UNIVERSITATEA SPIRU HARET FACULTATEA DE MANAGEMENT FINANCIAR CONTABIL BUCURETI Specializarea MANAGEMENT Anul III anul universitar 2008-2009 M MO OD DE EL LA AR RE E I I S SI IM MU UL LA AR RE E E EC CO ON NO OM MI IC C Sinteza cursului Prof. univ. dr. Ctlina Lucia Cocianu BUCURETI 2009 TITULAR CURS: PROFESOR UNIVERSITAR DOCTOR CTLINA-LUCIA COCIANU ADRESA E-MAIL: ccocianu@ase.ro CONSULTAII: n fiecare zi de luni, n intervalul 10.30-12.00 PARTEA I PROGRAMARE LINIAR. APLICAII ECONOMICE CAPITOLUL 1. PROBLEMA DE PROGRAMARE LINIAR 1.1. Introducere Programarealiniaresteundomeniudezvoltatlasfritulanilor1940,odatcu necesitatea rezolvrii unor probleme de alocarea resurselor i a devenit un instrument esenial al cercetrilor operaionale, aplicat unor probleme extrem de variate din lumea real. ncontinuarevomprezentaproblemadeprogramareliniarprinintermediulctorva exemple. (Kolman, Beck, 1995) Exemplul 1.1. Problem de transport Un produs P este obinut n dou fabrici situate n dou locaii, Bucureti i Craiova i estestocatpentrudesfacerentreidepozite,unulsituatnPloieti,unulnPitetiiunulla Cluj.FabricadinBucuretiproducesptmnal120detonedinprodusulP,iarfabricadin CraiovaproducePncantitatede140tonepesptmn.Pentrudesfacereaprodusului, necesarulsptmnaleste:pentrudepozituldinPloieti100detone,pentrudepozituldin Piteti,60 de tone, respectiv pentru depozitul din Cluj 80 de tone. n tabelul de mai jos sunt prezentate costurile de transport per tona de produs. PloietiPitetiCluj Bucureti507090 Craiova6070100 Problema de rezolvat: calculul numrului de tone din produsul P care trebuie furnizate de cele dou fabrici fiecrui depozit astfel nct costul de transport s fie minim i astfel nct s fie respectate condiiile enunate mai sus. Modelul matematic.Fie F1 i F2 fabricile din Bucureti, respectiv Craiova i D1, D2 i D3 depozitele din Ploieti, Piteti i Cluj respectiv. Vom nota n continuare cu ijx - numrul de tone din produsul P aduse din Fi la Dj,3 1 , 2 1 j i ijc -costuldetransportaluneitonedinprodusulPadusedinFilaDj, 3 1 , 2 1 j i CantitateatotaldinprodusulPcareprovinedelaFieste =31 jijx ,2 1 i .Pebaza enunului, rezult, 120311= jjx140312= jjxCantitateatotaldinprodusulPstocatdeDj,3 1 j este =21 iijx .Deoarece solicitrile de produs la depozite este de 100, 60, respectiv 80 de tone, rezult, 100211 = iix60212 = iix80213 = iixEvident, pentru3 1 , 2 1 j i ,0 ijx . Costul de transport, care trebuie minimizat, este, = ==2131cosi jij ijx c t . Este obinut urmtorul model matematic, Determin valorile ijx , 3 1 , 2 1 j icare minimizeaz = ==2131cosi jij ijx c tcu restriciile, ijijs x =31,2 1 ijiijd x =21,3 1 j0 ijx ,3 1 , 2 1 j i , unde cantitile maxime din produsul P care pot fi furnizate sunt 140 , 1202 1= = s si necesarul de aprovizionat este, la nivelul fiecrui depozit, 80 , 60 , 1003 2 1= = = d d d . Exemplul 1.2. Problem financiar Uninvestitordoretesinvesteascexact100.000leindoutitluridevaloare:T1, care pltete dividende de 7% i T2, din care rezult dividende de 9%. Condiiile de efectuare a investiiei sunt:1.suma investit n T1,x , trebuie s fie cel puin dublul sumei investite n T2; 2.suma investit n T2,y , este de maxim 30.000 lei. Problemaderezolvat:determinareasumelordebanicarevorfiinvestitenT1iT2astfel nct profitul obinut de investitor s fie maxim. Modelul matematic. Cu notaiile de mai sus, obinem, 100000 = + y x y x 2 30000 y0 x0 yProfitul este calculat prin, y x profit 09 . 0 07 . 0 + = . Rezult urmtorul model matematic: determiny x,care maximizeaz y x profit 09 . 0 07 . 0 + =cu restriciile, 100000 = + y x y x 2 30000 y0 x0 y 1.2. Definirea problemei generice de programare liniar Similarformelorutilizatenexempleleprezentatenprimaseciuneacapitolului, problemageneraldeprogramareliniarpoatefidefinitdupcumurmeaz.Determin valorile nx x x ,..., ,2 1 care optimizeaz (maximizeaz sau minimizeaz)(1.1) n nx c x c x c z + + + = ...2 2 1 1

cu restriciile (1.2)( )( )( )= + + += + + += + + +m n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a, ......, ..., ...2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 unde,nfiecareinegalitate/egalitatedinsistemul(1.2),aparenumaiunuldinsimbolurile , , =. Funcialiniar n variabilele nx x x ,..., ,2 1 definit n (1.1) se numete funcie obiectiv. Egalitilesauinegalitilecarecompunsistemul(1.2)suntreferitedreptrestricii. ( )1 1 2 12 1 11, ... b x a x a x an n= + + + . Membrul stng al fiecrei restriciii din (1.2) este, la rndul lui,funcieliniarnvariabilele nx x x ,..., ,2 1.Oproblemncarefiefunciaobiectiv,fie membruldreptaluneiconstrngerisuntfunciineliniareesteproblemdeprogramare neliniar. Forma standard a unei probleme de programare liniar este definit astfel. Determin valorile nx x x ,..., ,2 1 care maximizeaz (1.3) n nx c x c x c z + + + = ...2 2 1 1

cu restriciile (1.4) + + + + + + + + +m n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a............2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 (1.5)n j xj,..., 2 , 1 , 0 = Forma canonic a unei probleme de programare liniar este definit astfel. Determin valorile nx x x ,..., ,2 1 care maximizeaz n nx c x c x c z + + + = ...2 2 1 1

cu restriciile = + + += + + += + + +m n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a............2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 n j xj,..., 2 , 1 , 0 = ncontinuaresuntprezentatemodalitiledeexprimareauneiproblemede programare liniar oarecare n forma standard. Exprimarea unei probleme de programare liniar n forma standard Oriceproblemdeminimizarepoatefitransformatntr-oproblemdemaxim,pe baza relaiei, ||

\| = = =nii inii ix c x c1 1max min . Prin nmulirea unei inegaliti mai mare sau egal cu -1, b x k x k x kn n + + + ...2 2 1 1 este obinut inegalitatea corespunztoare mai mic sau egal,b x k x k x kn n ...2 2 1 1. Oricerestriciedetipegalitatepoatefitransformatntr-operechedeinegaliti, astfel. Relaia injj ijb x a ==1 este echivalent cu perechea de inegaliti, injj ijb x a =1 injj ijb x a =1 decicu inegalitile injj ijb x a =1 injj ijb x a =1. Dac o variabil xj nu este supus constrngerii de a fi nenegativ, xj poate fi nlocuit cu perechea de variabile +j jx x , , unde + =j j jx x x , 0 +jx0 jx . Exemplul 1.3.Fie problema de programare liniar, minimizeazy x z 3 2 + = cu restriciile 6 2 = + y x8 5 2 + y x0 xForma standard a problemei de mai sus este, maximimeaz( ) + = y y x z 3 2cu restriciile ( ) 6 2 + +y y x( ) 6 2 +y y x( ) 8 8 2 +y y x0 x0 +y0 y nexprimareamatriceal,oproblemdeprogramareliniarnformastandardeste descris astfel. Determin vectorul x Rn care maximizeaz (1.6)x cTz =cu restriciile (1.7)b Ax (1.8)0 x Un vector x Rn care satisface restriciiile problemei de programare liniar este numit soluieadmisibilaproblemei.Osoluie admisibil careoptimizeazfunciaobiectivaunei probleme de programare liniar se numete soluie optimal. ncontinuarevomprezentamodalitateadetransformareauneiproblemede programare liniar din forma standard n forma canonic Exprimarea unei probleme de programare liniar standard n forma canonic Oriceproblemdeprogramareliniarstandardpoatefiexprimatnformacanonic pe baza urmtoarelor consideraii. Fie restricia (1.9) injj ijb x a =1. Relaia(1.9)poatefiexprimatntermeniiuneiegalitiprinconsiderareaunei variabile suplimentare nenegative, iu , (1.10) i injj ijb u x a = +=1. Variabilasuplimentar iu desemneazdiferenadintremembruldreptimembrul stng al restriciei definite de (1.9) i se numete variabil slack. Formacanonicaproblemeideprogramareliniarexprimatnformastandardprin (1.3), (1.4) i (1.5) este, Maximizeaz (1.11) n nx c x c x c z + + + = ...2 2 1 1

