modelare financiar˘a si actuarial˘a
TRANSCRIPT
Note de curs
Modelare financiara si actuariala
2
Cuprins
1 Modelare matematico-econamica 4
1.1 Exemple de modele matematico-economice . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Probleme de programare liniara. Rezolvarea cu ajutorul calculatorului . . . 9
1.3 Model dinamic continuu de crestere economica . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Teoria stocurilor ın sens determinist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Matematici financiare 32
2.1 Dobanda simpla si compusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Plasamante cu dobanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Plasamente si inflatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Operatiuni de scont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Plati esalonate (anuitati) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Rambursarea creditelor si ımprumuturilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Matematici actuariale 56
3.1 Functii biometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Plati viagere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Plati ın caz de deces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Asigurari de persoane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3
Capitolul 1
Modelare matematico-econamica
1.1 Exemple de modele matematico-economice
Metoda modelarii consta ın ınlocuirea obiectului sau fenomenului real care ne intereseaza
cu un alt obiect sau fenomen, mai convenabil pentru cercetare. Dupa o astfel de substituire
nu se mai studiaza obiectul primar ci modelul, iar apoi rezultatul cercetarilor se extinde
asupra obiectului sau fenomenului initial.
Utilizarea limbajului matematic ın descrierea unor modele, permite acestora sa aiba
un ınalt grad de abstractizare si de generalizare.
In elaborarea unui model matematic atasat unui proces trebuiesc respectate etapele:
1. Obtinerea modelului descriptiv al procesului, care are subetapele:
1.1. formularea problemei propuse;
1.2. analiza structurii informationale a fenomenului abordat;
1.3. discutarea criteriilor posibile care reflecta obiectivele urmarite;
1.4. stabilirea factorilor esentiali si factorilor secundari;
2. Formularea matematica a modelului descriptiv, etapa ın care se elaboreaza modelul
matematic;
3. Studierea (cercetarea) modelului, adica rezolvarea practica a problemei pe model.
Astazi, ın aceasta etapa de mare folos este calculatorul.
Modelul realizat si testat trebuie sa reflecteze originalul cu destula precizie. S-ar
putea ca modelul sa fie bine construit dar sa nu dea rezultate satisfacatoare. El trebuie
ımbunatatit sau abandonat.
Dupa modelul matematic utilizat se poate da urmatoarea clasificare a modelelor:
1) modele aritmetice (utilizate pana ın secolul al XVIII-lea)– folosesc numai con-
cepte aritmetice;
4
2) modele bazate pe analiza matematica (utilizate ıncepand cu secolul al XVIII-
lea)– folosesc concepte de analiza matematica;
3) modele liniare – utilizeaza concepte de algebra liniara (de exemplu, programarea
liniara);
4) modele de joc – care iau ın considerare si variabile necontrolabile;
5) modele de optimizare – urmaresc optimizarea unei functii (numita functia obiec-
tiv) supusa unor restrictii;
6) modele neliniare – utilizeaza restrictii de optim sau functii obiectiv neliniare;
7) modele diferentiale – care descriu prin ecuatii diferentiale fenomenul (de exemplu,
modelul care descrie variatia productiei);
8) modele de tip catastrofic – utilizate de studiul fenomenelor cu variatii bruste;
9) modele deterministe – marimile care intervin sunt perfect determinate;
10) modele stohastice – marimile care intervin sunt aleatorii;
11) modele de tip statistico-matematice – marimile care intervin sunt date statis-
tice;
12) modele vagi – marimile care intervin nu sunt date cu precizie, ci doar vag;
13) modele discrete – marimile care intervin variaza discret;
14) modele continue – marimile care intervin variaza continuu.
In continuare vom prezenta cateva din cele mai cunoscute modele matematico–economice.
1.Problema dietei (nutritiei)
O alimentatie se considera buna daca se ofera anumite substante ın cantitati minimale
precizate. Evident ca aceste substante se gasesc ın diferite alimente cu preturi cunoscute.
Se cere sa se stabileasca o dieta (ratie) care sa fie corespunzatoare si totodata cat mai
ieftina. Substantele care intra ıntr-o dieta se numesc substante nutritive sau principii
nutritive.
Vom obtine, ın continuare, modelul matematico-economic pentru problema dietei.
Fie S1, S2, . . . , Sm substantele nutritive care trebuie sa intre ın compunerea dietei ın can-
titatile minimale b1, b2, . . . , bm si A1, A2, . . . , An alimentele de care dispunem cu pretul
corespunzator pe unitate c1, c2, . . . , cn. Notam cu aij numarul de unitati din substanta
Si, i = 1,m, care se gasesc ıntr-o unitate din alimentul Aj, j = 1, n. Se cere sa se afle
x1, x2, . . . , xn numarul de unitati din alimentele A1, A2, . . . , An asa ıncat sa se obtina o
5
ratie acceptabila la un pret cat de mic. De obicei datele problemei se prezinta ıntr-un
tabel de forma:
Alimente
SubstantaA1 A2 . . . Aj . . . An
Minim
necesar
din Si
S1 a11 a12 . . . a1j . . . a1n b1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Si ai1 ai2 . . . aij . . . ain bi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sm am1 am2 . . . amj . . . amn bm
Pret alimente c1 c2 . . . cj . . . cn
Unitati de consum x1 x2 . . . xj . . . xn
Cantitatea din substanta Si care se realizeaza este ai1x1+ai2x2+. . .+ainxn, care din
cerinta problemei trebuie sa fie ≥ bi, i = 1,m. Ajungem astfel la conditiile (restrictiile):
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≥ b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≥ b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ≥ bm
(1.1)
Natura datelor cu care lucram impun si conditiile de nenegativitate:
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0.(1.2)
Functia obiectiv care exprima costul unei ratii este data de:
f = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn.(1.3)
Problema dietei cere sa determinam x1, x2, . . . , xn asa ıncat f sa fie minima. O
astfel de dieta se numeste optima. Orice dieta care satisface restrictiile (1.1) si (1.2) se
numeste admisibila.
Modelul dietei poate fi folosit si ın alte situatii, ca de exemplu: problema furajarii
rationale (ın zootehnie), chestiunea amestecului optim (ın amestecuri de benzina sau
uleiuri auto, ın realizarea unor sortimente de bauturi sau ınghetata), s.a.
2. Problema sortimentului optim (optimizarea productiei)
O ıntreprindere dispune de m resurse R1, R2, . . . , Rm. Notam cu b1, b2, . . . , bm numarul
de unitati disponibile din resursele R1, R2, . . . , Rm, respectiv. In procesul de productie se
realizeaza produsele finite P1, P2, . . . , Pn. Cunoscandu-se consumurile aij din resurse Ri,
i = 1,m pentru o unitate finita din produsul Pj, j = 1, n precum si valoarea castigurilor
pe unitate realizate prin valorificarea produselor finite pe care le notam cu c1, c2, . . . , cn,
6
se cere: cat trebuie realizat din fiecare produs ca ın limita resurselor disponibile sa se
obtina o productie care sa aduca un beneficiu maxim.
Vom pune datele problemei ın urmatorul tabel:
produse finite
resurseP1 P2 . . . Pj . . . Pn
numar unitati
disponibile
din Ri
R1 a11 a12 . . . a1j . . . a1n b1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ri ai1 ai2 . . . aij . . . ain bi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rm am1 am2 . . . amj . . . amn bm
castig pe
unitatea de
produs finit
c1 c2 . . . cj . . . cn
numar de
unitati din
produsul finit
x1 x2 . . . xj . . . xn
Cantitatea din substanta Ri care se utilizeaza este ai1x1+ai2x2+. . .+ainxn, care din
cerinta problemei trebuie sa fie ≤ bi, i = 1,m. Ajungem astfel la conditiile (restrictiile):
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≤ b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ≤ bm
(1.4)
Natura datelor cu care lucram impun si conditiile de nenegativitate:
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0.(1.5)
Functia obiectiv care exprima castigul prin valorificarea produselor finite este:
f = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn.(1.6)
Problema sortimentului optim cere sa determinam x1, x2, . . . , xn asa ıncat f sa fie
maxima.
3. Problema transporturilor
Un produs (marfa) se afla ın depozitele D1, D2, . . ., Dm cu capacitatile a1, a2, . . ., am
si trebuie transportat(a) la centrele de consum C1, C2, . . ., Cn ın cantitatile b1, b2, . . .,
bn. Cunoscand costul transportului pe unitate de produs de la depozitul Di, i = 1,m la
centrul de consum Cj, j = 1, n, notat cu cij, se cere sa se ıntocmeasca un astfel de plan
de repartitie a produsului ıncat costul total al transportului sa fie minim.
7
Daca notam cu xij cantitatea de produs ce se va transporta de la depozitul Di, i = 1,m,
la centrul de consum Cj, j = 1, n, atunci modelul matematic al problemei de transport
se poate reprezenta prin tabelul:
Di \ Cj C1 C2 . . . Cn Disponibil
D1
c11
x11
c12
x12
. . .c1n
x1n
a1
D2
c21
x21
c22
x22
. . .c2n
x2n
a2
......
......
......
Dm
cm1
xm1
cm2
xm2
. . .cmn
xmn
am
Necesar b1 b2 . . . bn T
Modelul matematic pentru probleme de transport se scrie astfel:
n∑j=1
xij = ai, i = 1,m
m∑i=1
xij = bj, j = 1, n
xij ≥ 0, i = 1,m, j = 1, n
(min)f =m∑
i=1
n∑j=1
cijxij.
(1.7)
8
1.2 Probleme de programare liniara. Rezolvarea cu
ajutorul calculatorului
Problema de programare liniara ( P.L. ), sub forma cea mai simpla pe care o vom
numi forma standard sau forma algebrica, este data prin modelul matematic
(optim)f(x) = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn(1.8)
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
(1.9)
xj ≥ 0, j = 1, n,(1.10)
unde (1.8) este functia de scop, (1.9) sunt restrictiile, iar (1.10) conditiile de neneg-
ativitate.
Sistemul de restrictii (1.9) reprezinta concordanta interna a unui proces economic.
Coeficientii aij, i = 1,m, j = 1, n, sunt coeficienti tehnici constanti, planificati sau
determinati ın mod statistic. Necunoscutele xj, j = 1, n, sunt marimi care trebuie gasite,
iar termenii liberi bi, i = 1,m, sunt marimi constante date, determinate de conditiile
locale ale procesului economic, numiti coeficienti de restrictie ai programului dat.
Fie matricele
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
, b =
b1
b2
...
bm
, x =
x1
x2
...
xn
,
c = (c1, . . . , cn), θ =
0...
0
Cu aceste notatii, problema de programare liniara (1.8)–(1.10) ia forma matriceala:
(optim)f(x) = cx
Ax = b
x ≥ θ
Daca notam cu Pj, j = 1, n, vectorii ale caror componente sunt elemente core-
spunzatoare coloanelor matricei A, atunci problema de programare liniara (1.8)–(1.9) ia
forma
(optim)f(x) = cx
x1P1 + x2P2 + . . . + xnPn = b
x ≥ θ
9
numita forma vectoriala a problemei de programare liniara.
Metoda generala de rezolvare a problemelor de programare liniara este cunoscuta ın
literatura de specialitate sub numele de metoda simplex sau algoritmul simplex. Ea
este datorata lui G.B.Dantzig, care a publicat primele lucrari ın 1947. Ulterior s-au dat
diverse variante ımbunatatite ale metodei.
In continuare vom prezenta o metoda de derminare a coordonatelor unui vector dat la
schimbarea bazei. Acestei metode ıi vom spune pas Jordan si va fi necesara ın descrierea
etapelor algoritmului simplex.
Teorema 1.2.1 (teorema ınlocuirii a lui Steinitz.) Daca B = {e1, e2, . . . , en} este
o baza ın spatiul vectorial V peste campul K si x =n∑
k=1
akek este un vector din V ce
satisface conditia at 6= 0, atunci sistemul B1 = {e1, e2, . . . , et−1, x, et+1, . . . , en} este, de
asemenea, o baza pentru V .
Observatia 1.2.1 Pentru coordonatele vectorului y =n∑
k=1
ckek ın noua baza B1 (adica
y = y1e1 + y2e2 + · · ·+ yt−1et−1 + ytx + yt+1et+1 + · · ·+ ynen ) rezulta formulele:
yk =ckat − akct
at
, pentru k 6= t
yt =ct
at
, pentru k = t.
Observatia 1.2.2 Valoarea lui yk , k 6= t se obtine dupa regula :
at ct
ak ck
echivalenta cuatck − akct
at
= yk,
numita si regula dreptunghiului. Elementul at 6= 0 se numeste si pivot, ceea ce face ca
regula dreptunghiului sa se mai numeasca si regula pivotului. In regula dreptunghiului,
diagonala pe care se afla elementul pivot va fi considerata diagonala principala. Valoarea
lui yk se obtine ımpartind la elementul pivot diferenta dintre produsul elementelor de pe
diagonala principala si produsul elementelor de pe diagonala secundara. De obicei calculele
se fac ın tabele succesive. Pentru simplificarea expunerii vom prezenta metoda pe un caz
particular.
Exemplul 1.2.1 Fie vectorii x = (2, 3, 1) si y = (3, 4, 5) scrisi ın baza canonica din R3
(adica e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) ). Scriem coordonatele lui y ın baza
(e1, x, e3).
Etapele de lucru sunt:
–Vom pune ıntr-un tabel coordonatele vectorilor e1, e2, e3, x si y ın baza {e1, e2, e3}
10
–Deoarece dorim sa ınlocuim vectorul e2 cu x, vom alege ca element pivot, elementul
ce se afla la intersectia liniei lui e2 cu coloana lui x , adica in cazul nostru elementul 3.
Deci ın noua baza vom avea vectorii {e1, x, e3}.– Completam coloanele vectorilor e1, x, e3 cu coordonatele lor ın baza {e1, x, e3}.– Impartim elementele de pe linia pe care se afla elementul pivot (adica linia 2) la
elementul pivot (adica la 3) si completam linia 2 din noul nostru tabel.
–Restul elementelor se calculeaza cu regula dreptunghiului , adica daca vrem sa cal-
culam de exemplu elementul de pe linia lui e3 si coloana lui e1 din noul nostru tabel,
observam ca lui ıi corespunde ın tabelul anterior elementul de pe linia lui e3 si coloana lui
e1 , adica 0, si consideram dreptunghiul:
0 (3)
0 1
Deci elementul nostru va fi egal cu3 · 0− 1 · 0
3= 0.
Baza e1 e2 e3 x y
e1 1 0 0 2 3x
À e2 0 1 0 (3) 4
e3 0 0 1 1 5
e1 1 −23
0 0 13
x 0 13
0 1 43
e3 0 −13
1 0 113
Deci coordonatele lui y ın noua baza {e1, x, e3} sunt
{1
3,4
3,11
3
}, adica
y =1
3e1 +
4
3x +
11
3e3 .
Vom prezenta algoritmul simplex pentru problema de programare liniara:
(min)f(x) = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
xj ≥ 0, j = 1, n
Pentru rezolvarea acestei probleme se introduc datele problemei ınt-un tabel de forma:
Tabel 1.
11
c c1 c2 c3 . . . cn
CB B SB P1 P2 P3 . . . Pn
e1 b1 a11 a12 a13 . . . a1n
e2 b2 a21 a22 a23 . . . a2n
......
......
... aij...
em bm am1 am2 am3 . . . amn
unde {e1, e2, . . . , em} reprezinta baza canonica din Rm.
Notatie:
CB=coeficientii bazei
B=baza
SB=solutia de baza
P1, P2, · · · , Pn=vectorii problemei
Etapa I. Se schimba baza canonica {ei}i=1,m ıntr-o baza formata din vectori ai prob-
lemei {Pi} efectuand pasi Jordan (pasul Jordan a fost descris la metoda de determinare
a coordonatelor unui vector la schimbarea bazei).
Observatia 1.2.3 Elementul pivot se alege nenul, dar nu neaparat pozitiv, astfel ıncat
calculele sa fie cat mai avantajoase.
Observatia 1.2.4 Cat timp ın baza mai exista vectori ”ei” ai bazei canonice, nu se
schimba un vector ”Pi” cu un vector ”Pj”.
