,.. HEAT UP SECTION -*9_ 8 G = VA _ (TS-TC)10. • DTC = G/VC11* CALL PRNTF(.5,20"Nţ,TIM,TC,VB,p,VE,Q,M,OTC.TB,O.~12_ 60 Ta (5,6) ,NF1;3* 5 CA~L lNTI(TIM,.l'~)1~. CALL INT(TC.OTC)15_ lF(.(TC,GE,TB).ANO.(JS4.EQ.~» -GO Ta 91&. 60 Ta 817~ 9 CONTtNU~

,;Fig. 4.3;'), S2cţiull~3 de în:ă!zi;-c dintr-1I1l pr::gram de simulare <J sistemului din fig. 4.28.

la.19_

. 20-Z).220,;_Z3'24'25.26'27ft.za.29.30.310S2'

C.. BOILING SECTION ~.P = M$R'C:(TC+273,-) IVGTel = C2/!LOG(P)-Cl'-21J.CAlL CONV(TC,TC1rl,NC) \-GO TO (3,9) ,Ne

3 Q = UAO(TS.TC)va = Q/(TC-Tl+LM)VE = KY~SGRT(P_(P_l,O»CALL PRNTF(.5.20.,NF,TIM,TC,YB.?,VE,Q,M,OTC,TB,O.)60 Ta (4,6l,NF

4 CALL INTltTIM,.1,4)CALl INT(M,YB-VE)60 To 9

6 STOPENO

Fig. 4.31. Secţiunea progra~ului cuprinzînd fic.rbcre<l.,

subrutinei INTI. Secţiunea de integrare (liniile 13 şi'14) este urmată de veri-ficare dacă temperatura TC a 'atins tenlperatura de fierbere TB, Dacă aceastăcondiţie este satisfăcută 'şi s-a realizat de asemenea trecerea adecvată (.lS4 dinCOMMON este 4) calculul se continuă cu ecu aţiile din secţiunea de fierbere .. 1n secţiunea de fierbere temperatura se obţine din ,valoarea presiunii cu

ecuaţia Antoine (linia 20), iar presiunea se stabileşte c'u ajutorul malilor !v\ şia temperaturii TC cu legea gazelor ideale (linia 19), 1ntrucît aceste.două ecuaţiiconţin pe TC in mod implicit, trebuie să se facă apel la subrutina CONV in li- .nia 21 ;.restul ecuaţiilor sînt uşor de Înţeles, Este de observat că.derivata pen-tru M se calculeaz" (VB - VE) ca parametru pentru subrutina INT (linia29), Procedura aceasta, aşa cum este arătată aici, este justă şi uneori convena-bilă, deşi aspedul acesta din urmă trebuie \jrmărit cu atenţie deoarece existăposibilitatea unei succesiuni de erori. Este, de asemeni, de observat că ambelesubrutine PRNTF şi INTI au fost apelate de două ori În acelaşi program ..Probabil' programul va putea fi scurtat, utilizînd o declaraţie IF şi rescriereaprogramului in acest sens ar constitui un exerciţiu interesant.

108 ELEMENTE DE MODELARE

.~"'TIM.- Te ':,va .. E , VE• A

'.; 00000 .i5000+Q2 .00000,

•10000+01 .00000 ."l"' :5000'0+00 ,2&001+02 .00000 .10000.01 .00000

olO(I(lO+Ol .36105+02 ~ooooo .10000+(11 .00000,15000+01 .45386+02 .00000 ,lQOCOtOl .00000.20000+01 .53911+02 .00000 .!(I0QO+Ol .00000~2500il+Ol .517~1+02 .00000 ' ~10QnO+Ol .00000,;30000+-01 .68933+02 .00000 .1aODO.O! ".00000,35000+01 .755~9+02 ,Oi)(jGo .1(1000+01 .oOCGO.4CJOOO-4:01 .81i::07+(Ir. < f; 'J:j'Jo ,:'(;000+01 .nOooo,""5000+01 .87180+02 .;:'C:JOo ~'00Qo+n1 .00000.50000+01 <922.tJ9-t-Q2 .0.0000 ."..0000.•.•01 ••00000.55000+01 ,97,001+02 .00000 .100aO+l}1 .00000.•60000+01 .10082+03 .85293+01 ,10213+01 .8410:5+&0.65000+01 .10Jl1 +03 .81299+(;1 .11121+0,1 ~20125.0!.70000+01 .10490+03 .78185+01 .11872+01 .261HO.Ol.75000+01 .106.34+03 .75676+01 .12510+01 •:31-91+::>+01.600"00+01 .10753+0:5 .73606+01 .13059+01 .36025+01.85000+01 .10852+03 .71877+01 .13533+01 .39413+01.90000+01 . .10936+03 .7041e.+Ol .13944+01 .42273+01.95000+01 .11007+03 .6917Q+Ol .14302+01 .41+712+01.10000+02 .11068+03 .68120+01 .11+614+01 .46808+01.10500+02 .11121'1+0:3 .67211+01 .14887+01 .48617+01.11000+02 .11165+03 .661+2_8+01 .15125+01 .50181++01.11500+02 .11204+03 .65751+01 .15333+01 .51546+01.12000+02 .11238+03 .65165+01 •15516+01 .52732+01 ..12500+02 .11267+03 .64657+01 .t5676+1)l .53766+01.13000+02 .11293+03 .64214+01 .15816+01 .54669+01

i

.13500+02 .11315+03 .63829+.01 .15939+01 .55460+01

.11+0.00+02 .11334+03 .63492+01 •16047+01 .56151+01 •

.14500+02 .11351+03 .63199+01 .16142+01 .56757+01

.•15000+02 .11366+03 '.62:942+01 .16225+01 .57287+01

.15500+02: .11379+03 .62718'+01 .16299+_01 .57752+0101&000+02 .11390+0:- .62522+01 .16363+01 .58161+01.16500+02 .111+00+03 .62350"'01 .161J19+01 .58519+01.17000+02 •I1lt-09+03 .62199+01 .16~69+01 .58833+01.17500+02 •U1J16+03 .62067+01 .16512+01 .59109+01.18000+02 .11~23+03 .61951+01 .16551+01 .59351+01.18500+02 oU~2q+03 .618~9+01 •16584+01 .5956~+01 ..•19000+02 .11~34+03 .61760+01 .16614+01 .597'1+01.•19500+02 .11438+03 .61681+01 .•16640+01 .59916+01~20000+02 .114C62+03 .61613+01 .1666~+0 1 .",0060+01

Fig. 4.32. Rczult;ite numerice nle progr;ullului. pcntm simularea fierberiiÎn flux continllu.

o parte a rezultatelor numerice este arătată În fig. 4.32. Se va observa căfierberea Începe Între 5,5 şi 6 minute la o temperatură aproximativ egală cu!OO°e. Apoi presiunea creşte de la I atm la 1,668 'alm, ridicînd temperatura]a 114,4°e.

Probleme' ..~

1. O secţie a unui proces constă din două vase, după cum se arată În fig..4,33.Componenţii A şi B curg în vasul întîi cu, debil ele respective deQ" şi" Q b1

(ft'/min). Debitul de ieşire Qo (ft'/min) curge in vasul al dciilea, căruiaise

q" "'; ,

FIERBEREA

1;

-~q,'1 : (ti

109

;1:

>,

Fig. ,1.33. Re3etoarc cu agita re .continuă tip C.S.T.R.dispuse in s~rL~.

adaugă un al treilea debit de intrare al componentului B, (Q ,,). Oebitill deieşire din acest vas este Q,. Se admite că fiecare vas este bine agitat. Să seelaboreze un model care s{' definească compoziţia în fluxul Q, ca funcţie detimp pentru cazul în care Jebitul de intrare variază în raport cu timpul. Uti-lizînd datele,de mai jos, să se calculeze compoziţia lui Q, întil,l'jlUl unei .porniri.

(a) Q", = 10 ft3jmin(b) Q'I= O. pentru 1< la min, 5 ft3jmin pentru t >. la min'(c) Q" = O. pentru I < 15min, 7 ft'jmin pentru Y:> 15 fuln""(d) Qo ~ 15 ft'jmin ,',;(e) Q, '= 22 ft' jmin .,(f) Conţinutul vasului 1 la timpul 10 este 100 ft3 de component B pur.(g)' Conţinutul vasului 2 la timpul 10 este 180 ft3 de B c()mponent ~ur.2. Cinetica aplicată unei autoclave, Oebitele NAşi N H (număr de molijmin),

constînd fiecare din componentul A, r,espectiv B" alimenteaiă o autoclavăbine agitată, care are un debit de ieşire Fo (ft3jmin). In vas, al cărui conţinuteste H moll, au loc următoarele reacţii:

A+B~C+Dk,

Coeficientii vitezelor de reacţie k" sînt cunoscuţi şi expresia generală a vitezeide reacţie este ' - , -

R" = k" -H 'XiX,

În care X reprezintă fracliile moiare, iark = min-'Oebitul de ieşire prin robinet este:

"Fo = kv(P- Po)""

în care P = psi, presiunea la fundul vasului, şi Po sînt cunoscute.Să se definească modelul matematic al sistemului utilizînd notaţiile:

A = secţiunea vasului (ft'), p, = densitatea componentului fîn Iivrejft',iar Mi este masa moleculară a componentului i. Utilizînd datele de mai jossă se calculeze compoziţiile fluxului de răcire în perioada de pornire.

•110 ELEMENTE DE MODELARE

(a) Conţinutul iniţial al vasului = 10 moli din componentul pur B. (b) De-bitul alimentării N A = 10 moli/min din A. şi Nu = 5 moli/rnin din B.(c) kv = 2,7 ft'/psi''' min-'; A ~ 10 ft'; Po = 15 psi. (d) Constantele de viteză areacţiilor sînt k, = 1,5; k, = 0,2; k, = 2, 1; k,= 0,05.

(e)Componentul

ABCD.E

Masa moleculară

2436402064

Densitatea, Iivre/it'

7565806080

3. Un fluid monocomponent trece cu debitul de F livre/min printr-unschimbător de căldură În care i se adaugă fluxul termic q (PCU /min). După cetrece prin schimbătorul de căldură, În care intră cu temperatura T" f1uidulcurge printr-o restricţie după care Încearcă parţial o evaporare bruscă În vasul.cu volumul V, fig, 4,34, Fracţia rămasă Iichidă, de la fundul vasului, treceprintr-un robinet contra presiunii Po, iar vaporii la presiunea P trec printr-unal doilea robi ne! contr~ aceleaşi presiuni din aval Po. Să se construiască unmodel prin care să se definească variaţiile de debit ale Iichidului şi vaporilorca o funcţie a debitului de intrare F şi a fluxului termic q.. Utilizînd datele de mai jos, să se simuleze modelul pe un calculator şi săse calculeze debitu! vaporilor provocat de un impuls al debit ului de alimen-tare F = 10 moli/min, a cărui durată este de un minut.

(a) Presiunea de vapori P (atm) "" exp (13,45-5040/TA), În care TA = 01\.(b) P la t ~ O este egal cu Po ~ J atm,(c) Capacitate~ calorică a lichidului ~ 30 peu /(mol°C).(d) Căldura !atentă = 1000 PCU/mol.(e) T, = 80°C.(f) q = 8000 peu /min,(g) Vasul'are volumul de 5000 ft' şi secţiunea de 200 ft'.(h) Coeficientul robinetului de vapori kv = O, I mol/psi"2. min.

". (i) Coeficientul ~obinetului de lichid k =,2 mol/psi"'. min.4, Să se modifice programul FORTRA N din cazul J O astfel Încît să se pre.

vadă si variaţia căldurii sensibile a Iichidului 'În 'bilanţul termic,

SchimbătorF de căit/ură-r, VaporI

.-VOPo

LichidLo

. Fig. 4.34. Cameră cu evaporare brusdl în echilibru, referitoare}[l problema 3. .

Notaţii

FIERBEREA 111

A Sectiune S(lU component chimic P PresiuneaB Component chimi:. q Flux termicC, Concentraţia în compunentuJ i, IDoli/uni- R Viteza de Teac\ie sau consbnta gazelor

bte de volum (cazul 3)Ci, Căldura specifică " gazului, constanta T Temperatura.

robinetului t Timpulc Căldura specifi:::~ a licllidului U Coefi..:i:nlld genrral de transmisie a căI.D Diametru - ~~iiiF Debit V Masă '"u volumIf ContinutiJl vasului " Debit dc.vapQriJ Consbnta Joule Z Nivelk Consbmta vitezei de reacţie DensitateAi Masa moleculară p

m l\\asă sau moli ;, CUdură latentă

N Debit ll10lar " Presiunea totală S<:IU 3,1416

BIBLIOGRAfIE

Lucrările de mai jos conţin C:lzuri cor.lparabile, din punct de vedere al complexităţii cuexemplele discutate În <icest.capitol: . .L ,.Analr.g Computer Study ci a Semi-Batch Re3cJor", A..Carlson, lI/si. Control Systems, Apri!

1965. .2. "Proces Control Problems Yield to the Analog Computer", C. W. Worley, R. G. Franks and

J-. Pink, Contrul Eng. June 1957. .Textele următoare conţin o tratare mai avansată CI noţiunilor prezentate 111acest capitol.

3; Transport P/Ienomena, R. B. ~ird, W. E. Stc\\'Jrt <:IndE. N. Lighfoot. WilE-Y.Ncw Work, 1970.4. Pr.oces Analysls and Simulatian - DctermiTlisiic Systems, D. M. HimmclbJau and. K. R. Bis.

choff, Wiley, New York, 1968.

,

\

5. ECHILIBRUL VAPORI-LK:HID ÎNl\'lULTICmIPONENT

SISTEM

5.1. STlWCTURA GENERALĂ A PROGRAMULUI DYFLO

In capitolele precedente s-a elaborat o serie de subrutine simple, cu caresă se poată realiza. procedurile matematice uzuale ca Integrarea, generareafuncţiilor şi convergenţa ecuaţiilor algebrice. In cele ce. urmează, se va. trecela un .nivel maiavansat şi se va dezvolta un set de subrutine care simuleazăoperaţiile uzuale ale proceselor, ca acelea ale fieroerii, condensării şi acumu-lării. Un asemenea set de rutine va facilita apreciabil programarea proceselorcomplexe şi în final va constitui o bibliotecă de rutine deosebit de utilă însirriularea comportării .dinamice a proceselor. Această problemă va .fi tratatăîn toate.capitolele care. urmează în această lucrare, iar în anexă se va prezentaun sumar complet. Biblioteca de rutine necesită un 'cadru în care să. funcţio-neze şi acest cadru trebuie să asigureV'ijloacele de comunicaţie din interiorulsistemului astfel încît să nu se solicite decît în măsură redusă atenţia programa-torului. . ... .

.'...5.1.1. Matricea de fluxuri STRM (IS, IP)

In simularea proceselor avem de-a face; în general, cu fluxuri sau cu noduri.Fluxurile pot fi sau .Iichide sau vapori, arareori solide, iar nodul reprezintă o

cantitate de material care nu se află înIV curgere. Figura 5.1 arată, spre exemplu, o __

situaţie tipică a unui flux de fluid IL carecurge într-un nod, vasul IH, din care seevaporă fluxul IV.

r,;;.. Fluxurile şi nodurile au proprietăţi'-'!!J multiple: debitul pentru fluxuri, canti-

tfi\ .~ tatea reţinută pentru nodutI,_compoziţiile,~ temperaturile lor, etc. Este convenabil să

Fig. 5.1. Rezervor. notăm cu tiŢI număr fiecare flux sau nod,

STRUCTURA GENERALA A PROGRAMULUl DYFLO 113

număr prin care să se identifice setul de proprietăţi corespunzătoare memo-rate intr-o matrice; vom obţine astfel o matrice bidimensională numităSTRM (lS, IP). Primul indice al matricii (lS) reprezintă numărul fluxuluisau al nodului. iar al doilea indice (IP) se referă la o proprietate anumită afluxului, conform scheme( de mai jos.

Locaţia IPProprietatea1 - 20 Compoziţiile I - 20, în general frac ţii molare X, ..; X,.

21 Debitul (moli/min) sau conţinutul unui nod (moIi) ,22 Tem'peratura Cc)23 Entalpia WCU Imoli) ,.,' " , '., '24 Presiunea (atin) .'

Ca exemple de utilizare a acestui sistem să'luăm : ST'RM (5,21) care repre-zintă debitul moIar al f1uxull.li 5, sau STRM (7.8) care este compozijia indicatăcu nr. 8 în fluxul 7. Dimensiunile nominale ale acestei matrice de fluxuri sînt(300.24), care bineînţeles pot fi modificate dacă este necesar.

5.1.2. Matricea de date DATA (le, 10)

NCF

"

\; .,..Componenţi1-4-'

"_:.. -Coln,onenti5"-10 '

Exemplu' pentru intrebui;ltare<lşi NCL.

A doua matrice, numită DATA. conţine proprietăţile de bază necesarepentru fiecare component. Primul indice ICspecifică numărul,componentuluişi'întrucîtmatricea STRMconjine20 ,de componenţi, dimensiunea lui DATA, pentru IC va fi de a~emeni 20. Indicele 10 precizează locaţia ,unei anumiteproprietăţi în conformitate cu următoarea 'schemă: " .1. Coeficientul Antoine C, (vezi subCap. 5.4:3) "2. Coeficientul 'Aritoine G; (vezi subca)!, 5.4.3) '"3. Coeficientul AntoineC3 (y,;'?i subdp: 5:4.3)4. Coefic~entul e!Jt~Lp~~!.,~va~orilorA, (vezi. subcap. 5.2)5. C?efICl~~t'1I'.,Iln!afptel vap?r!lor •.8." (vezI subcap. 5.2)6. Caldura latenta la aoc ....., .7. Coeficientuj :e'nfâllij'ei;;lltI1Îdiii ui AL (vezi subcap. 5.2)8. Coeficientul"eti'tarpil;i lichidului 'B1.(vezi subcap .. 5.2)9.' Activitatea y (vezi's'ubcap. 5.4.2). 'Dimensiunea pentru IOse va l'ua 10,dispunînd astfel' de o locaţie supli,-mentară pentru cazuri speciale care .' _' 'necesită o proprietate în plus. C"mponll/1ţi

Din motive de efi.cientă se. yor . .i ,~ioutiliia 'doua' cOfisbînle~ NCF si NCL: "'. ",care precizează respecti" primul. şi, .:'" ',:.

_:.-. '\"'1:'1"'1"' ,(.~,,,.,,,,.:. -'.,"A.">,J}.( ,- '"ultimul 'component din orice parte,a'I"'"' 'procesului. Astfel, de exemplu. fig, 5.2ne arată maniera în care nodu13 F:ig. 5.2.al unui proces separă componenţii )

8 - Modelarea şi simularea în '~gineria chimică _ cd. 29

,/

114 ECHILIBRUL VAPORI-LICHID IN ŞISTEM MULTICOMPONENT

.la !O în grupul 1 la 4, care trece la nodul 5 şi în grupul de componenţi 5la 10 care merge la nodul 4. ,

Cînd se simulează nodul 5 avem NCF = I şi NCL = 4 şi in mod analog.pentru nodul 4, NCF = 5 şi NCL = 10. După cum se va vedea mai tîrziuscopul introducerii acestor constante este micşorarea numărului de calcule.(vezi anexa B-6).

Primele două subrutine descrise În continuare'se utilizează pentru calcululentalpiei 'molare a unui flux cu temperatură şi compoziţie cunoscută.

5.2. SUBRUTINELE ENTHL (1) ŞI ENTHV (1)

Capacitatea termică Cp a unui component pur are, În general, variaţiimici cu temperatura şi poate fi e'xprimată sub forma Cp = a + bT, În care aşi b sînt constante specifice componentului, iar l' este temperatura. Entalpiaunui component la o temperatură l' se exprimă prin relaţiile:

T T

H =JCpdT =J (a+bT)dTo o

. bH = al' +- 1" + c

2

Constanta de integrare c este egală cu zero pentru lichide şi egală cu căI:dura latentă la O°C pentru vapori. Entalpia vaporilor şi a lichidului unuicomponent la temperatura l' este deci

vaporti, H, = 1,+ (A, + B"T)T, PCU/mol.lichid, hL = (AL + B"T)1', Par/moI.in care A = căldura latentă la 0°; A = capacitatea termică la 0° şi B =

..,. 1/2 X coeficientul de temperatură al-capacităţii termice. Aceşti coeficienţi A,,,B" 1" A", BL ocupă pozitiile respective 4 la 8În .matricea DATA, după cums-a explicat în subcapitolul precedent. Unităţile pentru ental-jlie vor. fi ÎnPCU/mol, întrucît compoziţiile sînt exprimate ca !racţii moIare.

Un flux 1, avînd temperatura STRM (1,~;22)sa.:;a"ea,£lltalpia moi arăSTRM (1, 23). Pentru a calcula entalpia lichidelor, datăl'iind compoziţia şitemperatura, se utilizeaiă următoarea formulă de amestec

Entalpia (L) = 'EX,(AL, + BuT)T .care este progran)ată În subrutina ENTHL .din fig. 5.3 sub .forma

HL = n:X,(AL, + B1.,T).

1 • SUB~OUTJNE (NTHL (Il2 .' COM~ON/CO/STRM(300;2~I,OATAr20,!OI.RCT(221,NCF,NrL,lSTR3 • Hy = O.4 • 00 5 N : NCF,NCL5 • 5 HV = HV + STRM(t,N).lDATA(N.7).OATA(N,Bl.STRMCt'22))6 • STR~(I,2J) = Hy.STR~(1,22)7 • RE TURN~-• ENO ~

Fig. 5.3. Subrutina ENTJ-IL./ == llt1m~rl!l fluxului.

1:-"1;.:"-"

SUBRUTINA TEMP (l, L)

I

115

1 o St.:~mCUT1 NE EtlTHV ( I) ~2 1$ Cut4J.lON/CD/STnf.~ (300' 2'+ 1 , DA TA (2"1,10 1 f per (22) , ~!~ţ.~JI'L, L5jR3 • HV = O.4 • 00 5 N : NCF,NCl~ • 5 HV=HV+STRM(I,N).{IO~TA(N,4J+OATA{N,5).STRM(I,22)1.6 • lSTRM{I,22J~OATAiN~6)J1 • STRM(I'23)": HVe ti RE TURN .9 ••. ENO

Fig. 6.4. Subrutin.1 ENTHV:1 -F" numărul fluxului.

Parametrul I al subrutil)ei ENTHL reprezintă numărul fluxului a căruientalpie se cere. Blocul CO}1MON/CDj contine matricile STRM şi DATA,precum şi indicii primului şi ultimului component, NCF, respectiv NCL. Cele-lalte,elemente din COMMON se utiliz~ază şi se explică mai tîrziu. Insumareaentalpiilor se efectuează 'succesiv prin linia 5, iar rezultatul final se transferăla locatia adecvată În matricea de fluxuri STRM (1, 23) prin linia 6.

In fig. 5.4 se arată o subrutină similară, uşor de urmărit, pentru calcululentalpiei unui flux de vapori (ENTHV) ..

5.3. SUBRUTlNA TEMP (1, L)

Procedeul invers aflării entalpiei unui flux sau nod, fiind cunoscute'temperatura şi compozitia, constă În determinarea temperat urii, fiind dateentalpia şi compozitia. Aceasta se efectuează prin subrutina TEMP (1, L)arătată în fig. 5.5, care serveşte atît pentru fluxul de vapori, cît şi de lichid:În cazul lichidelor se specifică 3 pentru parametrul al doilea (simbolul L), iarÎn cazul unul flux de vapori O. Numărul fluxului este r, care apare ca prim

1 •• SUBROUTItlE TEMP(I,LJ .2 •• COMMON/CO/STRMI~OO'2~I,DATA(20,101,RCT(221,NCF,NrL.LSTRJ •• J4=4+L'4 •• JS=5+l5 •• SAX:O.6 •• SBX:O.7 •• SLM:O.8 •• 00 5 N:NcF'NCl9 • SAX:SAX+DATÂ(N,J4)*sTRMeI.N)

10 • S8X~SBX+DATA(N.J5'.STRMtI.N)11.. 5 lF{l.NE.~lSLM~SLM.OATA(N.6J*STRM(I,N)12 • T = STRM(I'22) .13 • 7 TO:fSTRM{I'23J-SLM)/(SAX+T.S8X)14 • CALL CONvIT,TO,t,NCI15 • GO Ta (6,7),NC1~ • 6 STR~II,22)=T17 • RE'URN .18". ENO

Fig. 5.5. Subrutill;) TEMP (1, L).Lista argumentelor: I = Iwmi'irul fluxului; L = faza: lichid = 3'. vapori =-;; O.

116 - ECHILIBRUL VAPORI-LICHID IN SISTEM MULTICOMPONENT

element în Iist'a parametrilor. Liniile 3 şi 4 din program arată că valoarea L(O sau 3) se întrebuinţează pentru a preciza JO~,aţia'cpeficienţilor adecvaţiai entalpiei în matricea DATA. . .....'.' •

Calculul se efectuează prin metoda implicită, utilizînd subrutina CONV(cap. 2), admiţind că după trecerea iniţială s.a obţinut o estimare rezonabilăa temperaturii în STRM (1, 22). S.ar părea că, întrucit temperatura Teste.un termen de ordinul doi în expresia entalpiei, adică:

H;=), + AJ+ B,T'sau

h" = A,J + BLT'ea ar putea fi determinată În mod explicit. În cazurile În care pentru (8 = O)expresia de ordinul doi ar putea deveni nedeterminată. situaţia arputea'fi salvată printr.o instrucţiune IF. ,Se preferă însă metoda implicităarătată în subrutină, întrucît termenul de ordin. doi fiind "slab" se obţineo convergenţă rapidă. În adevăr, în bucla de iteraţii a procesului de calculo singură trecere prin rutină ar fi suficientă' ca să. determine valoareatemperat urii în limitele toleranţei specificate în interiorul lui CONV. Ecuaţiaimplicită, rezolvată în linia 1.3, este:

în care termenii :E)"X,(SLM), :EA,X,(SAX), :EB,X, (SBX) sînt acumulatirespectiv prin liniile Il, 9, 10.

5.4. ECHILIBRUL LICHID-VAPORI

Ye

+r

"Cildurii

tv,

Înainte de a dezvolta subrutina, care efectuează acest calcul, se va' pre.zenta o scurtă explicaţie a teoriei. Să considerăm ca exemplu un vas careconţine trei, componenji fluizii miscibili a, b şi c (fig. 5.6), Compoziţia lichi.dului este X., X ,'şi X" în care X, reprezintă fracţia molară a componen.tului i. Prin fierbere acest lichid la temperatură T va dezvolta un flux de

vapori, avînd compozi'ţia Y", Y b şi Ye. Corripozi ţiavaporiJor este în general diferită de aceea a lichi.dului X j, oferind prin aceasta o metodă conve.nabilă de separare a componenţilor unui amestecmiscibil. În cazul în care compoziţia vaporiloreste aceeaşi ca şia lichid ului, avem de a .face cu unsistem numit. amestec azeotrop, la temperaturăde fierbere constantă.

Intrucit vaporii degajati de lichid se' găsescÎn echilibru cu lichidul, potenţialele lor chimicesînt egale, ceea ce se exprimă prin relatia

Fig. 5.6. Amestec tricompr-nent la fierbere. '{JiYjP = XiFiy'i

\.

ECHILffiRUL LICHID-VAPORI 117.

în care: Xl -=- fracţia moIară a componentului lichid i; ,',jL!fflY

Y, fracţia moiară a componentului i În stare de vapori ;lny .,Fi fugacitatea componentului pur la temperatura de fierbere T;'fi, fugacitatea componentului i În amestec;P - presiunea totală;y, activitatea componentului i Îrl amestecul lichid. .''''"'

La presiuni moderate şi perltru amestecuri .ideale relaţia aceasta se simplifică1a legea lui Raoult: P 'Y, = XiP, (T), adică presiunea parţială În fazăc,kya-pori este .egală cu produsul Între fracţia molară în lichid şi presiunea de ,"vapori"componentului pur P, (T) la temperatura de fierbere T. De obicei ameste-<:urile nefiind ideale, pentru a generaliza relaţia de echilibru, se va introduceÎn aceasta coeficientul de activitate y,

Y, c= X, P~T) y, (5-1).,

5.4.1. Activitatea•

., .,, ...•,"

Activitatea unui component i, (:;il, într-un amestec lichid este functie de<:ompozfţie şi temperatură. Există mai multe metode pentru a exprimaaceastă relatie funcţională, cum sînt ecuaţiile lui Van Laar sau Wilsoti., caresînt tratate în .Iiteratura corespunzătoare [1, 2]. Calculatoarele cu bibliOtecide programe foarte sofisticăk oferă metode variate de calcul al activităţilor,programatorului rămînîndu-i doar să selecţioneze metoda pe care o doreşte.Pentru a demonstra modul În care se utilizează aceste metode în subrutinaACTY se programează o relaţie temară Margules relativ simplă. Alte :rutine<:areutilizează relaţii mai complicate pot. fi asamblate Într-o manieră/similară.Pentru un amestec bicomponent neideal, se rlotează A12 logaritmul activităţiiterminale al componentului 1 faţă de componentul 2 (cu X 1 ~ O), şi, În mod•analog, cu A'l cea a componentului 2 faţă de 1. -.

In general, aceşti coeficienţi terminali binari se expri[nă În funcţie detemperatură sub forma

I A + b" .n Yl = .12 = al' TK

.,în care T K = temperatura în 0K. "Pentru Url amestec tricomponent există şase coeficienţi şi anume A 1,:.,A 21 ;

A13, A,,; A", A'2' care reprezintă logaritmii activităţilor terminale pentru fie-<:are pereche a amestecului de trei componenţi. Pentru a calcula acti~itateafiecărui component. faţă de ceilalti, următoarea relaţie a lui Margul6' este.satisfăcătoare În multe cazuri

In 'Yl =Al,Xi + A1,Xl + X,X,(AI2 + Al' - A,,)

-----------------------,-------------._. .

118 ECHILIBRUL VAPORI-LICHID îN SISTEM MULTICOMPONENT

Permutînd - indicii 1 - 2 - 3 - 1 se, obtin ecualiile eelorlal ti doi com-ponenli

In 1', = A23X: + A"Xi +,X,Xj(A'3 + A2J~ A3,)In"i3 = A31Xi + A32X: + X,X2(A3, + An - AI')

In cazul în care lipseşte un component expresia se reduce la ecualia binară:In "i' = A"Xj, Dacă amestecul neideal constă din mai multi componenli sîntneGesare,-expresii cuprinzînd mai multi termeni corelati' cu coeficienţii bi-narului [3].

5.4,2, Subrutiria ACTY

Să presupunem că se efectuează calcule de echilibru pentru un amesteclichid conţinînd N componenli numerotaţi de la NCF la NCL. Pentru efec-

• tuarea calculului, care va fi descris în subcapitolul următor, este necesarăcunoaşterea coeficienlilor de activitate ai fiecărui componenL Dacă -în acestexemplu~se presupune că trei -din aceşti componenţi sînt neidealii va fi necesarsă se calculeze activitălile lor cu ajutorul expresiilor de Il)ai sus. Aceasta sepoate realiza cu ajutorul subrutinei ACTY, arătată în fig, 5.7, care poate fiutilizată, în maniera arătată, numai pentru un sistem tricomponenL Pentrusistemele cu mai mult de trei componenţi pot fi elaborate rutilfe mai gene-rale, De fapt, cele mai multe calculatoare cu care se tratează probleme deinginerie chimică oferă rutine ample şi sofisticate pentru calculele de activitate.,

In subrutina ACTYargumentul N specifică fluxul sau nodul pentru caretrebuie să se determine activitatea fiecărui componenL Iniţial, la încărcareaprogramului, datoriI ii declaratiei DATA din linia 3, roatricea DATA conline

1* SU3ROLfTINE toCTY (1<1)2* COMY,ONICD/STRM(~DO,2~l,DATA(2D,lO):~LT[22),NCF,NCLtLSTR3* DATA'OATA(J.9),~=\,20l/20*1.1 _~. OAlA SA67,SA6B,SA78,~~1,B6B,~7~/-.~2,-IB'-.3fJ7D.,~aO.,170.I

s. DATA SA16tSA86,SA67.B76fBB6,BB7/-.6,-.7,-.4,~65.,375.,185.16* TK=ST~MfN,221+273.7* Ac? = SA67+B61/TKS* A68 = SA~8+668/TK9* AlB = SA7e+S1A/T~

1u. A7~ = SA76+B76/TK11* AS6 = SAA6+B86/TK12* ţ67 = s.e7+B87/T~13. X6 = STR~{N,6)1~. X7 = ST~~{N,7}15- xa = STRMIN,8l1&* DATA(6,li):EXP lAc '7.X7~ot2+AI'.lMX8"'2+"*Xe.. (A67+A68-A78) I

17. DATA(7,9)=~XP{A7a~xe.~2+A76.X6 ••2+X6.xa*(A76+A76-A86»le. CATA(8,91=EXP{A86.X6.*2+A87.X7~.2+x6~X7.rA86+A87.A67»l~. ~ETURH l"-* ENO

Fig: 5.7. Subrutitl8 ACTY :!v'= nllm~rlll flllxului sau al nodului.

ECHILIBRUL LICHID-VAPORI 119

pentru fiecare component, .în locaţia potrivita, coeficientul de activitate. ideal"gal cu l. Coeficienjii de temperatură sînt specificaţi în linia 4, iar tempe-ratura se extrage din locaţia 22, a vectorului N al matricii de fluxuri(linia 6). Coeficientii A (Iogaritmii activităţilor terminale binare) pentru campo-nenlii 6, 7 şi 8 se calculează prin secv.enţa de program 7-12, iar compo-.ziţiile se extrag din matricea de fluxuri prin secvenţa 1.3-15. La sfîrşit,.activităţile Se calculează prin 'liniile 16-18 şi se plaseaz{, în locaţiile rezer-vate lor în matricea DATA.

5.4.3. Compozijia vapori lor la echilibru. ,

Pentru a calcula compoziţia vaporilor Y, care sînt în echilibru cu com-poziţia lichidului X, se admite că presiunea ambiantă este cunoscută. Va finecesar să se calculeze temperatura de fierbere. Pentru aceasta schema con-.ceptuală de calcul este arătată În fig. 5.8, a, în care se calculează compo-ziţia vaporilor cu ajutorul ecuaţiei de echilibru, utilizînd iniţial o temperatură. estimată T. Se însumează apoi compoziţiile vaporilor, Y şi se compară cu uni-tatea. Dacă aceasta nu se obţine în limitele prestabilite, de toleranţă, se€stimează o nouă valoare a temperat urii şi se repetă calculul. Există cîtevascheme pentru a obţine convergenţa prin calcul iterativ, cea care utilizeazărutina CONV, descrisă în cap. 2, fiind următoarea:

E=I-~Y;[J=T+G.E

CALL CONV (T, TI, 1, NC)

lnconvenientul acestei scheme este că implică selecţionarea adecvată a.unui factor de amplificare G, care variază dela sistem la sistem. O altă metodă,

P(T)X,-=+- Y,= -'- • r,eT). X,.Po .

T

. p.(T) Y.y. - -- Q'2(T)' X.

p. .••

Y,

(I;Y,=I)-T ~

X •.

T

Fig. 5.8, a. Modtl gCI]eral pentru ec~'1ibr111 vapori-lichid.

Q.1

Ij

"

120 ECHILIBRUL VAPORI-LICHID IN SISTEM MULTICOMPONENT

care esfe' tot aşa de eficientă, Însă, nu implică selecţionarea unui factor de,arriplific'are, constă În tehnica analitică Newton~Raphson (cap. 2).Variantaaceasta 'este uşor' aplicabilă În cazul acesta, Întrucît pentru componentul (i),a 'cărui -presiune de vapori este t,(T) se utilizează forma analitică a ecuaţieiAritdhle 'o"~ ' ,

"ia;-

(5.1),

În care T e exprimat În ac. _Se reaminteşte Că constantele C" C2 şi C3 ocupă, pentru fiecare component,

primele trei locatii În matricea DATA, Spre exemplu, C, pentru componentul 5,va fi găsit in DATA (5, 2), Variaţia compoziţiei vaporilor Y" cu tempe.ratura pentru fiecare component se obţine prin derivarea ecuaţiei de echilibru,(5:\'),'adică ' '

" { ,.&lu ....~', 'ri 'd (Y) ',d {EXP'I'C + C,' )" * X,},-'(nsrn_~. -', f =-,-. .li . '1 'y(.-

.qfIIO:,) ti,,"'.::>"" dT •. ,. al i. \ 1 T CH _ p.

[)~W~~~h1glijea~ă ~ai:iatia,a~tiviiătiî ,cu temperatura ecuaţia de mai sus.se 'reduN"'la expresia următoare: '.~. ,hjhhiS: . • ; I "7 '

r'/'1H~ ,S'l.h' ,IUU'r: r,,~d},~= 'y,,~., C~;'..." •.""I.î!!Ulj ,.,1:' ;' ". 1~'(l'1"': t (T +'Cd~

Pentru N componenţi viteza !le variaţie a sumei lui Y, cu temperatura.va fi SDY = :E(dY,/dT), Dacă'se obţine astfel eroarea YER = 1 - :EY"valoarea următoare de Încercare ,a temperaturii va fi T = T + YER/SDY.

Se repetă ciclul pînă se reduce YER sub valoarea nominală a toleranţei'de 0,001, care este adecvată, pentru ~e1e mai rriulte cazuri.

,S,ullr.utina EQUI).., este arătată În fig, 5,8, b; IL din lista argumentelorifl,d.i,qtilifuărul' 'fluxiÎlui de lichid sau alriodului, iar IV îluxul de vapori Înecliilibh1"l'Î1 IL. 'La 'prima apelare a subrutin'ei se piesupime că posedăm O<

SuOqOuTI~11:: EGUIl.{IL,ly; \,_.COM'.10N/C[l/'SJI-1.M 1.3'00. 2" I ,GAJ A1,21),,1-0 ..1 .PC"., 2.2:1 • tJC'F,' t'rL 'oLSTR

7 SUM = O.' 1- -, .- - .'( .- ,:,"'-

SDY : D.CALL ACTy(ILI -.DO 5 III: IIICI='.NCL T,'.i TRI-1 ( 1'V. NI :::(XP (DAT A (t'o, 1,1 +OAT A ltJ..2H_{5 lR"I"( IL.22 1 +DAT A 'N.J) li.

-:- lST'R~l(-IL,N)'/STRMI.IL.2~J.DATA(N.(1l .-,_SUM =,SUl-4_+ STR~\'IIV,I\lI,,.. _ ....'.,,,•.•..OY.= -STRM[IV;N).OATA(N.~I/ISTR~IIL~~21+0ATAIN'~II**2

'5 '.iOY :-S[}y .+ DY' - . .• ",YER=-l.-sUM ţ--STR~IIL,221 : STRM{IL,22) • Y(R,SOYII=' IABSI't('R) .LT •• OOl •.'.G.O,l.O.. I;."_.'60 TO 7 ','

6 STRM(IV,2ZI:STRM(lL.2Z)RETVRN . r" , \?' ;'ţ:f ...•.

ENO

.Lista argumentelor:

c_

12 •3• •5 •6 •7 •••9 •,..

11 •12 •13 •

'" .15 •16 •17 •la •

I

""1Fig. 5.8, b. Sl1brutina EQUIL

/ L := numărul fluxului sa~1al Iloduhlifll"Hllui S2U <il nodului de vapori.

de lichid: IV = nurnăruE

------ ...•_....- -----.--

CALCULUL PUNCTULUI DE RouA 121

--1

-estimare 'rezonabilă a temperaturii în vectorul corespunzător fluxului: IL;.aceasta conţine, de asemenea, fnicţiile moi are de iichid X, şi presiunea (atm).Inainte de a calcula compoziţia vaporilor se determină activităţile' ,tuluror-componenţilor făcînd apel la ACTY (iinia 5). .P~ntru fiecare component secalculează echilibrul Y'prin liniile de program 7şi 8, iar derivatele DYprin iinia 10. Valorile lui Y' şi derivatele sînt însumate, respectiv în liniile 9şi Il. O nouă temperatură se calculează în iinia 13, după cum s-a explicatmai inainte, iar testul de toleranţă se efectuează în iinia H, Se atrage atenţiacititorului asupra faptului că bucla DO se utilizează numai pentru :Compo-.nenţii specificaţi între NCF şi NCL (linia 6):, .' "

In concluzie, făcînd apel la EQUIL(lL, IV) se calculează compoiiţf1Î de.vapori pentru IV, iar temperatura de echilibru se determină pentru 'ambeleJluxuri IL şi IV cu ajutorul subrutinei şi se introduce în. locaţia adecvată înmatricea de fluxuri.

5.5. CALCULUL PUNCTULUI DE ~ouA

Uneori intervine în calcule, după cum se va arăta mal tîrziu"di~~~,Tni-narea punctului de rouă al unui flux, adică a condiţiei în care temperaturavaporilor' se coboară pînă la valoarea la care condensează prima p'icătură.Aceasta este temperatura de rouă, iar cCIl1poziţia punctului de rouă este"c6m-poziţia picăturii de lichid în echilibru cu vaporii la temperatura p'iul~t'uluide rouă.. . ~..:~': .

Valorile acestea se calculează printr-o procedură inversă aceleia urmateîn EQUIL, adică dată fiind compoziţia vaporilor Yj se calculează cOlTÎp01,iţiade echilibru a iichidului, Xj şi temperatura. Pentru acest procedeu ecuaţia'de echilibru' se exprimă sub forma

PYiX,=---P.(T) .'{,

Derivata, dX,jdT necesară pentru convergenţa Newton-Raphson;_:este,dX,=X,~_-dT ,-(T+C,)' ,~---

Subrutina DEWPT (IV, IL) este arătată în fig. 5.9. Dacă s-au înţelesexplicaţiile în legătură cu subrutina EQUIL din subcapitolul precedent va fiuşor să se înţeleagă procedura DEWPT. Primul parametru în lista argumen-telor, IV, este nodul sau fluxul de vapori pentru care se caută coi\'diţiilepunclului de rouă. Temperatura punctiIlui de rouă şi compoziţiile de tfchid .se introduc în vectorul nodu'lui IL, care, uzual, este un nod fictiv. "

122

~~"".::-,"-~.~=--=.-,.--------~---------~.

ECHILIBRUL VAPORI-LICHID IN SISTE~'1 MULTICOMPONENT

1 •2 •3 •" .5 •••7 •6 •9 •

10 •11 •12 •13 •

'" .15 •16 •

SUBQOUTINE OEwPT(IV,lLl . ~COM'.'OrUC['o/STRMI300, 24). nţ. TA (2n. 10) ,neT (22) • ~ICF' .t-!rL. LSTR

7 SUM:O.SQX:O.CAlL ACTYJ IUDO 'j N:NCF,NCLPN=EXP(OATAIN,11+0ATA(N,2,/(STP~(IL,22l+0AIA(N,311)STRM(IL,N)=STRM{IV.Nl.5TRM(tL,241/0ATA1N,91/PNSUM:SUM+sTRMeIL,N, .DX=STRN(Tl'NI.DATA(N,~)/(STRM([L,221+DATA(N.31)*.2

S .SD~ = SDHOXXER:l. -SIIMSTRM(lL,?2l=STR~(lL,22J+XE~/SOX.IF (p,eS( XER) .LT •• 0011 R~TURNGO Ta 7ENO

Fig. 5.9. Subrutinil DEWPT.Lista argumentelor: J L = nod de lichid; IV = flux de v<lpori.

5.6. TRANSfORi\\ARE DE fAZĂ GENERALIZATĂ

In procese intervine adeseori modificarea entalpiei unui anumit flux priITadăugare sau extragere de căldură. In anumite operatii unitare acest transferde entalpie rezultă in modificarea fazei fluxului. O diagramă" generalizatăsimplificată a acestor transformări este arătată în fig. 5.10, în cani căldura(HT), pozitivă sau negativă, este adăugată i1uxului. de intrare IN care segăseşte în stare de lichid sau vapori. Prin aceasta rezultă un flux de vaporîsau de lichid, sau ambele. In tabelul 5.1 sînt arătate nouă combinatii posibileale acestor factori, aşa cum se realizează in operaţiunile unitare uzuale. Inoperatiile din care rezultă simultan fluxuri de vapori şi lichid se face, de

IN

HT

'\../r---' V

/0"", __ . L

Fig. 5.10. Schemă gencrtlă el 01)ef3ţi.::i d~ Vil-

pori zare (bruscă) În ecb:libru.

Tabellll 5.1. Clasificarea operaţiilor unitaTe în care are loc o variaţie de entalpii

Flux deint,"nrc

1. Lichid2. Lichid3. Vapori4. Vapori5. Li::hidG. Lichid7. Vapori8. Vapori9. Lichid

CăJdur.'iadăugată

PozitivNcg<!ti,.,PozitivNegativZeroPozitivNegativNegativPoziiiv

.Fluxuri de ieşire

Numai lichidNumai lichidNumai vaporiNumai vaporiVapori şi Ii~hidNumai vaporiVapori şi lichidNumai lichidVapori şi lichid

Opcrn1ia unitară

1I1călzÎrcRăcireSupraîncălzireDesupraîncălzircVaporizare ac:liabatieă brus:ăVaporiz3.rcCon::l:;n::;1re parţialiiCondensare toblăSchimb de căldură cu vap::>ri-zare brus~ă

~--~----------------~-- ---

.TRANSFORMARE DE FAZA GENERALIZAT A 123

,. JO-0-,/HT

Fig. 5,11. Fluxuri pen-trll subrui.ina HTEXCH.

obicei, presupunerea că cele două fluxuri sînt În echilibru Între ele. In ca-zurile În care această presupunere nu este corespunzătoare, este nec~sar săse utilizeze metode speciale pentru a calcula natura fluxurilor de ieşire. Astfel,spre exemplu, În cazul unui condensator parţial se poate face În primă aproxi-maţie .presupunerea că la ieşire există condiţii de echilibru. Uneori este ne-cesar să se recurgă la o metodă mai sofisticată, utilizînd rezistenţa de di-fuzie, tratată În cap. 9. In acest capitol ne limităm la o discuţie a situaţiilorde echilibru.

Din tabela 5.1 ar rezulta, că prin simpla precizare a semnului şi a valoriifluxului termic a.dăugat unu) anumit flux, se specifică În mod automat tipuloperatiei unitare implicate, In linii mari aceasta este adevărată, dar În unelecazuri nu este convenabil să abordăm operaţia În această manieră. Se poateelabora o subrutină utilă care să cuprindă toate cele nouă cazuri de operatiiunitare, din tabela 5.1. Calea urmată va fi Însă să se elaboreze o rutinăauxiliară (HTEXCI-I) care poate să fie utilizată direct, În cazurile În careavem de-a face cu un singur flux de ieşire. Aceasta va fi de asemenea ÎnglobatăÎn rutina generală FLASI-I care va fi descrisă mai tîrziu.

5.6.1. Subrutina schimb de căldură (~TEXCH)

Această rutină poate fi utilizată direct pentru următoarele operaţii unilare :1. Cuptor sau Încălzitor: 2. Răcitor: 3. Supra Încălzi tor; 4. DesupraÎnciilzi-tor; 5. F΀rbător - supraÎnciilzitor; 6. Condensare totală.

Intrucit nu există decît un singur flux de ieşire (şi nu există zestre inaparat) debitul tobl şi compoziţia fluxului de ieşire JO vor fi identice cuale fluxului de intrare J (vezi fig. 5.11). Tot ceea ce este necesar de făcutÎn acest caz, este să se determine el1talpia şi temperatura pentru un fluxtermic dat I-IT. Procedura aceasta este listată În subrutina HTEXCH (1,JO, I-IT,. L) ară"tată În fig. 5.12. Cele patru elementedin lista parametrilor sînt. următoarele:

1 numărul fluxului de intrareJO = numărul fluxului de ieşireHT = sarcina termică (pozitivă sau negativă)L faza fluxului de ieşire; lichid, L~3, vapo~i, =0.

,.2 ~,,.li ~

5 •6 •7 •e •9 •

10 •

Si,;':,;i;OU;,j.f-'S H'rEXCH( 1 ,""O,HT.t.l •COi.;:.'ON/C!J/STRM (300, 2l4.} , DAT Ac 20; 10) • pcr (221 • fIleF' • ~J•..L. LS yRGF = HT/STRM(I,~l)00 5 N = NCI=',NCL

5 STRI~{JO.N)=5TRMII,NISTR~{JO.23)=STRM(I.23)+OFSTR~(JO,21)=STRM(I,211CALL TEMP{.JO,L)RETuRNENO

\

Fig. 5.12. Subrutina HTEXCH.Lista i'!rg1anentelor: 1 = numnrul fluxului de Întnlre; JO = Ilumiirul fluxului deieşire; !JT = s3icLna termică (pozitivă sau. lleg,!Îivă); L = faza fluxului de ieşire;

lichid = 3, vapori "'-= O.

"'O'," ~ --.:.-~

124 ECHILIBRUL VAPORI.L",CHlD lN SISTEM MULTICOMPONENT

I

Rutina transferă toate compoziţiile din fluxul I la JO, prin bucla DO.calculează entalpia moIară a fluxului de ieşire JO (linia 6), transferă debitultotal '(linia 7) şi termină calculînd" temperatura fluxului JOpentru faza co.respunzătoare L (linia 8), Trebuie observat că, întrucît se specifică atit de.bitul :fluxului de intrare, cît" şi debitul fluxului termic HT, această rutinănuesteiadecvată pentru calculul performanţei unui fierbător care producev.apori:'saturaţi. Intrucît fluxul termic HT va fi în general mai mult decîtsuficient ca să evapore tot fluxul de intrare, se vor produce vapori supraîncăI.ziţi.,Pentru cazul unui vaporizator sau fierbător care degajă vapori saturaţiva .trebui să se utilizeze subrutinele CVBOIL şi VVBOIL, f"re sînt descrisein subcapitoluI5.9.

(

• 5.7. SUBRUTINA FLASH. EVAPORARE (BRUSCĂ)IN ECHILIBRU

Pentru operaţiile unitare dl"n tabela 5.1 in care fluxul de intrare este ltransformat în fluxuri de ieşire, constind din vapori şi lichid în echilibru,este necesar să se determine fazele vapori/lichid ali! pentru fluxul total, cît'şi p'entru componenţi. In cazul în care se specifică fluxul termic, este de ase.meneanecesar să se determine temperatura de echili bru la ieşire. Cazul specialal unui condensator partial, pentru care se specifică temperatura de ieşire, estetratat în subcapitolul 5.10 (PCON).

Situaţia care se va analiza este arătată in fig. 5.13. Fluxul de intrare Fplus fluxul termic HT produc un flux de vapori V şi un flux de lichid L.Dacă fluxul de intrare este constituit din vapori, iar fluxul "termic este negativavem de a face cu un condensator parţial sau total. Dacă fluxul de intrareeste lichid, iar fluxul termic este pozitiv avem de a face cu un fierbător cuevaporare "bruscă (flash). Ambele""<ituatii pot fi tratate ciI o singură rutinăFLASH. .....~.

"""t

5.7.1. Bilanţ termic

Pentru a calcula fluxul de vapori de ieşire se va utiliza un bilanţ termic,după cum s.a recomandat în cap. 4. Relaţia aceasta este:

căldura intrată ~ căldura ieşităFhF+HT=VHv+LhL

Fig. 5.13. Fluxurile pentru evaporare (brU5dj)În echilibru ..

• L

F _____ • v

""/O

H'r / ""

,

SUBRUT1.J'l"AFLASH. EVAPORARE (BRUSCA) IN ECHILTE.RU 125

În care F, V ~iL sÎnt'debitele (molijmin), HT = fluxul termic, iar Hv, kL,hF sint entalpiile mol~re. Definind R = VjF ecuaţia bilanţului termic se reducela "

5.7.2. Bilanţul pe componenţi

Forma generală a bilanţului componenţilor .esteFXFi = ]iy, + LX,

Dacă se define~te "H, = Y,JX" "se poate stabili compoziţia vaporilordinbilanţul componenţilor, utilizînd pe R obţinut din- bilanţul" termic, adică

y.= X"I H,, , 1 + R(lf, - 1)

Calculul acesta se efectuează pentru fiecare component i.

5.7.3. Echilibrul

H, raportul compoziţiei vapori/lichid, definit mai sus, se obtine din ecuatiade echili bru

H. = P,(T),.,., P

În care: P,(T) = exp (C, + C2/(T + CJ)) •

y, coeficient de activitate (DA TA (1, 9».P presiunea totală (STRM (L, 24».

5.7.4. Ylmpoziţia Iichidului

După calculul lui H, ~i Y, se obţine compoziţia Iichidului X, = Y,fH,

. 5.7.5. Temperatura

Se utilizează .procedura Newton.Raphson "programată. În subrutinaEQUIL (subcapitolul 5.4.3). Derivata d Y,fdT se calculează din următoarele.ecuaţii

\

i .

În care YER = 1 - :EY,.

dl', = _Y,. c,. dT . (T + Ci)'

T=T+'" I'ERLJ (d l' ,ldTl

126 ECHILIBRUL VAPORI-LICHID IN SISTEM MULTICOMPONENT

Convergenţă--T, y3

flerge

pic R Bilant pg Y, Newlon-Raphsen--- comţ~ni! dep;v"lle

dY-'-' ~J'(T)dT

@..

IdYi

't dT

T £QUIL. xi= YdHi e-==1.-EYt,@@ Hi @ T = T + elE (dY,ldT

. @@

Wi .~Ţ, Activitot, Xi Nu 'conf---- @ T

ENTH@@~

~HT

r-eilar.ţ tcrm

@

FiL 5.14. Flux inform3{iond pentru e,'aporare (bruscă) în cchilibrll.

Schema generală este arătată în fig, 5,14 sub forma unui model simpli-ficat. Cifrele din cercuri' se referă la numărul liniei din Iistarea subrutineiFLASH, arătată în fig,5.l5, Lista de arglll;'ente a subrutinei FLASH (1,

" JV,. J L, HT) este următoarea:J numărul fluxului de intrareJ V numărul fluxului de ieşire al vaporilorJ L numiîrul fluxului de ieşire al IichiduluiriT fluxul termic de intrare.Succesiunea operaţiilor, arătată in fig, 5,14, este programată de la linia 6

la linia 22. După ce s-i! realizat convergenta temperaturii (STRM (JL, 22))prin linia 21, calculul continuă în secţiunea inferioară (liniile 23 la 27) undese .face o verificare a lui R. Dacă R este mai mare decît 1, avem de a facecu un supraîncălzitor, iar dacă este mai mic decît O operaţia se efectueazăîntr-un condensator total. Pentru acest caz se face apel la subrutina HTEXCHcu valoarea adecvată a lui L (3 sau O) in linia 28 sau 31. In felul acestaFLASH poate fi utilizat pentru situaţii în care, din anumite motive, s-aeliminat temporar din operaţie unul din cele două fluxuri de ieşire, In ca-zurile în care există întotdeauna numai un flux de ieşite, se va intrebuinţadirect HTEXCH,

I

r----------------.--~=='..•.....--.~-----..........,.•..~

5.8. EVAPORARE (FLASH) ADIABATlCA, IN ECHILIBRU

Fig. 5.15. Subrutina FLASH. ..•Lista mgumenlelor: != lll1mflrul fluxului de intrare; JV.= mnn;lfl!l fbxului de i~~!~,~,,1v,lporilor: JL = numărul f1uxu.lui de ieşire nI li:::hidu!ui; fJT = Ylrcim termbi d~ i~trar,;,.

Un caz obisnuit, întîlnit în procesele chimice; este acela in care un flux

"-lichid trece printr-o restricţie, ca o placă cu orificiu sau robinet de reglare,şi coboară ia o presiune inferioară (fig. 5.16). Entalpia fluxului de intrareşi de ieşire este practic aceeaşi (neglijînd lucrul de expansie), dar presiuneaîn aval 1-:2 este uneori suficient de scăzută ca să provoace formarea unei fazede vapori, sau, în cazul în care f1uxui de intrare const" din două faze, seva produce o creştere a cantităţii din faza de vapori. Este evident că situaţiaaceasta poate fi tratată cu uşurinţă prin programul FLASH, ţinînd seamacă există două fluxuri de ieşire L şi V, iar fluxul termic HT = O.

127EYAPORARE .(FLASH) .~DLt\BATICA, IN ECHILIBRU

SUBROUTI1~E F"LASH(I'J'J,JL,HT)COM1'lON/CD/STRM (3°0 I 24) • DAT A (2n. 10) • per (22" • Nes:. Nrl. L5rRGF:HT/STQM(I.21)R=STRMlJV,21l/STRM{Y'211CALt ACTY(JLJ

1 SUM:O. .5DY,::Q.00 5 ~.•=NCF, NeLH = EXP(QATA(N'1J + DATA[N'2)/ISTRM(JL,22).nATA(~.31)}~OAT~(N,9

lSTR"I(JL,2l&1ST~P.'(.JV.N) = STR"'< I,r'qcloi/{l.+lh{H-l.llSTR"I(JL,N) = STRM(JV'N1/HSUM = Su~ • STR~(Jv,N)ay = ~STRM(JV,Nl.OATAIN.2l/[STRM(JL.22)+DATA(N'~if.*?'

s Say = SDY + DyYER = 1. - SUMSTR'~(JL.22) = STR,M{JL,22) + YER/SavIF fABS(yER) .LT •• 0011 60 rO 6

.60 Ta 76 STR""{JV .• 22l=STR~lJL,221

CALL ENTHV(.JVrCALL (NTHLIJLIR1= [5rRM fI, 23) +QF'-STkM 1..lL' 23) )1 (STRM f ..lV,2~ ) ••STRM • ..li•., 23) l

'IF'(Rl.LE.O.) 60 TO ~IF'(ql.GE.lo) 60 TO-10

~CALL CONy(R,Rl'l.NClGO TO (8. 7i ,NC

a STR~(JY.21)=R*STRM{1'21)STR'-~f..JL,21) = (l._R, "STRM (1.21)RETuRN

1 CALL HTExCH(I,JL.HT,JISTR~(JV.21)=O.RETuRN \

iO CALL HTExCHcl.JY,HT,O,'STR!'l(..JL,21)=O.RETURNEND

I •2 •,., .S67 •8 •.9 •

10 •II •12 •lJ •11& '"IS •16 •17 •18 •19 •20 •21 •22 •2' •2••2S •26 •27 •28 •29 •'O •; 1 •>2 •" .,. .;S •'6 •;7 •

,,

1/J

128 ECHILIBRUL VAPORI-LICHID L"l SISTEM MULTICOMPONENT

.:,,'.~.:.::;:_l;..

~n~~~~~~~B~~i><J11'j{jt.Jf~.liN~Presiunea 7T, Presiunea lf2 V$"-

Lichid 1..0Fig. 5.1G. Curgerea unui lichid printr-o restrictie a secţiunii.

5.9. FIERBEREA.

•

Fig. 5.17. Subrutina CVBOIL.Lista 3r.gu7T1~ntdor: , = numiirul fluxului de intrare; JV = num~rul fluxului de

ieşire al vi:lporilor; HT = fllixul termic ..

Unele instalaţii ca evaporatoarele şi fierbătoarele sînt exploatate, prin re-,glare adecvată, pe baza principiului că fluxul termic introdus determină fluxulde ieşire al vaporilor din cazan. Dacă se neglijează volumul reţinut În aparat(zestrea) debitul de ieşire va fi egal cu cel de intrare. Pentru a stimula si-tuaţia aceasta, s-a 'elaborat (pentru un cazan cu volum constant) subrutina'CVB01L. Rutina corespunzătoare este listată în' figura 5.17, avînd trei ele-mente În lista argumentelor: 1 = numărul fluxului de intrare; JV c= numărulfluxului de ieşire al vaporilor; HT = fluxul termic. Intrucît compoziţiailuxului de ieşire este aceeaşi cu a fluxului de intrare" temperatura de fier-bere este egală cu punctul de rouă corespunzător compozitiei . de intrare.Prima operaţie constă În calculul acestei temperaturi, făcînd apel la subru-tina DEWPT (l, JV). Temperatura de fierbere va -fi introdusă În STRM(JV, 22) şi după ce se transferă compoziţia alimentării la acest flux JV (li-nia 5) se caleulează entalpia JV (linia 6). Bilanţul termic (linia 7) determinăapoi debitul lui JV, iar fluxul de alimentare STRM (l, 21) este făcut egal cufluxul J V (linia 8)..