cu restriciile (1.12) = + + + += + + + += + + + ++++m m n n mn m mn n nn n nb x x a x a x ab x x a x a x ab x x a x a x a............2 2 1 12 2 2 2 22 1 211 1 1 2 12 1 11 (1.13)m n n n j xj+ + = ,..., 1 , ,..., 2 , 1 , 0Noua problem obinut are un sistem cu m restricii i n+m necunoscute.Fie( )Tny y y ,..., ,2 1= yo soluie admisibila problemei de programare liniar definit prin relaiile (1.3), (1.4) i (1.5). Pentrum i 1este definit variabila, =+ =njj ij i i ny a b y1. Evident, pentru oricem i 1 ,0 +i ny , deci vectorul( )Tm ny y y+= ,..., , 2 1ysatisface (1.12)i(1.13),deciesteosoluieadmisibilaproblemeiexprimateprinrelaiile(1.11), (1.12) i (1.13). Reciproc,fie( )Tm ny y y+= ,..., , 2 1y osoluieadmisibilaproblemeiexprimateprin relaiile(1.11),(1.12)i(1.13).Rezultcn j yj,..., 2 , 1 , 0 = i,deoarecepentruorice m i 1 ,0 +i ny , obinem c injj ijb y a =1 i,ncontinuare,c( )Tny y y ,..., ,2 1= y esteosoluieadmisibilaproblemeideprogramare liniar definit prin relaiile (1.3), (1.4) i (1.5). nexprimareamatriceal,oproblemdeprogramareliniarnformacanoniceste descris astfel. Determin vectorul x Rn care maximizeaz (1.14)x cTz =cu restriciile (1.15)b Ax =(1.16)0 x 1.3. Geometria problemelor de programare liniar Considermncontinuareproblemadeprogramareliniarnformastandarddefinit de (1.3), (1.4) i (1.5). Cea de-a i-a restricie a problemei, (1.17) i n in i ib x a x a x a + + + ...2 2 1 1 este exprimat n forma vectorial prin, ib x aT, unde( )in i ia a a ,..., ,2 1T= a . Mulimea punctelor ( ) =nx x x ,..., ,2 1x Rn care satisfac (1.17) este semispaiu nchis al lui Rn. n cazul unei probleme de programare liniar n forma canonic, cea de-a i-a restricie este definit de, (1.18) i n in i ib x a x a x a = + + + ...2 2 1 1 sau, echivalent, ib = x aT Mulimea punctelor ( ) =nx x x ,..., ,2 1x Rn care satisfac (1.18) este un hiperplan al lui Rn. Observaii.1. Hiperplanul definit de (1.18) este margine a semispaiului nchis (1.17). 2. Hiperplanul definit de (1.18),H, mparte Rn n dou semispaii nchise, { }ib H = x a R xT n1 { }ib H = x a R xT n2 cu proprietile, = 2 1H HRn H H H2 1= 3.Pebazadefiniieisoluieiadmisibileaproblemeideprogramareliniar,P,rezult cmulimeasoluiiloradmisibilealeluiPesteinterseciatuturorhiperplanelornchise definite de setul de restricii ale lui P. Exemple.1.4.Fie3 = n ;restricia15 5 3 5 + + z y x definetesemispaiulnchis ( ) ( )( ) { } 15 , , 5 , 3 , 5 , , =T Tz y x z y x H , prezentat n figura 1.1. z 3 3y+5x=15 5x+5z=155y 35x+3y=15 x Figura 1.1 1.5. Fie setul de restricii ale unei probleme de programare liniar, exprimat n forma standard, 00020 5 4 1015 5 3 5 + + + +zyxz y xz y x Mulimea soluiilor admisibile ale problemei este figurat prin zona haurat din figura 1.2. Funciaobiectivauneiproblemedeprogramareliniarestex cTz = .Fieko constant. Graficul ecuaieikT= x cesteunhiperplan.nipotezancareproblemadeoptimesteunademaxim,trebuie determinate acele puncte( ) =nx x x ,..., ,2 1x Rn din mulimea soluiilor admisibile pentru care valoarea lui k este cea mai mare posibil. Din punct de vedere geometric, acest lucru revine la determinarea unui hiperplan care intersecteaz mulimea soluiilor admisibile i pentru care k este maxim. z 3 (1,0,2) 5y 2

x Figura 1.2

Exemplul 1.6. Fie problema de programare liniar Maximizeazy x z 3 4 + =cu restriciile 4 + y x15 3 5 + y x0 x0 ynfigura1.3suntprezentatemulimeasoluiiloradmisibile(patrulaterulcuvrfurile (0,0), (3,0),||

\|25,23, (0,4)) i hiperplanele15 ,227, 12 = = = z z z . y 4 ||

\|25,23 12 = z

227= z15 = z3x Figura 1.3 Graficele prezentate n figura 1.3 sugereaz ca soluie punctul||

\|25,23(Kolman, Beck, 1995). Teorema 1.1. Fie 2 1, x xsoluii admisibile ale unei probleme de programare liniar P. Elementele mulimii, ( ) { } 1 0 , 12 1n + = x x x R xsunt soluii admisibile ale lui P. Observaii 1. Pe baza teoremei 1.1, rezult c mulimea soluiilor admisibile ale unei probleme de programare liniar este mulime convex. 2. Un semispaiu nchis este mulime convex.3. Un hiperplan este mulime convex. 4.Interseciaunuinumrfinitdemulimiconvexe(dacnuestemulimeavid)este mulime convex i se numete poliedru convex.5. Fie P o problem de programare liniar. Deoarece mulimea soluiilor admisibile ale luiP,F,esteinterseciatuturorhiperplanelornchisedefinitedesetulderestriciialeluiP, rezult c F este poliedru convex (dac nu este mulimea vid).6. Mulimea soluiilor unui sistem liniar de m ecuaii cu n necunoscute este convex. Definiia1.1.Omulimeconvexsenumetemrginitdacesteinclusntr-un dreptunghi, adic o mulime de tipul { }i i inb x a R = R x , unde( )nx x x ,..., ,2 1= x ,i ib a , R,n i 1 . n caz contrar, mulimea se numete nemrginit. Definiia1.2.Unpunct nR x senumetecombinaieconvexapunctelor n2 1,..., , R x x x pdac existR pc c c ,..., ,2 1cu 11==piic , p i ci 1 , 0astfel nct ==pii ic1x x . Teorema1.2.Mulimeatuturorcombinaiilorconvexedefinitepeunsetfinitde puncte din Rn este convex. Definiia 1.3. Fie S o mulime convex. Un punctS u se numete punct extrem al lui S dac, pentru orice pereche de puncte distincteS 2 1, x x , ( ) 1 0 , 12 1< < + x x u Exemplul 1.7. Punctele de extrem ale mulimii convexe din figura 1.4 sunt A, B, C i D. Teorema1.3.FieSomulimeconvexnRn.UnelementS u estepunctextrem dac i numai dac nu este combinaie convex a nici unui subset al lui S (care nu conine u). Teorema1.4(Teoremadepunctextrem)FieSmulimeasoluiiloradmisibileale unei probleme de programare liniar P. 1.DacSestenevidimrginit,atunciexistosoluieoptimalaproblemeiPi aceasta este punct extrem al lui S. 2.DacSestenevidinemrginitiPareosoluieoptimalaproblemei,atunci aceasta este punct extrem al lui S. 3. Dac P nu are soluie optimal, atunci S este fie vid, fie nemrginit. y A B CD 0 x

Figura 1.4 Exemple 1.8. Fie problema de optimizare liniar, Maximizeaz( ) y x y x f 4 12 , + =cu restriciile 0010 2 59 3 3 + +yxy xy x nfigura1.5esteprezentatmulimeasoluiiloradmisibile,S.Sestemrginiti puncteleextremsunt( ) ( ) ( ) 3 , 0 ,35,34, 0 , 2 , 0 , 0 = ||

\|= = = D C B A .Pebazateoremeidepunct extrem,rezultcosoluieoptimalestenmulimea{ } D C B A , , , .Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) 12 ,368, 24 , 0 = = = = D f C f B f A f ,rezultcvaloareamaximaluifeste24io soluie optimal este0 , 2 = = y x. 1.9. Fie problema de optimizare liniar Maximizeaz( ) y x y x f 4 2 , + =cu restriciile 0012 4 312 3 2 + +yxy xy x naceastsituaiemulimeasoluiiloradmisibileestevid,restriciilefiind conflictuale. 1.10 Fie problema de optimizare liniar, Maximizeaz( ) y x y x f 3 2 , + =cu restriciile 0012 3 29 3 + +yxy xy x y 5 5x+2y=10 3

||

\|35,34 S 3x+3y=9 0 2 3 x

Figura 1.5 nfigura1.6esteprezentatmulimeasoluiiloradmisibile,S.Sestemrginiti puncteleextremsunt( ) ( ) ( ) ( ) 3 , 0 , 2 , 3 , 0 , 6 , 0 , 0 = = = = D C B A .Pebazateoremeidepunct extrem,rezultcosoluieoptimalestenmulimea{ } D C B A , , , .Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) 9 , 12 , 12 , 0 = = = = D f C f B f A f , rezult c valoarea maxim a lui f este 12 i B i C sunt soluii optimale.Punctele de pe segmentul de dreapt[ ] BC , definite de, (1.19)( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 0 , 2 2 , 3 3 2 , 3 1 0 , 6 , + = + = y x sunt soluii optimale ale problemei. ntr-adevr, pentru( ) y x,definit de (1.19), obinem, ( ) 12 6 6 6 6 , = + + = y x f . y