In coloana CB se pun coeficientii functiei scop. Adica, daca ın baza se va afla vectorul
problemei Pi lui ıi va corespunde ın coloana CB coeficientul ci. Dupa formarea primei
baze numai din vectori ai problemei {Pi, Pj, · · ·} se trece la
Etapa II. Se calculeaza zj = (zj0, zj1, . . . , zjn) si ∆j = (∆j1, ∆j2, . . . , ∆jn) dupa
regulile:
zj0 = 〈CB, SB〉 (produsul scalar ıntre vectorii CB si SB)
zji = 〈CB, Pi〉 (produsul scalar ıntre vectorii CB si Pi)
∆j = c− zj , adica ∆ji = ci − zji , i = 1, n
(1.11)
si se completeaza etajul corespunzator din tabela cu doua linii suplimentare:
Tabelul 2.
c c1 c2 c3 . . . ci · · · cn
CB B b P1 P2 P3 . . . Pi · · · Pn
ci1 Pi1 b1 a11 a12 a13 . . . a1i · · · a1n
ci2 Pi2 b2 a21 a22 a23 . . . a2i · · · a2n
......
......
......
......
......
cim Pim bm ˜am1 ˜am2 ˜am3 . . . ˜ami · · · ˜amn
zj zj0 zj1 zj2 zj3 · · · zji · · · zjn
∆j - ∆j1 ∆j2 ∆j3 · · · ∆ji · · · ∆jn
12
unde i1, i2, . . . , im ∈ {1, 2, . . . , n} ,{
bi
}i=1,m
si {aij}i=1,m,j=1,n s-au obtinut ın urma
pasilor Jordan.
Vom verifica ın continuare ın care din urmatoarele 6 cazuri ne ıncadram si se continua
rezolvarea problemei dupa metoda descrisa la cazul respectiv.
Observatia 1.2.5 Linia pe care se afla elementul pivot ıi vom spune linie pivot, iar
coloana pe care se afla elementul pivot ıi vom spune coloana pivot. Deci vom avea
nevoie la alegerea pivotului sa cunoastem linia pivot si coloana pivot.
CAZUL 1. Exista ∆ji < 0 si pe coloana respectiva exista elemente pozitive. Atunci:
– max∆ij<0
|∆ji| ne da coloana pivot;
–minimul rapoartelor ” element pozitiv din SB/ element pozitiv din coloana pivot” ne
da linia pivot si astfel cunoastem pivotul;
–cu pivotul gasit se executa un pas Jordan dupa care se revine la calculul lui ”zj” si
”∆j” si analiza celor sase cazuri.
CAZUL 2. Exista ∆ji < 0 dar pe coloana respectiva toate elementele sunt ≤ 0.
Daca SB are cel putin o componenta negativa atunci se elimina aceasta componenta ca
la CAZUL 3. Daca SB ≥ 0 atunci avem optim infinit si anume:
–Pi corespunzator coloanei ”care dicteaza optimul infinit” (∆ji < 0) se pune egal cu
M > 0 (foarte mare), adica xi = M ;
–Pentru acei Pi care nu sunt ın baza (B) avem xi = 0;
–Pentru acei Pi care se afla ın baza (B) vom avea xi = SB[i]−M ·∆ji , unde SB[i] = bi
(vezi Tabelul 2.) si ∆ji este elementul care dicteaza optimul infinit (∆ji < 0).
–Valoarea minimului lui f se gaseste prin ınlocuirea lui x1, x2, . . . , xn ın functia scop
sau din min(f) = zj0 + M ·∆ji, unde ∆ji este cel care a dictat optimul infinit.
CAZUL 3. Toti ∆ji ≥ 0 dar SB are cel putin o componenta negativa. Atunci se
alege pivotul (nu neaparat pozitiv) de pe linia unei componente negative din SB, astfel
ıncat ın locul unui ”Pi” din baza (B) sa intre un ”Pj” care nu a mai fost ın baza.
CAZUL 4. Toti ∆ji ≥ 0 si SB ≥ 0 dar numarul ∆ji-urilor nuli depaseste numarul
de restrictii (1.9). Atunci vom avea posibile solutii multiple si anume solutia pe care o
avem deja ın tabel (pentru acei Pi care sunt ın baza avem xi = SB[i] = bi, iar pentru acei
Pk care nu sunt ın baza avem xk = 0) si acele solutii pe care le vom gasi alegand pivotul
( de cate ori este posibil) de pe o coloana cu ∆ji = 0 astfel ıncat ın baza sa intre un Pi
care nu a mai fost ın baza. Pentru a stabili linia pivot se foloseste minimul rapoartelor
” element pozitiv din SB/element pozitiv din coloana pivot”. Se efectueaza un pas Jordan
si se obtine noua solutie.
Solutia generala se da ca o combinatie convexa a solutiilor gasite. De exemplu daca
avem solutiile x(1), x(2) si x(3) , atunci solutia generala este x = αx(1) + βx(2) + γx(3) cu
α, β, γ ∈ [0, 1] si α + β + γ = 1.
13
CAZUL 5. Toti ∆ji ≥ 0 si SB ≥ 0 iar numarul ∆ji-urilor nuli≤ numarul restrictiilor.
In acest caz avem o solutie optima finita care se citeste astfel: pentru acei Pi care sunt
ın baza avem xi = SB[i] = bi (vezi Tabelul 2.), iar pentru acei Pk care nu sunt ın baza
avem xk = 0, iar min(f) = zj0.
CAZUL 6. Daca se aplica pasii algoritmului simplex pana la trecerea tuturor combinatiilor
posibile de ”Pi, Pj, . . .” ın baza fara a ajunge la vreo solutie optima (finita, infinita, mul-
tipla), atunci problema nu are solutie.
Observatia 1.2.6 Daca problema degenereaza pe parcursul rezolvarii, adica nu putem
deosebi doua posibile linii pivot prin minimul rapoartelor ( vezi CAZUL 1. si CAZUL 4.)
atunci folosim ordonarea lexicografica. Sa presupunem ca avem linile (vezi Tabelul 2.):
bi ai1 ai2 · · · ain
bk ak1 ak2 · · · ˜akn
Atunci:
–daca bi < bk spunem ca linia (i) precede linia (k); daca bi > bk spunem ca linia (k)
precede linia (i);
–daca bi = bk atunci comparam ai1 cu ak1 si daca ai1 < ak1 atunci linia (i) precede
linia (k); daca ai1 > ak1 atunci linia (k) precede linia (i);
– daca ai1 = ak1 atunci se compara urmatoarele componente din cele doua linii si asa
mai departe pana cand se decide care linie o precede pe cealalta.
Daca linia (i) precede linia (k), atunci se alege ca linie pivot linia (i), iar daca linia
(k) precede linia (i) atunci se alege ca linie pivot linia (k).
Pentru a se ıntelege mai bine algoritmul simplex vom urmari etapele algoritmului
pentru urmatoarea problema de programare liniara:
Problema 1.2.1 Sa se afle minimul functiei f , unde
f = 2x1 + x2 + 3x3 + 5x4 − x5 ,
cu restrictiile:
2x1 +x2 +x3 = 4
x1 +2x3 +x5 = 7
3x1 +2x2 +x4 = 10
si conditiile de pozitivitate xi ≥ 0 , i = 1, 5 .
Mai ıntai vom pune datele problemei in tabel
c 2 1 3 5 -1
CB B SB P1 P2 P3 P4 P5
e1 4 2 1 1 0 0
-1 P5 7 1 0 2 0 1
5 P4 10 3 2 0 1 0
14
unde ın baza s-au putut introduce direct P5 si P4 deoarece coincid cu e2, respectiv cu
e3. La introducerea lor ın baza s-au completat si elementele corespunzatoare din CB
(coeficientii bazei) care se citesc din prima linie a tabelului (c).
Vom alege elementul pivot astfel ıncat ın baza sa intre P1 ın locul lui e1 deoarece
calculele nu sunt complicate cu un pivot de valoare 2. Se putea alege si alt pivot astfel
ıncat e1 sa fie ınlocuit cu P2 sau P3, dar vom prezenta ın continuare numai rezolvarea
problemei pornind de la pivotul ales de noi. Se va efectua un pas Jordan, adica:
–se completeaza mai ıntai coordonatele vectorilor care sunt ın baza (la noi P1, P5, P4);
–elementele necompletate de pe linia pivot se obtin din elementele anterioare prin
ımpartirea lor la elementul pivot;
–restul elementelor necompletate se obtin prin regula dreptunghiului. De exemplu,
daca dorim sa calculam elementul de pe linia lui P5 si coloana SB (din noul tabel) observam
ca lui ıi corespunde ın tabelul anterior elementul de pe linia lui P5 si coloana SB, adica 7,
si vom considera dreptunghiul
4 (2)
7 1
Deci elementul nostru va fi egal cu2 · 7− 4 · 1
2= 5 .
Daca dorim sa calculam elementul de pe linia lui P4 si coloana lui P3 (din noul tabel)
observam ca lui ıi corespunde ın tabelul anterior elementul de pe linia lui P4 si coloana
lui P3, adica 0, si vom considera dreptunghiul
(2) 1
3 0
Deci elementul nostru va fi egal cu2 · 0− 3 · 1
2= −3
2.
Prin aplicarea pasului Jordan astfel ales obtinem tabelul:
c 2 1 3 5 -1
CB B SB P1 P2 P3 P4 P5P1−→←−e1
e1 4 (2) 1 1 0 0
-1 P5 7 1 0 2 0 1
5 P4 10 3 2 0 1 0
2 P1 2 11
2
1
20 0
-1 P5 5 0 −1
2
3
20 1
5 P4 4 01
2−3
21 0
zj 19 2 4 −8 5 -1
∆j – 0 -3 11 0 0
unde zj si ∆j s-au calculat dupa formulele (1.11), adica: zj0 = 2 · 2 + (−1) · 5 + 5 · 4 = 19;
zj1 = 2 · 1 + (−1) · 0 + 5 · 0 = 2; zj2 = 2 ·(
1
2
)+ (−1) ·
(−1
2
)+ 5 ·
(1
2
)= 4;
15
zj3 = 2 ·(
1
2
)+ (−1) · 3
2+ 5 ·
(−3
2
)= −8; zj4 = 2 · 0 + (−1) · 0 + 5 · 1 = 5;
zj5 = 2 · 0 + (−1) · 1 + 5 · 0 = −1; ∆j1 = 2− 2 = 0;∆j2 = 1− 4 = −3;
∆j3 = 3− (−8) = 11;∆j4 = 5− 5 = 0;∆j5 = (−1)− (−1) = 0;
Observam ca ∆j2 = −3 < 0 iar pe coloana lui ∆j2 avem elementele ≥ 0. Atunci
conform CAZULUI 1. avem:
–maximul modulelor ∆ji-urilor negative (la noi nu exista dacat ∆j2 < 0) ne da coloana
pivot, adica la noi coloana corespunzatoare lui P2 este coloana pivot;
–minimul rapoartelor21
2
= 4 < 8 =41
2
ne da linia pivot ca fiind linia corespunzatoare
lui P1;
Avand pivotul astfel determinat efectuam un nou pas Jordan si obtinem tabelul:
c 2 1 3 5 -1
CB B SB P1 P2 P3 P4 P5P1−→←−e1
e1 4 (2) 1 1 0 0
-1 P5 7 1 0 2 0 1
5 P4 10 3 2 0 1 0P2−→←−P1
2 P1 2 1
(1
2
)1
20 0
-1 P5 5 0 −1
2
3
20 1
5 P4 4 01
2−3
21 0
zj 19 2 4 −8 5 -1
∆j – 0 -3 11 0 0
1 P2 4 2 1 1 0 0
-1 P5 7 1 0 2 0 1
5 P4 2 -1 0 −2 1 0
zj 7 -4 1 −11 5 -1
∆j – 6 0 14 0 0
unde zj si ∆j s-au calculat dupa formulele (1.11).
Observam ca toti ∆ji ≥ 0 , SB ≥ 0 si numarul ∆j-urilor nule ( avem 3 ∆j nule:
∆j2, ∆j4, ∆j5 ) nu depaseste numarul de restrictii (avem 3 restrictii) ceea ce ınseamna ca
avem conform CAZULUI 5 un optim finit. Solutia problemei va fi:
–Deoarece P1 si P3 nu sunt ın baza , rezulta ca x1 = 0 si x3 = 0;
–Deoarece P2 este ın baza si ın SB pe pozitia corespunzatoare lui P2 avem valoarea 4,
rezulta ca x2 = 4;
–Analog obtinem: x4 = 2 si x5 = 7
–min(f) este dat de zj0, adica min(f)=7;
In final avem xT = (0, 4, 0, 2, 7) si min(f)=7.
16
Observatia 1.2.7 Intr-o problema de programare liniara putem lucra considerand opti-
mul drept minim deoarece daca se cere maximul, atunci din relatia max f = −min(−f)
se deduce ca este suficient sa se determine min(−f), iar apoi, cu semn schimbat, vom
avea maximul lui f .
Problema 1.2.2 Rezolvati problema de programare liniara:
(max)(f) = −x1 + 2x2 + x3 + 3x4 − x5 − 2x6
x1 + x2 + 2x3 + 3x5 = 15
2x2 + x3 + x4 + 5x5 = 20
x2 + 2x3 + x5 + x6 = 10
cu conditiile de nenegativitate xi ≥ 0 , i = 1, 6 .
Vom considera functia: g = −f = x1 − 2x2 − x3 − 3x4 + x5 + 2x6 si vom rezolva
problema (min)(g), considerata cu aceleasi restrictii. Aceasta problema va avea aceeasi
solutie si acelasi optim ın valoare absoluta (daca aceasta exista) cu problema initiala.
c 1 -2 -1 -3 1 2
CB B SB P1 P2 P3 P4 P5 P6
1 P1 15 1 1 2 0 3 0
-3 P4 20 0 2 1 1 5 0P3−→←−P6
2 P6 10 0 1 (2) 0 1 1
zj −25 1 -3 3 -3 -10 2
∆j – 0 1 −4 0 11 0
1 P1 5 1 0 0 0 2 -1
-3 P4 15 03
20 1
9
2−1
2
-1 P3 5 01
21 0
1
2
1
2zj −45 1 -5 −1 -3 -12 0
∆j – 0 3 0 0 13 2
Deci avem solutia optima finita :
xT = (5, 0, 5, 15, 0, 0) , min(g) = −45 , deci max(f) = 45.
Observatia 1.2.8 Intr-o problema economica, de obicei, restrictiile problemei de pro-
gramare liniara sunt inecuatii, caz ın care spunem ca avem o problema generala de
programare liniara. Modelul matematic al acesteia, sub forma matriciala, arata astfel:
(optim)f(x) = cx
A1x = b(1)
A2x ≥ b(2)
A3x ≤ b(3)
x ≥ θ.
17
Rezolvarea unei astfel de probleme se face prin transformarea ei ıntr-una standard,
prin introducerea necunoscutelor de compensare.
Astfel, pentru o restrictie de forma
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≤ bi
consideram necunoscuta de compensare xn+1 ≥ 0 si transformam inecuatia ın ecuatie
astfel
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn + xn+1 = bi
Pentru o restrictie de forma
ak1x1 + ak2x2 + . . . + aknxn ≥ bk
consideram necunoscuta de compensare xn+2 ≥ 0 si transformam inecuatia ın ecuatie,
astfel
ak1x1 + ak2x2 + . . . + aknxn − xn+2 = bk
Cate restrictii de tip inecuatie avem, atatea necunoscute de compensare vom intro-
duce.
In functia de eficienta necunoscutele de compensare se introduc cu coeficientii egali cu
zero.
In solutia optima din tabelul simplex s-ar putea sa apara si unele necunoscute de
compensare, dar ın solutia obtinuta a problemei de P.L. generala acestea nu se considera.
Problema 1.2.3 Sa se rezolve problema generala de P.L.:
(min)f(x) = 3x1 − 2x2 + 4x3 − x4
2x1 +3x2 −x3 +x4 = 7
5x1 +2x2 +x3 −x4 ≥ 5
x1 +x2 +2x3 +2x4 ≤ 10
2x1 +2x2 +x3 +x4 ≤ 9
xj ≥ 0, j = 1, 4.
Transformam problema generala ın una standard, introducand variabile de compen-
sare x5, x6, x7:
(min)f(x) = 3x1 − 2x2 + 4x3 − x4
2x1 +3x2 −x3 +x4 = 7
5x1 +2x2 +x3 −x4 −x5 = 5
x1 +x2 +2x3 +2x4 +x6 = 10
2x1 +2x2 +x3 +x4 +x7 = 9
18
xj ≥ 0, j = 1, 7.