In cazul Îtl care cazatlul reţine o cantitate importantă de lichid este ne-.cesară o rutină diferită, numită VVBOIL, care va fi descrisă În subcapi-iolul 5.12.

"

SU8:l:0ulINE ... ...,(IILII • ..Jy,Hl) .;COMMON/CD/STRM(300,2~1,DAT~(2n,10),RCT{22).NCF.NrL.lSfRCAl..L OEwpT(I,JV)00 5 N:NcF'NCL5 STRMCJV,N)=sTRM{l,N)CALL ENTHY(.}V)STRM( JV .21) :HT / (STR/) I JV, 23) _STRM.( 1 ,23))STRM(I'21)=sTRMeJV'21)RETURNENO.

1 .'2 •J .-••s •6 •7 •8 •9 •

10 .•

CONDENSATOR PARŢIAL (PCON)

5.10. CONDENSATOR PARŢIAL (PCON).

129

In subcapitolele' precedente s-a arătat că rutina generalizată FLASH poat.efi utilizată 'pentru a stabili r.aportul de separare vapori/lichid dacă este datfluxul termic specific HT. In situaţiile în care operaţia într,un condensatorparţial are '0 sarcină de răcire specifică, rutina FLASH va efectua calculelenecesare, chiar şi în cazul în care sarcina. de răcire ar produce condensaretotală cu subrăcire (prin intermediul HTEXCH). Un caz pqate mai tipiceste acela în care se specifică temperatura condensatului şi prin aceasta tempe-ratura vaporilor care părăsesc condensatorul. Situatia aceasta este arătatăsimbolic în fig. 5.18, iar modelul corespunzător în figura 5.19. Modelul estesimilar cu acela pentru subprogramul FLASH, exceptînd faptul că aici con-vergenţa se efectuează asupra lui R, raportul vapori/materie primă, întrucîtse specifică temperatura .de echilibru T. .. Derivatele dY;/dR cerute pentru convergenta Newton-Raphson se obtin

diferenţiind ecuaţia bilanturilor pe componenti, adică

Y = X. II,i "'I+R(H,-I)

in care Y,=compozilia vaporilor la ieşire, H,'C" Y;{X,; R = V/F; X,.,== compoziţfa alimentării. Diferenţiind, se obţine

dY, =dR

Y,(fi, - 1)

I+R(H,-I)

lteratia pentru R va fi.:

R = R + (l - ~ V,)

~(~:'JListarea subrutinei PCON '(1, JV, JL, TC) este arătată în figura 5.20,

în care elementele din lista argumentelor sînt: 1 = numărul fluxului de in-trare; JV '= numărul fluxului de ieşire al vaporiloc; JL = numărul fluxuluide ieşire de condensat; TC = temperatura de ieşire a condensatului.

După ce se face o estimare preliminară a lui R în linia 5 şi se introducetemperatura condensatiJlui PC În fluxurile JV şi JL (liniile 3 şi 4), succesiuneade calcule se efectuează în conformitate cu diagrama de flux informationalarătată în fig. 5.19. La început însă, înainte de a duce fluxul de intrare laechilibru c~ un flux fictiv 300 (linia 8), temperatura fluxului de intrare seretine în mod temporar ca TMP (linia 7). .

Prin aceasta, temperatura fluxului 1 se schimbă în temperatura lui de. fierbere, care, de asemenea; se reţine în fluxul fictiv 300 (vezi EQUIL 5-4-3).

. ,.-

9 _ Modelarea şI simularea in 1ngineria chimlc~ - cd. 29

130 ECIllLIBRUL VAPORI-LICHID IN SISTEM MULTICOMPONENT

•Fig. 5.18. Schema unui condensatof V()£)

partial.

F(XF,-!. .Oond.perţial ..••---~Temperatura Te

L(Xi)Determini p(J(lctvl de

f------ fierbere IBP) 12)-@:j al aliment1rii:'

\

R

Transferâ compozIţiile

la fI,!xul JL ;R=O. @-@

Test deconvergenţă

I¥ERI <0,001@

YER

•

dY, Y, (Hi - 1,dR 1,+R(Hi-1)YER = 1 - I Yi

R = R + YERIIdYijdR

,@-@

Daci temperatura alimentărIi(TC.R~I 10nu are lac condensare

Bilant pe compane. Yi, @~@l

Xiţ. _••

",,,,,,,.",,,,,,,,L. __

Efltalpia f/ de~ttlJ/ vaporilarEflta/pÎ3 SI deblt,,/ COI7t1msa-

tvM @_@

Fig. 5.19. Flux informaţionaJ penlru sub.• rutina PCON. Revenire

CONDENSATOR PARŢIAL (PCON) 131

1

•

1 • SUB'tOUTINE PCON(I,JV'."IL.TC) ...•.•2 •. COM~ON/CO/STRMI300,2~),OATAC20t10).~CT(22).NCFtN~L,LSTR3 • -STRMlJII,2,a1:TC'" • STRMtJL,,221:TC5 • R:STRM(JV,21)/STRM(],Zll6" IF(R.GT •• 9S) R:.9S7 .• TMP:STRMll'22).e .• CALL EGUJLll,JOOI9 •. 5TRMlh221=TfoIP10" IFITMP.LE.TC1R :: 1.11 .• IF(STRM(300,2Z) .Gl."'l GO TO~812 .• 7- 50Y=O.13 .• 5U"'=0.1'" .• CALI.. "CTy(JU'15 .• 00 5 N=NcF'NCL .16 .• H=EXP(OATAtN.l)+OATA(N,21/(TC.OATAC~f3))).OATA(N.9)/SlRM(JL,24117 .• OEN:l.+R.IH ••l,118 .• STRMCJV.Nl=STRM(I,N).rlIOEN19 .• STRM'JL,~l=STRM(JV.NI/H20 .• . OY=~STRM(JV.Nl.(H-l.)/OEN21 •. SUM=SUM+STRMIJII,N)22 .• 5 50Y:50Y+0123 .• IFISOy.GE.O~l SOT=-1.24 .• '(ER:l.-SU'"25 .• R:R+YER/SDY26" IF(A8S(YF.:R).LT •. OOl } GO TO 1027' Q: GO ro 128 *' 10 CAL.L ENTHV(.JV)29 *' CALL ENTHL(JL)30 • STRMIJV.211:STR",I].21}*,R31 •• STRIJI.JL,2,:,l:STR,'>4(I,21)"STRM(.JV.211J2 •. P.E1"L'M~; . ~33 • 8 00 9 N:NcF.NCL34 ~ 9 SiR~(.JL,N):STRM(I,NJ35 o R:O.36. GOT01037 •. ENO

Fig, 5.20. Submtina PCON.Li;,;ta- Clf.l~umeJ]telor: J = numărul fluxul~li de intrare: ./ V = numărul flux-ului deieşire al \'aporibr; JL = numărul fluxului de condensat; Te = temperatura de con-

(~eils~ir('specifi;:aUi.

Temperat ura efectivă TMP este înlocuită în fluxul I (linia 9), urmată deurmătoarele două teste:

l. (Linia IO)Dacă temperatura condensatorului TCeste mai ridicată decîttemperatura de i"{ire a fluxului 1, (in mod normal flux de vapori), nu va avealoc condensarea. Raportul R dintre vaporii' de 'i"{ire şi fluxul de alimentarese ia egal cu l. Calculele se vor efectua prin subrutină, însă se va efectuao singură iteraţie şi practic toate proprietăţile extensive ale fluxului de in-trare 1 se transferă la fluxul de vapori de ieşire .IV (vezi liniile 17 şi 18 cuR ~ 1). .

2 (linia Il) Dacă Te este mai mic decît temperatura de fierbere teoreticăa lui 1, care acum se,găs"{te memorată în fluxul fictiv 300, condensatorulparţial devine un condensator total, şi întreg fluxul de alimentare 1 estetransferat la fluxul de ieşire condensat .IL (liniile' 33 şi 35).

Din cauza posibilifăţii inversării pantei funcţiei 2:Y(R) dacă 2:dY IdReste mai mare decît O (linia 23) i se atribuie acestuia o pantă nominală de -1,forţînd convergenţa spre valoarea adecvată a lui R. După realizarea conver-genţei se determină entalpiile celor două fluxuri de ieşire (liniile 28, 29) şi secalculează. debitele prin utilizarea valorii de convergenţă a lui R.

•••

132 ECHILIBRUL VAPORI-LICHID IN SISTEM MULTICOMPONENT

5.11. ZESTRE CONSTÎND ÎNTR-O SINGURA fAZA

1

Toate programele descrise mai inainte in acest capitol efectuează calculealgebrice pure, întrucît s-a presupus că, în operaţiile unitare simulate, nu existăacumulare de energie sau materie.-Pentru a extinde biblioteca de-subrutine,care se elaborează:în această lucrare, cu scopul de a se putea simula situaţiidinamice, unele din rutinele care urmează iau în considerare acumularea di-namică care face posibilă acurn\llarea de materie sau energie. Primui exempludin această categorie este un rezervor de depozitare sau mai simplu, un volumcu 'un flux de intrare constituit dintr-o singură fază (I) şi cu un flux de'ieşire (Ia) constind din aceeaşi fază (fig. 5.21) .. Volumul înmagazinai constădintr-o zestre totală de HL moli ; in ipoteza unei amestecări eficace proprie-tăţile fluxului de ieşire (compoziţia, temperatura etc.) vor fi identice cu aceleaale zestrei. Astfel, nu este necesar să atribuim un nod corespunzător zestrei,iar HL simbolizează doar )TIolii totali din zestre.

La bilanţurile pe comppnenţi şi la bilanţul total exprimate in moli li seva adăuga un termen suplimentar, care reprezintă, pierderile sau cîştigurileinterne datorită reacţiilor care ar putea avea loc. Dacă nu au loc reacţiiacest termen este egal cu 'zero. Cantităţile acestea sînt memorate în matriceade reacţie R,CT disponibilă în blocul COMMON ICD I şi vor fi generate printr-orutină adecvată de definire a vitezelor de reacţie. Această proprietate va fiutilizată în cîteva exemple din capitolele următoare: pentru moment, să pre-supunem că locaţiile l ~20 din matricea RCT reprezintă debitul net pentrucomponenţii 1 ~ 20. Locaţia R,CT (21) conţine cîştigul sau pierderea netăde moli datorită. tuturor reacţiilor, iar R,CT (22) conţine căldura totală netăgenerată. Este, de asemenea, convenabil, ca în bilanţul termic să se introducăun flux extern (Q), care să reprezinte încălzirea sau răcirea con.tinutului vasului.Formularea bilanţurilor componenţilor şi ai energiei s-a arătat în cap. 4, iarceea ce urmează reprezintă o modificare convenabilă bazată pe relaţia funda-

~1

•

Gaz LichId

'10-Fig. 5.21. Rezervor cu o zestre. (acumulare), constînd dintr-o singură iază.

CONDENSATOR PARŢIAL (PCON) 133

mentală acumulare = intrări ~ ieşiri. Bilanţul molar pentru componentul .ndevine .'

'Fi~Xfn-- Fon,X,,+-RCT(n) -- X" dHLd . &- Xlj = --------------& HL

(5-11-1)

Bilanţul molar total este dHL(dt = Fin - Fo+ ReT (21) care introdusîn ecuaţia 5-11-1 conduce la' bilanţul pe componenţi

~x, = F ••"(X,,, - X,) -1- RCT(I1) - RCT(21hX"dl HL

In mod analog bilanţul termic este dat de relaţia

d(EN,)ci

F ••EN,- EN"(F,,., - dHL/dl) -1- Q -1- RCT(22)HL

în care ENo ~ entalpia moi ară.Aceste ecuaţii sînt programate în subrutina HLDP (1: 10, L, HL, Q)

arătată în fig. 5.22, în' care argumentele sînt: 1 = numărul Iluxului deintrare; 10 = numărul Iluxului de ieşire; L = faza fluxului de ieşire, Iichid=3,vapori = O; HL = zestrea (acumularea) in moli ;. Q = Iluxul termic. Mai josse dau unele lămuriri în legătură cu fig. 5.22. Ecuaţiile discutate mai susşi prograrnate în liniile 5 ~ 10 definesc derivatele zestrei, entalpiei şi cOm-poziţiei fluxului de ieşire 10. Aceste derivate se integrează în cadrul su)Jrutineifăcînd apel la subrutina de integrare INT (liniile II ~13), descrisă în cap. 3.Introducerea integrării în subrutină este foarte avantajoasă pentru programa-.tor, dar prezintă, în acelaşi timp, inconvenientu! că el' trebuie să ordoneze

j • ," •, •• •5 ,• •, •• •9 *10 •

Il ,'" •lJ •1• •15 •16 *.11 •1• •19 •

S~.)B,.t~J"!'!(l-'.LC'Pll,IOtL.,HL,G) \C'Jt>I~ON:COr,;',-;:;'.'H ~C:).•2l.i}, DAT A (20,10 I ,pCT 122) .NC~ ,Nrt,.,LSTRLOGICAL LSTR!F (lST~)GO TO 1OH~ = STr.MII,21) .•.sTk~fIO,~1)+qtT(21)HIN:STRMll'211*SîRM(I,23l+Q+RCT(22lOEN= (H-IN .•.STRM( Ia. C?3)" t snH-~Î iO, 21l +OHL 1}/HL00 6 N = NCF',NCLOFX:STRM( 1 '21l. (STR",( 1.NI ...SrRM( 10. N).)OX=(OFX+nCT(N} .•.sTRMII0,Nl~RCTI21))/~L

6 C;.LL lNTfSTpM(Io.N).OXI, CAlL INT {HL,OHL)CĂLL INT{STRM(IOI2S"OEN)CAlL TEMJ:lt to.uRETtJRN

7' tF(l.EG.J) CAlL ENTH~(IO)IFIL.EG.O) CALL ENTHV(10)RETURNENO

fig. 5.22. Subrutina HLOP.Lista argumentelor: 1= numărul fluxului de -intrare; /0 = nu"mărul fluxului deie',iir"e_; L = fa?,:8 fluxului de ieşire: lichid = 3, vapori = O; fllJ"= zestre .(moli):

Q = flux termic.

.,

5.12. VAPORIZATOR CU ACUMULARE

. 134 ECHILIBRUL VAPORI-LICH1D tN SISTEM MULTICOMPONENT

Bilant termic: intrare entalpie to-tală = fluxul termic + entalpia de intrareşi de reacţie QP = Q+ RCT(22)+F, +I,Fig. 5.23. VaporizJior cu zestr~.

1 (~,:)

Subcapitolul 5.9 a tratat cazul unui cazan cu o zestre constantă (CVBOIL) .'in care fluxul de intrare s-a evaporat instantaneu. In următoarele se va dez-volta o subrutină pentru un cazan cu zestre variabilă În care vaporii sintÎn echilibru cu zestrea de lichid, care' are o compoziţie diferită de aceea a<llimentării. Fig. 5.2.3 ilustrează acest sistem, obiect al simulării, constinddintr-un volum de lichid, nodul IHL, un flux de intrare I şi un flux de ieşirede vapori JV. Cazanul primeşte fluxul termic Q, putÎ.nd fi deasemeni sediulunei reactii pentru care datele .caracteristice sint introduse În matricea RCT, .

după cum s-a explicat în subcapitolul5.11.Ecuatiile de bază pentru acest sistem sîntsimilare acelora 'pentru HLDP, descris Însubcapitolul precedent. Ecuaţiile sistemu-lui sînt: .

Bilant general molar HL, (în care HLmoli zestre, F = debite).

IH' d(HL) = F, - F JV + RCT(21).- dt

.apelurile din programul principal Într-o directie opusă fluxului procesului. .Âspectul acesta se ilustrează În cap. 7, care tratează transformările În trepte. _

Ultimul element din blocul CO!\jl'\ON{CO( este variabila logică LSTR ..Aceasta este necesară pentru toate rulinele care contin integrări interne şi;are ca scop să dirijeze revenirea la programul principal după primairecere prin rutină. Se va reaminti, din capitolul 5, că organizarea sistemuluiINT cere ca Înainte de orice apel la rutina INT, de variabilă dependentă,

.:să se facă apel mai intii la rutina INTl, de variabilă independentă.' Aceastapermite ca INTI să reaşeze contorul .de apel JN şi contoarele de trecere JS4sau JS Ia valorile lor adecvate. Dacă subrutinele INT sint Înglobate În interi-vrul subrutinelor pentru operatiile unitare, ca În HLDP, este necesar ca să sesară peste integrări la prima trecere intrucît subrutinele sînt apelate În sec-tiunea de derivare~ Variabila logică LSTR(logical start), care îndeplineşte<lceastă functie, este "adevărată" numai la prima trecere. Organizarea unu;.program principal care apelează rutinele mentionate cuprinzind variabilaLSTR este descrisă În exemplul 5.14.

Pentru .a completa descrierea subrutinei HLOP, operatia finală, Înainte. de reîntoarcere, este apelul rutinei TEMP, care determină temperatura fluxuluide ieşire 10 din entalpia şi compoziţia lui.

Evaporarea..;

VAPORIZATOR CU ACUMULARE

QI' _ h,,' dHL _ HL. dhLdt dlFJl' -------------H~

135

In care h£ şi Hv sînt entalpii moi are. Ultimul termen de la numărător,dhddt, reprezintă acumularea de căldură sensibilă În zestre; deşi aceastaeste .în general mică se va ţine seamă de ea aici. Generarea acestui termenimpune obţinerea derivatei entalpiei lichidului h[" care se efectuează Într-omanieră similară procedurii urmate În subrutina DER (cap. '3); adică uncalcul de derivată ;,inversă", .

Bilanţul componentului (N):Debitul de intrare FNI = F [XN[ + RCT (N)acumulare = intrare - ieşire.

Prin derivarea membrului stîng, ecuaţia de mai' sus se'aduce la formaluai convenabilă tare urmează:

I'N! _!' \' -- X dHLI ./l-.\" .\"-

bERN = dX" ~ d_l_d!_ HL

Fig. 5.24 arală schema fluxului informaţional, simplificată, pentru ecuaţiade mai sus, iar subrulina VVBOIL (1, JV, IHL, Q, IC) este listată înfig. 5.25. Argumentele pentru VVBOIL sint { 1 ~ numărul fluxului de in-trare; JV = numărul fluxului de ieşire a vaporilor; IHL = numărul noduluide acumulare; Q = fluxul termic. Ca şi În cazul rutinei HLDP, integrărilederivatelor generate se efectuează intern ; variabila logică LSTR (liniile 8, 1'5)se ia din nou În considerare la trecerea iniţială, Schema fluxului informaţionalindică, prin numărul liniilor, locul din subrutină În care se realizează fiecareoperaţie de calcul, astiel incît, in general, este foarte asemănătoare :cu rutinele'Precedente. Derivata entalpiei dh[Jdl necesară pentru bilanţul termic, se cal-culează În instrucţiunea. cu eticheta 7 scăzînd entalpia' curenU, a zestrei(STRM (IHL, 23)) din entalpia. calculată la trecerea precedentă care a iostmemorată la locaţia 20 a vectorului corespunzător fluxului de intrare dinSTRM (linia 23). Această variaţie a entalpiei se. Împarte prin mărimea pa.suluide integrare DT pentru a obţine derivata.şi se multiplică cu volumul zestreiSTRM (IHL; 21) pentru a forma derivata totală, memorată in STRM (.IV, 20)necesară pentru bilanţul termic (linia 13).

Se va observa, de asemenea, că intrucit zestrea acumulează diferite com-poziţii, XS sînt specificate la fiecare iteraţie, iar compoziţia vaporilor şi te,m-peratura se stabilesc direct (EQUJL) fără convergenţă algebrică. .

~.

Fig. 5.25, Subrutina VVBOfL.,~1= numărul fluxului de intrare: 'J.V= numărul fluxului deI fi L numărul' nodului de acumulare (a zestrei); Q = fluxul

lermic la ficrbiHor.

,

"

SUB~OuTr~E VVBOILII.~V.T~L.O)CQM"ON/CO/5TRM (JOO ',2'+ 1 •Dt. TII (2!"J. 10 J • pCl (221. NCţ' • "'I'"L. L5 TPCQMI>'ON/CINT IT .OT • .,JS.JN.OXAf50nl ,)'1\ (0;001.10. J5tlLOGtCAL L~TRCALL EQUILltHL.Jv,CALL ENTAv(,)V)CALL (NnlL ( 1HL 1lF(LSTR, STR~1(t.201::~tRM(IHL.2;'1IF«(JS~.fG.~I.OR.(JS.t:Q.2,}r;O T0 7'la GP::O+RCT(22)+STR~(I.l11.STR~(I.2J)ţ'1:5TR~(I.21'~RcT(211BH::STRM(JV.2JI-5TR~(lHL.2J)STRM(JV,21)::(QP_STR~\IHL,2Jl.F'T_STRM(Jv.2011/BHOHL:STR~'{ 1'21) -STRMj.iv .21)+RCT( ';'.1)IF(lSTRl RETURIJ .00 Q N:NcF 'NeLFNI :: STRM{J.Z11'.STp"{I.NJ+J:l,CT(NIOER~J:: (F'~JT.SrRM (JV. Z1) .S.TRMI...JV. N I-STpM f tHL. Nl-OHL I/STRM( IHL, 21,

Q CAll LNT(STplo'l(t..,l.NpOERNICALl INT,STRM(IHL.211 ,eHURETIIRN

7 STRţ.l i JV, 20 1:: (S.Tl;l"l ( tHL. 2:~Il-STRI.4 fI, 20 ,".STRM ( tHL. 21 )/OTSrRM( 1 '20)::STRM( IHL.2JlGO TO 10ENO

,1 •Z •,• •=•7 •891.II •12 •U

'"15 •,.17,.19 .,20 •." •22 •".ilo;.,5 •

List<l argumentelor:ieşire ;'11 vapori lor ;

Derivataentalpiel

/ichidu/lJl dhL

@ @5dt

Revenire

ComporiţiiJ vapori/o/'temperatura

6nu/pliJ8 vi/porllol' ŞI~/e lichidultliq)~

Btlant termiC' __ v@-@OerivJta bllrJ/1ţlJjlJl

molilr total @ 1 •.

Derivatele @C'tJmponenţijorrj})

/nugrare,1de/'ivattlol'@@

,Fig. 5.24. Flux informaţionnl pentru VVBOIL.

/

EXEMPLU DE DISTILARE DIS CONTINUA. CAZUL 5-1

5.13. EDlTA~EA ~EZULTATELO~: SUB~UTINELE P~LŞI ~PRL

137

In capitolul' 3 se explică structura internă a subrutinei PRNTF care im-primă un şir specificat de variabile, la anumite intervale, specificate ale va-lorilor variabilei independente. O rutină similară există pentru imprimareaintr-un format adecvat a stării unui flux sau nod. Rutina se numeşte PRLşi este listată În Anexa 8.1.

Un exemplu tipic de utilizare al.acestei subrutine, este arătat în fig. 5.34_ 'Intrucit rutina serveşte numai la editarea rezultatelor nu se 'va face o des-criere a structurii ei interne, ci se vor da doar următoarele indicaţii :~l. Argumentele rutinei PRL (PRI, FNR, l'iF, LI, L2, L3,- L4, L5, L6,L7, L8, L9, LIO; LI1, LI2) ,sînt următoarele: PR1 = intervalul de impri-mare, privind variabila independentă; FNR = terminarea execuţiei, adicătimpul de oprire; NF = indicele logic de terminare, NF = TRUE la terminare ;.LI ~ LI2 = numerele fluxurilor care urmează să fie afişate la ieşire.

2. Subrutina are următoarele caracteristici funcţionale:(a)-nU' va imprima decît compoziţiile specificate între NCF şi NCL;

~. (6) se vor ignora toate numerele de fluxuri specificate ca O în lista ar-gumentelor ; .

(c) comută variabila logică LSTR la FALSE.Capacitatea lui PRL este de 12 fluxuri: dacă se cer Însă mai multe, se'

poate utiliza rutina paralelă RPRL (Repeat ,Print), Iistată În anexa 8.2, careeste declanşată automat de către PRL şi prezintă aceleaşi caracteristici (a)şi (b) ca şi PRL. Ambele'rutine se utilizează în programul principal În acelaşifel ca şi PRNTF şi PRNTR (vezi cap. 3).

Subrutinele descrise în acest capitol tratează în principal procese de echi-Iil'ru Între două faze. In capitolele ulterioare se vor adăuga mai multe pro-grame acestei biblioteci de subrutine; înainte Însă se vor dezvolta Cîtevaexemple care vor arata modul de utilizare al unora dintre aceste programe.'

5.14. EXEMPLU DE DISTILAREDlSCONTINUI. CAZUL 5-1

Un amestec tricomponent de lichid trebuie separat parţial prin distilarediscontinuă, efectuată într-un cazan, după cum se arată în fig. 5.26. Cazanuleste Încălzit printr-o manta menţinută ia temperatura T J ~ 130°C cu ajutoru»

138 ECHILIBRUL VAPORI-L.ICH1D IN SISTEM MULTICOMPONENT

.....~

Fig. 5.26. Cazan de diSUl;lre discontinuă.

Cocfid~n1iiAntoilll'

unui regulator de presiune a abu-rului din manta. Fluxul termicde la marita la şarjă este: Q =~ l 400 (T J - T), în care Q == PCU jmin; T = ,.temperaturaşarjei, ac. Să se elaboreze un pro-gram de calcul cu ajutorul căruiasă se poată calcula temperaturaşi compoziţia Iichidului din cazanşi a vaporilof distilaţi în timpulprimei ore de exploatare. Se vorlua următoarele date de bază şicondiţii iniţiale:

Co~ficielltii l'ntatlliilor

Componrn1ii c, c, C, A,. It. A AL II[,

I 1~.96 . -5210. 273. 8. 0,01 '9020. 20. 0.022 15.2 -6050. 273. 12.2 0.02 11500: 32. 0.013 15.1 -4957. 273. 6.5 0.01 7500. [6. 0.03

Numărul total de moli in şarja iniţială este 350, iar compozitia iniţială€ste Xl = 0,43; X, = 0,31; X, = 0,26. Cazanul operează la presiune atmos-:ferică; se admite că toţi trei componenţii formează un amestec ideal şi căfierberea începe la timpul egal O. .

Analiza sislemuluiDeşi programul acestui proces va utiliza una din subrutinele dezvoltate în

acestsubcapitol, este totuşi instructiv să se formuleze toate ecuaţiile implicate.pentru a înţelege sistemul şi pentru a. ne da seama de simplificările de pro- Igramare rezultate din ~tilizarea subrutinelor.

1. Bilanţul termic: Fluxul termic Q = I 409 (130- T)pCUjminSe evaporă

d(HL)jdl = - V

fQ - ~- (HL 'h,) j

V = dt. H,

undeH, = LY,[A, + (A,. + B,.T)t] entalpie vaporijmolIl, ~ L[X,(AL, + B"T)T] entalpie lichid jmol.

în care HL = numărul total de moli în şarjă.2. Bila'nţul total de moli :

I

•

...,...(

"

Fluxul termic /a mi/nta'

Q = lt,M(f30 - T) T'J1:.j,'';'"

1(

d(HL) = -vcit

v..Bilanţ termic

v = [ Q - Jt (HL . n )]/Hv !:.b.Hy

Entelpiil. total.

nL = 'i'XihLi

Hv = LViH'ihiHvi

cntolpiil. Pp.oomponenţJ

hLi~='t(T)Hvi =fi(T)

T

T

Echilibru

l:Vi.=f~T

X'L

Yi

P,

Componentin vaporI"

Yt = PiX,

HL

Xi

Presiuni de yapop/

r;ig. 5.27. j\\odel m1:ltcmatic pentru di5tilllrca di.s{;ontinu;i.

Yi

I!tlenţ molar I y'c comp(Jnenti

d .dt (HL Xi) = ~YYi

HL•

c --

140 ECHILIBRUL VAPORI-LICHID lN SISTEM MULTICOMPONENT

P,= EXP (C" + c" 1T+CH

vaporilor Y, = P,X;f1 (pre-

d --(HL'X3) == - VY3d/

,{ Echilibrul: presiunea 'de. vapori"a fiecărui component i

lllllllllllllllllllllllllllllill

3. Bilanţul de moli pe com-ponenţi :

'd- (HL .Xl) = - VYldt

Fig. 5.~8. Numărul fluxurilor' în simularea prinVVBOIL .<1 distilării discontinui.

(D--- @ i T(~STRM(2,22)

iI

În care. CJ, ~ coeficienţii Antoine; compoziţiasi unea = I atm).

5. Temperatura: Yl + Y, + Y3 ~ I - TAceastă ultimă 'ecuaţie 'rezumă procedura care ilerează teI'nperatura şar'

jei T, astfel ÎnCît să se menţină :E,Y; = I În cadrul unei toleranţe adecvate.Fig. 5.27 arată schema unui flux informaţional specificind modul în care

trebuie utilizate ecuaţiile pentru a calcula variabilele dependente. Toate ecua-.ţiile ar putea fi programate individual şi ar pute'a fi structurate Într-o formă.adecvată pentru integrare, utilizînd sistemul INT descris În cap. 3. Acest procespoate fi simulat Însă cu un efort cu mult mai mic, utilizînd subrutina VVBOIL.Deşi acesta din urmă este cazul mai general, cuprinzînd o alimentare de li-chid, acestui flux de alimentare lichid i se poate asocia un număr de fluxfictiv (N" 1), cu debit zero (fig. 5.28), iar În acest caz rutina va simulSl o dis-tilare simplă discontinuă. Şarja va fi desemnată cu numărul de nod 2 ÎnSTRM, iar debitul de vapori cu numărul 3 În STRIv\.

Programul pentru VVBOIL este arătat În fig. 5.29. Structura acestuia ur-mează În linii mari gruparea cerută de sistemul INT, deşi trebuie observat,că Întrucît VVBOIL cuprinde o integrare .internă, titlul "secţiune de derivare"nu se aplică, de fapt, în acest caz. Referitor la acest program trebuie reţinute<le următoarele aspecte:

1. Numerele componenţilor NCF şi NCL sînt specificate În secţiunea de.date- (linia 8) ;

2 Variabila logică pentru trecerea iniţială fictivă, LSTR, este poziţionatăÎn secjiunea de iniţializare la TRUE (linia 10), iar În subrutina de imprimarePRL (lil)ia 15) la FALSE.

3. Intrucit pentru VVBOIL se cere expresia fluxului termic Q, aceastaconstituie prima linie din secţiunea de derivare. Pentru a determina pe Q,În prima trecere, trebuie să fie disponibilă temperatura de fierbere (STRM(2, 22)), care se obţine apelînd EQUI L În linia precedentă. _

TJ"'E = ".3000+02'5TRM NO 2' ':5'FLOW ,~069+0:3 ,3320+01:,TEM? .1104+03 .11n4+0~ENTHAL .2938+01+ .10'22+05'PRESS .100~+01 ,DODOCOMP.1 .5105+00 ,4497+00COM? 2 .4223+00' .236'to+OO'COM? '3 . ,6716-,Q'1 .3149+0'0

Fig. 5.31. Imprimantă cu rczultate'lcprogramului de distilare, disconti.

nuă (5.29).

"

SUBROUTINE ACTy(N)COMMON/CO/STRMC~OO,2'+1 ,O"AT"c20, 1O) ,RCT (22'), NCr: ,~lrL,LSTRDATA (D~TA(I,9).1=1.20)/20.1.1RETllRN .ENO

1 •2 •3 •,.5 •

Fig. 5.30. Subrutina A\:TY pentru activit<ltea componenţilor "ideali". utiliz<ltă în. exemplel~ de distilare disc()ntintl~.

TIME = •.0000STRM NO 2 ~FLOW i3500+03 .7291+01

• TEMP '.9535+02 ,9535+02ENTHA~ .23"0+0"- ,8994+04PRESS ,.1000+01 I,DOCOCOMP 1 ,4300+00 ,2169+00COMP 2 ,3100+00 ,9110-01"

c ., nArA sECTtON •• COMP :3 .2&00+00. .6920+00l',. . CO"'MnN/CO/S,,:,"Hl,\ t ~40. 2~ 1• [).I,TA :.20.10 )-,RCT (22; I NcF. Ne\... L$;K TIME = .1000+02J. LOGIcAL LSTRttlF - STRM NO 2 J,,. DATAIUATAll,N).N=ltAJ/13~4b,-5210 ••273.,8•••0119020 •• ~0•••02/5' OATA1DATA(2.NJ.N=1.eI/15.2.-6050 ••273.,12.2 ••02.11500~'Jl.'.OI/ FlOW ,2912+03, .5291+01•• 'DATAIOATAI3.NJ ••1=1.81/15.ij,-S312.,27~ ••6.~I.OlI1500.'16 ••,03/. TEMP ,1003+03' .1003+03',. c " INITI~TloN SECTto~ ,t ENTHAL .2539+04 ~9326+04•• DATA /STR"'c?.NI ,N=l. 3)/.43 •• ~1, .26/NCF INeL/1 •.ll PRESS ,1000+01 ,0000•• DATA (~T~'1 12 .'q I N=2 i, 2~ 1/3'50. ,95. 3S, O, 'il 1J COMP 1 .4668+00' ,.28~0+0010" L5TR=.TRUE. COMP 2 .:3508+00 ,12'82+00.11. CALL EQUJLI2,3) COM? :5 .1824+00 ,.5878+0012' C •• nERlv~TlvE SECTJON ••1.3. 7 Q=1~oO,.(130.-STRMI2,22)) TiME.= .2000+02'" CALL VVBOILll,3'~IQ)". CALL PHL (10", '&0. 'NF' ,2, 3,0.0 I 0.1'1,0 I 0,0.0,0,01 STR'" NO 2 ~,.. IFINFIGO TO 10 FLOW .244Q+O:5 .42'16+01170 C •• INTEGRATrON sECTrON •• TEMP .1056+03 .105&+03,.. 5 CALL lNTI{TrM.1.,1i1 ENTHAL .274B+0"~ .9752+04,,.. Go To ., PRESS .1000+0'1 .0000., 20_ 10 STOP COM? 1 .4947+00. ,3&57+00"21' ENO COM? 2 ,3,U94+00 .1783+00 .• COMP :5 .1160+00 ;'560+00

Fig. 5.29. Programul de simul<.:re CI distilării discontinui.

~

:.A

,

142 ECH1LmRUL VAPORI-LICHID IN SISTEM MULTICOMPONENT

4.' Nu se cer decît .două instrucţiuni pentru a simula întregul proces şianume expresia fluxului termic Q şi apelul subrutin'ei VVBOIL. Restul in-

. strucţiunilor reprezintă declaraţii, detalii de procedură, sau intrări/ieşiri.5. Subrutina .pentru activităţile acestor compuşi ideali este arătată in

fig. 5.30. In fig. 5.31 se arată rezultatele Iistate privitoare la starea şarjei (2)şi a fluxului de vapori (3) la intervale de cîte 5 minute. Aceste valori deieşire au fost obţinute prin subrutina PRL (discutată în cap. 5.13) apelatfi înlinia 15 din programul principal.

5.15. DISTILAREA DISCONTINUAÎN DouA tREPTE. CAZUL 5-2

Distilarea discontinuă din exemplul precedent poate fi utilizatăla"o.se-parare în două trepte prin adăugarea unui con densa tor pe linia de vapori şiprin reîntoarcerea condensatului ca reflux, prin intermediul unui rezeror,

tl înapoi În cazan. Sistemul este arătat În fig. 5.32 şi are ca scop concentrareacomponentului nevolatil (2) pentru o puritate dorită. Introducerea con densa-torului parţial şi a rezervorului de reflux măreşte numărul ecuaţiilor specificateÎn sistemul original (fig. 5.27) cu Încă 10 pînă la 20 ecuaţii. Totuşi, vor finecesare doar patru .instrucţiuni suplimentare În programul DYFLO. Existăastfel cinci fluxuri/noduri care sînt arătate în fig. 5.33. Conţinutul rezervo-rului de reflux este menţinut la valoarea constantă de 50 moli, iar concentra ţi ainiţială este aceeaşi ca şi În şarja de distilat. Temperatura condensatului esteTe = 87°C. .

Fig. 5.32. Distilare discontinuă inţiou.ă trepte.

COI1densatorparţial rEŢ@-

I @Io

VVBOIL -----(D.@

"Q = 1400 (130. ~ T) IFig .. 5.33. Schemă cu numef{)-

.târea fluxurilor.

,,--': VeVc:pori

---rl Reg"la.to~y elemvel

I___ ~J

1.CondensatLe

7j

v--

,

-~

"\

"\

,-.,..,,-2'

" "

CASEC.SECASE

C;SE ~~2CASE c,.-2C",SE '1I;~2

,f\( ~,. - , ,:,,'

C •• DATA S£CTION ••COMMON/CO/STRMI~OO,24l,OATA(20,10),RCT(22),NCF,NCL,~STRLOGXCAL LSTR,NFDATAIOATA(1,N),N=1,8)/1~.46,-52tO.,273.r8,'.Ol,9020.J20 •••02/;OATAIOATA(2,N)'N=1,81/15.2,-6050.,27~.,12.2,.02,11500.,32 .•. u!/DATA,OATA(3,NI'N=l,8)/tS.4.-531?,273.r6.5"al,7500"1b •••03/

C •• lNITIATloN S(CTtON ••OATAfSTRM(2,N),N=1,3)/.43 ••~1,.26/NCF.NCl/l'31,OATAISTRMC2.N),N=21,2~)/350 ••95.35,O.,1.1OATA(STRM(1.N).N=1,3)/.~3,.31,.261OATA'tSTRMtl,N),N=21,23)/1.835,9S.35,234Q.,DATA (STRM(J,241,~=1,5)/S.l.1LSTR:.TRUE.CALL EQu1L12.31

C •• OERl'VATlvE SECUON ••~ Q:!4DO •• C13o.-STRMC2,22»

CALL VVeOlL(l,3.2.Q)CALL. PCON'C3.~.5,.87.)STRM,1'21)=STRM(S,21)CAL.L HL.OP(5,l,!,50.,O.lCAL.L. PRL (10. '60'~ •NF, 2,!, ~, 5.1, O. O. O, O, O, O. O)

IFINFlGO TO 10C -. tNTEGRATION sECTtON ••

5 CALL tNTt(TtM.l ••~)~Go To 710 STOP

ENO

l'2'3.4.5.6'7'8'9.10.

, lh""12_

o 13_14.15.16.11'18'19'20-21'22.23'24.25'26'210

Fig. 5.34. Program pcntru simularca distilării în d;ouă .trepte.

144 ECHILIBRUL VAPORI-LICHID IN SIS1'EM MULTICOMPONENT

rl~E =STRM NOFLOWTE~PENTHA~PRESSCOMP 1COM? 2<oMl> j

l'IME"STRNl NOF~?ifTEMPENTHALPRESSCOM? 1CO~? 2,0000P 3

T1ME =STRM NeFIa-<)"TEM?ENTHALPRESS'OMP 1COMP 2COM? 3

T1ME =STRM NOFLOWTEM?ENTHAL.PRESSCOMp 1COM? 2COMP :5TIME =STRM NOFLO"wTEMPENTHALPRESSCOM? 1 .COM? 2COM? :5TIME =STRM NOFlOwTEM?ENTHALPRESSCOM? 1

.00002

.3500+03,9535+02,23"0+0",1000+01.'J3C10+00,3100+00.2600+00

.Inoat-o:!2

.3174+03

.9969+02,2515"0'+.1000+01.~634+00.3"'57+00•1909.•.eo

.2noO.O~z

,3\106+03,1029+03,26llol+0q,",1000+01,14837+00,3688+00,1475+00

.3000+022

,2928+03,1048+03,2114+04,100,O+u1.'+940+00.3811+00,1249+00

,1.1000+02..2

•2894+03,-1057+03.27~9+0q,.1000+01

.,4987+00'.3869+00,1145+00

,5000+02. 2,28eO+03,1051-+:0.3.2765+0~.1000+0165001+00

3.7291+01.95~5+D2.899"+0".fooo+(fi.•2169+00.9110-01.6920+00

3.5!l~5+01.9969+0269262+04.1000+01.2757+00 ..12;,0+0066014+00

3.4195+01.1029+03.9526+04.1000+01.3243+00.1508+00.521~9+00

3.4~63+01.1048+03.9680+04.1000+01.3SfJ7+00• 16B8+00,.~765+00

3.4312+01

'.• 10S!.+03 ..9760+0~.1000+01• .3702+00.1780+00.4517+00

364250+016.10'61+03.9791+011-.1000+01.37"/0+00

•f~3.3~+J)1.8'701'1+'02.8541+0'-"•1000+1)11380+00:;n6~"Ol.8244;'00

4.1131 +u1.8701'1.02.8S41+0'~6100('1+01.1381+00.3731-01-.8240+00

4.5015+00.8700+02.BSll-l.04.1000+016138f\+.OO.3723-01.8239+00

4.2116+00 .68700+02.8541+04•.1000,.01.1389+00.3721-01.8239+00

468451-018700+02:8533."0&161000+01.1389+00

5,248'1+01.'8,O~O+02.lq60+04.'îoDo+tft.37~+OtJ.l926+00•• 4"3.33+00

5.3,089+0168700+02.1955+0'.100Q+Ol•.3197+00.1875+0064328+00

5.3664+(\1.8700+02.lq5tl.+n4-.1000+0163,q,'16+00.lA5A+nă.4326+1"10

5.3962+01.8700+n2.1953+04.1000+01.3821+.00.185~-+OO.li.32~+r'JO

5.'.4100+01.810n"+02.1953'+04.1000+01.3822+00.1.653+00.ij32~+oO

5.4166+016e700+02.1952+0'10.100Q+Ol.3&22+00

,1

.2'81+01

.'9535+02

.23"'0+04

.1'00:0+0'1••30'"0+00.'3foo+oo.~606+oo

163Q8~+Ol.• 9204+02.,2181+0461000+el64064+00.2601+0063315+0'0'

16366fi+Ol'.8961+0262070+0&1.1000+01.3950+0062239+00.3812+00

1..•3962+0168823+0262008+01f..1000+01,;3881+00.2035+006408'5+00

1.4100+01.875'5+0~.1977+04.1000+01.3B4~+OO61934+0064218+00

1641&6+01.8724+0261963+04-.1000+01_3831+00

FIG. 5.J5.

Fig. 5.35. Imprimantă cu rezultatele la distilarea în două trepte.

CAZUL 5--=-2.: DISTlLAREA. DISCONTINUA .IN DOuA TREPTE

•

145

Programul complet al acestui sistem lărgit este arătat în fig. 5.34. Liniileadăugate pentru unităţile suplimentare sînt marcate ~În coloanele 73-80.Rezultatele numerice pentru primele 50 minute 'sînt arătate în fig. 5.35.

Probleme1. In cazul în care coeficienţii C" C" C, din ecuaţia Antoine pentru yr~-

siunea de vapori nu sînt disponibili să se elaboreze un program care sa CI-tească trei perechi de coordonate ale presiunii de vapori P, corespunzătoaretemperat urii .T şi să calculeze coeficienţii Antoine utilizînd ecuaţia:

P, = EXP(C,~+ C, ),~ T + C, '

plasînd' aceşti coeficienţi la loc!,ţiile corespunzătoare din matricea de date.2. Cum poate fi modificat programul distilării discontinue 'descris în acest

capitoL ca să se ţină seama de următoarele.:a) Să se reducă suprafaţa de transfer. de căldură şi prin aceasta coeficient!!l,

pe măsură ce' volumul şarjei scade;b) Să se includă în amestec un al patrulea component, nevol~atil dar mis-

cibil, cum ar fi, de exemplu, un polimer solubil;c) Componenţii 1 şi 2 nu sînt ideali, activitatea terminală a lui 1 faţă de 2

fiind 1,6 iar a lui 2 faţă de 1 fiind 1,3; amîndouă aceste activităţi sîntconstante În raport cu temp!,ratura.

3. Să se compare functionarea sistemului de' distilare în două' trepte,utilizînd: (a) o temperatură fixă pentru condensat sau (b) o sarcină de ră-cire iixă pe cOl)densator.

4. Presupunînd că fluxul F în problema 4.6 (cap. 4) constă din cei trecomponenji ideali care au fost utilizaţi În cazul 5.1 (cap. 5) avînd compoziţiaX, = 0,43; X, ~ 0,31 ; X, = 0,26 şi admiţînd că există echilibru numai lapunctul de evaporare bruscă să se modifice în mod corespunzător programulproblemelor 4.6.

5. Reactorul arătat 'in fig. 5.36 constă dintr-un vas prevăzut, 'Ia parteanferioară,cu un distribuitor de gaze. Gazul readant B se introduce prin acest

"18 BFig. 5.36. Reactorul din problema nr. 5.

10 - Modelarea şi simularea in ingineria chimică - cd. 29

146 ECHILIBRUL VAPOHI-LICHID tN SISTEM MULTiCOJ:l''lPONENT

distribuitor în zona de reacţie cu.debitul 11'b (moli/min). Reacţia A + B ~ Care loc în faza lichi dă, B fiind' solubil în această fază. 'Reaclantul A curgeîn rea dor cu debitul Q, (fI'/min). Reacţia este exotermă, iar efluentul, subformă 'de vapori (M, moli/min.) conţine numai componenţii A şi B (C fiindneglijabil). Nivelul din readof se menţine constant cu ajutorul unui regulatorde nivel, care acţionează asupra debitului de ieşire. Qo. Presupunînd că con-ţinutul readorului este bine agitat, să se elaboreie un model care stabileşterelatia între compozitiile de ieşire şi .debitele reaclanţilor A şi B. .

BIBLIOGRAfiE

1. Vapor Liquid Equilibri!lm, E. Hal2 J. Pick, V. Fricd ,1Ilr! D. Vi-Uim, Pergamoll Prcss, 1958.2.. "Multi-Com;JOnent Equilibria", R: \l. Orre and J. M. Prausnitz, Illd. Eng .. Chem., 57, No. 5,

1965.3. "Some .r\1ethodsof Han81in~ NOll-ldeal Vapor--Liquid EQuilibria in Digital Computer S)':.:

te:ns", N. G. O'B:-i~nand I( L. Turner, C/l'Jnl. Eng. Progr. SYl1lp. Ser., 56. No. 31, 1960.

•

-

r,:----

6. CINETICA CHIl\lICA

•Acest capitol prezintă metodele de bază utilizate pentru simularea a nume-

roase clase de reacţii chimice,. tipice pentru induslrie. Spre deosebire de ope-.raţiile unilare de separare, de tipul coloanelor de distilare, sau de schimbărilede faze, care au loc În .conderisatoare, cinetica reacţiilor ,chimice este foartegreu de generalizat şi este praclic .inutil să se elaboreze subrutine generale,aşa cum. s-a făcut În capitolele precedente pentru alte operaţii mai comune.Raţiunea acestei stări derivă din faptul că, praclic, fiecare reacţie este unicăfiind caraclerizată printr-un model c.himic specific, care cuprinde una sau maimulte faze şi care are loc În una din marea varietate de configuraţii de reac-toare. Influenţa catalizatorilor, mecanisn;ul reacţiilor eterogene şi transferulde energie. Între Îaze' in mediul de reacţie măresc considerabil varietatea me-canismelor de reacţie şi varietatea geometriei aparaturii. Există totuşi uncadru fundamental pentru a simula ecuaţiile reacţiilor prin integrare numerică,În mod similar procedurilor descrise mai Înainte pentru sistemele cu ecuaţiidiferenţiale ordinare, aşa cum se va arăta În cele ce urmează.

6.1: SCHEMA GENER.ALĂ DE MODELAR.E

~In general: fluxurile ~eaclante sinI reunite Într-un reaclor (fig. 6.1), În anu-

mite condiţii, În care reacţiile decurg cu anumite viteze, determinate de com-poziţii, temperatură şi alte" variabile. Prin reacfii se elimină padial compo-.nenţii originari şi se Îormează componenţi noi. Astfel, de exemplu, pentru. reacţia simplă:

148

•

CINETICA CHIMICA

Compoziţii~ Temperatura

Debitde 811.n.t de mas8

----- -" --- -- __ --<OEcuc;ţiile wteze/or

lnf;ralY!pe componenţ;!" da reacţie,iefire -

+ :,Viteze de V,teze dereacţie reacţie, ,, ,, ,, ,

1.. _____________ .'_. ___ ,-",:_. ____ - _______ ~-----J

rig. G.1. SchclTI:Jmoddului g~neral pentru cinetica de reactie.

viteza de reactie R exprimă viteza de disparitie a componentilor A şi B şi,in acelaşi timp, viteza de formare a componentilor C şi D.R va fi exprimat În aceleaşi unităti ca şi debitele fizice uzual moli pe minut,

şi pentru ca definitia să fie completă, R trebuie să fie asociat cu unul din compo-nenti. Tn exemplul considerat R este definit ca viteza de dispari tie a lui A,care este aceeaşi cu viteza de disparitie a lui B şi cu vitezele de aparitie alelui C şi D.- RIn reaclia A + 2B-- C + Ddacă R este viteza de disparitie a lui A, viteza de disparitie a lui B va fi 2-Rîntrucît cu fiecare moi din A reactionează doi moii din B.

Vitezele de reactie sint uzual proportionale cu concentratia reacta'1tilor:astfel concentratiile pot ii considerate ca "potentiale" care determină vitezelede reactie. Debitele de r'eactie sint cuprinse in bilanturile pe componenti, Îm-pr'eună cu fluxurile fizice. In fig. 6.1 se arată fluxul informational ; ecuatiilecare descriu starea unei reactii sînt impărtite În două grupe şi anu,i1e: bilan-turile de masă ale componentilor, cu ajutorul cărora 'se obtin compozitiile şiecuatiile cinetice care definesc vitezele de reactie. Conform acestei proceduri,solutionarea celor mai complexe mecanisme cinetice se reduce la o problemăsimplă de contabilizare, care este' elegant tratată de un calculator adecvat.

Secventa de calcule şi transferuri de informatii este similară celei utili-zată pentru fluxuri de fluide, energie electrică, transfer de căldură etc., carese reduce la axioma generală:

Acumularea de fluxuri produce potentiale, iar diferentele de potentialeproduc fluxuri.

Aceasta s-a pus În evidentă de mai multe ori in capitolele precedente şi seva utiliza ca un ghid pentru simularea pe calculator a unor sisteme de reactii,alese ca exemple in acest capitol.

, , '

RE~CTOR CSTR PENTRU FAZA LICHIDA

5,2, ~EACTO~ CST~ PENT~U FAzA LlCHIDĂ

149,

Reaclorul de amestecare În flux continuu (CSTR = "Continous StirredŢ ank Reaclor") este cel mai comun sistem realizaUn industrie şi prezintă nume-roase variante care se disting prin modul de introducere şi de extragere liener-giei şi materialeloL Ca exemplu, să considerăm' reacţii)e

'tiA+B~C+D

1i~

C+ BkEk; \k:i

A +E~FJ.~

Din reaclanţii originari A şi B se obţine produsul E care, printr-o reacţie ulte-rioară cu reaclantul A, conduce la formarea produsului F Cea mai convenabilămanieră de a exprima vitezele de reacţie este forma de mai jos, îrJ care ki estecoeficientul vitezei de reacţie, iar Ki este constanta de echilibru,

R, = k,(c,C,,- CeC").V (5-1), K,

R, = k, (CeC. -~), V (5-2)K,

R,=k,(C,C,,-~),V (5-3)K,

ln ecuaţiile' acestea se pot uliliza diverse sisteme de unităţi, deşi termenii deconcentraţie Ci se definesc corect ca rapoarte masă/unitate de volum. Unsistem de unităţi coerent ar fi următorul:

V = volumul de reacţie (ft');Ci = moli (i/ft') ; ,K1 = constanta de echilibru, fără dimensiuni;,K" K, = ft'/moli;ki = moli/(min, ft', (moli)'/(!t')') = fl'/(min, moli);R = viteza' de reacţie, moli /min,

Constanta de echilibru reprezintă raportul între constanta vitezei de reacţiedireclă şi inversă, adică K, = k,fkj, In cazul multor CSTR însă reacţia esteasociată cu evaporare şi relaţiile de echilibru între faze se exprimă În funcţiede fracţiile molare X •• Yi ale componenţilor, lichid şi respecliv vapori. Ade-seori este convenabil ca în simulare să se uniformizeze unităţile' exprimîndtermenii din ecuaţia reacţieiîn fracţii molare în loc de compoziţii (moli/!t')cum se afirmă iniţial.

150 CINETICA CHIMICĂ

Transformarea În acest sens a ecuaţiilor de reacţie se poate efeclua ţinîndseamă de unităţile ecuaţiei dih reacţia de bază.

R=k*CA*Cn*VÎn care unitătile sint;

IDoliminut'

. fP . * ~l~liA * mdi B * fPmin md ft~ ft~

IntroduCÎnd fracţia moiarii X pentru concentra ţia moiară C unitătil~ devin

m::'!; ffa m,JIi A moii B (mali)' 1.. ( ft:i J--= . *--- :;:---* - .* mOI * --.mÎn min moI mali mjlj iP moi .

Simbolic, ultima ecuatie poate fi scrisă sub forma;

1\1R=kX.jX1i-M./ . V

Dacă variaţiile de compoziţie produc variaţii mici ale termenului MfV, C1;~reprezintă densitatea molară a amestecului de reacţie, acest termen p)aie fiînglobat În k, iar ecuajia lui R devine, R = kX"X nM.

d" ~ mal . I m.11 A moi B' 1.a lea - = - -- -- ma 1Jl1in mirI !noE m:J1i

În care M = volumul molar total al amestecului de reactie. Aplicind transf.)f-mările de mai sus la reaclorul din exemplu ecuatiile reacţiilor devin;

R, = k,M

.R,= k,M

(6-4)

(6-5)

(6-6)

(6-9)

.~FO--IJ) -~-l2l_

Fig. 6.2 arată o schemă simplificată a unui reaclor CSTR cu U1 d ,"it d,alimentare Fi, molifmin şi un debit de ieşire Fo.Ipoteza fundamentală pentru reacloarelede tip CSTR este că fluxul de ieiir Ceare aceeaşi temperatură şi compoziţie ca şi conţinutul reaclorului, d~ u11'şi denumirea de "reaclor cu amestecare inv.ersă" (back mix). Ecuaţiile b'l3n-jului de masă 'ale componenjilor devin;

d .. . .-~~(MX,,) = FiX,,, - FaX" - R, - R, (6.7,oi.- ~d . • .di(MXe)=F,Xul-FoXR-Rl-R, (6.8)

:; (MXd= R, - R, -FoXcFig. 6..2. Schemă de pnnclplll <1:

unui rcaetor" CSTR:

REACTOR CSTR PENTRU FAZA LICHIDĂ 151

Potenţii//e

Bi/anţ:.iri mularepe componenţi

(eevaţiile 8-7-5-12)Bilanţ ma/ar tot3/(ecuatâlc 5-13)

. /11'

OebiteEcu4ţi/le ~liezelorde rţ3cţie

R, ~ k,/I1(XAXB - XcXo!K,)

R,RzR3

Fig. 6.3. Flux informaţiolI,,! pentru un reactor CSTR.

d- (MXJ)) = R1 - FoXn (6-10)dld_ (MXE) = R, - R3 - FoX E (6-11)el .d .--,- (MXF) = R3 - FOXF (6-12)af

Suma acestor bilanţuri de comptmenti dă bilanţul total de moli, adicăd . ._ M = F,- Fo- R,-R3 (6-13)dt .

<:are poate fi uşor obţinută ţinînd seamă de faptul că :£,X, = 1. Dacă se admitecă reacţia arelQ,C în condiţii izoterme modelul este complet, şi este arătat în.fig. 6.3. In cazul în care reactorul lucrează în condiţii adiabatice este necesarun bilant de energie pentru a determina temperatura. Cea mai elementară.formă a unui astfel de bilanţ de. energie este următoarea:

ddt (Mhr.) = F,hL, - FohL -1- :£R,6.h, . (6-14)

în care,hL este entalpia lichidului, iar tJ.h, este căldura de reacţie, pentru fie-<:are reacţie. După ce s-a obtinut entalpia din reactor. hr., se deduce tempera-tura ca o funcţie a lui hr., pe baza caracteristicilor de entalpie alecomponen-ţilor din reactoL Succesiunea calculelor este arătată în fig. 6.4 ca un supli-ment la modelul din fig. 6.3.

_Constanta vitezeide reacţie

ki hi = Ait-EiIRT T

Ki Xi ~ d.rPIRT

C.nstilnta .de echilibru.

R' Bilanttermic

fihLi ti . hL--;- d"t(MhJ=fih,-FahL + LR,6hi~

Fig. 6.4. Flux inform.lţiona! pentru bilanţul de ental;)ii, într-u~ reador CSTR.

\

152 CINETICA CHIMICA

. Influenţa teinperaturii asupra reacţiei se manifestă. Îndeosebi prin inter-mediul coeficientului vitezei de reacţie k" care se exprimă ca o ftincţie Arrhe-nius k = A exp (-ERITJ, În care A este factorul de frecvenţă, E este energiade activare, R este constanta gazeior, iar T este temperatura absolută. Con-stanta de echilibru K se.redă prin aceeaşi formă exponenţială ca şi coeficientul.vitezei de reacţie. . .

6.2.1. Programul de calcul

Se reaminteşte c.ă programul DYFLO a fost organizat aslf~l Încît să poatătrata orice reacţie chimică care ar avea loc. Aceasta s-a realizat prin organi-zarea matricii RCT (J) În care primele 20 locaţii se referă la viteza de variaţienetă a concentraţiei fiecărui component, datorită unei reacţii oarecare. Locatia21 este rezervată pentru variaţia netă a tuturor molilor, iar locaţia 22 estevariaţia netă a căldurii generate. prin toate reacţiile. Operaţia unitară, nece-sară pentru acest reactor, este realizată pri!1 subrutina HLDP. care c?lcu-lează compoziţiile de ieşire şi temperatura. Dacă fluxurile de intrare şi de ieşiresînt numerotate cu I şi 2, după cum se arată în fig. 6.2,' secvenţa de programnecesară pentru fiecare reactor constă doar în a face apel la HLDP, cu argu-mentele adecvate. Pentru a calcula toate valorile relative la reacţii, din ma-

•triceaRCT, .este necesară o rutină auxiliară,. care să fie cuplată cu rutinaHLDP, Lista acestei rutine, REACT, este arătată În fig. 6.5. În acest reactorsînt şase componenţi A ~ F care ocupă liniile l ~ 6 În matricea STRM. Toate

2]

456 57B')

IU

"1213:415]6]7

.,REACTOR CSTR PENTRU FAZA LICHIDA

6 CALL REACT(2. VaL)'CALL HLDP(I. 2. 3. VaL. o.)CALL PRL(I.. 10.• LF. 1.2. O.O.O.O.O. 0.0. O.O.O)IF(LF) GO TO. 5CALL INTI(TIM •. 1. 4)GOTO'6

5 STOP

.... Fig. 6.6. Progtainul principal pentru un reactor CSTR. .