4 2x+3y=12

3 S(3,2) x+3y=9

069 x Figura 1.6 1.4. Soluiile de baz ale problemelor de programare liniar n 1.3 este prezentat o modalitate de calcul a unei soluii optimale a unei probleme deprogramareliniarpebazapunctelorextrem.Metodaprezentatestengeneralutiln cazulproblemelorcumaxim3variabile,soluiileproblemelorcumaimultde3variabile neputndficalculategeometricnmoddirect.Pentruuurareacalcululuipunctelorextrem, estedescrisreprezentareaalgebric,pebazanoiuniidesoluiedebaz auneiproblemede programare liniar.Considerm n continuare problema de programare liniar n forma canonic, definit prin, (1.20) Maximizeazx cTz =cu restriciile (1.21)b Ax =(1.22)0 x unde c x, Rs, b Rm,Aestematrices m .FieA1,A2,...,Asvectoriicarereprezint coloanele matricei A. Relaia (1.21) poate fi exprimat prin, (1.23)b A A A = + + +s sx x x ...2 2 1 1, unde( )sx x x ,..., ,2 1= x . Dezvoltarea prezentat n continuare este realizat n ipotezele 1. s m 2. m coloane ale lui A sunt liniar independente (rangul lui A este m). Observaie.Ipotezeledelucrumaisusmenionatesuntndeplinitensituiancare problemadeprogramareliniarnformacanonicprovinedintr-oproblemdeprogramare liniar n forma standard (vezi 1.2). Mulimea celor m coloane liniar independente ale matricei A formeaz o baz n Rm. Vom considera n continuare o renumerotare a coloanelor lui A astfel nct ultimile m coloane sfieliniarindependenteifieSmulimeasoluiiloradmisibilealeproblemeidefinitede (1.20), (1.21) i (1.22). Teorema1.5.Dac ' '2'1,..., ,mA A A suntultimilemcoloanealeluiAisuntliniar independente i dac b A A A = + + +' ' '2'2'1'1...m mx x x , undem i xi 1 , 0',atunci( )' '2'1,..., , , 0 ,..., 0 , 0mx x x = x estepunctextremalluiS.(Kolman, Beck, 1995) Teorema1.6.Dac( )sx x x ,..., ,2 1= x estepunctextremalluiS,atuncicoloanele matricei A care corespund componentelor strict pozitive ale lui x formeaz un setde vectori liniar independeni n Rm. (Kolman, Beck, 1995) Corolarul1.1.Dacx estepunctextremalluiSi ri i ix x x ,..., ,2 1suntrcomponente strictpozitivealeluix,atuncim r isetuldecoloane ri i iA A A ,..., ,2 1carecorespund componentelor ri i ix x x ,..., ,2 1pot fi extinse la un set de m vectori liniar independeni n Rm prin adugarea a m-r coloane corespunztor alese din matricea A. (Kolman, Beck, 1995) Teorema 1.7. Cunotaiile de pn acum, rezult c orice punct extrem al mulimii S are cel mult m componente strict pozitive, restul fiind nule. (Kolman, Beck, 1995) Observaie. Dac rangul matricei A este m, rezult c vectorii care formeaz liniile lui A sunt liniar independeni. Rezult c sistemul constrngerilor nu conine ecuaii redundante. Fie sistemul cu m ecuaii i s necunoscute definit de (1.21), cus m . Presupunem c matriceaAaremcoloanevectoriliniarindependeniifie{ }mi i iT A A A ,..., ,2 1= omulime demcoloaneliniarindependentealeluiA.Seteazpe0celes-mvariabilececorespund coloanelormatriceiAdarcarenuaparinluiT.Pebazareprezentrii(1.23)asistemului (1.21), rezult reprezentarea, (1.24)b A A A = + + +m mi i i i i ix x x ...2 2 1 1 Relaia (1.24) definete un sistem de m ecuaii cu m necunoscute, cu soluie unic. Definiia 1.4. Se numete soluie de baz vectorul format cu cele m valori obinute n urmarezolvriisistemului(1.24),numitevariabiledebaz,icus-mcomponentenule, numite variabile non-baz. Definiia1.5.Senumetesoluiedebazadmisibilaproblemeideprogramare liniardefinitde(1.20),(1.21)i(1.22)osoluiedebazcuproprietateacestesoluie admisibil (o soluie de baz care ndeplinete i condiia de nenegativitate (1.22)). Teorema 1.8. Fie P problema de programare liniar definit de (1.20), (1.21) i (1.22) iSmulimeasoluiiloradmisibilealeluiP.OricesoluiedebaziadmisibilaluiPeste punct extrem al lui S i, reciproc, orice punct exterm al lui S este soluie de baz i admisibil a lui P. (Kolman, Beck, 1995) Teorema 1.9. Fie P problema de programare liniar definit de (1.20), (1.21) i (1.22). Pareunnumrfinitdesoluiidebaziadmisibile,inferiorlui ( )! !!m s msCms= ,care reprezint numrul soluiilor de baz ale lui P. Fie P problema de programare liniar n form standard definit de (1.6), (1.7) i (1.8), SmulimeasoluiiloradmisibilealeluiPiSmulimeasoluiiloradmisibilealevariantei canonice ale lui P. Urmtoarea teorem stabilete relaia dintre S i S. Teorema1.10.Oricepunct extremalluiSdeterminobinereaunuipunct extremal lui S prin adugarea variabilelor slack. Reciproc, orice punct extrem al lui S determin, prin trunchiere (eliminarea variabileleo slack), obinerea unui punct extrem al lui S. Teorema1.11.Mulimeaconvexasoluiiloradmisibilealeuneiproblemede programare liniar n form standard are un numr finit de puncte extreme. Prin utilizarea teoremelor 1.4 i 1.11 este obinut urmtoarea procedur de rezolvare a unei probleme de programare liniar n forma standard, P. Pas 1. Determin P, forma canonic a problemei P. Pas2.CalculeazmulimeasoluiilordebaziselecteazS,subsetulsoluiilor admisibile de baz ale lei P. Pas 3. Selecteaz soluiile optimale din setul S i determin soluiile optimale ale lui P prin trunchiere. Exemplul 1.11. Fie problema de programare linir n forma standard, Maximizeaz[ ]((

=yxz 100 120cu restriciile01583 52 2((

((

((

((

yxyx Forma canonic rezult prin introducerea a dou variabile slack, u,v, Maximizeaz[ ]((

=yxz 100 120cu restriciile0 ,1581 0 3 50 1 2 2(((((

((

=(((((

((

vuyxvuyx Mulimea soluiilor de bazrezult princonsiderarea tuturor variantelor de 2 coloane liniar independente, astfel. PrimeledoucoloanealeluiAsuntliniarindependente;vomselectaca variabileprimitvexiy,iarvariabileleuivsuntnon-baz.Rezult 25,23= = y x isoluiadebaz||

\|0 02523.Soluiaobinutesteadmisibil (toate componentele sunt pozitive).Coloanele1i3 suntliniarindependente.Variabileledebazsunt xi u,iar variabilelenon-bazsuntyiv.Rezultsoluiadebaz( ) 0 2 0 3 ,careeste admisibil. Coloanele1i4suntliniarindependente.Variabileledebazsuntxi v,iar variabilelenon-bazsuntyiu.Rezultsoluiadebaz( ) 5 0 0 4 ,carenu este admisibil (ultima component este negativ). Coloanele2i3 suntliniarindependente.Variabileledebazsunt yi u,iar variabilelenon-bazsuntxiv.Rezultsoluiadebaz( ) 0 2 5 0 ,carenu este admisibil. Coloanele2i4suntliniarindependente.Variabileledebazsuntyi v,iar variabilelenon-bazsuntxiu.Rezultsoluiadebaz( ) 3 0 4 0 ,careeste admisibil. UltimiledoucoloanealeluiAsuntliniarindependente;vomselectaca variabiledebazuiv,iarvariabilelexiysuntnon-baz.Rezult 15 , 8 = = v ui soluia de baz( ) 15 8 0 0 , care este soluie admisibil. Mulimeasoluiilorbazadmisibile,deciapunctelorextremealemulimiisoluiilor admisibile ale problemei de programare liniar n forma canonic este, ( ) ( ) ( ))`||

\|15 8 0 0 , 3 0 4 0 , 0 2 0 3 , 0 02523

maximul funciei obiectiv este 430 i se atinge pentru ||

\|0 02523, care este o soluie optimal aproblemeinformacanonic.Pentruproblemainiial,rezultsoluiaoptimalprin trunchierea punctului||

\|0 02523cu variabile de baz x i y, ||

\|2523. CAPITOLUL 2. METODA SIMPLEX PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR DE PROGRAMARE LINIAR 2.1.Metodasimplexpentruproblemenformastandard.Studiude caz ncapitolul1,seciunea1.4esteprezentatoprocedurdecalculauneisoluii optimale pe baza mulimii punctelor extrem. Metoda simplex este o variant mai eficient de calcul a unei soluii optimale i este bazat, de asemenea, pe calculul soluiilor admisibile de baz. Fie problema de programare liniar n forma standard, (2.1)x cTz =cu restriciile (2.2)b Ax (2.3)0 x undeA ( )n j m iija =1 , 1esteomatricen m ,[ ]Tnx x x ,..., ,2 1= x ,[ ]Tnc c c ,..., ,2 1= c i [ ]Tmb b b ,..., ,2 1= b . n continuare vom presupune0 b . Prin introducerea a m variabile slack, notatm n nx x+ +,...,1,esteobinutformacanonicaproblemeideprogramareliniardefinit prin (2.1), (2.2) i (2.3), (2.4)x cTz =cu restriciile (2.5)b Ax =(2.6)0 x unde A este o matrice( ) m n m + ||||||