Acum, aplicam algoritmul simplex si avem:
c 3 -2 4 -1 0 0 0
CB B b P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7
e1 7 2 3 -1 1 0 0 0P2−→←−e2
e2 5 (5) 2 1 -1 -1 0 0
0 P6 10 1 1 2 2 0 1 0
0 P7 9 2 2 1 1 0 0 1P2−→←−e2
e1 5 0(
115
) −75
75
25
0 0
3 P1 1 1 25
15
−15
−15
0 0
0 P6 9 0 35
95
115
15
1 0
0 P7 7 0 65
35
75
25
0 1
-2 P22511
0 1 −711
711
211
0 0
3 P1111
1 0 511
− 511
− 311
0 0
0 P68411
0 0 2411
2011
111
1 0
0 P74711
0 0 1511
511
211
0 1
zj −4711
3 -2 2911
−2911
−1311
0 0
∆j – 0 0 1511
1811
1311
0 0
Cum toti ∆j ≥ 0, j = 1, 7. rezulta ca solutia problemei de P.L. standard este
x(1) =
(1
11,25
11, 0, 0, 0,
84
11,47
11
), (min)f(x) = −47
11,
iar a problemei generale
x(1) =
(1
11,25
11, 0, 0
), (min)f(x) = −47
11,
caz ın care nu am mai luat ın seama valorile necunoscutelor de compensare.
Problema 1.2.4 (Problema deseurilor minime.) Se dispune de bare de fier de 14m
lungime din care trebuie taiate 500 bucati de 8m, 800 bucati de 5,25m si 450 bucati de
2,5m. Se cere sa se stabileasca modul de taiere care asigura cantitatea minima de deseuri.
Solutie. Se observa ca pentru o bara exista 5 moduri de taiere:
MODUL 1. Se taie o bucata de 8m si alta de 5,25m, obtinandu-se deseul de 0,75m=3/4m;
MODUL 2. Se taie o bucata de 8m si doua bucati de 2,5m, obtinandu-se deseul de 1m;
MODUL 3. Se taie doua bucati de 5,25m si una de 2,5m, obtinandu-se deseul de 1m;
MODUL 4. Se taie o bucata de 5,25m si trei de 2,5m, obtinandu-se deseul de 1,25m=5/4m;
MODUL 5. Se taie cinci bucati de 2,5m, obtinandu-se deseul de 1,5m=6/4m;
19
Notam cu xi , i = 1, 5 numarul de bare planificate a se taia ın ”MODUL i ”, i = 1, 5 .
Avem conditiile:
x1 + x2 = 500
x1 + 2x3 + x4 = 800
2x2 + x3 + 3x4 + 5x5 = 450
si evident xi ≥ 0 , i = 1, 5 .
Cantitatea de deseuri ( dorim sa fie minima) este:
f =3
4x1 + x2 + x3 +
5
4x4 +
6
4x5 =
1
4(3x1 + 4x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5) .
Pentru a usura calculele vom calcula minimul lui
f1 = 3x1 + 4x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5, ımpreuna cu restrictiile:
x1 + x2 = 500
x1 + 2x3 + x4 = 800
2x2 + x3 + 3x4 + 5x5 = 450
si conditiile de nenegativitate: xi ≥ 0 , i = 1, 5 .
c 3 4 4 5 6
CB B SB P1 P2 P3 P4 P5P1−→←−e1
e1 500 (1) 1 0 0 0
e2 800 1 0 2 1 0
e3 450 0 2 1 3 5
3 P1 500 1 1 0 0 0
e2 300 0 −1 2 1 0P3−→←−e3
e3 450 0 2 (1) 3 5
3 P1 500 1 1 0 0 0P5−→←−e2
e2 -600 0 −5 0 -5 (-10)
4 P3 450 0 2 1 3 5
3 P1 500 1 1 0 0 0P4−→←−P5
6 P5 60 0 1/2 0 (1/2) 1
4 P3 150 0 −1/2 1 1/2 0
zj 2 460 3 4 4 5 6
∆j – 0 0 0 0 0avem solutie
multipla
3 P1 500 1 1 0 0 0P2−→←−P4
5 P4 120 0 (1) 0 1 2
4 P3 90 0 −1 1 0 -1
zj 2 460 3 4 4 5 6
∆j – 0 0 0 0 0
20
c 3 4 4 5 6
CB B SB P1 P2 P3 P4 P5
3 P1 380 1 0 0 -1 -2
4 P2 120 0 1 0 1 2
4 P3 210 0 0 1 1 1
zj 2 460 3 4 4 5 6
∆j – 0 0 0 0 0
Problema are solutii multiple:
xT1 = (500, 0, 150, 0, 60) , xT
2 = (500, 0, 90, 120, 0) , xT3 = (380, 120, 210, 0, 0), iar
min(f1) = 2 460(m) si deci min(f) = 2 460/4 = 615(m).
Solutia generala se scrie: xT = α · xT1 + β · xT
2 + γ · xT3 cu α, β, γ ∈ [0, 1] , α + β + γ = 1 .
21
1.3 Model dinamic continuu de crestere economica
Vom studia un model matematic care descrie prin ecuatii diferentiale cresterea productiei.
Deoarece vom studia un model dinamic continuu vom considera timpul ca o marime
variabila continua , t ∈ [0, T ] , T > 0.
Fie R1, R2, . . . , Rn , ramurile unei economii nationale si t ∈ [0, T ] fixat. Alegem un
numar real h asa ıncat t + h ∈ [0, T ]. Pe intervalul [t, t + h], introducem urmatoarele
notatii:
xi(t, h) pentru productia ramurii Ri ın intervalul [t, t + h] , i = 1, n
xij(t, h) pentru cantitatea din productia ramurii Ri, care se foloseste ın productia
ramurii Rj, ın intervalul [t, t + h] , i, j = 1, n
Cantitatea din productia ramurii Ri ce se foloseste pentru producerea unei unitati de
productie din ramura Rj se numeste coeficient tehnologic, pe care ıl notam cu aij(t, h)
si este dat prin:
aij(t, h) =xij(t, h)
xj(t, h)(1.12)
Daca procesul de productie se desfasoara ın mod ritmic, atunci este natural sa pre-
supunem ca pentru intervalul [t, t + h] dat, productia xi(t, h) a ramurii Ri este direct
proportionala cu lungimea h a acestui interval.
Notand cu xi(t) , i = 1, n factorul de proportionalitate , vom avea
xi(t, h) = xi(t)h(1.13)
unde
xi(t) =xi(t, h)
h(1.14)
adica xi(t) reprezinta productia ramurii Ri ın unitatea de timp ın intervalul [t, t + h].
In mod analog, daca notam cu xij(t) factorul de proportionalitate corespunzator can-
titatii xij(t, h), avem
xij(t, h) = xij(t)h(1.15)
Din relatia (1.12) avem
aij(t, h) =xij(t, h)
xj(t, h)=
xij(t)h
xj(t)h=
xij(t)
xj(t)notam
= aij(t) .(1.16)
Din relatia (1.16) se observa ca aij, coeficientul tehnologic, reprezinta cantitatea din
productia ramurii Ri folosita pentru producerea unei unitati de productie din ramura Rj
ıntr-o unitate de timp.
In mod corespunzator, pentru intervalul [t + h, t + 2h], notam productia ramurii Ri
cu xi(t + h, h). Atunci sporul (crestera) productiei ramurii Ri corespunzator celor doua
intervale de timp va fi dat de:
∆xi(t, h) = xi(t + h, h)− xi(t, h) , i = 1, n(1.17)
22
Analog cu relatia (1.13) putem scrie
xi(t + h, h) = xi(t + h)h , i = 1, n(1.18)
unde xi(t+h) este productia ramurii Ri, ıntr-o unitate de timp, din intervalul [t+h, t+2h].
Fie yij(t + h, h) partea din productia ramurii Ri, din perioada [t, t + h], care va fi
folosita ca investitie, ın ramura Rj ın perioada [t + h, t + 2h], investitie ce va conduce la
un spor mediu∆xj(t, h)
hın unitatea de timp din perioada [t + h, t + 2h]. Atunci
bij(t + h, h) =yij(t + h, h)
∆xj(t, h)
h
(1.19)
este cantitatea din productia ramurii Ri din perioada [t, t + h] folosita ın ramura Rj ın
perioada [t + h, t + 2h], care va aduce un spor de productie unitar, ın ramura Rj, ın
unitatea de timp din perioada [t + h, t + 2h] si se numeste coeficient de investitie.
Prin analogie cu relatiile (1.13) , (1.15) si (1.18) putem scrie
yij(t + h, h) = yij(t + h)h ,(1.20)
unde yij(t + h) este partea din productia ramurii Ri din perioada [t, t + h] ce va fi folosita
ca investitie pe unitatea de timp ın ramura Rj pentru a se obtine sporul∆xj(t, h)
h, ın
unitatea de timp din perioada [t + h, t + 2h].
Din relatiile (1.13), (1.18), (1.17), (1.19) si (1.20) se obtine
bij(t + h, h) =yij(t + h, h)
∆xj(t, h)
h
=(1.21)
yij(t + h)h
[xj(t + h)− xj(t)] h
h
=yij(t + h)
xj(t + h)− xj(t)
h
notam= bij(t + h)
Din relatia (1.21) se observa ca bij(t+h, h) este un coeficient de investitie unitar, adica
se refera la unitatea de timp din perioada [t + h, t + 2h].
Fie yi(t, h), partea din productia ramurii Ri, din perioada [t, t+h] destinata consumului
(neproductiv), care se mai poate scrie astfel:
yi(t, h) = yi(t)h(1.22)
unde yi(t) este partea din productia ramurii Ri destinata consumului ın unitatea de timp
din perioada [t, t + h].
Sistemul ecuatiilor de repartizare a productiilor ramurilor Ri din perioada [t, t + h] se
poate scrie
xi(t, h) =n∑
j=1
xij(t, h) +n∑
j=1
yij(t + h, h) + yi(t, h) , i = 1, n(1.23)
23
Avand ın vedere coeficientii tehnologici si coeficientii de investitie dati de formulele
(1.12) si (1.19) , sistemul (1.23) se poate scrie astfel:
xi(t, h) =n∑
j=1
aij(t, h) · xj(t, h) +n∑
j=1
bij(t + h, h)∆xj(t, h)
h+ yi(t, h) , i = 1, n .(1.24)
Folosind relatiilor (1.13), (1.16), (1.17), (1.18), (1.21) si (1.22) obtinem din (1.24)
urmatorul sistem
xi(t)h =n∑
j=1
aij(t)xj(t) · h +n∑
j=1
bij(t + h) [xj(t + h)− xj(t)] + yi(t) · h , i = 1, n(1.25)
sau
xi(t) =n∑
j=1
aij(t)xj(t) +n∑
j=1
bij(t + h)xj(t + h)− xj(t)
h+ yi(t) , i = 1, n .(1.26)
Presupunem ca functiile aij, bij sunt continue, iar functiile xi sunt derivabile si trecem
la limita pentru h → 0, ın egalitatea (1.26). Vom obtine:
xi(t) =n∑
j=1
aij(t)xj(t) +n∑
j=1
bij(t)x′j(t) + yi(t) , i = 1, n .(1.27)
Astfel am obtinut un sistem de ecuatii diferentiale, care a rezultat din sistemul de
ecuatii de repartizare a productiilor. Sistemul de ecuatii diferentiale (1.27) se mai poate
scrie matriceal sub forma
X(t) = A(t)X(t) + B(t)X ′(t) + Y (t)(1.28)
Relatia (1.28) se mai poate scrie
B(t)X ′(t) = [E − A(t)] X(t)− Y (t) ,
adica
X ′(t) = B−1(t) [E − A(t)] X(t)−B−1(t)Y (t) ,
unde E este matricea unitate, iar B−1 este inversa matricei B.
Deci vom obtine sistemul
X ′(t) = A1(t)X(t) + f(t)(1.29)
unde A1(t) = B−1(t) [E − A(t)] si f(t) = −B−1(t)Y (t).
Relatia (1.29) reprezinta modelul dinamic continuu de crestere economica.
Observatia 1.3.1 Daca matricea tehnologica A si matricea coeficientilor de investitie B
sunt constante, pe o anumita perioada de timp, atunci sistemul de ecuatii diferentiale este
cu coeficienti constanti, ın caz contrar avem un sistem cu coeficienti variabili.
24
1.4 Teoria stocurilor ın sens determinist
Definitia 1.4.1 Se numeste stoc o rezerva de bunuri economice creata ın vederea folosirii
sale ın procesul de productie sau ın vederea vanzarii sale ulterioare .
Exemple: stocuri de materii prime , materiale, piese de schimb, produse finite, echipa-
mente, marfuri, etc.
Vom arata cum se construieste un model matematic pentru gestiunea unui stoc,
folosind concepte de analiza matematica.
Crearea si pastrarea stocului presupune o serie de cheltuieli. Se va urmari realizarea
unei asemenea gestiuni a stocului ıncat cheltuielile totale(medii) sa fie minime.
Tipuri de cheltuieli:
1) cheltuieli de lansare (ın vederea constituirii stocului) care se evidentiaza prin
cl =costul de lansare a comenzii;
2) cheltuieli de stocare (se refera la depozitarea, supravegherea, ıntretinerea stocu-
lui, etc.). Acestea se calculeaza pe baza costului unitar de stocare (cs) (costul de
stocare a unei unitati de bun material pe unitate de timp).
Nivelul stocului variaza ın timp datorita intrarilor si iesirilor de bunuri materiale. Din
acest punct de vedere modelele de stoc se vor clasifica astfel:
a) determinist= cand intrarile si iesirile, pe o perioada fixa, pot fi cunoscute cu
exactitate;
b) probabilistic (aleator)=cand intrarile si iesirile sunt cunoscute numai ın probabil-
itate .
Notatii:
τ =perioada de studiu la care se refera problema ın cauza;
T (sau T1, T2, . . .)= perioada (intervalul) de timp dintre doua intari succesive ın stoc,
dintre doua aprovizionari;
Ni=nivelul initial al stocului;
Nf=nivelul final al stocului;
N(t)=nivelul stocului la momentul t.
Evolutia stocului ın timpul unei perioade T se reprezinta sub forma graficului unei
functii ın scara, descrescatoare (fig.1). Deoarece calculul cu functii ın scara, este mai
dificil, pentru simplificare consideram ca descresterea este uniforma, deci se desfasoara ın
mod continuu (fig.2).
25
6
N(t)
-t0
Ni
Nf
¾ -T
fig. 1
6
N(t)
0-
t0
Ni
Nf
¾ -T
fig. 2
HHHHHHHHHHH
Optimizarea proceselor de stocare deterministe1. Modelul cu perioada fixa si cerere constanta, fara ruptura
Este cel mai simplu model:
–intervalul de timp dintre doua aprovizionari este fix (T );
–cantitatea care se cere pe o astfel de perioada este constanta;
–livrarea se face exact ın momentul cand nivelul stocului a ajuns la 0;
–cantitatea cu care se aprovizioneaza stocul (v)=cantitatea ceruta (u) . Deci nivelul
stocului la inceputul fiecarei perioade de aprovizionare este acelasi.
6
N(t)
-t0
@@
@@@
@@
@@@
@@
@@@
¾ -T ¾ -T ¾ -T¾ -τ
?
6
u=v
fig. 3
Elementele care, de obicei, se cunosc:
V =cantitatea totala ce se cere ın perioada de studiu τ ;
cs=costul unitar de stocare;
cl=cheltuielile de lansare ale comenzii;
Elementele ce vor trebui determinate:
v = u cantitatea cu care se face aprovizionarea;
n= numarul de aprovizionari;
26
T=durata perioadei de aprovizionare;
fmin=valoarea minima a cheltuielilor totale legate de gestiune;
Observatie:
n =τ
T=
V
v(1.30)
Din relatia (1.30) rezulta ca numarul necunoscutelor se reduce la unu. De obicei v
este necunoscuta independenta.