153

variabilele necesare pentru caeficienţii 'vitezei de reacţie k şi de echilibru K sintindexate ca indici (linîîle 5 şi 6) permifînd calculul acest ar caeficienţi într-a buclăDO. Intrările în rutină sînt numărul liniei din STRM pentru fluxul de ieşire.1. şi zestrea de reacţie. HLD. Temperatura şi compaziţia fluxului I este aceeaşica a materialului din reactar. Cele trei 'viteze de reacţie se calculează în linîîle 7.8. 9, iar debitele nete de reacţie ale fiecărui component, aşa cum sînt deter-minate prin ecuaţîîle 6-7 ~ 6-12 se intrpduc în matricea RCT prin linîîle 10şi 17.. (Dacă procesul Conţine mai mult de o singură zestre, această matricetrebuie ştearsă după utilizare: vezi anexa B5). Debitul tatal de moli şi călduraformată se calculează respectiv în linîîle 16 şi 17. Programul pri~cipal, arătatîn fig .. 6.6 s-a redus astfel la dauă instruCţiuni: apelul la subruiinele REAeTşi HLDP. Restul programului constă din apelul la rutinele PRL şi iNTl, carecontrolează iinprimarea rezultatelor şi. respectiv procedura de integrare.Fig. 6.6 nu arată iniţializarea datelor .din linia matricii STRM pentru lluxulde alimentare şi nici pentru condiţiile iniţiale ale fluxului efluent.(2) din reactoL

6.2.2. Simularea unui reactar discontinuu

Programul discutat in subcapif~lul precedent poate fi adaptat cu uşurinţăla un reactar discontinuu. cansiderînd că fluxurile de intrare şi ieşire au debi-. tul egal cu zero, adică STRM 0.21) "'= O şi STRM (2.21)= O. Dacă reacţianu este adiabatică, în subrutina HLDP se prevede un flux de căldură spre exte-rior, cum ar fi de exemplu la o manta de răcire. Acest flux termic este ultimulparametru în lista de argumente, astfel încît poate fi calculat în programul

.-principal printr-o instrucţiune privitoare la fluxul termic în marita de forma

Q = UA * (TJ - STRM (2, 22)) (6-15)

O aplic.aţie tipică,de simulare pe calculator a reacţiilor discantinue canstă îna confirma datele de labaratar prin rezolvarea ecuaţiilar pentru reacţîîle dinpraces, utilizînd valo.ri estimate, de încercare. pentru coeficienţii vitezelor dereacţie. In cazul în care se ajunge la un echilibru intr-o stare finală staţianară,analiza unei probe din amestec dă campoziţîîle camponenţilor la echilibru.

154 CI~ETICA CHIMICA

Introducerea acestor valori în ecuaţiile reacţiilor conduc la constantele de echi-libru K,. Dacă se extrag probe din amestecul de ,reacţie şi se analizează încursul evoluţiei reacţiei, înainte de a se atinge echilibrul, se poate determinapentru fiecare .component compoziţia experimentală în funcţie de timp. Seefeeluează execuţii succesive la calculator, introducînd valori judicios selec-ţionate pentru coeficienţii vitezelor de reacţii ", şi valorile calculate ale con-stantelor de echilibru K,. In imna comparării functiilor compoziţie-timp calcu-late şi determinate experimentat se pot face ajustări ale coeficienţilor vitezelor.de reacţie, obţinindu-se astfel cele mai bune valori în ceea ce priveşte concor-danţa cu datele experimentale. Pentru majoritatea cazurilor de interes indus-trial procedura aceasta este satisfăcătoare intrucit reacţiile se influenţeazărelativ puţin. Aceasta înseamnă că, spre exemplu, în cazul 6-2 ajustările făcutelui ", influenţează în mod apreciabil compoziţiile A, B, eşi D şi au un efeelminor asupra celorlalte compoziţii. ,Procedura de "acordare" constă în ajustareacoeficienţilor reacţiilor. princi paIe, procedÎnd apoi la reacţiile' de importanţămai mică şi repetînd procedeul pÎnăecînd. se obţine o concordanţă rezonabilă.Dacă este imposibil de obţinut o potrivire mulţumitoare cu funcţia obţinutăexperimental,. indiferent cum se schimbă coeficienţii, înseamnă că modelul cinelicpostulat nu se aplică reactiei studiate, şi că trebuie elaborat un nou meca-nism.' O indicaţie pentru aceasta se obţine cînd comparăm forma-curbelorexperimentale cu a celor calculate, utilizînd un anume model şi constatămcă nu sînt similare.

Este evident că dacă experimentarea se efeeluează În condiţii izoterme.repetarea experienţei la două nivele diferite de temperatură va conduce la doicoeficienţi ai reacţiilor, pentru fiecare reacţie; cîte unul la fiecare temperatură.Prin tratarea adecvată a acestora se va obţine faelorul de frecvenţă (A) şienergia de aelivare (E) necesare pentru determinarea constant'ei vitezei 'dereacţie în funcţie de temperatură intr-o rel~ţie de tip An'hen ius.

6.3. CINETICĂ PRIN MECANISM RĂDICALIC

Reacţiile care nu cuprind cinetiti radicalic~ se pot simula relativ uşor, aşadupă cum s-a arătat În exemplul din subcapitolul 6.2. Majoritatea modelelorreacţiilor de interes industrial sînt ample, complexe şi conţin mecanismeradicalice care impun o exprimare adecvată În madel. Cind aceste relaţii radica-Iice se exprimă. matematic, ele pot' da naştere la sisteme de ecuaţii diferenţialeatit de rău condiţionate ("stiff") Încît rezolvarea lor prin metode normale devinepraelic imposibilă. Pentru lămurirea noţiunii de "condiţionare" se va revedeasubcapitolul 13 din cap. 3. Pentru a rezolva această problemă 'este necesar~ă se recurgă la reducere algebrică, aşa cum se arată în subcapitolul următor.

(6.)6)

CINETICA PRIN MECANISM RADICALIC---------'-

6.3.1. Elemente ale mecanismelor radicali ce

Reacţia .A -/- 2B '" C are loc în cadrul unei singure faze. Intr-o pfllllaaproximatie definiţia vitezei de reacţie poate fi cuplată cu relaţia stoichio-metrică, adică:

. R ~ k(AB'-~)1(£

în care A, B,' C notează concentraţii. /Deşi această relatie poate fi 'corespunzătoare în unele cazuri, în general,

ar putea fi necesară o relaţie mai exactă, care se deduce mai jos. Intrucit careactanti intervin trei molecule, A şi 2B, se postulează o etapă intermediară,bazată pe teoria ciocnirilor bimoleculare, adică:

J:.

c+B~C

(6-1Î)

(6-18)•

în care e este o specie intermediară. Vitezele de reactie ale fiecărei trepte ar fi

, e )R,= k'lAB--~C

elRo = l'o(eB --- - . K,

(6-19)

(6-20)

Se admite că concentratia produsului intermediar e este aHt de ri1ică incîteste practic nedetectabilă. Luînd ca bază unitatea de volum a reactorului şiscriind ecuaţiile de bilanţ ale componenţilor avem pentru A şi e

d-A =-R,ci

Substituind pe R, şi R, şi ordonînd termenii se obţine

dA (' e.~ .e-=-k, AB--),=k1--(k1B)A.~t - Kl ' KJ

~ = (kJAB -/-k,!:....l-l.ţ -/-k2B) eili K.. .A,

(6- 21)

(6-22)

(6-23)

(6-24)

I

156 CINETICA. CHIMICA

Raportul de .condiţionare între aceste două ecuaţii diferenţiale este reprezen-tat practic' de raportul coeficienţilor termenilor de conexiune inversă ("feed-back"), adică: .

t k./K,+ 1',9 I + k,rapor = -.---- =-. -k,B B/(] k]

(6-25)

Pentru ca componentul e să se găsească la concentralii ioarte scăzute estenecesar ca fie k, să fie foarte mare (adică k2 ~ k,). sau K, să fie foarte mic, sauambele. In orice caz, unul sau ambii termeni din acest raport, adică l/BK,sau k,/k" devine un număr -mare, ceea ce implică un raport de condiţionare'ridica!. Pentru a menţine stabilitatea, cînd se simulează ecuaţiile 6.23 şi 6.24-pe un calculator, este necesar să se utilizeze un pas de integrare foarte mic:în aceste condiţii pentru a simula comportarea sistemului într-o perioadărezonabil de lungă de timp real, timpul de. rulare devine excesiv. De. fapt,există 'cazuri în' care raportul de condiţionare este atît de ridicat încît ar finecesare rulări de săptămîni sau luni pentru a obţine o soluţie completă. Intru-cît aceasta nu reprezintă o abordare rezonabilă se va recurge la "teoria stării~tationare".

Teoria stării staţionareDenumirea de stare staţionară' este improprie deoarece implică o' compoziţie

• statică a compuşilor intermediari în perioada unui ciclu, pe cînd, de fapt, com-poziţia se modifică pe măsură ce reacţia progresează. Teoria constă de faptîn aplicarea ideii că întrucît compoziţia produsului intermediar este foartemică nu are loc o acumulare semnificativă a acestui componen!. Prin urmare,viteza de formare a compusului intermediar este practic identică cu viteza. lui.de dispariţie; tu alte cuvinte, vitezele sînt în echilibru sau in "stare staţionară".

Un corolar al'celor de mai sus 'este că, intrucît ambele reacţii pot fi funcţiede compoziţia compusului intermediar şi de alte compoziţii, concentraţia aces-.tuia,. deşi foarte mică, va trebui să. se modifice pentru a menţine echilibrul.

Aplicind această concepţie la exemplul nostru, maniera riguroasă de aobţine ecuaţia-stării staţionare, util{, in deosebi în situaţii mai complexe, constăîn a egala cu zero derivata din ecuaţia de bilanţ a compusului intermediar,(ecuaţia 6.22), adică '

0== R, - R, sau R, = R, (6-26)

Rezultatul acesta apare evident din teorie adică: viteza de formare R 1 a com-ponentului e este egală cu-viteza de distrugere a lui R.,. Substituind pe R, şi R,se obţine .

k1(AB - _e ) = k,(eB _..£..)Al ... J{2

care, în urma unor transformări, se reduce la o definire a lui e:

(6-2Î)

k,AB + k,C/K,e=------ ..k!B + kdKl

A BK \ + (k~IClkIK JC(K,k,/k,)B + j

";

CINETICA PRIN MECANISM RADICALIC

Bilant .ma/arpe componenţ;

dA . Viteza de. reacţie-= -R, A,B.C

k' ( e)dtd8 R,=--- AS2-_- = -2R1

' . 1 + k(;(B , . K£dt '

Ide R, ", dt = R,

Fig. 6.7. Modelul l:neÎ rcn:tii cu produşi intermediari.

• care se reduce la

In funcţie de coeficienţii de bază aceasta se reduce mai 'departe la

R,=-'-" -[AB'-.s:...-)l+ta.B KH

157

(6.29)

(6-30)

(6-31)

Astfel, modelul sistemului poate fi reprezentat. prin fig, 6,7, Intrucit s-a eli-minat ecuaţia componentului intermediar e, raportul de condiţionare s-a redusla unitate, permiţînd soluţionarea convenabilă pe calculatoL Dacă se cunoaşte,raportul coeficienţilor vitezelor de reacţie k,/k, şi dacă se cunoaşte de asemenea;fiecare consbntă de ,echilibru K, şi K" se poate obţine direct concentraţia lui e,rezolvînd ecuaţia algebrică 6.28, In general, cazul acesta intervine arareori,iar valoarea lui e se determină deobicei prin ipotezele făcute asupra valoriiacestor coeficienţi; aceasta face ca concentraţia lui e, calculată din ecuaţie,să aibă mai mult un caracter orientativ. Este important să se observe că înmodelul redus din fig, 6.7 s-a eliminat e, iar coeficienţii separaţi k" k, etc. aufost inglobaţi în coeficienţi generali ale căror valori pot fi determinate directprin măsurarea compoziţiei în fazele de reacţie, după cum urmează: . -

L Constanta de echilibruKE se obţine în mod simplu, lăsînd ca ames-tecul de reacţie să atingă echilibrul, cind R = O sau

(6-32)

Determinînd compoziţiile A, B, C dintr-o probă şi introducindu-Ie în ecuaţia6.32 se obţine valoarea lui K E.

L'

158 Cli~ETICA CHIMICA

•

6.3.2. Trepte de reacţie care limitează viteza de reacţie

de unde se obţine k'.3. Dacă se repetă procedeul de la punctul 2 de mai sus cu amestecul ini-

ţial din A şi B, viteza va fi

(6-.3.5)R\ = --,'- (AB')1-:- /."(J.B

care permite calculul lui k".'Succesiunea de determinări .de mai sus este curentă în cinetica experimen-

tală; scopul descrierii de mai sus a fost să demonstreze avantajul reducerii'modelullii postulat la un sistem de ecuaţii, cuprinzînd .un număr mic de con-stan,\e care pot fi determinate prin măsurători.

2.. Coeficientul de viteză primar k' se obţine în felul următor: În mediulde reacţie se introduce numai componentul C. (A şi B = O) şi se determinăvariaţia concentraţiei acestuia prin analiză periodică de probe; prin extra-_polare se obtine viteza iniţială de reacţie, care, A şi B' fiind egale cu zero, ~ste

R, = k'(~CjK E) (6-34)

Revenind la ecuaţia 6.30 se observă că dacă prima reacţie este nereversibilăviteza de reacţie poate fi exprimată sub forma R1 = 1'1 AB, introducînd inecuaţia vitezei 1(1 = <9--- Dacă a doua reacţie (ecuaţia 6.20) este nereversibilă,adică 1(2 = DO,. din ecuaţiile 6.30 şi 6.31 se obtine:

R, = 1:-""8 A B' (6-36)

Dacă viteza este limitată de prima reactie, adică k, ~ k, viteza devi[1eR,= k,(AB- CjBK,K,j, iar dacă a doua reacţie l.imitează viteza, adicăk, ~k,ecuaţia se simplifică la

(6-37)

În concluzie, În situatiile În care hlOdelul unei reacţii conţine intermediaricu o perioadă de existenţă scurtă, ca de exemplu radicalii, se recomandă caecuaţia diferenţială, cşre defineşte prin bilant de masă urmele de compuşiintermediari, să se Îniocuiască prin relaţii algebrice ale stării staţionare, sau,cînd este posibil să fie eliminată complet, prin substituţie, după cum s-a ară-tat mai sus. Prin aceasta se ajunge la o soluţionare eficientă şi se reduce numă-rul constantelor la un minim corespunzător cu disponibilul de experimente.

În următoarele două exemple se va arăta aplicarea teoriei stării stationarela situatii caracteristice. -

Fig. 6.8 Autoc!avă discontinuă.

In exemplul următor se va arăta modul de aplicare al modelării şi siinulăriila un sistem de reacţii cuprinzînd trei faze, în care pot avea loc simultan' maimulte fenomene, făcînd rezolvarea prin calcule manuale practic imposibilde efectua!' Reactia are loc într-o autoc1avă de mare presiune, care contineun lichid în agitare şi o fază gazoa&ă (fig. 6.8), şi constă în hidrogenarea unuicompus organic A la compusul C cu formarea compusului 'intermediar B,adică A + H, ~ B şi B + H2 ~ C. '

Reacţia aceasta are loc la suprafata unui catalizat.OI: metalic fin diviza!'Reac!anţii difuzează pin faza lichidăla suprafaţa catalizatorului, reacţio-nează şi se reîntorc în faza lichi dă. In cursul reacţiei, care are loc în mod discon-,tinuu în agitator, se poate,controla, în oarecare măsură, temperatura interioarăprintr-o serie ele serpentine de răcire în cont ac! cu faia lichi dă. Reactia esteintensexotermă, ceea ce produce o creştere apreciabilă a temperat urii şi a pre-siunii în cursul reacţiei, care se controlează prin aparate de măsură şi controladecvate. Se dispune de cîteva seturi de date experimentale privind tempe-raltira şi presiunea, corespunzătoare la diverse condiţii de iniţiere şi desfăşu-rare a reacţiei. Printr-un program de îmbunMăjire a proce'sului se urmăreşteelaborarea unui model'de calcul care să confirme datele disponibile. Modelulva fi utilizat apoi pentru ,a explora imbunătă(irea productivităţii şi a proiec-tării tehnologice. Prin natura reacţiei se produce un schimb import ant dematerial între fazele lichide şi de vapori şi siinultan o redistribuire de energie,pe măsură ce reacţia progresează. Intrucît sistemul se află sub o agitare intensă,suficientă pentru mentinerea echilibrului, toate fazele au aceeaşi tempera-tură, '

159

'.

Tempt/'JtlJ/'4

CINETICA SISTEMELOR ETEROGENE

,

6.4. CINETICA SISTEMELOR ETEROGENE

\

Pentru asamblarea modelului, prima etapă constă in stabilirea ecuaţiilorpentru vitezele de reacţie. Intrucit reacţia are loc in prezenţa unui catalizatorrelaţiile stoichiometrice simple sint insuficiente pentru descrierea reacţiei şide aceea se utilizează "izoterme Langmuir" pentru a corela vitezele de reacţie<cuvariabilele procesului. Se admite că unitatea de volum de catalizator conţinenumărul S de regiuni active pe suprafaţa particulelor de catalizator.. Reac-tanţii din solvenţi difuzează la suprafaţa catalizatorului, reacţionează sau sînt.adsorbiţi de regiunile active şi reacţionează intre ei la un nivel de energieridicat. Produşii sînt desorbi ţi şi apoi difuzează Înapoi, in masa de fluid,<care .înconjoară catalizatorui.. Fiecare etapă poate fi caracter.izată după.cum urmează: ~ -Etapa I ; A + fi '" Ao ; A reacţionează cu regiuni active libere fi;

Etapa 2; O+ fi '" 00 ; H2(0) reacţionează cu regiuni active libere fi;

. Etapa 3; Ao + 00 - Ba ; A şi H, reacţionează de pe regiuni active;Etapa 4; B + fi '" Ba ; B reacţionează cu regiuni active libere fi;

Etapa 5; Ba + 00 '" Ca ; B şi H2 reacţionează de pe regiuni active;Etapa 6; C + fi ;= Ca ; C reacţionează cu regiuni active libere fi.

Pentru a stabili ecuajiile .:le viteză bazate .pe aceste mecanisme este necesarsă nereferim la unitatea de volum de catalizator, in care numărul total deregiuni active S sînt parţial ocupate de speciile readante 'o~Regiunile totaie S<constau din regiunile neocupate ci şi suma regiunilor ocupate, adică

S = fi + (A o + Ba -q..Ca + 00) (6-33)

Se admite că solventul este inert şi nu ocupă nici o regiune activă pe catali-zator. Notind cu A, B, C şi O fracţiile molare ale substanţelor.lichide care reac-1ionează (unde O este pentru H,) se pot scrie următoarele ecuajii de viteză

160 CINETICA CHIMICA

6.4.1. Suecesiunea reacţiilor

Etapa I R1 = k1(A .fi- ::) (6-34a) .

• Etapa 2 Ri=k2(0.fi-~) (6-34b)KG

Etapa 3 R, = k3AoOo (6-34c)

Etapa 4 R, = k, (B.fi - ~) (6-34d)K"

Etapa 5 R, = k,Bo .06 . (6-34e),Etapa 6 R,=k,(e-fi.-.~) (6-34f)

_ I( c

CINETICA SlSTEMELOR EJ'EROGENE 161

Tn aceste ~ecuaţii 1" r~prezintă constanta vilezei de reacţie, iar K, conslanla<.le,echilibru. Se va observa că numai etapele ,3şi 5' sîni ireversibile. Dacă ecua-ţiile .diferenţiale penlru bilanţul de~masă s-ar baza pe vitezele de reacţie demai 'sus, penlru.subslanţa de pe regiunea activă Aa s-ar obţine, de exemplu,

adt (Ao) = R1 ~ R,

'Aceasta reprezintă. o altă soluţie care poate conduce la ecuaţii foarte .,răucondiţionate", deoarece canlitatea A~ este f~arle mică in comparaţie cu debi~t.ul de intrare şi de ieşire (R1 şi R,) ..Din această cauză esle necesar să se recurgăJ~ (~oria stării staţionare prin care se prevede o etapă care limilează vitezade reacţie, pentru fiecare din cele două reacţii primaie A ~ B şi B ~. C. Cele-lalte treple din' succesiunea de mai sus se presupune că au loc în echili bru.Tn literatură [14] se descriu metode experimentale care permit să se slabieIe,l'Scăcare, din 'etapele admise Iimilează' viteza, de reacţie: Se pres'upune "că~.~~'ife'detalii ale';"ecanismelor.ciiieticeau'fosl stabilite şi Că se pol Irageurn)ă-t;;a(~rep:ii1Cll,izli: "', . ~.'~ :. ,...', ~ ~. ". " .

l. Viteza de reacţie a primei reacţii A ~ B este Iimilată de .rezistenţa. prindi iuzie a molecuJelor A care migrează spre suprafaţa catalizatorul ui. Tn succe-siunea de reacţii de mai sus, aceasta este indicată în etapa 1 sub forma

Rl=RA=kl(A.~--= ~a_J" (6~35)., . 1\ .~

.: ,;1:Viteza. reacţiei a doua B .."C esie fr,n~tă de reacţia ile supraiaţă, treap-ta .'5'; 'adică:' ,.

. .. RE = R5- k,(Bo 'GaL (6-36). .

Din aceste două definiţii rezullă că restul elapelor reversibile sînt în echilibruşi' ~e' pot stabili următoarele 'ecuaţii aproxim~ative

...;. Ba = K HB 'u (6.3i)Ga = K cG.Ci (6.38)

Ca = K cC.Ci (6,39)

Întrucît în prima din acesle reactii viteza este limitată de difuzie, se mai poatefâce o aproximare, neglijîndpe Aa. Introducînd aceste e!,presii în ecuaţia 6.33se obţine

. "~ocare, prin' ordonare, dă,sCi=-----~---

I+KRB:;l-KGG+KGC

1.1 - Modelarea şi simularea in ingineria chimica - cd. 29

•

(6-40)

(6-41)

CINETICA CHIMICA

...NegiijÎnd termenul reversibil, expresia pentru viteza pril.nei'reacţii este

. R.,=k,A."substituind pe a se obţine

RA

- k,AS!+KnB+KeG+KL.c

(6-42)

(6-43)

Pentru ecuaţia a doua B ~- C etapa care limitează viteza este reacţia de supra-faţă'(etapa 5). Inlocuind pe Ba şi Ga, se poate scrie . .

RB = k,(Kn'B 'a)(K GG -a) (6-44)

Combinînd constantele şi substituind pe a, regiunile adive libere. se obtine

R :... k,S'-B.G (6-45)R - (1 + KB8 + KcG +KeC)'

Pentru particule cu dimensiuni şi geometrie bine determinate numărul tota.lal regiunilor este proporţional cu masa de catalizator. Astfel dacă W reprezintămasa de catalizator, fadorul de proporţionalitate poate fi combinat cu con-stanta vitezei de reacţie, iar vitezele de reacţie se pot deftni utili.zînd pe WÎn locul lui S.

6.4.2. Bilanturile de compo"e"ţi

După ce s-au definit vitezele de reacţie în funcţie de compoziţia Iichidului,etapa logiCă următoare constă În' a scrie ecuâţiile de bilanţ.molar. Aceasta sepaate face cu uşurinţă ignorînd provizoriu separarea În faze vapori/lichid şiconsiderînd numai molii tot ali ai fiecărul componen!. Se obţin astfel ecua!ii1e

•Component A dM, = - RA (6-46a)

dt .

Component B :dMB - R - R (6-46b)dt - A B

Component C dM, .. -R . (6-46c)di- B ~

Component G [dMc=_RA_RR (6-46g)dt .

Total moli rdM - R R (6-46T)ili-- .-c- B,

Bilanţul termic conţine cîţiva termeni asupra cărora se fac următoarele pre-cizări : I. . .. 1. Reacţiile sînt exoterme cu, respectiv 14.700 şi 15.600 PCU/mol reacţio-nat, pentru R A şi R n.

,r

CINETICA SISTEMELOR ETEROGENE 163

(6-48)dTwldt = HTWI600

2. Fluxul termic la pereţii reaGÎorului : neglijînd pierderile de căldură dela suprafata exterioară a reaclorului căldura absorbită de către peretele reac-t orului este .

HTW= (UAh' (T - T w)PCUlmin (6-47)

În care (UA)w = 200 PCUlminoC; Tw = temperatura peretelui cC; T = tem-peratura conţinutului reaclorului, aC. Temperatura peretelui se calcule.ază dinbilanţul termic:

în care 600 PCUtC reprezintă capacitatea termică totală a peretelui.3. Prin serpentiile trece, la debit ridicat, agentul de răcire la 100cC, asi-

gurînd următorul flux ter'mic: .'

Coeficientul de transfer de căldură al serpentinei este, (U A )c= 100 PCU tC min.Bilanţul general de căldură .pentru conţinutul reaclorului este

..- dQ = R, • 14,700. RD 15,600 - HTU7 - HTC (6-50).dl . . '.

în care Q este entalpia totală a ambelor faze .

HTC = (UA)c(T - 100) (6-49)

,

.6.4.3. Separarea vapori-lichid

Intrucît vitezele de reacţie sînt determinate de compoziţia Iichidului Xi,este necesar să se stabilească în mod continuu separarea în vapori şi lichidîn reaclor şi, de asemeni, distribuţia tuturor componenţilor în cele două faze.Entalpia totală determină, în general, separarea vapori-lichid, iar relaţiile deechilibru determină compoziţia lichidului şi a vaporilor. Se admite că toţicomponenţii sînt ideali, cu alte cuvinte toţi coeficientii lor de aclivltate sîntegali cu 1. Presiunea din vas este detenl1inată de numărul tbtal de moli degaz produS prin energia termică. Dacă se cunoaşte numărul de moli în fazade vapori se poate calcula presiunea din vas, utilizînd în primă aproximaţielegea gazelor .

Presiunea (PIC) = 111v(T~K) * R IVîn care R IV = 0,007. Prin aceasta se neglijează variatia de volum, care areloc ca €Iecl al variaţiei masei delichid; totuşi această completare poate fi in-clusă dacă este necesară o precizie mai mare. Presiunea la rîndul ei, deter-mină temperatura obtinută prin relatiile de echilibru între componenţi.

In etapa aceasta nu este necesar să se scrie ecuatiile de echilibru şi de sepa-rare vapori-lichid,' întrucît programul în FORTRAN care urmează, va faceuz de subprogramele disponibile care încorporează deja aceste relaţii: Pentru apune în evidentă fluxul de informaţii s-a întocmit figura 6.9, care arată gru-pările mai importante de ecuaţii din model şi variabilele principale care conec-tează blocurile.

i

. ,o'. . :CrWETICÂ CHu.iICA

,"resilJnea .

MV PIC

Flux de ,infor~a'tiîpentru u~,r~actQf diseo'ntinuu. În sistem eterogen. -'.

Bilanţ molartot.! fi pecompooenţi

. Fig. 6.9.

M• T

Viteze'. de

reiictie

'1. ;

::

. ;'. ,

6.4.4. Programul de 'calcul'

Fig. 6.10. Schemă D\TFLO pentru un reada:discontinull eterogen (două faze).

.,:,,,

,

HT

Din descrierea 'modelului rez,ultă că pe lingă relaţiile cinetice, 6 mare partedin model constă din calcule,de echilibru vapori.lichid şi de enta,lpii. Intrucitprogramul OYFLO (cap. 5) a fost elaborat special ca să trateze transferul de.energie şi ,amestecul de faze în echilibr.u, este convenabil să. se utilizez" unelesubrutine ale acestui .program pentru a simula acest sistem de reaetor discol1-.tinuu. Deşi s,-!brutinele operaţiilor unitare au fost elaborate pentru procese

în regim continuu, ele pot fi .uşoradaptate pentru a fi întrebuinţatepentru regimuri statice, în condi,ţiidiscontinue,- . '. .. .

Subrutina HLOP,' el-aborată.,Înprimul rînd pentru a simula un v",scu o zestre variabilă (în moli) cu,un

, fiux de intrare şi de ieşire, line seaillasi de.un flux termic exterior si de~eacjii interne', prin matricea 'RtTdin' COl\\MON. Subrutina HLDPlloate fi utilizată pentru a silimlaPICun proces discontinuu în mai n1ulte

. moduri. In cazul acesta" cea' maiconvenabilă' procedură constă în. aspecifica atît fluxul de intrare, dt'şiacela de ieşire ca pe un singur.flux(2 din' fig. 6:10). Specificind zestr.eai1lOiară totală prin "fluxul 2", adică

CINETICA SIŞ.TEMELPR '.ETEROGENE 165

1~ ..•-- eO,"IMoN/CO/STRM 1';'00,214) ',OATA (20, rO.):j RCTf22-1, NCF, NCl",-l,;,STR'2 •. C ••.• ,JNITIAT:ion ANO DA'TA SEC:rI.oN'''*''~.''-'~'~'\''~,~~-- .3. DATA NCFI.I/NCL/S/TW/75./TCI.IC1).r:;-', 4 ~ .~,

•••. lOGICAL NF,LSTR _.~" '~L-\5'. (ALL pAT .<" .., .'L

b* lSTR::.TRUE, . .:~7. C. ".OER-IVATIVE SECTIot~ •• *.:... '.-. . ....S. 5 CALL FLASH(2,3,4,O,) ~ ~'. 19_ PIC=STRM(3,21). (STRM-(3,22)+273, l .•'-PO?' ..Hl* . ~~', CALVtONV(STH:M[.4i'2Q)"PIC,,?-,NC)11* 60 lo (It,S),NC '- .12*., ,. (ALL REACT.(lOO •. )13* HTW~200,.(STH:~(Q'22)~TW)1~. HT(=lOO;.(STH:M(q,22)~T()15. HT=-(HTW+HTCI, ,,',lb. (ALL HLOP(Z,2,3,STRM(2.211,HT).17. OT"=t:lTW/600.t8. 6 (ALL PRL(5.,~o.,NF,Z.3,q,O,O,O,O,O~O:O,O'Ol'1':J. IF(NFI STOP .~~D.C ••• INTEGRATION SECTIVN*.. -2." (ALlINTl(TIM".ldl22* (ALL INT(Tw,D,T,W)-23. •. 60 TO 52'1. ENO

,~ --

STRj\\ (2,2 I):Je .v~ c~prinde. în a~~st flux, în mod automat, prin compoziţii,cantitatea totaÎă dinji~car-e component şi entalpia molară (STRM (2,23)). Dacăs~specifică' ca..fiiud' 'lichid conţinutul vasului, introducind 3 .în al treilea argu-ment" din HLOP, ternperatura fluxului.2 va fi aceea care rezult~ din calcululentalpiei dacă întreg Conţinutul ar fi fost lichid. Prin urmare, aceasta este otemperafură fi£tiv'ă.şi ~a atare nu are valoare 'practică. ~ ..~, .Pentru a objine, separarea reală între vapori şi lichid se introduce "fluxul"2 --=:. care reprezintă: de fapt, zestrea totală _. în suhrutina FLASH, care îlsepară într.un "flux" de vapori 3 ş(un "flux"i lichid 4 (fig. 6.10).' Intrucit"fluxul" 2 rep'rezirită defapt molii de zestre totală. "fluxurile" din 3 şi 4 repre.zinfă zestrea de"vapori ş.i lichid în moli, avînd respectiv entalpiile lor 11101a[e',compo;f'ţiile şi :temperaturile, corespunzătoare. Astfel, sistemul reactoruluieste programat utilizind 3 subrutine şi anume: _HLOP, FLASH şi REAeT.Apelurile pentru aceste subrutine sînt în liniHe 16, 8 şi 12 din programul prin-cipal, arătat Ip fig;. :6.11. . .

Se va reamiriti :că; . pentru a calcula separarea vapori ..lichid cu ajutorulsubrutinei .FLASH. este necesar 'să se cunoască presiunea sfstemului, .pentrucalcuiel'; de ;;chilibr~ .. In cazul acesta concret, presiunea se stabileşte prinnum.ăru! de moli total din spaţiul de vapori (linia 9). Se programează astfel,un calcul iterativ, utilizind CONV în forma din linia 10.

166CINETICA CHlMICA::..- ~--''__ _

._-

.~.\

SUSR~UTINE REACTtW}'COMMON/CO/STRM(300,2~lfOATAt20.IOI.RCT(22ItNCF.NCL.~SR£~l Kl,KG.K8,KC,K5TR:(STRMI4,22'.27J.'*1.98Kl:13.E4*EXPI-11130./TR}~5=2.E4*EXP(-12200./TA}KB:l.5E-3.EXPC44b8./TR)KC:8.*EXP(-1930./TRIKG=.014~.ExPI-l1~O./iRI . .OEN::l. +KB.STRM( 4 ,2) +KC.ST.RMf4, J) +KG.STRM(4 ,4,RA:W*KhSTR'H tI-, 1 JlOEN ,.'.RB=W ••2.K5.SfR~(4,2).STRM{4.4)/DEN ••2RCT(lJ:-RARCT(21=RA .•nBRCTO):RBRCT(4)=-RA-RBRCT(21)=-RI\-~BRCT(Z2J:RA*14700.+RB*1560nRETURN -.ENO

, o~20.!o.~o506010a.9~'.10.11012'13.14'.\50'6'17.lao,..20'

Fig. G.12...Subrutina REACT.

I~6.4.5. Subrutinele REACT şi DAT

. .

După ce s-a stabilit separarea vapori-lichid; se dispune de temperaturaşi compozitia fazei lichide, care se utilizează la calculul vitezelor de reactie.Aceasta se face prin suhrutina REACT (linia 12), arătată În fig. 6.12. Toateconstantele de echilibru şi de viteză de reactie, se calculează ca funcţii exponen-ţiale ale temperat urii absolute (liniile 4 ~ 9), urmate de cele două viteze dereactie RA şi RB (liniile 10 ~ 12). Masa de catalizator IV, care intervine În ex-presiile vitezelor de reactie este dată ca argument: Viteza de variatie netăa numărului de mo!i pentru fiecare component ca urmare a acestor două reacţiise introduce În matricea RCT, prin liniile 13 ~ 16, În care componenţii A, B,C, G şi solventul sînt numerotaţi de la 1 la 5. Numărul total de moli şi călduranetă de reacţie se introduc În locatiile rezervate În acest scop ale matricei RCTprin liniile 17 şi 18, respectiv .

Datele de bază 'ale fiecăruia din cei 5 componenji. sint introduse În locatiilecorespunzătoare din matricea DATA prin subrutina DAT (fig. 6.13). Dateleacestea constau din coeficienti! Antoine pentru presiunea de vapo!i .şi coefi-

1_ SUBROUTlNE DAT2_ COMMON/CO/STRMIJOO,241.OATA(ZO'IOI.RCTC22}.NCF.NCL'LSTR3* DATA(DAT.A(1 • ...11• ...1=1.a) /10.5,-2955 •• 273 •• 16 •• O•• 5&05.,24 •• 0,/4. OATA(OATAC2.JI,4=I.al/lo.5'-3010••213,'19",I,60o0.,30•••03/5. DATAIOATAI3.J).J=1.al/l1.2.-~400••273••22•••2.9726••33•••02/6_ DATA,DAT.'"(4 • ..J1• ...1=1.6) /1 0.5.-2750 •• 273.,6.9, .05.2600, .22 •• ,1/7. OATAIOAT"'(5,"'I,J=I.5)/13,.-4600••273,'33•••06.12174,'41.,0,18* DATA(STRM(4 "J) '..1=1.24) / ,16. o •• a. '.4 •• 42,15_0. ,25 •• 75 •• 2400.",7./9. OATAeSTRMcl•.••)•.••=1.241/.1S5,O••O•••445••17.15.0••27••85 ••2100 ••7.110. CALL ENTHl,.C2'11. RETuRN12* ENO

Fig. !3.13. Subrutina DAT.

CIN.ElTICA SISTEMELOR ETEROGENE 167'

".2392"02• 774.3+02.2580-+-04.1557-+"(11.1840+00.ooon.0000.4045-+-00.4115.00

J.3061.+01.17u~+(î2~ ...4688+-04• ,(foo'o.1925+00.0000.oona.7595+00.4197-(11

2,210'0+02.S50'O'W2•2821+0",1000+01.185~O.OU,duda.0000• q,-"SO+oo.3700+00

Caracteristiciprogramuluicalcul

6.4.6.

cienţii entalpiilor. Cantităţile iniţiale totale introduse în reactor sub formăIichîdă la B5°C, sînt următoarele: moli A = 5 (componelitul nr. 1) ; moli G = 12(componentul nr. 4) ; moli -solvent = 10 (componentul 1'11. 5f; moli total = 27 ;temperatura iniţială = 75OC.Cantilăţile acestea se transformă în fracţii molarerap<lrtate la şarja totală de 27 moli şi se introduc, prin linia 9, ca valori ini-ţiale în vectorul 2 al matricii STRM (fluxul 2) ; cantitatea şi calitatea estimatăa fazeî lichide se introduce, prin linia 8, în vectorul 4 al matricii STRM. Prinapelul la ENTHL pentru fluxul 2 se objine entalpia inijială. Celelalte date,ca temperatura iniţială a peretelui1.w, se introduc în programul princi - r\M'E __1 .o.oo,upal (fig. 6.11) prin linia 3. STRM NO

FLOWTEMPENTHAL.

ale PRESS

d COM? 1e COMP 2

CO,""P .3COM? '+COfolP 5

fig. 6.14. Rezultate calculate la intervale decinci minute.

, ,.• 62B3+01.153&+03.1313+05.00('10.13133-01.8407-01.2394+00-.3428+00.3}99+00

11'1 cursul efectuării încercărilorinitiale s-a 'găsit că, în anumitecondiţii, din cauza incapacităjiisubrutinei' CON\! (linia 26) de aasigura stabilitatea, era diîicil ca prinsubrutina FLASH să se calculezerap<lrtuJ de separare vapori-lichid, R(fig. 5..15 cap. 5). Inconvenientulacesta a fost evitat, înlocuind CONVprin subrutina de substiiiijie parţi-ală, CPS (fig. 2.9, cap. 2), intro-ducînQu-se un rapod de substituţiedeO,5. Exceptînd această dificultate,realizarea programului nu ridică pro-blemedupă .cum se vede din fig. 6.11.In fig. 6.15 se reprezintă grafic, decătre calculator, rezult.atele unui cazparticular corespunzător datelorintroduse în programul principal şiîn subrutina DAT, (instrucţiuniledin care se compune rutina de repre-zentare grafică nu sînt incluse în'pro-gramul principal). In fig. 6.14' sîntarătate valori din STRM corespun-zătoare unor intervale de cinciminute. Programul poate fi acumutilizat pentru a ajusta coeficienţiivitezelor de re'actie astfel încît săcorespundă dat~lor din instalaţia

TIME =STRM NOFLO .•••rEM?ENTHALPRESS'OM? 1COM? 2COM? JCOM? •.•C-6f~P5

TIME _STRM NOFLOWrEM?E.NTHAL.PRESSCOM? 1COM? 2COM? .3COM? <.j,

COM? 5

lIME =eSTRM NOFLOWTEM?ENTHALPRESSCOM? 1COM? 2COM? .3COM? ~

. COMP. 5

.5000+012

.Zq.q.l+02

.ll~2+0J

.141450+0'+

.1000+01.• 1216+00.5991-01.2:507-01.3861+00.4092+00

.1000+022

.1841+02

.2108+03

.6'+7'++0,+

.7000+01

.8100-02

.6U143-01

.2U17+00

.1876+0U

.5416+00

.1500+022

.1731+02 .

.202'++0.5

.8096+0'+

.7UOO+Ol

.1.395-0.5,1891-01.2b89+00,1360+00.5760+00

J.'+80'++01.1092+0.3.6359+0'+,0000.1'+&-'++00.6io::5-01.11&1-01.&753+00.986'+-01

,.4996+01.1458+0.3.1397+05.0000.2415-03.2899-01.~501+00.2769+00.3'+37+00

4.1'370+02.lO'n+03.05915"04.,1285+02.1181'00,5771-01.•22S9-01•.5185+00.4831+00

u.1219+02.15.36'03-.00::5'++04.1816'02,127Q-02.S033-01.1776+00.1116+00,05:32+00

u.1232+u2.1,+58+0.3•5138 • .oL~.14-65+02.1129-:03.1546-01,2352+GO.7936-01.b.6981-00

168 CINETICA' CHE\nCĂ

.".

" ,

.....

: _Afax. .o.tjoo~j;J

" 0/922'+02. 'O.'I{}OO.+lJ/-.

D,fOfJ.D.+01D,lOQO+OI

.-.-.

. ~..

"

ş.• ~:~~_ •• ':..!. ~.'

;"0::"

,

" ."':'.00. •

, "

;,

,i

.: ..~":'~1:,.

•• -." •• A •, ., .• •• 8

B: :r.••. A..,. .-

"/, .~., ., ,,."•.,.'., ,

.A •• "'.. '

••.

,,'

""",.A

•• ;- .A.

".,••i~.t'.' ilJ' ,

_._•..•: ~A.

::/,.•,..,

". '. ~:...•.,.

OQ~f1n~ul•O,1000./-0j'0,1178+020,1000 +010,-1000+01O,"'OQO+OI

O" as 06

I,.",', ., • e • :. fi"• ,

J:

"".;"

"

Temperatur<J. PresIune (atm)A Fracţie molara IkhidC,. ',o'fm

il. idem

Var;JbI'la Min

A ,0,1000+02B O;74Y-o~01C 0,0000o 0,o009E 0,0009

\

Fig. 6.1~.R.cprezentare~ grafică a datelor de <;ătrc. calculator (c<.lz, p~rticula~pentru D.'~T).

COPOLIl\'lERIZAItEA IN SOLUŢIE. lN SISTEM SEMICONTINUU 169

industrială şi poate fi utilizat, de asemeni p~ntru a stabili modul in care condi-'jiile de lucru, temperatura sau presiunea maximă, variază cu modificarea can-tităţilor de materiale introduse iniţial in re actor ; sau ar putea constitui bazaunor cercetări, care să urmărească controlabilitatea sistemului prin utilizareaunui regulator extern, care să acţioneze asupra' temperaturii agentului de ră-cire TC (vezi cap; Il, problema 3).

65. <;OI'OPMERIZAREA ÎN SOLUŢIf,;,(ÎN SISTEM SEMICONTINUUj

,'Fabricare,a ,unui mare număr de prod.use chimice, ca vopsele, filme, materi-ale plastice, fibre sintetice" etc. se bazează pe producerea de polimeri, in con-diţii foarte variate de lucru. Cele mai generale două tipuri de polimeri sintomopolimerii şi copolimerii, iar cele mai generale condiţii de obţinere a lor 'sint,prin polimerizate, in solujie sau in emulsie. Definiţia analitică a mecanismelorde, reacţie implică. intotdeauna sisteme numeroase de ecuaţii diferenţiale com-plexe, a căror soluţionare sd poate obţineprin simularea pe calculator. Cazulurmător constituie un exemplu al unei clase de sisteme care, deşi foarte ele-mentar, ilustrează procedeul de urmat pentru o astfel de simulare. '

Exemplul' ~cesta se referă 'Ia fabricarea copolimerilor care,' adeseori, se pro-duc' in şarjede diverse 'mărimi. Pentru a -regla uniformitatea produsului seadaugă in mod continuu monomeri, in timpul efectuării operaţiei, de unde ise dă nUmele de operatie semicontinuă. Cinetica reacţiei se bazează pe mecanis-me radicalice, după cum se va arăta in capitolul următor. " ,

6.5.1. Producerea radicalilor

Radicalii se generează prin descompunerea unui ini.ţiator. Ini ţiatorul seintroduce. in vas, care conţine un solvent in care sint solubili toţi reactanţii.Iniţiatoru} se descompune astfel: - '

". l~ 1.

Simbolul 1., se utilîzează pentru radicalul de iniţiere. Viteza de descompunerese expri!T!ă prin '

RI = kll molij(min :11)01)', (6-52). '

Radicalii liberi 1. 'reacţionează cu moleculele de monomer pentru a, forma radi-cali în lanj, cât.e, in etapa de iniţiere, constau dintr-o moleculă demonomer,avind ataşat unnidical. Sistemul care se examinează constă din trei tipuri de

, monomeri, A, B şi C, astfel indt etapa de iniţiere ,poate fi simboJizată prinschema din fig. 6.16. "

170 CINETICA CHIMICA '

I

Generare de radicalik,

1_1.1.- Iniţiere.

Fig. 6.16. Generarea radica'lilor şi iniţierea lanţuri lor.

Radicalii primari A., B., şi C. pot să reactioneze cu mai multe moleculede monomeri, producînd astfel, un lanţ care creşte. Această etapă de creştereeste simboIizată în fig. 6.17 în care A. B., şi C. reprezintă, de data aceasta,lanţuri de polimeri care au la e"tremităţi un radical, legat de un m~nomer A,B sau C. lntrucît e"istă trei monomeri, sînt posibile nouă reactii, după cumse arată iil iig. 6.17, în care K JK reprezintă constantele vitezelor reacţiilor denpropagare".~ A patra etapă o constituie reacţia de terminare, în care două lanţuri ra.dicalice reacţionează pentru a iorma o m~leculă .de p~limer inertă. După cumse arată în fig. 6.18 în această ultimă etapă sînt posibile şase reactii. Simbolu.riie 1(TJK, din figură reprezintă constantele de viteză ale reacţiilor de ..terminare".Succesiunea de reacţii continuă în aceste patru etape, pînă cînd tot monomeruld1'po'nibil se transformă în polimer sau pînă cînd viteza de iormare de radicalidin iniţiator scade Ia zero .. Pentru. a întelege întreg modelul este necesar să se cunoască teoria stării

staţionare, descrisă în subcapitolul 6.3.1. care ajută la simplificarea definiriimatematice a mJdelului, după cum se va arăta în subcapitolul l,lrmător.

Creştere

A. A 1 A k..•..•. A. A.- T .- -k" B.B+A. _TermlfliirekAC

B. C+A. - C. E. 4. K'TAA-- knA - - A. + A. - pA+B.- A. KT88 Pk ••

B. 8 + B._ P ---B+B.'~ . 1(TCC

C. C+B ..~ C. .C. 8.C.:+- C. ___ p-- kCA - - KTAB

A+ C. -- A. A. +8 - p

B -1. C. kClI B. A. f-c.KTAC- - p

I C+.c.kcc

C. ~Ic 1(T~ 8 :J-- +-8.'_

Fig. 6.17. Creşterea ianturilor radicali ce. 'Fig.6.18. Treapta de terminare.

.- ,COPOLlMEHIZA~EA lN SOLUŢIE, IN SISTEM SEMICONT.INUU 171

, , ,6.5.2, ~plicarea teoriei stări i staţionare la cinetica polimerizării

'~Teoria aceasta se bazează pe faptul că, întrucît viteza de creştere a ~ianţu'rilor este extrem de mare; fenomenul poate fi' considerat ca fiind instantaneu.Bilanţul material asupra populaţiei totale de radicali poate fi rezumat astfel:. ~

. acumulare = generare - terminare '

. :6 (R.);= kJ! - 'LK"Jl,(R. J)(R.K) . (6.5.3)I • _ ,.

în care R.J şi R'K reprezintă concentratiile moi are ale lanţurilor. radicalice,care conduc,. în final, la formarea compuşilor J şi K. Din teoria stării staţio-nare ...rezuItă că Întrucît. concentraţia efectivă de radicali; în orice moment,este foarte Jiiieă faţă de viteza de generare şi de terminare,:ea poate fi 'negli-jată. Ecuaţia de oilanţ molar poate fi astfel redusă la forma algebrică:

'. . . '. 'LK"JK(R. J)(R.K) = k[!' (6-54), conform tăreia vileza de generare de r'adicali pte 'egală cu viteza de terminare.Aplicînd expresia acea'sta<la' exemplul cu trei monomer; se obţine bilanţul ra-dicalic general: ." . .

k[! =A-'(KTL<A. + KT •• fJ. + KT.,cC.) + B.(KTBCC: + KTRBB.) +'~C~cc ~~

ApÎicînd acest concept la liecare din bilanţurile radicalilor componen!i,adic~ viteza de formare =viteza de dispariţie, se obţin următoarele expresii:

A(kcA(C.) + knAB.)) = A.(k.<nB + kAcC) -.(6.56)B(kcR(C)-+ kAII(A.)) = B.(kncC + knAA) (6.5Î)

• 'C(kBC(B.) + kAc(A.)) == C,(kcnB + ke.4A) .' .(6.58).Intrucit viteza de terminare KTJK(R.J)(R.cl ~ste ~u muit mai ';ic,ă decît vi-'teza de dispariţie, etapa de terminare a fost neglijată În ecuaţiile de mai sus.

/ ,Este de observat, de asemeni, că una din cele trei ecuaţii de .mai sus esteredundantă, Întrucit prin adunarea oricăror două dintre.ele se poate obţineat~a. . ' . .

Ectiaţiile acestea vor fi utilizate pentru a stabili valorile lui B. şi C. n'o fiIlitru). Bilanţul radicalic general (OMB) va stabili concentraţia lui A. întrucîtaceasta. intervine cu prţponderenţă; bilanţurile pe componenţi (CMB)B. şiC vO'rpermite calculul lui B.'şi C, respectiv. In fig. 6.19 este reprezentatădiagrama unui flux informaţional, care cuprinde cîteva 'bucle implicite, care

"

B"de 1 c.A. M8C. ~

Fig .. 6.19. -Flux informaUonal cu -bilant de radicali.

t.

172 . :. ~ :CINETICA CHIMICA"

Ec.uaPia5-591_._I_B_~>.-+- .

Fig. 6.20., BilanLp,dicalic cu ..r~du,;:erea bl!clelor .impli<;it~,

• >

..•.vor n~cesita un. calcul de convergenţă al- buci~lor niinof.e B. ~C.;';'; B.'şi i.' _.~ A. - &, îti cadrul buclei majore A. .~ B. 'ce, A. ; îtitrocît 'aceasta conducela o utilizare neeficientă a timpului' de calculator, bucla internă B. ~ C. _~B ..se elimină, substituind pe C. în e.cuaţla de .bilant a'componentului.8.Prin a~easta se obtine 'expresia lui B.' în care nu intervin decît concentraţiileradicalului.A..şi ale monomerilor A, B'şi C. .. ' .. '. '.

B. = A'. B(kc"kc"C+ kAB(kcRB + ilc~A))' '(6.59)A('(wkc_~C + kIH(kc'lIB'+ kC.AA»

În cadrul acestei scheme se estimează o valoare a lui A. care:vacoriduce'lnmod explicit la o valoare pentru B., apoi pentru C. ; A. poate fi recalculat şicomparat cu valoarea initial.ă estimată. Dacă aceasta nu se încadrează în limi-.tele de toleranţă specificate se estimează' o nouă valoarea pe"ntru A.şi se re-petă executia (6.20). Programul pentru acest "bilant radicalic'" este arătat ••

'în subrutina REACT în fig. 6,21, secvenţa 15 ~ 22; în cadrul' căreia se Îaceapel la subrutina CONV pentru a obţine convergenţa necesară. Valoarea ini-ţială a lui A. (AD) se introduce ca dată de intrare (linia 6).

1 •"..~4'~.6-7'8.. C.'Y. /

l1J* ,CIl>12_lj.14'1'..J* C1D'17"l(H

.1';1.

2~!•2:1 •.

?,... C

S"U'lRsur INEqEI,CT \ vA, vu, ve, v J, ve;. RA; RB, Re. n 1 j~'HEAL KAA,Kr;O.KCCr~A~fK~C.K~C;KRAfKCA.KCAHEAL KTAd,~T'jrl.KlCC,KTA6,~TAC,MTBC,KIOATA.KAA/~.E~/KB~/n.E5/KCC/2.5E~/KAR/5.f.~/'UAlA ~AC/4.E~/K~C/3.5E5/KAA/1.E5/KCA/5.~E~/KCu/4.5E~1UAlA KTAA/6.~7/KlaB/~.[1/~TCC/~.E7/AOI2.E-AIVAlA ~lAP/S.l7/KTAC/4.E7/KlAC/7.E7/KI/6.E-31CAT-AlYST RFACTI('Ih fU.lEfoiI = KI.VI"!or~o'J'U': C0r,lrW~ITlvrJv = '.'5-; VfI •• \Jtl10 .• >/d •• 0776.V(*.1II = .. \:A/V -t~ = vt3/Vl :: I/(/VI{AOICAL 'fiALJ\N(:F.

~ ~OO = KAC.C.KCA+~uA*(~CP.~.KCA~~J~D ':: ADI f•• n. (",CB.(. K••.•.C+K A'1. KCG. f'l +K ••.•.g¥Xe li. J'I,) itEIOCU -':: C.P<BC.t1ij.KAC.Ai.Jf/(KCR.-iJ,fKeA.AlC,Dr, :; BO ~ (1" T,f:!C.Cli-t-K To~-I*~U l +CO' •• 2.K Tec ,,:,Rt Iv;,OJl - t<T,~fl.RlJ+.t<T ••C.CO . _'j".;:;'\j ;. (-A':P.' .• ':>uRT(Aon •• ?-l.; ••• ¥,TAf •• ADG) I/C"?- •• KTAAI'(ALL COlJVtfl[).,\.lt.l.~jCl00 Te' '(5.4\.:~CI-IEtlCTIor~ i~AH ..S

~ ~A = VA.(K~A.AO.K~A.uOtKC~.CO);.JFI = IJH.-(K:-ll..t.dO+I<.I<r;.ALJHC:Cq.COIHC -= \iC.(KCC.CO+I\~C .• AU+¥.Hr.~mrEE TUI«JENO

Fig. 6.21: Subrutiria REACT pentru' cinetica de p)li~~ri2ar'~.

COPOLIMEIRIZAREA Il'!"~.Q~UŢI!:=,.tr ŞISTEM SEMICONTll'iUU

.' .~

. 6,5.3,liiiatiluri)l~ monorried

"

.•.. '.

173 •

,•

Viteza de reacţie afietărul'rrionomer depinde de concentraiia monomeruluişi a radicalului, Monomer,u,l' Acpoate reacţiona "cu r~dic~lul'A" D., sau, c.,iar viteza lui de -reacţie RA poate fi scrisă sub forma: ,',

RA '~ V - A * (kAAA. -1- k"A;!. -1- kCAC) (6-60)

'în care RA '- moli din A care reacţionează/min ;'V .':'" volumul reactoru!uiîn litri; A = cOl'centraţia monomerului 'în moli/litru; k; K; C. =c concentra-tia radicalilor în 'moli/litru; K JK~ constanta, de. viteză a reacţiilor de :propa-gare. / .... -~ ,.'. GY, .••

In mod analog avem pentru ceilalţi doi Ilionbilleri. relaţiile:..- ~'" -

RB = V * B * (kRBB. -1- k.wA. + k:~;JS-;;)~_ . :' (6.61)

". .RC = V- c; *(kccC. + "AcA. +k~;cB.)'.' . '(6-62)Viteza elevariaţie a concentraţiei monomerului în r~actor va fi,eI"tă de eliferenţaîntre debitul ile alimentareşi viteza de reacţie, adică -',

.1 .<!(VA)=FA-RA :.(6-63)d/, . .,<~ (VB) = FB -..: RB ' •• :t6-64)ili . .xd,' -,d/ (VC) = rc ~~e :)6-65)

în care Veste volumul amestecului, exclusiv volumul ocupat de pa;'li~ulelesolide de polimer, ex'primat prin: ,

V = vs -1- VA -MAR -1- VB .j,MBR +: ve *MCR (6-66)Parametrii MIR elin ecuaţia de mai sus' sînt conceritraţii avînd dimensi unealitri/moli. FJ reprezintă debitele de alimentare a fiecărui monomer J, inmoli/min.' .. ' " ,",' ,'oebitul ele formate a polimerului 'P w este expriIilat prinsu'ma vitezelor. dereacţie a monomerului înmulţită cu .nasele moleculare ale monomeribr,espet-tivi: .

dP . , ," -,-"'-= RAMA -1- RHMn -1- RcMc (6-67)

dl .', Ecuaţiile acestea sint ar.ă.!ate 'în programul principal din'rfig. 6.22, care ara-tă" de 'asemenea, ecuaţiile pentru compoziţia instantanee a polimerului IJP(IiTIiile21~23); ecuaţiile reprezintă compoziţiile polimerului f9i'mat'in funcţiede timp. Este important să facem distincţia între a'ceasta ~i compoziţia mediea:.polifj1erului (AJP), care reprezintă, raportul numărului de m1Ii-aiunui"an'umit

, :l11onomerdin polimer, fa.\ă,de.nuf[lăruj t?tal:,de molide monomeri .din P9limţr.~ecventa de linii 38 ~ 41, din fig. 6.22, arată programul pentrucompozijia medie a. , - . - - .

1

• 174 C]NETICA CHIMICA ,. /

/

•

'.\

c

c ••• INITIATION ANO DATA S(CTION •••REAL IAP,IBP,ICP,MMPOIMENSJON FAT'~l,FBT(4J,FCT(4),rAF(4),FB~(4),FCF'4)DATA FAT/O.,60.,lOO.,140./FBT/O,.40,.70"10D.1 .DATA .FCT/O •• 30,,70 •• 100,/DATA FAF/7.,9"9.,O,/FBF/2,.4.,40.,O,/FCF/1.,2,,2,,O.1DATA YS/I000./VA/700,/VB/200./VC/IOO./VIt,Ol/C ••• OERIVATIVE SECTIO~... .. .

7 CALL REACT(VA,VB,vC,VI,V5,RA,RB,RC,RI)FEEO RAlES .FA = FUNI(T,4,FA1,FAF)F6 = FUNI(T,4.FBT,FBF)re= FUNI(T,4,FCT,FCF)FI = O. .DAV = FA ••RAOBV = Fa - RB0CV = Fe ..ReDVI = FI •• RIDPW = RA*SO,+RS*70.+RC*110.SR = RA + R~ +"ACIAP = RA/SRIBP:: RB/SRICP = RC/SROP = (RA+RB+RC)/RICALL PRNTF1IO.,400 ••NF,T,IAP,IAP,ICP,AAP,ABP,ACP,HA,RB,RC)lF(NF .EO. 2' STOP

C ***INTEGRATI0N SECTION***CALL lNTl(T,,5,2)CALL INT[VA,OAV)CALL INT(VB,O~JCAll INHVC,OCVICAlL INT(VI,OVIlCALL INTIT~AP,RA,CALL INTITMBP,RB)CALL INTIT~CP,RC}(ALL INTIPW,OPW)

C AvERAGE POLYMER COMPOSITION5MMP = TMAP + TMBP-+ TMCPAAP = TM.o.P/M"MPASP = TIl'.BP IMMpACP = TMCP/W'lPGO TO 7ENO

h,2'3'••S.'6'7.'S'9'~la.1,.

12_15'(CI-.

1" 15_16'17.J8.'1~..20.2,.22.'25_2._25_2••27<28_,29'50.,,.32.".33_3£+ ••5S_'6'37_.3e.59_~b..1_.2.;~3.

. ';'" . Fig. 6.22. Pn?gramuJ principal pentru cinetica de polimcr,izare ..'.

polil11erului, reprezentînd prin Ţj\\JP numărul total de moli' din l11onol11erulJ'Înpolimer, număr care se obţine prin integrarea vitezei de'reacţie RJ. j"\olii demonomer' VJ din ioluţie se obţin integrînd derivata DJV calculată În secţiuneade derivare. Compoziţia monomerului J' în soluţie va fi egală cu monomerultotal rămas (VJ), impărţit la vplumul fazei lichide V, adică J' = VJ IV (liniilc12-14 din subrutina REACT, fig. 6,21),

Gradul de polii~eriiar~ DP este o măsură a nuri,ărul ui medi u de moli dinmolecuiele p'olimerului şi poate fi calcul ai prin raportul intre s~ma vitezelorde:~eacţie şi viteza de iniţiere (linia 24 din'fig. 6,22),, Toale ecuaţiile' acestui model cinetic sînt arătate în schema din fig. 6.23.

Programul de calcul' corespunzător constă din programul pri~Qipal (fig. 6,22) ,si" sObrutina REACT (fig. 6.21)., .

-~Catalizator

Bilanv de rad/cab' C.

d- (vI) = FI - Rzqt

,,/

A.

,"A.

vBilanţ d~ radicali B.

B.

_ A. B(kCBxCA C + kAB (*CB B + xCA A»B. - A U<"ckCA C + k.A (xC8 B + "CA Al) .

-Bi/4nţ ,./iil d~ '4dica/i

A. = (-(lrus B. + *IAO c.). + v'( )82 - 4KrAAr))/2kTAA7=B'(*T8C C. + *T •• B.) + C2k.cc - Rzlv

_A.B.

tlen8rarede radicali

c.'"" C(".cB +xAcA.)(*e. B + kCA A)

c.

tvFI

\

A

B Bilant deC moi;omu/ 8.

. Gf'ddu/ d~ polimer/zi/ro

Fig .. &.23. J\1odcl complet pentru cnpolimcrizarca În soluţie,

MA Ma' McV= Vs + (VA)-+ (VB)- +(VC)-.PA FB . 9c

VA.Ve,Vc

, ,A.

V/tue de rSlJcţie alemOflome,.;/or

Dpl- I R,__ DP =(RA

+R. + Ro)/RI __

RA = VA("AA A. + k.A B. + kCA C.lR._ VB(Ir•••. + kA.A. +kc. C.)R C = VC(kec C..+ "AC A. + k.c c.)