\|=1 ... 0 0 ...0 ... 1 0 ...0 ... 0 1 ...2 12 22 211 12 11mn m mnna a aa a aa a aM M M M M M M MA [ ]Tm n n nx x x x x+ += ,..., , ,..., ,1 2 1x ,[ ]Tnc c c 0 ,..., 0 , ,..., ,2 1= c i[ ]Tmb b b ,..., ,2 1= b . Definiia 2.1. Fie S mulimea soluiilor admisibile ale problemei de programare liniar definit de (2.1), (2.2) i (2.3).. Dou puncte extrem ale lui S sunt adiacente dac au n comun, ca soluii de baz i admisibile, una i numai una din variabilele de baz considerate. Exemplul 2.1 Pentruprezentareametodeisimplex,vomconsiderancontinuareurmtoarea problem de tip analiza activitii de producie. nprocesuldeprelucrareabutucilor,ofabricdecheresteafurnizeazscndurde dou tipuri: finisat, notat cu Prod1, i pentru construcii, notat cu Prod2. Pentru obinerea a1000deunitidescndurfinisatproceduradetieredureaz2oreiprocedurade rindeluire dureaz 5 ore. Pentru furnizarea a 1000 uniti de scndur de construcii, procesul detieredureaz2oreicelderindeluirenecesit3ore.Fierstrulindustrialcucareeste realizat tierea poate fi folosit 8 ore pe zi i rindeaua este disponibil 15 ore pe zi.Dac profitul obinut din producerea a 1000 uniti de produs este de 120 lei n cazul scndurii finisate, respectiv 100 de lei n cazul scndurii de construcii, se cere s se determine cantitateadescndurdinfiecaretip,nmiideuniti,caretrebuieproduszilnicpentru maximizarea profitului fabricii. Modelul matematic este urmtorul. Fie x cantitatea din Prod1 i y cantitatea din Prod2 fabricatezilnic.Procesuldetierenecesitzilnicy x 2 2 + ore,n timpcerindeluireadureaz y x 3 5 +ore. Rezult, 15 3 58 2 2 + +y xy x Evident,0 , 0 y x . Profitul este calculat priny x z 100 120 + = . Este obinut problema de programare liniar n forma standard, Maximizeazy x z 100 120 + =cu restriciile 15 3 58 2 2 + +y xy x 00yx n forma canonic, problema este formulat prin, (2.7) Maximizeazy x z 100 120 + =cu restriciile (2.8) 15 3 58 2 2= + += + +v y xu y x (2.9)0 , 0 , 0 , 0 v u y x Metoda simplex presupune parcurgerea urmtorilor pai. Pas 1. Determinarea unei soluii de baz admisibile iniiale. Construcia tabelului iniial Deoarece0 b , rezult c soluia de baz obinut prin considerarea celor m variabile slackcavariabiledebaz(corespundultimilormcoloanealematriceiA,caresuntvectori liniar independeni) i a variabilelor non-slack ca variabile non-baz, 0 ...2 1= = = =nx x x , 1 1b xn=+,...,m m nb x =+ este admisibil. Din (2.4) rezult, (2.10)0 0 ... 0 ...1 2 2 1 1= + + +z x x x c x c x cm n n n n

i vom considera z drept variabil.Tabelul iniial, figurat mai jos, este construit astfel. n capul de tabel este trecut setul devariabile(inclusivz).Primeleliniicorespundsetuluideconstrngeri(2.5).Ultimalinie, numitliniaobiectiv,rezultdin(2.10).nparteastngatabeluluisuntindicatevariabilele de baz, iar n partea dreapt soluia de baz iniial i admisibil i valoarea funciei obiectiv. Pentru exemplul 2.1, rezult, 0 = = y x8 = u ,15 = vSoluia admisibil de baz la momentul iniial este (0,0). Din (2.7) obinem, 0 100 120 = + z y xi vom considera z drept variabil. Tabelul iniial este descris prin tabelul 2.2. 1x2x... nx1 + nx2 + nx... m nx+z1 + nx11a12a... na1 10...00 1b2 + nx21a22a... na2 01......... 2b........................00... m nx+ 1 ma2 ma... mna00...10 mb 1c 2c ... nc 00...010 Tabelul 2.1 xyuvz u221008 v5301015 -120-1000010 Tabelul 2.2 Pas 2. Verificarea criteriului de optimalitate Pe baza relaiei (2.10), funcia obiectiv este definit prin, (2.11) + = baz variabil baz non0i jxixj jx x d znrelaia(2.11)uncoeficientalprimeisumeestepozitivdacelementul corespunztor din linia funciei obiectiv a tabelului 2.1 i care corespunde unei variabile non-bazestenegativ.Valoarealuizpoate fimrit princretereavaloriioricreivariabilenon-bazalcruicorespondentnliniaobiectivestenegativ.Esteobinuturmtorulcriteriude optimalitate. Criteriuldeoprire.Dacliniaobiectivatabeluluiconinenpoziiilevariabilelor non-bazelementenenegative,atunciesteobinutmaximulfuncieiobiectivicalcululse ncheie. Pas 3. Selectarea coloanei pivotale (variabila de intrare) Vompresupunencontinuarecnuestendeplinitcriteriuldeoptimalitate,adic existcelpuinunelementstrictnegativnliniaobiectivicarecorespundeuneivariabile non-baz. naceastetapestedeterminat,pebazapunctuluiextremdat,aunuipunctextrem adiacentcaresdetermineobinereauneivalorimaimariafuncieiobiectiv.Acestlucru revinelaselectareaunei variabilenon-baz,VE,carevacretede lavaloarea0 inlocuirea unei alte variabile de baz, care va scdea la valoarea 0. Variabila VE este numit de intrare, deoarece,laiteraiaurmtoare,VEintrnsetulvariabilelordebaz.Coloanancarese gsete VE este numit coloan pivotal. SelectarealuiVEpoatefirealizatnmaimultevariante,doudintreelefiind prezentate n continuare.1.Deoarececeamaimarembuntireunitaresteadusfuncieiobiectivprin selectareaaceleivariabilecuproprietateacelementulcorespunztordinliniaobiectiveste negativ i cel mai mic cu aceast proprietate, selecteaz ca variabil de intrare n sistem acea variabil. Dac exist mai multe cu aceast proprietate, selecteaz aleator una dintre ele. 2. Regula Bland. Alege drept coloan pivotal prima coloan (cea cu indicele minim) cu element strict negativ n linia obiectiv. Observaii.1.RegulaBlandesteutilizatdacalgoritmulimplementatprinutilizareaprimei variante de alegere a coloanei pivotale cicleaz (numai dac este atins o soluie degenerat). Se numete soluie degenerat o soluie n care cel puin o variabil de baz este nul. 2.ngeneralobinereauneisoluiidegeneratenudeterminneapratciclarea algoritmului simplex. Pentru exemplul considerat, ca variabil de intrare poate fi aleas x,ambele reguli de selecie fiind ndeplinite n acest caz particular. Pas 4. Selectarea liniei pivotale (variabila de ieire) Pentru explicarea procedurii de selectare a variabilei care iese din setul variabilelor de baz, vom considera n continuare exemplul 2.1. Pe baza relaiilor (2.8), obinem, y x vy x u3 5 152 2 8 = =