Vom evalua, mai ıntai, cheltuielile ce se fac ınt-o perioada T de aprovizionare (cT ):
–cheltuielile de lansare cl;
–cheltuielile de stocare cs · v2·T (se exprima avand ın vedere nivelul mediu al stocului,
adicav
2=
v + 0
2si prin costul cs unitar de stocare)
Deci: cT = cl + cs · v
2· T
Notam cu cτ cheltuielile pe perioada de studiu . Avand n perioade de aprovizionare
rezulta ca:
cτ = n · cl + n · cs · v
2· T
Dar din relatia (1.30) avem n =V
v, nT = τ . Atunci
cτ = cl · V
v+ cs · v
2· τ
In cτ singura necunoscuta este v. Notand cu f(v) valoarea cheltuielilor totale cτ ,
rezulta ca
f(v) = cl · V
v+ cs · v
2· τ
Se cere valoarea minima a lui f . In continuare vom determina punctele de extrem pentru
functia f .
f ′(v) = −cl · V
v2+ cs · τ
2
Din ecuatia f ′(v) = 0 vom obtine v = ±√
2 · cl · vτ · cs
.
Deci vom avea:
vopt =
√2 · cl · V
τ · cs
;
nopt =V
vopt;
Topt =τ
nopt;
fmin = f
(√2 · cl · vτ · cs
)= cl · V ·
√τ · cs
2 · cl · v +cs · τ
2
√2 · cl · vτ · cs
=
2 · cl · V · τ · cs + cs · τ · 2 · cl · V2√
2 · τ · cs · cl · V=
2 · cl · V · τ · cs
2√
2 · τ · cs · cl · V= cs · τ · vopt .
(1.31)
27
2. Modelul cu perioada fixa si cerere constanta, cu ruptura
Avem aceleasi caracteristici ca si ın cazul modelului anterior, dar acum cererea u ın
perioada de aprovizionare este mai mare decat cantitatea v cu care se face aprovizionarea.
Deci exista o subperioada, de durata T2, ın care nivelul stocului este 0, existenta stocului
fiind asigurata doar ın prima subperioada T1, a perioadei de aprovizionare T .
6
N(t)
-
t0
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@¾ -T1 ¾ -T1 ¾ -T1¾ -T2 ¾ -T2 ¾ -T2
¾ -T ¾ -T ¾ -T¾ -τ
?
6
v
?
6
u
fig. 4
Pe subperioada T1 stocul este pozitiv cu nivelul mediuv
2. Pe subperioada T2 stocul
este nul, lipsa lui medie esteu− v
2. In subperioada T2 apar cheltuielile de penalizare,
care se calculeaza cu ajutorul costului unitar de penalizare (cp), adica este vorba de
cat se plateste (pierde) din cauza lipsei unei unitati din stoc ınt-o unitate de timp.
In perioada de aprovizionare T se fac urmatoarele cheltuieli:
–de lansare: cl
–de stocare pe subperioada T1: cs · v
2· T1
–de penalizare pe subperioada T2: cp · u− v
2· T2
Deci
cT = cl + cs · v
2· T1 + cp · u− v
2· T2
cτ = n · cT
cτ = n ·(
cl + cs · v
2· T1 + cp · u− v
2· T2
).
Avem relatia
n =τ
T=
V
u(1.32)
Din asemanarea unor triunghiuri dreptunghice obtinem
T
T2
=u
u− vT
T1
=u
v
(1.33)
28
Din relatile (1.32) si (1.33) avem:
T =u · τV
, T2 = T · u− v
u=
τ
V· (u− v) , T1 = T · v
u=
u · τV
· v
u= τ · v
V
Deci cτ =V
u
(cl + cs · v2
2V· τ + cp · (u− v)2
2V· τ
)= cl · V
u+ cs · v2
2u· τ + cp · (u− v)2
2u· τ
Necunoscutele sunt v si u . Vom determina valoarea minima a functiei :
f(u, v) = cl · V
u+ cs · v2
2u· τ + cp · (u− v)2
2u· τ
Derivatele partiale ale funtiei f sunt:
f ′u(u, v) = −clV
u2− cs
v2
2u2τ + cp
2(u− v)u− (u− v)2
2u2τ
f ′v(u, v) = csv
uτ − cp
u− v
uτ
Sistemul
{f ′u(u, v) = 0
f ′v(u, v) = 0se poate scrie:
cpτu2 − v2τ(cs + cp) = 2clVv
u=
cp
cs + cp
Obtinem:
v =cp
cs + cp
u , u2 =2clV
τcs
· cs + cp
cp
Notand ρ =cp
cs + cp
vom putea scrie:
uopt =
√2clV
τcsρ, vopt = ρ · uopt(1.34)
Celelalte elemente ce caracterizeaza gestiunea optimala sunt:
nopt =V
uopt
Topt =τ
nopt
fmin = f
(√2clV
τcsρ, ρ
√2clV
τcsρ
)= cs · vopt · τ
Observatie: calculand derivatele partiale de ordinul doi , se demonstreaza ca punctul
stationar (uopt, vopt) este punct de minim pentru functia f .
Problema 1.4.1 La un magazin sunt solicitate ıntr-un semestru 10 000 unitati dintr-un
anumit produs. Cunoscand costul unitar de stocare de 5u.m./unitate/zi si cheltuielile de
lansare ale comenzii de 11 250 u.m., sa se determine elementele ce caracterizeaza aceasta
problema de gestiune, exprimand ın prealabil functia f ce reprezinta cheltuielile totale de
gestiune pe acel semestru.
29
Solutie. Avem o problema de stoc cu perioada fixa, cerere constanta, fara ruptura.
V =10 000 unitati
cs=5 u.m./unitate/zi
cl=11 250 u.m.
τ=1 semestru=180 zile
Aplicand formulele (1.31) obtinem:
vopt =
√2 · cl · V
τ · cs
=
√2 · 11 250 · 10 000
180 · 5 = 500 unitati ;
nopt =V
vopt=
10 000
500= 20 ori ;
Topt =τ
nopt=
180
20= 9 zile ;
fmin = cs · τ · vopt = 5 · 180 · 500 = 450 000 u.m. .
Problema 1.4.2 Int-un an, dint-un anumit produs sunt cerute 900 bucati. Cunoscand
costul unitar de stocare de 10 u.m./bucata/zi si cheltuielile de lansare ale comenzii, fixe, de
800 u.m., sa se determine: nivelul optim de aprovizionare, numarul optim de aprovizionari
din acel an, durata optima a perioadei de aprovizionare si valoarea minima a cheltuielilor
totale legate de gestiune, ın acel an.
Solutie. Avem o problema de stoc cu perioada fixa, cerere constanta, fara ruptura.
V =900 bucati
cs=10 u.m./bucata/zi
cl=800 u.m.
τ=1 an=360 zile
Aplicand formulele (1.31) obtinem:
vopt =
√2 · cl · V
τ · cs
=
√2 · 800 · 900
360 · 10= 20 bucati ;
nopt =V
vopt=
900
20= 45 ori ;
Topt =τ
nopt=
360
45= 8 zile ;
fmin = cs · τ · vopt = 10 · 360 · 20 = 72 000 u.m. .
Problema 1.4.3 Intr-un an, la un atelier de reparatii, se consuma 100 000 piese de
schimb. Costul unitar de stocare este de 0,9 u.m./bucata/zi, costul unitar de penalizare
este de 1,6 u.m./bucata/zi, iar cheltuielile de lansare ale comenzii, fixe, sunt de 40 500
u.m. Sa se determine elementele ce caracterizeaza aceasta problema de stoc cu ruptura,
utilizand functia cheltuielilor totale f(u, v).
Solutie. Problema are un model de gestiune cu perioada fixa, cerere constanta, dar cu
ruptura.
30
V =100 000 bucati
cs=0,9 u.m./bucata/zi
cp=1,6 u.m./bucata/zi
cl=40 500 u.m.
τ=1 an=360 zile
Aplicand formulele (1.34) obtinem:
ρ =cp
cs + cp
=1, 6
2, 5= 0, 64
uopt =
√2clV
τcsρ=
√2 · 40 500 · 100 000
360 · 0, 9 · 0, 64= 6 250 bucati
vopt = ρ · uopt = 0, 64 · 6 250 = 4 000 bucati
nopt =V
uopt=
100 000
6 250= 16 ori
Topt =τ
nopt=
360
16= 22, 5 zile
fmin = cs · vopt · τ = 0, 9 · 4 000 · 360 = 1 296 000 u.m.
31
Capitolul 2
Matematici financiare
2.1 Dobanda simpla si compusa
Definitia 2.1.1 Dobanda este o suma exprimata ın diverse unitati monetare platita de
catre debitor creditorului pentru folosirea capitalului ımprumutat (depus).
Definitia 2.1.2 Dobanda calculata o singura data pe toata durata de fructificare se numeste
dobanda simpla.
Notam prin
S0 = suma depusa (suma initiala),
t = numarul de ani (termenul),
p = procentul anual (dobanda ce se cuvine pentru 100 unitati monetare)
i =p
100= dobanda unitara anuala.
Cu aceste notatii deducem dobanda anuala este i · S0 , de unde obtinem ca dobanda la
termen este i · S0 · t. Notand prin St suma rezultata dupa t ani avem
St = S0 + iS0t = S0(1 + it) .
Observatii:
1. S0, S1 = S0 + iS0, S2 = S1 + iS0 = S0 + 2iS0, S3 = S2 + iS0 = S0 + 3iS0, . . . formeaza
o progresie aritmetica cu primul termen S0 si ratia iS0;
2. u = 1 + i se numeste factor de fructificare (se obtine din S0 = 1 si t = 1 notand
S1 = u);
3. v =1
u=
1
1 + ise numeste factor de actualizare (se obtine din S1 = 1 si t = 1
notand S0 = v).
4. Notam cu DS dobanda ın regim de dobanda simpla (DS).
Problema 2.1.1 Sa se calculeze dobanda (simpla) la termen si suma finala produsa de
suma de 5300 u.m. cu procentul anual de 4% timp de 2 ani.
32
Solutie. Dobanda la termenul t este i · S0 · t si suma finala este St = S0(1 + it) , unde
t = 2, S0 = 5300, i =4
100, adica dobanda va fi DS =
4
100· 5300 · 2 = 424 u.m. si suma
finala va fi Sfinala = S2 = 5300
(1 +
4
100· 2
)= 5724 u.m .
Observatia 2.1.1 Daca anul este ımpartit ın n perioade (parti) atunci ın formulele an-
terioare vom aveatnn
ın loc de t, unde prin tn se ıntelege timpul exprimat ın partile
(perioadele) considerate. De exemplu: n = 2 (semestrial), n = 4 (trimestrial), n = 12
(lunar), n = 360 (zilnic). Astfel se deduc formulele:
Dobanda la termenul tn este DS =i · S0 · tn
n=
p · S0 · tnn · 100
;
Suma finala este Stn = S0
(1 +
i · tnn
)= S0
(1 +
p · tnn · 100
).
Problema 2.1.2 De ce suma dispunem peste 270 zile daca depunem suma de 5300 u.m
cu procentul de 3% ?
Solutie. Folosim Stn = S0
(1 +
p · tnn · 100
)cu S0 = 5000, p = 3, tn = 270 si n = 360.
Astfel S270 = 5000
(1 +
3 · 270
360 · 100
)= 5112, 50 u.m .
Problema 2.1.3 Ce suma ın u.m. trebuie depusa cu procentul de 3% pentru ca peste
300 zile sa putem ridica 10000 u.m. ?
Solutie. Folosim Stn = S0
(1 +
p · tnn · 100
)cu Stn = 10000, p = 3, tn = 300 si n = 360.
Astfel 10000 = S300 = S0
(1 +
3 · 300
360 · 100
)⇒ S0 = 9756, 10 u.m. .
Observatia 2.1.2 Dobanzile i si in se numesc dobanzi unitare echivalente daca ele
produc aceeasi dobanda DS pentru aceeasi suma S0 pe aceeasi perioada de timp t, masurata
ın ani, respectiv tn, masurata ın fractiuni de ani. Analog se defineste si echivalenta
procentelor.
Problema 2.1.4 Sa se calculeze procentul trimestrial echivalent cu procentul anual de
p = 36%.
Solutie. Din i =36
100= 0, 36 si n = 4 obtinem i4 =
i
4=
0, 36
4= 0, 09. Astfel procentul
trimestrial p4 = 9% este echivalent cu procentul anual p = 36%.
Fie sumele S1, S2 , · · · , Si plasate cu acelasi procent p(adica i =
p
100
)pe duratele
t1 , t2 , · · · , ti si o suma S∗, plasata tot cu procentul p. Dorim sa determinam durata t ın
care suma S∗ produce o dobanda egala cu dobanda totala produsa de sumele S1, S2 , · · · ,
Si.
33
Avem t =S1t1 + S2t2 + · · ·+ Siti
S∗.
Daca S∗ 6=i∑
j=1
Sj , atunci t se numeste scadenta comuna, iar daca S∗ =i∑
j=1
Sj
atunci t se numeste scadenta medie.
Problema 2.1.5 Sa se determine scadenta unei sume de 20000 u.m. care produce o
dobanda egal cu suma dobanzilor produse de 4700 u.m. pe timp de 61 zile, 900 u.m pe
timp de 69 zile, 3900 u.m pe timp de 86 zile, 5300 u.m. pe timp de 89 zile si 8500 u.m.
pe timp de 107 zile.
Solutie. Deoarece 4700+900+3900+5300+8500 = 23300 6= 20000 deducem ca suntem
ın cazul unei scadenta comune si anume:
t =4700 · 61 + 900 · 69 + 3900 · 86 + 5300 · 89 + 8500 · 107
20000= 63 (zile) .
Fie sumele S1, S2 , · · · , Si depuse spre fructificare pe perioadele t1 , t2 , · · · , ti cu
procentele anuale p1, p2, · · · , pi. Procentul mediu de plasament, adica procentul
care se aplica sumelor S1, S2 , · · · , Si pe perioadele t1 , t2 , · · · , ti este
p =S1 · p1 · t1 + S2 · p2 · t2 + · · ·+ Si · pi · ti
S1 · t1 + S2 · t2 + · · ·+ Si · ti .
Problema 2.1.6 Sa se determine procentul mediu de plasament al sumelor 1000 u.m.
cu 4% pe timp de 2 ani, 2000 u.m cu 5% pe timp de 5 ani si 8000 u.m cu 2% pe timp de
1 an.
Solutie. Avem
p =1000 · 4 · 2 + 2000 · 5 · 5 + 8000 · 2 · 1
1000 · 2 + 2000 · 5 + 8000 · 1 = 3, 7 (%) .
Definitia 2.1.3 Dobanda compusa este acea dobanda care se calculeaza la sfasitul
fiecarei perioade, urmand ca ın perioada urmatoare sa produca dobanda si la dobanda
produsa ın perioada anterioara.
Observatia 2.1.3 Operatia de dobanda compusa trebuie considerata ıntotdeauna cand
perioada de timp pe care este depusa suma depaseste perioada de timp la care se refera
procentul.
In continuare vom nota prin:
S0=suma initiala,
t=numarul de ani (termenul),
34
p=procentul anual,
i =p
100=dobanda unitara,
St=suma acumulata la momentul t.
• Daca adaugarea se face anual atunci:
- dupa primul an avem suma S1 = S0 + i · S0 = S0(1 + i)
- dupa doi ani avem suma S2 = S1 + i · S1 = S1(1 + i) = S0(1 + i)(1 + i) = S0(1 + i)2
· · ·- dupa t ani avem suma St = S0(1 + i)t
Notam cu DC dobanda ın regim de dobanda compusa (DC). Din St = S0 + DC deducem
pentru dobanda compusa formula DC = S0 [(1 + i)t − 1] .
• Daca adaugarea se face de n ori pe an atunci:
- dupa primul interval (din cele n) avem suma S1,1 = S0 +i
n· S0 = S0
(1 +
i
n
)
- dupa al doilea interval (din cele n) avem suma S2,1 = S1,1 +i
n· S1,1 = S1,1
(1 +
i
n
)=
= S0
(1 +
i
n
)·(
1 +i
n
)= S0
(1 +
i
n
)2
· · ·- la sfarsitul primului an avem suma Sn,1 = S0
(1 +
i
n
)n
= S0
(1 +
i
n
)1·n
- dupa primul interval din al doilea an avem suma S1,2 = Sn,1 +i
n· Sn,1 = Sn,1
(1 +
i
n
)
= S0
(1 +
i
n
)n
·(
1 +i
n
)= S0
(1 +
i
n
)n+1
- dupa al doilea interval din al doilea an avem suma S2,2 =S1,2+i
n· S1,2 =S1,2
(1 +
i
n
)
= S0
(1 +
i
n
)n+1
·(
1 +i
n
)= S0
(1 +
i
n
)n+2
· · ·- la sfarsitul celui de al doilea an avem suma Sn,2 = S0
(1 +
i
n
)n+n
= S0
(1 +
i
n
)2·n
· · ·- dupa t ani avem suma Sn,t = S0
(1 +
i
n
)t·n.