4RBRe

Pw' dPw____ - = RAMA + RaMa +Re:tfWedt

VA. VB. VC.

R 'A R 8' Re

Volumul filzei lichide

d- (V.A) = 'A - R Adt.d- (V.B) =F. -R.dtd .-(V.C)=Fc-Redt

• iVAVB

II .Ive

FA'bFe

v

FA = fA(t)

F. = '.(t)ro =fc(t)

AlimentirB demonomer

176 CINETICA CHIMICA

Această .subrutină este apelată În prima linie a secţiunii de derivare şi conţine ll!n~ătoarel~_ p~rţi ale modelului; cu indicarea liniilor pe care apar:

L Date pentru constantele de propagare şi terminare, 4 la 7.2. Bilanţul de catalizator, 9. '3. Bilanţul de monomer şi volumul fazei lichide, II la 14.4. Bilanţul de radicali (fig. 6.20), 16 la 22.5. Vitezele de reactie ale componenţilor, 25 la 27.

Lista argumentelor pentru subrutina REACr conţine molii totali din soluţiepentru fiecare component şi caJalizator 'VA ~ VI şi vol umul de solvent VS.Vitezele de reacţie calculate sînt ieşirile din această subrutină, fiind ultimelepatru argumente În listă, RA ~ RL . "

Programul' principal constă din cele !rei secţiuni uzuale, cu o secvenţ'ă su-plimentară la sfîrşitul' secţiunii de inlegrare. Secţiunea de date conţine canti-tăţj]e iniţiale ale rnonornerului şi iniţiatorului (rnoli) şi volumul total (VS, li-tri) În linia 7. Adăugările continui de monomeri sînt date ca funcţii de timp şi,sînt introduse În matricele FAT, FBT, etc., prinliniile 4, 5 şi 6. Aceste matricesînt Întrebuinţate În generatoarele de funcţii arbilrare pentru a defini debitelede moncirner, .prin liniile, II -'> 13. Derivatele pentru catalizator şi monorner secalculează În secvenţa' 15 ~,18, iar compoziţiile instantanee ale polimeruluiÎn secvenţa 20 ~ 23. Gradul de polimerizare DP Se calCulează În linia. 24.

Toate integrările necesare se efectuează În secvenţa 28 ~ 36. -Inainte de areveni la prima insirucţ'iune din secţiunea de derivare (linia 9, REACT) se cal-culează compoziţiile m~dii ale polimerului (secvenţa 28 ~ 41). Aceste valorinu pot fi calculate Înainte de efectuarea integrării deoarece la prima trecerenumărul total de moli de polimer MAIP este egal cu zero şi, întrucît ,intervine".Ia numitor, ar provoca terminarea ~rin eroare a programului. '

'6.5:4-. Rezultate'.Rezultatele numerice pentru condiţiile de m'aisus sint' arătate 'in .fig. 6.24.

Prima 'coloană arată variabil a' timp În incremente'de.dte 10 minute'p'Îifli',I~.-untotal de 400 minute. Următoarele trei coloane arată compotitia fnstantanee apolimerului, iar următoarele: trei, compoziţia medie a polimerului.Ultifljeletrei coloane Erată concentra ţi a monomeruiui În solven!. Se va observa că exisiăvariaţii apreciabile În compoziţia jnst,antanee a polimerului, Un astfel de ,re-zultat este, În ,general, 'nedorit, ;deoarece produce un polimer neuniform. Dincauza aceasta este necesar ,(se m6qifjce, funcţiile cam exprimă arimentarea 'cumbnomer (sintetizate în mod. arbitrarj';- în felul acesta compoziţia instantaneea polimerului se menţine în limitele toleranţelor pe întreg domeniulconversiei.Lucrul acesta se poate realiza efectuînd o serie de rulări în care debitul dealimentare a monomerului se reajustează în fiecare execulie. Intrucît fiecareexecuţie nu cere decît cîteva secunde de rulare pe calculator, aceasta c<;))]stituieo abordare rezonabilă a problemei.

-l"" l IME. '. .!.!lE lBP ICP Mf' M3P ~-. ~; RS RCI -

" .00000 .655b9+00 .250991'00 ,93316-01 .00000 ,00000 •.00000 ,94,184+0.f .-.36052+01 013'+0••.•.01o .10000+02 ,650QO+OO .25556+00 .9351.0"'01 "65331+0" .25349+00 .93208-01 .89408+01 .35101++01 .12849+01"~ .20000"02 .6lf6il++oO .25152+00 .%Zll.5-01 .6509-8'.00 .25508+00 .93934-01 .",85723+01: .3IH60.+01 .12767+01• .30000+02 .611018,0+00 .25706+00 .10112+00 .64814+00 .25586.+00 .95406-01 .82932+01 .33219+01 .13066+01,o ,1+0000+02 .6.3844+00 .25503+00 .10653+00 .64664+00 .25593.00 .97,.37-01 .60796+01 .32275+01 .13482+01•i!l, .50000+02 . • b3b62+0,O .25205+00 .1111'3+00 .64490+00 ."25549+00 .99615-01 .791!+1.01 .3132q.+Ol .13810+01.60000+02 .63674+00 .24827+00 •11499+nO ;64361)+00 .25466+00 ,10174+00 .77896+01 .30372+01 .14068+01• .70000+02 ,637~5+00 .21.uH1+00 .11834'+00 .64273'+00 ,25352'+00 .1037,5+00 .16869+01 .29433+01 .14268+01iic .80000+02 .64017+00 ,24082'+00 .11900'+00 .64224+00 ,25222+00 01055'++00 .75772+01 .28504+01 .14085+01S ; ,90000+02 ,64589+;)0 ,23906+00 .11505+00 .64230+00 .25095+00 .10616+00 .14504+01 .2-7516+01 '.11271+01~ ,10000+03 .65451+00 .f 23660+00 .10691)+00 .64299+00 .24984+00 .10717+00 .73100+01 ,26648+01 .11939+01..,11000+03' .66159+00 ..,ZlfOl,+6+00 ,97954"01 .64424.+00 ,24899+00 .10678+00 ,70941+01 .25784+01 .10503+015' ....•120~O+03 .66312+00 .24575+00 .91132"01 .64556+00 .24855+00 .10589+00 .67541+01 .25033+01 .92829+005' ,13000+03 .6591~+OO .25474+00 .86081"01 .64657+00 .21+863+00 .10480+00 .63103+01 .2438,+01 .82406+00.14000+03, .M929+00 ,26811+00 ,A2603-01 .64703+00 .2493HOO .10365+00 .57153+01 .23848+01 .7341'.-+onOS .15000+03. .63593+00 .28417+00 .79908"01 .F,4682+00 .25062+00 .10256+00 .52306+01 ,23373+01 .65126+00 '!• .16000+03 .62221+00 .30051+00 .77214.-('11 .6460~+OO. .25243+00 .10152+00 .471+39t01 .22912+01 .58916+00;l, .17000+03 .60818+00 .31712+00 .71+702-0 t. .61+487+00 .2S46noo ."10053+00 .1+3083+01 .22464+01 .52918+00"o .18000+03 .59386+00 .3339~+OO .721Q5-01 .61+334+00 ,25707+00 .99586-01 .39175.01 .22029+01 .47624+00". .19000+03 .51929+00 .35095+00 .69754-01 .6~157.+00 ,25975+00 ,98688-01 .-35662+01 .21605+01 .1+2941+00ii .200UO+03 .564!:il+00 .36811+00 .67380-01 .63958'+00 .20259+00 .91830 ••01 .32497+01 ,21191+01 -.38789+00o' .21000+03 ,5495~+OO .38539+00 .65075"01 .63744+00 ,26555+00 .97009-01 ,29640+01 .20787+01 .35100+0C•• .22000+03 .534 ••1+00 ,40275+00 .62840"01 ,63517+00 .26860+00 .96223"01 .27057+01 .203'H+Ol .31816+00I .23.000+03 .51918+00 ,42015+00. ,60614-01 ,fo3201+00 .27172+00 ,951+10,,01 .24717+01 .20003+01 :,28886.00~ .24000+03 .50386+00 •••.H56+00 ,58579"CI1 .63036+00 ,2.71+89+00 .9"748 ••01 ,2259"+01 .19620+01 .26267+00,25000+03 ,"'8851+-00 .45491++00 ,5655 ••••01 ,62786+00 .21808+00 .91+055-01 .20663+01 .192lf3+01 .23921+00~ .2.6000+03 ,47.:515+00 ,1+7225+00 .51+599-01 .62532+00 .28129+00 .93389 ••01 .1MO':'+01 .18810+01 i21816+00~

.27000+U3 .~,1+5182+00 .48947+00 .5271.5-01 ,62215+00 .28450+00 .92750 ••01 .1130VOI .18 ••99+01 .19924+00.28000+03 .442:56+00 .50654"-+00 .50900"01 .62011+00 .28710+0Q ,92136,,01 .15841+01 ,18131+01 .1'8219+00.,29000+03 .42741+00 ..•5231.04+00 .49153-01 ,61757+00 .29088+00 .91546-01 .1450"+01 .11765+01 '.16662+00.30000.+03 .lt1240+0o. .51+012+00 .47475"01 '61498+00 .291+04+00 .90979 ••01 .13285+01 .11399+01 ,15293+00.31000+03 .39758+00 .55656-+00' .45863-01 .61240+00 .29711+00 .90434"01 ,12168+01 .17033+01 .•1"036+00,32000+03 . .38297.00 '. •57271+00 .44317"01 .60983+00 .30026+00 ,89910';'01 .-11145+01 .16668+01 '.12897+00.33000+03 .36861+00 .58855+00 .42835"01 .60728+00 .30331+00 .891+06-01 .10210+01' .16302+01 ~,U864+00.3l.f000+03. .35454+00. .60401++00 .41415-01 .601+77+00 .'30631+00 .88922 ••01 .93533+00 .15936+01 .10926+0C.35000+03 ,,34018+00 ,61916+00 .40051"01 ,60228+00 .~0926+00 .881+56"01 .85694+00 .i5569+01 ,10013+0Cl.•36000+03. ,J~137+00 .63387+00 .38758-01 ,.~.9983+00 .31216+00 .88007-01 .78521+00 .15204+01 .92962-01.37000+03 .,31,432+00. ,64816+00 ,37516"01 .5971+2+00 .31501+00 .87516-01 .11959+00 .14839'+01 .85887!"01•38000+0'J .30167+00. ,66200+00 .36330-01 .59505+00 .31179+00 .81162-01 .65958+00 .141+75+01 ,79 ••36"01,~.'90qO.+03,.. ,28941+00 ,67539+00 ,3519s-ch .59273+00 .32051+00 .8b163-01 .60474+00 .:11+112+01 .73547"01.40000+03 .27756+00 ,68830+00 .34118-01 ,590~5+00 .32317+00 .86319"01 ,55462+00 .13753+01 .68169-01

Fig,'6,24. Rezulblt:cle tCShll11Î .de îlicerc~Ţr~ pentru reacţiEI tie copoli.meriz.pre Îţ'l solutie.

178 CINETICA CHIMICA

5.5" DISTRIBUŢIA TIMPULUI DE STAŢIONAREA PARTICULELOR IN CSTR [13]

Numeroase reacţii de importanţă industrială constau din curgerea conti'lUăprintr-un vas a unui solid şi a unei faze lichide. Faza solidă, uzual sub formăde particule, rămîne in vas o anumită perioadă de timp, reacţionea.ă cufaza Iichidă, scade În dimensiuni şi apoi părăseşte vasul. Un asemenea caz nupoate fi caraclerizat Într-o manieră simplă şi direclă, deoarece particulele re-aclante nu posedă toate acelaşi timp de staţionare. Unele particule părăsescreaclO!ul aproape imediat; În timp ce aItele staţionează o "perioa'dă mai Îndelun-gată. Intrucit În urma reacţiei dimensiunile' particulelor scad, reaclorul va con-ţine o paletă largă de dimensiuni de particule. In cazul În care viteza de reac-ţie a iiecărei particule este proporţională cu suprafaţa sa, reactia totalâ, pen-tru Întregul volum de reacţie, va fi proporţională cu suma suprafeţelor tuturorparticulelor. Pentru a o determina este necesar să se stabilească distribuţiatimpului de retenţie În vas. In subcapitolul următor se prezintă noţiunile ele-mentare necesare pentru a elabora un model pentru acest caz.

5.5.1. Distribuţia timpului de staţionare În curgereaideală (fig. 6.25).

Să considerăm că, intr-un vas bine agitat, se introduce o cantitate de par-ticule (N, • V) la timpul e = O. In vas, care are volumul efecliv V se introduceşi se extrage, În mod continuu, debitul S (fl'/min). Concentraţia de particule(N particule/unitate de volum) din vas şi din fluxul de ieşire se calculeazărezolvînd ecuaţia de bilant asupra particulelor, adică: .

variaţia acumulării de particule din vas = debit de intrare - debit deieşire.

~ (II'. V) =; O. - S • Nde "

Fig. 6.-25~ Vas de reactie.

Timp 8

Fig. 6.26. Reprezentarea graHcă.;:a ecuaţiei 6.70.

JI

\DISTRIBUŢIA TJ:MPULUI DE STATIONARE A PARTICULELOR IN CSTR 179

Intrucit V = constant avem. dN . . V_ = --. N (6-69)de s .

Soluţia este reprezentată de ecuaţia (fig. 6.26);. . N ~. N, • e-O{(V{S)- (6-70)

Toate particulele din liuxul'de ieşire, în orice moment dat e vor avea aceeaşi"vîrstă", adică au staţionat în vas aceeaşi perioadă de timp e.. '

. Numărul total de partIcule introduse în vas iniţial fiind N,V, numărul.to-taI de particule eate au 'părăsit vasul pînă într~un moment oarecare e, va fi :o . .I 5.N.de. Introducînd în această ecuaţie valoarea lui N de mai sus 'obţinem". -numărul total de particule care -au părăsit vasul pînă la timpul e dat deo -I 5N,e-O!W/SJdO. Intrucît] particulele din vas la timpul O sînt în nuinăr•de v • N, se obţine prin integrare: numărul de particule iniţiale -'l)uniărul departicule rămase în reactor = numărul de particule care' au părăsit reactorul:

N, * j/ - V * N = N,* V[1. ..:- e-o/(I'{S)I (6-71)Termenul din paranteză reprezintă fracţiunea din numărul total iniţial de par-ticule care au părăsit reactorul pînă la timpul O. Uzual, se normalizează aceste

. caracteristici definind cantitatea de particule din vas ca o (racţiune ii canlită-

. ţii iniţiale, adică"N = N IN" şi normalizînd timpul 0-= OIH, în care H = V15~ste timpul de staţionare în reactor. Introducînd aceste variabile normalizateîn ecuaţiile 6.70 şi 6.71 se obţine timpul de staţionare normalizat, denumit uzual"curba E", precum şi curba fracţiunii de particule la ieşire, denumită uzual

'""curba 1" liig. 6.27). Intrucît Sili .da = 1 suprafaţa de sub curbă. pînă în. o . .

orice mon}ent O reprezintă fracţiunea de particule care a părăsit' reâctorulpînă în mome)1till respectiv (normalizată). Valoarea aceasta este reprezentatăsub forma curbei I. . .' .

. Se va observa Să ambele curbe caracteristice sînt independente de cantitateaiIlilială de particule introduse N,. Prin urmare, ele pot fi extinse cu uşurinţăla 'cazullimită reprezentat de adăugarea unui' număr infinit,- de cantităţi infi-nit de mici. de particule, într-o perioadă anumită de timp, ceea ce este echiva-

ii, Distributia normalizată. .; virstei - .

1 Curba I normalizati

, ------------

8" 8 B, iiFig. 6.27. Curbe de distribuţie a timpului de stationare (d.e.reacţie)

normalizat. .

180 .,' ," CINETICA CHI~'lICAI

..

lent cu o adăugare continua de particule. Intrucît fiecare ca[1titate infil).itdemică de particule adăugate are aceeaşi distribulie a timpului de reten\ie, curbele. caracteristice de mai sus se aplică unui flux cohtinuu de particule. Ele ar puteafi interpretate astfel: Dacă se analizează fiuxul de ieşire dintr-un .yas,cu undebit continuu de Ni particule uniforme/unitatea de timpi_se va observa că unnumăr redus de ,particule sînt relativ "proaspete", iar un număr relatii, micvor'fi ,;vÎrstnjce", iar toate celelalte partiCule se vor plasa Între acest~'douăextreme. Dacă vasul ~ste perfect amestecat, atunci. particuleleeare părăseScva.\ul vor fi caracterizate prin curba de distribulie a timpilor de staţionare dinfig. 6.27: Astfel, de exemplu, suprafaţa de sub curb'ă pînă 1; il repr~zintă frac-tia din particule care au staţionat În vas mai puţin decît timpul O. Pentru' apli"caţii practice se poate' considera că, Într-un asemenea caz ideal, aproape toateparticulele vor avea timpi de stalionarenormalizafi mai mici de 5, .Ordon'ata,curbei 1 (fig. 6.27) fiind E 'd,6,reprezintă d~ fapt fracţia' din numărul totalde particule care au un timp de reţinere mai mic decît valoarea corespunzătoarea', lui "il derpe abscisă.

6.6.2. Amestecare neideală

De fapt, practic, in toate procesele industriale, cu reaclii in două faze, ames-tecarea ideală .este. nerealizabilă.Curba caracteristică arătată din fig. '6:26- se,obţine admiţîndu-se că se realizează o amestecare uniJormă În momentul in-troducerii particulelor in vas. Tntrucît Însă această amestecare se realizează'într-o perioadă de timp finită, curba ideală de distribulie nu reprezintă.carac-teristica de vîrstă a particulelor din vas şi .din fluxul de ieşire. Curba' de distri-buţie a timpilor de reţinere Într-un vas neideal se determină, de obicei, experi-mental prin mai multe metode [12], cum ar fi prin trasari radioactiVi,. şi,poate Ii de forma din fig. 6.28. .

a2

2 J It.

. timp nOi'mâltz8t. 85

. ~Fig. 6.28. Curbe de distribuţie, neideală.a timpului de sţaţionare.

"

DISTRIBUŢIA TIMPULUI DE -STAŢIONARE A PARTICULELOR IN CSTR "1-81

,•.

Fig. 6.30. Reactor eterogen.

•

"

5

.'

oO I 2 .3 •.,. T/mp pormalizat 8

Fig ,6.29. Fracti~. timpului de staţionare încazul distribuţiei ncideale .. '

1,0

'i.

08

\

,Cea mai semnificativă deviere a acestei distribuţii neideale E ,de la cazul. ~ . -.' -idea.! are lo,c la valori mici ale lui e, unde in regiunea lui e = 1 se produce unmaxim. Fig. 6.29 reprezintă fracţia, din timpul de reţinere corespunzătoare,alui I - 1 sau 1 -.r E .dll pentru distribuţia virstelor din fig. 6.28.

Curba aceastd redă fracţia din numărul iniţial de particule care mai staţio-neaiă incă în vas la timpul G si caracterizează astfel amestecarea neideală in-tr-o formă care poate fi utilizat'ă convenabil ca model al unui reador după cum,Se va arăta în subeapitolul următor. '

. ,',.

6.6.3. ~eac.!ii eterogene Într-un reactor CSTR

In exemplul"acesta 's~ va ~răta modul în care se poate caracteriza" reacţie,care se produce într-un reactor CSTR, prin utilizarea relaţiilor de distribuţiea timpului de staţionare, dezvoltate în capitolul precedent. ' .

Particulele solide P intră, in mod continuu, cu debitul Mpi n])li/min in-tr-un vas, împreună cu un flux .de solvent ce conţine reactantul A (fig. 6;,'30).Concenlraţia'lui 1. în solvent, la intrarea În rea dor, este CAt (moli/.ft'h De-bitul total de fluid este S fl'jmin, iar zestrea vasului are o valoare constantăV(ft').,". " ' "; . Particulele reacţiOllează cu A pentru a forma compusul solubil B, adicăA+' P - B. Viteza de reacţie pe partic'ulă este proporţională cu suprafaţaacesteia şi cu concentraţia lui A în faza lichidă CA, adică '

(6-72)

. "

"

"

182 CINETICA CHIMICA

în care R~= viteza de'recţie/particuIă, -(moli/min.parti'cuIă), iar' Ap~ su-prafaţa particulei (It'), Dacă se admite că particula estesferică £u raza l' (ft),A. = 41"'" Volumul particulei va fi 4/31'3,,: Dacă concentraţia este? molii!!'atunci molii de solid/particulă p. vor fi : ' ' • ,

, de unde

P,1, 3

p= - ••r 'fi3

-(6- 73)

,A. = (36"P;/9')1<3, (6- 75)Pentru moment este convenabil să' considerăm alimentarea' continuă a parti-ocuIelor M",(moli /min) ca o şarjă discretă de 'M.i moli de particule introdusă'în reactor la timpul ii= O, în care il= 8/(V /5). Nuinărul de particule este datde ~

,

, • l' = i/3P./(4"rp)Introducînd pe l' în expresia suprafeţei se obţine relaţia(moli) particulef, adică:

,(6-74) .într~ aria şi tnasa

(6- 76)~,.

De aici se obţine(6-(7)

:;e ;)

RT =.r Rd8 ;:,;.rNiRi:.rn(~iJ.e,":::" (6.78)• o - o s

care, reprezintă reacţia totală produsă de N, particule; întrucît N, este debitul'alimentării, RT va, fi viteza de reactie (moli /min) în reactor.

Bilanţul molar pe o particulă va fid(p,) = -R (6- 79)

d6 "- , I

Intrucît O= 8/(V/S) ecuaţia normalizată va avea formad(l~,)= _R (...!::..) (6-80)d~ > s,

Bilantul moi ar pe componentul A se bazează pe viteza totală de reacţie demai sus, adică

debit de intrare = debit de ieşire + reacţieSC~,=SCA+RT '

care se transformă în(6.8l)

(6.82)

DISTRIBUŢIA TIMPULUI DE STAŢIONARE A PARTICULELOR IN CSTR 183

Bilant molil" depilrticvle

!!..iPp) = -R ("-) Ppde @P S

Suprilfatapa'rt,culel

. ~ Y.JAp = (36. Pp)@ . 'f' .

Distribuţia tlmpu.fUI ds sedereI N,=f1B\I

Viteza dereac?iejpilrtievl3

8t1ant molarpeA

@RTCA"'" CAi.. --. . S

RT

Viteza reactieitataIe'

•

Nr.particule in a/imen-tSI'81min

Fig. 6.31. Flux de informaţii pentru modelul unui reaetor CSTR.

Ecuaţiile rezultînd din 'analiza de mai sus sînt arătate în modelul din fig. 6.31.Trebuie observat .că concentraţia componentului A este constantă şi este cal-culată din reacţia-totală RT. Pe de altă parte pentru'a ealeuJa reacţia totalăRT este nevoie să se cunoască valoarea constantă a lui CA' Aceasta face nece-sară efectuarea unui calcul iterativ pentru a obţine valorile finale ale lui RTşi c..

6.6.4. Programul de calcul

Valorile numerice ale parametrilor din model sÎrit arătate în programul dinfig. 6.32, care conţine: . .

, 1. Secvenţa 1 - 10, secţiunea de date şi calculul constantelor2. Secvenţa Il _ 13, secţiunea de iniţializare. Variabilele integrat~ se pla-

sează la. valoarea iniţială, la e = o. .3. Secvenţa 14 - 18, ~cţiunea de derivare.'4. Secvenţa. 20 - 22, secţiunea de integrare.

•

•

18.4

1", 100 fOi=lMr,lUOE...12.5)2* DI~1tNSIO.-.j .•••1(16) ."N( 1613.. R[II'L tJPr.K,NR4" OAIA Al/O., .2, .li, .55,.75.1. ,1.2.1.4.1, 7,2. '2.5'3, .~.5.4.'4 .5.5,/':l" ,D ••Tr. AtUI. 1.99. ;90 •• 9 •• 8 •• 6 •• 5 •• ",. J •• 2/0 •• 14,.08 •• Olt, .OZ'. Ol.O.I-~b.- DATA - i-1Pll2 ./'~-I.I • 005/RO/5. IV/Sa ./S/5 ,IC AJ I • 5/K/. 002/ .}. Nl~~Pl/(4./3 ••3.14.PI,'3.qOJ.Sot. Pl=!~PI/rJl9~ VOS::V/S

10" (A=CIIJ/l.11' :, TH:O.12. PP::Pjl,). fiŢ-O14. '} AP;(;6oo3.14'PP.oZ/QO"Zl.'11./3.1l~. PP::K.CA.A?16':1 DPP::_RP .• 'JOS

17-"1 NR:::FLlNI (ŢHo1h,AT.A~l1011-. <'RT::Nl.RP,'lRoVOS19"'" IFIT".GE.5.1 00 10620.- ,:ALl lrnT<TH. ,OI.t1~l;-- f:il.LL Un(RI,O!HI22. CALL lNT(PP,O?Pj23* IF(PP.LT.O.l PP:C,2'l>j GO Ta 725... b CAC=CAI-!H/S26. CAlL corl\'(C-O-.Ci\(:q.rlC/.270' 60 TO 18.5] ,Ne28. 9 CtlV:::RT/MPI-100.29. PRINT 100 PŢ.(4,C.r1V":}O. STOP31", U.O

Fig. 6.32. Pr.Qgramul principal pentru un reaetor CSTR în sistem eterogen.

Integrarea se efeet~ează pentru intervalul 8(TH) de la O la 5, timp la carese atinge valoarea reacţiei totale RT. In acest moment (6 = 5) se calculeazăconcentraţia lui' A, CA, în linia 25, iar prin subrutina CONV se obţine o nouăvaloare'a lui C., în cazul în care CAC nu este suficient de apropiată de valoarealui CA utilizată în integrare. Cu această nouă valoare a lui CA se reia calcu-lul prin secţiunea de iniţializare (liniile 11-13) şi s,e repetă integrarea. Acestproces se continuă pînă cîrid CA a alins limita de convergenţă, cînd se trecela instrucţiunea cu eticheta 8, la care se calculează conversia şi reacţia totală;CA Şi conversia sînt 'imprimate ca rezultate de interes p'rincipal. Pentru cazulspecific de mai sus s-au 'obţinut: RT = 1,1981 moli/min; CA = 0,26037 moliift3; CNV=59;907%. -

Probleme

L Intr-un reaetor izoterm are loc următoarea r'eacfie: -k,

A+:-B~C:+Dk,

,r.

" '""k' "C+B-4.E+F

Plecînd de la 0,5 moli/ft3 din A. şi .0;7 mOli/ft',din B ,dii61'.,.at,"să se deterininetimpul necesar pentru a objine-'o; conversie' de 80%;.ştiind că :k,--,- 15600

•'.

DISTRIBUŢL' TIMPULUI DE STAŢIONARE A PARTICULELOR IN CSTR '185

(fl'/mal'min); k, = 5,2 * 106(!l3/mol";lit1); k,= 1,2 (!l'/mol min). Se admitecă expresiile vitezelor de reacţie corespund relaţiilor din ecuaţiile stoichiome-trice. .

2. Autoelava pentru reacţiile eterogene din exemplul 6.4 poate fi exploa-_tată la presiunea maximă de 10 atm. Să se determine şarja maximă din compo-nentul A, care, se poate prelucra cu această' restricţie.

3. In exemplul 6.5, referitor la cinetica de polimerizare, să se determineşarja iniţială optimă şi alimentările continui din fiecare monomer, necesarepenlru a asigura obţinerea unui produs polimericuniîorm, cu ur'mătoarea com-poziţie medie (În fracţii moIare) : monomerul A = 0,6; B = O,ş şi C = 0,1.

4. In rcaclorul din exemplul 6.6,3 să se stabilească, dacă ~st.e posibil săse obţină o conversie mai ridicată prin ăteastă reacţie În sistem_eterogen, În- .trebuinţînd două reacloare În serie, în loc de unul singur. Se presupune că sumavolumelor reacloarelor este egală cu volumul reaclorului din exemplul n)enţionat(pentru extinderea leoriei distribuţiei timpului de relenţie la cazul cu mai multereacloare dispuse în serie Se va consulta'[13;. ,', :: ',' .

BIBLIOGRAFIE

Literatura de "mai jos cuprinde studii tnJi aproÎunda!e privind 'aplicarea calculatoarelor-la cinetica chimică. ..' .

1. ,;Analog Simulation of Chemical Rcaetiofl" Kinctics", T."Mathews, Chem. Ellg., 1964.2." ..Analog Computer Design of an Ethylene GfycoJ Systcm", W. ,A.~Parker and J. W:- Pr<ldos,Chem. Eng. Progress, ,60, r\o: G, r96;4.

3. "Analo.~ CompuJer Simulation of a Chemical Re<Îctor", T. L Batke, R. F. Fratlks', aodE W. James, ISA J., 4, 14.- 18, 1957.

. 4. ':,Process Development","- T, J. WiHams, Cilem. E'Ig., Apri'l, 1960,-'5.: ,;.A.nalog i\1etho'ds"Aid Simullition of Reaction Kinetics", W. F. 'Wagner, Chem. Eng., April.

'1963. '. :. ' . .

G. "Programining'Chemiccd Kinetks ~Problcms for Analog Curilpute'rs", R. c. H. Whecler anElG. F. Kinney, IRE Trans. PGIE IE3-:-70. .

7. "Design oi a. Chemical Reactor by Dytlamic Simulation", \\1. J. Dass8u and G. H. Wolf-gang, Chem. Eng. Pragr" 59, No, 4, 1964. .

'"~.. "Simulating tile Dynamics of Reactiqn Systems". T. Mat,hews, Chem. Eng.,.August 19G4.9, "Analog 'Simulation of a Chemical Reactor Temperature Control SysteJil", F ..X. Maycr andE. H. Spencer, Prac. Inst. Aut. Cont. 15, Pari. 2, 1960. . ."'

- 10, "Eledronic Analogs in Rcactor Desigl1'.~,J. Bcutler and J, B. Roberts, Chem: ~Eng.Pragr., 5Z,No. ""2, 1957. .

I J. "Computer Simulation of Chemic~l Reaetions", T. J. Williams Chem. Eng. N(;<,llS, 40, 1962.Tratate: .

12.' Reaetion Kinetics for Chemical Engineers, 5, M. Walas, McGra\~.Hill, New York, 1959.13. Chemital Reaction Engineeriflg, O. Levenspiel, Wiley, New Yor.k, 1962.14, CJl£mÎcal Process Principles III, J ,"O. Hougen, K. i't Wafson, Wiley, New York, 1947.

1. CURGEREA FLUIDELOR

•

7.1. SISTEME CU CU~GE~E DE GAZE

,Curgerea gazelor printr-un orificiu sau prin restricţii ale secţiunii de curgere

poate fi reprezentată prin ecuaţia:

Q = ev yP(P, - P,)

în care P, = presiunea din amonte; P, = presiunea din aval şi fi = presiuneamedie prin restricţie.

Factorul de capacitate a restricţiei, Cl' se exprimă în unităţi compatibilecu Q,' debitul de curgere. Presiunea medie P poate fi considerată ca medie arit-metică intre P, şi P2 şi reflectă variaţiile de densitate datorite variaţiei nive-lului de presiune. Dacă pierderea de presiune (Pi - P,) este mică în comparaţiecu presiunea medie (P, + P,) /2 se poate utiliza fie P" fie P, ca o aproximarea lui P.

Dacă P2 .;; 0,53 P" se face trecerea la regimul critic, ceea ce înseamnă cădacă presiunea din aval este mai mică decit aproximativ jumătate din presiuneadin amonte gazul va curge prin orificiu (ventil) cu viteză sOIiică, iar valoareapresiunii din aval nu va mai influenţa valoarea debitului. La temperatură nor-mală relaţia pentru debitul critic este:

Q = 0,85 CyP,Următoarele relaţii se utilizează pentru regimul de curgere in orice condiţii, dea-supra şi sub pragul critic.

F (;: 1= [1 -( ;: lT' for P2> 0.53P,

= '10.72 = 0.85 for P, < 0.53 PI

V,F,

REGIM HIDHAULIC .TRANZITORIU . 187

Exemplul 7.1

\

Fig:_ 7.-1.. Schemă arătînd curgerea unui gaz prin trei V35C.

~ #

Să considerăm un sistem constînd din trei cainere cu volumelc V" V, şiV3 legate întrc ele prin conducle prevăzute cu robinete, după cum se arată.în fig. 7. L rn camera întîi se fOflîlează o presiunc ridicată PI> mcntinînd inchisrobinetul 1 ; în aval de robinetul 3 presiunea cstc mcnţinută la Po, iar tobinctele2 şi 3 sînt dcschisc.- Accstca din 'urmă au faclorii de capacitatc CV2 şi C,.,.La timpul zero se deschide robinetul 1, permiţînd gazului din camera întîi săse destindă în camerelc 2 şi 3 şi să părăscacă sistemul prin robinetul' 3. Pen-tru a elabora un model matematic al acestui sistem este necesar să se corelezepresiunile şi debitele.

Dacă se admile o operaţie izotcrmă şi un gaz ideal, presiunea din ficcarc'cameră se calculează din lcgea gazelor ideale: i

Pi =' MiiRTjV)Molii de gaz M, din ficcare cameră i se obţin prin ecuaţia dc bilanţ dc masă

•d

-do Mi = Qfll - Q('llt. I '

Din ecuatia curgerii se obţin debilele în funcţie de presiunea din fiecare cameră;spre exempl u :

Q = ~-'-'Pu -F (P,.)I 1,2 .pu

Figura 7.2 reprezintă modelul pentru sistemul cu trei camere. ordonat ca săreflecle succesiunea de cauză si efecl., "

7.2. REGIM HIDRAULIC TRANZITORIU

, Problemele complexe, care tratează transportul fluidelor prin conduclepot fi clasificate în două grupe. In prima, conduclele au lungimi şi diametre 'relativ mici şi problema constă în determinarea presiunii în diverse puncle alereţelei de conducte. Problemele de tipul acesta se bazează pe rezolvarea relaţiilorde cădcre de presiune în regim staţionar. S-au elaborat programe pe calcula-toare numerice pentru a calcula debilul şi căderea de presiune pe relele complcxe,

188' CURGEREA FLUIDELOR .

•

_. -,-.. '.- " ...

d", - - M = -1,7,

1.1,dt ,1 ' ,

" ,, (lITf . ' fa,P,'~ M, V P,

Q = C., P f(P,), I 112' P

P2 •••••_ 1

p. = M.(~)M2: - ~Ql

d' ,de Mz = Q, ~,Qz

p. tQz, C'z (p,)- 1,7.-- PzJ-, p, vr Pz

. (RT) .q.P3= M3 v- ",

.!:iLddiM,=Q,-Q3

,P, tQ,Cv, (Pa)

Pa. ", - VŢP,f P,

,Fig. 7.2. Model pentru sistemul din 'fig. 7.1.

;'.

/

de conducte [2, 3]. A doua c1asă>ttip-tinde' "azmile"in care în bilanţul de forţătrebuie să se ţină seama de impulsul masei de fLuid în curgere. Stabilirea siste.,mului de ecuaţii, în succesiunea de cauză şi efect, pentru o reţea complexă deconducte interconectate, p01it€'să';li'e deosebit de dificilă. In realitate, o' abor-

• dare .simplă şi metodică,. '201nbltiâtă:1ţ,ll, 9 .fnţelegere a relaţiilor fundamentale,conduce la un' model l:,at~in~tic' l~gi<;:,l~)ratarea care u~mează, se neglij~aiăcompresi bilitatea fiuidelor, jntroducî.ndu,se aşa numita analiză a "coloanei ri.gide de apă". Pentru o înjelegeremai clară, se prezintă mai jos un exemplu.

Fig. 7.3. Curgerea unui lichid Între două reiervoare., .,

Exemplul 7.2 (5.7)

In cazul acesta, apa curge printr-o conductă care conectează două rezer-voare (7.3). Viteza apei din conductă este aceeaşi în orice secţiunea ,acesteia,de unde provine denumirea de "coloană rigidă de apă". Forta exercitată asupraapei din conductă este egală cu di,ferenţa de presiune la cele două extremităţiale col<lanei, adică forta = (li, - lio)a 'p, în care a este secţiunea conductei.In sens contrar curgerii acţionează o forţă de frecare, care poate fi exprimatăprin formula Hazen- Williams.

D ~ diametru! conductei'i(= f~etor de frecare,Q = debil.

li

Dacă se consideră ca pozitiv sensul de la stînga spre dreapta (fig. 7.3), foiţade frecare poate li redefinită astfel:

-hf=-KL Q'IQI"~a. . \Dl.87.

Cu alte cuvinte, dacă Q, debitul de curgere, schiinbă sensul, hJ schiml:>ă desemn: Forţa netă va ii suma' acestor doua forţe, adiei.

brţa netă=Q'~(li,-li,)-KL QIQI"''';a• w D~.87

Forla aceasta va modifica. impulsul coloanei de apă, adică

forţa netă = ~ (masă X viteză) = ~ r Lap '0) =.<1. (LPQ)dt . dt.g ,(\1 g

Ega1ind aceste forţe se obţine ecuaţia dinamică care 'descrie curgerea apei înconductă şi anume

(li,-li,)p - f(L QIQI"" ;"'..d. (LQp)" ' . , Dl.S7'~ dt ~ga

care trebuie utilizată în următoarea manieră:

- I.<1., Q = (li, - li,) ga- KQ'I Q1'." .1f'.1 ~ Qdt . L .Du; ~ r::.

190 CURGEREA FLlilDELOR

Bilant de m~si!?ez'ervof'u/ f

d- (A,H,) = -Qdt

H,Bililflt d.

'. impuls

Q dQ . ga. KQlgr-BS f-=(H,-H.)-- KTdt L D

.. , H2 -

d .'dt (A,H,) = +q

Bilant de masăRczervoru/2

Fig. 7.4. .Model pentru schema din fig. 7.3 .

.Debitul Q este produs de diferenţa între înălţimea coloanelor H, şi H,. Res-tul sistemului se defineşte prin ecuaţiile de conservare care cuprinde rezervoarele.

Pentru rezervorul i. (A ,H ,) = - Qritri

Pentru rezervorul 2 di (A,H,) = +Q

Aceste trei ecuaţii formează un model simplu (fig. 7.4), care permite gă se sta-bilească următoarea generalizare, utilă în multe cazuri analoage: "Ecuaţiilede bilanţ ale forţelor definesc debitele, iar ecuatiile de bilanţ de masă stabilescacumularea. deci. presiunile hidraulice care produc curgerea fluidului": Ideileacestea sînt ilustrate în fig. 7.5 şi pot fi aplicate la situaţia de mai jos.

IEcuatiile btlantulu; [eva/file ()ilf?/?!ului de. , .

Oebit.~ masaI de ror te

t I. Presiuni

Fig. 7.5. Model general pentru sistemele hidraulice.

REGIM HIDRAULIC TRANZITORIU

c.........-- ------

191

E"emplul 7.3O pompă amplasafă la cîteva pIcIOare deasupra unui rezervor pompează

apă la mare viteză printr-o conductă cudiametru mare; conducta urcă un dealşi apoi coboară de cealaltă parte (figura 7.6,). Pompa se opreşte şi astfelse produce "o ruptură" În coloana de apă, la ieşirea din pompă. Curge-rea din braţul L, continuă cîtva timp, dar se reduce progresiv, Îşi inverseazăsensul, accelerîndu-se Înapoi spre pompă. Pentru a proiecta un sistem adecvatde protecţie sînt necesare următoarele date: •

.(a) volumul de apă din braţul L, care se reÎntoarce la pompă;(b) viteza apei in momentul În care ajunge la pompă.

Se poate admite că în momentul în care pompa se opreşte, presiunea la pompăva' fi"presiunea atmosferică PA; la cealaltă extremitate a conductei apa se des-carcii într-un rezervor deschis, deci şi în acest punct presiunea este PA' Presiu-nea P, din vîrful dealulului nu poate scădea sub presiunea de vapori a apeidin conductă p. (determinată de temperatura apei). Bilanţul de masă asuprabraţuiui L, conduce la

d- M, = -Q,F Q, > O M, ~ masa de apă din L,dl

d.ll, = Odl

Q, < O

Q, ~ debitul volumetric

F = densitatea./

(1)

Q.i>d debitul Îşi inversează sensul de curgere (convenţional se admite ciisemnul este pozitiv în sensul de la pompă) are loc o rupere a coloanei la vîrfuldealului (se presupune că H, > 30 (fi)) şi devine necesară o a doua' ecuaţie

dM, = O Q, < Odl

RezervoPlJl A .

Fig. 7.6. Dispozitivul de pompflfc pentru exemplul 7.3.

lS2 CURGEREA FLuIDELOR

,

a= sectîunea ,cond,ie!ei ., ' ~ ..

1,'= lungimea . coloanei . 'de' ,apă

'. ÎI1 braţtil L, ÎI1' orice moment.

Bilanţul de forţă in braţul cu apă L, esteforta de presiune ~ (P" - P,)a

forta' de frecar~ =,'- KiIQ, IQ,I o." . a,.. : ..". D4.3Ţ"

forţh gravitaţiei ',c'- H, (~) pa. " IL1

(2)

"";.

impulsul = ..'i. (NI ,Q'jdt 'ga .

EgaHna aceste forţe se obţine'ecuaţia

~ (NI,Q, j' = (Pil _ ~)~ ~. KI Q, IQ,i" a- H i.. oad~ g~. _. 1 1 04'8; . ~ LI, '

P, .iîind .vaFiabiia care inil~enţează condiţiile din. ambele braţe L, şi'L" estenecesar un al doilea sistem de ecuaţii pentru a defini starea din. br~ţtil 'do;,

forta de presiune = (P, - Pa)aforţa de frecare = -KI, Q,IQ,I"~ a

D4.87

forţa gravitaţionaIă'= - H, (~jpa. L.. I I d (Ni .Q'j -'lmpu SU = - -'-'

dt gaPri,] asamblarea termenilor se objine'

Bilanţul de masă În braţul L, este

<1dt M, ~ p(Q, - Q,)

..'i. M., =:.... Q.,odt . - • .-'-

Q, > O'Q, > OQ,> OQ, <O

(4)

"

Asamblarea ecuajiilor (I)'~ (4) Într.un model ..prezintă o dificultate majorăÎntrucît ex,istă cinci variabile (Q,; Q" MI> M" P,) şi nu dispunem decît de.patru ecuaţii. Din cauea aceasta este necesar să se:de'finească o relatie nouăcare să cuprindă pe Pl' Aceasta se obţine prin următoarere consideraţii. DaCăvaloarea presiunii .P, este mai mare decît tensiunea de vapori a.apei la tempe-ratura de 1ucru, coloana de apă este continuă şi vitezele sînt aceleaşi În ambelebraţe ale conductei, adică Q, ~ Q,. CU alte cuvinte, apa fiind incompresibilăvalOarea lui P, se stabileşte autăinaCla'acea necesară pentru a menţine con,tinuitatea coloanei de apă.

REGIM HIDRAULTC TRANZITORIU 193

Fig. 7.7(:5chema pentru simula-rca pe un calculator analogic aecualiei dP./dt ~ G(Q, - Q,)

In figura aceasta P, participă în ambele bilanţuri de forţă, ~stiel încît, priiteraţie, se poate găsi o valoare a lui P, ca să fie salisfăcută condiţia Q, = Q,.'Prin aceasta se reproduce, în' esenţă, mecanismul de bilanţ al forţelor:care areloc efectiv în conductă şi este similar buclei punctelor de fierbere 'ale sistemuluimullicomponent arătat în fig. 5.2. . .

Schema 'aceasta însă nu poate fi ulilizată pe calculator, deoarece in cazulacesta ou dispunem de o buclă algebrică pentru iteraţie. Obţinerea lui' P, prin Iiteraţie necesită rezolvarea ecuaţiilor care conduc la Q, şi Q" operaţie princare s-ar pulea satisface criteriul Q, = Q2' Acestea fiind însă ecuaţii 'diferen-ţiale trebuie calculate pentru fiecare increment de timp, .astiel încît Q, şi Q,sînt valori constante la fiecare pas. Este de observat Însă că pentru a'satisface

- un anumit criteriu, la fiecare increment de timp, procesul de iterare trebuiesă aibă cel puţin o buclă 'de reglare către intrarea criteriului, care este detip pur algebric. . .

Pentru a obţine acest mers al calculelor este necesar să se transforme ecuaţiaîntr-o ecuaţie diferenţia", de forma

dP,/dt = G(Q, - Q2)'

Valoarea lui G poate fi aleasă arbitrar, astfel Încit să av~m Q, '" Q2" Intrucitvalori mari ale lui G obligă programul' să utilizeze paşi de integrare mai miei,val"oarea lui G nu trebuie să fie prea mare pentru a evita timpi e"xcesivi de ru-lare pe calculator.

Tehnica este similară aceleia utilizată in calculatoarele analogice În care.pentru a converti un amplificator de mare amplificare intr-un integrator cuamplificare mai mică se utilizează un condensator in bucla de reacţie a ampli-ficatorului (fig. 7.7). Intrucît apa este intrucîtva compresibilă, ecuaţia ,life-renţială descrie mai bine mecanismul natural decît ecuaţia algebrică. Ecuaţiapoate fi acum asamblată in modelul arătat in fig. 7.8.

Soluţionarea acestui model cere valoarea iniţială a lui Q,(= Q2) pentru ase obţine prin iteraţii, valoarea de echilibr.u al ui P ,. Valoarea aceasta corespundefuncţionării În regim staţionar, a pompei, deci pină in momentul in care pompase opreşte. Incepind cu acesf'.moment P, scade şi ajunge in final la valoarea po•cînd Q, incetează de a mai fi egal cu Q, şi se produce fenomenul de cavitaţie.

Deşi modelul din fig. 7.8 este clar şi stabil din punct de vedere matematic,el necesită timpi mari de rulare pe calculator din cauza valorilor ridicate alelui G din ecuaţia presiunii de echilibru, care determină valori mici ale pasuluide integrare. In acest caz totuşi dificullatea poate fi evitată .. Deşi P, = Pa,ambele braţe 1, şi 12 pot fi cuprinse Într-o singură ecuaţie de bilanţ de masă şiuna de bilanţ de forţă; P, poate fi obţinută din ecuaţia bilanţului de forţăpentru braţul 2, ÎntruCÎt M2 este constant, iarQ2 = Q, = Q din ecuaţia de bilanţ total al forţelor.Din momentul în care P, = Po modelul revine lacel arătat în fig. 7.8. In felul acesta, metoda impli-cită de a obţine pe P" conform figur~i.7.8 se evită.Sfîrşitul acestui capitol prezintă într-o problemă-€xerciţi u o dezvoltare a acestui aspec!.

13 - MOdelarea Şi simularea in ingineria" chimică - cd. 29.

Bilant dtl ma38Bilant de masă .. dM, = -((,f Q, > oI, Q, d ~f((l',-q.) .{Q, > odt -o ((, < oI:

dt M. Q. > oI = -fiz! li!> > O~

. .Luneimoa braţului, L, Lungimea braţulu/~ L2

Q, M, M, 111 111.f;z

1,=-f I.=~" • a

1, Iz. .

,d (M,Q.9 P P) . KI,Q'lQ~ H 1,1': .l',t. d (M.Q.) Kl.Q.1 41.1°.85" a _ H (.!L)fa---=a-1il- a-1-a dt --g;- ~ (P, - Pa)a

DH? • L.dL 9a O .8 L,

8//ant de for-te, tlrutul f Bilanţ do forţe, 6raţul' 2, '.' . ,

q" P, f. Pa 1(.d:; ~ G(q, - Ib)

1/ Echilibrul 1, de preSii/ni .

Fig. 7.8. (\-\odel lH'ntru ::î,btClllUl de pOll1pale din cXt:~-nplul_ 7.8.

/REGIl\I HIDRAULIC TRA;:~ZITORIU 196

Fig. Î.9. Schcm;j de pompare' pcntrll exemplul 7.4.

T

o

li

oîn care N - viteza de rotire;NI - torsiunea si 1= momen-tul rotorului. '

Torsiunea este funcţie de viteză şi de debitul prin pompă. ~

Exemplul 7.4 (4.4)Fig. 7.9 arată un ansambl u

de pompe, dispuse În douăgrupuri R (În exploatare con-tinuă) şi T (În exploatare,iniermitentă) care pompeazăapă printr-o conductă care se'separă În. două braţe L, şi L,.Dacă la un moment dat (1=0)grupul de pompe T se opreşte, .prin Întreruperea energiei dealimentare a motorului care

. acţionează. pompele, mişcarearotorul ui pompei se Încetineşte~iapoi î~i inversează" sensul.Ecuaţia care descrie rotaţiapompei în exploatare intermi.,tentă este:

I 2 NTP = MTPCI

\

J96 . CURGEREA FLUIDELOR

Dacă presiunile de descărcare a braţelor L, şi L3.şi presiunile de aspirare aletuturor pompelor sînt egale cu presiunea atmosferică Ho, ecuaţiile pentru bi-lanţul de impuls din fiecare braţ sînt: .

o dQ, =-H -H +H +S -KQ IQ 10.85ag .elt 1 o P _ 1 1 1 1

L, dQ, _ (H . H) 5 K Q 1. Q 10•85- -\ - -~ 1 - o - 2 - 2 2 2ag dl \

o dQ, = (H, - Ho) - 53 - K 3Q31Q,I 0.85ag dl .

Cele opt ecuaţii şi opt necunoscute (Q" Q" Q3' NTP, QTP' MTP' Hp, H.)trebuie asamblate Într-un model acceptabil. Dacă se urmează schema generală,arătată În fig. 7.5, debitul Q, va fi stabilit prin fiecare din ecuaţiile de bilanţ ale-impulsului. Ecuaţia mişcării pentru pompele frînate stabileşte viteza N Întru-cît torsiunea impusă controlează variaţia de viteză.

MŢP-+ M.--j dNxp -NTPTP---: M

Următoarele patru ecuaţii pot fi scrise astfel:a. presiunea-de pompare

Hp = QTP'f, (NTP)QrI'

H -N' "f (Qu)p - 'l'p 1 -,-.A, iT'

b. debilul prin pompele în funcţiune

~I Q,p = f(H p) I~Q"p

Celelalte dou;; ecuaţii de "continuitate"

.. Q, = Q, + Q3,Q, = A .Q"p + B.Q,-p

se utiliiează pentru.a determina pe H, şi Hp, Întrucît în sistemul real pre-siunile se echilibrează automat pentru a menţine continuitatea. Modelul esteasamblat În fig. 7.10.

In rezolvarea unui asemenea model" pot interveni dificultăţi rezultînd dinnecesitatea unui timp de rulare pe calculator excesiv, deoarece pentru obţinerea

. presiunilor H, şi Hp din ecuaţiile de continuitate se recurge la programareade ecuaţii diferenţiale r;;u condiţionate. Se poate efectua o rearanjare similară.aceleia descrise În exemplul 7.2, utilizînd ecuaţia forţei pentru braţul 1 pen-

REGIM HrDRAULIC TRANZITORIU

Hp

Hp = <?Tlf,(Z~:)Hp = NTlfi(f~:)

197

\

Bilanţul forţelor, braţul L31,'!!Q'( \ S/(.I 'loN- rit = Hf - HOl - 3 - 3f(J 93ilS , .

qJ

H, B/lanţul forţelor braţul L2~~.~ (J/, - Ho) - S2-K2q~q21'.85

Ech!IÎb~u presiunilordJ/, ( ).<it-a Ih-R,-Q,

H,

8J/;;ntu/ fortelor, bratul fL, dQl " 'n I [085ijtlf:'= Hp - H, - Ha+ S, ,- K''f.1 f;, .

'J!1~ In!"IInctf(Jne9RP- j(Hp)

H .EchJ!itJrl1/ presiunl/or

f,Hp,,", (A.q.•p+ 8.qTP~ Q,),G

H

qTP

NTP

Vitezăt!!!.re1 dt =MTP

Tors/uneapompe; frini1te

MT =Hrik(~;~MTII= 9t14(~~~)

Fig. 7.10 .. Modelul sistemului de pompare din exemplul 7.4.

198

Rezervor

CURGEREA ,FLUIDELOR

Fig. 7.11. Schemă pcntru problema Jlf. 1.

tru a determina pe H, întrucît Q, = Q, + Q3 (şi dQljdt "" dQ,jdt + dQ,jdt),şi utilizînd ecuaţia pompei în funcţionare continuă pentru a determina pe HP.

ţinînd seamă că QRP se poate obţine din QRP = (Q, - B 'QTP)ljA. Prin exe-. culii la calculator se pot rezolva ecuaţiile şi se pot reprezenta grafic în funcţie

de timp variabilele ce interesează, ca deb~tele, viteza oompei N TP şi presiu-nea fip•

~ JProbleme

1. Un rezervor deschis alimentează apă printr-o conduclă lungă la un vasînchis, comprimînd spaţiul de vapori al acestuia. Intrucit linia de alimentareare un diametru mare, impulsul apei este apreciabil.şi va deplasa nivelul pestevaloarea de echilibru efectuînd o' comprimare mai avansată a gazului dininte-rior. Să se elaboreze un model matematic prin care să se definească presiuneatranzitorie creată în vasul închis (fig. 7.11) Admitind că se instalează.un robinetpe ieşirea din rezervor pentru a reduce debitul şi a evita formarea unei pre-siuni excesive în vas, să se precizeze modul în care se introduce acţiunea aces-tui robinet în modelul procesului. .

2) Un reaclor este alimentat dintr-un depozit cu o pompă centrifugală(7-12, a). In anumite condiţii de lucru, se bănuieşte că au loc pulsaţii în conduclade fluid, care leagă pompa cU.reaclorul. Un regulator de debit menţine constantdebitul de la reaclor care, în partea de deasupra nivelului de lichid are un spa-ţiu de gaz închis. Se cunoaşte relaţia intre debitul şi presiunea pompei (7.12, b).Să se elaboreze un model al acestui sistem, care, prin simulare pe un calcula-tor, să releve faptul că pulsaţiile sînt provocate de interacţiunea pompei şinerţia fluidului din conducla de alimentare.

Reactor

j:f ,"'UU'". £ll1,/J?«,,2~

D~M~ -a

Fig. T12. Scl1emă pentru problema nr. 2.

'p,

Carc1curisticelepompe;

REGIM I-UDRAULIC TRA.NZIT9RIU 199

Absorbitor

Separator

-m

•Il

AlJtoc/avă

Fig. 7.13. SchemiÎ penlru problema nr. 3 .

. 3) La finele ciclului de reaciie dintr-o autoclavă (7.13) se Închide robinetulpe linia de vapori I şi se deschide robinetul pe conducta de lichid II pentrua permite conţinutului de lichid al' autoclavei să se descarce spre seJfarator.Spaţiul de vapori al autoclavei conţine numai vaporii Iichidului din vas la pre-siune ridicată. Pe măsură ce autoclava se goleşte, presiunea se reduce, avînd.loc, în acelaşi timp, o coborîre a tempe~aturii Iichidului. Volumul separato-rului se umple iniţial cu un gaz inert, la o presiune sub aceea a autoclavei.Lichidul fierbinte, care trece prin robinetul II, se evaporă parţial brusc, cîndiritră în separator. Vaporii formati antrenează gazul inert din separator .înabsorber, în care sint reţinuti, intr-un solvent, toţi vaporii. Gazul inert trecedin absorber prin robinetul II l. Admitînd că spaliul de vapori din separatoreste bine amestecat tot timpul şi neglijÎnd zestrea de lichid de la fundul sepa-ratorului, să se elaboreze un model matematic care să definească variatiile depresiune din absorber şi debitul de gaz prin !"obinetul III. Se admite că pier-derea' de presiune prin separator şi prin absorber sînt neglijabile, iar debiteleprin robinet sînt sub valoarea critică (sonică).

4. Dintr-un rezervor se pompează la uT!reaetor, în mod continuu, un metaltopit (fig. 7.14). Presiunea în reactor este PR, iar în depozit Po' La timpult = O pompa se opreşte, dar din cauza impulsului masei în curgere scăderea

r

oJ----~ 1.i. L,.PR

Rei/ctor b

l,_. L2~

PaOCPOlit

Fig. -1.14. Sistemul de pompare pentru problema nr. -4.

•

200 CURGEREA FLUIDELOR

debitului se produce într-un interval de timp oarecare. Este posibil ca atunciCÎnd masa de lichid din braţul (b + L,) îşi inversează sensul de curgere să seproducă un vid la punctul D. Cind masa din L, işi inversează sensul de curgere,din cauza lui PR, masa de fluid va. lovi porţiunea E CÎnd braţul (b + L,) şi-agolit porţiunea b din conductă. Aceasta ar putea produce o rupere a coloanei.Presupunînd că coloana de lichid se rupe la capătul dinspre reactor şi că rezis-tenţa pompei cu rotorul oprit este propo.ţională cu viteza V, că se elaborezeun mQdel'matematic care, prin rezolvare la calculator, să ,ăspundă la urmă-toarele probleme: . .'~. 1. Care este masa de. lichid' în braţul L, care se intoarce înapoi.

2. In ce poziţie Va fi masa (b + L,) în momentul în care L, loveşte E.Date.a = secţiunea conductei;. p ~ densitatea metaluJui lichid;b, .i;, d, ~ elevajiile arătate În fig. 7.14;b, L" L, ~ lungimea conductelor arătate în fig. 7,14; .1

FB factorul de frecare pentru conductă;FR - factorul de frecare pentrurotorul pompei la oprire.

\

Notaţii

A Numărul ~ompe'or in functiune (exem-plul 7.4), secţiunea rez-ervorului (exem-plul 7.2)

a Sec.tiunea. cond udci (ft7)B Numărul pomp~lor cu funcţionare in-

termitentă (frînată)Cv Constantă de debit a robinete-Jor'D Diametru] conductei (it)O Factor de amplificareg . Acceleraţia gravitaţiei (32 ft/sec!)H Presiune exprimată în coloană de li-

chid (it)'" hf Forţa de frecare

I Momentul de inertie

•BIBLIOGRAFIE

K Factor de. frecareL Lungimea conductei (It)L Lungimea coloan2i de ,apă (ft)M Volumul de gaz În moli (exemplul 7.1);

masa de apă În I.ivre (exemplul 7.3);torsiunea (exemplul 7.4)

N Viteza de rotireP PresillJlca (indice U pentru amonte şi

D pentru aval)-Q Debitul, masă/timp5 Niyel (it)

Timpul[' Viteza fluid ului (ft/timp)t' Densitate (lb!ft3)

1. ,,J'-lathematica! Description oi Gas FIo\\' Processes for Control Purposes", G. V. Schwent andW. K. McGregor, ISA J., Aug. 1956.

-2. "Evaluation of Pipeline Networks", R. J. H~l.Hn,~. L. McIntire and. K. L. Austin, Chem-oEng. "Progr. Sy,'!p. Ser., 56, No. 1, 1960.

REGIM HIDRAlJLIC TRA~ZTTORIU 201.3. "Digital Computer Soll1tion oi Gas Dislribution,Systcm Net",ork Fio", ProbJems""D. V. Knic-

bes and G. G. Wilson, Chem. Eng. Pragr. Symps. Ser., 56, No. 1, J960.4. Analog Computer Soluiion of a Complex Transicllt Hydraulic Problem in the POWeT lrldusiry.

E. H. Taylor, A. Reisman, E. C. Dcl<:nd cind H. H. Baudistel, A~ME Paper 60-WA-5, 1961.5. Pressure Surges Following 'Fater Co!{(;,W Separa/ion, J. T. Kephart and K' Davis, ASMEPa per 60 WA-120, 1961.

6_ Computer Representlltions of Engil1eering Sysfems Jnvoluing Fluid Transiellts, F. D. Ezekieland H_ ~\. Paynler, M.I.T. H-3 P-IO, 1956.

7. "Simu!ation of Plug Flo\\' Systems", S. J. BaiI, Inst. Control Systems, 36.S. "Model Simulation of Uni-Directionat Fluid Dynamics", D. Childs, Simulation, 3, No. 3, 1964.

•

••

•

8.•

OPERATII ÎN TREPTE

Fig. 8.1. Schffi1ă de pdndpil1pentru separarea în dot:ă

fluxuri.