Deoarece y rmne setat pe valoarea 0, rezult, (2.12) x vx u5 152 8 = = Din (2.12) obinem cx i u, respectiv x i v sunt invers proporionale, deci creterea lui x determin descreterea valorilor lui u i v. Valoarea variabilei x poate fi mrit pn cnd una din variabilele u, v devine negativ. Pe baza relaiilor (2.9) i (2.12) obinem, x vx u5 15 02 8 0 = = , deci 3515428= = xx Creterea maxim a lui x este deci la valoarea 3. Pentru3 = x , obinem o nou soluie admisibil, 0 , 2 , 0 , 3 = = = = v u y xcareestesoluiedebaziadiacentcupunctulextremprecedent.Noulsetdevariabile primitve este{ } u x, . Variabila v devine non-baz i este variabil de ieire (ea prsete setul variabilelor de baz). Linia variabilei de ieire se numete linie pivotal. Cretereavariabileideintrareestedatderapoarteledinteelementeledepecoloana ceamaidindreapta(soluiaadmisibildebazdelamomentulcurent)ivalorile corespunztoaredepe coloanapivotal(n cazulnostru, )`515,28),numite rapoarte.Cea maimic raienenegativ(inenul)estevaloareamaximposibilcucarepoatecrete variabiladeintrare;variabiladebazcareeticheteazliniapentrucareesteatinsvaloarea minim a rapoartelor este variabila de ieire, linia respectiv fiind linia pivotal. Dac nu exist nici un raport nenegativ i nenul, variabila de intrare poate crete orict i problema de programare liniar nu are soluie optim finit, caz n care algoritmul se oprete. Pas 5. Construcia noului tabel ncontinuareesteconstruitnoultabelpeexemplulconsiderat.Dinadouaecuaiea sistemului (2.8), obinem, v y x51533 = , 35153= + + v y xi, nlocuind n prima ecuaie a sistemului (2.8), rezult 25254= + v u y Rezult, 360 24 28 = + + z v yi, deoarece n noua soluie de baz admisibil0 = = v y , obinem360 = z . Tabelul rezultat este, xyuvz u0 54 1 5202 x1 53 0 51 03 0-280241360 Tabelul 2.3 La acest pas este construit tabelul rezultat n urma modificrii setului soluiilor de baz admisibileprinstabilireavariabilelordeintrareideieire.Procedura,numitdepivotare, este descris astfel.Pas5.1.Determinpivotul,k,elementulsituatnpoziia(lp,cp),adicpeliniai coloana pivotal i marcheaz variabilele de intrare i ieire. Pas 5.2. Multiplic linia pivotal cu k1 Pas5.3.Elementelecoloaneipivotalemaipuinpivotulsuntmodificaten0prin, efectuareauneioperaiiprimitivelaniveldelinie:pentrufiecareliniei,lp i ,adauglinia pivotal nmulit cu o constant, astfel nct elementul din poziia (lp,cp) s fie 0. Constanta este determinat innd cont de faptul c noul pivot este 1. Pas 5.4. nlocuiete n tabelul rezultat eticheta liniei pivotale cu variabila de intrare. Dup ncheierea procedurii de pivotare, reia algoritmul de la pasul 2. Observaie. Tabelul 2.3 rezult n urma aplicrii procedurii de pivotare tabelului 2.2. ncontinuarevomaplicaalgoritmulpentruexemplulconsiderat,pnlaobinerea soluiei optimale. Valoareanegativnenulminimdin liniaobiectiveste-28,decivariabiladeintrare este y. Deoarece 255 ,25min533,542min =)`=)`, variabila de ieire este u. Linia pivotal este 1, coloanapivotaleste2ipivotuleste 54.Aplicareaproceduriidepivotarerevinen continuare la efectuarea urmtoarelor operaii,elementele din linia 1 sunt mprite la 54 din linia 2 este sczut linia 1 nmulit cu 53

din linia 3 este sczut linia 1 nmulit cu -28. Rezult tabelul 2.4, xyuvz y01 45 210 25 x10 4321 0 23 0035101430 Tabelul 2.4 Deoarece nu exist elemente nenule i negative n linia obiectiv din tabelul 2.4, rezult cafostobinutsoluiaoptimal0 ,25,23= = = = v u y x ivaloareamaximafunciei obiectiv, 430. Exemplul 2.2. Fie problema de programare liniar, Maximizeazz y x t + + = 3 2 cu restriciile 0 , ,10 22 + z y xz y xz y x Forma canonic este, Maximizeazz y x t + + = 3 2 cu restriciile 0 , , , ,10 22= + + = + v u z y xv z y xu z y x Tabelul iniial este figurat n 2.5. xyzuvt u1-1-11002 v-21-100010 -2-3-10010 Tabelul 2.5 Variabiladeintrareesteyivariabiladeieireestev.Liniapivotaleste2,coloana pivotaleste2ipivotuleste1.Aplicareaproceduriidepivotarerevinencontinuarela efectuarea urmtoarelor operaii,din linia 1 este sczut linia 2 nmulit cu -1 din linia 3 este sczut linia 2 nmulit cu -3. Obinem tabelul 2.6 xyzuvt u-10-21002 y-21-100010 -80-40010 Tabelul 2.6 Ceamaimicvaloarenegativeste-8,darniciunelementdincoloanapivotalnu este pozitiv, deci nici un raport nu este pozitiv. Rezult c problema nu are soluie optim finit. 2.2. Variabile artificiale. Metoda n dou faze nseciunea2.1.esteprezentatmetodasimplexpentrurezolvareaproblemeide programareliniardatderelaiile(2.1),(2.2)i(2.3)nipoteza0 b ,carepermite determinarea unei soluii de baz admisibil la momentul iniial. n continuare este descris o procedurdeintroducereaunorvariabilecarespoatficonsideratevariabiledebaz,n cazul rezolvrii unei probleme de programare liniar general, n forma, Maximizeaz(2.9) n nx c x c x c z + + + = ...2 2 1 1

cu restriciile (2.10)( )( )( )= + + += + + += + + +m n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a, ......, ..., ...2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 (2.11)n i xi 1 , 0Fiecareinegalitatedinsistemulderestricii(2.10)poatefitransformatastfelnct membruldreptsfienenegativ,prineventualanmulireainegalitiicu-1.Inegalitile sistemului (2.10) pot fi reordonate astfel nct (2.10) s fie echivalent cu,

( )( )( )( ) = + + += + + += + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +22 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 1122 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 1112 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 111 , 0 "" " ... " "..." " ... " "" " ... " "12 . 21 , 0 '' ' ... ' '...' ' ... ' '' ' ... ' '12 . 21 , 0............12 . 212 . 23 3 3 32 2 2 21 1 1 1r i bb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x acr i bb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x abr i bb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x aair n n r r rn nn nir n n r r rn nn nir n n r r rn nn n nsistemele(2.12a)i(2.12b),inegalitilesunttransformatenegalitiprin introducerea variabilelor slack nenegative 11 , r i xi n + , respectiv 21 ,1r i xi r n + +, astfel, pentru (2.12a): (2.13a) 111 , 0 , r i b b x x ai i i nnjj ij = ++= pentru (2.12b) (2.13b) 211 , 0 ' , ' '1r i b b x x ai i i r nnjj ij = + += Rezult o problem de programare liniar n forma canonic, Maximizeaz (2.14) ==sjj jx c z1 cu restriciile (2.15)m i b x aisjj ij ==1 ,1 (2.16)s j xj 1 , 0i astfel nctm i bi 1 , 0 . Determinareauneisoluiidebazadmisibilepoatefirealizatprinmetodandou faze, descris n continuare. Pentruobinereauneisoluiidebazfezabile,nsistemul(2.15)suntintrodusem variabile, numite artificiale i notate cu iy , obinndu-se problema, Maximizeaz (2.17) ==sjj jx c z1 cu restriciile (2.18)m i b y x ai isjj ij = +=1 ,1 (2.19) m i ys j xij 1 , 01 , 0 i astfel nctm i bi 1 , 0 . Rezultprincalculdirectcunvector x Rsestesoluieadmisibilaproblemei definitede(2.14),(2.15)i(2.16)dacinumaidac((