Observatii.
1. Ca si ın cazul operatiei de dobanda simpla notam prin ”u=1+i” factorul de fructificare
si prin ”v =1
u” factorul de actualizare;
2. Sirul S0 = S , S1 , S2 , · · · , St este o progresie geometrica cu primul termen S si ratia
(1 + i).
Problema 2.1.7 Ce suma va ridica o persoana peste 6 ani cu procentul anual (ın sensul
dobanzii compuse) de 3% daca depune initial 5500 u.m.?
Solutie. Folosim formula dedusa anterior St = S0 (1 + i)t cu t = 6, S0 = 5500, i =3
100,
35
adica S6 = 5500
(1 +
3
100
)6
= 6567, 29 u.m..
Observatia 2.1.4 Notiunea de dobanzi unitare echivalente se pastreaza si pentru
cazul dobanzii compuse si anume, dobanzile unitare i si in se numesc echivalente daca
pentru aceeasi suma initiala, pe acelasi interval de timp, conduc la aceeasi dobanda com-
pusa.
2.2 Plasamante cu dobanda
Sa presupunem ca o suma S0 este plasata, cu dobanda, pe durata t si cu procentul anual
p = 100i. Notam:
DS=dobanda ın regim de dobanda simpla (DS);
DC=dobanda ın regim de dobanda compusa (DC);
In acest caz dobanda este:
D(S0, t, i) =
{DS = S0 · i · t , ın regim DS
DC = S0 ((1 + i)t − 1) , ın regim DC
Definitia 2.2.1 Doua operatiuni de plasare a unei sume S0 pe o durata de timp t ın
regim de dobanda (DS cu un procent anual p = 100i, sau ın regim DC cu un procent
anual q = 100j), se numesc echivalente prin dobanda daca si numai daca ele conduc
la aceeasi dobanda.
Problema 2.2.1 Suma S0 = 10 000 u.m. se plaseaza timp de 4 ani si conduce la o
dobanda D = 4 641 u.m. Precizati cu ce procent s-a facut plasamentul.
Solutie. Daca plasamentul s-a facut ın regim de DS atunci
4 641 = 10 000 · i · 4 ⇒ i = 0, 116025 ⇒ p = 11, 6025%
Daca plasamentul s-a facut ın regim de DC, atunci:
4 641 = 10 000[(1 + j)4 − 1
] ⇒ 14 641 = 10 000(1 + j)4 ⇒ j = 0, 1 ⇒ q = 10%
Problema 2.2.2 O suma S0 este plasata cu procentul anual de 10% ın regim DC pe timp
de 2 ani. Cu ce procent ar trebui plasata ın regim DS pentru a realiza aceeasi dobanda ?
Solutie. DS = DC ⇒ S0 [(1 + 0, 1)2 − 1] = S0 · i · 2 ⇒ i = 0, 105 sau p = 10, 5%.
Intre operatiunile de plasament exista unele al caror scop este de a cointeresa depune-
rile ın banci pe un termen minim dat.
Fie S0 o suma plasata pe durata t cu un procent anual p(t) astfel ca :
p(t) =
{p1(t) daca t ∈ [0, t1]
p2(t) daca t > t1
36
unde p1(t) si p2(t) sunt constante sau nu pe durata corespunzatoare, iar
0 ≤ p1(t) < p2(t)
t1 = durata minima obligatorie;
De obicei p1(t) = 0, (∀) t ∈ [0, T ] , 0 < T < t1,
adica nu se acorda nici o dobanda pentru suma plasata ın conditiile unei durate inferioare
duratei minime obligatorii de plasament.
Pentru un anumit procent anual variabil p(t) = 100i(t),
i(t) =
{i1(t) pentru t ∈ [0, t1]
i2(t) pentru t > t1
suma finala ın regim DS este:
S(S0, p, t) = S0 · (1 + i · t) =
{S0(1 + i1 · t) pentru t ∈ [0, t1]
S0(1 + i2 · t) pentru t > t1
iar ın cazul unui plasament ın regim DC
S(S0, p, t) = S0 · (1 + i)t =
{S0(1 + i1)
t pentru t ∈ [0, t1]
S0(1 + i2)t pentru t > t1
Negocierea dintre parteneri ınseamna stabilirea procentelor p1(t) si p2(t) si a pragului
minim t1.
Problema 2.2.3 O persoana subscrie la un bon de capitalizare cu dobanda minima garan-
tata de 8%. Valoarea bonului este de 100 000 u.m., durata minima este de 7 ani. Se pre-
supune ca este respectata clauza duratei minime si ca procentul modificat de functionare
anuala este:
–12% ın primii 3 ani;
–13% ın urmatorii doi ani;
–14% ın ultimii doi ani.
Se cere sa se determine valoarea de rambursare a bonului:
a) ınainte de termenul minim cu doi ani;
b) la termenul minim prevazut.
Solutie. In regim de dobanda compusa avem:
a) S5 = 100 000 · (1 + 0, 8)5 = 100 000(1, 08)5 = 146 932, 80 u.m.
b)S7 = 100 000(1 + 0, 12)3 · (1 + 0, 13)2 · (1 + 0, 14)2 = 100 000(1, 12)3 · (1, 13)2 · (1, 14)2 =
233 142, 06 u.m
Sa presupunem ca P1 plaseaza lui P2 suma S0 sub forma de ımprumut. Evident ca ın
general P1 ar dori o dobanda mai mare, iar P2 o dobanda mai mica. Daca p1 = 100i1 si
37
p2 = 100i2 sunt cele doua procente corespunzatoare intentiilor celor doi parteneri, atunci
avem urmatoarele inegalitati:{
S0 · i1 · t ≥ S0 · i2 · t , ın regim de DS
S0(1 + i1)t ≥ S0(1 + i2)
t , ın regim de DC
Definitia 2.2.2 Daca exista un procent anual de plasament p0 astfel ıncat
minp1
S(S0, p1, t) = S(S0, p0, t) = maxp2
S(S0, p2, t)
atunci plasamantul sumei (sau a capitalului) S0 pe durata t se numeste negociat sau
reciproc avantajos (pentru cei doi parteneri).
2.3 Plasamente si inflatie
Sa presupunem ca din diverse motive economice, sociale sau politice, interne sau externe,
sau de alta natura , moneda considerata se devalorizeaza anual cu un coeficient anual
unitar a.
Definitia 2.3.1 Numarul a este rata anuala a inflatiei, iar 100a se numeste procent
anual mediu de devalorizare sau de inflatie.
O unitate monetara devine (↪→), dupa o plasare pe un an, cu procentul anual de
inflatie 100a, respectiv:
1u.m. ↪→
1 + i , fara inflatie1 + i
1 + a, cu inflatie
Propozitia 2.3.1 1. Daca rata anuala a inflatiei a este mai mica decat rata anuala a
dobanzii, deci daca a < i, atunci exista un castig oarecare prin plasare.
2. Daca a = i, atunci castigul prin plasarea unei unitati monetare este nul.
3. Daca rata anuala a inflatiei este mai mare decat rata anuala a dobanzii (a > i), atunci
se efectueaza un plasament ın pierdere.
Definitia 2.3.2 Inflatia controlata reprezinta utilizarea ratei anuale de inflatie a cu
scopul ca fenomenul de depreciere sau pierdere de valoare a monedei sa nu aiba loc.
In cazul unui regim DC, valoarea finala S(S0, p, t) devine
S(S0, p, t) ↪→
S0(1 + i)t , fara inflatie
S0
(1 + i
1 + a
)t
, cu inflatie
38
Sa presupunem ca suntem ın conditiile unei inflatii controlate. In acest caz, pentru
compensarea inflatiei de rata anuala a, o unitate monetara, plasata pe timp de un an cu
un anumit procent anual p = 100i devine prin revalorizare
1u.m. ↪→ (1 + i) · (1 + a)
si ca urmare valoarea finala a unui plasament pe durata t a unei sume S0 cu procentul
anual considerat este, dupa un an, prin revalorizare:
S0 ↪→ S(S0, i, a, t) = S0(1 + i)t(1 + a)t(2.1)
Definitia 2.3.3 Coeficientul1
1 + ase numeste factor de depreciere sau devalorizare,
iar numarul 1 + a este factor anual de compensare sau de ”anulare a deprecierii”
sau factor anual de revalorizare.
Din (2.1) obtinem S = S0 [(1 + i)(1 + a)]t = S0 [1 + a + i + ia]t = S0 [1 + i + (1 + i)a]t .
Notand j = i + (1 + i)a avem S = S0(1 + j)t .
Se utilizeaza terminologia:
j = dobanda anuala unitara aparenta
q = 100j = procent anual aparent de plasament
i = dobanda anuala unitara reala
p = 100i = procent anual real de plasament
a = inflatie anuala unitara
100a = procent anual al inflatiei
Problema 2.3.1 Se plaseaza suma S0 = 1 000 000 u.m. ın regim de DC, timp de 5 ani,
cu procentul anual de 10%. Se cere sa se determine suma finala a plasamentului daca:
a) nu exista inflatie sau este neglijabila;
b) exista o inflatie anuala de 4% neluata ın seama;
c) exista o inflatie anuala de 4% si se compenseaza integral.
In situatia de inflatie, precizati valoarea reala a operatiunii si valoarea aparenta a operatiunii.
Solutie.
a) S(S0, i, t) = 1 000 000 · (1, 1)5 = 1 610 510u.m.
b) S(S0, i, t) = 1 000 000 ·(
1 + 0, 1
1 + 0, 04
)5
= 1 000 000 ·(
1, 1
1, 04
)5
= 1 323 721, 60u.m
c)S(S0, i, t) = 1 000 000(1+0, 1)5 · (1+0, 04)5 = 1 000 000(1, 1)5 · (1, 04)5 = 1 959 431, 5u.m
Definitia 2.3.4 Daca a = a(t) si a′(t) > 0 atunci spunem ca are loc o inflatie crescatoare.
Daca ın plus raportula
ieste ”mare”, atunci se spune ca are loc o inflatie galopanta.
39
In afara de posibilitati de aparitie a inflatiei, adeseori se mai iau ın considerare si unele
evenimente imprevizibile care ar putea face ca anumite credite sa nu poata fi rambursate
niciodata. Amintim cu aceasta ocazie unele situatii de exceptie: razboaie, catastrofe
naturale, schimbari politice majore care anuleaza orice angajamente ale predecesorilor si
altele.
Cu scopul de a-si acoperi un astfel de risc este indicat ca creditorul sa mai includa ın
afara coeficientilor i si a ınca un coeficient b, caruia ıi va corespunde un procent anual de
risc catastrofic 100b astfel ca
1u.m. ↪→ (1 + i) · (1 + a) · (1 + b)
si ca urmare o suma S0 (plasata ın aceste conditii) devine dupa t ani ın regim DC
S0 ↪→ S(S0, i, a, b, t) = S0(1 + i)t · (1 + a)t · (1 + b)t
Avem (1 + i)t · (1 + a)t · (1 + b)t = [1 + i(1 + a + b + ab) + a + b + ab]t.
Definitia 2.3.5 Numarul k = i(1 + a + b + ab) + a + b + ab se numeste rata anuala a
dobanzii aparente, iar coeficientul 1 + k = (1 + i) · (1 + a) · (1 + b) este factorul anual
de fructificare aparenta.
Problema 2.3.2 Sa presupunem ca o banca acorda ımprumuturi cu un procent anual
real 10%. Daca intervine o inflatie anuala controlata de 2% si se estimeaza un risc anual
catastrofic de 5%, cu ce procent ar trebui acordate creditele?
Solutie. i = 0, 1 ; a = 0, 02 ; b = 0, 05;
k = 0, 1 · (1 + 0, 02 + 0, 05 + 0, 001) + 0, 02 + 0, 05 + 0, 001 = 0, 1781
adica procentul anual aparent trebuie sa fie de 17, 81% .
2.4 Operatiuni de scont
Definitia 2.4.1 Operatiunea de scont consta din cumpararea de catre o institutie ban-
cara a unor polite sau alte documente financiare ınainte de scadenta acestora, percepand
o anumita taxa pentru un astfel de serviciu facut detinatorilor acestor documente.
O astfel de operatiune este specifica, ın general, bancilor comerciale. Acestea cumpara
ınainte de scadenta politele respective de la detinatorii lor contra unei taxe, iar la scadenta
vor ıncasa de la creditorul politei valoarea integrala a acesteia.
Sa presupunem ca un partener de afaceri P1 primeste la un moment dat T0 o suma
de bani S0 sau beneficiaza de un serviciu ın valoare de S0 u.m. din partea partenerului
P2. Daca partenerul P1 este creditat de o banca B, el va emite catre acesta un document
40
financiar prin care banca va plati partenerului P2 la o data T , T > T0 suma S0 plus
dobanda aferenta calculata cu un procent anual p = 100i.
Notam cu K = K(S0, T, p) suma pe care o va primi P2 la scadenta. Sa presupunem
ınsa ca din diverse motive partenerul P2 doreste sa ıncaseze contravaloarea politei la
momentul T1 < T , deci ınainte de scadenta cu t = (T −T1) ani (sau alte unitati de timp),
adresandu-se ın acest scop unei banci comerciale.
Notam cu K1 = K1(S0, T1, p) valoarea finala a sumei S0 pe durata T1 evaluata cu pro-
centul anual p, iar cu Ka(K, t, T ) valoarea sau suma pe care banca comerciala o plateste
detinatorului politei la momentul T1.
Terminologia folosita:
– Suma S0 se numeste valoarea initiala a operatiunii. Se mai folosesc si termenii pret
de cumparare sau valoare de emisiune;
–Procentul anual p se numeste procent nominal de valoare sau procent de emisiune
al politei;
–Suma K1 se numeste valoarea finala de scontare sau curs al politei la data
scontarii acesteia;
–Suma K se numeste valoarea finala a operatiunii sau valoarea nominala la scadenta
a politei. Se mai foloseste si termenul de capital disponibil sau nominal la scadenta.
–Procentul anual q = 100j se numeste procentul de scont al politei;
–Suma Ka se numeste valoarea actuala a politei la momentul vanzarii acesteia sau val-
oarea scontata sau uneori se mai spune ca reprezinta capitalul scontat.
–Diferenta dintre capitalul nominal K si capitalul scontat Ka, adica
S = K −Ka(2.2)
se numeste taxa de scont sau pe scurt scont.
Asadar, la momentul T1 < T , detinatorul politei va primi din partea bancii comerciale
suma Ka (care ın general este mai mica decat valoarea finala K1 pe durata T1), iar banca
comerciala va incasa la scadenta suma sau valoarea nominala corespunzatoare K.
Se poate ıntampla ca banca scontatoare sa vanda si ea polita unei alte banci comerciale
sau bancii centrale ınainte de scadenta. Procedeul general de evaluare a politei ramane
acelasi, iar operatia se numeste rescontare.
Taxa de scont trebuie sa reprezinte dobanda pe perioada pana la scadenta core-
spunzatoare valorii scontate sau sumei pe care o primeste detinatorul politei, evaluata
cu un anumit procent de emisiune al politei.
Pentru a mari taxa de scont astfel conceputa, se mai adauga diferite comisioane, taxe
pe comisioane si alte taxe fixe sau variabile de la banca la banca si chiar de la emitent
la emitent de document financiar, sau de la detinator la detinator de polita. De obicei se
mai adauga chiar si cateva zile de banca pe langa durata pana la scadenta care conduc la
marirea taxei de scont. De regula toate comisioanele sunt cuprinse ın procentul cu care
41
se face operatiunea de scont.
Deci scontul este egal cu dobanda valorii scontate Ka pe durata t = T − T1 cu un
procent de scont q = 100j.