Capitolele precedente' tratează procese efeeluate în vase bine agitate,care sînt complet definite printr-un sistem de ecuaţii algebrice şi diferenţiale.] n procesele chimice intervin însă adeseori reacţii sau separări care se efec-tuează într-un număr de trepte sau în etape interconeelate. Cel mai obişnuitexemplu de acest tip îl constituie coloanele de distilare in care fluxul de. vapori şi de lichid în contracurent ajung în contael pe o serie de talere. Inacest capitol se va arăta că modelul pentru o succesiune de trepte identice'este constituit dintr-o repetare, de un număr de ori, a modefului elaboratpentru o singură treaptă. Bibliotecii DYFLO, elaborată în cap. 5, i se voradăuga cîteva subrutine suplimentare, care sînt în mod special adaptatepentru simularea operaţiilor în trepte ..

8.1. SUBR,UTINA SPUI (J, 1(, M, RI(J)

Rutina aceasta se utilizează în cazurile în care un flux j (fig. 8.1) sesepară în două fluxuri (K şi M) fără schimbare de entalpie şi fără schimbarede fază. ,.Separarea" se defineşte ca raporlul debitulu( din fluxul K la fluxul

de alimentare J, adică RKJ. Rutina arătată Înfig. 8.2, a cuprinde următoarele argumente în listade parametrii: J, numărul fluxului de alimentare;K şi M, numerele f1uxuriror de ieşire şi RKJ,raportul dintre fluxurile K şi J. Utilizind acestraport rutina stabileşte debitele fluxurilor K şi M(liniile 3 şi 4), apoi transferă în veelorii K şi Mdin STRM toate valorile temperaturilor,. ental-piilor şi compozitiilor din fluxul de ălimentare J(secventa 5 ~ Il).

(al

, 1 •2 •3 •4 •5 •6 •7 •8 •••10 -11,.ll_13 _

SUBRUTINA SUM (I. J, K. L)

SUB~OUTINE SPlIT(J,K,M,RKJ) .COMMON/CO/STRM{300'2~l,DAT.(20,10).RCT(22).NCF.N~L.LST~5TRM(K,ZlJ = STRMlJ,21l • RKJSTRMIM,21J = STRM(J,21l .5TRM{K,Zl)STRM(Mr22) = STpM(J,22lSlRM(K.22J = STRM(J,2ZlSTRMeK,23} = STRM(J,23)5TRM(M,23) = STRM(J,23)

.00 '5 N = NCF-'.NCLSTRM(K,N) = STRM(J,NJ

5 STRM(~.NI = STRM(J,N)RETuRNENO

203

Fig. 8.2, a. S,ubrutill<! SPLIT.Lista argumenteJof: J = mirh;irll! i1uxuhli de <llirnentarc.; K = numărul fluxului de ieşire;

M = numărul fluxului de ieşire; RKJ = fJportul K/J.

8.2. SLJB.RUTINA SUM (1, J, 1(, L)

Rutina SUM se utilizează pentru a aduna conţinutul a două fluxuri Işi J pentru a creea un al treilea flux K. Procedeul constă în adunarea debi-(elor (linia 3, fig. 2.8, b) şi stabilirea unui bilanţ pe fiecare component (li-nia 5) adică:

în care; Fi = debitul lui i, iar X, = compoziţia iluxului i. Entalpia fluxuluide ieşire K se obtine însumînd entalpiile de intrare (linia 6) şi împărţindprin debitul total (linia Îl. După ce s-au stabilit astfel entalpia moIară afluxurilor şi compoziţiile, se obţine temperatura, făcînd~apel la subtulinaTEMP pentru fluxul K. Elemen(ul 4 al listei de argumente, a rutinei SUM,este L, care specifică dacă fluxul de ieşire K se găseşte în fază lichi dă. (L=3)sau În fază de vapori (L = O).

1 •2 •,., .5 •b78q •10 •11 •

SUPPOUTINE SUMII'~."'L)CO~~OlllCO/ST""( ~oo. 24, • DATA1i'n. 101. f1CT (22' • trer: . t!,L. LSTR5TR~(K.2t' = STRM(I.~!I • 5rRHeJ,211DO S N - NCF,NCl .51RMIK.~1=ISTRM{l.21l*STRM(I.NI.~TRM(J.21}.STRMtJ.Nl"STRM(K •.,l)

5 CONTINUEENl'~=5 1R•.•.( 1 .23 J .5TR"H 1 ,211 .STRM(•.,1,23 hSTRM( J,21)STRM1K.23)=(NIN/5TR~(K.21)CA,L\. .• rEMPtK,LlR(lURN[NO

Fig. 8.2, b. Subrutina SUM.Lista argumentelor: 1= numărul- fluxului de intrare; J = numărul fluxului de intrare;

K = numărul i1uxului de ie~ire; L = faza: lichid = 3,' vapori = lJ.

•

1 ..__

. 204 OPERAŢII IN TREPTE

8.3. EXEMPLU: EXTRACŢIE ÎN CONTRACURENT

Primul caz care va fi examinat, constă dintr-o serie de vase cu ames-tecare, cuprinzind fiecare o secţie de separare, permiţînd curgerea irt contra-curent a doi solvenţi şi amestecarea lor intimă În fiecare treaptă (fig. 8.3).-Ceea ce se urmăreşte prirt această extracţie lichid-lichid este să se concen-treze un solut, delaconcentraţia XaF În solventul a, la concerttraţia Xp, În sol-ventul ~ şi să se reducă solutul în solventul a la o concerttraţie cit mai micăposibilă_ Fiecare treaptă este numerotată de la 1 la N; o treaptă oarecareeste desenmată prin n care -apare şi ca indice al compoziţiilor (Îig- 8.4).

In cazul general al unui sistem dinamic, care se consideră aici, debiteleşi compoziţiile in orice treaptă variază cu timpul. Se admite că În fiecaretreaptă se realizează echilibrul Între cei doi solvenţi, În conformitate cu

coeficientul de distribuţieD = xp •. Tratarea acestui caz nu necesită decit douăXo:n '

ecuaji; .. Prima dintre acestea este un bilanţ de masă pe componenţii ambelorfaze:

variaţia conţinutului de solut ~ intrare-ieşire

~ [(H.X.B) + (HpXpB)] = (L.X.n_I + LpXpB+,) - (L.X" + LpXp.)dt -

. A doua este ecuaţia de echilibru

X13n = DXa'l

Ecuaţia bilanţu1ui de masă pe componenţi se va utiliza pentru a obţinepe X,. sau XPB şi anume pe acela care este mai mare. Dacă sint de acela,şiordin de mărime, oricare poate fi ales pentru soluţionare_ Pentru cazul 10speţă să admitem că Xp• are valoarea mai mare. Ecuaţia de echilibru sefoloseşte apoi pentru a obţine cealaltă variabilă X.B_ Modelul pentru treapta

Solvent fJ

If-,:-, .

: ',:'::.:-"Sectl"8 d/::' .:~::.::;. amestecare':.-''". . : ", . " : '.' . - .

Sectia deşefJimel?tcirc

Fig. 8.3. Schema p~ntru extracţia in contrac~rent [ntr-o si'ngură treaptă.

r,-

EXEMPLU: EXTRACŢIE IN CONTRACURENT -

11 este arătat în fig. 8:5, iar diagrama generalăpentru întreaga serie de trepte este arătatăîn iig. 8.6. .

Pentru' operaţiile simple în regim sta-ţionar derivatele din ecuaţia diferenţială'sînt egale cu zero iar ecuaţia de mai susse reduce la :

Tropt.

205

Pentru N" trepte de operare in regim F' 84 T t d t t'Ig. .. reap a n e ex rac,le.stajionar#relaţia globală intre XoF şi XP1poate fi obţinută prin combinarea ecuaţiilor,' obţinîndu-se o singură ex-presie, care cuprinde raportul intre fluxurile de soivenţi' LoILp, numărul totalde trepte N şi coeficientul de distribuţie D. Reducerea aceasta la un. cazsimplu este caracteristică pentru abordarea problemei prin analiză convenţie-nală. Tehnica elaborării modelelor pe calculator permite însă tratarea siste-melor de complexitate mai mare. Spre exemplu, să presupunem că un com-ponent. C se obţine prin reacţia .

A + B '" C + D,

B/li1nţ de masăJ treapt.J fi

Xţ;n 1

Repadiţia 13't'chlliIN'tl

Fig. 8.0. !!\Jd~lp2ntru treapta d,e cxtracţ!2 n.

, x••2 Xetn--1

TreiţPf;an

XIJn+1

X~n

x'"Xd,H-t

oTreapta

fi X<;(rt

Fig. B.G.Fluxuri de extra-:ţi'2. d~ la treapt~ 1 la n.

206 OFER"'" ŢU IN TREPTE

X'D =-.5!!xc"

care are loc În solventul 0(. cecontine un catalizator. Din ceipatru componenti ai sistemuluinumai componentul C este solubilîn solventul ~, avînd coeficientulde distribuţie :

L"

Treapta n

XAn.' xAnXS17.' XSnxCn-1 XCnXO,,_1 xDn În care' X~n reprezintă fracţia

Fig. 8.i. Fluxuri pentru trc<~pb de re(lcţie n. molară a lui C în faza ~ şi XClI

-,. este fracţia moI ară -În faza c/..In mod analog exemplului precedent se poate sintetiza un model, pentru

un sistem În contracu.rent în trepte din .consideraţii asupra treptei generale n(fig. 8.7). Ecuaţiile pentru această treaptă sînt următoarele:

1. Viteza de reacţie. în faza O(

R = H,(kFX.,XB - knXcXv)2. Bilant de material al componentului A

acumulare = flux de iiitrare - flux de ieşire - reacţierI-;-. (H,XA) = L,XAn_1- L,X ..,,, - RGt

(8-1 )

(8-2)

.3. Bilanţ de material pe componentul. Bddt (H!XX nil) = LaX lin."..] - LrxX Rn --:- R (8-.3)

4. -Bilanţ de material pe componentul C (ambele faze O( şi .~)d -rit [(H,Xcn) + (H~X~n)J = L,XCn_1- L,Xcn+

+ L~X~n+1 - L~Xbn + R5. Bilanţ material pe componentul D

rIrit (H,X)),,) = L,Xn,,_, - L,Xv" + R

(8-4) .

(8-5)

6. Distribuţia la echilibru a componentului C

X~n = DXcn (8-6)

Ordonarea acestor ecuaţii este arătată sub formă de model in fig. 8.8Modelul este foarte simplu, deoarece pentru stabilirea concentraţiilor se .utili-zează bilanturile materiale pe componenţi. Dacă constantele vitezelor de .re-acţie k,. şi kR şi coeficientul. de distribuţie D sînt funcţii de temperatură,modelul, arătat în fig. 8.8, reprodus pentru n trepte şi programat pe cal cu-

Viteze de {'[!act'"

XAn-1 - XAn kF .!"lBilanţ de masa kF = iF(Tn)pe componentul A ,,

I,R ,,,,

Xen-1 Bilant de masă. X

8n kR kR = i.(Tn) .!il~pemponentul B + *

,,,R : Tn

R - H,ikFXAnXen- kRXcnXDn) :..---,,

.XDn-1 . Bilanţ de masă t Viteza d,CJ reacţie :..pe componentu/ O Xon

,,•XcXo,

lR:Xcn ,

Repartiţie •XC~-1Bilant de masă XCn D D = fo(Tn)

X;n+~ pe componentul CXcn' = DXCn

1 XCn' I f!nef'IDientu/ de

Fig. 8.8. Model" pentru treapbl de reactie IL

u.•.

208

x~-1

XAn-2X8n-2XCn-2XOn-2

OPERAŢII IN TREPTE

Tn_1 Tn Tn-1

XCn' X~I1+1 X~n+2

Treapta . Treapta Treaptan - 1 n n + I

XAn-1 XAn XAn+1XBn-1 X8n Xsn+1XCn-1 Xcn XCn t1Xon-1 Xon X c.n+-1

rig. 8.9. FLJxuri pentru treptele li - 1 la 11 + 1.

"2.,. C

••,.D'H8.9.

10'11.12'13.

lator,. poate'fi utilizat, prin încercări succesive; pentru a optimiza condiţiilede temperatură ale fiecărei trepte, astfel încît să se obţină un randa1]1entmaxim (fig. 8.9).

8.4. PROGRAMUL DE CALCUL

Prin utilizarea' structurii DYFLO introdusă in cap. 5 se poate programaprocesul de extracţie cu modelul din subcapitolul 8.3, aducînd. doar puţinemodificări. Intrucît acull1ulările H" sînt constante, se pot calcula bilanţurilemateriale ale componenţilor astfel:

-!.I (X ) = [.(X"., - X,,,) ~ Rdt .111. Ha

în care i se referă la cOll1ponenţii A, B şi D. Pentru obţinerea cOll1ponenlului Cse substituie ecuaţia 8-6 în ecuaţia 8-4, efectuîndu-se transformarea

.'!._(H.Xc" + HeX~") = i. (H.Xc" +H,DXc,,) =dt dt .

" d "= (H. + DH~) dt (Xc,,) 10 care~ (X ~n) = LJ.{X (7,,_1 - Xc,,):- LIJ~X~n+1 -- X el>} + R

. . dl h.+DH~ .Programu( va' consta dintr-un program 'principal care iace apel la două

subrutine: REACT şi STGR. Subrutina REACT este arătată în iig. 8.10.. SUBROUTIIJE REAeT 1,;0. HA 1:COMM6N/CO/STHM(300.2~I.OATA(20.'OJ.RCTf22),NCF.NCL.LSTRDÂTA A~,RR,AF.BF/ •••••••••••••••••••• JRT:l.9S.STRM(,JO.221RK=A~.EXP(BR/RT}RF=AF*EXPIBF/RT)

. R=HA .• (FK*STHM {JOI' t.J.S TRM(JO. 2) -RK.STRM (JO, 31.STR"I(JQ, ~ l ,RCT( t )= ••RRCT(2):-RRCT(,3):RRC1(fl)=RRETURNENO Fig. 8.10. Su!lrutiiw R EACT.

1*'2-~-.- C5_.-7_e-9_10*- .11*12_1~_1._

PROGRAMUL DE CALCUL

Q

SU8ROUTINE STGR(J1, 11,...10, IO"HA ,H8)COMMON/CO/STRM(300,24) ,OATA(20,10) ,RCT(22),NCF,NCL,LST ROIMENSION XA(lO),yA(lO) .DATA XAi ••••••••••• /YA/ ••••••••••• /O:FUN1(STRM(JO,22),lO,XA,YA)STRM(IO,4)=O*STRMtJO,S)00 5 J=l,J ~DX=(STRM(Jl,21'.(STRM(Jl.J'-STRMtJO,...I,)+RCTt~»/HA

5 CALL INT(STRM(JO,.J) ,OX) .OX4:(STRM(Jl'21)*(~TRM(.Jl,4)-STRM(~O,4))+RCT(4)+1 STRM(Il,21'.lSTRMeIl,4).STRMtIO,4»)/(HA+O*H6JCALL lNT(STRM(~O'4),DX4'RETURNENO b

Fig. 8.11. Suhrutina STGlt

209

•

Fluxurile de intrare şi ieşire la treapta N sînt simbolizate după cum searată.în fig. 8.11 a. Argumentele pentru REACT sînt: numărul fluxului dinfaza (1. care părăseşte treapta N şi acumularea H. din faza (1.. Temperaturacunoscută a fazei de reacţie se plasează În STRM (lO, 22), în programulprincipal. Plecînd de la această temperatură subprogramul calculează coeficientiivitezelor de reacţie RK şi RF şi viteza de reacţie R. Introduce apoi aceastăviteză cu semnul adecvat în matricea RCT pentru fiecare din componenţiiI ~ 4 corespunzător componenţilor A, B, D, C. Această v.iteză se întrebuin-ţează ca flux în subrutina STGR arătată În fig. 8.11.

In lista argumentelor. subrutinei STGR s-au introdus simbolurile pentrutoate patru fluxurile corespunzătoare treptei N, precum şi pentru acumulareamaJară a ambelor faze HA şi HB. Coeficientul de distribuţie D este expri-mat ca o funcţie arbitrară de temperatură (linia 5).. Compoziţia lui C înfaza .~ (STRAI '(10,4) se calculează ca valoare de echilibru corespunzătoarecompozitiei fazei" (linia 6). Derivatele bilanţului de masă al componenţilarse formează prin linia 8 şi se integrează În linia 9. Derivata componentului C,de asemenea prezentă În faza ~, avînd O formulare diferită, se calculeazăprin linia 10 şi se integrează În linia 12. .. .

. Fig. 8.12, arată succesiunea numerotată a fluxurilor din treapta întîi, dintreapta ultimă (NT) şi din treapta generală N. Se va observa că integrarea

Fig. 8.12 .. Succ~siul1ea numărului liniilor pentru reactoare în trepte'.

14 - Modelarea şi simularea în ingineria chimică _ cd. 29

I

•

OPERAŢlI :Il\"TREPTE

1* C •• INITJATlON SECT10N ••.2. COMMON/CU/ST~M{300 •.2q, ,DATA (20.IDJ .RCT(22) ~NCF,NCL..LSTR3- LOGICAL ~F~. C DATA HA,HB.DT,NT.NC~,NCl/ ••••••••••••••• /5. DATAISTRM(J.211.~=1.11)/11.10./6_ OATA(STRM(J.221.~=1.111/11.363.17. GO TO 78_ C •• DERlvATIVE SECIIQN ••q. 6 DO 5 N=NT,2,-1

10- CAll REACT(N,HA)11_ 5 C~Ll STGR(~-1.lOO+N,N.99+N,HA.H8112. 7 CALL pRL(I.,lO"o,t'IoF'.NT.tOI,2.3.u.5't1"'8,9.105113+ IF{NFl GO Ta 8l~. C•• [NEGRATION SECTImJu15_ CALL [NTlfTIM.DT,q)16. 60 Ta 617_ 6 STOP18. END

Fig. 8.13. Progr<lnlul principal pentru extrador în trepte În contracurcnL

•pentru fiecare component este cuprinsă în .subrutina fiecărei trepte. Pentrua ordona în mod corespunzător succesiunea integrărilor este"necesar să se scriesecvenţele de progranl într-un sens invers fluxului fizic al iniormaţiiloLÎntrucît partea cea mai mare a informaţiilor este trecută din treaptă în treaptăcu compoziţiile iluxului 0:, succesiunea de apeluri din programul principalva ii de la treapta NT la treapta 1. Compoziţia C din' iaz a ~ urmează suc-cesiunea programului. Întrucît însă aceasta se calculeaz" prin STGR pentrufiecare treaptă, Înainte de a efectua bilanţul material pe componenţi, eatrebuie să urmeze o succesiune corectă ..Programul principal pentru acest proces este arătat în figura 8.13. Dupăterminarea secţiunii de iniţializare calculul continuă cu imprimarea şi integrareavariabilei independente, INTI, care stabileşte contoarele de trecere şi de apelpentru' totale integrările următoare înglobate În subrutina STGR. Se treceapoi la sectiunea de derivare unde se "face ape1.succesiv la rutinele REACTşi STGR, de la ultima treaptă NT la prima. Rutina de imprimare PRLva imprima compoziţiile în fluxurile de ieşire NT şi 101, precum şi ,inelefluxuri intermediare. Intrucit cazul acesta s-a tratat numai pentru a evidenţiatehnica de prognimare, nu se dau rezultate numerice.

8.5. COLOANE DE DISTILARE

Distilarea în coloane de fracţionare reprezintă, probabil, cea mai comunăoperaţie unitară în industria chimleă şi de prelucrare a petrolului. Constituiede asemeni, un exemplu tipic al unui sistem pentru separarea în trepte,în contracurent. Din cauza operaţiilor caracteristlee pe care le implică, tra-tarea acestui sistem poate să creeze uneori dificultăţi considerabile, Complexi-

•

[COLOANE DE DISTILARE 211

RezitiilJu

Produs---+-

Conde/7$iJtortotal

c.w.=(;3,

Reflux~

-Fracţie /3teral.i

----B

--Fracţie l~tel'iJli

Alimentarea 2-07-------

I,•1,1,1

Fig, 8.]4. Coloană de distilare cu două alimcnt:l.ri şi două fracţii laterale.

tatea coloanelor de distilare poate să varieze de la o separare simplă binară,cu un reflux molar constant, pînă la un sistem multicomponent neideal, cureacţii în fiecare treaptă, cu alimentărişi cu fracţii laterale multiple (8-14).

Procedeul care se adoptă pentru a defini modelul matematic dinamic (inopoziţie. cu. modelul în regim staţionar) pentru coloanele de distilare constăîn a stabili modelul pentru o singură treaptă şi al reproduce, în calculator,pentru toate treptele din coloană, incluzînd, de asemeni, dispozitivele cuparticu.larităţi, cum ar fi talerul de alimentare, refierbătorul şi condensatorul.Exemplele următoare tratează ecuaţiile dinamice pentru o treaptă generalăîncepînd cu un amestec binar simplu şi trecînd la cazul mai complex aldistilării sistemelor neideale multi componente.

212

.,

OI:'ERAŢII IN TREPTE

TrreaptiJn

v"t Yn, fC:J:brU

"

f Vn-II Y,,-JFig. 8.15. Treaptă de echilibru pentru o coloană de distilare .

• Distilarea binară

Prima aproximare care se face uzual în simularea coloanelor de distilare'Constă în a defini coloana prin numărul de trepte teoretice. O coloană cu20 talere, avînd o eficientă a talerelor de 70% poate fi reprezentată printr-o<:oloană avînd 14 trepte, echilibre, teoretice, fiecare treaptă avînd o acumularede (1/0,7) X acumularea/taler, în coloana reală. Fig. 8.15 reprezintă schematicechivalentul unui taler teoretic, în care vaporii efluentului sint in echilibrucu reflexul care părăseşte treapta, ceea ce pentru un sistem binar, pentrutreapta 11, se poate exprima prin

Y, = fiX,)

Bilantul material al componenţilor ested . . •

dt (HX,) = V'-IY'-1 + L.+1X'+1 - V"Y, - L.X"

Admiţînd un reflux molar constant şi un decalaj neglijabil pentru fluxulde vapori rezultă următoarele ecuaţii :

V';_l = VndLn •,-= Ln+1- Lndt

Ecuatia diferenţială pune în evidenţă întîrzierea (,) care apare întrerefluxul care curge pe taler (L.+1) şi acela care curge de pe taler (L,). Va-loarea lui " constanta de timp hidraulică, se obţine din dimensiunile taleruluisi ale deversorului. Ecuaţiile de mai sus se aplică pentru fiecare treaptă, cuexcepţia talerului de alimentare, la care termenul FXF, al alimentării, apareîn 'ecuaţia bilanţului de masă şi cu excepţia refierbătorului (vezi fig. 8.16)pentru care bilantul material pe componenţi devine:

COLOANE DE DISTILARE 213

Bilant mularpe componl'nţi

Ln

fj,~,:mt m(l/arpel'.'imponen~"V H

BJ/3nţ termic

dH Lodt ,:; L, - Lo - V

Acumulare

Fig. 8.16. Fluxurile unei coloane cu N trepte.

214 OPERAŢn IN. TREPTE

variatia acumulării = fluxul din treapta 1 - fluxul de la bază - f(uxul de,vaporiza!.

şidH .-= L1- Lo-.vdl

iar debitul de vapori este = raporlul Între căldura introdusă În refierbătorşi căldura latentă de vapori zare, adică Il= Qj),.Această ecuaţie presupune cunoscută valoarea lui Q. Modelul pentru aceastăcoloană simplă de distilare binară esle arătat În fig, 8.16, În care detaliilesînt indicate numai pentru un taler. Valoarea debitului de la fundul coloanei L.constituie o conditie initială si este arătată ca un flux de intrare În iig. 8,16. -.' .

8.6, SEPARĂRI DE SISTEME~MULTICOMPONENTE

Un caz mai general de distilare il constituie separarea amestecurilor mulU-componente. Pentru fiecare bilanţ de masă pe componenji ecuatia are aceeaşiformă ca cea descrisă mai sus; pentru componentul i pe talerul Il

.~ (iXnLl1) = Ll1+1• iXn+l + Vn_1• fYn-1 - Lfi' iXn -.Vn .(y~dl

Relaţia pentru~compoziţia. vapori-lichid, pentru fiecare component estel:

v - [K.(T,,)] ( X)-i-/- n - -- i)'lIi 'n

. "n

in care K,(T.) reprezintă presiunea de vapori a componentului pur, y repre-zină activitatea şi ";, este presiunea totală' pe taler.

Sistemul multicomponent se tratează aşa cum s-a descris În capitol ul 5şi anume, ecuaţiile de bilanţ de masă pe componenţi dau compozijiile lichi-dului ,X •. iar ecuaţiile de echilibru definesc compoziţiile vaporilor ,Y. şitemperatura de pe taler T". Forma modelului acestui sistem În echilibru, dupăcum s-a arătat În cap. 4, este satisfăcătoate atît timp cit componentul cheieutilizat pentru stabilirea temperaturii poate li schimbat În diferite părţi alecoloanei. O trata're mai generală, în special aplicabi.Iă coloanelor de distilare,constă din a stabili temperatura prin bilanţul ~ Y = 1 arătat sub formăde model în fig. 8.17 şi descris în .cap. 5,

Ipoteza unui flux molar constant În care •. În condiţii staţionare, debitulmolar de vapori care intră în taler este egal cu debitul de vapori care pă-răsesc talerul şi, În mod similar, debitul molar de reflux care cade pe talereste egal. cu debitul de reflux care părăseşete talerul (condiţii staţionare), nuse poate aplica în unele cazuri de distilare, In asemenea cazuri se recurge la

'.

,>

SEPARĂRI DE SISTEME MULTICOţo.iPONENTE 215

_____________bnS b_~ t~~_~i_~~~kn~~__J:.~~JL~::_~-~,~"::-:----'1Kr 't",

,Bilanţ molar pecQmPt?nenţi 1

Bilanţ molar pe X2

componenţi 2

BIlant ma/ar pc X'Jnco;'ponenţ; 3

EchIlibru

Y1

= K!;r't)(,~

EChilibru

.Y~= Kg1'2X2~

EchIlibru

Y _ K3J"3X33----fi

Presiuneade 'Iapori1<, =fIJn)

EcnlfibrLf .

Y _ K.r*XWTi,n- T

)(~n

Bilant mo/artot;;/

Ln

l

.,Intirziere ..hidr3u/ic.i L .

dL': L L'"'r(j["= n- n

cnt;;/pii,lichide

'li=«, + p(rf1

Vn

"y,_ cnta/p,r, TnBilanţ - '"( vapori .termic 'fi = «i of. {j;,T" Yi.l.

Ln+1 Ll{lXitt+' -;-------=l~~~~----t~~-;-------r::;-~~:~i::-----,------------F------F:~----_o;

Fig. 8.t7. Model pentru treapta n a unui amest~ rnulticoiTIp~nent.

216 OPERAŢII IN TREPTE

ecuaţia bilanţului termic 'pentrl) a stabili debitul de vapori care parasec ta-lerul V,. Pentru a determina debitul de reîlux L, trebuie să se întrebuinţezebilanţul gen~ral de .masă. Ecuaţia de bilanţ termic corelează entalpia fluxurilorde mtrare Şl de ''''il re: .

ddt (H. T.) = Q"-l + q.+\- Q•.-q,

în care Q reprezintă entalpia vaporilor, q este entalpia Iichidului, iar H. re-prezintă capacitatea calorică il Jichidului de pe placă. Termenul de acu-

mUlare ~ (H.T.) este neglijabil faţă de fluxurile termice prin taler, Q, astfeldt _.' .

încît el poate fi de.obicei eliminat din ecuaţii. Entalpiile fluxurilor de vaporişi lichid se definesc în funcţie 'de ccmpoziţie şi temperatură, ca mai jos:

Q, = ,z, + ~,T

în care Q, reprezintă entalpia componenţilor.Alodelul complet pentru o singură treaptă a unui sistem cu patru compo-

nenţi este arătat în fig. 8.17. Forma modelului este' tipică pentru sisteme înechilibru: bilanţurile de masă pe componenţi determină compoziţia lichidului,iar bilanţuril~ de masă totale determină debitul de lichid (acesta este trecut' I

printr-un element de întîrziere care aproximează dinamica hidraulicii treptei).Ecuaţiile de echilibru vapori-lichid determină compoziţia vaporilor, i.ar bilanţultermic general stabileşte debitul de vapori care părăseşte talerul V•.

(8.7. PROGRAM GENERAL PENTRU COLOANEDE DISTILARE

In cele de mai sus s-au precizat relaţiile care descriu separarea sistelT,elormulticomponent. Pînă în prezent, s-au realiiat o serie de subruţine pentruoperaţii simple ca : evaporarea bruscă în echilibru, schimbul de căldură etc. ;În cele ce urmează se vor elabora, în completare, rutine care, asamblate, simu-leaza o coloană de distilare. Ceea c~ se urmăreşte este elaborarea unui prog;amcapabil să simulezecGmpodarea dinamică a unei coloane. Pentru coloana iriregim staţionar, programul va stabili profilul de compoziţii, temperat uri şidebile în lungul coloanei. Trebuie precizat că un program de,simulare cores-punzător modelul ui arătat î~ fig. 8.17, deşi satisface unele cazuri este prohi-bitiv pentru altele. Problema aceasta va fi examinată în subcapItolul următor.

ASPECT.E DE CONDrŢIONARE CARE APAR LA SIMULAREA COLO~>lu'l"ELOR 217

8.8. ASPECTE DE "CONDIŢIONARE" CARE APARLA SIMULAREA COLOANELOR

Lucrări anterioare din domeniul simulării numerice a dinamicii coloanelor.•de distilare' au arătat. o tendinţă supărătoare de instabilitate a calculelor [25).Din discuţia de la cap. 3 se 9tie că aceasta se datare9te prezenţei în sistem.il unorecuajii diferenţiale care au constante de timp foarte mici În comparajie.cu constantele ele timp dominate ale sistemului. Întrucît aceste constante de-timp variază cu condiţiile fizice elin interiorul coloanei,' rezultă că funcţiona.rea corectă a programului nu esfe asigurată În toate cazurile. Pentru arezolva situaţia, creată de o condiţionare deficitară se poate impune o va.loare mică a pasului de integrare" dar' aceasta conduce la timpi excesivide execujie pe calculator.. O soluţie mai satisfăcătoare se tratează mai jos.

Caracteristicile dinamice principale ale unei coloane de distilare sînt de.-terminate de acumularea 9i bilanţul tuturor componenţilor pe toate talerele,din coloană. Se elaborează un program general, prin care fiecare component.să poată fi obţinut in fiecare treaptă prin integrarea unei ecuaţii. di ferenţia]",.adică

Il', .F+,I t'?opta n' I11',.- .1L,

Ii = acumulareX = compoziţia IichiduluiV-= compoziţia vaporilor

"

sub formaEcuaţia aceasta se

dX" = (V"_XY7l_1-1-1."+IX,'+l).- \I"}',, -- L"X"de ' HÎntrucît se presupune că se stabile9te echilibru] Între Yn 9i Xn se poate

.defini o constantă de echilibru prin Y~/Xn = K". Substituina pe Y în ecuaţia

.diferenţială se objine:

dX" =='= (V,,_l}'''_l + L,,~~X"+I)- (\ltlIC+ C)X"dO H

poate rearanja ca să se pună

dX" = ~ (F, - Xn)de ~'În care constanta de timp .• este:

H.;='-----

F"K" + L"Această constantă de timp determină mărimea critică a pasulu'j pentru

>integrarea ecuaţiei diferenţiale. Se observă că expresia luÎ'" conţine acumulareatreptei Ii, debitul evaporat Vn 9i debitul de lichid L", variabile care sînt comune.

218 OPERAŢII IN TREPTE

tuturor componenţilor din coloană. Expresia conţine, de asemenea, raportul/(.între compoziţia vaporilor şi a Iichidului, care este specific fiecărui componenl.Valoarea lui /( poate varia În limite largi de la aproape de zero (pentru pro-duse nevolatile, ca reziduurile) pînă la valori .foarte ridicate (pentru gazeleinerte şi componenţii foarte volatili). O valoare mică a lui /( face ca "r ~ HjL.ceea ce nu constituie o: problemă, dar o valoare foarte ridicată a lui K faceca "r ~ O, producînd o constantă de timp foarte mică, ceea ce impune pro-gramatorului să specifice.o valoare .foarte mică a pasului de integrare.

In cap. 3. s-a accentuat. că abordarea corespunzătoare a acestor situaţii,de "condiţionare" deficitarii, nu constă în a executa simularea cu valorimici ale pasului de integrare; este mai avantajos să se elimine ecuaţiile dife-renţiale care au constantele de timp mici şi să se Înlocuiască cu ecuaţii al-gebrice. In cazul de faţă se procedează-după cum urmează:

L Se calculează /(, pentru componentul i (/(,= Y,fX, in treapta n)_2. Dacă K, este. mai mic decît 5 se calculează derivata şi se integrează. 3. Dacă /(.este mai mare decît 5 se obţine Yi algebrk şi X, la echilibru. (Limita K,=f>s-a ales în mod arbitrar) .

.Ecuaţia algebrică pentru obţinerea lui Y, se stabileşte simplu dintr.-unbilanţ pe componenţi pe talerul 11 în stare staţionară, adică (omiţînd indicele i)

O = intriiri - ieşiri

0= (L"t,X"+l+ V"tl Y"+ll - (L.X. * VnYn)substituind J(. = YnjX,,, se obţine:

Y. (!:..!:. + V1/) = Ln+1X1f+1 + VI1~lYn-lK~ ~

Ş', m final; Y. = (L,+,XH1 + V".,Y •• I)j(L,j/(. + V,) urmată deX.=Y"j/(._Interpretarea fizică a acestor ecuaţii indică în cazul unui compoiient relativ

volatil, că partea cea mai mare a debitului de pe talerul de desupra (Ln+,X.+»se. evaporă şi se reîntoarce, la treapta n + 1, în vapori (V.Y.) după cum

se arată în fig. 8.18. Explicaţiile .de mai susprivind micşorarea timpului de execuţie au

Treapta n+1 fost necesare pentru înţele"gerea subrutinelorcare vor fi tratate în continuare.

yn'£QlI'L xn~,~-

'"'O,'"c'J,Fig. 8.18. Evapor;ln~a bruscă Înechilibru' a unui componcnt

volatil.

8.9. SUBRUTINA STAGE

Subrutina aceasta -constituie În esenţă unprogram pentru modelul unei trepte al unuisistem niulticomponent, arătat in fig. 8. n.Pentru usurinţă s-au adus următoarele modi-, .ÎÎciiri la ecuaţiile de bazii;

r

IIJ

SUBRUTINA STAGE 219

1. Debitul de reactie RCT (n) este cuprins în ecuatiile următoare: alecomponentilor (RCT(n)), a fluxului total (RCT(21)) şi a fluxului termic{RCT(22)), după cum s-a procedat în subrutinele HLDP şi VVB<;:lILîn cap. 5.

2. Acumularea molară totală HL se consideră constantă, iar de "debalan-sarea" inlredebitele de intrare şi ieşire se jine seama în ecuatiile de bilantpe componenti şi în bilantul termic:.

d(JiL) = DHL = FLIN -V - LdO fi- fi-(8-9, a)

<!ebit,ul de ieşire al fluidului-

..?,- (L)dO '

DHL=--

HTG(8-9, b)

în care, debitul total de intrare FUi\! = L"+1+ V"'l + RCT (21) unde,HTC = constanta de timp hidraulică.

Bilanţul termic

Cantitatea de căldură intrată, HIN. se expr.imă prin

HIN = (VH,),.! + (Lh,.l"" + RCT(22) + H (8-9, e)

în care H reprezintă un flux termic suplimentar (în cazul cînd acesta este:necesar) care se aplică treptei. Un bilant. tcrmic corect pentru treapta n seexprimă prin

acumulare = intrare - ieşire

(8-9, d)

(8-9, e)HL dhL.+ hL' d(HL) ~ .HIN - (VI-! -i- Lh,)vdO dO, < < ••

Variatia acumulării este definită prin ecuaţia lui DHL (8.9, a). Introducînd'<lceasUi valoare în ecuaţia 8-9, e şi neglijînd primul termen H L. dh,Jd6 se<Jbţine după ordonare

În care HL= acumularea nnlară de lichid pe treaptă. Prin diferentiere se'Obline \

HIN - FLiN '" Iz,V" =' .. H,,- hL

care este ecuaţia programată în linia 9 a subrutinei din figura 8.20. Negli-jarea primului termen referitor la variatia căldurii sensibile este justificatădeoarece variaţia entalpiei lichidului dh Id6 este de obicei mică şi este greude obţinut, întrucît implică diferentiere, memorate etc. Deşi al doilea termen

220 OPERAŢlI IN TREPTE

ENTHL f-'''----,@

r---, 7 hL . dL

E~'L r-;.-IEN:;HV I~ Bilanţ termic vn 811i"'ţ mo/ar total d:: ~.~:. L';.-!Y -.::....... . "" . IJJ @ . ---- @ ---(@

Fig. 8.19. Fluxul informBtional pentru suurutina ST AGE.

hL" d (HL). de este de asemenea mic, nu se neglijează şi se include în bilanţ.întrucît este uşor de obtinut. Cazul în care nu se neglijează variaţia călduriisensibile este cuprins în subrutina STGH în subcapitolul 8-13.

Bilanjul pe componenţi

Plecînd de la definiţia uzualăAcumulare = intrări - ieşiri adie[,

~. (HL. X,) == (LX),+, + (VY)'_l + RCT(N) - (LX),,- (VY),. (8-9, g)!

se objinedupă -diferenţiere, substituirea lui d(HL)/de din ecuaţia 8-9, a şiordonare:

dX" (LX)"" + (Vl'j,_, + RCT(N) -- FLIN. X" - V"(Y, - X.) (8-9, h»dO HL _

In subrutina STAGE (fig. 8.20) primii trei termeni ai ecuatiei 8-9, 11 sîntînsumaţi în CNIN prin Ijnia 14.

Derivata de mai sus se. calculează pentru componentii care au raportuLHK (= Y IX) mai mic decît 5. Pentru componenţii avînd HK> 5 bilantuLse calculează algebric prin liniile 20-22, obtinîndu-se astfel valoarea momen-tană a compoziţiei vaporilor şi Iicbidului. Pentru a nu perturba secvenţa con-torilor de integrare, calculul se reia cu rutina de integrare INT,. punînd de-rivata (DERN) la ,O. _

Fig. 8.19 arată o schemă sumară a fluxului informaţional pentru subrutin",listată în fig. 8.20. Lista argumentelor pentru subrutina STAGE .este:

Il. numărul fluxului de lichid de la treapta n + l.12. numărul fluxului de vapori de la treapta n - 1.IL. numărul fluxului de Iicbid care părăseşte treapta n.IV. numărul fluxului de vapori care părăseşte treapta n.H. căldura externă sau sarcina de răcire.HL. acumularea (moli)HTC. constanta de timp hidraulică (aceleaşi unităţi ca şi debltele) ..

,TREAPTA DE ALIMENTARE, SUBRUTINA STGF 22t

1 • SUB~OUTIME STAGflll.12.IL,IV.~.Hl.HTC' ,2 • COMMON/CD/STRM{300,2~I,DATA(2~,lO).PCT{22),~CF.Nrl.lS~R3 • LOGICAL LSTR' - •~ • CAtl EQUILIIL.lvl5 • CALL ENTHLIJl)6 • CALL (NTHVIIV)7 • FLlN = STRMIIl.21) + S,TRM(12.21)+RCT,121lB • HIN = STRMlll.231.STRMlll.2I'.STRMII2'231.STRMIIZ.2IJ.H.RCTIlZ)9 • STRM(lV.21)=IHIN-FLIN.STRMIIL.2~1)/fSTRM(IV.23)-STRM,IL,2'»)

10 IF ILSTR) R(TURN11 • DL = IFL1N-STR~IIV.211-STRMrIL.21)I/HTC12 • 00 7 N = NCF.NCL13 • HK=STRM(IV.N'/STRM(JL,N)'1~ • CNI~=STRM(Il.21).STRM(Il.N)+STR~(12.21).STR~II2.NI+RCTl~)IS • IF{HK.&T.S,) &0 TO 5 . _16 • OERN=ICNIN-FLIN.STRMlll.N)-STRMfIV.21).ISTRM{IV.~)-STRMIIl.N'I"H~17. 7 CAlL INT,STRM(ll,N).O[RNl18. CAlt INT{STRM(ll'211'Oll19 • R[TVRN20 • 5 STR~(lV,NI : CNrN/fSTRM(IY,21)+STRMIIL.21J/HK)ZI • STRM(Il,NI:STRMeIV.NI/Hv22 • D(RN:O.23 • GO TO 7'2~ • ENO

Fig, 8.20. Subrutina STAGE.. Li~tti ,lrglilllcnielor: Il == num{lrul flllxt;lui de intr,uc lichid; 12= numarul flu:n;lui Il!:'intr<lre vapori; IL == numărul f1uxlllui de ieşire lichid; 'IV = numărul fluxului de ieşire'vapori; I-l = fluxul termic exterior (îndilzire sau răcire); HL = <lcuITIulare (zestre). moli;

HTC = .cfJllsÎ<mta de fimp hidriw'Jică. .

Fluxul de căldură suplimentar poate reprezenta .căldura introdusă saltextrasă din treaptă prin serpentine adecvaJe, în afară de căldura de reacţiede care se .ţine seamă prin ReT (22).Prima operaţie constă În a stabili compoziţia de echilibru şi temperaturafazei de vapori lV pentru compoziţiile corespunzătoare fluxului lichid IL.Urmează apoi calculul entalpiilor lichidutui şi a. vaporilor (Iiniite 5, 6) ne-.cesare pentru I;ilanţul termic (linia 9). Se calculează, În continuare, bilanţul:total de masă (linia li), urmat de bucla DO pentru bilanţurile de masă ale.componenţilor. Inlegrarile constituie ultimele operaţii Înainte de reîntoarcereala .programul principal. La trecerea inijială (LSTR = .TRUE.) se calculează,numai fluxul de echilibru şi al vaparilor (secvenţa 4-9).

8.10. TREAPTA DE ALIMENTARE, SUB RUTINA STGF

Se poate observa, că o treaptă de alimentare poate fi simulată cu uşurinţă,adăugînd o alimentare de vapori la fluxul de vapori care intră în jos Într-otreaptă (fig. 8-21), sau adăugînd o alimentare de lichid la debitul de lichid careprovine din treapta de deasupra. Aceste adăugări pot fi efectuate În fiecare.din cazurile de mai sus, utilizînd stibrutina SUM, prezen.tată îQ.tr-un sub-capitol anterior. Intrucît prin utilizarea acestei proceduri se ajunge la Urit

222 . OPERAŢII IN TREPTE ,

~Ln+1

~-

t ~LnAlImentare-(£)

(vapori) 1. Vn_1

Alimentare vaporÎ

Fig. 8.21.

+L17H .

6).......-AlilTlcn tarf:(lichid)

Treaplii.

AlJ'mentare lichidl'

sistem greoi de numerotare a liniilor, este mai elegant să' se utilizeze o ver-siune modificată a rutinei STAGE dezvoltată În. suqcapitolul precedent,numită STGF: Figura 8..22 prezintă subrulina STGF Împreună cu deiiniţiaelementelor din lista argumentelor, care este aceeaşi ca. şi pentru STAGE,cu diferenţa că include şi' debitul de alimentare 13. Această alimentare esteciiprinsă În bilanjulde masă (linia 7), În bilanjul termic (linia 8) şi În bilan-ţurile pe componenji (liniile 15 şi 16), In rest, aranjamentul esie acelaşi caşi peniru STAGE .. Acest flux de ~limeniare 13 poate să fie lichid sau În

.r. '.i • SUBROuTINE STGF,11,I2~I3.IltIV,~,HL,~TC). !

2 COM~ON/CD/STRM(300.2~I.OATAr20.10),~CTI22),NCF,Nrl.LSTR3 • lOGICAL LSTR~ • CALl EQUIlIIL,IV)5 • CALL ENTMLIIL)b CALLENTHV{JV,,, ...,. .. ; ... "7 • FlIN:: STRM(ll'21) + STR~(I2.211+ST~~(I3,21) +RCr(21)8 HIN = STRM(Il,2J).STRMeTl,2l1+STR"l.CY2'23}.'STR"4lI2,211.H.RCT(22-1+9 • lSTR~113,21).STRMII3.2J)10 STR~(IV.?1)=(HIN-FLIN.STRMI!L,23ll/fSTRMIIv,23l~STR~IIL,23J}.11 • IF ILSTR) RtTURN , .' , " "12 DL ~ {FUN-STRMe1V,;?1'}";STR"I(Il.2lJl/HTC13 • 00 7 N :: NCF.NCl'" ,14 • HK=STRMIIV'N1/STRMIJL,N}15 • CNF~STRMII3,21)*STRM\13~N)16 CNI~=STRM(Il,21,*STR~{II.N)+STRM(I2.21)*STR~CI2.~)+RCT(N)+CNF17 • IFIHK.GT.5.) GO Ta 5 " .lB * OERN::(CNJN-FLIN.STRM(lLrN)-ST~M(lV.21'.ISTRMrlV,N)-STRM(Il,N}l)/HL19'. 7 CALL INT(STRMjJL'NI,OERNl ',.20 • CALL INTrSTRM(IL,211'Ol)21 • RE TURN22 • 5 STRM(IV,NI = CNIN/(STRMfIV'211+STRMrIL,2111HK)23 • STR~(ILrN)=STRM(IV,Nl/HK24 • DERN=O.25 • GO TO 726 • ENO

Fig. 8,22". Subrntina 'STGr- p~ntrll' treapta' de' alimentare,'Lista <If!,rllmelltelor : II = lI'umărul .fluxului de inlr<:lre 'lichid; 12:::::::numărul fluxului de in-trare v:l'"'pori; /3== 1l11măruI fluxului de-:Jlimei'lt2re;lL=;::,JlIlmărul Î1uxului de iqire lichid;IV -= numărul îhL'\ului de iesire vanori'; H = ilUXlli" termic

4

exterior; HL = acumul(\fea. moli ;. HTC~' cOllstanta. de -timp hidrelulidi:' •

TREAPTĂ CU FLUXURI LA!,ER~LF;:.SUBRUTmA STGS 223

stare 'de vap'o~i, sau un 'amestec din ambele, şi .nu cere, nici o .specificaredeosebită întrucît proprietăţile fazelor sî.nt, .în mod ,implicit, stabilite prinentalpii, compoziţie şi presiune care sînt cuprinse în matricea de, fluxuripentru 13. Din cauza aceasta vectorul 13. din STRlI\ trebuie să fie completprecizată inainte de a face apel la STGE

8.1!. TREAPTĂ CU fLUXURI LATERALE,SUBRUTJNA STGS

Un flux lateral poate fi cu uşurinţă simulat, în mod analog ca un fluxde alimentare, prin bifurcarea unui debit de ieşire, de vapori sau de lichid,utilizînd rutina SPUT, prezentată într.un capitol anterior. Aceasta însăconduce de asemena la o schemă complic~tă şi din cauza aceasta se recurgela o altă versiune modificată a lui STAGE, numită STGS. Subrutina STGSeste' arătată în fig. 8.23, în care elementul suplimentar'IS din lista de 'argu-mente reprezintă numărul fluxului lateral din coloană. Subrutina transferă

1 • SUBRQU1INE STGSell,J2,IL,IV.IS.H,HL,HTC)2 • COMMQNlcn/STRM(300,~~,.OATA(2a.101,RCT(22)INCF,NrL,LSTRJ • LO~ICAl LSTR .4 • CAlL EQUILIIL,IV15 • CALL ENTHLIIL)b • CALt ENT,'VIIV)7 • FLI~ : STRM(II,21) •. STP~(I2.21J+RCTI21)8. HIN: STRMel1,23).STRM(Il,21)+c;TRMC'2.23).STR"'II~,21J+H.RCTt2219 .• STR~'IIV,211:IHIN-FLIN.STR"'l1 Y'L,23) }/(STCl:M( IV.231-STR~, IL,23J 110 .• IF eLSTR) RETURN11 • DL : tFLIN-STRM(IV,21)-STR~(15,21,-STR~(IL.2111/HTC12 • 00 7 N : NCF.NCL13 • HK:5TRM(TV'N)/STRMIIL,N)14 • CNIN:STR~(ll.211.STRMII1.NI+STR~II2.211.STRMII2.N'+RCTIN)15" IFIHll:.GT.5.) 60 Ta 5 _lb •• DER~:ICNIN_FLIN.STR~elL.N)_sTQ~IIv,?l).ISTR~CIV.N)_STRM{IL,Nl)I/HL17 7 CALt INT(STRMIIL.NI.DERN)18 .' CALL lNTeSTRM(IL,211'DLJ19 • 00 A N:NCFiNCL2e • 8 STR~(IS.NJ:STR~(IL.N)21 • Do q N:22.2U~2 • 9 STRM(IS,NI=STRM(JL,NI23 • RETURN '2li • 5 STR'"!(IV.N) : CNtN/(STRM{J\I'21i+(STR",,(IL-,~lr+StRMtlS.21))/HK)25 • STRM(IL,"JI=STRM(IV,NI/HI( - '. ',','2b • DER"J=O. '27 Go Ta 728' • ENO

Fig. 8,23. Subrutin::J STGS pentru treapt.1 de ex"tragere a iracţiei laterale.Lista argumentelor: 11 = numărul fluxului de intrare lichid; 12 = num'ărul fluxului de intrClre,'apari; IL = numărul i1uxull.li de ieşire -lichip; IV = numărul Îiuxului, de ieşire vapori;15= numărul fracţici laterale; li= i1uxul termic exterior; HL = acumularea. moli;

HTC = constanta de timp hidr8ulică.

224 OPERA ŢII IN TREPTE

.compoziţia lichidului din treaptă în vectorul fluxului lateral din matriceaSTRM (linia 20) şi procedează În mod analog cu,entalpia, temperatura şi pre-siunea (linia 22). Debitul fluxului Iilteral apare numai în bilanţul de masă(linia Il) Întrucît prin operaţii algebrice, debitele de ieşire lichide au fost,eliminate din ecuaţiile de bilanţ termic şi de bilanţ materia] pe componenţi.

8,12. BAZA COLOANEI. SUB RUTINA BOT:

Baza coloanei cere.o tratare specială din următoarele motive:1. Se introduce un flux termic Q care determină debitul de vapori for-

maţi V. .2. Jntrucit acumularea (zestrea) este variabilă, şi apreciabilă, nu pot fi

neglijate variaţiile de căldură sensibilă (figura 8.24) .. .3. Debitul de ieşire al lichidului de la baza coloanei se reglează din ex-

.terior, de exemplu prin reglarea nivelului lichidului de la baza coloanei.Ecuaţiile pentru condiţiile de la baza coloanei. urmează mai jos, iar subrutinaBOT este arătată În figura 8.25.'

Acumularea HL. Variaţia numărului de moli din acumulare este exprimatprin:

<I(HL) = LI _ LO - IV cJ., RCT(21) = DHL"dO . ' 1

.care se referă 1a figura 8.24.. Bilanţ termic. Relaţia ÎundamentaIă este

d .- (HL'h")=Q- LO.hL- IV.H.d8 .

<care prin diferenţiere şi ordonare dă

Q_ LO""._IfI..dh,.:'" il,. d(llL)IV = d_8 d_8.

H,

( HL)

Q

~ LI 0--'I I

---1 L. C'I, IL_

1__

III LO-----

Fig. 8.24. Baza c0ioanci.

•

BAZA COLOANEI SUBRUTINA BOT 225:-~ "

,23

• ,s ,6 ,7 ,• ,9 ,

\O ,Il ,12 ,",,. ,

15 ,'o ,17 ,

,

18 ,~b,

, 21; ,;.!~~;.,,.' ' 2. " '

,.25 '.20,,-'"';2:7 '.'20 ,

29 ,:)'0 ,

SUB~OUTI'lE BOT(Ll,LO'IV.G.HU. -COMI~OIUCTNT IT ,.DT ,,J$ • .JrJo D'XA(500) • XA1500 J , 1.0, J5l&COM~ON/CD/STR"I ()OO. ;?1+1• DATA (20. tOI. 'leT {221 ,NCF-, 'J •.•L. LSTR .LOGICAl LSTP - .If t (JS4 .EG!, 1&)• OI). (J5. EO • .2 J • ('R. L STR 1 STRM 1.1..0. 2/) f=? tR"'.l LO ,.2J rCALI. EQUIL{LO~IV) •

,CALl Ernl..lLILOJ .(ALl pJH-iV{JVlDENl=(ST~M(LO,23l-STRM(LO.2~11.~L/DlQP:O+STRM(Ll,211.STRM(LI,23)+RCTI22)OHL:: STRM{LI,211_STRM(lO.211-STRMltV.21J+RCT(211OEN::STRM(iv.23)-STR"'(LO.,231 . ( .STR'.' t IV. ?ll: (QP_STR~( L.0' 23) .I.STR~(L T,21 )+RCT (21 J I-DENL l/DhllF (STRM,IV,211.LT,O.] STR~(lv'.21J :: O. .IF tLSTR) RETVRN00 ~ N ::~CF.NClHK:STAM{JV.NI/STRM(LO.NI ,IF(HK.GT.~o)GO.TO-S .FNI:5TAMrLI.21l.STRMILI.NJ+RCT(NlFNO=S rRM rLO. 211.STRI<I ILO'': t~)+STqM( Iv.? 1.I.STRM IIv. ~~t .'

DER',: rFt"u-FNO-STRM It o. N) .OHLl/HL .'9 CALl If~T(STR1'J.(L(\.tJl.DERtl)

CAL-L ItITiHL.DHLlRETUAN' . . ' . "". .-,

"5 ON=StRM(!V.21J+STHM,LO.211/~K .STR'-1l IV. !-,l)": (5 TA~ (LI .L:ll-S TR'" (L1 .rH +~CT I NI I IoN5 TAM 1LO. NI : STR."'. ( 1 VI tI) I":ll<,OER,'l=O.60 TO 9 •ENO

." ..' ..

. ;.

Fig. 8,25. Subrutina BOT. ,. ;Lista argumentelor: LI-::::::::numărul fluxului de iiitrare lichid;' ,LO = humărul fluxului" deieşire de la baza coloanei; 1'V === numărul. Jluxului de' vap0ri fQfm<!-ti; Q = i1uxul termÎ-c;'

HL = acumularea de lichid .. -

Introducînd::.

d(HL)/d6 =' DHL din bilanţul de masă" ~e,obţineIV =' Q -Il, (LO+ DHL) ~ DEiNi. . - fir ~ ,

I

în care DENL ~ HL(dhâ/(d6). Termenul acesta a fost neglijat în diverselesimulări ale treptelor, dar se va ţine' sea"1ă 'de el.aici pentru exprimareaderivatei entalpiei. hL• Subrutina efectuează ac'eastă operaţie în li'niile '5-9prin care se o~ţine o derivată "inversă", memorind entalpia acumulării de lichid

, pentru fiecare trecere, în locaţia 20 din STRM LO. Entalpia aceasta, memoratăprealabil, se scade din valoarea curentă, ilupăce se face echilibrarea (liniile 6,7 şi 8), în linia 9 obţinînd variaţia, incrementală. Multiplicînd aceasta cuacumularea HL şi dlvizind prin'mărimea pasului DT rezultă derivata pENL.ywcedeul, acesta este similar aceluia dezvoltat pentru rutina VVBOIL, des.crlsă în cap. "5.12. '

"Bilanţul pe compollenţiBilanţul pe componenţi se efectuează prin liniile 19 şi 21, în car~ FNI

reprezintă debitul de intrare al componentului N, inclusiv debitul de reacţieRCT (N), în cazul cînd acesta există. ENO reprezintă debitul de ieşire al

15 - Modelarea şi sJmular'ea în ingineria chimică - cd. 29

226 OPERAŢII ti\' TREPTE

jvaporilar .şi fluxul de la baza coloanei. Derivata pentru compozijia N, DERNse calculează în linia 21 şi se integrează în linia 22, continuînd cu i.ntegrareaacumulării in linia 23. Tratarea algebrică, mai rapidă, pentru componentiîvolatili (HK> 5) este de asemenea utilizată în rutină, iar procedura (sec-venţa 25 la 28) este aceeaşi ca aceea descris.Ji pentru STAGE.

8.13. SUBRUTINA STGH

Fig. 8.26.

.I

Temperaturarr

IrI

Ij

,/

, /

,,,//I

II.1

III

n

n-I

n-3

n+2

n + I

n-2

Unul din inconvenientele programelor generalizate de calcul, ca acelea dez-voltate în prezenta .lucrare, este că ele nu cuprind toate cazurile posibile.Intre ipotezele admise la elaborarea modelului şi subrutinei pentru treptelede echilibru generalizate STAGE, STGF şi STGS este şi aceea că variaţiacăldurii s.ensibile în fiecare treaptă este mică în comparaţie cu conţinutulde căldură al fluxului de vapori ascendenţi şi de aceea ar putea fi consideratăliN' termen de importantă minoră. Aceasta permite tratarea derivatei călduriisensibile din ecuaţia bilantului termic ca un termen algebric şi utilizareabilanţului termic pentru definirea algebrică a fluxului de vapori care părăsesctreapt". .

Acest mod de abordare al problemei este aplicabil în majoritatea cazurilor,în' care fluxul de vapori pe întreaga lungime a coloanei este apreciabil şi încare gradientul de temperatură de la 'capul la baza coloanei nu este iml}Of-tant. Neglijarea variatiei căldurii sensibile nu se poate face în cazurile in caregradientul de temperatură este pronunţat, adică în cazurile în careaproape toată variaţia are loc în cîteva trepte şi În acelaşi timp entalpiile

lichidului sînt mari în comparaţie cu entalpiile_vaparilor. .

In cazuri ca acestea, este posibil ca încursul unui deranjament al coloanei, curgereavaporilor prac!icsă înceteze, temporar. Fig. 8.26arată o secţiune a coloanei în care profilul tem-peraturii are variatii rapide în regiunea treptei n.In cursul unui deranjament al coloanei conditiilede echilibru vor produce o deplasare a acestuiprofil spre partea inferioară sau spre parteasuperioară a coloanei. Cantitatea de căldură nece-sară pentru. a modifica temperatura şi conţinutulde lichid al treptei, peste un domeniu larg, estecomparabilă, în acest caz, cu conţinutul de căl-dură al vaporilor şi va avea ca efect modificăriimportante ale debitului de vapori şi lichid. Dacăse simulează o astfel de situaţie considerîndu-sederivata căldurii sensibile ca un termen algebricîn bilantul termic, calculul va deveni instabil. Incapitolul 4 s-a arătat că o ecuaţie diferenţială

SUBRUTINA STGH 227

nu poate fi rezolvată algebric decît atunci cînd derivata este mică în comparaţiecu ceilalţi termeni din ecuaţie. Tntrucît în caZllrilede mai sus derivata nu estemică, sîntem obligaţi să tratăm ecuaţia bilanţului termic pe calea normală,integrînd fluxurile termice de intrar<;"şi 'de ieşire şirezolvÎnd'ecuaţia pentruenlalpia lichidului din. treaptă. .' " . . .

Deşi lucrul acesta pare simplu, el ridică problema modului În care se de-- termină debitul de vapori care părăseşte treapta. Intrucit nu există o .me-todă directă de a determina acest debit de vapori, s'a recurs la o metodăindirectă. Mţtoda aceasta constă In a determina temperatura de echilibrua treptei, dată fiind presiunea şi compoziţia lichidului, şi a stabili apoi o pseudo-entalpie bazată pe această temperatură şi compoziţie.' Debitul de vaporipoate fi acum calculat plecînd de la faptul că valoarea lui trebuie să fieastfel Încît să existe egalitate Între entalpia de echilibru" şi entalpia reală re-zultată din bilanţul termic. Tntrucît debitul de vapori nu influenţează .acestedouă enlalpii dec11 prin ecuaţiile diferenţiale ale bilanţului termic şi ale bilan'ţurilor materiale pe componenţi, nu este posibil să se obţină o concordanţăexactă, aşa cum se Întîmplă cu' buclele algebrke ..-De aceea se recurge la uncompromis prin care debitulde vapori se calculează din diferenţa acestorv~lori aleenfalpiei Înmultită cu un factor de cîştig adecvat.. Procedura aceasta poate fi mai clar' Înţeleasă referlndu-ne la model ul

arătat În fig. 8.27, a, in care blocurile cu un lriunghi plin la ieşire aratăintegrarea unei ecuatii diferenţiale şi deci unpunct de plecare potential în program. Nume-rcle din blocuri se referă la numerele liniilor dinsubprogramul. STGH arătat În fig. 8.27, b:In continuare este descrisă subrutina STGH:

1. Lista argumentelor. - Această rutinăreprezintă o treaptă generalizată, care conţinefluxul alimentării sau al unei !racţii lateralenotată ca fluxul 13. Pentru o fractie lateralădebltul "(STRM (13, 21» este specificat ca un număr negativ, iar celelalteproprietăţi ca, temperatura, compoziţia etc., sînt aceleaşi ca pentru refluxul

EL TEMP T@

ENTHV@

Hv 8i/~nttermic EL@--@@

ELB- EL)@ V100 .