0xRs+mestesoluieadmisibila problemei definite de (2.17), (2.18) i (2.19). Pentru problema dat prin (2.17), (2.18) i (2.19) o soluie de baz admisibil care poate fi selectat iniial esteb y 0 x = = , . n continuare este dezvoltatomodalitatedeutilizareaalgoritmuluisimplexpentruobinereauneisoluiide baz admisibil ncare0 y = i,nconsecin auneisoluiidebazadmisibilaproblemei definite de (2.14), (2.15) i (2.16). Aceast procedur este constiutit n faza 1 a metodei. Faza1.Deoarecen(2.19)fiecare iy estenenegativ,omodalitatedeaneasigurac fiecare iy estenulestedeafacesumavariabilelorartificiale0.Esteconsiderat,astfel,o problem auxiliar n care este minimizat suma variabilelor artificiale cu seturile de restricii (2.18) i (2.19).Dacminimulnu este nul, rezult c cel puin o variabil artificial este nenul, deci strictpozitiv.nplus,nutoatevalorilevariabilelorartificialepotfi0,deoareceminimul sumei lor este strict pozitiv. n acest caz, problema original nu are soluii admisibile.nfaza1,sistemulproblemadeprogramareliniarnformacanonicdefinitprin (2.14), (2.15) i (2.16) este transformat conform (2.17), (2.18) i (2.19) i este introdus noua problem, definit prin, (2.20) minimizeaz ==miiy z1'cu restriciile (2.21)m i b y x ai isjj ij = +=1 ,1 (2.22) m i ys j xij 1 , 01 , 0 i astfel nctm i bi 1 , 0 . n problema de minim (2.20) cu restriciile (2.21) i (2.22), soluia de baz admisibil iniial este selectat prin considerarea vectorului[ ]Tmb b b ,..., , , 0 ,..., 0 , 02 1, obinut prin setrile, m i b ys j xi ij = =1 ,1 , 0. Justificareaselectriivectorului[ ]Tmb b b ,..., , , 0 ,..., 0 , 02 1casoluiedebazadmisibil esteurmtoarea.Scrisnformmatriceal,problemadatprin(2.20),(2.21)i(2.22) genereaz pe post de coloane corespunztoare variabilelor artificial matricea unitate de ordin m,decivariabileleartificialesuntvariabiledebaz(elecorespundunuisistemliniar independent din spaiul Rm). Pentru a aplica metoda simplex, problema de minim este transformat ntr-o problem de maxim prin nmulirea cu -1 n relaia (2.20) i rezult, (2.23)01= +=miiy zunde' z z = .Deoarecenmetodasimplexvariabileledebazlamomentuliniailsunt variabileleslack,cucoeficieni0nfunciaobiectiv,trebuiecavariabileleartificialesfie nlocuite n (2.23). Utiliznd (2.21), obinem, pentrum i 1 = =sjj ij i ix a b y1 i (2.24) = = = = miisjmij ijb x a z1 1 1. n continuare este rezolvat problema de programare liniar dat prin (2.24), (2.21) i (2.22) prin aplicarea metodei simplex. Dac minimul obinut este 0, treci la faza 2. La finalul fazei 1 fie variabilele artificiale sunt toate non-baz, fie exist variabile artificiale de baz, dar cu valoare 0. n continuare este tratatprimasituaie,ceade-adouavariantfiindrezolvatcuajutorulnoiuniidedualitate prezentate n capitolul 3. Faza2.Deoarecensoluiaoptimalobinutnurmaaplicriifazei1variabilele artificialesunttoatenon-baz,soluiapoatefiutilizatcasoluieadmisibildebazn problema original definit prin relaiile (2.14), (2.15) i (2.16). Tabelul final al fazei 1 devine tabel iniial al fazei 2, cu urmtoarele modificri, elimin coloanele etichetate cu variabilele artificiale; calculeaznoualinieobiectivastfel.Considerfunciaobiectivdefinitde (2.14).Elementullinieiobiectivcecorespundeuneivariabiledebazeste anulatprinadugarealinieivariabileidebaznmulitcuoconstantaleas corespunztor. Exemplul 2.3. Fie problema de programare liniar n forma canonic, Maximizeaz 6 5 4 3 2 12 3 2 x x x x x x z + =cu restriciile = + + + += + + + + += + + + +6 1 , 024 3 2 6 318 2 212 2 25 4 3 2 16 5 4 3 2 15 4 3 2 1i xx x x x xx x x x x xx x x x xi Faza 1. Sunt introduse variabilele artificiale 3 2 1, , y y yi rezult problema auxiliar, (2.25) Minimizeaz 3 2 1' y y y z + + =cu restriciile (2.26) = + + + + += + + + + + += + + + + +3 1 , 06 1 , 024 3 2 6 318 2 212 2 23 5 4 3 2 12 6 5 4 3 2 11 5 4 3 2 1j yi xy x x x x xy x x x x x xy x x x x xji Pentrutransformareaproblemeidatprinrelaiile(2.25)i(2.26)ntr-oproblemde maxim, prin' z z = , rezult funcia obiectiv 03 2 1= + + + y y y zPe baza relaiilor (2.26), rezult = = =5 4 3 2 1 36 5 4 3 2 1 25 4 3 2 1 13 2 6 3 242 2 182 2 12x x x x x yx x x x x x yx x x x x y i funcia obiectiv, (2.27)54 6 3 5 10 56 5 4 3 2 1 = x x x x x x z Soluia de baz admisibil la momentul iniial este, 24 , 18 , 126 1 , 03 2 1= = = =y y yi xi Tabelul iniial este, 1x2x3x4x5x6x1y2y3y 1y 12211010012 2y 12112101018 3y 36213000124 -5-10-5-3-6-1000-54 Tabelul 2.7 Variabiladeintrareeste 2x .Deoarece 624624,218,212min =)`,rezultcvariabila careprsetesistemuleste 3y .Elementulpivotaleste6.Prinpivotareesteobinuttabelul 2.8. 1x2x3x4x5x6x1y2y3y 1y 00 34 32 0010 314 2y 00 31 32 1101 3110 2x 21 1 31 61 21 000 61 4 00 3534-1-100 35 -14 Tabelul 2.8 Variabiladeintrareeste 3x .Deoarece3344314,3110,344min = =)`,rezultcvariabila care de ieire este 1y . Elementul pivotal este 34. Prin pivotare rezult tabelul 2.9. 1x2x3x4x5x6x1y2y3y 3x 001 21 00 43 0 413 2y 000 21 11 411 419 2x 21 100 21 0 410 41 3 000 21-1-1 45 0 45 -9 Tabelul 2.9 Variabiladeintrareeste 6x .Deoareceesteunsingur raport,rezultcvariabila care de ieire este 2y . Pivotul este 1. Tabelul 2.10 este obinut prin pivotare. 1x2x3x4x5x6x1y2y3y 3x 001 21 00 43 0 413 6x 000 21 11 411 419 2x 21 100 21 0 410 41 3 0000001110 Tabelul 2.10 Valoareamaximafuncieiobiectivdefinitderelaia(2.27)este0.Esteobinut soluia de baz i admisibil pentru problema de optimizare iniial, (2.28)[ ]T9 , 0 , 0 , 3 , 3 , 0 = x Fazaa2-a.Tabeluliniialalfazeiadouaesteobinutpebazatabelului2.10astfel. Sunt eliminate coloanele corespunztoare variabilelor artificiale. Funcia obiectiv este definit prin, (2.29)0 2 3 26 5 4 3 2 1= + + + + x x x x x x zDeoarece soluia de baz admisibil la momentul iniial este definit de (2.28), rezult cvariabilele 6 3 2, , x x x suntbazi,nliniaobiectiv,elementeledepepoziiile2,3i6 terbuiesfienule.nacestscop,liniaobiectivatabelului2.10,notatLO,(consideratfr coloanele etichetate cu variabilele artificiale) este prelucrat astfel:a. LO=LO-2*linia 3 (etichetat cu 2x ) b. LO=LO-3*linia 1 (etichetat cu 3x ) c. LO=LO+2*linia 2 (etichetat cu 6x ). Rezult tabelul de la momentul iniial (pentru problema iniial), 1x2x3x4x5x6x 3x 001 21 003 6x 000 21 119 2x 21 100 21 03 -200 21 203 Tabelul 2.11 Variabiladeintrareeste 1x .Deoareceesteunsingur raport,rezultcvariabila care de ieire este 2x . Pivotul este 21. Tabelul 2.12 este obinut prin pivotare. 1x2x3x4x5x6x 3x 001 21 003 6x 000 21 119 1x 1200106 040 21 4015 Deoarece linia obiectiv are toate elementele nenegative, rezult c valoarea maxim a funciei obiectiv (2.29) este 15 i o soluie optimal este, [ ]T9 , 0 , 0 , 3 , 0 , 6 = x . Observaie.Dacpentruproblemainiialexistvariabilecepotfiutilizateca variabile de baz, atunci numrul variabilelor artificiale scade. O variabil poate fi considerat debazdacaparentr-osingurconstrngereasistemuluiderestriciialproblemeide programare liniar iniiale, coeficientul su fiind 1. De exemplu, nproblema rezolvat n 2.3, variabila 6x poate fi considerat de baz i sunt introduse doar dou variabile artificiale. CAPITOLUL 3. DUALITATEA N PROBLEMELE DE PROGRAMARE LINIAR 3.1. Dualitate. Problemele de programare liniar primal i dual n cadrul acestei seciuni vom trata modalitatea de a asocia o problem de minim unei probleme de programare liniar exprimat n forma standard. n general, o problem n forma standard este de tipul planificarea produciei, n care un numr redus de resurse trebuie alocate astfelnctprofitulobinutsfiemaxim.Problemaasociatesteceademinimizarea costurilor. Definiia 3.1. Fie perechea de probleme de programare liniar, (3.1) maximizeazx cTz =cu restriciile, 0 xb Ax i (3.2) minimizeazw bTz = 'cu restriciile, 0 wc w AT undeAesteomatricen m ,x c, suntvectoricuncomponenteiw b, suntvectoricum componente. Problemele (3.1) i (3.2) se numesc duale. Problema (3.1) se numete problema primal, iar problema dat prin (3.2) se numete problema dual. Teorema3.1.Fie(3.1)problemaprimal.Problemadualasociatproblemei(3.2) este problema (3.1). Teorema 3.2. Fie problema de programare liniar n forma canonic, maximizeazx cTz =cu restriciile, 0 xb Ax= Forma dual este problema de programare liniar, minimizeazw bTz = 'cu restriciile, c w A T w nerestricionat. Teorema 3.3. Fie problema de programare liniar, maximizeazx cTz =cu restriciile, b Ax x nerestricionat Forma dual este problema de programare liniar, minimizeazw bTz = 'cu restriciile, 0 =wc w AT Exemplul 3.1. Fie problema primal, Maximizeaz[ ]((