Definitia 2.4.2 Numarul j se numeste dobanda anuala unitara de scont sau, rata
anuala de scont.
Definitia 2.4.3 Daca dobanda aferenta a unui capital actual (sau scontat) Ka pentru a
obtine un capital nominal K este evaluata ca dobanda simpla, atunci spunem ca avem
o operatiune de scont simplu al carei rezultat se va nota SS.
Folosind formulele de calcul ale dobanzii simple putem scrie
SS = Ka · j · t =Ka · q · tm100 ·m
dupa cum durata operatiunii t se exprima ın ani sau ın fractiuni de an, iar procentul anual
unic de scont este q = 100 · j .
Daca operatiunea de scont nu se desfasoara cu procent unic pe toata durata t atunci,
presupunand ca
t =n∑
k=1
tk
si ca pe perioada tk se opereaza cu procentul anual de scont qk = 100jk, scontul simplu
corespunzator va fi:
SS = Ka ·n∑
k=1
jk · tk
Din formula (2.2) avem:
Ka · j · t = K −Ka , adica (1 + j · t) ·Ka = K
Deci capitalul scontat este
Ka =K
1 + jt(2.3)
si scontul simplu corespunzator este
SS = K −Ka = K − K
1 + jt=
K · j · t1 + jt
=K · q · t100 + qt
(2.4)
cu parametrul timp t exprimat ın ani.
In practica, produsul jt este ”mic” si se neglijeaza, ceea ce conduce la aproximarea
(1 + jt) ≈ 1 si deci la urmatoarea aproximare a scontului simplu
SS ≈ K · j · t =K · q · tm100 ·m(2.5)
42
Definitia 2.4.4 Numarul calculat conform lui (2.4) se numeste scont simplu rational
(notam SSR), iar (2.5) se numeste scont simplu comercial (notam SSC).
In concluzie:
SSR =K · j · t1 + j · t
SSC = K · j · tPentru o operatiune de scontare data avem inegalitatea
SSR < SSC
ceea ce ınseamna ca scontul simplu comercial convine bancii comerciale care cumpara
politele (sau documentele de plata) pe cand scontul simplu rational convine detinatorului
politei.
Capitalul scontat Ka este: Ka =
K
1 + jt, pentru SSR
K(1− jt) , pentru SSCProblema. La data de 01.03.2000 a fost cumparata o polita ın valoare de S0 = 12 000u.m,
scadenta 10 luni mai tarziu si evaluata cu procentul anual de 10%. Din motive diverse,
posesorul politei se prezinta la scontare cu trei luni ınainte de scadenta. In aceste conditii
se cer:
a) valoarea nominala a politei K la scadenta;
b) valoarea finala a politei la momentul scontarii K1;
c) valoarea scontata Ka a politei, aplicand pe rand ambele sconturi simple cu fiecare din
procentele anuale:
q1 = 8% , q2 = 10% si q3 = 12%
Solutie. a) K = S0(1 + iT ) = 12 000
(1 +
10
100· 10
12
)= 13 000 u.m.
b) K1 = S0(1 + iT1) = 12 000
(1 +
10
100· 7
12
)= 12 700 u.m.
c) Ka =
K
1 + jt, pentru SSR
K(1− jt) , pentru SSC– scontul simplu rational:
q1 = 8% ⇒ Ka =13 000
1 +8
100· 3
12
= 12 745, 098
q2 = 10% ⇒ Ka =13 000
1 +10
100· 3
12
= 12 682, 926
q3 = 12% ⇒ Ka =13 000
1 +12
100· 3
12
= 12 621, 359
43
– scontul simplu comercial:
q1 = 8% ⇒ Ka = 13 000
(1− 8
100· 3
12
)= 12 740
q2 = 10% ⇒ Ka = 13 000
(1− 10
100· 3
12
)= 12 675
q3 = 12% ⇒ Ka = 13 000
(1− 12
100· 3
12
)= 12 610
Definitia 2.4.5 Daca dobanda aferenta capitalului scontat Ka pentru a obtine capitalul
nominal K este evaluata ca dobanda compusa, atunci spunem ca avem o operatiune
de scont compus al carei rezultat se noteaza cu SC.
In regim de dobanda compusa avem:
K = Ka(1 + j)t ⇒ Ka =K
(1 + j)t
Din relatia (2.2) avem:
SC = K −Ka = K − K
(1 + j)t= K
[1− 1
(1 + j)t
](2.6)
Daca pe o durata t, unde t =n∑
k=1
tk se opereaza cu procentele anuale diferite
qk = 100jk , k = 1, n, atunci
SC = K
[1−
n∏
k=1
(1
(1 + jk)tk
)]
Daca dobanda unitara anuala j este ”mica”, sau daca produsul jt este ”mic”, atunci
(1 + j)t ≈ 1 + jt
si deci avem urmatoarea aproximare a scontului compus
SC ≈ K · j · t1 + jt
(2.7)
Definitia 2.4.6 Numarul (2.6) este un scont compus rational si se va nota cu SCR.
Valoarea data prin (2.7) se numeste scont compus comercial si o vom nota SCC.
In concluzie :
SCR = K
(1− 1
(1 + j)t
)(scont compus rational)
SCC =Kjt
1 + jt(scont compus comercial)
44
Folosind relatia (2.2) avem Ka = K − S, adica
Ka =
K
(1 + j)t, pentru SCR
K
1 + jt, pentru SCC
Problema 2.4.1 O polita are valoarea de emisiune S0 = 10 000 u.m. si este scadenta
peste 5 ani de la emisiune si evaluata cu procentul anual p = 8%. Daca scontarea acesteia
se face cu procentele q1 = 8% sau q2 = 10% cat va primi posesorul ei:
a)la scadenta?
b) cu doi ani mai devreme de scadenta?
c) cu o jumatate de an ınainte de scadenta?
Solutie. a) S0 = 10 000, T = 5 ani, i = 0.08
K = S0(1 + i)T = 10 000(1, 08)5 = 14 693, 28 u.m.
b) Pentru q1 = 8% si t = 2 se obtine capitalul scontat:
–pentru SSR sau SCC
Ka =K
1 + jt=
14 693, 28
1 + 0, 08 · 2 = 12 666, 62
–pentru SSC
Ka = K(1− jt) = 14 693, 28(1− 0, 08 · 2) = 12 342, 355
–pentru SCR
Ka =K
(1 + j)t=
14 693, 28
(1, 08)2= 12 597, 118
Pentru q2 = 10% si t = 2 se obtine capitalul scontat:
–pentru SSR sau SCC
Ka =K
1 + jt=
14 693, 28
1 + 0, 1 · 2 = 12 244, 4
–pentru SSC
Ka = K(1− jt) = 14 693, 28(1− 0, 1 · 2) = 14 399, 414
–pentru SCR
Ka =K
(1 + j)t=
14 693, 22
(1, 1)2= 12 143, 206
c) Pentru q1 = 8% si t =1
2= 0, 5 ani se obtine capitalul scontat:
–pentru SSR sau SCC
Ka =K
1 + jt=
14 693, 28
1 + 0, 08 · 0, 5 = 14 128, 153
–pentru SSC
Ka = K(1− jt) = 14 693, 28(1− 0, 08 · 0, 5) = 14 105, 548
–pentru SCR
Ka =K
(1 + j)t=
14 693, 28
(1, 08)1/2= 14 138, 616
Pentru q2 = 10% si t =1
2= 0, 5 ani se obtine capitalul scontat:
–pentru SSR sau SCC
45
Ka =K
1 + jt=
14 693, 28
1 + 0, 1 · 0, 5 = 13 993, 6
–pentru SSC
Ka = K(1− jt) = 14 693, 28(1− 0, 1 · 0, 5) = 13 958, 616
–pentru SCR
Ka =K
(1 + j)t=
14 693, 28
(1, 1)1/2= 14 008, 424
2.5 Plati esalonate (anuitati)
Sunt situatii ın care plata unor sume de bani nu se face deodata, ci esalonat, ın rate, la date
fixe. Sa presupunem ca se platesc ratele a1, a2, . . . , an la momentele (datele) t1, t2, . . . , tn.
Vom considera ca se lucreaza ın regim de dobanda compusa unitara i.
Se numeste anuitate ansamblul datelor: a1, a2, . . . , an , adica ratele si t1, t2, . . . , tn,
adica momentele de plata.
Se pune problema evaluarii anuitatii la un moment oarecare t ∈ R de evaluare.
Deoarece avem ratele a1, a2, . . . , an care se platesc la momentele t1, t2, . . . , tn ın regim
de (DC), rezulta ca suma ce va trebui platita la momentul t = 0 este:
V (0)=a1 · 1
(1 + i)t1+a2 · 1
(1 + i)t2+· · ·+an · 1
(1 + i)tn=
n∑
k=1
ak · 1
(1 + i)tk.(2.8)
Din relatia (2.8) rezulta ca suma ce va trebui platita la un moment oarecare t ∈ R va
fi:
V (t) = (1 + i)t · V (0) = (1 + i)t ·n∑
k=1
ak · 1
(1 + i)tk=
n∑
k=1
ak · 1
(1 + i)tk−t.(2.9)
Folosind notatiile:
u = 1 + i , pentru factorul de fructificare
v =1
u=
1
1 + i, pentru factorul de actualizare
relatia (2.9) se poate scrie
V (t) =n∑
k=1
ak · vtk−t =n∑
k=1
ak · vtk · ut(2.10)
Deci valoarea actuala a ratelor anuitatii, adica valoarea anuitatii, este data prin formula
(2.10), obtinuta ın regim de (DC).
Anuitatea este constanta daca ratele sunt constante si perioadele (intervalele dintre
platile consecutive) sunt constante, adica
a1 = a2 = · · · = an = a si tk − tk−1 = constant
46
Daca tk − tk−1 = 1 (an), atunci anuitatea se numeste ıntreaga, iar daca tk − tk−1 =1
m(fractiune de an), anuitatea se numeste fractionata. Vom prezenta ın continuare cazul
anuitatilor ıntregi.
Daca plata ratelor constante se face la sfarsitul anului, asa ıncat tk = k, spunem ca
avem anuitati constante posticipate. Folosind formula (2.10) se obtine ın acest caz:
V (t) =n∑
k=1
a · vk−t =n∑
k=1
a · vk · ut
Folosind suma progresiei geometrice, putem scrie
V (t) = a · v · 1− vn
1− v· ut = a · 1− vn
i· ut
Cand t = 0 se obtine V (0) = a · 1− vn
i, care reprezinta valoarea initiala a anuitatii
constante posticipate.
Cand t = n se obtine V (n) = a · 1− vn
i· un = a ·
1− 1
un
i· un = a · u
n − 1
i, care reprezinta
valoarea finala a anuitatii constante posticipate.
Problema 2.5.1 Sa se determine valoarea initiala si valoarea finala a unei anuitati
ıntregi posticipate pentru care rata anuala este 10 000 u.m., procentul 6%, iar numarul
perioadelor este 12.
Solutie. Avem a=10 000 u.m., p = 6%, adica i=0,06 si n=12.Astfel obtinem:
V (0) = 10 000 ·1−
(1
1, 06
)12
0, 06= 83 838, 40 u.m.
V (12) = 10 000 · (1, 06)12 − 1
0, 06= 168 699, 40 u.m.
Daca plata ratelor constante se face la ınceputul anului, asa ıncat acum tk = k − 1,
spunem ca avem anuitati constante anticipate. Din formula (2.10), obtinem:
V (t) =n∑
k=1
a · vk−1−t =n∑
k=1
a · vk · ut+1
Folosind suma unei progresi geometrice putem scrie
V (t) = a · v · 1− vn
1− v· ut+1 = a · 1− vn
i· ut+1
Valoarea initiala a anuitatii constante anticipate se gaseste cand t = 0, adica
V (0) = a · u · 1− vn
i
Valoarea finala a anuitatii anticipate se gaseste cand t = n, adica
V (n) = a · u · 1− vn
i· un = a · u ·
1−(
1
u
)n
i· un = a · u · un − 1
i
47
Problema 2.5.2 Sa se determine valoarea initiala si valoarea finala a unei anuitati
ıntregi anticipate pentru care rata anuala este 10 000 u.m., procentul 5% pe timp de 7
ani.
Solutie. Avem a=10 000 u.m., p = 5%, adica i=0,05 si n=7 ani.Astfel obtinem:
V (0) = 10 000 · 1, 05 ·1−
(1
1, 05
)7
0, 05= 60 756, 90 u.m.
V (7) = 10 000 · 1, 05 · (1, 05)7 − 1
0, 05= 295 491, 04 u.m.
In continuare vom prezenta cazul anuitatilor posticipate fractionate. Sa consideram
ca platile se fac ın n ani de cate m ori pe an, adica la momentele:
t11 =1
m, t12 =
2
m, . . . , t1m = 1,
t21 =m + 1
m, t22 =
m + 2
m, . . . , t2m = 2,
t31 =2m + 1
m, t32 =
2m + 2
m, . . . , t3m = 3,
...
tn1 =(n− 1)m + 1
m, tn2 =
(n− 1)m + 2
m, . . . , tnm = n,
iar ratele sunt constante
akj = a , k = 1, n , j = 1,m
Deoarece momentele la care se fac platile sunt tkj =(k − 1)m + j
m, k = 1, n , j = 1, m
putem scrie valoarea anuitatii obtinuta ın regim (DC) astfel:
V (t) =n∑
k=1
m∑j=1
a · vtkj−t =n∑
k=1
m∑j=1
a · vtkj · ut ,(2.11)
unde u = 1 +i
m, v =
1
u.
Daca folosim suma unei progresii geometrice, formula (2.11) se poate scrie
V (t) = aut
n∑
k=1
m∑j=1
vk−1 ·(v
1m
)j
= aut
n∑
k=1
vk−1 · v 1m · 1− v
1− v1m
=
autv1m · 1− v
1− v1m
·n∑
k=1
vk−1 = autv1m
1− v
1− v1m
· 1− vn
1− v= autv
1m · 1− vn
1− v1m
.
Deci
V (t) = autv1m · 1− vn
1− v1m
.(2.12)
48
Problema 2.5.3 Sa se determine valoarea initiala si valoarea finala a unei anuitati pos-
ticipate pentru care rata este de 10 000 u.m., cu procentul anual de 5%, stiind ca platile
se fac timp de 5 ani de 3 ori pe an.
Solutie. Avem a=10 000 u.m., n=5, m=3, p=5%, adica i=0,05. Din formula (2.12)
pentru t = 0, respectiv t = n obtinem valoarea initiala, respectiv valoarea finala a anuitatii
posticipate:
V (0) = 10 000 ·
1
1 +0, 05
3
13
·
1−
0BBBB@ 1
1 +0, 05
3
1CCCCA5
1−
0BBBB@ 1
1 +0, 05
3
1CCCCA13
= 143 572, 5485
V (5) = 10 000 ·(
1 +0, 05
3
)5
1
1 +0, 05
3
13
·
1−
0BBBB@ 1
1 +0, 05
3
1CCCCA5
1−
0BBBB@ 1
1 +0, 05
3
1CCCCA13
= 155 942, 4428
In mod analog se obtine formula pentru anuitatile anticipate fractionate.
2.6 Rambursarea creditelor si ımprumuturilor
Imprumutul este o suma de bani, care este transferata debitorului de catre creditor.
Restituirea (rambursarea) ımprumutului se poate face deodata sau ın rate (prin amor-
tizare). Pentru folosirea ımprumutului, debitorul este obligat sa plateasca o dobanda.
Exista mai multe modalitati de rambursare, si anume: prin rate constante sau rate
variabile. Principalele tipuri de amortizare sunt directe si indirecte.
Determinarea elementelor ce caracterizeaza rambursarea creditelor si ımprumuturilor
se face cu folosirea operatiilor de dobanda (simpla sau compusa) si a anuitatilor.
Introducem urmatoarele notatii:
s– suma ımprumutata;
t– durata ımprumutului (de obicei se va lua un numar ıntreg n de ani);
p=100i– procentul ( cu care a fost ımprumutata suma s ın regim de dobanda);
tk– momentele ın care se vor plati ratele (ın regim de anuitati);
p′ = 100i′– procentul cu care se fructifica ratele.
Vom presupune ca platile se fac la sfarsitul perioadei (anului). Pentru a se cunoaste
stadiul rambursarii ımprumutului ın fiecare moment, se ıntocmesc planuri de amortizare.