Yi.

x,EQUIL TE

@ ---

ELB

ENTHL@

,8i/antdemasti'tofil

@f@!27

L x.•

I

Fig. 8.27; a. Fluxul informaţioll<ll pentr-tl subrutina STGH:',

228 OPERAŢII IN TREPTE

242' .. ",,:'"

1 •2 .0

J •• o5 •••7 •• •• •10 •.

11 •'2 •"." o15 ."" .17 •la "." o20 ••21 .:22.23 • >.

24 •25.*26 .'27 o2. •2. •J. •31 '.J2 •.,.34 .•.

sue~outlN£ ST'GH'{I1.rZ.,n.IL,lv •.\.l,HL,HC,HTC) ," . 'COMMON/coISTRM (~oo. ?4, .OA T11f 20. (0) I t=!CT(22) • NC~" NrL.L5TRLOGICAL LSTR ~ •.. ,FliN = STRM(II'lll + STRM(I2.?11+SToMII~t211 +Rcfc2llCALL. EQUILtJl,IV'tF(LSTRI GO TO 6

B El:STRMIIL'231CAll. [NTl-IL (IL) .E.L.B:5rRM r 11.,23)STRM{ll~231=ELCAlL TEMP[lL."STR~IIV.221=STRM(IL.221CALI.. EHfHV( IVIstRMCIV,Zll.: ~TRM(t~.201.ll-(EL8-ELJ/I00~)IF (STRMIIV.21I,lT.coJ STRM{IV,2U = O,,, _'HIN = STRMI 1 1.23'.STkM r t 1.21 J .•. STRMIJ2,231.STR:"" 112.21.1 .•.H.•.RCT 1221+

lSTR~(I3.211.STRM(I3,231. .,DEN~=IHIN-~L.{FlIN~STRM[lV.?1~'-StRvclV.21).STRM/ly.2~)J/HCOHL = ~ltN - SfR~(IV'21'_STR~(ll.21)Ot=OHL/HTC • -IF CLSTR) RETURNDO 7 N = NCF,NClCNF=STRMrI3•21'.STRw(I3,NI,CNIN=S-TR"" ( 1 l' 21l.STRM {I 1 .N,.ST~~(J 2, '21l.STRl.l( J 2 r N I +RCTlN)+CNF'DERN=(CN!N-FLIN.STR~tILrN'-ST~M(IV.?ll.(STRM(%VIN)-STR~(IL,NllJ,HL

7 'ALL INT(STRMCJl.N),O[RNI '.'ALt, INT(STRM( IL.21, 'DU'ALL' Ir~TiSTRP.qIL'23)'DE!l/LIIFCSTRPo'l( IL'211.L T .0. )STRMC IL.2!) = O.R[TtIRN

6 SJRM(IV,20'=FLIN-STRM(I~,21lCALt [NTHL(ILI . 'GO TO 8ENO,

(b)

Fig. 8.27, b. Subrutina 'STGH, pentru o treaptă în echilibru, cuprinzînd capacităţi termice.Lista argumentelor:: li = numărul fluxului de .intrare-; 12 = numărul fluxului de intrare; I

13 = numărul fluxului de intrare; IL = număruL f1uxultti..de iesire lichid; IV = numărulf1uxul,-!i de i~şire vapori; H = flux .termic de intrare; H.l, ~ zestrea treptei (ac.umularea);,HC =:= maS<l echivalentului termic "pentrH treaptă; HTC =,-con5tanta de timp hidr'(lulică ..

; I-lC 1. l +' m<lsa treptci >~căldunl 'siJC'cific:ă. = mo 1 acumu are ---~----~-~--.' . . căldura specifică ~ lichid ului .

Figura 8.27, b conţine de aSemenea o definire a argumentelor subrutinei2. După ce se calculează.debitul total de intrare. (linia. 4) se determină

temperatura de echilibru (TE) pentru fluxul de lichid de ieşire IL (9i se

intern care părăse9te treapta IL Acest transfer de informaţii se face în pro-gramul principal, inainte de. a .se apela subrutina pentm fluxul fractieiIaterak, Pentru treptele care nu posedă a treia alimentare se utilizează un-număr de flux fictiv. Toate .celelalte elemente din lista argumentelor .sîntidentice cu acelea discutate mai înainte, la subrutinele similare. cu exceptiaparametrului HC, care reprezintă capadtatea <!eacumulare,a treptei exprimatăprin moli echivalenti de lichid. Această capacil<ite cuprinde atît molii efectivide lichid cţt 9i molii suplimentari •. echivalenti cu capacitatea calorică a meta-lului treptei 9i eventual cu'o,parte a mantalei .coloanei, ce cuprinde treapta,adică:

SUBRUTUIA STGH 229

EL = entalpia lichidului (PCU/mol O(C)HC = acumularea (moli)

-... memorează în STRM (IL; 22)), apoi se calculează compozitia vaporilor în echi-"libru cu IL şi se memorează în IV, Iăcînd apel la EQUIL (IL, IV) în linia 5.

. 3; Entalpia 'determinată din bilantul termic se retine provizoriu, ca EL,din locaţia STRM (IL, 23) (linia 7), urmată de determinarea pseudoentaJpieicorespunzătoare temperat urii de echilibru (linia 8). Valoarea aceasta se transferăla variabila ELB {linia 9) iar valoarea efectivă a entalpiei se transferă înapoiîn vectorul IL; în linia ' 10. .' .'.

4, Se determină temperatura fluxului IL bazată pe compozitia şi entalpiasa, (linia 11) şi se atribuie fluxului de vapori IV (linia 12).

5. Se calculează entalpia efeelivă a vaporilor, (linia 13) bazată pe compo-zitia şi temperatura lor. .

6. Debitul de vapori se calculează pe linia 14, fiind proporţional cu dife-renta între entalpiile' efeelive (EL), şi entalpiile de echilibru (ELB).Nivelulnominal va. fi debitul' iniţial' de vapori care se determină la prima trecere(LSTR = .TRUE') dintr-un bilant material. (linia 31) şi pentrtiuşurinţă sememorează la locatia 20 a vectorului IV din STRM.

7. Derivata entalpiei Iichidului se stabileşte în linia 18 şi se obţine în modulurmător :

jv. 1t,I STGH EL, Hcl

jv, 1Lo'

Ecuatia de bilant tennic:. ~ (EL. BC) = (căldura intrată - căldura ieşită) = I-IIN - Lo(EL) ~ VoB,

Diferentiind şi ordonînd se obtine;, HIN- L.(EL)- V.H,,- EL'~ (HC)

~ (EL) = - ." didt . HC

substituind d(HC)/dt 7' FLIN - Lo - V,~ (EL) = HIN - EL(FUN - v.) '-- V,Il,'dt ' . fiC

Ecuatia aceasta este programată. în linia 18 şi apoi este integrată prin. linia 28. ' .

8 .. Derivata bilantului'material total este specificată în liniile 19 şi 20şi este integrată prin linia 27. Bilanturile de materiale pe componenţi se efec-

u tuează în secventa 23 '~25. Procedura întrebuintată în rutineie de treaptă.precedente, pentru a. evita dificultăţile caraeleristice prezentei componentilorfoarte volatili, nu se aplică în STGH, întrucît produce instabilitate.

Caraeteristicilel STGH-uluiStabilitatea numerică a rutinei STGH este în mare parte controlată de

faelorul de amplificare utilizat în ecuatiavaporiloL Fac;lorul acesta de ampli fica-re are valoarea de 1/lOO, în figura 8.27linia 14, valoare care este adecvată pentru

I

230

Ţ,~e,;lJtq 10II

Trc'aptol 9 I

Il,~:?,,;;:.a8 ,

I1,~:?ap:a ? I

,Trra,t..'ta/E I

L ,, I/ / TrcaptiJ j

I

,/ !.-uP:'iJ lr

II TreaiJ~g JII Treapta 2

II Tr:!apta 1

f/.ind

O.P.ERAŢli tN TREPTE

cazul mediu. Dacă însă valoarea factorului er~te, seproduce o degradare a condiţionării sistemului (vezi"cap. 3), impunînd o mărime mai mică 'a pasului deintegrare. Dacă factorul scade, se îmbunătăţeşte con-diţionarea sistemului, dar sedeteriorează precizia, astfelîncît, în general, trebuie să se recurgă' la lIn compro-mis. Dacă este necesar, factorul de amplificare poatefi optimizat ,pentru fiecare problemă.'

Este de asemeni de observat că STAGE si STGHse pot schimba între ele. Spre exemplu', în fig. 8.28se arată o coloană cu 10 trepte (talere) în care, înzona 4 la 7, se observă, o variaţie pronunţată a gradien-tului (termic, compoziţie). Treptele între limitele acesteasînt simulate cu subrutine STGH; pentru alte porţiuniale coloanei unde gradientul..-este moderat, subrutinaSTAGE asîgură o precizie mai ridicată.

8.14. REFIERBĂTOR

Fig. 8.28. Utilizarea E

subrutinelor STG H şiSTAGE.

Refierbătorut unei coloane de distilare produce urifiux continuu de vapori care trec ascendent princoloană. Un tip uzual de refierbător îl constituie

un aparat de schimb de căldură de tipul' tuburi şi manta, avînd o singurătrecere (fig. 8.29). Lichidul de la baza coloanei lintră la partea inferioară, Îninteriorul tuburilor refierbătorului, se evaporă parţial, iar amestecul de lichid

A6ur

Condcnsăt

. Fig. 8.29. Refierbătorul coloanei.

--

REFIERBĂTOR 231

''o şi vapori se reÎntoarce la coloană unde fazele se separă. Intrucit amesteculcelor două faze din tuburile refierbătorului are o densitate mai mică decitlichidul. din coloană, se creează o diferenţă de presiune hidrostatică care de-termină curgerea Iichidului de la baza coloanei prin refierbător (prin actiunede termosifon). Debitul de lichid fiind, uzual ridicat, îndeosebi în regiunea cudouă faze, se realizează un transfer de căldură -relativ intens. Agentul deîncălzire, vaporii de apă sau vapori de difil, se introduc în spatiul dintre tuburişi manta printr-un rollîhel de reglare. Vaporii se condensează pe exteriorul

, tuburilor la o temperatură mai ridicată (T,l decit temperatura (TE) de labaza coloanei, creînd astfel un gradient de temperatură, care produce unflux de căldură spre fluidul de la baza coloanei.

In simula~ea coloanei ar trebui să includă caracteristicile dinamice şi deexploatare ale refierbătorului.

Cele mai importante două cararteristici sint următoarele:1. Capacitatea: debituJ agentului de încălzire prin robinetul regulator este,

I

W = AC"VP,(P .•- P,)

în care A - fracţia din deschiderea completă a robinetului;C, capacitatea robinetului (moli/(min.atm));P, presiunea vaporilor agentului de incălzire (atm)P" presiunea de vapori a condensatului (atm).

E"presia aceasta a debitului de vapori este valabilă .În regim subcritic(vezi cap. 7), adică pentru P" > P,/2. care reprezintă cazul general. Pre.siunea condensatului P, este functie de temperatură în conformitate cu relatiaAntoine,

P = EXP (C +~)r. 1 T,.+C3

Prin creşterea sarcinii termice H, creşte T" avind ca efect mărirea lui P,şi de aici reducerea pierderii de presiune (P, - P,) prin robi,net. Variaţiacăderii de presiune prin robinet influenţează caracteristicile de reglare la di-verse nivele de lucru. Astfel 'dacă temperatura 'de la baza coloanei ar creşteapreciabil, ar putea avea ca efect o scădere sensibilă a fluxului termic şi avaporizării, chiar in cazul cînd robinetul pe agentul de încălzire ar fi largdeschis.2. Dinamica refierbătorului: - Volumul de vapori continut în spaţiul dinmanta este uzual relativ redus, în comparaţie cu debitul de vapori, astfelîncît întîrzierea variatiei presiunii. este relativ mică.' Trebuie totuşi să seţină seamă de capacitalea termică ,a 'tuturor tuburilor şi a unei părţi din'manta. Dacă acestea se consideră împreună, aşa cum se arată în fig. 8.30temperatura tubului T m poate fi determinată cu următoarea ecuaţie diferen.ţială:

2. (T .W') = (H - H)00 m el.

,

232

,+ Condefl{jaf,

OPERA ŢlItN TREPTE.

Fig. 8.30. Echivalentul ..integrat".. scliematic, al refierbătomlui.

H

În care: IV' cH,'

capacitateacalorică a ttiburilor şi Ij2 din hlanta (pCUtq;debitul termic de lafluidul din manta la perelelel.uhurilor(PCUjmin.); , ,debitul termic' de la peretele tuburiior la lichidul 'din' bazacoloanei (PCUjmin.j.-

Ca o primă aproximaţie se poate considera că rezistenţa totală la trecereacăldurii este egală pe ambele părţi ale tubului adică,

HI = U(T, - T",jH c- U(T m - T ,j.

Modeiul matematic care cupClnde aceste ecuaţii ale retIerbătorului estearătat în fig. 8.31. Variabilele de intrare ale acestui model sînt: A, frac. o

ţi unea de deschidere a robinet ului, TB, temperatura lichidului de la baza coloaneişi P" presiunea vaporilor agentului termic, care în general este constahtă.

Fluxul termic H, consumat de lichidul de la bază pentru a genera vaporii V,constituie mărimea de ieşire.

Intrucit capacitatea termică a volumului de .vapori a fost neglijată, ma-o delul aparatului, pentru partea mantalei, constă dinh-un sistem de ecuaţii'algebrice simultane. Fluxul termic H I la peretele tuburilor se admite că esteegal cu căldura latentă a fluxului devapori, adică H, = "'*', în care A~ căI.dura latentăjmol. '

Cu ajutorul acestui flux termic se obţine temperat tira condensatului prinecuaţia T, = H,jU + Tm. Restul modelului şi f1u'xul informaţiorial sînt uşorde înţeles.

Subrutina aceasta .constituie un program pentru niod'elul.refierbătorului,arătat În figura 8.31 şi::este prezentată în fig. 8.32. Elementele din lista deargumente .sÎnt următoarele: .4 = fracjia de deschidere a robinet ului ;H = fluxul termic :Ia lichidul din .baza coloanei (PCU (min.) ; .c, .,...fac1orul decapacitate al 'robinetului (moli(atm 'min)'; WC- capacitatea termică a tu-burilor (PCul"q; JF = numărul fluxului de vapori; JB= numărul fluxuluide lichid de la baza coloanei. Constantere pentru vaporiiagentului 'de în-călzire sînt trecute în matricea fluxurilor d.upă ,cum 'urmează:STRM (JF, 1) = CoefiCientul Cjdin ecuaţia Antoine;STR,"\ (JF, 2)' c-' Coeficientul C,din ecuaţia Antbine;'STRM (JF, 3)" = Coeficientul C, din ecuaţia Antoine,;'STRM (JF, 23) = Căldura'Jatentă. în condiţiile de 'lucru; .•

233

H•

: '

Flux HT.J'pre fund

ca/Mni

Temperaturs. tond,.

Te=H,/U+Tm@

w .IH,=Wd~1Flux termic

Temperatura tubtlri/or.

<IT '. H,.-!!! =(H,- H)(Wc@@d8 .

,• •••• •• ••• __~ •• • _~ J

Fig. 8.31. .Modelul unui reÎÎerbător .

p .c

SUBRUTINA REB (A, H. CV, -WC. IT, JB)

Presiune

Cwgere prin, yen.tll

. Temperatura fundului TB ( ) .@~ H= Tm-TB U 11

. 8.15. SUBRUTINAREB (A, H, CV, WC, JF, JB),

•,Ta :,,

:t._.__~ .. _•

.Fig. 8.32. Sobrutina REB pentru retierbătorui unei coloane.Lista argumentelor :.A = fracţia de deschidere a ventilului ; H = fluxul t~rmic la bJ1.:3.coloanei(PCUjmin): CV = capacitatea rohindului; \Ve = capacitatea tt'fmÎcă a tuburilor (PCU('C);"JF = numărul fluxului de alimentare cu vapori; lB = numănl! iJuxului de L! baza coloanei.

STRM (.fF, 24) = Presiunea de intrare a agentului termic [5, (atm). ;STRM (.1F, 21) = Debitul (moli [min.);STRM (.fF, 20) = U, ,.coeficient de transmisie a căldurii" (PCU[minOC):

Valorile presiunii şi ale debitului se găsesc în locaţiile normale în matriceaSTRM. Toate celelalte numere utilizează matricea pentru memorare, în modnestandard, întrucît vaporii ce se deg~jă din refierbător constituie un fluxmonocomponenl.

Cind se face apel la această subrutină trebuie să se furnizeze valorile ini-ţiale pentru toate elementele cuprinse în lista de argumente. Programatorultrebuie să furnizeze valori corespunzătoare penru A, H şi C pentru condiţiileiniţiale. Prin prima trecere (LSTR =. TRUE.) subrutina va calcula (secvenţa

) 15-21) debitul de vapori W, presiunea condensatului P" temperatura con-densatului TC (ecuaţiaAntoine), temperatura iniţială a tuburilor Tm şi în final,c0eficientul de transfer termic U, pe care îl memorează în STRM (JF, 20).

Prin trecerile următoare (LSTR = .FALSE.) se vor obţine variabilele dupăcum se arată în schema din figura 8.31. Numerele din blocurile acestei"figurise referă la numerele liniilor din lista subrulinei (fig. 8.32),' care încep şiconverg după valoarea debitului de vapori W, faţă de STRM (JF, 21). Ul-tima operaţie ce trebuie efectuată înainte de a părăsi subrutina, este să seintegreze derivata temperaturîi" tubului T •• (linia 13).

234

248

1 o2, o4 o, o 66 ..7 o5 o9 o10 o11 o 712 o.

1> o

" o1O o 516 o17 o18 o19 o"O o21 o

" o

J':'ERA TU IN TREPTE

SIMULAREA DYFLO A UNEI COLOANE DE DISTILARE

8.16. SIMULAREA UNEI COLOANE DE DISTILAREPRIN DVFLO

235

In subcapitolul precedent s-aU' dezvoltat cîteva subrutine 'pentru simu-larea unor porţiuni a coloanelor de distilare. In continuare se va dezvoltaun exemplu tipic, care va arăta maniera În care aceste subrutine sînt asam-blate într-un program general de simulare a unei anumite coloane. Cazul 5-1din capitolul 5 (pag. 135) a tratat simularea unei distilări continue. O coloanăcu 18 talere avînd eficienţă de 0,5, este alimentată cu 25.moli/min. Coloanase va simula deci prin 9 trepte de echilibru (fig. 8.33), plus baza coloanei.Vaporii sînt produşi în refierbător; vaporiide cap sînt condensaţi parţial şireţinuţi Într-un vas. .

O parte a Iichidului din vasul de reflu'! este reîntoarsă Înapoi la coloană,la un debit care se admite Că este constant. Alimentarea ~oloanei cu vaporise face sub treapta a patra, numerotată de la bază, iar un flux lichid esteextras din treapta cincea. Modelul pentru această coloană este arătată înfigura 8.34, în care col'iduclele de lichid şi de 'vapori care leagă diverseletrepte sînt indicate prin numere. Vasul cu condensateste simulat în subrutinaHLI'P. iar subrutina PCON (Capitolul 5) simulează condensatorul parţialpentru care se specifică temperatura de echilibru. . '

Programul principal pentru întreaga coloană este arătat în figura 8.35.Se reaminteşte că pentru a asigura funcţionarea' cC'feetă a integrării dinaceastă subrutină este necesar ca secvenţa apelurilor în fluxul informaţionalsă fie în sens invers cu fluxul de lichid caredetertnină întîrzierile dinamice.In felul acesta toate derivatele vor fi calculate în acelaşi moment. Astfel

() simularea coloanei începe cu reîierbătorul (linia 10), trece la baza coloaneişi apoi succesiv la toate treptele pînă în vîrful coloanei. Treptele de alimentare(linia 14) şi de extragere a produsului lateral (linia 15) sînt inserate la mijloc,între două bucle DO cu care se calculează celelalte trepte. Ultimele douăapeluri privesc condensatorul parţial şi rezervotul de reflux. (liniile 18 şi 19).La sfîrşitul secţiunii de der.ivare se apelează subrutinele de Iistare, prezen-tate anterior, PRL şi RPRL pentru a' imprima toate liniile din coloană.

Secjiunea de integrare '.constă. dintr-un apel la INTl, utilizînd metodade integrare de ordinul 1, cu un pas de integrare DT = 0,1 n\in; s.a constatatcă această valoare a pasului asigură un compromis rezonabil între timpul derulare şi precizie. Pentru a efectua rularea pe calculator este necesar să sespecifice d'atele de bază pentru componenţi: debitele de alimentare, alefluxurilor laterale şi alereziduului coloanei; 'sarcina termică a refierbăÎorului (H);.temperatura condensatorului parţial; caracteristicile robinetului de reglare (e,);capacitatea termică a refierbătorului (WC); şi deschiderea robinetului (A).Specificarea aceasta se face în subrutina DAT fig. 8.36, 'apelată prin linia 5din. programul ptincipal; p,!rametrif. 'refierbătorului se specifică În linia 6.

, .

236

'"\- . ";

Fractie/ateralit

"

t

OPERA Ţ-II IN TREPTE

CondensatfJrparţ1ai

; i

,_Alimentare

;.

Rd/erbito

.- Vapori.

Rezidvu--.-'. Fîg. 8.33. Coloană cu .9 _t~epte de ~fraetionafe.

Subruthla DATDată fiind structura' programului este ,necesar să se specifice numai con-

dijiile iniţiale de maL jos :'1. Numărul primului (NCF) ~i ' al uIti'muluL component (NCL), (linia 3).2. Date de bază asupra' echilibrului şi a entalpiei tuturor 'componenjilor,

care se introduc În matricea DAT A (liniile 4, 5,~i' 6).'3. Date de echilibru,. călduii'latente,. presiunea de intrare, care sînt intro.

duse'În' vectoiul ,din STRM ,corespunzator' :vaporilor ,fierbăt6rului ,.oinia, 7).

/

SIMULAREA DYFLO A UNE[ COLOANE' DE DISTILARE

-

,

., '

~" .

,.

.""' ,.'. :.

. ,~ • -t -

1":

~ ~rlUI!::;.,'Fig .. 8.34. Schema programului pentru simularea lme"i-"

ccJo<ll'~~cu _,9 ţn;p_te. ..• : '~".' ~-.~~:

237

.',

.';~-

.,

23B

l'~2•,.••5'••7'a.g.

10.U.12'13.,..l~.,..17.18'19.20.2,.22.2,3*z..25.26.21,*28'

OPERATII IN TREPTE

C *.OATA S£CTION ••COI.~MON/CU/ST,~ţ.',DuO, 2~ 1• DATA (20.10 1, RCT' 22) • ,:,/CF PlKL. ,,:STACOM~ON/CINT IT, f)T,..;s. ,JI~.OXA1500 l , XA(500) • Ia. jS4LOGIcAl LSTR.,\IF(ALt DATDATA k,~C,(V.H,DT/.30B,187 ••2.5,37500.,.1/LSTR:. TRUE. --.

( ••OEHIVATIVE SECTION ••7 SlRM(£1,211=5TRMl20,21).STRMtl.211

(ALL REB(A,H,CV,~C.25.21)CAlL ~OT{20.21,1,H,UO.)00 6 N=1,3

6 (ALt STAGE(N.20-~.il-N,N+t,O.,5•••1)(AlL STGF(4.1b,2~,17.5,O••5 •••1)(ALl STGS(5,15.,lb.6.23~O ••5 ••• 1100' 8 rl=6, 9

B (AlL STAGECN.20-~,21-NrN.l.O ••5••• 1)(ALL PCON(IO'2u,2b,7b.)(ALL HLOPt26'11,J,50.,O,1 _(Alt PRLII0,'.30.~NF,1.2,3.4,5,6.7.8,9.10,26'24)(ALl RPRL~11'12,lJ,1~.15,lb,17,18\19,20,21.2J)IFwt:="J GO Ta 10

C ultlTEGRI\TION SECT100 •..•CALL lNTIlT.UT.lJGO Ta 1,

10 COf'.!TTNUESTOPENO

Fig. 8.35. Programul princip'al pentru simularea coloanei de distilare.

1. SUBROUTINE DAT

.2. COMMONICO/STHM( 300. 2~ J • DATA (20.101 .Ref 1221 • NCF. NCL 'LSTRJ. DATA NCF.NCLli,31lf. DATA(DATAIl, N) ,N=l; 8 t 113 •.lf6, -52:10 •• 213.,8 ••• 01'9020. '20 ••• OZIS. OATA(DATA(Z.NI.N=1.B)/15.2,-6050,'Z13.'12.2'.02.11S00 •• 32 ••• 0116. OATA{OATA[],N).N=1.6l/15.lf •• S312 •• 273"6.5'.Ol,7500.'16 •••0317. DATA(5 TR"l (2:5• ..Jl,..J=i,2:~ 1/11. 775. -38e8. 5,230.16 .19_0. ,8000 •• 7,/.6_ aATA{STR'" 122. J 1. J=1 ,2~ 1/.2169 •.•0911 •• 692 .17_0 •• 25 •., 95. 35.899 •••• 1.19_ DAU ~TRM(23'21!15.0/STRM(1.211/S.1la_ DATA (STR"!1J. 21) .,J=II,21l/5.13 •• s_a.'''.111- DATAISTR~IN.221.j\j=11.21)/ll.eO.112_ DO 5 .,.1=1.1113* JO=22-.J1~. STRM(.JO,I ,=.216915. STRM(JO,2J:.091116.. STRMI.JO,3'=.69211_ STRM(..J.2lf)=1.1l-.J •• Ol18_ STRMI..JO,2lfl=STR~I.J.2'n.19. IF(.J.EO,l1l Go Ta 520_ CALL EQUlll,JO,J.21. 5- CALL ENTHl(..J0122. STR"'{26,2~J =.1,23_ CAlL EQUI(;(21.1l.Zif_ RETURN25. E'!iO

Fig. B.36. Subrutina DAT: se introduc valurile iniţiaJe în matricile STRM şi DATA.

SIMULl\.REA DYFLO A UNEI COLOANE DE DISTILARE239

4. Compoziţia alimentării, debitul, entalpia şi presiunea sînt introduseîn vectorul .corespunzător alimentării din matricea STRM (linia 8).

5. Debitul fluxului lateral specificat (linia 9).6. Debitul estimat de vapori dezvoltaţi se introduce în matricea ,STRM

Vi~a~. '7. Valoarea estimată a temperaturii şi a debitului se introduc în vectorii

corespunzători tuturor lichidelor din matricea STRM (liniile 10 şi II).8. Compoziţiile iniţiale se introduc în vectorii corespunzători tuturor 'li-

chidelor din STRM (liniile 14-16). Nu este necesar să se introducă compozi-ţiile vaporilor întrucît acestea vor fi, calculate la prima trecere prin rutină.

9. Este necesar ca presiunea să fie introdusă în vectorii de vapori şi li-chide din STRM. Aceasta se face prin liniile 17 şi 18 estimînd presiuneade la' baza coloanei (1,1 atm) şi scăzînd succesiv pierderea de presiune dinfiecare treaptă. '

10. Se introduce J!e asemenea presiunea pentru fluxul de condensat dincondensator (linia 22). Aceasta este necesară pentru PCON.. '11. Se specifică temperatura rezervorului de reflux (linia II) şi se cal-

culează entalpia acestuia (linia 21):12. Primul apel din programul principal se face pentru refierbător, REB.

Acesta va calcula coeficienţii de transfer de căldură pe baza fluxului ter~cspecificat şi a variaţiei de temperatură. Inainte de a apela REB este necesarsă se cunoască temperatura corectă de la baza coloanei care se obţine făcîndapel la EQUlLprin ultima linie din DAT (linia 23), pentru vectorii fluxurilorreziduului 21 si I (fig. 8.34).

13: Datele' necesare pentru specificarea caracteristicilor dina~ice şi decapacitate al~ refierbătorului sînt introduse prin declaraţia de date din pro-gramul principal. Aceste date sînt: deschiderea robinetului A = 0,308; capa-citatea termică a tuburilor refierbătorului WC= 187 PCUrC; capacitatearobinetului c" = 2,5 moli/psi. min; fluxul termic iniţial H = 37 500.PCU/min.

Acumularea din fundul coloanei se presupune constantă. In felul acestadebitul de la baza coloanei este dat de diferenţa dintre refluxul de pe primultaler şi debitul evaporat (linia 9).

In continuare se va arăta cazul unei porniri caracterizale prin regim tran-zitoriu, plecînd de la ipoteza că iniţial, compoziţia lichidului în lungul coloanei,şi în vasul de reflux este aceeaşi cu compoziţia alimentarii. Menţinind con.stanÎă poziţia robinetului de intrare a vaporilor de agenţi termici in refierbător(A = 0,5) şi temperatura condensatorului la 76'C, se ajunge la regim staţionar.final în circa 1/2 oră. Ieşirile iniţiale tranzitoriÎ sint arătate în,' fig. 8..37pentru două intervale de 10 minute. Se observă că după 20 minute proliJ~1'.final al compoziţiei staţionare este practic realizat. In capitolul 12 ,se.va'trata simularea -reglăriiautomate a proceselor, utilizînd această colonă pentr,ua arăta modul în care se conectează regulaloarele la un proces ,tipic,pentru a menţine starea dorită.

" ,.;' ;:; v.,(') , ,.'. ~; : 7 " .' . .::.> ".' "

,., ,~.?'

"

rlM[ =: .OOUU. "STR"'" ".0 1, ' : 2 ' 3' ." " 's • b:. 7 8 9 10 26 '2 •FlOW • 5~'â8'';:O1.: ~.56~4"0 1 •5679.0'1 .5675+111, '.-J'3~)~+02. ,3355"Q2 • 3,J55+02 -•.335S+n2 .3355+02 .33blto2 .5937"01. .2767+02ff,MP .809frt:02 .807".'02 .0.1)5J,tu2 .8031+'02 .P.Q09+02: •7986"02 .7.964"'02 .79"1+02 • 7919+02 ,7896+02' • 7600+02 •7600+02(NTHAl .8~ijO+,04 .023A+'04 ' .H236-tQ4 .8235+-04: 1823.3+'04"' ,A2Jr+04 .8229+04 .8221"'04 .8225+04 .8223+04 .14 "74"'Olf .81J5+04P~ES5 .1100""01. .:1090+01 ".•1080+ul .107"'+'11 • (060+01' .1050+01, .1040+01 .1Ojo+Ol .1020+01 .1010+01 .1000+{) 1 .0000eOMP 1 .5597"'01 ..• 55,98-01 ..••5599-01 .5fJOn"Ol .5601'::'01 ,5602-01' ,5604-(Jl .5605-01 .560b-ol .560,7-01 .1519+00 .31;+99-01COMP 2 .12qA-of' .12'17-01 . • 12QS-Ol • 1?4.}-n 1 ,1242~0t' ,1240-01 .12.38-01 .12.H-Ol .1.235-01 .1233-01 .44.51-01 .5262-'02COMP 3 ,9315.00 .9316.0.0 .'?JU,.oo .'J]16+no .9316+00 .9316+00 j'J316.00 .9316+00 .9JI6+00 .9.316.00 .8024+00 .9600+-00STRM tiO 11 ,2 , 1:5 111 15 16 17 10 19 20 21 ' 2'FLO\'j .1 "'00.02-. .-130.0+02 .1.300+02 • 1~OO+-02 : 1300+02 .8000+01 .8000.0-1 .8000+01 .8QOO.OI '.8000.01 .3000-.01 .5000+nlJE,MP .0000+02 .7896+-02 .7919+02 .7941+02 .,7964+-02 .7986+02 .8009+-02 .•8031+-02 .0053+-02 .9074+02 .8096+0<> .00'00ENTHAL .1632 .•.04 .1609+011 ,1614.u4 .1619+04 ;,1624+04 ,1629.0'l- .163 •.••04 .163<;1+04 .lb44+0Q .1f>1+9+04 •1654.0l.i .0000pRES!; .11;00+01 ~1010+01 .1020+01 .1030+01 .10lfO+'ol .1050+01, .1060 +u 1 .1070.01 .1080.01 .1090+-111 .1100+01 .0000COMP 1 .2169.00 .2169.00-' .2169+00 .2169+00 ,2169+-0,0 .2169+-00 .2ib9.00 .2169+-no .2169.00 .2169.00 .21£'19+00 .9000COMP 2 '.9110-01 ,.,ql.tO-O 1 .9110 ••ql .9110_01 .9110-01 .9i10-01 .<;1110-01 .9110-01 .9110-01 .9UO-Ol .9110-0.,1 .0000COMP J .•6920+00 .6~,20+-ciO .b920+-00 .6920+00 .6920+00 .6920i:OO .6920+00 .6920+00 .6920+00 .6920+00 .6920+00 .0000TIME = .100'0+02.5TRr~ NO 1 '2 ,J • 5 6 7 " 9 10 26 '24ţ'l.OW ".1/.298+01 .l.ij58+al '.1/.383+01 .43B'7+{l1 ,2<;145+-02 .2957-1'0(: .2980+02 .2998+02 .30l.ib+02 .3097+02 .l2b6+-02: .18.31+02TtMP ",99aO+02' .'97,25+02' •9-624.0? .QflO7+02 .9617+02 ,9503+02 ,.•9352.02 .9110+02. '.fl707-+02 .8142+u2 .760,0-+02 .7600+02EriTHAL. '.9136.U4 .13966+-04 . .8939+0li .8939+04 ,8952.04 •AMI7'.04 .8791+-0l.i .-8b8)+-04 .B49S+-0lt .B303+-04 .145,3+0ll. .8134+04PRESS .11',09+01 .i090+-01 •1:080+01 ; .1070+01 .1060+01 .1050+-01 .1040-+01 .10JO+-Ul .1020+-0 1 .1010+01 .1000+01 .0000COMP 1 .2bl.0'+-00 .2302+00 .2192+00 .2207+00 .2267+00 .2394 +00 .241{J+UO .2230+00 .1737+-00 .10,3l.i+-OO .1884+-00 .''+338-01;COMP 2 .9570-01 .8083,:,,01 .7660-01 .7642-01 .7750-01 •'3,944-01 .430t,1-01 .28l.iB-OI .1581-01 .691/.6--02 .14..36-01 .1700-02COMP ~ .61+03+00 .6809+00 .701/.2+00 .7029+00 ,6955.00 .7019+00 .7151++-00 .7491++00 .8098.00 .6905+-00 .7985+-00 .1:;1554+Uo,.

~ (~> .

I ... I

~;~"~~ '-, STR'" NO 11 12 13 1'4 '}.5 16 17 18 19 20 :':1 23~,FLOW .1300+02', .•-1249+0<:: ,1193+02 .l1QO+02 .1153+02 ,6510+01 .6312+01 ,6392+01 .645.3+01 .6171+0,1. ;2095+01 .5000+01~ TEMP .7015+02 .8142+02 .8707+02 .Ql1Q+02 .9352+02 .9503+02 .9617+:02 .9607+u2 .9&24+02 ,9725+02 .9980+02 .9503+02;' ENTHAL .,t:!+62+:0tt .165u+04 .1852ioU4 ,2014+04 ,21.30+04 .2225+04 .231!tt04 .2311+U4 .•2317+04 .2353+04 .2459+04 .2225+Oll."1 PRESS .,lUOO+01 .• 1010+01 .10,20ioul .1031)+01 .1040+01 .1050+01 .1060+01 .10'70+01 .10AO'+01 .100:)0ioo,1 .1100+01 .,1050+01m COM~1 .1~47+00 .3602+00 ,4878ioOO .5365+00 ,5.31~5+00 .5040+00 .4620+00 .4561+00 .~548+00 .4647+00 .4882+00 .5040+005' COMP~ .21l.3~01' .45('10-01 ,7973-01 .1200.-00 .1653+00 ,2147+00 .2696+00 .2696+00 ~2709+00 .2765+QO .296.3+00 .2147+005' COMP J .'7949+0'0. /591;<8+00, ,4332+00 • .342P.+00 ,3006+00 ~28U1+00 .2682+00 .• 2740+00 .2743+00 .2591+00 .2189+00 .2601+00. . .

li TIME = .200U.'"02~ . . .:1, STR"'" NO ,,1 ~ ~ " .3 4 5 6 7 8 9 10 26 2'tP FlOW' ,.~jOI.~01. ~3310+oi .'3 ..H9+ill .339.3+01 .2850+02 ,2E167+02 .2887+02 .2914+02 .2956+02 .301'6+02 .1325+02 .1691+02g. T[MP'. .1:~l'O+:'OJ ,1177+03 ,1124+03 ,'1046+0.3 •.rnr9+02 ,95119+02 .•9421+0'2 .9162+02 .8732+02 .FI"t44+02 .7600+02 .7000+02a' ENTHAL .Î:"ln2f05., ',1067io05. ,1013+U5 ,9490+04 ,9003+04 .8919+04 .8820+0'4 .8689+04 .8505+0-4' .8288+04 .1444+04 .6126+04,(i' PRESS ; 1.'1ooH'll'" .tOflO+Ol ,1080+ul ,1070+01 ,1060+01 .• 1050+01 .1040+01 .10.30+u1 .lu20+01 .1010+01 .1000+01 .0000fll< COMP 1 '.6b59f,OU" ,,64l/.4+00 .5356+00 ,37't6'+00 .21+78+00 ',?639+00 .2670+00 .2454+00 .1098+00 .1096+00 .1935+00 .4456-01

COMP 2 '.-~oli •.oo .241.3+00 .1831+00 .121'7+00 .8004-01 .5708-01 .3779-01 ,2227-01 ,1077":01 .~911-02-' .7770-02 .9186"03fi. COMP J ;.~.331"'b1'j .1077+00 .28D+OO .5037+00' .6712t'on' ,6790+00 ,6952+00 ,7324+00 .8005+00 .8858+00 .7975+00 .95~2+00. .~ 5TRM NO . P 1.2, 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23.

fLOW .1~nO+02 ~,12ijO+02' ,1198+02 .1172+02 .-1152+02 ,63~9+til .6249+01 .6142+01 .;6252+01 .6087+oi .2910+01 .5000+01TE.MP .7600+02 '.e.144+02 .B732+U2 '.9162+02 .9421+02 .9589+02 .9719+02. .1046+03 .1.124+03 '.1177+03 .1210+03 .9589+02(NTHAL , •.14't6+04': ,1632+01 •• 1836+04 ,2001+(14 ;2126+04 ,2235+04 .2347+04 .2601+04 ,2673+0't • .3052+04 .3132+04 .2235+04PRESS ',:ţOPO+Ol, ,1010+01 .1020+01 ,1030+01 .1040+01 ;1056+01 ,.1060+01 ,1070+01 .1080+01 ,1090+01 .1100+01 ,1050+01C~MP 1 ~1q29+00.' ~.383.3+00 .52't0+00 ,579A+00 .5755+00 ,5383+00, .4860+00 ,5633~OO ,6134+00 ",6199+00 .5772+00 .538.3+00COMP 2 .895570~', .2562-01 .•~.3?6-01 -.9245-01 t 1409+00 .1992+00 ,,2665+00 .2969+00 .3253+00 1.3528+00 .3863+00 .1992+00COMP 3 ,7977~00 ~591B+OO .4222+00 .3275+00 .2835+00 .2615+00 .248~+00 .1402+UO .5897-01 .lq.31-~1 ~5J76-02 ,2615+00

Fig, 8,;17. Va'lori numerice obţinute prin sÎmu!are,i COIO<lIlCÎ,

242

Probleme

OPERAŢII 1N TREPTE

! I

1. Vaporii a patru componenţi sînt trecuţi spre. parlea superioară a uneicoloane de extractie cu .solvenţi, prevăzută cu 26 de talere sită, 'avind oeficienţă de 69%. Solventul (componentul 5), intră În parlea superioară a .co-10aneÎ şi curge spre partea inferioară a acesteia. Trei din componenţiifazeivapori, sînt solubili in soivent, iar al patrulea (numărul 4) este insolubil.Presupunind că adivităţile componenţilor 1, 2 şi 3 pot fi corelate prin ecuaţiaMargules cu trei coeficienţi să se elaboreze: 'a) Subprogramul coeficienţilor de adivitate;b) Programul principal cu ajutorul subrutinelor DYFLO;c) Subrutina DATA pentru valorile iniţiale şi de frontieră şi pentru datele

de bază, presupunind cunoscute toate valorile numerice.Programul trebuie să simuleze răspunsurile dinamice ale temperaturii şi

ale compoziţiei fluxurilor de ieşire, 'Ia variaţii bruşte ale alimentarii. ,2. DÎn exploatarea unei coloane de distilare de laborator sau de dimensiuni

industriale, să se obţină pentru un taler anumit valorile temperaturii tran-zitorii, care rezultă ca efed al unui deranjament specific produs (cum ar finndificarea debitului alimentării), începînd măsurătorile din regim staţionar.Să se elaboreze un program de calcul prin utilizarea subrutinelor DYFLO,care să simuleze proprietăţile dinamice ale acestei coloane şi să se stabileascămăsura În care temperatura tranzitorie calculată se apropie de temperaturamăsurată, In cazul in care concordanţa intre acestea este nesatisfăcătoare,să se precizeze care din ipotezele care stau la baza modelului sînt rationalde modificat pentru a îmbunătăţi concordanţa. Este necesar să se obţinăiniţial concordanţa cu operaţia deregim staţionar modificind eficienţa plăciisau corelaţiile de adivitate, dacă este cazul.

3. Zece readoare cu bună amestecare prevăzute cu' manta, avînd fiecarevolumul V, sînt conedate În serie, prelucrînd material în fază Iichidă. Apa derăcire prin fiecare manta (cu acumularea Hj) curge În echicurent cu mate-rialul care trece În serie prin readoare. Reacţia care are loc, este caracteri-zată prin

iar schema readoarelor este

~' ~ '=fj ~' 1 ,'2 : 9 10~v-v-:~v-.v-

. , HJ -----. HJ _;. HJ -----. HJ _

Reacţiile sînt de ordinul Întîi, iar constantele vitezei er de reacţie sîntfuncţii de temperatură conform relaţiei Arrhenius. Reacţiile sînt exoterme,.ceea ce justifică utilizarea răcirii în manta. Să se elaboreze un program decalcul, utilizînd subrutine din sistemul DYFLO adecvate (fără date numerice),care să simuleze dinamica acestui tren de readoare. Cum s-ar modifica acestprogram, in cazul în care fluxul apei de răcire ar fi în contracurent cu fluxulreaetanţilor În succesiunea celor '10 readoare?

SIMULAREA DYFLO A UNEI COLOANE DE DISTILARE

BIBUOG~AFIE

243

1. ,.Process Heat and Material 8£1ii.ll1ces", L M. Naphttlli, Chem._Eng. Pragr., 60, No. 9. 1964.2. SPADE, A Computer Cost EstimaJing System, J. A. Zieharth. American Assod£ltion. of Cost

Engineers, 8ih National Meeting, 1964-..3. Using GIFS irI t!te Aflalysis and Design of Process.Systems, w. H. Dodrill, fali Joint Com-

puter Confercn~e, 1962. -..4. GIFS, Gene!alized Il1terrelated Flow Simlliation, Users ]\'1anual, Issued .by Servic.e BureauCorporation. 1962.

5 .••.lic<lt £Ind Mass Balancing on a-Digital Computer", A. E. R<lviJz andR. L. Norman. Chem.ENg. Pragi., 60, No. 8. 1964.

6. "lmprovc Refining Operation with Proc('ss Simulation", H. A. Lindahl, Chem. Eng. Pragr.'61, No. 4, ApriJ, 1965.

Î. A Digital Computer. Executive Program for Process Sfmulaiion and Design, P. T. S11311110n

and H.Mosler, A.l.Ch.E. 53rd Nationall\leeţîng, May, 1964.8. "Absorption and Stripping.Fador Functions for Distillation Calc:ulation byManual and

Digit;:I1Computer Methods", W. C. Edmister, A.l.Ch.E.J., 3, No. 2,"958.9. "GC'nera1ized J\\aterilll Bal2.l1ce", D. l. Rub.in, Chem. Eng. Progr. Symp. Ser., 58, i\o. 37,

pp. 54-61, 1962.10. "A Abchine ComputRtion Method for Performlllg Material Balan:es", Chem. Ettg. Progr.,

58, No. lO. 1962. ~ •It. A Computer Sysiem for Process Simulation, .M. G. Kcssler an~ P. R. Griffiths. Amc:riqn

Pdroleum Instittlte~ Mav 13, 1963.12. i Siudy of a C01ltqCt SuÎphuric Acid Plant Using PACER, Department o.i Chemi~al Engi-

tleering, J\\c,\1il:ster University, Hamiltoll, 1965.13. "Analog SimL:1ation of Countercurrcnt Crystallization Proccss", W. L.' Godfrey and R. D.

Bcnham, Simulatioll, 4, No. 1, 1964.14.•• Hyl>rid SimllJation of Multistage System' Dynamks", R. G. Franks, Chem. Erlg. -Pragr.,

60, Na. 3, 1964.15. "Dynamic Simulation of a Distilh,tion TO\ver", A. M. Peiser and S. S. Graver, C/lem. EIII{.

Pragr., 58, No. 9, 1962.16. Ţ,he Simulation of Multi-Component Dis/fila/ion, E. C. Deland and M. B. Wojf, AD 28G794,

1962.17. 1.High Spced Memor)' Analog Computcrs", S. H. Jury £Ind J. M. Andrews, Ind. Ellg ..CI!Cf1l.,

53, No. I J, 19Cil.18. "Ho~' to Analyse Control Program for Distillation Col-umll''', R. J. Ruszkay Chem. Eng.,

April, 1963. .19. An~log Computer Simulat ion of ti Solvent Recovery Calumn, R. J. Ruszkay, ISA J., -6,

2.264, 1964.20. "Ester Exchange 'EquHibrium from Dimethyl-Terephthalate and Etllylene Glyc:ol", Receil

1960 Communication No. 3, Institute of Ccllulosc Researc.h AKU: Utrecht, 1960'.21. Approximation Models ;or the Dynamic Response of Large Distillaiion Columns, .1. s. r\\oczek

mid T. J. Wil1iams,' 1962.

24422. "Dynamic Charaderistics and Analog Simulation of Distiflation Columns", D. E. Lamb,. Î R. L. Pigford, and D. W. T. Rippin, Chem. Eng. Progr. Symp. Ser., No. 36. 1961.23. ,.Development and Application of a General Purpose Analog Computer Circuit to Steady

State Mutti-Component Distillation", N.G. O'Brien and .-R. G. Franks Clzem. Eng., 55,No. 2,1, i95B.

24. "Steady State Heat and Material BaLances", H. G. Garner, Ch.em. Eltg., April, -1963.25 .. ,Dynamic Behavior of Multi-component, MuHi-siage Sysfems: Nuin'i;ri~al l\lethods of

Solutian", R. S. H. Mall, S ..Michaelson, and "R. W. H. Sargent, Chem. Ertg. Sef., 17, 1962.26. A1aierial afld Ellergy Balance Computations. E. J. Hemley and E. !Il. Rosen. WHey, New. York, 1969. .' •

27. "CycIic DistiHation Control", H. i.. Wade; C. H. Jones T. B. Roone\;, and L. B .. _E~'ans,Chem. Eng. Pragr., 65, No. 3, March, 1969.' . ~ . .:, ,"-' -

28. "i\lulti-component Bateh Distillation SimulaUons on an 18,Il,1 1130 Computer", ;E. R. Ro-binson and M. R. Goldman, Simulatian, 13, No. 6, 1969. . .

.,

....

9.' SISTEME IN REGIi\I STAŢIONAR

Capitolele precedente au tratat formularea modelelor matematice pentrusisteme: care -constau, în- esenţă, din vase conţinînd fluide bine amestecate.Ecuaţiile acestor modele matematice caracterizau condiţiile tranzitorii din vaseprin ecuaţii diferenţiale ordinare-, în cele mai multe cazuri neliniare, în carevariabifa independentă efa" timpul. .Modelele au fost extinse de la un singurvas la sisteme cu mai multe trepte, O extindere logică a sistemelor cu maimulte trepte o constituie cazurile în _care transferul de căldură şi de masă areloc pe o anumită distanţă, Astfel de cazuri sînt caracteristice pentru schim-bătoare de căldură, condensatoare, reactoare tubulare, etc, Cazurile acesteasînt descrise prin ecuaţii diferenţiale cu derivate' parţiale, în care timPt.Il şidistanţa constituie variabilele' independente, Iil capitolul acesta se vor -tratanumai 'sisteme în ,regim staţionar, ceea ce permite eliminarea derivatelor înraport cu' timpul şi definirea va\iabilelor sistemului În raport cu dimensiunilegeometrice ale utilajului, Exemplele care urmează sînt tratate-in ordinea com-plexităţii lor, iar analiza lor urmează procedura expusă în capitolele precedente_şi anume:, modelul matematic este: prezentat sub, forma unor diagrame cublocuri:inforrnaţionale _aranjate astfel încit să descrie variabilele fizice În funcţiede distanţă,

9,1. sCHIMBATOR DE 'CALDURA IN' CONTRACURENTI

Exemplul 9. t . ,..

In grupul acesta de probleme, cazul cel mai simplu îl constituie schimbă-torul de căldură lichid-lichid, tub în tub, În contracurent (fig,,9,J). Condi'ţiilecunoscute de intrare sînt: două tempetaturi de intrare TSI şi T;,: 'două debiteFsşi FT; dimensiunile tuburilor şi coeficientuL de transfer de căldură.'Sînt cunoscute valorile temperaturilor de ieşire T 80 şi TTO' Pentru a coreI aaceste două necunoscute cu valorile cunoscute, ale temperaturilor şi ale debi.telor este necesar un sistem de ecuaţii, Ecuaţiile diferenţiale sînt deduse 'prinprocedura clasică de stabilire' a :unui bilanţ 'termic, în regim staţionar, printr-o

246 SISTEME IN REGIM STAŢIONAR

I7ro----

,Fig. 9.1. Schimbător de căldură lichid-lichid în contracurent.

\

secjiune infinitezimală LlX a aparatului (fig. 9.2). Variajia temperat urii cudistanja (dT jdX) În fiecare flux de fluid se modifică pe parcursul lungimii Xa schimbătorului de căldură; întrucît însă lungimea ,secjiunii elementare 6,Xeste foarte mică această varialie poate fi considerată constantă prinsecjiune.Dacă temperatura de intrare în această secliune este T, temperatura de ieşireva fi (fig. 9.2) , .

, T + dT. LlX). dX ~

Convenjional - LlX se referă Ja tubul exterior.Suprafala conducteiprin care are.locschimbuJ de căldură între cele două

fluide este "DLlX, iar dacă U este coeficientul general de transmisie 'a-căl-durii, c~ldura schimbată Între cele două fluide în secliunea'LlX va fi: ". ..•. - .

Q.LlX = U("D'LlX)(Ts- TT)

în care Ts şi TT sînt respectiv temperatura fluidului din manta şi temperatura /fluidului din tubul interior. Printr-un bilanţ termic asupra fluiduJui din spa'-tiu! inelar se obline

dldura intrată = căldura ieşită

F.,CJ, = [Ts +:;' (~LlX!] FsC~.-+;.Q.M

(TS+ (-iiX)'!Jj) ----r-iiX-~TS ,

, I . I '. 'SSSllsss,sssH<SII<S1'S>lSSSSSlS'

, I '?Ax I .r:' l' I

---!.......4 r----:-- (!T + AX ~~T)• X

'Fig. 9:2. Secţiune de lungime ax PţI1tru schimbăton;1 d'e'căldură lichid. lichid.

SClllMBĂTOR DE CĂLDURĂ !N CONTRACURENT 247

l

'/ X se consideră pozitiv În sensul curgerii fluidului din tubul interior. Este de<Jbservat că Întrucît regimul considerat este stationar ecuatia de mai sus nu-contine nici un termen relativ la acumulare, spre deosebire de ecuatiile dincapitolele anterioare. .

Prin' rearanjarea termenilor ecuatia de mai sus devine

F,C (IT, = + Q•• .s dX

Printr-un bilant termi, asupra f1uidului din tubul interior se obtine o ecuatieasemănătoare

FTCT dT~ = + QdX .

Ecuatiile acestea, al căror .model este arătat În iig. 9.3, se rezolvă la calcu-lator, integrÎndu-le de la X = O la X = L, unde L este lungimea apa~atuluide schimb de căldură. Intrucit sînt două ecuatii diierentiale este ne~esar să~ecunoască valorile initiale ale lui Ts şi TT pentru X = O. La intrarea În tubulinterior (unde X = O) se cunoaşte temperatura T Ti, dar cealaltă valoare ini-.iială, temperatura de ieşire a Iichidului din spatiul inelar, "T.<o, este necunos-cută. Problema rămîne aceeaşi În cazul În care calculul s-ar Începe de la cea-laltă extremitate a aparatului. Este deci necesar să se facă o estimare pentruvaloarea iniţială necunoscută, T80, să se integreze pînă la cealaltă extremi-tate a aparatului şi să se compare valoarea terminală calculată Ts cu tempe-ratura de intrare cunoscută Ts,. Dacă acestea diferă se repetă calculul începîndcu o nouă valoare initială T;;'. Procedeul se repetă pînă cind valoarea calculată

Bilant termic .. m8nta

dT. :roF.C. dX = + Q ,

Flux termic

Q,

Q = r.DU(Ts - Tr)

F,C, d)"; = + QT,

Bilant. termic- tUburi I

. Fig. 9.3. Model pentru-un schim.bător de căldurălichid-lichid.

. 248 SISTEME !N REGIA'! STAŢIONAR

_TTO-TSid

LlJn,qlme X

Fig. 9.4.

o

IIIII

Tf!h1pel'iltura ITemperaturaFIu/du/vi tn manta

,

Ts este egală cu valoarea cunoscută. RezuJlatele acestui calcul iterativ pot fireprezentate sub forma a două curbe care arată variaţia temperaturii cu lun-gimea (iig. 9,4). . .

Iteraţiile sînt efectuate de calculator pentru a obţine egalitatea Între valo-rile Ts, de la extremitatea ,aparatului şi se poate obţine o convergenţă rapidă,utilizînd o metodă (algoritm) simplă. Dată fiind viteza ridicată a calculatoa-relor analogice moderne; calculul de convergenţă ia doar o fractiune de se-cundă .. Pentru o problemă de această coinplexitate un calcl)lator numeric mareeste practic .tot atît de rapid. . . .

Rezultatele obţinute în cazul acesta. simplu arată variaţia performanţeiaparatului în raport cu variaţiile de debit,. cu temperaturile de intrare. culungimea şi diametrul .tuburilor. .

9:2. CURGEREA GAZELOR JNCONDUCTE

Exemplul 9.2.

Curgerea unui gaz compresibil in lungul .unei conducte prezintă un gradpronunţat de neliniaritate, deoarece .variaţia cădţrii de presiune este propor-tional ă cu pătratul vitezei. In măsura .în care scaM presiunea în sensul curgerii,densitatea gazul ui se reduce, avînd ca efect o creştere a vitezei. Ecuaţiile că-dereii de .presiune În curgere izotermă sînt: -

dP ~.,- M, --'= 1(, _e V =-,-. ? = kP

dl 1> p

În care D = diametrul; V = debitul volumetric; K, = factor de frecare;M = debitul; p = densitatea; P = presiunea. . .

Modelul procesului este arătat În fig. 9.5, pentru cazul unei destinderi izo-terme. Să admitem acum că se produce.o modifitare sensibilă a temperaturiigazului în urma unui schimb de căldură deja .inteI:iorul spre exteriorul conduc-tei. In acest caz modelul va trebui să cuprindăurm"ătorul bilanţ termic .

. ~ (MeT) = U"D(TJ-T)dl . . .' ....

Ci1ere de pres/vI;

FLUX' DE GAZ IN 'CONDUCTA

fDensitate

249

,iP _ K, V2f'dl - D5

v

P

De/IIi de volum' .

l'= kP T

!Fluxul de. gaz

II .I Radiatier-~'-1---. [ OUfldvcţie

1"., l . __, ,IPet/cvlă

Perete~ '.

Fig. 9.3. Model pentru c!Jrgcrea unui gaz prin condu ct~. Fig. 9.6. Fluxul termic de la gaz.la peretl;',

în cate C = capacitatea termică; Ti = temperatura mantalei. Temperatura Tinfluenţează densitate~,. adică':

~I",

p = il' £- 1- o: RT r '

'în care R = constanta ,gazelor.Modelul mai poate ,fi dezvoltat" ţinindu.se seamă de variaţia coeficien-

tului de transfer al căldurii V, cauza ti, de variaţia rezistenţei peliculei dininteriorul tubului, ca efect al variaţiei vitezei gazului, adie[•.V ~ fiVi. In cazulin care temperatunle sint ridicate ar 'trebui să se ţină seamă şi de călduraradiată de conductă prin pelicula de gaz (fig. 9.6).

Fluxul termic prin peli.ctila-:de gazconductivitatc ,_ mdiaţic

Q = "D[h(T - T,)' + a.(T' - T:J]în care T, = temperatura pe suprafaţa interioară a tubului. Ecuaţia bilanţuluitermic devine:.

'!... (MCT) = "D(h(T - T,) + a.(T' - Ti)ldl '. ' .' .

Pentru a obţine temperatura T, la interfaţa peretelui tubului şi a peliculeide gaz se egalează fluxul termic prin pelicula ,de gaz cu acela prin pereteletubului:

Q = "D[h(T - T,) + ?(T' - Ti)] = V wirD(i; ~ Ti) - T,

Modelul complet al sistemului este arătat in fig. 9.i, care cuprinde şi variatiadiametrului conductei cu lungimea, adică D = f(I). Pentru a obţine tempera-tura in funcţie de lungime intr-un' anumit răcitor trebuie să se rezolve acesteecuaţii. Ele permit, de ,asemenea, calcul,!l influenţei produse de' variaţia' dia-metrului tubului şi a temperat urii În manta, •

250 SISTE!o,~ !N REGIM STAŢIONAR

Q FluX termic perete

Q = U"," O(T, - lj)

T

T,

f Bilant termic

"1 ~ (M~T) =-12Q Flux termic peliell/ă

C(= "D[h(T - T,) - d.(T~ - T,"»o h

TCoeftCient

pelicula

h =f(V)

fi

Dens/bat-/] 9. Deb:l de. volum

r. ~ 1 D/a/nec"lJ (/ung,;'r;e)--1 .

, . D = fii)L. ---.-J

kP MF~ PT V ~ 7'

t ~ iI -1 -u-'-:B-~J-'e-,"e-a~G-.E-1 - I1 P i presillflE ~L.-.-J

1

ciP ~ KeV2f I~ dL 05,

tD

Fig. 9.7. ,Model pentru curgerea adi<1batică <J ulluigaz printr-un tub.

9.3. PERMEAŢIE [1)-

Exe.mplul 9.3.

Un proces care este matematic similar unui aparat de schimb -de căldurăîn contracurent îl prezintă separarea. unui amestec de gaze prin permeatieprintr-un material semipermeabiL Aparatul constă dintr,un tub de sticlă cuperete subtire introdut coaxial într-un tub cu diametru mai mare, acesta din

PERMEAjIE'

r-ig. 9.8. Proces de pcrmeaHe intr-un ap<lrat tubular.