=213 2xxzcu restriciile ((((

((

((((

1521 42 12 321xx 0 ,2 1 x x Problema dual asociat este, Minimizeaz[ ]((((

=3211 5 2 'wwwzcu restriciile ((

((((

((

321 2 24 1 3321www 0 , ,3 2 1 w w w n urmtorul tabel sunt prezentate relaiile dintre problema primal i problema dual. Tabelul 3.1 Problema primalProblema dual MaximizareMinimizare Coeficienii funciei obiectivMembrii din partea dreapt a sistemului de restricii Coeficienii celei de-a i-a restriciiCoeficieniiceleide-ai-avariabile,cteunulper restricie Cea de-a i-a restricie esteCea de-a i-a variabil este0 Cea de-a i-a restricie este =Cea de-a i-a variabil este nerestricionat Ceade-aj-avariabileste nerestricionat Cea de-a j-a restricie este = Cea de-a j-a variabil este0 Cea de-a j-a restricie este Numrul de variabileNumrul de constrngeri 3.2. Interpretarea economic a problemei duale nfunciedepunctuldevedereabordat,problemadualauneiproblemede programare liniar poate avea o serie de interpretri economice, n continuare fiind prezentat unele dintre cele mai uzuale dintre acestea. Exemplul3.2.Vomconsiderancontinuareproblemadetipanalizaproduciei prezentatnExemplul2.1,capitolul2,seciunea2.1.Modelulmatematicesteproblemade programare liniar n forma standard, Maximizeaz 2 1100 120 x x z + =cu restriciile 15 3 58 2 22 12 1 + +x xx x 0 ,2 1 x xPrimarestricieasistemuluisereferlanumruldeorepezincarefierstruleste disponibil. Cea de-a doua constrngere este relativ la numrul de oredin zi n care poate fi utilizat rindeaua industrial. n general, n cea de-a i-a restricie din (3.1), injj ijb x a =1,ib esteinterpretatcastoculmaximdisponibildinceade-ai-aresurs(materialsau,generic, intrare). Coeficientul ijareprezint cantitatea din cea de-a i-a intrare necesar unei uniti din cel de-al j-lea produs (sau, generic, ieire). nexemplul3.2,521 = a aresemnificaiadenumrdeoredeutilizarearindelei industriale necesare producerii a 1000 de metri de scnduri finisate. Variabila jx este cantitatea (necunoscut) din cea de-a j-a ieire care trebuie produs. Coeficientul jc dinfunciaobiectivreprezintprofitulsauvaloareaderivatnurma producerii unei uniti din cea de-a j-a ieire. n exemplul 3.2 soluia optimal 25,232 1= = x x maximizeaz valoarea total a tuturor ieirilor, ==njj jx c z1. Problema dual a problemei de programare liniar din exemplul 3.2 rezult, Minimizeaz 2 115 8 ' w w z + =cu restriciile 100 3 2120 5 22 12 1 + +w ww w 0 ,2 1 w w . Coeficieniiprimeirestricii reprezint cantitile necesare din fiecare intrare pentru a produce o unitate din primul produs (ieire). Peexemplulconsiderat,pentruaproduce1000demetridescndurfinisat,sunt necesare2oredetierei5orederindeluire.Membruldreptalprimeiconstrngerieste profitulsauvaloareageneratperunitatedinprimaieire.Prinrezolvareaproblemeiduale, obinem10 , 352 1= = w w . Problema dual a unei probleme de programare liniar n forma standard (3.1) este, minimizeazw bTz = 'cu restriciile, 0 wc w AT Cea de-a j-a constrngere a problemei duale este, jmii ijc w a =1 Similarinterpretriidinproblemaprimal, ija reprezintcantitateadinceade-ai-a intrare necesar producerii unei uniti din cea de-a j-a ieire, iar membrul drept al inegalitii este valoarea generat per unitate de ieire j. Cu alte cuvinte, unitile din variabila dual iwausemnificaiadevaloareperunitatedeintrarei.Variabileleproblemeiduale,numiten continuarevariabiledualeausemnificaiadepreuri,costuri,respectivvalorialefiecrei uniti din fiecare intrare (resurs) i i sunt referite, funcie de context, prin preuri contabile, preuri fictive, preuri ascunse sau valori imputate. ncazuluneisoluiioptimaleaproblemeiprimale,profitul,egalcux cT,estedati prinw bT(din teorema dualitii, prezentat n seciunea 3.3). Astfel, creterea cu o unitate a celeide-ai-aintrri ib determincretereacantitiiw bT(ideciaprofitului)cu iw uniti. Rezult c cea de-a i-a component a unei soluii optimal a problemei duale, iw , reprezint contribuia adus profitului de o unitate din cea de-a i-a intrare.Valorile variabilelor duale nu sunt direct legate de costurile reale ale resurselor (intrrilor). Peexemplulconsiderat,3.2,faptulcsoluiaoptimaproblemeiduale, 10 , 352 1= = w w , nu implic un cost de rindeluire de 35 lei per or i un cost de tiere de 10 lei per or. Costurile reale sunt nglobate n modalitatea n care a fost stabilit faptul c profitul obinutdinproducereaa1000unitideprodusestede120leincazulscnduriifinisate, respectiv 100 de lei n cazul scndurii de construcii (o ipotez de lucru a problemei). n acest sens, rezult c variabilele duale nu reprezint costuri reale, ci fictive. Membrulstngalceleide-aj-aconstrngeriaproblemeidualesemnificvaloarea totalaintrrilorutilizatepentruproducereauneiunitidinceade-aj-aieire,notatn continuarecuVT.Aceastrestriciesemnific faptulcVTtrebuiesfiecelpuinlafelde marecaiprofituladusdeounitatedinceade-aj-aieire.ncazuluneisoluiioptimale, valoareamembruluistngalceleide-aj-aconstrngeriaproblemeidualereprezint contribuia total adus profitului de o unitate din cea de-a j-a ieire, deci este deateptat s fie utilizat soluia optimal n cazul n care contribuia la profit este cel puin la fel de mare ca profitul actual (real). n caz contrar, decizia corect pe care trebuie s o ia productorul este de a utiliza intrrile disponibile ntr-o alt manier. nconcluzie,nproblemadualsuntcalculatepreurileascunsealefiecreiresurse (intrri) astfel nct costul total s fie minim, cu constrngerea ca aceste preuri s determine obinerea unor valori corespunztoare pentru fiecare unitate de ieire produs mai mari sau egale cu profiturile fiecrei uniti de produs. Oaltvariantdeinterpretareavariabilelordualeestebazatpeideeac,pentruw soluieoptimalaproblemeiduale,profitulestedatdew bT(pebazateoremeidualitii, prezentat n seciunea urmtoare). Pentru a crete profitul, productorul trebuie s mreasc disponibilitateaacelpuinuneiadinresurse.Dacpentruointraredat,i, ib cretecuo unitate, profitul este mrit cu iw . Rezult c iw reprezint valoarea marginal a celei de-a i-a intrri. Pe baza aceluiai tip de raionament, iw este pierderea suportat n cazul n care o unitate din cea de-a i-a resurs rmne neutilizat, deci iw semnific, de asemenea, valoarea de nlocuire corespunztoare resursei i, n scopuri asiguratorii. Spre exemplu, o companie de asigurrivafolosiproblemadualncazulpreteniilorreclamatencazulpierderiiunor resurseasigurate,nsensulncarevancercasplteascctmaipuinposibilpentrua rezolva solicitarea. 3.3. Teorema dualitii. Relaiile dintre soluiile problemei primale i soluiile problemei duale FieP1oproblemgeneraldeprogramareliniariPvariantacanonicaluiP1, rezultatprin eventuala introducere a variabilelor slack i a variabilelor artificiale. P este dat prin, (3.3) maximizeazx cTz =cu restriciile, 0 xb Ax= undeAesteomatrices m careconineosubmatriceunitatem m ,c estematrice1 s0 b estematrice1 m .Dac jx estevariabilslack,atunci0 =jc .Deasemenea,este utilizatmetodandoufazepentruvariabileleartificiale,decidacjx estevariabil artificial, atunci0 =jc . Considermncontinuaretabelulsimplexpentrurezolvareaproblemei(3.3)laun momentalaplicriimetodeisimplex,prinintermediulcruiaestereprezentatosoluiede bazadmisibil,S.Obiectivulesteaceladeaderivaovariantalternativacriteriuluide optimalitate a soluiei S. Fie{ }mi i i ,..., ,2 1mulimeaindicilorvariabilelordebaz,componentealeluiS.FieNmulimea indicilor variabilelor non-baz i jAcea de-a j-a coloan a matriceiA,s j 1 . Sistemul de restricii din (3.3) este exprimat prin, (3.4) b A A = + = N jj jmri ix xr r1 Variabilele non-baz sunt setate pe valoarea 0, deci din (3.4) obinem, (3.5)b A ==mri ir rx1 FieBmatriceaptraticdeordinmcucoloanele[ ]mi i iA A A ,..., ,2 1i ((((((

=((((((

=m miiiiiicccxxx...,...2121B Bc x . Din relaia (3.5) rezult, (3.6) b BxB = Deoarece coloanele matricei B sunt liniar independente, rezult c B este inversabil, deci, pe baza relaiei (3.6) obinem, (3.7) b B xB1 = Relaia(3.7)semnificfaptulcm-tuplulvariabilelordebazarevaloareab B1 n tabelul simplex. Deoarece cei m vectori coloane ale lui B sunt liniar independeni, rezult c formeaz obazaspaiuluiRmi,pentrufiecares j ,..., 2 , 1 = ,vectoruljA esteexprimatntermenii vectorilor baz prin, (3.8) ==mki kj jkt1A AVectorulcoeficienilordezvoltrii(3.8), ((((((

=mjjjjttt...21t ,esteceade-aj-acoloana tabelului simplex curent. Relaia (3.8) este exprimat n termenii matriceiB prin, (3.9) j jA Bt =, deci (3.10) j jA B t1 = . Relaia (3.10) exprim faptul c fiecare coloan a tabelului simplex curent rezult prin nmulirea la stnga cu 1 Ba coloanei corespunztoare din tabelul simplex iniial.Prin utilizarea notaiilor folosite, definim, (3.11) jTjz t cB=