Structura unui asemenea plan este:
49
k Rk Dk Qk rk
......
......
...unde
k– numarul perioadei (anului);
Rk– suma nerambursata la ınceputul perioadei k;
Dk– dobanda pentru suma nerambursata Rk pe perioada k;
Qk– cota aferenta perioadei k ( o parte din ımprumut);
rk– rata aferenta perioadei k (totalul platii de la sfarsitul perioadei k);
Intre aceste elemente exista urmatoarele relatii:
R1 = s , Rk+1 = Rk −Qk , Rn = Qn , Dk = i ·Rk , rk = Qk + Dk , k = 1, n
Aceste relatii nu sunt suficiente pentru a determina toate marimile. Se mai foloseste
si relatia ce se obtine pe baza principiului echilibrului financiar:
s · un =n∑
k=1
rk · vk−n(2.13)
unde s·un reprezinta obligatia debitorului actualizata la scadenta sin∑
k=1
rk ·vk−n reprezinta
suma primita de creditor de la debitor actualizata la scadenta .
In cazul amortizarii directe debitorul plateste ratele direct creditorului. Avem
p′ = p, iar ratele ce se platesc la sfarsitul perioadelor sunt rk. Vom prezenta 4 modele de
amortizari directe.
MODELUL 1D: amortizarea se face prin plata unica. Debitorul plateste toata datoria
sa, S = sun, o singura data, la scadenta, deci ratele si cotele sunt:
rk = Qk = 0 , k = 1, n− 1
Qn = sun−1
rn = sun
(2.14)
MODELUL 2D: amortizarea prin achitarea sumei la scadenta si plata periodica a
dobanzilor. Debitorul plateste periodic (anual) dobanzile, iar suma ımprumutata o va
plati la scadenta (la sfarsitul ultimei perioade). Relatiile pe baza carora se ıntocmeste
planul de amortizare sunt:
Rk = s , Qk = 0 , Qn = s , Dk = s · i , rk = s · i , rn = s · u , k = 1, n− 1(2.15)
MODELUL 3D: amortizarea prin cote constante. Debitorul plateste, la sfarsitul fiecarei
perioade, o cota constanta din ımprumut, ımpreuna cu dobanzile corespunzatoare pentru
sumele nerambursate. Relatiile cu care se determina elementele planului de amortizare
50
sunt:
Qk = Q =s
nR1 = s
Rk+1 = s− kQ
Dk = Rk · i = s · i− (k − 1) ·Q · irk = Q + Dk = Q + s · i− (k − 1) ·Q · i
(2.16)
Dobanzile Dk si ratele rk sunt termenii unor progresii aritmetice cu ratia progresiei −Q · i,iar sumele Rk sunt termeni ai unei progresii aritmetice cu ratia −Q.
MODELUL 4D: amortizarea prin rate constante. Debitorul plateste, la sfarsitul fiecarei
perioade, o rata constanta, care acopera atat o parte din ımprumut cat si dobanda pentru
suma nerambursata.
Fie rk = r. Din relatia (2.13) avem:
sun =n∑
k=1
rvk−n ⇒ sun = run ·n∑
k=1
vk
Folosind suma unei progresii geometrice obtinem
s = rv1− vn
1− v⇒ r =
s · i1− vn
In continuare vom determina suma nerambursata la ınceputul perioadei k, adica Rk. Din
relatia rk = Qk · un−k+1 ⇒ Qk =r
un−k+1= r · vn−k+1. Deci suma nerambursata la
ınceputul perioadei k va fi:
Rk = Qk + Qk+1 + · · ·+ Qn = r · vn−k+1 + r · vn−k + ·+ r · v =
r ·n−k+1∑
i=1
vi = r · v · 1− vn−k+1
1− v= r · 1− vn−k+1
i
Astfel relatiile ce se utilizeaza pentru a determina elementele planului de amortizare sunt:
R1 = s
Rk = r · 1− vn−k+1
iDk = iRk = r(1− vn−k+1)
Qk = r · vn−k+1
rk = r
(2.17)
Din relatia Qk = r · vn−k+1 avem Q1 = r · vn, adica Qk = Q1 · v−k+1 = Q1 ·uk−1 , k = 2, n.
Deci cotele Qk sunt termeni ai unei progresii geometrice cu ratia u.
In cazul amortizarii indirecte, ımprumutul s pe care debitorul l-a luat de la credi-
tor este amortizat indirect, prin depuneri de rate r′k la o terta parte. Vom prezenta doua
modele de amortizari indirecte.
51
MODELUL 1I: amortizarea prin plata periodica a dobanzilor catre creditor si consti-
tuirea sumei ımprumutate la o terta parte prin plati periodice constante.
Se ıntocmesc doua planuri de amortizare, unul ıntre debitor si creditor si altul ıntre
debitor si terta parte.
Intre debitor si creditor planul de amortizare este de tipul 2D, si pentru calculul
dobanzilor catre creditor se foloseste procentul p.
Intre debitor si terta parte planul de amortizare este de tipul 4D, cand suma de
pornire este s · v′n (deoarece suma finala la terta parte trebuie sa fie s si atunci avem
relatia s = Sinitiala · u′n, adica Sinitiala = s · v′n), iar procentul cu care se fac calculele
este p′.
Ratele r′ constante, care sunt depuse de debitor la terta parte, sunt obtinute pe baza
principiului echilibrului financiar(vezi relatia (2.13)), adica
(s · v′n) · u′n =n∑
k=1
r′k · v′k−n ⇒ s · v′n · u′n = r′ · u′n ·n∑
k=1
v′k
Folosind suma progresiei geometrice obtinem
sv′n = r′1− v′n
i′⇒ r′ =
sv′n · i′1− v′n
Modelul 2I: amortizarea se face printr-o unica plata catre creditor si constituirea sumei
ımprumutate si dobanzii la o terta parte prin plati periodice constante.
In acest caz, planul de amortizare dintre debitor si creditor este de tipul 1D, deci
debitorul plateste toata datoria sa S = s · un o singura data, la scadenta. Intre debitor
si terta parte planul de amortizare este de tipul 4D, cand suma de pornire (initiala) este
Sv′n = (s · un) · v′n (deoarece suma finala la terta parte trebuie sa fie S = s · un si atunci
avem relatia S = Sintiala ·u′n, adica Sintiala = Sv′n), iar procentul cu care se fac calculele
este p′.
Ratele r′ constante, care sunt depuse de catre debitor, la terta parte, sunt determinate
pe baza principiului echilibrului financiar (vezi relatia (1)), adica
(Sv′n) · u′n =n∑
k=1
r′ · v′k−n ⇒ Sv′nu′n = r′u′nn∑
k=1
v′k
Folosind suma progresiei geometrice obtinem
Sv′n = r′1− v′n
i′, deci r′ =
S · i′ · v′n1− v′n
Problema 2.6.1 Sa se ıntocmeasca planul de amortizare al unui ımprumut de 60 000
u.m. cu procentul de 10% pe timp de 3 ani prin plata anuala a dobanzii si achitarea sumei
ımprumutate la scadenta.
52
Solutie. Este vorba de o amortizare de tip 2D, deci cu plata periodica a dobanzilor si
achitarea sumei ımprumutate la scadenta.
Avem: s=60 000 u.m., p=10%, i=0,1, n=3
R1 = 60000 u.m.,Q1 = 0, D1 = 60 000 · 0, 1 = 6 000, r1 = 6 000
R2 = 60 000 u.m.,Q2 = 0, D2 = 60 000 · 0, 1 = 6 000, r2 = 6 000,
R3 = 60 000 u.m.,Q3 = 60 000, D3 = 60 000 · 0, 1 = 6 000, r3 = 60 000(1 + 0, 1) = 66 000
Planul de amortizare il reprezentam sub forma urmatorului tabel:
k Rk Dk Qk rk
1 60 000 6 000 0 6 000
2 60 000 6 000 0 6 000
3 60 000 6 000 60 000 66 000
Problema 2.6.2 Sa se ıntocmeasca planul de amortizare al unui ımprumut de 120 000
u.m. cu procentul de 10% pe timp de 3 ani, prin achitarea periodica a unei cote constante
si cu plata periodica a dobanzilor pentru suma nerambursata.
Solutie. Avem un model de tip 3D. Deoarece s = 120 000 u.m, p = 10%, i = 0, 1 si n=3,
obtinem
Qk = Q =120 000
3= 40 000 u.m., k = 1, 3
R1 = s = 120 000 , D1 = R1 · i = 120 000 · 0, 1 = 12 000 , r1 = Q + D1 = 52 000
R2 = s−Q = 80 000 , D2 = R2 · i = 8 000 , r2 = Q + D2 = 48 000
R3 = s− 2Q = 40 000 , D3 = R3 · i = 4 000 , r3 = Q + D3 = 44 000
Planul de amortizare este reprezentat ın urmatorul tabel
k Rk Dk Qk rk
1 120 000 12 000 40 000 52 000
2 80 000 8 000 40 000 48 000
3 40 000 4 000 40 000 44 000
Problema 2.6.3 Sa se ıntocmeasca planul de amortizare al unui ımprumut de 45 000
u.m., cu procentul 15 %, pe timp de 3 ani, prin achitarea periodica a unei rate constante,
care acopera atat o parte din ımprumut cat si dobanda pentru suma nerambursata.
Solutie. Problema se ıncadreaza ın modelul 4D. Avem s = 45 000 u.m, p = 15%,
i = 0, 15, n = 3. Calculam rata constanta r prin relatia
r =s · i
1− vn=
40 000 · 0, 15
1−(
1
1, 15
)3 = 19 708, 96 u.m.
Planul de amortizare va fi:k Rk Dk Qk rk
1 45 000, 04 6 750, 16 12 958, 96 19 708, 96
2 32 041, 04 4 806, 16 14 902, 80 19 708, 96
3 17 138, 24 2 570, 74 17 138, 23 19 708, 96
53
Problema 2.6.4 Sa se amortizeze ın 4 ani un ımprumut de 80 000 u.m. printr-o unica
plata catre creditor cu procentul 5% si constituirea sumei necesare restituirii datoriei prin
plati periodice depuse spre fructificare cu procentul 6% la terta parte.
Solutie. Avem o problema de amortizare indirecta care se ıncadreaza ın Modelul 2I. Avem
s = 80 000 u.m., p = 5% , i = 0, 05 , p′ = 6% , i′ = 0, 06 , n = 4 . Planul de amortizare
dintre debitor si creditor este de tip 1D. Vom avea:
r1 = r2 = r3 = 0 , Q1 = Q2 = Q3 = 0
Q4 = s · u3 = 80 000 · (1, 05)3 = 92 610 , r4 = s · u4 = 80 000 · (1, 05)4 = 97 240, 50
R1 = 80 00 , D1 = 80 000 · 0, 05 = 4 000 , R2 = 84 000 , D2 = 84 000 · 0, 05 = 4 200
R3 = 88 200 , D3 = 88 200 · 0, 05 = 4 410 , R4 = 92 610 , D4 = 92 610 · 0, 05 = 4 630, 5;
Vom pune datele ıntr-un tabel:
k Rk Dk Qk rk
1 80 000 4 000 0 0
2 84 000 4 200 0 0
3 88 200 4 410 0 0
4 92 610 4 630, 5 92 610 97 240, 50Astfel debitorul va restitui creditorului toata datoria sa de 97 240,50 u.m. la scadenta.
Pentru ca peste 4 ani debitorul sa aiba la terta parte aceasta suma, cu procentul
p′ = 6%, acum ar trebui sa acopere suma initiala
Sinitiala = s · u4 · v′4 = 80 000 · (1, 05)4 · 1
(1, 06)4= 77 023, 57 u.m.
Astfel ıntre debitor si terta parte vom avea un model de rambursare de tip 4D. Determinam
rata constanta r′ astfel
r′ =77 023, 57 · 0, 06
1−(
1
1, 06
)4 = 22 228, 35 u.m.
Din relatiile (2.17) obtinem urmatorul plan de amortizare ıntre debitor si terta parte:
k Rk Dk Qk rk
1 77 023, 57 4 621, 41 17 606, 94 22 228, 35
2 59 416, 63 3 565, 00 18 663, 35 22 228, 35
3 40 753, 28 2 445, 20 19 783, 15 22 228, 35
4 20 970, 13 1 258, 21 20 970, 14 22 228, 35
Problema 2.6.5 Sa se amortizeze ın 3 ani un ımprumut de 60 000 u.m. prin plata
periodica a dobanzilor cu 10% catre creditor si constituirea sumei necesare restituirii
ımprumutului la o terta parte prin plati periodice constante depuse spre fructificare cu
6%.
Solutie. Planul de amortizare dintre debitor si creditor a fost ıntocmit la problema
Problema 2.6.1. Suma ımprumutata de 60 000 u.m. trebuie constituita la o terta parte.
54
Intre debitor si terta parte planul de amortizare este de tip 4D. Pentru ca peste 3 ani
debitorul sa aiba la o terta parte suma de 60 000 u.m., acum ar trebui sa acopere o suma
initiala care verifica
60 000 = Sinitiala · (1, 06)3 ⇒ Sinitiala =60 000
(1, 06)3=
60 000
1, 191= 50 377, 16 u.m.
Astfel ıntre debitor si terta parte rata constanta va fi data prin
r′ =50 377, 16 · 0, 06
1−(
1
1, 06
)3 = 18 846, 59 u.m.
Folosind relatiile (2.17) obtinem urmatorul plan de amortizare ıntre debitor si a terta
parte:
k Rk Dk Qk rk
1 50 377, 16 3 022, 63 15 823, 96 18 846, 59
2 34 553, 20 2 073, 19 16 773, 40 18 846, 59
3 17 779, 80 1 066, 79 17 779, 80 18 846, 59
55
Capitolul 3
Matematici actuariale
3.1 Functii biometrice
Probabilitatea de viata este probabilitatea ca o persoana ın varsta de x ani sa fie ın
viata la varsta de y ani, y ≥ x. Notam probabilitatea de viata p(x, y).
Probabilitatea de deces este probabilitatea ca o persoana ın varsta de x ani sa nu
fie ın viata la varsta de y ani, y ≥ x. Notam probabilitatea de deces cu q(x, y).
Deoarece p(x, y) si q(x, y) sunt probabilitatile unor evenimente contrare, avem
p(x, y) + q(x, y) = 1 .
Functia de supravietuire este o functie de varsta persoanei asigurate definita ca
valoarea medie a numarului de persoane care ajung la varsta de x ani dintr-un numar de
la persoane de a ani (a ≤ x). Vom folosi pentru functia de supravietuire simbolul lx.
Notand cu k numarul persoanelor ın viata la x ani si cu p(a, x) probabilitatea ca o
persoana ın varsta de a ani sa fie ın viata la x ani putem scrie urmatoarea distributie de
tip Bernoulli pentru variabila aleatoare X
X :
(k
Ckla
(p(a, x))k (q(a, x))la−k
), k = 0, la
Din definitia functiei de supravietuire avem:
lx = M(X) =la∑
k=0
kCkla (p(a, x))k (q(a, x))la−k = p(a, x) · la ,
de unde
p(a, x) =lxla
.
Evenimentul ca o persoana ın varsta de a ani sa fie ın viata la varsta de y ani se poate
concepe ca intersectia a doua evenimente dependente: primul, ca persoana ın varsta de a
56
ani sa fie ın viata la x ani si al doilea ca persoana ın varsta de a ani care a ajuns la varsta
de x ani sa fie ın viata la varsta de y ani.
Conform formulei pentru probabilitatea intersectiei a doua evenimente se poate scrie:
p(a, y) = p(a, x) · p(x, y) ,
adica
p(x, y) =p(a, y)
p(a, x)=
lylx
.
Viata medie, notata cu simbolul ex, se defineste ca valoarea medie a numarului de ani
cati mai are de trait o persoana ın varsta de x ani. Variabila aleatoare X are distributia:
X :
n +
1
2n/n+1qx
, n = 0, 1, . . .
unde cu n/n+1qx am notat probabilitatea ca persoana sa decedeze ıntre x + n si x + n + 1
ani.