251

urmă fiind alimentat cu amestec din gazul A şi B la presiune ridicată (fig. 9.8).Gazul permează din spaţiul inelar prin peretele tubului in tubul interior şi curgespre ieşirea acestuia; excesul de gaz din spaţiul. inelar iese din aparat la cea-laltă extremitate. In felul acesta gazul din interiorul tubului şi din spaţiulinelar curg în contracurent. Admiţînd că gazul A permează prin peretele tu-bului de sticlă cu mult mai repede decît gazul B, rezultă că gazul care pără-seşte tubul interior va.fi apreciabil Îillbogăţit în componentul A. Viteza depermeaţie a fiecărui component depinde de proprietăţile difuzion~le ale sticlei,de dimensiunile tubului şi de presiunile parţiale ale componentului respectiv.în cele două părţi ale peretelui tubului.

Debitul de permeaţie printr-o secţiune elementară de lungime ~X pentrucomponentul i (fig. 9.9) este:,Debitul = (coeficientul de permeaţie) (secţiunea) (diferenţa de presiunejgro-'simea peretelui)., . ,

Q "( D "X-),(P,,-P,,)Pt = Pi r: iii Ll. t

în care, Q .= debitul în it' jmin, în condiţii norm~le;D m = dia metrul mediu;t = grosimea peretelui.'

Presiunea parţială a gazului este produsul între fracţia molară a compo-nentului şi presiunea totală, adică,

PSi = YS-j,Ps şi PT1 = YTfPT

•

Fig. 9.9. SecţiullC8 t.i.X prin porţiunea tubu-]<lră, Într-un proces de permcalie.

1,II

Ll X ---i1

PŞf 1Manta

1 Ţ113

252 SISTEME IN REGIM STAŢIONAR

1---6X~I I d9s

Qs, • I I 1 [QSi + if!' MI

M~:f;)"pi<,.j"<S<TU.bu;t' 'i&( ,

Fig. 9.10. Variaţia debitului prinsecţiunea LiX.

'Bilanţul de masă pentru componentul i din spaţiul inelar, poate fi dedusîn1r-o manieră similară cu aceea aplicată la schimbătoruJ de căldură. Referin-du-ne )a fig, 9.10, avem: intrări = ieşiri.

Q.Si= (Qst+ ~~'., âX ) + Qp,

X .se i:a pozitiv pentru fluxul din spaţiul inelar.Ecuatia de mai sus se reduce.la

dQsl = _ Q1'1

dX C>X

Substituind vaforilelui Qpi 'şi Pii'şi P"i In ecuaţia,de mai sus se obţine:

dQ" A ("D,,) (P 'Y P V')'dX = - 1-"1 -,-o ..~ Si - TI j'i

O ecuaţie similară se obţine pentru debitul din tub:

d Q p, ("D ...) (P Y P Y' )- dX TI_= !-'i, -i- J:i Si - l' Ti

Intrucit molii şi volun1ele normale sint echivalente, compoziţiile Y (fracţiimolare) pot fi definite prin debitul volumetric,

QT4 QSAYPA = --~-- YSA ~-=-----QT.4 + Q'l'B QSA + Q{ilJ

Expresii similare se obţin şi pentru componentul, B. In spaţiul inelar presiuneapoate fi considerată constantă; dar, din cauza secţiunii reduse a tubului inte-rior, în lungul acestuia are loc o cădere de presiune apreciaoilă, PT, care estefuncţie de X şi trebuie'calculată. 'Această cădere de presiune se defineşte prinecuatia curgerii laminare

dPT =fkf

~wdX i'J1D4

în care k} este facloru! de frecare, [L este vîscozitatea, P", este ,iensltalea medie,iar cu D s-a notat diametru! interior al tubului.

Se folosesc şi ecuaţiile auxiliare de mai jos, pentru definirea acestor varia-bile, pentru componenţe A şi B, presupunînd amestecul ideal

vÎscozitatea 1-1. = ~AYTA + rBYPB

'debitul de masă \fi = PAQTA + PRQTRdensitatea p", = aPT(MAY TA + MlIYTB)

în care A1i = masa moleculară a componentului i.

.,

PERMEAŢIE 253

DeMul de permeatie ,?",/ţPA '". (ll,41r.£f)(Ps Y3A - .o:.Y7A}

, oensl:tiJ~.e<!..met!ie,~ =,a~7(~~YTA.+ /'18Y78J

Bilant de masa.d pe compone"!i ((SA

,d; qSA = - '?PA

Debitul de masă• " '1' ,,"

'w= fA?T,4 + fBQ7B'

Visctzitilbea

'.P-F.l'A YTA.+ l's YIB~

Fig. 9.11 .. Modelul. procesului de permc;3:\ie.

Fig: '9.11 arată aranjarea completă li acestor ecuaţii. AranjaliJentul acestaeste natural, întrucît, diferenţele între", presiunile parţiale determină' debitulde permeaţîe, iar ecuaţiile de bil-anţ de njasă, definesc debitele din spaţiul inelarşi din' tub. Ca ,şi în exeJilplul precedent' ecuaţiile se rezolvă prin integrare dela X = O la X = L. Pentru X '= O se cunosc compoziţiile şi debituJ în spaţiulintertubular, întrucît valorile acestea reprezintă mărimiie de intrare în acest

254 SISTEME lN'"REGIM STAŢIO~AR

•

FIUl( prt;7 ma"t~•F1lf{ pl'in tu6uri

LungIme X L

Fig. 9.12. Gr<ldicnli tipici de debit şi presiune pentru pro-"ces~1pcrmc?liei în tuburi.

spatiu. Astfel, se cunosc conditiile initiale pentru cele două ecuatii diferenţialecare definesc debitul prin spaţiul inelar Qu şi QSBo.Conditiile initiale pentrudebitele prin tub QTA" şi QTB" trebuiesc estimate. Valorile initiale se estimeazătinind seamă de criteriul valorilor limită, conform căruia debifele prin tubsînt O pentru X ='L. Presiunea infţială din interiorul tubului pentru X = Oeste deasemenea cunoscută; valoarea ei va creşte pină cind pentru X = L 'seobtine maximul. Fig. 9.12 arată o serie de rezultate tipice.

Debitul şi compozitia gazului separat prin permeajie variază cu diametrulşi cu lungimea tubului, cu debitul de alimentare al gazulu' şi cu valoarea pre-siunilor de ambele părti ale tubului. Variind aceste condiţii în modelul mate-matic şi calcuiînd rezultatele corespunzătoare, se pot obtine condiţiile şi dirnen-siunile optime ale tubutui.

9.4: PROIECT DE VAPORIZATOR

Exemplul 9.4.

Vaporizatorul tubular :fn acest proces constă în linii mari dintr-un schim-biitor de căldură în care se evaporă parţial un amestec multicomponenLAceasta se realizează trecind amestecul printr-o conductă încălzită şi înde-p,lrtînd vaporii formati la ieşirea dfh conductă. La ieşirea din aparat fluiduItrebuie să aibă o anumită compozitie, care este o functie cempiexă ce depindede relaţia dintre temperatură şi lungimea tubului .

. ,

.PROIECT DE VAPORIZATOR 255

Conductă. de vaporizare

RezervDr dei!limentare

,.Mimta

I

Fig. 9.13,' a. Proces CII vaporiznfc b-rusc:~, În echilibru, Într-o conduct:l.-

Fig. 9.13, il arată schefna generală al unui astfel de tub (prezentat simpliiic"lÎn fig. 9.13. b) prin care curge amestecul ce urmează să se evapore, tubul fiind

• Înc.ălzH IIi exterior prin intermediul unei mantale care se menţine la o tem-peratură constantă. Din experienţele efectuate pe aparate de dimensiuni redusese poate elabora următoarea analiză:

Prima transformare observa bilă, care are loc la intrarea Jluidului in. tubeste ridicarea temperaturii fluidului pînă la punctul de fierbere. Ecuaţia careexprimă această primă etapă, este: cantitatea de căldură schimbată, În uni-tatea de timp pe unitatea de lungime a tubului = cantitatea de căldură transfe-rată prin peretele tubului, În unitatea de timp pe unitatea de lungime. Adică:

. ~ (\l7CT) ~ UA(T; - T)dl

Căderea de presiune care are loc În această etapă este descrisă de ecuaţia curge-rii 1anli nare : .

dP.=K,I\7

dl D'În care W =debilul de masă total;

D = diametru! conductei;K, = coeficient de frecare (= ~)

. . pg(,,/4)

TtJ!Jde vapONzare

. /Jm~W~H ..mult/cumpone;,

Mantar VaporIl,~r

Lichid

Fig. 9.13, b. Vapori zare bruscă, în echilibru, ÎJltr.o conductă.

256 SISTEME L.'l REGIM STAŢIONAR

.-~.....

Cînd se atinge temperatura de fierbere începe evaporarea şi din acest P4nct,în conductă curge un amestec de vapori si lichid. Pe măsură ce evapol'areaprogresează, creşte fractia de vapori produşi. Creşterea presiunii în functie delungimea conductei pentru un amestec de vapori şi lichid se:exprJmă prin ecua-tia: [5, 2, 3J. .

~ ; dP K~\PVj,, -=----

.'dr D'

în care V = debitul de masă ,al vaporilor. Prin 'ufl11are, pe măsură ce V .cr~şte,are loc o creştere corespunzătoare a lui.Jpldl.' " .

Intrucit după 3hceperea evaporării temperatur,\ este determinată de pre-siunea şi compoziţia Iichidului se va .Iolosi reraţia uzuală pentru vapori-lichid,utilizată in capitolele precedente adică: ' " ", ,

.. - .;J"

L= X {,(T)-r,, 'p

în c3re Y, = fractia molară a componentului I In vapori:X, = fractia moi ară a componentului i în lichid; .UT) = presiunea de vapori a componentului pur i:l' = coeficient de ae!ivitate. _

Temperatura se obtine din relatia 1Y, = I :"'T. Trecerealichidului princonductă' este asociată cu.o modificare 'a compozitiei sale şi' a presiuni), ambeleconsiribuind la variatia temperat urii. După începerea evaporării, .eCuaţia debilant termic devine: variatia căldurii sensibile = fruxul de căldură din' manta- căldura latentă de vaporizare. " .

..ct. (lfiOCn ~'UA(T, '-- T) ~ V),dl . ,

în c;re V = debitul vapori zării şi ),=, căldur'ă latentă de vaporizare. Ecuaţiaaceasta se utilizează pentru a calcula debitul de vaporizare,v. Debitul total devapori în orice pune! al tubului se obţine din retaţia simplă dVldl = v; prinbilanţul de masă pe lichid se obtine L = L, - v. ]n ecuatiile de echilibru va-pori-lichid, compozitia vaporilor' 1', reprezintă compozitia fluxului 'care. se evaporă v, în echilibru cu lichidut avînd compoziţia X. Nu este necesar să'se presupună că compozitia masei principale de vapori Veste în echilibrucu lichidul. Astfel compozitia vaporilor, l' v, se obţine din următorul bilant demasă pe componenţi

d- (VI' .)= ,'1',dl . T1

Jn mod analog, compoziţia lichidului se obţine din bilantul pe componenti:, d "_- (LX,) = -v}' i

"dt _

Asamblînd aceste ecuatii Într-un model adecvat pentru programare pe calcu-lator, se întîlneşte un aspect interesant care nu a fost tratat pînă aici. Majori-tatea proceselor pot fi, clasiiicate în procese cu sau fără fierbere; În

17 - MOdelare:t şi simularea în ingineria chimica -'cd. 29

1.

,

25.1

..,'". .'

•

Declaraţie logicăT ~ Tfor T < TEAt:T = TE forT> TE

. Fig. 9. .14. Model p.entru slabilir,ca. t('mp~raturii:

?ROIE:CT DE YAPORIZATOR.

Bilanţ termic

;'(W'CT) ~UA(Tj - T:

Xi.' . Ecuaţii de ephilibrup

.acest caz însă, ambele regimuri au Iqc înac.elaşi groces. Pro~leilla poate fitratată în d()uă,i]3niere :în prima se ulili,,~a'iă '0 condi.ţi.~'logică,prin .. tes.tarea căreia,se realizează comutarea de la o ecuaţie la alta. din momentul .încare s.a ajuns la ternperatura de echilibru, aşa cum se arată 1(1 (ig.. 9'.14: Inschema aceasta valoa"rea curentă a temperaturii se obţine din ecuaţia de biI?nţ. termic cînd T <T,,; indată' ce T= T ;;. condiţia Iqgică fiind indeplinită,se produce comutarea astfel 'încît valoarea ~ctua!ă a temperaturii T~"c,:se ob.:ţine din ecuaţia de echilibru. Tn acelaşi timp se ia înC0I1siderare o nouă ecuaţiede bilanţ. termic care c'uprinde termenul de evaporare pentru caicurullui 'v,debilul vaporizării. ..

Pentru a obţine temperatura, o abordare mai elegantă a problemei, maiapropiată de mecanismul microscopic "natura!:', (vezi capitolul 5), constă îna utiliza o ecuaţie de biIanţ termic co'mpletă, pentru ambele regimuri. Se conl-pară apoi temperatura aceasta cu temperatura de echilibru şi secaiculeazădebitul de vapori v, definind; .

v=O T<TE.' .v.7'" G(T - TE) T ;" TE..." -, ,..-' -,

Dacă G'este suficient de'mar.e, T nu va diferi sensibil de TE' Modelul devineacela arătat în fig: 9.15 care este valabil pentru ambele regimuri. Ecuaţiaii~:'G(T - TEl trebuie tradusă într-un .algoritm adecvat pentru un caiculatornumeric, aşa cum s-a deSCris în capitolele precedente.

Deşi model ul acesta este direct, dcondtice. adeseori la timpi de execuţiemari, deoarece valoarea ridicată a lui .G, care este necesară pentru a realizaT "" TE, reduce .,constanta de timp" efectivă a ecuaţiei debilanj'termic, la ovaloare mică. Tntr:un caiculator numeric, m;easta are ca efect reducerea. pasuluide integrare la o valoare foarte mică, pro'ducînd timpi d€ execuţie excesivipentru' un iriterval de integrare' dat. In asemenea cazuri este recomandabilsă se realizeze programul după modelul macroscopic din fig. 9.14.

/

vFII/x de vaporiv= O ror T .< Tev=G(T-Tcl

T

V

;

EcuaţIi de echIlibru

SISTEME IN REGIM STAŢIONAR

Fig. 9.15. Variantă de model p~ntru st(lbilirca tempcraturii.

Bilant te"micd . .dl(W.CT) :- UA('f.j - T) - VA

Ţ.

258

\

Prin ajustarea parametrului k, şi a exponentului n se pot obţine valori care săcoincidă:culdateie experimentale. O asamblare completă a ecuaţiilor acestuisistem este dată În fig. 9.16, a. Se atrage atenţia asupra utilizării logice a fie-cărei ecuaţii: "bilanţurile de masă pe componenţi se utilizează pentru a stabilicompoziţiile lichid - vapori, echilibrul Între faze determină- temperaturadupă evaporare printr-o reajustare prin ecuaţia de bilanţ termic ele.

Parametrul cel mai semnificativ, şi critic, al acestui sistem îl constituiecoeficientul de transfer al căldurii U. Valoarea acestui coeficient este deter-minată. de rezistenţa peliculei interioare şi exterioare şi de rezistenţa pere-teh,i 'conductei, care este de obicei -redusă: Rezistenţa peliculei exterioarepoate .deasemenea fi considerată mică În cazul În care mediul de Încălzire.constă din aburi care condensează. Rezistenţa peliculei interioare este o funcliede natura curgerii În două faze care are loc În interiorul tupului. Intr-un pro-ces ca .acesta, 'prin peretele conductei 'se transmite o cantitate suficientă decăldură pentru a evapara lichidul. Acesta curge în mare măsură prin axulconductei fiind înconjural de vapori care curg În apropierea peretelui. Cind oparte din acest lichid atinge pereţii lubului se Încălzeşte şi se evaporă mărindastfel proporţia de vapori. Cu ajutorul acestui mecanism se poate formula oecuaţie empirică care. să exprime creşterea rezistenţei la transmisia căldurii,pe măsură ce raportul debitului de vapori la lichid creşte; adică

.REA.CTOR TU.BULAR

'. Cio'ere 'de presium.1 dP K W

di' = 7.ii (OI' v= odP = 1<1W'Wh .dl 0$ 1/'">0.

p

Bilant ,de- lich;dL=l,,_V

:,,,-----------------~

f.chllibrul yaporl -lichid. pe mmponYi =: Xd,(Td "",{p

v

v

L ~

v "~-----" -..•--.-----~--- --~-- ._.-'---1v. ,. /,ln mO'<Jrpe I~n, mear pe 1 _ ,ap.cI; e_

compon8f1ţ/i /n Yy' compensflţii henrzi :Xi urmici'lic/l; Cd y~po,.l"ii1(VY~J-t"YL LXi.."",LaXifl- vY .•..t

Jn ,V8pOr/fiI' '.dl - II"

T

idll/lbru {otal

Iar ermlCd' ('•.'",; Fierbut!

"".dl(Cr) = UA(Tj - Te)

611""t termIC fU fiel'6t!

...,\_U~(ri- T,d- wJ(CTl").,v_Or"rT< T£

9.5. REACTOR TUBULAR

Fig_ 9_iG, {l. !\\odel pentru cvaporarea brusd, în ecllilibril, într-o conductă.Ohservatii. EClwliilc din interiorul dreptunghiului cu linii întrcrupte se repetă pentr[l' 'fieca.re

component.

.•..

Transcrierea unui asemenea model matematiC pentru un calculator nu ridică. dificultăţi, deoarece poate fi tratat ca o integrare directă in lungul aparatuluide evaporare. In cazul în care se impune o anumită valoare a presiunii la sfîr-şitul calculului, este necesar să se efectueze execuţii repetate în care şă se vari-eze presiunea iniţială pînă CÎnd se obţine conditia finală specificată.

E~emplul 9.5.

Numeroase reacţii industriale în fază gawasă se efectuează treCÎnd gazeleprintr-un tub cu catalizator. Prin trecerea gazelor prin tub, ele reacţioneazăI~ supraf_aţa catalizatorului. Determinarea cineticii reale a acestor procesear răspunde la multe probleme de interes economic cum ar fi, randamentuloptim, şi evoluţia termică optimă a sistemului. In exemplul acesta intereseazădeterminarea constantelor de viteză a reactiilor de descompunere a acetiTerleişi a etilenei. Etilena se descompune, rezultînd acetiienă şi hidrogen, iar &e-tîlena se descompune, rezultînd carbon şi hidrogen, astfel;

Etilenă C,H~~ C2H, + H,

Acetîienă C,H, ~ C,+ H,

260 SISTEiI.'1E IN RECiTi\! STAŢIONAR

". Incii/Lire'

I=ig. 9.16, b. Reador tubular.

..~

.. ~

,i,

Datele experimentale s'au obţinut Într-un aparat (fig. 9.16, b) care constă.dintr-un tub 'ÎncăI,zil într-un cuptor cu rezistenţă electrică. Prin' tub s-au tre-cut debile măsurate'de hidrocarburi şi diluenţi. Efluentul era răcit brusc prininjecţie de apă şi era trecut Într-un separator gaz.lic)lid din 'care erau luateprobe pentru analiză chimică şi la speclrometrul de masă. Cu un set de ter.'mocupluri se măsura gazul din interiorul tubului, iar cu alt set se măsura tem-peratura peretelui la interiorul tubului. Modelul matematic se.bazează peipoteza că atît descompunerea etilenei cît şi a acetilenei are loc.dup~,o reacţiede ordinul Întîi. S-a admis că, coeficienţii vitezelor de reacţie pot.fi eKprimaţi.prin ecuatia Arrhenius k 0= AeKp(-BIT a), În care Ta este temperatura abso-lută a gazului. Constantele de viteză a celor două reacţii sînt definile prin:

Etilenă k, = A le-B,ITa

Acelilenă. k, "'" A ",-n,ITa

iar 'viteza de reacţie este

R, = k,PY,.

în care presiunea ~ P şi y, :=.(racţia molarăde etile~ir 111:~cest\a'i)~:eşfeexprimat În lb moii/ft'.h. In mod similar avem: ". '

R, = k,PY,

"

În care Y, = fractia molară de acelilenă: ','Ecuaţia de. bilanţ de masă pentru fiecare component În faza

stabileşte În maniera uzuală, după cum urmează (fig. 9.1 i),,:- debitul de c6mponent În secţiunea ,<1X= M Y;...: debitul de .2qmponentla ieşirea' din se~ţiune:'''. . , , , , d

<1X =MY + <1X- (MY)dX

în care M = .debilul molar total, ..'

gazoasă se

1 ".,,

Fig. 9.17. Secţiunea DX pentru bifan-tul material dintr-un reaetor tU!llllar.

"' REACT6)~ TUBULAR~ ~.. 26.1

Debitul de reacţie în secţiunea I!.X = viteza de reacţie Xvolum=R. (T.~'.I!.X)

in care D = diametrul tubului.Btlanţ\i.lde masă,:, intrări = ieşiri

M Y= [ M Y + I!.X. d~ (M Y)] + R(t.X. T.~')Ecuaţia aceasta se reduce la'

.!!...(M Y) = - R ( r.D'),dX ' " " 4

astfel încît avem pentru' etilenă

.!!...(MYo)=(R -R,j "D'dX " " 4

Pentru molii totali avem:

d~ (M) - R, ("~')

întrucît în prima. reacţie se fOfJ)lează două molecule de gaz (C,H2 şi H,), dintr-omoleculă de etilenă.

Temperatura gazului se obţine rezolvînd o ecuaţie de bilanţ termic, călduraintrată = căldura ieşită, după cum urmează (fig. 9.18):

" Mt'~Cp + H R ("D' I!.x) + Q. ("D. !J;X)= MT eCp+ I!.K ~ (MT cCp)4 dX ,

Această. ecuatie se teduce la

şi . pentru acetilenă

d .

dX

•(MY,) = --'R, (r.~')

'. d~ (~T~Cp) =( Q + HR'~) "O', ,

Fluxul termic Q de la cuptor, prin perete, la gazul care curge în interiorul tubu-rilor poate fi aproximat prin următoarea ecuatie

Q= h(T1I' - Te)

Fig, 9 ..[8: _S~liunea fiX p.entru'bilan-tul t~~mk.~I unui reactor tubul<lL

f--l'.X---1I -i~-

MTCe, I ?:! I Jl, • H. ~IMTCp+'XJX(MTCp)1

Iti ',' ,I I : ' " . ' ,(Q ""D . aX)'

f

262

J~mpl:T'#ffJr;

l'e~ttl(J"

o

SISTEME IN REGIM STAŢIONAR

Fig. 9.]9. Gradientul temperaiurii. p-efet.e:iuiunui rcactor tubular.

Valoarea coeficientului h poate fi obţinută trecînd prin tub un gaz inert la lindebit similar, măsurînd creşterea de temperatură, şi comparînd rezultateleprin simularea formei simplificate a ecuaţiei de bilanţ termic;

dT=Iz'~D(T,~T)dX MC U G•

Intrucit h variază în sectiunea fără umplutură faţă de secţiunea tubului careconţine umplutură, h trebuie să fie definit ca o functie de X, adică h = f(X),Temperatura peretelui Tw trebuie să' fie de asemenea definită ca o funeţie delungime pentru fiecare experienţă, cu alte cuvinte T TI' = f(X), după cum seilustrează în fig. 9.19. Căldura specifică a gazului C. variază cu c<lmpoziţiadupă expresia: .

C. = Y,Cp, + Y,Cp, + Y,C.,în care Y, reprezintă compozitia gazului diluent.

Căldura de reactie H R se defineşte în funcţie de căldura de reacţie a' fie-cărei reactii componente .

HR =,R,,!'.HRI + R,'!'.HR2

în care !'.H1Il = căldura de dehidrogenare a etilene'j, iar !:J.HR2 = căldura dedescompunere a acetiienei.Presupunînd o variatie liniară a presiunii în lungultubului, presiunea gazului prin portiunea cu umplutură a tubului poate fi cal-culată cu ajutorul expresiei aproximative dP/dX = (Po - l)/L, în care Po =presiunea de intrare (atm,), iar L '= lungimea totală a tubului. Se admite căla X = L avem P = 1 atm.

Toate aceste ecuatii sînt asamblate în modelul din fig. 9.20. Se poate ob-serva din modul d~ utilizare a fiecărei ecuaţii că dispunerea blocurilor estesimilară modelelor discutate în capitolele precedente. '

Cu ajutorul unui program, scris în FORTRAN, bazat pe model'ul dinfig. 9.20, s-ar proceda astfel; se estimează constantele vitezelor de reactie A"B, şi ,A" 8,; se calculează compoziţiile care rezultă pentru diverse debite dealimentare şi conditii de temperatură; compoziţiile calculate se compară cuvalorile experimentale măsurate; valorile optime estimate pentru Ah A2 şi

'8l> 82 sînt acelea care corespund mai bine valorilor măsurate experimelitaJ.Cu aceste' valori este posibilă abordarea, unor pr.obleme mai com'plexe, deexemplu se poate ridica scara reaclorului pînă la d'imensiuni industriale sau sepoate stabili proiectul optim pentru randamente maxime (un exemplu similareste tratat în [J3].. -,

REACTOR TUBULAR 2tl3

ereap presiune

dP _ (Po- l)dX - • L.

V, eza ~r/13ctie a R, ilce"uJeneiR1,- k,P. r',

Coeficientu VIde reacl; le

k, = A,e-BiITG

Bilant mo/ar pe'etilenă Y,

d 1'102

D'i (AI Y,) = - R,---,;R,

x

emperil uraperetelUI

Tw=f(X)Figura /9

Viteza de reactie;; ettlenei' R2R2=k~Y2.

lJilant termIc

ffx(MCpTe) ~ (q + HR~)"D

Y

Fig. 9.20. Modelul unui rcactor tubular.

Ci/dura de reacţIe HR

HR = R,Hp1 + RzHR2

Cp

Capacitatea termicăCp=Y,CP1+ Y2Cp2+ Y3CP3

I

CondensareProcesul .examinat În cele ce urmează este acela al transferuluI de masă

• şi de căldură de tipul difuziei printr-o barieră, ilustrat prin procesul condensăriitotale sau parţiale. In capitolele precedente pentru definirea condensatoa'relor s-a recurs la ipoteza simplă, că temperatura vaporilor miJlticomponenţieste redusă la o anumită valoare, iar vaporii părăsesc condensatorul În echi-libru cu condensatul format. O atare simplificare este corespunzătoare În deo-sebi În cazul comun al condensatoarelor supradimensionate.~IExistă ~cazuriÎnsă, În care această simplificare nu mai poate fi făcută, deoarece echilibrul

264 SISTEME IN-REGIl\f STAŢIONAR

nu mai poate fi atins, din cauza pr~ze!1ţei unei pelicule de gaz la suprafaţa con-densatului, care "acţionează ca un fe,"de' barieră. De aceea În' abordarea acesteiprobleme trebuie să se considere mediriismul de l.ransfer de masă prin peliculade gaz, care acoperă con'densatu!. Următoarele trei exemple elaborează pro-cedeul de calcul, plecind de la ~az,!.l cel mai simplu, pînă la cazul general alunui sistem multicomponenl. In toale trei exemplele se admite că condensare ase produce În regim stationar în interiorul tuburilor verticale, agentul de răcirefiind la exteriorul tuburilor. . . ...

9.6. CONDENSAREA VAPORILOR UNEI SUBSTANŢE'PURE [6, 7]

Exemplul 9.6. '"._Cel mai simplu sistem de condensare constă din vaporii unei substanţe

care condensează pe un perete vertical, iar agentul de răcire, se găseşte decealaltă parte a peretelui, avînd temperatura constantă şi uniformă T R

(fig. 9.21). Prin condensarea vaporilor pe perete se formează un strat de con-densat care curge În jos, în lungul peretelui. Stratul acesta reduce valoareacoeiicientului general de transmisie a căldurii de la vapori la agentul de răcire.Pentru a determina eficienta suprafeţei de condensare este necesar să se sta-bilească o relaţie între distanţa Z şi debitul de condensareW" I.ntrucit s-a admisd sistemul se găseşte în regim staţionar, fluxul termic, prin stratul"de con-densat, este egal cu fluxul termic prin perete spre_agentul de rădre, În oricesecţiune a aparatului. Referindu-ne la fig. 9.22, să considerăm o sectiune sub-ţire' ~Z. ]\ieglijî"d căldura sensibilă a condensatului, fluxul termic, prin con-densat, este dat de expresia: .

. H = K (T,~ T,,) adicăB

Perete

, ."","',

. TIN \.t~W Oebitul. "Condensarr{ :

~Jracire !nI

Z

Fig. 9.21. Condensare pe unperete vertical.

Fig. 9,2£. Secţiune ilX prÎntr-un,sistem de condensare.

CONDENSA:REA VAPORILOR_ b'1\i'"EISUBSTANŢE PURE. 265

în care fl = vÎscozitatea; ro = densitatea; g = 32 It jsec'.. Maijos se va prezenta derivarea acestei-expresii, d~i se presupun~ că citi-torul este familiarizat cu .astfel de probleme. Deducerease \'a face totuşi, pentruareamiriti modul matE)11atic de a deriva relaţii simple, care constituie părţiale modelelor matematice complexe. .1 .•.

Să considerăm un volum elEmentar din pelicula de condensat avînd supra-faţa egală cu unitatea, iar grosimea 8y (fig. 9.23). Forţa de forfecare exercitatăpe,unitatea desuprafaţă din apropierea imediată a suprafeţei peliculei este "iar în ,apţopierea peretelui este - (-:-+ 8-:-). Avem: '. . ., : ;'",., '. '.

.,

I

regim

Unitate~de. slJpraf'a ţi .

. Fig:-9.-23. SoHcităriJe în stratulde condens.l:!t.

(2)

z(I)! .,~.

- ,g y + C,~

deci" . -Gî"-' rg 13~

d--; d2u-= Ll-= - Fgdy . dy'

d'u = _ Ei?dyZ ;.L

dy

y= B:

du "" Ody

,-,.

Integrînd ecuaţia (1):'du

ln!rucît f1uidul în punctul acesta se găşEşte În mişcare uniformă, i~staţionar, forţa gravitaţională trebuie să fie egală cu fprţa de forfecare.

d.. ,," :" d -: ; .pg.8y =- - .ăy sau ~ = -pg

dy dy.,Dîn ecua.lia de definiţie a vîscozităţii ,~]i(dujdy)În care u ~ viteza, rezuJt.ă: .

Pentru

de unde

conductivitate X gradientul de temperatură"'" H, in care:K = conductivitatea termică a condensatului iar B = grosimea stratul ui decondensat In sEcţiuneă Z a cOIldensatorului; Ti ~ temperatura la interiaţacondensat-vapori; Tw = temperatura la interfaţa condensat,perete. Fluxultermic prin perete este H = U ,,;(T Il' - T R), în care U IV = coeficientul de.transfer prin perete, iar TR = temperatura agentului rece.

Fluxul termic H reprezintă căldura cedată de vaporii Care condenseazăla' suprafaţa eondensatului;. deci H = WJ>, în care W = debitul de condensatiar ), '=c căldura latentă, .

Grosimea condensatiJlui B la orice nivel Z poate fi objiriiItă' din debitulde cnndensat Q la acest nivel prin următoarea expresie [1] j:

"'gB3Q"'" -'--3' .- y.

I

t •

\

Inlr~cîl acest caz reprezintă condensarea unui component pur, temperaturasuprafetei condensatul ui Ti este punctul de fierbere al componentului la pre-

. siunea de lucru " a condensatorului.Ecuatiile acestui sistem sint următoarele:!lux termic = viteză de condensare

H= W},

Fluxul te~mic prin perete

(3)

SISTEME IN REGL'\ISTAŢIONAR266

Variaţia !luxului de condensat = debit de condensare

~=WdZ

Grosimea stratului de condensat = f(llux de condensat)

Q = B~pg3i'-

Fluxul termic prin pelicula de condensatH = K(T,- T.)

B

H = Uw(TIV- T~

S-au stabilit astfel cinci ecuaţii pentru a obţine cinci necunoscute H, Q, .8,Tw şi W..

Integrînd ecuatia (2) se obţine:u'=~~.V'+~ BY+C

~ 2 1'- -Pentru y = O şi u ~ O avem C, = O

R.ezultă: u = pg (BY _ V')1'- 2

Debilul Q la distanta Z se obtine integrîn<l vitezau prin peliculă de la y = O la y = B, adică:

B

Q =f udyo

IntroduCÎnd .În această ecuatie valoarea lui u din1';:<. 9.24. BiI.ll\ol de materi.1 ecuatia (3) şi integrînd se obtine

În s::cţiunea 6.Z. 'Q = pgBlI, 3~

Q este acumularea de condensat de fa O la Z sau, sub formă diferenţială, cre.'i-terea lui Q În raport cu distanta Z, care reprezintă debitul de condensare W.;acesta se obtine printr-un bilanţ de masă (fig. 9.24).

Q + W. !lZ ~ Q + !lZ. dQ de unde' W = dQdZ . dZ

I

H = KU" (T. ~ T )BUw+K .. I 11 .1

Un avantaj suplimentar al acestei ecuaţii este că permite exprimarea expli-'cită a lui Ij în funcţie deB, fără să mai necesite un calcul iterativ suplimentar.Modelul complet, cuprinzînd aceste modificări, este arătat în fig. 9,26. Rezol-

. Flux termic Fluxul cqndensărÎI

,

267

I

..dQdZ = W

Q = B'l'!!..... ¥B

W

dQ-= WdZ

Fluxul cond8nSill'II

. Ilfosmea pelicul.Bi

B

H = W)'

KUw(Tk~ T,J(BU" + 1<)

.w\H = W)'

Ftux termiC

FluJ termIC prm peli"c(J/J

Flux termic prin pertJteFig. 9.25. j\\odel pentru un -proces- de condensare.

H H _ 1( (T, - Tw)- 8

H

H

CQNDE..:"VSAREA"VAPOHlLOR UNEI. SUBSTANŢE PliRE

'H

Fig. 9.26. Variantă". a modelului Hpentru procesul de condensare.,.

Dispunerea acestor .~uăţii. sub forma unui modei implică înţelegerea meca:ni smului f.undamental al procesului, şi anume cunoaşterea mărimilor ce deter-mină debitulde condensare W. Se poate vedea că fluxul termic H stabileştedebitul de condensare W, iar fluxui. termic, la rîndul său, este determinat de.rezistenţa peliculei de condensat între temperaturile Ti şi T R' Schema flu-xului informaţional a acestui modei, avind ca bază relaţia între cauză si efect,este ilustrată în fig. 9.25. Examinarea 'acestei figuri arată dificultatea de calcul.pentru Z = O şi B = O, la care ecuaţia fluxului termic la forma O/O. Raportul. poate fi făcut .finit admiţînd o valoare mică a lui B la Z = o. O solujie maielegantă constă în eliminarea lui T lV din cele două ecuaţii ale fluxului termic,. definind un :coeficient general de transfer între Ti şi TR, ceea ce conduce laforma' .

. ,

(

\

Fig. 9.27. Gradicnt de temp~ratt1răîntre vapori -şi ag2'ntcl de răcire.

•

CriJdient termic

'. '" ,_strat de d~1~~:aJ -l~'--conden- I _."' -fat ~, ',' '.-

~ '-I.,i-'

--~;n)r;\.

Prin integrarea acest~i ecuaţii între limitele -q= O şi Yj -.\ se obtineuebit'ulcondensării W; -'---F; (y; ~ y,,) în' care y; este concentratia' cOf!1poneptului jÎn fluxul de vapori, iar y" este concentniţia la interfaţă, în echilibru cu concen- .-traţia condensatului Xi}, '

W - F dy!j - j .

rr,

9.7, CONDENSAREA VAPOR.ILOR MULTICOMPONENTI[8,9, 10]-

varea acestor ecuaţiI p,e calculator permite ,obţinerea curbeI ar debitului de~ondensare W în rapdrt'culungimea Z, pentru diverse condiţii ale temperaturiiagentului de răcire, ale presiunii de vapori (adică Ti) ale grosi mii peretelui,. ete,

I

268

Exemplul 9,7, • \

Se va trata aCllm cazul inaicomplex'al condensării unui amestec de vappri.Există o diferenţă fimdameiItală Între condensarea vaporilor unei substanţe,pure şi condensarea vaporilor În prezenţa unui exces.de vapori, care au o ten-.dinţă mai mică de condensare, In cazul vaporilor unei substanţe (exemplul 9.6)debitul de condensare este controlat de viteza cu care căldura latentă de con-densare eliberată poate fi transferată la agentul de răcire,. Pentru amestecul devapori, debitul de condensare este detedninaCÎn .bună .măsură de viteza dediiuzie a vaporilor la suprafaţa de condensare printr-.un s.trat de gaz necon-densabil sau de vapori care condensează la o temperatură mai coborîtă. Incazul difuziei echimolare printr-o peliculă de,vapori viteza de trecere a unuicomponent j la suprafata de condensat este exprimată prin produsul Între. coe-ficientul de difuzie F; şi gradientulde concentra'ţie [11], oy,/d'q, în care 'q estegrosimea normalizată a peliculei de vapori (fig, 9,27), adică:

-. .- . "

CONDENSAREA VA-PORILOR MUL.TIţ::OMPONENŢI .269

.•.:-.,

Cbndensat

f.?fI

t

COI1densat.. W =. F log. (~l

1 - Ye

în care YG reprezintă fracţia vaporilorcondensabili în fluxul de gaz, iar F" Fig. 9.28: Formarea stratulili d..::~(lnjcl1s:.'l,t.

Penlru cazul. mai .general. de condensare, debilul cu care un componenlajunge la.suprafaţacondensalului.este definit prin .Wt" În care W este debitul.total al condensării În orice punct, .iar{; esle .fracţia molară a:componenlului jîn fluxul de gaz. Acesl debit este suma debitului ,rezultat din difuzie plus adebitului prin convecţie prin pelicula de gaz WYJ, adică:.'

. ... wtj~ Fi dYf-t- WYi! ~.~

Integrarea acestei ecuaţii Între limitele '" "" O şi '" =} dă

.. . ....' ... ~/:=F:IOgn(;j~}~~) ,.în care !Iii reprezintă cOll)pozijia vaporilor la inlerfaţă, iaf Y iesle compo-zi{i,a vaporiioL Căldura, lalentă eliberală la.~uprafaţă esle,

q)",= W'IP'i.~.i

.Căldura sensibilă q., eare esle transporlală la suprafaţă provine ain fl4xul

.termic,cauzal de .gradienlul lemperalurii (T t- Ti) adică diferenţa Întretemperatura gazului şi lemperalura. de la inlerfaţă, plus căldura sensibilăIransporlală la inlerfaţă de călre moleculele care condensează,: căldura sen-sibilă = cqnducţiXilate_+conyecţieL_'_ ., _ '

.,q:, = hr-' dT c + WCAT! - Ti)cr,

După inlegrarea aceslei ecuaţii Înlre limilele .'" = O ~i '" ~ l fluxul lermicprivind căldura sensibilăq, se exprimă prin

, q,-= h,{T G - T,)AK, În care AK = fac-tor de corecţieO': \17. C,

Akerman A.t. --:----- CL = --1 - (-a lJe

Căldura 10tală care, parvine la suprafaţă esle:q, + q" = ho{TG - T,)AK + WIP'J

iSă considerăm acum cazul În care- un amestec de vapori condensabili şi

de gaz inerl curge, În jos, În lungul unui tub vertical În conlracur.ent cu agentulde răcire (fig, 9,28)". Teinperaltirasuprafeţei condensalului 'T.- esle deler-minală de presiunea parţială a 'vaporilorcondensabili aflaţi În'echilibru cu supra- ..faţa, adică T, -:- f(PY,), În care Pestepresiunea fluxului de gaz. Adaptîndecuaţia difuziei la acesl caz.{f, = 1) seobţine debitul de .condensare

270

=ltlt~'[V/G + JL (VYG )LlZ] .

ilZ .;

SISTE;."dE 1N REGIM STAŢIONAR

este coeficientul de difuzie al coml'0nentului e<>n-densabil prin gazul inert. Bilanţul de masă printr-osecţiune Îngustă> llZ (fig. 9.29) a fluxului de vapori

• se exprimă prin ecuaţia:

VYG = -WaLlZ + VYG + LlZ ~ (VYr.)dZ

care se reduce lad- (VY,,) = - \l7adZ

.'

ecuaţia difuz iei prin care seobtine debitul de conden-sare W

bilonţul de masii pe compo-ncn1ii gazului, se soluţio-"ncază pentru_ Y c

bilanţ de -masă pe condcnsat,se soluţionează pentru Q

bilanţ de masă pe gaz, se re-zolvă pentru V

bilant" termic pe g~z, se solu-ţionează pentru Te

corccţia Akerm-an. se solu\îo-nează pentTu A {.

fluxul termic total prin carese obţine" H _

fluxul căldurii sensibile -caredă pc qs

fluxul căldurii latente carc dăpe q1. .

. corecţia Akerman (conden-'S,:!TC) dă pe AI'

eehilibrulla interfa1ă d~ pe Y;

Tal>e/ul 9./.

~ (VYc) = --IF~dZrt -

. - .. (Q) ~ + U'adZ .d-(V)~~WadZ

~(VCGTr:) =:,; ~hl.l(To - Tf)A~adZ ._

.Ar:=:= ~/(I -;. (_~) 7: = \\?CF!hr;;

H = q~+ q"- q, ~ hc(Tc - T,)A,

q}.= l¥Ti.

A, = af(1 '-.e-~)

"Y, ~ i(T,) ,

w ~ F iog,[(1 ~ Y,ll(1 -- Yc)1

În cele II1ai multe cşzuri nu este importantă) T,.trebuie să: aibă o--astfel-.devaloare.îljclt gradieritul termic.-Ti - T R prin pelicula de condensat şi prinperete trebuie să tral)spode fluxul termic H eliberat la suprafata condensatului_Aceasta se expr.imă -prin: -

KU" ' . -H - . . (Ti ~ T R) - -T,' .. ' . f3.U.+K -.- -.

Fig. 9.29. Bilant material.asupra fazei g8zoase în. secţiunea j).z.

În care a ~ suprafaţa de condensare/unitate lungime.Pentru obţinerea modelului acestui sistem, prÎma

operaţie constă in a ordona ecuaţiile şi a seclecliona'variabila care trebuie să fie obţinută din fiecare ecuaţie (tabel 9.1). In acest. tai>eI.singura variabilă cheie, care rămîne nedefinită este Ti care trebuie obţi-nută printr-un mecanism sirLlilar aceluia aplicat la condensarea unei substanţepure. Independent de căldura transportată de pelicula de condensat (care

CONDENSAREA UNUI AMESTEC MULTICOMPONENT 271

. r- ----- ••• --- - --- -- --- -- •• -- ------ -- .-'--- - ----- .--- - ---.,. -_.- - --.-------'.:.-"- --~

Fig. 9.30. ~\odel pentru condensare În prezenta unui g~z inert.

.. :..

, fi mOiJr ped ComponMţidl(VY,J" W.•

,{etml,;'

intrt~<1Ze,,,,:

'f""--L-,,,,,,:,,:,,,: .~ ., . ••••• • __ •• . J

"9.8. CONDENSAREA UNUI AMESTEC MULTlCO,\tPONENT [JO] "

••

.Exemplul 9.8.

Se va considera acum cazul general al condensării unui amestec multicom,ponent. Ecuaţiilebilanţului de masă ale fiecărui component din fluxul de mas~sîn! identice cu cele prezentate în exemplul 9.7, adică: ".

~ (VYG,) = Wf,a ~i ~ (V) = ~WadZ dZ

Temperatura agentului de' răcire TII se obţine acumulînd fluxul tertilic H îndebitul de agent de răcire: '

~ (~TJ<QRCR) = Ha /dZ ' ,

,Este de observat că în ecuaţia de mai sus semnul 'minus apare deoarece debitLiIde agent de răcire QR este în contracurent faţă de sensul lui Z.. Ecuatiile de mai sus sînt dispuse într-o diagramă de fluxuri informajio-

nale în fig. 9.30. ' '

JI

I Y" =o I ~ Ti

Fluxul termic H = q, + q,. se obţine din fluxul termic prin stratul de con-densat

in care f, poate ii negativ în cazu"!cînd indică difuzia în sens invers.Ecuaţia de mai sus se utilizează pentru a obţine valoarea lui f, pentru

fiecare componeril. Temperatura la suprafaţa .condensatului se obţine printr-unbilanţ la echilibru:. .

"Y" = X,{,(T,) ~ Y"

I

(b) f ..= Y . + (V"J - Y'J)-) C} - eTF~Fj _ 1 •

(a) se poate ordona intr-o formă inai conve-

.'. -S'ISTEME' 1N REGIM STAŢIONAi!"272

Bilanţul de masă asupra condensatului este:

d - - -"di (QX,) = Wf,a

Debitul totat de condensat se obţine printr-un bilanţ total de ,nasă

...<l.. Q= WadZ .

Ecuaţia .difuziei de mai inaintenabilă (b)

(a) W = F, log. ( iJ - Vu) .Ij - Y C}

Ti se obţine prin echilibru, iar Tu printr-un bilanţ termic 'asupra agentuluirefrigerenl. Fluxul de căldură sensibilă q, se obţine după cum se arală înfig. 9.30; prin diferenţă se calculeaZă qj. şi de aici debitul total de condensare W.Introducînd aceste modificări (fig. 9.31) modelul din exemplul 9.7 poate fi-Iăr'git ca. să fie aplicabtl acestui caz de condensare a unui sistem muiticompo- .nenl.

.După Qum s-a explicat în capitolele precedente, variaţiile capacităţii ter-mice, a căldurii fatente, etc. pot fi uşor calculate ţinînd seamă de compoziţie .

. Coeficienţii de difuzie F, şi coeficienţii .de transmisie a căldurii h, sînt funcţiicomplexe şi depind de numerele lui Schmidt şi Pra~dtl, care; la rîndul lor de-pind de număru1lui-Reynold şi de factorul. J; deasemeni t~ate acestea depindde ciiJdura specifică, de' viscozitale, de viieza vaporilor şi de di~metrul tubului.In model se pot introduce, într'o primă aproximaţie, valori medii constantep.enb:u Fi.şi 11" .. Dacă se cer.e .un rezuIţat mai.ex~ct, parametrii aceştia. trebuiecalculaţi, conform 'dalelordin literatură. [6, '12j. Toate .aceste ecuaţii sînt asam-blate în fig. 9..31. Dacă 'fluxul-agenturui derăi:ire .e'ste în 'cbnlracureh!' se' vaobţine temperatura d.e ieşire arefrigerenlului:prin calcul iterativ. ca în exenj-piui 9-1. '... . •...... '. -, ':.' .:

CONDENSAREA' UNUI AMESTEC MU~TICOMPONENT 273

/it/anţ termic pc vapori~ (VcarG)= ~f;u<.T~- TiJA',..oa

w

<p.

w

w

\II

Tfi

8l1an, termic.red agentul duăcire'dZ.(- TRClRCR} =Ha

v

('ile.le. ma ,ara .•. -cumponentul 1)- y y~; Ytfi=.. 6';+ ,j-l

•, ¥tJ

EcllJlibruli rw"=Xr/j(TJt' 't',j= f--Ti .

Ti \

J an, ma al' pecomponenţi vapori'.d ' .....-a (VYG) = Wh'.a

Flux termic pdncondensat

H=~(T,-,-Ţ'SUw+ 1<

I..:ry/sime pe leQ /ă.condellsat

q = B,!1.J;c

r; t.~

!;t'fll. iJe

conde.7:i3f;-fz.q =W.,;

t

-EctJa,tif arm!id,"p

; I ~,

1/(t

.8ilgr,t 'ma/ai' pe ,~VI ('(Jaycnenţl~ cond?DJ- ,)\;.

dZ (1.?X) = Yrjj.a

"Fig. 9.31. Model pentrll condensarea unui amestec multicompanenL"

In unele cazuri, condensarea parţială 'poate devel1i mai complexă. Astfelde cazuri sint:

1. O reacţie care are loc în faza de vapori sau in condensaL2. Secţiuni de răcire distincte. . .3. Rezistenţă la. difuzie prin stratul de condensat [9].4. Subrăcirea fluxului de gaze, şi altele D 1].Cazurile ace~te? car~ c0!11P!i~ăproblema pot fi,.a!leseor!,~deIinite prin adău-

garea de ecuaţii suplimentare la model, făCînd astfel soltiţionarea pe calculatormai laborioasă, însă ~u în mod necesar şi mai anevoioasă din p.~net de. vedereal metodei de utili('aL . . .

Este de remarcat că programul INT, prezelitat în capitolele 2 şi 3, pentrurezolvarea ecuaţiil,?r diferenţiale ordinare nu este limitat la sisteme în caretimpul constituie ,,,ari abil a independentă. In capitolul acesta s-au tratat ope-raţii unitare în regim staţîonar, în care variabilele variază cu distanţa şipentru o. secţiune 'dată. sînt constante. in.ti1i1p. Distanţa' poate .fi introdusă

_ 18 - Modelarea lii simularea în ingineria chimică::- cd. 29

274 SIS lEME L.v REGIM STAŢION.-'\R

•

9.9. SCHIMBĂTOR DE CĂLDURĂ IN CONTRACURENT

termică = 6000

--- -...--- Tao- -

)( • It

d(TS) =_Q_dX FBCP

fluid prin manta x capacila~eaîn care FBCP = debitul dePCU /(OCmin).

3. Fluxul termic între cele două fluide: Q = UA(TS- TB) în care UA == 200 PCU/(min 0c). .

ca. variabilă independentă în ecuatijj~ diferentiale, din capiteiele 2 şi 3 care,astfel, pot fi uşor integrate cu ajutorul sistemului INT după procedeul stan-dard descris în capitolul 3. In capitolul acesta se prezintă cîteva exemple,prin care se arată unele tehnici tipice, aplicate frecvent pentru a obtine so-Iutiile căutate. .

1a.;;Fig. 9.32. Aparat de schimb de, căldură tub in tub, -In contracurellt.

Exemplul 9.9.

Primul exemplu de programare se referă la un sChimbător de căldură încontracurent, descris la începutul acestui capitol. Se presupune că sint cunos-cute temperatura de intrare in tuburi TB; şi temperatura de intrare înmanta Ts;(fig. 9.32). Specificîndu-se temperatura de ieşire din manta Ss,problema care se pune este să se determIne lungimea aparatului de schimbde căldură, care realizează aceste temperaturi şi s'ă se calculeze temperatura

'c;!e ieşire a fluidului din tub. Ecuatiile care se aplică sînt următoarele:. I. Temperatura fIuidului din tuburi

d(TB) = _Q_dX FWCP

în care FWCP = debitul de fluid prin tub X capacitatea termică = 8000PCU/(OC min), iar X = distanta de la intrarea în tub (ft).

2. Temperatura fluidului din manta

SCll1MBATOR DE cALDURA IN CONTRACURENT 275

l- DATA FW(P.FO(P.[JA,TSI,TeII6000.,bOOO.,ZOO •• 10U.,lS.12. STP=ZOVo.3. t5=40 •

.. 4. Ta=l[:l'l'). )(=0.6. .: •• O£:RIVATIVE" SECTIO,,!,- •.7. 6 G:{TS-TOJ.UhB. OTB~n/F8CPq. OIS=G/F~CPlu~ JF(15.GE.T5rl 5TP:O.11~ CALl PRNTFC1°. 'SlP,t.JF, X, TS,T6,Q.01B,DtS.O •• 0. ,0. '0 • .)12.- GO TO {lol.Sl,NFl..h C •• 1.ITiGR!I,TtON Sr::CTION ••.1~~ 4 (ALL lNTIIX,S.,~)1~. CALL INT(TS,OTSJ10. CALL It~TlTR.OTB,17. 60 Ta 6 ' .18_ 5 STOPlG. ENO

'-.Fig. 9.33. Program pentcu un schimbător de dildură .tubular.

4. Condi liile limită: temperatura de intrare. a fluidului în manta Ts, = lOO"C;temperatura la i~irea Îluidului din manta Ts, = 40°C; temperatura de intrarea lIuidului în tub TB' = 15"C.

Procedeul de rewlvare a acestei probleme constă în integrarea ecuaţiilordiferenţiale pînă cînd temperatura în manta atinge temperatura de intraresjteCificată de loo"C.

Programul pentru acest procedeu este arătat în fig. 9.33 în care ecuaţiilealgebrice şi diferenlialesînt grupate într-o succesiime-)ogîcă în secliunea dederivare, care este urmată de secţiunea de integrare. .

Limita .de integrare (STP) din 'secliunea preliminară, adică valoarea lun,gimii X, la care trebuie să se oprească calculul, este specificată ca un număr(2000), care depăşeşte apreciabil lungimea anticipată.

Instrucliunea 10 din secţiunea de derivare compară TS cu TSI pînă cîndTS depăşeşte valoarea TST, caz în care STP trece la valoarea zero; astfel,la apelul următor subrutina PRNTF se va opri imediat, imprimînd rezulta-tul final la valoarea lungimii X.

Rezultatele numerice oblinute sînt arătate în fig. 9.34, din care se vedecă este necesară o lungime de 195 It pentru aparatul de schimb de căldură,.iar temperatura la ieşirea din tub este 95,3°C.

PROBLEME CU CONDIŢII DE fRONTIERĂ INTERMEDIARĂ

Exemplul 9. 1~.

rn cazul în care în. exemplul precedent se specifică o (ungime de 200 Itpentru aparat, şi temperat urile de intrare în manta şi în ,tuburi, respectivde 100 şi 150°C, problema devine de tipul "cu condiţii de frontieră înterme-.diare" şi necesită mai multe calcule iterative, succesive, pentru a obţine so-Iulia (de revăzut exemplul 9.1, care e deasemenea o problemă cu valori defrontieră intermediare).

\

•

\

276 SISTEME",IN REGIMSTAŢION./UL: ',:: ',._

~ TS <' T,3 9 DTB. DIS

.00000 .~OOOO+O2 .15000-+02 .50000+04 .B333J+On .'62500+.00

.10000+02 .~5997+02 .Z2gQ6+02 .46002+04 .7667('1+00 .51503+00

.20000+02 .51514+02 .30352+02 • 42324+0~ .70540+00 .52905+00

.30000+02 .56590+02 .37120+02 .38940.04, .6tl.90n+OO .Qa675+00

.40000+02 .61260'!+Ol .43J47+02 .35827+04 .59711,+00 .44783+00

.50'000+02 .65557+02 .49076+02 '.32962+(')4 .54937+00 .41203+00

.60000+U2 .69510+02 .54341+02 .30327+04 .50544+00 .37908.0°

.70000 .•.02 .731•.•.7+.02 .,59196+02 -.27902+04 .46503+00 .34877+00

.60000+02 .76,+94+02 .63658+02 .25671+04 ,42785+00 '.32089+00

.90000+02 .79572+02 .67763+02 .2361B+l)l.I. .39364+OQ ,29523+00

.10000+0.3 .82,+0'5+02 .71541)+02 ,217.30+f)tl_.36211+00 .27162+00,11000+03 .85011+02 .75015+02 .19992+04 .~3321+00 .2l4991+00.12000+0~ .•87,+OQ+02 •78212+02 .16394+0u . .30657+00 ,2~992+00,13000+03 .69615+02 .6115:3+02 .1692~+Otl .2820!l+OO ,2115"+00~14000+03 .916tl5+02 .83860+02 .1557n+Oli .25~50+00 .19"-63+00.15000+03 .93512+02 - .86350+02 .14325+04 .('3875+00 .17907+00.16000+03 .95230+02 .88640+02 .131RO+04 .21906+00 .16,+75+00.17000+03 .96811+02 ,90748+02 .12126+011 .20210+00 .15158+00.18000+03 .98265+02 .•92687+02 .11157+01+ .1859'++00 .139'+6+00.19000+0~ .9960:5+02 ,9'+471+02 .10264+04 .17107+00 .12831+00.19500+03 .10023+03 .95309~02 .98456+03 .16409+00 .12307+00

Fig: 9.34, Rezultate numerice "Exemplul 9.9":

CalCulul Începe la intrarea În tub (fig. 9,32), luînd temperatura de intrarein' tub Tfli ~ 15 drept condiţie iniţială şi o'valoare estimată de. 35 pentru1S0 ca temperatură. de ieşire din manta, Programul este 'arătat in fig. 9..35,În care iniţializa'rea acestor variabile se face În liniile 2şi 3, Secţiunile deintegrare şi derivare sînt aceleaşi ca şi În cazul precedent cu deosebirea căcalculul se termină la X ~ 200 ft. Din acest punct, calculul continuă prinsecţiunea "Exit convergence", În care se generează o eroare E din diferenţadintre' temperatura fluÎdului din manta IS la X ~ 200 ft şi temperatura deintrare specificată ISI. Dacă eroarea este mai mică decît nivelul admis de O,I

l'2',.••5'••70••9.10.Ilo12.1"10.15'16.n.. le.19.20'210

DATA FWCP, FBCP, UA, T50, TSI , T8l/8000 •• 6000. ,200 I .35. , 1-00 ,.15.17 TS=TSO ..18=1elx:o,

C •• OERIVATIVE ,SECTlON ••6 1Iil=(TS~T8hUADT8:Q/FBCPDT5:Q/FwCP ..CALL PRNTFII0 ••200.,NF.X,TS,TB.Q,DT8.DTS.O,'O.,O ••O.160 Ta (It,S',Nf'

.c •• iNT£6RATtON SECfXoN ••4 CALL INtltX.S ••4)CALL lNTlTS,DTS)CALL lNTCTB,OT8)60 TO 6

C ••EXIT CoNVERGENtE ••5 [:15.151 .lFeABS(EJ.LT,.11 STOPtSO:TSO.E ••••GO to 7 .ENO

Fig: 9,35. Program .pentru un schimbător de căldură tubuhi' cu conditii de frontierăintermediară.. 1

•

•

(li'nia 18) calCulul este terminat. Altfel, bazîndu.ne pe eroarea E se. calculează.o.~ouă v~loare a temperat urii 150 de ieşire din manta, utilizînd un factorarbitrar de 0,4 (linia 19). Calculul revine la secţiunea de iniţializare; înlinia 2 (eticheta 7) şi întreaga buclă se reexecută. Această iterare continuă pînăcînd temperatura de intrare a fluidului în manta se apropie de temperaturaISI pînă la o diferentă sub. 0, lOC. Valoarea lui 150 pentru fiecare trecere, .în acest exemplu, este arătată în fig. 9.38, a, din care se obserYă că pentru.a obtine valoarea finală de 39,74 sînt necesare şase treceri. Rezultatele, la.ultima trecere prin buclă, sînt arătate în fig. 9.36. .

Pentru a .obtine o convergentă mai rapidă, factorul 0,4 utilizat mai sus,poate fi optimizat. .0 abordare mai generală.a problemei constă în utilizareasubrutinei CONV, arătată în. fig.. 9.37, cu ajutorul căreia se poate obţine con-vergenta dori\ă la a treia trecere, dupăcum se arată în fig. 9.38, b.. Utili-zarea stibrutinei CONV asigură o .convergenţă rapidă chiar şi în cazurile în-eare fadorul de cîştig este mai rrtare decît ,'aloacea critică permisă pentru

. .asigllrarea. stabilităţii, utilizînd'. substitutia directăpenfru 150..