Pe baza relaiei (3.10), rezult, (3.12) jTjz A B cB1 = i, n continuare, pentru oricem r r 1 , , r ri ic z = . Funcia obiectiv este, (3.13) = =+ = = =N jj jmri isjj jTx c x c x c zr r1 1x c n vederea testrii criteriului de optimalitate tabelului simplex de la momentul curent, relaia(3.13)estemodificatastfelnctcoeficieniivariabilelorbazsdevinnuli,prin aplicareaurmtorului procedeu. Relaiei (3.13) i sunt adugate( ) r linia cri ,pentruorice m r r 1 ,i este obinut (3.14); cea de-a r-a linie a tabelului curent este exprimat prin, rsjj rjx tBx ==1, unde rBx este cea de-a r-a component a vectoruluiBx . (3.14) = = = = mrsjj rj iN jj jmrix t c x c c zr r r1 1 1Bx . Din (3.14) obinem, ( ) = N jj jTjTx c z t c x cB B B i, din (3.11), (3.15) ( ) z x c zN jj j jT+ = B Bx c . Deoarece, pentru oricem r r 1 , ,r ri ic z = , (3.15) este echivalent cu, ( )B Bx cTsjj j jz x c z = + =1, deci elementele liniei obiectiv a tabelului curent sunt, (3.16) j jTj jc c z = t cB. nconcluzie,criteriuldeoptimalmetodeisimplexpoatefireformulatastfel:tabelul curentreprezintosoluieoptimaldacinumaidac,pentruorice 0 , 1 , j jc z s j j . Relaiile dintre soluiile problemelor primal i dual Aacumarezultatncapitolul2,tentativaderezolvareauneiproblemede programare liniar are urmtoarele rezultate alternative: 1.Nu exist soluii admisibile 2.Exist o soluie optimal finit 3.Exist soluii admisibile, dar funcia obiectiv este nemrginit. Teorema 3.4. Teorema dualitii n sens slab Dac 0x este soluie admisibil a problemei primale definite de (3.1) i 0w este soluie admisibil a problemei duale (3.2), atunci, 0 0w b x cT T Teorema 3.5 1. Dac problema primal are soluii admisibile, dar funcia obiectiv este nemrginit, atunci problema dual nu are soluii fezabile. 2.Dacproblemadualaresoluiifezabile,darfunciaobiectivestenemrginit, atunci problema primal nu are soluii admisibile. Teorema3.6Dac 0x estesoluieadmisibilaproblemeiprimale(3.1)i 0w este soluie admisibilaproblemeiduale(3.2)idac 0 0w b x cT T= ,atunci 0x i 0w suntsoluii optimale ale problemei (3.1), respectiv (3.2). Teorema 3.7 Teorema dualitii 1.Dacfieproblemaprimal/dualareosoluieadmisibilifunciaobiectivareo valoareoptimfinit,atunciproblemadual/primalareosoluieadmisibilcuaceeai valoare obiectiv. 2. Dac problema primal (3.1) are soluii admisibile i dac problema dual (3.2) are soluii admisibile, atunci (i) problema primal are o soluie optimal, 0x(ii) problema dual (3.2) are o soluie optimal, 0wi (iii) 0 0w b x cT T= . PARTEA a II-a OPTIMIZARE NELINIAR CU APLICAII FINANCIARE

CAPITOLUL 4. PROBLEMA OPTIMIZRII PORTOFOLIILOR DE ACIUNI 4.1. Introducere. Optimizare neliniar Vomprezentapentrunceputunexempludeproblemdeinvestiiintr-unportofoliu de aciuni, exprimat n forma liniar i varianta acesteia n care este introdus o component de tip penalitate. (Bartholomeu-Biggs, 2005) Exemplul 4.1 Fie M o sum de bani care trebuie investit n trei fonduri care prezint procentelederandamentder1,r2ir3.Fondulesteinvestitprinintermediuluneifirme specilaizate.Dacsumeleinvestitesunt 3 2 1, , y y y ,randamentultotal,exprimatnprocente, este, My r y r y rR3 3 2 2 1 1+ +=Dac taxa perceput de firma care gestioneaz investiia este i iy cpentru fiecare fond i,atunci costul total este, 3 3 2 2 1 1y c y c y c C + + =ProblemaestedeaatingeunrandamentdeRpprocentedinsumainvestitiastfel ncttaxapltitgestinaruluifonduluisfieminim.Obinemproblemadeprogramare liniar, (4.1) Minimizeaz 3 3 2 2 1 1y c y c y c C + + =cu restriciile (4.2) M y y yMRp y r y r y r= + += + +3 2 13 3 2 2 1 1 (4.3)0 , ,3 2 1 y y y Problema definit prin (4.1), (4.2) i (4.3) este o problem de programare liniar, care modeleazunadincelemaisimpleproblemedetipdeciziedeinvestiie.Ovarianta problemei prezentat n exemplu 4.1 mai apropiat de situaiile reale este cea n care tentativa de efectuare de investiii negative este penalizat printr-o tax de management foarte ridicat. Rezult problema de optimizare neliniar, (4.4) Minimizeaz( )=+ + + =313 3 2 2 1 1iiy K y c y c y c C cu restriciile (4.5) M y y yMRp y r y r y r= + += + +3 2 13 3 2 2 1 1 unde0 > K constant(deobiceicuvaloarefoartemare)ifuncia estedefinit prin, ( )dxF d . Atunci funcia F are ca minim local punctul *x . Definiia5.2FieFofunciecontinuidifereniabilnvariabilascalarx.Dac relaiile (5.1) au loc pentru *x x = i dac( ) ( ) x F x F * pentru orice x, atunci *x este punct de minim global al lui F. Relaiile(5.1)suntnumitecondiiideoptimalitate.nproblemeledeinterespractic, determinareaunuiminimglobalestengeneralfoartedificil;nmajoritateasituaiiloreste aplicat o procedur de determinare a unui set de puncte minim local.Abordarea analitic n rezolvarea problemelor de minimizare este util cnd forma F poateficalculatuori,deasemenea,cndproblema( ) 0 ' = x F poatefirezolvatntr-o manierrelativsimpl.nmultesituaiipractice,spreexemplunproblema RANDAMENTMAX1M,problemadeoptimnupoatefitratatdemanieraprezentatmai sus. n general, tehnicile de rezolvare a problemelor de optim sunt iterative i sunt tehnicidecutaredirect,careutilizeazcomparaiialevalorilorfuncieide optimizat n puncte de test, sau metodegradient,careutilizeazderivatelefuncieiobiectivirezolviterativ ecuaia neliniar( ) 0 ' = x FMetodeledetipgradientaungeneraloconvergenmairapidcomparativcu metodele de cutare direct. De asemenea, metodele gradient au avantajul c permit definirea unuitestdeconvergenevident,ianumealgoritmulestencheiatcndgradientuleste apropiatde0,darnupotfiaplicatenoricesituaie(deexemplucndF(x)arederivate discontinue, cum este cazul funciilor liniare pe poriuni). 5.2. Metoda biseciei MetodabisecieipentrudeterminareaminimuluiluiF(x)peintervalul[ ] b a, este descris astfel. (Bartholomeu-Biggs, 2005) Seteaz( ) b a x b x a xm b a+ = = =21, , ,0 > Calculeaz( ) ( ) ( )m m b b a ax F F x F F x F F = = = , ,Repeat ( )m a lx x x + =21,( )m b rx x x + =21

Calculeaz( )l lx F F= ,( )r rx F F =Calculeaz{ }l r m b aF F F F F F , , , , minmin=If aF F =minsau lF F =min, seteaz l m m bx x x x = = , ,l m m bF F F F = = ,Else If mF F =min seteaz r b l ax x x x = = , ,r b l aF F F F = = ,ElseIf rF F =minsau bF F =minseteaz r m m ax x x x = = , , r m m aF F F F = = ,Until < a bx x Procedururmtoareesteaplicatpentrucalcululunuiinterval[ ] b a, caresconin un punct de minim al funciei F. Este selectat un punct iniial 0x i un pas0 > ( ) ( )0' * x F sign =Repeat for k=0,1,2, + =+ k kx x1 2 =Unitl( ) ( )k kx F x F >+1 If k=0, 1 0, x b x a = =If k>0, 1 1,+ = =k kx b x a 5.3. Metoda secantei Este prezentat n continuare o metod iterativ pentru rezolvarea( ) 0 ' = x F . Aceast metod permite n continuare calcululunui minim local al lui( ) x F pentru a fi utilizat ntr-o regiunencare( ) x F" estepozitiv.Abordareaarelabazinterpolarealiniar.DacFeste evaluat n punctele 2 1, x x , atunci (5.2) ( )( ) ( )( )1 21 211' ''x xx F x Fx Fx x =este o estimaie a punctului n care F se anuleaz. nsituaiancareFestefunciepolinomialdegradul2(ptratic),relaia(5.2)este aplicat o singur dat pentru calculul exact al punctului n care F se anuleaz. n caz contrar, formuladeinterpolare(5.2)esteaplicatiterativ.Algoritmulestedescrisastfel. (Bartholomeu-Biggs, 2005) Selecteaz 1 0, x xestimri iniiale ale minimului funciei F(x) i0 > Repeat for k=0,1,2,... ( )( ) ( )( )k kk kkk kx xx F x Fx Fx x =+++ 112' '' Unitl( ) Repeat for k=0,1,2,... ( )( )kkk kx Fx Fx x"'1 =+ Unitl( )