Evenimentul ca o persoana ın varsta de x ani sa decedeze ıntre x + n si x + n + 1 ani
se poate concepe ca intersectia a doua evenimente dependente: primul, ca persoana ın
varsta de x ani sa fie ın viata la x + n ani si al doilea ca persoana ın varsta de x ani, care
a ajuns la varsta de x + n ani sa nu mai fie ın viata la x + n + 1 ani. Conform formulei
pentru probabilitatea intersectiei a doua evenimente putem scrie:
n/n+1qx = p(x, x + n) · q(x + n, x + n + 1) = p(x, x + n) · (1− p(x + n, x + n + 1)) =
lx+n
lx
(1− lx+n+1
lx+n
)=
lx+n − lx+n+1
lx.
Din definitia pentru viata medie avem
ex = M(X) =∑n≥0
(n +
1
2
)· n/n+1qx =
∑n≥0
(n +
1
2
)· lx+n − lx+n+1
lx=
1
2+
1
lx
∑n≥1
lx+n .
Deci ex =1
2+
1
lx
∑n≥1
lx+n .
Observatia 3.1.1 1) Se presupune ca decesul are loc ıntre x + n si x + n + 1 ani la
jumatatea anului si de aceea se considera n +1
2ani cati mai are de trait persoana ın
varsta de x ani.
2) Daca se presupune ca decesul are loc ıntre x + n si x + n + 1 ani la sfarsitul anului,
variabila aleatoare corespunzatoare va avea distributia
X :
(n + 1
n/n+1qx
), n = 0, 1, . . .
57
iar ex =∑n≥0
(n + 1) · n/n+1qx =1
lx
∑n≥1
lx+n .
Pentru a dispune de valorile functiilor utilizate ın teoria asigurarilor se ıntocmesc
tabele de mortalitate. Tabelele contin de obicei urmatoarele valori:
x= numarul de ani
lx=functia de supravietuire
dx= numarul persoanelor decedate ıntre varsta de x si x + 1 ani
px=probabilitatea de viata
qx probabilitatea de deces
ex= viata medie
Tabelele mai contin o serie de ”numere de comutatie”.
3.2 Plati viagere
Plata viagera este o plata care nu are loc ın mod cert ci numai daca persoana asigurata
este ın viata.
Pentru a afla valoarea actuala medie a unei unitati monetare, platibila peste n
ani unei persoane actualmente de x ani consideram variabila aleatoare X care reprezinta
plata efectuata. Considerand ca plata nu se face daca daca persoana este decedata,
variabila aleatoare X are distributia:
X :
(vn 0
p(x, x + n) q(x, x + n)
), n = 0, 1, . . .
unde
i= dobanda anuala unitara
v =1
1 + ieste factorul de actualizare anual ın operatia de dobanda compusa
vn= valoarea actuala a unei unitati monetare corespunzatoare cazului cand persoana este
ın viata peste n ani
Valoarea actuala a unei unitati monetare este 0 daca persoana nu este ın viata peste n
ani.
p(x, x + n)= probabilitatea ca o persoana de x ani sa fie ın viata peste n ani
q(x, x + n)= probabilitatea ca o persoana de x ani sa nu fie ın viata peste n ani
Valoarea medie a variabilei aleatoare X se numeste factor de actualizare viager si
se noteaza nEx. Deci avem
nEx = M(X) = vn · p(x, x + n) = vn · lx+n
lx=
vx+nlx+n
vxlx.
Notam Dx = vxlx (numarul de ”comutatie”) si obtinem nEx =Dx+n
Dx
. Numarul de
comutatie se ia din tabelele de mortalitate.
58
Valoarea medie a platilor viagere S1, S2, . . . , Sk platibile peste n1, n2, . . . , nk ani, daca
platile se efectueaza cand o persoana de x ani este ın viata peste n1, . . . , nk ani este
M(X) = M(X1) + M(X2) + . . . + M(Xk)
unde X1, X2, . . . , Xn sunt variabilele aleatoare corespunzatoare platilor facute de asigura-
tor cand persoana ımplineste varsta x + n1, x + n2, . . . , x + nk .
Conform relatiilor de mai sus avem:
M(X) = S1 · n1Ex + ·+ Sk · nkEx .
Numarul M(X) se numeste valoarea actuala a anuitatii viagere.
In cazul anuitatilor viagere constante posticipate ratele sunt constante S1 =
S2 = · · · = Sk = S, perioadele n2 − n1, . . . , nk − nk−1 sunt constante si plata se face la
sfarsitul fiecarei perioade. Sa consideram ca platile se fac anual.
In cazul anuitatilor viagere constante posticipate imediate platile se fac pana la
limita de varsta, adica anuitatea este nelimitata. Valoarea actuala a unei anuitati viagere
posticipate, notata cu ax cand S = 1 este
ax = 1Ex + 2Ex + · · · = Dx+1
Dx
+Dx+2
Dx
+ · · ·
Folosind numarul de comutatie
Nx = Dx + Dx+1 + · · ·
avem
ax =Nx+1
Dx
unde ax se numeste factor de actualizare.
Daca ratele anuitatii viagere se platesc numai de la al n-lea an ıncepand se ajunge la
notiunea de anuitate viagera constanta posticipata amanata, notata prin n/ax are
valoarea
n/ax = n+1Ex + · · · = Dx+n+1
Dx
+ · · · = Nx+n+1
Dx
.
Daca se considera anuitatea viagera a carei rate se platesc numai timp de n ani, se
ajunge la notiunea de anuitate viagera constanta posticipata limitata notata prin
simbolul /nax si are valoarea
/nax = 1Ex + · · ·+ nEx =Dx+1 + · · ·+ Dx+n
Dx
adica
/nax = ax − n/ax =Nx+1 −Nx+n+1
Dx
.
59
Anuitatea viagera constanta anticipata se deosebeste de cea posticipata prin
aceea ca plata ratelor se face la ınceputul perioadei, ın cazul nostru la ınceputul anului.
In acest caz sunt valabile urmatoarele relatii:
–pentru anuitatea viagera constanta anticipata imediata
ax =Nx
Dx
–pentru anuitatea viagera anticipata amanata
n/ax =Nx+n
Dx
–pentru anuitatea viagera anticipata limitata
/nax =Nx −Nx+n
Dx
3.3 Plati ın caz de deces
Pana acum s-au considerat platile care au loc ın cazul ın care daca asiguratul este ın
viata. Acum se vor considera plati ce au loc daca persoana decedeaza.
Vom considera ca plata se face ın felul urmator: daca persoana asigurata, actualmente
de x ani, a decedat ıntre x+n si x+n+1, plata are loc, iar ın caz contrar nu se face nici o
plata. Pentru a afla valoarea actuala medie a unei unitati monetare platibila peste n ani
vom considera variabila aleatoare X care reprezinta plata efectuata si care are distributia
X :
(0 vn+ 1
2
1− n/n+1qx n/n+1qx
)
unde vn+ 12 este valoarea actuala a anuitatii ( se considera ca decesul are loc la jumatatea
anului), iar
n/n+1qx = p(x, x + n) · q(x + n, x + n + 1) =lx+n − lx+n+1
lx
si reprezinta probabilitatea ca o persoana ın varsta de x ani sa decedeze ıntre varsta x+n
si x + n + 1 ani.
Valoarea medie M(X) este factorul de actualizare ın caz de deces si se va nota
cu nDx.
Deci avem:
nDx = M(X) = vn+ 12 · n/n+1qx = vn+ 1
2 · lx+n − lx+n+1
lx.
Folosind numarul de comutatie
Cx = vx+ 12 · (lx − lx+1) = u
12 · (vDx −Dx+1)
60
avem
nDx =vx+n+ 1
2 · (lx+n − lx+n+1)
vx · lx =Cx+n
Dx
.
Valoarea actuala medie a mai multor plati de deces, de cate 1 unitate monetara ( de
aceeasi valoare), platibila ın cazul ın care persoana decedeaza ın anul respectiv este
M(X) =∑i≥0
iDx =∑i≥0
Cx+i
Dx
sau folosind numarul de comutatie
Mx =∑i≥0
Cx+i =∑i≥0
u12 · (vDx+i −Dx+i+1) = u
12 · (vNx −Nx+1)
si notand Ax = M(X), avem Ax =Mx
Dx
, care este formula unei anuitati de deces
imediate (nelimitate) .
Anuitatea de deces se poate calcula ıntre doua momente x + m (inclusiv) si x + n
(exclusiv) oarecare
M(X) =n−1∑i=m
iDx =n−1∑i=m
Cx+i
Dx
=Mx+m −Mx+n
Dx
.
Introducand notatia m/nAx = M(X), se poate scrie
m/nAx =Mx+m −Mx+n
Dx
.
Pentru m = 0 se obtine factorul de actualizare pentru cazul de limitare la n ani
/nAx =Mx −Mx+n
Dx
.
Pentru factorul de actualizare ın cazul de amanare cu n ani
n/Ax =Mx+n
Dx
.
3.4 Asigurari de persoane
1. Asigurarea de viata
Contractul de asigurare prevede urmatoarele:
Asiguratul ın varsta de x ani plateste periodic anticipat o suma P timp de k ani.
Valoarea actuala a unei unitati monetare platibile anticipat timp de k ani este /kax, deci
P unitati monetare au ca valoare actuala medie P · /kax.
Asiguratorul, cand asiguratul ımplineste varsta de x + n ani, plateste acestuia o
suma S. Daca asiguratul nu este ın viata, asiguratorul nu are nici o obligatie. Valoarea
medie actuala a S unitati monetare este S · nEx.
61
Conform principiului echilibrului financiar se poate scrie egalitatea
P · /kax = S · nEx ,
deci
P =S · nEx
/kax
= S ·Dx+n
Dx
Nx −Nx+k
Dx
= S · Dx+n
Nx −Nx+k
2. Asigurare de pensii
Asiguratul ın varsta de x ani plateste periodic anticipat suma P timp de k ani.
Valoarea actuala medie a obligatiilor asiguratului este /kax pentru o unitate monetara,
deci P · /kax pentru P unitati monetare.
Asiguratorul plateste asiguratului periodic o suma S, de la implinirea varstei de x+n
ani pana la decesul sau. Daca asiguratul decedeaza ınaintea implinirii varstei de x+n ani,
asiguratorul nu are nici o obligatie. Valoarea actuala medie a obligatiilor asiguratorului
este n/ax pentru o unitate monetara, deci S · n/ax pentru S unitati monetare.
Conform principiului echilibrului financiar avem:
P · /kax = S · n/ax ,
deci
P = S · n/ax
/kax
= S ·Nx+n
Dx
Nx −Nx+k
Dx
= S · Nx+n
Nx −Nx+k
.
3. Asigurare de deces
Contractul de asigurare cuprinde urmatoarele:
Asiguratul, ın varsta de x ani, plateste anual anticipat suma P timp de k ani.
Valoarea actuala medie a obligatiilor sale este P · /kax unitati monetare.
Asiguratorul plateste unei persoane indicate de asigurat suma S, daca aceasta de-
cedeaza ıntre varsta de x+m ani (inclusiv) si x+n ani (exclusiv). Valoarea actuala medie
a obligatiilor asiguratorului este S · m/nAx.
Conform echilibrului financiar are loc egalitatea
P · /kax = S · m/nAx ,
adica
P = S · Mx+m −Mx+n
Nx −Nx+k
.
Asigurarea mixta
De obicei asigurarea de deces nu se ıncheie singura ci combinata cu o asigurare de
viata. Astfel apare un contract de urmatorul tip:
62
Asiguratul ın varsta de x ani, plateste anticipat cate P unitati monetare, timp de k
ani. Valoarea actuala medie a obligatiilor sale este de P · /kax.
Asiguratorul se obliga sa plateasca asiguratului suma de S unitati monetare daca
acesta este ın viata la varsta de x + n ani, sau sa plateasca persoanelor indicate de catre
asigurat, suma asigurata daca el decedeaza pana la varsta de x + n ani.
Echilibrul financiar se realizeaza conform legii compunerii contractelor si se obtine
P · /kax = S · nEx + S · /nAx ,
adica
P = S · Dx+n + Mx −Mx+n
Nx −Nx+k
.
Exemple:
Sa punem problema ca o persoana ın varsta de 61 ani se asigura sa i se plateasca
peste 14 ani, daca este ın viata suma de 10 000 RON. Vom calcula valoarea primei anuale
platibile pana la expirarea termenului de asigurare.
Notam cu S=10 000 RON suma asigurata
Notam cu P valoarea primei anuale platibila anticipat de asigurat
Valoarea actuala medie a obligatiilor asiguratului este /14a61 pentru o unitate monetara,
deci P · /14a61 pentru P unitati monetare.
Valoarea actuala medie a obligatiilor asiguratorului este 14E61 pentru o unitate mon-
etara, deci S · 14E61 pentru S unitati monetare.
Conform principiului echilibrului financiar se poate scrie egalitatea
P · /14a61 = S · 14E61 ,
dar /14a61 =N61 −N75
D61
si 14E61 =D75
D61
.
Vom obtine, folosind din tabelul de mortalitate cu procentul de 10% valorile numerelor
de comutatie, valoarea primei anuale platibila de asigurat
P = S · D75
N61 −N75
= 10 000 · 31, 47
1 667, 58− 165, 54= 209, 515RON
In continuare punem problema ca aceeasi persoana de 61 de ani ısi asigura familia cu
o suma de 10 000 RON care urmeaza sa fie platita de catre institutia de asigurare daca
decesul are loc ın decurs de 14 ani.
Vom calcula valoarea primei anuale ce urmeaza a fi platita pe tot timpul asigurarii.
Notam cu S=10 000 RON suma asigurata
Notam cu P valoarea primei anuale platibila anticipat de asigurat
Valoarea actuala medie a obligatiilor asiguratului este P · /14a61 unitati monetare.
Asiguratorul plateste unei persoane indicate de asigurat suma S, daca acesta decedeaza
63
ıntre varsta de 61 ani si 75 ani. Valoarea actuala medie a obligatiilor asiguratorului este
S · /14A61.
Conform echilibrului financiar are loc egalitatea
P · /14a61 = S · /14A61 ,
dar /14a61 =N61 −N75
D61
si /14A61 =M61 −M75
D61
.
Vom obtine, folosind din tabelul de mortalitate cu procentul de 10% valorile numerelor
de comutatie, valoarea primei anuale platibila de asigurat
P = S · M61 −M75
N61 −N75
= 10 000 · 64, 34− 17, 22
1 667, 58− 165, 54= 313, 706RON .
64
Bibliografie
[1] D. Acu, M. Acu, P. Dicu, A.M. Acu, Matematici aplicate ın economie Volumul III -
Elemente de teoria probabilitatilor si de statistica matematica, Editura Universitatii
”Lucian Blaga” din Sibiu, 2003
[2] D. Acu, M. Acu, P. Dicu, A.M. Acu, Matematici aplicate ın economie Volumul II -
Elemente de analiza matematica, Editura Universitatii ”Lucian Blaga” din Sibiu, 2002
[3] D. Acu, M. Acu, P. Dicu, A.M. Acu, Analiza matematica, Editura ”ALMA MATER”
din Sibiu, 2002
[4] D.Acu, M. Acu, P. Dicu, A.M. Acu, Matematici aplicate ın economie Volumul I -
Elemente de algebra, programare liniara , teoria grafurilor si probleme de transport,
Editura Universitatii ”Lucian Blaga” din Sibiu, 2001
[5] D. Acu, M. Acu, P. Dicu, A.M. Acu, Matematici aplicate ın economie Volumul I - Ele-
mente de algebra, programare liniara, teoria grafurilor, Editura Universitatii ”Lucian
Blaga” din Sibiu, 2001
[6] A.M.Acu, M. Acu, P. Dicu, Matematici aplicate ın economie - Elemente de al-
gebra, programare liniara si teoria grafurilor - Probleme, Editura Universitatii ”Lucian
Blaga” din Sibiu, 2001
[7] A.M. Acu, M. Acu, P. Dicu, M. Olaru, Analiza Matematica - Probleme, Editura
Universitatii ”Lucian Blaga” din Sibiu, 2001
[8] P. Blaga , A.S. Muresan , A. Lupas , Matematici financiare si actuariale , Editura
Constant , Sibiu 2001
[9] C. Iancu , Modelare matematica . Teme speciale , Casa Cartii de Stiinta , Cluj-Napoca,
2002 .
[10] A.S. Muresan , P. Blaga , Matematici aplicate ın economie , Vol.2. , Transilvania
Press, Cluj-Napoca, 1996
65