SCHIMBAT9R D~ CA~DURA}N .C?ţITR.ACURENT .277

l.cNGTH x TS IE. S DTS .. DTS

.00000 .397&1l.l.+02 .15000.02 .4946A+04 .A214BO+OO .61660+00

.~OOOO+O2 ,1+5679'+02 .2291l.l+02 .45531+nQ .75886+00 .S691ll.+00

.,20000+02 ~511I,j.O+02 .301',95+02 .'41891+04 069618+00: .52364"'0°

.,30000+02 .5616"'+02 .:56894+02 •.~8541+04 .• 64236+00 .4H117+00: :"0000'+02 .60787+02 .43057+02 • 35&j.60+0ll. .5910(}.00 .4",325+00.50000+02 •• 65039'''02 .LJ87.27+Q2 .32625+04 .54374+00 .l.l0781+00•,bOOOO+O~ .• 68952'+02 . .539.l.l4+02 .30~16+04 .50027+00 .'37520+00..70000"02 . .72552,+02 .587.44+02 .27616+04 .4ţ)027+00 . "'0; .3~520+00,80000+0:2 .7,5B6lHQ2 .63160+02 .25408+04 .42347+00 .31760+00.90000+02 .18912+02 .67223+02 • 2331,+0l.l .38961+00 .2'1221+00.10000+03 .81715+02 .70961+02 .• 21507+01.1 •358q.6+00 > .2&884+00.11000+0:5 .84295+02 .74401 +0'2 .•19788+04 .32980+00 .2'-735+00.12000+03 .86668+02 .77565+02 .18206+04 . ;303l.J'+OO .22757+00.13000+0:;5 •8885i+02 .a0476+02 ,16750+01& .27917+00 .20936+00.14000+0'.:5 .908&0+02 .831'55+02 .15411+04 .25&85+00 .1.n6:3+00.15000.0'3 •.92709+02 .85619+02 .1l,179+04 .:?3631+00 .17723+00~1&00O+O3 .941+09+02 .6-7881+02 i13045+04 .21742+00 .1&30£-+00.17000+03 .9597 •.•.+02 .89q73+02 .12.002+04 .20003+00 .15002+00.18000+03 •.97l,j.l.3+02 .91892.+02 .11042+04 .t8404+OO .1.3803+00.,19000+03 .98731"'02 .9.3658+02 .10159+04 '.16932+00 .12699+00.20000+0.3 .99956+02 .95282+02 .93471"'03 .15579+00 .11&84+00

fig. 9.36. Valorile finale ale soluţiei privind schimbătorul de căldură cu condiţii defrontieră intermediară.

Fig. 9.3Î. Utilizarea rutinei CONVpentru a acccl~ra convergenta.

C •• Ex I T c-oNVE"qGEr;,.C[ ••.~ [=T5_151

TSl=fSO~E •• t.I

(ALL CONVtTSO,tSl.I.NC)GO 10 IQ,71,NC

q STOP .ENO

/

•

2i8 SISTEwIE IN REGilI.t:'STAŢIONAR

<,2 42

•4/ 41

rs' rtu1.0 40

.,39 39O / 2 J .4, 5 (; O 1 2

Incerci/reti N" Incercareil N'a bFig. 9.38. Valorile succesive de incercare ale TSO prin:

a) substituţie directă; b) subrutin3 CONV.

In problemele în care intervin mai multe variabile, a căror valoare trebuiecalculată prin convergentă, rutina CONV este utilă numai .în cazurile în careexistă o variabilă ale cărei variatii sînt dominante. Rutina CONV se aplicăacestei variabile dominante, iar celelalte variabile .sînt calculate prin substi-tutie directă; uti Iizînd un factor de cîştig adecvat.

9.10. SCHIMBĂTOR DE CĂLDuRĂ IN REGIM STATIONAR,. .PENTRU BIBLIOTECA DYfLO .

In acest regim pot fi utilizate numeroase tipuri de apa'rate, constînd dinunul sau mai multe pasuri (treceri), în echisau contracurent, cu gaze sau

" lichide. Biblioteca DYFLO va ii completată aideu o subrutină care simu-lează performanta în regim stationar a aparatului de schimb 'de căldură Incontracurent, discutat în capitolul precedent. Subrutina, pentru simulareadinamică a acestui schimbător de căldură, va fi dezvoltată în cap. 10.

In cap. 5 (5.6.1) s-a prezentat subrutina HTEXCH care realizează. operaţiade a adăuga unui anumit flux de fluid; un flux termic specificat (pozitiv saunegativ) şi de a calcula apoi temperatura de" ieşire .. Ceea. ce intereseazăaid, este cazul mai general în care se admite cunoscută starea celor douăfluxuri de intrare (îri tuburi ro şi în manta ISI, fig. 9.39, a) şi valoarea

Fig. 9.39, â. Schimbător de căldură Încontracurent, ...pentru biblioteca DYFLO.

q-----------------------

,-.;o

I

• I

SCHIMBATOR DE CĂLDURA IN REGIM ST_A_Ţ_IO_N_A_R 2_7_9

,9.10.1. Subrutina CSHE

OTA

q - UA*OTA

DTI - DT2DTA = Ln(OT/jOT2).

DT2. = TSI- TTODTI = TSa _ TTI DTI

Se obtine Q

DT2

Fig. 9.39. b. Modelul utilizat în 5ubrutina CSHE.

Se estimează Q

oeoeiicientului de transfer de căldură total, UA, care se vor folosi pentruoealculul temperaturii de ieşire din aparat a ambelor fluxuri (ITO şi [SOl.

In cele mai multe tratate [6J se utilizează relaţia binecunoscută a dife-renţei medii logaritmi ce, care corelează diferenţa de temperatură medie Întrefludidele din manta şi tuburi la cele două extremităţi ale aparatului, prinrelaţia

DTA = (DTI - DT2) lIn (DTl/D:r2)

În care DTI = TSO -. TT!, .diferenţa de temperatură la intrarea in tuburi,iar DT2 ~ TSI - TTO, diferenţa de temperatură la intrarea În manta.

Debitul termic net va li .Q = UA.DTA

Q ŞI variaţiile de temperatură la ambele extremităţi ale aparatului, pentruHuiduI din tuburi şi din manta, sînt corelate prin ~t')Jaţia de bilanţ termic.Procedeul este implicit, Întrucît pentru- a determina pe Q trebuie să se spe-oeiiice temperat urile de ieşire. Soluţia se obţine printr-un procedeu de con-vergenţă. Se pleacă cu o valoare estimată iniţial a fluxului termic Q (fig. 9.39, b)şi cu subrutina HTEXCH se calculează temperat urile de ieşire din care seobtine .dilerenţa medie logaritmică a temperat urii .şi se calculează. Q. Ope-ratia se repetă pînă cînd Q converge.

.Subrutina aceasta cuprinde procedeul descris in subcapitolul precedent,pentru cazul unui schimbător de căldură in contracurent, În regim staţionar.Fig. 9.39, c conţine lista subrutinei şi definiţia argumentelor. Intrucît se ne-glijează acumulările interne, compoziţiile şi debitele se transferă de la ambele

2801 •2 •3 •••5- *,

• •7 •18 •i~.:,Il •.12 •13 •14 •15 •16 •17 •1819 •~u •.21 •. '<2."C::'+ ••

~ SISTEME IN'REGfM STAŢIONAR.

SU8ROUT INE cSHE ( 15 r • J SO I 1TI. ITO. UA'. rPS. IPT. NSI:. N"L. !ltTF",.TL''CO~~ONICDISTRM(300.2'+,.QAT~t20.10}.~CT(22).NC~I~rL.LSTRDO 7 .J=Ne;,F•••.•SL

75TRM(JSO • ..Il:::5TRv.(ISt'Jl00 8 ,J:::lnF.~JTL

8 STRM(lTO.,Jl=STR~(ITTf,J)STR~!lTO.2~)=STR~(ITl,21,STRM[lS0,21'=STQ~(ISl,21)Q=,~T.l3M'f ISI '21). (STRtHISI,2Jl ;;'STRMI IC;0.2:3))5 NCF:::NSF 'NCL=NSLCALLH1[ ..-CH( ISI. l-S0 .-Q. IP5 INCF:::NTFNCL.:::NTLCALL HTEyCH{ITt.ITO.Q.IPT)OTI :::STQM(ISO.221.STRM(ITI.2~1DT2:::SrRMIISr.22).STQMCI10.22JR:::OTl/DT2OTA=(OTI_OT21/ALOG(~aS(R)1QC=UA.OHt~Ll CPS(Q.QC'~/IJ.+Rl.NCiGO TO.(6.~l. Ne

6 flETURNENO

. - Fig. 9.39, c. Subruiina CSHE.Ust<J '?rgumenteI9f: .JSI =.numă~"uI fluxului de intrare în manta; Isa.=;, llum.1rui fluxuluIde. ieşire' dîh mailta ; Tn ~ numărul fluxului de intrare în tuburi; ITO = nurnă"rul.fJi.nwl-ui deieşire din ""tuburi; OA ='PCU{CC mih) ;",'lPS = faza; iri 'manta (vapori "== 0, lichid = 3);I-PT = faza.' in' tuburi (\.apori = O. licl':tid='3); NSF = numărul prirhului compolicnl"(în!Danta).; N-SL = numărul ..,ultimului componenL (în manta}.;' NTF = numărul. primului c:om-

ponent. {in tubllri); NIL = numărul ultimului .componcnt (în tuburi),

fluxuri de inlrare la fluxurile corespunzăloarede iesire (liniiLe 3 7' 8), Pentruuşurinţă, se specifică tompoziţiile pentruflui'dul din, tuburi şi din manta,lntrucît uzual unul din' fluxuri este monocomponent,' ca, de exemplu aerulsau apa de răcire, In finia 9 se calculează fluxul termic, astfel că la primulapel al rutinei CSHE, este necesară estimarea entalpiei de ieşire (STRM(lSO, 23))'de către programul principal. Se face in continuare apel la suberutina' HTEXCH pentru.fi uidul din tlib~ri, după ce 'se specifică îri prealabilIn liniilelO~ll, respectiv J3-14, limitele componenţilar,NCF ŞI NCL.;urmează calculul temperaturiiof de ieşire (liniile 16~ 17) şi a diferenţelormedii de temperatură (linia '19) şi apoi calculul fluinilui termic QC. Raportulintre diferentele temperaturilor terminale, R '(linia '18), este intotdeauna po'zitiv, Pentru a evita valori negative la 1ogarit mare, ,deoarece In procesul d~iterare R ar putea, temporar, să devină negativ, se utilizează (in linia 19),valoarea absolută a lui R. Valorile negative se intilnesc In cazurile In caredebitul,unuia din fluide este foarte mic fală de ceIăiait, adică DTI~DT2sau invers, S,a constatat că In acest caz soluţia cea mai convenabilă o oferăstlbrutina de subsfituţie p'arliaiă CPS(linia 21): liJlmLvaioarea iactorului des.UhwtuHe, ,vafiabi.lă' in' iuncţie de'R, de forma RI(l + R), ,Prina~easta,seob,lin ,S<1luţii,pentruR ,cup;ins î,ntre 0,02 şi :50: " , ' '" '

\

REACTOR .TUBULAR

Prin aplicarea subrminei CSHE s-au obtimft, temperaturile de ieşire:,din manta 73,25°C şi din tl!buri 69,67cC.

Exemplul 9. Il.

Exemplul acesta prezintă utilizarea integrării cu pas variabil şi a inter-valului de imprimare variabil peritru problemele de simulare ln care 'apargradienti foarle pronuntati. Intr-un reador tubular, cuprins îritr-o manta,în care curge un lichid la, temperatura de fierbere constantă de,150°C, areloc curgerea descendentă a 'unui gaz, care la intrare în reador are, următoruldebit şi compoziţie: componentul 1.= 8 nl)li/min.; componentul 2 = 32 moli/min. Reactia are loc în fază gazoasă conform următoarei relaţii stoichiometrice;

A + B ~G.Reacţia este puternic exotermă, avînd o căldură, de reactie/de 38000

PCU/UD! de A care reacţionează. Ecuaţia vitezei de reactie este 'Ro = k(T G)(P' Y[)(p 'Y,) (mJIi A/min. ft')

din care se vede că viteza de reacţie este proporţională cu produsul preSiunilorparţiale ale celor doi readanţi. In ecu!lţia de mai sus P = presiunea gazului(psia); Y, = fracţia mo!ară din A; Y, = fracţia m3lară din B; coeficientulvitezei de' reacţie k(T el = A exp.(--,-B/TC), În care TC = temperatura în oI<,A = 17500 şi B = 7377. Ecuaţiile care intervin în calcul sînt:

1. Bilanţ material pe componentul A, în moli

~ (N ,y ) = _ R (~D')dJ 1. a, 4

În care D = diametru! readorului tubular, iar N = numărul total de moli/min, '2. Bilanţ material pe componentul B, în moli

d . !"D!dt (N'Y,J = ~ R'-(-4-)

3. Bilanţ material total, în.moli

~ (N) = - Ro (~~')

în care N = numărul de moli total de gazlmin.

281

D2bit ~ 50 ffi)li/milltlt.;Temp. alimentării T 20°C;VA = 540PCV/minoC

Debit =':30 moli/miilTemp_ alimentării =;= 1200C

, 0',2 ,0,5 .

_0,3

1,0

Comp.oziliaalimentării

,0,010,02 '

, 0,001

0,00315

1814'

, '16 .

SCHIMBATOR DE .CALDURA IN-REGTh'l STAŢIONAR

Cu subrutina aceasta a fost ,rezol'vat cazul de mai jos:Comp:ment Cocficienţii cntalpiei

lichidului1n .tuburi

I "

2. ~3'

10 m,mt"

282 SISTEME IN REGl.iI1 STAŢIONAR

4. Căderea de preşiune (în regim turbulent).• ' dP = ~ k.MN'(T1()

dt pD'în care greutatea lTKlleculară M = M,Y, + M,Y, + M,Y,; compoziţia com-ponentului C este Y, = I - YI - Y,; diametrul tubului D = 0,5 ft; coefi-cientul de frecare kf = 0,66 .10-8; masele lTKlleculare ale componenţilor M,.M, şi M, sînt respectiv 42, 74 şi 116.' .

5. Bilanţ termic:'Variaţia căldurii sensibile a gazului = căldura de reacţie - pierderea de

căldură la fluidul din manta ,., . .'

~ (NC.T e) = R,kR ("O') - "DU(T G - TJlM 4 .În care: C. - 25 PCU jlTKlIOCcăldura specifică a gazului;

"DU = 100 PCUjmin 'e ft.;hR = 38000PCUjmol, căldura de reacţie.

Toate reacţiile de mai sus sînt arătate în fig. 9.40, in care se 'observăproporţia ridicată a ecuaţii lor diferenţiale de rezolvat. Aceasta sim'plifică

Coeficientul vitezeide rBacţie

k(T) ~ Ar,,"'H

p

y/teza de reacţie Ra .'uD2

R. = k(T.)(P Y,)(P Y2)'Ţ

Ra

N

Cădere de presillne

dP kG(M). N2(T"K)di!= f2"'.P. D'

YJ Oomponentul CY3 = 1 - Y, - Y2

Y2 Y,

Bilant ma/;;rN d pe'A Y,

di (N Y,) ~ -R.

N

Bilant molJrR pe B Y2

ddi(NY2) - -R.

BIlant ma/artotal

d&(1'1)= -R.

Masă moleculaf'ă medie. M

Ra

.N Btlanţ termIc. . TG

~(NCpTG) = R•. hR - uDU(T. - Tj)

°K

Fig. 9.40. Modelul unui proces care arc loc într-un reaetor tubular

,

ord"Onarea ecuaţiilqr in' programul FORTRAN' prezentat în fig. 9.41. Simbo-bJluriie din program sînt practic aceleaşi 'ca şi acelea din model, cu urmă-toarele excepţii :

1. Pentru connditate şi viteză sporită de calcul, în ecuaţia vitezei dereacţie (linia 12) s-a introdus .valoarea ("D2/4 = 0,196).

2. Căldura sensibilă a gazelor Ne.Te e'ite înlocuită în program cu TGN .. .3. Temperatura de intrare a gazului = O°c.4. presiune~ de intrare a gazului P = 90psia.Intrucit se cunosc toate valorile iniţiale ale variabilelor integrate, la in-

trarea în reactor, este suficientă o singură trecere pentru a obţine o soluţiecompletă pentru lungimea tubului dată (50 ft). Prin această soluţie se obţinproiilurile de temperatură şi de compoziţie în lungul tuburilor care, pentruexemplul acesta, sînt trasate în fig. 9.42: Se observă că în regiunea luiL = 30 ft curba are panta aproape verticală, deoarece prin reacţia exotermă.se produce mai multă căldură decit aceea care poate fi preluată prin fluiduldin manta. Aceasta provoilcă o creştere a temperaturii gazului şi în mod cores-punzător •.o creştere a temperat urii de reacţie. Această succesiune de fenomeneare ca efect o creştere rapidă a temperaturii, care nu. se opreşte decit înmomentul epuizării componentului A, fapt ilustrat prin compoziţia lui Y,din fig. 9.42. In asemenea cazuri este necesar ca, în domeniul vitezelor maride reacţie, să se reducă pasul de integrate la valori foarte mici. Se reamin-teşte că în capitolul 3 s-a discutat subrutina INT, tare a fost în mod spe-cial elaborată pentru a fi utilizată în metode de integrare cu pas variabil.

l'2.~."5'6.7.6'9'

10'11'12'lj.14.15'16'17016.19.20.2,.22.l3.2••25'26'27.26'29.

Fig"

SCHIMBATOR DE CALDURA IN REGIM STAŢION..~~

FlE£oL KT,f-1,L.NY1,I'Y2,N f "()ATA NY1.NY2'N~P,TGN/8.,32 ••4n ••qO.,O~1

C ••INITIATioN S£CTION*.TS=150~

C .*.DERIV~TrVE S[CTION •••b TG:TGN/(N.25.l

TK:TG+27j.KT = 17500 ••EXP(-7~77./TK)Y1 = NYl/NY2 = NY2/NY3 = 1.-"Y1-y"2RA = KT.Yl.Yl.r ••2'.1~6M = Y1*42.+y2.74.+Y).116.OTGN= (RA.JBOOO.-10n.t11G-TS))DP = -.66(-8 • k.I~••2.TK/(P ••0311OL=.2/(1.+AB5(DTGN)/2000.1TPR=50 •• 0L(ALL PRNTF{TPR.50.,NF.L,p,TG.Yl,Y2.Y).RA,DTGN.OL.TS60 10 (lh 5.1 ,NF

C ••• 1NTEGQATION SECTION •••4 CALL INTIeL,UL.IJCALL INT(TGN,DTGN)CALL INT(NYl'-~A'CALL 'INT(NY2,-RAICALL INT(N,_R,OCALl INTfP,OP)60 Ta 6

5 STOPEND

9.41. Programul !.nui pro::,:cs care are !()c intr-un reâdof tubular.

283

284I 1 50~

10 20 30 40 "OL.uflg/mf: {, f't

Fig. 9.42. Profile de temper" tură şi c()mpozi\ie Înlungul untti rcadoT tubular.

Lucrul acesta s-a realizat, specificînd dimensiunea intervalului DTD în listaargumentelor din sub rutina INT!. Astfel, mărimea pasului poate li variatăcalculînd o valoare nouă la fiecare trecere prin secţiunea de derivare. O,ex-presie ~onvenabilă este următoarea. (linia 16 din lig.' 9.41):

DL= 0,2. I + (DTGN)/G

. .

In care G este fac!qrul de clştig. Se ~bservă. ~ăDL se apropie de valoarea. maximă 0,2 cînd variaţii căldurii" sensibile DTGN este foarte scăzută. Fac-torul de clştig G, obţinut prin Incercări, are In cazul acesta valoarea 2000 ..

O ~bservaţiile de mai. sus se aplică,. de asemenea, intervalului de imprimare

(TPR) care, In regiune~ vitezelor mari de reacţie trebuie să fie foarle micpentru ca să obţinem profilul complet al variabilelor. Intrucit intervalul dţimprimare poate fi exprimat In funcţie de dl, se poate scrie sub forma ţlnuimultiplu TPR = 50 x DL (linia 17).

INTEGRAREA ÎN SERIE

Exemplul 9.12 .

.Exemplul 9-10 tratează o problemă caraC!erizată. prin condiţii de fron-.tierăintermediare, In care caz, condiţiiJ"e limită de integrare nu se specificăla.extremităţile intervalului de variaţie a variabilei independente, ci In .puncteintermediare din interiorul acestui interval. Cele riIai multe probleme din

,

285'lNTEGRA:RE IN' SE!llR" ..

Fig. 9.43. ~ll1ţii.divergcnt~ tipice ..•

~.'.

în care coeficientul 0,2 reprezintă combinaţia uzuală de transler de căldurăşi debit.pentru f1uidul din manta. Dacă temperaura de intrare în manta' esteooe, profilul temperalurii din manta se termină la l = L (50 it), cu TS=O°C.,

grllpul acesta se .rezolvă .în nianiera descrisă anterior: se face o estimare avalorilor necunoscute în unul din aceste puncte, se rezolvă ,ecuaţiile pentruaflarea valorîlor. în punctul următor şi se compară valorîle calculate cu aceleaale ,variabilelor cunoscute; se face o nouă estimare a valorîlor .iniţiale şi secontinuă astfel ciclul pînă se verifiCă valorîle în toate punctele specificate .

. Procedeul acesta implicăJ9tdeauna integrarea uneia sau a mai multor ecualii

.diferepţiale într-o succesi'une, inversă sensului fizic din sistem. In cazul apa-ratului de schimb de căldură considerat, prin începerea integrării la intrare?în tub, ,se obţine. temperatura în manta prin integrare ihversă, în raport cuf,luxul lichidului din manta. Inlîmplător" în acest caz, ,coeficienţii privindtemperafurile 'fluidului din tuburi şi. din manta aveau valori astfel incîtse obţinea o soluţie stabilă. In alte cazuri însă, valorile ,coeficienţilor potproduce soluţii foarte nestabîle, mai ales atunci ,cind integrarea se efeelueazăîj1 sens.invers sensului fizic. Fig. '9.43 ilustrează un caz lipic, 'în care chiardacă integrarea se începe cu valoarea coreelă TSO, se trece rapid la o situaţieinstabîlă, care produce divergenţa de la soluţia corectă, .Q'HlGdiHcare in!i-netizimală produce pe de altă parte ,divergenţa în direcţie opusă,' Efectulacesta este de regulă datorat prezen'ţei unei conexiuni inverse pozitive intenseîn ecuaţia diferenţială. . '

Intrucit, pentru acest tip de probleme 'metoda de soluţionare 'descrisăanterior este nesatisfăcătoare, se utilizează o manieră' de abordare diferită,numită în general ..integr'a.re în serie", în care succesiun~a calculelor UflTieazăaceeasi direcţie cu sensul fizic.

e~zul precedent al unui reaelor tubular (exemplul 9-11) poate conduce lasituaţii nestabile dacă se presupune că agentul de răcire se găseşte în fluxîn contracurent, faţă de sensul de curgere a fluidelor din tuburi (fig. 9.44).Jn cazul acesta' temperatura din manta variază cu lungimea astfel:

" \

d(TS)/dl = ~ 0,2 (TG- Tsi

\

••

286 . sLSt'EME 1N REGIM .STATIONAR

. Fig. 9.45. Succesiunea calculelor în integrare<t serială.

In cazul În care integrarea pentru obţinerea lui TS nu este iniţiată cu o va-loare foarte apropiată de cea corectă, soluţia, urmărind obţinerea variabH~lorprobJemei (inclusiv variabiiele referitoare la Huidui din tub) se va deteriorarapid. O metodă reuşită constă îna memora un profii estimat pentru TS (1)Într-o inatrice ATS şi în a rezolva ecuaţiile privitoare la Huidui din tub, uti-i izînd valoarea lui TS din acest profil cu ajutorul unui generator de funcţii.Valoarea calculată a temperaturif gazului TV este introdusă Într-o matrke(ATG). După efectuarea calculelor privitoare la tub 1a I = L se face o in-tegrare inversă, rezolvînd numai ecuaţia pentru HuiduI din manta, utilizîndpentru temperatura gazului TG profilul calculat mai înainte şi memorat înmatrice. Noul profil calculat.'pentru TS este rememorat"în matricea ATS.Se iezolvă din nou ecuaţiile referitoare la Huidui din manta, utilizînd pentruTS noul profil. Această procedură de .reciclare' se repetă pînă cînd ambeletemperat uri. TG si TS se stabilizează la valori staţionare. .

Fig. 9.45 aratI{ schema acestui procedeu, iar fig. 9.46 reprezintă programul. corespunzător. Acest program este uşor de înţeles, deoarece cele mai mulledin

Fig. 9.44: Rcactor tubular cu cUlg~rea în contracurent a agentuluide răcire.

/

•TG

Generare' defunctii"

70 ~ fudL - V

MemorieTG(O~A TO

Btlant termfi.,.~ Memo."le l' :TO manta TS~ d(TS) ~ _ 2(T5 _ TO) iS(L) - ".rs ',;

dl

J dl I jL____._O :• 4TG "----. -~--------.-- - ~-- jdl- -- --- - - --- --- - - -- -- -;;;'7-5--- ---;

O~L l' iModel de tub 7;.6 (J-enel"are de 1 I

(Vt:!Zi(ig.9-40) - funcţii:TS = fA TS(L - O ;

, ,, ,~---'-- --- _ - • • • < J

r~-..•------ .•.------- ---- --------- ---- -----~------ .. -_•.__.__..._... ,I .,J

1-2_,-4_

5_b_7-8_9_10.U-12-.1J.14_15-'0-11*18_19-20-21-22_23_24.

. 25-

.....26.

21*28_29_30-,,.32-,,-,,-,35_ .'30_31*38_39_'0_4,.,,"2.4'-4'-45_40_~h48_4"_50_51-52_53_54055_50_

INTEGRARE !N SERIE

- ..REAL ~TfMtL,NYl,~Y2tNOIMENSION ALSIIOOJ,ALG(IDO),AIS(lOO},ATGtIOO)DATA(ALS(NS) ,ATSU"S) ,NS=1.3)/O. ,0 •• 42, ',6ltZ •• 50 •• 200./1'15=3

C •• 1NITIATION S£cTION ••7 NY1=8.

N'I'2=J2.N:ltO.P=90.T61\1=0.L=O.NG = OC ••• OERIVATIV£ SECTION •••

b TG:TGNYfNe25.JTK ,; TG + 213.KT ,; l7500••EXP(-7~77./TKIYl ,; NY1/NY2 = NY2/N

"Y3:: 1.-Yl-y2HA :: KT~Yl.y2.P••2••196.~ :: -Yl*42-.+Yl.74.+Y3$l'1:t,,;TS=FUNl(50.-L,NS,ALS,ATS)DTGN= (RAe:5S000.-100 •• (TG-TS»)DP = -,66E-8 • ~.N••2.TK/(P••031)OL=,?/(1.+ABSlDTGN}/2000.1TPR=SO ••Ol(AlL PRNT~(TPR,5U.,NF;L,P.TG,11,Y2,YJ,AA,DTGN,DL,TSJ(ALt STOR(TG.L,ALG,ATG,NGI60 Ta (I-hS) .• NF

C ••• tNTEGRATION sECTION •••u CALL lNTI(L.UL,1.)CALL INT(TGN.DTGN)CALL lNT(NYlf-RA)CALL INT(NY2,-RAJCALl INT(N,-RA)CALl INT(P,OP)60 To 6

C ••SHELl sIOE RETURM ••5 CONTINUEE=TG_TGOIFCA8S(EI.LT~.05J STOPTGO=TGTs = o.NS=OL=O~

9 TG=FUNl(.50~-L,NG,ALG.ATG)DTS=-~20.eTS-TG)OL=.2/el.+ABseOTS)/2000.)DPR=10.*UlCAll PRNTF{D~R.50.,NF,l.TS,TG,OTS,O.,O.,O.,O.,O ••o~)CAlL STOR(TS.L,ALS,ATS,NS)GO Ta (10,.1).NF .

10 CALL INTltL.Ol.llCALL INT(TS,UT5)60 To 9ENO

287

Fig. 9.46. Program pentru integrarea serială, .pentru re:lctor_lIl tubultu.

,'","

288

;.2.,.••5.~6'

"8.g.10.

SISTEME IN REGIM ST,A'PONAR

5UBRoUTINE STQR(16,X,ALG,ATS,NG)OlMENSIOtl ALGtlOOJ ,ATS(1001'

. C()l(MOJlit/CPR/~JPRtFtNPR.EO.l) GO'10 5

"RETURN.," .5 NG=NG+l

ALG(Nu)::)(ATStNG)::T&RETURfliENO

Fig. 9.47. Subrutitlil STOR.

ecuatii au fost descrise În exemplul 9.11. Testul pentru c6nvergenţăse efec-tuează În linia 41, În care valorile succesive ale temperaturi{ gazului din tub,TG, memorate pe rînd (linia 42), sînt comparate ţinînd seamă de valoareatoleranţei admise (linia 40). Profilele temperatufii sînt memorate prin sub-rutina STOR (fig. 9.47), În care atît temperatura, cît şi lungimea se c~nformăintervalului de imprimare; funcţia STOR se declanşează prin indicele deim-primare NPR din subrutina PRNTF (Cap. 3). Subrutina STOR efeeluează.,de asemenea, numerotarea punctelor memorate (NG) ia fiecare trecere, În- -trucît această informaţie este cerută ,de .către g~J:l,erator,ulde funcţii FUN 1.Se va observa că În integrarea În sens invers, se intrebuinţează un pas va-riabil atît pentru integrare cît şi p~ntru imprimare (liniile 48-49).

Jniţial, temperatura fluidului din manta este' dată În trei puncte prindeclaraţia DATA (liniile 3 şi 4). Pe măsura repetării ciclurilor, temperaturaTS 'se apropie de o limită stabilă, In fig. 9.48 se arată profilul pentru tre-cerea intiia, a şasea, a doisprezecea şi a 'optsprezecea, in'dicînd clar tendinţade convergenţă, Temperatura finală a gazului TG este, de asemenea; arătatăpentru trecerea a _optsprezecea. ' , ,

Probleme,

1. Să se proiecteze un' proces de purificare a apei, bazat pe principiulseparării prin osmoză. 'O soluţie de săruri curge descendent printr.un tub, .Iapresiune ridicată. Concentraţia iniţială a saramuriieste c, lb sare/ft", iar pe-retele tubului este permeabil numai pentru apă. Coeficientul de permeaţie estel( (lb apă/it', psi min), iar forţa motrice (psi) prin peretele' tubului est~ datăde diferenţa Între presiunea de regim şi 'presiunea de 'osmoză inversă. Presi.unea osmotică este direct proporţiona][, cu conţinut ul În sare al saramuriÎ.

Să ,'se elaboreze un model matematic, cu' ajutorul căruia să se determine, randamen tul În apă proaspătă, În funcţie de lungimea tubului, diametru,debitul şi presiunea la intrare, presupunind că În lungul tubului are loc ocădere de presiune apreciabilă prin frecare.

2. Dintr-un colector principal,' pe care sînt plasate patru robinele, să sedirijeze un combustibil gazos la patru consumatori, colectorul fiind alimentat.

,

••INTEGRARE lN SERm'

,

50

-Ţ(j'

---- T6

.•...•....•. ."<"6(18),

18 " ,,,,,,,,\\,,,

\,, .. ,,

\,\

fO 20 30 "OLl.tng,me L (ft)

Fig. 9.48. Reprezentarea gr;:~fică a rczulbJtclor ob\lnute prinintegrarea ,serială, pentru reaetoruJ tubular.

700

60

,,•,

500 ,,,,,~ ,~

,, ,, - 1dJ0 ,

~ I•~ ,~ ,~~ ,~ •~ 30

,,~ ,,,,,

200,,ff,,,,

100 ,I,,

;',OO

din depozitul indicat în fig. 9.49. Fluxurile F" F, şi F3 sînt extrase in amonteşi În apropierea imediată a celor trei robinete indicate pe coleclor. Presiuneaîn aval de robinetul al patrulea este Po. Să se construiască un model caresă stabilească presiunile corespunzătoare debitelor F•. F, şi Fa şi prin alpatrulea robinet F" admiţînd că se cunosc caracleristicile. robinetelor Ca'.

3. Printr-un reaclor catalitic, conţiiJind un strat de particule de catali-.zator, se produce curgerea unui gaz constînd din reac!anţii A şi B, produşiide reacţie R şi Ş şi inertu! 1. Reacţia care are loc este:

A+B:"'R+S

Fig. 9.49.

'19 - Modelarea şi simularea in ingineria ehi.mică - cd. 29

[

2~ SISTEME IN REGIM STAŢIONAR

,

iar viteza de reacţie. este :"_'_

r= k(P.,'PR~ Pn'Ps/K)

(l +. K.~.P of + Ks'p B.+KR'-P.{;+KIi.P,~--fKf.Pj)2

În care r = (lb inoli/min Ib catalizator); P,=presiune~ parţială a compo-nentului i; K = constanta de echilibru (dependentă de terriperaturiJ) ; k = con-stanta vitezei de reacţie (dependentă de temperatură). '

'Reactia este exotermă, iar readorul estif adiabatic. Pier'derea de presiuneprin strat este proporţională cu pătratul/ debitului; cu lungimea stratului şicu inversul puterii a patra a diametrului': Să se elaboreze "un model prin caresă ,.se determine ,mod,;,' În care varia~ă compoziţia, de ieşire cu temperaturade mtrare, cu volumul total al stratului de catalizator; cu lungimea şi .diametrulstratului, cu compoziţia de intrare/etc. '

4. Reacţia În fază Iichidă A +E +' C + D are loc Într-un reador tubularÎncălzit. Reacţia este endotermă .. Din mantaua readonilui se introduce căldurăÎn reacţor pentru a compensa câldura de reacţie, pentru il ridica temperaturala pundul de fierbere .şi a provoca evaporarea. Dintre componenţi numai Dşi C se evaporiJ, ultimul in'proporţie mai pronunţată. Prin aceasta faza li-chidiJ se îmbogăţeşte În comporientul D şi promovează evoluţia reacţiei. Din

. diverse punde, din lungul readorului, se extrage .0 fază de vapori. Princorelarea datelor experimentale s-a obţinut următoarea expresie pentru cădereade presi une :

dP = K,W~ +1(,V'dl • .

in care WT• = Ib/min fază lichidă; V = ft'/min fază vapori. Coeficientul detranSfer de căldură U,. prin peretele condudei, este dat de expresia

U = K, + K.W" PCU /min, C,' It'1 + K.V

Presupunînd că Între cele douiJ faze ale fluxului există echilibru"şi că con-statita de viteză. a reacţiei depinde de. temperatură, să s~ construiască unmodel în care să se careleze compoziţia cu lungimea şi diametrul condudei,poziţia condudelor de extragere a vaporilor, presiunea de intrare şi tempe-ratura .În manta.

5. O particulă sferică de polimer se găseşte suspendată Într-un mediu fluidşi este supusă unui bombardament cu radicali. Viteza de intrare a radicalilorprin suprafaţa particulei este R, (moli/cm' sec), iar viteza de difuziune îninteriorul particulei este proporţională cu gradientul concentraţiei. Viteza determinare a reacţiei radicalilor În interiorul particulei este kr.' C', În care Ceste concenlraţiaţle 'radicali (moli radicali/cni' de particulă). Să se elaboreze.un model şi prograinul corespunzător, cu ajutorul căruia să se determine con-centraţia radicalilor dininleriorul particulei.

I

mTEQRABE IN SERIE.

Tambur

'roaie (pinzi)

_ .,291

\

6. Un strat continuu de grosime 1, eskrăcit pr(n'eontaetul cu un tamburmetalic de,grosime 1. care se roteşte şi se răceşte la interior printr-un agent(cu temperatura To). Să se calculeze variatiile de temperatură ale suprafetei,tamburului pentru diverse grosi mi ale stratului, viteze de rotire a tamburuluişi 'lungimi de contact.' Să se elaboreze un model pentru acest sistem, presupu-nînd că variatia de temperatură prin strat şi prin tambur este neglijabilăşi că rezistenta la trecerea căldurii are loc la interfata agent de răcire-tambur şi tambur - stratul subţire. '

7. Un evaporator de tipul cu peliculă descendentă, constă dintr-un grupde tuburi în interiorul unei mantale. In spatiul dintre tuburi (în manta), semenţine o presiune constantă de abur. De 'Ia acesta căldura se transferă lapelicula de lichid care curge în jos prin interiorul tuburilor, ,provocînd ev."po--rarea Iichidului. Prin partea, superioară a evaporatorului se extrag"vaporiisubstanţei evaporate. Materialul care alimentează evaporatorul constă din treicomponenti, care toti se evaporă intr-o animiită măsură .. Presiunea din eva-porator se mentine constantă. Să se' elaboreze modelul sistemului. prin caresă se definească debitele şi compoziţia' ieşirii în functie de parametrii, siste-111Ul'ui,presupunînd că faza lichi dă şi vaporii se găsesc la echilibru în toatepuncte'le ap'aratului (echilibru de interfaţă).

~--+--.J(X, X2 X3)i '

,

_ V (Y, Y2 Y3)O

Ps Abur

,

•

292 StsTE~1E .IN RE~:aM STAŢIONAR

I

8. Intr-un turn de stropire cu volumul V are loc 'umidificarea unui gazmonocomponent, cu debitul Q, de ciitre vaporii unui Hchid monocomponent,care curge cu debitul 1\7 în contracurent 'cu,' gazul. 'Conform teoriei cunos-cute a dublei pelicule are loc echilibrul la interfaţa dintre gaz şi picăturile delichi d itemperatura de fiecare parte a celor două faze fiind aceeaşi), iar gazulse saturează cu vaporii de lichid la interfaţă. Să se elaboreze modelul proce-sului, admitînd că valoarea căldurii 'sensibile a Iichidului evaporat este negli-jabilă şi cii debitul de lichid evaporat este neglijabil faţă de debitul de lichiddin turn şi de acela de gaz.

w_~ __ ,

Gazq-

--::-':::::

// )"''-;/ II "{{/{,,\\\\\I f 1 11\ I'i'I'I'I' ,II, ,, 'II ' I 11:lţQI/ ,JW'III '1' '1I1III11 1,1111III ,1' II ",,' ,

= illl,,'I',11 i

•

-w

9. Cum s-ar modifica programul schimbiitorului de căldură descris înmodelul 9.10 pentru a calcula debitul prin manta necesar pentru a realiza oanumitii sarcină de răcire, presupunînd cunoscute temperaturile fluxurilor,din tub şi din manta, şi debitul fluidului prin tuburi?

10. Să presupunem că reacţia din reaetorul tubular, prezentată În 9, II,cuprinqe de asemenea, o reacţie de degradare a produsului C de tipul C+ C~D.Viteza de reacţie este proporţională cu pătratul presiunii parţiale a lui C,iar constanta vitezei de reacţie k, = 1050 exp (- 9000/TK). Cum ar trebuimodificat modelul din fig. 9:40 pentru a cuprinde şi această reacţie? Să semodifice programul ca sii cuprindă şi această reacţie şi să se determine tem-peratura optimă din manta TS care produce debitul milximdin produsul C.

BIBLIOGRAFIE

1. "Membrane Separat ion Process", N.N.Li, R. B. Lung, and E. J. Henley, .Ind. Eng. Chem.,57, No. 3, 1965. .

2. ,.Horizontal Pipelinc Flo\\' oi Equal Density OiljWClter Mixturcs",- G. W. Govicr, <lndG. W. Hoggson, CaII. J. Chem. Eng., February, f961. _

,

1

INTEGRARE IN SERIE 293

3. "A Fimv for Two Phase Slug FIm\' in Horiionta1 Tubes", E. -s. Koroyban, Journâlof BasicEng., Decembcr, 1961. .

4. "Apply Analog Teehniques ta EqHipment Design", R. G'. Franks, Chem. Etlg~, April, 1963.5. "Gas Liquid Flo\v in Horizontal Pipes", C. J. Hoogendorn, Chem. -Eng set, 9, 19596. PrD«!~ Ifea! Transfer, D., Q. I\ern, McGraw.Hil1, New York, 1950. .7. "Tr.ansient Film Condensatipn", E. M. Sp.arow and. R. Siegel, ASME, 58-A.13, 1958.8. ,.Application of a General Puepose Analog Computer to the Design of <1Coo[er Condcnser"

R. G. Franks nnd N. G. 'O"'Bricn, Chem. Etlg. Progr. Symp. Ser., 56, No. 31, 1960.9. "Calcu1ation' of the' Performanee of a Mixcd-Vapor Condenser by Analog Cornputation",

N. G. O'Bricn. R. G. Franks, 8nd J. K. MUllson, Chem. Engr. Symp. Ser., 55; No. 29,"1957.10. A. P. Coburn and O. A. Hougcn, Ind. Ena. Chem., 26, 1 178, 1934.11. ..A Gener-alized Coire1alion of Diffusion Coefficients';, J. R. Fair and B. .J. Lemer, A.I.Ch.E.J.

2, No. 1, 1956. .Il. "A Generalized Corre1ation of DiHusion Coefficients", J. R. Fair and B. J .. Lemer,

A.1.Ch.E.J., 2, No. 1, 1956.12. "Prcdieting Physieal Properties oi G<lSCS and G<lS Mixturcs", J. T. Holmes and M. G. Burri.s,

Chem. Eng., May, J965. ~13. "Stcady State Simulation Ia an A~mol1i<l Synthesis COl1verter", 'R/F. Badour, P. L. T.

Bri<lll, B. A. Longeais, aud J: P. Emery, Chem. Eng., Sci., 20, 1965.14. ,,Analog Computer M.cthod for Dcsigning a Cooler Condenser witil Fag form<1tion", D. R.

Cough:mowr and E. O. Stellsholt, Ind. Eng. Chem., 3, No. 4, Odobcr, -1964.15. "On-Line Computer Control of Thermai Cracking"", S. M. Roberts and C. G. Laspe, Ind.

Eng. Chem .. , May, 1961. .

Notaţii

'-1AIP

li R căldura de reaclict1H Il căldura molară de reacţieh' coeficientul de. conduetivitateIl!, coeficient de trnl1srnisie a căldurii

(exemplul 9.7)conductivitate termicăcoeficient de frecarefactor de. frecarecoeficientul vitezei de reacţielungime totală S.lU debit de lichid(exemplul 9.4)lungimedebit molarpresiunea

a constanUÎ sau secţiunea tubului pe ..unitate de lungime (exemplul 9.7)

A factor de corecţie Ack'CflTIfJllB grosime<'! condensatuluiC capacitate ealor'ici1C]l că1d~lră specifică'D diametruF debitF J coeficient de difuzie pentru compo-

nentul jf1 rraclie moi ară a componcntului j în

fluxul care cOlldenseaz~O factor de cîştig (de amplificare)li flux termic

294 SISTEME IN REGIM STAŢIONAR

Q

q,q,RSTtU

uV

/

flux termic (exemplul 9.2), elebit degaz (exemplul 9.3), flux de condcnsat(exemplul 9.6)căldur? latentă eliberatăcăldura sensibilă eJi~crataconstanta gazelor. sau viteza de reacţiespaţiul din manta. intertubular"temperatura sau. spaţiul din tuburigrosimea pereteJL!Î ..coeficientul general de trallsmis,ie acălduriivitezadebit de volum sau debit molar (exem-

t'It?

XYyZ

piui 9.4)viteză de evaporaredebit de- masă e(xcmplul 9.4); vitezăde condensare (exem'plul 9.6)distantă -. _fracţie mcÎ1<iră"În faza gazOasădisianţş. prin pelicula d.e condensatdistanţadensitateaconstaiita" de radiaţieconstanta .de permealie'viscozit-ateadildlJr~ (atentătensiu'nea p~ ţmitate- de sU'prafaţăcoeficient de activitate.

Probleniele în care iptervin ecuatii diferenţiale cu dţrivate parţiale con-stituie ultima şi cea mai complexă etapă în elaborarea modelelor matematice.In prima etapă s-au tratat sistemele descrise de ecuaţii algebrice sau diferen-tiale ordinare, neliniare, în care timpul intervenea ca variabilă independentă.

Etapa a doua constituie o extindere a' etapei întîi la sisteme în mai multetrepte, iar etapa a treia are ca obiect studiul sistemelor descrise de ecuaţiidiferenţiale ordinare neliniare, în care drept variabilă independentă interveneadistanţa (lungime geometrică). Jn, această ultimă etapă s-a admis că operaţiile'au loc în regim staţionar pentru a elimina timpul ca variabilă independentă.Cazul cel mai general 'este acela în care variabilele caracteristice, ca tempera-tura, debitul, presiunea şi compoziţia, variază atît în spaţiu, cît şi în timp,Unel~ cazuri simple din această ultimă categorie se pretează la o soluţieanaliţicăJ dar acestea prezintă arareori un interes pradic.

Cea mai uzuală manieră de a aborda soluţionarea ecuaţiilor cu derivateparţiale, cu ajutorul calculatoarelor, constă în transformarea lor in sistemede ecuati.J diferenţiale ordinare, cu o singură variabilă independentă care,uzual, este timpul. Aceasta se realizează prin metoda diferenţelor finite, careconstă în construirea unei reţele (diviziuni) peste domeniul variabilelor pro-blemei, care in cazul nostru conduce' la divizarea dimensiunilor geometriceîntr-un număr de "celule", dirora li se aplică ecuaţiile uzuale de bilanţ demasă şi energie. Numărul de celule necesar pentru o. situaţi~ dată se discutăîn detaliu în literatură [1, 2, 3]; In general prin creşterea numărului decelule modelul matematic tinde să simuleze mai fidel realitatea fizică. Unnumăr mare de celule îmă implică timpi de execuţie mari pe calculator, pentruobjiner.ea soluţiei căutate. De fapt, în cele mai multe cazuri, se .pot obtinerezolvări ale problemelor inginereşti, cu o preei'zie ailecvată, împărţind sistemulîntr-un număr surprinzător de mic de celule. Repartiţia celulelor în ,sistemtrebuie să fie efectuată de analist. Intrucît nu este necesar ca celulele să aibă'aceeaşi mărime, precizia aproximaril poate fi îmbunătăţită (utilizînd practic

10.,

ECUAŢII DU'ERENŢIAJ.E CU DERIVATEPARŢIALE

10.1. BARA MET ALiCA IZOLATA [4, 5]

B

ECUAŢlI DIFERENTIALE CU DERIVATE PARŢIALE296

<lcelaşi număr total de .celule) mărind numă~ul de celule În domeniile care,În cursul regimului tranzitoriu prezintă gradienţi mai pronunţaţi şi rărindcelulele În zonele cu gradienţi scăzu ţi. Aspectul acesta va fi pus În evidenţăÎn unele din exemplele care urmează.

a-Ţ = h'.'!!-ax' . ae

În care h este coeficientul de difuzie termică,

1. densitate-căldură specifică1 = ------- __

. conducHvitate tcrmică

'\Primul exemplu constituie unul din cazurile elementare, adeseori ÎnlÎlnite

În tralatele de lransmisie a căldurii, pentru care exislă o soluţie analilică.In exemplu .se va arăta siniplitatea metodei diferenţelor finite aplicată' la teh-nica elaborării modelelor. Sistemul (luai ca exemplu) constă dinlr-o bară me-talică, izolată termic lateral şi la una din extremităţi (fig. 10.1). Considerămcă la momentul iniţial (O= O) temperatura este aceeaşi În loată bara, T=O°C.Aplicînd şi menţinînd o temperatură de 100°C la extremitatea neizolată, sestabileşte, În timp' (O), o temperatură uniformă îri lungul barei. Fig. 10.2",rată gradienţii în lungul barei la diverşi timpi succesivi Oi' Temperatura Tvariază atît cu distanţa X, cît şi cu' timpul O, ceea ce se exprimă uzual prinnotaţia T(e, X). Ecuaţia diferenţială parţială, care corelează temperatura cutimpul şi cu distanţa are forma

"

~Fig. 10.2. Gradienti de tempera- ~

tură În bară la timpul 81,_ f1':

Fig. 10.1. Bară metalică izolată termic.

LlJng/me X

BA~A METALICA I.~OLATA 297

Aplicarea metodei dHerenţelor finite la rezolvarea acestei probleme constăîn a presupune că' bara este împărţită într-un număr de sectiuni şi că centrulfiecărei sectiuni se găseşte la temperatura medie a sectiunii respective (fig. 10.3).

Admijîndcă sectiunile sînt egale cu dimensiuni şi că distanta între cen.trele lor este l>X, carititatea de căldură transmisă ,de la sectiunea n ~ 1 lasecţiunea n (vezi fig. IOA) în unitatea de timp, este dată de expresia

Q•.. , = tonductÎvitatea X sectiunea X gradientul termic

,Q .•..,='k.A. (T,,- T,)iiX

in care A este secţiunea barei.In .mod analog, fluxul termic de la sectiunea n + 1 la sectiunea n este

Q."= k-A. (T,+, - T,)n.1 !3.X

'Printr'un bilant termic asupra sectiunii n se obtine llrmătoarea ecuatiedHerentială ,vHeza .de acumularea căldurii = suma tuturor fluxurilor termice la sectiune

~[Cp(A.CiX)T.J=k.A. (T•. ,- T.) +k-A.d6 . iiX' .

Ecuatia aceasta se reduce la forma,

~ T = k [(T _ T ) + (T -'-'-T )''dO:'l pC(.6.X)2' R-} ti n+1 Il j ...••

I . I II I I I ,. I , I

'.71 Tz , T,,

I rf/-1 I Tn I Tn+J 1 . I I T, T,O• .• , • • ,. • _ t •• I • l • I • f • f • •I

, I I f I I,

I I lo."x.....,X_6X,.J , I

~ Fig. 10.3. Secţionarea barci.

,

,.IIIIIfI

, n -1 - I n n +' ,1

Tn",~. , II . ,,1 II I I I

II~nl I'. I TH, l'1, _ ,j If--~X I ~6.X~' -

I ,_. J . . IFig. -IOA., Gradienţi În..secţiunean.

298 ECUAŢII DIFERENŢIALE CU DERIVATE PARŢIALE

,••••••. ,1

"

care poate fi dispusă sub forma arătată in fig, 10,5, Modelul Roate fi elaborat~i analitic avind in vedere teoria generală de ,rezolvare a' <;cuaţiHor diferen-ţiale cu derivate parţiale, prin metoda diferenţelor firlite, Metoda din figurade mai sus însă este mai uşor de înţeles şi de aplica!. Modelul matematicpentru .întreaga bară constă din cîte un bloc, cu o ecuaţie •. pentru fiecaresecţiune, după cum se arată în ansamblul din fig, 10.6 pentru cinci secţiuni.

Precizia matematică poate fi crescută cons,iderabil redistribuind secţiljnilefără a creşte numărul acestora (fig. 10.7). Intrucît cele mai pronunţate variaţiide temperatură au loc la extremitatea liberă a barei, aceasta trebuie divizatăprintr.,! reţea mai fină decît extremitatea izolată, unde variaţiile de tem.peratură sînt permanent mai scăzute. Soluţionarea pe calculator, a sistemuluide ecuaţii diferenţiale ordinare, care descrie acest sistem este n'la'tiv simplă.Este necesar să se cunoască valoarea iniţială a lui T în fiecare secţiune şivaloarea funcţiei perturbatoare TA' Deşi există soluţii analitice pentru cîtevafuncţii particulare, ca sinusoidele'sau iuncţiile treaptă, este mai convenabil,chiar şi in acest caz elementar, să se programeze ecuaţiile, întrucît prin aceastase asigură soluţionarea ~nei mari diversităţi de funcţii perturbatoare. Cal~uJeledau valori specifice ale lui T pentru fiecare secţiune n, sub forma unei funcţiicontinue de timp, sau ca un gradient al temperat urii faţă de lungimea Xpentru valori specifice ale timpului.

Fig. 10.5. Modelul sectiunii n,

Fig. 10.6. Schema fluxurilor prin cinci secţiuni ale barei., , ~.

ITI I I

I I,I I , I ,, I , I

l' 2 I J I lj.,

5 I ;fi 7 8 " g I /0 11 I /2I ' I ' ,

", 1 ,

I , I ' , 1;:"

I ,,Fig. 10.7. Distrib.uţie Îmbunătăţită a secţiunilor.

I

rBARA l\'IETALICA IZOLATĂ 299

Secţionarea sistemului ridică problema stabilirii numărului de secţiuni ne-cesare pentru a obţine un anumit grad de precizie. Asupra acestui subiectexistă numeroase lucrări în literatură [1, 2, 3J; o regulă utilă constă în asecţiona sistemul într-un număr de secţiuni egal CU numărul punctelor cerutepentru a defini gradienţii de temperatură în sistem.

10.1.1; Program pentru o bară metalică izolată

Metoda diferenţelor finite, aplicată sistemelor în trepte, conduce la modelematematice, care se adaptează foarte uşor la programarea pe calculatoarenumerice. Exemplul elementar descris mai înainte se va programa sub formaunui sistem de ecuaţii diferenţiale ordinare. Pentru a profita de avantajeleoferite de calculator' progrâmul va fi elaborat în -forma cea mai generală.Diversele distanţe şi dimensiuni ale fiecărei secţiuni vor fi calculate prinprogram; singurele date necesare în acest caz, sîn) : lungimea totală a barei L,

_ numărul secţiunilor N şi raportul lungimii a două secţiuni succesive (secţiuneabarei se admite că este constantă şi/egală cu unitatea). Dacă lungimea sec-ţiunii J este !!.LJ (fig. 10.8,.0) şi lungimea secţiunii J + J este !!.L +l avemraportul R = !!.LJ+l/!!.LJ. Dacă acest raport se' menţine constant pe toatălungimea barei, iar lungimea primei secţiuni este. DL, atunci lungimea ori-cărei secţiuni este J = DL(R)J-'. Lungimea totală este:

xL = bDL(R)J-'

J=l

Aceasta presupune, 'aşa cum se arată în fig. 10.7, că secţiunile devin prc-gresi v mai mari. Astfel, specificînd valorile lui L. R şi a numărului totalde secţiuni N. lungimea de bază, acea a primei secţiuni. este:

DL= __ L_iV~ (RV-'J=l

Calculul acesta este efectuat în liniile 6--:-9 din programul arătat în' fig. 10.8. b• Adoptînd ecuajia diferenţială, dezvoltată mai înainte, la cazul general

cu secţiunile în creştere progresivă avem:' . I

idT, _ k [ (T._, - T,l .. , (T,+, - T.) ]dO - pC!lL, ,!(!lL,_, + !lL.) T !tAL ••• + AL,)

IntroduCÎnd !!.Ln_, = !!.L,/R şi !!.L'+l = !!.Ln -R avem: .

dT. 2k [T,_. - T, +T,+, - T,]l.dO = pC(M,l' (IIR+ 1) (1 + Rl

Coeficientlil 'A' 2k/(pC.(!!.Lnl'se calculează' prin linia 12 sub forma A (J) == K'2/(RO.C.DL • .2), iar DL se calculează în linia 14 pentru fiecare sec-

300 ECUAŢII DIFERENŢIALE CU DERIVATE PARŢIALE

;. i 1 i1 t-llLJ-7-.6LJ+-7-:j I l'I I , •I I 1 '1 I I 'l 1 r :t I J I1 , I r:J-1: J : J+1 :1 , I 1

Fig. 10.8. Q. Secţiuni variahilc ale barei.

I

",.3'••••••7.••••10',..12*13'1'1_1~.".17.,.',..'o.".".,.-i.•",25',..".,..29.

OIMENS'JON xc (30), T(30). OTe130 J ,.a (30")REAL L,K •DATA "L/IO./K/1.44/RO/160./C/.222/N/10/TA/100./R/1.2/NM 1/9/

100 FORMA1(lOE12.4)C •• lNITIATION SECTION ••

00 5 J=I.NTIJ, = O.

5 SR =.SR .•.R•• (J~llDL = L/SRXCU 1 = OL/2.00 b ,)=loNA{J) = K*2./(RO.C.OL ••2)XC(J+ll = XCCJI .•.OL/2 ••(1.+R)

f.,OI..=DL*RPRINT 100 (XC(J),J=l.NI

C •• DERIVATIVE SECTION ••9 OTCUI = AClh((1A-T"UI) .•. eT!2J-Tl1)11(1.+RI)

00 '1J=2,NMi7 01C(JI = ACJ).((1IJ-ll~TIJII/(1.+1.JRI.(T(J+l)-T(J'J/(1.+R))

Olt(N) = ACN).IT(N-l'-T(NIJ/(l.+l./RJCAlL PRNTFIIOO.,lOOO.,NF,TI~.T(lJ,T(2).T(31.T(~J,Tt51.Tt6J'T(N-~).lT"(N-l) ,TIN) I .IF (NF .EG. 2) STOP

.C •• lNTEGRAlION SECTION ••. CALL INTl(TIM,.1,4)00 8 ,J=l,N

8 CALL lNTITI,JI,DTCI,J»)GO Ta 9-ENO

Fig. 10.8, b. Program pentru bara mdal'ică izolată termic.

/

100

80

<o"~':'1:1 50C.,~

.~\ c~

"-<''8'".'20

OO 10

FiO". IO.8~c. Reprezentarea graricăa .~'ezultatclcr obţinute prin uti-lizarea programului la .cazul din

fig. 10.8, a.

SCHIMBATOR DE- CALDURA 301

, .ţiune, Amplasarea centrului fiecărei secţiuni exprimată ca distanţă de laextremitatea barei se calculează cu expresia

XC.TU = XCJ + D2L * (1 + R)

unde XC, = DL/2. Operaţia aceasta se, efectueilZă -În linia 13 ca o parte dinbucla DO. Derivata temperat urii pentru orice secţiune se calculează În linia 19,cu excepţia primei şi ultimei secţiuni, care se calculează separat În liniile 17şi 20. Se reaminteşte că ultima secţiune are un singur flux termic, Întrucît .terminaţi unea sa este izolată; În sectia Întii fluxul termic trece de la tempe- .'ratura de intrare TA pînă la prima temperatură T(I) pe distanţa 1/2 DL.Expresiile rezultante sînt arătate În program, Integrarea derivatelor se efec-tuează În bucla DO prin linia 27.

.Avantajele programării pe un calculator numeric al acestui tip de problemeeste evident. Cele 10 ecuaţii diferenţiale au nevoie de o singură linie pentru''codificare, ceea ce. se realizează prin utilizarea de 'variabile indexate in inte-riorul buclei DO. Dacă, spre exemplu, trebuie să se modifice numărul desecţiuni, va trebui doar să se schimbe limitele indicilor din buclele DO pentruN şi NM1, specificate În 'declaraţia .din linia 3, ' .

Rularea s,a efectuat, utilizînd valorile parametrilor specificaţi in decla,ratia' de date, care corespund.pentru o bară ae aluminiu. Rezultatele numericesînt reprezentate În fig. 10.8, c În lungul barei, ca o serie de gradienţi detemperatură, la'diverşi timpi; pînă la 1 000 minute, la care temperaturabarei se apropie de cea a extremităţii calde. '

Ecuaţiile diferenţiale cu derivate partiale, din exemplele următoare, sîntmai complexe decît. acelea din cazurile precedehte, dar sint tipice pentruaplicaţiile industriale obişnuite. Cazurile elerilentare considerate pină acum,arată principiul metodei diferenţelor finite, 'reducerea.Jâ.un sistem de ecuaţiidiierenţiale ordinare ,şi rezolvarea. acestlli"'printr,un program FORTRAN.Deşi exemplul următor reprezintă un caz mai complex, nu implică aplicareanici unui principiu diferit de acelea utiI"izate Rină acum.

~0.2. SCHIMBĂTO~ DE CĂLDU~Ă [6, 7]

In capitolul 9 s,a studiat un aparat de schimb de căldură lichid.lichid detipul tub În tub. S,au stabilit ecuatiile care definesc variatia temperaturii caO' functie de 'distanţa parcursă În aparat şi pentru a. elimina timpul, adicăo variabilă independentăsuplimentară,.s-âpresupus Că operaţiâare loc îri regimstaţionar (În f1ux.continuu). Se poate considera acimicazul mai gen~ral arunei operaţii nestaţionare, În care variabilele dependente. de teniperatură vorfi funcţii de variabilele independente: timpul şi distanţa (vezi fig. 10.9). In-

,

'1I

3~2 ECUATII DIFERENŢIALE CU DER:IYATE ..PARŢIALE

-- --•

'1TSi

. Fig. 10.9. Schimbător de căldură d,e tipul cu tubl,lri În manta.

trucît există mai mult decît o singură variabil ă independentă, relaţia intretemperatură, .timp şi distanţă poate fi exprimată sub forma'unei ecuaţii dife-renţiale cu derivate parţiale. Deoarece obiectivul care.se urmăreşte constă În,a reduce modelul matematic la un sistem de ecuaţii diferenţiale ordinare (încare să avem o singură variabilă independentă, timpul), sistemul va fi abordatprin metoda diferenţelor finite.' .

Aparatul se Împarte În 10 Secţiuni (fig. '10.10), astfel Încît fiecărei sec-ţiuni din. tub să-i corespundă o secţiune În manta. In fig.. 10.11 se arată o

T"

t,I 2

Fig. 10.10. Schimbător de căldură sectionat.

•

Fig. 10.11. Sectiunea. n a schim!l'ă-torului de căldură.

, .